Лабораторный практикум теплица

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УСЛОВИЯХ РОСТА РАСТЕНИЙ ...................... 4
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МИКРОКЛИМАТА ТЕПЛИЦЫ ......................................... 7
1.1. Синтез математической модели микроклимата теплицы на основе законов
сохранения ....................................................................................................................... 9
1.2. Синтез математической модели микроклимата теплицы на основе идентификации
......................................................................................................................................... 11
2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ................................................................. 26
2.1. Математическая модель многомерной системы........................................................... 26
2.2. Математическое описание систем в переменных пространства состояний ............. 34
2.3. Переход от уравнения «вход-выход» к уравнениям в переменных состояния в
нормальной форме ........................................................................................................ 38
3. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ ......................................................... 47
3.1. Управляемость ................................................................................................................. 47
3.2. Наблюдаемость ................................................................................................................ 51
4. СИНТЕЗ МСАУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ЗАДАЮЩИХ ВОЗДЕЙСТВИЙ ............................ 53
4.1. Проблема многосвязности .............................................................................................. 53
4.2. Синтез МСАУ с компенсацией задающих воздействий .............................................. 53
5. ОСНОВЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ТЕПЛИЦЕ ...... 58
5.1. Описание лабораторного стенда .................................................................................... 58
5.2. Цель и задачи работы ...................................................................................................... 62
5.3. Порядок подготовки к выполнению работы ................................................................. 63
5.4. Порядок выполнения работы по идентификации объекта управления .................... 64
5.5. Порядок выполнения работы по идентификации МСАУ............................................ 65
5.6. Обработка экспериментальных данных ........................................................................ 65
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ......................................................................................................... 66
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................................................... 68
ПРИЛОЖЕНИЯ................................................................................................................................ 69
Приложение 1.......................................................................................................................... 69
Приложение 2.......................................................................................................................... 71
Приложение 3.......................................................................................................................... 78
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ ............................................................................................................ 80
3
ВВЕДЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УСЛОВИЯХ РОСТА
РАСТЕНИЙ
Возможность выращивания сельскохозяйственных культур в течение всего
года представляют преимущества защищенного грунта - теплиц, а использование автоматизированных систем управления технологическими процессами
(АСУТП) позволяет освободить человека от постоянного контроля, управления
и регулирования процессом роста растений. При этом все АСУТП направлены
на создание такого микроклимата в теплицах, который обеспечивает оптимальные условия основного процесса в растительной клетке для роста и развития
растений с учетом их физиологии - процесса фотосинтеза с тем, чтобы получить высокий урожай.
Фотосинтез - процесс образования зелеными растениями органических
веществ из неорганических (углекислоты и воды) при участии световой энергии, поглощенной хлорофиллом.
На интенсивность фотосинтеза первостепенное влияние оказывают: свет,
температура, влажность субстрата, содержание в воздухе углекислоты, уровень
снабжения элементами минерального питания и ряд других менее значимых
внешних факторов. Одни из указанных факторов, например, такие как освещенность и снабжение 𝐶𝑂2 , действуют на фотосинтез прямо, другие - содержание воды и элементов питания в субстрате - косвенно, через воздействие на
другие физиологические процессы. Поэтому в теплице необходимо искусственно создать соответствующий микроклимат, который подразумевает контроль, управление и регулирование следующих основных параметров:

температуру воздуха и грунта;

освещенность;

воздухообмен с наружной средой;

влажность воздуха и почвы.
Температурные условия для роста растений
Рост и развитие растений происходят в пределах небольших температурных колебаний – от 7 до 30 °C. Однако лучшие условия для роста растений достигаются при еще меньшей амплитуде колебаний температур. Однако растения реагируют не только на температуру воздуха теплицы. Так, при интенсивной инсоляции температура листьев растений нередко на 10 – 12 °C выше температуры воздуха, а ночью она может опуститься ниже температуры воздуха на
5 – 6 °C. В прохладные ночи на листьях растений может накапливаться влага,
4
которая создает серьезную опасность образования плесени. Повышение температуры воздуха даже на один градус существенно влияет на микроклимат в
теплице, так как относительная влажность воздуха при этом уменьшается примерно на 6 %.
Влажность воздуха
Для правильного роста большего числа растений влажность воздуха в теплице должна быть не меньше 70 %. При этом необходимо учитывать, что для
каждого определенного вида растений требуется поддержание относительной
влажности в более точных пределах.
На влажность воздуха в теплице напрямую влияет и влажность почвы.
Влажность почвы
Влажность почвы играет важную роль в росте и развитии растений. Влажность, при которой корневая система растений не испытывает недостатка влаги,
необходимой для их роста и развития является оптимальной. Оптимальная
влажность характеризуется двумя значениями: верхним и нижним пределами
допустимой влажности почвы.
Верхний предел допустимой влажности почвы определяется минимальным
значением ее аэрации. Влажность почвы не должна превышать 60 – 70 % полной влагоемкости (пористости) при выращивании овощных культур, 80 % –
зерновых культур и 80 – 85 % – трав.
Нижний предел оптимальной влажности в зависимости от вида почв и растений приближенно оценивается следующими величинами: для трав 50 – 60 %
пористости, для зерновых – 45 – 50 %, для овощных и технических культур –
40 – 45 %.
Для поддержаний оптимальной влажности почвы и как следствие воздуха
необходимо проводить своевременный полив. Температура воды при этом
должна быть порядка 20 °С, так как слишком прохладная вода может спровоцировать повреждение корневой системы растительных культур.
Освещенность
Большинству растений требуется 12–16 часов освещенности в сутки для
нормального развития. Если продолжительность освещенности падает до 10 часов и меньше, то развитие затормаживается. Круглосуточное освещение растений также нежелательно, так как может оказаться вредным.
5
Для измерения количества энергии, которую поглощает растение (имеющее определенную площадь, на которую и падает свет) за единицу времени используют мкмоль фотонов/(м2 с) – плотность фотосинтетического фотонного
потока, а также Вват/м2 . Спектр освещения для растений играет существенную
роль, так как от него зависит степень реакции на излучение. То есть для растений важны как количество света, так и его состав, спектр. Одинаковое количество желтого и зеленого света вызовут разную реакцию у растения, от желтого
света реакция будет значительно интенсивнее.
Воздухообмен с наружной средой
Между всеми факторами существования растений (свет, тепло, влага и
𝐶𝑂2 ) существует тесная взаимосвязь, которая приобретает особое значение в
условиях закрытого грунта, где эти факторы, частично за исключением света,
создаются искусственно.
Интенсивность поглощения СО2 растением тесно связана с интенсивностью освещенности, обеспеченностью водой и питательными веществами. Чтобы продуктивно использовать интенсивное освещение, растения необходимо
бесперебойно снабжать углекислотой.
Поступление и усвоение СО2 связано с подвижностью окружающего воздуха. Сооружения защищенного грунта герметически закрыты и воздухообмен
с наружной средой очень важен для поддержания необходимых параметров
микроклимата внутри теплицы.
Система автоматического управления микроклиматом теплицы
Система автоматического управления (САУ) микроклиматом теплицы
должна обеспечивать выполнение следующих функций:

контроль и управление температурой и влажностью;

контроль и управление освещенностью;

контроль и управление обогревом и вентиляцией;

автоматическое проветривание;

управление поливом растений;

автоматическая корректировка всех параметров автоматики теплицы в
режиме почасовых графиков;

сбор статистики за сутки по дневным и ночным температурам и освещенности;

