Pamyatka Geometria 7-9 kl uch Atanasyan

Вся геометрия
7 класса в кратком изложении
o·Ã¶ÉÁ·
(к учебнику Л.С. Атанасяна и др.)
Содержание
Прямые на плоскости. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Виды углов. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Внешний угол треугольника. . . . . . . . . . . . . . 56
Виды треугольников. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Соотношения между сторонами
и углами треугольника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Биссектриса, медиана
и высота треугольника. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Перпендикуляр и наклонная. . . . . . . . . . . . . 3
Что такое аксиома, теорема,
обратная теорема и определение?. . . . . . . 67
Равенство треугольников. . . . . . . . . . . . . . . 3
Окружность и круг. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Признаки равенства
прямоугольных треугольников. . . . . . . . . . 45
Геометрическое место точек. . . . . . . . . . . . . 78
Доказательство от противного. . . . . . . . .
Виды углов
острый
прямой
тупой
развернутый
Смежные и вертикальные углы
2
1
Углы 1 и 2 –
смежные
4
1
2
3
2 1 и 2 2,
23и24–
вертикальные
>
2 1 + 2 2 = 180°
Вертикальные углы равны
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
1
78
катет
Виды треугольников
ги
по
т
ен
уз
а
В любом треугольнике:
1. 2A + 2B + 2C = 180°
2. I b – c I < a < b + c
катет
тупоугольный
A
прямоугольный
ко
ва
я
бо
C
основание
а
он
ор
ст
a
я
b
B
B
ст
ор
c
ва
ко
бо
он
а
остроугольный
A
разносторонний
C
равносторонний
равнобедренный
6ABC; AB = BC ?
2A = 2C
Биссектриса, медиана и высота треугольника
C
BD – биссектриса
?
2ABD = 2CBD
BM – медиана
?
AM = MC
BH – высота
?
BH . AC
M
D
H
B
A
Эти три отрезка совпадают, когда они проведены к основанию равнобедренного треугольника.
Доказательство опирается на 1-ый признак равенства треугольников
B
6ABC; AB = BC
BD – биссектриса
>
BD – медиана
BD – высота
A
D
основание
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
2
C
Перпендикуляр и наклонная
M
ТЕОРЕМА
Из точки М к прямой a можно провести только один перпендикуляр MH.
Отрезок MA называют наклонной, проведенной из точки M к прямой a.
MH < MA
Расстояние от точки M до прямой a – это длина перпендикуляра MH.
A
H
a
Отрезок MH . a
Равенство треугольников
C1
C
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Геометрические фигуры называются равными, если при
наложении они совпадают.
A
B
A1
B1
6ABC = 6A1B1C1; в равных треугольниках соответствующие
стороны и соответствующие углы равны.
При этом против равных углов лежат равные стороны, а против
равных сторон – равные углы.
Три признака равенства треугольников
Первые два доказываются наложением, а 3-ий признак – приложением с использованием
свойств равнобедренного треугольника.
1-ый признак. По двум сторонам и углу между ними
E
B
AB = DE
AC = DF
2A = 2D
С
A
F
D
E
AC = DF
2A = 2D
2С = 2F
С
E
D
6ABC = 6DEF
3-ий признак. По трем сторонам
AB = DE
AC = DF
BC = EF
С
>
F
D
B
A
6ABC = 6DEF
2-ой признак. По стороне и прилегающим к ней углам
B
A
>
F
>
6ABC = 6DEF
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
3
Признаки равенства прямоугольных треугольников
1-ый признак. По гипотенузе и катету
AB = A1B1
>
AC = A1C1
B
B1
6ABC = 6A1B1C1
A
С
A1
C1
2-ой признак. По катету и противолежащему острому углу
B
AC = A1C1
2B = 2B1
>
B1
6ABC = 6A1B1C1
A
С
A1
C1
3-ий признак. По гипотенузе и острому углу
B
AB = A1B1
2B = 2B1
>
B1
6ABC = 6A1B1C1
A
B
С
A1
C1
1) 2A + 2B = 90°
2) Если 2A = 30°, то BC = 1/2 AB
A
С
Прямые на плоскости
Прямые на плоскости могут: 1) пересекаться (a b = M)
2) не пересекаться, такие прямые называются параллельными (n II m)
1
2
4
a
3
5
6
8
7
b
Прямые a и b пересечены секущей c.
