Обработка сигналов. Экзамен

КОЛЛОКВИУМ №1. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ
1. Определение понятий величина, сигнал, измерение, измерительное
преобразование, информация.
Величина – свойство, общее в качественном отношении множеству объектов и
индивидуальное в количественном отношении у каждого из них.
Сигнал – материальный носитель информации, который может быть двух видов: в
виде физического процесса (информация заключена в размере информативного параметра;
кодовый сигнал или дискретный (информация в числе элементов, их расположении во
времени и пространстве).
Измерение – нахождение значения величины опытным путем с помощью
специальных технических средств (средств измерения).
Измерительное преобразование – операция преобразования входного сигнала в
выходной сигнал, обладающий такими характеристиками, при которых возможно
последующее измерение его информативного параметра, функционально связанного с
информативным параметром входного сигнала.
Информация – свойство материи, отличное от ее вещественных и энергетических
свойств, являющееся содержательной характеристикой отражения. Являясь свойством
материи, информация может рассматриваться как величина.
2. Классификация сигналов.
Различают четыре формы сигналов:
• Непрерывные по времени и по размеру параметра х(t).
• Непрерывные по времени и квантованные по размеру параметра х кв(t).
• Дискретные по времени и непрерывные по размеру параметра х д(t).
• Дискретные по времени и квантованные по размеру параметра х д.кв(t).
3. Виды детерминированных сигналов и их основные параметры.
Детерминированные сигналы подразделяют на элементарные и сложные. К
элементарным сигналам относят постоянный сигнал, идеальный единичный импульс,
синусоидальный сигнал.
Постоянный сигнал: х(t) = x0 = const, при t > t0.
Идеальный единичный импульс: описывается дельта-функцией, которая имеет
следующие свойства
где 1(t-t0) – единичная функция.
При использовании идеального интегратора или дифференциатора возможно
взаимное преобразование сигналов.
Интеграл произведения δ-функции и сигнала х(t) равен значению х(t0):
Поэтому говорят, что δ-функция обладает фильтрующим или стробирующим
свойством. Данное свойство используется для представления дискретного во времени
сигнала с периодом дискретизации Tд.
Синусоидальный (гармонический) сигнал:
где Хm – амплитуда, φ – фаза, ω0 – частота, Т – период (ω0 = 2π/Т).
Полигармонический сигнал представляет собой периодический сигнал в общем виде
представленный как:
где k – целое число, Т – период повторения сигнала.
Полигармонический сигнал может быть представлен дискретным рядом Фурье
(дискретным спектром):
Выделяют прямоугольный импульс, треугольный (симметричный), трапецеидальный
импульс (симметричный), треугольный импульс (пилообразный), полусинусоида.
В качествен информативных параметров сигналов выделяют максимальное значение,
среднее значение (постоянная составляющая), средневыпрямленное значение,
действующее значение (СКЗ – среднеквадратическое значение), коэффициенты амплитуды
и формы.
4. Определение дискретных, квантованных и непрерывных сигналов.
Перечислить устройства квантования и дискретизации.
Дискретным сигналом называют сигналы или функции, существующие при
дискретных, как правило, равноотстоящих значениях своего аргумента. Мгновенные
значения дискретного сигнала называют его отсчетами или выборками.
Квантованный сигнал – это сигнал, который разбит на диапазоны отсчетных значений
сигнала на конечное число уровней и округление этих значений до одного из двух
ближайших к ним уровней.
Непрерывный сигнал – это сигнал с постоянной амплитудой, частотой и, в
математическом анализе, с бесконечной продолжительностью.
Аналого-цифровое преобразование включает дискретизацию сигнала по времени,
квантование по уровню и цифровое кодирование:
В результате образуются дискретный сигнал х(n*Тд), соответствующий выборкам
аналогового сигнала х(t) в дискретные равноотстоящие моменты времени n*Тд (Тд = 1/fд –
период дискретизации сигнала), дискретный квантованный сигнал xкв(n*Тд),
отличающийся конечным множеством принимаемых им значений, и цифровой сигнал в
виде последовательности цифровых двоичных кодов с числом разрядов, соответствующим
АЦП.
С помощью ЦАП цифровой сигнал преобразовывается в квантованный по уровню
аналоговый сигнал y(t) ступенчатой формы.
5. Определение среднего, среднеквадратического,
значений, коэффициентов амплитуды и формы сигнала.
средневыпрямленного
6. Определение «спектра сигнала» и примеры спектров простейших
детерминированных сигналов.
Спектр сигнала – совокупность простых гармонических составляющих, на которые
можно разложить сигнал. Спектр сигнала выражает его частотный (спектральный) состав,
т.е. распределение по частоте амплитуды и фазы гармоник. Спектр вводится для
полигармонических сигналов, которые могут быть представлены дискретным рядом Фурье
(дискретным спектром):
Выделяют прямоугольный импульс, треугольный (симметричный), трапецеидальный
импульс (симметричный), треугольный импульс (пилообразный), полусинусоида.
Спектр прямоугольного сигнала имеет два важных свойства:
• В спектре отсутствуют гармоники с номерами кратными скважности Q = T/τ
(на рисунке выше Q = 4, т.е. отсутствуют номера 4, 8 и т.д.).
• Ширина лепестков спектра обратно пропорциональна длительности
импульса (чем короче сигнал, тем шире его спектр).
7. Непериодические сигналы и их спектр.
Непериодические сигналы также называются переходными, их нельзя представить
суммой гармоник, т.е. в виде дискретного спектра. Но такие сигналы можно представить в
виде непрерывного спектра, получаемого преобразованием Фурье:
8. Для каких видов непрерывных сигналов используется преобразование Фурье
и ряд Фурье.
Преобразование Фурье используется для непериодических сигналов:
Ряд Фурье используется для периодических сигналов:
9. Определение импульсной характеристики системы, её связь с частотной
характеристикой. Дать определение частотной характеристики.
