Загрузил
sizikovvs
Аналитическая динамика и теория колебаний: Учебное пособие (Часть I)
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный технологический институт
(технический университет)»
(СПбГТИ(ТУ))
Кафедра механики
В.С. Сизиков, Н.А. Марцулевич
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
Часть I
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2025
УДК 534
Сизиков, В.С. Аналитическая динамика и теория колебаний: Учебное
пособие / В.С. Сизиков, Н.А. Марцулевич; Министерство образования и науки
Российской
Федерации,
Санкт-Петербургский
государственный
технологический институт (технический университет), Кафедра механики. Санкт-Петербург: СПбГТИ(ТУ), 2025. - 79 с.
В учебном пособии представлены наиболее важные подходы и теоремы
аналитической механики. Оно предназначено для студентов, обучающихся по
курсу «Аналитическая динамика и теория колебаний» и является первой
частью учебного комплекса дисциплины. При выборе материалов авторы
руководствовались соображениями простоты и краткости с учетом
ограниченности семестрового курса. Основное внимание уделено изложению
принципа Даламбера, теории устойчивости механических систем и
уравнениям Лагранжа второго рода. Каждый тематический раздел снабжен
примерами решения задач, а наиболее важные разделы содержат варианты
индивидуальных заданий.
Пособие предназначено для подготовки студентов бакалавриата очной
формы обучения по направлению 15.03.03 «Прикладная механика», которое
соответствует рабочей программе дисциплины «Аналитическая динамика и
теория колебаний», студентов бакалавриата очной формы обучения по
направлению 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» и
студентов очной формы обучения
по специальности 15.05.01
«Проектирование технологических машин и комплексов», которые
соответствуют рабочей программы дисциплины «Теоретическая механика».
Учебное пособие соответствует требованиям государственных
образовательных стандартов и формирует у студентов профессиональные
компетенции ПК-1, ПК-2, ПК-3 (ФГОС ВО 3++).
Рис. 49, библиогр. 9 назв.
Рецензенты:
1 ООО НПО «Нефтехмаш».
В.В. Бурлов, ген. директор, д-р техн. наук, профессор
2 Высшая школа механики и процессов управления СанктПетербургского политехнического университета Петра
Великого.
А.В. Лукин, канд. физ.-мат. наук, доцент
Утверждено на заседании учебно-методической комиссии механического
факультета 24.12.2024 г.
Рекомендовано к изданию РИС СПбГТИ(ТУ)
2
СОДЕРЖАНИЕ
Введение………………………………….…………………………..………..….4
1 Связи и их классификация. ………………………………………………..…6
2 Возможные и виртуальные перемещения………………………………..…11
3 Идеальные связи………………………………………………...……………15
4 Общее уравнение динамики……………………………………………..…..18
5 Принцип освобождаемости от связей и принцип виртуальных
перемещений………………………………………………………………….21
6 Принцип Даламбера……………………………………………………….…29
7 Обобщенные координаты и обобщенные силы…………………………….39
8 Устойчивость положений равновесия механических систем. Теорема
Лагранжа-Дирихле. Критерий Сильвестра…………………………………43
9 Уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных координатах…………55
10 Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода………………..58
11 Общий подход к составлению дифференциальных уравнений движения.
Уравнения Лагранжа второго рода в поле действия консервативных и
диссипативных сил …………………………………………………………..63
12 Циклические координаты и циклические интегралы. …………………….71
Список литературы…………………………………………………………….78
3
ВВЕДЕНИЕ
Современный уровень техники в химической и смежных отраслях
промышленности характеризуется большой сложностью и многообразием
явлений и процессов, возникающих при выполнении технологических
операций. Задачи, возникающие перед инженером при создании,
модернизации и эксплуатации машин и оборудования, подразделяются на два
вида: задачи выполнения расчетно-экспериментальных и проектноконструкторских работ и научно-исследовательские задачи по исследованию
режимов работы оборудования, обеспечивающих его надежную работу.
Первый вид задач тесно связан с проведением кинематического и
динамического анализа механических систем, оценкой прочности рабочих
элементов машин и конструкций, анализом статической устойчивости и
устойчивости режимов работы машин, а также определением характеристик
движения рабочих сред при их взаимодействии с элементами механического
оборудования.
Изучение перечисленных явлений и процессов основано на
фундаментальных знаниях в области механики и умении применять их для
создания математических моделей реальных механических объектов, анализа
и синтеза новых машин и оборудования и совершенствования процессов
переработки различных сред, включая выбор оптимальных рабочих
параметров.
Основные аппараты и машины, составляющие типовое оборудование
многих производств, применяются для проведения большого числа процессов,
в
том
числе
измельчения,
классификации,
перемешивания,
транспортирования. При этом вопросы проектирования и эксплуатации
современного оборудования связаны с усложнением динамических схем
аппаратов, повышением динамической нагруженности конструкций,
скоростей движения рабочих органов и перемещения материалов, а также
снижением энергоемкости машин и аппаратов.
Таким образом, определение механических характеристик движения
рабочих органов и обрабатываемых сред требует от инженера наличия
фундаментальных знаний в области аналитической динамики и теории
колебаний для определения перемещений, скоростей, ускорений и
динамических нагрузок на элементы оборудования.
В настоящем учебном пособии рассмотрено применение методов
аналитической динамики для решения задач статических и динамических
расчетов. В частности, анализ динамики механических систем позволяет
определить скорости движения и усилия в элементах оборудования (молотках,
роторах дробилок, элементах привода, подвижных звеньев кривошипношатунных механизмов, барабанах планетарных и барабанных мельниц и их
шаровой загрузки).
При этом используется теоретический аппарат,
основанный на уравнениях Даламбера и Лагранжа второго рода. Задачи
анализа устойчивости рассмотрены применительно к устройствам
маятникового типа, которые применяются в качестве датчиков физических
4
величин (определение устойчивости положения вертикального равновесия
обращенного маятника).
Настоящее пособие направлено на формирование у студентов базовых
знаний по аналитической динамике (1-я часть пособия) и теории колебаний (2я часть), которые в процессе дипломного проектирования позволят им
выполнять расчеты режимов движения различных элементов оборудования и
настраивать его на оптимальные режимы работы с наименьшими
энергетическими затратами.
5
1 Связи и их классификация
Так же как и теоретическая механика, аналитическая динамика изучает
равновесие и движение материальных систем.
Материальной системой называется совокупность материальных точек,
в которой движение каждой из них в отдельности зависит от движения и
положения остальных точек, т.е. между точками материальной системы
существуют силы взаимодействия.
Материальная система, для которой расстояния между двумя любыми ее
точками не меняется, называется твердым телом. Таким образом, в
аналитической динамике не рассматриваются деформации тел. Здесь ее
подход совпадает с подходом теоретической механики и теории механизмов и
машин.
Связью в аналитической механике называется любое ограничение,
налагаемое на положения и скорости точек механической системы и
выполняющееся при действии на систему любых активных сил.
Аналитически связи выражаются уравнениями или неравенствами, в
общем случае содержащими координаты точек, их скорости и время. Если
механическая система состоит из n материальных точек, а количество
наложенных на нее связей равно k, то наложенные ограничения будут
задаваться выражениями:
fj (t, r1, r2,…, rn, v1, v2,…, vn) = 0,
j = 1, 2, …, k (1.1)
где в левую часть входят время t, радиусы-векторы ri и скорости vi всех точек
механической системы (i = 1, 2,…, n). Условимся здесь и далее обозначать
полужирным шрифтом векторные величины, а обычным – скалярные
величины.
В частном случае, когда скорости точек не входят в выражение (1.1),
связи называются геометрическими. Их аналитическая запись имеет вид:
fj (t, r1, r2,…, rn) = 0,
j = 1, 2, …, k (1.2)
При такой связи механическая система в каждый данный момент времени
не может занимать произвольное положение в пространстве. На положение,
по крайней мере, одной ее точки наложено определенное ограничение. В
общем случае, когда левая часть (11.1) содержит скорости точек, связь
называется кинематической. При таком виде связи ограничение наложено и
на скорости точек.
Любая геометрическая связь влечет за собой, как следствие, и
кинематическую связь. Действительно, дифференцируя почленно по времени
равенство (1.2) и учитывая, что радиус-вектор точки можно представить
следующим образом r = xi +yj +zk, получим:
i =n
f
f
f
f
x x + y y + z z + t = 0.
i =1
i
i
i
(1.3)
Здесь
точка,
поставленная
над
величиной,
обозначает
дифференцирование по времени, так что в равенство (1.3) входят проекции
скоростей точек системы на соответствующие оси координат.
i
i
6
i
Связи, накладывающие ограничения на скорости точек системы,
называются неголономными, или неинтегрируемыми.
Иногда верно и обратное, т.е. если кинематическая связь представима в
виде (1.3), то она эквивалентна геометрической связи, связывающей
положения точек системы соотношением:
f (t, r1, r2,…, rn) = С,
(1.4)
где С – произвольная постоянная. В этом случае кинематическая связь (1.3)
называется интегрируемой, или голономной.
В соотношениях (1.1) и (1.2) вместо знака равенства может иметь место
знак неравенства. В этом случае связь называют неудерживающей.
Соответственно уравнения (1.1) и (1.2) называют удерживающей связью.
Наконец, связи могут быть стационарными (склерономными) или
нестационарными (реономными) в зависимости от того, входит ли явно в
соотношения (1.1) и (1.2) время t. Приведем примеры связей в соответствии с
введенной здесь классификацией.
Пример 1 Простейшим примером нестационарной связи служит точка,
движущаяся вдоль вращающегося стержня (рисунок 1.1).
Рисунок 1.1 – Точка, перемещающаяся вдоль вращающегося стержня
Пример 2 Маятник в виде стержня с грузом, закрепленным на оси
подвеса (рисунок 1.2).
Рисунок 1.2 – Маятник в виде однородного стержня с подвешенным грузом
Рассматриваемая здесь связь является голономной удерживающей
связью, накладывающей ограничение на положения груза:
𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑙2.
Связывая между собой линейные координаты x и y и угловую координату
φ положения маятника в следующем виде:
𝑥 = 𝑙𝑐𝑜𝑠𝜑,
7
𝑦 = 𝑙𝑠𝑖𝑛𝜑,
и подставляя их в вышеприведенное уравнение, получим условие:
𝑙 2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜑 + 𝑙 2 𝑠𝑖𝑛2 𝜑 − 𝑙 2 = 0
или
𝑙 2 − 𝑙 2 = 0.
Данный вид связи применяется в часовых механизмах в качестве
регулятора, стабилизирующего ход.
Пример 3 Математический маятник.
Маятник в виде груза, подвешенного на невесомой нерастяжимой нити
(математический маятник), например на канате или тросе, является
неудерживающей и голономной связью, поскольку реакция нити действует на
груз только в одном направлении – вдоль нити по направлению от груза к
точке подвеса:
𝑙 2 − (𝑥 2 + 𝑦 2 ) ≥ 0
Примером применения математического маятника может служить
маятник Фуко на проволочном подвесе, используемый для демонстрации
суточного вращения Земли в Парижском Пантеоне. Маятник в виде
свинцового 28-килограммового шара, подвешенного на проволоке длиной 67
метров, медленно поворачивается относительно земной поверхности в
сторону, противоположную направлению вращения Земли. В неинерциальной
системе отсчета, связанной с Землей, поворот маятника относительно земной
поверхности объясняется действием силы Кориолиса, вызванной вращением
Земли относительно своей оси.
Пример 4 Простейшим примером стационарной голономной связи
служит колесо, катящееся по горизонтальной поверхности без
проскальзывания в точке контакта (рисунок 1.3).
Рисунок 1.4 – Расчетная схема колеса, катящегося по горизонтальной плоскости без
проскальзывания
Для такой механической системы уравнения связи, определяющие
положение центра масс колеса при его движении по поверхности, запишутся
в виде
𝑦 =𝑅
,
{ 𝑐
𝑥̇ 𝑐 = 𝑅𝜑̇
8
или после интегрирования
𝑦 =𝑅
.
{ 𝑐
𝑥𝑐 = 𝑅𝜑
Поскольку исходные уравнения связи являются интегрируемыми, данная
связь является голономной.
Пример 5 Еще одним примером стационарной голономной связи служит
плоский четырехзвенный механизм, показанный на рисунок 1.4.
Рисунок 1.4 – Схема плоского четырехзвенного механизма
Механизм имеет одну степень свободы (числом степеней свободы
системы точек называют количество независимых параметров, однозначно
определяющих положение тела относительно рассматриваемой системы
отсчета). Введем четыре обобщенные координаты x1, y1, x2, y2 положений точек
M1 и M2 и запишем уравнения связей в следующем виде:
x12 + y12 = r12 ,
(a − x2 ) 2 + y2 2 = r2 2 ,
( x2 − x1 ) 2 + ( y2 − y1 ) 2 = l 2 .
С другой стороны, можно ввести три координаты φ, ψ и ϑ, отображающие
углы поворота звеньев OM1, M1M2 и M2O, и записать два уравнения связей:
r1 cos φ + l cos θ − r2 cos ψ = a,
r1 sin φ + l sin θ − r2 sin ψ = 0.
Видно, что в обоих случаях уравнения связей снижают число
независимых координат в системе до одной, что соответствует
действительному числу степеней свободы механизма – одной.
Шарнирный четырехзвенник используется в механизме Чебышева
(рисунок 1.5), служащем для преобразования вращательного движения в
движение, приближенное к прямолинейному, в котором вращательное
движение выполняют левая и правая стойки BD и AF, а близкое к
прямолинейному – центр масс C верхнего звена DF.
9
Рисунок 1.5 – Механизм Чебышева (пунктирными линиями показаны траектории
движения звеньев)
Пример
6
Примером
системы,
содержащей
как
голономные,
так
и
неголономные связи, является
стержень, расположенный под
углом
α
к
горизонтали,
перемещающийся строго вдоль
своей оси (рисунок 1.6).
Положения левой и правой
точек
определяются
а
б
координатами x1, y1 и x2, y2 (рис 1.6
Рисунок 1.6 – Стержень, перемещающийся
вдоль своей оси: а – координаты точек
а). Положение центра масс
стержня; б – скорости точек стержня
стержня
определяется
соотношением,
связывающим
между собой координаты крайних точек стержня:
tgα=
y2 − y1
.
x2 − x1
Это стационарная голономная связь.
Горизонтальная и вертикальная скорости центра
определяются скоростями его крайних точек (рис 1.6 б):
xc =
масс
стержня
x1 + x2
y + y2
, yc = 1
.
2
2
Вследствие того, что стержень перемещается строго вдоль своей оси,
скорости движения его точек связаны между собой через угол наклона
стержня к горизонтали:
tgα=
yc y2 + y1
=
.
xc x2 + x1
10
Это ограничение на скорости перемещения точек системы является
неголономной (неинтегрируемой) связью.
2
Возможные и виртуальные перемещения
Понятия о виртуальных скоростях и виртуальных перемещениях точек
материальной системы являются одними из фундаментальных понятий
аналитической динамики.
Сначала рассмотрим разницу между действительными и возможными
перемещениями точек материальной системы. Действительными перемещения
точек показывают, куда движется точка под действием приложенных сил и
связей. В отличие от действительных, возможные перемещения отвечают на
вопрос: куда может двигаться точка под действием наложенных связей.
Определим эти понятия для одной материальной точки. Пусть на
движение точки наложена связь, уравнение которой имеет вид:
f(x, y, z, t) = 0,
(2.1)
а закон движения точки, обусловленный действующими на точку силами,
описывается зависимостями:
x = x(t), y = y(t), z = z(t).
(2.2)
Подставляя закон движения в уравнение связи, получим тождество:
f (x(t), y(t), z(t), t) ≡ 0.
Продифференцировав это равенство по времени, получим
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑥̇ +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑦̇ +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑧̇ +
𝜕𝑓
𝜕𝑡
= 0.
(2.3)
Предположим,
что в некоторый
фиксированный момент времени t = t0 материальная точка имеет координаты
x0, y0, z0. Для этого момента времени предыдущее уравнение примет вид:
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
𝜕𝑓
(𝜕𝑥 ) 𝑥̇ + (𝜕𝑦) 𝑦̇ + (𝜕𝑧 ) 𝑧̇ + ( 𝜕𝑡 ) = 0.
0
0
0
0
(2.4)
Индекс 0 означает, что производные вычислены в момент времени t0 при
значениях координат x0, y0, z0. Эти производные имеют конкретные численные
значения. Скорости точки также вычислены в момент времени t0. Поэтому
соотношение (2.4) представляет собой условие, которому должны
удовлетворять в данный момент времени проекции скорости точки
v=𝑥̇ i+𝑦̇ j+𝑧̇ k. Эту скорость называют действительной скоростью.
Но условию (2.4) может удовлетворять бесконечный набор скоростей
*
*
v =𝑥̇ i+𝑦̇ *j+𝑧̇ *k, поскольку уравнение (2.4) имеет бесчисленной множество
решений. Скорости v* называются возможными скоростями точки. Другими
словами, возможные скорости – это скорости, допускаемые связями. Для
каждого возможного положения точки в момент времени t существует
бесчисленное множество возможных ее скоростей. При действительном
движении точки реализуется одна из этих систем скоростей.
11
Действительным перемещением материальной точки называется вектор
dr = vdt, проекции которого dx = 𝑥̇ dt, dy = 𝑦̇ dt, dz = 𝑧̇ dt удовлетворяют
уравнению
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
𝑑𝑧 +
𝜕𝑓
𝜕𝑡
𝑑𝑡 = 0.
(2.5)
Это уравнение получено из уравнения (2.3) путем его умножения на dt.
Возможными перемещениями материальной точки называются вектора
*
dr = v*dt. Их проекции также удовлетворяют уравнению (2.5), так что
возможные перемещения – это перемещения, совместимые с наложенной
связью на бесконечно малом промежутке времени.
Вектором виртуального перемещения называется бесконечно малый
вектор, который позволяет мысленно, не нарушая связи, перевести точку из
одного ее положения в бесконечно близкое, относящееся к тому же моменту
времени. Вектор δr иначе называют вариацией вектора r, а его проекции δx,
δy, δz – вариациями координат.
И возможные, и виртуальные перемещения точки механической системы
рассматривают как величины первого порядка малости без учета величин
более высоких порядков. Поэтому криволинейные перемещения точек
заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательным к
траекториям движения точки, и обычно обозначают δs. Покажем это,
используя определение вектора виртуального перемещения.
Точка с координатами (x+δx, y+δy, z+δz) удовлетворяет уравнению связи,
т.е.
f (x+δ x, y+δ y, z+δ z, t) = 0.
Разложим это выражение в ряд Тейлора, учитывая, во-первых, что время
фиксировано и, во-вторых, что f (x, y, z, t) = 0. Получим
𝜕𝑓
𝜕𝑥
δ𝑥 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
δ𝑦 +
𝜕𝑓
𝜕𝑧
δ𝑧 = 0.
(2.6)
Этому уравнению удовлетворяют проекции вектора виртуального
перемещения. Легко видеть, что ему можно дать геометрическую
интерпретацию. Скалярное произведение векторов gradf и δr в координатной
записи в точности совпадает с левой частью уравнения (2.6). Поскольку
уравнение f(x,y,z,t)=0 можно рассматривать как уравнение поверхности в
пространстве, вектор grad f направлен по нормали к ней. Равенство нулю
произведения этого вектора на вектор δr означает, что последний лежит в
касательной плоскости к поверхности f(x, y, z, t) = 0, проведенной в данной
точке (x, y, z).
Сопоставляя уравнения (2.5) и (2.6) видим, что возможные и виртуальные
перемещения совпадают, если связь является стационарной.