регистрация событий и ведение журнала состояний.
6
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МИКРОКЛИМАТА ТЕПЛИЦЫ
Для синтеза эффективной САУ микроклиматом теплицы, позволяющей
учитывать взаимодействие всех рассмотренных выше факторов, необходимо
построение математической модели микроклимата теплицы [1 – 5].
При этом существующие модели микроклимата теплиц можно классифицировать следующим образом:
1. Модели, основанные на законах сохранения массы, энергии, импульса и
т. п., т. е. модели использующие данные о физических процессах тепло- и массообмена, происходящих в теплице. Процессы описываются дифференциальными уравнениями с параметрами, имеющими физическую интерпретацию.
2. Кибернетические или регрессионные модели, когда микроклимат теплицы рассматривается как черный ящик, и изучается взаимосвязь входных и выходных величин. Параметры этих моделей определяются экспериментально,
методом идентификации.
Модели первого типа являются концептуальными, т. к. отражают структуру объекта, системы и причинно-следственные связи, что позволяет синтезировать (проектировать) САУ, входящие в АСУТП, в широком диапазоне изменения параметров как объекта, так и управляющей подсистемы (регулятора).
Отметим, что процесс изменения микроклимата теплицы является многоконтурным, многопараметрическим и зависит от множества внешних и внутренних факторов. К внешним факторам относятся температура и влажность
наружного воздуха, интенсивность солнечного излучения, направление и скорость ветра и т. п. К внутренним факторам относятся геометрические размеры
теплицы, расположение элементов систем отопления и вентиляции, виды грунтов, генетические свойства и виды растений и т. п. Кроме того, в замкнутых
контурах управления микроклиматом каналы управления могут значительно
влиять друг на друга, что значительно усложняет проектирование оптимальных
САУ, так как в этом случае необходимы многомерные САУ (МСАУ).
Модели второго типа также отражают структуру системы: влияние входных параметров на выходные, но в более узком диапазоне их изменения.
В настоящее время современные системы управления, работающие на основе микропроцессорной техники, позволяют эффективно управлять раздельными контурами обогрева, форточным оборудованием, системами зашторивания и вентиляции, теплоснабжением со схемами подмешивания теплоносителя.
Отметим, что за счет применения контроллеров значительно повысилось
качество и точность САУ.
7
При синтезе математических моделей САУ микроклиматом теплиц необходимо учитывать:
1. Динамические свойства теплиц как объекта управления (ОУ). Они
как ОУ с интегральными (средними по объему или площади) параметрами
микроклимата могут считаться простыми инерционными звеньями первого порядка с большой инерционностью (постоянные времени 100 – 2000 С). Однако,
динамические свойства остальных элементов систем управления (инерционность и запаздывание в каналах измерения и в исполнительных устройствах с
постоянными времени, измеряющимися десятками, а иногда, и сотнями секунд)
усложняют задачу управления и требуют применения внутренних корректирующих контуров и оценивания координат состояния с помощью так называемого «наблюдателя», использующего модели пространства состояний.
2. Многосвязность ОУ. В этом случае некоторые управляющие воздействия для заданного управляемого параметра являются возмущающими для
других управляемых параметров. Например, для поддержания высокой (до
90 %) относительной влажности воздуха в одногектарном рабочем отсеке типовой блочной теплицы необходимо распылять влагу со средним расходом порядка 0,10 кг/с. Но испарение этой влаги за счет теплопоглощения из воздуха
эквивалентно охлаждающему воздействию мощностью порядка 250 кВт, сильно возмущающему канал регулирования температуры воздуха. В то же время
повышение температуры снижает относительную влажность воздуха, а включение вентиляции для охлаждения приводит к снижению относительной влажности воздуха и концентрации углекислого газа. Включением мощных осветительных установок при досвечивании растений или газогенераторов при подкормке их углекислым газом создают возмущающее воздействие, подогревающее теплицу. Следовательно, для повышения точности управления параметрами микроклимата теплиц целесообразно проектировать МСАУ учитывающие
перекрестные связями по управляющим и возмущающим воздействиям.
3. Комбинированное управление. Стеклянные ограждающие конструкции теплиц обладают весьма слабыми теплоизолирующими свойствами и не
обеспечивают герметизации рабочих отсеков. Поэтому быстрые изменения
температуры наружного воздуха, мощности солнечной радиации (при переменной облачности), скорости и направления ветра способны привести к существенному изменению температуры воздуха внутри теплицы, если действие
этих возмущений не будет своевременно скомпенсировано соответствующими
изменениями управляющих воздействий. В этом случае для компенсации действия возмущающих факторов эффективно применение комбинированного
8
принципа управления – принципа управления по возмущению одновременно с
использованием принципа управления по отклонению (обратной связи). Это
требует изменения алгоритмов управления и измерения возмущений.
4. Повышение точности измерений. Повышение точности управления
может быть достигнуто за счет повышения точности измерения и оценивания
управляемых координат – увеличено количество точек измерения и применены
современные алгоритмы обработки измерительной информации (усреднение,
фильтрации, комплексирование и т. п.). Это возможно с применением современных средств измерения и микропроцессоров.
5. Учет распределенности параметров. Особенностью современных промышленных теплиц являются большие размеры рабочих отсеков. В типовых
блочных теплицах полезная площадь в одном отсеке может достигнуть одного
гектара. Как следствие этого, возникает проблема неравномерности распределения регулируемых величин как по объему, так и по площади теплицы. В этом
случае требуется построение математических моделей с распределенными параметрами, увеличения количества измерительных датчиков, а также возникает
более сложная задача создания распределенных управляющих воздействий. Это
требует усложнения технологических установок, используемых для создания и
управления микроклиматом теплиц, а также значительного усложнения алгоритмов управления. Без применения микро-ЭВМ или микропроцессоров реализация таких алгоритмов, обеспечивающих координированное управление множеством исполнительных устройств, не представляется возможным.
6. Применение адаптивного, нечеткого и нейронного управления для
идентификации как структуры, так и параметров ОУ.
Резюмируя, можем отметить, что задачу эффективного управления микроклиматом целесообразно решать на основе современных методов теории автоматического управления [1, 4, 6, 7] с применением современной микропроцессорной техники. При этом необходимо широко использовать комбинированный
принцип управления, учет распределенности параметров системы, теорию многомерных систем, повышения точности измерений (усреднение, фильтрации,
комплексирование и т. п.) и современные методы управления – адаптивное, нечеткое и нейронное.
1.1. Синтез математической модели микроклимата теплицы
на основе законов сохранения
Математическое описание процесса микроклимата теплицы осуществляет9
ся на соответствующих законах сохранения [1 – 5].
1.1.1. Уравнение массового баланса воды в теплице
𝜌𝑉
𝑑𝑋(𝑡)
= 𝐹(𝑡) + 𝐶𝑠𝑎𝑡 (𝑡)[𝐸(𝑡) + 𝑓𝑜𝑔(𝑡)],
𝑑𝑡
(1.1)
где ρ – плотность воздуха теплицы, кг/м3 ; V – объем воздуха теплицы, м3 ; X(t)
– абсолютная влажность в теплице, кгвода /кгвоздух ; 𝐹(𝑡) – расход воды в воздушном потоке, прошедшим через неплотности (оконные щели) теплицы,
кгвода /с; 𝐶𝑠𝑎𝑡 (𝑡) – коэффициент насыщения воздуха; 𝐸(𝑡) – скорость суммарного испарения воды растениями, кгвода /с; 𝑓𝑜𝑔(𝑡) – расход воды системой тумана, кгвода /с; t – время, с.
1.1.2. Уравнение баланса энергии, влияющей на изменение температуры в
теплице
𝜌𝑉𝑐𝑣
𝑑𝑇(𝑡)
= 𝑄𝑠 (𝑡) − 𝑄𝑐𝑐 (𝑡) + 𝑄𝑝 (𝑡) − 𝐶𝑠𝑎𝑡 (𝑡)[𝑄𝑢 (𝑡) + 𝑄𝑡 (𝑡)] −
𝑑𝑡
−𝑄𝑣 (𝑡) + 𝑊(𝑡),
(1.2)
где 𝑐𝑣 – теплоемкость воздуха, Дж/(кг ∙ ℃); 𝑇(𝑡) – температура воздуха в теплице, ℃; 𝑄𝑠 (𝑡) – солнечная энергия, нагревающая воздух в теплице, Вт; 𝑄𝑐𝑐 (𝑡)
– энергия обмена через стены путем проводимости и конвекции, Вт; 𝑄𝑝 (𝑡) –
обмен энергией с растениями, Вт; 𝑄𝑢 (𝑡) – потеря энергии за счет суммарного
испарения воды растениями, Вт; 𝑄𝑡 (𝑡) – потери энергии за счет распыления воды системой тумана, Вт; 𝑄𝑣 (𝑡) – энергия обмена воздушной вентиляции, Вт;
𝑊(𝑡) – энергия системы обогрева, Вт.
1.1.3. Уравнение теплового баланса энергии, влияющей на изменение
температуры растений теплицы
𝑑𝑇𝑝 (𝑡)
(1.3)
= 𝑄𝑢𝑟 (𝑡) − 𝑄𝑝 (𝑡) − 𝑄𝑔 (𝑡),
𝑑𝑡
где 𝑆𝑜𝑢𝑡𝑠𝑖𝑑𝑒 – площадь поверхности теплицы, м2 ; 𝑐𝑝 – теплоемкость растений,
Дж/(кг ∙ ℃); 𝑇𝑝 (𝑡) – температура растений внутри теплицы, ℃; 𝑄𝑢𝑟 (𝑡) – энер𝑆𝑜𝑢𝑡𝑠𝑖𝑑𝑒 ∙ 𝑐𝑝
гия, усваиваемая растениями в течение дня, Вт; 𝑄𝑔 (𝑡) – потери энергии через
грунт, Вт.
10
На рис. 1.1 представлена схема математической модели температурновлажностного режима теплицы.
Рисунок 1.1. Схема математической модели температурно-влажностного
режима теплицы
1.2. Синтез математической модели микроклимата теплицы
на основе идентификации
1.2.1. Методы идентификации систем
Предметом теории идентификации являются методы определения математических моделей по результатам экспериментальных исследований [8]. В зависимости от объема априорной информации о системе различают задачи
идентификации в широком и узком смысле. При решении задач идентификации
в широком смысле априорная информация о системе либо незначительна, либо
вообще отсутствует. Система представляется в виде «черного ящика», и для ее
идентификации необходимо решение ряда дополнительных задач, связанных с
выбором класса модели, оценкой стационарности, линейности и др.
При решении задачи идентификации в узком смысле предполагается, что
известны структура системы и класс моделей, к которому она относится. Априорная информация о системе достаточно обширна. Такая постановка задачи
11
идентификации наиболее соответствует реальным условиям проектирования и
поэтому широко используется в инженерной практике.
Задачу идентификации характеристик системы можно рассматривать как
дуальную (сопряженную) по отношению к задаче управления системой. Нельзя
управлять системой, если она не идентифицирована либо заранее, либо в процессе управления.
В настоящее время теория идентификации имеет дело с оцениванием параметров на основании измеренных текущих входных и выходных данных, при
этом качество идентификации повышается с увеличением числа измерений.
Ошибки идентификации приводят к ошибкам в управлении или в требуемом
выходном параметре системы; эти ошибки могут быть использованы для дальнейшего улучшения идентификации. Следовательно, теория идентификации
дуальна теории управления, в которой ошибки управления (в предположении,
что система идентифицирована) используются для улучшения последующего
процесса управления. Аналогично теории управления в теории идентификации
существует несколько подходов, применяемых ко многим ситуациям и
случаям.
При этом различают несколько характерных ситуаций, для которых необходимы различные методы идентификации:
1. Системы линейные и нелинейные, причем линейные системы легче
идентифицировать, так как они обладают свойствами суперпозиции.
2. Системы стационарные и нестационарные (к последним относятся системы с изменяющимися во времени параметрами).
3. Системы часто делятся на дискретные и непрерывные, хотя преобразовать непрерывную формулировку задачи в дискретную обычно довольно просто.
4. Системы с одним или несколькими входными воздействиями. Это деление целесообразно вводить потому, что методы идентификации значительно
упрощаются, если на систему подается лишь одно входное воздействие, по
сравнению со случаем, когда на систему действует одновременно несколько
возмущений или входных воздействий.
5. Системы (процессы) детерминированные или стохастические. При идентификации стохастических процессов ориентируются в основном на вероятностные представления о точном состоянии системы. На практике все результаты измерений засорены шумом и для точной идентификации необходимо
осуществить фильтрацию или сглаживание. При идентификации детерминированных систем обычно предполагается, что фильтрация уже была проведена.
12
6. В зависимости от наличия априорной информации о системе. При классификации систем по признакам линейности или стационарности также используют априорную информацию. Эти признаки (линейность и стационарность), если они заранее неизвестны, могут быть установлены в процессе анализа результатов измерений.
Отметим, что при любом методе идентификации очень важным является
знание размерности вектора состояния и природы внутренних связей или нелинейностей.
В основу перечисленных способов классификации положена по существу
степень сложности идентификации. Очевидно, идентифицировать детерминированный линейный стационарный процесс известного порядка с одним входом
существенно проще, чем аналогичный стохастический процесс неизвестного
порядка, который может быть нелинейным и нестационарным.
При этом полная наблюдаемость является необходимой предпосылкой для
полной идентифицируемости модели состояния системы. Поэтому необходимо
знать, уметь и владеть способами построения моделей в пространстве состояний из передаточных функций, и наоборот, с целью облегчения распространения результатов, полученных для одной из этих форм представления, на другую.
В представленном практикуме рассматривается метод идентификации с
использованием специального типа входных сигналов: ступенчатых – подаваемых на вход системы для решения задачи идентификации. Этот метод может
служить для неоперативной идентификации линейных стационарных процессов
с одним входом или процессов с несколькими входами при условии, что в данный момент времени используется лишь один из них. При этом не требуется,
чтобы порядок процессов был задан. Однако помехи должны быть отфильтрованы
1.2.2. Методы идентификации с помощью ступенчатых сигналов
1.2.2.1. На основе детерминированных сигналов
Первые реализованные в системах управления методы идентификации были основаны на использовании частотных, ступенчатых и импульсных воздействий. Большинство этих методов ограничивается применением для линейных
процессов. Они могут быть также использованы и в линеаризованных системах,
если уровни сигналов невелики. Эти методы требуют специальных входных
сигналов: ступенчатых сигналов для идентификации по переходной функции
(ступенчатой переходной функции), импульсных входных сигналов для иден13
тификации по импульсной переходной функции и синусоидальных входных
