ДИСЦИПЛИНА Метрология, стандартизация и сертификация ИНСТИТУТ Институт перспективных технологий и индустриального программирования КАФЕДРА метрологии и стандартизации ВИД УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА Методические указания к практическому занятию №2 ПРЕПОДАВАТЕЛЬ Русанов Константин Евгеньевич СЕМЕСТР 4, 2024/2025 учебный год Практическое занятие «Решение задач» Функции распределения результатов и случайных погрешностей измерений Задача 1. Погрешность измерения напряжения ∆U распределена по нормальному закону, причем систематическая составляющая погрешности ∆U с = 0, среднее квадратическое отклонение результата отдельного измерения σ=50 мВ. Найти вероятность того, что результат измерения напряжения отличается от истинного значения не более чем на 90 мВ. Задача 2. Погрешность измерения напряжения ∆U распределена по нормальному закону, причем систематическая составляющая погрешности ∆U с = 20 мВ, среднее квадратическое отклонение результата отдельного измерения σ=50 мВ. Найти вероятность того, что результат измерения напряжения отличается от истинного значения не более чем на 60 мВ. Задача 3. В результате поверки амперметра установлено, что при доверительной вероятности Р д = 0,6 погрешность результата измерения не превосходит ±40 мА. Считая, что погрешность распределена равномерно и систематическая составляющая погрешности ∆I с =0 мA, определите среднее квадратическое отклонение σ. Методика обработки результатов прямых однократных измерений Обработка результатов прямых однократных измерений проводится при соблюдении следующих условий: – составляющие погрешности известны; – случайные составляющие распределены по нормальному закону; – неисключенные систематические погрешности заданы своими границами и распределены равномерно. Недостаток априорной информации об истинном характере распределения составляющих погрешности делает оценку погрешности, приближенной даже при тщательном индивидуальном подходе к измерительной модели одного измерения. Рассмотрим возможные варианты оценивания погрешностей: – если имеется m неисключенных систематических погрешностей и каждая из них задана своими границами ∆ сj , то доверительная граница суммарной неисключенной систематической погрешности будет равна: ∆c (P ) = k ∑ ∆2cj , j = 1, m , (1) j где k – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности P и числа составляющих погрешности m (табл. 1); Таблица 1 Значения k P m 2 3 4 >4 0,90 0,95 –"– –"– –"– 0,95 1,1 –"– –"– –"– 0,99 1,2 1,3 1,4 1,45 – если каждая из m неисключенных систематических погрешностей задана доверительными границами и различными доверительными вероятностями, то ∆ c ( P) = k ∑ j ∆2cj ( Pj ) k 2j , (2) где ∆ cj ( Pj ) – доверительная граница j – й неисключенной систематической погрешности, соответствующая доверительной вероятности Pj ; – если имеются только случайные составляющие погрешности, заданные средними