Ряд Фурье.формулы

Спектр
Пусть дан сигнал с определенной частотой и определенным значением
амплитуды, пусть он гармонический (синусоида). Если мы построим график
зависимости амплитуды этого сигнала от времени, то получим что-то вроде
осциллограммы:
Осциллограмма гармонического сигнала
Если сделать график зависимости от этой частоты мы получим спектр
сигнала. Спектр - это графическое представление коэффициентов разложения
Фурье. Это преобразование используется для переноса ИНФОРМАЦИИ о
сигнале из временной области в частотную. То есть помогает изобразить
совокупность сигналов в виде «столбиков» в спектре.
Спектр
Тут «палочка» на нулевой частоте – это постоянная составляющая, ее
частота, как можно догадаться нуль. «палочка» на ста Герцах – это переменная
составляющая сигнала. Высота «палочек» - уровень сигнала. Что это за уровень?
Чтобы объяснить так, чтобы было понятно давайте запишем функцию нашего
сигнала, то есть математическое описание формы сигнала.
U=Asin(ωt+φ)
Если задан гармонический сигнал, то есть его можно описать двумя
способами:
U=Asin(ωt+φ),
U=Acos(ωt+φk).
Почему из этих двух можно использовать любую формулу для описания
одного и того же сигнала? Смотрим:
U=Asin(ωt+0о),
U=Acos(ωt+90о).
Отличия графика косинуса от синуса.
Косинусоида и синусоида
Пусть наш сигнал представлен вот такой функцией:
U=4+2cos(2000 π t - 90о).
Проще говоря, у нас синусоида с частотой 1 кГц.
Рисунок 4 – Осциллограмма сигнала f=1 кГц
Функция сигнала достаточно проста, формула для преобразования Фурье
содержит сумму составляющих гармоник:
𝑎
(t)= 0 + ∑∞
𝑛=1[𝑎𝑛 cos⁡(𝑛𝜔𝑡) + 𝑏𝑛 sin⁡(𝑛𝜔𝑡)],
2
Эта функция содержит сумму синусных и косинусных составляющих с
соответственными коэффициентами. Коэффициенты высчитываются по
следующим формулам:
𝑇
1 2
𝑎0 = ∫ 𝑈(𝑡)𝑑𝑡,
𝑇 −Т
𝑎𝑛 =
𝑏𝑛 =
𝑇
2
2
1
∫ 𝑈(𝑡)cos⁡(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡,
𝑇 −Т
2
𝑇
2
1
∫ 𝑠(𝑡)sin⁡(𝑛𝜔𝑡)𝑑𝑡,
𝑇 −Т
2
Разложение сигнала производится поэтапно:
1. Определяем 𝑎𝑛
𝑇
𝑇
2
2
1 2
1 2
𝑎0 = ∫ 𝑈(𝑡)𝑑𝑡 = ∫ 𝑈(4 + 2cos⁡(2000𝜋𝑡 − 90о ))𝑑𝑡
𝑇 −Т
𝑇 −Т
упрощение:
𝑇
𝑇
𝑇
2
2
2
1 2
4 2
2 2
𝑎0 = ∫ 𝑈(4 + 2 cos(2000𝜋𝑡 − 90о ))𝑑𝑡 = ∫ 𝑑𝑡 + ∫ cos⁡(2000𝜋𝑡 − 90о ))𝑑𝑡
𝑇 −Т
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
второй представим, как косинус разности аргументов:
𝑇
𝑇
2
2
𝑇
2
𝑇
2
2
4 2
2 2
𝑎0 = ∫ 𝑑𝑡 + ∫ cos⁡(2000𝜋𝑡 − 90о ))𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
4
2 2
= ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠(2000𝜋𝑡) ∙ cos⁡(90о ) − sin⁡(2000𝜋𝑡) ∙ sin⁡(900 ))𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
Выражение упростилось, так что можно подставить в формулу известныые
значения – синус и косинус 90o:
𝑇
𝑇
2
2
4 2
2 2
𝑎0 = ∫ 𝑑𝑡 + ∫ 𝑐𝑜𝑠(2000𝜋𝑡) ∙ 0 − sin⁡(2000𝜋𝑡) ∙ 1)𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
В результате:
𝑇
𝑇
2
2
4 2
2 2
𝑎0 = ∫ 𝑑𝑡 − ∫ sin⁡(2000𝜋𝑡) ∙ 1)𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
Решаем интегралы:
𝑇
𝑇
4 2
2 2
𝑎0 = ∫ 𝑑𝑡 − ∫ sin⁡(2000𝜋𝑡) ∙ 1)𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
2
2
4 𝑇2
= ∙ 𝑡| 𝑇
𝑇 −2
𝑇
𝑇
2
2 2
4 𝑇
𝑇
2
− ∫ sin(2000𝜋𝑡) 𝑑𝑡 = ( − (− ) − ) ∫ sin(2000𝜋𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
𝑇 2
2
𝑇 −𝑇
2
=4−
2
𝑇
2
2
∫ sin(2000𝜋𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
2
Под знаком синуса у нас не просто переменная t, а функция от этой
переменной, в то же время, интеграл у нас по «dt», поэтому нужно внести
изменения в подынтегральное выражение:
𝑇
𝑇
пусть⁡(2000𝜋𝑡) = 𝑥⁡
2
2 2
2
𝑑𝑥 | = 4 −
𝑎0 = 4 − ∫ sin(2000𝜋𝑡) 𝑑𝑡 = |
∫ sin(𝑥) 𝑑𝑥
𝑇 −𝑇
2000 ∙ 𝜋 ∙ 𝑇 −𝑇
тогда⁡𝑑𝑡 =
2
2
2000𝜋
𝑇
cos(2000𝜋 ∙ 𝑡) 2
=4+
|
1000 ∙ 𝜋 ∙ 𝑇 −𝑇2
𝑇
𝑇
cos (2000𝜋 ∙ 2 ) − cos (−2000𝜋 ∙ 2 )
0
𝑎0 = 4 +
= | cos(𝑎) = cos⁡(−𝑎)| = 4 +
=4
1000 ∙ 𝜋 ∙ 𝑇
1000 ∙ 𝜋 ∙ 𝑇
Первый,
«нулевой»
коэффициент
найден.
Аналогично
находятся
остальные коэффициенты a1 и b1.
𝑇
2
𝑇
−
2
2
𝑇
2
𝑇
−
2
2
𝑎1 = 𝑇 ∫ 𝑈(𝑡) ∙ cos(𝑛 ∙ 𝜔 ∙ 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑇 ∫ (4 + 2 ∙ cos(2000𝜋 ∙ 𝑡 − 900 )) ∙ cos⁡(1 ∙ 2000𝜋 ∙ 𝑡)𝑑𝑡,
упрощаем
𝑇
2
𝑇
−
2
2
0 ))
𝑎1 = 𝑇 ∫ (4 + 2 ∙ cos(2000𝜋 ∙ 𝑡 − 90
4
𝑇
𝑇
2
𝑇
−
2
8
𝑇
2
𝑇
−
2
∙ cos⁡(1 ∙ 2000𝜋 ∙ 𝑡)𝑑𝑡 = 𝑇 ∫ cos(𝜔 ∙ 𝑡) 𝑑𝑡 +
∫ cos(2000𝜋 ∙ 𝑡 − 900 ) ∙ cos(2000𝜋 ∙ 𝑡)𝑑𝑡,
И снова первый интеграл содержит под знаком косинуса произведение, а
второй - произведение функций. Будем решать эти интегралы по отдельности:
1.
𝑇
𝑇
пусть⁡(2000𝜋𝑡) = 𝑥⁡
2
8 2
8
1
𝑑𝑥 | =
∫ cos(2000𝜋𝑡) 𝑑𝑡 = |
∫ cos(𝑥) 𝑑 =
sin(𝑥)
𝑇 −𝑇
2000𝜋𝑇 −𝑇
250𝜋𝑇
тогда⁡𝑑𝑡 =
2
2
2000𝜋
𝑇
1
=
sin(2000𝜋𝑡) |2 𝑇
250𝜋𝑇
−
2
1
𝑇
𝑇
1
=
∙ (sin (2000𝜋 ) + (sin (2000𝜋 )) =
∙ sin(1000𝜋𝑇)
250𝜋𝑇
2
2
125𝜋𝑇
2.