При стационарных связях действительные перемещения dr точки
принадлежат к числу возможных перемещений δri (рисунок 2.1 а). При
нестационарных связях действительное перемещение не совпадает ни с одним
из возможных перемещений (рисунок 2.1 б).
12
а
б
Рисунок 2.1 – Возможные перемещения точки: а – при стационарных связях (точка
на плоскости); б – при нестационарных связях (точка, движущаяся вдоль
вращающегося стержня)
На рисунок 2.2 – 2.4 приведены примеры возможных перемещений в
механических системах.
Рисунок 2.2 –
Возможное
перемещение
δsA
математического
маятника
Рисунок 2.3 –
Возможные перемещения
δsA, δsB и δsC точек диска,
катящегося без трения по
горизонтальной
поверхности
Рисунок 2.4 – Возможные перемещения
δsA и δsB точек кривошипно-шатунного
механизма, δsC центра масс звена AB и
возможный поворот δφ звена OA
Все сказанное легко обобщается на случай системы материальных точек.
Пусть на материальную систему наложены k геометрических и m линейных
кинематических связей:
fj (t, r1, r2,…, rn) = 0, j = 1, 2, …, k ,
(2.7)
∑𝑛𝑖=1 𝒑𝑖𝑗 𝒗𝑖 + Dj = 0,
(2.8)
j = 1, 2, …, m.
Здесь для сокращения записи использовано понятие скалярного
произведения векторов скорости частиц и векторов коэффициентов, которые
могут зависеть от координат и времени. Скаляры Dj также являются в общем
случае функциями координат и времени (но не скоростей). Заменим
геометрические связи вытекающими из них кинематическими связями:
13
∑𝑛𝑖=1
𝜕𝑓𝑗
𝜕𝑟𝑖
𝒗𝑖 +
𝜕𝑓𝑗
𝜕𝑡
j = 1, 2, …, k.
= 0,
(2.9)
Систему векторов 𝒗𝑖 будем называть возможными скоростями для
некоторого момента времени t и для некоторого возможного в этот момент
времени положения системы, если векторы 𝒗𝑖 удовлетворяют m + k линейным
уравнениям связей (2.8) и (2.9). Другими словами, возможные скорости – это
скорости, допускаемые связями. Для каждого возможного положения
системы в момент времени t существует бесчисленное множество систем
возможных скоростей. При действительном движении системы реализуется
одна из этих систем скоростей.
Систему бесконечно малых перемещений
dri = vidt ,
i = 1, 2, …, n
(2.10)
где vi (i = 1, 2, …, n) – возможные скорости, называют возможными бесконечно
малыми перемещениями или просто возможными перемещениями. Умножив
почленно уравнения (2.8) и (2.9) на dt, получим соотношения, которым
должны удовлетворять возможные перемещения:
∑𝑛𝑖=1 𝒑𝑖𝑗 𝑑𝒓𝑖 + Dj dt = 0,
j = 1, 2, …, m
(2.11)
∑𝑛𝑖=1
𝜕𝑓𝑗
𝜕𝑟𝑖
𝑑𝒓𝑖 +
𝜕𝑓𝑗
𝜕𝑡
𝑑𝑡 = 0.
j =1, 2,…,k
(2.12)
Действительное перемещение будет только одним из возможных, так как оно
зависит не только от налагаемых связей, но также от действующих на систему
активных сил и от начальных условий движения.
Возьмем две системы возможных перемещений для одного и того же
момента времени и для одного и того же положения системы:
dri = vidt, d'ri = vi'dt ,
i = 1, 2, …, n
Разности этих перемещений δri = dri–d'ri будут удовлетворять однородным
соотношениям:
∑𝑛𝑖=1 𝒑𝑖𝑗 𝛿𝒓𝑖 = 0, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑚
(2.13)
∑𝑛𝑖=1
𝜕𝑓𝑗
𝜕𝑟𝑖
𝛿𝒓𝑖 = 0, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑘
(2.14)
Разности δri = dri – d'ri носят название виртуальных перемещений. Любая
система векторов, удовлетворяющая (k+m) уравнениям (2.13) – (2.14),
представляет собой систему виртуальных перемещений. Уравнения (2.13) –
(2.14) для виртуальных перемещений отличаются от уравнений (2.11) – (2.12)
𝜕𝑓𝑗
для возможных перемещений только отсутствием слагаемых Djdt и
𝑑𝑡.
𝜕𝑡
Поэтому говорят, что виртуальные перемещения совпадают с возможными
перемещениями при «замороженных» связях (когда dt = 0). Следовательно,
если связи стационарны, то виртуальные и возможные перемещения
совпадают.
К свойствам возможных перемещений относятся следующие:
1) возможные перемещения являются бесконечно малыми;
14
2) при приложении возможных перемещений все наложенные на систему
связи должны сохраняться.
В декартовой системе координат вектор δri характеризуется тремя
проекциями δxi, δyi и δzi. Тогда уравнения (2.13)–(2.14), определяющие
виртуальные перемещения, могут быть записаны в следующем виде:
∑𝑛𝑖=1(𝐴𝑖𝑗 𝛿𝑥𝑖 + 𝐵𝑖𝑗 𝛿𝑦𝑖 + 𝐶𝑖𝑗 𝛿𝑧𝑖 ) = 0,
j = 1, 2, …, m (2.15)
∑𝑛𝑖=1(
𝜕𝑓𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝛿𝑥𝑖 +
𝜕𝑓𝑗
𝜕𝑦𝑖
𝛿𝑦𝑖 +
𝜕𝑓𝑗
𝜕𝑧𝑖
𝛿𝑧𝑖 ) = 0.
j = 1, 2, …, k (2.16)
Если эти (k+m) уравнений независимы, то среди 3n виртуальных приращений
координат δxi, δyi и δzi будет N = 3n–k–m независимых. Число N называется
числом степеней свободы данной системы материальных точек, т.е числом
независимых координат, однозначно определяющих положение точек в
пространстве.
3
Идеальные связи
Пусть в точках Pi системы приложены силы Fi (рисунок 3.1). Если бы
связи отсутствовали, то, согласно второму закону Ньютона, между массами mi,
ускорениями wi и силами Fi имели бы место соотношения: miwi = Fi (i = 1, 2,
…,n).
Рисунок 3.1 – Система n материальных точек с действующими на нее силами
При наличии связей ускорения wi = Fi/mi могут оказаться
несовместимыми со связями. Ограничивая свободу движения системы, связи
действуют на точки системы посредством сил, называемых реакциями связей
Ri (i = 1, 2, …, n). Возникающие реакции таковы, что ускорения, определяемые
из уравнений
miwi = Fi + Ri
(i = 1, 2, …, n)
(3.1)
уже допускаются связями. Силы Fi, в отличие от реакций Ri называются
активными силами. Они обычно задаются в виде известных функций
времени, координат и скоростей точек системы.
Основная задача динамики несвободной системы формулируется
следующим образом. Заданы активные силы Fi = Fi(t, rj, vj) и даны
15
совместимые со связами начальные скорости всех точек системы. Требуется
определить движение системы и все реакции связей.
Если относительно характера связей ничего неизвестно, кроме их
уравнений (2.7) и (2.8), и, следовательно, ничего неизвестно относительно
вызываемых этими связями реакций, то сформулированная задача является
неопределенной. В самом деле, число неизвестных xi, yi, zi, Rix, Riy, Riz равно 6n
, а число уравнений для их определения равно 3n+k+m: это 3n уравнений (3.1)
и k + m уравнений связей (2.7) и (2.8).
Для того, чтобы основная задача динамики стала определенной,
необходимо иметь дополнительные 6n – (3n+k+m) = N независимых
соотношений между искомыми величинами. Эти соотношения могут быть
получены для случая идеальных связей.
Связи называются идеальными, если сумма работ реакций этих связей
на любых виртуальных перемещениях всегда равна нулю, т.е. если
∑𝑛𝑖=1 𝑹𝑖 𝛿𝒓𝑖 = 0,
(3.2)
или в скалярном виде
∑𝑛𝑖=1(𝑅𝑖𝑥 𝛿𝑥𝑖 + 𝑅𝑖𝑦 𝛿𝑦𝑖 + 𝑅𝑖𝑧 𝛿𝑧𝑖 ) = 0.
(3.3)
Среди 3n величин δxi, δyi и δzi имеется N независимых (N = 3n – k – m –
число степеней свободы системы). Поэтому в равенстве (3.3) можно выразить
3n – N зависимых приращений δxi , δyi , δzi через n независимых приращений
и приравнять нулю коэффициенты при этих независимых приращениях. Они
дадут недостающие N соотношений, и основная задача динамики несвободной
системы станет определенной.
Рассмотрим примеры идеальных связей.
Пример 1 Кривошипно-шатунный механизм
Рисунок 3.2 – Кривошипно-шатунный механизм как пример системы с идеальными
связями
В рассматриваемом механизме (рисунок 3.2) при возвратнопоступательном движении ползуна B сила реакции NB со стороны связи,
ограничивающей вертикальное смещение ползуна, направлена всегда
перпендикулярно движению ползуна, и поэтому элементарная работа реакции
этой связи на виртуальном (и возможном) горизонтальном перемещении δSB
ползуна равна нулю:
δA = NB·δSB = 0,
и связь является идеальной.
16
Пример 2 Эксцентриковый привод вибрационного оборудования
Рисунок 3.3 – Схема эксцентрикового привода
В рассматриваемом механизме (рисунок 3.3) на валу 1 установлен
эксцентрик 2, закрепленный в обойме 3. Такой привод обеспечивает жесткую
передачу нагрузки на рабочий орган вибромашины и служит для поддержания
постоянной амплитуды его колебаний во всем частотном диапазоне. Сила
реакции RA со стороны обоймы на вал всегда направлена к его центру, в то же
время виртуальное перемещение δSA от вращения эксцентрика всегда
действует по касательной к окружности эксцентрика, поэтому элементарная
работа силы в рассматриваемой связи (вращательном шарнире, соединяющем
эксцентрик 2 и обойму 3) нулевая, и связь является идеальной:
δA = RA·δSA = 0.
Пример 3 Два твердых тела при движении соприкасаются идеально
шероховатыми поверхностями (зубчатое зацепление). В этом случае
относительная скорость скольжения равна v1 – v2 = 0. Следовательно,
согласно (2.10) dr2 – dr1 = (v1 – v2) dt = 0. Поэтому здесь элементарная работа
сил реакции связи равна нулю, т.е: R1δr1 + R2δr2 = R2(dr2 – dr1) = 0.
Из приведенных примеров следует важный практический вывод о том,
что любой сложный механизм можно рассматривать как систему твердых тел,
которые попарно соединены между собой либо жестко, либо шарнирно, либо
соприкасаются своими поверхностями. Если считать все жесткие соединения
абсолютно жесткими, все шарниры – идеальными, а все соприкасающиеся
поверхности – идеально гладкими или идеально шероховатыми, то любой
механизм можно рассматривать как систему материальных точек,
подчиненную идеальным связям.
В том случае, если силы трения играют заметную роль, то, строго говоря,
считать связи идеальными нельзя. Однако и в этом случае можно исходить из
условия (3.1), учитывая только нормальные составляющие реакций негладких
поверхностей и рассматривая силы трения как неизвестные активные силы.
При этом должны быть привлечены дополнительные соотношения, которые
получаются из экспериментальных законов трения. Таким образом,
применимость понятия идеальных связей становится универсальной. В
дальнейшем при анализе динамики механических систем всегда
предполагается, что все связи, наложенные на систему, являются идеальными.
17
Общее уравнение динамики
4
Рассмотрим несвободную систему движущихся материальных точек с
идеальными связями. Для такой системы имеют место уравнения (3.1):
miwi = Fi + Ri
(i = 1, 2, …, n) ,
(4.1)
где mi – масса i – й частицы, wi - ее ускорение, Fi и Ri – соответственно
равнодействующие активных сил и сил реакций, действующих на эту точку.
Поскольку связи считаются идеальными, то в любом положении системы
и при любых виртуальных перемещениях справедливо равенство нулю
элементарных работ реакций связей системы на ее виртуальных
перемещениях:
∑𝑛𝑖=1 𝑹𝑖 ‧𝛿𝒓𝑖 = 0.
(4.2)
Подставляя сюда вместо реакций их выражение из предыдущего
равенства, получим:
∑𝑛𝑖=1(𝑭𝒊 − 𝑚𝑖 𝒘𝒊 ) ∙ 𝛿𝒓𝑖 = 0.
(4.3)
Это соотношение называется общим уравнением динамики, или общим
принципом Даламбера-Лагранжа, выражающим то, что при движении
системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма
элементарных работ всех активных сил и сил инерции на любых виртуальных
перемещениях системы равна нулю.
Таким образом, общее уравнение динамики всегда выполняется для
любого совместимого со связями движения, которое соответствует заданным
активным силам.
Пусть теперь, наоборот, дано некоторое совместимое со связями
движение системы, для которого выполняется уравнение (4.3). Тогда, полагая
Ri = miwi – Fi
(i = 1, 2, …, n) , (4.4)
будем иметь равенства (4.1) и (4.2).
Таким образом, в любой момент времени можно подобрать такие реакции
Ri, которые в силу равенства (4.2) были бы допустимыми для данных
идеальных связей и при которых имеют место полученные из 2-го закона
Ньютона уравнения (4.1). Эти реакции реализуются в действительности и,
следовательно, рассматриваемое движение отвечает данным активным силам
Fi. Это означает, что общее уравнение динамики выражает необходимое и
достаточное условие для того, чтобы движение, совместимое со связями,
соответствовало заданной системе активных сил.
Выражая скалярное произведение в уравнении (4.3) через проекции
соответствующих множителей на оси координат, получим общее уравнение
динамики в следующей форме:
n
[( F − m x )x + ( F − m y )y + ( F − m z )z ] = 0.
i =1
ix
i i
i
iy
18
i
i
i
iz
i i
i
(4.5)
Полученные в этом разделе уравнения справедливы для динамических
систем, в которых есть связи с трением. В этом случае силы трения следует
учитывать в уравнении (4.3) в качестве активных.
Пример 1 Центробежный регулятор
Центробежный регулятор (рисунок 4.1)
вращается с постоянной угловой скоростью ω
вокруг центральной оси. Длины вращающихся
элементов равны OD1 = OD2 = l, OB1 = OB2 = B1C1
= B2C2 = b. Определить угол α между центральной
стойкой и вращающимся элементом с грузом
весом P1. Вес муфты равен Q.
Запишем общее уравнение динамики,
Рисунок 4.1 – Схема
добавив к активным силам тяжести P1, P2 и Q
центробежного регулятора
центробежные силы Fи1 и Fи2, действующие на
вращающиеся грузы:
𝑃1 δ𝑦1 + 𝑃2 δ𝑦2 + 𝑄δ𝑦3 − 𝐹1и δ𝑥1 − 𝐹2и δ𝑥2 = 0
(4.6)
Примем, что оба груза имеют одинаковый веc:
𝑃1 = 𝑃2 = 𝑃.
(4.7)
Тогда силы инерции будут
𝑃
𝐹1и = 𝐹2и = ω2 𝑙𝑠𝑖𝑛α.
(4.8)
𝑔
Координаты точек приложения сил будут:
𝑥2 = 𝑥1 = 𝑙𝑠𝑖𝑛α,
(4.9)
𝑦1 = 𝑦2 = 𝑙𝑐𝑜𝑠α,
(4.10)
𝑦3 = 2𝑏𝑐𝑜𝑠α.
(4.11)
Дифференцируя выражения для координат, получим:
δ𝑥1 = δ𝑥2 = 𝑙𝑐𝑜𝑠α𝑑α,
(4.12)
δ𝑦2 = δ𝑦1 = −𝑙𝑠𝑖𝑛α𝑑α,
(4.13)
δ𝑥3 = −2𝑏𝑠𝑖𝑛α𝑑α.
(4.14)
Подставляя выражения (4.12) – (4.14) в уравнение (4.6), получим:
𝑃
(−2𝑃𝑙𝑠𝑖𝑛𝛼 − 2 𝑙 2 ω2 𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 − 2𝑄𝑏𝑠𝑖𝑛𝛼) 𝛿α = 0,
𝑔
откуда
(𝑃𝑙+𝑄𝑏)𝑔
𝑐𝑜𝑠α =
.
(4.15)
𝑃𝑙 2 𝜔2
Из формулы (4.15) получается условие, при котором шары будут
отклоняться на угол α, меньший 90°:
(𝑃𝑙 + 𝑄𝑏)𝑔
𝑐𝑜𝑠α ≤ 1 ⇒ 𝜔2 ≥
,
𝑃𝑙 2
т.е. центробежная сила должна быть достаточно большой, чтобы преодолеть
вес обеих шаров и вращающегося шарнира и заставить оба шара отклоняться
на угол α.
В то же время отклонение шаров будет максимальным, т.е. α → 90°, когда
угловая скорость вращения будет неограниченно возрастать: ω → ∞.
19
Примечание Центробежный регулятор — это механизм, который
реализует отрицательную обратную связь для регулировки скорости вращения
в машинах разнообразных принципов действия и назначения. В частности, он
используется для регулирования скорости вращения в вертолетных,
турбовинтовых самолетных и дизельных двигателях. Регулирование
производится путем управления подачей топлива в цилиндры двигателя и
заключается в том, что расходящиеся под действием центробежной силы
грузы регулятора воздействуют на рейку топливных насосов, заставляя ее
перемещаться и изменять подачу топлива в цилиндры двигателя, изменяя
скорость вращения вала. Впервые центробежный регулятор скорости
вращения вала был установлен английским изобретателем Дж. Уаттом на вал
паровой машины в 1784 г.
Пример 2 Рассматривается механизм в виде плоского катящегося по
гладкой поверхности диска и свободно висящего груза, прикрепленного к
центру диска на нерастяжимой нити и перекинутого через блок (рисунок 4.2).
Определить ускорение груза w.
Рисунок 4.2 – Схема плоского механизма
На элементы механизма действуют активные силы – силы тяжести P и G,
сила трения Fтр, силы и моменты инерции – сила инерции груза
Rин =
G
w,
g
сила инерции диска
'
Rин
=
P
P
wc = w
g
g
и главный момент сил инерции диска относительно оси его вращения
M ин = J C =
1 P 2 wc 1 P
R
=
Rw,
2g
R 2g
так как угловое ускорение диска выражается через линейное:
=
d d vc
1 dvc wc
=
=
= .
dt dt CCv R dt
R
20
Возможное перемещение, отображающее поворот цилиндра вокруг
мгновенного центра скоростей Cv:
=
sc s
=
.
R
R
Общее уравнение динамики запишется в виде:
Gs − Rин s − R 'ин s − M ин = 0 .
С учетом того, что
s = sc = R,
можно переписать это уравнение в следующем виде:
GR −
G
P
1P
wR − wR −
wR = 0,
g
g
2g
откуда искомое ускорение груза
w=
5
2Gg
.
(2G + 3P)
Принцип освобождаемости от связей и принцип виртуальных
перемещений
Рассмотрим систему n материальных точек mν (рисунок 3.1) и запишем
уравнения ее равновесия:
m r = F + R
( = 1, n),
(5.1)
где Fυ – задаваемые силы, Rυ – реакции связей, m r - действующие на точки
силы инерции. Эти уравнения показывают, что несвободную систему точек
можно рассматривать как свободную, действующую под действием
задаваемых сил и сил реакций связей. В этом и заключается принцип
освобождаемости от связей – он позволяет мысленно отбрасывать связи и
заменять их действием динамически эквивалентных реакций связей, что
увеличивает число степеней свободы системы и позволяет перевести реакции
связей в класс задаваемых сил, используя это в некоторых случаях
исследования динамики механических систем.
