2025 shishigin theory of electricfl cir

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра управляющих и вычислительных систем
Теория электрических цепей
Лабораторный практикум
Составители: С. Л. Шишигин, Д. С. Шишигин
Институт машиностроения, энергетики и транспорта
Направление подготовки 13.03.02 Электроэнергетика и электротехника
Направленности (профили) «Электрооборудование и электрохозяйство
подготовки:
предприятий, организаций и учреждений»;
«Электропривод и автоматика»;
«Электроснабжение»;
«Цифровые технологии в электроэнергетике»
ВОЛОГДА
2024
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
УДК 621.3.01(075.8)
ББК 31.211я73
Т33
Утверждено экспертным советом по учебным изданиям ВоГУ
Рецензент
Н. Д. Поздеев, канд. техн. наук, доцент,
доцент кафедры электрооборудования ВоГУ
Т33
Теория электрических цепей : лабораторный практикум / Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, Вологодский государственный университет ; составители: С. Л. Шишигин,
Д. С. Шишигин. – Вологда : ВоГУ, 2024. – 52 с. : ил.
Лабораторный практикум состоит из восьми работ по основным разделам
теории электрических цепей. Первые четыре работы выполняются в ходе изучения курса ТОЭ часть 1, следующие – в ходе изучения курса ТОЭ часть 2.
В лабораторном практикуме приведены задания к лабораторным работам,
даны указания по их выполнению и оформлению, а также контрольные вопросы и список рекомендуемой литературы.
Лабораторный практикум по теории электрических цепей предназначен для
обучающихся очной формы обучения по направлению подготовки 13.03.02
Электроэнергетика и электротехника.
УДК 621.3.01(075.8)
ББК 31.211я73
© ФГБОУ ВО «Вологодский
государственный университет», 2024
© Шишигин С. Л., Шишигин Д.С.,
составление, 2024
2
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
СОДЕРЖАНИЕ
ПОНЯТИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ .................................................................. 4
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................ 5
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА........................................................................................... 7
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА ............................................................................. 15
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3. РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЯХ ..................................................................................................................... 24
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
С ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ .............................................................................. 28
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА ........................................................................ 33
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ .............................................................................. 38
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ ........................... 43
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ..................................................................................... 48
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОГРАММА РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНОЙ
ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ .................................................................................... 51
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ...................................................................................... 52
3
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ПОНЯТИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ
Согласно ГОСТ Р 52002-2003 Электротехника:
Электрическая цепь – совокупность устройств и объектов, образующих
путь для электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут
быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении.
Ветвь электрической цепи – участок электрической цепи, вдоль которого
протекает один и тот же ток.
Узел электрической цепи – место соединения ветвей электрической
цепи.
Резистор – элемент электрической цепи, предназначенный для использования его электрического сопротивления.
Катушка – элемент электрической цепи, предназначенный для использования его собственной индуктивности и/или его магнитного поля.
Конденсатор – элемент электрической цепи, предназначенный для использования его емкости.
4
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ВВЕДЕНИЕ
Теория электрических цепей – наиболее важный раздел курса «Теоретические основы электротехники».
Выполнение лабораторных работ ставит целью сформировать практические навыки в исследовании электрических цепей, работе с измерительной
аппаратурой и профессиональным программным обеспечением.
Лабораторный практикум состоит из описания восьми работ по основным
разделам теории электрических цепей. Первые четыре работы: «Электрические цепи постоянного тока», «Электрические цепи синусоидального тока»,
«Резонанс в электрических цепях», «Электрические цепи с взаимной индукцией» – выполняются в рамках курса ТОЭ часть 1. Следующие четыре работы: «Электрические цепи несинусоидального тока», «Переходные процессы в
электрических цепях», «Четырехполюсники», «Нелинейные электрические
цепи» – выполняются в рамках курса ТОЭ часть 2.
Все лабораторные работы включают экспериментальную и расчетную
части.
Экспериментальная часть работы (физическое моделирование) проводится на универсальном лабораторном стенде (рис. 1).
Расчетная часть работы (обработка экспериментальных данных и математическое моделирование) проводится в программах Mathcad и Workbench.
Студенты сопоставляют результаты экспериментов и расчетов, а в случае
превышения допустимой погрешности эксперименты и/или расчеты повторяются, что формирует понимание об ответственности за достоверность получаемых результатов.
Описание каждой лабораторной работы включает в себя краткую теоретическую часть, описание элементов лабораторного стенда, необходимых для
данной работы, порядок выполнения работы, содержание отчета, а также контрольные вопросы, которые используются для защиты лабораторной работы.
Работы выполняются в бригадах по 2–3 человека.
При разработке лабораторного практикума приняты во внимание опыт
дистанционного обучения и неизбежные пропуски занятий студентами с последующей «отработкой» лабораторных работ. Все лабораторные работы могут быть выполнены на основе математического моделирования.
5
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Рис. 1. Универсальный лабораторный стенд:
1 – генератор синусоидального напряжения,
2 – усилитель-преобразователь сигналов,
3 – осциллограф, 4 – универсальный вольтметр (тестер),
5 – источник постоянного напряжения, 6 – резисторы,
7 – катушки, 8 – конденсаторы, 9 – ключи
6
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
Цель работы: измерение параметров и расчет электрической цепи постоянного тока.
Оборудование: источник постоянного напряжения, резисторы, ключ,
универсальный вольтметр (рис. 1).
1.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Цепь постоянного тока – электрическая цепь, в которой под действием
постоянной ЭДС протекают постоянные (во времени) токи.
Цепи постоянного тока – чисто резистивные цепи, где нет ни катушек, ни
конденсаторов, поскольку сопротивление идеальной катушки по постоянному
току равно нулю, идеального конденсатора – бесконечности (вместо него –
разрыв ветви).
Цепь постоянного тока описывается параметрами (табл. 1.1).
Таблица 1.1
Параметры электрической цепи постоянного тока
Параметр
Ток
Напряжение
Сопротивление
Проводимость
Мощность
Обозначение
I
U
R
G
P
Размерность
Полностью
Сокращенно
Ампер
А
Вольт
В
Ом
Ом
Сименс
См
Ватт
Вт
Пример
I=10 А
U=10 В
R=10 Ом
G=0,1 См
P=10 Вт
Способы соединения резисторов
Последовательным соединением называется соединение резисторов, при
котором при нем протекает общий ток (рис.1.1а). При последовательном соединении сопротивления резисторов складываются:
R = R1 + R2 .
Параллельным соединением называется соединение резисторов, при котором к ним приложено общее напряжение (рис. 1.1б). При параллельном соединении складываются проводимости резисторов:
G = G1 + G2 ,
Проводимость G – величина, обратная сопротивлению:
G = 1/ R .
Найдем сопротивление двух параллельно соединенных резисторов. Вначале запишем их проводимость:
G=
1 1 1
= + ,
R R1 R2
7
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
откуда:
R=
R1 ⋅ R2
.
R1 + R2
Для нахождения сопротивления трех и более параллельно включенных
сопротивлений вначале следует найти проводимость, а уже затем сопротивление. Например, для трех резисторов:
G=
1 1 1
1
+ + R= .
R1 R2 R3
G
Смешанное соединение – сочетание последовательного и параллельного
соединений (рис. 1.1в). Сопротивление цепи (рис. 1.1в) равно:
R = R1 +
а)
R2 ⋅ R3
.
R2 + R3
б)
в)
Рис. 1.1. Соединения резисторов:
а) последовательное; б) параллельное; в) смешанное
Закон Ома
Связь между током и напряжением резистора (рис. 1.2а) установлен законом Ома:
I=
U
.
R
Ток направлен в сторону напряжения.
Закон Ома для участка цепи, содержащей источник ЭДС (рис. 1.2б):
I=
±U ± E
.
R
Выбор знаков «+», «–» определяется следующим образом: если направления напряжения и ЭДС совпадают с направлением тока, то берется знак
«+», иначе «–». В примере (рис. 1.2б) ЭДС и напряжение совпадают с направлением тока, поэтому они входят в формулу (*) со знаком «+».
а)
б)
Рис. 1.2. Участок цепи для пояснения закона Ома: а) без ЭДС; б) с ЭДС
8
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Правило делителя напряжения. Два резистора соединены последовательно (рис. 1.3). Входное напряжение U1 задано, требуется определить
выходное напряжение – напряжение
на резисторе R2
Напряжение на резисторе R2:
U1
.
U 2 = R2 ⋅ I , где I =
R1 + R2
Рис. 1.3. Делитель напряжения
После подстановки тока получим правило делителя напряжения
R2
U1 .
R1 + R2
U2 =
Правило делителя тока. Два резистора включены параллельно (рис. 1.4).
Общий ток I разветвляется на две ветви в
определенной пропорции в зависимости
от величин сопротивлений R1 и R2. Требуется определить токи ветвей I1 и I2.
Сопротивление резисторов, включенных параллельно:
R=
(1.1)
Рис. 1.4. Делитель тока
R1 ⋅ R2
.
R1 + R2
Напряжение резисторов:
U = R⋅I =
R1 ⋅ R2
I.
R1 + R2
Токи ветвей:
I1 =
U
U
.
, I2 =
R1
R2
После подстановки напряжения U, получим правило делителя тока:
I1 =
R2
I , I 2 = I − I1 .
R1 + R2
(1.2)
Законы Кирхгофа используются для расчета сложных цепей.
Первый закон Кирхгофа – сумма токов, втекающих в узел, равна сумме
токов, из него вытекающих. Можно сказать иначе – сумма токов, втекающих
в узел, равна нулю (токи, вытекающие из узла, берутся со знаком «–»):
n
I = 0.