Импульсная характеристика системы h(t) представляет собой выходной сигнал
динамической системы как реакция на входной сигнал в виде дельта-импульса. Условия
физически реализуемой и устойчивой системы:
Реакция системы на единичное ступенчатое воздействие называется переходной
характеристикой h1(t). Переходная характеристика связана с импульсной характеристикой
зависимостью:
Частотная характеристика является количественной мерой величины и фазы
выходного сигнала в зависимости от входной частоты. Также частотной характеристикой
называют зависимость, которая связывает амплитуду и фазу выходного сигнала с частотой
входного сигнала.
Частотная характеристика связана c импульсной преобразованием Фурье, так как
частотная характеристика строится в частотной области:
10. Структуры сложных измерительных преобразователей, их частотные
характеристики.
https://online.mephi.ru/courses/new_technologies/techniques%20and%20methods%20of%
20physical%20measurements%20and%20calculations/download/Lec_2.pdf
11. Теорема Котельникова и её ограничения.
Если функция х(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (т. е. ограничена, кусочнонепрерывна и имеет ограниченное число экстремумов) и обладающая спектром с граничной
частотой fс, дискретизирована циклически с периодом 𝑇д ≤
1
2∙𝑓𝑐
, то она может быть
восстановлена по этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности.
При восстановлении используется ряд Котельникова:
т. е. непрерывный сигнал х(t) может быть представлен суммой произведений
мгновенных значений сигнала х(k Tд), взятых с интервалом Tд, на некоторую функцию
времени, называемую функцией отсчетов,
Рисунок. График функции отсчетов
Функция отсчетов обладает следующими свойствами:
• в моменты времени t = k Tд достигает максимума, равного 1;
• в моменты времени t = (k + n) Tд, где n – любое целое число, равна нулю;
• ортогональна на бесконечном интервале времени.
Функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних
частот на входное воздействие в виде единичной импульсной функции. Следовательно,
если дискретизированный с шагом Тд сигнал хдискр(t) подать на вход идеального фильтра с
верхней границей пропускания fс, то на выходе получится восстановленный без
погрешностей непрерывный сигнал x(t).
При использовании теоремы Котельникова возникает два затруднения.
1. Теорема Котельникова предназначена для сигналов с ограниченным частотным
спектром, а реальные сигналы x(t) всегда ограничены во времени и поэтому имеют
бесконечный частотный спектр. Однако с достаточной для практики точностью можно
ограничить спектр частотой fс (считая, что при f > fс спектр близок к нулю) и пренебречь,
таким образом, влиянием высших гармоник. При этом возникают погрешности в результате
отбрасывания высокочастотной части спектра.
2. Дискретизированный по Котельникову реальный сигнал при пропускании его на
приемном конце устройства через фильтры нижних частот восстанавливается
приближенно, так как реальные фильтры не могут точно воспроизвести функцию отсчетов,
обладающую бесконечной протяженностью во времени и для отрицательных значений t.
Однако с помощью фильтра с переменными параметрами возможно генерирование
сигналов, точно воспроизводящих функции отсчетов.
12. Математическое описание цифровых последовательностей, импульсная
характеристика системы, условие устойчивости по импульсной характеристике.
Числовые (дискретные) последовательности – сигналы, представленные функцией
номера выборки n:
в общем случае не связанной со временем.
Импульсная характеристика аналоговой системы:
Условие устойчивости для аналоговой системы:
Условие устойчивости для дискретной (цифровой системы):
13. Разностные уравнения систем, реализация цифрового фильтра на основе
простейших элементов.
Устройство, реализующее разностное уравнение (т.е. выполняющее обработку
сигнала в соответствии с разностным уравнением) называется дискретным или цифровым
фильтром.
НРЦФ реализуют алгоритм цифровой фильтрации на основе ДВС, РЦФ – алгоритм на
основе разностного уравнения в его общей форме.
14. Связь между спектром непрерывного и дискретизированного сигнала,
явление наложения спектров.
Наложение спектров:
15. Как вычисляются прямое и обратное Z-преобразования для цифровых
систем?
Z-преобразование может быть односторонним для последовательностей x(n) = 0 при
n < 0 или двусторонним, если x(n) ≠ 0 при n < 0 (пределы суммирования берутся от -∞ до
+∞).
Одностороннее:
Двустороннее:
Обратное преобразование имеет вид:
С – контур, обхватывающий область сходимости X(z).
Интегрирование ведется вдоль окружности радиуса r, при этом все полюсы F(z)zn-1
располагаются внутри окружности.
16. Применение Z-преобразования
Структурные схемы цифровых фильтров.
при
описании
Передаточная функция рекурсивного фильтра:
цифровых
систем.
Частотная характеристика рекурсивного фильтра:
Формы реализации рекурсивных фильтров:
• Прямая форма 1;
• Прямая форма 2 (каноническая);
• Дуальная (обращенная каноническая).
При соединении блоков возможны следующие структуры:
• Каскадная;
• Параллельная;
• С обратной связью.
Передаточная функция и частотная характеристика нерекурсивного фильтра:
17. Что такое ДВС (дискретная временная свёртка)? Возможна ли практическая
реализация рекурсивных фильтров на основе ДВС?
ДВС (дискретная временная свертка) – аналог интеграла свертки в дискретных
системах. Ее выражение получают с помощью замен: t → n·Tд, τ → m·Tд, dτ → 1, ∫ → ∑, т.е.
дискретизацией:
Невозможно использовать ДВС при реализации РЦФ в качестве алгоритма обработки,
вследствие бесконечности их импульсной характеристики и требуемого в связи с этим
бесконечного большого объема вычислений.
18. Как определяется импульсная характеристика цифрового фильтра, какие
цифровые фильтры называют фильтрами БИХ и КИХ?
Импульсная характеристика дискретной системы обозначается как h(m) или h(n).