𝑇
4 2
𝑐𝑜𝑠(2000𝜋𝑡) = cos⁡(𝑥(𝑡))⁡
∫ cos(2000𝜋𝑡 − 900 ) ∙ cos(2000𝜋𝑡)𝑑𝑡 = |
|
𝑐𝑜𝑠(2000𝜋𝑡 − 900 ) = cos⁡(𝑦(𝑡))
𝑇 −𝑇
2
𝑇
4 2
= ∫ cos⁡(𝑦(𝑡)) ∙ cos⁡(𝑥(𝑡))𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
2
Для решения подобных интегралов существует свой метод:
воспользоваться свойствами подынтегральной функции. Давайте применим его.
Произведение косинусов равно половине суммы косинусов от суммы и разности
их аргументов, то есть:
𝑐𝑜𝑠(𝑢) ∙ cos(𝑣) =
cos(𝑢 − 𝑣) + cos(𝑢 + 𝑣)
2
Подставляем в наш интеграл, 1/2 сразу выносим за знак интеграла:
𝑇
2
4
∫ cos(2000𝜋𝑡 − 900 ) cos(2000𝜋𝑡)𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
2
𝑇
4 2
=
∫ (cos( 2000𝜋𝑡 − 900 + 2000𝜋𝑡) + cos( 2000𝜋𝑡 − 900 − 2000𝜋𝑡))𝑑𝑡
2𝑇 −𝑇
2
Разобьём на два интеграла:
𝑇
𝑇
2
2
4 2
4 2
∫ cos( 2000𝜋𝑡 − 900 + 2000𝜋𝑡)𝑑𝑡 +
∫ cos( 2000𝜋𝑡 − 900 − 2000𝜋𝑡)𝑑𝑡
𝑇
2𝑇 −
2𝑇 −𝑇
Вычисляем по отдельности:
𝑇
4 2
∫ cos( 2000𝜋𝑡 − 900 + 2000𝜋𝑡)𝑑𝑡
2𝑇 −𝑇
2
𝑇
2 2
= ∫ cos( 4000𝜋𝑡 − 900 )𝑑𝑡 = |cos(𝛼) ∙ cos(𝛽) + sin⁡(𝛼) ∙ sin⁡(𝛽)|
𝑇 −𝑇
2
𝑇
пусть⁡(4000𝜋𝑡) = 𝑥⁡
2 2
𝑑𝑥 |
= − ∫ sin⁡( 4000𝜋𝑡)𝑑𝑡 = |
𝑇 −𝑇
тогда⁡𝑑𝑡 =
2
4000𝜋
𝑇
𝑇
2
2
1
=
∫ sin⁡( 𝑥)𝑑𝑥 =
(cos(4000𝜋𝑡) |2 𝑇
4000𝜋𝑇 −𝑇
2000𝜋𝑇
−
2
2
1
𝑇
𝑇
=
(cos (4000𝜋 ) − cos (−4000 ∙ ) = 0
2000𝜋𝑇
2
2
𝑇
𝑇
2
2
4 2
2 2
∫ cos( 2000𝜋𝑡 − 900 + 2000𝜋𝑡)𝑑𝑡 = ∫ cos( −900 )𝑑𝑡 = 0,
𝑇
2𝑇 −
𝑇 −𝑇
то есть
𝑇
4 2
∫ cos(2000𝜋𝑡 − 900 ) cos(2000𝜋𝑡)𝑑𝑡 = 0
𝑇 −𝑇
2
а значит
𝑇
2 2
1
𝑎1 = ∫ (4 + 2 ∙ cos(2000𝜋 ∙ 𝑡 − 900 )) ∙ s𝑖𝑛(1 ∙ 2000𝜋𝑡)𝑑𝑡 =
+0
𝑇 −𝑇
125 ∙ 𝜋 ∙ 𝑇
2
Частота сигнала 1 кГц, а значит период T=1/f = 0,001 с.
𝑎1 =
𝑇
1
sin⁡(1000 ∙ 𝜋 ∙ 0,001) = 0
125 ∙ 𝜋 ∙ 𝑇
2 2
𝑏1 = ∫ (4 + 2 ∙ cos(2000𝜋 ∙ 𝑡 − 900 )) ∙ sin(2000𝜋 ∙ 𝑡) 𝑑𝑡
𝑇 −𝑇
2
𝑇
𝑇
2
2
2 2
2 2
= ∫ 4 ∙ sin(2000𝜋 ∙ 𝑡)𝑑𝑡 +⁡ ∫ 2 ∙ cos(2000𝜋 ∙ 𝑡 − 900 ) ∙ sin(2000𝜋 ∙ 𝑡) 𝑑𝑡⁡
𝑇 −𝑇
𝑇 −𝑇
Разбиваем на отдельные интегралы и решаем по отдельности
𝑇
2 2
∫ 4 ∙ sin(2000𝜋 ∙ 𝑡)𝑑𝑡 =. . . = 0⁡
𝑇 −𝑇
2
𝑇
2
2
∫ 2 ∙ cos(2000𝜋 ∙ 𝑡 − 900 ) ∙ sin(2000𝜋 ∙ 𝑡) 𝑑𝑡 =. . . = 2
𝑇 −𝑇
2
Теперь считаем амплитуду первой составляющей сигнала (первой
гармоники):
А = √𝑎12 + 𝑏12 = √0 + 4=2 В.
Ряд Фурье
Ряд Фурье – это ряд, дающий приближенное представление периодической
функции с помощью гармонических (или экспоненциальных) составляющих.
Разложение в ряд Фурье возможно для функций, период которых
удовлетворяет условиям Дирихле, т. е.:
1) содержит конечное количество разрывов первого рода (точек, в
которых односторонние пределы конечны, но не равны друг другу);
2) содержит конечное количество экстремумов;
3) не содержит разрывов второго рода (точек, в которых хотя бы один
из односторонних пределов бесконечен).
При разложении периодического колебания s(t) в ряд Фурье в качестве
базисных функций можно выбрать одну из двух систем:
{1, cosω1t, sinω1t, cosω2t, sinω2t,...,cosωkt, sinωkt,...}, (1)
{... e-jωkt, ..., e-jω1t, 1, ejω1t,..., ejωkt,...}, (2)
где ω1 – круговая частота, соответствующая периоду сигнала T:
ω1=2π/Т, (3)
ωk= kω1, (4)
В соответствии с выбором базисной системы выделяют две различные
формы записи ряда Фурье: тригонометрическая (вещественная) и комплексная.
1. Тригонометрическая (вещественная) форма ряда Фурье
В этой форме ряд Фурье произвольного периодического сигнала s(t)
представим в виде бесконечной суммы
𝑎
s(t)= 0 + ∑∞
𝑘=1[𝑎𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑘 𝑡 + 𝑏𝑘 𝑠𝑖𝑛𝜔𝑘 𝑡], (5)
2
коэффициенты a0, ak и bk которой можно рассчитать по следующим
формулам:
2
𝑇
2
Т
−
2
𝑇
2
Т
−
2
𝑇
2
Т
−
2
𝑎0 = ∫ 𝑠(𝑡)𝑑𝑡, (6)
𝑇
2
𝑎𝑘 = ∫ 𝑠(𝑡)𝑐𝑜𝑠𝜔𝑘 𝑡𝑑𝑡,
𝑇
2
𝑏𝑘 = ∫ 𝑠(𝑡)𝑠𝑖𝑛𝜔𝑘 𝑡𝑑𝑡,
𝑇
(7)
(8)
Форма записи (5) иногда называется синусно-косинусной формой
представления ряда Фурье.
Замечание: если сигнал s(t) – четная функция, то все коэффициенты bk
будут равны нулю, и ряд (5) будет состоять только из косинусных слагаемых.