K =1
K
При расчете электрической цепи первый закон Кирхгофа следует записывать для всех узлов за исключением одного (любого) узла.
Второй закон Кирхгофа – сумма падений напряжений в замкнутом контуре равна сумме ЭДС, действующих в этом контуре:
±Rk Ik = ±Em .
k
m
9
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Знак «+» выбирается, если напряжение и ЭДС совпадают с выбранным
направлением обхода контура, иначе знак «–».
При расчете электрической цепи второй закон Кирхгофа следует записывать для всех внутренних контуров схемы.
Мощность источника ЭДС равна произведению ЭДС на ток источника:
Pист = E ⋅ I .
Мощность нагрузки (резистора) равна произведению напряжения на ток
нагрузки или произведению сопротивления резистора на квадрат протекающего по нему тока:
Pнагр = R ⋅ I 2 .
Баланс мощности. В электрической цепи выполняется баланс мощности –
сумма мощностей источников равна сумме мощностей нагрузок:
 Pист =  Pнагр   Ek I k =  Rm I m2 .
k
m
Выполнение баланса мощности используется для проверки достоверности расчетов.
Расчет простой цепи на основе закона Ома. Рассчитаем цепь (рис. 1.5)
с параметрами: U = 11 В, R1 = 1 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 3 Ом.
1. Входное сопротивление цепи (смешанное соединение):
R = R1 +
R2 ⋅ R3
=2,2 Ом.
R2 + R3
2. Входной ток (по закону Ома):
I1 =
U
=5 А.
R
3. Токи ветвей (по правилу делителя тока):
I2 =
R3
I1 =3 А, I3 = I1 − I 2 =2 А.
R2 + R3
Рис. 1.5. Простая цепь
постоянного тока
4. Проверка решения:
Pист = U ⋅ I1 =55 Вт, Pнагр = R1 ⋅ I12 + R2 ⋅ I22 + R3 ⋅ I32 =55 Вт.
Баланс мощности Pист = Pнагр выполняется – решение верное.
Расчет сложной цепи на основе законов Кирхгофа.
Рассчитаем цепь (рис. 1.6).
1. Выбираем условно положительные
направления токов ветвей. Нумеруем узлы,
начиная с 0, выбираем направления обхода
контуров (по часовой стрелке).
2. Первый закон Кирхгофа для узла 1:
I1 + I 2 − I 3 = 0 .
Рис. 1.6. Цепь постоянного тока
3. Второй закон Кирхгофа для внутренних контуров I и II:
10
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
E1 − E2 = R1 ⋅ I1 − R2 ⋅ I 2 ,
E2 − E3 = R2 ⋅ I 2 + R3 ⋅ I3 .
4. Решив полученную систему из трех уравнений, найдем токи ветвей.
5. Выполнение баланса мощности (проверка решения).
E1I1 + E2 I 2 + E3 I 3 = R1 I12 + R2 I 22 + R3 I 32 .
Решение в Mathcad (рис. 1.7).
Рис. 1.7. Mathcad-программа расчета цепи постоянного тока,
изображенной на рисунке 1.6
1.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1. Измерить сопротивления резисторов
Включить универсальный вольтметр в режим омметра. Измерить величины сопротивлений резисторов R1÷R10. Для переменных резисторов R1, R2, R3
измеряется максимальное значение (регулятор в крайнее правое положение).
Результаты измерений представить в таблице 1.2.
Важно. Универсальный вольтметр В7-38 отображает сопротивление в
килоОмах, например 0,1236 кОм. Это значение необходимо записать с размерностью Ом, округлив до целых: 124 Ом.
Таблица 1.2
Величины сопротивлений резисторов
R1
Ом
R2
Ом
R3
Ом
R4
Ом
R5
Ом
R6
Ом
R7
Ом
R8
Ом
11
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
R9
Ом
R10
Ом
ЗАДАНИЕ 2. Исследовать делитель напряжения
1. Собрать схему электрической цепи
(рис. 1.8). Установить сопротивление резистора R1 величиной: 100 или 150 или 200 или
250 Ом (по заданию преподавателя). Установить входное напряжение Uвх = 20 В на выходе
(клеммах) источника постоянного напряжения.
Важно. В данной работе универсальный
вольтметр установить в режим измерения постоянного напряжения.
Рис. 1.8. Делитель напряжения
2. Измерить зависимость V(R2), результаты представить в таблице 1.3. Для этого:
• Разомкнуть ключ К. Установить сопротивление резистора R2 = 60
Ом (первое значение из таблицы 1.3).
• Замкнуть ключ К. Проверить – входное напряжение Uвх = 20 В
(при необходимости скорректировать). Измерить напряжение V,
результат занести в таблицу 1.3.
• Повторить измерения для остальных значений R2 из таблицы 1.3.
3. Рассчитать зависимость U2(R2) по формуле (1.1), результаты представить в таблице 1.3.
4. Найти погрешность между экспериментальными и расчетными значениями напряжения на резисторе R2. Результаты (в %, с округлением до целых
значений) представить в таблице 1.3. Допустимая погрешность 10 %, если она
превышена измерения и расчеты повторить.
Таблица 1.3
Результаты исследования правила делителя напряжения
R2 (Ом)
V (В)
U2 (В)
δ (%)
60
100
200
400
600
1000
ЗАДАНИЕ 3. Исследовать простую цепь постоянного тока
1. Собрать электрическую цепь (рис.
1.9). Сопротивление оставить как в задании 1. Входное напряжение цепи
Uвх = 20 В.
2. Измерить токи ветвей I1, I4, I8. Результаты занести в таблицу 1.4.
Важно. Измерения тока производятся
косвенным методом по показаниям вольтметра U на резисторе с известным сопротивлением R, тогда I = U / R. Например,
Рис. 1.9. Простая цепь постоянного
тока
12
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
I8 = U8 / R8, где U8 – измеренное напряжение на резисторе R8. Сопротивление
R8 измерено ранее (таблица 1.2).
3. Рассчитать токи ветвей I1, I4, I8. Пример расчета простой цепи по закону Ома приведен в теоретической части. Результаты занести в таблицу 1.4.
4. Рассчитать погрешность между экспериментальными и расчетными
значениями токов. Результаты (в %, с округлением до целых значений) представить в таблице 1.4. Допустимая погрешность 10 %, если она превышена
измерения и расчеты повторить.
Таблица 1.4
Исследование простой цепи постоянного тока
Измерения
Расчет
Погрешность (%)
I1 (А)
I4 (А)
I8 (А)
ЗАДАНИЕ 4. Исследовать сложную цепь постоянного тока
1. Собрать схему электрической цепи (рис. 1.10). Вариант схемы – по заданию преподавателя. Установить ЭДС источника постоянного напряжения
E = 20 В.
а)
б)
в)
г)
Рис. 1.10. Сложные цепи постоянного тока
13
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
2. Измерить токи ветвей (косвенным методом, как в задании 3), результаты занести в таблицу 1.5.
3. Рассчитать токи ветвей в программе Workbench. Результаты занести в
таблицу 1.5. Если расхождение результатов измерений и расчетов в любой
ветви превысит 10 %, повторить измерения и расчеты.
4. Рассчитать токи ветвей по законам Кирхгофа в Mathcad (пример расчета – рисунок 1.7). Результаты занести в таблицу 1.5. Если расхождение результатов измерений и расчетов в любой ветви превысит 10 %, устранить
ошибки и повторить расчеты.
Таблица 1.5
Исследование сложной цепи постоянного тока
Измерения
Расчет в Workbench
Расчет в Mathcad
I4 (А)
I5 (А)
I6 (А)
I7 (А)
I8 (А)
I9 (А)
1.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Цель работы.
2. Схемы, таблицы, расчеты по заданиям (нумерацию рисунков и таблиц
начинать с 1).
3. Схема цепи в программе Workbench с численными значениями токов на
амперметрах.
4. Тексты программ в Mathcad.
5. Выводы по работе.
1.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Поясните алгоритм расчета простой цепи с одним источником ЭДС с
помощью закона Ома.
2. Поясните правило делителя напряжения. Приведите пример.
3. Поясните правило делителя тока. Приведите пример.
4. Запишите уравнения Кирхгофа для двухконтурной цепи.
5. Как выполняется проверка достоверности расчетов электрической цепи
постоянного тока?
6. Поясните косвенный метод измерения тока в электрической цепи.
14
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 2. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Цель работы: измерение параметров и расчет электрической цепи синусоидального тока.
Оборудование: генератор синусоидальных сигналов, усилительпреобразователь, осциллограф, резисторы, катушки, конденсаторы, универсальный вольтметр (рис. 1).
2.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Цепь синусоидального тока – электрическая цепь, в которой под действием синусоидальной ЭДС протекают синусоидальные (изменяющиеся во времени по синусоидальному закону) токи.
Параметры синусоиды
Синусоида тока (рис. 2.1) записывается в виде:
i(t ) = I m sin(ωt + ψ) ,
где Im – амплитуда синусоидального тока,
ω – угловая частота [рад/с],
ψ – начальная фаза [рад].
Параметры синусоиды можно определить по осциллограмме.
Амплитуда Im – это максимальное значение синусоиды.
Период синусоиды T – это время между двумя ближайшими максимумами (или
минимумами).
Электрическая частота – величина обратная периоду:
f =
Рис. 2.1. Синусоида тока
1
[Гц=1/с].
T
Угловая частота:
ω = 2πf [рад/с].
Важнейшим параметром синусоиды является действующее значение:
I=
Im
2
≈ 0.707 I m .
