Практическое занятие 4 «Дифференциальные уравнения» по теме №5 Дифференциальные уравнения. Задание 1. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y(4) = 1: 𝑦 Дано: 𝑦 ′ = − 𝑥 Решение: 𝑑𝑦 𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Разделяем переменные: 𝑑𝑥 = − 𝑥 , переносим х и у: 𝑦 = − 𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Интегрируем обе части: ∫ 𝑦 = ∫ − 𝑥 , In |y| = - In |x|+C, где С – произвольная константа Переписываем: In |y| + In |x| = С In |yx|=C Преобразовываем в показательную форму: |yx|=𝑒 𝐶 Обозначим 𝑒 𝐶 = С1 , тогда: 𝑦𝑥 = 𝐶1, y= 𝐶1 𝑥 С Находим решение используя начальное условие: 1 = 41, 𝐶1 = 4 4 Подставляем в общее решение: 𝑦 = 𝑥 4 Ответ: 𝑦 = 𝑥 Задание 4. Найти общее решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения Дано: y’’ - 6 y’ + 25 y = 0 Решение: у1,2 = −6±√62 −4×1×25 2×1 = −6±√36−100 2 = −6±√−64 2 = −6±√64×(−1) 2 = −6±√64𝑖 2 2 = −6±8𝑖 2 = −3 ± 4𝑖 Общее решение уравнения имеет вид: 𝛾 = 𝑒 𝑎𝑥 (𝐶1 cos 𝛽𝑥 + 𝐶2 sin 𝛽𝑥) Тогда, решение уравнения следующее: 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 (𝐶1 cos 4𝑥 + 𝐶2 sin 4𝑥), где 𝐶1 𝐶2 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Ответ: 𝑦 = 𝑒 −3𝑥 (𝐶1 cos 4𝑥 + 𝐶2 sin 4𝑥), где 𝐶1 𝐶2 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
