Управление движением пространственного механизма

Предисловие
В данном издании систематически излагается метод построения управляемого движения для промышленных и иных пространственных механизмов, выполняющих базовый класс операции – формообразование.
За последние 10 лет в мире, и особенно в России, произошли весьма
значительные изменения в области компьютерных технологий автоматизации:
 быстродействие применяемых в промышленности вычислительных
средств возросло в сотни раз;
 разработаны новые высокоэффективные методы и средства программирования прикладных задач;
 созданы многозадачные операционные системы с развитым интерфейсом пользователя.
Указанные изменения будут, по-видимому, происходить нарастающими темпами и в дальнейшем, причем не только в количественном, но и в качественном отношении.
Учитывая изложенное, ценность данного издания определятся соблюдением ряда тактических требований:
 пособие должно быть достаточно универсальным, т. е. полезным как
будущим инженерам и магистрам, так и аспирантам;
 в пособии следует обсуждать вопросы, остающиеся актуальными на
протяжении достаточно длительного промежутка времени;
 при обсуждении метода построения управляемого движения не следует касаться компьютерных технологий, которые в значительной мере
определяли существо изложения в прежних учебных пособиях [1],[2].
На первый план будет, таким образом, выдвинута задача глубокого понимания физики происходящих процессов и явлений. С точки зрения физики,
операцию формообразования может выполнять всякий механизм, имеющий
достаточное число управляемых степеней подвижности. Действительно, основным требованием к образованию формы каких-либо изделий является
требование повторяемости в отработке заранее заданной траектории с известной погрешностью, причем погрешность должна считаться много меньшей, чем длина траектории. Уже из этого следует, что задача управления
движением носит статистический характер и ее существенные переменные
3
должны выражаться в терминах средних значений. При этом важно, что в
описании задачи управления движением присутствует не только описание
подвижного механического объекта, но и описание измерительной, управляющей и усилительной аппаратуры.
Пусть, например, x  какая-либо существенная обобщенная координата
механизма, выполняющая операцию формообразования; x  диапазон ее
изменения от некоторого малого значения x 0 до конечного значения x k :
x 
xk
x0
.
Обозначим через x диапазон изменения скорости существенной координаты
x соответственно от x 0 до x k :
x 
x k
x 0
.
Пусть Т – некоторая (малая) постоянная времени, определяющая степень достоверности знаний об объекте, полученная, например, в результате
его идентификации. В соответствии с условием повторяемости для любой
траектории при формообразовании должно выполняться:
x
 τ  T .
(1)
x
С другой стороны, диапазон изменения ускорений x должен определяться
значением Т:
x
x 
.
(2)
T
Подставляя (2) в (1), получаем одно из соотношений для механики систем со
скрытыми координатами [3]:
x
x

.
(3)
x
x
Таким образом, (3) есть усредненная форма оценки статистического по
своей природе характера движения механизма вдоль траектории при операциях формообразования. Далее будем предполагать, что условие (3) везде соблюдается, и описывать движение в детерминированной форме.
4
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
Цель раздела – обеспечить плавный переход к решению основной задачи – построению управляемого движения пространственных механизмов при
формообразовании. Традиционно читаемые курсы классической механики
недостаточно приспособлены для перехода к решению задач управления рассматриваемыми там объектами. И хотя грань между управлением и механикой сама по себе является размытой, в механике имеются приоритетные разделы, знание которых необходимо при построении управляемого движения,
но внимания им уделяется недостаточно.
Данный раздел, не претендуя на полноту, носит справочный характер.
Расставлены акценты по узловым понятиям механики, даны важные для
дальнейшего изложения определения и сведения, позволяющие восполнить
пробелы учащихся в пограничной области перехода от механики к управлению.
Учащиеся, интересующиеся исключительно практической стороной
проблемы построения управляемого движения, этот раздел могут пропустить.
1.1.
Метод координат
Движение механизма считается известным, если задано изменение во
времени его существенных элементов в какой-либо системе координат. Однако не все системы координат равноценны. Существуют «привилегированные» системы координат, в которых описание движения предпочтительно.
Таковой является, например, «приборная» система координат, оси которой
жестко связаны с размещенными на механизме датчиками, либо система координат задания, в которой предписаны операции формообразования. Наличие нескольких систем координат требует определения связи между ними.
Такая связь называется преобразованием координат. Преобразование координат может быть не взаимно-однозначным, но всегда имеются некоторые
важные характеристики механизма или движения, которые не зависят от
данного координатного преобразования, т. е. сохраняются. Такие характери5
стики называются инвариантами преобразования. Инвариантом может быть,
например, длина предписанной траектории.
Рассмотрим важнейшие типы координатных систем, используемых в
управлении движением пространственного механизма при формообразовании.
1.1.1. Обобщенные координаты
Число независимых величин, задание которых требуется для однозначного определения положения механической системы, называется числом ее
степеней свободы. Если число степеней свободы равно n, то любые n переменных q1, , q n , характеризующие положение системы, называются ее
обобщенными координатами [4].
При описании пространственных механизмов начало отсчета q  0
обычно связывают с каким-либо элементом механизма, при этом число степеней свободы уменьшается на 6 в данной системе отсчета и говорят о m
степенях подвижности механизма: m = n – 6.
Введем новую систему обобщенных координат q ' .
Преобразование
q'i  q'i (q1 , ..., qm ), i = 1, …, m
(1.1)
называют иногда точечным преобразованием. Ясно, что свойства механизма
не могут зависеть от выбора той или иной системы обобщенных координат,
лишь бы
 q ' 
0
(1.2)
det 
 q т 


в существенной области изменения координат.
При преобразовании (1.1) уравнения движения механической системы
сохраняют свой вид.
1.1.2. Координаты состояния, фазовые координаты
Обобщенные координаты определяют положение механической системы, но не ее состояние. Знание «механического состояния» позволяет пред6
сказывать будущее поведение системы. Например, знание обобщенных координат q и обобщенных скоростей q механической системы в данный момент времени t позволяет определить ее состояние в следующий момент
t + dt. В соответствии с уравнениями Ньютона, знание q и q определяет
также и ускорение системы q .
Состояние механической системы может определяться и производными более высокого порядка от координат q . В этом случае требуется более
глубокий учет предыстории поведения системы. Общий физический смысл
появления старших производных при описании состояния системы состоит в
учете средствами классической механики скрытых движений в системе (источников энергии и внутреннего трения) [5]. Тогда cистему можно считать
консервативной в механическом смысле, и ее функция Лагранжа L будет зависеть от старших производных:
L  L (q, q, q, ..., q (n) ) .
Уравнение движения будет иметь порядок 2n.
Приведем простой пример. Уравнение движения механической системы запишем в виде уравнений Ньютона:
d
(mq )  F (q, q ),
(1.3)
dt
где m – обобщенная масса; F – сумма сил, действующих на систему.
Раскрывая в (1.3) скобки и перенося потенциальные и диссипативные
силы U( q,q ) в левую часть, получим:
mq  q
m
q  U (q, q )  u,
q
(1.4)
где u – некоторая внешняя управляющая сила.
Обозначим левую часть (1.4) через Q(q, q, q) . При движении вдоль траектории q (t ) система на каждом ее участке q совершает работу:
A = Qq,
причем, в соответствии с законом сохранения энергии,
A = E1t,
(1.5)
где E1 – мощность источника внешней силы u (она может быть как положительной, так и отрицательной).
7
Если мощность E1 постоянна,
то справедлива интегральная форма
(1.5):
A  E1T ,
где Т – промежуток времени движения системы вдоль траектории.
Тогда для сохраняющейся мощности источника E1 получим:
Q(q, q, q)q  E1 .
(1.6)
В (1.6) источник силы и вошел в описание системы, в результате чего она
оказалась в механическом смысле замкнутой, а роль энергии системы стала
играть сохраняющаяся мощность E1. Энергия консервативной механической
системы включает в себя кинетическую EК и потенциальную EП составляющие:
E1 = ЕК + ЕП ,
а функция Лагранжа системы L1 – их разность:
L1 = ЕК  ЕП.
(1.7)
Из (1.6) и (1.7) видно, что включение в описание системы источника энергии
приводит к появлению в функции Лагранжа вновь образовавшейся системы
второй производной q : L1  L1 (q, q, q). Уравнения движения механической
системы, имеющей такую функцию Лагранжа, называют иногда уравнениями
Эйлера–Пуассона [6].
Формализм классической механики допускает комбинирование обобщенных координат и переменных состояния следующим образом [7]. Пусть
система консервативна и имеет одну степень свободы. Наличие скрытых
(циклических) координат, определяющих ее внутренние источники механической энергии, приведет к появлению ускорения q в функции Лагранжа системы: L  L(q, q, q).Увеличение числа степеней свободы системы формально
дает возможность избавиться от внутренних источников энергии. Пусть Q1 =
q; Q2 = q ; Q  Q  q . Тогда L = L(Q1, Q2, Q , Q ), где Q , Q  компоненты
1
2
1
2
1
2
вектора обобщенных координат системы Q ; Q1 , Q2 , Q1 , Q 2  компоненты
вектора переменных состояния системы x . Фактически, таким образом происходит восстановление «утраченного» числа степеней свободы системы.
Фазовые координаты являются разновидностью переменных состояния. Пусть состояние механической системы определяется двумя перемен-
8
ными q и q . В ряде случаев для описания состояния удобно пользоваться
не скоростями q , а импульсами p :
p
L
,
q
(1.8)
где L  L(q, q )  функция Лагранжа системы.
В (1.8) показана связь между q и p , но при описании состояния системы переменные q и p считаются независимыми, подобно переменным q
и q . Если функция Лагранжа механической системы зависит от производных
выше первого порядка и система стационарна, то наряду с уравнениями Лагранжа (Эйлера–Пуассона) такой системы [7]:
n
L d L
n d  L 
0

 ...  (  1)


x dt x
dt n  x (n) 
справедливы уравнения Гамильтона–Остроградского
H
H
q r 
, Pr  
, r  1, n,
Pr
q r
(1.9)
если положить: L  L(x, x, x, ...,x (n) ) ; q1 = x, q2 = x , …, qn = x ( n1) .
Функция Гамильтона системы имеет вид:
H  p1q 2  p2 q 3  ... pn 1 x ( n)  L ,
n
L d L
L
n d  L 

 ...  (  1)
где p1 
; … ; p n  (n) .


x dt x
x
dt n  x (n) 
Уравнения (1.9) инвариантны (сохраняют свой вид) только относительно так называемых канонических преобразований переменных p и q .
Геометрический смысл этих преобразований состоит в том, что они сохраняют фазовый объем  dpdq . Физически это означает, что множество траекторий системы (1.9) можно рассматривать как поток несжимаемой жидкости
(фазовый поток [9]).
1.1.3. Циклические и позиционные координаты
Если координата qi не входит явно в функцию Лагранжа L системы, т. е.
L
qi
 0 , то эту координату называют циклической и в силу уравнений Ла9
гранжа
d L
 0 . Тем самым сохраняется постоянным соответствующий
dt q i
этой координате обобщенный импульс pi.
Координаты системы, входящие явно в функцию Лагранжа, называются позиционными [3].
Метод разделения координат системы на циклические и позиционные с
целью упрощения интегрирования уравнений движения называется методом
Рауса [4].
При построении управления пространственным механизмом разделение координат на циклические и позиционные происходит естественным путем в результате принудительного ограничения «полосы пропускания» системы управления. Управляемыми при этом оказываются только позиционные координаты. Время в консервативных системах также может рассматриваться как циклическая координата.
1.1.4. Технологические координаты
Технологические координаты – разновидность обобщенных координат,
для которых условие (1.2) может не выполняться, так как они не связаны с
кинематической схемой механизма и вводятся на основании внешних по отношению к нему требований. Например, система технологических координат
может быть связана с поверхностью обрабатываемого изделия в месте обработки, с некоторой особой точкой внутри обрабатываемой детали, с расчетной точкой инструмента и т. д.
1.2.
Метод сил
В отличие от координат силы не являются в механике непосредственно
измеримыми величинами. О действии той или иной силы на механический
объект судят на основании производимой этой силой деформации, используя
закон Гука. Несмотря на это, метод сил является надежным и удобным средством для постановки и решения задач механики и управления.
Специфика задач, решаемых при построении управляемого движения
механизма, требует классифицировать силы как обобщенные, внешние и
технологические.
10
1.2.1. Обобщенные силы
Удобно связать со всякой обобщенной координатой q некоторую
обобщенную силу Q, причем в соответствии с уравнениями Ньютона
Q = Q(q, q ).
(1.10)
В рамках механики Лагранжа обобщенные силы выражаются так [4]:
L
Qi 
 p i ,
qi
(1.11)
где i  1, N  номер степени свободы системы, L – функция Лагранжа системы.
Из (1.10), (1.11) видно, что обобщенные силы Q отражают взаимодействие подсистем внутри консервативной механической системы.
1.2.2. Внешние силы
Внешней силой можно представить (с той или иной точностью) всякое
возмущение, действующее извне на консервативную механическую систему.
Источники внешних сил по своему физическому происхождению можно разделить на 3 группы:
– явления немеханической природы, которые приближенно учитываются механикой (например, трение);
– целенаправленные воздействия на механическую систему (управления);
– явления, связанные с неполнотой математической модели механической системы (скрытые переменные [3]).
1.2.3. Технологические силы
Подобно тому как технологические координаты являются разновидностью обобщенных координат, технологические силы являются разновидностью сил обобщенных, так как они также образуются внутри управляемой
механической системы в предположении, что она консервативна. Размерность вектора технологических сил в общем случае не равна размерности
вектора сил обобщенных. Это связано с тем, что технологические силы фор11
мируются на основании внешних по отношению к механизму, требований.
Например, вектор технологических сил может быть связан с системой координат на обрабатываемой поверхности детали, инструмента и т. д.
1.3. Задачи механики
Классическая механика рассматривает 3 основные задачи: задачу статики; задачу кинематики и задачу динамики.
В статике исследуются законы сложения сил и условия равновесия тел.
В кинематике изучается механическое движение тел вне связи с определяющим его взаимодействием между телами. В динамике рассматриваются
внешние взаимодействия между телами, влияющие на их механическое движение [9].
1.3.1. Задачи статики: управление по вектору силы
Задача статики делится на прямую и обратную. Прямая задача состоит
в том, чтобы по известному вектору внешних сил в сочленениях механизма
(реакциям связей) Q определить главный вектор и главный момент сил FM
в расчетной точке рабочего органа механизма. При известных кинематической схеме механизма, системе технологических координат и заданном
n-мерном векторе Q прямая задача статики дает возможность рассчитать
шестимерный вектор технологических сил FM :
FM  [ Fx Fy Fz M x M y M z ] т ,
где Fx, Fy, Fz – проекции главного вектора сил в системе технологических
координат; Mx, My, Mz – проекции главного момента сил в системе технологических координат.
Обратная задача статики состоит в том, чтобы по известному главному
моменту технологических сил FM в системе технологических координат
определить вектор Q (реакций связей): Q  [Q1Q2 ...Qn ] т .
При n > 6 обратная задача статики имеет множество решений. Поскольку
внешние силы Q следует считать управляющими силами, решение прямой и
обратной задач статики входит в задачу построения управления по вектору
12
силы. Управление по вектору силы необходимо при сварке, шлифовке, нанесении покрытий, сборке.
1.3.2. Задача кинематики: управление по вектору положения
Задача кинематики также делится на прямую и обратную. Прямая задача состоит в отыскании вектора положения расчетной точки инструмента и
его ориентации в некоторой технологической системе координат по известной кинематической схеме механизма и вектору обобщенных координат q :
q  [q1q2qn ] т .
(1.12)
Вектор положения и ориентации x в общем случае шестимерный:
x  [xyzαβγ ] т ,
(1.13)
где x, y, z – компоненты вектора положения расчетной точки инструмента в
технологической системе координат; , ,  – какие-либо углы, описывающие ориентацию инструмента в технологической системе координат.
Обратная задача кинематики состоит в отыскании вектора обобщенных
координат механизма по его заданной кинематической схеме и вектору положения и ориентации инструмента в заданной технологической системе координат. Из (1.12), (1.13) следует, что обратная задача кинематики может
иметь множество решений.
Задачу кинематики приходится решать всякий раз при построении
управления по вектору положения x и когда система технологических координат не совпадает с системой обобщенных координат механизма.
1.3.3. Задача динамики: управление по вектору состояния
Существуют две задачи динамики: прямая и обратная [10]. Прямая задача заключается в определении вектора обобщенных координат механизма
q  q (t ) и вектора обобщенных скоростей q  q (t ) (т. е. переменных состояния механизма) по действующим на него внешним силам u . Решением прямой задачи динамики будет, например, решение уравнений Лагранжа механизма при заданных начальных условиях q0  q (t 0 ) , q 0  q (t 0 ) :
d L L

