Летний математический календарь для 6 класса 2009

34
Математика — самый
короткий путь к самостоятельному мышлению.
В. Каверин
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Всякая хорошо решенная математическая задача
доставляет умственное наслаждение.
Г. Гессе
Военные, финансовые
и морские дела во многом
зависят от математических
наук и от прикладной физики.
Г. Лейбниц
№ 7/2009
Математика безгранично разнообразна, как мир,
и присутствует, содержится во всем.
Н. Еругин
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Летний
математический
календарь
для учащихся,
окончивших 6 класс
2009
ИЮНЬ
№ 7/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Тема номера «Активизация учебной работы»
ОТКРЫТЫЙ УРОК
{
15
И. ИЛЬИНА,
г. Альметьевск, Республика Татарстан
«Выполняю я сложенье
просто всем на удивленье»
Цели урока: закрепление умений и навыков по сложению чисел с разными знаками, развитие вычислительных
навыков, грамотной математической речи.
1
2
3
8
3. −13 + 6 .
3
8
Б
⎝
1
.
16
1
Д
И
К
М
Вариант 2
⎝
4
⎠
1. −8, 3 + ⎜⎛ −2 ⎟⎞ .
5
2. –4,8 + 9,6.
5
3. −7 + (−1,25).
8
2
4. −13 + 2, 3.
5
3
4
5. −4 + 5,25.
Н
Т
Я
11
5
–7,9 –14,4 4,8 −6 0,5
16
8
Й
Учитель. Проверим результаты: у первого
варианта должно получиться слово «Китай», а у
второго — «Индия».
Действительно, первые сведения об отрицательных числах встречаются у китайских математиков во II в. до н.э. Они уже умели их складывать
и вычитать. Положительные числа они понимали
как «имущество», а отрицательные — как «долг».
А
–10,45 –10,25 –9 –11,1 4
(Ключ вывешивается на доске в конце диктанта.)
5. − + 5
4. −4,2 + ⎜⎛ −6 ⎟⎞ .
4
⎠
2. −5 + (−5,6).
Вариант 1
1. –12,8 + 4,9.
Все ваши ответы абсолютно правильные.
А вот ученые считают, что отрицательные числа
появились потому, что они нужны для решения
уравнений.
А где и когда возникли отрицательные числа,
вы это узнаете после математического диктанта.
Название страны зашифровано с помощью заданий на сложение чисел с разными знаками.
Я читаю выражение, ваша задача — грамотно
его записать, найти значение и соответствующий
значению буквенный символ, а в конце работы
прочитать получившееся слово.
(Два ученика работают за откидными крыльями доски.)
Ход урока
Учитель. Наша главная цель сегодня — закрепить свои знания и умения по сложению чисел
с разными знаками. Начнем урок, как всегда, с
устной работы, потому что только тот дружит с
математикой, кто хорошо считает устно.
7
−1 + ;
11
6
1
−6 + (−3,2);
4
1
+ (−8, 32);
2
1. Вычислите суммы чисел:
–18,5 + 4,5;
–180,1 + 180,1;
3
+ 13;
4
–10,9 + (–9,7);
−12
1⎞
⎛
14,2 + ⎜ −4 ⎟ ;
4⎠
⎝
2. Какой знак нужно поставить вместо звездочки (*), чтобы равенство было верным?
Прочитайте получившиеся выражения:
*8 + (*4) = –4;
*8 + (*4) = 4;
*8 + (*4) = –12;
*8 + (*4) = 12.
1
1
5 +x= .
2
2
3. Угадайте корень уравнения:
x + (–14) = 7;
a + (–12,6) = 0;
–5 + x = –11;
Учитель. А вы не задумывались, зачем нам
нужны отрицательные числа? Мы 5 лет без них
жили и не знали, что они существуют. По проведенному среди вас опросу, Катя, Регина, Илья
и многие другие считают, что они нужны для измерения температуры; Валера — для измерения
глубины морей и океанов; Андрей — чтобы мы
не были глупыми; Марина считает, что в один
прекрасный день положительные числа придумали себе друзей — отрицательные числа — по
принципу «всё наоборот»; Рамиль думает, что
отрицательные числа нужны для поддержания
равновесия в мире; Надя считает, что отрицательные числа — это отражение положительных
чисел.
1
раза
2
больше другого. Какой будет длина моста, если длина меньшего
пролета равна 1,4 км?
2. С 4
2
га был собран 341 ц
5
свеклы. Сколько центнеров свеклы в среднем собрали с 1 га?
Пятница
Развивай
математическое мышление
Вместо того чтобы прибавить
27, Вася вычел 27. На сколько
его результат отличается от правильного?
В случае затруднений выбери
любое другое число и работай
с ним.
6
Суббота 7
Воскресенье
Тема «Математика и спорт»
Отдыхай, но не скучай!
1. На соревновании по марафонскому бегу спортсмен пробеПроверь и оцени работу Учежал 23 540 м, потом прошел пешком 18 456 м, под конец, прополз ника по теме «Выделение целой
18 м и остановился, не в силах двигаться дальше. Сколько метров части из неправильной дроби.
ему оставалось до финиша?
Обращение смешанного числа
в неправильную дробь».
17
2
48
4
На заметку
б)
1. а)
=3 ;
=5 ;
Марафон представляет собой забег на дистанцию 42 км 195 м по
5
5
9
9
шоссе. По легенде, греческий воин по имени Филиппид в 409 г. до н.э.
28
23
1
в)
г)
= 4;
= 11 ;
после битвы при Марафоне пробежал, не останавливаясь, от Ма7
2
2
рафона до Афин, чтобы возвестить о победе греков. Добежав до
81
1
д)
=1 .
Афин без остановок, он сумел крикнуть: «Радуйтесь, афиняне, мы
8
8
победили» — и умер.
2. На тренировке перед соревнованиями велосипедист ехал 4 ч со скоростью 18 км/ч. На сколько километров он должен увеличить скорость
на соревнованиях, чтобы преодолеть тот же путь на 1 ч быстрее?
б) 1
в) 3
7 22
=
;
15 15
9 42
=
;
11 11
г) 8 =
1
7
57
.
7
35
2 14
;
3 3
2. а) 4 =
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Для несведущих в математике сокрыты многие тайны вещей. Я. Каменский
5
№ 7/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
тов, один из которых в 2
№ 7/2009
мост, состоящий из двух проле-
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Четверг
Тема «Текстовые задачи
на умножение и
деление дробей»
1. Через реку нужно построить
ОТКРЫТЫЙ УРОК
4
14
Вторник 3
Среда
Тема «Геометрические
Проверь себя
фигуры»
Тема «Построение точек
Изобрази все геометрические
по их координатам»
фигуры, которые ты знаешь, и
Отметь данные точки на кооррядом запиши их названия.
динатной плоскости и соедини их
по порядку, у тебя получится тот,
Задание
кто «летом — серый, зимой —
Какая геометрическая фигура белый».
отсутствует на этом рисунке? Вы- (0; 3), (3; 3),
бери верный ответ.
(5; 2), (6; 1),
А. Круг.
(5; 0),
(4; 0),
Б. Квадрат.
(3; –2), (2; –1),
В. Треугольник.
(–2; –1), (–3; –2),
Г. Прямоугольник.
(–4; 0), (–4; 2)
Д. Все фигуры есть.
(–3; 1), (1; 1),
(2; 2), (0; 3)
Тема номера «Активизация учебной работы»
угольник», «ромб», «квадрат», «равнобедренная
трапеция», «прямоугольная трапеция».
За правильный ответ — один балл.
Свойства квадрата
Командам предлагается по очереди перечислять свойства квадрата. Первая команда называет
одно свойство, вторая команда — другое и т.д. За
правильный ответ команда получает один балл.
Творческий конкурс
2
{
Например:
1.2 + 2.4 = 1.3 или 1.2 + 2.5 = 1.7.
За каждое правильное определение команда
получает два балла.
Вопросы соперникам
Команды должны подготовить и задать
командам-соперникам по два вопроса, связанные
с теоремой Пифагора (об этом конкурсе команды
предупреждаются заранее).
Найти и исправить ошибки
Командам предлагается список формул, в которых нужно обнаружить и исправить допущенные
ошибки, а также записать недостающие названия
формул. За правильный ответ команда получает
один балл.
1. S = 2ah — площадь параллелограмма
(a — основание, h — высота).
1
2
2. S = ab — площадь треугольника
(a, b — стороны).
3. S = ab — площадь квадрата.
1
2
4. S = (a + b)h — ...
5. S = ab — ...
1
2
6. S = ah — ...
За определенный промежуток времени команды должны написать рассказ «Автобиография
четырехугольника», который должен начинаться
словами: «Пришел четырехугольник устраиваться на работу в учебник геометрии нового поколения и его попросили написать автобиографию...»
Максимальное количество баллов — 5.
Подведение итогов
Объявляются победители, проводится награждение.
Понедельник
Сегодня первый день лета и
мы начинаем отсчет летних дней
по математическому календарю.
Не забывай заглядывать в календарь каждый день, потому что
тебя там ждут математические
сюрпризы и математические открытия.
Заведи для математического
календаря отдельную тетрадь,
в которую будешь записывать
теорию с примерами и решениями предложенных заданий. Не
забудь про поля в тетради для
замечаний и комментариев.
Классификация четырехугольников
Учащиеся должны заполнить схему, в которой
нужно расположить понятия: «четырехугольник», «параллелограмм», «трапеция», «прямо-
ФОТО НА КОНКУРС
Фото
сделано
на турнире
смекалистых
по математике,
биологии, истории,
химии и физике среди
учащихся 8-х классов.
А если это любовь?
Автор: Н.А. Абалтусова,
средняя школа № 2,
г. Сарапул,
Республика Удмуртия
1
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
4
этого количества
7
картофеля,
3
4
1. Масса железа составляет
36
11
Четверг
Тема «Задачи на нахождение
дроби от числа»
массы добытой железной руды.
Сколько тонн железа можно получить из 112 т руды?
2. В магазин привезли 560 кг
было продано. Сколько килограммов картофеля осталось
продать?
Для повторения
Чтобы найти дробь от числа, нужно число умножить на эту дробь.
Вторник 10
Среда
Тема «Измерение
Тема «Сложение и
отрезков»
вычитание целых чисел
Сократи дроби:
1.
Точки
A,
B
и
C
лежат
на
Вычисли:
6 20 8 14
;
;
;
;
одной прямой, причем точка C
–3 + 8;
–3 – 8;
9 45 12 70
лежит между точками A и B.
3 – 8;
–8 + 3.
36 15 24 25
Сделай чертеж к задаче и найди
–8 – 3;
6 – (–5);
;
;
;
.
64 80 72 120
длину отрезка AC, если
–5 – (–6); –6 – (–5);
Для повторения
4
5 – (–6);
6 + (–5);
см.
AB = 9 см, BC = 3
Сократить дробь — это значит
15
–5 + (–6);
5 + (–6).
заменить ее равной дробью, числитель и знаменатель которой
2. Длина отрезка MK равна
Для самоконтроля
меньше, чем числитель и знаме2
Ответы должсм. Найди длину отрезка
8
натель исходной дроби.
