Линейная алгебра и аналитическая геометрия: Учебное пособие

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МИРЭА - РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Е.В.ЖУРАВЛЕВА, Л.И.СТУДЕНИКИНА
ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ И АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ В УПРАЖНЕНИЯХ И ЗАДАЧАХ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
Москва – 2021
УДК 512
ББК 22.14
Ж91
Печатается по решению редакционно-издательского совета РТУ МИРЭА
Рецензенты:
Хохлов Н.А.; д-р физ.мат. наук, профессор, ЮЗГУ, г. Курск
Мальцева И.Ф.; к.э.н.,доцент, ФГБОУ ВО Курская ГСХА
Журавлева Е.В., Студеникина Л.И.
Основы линейной алгебры и аналитической геометрии в упражнениях и задачах: учебное пособие / Е.В. Журавлева, Л.И. Студеникина. –
М.: МИРЭА –Российский технологический университет, 2021. – 104 с.
ISBN
Пособие включает основные темы дисциплины «Линейная алгебра». Каждая
тема состоит из теоретической справки, подробного разбора решения типовых
задач, задач для самостоятельного решения.
Предназначено для самостоятельной работы и работы на семинарских и практических занятиях студентов, обучающихся по направлениям подготовки бакалавров очного отделения 38.03.01 Экономика, 38.03.02 Менеджмент,
38.03.05 Бизнес-информатика,01.03.05 Статистика.
УДК 519.2
ББК 22.172
©Журавлева Е.В., Студеникина Л.И.,
2021
© МИРЭА – Российский технологический университет, 2021
ISBN
2
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. МНОГОЧЛЕНЫ
1.1. Основные понятия, связанные с многочленами
1.2. Делимость многочленов
1.3. Схема Горнера и корни многочленов
1.4. Теорема Безу и следствия из нее
2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
2.1. Алгебраическая форма комплексного числа
2.2. Операции над комплексными числами
2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
2.4. Возведение в степень, извлечение корня
2.5. Многочлен в комплексной области
2.6. Дробно-рациональные функции
2.7. Экономические приложения комплексных чисел
3. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
3.1. Основные понятия
3.2. Операции над матрицами
3.3. Определители квадратных матриц
3.4. Свойства определителей
3.5. Обратная матрица
3.6. Ранг матрицы
3.7. Линейная зависимость (независимость) строк (столбцов)
4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1. Основные определения
4.2. Решение систем n линейных уравнений с n переменными
методом Крамера и с помощью обратной матрицы
4.3. Системы m линейных уравнений с n переменными
4.4. Метод Гаусса
4.5. Однородные системы
4.6. Модель Леонтьева межотраслевого баланса
5. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
5.1. Скалярные и векторные величины
5.2. Линейные операции над векторами
5.3. Проекция вектора на ось
5.4. Прямоугольная система координат. Разложение вектора по
ортам в пространстве
5.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме
5.6. Скалярное произведение векторов
5.7. Векторное произведение векторов
5.8. n - мерный вектор и векторное пространство
3
5
6
6
7
8
10
12
12
12
13
16
17
19
21
23
23
23
25
28
28
30
32
34
34
35
36
37
39
41
43
43
44
45
46
46
48
49
50
5.9. Размерность и базис линейного векторного пространства
5.10. Собственные числа и собственные векторы матриц
5.11. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
6. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
6.1. Линии и их уравнения на плоскости
6.2. Прямая линия
6.2.1. Общее уравнение прямой
6.2.2. Каноническое уравнение прямой
6.2.3. Уравнение с угловым коэффициентом
6.2.4. Угол между прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности прямых
6.2.5. Расстояние от точки до прямой
6.3. Кривые второго порядка
6.3.1.Основные определения
6.3.2.Основные характеристики кривых второго порядка
6.3.3. Общий вид кривых второго порядка
6.3.4. Примеры решения задач
6.4. Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве
6.4.1. Общее уравнение плоскости
6.4.2. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
6.4.3. Прямая в пространстве
6.4.4. Угол между прямой и плоскостью
7. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
8. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
9. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
10. ЛИТЕРАТУРА
4
51
52
54
55
55
55
55
56
57
58
59
60
60
61
61
62
63
63
64
64
65
67
87
105
107
ВВЕДЕНИЕ
Курс линейной алгебры для студентов экономических направлений подготовки можно условно разделить на несколько основных частей, каждая из которых имеет достаточно большой спектр приложений. Приведем перечень таких
частей. Комплексные числа. Многочлены. Матрицы, действия над матрицами.
Определители, способы вычисления. Обратная матрица и способы ее вычисления. Ранг матрицы. Системы линейных алгебраических уравнений. Метод
Гаусса исследования и решения систем уравнений. Решение экономических задач с помощью систем линейных уравнений. Модель Леонтьева межотраслевого баланса. Линейная модель обмена (модель международной торговли).
Продолжением изучения линейной алгебры является раздел аналитической
геометрии на плоскости и в пространстве, который наглядно демонстрирует
использование элементов линейной алгебры, а затем и графический способ решения задач на поиск оптимальных решений в исследовании операций. Перечень разделов, о которых будет идти речь в данном пособии: скалярные и векторные величины, линейные операции над векторами, предмет и метод аналитической геометрии, прямая линия на плоскости, кривые второго порядка, прямая и плоскость в пространстве, скалярное, векторное, смешанное произведения.
Каждый раздел содержит теоретические сведения по теме. В конце каждой
завершенной части приведен список литературы, где более подробно изложен
теоретический материал. Теоретические сведения сопровождаются разобранными примерами. В разделе 7 приведены задачи для самостоятельного решения, которые можно отнести к основным типовым заданиям по дисциплине.
Цель выполнения данных заданий: сформировать умения по решению основных типов задач.
Достаточно большое внимание уделено приложению основных понятий и
теорем в экономике. Представленные в разделе 7 задачи помогут сформировать
навыки применения знаний по линейной алгебре в профессиональной деятельности.
5
1. МНОГОЧЛЕНЫ
1.1. Основные понятия, связанные с многочленами
Действия над многочленами, степень многочлена.
Определение: многочлен от одной переменной x – это выражение вида
f=a0xn+ a1xn-1+…+an-1x+an ,
где n - любое натуральное число или 0, коэффициенты a0 , a1,..., an-1, an произвольные действительные числа.
Указанный вид многочлена называется стандартным. Часто вместо
f
пишут f (x), если необходимо подчеркнуть, что в качестве переменной рассматривается именно x.
Определение. Степенью многочлена от переменной х называется
наибольший из показателей степени одночленов, входящих в его стандартный
вид. Поэтому, если a0 ≠ 0, то многочлен
f=a0xn+ a1xn-1+…+an-1x+an
имеет степень n.
Степень f обозначается через deg f , например, deg ( x8 - 2x5 + 8x)= 8.
Коэффициент при наибольшем показателе степени x многочлена называется старшим коэффициентом этого многочлена, а слагаемое, не содержащее
x, - свободным членом многочлена.
Для нахождения суммы многочленов достаточно привести подобные члены, а для нахождения произведения необходимо раскрыть скобки и привести
подобные члены.
Для произведения fg ненулевых многочленов f и g выполнены свойства: fg
 0; deg (fg) = deg f + deg g; старший коэффициент fg равен произведению старших коэффициентов f и g; свободный член fg равен произведению свободных
членов f и g.
Кроме того, справедливо свойство:
Deg(f + g )  maxdeg f , deg g.
Множество всех многочленов от переменной x обозначается R[x].
6
1.2. Делимость многочленов
Определение. Пусть f , g  R  x  , g  0. Говорят, что f делит g, и пишут f
|g, если существует такой многочлен h  R  x  ,что fh = g.
Наряду с «f делит g» говорят также f – делитель g, или g делится на f , или
g кратно f .
Для любых многочленов f , g, h выполнены следующие свойства делимости:
1)если f делит g, а g делит h, то f делит h;
2)если f делит g и f делит h, то f делит g + h
3) если f делит g, то для любого многочлена h: f делит gh;
4) если c - ненулевое число, то многочлены f и cf делят друг друга
Теорема (о делении с остатком).
Для любых
 R  x  такие,
f , g Rx, g 
0 существуют единственные q, r
что f = gq + r, deg r < deg g или r = 0;
многочлены q и r называются частным и остатком от деления f на g.
Примеры
1.
Преобразовать многочлен к стандартному виду и найти его степень:
а) (x + 1)(x + 2) – 2(x – 2)(x – 3) + (x – 1)(x + 4);
б) (2 + x)(x2 – 1) + (2 – x)(x2 + 2).
Решение.
Раскроем скобки и приведем подобные члены:
а)
(x + 1)(x + 2) – 2(x – 2)(x – 3) + (x – 1)(x + 4) =
= (x2 + 3x + 2) – 2(x2 – 5x + 6) + (x2+ 3x – 4) =
= 3x + 2 + 10x – 12 + 3x – 4 = 16x – 14;
б) (2 + x)(x2 – 1) + (2 – x)(x2 + 2) = (2x2– 2 + x3 – x) +
+ (2x2 + 4 – x3 – 2x) = 4x2 – 3x + 2.
2.
Для каких чисел a, b равны многочлены:
(x2 + ax + b) (x + 2) и x3 + 2x2 + 3x + 6?
Ре ш е н и е:
Равенство ( x 2 + ax + b )( x +2)= x3 +2x2 +3x +6
верно тогда и только тогда, когда совпадают коэффициенты многочленов при
соответствующих степенях х. Имеем:
2b=6,
2a+b=3,
7
2+a=3.
Решением этой системы является пара (a= 0, b = 3).
Возможно и другое решение задачи. Разложим на множители второй многочлен:
x3 + 2x2 + 3x + 6 = x2 ( x + 2) + 3( x + 2) = ( x 2 + 3)( x + 2 ), значит, подходит
только пара (a = 0, b = 3)
Деление «уголком».
3.
Разделить «уголком» многочлен f = 4x5 − 3x3 + x − на многочлен
g = x2 – 3. Найти частное и остаток от деления f на g?
Р е ш е н и е.
4x5 − 3x3 + x − x2 – 3
4x5 – 12 x3
4 x3+9x
9 x3+x–1
9 x3–27x
28x–1
Так как
28x–1 не делится на x2 – 3, то получим следующее разложение:
4x5 – 3x3 + x – 1 = (x2 – 3)(4x3 + 9x) + (28x – 1),
т.е. частным от деления 4x5 – 3x3 + x – 1 на x2 – 3 является многочлен q =
4x3 + 9x, а остатком от этого деления служит многочлен r = 28x – 1.
1.3. Схема Горнера и корни многочленов
Если дан многочлен f = a0xn + a1 xn-1 + ... + an-1x + an и число c, то значением многочлена f при x=c или в точке c называется число
f (c)= a 0 cn + a 1 cn-1 +...+ an-1c + a n .
Нахождение значений многочлена в точке не представляет принципиальных трудностей, но вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений используют схему Горнера, состоящую в заполнении таблицы из двух строк по определенному правилу. Например, чтобы
вычислить значение многочлена f = 2x4 −11x3 −17x2 − 23x − 41 в точке х=7
строка из коэффициентов записывается первой, старший коэффициент «дублирует8
ся» во второй строке, а перед ним ставится значение переменной 7, при котором вычисляется значение многочлена. Получается таблица, пустые клетки которой надо
заполнить.
7
2
2
-11
-17
-23
-41
Это делается по единому правилу: стоящее слева число умножается на 7 и
складывается с числом, стоящим над пустой клеткой. Поэтому в первой пустой
клетке ставится число 2·7 – 11 = 3, во второй клетке ставится 3·7 – 17 = 4, в третьей 4·7 – 23 = 5 и в последней 5·7 – 41 = –6. Полностью заполненная схема
Горнера выглядит так:
7
2
2
-11
3
-17
4
-23
5
-41
–6
Корень многочлена.
Одной из основных задач, ради которой в математике и развивалась теория
многочленов от одной переменной, является решение так называемых целых
алгебраических уравнений, т.е. уравнений вида a0 xn + a1 xn-1 +... + an-1x+ + an= 0
произвольных степеней с произвольными коэффициентами. В связи с решением уравнений вводится важнейшее понятие – корень многочлена.
Определение. Число c называется корнем многочлена f , если f (c) = 0.
Другими словами, число c является корнем многочлена f , если
a0 cn + a1 cn-1 +... + an-1c + an = 0.
Напомним, что число c является корнем уравнения
a0 xn + a1 xn-1 +... + an-1x + a = 0,
если при подстановке вместо x числа c получается верное равенство.
Поэтому корень многочлена
f
и корень уравнения f ( x)= 0 это одно и то же.
Справедлива следующая теорема.
Теорема (достаточное условие существования корня многочлена).
9
Если многочлен с действительными коэффициентами имеет значения
разных знаков на отрезке a; b, то внутри отрезка существует корень
данного многочлена.
Отметим, что приведенная теорема является теоремой существования –
она гарантирует наличие корня внутри отрезка, но не объясняет, каким образом
следует его искать. Более того, внутри отрезка может оказаться даже не один
корень, а несколько.
Укажем алгоритм поиска всех рациональных, в частности, целых корней
многочлена с целыми коэффициентами.
Теорема (о целых корнях). Всякий целый корень многочлена с целыми
коэффициентами является делителем его свободного члена.
На этой теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочередно
вычислять значения многочлена от этих чисел.
Теорема (о рациональных корнях).
Пусть рациональное число p/q – корень многочлена с целыми коэффициентами, причем дробь p/q – несократимая. Тогда числитель дроби p – делитель
свободного члена, а знаменатель q – делитель старшего коэффициента многочлена.
Указанная теорема дает алгоритм поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и все
положительные делители старшего коэффициента и поочередно вычислить
значения многочлена от этих чисел.
1.4. Теорема Безу и следствия из нее
Связь между корнями многочлена и его делимостью на двучлены вида x- c
устанавливает следующая простая теорема.
Теорема Безу. Пусть f – многочлен, c – некоторое число. Тогда
1)
f делится на x – c только, если число c является его корнем;
2)
остаток от деления f на x – c равен f(c).
Теорема (о числе корней многочлена). Многочлен степени n имеет не
более n корней.
Пример. Найти рациональные корни многочлена 2х3–х2+12х–6.
Решение. Пусть несократимая дробь p/q – корень многочлена, где p– один
из делителей свободного члена, то есть ±1; ±2; ±3; ±6, q–делитель старшего коэффициента ±1; ±2. Тогда рациональные корни ищем среди чисел ±1/2; ±1;
±3/2; ±2; ±3; ±6.
10
Вычисляем значение многочлена от этих чисел с помощью схемы Горнера.
Начинаем с 1/2.
1/2
2
2
–1
0
12
12
–6
0
Так как при х=1/2 многочлен равен 0, то он нацело делится на х–1/2.
В результате получим разложение исходного многочлена на множители
3
2х –х2+12х–6=(х–1/2)(2х2+12). Очевидно, что вторая скобка не имеет действительных корней, следовательно, многочлен имеет единственный рациональный
корень х=1/2.
Более подробно о многочленах и основных теоремах см. [5. Гл. 1, п. 1.11.3, с. 5-23].
11
2. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
2.1. Алгебраическая форма комплексного числа
Определение. Числа вида:
z = a + bi,
где а, b – действительные
числа,
символ i, определяемый условием
i 2 = −1 , называется мнимой единицей, называются комплексными, a и b называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа.
Такое представление комплексного числа z называется его алгебраической
формой. Действительную часть числа z обозначают Re(z), а мнимую – Im(z).
Если Im(z)=0, то z – действительное число.
Множество комплексных чисел обозначается буквой С. Если между действительными числами и точками числовой прямой существует взаимнооднозначное соответствие, то для комплексных чисел взаимно-однозначное соответствие можно установить с точками на плоскости R2. Комплексному числу
z = a + b  i соответствует точка плоскости с координатами (а, b). Кроме того,
существует векторный способ задания комплексных чисел, т.е. каждому комплексному числу z = a + bi ставят в соответствие вектор с координатами (а, b),
причем, как правило, этот вектор отложен от начала координат.
Определение. Два числа z1 = a 1 + b1  i и z 2 = a 2 + b 2  i называются рав-
ными, тогда и только тогда, когда a 1 = a 2 , b1 = b 2 равны их действительные и
мнимые части.
2.2. Операции над комплексными числами
Определение. Пусть z1 = a 1 + b1  i и z 2 = a 2 + b 2  i два комплексных
числа. Сумма двух комплексных чисел определяется равенством
z1 + z 2 = (a 1 + a 2 ) + (b1 + b 2 )  i
Произведение двух комплексных чисел определяется
z1  z 2 = (a 1 + b1  i)  (a 2 + b 2  i) = (a 1a 2 − b1b 2 ) + (a 1b 2 + a 2 b1 )  i
Замечание. Частный случай a (a 1 + b1  i) = aa1 + ab1  i .
Пример.
Найти z1 + 2z 2 , z1  z 2 , если z1 = 3 + 5i, z 2 = −7 + 2i
z1 + 2z 2 = 3 + 5i + 2(−7 + 2i) = −11 + 9i
z1  z 2 = (3 + 5i)(−7 + 2i) = −21 − 35i + 6i − 10 = −31 − 29i.
12
z1 − z2 = 3 + 5i − (−7 + 2i ) = 10 + 3i
Операции сложения и умножения обладают следующими свойствами
1) z1 + z 2 = z 2 + z1 ;
2) z1  z 2 = z 2  z1 ;
3) (z1 + z 2 ) + z 3 = z1 + (z 2 + z 3 );
4) (z1  z 2 )  z 3 = z1  (z 2  z 3 );
5) z1  (z 2 + z 3 ) = z1z 2 + z1z 3 .
Замечание. Число a + 0i = a, 0 + bi = bi, 1  i = i.
Определение. Пусть z = a + b  i . Тогда число z = a − b  i называется комплексно сопряженным числу z.
Для любого комплексного числа z = a + b  i
z + z = a + b  i + (a − b  i) = 2a
z  z = (a + b  i)(a − b  i) = a 2 − b 2 i 2 + = ab  i − ab  i = a 2 + b 2 ,
т.е. сумма и произведение двух комплексно сопряженных чисел есть действительное число.
Как разделить два комплексных числа?
Пример. z1 = 2 + i, z 2 = 6 − 3i. Найти
z1
-?
z2
z1
(2 + i)(6 + 3i) 12 + 6i + 6i − 3 9 + 12i 3 + 4i 1 4
2+i
=
=
=
=
=
= + i.
z 2 6 − 3i (6 − 3i)(6 + 3i)
36 + 9
45
15
5 15
2.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
Рисунок 2.1
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат
рис. 2.1. В этой системе координат произвольное комплексное число z = a + b  i
изображается точкой А, имеющей координаты а,b. Тогда для этой точки опре-
13
делены полярные координаты r, , где r = ОА, а  есть угол между положительным направлением вектора ОА .
r = a 2 + b2
a
b
cos  = ; sin  = .
r
r
Определение. Пусть z = a + b  i отличное от нуля комплексное число.
Действительное число r, определенное равенством r = a 2 + b 2 , называется
модулем комплексного числа z, а число  определенное с точностью до слагаеa
b
мого 2k, kz равенствами cos  = ; sin  = – аргументом числа z.
r
r
 = arg z, −     
 = Argz, −  + 2k     + 2k.
Так как a = r cos , b = r sin , то можно записать:
z = r(cos  + i  sin ).
Определение. Представление комплексного числа z в виде
z = r(cos  + i  sin ), где r и  - действительные числа, причем r  0, называется тригонометрической формой числа z.
Примеры. 1.Найти модуль и аргумент числа
а) z = −3i;
в) z =
б) z = −1 + i;
1
3
=
i.
2 2
а) r = 0 + 9 = 3
cos  = 0 sin  =
−3

= −1 arg z =  = − .
3
2
б) r = (−1) 2 + 12 = 2
в) r =
1 3
+ =1
4 4
cos  =
cos  =
1
2
−1
2
sin  = −
sin  =
3
2
1
2
 = arg z =
3
.
4

 = arg z = − .
3
2. Изобразить множество точек плоскости, удовлетворяющее неравенству
14
| z − 2i |  3
| a + bi − 2i |  3
| a + ( b − 2)  i |  3
a 2 + (b − 2) 2  3
a 2 + (b − 2) 2  9 − окружность с центром (0,2) и радиусом 3.
3. Представить в тригонометрической форме
r=
1
3

 

−
i = 1 cos(− ) + i  sin(− ) .
2 2
3
3 

Действия с числами в тригонометрической форме.
Умножение.
z1 = r1 (cos 1 + i  sin 1 )
z 2 = r2 (cos  2 + i  sin  2 )
z1  z 2 = r1r2 (cos 1 + i  sin 1 )  (cos  2 + i  sin  2 ) =
= r1r2 (cos 1 cos  2 − sin 1 sin  2 ) + i((sin 1 cos  2 − sin  2 cos 1 ) =
= r1r2 (cos(1 +  2 ) + i  sin(1 +  2 )).
Для умножения чисел в тригонометрической форме необходимо перемножить модули, а аргументы сложить
z1
r (cos 1 + i  sin 1 ) r1 (cos 1 + i  sin 1 )(cos  2 + i  sin  2 )
= 1
=
=
z 2 r2 (cos  2 + i  sin  2 ) r2
cos 2  2 + sin 2  2 )
r
= 1 (cos 1 cos  2 + sin 1 sin  2 + i  (sin 1 cos  2 − sin  2 cos 1 )) =
r2
r
= 1 (cos(1 −  2 ) + i  sin(1 −  2 )).
r2
Кроме того, известна формула Эйлера:
e i = cos  + i  sin .
Таким образом, e i есть комплексная функция (принимающая комплексные значения) от действительного аргумента , e i - периодическая функция
периода 2 :
e i (  + 2  ) = e i .
z = re i - показательная форма комплексного числа.
15
2.4. Возведение в степень и извлечение корня
Зная, как умножаются числа в тригонометрической форме, можно получить формулу возведения комплексного числа в степень:
z = r(cos  + i  sin ) ,
z n = r n (cos n + i  sin n) - формула Муавра-Лапласа.
Пример. Найти (1 + i) 50
z =1+ i
r = 2 cos  =
1
sin  =
2
1
2
=