сигналов с различными частотами для определения частотной характеристики.
Поскольку вместо входных сигналов, соответствующих нормальному режиму
работы, используются указанные выше специальные сигналы, то очевидно, что
эти методы предполагают идентификацию вне процесса управления. Поэтому
указанные методы применимы только к линейным стационарным процессам,
где отношения вход/выход, полученные для одного типа входных сигналов, сохраняются для всех других типов входных сигналов.
Из трех типов входных сигналов, которые приводились выше, ступенчатый входной сигнал является наиболее простым для применения (он соответствует, например, открыванию или закрыванию входного клапана либо включению или выключению входного напряжения). Тогда как для подачи синусоидального входного сигнала требуется формирование синусоидальных воздействий и изменение частоты в соответствующем диапазоне, что требует специальной аппаратуры. При идентификации по импульсному воздействию часто
возникают технические трудности, связанные с формированием и использованием импульсных входных сигналов. Этот метод нельзя применить к линеаризованным системам, так как амплитуда импульса по определению не может
быть малой.
1.2.2.2. Идентификация с помощью переходной функции
Простейшим входным сигналом, используемым при идентификации, является ступенчатый сигнал. Такой сигнал на входе системы может быть сформирован, как указывалось выше, путем внезапного открывания (или закрывания)
входного клапана, включения (или выключения) управляющего напряжения
или тока и т. д., так как это почти всегда возможно без применения специальной аппаратуры. У идеального ступенчатого сигнала время нарастания сигнала
равно нулю, что физически невозможно, так как при этом скорость нарастания
должна быть бесконечно большой. Следовательно, любой реальный ступенчатый входной сигнал является лишь аппроксимацией идеального ступенчатого
сигнала. Однако если время нарастания сигнала гораздо меньше периода высшей гармоники, то ошибка идентификации становится незначительной. В процессах с помехами или в случаях, когда измерения содержат шум (что обычно
имеет место на практике в той или иной степени), необходима соответствующая фильтрация шума.
Как уже отмечалось раньше, идентификация с помощью переходной
функции проводится автономно, вне процесса управления, и поэтому применима только к стационарным процессам. Однако поскольку ступенчатые возму14
щения воздействуют на многие (если не на большинство) системы во время
включения или в процессе нормальной работы, то переходные функции можно
записать, не нарушая нормального режима работы системы. Это одно из дополнительных преимуществ рассматриваемого метода. Кроме того, предполагается, что в диапазоне амплитуд ступенчатого сигнала система линейна.
1.2.3. Анализ переходной функции
Зависимость между входным сигналом 𝑥(𝜏), характеристиками процесса
𝑔(𝑡 − 𝜏) и выходным сигналом 𝑦(𝑡) во времени представляет собой свертку
[6, 8, 9]
𝑡
𝑦(𝑡) = ∫ 𝑥(𝜏)𝑔(𝑡 − 𝜏)𝑑𝜏.
(1.4)
0
Однако в форме преобразования Лапласа эта зависимость упрощается до
произведения
(1.5)
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)𝑋(𝑠).
где s – переменная преобразования Лапласа, а 𝑋(𝑠) и 𝑌(𝑠) –входной и выходной сигналы системы соответственно.
Поэтому преобразование Лапласа можно использовать для анализа переходной функции системы.
Рассмотрим систему с передаточной функцией G(s):
𝑌(𝑠)
(1.6)
𝐺(𝑠) =
.
𝑋(𝑠)
Преобразование Лапласа для единичного ступенчатого сигнала при 𝑡 = 0 есть
1
(1.7)
𝐿[𝟏(𝑡)|𝑡=0 ] = .
𝑠
Тогда переходная функция Y(s) линейной системы равна
𝐺(𝑠)
𝑌(𝑠) =
,
𝑠
(1.8)
что, согласно теории преобразования Лапласа, представляет собой преобразование интеграла ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡, где 𝑔(𝑡) обозначает обратное преобразование Лапласа передаточной функции 𝐺(𝑠):
15
𝑔(𝑡) = 𝐿−1 [𝐺(𝑠)],
𝑠𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠),
𝑑𝑦(𝑡)
𝐿−1 [𝑠𝑌(𝑠)] =
= 𝑔(𝑡).
𝑑𝑡
(1.9)
(1.10)
(1.11)
1.2.4. Графическая идентификация с помощью переходной функции
Во многих случаях для определения передаточной функции системы можно использовать запись ее переходной функции. Такой способ применим к
большинству типов линейных систем: к системам первого и второго порядков и
к апериодическим системам высшего порядка.
1.2.4.1. Системы первого порядка
Наиболее корректно графический метод идентификации с использованием
переходных функций применяется к процессам первого порядка (рис. 1.2).
Рисунок 1.2. Переходная функция системы первого порядка
Переходная функция системы первого порядка имеет вид
𝑦(𝑡) = 𝐾(1 − 𝑒 −𝑡/𝑇 ),
16
(1.12)
или в форме преобразования Лапласа:
𝐺(𝑠)
𝐾
(1.13)
=
,
𝑠
𝑠(𝑇𝑠 + 1)
где 𝐺(𝑠) = 𝐾/(𝑇𝑠 + 1) – передаточная функция системы первого порядка,
𝑋(𝑠) = 1/s) – изображение ступенчатого входного сигнала.
При 𝑡 = 𝑇 функция 𝑦(𝑡) равна
𝑌(𝑠) = 𝐿[𝑦(𝑡)] = 𝐺(𝑠)𝑋(𝑠) =
𝑦(𝑡) = 𝐾(1 − 𝑒 −1 ) = 𝐾(1 − 0,37) = 0,63𝐾.
(1.14)
Постоянная времени Т системы первого порядка равна отрезку времени, за
которое переходная функция достигает 63% своей установившейся величины.
Коэффициент K представляет собой соотношение между установившейся величиной выходного сигнала системы и амплитудой входа.
Постоянную времени Т можно определить по-другому, если провести касательную к переходной функции на начальном участке (при 𝑡 = 0) до точки
пересечений с уровнем установившейся величины сигнала, как показано
на рис. 1.2. Точка пересечения соответствует времени Т с момента подачи
входного воздействия, так как наклон кривой 𝑦(𝑡) при 𝑡 = 0 равен
𝑑𝑦(𝑡) 𝐾 − 𝑡
= 𝑒 𝑇⌋
= 𝐾/𝑇.
𝑑𝑡
𝑇
𝑡=0
(1.15)
Соответственно уравнение касательной в рассматриваемом случае имеет
вид:
𝑦(𝑡) =
𝐾
𝑡,
𝑇
(1.16)
и 𝑦(𝑇) = 𝐾 при 𝑡 = 𝑇.
1.2.4.2. Чисто временное запаздывание
Если переходная функция запаздывает на время τ, т. е. равна 0 в течение
промежутка времени [0, 𝜏] после приложения ступенчатого воздействия, как
показано на рис. 1.3, то система имеет чисто временное запаздывание, для которого преобразование Лапласа есть 𝑒 −𝑡𝑠 . Следовательно, если переходная
функция системы равна
0,
∀𝑡 ≤ 0,
(1.17)
𝑦(𝑡) = {
−(𝑡−𝑡)/𝑇
𝐾(1 − 𝑒
∀𝑡 > 0,
),
17
то передаточная функция системы получается в виде
𝐾
𝐺(𝑠) =
𝑒 −𝑡𝑠 .
𝑇𝑠 + 1
(1.18)
Рисунок 1.3. Переходная функция системы первого порядка
с чисто временным запаздыванием
1.2.4.3. Апериодические системы второго порядка
Графический метод идентификации системы по переходной функции применим и к определению параметров передаточной функции второго порядка.
Рассмотрим случай, когда апериодический объект второго порядка или
апериодическая система второго порядка описывается передаточной функцией
вида
𝑘
𝐺(𝑠) = 2 2
𝑒 −𝜏𝑠 ,
(1.19)
𝑇1 𝑠 + 𝑇2 𝑠 + 1
где 𝑇12 , 𝑇2 – постоянные времени объекта или системы, 𝜏 – время запаздывания.
Тогда приближенную идентификацию можно провести, используя следующий подход.
По графику кривой разгона (рис. 1.4) определяют, если оно есть, по отрезку 0а значения времени действительного запаздывания 𝜏𝑑 (𝜏𝑑 = 𝑇0𝑎 ). Для
нахождения постоянных 𝑇12 и 𝑇2 к точке перегиба Е кривой разгона проводят
касательную до пересечения с осью абсцисс и горизонталью, ордината которой
равна 𝑘𝑥𝐵 . На этих горизонтальных прямых откладывают подкасательные 𝑇𝑏𝑑 и
𝑇𝑐𝑑 . Затем определяют их величины. Отрезок cd численно равен постоянной 𝑇2
(𝑇2 = 𝑇𝑐𝑑 ). Постоянную 𝑇12 находят по отношению 𝑇𝑏𝑑 /𝑇2 , используя зависимость, приведенную на рис. 1.5. Коэффициента усиления объекта (системы)
определяется как 𝑘 = 𝑘𝑥𝐵 /𝑥𝐵 , где 𝑥𝐵 – входное воздействие на объект (систему).
18
Рисунок 1.4. Нахождение постоянных
времени объекта или системы
по S-образной кривой разгона
Рисунок 1.5. Зависимость
постоянной Т12/Т2 от Тbd\Т2.
Отметим, что S-образные кривые разгона описываются уравнением устойчивого объекта 2-го порядка (или системы) при соблюдении условия
𝑇𝑏𝑑 /𝑇2 ≤ 1,4.
Возможно применение и другого метода.
Предположим, что задана система с передаточной функцией G(s):
1,25
𝐺(𝑠) =
,
(𝑠 + 2,5)(𝑠 + 0,5)
(1.20)
переходная функция которой имеет вид
(1.21)
𝑦(𝑡) = 1 − 1,25𝑒 −0,5𝑡 + 0,25𝑒 −2,5𝑡 ,
как показано на рис. 1.6, а.
График изменения разности 𝑦(∞) − 𝑦(𝑡) для рассматриваемой системы
изображен на рис. 1.6, б. Заметим, что
𝑦(∞) − 𝑦(𝑡) = 1 − 𝑥(𝑡) = 1,25𝑒 −0,5𝑡 − 0,25𝑒 −2,5𝑡 .
(1.22)
Поэтому при больших значениях t, когда 𝑒 −2,5𝑡 → 0, член [𝑦(∞) − 𝑦(𝑡)]
может быть заменен на 1,25𝑒 −0,5𝑡 , как показано на рис. 1.6, а, а наклон графика
lg[𝑦(∞) − 𝑦(𝑡)] (рис. 1.7) приблизительно равен
𝑑[lg(1,25𝑒 −0,5𝑡 )]
𝑑[lg 1,25 − 0,5lg 𝑒]
=
= 0,5lg 𝑒 = −0,21.
𝑑𝑡
𝑑𝑡
19
(1.23)
Рисунок 1.6. Переходные функции апериодических систем второго порядка
Рисунок 1.7. Логарифмическая переходная функция апериодической
системы второго порядка.
Для вычисления наклона единица ординаты равна lg 10, т. е. 1 дек.
Поэтому 𝑦(𝑡) при больших значениях t можно аппроксимировать выражением 𝛼(𝑡) = (1 − 1,25𝑒 −0,5𝑡 ), тогда как при малых значениях t требуется использовать и член 𝛽(𝑡), который при 𝑡 = 0 должен быть равен 𝛽(0) = 0,25.
20
Этот член, таким образом, записывается в виде 𝛽(𝑡) = 0,25𝑒 −𝑟𝑡 . Возвратимся к
рис. 1.6, а и построим зависимость 𝛼(𝑡) = (1 − 1,25𝑒 −0,5𝑡 ), отметив, что 𝛼(0) =
−1,25. От точки 𝛼(0) продолжим линии с начальным наклоном
𝑑𝛼(𝑡)/𝑑𝑡 = 0,625 и плавно соединим ее с графиком 𝑦(𝑡). Разность между 𝑦(𝑡)
и 𝛼(𝑡) равна (приблизительно) 𝛽(𝑡); она изображена на рис. 1.6, а. На рис. 1.7
приведен график lg𝛽(𝑡). Наклон графика lg𝛽(𝑡) на рис. 1.7 определяется выражением
𝑑[lg β(𝑡)]
𝑑[lg 1,25 𝑒 −𝑟𝑡 ] 𝑑[lg 0,25 − 𝑟𝑡 lg
=
=
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑒]
= −𝑟 lg 𝑒 = −0,42𝑟,
(1.24)
из которого можно определить 𝑟 ≅ 2,5. Тогда 𝑦(𝑡) аппроксимируются выражением
(1.25)
1 − 1,25𝑒 −0,5𝑡 − 0,25𝑒 −𝑟𝑡 ,
и функция 𝐺(𝑠) принимает вид
𝐺(𝑠) =
𝐾
𝐾
=
.
(𝑠 + 𝑎)(𝑠 + 𝑟) (𝑠 + 0,5)(𝑠 + 2,5)
(1.26)
Величина K определяется таким образом, чтобы она соответствовала установившейся величине 𝑦(𝑡), где
(1.27=2.27)
𝑌(𝑠) = 𝐺(𝑠)/𝑠,
есть переходная функция. По теореме о конечном значении имеем
𝐺(𝑠) 𝐾
lim 𝑦(𝑡) = lim 𝑠𝑌(𝑠) = lim 𝑠
= .
𝑡→∞
𝑠→0
𝑠→0
𝑠
𝑎𝑟
(1.28)
Поскольку, как было отмечено, 𝑦(0) = 1, получаем 𝐾 = 0,5𝑟, а величина r
уже была определена выше.
1.2.4.4. Колебательные системы второго порядка
Передаточные функции периодических (колебательных) систем могут
быть представлены в виде
𝐺(𝑠) =
𝐾
𝐾
=
,
(𝑠/𝜔0 )2 + 2𝜉𝑠/𝜔0 + 1 (𝑇𝑠)2 + 2𝜉𝑇𝑠 + 1
(1.29)
где 0 < 𝜉 < 1, 𝑇 = 1/𝜔0 , как это хорошо известно из классической теории
21
управления [6, 8, 9]. Следовательно, для идентификации колебательных систем
второго порядка необходимо определить только величины 𝜔0 , ξ и K, где K – отношение выходного и входного сигналов в установившемся состоянии.
Коэффициент демпфирования ξ непосредственно связан с перерегулированием, которое всегда имеется в колебательных системах второго порядка
(рис. 1.8). Соотношение между коэффициентом демпфирования ξ и перерегулированием в процентах от установившейся величины переходной функции показано на рис. 1.9. Если коэффициент демпфирования ξ определяется графически в соответствии с рис. 1.9, то собственная частота системы 𝜔0 может быть
определена следующим образом:
𝜔0 = 𝜔/√1 − 𝜉 2 ,
(1.30)
где
𝜔0 =
2𝜋
,
𝜃
(1.31)
а θ – период демпфированных колебаний переходной функции (рис. 1.8).
Рисунок 1.8. Переходные функции колебательных систем второго порядка
22
Рис. 1.9. Зависимость амплитуды от коэффициента демпфирования
1.2.4.5. Апериодические системы высокого порядка
Рассмотрим простейший графический метод идентификации апериодических систем высокого порядка. В этом методе используется понятие обобщенной переходной функции апериодической системы высокого порядка
(рис. 1.10).
Рисунок 1.10. Переходная функция апериодической системы
высокого порядка
23
Согласно этому методу, передаточная функция с n различными постоянными времени может быть аппроксимирована передаточной функцией, имеющей n указанных постоянных времени:
𝐺(𝑠) =
𝐾
𝐾
≅
,
(𝑇1 𝑠 + 1)(𝑇2 𝑠 + 1) … (𝑇𝑛 𝑠 + 1) (𝜃𝑠 + 1)𝑛
(1.32)
где K представляет собой коэффициент усиления системы в установившемся
состоянии, n – порядок системы. Следовательно, задача идентификации сводится к определению θ и n. Для этой цели составлены таблицы значений n,
𝑇𝑎 /𝑇𝑏 и 𝑇𝑒 /𝑇𝑏 , табл. 1.1 и табл. 1.2. В точке перегиба на рис. 1.10, знать которую
необходимо для определения 𝑇𝑎 , … , 𝑇𝑒 , производная 𝑑 2 𝑦⁄𝑑𝑡 2 равна нулю. После определения степени п из 𝑇𝑎 /𝑇𝑏 (и проверки по 𝑇𝑒 /𝑇𝑏 ) можно найти θ из
уравнения (1.32) по величине 𝑇𝑎 /𝑇0 (и проверить по 𝑇𝑏 /𝜃, 𝑇𝑑 /𝜃, 𝑇𝑒 /𝜃) в соответствии с табл. 1.1 и табл. 1.2.
Отметим, что в настоящее время современные микропроцессорные системы и системы программирования (системы автоматизированного проектирования – САПР) позволяют автоматизировать структурную и параметрическую
идентификацию исследуемых систем. Это значительно сокращает как трудовые, так и временные затраты на идентификацию. В качестве примера можно
привести разработанную в системе Scilab параметрическую идентификацию
переходной функции колебательных систем второго порядка, рис. 1.11.
Таблица 1.1
n
𝑇𝑎 /𝑇𝑏
𝑇𝑒 /𝑇𝑏
η
1
0
1
0
2
0,104
0,736
0,264
3
0,218
0,677
0.323
4
0,319
0,647
0,353
5
0,410
0,629
0,371
6
0,493
0,616
0,383
7
0.570
0,606
0,394
8
0,642
0,599
0,401
9
0,709
0,593
0,407
10
0,773
0,587
0,413
Таблица 1.2
n
𝑇𝑎 /𝜃
𝑇𝑏 /𝜃
𝑇𝑑 /𝜃
𝑇𝑒 /𝜃
1
0
1
0
1
2
0,282
2,718
1
2
3
0,805
3,695
2
2,5
4
1,425
4,463
3
2,888
5
2,1
5,119
4
3,219
24
6
2,811
5,699
5
3,51
7
3,549
6/226
6
3,775
8
4,307
6,711
7
4,018
9
5,081
7,164
8
4,245
10
5,869
5,59
9
4,458
Рисунок 1.11. Система параметрической идентификации
25
2. ИДЕНТИФИКАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ
Идентификация многомерной системы является более сложной и трудоемкой задачей по сравнению с идентификацией одномерной системы. Далее будем рассматривать идентификацию многомерной системы на основе приведенного выше метода идентификации одномерной системы с помощью ступенчатого сигнала. При этом отметим, что рассматриваем линейные математические
модели. В случае, когда математическая модель является нелинейной, то необходимо провести ее линеаризацию.
2.1. Математическая модель многомерной системы
Математическая модель линейной непрерывной многомерной системы с
запаздыванием в физических переменных вход-выход при детерминированных
воздействиях может быть представлена в виде [10]:
𝑙
𝑟
∑ 𝐿𝑖 (𝑝)𝒚(𝑡 − 𝜏𝑖 ) = ∑ 𝐺 𝑖 (𝑝)𝒖(𝑡 − 𝜃𝑖 ) + 𝑅(𝑝)𝒇(𝑡),
𝑖=0
(2.1)
𝑖=0
где начальные условия задаются функциями
𝒚(𝑡) = 𝝋𝑦 (𝑡),
𝒖(𝑡) = 𝝋𝑢 (𝑡),
𝑡0 − 𝜏𝑖 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 ,
𝑡0 − 𝜃𝑟 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0 ,
причем 𝝋𝑦 (𝑡), 𝒖(𝑡), 𝝋𝑢 (𝑡) и 𝒇(𝑡) таковы, что существует непрерывное решение
уравнения (3.1); 𝒚(𝑡) = [𝑦1 (𝑡) 𝑦2 (𝑡) … 𝑦𝑛 (𝑡)]𝑇  вектор размерности 𝑛 × 1 выходных координат системы; 𝒖(𝑡) = [𝑢1 (𝑡) 𝑢2 (𝑡) … 𝑢𝑚 (𝑡)]𝑇  вектор размер𝑇