Действующее значение I – это величина постоянного тока, которым можно заменить синусоидальный ток, поскольку не изменится:
1) мощность элементов цепи;
2) электродинамическая сила взаимодействия проводников с токами.
Важно. Большинство измерительных приборов показывают действующее
значение.
15
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Параметры резистора, катушки и конденсатора
Резистор. Пусть по резистору с сопротивлением R протекает синусоидальный ток:
i(t ) = I m sin ωt .
Напряжение на резисторе (по закону Ома):
u(t ) = R ⋅ i(t ) = R ⋅ I m sin ωt .
Таким образом, напряжение больше тока в R раз, сдвиг между начальными фазами напряжения и тока равен нулю:
ϕ = ψu −ψi =0.
Будем изображать синусоиду в виде вектора, длина которого равна действующему значению, направление вектора задано начальной фазой. Векторная диаграмма напряжения и тока резистора изображена на рисунке 2.2а.
Катушка. Пусть по катушке с индуктивностью L протекает синусоидальный ток:
i(t ) = I m sin ωt .
Напряжение на катушке:
u(t ) = L
di(t )
= ωL ⋅ I m sin(ωt + π / 2) .
dt
Отсюда следует, что сопротивление катушки:
xL = ωL ,
начальная фаза напряжения:
ψu = π / 2 ,
сдвиг по фазе между напряжением и током:
ϕ = ψu − ψi =π/2,
т.е. напряжение опережает ток катушка на 90 градусов.
Векторная диаграмма для катушки изображена на рисунке 2.2б.
Конденсатор емкостью C. Пусть по конденсатору протекает синусоидальный ток:
i(t ) = I m sin ωt .
Напряжение на конденсаторе:
u(t ) =
1
1
i(t )dt =
I m sin(ωt − π / 2) .

ωС
С
Отсюда следует, что сопротивление конденсатора:
xc =
начальная фаза напряжения:
1
,
ωC
ψu = −π / 2 ,
сдвиг по фазе между напряжением и током:
ϕ = ψu − ψi =–π/2,
т.е. напряжение отстает от тока конденсатора на 90 градусов.
16
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Векторная диаграмма для конденсатора изображена на рисунке 2.2в.
а)
б)
в)
Рис. 2.2. Векторная диаграмма: а) резистора; б) катушки; в) конденсатора
Векторные диаграммы и расчет последовательной RLC-цепи
Для электрической цепи (рис. 2.3а) построим векторную диаграмму.
а)
б)
Рис. 2.3. Последовательная RLC-цепь (а) и ее векторная диаграмма (б)
Построение начинаем с вектора тока, который направим с нулевой
начальной фазой (горизонтально).
Вектор напряжения на резисторе U R совпадает по фазе с током, поэтому
откладывается горизонтально. Напряжение на катушке опережает ток по фазе
на 90 градусов, поэтому вектор U L откладывается вертикально вверх. Напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на 90 градусов, поэтому вектор
UC откладывается вертикально вниз. В результате получаем векторную диаграмму (рис. 2.3б).
Модуль (длину) вектора входного напряжения находим по теореме Пифагора:
U = U R2 + (U L − UC ) = I R2 + ( X L − X C ) .
2
2
Реактивное сопротивление:
X = X L − XC ,
полное сопротивление:
Z = R2 + X 2 .
17
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Закон Ома для цепи синусоидального тока:
I=
U
.
Z
Комплексный метод расчета цепей синусоидального тока используется для расчета сложных цепей.
Синусоидальные токи и напряжения можно изобразить не только векторами, но и комплексными числами.
Например, синусоидальный ток
i(t ) = I m sin(ωt + ψ) = 141sin(ωt + 45o ) .
изображается комплексным числом
o
I
I& = m ⋅ e jψ = 100e j 45 = 70.7 + j 70.7 ,
2
где j = −1 – мнимая единица.
Умножение на j приводит к повороту вектора на 90 градусов (против часовой стрелки), что позволяет учесть сдвиги по фазе между напряжениями и
токами элементов цепи.
Комплексные сопротивления резистора, катушки и конденсатора изображены на рисунке 2.4.
Рис. 2.4. Комплексные схемы: а) резистора; б) катушки; в) конденсатора
На комплексной схеме катушки заменяются резисторами с комплексными сопротивлениями j·XL, и конденсаторы – резисторами с сопротивлениями
–j·XC. Схема становится чисто резистивной, а значит, расчет проводится так
же просто, как расчет цепей постоянного тока, но параметры схемы – комплексные числа.
Методика применения комплексного метода:
1) переходим к комплексной схеме замещения: индуктивности заменяются на j∙XL, емкости на –j∙XC;
18
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
2) проводим расчет комплексной схемы аналогично расчету цепей постоянного тока (где одни резисторы), но параметры схемы – комплексные числа;
3) записываем найденные комплексные токи и напряжения в показательной форме, где модули комплексных чисел – это искомые действующие значения токов и напряжений.
Пример. Требуется рассчитать электрическую цепь (рис. 2.5а) с параметрами: U = 10 В, R = 1 Ом, XL = 2 Ом, XC =3 Ом.
а)
б)
Рис. 2.5. Электрическая цепь синусоидального тока (а)
и ее комплексная схема замещения (б)
Решение.
1. Переходим к комплексной схеме замещения (рис. 2.5б).
2. Находим комплексное сопротивление:
R ⋅ (− j ⋅ X C )
.
Z = j ⋅ XL +
R − j ⋅ XC
3. Находим входной ток (ток катушки):
IL =
U
.
Z
4. Находим ток конденсатора и ток резистора (по правилу делителя тока):
R
IC = I L
, I R = I L − IC .
R − j ⋅ XC
Результатом расчета являются модули токов: |IL|, |Ir|, |Ic|.
Решение в MathCAD (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Mathcad-программа расчета электрической цепи (рис. 2.5)
19
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Пояснение к программе. Мнимую единицу вводить с клавиатуры двумя
символами 1j. Символы на верхнем и нижнем регистре в Mathcad – разные
символы (не заменять). В меню Формат/Результат/Параметры отображения рекомендуется выбрать отображение мнимой единицы j (по умолчанию i).
2.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Начало. Включить стенд, генератор синусоидальных сигналов, усилитель-преобразователь, осциллограф.
ЗАДАНИЕ 1. Получить осциллограмму синусоидального сигнала
1. Установить синусоидальное напряжение с действующим значением
U = 5 В частотой f = 1000 Гц (вариант 1), f = 1500 Гц (вариант 2), f = 2000 Гц
(вариант 3), f = 2500 Гц (вариант 4) (по заданию преподавателя). Частота сигнала устанавливается на генераторе, напряжение можно регулировать как на
генераторе, так и на усилителе. Измерение напряжения осуществляется универсальным вольтметром (в режиме переменного напряжения).
2.1. Получить на экране осциллографа устойчивое изображение исследуемого
сигнала (рис. 2.7) с помощью регуляторов
«Уровень» и «Стабильность». Установить
масштаб по напряжению так, чтобы синусоида занимала весь экран. Установить
масштаб по времени так, чтобы увидеть на
экране один-два периода синусоиды. Сфотографировать осциллограмму и «оцифРис. 2.7. Осциллограмма
ровать» с помощью стандартных просинусоидального напряжения
грамм (из Internet) при подготовке отчета.
2.2. Определить по осциллограмме действующее значение напряжения и
сравнить с точным значением.
Последовательность выполнения задания:
• Определить амплитуду синусоиды Um. Для этого измерить число клеток Ny
от минимального до максимального значения по вертикали на экране осциллографа – это двойная амплитуда синусоиды, взять половину и умножить на цену деления клетки My (указана на осциллографе):
U m = 0.5 N y M y .
• Рассчитать действующее значение напряжения:
Uосцил = U m / 2 .
• Определить относительную погрешность измерений по осциллографу, сопоставив с точным значением U. При погрешности более 10 % измерения
повторить более точно.
20
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Пример: Ny приблизительно 3 клетки по рисунку 2.7, My = 5 В (с осциллографа). Тогда Um = 7,5 В, Uосцил = 5,3 В. Относительная погрешность измерений:
δ=
U осцил − U
U
⋅100 =6 %.
Погрешность вызвана неточным заданием Ny = 3 (точное значение 2,83).
2.3. Определить по осциллограмме частоту синусоидального напряжения
и сравнить с точным значением. Последовательность выполнения задания:
• Рассчитать период синусоиды. Для этого измерить число клеток Nх между
двумя ближайшими минимумами (или максимумами) синусоиды и умножить на цену деления клетки Mx (указана на осциллографе):
T = NxM x .
• Рассчитать частоту:
f осцил = 1/ T .
• Определить относительную погрешность измерений по осциллографу, сопоставив с точным значением f. При погрешности более 10% измерения
повторить более точно.
Пример: Пусть Nx = 5,2 клетки определено с некоторой погрешностью по
рисунку 2.7. Цена деления клетки Mx = 0,2 мс/дел. Тогда T = 1,04 мс, fосцил = 962 Гц. Относительная погрешность измерений
δ=
fосцил − f
f
⋅100 =4 % (с точностью до целых).
Погрешность вызвана неточным заданием Nx = 5,2 (точное значение 5).
Результаты измерений и расчетов напряжения и частоты представить в
таблице 2.1.
Таблица 2.1
Результаты измерений по осциллограмме
Вольтметр
Напряжение
Осциллограф
δ, %
Генератор
Частота
Осциллограф
δ, %
ЗАДАНИЕ 2. Определение индуктивностей катушек
1. Собрать схему (рис. 2.8). Установить входное
напряжение U = 5 В.
2. Измерить напряжения на катушке UL1 и резисторе
UR5.
3. Рассчитать ток:
I=
U R5
.
