Физика: Основы и Механическое Движение - Павел Виктор

ПАВЕЛ ВИКТОР
r
ОСНОВЫ И МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
-'
ПАВЕЛ ВИКТОР
ФИЗИКА
ОСНОВЫ И МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Просто и понятно о фундаментальной науке
Киlв
BOOKCHEF
2020
УДК 37.016:53
В43
В43
В и ктор П.
Физик а. Основы и механическое движение. Просто
и понятно о фунд а ментальной н ауке / П а вел Вик­
тор. - Ки!в: Ф орс Укр а lн а, 2020. - 416 с.
ISBN 978-966-993-628-8
ISBN 978-966-993-605-9
Одессита Павла Андреевича Виктор а не просто
так н а зыв а ют учителем физики, покорившим мир.
В 2020 году он получил «Серебряную кнопку YouTube»
за первых 100 тысяч подписчиков н а своем ка нале.
Сегодня их уже более 500 тысяч. Первые записи
уроков Павел Андреевич начал выкладывать в сеть
в 2014 году для отсутствующих в классе учеников
Ришельевского лицея. Когда выяснилось, что уроки
смотрят далеко з а предел а ми Одессы, пришла идея
создать полноценный канал по физике. За это время
во всем мире - от США и Европы до Дальне го Восто­
ка - уроки посмотрели уже более 25 миллионов раз.
Среди зрителей - школьники, студенты и взрослые.
Миллионы людей смогли понять физику и освоить
материал, который по разным причинам не давался
им в школе.
Книга «Физика . Основы и механическое движение»
написана по мотивам этих видеоуроков и является
первой из сери и . В ней собр а ны са мые интересные
темы по меха нике, которые будут полезны как
школьникам, стремящимся закрепить сво и знания
в предмете, так и взрослым, желающим понять
удивительный мир природы и ее явлений.
УДК 37.016:53
ISBN 978-966-993-628-8
ISBN 978-966-993-605-9
©
©
Павел Виктор, текст, 2020
ТОВ «Форс Укра!на», виключна лiцензiя
на видання, оригiнал-макет, 2020
СОДЕРЖАНИЕ
5
7
16
25
Вступление
Физика - наука о природе. Научные методы
изучения природы
Физические величины и единицы их измерения
Точность измерений
31
Механическое движение. Векторные величины
46
Проекция вектора на координатные оси
55
Равномерное прямолинейное движение
68
Средняя скорость. Средняя путевая скорость
74
83
96
Относительность движения. Формула сложения
скоростей
Мгновенная скорость. Равноускоренное
движение. Ускорение
Средняя скорость при равноускоренном
движении
103
Свободное падение. Ускорение свободного
111
Движение тела, брошенного под углом
122
Криволинейное и вращательное движение
139
160
167
падения
к горизонту
Динамика. Законы Ньютона
Алгоритм решения задач динамики
Сила упругости. Закон Гука
175
185
Закон всемирного тяготения. Гравитационная
постоянная
Сила тяжести и вес тела. Невесомость
и перегрузка
199
Искусственные спутники Земли. Законы Кеплера
214
Силы трения
227
Виды равновесия
241
Простые механизмы. Рычаг и блоки
254
Давление
264
Давление газа и жидкости
276
Расчет давления жидкости на дно и стенки
сосуда. Сообщающиеся сосуды
286
Атмосферное давление
302
Действие жидкости и газа на погруженное в них
тело. Закон Архимеда
---
310
327
341
354
363
372
Плавание тел. Воздухоплавание
Импульс. Реактивное движение
Работа в механике. Теорема о кинетической
энергии
Работа силы тяжести
Работа силы упругости
Закон сохранения полной механической
энергии
382
Закон сохранения и превращения энергии.
394
Движение жидкостей и газов. Закон Бернулли
К ПД. Мощность
ВСТУПЛЕНИЕ
огда в ы изучаете физи ку - в ы нач и наете видеть
кра с оту. Можете о б ъя с нить, п очему не б о го л у­
б ое. Ил и как возни кает мо л ния. Дл я незнающего
чел овека мо л ния - это в с п ы ш ка, которая пугает. А фи­
з и к в идит в ней э л е ктриче с кое, о птиче с кое, теп л о вое,
з вуковое и магнитное яв л ение. И о н мо ж ет о б ъя с нить
п рироду каждого из н их. Ведь физи ка уч ит из сл о ж н ы х
я в л ени й в ы де л ять п ро с т ы е, а затем изучать их в б о л ее
удо б н ы х у сл ов иях.
Знание физики - это в аш е зрение и сл ух. Орган ы
чу в ств, которы е позво л яют видеть и сл ы шать то, чего
не замеч ают другие. Н о даж е физик не с разу мож ет в с е
о бъя с нить. Ведь он не про сто на б л юдает с о сторон ы ,
е му нео б ходимо уст а новить с вязи с о в с еми эл ементами
с истем ы . Тогда ему с т а новит ся понятно, как эта с и стем а
работает и л и почему не ра б отает.
Ф изи ки и ссл едуют природу, но природа никогда
не задает прям ы х вопро с ов. А знач и т, физи к до л ж ен с ам
по ставить перед с о б ой задачу. Умение ставить задачу э то умение ориентировать ся, когда т ы не знае ш ь
по л но стью ее у сл овия. И бл агодаря этой о с о б енно сти,
освоив метод ы физи к и, мо ж но л ег к о ориентировать ся
в с итуации да ж е при недо статке данн ы х.
Ведь оказ ы вает ся, что даж е э к ономиче с кие про­
опи сы вают ся теми ж е дифференциал ьн ы ми
ссы
це
у равнениями, что и ряд физиче с ких яв л ений. Поэтому
5
Физикл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
многие физи к и ус пешно занимают ся экономикой. А из
15 л ауреатов Но б елев с к ой премии по экономике 13 з ака н­
чивал и физфак. Но даж е е сли в ы не планируете по ступать
на физиче с кий факультет и п о с вящать с вою ж изнь науке,
знание физики позволит вам н а много лучше и увереннее
ориентировать ся в этом мире. Понять и о б ъя с нить в с е
явления и проце ссы , которые прои сходят вокруг ва с .
Н аше знаком ство с этим удивительн ы м миром м ы
начнем с фундаментального р а здела физики - механи­
ки. Узнаем и поймем природу механиче с кого дви ж ения,
о с нов ы дин а ми к и и ра внове с ия, изучим давление, закон ы
с охранения импуль с а и энергии, а такж е многое другое.
И говорить о б этом м ы будем про сто и понятно.
6
Ф И З И КА - НАУКА
О П Р И Р ОД Е. НАУЧ Н Ы Е
М ЕТО ДЫ И ЗУЧ Е Н ИЯ
П Р И Р ОДЫ
Знание физики позволяет не просто созерцать
происходящее в природе, а и впитывать в себя все
детали. Объяснить, почему небо голубое, как нам
удается определить, с какой стороны исходит
звук - не спереди, например, а сбоку или сзади. Ведь
оказывается, что время прохождения звука до одного
уха и до другого - разное. И именно физика способна
объяснить все эти явления.
ч
то такое физика? Это понятие вперв ы е ввел древ­
негреческий учен ы й Аристотель, назвав науку
«фюзис», что в переводе с гречес к ого озн ач а ет
«природ а ». Но физи ка изучает не просто природу, а при­
роду неж ивую - все явления и изменения, которые
происходят вокруг нас. Даж е то, чего м ы не можем уви­
деть, - все, что происходит во Вселенной.
8 ФИЗИЧЕСКИЕ ТЕЛА И Ф ИЗИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ
Материя существует о б ъективно, то есть независимо от
того, н аб людаем м ы за ней или нет. Есть два вида мате­
рии: один м ы мож ем пощупать, а другой - нет.
Перв ы й вид материи - вещество. Оно мож ет бы ть
тверд ы м, ж идким, газоо б разн ы м или плазмой. Например,
7
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
камень, мел или вода - все, что мы можем воспринимать
с помощью органов чувств. Даже воздух - это материя.
Его нельзя потрогать или увидеть, но можно почувство­
вать. Для этого достаточно просто подуть.
Второй вид материи - поле - был открыт в XIX веке
англичанином Майклом Фарадеем. В отличие от веще­
ства, поле невозможно непосредственно воспринять
с помощью органов чувств.
Вещество и тело - это уже разные понятия (рис. 1) .
Тело - это область пространства, занятая веществом.
Это уже некий объект, имеющий форму и объем и отде­
ленный от других тел внешней границей.
Вселенная
материя
вещест во
поле
тел о
Рис. 1
Ф изические явпения - это явпения,
происходя щие в неживой природе.
Важно различать два понятия - явления п рироды
и физические явления, изучением которых и занимается
физика.
8
Ф изика - наука о природе. Н аучные методы изучения природы
У такого явления, как молния, несколько различных
проявлений. Сама по себе она - явление природы. Но
это сложное явление физики сумели разложить на более
простые физические явления. Видим вспышку - на­
блюдаем световое явление. Слышим гром - звуковое.
В молнии высокая температура, способная зажечь дере­
во, - это явление тепловое. Если при ударе молнии из
строя выходит электроника - наблюдаем электрические
и магнитные явления, которые сейчас принято назы­
вать просто электромагнитными. Движение грозовой
тучи - это тоже явление, изучаемое физикой, а именно
механическое (рис. 2) .
Молния
j
явление
приро ды
�видим вс пышку - световое явление
� слышим гро м - звуко вое я вление
в молнии высо кая темп. - тепло вое явл.
электрич .
L эл.-магн .
электро ника может выйти из строя -...... магн.
r
Рис. 2
Каждый вид перечисленных явлений изучает свой
раздел физики. Световыми явлениями занимается
оптика, звуковыми - раздел физики, именуемый аку­
стикой. Тепловые явления изучает наука, которая также
является разделом физики, - термодинамика. Электро­
магнитные явления изучает электродинамика. А самые
простые и наглядные - явления механические - изу­
чает механика.
Со временем, когда л юди научились проникать
вглубь вещества и стало из вестно, что все в нашем
мире состоит из молекул, а сами молекул ы - из атомов
со сложной структурой, появились и другие раздел ы
физики: физика атома, ядерная физика и физика эле­
ментарных частиц.
9
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
8 НАУЧНЫЕ МЕТОДЫ ИЗУЧЕНИЯ ПРИРОДЫ
Задача физики - не просто изучение явлений нежи­
вой природы, но и объяснение того, почему в природе
происходит все именно так. П оэтому следующий шаг
науки - описать явления на количественном уровне.
А главное - уметь предсказывать, используя язык мате­
матики. Для этого необходимо знать законы физики.
На первый взгляд, некоторые явления объяснить
невозможно. Чему-то находится довольно простое объ­
яснение, а что-то так и остается необъяснимым чудом.
Физика раскрывает тайны «чудес». Она способна не толь­
ко дать объяснение явлениям природы, но и позволяет
увидеть невидимое, что важно для практических целей.
Н о чтобы знать и понимать физику, недостаточно
просто наблюдать за природой. Для этого существуют
специальные научные методы ее изучения.
Один из методов - на блюдение. До итальянского
ученого Галилея его предшественники, изучающие при­
роду, не проводили никаких экспериментов, они просто
смотрели вокруг и размышляли.
Камень, например, падает быстро. А листья с дере­
ва - медленно. Наблюдая за падением различных тел,
Аристотель смог сформулировать это по-своему: «Тяже­
лые тела падают быстро, а легкие - медленно».
...... .
.
Набпюдение - зто исспедование
явпения беэ создания дпя зтоrо
сnециапьных усповий.
Н о всегда л и легкое тело падает медленно, а тяже­
лое - быстро? Это уже вопрос, за которым следует
10
Ф изика - наука о природе. Н аучные методы изучения природы
предположение, научным языком называемое гипоте­
зой
одним из методов научного изучения природы.
Гипотеза способна обобщить результаты наблюдения,
например: «Любое тяжелое тело всегда падает быстрее
легкого».
Следом за гипотезой в ход идет эксперимент
ис­
следование явления в специально созданных условиях.
Эксперимент позволяет подтвердить или опровергнуть
справедливость гипотезы.
В нашем случае для этого необходимо взять два оди­
наковых листа бумаги, но один из них свернуть в комок.
Бросив их с одинаковой высоты одновременно, можно
заметить, что свернутый лист упадет быстрее распрям­
ленного. В результате такого эксперимента рождается
еще одна гипотеза: кроме силы тяжести на скорость паде­
ния бумаги влияет что-то еще. И этим чем-то оказывается
воздух. Влияние воздуха зависит от того, как направлен
воздушный поток по отношению к листу.
Похожий эксперимент проводил Галилео Галилей со
своими учениками, уменьшая влияние воздуха другим
способом.
Известно, что кроме воздуха на падающее тело дей­
ствует сила притяжения Земли. И чем массивнее тело, тем
больше сила притяжения. Если необходимо добиться того,
чтобы влияние воздуха было меньше, необходимо брать
для эксперимента тела из вещества, которое сильно при­
тягивается к земле при малых размерах.
Галилей провел свой эксперимент в городе Пизе, на­
блюдая за тем, как его ученики одновременно сбрасывали
со знаменитой наклонной П изанской башни мушкетную
свинцовую пулю и чугунное ядро. И несмотря на разницу
в весе, на землю они упали практически одновременно.
Итак, Галилей уменьшил влияние воздуха за счет увели­
чения воздействия силы тяжести (рис. 3).
-
-
11
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Галилей
мушкетная пуля
�
ядро
�
.
1
1
1
1
1
1
.
Рис. 3
И саак Ньютон пошел по другому пути, проводя похо­
жий эксперимент. Он выкачал воздух из трубки, в которой
падали легкие и тяжелые предметы.
Для этого он взял трубку, закрытую с обеих сторон. На
первом этапе в этой трубке был воздух, и когда Ньютон
бросал перышко и дробинку, перо все еще опускал о сь,
в то время как дробинка уже достигла нижнего края
трубки. Но стоило ученому откачать воздух из труб к и
и перевернуть ее, как перо и дробинка начали падать
и достигли нижнего края трубки одновременно. Этим
экспериментом Н ьютон смог подтвердить, что свободное
(при отсутствии воздуха) падение легких и тяжелых тел
происходит одинаково (рис. 4) .
На основании гипотезы, подтвержденной различ­
ными экспериментами, можно сделать вывод, который
становится физическим законом:
Закон свободного падения.
Все теnа под действием сиnь1
тяжести падают одинаково.
12
Физика - наука о природе. Н аучные методы изучения природы
Ньютон
дробинка
1
��с
Г'
воздух
откачан
1
воздух
есть
v
Рис. 4
Чтобы описать физические явления на количествен­
ном уровне, ученые придумывают физические величины.
Математические соотношения, которые связывают
различные физические величины для описания физи­
ческого явления, образуют теорию этого явления. При
этом теория - количественное описание физических
явлений - строится на основании законов, открытых
учеными.
Так, например, была построена механика. Исаак
Ньютон, обобщив законы свободного падения, которые
фактически были открыты Галилеем, сумел описать на
количественном уровне движение тел под действием
силы тяжести. Установив, что любые тела притягиваются
друг к другу, он открыл за кон всеми рного тя готения.
Испол ьзуя этот закон, физики смогл и постро ить
теорию движения планет, ведь Солнеч ная система
13
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
подчиняется закону всемирного тя готения. Более того,
на основании особенностей движения планет были
открыты и новые планеты. Например, предсказано, что
за Ураном должна находиться еще одна планета, ведь
движение Урана было не совсем таким, как ранее дума­
ли астрономы. В р езул ьтате была открыта следующая
планета - Нептун.
Но теория, которую сейчас называют классической фи­
зикой, не всегда могла описать открываемые физиками
новые физические явления. Оказывается, если скорость
тела приближается к скорости света, то привычная для
нас механика перестает работать.
Для объяснения этих новых явлений была созда­
на теория, которая кардинально изменила взгляд
на мир, - теория относительности Альберта Эйн­
штейна, в которой рассматривается движение тел
с огромными околосветовыми скоростями. Она дополня­
ет классическую механику гипотезой о том, что скорость
света в вакууме превысить нельзя. Очень важно то, что
старая классическая механика является частным случаем
теории относительности для скоростей, гораздо мень­
ших скорости света.
Ученый Макс Планк, пытаясь описать свечение на­
гретых тел, в 1900 году был вынужден признать, что
нагретые тела испускают свет не непрерывно, а опреде­
ленными порциями, и что физические величины могут
меняться скачкообразно. Это тоже противоречило старой
классической физике и породило новое направление квантовую механику.
Развитие физики никогда не прекратится. Проводя
сложные эксперименты, физики открывают явления,
которые старая физика просто не способна описать.
А значит, приходится строить новые теории, новые раз­
делы науки.
14
Ф изика - наука о природе. Н аучные ме т оды изучения природы
Абсолютного знания не существует. Но физика учит
ориентироваться в мире, который нас окружает. А для
этого необходимо запомнить главные методы изучения
природы :
на блюдение, г ипотеза, э ксперимент, теория.
Гипотеза представляет собой предположение, экспе­
римент позволяет проверить справедливость гипотезы
или ее ошибочность. Чтобы описать явления природы на
количественном уровне, строится теория этих явлений.
Так физики познают мир.
выводы
Знание физики - это ваше дополнительное зрение
и слух. Органы чувств, которые позволяют вам видеть
и слышать то, чего другие не замечают. Но даже физик
не может объяснить все сразу. П оэтому он не просто на­
блюдает со стороны, а пытается установить связи между
всеми элементами изучаемой системы, заставляя ее рабо­
тать в специально созданных условиях. Только тогда ему
становится понятно, как эта система работает или поче­
му она не работает. Физик способен видеть окружающую
природу по-своему, видеть разумом, во взаимосвязи со­
ставных частей, в отличие от простого обывателя, взгляд
которого лишь скользит по поверхности.
Поэтому, когда вы изучаете физику, вы не просто види­
те красоту п р ироды, вы начинаете эту красоту понимать.
15
Ф И З И Ч ЕСКИ Е В ЕЛ И Ч И Н Ы
И ЕД И Н И Ц Ы И Х
И З М Е Р Е Н ИЯ
Физические величины описывают окружающий нас
мир. Но их самих по себе в природе не существует. Они
придуманы людьми. Некоторые думают, что масса,
длина, скорость были до появления человека, есть
сегодня и будут всегда. Но это не так.
л
юбая величина появляется благодаря тому, что люди
придумывают способ ее измерения. А что такое
измерение? Это сравнение. Представьте, что вы при­
шли в магазин, чтобы купить стол. Но вы не знаете, пройдет
ли он в дверной проем вашей квартиры. Что вы делаете? Вы
меряете дверной проем, например, с помощью своей ладони,
прикладывая ее к нему и считая, сколько раз ширина ладо­
ни укладывается в ширину проема. А затем уже в магазине
меряете точно так же стол. В этот момент вы сравниваете
ширину стола с величиной, принятой вами за единицу, с шириной ладони. Но у каждого человека ширина ладони
своя, поэтому при таком способе измерения передать ин­
формацию о ширине стола один человек другому не сможет.
Значит нужно договориться о какой-то «стандартной ла­
дони», ширина которой принята за единицу во всем мире.
Такое устройство для хранения и воспроизведения единицы
длины называют эталоном. Итак, любое измерение - это
всегда сравнение. Если не существует способа измерения,
говорить о физической величине бессмысленно.
Самые известные физические величины - длина,
время, масса. Их можно измерять различными способа16
Ф изические величины и единУIЦЫ их измерения
Физическая величина это физическое понятие, выраженное
чиспом в процессе измерения.
!-------+- ......
�
:
.
ми, поэтому существуют различные единицы одной и той
же физической величины.
� Вел ичи н а
Еди н и цы изме ре н ия
Длина
Санти м етр, миллим етр, м етр, м ил я ,
дюйм , л окоть, ве рста".
Время
Секунда , м инута, час, сутки, неделя, год, м есяц".
Масса
L
Гра м м, м иллигра м м, кил огра м м , тонна,
1 центнер, фунт, ка рат, унция".
·-�--------�
Международная система единиц System international SI (Система интернациональная, или СИ)
это
современный вариант метрической системы. Она обра­
зована физическими величинами, которые называют
основными и единицы которых можно воспроизвести
способами, признанными во всем мире (рис. 1).
Един ица массы - килограмм (kg).
Еди н ица дл и ны - метр (m).
Еди ница времен и - секун да (s).
Еди н ица силы тока - ампер (А).
Еди н ица измерен ия те м п ературы кельвин (К).
Единица кол ичества вещества,
о пределяемая ч и сло м молекул,
входящих в э то вещество, - моль
(mol).
Еди н ица силы света - кан дела (cd).
Рис. 1
17
Физ и кл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
.......
.
Измерение - это сравнение
физической веnичинь1 с однородной
веnичиной, принятой за единицу.
Для проведения точных измерений необходим еди­
ный и принятый всеми способ воспроизведения единицы
каждой из основных величин
система эталонов.
-
Этаnон физической веnичины устройство дпя хранения
и воспроизведения единицы
физической веnичины.
Когда-то эталоном килограмма был 1 литр воды при
определенной температуре. Затем был изготовлен эта­
лон килограмма в виде цилиндра из платин а -иридиевого
сплава (хранится в Севре близ Пари жа) . Долгое время
этот эталон боялись потерять, поэтому в мае 2 019 года
был узаконен способ воспроизведения единицы массы,
основанный на использовании постоянной Планка
физической величины, которая описывает явления
микромира. В том же году были утверждены новые эта­
лоны других основных физических величин.
-
18
Ф изические величины и единицы их измерения
• АТОМНЫЕ ЧАСЫ КАК Э ТАЛ ОН ВРЕМЕНИ
Раньше единицей времени было принято считать опреде­
ленную часть времени, за которое земной шар совершает
один оборот вокруг своей оси (звездные сутки ) . Но бы­
строта вращения Земли меняется даже в течение года.
Обнаружить это удалось с помощью устройства, которое
измеряет время точнее, чем это можно сделать астро­
номическими методами, - с помощью атомных часов.
Колебания, происходящие в атомах, занимают опреде­
ленное время - период. Если отсчитать определенное
количество этих колебаний, можно набрать секунду. Бла­
годаря этому было принято решение, что секун да - это
время, в течение которого происходит известное коли­
чество колебаний при определенном процессе в атомах
цезия. За все время существования Вселенной атомные
часы могут отстать или уйти вперед лишь на одну секун­
ду. А потому они признаны эталоном времени.
Устроены атомные часы сравнительно просто и имеют
очень небольшие размеры, а значит, могут производиться
в больших количествах и находиться, к примеру, на каждом
спутнике gрs-навигации. Чтобы определить местонахож­
дение с помощью спутников, gрs-навигатор на самом деле
принимает информацию о времени как минимум с трех
разных спутников gps. Поскольку расстояние до разных
спутников разное, время прохождения радиосигнала от
каждого спутника будет чуть-чуть неодинаковым, и атом­
ные часы эту разницу способны зарегистрировать. Разница
во времени позволяет найти разницу между расстояния­
ми до каждого из спутников благодаря знанию скорости,
с которой распространяется радиоволна.
У радио- и световой волны скорость распространения
в вакууме одинаковая. И, как это ни странно, она не зави­
сит от того, движется источник и приемник волн или нет.
19
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Это одно из основных положений теории относительно­
сти. В 1983 году было принято, что эталон скорости - это
скорость света в вакууме, которая равна 299 792 458 м / с.
Когда есть эталоны скорости и времени, ими можно заме­
нить эталон длины.
• Д ЕСЯТИЧНЫЕ ПРИСТАВКИ
Расстояние от Земли до Луны или размеры атома не­
удобно измерять в метрах. П оэтому был придуман способ
получения более мелких и крупных величин с помощью
десятичных приставок. Он появился задолго до системы
СИ в упомянутой выше метрической системе, но сохра­
нился благодаря своей простоте и удобству.
ТАБЛИЦА ДЕСЯТИЧНЫХ ПРИСТАВОК
С11
s
:i::
ra
:.:
111
ra
....
u
s
а. i:[
::ii::
о
Тера
чудовище
Т
Гига
гигантский
Г
Мега
большой
М
Кило
а
Гты�я� -
к
сто
Дека
десять греч
да
.
(
)
десять лат
д
Деци
.
(
)
Санти __j сто
с
+-__
---
J
1
1
s
���� j
1 ООО ООО ООО ООО
1 ООО ООО ООО
1 ООО ООО
10
;-i
1000
103
100
102
10
10
-0,01
+
0,001
м
Милли
тысяч а
Микро
малый
мк
0,000001
Нано
карлик
н
0,000000001
20
.а
....
u
о
:i::
.а
iu а
:i::
1'1
о
\О
а.
i::::
Гекто
.а
....
u
о
:i::
С11
'j
ra
;
-;
10 1
-�
-;-·--""4
10-2
Ф изические величины и еди н ицы их измерения
• И ЗМЕРЕНИЕ Ф ИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН .
ЦЕНА ДЕЛЕНИЯ ШКАЛ Ы ИЗМЕРИТЕЛЬНОГО
ПРИБОРА
Для измерения физической величины используются
измерител ьные приборы, у большинства из которых
есть шкала, и этой шкалой надо уметь правильно поль­
зоваться.
На шкале термометра, например, есть короткие
и длинные линии, числа и указание, в каких единицах
происходит измерение. В данном случае это градусы
Цельсия. Линии на шкале - это штрихи, промежуток
между линиями - деления. И путать их нельзя. У каждо­
го термометра всегда имеется нижний и верхний предел
измерения - минимальная и максимальная температу­
ра, которую можно измерить с его помощью (рис. 2).
штрихи
50
""
40
верхний предел
измерения
30
деление
20
10
о
-10�
нижний предел
измерения
Рис. 2
Важнейшей характеристикой шкалы измерительного
прибора является цена деления этой шкалы.
21
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
. . . . . ..
.
.
Цена деления wкаль1 измерительного :
прибора - это расстояние между
ближайwими wтрихами w калы,
�
выраженное в единицах измеряемой
величины.
Если прибор измеряет величину в градусах, цена
деления тоже выражена в градусах. Чтобы ее опреде­
лить, необходимо взять ближайшие два штриха, против
которых стоят цифры - например, 3 0 и 2 0. Вычесть из
большего значения меньшее и разделить это число на
количество делений между этими штрихами (их в этом
случае 2). Полученное значение является ценой деления,
которая обозначается буквой С .
С
-
цена деления.
с = 3 о - 2 о = 5 сос)
2
Если возле двух значений не указывается единица
измерения, она всегда ставится в скобках рядом с резуль­
татом С0 С). Но можно записать и по-другому:
С=
с
с
зоо - 2оо
2
5с
= о
Получается тот же результат, но без скобок. Второй
вариант удобен, если задача сложная и в нее входит фор­
мула с большим количеством единиц.
Цена деления шкалы всегда измеряется в тех единицах,
в которых ее измеряет прибор, - в градусах, мм, мл и т. д.
По такой же формуле вычисляется цена деления на мер­
ных цилиндрах, используемых для измерения объемов.
22
Ф изические величины и единицы их измерения
Но при работе с ними нужно обязательно обращать
в нимание на значения рабочей температуры, указанные
с в ерху. В случае, есл и температура измеряемого в ещест в а
отличается от рабочей температуры, мерный цилиндр
меняет с в ои размеры из-за я в ления тепло в ого расшире­
ния, и точность измерений снижается.
О п р едел е н и е це н ы дел е н и я н а п р и м е р е
р а зл и ч н ых ш ка л с м от р ите зде с ь :
• И ЗМЕРЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НОНИУСА
Точность измерения физической в еличины за в исит от
цены деления шкалы. Чем она меньше, тем больше точ­
ность. При считывании показаний точностью принято
считать половину цены деления.
Но сущест в ует прибор, поз в оляющий про в одить из­
мерения с точностью даже более высокой, чем поло в ина
цены деления. Это нониус. Он предста в ляет собой д в е
шкалы - осно в ную шкалу и сам нониус, который накла­
ды в ается на осно в ную шкалу.
У осно в ной шкалы столько же делений, сколько и у но­
ниуса - 1 0. Но если наложить их друг на друга, деления
не со в падают - 1 0 делений нониуса будут ра в ны де в яти
делениям осно в ной шкалы.
Если д в игать нониус медленно, каждый его штрих
будет по очереди со в падать (1, 2, 3, 4 и т. д.) со штрихами
осно в ной ш кал ы, а значит, при перемещении на одно
деление по осно в ной шкале происходит со в падение в сех
десяти штрихо в . Со в падение д в ух штрихо в на осно в ной
шкале и нониусе дает более точное измерение.
23
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Такой нониус используется в приборе, который на­
зывается «штангенциркуль» и позволяет проводить
измерения с точностью до 0, 1 мм .
Ка к п р о водить и з м е р е н и я с п о м ощ ь ю
н о н иуса и ш т а н ге н ц и р кул я - с м от р и т е
зде с ь :
•
[!]
!...
•
выводы
Научный язык от повседневного отличается точностью
и однозначностью. В формулы, которые можно встретить
в любой физической теории, всегда входит та или иная
физическая величина. Но говорить о физической величи­
не можно только в том случае, если существует способ ее
измерения. Если величину измерить нельзя, она не пред­
ставляет научного интереса.
24
точность
И ЗМ ЕРЕ Н И Й
Для измерения длины или диаметра любого предмета
необходим измерительный прибор. Б ывают они
разными, как и точность результата, которую они
обеспечивают.
зучить
измерительных
работу
различных
приборов можно с помощью одного предмета например, монеты, которая накладывается на
шкалу. Обычная мерная лента с ценой деления 0,5 см
покажет, что диаметр монеты р авен 2 см.
Но утверждать, что это самый точный результат
нельзя, ведь в зависимости от того, какие измеритель­
ные приборы имеются в распоряжении, можно получ ить
р езультат с большей или меньшей точностью.
П роверить точность первого результата можно также
с помощью привычной школьной линейки, цена деления
которой равна уже 0,1 см. Измерение с помощью линейки
показывает, что диаметр монеты составляет не просто
2 см, а 21 мм.
Еще один измерительный прибор - ш тангенциркуль.
В отличие от мерной ленты и линейки, точность, с кото­
рой он позволяет получ ить результат, р авна 0, 1 мм.
Измерение монеты штангенциркулем покажет, что
ее диаметр больше 20 мм, но меньше 21 мм. И спользуя
шкалу нониуса на штангенцир куле, можно определить,
что диаметр монеты составляет 2 0,7 мм.
25
ФИЗИКА. Основы н МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Поскольку точность, с которой работает штангенцир­
куль, равна 0,1 мм, диаметр монеты может быть от 2 0,6
до 2 0,8 мм.
Из м е р е н и е с п о м ощ ь ю м е р н о й л е н т ы ,
л и н е й к и и ш т а н ге н ц и р кул я с м от р и т е зде с ь :
Н о существует еще более совершенный измеритель­
ный прибор, точность измерения которого равна 0,0 1 мм.
Это микрометр. Он оснащен двумя мерительными
поверхностями, между которыми зажимается предмет.
Микрометр имеет две ш калы - основную с ценой деле­
ния 1 мм и вспомогательную, которая смещена на 0,5 мм.
Если край цилиндра микрометра приходится на деление
вспомогательной шкалы, а не основной, необходимо
прибавить 0,5 мм. Н о самая главная в этом приборе микрометрическая шкала, цена деления которой равна
0,0 1 мм. Когда вращается барабан микрометра, край ми­
крометрической шкалы перемещается относительно
шкалы основной. Это сопровождается изменением рас­
стояния между мерительными поверхностями.
Зажав между мерительными поверхностями монету,
мы увидим, что диаметр наверняка больше 2 0 мм, и даже
немного больше 2 0,5 мм, поскольку выглядывает вспо­
могательное деление. Н о к этому результату необходимо
также прибавить 9 делений микрометрической шкалы,
получив результат в 2 0,59 мм.
Из м е р е н и е с п о м ощ ь ю м и к р о м етра
с м от рит е зде с ь :
26
•. ·[!]
.
-
[!]� ..
�
Точность измерени й
Измерения показывают, что наибольшая точность
была достигнута с помощью микрометра, а наимень­
шая - при использовании мерной ленты. Поскольку
цена деления мерной ленты составляет всего 0,5 см,
точность, с которой проводится такое измерен ие, обыч­
но принимается за половину цены деления, а именно
2 - 3 мм.
Мерная лента
d=2 см
Штангенциркуль
d=2 0,7 мм
Линейка
d=2 1 мм
Микрометр
d=2 0,59мм
Точность, с которой измерялся диаметр м онеты
при помощи линейки с ценой делен . и я 1 мм, равна уже
0,5 мм. Точность штангенциркуля указана на самом
приборе - 0, 1 мм. И только микрометр с точностью
в 0,0 1 мм позволил получить самы й точный результат 2 0,59 мм. Н есмотря на некоторое противоречие между
результатами измерений штангенциркулем и микроме­
тром, края интервалов все равно совпадают. И зависеть
это может скорее от погрешности штангенциркуля, чем
от более точ ного микрометра. Да и монета может быть
не совсем круглой.
8 ВЛ ИЯНИЕ ЗНАЧАЩИХ ЦИ Ф Р НА ТОЧНОСТЬ
О точности измерений также говорит количество цифр
в результате: чем их больше, тем точнее результат.
Поэтому, для того чтобы охарактеризовать точность из­
мерения, используется понятие значащих цифр.
Значение 2 0, 5 9 мм можно записать раз н ы м и спосо­
бами :
27
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
2 0,59мм
2, 059 см
0,2 059 дм
0, 02 059 м
Несмотря на использование разных единиц при
записи, значения по-прежнему одинаковы. Измерение
проводилось одним и тем же прибором, а значит, и точ­
ность результатов везде одинаковая.
Если не считать нули слева, везде указано одно и то
же количество цифр - четыре, значит, данное измерение
было проведено с четырьмя значащими цифрами.
Количеств о значащих цифр определяет точность, с ко­
торой изображается результат измерения. Первые три
цифры - это верные цифры, последняя - сомнитель­
ная цифра. Ведь даже если изменит ь последнюю цифру
на единицу, результат не очень сильно отклонится от
результата более точного измерения. А результат, осно­
ванный на верных цифрах (знаках) , можно гарантировать
(рис. 1).
20,59 мм
(
0,20 �
_..,,,,1
2,059 СМ
,--.
0,02059 м
верные
цифры
сомнительная
цифра
...___...,
4 значащие цифры
Рис. 1
Количеств о знаков после запятой может быть разное,
и к точности это не имеет никакого отношения . Точность
28
Точ ность измерени й
описывается не числом знаков после запятой, а именно
количеством значащих цифр. Поэтому необходимо обра­
щать внимание на то, что находится в правой части числа,
а не на то, где расположена запятая.
Иногда можно встретить такой результат:
2 см
2, О см
2, 00 см
Нули, стоящие справа, являются не случайными, а тоже
значащими цифрами. Потому и точность с ними будет по­
казана выше, чем без них. Если в первом варианте (2 см)
результат может меняться от 1,5 до 2,5 - на половину
от сомнительной цифры, то во втором варианте (2,0 см)
точность, которая задается, равна уже половине от 0, 1,
а значит, и сама точность будет равна 0,05. Третий вари­
ант с двумя нулями после запятой будет самым точным,
поскольку задаваемая точность будет равна половине от
0,0 1, а именно 0,005.
Такая точность требуется далеко не всегда. Есть
измерения, которые в этом абсолютно не нуждаются.
Например, рост человека, который в течение дня может
меняться в зависимости от времени суток и нагрузки
на позвоночный столб. Измерения с точностью до 1 мм
в этих случаях просто бессмысленны.
Н о в то же время существует множество ситуаций, ког­
да длина нуждается в измерении с огромной точностью.
Например, в научных исследованиях.
Итак, точность измерений определяется количеством
значащих цифр. Нули, стоящие справа (есл и они есть),
тоже являются значащими цифрами, в отличие от тех, что
расположены слева. Вторые определяют лишь величину
числа, но никак не точность, с которой это число задано.
В случае, если имеется слишком много значащих цифр,
29
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
например, при работе с калькулятором, число необходи­
мо округлить до результата с такой точностью, которую
можно гарантировать. П оэтому, если измерение длины
было проведено с двумя значащими цифрами, ответ
после расчетов необходимо также округлить до двух зна­
чащих цифр.
В Ы ВОДЫ
Почему же так важна точность измерений? Для
примера давайте сравним современный смартфон с вы­
числительной машиной «Минск-22», которая в свое время
занимала целый зал в корпусе университета. Она считала
в тысячи раз медленнее и обладала памятью, меньшей
в тысячи раз, чем память мобильного телефона. Чем мень­
ше становятся элементы электронных схем, тем мощнее
становится вычислительное устройство. Для того чтобы
электрический сигнал прошел от одного конца устройства
в другой, требуется время. Поэтому «машина» должна
быть маленькой, чтобы время прохождения сигнала было
минимальным. Для этого делают микросхемы. А чтобы
изготовить микросхему, нужны приборы фантастически
высокой точности, поскольку элементы микросхем по
размеру могут быть в 10 тысяч раз тоньше человеческого
волоса. И даже если увидеть их очень сложно, сделать все
же можно. Благодаря физике люди научились изготавли­
вать вещи, которые нельзя увидеть даже в самый мощный
оптический микроскоп.
Поэтому физика никогда не останавливается. Всегда
появляется что-то новое и лучшее, всегда откры вается
что-то совершенно неожиданное. А значит, физики ни­
когда не останутся без работы.
30
М Е ХА Н ИЧ ЕСК О Е
ДВ ИЖЕ Н И Е. В Е КТ О Р Н Ы Е
В ЕЛ И Ч И Н Ы
Движение всегда существует само по себе. Не суще­
ствует абсолютного движения, как и не существует
абсолютного покоя. Но для того, чтобы были внесены
какие - то изменения в характер движения, требуются
определенные причины.
с
амо понятие движения - это обязательно какое-то
изменение. Только если происходи т изменение,
можно говорить о движении. Причем не важно, что
меняется. Меняется отношение к какому-то слою населе­
ния - это политическое движение. Меняется отношение
к окружающей среде - это экологическое движение.
В случае механического движения меняется положение
тела с течением времени. А значит, нужно уметь изме­
рять положение и время. И оказывается, что характер
движения зависит от того, где находится и как ведет себя
наблюдатель.
8 ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Механическим движением называется изменение положе­
ния тела в пространстве относительно других тел. А само
изменение - это понятие, которое всегда затрагивает
время. И если за временем не следить, судить об измене­
ниях невозможно. Так, глядя на мгновенную фотографию
автомобиля, невозможно определить, движется он или нет.
31
Физикл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Механическое движение - это
изменение положения тела
в пространстве относительно друrих
тел с течением времени.
Основная задача механики заключается в том, что­
бы указать положение тела в любой момент времени.
В том числе и в те моменты, которые еще не наступили.
А значит, не просто указать положение этого тела, а пред­
сказать его.
Механика состоит из нескольких разделов. И первый
из них - кинематика.
Ки нематика - это раздел механики,
который изучает движение тела,
не а нализируя ero причин.
Кинематика не объясняет, а описывает движение тел.
Предлагает способы, с помощью которых можно задать
положение тела в любой момент времени.
У каждого тела (например, у блокнота) есть свой
размер. Поскольку он занимает в пространстве какое-то
место, значит, разные точки блокнота в один и тот же
момент времени занимают разное положение. И чтобы
описать движение блокнота, придется описывать дви­
жение каждой его точки, а это уже сложная задача. Н о ее
можно упростить, причем двумя способами.
Во многих случаях тело движется таким образом, что
все его точки движутся одинаково. А значит, достаточно
32
Механическое движение. Векторные величины
описать движение одной точки, чтобы судить о движении
всего тела. Такой вид движения называется поступа­
тельным движением (рис. 1).
Поступательным называется такое
движение тепа, при котором все ero
точки движутся оди наково.
Эквивалентное описание поступательного движения
звучит следующим образом:
. . . . . . ..
Поступательным называется такое
движение, при котором пю6ая
прямая, проведен ная в тепе, остается
параппепьной самой себе.
Второй вид простейшего движения - вращательное
движение (рис. 2).
Вращательное движение
ось
Поступательное движение
--
� ...
""-
��--,,,,. ... " ...
с�-� rix:E]
,
�·
,
'
Рис. 1
Рис. 2
33
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вращатепьным называется такое
движение тепа, при котором все ero
точки движутся по окружностям
с центрами, пежащими на одной
прямой, называемой осью вращения.
�------ · · · · · · ·
Любое сложное д в ижение тела можно предста в ить
как комбинацию д в ух простейших в идо в д в ижения поступательного и вр ащательного. Например, катящееся
колесо одно вр еменно участ в ует и в поступательном, и в о
вр ащательном д в ижении.
Более того, ось вр ащения тела может не оста в аться
параллельной самой себе. Пр имер - крутящаяся юла.
Если она находится на столе д в ижущегося вагона, она
одно вр еменно участ вует в поступательном д в ижении
в месте с в агоном, а также в о вр ащательном д в ижении
в округ меняющей с в ое напра в ление оси.
Н о есть случаи, когда д в ижение тела не нужно
предста в лять как поступательное или вращательное. На­
пример, если а в томобиль едет по дороге из одного города
в другой. П ри этом, каким бы ни был размер а в томобиля,
нас чаще в сего интересует только вр емя, за которое он
прошел с в ой путь. В таких случаях а в томобиль рассма­
тр и в ается как материа л ьная точка.
Материальной точкой назы вается
тело, размерами котороrо в Аанной
заАаче можно пренебречь.
34
Механическое движение. Векторные величины
Пока что, изучая основы кинематики, любое тело
мы будем считать материальной точкой. А значит,
в соответствии с основной задачей механики нам
нужно научиться указы вать положение этой точки
в пространстве в любой момент времени. Указывать
с помощью чисел.
Числа, с помощью которых задается
положение точ ки в пространстве,
называются координатами.
Чтобы задать положение тела на линии, нужно
лишь одно ч и сло. Чтобы задать пол ожение тела на
поверхности - два числа. Например, на шахматной
доске п ол ожение фи гуры указы вается двумя знака­
ми - числом и буквой, где буква просто замен ител ь
числа. Чтобы задать положение кресла в зрительном
зале, тоже необходимы два числа - номер ряда и но­
мер места в ряду.
А если движение точки происходит в пространстве,
требуется три числа. Больше чисел в нашем мире
не нужно. Поэтому мы говорим, что живем в трехмерном
мире - ЗD (3-dimensional - «трехмерный» ) . Существует
несколько разных систем координат. В физике наиболее
популярны декартовы координаты, использующие три
взаимно перпендикулярные оси координат.
Следует помнить, что о движении имеет смысл
говорить только в том случае, если существует тело,
относительно которого рассматривается положение,
а значит, и движение изучаемого тела.
35
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Тепо, относитепьно котороrо
рассматривается движение,
называется тепом отсчета.
И поскольку движение - это изменение положения
тела в пространстве относительно других тел с течением
времени, требуется еще и прибор для измерения времени.
Система коо рдинат
+
Тело отсчета, связанное с системо й коо рдинат
+
П ри б о р для изме рения времени
=
Система отсчета
Чтобы описать движение, необходима каждая из этих со­
ставляющих, а все вместе они называются системой отсчета.
Допустим, что некая точка находилась сначала в поло­
жении А. Затем, совершив определенное движение, она
оказалась в положении В. Соединим точки А и В отрезком
прямой. Чтобы этот отрезок нес больше информации
о движении, откуда и куда двигалось тело, сделаем его
направленным отрезком - вектором (рис. 3).
�кто«
� \\
//,
8
А
Рис. 3
--+
Где S
это вектор перемещения тела, или просто
перемещение.
-
36
Механическое движение. Векторные величины
.. .. .
.
. .
Перемещением тела называется
вектор, проведенный из начальноrо
положения тела в конечное.
Но даже если тело находилось в точке А, а оказалось
в точке В, это совсем не значит, что оно двигалось по
прямой. Тело могло двигаться множеством различных
способов вдоль каких угодно линий.
Л иния, вдоль которой движется тело,
называется траекторией.
У этой линии есть длина. А у длины траектории свое
название - пут ь. Обозначается он, как правило, буквами
L или /.
И если перемещение всегда является вектором, то
путь - это всегда число, а не вектор.
Обозначим модуль вектора перемещения символом I S1.
Жесткой связи между модулем перемещения и путем
нет. В зависимости от того, по какой траектории движется
тело, путь может быть больше или меньше при одном и том
же значении модуля перемещения. Но если траектория со-+
впадает с вектором S, путь будет минимальным. Если тело
движется по прямой в одном направлении, путь будет ра­
вен модулю перемещения. При криволинейном движении
путь всегда будет больше модуля перемещения. Поэтому
модуль перемещения всегда меньше или равен пути:
37
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
8 ВЕКТОРНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ДЕЙСТВИЯ
НАД ВЕКТОРАМИ
Векторные величины в физике встречаются повсеместно.
__.
Кроме вектора перемещения S , нам предстоит работать
__.
с вектором силы F, поскольку сила имеет как направление, так и численное значение, и со многими другими
векторами.
Величины, которые имеют только численное зна­
чение, - масса (т), объем (V), плотность (р), путь (L},
удельная теплоемкость (с) , время (t) - называются
скалярными величинами. Их в физике больше, чем век­
торных, но векторные все же более содержательные.
• Умножение вектора на скаn я р
Векторная величина обозначается буквой со стрелкой
над ней а. Численное значение вектора обозначается
просто буквой без знака вектора:
__.
а - модуль вектора а .
При умножении вектора на скаляр договоримся, что
__.
вектор Ь представляет собой произведение скаляра k на
__.
вектор а :
Ь=kй.
Чтобы задать полную информацию о векторе, необхо­
димо указать и модуль, и направление вектора.
Модуль вектора задается так:
Ь = lkl · а.
Модуль вектора, в отличие от скаляра k, никогда
не бывает отрицательным, поэтому k нужно обязательно
записывать под знаком модуля.
__.
Направление вектора Ь определяется следующим
образом :
__.
__.
Ь ii а , если k > О;
__.
__.
Ь .J.i а , если k < О.
38
Механ ическое движение. Вепорные величины
Н о k также может быть равно О, тогда:
Ь = О, если k = О.
�
�
�
О
это так называемый нуль-вектор, модуль которого равен О. Направление этого вектора не определено
и не имеет смысла.
-
П р и м е р ы у м н оже н и я в е кт о р а на с к ал я р
с м от р и те зде с ь :
• Спожение векторов
Для сложения векторов существует два правила, и оба
они основаны на том, что вектор задается направлением
и модулем. Если переместить вектор параллельно самому
себе, он останется равен себе. Такие векторы называются
сво бод ными. Первое правило сложения векторов называ­
ется п равилом треугольн ика.
�
�
Чтобы сложить векторы а и Ь по правилу треугольника, необходимо параллельным переносом совместить
�
�
�
конец вектора а с началом вектора Ь . Вектор суммы с
�
получится, если провести вектор от начала вектора а
�
в конец вектора Ь (рис. 4) :
с = а + ь.
Складывать векторы можно в любом порядке.
Например:
�
�
�
е =Ь + а.
�
Для сложения вектор Ь параллельно самому себе
переносится на «операционное поле», и к его концу
приставляется а. Чтобы получить вектор е, нужно про­
вести вектор от начала первого вектора к концу второго
(рис. 5).
39
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Рис. 5
Рис. 4
-+
-+
Векторы е и с имеют одинаковую длину и одинаковое
направление. От перемены мест слагаемых сумма дв ух
векторов остается неизменной.
Второе правило называется правилом параллелограм­
ма. Чтобы воспользоваться этим правилом, оба вектора
необходимо поместить на «операционном поле» так, что­
бы их начала находились в одной точке. На этих векторах,
как на сторонах, строится параллелограмм. Диагональ
параллелограмма, которая проходит через общую точку
-+
-+
-+
векторов а и Ь , и будет вектором суммы с (рис. 6) .
В зависимости от типа задачи, выбирается первое
или второе правило. Например, если необходимо найти
перемещение тела, удобнее пользоваться правилом
.""
"
'
.
Рис. 6
40
'
'
'
...... "
'
'
'
'
'
'
...
'
'
,
'
Механическое движение. Векторные величины
треугольника. Но бывают ситуации, когда больше под­
ходит правило параллелограмма. Например, если к телу,
которое мы считаем материальной точкой, одновремен­
но приложены несколько сил.
Но у правила треугольника есть еще одно достоинство.
Оно удобно обобщается на случай, когда нужно сложить
не два, а больше векторов.
Например:
-+
-+
-+
-+
k = a + b + c.
--+
--+
Совместив векторы а и Ь , получаем промежуточный
--+
--+
--+
результат - вектор а + Ь . Чтобы найти вектор k , необ--+
--+
--+
ходимо к сумме векторов а и Ь прибавить вектор с . Для
--+
--+
этого к концу вектора а + Ь , он же я вляется концом век-+
--+
тора Ь , нужно подставить начало вектора с И провести
результирующий вектор - сумму трех векторов (рис. 7) .
В случае, когда векторов четыре или больше, при
сложении получается многоугольник с еще большим
количеством сторон. Это правило называется правилом
многоугольника.
.
--+
--+
--+
--+
k = a +b +c
--+
с
Рис. 7
41
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
• Вычитание векторов
Вычитать векторы можно тремя способами. Два из них
основаны на сведении вычитания к сложению с противо­
положным вектором. Например, пусть
�
�
-t
а
=а -Ь.
�
Вместо того чтобы вычитать вектор Ь , можно
�
прибавить к вектору а вектор, противоположный
�
вектору Ь :
�
�
-t
а
= а + (- Ь ) .
Для этого подойдет и правило треугольника, и пра­
вило параллелограмма (рис. 8) .
-t
а
�
-+
-+
-t -+
а
= а + (- Ь )
=а -Ь
"_
� -- ......... ...
d
:
,
,
,
,
,
,
,
,
.,
-+
а
Рис. 8
Третье правило называется правилом треугольника
для вычитания векторов.
-+
-+
Оба вектора а и Ь необходимо поместить на «операционное поле» так, чтобы они исходили из общего начала,
и соединить их концы (рис. 9).
42
Механическое движение. Векторные величины
--+
--+
а7 = а - Ь .
Рис. 9
Чтобы понять, куда будет направлен вектор разности,
можно использовать различные правила. Самый простой:
представьте себе, что в данном случае забирают ( отни--+
мают) у вектора а , а значит, он «возмущается», «шумит»
и «обращает на себя внимание». На него все смотрят в том числе и вектор d.
Интересно, что в параллелограмме, построенном на
двух векторах, можно найти и сумму векторов, и их раз­
ность (рис. 1 0).
--+
--+
а +Ь
Рис. 1 0
43
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Б ол ь ш е п р и м е р о в с м от р и т е зде с ь :
Итак, для сложения векторов можно использовать два
способа: метод треугольника и метод параллелограмма.
Вычитать векторы тоже можно двумя способами - све­
дением вычитания к сложению и с помощью правила
треугольника для вычитания.
44
Механическое движение. Векторные велич ины
......
.:
В Ы ВОД Ы
.
-------
Основная задача механики - уметь указать положение
тела в любой момент времени. Математическую основу
для этого дает раздел механики, называемый кинема­
тикой. Именно кинематика предоставляет средства для
описания движения : такие величины, как перемещение
тела, пройденный путь и другие. Кинематика оперирует
как со скалярными, так и с векторными величинами.
Векторные величины - это мощная реклама мате­
матики. Вектор несет в себе б о льшую информацию, чем
число. П оэтому векторные уравнения очень компактные.
При описании нашего трехмерного мира векторное вы­
ражение несет в себе информацию в три раза б ольшую,
чем если бы оно записывалось с помощью чисел.
45
П Р О Е КЦИЯ В Е КТ О РА НА
КОО РД И НАТН Ы Е О С И
Ф изика - мощнейший потребитель математического
аппарата. Но с другой стороны, математический
аппарат тоже «Кормится» на физике. Математика
позволяет очень рационально выразить физическую
реальность, рационально описывать мир физики.
И векторы - первый шаг в этом направлении.
н
апример , правило сложения векторов - это пра­
вило треугольника. Оно рождается естественным
образом при описании двух последовательных
перемещений тела. Связь между физикой и математикой
всегда есть, причем она взаимообогащающая. Л юбой,
кто умеет пользоваться векторами, может строго и од­
нозначно выражать свою мысль на бумаге при описании
механического движения, и не только. Математика дает
самый емкий язык для описания любых сколь угодно
сложных явлений природы. И чтобы не путаться в числах,
можно строить красивые векторные уравнения, которые
компактны, а потому ими удобно пользоваться. Как же
связаны между собой числа и векторы?
Вектор на плоскости можно описать с помощью двух
чисел. Они называются проекциями вектора на коорди­
натные оси и определяются следующим образом.
Выберем координатную ось и сначала определим
координату начала вектора. Для этого необходимо опу­
стить перпендикуляр на ось х, обозначив координату
начала вектора хн . Точно так же найдем координату конца
вектора - хк (рис. 1).
46
Проекция вектора на координатные оси
у
'
х
х
Рис. 1
Теперь необходимо вычесть из координаты конца
координату начала. Координаты - это числа. Вычитая
два числа, мы также получим число. Именно это число
И называется проекцией вектора О на ОСЬ Х, которая обо­
значается как ах:
Проекция вектора на координатную
ось равна разности координат конца
вектора и ero начала.
Как видно из рисунка, проекция вектора может быть
как положительной (ах > О), так и отрицательной (Ьх < О),
есл и координата конца меньше, чем координата начала.
Проекция вектора на ось равна нулю, если вектор
перпендикулярен оси. В этом случае координаты начала
и конца вектора - одинаковые (рис. 2).
>
х
Рис. 2
47
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вектор с осью образует угол, который принято отсчи­
тывать от положительного направления оси. Если этот
угол острый, проекция вектора на ось будет положитель­
ная. Если угол тупой - отрицательная. В случае, когда
вектор образует с осью прямой угол, проекция на ось
будет нулевой (рис. 3, 4) .
Есл и вектор параллелен оси, ясно, что проекция век­
тора совпадает с модулем вектора (рис. 5) :
dx = d.
� - тупой
а - острый
d,_
х
х
Рис. 3
у - прямой
dx = d
>·1
1
1
>
Рис. 4
хк
)
х
Рис. S
Есл и вектор направлен против оси, его проекция на
ось отрицательна, поскольку координата конца меньше
координаты начала. Расстояние между координатой на­
чала и координатой конца, которое всегда положительно,
я вляется модулем данного вектора (рис. 6) .
48
П роекция вектора на координатные оси
�
е
·<
1
хк
;....
хн
х
Рис. 6
Следовательно,
ех = - е.
Важно:
�
Есл и вектор а сонаправлен с осью х, то проекция вектора ах на ось х равна модул ю вектора а:
�
а ii ох, то ах = а.
Если вектор а направлен противоположно по отношению к оси х, то проекция вектора ах равняется минус
модулю вектора а:
�
а iJ. ох, то ах = - а.
Есл и вектор а перпендикулярен оси Х, то проекция
вектора ах равняется нулю:
�
а 1- ох, то ах = О,
�
проекция
где а
вектор, а
модуль вектора, ах
вектора на ось х.
Модуль вектора может быть положительным числом
или нулем, но никогда не может быть отрицательным.
Отрицательной может быть проекция вектора, есл и
вектор образует тупой угол с осью. Говорить о знаке
вектора бессмысленно, поскольку знак может быть
только у числа. П о отношению к вектору это понятие
неприменимо. У вектора может быть только модуль
и направление.
-
-
-
49
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
ПРОЕКЦИИ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ ВЕКТОРОВ
Рис. 7
-+
-+
Ь =-а.
Знак «минус» в данном случае говорит о том, что
-+
-+
векторы а и Ь являются противоположными. Отметив
-+
-+
координаты конца и начала векторов а и Ь , можно
получ ить два равных треугольника (на рисунке заштри­
хованы) и равные отрезки на осях, которые отмечены
штрихами. Разность координат конца и начала вектора
а, которая получается путем вычитания из большей ко­
ординаты меньшей, равна разности координат начала и
-+
конца вектора Ь (рис. 7) :
где хка - хна = ах ' а хнь - хкь = - hx .
-+
-+
Значит, если вектор Ь проти в оположен вектору а , то:
hx = - а х .
П роекции противопопожнь1х
векторов на координатную ось
противоположны.
50
П роекция вектора на координатные оси
Зная две проекции вектора на координатные оси х
и у, мы знаем о векторе абсолютно все. А значит, можем
указать модуль вектора и его направление.
С в я з ь м о дул я и н а п ра вл е н и я вектора с е го
п р о е к ци я м и с м от р ите зде с ь :
Р е ш е н и е зада ч и н а п о и с к м о дуля
и н а п ра вл е н и я в е кто р а по е г о п ро е к ци я м
с м от р и т е зде с ь :
ПРОЕКЦИЯ СУММЫ И РАЗНОСТИ ВЕКТОРОВ
С помощью проекций векторы можно складывать и вы­
читать. Допустим, дана система координат с осями х и у
и мы складываем два вектора по правилу треугольни�
�
ка - векторы а и Ь . Сумма этих векторов традиционно
обозначается буквой ё (рис. 8) :
�
�
�
с =а + Ь.
�
�
Начало вектора а совпадает с началом ветора с . Конец
�
�
вектора Ь - с концом вектора с .
Чтобы найти проекцию вектора ё на ось х, нужно от
координаты конца отнять координату начала:
Если в каком-либо выражении мы отнимем и добавим
одну и ту же величину, значение этого выражения не из­
менится. Как видно из рисунка, у нас
51
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
х
Рис. 8
П оэтому:
Таким образом,
�
�
�
Если вектор с является суммой векторов а и Ь , то сх
(проекция вектора с на ось х) является суммой ах и Ъх
�
�
(проекции векторов а и Ь ) на эту же ось.
v
52
Проекция вектора на координатные оси
Вместо оси х для проекции можно использов ать также
ось у, получи в такое же выраже ние.