ности 𝑚 × 1 управляющих воздействий; 𝒇(𝑡) = [𝑓1 (𝑡) 𝑓2 (𝑡) … 𝑓𝑚1 (𝑡)]  вектор размерности 𝑚1 × 1 возмущающих воздействий;
𝐿𝑖 (𝑝) = 𝐿𝑖0 𝑝𝑞 +. . . +𝐿𝑖𝑞 , 𝐺 𝑖 (𝑝) = 𝐺0𝑖 𝑝𝑞 +. . . +𝐺𝑞𝑖 ,
}
𝑅(𝑝) = 𝑅1 𝑝𝑞−1 +. . . +𝑅𝑞 , 𝑞 = lim 𝑚𝑖 ,
𝑖
0 = 𝜏0 < 𝜏1 <. . . < 𝜏𝑙 ,
0 = 𝜃0 < 𝜃1 <. . . < 𝜃𝑟 ;
26
(2.2)
𝐿𝑖 (𝑝), 𝐺 𝑖 (𝑝), 𝑅(𝑝)  полиномные матрицы размерностей n  n , n  m , n  m1 со𝑖
𝑖
ответственно, элементы матриц 𝐿𝑖 (𝑝) = ‖𝐿𝑗𝑘
(𝑝)‖, 𝐺 𝑖 (𝑝) = ‖𝐺𝑗𝑘
(𝑝)‖, 𝑅(𝑝) =
‖𝑅𝑗𝑘 (𝑝)‖, являются многочленами с постоянными коэффициентами относи(𝑖𝑗)
тельно оператора дифференцирования 𝑝 = 𝑑/𝑑𝑡 (например: 𝐿𝑖𝑗 (𝑝) = 𝑙0 𝑝𝑛 +
(𝑖𝑗)
(𝑖𝑗)
(𝑖𝑗)
𝑙1 𝑝𝑛−1 +. . . +𝑙𝑛−1 𝑝 + 𝑙𝑛 , 𝐿𝑖𝑗 (𝑝)𝑦𝑖 (𝑡)  линейная комбинация относительно
координаты 𝑦𝑖 (𝑡) и ее производных). 𝑚𝑖 – порядок системы (2.1) относительно
𝑦𝑖 ; 𝐿𝑗𝑖 , 𝐺𝑗𝑖 , 𝑅𝑗 – постоянные матрицы, формируемые из коэффициентов многочленов исходных матриц 𝐿𝑖 (𝑝), 𝐺 𝑖 (𝑝), 𝑅(𝑝). При этом предполагается существование соответствующих производных 𝑦(𝑡), 𝑢(𝑡), 𝑓(𝑡) и 𝑘𝐿 > 𝑘𝐺 , 𝑘𝐿 > 𝑘𝑅 ,
где через 𝑘𝐿 , 𝑘𝐺 , 𝑘𝑅 обозначены порядки старших полиномов от р в соответствующих матрицах 𝐿(𝑝), 𝐺(𝑝) и 𝑅(𝑝); верхний индекс T означает операцию
транспонирования.
Общий порядок системы 𝑚 относительно 𝑦𝑗 определяется соотношением
𝑚 = 𝑚1 +. . . +𝑚𝑛
Пример 2.1.
Рассмотрим запись матричного уравнения (2.1) в развернутой форме, когда
𝑖 = 1, 𝑟 = 0; 𝒚(𝑡) = [𝑦1 (𝑡) 𝑦2 (𝑡)]𝑇  вектор размерности 2 × 1; 𝒖(𝑡) =
𝑖
[𝑢1 (𝑡) 𝑢2 (𝑡)]𝑇  [2 × 1]; 𝒇(𝑡) = [𝑓1 (𝑡)]  [1 × 1]; 𝐿𝑖 (𝑝) = ‖𝐿𝑗𝑘
(𝑝)‖, 𝐺 𝑖 (𝑝) =
𝑖
(𝑝)‖, 𝑅(𝑝) = ‖𝑅𝑗𝑘 (𝑝)‖  полиномные матрицы размерностей 2 × 2, 2 × 2,
‖𝐺𝑗𝑘
2 × 1 соответственно.
Отсюда
𝐿0 (𝑝)𝒚(𝑡 − 𝜏0 ) + 𝐿1 (𝑝)𝒚(𝑡 − 𝜏1 ) = 𝐺 0 (𝑝)𝒖(𝑡 − 𝜃0 ) + 𝑅(𝑝)𝒇(𝑡),
(П2.1.1)
и далее подставляя, получаем
𝐿011 (𝑝) 𝐿012 (𝑝) 𝑦1 (𝑡 − 𝜏0 )
𝐿111 (𝑝) 𝐿112 (𝑝) 𝑦1 (𝑡 − 𝜏1 )
[ 0
][
]+[ 1
][
]=
𝐿21 (𝑝) 𝐿122 (𝑝) 𝑦2 (𝑡 − 𝜏1 )
𝐿21 (𝑝) 𝐿022 (𝑝) 𝑦2 (𝑡 − 𝜏0 )
(П2.1.2)
0 (𝑝)
𝐺11
𝐿012 (𝑝) 𝑢1 (𝑡 − 𝜃0 )
𝑅 (𝑝)
=[ 0
][
] + [ 1 ] 𝑓(𝑡).
0
𝑅2 (𝑝)
𝐺21 (𝑝) 𝐿22 (𝑝) 𝑢2 (𝑡 − 𝜃0 )
В случае, когда запаздываний в системе нет или ими можно пренебречь в
27
силу малости относительно постоянных времён системы, то уравнение (2.1) запишется в виде [11]
𝐿(𝑝)𝒚(𝑡) = 𝐺(𝑝)𝒖(𝑡) + 𝑅(𝑝)𝒇(𝑡).
(2.3)
и вводя обозначение 𝑅(𝑝)𝒇(𝑡) = 𝑁(𝑝)𝒓(𝑡), получим
𝐿(𝑝)𝒚(𝑡) = 𝐺(𝑝)𝒖(𝑡) + 𝑁(𝑝)𝒓(𝑡),
(2.4а)
или в развернутой форме
𝐿11 (𝑝) 𝐿12 (𝑝) … 𝐿1𝑛 (𝑝) 𝑦1 (𝑡)
𝐺11 (𝑝) 𝐺12 (𝑝) … 𝐺1𝑚 (𝑝) 𝑢1 (𝑡)
(𝑝) 𝐿22 (𝑝) … 𝐿2𝑛 (𝑝) ] [𝑦2 (𝑡)] = [ 𝐺21 (𝑝) 𝐺22 (𝑝) … 𝐺2𝑚 (𝑝) ] [ 𝑢2 (𝑡) ] +
[ 𝐿21
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
𝐿𝑛1 (𝑝) 𝐿𝑛2 (𝑝) … 𝐿𝑛𝑛 (𝑝) 𝑦𝑛 (𝑡)
𝐺𝑛1 (𝑝) 𝐺𝑛2 (𝑝) … 𝐺𝑛𝑚 (𝑝) 𝑢𝑚 (𝑡)
𝑁11 (𝑝) 𝑁12 (𝑝) … 𝑁1𝑚1 (𝑝) 𝑟1 (𝑡)
𝑁2𝑚1 (𝑝) ] [ 𝑟2 (𝑡) ].
+ [ 𝑁21…(𝑝) 𝑁22…(𝑝) …
…
…
…
𝑁𝑛1 (𝑝) 𝑁𝑛2 (𝑝) … 𝑁𝑛𝑚1 (𝑝) 𝑟𝑚1 (𝑡)
(2.4б)
По виду уравнения (2.4) можно охарактеризовать структуру исследуемой
системы, т. е. установить взаимосвязь ее выходных параметров по матрице
𝐿(𝑝), а также характер и степень воздействия управлений по матрице 𝐺(𝑝) и
возмущений по матрице 𝑁(𝑝) на выходные параметры системы.
Операторы 𝐿𝑖𝑖 (𝑝) характеризуют поведение выходной координаты 𝑦𝑖 (𝑡)
при отсутствии воздействий на нее других координат 𝑦𝑗 (𝑡), управляющих 𝑢𝑞 (𝑡)
и возмущающих 𝑟𝑘 (𝑡) воздействий; операторы 𝐿𝑖𝑗 (𝑝) при 𝑖 ≠ 𝑗  воздействие
координаты 𝑦𝑗 (𝑡) на 𝑦𝑖 (𝑡). Операторы 𝐺𝑖𝑗 (𝑝) характеризуют действие j-го
управления 𝑢𝑗 (𝑡) на i-ю выходную величину системы 𝑦𝑖 (𝑡); операторы 𝑁𝑖𝑗 (𝑝) 
воздействие j-го возмущения 𝑟𝑗 (𝑡) на i-ю выходную величину 𝑦𝑖 (𝑡).
Пример 2.2.
Продолжим рассмотрение примера 2.1 в случае, когда запаздывание в системе отсутствует, т. е. 𝜏0 = 𝜏1 = 𝜃0 = 0. При этом полагаем, что система по
каналам описывается дифференциальными уравнениями (многочленами от p)
не выше второго порядка. Соответственно получаем
28
𝐿011 (𝑝) 𝐿012 (𝑝) 𝑦1 (𝑡)
𝐿111 (𝑝) 𝐿112 (𝑝) 𝑦1 (𝑡)
[ 0
][
]+[ 1
][
]=
𝐿21 (𝑝) 𝐿122 (𝑝) 𝑦2 (𝑡)
𝐿21 (𝑝) 𝐿022 (𝑝) 𝑦2 (𝑡)
(П2.2.1)
0 (𝑝)
𝐺11
𝐿012 (𝑝) 𝑢1 (𝑡)
𝑅1 (𝑝)
=[ 0
+
]
[
]
[
] 𝑓(𝑡).
𝑅2 (𝑝)
𝐺21 (𝑝) 𝐿022 (𝑝) 𝑢2 (𝑡)
𝐿0 (𝑝) 𝐿012 (𝑝)
𝐿111 (𝑝) 𝐿112 (𝑝) 𝑦1 (𝑡)
+
[[ 011
]
[
]] [
]=
𝐿121 (𝑝) 𝐿122 (𝑝) 𝑦2 (𝑡)
𝐿21 (𝑝) 𝐿022 (𝑝)
(П2.2.2)
0 (𝑝)
𝐺11
𝐿012 (𝑝) 𝑢1 (𝑡)
𝑅 (𝑝)
=[ 0
][
] + [ 1 ] 𝑓(𝑡).
0
𝑅2 (𝑝)
𝐺21 (𝑝) 𝐿22 (𝑝) 𝑢2 (𝑡)
𝐿011 (𝑝) + 𝐿111 (𝑝) 𝐿012 (𝑝) + 𝐿112 (𝑝) 𝑦1 (𝑡)
[[ 0
]] [
]=
𝐿21 (𝑝) + 𝐿121 (𝑝) 𝐿022 (𝑝) + 𝐿122 (𝑝) 𝑦2 (𝑡)
0 (𝑝)
𝐺11
𝐿012 (𝑝) 𝑢1 (𝑡)
𝑅1 (𝑝)
=[ 0
+
]
[
]
[
] 𝑓(𝑡),
𝑅2 (𝑝)
𝐺21 (𝑝) 𝐿022 (𝑝) 𝑢2 (𝑡)
(П2.2.3)
где
0
0
0
0
0
𝐿011 (𝑝) = 𝑙11,1
𝑝2 + 𝑙11,2
𝑝 + 𝑙11,3
; 𝐿012 (𝑝) = 𝑙12,2
𝑝 + 𝑙12,3
;
0
0
0
0
0
𝐿021 (𝑝) = 𝑙21,2
𝑝 + 𝑙21,3
; 𝐿022 (𝑝) = 𝑙22,1
𝑝2 + 𝑙22,2
𝑝 + 𝑙22,3
;
1
1
1
1
1
𝐿111 (𝑝) = 𝑙11,1
𝑝2 + 𝑙11,2
𝑝 + 𝑙11,3
; 𝐿112 (𝑝) = 𝑙12,2
𝑝 + 𝑙12,3
.
1
1
1
1
1
𝐿121 (𝑝) == 𝑙21,2
𝑝 + 𝑙21,3
; 𝐿122 (𝑝) = 𝑙22,1
𝑝2 + 𝑙22,2
𝑝 + 𝑙22,3
;
Выполняя
дальнейшие
преобразования
𝑅(𝑝)𝒇(𝑡) = 𝑁(𝑝)𝒓(𝑡), получаем
и
вводя
обозначение
𝐺 0 (𝑝) 𝐿012 (𝑝) 𝑢1 (𝑡)
𝐿 (𝑝) 𝐿12 (𝑝) 𝑦1 (𝑡)
𝑁 (𝑝)
[[ 11
]] [
] = [ 11
][
] + [ 1 ] 𝑟(𝑡),
0
0
𝐿21 (𝑝) 𝐿22 (𝑝) 𝑦2 (𝑡)
𝑁2 (𝑝)
𝐺21 (𝑝) 𝐿22 (𝑝) 𝑢2 (𝑡)
(П2.2.4)
где
0
0
0
1
1
1
𝐿11 (𝑝) = 𝐿011 (𝑝) + 𝐿111 (𝑝) = (𝑙11,1
+ 𝑙11,1
+ 𝑙11,2
+ 𝑙11,3
);
)𝑝2 + (𝑙11,2
)𝑝 + (𝑙11,3
0
0
1
1
𝐿12 (𝑝) = 𝐿012 (𝑝) + 𝐿112 (𝑝) = (𝑙12,2
+ 𝑙12,2
)𝑝 + (𝑙12,3
+ 𝑙12,3
);
0
0
1
1
𝐿21 (𝑝) = 𝐿021 (𝑝) + 𝐿121 (𝑝) = (𝑙21,2
+ 𝑙21,2
)𝑝 + (𝑙21,3
+ 𝑙21,3
);
0
0
0
1
1
1
𝐿22 (𝑝) = 𝐿022 (𝑝) + 𝐿122 (𝑝) = (𝑙22,1
+ 𝑙22,1
+ 𝑙22,2
+ 𝑙22,3
),
)𝑝2 + (𝑙22,2
)𝑝 + (𝑙22,3
29
что полностью соответствует уравнению (2.4).
Структурную схему математической модели системы (2.4) наглядно можно
представить в виде ненормализованного сигнального графа (рис. 2.1), вершинами которого являются координаты 𝑦𝑖 (𝑡) (𝑖 = 1, … , 𝑛) и 𝑞𝑖 (𝒖, 𝒓) =
𝑗=𝑚
𝑗=𝑚
−[∑𝑗=1 𝐺𝑖𝑗 (𝑝)𝑢𝑗 (𝑡) + ∑𝑗=1 1 𝑁𝑖𝑗 (𝑝)𝑟𝑗 (𝑡)], а дугами  операторы влияния j-й
вершины на i-ю в соответствии с уравнением ненормализованного сигнального
графа.
Ненормализованный сигнальный граф строится в соответствии с уравнением
(2.5)
𝒚(𝑡) = [𝐿(𝑝) + 𝐸𝑛 ]𝒚(𝑡) − [𝐺(𝑝)𝒖(𝑡) + 𝑁(𝑝)𝒓(𝑡)].
q1(u,r)
L11+1
y1
L12
L21
qn(u,r)
y2
Lnn+1
L22+1
q2(u,r)
yn
Lni
qi(u,r)
Lin
yi
Lii+1
Рисунок 2.1. Сигнальный граф математической модели многомерной системы
Решая матричное уравнение (2.4) относительно вектора 𝒚(𝑡) выходных координат системы, получаем
𝒚(𝑡) = 𝑊𝐺 (𝑝)𝒖(𝑡) + 𝑊𝑁 (𝑝)𝒓(𝑡),
или в развернутой форме
30
(2.6а)
𝑊𝐺,11 (𝑝) 𝑊𝐺,12 (𝑝) … 𝑊𝐺,1𝑚 (𝑝) 𝑢1 (𝑡)
𝑦1 (𝑡)
(𝑡)] = [ 𝑊𝐺,21 (𝑝) 𝑊𝐺,22 (𝑝) … 𝑊𝐺,2𝑚 (𝑝) ] [ 𝑢2 (𝑡) ] +
[𝑦2…
…
…
…
…
…
𝑦𝑛 (𝑡)
𝑊𝐺,𝑛1 (𝑝) 𝑊𝐺,𝑛2 (𝑝) … 𝑊𝐺,𝑛𝑚 (𝑝) 𝑢𝑚 (𝑡)
𝑊𝑁,11 (𝑝) 𝑊𝑁,12 (𝑝) … 𝑊𝑁,1𝑚1 (𝑝) 𝑟1 (𝑡)
(𝑝) 𝑊𝑁,22 (𝑝) … 𝑊𝑁,2𝑚1 (𝑝) ] [ 𝑟2 (𝑡) ],
+ [ 𝑊𝑁,21…
…
…
…
…
𝑊𝑁,𝑛1 (𝑝) 𝑊𝑁,𝑛2 (𝑝) … 𝑊𝑁,𝑛𝑚1 (𝑝) 𝑟𝑚1 (𝑡)
(2.6б)
где
𝐿∨ (𝑝)𝐺(𝑝)
𝐿∨ (𝑝)𝑁(𝑝)
−1
𝑊𝑢 (𝑝) = 𝐿
=
, 𝑊𝑟 (𝑝) = 𝐿 (𝑝)𝑁(𝑝) =
, (2.7)
∆𝐿 (𝑝)
∆𝐿 (𝑝)
матричные передаточные функции по каналам управления 𝑊𝑢 (𝑝) и возмущения
−1 (𝑝)𝐺(𝑝)
𝑇
𝑊𝑟 (𝑝); 𝐿∨ (𝑝) = [𝐿𝑖𝑗 (𝑝)] – присоединенная матрица, которая определяется как
транспонированная к матрице алгебраических дополнений для 𝐿(𝑝); ∆𝐿 (𝑝) =
det 𝐿 (𝑝) – детерминант матрицы 𝐿(𝑝).
Структурная схема многомерной системы в соответствии с уравнением
(3.6) представлена на рис. 2.2.
Рисунок 2.2. Структурная схема системы
Сравнение форм записей (2.4) и (2.6.) многомерной системы показывает,
что уравнение (3.6) не в полной мере отражает внутреннюю структуру системы
по выходным переменным, хотя и учитывает их, тогда как уравнения (2.4) полностью отражают внутренние взаимосвязи выходных переменных посредством
матрицы 𝐿(𝑝). Частичное восстановление внутренних взаимосвязей выходных
переменных в многомерной системе возможно по анализу знаменателей элементов 𝑊𝑖𝑗 (𝑝) матричной передаточной функции: наличие общих сомножителей указывает на взаимосвязь выходных переменных, а наличие сомножителей,
не являющихся общими делителями знаменателей всех элементов 𝑊𝑖𝑗 (𝑝)  на
отсутствие таких взаимосвязей [9, 10].
31
Применяя преобразование Лапласа к матрично-дифференциальному уравнению (2.6) при нулевых начальных условиях и учитывая запаздывания по соответствующим каналам, получим
𝒀(𝑠) = 𝑊𝐺𝜏 (𝑠)𝑼(𝑠) + 𝑊𝑁𝜏 (𝑠)𝑹(𝑠),
или в развернутой форме
(2.8а)
𝑊𝐺𝜏 ,11 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,12 (𝑠) … 𝑊𝐺𝜏 ,1𝑚 (𝑠) 𝑈1 (𝑠)
𝑌1 (𝑠)
(𝑠)] = [ 𝑊𝐺𝜏 ,21 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,22 (𝑠) … 𝑊𝐺𝜏 ,2𝑚 (𝑠) ] [ 𝑈2 (𝑠) ] +
[𝑌2…
…
…
…
…
…
𝑌𝑛 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,𝑛1 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,𝑛2 (𝑠) … 𝑊𝐺𝜏 ,𝑛𝑚 (𝑠) 𝑈𝑚 (𝑠)
𝑊𝑁𝜏 ,11 (𝑠) 𝑊𝑁𝜏,12 (𝑠) … 𝑊𝑁𝜏 ,1𝑚1 (𝑠) 𝑅1 (𝑠)
(𝑠) 𝑊𝑁𝜏,22 (𝑠) … 𝑊𝑁𝜏 ,2𝑚1 (𝑠) ] [ 𝑅2 (𝑠) ],
+ [ 𝑊𝑁𝜏 ,21…
…
…
…
…
𝑊𝑁𝜏 ,𝑛1 (𝑠) 𝑊𝑁𝜏 ,𝑛2 (𝑠) … 𝑊𝑁𝜏 ,𝑛𝑚1 (𝑠) 𝑅𝑚1 (𝑠)
(2.8б)
где 𝑌𝑖 (𝑠), 𝑈𝑖 (𝑠), 𝑅𝑖 (𝑠) – изображения по Лапласу выходных переменных 𝑦𝑖 (𝑡),
управляющих 𝑢𝑖 (𝑡) и возмущающих 𝑟𝑖1 (𝑡) воздействий; 𝑊𝐺𝜏 (𝑁𝜏),𝑖𝑗 (𝑠) =
𝑊𝐺(𝑁),𝑖𝑗 (𝑠)𝑒
−𝜏𝐺𝜏 (𝑁𝜏) ,𝑖𝑗 𝑠
– передаточная функция по каналу воздействия 𝑖 → 𝑗 с за-
паздыванием 𝜏𝐺𝜏 (𝑁𝜏) ,𝑖𝑗 ; 𝑠 = 𝛼 ± 𝑗𝛽 – комплексная переменная.
Отметим, что в случае, когда запаздывания в системе нет, то полагаем в
дифференциально-матричном уравнении (2.8) 𝜏𝐺𝜏 (𝑁𝜏),𝑖𝑗 = 0, и получаем уравнение (2.6), которое описывает движение системы без запаздывания.
В соответствии с вышеизложенным предлагается следующий алгоритм
идентификации системы (объекта) при нулевых начальных условиях:
1. На j-й вход системы при 𝑗 = 1 (𝑗 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚) подаем ступенчатое воздействие при отсутствии воздействий по остальным входным переменным, т. е.
при (𝑢𝑗 (𝑡) = 0, 𝑗 ≠ 1, 𝒓(𝑡) = 𝟎) и снимаем данные переходных функций 𝑦𝑖 (𝑡)
(𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛) по заданным выходным переменным;
2. Повторяем п. 1 при 𝑗 = 2, затем при 𝑗 = 3 и так далее до 𝑗 = 𝑚;
3. В случае необходимости идентификации системы по возмущающим
воздействиям выполняем пп. 1, 2 применительно к возмущениям;
4. В соответствии с п. 1.2.4 идентифицируем уравнения:
𝑌𝑖,𝑢𝑗 (𝑠) = 𝑊𝐺,𝑖𝑗 (𝑠)𝑒 −𝜏𝐺,𝑖𝑗𝑠 𝑈𝑗 (𝑠), (𝑖 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛),
32
(𝑗 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚)
(2.9)
и записываем соответствующие передаточные функции в матрицы 𝑊𝐺𝜏 (𝑠),
𝑊𝑁𝜏 (𝑠) уравнения (2.8).
Пример 2.3.
Идентифицировать систему со следующими параметрами: количество вы̅̅̅̅)), управляющих воздействий – четыре
ходов равно четырем (𝑦𝑖 (𝑡) (𝑖 = 1,4
̅̅̅̅)) и возмущающих – одно 𝑟(𝑡).
(𝑢𝑗 (𝑡) (𝑗 = 1,4
В этом случае математическая модель системы в операторной форме имеет
следующий вид:
4
𝑌𝑖 (𝑠) = ∑ 𝑊𝐺,𝑖𝑗 (𝑠)𝑒 −𝜏𝐺,𝑖𝑗𝑠 𝑈𝑗 (𝑠) + 𝑊𝑁,𝑖1 (𝑠)𝑒 −𝜏𝑁,𝑖1𝑠 𝑅1 (𝑠),
(П2.3.1а)
𝑖=1
или в матричной форме:
𝑊𝐺𝜏 ,11 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,12 (𝑠)
𝑌1 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,21 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏,22 (𝑠)
𝑌2 (𝑠)
=
𝑌3 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,31 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,32 (𝑠)
[𝑌4 (𝑠)] [𝑊𝐺 ,41 (𝑠) 𝑊𝐺 ,42 (𝑠)
𝜏
𝜏
𝑊𝐺𝜏 ,13 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,14 (𝑠) 𝑈 (𝑠)
1
𝑊𝐺𝜏 ,23 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,24 (𝑠) 𝑈2 (𝑠)
+
𝑊𝐺𝜏 ,33 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,34 (𝑠) 𝑈3 (𝑠)
𝑊𝐺 ,43 (𝑠) 𝑊𝐺 ,44 (𝑠)] [𝑈4 (𝑠)]
𝜏
𝜏
𝑊𝑁𝜏,1 (𝑠)
𝑊𝑁𝜏,2 (𝑠)
+
𝑅 (𝑠).
𝑊𝑁𝜏,3 (𝑠) 1
[𝑊𝑁𝜏,4 (𝑠)]
(П2.3.1б)
Рассмотрим подробнее предложенный алгоритм идентификации.
После выполнения п. 1 получаем:
𝑊𝐺𝜏 ,11 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,12 (𝑠)
𝑌1,𝑢1 (𝑠)
𝑌2,𝑢1 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,21 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏,22 (𝑠)
=
𝑌3,𝑢1 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,31 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,32 (𝑠)
[𝑌4,𝑢1 (𝑠)] [𝑊𝐺𝜏 ,41 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,42 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,13 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,14 (𝑠)
𝑈1 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,23 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,24 (𝑠)
[ 0 ]+
0
𝑊𝐺𝜏 ,33 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,34 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,43 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,44 (𝑠)] 0
33
𝑊𝑁𝜏,1 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,11 (𝑠)𝑈1 (𝑠)
𝑊𝐺,11 (𝑠)𝑒 −𝜏𝐺,11𝑠 𝑈1 (𝑠)
𝑊𝑁𝜏,2 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,21 (𝑠)𝑈1 (𝑠)
𝑊𝐺,21 (𝑠)𝑒 −𝜏𝐺,21𝑠 𝑈1 (𝑠)
+
∙0=
=
.
𝑊𝑁𝜏,3 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,31 (𝑠)𝑈1 (𝑠)
𝑊𝐺,31 (𝑠)𝑒 −𝜏𝐺,31𝑠 𝑈1 (𝑠)
−𝜏
𝑠
[𝑊𝐺𝜏 ,41 (𝑠)𝑈1 (𝑠)] [𝑊𝐺,41 (𝑠)𝑒 𝐺,41 𝑈1 (𝑠)]
[𝑊𝑁𝜏,4 (𝑠)]
(П2.3.2)
п.2.
𝑊𝐺𝜏 ,11 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,12 (𝑠)
𝑌1,𝑢2 (𝑠)
𝑌2,𝑢2 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,21 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏,22 (𝑠)
=
𝑌3,𝑢2 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,31 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,32 (𝑠)
[𝑌4,𝑢2 (𝑠)] [𝑊𝐺𝜏 ,41 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,42 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,13 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,14 (𝑠)
0
𝑊𝐺𝜏 ,23 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,24 (𝑠) 𝑈2 (𝑠)
[
]+
0
𝑊𝐺𝜏 ,33 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,34 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,43 (𝑠) 𝑊𝐺𝜏 ,44 (𝑠)] 0
𝑊𝑁𝜏,1 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,12 (𝑠)𝑈1 (𝑠)
𝑊𝐺,12 (𝑠)𝑒 −𝜏𝐺,12𝑠 𝑈2 (𝑠)
𝑊𝑁𝜏,2 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,22 (𝑠)𝑈1 (𝑠)
𝑊𝐺,22 (𝑠)𝑒 −𝜏𝐺,22𝑠 𝑈2 (𝑠)
+
∙0=
=
.
𝑊𝑁𝜏,3 (𝑠)
𝑊𝐺𝜏 ,32 (𝑠)𝑈1 (𝑠)
𝑊𝐺,32 (𝑠)𝑒 −𝜏𝐺,32𝑠 𝑈2 (𝑠)
−𝜏
𝑠
[𝑊𝐺𝜏 ,42 (𝑠)𝑈1 (𝑠)] [𝑊𝐺,42 (𝑠)𝑒 𝐺,42 𝑈2 (𝑠)]
[𝑊𝑁𝜏,4 (𝑠)]
(П2.3.3)
и т. д.
Затем выполняются пп. 3, 4.
В результате получаем уравнение (2.8).
Для идентификации объекта необходимо отключить систему управления,
затем идентификация ОУ по изложенной выше методике идентификации системы.
Выше были рассмотрены математические модели систем, представленные
в виде классического метода математического описания в переменных вход –
выход и в операторной форме, использующий операционный метод математического описания многосвязных систем. Однако для дальнейшего исследования
поведения и свойств многосвязных систем понадобится математическое описание систем в переменных пространства состояний.
2.2. Математическое описание систем в переменных пространства
состояний
2.2.1. Уравнения движения многомерной системы в переменных
пространства состояний
Аналитическая запись линейной динамической многосвязной системы с
34
сосредоточенными параметрами и постоянными коэффициентами в переменных пространства состояний имеет следующую каноническую форму [6, 7, 9,
11]:
𝑑𝒙
(2.10)
= 𝐴𝒙(𝑡) + 𝐵𝒖(𝑡), 𝒙(𝑡0 ) = 𝒙0 ,
𝑑𝑡
𝒚(𝑡) = 𝐶𝒙(𝑡) + 𝐷𝒖(𝑡),
(2.11)
где 𝒙(𝑡) = [𝑥1 (𝑡), 𝑥2 (𝑡), … , 𝑥𝑛 (𝑡)]𝑇  nмерный вектор состояний;
𝒚(𝑡) = [𝑦1 (𝑡), 𝑦2 (𝑡), … , 𝑦𝑙 (𝑡)]𝑇

