Уравнение в операторной записи: 𝐴𝑈 = 𝑓 1 Допустим в данном функциональном пространстве D имеется полная система собственных функций. Обозначим ее как 𝑈𝑛 . 𝐴𝑈 − 𝑓 – нулевой элемент рассматриваемого пространства, он ортогонален всем 𝑈𝑛 : 𝐴𝑈 − 𝑓, 𝑈𝑘 = 0, 𝑘 = 1,2,3, … Решение поставленной задачи запишем в следующем виде 𝑁 𝑈𝑁 = 𝑎𝑛 𝑈𝑛 , (2) 𝑛=1 (2) (1) Условие ортогональности 𝐴𝑈 𝑁 − 𝑓, 𝑈𝑘 = 0, 𝑘 = 1,2,3, … , 𝑁. (3) Система 𝑁 линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов 𝑎𝑛 : 𝑁 𝐴 𝑎𝑛 𝑈𝑛 − 𝑓, 𝑈𝑘 =0 𝑛=1 Обозначим 𝐴𝑈𝑛 , 𝑈𝑘 = 𝐴𝑛𝑘 ; 𝑓, 𝑈𝑘 = 𝑓𝑘, систему уравнений относительно 𝑎𝑛 можно записать в виде 𝐴11 𝑎1 + 𝐴21 𝑎2 + 𝐴31 𝑎3 + ⋯ + 𝐴𝑁1 𝑎𝑁 = 𝑓1 ; 𝐴12 𝑎1 + 𝐴22 𝑎2 + 𝐴32 𝑎3 + ⋯ + 𝐴𝑁2 𝑎𝑁 = 𝑓2 ; ………………………………………………… 𝐴1𝑁 𝑎1 + 𝐴2𝑁 𝑎2 + 𝐴3𝑁 𝑎3 + ⋯ + 𝐴𝑁𝑁 𝑎𝑁 = 𝑓𝑁 . (4) В случае однородной краевой задачи Cоотношение ортогональности: 𝐿𝑈 = λ𝑞𝑈 5 𝐿 − λ𝑞 𝑈, 𝑈𝑘 = 0 6 (6) (2) (7) В этом случае коэффициенты 𝐴𝑛𝑘 записываются как Характеристическое уравнение