u.
dt q q
13
(1.14)
Для того чтобы составить уравнение (1.14), необходимы расчетные кинематическая и динамическая схемы механизма. Уравнения (1.14) нелинейны
и в общем случае не имеют аналитического решения. К счастью, решать их
не требуется, так как они просто обозначают механизм как объект управления.
Обратная задача динамики заключается в определении вектора внешT
них сил u по заданному вектору состояния q | q  и математической модели
механизма (1.14). Обратная задача значительно проще прямой, и ее надо решать при построении управления по вектору состояния (по скорости, положению, а иногда и току) для всех пространственных механизмов, выполняющих самые разнообразные технологические операции.
1.3.4. Совместное решение задач статики, кинематики и динамики
Задачу динамики приходится решать для всякого механизма, если требуется, чтобы некоторая его часть двигалась по предписанной траектории.
Поэтому вместе с задачей динамики решается либо задача кинематики, либо
задача статики. Часто приходится решать все 3 задачи одновременно. При
решении двух задач, например, задачи динамики и задачи кинематики, расчетная точка механизма «с» с допустимой погрешностью движется вдоль
траектории, а в системе технологических координат x1 0x2 – со скоростью v
(рис. 1.1). При одновременном решении задач кинематики, динамики и стаx2
x2
v
b
b
v
c
c
a
0
a
0
x
FM
x
1
1
Рис. 1.1
Рис. 1.2
тики в точке c дополнительно возникает вектор технологической силы FM
HbcH
HbcH
(рис. 1.2). При этом
со стороны траектории ab должна
действовать реакция
связи, уравновешивающая силу FM , что показано на рис. 1.2 штриховкой
(«заделка» траектории в осях x1 x 2 ). Точностные характеристики при одновременном решении задач кинематики и статики взаимно противоречивы.
14
Это объясняется тем, что по одному каналу управления u приходится управлять двумя независимыми физическими величинами FM и x.
Рассмотрим подробнее физический смысл этого явления. Ясно, что при
решении задач кинематики и статики действуют управление и контроль, не
разрушающие механизм и его системы. Поэтому при обратимых деформациях должен быть справедлив закон Гука [9], который в интегральной форме
имеет вид: Q = kx, где k – коэффициент, учитывающий физические свойства и
геометрию материалов в точке с на рис. 1.2; x – деформация в технологических координатах x1, x2; Q – сила FM (рис. 1.2), вызывающая деформацию x
некоторого элемента поверхности, связанного с точкой c.
Рассмотрим 2 крайних случая.
x=0
Q=0
Q
x
Рис. 1.3
Рис. 1.4
HbcHуправлении по вектору положения
HbcH
1. При
требуется обеспечить максимальную точность на траектории x = x0  0, какова бы ни была сила Q
(рис. 1.3). Пусть сила Q, необходимая для этого, весьма велика и равна Qm.
Тогда k  :
Qm = kx0.
(1.15)
2. При управлении по вектору силы требуется обеспечить максимальную точность действия силы Q = Q0  0, каково бы не было положение x
(рис. 1.4). Пусть отклонение по положению при этом весьма велико и равно
xm. Тогда k  0:
Q0 = kxm.
(1.16)
Так как (1.15) , (1.16) записаны для одной и той же физической системы, то
должна сохраняться потенциальная энергия деформации kx2. Умножим поэтому (1.15) на x0, а (1.16) на xm и приравняем левые части. Получим:
Qmx0 = Q0xm .
(1.17)
Также следует учесть, что в (1.17) направление действия вектора силы Q совпадает с направлением вектора деформации x. Поэтому в общем случае:
Qixi  Ai ,
(1.18)
15
где i – номер компонента разложения Q, x по осям координат; Ai = const – работа, численно равная потенциальной энергии деформации kx2. В случаях
(1.15), (1.16) эта работа имеет минимальное значение: Ai = Ai min и (1.18) переходит в равенство.
Отсюда следует вывод: чем больше желаемая точность управления по
вектору силы в данном направлении, тем меньше будет точность в этом же
направлении при управлении по вектору положения, и наоборот.
 t , где
Так как величина x лежит на некоторой траектории, то x  xΔ
t – некоторый интервал расчета точки на траектории. Из (1.11) следует, что
p  Qt, так что с учетом движения вдоль траектории получим из (1.18):
pixi  Аit = £i, где £i – константа, имеющая размерность действия механической системы (Дж · с). Совокупность констант £i является, таким образом,
фундаментальной при одновременном решении задач статики и кинематики:
чем они меньше, тем выше общая точность системы.
В заключение рассмотрим концептуальную схему совместного решения задач кинематики, динамики и статики механизма (рис. 1.5).
П1
FM3
ФС
ОЗС
Фк
x
ОЗК
ФД
ОЗД
ПЗК
П2
FM
ПЗС
uД u
q3
x3
Qс
ПЗД
q
x
ПЗК
Объект
ДС
FM
Рис. 1.5
На рис. 1.5 обозначены: Фк, Фс, ФД – некоторые фильтры для кинематической, статической и динамической задач соответственно, обеспечивающие нужное качество решения этих задач; ОЗС, ПЗС – обратная и прямая задачи статики; ОЗК, ПЗК – обратная и прямая задачи кинематики; ОЗД, ПЗД –
обратная и прямая задачи динамики; ДС – датчик сил, закрепленный в расчетной рабочей точке механизма, обеспечивающий измерение сил на основе
закона Гука при наличии контакта с обрабатываемым изделием; П1 – переключатель, позволяющий получать информацию о векторе FM либо расчетным путем, решая ПЗС, либо измерительным путем, с ДС; П2 – переключатель, позволяющий получать информацию о векторе q либо расчетным пу16
тем, либо путем измерения; x3 , q3 , FM 3 – заданные значения вектора технологических координат, обобщенных координат и технологических сил соответственно; Qc – вектор обобщенных сил при решении ОЗС; u – вектор
внешних сил при решении ОЗД; u  Q  u Д . Штриховой линией на рис. 1.5
c
обведен объект управления, так что ПЗД и ПЗК здесь изображены чисто
формально. Связи, обозначенные штриховыми линиями, следует понимать
как альтернативные. Сумматоры на схеме являются символами итерационных процедур решения нелинейных уравнений указанных задач.
Из представленной схемы видна логическая связь между задачами кинематики, динамики и статики механизма при выполнении им тех или иных
технологических операций.
1.4. Механика систем со скрытыми движениями
Точную математическую модель движения механизма, а также всей системы управления им построить практически невозможно. Степень детализации изучения механизма определяется постановкой задачи управления им и
имеющимися в наличии средствами идентификации механизма. Асимптотический метод упрощения математической модели механизма (системы
управления) путем её разбиения на составные части рассмотрен в [3], [11]. С
этой целью в описание вводятся «быстрые»  и «медленные» X координаты.
В результате исходная обобщенная координата q будет представлена так:
Q(t, ) = X(t) + (t, ),
(1.19)
где t – «медленное» время;  – «быстрое» время:  = (1/)t;  – малая величина.
Координата  мало меняется с течением времени t, и можно считать ее
почти периодической величиной:
1T
Ψ(t , τ)  lim
 Ψ(t , τ)dτ  0.
T  T 0
Тогда получим: X (t )  x(t , τ) . Если диапазон изменения  по сравнению с X
порядка , то механическая система может быть разделена на составляющие,
с которыми проще работать. В рамках управления механизмом от компьютера разделение единого времени t на «быстрое» и «медленное» означает появ17
ление двух программных процессов реального времени вместо одного: с малым интервалом квантования (для контроля ) и с большим (для контроля t).
Объем вычислений для компьютера при этом существенно уменьшится, но и
точность управления механизмом в целом снизится.
1.5. Гамильтонова система
Гамильтонова механика описывает движение механической системы с
наиболее общих позиций. Механика Лагранжа включается в механику Гамильтона как частный случай. Особое значение Гамильтонова механика имеет для понимания общего характера движения сложных механических систем
[8].
Основные признаки формализма Гамильтоновой механики следующие:
– четномерное фазовое пространство координат q и импульсов р;
– функция Гамильтона системы, которая изображает ее полную энергию и получается из функции Лагранжа путем преобразования Лежандра [4];
– каноническое преобразование фазовых переменных, при котором сохраняется вид уравнений Гамильтона системы.
Идеи и результаты Гамильтоновой механики применяются в следующих случаях:
1. При идентификации механических и электромеханических объектов
частотными методами. В этом случае систему искусственно делают консервативной, включая в нее источник подвода или отвода энергии, так что полная энергия системы сохраняется. Свойства системы исследуются при разных значениях энергии (функции Гамильтона) системы.
2. При описании и построении объектов, систем управления и регуляторов частотными методами. В этом случае также подразумевается консерватизм перечисленных систем.
1.6. Электромеханическая система
Электромагнитный и механический объекты формально объединяется
в единую (электромеханическую) систему на основе электромеханической
аналогии [12], [13]. Получающиеся в результате этой аналогии уравнения Ла-
18
гранжа–Максвелла дают описание электромеханического объекта со степенью полноты, возможной для классической механики.
В рассматриваемом здесь и далее классе электромеханических объектов физически возможно разделение электромагнитной и механической частей введением управления током (напряжением) двигателей. При этом электромагнитная часть оказывается «активной»: в нее включается описание источника мощности. Это, конечно, влияет и на описание электромеханического объекта в целом, изменяя его динамические свойства, но одновременно
упрощается построение управляемого движения.
1.7.
Нормы
Норма есть математическое обобщение понятия «расстояние» [14].
Идея нормы используется в разных целях практически во всех задачах построения управляемого движения.
Для векторов x в N-мерном линейном пространстве определена норма
( x ), если каждому вектору x по определенному правилу сопоставлено неотрицательное число , удовлетворяющее условиям:
1) ( x ) = 0, если x = 0;
2) ( x ) > 0, если x  0;
3) ( x + y )  ( x ) + ( y ) (правило треугольника);
4) ( ax ) = a ( x ), a – вещественное число.
Вектор считается равным нулю, если все его компоненты равны нулю.
Рассмотрим несколько конструкций норм, которые находят применение при построении управляемого движения:
1. Евклидова норма:
n
1
( x ) = (  xi2 ) 2 ,
(1.20)
i 1
где n – размерность вектора x .
2. Норма «максимум по модулю»:
( x ) = max(x1, …, xn).
3. Норма «сумма модулей»:
19
(1.21)
n
( x ) =  xi .
(1.22)
i 1
Общий вид нормы, включающий 3 приведенных случая:
n
( x ) = (  xi
p 1
) p , р = 1 , …, .
(1.23)
i 1
Множество точек xi , имеющих норму (x)  , называется сферой с радиусом . При изменении р от 1 до  линия, ограничивающая единичную сферу ( x )  1, в случае нормы (1.23)
5
2
трансформируется от линии 3 к линии 2 (рис. 1.6). Так,
3
при n = 2 линия 4 соответствует некоторому значению
x1
1 < p < 2, а линия 5 – значению p > 2 .
1
4
На рис. 1.6 норма (1.20) соответствует (при одина1
Рис. 1.6
ковых масштабах по осям) окружности 1; норма (1.21) –
квадрату 2; норма (1.22) – квадрату 3.
x2
1.8. Процессы
Ход, развитие, изменение какого-либо явления (во времени) принято
называть процессом. Рассмотрим программные процессы [15].
Программный процесс – это программа, которой выделен процессор.
Процессор – устройство (физическое или виртуальное, т. е. программа)
для обработки программных процессов.
Диспетчер (ядро, управляющая программа и т. д.) – программа, которая
управляет программными процессами.
Программные процессы могут быть пакетными, интерактивными, процессами реального времени. Диспетчер управляет программными процессами в соответствии с определенным законом – дисциплиной диспетчеризации.
Построение всякой дисциплины диспетчеризации основано на понятиях приоритета и очереди.
Приоритет – шкала значимости процессов, в соответствии с которой им
предоставляется процессор.
20
Очередь – предоставление процессора программному процессу, раньше
других запросившему его (FIFO).
Пакетный процесс – совокупность программ, не критичная ко времени
исполнения и обрабатывающаяся с низким приоритетом.
Интерактивный процесс – совокупность программ, предполагающая
приемлемое время отклика на внешние запросы.
Процесс реального времени – совокупность программ, которая должна
быть исполнена в течение заданного промежутка времени. Данный процесс
является важнейшим для решения задач управления движением пространственных механизмов и может быть представлен некоторым оператором L
обработки данных в канале связи (рис. 1.7).
Данные x(t) поступают от источника, обрабатыва- x(t)
y()
L(x)
ются и уходят в приемник y(). Требование реального
Рис. 1.7
времени обработки данных в этом случае означает, что
скорость выработки данных источником должна быть равна скорости поступления этих данных в приемник, т. е. t = . Если / t = m > 1, то некоторые
детали процесса x(t) будут утеряны. Если  = t –T0 (T0 = const,   0 ), то данные процесса x(t), хотя и сохранятся, но устареют. Поэтому необходим способ правильной дискретизации (разбиения) времени t на интервалы T. Некоторое приближение к такому разбиению дает теорема Котельникова–
Шеннона [26], согласно которой x(t) разлагается в ряд (если это возможно по
условиям теоремы):
x(t ) 

