Задача 1. Задача посвящена анализу переходного процесса в цепи первого порядка, содержащей резисторы, конденсатор или индуктивность. В момент времени t = 0 происходит переключение ключа К, в результате чего в цепи возникает переходной процесс. 1. Перерисуйте схему цепи (таблица 2) для Вашего варианта - последним двум цифрам пароля (таблица 1). 2. Выпишите числовые данные для Вашего варианта (таблица 3). 3. Рассчитайте все токи и напряжение на С или L в три момента времени t: 0-, 0+, ∞ 4. Рассчитайте классическим методом переходный процесс в виде u L t , i1 t i2 t , i3 t в схемах 1 – 5, i1 t , i2 t , i3 t , uC t в схемах 6 – 10. Проверьте правильность расчетов, выполненных в п. 4, путем сопоставления их с результатами расчетов в п. 3. 5. Постройте графики переходных токов и напряжения, рассчитанных в п. 4. Определите длительность переходного процесса, соответствующую переходу цепи в установившееся состояние с погрешностью 5%. 6. Рассчитайте ток i2 t операторным методом. Решение. 1.1. Схема цепи Рис. 1.1 – схема №4 1.2. Параметры электрической цепи: Таблица 3. № вар 23 L, мГн R1,кОм 10 R2,кОм R3,кОм E,В 2 2 12 1 1.3. Момент времени t=0-. Ключ разомкнут. Рис. 1.2 E i1 ( 0) R1 R2 R3 R2 R3 R3 i2 ( 0) i1 ( 0) R2 R3 i3 ( 0) R2 i1 ( 0) R2 R3 uL ( 0) 0 В 12 2 2 1 22 6 6 2 22 3 6 2 22 3 мА мА мА Момент времени t=0+ (или t=0). Ключ замкнут. Рис. 1.3 По закону коммутации. i2 ( 0) i2 ( 0) 3 мА Составляем систему уравнений по законам Кирхгофа для момента t=0+. i1 ( 0) i2 ( 0) i3 ( 0) i1 ( 0) R1 i3 ( 0) R3 uL ( 0) i3 ( 0) R3 E 0 Решаем систему с учетом закона коммутации, находим значения в момент t=0. i1 ( 0) 3 i3 ( 0) i1 ( 0) 1 i3 ( 0) 2 uL ( 0) i3 ( 0) 2 Находим. 12 0 i1 ( 0) 6 мА i3 ( 0) 3 мА uL ( 0) 6 В Принужденный режим. Момент времени t=∞. Ключ замкнут и шунтирует сопротивление R2. Означает новое стационарное состояние цепи после окончания переходного процесса. Рис. 1.4 E i1np i3np i2np 0 uLnp 0 В R1 12 1 12 мА мА 2.1. Характеристическое уравнение для расчета р составляется по операторной схеме замещения, отражающей работу цепи после коммутации. Рис. 1.5 R1 R3 p L Z (p ) p 10 10 3 R1 R3 0 1000 2000 1000 2000 0 Находим корень. p 200000 3 Постоянная времени цепи. 1 p 3 200000 15 10 6 с 2.2. Расчет токов и напряжения uL(t). i1 ( t ) i1np i1 ( 0) i1np e p t 12 ( 6 12 ) e 200000 3 t 12 6 e 200000 3 t мА i2 ( t ) i3 ( t ) uL ( t ) i2np i2 ( 0) i2np e p t i3np i3 ( 0) i3np e 3 12 ( 3 12 ) e p t p t uLnp uL ( 0) uLnp e 200000 200000 3 0 ( 3 0) e 0 ( 6 0) e t t 200000 200000 t i1np 12 мА i2 ( 0) 3 мА i2np 12 i3 ( 0) 3 мА i3np 0 мА uL ( 0) 6 В uLnp 3 6 e 2.3. Проверка с пунктом 1.3. i1 ( 0) 6 мА 3 12 9 e 3 e 3 200000 мА 0 В Полученные значения совпадают с результатами пункта 1.3. 3. Построение графиков переходного процесса на интервале [0,3ּτ]. t мА t мА 200000 t 3 В Рис. 1.6 – напряжение на индуктивности Рис. 1.7- токи в ветвях цепи 4. Расчет тока i2(t) операторным методом. Составим операторную расчетную схему с учетом независимого начального условия. i2 ( 0) 3 мА Рис. 1.8 – операторная схема замещения Используя закон Ома, в операторной форме, запишем U ab ( p ) L i2 ( 0) I2 ( p ) p L Где, E 1 p R1 1 U ab ( p ) R1 L i2 ( 0) 1 p L 1 p L 1 R3 После подстановок находим операторный ток I2(p). E 1 p R1 1 R1 I2 ( p ) 1 p L 1 p L 1 L i2 ( 0) R3 ... p L 12 p ... L i2 ( 0) 1 3 3 10 10 3 10 1000 p 10 10 1 1 1 3 1000 2000 p 10 10 p 10 10 I2 ( p ) 1 0.003 p 800 200000 p p 3 3 3 F1 ( p ) p F2 ( p ) Находим оригинал по теореме разложения. 10 10 3 3 10 3 0.003 p 800 200000 p p 3 i2 ( t ) ... p1 t e F 2 ( 0) p1 F'2 p1 F 1 ( 0) 800 200000 F 1 p1 200000 800 3 0.003 200000 3 3 ... ... 