lмерный
вектор
выходов;
𝒖(𝑡) = [𝑢1 (𝑡), 𝑢2 (𝑡), … , 𝑢𝑚 (𝑡)]𝑇  mмерный вектор входных воздействий;
𝐴 [𝑛 × 𝑚], 𝐵 [𝑛 × 𝑚], 𝐶 [𝑙 × 𝑛], 𝐷 [𝑙 × 𝑚] – матрицы соответствующих размерностей; m  число входных воздействий; l  число выходов системы.
Уравнения (2.10), (2.11) называются уравнениями состояния.
Структурная схема линейной многосвязной системы, описываемой уравнениями (2.10) и (2.11), представлена на рис. 2.3.
D
u(t)
y(t)
x(t)
B

C
A
Рисунок 2.3. Структурная схема линейной многосвязной системы
в переменных пространства состояний
Из уравнений (2.10) и (2.11) видно, что под вектором состояния 𝒙(𝑡) понимаются такие переменные системы, которые позволяют однозначно определять
выход системы 𝒚(𝑡) при известных входных воздействиях 𝒖(𝑡) и начальных состояниях 𝒙(𝑡0 ). Состояние 𝒙(𝑡0 ) системы в любой момент времени t является
однозначной функцией ее начального состояния 𝒙(𝑡0 ) и входных воздействий
𝒖(𝑡0 , 𝑡) на интервале времени (𝑡0 , 𝑡). Пространство X, к которому принадлежит
вектор переменных состояния 𝒙(𝑡) ∈ 𝑋, называется пространством состояний
[6, 7]. В теории линейных систем пространство X представляет собой n-мерное
евклидово пространство 𝑋 → 𝐸𝑛 , т. е. линейное пространство с фиксированным
в нем скалярным произведением.
35
Множество входных воздействий, к которому принадлежит вектор 𝒖(𝑡) ∈
𝑈, представляет собой объединение множеств управляющих 𝑈1 , и возмущающих R воздействий, т. е. 𝑈 = 𝑈1 ∪ 𝑅. В этом случае уравнения (2.10) и (2.11) запишутся в виде
𝑑𝒙
= 𝐴𝒙(𝑡) + 𝐵1 𝒖𝟏 (𝑡) + 𝛤𝒓(𝑡), 𝒙(𝑡0 ) = 𝒙0 ,
𝑑𝑡
(2.12)
𝒚(𝑡) = 𝐶𝒙(𝑡) + 𝐷1 𝒖𝟏 (𝑡),
(3.13)
где 𝒖𝟏 (𝑡) = [𝑢11 (𝑡), 𝑢12 (𝑡), … , 𝑢1𝑚 (𝑡)]𝑇 
m1 -мерный вектор управлений
𝒖𝟏 (𝑡) ∈ 𝑈1 ; 𝒓(𝑡) = [𝑟1 (𝑡), 𝑟2 (𝑡), … , 𝑟𝑘 (𝑡)]𝑇  k-мерный вектор возмущений
𝒓(𝑡) ∈ 𝑅; 𝐵1  матрица размерности 𝑛 × 𝑚1 ; Г  матрица размерности 𝑛 × 𝑘;
𝐷1  матрица размерности 𝑙 × 𝑚1 .
В уравнениях (2.10), (2.11) выходные 𝒚(𝑡) и входные 𝒖(𝑡) параметры соответствуют реальным физическим величинам многомерных систем, тогда как
параметры состояния 𝒙(𝑡), осуществляющие параметризацию пространства пар
«входвыход», могут и не соответствовать физическим переменным. В этом
случае параметры состояния 𝒙(𝑡) являются абстрактными (фиктивными) переменными. Следовательно, существует определенная «свобода выбора» переменных состояния. Это позволяет применить некоторое невырожденное преобразование, задаваемое матрицей Т, при переходе от одних переменных состояния 𝒙(𝑡) к другим 𝒙𝟏 (𝑡):
𝒙𝟏 (𝑡) = 𝑇𝒙(𝑡),
|𝑇| ≠ 0.
(2.14)
Матрица Т преобразования координат позволяет представить уравнения
состояния (2.10), (2.11) в удобном виде для анализа поведения многомерной системы, определяемой подобной матрицей 𝐴1 . Например, если матрица A является диагональной, то решение матричного уравнения (3.10) значительно
упрощается.
2.2.2. Закон движения системы в переменных пространства состояний
Аналитическое решение векторного дифференциального уравнения (2.10)
при заданных начальных условиях определяется выражением [7, 9]
36
𝑡
𝒙(𝑡) = 𝑒 𝐴(𝑡−𝑡0) 𝒙(𝑡0 ) + ∫ 𝑒 𝐴(𝑡−𝜏) 𝐵𝒖(𝜏)𝑑𝜏.
(2.15)
𝑡0
Из выражений (2.11) и (2.15) следует:
𝑡
𝒚(𝑡) = 𝐶 [𝑒 𝐴(𝑡−𝑡0) 𝒙(𝑡0 ) + ∫ 𝑒 𝐴(𝑡−𝜏) 𝐵𝒖(𝜏)𝑑𝜏] + 𝐷𝒖(𝑡),
(2.16)
𝑡0
где 𝑒 𝐴𝑡 – экспоненциальная матрица.
Уравнения (2.15), (2.16) представляют собой интегральные законы движения системы в переменных пространства состояний.
Из уравнения (2.15) следует, что движение ДС происходит как под действием ее начальных условий (состояний) 𝒙(𝑡0 ) – свободное (собственное)
движение, так и под действием внешних воздействий 𝒖(𝑡) – вынужденное движение, а также под одновременным воздействием этих двух факторов.
Экспоненциальную матрицу 𝑒 𝐴𝑡 можно вычислить, рассматривая 𝑒 𝐴𝑡 как
функцию от матрицы, либо алгебраическим методом с применением операционного метода преобразования Лапласа, либо определить как решение однородного матричного дифференциального уравнения:
𝑑𝑋(𝑡)
= 𝐴𝑋(𝑡),
𝑑𝑡
𝑋(𝑡0 ) = 𝐸𝑛 ,
(2.17)
где   матрица размерности 𝑛 × 𝑛; 𝐸𝑛 – единичная матрица размерности
𝑛 × 𝑛.
Решение уравнения (2.17) имеет вид:
𝑋(𝑡) = 𝑒 𝐴𝑡 .
(2.18)
Если матрица А не имеет кратных собственных значений, то она подобна
диагональной матрице Λ = diag(𝜆1 , 𝜆2 , … , 𝜆𝑛 ) из своих собственных значений и
в этом случае получаем
37
𝑒 𝜆1𝑡
0
𝑋(𝑡) = 𝑒 Λ𝑡 = [ …
0
0
𝜆2 𝑡
𝑒
…
0
… 0
… …
0 ].
…
(2.19)
… 𝑒 𝜆𝑛𝑡
2.3. Переход от уравнения «вход-выход» к уравнениям в переменных
состояния в нормальной форме
Рассмотрим переход от уравнения (2.4) к нормальной форме (2.12), (2.13),
с которой связан классический метод интегрирования системы дифференциальных уравнений первого порядка [11], а также определение управляемости и
наблюдаемости систем по Калману [7]. При этом рассмотрим случай, когда
степень определителя 𝐿(𝑝) равна m.
Операторы 𝐿(𝑝), 𝐺(𝑝) и 𝑁(𝑝) уравнения (2.4) можно представить в виде
𝐿(𝑝) = 𝐿0 𝑝𝑞 + 𝐿1 𝑝𝑞−1 +. . . +𝐿𝑞 ,
(2.20)
𝐺(𝑝) = 𝐺0 𝑝𝑞 + 𝐺1 𝑝𝑞−1 +. . . +𝐺𝑞 ,
(2.21)
𝑁(𝑝) = 𝑁1 𝑝𝑞−1 +. . . +𝑁𝑞 ,
(2.22)
где 𝑞 = max(𝑚𝑖 ) ; 𝑚𝑖  степень элементов полиномных матриц 𝐿(𝑝), 𝐺(𝑝),
𝑁(𝑝); 𝐿𝑗 , 𝐺𝑗 , 𝑁𝑗  постоянные матрицы размерности 𝑛 × 𝑛, формируемые из коэффициентов многочленов соответствующих матриц 𝐿(𝑝), 𝐺(𝑝) и 𝑁(𝑝).
В случае невырожденности матрицы 𝐿0 , умножив уравнение (2.1) на 𝐿−1
0 ,
получим:
−1
𝑞−1
𝑝𝑞 𝒚(𝑡) = (−𝐿−1
−. . . −𝐿−1
0 𝐿1 𝑝
0 𝐿𝑞−1 𝑝 − 𝐿0 𝐿𝑞 )𝒚(𝑡) +
−1
+𝐿−1
0 𝐺(𝑝)𝒖(𝑡) + 𝐿0 𝑁(𝑝)𝒓(𝑡).
(2.23)
Определим вектор 𝒙(𝑡) размерности 𝑞
𝑇
𝒙(𝑡) = (𝒚𝑻 𝑝𝒚𝑻 … 𝑝𝑞−1 𝒚𝑻 )𝑇 = (𝒙𝑻𝟏 𝒙𝑻𝟐 … 𝒙𝑻𝒒 ) ,
и запишем уравнение (2.23) в виде эквивалентных уравнений в нормальной
форме:
38
𝑑𝒙
= 𝐴𝒙(𝑡) + 𝐵𝒖(𝑡) + 𝛤𝒓(𝑡), 𝒙(𝑡0 ) = 𝒙0 ,
𝑑𝑡
𝒚(𝑡) = 𝐶𝒙(𝑡) + 𝐷𝒖(𝑡),
(2.24)
(2.25)
где
 0
 0

