Геометрические задачи: доказательства и вычисления

1. В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BAD и
пересекается с диагональю BD в точке E. Известно, что около четырехугольника ABCD
можно описать окружность.
a) Докажите, что AE · AC = AD · AB.
b) Найдите AE, если известно, что BC = 7, CE = 4.
2. В треугольнике KLM биссектрисы внешних углов при вершинах K и M пересекаются в
точке N . Через точки K, N и M проведена окружность с центром в точке O.
a) Докажите, что точки K, L, M и O лежат на одной окружности.
b) Найдите радиус окружности,
KLM , если площадь тре√ описанной около треугольника
◦
угольника KM O равна 27 3, а угол KLM равен 120 .
3. Дан остроугольный треугольник ABC. Известно, что ∠BAC = 2∠ABC. Точка O — центр
описанной окружности треугольника ABC. Вокруг треугольника AOC описана окружность, которая пересекает сторону BC в точке P .
a) Докажите, что треугольники ABC и P AC подобны.
b) Найдите AB, если BC = 6 и AC = 4.
4. Отрезок, соединяющий середины M и N оснований соответственно BC и AD трапеции
ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
a) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
b) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание BC исходной
трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB,
основания AN трапеции ABM N и вписанной в неё окружности.
1