ТОЭ Лекция 6: Законы в комплексной форме, мощность и диаграммы

ТОЭ Часть №1. Лк. №6.
Тема: законы в комплексной форме,
мощность и векторные диаграммы
ЗАКОН ОМА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
Закон Ома в комплексной форме
основан на символическом методе
и справедлив для линейных цепей
с гармоническими напряжениями
и токами
Этот закон следует из
ф
физической
й взаимосвязи
между током и напряжением
отдельных элементов цепи
I
Резистивный
элемент
Комплекс
напряжения
R
UR
UR = R ⋅ I
+jj
Вектора
напряжения и
тока
I
UR
+1
На комплексной плоскости
вектор напряжения
резистивного элемента
совпадает
д
по направлению
р
с вектором своего тока
Индуктивный
элемент
Комплекс
напряжения
I
jX L
UL
U L = jω L I = jX L I
+j
Вектора
напряжения и
тока
UL
I
+1
На комплексной плоскости
вектор напряжения
индуктивного элемента
опережает
р
по направлению
р
вектор своего тока
на 90 градусов
Емкостный
элемент
Комплекс
напряжения
р
I
− jXC
UC
j
UC = −
I = − jX C I
ωC
+j
Вектора
напряжения и
тока
I
UC
+1
На комплексной плоскости
вектор напряжения
емкостного элемента
отстает по направлению
р
от вектора своего тока
на 90 градусов
Где:
X L = ωL
XC = 1
- индуктивное
сопротивление (Ом)
- емкостное
ωC
сопротивление (Ом)
Закон Ома в комплексной форме
для отдельных элементов аналогичен
закону Ома для резистивного элемента
на постоянном токе
токе.
Для символического метода
Д
д
необходимо составить комплексную
схему замещения с комплексными
сопротивлениями и с комплексами
действующих значений токов и
напряжений
Например, комплексная схема
замещения цепи:
цепи:
jX L
E
R
I
− jjX C
R( − jjX C )
Z = jX L +
R − jX C
E
I=
Z
Где:
jϕ
Z = RЭ + jX Э = Z ⋅ e
– эквивалентное комплексное
сопротивление цепи (Ом)
2
2
Z = RЭ + X Э
- модуль сопротивления (Ом)
XЭ
ϕ = arctgg
RЭ
-аргумент
р у
(ф
(фаза))
сопротивления (Град)
ЗАКОНЫ КИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
Сложению и вычитанию
гармонических токов и напряжений
с одинаковой угловой частотой ω
в законах Кирхгофа
р ф
соответствует сложение и вычитание
их комплексных величин
11. ПЕРВЫЙ
Й
ЗАКОН КИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
Для любого узла комплексной схемы
замещения цепи алгебраическая
сумма комплексных значений токов
равна нулю
р
у
± Ik = 0
Например:
I2
I1
а
I3
узел а:
− I1 + I 2 + I 3 = 0
22. ВТОРОЙ
О ОЙ
ЗАКОН КИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
Для любого контура комплексной схемы
замещения цепи алгебраическая
сумма комплексов напряжений
на пассивных элементах равна
р
алгебраической сумме комплексов
ЭДС и напряжений
й на
источниках тока
∑± Un= ∑± E k+ ∑± UJq + ∑± Up
Например:
+
E
R
UR
U
IR
jX L
J
UJ
+
− jjX C
UC
+
IL
+
IC
UL
UR − UL + UC = E − UJ + U
или
R IR − jX L I L + (− jX C )I C = E − U J + U
3 МЕТОД
3.
О ЗА
ЗАКОНОВ
О О
КИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙ
ФОРМЕ
Решая комплексные алгебраические
уравнения, составленные
по законам Кирхгофа в
комплексной ф
форме,
р , можно
определить комплексы токов и
напряжений
й в комплексной
й
схеме замещения цепи
Например:
jX L
R
E
1 к.
к
I2
− jX C
I1
J
a
в
2 к.
