Двойное отношение четырех точек на проективной прямой

А.Г. Мизин
ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ
ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК
НА ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ
Учебное пособие
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А.Г. Мизин
ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ
ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК
НА ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ
Учебное пособие
Томск
2011
УДК 514.144.2
ББК 22.151.3
М 587
М 587
Миэин А.Г.
Двойное отношение четырех точек на проективной
прямой: Учебное пособие. - Томск: Томский государст­
венный университет, 2011. - 28 с.
Учебное пособие посвящено свойствам простого отношения трех
точек на аффинной прямой и двойного отношения четырех точек на
проективной прямой, которые являются соответственно основными
инвариантами аффинной и проективной геометрий. В нем методами
аналитической геометрии подробно рассматриваются изменения зна­
чений этих отношений в зависимости от всевозможных перестановок
данных точек. Детально изучаются гармонические четверки точек и
указывается способ построения таких четверок с помощью одной ли­
нейки.
Пособие содержит учебные примеры и упражнения для самостоя­
тельной работы, составленные автором.
Для студентов, специализирующихся в проективной геометрии.
УДК 514.144
ББК 22.151.3
О А.Г. Миэин, 2011
О Томский государственный университет, 2011
ВВЕДЕНИЕ
Данное пособие является приложением к книге автора
«Проективно-дифференциальная геометрия семейств прямых и
многомерных плоскостей» [3] и посвящено основному инварианту
проективной геометрии - двойному или сложному отношению
четырех точек на проективной прямой.
Известно, что математической моделью
окружающего нас
пространства является Ег . Это точечно-векторное пространство,
состоящее из множества точек и сопоставленного с ним
направляющего действительного линейного евклидова пространства
Е 3 , то есть
скалярное
линейного пространства
произведение
рассматривать
(JC, у ) .
преобразование,
соответствие ф : Л / Н> М
то
Z,3, в котором введено
Если
в
пространстве
есть
взаимное
Еъ
однозначное
между его произвольными точками М и
М , то наиболее естественным считать такое, при которым
расстояние М ХМ 2 между исходными точками М х и М 2 равно
расстоянию
М хМ г
между
их
образами
Мх
и М х.
Такое
преобразование ф называется движением, а все они образуют
группу.
Итак, простейшим инвариантом евклидовой геометрии является
длина отрезка. Естественно, что при движениях будут сохраняться
все метрические величины, то есть углы, площади и объемы плоских
или пространственных фигур.
С математической точке зрения не возникает никаких проблем с
увеличением размерности направляющего пространства. Переходя к
Е я , мы получаем евклидово точечно-векторное пространство Ея с
его простейшим метрическим инвариантом - длиной отрезка.
Можно ограничиться
требованием того, чтобы
при
преобразовании ф любая прямая / переходила в прямую / с
сохранением параллельности, то мы получим так называемое
аффинное преобразование пространства Ен . При этом группа
движений расширяется до группы аффинных преобразований.
3
Если же изначально отказаться от метрических аксиом, а в
качестве направляющего пространства рассматривать линейное
пространство I ? , то получится точечно-векторное аффинное
пространство
, в котором действует группа всех аффинных
преобразований. Простейшим
инвариантом этой группы является
простое отношение Х = V(АВ, С) трех точек А, В и С на одной
прямой, где А С = А.С В .
Перейдем к проективному пространству Ря, получаемому из
аффинного пространства Ап путем пополнения его несобственными
(iбесконечно удаленными) элементами. При этом предполагается, что
все параллельные между собой прямые имеют одну общую
несобственную точку, а все такие точки заполняют несобственную
jO
гиперплоскость Ля_ ,. В результате мы получим расширенное
аффинное пространство А ^ , которое и является одной из моделей
проективного пространства Рп . В нем, в отличие от расширенного
аффинного пространства нет различия между собственными и
несобственными элементами.
В пространстве А^ рассмотрим
преобразование ф , которое любую прямую /
переводит снова в
прямую / , но без обязательного сохранения параллельности. Такое
преобразование
называется
проективным
преобразованием
расширенного пространства А “ .
При этом группа аффинных
преобразований расширяется до группы проективных преобразований.
Простейшим инвариантом этой группы является
двойное
отношение
k = D V (AB;CD ) = V(AB,C):Pr(A B ,D )
четырех
точек At B t C и D на одной прямой.
Переходя
к
расширенному
евклидову
пространству
Е ™,
А£
путем
которое получается из расширенного пространства
1} скалярного произведения
( х , у ) ■ заключаем, что в нем определена наиболее общая группа
проективных преобразований, переводящих прямые в прямые без
сохранения не только углов между ними, но и даже параллельности.
введения в линейном пространств
4
Таким образом, проективные свойства являются наиболее общими
свойствами фигур в однородных пространствах.
В данном пособии исследуются свойства двойного отношения
X = D V (A B ;C D ) при всевозможных перестановках точек в
данной четверке. Всего таких перестановок будет 4!=24.