квадратическими отклонениями (СКО), взятыми, например, из технической документации на СИ, то СКО результата однократного измерения будет равно: σ = ∑ σ 2j , j = 1, l , (3) j где σ j – СКО j-й случайной составляющей погрешности измерения; l – число случайных составляющих погрешности измерения. Доверительные границы случайной погрешности: ∆( P) = t pσ = t p ∑ σ 2j , j = 1, l , (4) j где t p – аргумент функции Лапласа для доверительной вероятности P ; – если имеются только случайные составляющие, задаваемые доверительными границами с одинаковой доверительной вероятностью ∆ j (P) , то ∆( P) = ∑ ∆2j ( P) , j = 1, l ; (5) j – если имеются только случайные составляющие погрешности, задаваемые доверительными границами с различными доверительными вероятностями ∆ j ( Pj ) , то ∆( P) = t p ∑ j ∆2j ( Pj ) t 2p j , j = 1, l ; (6) – если имеются систематические и случайные составляющие погрешности, то порядок определения погрешности зависит от отношения r= ∆ c (P) σ . Так, если r < 0,8 , то в качестве погрешности результата измерения принимается доверительная граница случайной погрешности, если r > 8 , то в качестве погрешности результата измерения принимается доверительная граница систематической погрешности, если же 0,8 ≤ r ≤ 8 , то доверительная граница (7) ∆( P ) = G[∆ c ( P ) + ∆( P )] , где G = f (r ; P ) ≈ 0,8 . Форма представления результатов однократных измерений при симметричной доверительной погрешности: a ± ∆( P); P . (8) Пример 1. Выполнено однократное измерение напряжения на участке цепи постоянного тока с сопротивлением R = 10 Ом с помощью вольтметра (V ) класса точности 0,5 (δ γ = ±0,5%) , с верхним пределом измерения U П = 1,5 В и с внутренним сопротивлением RV = 1000 Ом. Из паспортных данных на вольтметр известно, что дополнительные погрешности его показаний из-за влияния магнитного поля и температуры не превышают δ МП = ±0,75% и δ Т = ±0,3% допускаемого предела погрешности, соответственно. Определить погрешность результата измерения, если показание вольтметра UV = 0,9 В. Решение. Погрешность результата измерения, как следует из указанных условий, состоит из основной погрешности, методической и дополнительных погрешностей. Основная погрешность определяется типом используемого вольтметра, его классом точности, методическая – взаимодействием между RV и R , дополнительные – связаны с влиянием магнитного поля и температуры окружающей среды на показания V . Относительный предел основной погрешности: δU = δ γ UП = 0,83% . UV При подсоединении V к участку цепи исходное напряжение U на R изменится из-за шунтирующего воздействия RV , в результате UV = U ⋅R, R − RV а относительная методическая погрешность δМ = UV − U R ⋅ 100 = − ⋅ 100 = −0,99% . U R + RV Это означает, что напряжение, показываемое V , занижено на 0,99%, т.е. на ∆UV = −UV ⋅ δМ 100 = −0,9 0,99 ≈ −0,009 B . 