Асимптоты графика функции: учебный материал по математическому анализу

Асимптоты графика функции
Асимптота – прямая линия, расстояние от которой до графика функции
стремиться к нулю при неограниченном удалении точки от начала координат
Прямая является вертикальной асимптотой, если хотя бы одни из пределов
слева или справа равен ∞
Важно: вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции
Прямая называется горизонтальной асимптотой, если хотя бы один из
пределов справа или слева равен y
Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции y=f(x),
если limx=>∞(f|x|-k*x-b) = 0
Условия сущетсвования:
1) Если для функции y=f(x), существуют и конечны оба предела limx=>∞f(x)/x
= k и limx=>∞(f|x|-kx)=b, то функция имеет наклонную асимтоту
2) Горизонтальная асимтота является частным случаем наклонной при k=0
3) Если при нахождении горизонтальной асимптоты получим, что limx=>∞f(x)
= ∞, то функция может иметь наклонную асимтоту
4) Кривая y=f(x), может пересекать свою асимтоту
Построение графиков функции
При построении графика функции необходимо провести исследование
Алгоритм:
1) Найти области D и E
2) Определить чётность и периодичность функции
3) Найти и построить асимтоты
4) Найти экстремумы и интервалы монотонности, схематично изобразить на
графике
5) Найти точки перегиба и промежутки выпуклости или вогнутости
6) Для уточнения графика можно найти некоторые дополнительные точки,
желательно точки пересечения с осями
Первообразная
Интегрирование – действие обратное дифференцированию
F(x) называется первообразной для f(x), если её производная является
функцией f(x)
По геометрическому смыслу F`(x) – угловой коэффициент касательной к
кривой в точке с абциссой x. Геометрически найти первообразную для f(x)
значит найти такую кривую y=F(x), что угловой коэффициент касательной к
ней в произвольной токе равен значению функции в этой точке.
Для f(x) первообразная не определяется однозначно.
F`(x) = tg a = f(x)
Неопределённые интегралы:
1) xn = (1/(n+1))*xn+1 + C, n≠1
2) 1/x = ln|x| + C
3) ex = ex + C
4) cos(x) = sin(x) + C
5) sin(x) = - cos(x) + C
6) 1/√a2 – x2 = arcsin(x/a) + C
7) 1/a2+x2 = (1/a)*arctg(x/a) + C
8) 1/cos2 = tg(x) + C
9) 1/sin2x = -ctg(x) + C
10) 1/√x2±a2 = ln|x + √x2±a2 | + C
11) 1/x2-a2 = 1/(2*a) * ln|(x-a)/(x+a)|+C
12) Saxdx = ax/ln(a) + C, a>0, a≠1
Свойства интеграла:
1) Линейность: S(a*f(x)+b*g(x))dx=a* Sf(x)dx + b*Sg(x)dx
2) Sf(x)dx = F(x) + C
3) Sf(a*x + b) dx = 1/a * F(a*x + b) + C, a≠0
4) Sf(φ(x))*φ`(x)dx = Sf(t)dt если t=φ(x)