Проекция суммы двух векторов равняется сумме про­
екций этих векторов.
Кроме суммиро вания, векторы можно вычитат ь:
-t
--+
--+
а =а -Ь ;
--+
--+
--+ --+
-t
а = а - Ь = а + ( - Ь ).
А поскольку проекции противоп оложных векторов
против ополож ны, получае м :
dx = ax - hx .
В этом случае проекции разности двух векторов на ось
равна разност и проекци и векторо в на эту же ось.
В обобще нном виде это выгляд ит так:
Это позволя ет работат ь с вектора ми без использ ова­
ния их изображений. Достато чно просто найти проекци и
этих векторо в на координ атные оси. Вместо вычита ния
либо сложения векторов с помощью правил треуголь ­
ника или параллел ограмма гораздо удобнее, а главное,
гораздо точнее работат ь с проекци ями векторо в.
Проекция суммы ( разност и ) векторо в
на некоторую ось равняется сумме
( разност и ) проекци й этих векторо в
на эту ось.
____ . . . . . . .
1--------,,_______________
53
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
З а да ч и дл я з а к р е пл е н и я м а т е р и а л а
с м от р ите здес ь :
Работать с векторами легк о , если известны проекции
этих векторов. Проекции содержат исчерпывающую ин­
формацию о векторах. Зная направление вектора и его
модуль, можно найти его проекции. А зная проекции на
координатные оси, можно найти направление и модуль
вектора .
. . . . . . .
.
·
-------
В Ы ВОДЫ
Умея работать с векторами, вы можете более рацио­
нально в ыражать свои мысли, касающиеся поведения
различных физических объектов, в частности описания
их движения. Это как в нашей повседневной жизни. Одну
и ту же мысль разные люди могут выразить по-разному.
Кто-то - большим количеством слов, а кто-то, более
осведомленный в теме, - сообщить ту же информа­
цию всего одной короткой фразой. В физике векторы
выполняют именно такую роль, позволяя записывать
математические выражения более кратко.
54
РА В Н О М Е Р Н О Е
П РЯ М О Л И Н Е Й НОЕ
ДВ ИЖЕ Н И Е
Равномерное прямолинейное движение - это самый
простой вид движения. И это как раз тот случай,
когда движение происходит без всяких причин. Ниже
будет показано, что для того, чтобы происходило
движение, ничего не требуется. Если на тело ничего
не действует, оно будет двигаться равномерно
и прямолинейно. Либо находиться в состоянии покоя,
что на самом деле является тем же видом движения.
р
авномерного прямолинейного движения (РПД)
в природе не существует, поскольку не бывает так,
что на тело ничего не действует. В природе все всег­
да вз а имодействует. Но есл и физика как наука не может
точно описать природу, то физик умеет придумывать мо ­
дели - упрощенное представление о природе, которое
в определенных ситуациях великолепно ее описывает.
Отсутствие взаимодействия с другими телами - это
и есть такое упрощенное представление об устройстве
мира. Оно приводит к РПД - самому простому виду
движения. Если сложное движение рассматривать на
очень коротком интервале времени (например, в течение
одной микросекунды), пока действующие на данное тело
тел а не изменили характер его движения, можно считать,
что в течение одной микросекунды движение этого тела
равномерное и прямолинейное.
55
Физикл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Чтобы изучать изменение положения тела в про­
странстве относительно других тел с течением времени,
необходима система отсчета. Состоит она из тела отсчета,
связанной с ним системы координат и прибора для изме­
рения времени.
Представим, что в начальный момент времени тело
находилось в точке А. Проведем из этой точки направлен�
ный отрезок - вектор перемещения S . Его конец укажет
точку В, где находится тело в данный момент времени.
Значит, если известно начальное положение тела (точ­
ка А ) и вектор его перемещения в лю бой момент времени
�
(вектор S ) , мы можем указать положение тела (точка В)
в этот момент времени . То есть нам удалось решить
главную задачу механики. При этом не важно, насколько
замысловато менялось положение тела со временем.
Начальное положение тела можно задать начальными
координатами - х0 и у0 • Конечное положение тела зада­
дим координатами х и у (рис. 1).
у
у
в
Уо
х
х
Рис. 1
Нам необходимо указать положение тела в любой мо­
мент времени - х (t) иу (t).
Д в а значения координат х0 и у0 - это два фикси­
рованных числа. Чтобы попасть в точку В, нам нужно
56
Р авномерное прямолине й ное движение
--+
переместиться на вектор S . Описать это перемещение
--+
можно с помощью проекций вектора S :
х - х0 = Sx ,
у - уо = SY'
Отсюда следует:
х (t) = х0 + Sx (t) ,
у (t) = у0 + Sy (t) .
И з этих формул хорошо видно, что для решения
основной задачи механики для лю бого движения тела
нужно знать начальное положение тела и то, как меня­
ются с течением времени проекции перемещения тела на
Sx (t) и Sy (t) .
координатные оси
равномерное прямо­
Самый простой вид движения
линейное движение.
Для описания этого движения удобнее пользоваться
понятием вектора перемещения. Он несет в себе инфор­
мацию и о направлении движения, и о его равномерности
или неравномерности.
-
-
Равномернь1м прямолинейным
движением называется такое
движение, при котором тело
за любые равные промежутки
времени совершает одинаковые
пе�емешения.
Допустим, за один промежуток времени в 1 единицу
--+
(Лt = 1 ед.) тело проходит перемещение S 1 (рис. 2).
57
ФИЗИКА. Основы н МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
За следующий такой же интервал времени оно пере­
мещается на такой же вектор, но движение начинается
уже из новой точки и т. д.
Рис. 2
Поскольку за любые равные промежутки времени
перемещение одинаковое, значит, этот вектор всегда
направлен в одну сторону и имеет один и тот же модуль.
П оэтому работа с перемещением гарантирует одновре­
менно и равномерность за счет постоянства модуля
вектора, и прямолинейность за счет постоянства направ�
ления вектора 51.
Характеристикой РПД является скорость. Чем больше
перемещение совершается за один и тот же промежуток
времени, тем скорость больше. П оэтому скоростью РПД
называется физическая величина, равная отношению
вектора перемещения тела ко времени, за которое оно
произошло. Скорость обозначается буквой v. Она также
является вектором :
�
i.1-- � .
t
где v = const (постоянный вектор) .
С коростью РПД называется
физическая величина, равная
отношению вектора перемещения
тела ко времени, за которое оно
произошло.
;------..- · · · · · · ·
58
Р авномерное прямолине й ное движение
V� - .1 . 5�.
t
Величина t не может быть отрицательной или равной
нулю, поэтому 1/t > О. А значит, при РПД вектор скорости
и вектор перемещения в любой момент времени сона­
правлен ы :
v н s.
Чтобы решить основную задачу механики, необходи­
мо уметь найти вектор перемещения в любой момент
времени. Используя формулу определения скорости РПД,
это легко сделать:
�=�.
v t.
s
Такое же соотношение справедливо и для проекций
векторов на координатные оси:
Sx = Vx · t,
Sy = Vy . t.
Тогда координаты тела в любой момент времени равны:
x (t) = х0 + vx · t,
y(t) = Уо + Vy · t.
Это и есть ответ на вопрос, каким будет положение
тела в любой момент времени. Другими словами, таково
решение основной задачи механики для РПД.
Поскольку положение тела на плоскости задается
двумя координатами, приходится пользоваться обеими
формулами, что не очень удобно.
Однако эту совокупность двух соотношений можно
упростить. Для этого выберем такую систему координат,
чтобы вектор скорости v был направлен вдоль одной из
координатных осей. И еще в начальный момент тело на­
ходилось бы на одной из координатных осей, например х.
Для этого нужно повернуть ось х параллельно вектору
скорости и, смещая координатные оси, поместить тело
в его начальном положении на ось х (рис. 3).
59
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
х
н ач. положение
Рис. 3
При таком выборе системы координат у0 будет равен
нулю, проекция вектора скорости на ось у также будет
равна нулю, поскольку вектор скорости перпендикуля­
рен этой оси:
Уо = О,
Vy = О.
Тогда решение основной задачи механики можно за­
писать следующим образом:
x(t) = х0 + vx t,
y(t) = О + Ot.
Поскольку второе уравнение никакой информации
не несет, оно становится ненужным.
Рационально выбрав систему координат, мы получаем
упрощенный (однако абсолютно правил ьный) вариант
решения основной задачи механики для РПД:
x(t) = х0 + vx t.
Если vx положительно, тело будет двигаться вдоль оси.
Если же проекция скорости отрицательна, тело движется
против оси.
60
Р авномерное прямолине й ное движение
8 ГРА Ф ИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ РП Д
Для графического описания равномерного прямолиней­
ного движения используется график зависимости x (t)
график д вижения тела.
Рассмотрим пример РПД:
-
x (t) = 2 + 1 · t.
В этом примере начальная координата тела х0 = 2 м,
а проекция скорости vx = 1 � ·
Для построения графика можно использовать табли­
цу, в первой колонке которой будет показано время, во
второй - координата тела х.
t, с
о
2
3
4
- � -1
График, построенный по таблице, представляет собой
прямую (рис. 4).
Х, М
8
/
б
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
4
t, с
-2
-1
2
о
з
4
Рис. 4
61
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Точка пересечения прямой с осью х говорит о том, где
находилось тело в начальный момент времени, когда за
ним началось наблюдение. Это координата тела в началь­
ный момент времени х0 •
Если тело будет двигаться с другой скоростью - вид
графика также изменится (рис. 5).
х
vxz > Vx 1
Vхз < О
Vx4 = 0
>
t
Рис. 5
При увеличении скорости движения тела меняется
наклон графика. Так, если скорость тела была бы не 1 м/с,
а 2 м/с, то в течение секунды координата тела увеличива­
лась бы не на 1 м, а на 2 м - с 2 м до 4 м. А значит, график
имел бы больший наклон :
vxz > Vx 1·
Чем больше проекция скорости тела, тем более круто
проходит график движения.
График 3 соответствует случаю, когда проекция
скорости отрицательна, то есть тело движется в проти­
воположную по отношению к оси х сторону:
62
Р авномерное пря молинейное движение
vхз < О.
График может быть и таким (пунктирная прямая 4),
в этом случае:
Vx4 = 0.
Между прочим, это не обязательно означает, что тело
неподвижно. Оно может двигаться не вдоль оси х, а пер­
пендикулярно ей. Координата х у него при этом останется
той же, а меняться со временем будет координата у.
В случае одновременного движения двух тел графики
их движения могут пересекаться (рис. 6) .
о ._____....
�
_
_
_
_
_
_
t
Рис. 6
Это говорит о том, что тела встретились, и в этот
момент времени t.ст у тел были одинаковые значения
координаты Хвст· Моменту встречи соответствует точка
пересечения графиков движения. Отметим, что при этом
совсем не обязательно, чтобы движение было равномер­
ным и прямолинейным.
63
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Встречей называется со6ь1тие, при
котором в один и тот же момент
времени координаты теn становятся
одинаковыми.
------ · . . . . . .
Существует еще один способ графического оп исания
график скоро­
движения : графи к зависим ости vx (t)
ст и (рис. 7 ) . Для сравнения он п о казан п од графиком
движения.
-
Г р а ф и к движе н ия
>
t
Г р а ф и к скорости
t
Рис. 7
В случае 1 тело движется с более высокой скоростью,
чем в случае 2, поэтому график скорости проходит выше.
В случае 3, когда тело движется против оси х, график ско­
рости проходит ниже оси времени t.
64
Р авномерное прямолине й ное движение
Если речь идет о равномерном движении, график ско­
рости - это прямая, параллельная оси времени t.
По сравнению с графиком скорости график движения
несет в себе большую информацию, поскольку отобра­
жает начальное положение тела, а по наклону графика
можно найти проекцию скорости тела.
Но тем не менее проекцию перемещения можно найти
и из графика скорости. Сделать это можно так.
Проекция перемещения связана с проекцией скорости
формулой:
Sx (t) = vx · t.
Теперь присмотримся к графику скорости (рис. 8) .
площадь = vx · t = Sx
t
(t)
Рис. 8
За движение!VI тела велось наблюдение на протяжении
некоего времени t. Поскольку vx - график, идущий го­
ризонтально, фигура под графиком представляет собой
прямоугольник. Чтобы найти его площадь, достаточно
перемножить его стороны.
Таким образом, хотя график скорости не несет исчер­
пывающей информации о движении тела, он позволяет
определить проекцию его перемещения Sx. Другими сло­
вами, хотя из графика скорости нельзя определить, где
65
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
именно будет находиться тело, то есть какова его коор­
дината, с его помощью можно сказать, насколько тело
переместилось вдоль оси координат.
П роекция перемещения тела
численно равна площади под
rрафиком скорости тела.
!----- · · · · · · ·
Слова «численно равна» в данном случае имеют боль­
шое значение, поскольку площадь измеряется в м 2 и см 2 •
Если необходимо найти проекцию перемещения тела,
то высоту и основание прямоугольника на графике ско­
рости нельзя измерять линейкой. Для этого необходимо
использовать масштабы, отложенные по осям графика
скорости. А поскольку по горизонтали отложено время
в секундах, а по вертикали - проекция скорости в м/с,
при перемножении секунды сократятся, а метры оста­
нутся.
Р е ш е н и е з а д а ч на р а в н о м е р н о е
п р я м ол и н е й н о е д в и же н и е с м от р ите зде с ь :
66
Р авномерное прямолине й ное движение
В Ы ВОДЫ
Физика не может точно описать природу, но физики
придумы вают упрощения, которые называются моде­
лями. Модел и описы вают природу так, что неточность
описания существенно не влияет на конечный резул ь­
тат. И еще хорошие физики отлично знают, где граница
применимости той или иной модели .
На коротком промежутке времени л ю б о е движение
можно считать равномерным прямолинейным. Напри­
мер, если спросить велосипедиста, с какой скоростью он
едет, он ответит, что его скорость 20 км/ч. Но это не так.
На самом деле он все время чуть ускоряется или замед­
ляется, на него воздействует ветер, меняется наклон
дороги, сам велосипедист может устать или, наоборот,
поднажать. А от этого меняется скорость, пусть даже это
незаметно. Поэтому можно вполне считать, что движе­
ние, есл и нет каких-то серьезных внешних воздействий,
будет равномерным прямолинейным, то есть самым
простым для количественного описания.
Для описания РПД, в отличие от другого более слож­
ного д в ижения, нужна лишь одна величина - скорость.
Если вам известно, где находилось тело в начальный
момент времени, и известна его скорость, можно опре­
делить, где это тело будет находиться в любой другой
момент в ремени.
67
СРЕ Д НЯЯ СК О Р О СТЬ.
СРЕ Д НЯЯ П УТЕ В АЯ
С КО Р О СТЬ
Простого обывателя интересует, как правило,
конечный результат. А как он будет получен, для
него не так важно. И если мы по купаем билет на
поезд Одесса - Киев, нам не важно, что будет
происходить с поездом на пути его движения - на
каких станциях и сколько он будет стоять. Для
нас главное, чтобы он прибыл в нужное место
и в назначенное время. Чтобы охарактеризовать
э фф ективность поезда как транспортного средства,
можно поделить расстояние, которое он прошел, на
время, которое он потратил, не обращая внимания
на детали в расписании движения между начальным
и конечным пунктом. В результате мы получаем
одно-единственное число (или вектор), описывающее
движение в целом, - среднюю скорость.
п
редставьте ситуацию, что есть ули ца, на кото­
рой находится жилой дом (Д) . На этой же улице
находится лицей (Л) . Расстояние между домом
и л ицеем вдоль улицы
5 км. Параллельно этой улице
есть еще одна оживленная дорога, по которой ходят
маршрутные такси. Первая улица спокойная, но на ней
есть железнодорожны й переезд. Расстояние между
этим и ул ицами составляет 5 0 0 м, а между ними есть два
переулка. Брат и сестра одновременно вышли из дома
-
68
С редняя скорость. С редняя путевая скорость
и отправились в лицей. Сестра в ыбрала путь по переул­
ку и за 5 минут дошла до остановки маршрутного такси.
Но прежде чем уехать, ей пришлось подождать 10 минут.
До второй остановки она доехала за 1 0 м инут. Вышла
и за 5 минут дошла до л ицея, потратив на всю дорогу
3 0 минут (рис. 1) .
sоо
}
Хо
1 0 мин
мт 1
м и"
д
Sz c
SlC
-+
1 мт
�J
1 0 м ин
-+
sс общ
-+
51 6
1 5 мин
1 0 мин
s ми"
л
Рис. 1
Сестра:
t = 0,5 часа.
c
sc = slC + Sz c + Sз с .
--+
--+
--+
--+
Одновременно с сестрой из дома вышел брат. Сел на ве­
лосипед и поехал по спокойной улице. В течение 15 минут
он совершил перемещение до начала железнодорожных
путей, подождал на переезде 5 минут и преодолел оста­
ток пути за 10 минут.
Брат:
t6 = 0,5 часа.
69
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
В этом примере вектор результирующего перемеЩеНИЯ брата И сестры
Sо бщ ОДИНа КО В Ы Й - ОТ ДОМа ДО
-+
лицея.
При этом двигались они совершенно по-разному - по
разным траекториям, с разными скоростями, с останов­
ками и поворотами. Хотя потратили на путь одно и то
же время. Поэтому, если судить по конечному резуль­
тату ребята одновременно достигли лицея, со в ершив
одинако в ые перемещения, можно сказать, что скорость
у них одинаковая. Но это не просто скорость, а скорость,
которая характеризует движение в целом. В определении
этой скорости скрыты детали движения : было ли оно
равномерным прямолинейным или очень замыслова­
тым. Н ичего лишнего, только конечный результат.
Итак, разделив общее перемещение тела на общее
время его движения, можно получить характеристику
движения в целом, без какой-либо детал изации. Эта ха­
рактеристика носит название средняя скорость:
-+
vе р
sобщ
tо бщ
-+
- -- ·
-
Если речь идет о средней скорости, необходимо обя­
зательно указывать, где начинается и заканчивается
д в ижение, то есть задать участок траектории.
Средней скоростью на данном
участке Т f'аектории называется
физическая величи на, равная
отноwению перемещения тела на
этом участке ко времени, за которое
оно произоwло.
70
С редняя скорость. С редняя путевая скорость
Разные режим ы движения двух тел, но одинаковый
результат - одинаковое перемещен ие за одно и то же
время. Следовательно, средняя скорость одинаковая.
Модуль средней скорости в рассмотренном примере:
Vcp = 5 км
0' 5 ч
1 0 км .
ч
Вектор средней скорости :
км на восток.
Vcp = lО ч
--+
Указан и модуль вектора, и его направление.
8 СРЕДНЯЯ ПУТЕВАЯ СКОРОСТЬ
Очень часто рассматривается другая величина - не век­
торная, а скалярная, в которую не входит информация
о направлении движения. Например, перемещение поезда
происходит по криволинейной траектории, но известно,
что поезд прошел путь 500 км, затратив на это 10 часов.
При этом информация об остановках не имеет никакого
значения, важен конечный результат: путь 500 км прой­
ден за время 1 0 часов. В этом случае речь идет о средней
путевой скорост и.
Средняя путевая скорость:
Vс п =
Lо бщ
tо бщ '
где L06 щ - путь, пройденный телом на данном участ­
ке траектории; а t06 щ - время, за которое этот путь
пройден.
Путь и время - скалярные величины, а значит, сред­
няя путевая скорость - это тоже число, и направления
у нее нет.
71
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
В повседневной жизни приходится иметь дело именно
со средней путевой скоростью. В науке же часто фигури­
рует именно векторная средняя скорость.
Важно понимать, что средняя скорость всегда за­
дается на определенном участке траектории. Ведь
в зависимости от того, какой участок траектории выби­
рается, средняя скорость может быть разной.
t<
f<
500 км
300 км
",�
200 км
�
•
к
у
о
�
За 4 ч
За 3 ч
Рис. 2
Автомобильная дорога из Одессы в Киев. Расстоя­
ние - 500 км. В 300 км от Одессы находится город Умань.
Автомобиль ехал от Одессы до Умани так, что смог пре­
одолеть эти 300 км за 3 часа. В Умани в одитель получил
предупреждение о превышении скорости, и оставшиеся
200 км его автомобиль преодолел за 4 часа. Рассчитаем
средние путевые скорости на трех участках: Одесса Умань (ОУ), Умань - Киев (УК) и Одесса - Киев (ОК)
(рис. 2).
v
соу
v
v
сук
сок
72
=
=
-
300 км
3ч
2 0 0 км
4ч
=
=
1 0 0 км ,.
ч
50 км .
ч '
500 км ;::: 7 1 км
7ч
ч
С редняя скорость. С редняя путевая скорость
Мы видим, что на разных участках средние путевые
скорости оказались разными. Поэтому при расчете как
средней векторной, так и средней путевой скорости нуж­
но обязательно помнить, что эти величины привязаны
к определенному участку траектории.
Р е ш е н и е за да ч и н а гра ф и к и д в и же н и я
с м от р и т е тут :
. . . . . . .
.
.
В Ы ВОДЫ
Средняя путевая скорость - это скорость, которая чаще
всего интересует простых пассажиров. А вот средняя ско­
рость, выраженная через перемещение, то есть средняя
векторная скорость - величина, более содержательная
с точки зрения строгой науки, поскольку несет в себе
больше информации. Используется она в основном
в теоретической механике. И именно средняя векторная
скорость впоследствии приведет нас к важнейшему по­
нятию мгновенной скорости.
73
О ТН О СИТЕЛ ЬН О СТЬ
ДВ ИЖЕ Н И Я . ФО РМУЛ А
СЛ ОЖЕ Н И Я СК О Р О СТЕ Й
Одно и то же т ело может занимать разное положение
в зависимости от того, относительно какого
тела это положение рассматривается. Например,
в зависимости от того, что выбирается за тело
отсчета, его высота может быть положительной
или отрицательной. Но если положение тела
зависит от того, относительно какого тела оно
рассматривается, значит, и изменение положения
тела тоже будет различным в зависимости от того,
что выбрано за тело отсчета.
п
ростой пример: вы находитесь в по :зде, стоящем
на перроне, а в окно видите стоящии на соседнем
пути другой поезд. И вдруг замечаете, что сосед­
ний поезд начинает перемещаться относительно вас.
Наш поезд тронулся ! Поездка началась! Но почему тогда
стоящие на перроне столбы так и остались неподвиж­
ны? В этом случае вы просто двигались относительно
уезжающего поезда. Но относительно системы отсчета,
связанной с Землей, вы оставались неподвижны.
Или представьте себе еще один пример. Когда человек
едет на велосипеде, ниппель, находящийся на колесе,
движется относительно велосипедиста по окружности.
Но относительно дороги он будет двигаться уже по кри­
вой, называемой циклоида (рис. 1 ).
74
О тносительность движения. Формула сложения скоросте й
то ч ка на о б оде колеса
относительно дороги
о
то ч ка на о б оде колеса
•
�
._,! велосипедиста
окруж ность относител ьно
Рис. 1
Значит, форма траектории зависит от того, какая
система отсчета выбрана при изучении движения.
Скорость тела тоже зависит от выбора системы отсчета.
Перед нами задача: допустим, что нам известно, с ка­
кой скоростью движется тело в какой-то определенной
системе отсчета. Для простоты пусть это будет Земля.
Есть и другая система отсчета, которая движется относи­
тельно Земли. Характеристики движения этой системы
тоже известны. А именно, куда и с какой скоростью она
движется по отношению к Земле. М ы хотим найти ско­
рость движения тела относительно подвижной системы
отсчета. Или, наоборот, известна скорость подвижной
системы отсчета и известна скорость тела относительно
подвижной системы отсчета. А нам нужно определить
скорость тела относительно Земли.
Выведем формулу, которая связывает эти три ско­
рости. Для этого рассмотрим классический пример
одновременного движения нескольких тел (рис. 2).
События происходят на реке, течение которой на­
правлено вправо. Возле берега находится плот, который
плы вет по течению вместе с водой. На нем находится
75
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
те ч ение
"
s�б� .'б
, ,�
r sпе р
-+
,
1
6/ - -
...
•
•
•
•
"...
6
./'"
�
. .... . "
•
•
•
•
....
о
Рис. 2
наблюдатель, а к самому плоту причалена л одка. Рядом
с плотом на берегу находится рыбак, наблюдающий за
лодкой. В определенный момент лодка отчал ивает от
плота и дв ижется в направлении противоположного
берега.
Изобразим в екторы перемещения лодки в двух
системах отсчета - связанной с плотом и с берегом.
В начальный момент лодка находилась у самого плота,
а в конечный момент - в другом месте, удалившись от
плота на вектор, который мы назовем относительным
перемещением.
Sот н - относительное перемещение.
-+
В системе отсчета рыбака, связанной с берегом, эта
же лодка тоже переместилась. И поскольку движение
принято рассматривать относительно Земли, такое пере­
мещение можно называть абсолютным.
Sабс - абсолютное перемещение.
-+
За время движения плот, а вместе с ним и л одку пере­
несло течением реки. И пока двигалась лодка, плот тоже
перемещался. Перемещение плота (вместе с водой) - это
76
О тносительность движения . Формула сложения скоросте й
перемещение самой движущейся системы отсчета, каким
оно выглядит с берега, - переносное перемещение.
-+
Sпе р - переносное перемещение.
Эти три вектора перемещения образуют стороны
треугольника. Вспомни в уже известное нам правило
-+
треугольника, можно сказать, что вектор Sа бс является
-+
-+
суммой векторов Sот н и Sпе р :
-+
-+
-+
Sабс = Sотн + Sпер ·
-+
Если разделить вектор Sа бс на время движения,
которое отмечает находящийся на берегу рыбак по
своим часам, мы получ им скорость лодки относительно
неподвижной системы отсчета. Эта скорость называется
а бсолютной скоростью.
А вот движение относительно плота отсчитывалось
по часам наблюдателя, который все это время находился
на плоту. Будем считать, что время в любых системах от­
счета течет одинаково•, у двух наблюдателей - на берегу
и на плоту - прошли одинаковые отрезки времени t, и,
разделив на это время левую и правую части предыдуще­
го уравнения, получим:
-+
Sа бс
-+
-+
Sотн Sпе р
-- = -- + -- ·
t
t
t
Левая часть этого уравнения - это упомянутая выше
абсолютная скорость лодки. Первое слагаемое в правой
части - скорость лодки относительно наблюдателя,
находящегося на движущемся по течению плоту. Назовем
*
Э то ут вержд ение с п равед лив о только п ри д вижении со
скоростями, го раздо меньшими скорост и света в вакуу­
ме. В с п ециальн о й т е о рии от носи т ельност и Эйнш т ейна
до казывает ся уд иви т ельный ф акт : п ри д вижении с око­
лосвето выми ско р остями п р одо лжи т ельн ость явления
зависи т от того , с как ой скорост ью д виже т ся наблюд ат ель.
77
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
ее относительной скоростью. Второе слагаемое - это
скорость движения самого плота относительно наблю­
дателя, находящегося на берегу. Назовем эту скорость
переносной скоростью.
Введем обозначения :
�
Vабс - абсолютная скорость;
�
V0т н - относительная скорость;
�
,
Vп е р - переносная скорость.
Тогда можно з а писать:
�
�
Vабс = Vот н
�
+ Vп е р ·
Эта формула называется формулой сложения скоро­
стей. Но встретить можно также названия «Правило
сложения скоростей» или «Закон сложения скоростей».
Скорость теnа относитеn ьно
неподвижной системы отсчета равна
векторной сумме скорости теnа
относитеnьно движущейся системы
отсчета и скорости движущейся
системы отсчета относитеn ьно
неподвижной .
Рассмотрим пример использования формул ы сложе­
ния скоростей (рис. 3).
90 км /ч
60 к м/ч
Рис. З
78
О тносительность дви жения . Фо рмула сложения скоросте й
По прямой дороге движется грузовой автомобил ь.
Представьте, что вы водитель и находитесь в кабине это­
го грузовика, движущегося со скоростью 60 км/час. Вас
обогнал легковой автомобиль, движущийся со скоростью
9 0 км/ч.
Чтобы узнать скорость легкового автомобиля отно�
сительно скорости грузового, нео бходимо наити Vот н •
причем в виде вектора, поскольку нас интересует и вели­
чина скорости, и ее направление.
Показания спидометров легкового и грузового авто­
мобилей:
км
vл = 9 0 ч '.
км .
Vг - 60
ч
v
Чтобы правильно воспользоваться законом сложения
скоростей, прежде всего нужно понять, какая из этих двух
скоростей является перен о сной, а какая абсолютной.
Поскольку вы находитесь в грузовике, для вас это
скорость перемещения той системы отсчета, в которой на­
ходитесь именно вы, выполняя роль наблюдателя, а значит:
Поскольку спидометр измеряет скорость автомобиля
относительно дороги, которая является неподвижной
системой отсчета, значит:
�
�
Vл = Vа бс ·
Имея такую информацию, формулу сложения скоро­
стей можно переписать уже на языке нашей задачи :
Относительную скорость можно выразить из этой
формул ы по правилам алгебры :
79
Физикл. Основ ы и МЕХАН ИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Изменится л и вид этой формулы, если эти два тела
будут двигаться в другую сторону? Или, например,
одно - в одном направлени и, другое - в другом? Конеч­
но, нет! В данном случае векторная запись хороша тем,
что в любой координатн ой системе она будет выглядеть
одинаково. Она не зависит от того, куда направлены век­
торы скоростей, а значит, остается справедлив ой для всех
вариантов движения автомобиле й.
Рассмотрим два таких варианта:
Чтобы воспользоваться полученной векторной форму­
лой, нужно выбрать координатную ось и спроектировать
на нее это векторное выражение. Что это значит? Это
значит, что надо заменить знаки вектора в каждом слага­
емом на знаки проекции на координатную ось:
Данное соотношен ие по-прежне му не зависит от того,
в какую сторону движутся автомобил и, а потому приго­
дится в любой ситуации.
Поскольку скорость легкового автомобил я направле­
на вдоль оси х, проекция скорости равна модулю скорости.
И так как скорость грузовика тоже направлен а вдоль
оси х, формулу можно записать следующим образом:
Vо т н х
=
9Q
KM - 6 Q KM
ч
ч
=
З Q КМ .
ч
Получаетс я, что, сидя в грузовике, можно утверждать:
легковой автомоби ль движется со скоростью
30 км/ч;
D он движется в сторону оси х, поскольку проекция
относител ьной скорости положите льна. При этом
D
80
О тносительность движения. Формула сложения скоростей
в формуле нет никакой информации о том, где
находится легковой автомобиль. Относительная
скорость будет всегда одна и та же - и когда лег­
ковой автомобиль догоняет грузовик, и когда он
его обогнал. В любом из случаев он будет двигаться
относительно грузовика со скоростью 30 км/ч
в сторону оси х.
б) вgр ечное ,l!Вижение
ис. 4).
60 км /ч
90 км /ч
Рис. 4
Грузовик движется как и в первом случае, а легковой
автомобиль - ему навстречу. Скорости у них такие же 60 км/ч и 9 0 км/ч.
В этом случае, по-прежнему пользуясь формулой для
проекций скоростей, можно получить:
Vотнх = - 1 5 0
К� .
П олучается, что относительно грузовика легковой ав­
томобиль движется со скоростью 150 км/ч против оси х,
о чем свидетельствует знак «минус».
81
ФИЗИКА.
Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
.......
· .....-��-�----
выводы
Характер движения тела (направление движения, форма
траектории, скорость движения) не является, как говорят
физики, абсолютным. Он зависит от того, в какой системе
отсчета находится наблюдатель и как она движется. Если
известна скорость движения тела в одной системе отсче­
та, то по формуле сложения скоростей можно рассчитать
скорость движения тела в любой другой системе отсчета,
если известно, с какой скоростью эта другая система от­
счета движется относительно первой. Полученная нами
формула сложения скоростей справедлива лишь для
скоростей, гораздо меньших скорости света в вакууме
(3 00 ООО км/с) .
82
М ГН О В Е Н НАЯ СК О Р О СТЬ.
РА В Н ОУСКО Р Е Н НО Е
ДВ И ЖЕ Н И Е. УСКО РЕН И Е
В некоторых школьных учебниках мгн о венная
скорость определяется не совсем грамотно. Можно
прочитать, что мгновенная скорость - это скорость
тела в данное мгновение. А что такое скорость
тела в данное мгновение ? Получается, что величина
определяется сама через себя. Мы же рассмотрим
строгое определение мгновенной скорости, опираясь
на величины, определения которых были даны раньше.
в
ся механика, вп рочем, как и в ся физика, строится
по принципу наслаивания одного на другое. Точ­
но так же, как из простых деталей конструктора
«Лего» можно соорудить сложнейшие конструкции,
сложные понятия в физике строятся на осно в е более
простых. К м оменту, когда мы подошли к этой теме, мы
знаем только, что такое средняя скорость, а значит,
имеем пра в о пользо в аться этой в еличиной. Также мы
знаем, как измеряется в ремя. Теперь, исходя из этих
д в ух понятий - средней скорости и времени, мы можем
сконструиро в ать новую физическую в еличину, которая
назы в ается мгно в енной скоростью.
И для этого нам впер в ые предстоит использо в ать при­
ем, который лежит в осно в е одного из раздело в высшей
математики - дифференциального исчисления.
Ранее мы го в орили о том, что движение тела на всей
траектории в целом можно охарактеризо в ать одним83
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
единственным вектором - средней скоростью. Если раз­
бить траекторию на два участка (вспомните пример из
урока, посвященного средней скорости : Одесса - Умань
и Умань - Киев) и найти среднюю скорость на каждом
участке, у нас будет больше информации о том, как дви­
галось тело. Всю траекторию от Одессы до Киева можно
разбить на километровые участки, и тогда у нас будет
около пяти сотен значений средней скорости, а это уже
очень подробная, но все-таки не исчерпывающая инфор­
мация о движении.
Если необходимо охарактеризовать движение не на
каждом километре, а в каждой точке траектории, число
участков, на которое будет разбита траектория, придется
увеличивать до бесконечности. В этом случае мы придем
к такой величине, как мгновенная скорость, которая
содержит информацию о движении тела в каждой точке
траектории.
А
......
52 за t2
Рис. 1
Представьте, что тело двигалось по траектории, пока­
занной на рис. 1 .
Н а с интересует скорость е г о движения в момент
прохождения точки А. Во многих учебниках можно
прочитать, что мгновенной скоростью тела называется
скорость тела в данный момент времени. Но это будет
описанием, а никак не определением мгновенной ско84
Мгновенная скорость. Р авноускоренное движение. Ускорение
рости, поскольку понятие не может определяться само
через себя.
П ока мы знаем лишь, что такое средняя скорость и ско­
рость РПД. П оэтому сначала найдем среднюю скорость на
участке траектории, включающем интересующую точку,
--+
разделив перемещение на участке 51 на время прохождения этого участка t1 . Полученную среднюю векторную
--+
скорость на этом участке обозначим Vci · Затем возьмем
участок траектории, начало и конец которого ближе
--+
к точке А. Перемещение на этом участке 52 произойдет
за время t2 со средней скоростью V:: z . Так мы совершаем
переход:
--+
--+
S1 � Sz ,
ti > tz ,
--+
--+
S1 --+ Sz ·
--+
Vc1 = - � Vcz = tz
ti
Эти два вектора средней скорости одинаковыми
не будут, поскольку, как видно из рисунка, они даже
не параллельны. Продолжая приближать начало и конец
--+
вектора перемещения к точке А
S3 , получим следующее значение средней скорости :
-
--+
--+
--+
S1 � Sz � Sз,
ti > tz > tз,
--+
--+
--+
--+
S1 --+ Sz У--+ Sз ·
Vc1 =
� сз =
� Vcz =
tз
tz
ti
-
-
-
В конце концов, стягивая начало и конец вектора
перемещения к точке А, получаем крошечный вектор,
--+
обозначенный ЛS , пройденный за время Лt.
В ходе описанной процедуры значения средней
скорости от шага к шагу перестанут заметно меняться,
стремясь к определенному предельному значению. Это
предельное значение и называется мгновенной скоро­
стью в данной точке траектории .
85
ФИЗИКА. Основы н МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
�
�
�
�
S1 -+ S2 -+ Sз -+ ЛS ,
t1 > t2 > t3 > Лt,
�
V =
�
лs
-
Лt
при дt --> О
Это и есть строгое определение мгнове но й скорости
тела в точке А.
Мгновенной скоростью тела в данной
точке траектории называется
физич еская велич ина, равная
отноше нию малого перемещ ения тела
на участке траектории, включающем
.
:
зту точку, к промежутку времени, за
который оно произошло .
Перемещение считается малым, если дальнейшее его
уменьшение не приводит к заметному изменению полу­
ченного значения скорости.
Мгновенная скорость всегда направлена по касатель­
ной к траектории, какой бы сложной формы траектория
ни была (рис. 2).
Мгновенная скорость может меняться от одного
момента времени к другому как по величине, так и по
направлению.
Любопытно, что в английском языке у мгновенной
скорости есть два названия:
86
Мгновенная ско рость. Р авноускоренное движение. Ускорение
Рис. 2
Velocity обозначение вектора скорости v;
обозначение модуля скорости v.
S peed
-
-
8 РАВНОУСКОРЕННОЕ Д ВИЖЕНИЕ
Равноускоренным называется
такое движение тепа, при котором
за пю6ь1е равные промежутки
времени скорость тепа изменяется на
одинаковую векторную вепичину.
П р и м е р ы р а в н оус к о р е н н о г о д в и же н и я
с м от р ите зде с ь :
П р и равноускоренном движении мгновенная скорость
может как увеличиваться, так и уменьшаться по модулю
при сохранении направления, и даже менять свое направ­
ление.
87
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Как же меняется скорость тела со временем при рав­
ноускоренном движении (РУД)?
Пусть за промежуток времени дt скорость (речь
всегда теперь идет о мгновенной скорости) изменяется
на вектор дv. Обозначим скорость в начальный момент
--+
времени как v0. Тогда по прошествии п промежутков дt
--+
скорость v будет равна:
V = Vo + n · дv ,
--+
где п
-
--+
--+
количество интервалов дt.
Есл и прошло время, равное t секунд, получаем :
n=
t ·
дt
-
А значит:
Перепишем эту формулу, изменив порядок сомножител ей:
v
--+
--+
V = Vo + д t.
Дt
·
��
При РУД
будет векторной константой, которую
принято обозначать а (acceleration) . Эта величина харак­
теризует быстроту изменения скорости и называется
ускорением:
дv
а =-·
Лt
--+
Если движение равноускоренное, какой бы ни была
величина дt, данное отношение будет оставаться оди­
наковым. В случае, если движение не равноускоренное,
можно ввести понятие мгновенного ускорения, есл и
взять дt малым промежутком времени.
88
Мгновенная скорость. Равноускоренное движение. Ускорение
При РУД Лt можно брать каким угодно. Например, в ка­
честве Лt удобно взять все время движения - от момента
запуска секундомера до момента регистрации скорости.
Тогда изменение скорости будет р а вно разнице конеч­
ной скорости и начальной:
.....
.....
.....
Лv = v - vo.
В свою очередь Лt - это промежуток времени, в тече­
ние которого менялась скорость:
Лt = t - t0 •
Если предположить, что t0 = О (стрелка секундоме­
ра в момент начала отсчета времени стояла на нуле),
формула для определения ускорения будет выглядеть
следующим образом:
а=
.....
.....
V - Vo
t
Ускорением теnа при равноускоренном ;
движении назь1вается физическая
величина, равная отношению
изменения скорости теnа ко времени,
за которое оно произоwnо.
-------......
----------------- .
......
Единицы измерения ускорения в СИ:
м
[а] = -z ·
c
Теперь, если известна начальная скорость тела �
.....
u
и ускорение тела а , можно сказать, ка кои будет мгновенная скорость тела в любой момент времени:
.....
.....
.....
v - v0 = a t.
89
ФИЗИКА.
Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Часто данное выражение записывают так:
1 vCtJ = � + at, 1
где (t) означает «В любой момент временю>.
Эта формула называется закон изменения скорости
при РУД.
Такое же соотношение справедливо не только для
векторов, но и для их проекций на любые оси, например
на ось х (рис. 3).
--+
Vo
Рис. 3
Здесь Vox
это проекция начальной скорости; ах
проекция ускорения.
Обе проекции могут быть как положительными, так
и отрицательными.
Предположим, что Vox > О, а значит, тело движется
вдоль оси. Если ах > О, проекция скорости будет увеличи­
ваться : Vx i (тело разгоняется) .
Если же проекция ускорения отрицательная, ах < О,
проекция скорости будет уменьшаться : Vx ! (тело за­
медляется). Но в какой-то момент значение проекции
скорости станет равным нулю, после чего изменит знак.
Другими словами, тело замрет, после чего повернет
обратно. Так, например, ведет себя камень, брошенный
вертикально вверх.
Такой вид движения тоже я вляется равноускоренным,
но иногда его называют равнозамедленным, или равнопе­
ременным движением.
-
90
-
Мгновенная скорость. Равноускоренное движение. Ускорение
• ГРАФ ИК СКОРОСТИ РУД
ах з < о
t
то ч ка остановки
(то ч ка поворота)
Рис. 4
При РУД график скорости (график зависимости про­
екции скорости от времени) представляет собой прямую.
Чем больше наклон прямой, тем больше проекция уско­
рения (рис. 4) :
В случае с третьей прямой наклон графика отрица­
тельный, поскольку ахз < О.
В этом случае скорость с течением времени уменьша­
ется и в определенный момент станет равна нулю. Эта
точка на графике называется точкой остановки, или
точко й поворота.
Пунктиром обозначен случай, когда ах = О, что соответ­
ствует равномерному движению вдоль оси Ох.
Р е ш е н и е зада ч и дл я з а к р е пл е н и я
м ате р и а л а с м отр ите зде с ь :
��
-
91
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
8 ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ПРИ РАВНОУСКОРЕННОМ
ДВИЖЕНИ И
Чтобы получить решение основной задачи механики
для РУД, важно помнить сведения о равномерном пря­
молинейном движении. Проекция перемещения при РПД
равняется проекции скорости, умноженной на время
движения :
Sx = Vxt·
Найти проекцию перемещения можно с помощью гра­
фика скорости (рис. 5).
t
t
Рис. 5
Чтобы найти проекцию перемещения тела при РУД.
также можно опираться на график скорости.
Сначала рассмотрим не РУД, а произвольное движе­
ние, при котором скорость может меняться как угодно
(рис. 6).
Известно, что мгновенно изменить скорость тела
невозможно, для изменения скорости необходимо
некоторое время. Но если это время незначительно по
сравнению с полным временем движения, изменением
скорости тела можно пренебречь.
Возьмем маленький промежуток времени Лt, на про­
тяжении которого скорость можно считать практически
неизменной. А значит, можно считать, что на протяжении
92
Мгновенная скорость. Р авноускоренное движение. Ускорение
площадь столбца = дSх
.....__,
/f
элеме нтарн ое
п еремещен и е
t
дt
t
площадь = Sx
Рис. 6
интервала д t движение было равномерным с той мгно­
венной скоростью Vx, которая соответствует середине
интервала д t.
Тогда легко найти элементарное перемещение дSх перемещение тела за очень короткий промежуток
времени д t. Оно численно равно площади прямоугольно­
го столбика шириной д t и высотой Vx·
Взяв другой аналогичный промежуток времени д t,
можно снова найти элементарное перемещение. График
скорости при этом будет разбит на узкие столбцы, запол­
няющие всю площадь под графиком скорости. Площадь
каждого столбца численно равна перемещению за не­
большой промежуток времени. А чтобы найти проекцию
перемещения за все время Sx, достаточно сложить площа­
ди всех столбцов. Этот метод вычисления перемещений
подходит для любого движения.
93
Физ и кл.
Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Дnя л юбого вида движения
площадь под графиком скорости
движения численно равна проекции
перемещения тела.
Теперь, пользуясь описанным графическим методом,
найдем проекцию перемещения тела для вполне опреде­
ленного вида движения - равноускоренного.
П р и м е р ч а ст н о г о слу ч а я Р УД с м отрите
зде с ь :
П р и РУД проекция перемещения тела за время t вы­
глядит следующим образом:
где Vox
проекция начальной скорости;
ах
проекция ускорения;
t
время движения, которое отсчитывается от мо­
мента, когда проекция скорости была Vox·
Полученную формулу можно использовать для по­
лучения решения основной задачи механики в случае
РУД. Для любого движения координата в любой момент
времени равняется сумме начальной координаты х0
и проекции перемещения Sx(t) к этому моменту времени:
-
-
-
x(t) = Хо + Sx(t) .
И поскольку проекция перемещения для РУД нам уже
известна, можно записать:
94
Мгновенная скорость. Р авноускоренное дви жение. Уско рение
ах t2
x(t) = Хо + Voxt + __ .
2
Данная формула является решением основной задачи
механики для равноускоренного движения.
Итак, чтобы описать равноускоренное движение тела
вдоль оси х, необходимо знать три величины: начальную
координату тела х0, проекцию его начальной скорости
Vox и проекцию ускорения ах. И в зависимости от того,
каковы эти три величины, движение может быть самым
разнообразным .
.......
· -----
выводы
Точно измерить мгновенную скорость невозможно,
поскольку любое измерение скорости требует времени.
Поэтому все приборы для измерения скорости немного
инерционны. На самом деле спидометр не измеряет
мгновенную скорость, он измеряет среднюю скорость за
время своей реакции. Но если прибор достаточно совер­
шенный и это время маленькое, то действительно можно
говорить о мгновенной скорости.
М гновен ная скорость подходит для описания л ю ­
бого неравномерного движения. Н о с а м о е простое
неравномерное движение - это когда мгновен ная ско­
рость оди наково меняется за одинако в ы е промежутки
времени. Такое движение м ы называем равноускорен­
н ы м, и это следующий по сложности в ид движения.
Для его описания нужна еще одна характеристика ускорение.
95
СРЕД НЯЯ СК О Р О СТЬ П Р И
РА В Н О УС К О Р Е Н Н О М
ДВ ИЖЕ Н И И
Когда мы говорим о средней скорости, все, что мы
можем сделать, если не знаем, как движется тело, это поделить перемещение на время. А если движение
равноускоренное, то оказывается, можно вычислить
среднюю скорость по очень простой формуле, если
известны начальная и конечная скорости тела. К тому
же эта простая формула для вычисления средней
скорости используется как мощный инструмент для
решения задач, вплоть до задач олимпиадного уровня.
р
авноускоренное движение не является равномер­
ным. Поэтому, как любое неравномерн� е движение,
его можно охарактеризовать среднеи скоростью,
которая представляет собой характеристику движения
в целом.
Пусть некоторый участок траектории пройден телом
в течение времени t. А перемещение, которое при этом
�
совершило тело, равно S . Тогда:
�
�
s
vcp = т ·
Эта формула работает в любом случае, в том числе
и при РУД. Мы уже научились вычислять проекцию пере­
мещения Sx для этого вида движения:
а t2
Sx = voxt +
·
т
Тело может двигаться равноускоренно в любом на­
правлении, не обязательно вдоль оси х. Движение может
96
С редняя ско рость при равноуско ренном движени и
происходить как в плоскости, так и в трехмерном про­
странстве. Поэтому такую же формулу можно записать и
для проекции перемещения тела на любую координат­
ную ось, напри мер, на ось у:
а t2
Sy = v0y t +
·
�
Если речь идет о пространственном движении,
форму­ лу можно записать следующим образом:
а t2
Sz = Voz t + -t- ·
Здесь v0x, v0y и Voz
проекции начальной скорости на
оси х,у и z , соответственно, ах, ау и 02 проекции вектора
ускорения на эти координатные оси.
-
-
Такую же формулу можно записать и для вектора пе­
ремещения,
поскольку
мы
знаем,
что
какие
связывают
векторы,
такие
же
соотношения
соотношения связывают и проекции векторов на
координатные оси. Таким обра­зом, вектор перемещения
тела при РУД равен:
at2
�
S = v0t + -·
2
�
В случае, если необходимо найти среднюю скорость,
которой обладает тело, двигаясь на протяжении вре­
мени t, можно подставить это перемещение в формулу
средней скорости :
a2
�
Vot + -t- �
at
�
2 =
Vcp = ----=Vo + -- .
t
2
�
�
�
�
�
Вспомним, что v = v0
+ а t. Из этого следует, что произведение вектора ускорения на время движения равно
разности конечной скорости и начальной скорости:
at = v
�
-
vo.
97
ФИЗИКА.
Осн овы и
МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Используя это произведение, получаем:
Окончательно средняя скорость при РУД равна:
-+
-+
V + Vo
Vcp =
2
-+
При РУД средняя скорость теnа
равна среднему арифметическому
начальной и конечной скорости.
------ · . . . . .
.
Теперь, когда найдено выражение для средней скоро­
сти, вектор перемещения тела можно найти еще одним
способом :
-+
-+
S = Vcpt.
Запомните эту формулу. Порой именно она помогает
решить задачу самым коротким путем :
-+
-+
V + Vo
S = -- · t.
2
-+
Обычно при решении задач используются формулы
не для векторов, а для их проекций на координатную ось:
Vx + Vox
Vcpx = ---2
Sx =
98
Vx + Vox
. t.
2
С редняя скорость при равноускоренном движении
Vx
)'
V c px
•
--------------------•
•
Vox
о
t
2
t
Рис. 1
А теперь установим важный, но не слишком известный
факт, знание которого порой позволяет решить сложную
задачу на РУД в несколько строк, а иногда и устно. Для
этого построим график скорости для РУД и укажем на нем
среднюю скорость (рис. 1).
На этом графике:
t - время движения; Vox - начальная скорость тела;
Vx - конечная скорость; Vc px - средняя скорость.
Как видно из графика, первую половину времени
движения мгновенная скорость меньше средней, а вто­
рую половину времени - больше средней (может быть
и наоборот, есл и проекция ускорения тела отрицатель­
на) . Но в некоторый момент времени, а именно в момент
времени
мгновенная скорость тела и его средняя ско­
рость оказываются одинаковыми!
f·
. . . . . . ..
При РУД мrновенная скорость
совпадает со средней nосереАине
02еменноrо и нтервала, на котором
рассматривается движение тела.
�-------,!-- · . . . . . .
99
ФИЗИКА.
Осно вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
З ада ч и для з а к р е пл е н и я м а т е р и а л а
с м от р ите зде с ь :
• С вя з ь ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ТЕЛА с Е ГО НАЧАЛЬНОЙ
И КОНЕЧНОЙ СКОРОСТЬЮ ПРИ РУД
Для нахождения проекции перемещения тела мы уже
знаем две формулы. Первая :
Чтобы найти проекцию перемещения, необходимо
знать начальную скорость Vою проекцию ускорения
тела ах и время движения t.
Вторая :
Sх =
Vx + Vox
2
t.
.
В этом случае, чтобы найти проекцию перемещения,
нужно знать начальную скорость v0x, конечную скорость
Vx и время движения t.
В обе формулы входит время движения тела. А что,
если нам необходимо найти проекцию перемещения,
а время движения в условии задачи не фигурирует? Что­
бы найти ответ на этот вопрос, достаточно вспомнить,
как связаны между собой начальная и конечная скорость,
ускорение и время :
1 00
С редняя скорость при равноускоренном движении
Из этой формулы можно выразить время : axt = Vx - v0XI
откуда:
Теперь эту формулу можно подставить во вторую фор­
мулу для проекции перемещения:
Sx =
Vx + Vox . Vx - Vox = ( vx + Vox) ( vx - Vox)
2
ах
Из математики нам известно, что:
2ах
а 2 - Ь2 = ( а + Ь ) (а - Ь ) .
В нашей формуле вместо а и Ь выступают Vx и Vox·
А значит, можно записать:
В этом случае, чтобы найти проекцию перемещения,
нужно знать Vox• Vx и ах, а знания времени движения
не требуется.
Этих трех главных формул достаточно для решения
практически любых задач по вычислению проекции
перемещения или пути при равноускоренном движении
тела .
Р е ш е н и я зада ч дл я з а к р е п л е н и я м а т е р и а л а
с м отр ите зде с ь :
1 01
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
В Ы ВОДЫ
Для чего же важно знать о средней скорости при РУД?
Все просто. Для того чтобы быстро решить сложную
задачу. Это прекрасный инструмент для рационального
решения задач. Зная свойства средней скорости, что она,
во-первых, равна среднему арифметическому начальной
и конечной, а во-вторых, совпадает с мгновенной в се­
редине интервала движения (то есть половину времени
мгновенная скорость меньше средней, половину - боль­
ше), можно решать некоторые задачи очень быстро.
Таким образом мы формируем своеобразную «ко­
робочку» с набором инструментов для решения задач.
Чтобы вычислить перемещение тела, необходимо знать
определенные характеристики движения: начальную
скорость, конечную скорость, время движения и уско­
рение. Но оказывается, что достаточно трех возможных
комбинаций: начальной скорости, времени и ускорения;
начальной скорости, конечной скорости и времени;
начальной скорости, конечной скорости и ускорения.
В результате мы получаем три формулы для одной и той
же величины. А значит, у нас формируется инструмен­
тарий, который я в шутку называю «Три священные
формулы для проекции перемещения».
Зная эти три формулы и закон изменения скорости,
вы получаете полный набор инструментов для решения
любых задач на РУД.
1 02
С В О & О Д Н О Е П АД Е Н И Е.
УСК О РЕ Н И Е С В О &ОД Н О Г О
П АД Е Н ИЯ
Все космонавты, все космические корабли (если
выключить двигатели}, все искусственные спутники
Земли и даже Луна находятся в состоянии свободного
падения. Почему они не обрушиваются на Землю, мы
разберемся позже, но основные законы свободного
падения мы начинаем изучать именно сейчас.
к
инематика описывает движение, не интересуясь
причинами, по которым это движение происхо­
дит. Кинематика - это математический аппарат
механики. В случае с изучением свободного падения от
последовательного изложения приходится отступать,
поскольку свободное падение - это реальное движение,
имеющее свою причину.
Представьте, что вы держите в руках какой-то пред­
мет. Если его отпустить, предмет начнет двигаться.
А значит, что-то стало причиной изменения его скорости.
Этим «что-то» является взаимодействие с Землей, из-за
чего скорость с течением времени меняется. То есть воз­
никает ускорение.
Со времен Аристотеля люди интересовались в опро­
сом: одинаково ли будут двигаться легкие и тяжелые
тела? Бытовало мнение, что легкие тела падают медлен­
но, а тяжелые - быстро. Если для примера взять легкий
и тяжелый предмет и отпустить их одновременно, можно
1 03
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
заметить, что легкое тело действительно отстанет от тя­
желого. Так повседневный опыт породил общенародное
заблуждение, державшееся на протяжении столетий.
Почему же легкое тело падает медленнее, а тяжелое быстрее? Оказывается, здесь имеет значение влияние
воздуха, которое замедляет падение. Если бы не воздух,
все тела под действием притяжения земного шара пада­
ли бы с одинаковым ускорением.
Чтобы влияние воздуха на тело было как можно
меньше, тело должно иметь маленькие размеры и быть
как можно тяжелее. А малые размеры при большой массе
можно получить, взяв вещество с большой плотностью.
Например, свинец, который взял для своего эксперимента
Галилео Галилей, когда одновременно сбрасывал с П изан­
ской башни свинцовую мушкетную пулю и чугунное ядро.
Оказалось, что и ядро, и пуля достигли земли практически
одновременно. А значит, независимо от массы, все тела па­
дают с одинаковым ускорением, если на них не действует
ничего, кроме силы земного притяжения.
. . . . . . ..
Движение тела под действием
только сипы тяжести называется
свободным падением.
Именно Галилей впервые экспериментально проде­
монстрировал, что, независимо от массы, тела падают
одинаково (рис. 1) .
Если же этого не происходит, виной всему сопротив­
ление воздуха. Но кроме самого эксперимента, Галилей
придумал доказательство, которое демонстрирует, что
тела, независимо от массы, должны падать одинаково.
1 04
С вободное падение. Ускорение свободного падения
о
с
,
"..
•
'
, ...
... ,
"
,
"
•
f
... . "
"..
,
"
•
:
llllllllll/1///
•
'
, ...
,
"
Рис. 1
Представьте, что есть большое тело. Если его отпу­
стить, тело за время t пройдет расстояние 51 (рис. 2.1).
Предположим, что движение тела будет тем более
быстрым, чем больше его масса.
Тогда возьмем такое же тело, разрежем его на две по­
ловины и в итоге получим две приложенные друг к другу
более легкие половинки тела (рис. 2.2).
б олее легкие тела
за t
," · ·
:
:» · · , ,
•
•
•
•
'
.
.
.
',
,
,
".". ..
Рис. 2.1
•'
:
,
, . . . "' • • ,
•
•
'
'
.
"
.
.
.
"
"" . . .
•"
.
,
,
,
Рис. 2.2
1 05
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Получается, что составное тело должно падать мед­
леннее, чем такое же сплошное тело, то есть 52 < 51 .
Другими словами, два одинаковых тела должны
падать с разной скоростью, есл и одно из них внутри раз­
резано. Данное противоречие привело Галилея к выводу:
Ускорение, с которым движутся
свободно падающие тела, не зависит
от их массь1.
Это ускорение называется ускорением свободного па­
дения и обозначается буквой g. Как и любое ускорение,
это векторная величина. Поэтому, чтобы его полностью
охарактеризовать, нужно указать модуль этого вектора
и его направление.