Примером применения принципа освобождаемости от связей служит
балка на двух опорах, в которой можно отбросить одну из связей, т.е. опор, и
заменить ее действием опорной реакции, позволяющей вращаться балке
относительно второй опоры, переводя балку в класс систем с одной степенью
свободы (рисунок 5.1).
Если реакция связи нормальна к ней, то элементарная работа реакции на
любом возможном перемещении точки равна нулю, так как сила
Рисунок 5.1 – Применение принципа освобождаемости от связей для балки на двух
опорах
перпендикулярна перемещению. Это иллюстрируется простым примером
21
качения круглого диска по идеальной гладкой поверхности без трения, при
котором реакция всегда перпендикулярна поверхности, а возможное
перемещение направлено перпендикулярно реакции. В этом случае работа
реакции на любом возможном перемещении равна нулю.
Принцип освобождаемости от связей применяется для решения задач, в
которых тела соединены друг с другом и с неподвижным основанием при
помощи связей. Еще одним практическим примером применения принципа
освобождаемости от связей служит обоснование степени совершенства
конструкции машины. Оно характеризуется малостью потерь мощности на
преодоление вредных сопротивлений в конструкции, включающих в себя
потери на трение в элементов в механизмах, внутреннюю вязкость металла
конструкции и материала при деформировании деталей и прочих сил по
сравнению с мощностью основного двигателя машины, приводящего ее в
движение. Эти потери обуславливаются работой реакций связей,
определяющих конструкцию механизма, и при расчете машины в первом
приближении могут быть опущены.
Применение на практике уравнений равновесия твердого тела при
рассмотрении равновесия многомассовых динамических систем сопряжено с
трудностями, заключающимися в необходимости составления большого числа
уравнений. Альтернативой такому подходу служит принцип виртуальных
перемещений, позволяющий использовать представления о возможных
перемещениях системы, в отличие от методов статики твердого тела,
использующих геометрические построения.
Положением равновесия называется такое положение системы, в котором
система будет находиться все время, если в начальный момент времени она
находилась в этом положении и скорости всех ее точек были равны нулю. Если
положение r0i (i = 1, 2, …, n) является положением равновесия, то «движение»
r0i(t) ≡ r0i(i = 1,2, …, n) удовлетворяет общему уравнению динамики (4.3),
которое в этом случае принимает вид:
∑𝑛𝑖=1 𝑭𝒊 𝛿𝒓𝑖 = 0.
(5.2)
Это равенство выражает собой принцип виртуальных перемещений: для
того, чтобы некоторое (совместимое со связями) положение системы было
положением равновесия, необходимо и достаточно, чтобы в этом положении
сумма работ активных сил на любых виртуальных перемещениях системы
равнялась нулю.
Рассматривая в качестве примера две материальные точки, связанные
между собой жестким стержнем, запишем для них принцип виртуальных
перемещений (на точки действуют реакции R1 и R2, направленные вдоль
единичных векторов – e12 и e12 , параллельных оси стержня (рисунок 5.2)):
R1δr1 + R2 δr2 = Re12 δr1 − Re12 δr2 = R(δr1e12 − δr2 e12 ) = 0,
т.е. сумма работ реакций на любом возможном перемещении стержня равна
нулю. Этот результат можно обобщить на твердое тело: сумма работ сил
взаимодействия точек в абсолютно твердом теле равна нулю.
22
Рисунок 5.2 – Две материальные точки,
связанные стержнем
Принцип виртуальных перемещений представляет собой самый общий
принцип аналитической механики. Из него можно получить условия
равновесия любой конкретной механической системы. К достоинствам
принципа виртуальных перемещения относится то, что он позволяет
определять положение равновесия механической системы, не вводя
неизвестных реакций идеальных связей. Кроме того, этот принцип может быть
применен и для нахождения реакций идеальных связей. Для этого в
соответствии с принципом освобождаемости следует отбросить связь и
заменить ее действие реакцией, а затем включить эту реакцию в число
активных сил.
Пример
1
Кривошипно-шатунный
механизм
поршневого двигателя (рисунок 5.3) имеет одну степень
свободы. Положение всех точек системы зависит от угла
поворота ведущего звена ОА. Кривошип ОА закреплен в
точке О шарнирно. Определим усилие F, необходимое для
удержания механизма в равновесии при действии
приложенного момента M.
Возможным перемещением кривошипа ОА будет
поворот на бесконечно малый угол δφ. Поршень движется в
вертикальных направляющих, следовательно, возможные
перемещения δsB и δsC точек В и С штока, совершающего
поступательное движение, направлены вдоль вертикальной
оси. Поскольку возможные перемещения являются
бесконечно малыми величинами, их можно считать
линейными
и
направленными
по
скоростям
Рисунок 5.3 – Схема
соответствующих точек. Тогда для нахождения взаимосвязи
кривошипномежду возможными перемещениями точек можно
шатунного механизма
использовать метод мгновенного центра скоростей в
следующем виде:
s A sB
=
,
AP BP
где s A = OA .
23
Согласно (5.2), сумма работ активных сил на возможных перемещениях
будет равна нулю, т.е
M − F sB = 0,
откуда сила F, уравновешивающая действие приложенного момента M, равна
F =M
AP
=M
.
sB
BP OA
Пример 2 Пример многозвенного механизма, показанного на рисунок 5.4,
иллюстрирует применение принципа виртуальных перемещений в качестве
альтернативы силового анализа устройства, используемого для исследования
динамических систем в теории машин и механизмов.
Рисунок 5.4 – Схема силового анализа механизма силовой установки: а – схема с
обозначениями звеньев; б – схема сил, действующих на звенья: 1, 3 – кривошипы; 2 –
промежуточное звено; 4 – шатун; 5 – ползун; 6 – вращающийся диск
Последний принцип основан на том, что для нахождения усилий в
кинематических парах механизма следует записать уравнения статики,
рассматривая группы звеньев по отдельности и заменяя в них отброшенные
связи реакциями. Например, для показанной на рисунок 5.4 а группы звеньев
ABD можно записать уравнения равновесия, включающие сумму моментов
сил относительно точек O и А и проекцию сил на оси координат x и y:
M ( P ,G, M , R ) = 0,
0
и
дв
2-1
M ( P ,M , R , G) = 0,
A
и
дв
6-1
( P ,R , R , G)
и
2-1
6-1
x, y
= 0.
Если записать аналогичные уравнения равновесия для остальных звеньев, то
можно определить неизвестные реакции в отброшенных связях.
С другой стороны, для нахождения реакций в звеньях целесообразно
воспользоваться принципом виртуальных перемещений, введя в отброшенных
связях возможные перемещения (перемещения δsA, δsB, δsC и δs2 на рисунок 5.4
24
б), и записать условие равенства нулю суммы работ реакций Rni–j и R𝛕i–j на этих
перемещениях.
Сформулированный принцип виртуальных перемещений можно
выразить аналитически через понятия элементарной работы δW, силы Fi и
виртуального перемещения δri тремя эквивалентными уравнениями:
n
W = Fi δri = 0,
i =1
n
W = ( Fix xi + Fiy yi + Fiz zi ) = 0,
(5.3)
i =1
n
W = Fi si cos αi = 0,
i =1
где δsi означает перемещение δxi, а αi – угол между силой Fi и перемещением
δri. Последнее равенство в (5.3) является общим уравнением статики.
Рассмотрим случай действия на механическую систему консервативных
сил Fi, которые могут быть выражены через функцию потенциальной энергии
системы П = П(x1, y1, z1,…, xn, yn, zn):
n
n
i =1
i =1
П
П
П
δxi +
δyi +
δzi ) = −δП. (5.4)
yi
zi
i =1 xi
n
Fi δri = ( Fixδxi + Fiy δyi + Fiz δzi ) = − (
В этом случае выражение принципа возможных перемещений сводится к
условию равенству нулю вариации потенциальной энергии:
(5.5)
δП=0.
Следовательно, принцип возможных перемещений может быть сведен к
необходимому условию экстремальности потенциальной энергии в
положении равновесия системы: необходимое и достаточное условие
равновесия несвободной системы с идеальными связями под действием
консервативных задаваемых сил совпадает с необходимым условием
экстремума потенциальной энергии. Это условие равновесия динамической
системы подробно рассмотрено в разделе 8, содержащим сведения о
нахождении положений равновесия динамических систем в случае действия
консервативных сил.
Пример 1 Двухзвенный механизм с пружинной связью
Рассматриваемый плоский механизм (рисунок 5.5) находится в
положении равновесия. Определить деформацию пружины жесткостью c от
действия на систему крутящего момента M, приложенного к верхнему звену.
В механизме действует момент M и сила упругости пружины F = cx
(рисунок 5.5 б). Возможные перемещения точек A и B, которые одновременно
являются и виртуальными перемещениями точек системы, поскольку связи
являются реономными (рисунок 5.5 б), имеют вид:
δs A =|δrA |=OA δφOA = lδφOA ,
δsB =|δrB |=BPAB δφ AB = BPAB
25
|δrA |
tg 60δφOA = 3lδφOA .
APAB
Рисунок 5.5 – Двухзвенный механизм с упругой связью
Уравнение работ активных сил на возможных перемещениях:
M δφOA − F δsB = 0,
или с учетом F = cλ, (λ – деформация пружины)
M δφOA − cλ 3lδφOA = 0,
откуда искомая деформация пружины
λ=
M 1
.
cl 3
Пример 2 Для конструкции с двумя стержнями, один из которых жестко
защемлен, а второй нагружен распределенной нагрузкой и шарнирно соединен
с подвижной опорой, определить реактивный момент в заделке (рисунок 5.6
а). Интенсивность равномерно распределенной нагрузки q, длины стержней
конструкции AB=l1, BC = l2, угол между опорной плоскостью и горизонталью
α.
Определим искомую реакцию в заделке на основе принципа виртуальных
перемещений, причем в рассматриваемом примере виртуальные перемещения
одновременно будут являются и возможными вследствие того, что связи
реономны. Отбросим связь, ограничивающую поворот верхнего стержня, и
заменим ее реакцией в виде момента MA (рисунок 5.6 б). Распределенную
нагрузку заменим сосредоточенной силой Q = ql2, приложенной в центре
пролета BC. Сообщим возможные перемещения стержню AB, повернув его на
угол δφАВ. Тогда стержень BC повернется на угол δφВС вокруг мгновенного
центра скоростей PBC, который находится на пересечении перпендикуляра к
стержню BC в точке B и перпендикуляру к опорной плоскости в точке C
опирания шарнира. Точка конструкции B получит возможное линейное
перемещение δrВ:
| rB |= AB AB = l1 AB ,
а точки C и E получат возможные перемещения δrС и δrE, выражаемые как
26
Рисунок 5.6 – Стержневая система: а – схема действующих нагрузок; б - схема
внутренних усилий и возможных перемещений
произведения расстояний от них до мгновенного центра скоростей EPBC и
СPBC на возможный угол поворота стержня BC:
EP
rB
= BC l1 AB ,
BPBC BPBC
CP
r
| rC |= CPBC BC = CPBC B = BC l1 AB .
BPBC BPBC
| rE |= EPBC BC = EPBC
Запишем уравнение работ моментов на соответствующих возможных
углах поворота:
М А AB − (Q BE ) BC = 0,
откуда
М А = Q BE
причем
i=
BC
= Q BE i,
AB
BC BC S B
BC
AB AB
l
AB
=
=
=
= 1 .
AB S B AB BPBC BC AB
BPBC l2tg
Окончательное выражение для момента в заделке:
М А = Q BE i =
27
1
ql1l2ctg
2
Варианты индивидуальных заданий на применение принципа
виртуальных (возможных) перемещений
Вариант 1
Вариант 2
Определить величину сжатия пружины CA,
при которой система под действием
внешней силы F и крутящего момента M
находится в равновесии. Жесткость
пружины c, соотношение длин звеньев l2 =
2l1.
Вариант 3
Определить величину сжатия пружины
CD, при которой система под действием
внешней силы F и крутящего момента M
находится в равновесии. Жесткость
пружины c, соотношение длин звеньев l1 =
l3 = l4 = l2/2.
Вариант 4
Определить величину сжатия пружины CD,
при которой система под действием
внешней силы F и крутящего момента M
находится в равновесии. Жесткость
пружины c, соотношение длин звеньев l1 = Определить величину сжатия пружины
l3 = l2/2.
AC, при которой система под действием
внешней силы F и крутящих моментов M1
и M2 находится в равновесии. Жесткость
пружины c, соотношение длин звеньев l1 =
l3 = l2/2.
28
Вариант 5
Вариант 6
Определить величину сжатия пружины AD,
при которой система под действием
внешней силы F и крутящих моментов M1 и
M2 находится в равновесии. Жесткость
пружины c, соотношение длин звеньев lBC =
l2 = lOB = l1 = lAB = l3/2.
Определить величину сжатия пружины
AD, при которой система под действием
внешней силы F и крутящих моментов M1
и M2 находится в равновесии. Жесткость
пружины c, соотношение длин звеньев lOA
= l1 = lOB = l2 = lBC = l3.
Вариант 7
Вариант 8
Определить величину сжатия пружины BD,
при которой система под действием
внешней силы F и крутящего момента M
находится в равновесии. Жесткость
пружины c, соотношение длин звеньев l1 =
l2/2.
Определить величину сжатия пружины
AC, при которой система под действием
внешней силы F и крутящего момента M
находится в равновесии. Жесткость
пружины c, соотношение длин звеньев l1 =
l3 = l2/2.
6 Принцип Даламбера
В курсе теоретической механики при рассмотрении несвободного
движения материальной точки применяется принцип Даламбера. Запишем
дифференциальное уравнение движения материальной точки:
miw =𝑭 + R,
(6.1)
где w – ускорение точки;
m – масса;
F – равнодействующая активных сил;
R – реакция связи.
29
Введем обозначение для силы инерции
Ф = –mw
(6.2)
и перепишем уравнение (2.1) в следующем виде:
F + R + Ф = 0.
(6.3)
Рассмотрим теперь систему n материальных точек, на которые наложены
идеальные связи. Для каждой точки системы можно написать
Fi + Ri + Фi = 0.
(6.4)
Умножая полученное уравнение скалярно на соответствующее виртуальное
перемещение δri и складывая полученные соотношения, получим
n
(F + R + Ф ) r = 0 .
i
i
i
(6.5)
i
i=1
Поскольку связи идеальные, то
n
R r = 0 .
i
(6.6)
i
i=1
Следовательно, (2.5) можно переписать в виде
n
n
(F + Ф ) r = (F + m w ) r = 0 .
i =1
i
i
i
i =1
i
i
i
i
(6.7)
Полученное уравнение выражает принцип Даламбера, заключающийся в
следующем [5]: при движении системы любое ее положение можно
рассматривать как положение равновесия, если к активным силам,
действующим на систему в этом положении, прибавить фиктивные силы
инерции.
Принцип Даламбера позволяет перенести методы решения статических
задач на задачи динамики. В частности, он позволяет статическими методами
определять динамические реакции. Действительно, в положении равновесия
реакции Ri отличаются только направлением от 𝑭𝒊 – miwi:
𝑭𝒊 – miwi = – Ri
(i = 1, 2, …, n) (6.8)
Но тогда
miwi = 𝑭𝒊 + Ri ,
(6.9)
т.е. определенные с помощью принципа Даламбера реакции являются
искомыми динамическими реакциями.
Приведенную выше формулировку принципа Даламбера можно
дополнить следующим положением: рассматривая силы инерции в качестве
дополнительных активных сил, приложенных к точкам системы, можно
данную динамическую задачу заменить новой статической задачей.
Статические реакции в новой задаче совпадают с искомыми реакциями в
исходной динамической задаче. Таким образом, принцип Даламбера позволяет
для составления уравнений движения несвободных механических систем
использовать уравнения статики, что актуально для решения прямой задачи
динамики, заключающейся в определении действующих на систему сил по ее
заданному движению.
Проиллюстрируем применение принципа Даламбера на нескольких
примерах.
30
Пример 1 Вибрационная машина с кинематическим приводом
Рассматривается вибрационная машина с кинематическим приводом
(рисунок 6.1). Рабочий орган 1 машины массой m соединен с неподвижной
стойкой 2 пружиной 3 жесткостью c и демпфером 4 c коэффициентом
сопротивления b. Гармонические колебания рабочего органа 1 вызываются
кривошипно-шатунным механизмом с кривошипом 5, шатуном 6 и штоком 7.
Составить уравнение движения рабочего органа машины и построить
амплитудно-частотную характеристику силы, действующей в приводе
машины.
Рисунок 6.1 – Схема вибрационной машины
Полагая малым отношение длины кривошипа r к длине шатуна l, т.е. r/l
<< 1, запишем уравнение движения рабочего органа:
x = r cos t ,
(6.10)
где ω – угловая скорость вращения кривошипа.
Запишем согласно принципу Даламбера уравнение динамического
равновесия рабочего органа:
(6.11)
J + B + S + F = 0,
где J = − mx – сила инерции;
B = −bx – сила сопротивления демпфера;
S = −сх – сила упругости пружины;
F – сила штока 7.
Тогда уравнение движения рабочего органа принимает следующий вид:
mx + bx + cх = F .
(6.12)
После подстановки в него координаты рабочего органа в виде (6.10),
получим
F = Fa cos(t + ),
где
Fa = mr (02 − 2 ) 2 + 4h 2 2 ,
= arctg
h=
(6.13)
2h
,
− 2
2
0
b
c
, 0 =
.
2m
m
Амплитуда силы, возникающей в приводе, достигает минимального
значения при = 0 2 − 2h2 :
31
Fa min = 2mrh 02 − h 2 .
(6.14)
В случае отсутствия диссипативных сопротивлений минимальное
значение силы F = 0 достигается при совпадении вынужденной и собственной
частот колебаний системы, т.е. при = 0 .
При = 0 амплитуда силы в приводе
(6.15)
Fa 0 = mr 02 .
Амплитудно-частотные характеристики усилия в приводе вибрационной
машины, построенные по формуле (6.13) при различных коэффициентах
демпфирования h, приведены на рисунок 6.2.
Рисунок 6.2 – Амплитудно-частотные характеристики силы Fa, возникающей в
приводе вибрационной машины
Таким образом, резонанс в рассматриваемой динамической системе
сопровождается снижением силы в приводе. Поэтому вибрационные машины
с приводом с кинематическим возбуждением наиболее эффективно работают
при настройке на резонансный режим. Однако усилия в приводе во время
пуска вибрационной машины с кинематическим возбуждением могут
существенно превышать значения усилий, действующих в приводе в рабочем
(резонансном) режиме.
Примечание В резонансных вибрационных машинах с эксцентриковом
приводом (рисунок 6.3) решение проблемы затрудненного пуска машины в
связи с повышенными нагрузками на привод достигается несколькими
способами [2, 8].
В первом способе используют механизм с регулируемой величиной
эксцентриситета (рисунок 6.3 а). Такой привод состоит из двух
эксцентриковых втулок 1 и 2, размещенных одна в другой. Относительным
поворотом втулок регулируется величина эксцентриситета от нуля до
максимума. Перед пуском машины эксцентриситет уменьшают до минимума,
затем запускают двигатель машины и по мере его разгона увеличивают
эксцентриситет до достижения им эксплуатационной величины.