R5
4. Рассчитать реактивное сопротивление катушки:
X L1 =
U L1
.
I
21
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Рис. 2.8. RL-цепь
5. Рассчитать индуктивность катушки:
L1 =
X L1
, ω = 2π ⋅ f .
ω
6. Определить индуктивность L2 (повторить п. 1–5).
Результаты представить в таблице 2.2.
Таблица 2.2
Результаты измерений индуктивностей и емкостей
L1, Гн
L1, Гн
C1, мкФ
C2, мкФ
C3, мкФ
ЗАДАНИЕ 3. Определение емкостей конденсаторов
1. Собрать схему (рис. 2.9). Установить входное напряжение U = 5 В.
2. Измерить напряжения на конденсаторе UC1 и резисторе UR5.
3. Рассчитать ток:
I=
U R5
.
R5
4. Рассчитать реактивное сопротивление конденсатора:
X C1 =
U C1
.
I
Рис. 2.9. RC-цепь
5. Рассчитать индуктивность катушки:
C1 =
1
, ω = 2π ⋅ f .
ω⋅ X C1
6. Определить емкости C2, C3 (повторить п. 1–5).
Результаты представить в таблице 2.2.
ЗАДАНИЕ 4. Исследование последовательной RLC-цепи
1. Собрать схему (рис. 2.10). Установить входное напряжение U = 5 В.
2. Измерить напряжения на резисторе UR5, на катушке UL1, на конденсаторе UC1.
3. По измеренному напряжению UR5 найти ток:
I изм =
U R5
.
R5
4. Рассчитать ток (пример в теоретической части)
и погрешность измерения тока (допустимая погрешность 10 %):
δ=
Iизм − I
I
Рис. 2.10. RLC-цепь
⋅100 .
Результаты измерений и расчетов представить в таблице 2.3
Таблица 2.3
Результаты исследования последовательной RLC-цепи
UR5, В
Измерения
UL1, В
UC1, В
Расчет
Iизм, А
I, А
22
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
δ, %
ЗАДАНИЕ 5. Исследование смешанной RLC-цепи
1. Собрать схему (рис. 2.11). Установить
входное напряжение U=5 В.
2. Измерить напряжения на резисторе
UR5, на катушке UL1, на конденсаторе UC1.
3. По измеренному напряжению UR5
найти ток:
I изм =
U R5
.
R5
Рис. 2.11. Смешанная RLC-цепь
4. Рассчитать модуль тока ветви с резистором комплексным методом и
сравнить с измеренным значением тока (допустимая погрешность 10 %):
δ=
Iизм − I
I
⋅100 .
Результаты измерений и расчетов представить в таблице 2.4
Таблица 2.4
Результаты исследования смешанной RLC-цепи
UR5, В
Измерения
UL1, В
UC1, В
Расчет
Iизм, А
I, А
δ, %
2.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Цель работы.
2. Осциллограммы, построенные на основе оцифровки сфотографированного сигнала, с указанием осей (время t и напряжение u), единиц измерения и численных значений сетки.
3. Схемы и таблицы (нумерация с 1).
4. Расчеты и векторные диаграммы.
5. Выводы по работе.
2.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Как определить действующее значение напряжения и частоту по осциллограмме синусоиды?
2. Поясните построение векторной диаграммы для последовательной цепи
RL.
3. Поясните построение векторной диаграммы для последовательной цепи
RC.
4. Поясните построение векторной диаграммы для последовательной цепи
RLC.
5. Поясните способ определения индуктивности L, используемый в лабораторной работе.
6. Поясните способ определения емкости C, используемый в лабораторной
работе.
23
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 3.
РЕЗОНАНС В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Цель работы: исследование частотных характеристик и режима резонанса в последовательной и параллельной RLC-цепи.
Оборудование: генератор синусоидальных сигналов, усилительпреобразователь, резисторы, катушки, конденсаторы, универсальный вольтметр (рис. 1).
3.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Сопротивления катушки и конденсатора зависят от частоты: при увеличении частоты сопротивление катушки XL возрастает, а сопротивление конденсатора XC – уменьшается. Возможна ситуация, когда XL = XC, и результирующее реактивное сопротивление (проводимость) равно нулю. Этот режим
называется резонансом.
Резонанс в последовательной цепи (резонанс напряжений)
Условием резонанса в цепи (рис. 3.1) является
равенство нулю реактивного сопротивления электрической цепи:
X = X L − X C = ω0 ⋅ L −
1
= 0,
ω0 ⋅ C
где ω0 – резонансная угловая частота:
ω0 =
1
LC
Рис. 3.1. Последовательная
RLC-цепь
.
В режиме резонанса (X = 0) полное сопротивление равно активному
Z = R2 + X 2 = R
и это минимально возможное сопротивление.
Ток максимален, поскольку сопротивление минимально
I=
U U
= = max .
Z R
Напряжение на отдельных элементах найдем по закону Ома:
U R = RI , U L = X L I , UC = X C I .
Напряжение на резисторе равно входному напряжению:
U = U R2 + (U L − U C ) = U R .
2
Важно. Напряжение на катушке и напряжение на конденсаторе (по отдельности) в режиме резонанса может превышать входное напряжение.
Добротность Q показывает, во сколько раз напряжение на реактивных
элементах в режиме резонанса больше входного напряжения
1
Q=
U L U C ω0 L ⋅ I
=
=
=
U
U
Z ⋅I
LC
R
⋅L
L
= C .
R
Таким образом, добротность определяется параметрами элементов цепи.
Электрические цепи с высокой добротностью широко применяются в радиотехнике.
24
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Частотные характеристики (ЧХ) – зависимость параметров электрической цепи от частоты. Расчет и построение ЧХ рекомендуется проводить в
Mathcad (рис. 3.2).
Рис. 3.2. Расчет ЧХ цепи в Mathcad
25
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
3.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1. Снять частотные характеристики
в последовательной RLC-цепи
1. Собрать схему электрической цепи (рис.
3.3). Входное напряжение синусоидальной формы U = 5 В подается с клемм усилителяпреобразователя.
Сопротивление
резистора
R1 = а) 100 Ом; б) 150 Ом; в) 200 Ом; г) 250 Ом
(по заданию преподавателя).
Рис. 3.3. Цепь
2. Снять частотные характеристики напряжесинусоидального тока
UL1(f),
UC1(f),
UR1(f)
в
диапазоне
ния
f = 1000 ... 5000 Гц с шагом 500 Гц. Результаты измерений занести в таблицу 3.1.
Важно: контролировать напряжение U = 5 В при изменении частоты.
3. Определить резонансную частоту f0 из условия:
• напряжение на резисторе максимально UR1 = max;
• напряжение на катушке равно напряжению на конденсаторе UL1 = UC1.
4. Измерить напряжения UR1, UL1, UC1, на резонансной частоте f0, результаты измерений занести в таблицу 3.1 (последняя строка).
Таблица 3.1
Частотные характеристики
f, Гц
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
4500
5000
f0 =
UR1
UL1
UC1
ЗАДАНИЕ 2. Рассчитать частотные характеристики
в последовательной RLC-цепи в Mathcad
1. Дано: индуктивность катушки L1=0,02 Гн, емкость конденсатора C1=0.1
мкФ (уточнить у преподавателя).
2. Рассчитать резонансную частоту f0, сравнить с экспериментальным
значением (задание 1) и определить относительную погрешность
δ=
f 0экспер − f 0расчет
f 0экспер
⋅100 .
Если δ>10 %, тогда повторить измерения и расчет резонансной частоты,
если погрешность по-прежнему превышает 10 %, представить результаты
преподавателю.
26
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
3. Рассчитать и построить частотные характеристики I(f), UL1(f), UC1(f),
UR1(f) в Mathcad (пример – рисунок 3.2).
4. Сравнить экспериментальные и расчетные характеристики UR1(f),
UL1(f), UC1(f) (3 рисунка по два графика).
4.1. Экспериментальные данные вводим в виде матрицы М (пустые места
заполнить данными из таблицы 3.2)
Частоты располагаются в порядке возрастания (правильно вставьте резонансную частоту – в примере она между 3000 и 3500 Гц). Данные располагаем
построчно (для компактности), матрица данных транспонируется.
4.2. Строим три графика – пример на рисунке 3.4.
а)
б)
в)
Рис. 3.4. Частотные характеристики напряжения на:
а) резисторе; б) катушке; в) конденсаторе
3.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Цель работы.
2. Описание заданий, схемы и таблицы (нумерация с 1), расчеты, включая
тексты программ.
3. Выводы по работе.
3.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение резонанса в последовательной RLC-цепи (резонанса
напряжений).
2. Выведите формулу резонансной частоты в последовательной RLC-цепи.
3. Запишите формулу полного сопротивления в режиме резонанса напряжений.
4. Запишите формулу и объясните, почему ток достигает максимального
значения (какого?) в режиме резонанса напряжений.
5. Дайте определение добротности.
6. Что такое частотные характеристики? Приведите примеры.
27
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
С ВЗАИМНОЙ ИНДУКЦИЕЙ
Цель работы: изучить явление взаимной индукции. Определить взаимную
индуктивность между катушками.
Оборудование: генератор синусоидальных сигналов, усилитель-преобразователь, резисторы, катушки, универсальный вольтметр (рис. 1).
4.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Сущность явления взаимной индукции заключается в переносе электрической энергии из одного контура с током в другой контур через магнитное
поле.
Рассмотрим схему на рисунке
4.1. Ток I1, протекающий в катушке
L1, создает магнитный поток Ф, который замыкается через катушку
L2. В этом случае говорят, что катушки обладают взаимной магнитРис. 4.1. Цепь с взаимной индукцией между
ной связью. «Сила» этой связи
катушками L1 и L2
определяется величиной взаимной
индуктивности M. Она имеет ту же размерность, что и индуктивность L [Гн].