Накрестлежащие углы: 3 и 5, 4 и 6
Внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5
Соответственные углы: 1 и 5, 2 и 6, 4 и 8, 3 и 7
с
4
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
1 признак
21 и 22 – внутренние
накрестлежащие
при m, n и секущей l
2 признак
23 и 24 – внутренние
односторонние
при m, n и секущей l
3 признак
Три признака параллельности прямых и обратные им теоремы
25 и 26 –
соответственные
при m, n и секущей l
m
?
m II n
n
и 21 = 22
l
m
?
m II n
n
3
и 23 + 24 = 180°
m
?
>
6
n
m II n
5
a
b.c
4
l
и 25 = 26
a.c
1
2
a II b
l
b
c
Отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Аналогично дается определение параллельности 2-х лучей, а также луча и отрезка.
Внешний угол треугольника ( 2ß )
2ß и 21 – смежные
2ß + 21 = 180°
1
ß
ß
2ß = 22 + 23
3
2
Соотношения между сторонами и углами треугольника
A
1) В любом 6–ке каждая сторона меньше суммы двух других (b < a + c)
2) Против меньшей стороны лежит меньший угол (с < a > 2C < 2A)
b
c
3) Против меньшего угла лежит меньшая сторона (2C < 2A > с < a)
B
5
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
a
C
Что такое аксиома, теорема, обратная теорема и определение?
Аксиома – это утверждение, которое не вызывает сомнений, то есть принимается без доказательства.
Примеры аксиом. 1) Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
2) Через любые две точки можно провести прямую и только одну
3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости лишь
одну прямую параллельную данной (аксиома параллельных прямых).
Теорема – это утверждение, правильность которого устанавливается путем рассуждения. Рассуждение
называется доказательством. Формулировка теоремы состоит из двух частей. В одной части говорится,
что дано (эта часть теоремы называется условием). В другой части говорится о том, что должно быть
доказано. Эта часть называется заключением теоремы.
Пример теоремы. Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны.
В этой теореме дано: 6 – равнобедренный (условие).
Надо доказать: углы при основании равны ( заключение).
Обратная теорема. Ее можно получить, сделав заключение условием, а условие – заключением.
Вот обратная теорема теоремы вышеописанной: если в треугольнике два угла
равны, то этот 6 – равнобедренный. Дано: 6, 2 угла в нем равны( условие).
Доказать: 6 – равнобедренный (заключение).
Определение. Это слово используется в геометрии наряду со словами аксиома и теорема. Дать определение чему-либо – это значит объяснить, что это такое.
Например, говорят: «Дайте определение окружности»
На это отвечают:
«Окружностью называется линия на плоскости, все точки которой равноудалены от
одной точки»
Окружность и круг
Круг – это часть плоскости, ограниченная окружностью.
A
r
O
C
M
r
a
B
D
N
O – центр окружности (круга)
AO – радиус окружности (круга)
CD – диаметр
MN – хорда
AC – дуга
Прямая a, имеющая с окружностью одну общую точку B, является касательной к окружности. В этом случае выполняется
условие:
a .OB, где OB = r.
Построение циркулем и линейкой без масштабных делений
С помощью этих инструментов надо научиться решать хотя бы простейшие задачи:
1) построение угла, равного данному
2) построение биссектрисы угла
3) построение перпендикулярных прямых
4) построение середины отрезка
5) построение треугольника по трем элементам:
а) по двум сторонам и углу между ними
б) по стороне и двум прилежащим к ней углам
в) по трем сторонам
6
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
Доказательство от противного
Часто при доказательстве теорем, в частности, если впрямую оно «не идет», используют способ, который называется доказательством от противного. Отправная точка рассуждений определила название
этого способа. В начале рассуждений делают предположение (допущение), противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Рассуждая на основании этого предположения, приходят к
нелепому выводу (абсурду, противоречию). Значит, предположение было неверным, а верно то, что
утверждается в теореме.
Докажите методом от противного теоремы:
1) Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то на пересекает и другую
2) Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны
Геометрическое место точек (Г.М.Т.)
Г.М.Т. называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости,
обладающих определенным свойством
Некоторые примеры Г.М.Т.:
1) Окружность – г.м.т. на плоскости, равноудаленных от одной точки (центр окружности)
с
2)
A
O
3)
B
O
4)
A
C
X
B
X
AO = OB; c .AB;
CO – серединный перпендикуляр отрезка
Прямая с есть г.м.т., равноудаленных от концов отрезка AB
2AOC = 2BOC;
OC – биссектриса
OC есть г.м.т., равноудаленных от сторон угла
b
X
m
a
c
m
Y
Г.м.т., удаленных на данное
расстояние от прямой, есть две
параллельные ей прямые.