100 С учетом поправки d = − ∆UV результат измерения будет равен UVИ = UV − d = 0,9 + 0,009 = 0,909 B . Дополнительные погрешности заданы своими границами и могут рассматриваться как неисключенные систематические погрешности с относительными границами 0,75 и 0,3%. Суммарная погрешность результата измерения, согласно соотношению (1) при P = 0,95 : δ ∑ = 1,1 0,832 + 0,752 + 0,32 = 1,27 % . Абсолютная погрешность ∆∑ = δ ∑ ⋅ UV 100 = 0,0115 B . Окончательный результат: U = (0,909 ± 0,012) B ; P = 0,95 . Задание: «Обработка результатов прямых однократных измерений» Выполнено однократное измерение напряжения на участке цепи постоянного тока с сопротивлением R = 10 Ом с помощью вольтметра (V ) класса точности δγ (%) с верхним пределом измерения U П и с внутренним сопротивлением RV = 1000 Ом. Из паспортных данных на вольтметр известно, что дополнительные погрешности его показаний из-за влияния магнитного поля и температуры не превышают δ МП = ±0,75% и δ Т = ±0,3% допускаемого предела погрешности, соответственно. Определить погрешность результата измерения, если показание вольтметра UV . Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 δγ (%) UП, В UV , В P 0,5 1,0 1,5 0,5 1,0 1,5 0,5 1,0 1,5 0,5 1,0 1,5 0,5 1,0 1,5 0,5 1,0 1,5 0,5 1,0 1,5 1,0 1,5 1,0 1,5 1,0 1,5 1,5 1,5 1,0 1,0 1,5 1,0 1,0 1,5 1,0 1,0 1,5 1,0 1,0 1,5 1,0 0,7 1,1 0,8 1,2 0,6 1,0 0,8 1,3 0,9 0,5 1,4 0,85 0,65 1,35 0,75 0,55 1,15 0,95 0,45 1,25 0,45 0,9 0,95 0,9 0,9 0,95 0,9 0,95 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,9 0,95 0,9 0,9 0,95 0,9 Методика обработки прямых многократных равноточных измерений 1. Определяется среднее арифметическое значение результатов измерений: a= 1 n ∑a , n i =1 i (2.1) где n – число проведенных измерений. За истинное значение принимается среднее арифметическое значение a. 2. Определяется среднее квадратическое отклонение результата отдельного измерения: n ∑ (a i − a ) 2 σ = i =1 n −1 . (2.2) 3. Нахождение результатов измерений, содержащих грубую погрешность. Для этого определяется вероятность того, что наибольший a max или наименьший a min из результатов измерений является результатом, содержащим грубую погрешность. 1) Вычисляется мера отклонения наибольшего и наименьшего из результатов измерений от среднего арифметического значения: a −a a −a или τ min = min ; (2.3) τ max = max σ σ 2) По таблице П.1 приложения определяется значение граничной меры τ(P, n), соответствующей числу проделанных измерений n и уровню доверительной вероятности P. Если τ max > τ(P, n) или τ min > τ(P,n), то результат a max или a min исключают и рассчитывают a и σ без него, иначе переходят к следующему пункту. 4. Определяется среднее квадратическое отклонение среднего арифметического: σ . (2.4) σa = n 5. Доверительные границы случайной погрешности результата измерений (если число измерений n< 20) определяются по формуле: ε ( P ) = t ( P , n) ⋅ σ a , (2.5) где t (P, n) – коэффициент распределения Стьюдента, который зависит от заданной доверительной вероятности P и числа измерений n (см. табл. П.2 приложения). Обычно P лежит в пределах 0,9–0,99. 