По закону электромагнитной индукции, изменяющийся во времени магнитный поток Ф индуцирует (создает) во второй катушке ЭДС взаимной индукции
eM = −
dΦ
di
= −M ⋅ .
dt
dt
В цепях синусоидального тока используется комплексная форма записи
EM = − jωM ⋅ I .
ЭДС взаимной индукции создает напряжение взаимной индукции на второй катушке, которое противоположно по знаку ЭДС (по второму закону
Кирхгофа для схемы рисунка 4.1):
U& M = − EM = j ωM ⋅ I&1 .
Важно. Между катушками L1 и L2 нет гальванической связи (электрического контакта), однако при протекании тока в первой катушке возникает
напряжение во второй катушке.
Коэффициентом связи двух катушек называется отношение взаимной индуктивности M к среднегеометрическому индуктивностей катушек L1 и L2:
k=
M
L1 ⋅ L2
.
Для двух одинаковых катушек L1 = L2 = L коэффициент связи:
k=
M
.
L
28
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Величина k находится в диапазоне от 0 до 1. При k = 0 магнитная связь
отсутствует. При k = 1 существует идеальная магнитная связь между двумя
одинаковыми катушками – весь магнитный поток, создаваемый током первой
катушки, замыкается через вторую катушку.
Согласное включение катушек с взаимной индукцией
Две катушки включены последовательно, конец первой катушки
соединен с началом второй катушки (рис. 4.2).
При согласном включении
магнитные потоки катушек Φ1 и Φ 2
направлены в одну сторону (согласно) и результирующий магнитный поток усиливается:
Рис. 4.2. Согласное включение катушек.
Начало обмоток катушек обозначено
Φ = Φ1 + Φ 2 .
звездочкой (*)
Электрическая схема замещения при согласном включении катушек представлена на рисунке 4.3.
Рис. 4.3. Схема замещения при согласном включении катушек
Второй закон Кирхгофа для схемы (рис. 4.3) с учетом взаимной индукции:
U& = r1 I& + j ωL1 ⋅ I& + j ωL1 ⋅ I& + jωL1 ⋅ I& + jωL1 ⋅ I& + r2 I& ,
1
424
3 1
424
3 1
424
3 1
424
3
U L1
U M 12
U L2
U M 21
где UM12 – напряжение взаимной индукции в первой катушке, вызванное током во второй катушке,
UM21 – напряжение взаимной индукции во второй катушке, вызванное током в первой катушке.
Преобразуем уравнение
U = [ r1 + j ω( L1 + M ) + r2 + j ω( L2 + M ) ] I ,
откуда
L1′ = L1 + M , L2′ = L2 + M ,
где L1′ и L 2′ – индуктивности катушек с учетом магнитной связи.
Индуктивность цепи:
L′ = L1 + L2 + 2M .
29
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Важно. При согласном включении результирующая индуктивность катушек и цепи в целом увеличивается, следовательно ток уменьшается по
сравнению с той же цепью без магнитной связи.
Встречное включение катушек с взаимной индукцией
Две катушки включены последовательно, конец первой катушки соединен с концом второй катушки
(рис. 4.4).
При встречном включении магнитные потоки катушек Φ1 и Φ 2
направлены в одну сторону (согласно) и результирующий магнитный
поток ослабевает:
Рис. 4.4. Встречное включение катушек.
Начало обмоток катушек обозначено
Φ = Φ1 − Φ 2 .
звездочкой (*)
Электрическая схема замещения
при встречном включении катушек
представлена на рисунке 4.5.
Рис. 4.5. Схема замещения при встречном включении катушек
Второй закон Кирхгофа для схемы (рис. 4.5) с учетом взаимной индукции
U& = r1 I& + j ωL1 ⋅ I& − jωL1 ⋅ I& + j ωL1 ⋅ I& − j ωL1 ⋅ I& + r2 I& ,
1
424
3 1
424
3 1
424
3 1
424
3
U L1
U M 12
U L2
U M 21
где UM12 – напряжение взаимной индукции в первой катушке, вызванное током во второй катушке,
UM21 – напряжение взаимной индукции во второй катушке, вызванное током в первой катушке.
Правило выбора знака индуцированного напряжения. Если ток в первой катушке течет от начала к концу, тогда и напряжение взаимной индукции
во второй катушке направлено от начала к концу катушки.
Преобразуем уравнение
U = [ r1 + j ω( L1 − M ) + r2 + j ω( L2 − M ) ] I ,
откуда
L1′ = L1 + M , L2′ = L2 + M ,
где L1′ и L 2′ – индуктивности катушек с учетом магнитной связи.
30
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Индуктивность цепи:
L′′ = L1 + L2 − 2M .
Важно. При встречном включении результирующая индуктивность катушек и цепи в целом уменьшается, следовательно ток возрастает по сравнению с той же цепью без магнитной связи.
Важно. При встречном включении ток больше, чем при согласном.
4.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1. Определить взаимную индуктивность катушек
по схеме трансформатора (первый способ)
1. Собрать электрическую цепь (рис. 4.6).
Входное напряжение синусоидальное с действующим значением U1 = 5 В подается с выходных
клемм усилителя-преобразователя. Частота синусоиды f (Гц) выбирается (по заданию преподавателя): а) 1000; б) 1500; в) 2000; г) 2500.
Рис. 4.6. Цепь с взаимной ин2. Измерить напряжение UR4 (на резисторе дукцией между катушками L
1
R4) и определить входной ток:
и L2
I1 =
U R4
.
R4
(схема трансформатора)
3. Измерить наведенное напряжение U2 на второй катушке.
4. Рассчитать взаимную индуктивность (первым способом):
M1 =
U2
.
ω ⋅ I1
ЗАДАНИЕ 2. Определить взаимную индуктивность катушек
по схеме согласного – встречного включения (второй способ)
1. Собрать электрическую цепь с согласным включением катушек (рис.
4.7). Входное напряжение U1 = 5 В, частота f из задания 1.
2. Измерить напряжение UR4 (на резисторе R4) и определить ток:
I=
U R4
.
R4
3. Рассчитать:
• входное сопротивление цепи
Z=
U
,
I
• реактивное сопротивление цепи:
X = Z 2 − R42 ,
Рис. 4.7. Цепь с согласным
включением катушек
• индуктивность цепи при согласном включении:
L′ =
X
.
ω
31
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
4. Собрать схему с встречным включением катушек. Для этого в цепи
(рис. 4.7) поменять начало и конец второй катушки. Проверьте, ток цепи при
встречном включении больше, чем при согласном.
5. Рассчитать взаимную индуктивность (второй способ).
Зная индуктивность цепи при согласном и встречном включении
 L′ = L1 + L2 + 2M
,

L′′ = L1 + L2 − 2M
находим
M2 =
L′ − L′′
.
4
ЗАДАНИЕ 3. Рассчитать относительную погрешность измерения
взаимной индуктивности двумя способами:
δ=
M1 − M 2
0.5(M 1 + M 2 )
⋅ 100 .
Если погрешность превышает 10 %, измерения и расчеты по заданиям 1,
2 повторить.
ЗАДАНИЕ 4. Рассчитать коэффициент связи между катушками, используя полученное значение M при L1 = L2 = 0,02 Гн.
4.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Цель работы.
2. Лабораторное оборудование.
3. Описание заданий, схемы (нумерация с 1), расчеты.
4. Выводы по работе.
4.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Поясните сущность явления взаимной индукции.
2. Как определить напряжение взаимной индукции во второй катушке.
3. Почему ЭДС и напряжение взаимной индукции в схеме (рис. 4.1) имеют
разные знаки?
4. Поясните различия между согласным и встречным включением катушек.
5. Поясните правило определения направления напряжения взаимной индукции.
6. Дайте определение коэффициента связи двух магнитносвязанных катушек.
7. При каких условиях коэффициент связи равен 1?
8. Как определить экспериментально, соединены две катушки согласно
или встречно?
32
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 5. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА
Цель работы: экспериментальное исследование и расчет электрической
цепи при воздействии периодической несинусоидальной ЭДС.
Оборудование: генератор синусоидальных сигналов, усилительпреобразователь, резисторы, катушки, конденсаторы, универсальный вольтметр (рис. 1).
5.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Периодическую несинусоидальную функцию u(t) (рис. 5.1), удовлетворяющую условиям Дирихле (т.е. непрерывную во всех точках или имеющую
за период конечное число разрывов первого рода и конечное число экстремумов) можно разложить в ряд Фурье:
∞
u (t ) = A0 +  Amk ⋅ sin(k ⋅ ω ⋅ t + ψ k ) ,
(5.1)
k =1
где k – номер гармоники (синусоиды),
A0 – постоянная составляющая (среднее
значение функции u(t) за период),
Amk – амплитуда k-й гармоники,
ψk – начальная фаза k-й гармоники,
ω=
2π
– основная частота (угловая).
T
Пример. Разложение прямоугольного
напряжения (рисунок 5.1) в ряд Фурье имеет вид
u (t ) =
Рис. 5.1. Несинусоидальная
периодическая функция
с амплитудой А, периодом Т
4A
sin( k ωt )
,

π k =1,3,5...
k
(5.2)
или в развернутом виде
u (t ) =
4A
4A
4A
sin(ωt ) +
sin(3ωt ) +
sin(5ωt ) + K .
π
3π
5π
Разложение типовых функций в ряд Фурье приведено в справочниках. В
математических пакетах коэффициенты ряда (5.2) определяются функцией
FFT (Fast Fourier Transform).