Автором подготовлены и рассмотрены учебные примеры, а также
составлены упражнения для самостоятельной работы.
Конец доказательств теорем и решений примеров отмечается
знаком А .
5
1. Простое отношение трех точек на аффинной
прямой
Напомним следующее классическое аффинное понятие.
Определение 1. Пусть дана аффинная прямая АВ и точка С
на ней. Число Я называется простым отношением трех точек на
прямой и обозначается Я = V(AB\ С ) , если А С —Я С В .
В этом случае говорят также, что точка С делит отрезок АВ
в отношении, равном числу Я . Это отношение является простейшим
инвариантом аффинных преобразований [1],[2].
Будем считать, что все три точки различны. Это означает, что
А .*0,т.е. С Ф А; Х.^оо,т.е. С * В и Я ,^ -1 ,т .е . А * В .
Отметим, что на прямой нет такой точки С , для которой
А. = —1. Число X будет только стремиться к этому значению, если
точка С становится «бесконечно удаленной». Если же пополнить
аффинную прямую такой точкой М ю, которую называют несобствен­
ной, то мы получим одну из моделей проективной прямой.
Из определения непосредственно следует, что радиус-вектор X
точки С , для которой Я = V(АВ; С ), имеет вид
7
*| + Я*;
\+Л
_
где точки А и В заданы радиус-векторами дг, и X j.
Знак числа Я и его модуль имеет следующую геометрическую
характеристику. При Я > 0 точка С лежит внутри отрезка, а при
Я < 0 - на прямой, но вне отрезка
АВ . При
расположена «ближе» к точке А , а при |Л,| > 1 -
|Х.| < 1 точка С
к точке В .
Наглядное представление об изменении значения простого
отношения Я = V(AB;C) дает следующая функция.Выберем на
координатной прямой точки А(а) и В(Ь ) , а точку С (х ) будем
перемещать по прямой АВ (горизонтальной оси), откладывая
6
значения Л по вертикальной оси. Мы получим график функции
Х-а
а-Ь
Л(*) = Т---- = " 1+ ------ГD - Х ------------ Х - 0
Эта функция имеет область определения Dx = (—00, Ь) U {Ь, +<*>) и
область изменения Ех = ( —00, —l) U ( —l,+ ° ° ) . Если точка В следует
за А , т.е. а <b , то функция возрастает на каждом из интервалов, а
если точка А следует за В , т.е. а >b , то она убывает на них.
Заметим, что если точка С совпадёт с несобственной точкой
А / .,т о V ( A B ; M J = - 1.
Выясним, как изменится значение Я , если мы, не перемещая
сами точки, будем совершать всевозможные перестановки точек в
тройках.
Напомним, что три точки А уВ и С предполагаются различны­
ми, т.е. А.(1 + А.) * 0 и Х ^ о о .
Положим Я = V ( А В ; С ) и докажем следующие тождества:
У(ВА;С) = - ,
X
Г (Я С ;Л ) = -•!— ,
X
К (С 4 ;Я ) = ~ - Ц - .
1+ Х
У{СВ;А) =
1+ Х
У(АС;В) = - ( 1 + Х).
Докажем, например, второе и четвертое тождества.
Пусть У (ВС; А) = /J, т.е. BA = f i A C . Если А С —ХСВ> то,
с одной стороны,
ВА = В С + СА = —СВ —А.С В = —(1 + Х ) С В ,
а, с другой стороны, ВА - ц А С —^l(ACB ) . Таким образом,
имеем
цА. = —(1 + X ),
откуда |i = ---- -— .
К
Пусть теперь V ( СА , В) = к . Это означает, что СВ = к В А .
Так как ВА —ВС + С А , то СВ = к { В С —ХСВ) = —к(1 + Х)СВ ,
то есть к(1 + X) = —1. Отсюда заключаем, что К —---------. А
1+ Х
Упражнение 1. Доказать остальные тождества.
Таким образом, простое отношение трех различных точек (но
фиксированных!) на прямой в зависимости от их порядка в тройке
может принимать одно из значений
1
/1 л \
1
1+Х.
X
7"»
X
“ 0 + ^')»
- *
1 + А.
Г
X
>
“ ■
1 + А.
Эти шесть значений, вообще говоря, различны, но совпадения
возможны. При некоторых значениях X имеются потри пары
совпадений.
А именно, при А. = 1 имеем V(AB;C) — V(BA\C), а также
V (B C \A ) = V (A C ;B ) и V(CB;A) = V(CA;B).
При
X ------ имеем
V (AB;C ) = V(AC',B ) , а также
V(BA;C) = V(CA;B) и V(BC;A) = V(CB;A).
При X = —2 имеем У (АВ;С ) = V ( C B \ A ) t а также
V (A B \C ) = V(BA\C) и V(CA;B) = V (A C ;B ).
Упражнение 2. Проверить эти утверждения.