32
а
б
в
г
д
Рисунок 6.3 – Принципиальные схемы эксцентриковых приводов с силой, регулируемой
в период запуска: а – привод с регулируемым эксцентриситетом; б – привод с не вполне
жестким шатуном с винтовыми пружинами; в – привод с не вполне жестким шатуном с
резино-металлическими элементами; г – привод с не вполне жестким шатуном с
рессорами; д – вал с плавающим креплением шатуна
Второй способ предполагает использование механизма привода с не
вполне жестким шатуном. Особенность работы такого привода заключаются в
том, что усилия, необходимые для растяжения амортизатора, увеличиваются в
соответствии с возрастанием скорости их приложения, поэтому в период
запуска двигателя амортизатор испытывает большие деформации и не создает
повышенных усилий на привод машины, а при номинальных скоростях он
работает практически как жесткое звено. Пример конструкции такого привода
показан на рисунок 6.3 б. Привод состоит из двух половин 1 и 2 с насаженными
на них винтовыми пружинами 3 и 4, поджатыми друг к другу с начальным
натягом. Начальный натяг подбирают таким образом, чтобы сила
предварительного поджатия пружин лишь незначительно превосходила силы
сопротивления в установившемся режиме движения вибромашины, и при
такой настройке в рабочем режиме сила, возникающая в приводе, не
превышает величину предварительного поджатия пружин, и привод работает
как жесткий элемент. В период запуска вибромашины возникающие в приводе
повышенные нагрузки компенсируются деформацией пружин. В приводах
других модификаций в качестве упругих элементов используют плоские
33
рессоры 1 (рисунок 6.3 в) или резино-металлические упругие элементы 1
(рисунок 6.3 г). К недостаткам таких приводов относятся удары и шум,
возникающие при запуске. В некоторых конструкциях вибромашин
используют привод с «плавающим» креплением шатуна (рисунок 6.4 д), в
котором привод состоит жесткого шатуна 1 с валом 2, на который насажен
эксцентрик 3. Вал перемещается с помощью пружин 4 в подшипниковых узлах
5, закрепленных в раме 6. В период пуска привода, когда он испытывает
значительные
сопротивления,
пружины
обеспечивают
небольшие
горизонтальные перемещения вала и способствуют снижению амплитуды
колебаний шатуна и возникающих в нем нагрузок.
Описанные здесь механизмы не исчерпывают многообразие конструкций
приводов резонансных вибромашин с кинематическим возбуждением,
которые позволяют снизить сопротивления в период пуска машины [4].
Пример 2 Планетарная мельница
В примере определяется диапазон скоростей вращения планетарной
мельницы, обеспечивающих рациональный режим измельчения материала.
Известны три типа движения мелющих тел (загрузки) в планетарной
мельнице – каскадный, водопадный и планетарный (рисунок 6.4) [7]. Наиболее
эффективным режимом движения является водопадный режим, поскольку в
нем мелющие тела при соударении с материалом имеют максимальную
скорость движения: тело поднимается в верхнюю часть корпуса барабана
мельницы, приобретая потенциальную энергию, и падает в слой материала,
обеспечивая измельчение частиц. Кинетическая энергия шаров в момент
соударения с материалом в этом режиме движения максимальна по сравнению
с другими режимами.
а
б
в
Рисунок 6.4 – Режимы движения загрузки: а – каскадный; б – водопадный; в –
центрифугальный
Для отыскания максимальных и минимальных угловых скоростей
движения загрузки используется расчетная схема (рисунок 6.5), в которой
анализируется движение одиночного мелющего тела. Переносным движением
барабана будет являться его перемещение по отношению к водилу, а
34
переносным – вращение барабана относительно своего центра масс, т.е. по
отношению к системе координат X1AY1.
а
б
Рисунок 6.5 – Расчетная схема к определению скорости мелющего тела в барабане
мельницы:
а – минимальной; б – максимальной
На тело, находящееся в произвольной точке барабана, действуют сила
тяжести G, реакция связи NB и сила трения Fт = fNB, где f – коэффициент трения
скольжения. Введем неподвижную систему координат ОX0Y0 и подвижную
систему AX1Y1 так, как это показано на рисунок 6.5 а.
Применим для расчета принцип Даламбера и добавим силу инерции,
действующую на мелющее тело:
и
F и = −ma A − maBA = FAи + FBA
,
(6.16)
где т – масса мелющего тела; FиA – переносная сила инерции; FиBA –
относительная
сила
инерции.
Поскольку
переносное
движение
поступательное (ωпер = 0), кориолисова сила равна нулю. Инерционные
центробежные силы направлены вдоль соответствующих радиусов r и R и
определяются выражениями:
и
FBA
= m2 r ; FAи = m02 ( R + r ) ,
(6.17)
где ω – угловая скорость вращения барабана; ω0 – угловая скорость водила; r
– радиус барабана; R – радиус водила.
Введем обозначение геометрического критерия радиусов барабана и
водила k = r/R, откуда r = kR.
Поскольку точка соприкосновения окружностей радиусами R и r в данном
случае является мгновенным центром скоростей, линейная скорость точки А
vA = ωr = υBA. При этом vA = ω0(R+r), откуда ωr = ω0/(R+r), или
0 =
r
r
=
.
R+r
R+r
35
(6.18)
С учетом геометрического критерия k получим связь для угловых
скоростей водила и барабана:
k
(6.19)
0 =
.
1+ k
Углы поворота водила и барабана связаны между собой аналогичной
зависимостью:
k
(6.20)
0 =
.
1+ k
С учетом этого формулы (6.17) для инерционных сил принимают вид:
и
FBA
=
m2 Rk 2
; FAи = m2 kR .
1+ k
(6.21)
Рассмотрим условие подъема тела вместе с барабаном. Тело
удерживается на поверхности барабана и поднимается вверх за счет силы
трения. Согласно принципу Даламбера условия равновесия тела в точке В в
общем виде можно записать
и
G + Fт + N B + FАи + FBА
= 0.
(6.22)
В проекции на ось, совпадающую с касательной к окружности барабана
в точке B, условие удержания тела на его поверхности примет вид
Fт = G sin + FАи sin( − 0 ) .
(6.23)
В свою очередь, сила трения
и
Fт = fN = f [ FBА
+ G cos + FАи cos( − 0 )] .
(6.24)
Тогда общее уравнение равновесия после подстановки выражений для
инерционных сил (6.22) можно записать в виде
f [m2 Rk + mg cos +
m2 Rk 2
m2 Rk 2
cos( − 0 )] = mg sin +
sin( − 0 ) . (6.19)
1+ k
1+ k
После сокращения массы и проведения ряда преобразований можно
рассчитать угловую скорость, достаточную для подъема тела на определенный
угол φ:
=
g (1 + k )(sin − f cos )
.
kR[ f (1 + k ) + fk cos( − 0 ) − k sin( − 0 )]
(6.25)
Для обеспечения помола в барабанных мельницах наиболее
эффективным является водопадный режим, который обеспечивается при
подъеме мелющих тел на угол, больший 90°. При подстановке в формулу
(6.20) значения угла φ = π/2 получим минимальную критическую угловую
скорость, необходимую для обеспечения такого режима:
min =
g (1 + k )
.
kR[ f (1 + k ) + fk sin 0 − k cos 0 ]
(6.26)
Верхнее значение критической скорости можно получить из условия
наступления центрифугального режима, при котором мелющие тела движутся
без отрыва от стенок барабана, и помол материала практически не происходит.
Условием наступления такого режима является наличие безотрывного
положения мелющего тела в верхней точке барабана, причем такое условие
должно выполняться при нахождении барабана в нижнем положении, когда
36
относительная и переносная силы инерции направлены в противоположные
стороны (рисунок 6.5 б). Условие равновесия мелющего тела в верхней точке:
и
G + N B + FАи + FBА
= 0.
(6.27)
После учета выражений для инерционных сил (6.17) уравнение (6.27) сводится
к виду
m2 kR − mg −
m2 Rk 2
= 0.
1+ k
(6.28)
откуда величина максимальной критической скорости вращения барабана
определяется из выражения
max =
g (1 + k )
.
kR
(6.29)
Анализ выражений для критических скоростей (6.28) и (6.29)
целесообразно выполнять для одного фиксированного радиуса. В диапазоне
изменения параметра k = 0,1…1,0 максимальная скорость практически не
зависит от соотношения радиусов R и r водила и барабана и полностью
определяется величиной одного из них (рисунок 6.6, [1]).
Рисунок 6.6 – Зависимость критической скорости вращения барабана от отношения
радиусов k = r/R [1]
Зависимость минимальной критической угловой скорости вращения от
отношения радиусов k = r/R и коэффициента трения f может быть получена из
условия положительности знаменателя формулы (6.28):
f (1 + k ) + fk sin 0 − k cos 0 0 .
(6.30)
Для определения критической угловой скорости при фиксированных
значениях
k
определяют
диапазоны
коэффициента
трения
f,
удовлетворяющего условию (6.30), и получают зависимости минимальной
критической угловой скорости от коэффициента трения для разных k (рисунок
6.7) [1].
На приведенных зависимостях ω(f) прямыми линиями показана
максимальная критическая угловая скорость ωmax. Из графиков на рисунок 6.7
видно, что для каждого отношения радиусов k существование водопадного
режима возможно только начиная с некоторого определенного значения
коэффициента трения скольжения в области скоростей вращения барабана, где
ωmin < ωmax. Эта величина существенно зависит от отношения радиусов
37
а
б
в
Рисунок 6.7 – Зависимости критических частот вращения барабана от коэффициента
трения при различных отношениях радиусов r/R: а – при k = 0,25; б – при k = 0,5; в – k = 1
[1].
r/R: чем больше радиус барабана r по сравнению с радиусом водила R, тем
меньше такое минимальное значение коэффициента трения (рисунок 6.8).
Рисунок 6.8 – Зависимость минимального коэффициента трения, обеспечивающего
водопадный режим движения загрузки, от отношения радиусов k = r/R [1].
38
Из полученных зависимостей видно, что в исследуемом диапазоне k = r/R
большинство минеральных материалов, для которых величина коэффициента
трения по стали находится в диапазоне f = 0,5…0,8, будет подниматься по
внутренней поверхности барабана при отношении радиусов k = r/R, большим
0,5, но при этом стальные или чугунные шары с f = 0,15…0,3 не могут
подняться даже при одинаковых радиусах r и R. В практике применения
планетарных (а также барабанных) мельниц для решения этой проблемы
внутреннюю поверхность барабана покрывают специальной футеровкой [7].
7
Обобщенные координаты и обобщенные силы
Пусть дана система n материальных точек с геометрическими или
кинематическими, но интегрируемыми связями. Такие системы принято
называть голономными. Связи в этом случае описываются уравнениями:
fi (xi, yi, zi, t) = 0,
(i = 1, 2, …, k) (7.1)
причем все k уравнений являются независимыми. Время t в уравнениях (7.1)
играет роль параметра, поэтому функции fi содержат 3n аргументов. Из
уравнений (7.1) можно выразить k координат как функции 3n – k остальных
координат и времени. Тогда эти 3n – k уже независимых координат будут
определять положение всех точек системы в момент времени t. Однако в
качестве таких независимых координат могут быть взяты любые другие
координаты. Тогда все 3n декартовых координат можно выразить в виде
функций от N = 3n – k независимых параметров q1, q2, …, qN и от времени t:
xi = xi(t,q1,q2, …, qN); yi = yi (t, q1, q2, …, qN);
zi = zi (t,q1,q2,…,qN); (i = 1, 2, …, n).
(7.2)
Эти функции после подстановки их в уравнения связи (7.1) обращают эти
уравнения в тождества. Кроме того, предполагается, что любое положение
системы совместимое со связями в данный момент времени может быть
получено из равенств (7.2) при некоторых значениях параметров q1, q2, …, qN.
Число независимых параметров q1, q2, …, qN совпадает с числом степеней
свободы системы N = 3n – k. Величины q1, q2, …, qN называются независимыми
обобщенными координатами системы. Для каждого момента времени t между
возможными положениями системы и точками некоторой области в N-мерном
пространстве (q1, q2, …, qN) устанавливается взаимно-однозначное
соответствие, т.е. каждому положению системы в момент времени t
соответствует точка в указанном пространстве, которая изображает это
положение.
Движению системы отвечает движение точки в координатном (фазовом)
пространстве (q1, q2, …, qN).
Производные по времени от обобщенных координат называются
обобщенными скоростями и обозначаются
39
q1 , q2 , , qN .
(7.3)
Пример 1 Частица материала на наклонной вибрирующей
поверхности.
Частица
материала
находится
на
наклонной поверхности, расположенной под
углом α к горизонту и колеблющейся под
действием гармонической силы Asin(ωt),
наклоненной под углом β к поверхности
(рисунок 7.1). При рассмотрении
Рисунок 7.1 – Частица на наклонной
движения частицы в плоскости в режиме
вибрирующей поверхности
с отрывом от грузонесущей поверхности
ее положение характеризуется двумя
координатами – x и y, которые можно принять в
качестве обобщенных координат.
Пример 2 Положения грузов двухзвенного
маятника массами m1 и m2 определяется двумя
углами отклонений стрежней от вертикали – φ1 и
φ2 (рисунок 7.2), которые можно принять за
обобщенные координаты системы. С другой
стороны, в качестве обобщенных координат
можно принять горизонтальные y1 и y2 или
вертикальные x1 и x2 координаты каждого груза
маятника.
Рисунок 7.2 –
Пример 3 Положение в пространстве
Двухзвенный маятник
твердого тела задается шестью обобщенными
координатами: тремя линейными координатами центра тяжести и тремя
эйлеровыми углами: xC, yC, zC и φ, ψ и θ (рисунок 7.3).
Каждой координате qi соответствует
своя обобщенная сила Qi, которая
определяется
следующим
образом.
Рассмотрим
элементарную
работу
активных
сил
на
виртуальных
перемещениях:
δА = ∑𝑛𝑖=1 𝑭𝒊 δ𝒓𝑖 .
(7.4)
Каждое виртуальное перемещение
δ𝒓𝑖 в силу соотношений (7.2) можно
выразить через виртуальные перемещения
обобщенных координат:
Рисунок 7.3 – Твердое
𝜕𝒓𝒊
𝛿𝒓𝑖 = ∑𝑁
δ𝑞𝑚 , (i = 1, 2,…, n). (7.5)
𝑚=1
тело в пространстве и
𝑞𝑚
Подставим (7.5) в правую часть координаты его положения
соотношения (7.4) и выразим элементарную
работу активных сил через виртуальные перемещения независимых
обобщенных координат:
40
δ𝐴 = ∑𝑛𝑖=1 𝑭𝑖 ∑𝑁
𝑚=1
𝜕𝑟𝒊
𝑞𝑚
𝑛
δ𝑞𝑚 = ∑𝑁
𝑚=1 (∑𝑖=1 𝑭𝑖
𝜕𝒓𝒊
𝑞𝑚
) δ𝑞𝑚 = ∑𝑁
𝑚=1 𝑄𝑚 δ𝑞𝑚 . (7.6)
Коэффициенты при δ𝑞𝑚 в этом выражении называются обобщенными
силами. Они определяются равенствами:
𝜕𝒓
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝜕𝑧
𝑄𝑚 = (∑𝑛𝑖=1 𝑭𝑖 𝒊) = ∑𝑛𝑖=1(𝐹𝑖𝑥 𝑖 + 𝐹𝑖𝑦 𝑖 + 𝐹𝑖𝑧 𝑖 ) (m = 1, 2, … , N). (7.7)
𝑞𝑚
𝜕𝑞𝑚
𝜕𝑞𝑚
𝜕𝑞𝑚
Нахождение обобщенных сил, соответствующих обобщенным
координатам, является важнейшей задачей при анализе поведения
материальных систем методами аналитической динамики. Рассмотрим
несколько примеров нахождения обобщенных сил.
Пример 4 Твердое тело может двигаться только поступательно вдоль оси
х. Тогда количество степеней свободы N = 1, и в качестве независимой
координаты, однозначно определяющей положение тела, естественно взять
абсциссу какой-либо точки тела. При этом виртуальная работа δА = Х‧δх, где
Х – сумма проекций на ось х всех активных сил, действующих на тело.
Очевидно, что Х является обобщенной силой, соответствующей по координате
х.
Пример 5 Твердое тело может совершать только вращательное движение
вокруг некоторой неподвижной оси z. Соответствующий угол поворота φ
можно принять в качестве независимой обобщенной координаты. Тогда
δА=Lzδφ, где Lz – суммарный момент всех активных сил относительно оси
вращения. Следовательно, Lz является обобщенной силой, соответствующей
координате φ.
Из приведенных примеров видно, что обобщенные силы не являются
силами в обычном понимании. Их размерность зависит от размерности
соответствующей обобщенной координаты. Если координата имеет
размерность длины, то обобщенная сила Q имеет размерность силы (Н). Если
q – угол, то Q имеет размерность момента силы (Н∙м). Приведем теперь более
сложные примеры нахождения обобщенных сил,
основанные на использовании формулы (7.7).
Пример 6 Однородный стержень ОА весом G
и длиной 2l может вращаться в вертикальной
плоскости (рисунок 7.4). К точке А стержня
приложена действующая в этой же плоскости сила
F под заданным углом α к стержню. Требуется
найти обобщенную силу Qφ, соответствующую
обобщенной координате φ. Составим проекции сил
на оси декартовых координат:
Gx = 0; Gy = G; Fx = – F sin(α – φ);
Рисунок 7.4 – Однородный
Fy = F‧cos(α – φ).
стержень, закрепленный на оси
Выразим теперь декартовы координаты
вращения O
точек приложения l сил через обобщенную
координату φ:
xc = lcosφ; yc = lsinφ; xA = 2lcosφ; yA = 2lsinφ.
41
Проекции сил на ось z и соответствующие z – координаты точек их
приложения – равны нулю.
Применим формулу (7.7):
Qφ = 0·(–lsinφ)+G(lcos φ)+(–Fcos –φ))·(–2lsinφ)+
+Fsin(α–φ)·(2lcosφ)–Glcosφ+2Fl(sinφcos(α–φ)+cosφsin(α–φ)) =
= – Glcosφ+2Flsin(φ+α–φ)=–Glcosφ+2Flsinα=Mz(G)+Mz(F).
Здесь также, как и в предыдущем примере, обобщенной силой,
соответствующей обобщенной координате φ, является суммарный момент
всех активных сил относительно оси вращения.
При решении практических задач анализа систем, обладающих
несколькими степенями свободы, обычно поступают следующим образом.
Системе дают такое элементарное виртуальное перемещение, при котором
только одна, например, i–я координата получает некоторое приращение
(вариацию), а остальные координаты остаются постоянными. После этого
вычисляют работу активных сил на таком специально выбранном
перемещении. Тогда δAi = Qiδqi , а Qi = δAi/δqi . Проиллюстрируем этот способ
на следующем примере.
Пример 7 Система грузов 1, 2 и 3 с массами m1,
m2 и m3 движется в вертикальной плоскости под
действием силы тяжести (рисунок 7.5). Массы блоков
и тросов пренебрежимо малы. Требуется выбрать
обобщенные координаты и найти соответствующие
им обобщенные силы. Нетрудно видеть, что система
обладает двумя степенями свободы, поскольку
положение грузов может быть определено двумя
координатами. В качестве обобщенных координат
выберем вертикальную координату х – расстояние от
центра тяжести груза 1 до горизонтальной линии,
проходящей через центр соответствующего блока, и ξ
– расстояние от центра тяжести груза 2 до
горизонтальной линии, проходящей через центр
соответствующего блока. Пусть сначала δх ≠ 0; δξ = 0.
Тогда виртуальная работа равна:
δA1 = m1gδх – (m2 + m3)gδх,
Рисунок 7.5 – Система
откуда Q1 = Qх = (m1 – (m2 + m3))g.