При доказательстве теорем и решении задач придерживаются определенной формы записи:
Дано:
Доказать [найти или построить]:
Рисунок
(чертеж)
Док-во [решение или
построение]:
Прежде чем доказывать теорему или решать задачу, надо выделить на рисунке равные
элементы пометками или цветным фломастером. Эти пометки помогут увидеть на рисунке
нужные признаки. Действия, которые вам придется делать при решении задачи (или доказательстве теоремы), следует обосновывать, то есть указывать на какой ранее изученный
материал вы опираетесь.
Обозначение углов (отрезков) буквами позволяет составлять алгебраические уравнения,
которые легко решаются.
7
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
Вся геометрия
8 класса в кратком изложении
o·Ã¶ÉÁ·
(к учебнику Л.С. Атанасяна и др.)
СОДЕРЖАНИЕ
Формулы площадей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
Правильные треугольники . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
4
Углы в круге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Вписанная и описанная окружности. . . . . . . . 5
4
5
Четыре замечательные точки треугольника 6
Условия существования вписанной и описан6
ной окружности около четырехугольника. . . 7
Векторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6
Умножение вектора на число. . . . . . . . . . . . . 8
7
Сложение и вычитание векторов. . . . . . . . . 8
7
Параллелограмм и его виды . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Трапеция. Теорема Фалеса. Средняя линия
треугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Соотношения между сторонами и углами в
прямоугольном треугольнике . . . . . . . . . . . . . . 2
Синус, косинус, тангенс углов 30°, 45°, 60°
Связь между sin A cos A и tg A . . . . . . . . . . . . 2
Подобные треугольники. Теоремы
о среднем пропорциональном . . . . . . . . . . . . . 3
Параллелограмм и его виды
Параллелограмм
B
C Определение ABCD – четырехугольник,
AB I I CD, BC I I AD,
O
A
D
Свойства
ABCD – параллелограмм
Прямоугольник
B
C
A
D
Определение
ABCD – параллелограмм, 2A = 90°,
ABCD – прямоугольник
A
Определение
ABCD – параллелограмм, AB = AD,
D
ABCD – ромб
C
Свойства
Свойства
B
Ромб
B
Квадрат
C
Опреде- ABCD – прямоугольник,
ABCD – ромб,
или 2A = 90°,
ление
AB = AD,
A
D
Свойства
ABCD – квадрат
ABCD – квадрат
1
Признаки параллелограмма
ABCD – параллелограмм,
если:
1) AD I I = BC (1-ый признак)
2) AD = BC, AB = DC
(2-ой признак)
3) AO = OC; BO = OD
(3-ий признак)
Признаки прямоугольника
ABCD – прямоугольник,
если:
ABCD – параллелограмм и
AС = BD
Признаки ромба
ABCD – ромб, если:
1) AB = BC = CD = AD
(1-ый признак)
2) ABCD – параллелограмм
и AC . BD (2-ой признак)
3) ABCD – параллелограмм
и AC – биссектриса 2A
(3-ий признак)
Сайт 100ballnik.com. Варианты для подготовки.
Трапеция. Теорема Фалеса. Средняя линия треугольника
B
основание
MN – средняя линия
N
M
A
AD I I BC; AB 0CD
(по определению)
C
основание
MN I I AD
MN = 1/2 (AD + BC)
равнобедренная
Средняя линия
треугольника
В
M
D
MN – средняя линия 6
(AM = MB; BN = NC)
N
A
Теорема Фалеса
Виды
трапеций
прямоугольная
A1
B1
a
A2
B2
b
A3
B3
A4
B4 d
c
Если A1 A2 = A2 A3 = A3 A4 и
a I I b I I c I I d , то
B1 B2 = B2 B3 = B3 B4
Свойства MN
1) MN I I AC
2) MN = 1 AC
2
С
Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
Теорема Пифагора
Определение синуса, косинуса и тангенса
острого угла и следствия из них
c2 = a2 + b2 , c = √ a 2 + b 2 ;
c
a
a2 = c2 – b2 ,
sin A a , a c sin A c a c
sin A
a = √ c2 – b2 ;
c
a
b2 = c2 – a2 , b = √ c 2 – a 2 ;
A
b
b
cos A b , b c cos A c b c
cos A
tg A a , a b tg A b a
tg A
b
Синус, косинус, тангенс углов 30°, 45°, 60°. Связь между sin A cos A и tg A
В
Дано: 6ABC
AB = 2
BC = √ 3
AC = 1
√3
Получаем, что:
2 2 = 1 2 + (√ 3) 2 – верно.