sin ω(t  nT )
 x(nT ) ω(t  nT ) ,
n
где  – граничная частота спектра сигнала x(t). При этом информация будет
передана без потерь, если
π
T .
(1.24)
ω
Поскольку для практически важных сигналов условие этой теоремы не
выполняется, вместо (1.24) следует принимать [16]:
kπ
T ,
(1.25)
ω
где k = 0.02 … 0.1.
21
Выбрав по (1.25) интервал дискретизации Т, можно дать графическую
интерпретацию процессу реального времени (рис. 1.8), где I – логическая переменная, отражающая существование процесса (если I = 0, то процесс пассивен; если I = 1, то процесс активен); x – существенная переменная процесса.
Процесс реального времени будет, таким образом, процессом с двумя
фиксированными временными границами: t1 = nT и t2 = (n + 1)T, n = 0, 1, ….
Существенная переменная x меняется в конце каждой реализации процесса и
сохраняется до следующей реализации (рис. 1.8). Такая экстраполяция данных называется экстраполяцией нулевого порядка.
I
1
1
1
0
1x
T

t1 = nT
t2 = (n + 1)T
t
0
1
Рис. 1.8
t
Процесс запускается диспетчером по внешнему событию (сигналу t1 =
=nT (n = 1, 2, …) от датчика времени). С момента прихода сигнала от датчика времени до реального запуска процесса проходит время 1, зависящее от
оперативной обстановки в операционной системе. Длительность процесса 
также переменная величина, определяемая условиями расчета задачи управления движением. Следует обеспечить выполнение неравенства
Т    1 > 0.
(1.26)
При достаточно сложных алгоритмах управления движением и нескольких процессах можно полагать, что величины , 1 и Т    1 носят
случайный характер и нормально распределены относительно своих средних
значений τ , τ 1 и T  τ  τ1 . Средние значения τ и τ 1 являются характеристиками протекания процесса в данной системе. Опытным путем следует так
подобрать интервал Т, чтобы (1.26) всегда было выполнено. Процесс с одной
фиксированной временной границей t2 (рис. 1.9) является интерактивным.
22
Интерактивный процесс запускается по внешнему событию (сигналу от
датчика событий), совершившемуся в произвольный момент времени t1. С
момента t1 до момента реального запуска процесса проходит время 1, зависящее от оперативной обстановки в системе. Длительность процесса  и 1 –
I
I
1

1
1
x
t1
T
t2 = t1 + T
t
0
x1
1

t1
t2
t
t2
t
0
t1
t1 + 1+ 
t
1
t1
t0
Рис. 1.10
Рис. 1.9
случайные величины, имеющие средние значения. Интервал времени Т выбирается постоянным и называется временем отклика процесса. В системах
управления движением интерактивный процесс используется в основном для
обслуживания электромеханических устройств и человека-оператора, поэтому время отклика Т выбирается в пределах от 0.05 до 0.5 с. Из рис. 1.9
следует, что для любых 1 и  выполняется неравенство
Т    1 > 0.
Процесс заканчивается в момент t1 +  + 1 директивой «завершить процесс»
и сопровождается изменением значения существенной переменной x.
Пакетный процесс не имеет фиксированных временных границ и теоретически может длиться бесконечно долго. Процесс является низкоприоритетным и поэтому запускается по сигналу от «внутреннего» события в системе в момент времени t1, означающему, что все высокоприоритетные процессы завершили свою работу (рис. 1.10).
С момента t1 до момента реального запуска процесса проходит время
1. Если процесс конечен во времени, то он заканчивается в момент t2 выдачей директивы «завершить процесс». Промежуток времени  = t2  t1 произволен. В момент времени t0 (t1 + 1 < t0 < t2) меняется существенная переменная процесса x (рис. 1.10). Пакетный процесс используется для планирования
и выполнения долгосрочных работ в системе управления движением.
23
2. ПОСТРОЕНИЕ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЕХАНИЗМА
2.1. Задача управления движением пространственного механизма
По терминологии, принятой в [17], при построении управляемого движения используются все 3 фундаментальных принципа: управление по отклонению, управление по возмущению и разомкнутое управление. В рамках
той же терминологии управление движением механизма в целом следует
определить как пространственное программное управление. Эта терминология, конечно, в значительной мере условна, так как известны подходы, в которых с программной траекторией связывают соответствующее ей дифференциальное уравнение, строят трехгранник Френе, а в координатах этого
трехгранника осуществляют стабилизирующее управление. В этом случае
система управления определяется как следящая [17].
2.1.1. Постановка задачи
Пусть задача управления движением механизма является задачей пространственного программного управления [17]. Поставим ее для любого механизма, выполняющего формообразование.
Дана траектория в некоторой исходной форме. Требуется сформировать физическую траекторию движения исполнительного механизма (ИМ) с
абсолютной погрешностью, не превышающей заданную (рис. 2.1). Исходная
форма представления траектории
Исходная
форма
может быть в виде некоторой симТраектория
Задача
траектории
ИМ
вольной конструкции, в виде таблиуправления
цы, организованной по определендвижением
ным правилам, и т. д. Физическая
Рис. 2.1
траектория движения ИМ y (t )
находится внутри цилиндра, диаметр которого равен заданной удвоенной абсолютной погрешности  (рис. 2.2).
Вероятность пребывания траектории движения ИМ y (t ) вблизи периферии цилиндра (рис. 2.2) близка к нулю, а вблизи заданной (исходной) траектории x (t ) – к единице. При значительном числе малых случайных факто24
ров, влияющих на отклонение физической траектории ИМ от заданной
y (t ) – x (t ) (что наблюдается при правильном решении задачи управления
движением и исправной измерительно-управляющей аппаратуре ИМ), можно
полагать, что в каждом сечении цилиндра (рис. 2.2) распределение вероятноРасчетная точка
на траектории
2
Заданная (исходная )
траектория x (t )
Физическая траектория
ИМ y (t )
Рис. 2.2
стей прохождения траектории y (t ) на данном расстоянии (радиусе) от заданной траектории x (t ) подчинено нормальному закону. Нормальное распределение справедливо и для осевого (вдоль оси цилиндра x (t ) ) отклонения физической траектории движения ИМ от заданной. Таким образом, вместо движения расчетной точки ИМ по заданной траектории (рис. 2.2) следует рассматривать движение «пятна» внутри цилиндра, причем «прозрачность» этого «пятна» возрастает при увеличении расстояния от расчетной точки.
2.1.2. Конструктивное определение задачи
Для того чтобы построить и оценить усредненное движение ИМ, показанное на рис. 2.2, создадим математическую модель «черного ящика» на
рис. 2.1 средствами классической механики. Для этого запишем систему
уравнений Лагранжа–Максвелла для ИМ как электромеханического объекта
управления:
d L L

 Qi (q , q , ...,q (n) ; x , x , ..., x (n) ; t)  Qi' , i  1, N ,
dt q i qi
(2.1)
где qi – в соответствии с электромеханической аналогией обобщенные координаты и заряды; L = L( q , q ) – функция Лагранжа–Максвелла; Qi – обоб25
щенная сила – внешнее возмущение; Qi  Qi (q , q , ...,q (n) ; x , x , ..., x (n) ; t) –
обобщенная сила – управляющее воздействие; x (t )  вектор технологических
координат.
Левая часть (2.1) описывает динамические свойства ИМ. В правой части управляющая сила Q определяет желаемое движение ИМ вдоль траектории (рис. 2.2). Задача состоит в построении этой силы, однако вычислить её
непосредственно по выражению (2.1), т. е. используя только аппарат классической механики, весьма сложно по следующим причинам:
 получение достоверных выражений в левой части (2.1) тесно связано
с идентификацией ИМ. Точность идентификации зависит от используемых
измерительно-управляющих средств и целей, поэтому выражения для L( q , q )
заранее не написать – это итерационный процесс;
 прямое вычисление силы Q требует операций дифференцирования,
выполнение которых во временной области связано с целым рядом проблем;
 система управления должна быть грубой, причем степень грубости
необходимо оговорить при расчете силы Q . В то же время выражение (2.1)
позволяет рассчитать только среднее значение этой силы.
2.1.3. Системный подход к решению задачи
Цель системного подхода – наилучшим образом довести решение задачи управления движением ИМ до практически приемлемого результата.
Для этого задачу управления движением ИМ следует представить как
множество более простых, логически связанных между собой подзадач. Каждая подзадача при этом должна нести определенную смысловую нагрузку,
т. е. должна быть физически интерпретируема. В этом случае, как показывает
опыт, разработка системы управления движением в целом значительно
упрощается. Применяя системный подход, вместо системы (рис. 2.1) получим совокупность задач (рис. 2.3).
Часть задач, представленных на рис. 2.3, слабо зависят от свойств ИМ
и могут решаться без детального их изучения. В этом – еще одно преимущество системного подхода.
26
Исходная Задача
форма интертерпретраектории
тации
Задача
построения
траектории
Задача
контроля
ограничения в
x
Задача
преобразования
коор-
динат
Задача
контроля
ограничения в
q
Задача
разгона и
торможения
Задача
стаби- Траектория
лизации ИМ
Рис. 2.3
Задачи, слабо зависящие от свойств ИМ, следующие:
 задача интерпретации;
 построение траектории;
 задача разгона и торможения.
2.2. Задача интерпретации
Как уже отмечалось, исходной формой программной траектории может быть некоторая символьная конструкция. Устройства для преобразования одной символьной конструкции в другую по определенным правилам
называются языковыми процессорами, которые бывают компилирующего,
транслирующего и интерпретирующего типов.
Процессоры первых двух типов преобразуют всю совокупность символов, так что новая совокупность может существовать независимо от исходной, как отдельная запись. Интерпретирующий процессор преобразует лишь
фрагменты (строки) исходной совокупности символов так, что полученный
фрагмент не может существовать независимо от исходной совокупности
символов.
Языковые процессоры преобразуют исходную символьную конструкцию в целевую не сразу, а проходами, прочитывая ее несколько раз. Это связано с необходимостью проведения перед преобразованием различных видов
анализа символьной конструкции: синтаксического, семантического и прагматического. Без первых двух видов анализа не обойтись, поэтому всякий
языковой процессор осуществляет не меньше двух проходов по символьной
конструкции. Поскольку процессор интерпретирующего типа (или просто
интерпретатор) преобразует фрагменты символов, которые не существуют
независимо от исходной совокупности, должна существовать некоторая исполнительная система, ради которой эти фрагменты и преобразовывались.
27
Таким образом, происходит «исполнение» исходной совокупности символов
по фрагментам.
2.2.1. Постановка задачи
Поставим задачу интерпретации, использующую 2 прохода по символьной конструкции. Фрагмент обрабатываемого интерпретатором символьного текста называется кадром. Наиболее общий формат кадра представлен на рис. 2.4.
Признак начала
кадра
Данные кадра
Признак конца
кадра
Рис. 2.4
Таким образом, кадр есть некоторая синтаксическая конструкция, данные которой используются исполнительной системой одновременно (отсюда
и название – кадр). Данные, заклю«Tело» кадра
ченные в кадре и представляющие соДанные управления
бой его «тело», весьма разнообразны.
Другие данные
движением
Разделим все данные на две группы:
данные управления движением и друРис. 2.5
гие данные (рис. 2.5).
К данным управления движением относится вся информация, описывающая характер движения: систему координат, в которой происходит движение, тип траектории, свойства кинематической схемы, разгон и торможение, позиционирование и т. д.
К другим данным относятся:
 операции ввода/вывода;
 операции логической и арифметической обработки данных;
 операции условных и безусловных переходов;
 операции обработки циклов;
 операции вызова подпрограмм;
 другие операции.
Из этого следует, что, хотя в каждый момент времени исполняется
только один кадр, интерпретатор в некоторых случаях (обработка циклов,
вызов подпрограмм, разгон и торможение, условные переходы и некоторые
28
другие операции) должен «просматривать» несколько кадров по ходу выполнения управляющей программы.
Таким образом, дана последовательность кадров, объединенная управляющей программой на некотором входном языке.
Требуется:
– выполнить синтаксический анализ текста текущего кадра УП;
– провести семантический анализ текста этого кадра;
– подготовить данные для работы исполнительной системы.
2.2.2.
Состав задачи
В задачу интерпретации входят подзадачи первого и второго проходов.
Для решения этих подзадач следует определить набор операций исполнительной системы и классифицировать их. Фрагмент такой классификации
представлен в виде табл. 2.1
Таблица 2.1.
Группа
Тип операции в группе
Примечание
операций
Движения
1. Прямолинейная траектория в обобщенных
по траектокоординатах
риям
2. Окружность в произвольной плоскости
технологических координат при плавно
меняющейся ориентации инструмента
3. Окружность в одной из основных плоскостей технологических координат при
неизменной ориентации инструмента
4. Прямая в технологических координатах
Смена
инструмента
Дуговая
сварка
Ввод/вывод 1. Дискретный
2. Аналоговый
Математи- 1. Арифметические операции
ческая об- 2. Тригонометрические операции
работка
3. Логические операции
Управление
током
29
Металлообработка
-- “ --
Окончание табл. 2.1
Примечание
Группа операций
Тип операций в группе
Разгон /
торможение
1. Постоянное ускорение
2. Линейно меняющееся ускорение
3. Позиционирование
1. Абсолютная система технологических
координат
2. Относительная система технологических
координат
3. Инструментальная система координат
4. Система координат изделия
Управление
системами
координат
В подзадачу первого прохода интерпретатора входят следующие операции:
1. Синтаксический анализ текста кадра. Символы текста должны соответствовать принятому алфавиту, слова текста – принятому словарю, предложения – принятой грамматике.
2. Перевод символьных данных в двоичный формат с оценкой допустимого диапазона и знака.
3. Распознавание классификационных признаков операций в кадре.
В подзадачу второго прохода интерпретатора входят следующие операции:
1. Расчет свойств и параметров движения по траекториям в пределах
кадра: скоростей движения по координатам, условий окончания движения,
погрешностей и т. д.
2. Расчет свойств и параметров негеометрических операций в кадре:
расчет выдержек времени, инициализация портов ввода и вывода и т. д.
3. Семантический анализ текста: проверка реализуемости траекторий,
допустимости команд ввода и вывода и т. д.
2.2.3. Алгоритм задачи интерпретации
Алгоритм задачи интерпретации есть последовательность перечисленных ранее операций во времени (см. 2.2.2). Кроме того, в алгоритме должна
30
быть учтена синхронизация процесса интерпретации с работой исполнительной системы, поскольку временные затраты последней на отработку интерпретированного кадра, как правило, во много раз больше, чем на его интерпретацию. Для оптимизации работы системы в целом (исключение «эффекта
короткого кадра») можно использовать конвейерный принцип: создать буфер
для одного и более интерпретированных кадров (т. е. готовых к исполнению). Слишком большой размер буфера нецелесообразен из-за возможного
наличия в кадрах условных и безусловных переходов, вызовов подпрограмм
и т. д., что приводит к обнулению буфера и напрасной работе интерпретатора. Если «эффекта короткого кадра» не возникает, то буфер не требуется.
Синхронизация осуществляется с помощью семафорной переменной
КОК (конец обработки кадра).
Вход
КОК
= 1?
КОК=1?
a
2-й проход
текста кадра
Выход
Да
1-й проход
текста кадра
Есть ошибки на 1-м
проходе?
Есть ошибки
на 2-м проходе?
Выход
по ошибкам
Нет
Выход
по ошибкам
КОК: = 0
Нет
Выход
a
Рис. 2.6
Поскольку в кадре идет параллельное во времени исполнение многих
групп операций, справедливо следующее выражение:
КОК = КОК – 1  КОК – 2  …  КОК – i, i =1, N ,
где N – число групп операций; КОК – i – конец обработки операции i-й группы в кадре;  – символ логического умножения.
С учетом изложенного, вид алгоритма без буферной интерпретации
кадра показан на рис. 2.6. Из приведенного алгоритма видно, что интерпре31
тация следующего кадра осуществляется, если переменная КОК установлена
исполнительной системой в единицу (предыдущий кадр исполнен). По окончании интерпретации переменная КОК устанавливается в нуль. В случае заполнения буфера интерпретируемых кадров признак КОК = 0 определяет занятость буфера, а КОК = 1 – наличие места в буфере.
2.3 . Задача построения программных траекторий
Программная траектория строится в 2 этапа. Первый этап предусматривает планирование траектории и реализуется в интерпретаторе. Второй
этап – исполнение действий, намеченных при планировании, – реализуется в
исполнительной системе.
Программная траектория ИМ включает, в общем случае, две независимые части: траекторию движения расчетной точки рабочего органа ИМ (инструмента) и траекторию изменения вектора ориентации инструмента. При
независимом планировании обе части объединяются при одновременном их
построении исполнительной системой.
2.3.1. Постановка задачи
Всякая траектория имеет область определения, граничные (начальные
и конечные) условия, математическое описание. Дополнительно требуется,
чтобы траектория строилась с погрешностью, не превышающей заданную.
Будем далее полагать, что программная траектория при всех допустимых
граничных условиях лежит в своей области определения, т. е. реализуема.
Задача построения программной траектории ставится следующим образом.
Даны:
 начальные и конечные условия (в пределах допустимой погрешности):
x0  x (t 0 ) , xк  x (t к ) , t – время;
 математическое описание (математическая модель) программной
траектории;
 допустимая статическая погрешность построения траектории.
32
Требуется построить алгоритм формирования траектории положения и
ориентации инструмента по исходным данным.
2.3.2. Погрешность при построении программных траекторий
Во всякой физической системе присутствуют 3 составляющие полной
погрешности: неустранимая Н, методическая М и инструментальная И. Если все 3 составляющие малы по сравнению с масштабами изучаемого явления, то для полной погрешности  справедливо условие (условие аддитивности):  = Н + М + И. Применительно к построению программной траектории неустранимая погрешность связана с неточностью задания граничных
условий и параметров математической модели траектории (отсюда и термин
– «неустранимая»). Методическая погрешность связана с применяемым методом (алгоритмом) расчета траектории и в зависимости от него может меняться в широких пределах. Инструментальная погрешность зависит от используемого инструмента – компьютера и определяется младшим разрядом
его виртуальной разрядной сетки.
Современный уровень развития технических средств позволяет пренебречь неустранимой и инструментальной погрешностями при построении
программной траектории. Это связано с тем, что точность представления чисел достаточно высока: цена младшего разряда мантиссы  248, а точность
граничных условий и параметров траектории должна быть не ниже статической погрешности ее построения, определяемой постановкой задачи.
Методическая погрешность (при точных алгоритмах построения траектории) на концах траектории достигает статической погрешности, т. е. определяется точностью представления граничных условий. Внутри промежутка
методическая погрешность зависит от шага интегрирования Т и геометрических свойств траектории: первой производной по времени – скорости, второй
производной по времени (ускорение, характеристика кривизны), третьей
производной по времени (характеристика кручения пространственной траектории). Методическая погрешность при этом имеет 3 составляющие: угловую
(касательную), радиальную (нормальную) и бинормальную. Шаг интегрирования Т нельзя сделать сколь угодно малым: он должен быть не меньше интервала дискретизации системы управления. Последний же, как уже отмечалось, определяется физическими свойствами ИМ как объекта управления.
33
Таким образом, физические свойства ИМ
накладывают ограничения на класс реализуе
мых траекторий. Покажем это на примере некоторой плоской кривой (рис. 2.7). В этом
Rmin
случае методическая погрешность М будет
0
иметь (при точном алгоритме построения траx
Рис. 2.7
ектории) две составляющие: радиальную R и
касательную . Рассмотрим характерный случай постоянной скорости движения вдоль кривой v и постоянного шага интегрирования Т.
Для ограничения «сверху» методической погрешности следует рассмотреть максимальную скорость движения: v = vmax. Тогда касательная со-
y
ставляющая погрешности будет постоянна вдоль всей траектории и определится только величиной шага интегрирования Т:
 = vmaxТ.
(2.2)
Радиальная составляющая погрешности будет максимальной в месте
наибольшей кривизны траектории. В этом месте радиус кривизны минимален: R= Rmin и радиальная погрешность (рис. 2.7) составит: R = Rmin(1 –
Δ
сos
). Условие точного воспроизведения траектории в этом месте требует,
2
Δ 2
Δ
чтобы   0. Учитывая также, что сos
 1 
, получим: R 
8
2
v max T
Rmin Δ 2