Важно. Разложение несинусоидальной ЭДС в ряд Фурье позволяет заменить сложную задачу расчета цепи несинусоидального тока решением простых задач расчета цепи синусоидального тока.
Свойства катушки и конденсатора в цепях несинусоидального тока.
Сопротивления катушки и конденсатора зависят от частоты. Частота k-й
гармоники ряда Фурье (5.2) ωk=k·ω в k раз больше основной частоты ω.
Тогда для k-й гармоники ряда Фурье:
сопротивление катушки
xL (k ) = k ⋅ ωL ,
33
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
сопротивление конденсатора
1
.
k ⋅ ωС
Важно. Сопротивление катушки k-й гармоники в k раз больше, а сопротивление конденсатора k-й гармоники в k раз меньше сопротивления на основной частоте.
Действующие значения напряжений и токов определяются геометрическим сложением (многомерная теорема Пифагора)
xС ( k ) =
n
U
U = U 0 2 + U12 + U 2 2 + ... + U n 2 =
k =0
n
I
I = I 0 2 + I12 + I 2 2 + ... + I n 2 =
k =0
2
k
,
2
k
(5.3а)
(5.3б)
,
где Uk, Ik – действующие значения напряжения и тока k-й гармоники,
n – число гармоник.
Действующее значение активной мощности получается алгебраическим
сложением мощностей гармоник:
n
P = P0 + P1 + ... + Pn (t ) =  Pk .
k =0
Мгновенные значения напряжений и токов получаются алгебраическим
сложением:
n
u (t ) = U 0 + u1 (t ) + u2 (t ) + ... + un (t ) = U 0 +  uk (t ) ,
(5.4а)
k =1
n
i (t ) = I 0 + i1 (t ) + i2 (t ) + ... + in (t ) = I 0 +  ik (t ) ,
(5.4б)
k =1
где U0, I0 – постоянные составляющие напряжения и тока,
uk(t), ik(t) – мгновенные значения напряжения и тока k-гармоники.
Методика расчета цепи несинусоидального тока:
1. Несинусоидальное напряжение (ЭДС) источника раскладываем в ряд
Фурье (5.1).
2. Проводим расчет электрической цепи для каждой гармоники (синусоиды) в отдельности комплексным методом.
3. Действующие значения результирующих напряжений и токов получаем по формулам (5.3), мгновенные значения – по формулам (5.4).
Пример. На вход RL (рис. 5.2), где
R = 100 Ом, L = 0,02 Гн, подается периодическое прямоугольное напряжение u(t) амплитудой A = 5 В, частотой f = 1000 Гц
(рис. 5.1). Требуется найти напряжение на
резисторе.
Рис. 5.2. RL-цепь
Решение задачи в Mathcad приведено
на рисунке 5.3.
34
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Рис. 5.3. Расчет RL-цепи при воздействии прямоугольного напряжения
35
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
5.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1. Исследование RL-цепи
В RL-цепи при воздействии несинусоидального напряжения получить
осциллограмму напряжения на резисторе экспериментально и расчетным путем. Для этого:
• собрать схему (рис. 5.2), где r=R4 (измерить), L=L1=0,02 Гн, входное
напряжение – периодическое прямоугольное (рис. 5.1) с амплитудой A=5 В. Частота f = 1000 Гц (вариант 1), f = 1500 Гц (вариант 2),
f = 2000 Гц (вариант 3), f = 2500 Гц (вариант 4);
• измерить (вольтметром) действующее значение напряжения на резисторе Ur;
• получить осциллограмму напряжения на резисторе (сфотографировать) и оцифровать (дома);
• рассчитать действующее значение напряжения на резисторе в
Mathcad (рис. 5.3) и сравнить с результатом измерений (определить
относительную погрешность);
• рассчитать мгновенное значение напряжения на резисторе в
Mathcad (рис. 5.3) и сравнить с результатом измерений (построить
два графика на одном рисунке).
ЗАДАНИЕ 2. Исследование RC-цепи
В RC-цепи (рис. 5.4) при воздействии несинусоидального напряжения получить осциллограмму напряжения на резисторе экспериментально и расчетным путем.
Для этого повторить действия, описанные в
задании 1 со схемой, изображенной на рисунке
5.4, где r=R4 (измерить), C=C1=0,1 мкФ.
Рис. 5.4. RC-цепь
ЗАДАНИЕ 3. Исследование RLC-цепи
В RLC-цепи (рис. 5.5) при воздействии несинусоидального напряжения
получить осциллограмму напряжения на
резисторе экспериментально и расчетным
путем. Для этого повторить действия,
описанные в задании 1 со схемой, изображенной на рисунке 5.5, где r=R4 (измеРис. 5.5. RLC-цепь
рить), L=L1=0,02 Гн, C=C1=0,1 мкФ.
36
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
5.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Цель работы.
2. Лабораторное оборудование.
3. Описание заданий, схемы (нумерация с 1), результаты измерений
(включая оцифрованные осциллограммы), расчеты.
4. Выводы по работе.
5.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Почему при расчете электрических цепей несинусоидальную периодическую функцию следует разложить в ряд Фурье.
2. Что такое постоянная составляющая ряда Фурье? Как ее найти?
3. Что такое гармоника ряда Фурье? Какими параметрами она описывается?
4. Как изменяется сопротивление катушки с увеличением номера гармоники?
5. Как изменяется сопротивление конденсатора с увеличением номера
гармоники?
6. Что такое основная частота? Определите основную частоту по рисунку 5.1.
7. Запишите формулу действующего значения: тока, напряжения, активной мощности в цепи несинусоидального тока.
37
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Цель работы: экспериментальное исследование и расчет переходных
процессов в электрической цепи.
Оборудование: генератор синусоидальных сигналов, усилительпреобразователь, резисторы, катушки, конденсаторы, универсальный вольтметр (рис. 1).
6.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Переходный процесс – процесс переход электрической цепи из одного
устойчивого энергетического состояния в другое.
Причинами переходных процессов являются коммутации в электрической цепи. Коммутация – это включение или выключение цепи или изменение
параметров цепи. Примем допущение, что коммутация осуществляется мгновенно.
Законы коммутации:
1. Ток катушки после коммутации равен току до коммутации
iL (0) = iL (−0) .
2. Напряжение конденсатора после коммутации равно напряжению до
коммутации
uC (0) = uC (−0) .
Переходные процессы в RL-цепи:
а)
б)
Рис. 6.1. RL-цепь (а) и ее операторная схема замещения (б)
Ток в цепи (рис. 6.1а):
t
A A −τ
i (t ) = − ⋅ e ,
L
r r
напряжение катушки:
−
diL
t
u (t ) = L
= A⋅e τ ,
L
dt
постоянная времени переходного процесса:
τ=
L
.
r
38
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
С увеличением индуктивности и уменьшением активного сопротивления
постоянная времени увеличивается.
Переходный процесс теоретически длится бесконечно долго. На практике
время наблюдения за переходным процессом принимается равным трем постоянным времени tпп=3τ. За это время заканчивается 95 % переходного процесса.
Важно. Расчеты переходных процессов (в студенческих задачах) наиболее просто выполнить операторным методом в системе Mathcad. Обязательно
изучите теорию (на лекциях и практике) и научитесь работать в Mathcad.
Операторный метод. Операторная схема замещения RL-цепи представлена на рисунке 6.1б. Mathcad-программа расчета переходного процесса в RLцепи представлена на рисунке 6.2.
Рис. 6.2. Mathcad-программа расчета переходного процесса в RL-цепи
39
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Пояснение к программе. Расчет производится по операторной схеме
(рис. 6.1б). Напряжение A заменяется на операторное напряжение A / s с помощью функции laplace (выбрать мышью на панели Символьные/Symbolic).
Операторное сопротивление катушки равно sL, s – переменная Лапласа. Операторная схема – чисто резистивная, поэтому ее расчет проводится так же
просто, как расчет цепей постоянного тока.
Операторное сопротивление, ток и напряжения элементов
Z ( s ) = r + sL, I ( s ) =
A
, U ( s ) = r ⋅ I ( s ), U ( s ) = sL ⋅ I ( s ) .
L
s ⋅ Z (s) r
От операторных функций возвращаемся к реальным токам и напряжениям с помощью стандартной Mathcad-функции invlaplace (на панели Символьные/Symbolic).
Задача решена – строятся графики токов и напряжений.
Переходные процессы в RC-цепи:
а)
б)
Рис. 6.3. RC-цепь (а) и ее операторная
схема замещения (б)
Напряжение конденсатора (рис. 6.3а):
−
t
u (t ) = A − A ⋅ e τ ,
c
ток в цепи:
t
duc A −
i (t ) = C
= ⋅e τ ,
dt
r
постоянная времени переходного процесса:
τ = r ⋅C .
Длительность переходного процесса tпп=3τ. С увеличением емкости и активного сопротивления длительность переходного процесса увеличивается.
Расчет переходных процессов в Mathcad производится по программе,
представленной на рисунке 6.2, но вместо операторного сопротивления катушки следует записать операторное сопротивление конденсатора 1/sC и заменить формулу расчета постоянной времени. Следует скопировать программу расчета RL-цепи и произвести замену.
40
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Переходные процессы в RLC-цепи:
а)
б)
Рис. 6.4. RLC-цепь (а) и ее операторная схема замещения (б)
Ток в цепи (рис. 6.4а):
напряжение катушки:
αt α t
U e 1 −e 2
i(t ) =
,
L α1 −α2
di
u (t ) = L ,
L
dt
напряжение конденсатора (по второму закону Кирхгофа):
u (t ) = U − u (t ) − r ⋅ i (t ) ,
c
L
корни характеристического уравнения:
r
α = −δ + δ2 −ω02 , α = −δ − δ2 −ω02 , где δ = − , ω =
1
2
2L 0
1
L⋅C
.