Определяется как отклик дискретной системы на сигнал типа единичный импульс u0(m) =
1, m = 0 и u0(m) = 0 при m > 0: h(m) = Ф(u0(m)).
Возможны два вида импульсных характеристик ЦФ: бесконечной и конечной
длительности.
БИХ-фильтры – фильтры, имеющие бесконечную импульсную характеристику.
Рекурсивные фильтры также называют БИХ-фильтрами из-за бесконечной импульсной
характеристики. По импульсной характеристике можно судить об устойчивости РЦФ.
Устойчивому РЦФ отвечает затухающая со временем импульсная характеристика:
Нерекурсивные фильтры относятся к классу КИХ-фильтров, то есть фильтров с
конечной импульсной характеристикой.
19. В соответствии с каким алгоритмом осуществляется обработка сигнала
рекурсивным цифровым фильтром?
Рекурсивный фильтр (РФ) реализует алгоритм обработки, определяемый разностным
уравнением (2.4). Выполним Z-преобразование левых и правых частей (2.2), учитывая
свойства линейности и задержки Zпреобразования (2.11), (2.12):
Переходя к отношению Y(z)/X(z), получим общее выражение для передаточной
функции рекурсивного фильтра:
Оно представляет отношение двух полиномов порядка N и M (M ≥ N) по степеням
комплексной переменной z–1 . Его можно рассматривать и как произведение двух
передаточных функций: Hн(z) = B(z–1 ) – нерекурсивной части и Hр(z) = 1/A(z –1 ) −
рекурсивной части фильтра, т.е. H(z) = Hн(z)Hр(z). Выражение передаточной функции (3.1)
относительно переменной z –1 , которая, как показано выше, отражает задержку на один
период дискретизации, удобно тем, что по нему можно формально составить разностное
уравнение системы, определяющее ее алгоритм обработки. Например, передаточной
функции H(z) = b0/(1 + a1z -1 + a2z -2 ) отвечает разностное уравнение y(n) = b0x(n) − a1y(n
− 1) − a2y(n − 2).
При анализе цифровых фильтров передаточную функцию (3.1) выражают также в
виде отношения полиномов B(z) и A(z) по положительным степеням переменной z. Для
этого достаточно числитель и знаменатель (3.1) умножить на z M:
20. Взаимосвязь между импульсной характеристикой и коэффициентами
нерекурсивных цифровых фильтров?
Нерекурсивному фильтру, основанному на прямом вычислении ДВС:
соответствует структурная схема рис. 2,23. Его коэффициентами являются значения
импульсной характеристики h(0), h(1), …, h(N – 1) конечной длины N. Ею определяется
порядок фильтра N – 1, называемый также длиной фильтра. Фильтр содержит N – 1 ячейку
сигнальной памяти z –1 для предыдущих отсчетов входного сигнала x(n – 1), x(n – 2),…, x(n
– N +1), N умножителей и сумматор на N входов.
Обработке должно предшествовать обнуление сигнальной памяти:
x(–1) = x(–2) = … = x(–N + 1) = 0
После обработки очередного отсчета осуществляется сдвиг всех ячеек сигнальной
памяти, при этом последний отсчет, ненужный для последующей обработки, выталкивается
из памяти. Это обеспечивается наиболее просто при использовании памяти на основе
сдвиговых регистров. При программной реализации более удобен сдвиг замещением
соседней ячейки памяти после каждой операции умножения–сложения. Требуемый объем
вычислений при программной реализации составляет (N − 1) операций сложения и N
операций умножения на каждый отсчет выходного сигнала.
Передаточная функция Н(z) и частотная характеристика Н(jω) НФ определяются Zпреобразованием и преобразованием Фурье его импульсной характеристики:
21. Как определяется Z-преобразование дискретных последовательностей,
каковы его основные свойства и какую роль оно играет в теории цифровых
фильтров?
22. Как определяется передаточная функция рекурсивного фильтра по его
разностному уравнению?
23. Какой вид имеет нуль-полюсная форма передаточной
рекурсивного фильтра и каково её практическое значение?
функции
24. Как отображаются нули и полюсы цифрового фильтра на комплексной Zплоскости и какую информацию о фильтре можно получить по картине его нулей и
полюсов?
25. Какова структура и математическое описание прямой и канонической форм
реализации рекурсивных звеньев второго порядка?
26. Какова структура и математическое описание нерекурсивного фильтра на
основе ДВС?
Нерекурсивному фильтру, основанному на прямом вычислении ДВС, соответствует
структурная схема (рис. 2.23). Для аппаратной реализации НРЦФ необходимы (N − 1)
элемент памяти, N умножителей и сумматор на N входов.
y(n)=y(n)+h(m)x(n-m) или Y=Y+H(k)X(I), где H(k)h(m), X(I)x(n-m).
27. Какой объем вычислительных операций выполняется в рекурсивном и
нерекурсивном фильтрах при обработке одного отсчёта сигнала?
В рекуривном фильтре, выполненому по структуре прямой формы требуется:
В нерекуривном фильтре, выполненому по структуре прямой формы требуется:
КОЛЛОКВИУМ №1. ЗАДАЧИ
1. Входной сигнал цифровой системы x(n)={1, 1, 1, 2}. Выходной сигнал при этом
равен y(n)={0, 1, 2, 1}. Определить передаточную функцию системы.
2. Цифровая
система
описывается
разностным
уравнением
y(n) = a  y(n − 2) + b  x(n − 2) . Определить передаточную функцию системы.
3. Вычислить импульсную характеристику системы, описываемой разностным
уравнением y(n) = a  y(n − 1) + b  x(n − 2) .
4. Передаточная функция цифровой системы H(z) = b 0 + b1  z
импульсную характеристику системы.
Старая версия:
Новая версия:
−1
+ b 2  z − 3 . Найти
1
5. Передаточная функция цифровой системы
устойчивость системы.