4



z = 2  cos + i  sin 
4
4

z 50 =
( 2 )50  cos 4  50 + i  sin 4  50  = 2 25  cos 252 + i  sin 252  =




 
 
= 2 25  cos12 +   = 2 25  i  1 = 2 25  i.
2 
 
Извлечение корня n-ой степени.
Запишем число в тригонометрической форме, используя значение Arg.
z = r (cos( + 2k ) + i  sin( + 2k ))
Воспользуемся формулой Муавра-Лапласа
n
 + 2k
 + 2k 

z = n r  cos
+ i  sin
.
n
n


Таким образом, при извлечении получится n различных комплексных корней.
Пример. Найти все значения 6 − 1 .
z = −1 = −1 + 0  i
r = 1 = 1 cos  = −1 sin  = 0  =  + 2k
z = 1(cos( + 2k ) + i  sin( + 2k )
6
 + 2k
 + 2k 

z = 1 cos
+ i  sin

6
6


16
k=0
6
z = cos


3
1
+ i  sin =
+i ;
6
6
2
2
k =1
6
z = cos


+ i  sin = i;
2
2
k=2
6
z = cos
5
5
3 1
+ i  sin
=−
+ i;
6
6
2
2
k =3
6
z = cos
7
7
3 1
+ i  sin
=−
− i;
6
6
2
2
k=4
6
z = cos
3
3
+ i  sin
= −i;
6
6
k =5
6
z = cos
11
11
3 1
+ i  sin
=
− i.
6
6
2
2
Пример. Решить квадратное уравнение
x 2 − 4x + 8 = 0
D = 16 − 32 = −16
x 1,2 =
− 16 = 4 − 1 = 4i
4 + − 16 4  4i
=
= 2  2i.
2
2
Любое квадратное уравнение всегда имеет два корня.
2.5. Многочлен в комплексной области
Определение. Целой рациональной функцией (многочленом или полиномом)
комплексного
аргумента
называется
функция
f (z) = a 0 z n + a 1 z n − 1 + ... + a n − 1 z + a n с комплексными коэффициентами
a 0 , a 1 ,..., a n , причем a 0  0 .
Определение. Два многочлена f(z) и g(z) степени n называются равными,
если равны их значения при любом z.
Замечание. Из определения следует равенство соответствующих коэффициентов: a 0 = b 0 , a 1 = b1 ... a n = b n .
Теорема. Одинаковые действия над комплексно-сопряженными числами
приводят к комплексно-сопряженным результатам.
Следствие 1. Многочлен с действительными коэффициентами а 0 , а 1 ,..., а n
в комплексно-сопряженных точках z = a + ib и z = a − ib принимает комплексно-сопряженные значения f (z) = u + iv , f ( z) = u − iv .
17
Следствие 2. У многочленов с действительными коэффициентами комплексные корни встречаются сопряженными парами.
Теорема (Безу).
Остаток R от деления многочлена на двучлен z – z0 , где z0 – любое число,
равен значению этого многочлена в точке z0, т.е. R = f (z 0 ).
f (z) = (z − z 0 )f1 (z) + f (z 0 ).
Следствие 3. Если z0 – корень многочлена f(z), то f(z) делится (без остатка)
на z – z0, т.е. f (z) = (z − z 0 )f1 (z).
Теорема (основная теорема алгебры). Всякий многочлен имеет, по крайней
мере, один корень.
Теорема (о разложении многочлена на линейные множители).
Всякий многочлен f(z) степени n может быть представлен в виде произведения n + 1 сомножителей, из которых один есть старший коэффициент а0, а
остальные – двучлены вида z – zk:
f (z) = a 0 (z − z1 )(z − z 2 )...( z − z n )
(2.1)
Замечание. Формула (2.1) называется формулой разложения многочлена
на линейные множители
Следствие 4. Числа z1 , z 2 ,..., z n являются корнями многочлена f(z), т.к.
f (z k ) = 0 согласно (2.1) при k = 1, n .
Числа z  z k не являются корнями многочлена f(z).
Следовательно, всякий многочлен степени n имеет ровно n корней; они
могут быть действительными или комплексными, одинаковыми или различными.
Определение. Корень z = c многочлена f(z) называется корнем кратности
k, если f(z) делится на (z − с) k и не делится на (z − с) k+1 .
f(z) можно представить в виде
f (z) = (z − c) k  f1 (z), f1 (c)  0.
Определение. Корни кратности k = 1 называются простыми корнями.
f (z) = (z − c)  f1 (z), f1 (c)  0.
Формулу (2.1), используя определение кратных корней можно записать в
виде
f (z) = a 0 (z − z1 ) k1 (z − z 2 ) k 2 ...( z − z s ) k s
где k1 + k 2 + ... + k s = n, k1 , k 2 ,...k s – целые положительные числа.
18
,
(2.2)
Теорема (о разложении действительного многочлена)
Любой действительный многочлен можно разложить на действительные
множители вида
и (x 2 + px + q) s ,
(x − a ) k
p2
 0 , k и s – натуральные числа.
где a,p,q – действительные числа, q −
4
2.6. Дробно-рациональные функции
Определение. Дробно-рациональной действительной функцией называется отношение двух целых рациональных действительных функций:g(x) степени
g(x )
m и f(x) степени n.
. Если степень числителя m меньше степени знаменатеf (x)
ля n, то эта функция
g(x )
называется правильной дробью, если же m  n, то
f (x)
имеем неправильную рациональную дробь.
Теорема (о выделении целой части).
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде
суммы целой рациональной функции и правильной рациональной дроби.
Различают 4 типа простейших дробей.
A
A
Ax + B
Ax + B
,
,
,
.
x−a
(x − a ) k
x 2 + px + q
( x 2 + px + q) k
Теорема (о разложении дроби на простейшие).
Всякую правильную действительную дробно-рациональную функцию
( x )
f (x)
можно представить в виде конечной суммы действительных простейших дробей. При этом, если f(x) разложить на действительные множители вида
( x − a ) k и ( x 2 + px + q)  при условии 4q − p 2  0 , то в указанной сумме
1) ( x − a ) соответствует сумма к слагаемых вида
k
k
 (x − sa ) s ;
A
s =1
2) ( x 2 + px + q) 

соответствует
B x+C
сумма

слагаемых
 (x 2 +s px + sq) s , где А , B , C – действительные числа.
s
s
s
s =1
19
вида
Пример. Пусть f (x) = ( x − 1)( x + 1) 3 (x 2 + 2x + 3), тогда формула разложения правильной рациональной дроби на простейшие имеет вид:
B3
B
B2
( x )
A
Cx + D
=
+ 1 +
+
+
.
f ( x ) x − 1 x + 1 ( x + 1) 2 ( x + 1) 3 x 2 + 2 x + 3
Алгоритм разложения дроби на простейшие
1. Выделить целую часть, если дробь неправильная.
2. Разложить знаменатель f(x) на множители.
3. Разложить дробь на простейшие с неопределенными коэффициентами
Аs, Bs, Cs .
4. Привести обе части формулы разложения к общему знаменателю и приравнять числители.
5. В полученном тождестве приравнять коэффициенты при одинаковых
степенях х; получим систему уравнений относительно Аs, Bs, Cs .
6. Решить систему (она имеет единственное решение) и подставить
найденные коэффициенты в формулу разложения.
Пример. Разложить дробь
x2 −1
.
x +x
Представим ее в виде суммы простейших дробей с неизвестными коэффициентами
x2 −1
x ( x 2 + 1)
=
3
A Bx + C
+
x x2 +1
Коэффициенты разложения найдем с помощью определения равенства
двух многочленов.
x2 – 1 = A(x2 + 1) + (Bx + C)x
x=0
-1 = A ּ 1
x=1
0 = 2A + B + C
x = -1
0 = 2A + B – C
Откуда
A = −1, B = 2, C = 0
Тогда разложение примет вид:
x2 −1
x3 + x
=
−1
2x
+
.
x
x2 +1
20
2.7. Экономические приложения комплексных чисел
В настоящее время получает развитие новое научное направление – комплекснозначная экономика. Достоинством комплекснозначного представления
социально-экономических показателей является возможность описания экономических взаимосвязей и взаимного влияния каждого из факторов, что позволяет анализировать динамику пары социально-экономических показателей,
представленной в виде одной комплексной переменной, в зависимости от других факторов. Чтобы использовать аппарат комплекснозначной экономики
при объединении двух действительных экономических показателей в одну
комплексную переменную, должны выполняться два условия:
- показатели должны быть характеристиками одного процесса или явления,
отражать его разные стороны;
- показатели должны иметь одинаковую размерность.
Например, возможность одновременного анализа двух параметров – прибыли и затрат на производство и реализацию продукции появляется при рассмотрении результата хозяйственной деятельности R в виде
комплексного числа:
R=P+iZ,
(2.3)
где i– мнимая единица, P –прибыль, Z – затраты на производство и реализацию
продукции.
Анализируя тенденции изменения параметра R, мы одновременно отслеживаем и динамику прибыли P и динамику затрат Z на производство и реализацию продукции, поскольку показатели P и Z являются неотъемлемыми характеристиками комплексного числа (2.3).
Такой же методологический подход позволяет объединить два фактора
производства в одно комплексное число (ресурсный фактор W) и также его исследовать:
W = K + iL ,
(2.4)
где: K – затраты капитала; L – затраты труда. Представление экономических показателей и факторов в форме комплексного числа даёт новые возможности для математического моделирования экономических процессов. Например, производственную функцию комплексных переменных в общем виде
можно представить в виде зависимости комплексного производственного результата от комплексной переменной производственных ресурсов:
21
P + iZ = f (K + iL).
(2.5)
Для линейной производственной функции с действительными коэффициентами зависимость (2.5) примет вид:
P + iZ = (b0+ib1)(K + iL) ,
(2.6)
где b0 и b1 – действительные коэффициенты производственной функции.
Таким образом, с использованием комплексных переменных появляется
возможность анализировать не только динамику одной комплексной переменной при изменении двух действительных переменных, составляющих ее, но и
взаимообусловленную динамику двух комплексных чисел в производственной
функции.
Более подробно о комплексных числах, операциях с ними и т. п. см.
[4. Гл. 15, п.15.1–15.3, с. 820-830], [6. П.1.5, с. 30-34]
22
3. МАТРИЦЫ И ОПРЕДЕЛИТЕЛИ
3.1. Основные понятия
Определение. Матрицей размера m  n называется прямоугольная таб a11

a
 21
лица чисел A =  .

a
 m1
a12
a22
... a1n 

... a2n 
.
.
am2 ...

.  , содержащая m строк и n столбцов.

amn 
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.
Коротко матрицу обозначают так:
A = A[m, n] = (aij); ( i = 1, ... , m = 1, m ; j = 1, n ).
Определение. Две матрицы А и В одного размера называются равными,
если они совпадают поэлементно, aij = bij.
Виды
матриц.
Матрица,
состоящая
из
одной
строки
A = ( a11 , a12 ,..., a1n ) , называется матрицей - строкой. Матрица, состоящая из
одного столбца, - матрицей - столбцом.
Матрица называется квадратной n - го порядка, если число ее строк совпадает с числом столбцов, т.е. m = n.
Если все недиагональные элементы квадратной матрицы aij (i  j) равны
нулю, то матрица называется диагональной.
Если у диагональной матрицы все диагональные элементы aii равны единице, то матрица называется единичной.
Матрица любого размера называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.
3.2. Операции над матрицами
Над матрицами можно производить следующие операции:
1) умножать на число;
2) складывать;
3) вычитать;
4) умножать матрицу на матрицу;
5) транспонировать матрицы;
6) находить обратную.
23
Определение. Произведением матрицы
А
на
число
,
называется
матрица B = A, элементы которой bij = aij для i = 1, m ; j = 1, n .
1
Пример. Если A = 
5
 3
 , то 3A = 

− 2
15
3
9
.
− 6
Определение. Суммой двух матриц А и В одного размера называется матрица С = А + В, элементы которой cij = aij + bij для i = 1, m ; j = 1, n .
Пример.
 1
A = 
Пусть
2 − 1
−1 3
 0 − 1 3
.

 2 1 4
B = 
,
0 
Тогда
1 1 2
.
C = A + B = 

1
4
4


Правило. Умножать матрицу А на матрицу В можно тогда, когда число
столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.
Определение. Произведением матриц А на В (A[m  n]  B[n  k]) называется матрица C[m  k], каждый элемент которой cij равен сумме произведений элементов i - й строки матрицы А на соответствующий элемент
j - го столбца матрицы В:
k
cij = a i1b1 j + a i 2 b2 j +...+ a ik bkj =  a is bsj .
s=1
 1 0 2
,
Пример. A = 

3
1
0


 −1 0

B =  2 1

− 2 0
1(−1) + 0  2 + 2(−2)
C = 
 3(−1) + 1 2 + 0(−2)
1
3 , найдем C = A B.
1
1 0 + 0 1 + 2  0
3 0 + 11 + 0  0
11 + 0  3 + 2 1

31 + 1 3 + 0 1
 − 5 0 3
.

 − 1 1 6
Получаем C = 
Пример. Если в условиях предыдущего примера перемножать матрицы C
= B A, то, как следует из правила, такие матрицы умножить нельзя.
24
 − 1 3


B =  2 0 . Найдем АВ и ВА.


 1 1
 − 2 + 2 − 1 6 + 0 − 1  − 1 5 
A B = 
 =
.
 0 + 6 − 2 0 + 0 − 2  4 − 2
 2 1 − 1
Пример. A = 
,
 0 3 − 2
 − 2 + 0 − 1 + 9 1 − 6   − 2 8 − 5

 

B A =  4 + 0
2 + 0 − 2 + 0 =  4 2 − 2 .

 

1 + 3 − 1 − 2   2 4 − 3
 2+0
Как видно АВ  ВА.
Замечание. Существуют некоторые особенные свойства у матриц:
1. Для матриц коммутативный (переместительный) закон умножения не
выполняется, т. е. АВ  ВА (как видно из примеров выше).
2. Произведение двух ненулевых матриц может равняться нулевой матрице, т. е. из того, что АВ = 0, не следует, что А = 0, или В = 0.
 1 1
 1 − 1
,
B
=


,
 1 1
−1 1 
Пример. A = 
 0 0
A B = 
.
 0 0
Определение. Матрица АТ, в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка, называется транспонированной относительно
матрицы А.
 − 1 0 1
,
Пример. A = 

 2 − 1 3
−1

T
A =  0

 1
2 
− 1 .
3 
Более подробно о матрицах и свойствах их операций см.[1. Гл. 1, §1, п.1-3,
с. 10-117], [2. Гл.5, §1, с. 159-166], [3. §3, с. 22-24], [4. Гл. 1, п.1.1, 1.2, с. 26-36],
[5. Гл. 1, п.1.2, с. 19-23].
3.3. Определители квадратных матриц
Определитель квадратной матрицы - число, одна из характеристик матрицы. Обозначают определитель det A или |А|.
Определение. Определителем второго порядка называется число, которое
вычисляется по формуле:
25
a11
2 = A =
a 21
− 1
 1
Пример. A = 
,
3 
− 2
a12
a 22
2 =
= a11a22 − a12 a21 .
1
−1
−2
3
= 1 3 − (−1)(−2) = 1 .
Определение. Определителем третьего порядка называется число, вычисляемое по формуле
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23 = a11a 22 a 33 + a 21a 32 a13 + a12 a 23a 31 −
a 31
a 32
a 33
− (a13a 22 a 31 + a 23a 32 a11 + a12 a 21a 33 ).
Пример.
1
0
2
−1
2
1 = 1  2  4 + ( −1)( −2)  2 + 0  1  3 −
3
−2 4
− (3  2  2 + 1  1( −2) + 0( −1)  4) = 2.
Рассмотрим понятие инверсии в перестановке. Это наличие пары чисел, в
которой большее число стоит перед меньшим. Например, в перестановке (4, 5,
8, 7) имеется одна инверсия (8,7), а в перестановке (2,1,4,3) - две (2,1); (4,3).
Обозначим через (J) количество инверсий в перестановке.
Определение. Определителем n - го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! слагаемых, каждое из которых состоит из произведения
n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца,
причем знак каждого слагаемого определяется как (-1)(J) , где (J) - число инверсий в перестановке из номеров столбцов элементов матрицы, если при этом
номера строк записаны в порядке возрастания:
 =  ( −1)  ( J ) a1 j1 a 2 j2 ... a njn ,
J
где суммирование ведется по всем возможным перестановкам.
Замечание. На практике обычно последним определением не пользуются,
в связи с громоздкостью вычислений, и применяют другие методы.
26
Определение. Минором элемента аij определителя n - го порядка называется определитель (n - 1) - го порядка, полученной из исходного вычеркиванием
i- й строки и j - го столбца.
Обозначается Мij.
Пример. Найти минор элемента а32 = -2 для заданного определителя, который вычислен в предыдущем примере.
1
0
2
M 32 = − 1
2
1=
3
−2 4
1
2
−1 1
= 1  1 − 2  ( −1) = 3 .
Определение. Алгебраическим дополнением элемента аij определителя n го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j . Обозначается Aij.
Таким образом,
Aij = (-1)i+j Mij.
Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений
элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
n
 = ai1 A1 j + ai 2 A2 j +  + ain Anj =  ais Asj .
s=1
Пример.
1
2 1
− 1 0 3 = 2  (−1)1+ 2
1
1 0
−1 3
1
0
+ 0(−1) 2+ 2
1 1
1 0
+ 1(−1) 2+ 3
1
1
−1 3
.
Замечание. Данная теорема позволяет сводить вычисление определителя n
- го порядка к вычислению определителя (n - 1) - го порядка.(n  2).
3.4. Свойства определителей
27
Свойство 1. При транспонировании матрицы ее определитель не меняется:
det A = det AT.(Равноправность строк и столбцов.)
Свойство 2. Если какая - либо строка (столбец) определителя состоит из
одних нулей, то такой определитель равен нулю.
Свойство 3. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы, лишь ее
определитель меняет знак на противоположный.
Свойство 4. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы
умножены на число , не равное нулю, то это число можно вынести за знак
определителя.
Свойство 5. Если элементы двух строк (столбцов) пропорциональны, то ее
определитель равен нулю.
Следствие. Если элементы двух строк (столбцов) одинаковы, то ее определитель равен нулю.
Свойство 6. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца)
на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна нулю.
n
 a Ajs = 0,
s=1 is
при i  j.
Свойство 7. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и тоже число.
Свойство 8. Определитель произведения двух квадратных матриц равен
произведению их определителей: det AB = det A  det B.
Более подробно об определителях, их свойствах, доказательства свойств
см. [1. Гл. 1, §2, п.1-6, с. 19-39], [2. Гл. 5, §4, с.192-206], [3. §1, §2, с. 7-21], [4.
Гл. 1, п.1.3, 1.4, с. 37-46], [5. Гл.1, п.1.3, с 27-29].
3.5. Обратная матрица
Определение. Квадратная матрица называется невырожденной, если ее
определитель не равен нулю, в противном случае, квадратная матрица называется вырожденной.
Определение. Матрица B называется обратной для невырожденной матрицы А, если при умножении этой матрицы на данную как справа, так и слева
получается единичная матрица:
BA =AB=E
Обозначается B = A-1.
Теорема. Обратная матрица А-1 существует и единственна тогда и
только тогда, когда исходная матрица невырожденная.
28
Обратную матрицу можно искать по следующей формуле:
A− 1 =
1
~
A ,
det A
(3.1)
~
где A - присоединенная матрица, элементы которой являются алгебраическими дополнениями элементов транспонированной матрицы.
Алгоритм вычисления обратной матрицы.
1. Находим определитель данной матрицы. Если он равен нулю, то обратной матрицы не существует.
2. Находим транспонированную матрицу АТ.
3. Находим алгебраические дополнения элементов транспонированной
матрицы: АТij = Aji ( i = 1, n ; j = 1, n ) и составляем присоединенную матрицу
~
A.
4. Вычисляем обратную матрицу по формуле (3.1)
5. Проверяем правильность нахождения обратной матрицы путем умножения данной матрицы и найденной.
Пример. Вычислить обратную матрицу.
 1 0 − 1


A= 1 2 1 
−1 2 0 


1
det A = 1
0 −1
2
−1 2
1 = 0 − 2 + 0 − 2 − 2 − 0 = −6  0.
0
 1 1 − 1


AТ =  0 2 2 
−1 1 0 


− 2 − 2 2 

~ 
A =  −1 −1 − 2
 4 −2 2 


1
 1 1
− 

3
− 2 − 2 2   3 3


1
 1 1 1 .
А −1 =
 −1 −1 − 2 = 
−6
  6 6 3 
4
−
2
2
2 1
1


− 
−
3
 3 3
29
Проверим правильность найденной матрицы умножением на исходную.
 1 0 0


A −1  A =  0 1 0


 0 0 1
Другой метод построения обратной матрицы - с помощью элементарных
преобразований. Для этого справа от исходной матрицы приписывают единичную такого же размера. Затем путем элементарных преобразований слева получают единичную матрицу, тогда справа будет обратная.
Доказательство теоремы о существовании обратной матрицы и другие методы построения обратной матрицы см. [1 Гл. 1, §2, п. 7, с. 39-41], [2 Гл. 5, §2,
с. 181-184], [4 Гл. 1, п.1.5, с. 47-50],[5 Гл.1, п. 1.2.7, с. 26-27].
3.6. Ранг матрицы
Определение. В матрице А размера m  n вычеркнем какие-либо k строк и
столбцов (k  n, k  m). На пересечении этих строк и столбцов стоят элементы,
которые образуют квадратную матрицу k- го порядка. Определитель такой матрицы называется минором k - го порядка матрицы А. Обозначается Mk.
 1 −1 1 0


Пример. A =  2 1 − 13  . Вычеркнем из матрицы А третий столбец
 3 0 2 1


1 −1
и вторую строки. Минором второго порядка будет определитель
.
3 0
Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок миноров
этой матрицы, отличных от нуля.
Обозначается ранг - rangA, или r(A).
 2

Пример. A =  0

−1
1
3
3 1
1 1 . Найти ранг матрицы А.
1 − 1 0
Будем искать ранг матрицы методом окаймляющих миноров.
Минор первого порядка: M1 = 2 = 2  0, следовательно, r(A)  1.
Минор второго порядка: M2 =
2 1
0 3
30
= 6  0 , следовательно, r(A)  2.
Минор третьего порядка: M =
3
2
1
3
0
3
1
= 0.
−1 1 −1
Из того, что один минор М3 = 0, еще не следует, что r(A) < 3, так как есть
еще один минор третьего порядка, содержащий выбранный минор второго порядка, отличный от нуля. Переставим в матрице А третий и четвертый столбец
и получим новый минор.
2
1 1
M3/ = 0
3 1 = 0.
−1 1 0
Так как все определители третьего порядка, содержащие отличный от нуля
минор второго порядка, равны нулю, следует, что r(A) < 3. Значит, ранг данной
матрицы равен 2.
Замечание. В общем случае определение ранга матрицы перебором всех
миноров достаточно трудоемко и громоздко. Для облегчения этой задачи используют преобразования, сохраняющие ранг матрицы.
Определение. Элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) вычеркивание нулевых строк (столбцов);
2) умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю;
3) перестановка строк (столбцов);
4) прибавление к элементам одной строки (столбца), соответствующих
элементов другой строки (столбца), умноженных на одно и то же произвольное
число.
Теорема. При элементарных преобразованиях ранг матрицы остается
неизменным.
Определение. Матрица А называется ступенчатой, если она имеет вид
a
 11
 0

 .