Возможны два различных процесса – апериодический и колебательный.
При δ > ω0 корни характеристического уравнения – действительные числа, тогда переходной процесс носит апериодический характер, т.е. напряжения и токи плавно затухают (по экспоненте), как в RL- и RC-цепях.
При δ < ω0 корни характеристического уравнения – комплексные числа,
тогда переходной процесс носит колебательный характер, т.е. напряжения и
токи представляют затухающие синусоиды.
При большом активном сопротивлении переходной процесс в цепи (рис.
6.4а) носит апериодический, при малом – колебательный характер.
6.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1. Получить осциллограмму
периодического прямоугольного напряжения
На выходе усилителя-преобразователя установить
периодическое прямоугольное напряжение амплитудой
A=5 В, частотой f = 1000 Гц (вариант 1), f = 1500 Гц (вариант 2), f = 2000 Гц (вариант 3), f = 2500 Гц (вариант 4).
К выходу усилителя-преобразователя подключить осциллограф и синхронизировать сигнал (рис. 6.5).
41
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Рис. 6.5. u(t)
ЗАДАНИЕ 2. Исследование переходных процессов в RL-цепи
1. Собрать RL-схему (рис. 6.6), где r=R4 (измерить), L=L1=0.02 Гн. Входное напряжение – прямоугольное (рис, 6.5).
2. Получить осциллограмму напряжения на резисторе и катушке (сфотографировать) и оцифровать
Рис. 6.6. RL-цепь
(при подготовке отчета).
Важно. Ключа в схеме нет, но переходные процессы возникают, так как передний фронт прямоугольного сигнала (рис. 6.5)
моделирует включение цепи под постоянное напряжение амплитудой А в момент времени t=0, задний фронт добавляет включение цепи под постоянное
напряжение амплитудой -А в момент времени t=0,5T.
ЗАДАНИЕ 3. Исследование переходных процессов в RC-цепи
1. Собрать RC-схему (рис. 6.7), где r=R4, C=C1=0,1 мкФ.
Входное напряжение – прямоугольное (рис. 6.5).
2. Получить осциллограмму напряжения на резисторе
и конденсаторе (сфотографировать) и оцифровать.
ЗАДАНИЕ 4. Исследование переходных
Рис. 6.7. RC-цепь
процессов в RLC-цепи
1. Собрать RLC-схему (рис. 6.8), где r = R1 =var,
L = L1 = 0,02 Гн, C = C1 = 0,1 мкФ, входное напряжение – прямоугольное (рис. 6.5).
2. Установить сопротивление резистора r = R1
такой величины (далее измерить), чтобы переходной
процесс имел апериодический характер. Получить
осциллограмму напряжения на резисторе, катушке и
Рис. 6.8. RLC-цепь
конденсаторе (сфотографировать) и оцифровать.
3. Установить сопротивление резистора r = R1 такой величины (далее измерить), чтобы переходной процесс имел колебательный характер. Получить
осциллограмму напряжения на резисторе, катушке и конденсаторе (сфотографировать) и оцифровать.
ЗАДАНИЕ 5. Расчет переходных процессов в Mathcad
Рассчитать переходные процессы в RL-, RC- и RLC-цепях с теми же параметрами, что в заданиях 2–4, и сравнить с результатами экспериментов.
6.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Цель работы.
2. Лабораторное оборудование.
3. Описание заданий, схемы (нумерация с 1), результаты измерений
(включая оцифрованные осциллограммы), расчеты.
4. Выводы по работе.
42
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
6.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение переходного процесса.
2. Сформулируйте законы коммутации.
3. Опишите методику расчета переходного процесса классическим методом.
4. Как найти корень характеристического уравнения.
5. Что такое постоянная времени?
6. Как получить операторную схему замещения.
7. Опишите методику расчета переходного процесса операторным методом.
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 7. ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКИ
Цель работы: экспериментальное исследование и расчет пассивного четырехполюсника.
Оборудование: генератор синусоидальных сигналов, усилительпреобразователь, резисторы, катушки, конденсаторы, универсальный вольтметр (рис. 1).
7.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Четырехполюсником называется любая схема
или часть схемы, имеющая два входных и два выходных зажима (рис. 7.1). Четырехполюсник называется
пассивным, если внутри него отсутствуют источники
ЭДС и тока, иначе он называется активным.
Уравнения четырехполюсника в A-параметрах:
U1 = A ⋅U 2 + B ⋅ I 2
,

 I1 = C ⋅U 2 + D ⋅ I 2
Рис. 7.1. Четырехполюсник
(7.1)
где A, B, C, D – А-параметры четырехполюсника.
Матричная форма записи уравнений четырехполюсника:
−1
U1   A B  U 2 
U 2   A B  U1 
 I  = C D  ⋅  I  или  I  = C D  ⋅  I  .
  2
  1
 1 
 2 
Свойства А-параметров:
• А-параметры связаны соотношением:
A⋅ D − B ⋅C = 1 .
(7.2)
• При замене входа и выхода четырехполюсника коэффициенты A и D
меняются местами. Для симметричного четырехполюсника A = D.
43
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Расчет А-параметров типовых схем
Типовые схемы четырехполюсников – Т-схема и П-схема – изображены
на рисунке 7.2.
Рис. 7.2. а) T-схема; б) П-схема четырехполюсника
А-параметры T-схемы (рис. 7.2а):
A = 1 + Y ⋅ Z1 ,
B = Z1 + Z 2 + Y ⋅ Z1 ⋅ Z 2 ,
D = 1 + Y ⋅ Z2 .
C =Y,
(7.3)
А-параметры П-схемы (рис. 7.2б):
A = 1 + Z ⋅ Y2 ,
C = Y1 + Y2 + Z ⋅ Y1 ⋅ Y2 ,
B=Z,
D = 1 + Z ⋅ Y1 .
(7.4)
Экспериментальное определение А-параметров четырехполюсников
проводится в случае, если схема неизвестна или очень сложна.
Проводятся четыре опыта – холостого хода (ХХ) и короткого замыкания
(КЗ) при питании схемы со стороны входа, а также обратного холостого хода
(ОХХ) и обратного короткого замыкания (ОКЗ) при питании со стороны выхода схемы (рис. 7.3).
а)
б)
в)
г)
Рис. 7.3. Схемы опытов: а) ХХ; б) КЗ; в) ОХХ; г) ОКЗ
1. Опыт ХХ. На вход четырехполюсника подается напряжение U1, выходные зажимы разомкнуты, поэтому ток на выходе I2=0 (рис. 7.3а). Тогда из
системы (7.1) следует:
U1 = A ⋅ U 2 , I1 = C ⋅ U 2 ,
откуда входное сопротивление схемы:
z1x =
U1 A ⋅ U 2 A
=
=
.
I1 C ⋅ U 2 C
44
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
2. Опыт КЗ. На вход четырехполюсника подается напряжение U1, выходные зажимы замкнуты, поэтому выходное напряжение U2=0 (рис. 7.3б). Тогда
из системы (7.1) следует:
U1 = B ⋅ I 2 , I1 = D ⋅ I 2 ,
откуда входное сопротивление схемы:
z1k =
U1 B ⋅ I 2 B
=
=
.
I1 D ⋅ I 2 D
3. Опыт ОХХ. На выход четырехполюсника подается напряжение U2,
входные зажимы разомкнуты, поэтому ток на входе I1=0 (рис. 7.3в). Поскольку при замене входа и выхода четырехполюсника коэффициенты A и D меняются местами, то выходное сопротивление схемы z2x получим из входного z1x,
заменив A и D:
z2 x =
D
.
C
4. Опыт ОКЗ. На выход четырехполюсника подается напряжение U2,
входные зажимы замкнуты, поэтому напряжение на входе U1=0 (рис. 7.3г).
Поскольку при замене входа и выхода четырехполюсника коэффициенты A и
D меняются местами, то выходное сопротивление схемы z2к получим из входного z1к, заменив D на A:
z2 к =
A
.
C
Подведем итоги – сопротивления четырехполюсника в режиме ХХ и КЗ
связаны с А-параметрами соотношениями:
z1 x =
A
,
C
z1k =
B
,
D
z2 x =
D
,
C
z2 к =
A
.
C
(7.5)
Таким образом, измерив входные и выходные сопротивления четырехполюсника в четырех опытах, получаем четыре уравнения для определения четырех коэффициентов A, B, C, D.
Каскадное соединение четырехполюсников – соединение, при котором
конец первого четырехполюсника соединен с
началом второго четырехполюсника, конец
второго соединен с началом третьего и т.д.
(рис. 7.4).
Каскадное соединение четырехполюсниРис. 7.4. Каскадное соединение
ков заменяется одним эквивалентным четычетырехполюсников
рехполюсником с А-параметрами, полученными перемножением матриц А-параметров всех элементов каскада.
Для двух четырехполюсников:
 A B   A1
C D  = C

  1
B1   A2
⋅
D1  C2
B2 
.
D2 
45
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
(7.6)
7.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1. Измерение сопротивлений Т-схемы
а)
б)
Рис. 7.5. Т-схема с питанием со стороны: а) входа; б) выхода
1. Собрать Т-схему (рис. 7.5а). Напряжение U1=5 В, частота f = 1000 (вариант 1), 1500 (вариант 2), 2000 (вариант 3), 2500 Гц (вариант 4).