С помощью понятия простого отношения Я = V(AB;C) удается
решить многие как аффинные, так и метрические задачи. Поясним это
на примерах.
Пример 1. Известно, что в произвольном треугольнике A B C ,
где точки А, В и С заданы радиус-векторами х, , Xj и х3 , три
медианы пересекаются в одной точке, и каждая из них делится этой
точкой в отношении Я = 2 :1 , считая от вершины. Эта точка назы­
вается центром треугольника ABC
Действительно, рассмотрим точку М , которая задается
—
радиус-вектором вектором хм —
середин сторон имеем
8
х. + х2 + х,
------ -. Для нее и каждой из
_
__
7 ,7 , 7
* i+ * 2 + * 3
3
—
- JC, + JC,
j ^ + 2 - 2----- 1
1
2
1+2
_ JC. + JC,
+ 2 - 1----- 2.
3
2
1+2
—
—
_ JC, + JC,
х + 2 - l -----L
3
2
1+ 2
Рассмотрим общение этого факта на случай произвольной тре­
угольной пирамиды A B C D .
Пример 2. Пусть точки А , В УС и D заданы радиус-векторами
xi»*2 *-*з И *4 ■ Рассмотрим точку М , которая задается радиус—
JC. + JC, + JC, + jc4
Она называется центром
4
пирамиды A B C D . Наряду с ней рассмотрим центры всех четырех
вектором вектором
•
“7 X "ЬX JC
граней. Например, центр А грани B C D , где JC, = —------------ . По3
кажем, что Я = V(AA ; М ) = 3 :1 . Действительно, для них имеем
— + - x 2___
+ x 3+~4
,_ х л
— . — jc. H- 3 —— - — 4
х 1+ х 2 + х3 + х4 _ ~*,+
3
4
1+ 3
Для центра М и центров остальных трех граней A C D , ABD и
A B C доказательство аналогично. А Итак, доказана
Теорема. Все отрезки, соединяющие вершины произвольной
треугольной пирамиды с центрами противоположных граней,
пересекаются в одной точке (центре пирамиды) и делятся этой точкой
в отношении Я = 3 :1, считая от вершины.
Аналогичный результат имеет место в многомерном аффинном
пространстве для случая п - симплекса [2].
Пример 3. Две стороны треугольника лежат на данных прямых
5х —2 у —23 = 0 и 5jc + >>-1 1 = 0 . Составить уравнение третьей
стороны, если известен его центр М (4,1).
Решение. Воспользуемся тем свойством треугольника, что отре­
зок, заключенный между двумя сторонами и параллельный третьей
стороне, делится медианой, проведенной к этой стороне, на равные
части. Если провести через центр М (4,1) прямую л: = 4 + а / ,
9
У —1 + f i t , то для прямой, параллельной искомой стороне имеем
/, + t2 = 0 , где /, и t2 соответствуют точкам пересечения с прямыми
5х —2 у - 23 = 0 и 5х + у —11 = 0 , то есть /, = ----------Ъ а-2р
и
-ю
Л
,
t2 = ----------. Отсюда следует, что а : р = 1:1, а прямая, прохо5ал- р
дящая через центр Ы параллельно искомой стороне, задается
уравнением х - у - 3 = 0 . Теперь выделим ту прямую из пучка
Л ( 5 х - 2 у - 2 3 ) + / / ( 5х + у —11) = 0 , которая будет параллельна
5A + 5/J - 2 A + /J
,
_
найденной. Для н ее-----------= ------------ , то есть Я : и = 2 : —1, и
1
-1
мы получили прямую х —у —3 = 0 . Итак, имеем две прямые
х - у —1 = 0 и х - у —3 = 0 ,
параллельные искомой прямой
х —у + С = 0. Первая проходит через вершину, а вторая через центр
М . Так как расстояние между этими прямыми в два раза больше,
чем расстояние между второй
и искомой
прямой, то
1 —3 ——2 (С + 3 ), т.е. с = - 1 , Итак, третья сторона треугольника
задается уравнением X —у —1 = 0.▲
Пример 4.
В евклидовом пространстве £ 3 дан треугольник
A B C у где /4(2,7, -3 ), Я ( - 5 ,5, - 2 ) и С (—6 ,3 ,- 4 ) . Найти углы
треугольника, образованными биссектрисами внутреннего и внешнего
углов при вершине С .
Решение. Рассмотрим сторону В С , а также биссектрисы СР
и СР внутреннего и внешнего углов, соответственно. Введем век­
торы а = СА( 8,4,1) и Ь —СВ( 1 ,2 ,2 ), длины которых суть СА = 9
СВ = 3. Как известно, по свойству биссектрис имеем
V(AB;P) = C A :C B = 3:1 и V(AB;P') = - C A : СВ = - 3 : 1 .
и
—
а + 36
7^ 7 а - З Ь
т= :Л 1 10 7 Ч
Следовательно, С г = -------- и С г —----------, т.е. С г (— , — , —)
1+3
1 -3
4 4 4
10
и
СР(-----, —
Эти направляющие векторы биссектрис двух
смежных улов перпендикулярны, действительно
___
__
___
21
(СР, СР ) = 0.