 0

a12
 a1r
 a1k 
.
.
.
0
 a rr
a 22  a 2r
.

 a 2k 


. 
,

a rk 
где aii  0, i = 1, r , r  k .
Замечание. Ранг ступенчатой матрицы равен r, так как имеется минор r - го
порядка, не равный нулю:
31
a11
 a1r
0
a12
a 22  a 2 r
.
.
.
0
0
 a rr
.
= a11  a 22    a rr  0.
Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований.
1. Если а11 = 0, то переставим строки или столбцы местами так, чтобы а11 
0.
2. Если а11  0, то умножая элементы первой строки на подходящие числа
(именно -а21/а11, -а31/а11 ... -аn1/а11) последовательно и прибавляя, полученные
числа к элементам второй, третьей, ..., n-й строк, добьемся того, чтобы элементы первого столбца (кроме а11) равнялись нулю.
3. Если в полученной матрице а22  0, то продолжим процедуру, описанную в пункте 2 для строк 2 - n.
4. Если в процессе расчетов получаются нулевые строки или столбцы, то
их отбрасываем.
5. Процесс продолжается до тех пор, пока не получится ступенчатая матрица.
Линейная зависимость (независимость) строк (столбцов).
Обозначим в матрице А строки следующим образом:
e1 = ( a11 , a12 ,..., a1n ), e2 = ( a 21 , a 22 ,..., a 2 n ) . . . em = ( a m1 , a m2 ,..., a mn )
Определение. Две строки называются равными, если равны их соответствующие элементы : еk = es, если akj = asj , j = 1, n .
Определение. Линейной комбинацией строк e1,e2,...,es матрицы называется выражение вида:
 1e1 +  2 e2 +  +  s es ,
(3.2),
где 1, 2, ..., s - произвольные числа.
Определение. Строки e1,e2,...,es называются линейно зависимыми, если
существует хотя бы одно i  0 такое, что выполнено равенство:
 1 e1 +  2 e2 +  +  s es = 0 .
(3.3)
Определение. Если равенство (3.3) выполняется только когда все i = 0, то
строки называются линейно независимыми.
Замечание. Совершенно аналогичным образом вводятся понятия линейной зависимости и независимости столбцов матрицы.
32
Определение. Пусть ранг матрицы равен r. Любой минор матрицы r - го
порядка, отличный от нуля, называется базисным минором.
Теорема. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк или столбцов.
Теорема. Строки и столбцы базисного минора линейно независимы. Любую строку или столбец можно представить в виде линейной комбинации базисных строк или столбцов.
Более подробно о ранге матрицы, способах его вычисления, доказательства
теорем см.[1. Гл.1, §3, с. 43,Гл.2, §3,с.62], [2. Гл.5, §3 с. 185-191], [4. Гл. 1,
1.2.6,с. 26]
33
4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1. Основные определения
Определение. Система m линейных уравнений c n неизвестными имеет вид
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2

...

a m1 x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = bm,
(4.1)
где aij, bi - произвольные числа, которые называются коэффициентами перед неизвестными xi и свободными членами соответственно.
Определение. Решением системы (4.1) называется такая совокупность n
0
0
0
чисел x1 , x2 ,..., xn , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в тождество.
Определение. Система называется совместной, если она имеет хотя бы
одно решение. Система называется несовместной, если нет ни одного решения.
Определение. Система называется определенной, если она совместна и
имеет единственное решение. Совместная система называется неопределенной,
если она имеет бесконечное множество решений.
Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений или несовместны.
Запишем систему (4 .1) в матричной форме:
АХ = В,
где
 a11

a 21
A=
 .

 a m1
a12
a 22
.
a m2
(4.2)
... a1n 

... a 2 n 
,
.
. 

... a mn 
 x1 
 b1 
 
 
x
b2
2
X =  , B =  
 ... 
 ... 
 
 
 xn 
 bm 
А - матрица системы, Х - столбец неизвестных, В - столбец свободных
членов. Если в матрице А справа дописать столбец свободных членов В, то полученная матрица называется расширенной матрицей системы.
34
4.2. Решение систем n линейных уравнений с n переменными
методом Крамера и с помощью обратной матрицы
Пусть в системе (4.1) m = n, т.е. матрица системы - квадратная. И пусть
матрица системы - невырожденная, т.е. ее определитель отличен от нуля.
Метод обратной матрицы. Т.к. det A  0, то для матрицы А существует
обратная матрица А-1. Умножая слева равенство (4.2) на матрицу А-1, получим
A-1(AX) = А-1B,
A-1(AX) = (A-1A)X = EX = X. Таким образом, решение системы с помощью обратной матрицы есть матрица - столбец
X = А-1B
(4.3)
Формулы Крамера
Теорема. Пусть  - определитель матрицы системы А, а j - определитель матрицы, получаемой из матрицы А путем замены j - го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если   0, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:
xj =
j

( j = 1, n) .
Пример. Решить систему по формулам Крамера
x + 2 y − z = 2

3x − y + 2z = 4
x + y + z = 3

1 2 −1
 = 3 −1
1 1
2 = −1 − 3 + 4 − 1 − 2 − 6 = −9
1

x1 = 1 = 1

2 2 −1
1 = 4 − 1 2 = −2 − 4 + 12 − 3 − 4 − 8 − 9
3 1 1

x2 = 2 =1

35
1 2 −1
 2 = 3 4 2 = 4 − 9 + 4 + 4 − 6 − 6 = −9
1 3 1

x3 = 3 = 1

1 2 2
 3 = 3 − 1 4 = −3 + 6 + 8 + 2 − 4 − 18 = −9 .
1
Ответ:
1 3
x = 1, y = 1, z = 1.
Пример. Решить систему матричным методом
x + 2 y = 3
1 2 
x
 3
 X =   B =  
A = 

 2 − 1
 y
1
2 x − y = 1
X = A −1  B
1 2
det A =
= −5
2 −1
1 2 


1 2 
~  −1 − 2


A −1 =  5 5 
A T = 
A = 
 2 − 1 
 2 − 1
− 2 1 
5
5
1 2 
3 2

 3   +  1
X = A −1  B =  5 5   =  5 5  =   .
 2 − 1  1   6 − 1  1
5
5
5 5
Ответ: x = 1, y = 1.
Доказательство теоремы и более подробную информацию можно прочитать [1. Гл.3, §1,с.70-75, §2, с.75-80], [2. Гл. V, §5, с. 207-211], [3, §4, пп. 4.1,
4.2, с. 26-28], [4. Гл. 2, пп. 2.1-2.2, с. 79-81], [5. Гл. 1, пп. 1.5, с. 34-35].
4.3. Система m линейных уравнений с n переменными
Вопрос о разрешимости системы (4.1) в общем виде рассматривается в
следующей теореме.
Теорема Кронекера - Капелли. Система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной
матрицы этой системы.
36
Следствие 1. Если ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы не равны, то система несовместна.
Следствие 2. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, то система (4.1) имеет единственное решение.
Следствие 3. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, то система (4.1) неопределена и имеет бесконечное множество решений.
Определение. Пусть r < n. r переменных x1 , x 2 ... x r называются базисными, если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные n - r называются свободными.
Определение. Решение системы (4.1), в котором все n - r свободных переменных равны нулю, называется базисным.
Замечание. В общем случае нет необходимости вычислять отдельно, а затем сравнивать ранги матрицы системы А и расширенной матрицы A . Достаточно сразу применить метод Гаусса (см. ниже).
4.4. Метод Гаусса
Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений состоит в последовательном исключении переменных с помощью элементарных
преобразований, приводящих всякий раз к равносильной системе.
Элементарные преобразования систем линейных уравнений:
1) перестановка уравнений в системе, что соответствует перестановке
строк в ее расширенной матрице;
2) умножение любого уравнения системы на число   0;
3) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на некоторое число, что соответствует поэлементному прибавлению к
одной строке расширенной матрицы другой строки, умноженной на это число;
4) вычеркивание из системы уравнения вида
0  x1 + 0  x 2 +...+0  x n = 0 ,
(4.4)
что соответствует вычеркиванию из расширенной матрицы нулевой строки;
5) перестановка столбцов (перенумерация неизвестных).
Для решения системы удобно выписывать ее расширенную матрицу, т.е.
матрицу, где кроме коэффициентов при неизвестных есть столбец свободных
членов.
37
Опишем произвольный k -й шаг метода Гаусса ( k = 1,2,...).
Прежде всего удалим из системы, получившейся после предыдущих преобразований, все уравнения вида (4.4). Если в оставшейся системе имеется хотя
бы одно уравнение вида
0  x1 + 0  x 2 +...+0  x n = b ,
(4.5)
где b - число, отличное от нуля, то система несовместна; дальнейшая работа с такой системой прекращается. Пусть все уравнения вида (4.4) удалены и
нет уравнений (4.5), тогда выбираем одно из уравнений системы - например, q за «разрешающее» уравнение, и одно из неизвестных - например, xp - за «разрешающее» неизвестное. К этому выбору предъявляются следующие требования:1) на предыдущих шагах это уравнение и это неизвестное не выбирались за
разрешающие; 2) aqp  0. Число aqp называем разрешающим элементом. Затем
исключаем неизвестное xp из всех уравнений кроме разрешающего; для этого к
каждому из этих уравнений прибавляем q - ое, умноженное на подходящее число. На этом заканчивается k шаг.
Процесс заканчивается либо после появления уравнения вида 0 = b (где b 
0), либо при невозможности выбрать разрешающее уравнение (это означает,
что все оставшиеся уравнения уже были разрешающими). В первом случае система несовместна, во втором поступаем следующим образом. Пусть осталось r
уравнений (ясно, что r - равно рангу матрицы) и x1 , x 2 ... x r - разрешающие неизвестные, входящие в 1,2,...,r уравнения (соответственно). Все остальные неизвестные назовем свободными. В этом случае выражаем через свободные неизвестные из первого уравнения переменную x1, из второго - x2, ... , из r -го -
xr. Получим общее решение системы.
Если r < n, имеются свободные неизвестные и, следовательно, система
имеет бесконечное множество решений. При r = n свободные неизвестные отсутствуют, система имеет единственное решение.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
 x + 2 y + 3z = 2 ,

 x − y + z = 0,
 x + 3 y − z = −2.

Составляем расширенную матрицу системы и делаем первый шаг. Разрешающая строка - первая. Разрешающий столбец - первый. Разрешающая строка
38
переписывается без изменений в следующую матрицу. Чтобы исключить x1 из
второго и третьего уравнений, обнуляем коэффициенты при x1 во второй и третьей строках. Для этого вычитаем из второй строки первую, а затем - из третьей
первую.
3
2
3
2
1 2
1 2




1
−
1
1
0

0
−
3
−
2
−
2



.




 1 3 − 1 − 2
 0 1 − 4 − 4
На втором шаге выберем в качестве разрешающего элемента a32 и исключим переменную x2 из первого и второго уравнений. Чтобы это сделать, умножаем разрешающую строку на 3 и складываем со второй, а затем умножаем на
2 и вычитаем из первой. В конце переставим вторую и третью строку местами.
10   1 0 0 − 1
 1 0 11

 

0 1 − 4 − 4   0 1 0 0 .
 0 0 − 14 − 14   0 0 1 1 

 

На третьем шаге разрешающая - третья строка, элемент a33. Из последней
матрицы видно решение системы, оно единственно: x1=-1, x2=0, x3=1.
Более подробно о методе Гаусса для решения систем линейных уравнений
можно прочитать [4. Гл. 2, 2.3, с.86-90], [5. Гл.1, 1.5.3, с. 36-40].
4.5. Однородные системы
Определение. Система m линейных уравнений с n переменными называется системой линейных однородных уравнений, если столбец свободных членов
В равен нулю. Такая система имеет вид
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = 0,
a x + a x + ... + a x = 0,
 21 1
22 2
2n n

...

a m1 x1 + a m2 x 2 + ... + a mn x n = 0.
39
(4.6)
Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она
всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение (0,0,...,0).
Теорема. Система линейных однородных уравнений имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ранг ее матрицы системы меньше числа переменных, т.е. r(A) < n.
Следствие. Система n линейных однородных уравнений с n переменными
имеет ненулевые решения в том и только в том случае, если определитель системы равен нулю.
Обозначим решение системы (4.6) x1 = k 1 , x 2 = k 2 ... x n = k n в виде
строки e1 = ( k 1 , k 2 ,..., k n ) .
Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:
1. Если строка e1 = ( k 1 , k 2 ,..., k n ) - решение системы (4.6), то и строка
 e1 = (  k1 ,  k 2 ,...,  k n ) - также решение этой системы.
2. Если строки e1 = ( k 1 , k 2 ,..., k n ) и e2 = ( l1 , l2 ,..., ln ) - решения системы
(2.6),
то
при
любых
с1
и
с2
их
линейная
комбинация
c1e1 + c2 e2 = ( c1 k1 + c2 l1 , c1 k 2 + c2 l2 ,..., c1 k n + c2 ln ) - также решение данной системы.
Определение. Система линейно независимых решений e1 , e2 ,..., ek называется фундаментальной, если каждое решение системы (4.6) является линейной комбинацией решений e1 , e2 ,..., ek .
Теорема. Если ранг r матрицы системы линейных однородных уравнений
(4.6) меньше числа переменных n, то всякая фундаментальная система решений
системы (4.6) состоит из n - r решений.
Общее решение системы (4.6) линейных однородных уравнений имеет вид:
c1e1 + c2 e2 +...+ ck ek , где e1 , e2 ,..., ek - любая фундаментальная система решений, c1 , c2 ,..., ck - произвольные числа и k = n - r.
Более подробно об однородных системах можно прочитать [1. Гл.3, §2, с.
82-87], [4. Гл. 2, 2.5, с. 96-98], [5. Гл. 1, 1.6, с. 42-44].
4.6. Модель Леонтьева межотраслевого баланса
Балансовый анализ отвечает на следующий вопрос, возникающий в макроэкономике: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей
народного хозяйства для того, чтобы удовлетворить все потребности в данном
продукте? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как произво40
дитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей,
и произведенной другими отраслями.
Допустим, что весь производственный сектор разбит на n отраслей, каждая
из которых производит однородный продукт. Для обеспечения производства
каждая отрасль нуждается в продукции других отраслей (производственное потребление). Обычно процесс производства рассматривается за некоторый период.
Введем следующие обозначения:
xi - общий объем продукции отрасли i;
xij - объем продукции отрасли i, используемый в отрасли j;
di - объем продукции i отрасли, предназначенный для потребления в непроизводственной сфере, или так называемый продукт конечного потребления.
Балансовый принцип связи различных отраслей промышленности состоит
в том, что валовой выпуск i отрасли должен быть равен сумме объемов потребления в производственной и непроизводственной сферах. В самой простой
форме (гипотеза линейности) балансовые соотношения имеют вид:
n
xi =  xij + yi ,
i = 1, n .
(4.7)
j =1
Систему уравнений (4.7) называют соотношениями баланса.
Предположим, что в течение длительного времени величины aij = xij/xj меняются очень незначительно и могут рассматриваться как постоянные числа.
При таком допущении технология производства называется линейной, а само
допущение - гипотезой линейности.
Запишем систему (4.7) в матричной форме. Введем
 a11
x
d
 1
 1

a 21
 
 
X =  ...  , D =  ...  , A = 
 .
 
 
 xn 
 dn 

 a n1
a12
a 22
.
an2
... a1n 

... a 2 n 
,
.
. 

... a nn 
где Х - вектор-столбец валового выпуска; D - вектор-столбец конечного
продукта; А - матрица прямых затрат (технологическая или структурная матрица).
В общем случае уравнения межотраслевого баланса в матричной форме
принимают вид :
41
Х = АХ + D,
(4.8)
Уравнения межотраслевого баланса можно использовать в двух целях. В
первом, наиболее простом случае, когда известен вектор валового выпуска Х,
требуется рассчитать вектор конечного потребления.
Во втором случае уравнения межотраслевого баланса используются для
целей планирования со следующей формулировкой задачи: зная матрицу Леонтьева А и объем конечного потребления D, найти планируемые объемы валового выпуска Х всех отраслей народного хозяйства. Здесь необходимо решать систему уравнений (4.8). Из системы (4.8) получаем:
Х = (Е - А)-1D.
(4.9)
Матрица Н = (Е - А)-1 называется матрицей коэффициентов полных затрат.
Таким образом, основной результат межотраслевого анализа может быть сформулирован в виде матричного равенства:
X = H — D.
Заметим, что X и D - векторы с неотрицательными компонентами.
Более подробно можно прочитать в [4. Гл. 2, 2.6. с. 99-103], [5. Гл. 2, 2.3, с.
55-60].
42
5. ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
5.1. Скалярные и векторные величины
Определение. Величины, которые полностью характеризуются своими
числовыми значениями в выбранной системе единиц, называются скалярными
величинами или скалярами.
Например, длина отрезка, площадь, объем, масса, время и т.д.
Определение. Величины, которые характеризуются численными значениями и направлением, называются векторными.
Например, сила, скорость, и т.д. Векторные величины изображаются с помощью векторов.
Определение. Вектором называется направленный отрезок AB с начальной точкой А и конечной точкой В (который можно перемещать параллельно
самому себе).
a
В
А
Рисунок 5.1
Вектор будем обозначать a = AB .
Определение. Длиной (модулем) вектора AB называется число, равное
длине отрезка АВ.
Определение. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных
прямых, называются коллинеарными.
Определение. Векторы, параллельные одной плоскости, называются компланарными.
Определение. Если начало и конец вектора совпадают, то вектор называется нулевым, его обозначают 0 .
Длина нулевого вектора равна 0: 0 = 0 , и он коллинеарен любому вектору.
Определение. Два вектора a и b называют равными, если они:
1) имеют равные модули;
2) коллинеарны;
3) направлены в одну сторону.
5.2. Линейные операции над векторами
43
Определение. Произведением вектора a на число  называется вектор
b =  a , имеющий длину b =   a , направление которого совпадает с
направлением вектора a , если  > 0, противоположно ему, если <0, и равный
нулю, если  = 0.
a
 a (<0)
 a (>0)
Рисунок 5.2
Определение. Суммой двух векторов a и b называется вектор c = a + b ,
начало которого совпадает с концом вектора a , а конец - с концом вектора b
при условии, что начало вектора b совпадает с концом вектора a (правило
треугольника).
b
c= a+b
a
a
c= a+b
b
б)
Рисунок 5.3
a)
а) правило треугольника; б) правило параллелограмма
Очевидно, что вектор c в этом случае представляет диагональ параллелограмма, построенного на векторах a и b (правило параллелограмма).
Вектор d = a + b + c представляет собой диагональ параллелепипеда, построенного на векторах a , b и c , не лежащих в одной плоскости (правило параллелепипеда).
c
c
d
b
a
b
a
Рисунок 5.4
44
Определение. Разностью двух векторов a и b называется сумма вектора
a и -b
-b
a
a- b
b
Рисунок 5.5
a
5.3. Проекция вектора на ось
Определение. Прямую, на которой задан единичный вектор, будем называть осью.
Определение. Проекцией точки А на заданную ось называется основание
перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную ось.
Определение. Проекцией вектора AB на ось называется скалярная величина A1B1 направленного отрезка A1 B1 , заключенного между проекциями
начала и конца вектора AB .
В
А
А1
В1
Рисунок 5.6
Обозначение: пр Ox AB = A1 B1 .
Таким образом, проекция вектора на ось есть скаляр. Очевидно, что