Если сигнал s(t) – нечетная функция, то, напротив, будут равны нулю все
коэффициенты ak (включая a0), и ряд (5) будет состоять только из синусных
слагаемых.
С помощью тригонометрических преобразований формулу (1) можно
представить в виде суммы только косинусных слагаемых с амплитудой Ak и
начальной фазой φk
𝑎
S(t)= 0 + ∑∞
(9)
𝑘=1[𝐴𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑘 𝑡 + 𝜑𝑘 ],
2
Эта форма записи зачастую оказывается более удобной для использования
в радиотехнической практике. Слагаемое с круговой частотой
Sk(t)=Ak cos(ωkt+φk), (10)
называется k-ой гармонической составляющей или k-ой гармоникой, а
частота ωk – частотой k-ой гармоники.
Первая гармоника (составляющая разложения Фурье с периодом, равным
периоду T исходного сигнала) носит в радиотехнике название первой или
основной.
S1(t)=A1 cos(ω1t+φ1), (11)
Остальные составляющие называются высшими гармониками. Их частоты
кратны основной частоте.
Выделяют также нулевую гармонику (постоянную составляющую),
которая является средним значением функции за период.
Замечание: если сигнал S(t) – четная функция, то начальные фазы ωk всех
гармоник будут равны 0 или π. Если сигнал s(t) –нечетная функция, то будут
принимать значения ±π/2 .
Используя формулу Эйлера
ejx =cosx+jsinx, (12)
все косинусные слагаемые формулы (9) можно представить в виде
полусуммы двух экспонент:
cos(kω1t+φk)=1/2[exp(jkω1t +jφk)+exp(-jkω1t - jφk)], (13)
которые можно трактовать как члены ряда с положительным и
отрицательным номерами. Тогда, приняв постоянное слагаемое за нулевой член
ряда, формулу (9) можно переписать в виде:
𝑎
∙ 𝑗𝜔𝑘 𝑡
s(t)= 0 + ∑∞
,
(14)
𝑘=−∞ 𝐶𝑘 𝑒
2
где Сk – некоторые коэффициенты:
𝐶𝑘∙ = ejφk, (15)
Заметим, что коэффициенты с равными по модулю положительными и
отрицательными номерами являются комплексно-сопряженными
∙∗
𝐶𝑘∙ = 𝐶−𝑘
, (16)
то есть имеющими одинаковые модули |𝐶𝑘∙ | и противоположные по знаку
аргументы
∙
|𝐶𝑘∙ |=|𝐶−𝑘
|, φk=- φ-k ,
(17)
Если сигнал s(t) – четная функция, то коэффициенты С˙k – чисто
вещественные. Если сигнал s(t) – нечетная функция, то коэффициенты С˙k –
чисто мнимые.
Коэффициенты двух вещественных форм: косинусной (9) и синуснокосинусной (5), связаны между собой следующими соотношениями:
̅̅̅̅̅̅
ak= 𝐴𝑘 𝑐𝑜𝑠𝜑𝑘 ;⁡𝑏𝑘 = 𝐴𝑘 𝑠𝑖𝑛𝜑𝑘 , 𝑘 = 1,
∞, (18)
или
𝑏
̅̅̅̅̅̅
𝐴2𝑘 = 𝑎𝑘2 + 𝑏𝑘2 , 𝜑𝑘 = −𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( 𝑘 ), 𝑘 = 1,
∞,
(19)
𝑎𝑘
Зависимости (17) и (18) легко проиллюстрировать, рассмотрев вектор k-ой
гармонической составляющей в системе координат
Рисунок 1
Связь комплексных коэффициентов Сk формулы (8) с амплитудами Ak и
фазами φk (5) следующая (k1, …, ꝏ)
1
|𝐶𝑘∙ | = 𝐴𝑘 𝑒 𝑗𝜑𝑘 , (20)
2
𝑎0
𝐴
∙
|𝐶0 | = , |𝐶0∙ | = 𝑘 , 𝑎𝑟𝑔𝐶𝑘∙ = 𝜑𝑘 .
2
2
(21)
Отсюда несложно найти связь комплексных коэффициентов формы (8) с
коэффициентами синусно-косинусной формы (1):
С˙k= ak/2-jbk/2, (22)
ak=2ReС˙k , bk=-2Im С˙k.
(23)
Выражения (20) и (21) объясняет геометрическая интерпретация k-ой
составляющей комплексной формы ряда Фурье:
∙
sk(t)=𝐶𝑘∙ 𝑒 𝑗𝜔𝑘𝑡 + 𝐶−𝑘
𝑒 −𝑗𝜔𝑘 𝑡 = 𝑒 𝑗𝜑𝑘 𝑒 𝑗𝜔𝑘 𝑡 + 𝑒 −𝑗𝜑𝑘 𝑒 −𝑗𝜔𝑘 𝑡 ,
(24)
показанная на рисунке 2.
Рисунок 2
Оба слагаемых 𝑒 𝑗𝜑𝑘 𝑒 𝑗𝜔𝑘 𝑡 ⁡и⁡𝑒 −𝑗𝜑𝑘 𝑒 −𝑗𝜔𝑘 𝑡 , k-ой составляющей формулы (24)
можно представить в виде векторов на комплексной плоскости, имеющих
равные модули (Ak/2) и противоположные аргументы, и вращающиеся
(благодаря операторам вращения 𝑒 𝑗𝜔𝑘 𝑡 ⁡и 𝑒 −𝑗𝜔𝑘 𝑡 ⁡с равными скоростями в
противоположных направлениях. Сумма этих векторов, равная k-ой гармонике в
выражении (9), будет располагаться на вещественной оси.
Амплитудный и фазовый спектры сигнала
Спектр сигнала – это совокупность гармоник сигнала при его разложении
по некоторому базису ортогональных функций (например (1) или (2)).
Совокупность амплитуд этих гармоник называют амплитудным спектром,
совокупность начальных фаз – фазовым спектром сигнала.
Спектр периодической функции изображается отдельными линиями,
каждая из которых соответствует определенной частоте, включая частоту ω=0
(постоянная составляющая). Такие спектры носят название дискретных или
линейчатых.
В качестве амплитудного спектра можно использовать совокупность
амплитуд гармоник вещественной формы ряда Фурье (9) –{a0/2, A1, A2 , ...}, или
совокупность модулей коэффициентов комплексного ряда Фурье (14) – |C˙k|,
̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑘 = −∞,
∞ (см. рисунок 3).
Рисунок 3
Спектр, определяемый вещественным рядом (9), часто называют
физическим спектром, а определяемый комплексным рядом (14), –
математическим спектром.
Пример разложения в ряд Фурье последовательности прямоугольных
импульсов
Рассмотрим в качестве сигнала S(t) последовательность однополярных
прямоугольных импульсов с периодом Т, длительность τ и амплитудой А
(рисунок 4).
Рисунок 4
Поскольку функция S(t) четная, в разложении (1) останутся только
косинусные слагаемые с коэффициентами
2
𝑇
𝜏
2
2𝜋𝑘
𝑎𝑘 = 𝑇 ∫2𝑇 𝑆(𝑡) ∙ cos(𝑘 ∙ 𝜔1 ∙ 𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑇 ∫2𝜏 𝐴 ∙ cos ( 𝑇 𝑡) 𝑑𝑡 ,
−
−
2
и свободный член
𝑎0
2
𝜏
2
𝜏
−
2
1
𝐴
= 𝑇 ∙ ∫ 𝑆(𝑡)𝑑𝑡 = 𝑇𝜏 ,
(25)
2
(26)
Найдем интеграл (25)
2𝐴
𝑇
2𝜋𝑘
𝜏
𝐴
2𝜋𝑘
𝜏
2𝜋𝑘
𝜏
𝐴
𝜋𝑘𝜏
2𝐴
𝜋𝑘𝜏
𝑎𝑘 = 𝑇 ∙ 2𝜋𝑘 sin 𝑇 |2 𝜏 = 𝜋𝑘 ∙ (𝑠𝑖𝑛 𝑇 ∙ 2 − 𝑠𝑖𝑛 𝑇 ∙ (− 2)) = 𝜋𝑘 ∙ (2𝑠𝑖𝑛 𝑇 ) = 𝜋𝑘 𝑠𝑖𝑛 𝑇 , (27)
−
2
С учетом того, что отношение τ/T обратно скважности импульсов Q = T/τ,
окончательно получаем:
𝐴
2𝐴
𝜋𝑘
2𝜋𝑘
𝑆(𝑡) = + ∑∞
𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
𝑡).