+
UJ
ny = 2
nв = 3
n1 = n y − 1 = 1
n 2 = n в − n1 = 2
a:
− I1 + I 2 − J = 0
1к :
(R + jX L ) ⋅ I1 + (− jX C ) ⋅ I 2 = E
2к :
− (− jX C ) ⋅ I2 = − U J
−1
1
(R + jX L ) ( − jX C )
0
jjX C
0
0
1
J
I1
×
I2
UJ
=
E
0
ЗАКОНЫ ОМА И КИРХГОФА
В КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ
ИМЕЮТ ТАКОЙ ЖЕ ВИД КАК
ИД
ДЛЯ ЦЕПЕЙ
Ц
С ПОСТОЯННЫМИ
ТОКАМИ, ПОЭТОМУ К
КОМПЛЕКСНЫМ СХЕМАМ
ПРИМЕНИМЫ ВСЕ ИЗВЕСТНЫЕ
МЕТОДЫ РАСЧЕТА,
НО В КОМПЛЕКСНОЙ
Й ФОРМЕ
+
а
i(t)
()
u(t)
в
u(t) =
2U sin(ωt + α ),
) (B)
i(t) =
2I sin(
i (ωt + β),
) (A )
P (t ) = u (t ) ⋅ i (t ) =
= P − S cos( 2ω t + α + β), (Вт )
P = UI cos ϕ, (Вт )
- средняя или активная
мощность
S = UI, (ВA )
-амплитуда гармонической
составляющей мощности
или полная мощность
щ
ϕ = α − β, (град )
- угол сдвига фаз
ф между
напряжением и током
P
соs ϕ =
≤ 1, т.е. S ≥ P
S
- коэффициент
фф
мощности
Вт P(t)
S+P
S
P
S-P
S
t
Когда
P ( t) > 0
- энергия поступает в двухполюсник
P ( t) < 0
- энергия поступает из
двухполюсника
у
во внешнюю цепь
Пусть
у
задано:
д
+
а
U = Ue
I
U
Z
в
Z = Ze
jϕ
jα
, (В )
jβ
I = Ie , ( A )
= R + jX , (Ом )
∗
При
I = Ie
I
− jβ
находим
∗
S = U I = P + jQ , ( ВА )
- комплекс
о
е с полной
о о мощности
ощ ос
где
∗
I = Ie
− jjβ
β
-сопряженное
значение тока
Q = UI sin ϕ, (вар )
-р
реактивная мощность
щ
Т.к.
U = ZI
∗
, то
∗
S = U I = (Z I ) I =
2
2
2
= Z I = I R + jI X , ( ВА)
Таким образом
активная мощность:
2
P = UI cos ϕ = I R, (Вт )
- это мощность тепловой
энергии
Реактивная мощность:
Q = UI sin ϕ = I X , (вар )
2
- пропорциональна
максимальной энергии,
запасаемой в электромагнитном
поле
Полная мощность:
P
S = UI =
, (ВА )
cos ϕ
-это
это максимально
возможная активная
мощность
при
cos ϕ = 1
Можно изобразить:
р
а) треугольник сопротивлений
2
Z
ϕ
R
Z= R +X
Х
R
cos ϕ =
Z
2
б) треугольник напряжений
й
U
U=
UХ
2
2
UR + U x
UR
UR
cos ϕ =
U
U R = IR;
U X = IX
ϕ
в)) треугольник мощностей
й
2
S
ϕ
P
S= P +Q
Q
P
cos ϕ =
S
2
Топографические и лучевые
векторные диаграммы
используются при анализе
и расчете цепей с синусоидальными напряжениями
р
и токами
Э
Эти
диаграммы строятся
совмещенными на комплексной
плоскости в масштабах
напряжения и тока
Лучевые векторные диаграммы
строятся
для комплексов действующих
значений токов,, когда их
вектора выходят из начала
координат каждый
й под своим
углом
Эти диаграммы используются
для графической проверки
первого закона Кирхгофа
Топографические векторные
диаграммы строятся для
комплексов действующих
значений напряжений,
р
, когда
их вектора подстраиваются
один к другому, образуя
б
замкнутые контуры
Эти диаграммы используются
для графической проверки
второго закона Кирхгофа
П
Пример
1
I
IС
d
IL
R
U
E
IR
с
jX L
− jX C
m U = ... В
мм
m I = ... A
+j
IL
IR
U
I
IС
IR
с
IL
d
E
+1
мм
П
Пример
2
R
d
UR
E
а
с
jX L
UL
I
b
− jX
j C
UС
+j
d
UR
m U = ... В
мм
m I = ... A
с
E
UL
а
I
+1
UC
b
мм
П
Пример
3
IС
с
I
I RL
jX L
UL
b
E
UR
R
а
UС
− jX C
m U = ... В
мм
m I = ... A
мм
c
+jj
UС
E
IС
a
I
UL
I RL
+1
UR
b