Следовательно 6ABC – прямоугольный по обратной
теореме теоремы Пифагора
30°
2
A
60°
1
С
Формулы приведения
1) sin A cos (90° – A
2) cos A sin (90° – A
Связь между sin A, cos A, tg A
1) tg A sin A
cos A
2) sin2A cos2A 1
основное тригонометрическое тождество
30°
45°
1
1
sin 30° = AC = 1 ; cos 30° = √ 3 ;
sin
2
2
AB 2
√2
√3
1
cos
sin 60° = cos 30° = √ 3 ; cos 60° = 1 ;
2
√2
2
2
1
1
tg
tg 30° = 1 = √ 3 ; tg 60° = √ 3
√3
3
√3
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
2
60°
√3
2
1
2
√3
Подобные треугольники
Определение
Признаки подобия треугольников
6ABC 76A1B1C1,
если выполняются следующие условия:
1. AB = AC = CB
A1B1 A1C1 C1B1
2. 2A = 2A1, 2B = 2B1,
2C = 2C1
С
1
С
2
С1
3
С1
С
С1
A
B
A1
B1
A
С
A
A1
B
AB = AC
A1B1 A1C1
С1
A1
B
B1
B1
AB = AC = BC
A1B1 A1C1 B1C1
Теоремы о среднем пропорциональном
b
a
A1
B1
A
ac
B
h2 = ac bc ,
a2 = c ac ,
b2 = c bc ,
h
bc
c
h = √ ac bc ;
a = √ cac ;
b = √ cbc
Формулы площадей
b
b
b
h
A
a
a
s = ah
2
a
a
a
r
s = √ p(p–a)(p–b)(p–c) ,
s = 21 ab sinA
где p = a + b + c
2
s = 21 ab
d2
s
a
a2√ 3
=
4
d2
A
d1
s
s
r
R
R
a
a
s = pr
s = a4Rb c
c
b
h
A
a
a
s = ab
s = ah
s = ab sinA
b
a
h
d1
= 1 d1 d2 sinA
2
b
R
c
a
a
b
b
r
c
= 1 d1 d2
2
s
a
a
= + b h
2
s = a2
Правильные треугольники
h=
60°
60°
a
60°
h
R= a
√3
a = R√ 3
a√ 3
2
a
R
r= a
2√ 3
a
r
r = 1
R 2
R r
30°
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
3
S=
a
a2√ 3
4
Углы в круге
C
O
A
3 4
2ACB – вписанный;
2ACB = 21 LAnB.
В
n
A
2AOB – центральный;
2AOB = LAnB.
B
2
1
C
O
C
D
A
C
O
O
В
D
AB, AC – касательные.
Значит:
1) AB = AC ;
2) 6 ABO и 6ACO – прямоугольные;
3) 23 = 24
A
В
L
L
2 AOB = 12 ( AB – CD)
L L
1. 2 AOB = 21 ( CD + AB ) ;
2. AO " OD = CO " OB
C
L
D
O
В
L
2 BOC = 21 ( BC – DC )
OC – касательная
OB – секущая
OB " OD = OC 2
A
С = 2 π R – длина
окружности;
S = π R 2 – площадь круга;
π ≈ 3,14159. . .
R – радиус
Вписанная и описанная окружности
A
Вписанная окружность. Если все
стороны многоугольника касаются
окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а
многоугольник – описанным около
этой окружности.
B
K
r
M
1
2
O
L
C
C
Теорема. Каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон.
Обратно: каждая точка, лежащая внутри
угла и равноудаленная от сторон угла,
лежит на его биссектрисе.
L
M
r
r
r = 2S
a+b+c
O
r
A
N
B
Центр окружности, вписанной в треугольник,
является точкой пересечения его биссектрис.
В любой треугольник можно вписать окружность.
4
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
C
R
O
A
O
Описанная окружность. Если все вершины многоугольника лежат на окружности,
то окружность называется описанной
около многоугольника, а многоугольник
– вписанным в эту окружность.