. Так как  =
, то
8
Rmin
2
v max
T2
R 
.
8Rmin
(2.3)
Поскольку должно быть: R  0, то из (2.2), (2.3) следует, что ограничение Т
снизу интервалом дискретизации как раз и является ограничением на класс
реализуемых траекторий (рис. 2.7).
2.3.3. Обзор методов построения программных траекторий
Методы построения программных траекторий можно разделить на 2
класса: аналитические и интерполяционные.
34
В классе аналитических методов для построения траектории
служат аналитические выражения (формулы). В классе интерполяционных
методов формулы играют вспомогательную роль. Они служат для создания
интерполяционного процесса, т. е. процесса восстановления данных внутри
некоторой области по известным данным на ее границах (обратный процесс –
экстраполяция: восстановление данных вне некоторой области по значениям
данных внутри нее). Основой для интерполяционных методов являются данные (множество точек, векторов и т. д.), полученные, например, опытным путем. Иногда для исключения случайных выбросов данных они подвергаются
предварительной обработке – аппроксимации (сглаживанию). В классе аналитических методов (рис. 2.8) имеются методы построения траекторий по их
конечно-разностным схемам и методы построения непосредственно по аналитическому выражению траектории. Конечно-разностная схема (КРС) – это
дискретный аналог дифференциального уравнения и в пределе сводится к
нему. КРС представления траектории может быть точной и приближенной. В
случае точной КРС все точки строящейся по ней траектории находятся на ее
идеализированном прототипе и погрешность определяется только значениями конечных разностей. В случае приближенной КРС ни одна точка (кроме
начальной) в общем случае не будет находиться на идеализированном прототипе, а в погрешности построения траектории появляется дополнительная
составляющая, которая в отдельных случаях может монотонно возрастать со
временем, разрушая алгоритм. Приближенные методы обычно формируются
разложением дифференциального уравнения траектории в ряд по степеням с
возможным дальнейшим усреднением в пределах конечной разности (методы
Рунге–Кутта). Это – одношаговые методы (рис. 2.8). Многошаговые методы
(интерполяционная процедура на каждом шаге) редко применяются при построении программных траекторий.
Таким образом, предпочтительной для построения траекторий методом
КРС является точная КРС.
Если кривым, представляющим программные траектории, соответствуют рациональные выражения, то можно говорить об их порядке. Кривые
n-го порядка имеют точную КРС n-го порядка. Для кривых 2-го порядка точная КРС строится достаточно просто. Построим точную КРС для окружности
(рис. 2.9). Дуга окружности как кривой второго порядка имеет точную конечно-разностную схему второго порядка. Так как КРС справедлива с точно35
Методы построения
программных траекторий
Аналитические
По формуле
траектории
Точная
КРС
Одношаговые
Метод
Рунге–
Кутта
Интерполяционные
Неполиномиальные
По КРС
Приближенная
КРС
Ряды по ортогональным
функциям
Многошаговые
Метод
Адамса
Метод
Милнера
Интерполяционный
полином
Лагранжа
Локальные
сплайны
Эрмита
Полиномиальные
Безье
Сплайнинтерполяция
Нелокальные
сплайны
Кубические
Квадратичные
Рис. 2.8
стью до произвольного смещения центра окружности, будем строить ее при
нулевом смещении центра относительно начала координат. При постоянной
контурной скорости обхода кривой v = R приращение угла  = Т = const.
Пусть в некоторый момент времени ti центральный угол  = i, а координаты
x и y соответственно равны xi и yi. Тогда, как следует из геометрических построений (рис. 2.9),
γ
γ
xi 1  xi  2 R sin sin(θ i  ) ,
2
2
γ
π
γ
xi  xi 1  2 R sin cos(  θ i  ).
2
2
2
Складывая первое уравнение со вторым, получим:
γ
γ
γ
xi 1  xi 1  2 R sin [sin(θ i  )  sin(θ i  )] .
2
2
2
Учитывая, что yi = Rsin i, после преобразований найдем:
xi+1  xi1 =  2yisin .
36
Выполняя аналогичные действия для значений yi1, yi+1, получим:
yi+1  yi1 = 2 xisin .
Окончательно точная КРС для окружности при  = const примет вид
xi  1  xi  1  2 yi sin γ ,
yi  1  yi  1  2 xi sin γ .
(2.4)
Недостатком (2.4) является то, что
i
y
b
при i = 0 следует рассчитывать

точки x1, y1, которые лежат вне yi+1
yi
расчетной дуги окружности.

В классе интерполяционных
R
yi1 /2
методов различают полиномиальa
ную и неполиномиальную интер  /2
i
поляцию. Неполиномиальная ин0
терполяция описывалась ранее при
xi
xi1
xi+1
x
разложении в ряд по ортогональРис. 2.9
ным функциям (ряд Шеннона–
Котельникова). При построении программных траекторий наиболее употребительны полиномиальные методы интерполяции, основанные на идее интерполяционного полинома Лагранжа. При большом числе значений интерполируемой функции полиномом Лагранжа пользоваться практически невозможно и применяют сплайн-интерполяцию (spline – упругая рейка). Сплайны
делятся на локальные и нелокальные. Поскольку сплайн – множество полиномов Лагранжа малого порядка (в основном 2-го или 3-го) с определенными
условиями на границах, программная траектория представляет собой множество полиномов Лагранжа, имеющих в точках сопряжения непрерывные производные до порядка, на единицу меньшего, чем порядок полиномов. Это нелокальный сплайн. Для нахождения коэффициентов сплайна, определяющих
условие сопряжения, следует решать систему линейных уравнений с базовой
ленточной матрицей. Если число точек на траектории велико, то велико и
число уравнений (ширина «ленты» определяется числом непрерывных производных в точках сопряжения). Таким образом, расчет нелокального сплайна – непростая задача, основной объем которой – планирование – выполняется в интерпретаторе. Исполнение спланированной траектории может производиться либо путем решения конечно-разностных уравнений, либо непосредственно по ее аналитическому выражению.
37
Локальные сплайны не требуют расчета коэффициентов сопряжения на
своих границах (отсюда и термин – локальные), так как в своем математическом описании уже содержат эти коэффициенты. Таковы сплайны Эрмита и
Безье.
2.3.4. Примеры построения важных программных траекторий
Рассмотрим примеры построения отрезка прямолинейной траектории
методом точной КРС и дуги окружности по аналитическому выражению для
траектории.
Первый этап – этап планирования прямолинейной траектории – связан
с выполнением подготовительных и диагноx2
стических операций. Пусть Р0 – вектор
x2K
PK
x20
начальной точки отрезка прямой (рис. 2.10);
– вектор его конечной точки:
Рк
Р0  x10 x20 ...xn0 т ,
P0
0
Pк  x1к x2к ...xnк т ,v
–
модуль постоянной контурной скорости, Т –
интервал дискретизации.
Рис. 2.10
1.Определяется расстояние Sк0 от
начальной до конечной точки:
x10
x1K
x1
1
n
 2
S к 0    ( xiк  xi 0 ) 2  .
i 1

Если Sк0  с, где с – заданная статическая погрешность, то дальнейшие расчеты не производятся и движение отменяется.
2. Если Sк0 > с, то рассчитываются направляющие косинусы прямой к
осям координат:
x  xi 0
cos(s ^ xi )  iк
, i  1, n .
S к0
3. Рассчитывается приращение пути по контуру S с учетом единиц
измерения скорости, положения и времени, определяемых коэффициентом k:
S = Тvk .
4. Определяются приращения по координатам xi:
xi = Sсos(S ^ xi), i  1, n .
38
5. Устанавливается признак разрешения построения прямолинейной
траектории.
С этого момента исполнительная система может начать построение
прямолинейной траектории, причем методическая погрешность в данном
случае содержит только касательную составляющую, равную S. Этап исполнения траектории выглядит следующим образом:
 если признак разрешения построения прямолинейной траектории
установлен, то расчет остатка пути Sк0:
Sк0: = Sк0  S, иначе конец;
 проверка условия окончания построения прямолинейной траектории:
если Sк0  S, то xi: = xiк, i  1, n ;
сбросить признак разрешения построения прямолинейной траектории, конец;
– иначе построить очередную точку, лежащую на прямой:
xi: = xi + x i , i  1, n ; конец.
Y
Следует отметить, что этап исполнения
не имеет циклов: процесс реального yK
y
времени работает один раз в течение
интервала времени Т, порождая текущее yС
значение вектора Pm , m = 0, 1, 2 …, по- y0
rд
Y0
R
YС
PК