2. Выполнить опыт холостого хода (ХХ). Измерить напряжение U4 на резисторе R4. Рассчитать ток I1 = U4 / R4. Рассчитать входное сопротивление
z1x = U1 / I1, результат занести в таблицу 7.1.
3. Выполнить опыт короткого замыкания (КЗ). Измерить напряжение U4
на резисторе R4. Рассчитать ток I1 = U4 / R4. Рассчитать входное сопротивление
z1к = U1 / I1, результат занести в таблицу 7.1.
4. Подключить источник к выходу схемы, напряжение U2=5 В (рис. 7.5б)
5. Выполнить опыт обратного холостого хода (ОХХ). Измерить напряжение U5 на резисторе R5. Рассчитать ток I2 = U5 / R5. Рассчитать выходное сопротивление z2х = U2 / I2, результат занести в таблицу 7.1.
6. Выполнить опыт обратного короткого замыкания (ОКЗ). Измерить
напряжение U5 на резисторе R5. Рассчитать ток I2 = U5 / R5. Рассчитать выходное сопротивление z2к = U2 / I2, результат занести в таблицу 7.1.
Таблица 7.1
Сопротивление Т-схемы
|z1x|, Ом
|z1к|, Ом
|z2х|, Ом
|z2к|, Ом
Эксперимент
Расчет
Погрешность
ЗАДАНИЕ 2. Расчет сопротивлений Т-схемы
• Рассчитать А-параметры Т-схемы по формулам (7.3), где
Z1 = R4 + jω L1 , Z 2 = R5 , Y = jω C1 , ω = 2π f .
• Рассчитать сопротивления Т-схемы по формулам (7.5), модули сопротивлений представить в таблице 7.1.
• Рассчитать погрешности в таблице 7.1, если погрешность превышает заданный (преподавателем) уровень, повторить измерения и/или расчеты.
46
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ЗАДАНИЕ 3. Исследование каскадного соединения четырехполюсников
Рис. 7.6. каскадное соединение Т и П-схемы
• Собрать схему (рис. 7.6), состоящую из каскадно-соединенных Т и
П-схемы.
• При входном напряжение U1=5 В, измерить выходное напряжение U2экс.
• Рассчитать А-параметры четырехполюсников R4-R5-R6 формулы (7.3),
R7-R8-R9 формулы (7.4) и каскадного соединения четырехполюсников формулы (7.6).
• Рассчитать выходное напряжение U2расч (из первого уравнения системы 7.1
при I2=0) и сравнить с результатом измерений. Найти погрешность и, если
она превышает 10 % (или заданную преподавателем), повторить измерения
и/или расчеты.
7.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Цель работы.
2. Лабораторное оборудование.
3. Описание заданий, схемы (нумерация с 1), результаты измерений, расчеты (включая программы в Mathcad).
4. Выводы по работе.
7.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение четырехполюсника.
2. Запишите уравнения четырехполюсника в А-параметрах, укажите размерности А-параметров.
3. Перечислите свойства А-параметров.
4. Поясните методику экспериментального определения А-параметров четырехполюсника.
5. Выведите формулы А-параметров Т-четырехполюсника.
6. Дайте определение каскадного соединения четырехполюсников.
7. Запищите формулу расчета А-параметров схемы с каскадным соединением четырехполюсников.
47
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 8. НЕЛИНЕЙНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Цель работы: экспериментальное исследование и расчет нелинейной цепи
постоянного тока.
Оборудование: источник постоянного напряжения, нелинейный элемент
(резистор R11), резисторы, универсальный вольтметр (рис. 1).
8.1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
Нелинейная цепь содержит хотя бы один нелинейный элемент. К нелинейным элементам относятся нелинейные резисторы, нелинейные индуктивности (дроссели), нелинейные конденсаторы.
Пример. Диод обладает малым сопротивлением при положительной полярности приложенного напряжения и большим сопротивлением при отрицательной полярности, т.е. диод – это нелинейное сопротивление. Дроссель (катушка с ферромагнитным сердечником) – это нелинейная индуктивность из-за
нелинейности кривой намагничивания железа. Заряд провода высоковольтной
линии нелинейно зависит от напряжения при возникновении коронного разряда, т.е. емкость провода – нелинейная величина.
Нелинейный резистор. Вольтамперная характеристика (ВАХ) – зависимость напряжения от тока U(I) – нелинейная
(рис. 8.1).
Статическое сопротивление нелинейного
резистора – это отношение напряжения к току в
данной точке ВАХ (рис. 8.1):
Rст ( I ) =
U (I )
.
I
Динамическое сопротивление нелинейного резистора – это производная напряжения по
току в данной точке ВАХ:
RД (I ) =
dU
.
dI
Расчет нелинейных цепей проводится
численными методами. Для этого ВАХ нелинейного элемента, полученная экспериментально в узловых точках, аппроксимируется кусочно-линейной функцией (в Mathcad – функция
linterp).
Пример. Требуется рассчитать нелинейную цепь постоянного тока (рис. 8.2). Решение
задачи в Mathcad представлено в Приложении.
Рис. 8.1. ВАХ и сопротивление
нелинейного резистора
Рис. 8.2. Нелинейная цепь
48
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
8.2. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
ЗАДАНИЕ 1. Снять ВАХ нелинейного элемента
1. Собрать схему (рис. 8.3), где нелинейный
элемент – сопротивление R11.
2. Изменяя входное напряжение U от 1 до 25 В,
измерить напряжение U4 на резисторе R4 и рассчитать ток I = U4 / R4. Результаты представить в таблице 8.1.
3. Построить график ВАХ нелинейного элемента.
Рис. 8.3. Схема
для измерения ВАХ
Таблица 8.1
ВАХ нелинейного элемента
U, В
0
U4 , В
0
I, А
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
продолжение
U, В
13
U4 , В
I, А
ЗАДАНИЕ 2. Исследовать нелинейную цепь постоянного тока
1. Собрать электрическую цепь (рис. 8.2), где нелинейный элемент – сопротивление R11, R1=100 Ом, R2=200 Ом (или по заданию преподавателя).
Входное напряжение цепи Uвх = 20 В (контролируется вольтметром в режиме
измерения постоянного напряжения).
2. Измерить токи ветвей I1, I2 (косвенным методом – по показаниям
вольтметра U на резисторе с известным сопротивлением R). Результаты занести в таблицу 8.2.
3. Рассчитать токи ветвей I1, I2 в Mathcad по программе (Приложение).
Результаты занести в таблицу 8.2.
4. Рассчитать погрешность между экспериментальными и расчетными
значениями токов. Результаты (в %, с округлением до целых значений) представить в таблице 8.2. Допустимая погрешность 10 %, если она превышена
измерения и расчеты повторить.
49
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
Таблица 8.2
Токи в нелинейной цепи постоянного тока
Измерения
Расчет
Погрешность (%)
I1 (А)
I2 (А)
ЗАДАНИЕ 3. Исследовать режим стабилизации напряжения
1. В уже собранной схеме (рис. 8.2), изменяя входное напряжение U0 от 1
до 25 В, измерить напряжение U2 на резисторе R2.
2. Рассчитать зависимость U2 (U0) по программе (Приложение). Результаты представить в таблице 8.3.
3. Построить графики U2 (U0) по данным эксперимента и расчета.
Таблица 8.3
ВАХ нелинейного элемента
U0 , В
0
U2 , В
0
U2расч
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
продолжение
U0 , В
13
U2 , В
U2расч
8.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЕТА
1. Цель работы.
2. Лабораторное оборудование.
3. Описание заданий, схемы (нумерация с 1), результаты измерений, расчеты (включая программы в Mathcad).
4. Выводы по работе.
8.4. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Дайте определение нелинейной цепи.
2. Что такое ВАХ нелинейного резистора?
3. Дайте определение статического сопротивления.
4. Дайте определение динамического сопротивления.
5. Опишите методику численного расчета нелинейной цепи.
6. Как достигается режим стабилизации напряжения?
50
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
ПРИЛОЖЕНИЕ. ПРОГРАММА РАСЧЕТА НЕЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ
Рис. П1. Программа расчета нелинейной цепи, изображенной
на рисунке 8.2
51
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бессонов, Л. А. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное
поле / Л. А. Бессонов. – Москва : Высшая школа, 1986. – 263 c.
2. Демирчян, К. С. Теоретические основы электротехники : учебник для вузов /
К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин. – 5-е изд. – Санкт-Петербург :
Питер, 2009. – Т. 1. – 511 c.
3. Демирчян, К. С. Теоретические основы электротехники : учебник для вузов /
К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин. – 5-е изд. – Санкт-Петербург :
Питер, 2009. – Т. 2. – 432 c.
4. Новгородцев, А. Б. Теоретические основы электротехники. 30 лекций по
теории электрических цепей : учебное пособие / А. Б. Новгородцев. – 2-е издание. – Санкт-Петербург : Питер, 2006. – 576 c.
5. Шишигин, С. Л. Численные методы расчета электрических цепей : учебное
пособие / С. Л. Шишигин, Д. С. Шишигин ; Министерство науки и высшего
образования Российской Федерации, Вологодский государственный университет. – Вологда : ВоГУ, 2022. – 95 с. : ил.
Учебное издание
ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
Лабораторный практикум
Составители: Шишигин Сергей Леонидович,
Шишигин Дмитрий Сергеевич
Подписано в печать 12.12.2024. Формат 60 × 84/16
Уч.-изд. л. 3,06. Усл. печ. л. 3,25. Тираж 10 экз. Заказ № 57
ФГБОУ ВО «Вологодский государственный университет»
160000, г. Вологда, ул. Ленина, 15
52
Научная библиотека ИБК им. Х. С. Леденцова