B
a
B
Серединный перпендикуляр
CO к отрезку AB – это Г.М.Т.,
равноудаленных от концов
отрезка AB.
m
R
R
R = abc
4S
n
R
O
C
A
p
Значит: центр окружности, описанной около треугольника, является точкой
пересечения перпендикуляров к сторонам треугольника, проведенных
через середины этих сторон.
R описанной окружности = AO = OC = OB
Около любого треугольника можно описать окружность.
Центр описанной окружности около треугольника может быть
расположен внутри него, вне его, на середине гипотенузы.
Четыре замечательные точки треугольника
1. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.
3. Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.
4. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в
отношении 2 : 1 , считая от вершины.
C
C2
A2
B
A1
B1
C1
A
2
4
O
C
B1
A1
A
1
3
C1
B
AO : OA1 = 2 : 1
B2
5
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
Условия существования вписанной и описанной окружностей около четырехугольника
b
B
c
C
C
B
c
b
d
a
D
A
A
a
D
d
AB + CD = AD + BC
2 A + 2 C = 2B + 2 D
Векторы
B
GAB
ор
т
к
G
Ве
Конец вектора
1. Вектором называется направленный отрезок.
2. Вектор характеризуется направлением и длиной.
G
G
AB = | a | = |AB |
3. Направление – множество сонаправленных лучей.
a
A
a | – длина вектора.
4. |G
Начало вектора
G
1. Коллинеарные векторы (G
a G
b с )
G
b
2. Сонаправленные векторы G
a YYG
с
G
a
G
с
3. Противоположно направленные векторы
b
M
Имеет любое
направление
G
с YXG
G
G
4. a = с
Q
?
G
a YYG
с
|G
a | = |G
с|
5. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.
6.
G
b
G
|G
b |= 4
|G
a | = √ 32 + 22
G
G
MM = 0
a
|G
a | = √ 13
6
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
Умножение вектора на число
Свойства умножения :
G
G
a
a = k(l G
a ) (сочетательный закон)
1. (kl) G
G
3a
,5 a
–1
√2
G
a
2. (k + l) G
a =kG
a + lG
a
(первый распределительный закон)
G G
3. k ( G
a +G
b ) = k a + kb
(второй распределительный закон)
G
G G
G
G G
OB =6 a = (2 3) a
G
a
OB = 2OA = 2 (3 a )
O
A
B
Сложение и вычитание векторов
G
a
B
G
a
G
G
a
b
G
G
Это правило сложения векторов называется правилом
треугольника.
G
G
a
b
Ga +
b
b
G
b
b
b
C
G
c
G
a
A
Правило параллелограмма
aG– G
b
G
a
O
Законы сложения векторов :
G
G
a
D
G G G
DB = a – b
A
G
G
a
A
G
–b
G G
G
Проверка: G
b +( a– b)= a
B
G
a
B
G
C
b
b
G
O
Gb
G
–G
O
B
G
a
B
+ b
A
aG
G
a
b
G
a
A
G
G
c
G G
1. G
a +G
b = b+ a
(переместительный)
G G G G
2. ( G
a +G
b)+ с = a+(b+ с )
(сочетательный)
G
+ b+ с
D
G
3. G
a +G
0 =a
Сумма нескольких векторов
7
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
Вся геометрия
o·Ã¶ÉÁ·
9 класса в кратком изложении
(к учебнику Л.С. Атанасяна и др.)
СОДЕРЖАНИЕ
Скалярное произведение векторов . . . . . . . . 45
Разложение вектора по двум
G G
неколлинеарным векторам a и b. . . . . . . . . 1
Скалярное произведение векторов,
заданных в координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Декартовы координаты на плоскости . . . . . . 1
Действия над векторами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Уравнение прямой в общем виде
ax + by = c, где a,b,c – числа . . . . . . . . . . . . . 45
Расстояние между двумя точками . . . . . . . . . . 2
Многоугольники. Длина окружности.