6. Определяются доверительные границы систематической погрешности результата измерений: неисключенной m ∆( P ) = k ( P ) ⋅ ∑ ∆2l , (2.6) l =1 где m – число составляющих неисключенной систематической погрешности результата измерения; Δ l – значение l-ой составляющей неисключенной систематической погрешности; k(P) – коэффициент, зависящий от доверительной вероятности P и числа составляющих неисключенной систематической погрешности m. При измерениях присутствует только одна составляющая неисключенной систематической погрешности – предел допускаемой основной погрешности δa. Так как эта погрешность дана в процентах, то необходимо вычислить абсолютную погрешность: ∆a = (δa ⋅ a ) / 100 . (2.7) Примечание. При обработке погрешность: результатов измерений мощности абсолютная 5 ⋅ a + 5 ⋅10 −3 = ∆a = [Вт]. (2.8) 100 100 Коэффициент k(P) очень слабо зависит от числа слагаемых при 0,9≤P≤0,99, поэтому рекомендуется использовать усредненные значения, приведенные в табл. П.3 приложения, т.е. учитывающие зависимость k только от P. При этом доверительные границы будут определяться по формуле ∆(P ) = k ( P ) ⋅ ∆a . δa ⋅ a 7. Доверительные границы погрешности результата измерения θ(P) ∆( P ) =r: зависят от отношения σa а) если r < 0,8, то систематической погрешностью пренебрегают и принимают θ(P) = ε (P); б) если r > 8, то случайной погрешностью пренебрегают и принимают θ(P) = Δ(P); в) если 0,8 ≤ r ≤ 8, то θ ( P ) = 0,8 ⋅ [∆( P ) + ε ( P )] . 8. Окончательный результат измерения записывается в виде: a изм = a ± θ ( P ); P ; n . (2.10) Приложение Значения коэффициента τ(P, n) Доверительная вероятность P 0,90 0,95 0,99 1,65 1,69 1,72 1,79 1,87 1,96 1,89 2,00 2,13 1,97 2,09 2,27 2,04 2,17 2,37 2,10 2,24 2,46 2,15 2,29 2,54 n 4 5 6 7 8 9 10 Значения коэффициента Стьюдента t(P,n) Доверительная вероятность α n 0,90 0,95 0,99 4 2,35 3,18 5,84 5 2,13 2,78 4,60 6 2,02 2,57 4,03 7 1,94 2,45 3,71 8 1,90 2,36 3,50 9 1,86 2,31 3,36 10 1,83 2,26 3,25 α k(P) Значения коэффициента k(P) 0,90 0,95 0,95 1,10 Таблица П.1 Таблица П.2 Таблица П.3 0,99 1,40 Задание: «Обработка результатов прямых многократных равноточных измерений» Проведите статистическую обработку результатов измерений мощности излучения He-Ne лазера при доверительной вероятности P. Результаты измерений Р i , мВт Номер n Р варианта 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 6,2 6,5 6,2 6,4 6,3 6,7 6,4 6,2 – – 8 0,9 2 6,8 6,7 6,7 6,8 6,4 6,5 6,7 6,5 6,6 – 9 0,95 3 5,7 5,9 5,6 5,4 5,6 5,8 5,6 5,4 5,8 5,3 10 0,99 4 1,3 1,2 1,5 1,4 1,4 1,6 1,5 1,7 1,8 – 9 0,9 5 1,8 1,7 1,5 1,9 1,4 1,6 1,7 1,7 1,4 1,6 10 0,95 6 0,7 0,8 0,7 0,8 0,6 0,9 1,0 0,9 – – 8 0,99 7 5,1 5,2 5,1 4,9 4,8 4,8 5,1 5,3 5,4 5,5 10 0,9 8 0,8 0,9 0,7 0,6 0,7 0,7 0,6 0,8 0,9 – 9 0,95 9 1,8 1,7 1,8 1,6 1,4 1,9 1,5 1,5 – – 8 0,99 10 2,5 2,4 2,5 2,6 2,5 