6 3
Теперь найдем вектор СР —СР ~ РР (------ , -----, —). Таким обра-
4
4 4
зом, мы получили прямоугольный треугольник а СРР с катетами
4
Углы
этого
треугольника:
4
Z P C P = 90°, /.С Р Р = arcsin — и /.С Р Р = arc cos —. ▲
3
3
Особый интерес представляет расположение четырех точек
А, В, С и D на аффинной прямой, для которых
V(AB\C) = - V ( A B \ D ) .
Определение 2. Такую четверку точек на прямой
называют
гармонической.
Примером
гармонической четверки являются концы любого
отрезка, его середина и бесконечно удаленная точка на этой прямой.
Действительно, для середины С любого отрезка АВ имеем
V (АВ\ С) = 1, а для бесконечно удаленной точки
D = A/e
естественно считать, что V ( A B \D ) = —1.
В пособии [3] методами аналитической геометрии показано, что
гармоническую четверку образуют точки А, В, С и D , которые
получаются помощью полного четырехвершинника, приведенного
на рисунке 1 .
Заметим, что гармоническая четверка точек А, В, С и D
на аффинной прямой может быть построена с помощью более про­
стого геометрического построения, описанного на стр. 16 и 17 (рис. 1
и рис. 2)
Отметим, что указанное построение выполняется с помощью од­
ной линейки и без использования циркуля.
11
Рис. 1
Заметим, что гармоническая четверка точек А, В, С и D
на аффинной прямой может быть построена с помощью более
простого геометрического построения, описанного на стр. 20 и 21.
Отметим еще, что указанное построение выполняется с помощью
одной линейки и без использования циркуля.
Зх + 2 у + 3 = 0 ( а ) ,
х —2 у —7 = 0 ( Ь) и х —у —4 = 0 ( с ) . Убедиться, что они принад­
лежат одному пучку, и найти в пучке такую прямую d , что
V(AB;C) = —V ( A B ; D ) , где А, В, С и D - точки пересечения
соответствующих прямых с осью Ох .
Решение. Рассмотрим пучок, определенный первыми прямыми
а (3 х + 2 у + 3) + /3(х —2 у —7) = 0 . Прямая с принадлежит
Пример 5.
Даны три
прямые
За + Р 2 а - 2 В
За-1В
этому пучку, если --------- = ------------ = ------------ . Эта система
1
-1
-А
совместна и имеет решение (X : = 1: 5. Значит, с есть прямая
из пучка.
Теперь найдем точки А, В к С пересечения с осью Ох соот­
ветствующих прямых. Очевидно, что это точки А(—1,0), 2?(7,0) и
12
___
__
4+1 5
С (4 ,0 ) . Так как А С = ЯСВ , Л = ------ = —. Найдем точку D
7 -4
3
пересечения искомой
прямой d с осью О х , для которой
5
-1---7
V ( a , b ; d ) - — . Ясно, что xD ----------- ^ — = 1 9, т.е. 0 ( 1 9 ,0 ) .
3
1- 3
Осталось найти прямую d из пучка, проходящую через точку D .
Для нее ог(57 + 3) + Р ( \ 9 —7) = 0 , или а : р = 1: —5. Это означа­
ет, что прямая d задается уравнением х —6 у —19 = 0. А
Мы еще вернемся к этой задаче и решим ее методами проектив­
ной геометрии.
Пример 6. Стороны АВ и А С треугольника лежат на прямых
X —4 у —17 = 0 и 2х —у —12 = 0 . Составить уравнение третьей
стороны В С , если известна ее средина М ( 4, —1).
Решение. Рассмотрим параметрические уравнения х = 4 + a t ,
у = —1 + fit произвольной прямой, проходящей через точку М .
Пусть точкам пересечения этой прямой с данными прямыми соответ9
ствуют значения tx и /2 параметра t , а именно, Л = ---------- и
а-А р
3
t2 = —----- — . Так как отрезок искомой прямой, заключенный между
данными прямыми, должен делиться точкой М на равные части, то
9
3
Л
_
/ , + / , = ----------н------------= 0 , откуда а \ Р —1:1. Следовательно,
а - А Р 2а ~ Р
х-4
V+1
каноническое уравнение искомой прямой имеет вид —j— = —j— ,
или х —у —5 = 0 . А
Упражнение 3.
Для
точек /4 (-1 ),5 (3 )
V ( A B ; C ) , а также найти
V(AB;D )= -V (A B ; С) .
и С (2)
найти
D ( x ) , для которой
{отв. У(АВ; С) = 3; D (5)}
точку
13
Упражнение 4. Для заданных трех точек /4(х,)» В(х2) и
С(дг3)
найти четвертую гармоническую точку D(x) .