2
H(z)  1 4 z 1  6 z 2
1 6 z
 4 z
. Определить
−1
−2
H(z) = 1+ 0.1 z −1 + 0.2−z2
1+ 3 z + 4  z
6. Передаточная
функция
цифровой
системы
Определить тип импульсной характеристики фильтра (БИХ или КИХ).
.
7. Цифровая
система
описывается
разностным
уравнением
y(n) = a  y(n − 1) + b  x(n − 1) . Входной сигнал представляет последовательность x(n)={1,
2, 1}. Определить выходной сигнал системы.
8. Цифровой сигнал имеет Z-образ
виде последовательности x(n).
X(z) =
1+ 2 z −1
1+ 0.5 z −1 + 0.1 z −2 . Записать сигнал в
9. Цифровая система описывается разностным уравнением
Входная последовательность имеет вид x(n) = a
сигнала.
n −2
y(n) = x(n − 1) .
. Определить Z-образ выходного
10. Передаточная функция цифровой системы
устойчивость системы.
H(z) =
1+ 0.2 z −2
1+ 4 z −1 + 8 z −2 . Определить
11.Представить
в канонической
передаточная функция которого
H(z) =
форме структуру цифрового фильтра,
1+ 0.5 z −2
1+ 2 z −1 + 5 z −2 .
12. Представить в прямой форме структуру цифрового фильтра, передаточная
функция которого H(z) = 1 + 0.1  z
−1
+ 0.5  z − 2 .
13. Цифровой сигнал имеет Z-образ
последовательности x(n).
X(z) =
1
1+ 3 z + 2 z −2 . Записать сигнал в виде
−1
X(z) =
1
−2
1− 0.2 z −1 воздействует на цифровой фильтр H(z) = 0.5 + 0.2  z
14. Сигнал
. Определить выходной сигнал Y(z).
КОЛЛОКВИУМ №2. ПЕРЕЧЕНЬ ВОПРОСОВ
1. Классификация фильтров. Основные характеристики фильтров.
В зависимости от характера входного сигнала фильтры делятся на: аналоговые и
цифровые.
В зависимости от наличия в схеме активных компонентов: пассивные фильтры
используют резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности; эти компоненты не
способны обеспечить усиление, и, следовательно, пассивный фильтр может только
сохранять или уменьшать амплитуду входного сигнала. Активный фильтр, напротив,
может фильтровать сигнал и применять усиление, поскольку он включает в себя активный
компонент, такой как транзистор или операционный усилитель.
В зависимости от элементов, составляющих фильтр: LC, RC, RL, ARC-типа (активные
RC-фильтры).
По названию математического выражения, которым аппроксимируется АЧХ фильтра:
фильтры Баттерворта, фильтры Чебышева, Бесселя, Золотарева и др.
По характеру полосы пропускаемых частот: ФНЧ (фильтр нижних частот), ФВЧ
(верхних частот), ФПП (полосовой фильтр), РФ (режекторный), ГПФ (гребенчатый) и РГФ
(режекторный гребенчатый).
1) ФНЧ (фильтр нижних частот) – пропускает сигналы с частотой от 0 до fв (fв = ωв/2π);
2) ФВЧ (фильтр верхних частот) – пропускает сигналы с частотой от fн до ∞;
3) ФПП (полосовой фильтр) – пропускает сигналы с частотой от fн до fв;
4) РФ (режекторный фильтр) – не пропускает сигналы заданной частоты или полосы
частот.
К характеристикам фильтров относятся: передаточная функция, АЧХ, ФЧХ, частота
среза, полоса пропускания (подавления).
Передаточная функция – это отношение изображения по Лапласу выходной величины
изображению по Лапласу входной величины фильтра.
Для установившейся частоты jω и передаточную функцию можно привести к виду:
Модуль передаточной функции называется амплитудно-частотной характеристикой:
Фазо-частотная характеристика может быть представлена в виде:
Диапазон Δω = ω2-ω1 или полосы частот, в которых проходят сигналы, называются
полосами пропускания. В полосе пропускания значение коэффициента передачи фильтра
относительно велико, а в идеальном случае постоянно.
Диапазон частот Δω = ω2-ω1, в которых сигналы подавляются, образуют полосу
задержания. В полосе задержания коэффициент передачи фильтра относительно мал, а в
идеальном случае равен нулю.
Частота среза ωср (fср) – частота, на которой наблюдается спад коэффициента передачи
на -3 дБ по сравнению с коэффициентом передачи на нулевой (для ФНЧ) или бесконечной
(для ФВЧ) частоте.
2. Определение квантования, шага квантования и разрядности данных, виды
квантования.
Квантование – это процесс (процедура) преобразования непрерывной физической
величины в дискретную.
Представляет собой замену величины отсчета сигнала ближайшим значением из
набора фиксированных величин – уровней квантования. Другими словами, квантование –
это округление величины отсчета.
Уровни квантования делят весь диапазон возможного изменения значений сигнала на
конечное число интервалов – шагов квантования. Шаг квантования – величина, равная
интервалу между двумя соседними уровнями квантования.
Точность округления зависит от выбранного количества (2·N) уровней квантования,
которое зависит от количества бит (N), отведенных для записи значения амплитуды. Чем
больше уровней квантования и чем ближе они друг к другу, тем на меньшую величину
приходится округлять измеренные значения амплитуды, и, таким образом, тем меньше
получаемая погрешность квантования. Число N называют разрядностью квантования
(подразумевая количество разрядов, то есть бит, в каждом слове), а полученные в
результате округления значений амплитуды числа – отсчетами.
Виды квантования:
1. Квантование по уровню (амплитуде): в этом случае непрерывная функция,
описывающая первичный сигнал заменяется ее отдельными значениями, отстоящими друг
от друга на некоторый конечный интервал (уровень). Соответственно мгновенное значение
функции заменяется ее ближайшими дискретными значениями и называется уровнем
квантования. Интервал между двумя соседними уровнями называется шагом квантования.