A   ...
 0

 L01Lq
En
0
...
0
0
En
...
0
...
...
...
...
0
0
...
0
 L01Lq 1  L01Lq  2 ...  L01L2



,


1 
 L0 L1 
0
0
...
En
(2.26)
𝑇
𝐵 = [0 0 … 0 𝐿−1
0 𝐺(𝑝)] ,
(2.27)
𝑇
𝛤 = [0 0 … 0 𝐿−1
0 𝑁(𝑝)] ,
(2.28)
𝐶 = [𝐸𝑛 0 … 0 ],
(2.29)
𝐸𝑛  единичная матрица размерности 𝑛 × 𝑛; А  матрица размерности
(𝑞 ∙ 𝑛) × (𝑞 ∙ 𝑛); В  матрица-столбец размерности (𝑞 ∙ 𝑛) × 𝑚1 ; Г  матрицастолбец размерности (𝑞 ∙ 𝑛) × 𝑘; C  матрица-строка размерности 𝑙 × (𝑞 ∙ 𝑛); D
– матрица размерности 𝑙 × 𝑚1 .
Отметим, что уравнения вида (2.24) с матрицей (2.26) называются уравнениями в форме Фробениуса [1].
Уравнения (2.24), (2.25) формально совпадают с уравнениями в переменных пространства состояний (2.12), (2.13). Если матрицы 𝐺(𝑝) = 𝐺 и 𝑁(𝑝) = 𝑁,
т. е. постоянные, то уравнения (2.24), (2.25) являются уравнениями в переменных пространства состояний в нормальной форме, так как в этом случае не требуется информация о начальных условиях
𝒚(𝑡0 ), … , 𝑝𝑞−1 𝒚(𝑡0 ); 𝒖(𝑡0 ), … , 𝑝𝑞−1 𝒚(𝑡0 ); 𝒓(𝑡0 ), … , 𝑝𝑞−2 𝒓(𝑡0 ).
(2.30)
Более общий случай, т. е. когда уравнения в переменных вход-выход содержит в правых частях управляющие 𝒖(𝑡) и возмущающие 𝒓(𝑡) воздействия и
их производные, а начальные условия ненулевые, подробно рассмотрен в [11].
Отметим, что настоящее время операции с матрицами возможны в различных системах компьютерной математики, например, в MATLAB, Scilab,
MachCAD и т. п.
39
Пример 2.4.
Записать уравнение, представленное в переменных вход-выход
𝑎0 𝑦 (𝑛) + 𝑎1 𝑦 (𝑛−1) +. . . +𝑎𝑛−1 𝑦 (1) + 𝑎𝑛 𝑦 = 𝑏𝑢 + 𝛾𝑟,
(П2.4.1)
при n начальных условиях и t0  0
𝑦(𝑡0 ) = 𝑦0 ,
(1)
(𝑛−1)
𝑦 (1) (𝑡0 ) = 𝑦0 , … , 𝑦 (𝑛−1) (𝑡0 ) = 𝑦0
,
(П2.4.2)
в виде уравнений в переменных состояния в нормальной форме.
Здесь 𝑦 (𝑖)  i-я производная 𝑦(𝑡) по времени t.
Решение.
В соответствии с (3.23) поделим уравнение (П2.4.2) на коэффициент
a0  0 , получим
𝑝𝑛 𝑦 = (−
𝑎1 (𝑛−1) 𝑎2 (𝑛−1)
𝑎𝑛−1
𝑎𝑛
𝑝
− 𝑝
−. . . −
𝑝 − ) 𝑦 + 𝑏𝑢 + 𝛾𝑟,
𝑎0
𝑎0
𝑎0
𝑎0
Введем вектор
𝒙 = (𝑦 𝑝𝑦 . . . 𝑝𝑛−1 𝑦)𝑇 = (𝑥1 𝑥2 . . . 𝑥𝑛 )𝑇 ,
(П2.4.3)
(П2.4.4)
и учитывая, что 𝑥1 = 𝑦, 𝑝𝑥1 = 𝑥2 , …, 𝑝𝑥𝑛−1 = 𝑥𝑛 , получим уравнения состояния в нормальной форме:
0
0
1
0
0
0 0
𝑥1
𝑥1
⋮
0
0
0
0
1
0 0
𝑥2
𝑥2
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
⋮
𝑑
⋮
⋮
⋮
0
0
0
1 0
= 0
+
𝑢 + 0 𝑟,
𝑥𝑛−2
𝑑𝑡 𝑥𝑛−2
0
0
0
0 ⋮ 0 1
0
𝑥𝑛−1
𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 𝑎𝑛−2 ⋮ 𝑎2 𝑎1 𝑥𝑛−1
𝛾
𝑏
− −
−
− −
[ 𝑥𝑛 ]
[ 𝑥𝑛 ]
⋮
𝑎0
𝑎0 𝑎0 ]
[ 𝑎0 𝑎0
[𝑎0 ]
[𝑎0 ]
(П2.4.5)
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑦 = [1 0 . . . 0 0 0]
.
𝑥𝑛−2
𝑥𝑛−1
[ 𝑥𝑛 ]
40
(П2.4.6)
Рассмотрим случай, когда 𝑛 = 4:
𝑎0 𝑦 (4) + 𝑎1 𝑦 (3) + 𝑎2 𝑦 (2) + 𝑎3 𝑦 (1) + 𝑎4 𝑦 = 𝑏𝑢 + 𝛾𝑟.
(П2.4.7)
В соответствии с приведенным алгоритмом получаем:
𝑝4 𝑦 = (−
𝑎1 3 𝑎2 2 𝑎3
𝑎4
𝑝 − 𝑝 − 𝑝 − ) 𝑦 + 𝑏𝑢 + 𝛾𝑟.
𝑎0
𝑎0
𝑎0
𝑎0
Вводим вектор:
𝒙 = (𝑦 𝑝𝑦 . . . 𝑝3 𝑦)𝑇 = (𝑥1 𝑥2 . . . 𝑥4 )𝑇 ,
(П2.4.8)
(П2.4.9)
и учитывая, что 𝑥1 = 𝑦, 𝑝𝑥1 = 𝑥2 , 𝑝𝑥2 = 𝑥3 𝑝𝑥3 = 𝑥4 , получим уравнения состояния в нормальной форме (2.12), (2.13)
0
𝑥1
0
𝑑 𝑥2
[ ]= 0
𝑑𝑡 𝑥3
𝑎4
−
𝑥4
[ 𝑎0
1
0
0
𝑎3
−
𝑎0
0
1
0
𝑎2
−
𝑎0
0
0
𝑥1
0
0
𝑥2
0
𝑢 + 0 𝑟,
[ ]+
𝛾
𝑎1 𝑥3
𝑏
−
𝑥4
[𝑎0 ]
𝑎0 ]
[𝑎0 ]
0
0
1
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑦 = [1 0 . . . 0 0 0]
.
𝑥𝑛−2
𝑥𝑛−1
[ 𝑥𝑛 ]
(П2.4.10)
(П2.4.11)
Пример 2.5.
Записать дифференциально-матричное уравнение, представленное в переменных вход-выход
𝐿(𝑝)𝒚(𝑡) = 𝐺(𝑝)𝒖(𝑡) + 𝑁(𝑝)𝒓(𝑡),
или в развернутой форме:
41
(П2.5.1а)
𝐿11 (𝑝) 𝐿12 (𝑝) 𝐿13 (𝑝)
𝐿21 (𝑝) 𝐿22 (𝑝) 𝐿23 (𝑝)
𝐿31 (𝑝) 𝐿32 (𝑝) 𝐿32 (𝑝)
[𝐿41 (𝑝) 𝐿42 (𝑝) 𝐿43 (𝑝)
𝐿14 (𝑝) 𝑦1 (𝑡)
𝐿24 (𝑝) 𝑦2 (𝑡)
=
𝐿34 (𝑝) 𝑦3 (𝑡)
𝐿44 (𝑝)] [𝑦4 (𝑡)]
𝐺11 (𝑝) 𝐺12 (𝑝) 𝐺13 (𝑝) 𝐺14 (𝑝) 𝑢1 (𝑡)
𝑁11 (𝑝)
𝑁 (𝑝)
𝐺 (𝑝) 𝐺22 (𝑝) 𝐺23 (𝑝) 𝐺24 (𝑝) 𝑢2 (𝑡)
= 21
+ [ 21
𝑁31 (𝑝)
𝐺31 (𝑝) 𝐺32 (𝑝) 𝐺32 (𝑝) 𝐺34 (𝑝) 𝑢3 (𝑡)
𝑁41 (𝑝)
[𝐺41 (𝑝) 𝐺42 (𝑝) 𝐺43 (𝑝) 𝐺44 (𝑝) ] [𝑢4 (𝑡)]
𝑁12 (𝑝)
𝑁22 (𝑝) 𝑟1 (𝑡)
][
],
𝑁32 (𝑝) 𝑟2 (𝑡)
𝑁42 (𝑝)
(П2.5.1б)
или в форме:
4
4
2
̅̅̅̅),
(𝑖 = 1,4
∑ 𝐿𝑖𝑗 (𝑝)𝑦𝒋 (𝑡) = ∑ 𝐺𝑖𝑗 (𝑝)𝑢𝑗 (𝑡) + ∑ 𝑁𝑖𝑗 (𝑝)𝑟𝑗 (𝑡) ,
𝑗=1
𝑗=1
(П2.5.1в)
𝑗=1
в виде уравнений в переменных состояния в нормальной форме.
Здесь:
(𝑖𝑖)
(𝑖𝑖)
(𝑖𝑖)
𝐿𝑖𝑖 (𝑝) = 𝑙0 𝑝2 + 𝑙1 𝑝 + 𝑙2
(𝑖𝑗)
(𝑖𝑗)
𝐿𝑖𝑗 (𝑝) = 𝑙1 𝑝 + 𝑙2
при 𝑖 = 𝑗 ;
(𝑖𝑗)
(П2.5.2)
(𝑖𝑗)
при 𝑖 ≠ 𝑗; 𝐺𝑖𝑗 (𝑝) = 𝑔2 ; 𝑁𝑖𝑗 (𝑝) = 𝑛2 .
Операторы 𝐿(𝑝), 𝐺(𝑝) и 𝑁(𝑝) уравнения (П2.5.1) представим в виде:
𝐿(𝑝) = 𝐿0 𝑝2 + 𝐿1 𝑝 + 𝐿2 ; 𝐺(𝑝) = 𝐺2 ;
𝑁(𝑝) = 𝑁2 ,
(П2.5.3)
где
(11)
𝐿0 =
0 0
𝑙1
(11)
𝑙1
𝑙0
0 0
𝑙1
(21)
𝑙1
0
0
𝑙0
(31)
𝑙1
(41)
[𝑙1
(32𝑖)
𝑙1
(42)
𝑙1
𝑙0
0
0
0
[ 0
(22)
(33)
(44)
0 𝑙0
𝐿2 =
, 𝐿1 =
0
]
𝑙2
(11)
𝑙2
𝑙2
(21)
𝑙2
𝑙2
(31)
𝑙2
(32𝑖)
(41)
𝑙2
(42)
𝑙2
[ 𝑙2
(12)
(22)
42
(12)
(22)
𝑙2
(13)
𝑙2
(14)
𝑙2
(23)
𝑙2
𝑙2
(33)
𝑙2
(43)
𝑙2
(24)
;
(34)
(44)
]
𝑙1
(13)
𝑙1
(14)
𝑙1
(23)
𝑙1
(33)
𝑙1
(43)
𝑙1
(34)
𝑙1
(44)
𝑙1 ]
(24)
,
(11)
𝑔2
𝑔2
(21)
𝑔2
(31)
𝑔2
(41)
[𝑔2
(32)
𝑔2
(42)
𝑔2
𝑔2
𝐺2 =
(12)
(13)
𝑔2
𝑔2
(23)
𝑔2
(33)
𝑔2
(43)
𝑔2
(34)
𝑔2
(44)
𝑔2 ]
𝑔2
(22)
(14)
𝑛2
(24)
; 𝑁2 =
(11)
𝑛2
(12)
𝑛2
(21)
𝑛2
(31)
𝑛2
(41)
[𝑛2
(32)
𝑛2
(42)
𝑛2 ]
(22)
.
Матрица 𝐿0 является невырожденной. Умножим уравнение (П2.5.1) на 𝐿−1
0 ,
получим
−1
𝑝2 𝒚(𝑡) = (−𝐿−1
0 𝐿1 𝑝 − 𝐿0 𝐿2 )𝒚(𝑡) +
(П2.5.4)
−1
+𝐿−1
0 𝐺𝒖(𝑡) + 𝐿0 𝑁𝒓(𝑡).
Определим вектор 𝒙(𝑡) размерности 𝑚 = 𝑞 ∙ 𝑛 = 2 ∙ 4 = 8, где 𝑛 = 4 и 𝑞 =
2:
𝒙(𝑡) = (𝑦1 … 𝑦4 𝑝𝑦1 … 𝑝𝑦4 … 𝑝𝑞−1 𝑦1 … 𝑝𝑞−1 𝑦4 )𝑇 =
= (𝑦1 𝑦2 𝑦3 𝑦4 𝑝𝑦1 𝑝𝑦2 𝑝𝑦3 𝑝𝑦4 )𝑇 = (𝑥1 𝑥2 … 𝑥8 )𝑇 ,
̅̅̅̅).
̅̅̅̅), 𝑥𝑖 = 𝑝𝑦𝑖−4 (𝑖 = 5,8
и 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 (𝑖 = 1,4
Запишем уравнение (П2.5.1) в виде эквивалентных уравнений в нормальной форме:
𝑑𝒙
(П2.5.5)
= 𝐴𝒙(𝑡) + 𝐵𝒖(𝑡) + 𝛤𝒓(𝑡), 𝒙(𝑡0 ) = 𝒙0 ,
𝑑𝑡
𝒚(𝑡) = 𝐶𝒙(𝑡) + 𝐷𝒖(𝑡),
(П2.5.6)
0
𝐴 = [ −1
−𝐿0 𝐿2
(П2.5.7)
где
1
(11)
𝑙0
0
𝐿−1
0 =
𝐸4
],
−𝐿−1
0 𝐿1
0
1
(22)
𝑙0
0
0
0
0
,
1
0
0
0
0
[
43
0
(33)
𝑙0
0
1
(44)
𝑙0
]
1
0
(11)
𝑙0
0 0
1
0
0 0
(22)
𝑙0
−𝐿−1
0 𝐿2 = −
1
0
0
0
0
0
[
(11)
𝑙2
(11)
𝑙0
(21)
𝑙2
(22)
=−
𝑙0
(31)
𝑙2
(33)
𝑙0
(41)
(13)
𝑙2
(12)
𝑙2
𝑙0
(11)
𝑙0
𝑙2
(22)
𝑙2
(22)
𝑙0
𝑙0
(32)
𝑙2
(33)
𝑙0
(42)
𝑙2
𝑙2
[𝑙0(44)
𝑙0
(44)
(11)
(23)
(22)
(33)
𝑙2
(33)
𝑙0
(43)
𝑙2
(44)
𝑙0
0
(33)
𝑙0
1
(44)
𝑙0
𝑙2
(11)
𝑙2
(12)
𝑙2
(21)
𝑙2
(31)
𝑙2
(41)
[𝑙2
(32)
𝑙2
(42)
𝑙2
(22)
(14)
(11)
𝑙1
(11)
(11)
𝑙0
𝑙0
(24)
(21)
𝑙2
𝑙1
(22)
(22)
𝑙0
𝑙0
𝑙2
𝑙1
; −𝐿−1
0 𝐿1 = −
(34)
(33)
(31)
(33)
𝑙0
𝑙0
(44)
(41)
𝑙2
(44)
(13)
𝑙2
(14)
𝑙2
(23)
𝑙2
(33)
𝑙2
(43)
𝑙2
(34)
𝑙2
(44)
𝑙2 ]
(24)
=
]
𝑙2
𝑙0
𝑙2
]
(13)
𝑙1
(12)
𝑙1
𝑙0
(11)
𝑙0
𝑙1
(22)
𝑙1
(22)
𝑙0
𝑙0
(32)
𝑙1
(33)
𝑙0
(42)
𝑙1
𝑙1
[𝑙0(44)
𝑙0
(44)
(11)
(23)
(22)
(33)
𝑙1
(33)
𝑙0
(43)
𝑙1
(44)
𝑙0
(14)
𝑙1
(11)
𝑙0
(24)
𝑙1
(22)
𝑙0
(34)
𝑙1
.
(33)
𝑙0
(44)
𝑙1
(44)
𝑙0
]
(П2.5.8)
Размерность матрицы 𝐴 − [8 × 8]; размерность вектора 𝒙 − [8 × 1].
Матрица A имеет вид
(11)
𝑙2
0 0
0 0
0 0
0 0
(12)
𝑙2
0 0
0 0
0 0
0 0
(13)
(14)
𝑙2
𝑙2
(11)
𝑙1
1 0
0 1
0 0
0 0
(12)
𝑙1
0 0
0 0
1 0
0 1
(13)
(14)
𝑙1
𝑙1
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(21)
𝑙2
(22)
𝑙2
(23)
𝑙2
(24)
𝑙1
(21)
𝑙1
(22)
𝑙1
(23)
𝑙1
(22)
𝑙0
(32)
𝑙2
(33)
𝑙0
(42)
𝑙2
(44)
𝑙0
(22)
𝑙0
(33)
𝑙2
(33)
𝑙0
(43)
𝑙2
(44)
𝑙0
(22)
𝑙0
(34)
𝑙2
(33)
𝑙0
(44)
𝑙2
(44)
𝑙0
(22)
𝑙0
(31)
𝑙1
(33)
𝑙0
(41)
𝑙1
(44)
𝑙0
(22)
𝑙0
(32)
𝑙1
(33)
𝑙0
(42)
𝑙1
(44)
𝑙0
(22)
𝑙0
(33)
𝑙1
(33)
𝑙0
(43)
𝑙1
(44)
𝑙0
(22)
𝑙0
(34)
𝑙1
(33)
𝑙0
(44)
𝑙1
(44)
𝑙0 ]
𝐴 = 𝑙2
(22)
𝑙0
(31)
𝑙2
(33)
𝑙0
(41)
𝑙2
(44)
[ 𝑙0
𝑇
𝐵 = [04 𝐿−1
0 𝐺2 ] ,
44
(11)
(24)
.
(П2.5.9.)
(П2.5.10)
где
𝐿−1
0 𝐺(𝑝) =
1
(11)
𝑙0
0
=
0
0 0
1
0
(33)
𝑙0
0
0
0
[
=
𝑔2
𝑔2
(21)
𝑔2
(31)
𝑔2
(41)
[𝑔2
(32)
𝑔2
(42)
𝑔2
0 0
(22)
𝑙0
1
0
0
(11)
(12)
𝑔2
1
(44)
𝑙0
(22)
(13)
𝑔2
𝑔2
(23)
𝑔2
(32)
𝑔2
(43)
𝑔2
(34)
𝑔2
(44)
𝑔2 ]
𝑔2
(14)
(24)
]
𝑔2
(11)
𝑔2
(12)
𝑔2
(13)
𝑔2
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
𝑔2
(21)
𝑔2
(22)
𝑔2
(23)
𝑔2
𝑙0
(22)
𝑙0
(22)
𝑙0
(22)
𝑙0
𝑔2
(31)
𝑔2
(32)
𝑔2
(32)
𝑔2
𝑙0
(33)
𝑙0
(33)
𝑙0
(33)
𝑙0
𝑔2
(41)
𝑔2
(42)
𝑔2
(43)
𝑔2
(44)
𝑙0
(44)
𝑙0
(44)
𝑙0
𝑔2
0 0
0 0
0 0
0 0
(12)
𝑔2
0 0
0 0
0 0
0 0
(13)
(14)
𝑔2
𝑔2
[ 𝑙0
=
(14)
(11)
(24)
(22)
.
(34)
(П2.5.11)
(33)
(44)
(44)
]
Отсюда получаем
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(11)
𝑙0
(21)
𝑔2
(22)
𝑔2
(23)
𝑔2
(22)
𝑙0
(32)
𝑔2
(33)
𝑙0
(42)
𝑔2
(44)
𝑙0
(22)
𝑙0
(32)
𝑔2
(33)
𝑙0
(43)
𝑔2
(44)
𝑙0
(22)
𝑙0
(34)
𝑔2
(33)
𝑙0
(44)
𝑔2
(44)
𝑙0 ]
𝑇
𝑔2
𝐵 = [04 𝐿−1
0 𝐺2 ] =
(22)
𝑙0
(31)
𝑔2
(33)
𝑙0
(41)
𝑔2
(44)
[ 𝑙0
45
(11)
(24)
.
(П2.5.12)
Аналогично получаем
0
0
0
0
𝑛2
(11)
𝑛2
𝑙0
(11)
𝑙0
(21)
𝑛2
𝑇
𝑛2
𝛤 = [02 02 𝐿−1
0 𝑁2 ] =
(22)
𝑙0
(31)
𝑔2
(33)
𝑙0
(41)
𝑔2
(44)
[ 𝑙0
1 0
0 1
𝐶 = [𝐸4 04 ] = [
0 0
0 0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
(12)
(11)
(22)
.
(П2.5.13)
0
0
].
0
0
(П2.5.14)
(22)
𝑙0
(32)
𝑔2
(33)
𝑙0
(42)
𝑔2
(44)
𝑙0 ]
0
0
0
0
0
0
0
0
Матрица D, размерности 4 × 4, определяется условиями функционирования системы (П2.5.1).
46
3. УПРАВЛЯЕМОСТЬ И НАБЛЮДАЕМОСТЬ СИСТЕМ
Рассмотрим управляемость и наблюдаемость систем без запаздывания.
3.1. Управляемость
С понятием управляемости тесно связано понятие процесса управления,
т. е. это принципиальная возможность перевода системы из состояния 𝒙𝒔 (𝑡) в
заданное состояние 𝒙𝒇 (𝑇) на интервале времени (t0 , T ] под действием управления 𝒖(𝑡). Для одномерных систем, описываемых ОДУ, это положения является
очевидным, что нельзя сказать о многомерных системах. В этом случае вводится понятие «степени» управляемости многомерных ДС.
Система называется полностью управляемой по состояниям 𝒙(𝑡), если под
действием некоторого управления 𝒖(𝑡) она может быть переведена из любого
начального состояния 𝒙(𝑡0 ) в любое наперед заданное состояние 𝒙(𝑡𝑓 ) за конечное время 𝑡𝑓 − 𝑡0 > 0.
Система называется частично управляемой, если имеется подмножество
начальных состояний, из которых достижение произвольного желаемого состояния за конечное время невозможно.
Система называется полностью управляемой, если любого начального состояния невозможно достижение произвольного желаемого состояния за конечное время невозможно.
Условия управляемости для линейной системы вида
𝑑𝒙
= 𝐴𝒙(𝑡) + 𝐵𝒖(𝑡), 𝒙(𝑡0 ) = 𝒙0 ,
𝑑𝑡
(3.1)
𝒚(𝑡) = 𝐶𝒙(𝑡),
(3.2)
определяются теоремой (критерием) Калмана: система будет вполне управляема по состояниям 𝒙(𝑡) тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости 𝐿𝑐 размерности 𝑛 × 𝑛𝑚 равен n [7, 9], т. е.
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿𝑐 = 𝑛,
(3.3)
𝐿𝑐 = [𝐵 ⋮ 𝐴𝐵 ⋮ 𝐴2 𝐵 ⋮ . . . ⋮ 𝐴𝑛−1 𝐵].
(3.4)
где
47
Здесь векторы и матрицы имеют следующие размерности: 𝒙(𝑡) − (𝑛 × 1),
𝒖(𝑡) − (𝑚 × 1), 𝒚(𝑡) − (𝑙 × 1), 𝐴 − (𝑛 × 𝑛), 𝐵 − (𝑛 × 𝑚), 𝐶 − (𝑙 × 𝑛).
Рангом матрицы называется наибольший из порядков отличных от нуля
миноров, порождаемых матрицей. Если r – ранг прямоугольной матрицы 𝐿𝑐
размера 𝑛 × 𝑛𝑚, то 𝑟 ≤ 𝑛, 𝑛𝑚.
Из выражения (3.4) следует, что управляемость системы по состояниям
𝒙(𝑡) определяется строением матриц A и B, т. е. об управляемости систем пары
ы (4.3) говорят как об управляемости или неуправляемости пары (𝐴𝐵).
Если 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿𝑐 < 𝑛, то система будет частично управляемой по состояниям,
а при 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿𝑐 = 0 – полностью неуправляемой по состояниям.
Можно также рассматривать управляемость по выходам 𝒚(𝑡).
Системы будет полностью управляемой по выходам 𝒚(𝑡) в том случае, если
управление 𝒖(𝑡) будет влиять на все l координат вектора выхода 𝒚(𝑡), т. е. система будет вполне управляема по выходам 𝒚(𝑡) тогда и только тогда, когда
ранг матрицы управляемости 𝐿0𝑐 размерности 𝑙 × 𝑛𝑚 равен l [[7, 9]], т. е.
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿0𝑐 = 𝑙,
(3.5)
𝐿0𝑐 = [𝐶𝐵 ⋮ 𝐶𝐴𝐵 ⋮ 𝐶𝐴2 𝐵 ⋮ . . . ⋮ 𝐶𝐴𝑛−1 𝐵].
(3.6)
где
Если 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿0𝑐 𝑐 < 𝑙, то система будет частично управляемой по выходам, а
при 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿0𝑐 = 0 – полностью неуправляемой по выходам.
Пример 3.1.
Определить управляемость системы (3.1), (3.2) в случае, когда вектор 𝒙(𝑡)
имеет размерность 3 × 1, 𝒖(𝑡) – 2 × 1, 𝒚(𝑡) – 2 × 1 и
1 2
𝐴 = [4 7
9 3
3
6] ,
1
2 1
𝐵 = [ 1 3] ,
3 2
1 3
𝐶=[
2 4
2
].
3
(П3.1.1)
В соответствии с (3.4) определим матрицу управляемости 𝐿𝑐 , где 𝑛 = 3:
𝐿𝑐 = [𝐵 ⋮ 𝐴𝐵 ⋮ 𝐴2 𝐵].
Поэтапно вычисляем
48
(П3.1.2)
1 2
𝐴𝐵 = [4 7
9 3
3 2 1
13 13
=
]
[
]
[
6 1 3
33 37],
1 3 2
24 20
(П3.1.3)
1 2 3 2 2 1
36 25 18 2 1
151 147
2
𝐴 𝐵 = [4 7 6] [1 3] = [86 75 60] [1 3] = [427 431].
9 3 1 3 2
30 42 46 3 2
240 248
(П3.1.4)
Получаем
2 1 13 13 151 147
𝐿𝑐 = [1 3 ⋮ 33 37 ⋮ 427 431].
3 2 24 20 240 248
(П3.1.5)
Отсюда
(П3.1.6)
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿𝑐 = 3,
т. е. система по состояниям полностью управляема.
Определим управляемость по выходам.
𝐿0𝑐 = [𝐶𝐵 ⋮ 𝐶𝐴𝐵 ⋮ 𝐶𝐴2 𝐵].
(П3.1.7)
11 14 160 164 1912 1936
𝐿0𝑐 = [
⋮
⋮
].
17 20 230 234 2730 2762
(П3.1.8))
Отсюда
(П3.1.9)
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿0𝑐 = 2,
т. е. система по выходам полностью управляема.
Пример 3.2.
Определить управляемость системы (3.1), (3.2) в случае, когда вектор 𝒙(𝑡)
имеет размерность 8 × 1, 𝒖(𝑡) – 4 × 1, 𝒚(𝑡) – 4 × 1 и
𝐴=
0
0
0
0
3
7
5
[8
0
0
0
0
5
10
4
12
0
0
0
0
6
8
3
9
0
0
0
0
2
11
4
2
1
0
0
0
2
6
2
5
0
1
0
0
5
3
7
4
0
0
1
0
4
10
12
3
0
0
0
1 ,
7
8
0
6]
49
0
0
0
𝐵= 0
2
4
7
[5
0
0
0
0
4
5
4
7
0
0
0
0
3
3
2
4
0
0
0
0,
5
2
6
8]
1 0
0 1
𝐶=[
0 0
0 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
].
0
0
(П3.2.1)
Управляемость по состояниям
𝐿𝑐 = [𝐵 ⋮ 𝐴𝐵 ⋮ 𝐴2 𝐵 ⋮ 𝐴3 𝐵 ⋮ 𝐴4 𝐵 ⋮ 𝐴5 𝐵 ⋮ 𝐴6 𝐵 ⋮ 𝐴7 𝐵].
(П3.2.2)
где
0
0
0
= 0
2
4
7
[5
0
0
0
0
4
5
4
7
0
0
0
0
3
3
2
4
0
0
0
0
5
2
6
8
[𝐵 ⋮ 𝐴𝐵 ⋮ 𝐴2 𝐵] =
87 98
2 4 3 6
134 135
4 5 3 2
116 91
7 4 2 6
77
94
5 7 4 80
87
98 57 100 1925 1968
134 135 79 160 2865 2842
116 91
51 86 2571 2313
77
94
57 99 1918 2009
57 100
79 160
51 96
57 99
.
1156 2154
1656 3023
1328 2555
1182 2156]
(П3.2.3)
[𝐴3 𝐵 ⋮ 𝐴4 𝐵 ⋮ 𝐴5 𝐵] =
1925 1968
2865 2842
2571 2313
1918 2009
=
43666 43164
64923 63334
56384 53265
[43808 43612
43666 43164 25164 46609
1156 2154
64923 63334 36864 68948
1656 3023
56384 53265 30822 57953
1328 2555
43808 43612 25457 4724
1182 2156
959352 558215 1041704
25164 46609 983501
36864 68948 1454860 1413331 821730 1533452
30822 57953 1254871 1205029 699356 1310441
25457 47245 986777
965306 561920 1046981
983501
959352 558215 1041704
1454860 1413331 821730 1533452
1254871 1205029 699356 1310441
986777
965306 561920 1046981
.
22049758 21415593 12451602 23248074
32596364 31610183 18374791 34329900
28031880 27075768 15728382 2941454