(28)
𝑖=1
𝑄
𝜋𝑘
𝑄
𝑇
Частичные суммы ряда Фурье последовательности прямоугольных
импульсов
Построим частичные суммы ряда Фурье (28):
𝐴
𝐴
2𝐴
𝜋𝑘
2𝜋𝑘
𝑆(𝑡) = ,⁡⁡⁡𝑆𝛴𝑛 (𝑡) = + ∑𝑛𝑖=1 𝑠𝑖𝑛 𝑐𝑜𝑠 (
𝑡).
𝑄
𝑄
𝜋𝑘
𝑄
𝑇
(29)
Результаты суммирования для меандра (Q = 2) при n = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13; а
также нулевая гармоника показаны на рисунке 5; первые пять нечетных
гармоник (четные для меандра равны нулю) и результат их суммирования - на
рисунке 6.
Очевидно, прямоугольные импульсы представляются с помощью ряда Фурье
плохо: сигнал содержит разрывы первого рода, а ряд Фурье как сумма
гармонических компонент не только непрерывен, но и бесконечно
дифференцируем. Потому частичные суммы в окрестности разрывов не
способны хорошо аппроксимировать сигнал.
Рисунок 5
Наклонные участки графиков сумм sin(t) с ростом количества слагаемых n
все больше приближаются к вертикали. В точке разрыва ряд Фурье сходится к
полусумме правого и левого пределов:
Рисунок 6
1
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆𝑛 (𝑡0 )𝑛
→ ∞ (𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑡0+0 𝑠(𝑡) + 𝑙𝑖𝑚𝑡→𝑡0−0 𝑠(𝑡)),⁡⁡⁡
2
(30)
Анализ спектра последовательности прямоугольных импульсов
Построим амплитудный спектр прямоугольного сигнала, выбрав для
примера скважность Q=10. Детально построение спектра показано в приложении
1 на рисунке А1 (ось абсцисс проградуирована в номерах гармоник).
График имеет лепестковый характер с шириной лепестков, равной
скважности . Поэтому гармоники с номерами, кратными скважности (k = ±10,
±20,...) в спектре отсутствуют. (По той же причине в спектре меандра
отсутствуют все четные гармоники.)
Заметим, что при градуировке оси абсцисс в частотах, расстояние между
соседними гармониками в спектре равно частоте следования импульсов, а
ширина лепестков спектра - 2π/τ. Это является следствием из общего правила —
чем короче сигнал, тем шире спектр.
Задание на исследование
Даны периодические последовательности прямоугольных (см. рисунок 7),
пилообразных (рисунок 8) и треугольных (рисунок 9) импульсов.
Требуется:
1. Построить амплитудные спектры трех сигналов.
2. Показать графически результат суммирования нескольких первых
членов ряда Фурье для приведенных сигналов.
3. Объяснить полученные результаты
Рисунок 7
Рисунок 8
Рисунок 9
Таблица 1 - Варианты заданий
№ вар T, мс τ, мс А, В № вар T, мс τ, мс А, В № вар T, мс τ, мс А, В
1
2
3
4
5
100
15
21
24
80
25
3
3
4
10
5
8
2
3
1
6
7
8
9
10
20
20
18
25
33
10
5
2
5
3
6
1
4
10
15
11
12
13
14
15
24
20
52
8
12
2
4
4
1
2
20
6
12
4
4
Примечание: для выполнения пп. 1-2 задания рекомендуется
воспользоваться математическим редактором Mathcad.
Пример построения спектра прямоугольного сигнала и расчета частичных
сумм приведен в Приложении А. Расчет рядов Фурье в синусно-косинусной
форме пилообразного и треугольного сигналов проведен в Приложении Б.
Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Основные формулы, используемые при расчетах.
3. Подробная запись всех этапов проведенных расчетов и их результаты.
4. Скриншоты графиков, полученных в результате выполнения пп. 1-2
задания.
5. Выводы.
Рекомендуемая литература
1. Гоноровский, И. С. Радиотехнические цепи и сигналы : Учебник для
вузов / А. Б. Сергиенко. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Сов. радио, 1977 - 608 с.
2. Сергиенко, А. Б. Цифровая обработка сигналов : Учебник для вузов / А.
Б. Сергиенко. - 2-е изд. - СПб.: Питер, 2006 - 751 с.
Примерный перечень контрольных вопросов
1. Что представляет собой ряд Фурье периодической функции? Какие две
системы функций используются в качестве базисных при разложении функций в
ряд Фурье?
2. Сформулируйте условия Дирихле.
3. Запишите синусно-косинусную и косинусную формы ряда Фурье
функции S(t).
4. Для каких функций синусно-косинусная форма представления содержит
только синусные слагаемые, для каких - только косинусные?
5. Запишите комплексную форму ряда Фурье функции S(t).
6. Для каких функций коэффициенты комплексного ряда Фурье являются
вещественными, для каких - чисто мнимыми?
7. Какова связь между коэффициентами различных форм ряда Фурье
(объясните графически)?
8. Что такое амплитудный и фазовый спектры сигнала? Что представляет
собой линейчатый спектр?
9. В чем выражается эффект Гиббса?
10. Как были получены коэффициенты ряда Фурье для
последовательности прямоугольных импульсов?
11. Что представляет собой амплитудный спектр периодической
последовательности прямоугольных импульсов со скважностью Q?
12. С какой скоростью убывают амплитуды гармоник прямоугольного,
треугольного и пилообразного сигналов? Сформулируйте общее правило
расчета скорости убывания спектра сигнала.
Преобразование Фурье
Преобразование Фурье (Fourier transform) является инструментом
спектрального анализа непериодических сигналов. Впрочем, чуть позже мы
увидим, что его можно применять и к сигналам периодическим, но это потребует
использования аппарата обобщенных функций.
При спектральном анализе непериодических сигналов формула для
расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется следующим
образом:
частота перестает быть дискретно меняющейся и становится непрерывным
параметром преобразования (то есть kω1 в формуле (1.9) заменяется на ω);
удаляется множитель 1/T;
результатом вычислений
вместо нумерованных коэффициентов ряда Ck
.
является функция частоты 𝑆𝛿 - спектральная функция сигнала s(t). Иногда ее
называют также спектральной плотностью.
В результате перечисленных модификаций формула (1.9) превращается в
формулу прямого преобразования Фурье:
.
∞
𝑆𝛿 (𝑗𝜔) = ∫ 𝑆(𝑡)𝑒 −𝑗𝜔𝑡 𝑑𝑡
−∞
В формуле самого ряда Фурье суммирование, естественно, заменяется
интегрированием (и, кроме того, перед интегралом появляется деление на 2π).
Получающееся выражение называется обратным преобразованием Фурье:
∞ .
𝑠(𝑡) = 1/2𝜋 ∫ 𝑆(𝜔)𝑒 𝑗𝜔𝑡 𝑑𝜔
−∞
Области положительных и отрицательных частот появляются из-за
свойств ПФ, а именно наличия действительной и мнимой частей.
https://www.falstad.com/fourier/Fourier.html
Защита речевой информации в каналах связи.
Общая классификация методов скремблирования речевой информации.
Передача речевой информации составляет основу телекоммуникации в
человеческом обществе, то ее защита — важнейшая задача инженернотехнической защиты информации. Речевая информация, передаваемая по каналу
связи, содержится в информационных параметрах электрических и
радиосигналов. Сигналы распространяются по линиям связи в аналоговом и
цифровом виде. В результате несанкционированного перехвата этих сигналов и
их модуляции речевая информация может быть добыта злоумышленником.