A1 B1 = AB  cos(e , AB) .
45
5.4. Прямоугольная система координат. Разложение
вектора по ортам в пространстве
Рассмотрим прямоугольную систему координат в пространстве. Единичные векторы (орты) осей Ox, Oy, Oz принято обозначать i , j , k , причем
i = j = k = 1.
Разложим вектор OM , идущий от точки О к точке М, по направлениям
i , j , k (см. рис. 5.7)
z
М3
М
О
y
М1
М2
x
Рисунок 5.7
Из определения суммы трех векторов находим:
a = OM = OM1 + OM 2 + OM 3 .
Используем равенства для составляющих OM1 , OM 2 , OM 3 :
OM1 = пр Ox OM  i , OM 2 = п р Oy OM  j , OM 3 = пр Oz OM  k .
Обозначая проекции вектора на оси Ox, Oy, Oz соответственно через аx,
ay , az, получаем
a = ax i + a y j + az k .
аx, ay, аz называются координатами вектора a в базисе i , j , k . Вектор a ,
заданный координатами аx, ay, аz, можно обозначать a = ( a x , a y , a z ) .
5.5. Операции над векторами, заданными в координатной форме
Если известны разложения векторов по осям координат, то линейные операции над векторами можно заменить арифметическими действиями над их координатами. Так, если a = (x1 , y1 , z1 ) , b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) , то
c = a + b = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z 2 ) ,
46
(5.1)
d = a − b = (x1 − x2 , y1 − y2 , z1 − z 2 ) ,
а произведение вектора
(5.2)
a = (x1 , y1 , z1 ) на число  есть вектор
 a = ( x1 ,  y1 ,  z1 ) .
Векторы a и b коллинеарны, если их координаты пропорциональны, т.е.
x1 y1 z1
=
= .
x2 y2 z 2
(5.3)
Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его
координат
a = x12 + y12 + z12 .
(5.4)
Можно вывести формулу для нахождения координат точки, делящей отрезок в данном отношении m1/m2.
x=
m2 x1 + m1 x 2
,
m1 + m2
y=
m2 y1 + m1 y 2
,
m1 + m2
z=
m2 z1 + m1 z 2
.
m1 + m2
(5.5)
Частный случай. Формулы для нахождения координат середины отрезка
имеют вид
x=
x1 + x 2
y + y2
z + z2
.
, y= 1
, z= 1
2
2
2
(5.6)
Пример. Даны векторы a = ( 2,−1,2) и b = (8,−4 ,0) . Найти длины векторов c = 2a и d = b − a .
По условию c = 2a = ( 4 ,−2 ,4 ) ,
d = b − a = (8 − 2,−4 − (−1),0 − 2) = (6,−3,2) .
Зная координаты векторов, найдем их длины:
c = 4 2 + (−2 ) 2 + 4 2 = 6 ,
d = 6 2 + (−3) 2 + 2 2 = 7 .
Более подробно о векторах смотри [4. Гл.3, 3.1 с. 124-127]
47
5.6. Скалярное произведение векторов
( )
Определение. Скалярным произведением a , b или a  b двух векторов a
и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла  между ними
( )
a  b = a, b = a  b  cos .
(5.7)
Свойства скалярного произведения.
1. Если a перпендикулярен b , то a  b = 0.
2
2
2. a  a = a = a .
3. a  b = b  a .
(
)
4. a + b  c = a  c + b  c .
5. ( a )  b = a  ( b ) =  (a  b )
Скалярным произведением двух векторов можно воспользоваться для
вычисления угла между ними:
cos =
a b
a b
=
x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z2
x12 + y12 + z12 
x 22 + y 22 + z22
(5.8)
Пример. Дан вектор c = 2a + 3b , причем a = 4, b = 5 . Угол между векторами a и b равен 60. Вычислить c .
2
c = c =
2
( 2a + 3b) = 4a 2 + 12a  b + 9b 2 .
2
2
Так как a = a = 4 = 16,
2
2
b = b = 52 = 25,
a  b = a  b  cos = 4  5  cos 600 = 10 , то
c = 4  16 + 12  10 + 9  25 = 409  20,22 .
48
Пример. При каком значении m вектор a = ( 2 ,3,−1) перпендикулярен
вектору b = (1,−5, m) .
Из условия перпендикулярности векторов следует a  b = 0 . Отсюда имеем
2  1 + 3  (-5) + (-1)  m = 0.
Окончательно получаем m = -13.
Более подробно со скалярным произведением векторов можно ознакомиться [2. Гл.7, §1, 1 с. 308]. [4. Гл.3, 3.1 с. 127-130]
5.7. Векторное произведение векторов
Определение. Векторным произведение вектора a на вектор b называется
вектор c , обозначаемый c = a  b и удовлетворяющий следующим требованиям:
1) модуль вектора c равен произведению длин векторов а и b на синус
угла между ними, т.е.
| c |=| a  b |=| a |  | b |  sin  ;
2) вектор c перпендикулярен каждому из векторов а и b ;
3) направление вектора c таково, что если смотреть из его конца вдоль
вектора, то поворот по кратчайшему пути от вектора а к вектору b виден совершающимся против движения часовой стрелки.
1. Теорема (необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов). Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов
является равенство нулю их векторного произведения.
2. Длина (или модуль) векторного произведения a  b равняется площади
параллелограмма, построенного на векторах a и b , приведенных к общему
началу
Алгебраические свойства векторного произведения
1. a  b = − b  a
2. (a + b )  c = a  c + b  c
3. (a  b ) = (a )  b = а  ( b )
4. a  a = 0.
Пример. Найти (2a + 3b )  (a − 2 b ) .
(2a + 3b)  (a − 2 b) = (2a )  a + (3b)  a + (2a )  (−2 b) + (3b )  (−2 b) =
= 2(a  a ) + 3( b  a ) − 4(a  b ) − 6( b  b) = 3( b  a ) + 4( b  a ) = 7( b  a ).
49
Теорема (о выражении векторного произведения через координаты). Пусть
даны два вектора a = ( x 1 , y1 , z1 ) b = ( x 2 , y 2 , z 2 ) . Тогда
i
j
k
a  b = x1
y1
z1
x2
y2
z2
Более подробно с векторным произведением векторов можно ознакомиться
[3, §12, с. 96-103]
5.8. n - мерный вектор и векторное пространство
Определение. n - мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде x = (x1 , x2 ... xn ) , где xi - i
- я координата вектора x .
Определение. Суммой двух векторов одинаковой размерности называется
вектор z = x + y , координаты которого равны сумме соответствующих координат слагаемых векторов, т.е. zi = xi + yi, i = 1, n .
Определение. Произведением вектора x на действительное число  называется вектор u =  x , координаты которого ui = xi, i = 1, n .
Свойства линейных операций над векторами:
1) x + y = y + x ;
2) ( x + y ) + z = x + ( y + z) ;
3)  ( x ) = ( )x ;
4)  (x + y ) =  x +  y ;
5) ( +  )x =  x +  x ;
6) существует нулевой вектор 0 = ( 0,0,...,0) такой, что x + 0 = x для любого вектора x ;
7) для любого вектора x существует противоположный вектор (- x ) такой,
что x + (− x ) = 0 ;
8) x  1 = x .
Определение. Множество векторов с действительными координатами, в
котором определены сложения векторов и умножение вектора на число, удо50
влетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемые аксиомы), называется линейным векторным пространством.
5.9. Размерность и базис линейного векторного пространства
Определение. Линейной комбинацией векторов a1 , a 2 ,..., a n линейного
векторного пространства R называется выражение вида:
 1a1 +  2 a2 + ... +  n an ,
где 1, 2, ... , n - какие угодно действительные числа.
Определение. Векторы a1 , a 2 ,..., a n линейного векторного пространства
R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа 1, 2, ...,
n, не равные одновременно нулю, что
 1a1 +  2 a2 + ... +  n an = 0 .
(5.9)
В противном случае векторы a1 , a 2 ,..., a n называются линейно независимыми.
Замечание. Если векторы a1 , a 2 ,..., a n - линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные.
Определение. Совокупность n линейно независимых
векторов
( e1 , e2 ,..., en ) линейного пространства R называется базисом, n - размерно-
стью линейного пространства. Обозначают Rn.
Теорема. Каждый вектор x линейного векторного пространства R можно
представить и притом единственным способом в виде линейной комбинации
(
векторов базиса e1 , e2 ,..., en
)
x = x1 e1 + x2 e2 +...+ xn en .
51
(5.10)
Замечание. Равенство (5.10) называется разложением вектора x по базису
( e1 , e2 ,..., en ) , а числа x1, x2, ... ,xn - координатами вектора x относительно
этого базиса.
Пример разложения вектора по базису см. в разделе «Образцы решения задач». Более подробно о векторах, линейных операциях с ними и т.п. см.
[1. Гл. 2, §1, с. 42-53], [2. Гл. VI, §1, с. 223-227], [3. §14, с. 105], [4. Гл. 3, 3.1-3.6
с. 124-141].
5.10. Собственные числа и собственные векторы матриц
Определение. Всякий ненулевой вектор - столбец x называется собственным вектором квадратной матрицы А, если найдется такое число , что
Ax =  x .
(5.11)
Число  называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору x .
Так как  x =  Ex , где Е - единичная матрица, то уравнение (5.11) можно
переписать в виде
( A −  E )x = 0 .
(5.12)
Ненулевое решение однородной системы (4.6) существует тогда и только тогда, когда определитель равен нулю, т.е.
a11 − 
A−E =
a 21
a12
...
a1n
a 22 −  ...
a 2n
.
.
.
a n1
a n2
... a nn − 
.
= 0.
(5.13)
Уравнение (5.13) называется характеристическим уравнением матрицы А,
многочлен A −  E - характеристическим многочленом матрицы А, а его корни - характеристическими числами или собственными числами матрицы А.
Пример. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
52
 1 4
A=
.
 9 1
Составляем характеристическое уравнение
A−E =
1− 
4
9
1− 
=0
или 2 - 2 - 35 = 0. Откуда собственные числа матрицы А: 1 = -5, 2 = 7. Находим собственный вектор x(1), соответствующий собственному числу 1 = -5.
Для этого решаем матричное уравнение
(А - 1Е)x(1) = 0:
6x1(1) + 4x 2(1) = 0
 6 4  x1(1)   0
.
 =   или  (1)


(2)
 9 6  x2(1)   0
9x1 + 6x 2 = 0
(1)
Откуда находим x 2
= −1,5x1(1) .
(1)
Положив (для удобства) x1
 c1 
= c1 , получим, что векторы x (1) = 

 − 1,5c1 
при любом c1  0 являются собственными векторами матрицы А с собственным
числом 1 = -5.
Аналогично можно убедиться, что векторы x
0 являются собственными
числом 2 = 7.
векторами
(1)
2 
c
=  3 2  при любом c2 


 c2 
матрицы
А
с
собственным
5.11. Линейная модель обмена (модель международной торговли)
Линейная модель обмена (модель международной торговли) позволяет
найти национальные доходы стран ( или их соотношение) для сбалансированной торговли.
Пусть =(x1, x2, …,xn ) вектор национальных доходов стран S1, S2, …, Sn, а
Anхn=(aij)– структурная матрица торговли, где aij –доля национального дохода,
которую страна Sj тратит на покупку товаров у страны Si причем
=1
53
Для сбалансированной торговли необходимо найти такой равновесный
вектор национальных доходов , чтобы A =
Задача свелась к отысканию собственного вектора , отвечающего собственному значению равному 1.
Пример. Структурная матрица торговли трех стран имеет вид
А=
Найти соотношение национальных доходов этих стран для сбалансированной торговли .
Решение. Находим собственный вектор , отвечающий собственному значению λ=1, решив уравнение (A-E)X=0 или
Найдем X=(c, 2c,c). Полученный результат означает, что сбалансированность торговли трех стран достигается при соотношении их национальных доходов 1:2:1.
Более подробно о способах нахождения собственных чисел и собственных
векторов смотри [2, §4, п. 4,5, с. 258-260], [4. Гл. 3, с. 145-173].
54
6. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
Аналитическая геометрия - область математики, изучающая геометрические образы алгебраическими методами. Еще в XVII веке французским математиком Декартом был разработан метод координат, являющийся аппаратом аналитической геометрии.
6.1. Линии и их уравнения на плоскости
Определение. Уравнением линии (кривой) на плоскости Oxy называется
уравнение, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки данной
линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой линии.
В общем виде уравнение линии может быть записано F(x, y) = 0 или (если
это возможно) y = f(x), где F(x, y) и y = f(x) - некоторые функции.
Если точка M(x, y) передвигается по линии, то ее координаты называются
текущими.
Для составления уравнения линии необходимо взять на ней произвольную
точку M(x, y) и, учитывая свойства линии, получить зависимость между координатами этой точки.
Замечание. Не каждое уравнение F(x, y) = 0 определяет на плоскости некоторую линию. Например, уравнение x2 + y2 = 0 определяет только одну точку,
а x2 + y2 + 7 = 0 не определяет никакого множества точек, ибо левая часть не
равна нулю.
Чтобы убедиться, лежит ли точка на данной линии, надо проверить, удовлетворяют ли координаты этой точки уравнению F(x, y) = 0.
6.2. Прямая линия
Прямую на плоскости относительно декартовой системы координат можно
задать: двумя различными точками; точкой и направлением (вектором); точкой
и перпендикулярным вектором.
6.2.1. Общее уравнение прямой
y
M0(x0, y0)
M(x, y)
n = ( A, B )
O
x
Рисунок 6.1
55
Пусть относительно прямоугольной системы Oxy координат заданы ненулевой вектор n = ( A, B ) и точка M0(x0, y0) (рис.6.1.). Возьмем на прямой произвольную точку M(x, y). Вектор M 0 M перпендикулярен вектору n при любом положении точки M на прямой, что можно записать так:
n  M 0 M = 0,
(6.1)
где M 0 M = ( x − x 0 , y − y 0 ) (скалярное произведение перпендикулярных векторов равно нулю). Уравнение (6.1) называется векторным уравнением прямой.
Запишем уравнение (6.1) в координатной форме
A(x - x0) + B(y - y0) = 0
(6.2)
или
(6.3)
Ax + By + C = 0,
где C = -Ax0 - By0.
Уравнение (6.2) называют уравнением прямой, проходящей через данную
точку, перпендикулярно к данному вектору, а (6.3) - общим уравнением прямой
на плоскости, n - нормальным вектором прямой.
Пример. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(1,1) и
перпендикулярно вектору n = ( 2,−1) .
Согласно уравнению (6.2) имеем
2(x - 1) + (-1)(y - 1) = 0.
Откуда общее уравнение прямой имеет вид 2x - y -1 = 0.
6.2.2. Каноническое уравнение прямой
Положение прямой l однозначно определено на плоскости Oxy, если известны точка M0(x0, y0) и ненулевой вектор s = (m, n), параллельный l.
Вектор s называется направляющим вектором прямой.
Тогда вектор M 0 M = (x - x0, y - y0), лежащий на этой прямой, коллинеарен
вектору s . Отсюда, используя условие коллинеарности векторов, получаем соотношение
x − x0 y − y0
.
=
m
n
56
(6.4)
Равенство (6.4) носит название канонического уравнения прямой.
Частный случай. Если даны две точки A(x1, y1) и B(x2, y2), то, используя
тоже условие коллинеарности векторов, можно получить уравнение прямой,
проходящей через две заданные точки.
x − x1
y − y1
.
=
x 2 − x1 y 2 − y1
(6.5)
Замечание. Из общего уравнения прямой можно получить и уравнение с
угловым коэффициентом, и каноническое. И наоборот, из уравнения с угловым
коэффициентом и из канонического уравнения можно получить общее уравнение прямой.
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-5,4) и
В(3,-2).
x+5
y−4
. После преобразований получим об=
3+ 5 − 2 − 4
щее уравнение 3x - 4y + 1 = 0.
По уравнению (6.5):
6.2.3. Уравнение с угловым коэффициентом
Определение. Углом наклона  прямой называется наименьший угол, отсчитываемый от положительного направления оси Ox против часовой стрелки
до данной прямой (рис. 6.2)
y
y
y
l

O
M(x, y)

x
B(0, b)
O
Рисунок 6.2.
A
x
Рисунок 6.3.
Угол  [0, ). Если  = 0, то l || Ox, если  = /2, то l ⊥ Ox, или l || Oy.
Определение. Тангенс угла наклона прямой называется угловым коэффициентом k, т.е. tg  = k.
Из определения следует, что:
1) k  (-; );
57
2) если  < /2, то k > 0;
3) если  > /2, то k < 0;
4) каждому значению углового коэффициента соответствует одно значение
угла  [0, );
5) прямая, параллельная оси Oy, не имеет углового коэффициента и ее
уравнение x = x0.
Возьмем на прямой точку M(x, y) (рис.6.3). Из треугольника BAM следует,
что M лежит на прямой в том и только том случае, если y - b = xtg.
Учитывая, что tg = k, имеем y - b = kx, или
y = kx + b,
(6.6)
где k - угловой коэффициент, b - отрезок, отсекаемый прямой на оси Oy.
Уравнение (6.6) называется уравнением с угловым коэффициентом.
Пример. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(3,-2) под
углом 135 к оси Ox.
Угловой коэффициент k = tg 135= -1. По формуле (6.6) уравнение прямой
имеет вид y = -x + b, где неизвестен параметр b. Так как прямая проходит через
точку А, то при подстановке в уравнение должны получить тождество:
-2 = -3 + b. Отсюда b = 1.
Ответ: y = -x + 1.
6.2.4. Угол между прямыми. Условия параллельности
и перпендикулярности прямых
Угол между прямыми.
Определение. Углом между прямыми называется один из смежных углов
между их направляющими векторами.
Исходя из определения угла между прямыми, косинус угла находится по
формуле (5.8).
Частный случай. Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами,
tg =
k 2 − k1
.
1 + k1 k 2
Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
58
(6.7)
Если прямые y = k1x + b1 и y = k2x + b2 параллельны, то угол  = 0 и tg  =
0, откуда из формулы (6.7) k1 = k2. И наоборот, если k1 = k2, то по формуле (6.7)
tg  = 0 и  = 0. Таким образом, необходимым и достаточным условием параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов.
Если прямые перпендикулярны, то из формулы (6.7) можно получить
k1 = −
1
или k1 k 2 = −1 . Справедливо также и обратное утверждение.
k2
Таким образом, для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.
Если прямые заданы общими уравнениями, то условие параллельности
следует из условия коллинеарности их нормальных векторов, а условие перпендикулярности прямых - из условия перпендикулярности их нормальных
векторов.
Пример. Составить уравнения двух прямых, проходящих через точку
А(2,1), одна из которых параллельна, а другая перпендикулярна прямой 3x - 2y
+ 2 = 0.
Так как одна из прямых параллельна данной прямой, то их нормальные
векторы коллинеарны, т.е., не ограничивая общности, можно считать, что они
равны. Для искомой прямой нормальный вектор имеет координаты (3,-2). Чтобы написать общее уравнение, необходимо найти С (в уравнении (6.3)). С = -Аx0
- By0, в нашем случае, C = -32 + 21 = -4.
Таким образом, уравнение прямой, параллельной данной прямой, имеет
вид 3x - 2y - 4 = 0.
Чтобы написать уравнение прямой, перпендикулярной к данной, запишем
ее в виде уравнения с угловым коэффициентом y = 1,5x + 1. Угловой коэффициент равен k = 1,5. По условию перпендикулярности угловой коэффициент ис1
2
комой прямой k1 = −
= − и уравнение этой прямой 2x + 3y - 7 = 0. (Параk2
3
метр b находится аналогично примеру, разобранному выше.)
6.2.5. Расстояние от точки до прямой
Пусть даны точка M(x0, y0) и прямая Ax + By + C = 0.Под расстоянием от
точки M до прямой AB понимается длина перпендикуляра d = MN, опущенного
из точки M на прямую АВ. Для определения расстояния d необходимо:
а)составить уравнение прямой MN, перпендикулярной данной и проходящей
через точку M(x0, y0); б)найти точку N(x1, y1) пересечения прямых, решив си59
стему уравнений этих прямых; в) составить вектор MN и по формуле (5.4)
определить длину этого вектора. В результате преобразований получим
d=
Ax + By + C
2
A +B
2
.
(6.8)
Пример. Найти расстояние между параллельными прямыми 3x+4y24=0 и 3x+4y+6=0.
Возьмем на одной из прямых, например 3x+4y-24=0, произвольную точку
A(0,6). Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки A до прямой
3x+4y+6=0:
d=
3 0 + 4  6 + 6
2
3 +4
2
= 6.
Более подробно о линиях и уравнениях прямых на плоскости читайте [1.
Гл. 4, §1, с. 95-100], [2. Гл. 2, §2, с. 61-72], [3, §8, с. 69-89], [4. Гл. 4, п. 4.1-4.4,
с.188-195].
6.3.
Кривые второго порядка
6.3.1. Основные определения
Определение. Окружностью называется геометрическое место точек
плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром окружности.
Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина, равная 2a, при условии,
что а  0 и больше расстояния между фокусами.
Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний каждой из которой от двух
данных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, при условии, что эта величина не равная нулю и меньше расстояния между фокусами.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и данной прямой, называемой директрисой.
6.3.2. Основные характеристики кривых второго порядка
60
Таблица 6.1
Характеристики кривых
Окружность
Эллипс
Характеристики
Каноническое
уравнение
2
2
2
x +y =R R x
Ox, Oy
(R, 0),
(0, R)
—
Основное соотношение
Фокусы
—
=0
Эксцентриситет
Директрисы
—
Асимптоты
—
y
2
Гипербола
2
x
+ =1
a 2 b2
- радиус
Оси симметрии
Вершины
2
a2
−
y
2
b2
Парабола
y 2 = 2 px
=1
p – параметр
а,b - полуоси
Ox, Oy
(a, 0),
(0, b)
а,b- полуоси
Ox, Oy
(a, 0)
Ox
(0,0)
c = a 2 − b2
c = a 2 + b2
—
(с, 0)
(с, 0)
0< = c <1
a
a
x=

—
 = c >1
a
a
x=

y=
p 
 ,0
2 
=1
x=−
b
x
a
—
6.3.3. Общий вид кривых второго порядка
y
a
y
b
-a
O
a
x
-a
O
a
x
-b
-a
x = -a /
Рисунок 6.5. Окружность
y = -b x /a
y
Рисунок 6.6. Эллипс
y = b x /a
O
y
x
O
x = - a /
x = a /
x = a /
x = -p /2
61
x
p
2
Рисунок 6.7. Гипербола
Рисунок 6.8. Парабола
6.3.4. Примеры решения задач
Замечание. Полуоси эллипса называются: а - большая полуось, b - малая
полуось. У гиперболы: а - действительная полуось, b - мнимая полуось.
Пример. Составить каноническое уравнение гиперболы, если расстояние
между ее фокусами равно 36, а расстояние между вершинами равно 28.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид
x2
a
2
−
y2
b
2
= 1. По условию рассто-
яние между ее фокусами 2с = 36, т.е. с = 18, расстояние между вершинами (действительная ось) равно 2а = 28, т.е. а = 14. Так как для гиперболы справедливо
основное соотношение, то b2 = c2 - a2 = 324-194 = = 128. Следовательно,
x2 y2
−
= 1.
196 128
Пример. Найти директрису и фокус параболы, определяемой уравнением
x = -8y.
Из уравнения видно, что ось симметрии данной параболы - ось Oy, парабола лежит ниже оси Ox (y < 0). Эту параболу определяет уравнение x2 = -2py.
Сравнивая это уравнение и данное уравнение, находим р = 4. Уравнение дирек2
трисы в данном случае имеет вид y =
p
, т.е. y = 2. Фокус параболы
2
p

F  0,−  = F ( 0;−2) .