22145696 21528936 12519575 23371852]
(П3.2.4)
[𝐴6 𝐵 ⋮ 𝐴7 𝐵] =
0.0022
0.0033
0.0028
0.0022
=
0.0494
0.0730
0.0627
[ 0.0496
0.0021
0.0032
0.0027
0.0022
0.0479
0.0707
0.0607
0.0481
0.0012
0.0018
0.0016
0.0013
0.0278
0.0411
0.0353
0.0280
0.0023
0.0034
0.0029
0.0023
0.0520
0.0768
0.0659
0.0523
0.0494
0.0730
0.0627
0.0496
1.1061
1.6342
1.4036
1.1112
0.0479 0.0278 0.052
0.0707 0.0411 0.0768
0.0607 0.0353 0.0659
0.0481 0.0280 0.0523 × 1010 .
1.0720 0.6231 1.16425
1.5836 0.9204 1.7198
1.3594 0.7900 1.4764
1.0771 0.6260 1.1697 ]
(П3.2.5)
Отсюда
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿𝑐 = 8,
т. е. система по состояниям полностью управляема.
50
(П3.2.6)
Определим управляемость по выходам.
𝐿𝑐 = [𝐶𝐵 ⋮ 𝐶𝐴𝐵 ⋮ 𝐶𝐴2 𝐵 ⋮ 𝐶𝐴3 𝐵 ⋮ 𝐶𝐴4 𝐵 ⋮ 𝐶𝐴5 𝐵 ⋮ 𝐶𝐴6 𝐵 ⋮ 𝐶𝐴7 𝐵].
(П3.2.7)
Отсюда
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿0𝑐 = 4,
т. е. система по выходам полностью управляема.
(П3.2.8)
3.2. Наблюдаемость
В ХТП и ХТС выходными параметрами 𝒚(𝑡) являются физические величины, которые можно измерить (наблюдать) и по которым осуществляется оценивание состояния 𝒙(𝑡) и ведение процесса. В связи с этим большое значение
приобретает понятие наблюдаемости системы по Калману.
Система будет полностью наблюдаемой, если по измеренным выходам
𝒚(𝑡) и известным управлениям 𝒖(𝑡) на интервале времени [𝑡0 , 𝑡1 ] можно определить все координаты вектора состояния 𝒙(𝑡0 ).
Система будет неполностью наблюдаемой, если по измеренным выходам
𝒚(𝑡) и известным управлениям 𝒖(𝑡) на интервале времени [𝑡0 , 𝑡1 ] можно восстановить не все координаты вектора состояния 𝒙(𝑡0 ).
Стационарная линейная система (3.1), (3.2) будет полностью наблюдаемой
тогда и только тогда, когда ранг матрицы наблюдаемости Lo [ n  nl ] равен n [7,
9], т. е.
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿0 = 𝑛,
(3.7)
𝐿0 = [𝐶 𝑇 ⋮ 𝐴𝑇 𝐶 𝑇 ⋮ (𝐴𝑇 )2 𝐶 𝑇 ⋮ . . . ⋮ (𝐴𝑇 )𝑛−1 𝐶 𝑇 ].
(3.8)
где
Если 𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿0 = 𝑟 и 𝑟 < 𝑛, то система будет неполностью наблюдаемой, а
при 𝑟 = 0 – полностью ненаблюдаемой.
Пример 3.3.
Рассмотрим наблюдаемость системы, представленной в примере 3.1.
В соответствии с (3.8) определим матрицу наблюдаемости 𝐿0 , где 𝑛 = 3:
𝐿0 = [𝐶 𝑇 ⋮ 𝐴𝑇 𝐶 𝑇 ⋮ (𝐴𝑇 )2 𝐶 𝑇 ].
Подставляя, получаем
51
(П3.3.1)
1
𝐿0 = [3
2
2 31 45 354 506
4 ⋮ 29 41 ⋮ 334 476].
3 23 33 290 414
(П3.3.2)
𝑟𝑎𝑛𝑘 𝐿0 = 3,
(П3.3.3)
Отсюда
т. е. система полностью наблюдаема.
52
4. СИНТЕЗ МСАУ С КОМПЕНСАЦИЕЙ ЗАДАЮЩИХ
ВОЗДЕЙСТВИЙ
4.1. Проблема многосвязности
При синтезе многомерных систем управления ХТС и ХТП возникают затруднения, связанные с проблемой многосвязности, т. е. наличием статических
и динамических перекрестных прямых и обратных связей в системе. Это не
позволяет осуществлять автономное (независимое) управление выходными координатами системы друг от друга. Если же эти связи отсутствуют, т. е. в уравнении (2.4) матрицы L(p) и G(p) являются диагональными, а число n управляющих воздействий равно числу n управляемых величин, то матричная передаточная функция 𝑊𝐺 (𝑝) (которая может быть представлена и в операторной
форме 𝑊𝐺 (𝑠)) по каналу управления также является диагональной [7]
𝐺 (𝑝)
𝑊11
0
⋯ 0
𝐺 (𝑝)
⋯ 0
0
𝑊22
𝑊𝐺 (𝑝) =
⋯ ⋯
⋯
⋯
𝐺 (𝑝)
[ 0
]
0 ⋯ 𝑊𝑛𝑛
(4.1)
В этом случае многосвязная система распадается на n сепаратных (независимых) одномерных систем, каждая из которых имеет одно управляющее воздействие и одну управляемую величину. Это позволяет рассчитывать и настраивать одномерные САУ независимо друг от друга. Однако данная ситуация в
реальных ХТС и ХТП встречается сравнительно редко, что и приводит к значительным трудностям при управлении многосвязными системами.
4.2. Синтез МСАУ с компенсацией задающих воздействий
При переходе от одного технологического режима к другому в многосвязных системах возникают эффекты, связанные с влиянием статических перекрестных связей при изменении задающих воздействий. Эти эффекты можно
исключить, применив компенсацию задающих воздействий или уставок заданий [7]. Структурная схема САУ с компенсацией задающих воздействий представлена на рис. 4.1.
53
Рисунок 4.1. Структурная схема МСАУ с компенсацией задающих воздействий:
𝛼1 – многосвязная управляемая подсистема; 𝛼2 – измерительная подсистема;
𝛼3 – управляющая подсистема; 𝛼4 – подсистема компенсации задающих
воздействий; 𝛼5 – исполнительная подсистема
Уравнение движения заданной МСАУ записывается на основании структурной схемы и передаточных функций ее подсистем
𝒀(𝑠) = 𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊𝛼5 (𝑠)𝑊𝛼3 (𝑠)𝚬(𝑠) + 𝑊𝑅1 (𝑠)𝑹(𝑠),
̂ (𝑠) − 𝑊𝛼 2 (𝑠)𝒀(𝑠),
𝚬(𝑠) = 𝑊𝛼4 (𝑠)𝒁
2
(4.2)
(4.3)
где 𝚬(𝑠) - изображение по Лапласу рассогласования 𝛆(𝑡).
Из уравнений (4.2), (4.3) получаем уравнение движения заданной МСАУ
̂ (𝑠) + 𝑊𝑅1 (𝑠)𝑹(𝑠),
𝒀(𝑠) = 𝑊𝑍̂ (𝑠)𝒁
(4.4)
где 𝑊𝑍̂ (𝑠) – матричная передаточная функция МСАУ по каналу фактического
задающего воздействия 𝒛̂(𝑡) → 𝒚(𝑡):
−1
𝑊𝑍̂ (𝑠) = [𝐸 + 𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊𝛼5 (𝑠)𝑊𝛼3 (𝑠)𝑊𝛼2 (𝑠)]
× 𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊𝛼5 (𝑠)𝑊𝛼3 (𝑠)𝑊𝛼4 (𝑠);
×
(4.5)
𝑊𝑅 (𝑠) – матричная передаточная функция МСАУ по каналу возмущения 𝒓(𝑡)
−1
𝑊𝑅 (𝑠) = [𝐸 + 𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊𝛼5 (𝑠)𝑊𝛼3 (𝑠)𝑊𝛼2 (𝑠)] 𝑊𝑅1 (𝑠),
(4.6)
здесь 𝑊𝛼2 (𝑠), 𝑊𝛼3 (𝑠), 𝑊𝛼5 (𝑠) – диагональные матричные передаточные функции
54
измерительной, управляемой и исполнительной подсистем соответственно, E –
единичная матрица.
Матричная передаточная функция 𝑊𝛼4 (𝑠) компенсатора задающих воздействий 𝛼4 выбирается из условия
lim 𝑊𝑍̂ (𝑠) = lim{[𝐸 + 𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊𝛼5 (𝑠)𝑊𝛼3 (𝑠)𝑊𝛼2 (𝑠)]
𝑠→0
−1
×
𝑠→0
× 𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊𝛼5 (𝑠)𝑊𝛼3 (𝑠)𝑊𝛼4 (𝑠)} = 𝐸.
(4.7)
Из выражения (4.7) находим
𝑊𝛼4 (𝑠) = lim{[𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊𝛼5 (𝑠)𝑊𝛼3 (𝑠)]−1 [𝐸 + 𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊𝛼5 (𝑠)𝑊𝛼3 (𝑠)𝑊𝛼2 (𝑠)]}
𝑠→0
или
𝑊𝛼4 (𝑠) = lim[𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊𝛼5 (𝑠)𝑊𝛼3 (𝑠)]−1 +𝑊𝛼2 (𝑠).
(4.8)
𝑠→0
Пример 4.1.
Рассмотрим синтез компенсатора задающих воздействий для МСАУ, матричные передаточные функции которой задаются следующими выражениями:
𝑘𝐺1 𝑇3
𝑇3 𝑠 + 1 𝑇2
𝑊𝐺1 (𝑠) =
1
𝑇2 𝑠
[
−
𝑘𝑅1 𝑇3
𝑇3 𝑠 + 1 𝑇1
𝑊𝑅1 (𝑠) =
1
𝑇1 𝑠
[
−
𝑊2 (𝑠) = 𝑊𝛼2 (𝑠) = 𝐸,
0
1
−
𝑇3 𝑠]
,
𝑘𝑅2 𝑇3
𝑇3 𝑠 + 1 𝑇1
𝑘𝑅3 𝑇3
𝑇3 𝑠 + 1 𝑇2
0
0
𝑊5 (𝑠) = 𝑊𝛼5 (𝑠) = 𝐸,
𝑘
𝑊3 (𝑠) = 𝑊𝛼3 (𝑠) = [ 31
0
]
𝑊4 (𝑠) = 𝑊𝛼4 (𝑠),
0
].
𝑘32
В соответствии с уравнением (4.8) запишем
55
,
(П4.1.1)
𝑊4 (𝑠) = lim[𝑊𝐺1 (𝑠)𝑊3 (𝑠)]−1 + 𝐸 =
𝑠→0
= lim[W3 (s)]−1 [W𝐺1 (s)]−1 + E,
(П4.1.2)
𝑠→0
где
𝑇3 𝑠 + 1 𝑇2
𝑘𝐺1 𝑇3
[𝑊𝐺1 (𝑠)]−1 =
𝑇3 𝑠 + 1
−
𝑘𝐺1
[
−
0
,
−𝑇3 𝑠
[𝑊3
(𝑠)]−1
=
[
]
1
𝑘31
0
0
1
𝑘32 ]
.
(П4.1.3)
Подставляя выражения (П4.1.3) в (П4.1.2) получаем матричную передаточную функцию компенсатора задающих воздействий
𝑇3 𝑠 + 1 𝑇2
𝑘31 𝑘𝐺1 𝑇3
𝑊4 (𝑠) = lim
𝑇3 𝑠 + 1
𝑠→0
−
𝑘32 𝑘𝐺1
[
1−
1 𝑇2
𝑘31 𝑘𝐺1 𝑇3
=
𝑇3 𝑠
1
1−
−
𝑘32 ] [
𝑘32 𝑘𝐺1
0
1−
0
.
1
(П4.1.4)
]
На рис. 4.2 представлена структурная схема рассматриваемой МСАУ с
компенсацией задающих воздействий, где
(3)
𝑊11 (𝑠) = 𝑘31 ,
(4)
𝑊11 (𝑠) = 1 −
1 𝑇2
,
𝑘31 𝑘𝐺1 𝑇3
(3)
𝑊22 (𝑠) = 𝑘32 ,
(4)
𝑊21 (𝑠) = −
1
.
𝑘32 𝑘𝐺1
Рисунок 4.2. Структурная схема МСАУ с компенсацией задающих воздействий
56
Основным недостатком систем с компенсацией задающих воздействий является то, что компенсатор не улучшает показатели качества системы по отношению к возмущениям, так как не включен в контур обратной связи САУ.
57
5. ОСНОВЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ПРОЦЕССОВ В ТЕПЛИЦЕ
5.1. Описание лабораторного стенда
Общий вид и схема лабораторного стенда «Основы автоматизации технологических процессов в теплице» представлены на рис. 5.1 и рис. 5.2.
Рисунок 5.1. Общий вид лабораторного стенда
58
Рисунок 5.2. Схема лабораторного стенда:
1 - прозрачная камера, 2 - емкость для грунта, 3 - насос, 4 - бак с водой, 5 - шланг,
6 - блок исполнительных устройств, 7 - теплый пол, 8 - вентиль регулировки подачи
воды, 9 - вентиляторы, 10 - датчик относительной влажности воздуха, 11 - водяная
форсунка, 12 - фитолампа, 13 - УФ лампа, 14 - датчик уровня воды, 15 - нагревательный элемент, ТЭН, 16 - многоканальный контроллер, 17 - прожектор,
18 - увлажнитель воздуха, 19 - датчик влажности почвы
В настоящей лабораторной установке для обеспечения нормального фотосинтеза – одного из основных процессов, протекающих в растениях, используются такие осветительные приборы как фитолампа, ультрафиолетовая (УФ)
лампа и прожектор.
Фитолампа– осветительный прибор, спектр лучей которого максимально
приближен к оптимальному для растений естественному свету.
Больше всего рассада нуждается в дополнительном свете в период с января
по март, когда световой день короткий, температура низкая, много пасмурных
дней. Все эти факторы замедляют естественный рост даже при наличии питательной почвы и регулярного увлажнения.
У каждого вида растений свои потребности в количестве света, длительности светового дня и даже собственные предпочтения относительно спектра. Это
нужно учитывать при выращивании рассады. Также важно следить за чередованием дня и ночи, т. е. темных и светлых периодов. Поэтому приборы должны
периодически включаться и выключаться. Длительность светового дня зависит
от вида растения и фазы роста.
59
УФ лампа - для роста растений, у которых основные пики спектра свечения приходятся на красные – длина волны 660 нм и синие – 440 нм.
В настоящее время в продвинутых моделях фитоламп производители добавляют и УФ, и инфракрасные светодиоды (ИК-светодиоды) как раз для стимуляции клеток растений дополнительными длинами волн.
На рис. 5.3 представлен многоканальный контроллер, обеспечивающий
управление температурой пола, влажностью, освещенностью и температурой
воды, а также их отображение в текущий момент времени. Блок исполнительных устройств (рис. 5.4) обеспечивает релейное управление УФ лампой, фитолампой и насосом.
Рисунок 5.3. Многоканальный контроллер
60
Рисунок 5.4. Блок исполнительных устройств
Теплица является многосвязным ТОУ.
Управляемые и наблюдаемые параметры (выходы):
1) 𝑇воды – температура воды в баке;
2) 𝑇п – температура теплого пола;
3) Ф – освещенность;
4) 𝜑поч – влажность почвы;
5) 𝐹воды – расход воды на полив;
6) 𝐹В – расход воздуха в теплицу – вентиляция;
7) 𝑇к – температура воздуха в камере;
8) 𝜑возд – относительная влажность воздуха в теплице;
9) 𝑄𝐶𝑂2 – концентрация углекислого газа.
Возмущающие воздействия (внешние факторы):
1) 𝑇о.в. – температура окружающего воздуха;
2) 𝜑В – относительная влажность поступающего воздуха;
3) 𝛷е – естественная освещенность.
61
Отметим, что в зависимости от комплектации лабораторного стенда количество и структура управляющих воздействий, управляемых и наблюдаемых
(измеряемых) параметров может изменяться (рис. 5.5).
Нагрев пола под емкостью для грунта и воды в баке с водой производится
нагревательными элементами. Математическую модель нагрева среды открытой спиралью
𝑑𝜃
(5.1)
𝑇0
+ 𝜃 = 𝑘𝐼 2 ,
𝑑𝜏
где 𝜃 = 𝑡 − 𝑡0 – температура перегрева спирали относительно температуры 𝑡0 ,
т. е. математическая модель нагрева открытой спирали электрическим током –
апериодическое звено 1-го порядка, где 𝑇0 = 𝐺𝑐/𝑎𝐹 – постоянная времени объекта (спирали) и представляет собой отношение теплопоглощающей способности тела к его теплоотдающей способности; 𝑘 = 𝑅/𝑎𝐹 – коэффициент усиления
объекта.
Решая уравнение (6.1) при начальном условии 𝜃(0) = 0, получим закон
изменения температуры 𝜃(𝜏) спирали при ее нагреве электрическим током:
𝜃 = 𝑘𝐼
2
1
− 𝜏
𝑇
(1 − 𝑒 0 ),
(5.2)
или в виде закона изменения температуры 𝑇С (𝜏) спирали
𝑇С (𝜏) = 𝑇С0 + 𝑘𝐼
2
1
− 𝜏
𝑇
(1 − 𝑒 0 ).
(5.3)
5.2. Цель и задачи работы
Цель работы:
1. Изучение основных технологических процессов, протекающих в теплице;
2. Идентификация теплицы как многомерного объекта управления;
3. Синтез МСАУ;
4. Синтез МСАУ с компенсацией задающих воздействий;
5. Идентификация МСАУ теплицей.
62
Задачи работы
1. Ознакомиться с основными возможностями промышленных контроллеров для автоматизации технологических процессов.
2. Изучить основные технологические процессы, происходящие в теплице
и их взаимосвязь. На рис. 5.5 в качестве примера представлены графики переходных процессов в МСАУ теплицей при изменении управляющих воздействий.
Рисунок 5.5. Графики переходных процессов в МСАУ теплицей
при изменении управляющих воздействий
5.3. Порядок подготовки к выполнению работы
1.
№,
п.п
1.
2.
Получить у преподавателя вариант задания на выполнение лабораторной работы, табл. 5.1.
Таблица 5.1
Воздействия и
параметры
Управляющие
воздействия
Наблюдаемые
параметры
Номер варианта
1
1-4
2
1-4
3
1-4
4
1-4,
5
1-4
6
5, 6
7
5, 6
1-4
1-4, 7 1-4, 8
7, 8,
9
1-4,
7, 8,9
1-4
7,8,
9
63
8
1-4,
5,6
1-4,
7, 8,9
Примечание: Преподаватель может изменять количество и структуру
управляющих воздействий и наблюдаемых параметров, а также вводить в рассмотрение внешние возмущающие воздействия.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Изучить методические указания, заготовить форму отчета о проведенной работе, в которую внести название и цель работы, основные сведения об изучаемых процессах, схему экспериментальной установки,
заготовить табл. 5.2 в соответствии с вариантом задания для записи
результатов измерений и вычислений.
Подключить стенд к сети 220 В.
Проверить наличие воды в баке (4). Воды не должно быть меньше
среднего уровня датчика (14).
Подготовить увлажнитель (18), залить (долить) воды согласно инструкции по применению увлажнителя.
Подключить автоматизированный стенд к USB разъему компьютера и
запустить программу Пуск —> Программы —> MeasLAB —> «Автоматизация». Запуск программы производится кнопкой «Пуск».
Включить питание стенда автоматическим выключателем «Сеть
220В».
В программе установить различные параметры микроклимата в соответствии с заданным вариантом.
5.4. Порядок выполнения работы по идентификации
объекта управления
Настоящий раздел выполняется, если предусмотрена возможность отключения управляющей системы. В этом случае в табл. 5.1 в строке «Управляющие