Вектор ускорения свободного падения направлен вер­
тикально вниз, то есть вдоль нити, на которой подвешен
груз (отвеса) .
Модуль ускорения свободного падения зависит от
географической широты местности. Это связано с вра­
щением земного шара. Кроме того, оно уменьшается
с высотой. Принято считать, что у поверхности Земли:
м
g = 9, 8 2 .
с
Для удобства вычислений при решении задач (есл и не
м
будет оговорено отдельно) мы будем брать g ::: 1 0 2 ·
с
Чтобы измерить ускорение свободного падения, необходимо бросить тело и следить за его движением. Правда,
точность, с которой будет получен результат, окажется
невысокой•.
*
С о чень высокой то чн остью уск орение свобод н о г о п ад ения
м ожн о измери т ь, изучая колебания мая т ника.
1 06
С вободное падение. Ускорение свободного падения
Исаак Ньютон придумал остроумный эксперимент,
подтвердивший справедливость выводов Галилея. Он взял
трубку; запаянную с одной стороны и снабженную краном со
шлангом для откачки воздуха - с другой. Откачав насосом
воздух из трубки, Ньютон мог наблюдать, как в безвоздуш­
ном пространстве внутри трубки и легкое птичье перышко,
и свинцовая дробинка падают совершенно одинаково.
Де м о н ст р а ц и ю о п ыта, п р идум а н н о го
И с а а к о м Н ь юто н о м , с м от р ите зде с ь :
Итак, воздух является помехой для движения легких
тел. На движение массивных тел он практически не влияет
на небольших участках пути.
Поскольку свободное падение представляет собой
разновидность равноускоренного движения, то все фор­
мулы, которые были получены при изучении РУД, можно
использовать для решения задач на свободное падение.
В качестве примера рассмотрим задачу.
Стрела, выпущенная из лука вертикально вверх, упала
на землю через 6 секунд. Необходимо найти начальную ско­
рость стрелы и максимальную высоту ее подъема (рис. 3).
х
о
v· = О
(
д
�с ,_
: \
'
'
'
'
'
'
:
''
'
''
'
'
'
'
за t
h=?
/
Рис. 3
1 07
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
t= 6 с
Vo - ?
h-?
Итак, есл и считать, что движение стрелы - это сво­
бодное падение, то ускорение стрелы направлено вниз и
�
равняется g .
Скорость в наивысшей точке траектории v· = О.
Прежде чем использовать формулы, в которые будут
входить проекции векторов на координатные оси, необ­
ходимо выбрать сами оси и начало координат.
В данной задаче движение происходит вдоль прямой,
поэтому достаточно одной координатной оси. Направим
ее вверх, а начало координат х = О разместим на поверх­
ности земли.
В данной задаче средняя скорость стрелы за все время
движения равна нул ю, так как откуда она вылетела туда же и вернулась. То есть перемещение стрелы за все
время движения равно нулю.
В наивысшей точке траектории мгновенная скорость
'
v = О, то есть совпадает со средней. Но мы знаем, что при
РУД средняя скорость достигается на середине времени
движения, поэтому:
•
t =
t
2
=
3
с.
Решить задачу можно несколькими способами, напри­
мер, используя такую формулу:
Vx(t) = Vox + axt.
Следовательно, в нашем случае:
Vox = v0 (начальная скорость направлена вдоль оси х) ;
1 08
С вободное падение. Ускорение свободного падения
ах = -g (ускорение свободного падения направлено
против оси х).
Тогда
O = vo - g .! .
2 '
1
Vo
"9
�
1
Это первая рабочая формула.
Чтобы найти высоту, на которую поднимется стрела,
для РУД можно использовать такую формулу:
а t2
·
Sx = Voxt +
-t-
Или такую:
Sх -
2
Vx2 - Vox
2 ах
Вторая формула для решения задачи подходит на­
много луч ше, так как в нее не входит время. А значит,
поскольку:
Sx = h ; Ух = О; Vox = Vo; ах = -g, можно записать :
- vб
h =-·
- 2g
Отсюда получаем вторую рабочую формулу:
Найдем числовое значение ответа:
.
м
vО = 10 м 6 с = 30 С '.
C2 . z
2 z z
h = 3 0 м . c = 45 м.
2 10 м с 2
·
·
1 09
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Чтобы решать задачи на свободное падение, необ­
ходимо помнить всю кинематику РУД. Если тело, держа
в руках, отпустить - произойдет свободное падение. Это
очевидно. Если же тело подбросить, его движение также
будет являться свободны м падением по определению.
Это уже не столь очевидно, но тем не мене е это так. Ведь
в этом случае движение также сов е ршается под действи­
ем только притяжения Земли. Совершенно не важно,
каким образом тело было приведено в движение. Важно
то, что, кроме Земли, на него ничего не действует. Вот
почему у свободного падения существует очень много
вариантов.
Р е ш е н и е з а д а ч н а с во б о д н о е п а де н и е
с м от р и те здес ь :
.......
·
---------
В Ы ВОДЫ
Наконец-то сухая теория начала применяться на практи­
ке. И то, что мы долго рассматривали и анализировали,
стало нашим инструментарием. Ведь оказы вается, что
свободное падение - это равноускоренное движение.
Но чтобы это падение было действительно свободным,
движению не должен мешать воздух. Это как раз и дока­
зывают опыты Галилея и Ньютона.
11о
ДВ ИЖЕ Н И Е ТЕЛА,
&РО Ш Е Н Н О Г О П ОД УГЛ ОМ
К Г О РИ З О НТУ
Изучение этой темы позволит нам показать всю
мощь аппарата, описывающего РУД. Ведь теперь
мы переходим от движения вдоль линии к движению
в пространстве. Условия задачи достаточно просты:
тело брошено с известной скоростью под известным
углом к горизонту. Зная эти условия, можно ответить
на множество вопросов: как долго летает тело,
как высоко оно поднимется, на какое расстояние
улетит и какую форму будет иметь траектория.
Вся эта информация заложена в уже известных нам
ф ормулах, выведенных для РУД. Но теперь мы научимся
применять их в трехмерном пространстве.
в
спомним, что в ситуации, когда тело отпущено из
состо я ния покоя, мы можем наблюдать свободное
падение по прямой. Если тело бросают вертикально
вверх или вниз, его начальная скорость направлена про­
тив или вдоль ускорения. А если ускорение и начальная
скорость лежат на одной прямой, такое движение также
будет прямолинейным.
Существует гораздо более интересный случай, когда
начальная скорость тела направлена под произвольным
углом к горизонту. Н о поскольку это движение по-преж-+
-+
нему равноускоренное, причем известно, что а = g , то
можно сразу записать, по какому закону меняется со
временем перемещение тела:
111
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
-+
g t2 ·
50 = v0t + 2
-+
-+
Это является фактически основным решением задачи
механики, если известно начальное положение тела.
В нем сказано все о движении тела, брошенного под
любым углом к горизонту, - вверх, вниз, горизонтально.
Главное, чтобы была известна его начальная скорость
и начальная координата.
Приступим к окончательной постановке задачи.
Итак, дано значение начальной скорости тела. На­
чальная скорость - вектор. Определяется она модулем
и направлением. Направление можно задавать углом по
отношению к горизонту.
Введем такие обозначения: модуль v0 и угол а - угол
с горизонтом.
Требуется узнать:
1) Время полета тела tп.
2) Максимальную высоту подъема тела h .
3) Дальность полета L .
4) Уравнение траектории движения телау(х).
Прежде чем говорить о траектории, необходимо вы­
брать координатные оси. Удобнее всего поместить начало
координат в начальном положении тела (рис. 1).
0 (0:
(
v0 cosa
112
'У
)
_____
L-?
х
Рис. 1
Движение тела , б рошенного под углом к горизонту
Когда выбраны координатные оси, можно записать
векторные выражения для проекций на оси х и у.
П ро ек ци и
П ро е к ци и
н а ос ь х
н а ос ь у
З а кон из менения проекции с корости:
На данном эта пе эти выражения подходят для л юбого
свободного п адения. Нигде не ук аз ано, что тело брошено под
ка ким-то углом к горизонту с ка кой -то с коростью
.
Пока ч то это универсальные выражения
.
Дл я н а ш е й ко н кретно й зада ч и
Хо = 0
Уо = О
Vox = Vo · cos а
v0y = v0 · sin а
вх = о
By = -g
t--�
Те перь достато но подставить зна ения
ч
ч
в за п исанные выше формулы:
= v0 ·
-
с��( 1�
--
Те перь переходим к с корости:
--··
Vx( t) = Vo · cos
··-·-----
g t2
y(t) = v0 • sin а · t - 2 (2)
--·-
а (3)
- -----·············---·---·--
I-
-- ·---
----
--
--·-··----··-·-·--
vy (t) = Vo · sin а - gt (4)
---··- ·
.
.
--·--
Мы указали положение тела, брошенного под углом
к горизонту с известной начальной скоростью и под
113
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
известным углом в любой момент времени. Это - реше­
ние основной задачи механики для тела, брошенного под
углом к горизонту. И в качестве бонуса у нас есть закон
изменения проекции скорости.
Этих четырех выражений достаточно для того, чтобы
рассказать о движении все подробности. В том числе
ответить на четыре вопроса, которые были поставлены
в начале.
Посмотрим на движение вдоль оси х, где х( t) = v0 · cos а · t.
Скорость вдоль оси х постоянна, а значит, тело в ходе сво­
его движения вдоль оси х движется равномерно.
По вертикали можем наблюдать равноускоренное дви­
жение с ускорением g, направленным вниз, и начальной
скоростью, направленной вверх. А значит, по вертикали
тело движется так, если бы его просто бросили верти­
кально вверх.
Представьте ситуацию: вы бросаете некое тело в сто­
рону так, что его горизонтальная составляющая скорости
Vx равняется, например, 5 м/с. Рядом едет велосипедист
тоже со скоростью 5 м/с. В этом случае он увидит, что
тело подимается и опускается, потому что вертикальная
составляющая относительной скорости меняется, а гори­
зонтальная равняется нулю. Наблюдатель, находящийся
на земле, видит то же самое, но немного иначе: для него
это движение - подъем с одновременным перемещени­
ем по горизонтали с последующим снижением.
М ы видим, что такое сл ожное движение, как
движение тела, брошенного под углом к горизонту,
можно разложить на два очень простых незав исимых
движения : горизонтал ьно тело дв ижется равномерно
и одновременно п о верти кал и, как тело, брошенное
вверх. Это проявление принципа независимост и движе­
н и й, одного из мощнейших прин ципов, используемых
в физике.
1 14
Движение тела, б рошенного под углом к горизонту
• О ТВЕТЫ НА ПОСТАВЛЕННЫЕ ВОПРОСЫ
Имея всю необходимую информацию, можно последова­
тельно ответить на поставленные вопросы.
Время полета tп
В момент, когда время полета истекло, тело касается
земли. На языке наших обозначений это значит, что коор­
дината у = О . То есть
у(tп) = О .
Зная, как меняется у с течением времени, можно соста­
вить уравнение, используя формулу (2) :
.
в tп 2 о
v0 s ш а tп -- = .
2
-
Но у этого уравнения два корня t" ' один из которых,
очевидно, нулевой и соответствует моменту бросания.
Поэтому будем считать, что tп > О. В этом случае получаем
следующее выражение:
Vo sin
�
�
п
а В = О;
-
В п = v0 sin а.
Отсюда можно выразить время полета:
tп =
2 v0 sin а .
в
Результат говорит, что время полета зависит от того,
с какой скоростью брошено тело и под каким углом.
Осо бенност и:
Время полета прямо пропорционально начальной
скорости tп v0 • Это значит, что, если вы бросили камень
-
115
ФИЗИКА. Основы н МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
не со скоростью 1 0 м/с, а со скоростью 2 0 м/с (под одним
и тем же углом), он будет находиться в полете в два раза
дольше. Во сколько раз увеличивается скорость броса­
ния - во столько раз увеличивается время полета.
Еще одна особенность заключается в том, что время
полета максимально при а = 90°, то есть при бросании
вертикально вверх.
М аксимальная высота h
В момент достижения телом максимальной высоты про­
екция его скорости на ось у равна нулю. При у = h; Vy = О .
Тогда из уравнения (4) получаем:
О = v0 sin a - gt1 ,
где t1
-
время достижения наибольшей высоты.
v0 sin a
g
Это время нужно для того, чтобы найти максимальную
высоту. Обратите внимание, что ровно половину времени
тело набирает высоту и ровно столько же времени уходит
на его снижение.
Для того чтобы найти h, запишем:
h = y (t1) .
И з формулы (2) получаем результат:
v0 sina g v2 sin 2 a
g
.
h = v0 s ш a · t1 - -z · t12 = v0 s ш a ·
=
- -z · 0 2
9
9
2 sin 2 a
v2 sin 2 a - �
v0..,,,.
...= о
2g
2g
g
•
-
Окончательно для максимальной в ысоты можно за­
писать:
v2 sin 2 a
h = �o
2g
_
_
_
116
Движение те11 а, б рошенного под уг11 ом к горизонту
Особенности:
Если мы удвоим начальную скорость, тело будет лететь
в два раза дольше, а поднимется в четыре раза выше.
Вторая особенность заключается в том, что чем больше
будет sin а, тем больше будет высота полета. Но синус
не может превышать единицу, а значит:
h = тах при а = 9 0° .
К этому же результату можно прийти и без сложных
расчетов. Представьте, что в ы бросили камень под углом
45°. Его скорость можно разложить на вертикал ьную
и горизонтальную составляющие, а их векторная сум­
ма даст скорость бросания. Есл и п оворачивать вектор
скорости, увел ичивая угол а, вертикальная проекция
скорости будет расти, а горизонтальная - уменьшаться.
И когда вектор скорости будет направлен вертикально
вверх, вся его скорость будет состоять из вертикальной
составляющей. Горизонтальная составляющая будет
равна нул ю, а вертикальная проекция в начальный мо­
мент будет равна v0. Это значит, что, если вы бросаете
тело вертикально вверх, вся его скорость - это скорость
вертикал ьного движения, поэтому в ысота подъема мак­
симальна.
Дальность полета L
Дальность полета представляет собой координату тела х
в тот момент времени, когда на часах tп:
Поскольку м ы знаем время полета и закон изменения
координаты х, из формулы (1) следует:
2 v0 sin a
L = v0 cos a · tп = v0 cos a ·
9
Отсюда получаем формулу для дальности полета:
1 17
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
. . . . . . . . . . . . .
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
. а cos a . :
v02 2 s ш
L=
g
�
.
•
.
. . . . . . . . .
·
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Эту формулу можно записать еще проще, помня из
математики, что 2sina · cosa = sin2a.
Отсюда получаем формулу дальности полета:
v 2 sш 2 а
L= 0
g
•
•
Осо бенност и:
а) Дальность полета пропорциональна квадрату на­
чальной скорости L vl ;
б) L = тах при а = 45°.
Если угол будет равен 50°, дальность полета будет
меньше. И если мы затронули углы, отличные от 45°, важ­
но установить один факт.
Допустим, что а равен какой-то величине. И второй
раз мы бросили тело под другим углом � = 90° - а.
Воспользуемся формулой:
-
' v� · 2sin � cos � v� · 2sin(90° - а) · cos(9 0° - а)
L =
=
=
g
g
v� 2 cosa · sina
= L.
=
g
·
·
Получается, что новая дальность будет такой же, как
и старая.
Есл и мы бросаем тело под углом 30°, оно будет лететь
на такое же расстояние, как если мы бросим его под углом
60°.
Уравнение трае ктории у(х)
Из формулы (1) имеем:
118
Движение тела , брошенно го под углом к горизонту
t = --­
х
Vo C OSa
Теперь подставляем это время в выражение (2) :
.
В ·
х
х2
·
y = vо s ш а · v cos a - 2a
б
cos
2
v
0
Проведя сокращение, получаем следующий результат:
у=-
g
. 2 tga . х.
2 Vo2 C OS 2 а х +
Это и будет зависимость у (х) - уравнение траекто­
р ии. Мы видим, что это уравнение параболы, проходящей
через начало координат, причем ветви параболы направ­
лены вниз.
Траектория движения при разных углах бросания бу­
дет иметь следующий вид (рис. 2 ) :
у
х
Рис. 2
Более строгий график - при условии, что v0 одинако­
ва (рис. 3).
Раньше мы уже говорили, что при броске под углом
45° дальность полета будет максимальная. Возьмем угол
меньше 45° и больше, но так, чтобы их сумма была равна
119
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
v0
-
одинакова
/ на вес ная тр ае кто р ия
у
н а стил ьная т р ае кто р и я
а = 70°
а = 45°
Рис. 3
90°. В этом случае дальность будет меньше, но она будет
одинаковой как для 70°, так и для 20°. Обратите внима­
ние: сумма этих углов равна 90°.
У этих двух траекторий есть свои названия
навес­
ная и наст ильная.
-
Р е ш е н и е зада ч и дл я з а к р е п л е н и я
м а те р и ал а с м от р и те зде с ь :
1 20
Движение тела, б рошенного под углом к горизонту
В Ы ВОД Ы
Представьте себе метателя молота на Олимпийских
играх. В момент, когда молот отделяется от спортсмена,
у него есть определенный вектор начальной скорости,
и этого оказы вается достаточно, чтобы предсказать
судьбу летящего молота. А зная, под каким углом нужно
б р осать молот, можно поставить спортивный рекорд
дальности броска.
Те формулы, которые вы встретили, изучая данную
тему, не обязательно все запоминать. Важно помнить
не результаты проделанной работы, а путь, по которому
вы идете в процессе решения, основные идеи. И главная
идея состоит в том, что тело участвует в двух независи­
мых движениях: равномерном движении по горизонтали
и равноускоренном по вертикали. Поэтому следует от­
дельно анализировать горизонтальное и вертикальное
движение, опираясь на основные формул ы РУД (вот их-то
нужно хорошенько запомнить!).
1 21
КРИ В О Л И Н Е Й Н О Е
И В РА ЩАТЕЛ ЬН ОЕ
ДВ ИЖЕ Н И Е
Многое в нашем мире движется п о окружности.
Луна и спутники вращаются вокруг Земли, и это
движение очень близко к равномерному движению по
окружности. Вы думаете, что сидите неподвижно ?
Вовсе нет ! Даже сейчас вы находитесь в движении
со скоростью порядка сотен метров в секунду. И все
потому, что мы постоянно вращаемся вместе
с Землей вокруг ее оси.
Наиболее наглядно движение по окружности мож­
но описать на примере колеса, изобретение которого
стало прорывом в развитии транспорта. Сегодня ни­
кого не удивишь автомобилем, скутером, велосипедом,
скейтом или даже роликами. Но само колесо, кажуще­
еся нам привычным, движется весьма специфическим
способом, который мы и будем сейчас изучать.
м
ы с вами изуч или простейший вид движения прямолинейное равномерное. Мы также изучили
движение равноускоренное. В некоторых случаях
РУД может быть прямолинейным, а в некоторых - кри­
волинейным. Например, если тело свободно падает, его
движение из состояния покоя будет прямолинейным.
Если же тело брошено под углом к горизонту, движение
будет криволинейным.
Вспомним, что траектория тела, брошенного под
углом к горизонту, представляет собой параболу (рис. 1).
1 22
Криволинейное и вращательное движение
1�
-+
g
Рис. 1
-+
-+
В разных точках траектории вектор скорости v1, v2 и
-+
v3 направлен по-разному, но всегда по касательнои к тра-+
ектории. А ускорение тела g всегда будет направлено
вертикально вниз.
Есл и вектор ускорения образует какой-то угол с век­
тором скорости, это значит, что изменение скорости
направлено не так, как сама скорость. Это и приводит
к тому, что скорость меняет свое направление, то есть
движение является криволинейным.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. Есл и ускорение на­
правлено под углом к скорости, то и изменение скорости
Лv за какой-то промежуток времени будет направлено
туда же, то есть под углом к v;.. Поэтому через некоторый
-+
-+
промежуток времени вектор скорости v1 + Л v повернется
по отношению к вектору v;_ (рис. 2) .
Поскольку вектор скорости направлен по касательной
к траектории, то и траектория в разных точках будет
�
Рис. 2
1 23
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
направлена по-разному. А это и означает, что движение
будет криволинейным.
Представьте себе, что вы едете на автомобиле, все
время придерживаясь определенной скорости. До­
рога вьется, но ваша скорость постоянна по модулю.
Однако направление скорости может меняться. И именно
из-за изменения направления вектора скорости возник­
нет ускорение. Как мы уже знаем, ускорение равняется
отношению изменения вектора скорости к промежутку
времени, за который произошло это изменение:
л"J ·
а =м
--+
Если тело двигалось равномерно, это значит, что мо­
дуль скорости остался неизменным (рис. 3).
Лv
Рис. 3
--+
--+
Получается, что v = v0, но v -:t. v0 .
Модуль вектора не меняется, но меняется сам вектор.
И если изменение скорости не равно нулю, то ускорение
тоже не равно нул ю :
Итак:
Любое криволинейное движение
является движением с ускорением,
потому что в его ходе изменяется
направление вектора скорости .
1 24
Криволине йное и вращательное движение
8 РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПО ОКРУЖНОСТИ .
ЦЕНТРОСТРЕМИТЕЛЬНОЕ УСКОРЕНИЕ
Еще во времена Аристотеля считали, что идеальная ли­
ния - это окружность. Поэтому астрономам в те времена
даже приходилось выкручиваться и объяснять сложное
движение планет на фоне звезд как комбинацию движе­
ний по нескольким окружностям.
Представьте, что тело движется по окружности с цен­
тром О (рис. 4).
•
о
Рис. 4
Тело движется равномерно , и в какой-то момент вре­
мени его скорость была � . Через небольшой промежуток
времени тело переместится на небольшое расстояние.
Его скорость по-прежнему направлена по касательной
к траектории, а модуль скорости тот же:
->
->
v * v0 , но v = v0.
Поставим перед собой задачу: найти ускорение тела
при равномерно м движении по окружности. Ускорение это вектор, значит, нам надо найти направление этого
вектора и научиться вычислять его модуль.
1 25
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Н аправление ве ктора ускорения
Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к определе­
нию ускорения:
--.
дv·
а =дt
--.
Мы видим, что куда направлен дv , туда же направлено
и ускорение а--. . Поэтому построим вектор изменения скорости тела.
--.
-->
Изменение скорости - это разность v - v0, и по правилу треугольников для вычитания векторов нужно
--.
параллельно самому себе перенести вектор v0 так, чтобы
--.
он начинался там же, где начнается v (рис. 5).
--.
Соединив концы векторов, получаем дv :
дv = v - � .
Вспомним, что � направлен по касательной к траек­
тории. А касательная к окружности перпендикулярна
радиусу. точно так же v--. направлен по касательнои, а касательная перпендикулярна радиусу. Будем помнить о том,
что угол между векторами скоростей исчезающе мал.
Теперь можно взглянуть на треугольник, образован--. --. --.
ныи векторами v , Vo и д v . в С П О М Н И В, что v = Vo, мы В И Д ИМ,
что этот треугольник равнобедренный. Значит, его угл ы
u
u
А
центростремител ьное ускорен ие
Рис. 5
1 26
мал ы й
у гол
Криволинейное и вращательное движение
при основании равны, а их сумма равна 1 80°. Если малый
угол этого треугольника будет стремиться к нулю, осталь.....
.....
ные угл ы станут равны 9 0°, то есть в пределе Лv 1- v .
Но если Л v J_ V, это значит, что и а J_ v.
Мы получили, что вектор ускорения направлен по
радиусу к центру окружности. П оэтому ускорение тела,
ра в номерно движущегося по окружности, называют цен­
тростремительным ускорением.
М одуль ве ктора центростремительного ускорения
Чтобы найти этот модуль, формулу для вектора ускоре­
ния можно переписать следующим образом:
lл-VI
а =ы
·
Здесь lлvl - это модуль изменения вектора скоро­
сти. Получается, что движение равномерное, но модуль
изменения скорости не равен нулю из-за изменения на­
правления скорости.
lлvl - это длина стороны в треугольнике скоростей.
Теперь рассмотрим два треугольника: треугольник ско­
ростей и треугольник, образованный двумя радиусами
и хордой, соединяющей точки А и В.
Треугольник скоростей - равнобедренный, и тре­
угольник А ОВ - тоже равнобедренный. Кроме того,
у этих треугольников угл ы при вершине одинаковы,
а поэтому они подобные:
Л скоростей - Л А ОВ.
В подобных треугольниках в ыполняются соотноше­
ния подобия. В частности :
lл-V I = лв .
v
r
Поскольку промежуток времени, в течение которого
мы рассматриваем движение, очень мал, угол у нас тоже
1 27
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
очень мал. В пределе он стремится к нулю. В этом случае
длина дуги будет практически равна хорде:
�
лв � лв при дt � о .
Значит, можно считать:
�
lлvl - -АВ ·
-v
r
Длину дуги можно выразить через скорость движения
точки по окружности :
�
А В = v · дt.
Тогда
=
·
-v -r
lлvl v . лt
Теперь, разделив левую и правую части равенства на
Лt и умножив на v, получим:
lл'VI = v2 ·
м -r
Таким образом, мы узнали модуль центростремитель­
ного ускорения. Часто это ускорение обозначают ац.с.:
[;]]
r
.
И, как выше было показано, ац.с. направлен по радиусу
к центру окружности.
--+
Модуль вектора центростреми­
тельноrо ускорения тела равен
отношению квадрата ero скорости
к радиусу окружности, по которой
движется тело.
Это исчерпывающая информация о векторе центро­
стремительного ускорения.
1 28
Криволинейное и вращательное движение
• Д ВИЖЕНИЕ ПО ПРОИЗВОЛЬНОЙ КРИВОЙ
Напоминаю, что пока м ы рассматриваем равномерное
движение.
Представьте ситуацию: вы сидите за рулем авто­
мобиля. Есл и руль держать неподвижно и прямо, то
автомобиль будет ехать по прямой, а если руль повернуть
и удерживать, машина станет ехать по окружности. И чем
сильнее в ы поворачиваете руль, тем меньше будет радиус
этой окружности.
Перейдем к реальной ситуации. Представьте, что
в ы едете по дороге и поворачиваете руль то в одну, то
в другую сторону, следуя и згибам дороги. Это значит, что
в кажд ы й момент времени в ы едете по окружности. Но раз
в ы поворачиваете руль, значит, радиус этой окружности
меняется. Этот радиус окружности, котор ы й совпадает
с траекторией в данный момент времени, наз ы вается
радиусом кривизны траектории.
Рассмотрим это на примере такой траектории (рис. 6) .
Д вижен ие по п роизвольной кривой (ра вномер н ое)
"
,
,
"
•
•
..
-+
�',�·
ri
.
ai
.
"
-
,•
,
" " . . . . . - · '
Рис. 6
1 29
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
В трех разных точках направления скоростей разные,
--+ --+
--+
поэтому обозначим скорости по-разному: v1, v2 и v3.
Для каждой из этих точек можно построить окруж­
ность с радиусами ;:;_, � и ;=;. Это радиусы кривизны
траектории в разных ее точках. А поскольку радиус
кривизны меняется, это означает, что в ходе движения
меняется центростремительное ускорение. Н о оно всегда
направлено перпендикулярно вектору скорости тела.
Самым большим ускорение будет в том месте, где радиус
кривизны самый маленький. И наоборот, самым малень­
ким ускорение окажется там, где радиус кривизны самый
большой. Поэтому в первом случае ускорение будет
--+
иметь промежуточное значение а1 . Во втором случае, где
наблюдаем почти прямолинейное движение, ускорение
а2 будет очень скромным. И в третьем случае, на крутом
--+
вираже, ускорение а3 будет очень большим.
Но всякий раз при равномерном криволинейном дви­
жении ускорение тела перпендикулярно скорости:
-а .t v.
Поэтому иногда центростремительное ускорение на­
-+
зывают нормальным ускорением ап·
ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДО ГО ТЕЛА
Вспомним, что вращательным движением называется та­
кое движение тела, при котором все его точки движутся
по окружностям с центрами, лежащими на одной прямой,
называемой осью вращения.
Рассмотрим в качестве тела, например, вращающееся
колесо (рис. 7) .
В с е точки тела движутся по окружностям, и центры
этих окружностей лежат на прямой, изображаемой
точкой О. Возьмем на этом теле точку А. Траекторией
1 30
Криволиней ное и вращательное движение
ее движения будет окружность радиуса rA · Подождем
некоторое t, когда точка, пройдя по дуге окружности,
переместится на некоторое расстояние в положение А '.
Поскольку точка А движется, мы можем сказать, что она
обладает какой-то мгновенной скоростью � .
Мrновенная скорость точки
на вращающемся тепе называется
ее линей ной скоростью.
1-----;- · · · · · · ·
Возьмем другую точку В на этом же теле. М ы видим,
что А и В пройдут разное расстояние за одно и то же время,
а значит, и линейная скорость точек будет разл ичаться
по модулю и п о направлению. К тому же с течением вре­
мени эти скорости будут меняться по направлению, даже
ес л и тело вращается равномерно. П оэтому такими ве л и­
чинами, как скорости отдельных точек, очень неудобно
пользоваться для описания вращательного движения
тела. А есть ли величина, одинаковая для всех точек на
1 31
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
вращающемся теле? Оказывается, есл и тело твердое, то
есть! Общим для всех точек тела является угол поворота
радиусов, проведенных к точкам от оси вращения. Этот
угол можно назвать углом поворота самого тела.
Равномернь1м вращением твердого
тела называется такое вращательное
движение, при котором за любые
равные промежутки времени тело
поворачивается на равные углы.
---------------------------- · · · · · · ·
Чтобы количественно охарактеризовать равномерное
вращение, используется величинаугл овая скорост ь.
где q>
этот угол.
-
угол поворота тела, t
-
время поворота на
.
.. . .
.
. .
Угловой скоростью равномерного
вращения называется физическая
величина, равная отноwению угла
поворота тела ко времени, за которое
он произоwел.
Чтобы получ ить единицы измерения угловой ско­
рости, нужно разделить единицы измерения угла на
единицы измерения времени.
1 32
Криволинейное и вращательное движение
С единицами измерения времени все просто: в СИ это
секунды. А вот с единицами измерения угла все иначе.
Мы привыкли к угловым градусам, но это такая же искус­
ственная единица, как и градус Цельсия. Например, при
построении температурной шкалы Цельсия берется тем­
пература таяния льда и температура кипения воды при
атмосферном давлении. Этот температурный интервал
разбивается на 1 0 0 участков, благодаря чему получается
градус Цельсия. Такая же ситуация с полным углом, на
который нужно повернуться, чтобы совершить один
оборот. Его разбили на 360 частей и назвал и 1/360 часть
полного угла градусом. Но у моряков, например, совсем
другая единица измерения угла - румб (1/32 полного
угла), у артиллеристов - град (1/400 полного угла) . Все
это искусственные единицы, нам же нужна естественная
единица измерения угла, которая имела бы научный
смысл. Такой единицей является радиан, и ею пользуются
физики и математики.
Рассмотрим центральный угол, образуемый двумя
радиусами (рис. 8).
}=r
1 ра д
Рис. 8
Если мы будем изменять длину дуги /, на которую опи­
рается этот угол, у нас будет меняться сам угол. Выберем
такой угол, который опирается на дугу, длина которой
равна радиусу. Этот угол и будет равен 1 радиану.
1 33
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
1 радиан - это центраnьнь1й yron,
�
опирающийся на дуrу, д.nина которой
:
равна радиусу.
------- · · · · · · ·
Есл и:
То:
Дл и на ду г и
t
р ад
О,� р�-д
О, 1 ро д
ер р ад
1=r
[
-
У гол
______
1 :::
1
O�_r-----+-----�
-.
/ = 0, 1 r
1
1
1 = cp r
·
1
=-==1
!
i
1
Если угол выражается в радианах, длину дуги легко
найти. Нужно этот угол умножить на радиус:
Тогда
l
/ = cp · r.
1
Чтобы понять, как связаны между собой градусы
и радианы, рассмотрим угол 360°, опирающийся на всю
окружность.
т ОЛ Н = Z тrr = 2тr рад
"t"П
r
360° = 2тr рад,
180° = тr рад,
1 0 0 = 1 рад
,
1
�
1 рад :::: 5 7,3°.
1 34
Криволинейное и вращательное движение
Итак, если угол поворота тела измеряется в радианах,
то единицы измерения угловой скорости:
рад 1
[ w] =
=
с-1 .
с
с
--
-
=
Вращательное движение можно охарактеризовать
угловой скоростью. С другой стороны, при вращательном
движении точки тела движутся с какими-то линейными
скоростями. Найдем связь между этими двумя величина­
ми. За основу возьмем выражение 1 = q> · r.
Пусть 1 - это путь, пройденный точкой на вращаю­
щемся теле. Тогда q> - угол, на который повернулось тело,
а r - расстояние от точки до оси вращения. Разделим
левую и правую части выражения на время, за которое
произошел поворот:
J.. = q> · r.
t
t
отношение пути, проиденного точк�и на
вращающемся теле, ко времени, за которое он проиден.
То есть модуль линейной скорости v.
А - угловая скорость w .
1
3 десь t
�
�
-
�
Эту важную формулу нужно запомнить:
v = wr.
8 ПЕРИОД И ЧАСТОТА ВРАЩЕНИЯ
Время, эа которое тело соверwает
один полный оборот, наэ"1вается
периодом вращения.
1 35
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Обозначается период вращения буквой Т, а измеряет­
ся в секундах.
Существует еще одна величина, которая обозначает
число оборотов, совершаемых телом за единицу време­
ни. Она называется частотой вращения и обозначается
буквой п.
Частотой вращения тела назь1вается
физическая величина. равная чисnу
оборотов. соверwаемых теnом за
единицу времени.
В СИ частота вращения тела измеряется в оборотах
в секунду: [п ] = об = ! = ci.
с
с
Установим связь между этими двумя величинами
и свяжем их с угловой скоростью.
Чтобы найти период, необходимо разделить все время
вращения на число оборотов N, которое совершило тело:
T = J_ ·
N
А чтобы найти частоту вращения, нужно разделить
количество оборотов, которое совершило тело, на время :
п = f'f_t ·
Из этих формул видно, что период и частота - взаимно
обратные величины:
T = l '. п = 1 .
п
Т
1 36
Криво11 ине й ное и враща т е11 ьное движение
Теперь мы можем связать частоту вращения с угловой
скоростью. Будем опираться на то, что один оборот - это
2п рад. А значит:
w = 2пп.
Для связи периода с угловой скоростью получаем :
Точка на вращающемся теле движется по окружности.
Следовательно, она движется с центростремительным
ускорением. Движение точки на вращающемся теле
удобнее описывать не с помощью линейной скорости
этой точки, а с помощью угловой скорости вращения
всего тела. Это приводит к еще одной формуле для цен­
тростремительного ускорения.
Мы знаем :
v2
а ц.с. = - ·
r
Если точка находится на вращающемся теле, то v не что иное, как линейная скорость этой точки. А значит,
мы можем воспользоваться связью между линейной ско­
ростью и угловой:
v = wr.
И спользуя эти две формулы, получаем еще одну:
( wr) 2
а ц.с. = --- = --- ;
r
w 2r2
r
а ц.с. =w 2 r.
1 37
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
выводы
М ы выяснили, что движение по кривой линии - это всег­
да движение с ускорением, а также научились вычислять
центростремительное ускорение, которым обладает тело
при равномерном движении по окружности или любой
друг ой криволинейной траектории. Кроме этого, мы
выяснили, что точки на вращающемся теле, несмотря
на то что у них может быть разная линейная скорость,
поворачиваются на один и тот же угол вокруг оси враще­
ния, если тело твердое. Нам удалось охарактеризовать
вращение твердого тела угловой скоростью, периодом,
частотой. И теперь мы умеем связывать эти величины,
а также находить центростремительное ускорение точки
на вращающемся теле двумя способами.
1 38
Д И НАМ И КА.
ЗАКО Н Ы Н Ь Ю Т О НА
Изучив кинематику, мы знаем, как решить основную
задачу механики, если известно ускорение тела.
Мы владеем набором ф ормул, которыми можно для
этого пользоваться. Но как понять, от чего зависит
ускорение ? Что такое инерция, инертность, сила,
равнодействующая сила и как тела взаимодействуют
друг с другом ? Ответы на эти вопросы содержит
раздел механики под названием «Динамика» .
м
ы переходим к рассмотрению не менее важной
и крупной темы «Динамика».
Когда м ы говорили, что кинематика - это раз­
дел механики, мы добавляли, что особенность его в том,
что кинематика не изучает причины движения. Она ско­
рее является математическим аппаратом механики. Но,
изучая кинематику, мы смогли решить основную задачу
механики, когда известно ускорение тела.
Как в этом случае найти ускорение? Что является
причиной изменения скорости тела? Ответы на вопросы,
почему меняется скорость тела и как найти ускорение,
если известно в каких условиях находится тело, дает но­
вый раздел - «Динамика».
Основная задача динамики - найти
ускорение тела, если иэвестнь1
условия ero движения.
1 39
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
• ПЕРВЫЙ ЗАКОН Н ЬЮТОНА. ВЗА ИМОДЕЙСТВИЕ
ТЕЛ И ИХ УСКОРЕНИЕ . МАССА И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ
Если нам нео бходимо выяснить, что является причиной
изменения скорости тела, сначала стоит посмотреть на
эту задачу с противоположной стороны. Проанализиру­
ем, какие условия должны выполняться для того, что б ы
тело не меняло своей скорости. Например, что б ы оно
находилось в покое (его скорость равнялась нулю).
Например, рассмотрим шар, неподвижно висящий на
пружине (рис. 1) .
�
g \J..) и з менение
скорости
-+
�-в
из мен ен ие
С) скорости
77!7//llll 7/!77Тllll
Рис. 1
Снизу на него действует Земля, сверху - пружина.
Если мы у б ерем пружину, шар начнет падать - двигаться
по направлению к Земле. И если до этого он б ыл в покое,
теперь происходит изменение скорости.
Или нао б орот, у б ерем Землю из-под шара, а пружину
оставим. Под действием пружины и при отсутствии Зем­
ли шар б удет на б ирать скорость в направлении пружины.
1 40
Динамика. Законы Н ьютона
Если убрать пружину, шар будет двигаться с ускоре­
нием свободного падения g. Если убрать Землю, то под
-+
влиянием пружины он приобретет ускорение -g , направленное вверх.
В первом случае на шар действовало два тела - Земля
и пружина . Н о шар вел себя так, как будто этих тел нет.
В таких случаях говорят, что действие на данное тело
(шар) других тел (Земли и пружины) скомпенсированы.
Во втором и третьем случаях такой компенсации нет,
поэтому скорость шара меняется.
В первом случае шар находится в состоянии покоя,
но покой и движение - относительны. Представьте,
что вы наблюдаете за этим шаром, сидя на равномерно
и прямолинейно движущемся велосипеде. Вы видите, что
этот шар тоже движется. Вы двигаетесь на велосипеде
вперед относительно Земли, а относительно вас шар дви­
жется равномерно и прямолинейно назад. Есл и этот шар
движется, на него все равно действует пружина и Земля,
и их действия скомпенсированы. Значит, можно сделать
вывод, что шар может двигаться либо равномерно пря­
молинейно, либо может находиться в состоянии покоя,
если на него не действуют другие тела или действия их
скомпенсированы. Причем за этим шаром мы можем на­
блюдать из разных систем отсчета.
Но можно придумать такую систему отсчета, что,
даже есл и на шар будут действовать компенсирующие
друг друга тела, он будет двигаться с непостоянной
скоростью. Представьте, например, что вы сидите сзади
на мотоцикле, водитель которого наб и рает скорость.
Наблюдая за шаром, вы замечаете, что вот только сейчас
он был неподвижен, но теперь ускоряется и движется все
быстрее назад. Между тем действия Земли и пружины
на тело по-прежнему компенсируют друг друга. Но тело
уже не сохраняет состояние покоя или равномерного
1 41
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
прямолинейного движения. Такую вот мы выбрали си­
стему отсчета.
Итак, бывают такие системы отсчета (СО), в которых,
если на тело не действуют другие тела или действие их
скомпенсировано, тело сохраняет состояние покоя. А так­
же такие, когда при тех же условиях тело не сохраняет
свою скорость - оно движется с ускорением.
• И НЕРЦИЯ ГАЛИЛЕЯ
Пытаясь разобраться в движении тел, Галилео Галилей
провел простой эксперимент: он скатывал с наклонной
плоскости шары, которые дальше катились по каменному
полу. Если этот пол посыпан песком, шар быстро оста­
навливался. А если пол не был посыпан песком - шар
катился дальше и находился дольше в состоянии движе­
ния. А что, если бы пол был идеально гладким? Впервые
в истории науки Галилей использовал метод логического
рассуждения, который называется мысленным экспери­
ментом. Ученый рассуждал так: если наклон плоскости
к горизонтали является причиной того, что тело ускоря­
ется, двигаясь вниз, и замедляется, если движется вверх,
то при движении по горизонтальной плоскости у тела нет
причин ни для ускорения, ни для замедления. Значит, оно
должно находиться в состоянии покоя или равномерного
движения. Галилей назвал это явление инерцией.
Инерция - это явление, состоящее
в том, что, если на тело не действуют
друrие тела или действие их
скомпенсировано, это тело сохраняет
состоя ние покоя или равномерноrо
прямолиней ноrо движения.
1 42
Динамика. Законы Ньютона
Но, как мы видели в примере с пассажиром, сидящим
позади мотоциклиста, не в любой системе отсчета это
справедливо. Развитием идей Галилея занялся Исаак
Н ьютон, предположив, что такие СО действительно могут
существовать в природе. Так был сформул ирован / закон
Ньютона:
Существуют такие системы
отсчета, в которых тело сохраняет
состояние nокоя или РПД. если на
него не действуют другие тела или
действие этих тел скомnенсировано.
Его также называют законом инерции. А те системы
отсчета, о существовании которых говорит закон, назы­
ваются инерциальными системами отсчета.
Инерциальных СО может быть бесконечное
множество. Все инерциальные системы движутся отно­
сител ьно друг друга равномерно и прямолинейно. И во
всех этих системах тело сохраняет состояние покоя или
РПД, если выполняются условия, упомянутые в 1 законе
Н ьютона.
Такие системы удобны тем, что если м ы видим, что
тело движется равномерно и прямолинейно или нахо­
дится в состоя нии покоя, то можем сказать, что на это
тело не действуют другие тела или же действие их ском­
пенсировано. Есл и же мы видим, что у тела начинает
меняться скорость, это значит, что появилось какое-то
тело, действие которого не скомпенсировано. Другими
словами, если есть ускорение тела - значит есть и ви­
новник этого ускорения. Его можно найти и изуч ить его
свойства.
1 43
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Н а глядную д е м о н стра ц и ю с м от р и т е зде с ь :
В природе н е бывает просто действия, всегда существует
взаимодействие. А значит, при взаимодействии изменяют­
ся скорости обоих тел. Но одни тела при этом меняют свою
скорость сильнее, чем другие, несмотря на то, что время
действия первого тела на второе такое же, как второго на
первое. Если это происходит, значит, у этих тел существует
некое свойство, различное у разных тел,
инертность .
-
Инертность - зто свойство теnа,
. . . . . . ..
..
которое состоит в том, что дnя
изменения ero скорости требуется
некоторое время.
Чем больше времени требуется для изменения ско­
рости тела при одном и том же воздействии на него, тем
больше инертность тела. Разную инертность двух тел
можно показать на примере двух шаров, которые взаимо­
действуют посредством нити (рис. 2).
Рис. 2
1 44
Ди нами ка. Законы Ньютон а
Два шара связаны нитью. Силы тяжести нет. Толкнем
их в противоположные стороны. Поскольку шары связа­
ны нитью, они будут вращаться вокруг какого-то центра,
а нить будет находиться в натянутом состоянии.
Если шары равномерно движутся по окружностям, то
ускорение, с которым они движутся, будет центростреми­
тельным.
Зная угловую скорость и радиусы траекторий шаров,
можно узнать, чему равны ускорения:
а 1 = w 2r1 ;
а 2 = w z rz .
Разделим ускорения друг на друг а:
Обратите внимание: когда мы делим ускорение
одного тела на ускорение другого, угловая скорость со­
кращается. Мы приходим к важному выводу. Чем б ыстрее
вращается эта система, тем ускорения тел больше. Но
отношение ускорений взаимодействую щих тел остается
одним и тем же, независимо от характера взаимодей­
ствия. А это означает, что отношение ускорений связано
не с тем, как тела взаимодействуют, а каковы свойства
самих тел.
Из рисунка мы видим, что тела движутся с одинако­
вым периодом, но скорость у них разная. За пол-оборота
скорость тел меняет свое направление на противополож­
ное. Можно заметить, что изменение скорости первого
тела меньше, чем изменение скорости второго за то же
время. А это означает, что инертность первого тела боль ­
ше инертности второго. То есть мы можем сравнивать
инертности тел, сравнивая их ускорения при взаимо­
действии. Во скол ько раз ускорени е первого тела больше
1 45
ФИЗИКА. Осиовы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
ускорения второго, во столько же раз инертность первого
тела меньше инертности второго :
а 1 инертность 2
G z инертность 1
-
=
------
Можно ввести физическую величину, которая являет­
ся количест в енной мерой инертности, массу т:
-
z ·
-=-
а1 m
Gz
m1
Кроме того, ускорения взаимодействующи х тел про­
тивоположны по направлению:
01 н az .
Ускорения тел при взаимодействии
направле ны в противоположные
стороны, а отношение модулей
уско рени й равно обратному
отношению масс тел.
-------+-- · · · · · · ·
Это утверждение называется основной экспе имен ­
тальный за кон динамики :
а1 mz
-=- ·
П ользуясь основным экспериментальным законом
динамики, можно измерять массу тел. Действительно,
заставим два тела взаимодействовать любым доступным
способом и измерим ускорения этих тел при взаимодей1 46
Динамика. Законы Нью тона
ствии. Форм улу основного экспериментально го закона
динамики перепишем в виде:
а
m2 = m 1 · 21 ·
а
-
Таким образом, зная массу первого тела, мы можем
узнать массу второго.
Но возникает вопрос: а как узнать массу первого тела?
Здесь существует только один способ. Нужно взять тело,
к оторое будут тщательно хранить, и объявить его массу
известной и равной единице. Такое тело - это не что
иное, как эталон массы.
Имея такой эталон, можно переписать предыдущую
формулу так:
m т ел а = mэт · й эт ·
О т ел а
--
где m3т = 1 кг.
. . .
.
.
. .
.
Масса тепа - это физическая
вепичина, которая явпяется мерой
инертности тепа и чиспенно равна
отношению модупя ускорения
эталона к модупю ускорения тепа при :
ero взаимодействии с этапоном.
!------..,,..- · · · · · · ·
В повседневной практике таким способом измерения
массы никто не пользуется, но в некоторых ситуациях
он позволяет получ ить важные научные результаты.
Например, в астрономии. Оказывается, зная массу Земли,
можно определить массу Луны или Солнца. Таким же об­
разом можно найти массу некоторых экзопланет (планет,
вращающихся не вокруг Солнца, а вокруг других звезд) .
Причем сама планета при этом не обязательно должна
1 47
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
быть видна. Достаточно изуч ить движение звезды, кото­
рая вместе с планетой вращается вокруг общего центра
из-за притяжения друг к другу.
8 С ИЛА . ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА .
РАВНОДЕЙСТВУЮ ЩАЯ
При взаимодействии меняются скорости взаимодейству­
ющих тел, то есть они движутся с ускорением.
Измерим ускорение тележек под действием пружины,
растянутой на определенную величину Л /. Величину
растяжения пружины в ходе движения нужно поддержи­
вать постоянной, тогда постоянным будет и ускорение
тележек (рис. 3).
Рис. З
Вот экспериментальные данные.
За определенный период времени (t1 = 2 ,75 с) одна те­
лежка прошла из состояния покоя некоторое расстояние
(S = 0,9 1 м). П ользуясь известной формулой кинематики
равноускоренного движения (вспомните, какой), полу­
чаем резул ьтат:
1 48
Динамика. Законы Ньютона
Во втором случае две тележки были приведены
в движение пружиной, растянутой ровно на столько же,
но масса тележки была уже удвоена. Время, за которое
тележки прошли то же расстояние, t2 = 3,88 с. А значит:
м = ai = а ·
а 2 -- 0 ' 1 2 2 2
cz Если повторить этот опыт с тремя тележками, полу­
чим результат:
а3 = � .
Это значит, что, если мы увеличиваем массу тела
в два раза, ускорение тела под действием того же самого
источника взаимодействия ( пружины) становится вдвое
меньше.
Де м о н ст ра ц и ю о п ыта с м отр и те зде с ь :
Рассмотрим произведение массы тела н а е г о ускорение во всех трех случаях:
1) т · а;
2 ) 2т · � = та;
3) 3 т ·
� = та.
Из этого можно сделать вывод, что, если одинаково
действовать на любое тело, во всех случаях произведе­
ние массы тела на его ускорение будет одно и то же. И это
произведение представляет собой количественную
характеристику действия одного тела на другое. Эта ха­
рактеристика называется силой F, которая действует на
1 49
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
тело. Но поскольку ускорение - это векторная величина,
то формулу, отвечающую на вопрос, что такое сила, нуж­
но записать так:
1
F
а
=т .
\
То есть сила - векторная величина. У нее есть как
численное значение, так и направление. Приведенная
формула выражает Il закон Ньютона в упрощенной форме.
Сипа. действующая на тепо. равна
произведению массь1 тепа на
ускорение. сообщаемое зтой сипой.
Единица измерения силы в СИ:
м = н.
[F] = кг . 2
с
Эта единица имеет особое название - ньютон (Н).
Один н ьютон - зто сипа.
сообщающая тепу массой 1 кг
ускорение в 1 м/с2•
Записанная выше формула 11 закона Н ьютона рассма­
тривает очень редкий случай, когда на тело действует
лишь одна сила. Такого почти не бывает. Каждое тело
взаимодействует со множеством других тел множеством
сил. Тем не менее формулу 1 1 закона Ньютона можно обоб­
щить и на случай, когда на тел о действует сколько угодно
сил. Все эти силы можно заменить одной силой - такой,
1 50
Динамика. Законы Н ьютона
которая вызывает такое же ускорение тела, как и не­
сколько одновременно действующих на тело сил. Такая
сила называется равнодействующей нескольких сил.
Равнодействующей нескопьких
сип называется сипа, сообщающая
телу такое же ускорение, как
эти несколько одновременно
действующих сип.
------ · · · · · · ·
Записанная выше фраза является определением
р авнодействующей. Она отвечает на вопрос: что такое
р авнодействующая? Но нам нужен ответ и на другой
вопрос: как найти равнодействующую? Оказывается, для
этого достаточно векторно сложить все силы, действую­
щие на тело (их также называют составляющими) :
Теперь в полной формулировке 11 закон Ньютона зву­
чит следующим образом:
Равнодействующая всех сип,
действующих на тело, равна
произведению массы тепа на
ускорен ие, вызываемое этими
сипами.
Исходя из этого, можно получ ить более емкую и лако­
ничную формулировку 1 закона Ньютона:
1 51
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
.......
.
.
Существуют такие системь1
отсчета. в которых тело сохраняет
состояние покоя или РПД. если
равнодействующая всех сип.
действующих на неrо. равна нулю.
8 ТРЕТИЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
Вернемся к основному экспериментальному закону дина­
мики :
а 1 m2
=- ·
а2 m 1
-
'
Воспользуемся 1 1 законом Ньютона, предполагая, что
на тело действует одна сила:
-+
-+
F = та .
Воспользовавшись свойством пропорций, получим из
первой формулы:
т 1 а 1 = m2 a z .
Или учитывая, что ускорения тел противоположны по
направлению:
-+
-+
т 1 а 1 = -m2 a z .
-+
�
м ы видим, что т 1 а 1 - сила, деиствующая на первое
-+
тело, F1, со стороны второго тела, которое с ним взаимодействует. А m2 a2, согласно I I закону Ньютона, вектор
силы, действующей на второе тело со стороны перво-+
го, - F2.
Если у нас имеется два взаимодействующих тела, боль­
ше будет ускорение того тела, масса которого меньше
1 52
Динамика. Законы Ньютона
(на рис. 4
первое тело). А ускорение более массивного
(более инертного) тела будет меньше.
-
Рис. 4
Итак, ускорения тел разной массы при взаимодействии
оказываются разными. А что можно сказать о силах, с ко­
торыми тела действуют друг на друга? Оказывается, эти
силы будут одинаковыми по модулю и противоположны­
ми по направлению:
А значит, тела взаимодействуют с силами, направлен­
ными в противоположные стороны и одинаковыми по
модулю. Этот результат, который мы получили из основ­
ного экспериментального закона динамики, называется
lll законом Ньютона:
Tena взаимодействуют с сипами,
nежащими на одной прямой,
направленными в противопоnожнь1е
стороны и равными по модуnю.
А теперь внимание! Вопрос, который очень любят
задавать коварные экзаменаторы.
Из математической формулировки III закона Ньютона
--+
--+
-,+
по правилам векторной алгебры получается, что F1 + F2 = О .
1 53
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
�
�
Следует ли из этого, что равнодействующая сил F1 и F2
равна нулю?
Ваш ответ: конечно, нет! Ведь о равнодействующей
�
�
этих сил говорить нет смысла, так как силы F1 и F2 приложены не к одному, а к разным телам.
• ЗАКОНЫ НЬЮТОНА : ВЫВОДЫ
Мы изучили кинематику, которая отвечает на вопрос
«Как движется тело, если известно его ускорение?». Ди­
намика же отвечает на вопрос «Почему тело движется
так или иначе?». Познакомившись с основными законами
динамики - законами Н ьютона, - мы можем дать ответ
на такие вопросы.
1. П очему тело движется авномерно и прямолине йно?
РПД означает, что вектор скорости есть постоянный вектор,
а ускорение тела равно нулю. Отсюда следует, что равнодей­
ствующая всех сил, действующих на тело, равна нулю:
Рпд => v = coпst => и = о => "F = о.
Это можно наблюдать на примере парусника, движу­
щегося по морю. На него действует несколько сил : Земля
тянет вниз, вода толкает вверх и мешает ему двигаться,
оказывая силу сопротивления, ветер действует на парус
и толкает вперед. Но хотя на парусник действует много
сил, он движется равномерно и прямолинейно. А значит,
равнодействующая большого количества сил, которые
на него действуют, равна нулю.
2 . П оче
Тело движется равноускоренно потому, что равнодей­
ствующая всех сил, приложенных к нему, постоянна:
РУД => а = const => F = const.
�
1 54
------+
�
------+
Динамика. Законы Н ьютона
3 . П очему тело равноме�но движется по о к ужносrи ?
Если тело равномерно движется по окружности, это
значит, что вектор его ускорения направлен по радиусу
к центру окружности, то есть перпендикулярен вектору
скорости (центростремительное ускорение) . Следова­
тельно, если тело равномерно движется по окружности,
то равнодействующая всех сил, приложенная к этому
телу, перпендикулярна его скорости :
�
�
-;:t
�
а .l v => t .l v .
Все вышесказанное предполагает, что наши измери­
тельные приборы находятся в инерциальной СО. Только
в такой СО тело, есл и на него не действуют другие тела,
будет двигаться равномерно и прямолинейно или
находиться в состоянии покоя. Если же тело движется
с ускорением, значит, существует виновник, который
это ускорение вызывает. Само по себе ускорение в инер­
циальной системе возникнуть не может. И это является
содержанием / закона Ньютона.
// закон Ньютона гласит, что равнодействующая всех
сил (или просто сила) равняется произведению массы
�
�
тела на его ускорение F = та .
/// закон Ньютона говорит о том, что если два тела вза­
имодействуют, то сила, с которой первое тело действует
на второе, равняется по модулю, противоположна по на­
правлению и лежит на одной прямой с силой, с которой
�
�
второе тело действует на первое: F1 = - F2.
• ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ГАЛИЛЕЯ
Давайте попробуем перейти из одной системы отсчета
в другую и посмотрим, как это отразится на записи зако­
нов Ньютона. Для начала вспомним формулу сложения
скоростей :
1 55
Физикл. Основы и МЕХАНИЧЕ СКОЕ д ви ж ЕниЕ
--+
--+
--+
Vа бс = Vотн + Vпер ·
--+
u --+
как v , а отнодля просто ты о б означе нии Vа бс запише м
сительн ую скорост ь
-
v' . Получа ем формулу:
-+
V + Vпер ·
V = �,
-+
Теперь мы можем вырази ть скорость, с которо й тело
движет ся в движущ ейся СО:
-+, --+ -+
=
Vп ·
V
V -
ер
Предпо ложим, что на тело действу ют другие тела,
и скорост ь этого тела меняет ся. Скорости в началь ный
момент времен и отмети м нулем в нижнем индекс е:
-+ --+ --+
Vo = Vo - Vо пе р ·
1
Вычита я из конечн ой скорост и началь ную, получи м
измене ния скорост ей:
--+ --+
л�
V . = л V - л Vп ер ·
Эти изменения произошли за промежуток времени
Лt. А теперь разделим левую и правую части уравнения
на Лt:
--+
Лv
--+
лv
Л v'
=
Лt
Лt
-
�-
Лt
Так мы получим ускорен ие тела для наблюд ателя,
который находит ся в движущ ейся СО:
-+
--+, -+
а = а йпер ·
-
Это ускорен ие можно назвать относит ельным ускоре ­
нием.
Теперь учтем, что мы рассмат риваем движен ие
только в инерциальных система х отсчета (ИСО). Любая
другая ИСО, движущаяся относит ельно данной системы
равноме рно и прямоли нейно, тоже будет инерциальной.