P0

X0
К
0
XС
rc
сле чего заканчивает работу.
r0
Планирование и построение дуги 0
x0 x
xC
xK
X
окружности выполним в полярных коРис. 2.11
ординатах, так как при этом дуга
окружности будет прямой линией. Для выполнения операций в полярных координатах следует считать в них граничные условия, заданные в декартовых
координатах, нормировать угол дуги в пределах, например, от 0 до 2. Уравнение дуги окружности – в общем случае сумма трех векторов (рис. 2.11):
R  r0  rc  rд ,
(2.5)
где r0  вектор параллельного переноса относительной системы координат,
связанной с вектором начальной точки дуги P0 ; rс  вектор смещения центра
окружности, которой принадлежит дуга в относительной системе координат;
rд  радиус-вектор рассматриваемой дуги; R – вектор точки, перемещаю-
39
щейся по дуге, выраженный в абсолютной системе координат (например, в
системе координат станка).
На рис. 2.11 представлена плоскость X0Y. Совершенно аналогичное построение можно выполнить в двух других плоскостях. Предполагается, что
для построения дуги в данном случае заданы начальный P0 и конечный Pк
векторы и вектор rс (своими проекциями I и J на оси X и Y соответственно):
I  rд cos ; J  rд sin ; rд  rc  I 2  J 2 .
Параметрические уравнения окружности, как следует из рис. 2.11, имеют
вид:
x  x0  I  rд cos  ,
y  y 0  J  rд sin  .
.
(2.6)
На рис. 2.11 выбрано направление обхода дуги «по часовой стрелке», тогда
x = x0, если  =  +  = 0. Найдем 0, для чего определим  :
  arccos
I
; (rc  0); если J < 0, то  : = 2   . Для нормировки угла
rc
0 в пределах 0  2 следует положить: если 0 > 2, то 0: = 0  2.
Аналогично поступим с определением угла к:
x  xc
 к  arccos к
, (rд  0).
rд
Если yK – yС < 0, то K: = 2  K. Таким образом, при решении уравнений
(2.6) 0   < K и 0, K и   [0, 2).
Рассмотрим этап планирования дуги окружности:
1. Вычисление радиуса дуги rд  I 2  J 2 .
Если rД > rmax и rд  rmin , то дугa не строится (rmin следует полагать не менее чем 10 дискрет измерительной системы ИМ, rmax зависит от размеров рабочей зоны ИМ).
2. Расчет приращения угла поворота радиус-вектора за один такт дискретизации:
vTk
 = 
,
rд
40
где v – контурная скорость (постоянная для всей дуги); Т – длительность такта дискретизации; k – коэффициент выбора единиц измерений; «+» – означает направление обхода дуги «против часовой стрелки».
3. Проверка условия, что вектор конечной точки Pк лежит на дуге
окружности с точностью до радиальной составляющей методической погрешности. Должно выполняться неравенство:
( xк  xc ) 2  ( yк  yc ) 2  rд  rд  ,
в противном случае дуга не строится.
4. Алгоритм расчета функции arccos имеет ограничения, которые следует учесть:
I
I
если
> 0,999… или
< – 0,999…, то следует положить:
rc
rc
I
=  0,999… (для формата двойной вещественной точности число «девяrc
ток» равно тринадцати). Аналогично следует анализировать
xк  xc
rд
.
5. Формирование начального значения угла  и установка признака
разрешения расчета дуги окружности:
: = 0.
Рассмотрим этап исполнения дуги окружности.
1. Признак разрешения расчета дуги установлен?
Нет, выход; да, перейти на п. 2 .
2. Анализ конца дуги:
  к  ? да, : = к,
сбросить признак разрешения расчета дуги, на п. 4;
нет, : =  + , на п. 3.
3. Выполнение нормировки угла :
 < 0? да? : =  + 2, на п. 4;
 > 2? да, : =   2, на п. 4;
нет, на п. 4.
4. Расчет точки, лежащей на дуге:
41
x:  x 0  I  rд cos  ,
y : y 0  J  rд sin , выход.
Этот алгоритм также не имеет циклов, подобно алгоритму построения
прямолинейной траектории.
2.4 .
Задача координатных отображений
Задача координатных отображений, или просто задача преобразования
координат, учитывает всю кинематику ИМ, от точки крепления исполнительных двигателей до точки контакта инструмента ИМ с изделием. Рассмотрим прямую и обратную задачи кинематики ИМ.
2.4.1. Постановка задачи
В соответствии с (1.12), (1.13) обозначим прямую задачу кинематики
(ПЗК) через x  x (q ) . Обратную задачу кинематики (ОЗК) – через q  q (x ) .
Для успешного решения этих задач должна существовать (быть невырожденx
ной) матрица Якоби B 
в существенной области изменения координат
q т
q : det B  0. Тогда возможен расчет B 1 
q
т
.
x
Пусть n – размерность вектора x , а s  размерность вектора q . Если n 
 s, то det B  0 и возможны 2 случая:
– n < s, тогда траектория в обобщенных координатах s-мерна, можно
ввести s – n оптимизирующих технологических координат и det B  0;
– n > s, n – s технологических координат должны быть выражены через
s остальных, траектория опять s-мерна и det B  0.
Поставим задачу координатного отображения для случая n = s = 6.


Даны векторы: x  x y z α β γ т , x  X;
q  q1q2 ...q6 т , q  Q;
векторы x и q связаны между собой кинематической схемой ИМ, так что
между ними в пределах рабочих зон X и Q существует соответствие и det B 
 0.
42
Требуется найти практически приме- y
нимые
алгоритмы
преобразований
y1
x  x (q ) ; q  q (x ) .
q2
Примечание. Соответствие x  q
может быть не взаимно-однозначным, если
в кинематической схеме ИМ имеются циклические координаты. На рис. 2.12 показана
схема двойного маятника, у которого одно
положение в координатах x, y (x1, y1) соответствует двум разным положениям в коор-
e2
q2
q1’
e1
q1
x1
Рис. 2.12
x
e 22  e12  x12  y12
'
.
динатах q (q1, q2 и q1 , q2), при этом q1  q1  2 A cos
2
2
e1 x1  y1
Если число степеней свободы плоского механизма не 2, а n (n  2), то число
q
возможных
положений
для
данного
вектора
будет
x
2 1.
n
2.4.2. Представление задачи координатных отображений
Из двух кинематических задач (прямой и обратной) только прямую задачу можно построить с помощью правил кинематического синтеза. Обратную задачу приходится решать на основании уже построенной ПЗК. Для построения ПЗК целесообразно использовать проективное представление. Проективная геометрия позволяет, в частности, строить на плоскости изображение пространственных тел с учетом перспективы, т. е. так, как эти объекты
воспринимаются оптическими приборами, в частности человеческим глазом
и датчиком системы технического зрения (СТЗ) – видеокамерой. Такое изображение необходимо иметь, например, для построения системы управления
ИМ с помощью СТЗ (управление «глаз – рука») [18]. Проективное преобразование точек трехмерного пространства имеет следующий вид:
43
a x  a12 y  a13 z  a14
x '  11
a 41 x  a 42 y  a 43 z  a 44
a x  a 22 y  a 23 z  a 24
y '  21
a 41 x  a 42 y  a 43 z  a 44
,
,
(2.7)
a x  a 32 y  a 33 z  a 34
z '  31
,
a 41 x  a 42 y  a 43 z  a 44
если данное тело не пересекает плоскость a41x  a42 y  a43 z  a44  0.
При этом матрица A = [aij] (aij = const) невырождена:
a11 a12 a13 a14 


a 21 a 22 a 23 a 24 
(2.8)
det 
0 .
a
a
a
a
 31 32 33 34 


a 41 a 42 a 43 a 44 
Из (2.8) видно, что можно ввести такие 4 координаты x = [x1 x2 x3 x4]т,
что нелинейное выражение (2.7) станет линейным и запишется следующим
образом: x ' = A x , где x  = [ x1 x2 x3 x4 ]т, x = [x1 x2 x3 x4]т, x = x1/x4, y = x2/x4,
z =x3/x4.
Координаты xi называются однородными [18]. Они определяют точку в
пространстве неоднозначно, а только с точностью до направления, так что
любой четверке чисел x1, x2, x3, x4 соответствует точка пространства, возможно, бесконечно удаленная в направлении вектора [x1, x2, x3],   0, если
x4 = 0. Координата x4 может рассматриваться как масштабный коэффициент.
Физически проективное преобразование осуществляется оптическими
приборами (центральное проектирование). Рассмотрим в качестве примера
схему проекционного оптического прибора (рис. 2.13). Здесь F – центр проектирования (фокальная точка); плоскость треугольника PAO – плоскость
проекции изображения; система координат xyz связана с объектом, которому
принадлежит точка Р; точка P  изображает точку Р в плоскости проекции
при z  = 0; f  фокусное расстояние прибора. Из подобия треугольников
PAO и PAO следует:
P ' A ' y ' A 'O ' x ' P 'O '


 
PA
y
AO
x
PO
а из подобия треугольников POF и POF
44
,
(2.9)
f
P 'O '
.

PO
f z
(2.10)
Из (2.9), (2.10) имеем:
x' 
fx
fy
; y' 
; z '  0.
f z
f z
(2.11)
P(x, y, z)
’
’
’
’
P (x , y , z )
A
A’
O’
F
O
z
z
f
x’
y’
y
x
Рис. 2.13
Преобразование (2.11) может быть представлено следующей матрицей проективного преобразования A в однородных координатах:
1 0 0 0


0 1 0 0 
.
A
0 0 1 0


0 0 f 1 1 


Однородные координаты полезны не только для линеаризации проективных преобразований (2.7) или (2.11), но и для представления в «однородной» форме операций переноса, поворота и масштабирования осей координат, которые необходимы при проектировании ПЗК. Все эти операции помещаются в указанной матрице:
Поворот
осей
перенос
осей
Перспектива масштаб
Без учета перспективы и при единичном масштабе получим:
45
(2.12)
Поворот
осей
перенос
осей
0
1
Последней матрицей будем пользоваться для построения ПЗК.
2.4.3. Прямая задача кинематики
Пусть кинематическая цепь ИМ представлена кинематическими парами 5-го класса [19]:
Ai = A(qi), i  1, 6 ,
где Ai – матрица преобразований однородных координат вида (2.12):
ri
Ui
(2.13)
Ai =
0
1
Ui = U (qi) – матрица поворота i-й системы координат относительно (i – 1)-й,
ri  r (qi ) – вектор смещения.
z0
В [18], [24] предлагаются оптимальные способы формирования специальных систем координат вдоль кинематической схемы ИМ (рис. 2.14).
Вектор положения p расчетной
z2
y2
a
x2
o
p
n
y0
x0
Рис. 2.14
n o a
точки рабочего органа (инструмента) и
его ориентация определяются в некоторой технологической системе координат x0y0z0 матрицей T:
p
T=
,
0
1
46
(2.14)
где n , o , a – единичные орты, связанные с концом вектора p .
Векторы положения и ориентации инструмента можно также вычислить перемножением матриц преобразований систем координат при переходе
от одного звена к другому:
A1 A2 A3 A4 A5 A6 Ap = T6,
(2.15)
где Ap – матрица рабочего органа ИМ.
Приравнивая (2.14) и (2.15), получим ПЗК ИМ:
6
П Ai A p  T .
(2.16)
i 1
Для упрощения расчетов вместо (2.16) можно пользоваться выражением
A1 A2 A3 A4 = TA p1 A61 A51 ,
Uiт
где
Ai1 =
 Uiт ri
0
(сравнить с (2.13)).
1
Матричное выражение (2.16) избыточно, так как содержит 12 формул.
Требуется же определить только 6 технолоz0
гических координат. Поэтому в (2.16) следует
выбрать из 12 выражений 6 наиболее удобy0
ных. Вместо направляющих косинусов в мат
рице Т удобно использовать матрицу эйлеро
вых углов , ,  (рис. 2.15), поскольку они
более наглядны при построении движения x0

