Типы особых точек и фазовые портреты линейных систем (Лекция 8)

Лекция 8
Типы особых точек. Фазовые портреты линейных систем
Уравнения (7.3) для линейной системы принимают вид:
dx1
 a11 x1  a12 x2 ,
dt
dx 2
(8.1)
 a 21 x1  a 22 x2
dt
или в векторно-матричной форме:
dX
 AX ,
dt
x
a
a12
где X  1 - вектор фазовых переменных, A  11
- невырожденная
x2
a 21 a 22
матрица коэффициентов ( det A  0 ).
Дифференциальное уравнение фазовой траектории:
dx 2 a 21 x1  a 22 x2
.
(8.2)

dx1 a11 x1  a12 x2
Приравняв производные фазовых переменных к нулю, получим
уравнения для определения координат особых точек:
a11 x1  a12 x2  0 ,
a21 x1  a22 x2  0 ,
которые имеют единственное решение x1=0, x2=0. При отсутствии входных
сигналов линейная система имеет единственную особую точку в начале
координат.
Как отмечалось выше, особые точки соответствуют возможным
состояниям равновесия системы. Поэтому их классификация тесно связана с
устойчивостью состояний равновесия, а для линейной системы – с видом
корней характеристического полинома или собственных чисел матрицы А,
определяемых из характеристического уравнения линейной системы:
det A - I   0 ,
где I – единичная матрица.
Выбором фазовых переменных (базиса линейной модели) можно
добиться равенства нулю части коэффициентов в уравнениях вида (8.1), за
счет чего анализ свойств системы и построение фазовых траекторий
упрощаются.
Наиболее удобными для анализа процессов на фазовой плоскости
являются два варианта базиса, при которых матрица А принимает вид
0
1
матрицы Фробениуса A 
или матрицы Жордана (диагональной)
a 21 a 22
A
1
0
0
2
.
В первом случае для вектора фазовых переменных сохраним
обозначение X, во втором будем использовать обозначение Y:
dx1
 x2 ,
dt
dx 2
(8.3)
 a 21 x1  a 22 x2 ;
dt
dy1
 1 y1 ,
dt
dy 2
(8.4)
  2 y2 .
dt
Форма (8.3) является частным случаем (8.1) и удобна для построения и
интерпретации фазовых траекторий в силу связи координат, выраженной
первым уравнением и определяющей ряд правил для фазовых траекторий,
рассмотренных в предыдущей лекции.
Форма (8.4) приводит к уравнениям с разделенными переменными,
коэффициенты которых 1 и 2 – корни характеристического полинома
системы, определяющие тип особой точки. Строго говоря, такая форма
уравнений для вещественных функций может быть получена только при
условии, что 1 и 2 – вещественные числа. Поэтому ниже она будет
использоваться только для таких случаев.
Связь
рассматриваемых
преобразованием:
базисов
X=PY, P 
или
выражается
1
1
1
2
x1  y1  y2 ,
x2  1 y1   2 y2 .
следующим
(8.5)
Преобразование (8.5) учитывает, что коэффициенты уравнений (8.3) связаны
с корнями характеристического полинома следующим образом:
a21  1 2 ,
a22  1   2 .
Таким образом, переход от базиса X к базису Y осуществляется
подстановкой (8.5).
Решив уравнения (8.5) относительно y1 и y2, получим соотношения для
обратного перехода:
x   2 x1
,
y1  2
1   2
x  1 x1
,
(8.6)
y2  2
 2  1
которые допустимы для использования только при 1≠2.
При вещественных не совпадающих по величине 1 и 2 решение
уравнений (8.4) имеет вид:
y1  C1e  1t ,
y2  C2e 2t .
(8.7)
Исключив из (8.5) время, получим уравнение фазовых траекторий:
1
t  ln y1  ln C1  ,
1
1
ln y 2  ln C 2  ,
t
2
ln y 2  ln C 2 
2
1
ln y 2  ln y1
y2 
C2
2
C1
1
2
ln y1  ln C1  ,
1
2
 ln C1
2
 y1
1
1
 ln C 2 ,
2
 Cy1
1
.
(8.8)
Рассмотрим различные варианты.
Если знаки 1 и 2 совпадают, (8.8) является уравнением параболы,
причем при  2  1 ветви параболы направлены вдоль оси y2 (рис. 55 а, 57
а), в противоположном случае – вдоль оси y1 (рис. 55 б, 57 б).