2
Пример. Составьте уравнение эллипса, если известно, что точки (8;3) и
( 2 5;2 5) лежат на эллипсе.
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
x2
a
2
+
y2
b
2
= 1. Подставив вместо
x и y координаты заданных точек получим систему уравнений
 64 9
 a 2 + b 2 = 1
.

20
20
 +
=1
 a 2 b 2
62
Умножим первое уравнение на 20, а второе на -9 и сложим оба уравне-
 64  20 9  20
 a 2 + b 2 = 20
ния 
. Отсюда
20
(
−
9
)
20
(
−
9
)

+
= −9
 a 2
b2
1280 180
− 2 = 11, и а2 = 100.
2
a
a
Подставим а2 = 100, например, во второе уравнение. Получим b2 = 25. Следова-
x2 y2
тельно, искомое уравнение имеет вид
+ = 1.
100 25
Более подробно о линиях второго порядка можно прочитать в [1. Гл. 6, §1,
§2, с. 144-154], [2. Гл. 3, §2, с. 96-108], [3, §24, с. 178-195], [4. Гл. 4, п. 4.5, 4.6, с.
198-209].
6.4. Понятие об уравнении плоскости и прямой в пространстве
6.4.1. Общее уравнение плоскости
Пусть плоскость  проходит через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно ненулевому вектору n = ( A, B, C) .
z
M0(x0, y0, z0)
M(x,y,z)
n
y
O
x
Рисунок 6.9
Этими условиями определяется единственная плоскость в пространстве
Oxyz. Вектор n называется нормальным вектором плоскости . Возьмем в
плоскости  произвольную точку M(x, y, z). Вектор M 0 M перпендикулярен
вектору n , что можно записать так:
n  M 0 M = 0.
(6.9)
Запишем уравнение (6.9) в координатной форме
A(x - x0) + B(y - y0) + С(z - z0) = 0
63
(6.10)
или
Ax + By + Cz + D = 0,
(6. 11)
где D = - Ax0 - By0 - Cz0.
Уравнение (6.10) называют уравнением плоскости, проходящей через данную
точку, перпендикулярно к данному вектору, а (6.11) - общим уравнением плоскости.
Пример. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку (1,1,1) перпендикулярно вектору n = (-1,2,3).
Согласно формуле (6.10) имеем
-1(x - 1) + 2(y - 1) + 3(z - 1) = 0 или -x + 2y + 3z - 4 = 0.
6.4.2. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей
Они определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности нормальных векторов n1 = ( A1 , B1 , C1 ) и n2 = ( A2 , B2 , C2 ) .
Условием параллельности двух плоскостей является пропорциональность
коэффициентов при одноименных переменных
A1 B1 C1
=
=
,
A2 B2 C2
а условием их перпендикулярности следующее равенство
A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.
6.4.3. Прямая в пространстве
Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения двух
плоскостей, т.е. как множество точек, удовлетворяющих системе:
 A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0,

 A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0.
Если прямая параллельна вектору s = ( m, n, p) (называемому направляющим вектором) и проходит через точку M0(x0, y0, z0), то ее уравнения могут
быть получены из условия коллинеарности векторов
M 0 M = ( x − x0 , y − y0 , z − z0 ) ,
(где M(x, y, z) - произвольная точка прямой) и s = ( m, n, p) :
64
x − x0 y − y0 z − z0
.
=
=
m
n
p
(6.12)
Уравнения (6.12) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.
Частный случай. Если даны две точки A(x1, y1, z1) и B(x2, y2, z2), то, используя то же условие коллинеарности векторов, можно получить уравнения
прямой, проходящей через две точки:
x − x1
y − y1
z − z1
.
=
=
x 2 − x1 y 2 − y1 z 2 − z1
(6.13)
Пример. Напишете канонические уравнения прямой, проходящей через
точки А(1, 0,-1) и В(2, 1, 3)
Подставим имеющиеся данные в формулу (4.11)
x − 1 y − 0 z − (−1)
=
=
2 − 1 1 − 0 3 − (−1)
x −1 y z +1
.
= =
1
1
4
или
6.4.4. Угол между прямой и плоскостью
Пусть дано уравнение прямой
x − x1 y − y1 z − z1
=
=
и уравнение
m
n
p
плоскости Ax + By + Cz + D = 0.
s = (m, n, p) - направляющий вектор прямой,
n = ( A, B, C) - нормальный вектор плоскости.
Ясно, что угол между векторами s и n равен

2
− , где  - угол между
прямой и плоскостью, а значит,
sin  =
Am + Bn + Cp
2
2
A +B +C
2
65
2
2
m +n + p
2
.
(6.14)
Более подробно об уравнениях прямой и плоскости в пространстве можно
прочитать в [1. Гл. 4, §2, с. 102-104], [2. Гл. 2, §3, с. 75-80], [3, §9, с. 80-92], [4.
Гл. 4, п. 4.8, с. 213-216].
66
7. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
1. Разложить вектор d по базису a , b, c . Полученную систему решить
двумя способами: 1) методом Крамера; 2) с помощью обратной матрицы. Индивидуальное задание см. в табл. 7.1.
2. Решить систему методом Гаусса. Индивидуальное задание см. в таблице
7.1.
3. Показать, что матрица A продуктивна, для меньшего собственного числа найти собственный вектор. Индивидуальное задание см. в табл. 7.1.
4. Даны вершины треугольника А(x1,y1), В(x2,y2) и С(x3,y3). Найти:
1) уравнение и длину стороны АВ;
2) уравнение высоты АК;
3) уравнение медианы ВМ.
5. Даны вершины тетраэдра А(-2, 1, 1),В(3, 2, -1),С(5,3,1),D(1, 1,0).
Найти:
1) уравнение ребра АВ;
2) уравнение грани АВС;
3) угол между ребрами АВ и CD;
4) угол между ребром CD и гранью АВС,
где 1 = -1 - mod(n, 7), 2 = mod(n, 5), 3 = 3 - mod(n, 3), mod(n, q) - остаток
от деления номера варианта n на заданное число q.
6. Решить задачу на кривые второго порядка. Индивидуальное задание см.
в табл.7.2.
7. Решить задачу с экономическим содержанием.
8. Даны таблицы «затраты-выпуск» по трем отраслям (отрасль I - промышленность, отрасль II - энергетика, отрасль III - сельское хозяйство), вектор Д вектор потребления, Д1 - новый вектор потребления. Составить уравнения межотраслевого баланса и найти вектор валового выпуска на новый вектор потребления. Индивидуальные задания см. в табл.7.15.
9. Методом полного исключения исследовать системы линейных уравнений. Индивидуальные задания см. в табл. 7.16.
10. Найти все существующие базисные решения системы линейных уравнений Индивидуальные задания в табл. 7.17.
11. Найти равновесный вектор национальных доходов в модели международной торговли при следующей структурной матрице торговли
67
3
b+3 
 а+3


а + b + 5 a + b + 5 a + b + 5
a +1
1
 b +1

a + b + 5 a + b + 5 a + b + 5

1
b +1
a +1 


a + b + 5 a + b + 5 a + b + 5
а – число десятков в номере варианта, b – число единиц.
Таблица 7.1
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАДАНИЯМ 1 – 4
Задание 1
2
d = (-1,9,9)
a = (1,2,-1)
b = (-1,3,4)
c = (-1,2,2)
d =(45,38,-1)
a = (6,6-1)
b = (-1,6,3)
c = (4,4,4)
x + 3y − 14 z = 10

x − 2 y + z = 0
x + 18 y − 59 z = 40

Задание 3
4
 1 1


3
9
 1 1


 4 3
Задание 4
5
A(-1,-1)
B(2,-1)
C (2,3)
− x + y + 2 z = 0

4x + 6y − 28z = 50
− 16x − 14 y + 92z = −150

2

3
0


1
1

4
A (-7,-2);
B (7,-2);
C(2,10)
3
d = (13,9,12)
a = (1,-1,4)
b = (1,1,1)
c = (6,4,2)
4 x − 2 y − 12 z = 12

6x − y − 22 z = 22
− 2 x − 5y + 18z = 18

A (-1,-1)
B (4,1);
C (-5,-1)
4
d =(14,22,-4)
a = (1,2,-1)
b = (1,-1,-1)
c = (3,6,2)
− x − 2 y + 9 y = −7

6x + y − 21z = 20
− 22x − 11y + 99z = −88

 1 1


 21 36
1


 16 2 
 1 0
 1 4


 36 9 
5
d =(23,11,-6)
a = (3,2,-1)
b = (4,1,1)
c = (-1,2,1)
− x − 2 y + 13z = −9

x + 3y − 18z = 12
− 7x − 17 y + 106z = −72

1

 41

 36
1

25
1

4
A (-1,6);
B (-1,-2);
C (5,-2)
6
d = (1,3,-1)
a = (3,2,2)
b = (4,6,3)
c = (6,3,-1)
x − 2 y + 5z = 1

x − y + z = 3
x − 5y + 17 z = −5

2

 51

 10

0
1

2
A (8,-6);
B (8,1);
C (-4,10)
n
1
1
2
Задание 2
3
68
A (-5,-2);
B (3,13);
C (-5,7)
Продолжение таблицы 7.1
1
7
2
d = (7,10,5)
a = (6,2,-1)
b = (-1,6,2)
c = (4,6,2)
3
− 2 x − 2 y + 14 z = −20

− x + 4 y − 13z = 15
− 5x − 20 y + 95z = −125

1

 13

9
1

49 
1

3
8
d = (15,17,5)
a = (3,4,-2)
b = (4,1,1)
c = (-1,6,6)
6x − 2 y − 26z = 26

4 x + 6 y − 32 z = 32
12 x − 26 y − 8z = 8

1

4
0

5

6
2

3
A (-2,1);
B (2,-2);
C (6,1)
− x + y + z = 0

x + y − 5z = 10
− 7 x + y + 19 z = −30

1

5
1

9
 1

 2
1

 12
 1

 21

 49
1

4
1

5

0
1

3
1

16
1

2
A (-3,-11);
B (5,4);
C (-3,10)
3

5
1

2
1

81
1

4
A (8,7);
B (-1,7);
C (-7,-1)
− x + 2 y − 8z = 8

4 x + 6 y − 38z = 38
16x − 10 y + 82 z = −82

1

5
0

1

 41

 25
− x + y = −2

2x + 6y − 40z = 20
− 10x − 14 y + 120z = −68

3

4
0

1

6
5

6
A (1,-9);
B (1,2);
C (-11,7)
d = (-7,0,-11)
a = (6,4,6)
b = (3,3,-1)
c = (4,-1,4)
10 d = (9,18,21)
a = (6,6,3)
b = (2,1,2)
c = (1,6,4)
11 d = (7,29,13)
9
a = (2,4,2)
b = (-1,3,3)
c = (2,4,-1)
12 d = (9,19,12)
a = (-1,6,3)
b = (3,2,3)
c = (2,-1,-1)
13 d = (11,10,3)
a = (3,1,-1)
b = (-1,4,-1)
c = (2,6,2)
14 d =(13,-5,18)
a = (2,6,2)
b = (6,-1,1)
c = (1,1,6)
− x − 2 y + 12z = −8

3x − y − 8z = 10
− 13x − 5y + 72z = −62

3x − y − 12 z = 2

− 2 x + y + 7 z = 0
18x − 7 y − 69 z = 8

4 x + 3y − 29 z = 35

4 x + y − 23z = 25
4 x + 9 y − 47 z = 65

69
4
5
A (-5,-6);
B (11,6);
C (0,6)
A (5,-7);
B (5,7);
C (-7,2)
A (9,-4);
B (-3,5);
C (-3,1)
A (15,9);
B (8,9);
C (-1,-3)
1
2
15 d =(24,48,24)
a = (2,3,-1)
b = (3,6,4)
c = (-1,-1,1)
16 d = (-9,-3,3)
a = (-1,2,3)
b = (2,3,1)
c = (6,2,-1)
17 d = (-3,3,16)
a = (2,-1,-1)
b = (-1,4,4)
c = (6,6,-1)
18 d = (0,8,3)
a = (-1,-1,6)
b = (2,4,-1)
c = (4,2,6)
19 d =(1,-10,23)
a = (1,-1,2)
b = (3,2,1)
c = (-1,-1,6)
3
− x + 6 y − 27 z = 7

x + 6 y − 33z = 17
− 7 x + 6 y − 9 z = −23

3x + 4 y − 26z = 29

3x + 2 y − 16z = 19
3x + 10 y − 56z = 59

6x − 2 y − 6z = 20

− x − 2 y + 8z = −8
27 x − 2 y − 48z = 104

6x + y − 32 z = 15

x + 2 y − 9 z = 8
21x − 2 y − 101z = 36

Продолжение таблицы 7.1
4
5
A (4,2);
1 1 


B (-5,14);
 15 25

C (-14,2)
1


4 5
A (-3,-1);
 1 0
B (12,7);
 1 1


C (-9,7)


10
2
1

6
1

4
1

9
1

6
A (9,9);
B (-5,9);
C (0,-3)
1

0

 13 1 


 2 6
1 1 


6
25
1 1 


9 6
A (-9,3);
B (-9;-5);
C (6,-5)
20 d = (7,13,2)
a = (3,6,1)
b = (6,6,4)
c = (4,1,3)
21 d = (1,10,9)
a = (-1,-1,6)
b = (-1,2,3)
c = (1,1,3)
1

0

 21 1


 5 4
 1 1
− x − 2 y + 10z = −12



 21 25
3x + 3y − 18z = 24
1


− 13x − 17 y + 94z = −120
 16 2 

A (6,-6);
B (-2,9);
C (-2,0)
22 d =(60,12,63)
a = (3,2,4)
b = (4,-1,6)
c = (6,2,1)
1

x + y − 6z = 6
0


 81 1
6x + 2 y − 24 z = 28

− 14 x − 2 y + 48z = −60 

4 3
A (-1,-1);
B (8,11);
C (-8,-1)
23 d = (19,5,15)
a = (-1,1,3)
b = (1,-1,-1)
c = (3,1,2)
6x + 3y − 24 z = 30

3x + 2 y − 14 z = 16
15x + 6 y − 54 z = 72

A (-7,12);
B (-7,1);
C (5,-4)
2 x − y − 5z = 0

− x − y + 7 z = −6
11x − y − 41z = 18

x + y − 9 z = 7

− x + 4 y − 16z = 13
7 x − 8 y + 12 z = −11

70
1 1


 31 81
1


4 3
A (-7,-3);
B (-7,1);
C (5,6)
A (-2,8);
B (3,-4);
C (8,8)
1
24
2
d = (7,7,-2)
a = (1,1,-1)
b = (3,2,3)
c = (2,1,-1)
25 d = (7,-3,10)
a = (2,-1,-1)
b = (-1,-1,6)
c = (-1,3,-1)
Продолжение таблицы 7.1
3
4
5
A (1,3);
1 
− x + 6 y − 9 z = 13
0



B (7,3);
− 2 x − 2 y + 10z = −16  41 1
C (4,7)

2 x + 30 y − 66z = 100 

9 5
A (-6,13);
 1 1
− 2x − 2 y + 12z = −18



B (-14,7);
 41 91
x + 6y − 16z = 29
C (-6,-8)

− 11x − 26 y + 96z = −159 

64 4
Таблица 7.2
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАДАЧЕ 6
n
1
1
2
3
4
5
Условие задачи
2
Напишите каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси Ox, симметрично относительно начала координат, если
действительная полуось равна 5, мнимая равна 4
Составьте каноническое уравнение эллипса, фокусы которого лежат на
оси абсцисс, симметричного относительно начала координат, если расстояние между фокусами равно 8 и большая ось равна 10
Составьте уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, если парабола симметрична относительно оси Oy и проходит
через точку (1,1)
Определите полуоси, фокусы и эксцентриситет гиперболы 16x2 9y2 + 144 = 0
x2 y2
+
=1
Определите полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса
16 9
Найдите параметр p, если известно, что парабола y2 = 2px проходит через
точку К(4; 8)
7 Найдите эксцентриситет гиперболы 25x2 - 49y2 = 1125
8 Найдите эксцентриситет и малую полуось эллипса, имеющего большую
полуось а = 5 и параметр с, равный 4
9 Вершина параболы находится в начале координат, расстояние от фокуса
до вершины равно 10, а осью симметрии является ось Ox. Составьте
уравнение параболы
10 Найдите эксцентриситет, координаты фокусов гиперболы 4x2 25y2 = 10
11 Найдите длины осей, координаты фокусов и эксцентриситет эллипса 16x2
+ 25y2 = 400
6
71
12 Составьте уравнение директрисы и найдите координаты фокуса параболы y2 = 8x
13 Составьте уравнение равносторонней гиперболы, проходящей через точку 10;− 6
(
)
14 Составьте уравнение эллипса, если точки (0,-4) и (-6, 2) лежат на эллипсе
15 Составьте каноническое уравнение параболы, если известно, что парабола имеет фокус F(0;2) и вершину в точке О(0,0)
16
5  4 

Точки  34 ;−  и  5;  лежат на гиперболе. Составьте уравнение ги-

3

3
перболы
17 Составьте каноническое уравнение эллипса, если известно, что его малая
ось равна 24, расстояние между фокусами равно 10
18 Составьте каноническое уравнение параболы, если известно, что парабола симметрична относительно оси абсцисс и проходит через точки О(0,0)
и М(1,-4)
19 Составьте уравнение асимптот гиперболы 4x2 - 9y2 = 36 и найдите координаты ее фокусов и эксцентриситет
20
 1 1
Дан эллипс 25x2 + 144y2 = 1. Определите, лежит ли точка А  ,  на
 13 13
эллипсе
21 Составьте каноническое уравнение параболы, если известно, что парабола симметрична относительно оси ординат Oy и проходит через точки
О(0,0) и N(6,-2)
22 Составьте каноническое уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между фокусами равно 10, расстояние между вершинами равно 8
23 Составьте каноническое уравнение эллипса, если фокусами являются