Площадь круга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
Уравнение окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
Формулы для правильного многоугольника 56
Координаты середины отрезка . . . . . . . . . . . . . 2
Sin A cos A tg A где 0° + A + 180° . . . . . . . . . . . 3
Движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
G. . . . . . . . 2
Нахождение координат вектора AB
Многогранники . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Теорема синусов и косинусов . . . . . . . . . . . . . . . 3
G
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам G
a иb
A
F
B
G = 2a +b
OA
G G
С
G
G
G = 0a – 2 b
OC
3
G
G
G
OF = 1,5 a – 0 b
G
G
b
O
G
p ;:987654382
G
G
p = x a + y b , 105 x и y – ./-;,
G
p 2,+;,1,53-*50/)-365))('-&8-898'
G= –G
OE
a+2 b
3
G
E
D
G = 1,5 a – b
OB
G G
G
a
Декартовы координаты на плоскости
y
A
G
a
b
G
j
G
i
O
G G
G
a{3;4}
G
G
G
G
a = 3 i4 j
G
G
G
i2 j
a = √ 3 2 + 4 2 = 5
IG
G = √ (-5) 2 + 2 2 = √ 29
I b ON= 3
IG
IG
d = √ 4 2 + (- 2 ) 2 = √ 20
G
IOM= 4
B = √ 68
IAG
G
C
I D = √ 37
G
x
d
N
C
Длина вектора
G
O
N { 0 ; -3 }
M
G
G
с
Разложение
вектора
b { -5 ; 2 }
G
B
Координаты
вектора
D
d { 4 ; -2 }
G
O
M{4;0}
G
AB { -8 ; -2 }
G
C
D{6;1}
b = -5
G
G
O
N = -3 j
G
G
G
d = 4 i2 j
G G
G G
G
A
B = -8 i2 j
G G
G
C
D = 6 i j
OM = 4 i
i/ j48820/),3)(5654382(
G
a { x ; y } ; IG
a = √ x 2 + y 2 IGiIIGj Сайт 100ballnik.com. Варианты для подготовки.
Действия над векторами
G
a{x ;y }=x G
G
G
G
1
1 i + y1 j
1
G
b { x2 ; y2 } = x2 i + y2 j
G G
G
G G
G
G
a + b = ( x1+x2 ) i ( y1+y2 ) j
G
a - b = ( x1-x2 ) i ( y1-y2 ) j
G
k a { kx1 ; ky1 }105k — ./-;8
G
Нахождение координат вектора AB
"%-3! О),.,;848820/),3
B { x2 ; y2 }, A { x1 ; y1 }
G
G
G
98+),./'OB = G
b , OA = a
G= ( G
G
810,AB
b — a ) {x2 — x1 ; y2 — y1}
Расстояние между двумя точками
A { x1 ; y1 }
B { x2 ; y2 }
G= √ (x2 — x1 )2 +(y2 — y1 )2
AB = IAB
Уравнение окружности
OM = R= √ (x — a ) 2 + (y — b ) 2
M (x ; y)
R
O (a ; b)
(x — a ) 2 + (y — b ) 2 = R 2
x 2 + y 2 = R 2
%2,6)5)/5842%$)8-3/-#5)
328'638.45(a ; b) 2,0/%-,R
%2,6)5)/5842%$)8-3/-#5)328'6
),.,;548820/),3(0 ; 0) 2,0/%-,R
Координаты середины отрезка
y
A (x1 ; y1)
С (x ; y)
B (x2 ; y2)
O
A1
С1
B1
&835825'5,;5-,
x
x x1 + x2
y y1 + y2
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
2
Sin A cos A tg A где 0° + A + 180°
y
(0 ; 1)
r=1
1.A 8-32(7%18;3810,sinA = y = y ; cosA = x = x ; tg A sin A
cos A
1
1
M (x ; y)
"8;%./;/82'%;(sinA y
cosA x
tg A sin A
cos A
y
A
O x
(-1 ; 0)
(1 ; 0) x
2. &2505;/'+),.5)/*sinA, cosA, tgA<3/'/82'%;,'/
0;*;:9818%1;,A&2/),0;5$,>5188325+4% sin0o 0
cos0o 1
tg0o 0
sin90o 1
cos90o 0
tg90o не имеет
смысла
3. 82'%;(&2/6505)/*"8-3,2,735-!