Шаг квантования может быть как постоянным (равномерное квантование) так и
переменным (неравномерное квантование).
2. Квантование по времени (дискретизация): в этом случае непрерывная функция
x(t) заменяется ее отдельными значениями, взятыми в фиксированные моменты времени.
Отсчеты значений первичного сигнала производятся через фиксированные моменты
времени Δt – шаг квантования или шаг дискретизации.
3. Погрешность равномерного квантования при различных законах
распределения погрешности.
Определим значения погрешности от квантования для четырех законов
распределения погрешности р(Δх):
• равномерного симметричного в пределах ±Δxk;
• равномерного несимметричного;
• равномерного симметричного в пределах ±0,5‧Δxk;
• треугольного симметричного закона Симпсона.
Рисунок. К определению погрешности от квантования для четырех законовраспределения
погрешности р(Δ х)
Равномерный симметричный закон (рис., а) распределения в пределах ±Δxk:
Максимальное значение погрешности от квантования:
Приведенная погрешность:
Среднее значение погрешности:
Среднеквадратическое отклонение погрешности по отношению к результату
измерения nx Δxk, т.е. по отношению к точке начала координат:
Равномерный несимметричный закон распределения (рис., б):
Максимальная погрешность:
Приведенная погрешность:
Среднее значение погрешности:
Среднеквадратическое отклонение погрешности по отношению к результату
измерения nx·Δxk, т.е. по отношению к точке начала координат:
Равномерный симметричный закон распределения р(Δx) в пределах ±0,5·Δxk (рис.,
в):
Максимальная суммарная погрешность:
Приведенная погрешность:
Среднее значение погрешности:
Среднеквадратическое отклонение погрешности по отношению к результату
измерения nx·Δxk, т.е. по отношению к точке начала координат:
Треугольный симметричный закон распределения (рис., г), возникает как свертка
двух равномерных несимметричных сигналов с пределами от -Т0 до 0 и от 0 до -Т0.
Максимальная погрешность:
Приведенная погрешность:
Среднее значение погрешности:
Среднеквадратическое отклонение погрешности по отношению к результату
измерения nx·Т0, т.е. по отношению к точке начала координат:
4. Погрешность
квантования
при
измерении
среднего
значения
синусоидального сигнала.
Погрешность от квантования при измерении среднего значения величины при
изменении х(t) по синусоидальному закону:
где N – число шагов квантования.
5. Погрешность квантования при измерении действующего значения
синусоидального сигнала.
Если x(t) изменяется по закону синусоиды, то погрешность от квантования при
измерении среднеквадратичных значений
где N – число шагов квантования.
6. Определение дискретизации и восстановления. Виды дискретизации.
Дискретизация непрерывного во времени сигнала x(t) – линейная операция
умножения функции x(t) на функцию дискретизации во времени Δ*(t):
𝑥дискр (𝑡) = 𝑥(𝑡) ∙ ∆∗ (𝑡).
Функция Δ*(t) является последовательностью единичных импульсов с периодом
повторения Тд, длительностью, равной 0, и площадью, равной 1, т.е. является функцией
Дирака:
∞
∆∗ (𝑡) = ∑ 𝛿(𝑡 − 𝑘 ∙ 𝑇д ).
𝑘=−∞
Рисунок. Дискретизация сигнала по времени: а) непрерывный сигнал; б)
дискретизированный сигнал
Дискретизация может производиться равномерно, т.е. с постоянным шагом
Tд = const, и неравномерно, т.е. с переменным шагом.
Сигналы
бывают
естественно-дискретизированными
и
искусственнодискретизированными.
Для многих последующих операций (управления, при передаче, преобразовании вида
сигнала) необходим непрерывный сигнал. Поэтому дискретизированный сигнал снова
нужно преобразовать в непрерывный и восстановить в нем все его промежуточные
значения.
При «физической» дискретизации сигнала на выходе аналоговых циклических
преобразователей в моменты tk получают физические мгновенные значения
дискретизированного сигнала; такое преобразование называется также амплитудноимпульсным.
При «аналитической» дискретизации на выходе цифровых приборов получают
числовые значения измеряемой величины Nk·Δxk в соответствующие моменты времени.
Целью исследования сигнала является получение непрерывной функции x(t) с
оценкой ее точности. Для этого необходимо физически или аналитически восстановить все
промежуточные значения x(t).
7. Восстановление сигналов: общий подход, теорема Котельникова и её
ограничения.
Целью исследования сигнала является получение непрерывной функции x(t) с
оценкой ее точности. Для этого необходимо физически или аналитически восстановить все
промежуточные значения x(t).
Существуют
два случая
восстановления
непрерывного сигнала из
дискретизированного:
• по физическим дискретизированным во времени мгновенным значениям сигнала;
• по известным числовым значениям дискретизированного сигнала в
соответствующие моменты дискретизации tk.
При восстановлении первичного сигнала из дискретизированного необходимо по
известным мгновенным значениям в известные моменты времени, следующие при
равномерной дискретизации через равные интервалы Тд, определить все промежуточные
значения сигнала аппроксимацией путем интерполяции или экстраполяции. При
интерполяции и экстраполяции необходимо подобрать для данного участка сигнала
восстанавливающую базисную функцию. Восстанавливаемый сигнал обычно выражается
суммой базисных функций:
где Ck(t) – некоторая система базисных функци;
ak – коэффициенты ряда.
Коэффициенты ряда аk и базисные функции могут выбираться по минимуму
среднеквадратической погрешности или по критерию совпадения значений
восстанавливаемого
непрерывного
сигнала
с
мгновенными
значениями
дискретизированного сигнала.