{отв. X =
х3(х, + х 2) - 2 х ]х2
2х3 — - х 2
Упражнение 5. Для треугольника a A B C , где А( 5 ,4 ,—3),
В( 9 ,- 2 ,9 ) и С (1 1 ,6 ,-6 ) найти стороны треугольника, который
образован биссектрисами внутреннего и внешних углов треугольника
при вершине А .
{отв.
5
3
2. Двойное отношение четырех точек
на проективной прямой
Рассмотрим расширенную аффинную прямую А * . В частности,
при выборе аффинной системы координат Ох на расширенной аффинной прямой А* для точек М(х)
имеем Х = — . А прямая
х
А* становится проективной Рх, состоящей из точек М = (jc° : JC1).
Определение 3. Двойным (сложным) отношением четырех то­
чек А, В, С и D на прямой А " назовем число
Будем считать, что все четыре точки А, В, С к D различны.
Это означает, что
- 1 ) * О и А. ^ оо. Действительно, если
X = 0 , то С = А или D = В , если X = 1, то С = D или А = В ,
а если X = оо, то С = В или D = А .
Сначала рассмотрим случаи, когда все точки собственные. Пусть
на прямой точки заданы своими аффинными
координатами
А(х^),В(х2)уС(хъ)\\ D (x4). Тогда
14
АС(х^ -х ^\С В( х2 - X j ) h
),
)
AD(x4 —Xj DB(x2—xA . Следовательно, имеем
D ( ' ( A B ; C D ) = y<'A 3 ,' C ^ =
5 -.
V(AB\D) x2- x 3 x2- x 4
(2.1)
Исследуем эначение двойного отношения
\ = D V(AB\CD ) = У(А В ’С '>
V (A B :D )
в зависимости от расположения точек А, В, С и D на расширенной
аффинной прямой Л " . Рассмотрим два случая. Пусть на А *
точка С в аффинном смысле лежит «между» точками А и В .
Например, рассмотрим следующие точки А(~ 1), С (2) и 3(3).
Пусть точка D ( x ) движется по расширенной аффинной прямой А™,
где X € (—|оо; +ао) . Для указанных точек имеем
2 +1
V(AB;C) = ------ = 3 , а в силу (2.1) получим
3
2
Л(.х) = D V(AB;CD ) = 3 —
= 3(— — 1).
х+1
х+1
Отметим на нашей прямой наряду с выбранными точками еще две:
несобственную точку М*>(оо) , а также точку С (5) , которая вме­
сте с данными точками А уВ уС образует гармоническую четверку,
то есть
D V (AB\C D ) = —1. Действительно, для них имеем
3-х
3 -5
Л(оо) = lim 3 ------- = —3 и Л(5) = 3 --------= —1, соответственно.
jr-^® х + 1
5+ 1
В пособии [3] показано, что если аффинной координаты X переити к однородным координатам Xо : X1, которые являются частным
случаем проективных, а затем совершить произвольное преобразова­
ние проективных координат, то данное двойное отношение является
инвариантом проективной геометрии.
Итак, в проективных координатах мы имеем
15
-з°
D V (AB\C D ) =
4
•
А
г»
Лз
а
•
х°
(2.2)
А
Лз 4
А
<
Это выражение часто записывают в условной форме
D V (A B \C D ) =
(1,3) (4,2)
(3,2) (1,4)
Из определения простого отношения трех точек на прямой
следует, что при X > 0 обе точки С и D лежат либо внутри отрезка
А В , либо вне его, а при Х < 0 одна из точек С и D лежит
внутри отрезка АВ , а другая - вне его. Во втором случае говорят,
что пара С, D разделяет пару А , В , и наоборот, а в первом случае
эти пары не разделяют друг друга.
Выясним, как изменится значение Л , если мы, не перемещая
сами точки, будем совершать всевозможные перестановки в данной
четверке. Напомним, что эти точки предполагаются различными, т.е.
А(Х —1 ) ^ 0 и Х *оо.
Мы покажем, что при 24 возможных перестановках четырех то­
чек А, В, С и D получается всего лишь шесть значений, именно
X,
1 -Х ,
X
—
х-\
х-\
х-\
(2.3)
Прежде всего, установим тождество, которому удовлетворяют
л:
определители второго порядка ‘■
j
16
записываемые в условной
форме в виде
к
( К , L) = л
, где К и L суть различные
порядковые номера в упорядоченной четверке точек А, В ,С и D .
Искомое тождество в условных обозначениях имеет вид
(1 ,2 ) ( 3 ,4 ) + (1,3 X 4 ,2 ) + (1,4 X 3 ,2 ) = 0 .
(2.4)
Оно является простым следствием того, что следующий опреде­
литель четвертого порядка
*1
л2
А
А
А
А
А
А
А
х°4
А
А
X 4х
разложенный по первым двум строкам, тождественно равен нулю.
Положим X = D V (A B \C D )n докажем основные равенства.