точки (1, 0), а точка  3,
3
 принадлежит эллипсу
2
24 Найти каноническое уравнение параболы и ее директрисы, если известно, что парабола симметрична относительно оси Ox и что точка пересечения прямых x - y = 0 и 2x + y - 3 = 0 лежит на параболе
25 Составьте каноническое уравнение гиперболы, если известно, что действительная ось равна 6, гипербола проходит через точку А(9,-4)
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАДАЧЕ 7
1. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к
концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года
72
3/8 вклада, который составляет 800 ден. ед. , вложили в первый банк, 1/8 вклада
вложили во второй банк и оставшуюся часть вклада - в третий банк. К концу
года сумма этих вкладов стала равна 907 ден. ед.. Если бы первоначально 1/8
вклада положили в первый банк, 4/8 вклада - во второй банк, оставшуюся часть
вклада - в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов стала бы равна 894
ден. ед.. Если бы 4/8 вклада вложили в первый банк, 3/8 вклада - во второй
банк, оставшуюся часть вклада - в третий банк, то к концу года сумма этих
вкладов бала бы равна 903 ден. ед.
а) Записать в математической форме условия вложения денег.
б) Какой процент начисляет каждый банк?
2. Из Тулы в Белгород необходимо перевезти оборудование 3 типов : 1 типа - 95 единиц, 2 типа - 100 единиц, 3 типа - 185 единиц. Для перевозки оборудования завод может заказать 3 вида транспорта. Количество оборудования
каждого типа, вмещаемого на определенный вид транспорта, приведено в таблице 7.3
Таблица 7.3
Тип оборудования
1
2
3
Вид транспорта
T1
3
4
3
T2
2
1
5
T3
1
2
4
а) Записать в математической форме условия перевозки оборудования из
Тулы в Белгород.
б) Установить, сколько единиц транспорта каждого вида потребуется для
перевозки оборудования из Тулы в Белгород.
3. На приобретение оборудования для нового производственного участка
выделено 20 ден. ед. Оборудование должно быть размещено на площади 42 м2.
Предприятие может заказать оборудование трех типов: машины А стоимостью
3 ден. ед., требующие производственной площади в 6 м2 (с учетом проходов) и
обеспечивающие производство 7 тыс. ед. продукции за смену; машины Б стоимостью 2 ден. ед. , занимающие площадь 4м2 и дающие за смену 4 тыс. ед. продукции; машины В стоимостью 1 ден. ед. , требующие 3 м2 площади и дающие
за смену 2 тыс. ед. продукции.
73
а) Записать в математической форме условия приобретения оборудования
при полном использовании выделенных средств, производственной площади и
гарантирующие выпуск за смену 42 тыс. ед. продукции.
б) Определить, сколько оборудования каждого типа требуется заказать.
4. Предприятие выпускает продукцию трех видов: А, Б, В. Уровень выпуска лимитируется ограниченностью ресурсов. Все числовые данные приведены в
табл.7.4.
Таблица 7.4
Ресурсы
Запас
ресурса
Сырье, кг
24
Материалы , кг
75
Оборудование, ед.
10
Норма затрат на единицу продукции
А
Б
В
5
7
4
10
5
20
5
2
1
а) Записать в математической форме условия, которым должен удовлетворять план выпуска продукции, предполагая полное использование ресурсов.
б) Найти план выпуска продукции.
5. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к
концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года
2/9 вклада, который составляет 900 ден. ед. , вложили в первый банк, 3/9 вклада
вложили во второй банк и оставшуюся часть вклада - в третий банк. К концу
года сумма этих вкладов стала равна 1080 ден. ед. Если бы первоначально 3/9
вклада положили в первый банк, 4/9 вклада - во второй банк, оставшуюся часть
вклада - в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов стала бы равна 1060
ден. ед. Если бы 4/9 вклада вложили в первый банк, 2/9 вклада - во второй банк,
оставшуюся часть вклада - в третий банк, то к концу года сумма этих вкладов
бала бы равна 1055 ден. ед.
а) Записать в математической форме условия вложения денег.
б) Какой процент начисляет каждый банк?
6. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к
концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года
3/5 вклада, который составляет 500 ден. ед. , вложили в первый банк, а оставшуюся часть вклада во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала
равна 591 ден. ед. Если бы первоначально 3/5 вклада положили во второй банк,
а оставшуюся часть вклада - в первый банк, то к концу года сумма этих вкладов
стала бы равна 610 ден. ед. .
а) Записать в математической форме условия вложения денег.
б) Какой процент начисляет каждый банк?
74
7. Для откорма свиней на ферме в ежедневный рацион каждого животного
включается 6 ед. питательного вещества А и 7 ед. питательного вещества Б.
При этом используются корма К1, К2 и К3. Данные о содержании питательных
веществ в одной весовой единице корма и ее стоимости приведены в табл. 7.5.
Корм
К1
К2
К3
Содержание питательного
вещества
А
Б
2
1
1
2
3
1.5
Стоимость
цы корма,
ден. ед.
5
1
3
Таблица 7.5
едини-
а) Записать в математической форме условия составления недельного рациона стоимостью 7 ден. ед., содержащего норму питательных веществ.
б) Определить состав еженедельного рациона для откорма свиней.
8. Для перевозки пассажиров , отправляющихся в летние месяцы из Воронежа в Крым, еженедельно формируются дополнительные поезда. Данные о
количестве резервных вагонов, составе поезда и вместимости вагонов приведены в табл.7.6.
Таблица 7.6
Показатель
ресторан
Наличный парк вагонов
12
Состав поезда:
скорого
1
пассажирского
1
Количество пассажиров
в вагоне
Тип вагона
мягкий Купейный
22
58
3
1
32
6
4
40
плацкарный
81
5
8
58
а) Записать в математической форме условия, учитывающие резерв вагонов и количество дополнительных скорых и пассажирских поездов, еженедельно вывозящих из Воронежа 7722 пассажиров.
б) Установить, сколько дополнительных скорых и пассажирских поездов
можно еженедельно отправлять из Воронежа.
9. Трикотажная фабрика использует для производства продукции два вида
сырья. Все необходимые данные приведены в табл. 7.7.
Таблица 7.7
Сырье
Запас
Затраты на единицу изделия
75
сырья, кг
Чистая шерсть
160
Силон
60
Прибыль за изделие, ден. ед.
свитер
0,4
0,2
16
пуловер
0,2
0,1
15
костюм
0,8
0,2
22
а) Записать в математической форме условия выпуска готовой продукции,
если сырье расходуется полностью, а прибыль составляет 6800 ден. ед.
б) Найти план выпуска трикотажной фабрики.
10. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к
концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года
3/5 вклада, который составляет 500 ден. ед., вложили в первый банк, а оставшуюся часть вклада во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала
равна 591 ден. ед. Если бы первоначально 3/5 вклада положили во второй банк,
а оставшуюся часть вклада - в первый банк, то к концу года сумма этих вкладов
стала бы равна 615 ден. ед. .
а) Записать в математической форме условия вложения денег.
б) Какой процент начисляет каждый банк?
11. Для выполнения полевых работ сельскохозяйственное предприятие
может купить тракторы марок Т1 и Т2. Все необходимые данные приведены в
табл. 7.8.
Таблица 7.8
Вид работ
Объем работ
Производительность трактора
Т1
Т2
P1
60
4
3
P2
40
8
1
Цена трактора, ден. ед.
7
2
а) Записать в математической форме условия выполнения всего комплекса
полевых работ приобретенными тракторами, если на их покупку отпущено 65
ден. ед.
б) Установить, сколько тракторов той и другой марки следует приобрести
сельскохозяйственному предприятию для выполнения запланированного объема работ.
12. Заданы объемы расхода ресурса bi , нормы расхода i - ого ресурса на
производство машины к - того типа aik , которые представлены в таблице 7.9.
Таблица 7.9
Тип машины
Расход
⎯⎯⎯⎯⎯
I
II
III
ресурса
bi
Вид ресурса
76
1
2
3
2
1
1
1
1
0
1
2
1
45
40
15
а) Записать в математической форме условия выпуска машин.
б) Определить количество выпущенных машин трех типов.
13. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к
концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года
3/5 вклада, который составляет 500 ден. ед., вложили в первый банк, а оставшуюся часть вклада во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала
равна 590 ден. ед. Если бы первоначально 3/5 вклада положили во второй банк,
а оставшуюся часть вклада - в первый банк, то к концу года сумма этих вкладов
стала бы равна 611 ден. ед. .
а) Записать в математической форме условия вложения денег.
б) Какой процент начисляет каждый банк?
14. Три бригады обработали три участка поля, площадью 10, 19 и 18 га соответственно. На каждом из участков каждая бригада проработала aik часов, заданных в таблице 7.10.
Бригада
Участок
1
2
3
I
2
1
4
II
III
3
5
1
1
4
3
Таблица 7.10
Обработанная
площадь, га
10
19
18
а) Записать в математической форме условия работы бригад.
б) Найти производительность каждой бригады.
15. На двух заводах выпущены машины в количествах 150 и 200 штук соответственно для двух автохозяйств, потребности которых соответственно равны 100 и 250 машин. Затраты на перевозку одной машины с 1 - ого завода первому автохозяйству равны 300, а 2 - му автохозяйству - 400 рублей. Те же затраты на перевозку со 2 - ого завода составляют 500 и 200 рублей соответственно. Известно, что минимальные затраты на перевозку составляют 90000
рублей.
а) Записать в математической форме условия перевозки машин в автохозяйства.
б) Найти оптимальный план перевозок машин.
77
16. Фермерское хозяйство производит 4 вида сельхозпродукции (молоко,
свинина, говядина, баранина). Нормы расходов кормов на 1 кг продукции и
суммарные расходы кормов заданы таблицей7.11:
Виды
сельхозпродукции
молоко
Виды кормов
Фураж
2
Комбикорм
3
картофель
0
Сено
1
свинина
говядина
баранина
1
1
4
0
3
2
1
3
1
3
2
1
Таблица 7.11
Суммарный
расход кормов
1650
2100
2450
1150
а) Записать в математической форме условия произведения продукции
каждого вида.
б) Найти объем произведенной продукции каждого вида.
17. Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к
концу года на определенный процент (свой для каждого банка). В начале года
3/5 вклада, который составляет 500 ден. ед. , вложили в первый банк, а оставшуюся часть вклада во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала
равна 592 ден. ед. Если бы первоначально 3/5 вклада положили во второй банк,
а оставшуюся часть вклада - в первый банк, то к концу года сумма этих вкладов
стала бы равна 610 ден. ед. .
а) Записать в математической форме условия вложения денег.
б) Какой процент начисляет каждый банк?
18. Совместное предприятие по производству обуви выпускает сапоги, ботинки, и модельные туфли. Нормы расхода трех видов сырья на одну пару обуви и объем расхода ресурсов на 1 день заданы табл.7.12.
Вид обуви
Вид сырья
I
II
III
Сапоги
Ботинки
Туфли
1
2
1
1
1
0
2
1
1
Таблица 7.12
Расход сырья
100
85
45
а) Записать в математической форме условия выпуска обуви.
б) Найти ежедневный объем выпуска обуви всех видов.
78
19. Из двух сортов бензина образуются две смеси А и В. Смесь А содержит
60 % бензина 1-го сорта и 40 % 2-го сорта; смесь В содержит 80 % бензина 1-го
сорта и 20 % бензина 2-го сорта. Можно использовать 50 тонн 1-го сорта и 30
тонн 2-го сорта.
а) Записать в математической форме условия образования смесей.
б) Сколько тонн смеси А и смеси В можно образовать полностью используя наличный бензин?
20. Изготовляют несколько изделий А и В. Для этого полностью используют 500 кг стали и 950 кг железа, причем на одно изделие А используют 10 кг
стали и 40 кг железа, на одно изделие В - 20 кг стали и 10 кг железа.
а) Записать в математической форме условия выпуска изделий.
б) Определить, сколько изделий А и В изготовляют.
21. Для кормления коров располагают следующими видами кормов: силосом, картофелем, сеном, концентратами. Дневной рацион коровы включает
16,42 кормовых единиц, 1728 г белка, 102,33 г кальция, 79,71 г фосфора. Содержание питательных веществ в 1 кг каждого из кормов дается табл. 7.13.
Таблица 7.13
Наименование
корма
Содержание в 1 кг
белка, г
кальция, г
кормовых едифосфора, г
ниц
Сено
0,52
36
6,02
2,14
Силос
0,18
12
3,55
0,65
Картофель
0,30
9
0,14
0,68
Концентраты
1,06
196
2,60
7,60
а) Записать в математической форме условия правильного кормления коров.
б) Сколько килограммов каждого вида корма требуется ежедневно давать
одной корове?
22. В швейном цехе имеется 840 м ткани. На пошив одного халата требуется 4 м ткани, а на одну куртку - 3 м. Известно, что необходимо изготовить всего
250 изделий.
а) Записать в математической форме условия работы швейного цеха.
б) Сколько халатов и курток выпустит цех?
23. Из двух сортов бензина образуются две смеси А и В. Смесь А содержит
70 % бензина 1-го сорта и 30 % 2-го сорта; смесь В содержит 80 % бензина 1-го
сорта и 20 % бензина 2-го сорта. Можно использовать 150 тонн 1-го сорта и 45
тонн 2-го сорта.
а) Записать в математической форме условия образования смесей.
79
б) Сколько тонн смеси А и смеси В можно образовать полностью используя наличный бензин?
24. Предприятие выпускает три вида продукции, используя сырье трех видов. Необходимые характеристики производства указаны в таблице 7.14.
Таблица 7.14
Запас сырья
Вид сы- Расход сырья по видам продукции, вес. ед./изд.
рья
1
2
3
1
6
4
5
2400
2
4
3
1
1450
3
5
2
3
1550
а) Записать в математической форме условия задачи.
б) Определить объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья.
Таблица 7.15
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАДАЧЕ 8
N
1
1
2
3
4
5
2
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
3
10
20
30
20
10
5
5
40
20
25
5
1
5
2
25
A
II
4
5
5
50
5
5
5
10
20
10
25
10
2
10
2
10
Д
III
5
10
10
10
10
5
10
25
10
10
10
5
1
10
2
10
6
25
15
10
65
30
30
60
30
10
40
30
6
25
4
55
Д1
7
50
60
20
70
50
20
50
30
50
20
20
25
20
10
60
80
n
8
6
7
8
9
10
I
9
10
40
10
1
10
20
5
30
30
10
10
1
20
5
1
A
II
10
20
30
30
2
10
40
20
10
30
5
20
2
15
5
2
III
11
30
20
20
2
20
10
20
20
30
20
20
3
10
10
1
Д
Д1
12
40
10
40
15
10
50
55
40
60
65
50
4
55
30
6
13
50
10
30
100
30
30
50
50
70
50
50
70
30
40
10
Продолжение табл. 7.15
1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
2
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
3
10
1
5
5
2
3
10
2
10
20
10
2
10
10
1
4
20
1
5
10
1
3
15
2
20
15
30
1
30
10
2
5
30
1
10
10
3
3
30
2
10
15
10
3
20
5
2
6
40
2
30
25
4
9
45
14
60
50
50
4
40
25
5
7
20
5
20
10
30
10
40
10
80
30
10
10
50
10
20
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
10
20
30
10
20
1
15
10
5
10
30
20
15
30
5
20
25
5
20
20
10
10
10
10
10
10
2
30
20
5
20
10
10
20
10
5
10
25
20
20
20
10
20
20
30
10
20
2
10
10
5
30
20
50
15
20
10
10
10
10
30
30
20
10
50
30
20
50
5
45
60
10
40
40
20
50
40
30
60
40
65
30
30
60
20
30
30
25
20
10
20
20
5
50
30
25
60
50
20
50
30
50
50
50
70
81
8
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
9
30
20
1
15
30
5
30
1
5
3
1
10
20
3
10
10
15
10
2
20
10
5
30
2
10
3
2
20
15
2
10
11
15
10
2
10
10
5
30
3
5
3
1
5
5
1
10
12
40
10
5
55
50
10
60
4
30
21
6
15
10
4
20
13
10
20
20
30
30
40
20
10
20
20
10
10
20
10
15
3
20
10
5
20
1
15
2
10
10
30
10
10
30
1
1
5
10
6
10
1
2
10
15
10
20
2
15
3
20
20
30
20
20
15
2
3
10
20
5
10
3
5
10
30
5
30
2
20
10
10
30
60
10
30
25
1
1
5
20
2
20
2
10
60
45
30
30
15
50
10
60
40
30
50
40
30
6
5
30
50
12
60
4
20
50
40
50
40
10
30
40
50
50
40
20
50
10
30
20
10
40
10
30
10
Окончание табл. 7.15
1
35
36
37
38
2
I
II
III
I
II
III
I
II
III
I
II
III
3
5
10
1
30
50
20
60
10
1
20
40
20
4
10
10
2
10
10
10
60
20
2
10
20
10
5
5
5
1
10
10
20
20
30
2
10
30
20
6
30
75
5
50
30
50
60
40
5
60
110
50
7
50
50
30
50
40
30
50
50
10
50
150
20
8
39
40
41
42
9
15
15
3
6
4
5
10
10
1
1
6
10
10
30
15
2
5
3
2
15
20
3
2
4
20
11
20
25
1
3
1
1
10
10
4
10
1
30
12
35
45
4
11
12
17
65
60
12
12
39
40
13
50
50
10
10
20
13
50
10
20
15
30
30
Таблица 7.16
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАДАЧЕ 9
Система 1
Система 2
2
3
N
1
1 2 x 1 + x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 6,
2
3
4
5
x 1 − 2 x 2 + x 3 − 2 x 4 = 1,
− 4 x 1 + 2 x 2 − 3x 3 + x 4 = 2,
2 x + x + x
= 0,
2
3
 1
+ 2 x 4 = 2.
x 1 + 3x 2
x 1 + x 2 + 2 x 3 − x 4 = 2,
2 x 1 + x 2
+ 2 x = −3,
− x − x − 5x + x4 = −2,
2
3
4
 1
4
x
+
2
x
−
2
x
+
x
 1
2
3
4 = 0.
x 1 + 2x 2 + x 3 − x 4 = 0,
3x 1 + 5x 2 + 4x 3 − 2x 4 = 3,

x 2 − 2x 3 + 3x 4 = −1,

− 2x 1 − 3x 2 − 3x 3 + x 4 = 2.
x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 2,
3x 1 − x 2 + 3x 3 − 2 x 4 = 1,
− x + 2 x
+ x 4 = 0,
2
 1
4 x 1 − 3x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = −3.
x 1 − x 2 − 5x 3 + x 4 = 6,
− 3x 1 + 2x 2 + 4x 3 + 3x 4 = 0,
2x − x − x − x = 1,
2
3
4
 1
−
x
+
x
+
3
x
+
2x 4 = −1.
 1
2
3
x 1 − 2x 2 − 5x 3 − 2x 4 = 1,
 − 3x + x − 2x = 0,
2
3
4

= 5.
3x 1 − x 2 − 7 x 3
3x 4 = −3,
x 1 + 2 x 2 −
− 2 x 1 + x 2 − x 3 + 2 x 4 = 6,

2 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 3,

− x 1 − x 2 + 3x 3 + 2 x 4 = 0.
x 4 = 1,
3x 1 + 6x 2 −
x 1 + 4 x 2 − 4x 3 − 2x 4 = 0,
2x + 10 x − 4x + x = 1,
2
3
4
 1
4x 1 + 2 x 2 − 4x 3 − 3x 4 = 1.
− 3x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 0,
x 1 − x 2 + 2 x 3 − 5x 4 = 3,
− 4 x + 2 x − x + 4 x = −3,
1
2
3
4

+ 3x 4 = −3.
− 7 x 1 + 3x 2
x 1 + 2 x 2 − 2 x 3 − x 4 = 0,
− x 1 + x 2 + 2 x 3 + 3x 4 = 2,
2 x − 4 x + x − 6 x = 1,
2
3
4
 1
3
x
+
2
x
=
0.

2
4
82
1
6
Продолжение табл.7.16
3
2
+ x 4 = 0,
2 x 1 − x 2
− x 1 + x 2 − x 3 + 2x 4 = 6,
3x + 2x + 2x − 2 x = −3,
2
3
4
 1
− x 3 + 3x 4 = 6.
x 1
x 1 − 2x 2 − 2x 3 + x 4 = 3,
2x 1 + x 2 + 4x 3 + 2x 4 = 0,
4x − 3x
+ 4x 4 = 6,
2
 1
3x 1 − x 2 + 2x 3 + 3x 4 = 3.
2 x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1,
− x 1 − x 2 + 3x 3 + 3x 4 = 0,

− 3x 2 + 7 x 3 + 7 x 4 = 1,

 x 1 − 2 x 2 + 4 x 3 + 4 x 4 = 1.
x 1 + x 2 + 2x 3 − x 4 = 2,
2 x 1 + x 2
+ 2x = −3,
5x + 3x + 2x + 43x = −4,
2
3
4
 1
3
x
+
2
x
+
2
x
+
x
 1
2
3
4 = −1.
= 0,
3x 1 + 2x 2 − 5x 3
x 1 − x 2 + 4x 3 − 4x 4 = 1,
2 x + x − x + 2 x = 3,
2
3
4
 1
3
x
+
3
x
−
2
x
 1
3
4 = 4.
= 1,
2 x 1 + x 2 + x 3
x 1 − 2 x 2 + x 3 − 2 x 4 = −5,
− 4 x + 2 x − 3x + x = 2,
1
2
3
4

3x 1 + 3x 2 − x 3 + 3x 4 = 4.
x 1 − x 2 + 3x 3 + 2 x 4 = 0,
x 1 + 2 x 2
− 3x = −3,
3x − 2 x + x + x4 = 3,
2
3
4
 1
2
x
−
4
x
+
x
+
4
x
 1
2
3
4 = 5.
= 0,
− x 1 + x 2 − x 3
2 x 1 + 2 x 2 + 5x 3 − x 4 = 1,
− x − x + 2 x + 2 x = −5,
2
3
4
 1
3x 1 − 6 x 2 − 2 x 3 + x 4 = 2.
3x 1 + 3x 2 − 6x 3 − 4 x 4 = −1,
x 1 − x 2 − 2 x 3 − 3x 4 = −2,
− 2 x + 4x − x + 6x = −1,
1
2
3
4

x
+
7
x
−
7
x
+
2
x
=
2.
 1
2
3
4
x 1 + x 2 + x 3 − 2 x 4 = 2,
3x 1 − x 2
+ x = 0,
− 4 x + 2 x − x 4− x = −2,
1
2
3
4

−
x
+
3
x
+
2
x
−
2
x
 1
2
3
4 = 1.
11
x 1 + 2x 2 + 4x 3 − x 4 = −1,
2x − x + x + x = 0,
 1
2
3
4

3x 2 − x 3 − 7 x 4 = 4,

4x 1 + 3x 2 + 9 x 3 − x 4 = −2.
x 1 + x 2 − 3x 3 − 3x 4 = 0,
3x + 3x − 4x − 3x = 8,
 1
2
3
4

2x 1 − x 2 + x 3 + x 4 = 1,
3x 1
− 2x 3 − 2x 4 = 2.
12
x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 2,
3x − x + 3x − 2 x = 1,
 1
2
3
4

= −3,
x 1 − 3x 2 + x 3

2 x 1 − 2 x 2 + 2 x 3 − x 4 = −1.
= 1,
2 x 1 + x 2 + x 3
x − 2 x + x − 2 x = −5,
 1
2
3
4

− 4 x 1 + 2 x 2 − 3x 3 + x 4 = 2,

4 x 2 − x 3 + x 4 = 4.
x 1 + 2 x 2 + x 3 − x 4 = 0,
2 x − 3x + x + 2 x = 2,
 1
2
3
4

x 2 − 2 x 3 + 3x 4 = −1,


3x 1 + 5x 2 + 4 x 3 − 2 x 4 = 3.
7
8
9
10
13
83
x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 0,
 2 x 2 − x 3 − 3x 4 = 1,
3x + x + 4 x + 3x = 2,
2
3
4
 1
− 2 x 1 − 3x 3 − 4 x 4 = −1.
1
14
15
16
17
18
19
20
Продолжение табл. 7.16
3
2
= 0,
x 1 + x 2 − x 3
2 x 1 + 2 x 2 + 5x 3 − x 4 = 1,
− x − x + 2 x + 2 x = −5,
2
3
4
 1
−
x
−
x
+
3
x
+
4
x
 1
2
3
4 = −10.
x 1 + x 2 + x 3 − 2 x 4 = 2,
3x 1 − x 2
+ x 4 = 0,
 − 4 x − 3x
+ 7 x 4 = −6,
1
2

x 1 − 3x 2 − 2 x 3 + 5x 4 = −4.
6 x 1 − 5x 2 + 3x 3 + x 4 = 2,
− x 1 + 2 x 2 − x 3 − 2 x 4 = 5,

x 2 + x 3 + x 4 = −2,

3x 1 − 2 x 2 − 2 x 3 + 3x 4 = 0.
x 1 + x 2 − 2 x 3 + 5x 4 = −2,
− 2 x 1 − x 2 + 2 x 3 − x 4 = 5,
3x − 2 x − x − 4 x = 0,
2
3
4
 1
2
x
−
3
x
+
x
−
9
x
 1
2
3
4 = 1.
x 1 + 2 x 2 + x 3 − x 4 = 0,
2 x 1 − 3x 2 + x 3 + 2 x 4 = 2,
3x − x + 2 x + x = 2,
2
3
4
 1
 − 7 x 2 − x 3 + 4 x 4 = 2.
6 x 1 − 5x 2 + 3x 3 + x 4 = 2,
− x 1 + 2 x 2 − x 3 − 2 x 4 = 5,

x 2 + x 3 + x 4 = −2,

4 x 1 − x 2 + x 3 − 3x 4 = 12.
x 1 + 2x 2 − x 3 + x 4 = −3,
2x 1 − x 2 + x 3 + 2x 4 = 0,
− 3x + 5x − 2x − x = 1,
1
2
3
4

6x 2 − 2x 3 + 2x 4 = −2.

x 1 + 2 x 2 − x 3 + x 4 = −3,
2 x 1 − x 2 + x 3 + 2 x 4 = 0,
− 3x + 5x − 2 x − x = 1,
1
2
3
4

= 6.
− x 1 + x 2 + 2 x 3
− x 1 + 2 x 2 + 2x 3 + x 4 = −2,
− 3x 2 + x 3 − 2 x 4 = 0,

x 1 + x 2 − 3x 3 + x 4 = 3.
+ 2x 4 = −3,
x 1 − 2 x 2
2x 1 − x 2 − x 3 − x 4 = 1,
− 3x + 2x + 4x + 3x = 0,
1
2
3
4

− x 1 + x 2 + 5x 3 − x 4 = 6.
2 x 1 + x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 6,
x 1 − 2 x 2 − 5x 3 − 2 x 4 = −1,
3x 1 − x 2 − 7 x 3
= 2.
+ 2x 4 = −3,
x 1 − 2 x 2

3x − x − 5x = 7,
2x − x 2 − x 3 − x 4= 1,
2
3
4
 1
2
x
+
2
x
−
2
x
−
6 x 4 = 8.
 1
2
3
− x 1 − x 2 + x 3 − 2x 4 = −4,
x 1 + 2 x 2
+ x = 0,
2x + 5x + x + 4x = −4,
2
3
4
 1
x
+
x
−
x
=
−4.