Для структурного скрытия речевой информации в каналах связи
применяют шифрование и техническое закрытие.
При шифровании аналоговый речевой сигнал с выхода микрофона
преобразуется с помощью аналогово-цифрового преобразователя в цифровой
сигнал. При аналого-цифровом преобразовании амплитуда сигнала измеряется
через равные промежутки времени,называемые шагом дискретизации. Для того
чтобы цифровой речевой сигнал имел качество не хуже переданного по
телефонному каналу в аналоговой форме, шаг дискретизации выбирается в
соответствии с теоремой Котельникова: Δt ≤ 1/(2 Fmax)(частота дискретизации не
менее чем в 2 раза больше максимальной частоты сигнала).
Речевой сигнал - это множество гармонических колебаний, мало
отличающихся друг от друга по частоте(сплошной спектр).
Скрытие речевого сигнала в узкополосном телефонном канале
осуществляется методами технического или аналогового закрытия. По названию
технических средств, обеспечивающих техническое закрытие, эти методы
называются также скремблированием (перемешиванием). Техническое закрытие
(скремблирование) отличается от криптографического тем, что при шифровании
происходит скрытие речевого сообщения в символьной форме, а при
техническом закрытии — скрытие речевого сигнала без преобразования его в
цифровую форму. При техническом закрытии изменяются признаки
(характеристики) исходного речевого сигнала таким образом, что он становится
похож на шум, но занимает ту же частотную полосу. Это позволяет передавать
скремблированные сигналы по обычным стандартным телефонным каналам
связи.
Выбор системы защиты зависит от предполагаемого способа нападения.
Наиболее простой способ получения речевой информации из канала связи - это
непосредственное подключение к линии в любой точке от абонента до входа в
АТС (автоматическая телефонная станция-она соединяет в одну сеть разные
телефонные линии). При использовании аппаратуры съема высокого класса
практически невозможно определить несанкционированное подключение к
линии. В таком случае единственным способом защиты информации является
преобразование ее к такому виду, из которого злоумышленник не сможет понять
ее содержания в течение какого-то определенного времени.
Скремблирование - изменение характеристик речевого сигнала, в
результате которого полученный сигнал неразборчив и неузнаваем, при этом
занимает такую же полосу частот спектра, как и исходный сигнал
Цифровое-преобразование речевых компонент в цифровой поток данных,
который обрабатывается по одному из криптографических алгоритмов.
Аналоговое-преобразования речевого сигнала (частотные, временные и
комбинированные), искажение сигнала таким образом, чтобы его нельзя было
прослушать при перехвате сообщения, но можно вскрыть при помощи
специальной аппаратуры
Частотная инверсия-низкие частоты в высокие и наоборот
Временное скремблирование- разбиваем сигнал на сегменты, переставляем
во времени
Классификация скремблирования.
Мозаичные - комбинация разных методов
во временной инверсии нет частотного параметра, который мы можем
выбрать, сигнал просто инвертируется. Поэтому нет ключа.
2.
Скремблирование методом частотной инверсии. Описание
алгоритма скремблирования (прямое и обратное преобразования). Основные
свойства и практическая реализация метода.
Скремблирование методом частотной инверсии» основано на инверсии
частотного спектра (результата преобразования Фурье) передаваемого речевого
сигнала. Смысл термина “частотная инверсия” состоит в том, что в результате
скремблирующего преобразования все низкочастотные компоненты спектра
Фурье исходного речевого сигнала «превращаются» в высокочастотные
компоненты, а высокочастотные компоненты – наоборот в низкочастотные
(упрощенно говоря, они «меняются местами»). Преобразование Фурье в данном
случае не является «инструментом» для обработки исходного сигнала, оно лишь
наглядно описывает (для лучшего понимания) весь происходящий процесс
выполнения «скремблирующего» преобразования исходного сигнала с целью
получения закрытого от посторонних – получения «скремблированного»
исходного сигнала.(выполняется отнюдь не в частотной области, а во временной
- на основе перемножения сигналов) (ох уж это “отнюдь”)
Дискретизация
преобразование
непрерывного
сигнала
в
последовательность отсчётов. Шаг дискретизации по времени Δt(«расстояние»
между соседними отсчётами модельного сигнала во временной области)
выбираем по теореме Котельникова: Δt ≤ 1/(2* Fmax), где Fmax - максимальная
частота сигнала.
Δf- шаг дискретизации по частоте(частотное «расстояние» между
соседними отсчетами дискретного спектра Фурье). Шаг дискретизации по
частоте и длительность сигнала - обратные величины: Δf = 1/(N*Δt).
Алгоритм:
В основе данного алгоритма скремблирования методом частотной
инверсии лежит общеизвестная простейшая тригонометрическая формула:
cos(x)∙cos(y) = ½ [cos(x - y) + cos(x + y)].
Из формулы (1) видно, что в результате умножения полезного (исходного
информационного) сигнала cos(x) на «вспомогательный» сигнал cos(y) получаем
сумму двух составляющих: разностную cos(x - y) и суммарную cos(x + y). То есть
полезное колебание cos(x) по сути «расщепилось» на две составляющие,
существенно взаимно различные по спектральному составу. В правой части
формулы (1) в слагаемом cos(x - y) из аргумента x (полезного сигнала)
вычитается вспомогательный аргумент y «скремблирующего» сигнала. В итоге
первое слагаемое дает разность частотных составляющих, а для слагаемого cos(x
+ y) получаем сумму частотных составляющих. Полученная сумма из двух
слагаемых представляет собой «скремблированный» (преобразованный)
исходный сигнал. Принципиально важно, что (в общем случае) по форме
скремблированный сигнал уже существенно отличается от исходного
информационного сигнала.
Чтобы получить дескремблированный сигнал нужно скремблированный
сигнал умножить на скремблирующий. В основе этого преобразования лежит
формула (после знака = должна быть 1/4)
Cos(x) – исходный сигнал. Значит нужно отфильтровать разностную
составляющую и умножить на коэффициент 4.
Свойства:
простота практической реализации;
выполняется во временной области;
для организации связи не нужна взаимная синхронизация приём/передача;
(если вдруг кто-то понимает, что это значит - напишите, пожалуйста)(при
синхронной передаче данных приёмнику и передатчику известно время передачи
данных, то есть передатчик и приёмник работают синхронно, в такт)
обеспечение определённой неразборчивости сигнала;
возможно абсолютно точное восстановление исходного сигнала при
равенстве частот скремблирования на передаче и приёме.
3.
Обоснование целесообразности и практической возможности
сокращения полосы частот скремблированного сигнала за счет фильтрации его
суммарных составляющих. Реализация метода фильтрации.
Результатом скремблирующего преобразования, в основе которого лежит
формула cos(x)∙cos(y) = ½ [cos(x - y) + cos(x + y)], является половина суммы двух
слагаемых: разностной и суммарной составляющей. За счет появления
суммарных составляющих происходит двукратное расширение спектра сигнала.
Эта суммарная составляющая практического интереса не представляет - частота
скремблирования находится за пределами полосы частот речевого канала 3003400 Гц, а значит, частота суммарной составляющей будет много больше
частоты скремблирования и не будет пропускаться каналом. Поэтому её можно
без каких-либо информационных потерь отфильтровать, что позволит сократить
полосу частот скремблированного сигнала.
Реализация метода фильтрации происходит в частотной области.
1) Определим верхнюю и нижнюю границы частотного окна для фильтрации.
Нижняя граничная частота равна частоте скремблирования: Fmin = Fскр .
Верхняя граничная частота определяется по следующей формуле:
Fmax =N*Δf-Fскр , где N - количество отсчетов, Δf - шаг дискретизации по
частоте(частотное «расстояние» между соседними отсчетами дискретного
спектра Фурье). Шаг дискретизации по частоте и длительность сигнала обратные величины: Δf = 1/(N*Δt).