И наоборот, если вторая СО являетс я инерциальной, она
1 56
Динамика. Законы Ньютона
движется относительно первой СО равномерно и прямо­
линейно. А значит:
Опе р ::: О.
Отсюда следует, что ускорение в одной ИСО будет та­
ким же, как ускорение в другой ИСО:
а' = а .
Это значит, что в И СО скорости относительны, а уско­
рения абсолютны. И если известно ускорение в одной
ИСО, будет известно ускорение тела во всех других ИСО.
Итак, при переходе из одной ИСО в другую:
1 . Сила, действующая на тело, не изменяется (тела
взаимодействуют одинаково, независимо от того,
из какой СО за ними наблюдают и наблюдают ли
вообще ) .
2. Масса тела не зависит от выбора СО.
3. Ускорение тела во всех ИСО одинаково.
Кроме силы, массы и ускорения, в законы Ньютона
не входят никакие другие величины ! Значит, в какой бы
ИСО мы ни находились, все три закона Ньютона записы­
ваются абсолютно одинаково. Но поскольку именно эти
законы описывают механическое движение, мы прихо­
дим к важнейшему выводу, который называется принцип
относительност и Галилея:
Законы механического движения
в пюбь1х инерциальных системах
отсчета одинаковы.
- · · · · · · ·
f--+-
1 57
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
П оэтому с теоретической точки зрения все механиче­
ские явления во всех инерциальных системах протекают
одинаково, то есть не существует какой-то особенной,
выделенной, абсолютной ИСО. А с практической точки
зрения для решения задач механики можно выбрать лю­
бую ИСО, лучше всего такую, в которой решение задачи
выглядит проще.
Р е ш е н и е зада ч и на 1 1 1 з а к о н Н ь ют о н а
с м от р ите зде с ь :
выводы
Используя законы Ньютона, вы подготавливаете данные,
которые можно использовать в кинематике для решения
основной задачи механики, а именно находите ускорение
тела.
Интересно, что законы Н ьютона используют даже для
предсказания погоды. Хотя движение атмосферных масс
необычайно сложно, но оно подчиняется законам Н ью­
тона. С их помощью можно рассчитать все завихрения,
происходящие в атмосфере. Как это работает? Атмосферу
разбивают на небольшие участки. Сила, действующая на
каждый участок, определяется разницей давлений с раз­
ных сторон этого участка. Ускорение каждого участка, на
которые разбивают атмосферу, определяют с помощью
I I закона Ньютона. Зная ускорение, можно рассчитать
движение отдельных участков воздушных масс. По1 58
Динамика. Законы Н ьютона
скольку таких участков очень много, для предсказания
погоды используют мощнейшие супе р компьютеры.
Знание тепловых явлений позволяет сказать, что будет
с водяным паром, содержащимся в атмосфере, - будет ли
он конденсироваться и переходит ь в дождь, туман, снег
или иней. Так что, если захотите в будущем предсказы­
вать погоду или конструировать аппараты для полетов
в атмосфере, знать законы динамики вам необходимо.
Изучение тепловых явлений также входит в наши планы.
Вслед за изучением явлений механических.
1 59
АЛ Г О РИТМ РЕ Ш Е Н ИЯ
ЗАДАЧ Д И НАМ И КИ
Если вы терпеливы и при решении задач механики
пройдете по всем пунктам алгоритма, который мы
сегодня изучим, вас будет ждать успех. Алгоритм
всегда приводит к ответу, но не всегда самым
быстрым путем. Существуют остроумные приемы,
которые позволяют обойтись без выполнения каждого
пункта алгоритма и решить задачу в несколько строк.
Но для этого нужны фантазия, изобретательность
или по крайней мере достаточный опыт решения
задач. А работу по алгоритму можно поручить даже
компьютеру, который на самом деле полностью лишен
фантазии и изобретательности, а просто послушн о
выполняет заданные алгоритмом операции.
А
лгор � тмом называется последовательность дей­
ствии, которая позволяет достигнуть результата
за конечное число шагов. Мы разработаем универ­
сальный алгоритм решения задач динамики.
На первый взгляд, кажется, ну зачем это надо? Ведь
достаточно записать 11 закон Ньютона. Но это приведет
к успеху только для простейших задач.
Самый простой вид задач динамики, когда на тело
действует одна сила. Есл и при этом рассматривается
движение одного тела, мы м ожем записать 11 закон Нью­
тона в таком виде:
�
�
F = та .
1 60
Алгоритм решения задач динамики
Зная силу, мы можем найти ускорение. Далее, включив
аппарат кинематики, м ы можем рассказать о движении
тела уже вс ё , если известны его начальное положение
и начальная скорость.
Более сложным будет случай, если на одно тело дей­
ствуют несколько сил. В этом случае необходимо найти
равнодействующую всех сил, действующих на тело:
-+
-+
-+
-+
F1 + F2 + " . + FN = та .
И наконец, самым сложны м случаем будет тот, когда
несколько сил действуют на несколько тел, которые свя­
заны друг с другом.
Для решения задачи такой сложности и нужен алго­
ритм, который мы сейчас рассмотрим.
8 АлГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
1. Записать краткое условие задачи (этот, на первый
взгляд. малозначительный пункт очень важен, так как
в кратком условии вводятся обозначения, которые
затем используются при решении задачи).
2 . Сделать рисунок, показать на нем все силы, действую­
щие на каждое из движущихся тел.
З. Записать 11 закон Ньютона для каждого из движущих­
ся тел в векторной форме.
4. Выбрать удобную систему координат, провести коор­
динатные оси.
5. Записать 1 1 закон Ньютона в проекциях на координат­
ные оси для каждого из движущихся тел.
6. Выразить проекции известных из условия векторов
через модули векторов.
Записав 1 1 закон Ньютона в проекциях на координат­
ные оси, мы получим несколько уравнений. Например,
1 61
Физикл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
для двух тел, каждое из которых движется в плоскости,
запись 11 закона Ньютона в проекции на оси и даст нам
четыре уравнения. Но неизвестных при этом может
оказаться больше. Если же неизвестных в уравнении
больше, чем самих уравнений, такая задача не имеет
однозначного решения. П оэтому необходимо записать
дополнительные уравнения, не вытекающие из законов
Ньютона. Они называются уравнениями связи.
Записать уравнения связи.
Решить полученную систему уравнений в общем
виде.
9. П одставить численные значения величин в рабочую
формулу (результат решения системы).
10. Проверить размерность полученного результата
и оценить правдоподобность полученных численных
значений.
7.
8.
• РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ПО АЛ ГОРИТМУ
Испытаем наш алгоритм в действии, решив такую задачу.
На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, под­
вешены грузы массой О,З кг и 0,2 кг. С каким ускорением
движутся грузы? Какова сила натяжения шнура во время
движения?
1.
т 1 = 0 ,3 кг
m 2 = 0,2 кг
а-?
Т- ?
Здесь а - ускорение, Т - сила натяжения шнура.
1 62
Алгоритм решения задач динамики
2 . Теперь необходимо сделать рисунок и показать все
силы, действующие на каждое из движущихся тел.
2
х
З . Записываем 11 закон Ньютона для каждого из движу­
щихся тел :
-+
-+
-+
-+
-+
-+
т 1в + Т1 = т 1 а 1 ;
т 2в + Т2 = m 2 a z .
4.
Выбираем удобную систему координат. Поскольку
в задаче все силы лежат на одной прямой, достаточно
выбрать одну координатную ось х.
5. Переписываем каждое уравнение в проекциях на ось х:
т 19 - Т1 = т 1 а 1х·
m zg - Т2 = т 2 а 2х·
6. Имея два уравнения, мы получили четыре неизвест­
ных ( Т1 , Т2 , а 1х и а 2х) . А значит, нам нужно записать
еще два уравнения. Поскольку тела связаны нитью,
можно опереться на ее свойства и записать уравнения
1 63
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
связи. Нит ь невесома, из этого следует, что ее масса
равна нулю. Следовательно, чтобы ускорять эту нить,
не нужно никакой силы. А значит, Т1 и Т2 одинаковы,
то есть первое уравнение связи имеет вид:
Т1 = Т2 = Т.
Будем та кже считать, что нить нерастяжима. Это
значит, что длина нити строго постоянна, и, если мы пере­
местим один груз на 1 см вверх, второй груз опустится на
1 см вниз. Если это перемещение совершить за 1 секунду,
время перемещения у обоих грузов будет тоже одинако­
вым. А значит, скорости у них тоже будут одинаковые, хоть
и противоположно направленные. Если менять скорость
одного груза с быстротой 1 см/с каждую секунду, с такой
же быстротой будет меняться скорость второго груза. Это
значит, что и ускорения этих грузов будут одинаковы по
модулю, но противоположны по направлению.
Поэтому из условия, что нит ь нерастяжима, следует
еще одно уравнение связи :
Ozx = - а 1х = - ах7.
Использовав уравнения связи, получаем:
т 19 - Т = т � ах; (1)
т'2f} - Т = - т 2 ах. (2)
8. Перед нами система двух уравнений с двумя неизвест­
ными. Чтобы решить ее быстро, можно вычесть из
(2)
одного уравнения другое: (1)
-
т 19 - Т - т'2f} + Т = т 1 ах + т z ах.
П олучаем результат:
( т 1 - т z )В = ( m 1 + m 2 ) ах­
Выводим первую рабочую формулу:
1 64
Ал горитм решения задач динам'1ки
Она позволяет найти проекцию ускорения первого
тела на ось.
Чтобы найти силу натяжения нити, проекцию ускорения
нужно подставить в формулу (1) или (2), например в ( 1) :
Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю:
m l{}
т 1 + m 2 - т 1 + m2
·
т 1 + m2
= m l{} ·
2m2
m1 + m2
Окончательно вторая рабочая формула будет иметь
такой вид:
И нтересно, что наша задача симметричная: первое
и второе тело находятся в равноправном положении.
Есл и первое тело назвать вторым, а второе первым, это
не должно отразиться на величине силы натяжения нити.
Приведенная выше формула наглядно демонстрирует
это.
9. Подставим числовые значения в рабочие формулы :
м
с2
йх = 10 т
=
·
0,3 кг - 0,2 кг
м
= 2- ·
0,3 кг + 0,2 кг
с2 '
2 . 0,3 кг . 0,2 кг
0,3 кг + 0,2 кг
н
1 0 - = 2,4 н.
кг
1 65
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
10. Чтобы оценить правдоподобность полученных ре­
зультатов, с формулами можно «поиграть». Например,
какие результаты дадут формулы, если первое и вто­
рое тело будут иметь одинаковую массу? Ускорение
в данном случае будет равно нулю, а изначально
неподвижные тела оставаться неподвижными. Но
если одно тело подтолкнуть, оно будет равномерно
двигаться вверх, а второе - равномерно двигаться
вниз. Сила натяжения нити в этом случае будет
равна силе тяжести, действующей на тело.
Если масса одного из тел будет равна нулю (есл и тело
убрать), то оставшееся тело будет двигаться с ускоре­
нием свободного падения g , а сила натяжения нити будет
равна нулю.
Эти результаты, полученные из формул, прекрасно
согласуются с нашим повседневным опытом.
Де м о н ст р а ц и ю р е ш е н и я з а да ч и с м отрите
зде с ь :
.
[!].
,.[!] .. [!]
)"1!.
tr. •
.
!.!
•
•
В Ы В ОД Ы
Зная алгоритм решения задач динамики, вы получаете
универсальный инструмент, который позволит всегда
прийти к ответу, если имеется полное описание условия
задачи.
1 66
СИЛА У П РУГ О СТИ .
ЗАК ОН ГУКА
Зная, какие силы действуют на тело, мы можем
найти его ускорение. Механика изучает силы трех
видов - силу тяжести, силу упругости и силу трения.
На этом уроке мы начнем изучать силу упругости,
чтобы понимать, когда она возникает и как ее найти.
Закон, который позволяет найти силу упругости,
называется законом Гука.
в
спомним, что такая величина, как сила, является
характеристикой взаимодействия. Оказывается,
наш мир устроен так, что в нем можно выделить
четыре фундаментальных взаимодействия :
• гравитационное;
• электромагнитное;
• сильное;
• слабое.
Гравитационное взаимодействие отвечает за силу
тяжести. Электромагнитное взаимодействие более раз­
нообразно. Оно проявляет себя в виде силы упругости
и силы трения. Эти силы мы наблюдаем в мире больших
тел, в макромире. Сильное и слабое взаимодействия опи ­
сывают явления микромира - те, что происходят внутри
атомных ядер и в мире элементарных частиц. Сильное
взаимодействие, например, отвечает за ядерные силы.
А слабое проявляет себя при процессах распада и превра­
щения элементарных частиц.
1 67
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Мы же остановимся пока на изучении силы тяжести,
силы трения и силы упругости.
• СИЛА УПРУГОСТИ . ЗАКОН
ГУКА
Сила упругости хорошо знакома каждому, она очень часто
проявляется вместе с силой тяжести. Например, когда мы
подвешиваем груз на пружине, вниз этот груз тянет сила
тяжести, а вверх - сила упругости. При этом пружина
растягивается, а значит, меняются размеры и форма пру­
жины, то есть происходит ее деформация. Можно сделать
вывод, что сила упругости возникает при деформации тел.
Л юбое изменение формы ипи
размеров тепа наэь1вается
деформацией.
Можно выделить несколько видов деформации:
1. Растяжение - сжатие
Представьте, что у вас есть стержень, закрепленный
с одного конца. Подействовав на него внешней силой,
вы можете его растянуть. Стержень, в свою очередь, пы­
тается восстановить свою прежнюю длину, и со стороны
стержня на вас будет действовать сила упругости (рис. 1).
�
----
Fуп р
----- "
�--< ---1 - - - - �
�-� - _-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-3
растяжение
сжатие
Рис. 1
1 68
С ила упругости. Закон Гука
Для того чтобы возникла деформация, за стержень
можно потянуть. Хотя и не обязательно, поскольку де­
формация может существовать и тогда, когда за стержень
(для более наглядного примера - пружину) никто не тя­
нет. Например, есл и вы растянули пружину, а потом ее
отпустили, некоторое время она останется деформиро­
ванной, хотя вы на нее уже действовать не будете. Из-за
этой деформации появляется сила упругости, которая
возвращает пружину в нерастянутое состояние.
Есл и же мы уменьшим длину стержня, он будет сжат.
(Кстати, можно заметить, что при этом стержень ста­
новится немного толще.) Сила упругости в этом случае
будет пытаться удлинить стержень и так же, как при
растяжении, будет направлена в сторону, противополож­
ную направлению смещения частиц стержня.
2. Изгиб
Представьте, что у вас есть такое упругое тело, как линей­
ка, которую вы деформировали, как показано на рис. 2 .
•
, \
�'-ъ- - - - - ---- - - -·:fi ,
, ... ,
... " _ _ _ _ _ _ .
_ _
_ _
7
Рис. 2
Такой вид деформации называется изги бом.
Теперь представьте, что у вас есть тело в виде прямоуголь·
ного параллелепипеда, зафиксированного на какой-то
плоскости. Если к нему приложить силу, как показано на
рис. 3, прямоугольный параллелепипед принимает дру­
гую форму.
1 69
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
.
.
.
.
.
'
.
•
•
,
,
,
,
,
,
,
'
,
1
- - - · · · ·
//J71ll7l1
Рис. 3
Такая деформация называется деформацией сдвига.
4.
Кручение
Представьте себе цилиндр, основание которого тоже
прикреплено к плоскости. Он выкрашен полосками, па­
раллельными оси цилиндра. Если начать действовать на
него сверху силами, которые будут вращать верхнее ос­
нование цилиндра, полоски на цилиндре изменят наклон
(рис. 4) .
Рис. 4
Такой вид деформации называется кручением.
Интересно, что деформация изгиба на самом деле яв­
ляется комбинацией растяжения (нижняя часть линейки
на рис. 2) и сжатия (верхняя часть). А кручение - это
усложненный вариант деформации сдвига.
1 70
С ила упругости. Закон Гука
Помимо этого, различают также деформации упругие
и пластические.
.....
Деформация называется упруrой,
. .
.
..
.
если тело полностью восстанавливает
свою первоначальную форму
после прекращения действия
деформирующеrо фактора.
Деформация называется
пластической, если тело полностью
сохраняет свою новую форму
после прекращения действия
деформирующеrо фактора.
1-- · · · · · · ·
Упругая и пластическая деформации - это идеализи­
рованные виды деформаций. На самом же деле абсолютно
пластических деформаций не бывает. Точно так же, как
не бывает абсолютно упругих.
• ЗАКОН ГУКА
Рассмотрим самый простой вид деформации - упругую
деформацию растяжения или сжатия. Свойства большин­
ства материалов таковы, что упругими можно считать
малые деформации, поэтому мы будем говорить именно
о малых деформациях. Это означает, что изменение дли­
ны тела гораздо меньше его первоначальной длины.
Возьмем стержень и левым краем прикрепим его
к твердой опоре. Обозначим длину стержня 10. Приспо­
собим к этой системе координатную ось, причем начало
координат совместим с правым концом стержня (рис. 5).
1 71
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
lo
t<'-----�>t Fупр х
-
х'
>о
1
'х
х< О
х
Рис. S
Теперь растянем этот стержень. Его правый конец
будет иметь координату х, причем х > О. Это деформация
растяжения.
В другом случае недеформированный стержень
сожмем, и его край тоже будет иметь координату х, но
теперь х < О.
Деформация будет называться малой, если х по мо­
дулю гораздо меньше /0:
l x l « lo .
Есл и стержен ь сжимается, то сила упругости п ытает­
ся его удлин ить, и она направлена вправо. Если стержень
растянут, он стремится сжаться и воздействовать на
окружающие тела силой упругости, направленной влево.
Сила упругости - это сила, с которой деформированное
тело действует на окружающие тела. А значит, если
Х > О, ТО Fуп рх < О;
Х < О, ТО Fуп рх > О .
Англ ичанин Роберт Гук, изучая деформацию про­
волок, установил, что модуль силы упругости прямо
пропорционален модулю х:
Fуп р - 1 4
1 72
С ила упругости. Закон Гука
А значит, закон Гука выглядит следующим образом:
Fyn x = -kx.
p
Эту же формулу для практического применения, если
нас не интересует направление силы, можно записать
упрощенным способом:
Fyn p = k l x l ,
где k
коэффициент пропорциональности, получив­
ш ий название жесткост ь тела, а величину х называют
удлинением тела.
Закон Гука имеет такую формулировку:
-
При малых деформациях сипа
упругости прямо пропорциональна
удл инению тела и направлена
в сторону, противоположную
направлению смещения частиц тела
при деформации.
!----+-- · · · · · · ·
Отсюда можно выразить коэффициент пропорцио­
нальности:
F
k = упр ·
lxl
-
Жесткость тела в СИ измеряется в таких единицах:
[ k] = .li. .
м
Жесткость тела численно равна силе упругост и, возни­
кающей при единичной деформации тела. В дальней ш ем
при изучении свойств твердых тел мы установим, как
1 73
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
жесткость тела зависит от его размеров и материала, из
которого оно изготовлено.
Р е ш е н и е зада ч на з а к о н Гука с м от р и т е
здес ь :
выводы
Сила упругости возникает при деформации тела вслед­
ствие электромагнитного взаимодействия между
молекулами вещества, из которого состоит тело. При
малых деформациях растяжения или сжатия сила упру­
гости подчиняется закону Гука . Упругие свойства тела
описываются его характеристикой, которая называется
жесткостью тела.
1 74
З АКО Н В СЕ М И РН О Г О
ТЯ Г О Т Е Н ИЯ .
Г РА В ИТАЦИ О Н НАЯ
П О С Т О Я Н НАЯ
Оказывается, тот факт, что мы ходим по Земле
и не улетаем в пространство, и тот факт, что
Луна вращается вокруг Земли, имеют один и тот
же корень, одну причину. Это происходит благодаря
явлению всемирного тяготения.
в
отличие от силы упругости, которая имеет
электромагнитную природу, сила, с которой мы по­
знакомимся на этом уроке, является проявлением
гравитационного взаимодействия. Вспомним, что сила
тяжести - это сила, с которой Земля, как и любая другая
планета или небесное тело, притягивает к себе тела.
Еще Исаак Ньютон задумывался над тем, являются
ли сила, с которой Земля притягивает к себе любое тело,
и сила, с которой Земля удерживает на орбите Луну, сила­
ми одной и той же природы. Именно изучение движения
Луны привело его к открытию закона всемирного тяго­
тения. А сила тяжести, так хорошо нам знакомая, - это
одно из проявлений силы всемирного тяготения .
• Н ь ютон , ВОЛЬТЕР и ЯБЛОКО
Существуе т легенда, что, когда Н ьютон сидел под яблоней
в саду, ему на голову упало яблоко. И именно шок, кото­
рый ученый испытал от неожиданного удара, привел его
к открытию закона всемирного тяготения. Оказы вается,
1 75
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
эту историю придумал знаменитый философ и энци­
клопедист Вольтер, когда рассказывал своей маленькой
внуч ке о законе всемирного тяготения.
Мы же вслед за Ньютоном сравним действие Земли
на тела, находящиеся вблизи ее поверхности, и действие
Земли на Луну.
Представьте себе Землю, вокруг которой по круговой
орбите движется Луна (рис. 1 ) .
R3 = 6370 км
rл = 384000 км
З емля
1
'
'
�,-_.-/"''
g
\ Rз
.....
,__
Т = 2 7,3 сут.
g = 9,8 1 �
с
.J
,,.
'
\
/
Рис. 1
Радиус лунной орбиты известен, как и радиус Зем­
ли. Также известно, что Луна вращается вокруг Земли,
совершая один оборот за 2 7,3 суток . Известно и то, как
действует Земля на тела вблизи ее поверхности. Для на­
глядности, как и Вольтер, возьмем все то же яблоко. Если
отпустить яблоко вблизи поверхности Земли, оно будет
падать с ускорением, которое нам тоже известно.
Теперь сравним радиус лунной орбиты и радиус Зем­
ли, то есть расстояние от центра Луны до центра Земли
и расстояние от ябло к а до центра Земли :
1 76
Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоянная
_
rл
384000 км
=
= 60 _
6370 км
R3
Получается, что Луна находится в 60 раз дальше от
центра Земли, чем яблоко.
Луна движется по окружности, а значит, это движе­
ние с центростремительным ускорением. Двигаться
с ускорением Луну заставляет сила тяжести, о которой
теперь можно говорить, как о силе всемирного тяготе­
ния. Сравним ускорение Луны и ускорение яблока. Для
ускорения Лун ы :
квадрат угловой скорости движения Луны п о
где w 2
орбите вокруг Земли.
Угловая скорость напрямую связана с периодом.
Вспомним, что:
-
В этом случае ускорение Луны :
4 л2
ал = ----тz · rл.
П одставив в формулу числа, получаем следующий
результат:
4 л2 3,84 · 1 0 6 м �
2 7 2 . 1 0 -з � .
ал
с2
(27,3 · 24 · 3600) 2 с 2
_
·
•
'
-
Теперь найдем, во сколько раз ускорение Луны под
действием притяжения к Земле меньше ускорения я бло­
ка под действием того же притяжения к Земле:
9,8 1 �
в =
с_ � 3600 = 60 2
.
ал
0,00272
_
_
_
?-
Получается, что от центра Земли Луна дальше, чем ябло­
ко, в 60 раз, а ускорение Луны меньше ускорения яблока
1 77
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
в 60 2 раз. А значит, можно предположить, что ускорение
Луны ( как и яблока или любого другого тела) обратно
пропорционально квадрату расстояния до центра Земли:
ал
1
- т:z ·
• ВРАЖДА УМОВ
Гипотеза о единстве сил, которые заставляют притя­
гиваться друг к другу все тела, пришла на ум Н ьютону
в 166 7 году. Высказав предположение, что Луна удержива­
ется на орбите силой всемирного тяготения, он проделал
такие же вычисления, как мы, но использовал данные
о параметрах орбиты Луны, которые были известны
в его, Н ьютона, время. К большому разочарованию учено­
го, результат расчетов на 2 0 % отличался от результатов
астрономических наблюдений. А так как Ньютон был
очень точным и щепетильным человеком, получив такой
результа� он разочаровался и надолго забросил свои
исследования. Спустя 2 0 лет оппонент Н ьютона, тот са­
мый Роберт Гук, сделал публикацию, в которой сообщил,
что ускорение тел обратно пропорционально квадрату
расстояния от притягивающего тела. Этого Ньютон
стерпеть не смог и вновь вернулся к задаче, используя
новые астрономические данные. И ему удалось получить
результат, который получили и мы.
Итак, Луна движется с ускорением, которое мы знаем.
Но что, если переместить яблоко на лунную орбиту?
С каким ускорением в этом случае оно будет двигаться?
Оказывается, с таким же, что и Луна. Помните, что еще Га­
лилей доказал, что ускорение, с которым движется тело,
не зависит от массы тела? Поэтому любое тело на лун­
ной орбите будет двигаться с таким же ускорением, как
и Луна. А это значит, что, поскольку ускорение обратно
1 78
Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоян ная
пропорционально квадрату расстояния, то, в соответ­
ствии со вторым законом Н ьютона, и сила притяжения
должна быть обратно пропорциональна квадрату рассто­
яния до притягивающего тела:
F - _!_ .
r2
А значит, какое бы тело мы ни взяли - далекую Луну
или тело вблизи Земли, - сила притяжения будет об­
ратно пропорциональна квадрату расстояния до центра
Земли.
Сила, с которой Земля притягивает к себе любое
тело - будь то яблоко или Луна, - должна быть про­
порциональна массе этого тела. А значит, можем сказать,
что
F - m.
И наконец, по Ш закону Ньютона, когда мы говорим,
что Земля притягивает к себе Луну, стоит добавить, что
и Луна притягивает к себе Землю с такой же силой. А если
сила тяготения прямо пропорциональна массе того тела,
которое притягивается, тогда сила всемирного тяготения
должна быть пропорциональна и массе Земли:
F - Мз .
Собрав все эти факты воедино, вслед за Ньютоном
получаем :
М
F- m з .
r2
Ньютон утверждал, что этот закон работает для любых
тел, а не только для тех, которые притягивает к себе Зем­
ля. Любые два тела с массами m 1 и m2 притягиваются друг
к другу с силой, модуль которой прямо пропорционален
произведению масс этих тел и обратно пропорционален
квадрату расстояния между ними. А значит:
1 79
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
F - т �тz .
r2
Чтобы пропорциональность превратилась в равенство,
достаточно записать коэффициент пропорциональности:
Эта формула описывает закон всемирного тяготения,
который был сформулирован Ньютоном в 1687 году
и опубликован в книге «Математические начала нату­
ральной философию>.
Тепа притяrиваются друr к друrу
с сипой, модупь которой прямо
пропорционапен произведению масс
этих теп и обратно проnорционапен
квадрату расстоя ния между ними.
Н о этот закон, записанный в данном виде, можно
использовать не всегда. Формула закона всемирного тя­
готения является справедливой:
1. Для точечных масс (материальных точек) .
2 . Для тел со сферически симметричным распределе­
нием масс.
К счастью, небесные тела имеют, как правило, сфе­
рически симметричное распределение масс, поэтому
в астрономии закон всемирного тяготения можно ис­
пользовать с огромной точностью.
В том случае, когда тела имеют более сложную, не­
симметричную форму, их можно разбить на крошечные
кусочки, каждый из которых можно считать матери1 80
Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоян ная
альной точкой. Для нахождения силы взаимодействия
таких материальных точек формулу закона всемирного
тяготения уже можно использовать. Затем придется
искать равнодействующую сил, с которыми каждый ку­
сочек одного тела взаимодействует с каждым кусочком
другого тела. Придется складывать огромное (а для по­
лучения точного результата - бесконечное) количество
маленьких векторов. Решением подобных задач занима­
ется раздел математики под названием «Интегральное
исчисление».
8 ГРАВИТАЦИОННАЯ ПОСТОЯНН АЯ
Величина G, стоящая коэффициентом в законе все­
мирного тяготения, имеет название гравитационная
постоянная.
Исаак Н ьютон до конца своей жизни так и не узнал ее
численного значения. Определена она была лишь спустя
1 1 1 лет после опубликования самого закона.
В чем же смысл гравитационной постоянной? Взглянув
на формулу закона всемирного тяготения и представив,
что масса одного тела и масса другого тела равны по 1 кг
и они находятся на расстоянии 1 м друг от друга, мы уви­
дим, что сила взаимодействия этих тел будет численно
равна гравитационной постоянной.
Гравитационная постоянная численно
равна сипе, с которой притягиваются
два точечнь1х тепа массой 1 кг,
расположенные на расстоянии
1 м друг от друга.
1 81
Физикл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Чтобы выяснить, в каких единицах измеряется грави­
тационная постоянная, выразим ее из закона всемирного
тяготения :
Следовательно:
Н · м2
·
[ G] = ---кгz
На первый взгляд, определить гравитационную
постоянную очень легко, так как известно ускорение сво­
бодного падения у поверхности Земли. Запишем I I закон
Ньютона для взаимодействия некоторого тела с Землей:
т·М
-з = тв .
G -R з2
Масса тела сокращается, а это говорит о том, что тела
любой массы будут падать с одним и тем же ускорением.
А значит, остается выразить гравитационную постоянную:
В · R�
G = --м-;- ·
Результат получ ить довольно легко. Ускорение
известно, радиус Земли еще в Ш веке до н. э. измерил
ученый Эратосфен. Но на тот момент Ньютону, как и всем
остальным, еще не была известна масса Земли. Именно
измерив гравитационную постоянную, удалось впервые
определить массу Земли, а не наоборот.
Впервые гравитационную постоянную измерил ан­
гличанин Генри Кавендиш, проведя опыт по измерению
силы взаимодействия шаров большой массы в 1 798 году,
через 1 1 1 лет после написания Н ьютоном «Математиче­
ских начал натуральной философии».
Это один из наиболее фундаментальных опытов
в физике, поскольку он позволил определить значение
1 82
Закон всемирного тяготения. Гравитационная постоянная
величины, которая сегодня входит в список мировых
констант.
Стоит отметить, что для проведения опыта установка
под названием крутильные весы досталась Кавендишу по
наследству от ученого Джона М ичелла (рис. 2).
730 г�
-р
)�
''""�
Рис. 2
Они представляют собой проч ную стальную прово­
локу с горизонтальным коромыслом, на краях которого
находятся два свинцовых шара массой по 730 г. К этим
шарам Кавендиш прибл ижал два тяжелых свинцовых
шара массой по 1 5 8 кг каждый с одной и с другой сто­
роны. Расстояние между центрами шаров Кавендиш
измерял с большой точностью, для чего использовал
«зрительные трубы», напоминающие телескоп, но рас­
считанные для наблюдения на небольшом расстоянии.
Вблизи малых шаров располагал ись шкалы, которые
позволяли зафиксировать даже небольшое смещен ие
шаров. Два больших шара подвешивались на другом
коромысле и подводились с разных сторон. Когда шары
1 83
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
подводились с одной стороны, они притягивались друг
к другу, поворач ивая коромысл о и закручивая нить, из­
за чего в ней возникала сила упругости. Сила упругости
противодействовала силе притяжения шаров, и в опре­
деленный момент наступало равновесие. По величине
закруч ивания нити можно определить силу упругости,
и поскольку шары будут находиться в равновесии, сила
упругости равняется силе тяготения. На основании
таких измерений Генри Кавендиш в 1 79 8 году получил
значение гравитационной постоянной, которое сегодня
выглядит следующим образом:
6 ' 67 . 1 0 -11
Н м2 ·
кг 2
·
--
Зная гравитационную постоянную, радиус Земли
и ускорение свободного падения у ее поверхности, можно
рассчитать массу Земли. Поэтому опыт Генри Кавендиша
в свое время называли опытом по взвешиванию Земли.
В Ы ВОД Ы
Изучив закон всемирного тяготения и драматическую
историю его открытия, мы можем лишний раз убедиться
в красоте и простоте правил, которым следует природа.
Два одноклассника, сидящие за соседними партами,
яблоко, лежащее в портфеле у одного из них, Земля, Солн­
це и, к примеру, Юпитер - все тела притягиваются друг
к другу с силой, прямо пропорциональной произведению
их масс и обратно пропорциональной квадрату расстоя­
ния между ними. Как просто и как красиво !
1 84
СИЛА ТЯ ЖЕСТИ И В ЕС
ТЕЛА. Н Е В ЕСОМ О СТЬ
И П Е РЕГРУЗКА
Вы, наверное, думаете, что в состоянии невесомости
могут находиться только космонавты. На самом
деле, когда вы спрыгиваете с табуретки, пока
ваши ноги не коснутся пола, вы тоже находитесь
в состоянии невесомости. Почему это происход и т
и какое отношение к невесомости имеет перегрузка,
мы поговорим на этом уроке.
к
ак вы уже знаете, сила тяжести - это сила, с кото­
рой Земля (или другое небесное тело) притягивает
к себе тела. Эта сила выражается через ускорение
свободного падения. П о 1 1 закону Ньютона она равна:
.....
Fтяж = mg.....
·
М ы также можем сказать, что сила тяжести я вляется
проявлением силы всемирного тяготения, а значит, для
ее нахождения можно воспользоваться законом всемирного тяготения :
mM3
Fтяж = G -,.z- ·
В этой формуле в знаменателе стоит квадрат расстоя­
ния от тела до центра Земли. Расстояние до центра Земли
может быть равно радиусу центра Земли, если тело нахо­
дится на поверхности Земли, тогда r = R3 . В этом случае
у поверхности Земли:
mM3
Fтяж = G --2- ·
Rз
1 85
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
У нас также есть возможность рассчитать силу тяже­
сти на любой высоте h , положив r = R 3 + h . А значит:
Fтяж ( h) = G
mM3
(R з + h) 2
Таким образом, чем выше мы поднимаемся, тем
меньше становится сила тяжести. По 1 1 закону Н ьютона
из этого следует, что меньше становится и ускорение
свободного падения. Из 1 1 закона Ньютона и последней
формулы получаем :
mM3
(R з + h) 2
mg (h) = G
Тогда ускорение свободного падения на любой высоте равно:
g ( h)
GМз
(R з + h) 2
Эта формула работает и тогда, когда высота равна
нулю. Поэтому можно записать, что у поверхности Земли:
�
G з .
g (O) =
Сравнение этих двух формул позволяет связать уско­
рения свободного падения на поверхности Земли и на
любой высоте:
g (h) = GМз . __вL_ .
g (O) (R3 + h ) 2 GM3
Отсюда получаем :
g (h) = g (O)
·
( R3R+3 h ) 2 ·
П ост р ое н и е гра ф и ка з а в и с и м ости
уско р е н и я с в о б о д н о го п а де н и я от в ы соты
с м от р ите зде с ь :
1 86
Сила тяжести и вес тела. Невесомость и перегрузка
8 ВЕС ТЕЛА
Сипа, с которой тепо действует на
опору ипи подвес, наэь1вается весом
тепа.
Представьте опору, на которую будет положено тело, но
самой опоры оно еще не касается. На него пока
действует только сила тяжести (рис. 1 слева) .
•
?????>,и;;;;777
�
�
mg
mg
'1/
�
р
v
Рис. 1
Под действием силы тяжести тело приобретает уско­
рение, а затем, приближаясь к опоре, набирает скорость.
Атомы тела сближаются с атомами опоры, из-за чего
между ними возникают силы отталкивания. В
результате этого атомы опоры немного опускаются, а
атомы ниж­ней части тела сближаются друг с другом.
Происходит изменение формы тела -деформация.
Вследствие деформации возникают силы упругости
(рис. 1 справа).
При этом сила тяжести как действовала, так и дей­
ствует. Но теперь появляется сила упругости опоры,
1 87
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
которая противостоит силе тяжести и тоже приложена
к телу. П о мере того как тело опускается, сила упругости
растет, поскольку опора деформируется все сильнее.
Н о точно так же под действием опоры деформируется
и само тело. А значит, и в теле возникает сила упругости,
которая действует на опору. По определению она назы­
вается весом (Р) . По Ш закону Н ьютона сила, с которой
тело действует на опору, точно такая же по модулю, но
противоположно направлена по отношению к силе, с ко­
торой опора действует на тело. Наша задача - научиться
вычислять вес.
По 11 закону Н ьютона равнодействующая всех сил,
действующих на тело, равняется произведению массы
тела на ускорение тела:
�
�
�
�
тg + Fр . о . = та ,
где Fp . o . - сила реакции опоры.
По Ш закону Ньютона, сила, с которой тело действует
на опору, и сила, с которой опора действует на тело, равны
по модулю и противоположны по направлению:
�
�
Fp.o. = - Р .
Подставив это соотношение во 1 1 закон Ньютона, по­
лучаем:
�
�
�
тg - Р = та .
Отсюда получаем формулу для вычисления веса тела
в любой ситуации, независимо от того, ускоренно оно
движется или же находится в состоянии покоя либо РПД:
�
�
d а ).
Р = т (g
-
Рассмотрим несколько частных случаев.
1 88
Си ла тяжести и вес тела. Нев есомость и перегрузка
а) Тело и опора неподвижны или равномерно движутся
-+
-+
с постояннои скоростью v . в таком случае а = о , а значит, формулу можно записать так:
-+
-+
р = тg .
�
Для сравнения вспомним формулу, по которой вычис­
ляется сила тяжести :
-+
Fтяж = тg-+.
В этом случае вес совпадает с силой тяжести:
-+ -+
Р = Fтяж·
Так будет тогда, когда опора неподвижна либо движет­
ся с постоянной по модулю и по направлению скоростью.
Это равенство является источником многочисленных
ошибок из-за того, что вес и силу тяжести путают.
Чтобы этого не происходило, нужно знать три отличия
веса от силы тяжести.
Вес и силу нельзя путать, потому что:
1. Эт и силы приложены к разным телам (сила тяже­
сти - к телу, вес - к подвесу или опоре).
2. Эт и силы имеют разную физическую природу (сила
тяжест и - гравитационная, а вес - электромаг­
нитн ая).
3. Сила тяжести и вес могут отличат ься как по чис­
ленному значению, так и по направлению.
б) Опора ускоряется вниз. В этом случае и тело, лежащее
на опоре, тоже будет ускоряться вниз (рис. 2) .
Поскольку ускорение тела направлено вниз, т о равно­
действующая всех сил, действующих на тело, тоже должна
-+
быть направлена вниз. А значит, Fp . o . будет меньше, чем
-+
тg . И по Ш закону Ньютона вес тоже будет меньше силы
тяжести.
1 89
ФИЗИКА. Основы и МЕХАН ИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
у
Рис. 2
Формулу для проекции веса на ось у можно записать так:
Ру = m (gy - ау);
Ву= g; ау= а; Ру= Р.
Итак, если опора ускоряется вниз, то:
\ P = m(g - a) .
Мы видим, что Р < mg .
8 НЕВЕСО М ОСТЬ
Чтобы добиться того, что вес равен нулю, нужно, чтобы
опора двигалась с ускорением свободного падения.
-+
-+
-+
Есл и а = g , то Р = О. Это состоя ние назыв ается невесо -
мостью .
Если тело находится в невесомости, оно перестает
контактировать с опорой -сила взаимодействия с ней
равна нулю, а сила тяжести остается и я в ляется един­
ственной силой, действующей на тело.
Невесомостью называется состояние
теnа, находящегося под действием
тоnько сипы тяжести.
i:--
j
_
_
_
_
_
_ • • • • • • •
_
..._
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
1 90
С ила тяжести и вес тела. Н евесомость и перегрузка
Космонавты на орбите тоже находятся только под
действием силы тяжести, поэтому внутри космического
корабля они находятся в состоянии невесомости, если
выключены все двигатели (в этом случае и сам корпус
космической станции испытывает только действие силы
тяжести) .
Движение тела только под действием силы тяжести
также называют свободным падением, а значит, можно
сделать вывод, что при сво бодном падении тело находит­
ся в состоянии невесомости.
• ПЕРЕГРУЗКА
Снова представим себе опору и тело, лежащее на ней
(рис. 3).
Если ускорение тела направлено вверх, это значит,
что равнодействующая всех сил, приложенных к телу,
--+
направлена вверх. Следовательно, Fp . o. больше, чем
--+
--+
сила тяжести. Но поскольку мы выяснили, что Fp . o. и Р
Рис. 3
1 91
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
совпадают по модулю, тело на опору будет действовать
весом большим, чем сила тяжести. Действительно:
Ру = т (gу - ау) ; Ву = g; ау = - а; Ру = Р;
Р = т (g + а) ,
Р > тg.
. . . . . . ..
Состояние тепа. при котором ero вес
бопьwе сипы тяжести. называется
nереrрузкой.
Чтобы охарактеризовать перегрузку, вводится вели­
чина, которая называется кратностью перегрузки. Эта
величина показывает, во сколько раз вес больше силы
тяжести (по модулю) :
К=
р
тg
-
·
В случае перегрузки К > 1 .
Кратностью nереrрузки называется
физическая вепичина. равная
отноwению модупя веса тепа
к модупю сипь1 тяжести.
Состояние перегрузки особенно важно для живых
существ. Если мы движемся с большим ускорением,
взаимодействуя с опорой, то силы упругости, которые
возникают в наших костях, могут достигнуть критических
значений, что может привести к травмам. Если перегрузка
очень большая, сердцу приходится качать кровь к голове
1 92
С ила тяжести и вес тела. Н евесомость и перегрузка
под большим давлением, и оно может не справиться.
В результате наступает обескровливание мозга и поте­
ря сознания. Чтобы этого не происходило, переживать
перегрузку лучше в горизонтальном положении. Это учи­
тывают в космонавтике и авиации. Мощные реактивные
двигатели позволяют двигаться самолету или ракете
с очень большими ускорениями, в результате чего космо­
навты или летчики испытывают большие перегрузки.
8 РОЗОВАЯ ВУАЛЬ
Если вам когда-нибудь приходилось играть в «летал­
КИ» - авиасимуляторы, вы могли наблюдать на экране
следующую ситуацию: когда самолет резко поворачивает
на большой скорости (например, чтобы избежать столкно­
вения с землей при выходе из пике), экран вдруг становится
красным, и картинка пропадает. Это происходит не случай­
но, а специально запрограммировано. Дело в том, что при
большом ускорении, из-за того что кровь отливает от мозга
пилота, в его глазах все розовеет, а изображение окружа­
ющих предметов пропадает. Эта розовая вуаль на экране
компьютера - признак того, что перегрузка, испытывае­
мая пилотом, принимает опасное значение.
Максимальная перегрузка, которую может выдержать
человек без необратимых последствий, - 10-кратная,
поэтому все ракетные и авиаконструкторы следят за
тем, чтобы кратность перегрузки не превышала этого
значения. В гражданской авиации пассажирам, как пра­
вило, не приходится переживать перегрузки, кратностью
большей, чем 2, поэтому часто это даже незаметно. Пере­
загрузка при взлете неизбежна. Сила, с которой кресло
давит на пассажира, должна вытолкнуть его вверх вместе
с самолетом. А для этого она должна быть больше силы
тяжести.
1 93
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
• ВЕС ТЕЛА НА ПОЛЮСЕ И НА Э КВАТОРЕ
Представьте земной шар с помещенными на полюсе и на
экваторе телами (рис. 4) .
R3 = 6400 км
пол ю с
Т = 24 ч
--+
F ,р . о. < mg
Рис. 4
Со стороны земного шара на тело действует сила
тяжести, которая направлена вниз и которую можно
выразить по стандартной формуле mg. Вверх направлена
--+
Fµ .o. · А значит, с какой силой Земля толкает тело вверх,
с такой силой тело толкает вниз Землю. На полюсе тело
неподвижно и движется без ускорения, независимо от
вращения Земли, поэтому d = О. А значит:
P = mg.
Переместимся на экватор. Мы знаем, что Земля
вращается с запада на восток с периодом Т = 2 4 часа.
А поскольку тело находится на экваторе, оно движется по
1 94
С ила тяжести и вес тела. Невесомость и перегрузка
окружности, а значит, движется с центростремительным
ускорением. Земля по-прежнему тянет тело вниз согласно
закону всемирного тяготения, но поскольку у тела есть
ускорение, направленное к центру, то равнодействующая
сил, действующих на тело, должна быть направлена
тоже к центру. Это значит, что противодействующая силе
--+
тяжести F'p .o. по модулю будет меньше, чем mg . П оэтому
и вес становится меньше:
P ' < mg .
Получается, что при той же массе на экваторе тела
легче, поскольку движутся с ускорением.
Чтобы рассчитать вес тела на экваторе, воспользуемся
--+
--+
--+
формулой Р = m (g - а ) или ее частным случаем, когда
Р ' = m (g - а ).
Вспомним формулу для центростремительного уско­
рения :
а = ы 2 R 3.
2п
4п2
Зная, что ы = т ' а = р Rз .
П одставив эти значения, мы получим формулу для
веса тела на экваторе:
, (-
)
4 n2 R
Р =m g p
з ·
Чтобы заметить вращение Земли, нужно очень внима­
тельно наблюдать за изменением, происходящим в небе.
Обычно нам кажется, что мы неподвижны. Поэтому, если
не замечать вращения Земли:
P ' = mg '.
Эта формула давала бы вес, связанный с массой и уско­
рением свободного падения, если бы мы находились на
полюсе, если бы не было ускоренного движения опоры.
1 95
Физикл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Так как мы не замечаем этого ускоренного движения, ду­
маем, что этой формулой можно пользоваться. Но только
ускорение свободного падения теперь будет другим.
Чтобы понять, каким будет кажущееся (относительное)
ускорение свободного падения g ', подставим эту формулу
в уже имеюющуюся :
(
4 2
n Rз
mg ' = т g ---тz
-
)
·
П оскольку масса сокращается, получается, что если мы
возьмем какое-то тело на экваторе и отпустим его, то оно
будет приближаться к поверхности Земли не с ускорением,
вызванным силой тяжести, а с меньшим ускорением :
4 2
,
n Rз .
g = g ---тz
-
Оказывается, что на экваторе ускорение свободного
падения меньше. Это происходит потому, что ускорение,
с которым тело приближается к центру Земли, вызвано
только силой тяжести. Но поскольку из-за вращения Зем­
ля уходит из - под тела, относительное ускорение меньше,
чем ускорение силы тяжести на величину переносного
ускорения. Здесь проявляет себя тот малозаметный
в обычных условиях факт, что система отсчета, связанная
с поверхностью Земли на экваторе, не является инер­
циальной, так как движется с центростремительным
ускорением. И тогда ускорение силы тяжести и ускорение
свободного падения не совпадают.
А знач ит, Лg - раз н ица между ускорением сво­
бодного падения на полюсе и на экваторе - будет
рассчитываться по формуле:
1 96
С ила тяжести и вес тела. Н евесомость и перегрузка
Лg =
4 . 3 1 42
•
· 6 ' 4 · 1 0 6 м :::: О ' 034 � с2
( 24 · 3600 с) 2
Обратимся к экспериментальным данным:
На полюсе g = 9,832 м/с 2 •
На экваторе g ' = 9,780 м/с 2 •
Лgэксп = 0,0 5 2 м/с 2 .
Это в полтора раза больше, чем результат, который мы
получили с помощью нашей формулы. В чем же может
быть дело? А дело в том, что Земля не является шаром.
Она не круглая, а скорее имеет форму мандарина, но
не такого сплющенного. Оказывается, что полярный
радиус Земли приблизительно на 21 км меньше, чем
экваториальный. Из-за этого различия в радиусах экс­
периментальные результаты отличаются от расчетных.
Ведь на экваторе поверхность Земли больше удалена от
ее центра, чем на полюсе, а ускорение силы тяжести, как
говорилось в начале этого урока, уменьшается с высотой.
Итак, существуют две причины, по которым уско­
рение свободного падения на экваторе меньше, чем
ускорение свободного падения на полюсе. Первая вращение Земли, вторая - отличие формы Земли от
сферической. Земной шар, как говорят ученые, имеет
форму геоида. Впрочем, это также следствие вращения
Земли.
Де м о н ст р а ц и ю в з ве ш и ва н и я тел
и р е ш е н и е зада ч и с м от р и те зде с ь :
1 97
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
.......
· -----
В Ы ВОД Ы
Невесомость - очень распространенное явление. Все
спортсмены-прыгуны и спортсмены-бегуны кратковре­
менно находятся в состоянии невесомости, пока их ноги
не касаются поверхности Земли. И если на Земле это
происходит кратковременно, в космосе это явление более
длительное. Невесомость можно также наблюдать в «бас­
сейне невесомости», специально оборудованном самолете,
используемом для тренировок космонавтов. В этом случае
опытный пилот должен направить самолет в воздухе по
параболе, чтобы в течение нескольких десятков секунд
ускорение самолета равнялось ускорению свободного па­
дения. Двигателями и крыльями пилот компенсирует силу
сопротивления воздуха, чтобы самолет двигался так, как
будто на него действует только сила тяжести.
Есл и в случае невесомости вес равен нулю и нет силы
давления на опору или силы натяжения подвеса, то бы­
вает и так, что давление на опору оказы вается больше
силы тяжести. Такое состояние называется перегрузкой.
Я ркий пример - прыжок с табуретки, когда в момент
приземления возникает состояние перегрузки. Или па­
рашютист, который в первые мгновения после прыжка
находится в состоянии невесомости с нераскрытым
парашютом, но сразу после его раскрытия подвергается
перегрузке, поскольку, для того чтобы погасить скорость,
набранную под действием силы тяжести, его тянут вверх
стропы парашюта с силой, значительно большей силы тя­
жести . П о мере уменьшения скорости парашютиста сила
натяжения стропов уменьшается. И когда она становится
равной силе тяжести, парашютист начинает снижаться
с постоянной скоростью.
1 98
И СКУССТ В Е Н Н Ы Е
СПУТН И КИ З Е МЛ И.
ЗАКО Н Ы КЕ ПЛ Е РА
Мы привыкли к тому, что Земля «плоская». И если
бросить тело горизонтально, оно просто упадет.
Но если вспомнить, что Земля действительно
круглая, может так случиться, что брошенное
горизонтально тело, падая, «промахнет» мимо
земного шара и начнет кружить вокруг Земли. В своей
книге Ньютон описал пример, когда из стоящей на
горе пушки производились горизонтальные выстрелы.
Если выстрелить медленно - ядро упадет. Если
побыстрее - упадет дальше. Но если подобрать
особую скорость, то из-за того, что Земля круглая,
ядро начнет вращаться вокруг нее. Такая скорость
называется круговой или первой космической.
А вот если выстрелить еще быстрее, ядро будет
вращаться вокруг Земли уже не по окружности, а по
эллипсу. Именно этот факт был обнаружен Кеплером.
Существуют и другие закономерности, которые
описываются его законами. О них вы и узнаете на
этом уроке.
м
ы завершаем рассмотрение силы всемирного
тяготения, переходя от земных к более крупным,
космическим масштабам. Начнем с того, что мы
уже хорошо знаем, - с движения тела, брошенного гори­
зонтально. Тело находится под действием силы тяжести,
которая описывается с помощью ускорения свободного
1 99
ФИЗИКА. Основы и МЕХАН ИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
падения. Траектория движения тела будет параболой.
Вспомним, какие приближения мы использовали при
анализе такого движения:
g = const .
--+
------+
Ускорение свободного падения не зависит от высоты,
а вектор всегда направлен в одну и ту же сторону. А те­
перь представьте, что мы не у поверхности Земли, а на
высоте, соизмеримой с размерами земного шара, когда
расстояния исчисляются не сотнями метров, а тысячами
километров. Когда длина траектории соизмерима с раз­
мерами земного шара. В этом случае Земля уже проявляет
свою кривизну, и, если мы бросаем тело горизонтально,
условия его движения меняются :
--+
------+
g *- const.
Модуль этого вектора зависит от высоты. С увеличе­
нием высоты g становится меньше, и вектор ускорения
свободного падения направлен к центру Земли, то есть
не является постоянным и по направлению (рис. 1) .
Вспомним, как ускорение свободного падения зависит
от высоты. Для этого нам пригодится 1 1 закон Н ьютона:
--+
--+
v
v
� . ...
1..:7 - .... ....
па рабола
. /
.... .... .... <
'
'
????>>?
>?>>>
??)?7 ·
'
g = const
--+
------+
--+
Рис. 1
200
------+
g *- const
Искусственные спутники Земли. Законы Кеплера
m M3
G (h + Rз J 2 = т g.
.
Чтобы связать ускорение со скоростью движения тела,
специально подберем скорость таким образом, чтобы
ускорение этого тела представляло собой центростре­
мительное ускорение. Если тело просто отпустить - оно
упадет, если бросить его слишком быстро - улетит.
Но есл и подобрать скорость этого тела определенным
образом, оно одновременно будет и падать на Землю,
и двигаться мимо нее. Совокупность этих двух движе­
ний можно подобрать так, что тело будет равномерно
двигаться вокруг Земли по окружности. В этом случае
g будет представлять собой не просто ускорение тела,
а ускорение тела, равномерно движущегося по окружно­
сти, - центростремительное ускорение.
'
Обозначим такую скорость v . Если мы бросаем тело
горизонтально на высоте h, радиус круговой траектории
будет R3 + h. Пользуясь формулой для центростремитель­
ного ускорения, запишем:
'2
g = -v
h + Rз
_ _
_
Подставив это выражение в записанную ранее форму­
лу 11 закона Ньютона, получаем:
m M3
тv' 2 ;
=
G (Rз + h) 2 R 3 + h
---
Отсюда:
v· =
jRGМз з .
+h
Такая скорость называется круговой скоростью, и она
зависит от того, на какой высоте брошено тело.
201
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Тело можно бросить горизонтально и с другой скоро­
стью - меньшей или большей (рис. 2).
v
Рис. 2
Расчеты, которые мы пока проводить не умеем,
поскольку не знакомы с дифференциальными уравне­
ниями, позволяют найти форму траектории для разных
начальных скоростей тела:
1 . v < v*, эллипс.
2 . v = v·, окружность.
3. v* < v < -J2 v*, эллипс.
4. v = -J2 v*, парабола.
5. v > -J2 v' , гипербола.
Математическая справка. Эллипс - это замкнутая
кривая овальной формы (вытянутая окружность) .
Внутри эллипса есть две точки, называемые фокусами.
Сумма расстояний от фокусов до каждой точки эллип­
са - величина постоянная. Если фокусы сближать, то
в момент, когда расстояние между ними станет равным
нулю, эллипс превратится в окружность.
Если скорость тела равна нулю, тело будет падать по
прямой к центру Земли. Допустим, что скорость не равна
202
Искусственные спутники Земли. Законы Кеплера
нулю, но меньше, чем круговая скорость. В этом случае
тело будет падать по кривой, именуемой эллипсом. При­
чем этот эллипс может частично проходить внутри Земли.
Если скорость равна круговой скорости, траектория
будет представлять собой окружность с центром в цен­
тре Земли.
Попробуем немного увеличить скорость, чтобы она
была больше круговой, но меньше чем ../2 круговой
скорости. В этом случае движение тоже произойдет по
эллипсу, но иначе вытянутому. Фокус эллипса всегда на­
ходится в центре Земли. И если тело бросить медленно,
в центре Земли будет находиться дальний фокус эллипса.
Есл и бросить тело быстро, в центре Земли будет нахо­
диться ближний фокус.
Если плавно увеличивать скорость, эллипс станет
вытягиваться вниз. И в один момент, когда скорость бу­
дет равна ../2 круговой скорости, эллипс «лопнет» внизу
и превратится в параболу.
Если продолжить наращивать скорость, когда она
будет больше ../2 круговой скорости, то траектория пре­
вратится в гиперболу.
Принципиальное различие между параболой, гипер­
болой и эллипсом заключается в замкнутости. Эллипс
и окружность - замкнутые кривые, а парабола и гипер­
бола - кривые разомкнутые. С точки зрения физики это
означает, что тело покинет Землю и уйдет в открытый
космос.
Англ ичане такую скорость, равную ../2v', называют
скоростью побега - escape velocity.
Если телу сообщить эту скорость, на Землю оно
не вернется. А значит, и космическому кораблю, чтобы
уйти в межпланетное пространство, необходимо развить
такую скорость.
203
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
• ПЕРВАЯ КОСМИЧЕСКАЯ СКОРОСТЬ
Представьте, что вы запускаете космический объект на
высоте, гораздо мень ш ей радиуса Земли. Пусть h « R3,
тогда круговая скорость:
V1 =
rсм:; .
.JR;
Это будет та скорость, которую необходимо сообщить
в горизонтальном направлении телу, находящемуся
вблизи поверхности Земли, чтобы оно стало двигаться
по круговой траектории. Такая скорость носит название
первая косми ческая скорость.
Если мы подставим в эту формулу данные о Земле,
получ и м :
Такую скорость необходимо сообщить телу, чтобы оно
превратилось в искусственный спутник Земли.
... ..
.
.
.
Первой космической скоростью
называется скорость, которую
необходимо сообщить телу
в горизонтальном направлении,
чтобы оно двигалось по круговой
траектории на небольwой высоте над
поверхностью Земли или планеты.
В некоторых случаях круговую скорость также на­
зывают первой космической. Но чтобы почувствовать
разницу, мы отдельно рассматриваем круговую скорость,
которая может быть вычислена на любой высоте. А вот
под первой космической подразумевается та скорость,
204
Искусственные спутники Земли. Законы Кеплера
которая дает низкую орбиту. И нтересно, что чем больше
высота, тем медленнее будет двигаться спутник по кру­
говой орбите.
Рассмотрим еще одну скорость, когда v2 = ../2 v 1 . В этом
случае космический аппарат, запущенный горизон­
тально, будет лететь по параболической траектории
и покинет Землю. Такая скорость носит название вторая
косми ч еская скорость:
км
с
Vz :::: 1 1,2 - ·
8 ГЕОСТАЦИОНАРН АЯ ОРБИТА
Среди всех спутников существуют особенно важные,
которые обеспечивают земную связь. Например, те­
левизионные ретрансляционные спутники. Для того
чтобы такой спутник нормально работал, важно, чтобы
он все время висел над одной и той же точкой планеты.