грузов и блоков
Пусть теперь δх = 0; δξ ≠ 0.
В этом случае виртуальная работа определяется выражением:
δA2 = m2gδξ–m3gδξ,
откуда
Q2 = Qξ = (m2 – m3))g.
Пусть некоторое положение системы является положением равновесия. В
этом случае согласно принципу виртуальных перемещений должно
выполняться равенство:
42
∑𝑛𝑖=1 𝑭𝒊 𝛿𝒓𝑖 = 0.
С учетом равенства (7.6) имеем:
𝛿𝐴 = ∑𝑁
(7.8)
𝑚=1 𝑄𝑚 𝛿𝑞𝑚 = 0.
Поскольку обобщенные координаты независимы и могут принимать
произвольные значения, полученное равенство выполняется лишь тогда, когда
все обобщенные силы равны нулю:
Qi = 0,
(i = 1, 2, … , N)
(7.9)
Таким образом, положение голономной системы является положением
равновесия в том и только в том случае, когда в этом положении все
обобщенные силы равны нулю.
8 Устойчивость положений равновесия механических систем. Теорема
Лагранжа-Дирихле. Критерий Сильвестра
Состояние равновесия механической системы называется устойчивым,
если система, выведенная из этого положения малым возмущением, будет
совершать малые колебания около положения равновесия при отсутствии сил,
вызывающих затухание колебаний (сил сопротивления), или возвратится в это
положение при наличии таких сил. Наоборот, положение равновесия системы
называется неустойчивым, если при сколь угодно малом отклонении системы
из положения равновесия она будет удаляться этого положения.
Будем определять положение системы при помощи независимых
обобщенных координат q1, q2, … , qk, число которых равно числу степеней
свободы системы.
Условимся вести отсчет начальных координат от рассматриваемого
положения равновесия, т.е. считать, что этому положению соответствуют
нулевые значения обобщенных координат q1, q2, … , qk. Начальные значения
обобщенных координат и скоростей (в момент t = 0) обозначим
соответственно q 0j , q 0j , а их текущие значения (т. е. значения в любой момент
времени) через q j и q j (j = 1, … k). Согласно приведенному выше определению,
исследуемое равновесное положение устойчиво, если при наперед выбранных
положительных, достаточно малых ε и ε1 можно указать такие зависящие от ε
и ε1 положительные числа η и η1, что при
| q 0j | , | q 0j | 1
(8.1)
все текущие значения координат q j и q j обобщенных скоростей по
абсолютному значению останутся при любом t, как бы велико оно ни было,
меньшими, чем ε и ε:
| q j | , | q j | 1 .
(8.2)
Например, нижнее вертикальное положение маятника устойчиво, так как,
задавшись произвольными углом отклонения маятника от вертикали = и
угловой скоростью = 1 , можно указать такие неравные одновременно нулю
и зависящие от ε и ε1 границы значений для начального угла отклонения
маятника 0 и начальной скорости 0 , что в последующем движении
43
маятника | | и | | не превзойдут при любом t величин ε и ε1. Наоборот, верхнее
вертикальное положение маятника будет неустойчивым.
Лагранж установил следующее достаточное условие устойчивости
равновесия голономной системы с идеальными связями в консервативном
силовом поле: если в некотором положении консервативной системы,
подчиненной идеальным, голономным связям, потенциальная энергия имеет
минимум, то это положение устойчивого равновесия. Точное доказательство
этой теоремы дал Лежён Дирихле.
Напомним, что в положении равновесия потенциальная энергия
удовлетворяет необходимым условиям экстремальности и согласно (7.9) все
обобщенные силы в положении равновесия равны нулю:
Qi =
П
=0 ( j = 1, ..., k ).
qi
(8.3)
Согласно теореме Лагранжа-Дирихле, если этот экстремум представляет
минимум, то положение равновесия устойчиво. Так, в нижнем вертикальном
положении маятника потенциальная энергия имеет минимум по сравнению со
своими значениями в любых других положениях маятника; это положение
соответствует устойчивому положению равновесия маятника.
Если в положении равновесия, определяемом значениями координат (0,
0, …, 0), потенциальная энергия принимает минимальное свое значение,
равное нулю, то по определению минимума можно вблизи положения
равновесия указать такую область значений координат
| qj | ,
что внутри и на границах этой области значения потенциальной энергии будут
положительны (это – так называемая область
минимума функции).
Отметим, что надлежащим выбором
начала отсчета системы координат всегда
можно обеспечить, чтобы в положении
равновесия, соответствующем значениям
координат (0, 0, …, 0), потенциальная
энергия была нулевой (рисунок 8.1).
Теорема Лагранжа-Дирихле содержит
утверждение об устойчивости равновесия
системы в том ее положении, где Рисунок 8.1 – Положение равновесия
на графике потенциальной энергии
потенциальная энергия задаваемых сил
достигает минимума, но ничего не говорит о
характере устойчивости положения равновесия, в котором потенциальная
энергия имеет максимум. Рассмотрение этого важного случая содержится в
теоремах Ляпунова.
Разложим потенциальную энергию в степенной ряд вблизи положения
равновесия системы (q1 = q2 = … = qk = 0), сходимость которого в области
достаточно малых значений qj обеспечена:
44
П
1 n n 2 П
)0 q j + (
) 0 qi q j + П * .
2 j =1 i =1 q j qi
j =1 q j
n
П (q1 , q2 ,..., qk ) = П0 + (
(8.4)
Принимая во внимание, что в точке (0, 0, ..., 0) потенциальная энергия
принята равной нулю и что по условию экстремума равны нулю и все ее
первые производные в этой точке, разложение потенциальной энергии (8.4)
будет представлено в виде суммы квадратичной формы обобщенных
координат и слагаемых более высокого порядка малости:
П (q1 , q2 ,..., qk ) =
1 n n 2 П
)0 qi q j + П * = П2 + П * .
(
2 j =1 i =1 q j qi
(8.5)
При этом квадратичную форму П2 можно представить в виде суммы
П2 =
1 n n
сij q j qi ,
2 j =1 i =1
(8.6)
с коэффициентами cij, для которых выполняется равенство
сij = с ji (i, j = 1, 2, ... , k ) .
(8.7)
Известно, что если члены второго порядка в разложении (8.6)
представляют знакоопределенную положительную квадратичную форму, то
функция П при достаточно малых значениях аргументов остается
положительной, т. е. имеет в начале координат минимум. Если же эта
квадратичная форма знакопостоянна и положительна, то суждение о наличии
или отсутствии минимума П не может быть получено из рассмотрения членов
второго порядка и требует привлечения членов высших порядков.
Точно так же функция П будет иметь в начале координат максимум, если
члены второго порядка в разложении П2 образуют знакоопределенную
отрицательную форму. Если же эти члены представляют знакопостоянную
отрицательную форму, то суждение о наличии максимума не может быть
высказано без привлечения к рассмотрению членов высших порядков.
В том случае, когда квадратичная форма П2 может принимать как
положительные, так и отрицательные значения (является знакопеременной),
функция П не имеет в начале координат ни максимума, ни минимума.
Приведем здесь формулировку теорем Ляпунова.
Первая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если отсутствие
минимума потенциальной энергии узнается по членам второго порядка в
разложении потенциальной энергии без необходимости рассматривать члены
более высоких порядков.
Вторая теорема Ляпунова. Равновесие неустойчиво, если потенциальная
энергия имеет максимум и наличие этого максимума может быть установлено
из рассмотрения членов наименее высокого порядка, которые имеются в
разложении потенциальной энергии в степенной ряд.
Для суждения об устойчивости положения равновесия консервативной
системы по виду знакоопределенности квадратичной формы в разложении в
ряд потенциальной энергии (8.5) служит критерий Сильвестра: система
находится в положении устойчивого равновесия, если квадратичная форма
потенциальной энергии этой системы положительна, что возможно тогда и
45
только тогда, когда все диагональные миноры матрицы квадратичной формы
положительны.
Согласно этому критерию, для устойчивости положения равновесия q1 =
q2 = … = qk = 0 системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты cij
квадратичной формы П2 в разложении (8.12), составляющие матрицу
с11
с12
... с1k
...
C = с j1
с j1
... с jk
(8.8)
...
сk1
сk 2
... сkk
удовлетворяли следующим условиям:
11 = с11 0;
2 = с11с22 − с122 0;
2
3 = с11с23с33 + с12с23с13 + с13с12с23 − с132 с22 − с11с23
− с122 с33 0;
(8.9)
…
k = det (C ) 0.
Таким образом, критерий Сильвестра позволяет на основе использования
системы простых неравенств судить об устойчивости положения равновесия
консервативной системы.
Рассмотрим примеры применения теоремы Лагранжа-Дирихле и
критерия Сильвестра для анализа исследования устойчивости положений
равновесия механических систем.
Пример 1 Обращенный маятник с двумя
пружинами
Обращенный
маятник,
применяемый в некоторых сейсмографах для
измерения колебаний почвы, состоит из с
жесткой стойки длиной l с массой m на конце
(рисунок 8.2). Последняя зажата между двумя
одинаковыми пружинами жесткостью c.
Определить положения равновесия маятника и
исследовать их устойчивость.
Потенциальная энергия маятника есть
сумма потенциальной энергии силы тяжести и
потенциальной
энергии
деформированных
пружин:
П = П1 + П 2 ,
(8.10)
где
П1 = mgl cos ,
– угол отклонения маятника от вертикали.
Тогда
П = mgl cos + cl 2 2 .
(8.11)
46
Рисунок 8.2 – Обращенный
маятник с двумя пружинами
Сначала рассмотрим вертикальное положение равновесия маятника, т.е.
при φ = 0. Раскладывая потенциальную энергию в ряд в окрестности точки φ
= 0, получим
П = −mgl
с учетом замены cos ~ 1 −
2
mgl 2
+ c l 2 2 = (c l 2 −
) ,
2
2
2
.
2
Согласно теореме Лагранжа-Дирихле, для устойчивости маятника
необходимо, чтобы коэффициент при квадратичном члене в разложении
потенциальной энергии в ряд был положительным, т.е.
mgl
c l2 −
0,
2
откуда получим условие устойчивости:
с
mg
.
2l
(8.12)
Для определения других положений равновесия маятника приравняем
нулю первую производную потенциальной энергии:
П
= −mgl sin + 2c l 2 = 0 ,
или
=
2сl
sin .
mg
(8.13)
Графики левой и правой частей уравнения (8.13) показаны на рисунок 8.3.
Очевидно, что уравнение будет иметь корень, отличный от нуля, в том случае,
если угол наклона линейной функции φ в начале координат будет меньшим,
чем угол наклона функции
2сl
sin . Для этого производная первой функции
mg
должна быть меньше, чем производная второй функции, т.е.
1
2сl
cos |=0 ,
mg
или
с
mg
.
2l
(8.14)
При этом в уравнении
(8.13) будет еще один корень,
равный по модулю первому и
противоположный ему по
знаку, т.е. при отклонении
маятника
в
противоположную сторону.
Условие устойчивости
соответствует
минимуму
потенциальной энергии в
положении равновесия, т.е.
когда
Рисунок 8.3 – График для определения положений
равновесия маятника
47
2 П
= −mgl cos + 2cl 2 0 ,
2
или когда выполняется условие
с
mg
cos .
2l
(8.15)
Поскольку функция cos при любых аргументах всегда не превышает
единицы и выполняется условие (8.14), то неравенство (8.15) выполняется при
любых положительных углах (можно показать, что условие устойчивости
для отрицательных углов также будет выполняться автоматически при
удовлетворении неравенству (8.14)). Таким образом, два симметричных
наклонных положения маятника, также как и вертикальное, будет устойчивым
при
с
mg
.
2l
Пример 2 Обращенный двойной маятник
Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия
обращенного двойного маятника, состоящего из двух шарнирно связанных
жестких стержней длинами l1 и l2 с закрепленными на концах массами m1 и m2,
которые соединены с жесткой стенкой пружинами с жесткостями c1 и с2
(рисунок 8.4) В вертикальном положении пружины не
напряжены.
Введем углы отклонений φ1 и φ2 маятников от
вертикали и запишем потенциальную энергию
системы, состоящую из потенциальной энергии П1 сил
упругости пружин и потенциальной энергии П2 сил
тяжести материальных точек:
П = П1 + П 2 ,
где
П1 = −m1g[l1 (1 − cos 1 ) + l2 (1 − cos 2 )] − m2 gl2 (1 − cos 2 ) , (8.16)
с x2 с x2
П2 = 1 1 + 2 2 ,
2
2
(8.17)
причем x1, x2 – деформации пружин. Их можно
выразить через углы φ1 и φ2:
x1 = 1l1 + 2l2 , x2 = 2l2 .
Тогда полная потенциальная энергия маятника
будет
П = −m1g[l1 (1 − cos 1 ) + l2 (1 − cos 2 )] −
с
с
m2 gl2 (1 − cos 2 ) + 1 (1l1 + 2l2 )2 + 2 (2l2 ) 2 . (8.18)
2
2
Рисунок 8.4 –
Обращенный
двойной маятник
12
Заменяя в (8.24) функции cos 1 и cos 2 их разложением в ряды 1 −
и
2
1−
22
в окрестности положения равновесия φ1 = φ2 = 0 с учетом двух первых
2
членов разложения, получим
48
l
l
П = 1 (с1l1 − m1g )12 + с1l1l212 + 2 [(c1 + c2 )l2 − g (m1 + m2 )]22 ,
2
2
или
1
П = (с1112 + 2с1212 + с2222 ),
2
(8.19)
где
с11 = l1 (с1l1 − m1g ); с12 = c1l1l2 = с21 ; c22 = l2 [(c1 + c2 )l2 − g (m1 + m2 )].
(8.20)
Согласно критерию Сильвестра квадратичная форма (8.19) является
положительно определенной в том случае, когда все ее угловые миноры
положительные:
1 = с11 0, 2 =
с11
c12
c21 c22
= с11с22 − с122 0,
или с учетом введенных обозначений коэффициентов (8.20):
с1l1 m1g , (с1l1 − m1g )[(c1 + c2 )l2 − g (m1 + m2 )] c12l1l2 .
(8.21)
Эти два условия обеспечивает устойчивость вертикального положения
равновесия обращенного двойного маятника.
Интересно сравнить это условие с условием устойчивости (8.14)
вертикального положения равновесия маятника с двумя пружинами, приняв в
обращенном двойном маятнике одинаковыми массы m1 = m2 = m, жесткости
пружин c1 = c2 = c и длины стержней l1 = l2 = l. В таком случае условия (8.21)
примут вид:
с
mg
, 2(сl − mg )2 c 2l 2 ,
l
или
с
mg
2 mg
, с
.
l
2 −1 l
Из двух неравенств второе является более жестким, откуда следует:
с
2 mg
mg
= 3, 41 .
l
2 −1 l
Таким образом, по сравнению с
обращенным маятником с одним грузом и
двумя пружинами в двойном обращенном
маятнике для обеспечения устойчивости
вертикального положения требуется жесткость
пружин, почти в семь раз большая. Это
справедливо, поскольку во втором случае
общая длина стержней маятника и суммарная
масса грузов в два раза больше, а общая
жесткость пружин при этом одинаковая.
Пример 3 Система трех обращенных
маятников
Исследовать устойчивость вертикального
положения
равновесия
системы
трех
49
(8.22)
Рисунок 8.5 – Система трех
обращенных маятников
обращенных маятников с жесткими стержнями длиной 4h, 3h и 2h, связанных
друг с другом и неподвижной стенкой пружинами одинаковой жесткости c на
уровнях 3h, 2h и h от точек крепления стержней (рисунок 8.5). На конце
каждого маятника закреплен груз массой m, массой стержней пренебречь. При
вертикальном положении стержней пружины недеформированы.
Рассматриваемая система имеет три степени свободы и характеризуется
углами отклонения каждого маятника от вертикали φ1, φ2 и φ3. Потенциальная
энергия всей системы запишется как сумма потенциальных энергий П1, П2 и
П3 каждого маятника, состоящих из суммы компонентов от действия
деформаций пружин и сил тяжести грузов, и запишется в виде
П = П1 + П2 + П3 ,
где
c
c
П1 = mg (4h cos 1 ) + (3h sin 1 ) 2 + [2h(sin 1 − sin 2 ) 2 ],
2
2
c
П2 = mg (3h cos 2 ) + [2h(sin 2 − sin 1 ) 2 + h(sin 2 − sin 3 ) 2 ],
2
c
П3 = mg (2h cos 3 ) + [h(sin 3 − sin 2 ) 2 ].
2
Учитывая малость углов отклонения маятников от вертикали, заменим в
i2
полученных выражениях sin i и cos i их разложениями в ряд i и 1 −
в
2
окрестности положений равновесия i = 0 (здесь i = 1, 2, 3). Тогда полная
потенциальная энергия системы запишется в виде:
h
П = [(13ch − 4mg )12 + (5ch − 3mg )22 + (ch − 2mg )32 − 2ch(412 + 23 )],
2
или
1
П = (с1112 + 2с1212 + с2222 + 2с2323 + с3332 ),
2
(8.23)
где
с11 = 13ch 2 − 4mgh, с12 = с21 = −4ch 2 , с22 = 5ch 2 − 3mgh, с23 = с32 = −ch 2 ,
с33 = ch 2 − 2mgh.
(8.24)
Для устойчивости вертикального положения равновесия маятников
необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы
коэффициентов квадратичной формы потенциальной энергии (8.23) были
положительными, т.е.:
1 = с11 0, 2 =
с11
с12
0
3 = с12
с22
с23 = с11
0
с23
с33
с22
c23
c23
c33
с11
c12
c21 c22
− с12
= с11с22 − с122 0,
с21
c23
0
c33
2
= с11 (с22c23 − c23
) − с122 с33 0,
или с учетом обозначений коэффициентов (8.24),
13ch 2 − 4mgh 0,
65c 2 h 4 − 59ch3mg + 12m 2 g 2 h 2 0,
50
(8.25)
36c3 h6 − 153c 2 h5 mg + 130m 2 g 2ch 4 − 24m3 g 3h3 0.
Сравним полученное условие устойчивости с условием устойчивости,
полученным для маятника с одним стержнем, и обращенного двойного
маятника, рассмотренных в предыдущих примерах. Для этого примем в
расчетной схеме высоту наиболее длинного маятника равной 4h, т.е. l = 4h.
Тогда первое условие в (8.25) сведется к следующему:
с
4mg
mg
= 1, 23
.
13h
l
(8.26)
Второе условие в (8.25) после сокращения на h2 представляет собой
квадратное уравнение относительно сh. После нахождения корней этого
уравнения нетрудно получить два условия для устойчивости положения
равновесия маятника:
с
40mg
mg
78mg
mg
= 0,307
, с
= 0,6
,
130h
h
130h
h
откуда после подстановки длины маятника l = 4h требование к величине
жесткости маятника будет иметь вид:
с 0, 6
mg
mg
= 2, 4
.
h
l
(8.27)
Третье условие в (8.25) после сокращения на h2 представляет собой кубическое
уравнение для неизвестной ch:
36c3h3 − 153c2 h 2 mg + 130m 2 g 2 ch − 24m3 g 3 0.