2) Удалим спектральные составляющие на частотах на отрезке [Fmin ;⁡Fmax ],
приравняв спектральную плотность амплитуды к нулю.
Результат фильтрации - спектр отфильтрованного сигнала с ненулевыми
составляющими на частотах вне отрезка [Fmin ;Fmax ].
4.
Обоснование выбора частоты скремблирования, установление
диапазона её возможных значений при скремблировании конкретного звукового
файла.
Определение
диапазона
возможных
значений
для
частоты
скремблирования зависит от требований и ограничений конкретного звукового
файла и системы, в которой он будет использоваться.
Установим ограничения на частоту скремблирования, рассмотрев
частотное представление сигнала. Здесь Fmin=0 Гц:
В результате скремблирования методом частотной инверсии все
высокочастотные компоненты становятся низкочастотными, а низкочастотные высокочастотными. Мы можем инвертировать как весь сигнал, так и его часть,
как на картинке ниже:
В этом случае после скремблирования обе части сигнала зеркально
повернутся и поменяются местами. Однако частота скремблирования в данном
случае делит частотное представление сигнала на неравные части, и после
скремблирования левая часть выйдет за пределы Fmin(мы вышли за Fmin, в
полосу отрицательных частот, и можем потерять эту часть спектра при
фильтрации). Значит, нужно увеличить частоту скремблирования. Чтобы не
выйти за пределы Fmin, нужно выбрать частоту, которая поделит сигнал на две
части, где левая будет меньше или равна правой - рисунок ниже:
Таким образом, минимальная частота скремблирования равна Fmax/2.
Вспоминаем теорему Котельникова: частота дискретизации Fд должна быть как
минимум в 2 раза больше Fmax. Отсюда минимальная Fскр=Fmax/2=Fд/4.
Мы можем инвертировать всю информативную часть сигнала. В этом
случае частота скремблирования равна Fmax.
После скремблирования слева сигнал перевернулся, а справа отразился
зеркально перевернутому:
Fmax является верхней границей диапазона Fскр. Можно взять Fскр
больше этого значения, однако чем больше разница между Fmax и Fскр,
(правильно я поняла что это максимальная частота сигнала и частота
скремблирования нижнее? то есть сравнение между нижним и верхним) тем
больше шанс того, что злоумышленник, перехватив скремблированный сигнал,
поймет, что исходный сигнал был преобразован методом частотной инверсии на
определенной частоте(пример от Коломойцева: для исходного сигнала
Fmax=100 Гц, а мы взяли Fскр как минимум 1 кГц).
Вывод: Fскр можно выбрать любую из отрезка [Fmax/2; Fmax], где Fmax частота, на которой заканчивается информативная часть сигнала.
Отрезок выражен через теорему Котельникова: [Fдискретизации/4;
Fдискретизации/2].
5.
Скремблирование методом частотной перестановки. Описание
алгоритма скремблирования (прямое и обратное преобразования). Его основные
свойства и практическая реализация.
Вся обработка сигнала при реализации скремблирования методом
частотной перестановки выполняется в частотной области. Спектральное
представление сигналов по Фурье здесь является инструментом преобразований,
применяемым для скремблирования сообщения. Вся требуемая обработка
сигнала для закрытия сообщения в методе частотной перестановки производится
с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Метод частотной перестановки основан на перестановке частотных
компонент спектра Фурье исходного сообщения по некоторому правилу,
определяемому секретным ключом. Конкретная практическая реализация метода
может быть различной.
Общая структура скремблирующего преобразования методом частотной
перестановки (с фиксированной перестановкой спектральных компонент)
иллюстрируется ниже:
Первый способ - разбиение рассчитанного БПФ-спектра исходного
сообщения на несколько частотных полос одинаковой длины и перестановка
выделенных частотных полос по некоторому секретному ключу перестановки.
После этого нужно выполнить обратное преобразование Фурье. Полученное в
результате преобразованное временное сообщение отправляется адресату по
открытому каналу связи. На приемном конце надо выполнить обратные
преобразования, используя тот же секретный ключ.
Второй способ - все рассчитанные (существенные по величине)
спектральные составляющие можно взаимно переставить (например, по
псевдослучайному закону)(это вычислительно несложная задача!). Такой подход
даст максимальное «рассеяние» спектральных БПФ-компонент. В этом случае
вполне осмысленное сообщение практически превращается в шумоподобный
сигнал, который будет крайне сложно правильно восстановить без знания ключа,
поскольку в исходном сигнале были разрушены семантические и
корреляционные связи. На приемном конце выполняются противоположные
действия.
Свойства:
● не требуется взаимная синхронизация прием/передача;
● возможность высокоскоростной обработки сигналов без внесения
задержки;
● некритичность к качеству используемого канала связи и простота
управления;
● вычислительно несложная реализация перестановки спектральных БПФкомпонент;
● максимальное рассеяние всех рассчитанных спектральных БПФкомпонент существенно искажает форму сигнала;
● количество вариантов допустимых перестановок частотных компонент
огромно - это резко повышает степень закрытия сообщения от
посторонних и сложность для противника восстановления исходного
сообщения по перехваченному сообщению без знания ключа;
● возможность организации скрытной передачи сообщений, поскольку, если
перехваченный нарушителем преобразованный (скремблированный)
сигнал – шумоподобен, то сначала нарушителю надо будет установить сам
факт передачи сообщения. Только после этого имеет смысл
предпринимать какие-либо действия по его раскрытию;
● возможность точного восстановления исходного сигнала в точке приема.
6.
Основные варианты реализации алгоритма скремблирования
методом частотной перестановки: деление на частотные полосы, перестановка
всех отсчетов спектра сигнала (в требуемом диапазоне частот). Для второго
случая - псевдокод алгоритма прямой и обратной псевдослучайной перестановки
отсчетов спектра сигнала с логикой его работы. Конкретный несложный пример
алгоритма прямой и обратной псевдослучайной перестановки.
В его файле описано два варианта реализации:
1. Можно разбить рассчитанный БПФ-спектр исходного сообщения
на несколько частотных полос (обычно одинаковой длины), а затем
выделенные частотные полосы переставить по некоторому секретному
ключу перестановки. После этого выполнить обратное преобразование
Фурье. Полученное в результате преобразованное исходное временное
сообщение отправляется адресату по открытому каналу связи. На
приемном конце надо выполнить обратные преобразования, используя тот же
секретный ключ.
2. Противоположный подход основан на том, что спектр полезного сигнала
на отдельные частотные полосы не разбивается. Вместо этого все рассчитанные
(существенные по величине) спектральные составляющие можно взаимно
переставить (например, по псевдослучайному закону). Такой подход даст
максимальное «рассеяние» и «автоматически» приведет к кардинальному
изменению формы информационного сигнала. Реализация перестановки в этом
случае - вычислительно несложная задача. При этом значительно увеличивается
количество вариантов допустимых перестановок частотных компонент, что
резко повышает как степень закрытия сообщения от посторонних без ухудшения
качества восстановления сообщения, так и сложность для противника
восстановления исходного сообщения по перехваченному сообщению.
7.
Скремблирование методом временной перестановки. Описание
алгоритма скремблирования (прямое и обратное преобразования). Его основные
свойства и практическая реализация.
Методы временных перестановок (аналоговое скремблирование)
предполагают разделение непрерывных сообщений на временные
интервалы(сегменты) и их передачу в очередности, заданной ключевыми
последовательностями.
Временная перестановка осуществляется во временной области сигнала.
Здесь по оси абсцисс откладывается i*Δt(это произведение равно длительности
сигнала) - текущее время, оно описывает сигнал в каждой точке отсчёта.
Сигнал при реализации данного метода не дискретизируется, а остаётся
непрерывным и "напиливается" на части, интервал между которыми равен Δt.
Выделенные части переставляются по некоторому правилу, определяемому
ключом. Чем меньше длительность отрезков, на которые разбивается исходный
речевой сигнал, тем больше элементов речевого сигнала участвуют в операции
перестановки, тем сложнее для противника процесс восстановления речи по
перехваченному сигналу. Количество отрезков, на которые разбивается сигнал,
называется глубиной перестановки.