А значит, орбита должна быть рассчитана так, чтобы
спутник находился всегда на постоянной высоте и над
одной точкой Земли. Такая орбита спутника называется
геостационарной орбитой.
Чтобы орбита была геостационарной, должно выпол­
няться одновременно несколько условий:
1. Спутник должен двигаться с круговой скоростью,
2.
v = v·.
Период вращения спутника должен равняться пе­
риоду вращения Земли, Т = 24 часа.
З. Спутник должен двигаться в направлении враще­
ния Земли.
4. Плоскость орбиты спутника должна совпадать
с плоскостью экватора Земли.
Чтобы рассчитать, на какой высоте должен летать
спутник, воспользуемся 11 законом Ньютона:
205
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
4n2
GM3 = --р (R3 + h) 3 ;
·
з
(Rз + h ) 3 GМп2Т2 '
4
R3 + h = 3/СМзТ2 .
J�
Отсюда высота стационарной орбиты рассчитывается
следующим образом:
h = 3{GМзТ2 - Rз .
J�
Находясь на этой высоте, спутник всегда будет распо­
лагаться над одной и той же точкой земного экватора.
Если подставить сюда все числа, окажется, что:
h :::: 3 6 ООО км.
Высота орбиты должна в 6 раз превышать радиус
Земли, чтобы спутник по круговой орбите проходил один
оборот за сутки.
Де м о н ст ра ц и ю ф и л ь м а с м о т р и т е зде с ь :
8 Д ВИЖЕНИЕ ПЛАНЕТ
Когда мы говорим о движении планет, сразу вспомина­
ется Солнечная система. Сила всемирного тяготения
удерживает планеты на их орбитах и не дает им улететь
206
Искусственные спутники Земли. Законы Кеплера
в космос. В центре Солнечной системы находится Солнце,
вокруг которого движутся все планеты. Но люди далеко
не сразу догадались о том, что именно Солнце находится
в центре Солнечной системы.
8 О т АРИСТОТЕЛЯ К КОПЕРНИКУ
В Ш веке до н. э. выяснилось, что Земля круглая. Затем
наступила эпоха, когда во главе всей науки было учение
Аристотеля. Он считал, что мир состоит из двух частей:
земной (грешной и несовершенной) и идеальной не­
бесной системы. И в центре мира, согласно Аристотелю,
должна находиться именно Земля. А поскольку планеты
принадлежат идеальному миру, они должны двигаться по
идеальным траекториям, которыми в то время считались
окружности. Н о если наблюдать за планетами на фоне
звезд, можно заметить, что они совершают довольно
сложное движение - выписывают петли. А значит, надо
было объяснить, почему планеты движутся петлеобразно
и в то же время по круговым траекториям. Такую модель
во 1 1 веке н. э. придумал александрийский астроном
Клавдий Птолемей. Но Птолемей по-прежнему считал,
что Земля находится в центре мира, поэтому назвал свою
систему мира геоцентрической.
Согласно учению Птолемея каждая планета движется
по окружности, но центр этой окружности не неподви­
жен, а тоже движется по окружности большего радиуса.
Земля находится в центре этой большой окружности.
Маленькая окружность называлась эпицикл, а большая
окружность - деферент. И поскольку планета двигалась
одновременно по двум окружностям, она выписывала
петли. Птолемею удалось с некоторой точностью пред­
сказы вать положение планет в тот или иной момент
времени. С ростом точности астрономических наблю207
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
дений оказалось, что геоцентрическая система плохо
работает, расхождение между расчетными и наблюда­
тельными данными росло. Чтобы усовершенствовать
систему, пришлось на эпициклы «навешивать» допол­
нительные эпициклы, заставляя планеты двигаться уже
не по двум, а по большему числу окружностей.
К XI I I веку оказалось, что, для того чтобы точно опи­
сать движение тех пяти планет, которые в то время были
известны (Меркурий, Венера, Марс, Юпитер и Сатурн),
нужно заставить эти пять планет двигаться по 70 различ­
ным эпициклам.
В 1 5 3 5 году Николай Коперник высказал мысль, что
в центре мира находится не Земля, а Солнце, поэтому
и система Коперника называется гелиоцентрической
системой мира. Согласно его учению планеты вращаются
по окружностям вокруг Солнца. Об этом он написал в книге
«Об обращении небесных сфер». В этой книге были при­
ведены даже радиусы круговых орбит планет. Правда, за
единицу был принят радиус земной орбиты. Он до сих пор
так и называется - 1 астрономическая единица, которая
приблизительно равна 1 5 0 млн км. Радиусы орбит других
планет выражались именно через радиус земной орбиты.
Стоит отметить, что написал книгу Коперник в 1535 го­
ду, но издал ее лишь в 1 543 -м, в год своей смерти. Он
понимал, что, если бы церковь узнала о его учении, у него
были бы большие неприятности, ведь в основе церковной
доктрины лежало учение Аристотеля. И только когда Ни­
колай Коперник понял, что впереди у него лишь вечность
и гнев церк в и ему не страшен, он опубликовал эту книгу.
• ЗАКОНЫ КЕПЛЕРА
Коперник хоть и был близок к истине, но познать
ее смог немецкий астроном Иоганн Кеплер. В конце
208
Искусственные спутники Земли. Законы Кеплера
XVI века он работал с астрономическими таблицами
датского астронома Тихо Браге, который десятки лет
проводил систематические высокоточные наблюдения
за движением планет. Кеплер предполагал, что планеты
движутся вокруг Солнца по окружностям, и хотел уточ­
нить параметры их орбит. Н о желаемого резул ьтата он
не достиг. Кеплер пришел к выводу, что планеты дви­
жутся не по окружностям. На основании набл юдений
Тихо Браге Кеплер показал, что планеты движутся по
элл ипсам (рис. 3 ) .
Fi , Fi фокусы
-
а большая полуось
Ь малая полуось
2Ь
-
-
2а
Рис. 3
Итак, согласно исследованию Кеплера, кривые, по
которым движутся планеты вокруг Солнца, - эллипсы.
И оказывается, что Солнце находится в одном из фокусов
эллипса. Этот факт представляет собой содержание / за­
кона Кеплера :
Планеть1 движутся по эллиптическим :
орбитам, в одном иэ фокусов которых
находится Солнце.
�
- · · · · · · ·
!--
Допустим, что прошло какое-то время, за которое пла­
нета переместилась по орбите на некоторое расстояние.
209
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Построим так называемые радиус-векторы - отрезки, сое­
диняющие Солнце с планетой в двух ее положениях (рис. 4).
за t
радиус-в екто р ы
Рис. 4
В результате образуется фигура
эллиптический
сектор. Планета будет продолжать свое движение и че­
рез некоторое время окажется в другой точке, но теперь
уже ближе к Солнцу. По мере такого движения скорость
планеты увеличивается, поэтому, чем ближе планета
к Солнцу, тем больше ее л инейная скорость на орбите.
А значит, за то же самое время радиус-вектор повернется
на больший угол. Но площадь второго эллиптического
сектора окажется точно такой же, как и площадь первого.
П олучается, что за равные промежутки времени ради­
ус-вектор, соединяющий планету и Солнце, описывает
равные площади. И этот факт - // закон Кеплера:
За равные промежутки времени
радиус-вектор, соединяющий
планету и Солнце, описывает равн1о1е
площади.
1-----t-- · . . . . .
.
Теперь рассмотрим не одну, а две планеты, движущие­
ся вокруг Солнца. Каждая планета совершает один оборот
21 0
Искусственные спутники Земли. Законы Кеплера
по орбите за какое-то время. Такое время называется
периодом обращения планеты (рис. 5).
2
Рис. 5
Кеплер показал, что периоды обращения планет
и большие полуоси их эллиптических орбит связаны
таким соотношением:
При решении задач такой результат нам уже встречал­
ся в случае с круговой траекторией. Оказывается, этот
закон справедлив не только для круговых траекторий,
но и для эллиптических. Это не удивительно. Ведь окруж­
ность - частный случай эллипса. Если сдвигать фокусы
эллипса, то в момент, когда они сойдутся в одной точке,
эллипс превратится в окружность.
Остается сформулировать III закон Кеплера:
... ..
.
.
Квадрать1 периодов обращения
nпанет вокруг Сопнца относятся как
кубы бопьwих nопуосей их орбит.
.___
-+
- · · · · · · ·
-
21 1
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Все три закона Кеплер сформулировал на основании
набл юдений, п ол ьзуя сь табл ицами Тихо Браге. Н о с по­
явлением законов Н ьютона стал и доступ н ы достаточно
мощные математические и н струменты - интегральное
и дифференциальное и сч и сление. И оказ ы вается, что,
записав 11 закон Н ьютона для планеты, вращающейся
во круг Солнца, и решив полученное дифференциал ьное
уравнен ие, можно получить все три закона Кеплера.
Это еще один признак того, что 1 1 закон Н ьютона ра­
ботает не только в пределах Земли, но и в косм ических
масштабах.
Р е ш е н и е зада ч на д в и же н и е п л а нет
с м от р ите зде с ь :
В Ы ВОД Ы
Все начиналось со стоящей на высокой горе пушки Нью­
тона. А сейчас открытые Н ьютоном законы работают
в космических разработках Илона Маска. Эти законы
работают не только на Земле, они справедливы в самых
отдаленных точках Вселенной. И если в ы мечтаете стать
астрономом или отправиться в космос, знания физики
пригодятся вам в первую очередь. Например, чтобы от­
крывать новые планеты или запускать ракеты.
Умелое использование знаний о движении планет
позволяет потратить меньше энергии на межпланетные
21 2
Искусственны е спутники Земли. Законы Кеплера
путешествия. Вот простейший пример. Ракеты всегда
запускают в направлении на восток. В этом случае к ско­
рости ракеты прибавляется скорость вращения Земли.
Вблизи экватора это приблизительно 0,5 км/с. Чтобы
запустить космический объект на другую планету, можно
использовать движение самой Земли вокруг Солнца, а это
дополнительные 30 км/с! Так можно на порядок умень­
шить затраты ракетного топлива для полета, например,
на Марс.
21 3
СИЛ Ы ТРЕ Н ИЯ
Когда спутник спускается слишком низко, он начинает
терять высоту из-за того, что на него со стороны
атмосферного воздуха действует сила трения.
Сила трения возникает в самых разнообразных
случаях. Например, когда мы пытаемся сдвинуть какое­
то тело, лежащее на горизонтальной поверхности,
но оно все равно остается неподвижным из-за
действия силы, которая приложена к телу со стороны
поверхности и уравновешивает при кл адываемую
нами силу. Такая сила называется силой трения покоя .
Но если приложить больше усилий, тело сдвигается,
и здесь уже вкл юч а ется сила трения скольжения. Силы
трения очень разнообразны, и у каждой из них есть
свои особенности. Их мы и рассмотрим на этом уроке.
м
еханика изучает три вида сил, два из кото­
рых - силу тяжести и силу упругости - мы уже
знаем. Теперь познакомимся с третьим видом
силы - силой трения.
Представим, что у нас есть брусок, находящийся на
горизонтальной опоре (рис. 1).
На него со стороны опоры действует сила упругости,
а со стороны Земли - сила тяжести, направленная вниз
и приложенная к центру тяжести бруска.
21 4
С илы трения
77/77777?)??)�� .
>
'
-
Fтяж
Рис. 1
Упомянутая сила упругости обычно обозначается
буквой N и называется силой нормал ыюго давления,
поскольку она перпендикулярна (нормальна) поверхно­
сти, на которой находится тело. Тело находится в покое,
равнодействующая этих сил равна нулю, а значит, можно
считать, что их нет.
Приложим к этому бруску горизонтальную силу, на­
правленную вправо, например, 0,3 Н. Брусок все равно
остается на месте. Это говорит о том, что появилась еще
одна сила, которая уравновешивает приложенную нами
горизонтальную силу. Она направлена влево, приложена
к границе между телом и опорой и по величине такая же,
как сила F. Это и есть сила трения.
• ТРЕНИЕ ПОКОЯ
Построим график, на котором по горизонтали отложим
величину упомянутой выше силы F. Для измерения этой
силы используем динамометр. По вертикали отложим
силу трения Fтр (рис. 2).
Согласно графику при силе 0,4 Н, приложенной к телу,
оно приходит в движение - начинается скольжение.
Скорость тела при этом не меняется, а значит, сила,
21 5
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
...
тело уско ря ется
Fтр' Н
/
р авномерное движен ие
-------"'- :�1'-''
0,6
0. 4
- ·. - -
-----·
:
0,2
о
0,2
трен ие
поко я
0,4
0,6
0,8
F, H
трен ие
скол ьжен я
Рис. 2
которая прикладывается к телу, по-прежнему уравнове­
шивает силу трения.
Область графика О � F � 0,4 Н соответствует ситуации,
когда сила трения уравновешена внешней силой. При
этом тело находится в покое, а значит, мы наблюдаем
трение покоя.
Сила трения покоя возникает
тоrда, коrда к неподвижному
телу приложена внешняя сипа,
параллельная поверхности
опоры. Она направлена в сторону,
противоположную направлению
внешней силь1 и равна ей по модулю.
Когда мы начинаем прикладывать силу больше, чем
0,4 Н или равную ей, начинается скольжение. При этом,
как показывает опыт, сила трения остается такой же. Но
21 6
С илы трения
если мы прикладываем большую силу, она уже не урав­
новешена силой трения, и тело нач инает двигаться
с ускорением. Такое движение называется скольжением,
а действующая на тело сила называется силой трения
скольжения.
И сила трения покоя, и сила трения скольжения всег­
да направлены вдоль поверхности. Это отличает их от
силы упругости (силы нормального давления), которая
направлена перпендикулярно поверхности.
Сила трения покоя имеет определенные границы:
О < Fтр < Fтp max
После начала скольжения сила трения уже не увели­
чивается:
Fтр :::: Fтp max
От чего же зависит максимальное значение силы тре­
ния покоя?
• КО ЭФ Ф ИЦИЕНТ ТРЕНИЯ
Ответ на вопрос, от чего зависит максимальное значение
силы трения покоя, может дать опыт. Попробуем менять
силу нормального давления - силу, которая действует
на тело со стороны опоры. Такая же сила - вес тела
Р = N - действует со стороны тела на опору и направлена
вертикально вниз. Вес зависит от массы тела, а увели­
ч ить массу бруска можно с помощью грузов, положенных
сверху.
Изначальный вес бруска был равен 1,9 Н, и каждый
раз мы добавляли по одному грузу, вес которого равен
1 Н, после чего измеряли максимальное значение силы
трения покоя, равное также силе трения скольжения.
21 7
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
N, H
Fт • Н
р
1 ,9
2,9
3,9
0,4
0,6
0,8
Fт р
N
::: 0,2 1
::: 0,21
:::: 0,21
Получается, что максимальное значение силы трения
покоя, оно же - сила трения скольжения, прямо про­
порционально силе нормального давления. Если тело
прижимать к опоре с удвоенной силой, при движении
тела сила трения будет в два раза больше:
Fтp - N.
Введем коэффициент пропорциональности :
Fтр = µ N.
·
Здесь µ - коэ фф и ц иент трения. Это величина, равная
отношению силы трения скольжения к силе нормального
давления. В нашем опыте µ = 0,2 1 .
Как мы убедились и з опыта, коэффициент трения
не зависит от силы нормального давления. Но он зависит
от материалов, контактирующих при трении и от обра­
ботки их поверхностей.
Записанная выше формула является математическим
выражением закона Амонтона - Кулона.
Сипа трения скольжения возникает при
движении тела по поверхности дpyroro
тела, прямо пропорциональна сипе
нормапьноrо давления и направлена
в сторону, противоположную
направлению скорости этоrо тела
относительно дpyroro тела.
21 8
С илы трения
Важно, что сила трения скольжения практически
не зависит ни от площади поверхности, по которой тела
соприкасаются, ни от скорости движения одного тела по
поверхности другого.
Сила трения имеет одну особенность, которой пре­
небрегают при решении школьных задач по физике, но
которая порой очень заметно проявляет себя в жизни.
Оказывается, что при контакте некоторых поверх­
ностей максимальное значение силы трения покоя
превышает силу трения скольжения. На ощупь такие
поверхности иногда кажутся липкими. Это явление на­
зывается явлением застоя, а на графике силы трения
проявляется в виде «зубца» при переходе от трения покоя
к трению скольжения (рис. 3).
0,4
0,6
0,8
F, H
я вл ен ие
за сто я
Рис. 3
И м пол ьзуются скрипачи, виол ончелисты и контра­
басисты. Именно из-за явления застоя, несмотря на то
что музыкант ведет смычком по струне с постоянной
скоростью, струна под смычком приходит в колеба­
тельное движение. А чтобы явление застоя проявляло
себя ярче, музыканты перед игрой натирают смычки
канифолью. Визг несмазанных дверных петель, скрип
старых половиц также объясняются явлением застоя.
21 9
ФИЗИКА. О с новы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
8 ПОЛЕЗНОЕ И ВРЕДНОЕ ТРЕНИЕ
Есл и бы не трение, мы бы не могли ходить по земле. Ав­
томобиль не мог бы разогнаться и затормозить. Ш нурки
постоянно бы развязывались. Даже мебель в комнате
не смогла бы оставаться на месте. В этих случаях тре­
ние - полезное.
Для увеличения такого трения подошвы обуви,
особенно спортивной, снабжают рельефным рисунком,
автомобильные шины - протектором. Гимнасты и штан­
гисты, чтобы руки не скользили по поверхности
спортивных снарядов, натирают ладони специальным
веществом - магнезией.
Однако трение может быть и вредным. Свой вред оно
проявляет при работе различных механизмов, приводя
их к износу. На поверхности всех тел есть шероховатости,
мельчайшие неровности, зубчики, которые обламывают­
ся при трении. Происходит разрушение этих неровностей
на поверхности тел, то есть износ. Для уменьшения изно­
са деталей механизмов трение следует уменьшать. И для
этого существуют некоторые приемы.
Де м о н стра ц и ю о п ыта н а т р е н и е ка ч е н и я
с м от р ите зде с ь :
8 ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ
Трение скольжения можно заменить трением качения.
Сила трения качения в десятки и сотни раз меньше силы
трения скольжения.
Понять природу этой силы можно, если вспомнить
опыт Галилея, когда он скатывал шары с наклонной
220
С илы трения
плоскости. В одном варианте опыта шары скатывались
на каменный пол, посыпанный песком, а в другом вари­
анте пол был чистым, гладким. Если каменный пол чист,
трение качения настолько мало, что скорость катящегося
тела практически не меняется. Но если на полу есть не­
ровности (песчинки), трение качения выступает ярче.
Получается, что все дело в неровностях, по которым
катится тело.
Представьте, что шар катится по неровной поверхно­
сти. Например, по столу, на котором рассыпаны крошки
(рис. 4).
Fтр .кач ения
Fтр .кач е ни я
Рис. 4
Когда шар вкатывается на крошки, он их раздавли­
вает. И чтобы их раздавить, нужно приложить силу. По
Ш закону Ньютона с такой же силой крошки действуют
на шар. Эта сила немного наклонена от вертикали в сто­
рону, противоположную направлению качения шара.
Горизонтальная составляющая этой силы и есть сила
трения качения.
Если заставить шар катиться по песку, он будет его
продавливать. Позади шара уровень песка будет ниже,
221
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
чем перед ним. Можно представить себе, что шар посто­
янно вкатывается вверх по наклонной плоскости, теряя
свою скорость. Сила, вызывающая уменьшение скоро­
сти, - сила трения качения.
Трение качения можно и нужно использовать там, где
сила трения должна быть как можно меньше. Как правило,
это различные машины и механизмы. Между движущи­
мися поверхностями механизмов помещают шарики или
ролики, которые разделяют поверхности, не давая им
тереться друг о друга. Устройства, работающие по это­
му принципу, называются шариковые подшипники или
роликовые подшипники. Для того чтобы шарики или ро­
лики равномерно распределялись внутри подшипника,
используют специальное кольцо с отверстиями, которое
называется сепаратором (рис. 5).
Рис. 5
1) внешнее кольцо;
2) шарик (тело качения);
3) сепаратор;
4) дорожка качения;
5) внутреннее кольцо.
222
С илы трения
Де м о н стра ц и ю р а боты п од ш и п н и ка
с м от р ите зде с ь :
Подшипники скольжения заменяют подшипниками
качения везде, где необходимо уменьшить силу трения.
В некоторых случаях вместо шариков могут использо­
ваться ролики (цилиндры). Благодаря большей площади
контакта роликов с дорожкой качения, они выдерживают
большие нагрузки. Ведь если вес распределить по боль­
шей площади, давление на поверхность уменьшится,
и сила давления не будет разрушать ни поверхность, на
которой лежит ролик, ни поверхность самого ролика.
Сила трения покоя, сила трения скольжения и сила тре­
ния качения имеют общее название силы сухого трения.
Но разнообразие сил трения этим не исчерпывается.
-
• ТРЕНИЕ В ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ
Вы замечали, что, купаясь в море и зайдя на такую глу­
бину, когда большая часть вашего тела находится в воде,
перемещаться по дну довольно сложно? Это происходит
потому, что вам мешает двигаться вода. Сила, которая
мешает двигаться в жидкости, называется силой жидкого
трения. Иногда ее называют также силой вязкого трения.
Такая же, но меньшая сила появляется и при движении
в газе (легко л и ехать на велосипеде против ветра?) .
Сипа жидкоrо (вязкоrо) трения
возникает при движении теnа
в жидкости иnи rазе.
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
,___
_
_ . . . . . .
.
223
ФИЗИКА.
Осн о вы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Представьте себе лодку на поверхности воды (рис. 6) .
Ж идкое (вя зкое ) трен и е
�
Fсо п р сила сопротивления
-
Рис. б
Если ее толкнуть, через некоторое время она оста­
новится. Чтобы поддерживать равномерное движение
лодки, необходимо прикладывать силу. Это значит, что со
стороны воды на лодку действует сила вязкого, или жид­
кого, трения. Ее также называют силой сопротивления.
Она направлена в сторону, противоположную направ­
лению скорости лодки и при равномерном движении
уравновешивает внешнюю силу.
Сила сопротивления возникает и при движении тел
в газах, что можно объяснить на примере парашюта (рис. 6).
На тело и парашют тоже действуют две силы. И если
бы не воздух, тело бы падало с ускорением свободного
падения. Но тело вместе с парашютом движется равно­
мерно и прямолинейно. Это значит, что сила тяжести
уравновешена (скомпенсирована) какой-то другой силой,
направленной вверх, - силой сопротивления.
У сил вязкого (жидкого) трения, сил сопротивления
в жидкостях и газах имеются особенности:
1 . Fсо п р « Fсух.т р · Когда тела перемещаются в жидкостях
и газах, сила сопротивления при прочих равных усло­
виях гораздо меньше силы сухого трения.
224
С илы трения
2 . В случае жидкого трения нет трения покоя.
3. Fсо п р увеличивается с ростом скорости. Чем быстрее
движется тело, тем больше сила сопротивления. Имен­
но поэтому при купании в море идти по дну можно,
а вот бежать - нет.
4. Fсо п р увел ичи вается с ростом размеров тела. С рас­
крытием параш юта скорость начи нает резко падать.
Чем больше размер (пло щадь) тела, тем больше
сила сопротивления при том же самом значении
скорости.
Для замены сухого трения на жидкое в подшипниках
скольжения используется смазочное (машинное) масло
(рис. 7) .
подш и п н и к скол ьжен и я
Рис. 7
Смазочное масло хорошо смачивает обе трущиеся
поверхности, покрывая их тонким слоем и заодно предо­
храняя от окисления.
Подшипник скольжения может работать почти так же
эффективно, как шариковый или роликовый. При этом он
выдерживает гораздо большие нагрузки по сравнению
с подшипниками качения, так как нагрузка распределена
по большей площади.
225
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Очень важно следить за тем, чтобы междУ трущимися по­
верхностями всегда была смазка. В случае отсугствия масла
жидкое трение перейдет в сухое, и сила трения резко увели­
чится. Это приведет к сильному нагреву подшипника, что
в свою очередь вызовет его быстрый износ и разрушение.
В Ы В ОД Ы
Знание законов, которым подчиняются силы трения, не­
обходимо в самых разнообразных случаях. Особенно оно
важно для водителей. Чем опасно вождение автомобиля
в гололед? Тем, что сила трения междУ колесами и доро­
гой слишком мала. Ведь именно эта сила, действующая
на колеса со стороны дороги, и разгоняет автомобиль,
и останавливает его, и обеспечивает изменение направ­
ления его движения. Причем для хорошей управляемости
автомобиля это должна быть сила трения покоя! Сила тре­
ния междУ шинами и дорогой - жизненно важная сила.
Поэтому хороший асфальт обязательно должен быть шер­
шавым, чтобы увеличить сцепление шин с дорогой. Это
позволяет не бояться резких поворотов и торможений.
В таком виде спорта, как керлинг, тоже применяют силу
трения, натирая перед снарядом лед. Делается это для того,
чтобы на поверхности льда был тончайший слой воды. Он
выступает в виде смазки, уменьшая тем самым силу трения
и позволяя снаряду двигаться быстрее и дальше.
Схожее явление можно наблюдать при аквапланирова­
нии. Если во время сильного дождя автомобиль движется
слишком быстро, а покрышки «лысые», вода из-под колес
не успевает уйти через щели в протекторе, и автомобиль
«всплывает», как водные л ыжи. Наступает очень опасная
ситуация, так как автомобиль становится совершенно
неуправляемым. Все водители должны знать этот факт.
226
В И ДЫ РА В Н О В ЕСИЯ
Мир стремится к стабильности во всем. В том числе
и в положении тел в пространстве, если это тело ваш дом, мебель, которая находится в нем, деревья,
которые его окружают. И даже вы сами.
Механическое движение можно представить, как
комбинацию более простых движений - поступа­
тельного и вращательного. Поставим перед собой
задачу: выяснить, какие условия должны выполняться
для того, чтобы не было ни поступательного, ни
вращательного движения. Когда эти условия выпол ­
няются, т ел о находится в равновесии.
м
ы изучили кинематику, которая фактически
является математическим аппаратом механики.
Знаем, что такое движение тела по окружности
или равномерное вращение. М ы выяснили, что ускорение
тела можно найти, если известно, в каких условиях оно
движется. П ознакомились с силами упругости, трения
и тяжести. Зная эти силы, можно найти ускорение тела.
А зная ускорение, с помощью аппарата кинематики - ре­
шить основную задачу механики.
Теперь же рассмотрим противоположную ситуацию.
Что нужно сделать для того, чтобы состояние движения
тела не менялось? Что такое равновесие? Пришло время
познакомиться с разделом физики, который изучает ус­
ловия равновесия тел, - статикой.
227
Физ и кл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Статика - раздеп механики,
изучающий механическое равновесие. :
Равновесием называется состояние,
которое может сохраняться скопь
угодно допrо при условии отсутстви я
внешних воздействий.
Работает это правило для любого равновесия - те­
плового, механического, политического, экономического,
экологического .
• В ид ы РАВНОВЕСИЯ
Мы описываем состояние движения тела в механике
с помощью скорости. Если состояние движения не ме­
няется - это значит, что скорость остается неизменной.
Скорость - векторная величина, следовательно, вектор
скорости остается неизменным.
А потому механическое равновесие - это состояние
равномерного прямолинейного движения. Частный, но
и наиболее важный случай РПД - это состояние покоя.
И кроме этого, существует еще один вид равновесия равномерное вращени�
Чтобы говорить о видах равновесия, вспомним по­
следние слова определения - «при отсутствии внешних
воздействий». Выделим три ситуации, когда, наоборот,
на тело воздействует какая-то сила, и посмотрим, как
будет себя вести тело при отклонении от положения
равновесия. Окажется, что тело может вести себя трояко.
Соответственно, различают три вида равновесия - в за­
висимости от реакции тела на попытку вывести его из
положения равновесия.
228
Виды равновесия
Виды равновесия:
1. Устойчивое
Устойчи вь1м называется равновесие,
при мапом отклонении от которого
возни кают сипы, возвращающие
тепо в положение равновесия.
Представим себе лунку и шар, который в положении
равновесия находится в самой нижней части этой лунки
(рис. 1) .
�
N
'
'
'
�
тв
�
тв
Рис. 1
На него действует сила тяжести и сила нормального
давления - сила упругости лунки. Есл и мы отклоним
тело от положения равновесия, на н е го по-прежнему
будет действовать сила тяжести. Сила нормального дав­
л ения перпендикулярна поверхности - значит, она будет
направлена по радиусу кривизны. В этом случае сила
тяжести и сила нормального давления не лежат на одной
прямой, а значит, и их равнодействующая не будет равна
нулю. П о правилу параллелограмма можно построить
равнодействующую, которая оказывается направленной
к положению равновесия. Следовательно, такое равнове­
сие будет устойчивым.
229
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Здесь важно учитывать малые отклонения равнове­
сия, ведь если отклонить тело очень сильно, оно может
просто выйти за пределы лунки и не вернется к положе­
нию равновесия.
2. Н еусто йчивое
Неустойчивь1м называется
равновесие, при малом отклонении
от котороrо возникают сипы,
удаляющие тело от положения
равновесия.
Предположим, что тело находится на выпуклой по­
верхности. Положение равновесия будет на вершине этой
выпуклости (рис. 2).
_,
N
j
'
'
�
·
�
Рис. 2
Здесь также присутствуют сила тяжести и сила
нормального давления, уравновешивающая силу тя­
жести. При отклонении тела от положения равновесия
на него по-прежнему будет действовать сила тяжести,
направленная вниз и не меняющаяся по модулю. Сила
230
Виды равновесия
нормального давления будет направлена по радиусу
кривизны. По правилу параллелограмма можно сложить
векторы этих сил и убедиться, что их равнодействующая
направлена от положения равновесия.
3. Без азличное
&езраэпичнь1м называется
равновесие, при малом отклонении
от котороrо не возникает сип,
.
приближающих или удаляющих тело :
.
от положен ия равновесия.
Разместим тело на горизонтальной поверхности.
В этом случае равнодействующая силы тяжести и силы
нормального давления при изменении положения тела
как была, так и остается равной нулю (рис. 3).
�
N
Рис. 3
Итак, чтобы выяснить, в какого рода равновесии нахо­
дится тело, его нужно вывести из состояния равновесия.
231
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
8 УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛА
Основная задача статики выяснение условий, при выполнении
которых тело или система тел
находится в равновесии.
Говоря об основной задаче механики, мы подразумеваем
определение положения тела в любой момент времени.
Но поскольку само тело имеет размеры, говорить о поло­
жении тела не так просто, поскольку разные точки тела
находятся в разных точках пространства. Можно при­
бегнуть к упрощению и принять тело за материальную
точку.
Чтобы материальная точка была в равновесии, ее
ускорение должно равняться нулю:
а = о.
От ускорения перейдем к силам, используя 11 закон
-+
-+
Ньютона, F = та , откуда следует, что
F=O
'
-+
где F - равнодействующая всех сил, действующих на
тело.
Допустим, что у тела уже есть заметные размеры,
и рассмотрим следующий по сложности вид движения поступательное, при котором все точки тела движутся
одинаково. Если тело находится в равновесии и движется
поступательно (при отсутствии вращения), ускорение
232
Виды равновесия
всех его точек равно нулю. А значит, и равнодействующая
всех сил, приложенных к телу, также равна нулю:
Это 1 -еусловие равновесия (правило сил).
Тепо nри отсутствии вращения
будет находиться в равновесии,
еспи равнодействующая всех сип,
nрипоженных к нему, равняется
нупю.
Представьте, что на горизонтальной поверхности
стоит тележка, на которой отмечены точки А и В. Если
-+
мы приложим к точке А некоторую силу
тело начнет
каким-то образом двигаться (рис. 4) .
F,
Если перенести точку приложения силы вдоль линии
ее действия до точки В, действие силы не изменится.
Действительно, представим, что к точке В приложена
-+
такая же сила
противоположная по направлению. Эта
-+
сила будет компенсировать силу
независимо от того,
приложена эта сила к точке А или к точке В.
F',
F' =-F
-+
F
-+
F
:--i----- f---.,.)'<-�- =х--�---...1-----�
-+
В
:З J
А
-+
-+
(J
p
В
А
(t
Рис. 4
233
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Действие сипь1 не изменяется при
переносе точки ее приложения вдоль
пинии действия сипы.
------ · · · · · · ·
Р е ш е н и е зада ч и с м отр ите зде с ь :
�
�ш
8 РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА С ЗАКРЕПЛЕННО Й ОСЬЮ
ВРАЩЕНИЯ
Если тело не вращается, оно будет находиться в рав­
новесии при условии, что равнодействующая всех
приложенных к нему сил равна нулю.
Возьмем произвольное тело и добьемся того, чтобы
оно, наоборот, не могло двигаться поступательно. Для
этого в теле просверлим отверстие и поместим туда ось,
которая будет осью вращения тела. Ось закрепим (рис. 5).
Что бы ни делали с телом, все его точки будут двигать­
ся по окружностям, центры которых находятся на этой
оси. В этом случае поступательное движение невозмож­
но, возможно только вращательное.
Приложив силу к точке А, м ы заставим тело повора­
чиваться против часовой стрелки. И поскольку на него
действуют две силы - приложенная к точке А и сила
реакции оси, эти силы будут изменять положение тела до
тех пор, пока не наступит ситуация, когда линия действия
силы будет проходить через ось (рис. 5).
Как только это произойдет, вращение прекратится,
и наступит равновесие. Поскольку тело имеет закреплен234
Виды равновесия
Рис. 5
ную ось вращения, на это тело со стороны оси действует
сила реакции оси. Эта сила автоматически будет равна по
модулю и противоположна по направлению той силе, кото­
р ая была приложена. Если бы эти две силы были разными,
тело бы совершало поступательное движение, поэтому
правило сил выполняется автоматически. Кроме того, эти
две силы равны по модулю и теперь лежат на одной прямой.
А значит, можно переместить точку приложения внешней
силы вдоль линии ее действия до оси. В этом случае в точ­
ке О тела будет приложено две силы, противоположные по
направлению и равные по величине: внешняя сила и сила
реакции оси. И поскольку их равнодействующая равна
нулю, тело при этом вращаться не будет.
В случае, есл и к телу с закрепленной осью вращения
приложено несколько сил в разных точках, можно подо­
брать такую одну силу, которая будет действовать так же,
как все эти силы одновременно. Это равнодействующая
сила.
Тепо с эакреnпенной осью вращения
будет находиться в равновесии, еспи
пиния действия равнодействующей
nрипоженных к нему сип проходит
через ось.
!------ . . . . . .
.
235
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Для решения задач статики этим правилом поль­
зоваться не очень удобно, а поэтому попробуем его
переформулировать.
Изобразим тело с закрепленной осью, к которому при­
ложено две силы F1 и F2, и подберем такое положение оси,
чтобы тело было в равновесии (рис. 6) .
Рис. б
--+
Чтобы найти равнодействующую F , совместим нача--+
--+
ла векторов F1 и F2 в одной точке, перемещая векторы
вдоль линий их действия, которые пересекаются в точке
А. Воспользуемся правилом параллелограмма и получим
линию действия равнодействующей, на которую по­
местим закрепленную ось вращения О. Тело находится
в равновесии.
Теперь выполним следующие построения. Опустим
--+
перпендикуляры из точки О на линию деиствия силы F1
--+
и на линию деиствия силы F2, обозначив эти расстояния
d 1 и d2. Из точки О проведем еще два отрезка: паралv
u
236
Виды равновесия
-+
-+
лельно силам F1 и F2, обозначив их длины х 1 и х2. У нас
образовались два треугольника:
дВ'ОВ" и дС'ОС".
Каждый из этих треугольников в качестве стороны
содержит перпендикуляр к линии действия силы, а сама
линия действия силы является стороной треугольника.
Поэтому каждый из этих треуrольников - прямоуголь­
ный. Во-вторых, С'С" 1 1 В'О и С'О 1 1 В'В ", а значит, угл ы этих
треугольников одинаковые. Отсюда следует, что рассма­
триваемые треугольники подобные:
ЛВ'ОВ" - дС'ОС".
В этих треугольниках выполняются соотношения по­
добия. Например:
У треугольников дА ВО' и дАВ'О общий угол и парал­
лельные стороны, а значит, они тоже подобные:
дАВО' - дАВ'О.
Соотношения подобия для этих треугольников будут
выглядеть следующим образом:
Fz
Fi
- -·
=
Перемножим почленно записанные выше соотношения:
х
F2
Fi
Xz
1 - -··
=
х2
dz
или
237
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Отсюда получаем:
Это условие выполняется, если линия действия равно­
действующих сил F1 и F2 проходит через ось вращения.
Но это значит, что при выполнении данного условия тело
под действием этих двух сил (если у него есть закреплен­
ная ось) будет находиться в равновесии. Выполнение
правила сил автоматически обеспечено, потому что у нас
есть закрепленная ось.
Введем термины:
-+
d 1 плечо силы F
1;
-+
d2 плечо силы F2.
-
-
Ппечом сипь1 относитепьно
некоторой оси называется
кратчайшее расстояние от пинии
действия сипь1 до этой оси.
------- · · · · · · ·
Теперь м ы можем ввести новую физическую величи­
ну момент силы М относительно оси вращения :
-
M = F · d,
где F
модуль силы, d
некоторой оси вращения.
-
-
плечо силы относительно
Моментом сипы относитепьно
некоторой оси называется
физическая вепичина, равная
произведению модупя сипы на ппечо
сипы относитепьно этой оси.
----------------------------- · · · · · · ·
238
Виды равновесия
Единицы измерения момента силы:
[ М] = Н м (ньютон-метр) .
Но существует нюанс, о котором следует знать. Вер­
немся к рисунку 6. Допустим, что F1 = 10 Н, а d1 = 0,5 м,
F2 = 5 Н, а d2 = 1 м. Произведения модуля силы на плечо оди­
наковые, и тело будет находиться в равновесии. Но сила
�
�
F1 и сила F2 все-таки действуют на тело по-разному. Если
�
мы уберем силу F2, тело будет поворачиваться против ча�
совой стрелки, а если убрать силу F1 - по часовой. И это
обстоятельство м ожно отразить в моменте, присвоив
моменту силы знак. В случае, если сила вращает тело
в одну сторону, моменту присваивается положительный
знак, если в противоположную - отри цательный. По­
л ожительное направление вращения можно выбирать
произвольно. На рисунке это направление против часо­
вой стрелки. Тогда :
·
М1 = F1 d 1 ;
М2 = -Fz dz .
Значит можно записать так:
или
Если выполняется это условие, тело с закрепленной
осью будет находиться в равновесии. А значит, это и есть
условие равновесия тела с закрепленной осью, если на
него действуют две внешние силы.
В случае, если сил больше, выражение записывается
следующим образом:
Это условие называется правилом моментов (2-еусло­
вие равновесия).
239
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Тепо с эакреnпенной осью вращения
будет находиться в равновесии. еспи
апrебраическая сумма моментов всех �
.
сип. действующих на неrо. равна
нупю.
В Ы ВОД Ы
Если при изучении динамики нас интересует, как будет
двигаться тело, когда известны условия его движения,
то теперь мы столкнулись с противоположной задачей.
Как добиться того, чтобы тело не двигалось? Как сде­
лать так, чтобы дома не падали, а гимнаст удерживал
равновесие на канате? Другими словами, каковы законы
механического равновесия, знание которых необходимо
во многих сферах жизни. Оказывается, они достаточно
просты и сводятся к двум правилам : правилу сил и пра­
вилу моментов.
240
П Р О СТ Ы Е М Е ХАН И ЗМ Ы .
Р Ы ЧАГ И &Л ОКИ
Средняя масса легкового автомобиля составляет
1 -2 тонны. И если вам когда-нибудь приходилось
менять колесо на дороге, вы прекрасно понимаете,
что поднять автомобиль самостоятельно человек
не в состоянии. Но это можно сделать с помощью
особого механизма.
с
домкратом знакомы даже те, у кого автомобиля н ет.
Это устройство, которое позволяет получить боль­
.
шую силу, прикладывая при этом силу небольшую.
Механизмы бывают очень сложными, но любой меха­
низм (токарный станок или автомобильный двигатель)
состоит из частей, называемых простыми механизмами.
С изучения простых механизмов мы и начнем.
Прость1ми механизмами называются
:
устройства дпя преобразования сипы. �
Сила - величина векторная, значит, преобразование
силы подразумевает, что может меняться как величина
силы, так и направление. Рассматривая разные простые
механизмы, вы заметите, что с их помощью можно менять
и величину силы, и ее направление, а также и то и другое
одновременно.
241
ФИЗИКА. Основы и М ЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Все простые механизмы можно разделить на два клас­
са: родственники рычага и сам рычаг, а также наклонная
плоскость и ее родственники.
Ры ч аг и его разновидности (рис. 1):
Бл о к
Ворот
Рис. 1
1) Рычаг.
Главное условие работы такого механизма - наличие
точки опоры. Об этом говорил еще Архимед, впервые
изучивший свойства рычага.
2 ) Блок - разновидность рычага.
Представляет собой колесо с канавкой, в которую
вставлена веревка, нить, трос.
3) Ворот - третья разновидность рычага.
Наверняка многим из вас приходилось поднимать
из колодца ведро с водой, вращая ручку. Устройство,
состоящее из насаженного на ось цилиндрического
барабана с прикрепленной ручкой, как раз и есть
ворот.
242
П ростые механизм ы. Р ычаг и блоки
Наклонная плоскость и ее разновидности (рис. 2):
Н а кл онная плоскость
Рис. 2
4) Наклонная плоскость.
Само название «наклонная плоскость» говорит
о том, что она из себя представляет: плоскость, которая
не является горизонтальной и вертикальной. По такой
плоскости, например, можно вкатить тяжелую бочку. Вес
бочки при этом может быть значительно больше, чем
прикладываемая сила.
5) Клин.
Бывает, что нужно расколоть толстое полено. Чтобы
в нем не застрял сам топор, используется клин.
6) Винт.
Представляет собой цилиндр с нарезанной резьбой.
• РЫЧАГ
Рычаги бывают самыми разнообразными. Предположим,
что вам необходимо поднять какой-то груз. Имея рычаг,
вы можете опереться на бревно и поддеть рычагом груз
(рис. 3.1).
243
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
точ ка
опор ы
lr----Эo ---- трос к тормозной
си стеме
3.3
Рис. 3
В этом случае вы действуете на него силой, направ­
ленной вниз. Сам груз при этом тоже создает силу,
действующую на рычаг.
Существует и другой вариант рычага (рис. 3.2).
В этом случае поднять груз можно, разместив его бли­
же к точке опоры. Он также действует с силой на рычаг,
а вам необходимо уже не нажимать на рычаг, а поднимать
его. Значит, и прикладываемая вами сила будет направ­
лена вверх. Точка опоры в этом случае будет находиться
не посередине, а на втором конце рычага.
Еще один пример - тормозная педаль (рис. 3.3) .
О н а соединена с осью и тросом, которы й идет
к тормозной системе. На рычаг действует тоже две
силы - сила со стороны ноги и сила натяжения троса.
Что же такое рычаг?
244
П ростые механизмы. Р ычаг и блоки
Рычагом наэь1вается твердое
тепо. способное вращаться вокруг
неподвижной оси.
Разница между рычагами на рис. 3. 1 и рис. 3.2 с точки
зрения размещения точки опоры и точек приложения
сил заключается в том, что в первом случае точка опоры
находится посередине, а точки приложения сил - по
разные стороны от точки опоры. Во втором случае точка
опоры находится на конце рычага, а точки приложения
сил находятся с одной стороны от точки опоры. П оэтому
существует два рода рычагов.
Рычаг 1 рода, у которого точки приложения сил распола­
гаются по разные стороны от точки опоры (от оси рычага).
И рычаг 11 рода, у которого обе силы, действующие на ры­
чаг, расположены по одну сторону от точки опоры.
Силы, действующие на рычаг 1 рода, направлены
в одну сторону. Во втором случае силы, действующие на
рычаг, направлены в противоположные стороны.
Третий случай относится к рычагам 1 1 рода, так как обе
силы приложены с одной стороны от точки опоры (оси
педали).
Чтобы выяснить, каково условие равновесия рычага,
необходима величина, с которой мы уже познакомились
ранее и которая называется плечо силы. Вспомним:
Плечом сипы относительно
некоторой оси называется
кратчайшее расстояние от пинии
действия сипы до этой оси.
245
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
-+
-+
На рисунке 4 плечо сил F1 и F2 для каждого рычага
обозначено 1 1 и /2.
1
: р ы ча г 1 рода
р ы ч а г 1 1 рода
точ ка
опор ы
Рис. 4
Чтобы понять, какое условие должно выпол няться
для того, чтобы рычаг находился в равновесии, проведем
небольшой эксперимент, подве ш ивая к горизонтальному
рычагу грузы (рис. 5).
11
/2
/<1 0 с�1�о c11.j
1)
11
2)
=
о
о
F2 = O,S H
F1 = 1 ,S H
i
t
/<1 0 с м /2 5 см
'le/
д
1
F1 0
� 1Н
li
�
is с
1
'< /
л
'
о
l
F1 = 2 Н
=
F2
2Н
Рис. 5
246
"'
2 0 см
i
1
д
F1 = O,SH
3)
П ростые механизмы. Рычаг и блоки
Де м о н стра ц и ю о п ыта с м от р и те здес ь :
(!)
•
"
(!)
�
..
и.
Во всех трех случаях рыча г наход ится в равн овеси
ачен­
И для каждо го случая изобр ажены плечи сил, обозн
ные 1 1 и /2.
Найд ем отнош ения:
1)
F1
= 1 '·
F2
-
F1
z ) F2
=
11
-
/2
= l или
12
= 1;
11
-
12 1
11
=- ·
; - = 2 или 11 2 '
z /2
1
Условие равнов есия рычага :
�
�
Рычаr находится в равновесии. если
отношение п рипоженнь1х к нему двух
сип равно обратному отношению
ппечей этих сип.
Если плечи разные, рычаг будет находиться в равнове­
сии под действием разных сил.
247
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Допустим, что одно плечо гораздо больше другого
(рис. 6) :
�
)о
11
/2
1< �
д
с:
i!1 t
Рис. 6
Это значит, что, прикладывая маленькую силу, с дру­
гой стороны рычага можно получить силу очень большую.
F
Это отношение сил z носит название выигрыш в силе.
Fi
8 РЫЧАГ АРХИМЕДА
Рычаги использовались задолго до Архимеда, но в Ш веке
до н. э. именно он занялся исследованием этих механиз­
мов. Именно Архимеду удалось теоретически описать
принцип работы рычага, чему и посвящена его знаме­
нитая фраза: «Дайте мне точку опоры, и я переверну
Землю ! » Это высказывание, конечно, сильно преувеличе­
но, но с теоретической точки зрения это возможно, если
найти рычаг с длиной плеча приблизительно 500 трлн км
и соответствующую точку опоры.
Царь Гиерон, услышав о том, что Архимеду под силу
сдвинуть любой тяжелый предмет с места, попросил его
248
Простые механизмы . Р ычаг и блоки
доказать это и вывести корабль «Сиракузия» из гавани.
Стоит отметить, что это был самый большой на то время
корабль в мире. Тем не менее, используя сложную систе­
му рычагов и блоков, Архимеду удалось удачно вывести
корабль из гавани, подтвердив справедливость своих
выводов о свойствах рычага.
• БЛОКИ
Блок представляет собой колесико с канавкой, в которую
можно вложить трос, веревку, нить или цепь. Само колесо
имеет отверстие в середине и нанизано на ось (рис. 7) .
Такой блок называется неподвижным, так как о с ь его
закреплена.
Неподвижный блок (рис. 8).
Чтобы груз опускался или поднимался, к веревке
необходимо прикладывать какую-то силу. Попробуем
--+
выяснить, как связаны между собой сила F, прикладыва­
--+
емая к веревке, и вес груза Р .
ось блока
111--- веревка , трос
Рис. 7
Рис. 8
249
ФИЗИКА. Основы н МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Блок - это твердое тело, которое способно вращаться
вокруг своей оси, а значит, по определению он является
рычагом. П оэтому все законы, которые применимы к ры­
чагу, можно использовать и для блока. Н о лучше всего
воспользоваться правилом моментов, с которым мы
познакомились на предыдущем уроке.
Мр + MF = О .
Чтобы найти моменты сил Р и F, необходимо показать
плечи этих сил. Введем такую величину, как радиус бло­
ка, и договоримся, что положительным вращением блока
будет вращение против часовой стрелки. Тогда:
Мр = Р · / 1 ; MF = - F · 12 ;
Р · 1 1 - F · 12 = О; Р · 1 1 = F · 12.
Поскольку оба плеча являются радиусами, / 1 = 12 = r,
можно записать, что:
P · r = F · r.
А значит:
P = F.
Если вес груза равен 1 0 Н, чтобы его равномерно
поднимать, опускать или удерживать в неподвижности,
нужна такая же сила в 10 Н. То есть неподвижный блок
не дает выигрыша в силе. Н о он хорош тем, что позволяет
изменить направление силы, что очень полезно, напри­
мер в строительных работах. Ведь поднять с земли ведро
цементного раствора весом 2 0 0 Н гораздо труднее, чем
тянуть с той же силой веревку в направлении сверху вниз.
Неnодвижнь1й бпок не дает
выиrрыwа в сипе, но nоэвопяет
изменить наnравпение сипы.
,__--------+------------------ · · · · · · ·
250
Простые механизмы. Р ычаг и блоки
Подвижный блок (ри с. 9).
�
F
Рис. 9
Ось подвижного блока, находящаяся в его центре,
может двигаться, поэтому он и называется подвижным.
Н о ось, вокруг которой на самом деле вращается блок, его
неподвижная ось вращения, в данном случае находится
не в центре, а сбоку.
Показав плечи сил, получаем, что /1 = r, /2 = 2 r.
Мр + MF = О;
Мр = -Р · 1 1 ; MF = F · 12;
Р · 1 1 = F · lz .
Вспомнив, чему равны плечи сил, получаем результат:
Р · r = F · 2 r;
251
ФИЗИКА. Основы н МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
П олучается, что для того, чтобы поднять груз весом
1 0 Н, достаточно приложить силу всего в 5 Н.
. . . . . . .
Подвижнь1й бпок дает выиrрыш
в сипе в 2 раза.
Правда, за полученный двукратный выигрыш в силе
приходится платить: расстояние, на которое переместит­
ся груз, в два раза меньше, чем расстояние, на которое
нужно переместить точку приложения силы F. Это назы­
вается проигрышем в расстоянии.
У подвижного блока есть недостаток: чтобы подни­
мать груз, прикладываемую силу необходимо направлять
вверх. Однако можно совместить достоинства подвиж­
ного блока, дающего выигрыш в силе, с достоинствами
неподвижного блока, который позволяет изменить на­
правление силы (рис. 1 0) . Подвижные блоки можно
объединять в системы, чтобы получать большие
выигрыши в силе. Система из двух подвижных блоков
дает четырехкратный выигрыш в силе, система из
трех - восьмикратный и т. д.
252
П ростые механизмы. Р ычаг и блоки
1 подв. + 1 н е п одв. бл о к
F= � р
2
р
-+
Рис. 1 0
.......
·
-------
В Ы ВОДЫ
Рычаг и блок н а самом деле - это одно и т о же. Несмо­
тря на простоту этих механизмов, с их помощью можно
получ ить заметно большую силу, чем приложенная. Это
и есть их главная особенность, позволяющая поднять
тело, которое человеку, не знакомому с физикой, может
казаться неподъемным.
253
ДА В Л Е Н И Е
Одна и т а же сила может производить различные
действия. Возьмем, например, вес - силу, с которой
тело действует на опору. Самый распространенный
пример - человек, которого поставили на снег.
Логично, что он провалится. Но, если дать ему
лыжи, он будет прекрасно стоять и двигаться,
не проваливаясь. Вес его не изменился, но во втором
случае он ра спределился по большей площади. К таким
приемам прибегают и йоги, лежащие на гвоздях.
Попробуйте лечь на один гвоздь. Согласитесь, что это
не просто больно, а невозможно. Весь ваш вес будет
сконцентрирован в одной точке на очень маленькой
площади. Но, если вы возьмете 500 гвоздей, на каждый
гвоздь будет приходиться совсем небольшая сила,
и эти гвозди вас не повредят.
Именно размышления о распределении силы по
поверхности привели к появлению такой величины,
как давление.
в
ы когда-нибудь задумы вались, почему кнопка, на
которую надавливают пальцем, входит в дерево, но
не повреждает палец?
Давайте рассмотрим силу, с которой кнопка действует
на дощечку и действует на палец (рис. 1). Силой тяжести,
действующей на кнопку, мы в этом случае пренебрежем.
254
Давление
52
дощеч ка
кнопка
Рис. 1
Кнопка неподвижна, но на нее давят палец и дощечка.
Если она неподвижна, равнодействующая сил давления
пальца и древесины на кнопку равна нулю. Эти силы
одинаковы по величине. С другой стороны, с какой силой
палец давит на кнопку, с такой же силой кнопка давит на
палец. С какой силой дощечка давит на кнопку, с такой
силой кнопка действует на дощечку:
Но дело в том, что F1 распределена по большей площа­
ди, на которой соприкасается палец с кнопкой. Острие же
кнопки соприкасается с дощечкой на крошечной площад­
ке. Согласно рисунку:
На каждую молекулу, из которых состоит палец,
приходится сравнительно небольшая сила, так как она
распределена по большому количеству молекул паль­
ца. В случае с острием вся та же сила сосредоточена на
небольшой площади, а значит, на каждую молекулу дре­
весины под острием кнопки приходится гораздо большая
сила. Из-за этого силы межмолекулярного взаимодей255
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
ствия древесины не в состоянии удержать молекулы
дощечки вместе, вследствие чего дощечка разрушается
и в нее входит острие кнопки. Палец же спокойно выдер­
живает такую нагрузку.
Нам надо придумать физическую величину, которая
описывала бы эту ситуацию на количественном уровне.
Действие силы на дощечку и палец зависит не только от
того, какова эта сила, но и от площади, по которой она
распределена. И чем меньше площадь, тем больше разру­
шительное действие этой силы.
Чтобы ввести такую физическую величину, разделим
силу на площадь, по которой она распределена. Чем мень­
ше площадь, тем больше получится эта величина. И чем
больше сила, тем больше будет величина, называемая
давлением:
Для обозначения давления используют букву р
pressure на английском языке.
�
Давлением назь1вается физическая
величина, равная отношению сипы,
действующей перпендикуnярно
некоторой поверхности, к площади
этой поверхности.
В примере с кнопкой F1 и F2 одинаковые, но 52 гораздо
меньше S1.
F1
• Давление на палец: р 1 =
·
51 '
F
·
• Давление на дощечку: p z =
s�
256
Давление
Отсюда следует, что
Pz » Р 1 ·
• Единиц ы ДАВЛЕНИЯ
П ознакомимся с единицами измерения новой для нас
физической величины:
[F]
[р] = [S] =
н
мz
= Па.
Это настолько важная физическая величина, что для нее
существует специальная единица измерения - паскаль:
1Н
1 Па = - ·
1 м2
. . . . . . .
.
.
1 Па - давление, производимое
силой в 1 Н, равномерно
распределенной по площади 1 м2
•
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_ . . . . . . .
.__
_...,.
_
_
_
_
_
Очень важно понимать разницу между давлением
и силой давления. Сила давления - это та сила, которая
стоит в числителе формулы для давления. Она измеряет­
ся в ньютонах. Давление же измеряется в паскалях.
Настоящий физик хорошо представляет себе, насколь­
ко велика или мала та или иная единица различных
физических величин. Насколько же велико или мало
давление в 1 Па?
Возьмем лист бумаги для принтера и представим, что
его площадь равна 1 м 2 • На упаковке с такой бумагой есть
примечание, что масса бумаги размером 1 м 2 равна 80 г.
А значит, мы можем рассчитать, какое давление про­
изводит лист бумаги, лежащий на столе:
257
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
S = 1 м 2,
т = 80 г.
Сила, с которой лист притягивается к земле, вычисля­
ется по известной формуле.
А поскольку лист неподвижно лежит на горизонталь­
ном столе, его вес, то есть сила, с которой он действует на
стол, перпендикулярна поверхности стола и вычисляется
по той же формуле:
F = mg.
Отсюда можем найти давление:
F
р= 5;
Используя эту формулу, найдем давление, которое
оказывает лист бумаги на стол :
80 · 1 0 -3 кг · 1 o li
н
кг = 0,8--z
= 0,8 Па.
р=
м
1 м2
Мы предположили, что площадь нашего листа равна
1 м 2 • На самом же деле его площадь приблизительно
составляет 0,063 м 2 • Но давление этого листа на стол все
равно будет таким же, как давление листа размером 1 м 2 •
Как такое может быть?
Предположим, мы разрезали лист пополам и поло­
жили на стол половину листа. Его площадь (она стоит
в знаменателе) стала в два раза меньше. Но ведь при этом
во столько же раз меньше стала и масса листа (стоящая
в числителе) ! А значит, давление будет таким же. Ведь
если и числитель, и знаменатель дроби изменяются
в одинаковое количество раз, дробь от этого не меняется.
258
Давление
Как мы видим, 1 Па - совсем небольшое давление, поэ­
тому в технике чаще используют более крупные единицы:
1 гПа = 1 0 0 Па (гектопаскаль);
1 кПа = 1000 Па (килопаскаль);
1 М Па = 1 06 Па (мегапаскаль) ;
1 ГПа = 1 09 Па (гигапаскаль) .