1) Если базисные функции и коэффициенты ряда выбираются по критерию
минимума среднеквадратической погрешности, система базисных функций выбирается
ортонормированной или ортогональной, а коэффициенты ряда определяются, как
коэффициенты соответствующего ряда Фурье:
При этом выполняется критерий:
Координата времени каждой базисной функции изменяется во всем диапазоне
времени реализации сигнала.
Наиболее важным примером восстанавливающей функции является ряд В.А.
Котельникова. В этом ряду базисными являются функции отсчета, а коэффициенты ряда ak
равны соответствующим мгновенным значениям дискретизированного сигнала. Этот
случай восстановления обычно представляет собой описание физического
восстановления сигнала.
2) Если базисные функции и коэффициенты ряда выбираются по критерию
совпадения значений восстанавливаемого непрерывного сигнала с мгновенными
значениями дискретизированного сигнала, их параметры определяются путем решения
системы уравнений:
Для обеспечения простоты реализации в качестве базисных функций выбирают
функции типа «функция окна»:
где Тд – период дискретизации сигнала,
Pm(τ) – полином m-ой степени от τ.
Примером второго подхода к решению этой задачи является аппроксимация
степенными полиномами.
Теорема Котельникова:
Если функция х(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (т. е. ограничена, кусочнонепрерывна и имеет ограниченное число экстремумов) и обладающая спектром с граничной
частотой fс, дискретизирована циклически с периодом 𝑇д ≤
1
2∙𝑓𝑐
, то она может быть
восстановлена по этой совокупности ее мгновенных значений без погрешности.
При восстановлении используется ряд Котельникова:
т. е. непрерывный сигнал х(t) может быть представлен суммой произведений
мгновенных значений сигнала х(k Tд), взятых с интервалом Tд, на некоторую функцию
времени, называемую функцией отсчетов,
Рисунок. График функции отсчетов
Функция отсчетов обладает следующими свойствами:
• в моменты времени t = k Tд достигает максимума, равного 1;
• в моменты времени t = (k + n) Tд, где n – любое целое число, равна нулю;
• ортогональна на бесконечном интервале времени.
Функция отсчетов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних
частот на входное воздействие в виде единичной импульсной функции. Следовательно,
если дискретизированный с шагом Тд сигнал хдискр(t) подать на вход идеального фильтра с
верхней границей пропускания fс, то на выходе получится восстановленный без
погрешностей непрерывный сигнал x(t).
При использовании теоремы Котельникова возникает два затруднения.
1) Теорема Котельникова предназначена для сигналов с ограниченным частотным
спектром, а реальные сигналы x(t) всегда ограничены во времени и поэтому имеют
бесконечный частотный спектр. Однако с достаточной для практики точностью можно
ограничить спектр частотой fс (считая, что при f > fс спектр близок к нулю) и пренебречь,
таким образом, влиянием высших гармоник. При этом возникают погрешности в результате
отбрасывания высокочастотной части спектра.
2) Дискретизированный по Котельникову реальный сигнал при пропускании его на
приемном конце устройства через фильтры нижних частот восстанавливается
приближенно, так как реальные фильтры не могут точно воспроизвести функцию отсчетов,
обладающую бесконечной протяженностью во времени и для отрицательных значений t.
Однако с помощью фильтра с переменными параметрами возможно генерирование
сигналов, точно воспроизводящих функции отсчетов.
8. Сравнение погрешностей ступенчатой, линейной и параболической
аппроксимации.
Для восстановления непрерывного сигнала x(t) необходимо аппроксимировать
(приближенно определить) его промежуточные значения между мгновенными,
измеренными прибором в определенные моменты времени. При аппроксимации x(t) на
каждом участке между ее известными значениями заменяется кривой, изменяющейся по
определенному закону (например, горизонтальной прямой при ступенчатой
аппроксимации, отрезком наклонной прямой при кусочно-линейной и участком параболы
при параболической).
Погрешность дискретизации во времени (мгновенная погрешность от
аппроксимации) Δxап – наибольшая разность между аппроксимированными, т.е.
приближенными, и действительными промежуточными значениями функции x(t).
Погрешность зависит от закона изменения x(t). Если x(t) – линейная функция, то
оптимальный закон аппроксимации является линейным. При усложнении способа
аппроксимации значительно возрастает стоимость и сложность аппаратуры.
Таблица – Сравнение погрешностей
Ступенчатая
Кусочно-линейная
Параболическая
Макс. значение
𝑇д
погрешности от где х' – значение первой
∆𝑥ап = 𝑥𝑚𝑎𝑥 ∙ (cos (𝜔 ∙ ) − 1)
2
аппроксимации
производной сигнала
Приведенная
погрешность
Синусоидальный закон изменения сигнала
2∙𝜋∙𝑓
1 (2 ∙ 𝜋 ∙ 𝑓)2
𝑥𝑚𝑎𝑥 ∙ 𝜔3
𝛾ап =
∙ 100%
𝛾ап = ∙
∙
100%
𝛾
=
∙ 100%
ап
𝑓д
𝑓д2
15,53 ∙ 𝑓д3
8
Для любой другой функции
′′
′′′
1 𝑥𝑚𝑎𝑥
𝑥𝑚𝑎𝑥
𝛾ап = ∙ 2 ∙ 100%,
𝛾ап =
∙ 100%
8 𝑓д
15,53 ∙ 𝑓д3
′′
где 𝑥max
– макс. значение
второй производной.
Если сравнить формулы для 𝛾ап при ступенчатой и кусочно-линейной аппроксимации,
то можно убедиться, что 𝛾ап при ступенчатой аппроксимации должно быть во много раз
больше.
При параболической аппроксимации приведенная погрешность снижается
практически в 1000 раз по сравнению с кусочно-линейной аппроксимацией, при этом
значительно усложняется аппаратура.
9. Дискретное
преобразование
Фурье
(ДПФ)
периодических
последовательностей. Обратное ДПФ. ДПФ конечных последовательностей.