При положительных 1 и 2 по выражениям (8.7) нетрудно убедиться,
что координаты изображающей точки y1 и y2 с течением времени возрастают,
то есть фазовые траектории уходят от начала координат (рис. 55).
Следовательно, система неустойчива, причем процесс в
апериодический. Такую особую точку называют «неустойчивый узел».
ней
Оси симметрии фазовых портретов, представленных на рис. 55,
совпадающие с осями координат y1 и y2, сами являются фазовыми
траекториями в предельных случаях: при  2  1 фазовые траектории
стремятся к оси y2, при  2  1 - к оси y1. В обоих случаях вторая ось
является касательной к фазовым траекториям, построенной в особой точке –
начале координат.
На фазовую плоскость для базиса (8.3) эти оси отобразятся в
соответствии с соотношениями (8.6). Уравнение оси y1 имеет вид y2=0, и в
соответствии с (8.6) для нового базиса примет вид уравнения прямой: x2=1x1.
Аналогично уравнение оси y2 преобразуется из y1=0 в x2=2x1. Фазовый
портрет примет вид, показанный на рис. 56.
При отрицательных 1 и 2 из (8.7) следует, что координаты
изображающей точки y1 и y2 с течением времени убывают, то есть фазовые
траектории приходят в начало координат (рис. 57). Следовательно, система
устойчива, процесс в ней апериодический. Такую особую точку называют
«устойчивый узел».
На фазовую плоскость для базиса (8.3) оси y1 и y2 отображаются в
прямые с уравнениями x2=1x1 и x2=2x1, но в отличие от предыдущего случая
эти прямые проходят через второй и четвертый квадранты (рис. 58).
Если знаки 1 и 2 не совпадают, показатель степени в уравнении (8.8)
отрицателен и оно является уравнением гиперболы, асимптоты которой
совпадают с осями координат (рис. 59 а). Из (8.7) видно, что та фазовая
переменная, которой соответствует положительный корень, с течением
времени неограниченно возрастает, то есть система в рассматриваемом
случае неустойчива. Особая точка в этом случае носит название «седло».
На фазовую плоскость для базиса (8.3) ось y, соответствующая
положительному корню, отображается в первый и третий квадранты, ось y,
соответствующая отрицательному корню – во второй и четвертый (рис. 59 б).
Отметим дополнительно, что все отмеченные на рассмотренных
фазовых портретах оси симметрии, асимптоты и касательные могут
рассматриваться как сепаратрисы, то есть особые линии на фазовой
плоскости, разделяющие области с различным видом фазовых траекторий.
Для линейных систем все особые линии являются прямыми.
Прямолинейные особые линии, проходящие через начало координат и
являющиеся предельными случаями фазовых траекторий, могут быть также
найдены на основе дифференциального уравнения фазовой траектории (8.2).
Поскольку уравнение прямой x2=kx1 справедливо и для приращений
координат: x2=kx1, на основе (8.2) получим:
k
a 21 x1  a 22 x2
.
a11 x1  a12 x2
Теперь поделим числитель и знаменатель в правой части на k:
k
a 21  a 22 k
a11  a12 k
и получим следующее уравнение, которым можно пользоваться для
определения наклона особых линий для моделей (8.1) и (8.3):
a12 k 2  a11  a22 k  a21  0 .
(8.9)
Теперь обратимся к вариантам корней, для которых преобразования
(8.5) и (8.6) невыполнимы.
При вещественных 1=2<0 получаем «вырожденный устойчивый
узел» (рис. 60 а), при вещественных 1=2>0 получаем «вырожденный
неустойчивый узел» (рис. 60 б).
При комплексно сопряженных корнях с положительной
вещественной частью ±j решения системы (8.3) имеют вид:
x1  Ce t sin t   ,
x2  Ce t sin t    Ce t cost   .
Фазовые траектории – расходящиеся от особой точки в бесконечность
спирали. Особую точку в этом случае называют «неустойчивый фокус» (рис.
61 а).
При комплексно сопряженных корнях с отрицательной
вещественной частью –±j получаем уравнения сходящихся в
особую точку спиралей:
x1  Ce  t sin t   ,
x2  Ce  t sin t    Ce  t cost   .
Особую точку в этом случае называют «устойчивый фокус» (рис. 61 б).
При чисто мнимых корнях ±jполучаем уравнения эллипса с
центром в особой точке – начале координат:
x1  C sin t   ,
x2  C cost  .
Особую точку в этом случае называют «центр» (рис. 62).