В качестве еще одного упражнения в ычислим давле­
ние, производимое одним и тем же бруском на стол в двух
положениях (рис. 2).
ь
а
ь
Рис. 2
Для этого нужно знать массу бруска и его размеры :
а = 5,7 см
ь = 3 см
т = 142 г
F
Н ·
р = -·· F - mg g :::: 1 0 КГ '
S
Р1 - ?
pz - ?
М ы получаем две рабочие формул ы :
259
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Pl =
н
1,42 н
0,142 кг · 10 кг
=
3,24 9 . 1 о -3 м 2 = 437,06 Па.
(5, 7 . 1 о- 2 м ) 2
------
В таком виде результат оставлять нельзя, поскольку
для упрощения вычислений мы взяли округленное
значение ускорения свободного падения 10 �г · (В наших
широтах оно приблизительно равно 9,81�г ·) Если мы ис­
пользуем округленное значение g, результат необходимо
округлить до двух значащих цифр:
р1 = 437,06 Па "' 440 Па = 0,44 кПа.
Найдем вторую величину:
0,142 кг · 10 �г 1,42 Па · 104 14,2
-- кПа "' 0,83 кПа.
=
2
Р S,7 · 10 - 2 м · З · l О -2 м =
17,1
17,1
Во втором случае мы получили давление при­
близительно в два раза больше, поскольку площадь
соприкосновения бруска со столом во втором положении
приблизительно в два раза меньше.
• С П ОСОБЫ УВЕЛИЧЕНИЯ И УМЕН ЬШЕНИЯ
ДАВЛЕНИЯ
Очень часто изменить величину силы, действующей на
некоторую поверхность, невозможно по техническим
причинам. Например, если эта сила - вес транспортно260
Давление
го средства или человека. В этом случае единственный
оставшийся способ изменения давления - это регули­
рование площади. И чтобы управлять давлением, можно
увеличивать или уменьшать эту площадь.
Пример увеличения площади - все те же лыжи или
широкие шины трактора, чтобы он не проваливался
в рыхлый грунт.
Но бывают ситуации, когда давление, наоборот, надо
увеличить. Это встречается при обработке металлов
и других материалов, например, на токарных станках
при вытачивании деталей. Резец на таком станке очень
острый, поэтому сила, с которой он действует на деталь,
распределена по настолько маленькой площади, что это­
го давления достаточно для того, чтобы металл поддался,
начал разрушаться и подвергся нужной обработке.
Ошибочно принято считать, что укус комара связан
с огромным давлением, которое производит его хобо­
ток. Я кобы, несмотря на то, что сила давления тонкого
хоботка на кожу человека весьма мала, она распределена
по настол ько крошечной площади, что этого давления
достаточно, чтобы проколоть кожу. Оказы вается, дав­
ление тут ни при чем, комар просто ищет пору в коже
человека.
А вот укол иглы, так напоминающий укус комара,
связан с давлением напрямую. Достаточно взглянуть на
кончик игл ы шприца, чтобы понять это. Он настолько
острый, что даже при небольшом усилии игла легко вхо­
дит в кожу или мышцу.
• РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
Решим задачу с таким условием:
Ка кую силу давления и давление создает на опору пло­
щадью 400 см2 тело, масса которого равна 12 кг?
261
ФИЗИ КА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
S = 400 см 2
т = 12 кг
F- ?
р-?
Тело находится в поле земного тяготения.
Следовательно, на него действует сила
тяжести, и поскольку тело неподвижно, то
вес - а это и будет сила давления - вы­
числяется по формуле:
F = mg.
Чтобы найти давление, силу нужно разде­
лить на площадь опоры :
Решение:
р=
F = 12 кг · 101i
кг = 120 Н ,
120 Н = 1200 . l оз п а = 3 кПа.
400 . 1 о -4м 2 400
Следовательно, тело создает на опору силу давления
120 Н и давление 3 кПа .
Р е ш е н и я других зада ч с м от р ите зде с ь :
2 62
•
-··
·.:.;,:
[!)
..
�
Давлени е
.
.
· · · · · · ·
.
...----
В Ы ВОДЫ
Давлением можно управлять двумя способами : меняя
силу и меняя площадь, по которой эта сила распределена.
П оэтому даже с малой силой можно получить существен­
ный результат, если эта сила сосредоточена на малой
площади. П о такому принципу работают иголки, ножи.
И наоборот, если действие силы необходимо уменьшить,
площадь опоры нужно увеличить. На этом принципе
работают лыжи, снегоходы, гусеничные транспортные
средства, тракторы с большими шинами.
263
ДА В Л Е Н И Е ГАЗА
И ЖИ Д КО СТИ
Представьте себе шарик, который плавает в толще
воды в цилиндре. Если придавить воду в цилиндре
поршнем, шарик так и останется шариком, форма его
не изменится, даже если его стенки гибкие. Все потому,
что вода производит на него давление со всех сторон
одинаково. Классическая школьная д емонстрация
этого явления - шар Паскаля, который доказывает,
что давление, производимое на газ или жидкость, без
изменений передается во все его точки.
м
еханизм давления газов существенно отличаете�
от механизма давления твердых тел и жидкостеи.
Чтобы это понять, разберемся, как происходит
давление твердых тел. Есл и мы опускаем на стол гирю,
под действием силы тяжести она продолжала бы опу­
скаться дальше, если бы ей не мешал стол. Это значит,
что молекулы стола прибл ижаются к молекулам, из кото­
рых сделана гиря. Расстояние между ними уменьшается
настолько, что между молекулами гири и молекулами
стола возникают силы отталкивания. В газах ситуация
совершенно не такая , как в твердых телах .
Молекулы газа между собой практически не взаи­
модействуют. Но они и не улетают из сосуда, в котором
заключены. А значит, они все-таки достигают стенок
сосуда и затем возвращаются . Происходит удар молекул
о стенки сосуда. Это приводит к тому, что на стенку сосуда
264
Давление газа и жидкост и
молекула действует какой-то силой, пусть небольшой
и кратковременной.
Возьмите лист бумаги за край и подуйте на него. Вы
увидите, что листок отклонился. В этом случае задейство­
ваны самые маленькие частички, которые есть в нашем
распоряжении - частички воздуха, который находится
в легких. Дуя, мы заставляем молекулы воздуха ударяться
о стенку, в результате чего на нее действует сила - сила
давления газа.
Давление газа объясняется ударами и отскакивани­
ем его хаотично движущихся молекул от стенок сосуда
(рис. 1).
га з
Рис. 1
Микроскопические силы, с которыми молекулы газа
действуют на стенки сосуда, складываясь, формируют
силу давления. А разделив силу давления на площадь,
можно получ ить само давление.
Но возникает вопрос. Предположим, что у нас есть
все тот же лист бумаги, который находится в воздухе
(газе) . Почему он не отклоняется, если его просто дер­
жать? Происходит так потому, что с обеих сторон листа
удары молекул газа (в нашем случае воздуха) друг друга
уравновешивают. А чтобы убедиться, что удары молекул
2 65
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
воздуха вызывают появление давления, нужно сделать
так, чтобы компенсации действия молекул с одной и дру­
гой стороны не было. Для этого можно убрать молекулы
воздуха с одной стороны, откачав воздух.
Де м о н ст ра ци ю о п ыта с м отрите зде с ь :
О т чего ж е зависит давление газа? Ч е м больше ударов
происходит о стенки сосуда, тем больше давление. И чем
больше скорость молекул, ударяющихся о стенку сосуда,
тем больше давление, производимое этим газом.
Представим, что у нас есть определенная масса газа,
количество молекул которого не меняется, так как газ
находится в закрытом сосуде.
Как в этом случае давление данной массы газа будет
зависеть от объема?
Возьмем цилиндр с поршнем, который можно переме­
щать вверх-вниз. На верхнюю часть цилиндра натянем
резиновую пленку. Внутри цилиндра находится какое-то
количество молекул воздуха. В первом случае давление
воздуха снаружи и внутри одинаковое, и это никак
не действует на пленку (рис. 2 . 1) .
П р и перемещении поршня вверх количество молекул
в цилиндре остается таким же, но расстояние между ними
уменьшается (рис. 2.2). Движутся они с теми же скоростя­
ми, но количество ударов о стенки и пленку становится
больше, так как молекуле от удара до удара надо пройти
уже меньшее расстояние. В результате давление внутри
цилиндра увеличивается, и резиновая пленка выгибает­
ся наружу.
266
Давление газа и жидкости
Как да вление за висит от о бъ ема газа
о
о
о
о
о
о
V! => p i
Vi => р!
Рис. 2
Теперь переместим поршень вниз (рис. 2 .3). В цилин­
дре по-прежнему такое же количество молекул, но теперь
между ними большее расстояние. И чтобы достигнуть
верхней стенки, им теперь необходимо пройти большее
расстояние. А значит, и время, которое молекулам требу­
ется для этого, увеличивается, в результате чего удары
становятся более редкими. Газ, который находится сна­
ружи, создает большее давление, чем газ, находящийся
внутри, из-за чего пленка прогибается внутрь.
Поэтому, чем больше объем газа, тем его давление
меньше. И наоборот, если уменьшать объем газа, его
давление будет увеличиваться. Но это правило работает
в случае, если количество газа (его молекул) остается
неизменным.
Д е м о н с т р а ц и ю э то г о о п ы т а с м о т р и т е з д е с ь
____________________________________
[I]
267
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Но оказывается, что можно менять давление и при
неизменном объеме газа, нагревая или охлаждая его.
Представим себе сосуд с газом при низкой температуре
и такой же сосуд с тем же количеством газа при высокой
температуре (рис. 3).
низкая темпе р атур а
в ы сокая темпера тур а
'
\
Рис. 3
При низкой температуре, как и при высокой давление
газа обусловлено ударами молекул. Вспомним, что при
увеличении температуры такие процессы, как диффузия
и броуновское движение, становятся более интенсивны­
ми. Это говорит о том, что с повышением температуры
молекулы начинают двигаться быстрее. Следовательно,
увеличивается число ударов молекул, а также сама сила
ударов. А значит, при увеличении температуры давление
должно увеличиваться по двум причинам сразу: во-пер­
вых, потому что увеличивается число ударов молекул
о стенки сосуда, а во-в т орых, потому что увеличивается
сила каждого удара (рис. 4) .
кол и ч ество уда р ов
сила ударов
Рис. 4
268
Давление газа и жидкости
Де м о н ст р а ц и ю о п ыта с м от р ите зде с ь :
8 ПЕРЕДАЧА ДАВЛЕНИЯ ЖИДКОСТЯМИ И ГАЗАМИ
Допустим, что у нас есть устройство для создания давле­
ния в виде цилиндра. Поместим в этот цилиндр твердое
тело, накроем его поршнем и поставим сверху груз
(рис. 5. 1).
_.. ....,..,...
...,,,,.. ,,.,,,...
- - - - - -
� + -�
5.1
�
-- f
=-
......
+-
+
�
�g8
ООО
5.2
�
�
�
+ +
� ��
+-
,р �
С\ f 5.3
Рис. 5
Что будет происходить с давлением, которое оказы­
вает твердое тело на стенки и дно цилиндра? Вспомним,
что атомы твердого тела не могут свободно перемещать­
ся относительно друг друга. И если это кристалл, его
атомы расположены рядами, образуя кристаллическую
решетку. При действии силы со стороны поршня на
верхний ряд этих молекул расстояние между ними будет
2 69
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
уменьшаться, возникнет сила отталкивания, и верхний
слой атомов сместится ниже. Эти атомы начнут взаимо­
действовать с атомами следующего слоя, в результате
расстояние между ними тоже уменьшится. Когда расстоя­
ния между всеми атомами уменьшаются, возникает сила
упругости, направленная в ту сторону, куда сдвинулись
молекулы самого верхнего слоя, - вниз. Поэтому ниж­
ний слой атомов будет действовать на дно цилиндра, но
не на боковые стенки. Таким образом, если поместить
в цилиндр твердое тело, давление будет передаваться
только в одном направлении.
Что будет, если вместо твердого тела поместить
в цилиндр жидкость? (Рис. 5.2.)
Вспомним, что молекулы жидкости хоть и располо­
жены на приблизительно таком же расстоянии друг от
друга, как и молекулы твердого тела, но они могут сво­
бодно перемещаться друг относительно друга, хаотично
перескакивая из одного временного положения равнове­
сия в другое. В их расположении нет строгого порядка.
Есл и действовать на жидкость сверху силой давления,
молекулы жидкости будут стремиться покинуть ци­
линдр, давя на все его стенки. А значит, и давление будет
производиться на все стенки.
Что будет, если заменить жидкость газом? (Рис. 5.3.)
Представим, что в цилиндре находится воздух. Вспом­
ним, что расстояние между молекулами газа гораздо
больше размеров самих молекул. Движутся они хаоти­
чески, в случайных направлениях. Опуская поршень, мы
просто запираем эти молекулы газа в меньшем объеме.
В результате они будут чаще ударяться о стенки сосуда,
причем увеличение числа ударов в секунду на каждый
квадратный сантиметр стенок для всех стенок будет оди­
наковым. А это значит, что давление будет передаваться
во всех направлениях без изменений.
270
Давление газа и жидкости
Де м о н ст р а ц и ю о п ыта с м от р ите зде с ь :
Можно два цилиндра, заполненные жидкостью или
газом, соединить трубкой, и тогда мы с удивлением за­
метим, что если в одном цилиндре поршень действует на
жидкость или газ сверху вниз, то в расположенном парал­
лельно втором цилиндре жидкость или газ действует на
поршень снизу вверх.
Де м о н ст р а ц и ю этого о п ыта с м отр ите здесь:
На основании этих опытов и рассуждений мы можем
сделать вывод.
. . . . ..
.
.
Давление, производимое на жидкость :
·
или rаз, передается без изменений
в любую точку жидкости или rаза во
всех направлениях.
Эта фраза представляет собой так называемый закон
Паскаля.
Де м о н ст р а ц и ю о п ыта с ш а р о м П а с ка л я
с м от р и те зде с ь :
271
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Ш а р П аскаля
жидкость
га з (д ы м)
Рис. б
• ГИДРОСТАТИЧЕСКОЕ ДАВЛЕНИЕ
П оскольку на жидкость действует сила тяжести, это опре­
деленным образом должно отражаться и на давлении
внутри жидкости.
Чтобы это выяснить, воспользуемся установкой
в виде трубки, закрытой с одной стороны резиновой
мембраной. Наполняя трубку водой, можно увидеть, что
мембрана прогибается вниз, так как на воду действует
сила тяжести. П оскол ьку вода в трубке неподвижна, ее
вес численно равен силе тяжести. Чем больше масса
воды, тем больше сила тяжести, а значит, и вес. А вес это не что иное, как сила давления, которая действует
на эту мембрану. И чем больше воды мы нал ьем, тем
больше будет эта сила, а значит, и давление. Направлена
она будет вниз, как и сила тяжести. П оэтому по мере
наполнения трубки водой прогиб мембраны будет уве­
личиваться ( рис. 7. 1 ) .
272
Давлен ие газа и жидкости
I_
2
__
t
"""
/1
�
у п ру гая
мембр
4
3
hi = hz
Fi = Fz
Р1 = Р 2
Рис. 7
Видоизменим опыт, погрузив пустую, наполненную
воздухом трубку в жидкость. Опуская трубку, можно
заметить, что мембрана выгибается вверх. Поскольку
сила тяжести действует вниз, она производит давление
на жидкость, и жидкость давит на дно. Однако жидкость
давит не только на дно, а также на стенки и донышко
трубки. Эта сила давления направлена вверх, из-за чего и
мембрана тоже выгибается вверх (рис. 7.2).
273
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Будут ли да в ления на мембрану изнутри и снаружи
одинако в ыми, если в нутри и снаружи трубки будет оди­
нако в ой в ысота столба жидкости? Чтобы ответить на
этот в опрос, в озьмем такую же трубку, но в место резино­
в ой мембраны у нее будет легкая пластико в ая крышечка.
Погрузим трубку в жидкость, после чего нальем такую же
жидкость в саму трубку (рис. 7.3). Как только сила да в ле­
ния с в ерху вниз на эту крышечку и сила да в ления снизу
вверх ура в но в есятся, крышечка отделится. И произойдет
это тогда, когда сра в няются уро в ни в оды в нутри и снару­
жи трубки (рис. 7.4).
Де м о н стра ци ю о п ыта с м от р и те зде с ь :
Таким образом, м ы приходим к в ы в оду, что на по­
груженное в жидкость тело дейст в ует да в ление со в сех
сторон. Оно за в исит от глубины погружения в жидкость:
чем больше глубина, тем больше да в ление жидкости.
Такое да в ление назы вают гидростатическим. Причи­
ной поя в ления такого да в ления я в ляется сила тяжести,
дейст в ующая на жидкость.
Не проти в оречит ли тот факт, что гидростатическое
давление растет с глубиной, закону Паскаля? Конечно,
нет! Ведь в законе Паскаля речь идет о давлении, про­
изводимом на жидкость или газ. Например, с помощью
поршня. Если поршнем создать дополнительное да в ­
ление на жидкость, например, в 1 кПа, то в о в сех точках
жидкости оно ув еличится на 1 кПа. Там, где глубина
поменьше, оно изменится, например, с 1 0 кПа до 11 кПа,
а где глубина побольше - с 1 0 0 кПа до 1 0 1 кПа.
274
Давление газа и жидкости
Р е ш е н и е зада ч дл я з а к р е пл е н и я м а те р и ал а
с м отрите зде с ь :
·
�
rl
�
В Ы ВОДЫ
Знание закона Паскаля позволя е т понять поведение как
газа, так и жидкости, если на них производить вне ш нее
давление. Даже водокачка качает где-то далеко воду и пе­
редает ее даль ш е благодаря закону Пас к аля. По сложному
лабиринту труб эта в ода добирается до на ш его жилища.
Принимая душ , мы можем направить распылитель ду ш а
струей вверх, вниз, в любую сторону, и вода будет вы­
текать из него совер ш енно одинаковым потоком. А все
потому, что давление, производимое на жидкость, как
и на газ, передается во все стороны без изменений.
275
РАСЧ ЕТ ДА В Л Е Н ИЯ
ЖИ Д КОСТИ Н А Д Н О
И СТЕ Н КИ С О СУДА.
С ОО &ЩА Ю Щ И ЕСЯ С О СУДЫ
Удивительное дело: оказывается, давление, создавае­
мое одним граммом и десятью тоннами воды, может
быть совершенно одинаковым. Будь это узкая тру­
бочка высотой 1 м или широкий бассейн глубиной 1 м.
Более того, это давление никак не зависит о т формы
сосуда. Оно зависит лишь от высоты столба жидко­
сти над той точкой, где необходимо найти давление.
м
ы уже знаем, что из-за действия силы тяжести
на жидкость она оказывается под давлением,
которое получило название гидростатического
давления и которое увеличивается с глубиной. Кроме
того, в соответствии с законом Паскаля давление, произ­
водимое на жидкость или газ, передается без изменений
в любую точку жидкости или газа во всех направлениях.
Теперь попробуем разобраться, как рассчитать величину
гидростатического давления.
Представим, что у нас есть сосуд, в который налита
жидкость (рис. 1) .
Чтобы найти давление на д н о этого сосуда, нужно раз­
делить силу, действующую перпендикулярно некоторой
поверхности (в нашем случае это дно), на площадь этой
поверхности :
276
Р асчет давле н ия жидко сти на дно и стен ки сосуда . С оо б щающиеся сосуды
р
h
р-?
Рис. 1
Сила, которая действует на дно (дно у нас служит
опорой ), -это вес. Поскольку жидкость неподвижна, вес
равен силе тяжести, которая действует на жидкость.
Чтобы найти силу тяжести, необходимо массу жидкости
умножить на ускорение свободного падения:
F = р = Fтяж = mg.
Масса жидкости может быть найдена, если известно,
какова плотность жидкости и каков объем жидкости
в сосуде:
т = р · v.
Сосуд имеет цилиндрическую форму, а объем цилин­
дра мы можем найти, если умножим площадь основания
цилиндра на высоту слоя жидкости в сосуде:
V = S · h.
Теперь можем выполнить подстановку:
т = pSh;
F = pSh · g.
277
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Отсюда:
р=
pShg
s
--
·
Площадь дна в формуле сокращается, а это говорит
о том, что давление на дно сосуда не зависит от площади
дна и от его формы. Это и есть искомое гидростатическое
давление. Формула гидростатического давления выгля­
дит следующим образом :
р = pg h.
«Гидро» - вода, а «статический» - неподвижный.
Чем больше плотность жидкости, тем больше будет
давление на дно сосуда. И чем глубже тело будет по­
гружаться в жидкость, тем больше гидростатическое
давление на это тело. По закону Паскаля данная форму­
ла позволяет найти давление не только на дно, но и на
стенки сосуда, и на любое тело, погруженное в жидкость,
то есть давление в толще жидкости. И h в этом случае глубина.
Проведем мысленный эксперимент. Возьмем сосуд,
наполненный жидкостью, и поместим в него две трубки
из металлической сетки. Одну трубку разместим верти­
кально, вторую - наклонно. Но так, чтобы нижние концы
трубок были на одинаковой глубине (рис. 2).
Согласно формуле гидростатического давления,
поскольку нижние концы трубок находятся на одной
глубине, то и давление внизу трубок одинаковое. Пойдем
дальше и закроем все отверстия в трубках, чтобы они
стали сплошными. И несмотря на то, что в вертикальной
трубке масса жидкости меньше, чем в наклонной, так как
наклонная трубка длиннее, давление в нижних частях
трубок останется одинаковым. Общей в этом случае
является глубина, на которой находятся точки внизу
278
Р асчет да вления жидкости на дно и стенки сосуда . С оо б щающиеся сосуды
свободна я пове р хность
'!
i;
:
i_
__
h-
р
Рис. 2
р
трубок. Это отсчитываемое по вертикали расстояние от
свободной поверхности жидкости носит название высо­
та столба жидкости.
;
:
расстояние от свободной поверхности :
Вь1сотой стоn6а жидкости называется
отсчить1ваемое по вертикали
до данной точки жидкости.
.
.
Итак, запомним, что в приведенной выше формуле
гидростатического давления р
плотность жидкости,
ускорение свободного падения, h
высота столба
g
жидкости.
В газах тоже существует давление, связанное с тем,
что у газа есть масса, а знач ит, и вес. Н о поскол ьку газы
легко сжимаются, плотность газа на разной высоте
оказывается разной. Так что для газов данная формула
не применима.
-
-
-
279
Физ и кл. Основы и МЕХАНИЧЕСКО Е ДВИЖЕНИЕ
П р и м е р ы уп ражн е н и й и р е ш е н и е задач
с м от р и те здес ь :
8 СООБЩА ЮЩИЕСЯ СОСУДЫ
Представьте два сосуда, которые не обязательно должны
быть одинаковыми по форме и размеру. В нижней части
они сообщаются - соединяются друг с другом трубкой.
И чтобы нам было легче рассуждать, разместим на этой
трубке между сосудами кран. В первый сосуд налита
жидкость одной плотности, во второй сосуд - жидкость
другой плотност и (рис. 3).
Допустим, что мы подобрали высоты столбов жидко­
сти так, что, когда откроем кран, жидкость перетекать
не будет. То есть при открытии крана жидкость не пойдет
свободн ая поверхност ь
свободн ая повер х ност ь
2
- р -
р-2 -
Pz
Р1
Рис. 3
280
Р асчет дав11 ения жидкости на дно и стенки сосуда . С оо б щающиеся сосуды
ни влево, ни вправо. Жидкости будут находиться в равно­
весии.
Если жидкости находятся в равновесии, давление этих
жидкостей слева и справа от крана одинаковое (условие
равновесия) :
Р 1 = Pz·
Выразим давление через плотность жидкостей и че­
рез высоту столба в левом и правом сосудах:
Р 1 = P 1 B h 1;
Pz = P 2 B h z .
П одставим эти два выражения в условие равновесия:
P 1 Bh 1 = P 2 Bh z .
Сократив ускорение свободного падения, получаем:
P 1h 1 = pzh z .
Это и будет условием равновесия разных жидкостей
в сообщающихся сосудах.
Рассмотрим частный случай, когда в обоих сосудах на­
лита одна и та же жидкость. Это означает, что р1 = р2 = р.
Поэтому
Откуда следует, что
Эта простая формула является математическим выра­
жением закона сообщающихся сосудов.
. . . . ..
.
Свободные поверхности однородной
.
.
.
жидкости в сообщающихся сосудах
располаrаются на одинаковой
высоте.
281
ФИЗИКА. Основы и МЕХАН ИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Данный закон - частный случай условия равновесия,
когда слева и справа находится одна и та же жидкость.
Если же жидкости разные, можно поль з оваться более
общим условием равновесия - условием равенства дав­
лений. Для различных жидкостей, если плотность первой
жидкости меньше плотности второй, высота столба пер­
вой жидкости будет больше, чем высота столба второй
жидкости.
На первый взгляд, закон сообщающихся сосудов
может показат ь ся довольно стран н ым. Ведь в него
не включается никакой информации о ширине сосуда,
о том, постоянная ли эта ширина по высоте. Тем не менее,
какой бы изощ р енной ни была форма сосудов, если меж­
ду собой они сообщаются и в них находится одна и та же
жидкость, высота ее свободной поверхности везде будет
одной и той же (рис. 4) .
Рис. 4
• Жидкостный УРОВЕН Ь
В строительстве, когда необходимо, чтобы некоторые по­
верхности были строго горизонтальными, незаменимым
инструментом является плотницкий уровень (рис. 5).
Он представляет собой немного изогнутую трубку
с пузырьком воздуха внутри, закрытую с обеих сторон
и вмонтированную в корпус уровня. Так как пузырек
282
Р асчет давления жидкости на дно и стенки сосуда. С оо б щающиеся сосуды
57?,
Рис. 5
всегда стремится всплыть, то, когда уровень кладут на
горизонтальную поверхность, пузырек располагается
посередине трубки.
Но у такого уровня есть недостаток. И м невозможно
проверить горизонтальность поверхности больших
объектов, например фундамента здания. В этом случае
используют жидкостный уровень, который представляет
собой длинную трубку, заполненную водой (рис. 6).
труб ка (ги бка я)
вода
Рис. б
Уровень воды в правой и левой части трубки находится
на одной высоте. Прикладывая трубку к краям фундамен­
та, легко контролировать его горизонтальность .
• Шлюзы НА РЕКАХ
Существует еще более масштабная область применения
сообщающихся сосудов - шлюзы на реках.
Для строительства гидроэлектростанций на реках соо­
ружаются плотины. Уровень воды в реке перед плотиной
(в верхнем бьефе) и за плотиной (в нижнем бьефе) может
283
Физ и кл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
отл ичаться на десятки метров. Например, на реках Днепр
и Днестр есть несколько таких гидроэлектростанций. Но
поскольку река судоходная, необходимо, чтобы суда пе­
реходили из области реки выше плотины в область реки
ниже плотины. Для этого используют шлюзы.
Чтобы корабль проходил через шлюз, в нем имеются
двое ворот (рис. 7) .
r-' верхн и е ворота
2 1,__ ,,
г-�---'
'
--"4!�::::::;1 - - -
_..,, н ижни е ворота
r
шлюз
ДО ПЛОТИ Н Ы
,.__
.--""
. '
---..,,,
__ _'
-....�::::::;'---
!}ОСЛ е ПЛОТИ Н Ы
�
�-
,,",,,,
,, ,,,,,, ,,>,, >777/777??77
земля
--
Рис. 7
Как судну пересечь шлюз? В этом случае также ис­
пользуется закон сообщающихся сосудов.
Предположим, кораблю нужно пройти вниз по тече­
нию. Сначала через специальный канал вода проходит
в шлюз из верхнего бьефа. Когда вода в шлюзе наполня­
ется до такого же уровня, что и в верхнем бьефе, верхние
ворота открываются, и корабль может спокойно перейти
в шлюз. После этого верхние ворота закрываются, и вода
из шлюза по специальному каналу выпускается в нижний
бьеф. Как только вода в шлюзе опустится до уровня ниж­
него бьефа, нижние ворота можно будет открыть, и судно
продолжит свой путь.
2 84
Р асчет давлен и я ж идкости на дне и стен ки сосуда. С оо б щающ и еся сосуды
8 ПАНАМСКИЙ КАНАЛ
Это важнейшая и крупнейшая судоходная артерия, со­
единяющая Панамский залив Тихого океана с Кари бским
морем и Атлантическим океаном. Длина канала чуть
больше 80 км, а все шлюзы парные, что допускает встреч­
ное движение судов. Правда, на практике этого почти
не случается. Тем не менее максимальная пропускная
способность канала в сутки позволяет проводить до
48 судов. Размеры шлюзовых камер внушительные 3 3,5 3 м х 3 04,8 м, а минимальная глубина
1 2,5 5 м.
Переходить через шлюзы крупным судам помогают
специальные железнодорожные локомотивы (мулы), но
даже несмотря на такую помощь, среднее время прохо­
да судна по каналу - 9 часов (минимальное - 4 часа) .
Загруженность Панамского канала настолько высока,
что очередь прохода по нему вынуждены продавать на
аукционах. И некоторым компаниям приходится выкла­
дывать суммы в сотни тысяч долларов, чтобы их судно
смогло побыстрее пройти канал.
-
ВЫ ВОДЫ
При упоминании о сообщающихся сосудах нам в первую
очередь представляются две трубки, соединенные внизу.
На самом деле сообщающиеся сосуды можно встретить
даже на нашей кухне - обычный чайник с носиком.
Носик сообщается с самим чайником, поэтому уровень
жидкости в носике всегда равен уровню жидкости в чай­
нике. И когда при наклоне носик «кончается», из чайника
льется жидкость. От чайника на кухне до грандиозных
шлюзов на Панамском канале - вот каков диапазон при­
менения простого закона сообщающихся сосудов.
285
АТМО СФ Е РН О Е
ДА В Л Е Н И Е
На этом уроке мы поговорим о том, что, на первый
взгляд, незаметно, что трудно обнаружить и,
возможно, во что даже сложно поверить. Тем не менее
атмосферное давление существует и действует на
нас постоянно, хотим мы этого или нет. И поскольку
это довольно большая и значимая величина, попробуем
разобраться в ее природе и проявлениях.
Е
ел и существует давление, значит, существует и сила
давления. Другими словами, если атмосфера про­
изводит давление, значит, воздух должен иметь
какой-то вес. Но в повседневной жизни мы его не замеча­
ем, нам кажется, что воздух невесом.
Поэтому, чтобы говорить об атмосферном давлении,
первое, что нам нужно доказать, - это существование
веса у воздуха. Другими словами, его необходимо ка­
ким-то образом взвесить.
Попробуем сделать это с помощью сосуда из кабине­
та физики, объем которого в нашем случае составляет
1,23 л. Чтобы взвесить воздух, находящийся в нем, удалим
из сосуда воздух с помощью вакуумного насоса и взвесим
сосуд без воздуха. Затем запустим обратно воздух и вновь
взвесим. Воздух, который зайдет в колбу, будет иметь вес,
добавленный к весу сосуда (рис. 1) .
286
Ат мосферное давление
В зве ш и ва н ие воздуха
Рис. 1
Вес колбы без воздуха - 1 7 3,82 г.
Вес колбы с воздухом - 1 7 5, 1 8 г.
Отсюда можно определить массу воздуха:
тв = 1 7 5,1 8 г 1 7 3,82 г = 1,36 г.
-
Чтобы найти плотность воздуха, необходимо его массу
разделить на объем :
Р=
тв
V
=
1,36 г
1,3 6 · 1 0 - 3 кг
кг
=
l, l 06 3 ·
1,23 1 0 -з м 3 1,2 3 л
м
·
Плотность в нашем случае получ илась меньше об­
щепринятой, так как воздух был выкачан не весь. Для
получения высокого вакуума в колбе нашего объема
требуется времени не меньше получаса.
Итак, поскольку воздух обладает массой, Земля его
притягивает, сам воздух давит на землю силой, которую
мы называем весом. Следовательно, должно существо­
вать давление воздуха - атмосферное давление.
287
ФИЗ И КА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Де м о н ст ра ц и ю э к с п е р и м е нт а с м отр ите
зде с ь :
Для доказательства существования атмосферного
давления можно использовать шприц с поршнем. Шприц
с трубочкой на конце опустим в сосуд с водой и будем под­
нимать поршень. Мы увидим, что вода поднимается вслед
за поршнем. Почему? Ведь на воду действует сила тяже­
сти, направленная вниз, которая должна препятствовать
этому! Все дело в том, что на воду в сосуде действует атмо­
сферное давление, а в самом шприце, в слое над водой под
поршнем, образуется вакуум (там нет воздуха) . Согласно
закону Паскаля, давление, производимое атмосферой на
поверхность жидкости, передается без изменений во все
точки жидкости или газа. А значит, внутри трубки тоже
атмосферное давление.
Получается, что снизу
давление, производимое
на воду атмосферой, рав­
но атмосферному, в то
время как над поршнем
никакого давления нет.
П од
действием
этой
разности давлений вода
заходит в шприц (рис. 2).
Р атм
Рис. 2
288
Ашосферное давление
Д е м о н стра ц и ю о п ыта с м от р и те зде с ь :
• Оп ыт ТОРРИЧЕЛЛИ
Как же можно измерить это неуловимое давление атмо­
сферы ?
Впервые это сделать сумел итальянский ученый Эван­
джелиста Торричелли.
Торричелли взял стеклянную трубку длиной около
1 м, запаянную с одного конца, и заполнил ее до верха
ртутью (рис. 3).
Зажимая пальцем конец трубки, он погрузил его в чашу
со ртутью и отпустил. Если бы атмосферного давления
не было, ртуть вся бы вылилась. Но так как атмосферное
То рри челл иева
пустота
( вакуу м )
·�
ртуть
ртутн ы й ба р о м ет р
Рис. 3
289
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
давление все же существует, ртуть вылилась не полностью,
а частично. В трубке остался столб ртути высотой 760 мм,
если отсчитывать от уровня ртути в чаше. Произошло это
потому, что атмосфера давит на ртуть. И если в случае
с водой, плотность которой намного меньше, жидкость
быстро загоняется в трубку атмосферным давлением, то
большая плотность ртути позволила атмосферному дав­
лению поднять ее только до высоты 760 мм.
Согласно закону Паскаля, давление передается
и внутрь трубки, а значит, в нижней части трубки
давление равно атмосферному. Н о это давление уравнове­
шивается давлением столба ртути - гидростатическим
давлением. Снизу вверх на ртуть в нижнем конце трубки
действует атмосферное давление, а сверху вниз - гидро­
статическое. В верхней части трубки, над ртутью, ничего
нет - это вакуум, который еще называют торричеллuева
пустота. Следовательно:
Р ртВh = Ратм;
кг
Р рт = 1 3 600 м з ;
g = 9,8
н
кг
;
h = О,7 6 м;
н
кг ·
9 8 -Г · О , 76 м = 1 3 , 6 · 9 В · О , 76 · 1 0 3 Па = 1 0 1 , 3 кПа.
ратм = 1 3 600 К
мз
•
•
Величина атмосферного давления оказывается очень
внушительной, если вспомнить, что лист бумаги, лежа­
щий на столе, производит давление немного меньше 1 Па.
Сегодня метеорологи для обозначения атмосферного
давления пользуются гектопаскалями (гПа) . В нашем
случае 1 0 1,3 кПа = 1 0 1 3 гПа.
Но по старинке, с тех самых времен, когда проводился
опыт Торричелли, атмосферное давление все еще не290
Атмосферное давление
редко измеряют в миллиметрах ртутного столба, где
760 мм рт. ст. или 1 0 1 3 гПа - это так называемое нор­
мальное атмосферное давление.
1 мм рт. ст. - это давnение.
производимое стоnбом ртути
ВЬIСОТОЙ 1 ММ.
1 миллиметр ртутного столба - внесистемная
единица давления. Установим связь между мм рт. ст.
и привычной единицей давления СИ - паскалем.
Представим, что у нас есть ртутная лужица глубиной
1 мм (не пытайтесь воспроизвести этот опыт в реально­
сти !). Мы можем рассчитать гидростатическое давление,
производимое этой лужицей, на поверхность, на которой
она находится.
Есл и
Р рт = 1 3 600
кг
;
мз
g = 9 ' 3 li'.
кг
h = 1 0- 3 м;
н
кг ·
9 8 - · 1 03 м =
р = 1 мм рт. ст. = 1 3 ' 6 · 1 0 3 м 3 ' кг
= 13,6 · 9,8 Па ::::: 1 3 3,3 Па.
А значит:
1 мм рт. ст. = 1 3 3,3 Па.
291
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
• БАРОМЕТ Р - АНЕРОИД
Приборы для измерения давления называются баро­
метрами. Поэтому устройство, которое использовал
Торричелли, - это ртутный барометр.
Эванджелиста Торричелли наблюдал за показателя­
ми ртутного барометра достаточно долгое время. Он
заметил, что, когда столбик ртути понижается, через
некоторое время наступает ненастье. Когда же ртут­
ный столбик повы шается, вскоре непогода сменяется
хорошей погодой. А значит, следя за изменениями атмо­
сферного давления, можно делать метеорологические
прогнозы.
Вот как, например, описывается связь погоды
и атмосферного давления в романе Жюля Верна «Пят­
надцатилетний капитан».
« 1 . Когда после долгого периода хорошей погоды ба­
рометр начинает резко и непрерывно падать - это
верный признак дождя. Однако если хорошая погода
стояла очень долго, то ртутный столбик может опу­
скаться два-три дня, и лишь после этого произойдут
в атмосфере сколько-нибудь заметные изменения.
В таких случаях чем больше времени прошло между
началом падения ртутного столба и началом дождей,
тем дольше будет стоять дождливая погода.
2 . Напротив, если во время долгого периода дождей баро­
метр начнет медленно, но непрерывно подниматься,
можно с уверенностью предсказать наступление хоро­
шей погоды. И хорошая погода удержится тем дольше,
чем больше времени прошло между началом подъема
ртутного столба и первым ясным днем.
3. В обоих случаях изменение погоды, происшедшее
сразу после подъема или падения ртутного столба,
удерживается весьма непродолжительное время.
292
Атмосферное давление
4. Есл и барометр медленно, но беспрерывно поднимает­
ся в течение двух-трех дней и дольше, это предвещает
хорошую погоду, хотя бы все эти дни и лил, не пере­
ставая, дождь, и наоборот. Н о если барометр медленно
поднимается в дождливые дни, а с наступлением хо­
рошей погоды тотчас же начинает падать, - хорошая
погода удержится очень недолго, и наоборот.
5. Весной и осенью резкое падение барометра предве­
щает ветреную погоду. Летом, в сильную жару, оно
предсказывает грозу. Зимой, особенно после продол­
жительных морозов, быстрое падение ртутного столба
говорит о предстоящей перемене направления ветра,
сопровождающейся оттепелью и дождем. Напротив,
повышение ртутного столба во время продолжитель­
ных морозов предвещает снегопад.
6. Частые колебания уровня ртутного столба, то подни­
мающегося, то падающего, ни в коем случае не следует
рассматривать как признак приближения длитель­
ного периода сухой либо дождливой погоды. Только
постепенное и медленное падение или повышение
ртутного столба предвещает наступление долгого
периода устойчивой погоды.
7. Когда в конце осени, после долгого периода ветров
и дождей, барометр начинает подниматься, это пред­
вещает северный ветер и наступление морозов».
Но ртутный барометр не очень практичен. Поэтому
нужно было придумать барометр, который имел бы мень­
шие размеры, не содержал бы ядовитую ртуть (а лучше
всего и вовсе был безжидкостным) и не имел бы хрупкой
стеклянной трубки. Такой барометр изобрели и назвали
анероид (в переводе с греческого - «безжидкостный»)
(рис. 3).
293
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
1 ООО
1 050
1 1 00
1 200
Рис. 3
Он состоит из коробочек, внутри которых выкачан
воздух, но содержится пружина, чтобы их не раздавило
атмосферным давлением. Через специальный механизм
рычажок передает движение стенок коробочек на стрел­
ку. Принцип такого барометра прост: когда атмосферное
давление увеличивается, воздух сжимает коробочки,
вследствие чего их толщина уменьшается. Когда атмо­
сферное давление уменьшается, все происходит наоборот,
и стрелка барометра перемещается в противоположную
сторону.
• АТМОС Ф ЕРНОЕ ДАВЛЕНИЕ НА РАЗНЫХ ВЫСОТАХ
Представьте Землю и разные слои земной атмосферы
(рис. 4) .
Поскольку из-за притяжения к Земле воздух обла­
дает весом, он производит давление. Если разместить
барометр на определенной высоте, на него будет давить
только та часть атмосферы, которая находится выше.
Если поместить барометр ниже, то по закону Паскаля
к давлению слоя, сквозь который мы прошли, опуская
294
Атмосферное давление
Ро > Р1
Рис. 4
барометр, прибавится давление вышележащего слоя.
Значит, на уровне моря атмосферное давление должно
быть наибольшим:
Р о > Р 1·
Н о рассч итывать атмосферное давление по формуле
р = pg h нельзя, так как у атмосферы нет четких границ
и плотность воздуха в разных частях атмосферы разная.
Ведь плотность воздуха сама зависит от давления. Внизу
воздух всегда более плотный, вверху - менее плотный,
разреженный.
Перед вами таблица зависимости атмосферного
давления от высоты, которая была получена нашими
любознательными лицеистами в 2016 году во время эко­
логической экспедиции Ришельевского лицея на р. Стрый
в Карпатах, и график, построенный по этой таблице (рис. 5).
h, м
р, м м рт. ст.
500
726
643
71 4
424
575
81 2
733
720
70 1
295
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
р, м м рт. ст.
h, м
998
1 1 30
1 1 64
1 264
-
_1
1-
687
676
671
664
-
�-
График зависимости атмосферного давления от
высоты.
р , мм рт . ст .
750
Гра ф и к за виси мости
атм осфе рного
да вл ен и я
от вы соты
734
720
71 0
700
690
680
670
660
650
-:;50
1 450 м
400 м
Рис. 5
Согласно графику, точки ложатся примерно на прямую
линию. Это значит, что, как говорят математики, давле­
ние с высотой меняется по линейному закону.
В этом случае при увеличении высоты на одну и ту же
величину давление также уменьшается на одну и ту же
величину. Сразу нужно сказать, что такой график можно
считать прямой линией только на малых высотах.
296
Атмосферное давление
Разность высот по таблице:
Лh = (1 2 64 - 424) м = 840 м.
Разница давлений:
Лр = (733 - 664) мм рт. ст. = 69 мм рт. ст. ;
Лh
Лр
=
12
м
мм рт. ст.
Именно с такой быстротой меняется давление при
увеличении высоты. Это значит, что при увеличении
высоты на 1 2 м атмосферное давление уменьшается на
1 мм рт. ст.
Измеряя атмосферное давление, можно судить о вы­
соте. Существуют даже специальные приборы, которые
представляют собой барометры-анероиды, но их шкала
проградуирована не в единицах давления, а в единицах
высоты. Называются они альтиметрами, а пользуются
ими летчики, туристы и альпинисты.
В случае, когда давление выражено в гПа, удобнее
вести запись следующим образом. Если 1 мм рт. ст. =
1 3 3,3 Па = 1, 3 3 3 гПа,
Лh =
м
= 9 �·
12
гПа '
1,3 3 3 гПа
Лр
Лh = � .
Лр 9 гПа
Это означает, что при увеличении высоты на 9 м ат­
мосферное давление уменьшается на 1 гПа.
297
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
8 ПРОЯВЛЕНИЯ АТМОСФЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ
Раньше, когда люди не знали о существовании атмо­
сферного давления и не понимали многих явлений,
они считали, что природа просто «Не терпит пустоты».
П о их логике в опыте с водой, которая поднимается
вслед за поршнем в шприце, чтобы в шприце не было
пустоты, туда должна зайти вода. Теперь же этому есть
о бъяснение, и в случае поднятия поршня под ним созда­
ется область пониженного давления, в резул ьтате чего
атмосфера вдавливает воду внутрь шприца. Это один из
оп ытов, который наглядно п оказывает, что атмосфер­
ное давление действительно существует.
8 М АГДЕБУРГСКИЕ ПОЛУШАРИЯ
Насколько атмосферное давление велико, в 1 654 году
продемонстрировал бургомистр города Магдебурга
Отто фон Герике. Сделал он это, проделав опыт с магде­
бургскими полушариями.
Для этого опыта были изготовлены две бронзовые
полусферы, одна из которых была сплошной, а другая с отверстием, через которое выкачивался воздух. Для
герметичности между полушариями помещалась про­
масленная кожаная прокладка. П олусферы соединили
друг с другом и откачали воздух из пространства между
ними с помощью специального насоса, который скон­
струировал сам Отто фон Герике. После этого полусферы
оказались сдавлены атмосферным давлением настолько
сильно, что разорвать их не смогла даже сила, развивае­
мая с помощью шестнадцати лошадей.
В ходе опыта с магдебургскими полушариями дав­
ление воздуха внутри понижается, а снаружи остается
атмосферным. Следовательно, сила давления воздуха,
298
Атмосферное давление
действующая на полушария изнутри, уменьшается, а сила,
действующая на полушария снаружи, остается неизмен­
ной и не позволяет разделить полушария.
Попробуем рассчитать силу, которая сдавливает полу­
шария (рис. 6).
М а гдебу р гски е п ол уш а р ия
к ва куу м ном у насосу
Рис. б
Стоит отметить, что набрав в «Википедии» «Магде­
бургские полушарию>, можно найти ошибку, так как сила
в статье вычисляется неправильно. Ошибка авторов
«Википедии» заключается в том, что они рассуждали
следующим образом: поскольку атмосферное давление
известно и равно 100 кПа, значит, чтобы найти силу,
сжимающую полушария, авторы просто умножили пло­
щадь полусферы на давление атмосферы. Но площадь
полусферы была взята ошибочно. Дело в том, что силы
давления воздуха на различные участки полушария
не направлены в одну сторону, а располагаются под
углом друг к другу. Из-за этого для нахождения результи­
рующей силы необходимо использовать методы высшей
математики.
Однако те, кто хорошо понимает физику, могут найти
решение этой задачи, не прибегая к интегральному ис­
числению.
299
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Возьмем вместо одного из полушарий плоскую пла­
стину в виде круга с таким же диаметром. Найти силу,
действующую на плоскую пластину, намного легче, ведь
на каждый ее участок действует сила, направленная
в одну и ту же сторону. Сила, действующая на пластину
со стороны атмосферы, должна быть равна силе, действу­
ющей со стороны атмосферы на полусферу. Ведь если бы
было иначе, то конструкция «пластина + полушарие»,
предоставленная сама себе (наприме р, просто положен­
ная на землю) пришла бы в движение и могла бы быть
использована для изготовления «вечного двигателю>.
Поэтому для нахождения силы, сжимающей магде­
бургские полушария, достаточно умножить атмосферное
давление на площадь круга по сечению магдебургского
полушария, то есть
nd2 ·
S=
4
-
Рабочая формула в этом случае будет иметь такой вид:
d2
F = pат · n ·
4 '
-
F = 1 0 0 · 1 0 3 Па ·
3,14 · (О, 3 5 5 м) 2
:::: 1 0 кн.
4
Вот с какой огромной силой атмосферный воздух
сжимает магдебургские полушария. Это вес тела, масса
которого равна 1 тонне. Теперь понятно, почему разо­
рвать полушария лошадям оказалось не под силу.
Де м о н ст р а ц и ю о п ыта с м отр ите зде с ь :
300
Атмосферное давление
.......
.:
В Ы ВОДЫ
--------....
Каждый из нас живет на дне океана. Но этот океан
состоит не из воды, а из воздуха. Как и вода, воздух
притягивается к Земле, и благодаря этому создается
давление той же природы, что и гидростатическое. Мы
называем его атмосферным давлением. Человечество
долго не подозревало, что испытывает это довольно
большое давление. Чтобы его обнаружить, потребовалась
остроумная методика, примененная Торричелли. Именно
он смог не только доказать существование атмосферного
давления, но и измерить его.
301
Д Е Й СТ В И Е ЖИ Д КО С ТИ
И ГАЗА НА П О ГРУЖЕ Н НО Е
В Н И Х ТЕЛ О . ЗАКО Н
А РХ И М ЕДА
У любого тела есть размер. Если погружать это
тело в жидкость, верхняя его часть всегда будет
расположена на меньшей глубине, а нижняя - на
большей. А значит, и давление на тело сверху будет
меньше, чем снизу. Оказывается, из-за этого на тело,
погруженное в жидкость, действует направленная
вверх выталкивающая сила, названная в честь
Архимеда, который, во-первых, догадался, что объ ем
вытесненной жидкости равен объ ему погруженного
в нее тела (принцип вытеснения), и, во-вторых, открыл
закон, описывающий свойства выталкива ющей силы.
в
озьмем пластилиновый брусок, который мы
взвесим, используя дин � мометр. Мы помним, что
�
вес - это сила, с которои тело деиствует
на подвес
или на опору. В нашем случае подвесом будет служить
крючок динамометра. С подвешенным телом наш прибор
показывает силу 1 Н. Пружина динамометра тянет брусок
вверх силой упругости 1 Н. Но брусок находится в равно­
весии, значит, эту силу уравновешивает сила тяжести,
приложенная к центру тяжести бруска и направленная
вниз (рис. 1 . 1).
F= l H
Fтяж = 1 Н
302
Де й ствие жидкости и газа на погруженное в них тело. За к он Архимеда
__,. - О,2Н
Рис. 1 .1
Рис. 1 .2
Теперь подвешенное тело будем постепенно погру­
жать в сосуд с водой. Когда тело оказывается полностью
погружено в воду, показания динамометра меняются
и теперь составляют 0,2 Н (рис. 1.2).
Со стороны пружины динамометра на тело по-преж­
нему действует сила, но теперь она уменьшилась до
F' = 0,2 Н. Эта сила по-прежнему направлена вверх, так
как пружина динамометра натянута. Сила тяжести, дей­
ствующая на тело, не изменилась, Земля по-прежнему
притягивает это тело. Значит, кроме силы тяжести и силы
упругости пружины, на тело теперь действует еще одна
сила, направленная вверх, причем действует со стороны
воды. Это выталкивающая сила Fвыт · У данного термина
есть синоним, выталкивающую силу еще называют силой
Архимеда, или архимедовой силой, и обозначают Fл.
Выясним, чему в нашем случае равняется сила Архи­
меда. Для этого запишем условие равновесия бруска:
Откуда:
303
ФИЗИКА.
Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
В нашем опыте сила Архимеда:
Fл = 1 Н - 0,2 Н = 0,8 Н.
Итак, на опыте мы установили, что на тело, погружен­
ное в жидкость, действует выталкивающая (архимедова)
сила, направленная вертикально вверх, которая в нашем
случае равна 0,8 Н.
Оказывается, что и на тело, погруженное в газ, тоже
действует выталкивающая сила, и она тоже направлена
вертикально вверх и вычисляется по тем же формулам,
что и в ыталкивающая сила в жидкости.
Каково же происхождение выталкивающей силы
и как рассчитать ее величину? Возьмем тело в форме
прямоугольного параллелепипеда (уже знакомый нам
брусок пластилина) и погрузим его полностью в жид­
кость (рис. 2) .
Мы уже знаем, что жидкость н а глубине находится
под давлением, которое называется гидростатическим
и зависит от глубины, плотности жидкости и ускорения
свободного падения. В нашем случае самое главное - это
то, что величина гидростатического давления зависит
от глубины.
--->" •
.....
Fz
r -i- �--
-
3 04
Рис. 2
Де й ст вие жидкости и газа на погруженное в них тело. За к он Архимеда
Верхняя часть тела находится на меньшей глубине,
а нижняя - на большей. А значит, и гидростатическое
давление на верхнюю часть тела будет наименьшим, а на
нижнюю часть - наибольшим. Давление на боковые
грани тела будет постепенно увеличиваться с глубиной.
С давлением связана сила давления. Чтобы найти силу
давления, необходимо давление умножить на площадь
той поверхности, на которую это давление производится.
Сверху давление меньше, снизу - больше. Площади
верхней и нижней граней одинаковые. Поэтому сила дав­
ления жидкости на верхнюю грань тела F1 (направленная
сверху вниз) будет меньше, чем сила давления жидкости
на нижнюю грань тела F2 (направленная снизу вверх) :
F2 > F1, так как h 2 > h 1 .
На боковые поверхности тела тоже действуют силы
давления. Н о они направлены в противопол ожные
стороны и одинаковы, они друг друга компенсируют, их
равнодействующая равна О.
Остается найти равнодействующую сил F1 и F2. Они ле­
жат на одной прямой и направлены в противоположные
стороны. В таком случае, как мы помним, равнодейству­
ющая направлена в сторону большей силы (у нас это сила
F2), а чтобы найти модуль равнодействующей необходи­
мо из большей силы вычесть меньшую:
F = F2 - F1.
Эта сила направлена вверх, а значит, это и есть архи­
медова сила (выталкивающая сила) .
Понимая природу силы Архимеда, мы можем теперь
получ ить выражение для ее вычисления, причем даже
для самого общего случая, когда тело погружено в жид­
кость не полностью, а частично.
Итак, тело по-прежнему имеет форму прямоугольного
параллелепипеда и частично погружено в жидкость (рис. 3).
305
ФИЗИКА.
Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Р1 = Р ат
Рис. 3
Обозначим площадь основания параллелепипеда че­
рез S, а глубину, на которую погружено тело, через h.
Сверху на тело действует атмосферное давление
р 1 = Р ат · На большей глубине, поскольку нижняя часть
тела находится на глубине h, давление будет больше - р2.
Атмосферное давление также действует и на жидкость.
И есл и бы его не было, р2 было бы просто гидростатиче­
ским давлением, которое вычисляется по уже известной
нам формуле:
р = pж!J h.
Но, согласно закону Паскаля, давление, производимое
на жидкость или газ (в нашем случае это и есть атмосфер­
ное давление), передается без изменений во все точки
жидкости или газа. А значит:
P z = Рат + Pж!J h.
Теперь, зная давления, можно найти силу давлений.
Сверху вниз на тело действует сила давления F1. Снизу
вверх на тело тоже действует сила давления F2• Равно­
действующая этих сил и будет архимедовой силой:
306
Де й с т вие жидкости и газа на погруженное в них тело. Закон Архимеда
F1 = P 1 S; F1 = Р ат5;
F2 = p z S; F2 = СРат + Р h ) ;
ж9
Fл = F2 - F1 = Р ат5 + p idJhS Р ат5·
-
Слагаемые, связанные с атмосферным давлением, вза­
имно уничтожились. А это значит, что не имеет никакого
значения, каково атмосферное давление. Выталкиваю­
щая сила от этого не зависит. Н о она зависит только от
величин p idJhS.
объем той части тела,
Но из рисунка видно, что hS
Vп о гр ·
которая погружена в жидкость
Тогда окончательная формула для вычисления силы
Архимеда выглядит следующим образом :
-
-
1
Fл = Р
V г
ж9 п о р ·
1
Здесь уместно вспомнить открытый Архимедом прин­
цип вытеснения: если тело погрузить в жидкость, оно
вытесняет такой же объем, каков объем погруженной
части тела:
Vп о гр = Vвытес ю
где Vвы те с н
-
объем вытесненной жидкости (или газа) .
масса
Теперь обратим внимание на то, что Рж Vп о гр
вес
вытесненной жидкости, следовательно, Рж Vп о гр 9
вытесненной жидкости. Поэтому окончательно закон
Архимеда можно сформулировать так:
-
·
-
На тело, поrруженное в жидкость или
rаэ, действует сила, направленная
вертикально вверх и равная весу
жидкости или rаэа, вытесненноrо
зтим телом.
------ · · · · · · ·
307
ФИЗИКА. Ос но вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
8 АРХИМЕД И ЗОЛОТАЯ КОРОНА
В Сиракузах во времена Архимеда жил и правил царь
Гиерон, который заказал ювелиру золотую корону для
пожертвования в храм. Царь передал ювелиру слиток
золота, из которого следовало изготовить корону. Через
некоторое время до Гиерона дошли слухи, что ювелир
смошенничал, заменив часть золота для короны сере­
бром. Царь пригласил к себе Архимеда и попросил его
проверить - так ли это? Чтобы собраться с мыслями
и освежиться, Архимед отправился в баню, чтобы при­
нять ванну, наполненную до краев прохладной водой.
Погрузившись в ванну, он обратил внимание, что при
погружении часть воды вылилась. И чем глубже он погру­
жался, тем больше воды выливалось. По легенде, Архимед
выскочил из ванны с криком «Эврика ! » и побежал по
улице. На самом деле он спокойно отправился домой. Так
Архимедом был открыт принцип вытеснения. Этот прин­
цип Архимед и решил применить для измерения объема
короны. Ученый был человеком небедным, поэтому взял
слитки золота и серебра такой же массы, что и корона,
и начал по очереди погружать их в воду. Он заметил, что
серебряный слиток вытесняет больше жидкости, чем
золотой. Погрузив в воду корону, Архимед увидел, что
она (корона) вытесняет жидкости больше, чем золотой
слиток, но меньше, чем серебряный. Из этого Архимед
сделал вывод, что ювелир действительно обманул царя,
добавив серебро в расплавленное золото при изготовле­
нии короны. Узнав об этом, Гиерон наградил Архимеда
этой самой короной. А вот о дальнейшей судьбе ювелира
история умалчивает" .
308
Действи е жидкости и газа на погруженное в них тело. Закон Архимеда
Де м о н ст р а ц и ю де й ств и я з а к о н а А р х и м еда
с м от рит е зде с ь :
:
•
�
[!)