ны быть среди чи9
Прежде чем приступить к OE, который в 3 раза меньше, сел, находящихся
решению, повтори признаки чем MK.
на елочке.
делимости чисел по «Летнему
календарю» для 5-х классов.
Для повторения
Отрезок — это часть прямой,
ограниченная двумя точками.
9
Понедельник
8
Тема «Сокращение дробей»
12
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
№ 7/2009
Пятница 13
Суббота 14
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика, проценты и цены»
Отдыхай, но не скучай!
математическое мышление
1. Цену вазы повысили на 15%. Какой стала ее новая цена, если
Тема «Линейные уравнения»
Коля открыл книгу и обнару- до изменения ваза стоила 300 р.?
Объясни Ученику каждый шаг
жил, что сумма номеров левой и
в решении уравнения:
правой страниц равна 25. Чему
2. Какой была первоначальная цена товара, если после снижения
4x – 2(3 – 5x) = 11x + 12,
равно произведение этих номеров? ее на 15% товар стал стоить 765 р.?
4x – 6 + 10x = 11x + 12,
4x + 10x – 11x = 12 + 6,
3. Магазин снижает цену дивана с 31 370 р. до 19 310 р. Соот3x = 18, x = 6.
ветствует ли это снижение рекламной скидке 40%?
Реши вместе с Учеником еще
На заметку
три примера на закрепление и
Даже если после окончания шкопроверь ответы.
лы ты выберешь профессию, не
Для закрепления
связанную с математикой, то все
1. 8 + 4(x – 2) = –10 – x.
равно ты не расстанешься с ценами
2. 2(5 – 2x) – (x + 1) = –6.
и процентами: никто не хочет быть
3. 3 – 7x = –5(x + 3).
обманутым во время различных
Ответы: 1. –2. 2. 3. 3. 9.
операций с деньгами.
№ 7/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
13
В. КРОТОВА,
пос. Снегири, Московская обл.
ное — что он работал, совершенствовал свои умения,
навыки. К тому же это случается редко, так как работу стараюсь дать по силам каждому учащемуся.
Конечно, ведение такого учета выполнения домашних работ создает дополнительную нагрузку,
но зато я не нервничаю, что ученики пришли не
готовыми к уроку. Уровень знаний только растет, а это придает мне силы, дает положительные
эмоции ученикам и их родителям.
Тема номера «Активизация учебной работы»
ОТКРЫТЫЙ УРОК
{
Правило 6. Каждый урок начинаю с информации: «Проверила ваши работы. Замечания по
оформлению работы такие-то. Не совсем поняли
то-то, пятерка в журнал у Даши, Саши, Влада.
Я вам выставляю ее таким-то числом».
Правило 7. Не надо бояться, что ученик при выполнении работы обратится за помощью к родителям
или к кому-то из старших, к однокласснику. Глав-
Урок-игра
«Четырехугольники»
2-й список:
2.1 — имеет четыре угла и четыре стороны;
2.2 — стороны равны;
2.3 — все углы прямые;
2.4 — стороны попарно параллельны;
2.5 — две стороны параллельны, а две другие нет;
2.6 — диагонали равны;
2.7 — диагонали точкой пересечения делятся
пополам;
2.8 — углы при основании равны;
2.9 —противолежащие углы равны;
2.10 — две стороны равны и параллельны;
2.11 — боковые стороны равны;
2.12 — один угол прямой;
2.13 — диагонали взаимно перпендикулярны.
1.3 — параллелограмм;
1.4 — прямоугольник;
1.5 — ромб;
1.6 — квадрат;
1.7 — трапеция;
1.8 — равнобедренная трапеция;
1.9 — прямоугольная трапеция.
Ход урока
Цель игры:
•обобщить и систематизировать знания учащихся по темам «Четырехугольники», «Площади четырехугольников», «Теорема Пифагора»,
•сформировать положительную мотивацию к урокам математики.
Урок проводится после изучения всего материала по данной теме в форме соревнования. Класс заранее
делится на три команды.
Каждая команда придумывает название, девиз.
В результате проведения урока-игры все учащиеся должны получить отметки.
Отметим, что последовательность конкурсов может быть изменена.
Домашнее задание
Учащимся в качестве домашнего задания было
предложено подготовить сценку с названием «В
стране четырехугольников». Подготовленные выступления учащиеся демонстрируют по очереди.
Максимальное количество баллов — 5.
Разминка
Команды по очереди называют предметы,
встречающиеся в окружающей обстановке и
имеющие форму четырехугольника. За каждый
правильный ответ команда получает один балл.
Составление определений
Учащимся предлагаются два списка. Первый
список содержит родовые понятия, второй — видовые отличия. Комбинируя элементы списков,
учащиеся должны записать определения различных четырехугольников.
1-й список:
1.1 — многоугольник;
1.2 — четырехугольник;
12
№ 7/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
4
№ 7/2009
Узнай, какой приз ты сегодня второй день — 2 . Каков был весь
5
получишь, если верно решишь
все примеры: замени свои ответы путь, если в третий день были
пройдены оставшиеся 7 км?
соответствующими буквами.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
2. В первый день туристы
1
прошли
часть всего пути, во
ПРЕДЛАГАЮ КОЛЛЕГАМ
Тема номера «Активизация учебной работы»
{
О. МАРТОВИЦКАЯ,
г. Байкальск, Иркутская обл.
Как добиться выполнения
домашних заданий всеми учащимися
(несколько советов для коллег)
Правило 3. Для учащихся с низким уровнем
умственного развития, имеющим справки — заключения ПМПК VII–VIII вида, домашняя работа
должна иметь упрощенный вид, каждому — по
его возможностям.
Правило 4. Для учащихся, способных к предмету, кроме номеров из учебника подбираю задачи,
вызывающие интерес, содержащие интригу, заставляющие испытывать трудности при решении, приносящие удовольствие при достижении результата.
Можно вообще вместо упражнений дать индивидуальное задание. А если ученик выполнил на уроке
все запланированные вами задания правильно,
то можно поощрить: «Ты очень хорошо поработал
сегодня на уроке, освобождаю тебя от домашнего задания, повтори только правила». Правда, начиная с
7-го класса от домашних заданий не освобождаю.
Правило 5. Я веду журнал учета выполнения
домашних заданий. Учащиеся знают, что за три
выполненных на пятерку работы пятерка ставится
и в журнал. За невыполнение работы в журнале
фиксируется двойка. Если двоек набралось две,
что бывает крайне редко, то они «съедают» три
пятерки.
Образец журнала
6 «Б»
№
ФИО
№ 551,
№ 553,
№ 575(а),
п/п
учащегося
522 (а, б) 552 (а, б, в),
576
Безматерных
1
5
5
5
Эля
Вецелис
2
5
5
Дима
Гладких
3
5
Илья
...
«Набежавшие» у Эли три пятерки зачеркиваю. Записываю себе в план, чтобы сказать об этом на уроке.
Не надо бояться, что слабый ученик наберет эти
три пятерки. Пусть! Это здорово его окрылит, он
начнет верить, что тоже может учиться не хуже других, и на уроке станет стараться. Дисциплина будет
образцовая, внимание к предмету возрастет.
Четверг
Тема «Задачи
на нахождение числа
по его дроби»
1. Ученик решил 10 задач.
2
Это составляет
всего количе3
ства. Сколько задач было задано
ученику?
Тема «Приведение
подобных слагаемых»
1. 5a + 3a.
2. 14x – 19x.
3. –m – m.
4. 5y – 2y – 7y.
5. 3a + 4b – 10b + 7a.
6. –4(1 – 2y) + 1.
7. 20x – 5(3 + 5x) + 20.
8. –(c + 2) – 2(4 – 3c).
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Для повторения
Чтобы найти число по его
дроби, нужно разделить на эту
дробь данное число.
8y – 3
–5x
–5x + 5
–2m
С
П
И
Е
–4y
5c – 10
8a
10a – 6b
Л
Н
А
Ь
Ни для кого не секрет, что для лучшего усвоения знаний по изучаемой теме учащиеся должны дома выполнять
определенную работу. Я убедилась на личном опыте, что
для того, чтобы все учащиеся класса выполняли домашнюю работу, нужно придерживаться следующих правил.
Правило 1. Работать над воспитанием интереса
к предмету. Убеждать учащихся на конкретных
примерах в том, что «Математика — царица всех
наук». Делать это можно по-разному: использовать исторический материал по теме, сказки,
математическое лото и множество других игр,
различного рода диктанты, связывать темы своего
предмета с другими учебными дисциплинами.
А еще можно проводить разминки. Они у меня
называются «Получи пятерку!». Чаще я провожу
их в начале урока. Каждая разминка занимает 5–
6 минут и включает несложные вопросы, требующие однозначного ответа, быстроты. Эти вопросы
проверяют знания учащихся, развивают память и
внимание. Вопросы в основном по темам, изученным ранее, знание которых необходимо ученику
на протяжении всего курса обучения. Приведу
пример разминки для 6-го класса.
Вопросы
1. Квадрат — это прямоугольник, у которого...
2. Чтобы найти скорость, нужно...
3. Простые числа — это числа...
4. Взаимно простые числа — это числа...
5. Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно...
6. Периметр квадрата находится по формуле...
7. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно...
8. Сократить дробь — это значит...
К доске выходит один желающий и пытается
правильно ответить на все вопросы. Если допущена только одна ошибка или неточность, ученик
получает пятерку. Это дает положительный заряд
в начале урока всему классу, так как отвечать у
доски может каждый.
Правило 2. Домашняя работа не должна быть
громоздкой. Она должна содержать задания, аналогичные разобранным и выполненным в классе.
37
Суббота 21
Воскресенье
Тема «Математика и кулинария»
Отдыхай, но не скучай!
1. Для приготовления бутербродов нужны кусочки хлеба, подПроверь и оцени работу Учежаренные на масле. На сковороде помещается два кусочка хлеба. ника по теме «Таблица умноНа поджаривание кусочка с одной стороны требуется 1 мин. Как жения».
поджарить за 3 мин три кусочка хлеба с обеих сторон? Опиши порядок работы.
2æ4æ5 = 40;
3æ3æ3 = 27;
63 : 7æ5 = 45; 16 : 2æ8 = 64;
2. Салат «Пикантный» (на 3–4 порции).
45 : 5 : 3 = 3;
8æ3 : 3 = 4;
200 г корейской моркови, 1 банка консервированной
15 : 5 : 3 = 1;
6æ4 : 24 = 1;
белой фасоли (200 г), 100 г сухариков, 100 г майонеза.
56 : 8æ3 = 21; 81 : 9æ6 = 54.
Корейскую морковь и белую фасоль перемешать с майонезом, затем доПовтори и сам таблицу умнобавить сухарики и выложить в салатницу.
жения. Выясни, какое из чисел
27, 36, 42, 56, 64 чаще других
Задание
встречается в таблице умножеНа сколько граммов отличаются порции
ния? Выбери верный ответ.
салата при делении на троих и четверых?