2,7 2,5 2,8 – – 8 0,95 11 3,1 3,1 3,0 3,2 3,0 3,3 2,9 3,1 3,2 – 9 0,99 12 5,3 5,4 5,3 5,6 5,1 5,2 5,3 5,4 5,7 5,6 10 0,9 13 2,2 2,1 1,9 1,8 1,7 1,9 2,1 2,2 – – 8 0,9 14 0,7 0,5 0,6 0,7 0,5 0,8 0,6 0,6 0,7 – 9 0,95 15 0,8 0,8 1,0 1,1 1,4 1,3 1,1 0,9 1,2 1,2 10 0,99 16 6,1 6,4 6,1 6,3 6,2 6,5 6,3 6,1 – – 8 0,9 17 7,0 6,9 6,9 7,0 6,6 6,7 6,9 6,7 6,8 – 9 0,95 18 5,5 5,7 5,4 5,2 5,4 5,6 5,4 5,2 5,6 5,1 10 0,99 19 4,7 4,9 4,6 4,4 4,6 4,8 4,6 4,4 4,8 4,3 10 0,99 20 1,8 1,7 2,0 1,9 1,9 2,1 2,0 2,2 2,3 – 9 0,9 21 0,6 0,6 0,6 0,9 1,2 1,1 0,9 0,7 1,0 1,0 10 0,99 22 4,3 4,5 4,2 4,4 4,3 4,5 4,4 4,1 – – 8 0,9 23 1,8 1,7 1,7 1,8 1,4 1,5 1,7 1,5 1,6 – 9 0,95 24 3,7 3,9 3,6 3,4 3,6 3,8 3,6 3,4 3,8 3,5 10 0,99 25 0,3 0,2 0,5 0,4 0,4 0,6 0,5 0,7 0,8 – 9 0,9 26 0,8 0,7 0,5 0,9 0,4 0,6 0,7 0,7 0,4 0,6 10 0,95 27 3,7 3,8 3,7 3,8 3,6 3,9 3,3 3,9 – – 8 0,99 28 4,1 4,2 4,1 4,4 4,5 4,6 4,1 4,3 4,4 4,4 10 0,9 29 2,8 2,9 2,7 2,6 2,7 2,7 2,6 2,8 2,9 – 9 0,95 30 7,8 7,7 7,8 7,6 7,4 7,9 7,5 7,5 – – 8 0,99 31 6,5 6,4 6,5 6,6 6,5 6,7 6,5 6,3 – – 8 0,95 32 5,3 5,5 5,2 5,4 5,3 5,7 5,4 5,2 – – 8 0,9 33 4,8 4,7 4,7 4,8 4,4 4,5 4,7 4,5 4,4 – 9 0,95 34 1,7 1,9 1,6 1,4 1,6 1,8 1,6 1,4 1,8 1,3 10 0,99 35 0,3 0,2 0,5 0,4 0,4 0,6 0,5 0,7 0,8 – 9 0,9 36 7,8 7,7 7,5 7,9 7,4 7,6 7,7 7,7 7,4 7,6 10 0,95 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 2,7 3,1 6,8 5,8 3,5 4,1 4,3 3,3 5,7 1,8 3,1 5,0 4,4 3,7 3,8 2,6 4,5 1,8 5,7 5,3 2,8 4,7 6,1 1,8 8,8 5,5 7,2 4,8 7,7 4,3 2,8 3,7 7,1 2,8 3,8 4,5 4,1 3,3 3,3 1,7 2,8 2,1 2,8 3,2 6,9 5,7 3,4 4,1 4,4 3,1 5,5 1,8 3,4 4,9 4,7 3,9 3,7 2,6 4,5 1,3 5,9 5,2 2,7 4,8 6,2 1,9 8,8 5,4 7,5 4,7 7,9 4,2 2,7 3,8 7,2 2,9 3,7 4,4 4,1 3,4 3,1 1,5 2,8 2,4 2,7 3,1 6,7 5,8 3,5 4,0 4,3 2,9 5,6 2,0 3,1 4,9 4,4 3,6 3,0 2,6 4,2 1,3 5,6 5,5 2,5 4,7 6,1 1,7 8,8 5,7 7,2 4,7 7,6 4,5 2,5 3,7 7,1 2,7 3,8 4,5 4,0 3,3 2,9 1,6 2,2 2,1 2,8 2,9 6,6 5,6 3,6 4,2 4,6 2,8 5,7 2,2 3,3 5,0 4,2 3,3 3,9 2,9 4,4 1,8 5,4 5,4 2,9 4,8 6,6 1,6 8,6 5,5 7,4 4,8 7,4 4,4 2,9 3,8 6,9 2,6 3,6 4,6 4,2 3,6 2,8 1,7 2,1 2,3 2,6 2,8 6,7 5,4 3,5 4,0 4,1 2,7 5,5 2,4 3,2 4,6 4,4 3,6 3,9 3,2 4,5 1,4 5,6 5,4 2,4 4,6 6,5 1,7 8,4 5,3 7,3 4,4 7,6 4,4 2,4 3,6 6,8 2,7 3,4 4,5 4,0 3,1 2,7 1,5 2,4 2,2 2,9 2,8 6,7 5,9 3,7 4,4 4,2 2,9 5,8 2,3 3,5 4,5 4,6 3,8 3,3 3,1 4,5 1,5 5,8 5,6 2,6 4,9 6,6 1,7 8,9 5,7 7,7 4,5 7,8 4,6 2,6 3,9 6,8 2,7 3,9 4,7 4,4 3,2 2,9 1,8 2,3 2,5 2,2 2,1 6,6 5,5 3,5 3,9 4,3 3,1 5,6 2,2 3,3 4,9 4,4 3,6 3,0 2,9 4,4 1,3 5,6 5,5 2,7 4,4 6,1 1,6 8,5 5,5 7,4 4,7 7,6 4,5 2,7 2,3 7,1 2,6 3,5 4,5 3,9 3,3 3,1 1,6 2,1 2,3 2,9 3,3 6,8 5,5 3,8 4,1 4,4 3,3 5,6 1,9 3,1 4,5 4,2 3,3 3,2 2,7 4,1 1,5 5,4 5,7 2,7 4,9 6,3 1,8 8,5 5,2 7,2 4,5 7,4 4,7 2,7 3,9 7,3 2,8 3,5 4,8 4,1 3,4 3,3 1,6 2,9 2,1 – 3,4 6,9 – – 4,2 4,7 – 5,7 2,2 – 4,8 4,6 3,8 3,3 3,2 – 1,6 5,8 5,8 2,4 – 6,6 1,9 – – – 4,4 7,8 4,8 2,4 – 7,4 2,9 – – 4,2 3,7 – 1,7 2,2 – – 3,3 – – – – 4,6 – – 2,2 – – 4,1 3,3 – 3,2 – – 5,5 – 2,6 – 6,6 – – – – – 7,3 – 