2
3
4
21
x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 0,
2 x 1 − 3x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = −1,

2 x 2 − x 3 − 3x 4 = 1,

2 x 1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0.
22
2 x 1 − x 2 + x 3 + 2 x 4 = 1,

x + 2 x − x = −1,
− x + 2x − x3 + 34x = 2,
2
3
4
 1
x
+
x
+
2
x
+
4
x
 1
2
3
4 = 2.
− x 1 − x 2 + x 3 − 2x 4 = −4,
x 1 + 2 x 2
+ x = 0,
− 2x − 3x + 3x 4 − x = −2,
1
2
3
4

3x 1 + x 2 + x 3 − 3x 4 = −8.
4 x 1 − 3x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = −3,
+ x 4 = 0,
− x 1 + 2 x 2
3x 1 − x 2 + 2 x 3 + 3x 4 = 1.
2 x 1 + x 2 − 2 x 3 + 2 x 4 = 6,
x 1 − 2 x 2 − 5x 3 − 2 x 4 = −1,
 − 3x + x − 2 x = 0,
2
3
4

−
x
+
2
x
+
2
x
+
x 4 = −2.
 1
2
3
84
1
23
24
Окончание табл.7.16
3
2
− 4 x 1 + 2 x 2 − 3x 3 + x 4 = 2,
3x 1 + 3x 2 − x 3 + 3x 4 = 4,
x 1 − 5x 2 + 4 x 3 − 4 x 4 = −5.
2 x 1 + x 2 + 2 x 3 − x 4 = 6,
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0,
4 x + 3x + 4 x + x = 6,
2
3
4
 1
+ x 3 − 2 x 4 = 6.
x 1
 − x 2 + x 3 − 2 x 4 = 3,
x 1 + x 2 − 2x 3 + 5x 4 = −2,
2x + x − 3x + 8x = −1,
2
3
4
 1
3
x
+
x
−
4
x
+
11
x
 1
2
3
4 = 0.
25
x 1 + 2 x 2 + x 3 − x 4 + 5x 5 = −3,
2 x 1 − x 2 + 2 x 3 + x 4 − x 5 = 8,

x 2 − x 3 + 2 x 4 − 2 x 5 = 2,

+ x 4 + 3x 5 = −1.
x 1 + 3x 2
26
2 x 1 + x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 − x 5 = 1,

2 x − x − 4 x + 2 x = 3,
− x − x2 + 23x + x4 + 4 x5 = 1,
2
3
4
5
 1
x
+
4
x
+
3
x
+
3
x
 1
3
4
5 = 2.
x 1 + x 2 − 2 x 3 = 5,
2 x 1 + 3x 2 + x 3 = 0,
3x + 4 x − x = 5,
2
3
 1
2
x
+
2
x
−
4
x
 1
2
3 = 10.
2x 1 − x 2 + x 3 = 0,
x 1 + 2x 2 − x 3 = −2,
− x + 3x − 2 x = −2,
2
3
 1
5x 2 − 3x 3 = −4.

2 x 1 + x 2 + x 3 = −2,
4 x 1 − x 2 + 2 x 3 = 2,
2 x +
x 3 = 0,
 1
2 x 1 + x 2 − x 3 = −2.
3x 1 + x 2 + x 3 = 0,
x 1 + 2 x 2 − x 3 = 1,
4 x + 3x
= 1,
2
 1
5x 1 + 5x 2 − x 3 = 2.
27
28
29
30
85
− 3x 4 = −3,
x 1 + 2 x 2
− 2 x 1 + x 2 − x 3 + 2 x 4 = 6,
x − x + 3x + 2 x = 0,
2
3
4
 1
3
x
−
2
x
+
x
+
x
 1
2
3
4 = 3.
3x 1 − 6 x 2 − 2 x 3 + x 4 = 2,
− x 1 − x 2 + 2 x 3 + 2 x 4 = −5,
x 1 − 8x 2 + 2 x 3 + 5x 4 = 0.
− x 4 = 1,
3x 1 + 6 x 2
x 1 − 4 x 2 − 4 x 3 − 2 x 4 = 0,
2 x + x + x + x = −4,
2
3
4
 1
2
x
+
x
−
2
x

2
3
4 = 2.
+ x 4 = 0,
3x 1 − x 2
− x 1 + 3x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 = −1,
 − 10 x 2 − 6 x 3 + 7 x 4 = 3.
− 3x 1 + x 2 + x 3 − x 4 = 0,
2 x 1
− 2x + 4x = −2,
x − x + 2x 3 − 5x 4 = 3,
2
3
4
 1
+ x 4 = −3.
− x 1 + 2 x 2
x 2 − 2 x 3 + 3x 4 = −1,

2 x 1 − 3x 2 + x 3 + 2 x 4 = 2,
2 x 1 − 2 x 2 − x 3 + 5x 4 = 0.
x 1 + 2x 2 − 2 x 3 − x 4 = 0,
2 x 1 − 4x 2 + x 3 − 6x 4 = 1,
− x + x + 2x + 3x = 2,
2
3
4
 1
3x 1 + 3x 2 − 6x 3 − 4x 4 = −1.
Таблица 7.17
n
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ К ЗАДАЧЕ 10
Система
n
Система
2
3
4
16
2 x 1 + 5x 2 + 3x 3 + 4 x 4 = 14,
x 1 + x 2 + 3x 3 − x 4 = 15,
2 x + 2 x + x + x = 5.
 1
2
3
4
x 1 − x 2 + 3x 3 + x 4 = 4,
− x + x + 2 x − x = 1.
 1
2
3
4
3x 1 + 12 x 2 + x 3 − x 4 = 15,
 x + 4 x − x + x = 5.
 1
2
3
4
2 x 1 + x 2 − 3x 3 − x 4 = 1,
 4 x + 2 x − 6 x + x = 2.
 1
2
3
4
3x 1 + x 2 + 3x 3 − x 4 = 6,
 x − x + x + x = 2.
 1
2
3
4
4 x 1 + 2 x 2 + 3x 3 − x 4 = 2,
8x + 4 x + 3x − x = 4.
 1
2
3
4
x 1 + 4 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 10,
3x + 10 x − 3x + 5x = 25.
 1
2
3
4
3x 1 + 10 x 2 + 12 x 3 + 5x 4 = 2,
 x + 4 x + 4 x + 2 x = 1.
 1
2
3
4
x 1 + 3x 2 + x 3 − x 4 = 15,
2 x + x + 2 x + x = 5.
 1
2
3
4
5x 1 + 4 x 2 − 2 x 3 + 3x 4 = 14,
10 x − 9 x − 4 x + 6 x = 11.
 1
2
3
4
x 1 − x 2 + 2 x 3 − 3x 4 = 1,
 2 x + x + 4 x − 6 x = 2.
 1
2
3
4
2 x 1 − 4 x 2 + 4 x 3 + 10 x 4 = 9,
4 x − 8x + 2 x + 5x = 15.
 1
2
3
4
2 x 1 + 3x 2 − x 3 + 4 x 4 = 8,
8x + 12 x − x + 4 x = 23.
 1
2
3
4
2 x 1 + 3x 2 + 4 x 3 − x 4 = 2,
 4 x + 3x + 8 x − x = 4.
 1
2
3
4
3x 1 − 5x 2 − 12 x 3 − 10 x 4 = 2,
 x − 2 x − 4 x + 4 x = 1.
 1
2
3
4
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
86
4 x + 10 x + 6 x − 9 x = 11.
 1
2
3
4
x 1 + 2 x 2 − x 3 − x 4 = 1,
 − x + 3x + x + x = 4.
 1
2
3
4
4 x 1 − 10 x 2 + 2 x 3 + 4 x 4 = 9,
8x − 5x + 4 x + 2 x = 15.
 1
2
3
4
x 1 − x 2 + 4 x 3 + x 4 = 5,
3x + x + 12 x − x = 15.
 1
2
3
4
x 1 + 3x 2 − x 3 + 3x 4 = 6,
 − x + x + x + x = 2.
 1
2
3
4
10 x 1 − 3x 2 + 3x 3 + 5x 4 = 25,
4 x − x + x + 2 x = 10.
 1
2
3
4
8x 1 + 4 x 2 − x 3 + 2 x 4 = 1,
6 x + x − x + 2 x = 10.
 1
2
3
4
x 1 − x 2 + 3x 3 + x 4 = 15,
2 x + x + x + 2 x = 5.
 1
2
3
4
4 x 1 + 8x 2 + 12 x 3 − x 4 = 15,
3x + 6 x + 9 x + x = 13.
 1
2
3
4
x 1 + x 2 + x 3 + 2 x 4 = 3,
 − x − x − x + 3x = 2 .
 1
2
3
4
5x 1 + 12 x 2 − 3x 3 − 10 x 4 = 2,
2 x + 4 x − x − 4 x = 1.
 1
2
3
4
2 x 1 + 4 x 2 + 10 x 3 − 4 x 4 = 9,
4 x + 2 x + 5x − 8x = 15.
 1
2
3
4
− x 1 − 3x 2 + 2 x 3 + x 4 = 1,
x − 6 x + 4 x + 2 x = 2.
 1
2
3
4
x 1 − 3x 2 + 6 x 3 − 2 x 4 = 10,
 x − 4 x + 8 x − 2 x = 1.
 1
2
3
4
2 x 1 − 4 x 2 + x 3 − 3x 4 = 8,
8x − 4 x + x − 12 x = 23.
 1
2
3
4
8. ОБРАЗЦЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 1. Разложить вектор d = (-1, -1, 5) по базису a = (1, 2, -1), b =
(2,0,3), c = (-1, -3, 4). Полученную систему решить двумя способами: а)методом
Крамера; б) матричным способом.
Решение. Будем искать разложение вектора d по базису a , b , c в виде
d = d1 a + d 2 b + d 3 c ,
(8.1)
где d1, d2, d3 - координаты вектора d в базисе a , b , c . Выражение (8.1) в
матричном виде следующее:
 − 1
 1
 2
 − 1
 
 
 
 
−
1
=
d
2
+
d
0
+
d
1
2 
3  − 3 ,
 

 
 
 
 
 5
 − 1
 3
 4
(8.2)
здесь координаты векторов записаны в виде матриц - столбцов. Выполняя операции над матрицами, получаем систему уравнений:
1  d1 + 2  d 2 − 1  d 3 = −1

2  d1 + 0  d 2 − 3  d 3 = −1
− 1  d + 3  d + 4  d = 5

1
2
3
(8.3)
А). Решим систему (8.3) по формулам Крамера.
Главный определитель  вычислим, используя определение:
1 2 −1
 = 2 0 − 3 = 1  0  4 + 2(−3)(−1) + 2  3(−1) − ((−1)0(−1) + 2  2
−1 3 4
 4 + 1(−3)  3) = 6 − 6 − (16 − 9) = −7.
Определитель 1 получается заменой в определителе  первого столбца
столбцом свободных членов. Вычислим его, используя разложение по второму
столбцу.
87
−1 2
−1
−1 2
−1
−1 2
−1
 1 = − 1 0 − 3 = 2( −1) 1+ 2 − 1 0 − 3 + 0( −1) 2 + 2 − 1 0 − 3 +
5
3
4
5
−1 2
−1
+ 3( −1) 3+ 2 − 1 0 − 3 = −2
5
3
4
3
4
−1 − 3
5
4
−3
5
−1 −1
−1 − 3
3
4
= −28.
Определитель 2 получим заменой в определителе  второго столбца
столбцом свободных членов. Вычислим 2 методом Гаусса, т.е. используя
свойства определителей приведем его к треугольному виду, и тогда
3
 2 =  a ii . Строки будем обозначать ai, i = 1,3 . Вычтем из элементов втоi =1
рой строки элементы первой строки, умноженные на 2, или а2 - 2а1. Затем а3 +
а1. Потом из элементов третьей строки вычтем соответственно элементы второй, умноженные на 4.
1
2 = 2
−1
−1 −1
1 −1 −1
1 −1 −1
−1 − 3 = 0
1
−1 = 0
1
− 1 = 1 1 7 = 7 .
5
4
3
0
7
4
0
0
Аналогично 1 и 2 получим 3. Вычислим его, используя свойства определителей и теорему о разложимости по строке.
Вычтем из элементов второго столбца элементы первого, умноженные на
2, а к элементам третьего столбца прибавим элементы первого столбца. Получим:
1
3 = 2
2 −1
1
0 −1 = 2
−1 3
5
−1
0
0
1
− 4 1 = 1(−1)1+1 2
5
−1
4
0
0
−4 1 =
5
4
−4 1
5
4
Найдем решение системы
d1 =
 1 − 28


7
− 21
=
= 4, d 2 = 2 =
= −1, d 3 = 3 =
= 3.

−7

−7

−7
88
= −21.
Замечание. При вычислении определителей не обязательно придерживаться представленной схемы, но рекомендуем освоить различные методы вычисления определителей.
Б) Запишем систему уравнений (8.3) в матричном виде АХ = В, где
 1 2 − 1
 d1 
 − 1


 
 
A =  2 0 − 3 , X =  d 2  , B =  − 1 .


 
 
−1 3 4 
 d3
 5
Решение системы матричным способом дается формулой : Х = А-1В.
Найдем обратную матрицу А-1 по формуле (3.1).
det A = -7  0, значит обратная существует. Транспонируем матрицу А.
2 − 1
 1


AT =  2
0
3  . Найдем алгебраические дополнения к каждому


−1 − 3 4 
элементу:
T
A11
= ( −1) 1+1
0
3
−3 4
T
A12
= ( −1) 1+ 2
= 9,
2
3
−1 4
= −11,
дальнейшие подробные вычисления рекомендуем провести самостоятельно, сравнив полученные результаты: АT13 = -6, АT21 = -5, АT22 = 3, АT23 = 1, АT31 =
6, АT32 = -5, АT33 = -4. Отсюда обратная матрица имеет вид
 9 − 11 − 6
1


A −1 =
−
5
3
1
 . Окончательно получаем решение системы
− 7 

 − 6 1 − 4
 9 − 11 − 6  − 1
 9( −1) + ( −11)( −1) + ( −6)  5
1 
1 
  

X =
−
5
3
1

−
1
=
−
5
(
−
1
)
+
3
(
−
1
)
+
1

5
   −7
=
− 7 
  


 − 6 1 − 4  5 
 6( −1) + ( −5)( −1) − 4  5 
 − 28  4 
1 
  
=
7
 =  − 1
− 7 
  
 − 21  3 
или d1 = 4, d2 = -1, d3 = 3.
Разложение вектора d в базисе a , b , c имеет вид d = 4 a - b + 3 c .
Ответ: d = 4 a - b + 3 c .
Пример 2. Решить систему методом Гаусса
89
 x1 − 2 x 2 + 3x 3 = 2 ,

4 x1 + 3x 2 − 2 x 3 = 5,
3x + 16 x − 19 x = 0.
 1
2
3
Составляем расширенную матрицу системы. Разрешающие первый столбец и первая строка. Разрешающая строка без изменений переписывается в следующую матрицу. Затем обнуляем коэффициенты при x1 во второй и третьей
строках, для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 4, и из
третьей строки вычитаем первую, умноженную на 3.
3
2
3
2
1 − 2
1 − 2




4
3
−
2
5

0
11
−
14
−
3



.




 3 16 − 19 0
 0 22 − 28 − 6
Все элементы третьей строки пропорциональны двум, умножим третью
строку на 0,5, получим
3
2
1 − 2


0
11
−
14
−
3

.


 0 11 − 14 − 3
На втором шаге в качестве разрешающего выберем элемент, стоящий во
втором столбце и во второй строке, и исключим переменную x2 из первого и
второго уравнений. Для этого к первой строке прибавляем вторую, умножен2
ную на
и из третьей строки вычитаем вторую. Вторую (разрешающую)
11
строку переписываем без изменений. Вычеркнем нулевую строку.
5
16 

1 0

5
16 

11
11
 0 11 − 14 − 3   1 0
.
11
11




 0 11 − 14 − 3
0
0
0 0


Система совместна (нет уравнений вида 0 = b, где b  0), x1 и x2 - разрешающие неизвестные, следовательно, x3 - свободная. Система имеет бесконечное
90
множество решений (неопределена). Выразим через свободную неизвестную x3
из первого уравнения переменную x1, из второго - x2.
16 5

5
16
x
=
− x3

1

x1 + x 3 =
11 11
.
11
11  

3
14
11x 2 − 14 x 3 = −3 x 2 = − + x 3

11 11
Выпишем общее решение системы. Для этого обозначим свободную неизвестную через с.
16 5

x
=
− c
1

11 11

3 14

x
=
−
+ c.
 2
11
11

x 3 = c

Контроль. Подставим общее решение системы в каждое уравнение исходной системы. Первое уравнение
16 5
 3 14 
− c − 2 − + c + 3c = 2
 11 11 
11 11
После раскрытия скобок и приведения подобных получим
2 = 2.
Подстановка во второе и третье уравнения производится аналогично.
Замечание. Общее решение можно записать и в другом виде, если на первом и втором шагах взять за разрешающие второй и третий столбцы или первый и третий столбцы. В первом случае x1 будет свободной неизвестной, во
втором случае x2 - свободная.
2

Пример 3. Показать, что матрица А =  3
1

6

0
является продуктивной.
1

4
Для меньшего собственного числа найти собственный вектор.
В математической экономике большую роль играют так называемые продуктивные матрицы. Один из критериев продуктивности следующий: матрица
А называется продуктивной тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы по модулю меньше единицы.
Составим характеристическое уравнение матрицы А:
91
2
−
3
A− E =
1
6
0
1
−
4
2
 1

=  −    −   = 0.
3
 4

Получаем, что собственные значения  1 =
2
1
и  2 = меньше единицы,
4
3
следовательно, матрица является продуктивной.
Для меньшего собственного значения  2 =
1
найдем собственный вектор
4
 x1 
x =   , который должен удовлетворять матричному уравнению
 x2 
 2 1 
 3 − 4  x1 + 0  x 2 = 0
.
( A −  E )  x = 0 или 
1
1
1
 x +  −  x = 0
 6 1  4 4  2
При решении системы получаем, что x1 = 0, x2 = c (принимает различные
 0
 c
значения). Следовательно, вектор x =   является собственным вектором для
собственного значения  2 =
1
.
4
Пример 4. Даны вершины треугольника А(1,2), В(2,3), С(4,-1). Найти
уравнение и длину стороны АВ, уравнение высоты АК, уравнение медианы ВМ.
1. Используем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А
и В.
x −1 y − 2
=
,
2 −1 3− 2
x − 1 = y − 2,
x − y + 1 = 0 - уравнение АВ.
Длину стороны АВ вычислим как длину вектора AB по формуле (5.4)
AB = (2 - 1, 3 - 2) = (1, 1). AB = 12 + 12 = 2 .
2. Сторона АК проходит через точку А и вектор BC будет ее нормальным
вектором n , т.е. n = BC = (4 - 2, -1 - 3) = (2, -4).
Используя (4.1), найдем уравнение высоты АК:
2(x - 1) - 4(y - 2) = 0,
x - 2y + 3 = 0.
3. Воспользуемся формулой (6.5) для нахождения координат точки М середины отрезка АС:
x = (1 + 4)/2 = 2,5;
y = (2 + (-1))/2 = 0,5.
92
Уравнение медианы ВМ запишем, как уравнение прямой, проходящей через две заданные точки В и М:
x−2
y−3
x−2 y−3
=
,
=
, 5( x − 2) = − ( y − 3) ,
2,5 − 2 0,5 − 3
0,5
− 2,5
5x + y - 13 = 0.
Пример 5. Даны вершины тетраэдра А(1, -5, 4), В(2, 3, -1),С(4,-1,0),
D(3, 8,-2). Найти уравнение ребра АВ; уравнение грани АВС; угол между ребрами АВ и CD; угол между ребром CD и гранью АВС.
1. Используя уравнение прямой (4.11), проходящей через две заданные
точки С и D, запишем уравнение ребра CD:
x − 4 y − (−1)
z−0
x − 4 y +1
z
=
=
или
.
=
=
3 − 4 8 − (−1) − 2 − 0
−1
9
−2
2. Пусть М(x, y, z) произвольная точка искомой плоскости АВС. Рассмотрим три вектора: AM , AB , AC . Найдем их координаты:
AM = (x - 1; y + 5; z - 4),
AB = (2 - 1; 3 - (-5); -1 - 4) = (1; 8; -5),
AC = (4 - 1; -1 - (-5); 0 - 4) = (3, 4, -4).
Так как три вектора на плоскости линейно зависимы, следовательно, суще-
(
)
ствует хотя бы одно i  0 i = 1,3 , такое что
 1 AM +  2 AB +  3 AC = 0 .
(8.5)
В матричном виде уравнение (8.5) имеет вид
 x − 1
 1
 3


 
 
 1 y + 5 +  2  8  +  3 4  = 0 .