D V(BA; CD) = - , D V (СВ\ AD) = — ,
X
X —1
D V (D B ; CA) = 1 - X, D V (A C ;B D ) = 1 - X ,
(2.5)
D V (A D ;C B ) = —
D V(AB; DC) = ~ .
X —1
X
Приведем доказательства, например, первых трех равенств. Они
основаны на использовании формулы (2.1) и тождества (2.4).
В первом случае имеем
D V (B A , CD)
^ у ш . и ш т л .
(3 ,1 )-(2 ,4 )
(3,2)-(1,4) X
17
Во втором и третьем случаях совершим преобразования
/Ж (С Д; ^ ) = (3 ,1 Н 4 ' 2) = (1’3 ) ^
=
(1,2) (3,4) (1,2) -(3,4)
(1.3) ■(2,4)
(1.3)-(2,4) —(2,3)■ (1,4)
,
(2,3) (1,4)
(1.3) (2,4)
Х.-1
X
DV(DB;CA) = ^ ) ^ J l ' 2 H X 4 ) =
(3,2) (4,1) (3,2) (1,4)
(1.3) (2 ,4 )-(2 ,3 )-(1 ,4 )
(3 , 2)(1,4)
t | (1,3) (2 ,4 )
[
,
^
(3,2) (1,4)
Упражнение 6. Доказать остальные основные равенства.
Чтобы получить все требуемые равенства, можно также восполь­
зоваться вычислительной формулой (2.1), а так же тождеством (2.4).
Но можно поступить иначе, а именно, использовать основные
равенства (2.4). Для этого достаточно совершать последовательные
перестановки различных пар в данных четверках точек.
Найдем, например, значение D V (B C \A D ). Второе равенство в
(2.5) означает, что при перестановке первых двух точек в четверке
В, С, А и D исходное значение D V (B C \A D ) заменяется на
обратное, то есть
D V (B C \ A D ) ----------------------. Теперь воспольD V {C B \A D )
зуемся вторым равенством в (2.4), переставим первую и третью точки
в четверке С, В, А и D . В результате получим
D V(CB\AD ) = 1: (1----------- *-------- ) =
DV{AB;CD)
1-А.
Таким образом, имеем
D V (B C ,A D ) = -------- -1-------- = 1: — = —
D V(CB;AD )
X -l
X
18
Пользуясь указанными приемами, найдем, например, значения
D V (D C \B A ) = \ - D V { A C \ B D ) = \ - ( \ - X ) = X и
DV(BD\CA) =
1
DV(D B,C A)
1
\-D V (A B \C D )
1
1-Я.
Продолжив этот процесс, мы получим все 24 тождества
D V (A B ;C D ) =DV(BA\DC ) =DV(CD;AB ) =DV(DC;BA) = X,
DV(BA;CD) =DV(AB\DC) =DV(DC\BA) =DV(CD;BA) =
X
D K (/*C ; AD) =DV(CA;DB) =DV(BD ; Л С ) =DV(DB;CA) = l - X ,
DV(AC\DB) =DV(CA\BD) =DV(DB\AC ) =DV(BD\CA) =
DV(AD; BC) =DV(DA;CB ) =DV(BC;AD) =DV(CB;DA) =
1
1-X
X.-1
X
X
DV(AD\CB)=DV(DA\BC) =DV(CB\AD ) =DV(BC;DA) =
A. 1
Упражнение 7. Доказать эти тождества.
Итак, двойное отношение четверки различных точек на проектив­
ной прямой
в зависимости от их порядка может принимать одно
шести из значений. Напомним, что четыре точки будут различны,
только если А,(А. —1 ) ^ 0 и Х^<х>.
Эти шесть значений (2.1), вообще говоря, не совпадают, но и
совпадения возможны. При некоторых значениях X имеются по две
пары совпадений.
«
I
,
,
А.-1
1
X
l -Х
X
х-\
А именно, при Л = —1 имеем 1—А. = ------- и -------= ------- ,
, 1
при А. = — имеем
2
имеем
1
А.-1
X
X
— = -------
1 1
— = ------X 1 —X
,
, _
и 1 —А, =
Х -1
X
и -------= --------, а при
X
X —1
,
,
K —JL
1
1 -Х
19
Особый интерес представляют гармонические четверки точек
АУВ ,С и D , для которых
D V (AB\C D )
Такая гармоническая четверка точек A , B , C n D на прямой
может бьггь построена на аффинной плоскости с использованием,
например, полного четырсхвершинника. (см. рис. 1).
На практике используют более простую конструкцию.
Сначала рассмотрим случай, когда точка С лежит на прямой
АВ между точками А и В (рис.2)
S
Рис. 2.
Выбираем произвольную точку S , не лежащую на прямой АВ ,
затем на прямой SC выбираем некоторую точку О . Потом
проводим прямые А О и В О , которые в пересечении с прямыми
SB и SA дают соответственно точки Р h Q . Остается найти точку
PQ с прямой АВ . Это и будет искомая точка
D , расположенная на прямой вне отрезка АВ .