А. 36. Б. 42. В. 56. Г. 64. Д. 27.
20
Пятница
Развивай
математическое мышление
Жучка тяжелее кошки в 6 раз,
мышка легче кошки в 20 раз,
репка тяжелее мышки в 720 раз.
Во сколько раз репка тяжелее
Жучки?
19
Среда 18
17
Понедельник 16
Вторник
Тема «Сложение и
Тема «Обозначение
вычитание дробей
углов»
с разными
Угол — это геометрическая
знаменателями»
фигура, состоящая из точки
Вычисли:
(вершины угла) и двух лучей,
исходящих из этой точки.
2 1
4 1
Углы можно обозначать тремя
1. − .
2. + .
3 6
5 2
заглавными латинскими буквами, причем буква, обозначающая
2
9
7 3
3.
4.
+
.
− .
вершину, должна стоять в середи15 40
16 8
не. Например, на рисунке слева
7
7
1
5
6.
5.
−
.
+
. изображен F ABP.
20 32
36 24
Запиши другие изображенные
Для повторения
углы:
Чтобы сложить или вычесть
дроби с разными знаменателями,
нужно сначала привести эти дроби
к общему знаменателю.
15
24
Среда
Проверь себя
Тема «Вычитание чисел»
Заполни пирамиду, используя
действие вычитания: в верхней
ячейке должна стоять разность
двух чисел из соседних ячеек,
расположенных ниже.
25
Четверг
Тема «Решение задач
с двумя объектами
с помощью уравнения»
1. В одном мешке сахара на
13 кг меньше, чем в другом.
Сколько сахара в каждом мешке,
если в двух мешках его 85 кг?
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Понедельник 23
Вторник
Тема «Обращение
Тема «Градусная мера
обыкновенных дробей
углов разных видов»
в десятичные»
Прямой угол равен 90°.
Обрати обыкновенные дроби в
Развернутый угол — 180°.
десятичные:
Острый угол — от 0 до 90°.
Тупой угол — от 90° до 180°.
1 2 3
3
5
9 1 7
Заполни пустые ячейки та; ; ;
;
;
; ; .
3 5 8 50 27 40 4 9
блицы.
Для повторения
Вид
Градусная
Чтобы обратить обыкновенРисунок
угла
мера
ную дробь в десятичную, нужно
числитель разделить на знаменатель. Десятичные дроби могут
тупой
получиться конечные и бесконеч180°
ные, причем бесконечная дробь
может быть периодической.
38
22
2. У Коли и Димы 98 марок,
Для самоконтроля
1
Если твой ответ 2 , то ты причем у Коли в 6 раз больше марок, чем у Димы. Сколько марок
60
покорил вершину!
у каждого?
50°
острый
26
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Пятница 27
Суббота 28
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика, часы и время»
Отдыхай, но не скучай!
математическое мышление
1. Найди, во сколько раз минутная стрелка часов движется быПроверь и оцени работу Ученика
Сумма возрастов трех друзей стрее, чем часовая.
по теме «Умножение дробей».
29 лет. Сколько лет им будет вме2. В 6 ч стенные часы пробили 6 ударов. По карманным часам я
4 7 8
1.
⋅
= .
сте через 5 лет?
заметил, что время, прошедшее от первого удара до шестого, равня21 16 9
лось 30 с. Сколько времени будет продолжаться бой часов в полдень?
5
2
2. 3 ⋅1 = 5 .
Выбери верный ответ.
9
3
А. 1 мин. Б. 1 мин 6 с. В. 55 с. Г. 1 мин 12 с. Д. 54 с.
1 1
1
3. 4 ⋅ 2 = 22 .
5 7
2
На заметку
7 1 23
Часы бывают солнечные, водяные, песочные, цветочные, маят4. 1 ⋅1 ⋅1 = 18.
8 9 25
никовые, механические, электронные и т.д. Первый простейший
8
2
11
прибор для измерения времени — Солнечные часы — был изобретен
5.
⋅1, 05 ⋅1 = 4
.
21
3
20
вавилонянами примерно 3,5 тысячи лет назад. Первые механические
часы появились в Европе в 1275 г., а в 1657 г. голландец Христиан
Гюйгенс построил первые маятниковые часы. Знаменитые часы на
Спасской башне Московского Кремля установили в 1624 г.
№ 7/2009
№ 7/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ПРЕДЛАГАЮ КОЛЛЕГАМ
Тема номера «Активизация учебной работы»
{
не только тригонометрических,
но и обратных им функций. Кроме того, здесь изучаются различные преобразования (сдвиг,
сжатие, растяжение — как от оси
абсцисс, так и от оси ординат),
которые значительно расширяют класс функций. Рассматриваются кусочные функции.
11
М. СКРЯБИНА,
с. Петоропавловка, Алтайский край
Понятие функции вводится в
7-м классе. Однако число функций и графиков, которые мы
строим в курсе основной школы,
невелико. Функциональная линия становится преобладающей
лишь в старших классах.
При изучении тригонометрии учащиеся строят графики
Лампочка
Рисунки в «графической технике»
«Математика в сердце моем»
С целью закрепления навыков построения и чтения
графиков тригонометрических
функций я предлагаю учащимся сделать рисунок с помощью графиков и, естественно,
компьютера. Некоторые из
рисунков ребят мне показались
интересными.
y = arccos (x + 1), x ∈ [–2; 0];
y = arccos (1 – x), x ∈ (0; 2];
y = 1 − (x + 1)2 + 3, x ∈ (–2; 0];
y = ctg
y = − 81 − (x − 6)2 , x ∈ [–3; 15];
y = –sin x, x ∈ [0; 4π];
y = x2, x ∈ (0; 3);
y = (x – 12)2, x ∈ (9; 12);
y = 9, x ∈ [1; 11];
y = 18, x ∈ [4; 8];
y = –(x – 4)2 + 18, x ∈ (1; 4);
y = –(x – 8)2 + 18, x ∈ (8; 11);
y = 1 − (x − 1)2 + 3, x ∈ (0; 2);
y = x + 2, x ∈ [–2; –0,75];
y = x + 2, x ∈ (–0,25; 3];
y = arccos x, x ∈ [–0,5; 0];
y = 5, x ∈ (3; 3,5];
y = 4,75, x ∈ (2,75; 3,25];
y = 4,5, x ∈ (2,5; 3].
x2 + (y – 2)2 = 4, x ∈ [–2; 0];
π⎞
⎛
3
y = tg (x + 1) + 3, x ∈ ⎜ −π; ⎟ ;
2⎠
⎝
5
⎛ 1
⎞
3
(x − 13) + 3, x ∈ ⎜ 3 π; 5π ⎟ .
⎝ 2
⎠
5
Башмачок
1
y=
+ 3, x ∈ (0; 3,5);
x +1
3π
y = cos
(x − 5,5) + 3, x ∈ [3,5; 7,5];
4
3π
(x − 5,5) + 3, x ∈ (3,5; 7,5);
4
y = − cos
(x – 5)2 + (y – 1)2 = 10;
y = 0, x ∈ (0; 8).
Творческие работы по математике мои учащиеся выполняют в каждом классе. Считаю, что они
являются одним их показателей качества усвоения материала.
39
3 1
= .
28 9
4.
5 1
= .
10 5
5.
9 1
= .
29 2
6.
21
= 3.
7
2
варежки. Какую
3
7.
8 2
= .
24 6
8.
25 5
= .
45 9
9.
18 3
= .
12 2
10.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
3.
№ 7/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
2. Из 1 кг клубники и 1 кг сахара бабушка приготовила 1,5 кг
вкусного клубничного варенья. Сколько нужно взять клубники,
чтобы получить 6 кг варенья?
№ 7/2009
4
= 2.
8
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
2.
ПРЕДЛАГАЮ КОЛЛЕГАМ
Воскресенье
Отдыхай, но не скучай!
Проверь и оцени работу
Ученика по теме
«Сокращение дробей».
10
ИЮНЬ — ИЮЛЬ
Тема номера «Активизация учебной работы»
Задание 4. Масленица. Одно из древнейших блюд
русской кухни, появившееся еще в языческие времена, — блины. Считалось, что выпекая круглые, как
Солнце, блины, люди тем самым воздают ему почести.
Праздник Масленицы сопровождается забавами, угощениями, потехами. В воспоминаниях жителей одного
из подмосковных городов, датированных позапрошлым
веком, описывается такое угощение-удивление: «В
праздник Масленицы на городской площади был выпечен блин необычных размеров. Для этого специально,
по заказу одного из купцов, была изготовлена сковорода,
длина окружности которой составила 4 аршина».
Каких же размеров выпекли блин на этой сковороде (имеется в виду площадь)? Во сколько раз этот
блин отличается от обыкновенного, выпекаемого на
стандартной сковороде? (Считать диаметр сковороды
равным 21 см.; 1 аршин = 711,2 мм).
Следующая задача — для более старшего возраста. Она хороша для работы над темой о сплавах
и смесях.
данное число на эту дробь.
{
Решив третье, мы получаем массу сердца
кита — 0,7 т. И для зрелищности сообщаем, что
это масса лошади-тяжеловоза.
Решив четвертое, узнаем массу языка кита,
равную 2 т.
А вот обыкновенная задача на проценты,
которая превращается в увлекательное исследование.
Задание 2. Всего за год взрослый лось съедает
7 т пищи, из которых 60% — побеги лиственных и
хвойных пород, 21% — листья деревьев и кустарников, 9% — кора, 10% — трава. Сколько тонн
корма каждого вида съедает лось за год?
Следующее задание было составлено ребятами
с использованием данных из тома «Спорт».
Задание 3. Шифровка от капитана Врунгеля.
Решив примеры и выписав поочередно буквы,
соответствующие ответам, вы получите слово,
обозначающее ситуацию, когда два корабля идут
параллельно друг другу.
[Контркурс.]
У
Р
К
Н
–1,8
1
–2,14
С
Р
–4,8
0,8æ(–6)
0
12 3
= .
16 4
часть ей еще осталось довязать?
–4æ(–12)
–2,7æ(–1)
–1
38 2
= .
57 3
1.
3. Бабушка связана
–18æ(–100)
–4,28 : 2
О
К
–16,7 : (–16,7)
48
1800
Т
0,9æ(–2)
2,7
13,5æ0
–100æ0,01
Можно значительно «оживить» урок по применению формул длины окружности и площади
круга, составив задачу с использованием исторических фактов.
Задание 5. Оловянные солдатики. Оловянные солдатики появились в XVI в. в качестве детской игрушки.
Позднее их «одевали» в подлинные костюмы, появлялись фигурки знаменитых полководцев и королей.
Особенно славились итальянские и немецкие солдатики — за точность исполнения и качество. Казалось бы,
чего проще — отлить в форму олово и получить готовую
игрушку. Но фигурки получались то хрупкими, то грубыми, то пузыристыми. Поэтому мастерам приходилось
подбирать нужную пропорцию металлов опытным
путем, раз за разом меняя соотношение.