(8.28)
После нахождения корней уравнения (8.28) известными методами
получим
три
условия
устойчивости
вертикального
положения
рассматриваемых обращенных маятников в следующем виде:
с 0, 26
mg
mg
mg
, с 0,81
, с 3,18
.
h
h
h
(8.29)
Отсюда ограничение на величину жесткости маятников при длине
маятника, равной l = 4h, принимает вид:
с 12, 72
mg
.
l
(8.30)
Таким образом, из трех условий (8.26), (8.27) и (8.30) условие для
жесткости пружин трехзвенного маятника, обеспечивающей устойчивость
вертикального положения равновесия системы, имеет вид:
с 12, 72
mg
.
h
(8.37)
По сравнению с обращенным маятником с двумя пружинами система
менее устойчива (в 25,44 раза), поскольку обе пружины прикреплены к
стержням маятника на уровнях, расположенных ниже точек крепления груза,
и создают меньшие восстанавливающие моменты, и, кроме того, правая
пружина в маятнике с наибольшей длиной стержня прикреплена не к жесткой
стенке, а к подвижному стержню (рисунок 8.5). Также данная система более
устойчива (в 3,73 раза) по сравнению с двойным обращенным маятником
вследствие того, что в ней имеется не два, а три маятника с такой же массой
каждого груза, причем два из них скреплены пружинами друг с другом, а не с
51
жесткой стенкой. Кроме того, в системе с тремя обращенными маятниками
точки крепления пружин на каждом маятнике расположены ниже центров
масс каждого из маятников.
Пример 4 Устойчивость плавающего тела
Способность судна сопротивляться крену (остойчивость) можно
оценивать по устойчивости погруженного в жидкость тела такой же формы и
с такими же массовыми характеристиками, как и у судна. В первом
приближении в качестве формы сечения судна можно принять параболу.
Исследуем устойчивость вертикального положения такого погруженного
в жидкость тела с формой, заданной уравнением y = ax2 – H (рисунок 8.6).
Плотность тела равна ρт, плотность
жидкости равна ρж.
Система имеет одну степень
свободы – угол наклона к вертикальной
оси. Согласно известному уравнению,
потенциальная энергия погруженного в
жидкость тела будет
П = Pт yт − Pж yж ,
где Pж и Pт – вес вытесненного объема
жидкости и вес тела, yж и yт – координаты Рисунок 8.6 – Параболическое тело,
погруженное в жидкость
соответствующих объемов, отсчитываемые
от уровня свободной поверхности жидкости
(рисунок 8.6).
Определим положение центра тяжести параболы. Известно, что центр
тяжести плоской фигуры может быть найден как отношение двух интегралов,
взятых по области, представляющей собой исследуемую фигуру:
ydxdy
yс = D
dxdy
=
Iz
,
S
D
где S – площадь фигуры.
Рассчитаем оба интеграла. Пределы интегрирования будут –l < x < l; ax2–
H < y < 0. Тогда первый интеграл запишется в виде
l
0
l
0
ax 2 − H
−l
ax 2 − H
I z = dx ydy = dx (ax 2 − H )dy ,
−l
или с учетом того, что H = al ,
2
−(ax 2 − H )2
1
x3 2
l3 2
dx = − ( H 2 x − 2aH + a 2 x5 ) l−l = − H 2l + 2aH − a 2l 5 =
2
2
3 5
3 5
−l
l
Iz =
= −a 2 (l 5 − 2
l5 2 5
8
+ l ) = − a 2l 5 .
3 5
15
Второй интеграл будет
l
0
l
−l
ax 2 − H
−l
S = dx dy = −(ax 2 − H )2 dx = −(
52
ax3
2
4
− Hx) l−l = 2Hl − al 3 = al 3 .
3
3
3
Тогда координата центра масс параболы, отсчитываемая от ее верхней
границы AB (рисунок 8.6), будет
yс =
Iz
2
= − al 2 .
S
5
Выразим теперь все геометрические размеры параболы через длину l
половины ее верхней границы. Согласно закону Архимеда, вес жидкости,
вытесненной объемом погруженного в нее тела, равен полному весу тела, или
для рассматриваемой плоской задачи
т gSт = ж gS ж ,
откуда после подстановки в обе части равенства выражений для площади
параболы получим
4
4
т a l 3 = ж a l '3 ,
3
3
или
где
=3
l ' = l ,
т
.
ж
Высота погруженной части параболы будет
h = al '2 = a 2l 2 .
Теперь можно определить координаты центров тяжести тела и объема,
погруженного в жидкость, с учетом полученного выражения для центра
тяжести параболы:
2
3
ym = yc − ( H − h) = −( al 2 − (al 2 − al 2 2 )) = al 2 − al 2 2 ,
5
5
2
2
yж = − al '2 = − al 2 2 .
5
5
Тогда выразив вес тела и вес вытесненного телом объема жидкости через
площади соответствующих парабол, получим выражение для потенциальной
энергии погруженного в жидкость тела:
4
3
4
2
П = т gSт yт − ж gSж yж = т g al 3 ( al 2 − a 2l 2 ) − ж g al '3 (− al 2 2 ),
3
5
3
5
откуда после подстановки выражения для l ' получим:
4
3
2
4
3
3
П = ж g a 2l 3 ( 3 ( l 2 − 2l 2 ) + 3 l 2 2 ) = ж g a 2l 5 3 (− 2 + ).
3
5
5
3
5
5
Для устойчивости вертикального положения плавающего тела
необходимо, чтобы потенциальная энергия была знакоопределенной
положительной квадратичной формой. Это равносильно тому, что
коэффициент в выражении для П при квадратичном слагаемом a2,
характеризующей кривизну параболического тела, должен быть
положительным, т.е.
3
3
− 2 + 0,
5
5
откуда после подстановки параметра
53
т
1.
ж
Отсюда следует, что при заданной кривизне параболы (т.е. параметре a)
устойчивость вертикального положения параболы обеспечивается всегда,
когда плотность тела меньше плотности жидкости, т.е. когда тело остается на
плаву.
Рассмотрим графическое обоснование этого условия на примере судна с
сечением в виде параболы при значении параметра а = 1 и длиной половины
кормы l, равной единице. При этом рассмотрим два случая с различными
соотношениями плотностей т и ж (т.е. плотностей плавающего тела и
жидкости), обеспечивающих отношения высоты h погруженной в жидкость
части судна h параболической формы к его полной высоте H, равные 0,8 и 0,2
(рисунок 8.7 а и б).
В теории корабля для оценки остойчивости судна используется понятие
метацентра – центра кривизны траектории, по которой перемещается центр
величины (центр вытесненного судном объема жидкости) при наклонении
судна [6]. Этот центр (обозначен точкой m на рисунок 8.8) находится на
пересечении вертикальной прямой mZ1, проведенной через центр величины
(центр тяжести вытесненного объема жидкости), и осью продольной
симметрии mC сечения судна. Согласно теории корабля, для остойчивости
б
а
Рисунок 8.7 – Схема судна с сечением параболической формы при соотношении высот h/H:
а – 0,8; б – 0,2
судна необходимо, чтобы плечо l1 восстанавливающего момента Mв,
создаваемого весом судна и силой Архимеда, было положительным. Это
обеспечивается в том случае, когда метацентр m расположен выше центра
тяжести судна G (рисунок 8.8). Степень остойчивости судна характеризует
величина метацентрического радиуса r, соединяющие метацентр и центр
тяжести судна (отрезок mG на рисунок 8.8).
54
Для первого рассматриваемого случая на
рисунок 8.7 а показано положение судна c
ватерлинией
CD
при
горизонтальном
положении кормы AB, при котором центр
тяжести судна расположен в точке Oт, а центр
величины – в точке Oж. Метацентр найдем,
изобразив судно в отклоненном на угол θ
положении, потребовав выполнение условия
равнообъемности, согласно которому объемы
вытесненной жидкости при вертикальном и
отклоненном
положениях
тела
равны.
Проведем ось симметрии сечения судна через
его центр тяжести Oт и вертикаль через центр
величины Oж' для наклонного расположения
Рисунок 8.8 – Схема к
судна и на их пересечении получим метацентр m.
Видно, что метацентр судна расположен выше определению остойчивости судна
(θ – угол отклонения, C и Z1 –
центра величины Oж, и следовательно, судно начальное и конечное положения
остойчиво, что подтверждает полученный
центра величины; G – центр
аналитический результат. Действительно, как тяжести судна; m – метацентр; r –
метацентрический радиус; Mв –
это видно на схеме, в результате поворота судна
восстанавливающий момент
на малый угол θ вокруг метацентра m, когда его
центр тяжести переносится в точку Oт' , а центр
величины – в точку Oж' , момент Mв от действия веса судна Pт и
выталкивающей силы Pж стремится вернуть его в исходное положение, т.е.
является восстанавливающим.
Во втором рассматриваемом случае (рисунок 8.7 б) после аналогичных
построений метацентр m также получился расположенным выше центра
величины судна. Момент пары сил веса судна и выталкивающей силы также
восстанавливающий, и судно остойчиво, однако запас остойчивости ниже, чем
в первом рассмотренном случая, поскольку метацентрический радиус m Oт'
меньший.
Таким образом, судно параболической формы с заданной кривизной
поверхности поперечного сечения будет остойчивым при любом весе судна,
обеспечивающего плавучесть. При этом запас остойчивости повышается по
мере увеличения отношения плотностей т / ж , т.е. с увеличением веса судна.
Отметим, что согласно теории корабля [6], с понижением центра тяжести
судна его остойчивость повышается и одним из путей повышения
остойчивости судна является правильное распределение грузов по высоте.
9 Уравнения Лагранжа второго рода в обобщенных координатах
Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой уравнения
движения несвободной системы, составленные в обобщенных координатах.
Для их вывода рассмотрим систему с k степенями свободы с идеальными
55
голономными связями [5, 9]. Положение точки тела в пространстве задается
радиус-вектором ri, который полностью определяется обобщенными
координатами q1, q2, …, qk:
ri = ri(q1, q2, …, qk) (i = 1, 2, … , n).
(9.1)
Вариации радиус-вектора положений точек системы можно выразить
через вариации обобщенных координат:
ri
q j ,
j =1 q j
k
ri =
(i = 1, 2, … , n).
(9.2)
где по определению вариации обобщенных координат δqj (j = 1, 2, …, k)
являются произвольными бесконечно малыми величинами.
Скорости точек системы выражаются через производную радиусвекторов по времени по правилам дифференцирования сложной функции:
vi = ri =
ri k ri
+
qj.
t j =1 q j
(i = 1, 2, … , n). (9.3)
Формулы (9.3) показывают, что скорость vi любой точки линейно
выражается через обобщенные скорости (7.3), так как согласно (9.1) и (9.2)
величины
r
ri
и i не зависят от обобщенных скоростей. Вводя обозначение
q j
t
α как произвольный индекс, изменяющийся от 1 до k, получим:
vi ri
r
=
= i .
q q j q j
(9.4)
Для дальнейших рассуждений потребуется доказать, что
vi
r
d ri
= i =
.
q q dt q
(9.5)
Продифференцируем обе части (7.8) по q и получим:
k
ri
2 ri
2 ri
=
+
qj.
q t q j =1 q j q
(9.6)
С другой стороны, согласно правилу дифференцирования сложной
функции
k
2 ri
2 ri
d ri
(
)=
+
qj.
dt q
tq j =1 q j q
(9.7)
Сравнивая равенства (9.6) и (9.7), убеждаемся в справедливости (9.5).
Запишем теперь общее уравнение динамики (4.3) в виде
n
n
i =1
i =1
Fi ri − mi vi ri = 0,
(9.8)
где множитель mi wi ri заменен на mi vi ri .
Выразим первую сумму в (9.8) через обобщенные силы и возможные
перемещения согласно (7.4) и (7.6):
n
k
F r = Q δq = 0,
i =1
i
i
j
j=1
где Qj – обобщенные силы.
56
j
(9.9)
Преобразуем вторую сумму в (9.8), изменяя порядок суммирования и
используя (9.3):
n
n
i =1
i =1
k n
ri
r
qi ) = (mi vi i )q j ,
q j
j =1 qi
j =1 i =1
k
mi vi ri = (mi vi
(9.10)
причем скалярное произведение под знаком суммы можно преобразовать к
следующему виду, используя правило дифференцирования сложной функции:
mi v i
ri
r
d
d vi
= (mi vi i ) − mi vi
,
q j dt
q j
dt q j
(9.11)
или согласно формулам (9.4) и (9.5)
mi v i
ri
v
v
d
d mi v 2 i
mi v 2 i
= (mi vi i ) − mi vi i =
(
)−
(
),
q j dt
q j
q j dt q j
2
q j
2
(9.12)
где последнее равенство получено с учетом вынесения операторов
дифференцирования
и
перед каждым слагаемым.
q j
q j
mi v 2 i
2
Замечая, что в (9.12) величины
представляют собой отдельные
составляющие полной кинетической энергии системы:
mi v 2 i
2
i =1
n
T =
(9.13)
и подставляя множитель (9.12) в (9.10), получим
d T T
−
) q j .
q j
j =1 dt q j
n
k
mi vi ri = (
i =1
(9.14)
Тогда общее уравнение динамики (9.8) с учетом (9.9) и (9.14) перепишется в
виде
k
d T
T
j
j
(Q − dt dq + dq ) q = 0.
j =1
j
j
(9.15)
Равенство (9.15) выполняется в том случае, когда выражение в скобках
равно нулю при произвольных δqj. Отсюда получаем уравнения Лагранжа
второго рода, составленное в независимых обобщенных координатах для
системы с голономными связями:
d T T
−
=Q j ,
dt q j q j
(j =1, 2, ..., k )
(9.16)
Уравнения
представляют
собой
систему
k
обыкновенных
дифференциальных уравнений второго порядка с k независимыми
обобщенными координатами, являющимися искомыми функциями времени.
Обобщенные силы Qj согласно (9.2) являются коэффициентами при
соответствующих по индексу вариациях обобщенных координат qj в
выражении суммы элементарных работ задаваемых сил на совокупности
возможных перемещений системы:
k
W = Q j q j .
(9.17)
j =1
В случае, когда задаваемые силы консервативны, при рассмотрении
потенциальной энергии как сложной функции обобщенных координат qj при
57
подстановке в формулу (7.7) вместо проекций функции Fi производных
потенциальной энергии по координатам
Qj = −
П
.
q j
П П
П
,
и
получим
xi yi
zi
(9.18)
(j = 1, 2, ..., k ),
и уравнения Лагранжа второго рода (9.16) будут иметь вид
d T
T
П
(
)−
=−
.
dt q j q j
q j
(j =1, 2, ..., k )
(9.19)
Поскольку потенциальная энергия не зависит от обобщенных скоростей,
можно переписать (9.19) в виде:
d (T - П ) (T - П )
−
=0.
dt q j
q j
(j =1, 2, ..., k )
(9.20)
Введем в рассмотрение понятие кинетического потенциала, или функции
Лагранжа:
L(t ; q1 , q2 , , qk ; q1 , q2 , , qk ) = T – П .
(9.21)
Тогда уравнения (9.20) можно переписать в следующем виде:
d L L
−
=0.
dt q j q j
(j =1, 2, ..., k ).
(9.22)
Полученные уравнения по сравнению с уравнениями Даламбера не
требуют составления расчетной схемы сил, действующих в системе, и
определения направления их действия. При этом процедура составления
уравнений движения заключается в составлении кинетической и
потенциальной энергий системы и поэтому является более формальной. Кроме
того, уравнения Лагранжа не содержат неизвестных сил реакций связей, что
также является их преимуществом по сравнению с уравнениями Даламбера и
уравнениями Ньютона при решении задач механики.
10 Примеры применения уравнений Лагранжа второго рода
Пример 1 Эллиптический маятник.
Исследовать движение маятника, состоящего
из двух тел (рисунок 10.1), одно из которых массой
m1 скользит без трения по горизонтальной
плоскости, а второе массой m2 соединено с первым
невесомым стержнем длиной l и совершает
колебания в вертикальной плоскости.
Обозначим горизонтальные и вертикальные
координаты нижнего и верхнего тел x1, x2 и y1, y2,
выразим их связь через длину и угол
отклонения маятника:
x2 = x1 − l sin , y2 = l cos .
Система имеет две степени свободы,
которым отвечают обобщенные координаты x1 и φ.
Запишем кинетическую энергию обеих тел:
58
Рисунок 10.1 – Схема
эллиптического маятника
Т1 =
Т2 =
m1 2
x1 ,
2
m2 2
m
m
( x2 + y22 ) = 2 ( x12 + l 212 cos 2 − 2lx1 cos + l 22 sin 2 ) = 2 ( x12 − 2lx1 cos + l 22 ).
2
2
2
Полная кинетическая энергия равна
ml
1
Т 2 = T1 + T2 = (m1 + m2 ) x22 + 2 (l 12 − 2lx1 cos + l 22 ).
2
2
Потенциальная энергия определяется по формуле
П = − m2 gy2 = − m2 gl cos .
Функция Лагранжа будет равна
ml
1
L = (m1 + m2 ) x22 + 2 (l 12 − 2lx1 cos + l 22 ) + m2 gl cos .
2
2
Координата x1 является не входит в явном виде в функцию Лагранжа, и
для нее производная
L
= c = const . Тогда
qi
L
= (m1 + m2 ) x12 − m2l cos = const = c1.
x1
После интегрирования этого уравнения получаем
L
= (m1 + m2 ) x1 − m2l sin = c1t + c2 ,
x1
откуда при надлежащем выборе начальных условий получим линейное
перемещение маятника
x1 =
m2l
sin .
(m1 + m2 )
Координата центра масс C системы определяется как
x +x
m2 − m1
xС = 1 2 =
l sin .
2
2(m1 + m2 )
Это выражение имеет простой физический смысл: при одинаковых
массах m1 и m2 вследствие отсутствия горизонтальных сил центр масс системы
движется строго вертикально.
Для составления уравнения Лагранжа второго рода найдем производные:
L
L
= m2l (l − x1 cos ),
= m2l ( x1 sin − g sin ),
и, следовательно,
m2l
d
(l − x1 cos ) − m2l ( x1 − g )sin = 0.
dt
После подстановки в это уравнение полученной ранее координаты x1,
выраженной через φ с учетом замен sinφ ≈ φ и cosφ ≈ 1 при малых углах φ
получим
m1m2 2
l + m2 gl = 0,
m1 + m2
или после сокращений
+
m1 + m2 g
= 0.
m1 l
59
Это – уравнение гармонических колебаний с периодом
= 2
m1
m1 + m2
l
.
g
Если m1 >> m2, то перемещения груза M1 будут очень малыми, и период
колебаний приближается к периоду колебаний обычного маятника.
Интересной особенностью эллиптического маятника является то, что
подбором соотношений масс грузов можно изменять период колебаний, не
изменяя длины маятника: чем меньше масса груза m1, тем меньше период
колебаний. Название «эллиптический маятник» объясняется тем, что при
движении точки M1 по оси x, а точки C по оси y центр груза M2 будет двигаться
по полуэллипсу.
Пример 2 Виброинерционная машина
Рассмотрим простейшую по принципу действия виброинерционную
машину, состоящую из двух масс m и M, соединенных между собой
вращательной кинематической парой (рисунок 9.2) [3].
Масса M представляет собой часть машины, движение которой
выполняет полезную механическую работу, т.е. является исполнительным или
рабочим органом машины. Она включает в себя массу всех деталей,
Рисунок 10.2 – Схема расположения центров тяжести элементов виброинерционной
машины
жестко связанных с рабочим органом вибромашины, т.е. все невращающиеся
элементы машины. Масса грохотимого или транспортируемого материала в
колеблющуюся массу не входит, так как имеет закон движения, отличный от
колеблющейся массы M.
На схеме массой m обозначены все вращающиеся детали ротора, через r
обозначен эксцентриситет ротора, т.е. расстояние общего центра тяжести
ротора до оси его вращения.