. .:
.
-------
В Ы В ОД Ы
Увеличение гидростатического давления с глубиной при­
водит к интересному следствию: при погружении тела
в жидкость на него со стороны жидкости начинает дей­
ствовать сила, которая мешает дальнейшему погружению
тела. Она называется выталкивающей силой, или силой
Архимеда. Найти величину этой силы совсем не сложно.
Она равна весу жидкости в объеме погруженной части
тела (или, проще говоря, весу жидкости, вытесненной те­
лом) . Архимедова сила действует и на тела, находящиеся
в газе (например, в атмосферном воздухе). Знание закона
Архимеда позволяет понять многие вещи, происходящие
вокруг нас. Почему, например, некоторые тела тонут,
а некоторые - нет. Подробнее об этом речь пойдет на
следующем уроке.
309
ПЛ А ВАН И Е ТЕЛ .
В О ЗДУХ О ПЛ А ВАН И Е
Почему гвоздь, брошенный в воду, идет ко дну,
а корабль, сделанный из такого же металла, остается
на поверхности ? Все дело в условии плавания, которое
состоит в том, что средняя плотность тела должна
быть меньше плотности жидкости. Именно поэтому
не тонет рыба, тонет гвоздь, а пузырьки воздуха
всплывают на поверхность.
к
ак определить, когда тело будет плавать, а когда тонуть? Чтобы понять это, представим себе тело,
находящееся в жидкости. В этом случае на него
действует сила Архимеда и сила тяжести.
Сила тяжести :
Fт = mg.
Если нам известен объем и плотность вещества этого
тела, то
Сила Архимеда:
Рассмотрим три ситуации.
31 0
Плавание тел. Воздухоплавание
1. Тело тонет (рис. 1).
Рис. 1
Это будет происходить, если Fт > FлИз записанных выше формул следует, что :
Рт VтВ > РжВ Vп о rр ·
Поскольку тело погружено в жидкость целиком, то
Vт = Vпorp·
А значит:
Рт VтВ > РжВ Vт·
После сокращения на объем тела и ускорение свобод­
ного падения получаем результат:
Рт > Рж ·
. . .
.
. . .
.
Если плотность тела больше, чем
плотность той жидкости, в которую
оно поrружено, тело будет тонуть.
31 1
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
2. Тело плавает в толще воды (1шс. 2).
Рис. 2
О такой ситуации еще говорят, что тело находится во
взвешенном состоянии.
Равнодействующая двух сил - силы Архимеда и силы
тяжести - равна нулю, то есть
У нас по-прежнему
Отсюда:
Vп о гр = Vт,
Рт VтВ = РжВ Vп о гр ·
Рт = Рж ·
Есnи nnотность теnа совпадает
с nnотностью жидкости, теnо
не всnnывает и не тонет, находя сь
во взвешенном состоянии в тоnще
жидкости.
Наглядный пример - рыба в море. В теле рыбы име­
ется плавательный пузырь. Рыба может регулировать
31 2
Плавание тел. Воздухоплавание
объем воздуха в нем, добиваясь того, чтобы ее средняя
плотность была равна плотности воды. Тогда, чтобы
не тонуть и не всплывать на поверхность, от рыбы не тре­
буется никаких усилий.
3. Тело всплывает на пове хность жидкости
н с. 3).
-+
FT
Рис. 3
Так будет, если сила тяжести меньше, чем сила Архимеда:
Fт < FA
Рт VтВ < РжВ VтТо есть условие всплытия имеет вид:
Рт < Рж·
Если плотность материала, из
котороrо сделано тело, меньше
плотности жидкости, в которой оно
находится, тело будет всплывать.
31 3
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Это будет происходить до тех пор, пока тело не покажется
на поверхно сти жидкости и объем погружен ной части тела
не начнет уменьшаться. При этом сила тяжести не изменя­
ется и остается прежней. Но поскольку объем погружен ной
части тела стал меньше, сила Архимеда тоже стала меньше.
И чем больше тело выступает из жидкости, тем меньше
сила Архимеда. Движени е тела вверх будет продолжаться
до тех пор, пока эта сила не сравняется с силой тяжести.
Можно даже представ ить себе, что по инерции тело
выступи ло над поверхно стью жидкост и дальше, чем нуж­
но. Тогда сила Архимеда станет меньше, чем сила тяжести ,
и под действи ем силы тяжести тело начнет погружа ться
до тех пор, пока не установи тся такое положен ие равнове­
сия, когда эти силы станут одинако выми.
Обозначим силу Архимеда, действующую на частично
погруженное тело, через F'k Тогда условие равновесия :
Fт = F'A •
Рт Vтg = РжВ Vпо гр•
Рт Vт = Рж Vпоrр ·
Запишем это выражен ие немного иначе:
Это условие выполняе тся, когда тело плавает на по­
верхност и жидкости .
Объем поrруженной части тела во
столько раэ меньше объема самоrо
тела, во сколько раэ плотность тела
меньше плотности жидкости, на
поверхности которой тело плавает.
31 4
Плавание тел. Воздухоплавание
Рассмотри м примеры:
1 . Древесина
Плотность древесины зависит от породы. Для сосны:
кг
кг
р 400 з . Для воды : р в 1000 м з . Бросим деревяшку
м
в воду, и тогда
=
=
vп ог р
кг
м3 =
0,4.
кг
1000 з
м
400
---='--- = ----
Vт
Получается, что 40 % тела будет находиться под водой,
над водой (рис. 4).
а остальная часть (60 %)
-
2 . Пенопласт
кг
р = 2О з
м
vп огр
кг
м3
кг
1000 з
м
20
--=
'--- = -- =
--
Vт
0,02.
Если бросить пенопласт в воду, под водой будет нахо­
диться только 2 % тела (рис. 5).
60 %
98 %
п е н о пла ст
40 %
Рис. 4
2%
Рис. 5
31 5
ФИЗИКА. Осно вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
З. �
кг
р = 900 3
м
кг
мз
кг = 0,9.
1000 з
м
900
----
Это значит, что 90 % льда будет находиться под водой.
Каждый знает об огромных глы бах льда, которые пла­
вают в океане, - айсбергах, что в переводе с немецкого
означает «ледяная гора» (рис. 6) .
10 %
Рис. б
У айсберга подводная часть занимает 90 % всего объе­
ма, и лишь 10 % находится над поверхностью воды. Этим
айсберг чрезвычайно опасен для кораблей, поскольку его
подводная часть не видна с борта судна. Именно с таким
айсбергом в 1 9 1 2 году столкнулся «Титанию>, что приве­
ло к крушению корабля.
Де м о н ст р а ц и ю п р и м е р о в с м от р ите зде с ь :
31 6
Плавание тел. Воздухоплавание
Если одно и то же тело погружать в разные жидкости,
объем погруженной части тела в разных жидкостях будет
разным. Это можно использовать для измерения плот­
ности жидкостей. Так работает прибор для измерения
плотности жидкостей под названием ареометр.
Ареометр представляет собой поплавок, который
снабжен шкалой, проградуиро ванной в единицах плот­
ности. Чтобы поплавок был чувствителен к изменению
плотности, нужно, чтобы небольшие изменения плотно­
сти приводили к заметному погружени ю или всплытию
поплавка. Для этого верхняя часть поплавка сделана
в виде тонкой трубочки. Сравним положение ареометра
в воде и крепком растворе соли (рис. 7) .
А р еом ет р
кг
р = 1230 3
кг
р = 1000 3
м
м
1 000
1 000
1 1 00
1 200
1
о
в ода
Рис. 7
Де м о н ст р а ци ю о п ыта «Ка ртез и а н с к и й
водол а з » с м от р и т е зде с ь :
•
[!]
. ..:
31 7
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
8 ПЛАВАНИЕ СУДОВ
Корабли строят из стали, плотность которой 7800 кг/м 3 ,
в то время как плотность воды
1 0 0 0 кг /м 3 • И тем не ме­
нее корабли не тонут, а плавают. Почему? Ответить на
этот вопрос поможет мысленный эксперимент.
Представьте, что мы бросили в воду сплошной кусок
стали. Поскольку его плотность выше, чем плотность
воды, он утонет. А теперь представьте, что мы начнем на­
полнять этот кусок стали воздухом изнутри. Масса куска
от этого не изменится, а значит, сила тяжести останется
прежней. Но если мы немного раздуем это тело, то те­
перь, хоть масса и не изменится, его объем станет больше.
А раз увеличится объем тела, то увеличится объем и вес
вытесненной им жидкости. Следовательно, увеличится
сила Архимеда, действующая на тело. На первых порах
сила тяжести все еще будет больше силы Архимеда, поэ­
тому тело останется на дне. Н о если это тело раздуть еще
сильнее, оно превратится в пустотелую оболочку, толщи­
на стенок которой будет все меньше и меньше, а объем
все больше и больше при той же массе. И, наконец, объем
станет настолько большим, что выталкивающая сила пре­
высит силу тяжести. А значит, тело всплывет и окажется
на поверхности. С появлением тела на поверхности воды
объем вытесненной жидкости уменьшится настолько,
чтобы сила Архимеда уравнялась с силой тяжести. Мы
добились главного: стальное тело благодаря тому, что
внутри оно содержит полость, приобрело способность
плавать. Отрезав верхнюю половинку этого тела, приде­
лав палубу и двигатель с гребным винтом или паруса, мы
получим кораблик (рис. 8) .
Несмотря н а то, что масса тела осталась прежней,
а тело сделано из вещества с плотностью большей, чем
плотность жидкости, из-за пустоты внутри его средняя
-
31 8
Пла вание тел. Воздухоплавание
. ·�
Рис. В
плотность стала меньше, ч ем плотность воды (сред­
няя плотность равна отношению массы тела к объему,
который тело занимает) . В результате тело приобрело
способность плавать.
Раз уж мы заговорили о кораблях, познакомимся
с некоторыми понятиями, относящимися к судоход ству
(рис. 9).
ва терли н ия
h осадка судна
-
Рис. 9
31 9
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Когда корабль плавает в воде, его нижняя часть на­
ходится на некоторой глубине ниже поверхности воды.
Максимальное расстояние от поверхности воды до самой
нижней части корпуса корабля называется осадкой суд­
на. Эта величина является его важной характеристикой,
ведь если глубина водоема, в которое зашло судно, мень­
ше, чем осадка, судно сядет на мель. Измеряется осадка
в метрах или футах.
..... .
.
Осадкой судна называется rnубина,
.
.
на которой распоnаrается самая
нижняя часть корпуса судна.
В зависимости от того, несет на себе судно груз или
нет, осадка может меняться. Если размещать на судне
груз, оно погружается ниже, поскольку увеличивается
сила тяжести, и чтобы сила Архимеда вн о вь ее уравнове ­
сила, судно должно вытеснить больший объем воды. Вот
почему осадка зависит от загрузки корабля.
Но судно нельзя недогрузить или перегрузить.
Перегруженное судно может утонуть, а недогруженное перевернуться. П оэтому суда нагружают до тех пор, пока
они не погрузятся в воду до определенного уровня ватерлинии .
Ватерnиния - это пиния на корпусе
судна, раэдеnяющая ero подводную
и надводную части в сnучае поnной
эаrруэки судна.
320
Плавание тел. Воздухоплавание
Осадка судна указы вается рядом с ватерлинией и вы­
ражается в дециметрах (арабские цифры) или футах
(римские цифры) .
Полностью загруженное судно вытесняет некоторый
объем воды. Эта вода имеет определенную массу и вес.
Масса (ипи вес) воды, вь1тесняемой
полностью загруженным судном,
называется водоизмещением судна.
Водоизмещение можно вычислять в тоннах, если речь
идет о массе воды, можно измерять в ньютонах. Если судно
вытесняет определенное количество воды, ее вес равен
силе Архимеда. Н о так как судно находится в равновесии,
водоизмещение равно либо массе, либо весу судна вместе
с грузом. П оэтому, если указывается, что водоизмещение
судна равно, например, 10 ООО тоннам, это значит, что
вместе с грузом это судно имеет массу 10 ООО тонн.
Р е ш е н и е задач дл я з а к р е пл е н и я м а т е р и а л а
с м от р ите зде с ь :
• ВОЗДУХОПЛАВАНИЕ
Воздухоплавание тоже существует благодаря существо­
ванию силы Архимеда, но в этом случае тело погружается
в газ - в атмосферу Земли.
Представьте, что в воздух погружено тело, представ­
ляющее собой тонкую шарообразную оболочку, которая
321
Физи кл. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
содержит внутри газ с плотностью меньшей, чем плот­
ность воздуха вокруг (рис. 1 0) .
Рис. 1 0
На этот шар действует сила тяжести оболочки. Кроме
того, газ, находящийся внутри оболочки, тоже имеет мас­
су, на него тоже действует сила тяжести. Будем считать,
что две эти силы вместе не способны побороть направ­
ленную вверх архимедову силу, действующую на шар со
стороны воздуха. Если это так, то шар может поднимать
в воздух различные тела. Предположим, что шар привя­
зан легким тросом к земле. Он будет стремиться вверх,
натягивая трос с силой, которую мы назовем подъемной.
Но с какой силой трос будет тянуть вверх привязанное
3 22
Плавание тел. ВоздУхоплавание
к нему тело (в нашем случае Землю), с такой же силой
другой конец троса будет тянуть шар вниз. А значит, шар
будет находиться в равновесии под действием целых
четырех сил. Из них три направлены вниз: сила тяжести
оболочки Fто • сила тяжести газа внутри оболочки F r•
т
сила натяжения троса Fп од (подъемная сила) . И одна на­
правлена вверх. Это сила Архимеда Fл Условие авновесия
Сумма всех сил, направленных вниз, равна сумме всех
сил, направленных вверх:
Fп од + Fт г + Fто = Fл -
Наша задача - найти подъемную силу. Для этого
введем такие величины, как объем шара и масса оболоч­
ки - V и m 05:
Fп од = Fл - Fт г - Fто ;
Fл = РвВ V;
Fт г = Prg V;
Fто = тоед,
где Рв - плотность воздуха, Р г - плотность газа вну­
три шара.
Отсюда:
Fп од = РвВ V - Ргв V - mобВ·
В каждом слагаемом присутствует общий множитель
g, который можно вынести за скобки :
Fп од = g(p в V - Рг V - mоб).
Вынесем объем шара за скобки и окончательно получим:
Fп од = (( Р в - Рг) · V- тоб) · g.
Мы видим, что подъемная сила зависит от массы
оболочки, объема шара и разницы между плотностью
323
ФИЗИКА. Осно вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
воздуха и плотностью газа, находящегося внутри шара.
Следовательно, для того чтобы подъемная сила была
максимальной, шар нужно наполнять самым легким
газом, который существует в природе, и это водород. Но
беда в том, что водород очень горючий. В смеси с кислоро­
дом он может дать так называемый гремучий газ, взрыв
которого обладает огромной разрушительной силой. По
этой причине воздухоплавательные шары наполняют ге­
лием. Плотность гелия в два раза больше, чем плотность
водорода, но все же во много раз меньше, чем плотность
воздуха.
И, как видно из полученной нами формулы, для того
чтобы подъемная сила была как можно больше, нужно,
чтобы шар был как можно большего объема.
В зависимости от назначения различают следующие
виды воздухоплавательных аппаратов.
воздухоплавательный аппарат, напол­
Аэ остат
ненный легким газом. Например, метеорологический
шар-зонд, который используется для изучения погоды.
-
имеет очень большой размер, благо­
Ст атостат
даря чему увеличивается подъемная сила и он может
подниматься высоко в стратосферу.
-
С высотой плотность воздуха, а значит, и подъемная
сила уменьшаются. Чтобы аэростат или стратостат про­
должал подниматься, с него сбрасывают балласт (мешки
с песком) . А чтобы спустился вниз, нужно выпустить
часть газа. По горизонтали эти воздухоплавательные
аппараты могут двигаться только по направлению ветра.
Но опытные воздухоплаватели знают, что на разных
высотах ветер имеет разные направления, поэтому они
подбирают высоту полета воздушного шара так, чтобы
ветер нес его в нужном направлении.
324
Пла вание тел. Воздухоплавание
,l! и ижа бль - это огромная по сравнению с аэ­
ростатом система, оснащенная воздушн ы м винтом,
позволяющим, независимо от направления ветра,
передви гаться в нужном направлении и на большие
расстояния.
8 ТРАГЕДИЯ « ГИНДЕНБУРГА»
Один из знаменитейших дирижаблей был построен
в 1 9 3 6 году в Германии. Он стал самым большим воз­
душным судном, когда-либо поднимавшимся над землей.
«Гинденбург» был оснащен четырьмя дизельными дви­
гателями, благодаря чему мог преодолевать расстояния
более 15 ООО км, развивая скорость до 1 5 0 км/ч при по­
путном ветре. За год курсирования дирижабль совершил
3 7 полетов над Атлантикой, побывав в США и Бразилии. Но
6 мая 1 9 3 7 года, преодолев Атлантику за 7 7 часов полета,
потерпел катастрофу при посадке в штате Н ью-Джерси.
Версий аварии существует несколько, но наиболее ве­
роятной считается воспламенение водорода, которым
был наполнен дирижабль вместо гелия. Были приняты
чрезвычайные меры предосторожности для того, чтобы
не было пожара. Н о во время посадки была предгрозовая
погода, из-за чего дирижабль приобрел электрический
заряд, который вызвал искру между корпусом и землей
при посадке и воспламенил « Гинденбург».
М он голь ье - безопасный и сравнительно недо­
рогой летательный аппарат, в котором вместо гелия
или водорода используется нагретый воздух. Такой воз­
душный шар был изобретен французами - братьями
Монгольфье, откуда и получил свое название. Сегодня
монгольфьеры чаще используются в спортивных целях.
С помощью установленной горелки, которая позволяет
325
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
регулировать температуру воздуха внутри монгольфье­
ра, спортсмены могут самостоятельно выбрать ту высоту,
которая им нужна для перемещения в нужных направле­
ниях.
Р е ш е н и е зада ч дл я з а к р е пл е н и я м а те р и ал а
с м от р ите зде с ь :
В Ы ВОДЫ
Благодаря знанию законов физики л юди научились
покорять моря и океаны, преодолевать расстояния в де­
сятки тысяч километров и подниматься в воздух. Строить
надежные судна и безопасно парить в небе удается бла­
годаря умению поставить себе на службу силу Архимеда.
Для этого достаточно знать простой факт: чтобы корабль
держался на поверхности воды, его средняя плотность
должна быть меньше плотности воды. Чтобы воздухо­
плавательный шар не упал на землю, он должен быть
заполнен газом с плотностью меньшей, чем плотность
окружающего воздуха.
326
И М П УЛ Ь С. РЕАКТИ В Н О Е
ДВ И ЖЕ Н И Е
Иногда при изучении механического движения
нас и нтересуют не детали процесса, а толь ко
конечный результат. Типичный пример - соударение
бильярдных шаров. Узнать результат соударения
поможет такая ф изическая величина, ка к импульс.
У импульса довольно ярко о крашенное эмоциональное
название, но если знать английский перевод слова
тотеп tит, то работают совсем другие ассоциации.
Как и в случае с реактивным движением. На первый
взгляд кажется, что реактивное - это нечто «сверх»
и «супер». На самом же деле «реакция» означает
«противодействие». И с помощью закона сохранения
импульса довольно просто объяснить, по ч ему и ка к
происходит реактивное движение.
ч
тобы понимать, о чем пойдет речь вспомним, что
�
основная задача механики - наити положение
тела в любой момент времени. Для этого мы ищем
силы, которые действуют на тело или на тела системы,
устанавли ваем ускорение. А затем, пользуясь аппаратом
кинематики, узнаем, как меняются скорости и коор­
динаты тела или системы тел с течением времени. Но
поскольку наши математические возможности ограниче­
ны, мы можем решить основную задачу механики только
для некоторых простейших частных случаев.
327
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Представьте ситуацию, когда мяч ударяется о стену.
Приближаясь к стене, он испытывает действие только
силы тяжести, то есть движется равноускоренно. Но ког­
да мяч начинает взаимодействовать со стеной, на него
со стороны стены дополнительно действует все боль­
шая сила упругости, которая меняется очень сложным
образом. Соответственно, сложным образом меняется
и ускорение. И мы уже не сможем сказать, чему равна
скорость и ускорение в любой момент времени уже хотя
бы потому, что не можем точно описать изменение дей­
ствующей на мяч силы. Н о это, как правило, не особенно
важно. Чаще всего нас интересует, какой будет скорость
уже после того, как мяч отскочит от стенки.
Другой пример: у нас есть два шара, которые сталки­
ваются между собой. Начальные скорости нам известны,
и, как правило, нас не интересует, как менялись эти ско­
рости в ходе взаимодействия. Но интересует конечный
результат - какими будут скорости после разлета шаров.
Для решения таких задач есть очень простой и эф­
фективный метод. Оказывается, существуют физические
величины, которые зависят от координат тел и их ско­
ростей. Если имеется система из нескольких тел, то для
каждого из тел системы эти величины меняются, так как
меняются скорости и координаты тел. Но сумма этих ве­
личин для всех тел системы при этом все время остается
неизменной. Или, как говорят физики, она сохраняется.
С такими величинами мы и начинаем сегодня знакомиться.
Предположим, что у нас есть тело, на которое в тече­
ние промежутка времени t действует постоянная сила:
F = const.
�
----+
Согласно 1 1 закону Н ьютона, F = та . А если сила постоянна, то и ускорение будет постоянным вектором,
�
328
�
Импульс. Р еактивное движение
�
�
а = co nst. То есть мы имеем дело с равноускоренным
движением. Теперь вспомним, что при равноускоренном
движении ускорение представляет собой отношение из­
менения скорости тела за какой-то промежуток времени
к длительности этого промежутка:
�
а=
�
�
V - Vo
--
t
·
П одставив ускорение в формулу II закона Ньютона,
получим:
�
F=т·
�
�
V - Vo
--
t
·
Отсюда следует, что:
F · t = тv - тv0 •
�
�
�
В правой части уравнения находятся не две разные
физические величины, а два значения одной и той же
вели ч ины, связанные знаком «минуо>. Здесь v� конеч�
начальная. М ы можем говорить
ная скорость тела, а v0
о некой физической величине, которая равна произве­
дению массы тела на его скорость, то есть вычисляется
по формуле тv, и в правой части стоит изменение этой
величины. Она обозначается буквой р и называется им­
-
-
пульсом тела:
р = тv .
�
�
Импульсом тела называется
физическая величина, равная
произведению массы тела на его
скорость.
329
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Обратите внимание: импульс - векторная величина.
Единицы измерения импульса:
(р] = кг . м .
с
Никакого специального названия для единиц импуль­
са физики не используют.
Теперь мы можем переписать предыдущее выражение
на языке импульса:
-+
-+
-+
F · t = p - po ( 1)
-+
-+
3 десь р и р0 - конечныи и начальныи импульс тела.
v
v
-+
А произведение F · t имеет свое особое название импульс � · Он характеризует воздействие на тело
и измеряется в таких же единицах, что и импульс тела.
Полученное нами выражение справедливо, только
если на тело действует постоянная сила.
. . . . . . ..
Импульсом постоянной сипы
называется физическая величина,
равная произведению вектора сипы
на время ее действия.
_________,____________________ · · · · · · ·
Предположим, что сила меняется. В этом случае можно
разбить весь процесс воздействия на тело меняющейся
силы на маленькие промежутки времени длительностью
Лt. Настолько маленькие, что сила в течение этих проме­
жутков не будет успевать заметно измениться.
-+
-+
----+
Есл и F -:;; const, тогда импульс силы будет F · Лt - импульс силы на протяжении промежутка времени Лt. И он
-+
по-прежнему будет равен изменению импульса тела Лр
за этот небольшой промежуток времени :
330
И мпупьс. Р еактивное движение
1 F t Лр 1
.л =
( 2)
Это выражение будет действовать и для переменной
силы, но для каждого последующего промежутка време­
ни нужно брать соответствующее этому промежутку
свое значение силы.
Формул ы (1) и (2) представляют собой J/ закон Ньюто­
на в импульсной форме.
Изменение импульса тепа равно
импульсу действующей на неrо сипы.
Чем же интересна такая величина, как импульс?
Представим, что на тело не действуют другие тела или
действие этих тел скомпенсировано. Другими словами,
пусть равнодействующая сил, приложенных к телу, равна
нулю. Тогда скорость тела не меняется, а значит, и его
импульс остается неизменным. Это не что иное, как уже
хорошо знакомый нам первый закон Ньютона (закон
инерции), переведенный на язык импульса.
Но нечто совершенно новое появляется тогда, когда
мы начинаем рассматривать не импульс одного тела, а
суммарный импульс нескольких тел
импульс систе­
-
мы тел.
Рассмотрим самый простой случай, когда система
состоит из двух тел, которые взаимодействуют друг с
другом. Например, два шара, один из которых догоняет
другой, после чего они соударяются и оба меняют свои
скорости (рис. 1) .
Рассмотрим маленький промежуток времени Лt,
который гораздо короче и без того малого времени со­
ударения (взаимодействия).
331
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
--+
V1
----
ДО
G
во время
п осл е
Рис. 1
В течение этого микроскопического промежутка
времени силы, с которыми тела действуют друг на друга,
не успевают измениться. Запишем 11 закон Ньютона в им­
пульсной форме для каждого из тел :
Для 1 тела:
Для 1 1 тела:
F2 · Лt = Лр z .
--+
--+
--+
Здесь F1
сила, действующая на первое тело (со сто--+
роны второго), F2
сила, действующая на второе тело
(со стороны первого) .
Сложим почленно эти два уравнения :
-
-
--+
--+
--+
--+
(F1 + Fz) Лt = Лр 1 + Лр z (3)
--+
--+
В соответствии с Ш законом Н ьютона силы F1 и F2
равны по модулю и противоположны по направлению,
332
Импульс. Р еакти вное дви жение
поскольку это силы, с которыми тела взаимодействуют
друг с другом:
Выбранный нами промежуток времени - произ­
вольный крошечный интервал Лt. И на любом таком
интервале скобка в левой части уравнения (3 ) равна
нулю. А значит, для любого Лt:
--+
--+
--+
Лр 1 + Лр z = О .
Н о что будет, есл и мы сложим изменения импульса
тела за все микроскопические промежутки времени?
Результатом будет изменение импульса за все время вза­
имодействия, то есть конечное значение импульса
(после
(до
начальное
минус
взаимодействия)
взаимодействия). Отсюда следует, что:
--+
--+
--+
--+
(Р'1 - Р--+1) + (Р2
- Р 2) = О .
Здесь штрих возле символа импульса заменяет слова
«после взаимодействия». Теперь все, что относится к им­
пульсам до взаимодействия, оставим с одной стороны от
знака равенства, а все, что относится к импульсам после
взаимодействия, перенесем через знак равенства в дру­
гую часть уравнения. П о лучаем:
--+
--+
--+
--+
Р 1 + Р 2 = Р1 + Р2.
Суммарный импульс тел до взаимодействия равен
суммарному импульсу тел после взаимодействия.
Этот результат получен для двух тел. Н о записанное
равенство работает только при выполнении опреде­
ленного условия. Вспомним, что на каждое из двух тел
действовала только сила со стороны другого тела. Н и ­
каких сил, которые бы действовали на систему этих тел
извне не было. Такие системы, тела которых взаимодей-
333
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
ствуют только между собой, называются замкнутыми
системами. Следовательно, наш результат справедлив
только для замкнутых систем.
Совокупность тел, которые
взаимодействуют только между
собой и не взаимодействуют
с друrими телами, называется
зам кнутой системой.
Если система замкнута, то неважно, сколько тел входит
в эту систему. Мы привели доказательство только для двух
тел, но его можно обобщить и для любого числа тел.
Для N тел, если они образуют замкнутую систему,
можно записать:
--+
--+ = Р'1 + P'z
+ ... + PN.
Р--+1 + Р 2 + " . + PN
-+
-+
-+
А если вспомнить, что импульсом называется физиче­
ская величина, равная произведению массы тела на его
скорость, то
Это же можно записать более компактно :
N
-+ ----+
� Pi
= co nst;
L.J
i= 1
N
-+ ----+
� m;v;
=
L.J
i= 1
334
const .
Импульс. Р еактивное движение
Четыре последние формулы имеют один и тот же
смысл и выражают закон сохранения импульса.
Суммарнь1й имnуnьс теn,
образующих замкнутую систему,
остается неизменным nри nюбых
взаимодействиях между зтими
теnами.
М ы пришли к закону сохранения импульса через I I за­
кон Н ьютона в импульсной форме. Существуют и другие
способы доказательства его справедливости.
Самое общее, самое впечатляющее доказательство
справедливости закона сохранения импульса предста­
вила в 1 9 2 8 году немецкий математик Эмми Н ё тер. Она
доказала, что закон сохранения импульса следует из того,
что пространство, в котором мы обитаем, является од­
нородным. Это фундаментальное свойство пространства
состоит в том, что в пространстве нет каких-то выделен­
ных точек. Все точки пространства, в котором мы живем,
являются равноправными.
• РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Представим ситуацию: на неподвижном скейте стоит
девочка, держа в руках мяч. Этот мяч она бросает горизон­
тально, сообщая ему какую-то скорость. Находясь в руках
девочки, мяч движется с ускорением. Значит, девочка
действует на мяч с какой-то силой. А если она действует
на мяч с какой-то силой, то по Ш закону Ньютона с такой
же силой, но направленной в противоположную сторону,
мяч будет отталкивать девочку. П оскольку девочка стоит
335
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕ СКОЕ ДВИЖЕНИЕ
на скейте, систему можно считать замкнутой, так как
горизонтальному перемещению девочки ничто не пре­
пятствует (мы предполагаем, что силы трения нет). А
значит, суммарный импульс мяча и девочки останется
неизменным. В результате мяч полетит в одну сторону, а
девочка на скейте будет двигаться в противоположную.
Поскольку система замкнута, выполняется закон сохра­
нения импульса (рис. 2).
п осл е
ДО
х
Рис. 2
Так как до броска и мяч, и девочка были неподвижны­
ми, то по закону сохранения импульса (ЗСИ) суммарный
импульс мяча и девочки равен нулю как до броска, так
и после броска:
О = mм Vм + т дvд .
�
�
�
Проведя ось х, получа ем:
О = mм Vмх + т дvдх.
Отсюда можно найти скорость девочк и :
mм
· ·
vдх = - т
д vмх
Из формулы видно, что в результате броска мяча де­
вочка начинает двигаться в сторону, противоположную
336
Импульс. Р еактивное движение
направлению движения мяча. При этом скорость девочки
будет тем больше, чем больше масса мяча и чем меньше
масса девочки.
Предположим, что у девочки есть корзинка, в которой
много маленьких мячей. Стоя на скейте, она бросает эти
мячи од и н за другим. После каждого броска скорость де­
вочки будет увелич и ваться, в результате чего возникнет
ускоренное движение. Причиной этого движения будет
то, что от системы «девочка - мяч и » с некоторой скоро­
стью отделяется ее часть (мяч и ) .
. . . . . . ..
.
Движение, возникающее вследствие
отделения от системы ее частей
с определенной скоростью,
называется реактивным движением.
!---------------------------- · · · · · · ·
Одно из наиболее интересных применений реактив­
ного движения - движение в космическом пространстве.
Рассмотрим вместо девочки ракету, которая выбра­
сывает из себя не мячи, а продукты сгорания ракетного
топл и ва (рис. 3).
до
п о сле
-<-f �
Vr
�
:::-"
�·
•·· .
Рис. 3
337
ФИЗИКА. Осно вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Чтобы топливо выбрасывалось с большой скоростью,
его поджигают. Топливо превращается в газ, и молекулы
газа при огромной температуре движутся со скоростями
порядка нескольких км/с. Есл и для простоты предполо­
жить, что топливо сгорает мгновенно (чего на самом деле
не бывает), то:
где Vp
скорость ракеты, mг
масса корпуса, Vr
скорость газа.
-
-
масса газов, m к
-
-
Реактивное движение принципиально отличается от
других видов движения. Действительно, автомобиль раз­
гоняется оттого, что своими вращающимися колесами
отталкивает назад дорогу. Самолет с винтовыми дви­
гателями отталкивает назад захватываемый винтами
окружающий воздух. Ракете с реактивным двигателем
для разгона не нужна ни дорога, ни атмосферный воздух.
Принцип реактивного движения позволяет ракете пе­
ремещаться в безвоздушном пространстве, в открытом
космосе.
8 ОТЕ Ц КОСМОНАВТИКИ
Идея реактивного движения в космосе принадлежит
школьному учителю Константину Эдуардовичу Циолков­
скому, работавшему в городе Калуге. Именно он первым
предложил использование реактивного движения для
передвижения в космосе. Он проанализировал, что будет
происходить с ракетой, если топливо расходуется посте­
пенно и двигатель работает длительное время.
На качественном уровне понятно, что скорость ракеты,
которой необходимо достичь первой и второй космиче­
ской скорости, будет тем больше, чем быстрее истекают
338
Импупьс. Р еактивное движение
газы из сопла ракетного двигателя. Это значит, что нуж­
но разрабатывать такие виды топлива, которые, сгорая,
дают струю газа с очень большой скоростью. У современ­
ных реактивных топлив из сопла реактивных двигателей
газ вылетает со скоростью порядка 2 км/с и больше,
что знач ительно превышает скорость звука в воздухе.
П оскольку в полученной нами простейшей формуле для
скорости ракеты масса корпуса стоит в знаменателе, это
значит, что, чем массивнее ракета, тем менее эффектив­
но будет работать ее реактивный двигатель. На самом
же деле масса ракеты на старте - это в основном масса
содержащегося в ракете топлива. И после сгорания почти
всего топлива приходится за счет остатков этого топлива
разгонять пустой топливный бак дальше, что значитель­
но уменьшает конечную скорость ракеты. Циолковский
придумал многоступенчатую ракету, которая состоит
из нескольких частей. Первая ступень - массивный
прочный корпус, наполненный топливом. Она нужна,
чтобы поднять ракету. Н о после сгорания топлива первая
ступень отбрасывается. Вторая ступень используется для
выведения ракеты на орбиту высотой порядка 1 0 0 км.
Третья ступень - это и есть сама ракета, содержащая
маневровые двигатели. В ней находятся двигатели малой
тяги, аппаратура и, если это космическая станция, люди.
Таким образом в многоступенчатых ракетах по мере
сгорания топлива удается избавиться от необходимости
расходовать лишнее топливо для разгона ставших не­
нужными пустых топливных баков.
Р е ш е н и е за да ч и дл я з а к р е пл е н и я
м а те р и а л а с м от р и т е зде с ь :
339
ФИЗИКА. Осно вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
.......
:
-------
В Ы В ОД Ы
Если вы хотите совершать полеты в космосе, вам нужно
что-то, от чего ракета может оттолкнуться. И поскольку
в открытом космосе вокруг ничего нет, остается отталки­
ваться от чего-то, являющегося частью самой ракеты. Это
продукты сгорания ракетного топлива. Выброшенные
с большой скоростью из сопла ракетного двигателя, они
полетят в одну сторону, а ракета - в противоположную.
Такое движение называется реактивным. Описать его на
количественном уровне можно с помощью закона сохра­
нения импульса.
С реактивным движением сталкиваются не только
в космонавтике. Пожарному тоже приходится иметь
с ним дело. Чтобы удержать брандспойт, из наконечника
которого с б ольшой скоростью вырывается струя воды,
требуется несколько человек, настолько велика воз­
никающая при этом реактивная сила (ее еще называют
реактивной тягой) .
Проверить действие реактивной силы в ы можете
даже в домашних условиях. Проведите эксперимент:
в ванной комнате снимите распылитель душа, положите
в ванну и включите воду. В ы увидите, что распылитель
начнет вести себя совершенно непредсказуемо именно
благодаря реактивному движению. Будьте осторожны,
не облейтесь с ног до головы !
340
РА& ОТА В М Е ХАН И КЕ.
ТЕ О Р Е МА О КИ Н ЕТИЧ ЕСКО Й
Э Н ЕРГИ И
Житейская мудрость гласит, что совершать
работу - это хорошо. А теорема о кинетической
энергии позволит нам ответить на вопрос, на что
эта работа может пойти. Например, для того чтобы
забить гвоздь, нужно потрудиться. И мы знаем, что
для этого нам необходим молоток. В то же время
каждому известно, что молоток нужно не просто
прикладывать к гвоздю и даже не давить молотком
на гвоздь. Молотком нужно ударить, предварительно
его разогнав, совершив для этого определенную
работу. Разгоняя молоток, мы увеличиваем его
кинетическую энергию. А потом эта кинетическая
энергия израсходуется на забивание гвоздя. Кстати,
уже без нашего участия. Значит, существуют две
величины - работа и кинетическая энергия, которые
связаны между собой. Как? Вы узнаете в этой главе.
м
ы уже знакомы с законом сохранения импульса.
Этот урок постепенно приближает нас к выводу
закона сохранения еще одной физической вели­
чины - полной механической энергии. Но перед тем, как
говорить об энергии в целом и о механической энергии,
познакомимся с таким понятием, как работа. Это слово
нам уже встречалось, и мы знаем, что если на тело дей­
ствует сила и тело при этом перемещается, то эта сила
совершает работу.
341
ФИЗИКА. Осно вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Представим прямую спицу, на которую нанизана буси­
на. На эту бусину действует какая-то сила, направленная
под углом к спице. Но кроме этой силы на бусину должны
действовать еще и другие силы, иначе она бы не двига­
лась вдоль спицы. На бусину действует еще сила реакции
спицы, которую мы представим как сумму двух уже хоро�
шо знакомых нам сил - силы упругости F2 и силы трения
�
F3. Нарисуем конечное положение бусины и покажем
�
вектор ее перемещения S . Введем углы, которые векторы
сил образуют с вектором перемещения (рис. 1).
�
Fз
----"
,, - - , ,
�
, ....,._
.._
______,�
- - - - �--....�
\
.... _ __ "
/
х
Рис. 1
Запишем для бусины 1 1 закон Ньютона в векторной
форме:
F1 + F2 + F3 = та .
�
�
�
�
Рассмотрим это уравнение в проекции на то направ­
ление, в котором мы разрешили бусине двигаться, - на
ось ОХ:
F1 cos а 1 + F2cos а2 + F3cos а3 = тах.
М ы считаем, что силы постоянны. Следовательно,
движение бусины будет равноускоренным, и можно за­
писать, что:
Vхz _ vоz х .
sх =
2ах '
342
Р абота в механике. Теорема о кинетическо й энергии
v� - x
ах = 2 5V�
х
П одставим ах во I I закон Ньютона:
v2
F1 cos a 1 + F2 cos a2 + Fз cos aз = т х2-5v2ох
х
В нашем примере проекция вектора перемещения на
ось х равна модулю этого вектора. В числителе в правой
части стоят квадраты проекций скорости. Так как скоро­
сти направлены вдоль оси х, квадраты проекций равны
квадратам модулей скорости :
Sx = S; v; = V2 ; vJx = vJ.
Учитывая это, умножим левую и правую часть II зако­
на Н ьютона на Sx, а также представим дробь в виде суммы
двух слагаемых:
В левой части уравнения благодаря тому, что на бусину
действуют три силы, получились три однотипных слага­
емых FS cos а, где F
модуль силы, S
модуль вектора
перемещения, cos а
угол между направлением силы
и направлением перемещения. Назовем эту физическую
величину работой силы :
-
-
-
А = FS cos а.
Так как мы договорились, что
силы у нас постоянны, эта формула
справедлива для работы постоян­
ной силы (рис. 2 ).
Рис. 2
343
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Работой постоянной сипы называется
физическая величина, равная
произведению модуля сипы, модуля
перемещения тела и косинуса
угпа между направлением силы
и направлением перемещения.
;...--- · · · · · · ·
Единиц ы измерения работ ы в СИ:
[А] = Н · м = Дж (джоуль).
Такую же размерность имеет и момент сил ы . Но
поскольку работа - достаточно важная величина, для
нее выделено специальное наименование, и в СИ работа
измеряется в джоулях (а момент сил ы в более скромн ы х
единицах - ньютон-метрах) .
Возвращаясь к записанной формуле, видим, что слева
у нас стоит сумма работ всех сил, котор ы е действуют на
тело. Справа - два значения одной и той же физической
2
величин ы , которая в ы числяется по формуле т{ .
Эта физическая величина связана с работой. А спо­
собность тела совершать работу м ы наз ы ваем энергией.
Данн ы й вид энергии связан с движением тела, поэтому
наз ы вается кинетической энергией:
�
�
Ки нетической энергией тепа
назь1вается физическая величина,
равная половине произведения
массы тепа на квадрат его скорости.
344
Работа в механике. Теорема о кинетическо й энергии
Единицы измерения кинетической энергии :
кг · м 2
[Ек] = -=
с2
-
кг · м •
м = Н · м = Дж.
с2
-
Запишем выражение, которое получилось из 11 закона
Н ьютона с учетом появления двух новых физических
величин - работы и кинетической энергии:
А 1 + А2 + Аз = Ек - Еко ·
Мы получ ил и, что суммарная работа всех сил, прило­
женных к телу, равна изменению кинетической энергии
этого тела. Обозначим это изменение Л Ек . На тело может
действовать не три, как в нашем примере, а любое коли­
чество сил. П оэтому в общем случае для N сил :
N
А ; = ЛЕк·
L
i= 1
Такое соотношение носит название теорема о кинети­
ческой энергии.
Суммарная работа всех сип,
действующих на тепо, равна
изменению кинетической знерrии
тепа.
Чтобы теорема о кинетической энергии работала,
система не обязательно должна быть замкнутой, как
это требуется, например, для выполнения закона со­
хранения импульса. Ведь теорема получена из 1 1 закона
Ньютона, значит, она справедлива тогда, когда работает
этот закон. А работает он в классической физике всегда.
345
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Даже в неинерциальных системах отсчета можно внести
поправку во 11 закон Ньютона (эта поправка называется
силой инерции), и закон будет продолжать работать. Это
очень удобно для решения различных задач, ведь законы
сохранения выполняются не всегда, а вот теорема кине­
тической энергии никогда не подводит.
Рассмотрим некоторые свойства работы на ряде при­
меров.
а) Угол а - ост ый.
Например, вы тянете санки за веревку, прикладывая
к ним силу (рис. 3).
а - острый
••••••
"
'· . __
>О
>
О
Ек i
А
cos a
Рис. 3
Если направление силы и направление перемещения
образуют острый угол, работа силы будет положительной.
Если тянуть санки таким образом, они будут разгоняться.
А значит, кинетическая энергия будет увеличиваться и ее
изменение будет положительным.
б) Угол а - тупой.
У нас есть те же движущиеся вперед санки, но теперь мы
хотим их остановить или замедлить (рис. 4) .
--+
F
а - тупой
s
--+
..i
�. . . . . .
----.-.,....----------ooi31
•.
Рис. 4
346
. . ...
О
А < О Ек !
cos а <
Р абота в механике. Теорема о кинетическо й энергии
Для этого мы будем прикладывать к санкам силу
именно так, чтобы угол между направлением силы
и направлением перемещения санок был тупым. Следова­
тельно, работа этой силы будет отрицательной, а скорость
и кинетическая энергия санок будет уменьшаться.
в) Пове �хность - гладкая и го � изонтальная.
Это не значит, что на санки не действуют никакие силы.
Чтобы санки не проваливались, силу тяжести должна
компенсировать сила нормального давления. Рассмотрим
работу именно силы тяжести (рис. 5).
д
: "N
•
•
•
•
а = 90°
•
.
••
-
cos 90°
=о
А Fтяж= О
Ек = const
Рис. 5
Предварительно разогнанные санки перемещаются по
гладкой горизонтальной поверхности по инерции. Угол
между направлением вектора перемещения и силой тя­
жести в данном случае будет прямым. Его косинус равен
нулю. Работа силы тяжести равна нулю, а кинетическая
энергия в ходе движения не меняется. Санки движутся
равномерно. Кстати, работа силы нормального давления
также равна нулю.
Еще один важный пример, когда сила и направление
движения тела образуют прямой угол.
347
ФИЗИКА. Основ ы и МЕХАНИЧЕ С КОЕ ДВИЖЕНИЕ
Представьте земной шар, вокруг которого движется
Луна (рис. 6) .
лs
G
Земля
__/'-
�
�
ЛS J_ Fтяж
А=О
Ек = const
о круж н о сть
Рис.б
В этом случае сила, действующая на Луну со стороны
Земли, направлена к центру Земли. Будем считать, что
Луна движется по круговой траектории. За какой-то
очень малый промежуток времени она переместится на
очень небольшое расстояние. Поскольку перемещение
�
очень маленькое, вектор перемещения ЛS , который
представляет собой хорду, практически совпадает с ду­
гой. А раз так, то
Отсюда следует, что работа силы тяжести будет ну­
левая, а кинетическая энергия Луны будет оставаться
постоянной в том случае, если орбита планеты или спут­
ника круговая.
Н о что будет, например, с кометой, которая движется
по сильно вытянутой эллиптической орбите (рис. 7 ) ?
348
Р абота в механике. Теорема о кинетическо й энергии
а - острый
/
пери гел и й
v = max
Рис. 7
Сила тяжести Солнца направлена к его центру.
Перемещение планеты за небольшой промежуток вре­
мени направлено по касательной к орбите. Когда комета
приближается к Солнцу, угол между направлением пе­
ремещения и силой острый. В этом случае комета будет
разгоняться. Но как только она в своем движении вокруг
Солнца пройдет самую нижнюю точку (перигелий), коме­
та начнет двигаться, удаляясь от Солнца. Сила тяже с ти
по-прежнему направлена к центру Солнца, а направление
перемещения за небольшой промежуток времени (на­
правление скорости) уже образует с силой притяжения
тупой угол. Следовательно, работа силы притяжения ста­
новится отрицательной, и это приводит к уменьшению
кинетической энергии и скорости кометы. Так будет до
тех пор, пока комета не достигнет точки, наиболее уда­
ленной от Солнца (афелий). Здесь скорость кометы, как
и ее кинетическая энергия, минимальны.
349
ФИЗИКА. Осно вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
• РАБОТА ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ
Чтобы вычислить работу, если сила меняется, запишем
формулу для работы в другом виде. Для этого на рисунке,
помимо силы, действующей на тело, покажем проекцию
этой силы на направление перемещения тела (рис. 8) .
F · cos a = Fs
Рис. 8
М ы уже знаем, что работа постоянной силы вычисля­
ется по формуле:
А = FS cos а.
Отрезок, который образовался после опускания пер­
пендикуляра на направление перемещения, является
проекцией силы на направление перемещения F5• Есл и
угол острый, проекция вектора силы на направление
перемещения будет положительной. Есл и угол тупой отрицательной. Из предыдущей формулы следует:
А = FsS.
Усложним задачу. Пусть тело движется по криволиней­
ной траектории, и на него действует сила, переменная
и по направлению, и по модулю (рис. 9).
Покажем на рисунке два очень небольших перемеще­
ния лs и л� и разобьем всю траекторию на подобные
350
Работа в механике. Теорема о кинетическо й энергии
до
Fs
•'
от
Рис. 9
маленькие участки - элементарные перемещения.
В этом случае работа на всей траектории «от - до» будет
складываться из работ на всех элементарных участках
�
;;t
(элементарных работ) :
вроде ЛS и ЛS
А = L ЛА ;.
;
Сложив элементарные перемещения как векторы, мы
получим общее перемещение. Если же сложим не векто­
ры элементарных перемещений, а их модули, получим
путь, то есть длину траектории.
Работу переменной силы можно найти с помощью
графика, отложив по горизонтали путь, пройденный те­
лом, а по вертикали - проекцию силы на направление
движения тела (направление скорости) (рис. 1 0).
Поскольку ЛS - маленькая величина, силу в пределах
каждого элементарного перемещения можно считать
постоянной. Тогда элементарная работа
дА = Fs · ЛS.
С геометрическо й точки зрения она численно равна
площади заштрихованно го столбца на графике. Если
351
ФИЗИКА. Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
�L дА элементарная ра б ота
Fs
-
/f
---���· /"�
�
А
лs
ДО
�
�
�
ОТ
ч исленно р а вна
пло щади
-
S - путь
Рис. 1 0
же сложить площади всех таких столбцов в пределах
« О Т - до», то, с одной стороны, мы получим площадь
криволинейной трапеции, а с другой стороны, - работу
переменной силы на всей траектории.
Работа сипь1 чиспенно равна
площади под графиком зависимости
проекции сипы на направление
скорости тела от пройденного пути.
------- · · · · · · ·
Разумеется, данным методом можно находить работу
и постоянной силы. В этом случае криволинейная тра­
пеция превратится в прямоугольник.
В заключение урока отметим ряд важных свойств ки­
нетической энергии.
Во-первых, кинетическая энергия не бывает отрица­
тельной:
352
Р абота в механике. Теорема о кинетической э нергии
Во-вторых, кинетическая энергия пропорциональна
массе в первой степени:
Ек - т.
Если масса тела удваивается, его кинетическая энер­
гия тоже удваивается.
В-третьих, кинетическая энергия прямо пропорцио­
нальна квадрату скорости :
Ек - vz .
Это, пожалуй, наиболее важное с практической точки
зрения свойство. Если автомобиль увеличивает свою
скорость с 3 0 км/ч до 60 км/ч, его кинетическая энергия
увеличивается в 4 раза. П оскольку энергия - это способ­
ность совершать работу, в этом случае такая способность
также учетверяется. И если речь идет об автомобиле, то
не всегда это будет работа по созиданию. Помните об
этом, находясь за рулем.
Р е ш е н и е зада ч с м от р и те зде с ь :
. . . . . . .
.
выводы
.
. . . . . . .
Изучение этой темы позволило нам создать инструмент,
благодаря которому можно вычислять работу как посто­
янных, так и переменных сил без высшей математики,
с помощью простого графического метода.
Мы выяснили связь между работой и энергией как
способностью совершить работу и познакомились
с одной из разновидностей энергии - кинетической
энергией тела. Эта связь очень проста. Хотите увеличить
энергию - поработайте !
353
РА&ОТА СИЛ Ы
ТЯ ЖЕ СТИ
Если мы произносим слово «работа», сл едует
обязательно упомянуть, о работе какой силы
идет речь. В механике рассматриваются три вида
сил - сила тяжести, сила упругости и сила трения.
На этом уроке мы подробнее поговорим о работе
силы тяжести. Научимся ее вычислять не по
общей формуле, с которой уже знакомы и которая
работает при вычислении работы любой силы,
а по более удобной формуле, относящейся именно
к работе силы тяжести. Попутно мы познакомимся
с фундаментальным свойством силы тяжести - ее
потенциальностью.
в сп ом ним, что работа любой постоянной силы вычис­
ляется по формуле:
А = FS cos а.
В нашем случае F - сила тяжести:
--+
--+
F = mg .
Пользуясь этим обстоятельством, мы можем получить
удобную формулу для вычисления работы силы тяжести.
Рассмотрим несколько частных случаев:
а) Самый простой, когда направление силы тяжести
совпадает с направлением перемещения тела (тело
движется сверху вниз) (рис. 1) .
3 54
Р абота силы тяжест и
у
----- -Ф
hi ·-
1
-+
mg
s
1
1
1
1
1
1
1
hz -
-
- - - - - -
$
-+
2
о
Рис. 1
Используя стандартную формулу, подставим в нее
модуль силы и модуль перемещения. Угол между этими
векторами нулевой:
1А
= mg · (h 1 - h z) .
б) Немного усложним задачу: тело движется по наклон­
ной плоскости (рис. 2) .
у�
Рис. 2
355
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Вновь воспользуемся формулой для вычисления рабо­
ты. В этом случае:
А = mg S c o s р.
·
Множитель S cos р в прямоугольном треугольнике,
образованном наклонной плоскостью, это длина приле­
жащего катета: h 1 - h2. А значит, мы получаем такую же
формулу, как и в первом случае:
А = mg · (h1 - h z ) .
Получается, что при движении по наклонной плоско­
сти работа определяется начальной и конечной высотой,
даже если тело двигалось не по вертикали.
в) Самый общий случай: тело движется по замысловатой
кривой (рис. 3).
Рис. 3
Разобьем криволинейную траекторию на небольшие
кусочки. Настолько небольшие, что без ущерба для
точности каждый кусочек траектории можно заменить
отрезком прямой, чтобы кривая превратилась в лома­
ную. На всех участках траектории отметим изменение
высоты, пока не пройдем всю траекторию.
356
Р або та силы тяжест и
На каждом из прямолинейных участков модуль силы
и угол между направлением силы и направлением пере­
мещения будут постоянными. Это значит, что мы можем
пользоваться предыдущей формулой для вычисления
работы. Чтобы найти всю работу силы тяжести по пере­
мещению из точки 1 в точку 2, сложим все элементарные
работы :
А = ЛА 1 + ЛА 2 + ". + ЛА N = mgH1 + mgH2 + " . mgHN.
Величина Н в каждом слагаемом может быть как по­
ложительной, так и отрицательной величиной. Если тело
опускается на каком-то маленьком участке траектории,
Н будет положительна. Там, где тело поднимается, Н от­
рицательна, а значит, и работа будет отрицательной (при
увеличении высоты тела работа силы тяжести всегда
отрицательна) . Если на каком-то участке тело движется
горизонтально, Н = О. Теперь формула для работы будет
выглядеть следующим образом:
-
А = mg(H1 + Н2 + " . + HN) = mg(h 1 - h z) .
А значит, формула, полученная нами для первого
простейшего случая, справедлива для любых ситуаций,
в которых тело движется под действием постоянной
силы тяжести.
Работа сипы тяжести не зависит
от траектории движения теnа,
а опредеnяется тоnько ero начаnьной
и конечной высотой.
357
Физикл. Основы и
МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
г) Особый случай : траектория движения тела замкнута
(рис. 4) .
\ь
hz
-
о
0
- - - -
�
- -
2
Рис. 4
Выберем в качестве исходной точки на траектории
точку 1 (она же и конечная) . Кроме того, возьмем на тра­
ектории произвольную точку 2 и выберем по дороге два
промежуточных пункта а и Ь. Теперь работу на замкнутой
траектории можно представить как сумму двух работ работу силы тяжести на участке траектории А1а2 и А2ы:
А = А1а2 + А2ы = mg(h 1 - h z) + mg(h 2 - h i) = О.
Итак, работа силы тяжести на замкнутой траектории
равна нулю. Кстати, этот же результат можно было полу­
чить мгновенно. Есл и рассматривать движение по всему
замкнутому контуру, начальная точка траектории (точ­
ка 1) и конечная точка траектории (та же самая точка 1)
имеют одинаковую высоту, а значит, работа силы тяжести
должна быть равна нулевой.
. . . . . . ..
Работа сипь1 тяжести на замкнутой
траектории равна нупю.
358
Р абота силы тяжести
8 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ Э НЕРГИЯ ТЕЛА,
ПОДНЯТОГО НАД ЗЕМЛЕЙ
Сила тяжести - не единственная сила, работа которой на
замкнутой траектории равна нулю. Существуют и другие
силы, обладающие таким свойством. У сил, работа кото­
рых на замкнутой траектории равна нулю, есть особое
название - консервативные силы, или потенциальные
силы. Сила тяжести относится к потенциальным силам .
. . . . . ..
.
Сипь1, работа которых на эамкнутой
траектории равна нупю, наэываются
nотенциапьными (консервативными)
сипами.
Вспомним формулу для вычисления работы силы тя­
жести и посмотрим на нее иначе, раскрыв скобки :
А = тgh1 - тgh2 = -(тgh2 - тgh 1) .
( 1)
М ы получим взятое с противоположным знаком
изменение некоторой физической величины, которая
вычисляется по формуле тgh.
Стоит обратить внимание, что, когда высота тела и,
соответственно, величина тgh уменьшается, работа силы
тяжести имеет положительный знак. Другими словами, вы­
полнение работы сопровождается уменьшением величины
тgh. А значит, величина тgh представляет собой некую
энергию - способность производить работу. Если слово
«способность» перевести на латынь, эту энергию можно
назвать потенциальной. А значит, мы можем записать фор­
мулу потенциальной энергии тела, поднятого над Землей:
Ер = тgh.
359
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
В таком случае скобка в формуле ( 1) может быть запи­
сана следующим образом:
Или :
А = -ДЕР .
1 (2)
. . . . . . ..
Работа сипы тяжести равна взятому
со знаком минус изменению
потенциапьной энергии тепа.
---
· · · · · · ·
У потенциальной энергии тела, поднятого над Землей,
есть одна особенность, связанная с тем, что в нее входит
величина h. Эта высота зависит от того, от какого уровня
мы ее отсчитываем. Поэтому потенциальную энергию
нельзя задать однозначно. Величина потенциальной
энергии зависит от выбора начального уровня отсчета.
Представим, что на полу стоит стол, а на столе - стул
(рис. 5) .
Ер 1 > О
hA
Ер 2 > О
Ер з = О
h
2
- о
3
о
Рис. 5
360
Ер 1 > О
Ер2 = О
Ер з < О
Р абота силы тяжести
Если мы отсчитываем потенциальную энергию от вы­
соты стола, потенциальная энергия тела, положенного на
стул, будет положительной, так как высота сиденья стула
относительно крышки стола положительная. Если тело
лежит на столе, у того же тела потенциальная энергия
будет равна нулю. Есл и же тело лежит на полу, его потен­
циальная энергия отрицательна.
Поэтому сказать, какой будет потенциальная энергия,
нельзя до тех пор, пока не задан нулевой уровень отсчета.
Если потенциальную энергию нельзя задать одно­
значно, может показаться, что эта величина бесполезна
для физики. Но это не так. В формулу для работы входит
не сама потенциальная энергия, а изменение потенциаль­
ной энергии, а оно никак не зависит от уровня отсчета.