пересечения прямой
Рассмотрим также случай, когда точка С лежит на прямой вне
отрезка А В . Построим для данной тройки четвертую гармоническую
20
точку D (рис. 3). Построения в этом случае совершенно аналогичны.
Только в этом случае искомая точка D лежит вне отрезка АВ .
Так как D V ( А В ; CD) = —1 , то в силу тождеств имеем
DV(CD\ АВ) ——1. Поэтому говорят, что пары (А, В) и (С, D)
гармонически разделяют друг друга.
В заключение покажем, как для упорядоченной тройки точек
А, В и С найти четвертую гармоническую точку D .
Рис. 3
Так как D V (A B ;C D ) = —1 ,т о в силу тождеств имеем
DV{CD\ АВ) = —1 . Поэтому говорят, что пары (А ,В ) и (С , D)
гармонически разделяют друг друга.
Пусть теперь на проективной прямой Рх выбран проективный
репер {Aq, Ay, Е } , а данные точки заданы своими проективными
координатами: А = (х,0 : х \ ) , В = (jCj° : х,1) и С - (л® :
Найдем
координаты
четвертой
).
гармонической
точки
D —( х ° : х х) , то есть такой что D V (AB;C D ) = —1. В силу (2.1)
имеем
21
*1°
D V (A B \C D ) 4
4
4
JC°
*2°
А
X1
Х2
= -1 ,
Х°
х 2* *1°
х 21
х1
или
(jC,°xJ - jtjjcj )(X 2 JC° - x \ x x) + ( x \ x \ - x \ x \ )(jc,°jt0 - x \ x l ) = 0 .
( j ^ x J - JC°JC,1 ) ( ^ 2 ^ 0 “
X2X' ) + ( * 3 * 2 “ X2X\ ) ( Xl X° ~ Xl * ! ) = ®
Таким образом, получаем
X
=
1„02x°x;x. - (JC,°JC2 + x \x
2v К
(x°jcJ + jc,1Jc®)jcJ - 2 xlx\x%
( 2.6)
Вернемся к примеру 5. В нем идет речь о пучке прямых на аф­
финной плоскости, то есть о проективной прямой.
Действительно, если четыре прямые а, Ь, С и d одного пучка
образуют гармоническую четверку, т.е. DV(AB'yCD) ——1, то и
точки пересечения А, В, С к D этих прямых с любой прямая / тако­
вы, что V (A B \C ) = - V ( A B \ D ) .
Пример 7. Даны три прямые, принадлежащие одному пучку
3jc + 2>> + 3 = 0 ( д ) , х - 2 у - 1 = 0 (6 ) и jc— —4 = 0 ( с ) . в этом
пучке найти четвертую гармоническую, т.е. такую прямую d , что
D V (a ,b ;c ,d ) = - 1.
Решение. Способ 1. Пополним нашу плоскость бесконечно уда­
ленными точками и перейдем к однородным
координатам
х° : x l : х 2. Рассмотрим бесконечно удаленную прямую, которая
задается уравнением JC° = 0 . Бесконечно удаленными на данных
прямых будут следующие точки
= ( 0 : 2 : —3 ), В9 = (0 :2 :1) и
Сх = ( 0 : 1 : 1 ) . Воспользуемся аналогом формулы (2.6) для проек­
тивных координат X1 : JC2 и найдем
22
л
2-2-21-1(2-1-3-3)
(2* 1-I-3• 2)• 1- 2 • (-3)-1-1
8 -(-4 )
1-5 + 6
' '
Так как
= ( 0 : 6 : 1 ) и она должна удовлетворять уравнению пря­
мой в однородных координатах
а ( Зх° + Зх1+ 2 х 2) + Р ( -1 х ° + х ' + 2 х 2) = 0,
6(3а + /?) + ( 2 а —2 р ) - 2 0 а + 4/? = 0, или а : / ? = 1 - 5 , и
мы опять получаем искомую прямую х —6 у —19 = 0 ( d ) .
Способ 2. Совершим проективизацию данного пучка,
поставив в соответствие каждой прямой / пропорциональную пару
а : р , то есть точку L = ( а : р ) проективной прямой. Тогда пря­
то
мым а , Ь , с и d , соответствуют точки La = (1:0),
£ „ = ( 0 : 1 ) , 4 = ( 1 : 5 ) и Ld = ( a : p ) , где в силу формулы (2.6)
имеем
Л 2 0 - 1 - 5 - 1 - (11 + 0 0 )
0-1 , с
“
( М + 0 0 ) - 5 - 2 0 1 1 _ 1-5 ~
'
что и дает уравнение искомой прямой х —6у —19 = 0 (d) . ▲
Обратимся еще раз к следующему примеру.
Пример 6. Стороны АВ и А С треугольника лежат на прямых
х —4у —17 = 0 и 2х —у —12 = 0 . Составить уравнение третьей
стороны В С , если известна ее средина М ( 4, -1 ).