084,+,3!<3/82'%;(/-&8;!+%*.5235$/
sin180o 0
cos180o 1
tg180o 0
4. "8;%842%$)8-3!*6;*53-*0%187842%$)8-3/x 2 + y 2 = 1 >
;:9818%1;,A&2/),0;5$,>5188325+4% sin(90o A cosA
cos(90o A sinA
sin(180o A sinA
cos(180o A cosA
sin 2 A + cos 2 A = 1 6(&8;)*53-*0;*
Эта формула называется основным
тригонометрическим тождеством
Теорема синусов и косинусов
Теорема синусов:
A
a = b = c = 2R
sinA sinB sinC
c
b
B
a
D;*084,+,35;!-36,/-&8;!+86,3!82'%;(
s6 = 21 ab sinC = 21 ac sinB = . . . , ,3,4$5+,0,.%E C
Теорема косинусов:
a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc cosA
Доказательство
y
С (b cosA ; b sinA)
a
b
CB2 = ( b cosA – c)2 + (b sinA) 2 = b2cos2A – 2bc cosA+ c2+ b2sin2A =
= b2( cos2A+ sin2A)+ c2 – 2bc cosA ,
c
A (0 ; 0)
F,&/G5'46,02,32,--38*)/*'5$0%38.4,'//
48820/),3(48382(H/+65-3)(
B (c ; 0)
x
ч.т.д.
=1
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
3
Скалярное произведение векторов
Скалярное произведение векторов
широко применяется в физике
G G
Определение: G
%8G
b = | a | 8| b | 8'03A
G
a
G G
a.G
1. G
b , то %8 b = 0
G
a 8 G
a
2.
A
G
b
G – перемещение
MN
F
=
Скалярный квадрат вектора G
a
G
F – сила
G
2
|G
a | 8 |G
a | = |G
a|
J
M
A – работа
N A = |G
F | 8 |MN | 8'03J
G
Скалярное произведение векторов, заданных в координатах
В
G
a { x1 ; y1 } ; G
b { x2 ; y2 }
G
b
A
О
A
G
a
Доказать: G
a G
b = x1x2 + y1y2
Доказательство
G { x2 – x1 ; y2 – y1 } ; |AB
G|2 = ( x2 – x1)2 + ( y2 – y1)2
3. AB
1. По теореме косинусов
AB 2 = ОB 2 + ОА2 – 2ОВOA'03 A
2
2
G
2
2
|G
b |2= x2 + y2 ; | a |2= x1 + y1
G2
GG
G|2 = |G
2. |AB
b |2 + | a | – 2 b a
Следствие 1
b ?x1 x2 + y1y2 = 0
2
2
2
2
4. G
%8G
b = 1 (x2 + y2 + x1 + y1 – (x2 – x1)2 – ( y2 – y1)2) =
= x1x2 + y1y2
ч.т.д.
Следствие 2
G
a .G
'03 A Свойства
x1 x2 + y1y2
x12 + y12 x22 + y22
a2 *0
1. G
G GG GG
3. ( G
a +G
b)с = a с + b с
GG
G G
GG
2. G
a G
b = b a 4. (k a ) b = k ( a b )
Уравнение прямой в общем виде ax + by = c, где a,b,c – числа
1 При b " 0 ; y = – a x + c , приняв – a = k , c = l , получим y = kx + l
b
)
y1
1;
(x
A
A
B (x2 ; y2)
y2 – y1
x2 – x1
y=
kx
+
l
A
O
x
b
b
Выясним геометрический смысл коэффициента k.
y2 – y1
k = tg A – называется угловым коэффициентом
1. tg A ______
x2 – x1
k ( 0 (A – острый угол)
2. y2 = kx2 + l
k ) 0 (A – тупой угол)
y1 = kx1 + l
{
y2 – y1 = k (x2 – x1)
y2 – y1
k ______
x2 – x1
l – ? ; x = 0 , тогда y = l
(0 ; l ) – точка пересечения прямой y = kx + l
с осью06
Рассмотрим частные случаи:
1. b " 0 ; a " 0 ; c = 0, тогда y = kx, график проходит через начало координат.
2. b " 0 ; a = 0 ; c = 0, тогда y = 0 – уравнение оси 05
3. b " 0 ; a = 0 ; c " 0, тогда y = l – уравнение прямой, параллельной оси 05
b = 0 ; a " 0 ; c = 0 ; x = 0 – уравнение оси06
kx
y=
х=0
2 b = 0 ; a " 0 ; c " 0 ; x = c – уравнение прямой, параллельной оси06
a
y
y=l
х = ac
b
y
O
4
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
5
y=0
x
Многоугольники. Длина окружности. Площадь круга
C
С = 2 π R – длина окружности;
π – число иррациональное;
π ≈ 3,14 ; π ≈ 22
7
l = π R n° – длина дуги;
D
B
A
E
Невыпуклый
Выпуклый
1. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180°(n – 2)
180°
S = π R 2 – площадь круга;
S=
π R 2 n° – площадь сектора
360°
2. Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой
вершине, равна 360°
Формулы для правильного многоугольника
В правильном многоугольнике:
1. Все стороны и углы равны.