У мастера имеется один кусок чистого олова
массой 3 кг и два куска свинца: один с 30%-ным содержанием олова — массой 4 кг, а другой с 70%-ным
содержанием олова — массой 5 кг. Узнав, что лучшие
результаты в изготовлении игрушек дает сплав,
состоящий из 60 частей олова и 40 частей свинца,
мастер решил незамедлительно приготовить такой
сплав сам. Какое
максимальное количество нужного
сплава можно получить из имеющихся
заготовок?
Попробуйте применить подобный
вид ученической
деятельности, и вы
с удивлением заметите, что учащиеся
стали спешить на
ваши уроки.
целое
5
Суббота
Тема «Математика и моя семья»
1. У моей мамы в этом году день рождения в воскресенье. В какой
день недели будет в этом году папин день рождения, если папа на 55
дней младше мамы? Выбери верный ответ.
А. В воскресенье. Б. В среду. В. В понедельник.
Г. В субботу. Д. В пятницу.
1
, а затем умножить
100
пропорции: aæd = bæc.
четное
нечетное
Для повторения
Пропорция — это равенство
двух отношений. С помощью букв
пропорцию можно записать так
1% = 0, 01 =
рациональное
Рис. 2
Рис. 1
составное
Для повторения
Для нахождения процента
от числа нужно заменить процент десятичной или обыкновенной дробью, исходя из того, что
a c
= или так a : b = c : d. Свойство
b d
простое
100 000
1
8
7
–1
x
23
4
Пятница
Развивай
математическое мышление
Баба-яга варит волшебное
зелье: к 1,5 кг меда она добавила
100 г растертых волчьих когтей,
100 г дегтя и 300 г слез кикиморы. Сколько процентов слез кикиморы содержит это варево?
А. 20%. Б. 17%.
В. 16%.
Г. 15%.
Д. 6%.
3
Понедельник 30
Вторник 1
Среда 2
Четверг
Тема «Пропорции»
Тема «Развитие
Проверь себя
Тема «Задачи
Реши пропорцию.
зрительного восприятия
Для каждого числа из первой
на нахождение
с помощью геометрии»
колонки подбери подходящие напроцентов от числа»
x 4
1.
Сколько
квадратиков
изозвания
из
второй
колонки.
1. Из 25 учащихся класса 40%
1.
= .
15 5
бражено на рисунке 1?
посещают
музыкальную школу.
18
натуральное
А. 20. Б. 34. В. 35. Г. 36. Д. 37.
Сколько
учеников
класса не за2 6
–42,6
десятичная дробь
2. = .
нимаются
музыкой?
x 7
обыкновенная
0
2. Сколько треугольников изодробь
8 x
3. = .
бражено
на
рисунке
2?
2. Из молока получается 10%
23
отрицательное
9 27
А. 6. Б. 10. В. 12. Г. 14. Д. 16.
творога. Сколько творога полу4
10 4
−
положительное
4.
= .
чится из 42 кг молока?
15
29
№ 8/2009
№ 8/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
ИЮЛЬ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
2009
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
отдельно для «собственно трапеции».
6. Это может быть как достоинством, так и недостатком: все зависит от того, насколько считается
возможным знакомить учащихся с понятиями
проективной геометрии. Для массовой российской
школы, как нам кажется, это вряд ли приемлемо,
а для математических классов такой подход может
оказаться полезным.
7. Это скорее недостаток «зарубежного» подхода, но, справедливости ради, отметим, что на
решение большинства стереометрических задач
не повлияет изображение трапеции в виде произвольной трапеции.
Кроме того, как справедливо указали некоторые участники конкурса:
— достоинство «российском подхода» с точки
зрения методики: проще сначала изучить свойства
параллелограмма, которые доказываются, как
правило, исходя из равенства треугольников, и
научиться их применять, а затем уже переходить
к свойствам трапеции, которые зачастую связаны
с подобием треугольников;
— при «зарубежном» подходе проще вводить
термин «криволинейная трапеция» в курсе математического анализа, так как прямоугольник (и даже
объединение «криволинейных треугольников»)
также является криволинейной трапецией.
Комментарий. Отдельно отметим, что это задание совсем не предполагало априорного «урапатриотического подхода».
Т. БЕЛКОВА,
г. Ярославль
естественный процесс приобщения детей к информационной
культуре. Также при работе с
калькулятором продолжается
развитие внимания к точности
выполнения алгоритмов, что
принципиально важно на начальном этапе развития мышления.
для учащихся, окончивших 6 класс
22
извольного параллелограмма. Но произвольные
трапеции аффинно не эквиваленты: параллельной
проекцией трапеции является трапеция с таким
же отношением оснований.
Теперь попробуем оценить эти отличия.
1. Это, на наш взгляд, один из существенных
аргументов «в защиту отечественного подхода».
2. Это также представляется большим минусом
«зарубежного подхода». Равнобокая трапеция,
именно такая, как мы себе ее обычно представляем, то есть в виде «башенки, стоящей на большем
основании», является простой и очень популярной геометрической фигурой (как в задачах, так и
в практике). Нам кажется важным, чтобы ученики
были с ней знакомы и хорошо знали ее свойства
и признаки.
3. И это скорее минус «зарубежного подхода»,
поскольку основания трапеции часто бывает необходимо четко выделить.
4. Это скорее достоинство «зарубежного» подхода, так как изучать понятия методом «расширения класса» удобно, и это свойственно многим математическим структурам: например, движения
расширяются до подобий, затем до аффинных и
проективных преобразований; натуральные числа
расширяются до целых, затем до рациональных,
действительных и комплексных чисел, и пр.
5. Также скорее достоинство «зарубежного»
подхода, хотя надо отметить, что иногда доказательство этих общих теорем может распадаться
на две части: отдельно для параллелограмма и
ПРЕДЛАГАЮ КОЛЛЕГАМ
работе с достаточно сложными
вычислениями и в овладении
навыками использования графического калькулятора.
Ребятам данного возраста
свойственно любопытство, они
легко включаются в «игру по
правилам». А это есть наиболее
27
Пятница 11
Суббота 12
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика в мире животных»
Отдыхай, но не скучай!
математическое мышление
1. Масса слонихи со слоненком 7 т 200 кг. Какова масса слоненка,
Проверь и оцени работу УчениУкажи, в каком из этих оже- если он легче слонихи в 5 раза?
ка по теме «Сравнение чисел».
релий ровно две трети камешков
1. –54 < 0.
темные.
2. Три бобра построили плотину за 12 дней. Весной плотину смы2. 79 > 0.
ло. Тогда бобры позвали соседей и за 4 дня снова построили такую
3. –298 > –135.
же плотину. Сколько помощников позвали бобры?
4. 23 < –29.
5. –5,56 = 5,56.
На заметку
6. –9,2 > –19,2.
1 1
Бобры селятся по берегам
7. < .
медленно текущих рек или
5 2
озер. Они прекрасно плавают
1
1
8. − > − .
и могут оставаться под водой
5
2
4–5 минут, проплывая за это
2
9. −0,6 = − .
время 750 м.
3
10
2. В первый день туристы преПонедельник 7
Вторник
одолели
38,7 км, что составляет
Тема «Квадрат и куб числа»
Тема «Углы»
14%
всего
пути. Сколько киломеВычисли:
1. Начерти и обозначь тремя
2
3
2
тров
составляет
весь намеченный
2. 5 .
3. 2,7 .
1. 5 .
заглавными латинскими буква1. Найди скорость движения ту3
2
3
путь?
4. 2,7 .
5. (–3) . 6. (–3) .
ми четыре угла: острый, прямой, ристов на каждом участке пути.
7. (–0,2)2.
8. (–0,2)3. тупой, развернутый.
2
3
Для повторения
4
4
2. Найди общее время, потра9. ⎛⎜ ⎞⎟ .
10. ⎛⎜ ⎞⎟ .
Чтобы найти число по данно2. Реши задачу.
ченное туристами на отдых.
⎝9⎠
⎝9⎠
2
3
му
его проценту нужно заменить
Прямой угол AOC разделен
1
1
11. ⎛⎜ 1 ⎞⎟ . 12. ⎛⎜ 1 ⎞⎟ .
проценты
десятичной или обыклучом OM на два одинаковых
3. Найди время, затраченное
⎝ 6⎠
⎝ 6⎠
новенной
дробью,
исходя из того,
угла. Найди величину каждого из туристами на весь путь, и длину
Для повторения
1
получившихся углов.
что 1% = 0, 01 =
, а затем раздеэтого пути.
a2 = aæa, a3 = aæaæa.
100
лить данное число на эту дробь.
6
Почему я использую калькулятор
на уроках математики
в 5 классе
Наиболее целесообразным
возрастом для знакомства детей с вычислениями на научном
калькуляторе является, на мой
взгляд, возраст 11–12 лет, что
соответствует 5-му классу, и
тогда в 7–9-х классах ребята не
будут испытывать затруднений в
Летний математический календарь
Среда 9
Четверг
Проверь себя
Тема «Задачи на нахождение
Тема «График движения»
числа по его процентам»
1. Сколько нужно взять пшеницы для получения 300 т муки,
если при размоле пшеницы получается 80% муки?
8
Л. ГОРИНА,
г. Михайловск, Свердловская обл.
28
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
№ 8/2009
Понедельник 14
Вторник 15
Среда 16
Четверг
Тема «Модуль числа»
Тема «Смежные углы»
Проверь себя
Тема «Задачи на измерение
Вычисли:
1. Реши уравнение
величины в процентах»
–15x – 3(2 – 3x) + 18 =
1. Для озеленения города поса1. | –24 | + | 0 | + | 47 |.
= –(4x + 2). дили 160 деревьев. Среди них 48
лип. Какой процент посаженных
Задания по рисунку:
2. | –50 : 4 | – | 8 |æ| –4,5 |.
2. Вычисли:
деревьев составляют липы?
2
1. Определи вид углов AOC,
2
1
⎛ 1⎞
− ⋅1,5 − 0,5 + 2 ⋅ ⎜ 1 ⎟ + 1 : .
BOC и AOD.
2
1
2. В спортивной секции за3
4
⎝ 2⎠
3. 5 − 7 : | 2 | − − .
2.
Найди
угол
AOC,
если
нимаются 40 учащихся, в том
3
9
3. Реши задачу:
F BOC = 28°.
числе 16 девочек. Какой процент
Одна из сторон прямоуголь4
1
3.
Найди
величины
смежных
4. 5 − 3 + − 0,3 .
участников секции составляют
7
2
углов, если они равны. Для этой ника на 4 см больше другой, а мальчики?
задачи сделай чертеж самостоя- его периметр 25 см. Чему равен
Для повторения
периметр квадрата, сторона котельно.
3. После сушки масса яблок
Модуль любого числа не может
торого на 6,5 см меньше большей
уменьшилась
с 12 кг до 4 кг. На
быть отрицательным.
стороны прямоугольника?
Для повторения
сколько
процентов
уменьшилась
Например: | 4 | = 4,
Два угла, у которых одна сторомасса
яблок?
Для самоконтроля
| 0 | = 0,
на общая, а две другие являются
Эта неделя — седьмая неделя
| –5 | = 5.