ИМ. Для рис. 2.15 матрица Т имеет вид
Рис. 2.15
T=
sc  css
ss + csc
cc
Px
cc  sss
cs + s ss
 sc
Py
 cc
cc
s
Pz
0
0
1
0
(2.17)
47
В рамках ПЗК могут быть найдены только главные значения эйлеровых углов (смещение в диапазоне 180), так как при их вычислении используются
обратные тригонометрические функции. ПЗК играет при движении ИМ роль
«датчика» технологических координат, вычисляя в соответствии с (2.15) следующие выражения:
y  y(q ) ,
x  x(q ) ,
z  z (q ) ,
 = ( q ),
 = ( q ),
 = ( q ).
2.4.4. Описание инструмента
Инструмент (рабочий орган), как уже отмечалось, является составной
частью кинематической схемы ИМ. Информация о геометрических характеристиках инструмента сосредоточена в матрице Ap (2.15), имеющей вид
np op ap
pp
Ap =
(2.18)
,
0
1
где n p , o p , a p  единичные орты, направленные по осям системы координат инструмента (рис. 2.16); p p  вектор, связывающий базовую точку инструмента 06 (точка на фланце, где крепится инструмент либо инструментальный блок) с его расчетной точкой (точкой контакта инструмента с обрабатываемой поверхностью oр) (рис. 2.16).
Таким образом, матрица инструмента – это матрица преобразования
векторов из системы координат инструмента в систему координат, связанную
с последним звеном ИМ. Из рис. 2.16 видно, что вектор переноса Pp системы
координат инструмента равен сумме векторов Pp ' , связывающего центр инструмента 0с с базовой точкой инструмента 06 , и r , описывающего поверх'
ность инструмента в системе координат его центра xc yc zc: Pp = Pp + r . Одна из осей координат системы инструмента (zp на рис. 2.17) направлена вдоль
вектора r (орт a p ). Другие ортогональные оси xp yp выбираются в соответствии с правилом правого винта.
48
Таким образом, под
ориентацией инструмента
при решении ПЗК понимается ориентация вектора r .
Пусть обрабатывающая поверхность инструмента описывается в
сферической системе ко-
zp
ap
Обрабатываемая
поверхность
06
ординат, связанной с xc yc
yp
op
r
np
z6
op
xp
Pp
zc
0 c yc
xc
Pp ’
y6
zc: r = r (, ), где ,  –
x6
широта и долгота соотРис. 2.16
ветственно. Как правило,
/2 < ,  < /2. Для любого инструмента число точек контакта с обрабатываемой поверхностью конечно (так как практически контакт происходит не в
точке, а в области поверхности – так называемых пятнах контакта), поэтому
 = 1, 2, …, n,  = 1, 2, …, n. Отсюда r = r ij = r (i, j). Описание
геометрии инструмента иногда удобнее задавать не в направляющих косинусах n p , o p , a p (которых девять), а в эйлеровых углах р, р, р. Связь (2.17)
между указанными величинами (через матрицу эйлеровых углов) рассматривалась ранее.
Таким образом, для каждого инструмента имеется в общем случае совокупность исходных данных:
 вектор центра инструмента p p ' , заданный своими проекциями в
x6 y6 z6;
 таблица описания обрабатывающей поверхности rij в системе координат xc yc zc.
По этим данным исполнительная система создает соответствующую
матрицу Ap вида (2.18). В процессе работы возможны изменения геометрии
обрабатывающей поверхности
инструмента r ij, например вследствие износа по «пятну контакта». Эти изменения задаются таблицей коррекции поверхности  r ij, так что истинная обрабатывающая поверхность r иij будет:
r иij = r ij +  r ij.
49
2.4.5. Обратная задача кинематики
С математической точки зрения, обратная задача кинематики – это задача поиска корней уравнения ПЗК x  x (q ) . Но поскольку технологические
координаты x непрерывно меняются при движении вдоль траектории, также
непрерывно должны меняться и корни этого уравнения. Математически
условие непрерывного изменения корней q в некоторой окрестности x выражается неравенством нулю определителя: det B1  0. Уравнения ПЗК  нелинейные, чаще всего тригонометрические, их решение является искусством
(см. [19]). Для достаточно сложных кинематических схем ИМ корни ПЗК могут не выражаться через элементарные функции, хотя и существуют. Тогда
для решения уравнений x  x (q ) используют итерационные численные методы. Покажем это. Для скоростей существует точная аналитическая форма
решения ОЗК: q  B 1 (q) x , но если dt = T > 0, то получим:
q  B 1 x ,
(2.19)
где x  x T ; q  q T .
Если взять 2 слагаемых разложения q в ряд Тейлора по степеням Т,
то (с точностью до Т3):
1
B 1   т
q  B 1 x T  T 2( B 1x 
xx ) .
т
2
x
(2.20)
Аналогично для координат x :
1
B   т
x  Bq T  T 2 ( Bq 
qq ) .
2
q т
(2.21)
Выражения (2.19), (2.20) непригодны для расчета вектора q вдоль траектории, так как приведут к накоплению погрешности, состоящей из отброшенных слагаемых.
Среди итерационных алгоритмов наиболее прост и удобен алгоритм
Ньютона. Воспользуемся алгоритмом Ньютона второго порядка (алгоритм
имеет порядок n, если в нем используются производные функций до
(n – 1)-го порядка включительно). Этот алгоритм является компромиссным
между двумя важными требованиями к итерационному процессу решения
50
ОЗК в реальном масштабе времени: быстротой сходимости и объемом вычислений. В одномерном случае при решении уравнений f (x) = 0 алгоритм
Ньютона второго порядка имеет вид
x
n 1
f (xn )
n
x 
f ' (xn )
.
(2.22)
Из (2.22) видно, что для успешного решения уравнения f(x) = 0 требуется некоторое «достаточно хорошее» начальное приближение x0, такое, чтобы в области xN – x0, где xN – корень уравнения f(x) = 0, функция f(x) менялась
монотонно ( f  (x)  0), т. е. xN – x0 должно быть (при произвольной f(x)) достаточно мало.
Опыт показывает, что вдоль программной траектории x настолько
мало, что вторым слагаемым в (2.21) можно пренебречь, считая первое слагаемое главной частью приращения x . Физически малость вектора x в
(2.21) означает малость его в сравнении с размерами рабочей зоны ИМ X.
Рассмотрим алгоритм Ньютона для решения ОЗК. Пусть x з  заданное
значение технологических координат; x  x (q )  ПЗК; F (q )  x з  x(q ) 
ошибка при итерации. Найдем корни q системы уравнений F (q ) = 0. По
условию F ' (q )  

x т
q
 F ' (q)
x
. Пусть
q T
q n  некоторое приближение к корням;
1. Получим следующий алгоритм:
qn  1  qn 


q
(q n ) (x з  x(q n ) .
т
x
(2.23)
Рассмотрим практические аспекты использования алгоритма (2.23).
ОЗК может рассматриваться как процесс реального времени, и тогда итерация происходит «естественным» путем, при каждом вызове этого процесса.
Внутри самого процесса итерация может не производиться. Описание алгоритма (2.23) для одного интервала дискретизации примет вид
q1  q 0 


q 0
(q ) (xз  x(q 0 ) .
т
x
(2.24)
В (2.24) наблюдается полное сходство с алгоритмом пропорционального регулятора положения, если считать, что матрица Якоби постоянна на интервале x  xз  x(q ) . Если в (2.24) добавить матричный сомножитель или
51
оператор, влияющий на скорость сходимости алгоритма, то получим систему
управления положением в технологических координатах x (рис. 2.17). Пусть
e  x з  x(q ) ; L – некоторый линейный оператор; We(p) – передаточная
функция замкнутых контуров скорости; I – единичная матрица; u – вектор
x3
q
u
e
LI
B
1
Wc(p)I
x
(pI) 1
q
x(q)
Рис.2.17
заданного значения скорости q з .
Пусть, например, передаточная функция каждого из контуров скорости
обобщенных координат аппроксимирована апериодическим звеном:
ki
Wci 
, i = 1, n ,
Tμi p  1
где Тi – малая постоянная времени. Тогда при настройке на технический оптимум получим:
1
Li  k pi 
, i = 1, n .
2Tμi k i
Данный способ построения алгоритма Ньютона имеет следующие технические недостатки (при максимально возможной динамической точности решения ОЗК):
 сложность переключения на управление положением в обобщенных
координатах;
 интервал дискретизации при решении ОЗК должен быть мал и равен
интервалу дискретизации при расчете системы управления скоростью ИМ.
Поэтому рассмотрим алгоритм (2.24) в качестве дополнительного контура
x3
e
LI
x
B
1
u
(pI)
1
qз
q
WП(p)I
x(q)
Рис.2.18
положения в технологических координатах (рис. 2.18).
52
Здесь Wп(p) – передаточная функция замкнутых контуров положения в
t
обобщенных координатах ИМ; q з (t )   u ( τ)dτ , так как вектор u пропорцио0
нален скорости q . Если интервал дискретизации ОЗК Т2 значительно превышает интервал дискретизации задачи управления положением и скоростью в
обобщенных координатах, то следует полагать Wп(p)I  I, так что q з  q . Поэтому штриховой линией на рис. 2.18 показан возможный путь сигнала обI
ратной связи на ПЗК. Тогда в соответствии с алгоритмом Ньютона LI 
.
T2
Если Т2 велик, то можно воспользоваться итерациями внутри такта в соответствии с (2.23). Структурная схема такого алгоритма представлена на
рис. 2.19.
e 
x3
e
LI
B
1
u
(pI)
1
y
qз
q
Wп(p)I
K
x (y)
Рис. 2.19
Необходимо, чтобы q з  y , если e  δ (замыкается ключ K).
Погрешность расчета ОЗК  должна быть не больше статической погрешности построения программной траектории. В этом случае (если позволяет Т2) методическую погрешность решения ОЗК можно считать равной нулю. Но чем меньше , тем больше число итераций m. Число m зависит от
скорости x и от точки, в которой находится ИМ, поэтому существует некоторое m = mmax. Пусть  – среднее время решения ОЗК. Тогда должно выполняться:
mmax < T2.
(2.25)
В связи с (2.25) следует подумать о целесообразности использования данного
варианта, так как увеличение Т2 ведет к росту общей погрешности при движении ИМ.
53
2.4.6. Особенности построения алгоритма задачи координатных
отображений
Порядок расчета операций ОЗК, начиная с ПЗК, показан стрелками на
рис. 2.17 – 2.19, причем ПЗК решается всегда, а ОЗК лишь в том случае, если
требуется движение по траектории, заданной в технологических координатах. Матрицу Якоби B при этом целесообразно обращать при помощи алгоритма Гаусса с выбором главного элемента [20] для решения системы линейных уравнений e  Bu относительно вектора u . Это дает экономию вычислений и необходимую устойчивость алгоритма, так как матрица B – функциональная.
Перед решением ПЗК следует выполнить линейное преобразование
обобщенных координат:
qi  k i qi'  ai , i  1, n ,
(2.26)
где ki – масштабный коэффициент, определяющий связь двигателя, датчика
положения и ИМ; ai – смещение начала отсчета датчика положения относительно начала отсчета соответствующей обобщенной координаты кинематической схемы ИМ; q i'  i-я обобщенная координата, измеренная датчиком
положения.
В (2.26) также содержится и форматное преобразование, так как по физическому смыслу величина q i'  целое число.
Параметры кинематической схемы ИМ, которые не меняются или меняются редко, принято называть константами. Соответственно этому, все
константы разделяют на группы. Одна группа констант отличается от другой
свободой доступа к ней со стороны пользователей.
В алгоритмах ПЗК и ОЗК необходимо выделить повторяющиеся фрагменты формул, чтобы не делать многократно одни и те же расчеты.
Следует предусмотреть также контроль исполнения алгоритма, обеспечив тем самым его защиту от разрушения. Рекомендуются следующие контрольные операции:
 ошибка итерации превышает допустимый предел;
 приращение обобщенной координаты превышает допустимый предел;
54
 элементы матрицы Якоби обращаются в бесконечность (вырождение
по бесконечности);
 все элементы матрицы Якоби по строке или столбцу обращаются в
нуль (вырождение по нулю).
2.5. Задача контроля ограничений параметров движения механизма
В соответствии с рис. 2.3 задачу контроля ограничений для ИМ произвольного вида приходится решать дважды: первый раз – для контроля границ
технологических координат, второй – для контроля границ обобщенных координат.
2.5.1. Постановка задачи
Контроль ограничений в координатах x и q осуществляется одинаково, поэтому задачу поставим только для обобщенных координат.
Дано:
 q max (q ), q min (q )  максимальные и минимальные значения вектора
обобщенных координат ИМ (могут образовывать гиперповерхность сложной
формы);
 q max , q min  максимальные и минимальные значения вектора обобщенных скоростей ИМ;
 qmax , qmin  максимальные и минимальные значения вектора обобщенных ускорений ИМ.
Найти момент времени t0, когда будет нарушено хотя бы одно из неравенств:
q min (q )  q (t 0 )  q max (q );
q min  q (t 0 )  q max ;
(2.27)
qmin  q(t 0 )  qmax .
Как и в любой другой задаче контроля за параметрами в случае их выхода из заданного диапазона, в момент t0 предпринимаются некоторые действия (остановка ИМ, диагностические сообщения и т. д.).
55
2.5.2. Особенности решения задачи для разных кинематических схем
Траектория движения ИМ считается реализуемой, если для всей траектории выполнены условия (2.27). Однако не всегда требуется контролировать
все 3 группы этих неравенств. Например, наличие в системе управления
движением токового контура позволяет обходиться лишь первыми двумя
группами (2.27). Если технологические координаты совпадают с обобщенными координатами ИМ, то требуется только первая группа неравенств
Расчетная точка (2.27).
y
инструмента
Рассмотрим пример, показывающий,
что если технологические координаты ИМ
2
не совпадают с обобщенными, то требуется
1
контроль первых двух групп неравенств
y1
l2 q2
(2.27). Пусть требуется переместить ИМ по
прямолинейной траектории 1-2 (рис. 2.20),
l1
q1
лежащей в пределах рабочей зоны X. В этом
0
x1
x
случае необходимо контролировать первую
Рис. 2.20
и вторую группы векторов (2.27). Необходимость контроля первой группы очевидна. Контроль второй группы неравенств объясняется наличием вблизи границ зоны X сингулярной области
(она отделена пунктиром на фрагменте зоны X). В этой зоне вектор скорости
q неограниченно растет. Действительно, уравнение траектории при v = const
имеет вид
x = v1t + x1; y = v2t + y1,
где v1 = x ; v2 = y .
ПЗК для данного двухзвенника имеет вид:
x  l1c1  l 2 c12 ,
y  l1 s1  l 2 s12
,
(2.28)
где l1 – длина первого звена; l2 – длина второго звена, включая инструмент;
c12 = cos(q1 + q2); s1 = sin q1 и т. д.
Преобразование координат для скоростей согласно (2.28) имеет вид:
x  l1s1q1  l 2 s12 (q1  q 2 ) ,
(2.29)
y  l1c1q1  l 2 c12 (q1  q 2 ).
56
Из рис. 2.20 видно, что в районе границ зоны X q2  0 при любом q1, и
поскольку s12 = s1c2 + c1 s2; c12 = c1 c2  s1 s2, то
s12  q 2 c1  s1 ,
(2.30)
c12  q 2 s1  c1 .
Подставляя (2.30) в (2.29) и разрешая относительно q , получим:
v l (c  q 2 s 2 )  v2 l 2 (q 2 c1  s1 )
q1  1 2 1
,
l1l 2 q 2
v (l s  l (q c  s ))  v1 (l1c1  l 2 (c1  q 2 s1 ))
q 2   2 1 1 2 2 1 1
.
l1l 2 q 2
(2.31)
Из (2.31) видно, что если v1 и v2 не равны нулю, то при q2  0 скорости
q1 , q 2 неограниченно растут. Ширину сингулярной области определить заранее невозможно, так как все множество исполняемых траекторий заранее
не задается.
2.5.3. Задача вывода механизма в исходное положение
Задачу вывода механизма в исходное положение иногда называют задачей калибровки координат ИМ, так как результатом ее решения является
определение начала отсчета той или иной системы координат и масштаба по
координатам. Решение задачи калибровки существенно зависит от технических особенностей измерительной системы ИМ. Так, в случае энергонезависимых датчиков абсолютного отсчета калибровки воРабочая зона
обще не требуется, так как начало отсчета и масштаб
X
определены установкой датчиков. Для измерительных систем с двумя датчиками (датчики грубого и
точного отсчетов) калибровка локализована в преде0
x
лах одной дискреты датчика грубого отсчета. Для
Программные
упоры
измерительной системы с двухканальными датчикаРис. 2.21
ми (точный отсчет – линейная шкала, грубый отсчет
– нелинейная шкала) калибровка также осуществляется в пределах одной
дискреты нелинейной шкалы. Рассмотрим наиболее распространенный вариант измерительной системы – с датчиками относительного отсчета. Для этого
определим разметку обобщенных и технологических координат ИМ.
57
Для технологических координат рабочая зона X ограничена программными упорами (рис. 2.21), используемыми в задаче контроля границ рабочей
зоны. Для обобщенных координат наряду с программными имеются механические упоры и совокупность конечных выключателей для функций калибровки и контроля (рис. 2.22). Программные упоры используются в задаче
контроля границ рабочей зоны.
Рабочая зона
Q
q
Верхний механический
упор
Верхний и нижний программные упоры
Датчик верхней границы рабочей зоны
Датчик нижней границы рабочей зоны
Датчик выхода в исходное положение
Датчик нуль-метки
Нижний механический упор
Рис. 2.22
Положение
ИМ
v3
v2
v1
Q
Нижняя граница
рабочей зоны
Исходное
положение
q
Верхняя граница
рабочей зоны
Нуль-метка
Рис. 2.23
Механические упоры предохраняют ИМ от возможного разрушения.
Датчики верхней и нижней границ рабочей зоны определяют предельный физический диапазон, в котором могут устанавливаться программные упоры, а
также служат целям выхода ИМ в исходное положение. Датчики выхода в
58
исходное положение и нуль-метки позволяют осуществить калибровку с предельной точностью, доступной измерительной системе ИМ.
Алгоритм задачи вывода ИМ в исходное положение состоит в следующем:
1. Предполагается, что вектор положения находится в пределах рабочей зоны Q (нормальный режим) (рис. 2.23) и начинается движение к нижней
границе со скоростью v1 под управлением регулятора скорости
(v1 >> v2 > v3).
2. При достижении нижней границы скорость изменяется до v2 и ИМ
двигается до срабатывания датчика приближенного выхода в исходное положение.
3. При достижении исходного положения требуется точное позиционирование (с точностью до одной дискреты измерительной системы), осуществляемое со скоростью v3 до прихода нуль-метки.
4. При достижении нуль-метки проводятся подготовительные операции, связанные с регистрацией начала обобщенных координат ИМ.
Данный алгоритм должен производить обработку как всех координат
ИМ одновременно, так и любой из них по выбору.
2.6. Задача разгона и торможения механизма
Задача разгона и торможения имеет фактически вспомогательное значение при построении управляемого движения ИМ, так как ее цель – смягчить последствия неточного расчета других подзадач. Действительно, из
названия задачи следует, что ее цель – расчет движения по заданному ускорению. Однако ускорение уже задано в задаче построения программной траектории (вторая производная по времени). Следовательно, задача разгонаторможения искажает программную траекторию, но еще больше ее искажает
задача стабилизации, которая будет рассмотрена далее. Таким образом, использование задачи разгона и торможения представляет собой некоторый
компромисс, смягчающий влияние переходного процесса на искажение траектории ИМ в целом.
59
2.6.1. Постановка задачи
Разгон либо торможение ИМ – это процесс изменения скорости во
времени. В любом случае важно, чтобы изображающая процесс точка все
время оставалась на кривой, определяющей траекторию. Иными словами, задача разгона и торможения – это задача управления скалярной величиной S ,
где S – длина дуги программной траектории. Если, например, задано уравнение траектории r  r (t ) , где r  xyz т , то
2
2
t
2
 dy 
 dx 
 dz 
S (t )           dτ .
(2.32)
d
τ
d
τ
d
τ