Так точка М делит отрезок В С в отношении
V(ВС; М ) = 1, то четвертой гармонической для точек В, С и М
Решение.
будет бесконечно удаленная точка Л/в на прямой В С . Это значит,
что в пучкеа ( х —4_у —17) + fi(2x —у —\2) = 0 надо сначала найти
прямую A M , а затем четвертую гармоническую к прямым
А В , А С и A M . Эго будет прямая, параллельная прямой В С . Для
прямой A M имеем 9 а + 3/? = 0 . Итак, проективные координаты
а : Р прямых АВ, А С и A M соответственно таковы 1 : 0 , 0:1 и
1: —3 . Тогда в силу формулы (2.6) для искомой прямой получим
а \ Р —1: 3. Это означает, что прямая пучка, параллельная стороне
23
ВС , задается уравнением 1Х —1 у —5Ъ = 0 , а искомая прямая, парал­
лельная найденной прямой, задается уравнением х — у — 5 = 0 . А
Пример 8. Боковые стороны АВ и CD трапеции лежат на
прямых х + ^ + 1 = 0 и 5х —у —13 = 0 , соответственно, а ее диаго­
нали А С и BD пересекаются в точке Q( 2,1). Найти прямые, на
которых лежат основания AD и В С , если известно, что на одном из
них лежит точка М 0( 3,5).
Решение. С аффинной точки зрения, трапеция характеризуется
тем, что середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка
пересечения продолжений боковых сторон лежат на одной прямой.
При этом указанные точки образуют гармоническую четверку.
Мы начнем с того, что отрезок, который заключен между
боковыми сторонами, параллелен основаниям и проходит через точку
Q(2y1) , делится этой точкой на равные части. Если через Q провести
прямую * = 2 + а / , у = 1+ f i t , то для прямой, параллельной основа­
ниям имеем tx + 12 = 0 , где значения /, и /2 соответствуют точкам
пересечения с боковыми сторонами JC+ у +1 = 0 и 5х —у —13 = 0 .
—4
Тогда получим tx = -------- и
а +р
4
/, = ----------. Отсюда следует, что
5а - р
а \ Р —1 : 2 , а прямая, проходящая через точку Q параллельно
основаниям, задается уравнением 2х —у —3 = 0 . Теперь найдем
параллельную ей прямую, т. е. то основание, на котором лежит
точка Л/0(3,5). Это будет прямая 2х —у —1 = 0 . Рассмотрим
также ту прямую из пучка а ( х + у +1) + Р(5х —у —13) = 0 , оп­
AD и C D , которая параллельна
а + 5р а - р
_
основаниям. Для н ее----------= ---------, т.е. а р = 1: —1. Следова2
-1
тельно, это будет прямая 2х —у —7 = 0 . Найдем прямую, на
которой лежит второе основание. Так как в несобственном пучке
три прямые 2х —у —7 = 0 , 2х —у —3 = 0 и 2х —у —1 = 0 вместе
с искомой прямой 2 X —у + С = 0 образуют гармоническую четверку,
ределенного боковыми сторонами
24
с ——4 .
Итак, основании трапеции лежат на прямых
2 х - у - \ = 0 и 2 х - у - 4 = 0. А
то
Отметим, что в этом примере мы сознательно не искали коорди­
наты вершин трапеции и уравнения ее диагоналей, а имели дело лишь
с уравнениями сторон. Аффинно-проективные свойства трапеции
позволили сделать это.
Упражнение 8. Для тройки точек А = ( 1 : 2 ) , В = ( 3 : 4 ) и
С = (5 :6) найти четвертую гармоническую точку D(x° : X1) .
{отв. D —(7:10)}
Упражнение 9. Боковые стороны трапеции лежат на координат­
ных прямых, а основания - на прямых 2х —у + 4 = 0 и
2 х - у + 20 = 0. Найти точку С пресечения ее диагоналей.
{ о / я в . С ( - |: у ) }
25
Литература
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М. : Наука,
1968.
2. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М. : Наука, 1966.
3. Мизин А.Г. Проективно-дифференциальная геометрия семейств
прямых и многомерных плоскостей. Томск : Изд-во 11 У, 2007.
26
Учебное издание
Мизия Анатолий Георгиевич
ДВОЙНОЕ ОТНОШЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ ТОЧЕК
НА ПРОЕКТИВНОЙ ПРЯМОЙ
Учебное пособие
Оригинал-макет автора
Подписано к печати 10.11.2011 г. Формат 60x84/16
Бумага офсетная. Гарнитура Times. Ризография
Пгч. л. 1,8. Уел. печ. л. 1,7. Тираж S0 экз. Заказ №100
Томский государственный университет
634050, г. Томск, пр. Ленина, 36
Участок оперативной ркзографии и офсетной печати
Редакционно-издательского отдела П У
634050, г. Томск, Московский тр., 8. «уд. 011
Тея. 8+3822+52-98-49