60
Число степеней свободы системы равно трем, так как положение обеих
масс при проскопараллельном движении вибромашины полностью задается
двумя координатами x и y, определяющими положение центра масс M
рабочего органа, и углом поворота φ, задающим положение центра масс m
ротора.
Составим уравнения движения системы, пользуясь уравнениями
Лагранжа второго рода. Поместим начало неподвижной системы координат
xoy в центре тяжести массы M при положении ее статического равновесия на
упругих связях. Оси x и y расположим по направлению экстремальных
значений жесткостей упругих связей. Начало подвижной системы координат
x1o1y1 возьмем в точке, совпадающей с осью вращения ротора. Обозначим
координаты центра тяжести массы M в неподвижной системе координат через
x и y, координаты центра тяжести массы m (ротора) в подвижной системе
координат через x1 и y1, а в неподвижной системе координат через xm и ym.
Для составления уравнений Лагранжа второго рода воспользуемся
функцией Лагранжа
𝐿 = 𝑇– П,
где T – полная кинетическая энергия системы, T = T1+T2;
T1 – кинетическая энергия массы M;
T2 – кинетическая энергия массы m (ротора);
П – потенциальная энергия системы.
𝑇1 = 𝑀
𝑥̇ 2 +𝑦̇ 2
2
𝑣𝑚
2
,
𝜑̇2
(10.1)
𝑇2 = 𝑚 + 𝐽 ,
(10.2)
2
2
2
2
2
где 𝑣𝑚
= 𝑥̇ 𝑚
+ 𝑦̇𝑚
– абсолютная скорость центра тяжести ротора;
φ – угол поворота дебаланса;
J – момент инерции ротора относительно своего центра тяжести.
Квадрат скорости центра масс ротора будет
2
2
2
𝑣𝑚
= 𝑥̇ 𝑚
+ 𝑦̇𝑚
.
(10.3)
Выразим абсолютную скорость центра тяжести ротора через ее проекции
на оси координат
𝑥𝑚 = 𝑥 + 𝑥1 , 𝑦𝑚 = 𝑦 + 𝑦1 ,
причем
𝑥1 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑 и 𝑦1 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑
(r – эксцентриситет центра тяжести ротора); отсчет угла φ начинаем от
положительного направления оси x1, тогда
𝑥𝑚 = 𝑥 + 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦𝑚 = 𝑦 + 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑.
(10.4)
После дифференцирования имеем
𝑥̇ 𝑚 = 𝑥̇ − 𝑟φ̇𝑠𝑖𝑛φ, 𝑦̇𝑚 = 𝑦̇ + 𝑟φ̇𝑐𝑜𝑠φ.
Подставив xm и ym в равенство (10.3), получим
2
𝑣𝑚
= 𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 2𝑟𝜑̇ (𝑦̇ 𝑐𝑜𝑠φ − 𝑥̇ 𝑠𝑖𝑛φ) + 𝑟 2 φ̇2 ,
тогда
1
1
𝑇2 = 𝑚[𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 2𝑟φ̇(𝑦̇ 𝑐𝑜𝑠φ − 𝑥̇ 𝑠𝑖𝑛φ) + 𝑟 2 φ̇2 ] + 𝐽φ̇2 .
2
2
61
Полная кинетическая энергия системы будет
𝑇 = 𝑇1 + 𝑇2 = 𝑀
𝑥̇ 2 +𝑦̇ 2
2
1
+ 𝑚[𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 2𝑟φ̇(𝑦̇ 𝑐𝑜𝑠φ − 𝑥̇ 𝑠𝑖𝑛φ) + 𝑟 2 φ̇2 ] +
2
1
+ 𝐽φ̇2 .
2
Потенциальная энергия системы составится из энергии положения масс M и m
и энергии деформации упругих связей
𝐾
(𝑦−𝑓𝑠𝑡 )2
2
𝐾𝑥
2
(𝑦−𝑓𝑠𝑡 )2
П = 𝑀𝑔𝑦 + (𝑦 + 𝑟𝑠𝑖𝑛φ)𝑚𝑔 + 𝑥 𝑥 2 + 𝐾𝑦
= 𝑔𝑦(𝑀 + 𝑚) + 𝑚𝑔𝑟𝑠𝑖𝑛φ +
+ 𝑥 2 + 𝐾𝑦
,
(10.5)
2
2
где 𝑓𝑠𝑡 – статическая деформация упругих связей от веса машины;
𝐾𝑥, 𝐾𝑦 – жесткость упругих связей соответственно в направлениях осей x и y.
Значение функции Лагранжа будет:
𝐿=𝑀
𝑥̇ 2 +𝑦̇ 2
2
1
1
+ 𝑚[𝑥̇ 2 + 𝑦̇ 2 + 2𝑟φ̇(𝑦̇ 𝑐𝑜𝑠φ − 𝑥̇ 𝑠𝑖𝑛φ) + 𝑟 2 φ̇2 ] + 𝐽φ̇2 −
2
(𝑦−𝑓𝑠𝑡 )2
𝐾𝑥
2
[𝑦𝑔(𝑀 + 𝑚) + 𝑟𝑔𝑚𝑠𝑖𝑛φ + 𝑥 2 + 𝐾𝑦
].
(10.6)
2
2
Так как функция Лагранжа зависит от трех независимых переменных x, y и φ,
то число уравнений Лагранжа также равно трем:
𝑑 𝑑𝐿
𝑑𝑡 𝑑𝑥̇
𝑑 𝑑𝐿
𝑑𝑡 𝑑𝑦̇
𝑑 𝑑𝐿
𝑑𝑡 𝑑𝜑̇
−
−
−
𝑑𝐿
𝑑𝑥
𝑑𝐿
𝑑𝑦
𝑑𝐿
𝑑𝜑
= 𝑄𝑥
= 𝑄𝑦
(10.7)
= 𝑄𝜑 .
В рассматриваемом случае инерционного вибратора обобщенными
силами Qx и Qy будут силы, характеризующие рассеяние энергии, связанное с
движением массы M, к которой не приложено внешних сил, связанных с
источником энергии двигателем. Сила Qφ будет внешним моментом,
развиваемым двигателем на валу ротора вибратора.
Выполняя операции дифференцирования в левой части уравнений (10.8),
определим частные производные функции L по скоростям:
L
= ( M + m) x − rmφ sin φ,
x
L
= ( M + m) y + rmφ cos φ,
y
L
= rm( y cos φ − x sin φ)+mr 2φ+Jφ
φ
и ее частные производные по координатам
L
= K x x,
x
L
= − g ( M + m) − K y y + K y f st = − K y y ,
y
L
= rmφ(− y sin φ − x cos φ) − rgm cos φ.
φ
62
После выполнения операции дифференцирования по времени в левой
части уравнений (10.7) получим уравнения движения элементов
вибромашины:
( M + m) x − rφmsinφ − rφ 2 mcosφ + K x x = Qx ,
( M + m) y + rφmcosφ − rφ 2 msinφ + K y y = Qy ,
(10.8)
rmy cos − rmx sin φ + φ( J + mr 2 ) + rgm cos φ = Qφ .
Полученная система уравнений представляет собой общий случай
движения элементов вибромашины при работе ее в режимах пуска, выбега и
установившегося режима движения. Наибольший интерес для инженера
представляет анализ установившегося режима движения рабочего органа,
когда двигатель набрал нормальную угловую скорость, т.е. при = = сonst и
= 0 . В этом случае система уравнений движения (10.8) принимают вид
( M + m) x − rω2 mcosωt + K x x = Qx ,
( M + m) y − rω2 msinωt + K y y = Qy ,
(10.9)
rmy cos ωt − rmx sin ωt + rgm cos ωt = Qφ .
Два первых уравнения характеризуют движение масс m и M под
действием сил сопротивлений и вынуждающей силы, третье уравнение
устанавливает связь между моментом двигателя и характером движения
системы и выражает зависимость только той части момента, развиваемого
двигателем, которая идет на преодоление сопротивлений, связанных с
движением колеблющейся массы M. В этом состоит отличие машины с
инерционным вибратором от машины с полными связями, где ускорения всех
звеньев механизма находятся в полном соответствии с моментом,
развиваемым двигателем, и внешними сопротивлениями системы. Поэтому
запуск вибрационных машин отличается от запуска машин с полными
связями, поскольку в первых скорости отдельных звеньев нарастают
неодновременно. Например, возможен случай, когда ротор разгоняется вплоть
до набора им полной рабочей угловой скорости ω, а масса рабочего органа при
этом приходит в колебательное движение рабочего режима постепенно. Также
возможен случай полной остановки массы M внешними сопротивлениями без
остановки вращения ротора. Поэтому виброинерционная машина
характеризуется тем, что величина внешних сопротивлений, при которых
колеблющаяся масса еще не прекращает своего движения, определяется не
мощностью двигателя, а свойствами самой системы.
11 Общий подход к составлению дифференциальных уравнений
движения. Уравнения Лагранжа второго рода в поле действия
консервативных и диссипативных сил
Уравнения Лагранжа второго рода позволяют изучать движение любой
механической системы с голономными связями независимо от того, сколько
тел (или точек) входит в систему и как движутся эти тела. По сравнению с
63
другими подходами к описанию движения механических систем число этих
уравнений является наименьшим.
Рассмотрим общий подход к исследованию движения систем с
несколькими степенями свободы, позволяющий составлять уравнения
движения с учетом действия диссипативных сил сопротивлений и сил
упругости. Рассмотрим систему с N материальными точками, описываемую
декартовыми координатами точек: x1, x2, …, xN, y1, y2, …, yN, z1, z2, …, zN. Если
на систему наложено s независимых связей, ограничивающих ее движение, то
она будет обладать числом степеней свободы
(11.1)
n = 3 N − s,
т.е. число независимых параметров для однозначного описания положений
точек в пространстве будет равно числу N уравнения движения.
При стационарных связях уравнение связей системы не содержат
времени:
f p ( x1 , x2 ,..., xN , y1 , y2 ,..., y N , z1 , z2 ,..., z N ) = 0.
( p = 1, 2,..., s )
(11.2)
Выбирая в качестве обобщенных независимых координат системы любые
n декартовых координат, полностью определим положение точке системы
уравненями (11.2). В качестве обобщенных координат можно также взять
любые иные координаты qi (i = 1, 2, … ,n), которые связаны с декартовыми
координатами зависимостями
qi = qi ( x1 , x2 ,..., xN , y1 , y2 ,..., y N , z1 , z2 ,..., z N ), (i = 1, 2,..., n)
(11.3)
причем здесь введено ограничение на стационарное преобразование
координат, при котором в правой части уравнения (11.3) время отсутствует.
Обобщенные координаты qi должны полностью определять положение
системы, поэтому из n зависимостей (11.3) и s уравнений связей (11.2) можно
определить все декартовы координаты системы:
xk = xk (q1 , q2 ,..., qn );
yk = yk (q1 , q2 ,..., qn );
(11.4)
zk = zk (q1 , q2 ,..., qn ).
Движение системы можно записать уравнениями Лагранжа 2-го рода:
d L L
−
= Qi , (i =1,2,...,n) ,
dt qi qi
(11.5)
где L – функция Лагранжа, равная разности кинетической энергии T системы
и потенциальной энергии П, т.е.
L = T − П,
(11.6)
Qi – обобщенные силы, определяемые по формулам
n
Qi = ( X k
i =1
xk
y
z
+ Yk k + Z k k ). (i =1,2,...,n).
qi
qi
qi
(11.7)
В правой части уравнений Xk, Yk, Zk – проекции равнодействующей
непотенциальных сил, приложенных к k – й материальной точке системы. В
случае свободного движения консервативной системы, которое мы
рассмотрим в первую очередь, Qi = 0.
Кинетическая энергия может быть определена формулой
64
T=
1 2
( x k + y 2k + z 2k ), (i =1,2,...,n)
2
(11.8)
где mk – масса k-й точки.
Дифференцируя равенства (11.4), получаем
n
n
xk
y
z
qi ; yk = k qi ; zk = k qi .
i =1 qi
i =1 qi
i =1 qi
n
xk =
(11.9)
После подстановки выражений для производных (11.9) в формулу для
кинетической энергии (11.8), получим:
T=
1 n n
aij qi q j ,
2 i =1 j =1
(11.10)
где aij – коэффициенты, зависящие только от обобщенных координат (или, в
частности, постоянные).
Из формулы (11.8) следует, что кинетическая энергия является
положительной и обращается в нуль только при одновременном равенстве
нулю всех обобщенных скоростей q i системы, а следовательно, она является
положительно определенной квадратичной формой. Следовательно, ее
коэффициенты aij удовлетворяют критерию Сильвестра для квадратичной
формы, согласно которому положительными должны быть определитель и все
диагональные угловые миноры матрицы коэффициентов
a11
a21
...
an1
a12
a22
...
an 2
... a1n
a2 n
,
... ...
ann
(11.11)
т.е.
a11 > 0,
a11
a12
a21
a22
a11
..
a1n
0; ... , ...
...
... 0.
an1
..
ann
(11.12)
Свободные колебания могут совершаться только около положения
устойчивого равновесия. Существует три вида равновесия: устойчивое,
неустойчивое и безразличное. Примеры устойчивого равновесия показаны на
рисунок 1.11 а и г (тяжелый шар по впадине и маятник в нижнем положении),
пример безразличного положения равновесия – на рисунок 1.11 в (шар на
горизонтальной поверхности) и примеры неустойчивого равновесия – на
рисунок 11 б и д (шар на вершине бугра и маятник в верхнем положении).
Рисунок 11.1 – Виды положений равновесия
65
Система, выведенная из положения устойчивого равновесия, вообще
говоря, не слишком далеко, возвращается к нему. Система, выведенная из
положения неустойчивого равновесия, отклоняется от него еще больше.
Система, несколько отклоненная от положения безразличного равновесия,
остается в этом новом положении.
Потенциальная энергия системы может быть представлена функцией
обобщенных координат
П = П (q1 , q2 ,..., qn ).
(11.13)
При равновесии в консервативной системе ее потенциальная энергия
имеет экстремальное значение, т.е.
(
П
П
П
)q =q( 0) = 0;(
) q =q( 0) = 0,..., (
) ( 0) = 0,
i
i
i
i
q1
q2
qn qi =qi
(11.14)
где qi(0) – обобщенные координаты в положении равновесия.
Согласно теореме Лагранжа-Дирихле, положению устойчивого
равновесия консервативной системы соответствует минимум потенциальной
энергии.
Приняв в качестве начала отсчета начало обобщенных координат
положение устойчивого равновесия, т.е. qi(0) = 0, (i = 1, 2, … , n), разложим
потенциальную энергию в ряд Тейлора в окрестности этой точки:
n
n
i =1
i =1
П = П0 + ki qi +
1 n
kij qi q j + ...
2 i =1
(11.15)
Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянного
слагаемого. Равенства (11.15) показывают, что эта аддитивная константа не
играет роли при составлении уравнений движения. Поэтому примем, что
величина потенциальной энергии в положении устойчивого равновесия равна
нулю, т.е. П(0) = 0. Коэффициенты ki при первых степенях обобщенных
координат тоже равны нулю, так как в положении равновесия первые
производные потенциальной энергии по координатам равны нулю:
П
ki =
.
qi qi =0
Механические системы, описываемые линейными уравнениями
движения, не содержат в разложении потенциальной энергии членов выше
второй степени относительно обобщенных координат. В случае систем с
нелинейными уравнениями движения при небольших отклонениях системы
относительно положений устойчивого равновесия членами выше второй
степени нередко можно пренебречь как малыми высших порядков, если не все
коэффициенты kij квадратичных членов равны нулю. Итак, потенциальная
энергия будет выражаться квадратичной формой
П=
1 n n
kij qi q j
2 i =1 i =1
(kij = k ji ) ,
(11.16)
причем это положительно определенная квадратичная форма, что вытекает из
теоремы Лагранжа-Дирихле. Поэтому коэффициенты kij удовлетворяют
критерию Сильвестра, т.е.
66
k11 0,
k11
k12
k21
k22
0,...,
k11
k1n
kn1
knn
0.
(11.17)
Выше отмечалось, что коэффициенты aij квадратичной формы обобщенных
скоростей в выражении кинетической энергии (11.10) в общем случае зависят
от обобщенных координат. Разложив их в ряд Тейлора около положения
устойчивого равновесия, получим
n
aij = aij(0) + aij(1) q p + ...
(11.18)
p =1
У линейных систем в этом разложении присутствует только постоянный член
aij(0) . При малых колебаниях нелинейных систем членами, содержащими
обобщенные координаты в степени, начиная с первой, нередко можно
пренебречь, как малыми высшего порядка. В дальнейшем принимаем
aij = const . Подставим в функцию Лагранжа (11.6) выражения для
кинетической и потенциальной энергий из зависимостей (11.10) и (11.16),
продифференцируем их и получим следующую систему дифференциальных
уравнений движения:
n
n
i =1
i =1
aij q j + kij q j = Qi , (i = 1, 2, ..., n) .
(11.19)
Диссипативные силы можно учитывать при подсчете обобщенных сил по
формулам (11.7) и пользоваться уравнениями (11.5). В линейных системах
возможен и другой способ составления уравнений движения. Строится
диссипативная функция или функция рассеяния, представляющая собой
положительно определенную квадратичную форму обобщенных скоростей
n
Ф = bij qi q j (bij = b ji ). (i = 1, 2, ..., n) ,
(11.20)
i =1
частная производная которой по какой-либо обобщенной скорости, взятая с
обратным знаком, представляет собой соответствующую данной обобщенной
координате обобщенную силу B.
B=−
Ф
. (i =1,...,n) .
qi
(11.21)
В таком случае вместо уравнений (11.5) можно воспользоваться
дифференциальными уравнениями в следующем виде:
d L L Ф
−
+
= Qi , (i =1,2,...,n) ,
dt qi qi qi
(11.22)
которые являются уравнениями Лагранжа для случая диссипативных сил. В
этих уравнениях обобщенные силы Qi зависят только от времени.
Поскольку
диссипативная
функция
является
положительно
определенной, коэффициенты bij удовлетворяют критерию Сильвестра, т.е.
b11 0,
b11
b12
b21
b22
0,...,
b11
b1n
bn1
bnn
0.
(11.23)
Произведя операции, стоящие в левой части уравнений (11.22), получим
систему дифференциальных уравнений
67
n
n
n
a q + b q + k q = Q , (i = 1, 2, ..., n) .
i =1
ij
j
i =1
ij
j
ij
i =1
j
i
(11.24)
Варианты индивидуальных заданий на применение уравнений
Лагранжа второго рода
Вариант 1
Вариант 2
Два стержня с закрепленными на них
грузами одинаковой массой m связаны
между собой пружиной жесткостью c.
Длины стержней l, расстояние от точки
подвеса стержней до точки крепления
грузов равны l1. Составить уравнение
движения системы, используя уравнения
Лагранжа второго рода.
Двухмассовая колебательная система в
виде двух связанных физических
маятников подвешена на неподвижной оси
O1. Маятники могут вращаться без трения
относительно осей O1 и O2. Масса
нижнего звена маятника равна m2, масса
верхнего звена маятника – m1, моменты
инерции маятников относительно точек
подвеса O1 и O2 равны J1 и J2. Расстояния
от точек подвеса до центров тяжести
маятников равны s1 и s2, длина отрезка
O1O2 равна l.
Составить уравнения движения маятников.
Указание. Для составления кинетической
энергии маятников найти проекции
изменения
вертикальных
координат
центров масс маятников на вертикаль, для
составления
кинетической
энергии
определить линейные и угловые скорости
движения звеньев маятников относительно
центров масс.