Ведь какую бы высоту мы ни приняли за нуль, изменение
высоты будет всегда одно и то же.
Р е ш е н и е п р и м е ра с м от р ите зде с ь :
�R
. . . . . . .
.
.
В Ы ВОДЫ
Сила тяжести обладает замечательным свойством: по ка­
кой бы траектории ни двигалось тело, работа этой силы
зависит только от высоты начальной и конечной точки.
Это приводит к очень простым и красивым следствиям.
Например, если вы съезжаете с ледяной горки, то ваша
скорость внизу зависит только от высоты этой горки
361
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
(вспомните теорему о кинетической энергии!), и совер­
шенно неважно, какую форму имеет горка.
Помимо кинетической энергии, в нашем арсенале
появился еще один вид энергии. Он связан уже не с дви­
жением тел, а с их взаимодействием. В нашем случае это
взаимодействие посредством силы тяжести тела, подня­
того над Землей, и самой Земли. Ведь, как мы помним,
не только Земля притягивает к себе тело, но и тело тянет
к себе Землю. Такой вид энергии получил название «по­
тенциальная энергия».
362
РА& О ТА СИЛ Ы
У П РУГ О С Т И
Совершать работу способна любая сила. Каждый
мальчишка когда- то делал рогатку. И он знает, что
чем сильнее натянешь резинку, тем быстрее вылетит
камень. И чем жестче резинка, из которой сделана
рогатка, тем дальше полетит камень. Можно ли
рассчитать работу этой рогатки ? Оказывается,
можно. Для этого достаточно знать, какая энергия
запасается в резинке, которая затем переходит
в кинетическую энергию камешка. Этот урок мы
посвятим вычислению работы силы упругости,
а также выясним, что сила упругости, как и сила
тяжести, является потенциальной, благодаря чему
можно говорить о потенциальной энергии упруго
де формированного тела.
ч
тобы найти работу силы упругости, вспомним,
какими свойствами обладает эта сила. Поскольку
сила - это вектор, то необходимо указать, куда
сила направлена и как найти ее модуль. Сила упругости
направлена в сторону, противоположную направлению
смещения частиц тела при деформации. Другими слова­
ми, сила упругости является следствием того, что тело
деформируется. При этом модуль силы упругости зависит
от самого тела (например, пружины, если мы рассматри­
ваем динамометр), а также от величины растяжения
(удлинения). Чем сильнее деформирована пружина, тем
363
ФИЗ ИКА. Оси о вы и МЕХАН ИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
больше сила упругости. При малых деформациях рабо­
тает закон Гука, а значит, наши знания о силе упругости
можно записать следующим образом:
Fуп р = k l x l ,
где х - удлинение. Н о в этой формуле пока не указана
информация о направлении силы упругости. Если внести
эту информацию, формула будет выглядеть так:
Fуп рх = - kx.
Сила упругости зависит от величины удлинения, то
есть в процессе деформации не остается постоянной
величиной. Поэтому стандартную формулу для работы
постоянной силы здесь использовать нельзя. Однако
можно воспользоваться рассмотренным ранее графиче­
ским методом.
Проведем ось х слева направо. Закрепим справа
пружину, прикрепив к левому концу пружины тело, над
которым будет совершать работу сила упругости. Начало
координат поместим туда, где находится тело, когда пру­
жина не деформирована (рис. 1 . 1) .
s
--+
1
"-Fs = kx
--+��-+�����:!--��)>�
'
--+
'
1
4-� __,0-Ш: �
2
f
Х1
Xz
)о
х
/�
3
364
х
)о
х
Рис. 1
Р абота силы упругости
Сожмем пружину и дадим ей возможность рас­
прямляться (рис. 1 . 2 ) . Она будет действовать на тело
силой упругости, при этом само тело будет перемещаться
(рис. 1.3).
В ходе перемещения тела сила упругости изменяется,
уменьшаясь, по мере того как распрямляется пружина.
Обратим внимание на то, что вектор перемещения
--+
тела S направлен против оси х, а сила упругости направлена вдоль вектора перемещения. Значит, проекция
силы упругости на направление перемещения F5 - поло­
жительная величина, а проекция этой же силы на ось х
Fx - величина отрицательная :
Или
F5 = kx.
Чтобы найти работу переменной силы, удобнее всего
использовать графический метод. В нашем случае это бу­
дет график зависимости проекции силы на направление
перемещения в соответствии с формулой F5 = kx (рис. 2) .
площадь = А
Xz
Х1
\.._
...____
_
)
....
. ___
х
Х1 - Xz
Рис. 2
365
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Чтобы найти работу, необходимо найти площадь под
этим графиком - площадь трапеции. Она равна произве­
дению средней линии трапеции на высоту:
А=
kxi + kx2
2
k
· (х1 - х2) = 2 · (х 1 + х2) · (х1 - х2) =
kx i
kx�
= -k2 . (х1 х2 ) = - - - ·
2
2
2
2
-
Итак, работа силы упругости:
kxi
kx�
,
-А =2
2
где k - жесткость тела; х 1 - начальная деформация;
х2 - конечная деформация.
Будем помнить, что эта формула работает тогда и до
тех пор, пока справедлив закон Гука, то есть для малых
деформаций.
В нашем мысленном эксперименте пружина испыты­
вала деформацию сжатия. Деформация растяжения от
деформации сжатия отличается лишь направлением сме­
щения частиц тела, то есть знаком величины удлинения.
В формуле для работы эта величина стоит в квадрате,
и информация о знаке теряется. П оэтому формула будет
справедлива как для деформации сжатия, так и для де­
формации растяжения.
В проведенном выше выводе формулы для работы
силы упругости мы предполагали, что сила упругости
и направление перемещения тела лежат на одной пря­
мой. Но так бывает далеко не всегда.
-+
-+
Рассмотрим общи н случаи, когда F ./t S , то есть направление движения тела не совпадает с направлением
действия силы.
v
366
v
Р абота силы упругости
Представим себе динамо­
метр и закрепим его левый
(на рисунке) край в какой-то
точке. Растянем пружину дина­
мометра, прикрепим к ней тело
и заставим это тело переме­
щаться нескольким и способами.
Разумеется, для этого на тело
должна действоват ь не толь­
ко сила упругости пружины,
однако нас интересует работа
именно этой силы (рис. 3).
Рис. 3
Предположим, что сначала
тело двигалось по дуге 1
а,
центр которой находится в точке закрепления пружины,
а потом по радиусу а
2 (траектория проходит через
точки 1, а и 2) . Чтобы найти работу в этом случае, нужно
сложить работы на каждом из двух участков:
-
-
А1а2 = Aia + Аа2 ·
А1а = О, так как в любой точке траектории сила перпен­
дикулярна направлению перемещения тела. А значит:
kxf
kx�
Aia2 = --у - --у ·
Возьмем другую, специально выбранную траекторию
и будем перемещать тело сначала по радиусу 1
Ь, а по­
2:
том по дуге Ь
-
-
А�ы = А �ь + А ы .
В этом случае А ы = О, так как при движении по такой дуге
сила всегда перпендикулярна направлению движения тела.
А значит, формула будет выглядеть следующим образом:
kx�
kx�
А�ы = т - т ·
367
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Теперь рассмотрим произвольную траекторию сложную кривую, ведущую из точки 1 в точку 2 . Разобьем
эту траекторию на «ступеньки», каждая из которых
состоит из участка дуги и участка радиуса. На каждом из
участков, идущих по дуге, работа равна нулю. Если мы хо­
тим найти суммарную работу при перемещении по всем
радиусам, мы получим такой же результат, как и в двух
предыдущих случаях.
Отсюда можно сделать вывод, что работа силы
упругости определяется только конечной и начальной
деформациями упругого тела или, другими словами,
начальным и конечным положением тела, на которое
действует сила упругости. А значит, сила упругости консервативная, или потенциальная.
Работа сиnь1 упругости не зависит от
формы траектории теnа, к которому
она приnожена, а опредеnяется
тоnько его начаnьным и конечным
поnожением.
Если тело движется по замкнутой траектории, работа
силы упругости будет равна нулю. Следовательно:
С ипа упругости явnяется
потенциаnьной (консервативной).
Это видно и по самой формуле. Помните? В случае
силы тяжести ее работа зависела только от начальной
и конечной высоты тела. Такая же ситуация и с силой
368
Р абота силы упругости
упругости, где начальная и конечная деформации - это
все, что нужно знать для вычисления работы этой силы.
В таком случае можно записать:
kxf
kx�
где Т и Т
А
=
-( �� - k;I )
'
- это начальное и конечное значения
энергии тела, за счет которой совершена работа. И по­
скольку сила упругости потенциальная, эта энергия
будет называться потенциал ыю й энергией упруго де фор­
мированного тела :
�
�
Теперь и для работы силы упругости, как и для работы
силы тяжести, можно записать:
. . . . . . .
.
Работа сиnь1 упруrости равняется
взятому со знаком минус изменению
потенциаnьной энерrии ynpyro
деформированноrо теnа.
Обобщим полученные результаты. В случае силы
тяжести потенциальная энергия тела вычислялась по
формуле mgh, в случае силы упругости - по формуле kx2 •
2
В формуле для потенциальной энергии силы тяжести
присутствует g - ускорение свободного падения, которое
характеризует силу тяжести. А сила тяжести, как и любая
369
Физикл. Осиовы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
сила, является характеристикой взаимодействия. Если
бы Земля не взаимодействовала с телом (g = О), потенци­
альная энергия равнялась бы нулю.
В случае силы упругости, параметр k характери­
зует жесткость пружины. Чем жестче пружина, тем
больше потенциальная энергия. Но теперь это уже по­
тенциальная энергия взаимодействия отделы-1ых частей
самого тела (пружины). Таким образом, и тогда, когда
взаимодействуют друг с другом различные тела, и тогда,
когда взаимодействуют друг с другом отдельные части
одного и того же тела, можно пользоваться понятием
потенциальной энергии, которая характеризует способ­
ность совершать работу.
. . . . ..
.
.
Потенциальная энерrия - это энерrия
взаимодействия теn иnи частей
одноrо теnа.
!------------------------------ · · · · · · ·
Р е ш е н и е п р и м е р а н а з а п а с п оте н ци ал ь н о й
э н е р г и и с м от р ите зд е с ь :
370
Р абота силы упругости
В Ы ВОДЫ
В ычисление работы силы упругости усложнилось тем,
что эта сила не является постоянной. П о мере того как
меняется величина деформации, меняется и сила. Поэ­
тому вычислять ее по формуле работы постоянной силы
нельзя. Но, как мы выяснили, сила упругости обладает
замечательным свойством. Работа, совершаемая силой
упругости, будет всегда одна и та же независимо от того,
каким образом изменялась деформация упругого тела по
пути от начального к конечному значению. То есть сила
упругости, как и сила тяжести, потенциальна. Благодаря
этому можно ввести такое понятие, как потенциальная
энергия деформированного тела. Величину этой энергии
мы сумели вычислить.
Теперь, возвращаясь к началу урока, мы можем найти
запас энергии, которым обладает любое упруго дефор­
мированное тело, будь то рогатка, лук или пружинный
пистолет.
371
ЗАКО Н С ОХРАН Е Н ИЯ
П О Л Н О Й М ЕХАН И Ч ЕСК ОЙ
Э Н ЕР ГИ И
Э то одна из кульминационных тем курса механики.
Мы уже знаем, что существуют два вида энергии энергия взаимодействия (потенциальная) и энергия
(кинетическая).
Оказывается,
движения
если
энергии,
потенциальную
и
кинетическую
сложить
можно получить величину, которая сохраняется,
хотя каждая из двух энергий, входящих в ее состав,
может меняться в результате выполнения работы.
Это и есть закон сохранения полной механической
энергии. И пользоваться этим законом очень удобно
при решении задач.
р
ассмотрим два движения, которые, на первый
взгляд, совершенно не связаны друг с другом :
свободное падение тел и выстрел из пружинного
пистолета (рис. 1).
а) Тело находилось на некоторой высоте над Землей
и обладало некоторой скоростью. П од действием
силы тяжести тело переместилось по параболической
траектории. Изменилась его высота, изменилась его
скорость.
б) Производится выстрел из пружинного пистолета.
Пружина сжата, и она толкает тело, которое обладает
определенной скоростью. Через какое-то время пру­
жина распрямится, изменится деформация пружины,
изменится скорость тела.
372
Закон сохранени я полн о й механической энер ги и
6)
а)
Vi�
Q Xz
f
Х1
>
х
Это два совершенно разных процесса. Н о у них есть
общие черты. В первом примере мы имеем дело не с од­
ним телом, а с двумя - самим телом и Землей. То есть
с системой из двух тел, которые взаимодействуют друг
с другом посредством силы тяжести. Во втором случае,
кроме груза, есть пружина, которая к тому же закреплена
на какой-то опоре. Пружина, груз и опора взаимодейству­
ют друг с другом посредством силы упругости. Обратим
внимание на то, что и в первом, и во втором случаях си­
стемы являются замкнутыми.
Кроме того, общим между силой тяжести и силой
упругости является то, что они обе являются потенци­
альными силами.
Приступим к описанию обоих процессов на количе­
ственном уровне.
Поскольку в обоих случаях движется только одно
тело - шарик, речь пойдет только о его кинетической
энергии Ek. А значит, по теореме о кинетической энергии
работа как силы тяжести в первом случае, так и силы
упругости во втором равна:
А = Ek2 - Ek l .
373
ФИЗИКА. О сновы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
С другой стороны , посколь ку сила тяжести и сила
упругос ти потенци альные, работа силы тяжести так же,
как и работа силы упругос ти, равняется взятому со зна­
ком минус изменен ию потенци альной энергии :
В зависим ости о т того, какая система у нас рассмат ри­
вается, потенци альная энергия вычисля ется разным и
способам и.
Для случая а) :
Ер = mgh.
Для случая б) :
Подстав им в теорему о кинети ческой энергии выра­
жение для работы :
-(Ер2 - Ер 1) = Ek2 - Ek1·
Раскроем скобки, и все, что относится к первому
состоя н и ю (помечено индексом 1), запишем с одно й
стороны о т знака равенства, а все, ч т о относится к о вто­
рому состоянию, перенесем в правую часть:
-Ер 2 + Ер 1 = Ek2 - Ek1 ;
Ер 1 + Ek1 = Ер 2 + Ek2 ·
М ы видим, что сумма потенци альной и кинетич еской
энергии в исходно м состоян ии такая же, как сумма потен­
циально й и кинетич еской энергии во втором, конечно м
состояни и.
Назовем эту сумму полной механич еской энергией Е.
374
Закон сохранения полно й механическо й энергии
Сумма потенциальной
и кинетической энерrии системы тел
назы вается полной механической
энерrией системы.
r-------_,_-- · · · · · · ·
Оказывается, что полная механическая энергия остается
неизменной. Первое состояние мы условно назвали началь­
ным. Второе - конечным. Но между этими состояниями
система проходит через множество промежуточных состоя­
ний. И в каждом из этих промежуточных состояний полная
механическая энергия будет оставаться одной и той же:
1
Ер + Ek = const.
1
Или
Е = const.
Этот факт представляет собой закон сохранения пол­
ной механической энергии.
Вспомним, что обе рассмотренные нами системы
я вляются замкнутыми, и тела, входящие в них, взаи­
модействуют посредством потенциальных сил. Только
в этом случае выполняется закон сохранения полной
механической энергии.
Полная механическая энерrия
замкнутой системы тел.
взаимодействующих между собой
только потенциальными сипами.
остается неизменной при любых
движениях тел системы.
375
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Применительно к рассмотренным выше двум случаям
закон сохранения полной механической энергии можно
записать так:
а)
i
mv�
mv
mgh 1 + -2- = mgh z + -2- ;
б)
kxi
mvi
kx�
mv�
= 2 + -- ·
2 + -2
2
--
--
Оба соотношения можно рассматривать как уравне­
ния, которые устанавливают связь между несколькими
характеристиками движения. А именно:
а) связь между скоростями тела v1 и v2 и высотами h 1
и h2.
б) связь между скоростями v 1 и v2 и координатами тела х 1
И Хz .
В таком случае, каким бы сложным и замысловатым
ни было движение тела, если известны три из перечис­
ленных четырех величин, с помощью закона сохранения
энергии можно найти недостающую четвертую величину.
И не нужно использовать законы Ньютона, вспоминать
кинематику и пробиваться через порой непроходимые
дебри математического аппарата (особенно во втором
примере, где на тело действует переменная сила, что
приводит к дифференциальным уравнениям) . Закон
сохранения энергии позволяет сделать все очень быстро.
Удобным является и то, что энергия - скалярная
величина, поэтому нет необходимости проводить коор­
динатные оси и рассматривать проекции векторов на
них.
Однако нельзя забывать, что закон сохранения
энергии выполняется только в замкнутых системах, где
действуют только потенциальные силы.
376
Закон сохранения полно й механической энергии
8 РАБОТА СИЛЫ ТРЕНИЯ
Что будет, если в системе присутствуют не только потен­
циальные силы?
Из всех трех сил, которые мы изучали, - силы тяжести,
силы трения и силы упругости - за рамками рассмотре­
ния осталась лишь работа силы трения. Выясним, как
вычисляется работа этой силы и как присутствие силы
трения отражается на полной механической энергии
системы.
Предположим, что на тело действует сила трения
скольжения Fтр · Вспомним, как вычисляется модуль этой
силы и куда она направлена:
Fтр = µN;
F i! v .
�
�
Пусть тело движется по какой-то траектории из точ­
ки 1 в точку 2 и на него действует сила трения (рис. 2).
�
Vz
Рис. 2
Если мы разобьем траекторию на небольшие отрезки
(элементарные перемещения), работа силы трения на
каждом из них будет равна произведению модуля силы
на модуль перемещения и на косинус угла между направ­
лением силы трения и направлением перемещения. Этот
угол равен 1 80°. Поскольку cos 1 80° = -1, то элементарная
работа силы трения:
377
ФИЗИКА. Основы н МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Чтобы найти полную работу, надо сложить элемен­
тарные работы на всей траектории от точки 1 до точки 2.
Сила трения, хотя и меняется по направлению, все время
действуя против направления движения, остается посто­
янной по модулю. Поэтому при сложении элементарных
работ ее можно вынести за скобку, а в скобке останется
сумма модулей элементарных перемещений, то есть
путь S, пройденный телом:
Атр = - FтpS.
Исходя из этого, можем сделать несколько важных
выводов. Первое, что мы видим, - работа силы трения
отрицательна:
Атр < О.
Второй вывод: если перемещать тело из одной точки
в другую разными способами, то пройденный телом путь
не обязательно будет одним и тем же, хотя начальное
и конечное положение будет одним и тем же. А значит,
работа силы трения зависит не только от начального
и конечного положения тела, но и от формы траектории
его движения.
... ...
.
.
.
.
Работа сипь1 трения зависит от
формы траектории тепа.
Именно поэтому сила трения, в отличие от сил тяже­
сти и силы упругости, не является потенциальной.
Эта сила относится к силам, которые называются
диссипативными силами (dissipation в переводе с англий­
ского означает «рассеяние») .
Что же рассеивается из-за присутствия диссипатив­
ных сил?
378
Закон сохранения полно й механическо й энергии
Проделаем заново наши выкладки, включив в рассмо­
трение также работу силы трения.
По теореме о кинетической энергии, суммарная рабо­
та всех сил, действующих на тело (работа потенциальных
сил Ар плюс работа силы трения Атр), равна изменению
кинетической энергии тела:
Ар + Атр = Ek2 - Ek1 ·
Вспомним, что работа потенциальных сил равняется
взятому со знаком минус изменению потенциальной
энергии тела:
Ар = - (Ер 2 - Ер 1 ) .
Подставим работу потенциальных сил в теорему о ки­
нетической энергии. Получаем :
Атр - (Ер2 - Ер 1 ) = Ek2 - Ek1 ·
Теперь два слагаемых в скобках перенесем вправо:
Атр = Ek2 - Ekl + Ер 2 - Ер 1 ·
Поменяем местами левую и правую части и перегруп­
пируем слагаемые так:
Ek2 + Ер 2 - Ekl - Ер 1 = Атр ·
Мы видим, что Ek2 + Ер2
полная механическая
энергия в конечном состоянии, то есть Ez . А -Ek1 - Ер 1
взятая со знаком минус полная механическая энергия
в исходном состоянии, то есть -Е1.
Итак,
-
-
или более кратко
Л Е = Атр ·
379
Физикл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Изменение полной механической
энерrии замкнутой систем1о1 равно
работе диссипативных сип.
Итак, если в замкнутой системе действуют дис­
сипативные силы, например сила трения, полная
механическая энергия не сохраняется, дЕ "# О, то есть
не выполняется закон сохранения полной механ ической
энергии.
Более того, поскольку работа силы трения меньше
нуля, отсюда следует, что дЕ < О. Это означает, что полная
механическая энергия уменьшается .
Оказывается, закон сохранения полной механической
энергии является следствием свойств пространства-вре­
мени, в котором мы живем. Уже упомянутая ранее
немецкий математик Эмми Н ё тер доказала, что закон
сохранения полной механической энергии является
следствием однородности времени. Это означает, что
на оси времени отсутствуют какие-то выделенные
моменты. Например, мы можем отсчитывать время от
сегодняшнего дня, от Рождества Христова или по иудей­
скому календарю, но все точки на оси времени, согласно
классической физике, являются равноправными.
380
Закон сохранения полно й механическо й энергии
.......
· -----
В Ы ВОДЫ
Проявления закона сохранения полной механической
энергии можно наблюдать буквально на каждом шагу.
И на земле, и в космосе. Например, когда комета прибли­
жается к Солнцу, она движется быстрее, поскольку ее
потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая ровно на столько же увеличивается. При этом сила
притяжения Солнца совершает работу, которая превра­
щает потенциальную энергию кометы в кинетическую.
Присутствие сил трения в корне меняет ситуацию.
Полная механическая энергия перестает сохраняться.
Она уменьшается из-за того, что силы трения совершают
отрицательную работу.
И все же энергия как способность тела совершать ра­
боту не исчезает бесследно !
Оказы вается, полная механическая энергия - лишь
частный случай более сложного и емкого понятия энер­
гии. Например, когда мы трем ладони, они становятся
теплыми. Тепловая энергия, внутренняя энергия - это
энергия хаотического движения и взаимодействия моле­
кул, из которых состоят все тела. Таинственный переход
механической энергии во внутреннюю как раз и проис­
ходит через работу силы трения. Именно сила трения
позволяет нам перешагнуть через порог между меха­
никой и теплотой. Но сделать это удалось только через
столетие после Ньютона. Познание продолжается !
381
ЗА КО Н С ОХРА Н ЕН ИЯ
И П Р Е В РА Щ Е Н ИЯ Э Н Е Р Г И И.
кпд. мощность
(( Ничто на земле не проходит бесследно» - говорится
в известной песне. Не исчезает и энергия. Правда,
речь уже пойдет не о полной механической энергии,
а о более общем понятии энергии как способности
совершать работу. Мы впервые приоткрываем дверь
в мир, где существует энергия не только механическая,
но и внутренняя. И если эту внутреннюю энергию
прибавить к механической, то, что бы ни происходило,
суммарная энергия останется прежней. Даже при
зарождениu Вселенной у нее была определенная
энергия. И до сих пор, спустя 14 млрд лет, эта энергия
во Вселенной та же, какой была в самом начале. Это
один из самых общих и непреложных законов природы.
м
ы познакоми� ись с законом сохранения полной
механическои энергии и дополнительно рас­
смотрели ситуацию, когда в системе, помимо
потенциальных сил, действует еще сила сопротивления,
или сила трения. Оказалось, что пол ная механическая
энергия в этом случае не сохраняется. Изменение полной
механической энергии равняется работе диссипативных
сил, то есть сил трения любой природы. Но работа силы
сопротивления отрицательна, так как сила, например,
сухого трения, направлена в сторону, противоположную
скорости тела относительно опоры. А раз так, значит,
и изменение полной механической энергии тоже отрица3 82
Закон сохранения и превращения энергии. КПД. Мощность
тельно. Другими словами, полная механическая энергия
меняется в сторону уменьшения. Но оказывается, что
она не исчезает бесследно. Она просто перестает быть
механической. Что именно происходит с энергией, мы
и рассмотрим на этом уроке.
Чтобы понять, что происходит с энергией, можно об­
ратиться к нашему жизненному опыту. Представьте, что
с горы съезжает какое-то тело. Но гора не гладкая, а зна­
чит, присутствует трение. Есл и мы измерим температуру
тела после того, как оно съехало с горки, мы заметим,
что тело немного нагрелось. При этом потенциальная
энергия тела внизу, на нулевой высоте, равна нулю. Тело
остановилось, а значит, кинетическая энергия тоже равна
нулю . То есть, если в начале у тела был какой-то запас
полной механической энергии, теперь он растратился.
Полная механическая энергия тела уменьшилась, но тело
нагрелось.
Нагретое тело обладает способностью совершать
работу. Например, горячее пламя под паровым котлом
в конечном счете заставляет совершать работу паровую
машину, в которую поступает пар из котла. А значит, на­
гретое тело обладает большей энергией, чем холодное,
даже есл и оно неподвижно и никуда не поднято. Но эта
энергия уже не механическая. Это так называемая вну­
тренняя энергия тела, и состоит она из потенциальной
энергии взаимодействия моле кул тела между собой и ки­
нетической энергии хаотического движения молекул.
Второй пример: с плотины сливается речная вода,
проходит через турбину ГЭС, турбина вращает вал
генератора. При этом потенциальная энергия воды
уменьшается, а значит, и полная механическая энергия
воды уменьшается. Но мы знаем, что генераторы, кото­
рые приводятся в действие турбиной, вырабатывают
электроэнергию, за счет которой можно с помощью
383
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
электродвигателей поднимать грузы (увеличивать их
потенциальную энергию) или приводить в движение
трамваи, троллейбусы, электровозы (увеличивать их
кинетическую энергию). Получается, что энергия спо­
собна испытывать превращения из одного вида в другой,
причем в ходе самого превращения непременно соверша­
ется работа (силы тяжести, силы упругости, силы трения,
силы электрического и магнитного происхождения) .
Энергия не исчезает бесследно и, соответственно,
не возникает из ничего. Как показывают многочислен­
ные опыты, она всегда преобразуется из одного вида
в другой в результате совершения работы. Этот факт
носит название закон сохранения и превращения энергии.
В пюбых процессах энергия
не возникает из н ичего и не исчезает
бесследно, а пиwь преобразуется из
одного вида в другой.
------ · · · · · · ·
Эти преобразования обратимы. Механическую
энергию можно превратить в электрическую, а элек­
трическую снова превратить, скажем, в потенциальную
энергию воды.
Пример: гидроаккумулирующая электростанция на
Днестре, которая построена рядом с ГЭС. Н очью, когда по­
требление электроэнергии относительно мало, избыток
электроэнергии, вырабатываемой ГЭС, используется для
приведения в действие мощных насосов, которые зака­
чивают воду из Днестра в огромный бассейн на высоту
более 1 0 0 м. Днем, когда потребление электроэнергии
увеличивается, вода из этого резервуара выпускается
обратно в Днестр через турбины ГЭС. Это дополнитель3 84
Закон сохранения и превращения энергии. КПД. Мощность
ное количество воды, проходя через турбины, позволяет
вырабатывать дополнительную электроэнергию. Так
энергия аккумулируется в виде потенциальной энергии
воды.
Из того факта, что энергия не возникает из ничего,
следует невозможность создания вечного двигателя,
который совершал бы работу, не потребляя ни тепловую,
ни электрическую, ни любую другую энергию. Существу­
ют необычайно остроумные проекты таких двигателей,
и порой приходится хорошо подумать, чтобы понять,
почему он все-таки не может работать. Наберите в по­
исковой строке YouTube слова «вечный двигатель», и вы
сами в этом убедитесь.
• КП Д
В любом устройстве, которое преобразует энергию
из одного вида в другой или преобразует энергию
в работу (тепловой или электродвигатель), это преоб­
разование никогда не происходит полностью. Если речь
идет о тепловых двигателях, часть количества теплоты
приходится отдавать так называемому охладителю.
Если речь идет об электроэнергии, то во время работы
генератора ток, идущий по проводам генератора, линии
электропередач, обмотки электродвигателя, вызывает
нагревание проводов. При этом часть энергии теряется
бесполезно, не превращаясь в полезную работу.
Чтобы охарактеризовать эффективность механизма,
вводится такое понятие, как коэффициент полезного
действия (КПД). Он показывает, какая часть затраченной
энергии или работы, затраченной на приведение в дей­
ствие какого-то механизма, преобразуется в полезную
работу.
КПД принято обозначать греческой буквой 17 (эта) :
385
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
11 = А п ол ·
--
А затр
Коэффициентом полезного
действия маwинь1 или механизма
называется физическая величина,
равная отношению полезной
работы к затраченной энергии (или
работе, затраченной на приведение
механизма в действие).
Для примера возьмем такой механизм, как рычаг.
Приводя рычаг в действие, мы совершаем работу по его
вращению вокруг точки опоры. При этом часть работы
идет на подъем тела с помощью рычага, а часть работы
уходит на то, чтобы преодолеть силы трения в рычаге.
Затраченная работа оказывается больше, чем полезная,
на величину работы по преодолению силы трения. Есл и
мы поднимаем груз с помощью подвижного блока, то,
помимо работы против сил трения, приходится еще со­
вершать бесполезную работу по подъему самого блока.
П оэтому никогда и ни в каких устройствах КПД не будет
равен единице:
IJ -:;; 1; IJ < 1 .
Мощнос т ь
Одну и ту же работу можно выполнять долго, а можно
выполнить быстро. Например, можно полдня носить кир­
пичи на 5 -й этаж ведрами, а можно за 3 0 секунд поднять
с помощью подъемного крана. При этом кирпичам будет
386
Закон сохранения и превращения энергии. КПД. Мощность
сообщаться одна и та же потенциальная энергия при со­
вершении одной и той же работы. Но один раз - быстро,
другой - медленно. Чтобы охарактеризовать быстроту
выполнения работы, вводится такая физическая величи­
на, как мощность.
Вспомним, что, когда мы говорим слово «работа», мы
обязательно должны упомянуть, какая сила эту работу со­
вершает (работа силы тяжести, работа силы трения и т. д.).
Часто встречается такой термин, как «мощность
двигателя». Есл и это электродвигатель, то мощность
электродвигателя - это мощность, развиваемая силой
упругости в валу электродвигателя. Если это мощность
подъемного крана, то это мощность силы упругости
троса, который поднимает груз. Всегда есть какая-то
сила, выполняющая работу с определенной быстротой.
Следовательно, если мы говорим о быстроте выполне­
ния работы, то есть о мощности, то это будет мощность
какой-то силы.
Мощностью сипы называется
физическая величина, равная
отношению работы этой сипы за
небопьwой промежуток времени
к дnитепьности этого промежутка.
.. . ..
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
_
,__
_,_
_
_
_
_
_
_
.
.
В механике мощность обозначается буквой N. Следу­
ющая формула является математическим отображением
определения мощности :
387
ФИЗИКА. Осно вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
В определении упоминаются небольшой промежу­
ток времени потому, что мощность со временем может
меняться (для сравнения вспомните определение мгно­
венной скорости).
Обычно предполагается, что механизм работает
длительное время в каком-то неизменном (стационар­
ном) режиме. В этом случае неважно, какой промежуток
времени вы выбираете для подстановки в формулу мощ­
ности. Мощность машины или механизма мы получим,
просто разделив выполненную этим механизмом работу
на время работы механизма:
Мощностью машины или механизма
называется физическая величина,
равная отношению работы,
выполненной механизмом, ко
времени ее выполнения.
,__--------------------------- · · · · · · ·
Единицы измерения мощности :
[ N) =
Дж =
Вт (ватт) .
с
Помимо ватта есть еще одна единица мощности, кото­
рая медленно уходит в прошлое, но все еще используется.
Паровые машины и двигатели внутреннего сгорания
пришли на смену лошадям. П оэтому неудивительно,
что внесистемная единица мощности, которая обычно
характеризует мощность тепловых двигателей, - это
лошадиная сила (л. с.). Несмотря на название, важно пом­
нить, что речь идет не о силе, а о мощности.
388
За кон сохранения и превращения энергии. КПД. Мощность
. . . . . . ..
..
Одна лошадиная сипа равняется
..
.
мощности, которая развивается при
равномерном подъеме тела массой
75 кr на вь1соту 1 метр за 1 секунду.
N = л_ =
t
mgh .
t ,
1 л. с. =
75 кг · 9 ' в 1lL . 1 м
кг
:::: 7 3 6 Вт.
1с
• Связь мощнос т и, силы и СКО Р ОСТИ
При решении задач часто бывают полезны следующие
сведения.
Представим тело, которое находится на опоре и пере­
-+
мещается. При этом на него действует сила F (рис. 1) .
•••••
1------
·� :
Рис. 1
Если сила постоянна, то ее работа:
А = FS cos а.
Есл и сила меняется, можно взять промежуток вре­
мени настолько мал ы й, что на его протяже н и и сила
не усп евает заметно измен иться, и по этой формуле
найти элементарную работу ЛА за этот промежуток
(рис. 2 ) .
389
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Элемента р ная
р а б ота ЛА
""-- лs
Рис. 2
За это время тело совершит элементарное перемеще-+
ние ЛS , а значит, элементарная работа равна:
ЛА = FЛS cos а.
Разделим левую и правую часть формулы на длитель­
ность промежутка времени:
ЛА = F · ЛS
дt
М ы видим, что ЛА
Лt
рость v; cos а
дt
·
cos а .
- это м о щность N; ддSt - ско-
- угол между F и v .
-+
-+
Получается удобная для практического применения
формула мгновенной мощности силы:
N = F · v · cos а.
• 0 СКОРОСТИ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ
Предположим, по дороге движется автомобиль. Вперед
его толкает сила тяги, направленная в сторону движения
автомобиля. А это значит, что сила тяги совершает рабо­
ту (рис. 3).
По теореме о кинетической энергии, суммарная ра­
бота всех сил, действующих на тело, равна изменению
кинетической энергии этого тела. Получается, если на
390
Закон сохранения и превращения энергии. КПД. Мощность
�
Fсо п р
�
Fтяги
�
v
Рис. 3
автомобиль действует сила тяги, он должен все время
увеличивать свою кинетическую энергию - разгонять­
ся. Н о, как известно, наступает момент, когда автомобиль
начинает двигаться с постоянной скоростью. Так про­
исходит потому, что, кроме силы тяги, на автомобиль
действует сила сопротивления. Это может быть сила со­
противления воздуха или сила сопротивления, связанная
с трением в осях. Когда сила сопротивления уравновеши­
вает силу тяги, скорость перестает меняться.
Если Fтяги = Fсоп р• то v = const.
Мощность силы тяги - это то же самое, что и мощ­
ность двигателя. В таком случае можем воспользоваться
формулой
N = Fтяги · V
•
COS О.
Но сила тяги ч исленно равна силе сопротивления,
а угол между направлением силы тяги и скоростью авто­
мобиля равен нулю, cos О = 1 .
Получаем
N = Fсо п р . V.
Нас интересует, как скорость связана с мощностью
двигателя. Например, во сколько раз нужно увеличить
мощность двигателя, чтобы скорость удвоилась?
Рассмотрим несколько частных случаев.
391
ФИЗИКА.
Осн о вы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
а) Пусть Fcon p = const (не зависит от скорости) .
Так ведет себя сила сухого трения скольжения. В жизни
такое можно встретить на примере автомобиля, который
подметает улицы. Под кузовом у него находится враща­
ющаяся щетка, которая вращается так, что нижняя часть
движется навстречу дорожному покрытию. В результате
возникает сила сухого трения. Это постоянная сила, кото­
рая мешает автомобилю двигаться. П одставив константу
в формулу, получим:
N = Fсо п р . v;
N - v =::) v - N.
И если мы удвоим мощность двигателя, автомобиль
будет двигаться в два раза быстрее.
б) Пусть Fcon p - v (вязкое трение) .
Такое бывает тогда, когда тело движется в какой-то
вязкой жидкости или движется в ней с очень маленькой
скоростью. Подобное можно представить на примере бак­
терий, когда они плавают в жидкости. Их скорости очень
маленькие, и потому сила сопротивления прямо пропор­
циональна скорости. Как в этом случае должна изменить
мощность работы своими ресничками какая-нибудь инфу­
зория-туфелька, если она захочет удвоить свою скорость?
Если Fcon p = о: · v то, поскольку N = Fcon p · v,
N = av2 ;
N - v2 •
Это значит, что, для того чтобы удвоить скорость,
мощность надо увеличить в 4 раза.
в) Пусть Fcon p - v2 •
v - ./N.
Бывает это тогда, когда тело движется в жидкости или
газе так, что позади образуются завихрения.
392
Закон сохранения и превращения энергии . КПД. Мощность
Если Fсоп р = � v2 , то
N = Fсопр v = Q1-' v3 '•
N - v3 ;
v - {/N.
·
Если в ы хотите, чтобы автомобиль ехал вдвое быстрее
по ровной горизонтальной дороге, придется увеличить
мощность его двигателя в 8 раз. Так что увеличение ско­
рости транспортных средств - довольно затратное дело.
Р е ш е н и е зада ч с м от р ите зде с ь :
В Ы ВОДЫ
Энергия как способность совершать работу имеет го­
раздо более ш ирокий смысл, чем механическая энергия.
Эта величина подчиняется закону сохранения, хотя мо­
жет переходить из одного вида в другой. Такой переход
энергии из одного в ида в другой сопровождается совер­
шением работы.
Не вся энергия или работа, затраченная на приведе­
ние в действие машины или механизма, превращается
в полезную работу. Для количественной оценки эффек­
тивности машин и механизмов используется величина,
называемая коэффициентом полезного действия.
Одну и ту же работу можно совершать быстро, а можно
медленно. Для оценки быстроты совершения работы фи­
зики придумали такую величину, как мощность. Мощный
механизм, мощный двигатель может совершить одну и ту
же работу за более короткое время, чем маломощный.
393
ДВ ИЖЕ Н И Е
ЖИ Д КОСТЕЙ И ГАЗ О В .
ЗАКО Н & ЕРНУЛЛ И
Мы приступаем к изучению последнего раздела
механики - гидромеханики. Оказывается, 90 %
машинного времени разные сверхмощные компьютеры
тратят на то, чтобы рассчитывать обтекание
газами и жидкостями различных крыльев, ракет
и т. д. Говорят, что больше половины оставшегося
времени эти же компьютеры занимаются тем, что
просчитывают спецэффекты в голливудских ф ильмах.
Это говорит о том, что механика жидкостей
и газов гораздо сложнее, чем механика твердых
тел и тем более механика материальной точки.
Для описания движения тел, которые не имеют
собственной формы, используются новые модели,
с которыми нам предстоит познакомиться в ходе
этого урока.
п
еред тем как изучать какие-то явления в деталях,
вводится язык, на котором описываются эти
явления. Вспомним, что, изучая поступательное
движение, мы заменили тело материальной точкой. Если
размерами тела уже нельзя пренебречь, мы рассматрива­
ли движение тела как совокупность двух одновременно
происходящих движений - поступательного движения
и вращения. Этот способ подходил, пока мы имели дело
с твердым телом.
3 94
Движение жидкосте й и газов. Закон Бернулли
Теперь мы имеем дело с совершенно другим объек­
том - жидкостью или газом. Поэтому приходится
вырабатывать абсолютно новые подходы.
8 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГИДРОМЕХАНИКИ
Оказывается, существуют два способа описания дви­
жения жидкости или газа. Причем отличие жидкости
от газа заключается только в том, что газ можно сжать,
а жидкость считается несжимаемой. Разница между
гидродинамикой и аэродинамикой состоит в том, что
плотность жидкости всегда одна и та же, а плотность
газа зависит от давления. П оэтому можно сказать, что
это одна наука, но аэродинамика - ее усложненный
вариант.
1-й спосо б:
Берут небольшой объем жидкости или газа. Настоль­
ко небольшой, что его размерами можно пренебречь
и считать его частицей. Далее рассматривают силы,
действующие на эту частицу. Такими силами будут сила
тяжести и сила давления. А зная силы, действующие
на частицу, с помощью I I закона Ньютона можно найти
ускорение этой частицы. Зная ускорение и пользуясь
аппаратом кинематики, можно выяснить, как движется
частица и как меняется ее скорость. Зная, как меняется
скорость, можно найти перемещение частицы в любой
момент времени. А знание перемещения в любой момент
времени дает возможность построить траекторию дви­
жения частицы (рис. 1) :
395
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕН ИЕ
Рис. 1
Однако это невероятно сложная задача, поскольку
таких частиц очень много и движутся они одновременно.
П оэтому такой способ используется при компьютерном
моделировании.
2-й с посо б :
Он более уместен, когда мы анализируем движение жид­
костей на теоретическом уровне, чтобы найти законы,
которым они подчиняются. При втором способе мы как
бы «фотографируем» сразу всю жидкость или газ. И в
один и тот же момент времени смотрим, как движется
жидкость или газ во всех точках пространства (рис. 2) .
-+
-+
V1
�
�
Vz
"
�
е---+-
�
-+
~
•
�
�
векторное поле скоростей
Рис. 2
396
Движение жидкосте й и газов. Закон Бернулли
Виды течения :
Пользуясь первым способом, изобразим совокупность
траекторий частиц жидкостей или газа для двух видов
течения (рис. 3).
Ламинарное
Турбулентное
Рис. 3
Ламин ар_ ное течение
это слоистое течение, при
котором разные участки жидкости движутся слоями при­
близительно параллельно друг другу.
-
ТJ!р булентное течение вид течения, который обыч­
но мы наблюдаем тогда, когда жидкость или газ встречает
препятствие. Например, обтекая опору моста в реке, вода
образует позади нее вихри, то есть турбулентность.
-
Стационарным называется течение,
в каждой точке котороrо скорость
движения жидкости не меняется со
временем.
Нетрудно догадаться, что турбулентное течение
не бывает стационарным, в отличие от ламинарного.
Для наблюдения стационарного течения немного
приоткроем обычный водопроводный кран, чтобы из
397
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
него вытекала слабая струя воды. По мере того, как вода
удаляется от крана, струя воды сужается, а скорость воды
становится больше. Но в каждой точке струи на опреде­
ленном расстоянии от крана скорость частиц воды всегда
одна и та же (если, конечно, не крутить кран) . Правда,
в самом низу, где струя разбивается на отдельные капли,
течение считать стационарным уже нельзя (рис. 4) .
Еще один термин - идеальная жидкость.
Идеальной называется жидкость.
в которой отсутствуют сипы
внутреннеrо трения.
Сосредоточимся на стационарном ламинарном тече ­
нии идеальной несжимаемой жидкости.
Стационарное
1
о
о
Рис. 4
398
Нестационарное
течение
Движение жидкост е й и газов. Закон Б ернулли
Определения :
1. Траектория, по которой движется данная части­
ца жидкости, называется линией тока. Скорость
течения жидкости в данной точке линии тока на­
правлена по касательной к ней. Поскольку в каждой
точке пространства скорость частицы имеет вполне
определенное значение, через любую точку простран­
ства можно провести линию тока, причем только одну.
Линии тока не могут пересекаться.
2 . Пучок линий тока, ограниченный замкнутым конту­
ром, называется трубкой тока.
Через каждую точку контура можно провести одну
линию тока, совокупность которых образует границы
пучка (рис. 5).
сечение
трубки тока
трубка тока
v
--+
Рис. 5
Поскольку скорость частиц направлена по касатель­
ной к линии тока, любая частица жидкости движется
вдоль линии тока, и за пределы трубки тока жидкость
вытекать не может. Роль трубки тока может выполнять
обычная водопроводная труба или течение Гольфстрим.
Поверхность, которую можно натянуть на контур трубки
тока, называется се чением трубки тока.
399
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
3. Потоком жидкости через данное сечение назы­
вается физическая величина, равная отношению
объема жидкости, протекающей через это сечение
за некоторый промежуток времени, к длительности
этого промежутка.
Обозначается поток буквой Q :
ЕЕ
Единицы измерения потока:
мз
[ Q] = - ·
с
Иногда поток еще называют объемным расходом, ис­
пользуя это понятие в гидрологии для описания течения
рек. Например, среднегодовой расход воды в устье Дне­
пра равен 1670 м3/с.
Чтобы понять, от чего зависит поток и как его рассчи­
тать, рассмотрим простейшую ситуацию. Предположим,
что трубка тока представляет собой цилиндр (рис. 6) .
Выделим поперечное сечение внутри трубки тока и по­
дождем какое-то время t, чтобы жидкость переместилась
на расстояние /, которое легко найти, умножив скорость
V = S · l = Svt
\
за время t
--� l = vt
Рис. б
400
Движение жидкосте й и газов. Зако н Бернулли
течения v на время. Объемом жидкости, который прошел
через поперечное сечение, будет объем цилиндра, высота
которого равна vt.
По определению потока:
Q=
_у_ = Svt , откуда
t
t
Конечно, этой формулой можно пользоваться только
тогда, когда скорость течения перпендикулярна сечению
трубки тока. Н о и в этом простейшем случае мы видим,
что поток жидкости тем больше, чем больше площадь по­
перечного сечения, через которую протекает жидкость,
и чем больше скорость течения жидкости. Поэтому маги­
стральные водопроводные трубы гораздо толще тех, что
проложены в наших квартирах.
8 УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Рассмотрим ситуацию, когда жидкость течет по трубе
переменного сечения (рис. 7).
Поскольку жидкость несжимаема, то объемы, прошед­
шие за одно и то же время через сечение 51 и 52, одинаковы:
какой объем заходит в пространство между 51 и 52 через
51
--+
V1
'�
52
1
--+
Vz
Рис. 7
40 1
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
сечение 51 , такой же выходит из этого пространства через
сечение 52 за это же время. Следовательно, и потоки через
оба сечения одинаковы:
С другой стороны,
Q i = S1v1;
Qz = S2vz .
Поэтому можно записать:
1
S 1v1 = S2Vz .
Это соотношение работает для двух любых сечений
в трубке тока с несжимаемой жидкостью. Значит, для
любого сечения несжимаемой жидкости, перпендикуляр­
ного скорости:
S v = const.
Последние два соотношения представляют собой
фактически закон сохранения жидкости и называются
уравнением непрерывности.
Важно понимать, что уравнение непрерывности спра­
ведливо только для несжимаемой жидкости.
• ЗАКОН БЕРНУЛЛИ
Продолжим анализ ситуации, когда течение жидкости
происходит в трубе переменного сечения. Рассмотрим
две точки в трубке тока: точку 1 и точку 2 (рис. 8).
Если мы поместим в жидкость манометр, он покажет,
что давления в точках 1 и 2 разные. Почему? Как эти
давления связаны между собой? Ответ может показаться
неочевидным. Оказывается, что там, где жидкость дви­
жется медленнее, ее давление будет больше.
402
Движение жидкосте й и газов. Закон Бернулли
Р1
1 '\
\
1
1 1
\1
1
1
1
1
\
_,
1
,
' �
/
\ '
�
F
/
Р2
7
��
2 1 /
\�
Vz
_,
Рис. 8
Выясним, почему это так. Есл и в точке 1 скорость жид­
кости меньше, а в точке 2
больше, значит, по дороге
между этими двумя точками жидкость ускоряется. Выде­
лим небольшой участок жидкости между точками 1 и 2 .
Его ускорение направлено вправо, а это означает, что рав­
нодействующая всех приложенных к нему сил давления
со стороны окружа ющей его жидкости также направлена
вправо. На левую поверхность этого участка жидкости
действует большая сила, чем на правую. А значит, слева
давление больше, чем справа. Именно эта разность дав­
лений и приводит к ускорению жидкости.
Мы пришли к одному из основных законов гидромеха­
ники, который называется закон Бернулли:
-
На тех участках течения жидкости,
rде скорость бопьше, - давпение
меньше, и наоборот.
Vz > v 1 <=> Р2 < Р1
403
Физикл. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
• У РАВНЕНИЕ БЕРНУЛЛИ
Рассмотрим закон Бернулли на количественном уровне
и попробуем описать связь между давлением и скоро­
стью. Дополним ситуацию тем, что высота жидкости
будет меняться по мере течения по трубке тока.
Рассмотрим порцию жидкости, заключенную между
двумя сечениями (рис. 8. 1) . Предположим, что жидкость
течет вправо, и через некоторое время вся рассматривае­
мая порция сдвинется в правую сторону (рис. 8.2).
ДО
hz
G)
Р1
h1
�\i
- - - - - -
Pz
1
г� 1 1 :
1
1 ,1 , 1 11
Л/ 1
Л/ 1
Рис. 8.1
404
Рис. 8.2
Движение жидкосте й и газов. Закон Бернулли
Поскольку мы рассматриваем ламинарное стационарное
течение идеальной несжимаемой жидкости, на жидкость
действуют только силы упругости и силы тяжести. Сил тре­
ния нет. Воспользуемся теоремой о кинетической энергии.
Согласно этой теореме, сумма работ всех сил, действующих
на тело (в нашем случае - порция жидкости) равняется
изменению кинетической энергии этого тела:
Рассмотрим силы, действующие на участок жидкости
между двумя выбранными сечениями 51 и 52. На него дей­
ствует сила давления со стороны той жидкости, которая
находится слева от сечения 51, и она выполняет работу.
Жидкость движется вправо, сила давления тоже направлена
вправо. А значит, работа будет иметь положительный знак.
На меньшее сечение 52 действует сила давления со стороны
жидкости, которая находится справа от сечения и направле­
на влево. Следовательно, работа, совершаемая этой силой
давления, будет иметь отрицательный знак. Работу также
выполняет сила тяжести, она имеет отрицательный знак,
так как жидкость движется вверх. Есть еще силы давления
со стороны боковых стенок трубки тока, но эти силы пер­
пендикулярны направлению движения жидкости, поэтому
работы не совершают. Исходя из этого, в теореме о кинети­
ческой энергии должны быть рассмотрены работы силы
давления слева, силы давления справа и силы тяжести:
Ар 1 + Apz + А тв = Л Ек.
Чтобы найти работу Ар 1, умножим силу давления на
расстояние, пройденное левой границей:
Ар 1 = F1 · Л f 1 · 1 = Р 1 S1 Л/ 1 = Р 1 V1 = Р 1 V,
где 1 - косинус угла между направлением силы давле­
ния и направлением перемещения жидкости, S1 Л/ 1 - это
объем V1 жидкости, который прошел через сечение 51 .
405
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Точно так же для правой границы участка жидкости:
Ар2 = F2 · д/2 · (-1) = -p2 S2Лl2 = -p2 V2 = -p2 V.
Поскольку жидкость несжимаема, оба объема являют­
ся одинаковыми:
Работа силы тяжести будет равна взятому со знаком
минус изменению потенциальной энергии жидкости:
Amg = - Д ЕР = - (m 29 h 2 - m 19 h 1 ) = m1g h 1 - m29 h2,
где m1
масса, которая ушла из левой части трубки
тока, m2
масса, которая появилась в правой части
трубки тока. И поскольку жидкость несжимаема, ее плот­
ность р неизменна, поэтому можно записать:
-
-
Amg = p Vgh 1 - p Vgh2.
Зная все три работы, можем найти изменение кине­
тической энергии, которое будет разницей конечного
значения кинетической энергии и начального. Изме­
нение кинетической энергии равняется кинетической
энергии жидкости, пришедшей через правое сечение,
минус кинетическая энергия жидкости, которая ушла
через левое сечение:
1
1
1
1
2
2
2
2
Д Ек = m2V2 - - m 1v1 = - p тт.
vv2 - ·- р vV1 .
2
2
2
2
Теперь в теорему о кинетической энергии можно под­
ставить значения работы сил :
1 v 2 1
2
Р 1 V - P 2 V + p Vgh 1 - p Vgh2 = z Р V2 - z P VV1 .
В каждом слагаемом есть объем. Поэтому можем почлен­
но разделить левую и правую части уравнения на объем :
1
1
2
2
P 1 - P 2 + pg h 1 - pg h 2 = -z pv2 - z P V1.
406
Движение жидкосте й и газов. Закон Бернулли
Вспомним, что р 1 , h 1 и v1 - это давление, высота
и скорость в точке 1 внутри трубки тока. Точ нее, на ли­
нии тока 1-2 . Точно так же р2, h 2 и v2 относятся к точке 2
на этой же линии тока внутри трубки тока.
Все, что относится к точке 1, запишем в левой части
уравнения, а все, что относится к точке 2, - в правой:
Получается, что при перемещении внутри трубки тока
(в пределах одной линии тока) меняются скорость, дав­
ление и высота, но комбинация этих величин, записанная
слева и справа от знака равенства, остается неизменной.
Итак, в любой точ ке л и н ии то ка
р + pg h +
1
Z
pv2 = const.
Оба записанных выше выражения количественно
описывают закон Бернулли и имеют один и тот же фи­
зический смысл. Такое уравнение, записанное двумя
способами, называется уравнен и ем Бернулл и .
Работает оно тогда, когда мы имеем дело с ламинар­
ным стационарным течением идеальной несжимаемой
жидкости. Для газа этим уравнением можно пользоваться
только в случае, если плотность газа меняется незначи­
тельно. Ведь при всех рассуждениях предполагалось, что
текучая среда, движение которой мы рассматривали, яв­
ляется несжимаемой. Газы этим свойством не обладают.
Де м о н ст р а ц и ю п р и м е р о в с м от р ите зде с ь :
407
ФИЗИКА. Основы и МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
В Ы ВОДЫ
М ы столкнулись с совершенно новым видом механиче­
ского движения. Тело не движется как одно целое. Тело
не обладает формой. Различные части тела движутся
с различными скоростями. Именно так движутся жидко­
сти и газы. Это одна из самых сложных задач механики,
особенно если движение турбулентное. Мы лишь прикос­
нулись к методам решения задач гидр а - и аэродинамики,
но и это прикосновение дает понимание многих явлений
природы. Например, теперь нам понятно, почему на пе­
рекатах скорость течения реки больше, чем там, где река
широко разливается. Ведь поток воды в речном русле
остается одинаковым и на пл ё сах, и на перекатах. Н о там,
где река разливается широко, площадь поперечного се­
чения русла увеличивается, а значит, течение становится
более медленным. И наоборот, на порогах, где русло зажи­
мается скалами, площадь сечения потока уменьшается,
и вода течет с большей скоростью. По этой же причине
садовник, поливая цветы с помощью резинового шланга,
сплющивает его конец, если хочет, чтобы водяная струя
летела дальше. Все это описывается простым уравне­
нием непрерывности. А уравнение Бернулли позволяет
решать гораздо более сложные и интересные задачи.
ДЛЯ З А М Е Т О К
ДЛЯ З А М Е Т О К
;----
- ·- - - -
---
-----�
----- ___ " _ _
··-· 1
- -· · · · · · · -·
..
j
'
-- --··)
f-- - ·
:-----
f·---
L.
__
ДЛЯ З А М Е Т О К
J
'
'
. - ·-·- - 1
1
1
__
-- -- - - -- - -
·---
------- --·---
··-- -
'
-·
- -�J
-·----1
'
--
--·--
1
ДЛЯ З А М Е Т О К
ДЛЯ З А М Е Т О К
�-:_:::
!----
----- -·.- ---'
ДЛЯ З А М Е Т О К
J
- ----1:
-- _ _
--·----
-· -··
1
!
-·-··--:
--·--1i
ДЛЯ З А М Е Т О К
ПАВЕЛ ВИКТОР
Ф И З И КА
ОСНОВЫ И МЕХАНИЧЕСКОЕ ДВИЖЕНИЕ
Просто и nон11Тно о фундаментаn�.ной науке
Видання эдiйснено за сприяння
контент-студii customlab.ua
•
Керiвник проекту Вадим Савельев (канд.екон.наук)
Головний редаК"ГОр проекту Роман Сулiма
Редактор проекту Наталiя Володченко
Менеджер проекту Анастасiя Сiненко
Науковий редаК"ГОр Сергiй Буцан
Випусковий редактор Жанна Волкова
Коректори Алла Долгая, Наталiя Григор'ева
Дизайнер макета i верстки Олена Бiдненко
Дизайнер малюнкiв Юлiя Ясiнська
Дизайнер обкладинки Сергiй Чепоров
Вiдповiдальна за випуск Катерина Дем 'янчук
Пiдписано до друку 19.11.2020. Формат 84х 108 1/3"
Гарнiтура «Georgia » . Друк офсетний.
Тираж 5000 прим. Обл. вид. арк 9,78.
Надруковано в Укра!нi видавництвом «Форс Украlна » у П П « Юнiсофт»
61036, м. Харкiв, вул. Морозова, 13 б
www. unisoft.ua U N 1 S О F Т
Свiдоцтво ДК № 5747 вiд 06.11.2017 р.
Замовлення № 61/11.
ТОВ «Форс Укра!на » , 04073, м . Киlв, пр-т Степана Бандери, 9
Тел. (044) 290 99 44,
Iнтернет-маrазин www. book24.ua
Свiдоцтво про внесения суб'екта видавничоl справи до Державного
реестру видавцiв, виrотовлювачiв i розповсюджувачiв видавничо!
продукцil ДК № 5433 вiд 08.08.2017 р.
Yci права застережено, жодну частину цього видання не можна вiдтворювати, зберiгати
в пошуковiй системi або передавати в будь-якiй формi i будь-якими способами:
електронними, механiчними, фотокопiювальними чи iншими - без попереднього
письмового дозволу власника авторсъких прав.
[3
I S B N 978 - 966-993-605-9
1
формуе особистiсть
BOOKCH E F
9 789669 936059
www. b o o kc h ef. u a
FЬ/ l n stagram /bo okchefua