Чтобы восстановить исходный сигнал, необходимо снова разделить сигнал
на части с интервалом Δt и переставить их по правилу, определяемому обратным
ключом.
Ясно, что временная перестановка отрезков речевого сигнала на
передающем конце и восстановление их исходной последовательности на
приеме занимают соответствующий интервал времени. Поэтому на приемной
стороне появляется задержка сигнала, связанная с его обработкой.
При передаче/приеме переставленных временных отрезков речевого
сигнала на краях этих отрезков возникают искажения, связанные с
ограниченностью полосы пропускания всего канала связи. При восстановлении
речи на приемной стороне это приводит к появлению “сшивок” отрезков сигнала,
заметно ухудшающих качество звучания восстановленного сигнала. С учетом
характеристик реальных телефонных каналов длительность отрезков сигнала
обычно составляет 15 - 20 мс. Увеличение глубины перестановки ограничено
быстрым возрастанием времени задержки восстановленного сигнала на приеме.
При диалоге заметные неудобства возникают при задержке более 0,3 с, а при
задержке более 1 с диалог становится уже невозможен (эффект эха). Оба
указанных фактора определяют глубину перестановки на уровне 16 - 64 отрезков
речи.
Свойства:
-восстановление исходного сигнала даёт искажения, потому что нужно
использовать широкополосный канал, который не будет сглаживать переходы
между сегментами;
-нужно выбрать такую полосу частот(примерно в 10 раз больше, чем
полоса канала связи), чтобы в неё поместились все высокочастотные
гармонические колебания, необходимые для представления сигнала - можно
будет передать крутой фронт;
-получить такую полосу частот в реальности фактически невозможно,
сигнал будет передаваться с размазанными переходами, восстановление
происходит с ошибками;
-нужна синхронизация( процесс при котором происходит установление и
поддержание фазовых соотношений между значащими моментами сигналов,
один из которых формируется на передающей стороне, а другой на приёмной с
целью формирования синхронной последовательности), на нее тоже тратится
время(вклад в задержку);
-синхронизация может сорваться при плохих погодных условиях;
-временные задержки на приемной стороне из-за перестановки
отрезков(>0,3 с - возникают трудности, >1 с - диалог уже невозможен);
-эффекта эха за счёт временных задержек;
-метод используется для реализации "мозаичных" скремблеров;
-низкая стоимость;
-относительно высокая стойкость защиты передаваемого речевого сигнала,
исключающая его непосредственное прослушивание даже при наличии группы
тренированных аудиторов.
Дополнительно: Временные перестановки при правильном выборе
параметров перестановки исключают непосредственное прослушивание речи в
канале связи, но при анализе записи или при оперативном анализе сигнала на
месте перехвата статическая перестановка, повторяющаяся из кадра в кадр, легко
выявляется по спектральным и амплитудным связям отрезков, в результате чего
исходная речь может быть восстановлена с применением несложной
аппаратуры. В то же время по своему составу и сложности алгоритма аппаратура
с фиксированными перестановками незначительно отличается от аппаратуры с
переменными перестановками, управляемыми криптоблоком. Поэтому в
настоящее время для защиты речевой информации обычно применяется
переменная перестановка.
8.
Описание процесса шифрования сообщений с помощью SP-сети.
Демонстрация на характерном примере проявления «лавинного эффекта» в SPсети.
SP-сеть - разновидность блочного шифра(симметричное шифрование),
использующая совместно принципы рассеивания и перемешивания и
обеспечивающая за счет этого высокую криптографическую стойкость для
закрытия данных.
В простейшем варианте SP-сеть представляет собой составную
«двухслойную» шифрующую структуру, используемую многократно.
Итерационная шифрующая сеть объединяет S-блоки (substitution box, S-box подстановка или замена) и P-блоки (permutation box, P-box - перестановка) в
единую конструкцию.
P-блоки и S-блоки могут иметь в общем случае произвольное количество
входов. P-блоки переставляют разряды двоичных чисел (изменяют веса
разрядов), что обеспечивает перемешивание. S-блоки предусматривают замены
значений чисел (подстановки), что дает эффект рассеивания. S-блоки могут
увеличивать число единиц на выходе блока по сравнению с его входом, то есть
одним из свойств S-блока является «лавинный эффект»: изменение одного бита
на входе приводит к изменению многих бит на выходе. P-блоки только взаимно
переставляют значения разрядов (0 и 1) внутри слова данных, не изменяя их
общего количества. В SP-сети процедура шифрования со­стоит в
последовательном выполнении ряда чередующихся операций перестановок и
подстановок.
Продемонстрируем работу SP-сети и проявление “лавинного эффекта” в
ней. Сеть состоит из двух раундов - одна перестановка(одна таблица), одна
подстановка(три таблицы). На вход подается 9 бит.
Используемая таблица для подстановки:
Шифруем:
Меняем последний бит на входе и шифруем новую последовательность.
Видим, что при замене одного бита на входе на выходе поменялись три
бита - проявление “лавинного эффекта” S-блока.
9.
Построение таблиц прямой и обратной подстановки (для SP-сетей);
требования, предъявляемые к этим таблицам. Основные правила и требования
для заполнения таблиц подстановки, а также рекомендации по выбору общего
числа таблиц подстановки на каждом раунде шифрования.
В простейшем случае таблица подстановки (замены) содержит две строки:
в верхней строке в порядке возрастания расположены числа от 0 до N – 1, а в
нижней строке – те же числа из верхнего ряда, но расставленные в другом
порядке. В результате этого каждому входному числу таблицы (из верхней
строки) ставится в соответствие единственный вариант замены для него (из
нижней строки). Это – таблица прямой подстановки, или S-блок.
Однако для расшифрования сообщения на приемном конце должна
иметься парная ей таблица обратной подстановки. Таблицу обратной
подстановки нетрудно получить из таблицы прямой подстановки. Для этого в
таблице прямой подстановки надо упорядочить по возрастанию числа в нижней
строке, при этом соответствующим образом будут переставлены и числа верхней
строки. Затем верхнюю и нижнюю строки надо поменять местами.
Правила и требования для создания и заполнения таблиц подстановки:
1) S-блоки предусматривают замены значений чисел (подстановки), что дает
эффект рассеивания. Такой блок SP-сети должен давать максимальное
рассеивание для обеспечения высокой криптостойкости. Это возможно,
если в результате замены каждый выходной бит отличается от парного ему
входного.
2) Необходимо определить количество таблиц подстановки и их заполнение.
Количество раундов перестановки в SP-сети будет равно количеству таких
таблиц (подстановки). Здесь есть 2 варианта реализации этих
таблиц(зависит от размера входного блока).
А) Одна таблица в одном раунде: размер входного блока равен размеру
блока, подаваемого на вход SP-сети. Число возможных вариантов подстановки в
этом случае равно n!, где n - число бит, подаваемых на вход SP-сети.
Б) Несколько таблиц в одном раунде: Разбить входной блок размером n бит
на несколько частей - каждую из них подавать на вход своего S-блока. Тогда
количество вариантов подстановки для одного S-блока равно (n/m)!, где m -
количество S-блоков, n - размер блока, подаваемого на вход SP-сети.
Совокупное количество вариантов подстановки для такого раунда равно
n
(( )!)m , где m - количество S-блоков.
m
Сравним количество вариантов подстановки для случаев А и Б:
n
n! > (( )!)m - для первого случая количество вариантов подстановки
m
больше. Значит, может быть обеспечено большее рассеяние в случае А по
сравнению с Б. Чтобы при использовании нескольких таблиц в одном
раунде(вариант Б) добиться такого же рассеяния, нужно включать в структуру
SP-сети больше аналогичных раундов подстановки.
Конкретный пример из лекции:
Входной блок=256 бит
А) Одна таблица подстановки, подаем 256 бит: кол-во вариантов=256!