2,6 – 7,7 – – – – 3,6 – – 2,2 – 8 10 9 8 8 9 10 8 9 10 8 9 10 10 9 10 8 9 10 9 10 8 10 9 8 8 8 9 10 9 10 8 10 9 8 8 9 10 8 9 10 8 0,99 0,9 0,95 0,99 0,95 0,99 0,9 0,9 0,95 0,99 0,9 0,95 0,99 0,99 0,9 0,99 0,9 0,95 0,99 0,9 0,95 0,99 0,9 0,95 0,99 0,95 0,9 0,95 0,99 0,9 0,95 0,99 0,9 0,95 0,99 0,95 0,99 0,9 0,9 0,95 0,99 0,9 Обработка результатов прямых многократных неравноточных измерений Признаком неравноточности отдельных рядов многократных измерений одной и той же физической величины является значимое отличие их дисперсий. Для обработки, целью которой является установление достоверного значения измеряемой величины и ее дисперсии, необходимо располагать следующими исходными данными: 1) предполагается, что результаты измерений в каждом ряду подчиняются закону нормального распределения; 2) a1 , a2 , , am – средние арифметические m рядов измерений; 3) σ 1 , σ 2 , , σ m – СКО результатов измерений в отдельных рядах; 4) n1 , n2 , , nm – число измерений в каждом ряду. Порядок обработки: 1. Найти весовые коэффициенты для каждого ряда измерений: βj = nj 1 σj σ a2 j = 2 , j = 1, m . (1) Весовые коэффициенты характеризуют степень доверия к среднему арифметическому соответствующего ряда. Степень доверия к результатам измерений тем выше, чем меньше дисперсия, т.е. рассеиваемость результатов в данном ряду. 2. Найти оценку среднего значения для m рядов измерений. За искомую оценку, согласно методу максимального правдоподобия, принимается среднее взвешенное значение: 1 ∑ a0 = 2 j σaj ∑ ∑ β ja j aj 1 2 j σaj 3. Определить взвешенного: = j = ∑βj β1a1 + β 2 a2 + + β m am . β1 + β 2 + + β m (2) j среднее квадратическое σ a0 = 1 отклонение среднего j = 1, m . (3) A = a0 ± t pσ a0 ; P . (4) ∑βj , j 4. Записать окончательный результат Задание: «Обработка результатов неравноточных измерений» прямых многократных Проведите статистическую обработку результатов прямых многократных неравноточных измерений при доверительной вероятности P. Номер варианта 1 2 3 4 5 6 7 1 6,2 6,8 6,7 1,4 1,8 1,7 5,1 4,8 4,8 2,5 3,1 3,3 2,2 2,7 2,8 6,1 7,0 6,5 4,7 4,8 4,6 2 6,5 6,7 6,9 1,2 1,7 1,8 5,2 4,9 4,7 2,4 3,1 3,4 2,3 2,5 2,8 6,4 6,9 6,7 4,9 4,7 4,8 3 6,2 6,7 6,6 1,5 1,5 1,7 5,1 4,7 4,8 2,5 3,0 3,3 2,6 2,6 2,0 6,1 6,9 6,4 4,6 5,0 5,1 Результаты измерений 4 5 6 7 6,4 6,3 6,7 6,4 6,8 6,4 6,5 6,7 6,4 6,6 6,8 6,6 1,4 1,4 1,6 1,5 1,9 1,4 1,6 1,7 1,8 1,6 1,9 1,6 4,9 4,8 4,8 5,1 4,6 4,7 4,7 4,6 4,6 4,4 4,9 4,5 2,6 2,5 2,7 2,5 3,2 3,0 3,3 2,9 3,6 3,1 3,2 3,3 2,8 2,7 2,4 2,1 2,7 2,5 2,8 2,6 2,1 2,4 2,3 2,1 6,3 6,2 6,5 6,3 7,0 6,6 6,7 6,9 6,2 6,4 6,6 6,4 4,5 4,6 4,8 4,6 4,9 4,9 5,1 4,0 4,9 4,9 5,2 5,0 8 6,2 6,5 6,4 1,7 1,7 1,9 5,3 4,8 4,5 2,8 3,1 3,4 2,2 2,6 2,9 6,1 6,7 6,2 4,6 4,2 5,2 9 – 6,6 6,8 1,8 1,4 – 5,4 4,9 – – 3,2 3,7 – 2,7 2,2 – 6,8 6,6 4,8 4,3 10 – – 6,3 – 1,6 – 5,5 – – – – 3,6 – – 2,2 – – 6,1 4,4 – n 8 9 10 9 10 8 10 9 8 8 9 10 8 9 10 8 9 10 10 9 8 P 0,9 0,95 0,99 0,9 0,95 0,99 0,9