 
 
 z − 4
 − 5
 − 3
(8.6)
Запишем уравнение (8.6) в виде системы уравнений:
 1 ( x − 1) +  2 + 3 3= 0

 1 ( y + 5) + 8 2 + 4 3= 0 .
 ( z − 4 ) − 5 − 4 = 0
 1
2
3
Однородная система будет иметь ненулевое решение, если ее определитель равен нулю.
x −1
y+5
1
8
3
4 = 0.
z−4 −5 −4
93
Воспользовавшись разложением по первому столбцу, получим
( x − 1)
8
4
− ( y + 5)
−5 −4
1
3
−5 −4
1 3
+ ( z − 4)
8 4
= 0,
8(x - 1) - 11(y + 5) - 20(z - 4) = 0,
8x - 11y - 20z + 17 = 0 - уравнение грани АВС.
3. Пусть  - угол между ребрами АВ и CD. Найдем угол между векторами
AB и CD .
AB = (2 - 1; 3 - (-5); -1 - 4) = (1, 8, -5),
CD = (3 - 4; 8 - (-1); -2 - 0) = (-1; 9; -2).
Тогда по формуле (3.9)

cos( AB , CD) =
AB  CD
AB  CD



cos AB , CD =


1( −1) + 8  9 + ( −5)( −2)
=
81
=
90 86
12 + 8 2 + ( −5) 2 ( −1) 2 + 9 2 + ( −2) 2 ,
81
 0,9102
7740
.
Угол между AB и CD равен arccos 0,9102  2428/.
4. Пусть  - угол между ребром CD и гранью АВС. Найдем его по формуле
(4.12), где нормальный вектор плоскости n = (8, -11, -20) и направляющий вектор прямой s = (-1, 9, -2)
sin  =
8(−1) + (−11)  9 + (−20)(−2 )
2
2
2
2
2
8 + (−11) + (−20) (−1) + 9 + (−2)
− 67
67
sin  =
=
 0,2987 .
585 86
50310
2
,
= arcsin 0,2987  1720/.
Пример 6. Найдите
15x + 20y2 = 300.
полуоси, фокусы и эксцентриситет эллипса
2
Каноническое уравнение эллипса имеет вид
x2
a2
+
y2
b2
= 1. Разделив дан-
ное уравнение на свободный член 300, приводим уравнение к каноническому
x2 y2
+
= 1. Откуда большая полуось a = 20 = 2 5 , малая полуось
виду
20 15
b = 15 . Фокусы F1 и F2 находятся на оси Ox на расстоянии 2с друг от друга.
94
Для
эллипса
Координаты
e=
c2
=
a2
фокусов
-
b2,
F1
c2
=
20
-15
=
( 5;0); F2 (− 5;0) .
5,
т.е.
c = 5.
Эксцентриситет
c
5 1
=
= .
a 2 5 2
Пример 7. Составьте уравнение параболы, симметричной относительно
оси Oy, имеющей вершину в начале координат и проходящей через точку
(4, -4).
Так как парабола проходит через точку (4, -4), ордината которой отрицательна, т.е. парабола находится ниже оси Ox, а ось Oy - ее ось симметрии, то
каноническое уравнение такой параболы имеет вид
x2 = -2py.
Подставим координаты точки Р в это уравнение
16 = -2р(-4),
16 = 8р,
р = 2.
Найденное значение параметра р подставим в каноническое уравнение
x2 = -4y.
Пример 8. Для гиперболы 64x2 - 36y2 + 2304 = 0 укажите полуоси, фокусы,
эксцентриситет, асимптоты.
Разделим обе части уравнения на 2304. Найдем каноническое уравнение
гиперболы:
x2 y2
y2 x2
−
−
= −1 или
= 1.
36 64
64 36
Данная гипербола носит название сопряженной. Действительная полуось
равна 8, мнимая полуось равна 6. Фокусы находятся на оси Oy на расстоянии
2с друг от друга, где c2 = b2 + a2. c2 = 64 + 36 = 100. Отсюда с = 10. Коорди-
c 10 5
=
= . Уравнение
a 8 4
b
6
3
асимптот запишем в виде y =  x или y =  x  y =  x .
8
4
a
наты фокусов F1(0,-10); F2 (0,10). Эксцентриситет e =
Пример 9. В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой
ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М1, М2 и М3, причем доставка
единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М1 стоит 50 ден. ед., в
магазин М2 - 70, а в М3 - 130 ден. ед. Подсчитать ежедневные транспортные
расходы каждого завода табл.8.1.
Таблица 8.1
95
Молокозавод
Магазин
М1
М2
М3
1
20
35
10
2
15
27
8
Решение. Обозначим через А матрицу, данную нам в условии, а через В матрицу, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е.,
 20 35 10 

A = 
15
27
8


B = (50 70 130) ,
Тогда матрица затрат на перевозки будет иметь вид:
 50 
   20  50 + 35  70 + 10  130   4750 
20
35
10


 70  = 
 = 

AB T = 
15
27
8
15

50
+
27

70
+
81

30
3680

130  
 

 
.
Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 ден. ед., второй 3680 ден.ед.
Пример 10. В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица A(m  n) задает объёмы продукции на каждом заводе в первом
квартале, матрица В(m  n) – соответственно во втором; (аij, bij) – объёмы продукции j–того типа на i –том заводе в 1-ом и 2-ом кварталах соответственно:
A=
;
B=
.
Найти:
а) объемы продукции;
б) прирост объёмов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;
в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода ( в долларах), если ϻ – курс доллара по отношению к рублю.
Решение.
96
а) Объёмы продукции за полугодие определяются суммой матриц A и В, т.
е. С=А+В
С=
, где сij=аij + bij –объём продукции j–того типа, произведен-
ный за полугодие на на i –том заводе.
б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц:
D=B–A=
.
Отрицательные элементы dij, показывают, что на данном заводе i объём
производства j–того продукта уменьшился; положительные dij – увеличился;
нулевые dij – не изменился.
в) Произведение ϻС= ϻ(A+B) дает выражение стоимости объемов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию.
Пример 11. Предприятие производит n типов продукции, обьемы выпуска
заданы матрицей А(1  n). Цена реализации единицы i–того типа продукции в j
–том регионе задана матрицей В (n  k), где k- число регионов, в котором реализуется продукция.
Найти С– матрицу выручки по регионам.
Пусть А(1  3)=
;
B(3  4)=
.
Решение. Выручка определяется матрицей С=АВ, причем сij – это выручка
предприятия в j –том регионе:
С=
=
.
Пример 12. Из некоторого листового материала необходимо выкроить 360
заготовок типа А, 300 заготовок типа Б и 675 заготовок типа В. При этом можно
97
применять три способа раскроя. Количество заготовок, получаемых из каждого
листа при каждом способе раскроя, указано в таблице 7.18:
Таблица 8.2
Тип
Способ раскроя
заготовки
1
2
3
А
3
2
1
Б
1
6
2
В
4
1
5
Записать в математической форме условия выполнения задания.
Решение. Обозначим через x, y, z количество листов материала, раскраиваемых соответственно первым, вторым и третьим способами. Тогда при первом
способе раскроя x листов будет получено 3x заготовок типа А, при втором - 2y,
при третьем - z.
Для полного выполнения задания по заготовкам типа А сумма 3x +2y +z
должна равняться 360, т.е.
3x +2y + z =360.
Аналогично получаем уравнения
x + 6y +2z = 300
4x + y + 5z = 675,
которым должны удовлетворять неизвестные x, y, z для того, чтобы выполнить
задание по заготовкам Б и В. Полученная система линейных уравнений и выражает в математической форме условия выполнения всего задания по заготовкам А, Б и В. Решим систему методом исключения неизвестных. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее с помощью элементарных преобразований к треугольному виду.
6
2
300   1
6
2 300 
 1 6 2 300   1

 
 

3
2
1
360
~
0
−
16
−
5
−
540
~
0
16
5
540

 
 

 4 1 5 675  0 − 7
2
15   0 − 14 4 30 

 
98
2
300 
 1 6 2 300   1 6 2 300   1 6

 
 

0
16
5
540
~
0
2
9
570
~
0
2
9
570

 
 

 0 2 9 570   0 16 5 540   0 0 − 67 − 4020

 
 

Следовательно, исходная система равносильна следующей:
x + 6y +2z = 300,
2y +9z = 570,
-67z = - 4020.
Из последнего уравнения находим z = 60; подставляя найденное значение z
во второе уравнение, получим y = 15 и, наконец, из первого имеем x = 90.
Итак, вектор C= (90, 15, 60) есть решение системы.
Пример 13. (Модель Леонтьева)
Дан следующий баланс «затраты - выпуск» продукции по двум отраслям
(отрасль I - сталелитейная промышленность, отрасль II - энергетика)
Таблица 8.3
В
Из
I
II
I
II
5
15
20
5
Потребление
75
30
Валовой
выпуск
100
50
Построить структурную матрицу и рассчитать валовой выпуск на новый
вариант потребления: Д = (150, 30).
Решение.
Балансовый анализ отвечает на следующий вопрос, возникающий в макроэкономике: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей
народного хозяйства для того, чтобы удовлетворить все потребности в данном
продукте?
Рассмотрим таблицу. В этой таблице в каждой строке приведены объемы
производства ( в млрд. руб.) каждого вида продукции, производимого отраслью, и распределение этой продукции для потребления каждой отраслью и для
внешнего потребления. В частности, сталелитейная промышленность производит продукции на 100 млрд. руб., из них 5 млрд. руб. расходуются самой этой
отраслью, 20 - энергетикой, 75 - отдается внешним потребителям. Сама стале99
литейная промышленность, как потребитель, расходует 5 млрд. руб. своей продукции и 15 млрд. руб. продукции энергетики.
Разделив каждый столбец таблице на объем производства соответствующей отрасли, получим следующую таблицу 8.4:
Таблица 8.4
0,05
0,15
0,40
0,10
0,75
0,60
1
1
Поскольку технологии, т.е. состав оборудования и количество потребляемого металла и энергии на 1 рубль производимой продукции, будут меняться
слабо, особый интерес представляет матрица межотраслевых связей, стоящая в
первых двух столбцах:
 0,05 0,40
А =  0,15 0,10
называемая матрицей Леонтьева или структурной матрицей. В этой матрице aij - прямые затраты продукции отрасли i на 1 рубль производства отрасли j :
например, надо затратить 40 коп. продукции сталелитейной отрасли на 1 рубль
продукции энергетики.
В общем случае уравнения межотраслевого баланса в матричной форме
принимают вид :
Х = АХ + Д,
где А - матрица Леонтьева, Х - вектор валового выпуска отраслей, Д - вектор конечного потребления.
Основную задачу межотраслевого баланса можно сформулировать таким
образом: зная матрицу Леонтьева А и объем конечного потребления Д, найти
планируемые объемы валового выпуска Х всех отраслей народного хозяйства.
Из системы (2) получаем:
Х = (Е - А)-1Д
Матрица Н = (Е - А)-1 называется матрицей коэффициентов полных затрат.
В нашем случае
100
 0,95 0,40
Е - А =  0,15 0,90 .
1  0,90 − 0,40 1  0,90 − 0,40
Н = ( Е - А) = 0,795  − 0,15 0,95  0,795  − 0,15 0,95  .
-1
Так как вектор конечного потребления Д = (150, 30), то
1  0,90 − 0,40 150 154,7
Х = Н  Д = 0,795  − 0,15 0,95   30  =  75,5  .
Пример 14. Методом полного исключения, исследовать систему
2 x1
x
 1
x
 1
5 x
1
+ 7x
+ 3x
+ 5x
+ 3x
2
3
+ 5x
2
+ 18 x
2
=5
4
3
− 2x = 3
4
+ 8x = 1
3
4
− 9x
2
+x
3
+ 4x
4
+ 5 x = 12
Решение. Воспользуемся методом Гаусса.
2 x1
x
 1
x
 1
5 x
1
+ 7x
+ 3x
+ 5x
2
2
3
+ 5x
− 9x
2
+ 18 x
+ 3x
3
3
2
+ 4x
3
+x
=5
1 5
2 7 3


− 2x = 3
1
3
5
−
2
3

 
4
 
+ 8x = 1
1 5 −9 8 1 
4


+ 5 x = 12
5
18
4
5
12


4
4
3
1 5 
2 7


0
−
1
7
−
5
1

 
0 3 − 21 15 − 3 


0
1
−
7
5
−
1


Поделим элементы третьей строки на 3. Получим
101
3
1 5
2 7


0
−
1
7
−
5
1


 0 1 − 7 5 − 1 .


 0 1 − 7 5 − 1
Очевидно, второе, третье и четвертые уравнения совпадают, поэтому два
последних уравнения можно исключить из матрицы (системы):
2 x1
 2 7 3 1 5

  
 0 −1 7 − 5 1

+ 7x
−x
2
+ 3x
+x
+ 7x
− 5x
3
2
3
=5
4
4
=1
.
Перенесем члены, содержащие неизвестные x и x в правые части (это
4
3
свободные неизвестные, а x и x
1
- базисные неизвестные). Система примет
2
вид
2 x1


+ 7x
−x
2
2
= 5 − 3x
−x
3
= 1 − 7x
3
4 .
+ 5x
4
Выразим x и x через свободные неизвестные x и x , которые могут
2
1
3
4
принимать произвольные значения. Из второго уравнения
x = −1 + 7 x − 5 x .
2
3
4
Используя это значение, из первого уравнения выразим x через x и x .
1
(
) (
3
)
1
1
5 − 3x − x − 7(−1 + 7 x − 5 x ) = 12 − 52 x + 34 x =
1
3
4
3
4
3
4
2
2
= 6 − 26 x + 17 x
x =
3
4
Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид
 x1 = 6 − 26 x3 + 17 x4
 x = −1 + 7 x − 5 x
 2
3
4
.

x
=
C
3
1


x4 = C 2
102
4
Здесь С1 и С2 - произвольные константы. Напомним, что x и x называ1
2
ются базисными неизвестными.
Решение, полученное из общего при С1 = С2 =0 называют базисным решением. Если при этом базисные неизвестные неотрицательны, то такое решение
называют опорным.
Пример 15. Исследовать систему уравнений и решить ее, если она совместна.
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 =1,
3x1 - x2 + x3 + 4x4 + 3x5 =4,
x1 + 5x2 - 9x3 - 8x4 + x5 =0.
Решение. Будем находить ранги матриц A и A методом элементарных
преобразований, приводя одновременно систему к ступенчатому виду:
1 1 − 2 −1 1 1   1 1 − 2 −1 1 1   1 1 − 2 −1 1 1

 
 

3
−
1
1
4
3
4
~
0
−
4
7
7
0
1
~
0
−
4
7
7
0
1

 
 

 1 5 − 9 − 8 1 0   0 4 − 7 − 7 0 − 1  0 0 0 0 0 0 

 
 

Очевидно, что r(A) = r( A ) = 2. Исходная система равносильна следующей
системе, приведенной к ступенчатому виду:
x1 + x2 - 2x3 - x4 + x5 = 1,
- 4x2 + 7x3 + 7x4
= 1.
Поскольку определитель при неизвестных x1 и x2 отличен от нуля, то их
можно принять в качестве главных (базисных) и переписать систему в виде:
x1 + x2 = 2x3 + x4 - x5 + 1,
- 4x2 = - 7x3 - 7x4 + 1,
откуда
x2 = 7/4 x3 + 7/4 x4 -1/4,
x1 = 1/4 x3 -3/4 x4 - x5 + 5/4
x3=C3
x4=C4
x5=C5
- общее решение системы, имеющей бесчисленное множество решений.
Придавая свободным неизвестным x3, x4, x5 (или произвольным константам
С1,С2, С3) конкретные числовые значения, будем получать частные решения.
Например, при x3 = x4 = x5 = 0
103
x1= 5/4,
x2 = - 1/4.
Вектор C=(5/4, - 1/4, 0, 0, 0) является частным решением данной системы.
Пример 16. Исследовать систему уравнений и найти общее решение в зависимости от значения параметра а.
2x1 - x2 + x3 + x4 = 1,
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,
x1 + 7x2 - 4x3 + 11x4 = a.
Решение. Данной системе соответствует матрица
2 −1 1 1 1


A = 1 2 −1 4 2 .
 1 7 − 4 11 a 


Имеем
2  1 2 −1 4
2 
1 2 −1 4

 

A ~ 0 5 − 3 7 a − 2 ~ 0 5 − 3 7 a − 2
0 − 5 3 − 7 − 3  0 0 0 0 a − 5

 

следовательно, исходная система равносильна следующей:
x1 + 2x2 - x3 + 4x4 = 2,
5x2 - 3x3 + 7x4 = a-2,
0 = a-5.
Отсюда видно, что система совместна только при a=5. Общее решение в
этом случае имеет вид:
x2 = 3/5 + 3/5x3 - 7/5x4,
x1 = 4/5 - 1/5x3 - 6/5x4.
104
9. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Основные понятия, связанные с многочленами.
2. Делимость многочленов.
3. Теорема Безу и следствия из нее.
4. Алгебраическая форма комплексного числа.
5. Тригонометрическая форма комплексного числа. Модуль, аргумент
6. Операции над комплексными числами. Правила сложения, умножения,
деления комплексных чисел.
7. Возведение в степень и извлечение корня. Формула Муавра.
8. Теорема (о разложении многочлена на линейные множители).
9. Теорема (о разложении дроби на простейшие).
10. Алгоритм разложения дроби на простейшие.
11. Экономические приложения комплексных чисел.
12. Матрицы: определение, линейные операции над матрицами.
13. Произведение матриц, свойства.
14. Понятие определителя второго, третьего и n - го порядков.
Перечислить свойства определителей.
15. Дать определение обратной матрицы. Сформулируйте теорему о существовании обратной матрицы.
16. Дать определение минора элемента и алгебраического дополнения.
Сформулировать теорему о разложении определителя по элементам
строки (столбца).
17. Изложите алгоритм нахождения обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы.
18. Что называется рангом матрицы? Какие преобразования не меняют
ранга?
19. Назовите основные методы вычисления ранга матрицы. Объясните
суть этих методов.
20. Что называется решением системы линейных алгебраических уравнений?
21. Дать определения совместной, несовместной, определенной, неопределенной систем уравнений.
22. Как записать систему линейных уравнений в матричной форме? Запишите решение системы по методу обратной матрицы.
23. Напишите формулы Крамера. Укажите правило построения определителей, стоящих в числителях формул Крамера.
24. Опишите алгоритм метода Гаусса решения систем уравнений.
25. Сформулировать теорему Кронекера - Капелли и следствия из нее.
105
26. Какая система уравнений называется однородной? Когда однородная
система имеет только нулевое решение и когда ненулевые решения?
27. Модель Леонтьева межотраслевого баланса.
28. Дать определение скалярных и векторных величин. Дать определение
вектора и его модуля.
29. Линейные операции над векторами. Как выполняются линейные операции над векторами, заданными в координатной форме?
30. Дать определение скалярного произведения векторов. Сформулировать
и доказать свойства скалярного произведения.
31. Вывести формулу скалярного произведения скалярного произведения
через координаты.
32. Дать определение n - мерного вектора. Какие линейные операции выполняются над n- мерными векторами?
33. Дать определение n - мерного линейного векторного пространства, его
базиса.
34. Что называется собственным значением и собственным вектором?
35. Прямая на плоскости: ее общее, каноническое уравнения, уравнение с
угловым коэффициентом.
36. Как найти угол между прямыми? Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.
37. Сформулируйте условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных общими уравнениями. Как найти расстояние от точки до
прямой?
38. Дать определение кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы). Перечислите их основные характеристики.
39. Общее уравнение плоскости. Сформулируйте условия параллельности
и перпендикулярности плоскостей.
40. Прямая линия в пространстве: канонические уравнения, прямая как пересечение двух плоскостей.
41. Как найти угол между прямой и плоскостью?
106
10. ЛИТЕРАТУРА
1. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб.: Для вузов.-6-е изд.,
стер.– М.,2005. – 280 с.
2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры:
Учебник. –15-е изд., стер. — СПБ.: Издательство «Лань», 2018. — 448 с.
3. Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика в 3 т. Том 2. Элементы
линейной алгебры и аналитической геометрии: учебник для академического
бакалавриата. –7-е изд., стереотипное. – М.: Юрайт, 2019. – 281 с.
4. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономического бакалавриата:
учебник и практикум / Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман; под ред. Н.Ш. Кремера. – 4-е изд., перераб. И доп. – М.: Издательство
Юрайт, 2012.– 909с.
5. Красc М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономистов, СПб.: Питер,
2006. – 464с.
6. Винюков И.А., Попов В.Ю., Пчелинцев С.В. Линейная алгебра. Ч. 2:
Многочлены и комплексные числа. Собственные значения и собственные
векторы. Модель Леонтьева: Учебное пособие для подготовки бакалавров /
Под ред. В.Б. Гисина и С.В. Пчелинцева. – М.: Финакадемия, 2009. – 160 с.
7. Солодовников А.С. Математика в экономике: учебник. Ч.1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование / А.С. Солодовников, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. – 3-е изд., перераб. и
доп. – М.: Финансы и статистика, 2013. – 384 с.
107
Учебное издание
Журавлева Елена Вадимовна
Студеникина Лариса Ивановна
НАЗВАНИЕ ПУБЛИКАЦИИ
Учебное пособие
Печатается в авторской редакции
Подписано в печать ___.___.2021. Формат 60×84 1/16.
Физ. печ. л. ___. Тираж 100 экз. Изд. № ___. Заказ № ___.
МИРЭА - Российский технологический университет
119454, Москва, пр. Вернадского, д. 78
108