воздействия» задаются соответствующие управления, воздействующие на
объект.
Таблица 5.2.
№, п.п
t, с
Тп,℃
Тк,℃
Тводы,℃
φвозд, %
1
2
3
…
64
φпоч, %
Ф, ЛК
𝑄𝐶𝑂2 ,%
1.
2.
3.
4.
5.
Убедиться, что выполнен п. 5.3.
Изучить алгоритм идентификации (см. стр. 34 и пример 2.3) применительно к заданному варианту и указаниям преподавателя.
Нанести ступенчатое воздействие 𝑢1 = 𝑎1 ∙ 𝟏(𝑡) и визуально (по графикам) контролировать выход системы на заданный режим. Коэффициент 𝑎1 (и последующие 𝑎𝑖 ) выбирается исходя из диапазонов изменения входных и выходных параметров. При выполнении визуально
по графикам контролировать выходные параметры системы на заданный режим.
Повторить п. 3 для 𝑢𝑖 = 𝑎𝑖 ∙ 𝟏(𝑡) для 𝑖 = ̅̅̅̅̅
2, 𝑛, где n – заданное число
входных воздействий.
Записать основные параметры в табл. 5.2.
5.5. Порядок выполнения работы по идентификации МСАУ
1.
2.
3.
4.
Убедиться, что выполнен п. 5.3.
Изучить алгоритм идентификации многосвязной системы (см. стр. 34
и пример 2.3) применительно к заданному варианту и указаниям преподавателя.
Нанести ступенчатое воздействие по заданию 𝑧1 = 𝑐1 ∙ 𝟏(𝑡) и визуально (по графикам, рис. 5.5) контролировать выход системы на заданный режим. Коэффициент 𝑐1 (и последующие 𝑐𝑖 ) выбирается исходя
из диапазонов изменения выходных параметров. При выполнении визуально по графикам контролировать выходные параметры системы
на заданный режим.
Записать необходимые параметры в табл. 5.2.
5.6. Обработка экспериментальных данных
По полученным данным в соответствии с изложенным теоретическим материалом в настоящем практикуме проводится анализ многомерной системы:
1. По передаточным матрицам 𝑊𝐺𝜏 (𝑠), 𝑊𝑁𝜏 (𝑠) (см. уравнение (2.8) устанавливается как в динамике (по постоянным времени и коэффициентам передачи), так и в стационарном состоянии (по коэффициентам
передачи) степень влияния входных параметров на выходные.
2. В случае идентификации объект управления (теплицы) при известных
параметрах настройки законов управления осуществляется синтез
65
3.
4.
5.
МСАУ с компенсацией задающих воздействий.
Определяется управляемость системы (объекта).
Определяется наблюдаемость системы (объекта).
По указанию преподавателя для заданного переходного процесса
определяются его показатели качества переходного процесса [12].
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Назовите основные условия роста растений.
Какие функции выполняет САУ микроклиматом теплицы?
Какие математические модели применяются для описания микроклимата в теплице?
Что необходимо учитывать при синтезе математических моделей САУ
микроклиматом теплиц?
Какие основные уравнения используются при синтезе математической
модели микроклимата теплицы на основе законов сохранения?
Что такое идентификация и ее место в процессах управления?
Почему в настоящей лабораторной работе используется идентификация с помощью переходной функции?
Что отражает сигнальный граф математической модели?
Какой тип математической модели используется при идентификации в
выполняемой лабораторной работе?
Что такое управляемость системы и для чего она необходима?
Что такое наблюдаемость системы и для чего она необходима?
В каких случаях необходим синтез МСАУ с компенсацией задающих
воздействий?
В каком месте устанавливается датчик температуры почвы теплицы?
Обоснуйте выбор типа регулятора и закона регулирования.
В чем заключается автоматизация управления температурным режимом почвы?
В чем заключается автоматизация управления влажностным режимом
почвы и воздуха в теплицы?
В чем заключается автоматизация управления содержания углекислого газа в атмосфере теплиц?
Какой метод идентификации рассматривается в настоящем практикуме и почему?
Какие типы математических моделей используются для описания
66
многомерных систем?
20. В чем достоинства и недостатки рассматриваемых моделей?
67
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
Blasco, X.; Martínez Iranzo, MA.; Herrero Durá, JM.; Ramos Fernández, C.;
Sanchís Saez, J. (2007). Model-based predictive control of greenhouse climate
for reducing energy and water consumption. Computers and Electronics in
Agriculture. 55(1): 49-70: https://doi.org/10.1016/j.compag. 2006.12.001
Семенов, В.Г. Математическая модель микроклимата теплицы. / В.Г.
Семенов, Е.Г. Крушель // Известия ВолгГТУ. – 2009. – №6. – с. 32–35.
Пешко М.С. Раскрытая математическая модель микроклимата грибной
теплицы. «Молодой учёный», - 2011. № 9 (32) – с. 42-48.
Грудинин В.С., Хорошавин В.С., Зотов А.В., Грудинин С.В. Адаптивное
итерационное управление температурой в теплице // Инженерные технологии и системы. 2019. Т. 29, № 3. С. 383–395. DOI: https://
doi.org/10.15507/2658-4123.029.201903.383-395.
Токмаков Н.М., Грудинин В.С. Математическая модель системы управления микроклиматом ангарных теплиц. Гавриш. 2008. № 3. С. 28–32.
URL: http://samodelkin.komi.ru/doc/6.pdf (дата обращения: 22.01.2019).
Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. – СПб.: «Профессия», 2007. – 752 с.
Рей У. Методы управления технологическими процессами: Пер. с англ. –
М.: Мир, 1983. – 368с., ил.
Гроп Д. Методы идентификации систем. М.: Мир, 1979. – 304 с.
Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление: Учеб. пособие для вузов. –
3-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1992. –
576 с.
Янушевский Р.Т. Управление объектами с запаздыванием. М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1978. – 410 с.
Янушевский Р.Т. Теория линейных многомерных систем управления. М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1973. – 464 с.
Божко В.И. Системы управления химико-технологическими процессами.
Часть 1 [Электронный ресурс]: Учебное пособие – М.: МИРЭА – Российский технологический университет, 2019. – 1 электрон. опт. диск
(CD-ROM). Номер гос. регистрации 0321903916 от 18.12.2019 г.
68
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Инструкция по технике безопасности для студентов при проведении лабораторных и практических работ в лабораториях автоматики кафедры
процессов и аппаратов химических технологий им. Н.И. Гельперина
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Все лабораторные работы выполняются только по разрешению и под руководством преподавателя.
На первом занятии в лаборатории студенты должны получить инструктаж
по технике безопасности и правилам противопожарной безопасности.
Инструктаж проводит преподаватель, ведущий занятия. К выполнению
лабораторных работ допускаются только студенты, прошедшие инструктаж и расписавшиеся в контрольном листе инструктажа по технике безопасности.
Перед выполнением работы студенты должны внимательно изучить содержание работы и ход ее выполнения.
При выполнении лабораторной работы студенты должны пользоваться
соответствующими средствами защиты.
Ознакомление с лабораторными макетами и измерительными приборами
проводятся при снятом с макетов и приборов напряжении.
При проведении опытов не допускайте предельных нагрузок на измерительные приборы.
Студентам запрещается:
8.1.
Находиться в лаборатории в верхней одежде. Верхнюю одежду
следует сдавать в гардероб
8.2.
Класть на столы одежду, сумки и другие предметы, не являющиеся
непосредственной необходимостью для выполнения лабораторных
работ и практических занятий.
8.3.
Находиться в классе с едой и напитками, принимать пищу в учебной аудитории.
8.4.
Портить учебный инвентарь (рисовать на партах, стульях, стендах
и т.д.).
8.5.
Громко разговаривать, мешать окружающим.
8.6.
Вставать с рабочего места во время проведения работы без разре-
69
9.
шения преподавателя.
8.7.
Приборы, материалы, оборудование на рабочем месте необходимо
располагать так, чтобы исключить опрокидывание.
8.8.
Передвигать приборы и макеты, переключать провода питания,
выключать вручную блокировочные устройства.
8.9.
После окончания работ все выключатели отдельных блоков, узлов
и приборов должны быть выключены.
8.10. Не разрешается выполнять пропущенные работы без преподавателя.
8.11. В случае возникновения технических проблем, нарушений следует
обратиться к преподавателю или заведующему лабораторией за
помощью.
8.12. Устранение неисправностей, неполадок и других причин, мешающих ходу лабораторной работы может производиться преподавателем, инженером или заведующим лабораторией.
8.13. При нарушении требований инструкции студент отстраняется от
работы.
Требования безопасности в аварийных ситуациях:
9.1.
При появлении неисправности оборудования студент обязан немедленно сообщить об этом преподавателю или заведующему лабораторией. Повторно приступить к работе можно только осле
устранения неисправности и с разрешения преподавателя.
9.2.
При появлении запаха гари, искрения, необычного звука нужно
немедленно прекратить работу, отойти на безопасное расстояние и
сообщить преподавателю.
9.3.
В случае порчи или выхода из строя лабораторного оборудования
по вине пользователя ремонт или замена оборудования производится за его счет.
9.4.
При появлении плохого самочувствия студент должен незамедлительно сообщить об этом преподавателю и покинуть рабочее место
с цель обращения к врачу.
9.5.
О каждом несчастном случае, очевидцем которого он был, студент
должен немедленно сообщить преподавателю, а пострадавшему
оказать первую (доврачебную) помощь, вызвать врача или помочь
доставить пострадавшего в ближайшее медицинское учреждение.
70
Приложение 2
Руководство по использованию программы Measlab Explorer.
I.
Перед включением программы Measlab Explorer, обязательно подключите
к компьютеру лабораторный стенд посредством кабеля с USB разъемом.
II.
После подключения установки к USB разъему компьютера, запустите соответствующему программу из меню Пуск  Программы  Measlab
Explorer.
III. Ознакомление с главным окном программы. Главное окно программы
показано на рис. П2.1.
Рисунок П2.1. Главное окно программы
1. Главное меню программы:
– График – линейные графики, измеряемых величин.
– Схема – схема лабораторной установки с вынесенными соот71
ветствиями датчиков и измерительных окон.
– Таблица – таблица значений, измеряемых величин.
– Настройки – основные настройки программы.
2. Кнопки управления служат для управления системой сбора данных.
– Старт – запуск сбора данных.
– Пауза – приостановка сбора данных.
– Сброс – сброс программы в начальное состояние.
3. Текущее время эксперимента отображает секундомер эксперимента.
4. Название лабораторной работы.
5. Основной блок выбранного пункта меню.
6. Настройки или дополнительные функции основного блока.
III. График
Рисунок П2.2. Раздел «График»
1. График отображает показания присоединенных датчиков, привязанных к своим шкалам.
2. Правая часть основной зоны разделена на два подраздела:
- Настройки позволяют настроить параметры графиков.
- Управление – содержит элементы управления датчиками
стенда.
72
3. Название Y1-оси
4. Название Y2-оси
Рисунок П2.3. Настройки графика
Начальное окно настроек содержит функционал по изменению видимости
графиков и настройки осей графика. Для настройки отдельного графика необходимо перейти в его настройки путем нажатия кнопок 1 (рис. П2.3).
Рисунок П2.4. Настройки отдельного графика
Настройки отдельного графика (рис. П2.4) содержат настройки визуального представления (цвет линии и точек), также настройки привязки к осям Y1
(левая) и Y2 (правая). Привязка обязательно осуществляется к одной из осей.
73
Рисунок П2.5. Настройки осей
Настройки осей (рис. П2.5) позволяют изменять названия осей, минимум и
максимум осей Y, фиксирование осей Y от автоматического изменения. Автоматическое изменение осей Y происходит, когда значение одного из показателей лабораторного стенда выходит за текущие минимум и максимум оси Y, к
которой он привязан.
74
IV. Схема
Рисунок П2.6. Раздел «Схема»
1. Схема
2. Показатели, вынесенные на схему для отображения.
3. Правая часть разделена на подразделы:
– Цифровые индикаторы, отображающие показания датчиков при
работе программы.
– Управление – содержит элементы управления датчиками стенда,
полностью повторяет аналогичный подраздел в разделе «График».
75
V. Таблица
Рисунок П2.7. Раздел «Таблица»
1. Таблица с результатами эксперимента
2. Настройки таблицы:
- Директория выгрузки – директория для выгрузки таблицы с
результатами эксперимента
- Префикс имени файла для выгрузки, в конце добавляется
текущая дата.
- Автосохранение – флаг автоматической выгрузки данных
каждую секунду работы программы.
- Сохранить настройки – сохранение настроек таблицы для
последующих запусков программы.
76
VI. Настройки
Рисунок П2.8. Раздел «Настройки»
1. Настройки выбранного подраздела.
2. Подразделы настроек:
- Общие – общие настройки программы.
- График – начальные настройки графика.
- О программе – сведения о программе.
77
Приложение 3
Образец оформления титульного листа и содержание отчета
по лабораторной работе
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
МИРЭА – РОССИЙСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт ТХТ имени М. В. Ломоносова
Кафедра ПАХТ имени Гельперина Н. И.
Лабораторная работа
__________________________________________
Название лабораторной работы
Преподаватель _____________________
Студент __________________________ФИО
Группа ____________________________
Москва – 20__
78
Содержание отчета
1. Цель работы.
2. Схема установки.
3. Таблицы результаты измерений и вычислений.
4. Выводы по результатам измерений и вычислений.
79
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
Божко Виктор Иванович, канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры процессов и аппаратов химических технологий имени Гельперина Н.И. Института
тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Российский технологический университет.
Науменко Эльвира Вячеславовна, канд. техн. наук, доцент кафедры процессов и аппаратов химических технологий имени Гельперина Н.И. Института
тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Российский технологический университет.
80