продолжениями одна другой,
«Летнего
календаря», поэтому
называются смежными. Сумма
ответом
ко
всем сегодняшним засмежных углов всегда равна 180°.
даниям является число «7».
17
Пятница 18
Суббота 19
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика и мои одноклассники»
Отдыхай, но не скучай!
математическое мышление
В результате последовательВо время прогулки по лесу
1. У каждого из четырех ребят живет какое-то одно любимое ного соединения точек на коМиша через каждые 40 м находил животное: кошка, собака, рыбка или попугай (у всех разные). ординатной плоскости Ученик
гриб. Какой путь он прошел от У Вани — животное с пушистой шерстью, у Даши — четвероногое, получил свою любимую отметпервого гриба до последнего, если у Кости — пернатое. И Катя, и Ваня не любят кошек. Определи, ку«5». Чтобы ты тоже смог ее
всего он нашел 20 грибов?
у кого из детей какое животное.
нарисовать, он записал точки, но
перепутал их порядок, поэтому
2. — Дай мне яблоко, и у меня будет вдвое больше, чем у тебя, — будь внимателен: (–2; 4), (2; 4),
сказала Маша Диме.
(1; 0), (–2; 0), (1; –6), (2; –3), (–3;
— Это несправедливо. Лучше дай ты мне яблоко, тогда у нас будет –5), (–2; –6).
Изобрази на координатной
поровну, — ответил Дима Маше.
Сколько яблок у Маши и сколько у
плоскости и другие отметки УчеДимы?
ника, а затем запиши по порядку
точки, с помощью которых они
изображены.
13
№ 8/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
α
не
2
8. Комментарий. Верный ответ получен только
в решениях Миши и Наташи, причем и их решения не свободны от недостатков.
В решении Наташи неграмотно записан ответ:
знак «и» здесь неуместен, так как обозначает пересечение множеств, а должно быть объединение.
Комментарий. Отдельно отметим, что подобным недочетом страдают некоторые учебники и
задачники, которые не различают употребление
союза «И» русского языка и знака «И» в математических высказываниях. С нашей точки зрения,
грамотный учитель обязан это различать и обращать внимание своих учеников на правильное
использование знаков «И» и «ИЛИ» в математике. При этом, мы отнюдь не призываем в каждом
подобном случае снижать оценки ученикам.
В решении Миши: прежде чем использовать
формулы, выражающие синус и косинус через
тангенс половинного аргумента, необходимо
проверить, что значения α, при которых tg
α
равен нулю, также
2
определен, не являются решениями исходного
уравнения. Для α = π + 2πm, m ∈ Z, это действительно выполняется, поэтому указанная ошибка
не повлияла на ответ.
В решении Коли: получены посторонние
корни, так как при возведении в квадрат вместо
равносильного уравнения получается уравнениеследствие.
В решении Оли тоже получены посторонние
корни, так как выполненная замена также приводит к уравнению-следствию.
В решении Леши потеряна часть корней при
решении однородного уравнения: значения переменной, для которых sin
являются корнями исходного уравнения.
1
на интервале
x −1
9. Комментарий. Решение ученика — верное.
Восполним пробелы.
Рассмотрим функцию f (x) =
1
можно рассматривать
1− x
(–1; 1), в который входит точка x0 = 0. На этом интервале выражение −
1
= −1 − x − x 2 − x 3 ...
1− x
(*)
как сумму бесконечно убывающей геометрической
прогрессии с первым членом равным –1 и знаменателем х, то есть
−
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
21
Касательная к графику функции f(х) в точке
x0 = 0 задается такой линейной функцией, которая
отличается от функции f(х) на бесконечно малую
величину, имеющую более высокий порядок, чем
х. Из разложения (*) следует, что это функция
имеет вид y = –x – 1.
10. Комментарий. Отметим, что во всех случаях, когда определения различаются, достоинства
одного определения становятся недостатками
другого и наоборот. Укажем сначала отличительные свойства «зарубежного» подхода от «российского».
1. Трапеция является «жесткой» фигурой —
она определяется длинами сторон (с указанием
их порядка и выделением оснований), а параллелограмм своими сторонами не задается.
2. Становится неясным понятие «равнобокой
(равнобедренной) трапеции», для которой надо
либо вводить отдельное (и громоздкое в этом случае) определение, либо становятся неверными,
например, такие утверждения: «В равнобокой
трапеции углы при основании равны», «В равнобокой трапеции диагонали равны», «Равнобокая
трапеция является вписанным четырехугольником», и пр.
3. Частично теряет смысл понятие «оснований трапеции», важное для некоторых формул
и теорем.
4. Поддерживается характерная «вложенность»
классов четырехугольников: во множество трапеций входят параллелограммы, во множество параллелограммов — прямоугольники и ромбы, и т. д.
5. Многие теоремы, справедливые как для параллелограмма, так и для «собственно трапеции»,
можно объединить, например, теорема о средней
линии, формула для вычисления площади, один
из признаков трапеции (АВСD является трапецией, если диагонали AC и BD пересекаются в точке
O так, что равны площади треугольников AOB
и COD), и пр. Не случайно, в российских задачниках можно нередко прочесть: «Докажите, что
ABCD — трапеция или параллелограмм».
6. Либо появляется исключение для замечательного свойства трапеции (точка пересечения
диагоналей, точка пересечения продолжений
боковых сторон и середины оснований лежат
на одной прямой), либо придется вводить проективные понятия бесконечно удаленных точек
и прямых.
7. Становятся неясными законы изображения
фигур в стереометрии: так как все параллелограммы аффинно эквивалентны, то при параллельном проектировании параллелограмм (и все его
частные случаи) следует изображать в виде про-
20
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
⎛
⎛
2
1⎞
1⎞
+ 6 ⎜ y + ⎟ − 6 ⎜ y + ⎟ + 5 = 0,
y3
y⎠
y⎠
⎝
⎝
Подставляя это в данное уравнение, получим:
2y3 +
1
2
z1 = –2; z2 = − .
3
1
.
2
что при y ≠ 0 равносильно уравнению
2y6 + 5y3 + 2 = 0.
Заменяя y3 = z, получим квадратное уравнение,
корнями которого являются
Следовательно,
y = − 2 или y = −3
Таким образом,
⎛3
1 ⎞
x = − ⎜ 2 + 3 ⎟.
2⎠
⎝
1
.
2
Способ II. Разделим обе части данного уравнения на 2, тогда
x3 – 3x + 2,5 = 0 ⇔ x3 + 2 + 0,5 – 3x = 0.
Разложим левую часть этого уравнения на множители, воспользовавшись тождеством
x3 + y2 + z3 – 3xyz =
= (x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – yz – zx),
3
где y = − 2, z = 3
Заметим, что x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + zx, причем
равенство достигается тогда, и только тогда, когда
x = y = z. Так как в данном случае это невозможно,
то x + y + z = 0, то есть
⎛3
1 ⎞
x = − ⎜ 2 + 3 ⎟.
2⎠
⎝
Комментарий. Отметим, что, используя производную, можно сразу доказать, что данное
уравнение имеет единственный действительный
корень и этот корень отрицательный. Это даст
возможность не рассматривать неравенство (во
втором способе), а также может облегчить и сам
поиск метода решения.
6. (Сборник задач для поступающих во втузы/Под. ред. М.И. Сканави. — Издание 6, гл. 2,
пример 7.)
Комментарий. Условие задачи некорректно.
Действительно, при любых значениях t выполняются неравенства 24 – t2 ≤ 24 и 8 – t2 ≤ 8, следовательно,
24 − t2 + 8 − t2 ≤ 24 + 8 < 5 + 3 = 8.
7. (Московские математические регаты/
Сост. А.Д. Блинков, Е.С. Горская, В.М. Гуровиц. — М.: МЦНМО, 2007. 11 класс, 1999/2000
уч. год, 2.2.)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
№ 8/2009
Комментарий. Условие задачи некорректно,
так как из равенства периметров четырех треугольников, указанных в условии задачи, следует,
что исходный четырехугольник – ромб, тогда
радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, должны быть равны. Докажем это.
Способ I. Предположим сначала, что ABCD —
не параллелограмм. Тогда, без ограничения
общности, можно считать, что ОА ≥ OС и ОВ ≥
OD. Пусть точки АR и BR — образы точек А и В
при симметрии с центром О (рис. 6). Допустим,
хотя бы одна из точек C или D не совпадает с
вершинами АR или BR параллелограмма ABARBR.
Из условия задачи следует, что равны периметры
треугольников АRОBR и CОD, то есть
OAR + OBR + ARBR = OC + OD + CD.
Следовательно,
ARC + BRD + ARBR = CD,
что противоречит существованию четырехугольника ARCDBR (даже, когда он «вырождается» в
треугольник).
Рис. 6
Таким образом, ABCD — параллелограмм.
Тогда из равенства периметров треугольников
АОВ и ВОС следует, что АВ = ВС, то есть ABCD —
ромб.
Способ II. Докажем сначала, что диагонали
четырехугольника АВСD перпендикулярны.
Предположим, что это не так. Без ограничения
общности можно считать, что угол АОВ — острый,
тогда угол ВОС — тупой (рис. 6). По следствию из
теоремы косинусов: из треугольника АОВ получим, что АВ2 < ОА2 + ОВ2, а из треугольника ВОС
получим, что ВС2 > ОС2 + ОВ2. Отсюда следует,
что ОС < ОА.
Действительно, если ОС ≥ ОА, то
ВС2 > ОС2 + ОВ2 ≥ ОА2 + ОВ2 > АВ2,
то есть ВС > АВ, тогда периметры треугольников
АОВ и ВОС равными быть не могут.
Проведя аналогичное рассуждение для треугольников АОD и СОD, получим, что ОС > ОА.
Полученное противоречие показывает, что исходное предположение неверно, то есть диагонали
АС и BD перпендикулярны.
Из теоремы Пифагора следует, что если два
прямоугольных треугольника с общим катетом
имеют равные периметры, то такие треугольники
равны. Таким образом, АВСD — ромб.
№ 8/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
29
Понедельник 21
Вторник 22
Среда 23
Четверг
Тема «Деление
Тема «Вертикальные углы»
Проверь себя
Тема «Задачи на прямую
обыкновенных дробей»
Два угла назыТема «Линейные
пропорциональность»
Вычисли:
ваются вертикальуравнения»
1. За 15 ч велосипедист проными, если стороны
ехал 195 км. Сколько километров
8 4
36
1.
2.
: .
: 18.
одного угла являются
Реши уравнения и выпиши их он проедет за 8 ч, если будет дви27 9
47
продолжениями
стоответы
в порядке возрастания.
гаться с той же скоростью?
6
1
11
3. 42 : .
4. 3 : 2 .
рон
другого.
Верти7
9
12
2. Из 2,5 кг ржаной муки полукальные углы всегда
1. 2x – 30 = 0.
8
1
1
3
чается
3,5 кг хлеба. Сколько хлеба
5.
6. 2, 04 : .
: 3 :1 .
равны между собой.
2. 45 + 10x = 8x.
25
5
4
5
можно испечь из 70 т муки?