68
Вариант 3
Вариант 4
Обращенный маятник с закрепленным на
нем грузом массой m опирается на
неподвижные стенки через пружины
жесткостью c. Расстояние от оси вращения
до точки крепления пружин l1, расстояние
от точки крепления пружин до точки
крепления груза l2. Составить уравнение
движения маятника.
Ротор молотковой дробилки равномерно
вращается относительно центра масс с
угловой
скоростью ω. К
ротору
прикреплены молотки, которые могут
свободно вращаться относительно осей
подвеса. Момент инерции ротора J, длина
стержня молотка l, масса молотка m.
Составить уравнение движения молотка
дробилки.
Вариант 5
Вариант 6
Рычажный механизм системы весового
дозирования состоит из площадки для
взвешивания O2D, опирающейся на
основание
посредством
пружины
жесткостью c2, передаточного диска O3B и
стержня O1A для передачи массы
взвешиваемой
дозе
материала
на
регистрирующее устройство, связанное с
Зубчатое колесо диаметром D с жестко
скрепленным с ним водилом массой m2 и
длиной l2 опирается на зубчатую рейку. К
свободному концу водила прикреплены
две недеформированные пружины с
жесткостями c каждая. Момент инерции
колеса m1D2/8, водила – m2l2/12. Составить
уравнения свободного движения системы.
69
неподвижным
основанием
пружиной
жесткостью c1. Длина стержня O2D равна l2,
масса – m2; длина стержня O1A равна l1,
масса m1, радиус диска r, масса m3.
Передаточные звенья AB и DE считать
невесомыми. Удлинение горизонтальной
пружины в положении равновесия λст,
вертикальная пружина недеформирована.
Составить уравнение движения механизма.
Указание. Кинетическую энергию (КЭ)
водила записать как сумму КЭ линейного
перемещения центра масс водила и КЭ
вращения стержня относительно центра
масс, КЭ зубчатого колеса записать как
сумму КЭ линейного перемещения центра
масс O и КЭ его вращения относительно
центра масс.
Вариант 7
Вариант 8
Система виброизоляции ударного элемента
для очистки сита грохота от застрявших в
нем зерен состоит из двух пружин
одинаковой жесткости c, прикрепленных к
ударному элементу на расстояниях от точки
его закрепления l и 2l соответственно.
Масса качающегося элемента равна M,
сосредоточенная масса ударника равна m.
Составить уравнение движения ударного
элемента.
Указание.
Составить
кинетическую
энергию системы как сумму кинетических
энергий качающегося элемента и ударника,
причем в выражении для кинетической
энергии стержня учитывать вращательную
и
поступательную компоненты
его
перемещения.
При
составлении
потенциальной энергии системы учитывать
вклад потенциальных сил деформации
пружин и сил тяжести, действующих на оба
подвижных элемента.
Привод
вибрационного
сита
для
грохочения включает в себя кривошипношатунный механизм, соединенный с ситом
нежесткой связью с коэффициентом
демпфирования b. Сито установлено на
основании на пружинах жесткостью c/2 и
имеет массу m. Длина кривошипа D/2,
масса m1, длина шатуна l, масса m2,
стержень
BF
считать
невесомым.
Составить уравнение движения системы.
Указание.
Составить
кинетическую
энергию кривошипа для его вращательного
движения относительно неподвижной оси
O. При составлении кинетической энергии
шатуна рассмотреть ее как кинетическую
энергию вращения относительно точки B,
совершающей
вертикальное
поступательное движение со скоростью 𝒗𝑩
и вращательное движение со скоростью 𝜓̇,
в следующем виде:
70
𝐽𝐵 𝜓̇ 2 𝑚2 𝑣𝐵 2
+
+ 𝒗𝑩 ∙ 𝒗𝑪 ,
2
2
где 𝒗𝑪 – скорость центра масс шатуна; 𝐽𝐵 –
момент инерции шатуна относительно
точки B.
Для учета силы вязкости ввести в
уравнение
Лагранжа
диссипативную
функцию Ф.
𝑇=
Вариант 9
К грузу массой m прикреплены две предварительно растянутые
пружины жесткостью c и длиной l. Сила предварительного
поджатия каждой пружины F0. Составить уравнение движение
груза, полагая, что груз может перемещаться по горизонтали без
трения.
Указание. При составлении потенциальной энергии растянутой
пружины учитывать, что каждая пружина получает как продольную
Δ∥ , так и поперечную Δ⊥ деформацию и использовать для этого
следующую формулу:
П=
𝑐 2
Δ⊥
Δ∥ + 𝐹0 (Δ∥ +
).
2
2𝑙
12 Циклические координаты и циклические интегралы
Существует механические системы, для которых функция Лагранжа L в
явном виде не содержит некоторых обобщенных скоростей. Это условие
выполняется в случае стационарности связей.
Составим полную производную функции Лагранжа L по времени,
рассматривая её как сложную функцию, зависящую от времени через
обобщенные координаты и скорости:
n
dL
L
L
= (
qj +
q j ).
dt
q j
j =1 q j
(12.1)
Пользуясь уравнениями Лагранжа в форме (9.21), произведем замену
L d L
=
.
q j dt q j
(12.2)
Тогда после подстановки (12.2) в (12.1) получим:
n
dL
d L
L
d n L
= (q j
+ qj
)=
qj.
dt
dt q j
q j
dt j =1 q j
j =1
(12.3)
После переноса всех слагаемых в выражении (12.3) в левую часть получим:
d n L
(
q j − L) = 0.
dt j =1 q j
(12.4)
Отсюда получается первый интеграл уравнений Лагранжа:
n
L
j =1
j
q q − L = h,
j
71
(12.5)
носящий название интеграла энергии. Покажем, что при стационарных связях
уравнение (12.5) выражает закон сохранения механической энергии. Запишем
кинетическую энергию как функцию обобщенных скоростей согласно (11.10):
T=
1 n n
aij qi q j ,
2 i =1 j =1
(12.6)
и тогда, поскольку в функции Лагранжа только кинетическая энергия T
зависит от обобщенных скоростей, то
n
L
T
q
=
qj.
j
j =1 q j
j =1 q j
n
(12.7)
Теперь применим к кинетической энергии теорему Эйлера об
однородных функциях, согласно которой для однородной функции степени l
выполняется соотношение
xi .
j =1 xi
n
l( x1, x2 ,..., xn ) =
(12.8)
Тогда (12.7) примет вид
n
T
j =1
j
q q = 2T ,
j
(12.9)
и (12.5) преобразуется к выражению
2T − L = 2T − (T − П ) = T + П = h.
(12.10)
Последнее равенство в (12.10) выражает собой закон сохранения
механической энергии, в котором константа h представляет собой полную
механическую энергию системы, являющуюся суммой начальных
кинетической и потенциальной энергий.
Первый интеграл энергии (12.5) справедлив при достаточно широких
предположениях относительно свойств задаваемых сил (консервативность) и
характера связей (стационарность)., т.е. относительно любого вида функции
Лагранжа L с учетом её независимости от времени. Рассмотрим теперь другие
циклические интегралы, которые требуют более сильных ограничений,
накладываемых на выражение кинетического потенциала.
Условимся называть циклическими обобщенные координаты системы, не
входящие явно в функцию Лагранжа. Например, при движении тяжелой точки
веса G в пространстве в случае отсутствия сопротивления среды ее
кинетическая, потенциальная энергия и функция Лагранжа будут выражаться
в следующем виде (используются декартовы прямоугольные координаты):
T=
G 2
G 2
( x + y 2 + z 2 ), П = Gz , L =
( x + y 2 + z 2 ) − Gz ,
2g
2g
где ось z направлена вверх. Аналогично при движении материальной точки
массой m в плоскости под действием центральной силы, направленной к
началу координат, со скоростью v = r + re ( e - единичный вектор,
направленный перпендикулярно радиус-вектору r, соединяющему начало
координат с рассматриваемой точкой), кинетическая и потенциальная энергии
имеют вид:
T=
m 2
(r + r 2 2 ), П = f (r ),
2
72
и функция Лагранжа
m 2
(r + r 22 ) − f (r ).
2
L=
В рассматриваемом случае координата φ является циклической.
Предположим, что среди n обобщенных координат оказалось некоторое
число υ < k циклических координат,
q1 , q2 ,..., q ,
(12.11)
для которых по определению выполняется соотношение
L
=0
q j
(j = 1, 2,...., ),
(12.12)
и из уравнений Лагранжа (9.21) следует, что
d L
=0
dt q j
(j = 1, 2,...., ) ,
(12.13)
откуда получаем выражения
L
= C j =const (j = 1, 2,...., ),
q j
(12.14)
которые называют циклическими интегралами.
Производные от функции L по обобщенным скоростям называются
обобщенными импульсами pj:
L T
=
=p j
q j q j
(j = 1, 2,...., ).
(12.15)
Действительно, эти величины удовлетворяют классическому понятию
импульса силы и согласно (12.15) имеют размерность кг‧м/с. Введем
следующую интерпретацию величин pj. Пусть к системе приложены
некоторые задаваемые удары, возникающие от действия мгновенных сил Fi,
причем время τ действия этих сил настолько мало, что изменением положения
точек системы за это время можно пренебречь. Проинтегрировав уравнения
Лагранжа второго рода вида (9.15) на интервале времени (t, t+τ), получим:
(
t +
t +
Т
Т
Т
)t + − (
)t −
dt = Q j dt.
q j
q j
q j
t
t
(12.16)
Интеграл в левой части равенства (12.16) имеет порядок τ, поскольку
подинтегральные множители
Т
в процессе удара претерпевают конечные
q j
изменения. Интеграл в правой части равенства (12.16) можно переписать с
использованием формулы (7.7) для обобщенных сил:
t +
t +
n
t
t
i =1
Q j dt = Fi
ri
dt ,
qi
r
причем поскольку величины i за время удара изменяются ничтожно мало и
qi
могут быть приняты при интегрировании постоянными, получим
t +
n
t
i =1
Q j dt = Si
где векторы
73
ri
,
qi
(12.17)
t +
Si = F j dt
t
являются по определению импульсами за время удара мгновенных сил,
приложенных к точкам системы. Интегралы (12.17) называют обобщенными
импульсами мгновенных сил.
Тогда уравнения (12.16) приводятся к виду:
(
t +
Т
Т
)t + − (
)t = Q j dt ,
q j
q j
t
(12.18)
или согласно введенным обозначениям для обобщенных импульсов
t +
( p j )t + − ( p j )t = Q j dt.
(12.19)
t
Это равенство означает, что обобщенный импульс pj в данный момент
равен обобщенному импульсу мгновенных сил, который надо сообщить
покоящейся системе, чтобы она мгновенно приобрела то движение, которое
она на самом деле совершает в этот момент. Этим можно объяснить
применение термина «обобщенный импульс» для величин pj, определяемых
равенствами (12.15).
Запишем обобщенные импульсы в декартовой системе координат:
px =
T m( x 2 + y 2 + z 2 )
=
= mx, p y = my, pz = mz,
x x
2
(12.20)
т.е. представляют проекции количества движения.
В полярной системе координат импульс pφ, соответствующий угловой
координате, равен
p =
L T
m 2 2 2
=
=
(r + r ) = mr 2,
2
(12.21)
т.е. равен моменту количества движения точки.
Тогда интеграл энергии (12.14) может быть выражен через понятие
количества движения:
(12.22)
p j = C j (j = 1, 2,...., ).
Отсюда следует, что циклические импульсы постоянны, или то, что в
полярных координатах это соответствует теореме сохранения момента
количества движения при равенстве нулю момента приложенной силы, а в
декартовых – теореме сохранения проекции количества движения при
равенстве нулю проекции главного вектора внешних сил на соответствующую
ось.
Пример 1 Математический маятник
Составить интеграл энергии для математического маятника с длиной
нити l и грузом массой m (рисунок 12.1), используя уравнение его движения.
Обобщенной координатой математического маятника является угол φ его
отклонения от вертикали. Известное уравнение малых колебаний маятника
имеет вид
+
g
sin=0
l
(j = 1, 2,...., ).
74
Домножим уравнение на обобщенную скорость и,
замечая, что
d 2
=,
dt 2
получим, циклический интеграл следующего вида:
2 g
+ (1 − cos ) = const = E = T + П ,
2 l
т.е. полная механическая энергия маятника, равная
Рисунок 12.1 –
сумме кинетической и потенциальной энергий, Математический маятник
постоянна, поскольку это консервативная система,
которая не обменивается энергией с окружающей средой.
Пример 2 Сферический маятник
Тяжелая точка массой m движется по поверхности гладкой сферы радиуса
l (рисунок 12.2). Получить уравнения движения маятника и исследовать
характер его движения, предполагая связь удерживающей.
Запишем выражение для кинетической энергии маятника в сферических
координатах:
Т=
mg 2 2 2
(l sin + l 22 ).
2
Потенциальная энергия будет равна
П = −mgz = −mgl cos .
Из вида кинетической и потенциальной
энергий видно, что координата ϕ
является
циклической,
и
соответствующий ей первый первый
интеграл движения уравнения движения Рисунок 12.2 – Сферический маятник
будет:
mgl 2 sin 2 = С1 , или sin 2 = С. (12.23)
Поскольку система консервативна, полная механическая энергия
сохраняется, и еще один первый интеграл будет:
T + П = const ,
который после подстановки выражений для кинетической и потенциальной
энергий будет иметь вид:
2 sin 2 + 2 −
2g
cos = 2h.
l
После исключения из него угловой скорости получим:
2
С2
g
=−
+ cos + h.
2
2
2sin l
Выполним замену переменной:
z = l cos ,
откуда получим
l 2 z 2 = 2(l 2 − z 2 )(hl 2 + gz ) − C 2l 4 = F ( z ),
и окончательно
75
(12.24)
z
t =
z0
ldz
,
F ( z)
(12.25)
где z0 определяется начальным значением угла . Тогда
F ( z0 ) = l 2 z02 0.
После нахождения корней z1 и z2 функции F(z) потребуем выполнения
полученного неравенства, откуда
z1 < z < z2,
или
cos 1 < cos < cos 2 .
Отсюда следует, что зона возможного движения
маятника возможна только в ограниченной области,
показанной штриховкой на рисунок 1.33.
Интеграл в выражении (12.25) является
эллиптическим интегралом, который вычисляется
Рисунок 12.3 – Зона
по специальным таблицам. Выражая угловую
возможного
движения
скорость вращения маятника из (12.23) и
сферического маятника
подставляя в полученное равенство множитель sin2
, выраженный через переменную z из (12.24),
получим:
d
С
Сl 2
=
=
.
dt sin 2 l 2 − z 2
(12.26)
Отсюда следует, что угол φ изменяется монотонно.
При сравнительно небольших начальных
отклонениях маятника от нижнего положения
равновесия и малых начальных скоростях груз будет
описывать на нижней полусфере траекторию,
горизонтальная проекция которой подобна эллипсу,
Рисунок 12.4 –
но при этом траектория не замыкается, а образует
Траектория движения
петли (рисунок 12.4). В процессе движения груза по
сферического маятника
такой траектории эллипс как будто поворачивается,
и направление поворота оси совпадает с
направлением обращения точки по эллипсу.
В том случае, если вектор начальной скорости лежит в плоскости,
проходящей через начальное положение нити, сферический маятник
вырождается в математический и угол φ будет равен нулю.
В том случае, если корень функции F(z) кратный, предельные круги
сливаются в один и груз двигается по кругу (рисунок 12.5)
z
z = z0 или = arccos 0 .
l
Такой маятник называется коническим маятником. Это движение
возможно в том случае, когда
F ( z0 ) = 2(l 2 − z0 2 )(hl 2 + gz0 ) − C 2l 4 = 0 ,
F '( z0 ) = −4 z0 (hl 2 + gz0 2 ) + 2 g (l 2 − z0 2 ) = 0,
76
Такой
маятник
называется
коническим
маятником. Это движение возможно в том случае,
когда
F ( z0 ) = 2(l 2 − z0 2 )(hl 2 + gz0 ) − C 2l 4 = 0 ,
F '( z0 ) = −4 z0 (hl 2 + gz0 2 ) + 2 g (l 2 − z0 2 ) = 0,
откуда
1
С= 2
l
g 2
(l − z0 2 ).
z0
Подставляя C в выражение для угловой
скорости (12.26), получим
d
al 2
= 2
=
dt l0 − z0 2
g
g
, =
t.
z0
z0
Рисунок 12.5.
Траектория движения
конического маятника
Отсюда период τ движения маятника, т.е. время его полного обращения
по кругу z = z0 будет равно
= 2
z0
,
g
т.е. периоду малых колебаний математического маятника, имеющего длину z0,
равную расстоянию от центра до плоскости обращения.
Такое движение маятника можно получить, если отклонить груз на угол
= 0 и сообщить ему начальную скорость, направленную перпендикулярно
плоскости, проведенной через вертикаль и нить, равную
v0 = l sin 0
g
gl
= sin 0
.
z0
cos 0
Таким образом, при отсутствии сил сопротивления груз будет вращаться
с заданной постоянной скоростью по окружности радиуса r0 = l sin 0 .
77
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1 Вайтехович, П. Е. Определение критических скоростей вращения планетарных
мельниц / П. Е. Вайтехович, А. В. Вавилов, Г. М. Хвесько // Вестник
Белорусского национального технического университета. - 2003. - №2. С. 34-39.
2 Вибрации в технике : Справочник. В 6-ти т. - Т. 4 / Под редакцией
Э. Э. Лавендела. - Москва : Машиностроение, 1981. - 509 с.
3 Гончаревич, И. Ф. Вибрационные грохоты и конвейеры : Учебное пособие для
горных вузов / И. Ф. Гончаревич, В. Д. Земсков, В. И. Корешков. – Москва :
Госгортехиздат, 1960. - 216 с.
4 Кузьмичев, В. А. Основы проектирования вибрационного оборудования :
Учебное пособие / В. А. Кузьмичев. - Москва, Санкт-Петербург, Краснодар :
Лань, 2022. - 208 с. - ISBN 978-5-8114-1673-8.
5 Лойцянский, Л.Г. Курс теоретической механики: Учебное пособие для вузов. В
2 т. Т. 2. Динамика / Л. Г. Лойцянский, А. И. Лурье. - Москва : Дрофа, 2006. 719 с.
6 Никитин, Е. В. Теория корабля. Плавучесть и остойчивость : Учебник / Е.В.
Никитин. – Москва : ИНФРА-М, 2024. - 372 с. - ISBN 978-5-16-017983-4.
7 Новый справочник химика и технолога. Процессы и аппараты химических
технологий. - В 2-х ч. Ч. 1 / Г. М. Островский, Р. Ш. Абиев, В. М. Барабаш ; Под
редакцией Г. М. Островского. - Санкт-Петербург : Профессионал, 2004. - 848 с.
- ISBN 5-91259-003-8.
8 Спиваковский, А. О. Вибрационные конвейеры, питатели и вспомогательные
устройства : Монография / А. О. Спиваковский, И. Ф. Гончаревич. - Москва :
Машиностроение, 1972. - 327 с.
9 Уиттекер, Э.Т. Аналитическая динамика : Монография / Э. Т. Уиттекер ; пер. с
англ. И. Г. Малкина. - Москва: УРСС, 2004. - 500 с.- ISBN 5-354-00849-2.
78
Кафедра механики
Учебное пособие
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА И ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ
Валентин Станиславович Сизиков
Николай Александрович Марцулевич
Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60х90 1⁄16
Печ.л.
. Тираж
экз
Санкт-Петербургский государственный технологический институт
(Технический университет)
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------190013, Санкт-Петербург, Московский пр.,26
Типография издательства СПбГТИ(ТУ)
79