2. Точка О – центр вписанной и описанной окружности.
3. Правильные выпуклые n-угольники подобны >
R1 ___
r1 = k (число) ; ___
S1 = k 2
1 = ___
a___
= R1 = ___
a2 R2 R2
r2
S2
коэффициент
подобия
O
2 ABC = 180°(n – 2) – внутренний угол n-угольника
n
O
R
A
r
2 AOB = 360° – центральный угол n-угольника
n
B
an
C
B
an = 2R 3+/ 180°
n
r = R '03 180°
n
3 = 21 Rn r
2
a6 = R
r = R√ 3
2
a6 = 2√ 3 r
3
S6 = 3√ 3 a
2
a4 = R √ 2
r = R√ 2
2
a4 = 2r
S4 = a2
a3 = R √ 3
r= 1 R
2
a3 = 2 r√ 3
S3 = a √ 3
4
2
5
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
Движение
Определение
Движение – отображение плоскости на себя, при котором сохраняются расстояния между точками.
Свойства движений
1. Прямая отображается на прямую, луч – на луч, отрезок – на отрезок.
2. Отрезок отображается на равный отрезок, угол – на равный угол, треугольник – на равный ему треугольник.
Примеры движения
1. Осевая симметрия
2. Центральная симметрия
3. Параллельный перенос
4. Поворот
a
O
M N
ОСЕВАЯ СИММЕТРИЯ (Обозначим Sa)
N1 M1
M1
M
N1
M1 N1 = Sa (MN)
Sa (M NN1 M1) = M1 N1NM
Получили ту же фигуру.
В таком случае говорят, что
фигура имеет осевую симметрию.
N
M1
M
N
N1
M M1
N N1
N1
ЦЕНТРАЛЬНАЯ СИММЕТРИЯ (Обозначим S0)
По определению
N1 = S0(N), так как :
1) O э NN1 ; 2) NO = ON1
M
O
C
B
O
A
Фигуры, обладающие
центральной симметрией
Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм. Прямая
также обладает центральной симметрией, только в отличии от окружности
и параллелограмма, которые имеют
только один центр симметрии, у прямой их бесконечно много.
M1 N1 = Sо (MN)
Sо (ABCD) = CDAB
Получили ту же фигуру.
Данная фигура обладает
центральной симметрией.
M1
N
Фигуры, обладающие осевой
симметрией
По определению
M1 = Sa (M), так как :
1) MM1 .a ; 2) MO = OM1
D
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
M1
G
a
M
N
ПОВОРОТ
N1 Параллельный
перенос задан
вектором G
a
G
a (M) = M1 ;
G
a (N) = N1 ;
G
a (MN) = M1 N1
X
Поворот задан центром
и углом поворота
X G X I , если OX I = OX
2 X IOX = A
XI
A
т. O – центр
O A – угол поворота
6
Сайт 100ballnik.com. Варианты
для подготовки.
7
Многогранники
Призма
Параллелепипед
Пирамида
Bn
B1
B2
h
наклонный
An
A1
A2
Многоугольники A1A2 . . . An и
B1 B2 . . . Bn – основания призмы.
Параллелограммы A1A2 B2 B1 , ... ,
AnA1B1 Bn – боковые грани.
R
наклонная призма
h – высота
h
апофема
h
прямой
r
Правильная пирамида
прямоугольный
правильная
треугольная призма
Основание – правильный многоугольник. Вершина проектируется в его центр.
1. Sбок равна сумме площадей
боковых граней.
2. Sполн = Sбок + Sосн
1. Sбок равна сумме площадей боковых граней.
3. V = 1 Sосн h
3
куб
2. Sполн = Sбок + 2 Sосн ; 3. V = Sосн h
Тела вращения
Конус
Цилиндр
Шар
A
B
l
h
B
l
h
R
C
Конус получен вращением
прямоугольного треугольника ABC вокруг катета AB.
A
A
C
R
C
D
Цилиндр получен вращением
прямоугольника ABCD вокруг
стороны AB.
Sбок = 2PRl
B
Шар получен вращением
полукруга ACB вокруг
диаметра AB.
S = 4PR 2
V = 4 PR 3
Sбок = PRl
V = PR 2 h
V = 1 PR 2 h
3
3
7
Сайт 100ballnik.com. Варианты для подготовки.