0
Интегрируя (2.32) находим: S = S(t). Решая это уравнение относительно
t, имеем t = t(S) и соответственно уравнение кривой: r (t )  r t (S ).
Поскольку в задаче разгона и торможения задано ускорение a(t )  S(t ) ,
контурная скорость S меняется от S 0 до S к и в общем виде алгоритм разгона и торможения состоит из двух формул:
tτ
S (t )    S( τ1 )dτ1dτ ,
(2.33)
00
r  r (S ) при S 0  S  S к либо S  S к ,
где S 0  начальная контурная скорость; S к  конечная контурная скорость;
S к  длина дуги траектории в ее конечной точке.
Проблема общего аналитического решения задачи разгона и торможения состоит в том, что интегралы (2.32), (2.33) могут не выражаться через
элементарные функции, так что нужен надежный численный метод интегрирования.
z
Искажение
программной
an
траектории выражается в том, что
S0
a(t)
вектор ускорения a (t )  r(t ) , коТраектория
r(t)
ab
a
0
x
нечно, меняет свою абсолютную
величину и направление из-за
(2.33) (рис. 2.24). Это особенно
заметно, если разложить вектор a
Sк
y
Рис. 2.24
HbcH
60
какой-либо траектории по осям трехгранника Френе ( a τ , ab , a n ), где a 
касательное ускорение; ab – бинормальное ускорение; an – нормальное ускорение (рис. 2.24).
Отсюда следует, что задачу разгона и торможения можно поставить
следующим образом.
Дана траектория r (t ) с точкой позиционирования на ней; S  S (0) –
0
начальная контурная скорость движения вдоль траектории; S к  S (t к ) – конечная контурная скорость движения вдоль траектории; S(t )  a(t ) – закон
изменения контурного ускорения на участке разгона либо торможения.
Найти алгоритм расчета вектора положения r (t ) по заданному закону
a(t ) и перечисленным граничным условиям.
Задача разгона и торможения может быть решена простыми средствами только в случае элементарных программных траекторий.
2.6.2. Разгон и торможение в различных режимах движения механизма
Традиционно известны 2 режима движения ИМ: позиционный и контурный. При позиционном режиме может планироваться не траектория, а
только точка позиционирования, так что имеет место режим средних и больших перемещений [21]. В этом случае задача разгона и торможения исполняет роль задатчика интенсивности [21].
В контурном режиме при смене контурной скорости S в кадре для
гладких кривых задача разгона и торможения также выполняет функцию задатчика интенсивности (рис. 2.25).
S2
S1
Кадр 1
Т
Кадр 2
S 3
Р
Кадр 3
S 4
Т
Кадр 4
Рис. 2.25
На рис. 2.25 S1  S 2  S3  S 4 . Тогда в конце каждого кадра происходит соответственно либо торможение (Т), либо разгон (Р).
В контурном режиме возможен еще один случай использования задачи
разгона и торможения для негладких траекторий. Если вектор скорости r (t )
61
y
меняется на траектории скачком (точки 2, 3
на рис. 2.26), то независимо от значений скорости до и после точек 2, 3 в конце кадра
4 требуется выполнить функцию торможения
до минимальной контурной скорости S
.
r
1
2
3
r
0
min
x
Рис. 2.26
Это связано с возможной потерей качества
обработки поверхности в районе точек 2, 3 из-за переходных процессов в
приводе при ступенчатом изменении проекций вектора скорости:
т
r dS  x  y  
(2.34)
r (t ) 

S
S .
S dt  S S 
Из (2.34) видно, что для сведения к нулю скачков скорости по координатам x, y (рис. 2.26) в точках 2,3 следует S устремить к нулю.
2.6.3. Алгоритмы разгона и торможения
Рассмотрим в качестве примеров важные алгоритмы разгона и торможения для часто встречающихся траекторий: прямолинейной траектории и
дуги круговой траектории. На практике нашли применение 2 закона разгона
и торможения: S  const и S  kt  b , где k, b – некоторые коэффициенты. Закон S  const показан на рис. 2.27, закон S  kt  b  на рис. 2.28.
Алгоритмы разгона и торможения для прямолинейной траектории и
дуги окружности одинаковы, если дугу окружности строить в полярных координатах. Рассмотрим алгоритм S  const (рис. 2.27). В этом случае абсолютная погрешность расчета S постоянна и для расчета интеграла (2.33)
можно применить метод прямоугольников.
Обозначив через S проекцию контурной скорости на i-ю координату
i
xi, а Si  проекцию ускорения, получим следующий алгоритм разгона для i-й
координаты: S  S cos r ^ x . Пусть j – номер итерации, j = 0, 1, … ; Т – инi
i
тервал дискретизации, малый по сравнению с временем разгона; Si 0 
начальная контурная скорость i-й координаты; S  заданная контурная
iк
скорость i-й координаты. Тогда:
62
S
S
S
Движение
S
t
Разгон
Торможение
t
Р
Т
Движение
Рис. 2.27
t
t
Рис. 2.28
1) Sij 1  Sij  Si T ;
2) xij 1  xij  Sij T ;
3) Sij 1  Sik ? да, окончить разгон, установить признак конца разгона,
выход
нет, выход.
Если признак конца разгона не установлен, то с приходом следующего
такта Т задача будет выполняться вновь с п.1, будучи процессом реального
времени.
Рассмотрим алгоритм торможения для рис. 2.27. Его особенность в
том, что требуется определить момент начала процесса торможения. При
S  const для скорости S  S и пути S справедливы выражения:
k
0
S k  S 0  St ,
St 2
S
,
2
где S – путь до конца траектории.
Исключая из (2.35) (2.36) время, получим:
(2.35)
(2.36)

 2
S  ( S k  S 0 ) .
2S
Таким образом, торможение нужно начинать тогда, когда

 2
S  ( S k  S 0 ) ,
2S
63
(2.37)
так как путь S уменьшается по мере приближения к концу траектории.
Рассмотрим алгоритм торможения (рис. 2.27) для одной координаты xi.
Пусть j – номер итерации, j = 0, 1, … ; Т – интервал дискретизации; S 
i
проекция ускорения на i-ю координату; Si  S cos r ^ xi ; S iк  конечная контурная скорость i-й координаты; S  начальная контурная скорость i-й коi0
ординаты; S i min  минимальный остаток пути i-й координаты; xiз – точка позиционирования.
1. Определить остаток пути:
S i  xi  xiз , на п. 2 .
2. Выполнено ли неравенство (2.37)?
да, на п. 3
нет, выход.
3. S
 S  S T ; x
 x  S T ; на п. 4.
ij 1
ij
i
ij 1
ij
ij
4. xij 1  xз  S i min  Sij 1  Sik ? да, окончить торможение, установить признак конца торможения;
выход.
Нет, выход.
Если признак конца торможения не установлен, то с приходом следующего такта Т задача вновь запустится с п.1, будучи процессом реального
времени.
Алгоритмы разгона и торможения для линейно изменяющегося ускорения (рис. 2.28) работают аналогично. Вместо (2.35), (2.36) в данном случае
будут квадратичная и кубичная зависимости от времени. В алгоритмах также
придется фиксировать точки перегиба парабол (рис. 2.28) изменения скоростей разгона и торможения.
2.7. Задача стабилизации движения механизма
Задача стабилизации ИМ – это задача управления с обратной связью
[17]. Далее будем рассматривать многомерную следящую систему, используемую в процессе формообразования. Следящую систему целесообразно формировать на основе принципа подчиненного управления. Такого рода системы подробно описаны, например, в [21] – [23] и в других изданиях, поэтому
64
рассмотрим лишь их особенности, связанные с устройством ИМ и характерными скоростями его движения при формообразовании.
2.7.1. Особенности построения математической модели
пространственного механизма как объекта управления
Воспользуемся методом классической механики, согласно которому
математическая модель ИМ может быть представлена левой частью (2.1), что
в векторно-матричной форме запишется так:
A(q )q  b (q , q )  C (q )  Q ,
(2.38)
где A – симметричная матрица инерции ИМ; b – вектор центробежных и кориолисовых сил; C – вектор потенциальных сил; Q – вектор внешних сил.
Таким образом, левая часть (2.38) консервативна. Предположим, что ИМ почти уравновешен и С (q )  0 , а частичную неуравновешенность и неконсервативные явления (немеханические явления) отнесем к возмущающим силам
Qb . Тогда получим:
A(q )q  b (q , q )  Q  Qb ,
(2.39)
где Q – вектор управляющих сил.
Требуется найти в (2.39) такие силы Q  Q (q , q ) , чтобы, несмотря на
Qb , система имела желаемое поведение. Для выяснения физической сути явлений, происходящих в (2.39) при формообразовании, учтем, что матрица A и
вектор b не являются независимыми. Для выяснения структуры левой части
(2.39) запишем ее в индексной форме  :
aik w k  mn,i w m w n  Qi  Qbi , k, m, n, i = 1, …,

(2.40)
Далее приводится индексная (ковариантная) форма записи уравнений Лагранжа, принятая в тензорном анализе и дифференциальной геометрии. Данная форма отличается компактностью и удобством при анализе физических явлений в объектах подобного рода.
Везде далее подразумевается суммирование по одноименным повторяющимся вверху и
внизу индексам. Подробно о правилах индексной записи физических величин см., например, Победря Б. Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979.
65
mi a mn 
1  a
где Г mn,i   in 
– символы Кристоффеля 1-го рода;

i 
2  q m q n
q 
w i  q i – обобщенные скорости; aik – компоненты матрицы инерции A.
Особенностью ИМ, осуществляющих операции формообразования, является то, что компоненты их матрицы инерции A(q ) меняются значительно
только на большом интервале изменения q i , например /2. С другой стороны, длины траекторий при формообразовании меняются в широком диапазоне при практически неизменной высокой точности (приращение q и x –
величины одного порядка малости). Так что приращение на траекториях q
весьма малы и qi << , i = 1, 2, … . Поэтому интервал дискретизации Т задачи должен быть таков, чтобы для любой требуемой скорости на траектории
w:
(2.41)
q  w T  π .
Для оптимальной системы управления длительность переходного процесса
составляет примерно 10…20 интервалов дискретизации. Из этого следует,
что при правильно построенной системе управления для формообразования
матрица инерции почти не меняется на интервале переходного процесса tп:
tП
m
 mi,k w d  0,
(2.42)
0
где mi,k w
m
aik dq j dqik Δqik