12 9 e 200000 3 200000 3 e t 200000 0.012 0.009 e 3 t ... t мА Сравниваем с решением, полученным классическим способом. Результаты совпали. Задача 2 Задача посвящена временному и частотному (спектральному) методам расчета реакции цепей на сигналы произвольной формы. В качестве такого сигнала используется импульс прямоугольной формы (видеоимпульс). Электрические схемы цепей (см. рисунок) содержат емкости С или индуктивности L, а также сопротивления R. Для всех вариантов сопротивление , его величина . Во всех схемах входным напряжением является прямоугольный импульс длительностью Решение. Схема цепи. . В схемах, где имеется и амплитудой . Рис. 2.1- схема №4 Параметры электрической цепи: Таблица 4. № вар C, пФ R1,кОм R2,кОм R3,кОм tu,нс U1,В 23 30 1 3 0.2 40 5 1. Расчет переходной и импульсной характеристики классическим методом. 1.1. Переходная характеристика цепи рассчитывается, как переходной процесс в виде тока или напряжения, вызванный включением цепи с нулевыми начальными условиями на постоянное напряжение 1 В. Рис. 2.2 g2 ( t ) uR2 ( t ) Характеристическое уравнение. Z (p) 1 p C 1 p 30 10 p 6 R1 R2 R3 200 R1 R2 1000 3000 1000 3000 0 0 35087719.298 Начальное условие. uC ( 0) 0 В 1 uR2 ( 0) R2 R1 R3 R1 R3 R2 1 3000 1000 200 3000 1000 200 0.947 В Принужденное значение. 1 uR2np R1 R2 R2 1 3000 1000 3000 0.75 В Получаем. g2 ( t ) p t uR2np uR2 ( 0) uR2np e 0.75 0.197 e 35087719.298 t 1.2. Находим импульсную характеристику. g2 ( 0) 0.947 В h2 ( t ) g2 ( 0 ) ( t ) d dt g2 ( t ) 0.947 ( t ) 6912280.702 e 35087719.298 t В 2. Рассчитываем выходное напряжение u2(t) временным методом. 2.1. Использование интеграла Дюамеля. Видеоимпульс прямоугольный, постоянный U1=5 В на участке (0, tu) u'1 ( t ) 0 В Для интервала времени. 0 t tu u2 ( t ) ... U 1 g2 ( t ) 3.75 0.985 e 5 0.75 0.197 e 35087719.298 t 35087719.298 t ... В Для интервала времени. t tu u2 ( t ) U1 g2 ( t ) U1 g2 t tu ... 3.75 0.985 e ... 3.023 e 35087719.298 t 35087719.298 t ... 3.75 0.985 e В 2.2. использование интеграла наложения. Для интервала времени. 35087719.298 t 40 10 9 ... 0 t tu t U 1 g2 ( 0) ( t') h'2 ( t t') dt' 0 u2 ( t ) ... U 1 g2 ( t ) 3.75 0.985 e 35087719.298 t U 1 g2 ( 0) U 1 g2 ( 0) g2 ( t ) В Для интервала времени. t tu t u U 1 g2 ( 0) ( t') h'2 ( t t') dt' ... 0 u2 ( t ) t ... t ... 0 U1 g2 ( 0) t' tu 0 h'2 ( t t') dt' ... u U 1 g2 t tu U 1 g2 ( t ) 3.023 e 35087719.298 t Результат совпадает с пунктом 2.1. 3. Графики входного и выходного напряжения. В ... Рис. 2.3 4. Комплексная спектральная плотность входного сигнала. t u j w t U1 e dt 0 U 1 ( j w) ... j w tu e 1 U ... w tu w tu j j 2 2 2U 1 e e w 2 j 1 j w j w tu e 2 U 1 tu w tu sin 2 w tu j w tu 2 e 2 Находим комплексную передаточную функцию. U1 ( j w) 1 R1 R3 j wC H ( j w) U2 ( j w) U1 ( j w) R1 R3 j 1 R2 R2 wC U1 ( j w) R2 R1 R3 j 1 wC R1 R3 j Комплексная спектральная плотность выходного сигнала. 1 wC R2 U2 ( j w) R2 H ( j w) U1 ( j w) R1 R3 j 1 wC R1 R3 j 1 U 1 tu wC U1 ( f ) U 1 tu 1.592 sin 125.664 10 2 f t u 9 f f 2 H (f ) R2 ... 1 R1 R3 j 2 f C R1 R3 j R2 1 2 f C R2 R1 R3 j ... R2 ... 2 f C 1 ... 1 R R R j 1 R1 R3 j 2 1 3 2 f C 2 f C R 1 R 3 2 1 2 f C 2 ... R1 R3 R1 R2 R2 R3 2 R1 R2 2 f C 1 w tu 2 R2 5. Расчет и построение графиков модулей спектральных плотностей. 2 f tu sin 2 w tu 2 sin 2 j e w tu 2 0.949 281.446 10 f ... 2 450.314 10 f U2 ( f ) 12 14.4 12 2 14.44 H ( f ) U1 ( f ) Строим графики. Рис. 2.4 Рис. 2.5 Рис. 2.6 Схема работает, как делитель напряжения (пропускает все частоты), имея меньшее сопротивление на высоких частотах (ослабляет низкие частоты).