Свойства ДПФ
ДПФ обладает теми же свойствами, что и непрерывное преобразование Фурье
(линейность, сдвиг последовательности), в том числе периодичностью и симметрией.
Наиболее важной для цифровой фильтрации является связь ДПФ и свертки
дискретных последовательностей. Для дискретных последовательностей различают
круговую (периодическую) и линейную свертки.
10. Алгоритм быстрого дискретного преобразования Фурье (БПФ) с
прореживанием по времени.
По основанию 2:
Необходимо найти ДПФ заданной последовательности x(n) конечной длины N, n = 0,
1…, N - 1:
для k = 0, 1, …, N – 1 (номера бинов ДПФ) с минимальным объемом вычислений.
Исходную последовательность x(n)N длиной N разобьем на 2 подпоследовательности
длиной N/2: четную, включающую отсчеты с четными индексами x1(n) = x(2n), и нечетную
x(2n) = x(2n + 1); n = 0, 1, …, (N/2)-1. Это соответствует первому прореживанию сигнала по
времени.
Рисунок. Иллюстрация прореживания сигнала по времени
Обозначим их ДПФ как X1(k)N/2 и X2(k)N/2. Выразим ДПФ
последовательности x(n)N через ДПФ подпоследовательностей x1(k)N/2, x2(k)N/2:
исходной
k = 0, 1, …, (N/2)-1.
Это первые N/2 частотных выборок ДПФ.
Вторую половину частотных выборок X(k) для k = (N/2), …, (N-1) найдем с учетом
свойства периодичности:
Выражения для X(k) и X(k+N/2) определяют базовую операцию БПФ (операцию
объединения):
Базовую операцию представляют графически с помощью сигнального графа
(«бабочки» БПФ).
Рисунок. Сигнальный граф БПФ с прореживанием по времени
Сигнальный граф алгоритма БПФ получается в виде совокупности графов базовых
операций. Для первого этапа прореживания он показан на рисунке для случая N = 8.
Рисунок. Сигнальный граф БПФ для первого этапа прореживания
Дальше каждую из последовательностей x1(n) и x2(n) можно разбить еще на две
подпоследовательности вдвое меньшей длины: x11(n), x12(n) и x21(n), x22(n) (четную и
нечетную) – и повторить вышеприведенные операции объединения их ДПФ с помощью
базовых операций. Такое прореживание выполняем L раз до получения N / 2 двухточечных
последовательностей x1(0), x1(1), ДПФ которых вычисляется тривиально:
В результате получаем полный граф БПФ для N = 8.
Рисунок. Полный граф БПФ для N = 8
11. Взаимное дополнение алгоритмов БПФ с прореживанием по частоте и по
времени при реализации ЦФ.
12. Оценка эффективности уменьшения операций, необходимых для расчёта
ДПФ методами БПФ.
13. Применение ДПФ при спектральном анализе. Определение амплитудного
спектра по ДПФ.
14. Применение ДПФ при фильтрации.
15. Вычисление ОДПФ с помощью алгоритмов ДПФ.
16. Методы проектирования КИХ и БИХ фильтров. Сравнение методов, области
применения.
Из рисунка следует, что переходная полоса частотной характеристики фильтра H( j⋅ω)
определяется шириной главного лепестка частот- ной характеристики весовой функции:
Δωпер ≈Δωгл , а погрешности аппроксимации (пульсации) в полосе пропускания и
задерживания δ1, δ2 связаны с уровнем ее боковых лепестков. Это определяет требования
к весовой функции, которая должна иметь минимальные значения следующих параметров:
• ширины главного лепестка ∆ωгл; • уровня боковых лепестков δбл. max и площади под
боковыми ле- пестками; • длины N.
17. Проектирование КИХ-фильтров методом оконных функций: общий подход.
18. Свойства
характеристика.
прямоугольной
весовой
функции:
АЧХ,
импульсная
19. Характеристики идеальных ЦФ
20. Проектирование КИХ-фильтров методом частотной выборки. От чего
зависит качество аппроксимации АЧХ фильтра по данному методу.
21. Проектирование
аппроксимации.
КИХ-фильтров
численными
методами:
критерии
Численные или оптимальные методы синтеза ЦФ реализуются на ЭВМ с помощью
процедур непосредственной аппроксимации заданных частотных характеристик фильтра в
соответствии с определенными критериями минимизации ошибок аппроксимации. При
этом частотные характеристики фильтра могут иметь произвольную форму. Основными
при аппроксимации БИХ и КИХ фильтров являются критерии минимума среднего
квадрата ошибки (СКО) и наилучшего чебышевского равноволнового приближения
(минимаксный критерий).
Целевая функция алгоритма минимизации СКО определяется выражением:
Эта функция не линейна относительно коэффициентов фильтра.
Минимаксный критерий заключается в минимизации на множестве частот
максимальных значений взвешенного функционала ошибки:
Поиск оптимальных значений коэффициентов фильтра при численной
аппроксимации осуществляется методами: наименьших квадратов, линейного
программирования, нелинейной оптимизации (алгоритм Флэтчера-Пауэлла для БИХфильтров) и многократной замены Ремеза (для фильтров с чебышевской аппроксимацией
КИХ и БИХ –типа).
22. Проектирование БИХ-фильтров методом билинейного преобразования: два
метода синтеза.
Возможны два метода проектирования ЦФ по аналоговому прототипу.
В первом методе расчет аналогового фильтра-прототипа (АФП) начинается с
нахождения соответствующего аналогового фильтра-прототипа низких частот (АФПНЧ). В
дальнейшем используется подходящее частотное преобразование для перевода этого
прототипа низких частот в требуемый АФП. Наконец, на основе процедуры отображения
этот аналоговый фильтр преобразуется на желаемый цифровой БИХ-фильтр, который
удовлетворяет предъявленным требованиям. Полностью эта процедура расчета показана на
рисунке 5.4.а.