и второй суммой в (2.40) можно преdt
tп
q j dt
π
, то
2
траектория будет совершенно не определена, несмотря на учет указанной
суммы слагаемых при построении управления ИМ. Таким образом, следует
рассматривать следующие уравнения объекта:
A(q )q  Q  Qb .
(2.43)
небречь, независимо от скорости w ; если (2.41) не выполняется и wT 
Рассмотрим кратко процесс получения матрицы A(q ) . Элементы aik этой
матрицы образуют коэффициенты квадратичной формы кинетической энергии ИМ, являющейся одновременно его функцией Лагранжа:
66
1 n n
L  E k   a je (q )q j q e .
2 j e
(2.44)
Если между ИМ и двигателями имеется связь, например в виде редуктора, то
компоненты матрицы инерции aik можно представить следующим образом:
aik  J ii  εJ ik' при i  k ;
aik  εJ ik' при i  k ,
где  =
1
i
2
, i – передаточное число связи «двигатель – механизм»; Jii – мо-
'
мент инерции i-го двигателя; J ik
– компоненты матрицы частей ИМ, распо-
ложенных физически за редуктором. Опытным путем установлено, что если 
достаточно мало, т. е. во всей области изменения q справедливо неравенство
'
ε  J ik
k
J ii
 0,3, i, k  1, 2, ... ,
то взаимовлиянием координат ИМ по компонентам матрицы инерции можно
пренебречь и управлять координатами и скоростями ИМ как независимыми
каналами.
Требуется получить (2.44), используя понятия однородных преобразований координат, описывающих кинематическую и динамическую схемы
ИМ. Подробно такой путь рассмотрен, в частности, в [24].
Обозначим:
Bi = A1A2 … Ai, i = 1, 2, …,
где Am – матрица преобразований однородных координат (2.13). Определим
j
также матрицы Bi :
Bij 
Bi
j
, j  1, 2, ...; Bi = 0, если j > i.
q j
Определим матрицу инерции i-го звена Hi в однородных координатах:
Hi =
Jxx Jxy Jxz Sx
Jyx Jyy Jyz Sy
Jzx Jzy Jzz Sz
Sx Sy Sz
67
m
(2.45)
где J – матрица инерции i-го звена в i-й трехмерной системе координат;
J xy   ρxy dV и т. д.,  – плотность материала; S – статические моменты i-го
V
звена ИМ в i-й трехмерной системе координат; V – объем звена; S x   ρx dV
V
и т. д.; m – масса i-го звена ИМ. Из (2.45) видно, что матрица Hi симметрична,
как и положено матрицам инерции.
В результате получим следующее выражение для кинетической энергии механизма:
1 n i i
j
eт  
t
(B
H
B
   r i i i )q j qe ,
2 i 1 j 1 e 1
Еk 
(2.46)
где n – число звеньев ИМ; т – знак транспонирования; tr – символ операции
j
т
взятия следа матрицы Bi H i Bie .
Таким образом, (2.46) – это подробная запись (2.44) с учетом механической структуры ИМ.
2.7.2. Постановка задачи
Запишем математическую модель ИМ (2.43) в операторной форме:
Apw  Q  Qb ,
(2.47)
pq  w ,
d
.
dt
Так как матрица инерции A не зависит от скорости w , на основе уравнений (2.47) можно построить 2 линейных подчиненных контура управления
скоростью w и положением q соответственно.
где р – оператор дифференцирования
В качестве критерия оптимальности следует задаться переходным процессом требуемого качества (например, предельно допустимым перерегулированием и временем переходного процесса при скачкообразных
входном
и возмущающем воздействиях).
Задача управления ИМ ставится следующим образом.
68
Дана математическая модель ИМ в виде (2.47). Требуется построить такое
управление Q , чтобы вид переходного процесса системы управления соответствовал заданному критерию оптимальности.
2.7.3.
Выбор критерия оптимальности и решение
задачи стабилизации
Принцип подчиненного управления реализуется системой вложенных
контуров управления, в данном случае положения q , скорости w и, возможно, тока I, с их последовательной настройкой от внутреннего контура к
наружному. Каждый контур управления настраивается на характеристику
фильтра нижних частот. Весьма удобен для этого аппарат максимально плоских функций [25]. Оптимальная матричная передаточная функция (МПФ) замкнутой системы имеет при этом вид
Wз ( p)  Bm ( p)1,
(2.48)
где Bm(p) – матричный полином Баттерворта m-го порядка; р – оператор
дифференцирования.
Смысл (2.48) в том, что при некоторой заданной частоте 0I
Wз ( jω)  I при I > 0I, Wз ( jω)  I при I < 0I.
В качестве примера рассмотрим расчет оптимальной системы управления скоростью ИМ, выбрав в качестве оптимальной матрицы передаточной
функции замкнутой системы следующую функцию:
Wз.с ( p)  B2 ( p)1 ,
где
В2
–
матричный
полином
Баттерворта
(2.49)
2-го
порядка:
B2 ( p)  p 2 I  2 pω 0 I  ω 02 I .
Приведем к относительным величинам и отнормируем компоненты
w
матрицы в (2.44) следующим образом: T0ik  нi aik , где wнi – базовая (ноM нk
минальная) скорость i-й координаты; Мнk – базовый (номинальный) момент,
прикладываемый к k-й координате.
Таким образом, Т0 – это матричная постоянная времени объекта управления, описываемого первым из уравнений (2.47). МПФ внутреннего контура
(контура тока) представим эквивалентным апериодическим звеном:
69


Wμ ( p)  k μ I Tμ Ip  I 1,
где TI – матрица постоянных времени внутреннего контура; kI – масштабная матрица. Матрица TI определяется в основном быстродействием и мощностью управляемого источника питания приводов ИМ при условии предельных настроек контура тока, поэтому от нее зависит быстродействие и в
значительной мере точность системы управления.
МПФ неизменяемой части системы управления скоростью
Wн ( p)  Wμ ( p)W0 ( p) ,
где W0 – МПФ объекта управления: W0(p) = (T0p)1. Тогда


Wн ( p)  k μ I Tμ Ip  I 1 (T0 p) 1 .
МПФ разомкнутой системы W ( p)  Wр.с ( p)Wн ( p) , где Wр.с – МПФ регулятора скорости. Выберем в качестве Wр.с(р) матрицу следующего вида:
Wр.с ( p)  T0 (2kμ I ) 1 (Tμ I ) 1 .
Тогда W ( p)  (2Tμ I p ) 1 (2Tμ I p  I ) 1 .
Так как МПФ замкнутой системы Wз.с ( p)  W ( p)I  W ( p)1 , то получим:

Wр.с ( p)  2Tμ2 Ip 2  2Tμ Ip  I
т. е. (2.49), если положить ω 0 I 
,
1
 2Tμ I 1 .
Время переходного процесса по i-й координате при этом составит примерно 10Тi , перерегулирование 4,3 % (при скачкообразном входном сигнале) от полного изменения сигнала. Структурная схема данной системы
управления приведена на рис. 2.29.
Qb
wз
Wр.с(p)
kI(TIp + I)
1
(T0p)
1
w
w
Рис. 2.29
Аналогичным образом строится оптимальный контур управления положением ИМ. В этом случае вместо (2.49) можно положить:
Wз.п ( p)  B3 ( p)1 ,
70
где В3(р) – матричный полином Баттерворта 3-го порядка.
Структурная схема контура положения приведена на рис. 2.30, где Wр.п
– МПФ регулятора положения, а в качестве объекта управления использовано второе из уравнений (2.47).
Для построения оптималь- qз
q
1
(pI)
W
(p)
W
(p)
р.п
з.с
ных подчиненных контуров сущеq
ствуют и другие оптимальные
МПФ. Например, для сведения к
Рис. 2.30
нулю статической ошибки –
Вход
настройка на симметричный оптимум.
Расчет вектора
е
Поскольку быстродействие
всей системы управления ИМ
ограничено матрицей ТI, следует
для интервала дискретизации Т положить:
Т  min (Tμi ) , i = 1, 2, … .
ei  eimax
Нет
ei: =  eimax
Да
i
Таким образом, дополнительным ограничением по точности
управления при высоких скоростях
ИМ являются значения Тi. Для соблюдения условия (2.42) наряду с
уменьшением Т следует уменьшить
значения матрицы ТI, что связано
с увеличением мощности и быстродействия источников питания
приводов ИМ.
Расчет управления u
по формуле регулятора
ui  uimax
Да
2.7.4.
Построение алгоритма
стабилизации движения
Нет
ui: =  uimax
Выдать управление
на внешнее устройство
Выход
Алгоритм расчета регуляторов
систем управления скоростью и
Рис. 2.31
положением ИМ включает в себя, кроме приведенных ранее формул, вычислительные операции, связанные с контролем входных и выходных сигналов.
71
Входным сигналом является вектор рассогласования e . Его необходимо контролировать и ограничивать для предотвращения аварийных ситуаций.
Выходным сигналом является вектор управления u . Его необходимо ограничивать в отладочных целях, для согласования с внешними устройствами и
предотвращения аварийных ситуаций.
Граничные значения векторов e и u являются константами и должны
быть установлены при работе с системой управления. Алгоритмы всех контуров управления устроены одинаково и представлены на рис. 2.31.
В случае ограничений векторов e и u следует информировать систему
защиты и диагностики, которая всегда создается в рамках программного
обеспечения управления ИМ.
Список литературы
1. Коровин Б. Г., Прокофьев Г. И., Рассудов Л. Н. Системы программного
управления программными установками и робототехническими комплексами. Л.: Энергоатомиздат, 1990.
2. Рассудов Л. Н., Коровин Б. Г., Тихомиров Б. Н. Системы программного
управления электроприводами и промышленными установками: Учеб. пособие/ЛЭТИ. Л., 1987.
3. Блехман И. И. Вибрационная механика. М.: Наука, 1994 .
4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика. М.: Наука, 1988.
5. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964.
6. Олейников В. А., Зотов Н. С. Пришвин А. М. Основы оптимального и экстремального управления. М.: Высш. шк., 1969.
7. Уиттеккер Е. Т. Аналитическая динамика/ОНТИ НКТП СССР. Л.; М..
1937.
8. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука,
1989.
9. Яворский Б. М. Детлаф А. А. Справочник по физике. М.: Наука, 1977.
10. Величенко В. В. Матрично-геометрические методы в механике с приложениями и задачами робототехники. М.: Наука, 1988.
11. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика. М.: Наука, 1990.
72
12. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии. М.;Л.:
Энергия, 1964.
13. Борцов Ю. А., Поляхов Н. Д., Путов В. В. Электромеханические системы
с адаптивным и модальным управлением. Л.: Энергоатомиздат, 1984.
14. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.
15. Кейлингерт П. Проектирование операционных систем. М.: Мир, 1985.
16. Макс Ж. Методы и техника обработки сигналов при физических изменениях: В 2 т. М.: Мир, 1983.
17. Воронов А. А. Теория автоматического управления: В 2 ч. М.: Высш. шк.,
1986.
18. Попов Е. П., Верещагин А. Ф., Зенкевич С. А. Манипуляционные роботы.
Динамика и алгоритмы. М.: Наука, 1978.
19. Шахинпур М. Курс робототехники. М.: Мир, 1990.
20. Мак-Кракен Д., Дорн У. Численные методы и программирование на
Фортране. М.: Мир, 1985.
21. Башарин А. В., Новиков В. А., Соколовский Г. Г. Управления электроприводами. Л.: Энергоиздат, 1982.
22. Борцов Ю. А., Соколовский Г. Г. Автоматизированный электропривод с
упругими связями. СПб.: Энергоатомиздат, 1992.
23. Юревич Е. И. Управление роботами и робототехническими системами.СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2001.
24. Динамика управления роботами/ В. В. Козлов, В. В. Макарычев,
А. В. Тимофеев, Е. И. Юревич. М.: Наука, 1984.
25. Михайлов О. П. Автоматизированный электропривод станков и промышленных роботов. М.: Машиностроение, 1990.
26. Дмитриев В. И. Прикладная теория информации. М.: Высш. шк., 1989.
73
Оглавление
Предисловие………………………………………………………………………3
1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ……...………………………………………..5
1.1. Метод координат…………………………………………………………….5
1.1.1. Обобщенные координаты…………………………………………………6
1.1.2. Координаты состояния, фазовые координаты…………………………...6
1.1.3. Циклические и позиционные координаты……………………………….9
1.1.4. Технологические координаты…………………………………………...10
1.2. Метод сил…………………………………………………………………...10
1.2.1. Обобщенные силы………………………………………………………..11
1.2.2. Внешние силы…………………………………………………………….11
1.2.3. Технологические силы…………………………………………………...11
1.3. Задачи механики……………………………………………………………12
1.3.1. Задача статики: управление по вектору силы…………………………..12
1.3.2. Задача кинематики: управление по вектору положения ………………13
1.3.3. Задача динамики: управление по вектору состояния ………………….13
1.3.4. Совместное решение задач статики, кинематики и динамики ………..14
1.4. Механика систем со скрытыми движениями……………………………..17
1.5. Гамильтонова система ……………………………………………………..18
1.6. Электромеханическая система…………………………………………….18
1.7. Нормы……………………………………………………………………….19
1.8. Процессы……………………………………………………………………20
2. ПОСТРОЕНИЕ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОГО МЕХАНИЗМА…………………………..…….24
2.1. Задача управления движением пространственного механизма...……….24
2.1.1.Постановка задачи ………………………………………………………..24
2.1.2. Конструктивное определение задачи…………………………………...25
2.1.3. Системный подход к решению задачи………………………………….26
2.2. Задача интерпретации ……………………………………………………..27
2.2.1. Постановка задачи………………………………………………………..28
2.2.2. Состав задачи……………………………………………………………..29
2.2.3. Алгоритм задачи интерпретации………………………………………..30
2.3. Задача построения программных траекторий ……..…………………….32
2.3.1. Постановка задачи ……………………………………………………….32
74
2.3.2. Погрешность при построении программных траекторий.…………….33
2.3.3. Обзор методов построения программных траекторий………………...34
2.3.4. Примеры построения важных программных траекторий …………….38
2.4. Задача координатных отображений ………………………………………42
2.4.1. Постановка задачи ……………………………………………………….42
2.4.2. Представление задачи координатных отображений …………………..43
2.4.3. Прямая задача кинематики………………………………………………46
2.4.4. Описание инструмента…………………………………………………...48
2.4.5. Обратная задача кинематики…………………………………………….50
2.4.6. Особенности построения алгоритма задачи координатных
отображений………………………………………………………………54
2.5. Задача контроля ограничений параметров движения механизма……….55
2.5.1. Постановка задачи………………………………………………………..55
2.5.2. Особенности решения задачи для разных кинематических схем……..56
2.5.3. Задача вывода механизма в исходное положение……………………...57
2.6. Задача разгона и торможения механизма…………………………………59
2.6.1. Постановка задачи ………………………………………………………..60
2.6.2. Разгон и торможение в различных режимах движения механизма…...61
2.6.3. Алгоритмы разгона и торможения………………………………………62
2.7. Задача стабилизации движения механизма ………………………………64
2.7.1. Особенности построения математической модели
пространственного механизма как объекта управления ………………65
2.7.2. Постановка задачи ……………………………………………………….68
2.7.3. Выбор критерия оптимальности и решение задачи стабилизации …...69
2.7.4. Построение алгоритма стабилизации движения ……………………….71
Список литературы ……………………………………………………………..72
75