Задания по рисунку:
3. 8x + 1 + x = 22 – x.
Для повторения
Для повторения
1.
Определи
вид
углов
AOC,
4.
5 + 2(x + 3) = 32.
Чтобы разделить обыкноДве величины называют прявенную дробь на число, нужно MOC, AOK, KOC, MOK и AOM.
мо
пропорциональными,
если при
2. Найди величину угла KOM,
5. 5(2x + 4) – 3(5x – 1) = 12.
умножить ее на число, обратное
увеличении
(уменьшении)
одной
если F AOC = 35°.
6. x + 2(6 – x) = 8 – 3(2x – 2).
данному:
из
них
в
несколько
раз
другая
3. Найди величину углов AOK
a c a d a ⋅d
: = ⋅ =
.
увеличивается (уменьшается) во
и AOC, если F MOC = 120°.
b d b c b⋅c
столько же раз.
24
Пятница 25
Суббота 26
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика и здоровье»
Отдыхай, но не скучай!
математическое мышление
1. Дым от одной сигареты содержит 5 мг никотина. Сколько яда
Ученик сформулировал неТри поросенка — Ниф-Ниф, примет человек за один день, выкурив 20 сигарет, если от каждой из сколько утверждений о нуле.
Нуф-Нуф и Наф-Наф — рожда- них в его организм попадает 1 часть никотина?
Проверь, все ли они являются
5
лись один за другим через 4 года.
верными.
Самый старший из них сейчас в
1. Если 3x = 0, то x = 0.
На заметку
Содержание витамина
Продукт
5 раз старше самого младшего.
2. 5 : 0 = 0.
С в 100 г продукта
Курение истощает мозг,
Сколько лет младшему поросен- портит внешний вид, являет3. –7 + 7 = 0.
морковь
ку?
4. На числовой прямой пося причиной возникновения
0,005 г
середине между числами –2 и 2
многих заболеваний (бронхит,
находится 0.
гипертония, гастрит и др.).
5. Если к любому однозначнокартофель
му числу приписать справа 0, то
2. В одной таблетке содер0,01 г
оно станет в 10 раз больше.
жится 0,05 г витамина С, это
6. На 0 делить нельзя.
суточная норма взрослого че7. | 0 | = 0.
ловека. Определи, употреблепомидоры
8. 0æ5 = 0.
нием каких овощей (в граммах)
9. 4 – (–4) = 0.
0,04 г
можно заменить одну такую
10. 0 — положительное число.
таблетку. Найди несколько
способов решения.
20
ИЮЛЬ — АВГУСТ
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
№ 8/2009
Суббота 2
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика и география»
Отдыхай, но не скучай!
математическое мышление
1. Реку Амур, длина которой 2824 км, принято делить на три
Проверь и оцени работу УчеРазмести восемь козлят и де- части: нижний, средний и верхний Амур. Определи длину каждой ника по теме «Раскрытие сковять гусей в пяти хлевах так, что- из этих частей, если известно, что верхний Амур на 43 км короче бок».
бы в каждом хлеве были и козля- нижнего и на 93 км короче среднего Амура.
1. 5a – 2(x – 2) =
та и гуси, а число их ног равня= 5a – 2x – 4.
2. Определи общую площадь пустынь на поверхности земного
лось 10.
2.
–4(2y
+
1)
–
8x
=
шара, если площадь пустынь Австралии составляет 1,4 млн. км2,
=
–8y
– 4 + 8x.
в Америке их площадь на 3,2 млн. км2 больше, чем в Австралии,
3.
(x
–
3)
–
(2a
+
1)
=
в Азии — на 6,4 млн. км2 больше, чем в Америке, а в Африке — на
= x – 3 – 2a – 1.
9,8 млн. км2 больше, чем в Америке.
4. 5(0,2 – 3a) + 4a =
= 10 – 15a + 4x.
На заметку
5.
–2(3a
+
4(x
– 5)) =
Пустыня — большое необитаемое пространство с жарким засушливым климатом
= –2(3a + 4x – 20) =
и скудной растительностью. Пустыни встре= –6a – 8x – 40.
чаются на всех материках, кроме Европы.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
Пятница 1
31
30
Понедельник 28
Вторник 29
Среда 30
Четверг
Тема «Прямоугольная
Тема «Равносторонний
Проверь себя
Тема «Задачи на обратную
система координат»
треугольник»
Тема «Порядок действий»
пропорциональность»
Отметь знаком «+» в таблице
1. Найди периметр равностоРеши примеры, выпиши по1. Трое рабочих выполняют
местонахождение каждой точки. роннего треугольника со стороной лучившиеся ответы и найди их работу за 6 ч. Сколько времени
23 см.
сумму.
потребуется, если данную работу
будут выполнять двое?
I
II III IV Ox Oy
2. Найди сторону равносто(5; –7)
1. –30 : (–2 + (–10)æ6 + 52).
(0; –4)
роннего треугольника, периметр
2. Три насоса заполняют бас2. (9æ(–2) – 49 + 17) : (–10).
(–3; –3)
которого равен 42 см.
сейн за 8 ч. Сколько потребуется
(5; 0)
времени, чтобы заполнить бас3. 16 – 2æ(–13 – 10æ(–2)).
(6; 2)
3. Найди сторону равносторонсейн, если будут работать 4 таких
4. –27 – (3æ(–4) : 6 – 21).
(–1; 4)
него треугольника, периметр конасоса?
торого в 5 раз больше периметра
5. (–3)æ(45 – 28) + (29 – 61) : (–2).
Для повторения
равностороннего треугольника
Для повторения
Ось абсцисс и ось ABC со стороной 2,2 см.
Две величины называют обратДля самоконтроля
ординат разбивают
Сумма всех ответов должна но пропорциональными, если при
плоскость на четыре
Для повторения
увеличении (уменьшении) одной
быть равна 5.
координатные четРавносторонним назыиз них в несколько раз другая
верти.
вается треугольник, у котоуменьшается (увеличивается) во
рого все стороны равны.
столько же раз.
27
ПРОВЕРЬ СЕБЯ
19
№ 8/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Действительно, если высота DO тетраэдра
DABC проектируется внутрь основания АВС
(рис. 4), то
SABC = SAOB + SBOC + SCOA < SADB + SBDC + SCDA,
так как треугольники АОВ, ВОС и СОА являются
ортогональными проекциями боковых граней на
плоскость основания. Если же точка О лежит на
границе или вне треугольника АВС (рис. 5), то
(по аналогичной причине) площадь основания
меньше площади одной из боковых граней или
суммы двух из них.
1
r (S1 + S2 + S3 + S4 ).
3
V=
3
.
2
1
r ⋅ 2V ,
3
r=
⎛3
⎝
1 ⎞
⎟.
2⎠
⎛
⎛
1⎞
3 1
1
1⎞
x 3 = ⎜ y + ⎟ = y3 + 3y + + 3 = y3 + 3 + 3 ⎜ y + ⎟ .
y⎠
y y
y
y⎠
⎝
⎝
3
можно ввести, поскольку исходное уравнение не
имеет корней в интервале (–2; 2). Действительно:
2x3 – 6x + 5 = 0 ⇔ x(x2 – 3) = –2,5,
и x ∈ (–2; 2) не является корнем последнего уравнения.) Тогда
Способ I. Пусть x = y + , где y ≠ 0. (Эту замену
1
y
5. (И.А. Кушнир.) − ⎜ 2 + 3
Следовательно, диаметр вписанной сферы равен
3, что невозможно, так как любая высота тетраэдра должна быть больше, чем диаметр вписанной
сферы (в нашем случае одна из высот тетраэдра
также равна 3).
то есть
Подставим в это равенство полученные значения
площадей граней:
V=
Способ II. Пусть в этот тетраэдр вписана сфера
радиуса r. Тогда объем тетраэдра можно вычислить по формуле
Рис. 5
«выиграть подряд две партии» распадается на
сумму двух событий: А — выиграть первые две
партии, В — выиграть последние две партии. Используя независимость событий, получим:
Р(А) = qæp;
Р(B) = pæq;
Р(АВ) = qæpæq
(вероятность выиграть все партии). Поэтому, искомая вероятность
Р1 = Р(А + В) =
= Р(А) + Р(B) – Р(АВ) = 2pq – q2p.
Аналогично, в варианте ПМП вероятность
Р2 = 2pq – p2q.
Причем
2pq – q2p < 2pq – p2q ⇔
⇔ p2q < q2p ⇔ p < q, то Р1 < Р2,
то есть вариант ПМП предпочтительнее.
Комментарий. Получить ответ можно было
также из следующих (не вполне строгих) рассуждений. Заметим, что для «завоевания» марки обязательно надо выиграть вторую партию,
а это проще сделать, играя с мамой. Кроме того,
в любом случае надо выиграть и у мамы, и у папы.
Поскольку папа играет сильнее, то вероятность
выиграть у него повысится, если играть с ним две
партии, а не одну.
4. (Фольклор.) Нет, не существует.
Рис. 4
1
V = SH,
3
3
8
1
8
Пусть такой тетраэдр существует и площади
его граней, соответствующих заданным высотам,
равны S1, S2, S3 и S4. Так как объем тетраэдра вычисляется по формуле
то
1
2
S1 = V, S2 = V , S3 = V , S4 = V .
Далее можно рассуждать различными способами.
Способ I. Из полученных равенств следует, что
S1 = S2 + S3 + S4. Это невозможно, так как в любом
тетраэдре сумма площадей трех любых граней
больше площади четвертой грани (пространственный аналог неравенства треугольника).
5
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
7
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
№ 9/2009
Пятница 8
Суббота 9
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика и сельское хозяйство»
Отдыхай, но не скучай!
математическое мышление
1. Фермер собрал 8,5 ц яблок и 20 ц картофеля. На хранение
Проверь и оцени работу УчениПуговица имеет четыре дыроч- он положил 80% собранных яблок и 30% собранного картофеля, а ка по теме «Сложение и вычики. Чтобы ее закрепить на ткани, остальное продал. Чего он продал больше: яблок или картофеля? На тание рациональных чисел».
достаточно пропустить нитку че- сколько центнеров?
–4 – 6 = 10
2 – 8 = –6
рез две какие-нибудь дырочки.
2. Перед посевной фермер изучал спрос населения. На диаграмме
–5 + 5 = 10
–3 + 6 = 3
Сколькими
показано, сколько той или иной крупы было продано со склада за
–3 – 3 = 0
–7 + 5 = –2
способами можмесяц. Определи:
–4 – (–4) = 0
7 – (–7) = 0
но таким обраа) какая из круп пользуется наибольшим
–7 – (–4) = –11 –5 + (–2) = –7
48 ц
зом закрепить
спросом;
–2 – (–6) = 4
9 + (–4) = 5
96 ц
пуговицу? Сдеб) какую часть от проданного она составляет;
Внимание! Формулируй Ученилай рисунки для
в) вырази спрос каждой из круп в процен- 56 ц
ку правила вычисления после кажвсех способов.
тах.
дого неверно решенного примера.