Метод билинейного преобразования (из-за нелинейного соотношения между
цифровой частотой ω и аналоговой частотой Ω) дает лучшие результаты только для тех
частотных характеристик аналогового фильтра, которые представляют собой ступенчатообразную функцию. Это означает, что процедура отображения (рисунок 5.4.а) не
обеспечивает хороших методов расчета фильтров верхних частот, заграждающих и
некоторых полосовых фильтров.
Для исключения этих недостатков используется другой подход к расчету цифровых
БИХ-фильтров. Такой способ изображен на рисунке 5.4.б. В этом случае процедура
отображения всегда имеет дело с нормированным цифровым прототипом низких частот.
Следовательно, рассмотренные в предыдущих подразделах три процедуры переходы
смогут обеспечить хорошие результаты. В основном этот подход состоит в нахождении
подходящего нормированного аналогового фильтра-прототипа низких частот. Аналоговый
прототип отображается в цифровой фильтр-прототип низких частот. Аналоговый прототип
отображается в цифровой фильтр-прототип низких частот (ЦФПНЧ). Наконец,
используется цифровое частотное преобразование для перехода от цифрового прототипа
низких частот к окончательному варианту, т.е. цифровому фильтру с подходящими
характеристиками в полосе пропускания и полосе задерживания и удовлетворяющему
предъявленным требованиям.
23. Способы компенсации деформации частот при билинейном преобразовании.
24. Виды аппроксимации АФПНЧ. Критерии выбора фильтра-прототипа.
Запись передаточной функции по полюсам и нулям (общий подход).
25. Аналоговые частотные преобразования при синтезе методом билинейного
преобразования.
26. Принципы построения и функционирования систем ЦОС. Методы
реализации алгоритмов ЦОС. Базовые операции алгоритмов ЦОС.
27. Особенности алгоритмов ЦОС, влияющие на элементную базу.
28. Архитектура ЦПОС. Обобщённая структура ЦПОС.
29. Классификация ЦПОС по архитектуре. Особенности различных видов
ЦПОС.
КОЛЛОКВИУМ №2. ЗАДАЧИ
1. Определить СКО погрешности равномерного квантования сигнала: N – число
двоичных разрядов, Xm – предел измерения.
Находим количество ступеней квантования:
𝑁1 = 2𝑁 .
Вычисляем шаг квантования:
𝑥𝑚 𝑥𝑚
∆𝑥𝑘 =
=
.
𝑁1 2𝑁
Формула для нахождения СКО погрешности при равномерном симметричном
законе распределения погрешности в пределах ±0,5 ∙ ∆𝑥𝑘 :
∆𝑥𝑘
𝜎(∆𝑥 ) =
.
√12
2. Определить СКО погрешности квантования сигнала при равномерном
симметричном законе распределения погрешности: N – число двоичных разрядов, Xm
– предел измерения.
Находим количество ступеней квантования:
𝑁1 = 2𝑁 .
Вычисляем шаг квантования:
𝑥𝑚 𝑥𝑚
∆𝑥𝑘 =
=
.
𝑁1 2𝑁
Формула для нахождения СКО погрешности при равномерном симметричном
законе распределения погрешности в пределах ±∆𝑥𝑘 :
∆𝑥𝑘
.
𝜎(∆𝑥 ) =
√3
3. Определить СКО погрешности квантования сигнала при равномерном
несимметричном законе распределения погрешности: N – число двоичных разрядов,
Xm – предел измерения.
Находим количество ступеней квантования:
𝑁1 = 2𝑁 .
Вычисляем шаг квантования:
𝑥𝑚 𝑥𝑚
=
.
∆𝑥𝑘 =
𝑁1 2𝑁
Формула для нахождения СКО погрешности при равномерном несимметричном
законе распределения погрешности:
∆𝑥𝑘
𝜎(∆𝑥 ) =
.
√3
4. Определить СКО погрешности квантования сигнала при треугольном
симметричном законе распределения погрешности: T0 – период образцовых
импульсов.
Формула для нахождения СКО погрешности при треугольном симметричном
законе распределения погрешности:
𝑇0
𝜎 (∆𝑇) = .
√6
5. Определить погрешность квантования синусоидального сигнала при
измерении среднего значения: N – число двоичных разрядов, Xm – предел измерения.
6. Определить погрешность квантования синусоидального сигнала при
измерении среднеквадратичного значения: N – число двоичных разрядов, Xm – предел
измерения.
7. Определить минимальную частоту дискретизации при кусочно-линейной
дискретизации синусоидального сигнала: Fc – частота сигнала,  – погрешность
аппроксимации.
8. Определить минимальную частоту дискретизации при ступенчатой
дискретизации синусоидального сигнала: Fc – частота сигнала,  – погрешность
аппроксимации.
9. Синтезировать цифровой ФНЧ Баттерворта методом билинейного
преобразования: Fc – частота среза, Fд – частота дискретизации, порядок фильтрапрототипа – 2.
10. Синтезировать цифровой ПФ Баттерворта методом билинейного
преобразования: Fc – центральная частота, F – полоса пропускания, Fд – частота
дискретизации, порядок фильтра-прототипа – 2.
11. Синтезировать цифровой режекторный фильтр Баттерворта методом
билинейного преобразования: Fc – центральная частота, F – полоса задерживания,
Fд – частота дискретизации, порядок фильтра-прототипа – 2.
12. Оценить минимальный порядок ФНЧ Баттерворта, при котором частота
среза равна 200 Гц, а ослабление на частоте 400 Гц равно 40 дБ.
13. Оценить минимальный порядок полосовой фильтр Баттерворта, при
котором центральная частота равна 200 Гц, полоса пропускания – 40 Гц, а ослабление
на частоте 400 Гц равно 40 дБ.
14. Нарисовать граф 8 точечного БПФ по основанию 2 с прореживанием по
времени.
15. Нарисовать граф 8 точечного БПФ по основанию 2 с прореживанием по
частоте.