Б) Делим на части по 16 бит, 16 таблиц подстановки - общее количество
вариантов подстановки для всего раунда=(16!)256
Более элементарный вычислимый пример: на вход 4 бита, случай А: колво вариантов=4!=24, случай Б: 2 таблицы принимают по 2 бита: (2!)2 =22 =4
Таким образом, использование одного S-блока в раунде подстановки
обеспечивает более высокую степень рассеивания, нежели использование
нескольких S-блоков меньшего размера. Для достижения безопасности на
каждом раунде шифрования достаточно установить только один S-блок, но такой
S-блок (в зависимости от размера шифруемого блока данных) может потребовать
сравнительно большого объёма памяти. Поэтому на практике на каждом раунде
часто используются S-блоки меньшего размера. Поскольку S-блок замещает
блок входных бит на блок выходных бит, эта замена должна быть взаимно
однозначной, чтобы гарантировать обратимость шифрующего преобразования.
В современных алгоритмах реализации SP-сетей в качестве S-блоков часто
используют двоичную логическую функцию.
10. Построение блоков перестановки (для SP-сетей), их назначение,
свойства и реализация.
С помощью перестановки реализуется принцип перемешивания. Блок
перестановки(P-блок) изменяет лишь положение единиц и нулей в
зашифрованном слове (но не их общее количество!).
P-блок (англ. permutation box or P-box) — перестановка всех бит: блок
получает на вход последовательность бит, меняет местами все биты и подает
результат S-блоку следующего раунда.
Важным качеством P-блока является возможность распределить вывод
одного S-блока между входами как можно больших S-блоков за счет
перестановки.
В SP-сети используются прямые P-блоки с n входами и n выходами. Такой
блок – это перестановка с n! возможными отображениями.
Прямой P-блок обычно задают с помощью таблицы перестановок из двух
строк и n столбцов. Первая строка - номера битов входящего блока, а вторая
строка - номера новых битов(куда будет поставлен старый бит).
P-блок - обратимый, т.е. его можно использовать для шифрования и
дешифрования. Таблицу обратной перестановки можно получить из таблицы
прямой перестановки. Для этого в таблице прямой перестановки надо
упорядочить по возрастанию числа в нижней строке, при этом соответствующим
образом будут переставлены и числа верхней строки. Затем верхнюю и нижнюю
строки надо поменять местами.
В современных алгоритмах реализации SP-сетей в качестве P-блоков часто
используют различные математические или логические функции. Например, к Pблоку сводится циклический сдвиг, а сам P-блок фактически является частным
случаем S-блока. Такие функции, как правило, легко реализуются аппаратно,
обеспечивая при этом высокую скорость обработки и хорошую криптостойкость.
Методы анализа качества зашифрованных сообщений (на примере
цифровых фотографий).
Цель и смысл непосредственного визуального контроля цифрового
изображения. Тест «на решетчатость»; его назначение, важнейшие свойства,
реализация, примеры. Тест-гистограмма: его назначение, реализация,
важнейшие свойства, примеры.
При шифровании сообщений надо правильно оценивать качество их
закрытия от посторонних. Для этой цели используется ряд тестов: визуальный
контроль, тест на решетчатость и тест-гистограмма. Объясним их на примере
цифровых фотографий.
Визуальный контроль - самый простой метод анализа качества
зашифрованных сообщений. Визуальный контроль позволяет нам определить,
шумоподобно зашифрованное изображение или нет. Если на зашифрованном
изображении просматриваются основные контуры исходного, значит,
изображение было зашифровано неудовлетворительно. Этот простейший тест –
наглядный и информативный, но все-таки он недостаточно объективен. Решение
о качестве закрытия информации от посторонних принимается оператором
только «на глаз», что не исключает возможность вынесения оператором
ошибочных решений. Для получения объективной оценки «степени
случайности» зашифрованных сообщений в дополнение к этому тесту широко
применяются другие тесты(для примера с цифровой фотографией - мы
вытягиваем ее в вектор числовой и анализируем уже его).
Графический тест оценки распределения чисел на плоскости - "диаграмма
рассеяния", или тест "на решетчатость" предназначен для выявления
зависимостей между соседними элементами в исследуемой числовой
последовательности. Для этого на плоскости строится распределение чисел
(элементов) последовательности B, то есть на плоскость наносятся точки с
координатами (Bi; Bi+1), где Bi - i-й элемент последовательности B, при этом i =
0, ... , N - 1, где N - длина исследуемой последовательности B. Иными словами:
исследуемая последовательность B длиной N отсчетов разбивается на две
последовательности X и Y (длиной N – 1 отсчетов каждая) по следующему
правилу:
X = B0, B1, … , BN-2;
Y = B1, B2, … , BN-1.
Результат теста на решетчатость - график.
Если между соседними элементами последовательности B отсутствуют
функциональные зависимости, то точки на графике расположены хаотично. Если
же между элементами последовательности B существуют функциональные
связи, то на плоскости графика наблюдаются характерные (неслучайные)
"скопления точек", образующие те или иные "линии", "фигуры" или "узоры".
А сейчас будут картинки
Пример графика результата теста "на решётчатость", выполненный для
некоторой последовательности десятичных чисел, приведен ниже.
На графике видим «набор» строго периодически повторяющихся
наклонных линий. Это означает, что между соседними элементами исследуемой
последовательности существуют жесткие функциональные связи. Поэтому ее
никак нельзя признать случайной.
Ниже
приведены
два
примера
диаграмм
рассеяния
для
последовательностей также с заметными внутренними закономерностями. На
одном из графиков просматривается характерная «решётка», а на другом видна
существенная неравномерность распределения значений в виде «креста» и еще
двух прямых линий.
На графике теста последовательности чисел на решетчатость,
представленном ниже, хорошо заметны как существенная неравномерность
распределения, так и полное отсутствие в анализируемой последовательности
большого ряда значений.
На представленном ниже графике тест на решётчатость показывает, что
значения исследуемой числовой последовательности сконцентрированы
относительно прямой y = x, что также свидетельствует о сильной
взаимозависимости соседних отсчетов (исследуемая последовательность явно
неслучайна).
А на этом графике функциональные связи и закономерности между
элементами исходной последовательности не просматриваются (имеем, скорее
всего, шумоподобный процесс):
Следует иметь в виду, что данный статистический тест не может
гарантировать полной некоррелированности/случайности всей исследуемой
последовательности, поскольку алгоритм проверяет лишь наличие корреляции
пар соседних элементов последовательности.
Еще один очень простой в практической реализации статистический метод
оценивания - тест-гистограмма. Его результат - гистограмма распределения
значений чисел в интересующей последовательности. По этой гистограмме
также можно судить о «степени» шумоподобности последовательности. Тестгистограмма в первую очередь предназначен для того, чтобы выявить,
подчиняются ли числа в последовательности равномерному распределению.
Построив гистограмму, мы можем узнать, что это за вид случайного
процесса(какому
распределению
подчиняются
числа).
Если
есть
неопределенность в сделанном выводе, нужно провести другие тесты(например,
тест на корреляцию).
На рисунке ниже имеем практически равновероятное (равномерное)
распределение значений всех элементов последовательности по диапазону.
Первый пример теста на решетчатость и теста-гистограммы для
последовательности:
Тест на решетчатость
Тест-гистограмма
Хорошо видно полное отсутствие в анализируемой последовательности
целого ряда значений чисел из общего их диапазона, а также весьма наглядно (и
количественно) прослеживается существенная неравномерность распределения
чисел по всему диапазону. Этот тест существенно дополняет сведения,
полученные для данной последовательности из теста на решетчатость.
Второй пример теста на решетчатость и теста-гистограммы для
последовательности:
Тест на решетчатость
Тест-гистограмма
Распределение чисел в данной последовательности очень близко к
равномерному, но тест на решетчатость указал на жесткую взаимозависимость
соседних значений последовательности.
Замечание: Эти методы анализа качества зашифрованных сообщений —
визуальный контроль, тест на решетчатость, тест-гистограмма и другие — не
являются универсальными, поэтому их надо применять все вместе.