32
Летний математический календарь
для учащихся, окончивших 6 класс
2009
Среда 6
Четверг
Проверь себя
Тема «Задачи на среднее
Тема «Сравнение дробей»
арифметическое»
Вспомни правила сравнения
1. Зарплата папы 20 000 р.,
дробей и закончи предложения. зарплата мамы 15 000 р. Каков
• Если у дробей одинаковые средний доход семьи на человека,
знаменатели, то больше из них если в ней еще есть двое маленьта...
ких детей?
• Если у дробей одинаковые
числители, то больше из них
2. В первый день тракторист
3
Понедельник 4
Вторник
1
та...
вспахал 14 га, во второй день —
Тема «Все действия
Тема «Равнобедренный
2
• Если одна из дробей непра3
1
с рациональными числами»
треугольник»
вильная, а другая — правильная, 13 га , в третий день — 11 га.
4
2
Пройди по цепочке — и ты
Треугольник равнобедренный,
то...
Сколько в среднем гектаров земли
узнаешь, какую часть года со- если две его стороны равны. Равные
• Если у дробей разные зна- вспахивал тракторист в день?
ставляет месяц август. А если стороны называются боковыми,
менатели, то чтобы их сравнить,
ты это знаешь, то у тебя уже есть а третья — основанием.
нужно...
Для повторения
1. Найди периметр равнорезультат вычислений.
Чтобы найти среднее арифмебедренного треугольника, осноСравни дроби:
тическое
нескольких чисел, нужвание которого равно 11,5 см, а
3
7
5
5
7
3
но
сумму
всех чисел разделить на
боковая сторона 7,8 см.
и ;
и ;
и ;
8
8
9
6
9
2
их
количество.
2. Найди длину боковой сто4
2
5
3
роны равнобедренного треугольи ;
и .
ника, периметр которого равен
5
3
12
8
27 см, а основание 10 см.
Л. ГОРИНА,
г. Михайловск, Свердловская обл.
АВГУСТ
№ 9/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
1
(1)
ЭКЗАМЕНЫ
⎪⎧ y ((1 − p) + ( p − 3) ) = px + (2 − p),
(1) ⇔ ⎨
⎩⎪ (1 − p)x + ( p − 3) ≠ 0
(A )
17
В. ТАРАСОВ,
Москва
(y + 1)(1 − x)
(3) (A )
⇔
(4)
3− p
знаменателя в (1) не
1− p
1⎤
⎡
x ∈ ⎢ −1; ⎥ , y = 0, y = 1.
2⎦
⎣
является корнем числителя, то он не является и
корнем уравнения (3), так как при x0 оно противоречиво: yæ0 ≠ 0. Значит, условие (4) излишне и его
можно отбросить. Переход (А) обоснован.
б) Совокупность (5)–(6):
— выявляет единственную фиксированную
точку A(1; –1), через которую проходят все кривые
из семейства (1), что требуется в задаче 2;
— позволяет найти необходимые и достаточные условия на параметр p с помощью нахождения
множеств значений функции p = p(x; y) из (6) при
а) Так как корень
Обоснования переходов и следствия из них:
⎪⎩
⎧ y = −1, ⎪
y
1,
≠
−
(B)
⎪
⎪⎪
⇔ (5) ⎨ x = 1, c ⎨ x ≠ 1,
(6)
⎪
⎪
y(3 − x) + 2
⎩ p∈ R
⎪p=
.
⎧
⇔ p(y + 1)(1 – x) = 2 – xy + 3y ⇔
(B)
⎧ −kp = p − 1,
⎧ −kp = p − 1,
⎧ p = p − 1,
⇔⎨
⇔⎨
⇔⎨
⇒
⎩ 2k + p − 1 = p − 3
⎩ k = −1
⎩ k = −1
0 = –1 — противоречие.
2. Отсутствие общих корней (или несократимость дроби (1) при всех допустимых x) позволяет
уравнение (1) умножить на знаменатель без потери равносильности и затем решить полученное
уравнение относительно p, то есть найти функцию
p = p(x; y). При этом имеем равносильные переходы:
⎧ kp = 1 − p,
⎧ −kp = p − 1,
⇔ ⎨
⇔
⎨
⎩ k(2 − p) = p − 3
⎩ 2k − kp = p − 3
что при всех допустимых x из условия
k(px + 2 – p) = (1 – p)x + p – 3
имеем противоречивую систему:
Задача с дробно-линейной функцией и
параметром
В популярных задачах из [1, 2] от параметра
линейно зависят два коэффициента дробнолинейной функции — свободные члены числителя
и знаменателя.
Ниже рассматривается аналогичная задача
со всеми четырьмя зависящими от параметра
коэффициентами. Формулировка задачи несущественно изменена.
Она решается с помощью рассмотрения необходимых и достаточных условий с учетом наличия (или отсутствия) общих корней числителя и
знаменателя. Попутно находится фиксированная
точка, через которую проходят кривые исходного
семейства функций.
px + (2 − p)
(1 − p)x + ( p − 3)
Задача 1. Найти все значения параметра p, при
каждом из которых функция
y=
(2)
принимает все значения из отрезка [0; 1], если
значения аргумента x не выходят за пределы отрезка
1⎤
⎡
x ∈ ⎢ −1; ⎥ .
2⎦
⎣
Задача 2. Найти фиксированную точку, через
которую проходят все кривые семейства функций (1) на их естественной области определения.
Задачу 1 можно переформулировать:
Найти все значения параметра p, при каждом
из которых:
— любое значение функции (1) из отрезка
y ∈ [0; 1] достигается хотя бы при одном значении
аргумента из отрезка x ∈ ⎢⎡ −1; ⎥⎤ , или другими
2⎦
⎣
словами,
— для любого y ∈ [0; 1] найдется такое
1⎤
⎡
x ∈ ⎢ −1; ⎥ , что выполняется (1).
2⎦
⎣
Решение. 1. Числитель и знаменатель дроби (1) не имеют общих корней ни при каком p.
Действительно, пусть числитель и знаменатель
пропорциональны, тогда существует k ≠ 0 такое,
16
ОТКРЫТЫЙ УРОК
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
№ 9/2009
№ 9/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
Для самоконтроля
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
2. Длины сторон треугольника
относятся как 2 : 3 : 4. Найди дли2
1
1
Ответы: 1. −4 . 2.
. 3. −1 . ну каждой стороны, если пери3
18
2 метр треугольника равен 63 см.
Тема номера «Планиметрия: слово и образ»
Дополнительные задания
повышенной трудности
5. На сторонах правильного треугольника
ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF. Докажите, что точки D, E и F являются вершинами
правильного треугольника.
6. На сторонах угла M отложены равные отрезки MA, MC и проведена его биссектриса, на
которой отмечена точка B. Докажите, что BM
является биссектрисой угла ABC.
Проводится проверка решения задач в группах (группам предлагается вариант правильного
оформления).
Понедельник 11
Вторник 12
Среда 13
Четверг
Тема «Диаграммы»
Тема «Прямоугольник и
Проверь себя
Тема «Задачи
На диаграмме представлена инего разбиение»
Тема «Умножение и деление
на отношение»
формация об урожайности на кажНа рисунке прямоугольник
рациональных чисел»
1. Для украшения зала вы7 1
дом из пяти опытных участков.
разбит на равные квадраты, часть
браны
зеленые и красные шары в
1. − ⋅ 5 .
1. На каком участке самая вы- из которых закрашена.
отношении 5 : 7. Сколько было зе8 3
сокая урожайность и какая она?
а) Какая часть площади пряленых шаров и сколько красных,
2 ⎞
⎛
2. На каком участке самая низ- моугольника закрашена?
если всего купили 96 шаров?
2. −0, 006 : ⎜ −1 ⎟ .
2
б) Сравни ответ с числом .
⎝ 25 ⎠
кая урожайность и какая она?
3
в) Сколько еще квадратов надо
{
Решение задач
Класс делится на группы по четыре человека.
Заранее выбраны учащиеся-эксперты, по одному на группу. Для каждой группы приготовлены
четыре задачи. Работа в группах начинается
с «мозгового штурма»: обсуждается решение
каждой задачи; если возникают затруднения,
учащиеся обращаются к экспертам, которые
фиксируют эти обращения. Далее каждый член
группы оформляет решение одной задачи. Эксперт наблюдает за работой в группе и оценивает вклад каждого ученика в общую работу.
Как только группа готова, эксперт проверяет
правильность решения задач и ставит свою отметку, а каждый член группы дает оценку своей
деятельности на уроке.
В оставшееся время каждый работает самостоятельно над задачами повышенной трудности
(их можно получить у эксперта).
Возможные варианты задач
для одной группы
3
9⎠
7 ⎝ 3⎠ ⎝
моугольника оказались закрашенными?
Рефлексия деятельности
Учитель выясняет у учащихся:
— Что вызвало затруднения?
— Что помогло их преодолеть?
— Что понравилось, а что нет?
— Что необходимо изменить, чтобы работа
была более успешной?
Затем подводит итог работы класса и выставляет отметки за урок (с учетом отметок экспертов).
Задание на дом
1. Докажите, что в прямоугольнике диагонали
равны.
2. Чтобы измерить на местности расстояние
между двумя точками A и B, между которыми
нельзя пройти по прямой (см. рис.), выбирают
какую-нибудь точку C, для которой можно измерить расстояния AC и BC, и откладывают отрезки CD = AC и CE = BC. Тогда расстояние между
точками E и D будет равно искомому расстоянию.
Объясните, почему.
33
Пятница 15
Суббота 16
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика и времена года»
Отдыхай, но не скучай!
математическое мышление
Выпиши все времена года, которые ты знаешь, и определи, о каком
Прежде чем начать проверку
4
4 времени года идет речь в задачах, а затем реши эти задачи.
работы
Ученика по теме «ДейАрбуз на кг тяжелее, чем
1.
У
Васи
на
даче
целые
сутки
было
открыто
ствия
с
десятичными дробя5
5
арбуза. Сколько весит арбуз?
окно. В первый час влетел один комар, во второй —
ми», повтори сам правила постадва, в третий — три и т.д. Начиная со второго часа
новки запятой при выполнении
Вася без сна и отдыха охотился за комарами. За
каждого действия.
второй час он убил одного комара, за третий — двух
и т.д. Сколько живых комаров осталось в комнате
1. 25,89 + 1,752 = 27,642.
к концу суток? Выбери верный ответ.
2. 4,7 – 1,563 = 2,137.
3. 3,6æ0,45 = 1,62.
А. Ни одного. Б. 12. В. 20. Г. 24. Д. 32.
4. 14,208 : 3 = 4,736.
2. Из сантиметрового слоя снега c площади 1 га получается 30 м3
5. 0,128 : 2,5 = 0,0512.
воды. Сколько получится воды, если растопить слой снега толщиной
28 см на площади 1 га?
14
3
2
4
1
3. − ⋅ ⎛⎜ − ⎞⎟ : ⎛⎜ −4 ⎞⎟ ⋅ 2 .
2
площади пря3
закрасить, чтобы
4. Из ряда чисел
–9, –7, –5, 2, 4, 6
выбрали два числа и перемножили их. Назови наименьший возможный результат.
Для повторения
Диаграмма — это наглядное
представление числовых значений.
1. Докажите, что прямая, отсекающая от сторон угла равные отрезки, перпендикулярна его
биссектрисе.
2. Отрезки NM и HD пересекаются в точке K и
делятся в ней пополам. Соедините точки N и H, M и
D и докажите равенство треугольников NKH и MKD.
Найдите NH, если известно, что MD = 5 см.
3. Докажите равенство треугольников KOM и
LOM.
4. Докажите равенство треугольников KML и
KNO.
Дополнительное задание
Постройте два невыпуклых четырехугольника,
пересечением которых являются три выпуклых
четырехугольника.
10
Понедельник 18
Вторник 19
Среда 20
Четверг
Тема «Удобный способ
Тема «Геометрия и
Проверь себя
Тема «Решение задач
вычисления»
расстояния»
Тема «Координатная
с помощью уравнений»
Выбери удобный способ для
1. Сколько различных путей,
прямая»
1. В трех цистернах 60 т бенвычисления и реши примеры.
направленных вдоль стрелок,
1. Начерти координатную зина. В первой цистерне на 15 т
1. –2æ(–50)æ6æ12.
ведет из A в C?
прямую, приняв за единичный больше, чем во второй, а в треотрезок пять клеток тетради. От- тьей — в 3 раза больше, чем во
2. 387 – 243 – 753 – 387 + 243.
меть на этой прямой точки
второй. Сколько тонн бензина во
5
3
3. 7, 8 + 3 − 2, 8 − 3 .
A(2),
B(–2,5),
C(–1),
второй цистерне?
8
8
34
17
M(1,5), E ⎛⎜ −1 ⎞⎟ , P ⎛⎜ 2 ⎞⎟ .
2. В трех цехах завода работа⎝ 5⎠
⎝ 5⎠
2. Сколько существует различет
650
человек. Во втором цехе
ных путей из A в B, если нельзя
Для повторения
2.
Укажи
по
три
любых
числа,
рабочих
в 4 раза больше, чем в
дважды проходить через одну и
При выборе удобного способа
расположенных
между
точками
первом,
а
в третьем — столько,
ту же точку?
вычисления нужно использовать
A и B.
сколько в двух первых цехах вмепереместительный и сочетательный
сте. Сколько рабочих работает в
законы сложения и умножения:
каждом цехе?
a + b = b + a;
a + (b + c) = (a + b) + c;
aæb = bæa;
aæ(bæc) = (aæb)æc.
21
Пятница 22
Суббота 23
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика и ремонт»
Отдыхай, по не скучай!
математическое мышление
1. Пол в ванной комнате решили выложить
Проверь и оцени работу УчеЕсли бы у красного дракона плиткой двух цветов: белой и синей, причем
ника по теме «Десятичные и
было на 6 голов больше, чем у расположить их так, как показано на рисунке.
обыкновенные дроби».
зеленого, то у них было бы 34 Определи, сколько плиток каждого цвета по1
3
головы на двоих. Но у красного надобится, если всего будет использовано 225
1. = 0,5.
2. 0,75 = .
2
4
дракона на 6 голов меньше, чем штук.
у зеленого. Сколько голов к крас1
2
3. 1 = 1,2.
4. = 0,6.
ного дракона?
2. Площадь коридора в 3 раза меньше площади комнаты, поэтому
5
3
для ремонта пола коридора потребовалось на 24 м2 ламината меньше,
чем для комнаты. Какова площадь коридора?
3
1
5. 2,6 = 2 .
6. 0,125 = .
3
5
5 ⎞
⎟.
⎝ 13 ⎠
2
8
10
= 0, 3.
30
8.
5
= 0, 45.
11
9. −
№ 9/2009
3
2
7. − = −1,5.
9.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
5
На заметку
Если ты будешь знать математику, то
всегда сможешь помочь своим родителям
при проведении необходимых расчетов во
время ремонта, и они будут благодарны
тебе за помощь.
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
3
4. −0,2 ⋅ 2 ⋅ (−0,5) ⋅ ⎛⎜ −
7
= −0,28.
25
№ 9/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
ОТКРЫТЫЙ УРОК
3. Докажите, что AC C DE.
4. Докажите, что AE C BC.
Тема номера «Планиметрия: слово и образ»
{
Устное решение задач по готовым чертежам
1. Найдите F PMN
2. Докажите, что PN C MK.
15
Е. ЖДАНКИНА,
г. Чехов, Московская обл.
Урок по теме «Первый признак
равенства треугольников»
медианы, биссектрисы треугольника, свойства
смежных и вертикальных углов.
1. На рисунке KL = NM, F 1 = F 2. Есть ли на
нем равные треугольники? Укажите их.
2. На рисунке BH B AC и AH = CH. Есть ли на
нем равные треугольники? Укажите их.
3. На рисунке AO = OB и DO = OC. Докажите
равенство отрезков AD и BC.
Цель урока: добиться усвоения первого признака равенства треугольников и умения применять
его при решении задач.
Ход урока
Постановка целей урока
Учитель задает вопросы, учащиеся отвечают.
1. Какую тему изучали на прошлых уроках?
[Первый признак
равенства треугольников.]
2. Для чего нам необходим признак равенства
треугольников?
[Для доказательства равенства
треугольников, используя
только некоторые элементы.]
3. Как вы считаете, что нам сегодня необходимо
сделать?
Учитель. Действительно, нам надо потренироваться в решении задач по этой теме и проверить,
как мы научились применять первый признак
равенства треугольников.
Актуализация знаний
Учитель. Вспомним доказательство первого
признака равенства треугольников.
(Один учащийся устно проговаривает доказательство.)
Затем устно решим задачи 1–3. При этом повторим определения равных треугольников, высоты,
№ 9/2009
Рис. 2
2. Найди длину окружности,
если ее диаметр равен 4 см.
3. Найди площадь круга, если
1 1⎞
2
⎛ 1
⎜ 3 ⋅ 0, 3 + 5 ⋅ ⎟ : 2
3 8⎠
3
⎝ 3
+
1
часть всего огорода, во
5
1
второй день — часть всего огоро3
убрана
4
⋅ 0,22 : 0, 3 − 0, 96
11
+
. да. Какую часть огорода осталось
3 ⎞
⎛
убрать в последующие дни?
⎜ 0,2 −
⎟ ⋅1,6
40 ⎠
⎝
1
ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА
35
Для повторения
Числовое равенство назы3
вается верным, если значения его радиус равен 8 м.
выражений, стоящих в левой и
Для повторения
Для самоконтроля
правой частях равенства, равны.
2
C
=
2πR,
S
=
πR
,
π
≈
3,14.
Ответ: 1.
В противном случае равенство
где
C
—
длина
окружности;
называется неверным.
S — площадь круга;
R — радиус, диаметр равен
2R.
28
Пятница 29
Суббота 30
Воскресенье
Развивай
Тема «Математика и окончание каникул»
Отдыхай, по не скучай!
математическое мышление
Перед началом учебного года Ученик решил пригласить гостей и
Ученик нашел интересные заВинни-Пух купил себе на день приготовил десерт. Какие фрукты он туда положил, узнаешь, решив дания и предлагает вместе их порождения 12 банок меда и при- примеры и найдя ответы около фруктов.
решать. Поставь знаки действий
гласил в гости Пятачка. Известмежду некоторыми двойками,
2⎞ 3
7 5 2
1 2
⎛
1. ⋅1 + ⋅ 2,7.
2. 4,6 + ⎜ 5, 4 + 3 ⎟ ⋅ .
3. −9 + + .
но, что Пятачок ест мед в 2 раза
чтобы получились верные равен3⎠ 8
8 7 9
3 5
⎝
медленнее Винни-Пуха. Через
ства.
1
1
3
4. −2 : 4 : ⎛⎜ − ⎞⎟ .
5. –42 + 14 + 25 – 65 + 1.
2 часа весь мед был съеден. Сколь1. 2 2 2 2 = 0.
7
6 ⎝ 7⎠
ко банок меда съел Пятачок?
2. 2 2 2 2 = 1.
3. 2 2 2 2 = 2.
4. 2 2 2 2 = 3.
5. 2 2 2 2 = 4.
6. 2 2 2 2 = 5.
4
3
4
2,1
57
1,2
–67
8
−8
−8
Имей в виду, что может быть
15
8
15
несколько способов решения.
№ 9/2009 ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
2. 1 + 0,6 = 72.
Рис. 1
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ
=1− .
4
ОТКРЫТЫЙ УРОК
1
5
15
14
:1
Тема номера «Планиметрия: слово и образ»
2. Докажите, что a C b.
3. Докажите, что a C b.
4. Докажите, что p C k.
5. Докажите, что ND C PK.
6. Докажите, что AB C CD.
Фронтальная работа с классом
При решении какой задачи сделан неверный
рисунок:
1.
2.
3.
Понедельник 25
Вторник 26
Среда 27
Четверг
Тема «Верные и неверные
Тема «Окружность и круг»
Проверь себя
Тема «Задачи на части»
равенства»
1. На каком из рисунков изоТема «Совместные
1. Зарплата папы 15 000 р.
Определи, верными или невер- бражена окружность, а на кадействия
Какую часть зарплаты папа поными являются предложенные ком — круг?
с рациональными числами» тратит, если он решил купить себе
равенства. Для этого вычисли
Расставь порядок действий и куртку за 4500 р.?
отдельно значения левой и правой
найди значение выражения
частей равенств и сравни их.
2. Во время осенней уборки
2
⎛
⎞ 2
⎜ 4,5 ⋅1 − 6,75 ⎟ ⋅
4
1
1
картофеля
в первый день была
3
⎝
⎠ 3
1.
5
{
2. Как называются прямые, имеющие одну
общую точку?
3. Сколько общих точек могут иметь две прямые?
4. Сколько прямых можно провести через одну
точку?
5. Сколько прямых можно провести через две
точки?
6. Сколько прямых, параллельных данной,
можно провести через точку, не лежащую на
данной прямой?
7. Если две параллельные прямые пересечены
секущей, то...
8. Треугольник называется равносторонним,
если...
9. Треугольник называется равнобедренным,
если...
10. В равнобедренном треугольнике...
11. Высота треугольника — это...
12. Медиана треугольника — это...
13. Биссектриса треугольника — это...
14. Сформулируйте I признак равенства треугольников.
15. В равных треугольниках против равных
сторон...
16. Сформулируйте II признак равенства треугольников.
17. Если стороны одного угла являются продолжением сторон другого, такие углы называются...
18. Сформулируйте III признак равенства
треугольников.
19. Сформулируйте свойство вертикальных
углов.
20. В равных треугольниках против равных
углов лежат...
21. Сформулируйте свойство смежных углов.
22. Как могут располагаться на плоскости две
прямые?
23. Если две прямые перпендикулярны третьей, то они...
24. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то...
25. Если две прямые параллельны третьей,
то...
В то время как на доске собирают лото, разгадывают кроссворд, собирают разрезные теоремы, а учитель проводит блиц, на местах ученики
решают задачи:
1. Докажите, что x C y.
24