lecture (1)

Механико-математический факультет
Алгебра, 1 семестр, 2 поток
Преподаватель:
Куликова Ольга Викторовна
Студент:
Молчанов Вячеслав
Группа:
108
Контакт:
Мой телеграм для связи
Москва
2024
Содержание
1 Система линейных уравнений
1.1 Матрица. Основные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Система линейных (алгебраческих) уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Элементарные преобразования над СЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Элементарные преобразования над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Решение СЛУ методом Гауса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
4
5
6
7
2 Векторные пространства
2.1 Аксиомы элементов векторного пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Векторные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Линейная зависимость системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Линейная оболочка множества S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6 Базис . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
11
12
13
14
17
18
3 Ранг
3.1 Рангом системы векторного простанства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ранг матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
20
20
4 Возвращаемся к системе линейных уравнений
4.1 Фундаментальная система решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Неоднородная СЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
24
27
5 Операции над матрицами
28
6 Линейные отображения
6.1 Изоморфизм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Линейные отображение и матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Операции над линейными отображениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Свойства операций над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Свойства операции транспонирования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6 О ранге и операциях над матрицами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
30
32
33
36
37
37
7 Перестановки
39
8 Определители n-го порядка
8.1 Свойства определителей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Элементарные матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Разложение определителя по строке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Определитель Вандермонда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5 О ранге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Правила Крамера СЛУ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Обратная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
41
45
48
50
51
54
55
9 Алебраические структуры
9.1 Изоморфизм группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Группа подстановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Четность подстановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
61
62
65
1
9.4
9.5
9.6
9.7
9.8
Подгруппа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Кольца и поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Изоморфные кольца и поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Характеристика поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Поле комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
68
71
72
73
10 Алгебра над полем
10.1 Алгебра многочленов над полем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1 Деление с остатком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.2 Мгогочлены как фунции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.3 Корни многочленов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
80
82
83
84
2
1
Система линейных уравнений
1.1
Матрица. Основные понятия
Определение. Матрица 𝐴 размера 𝑚 × 𝑛 это прямоугольная таблица с 𝑚
строками и 𝑛 столбцами
⎛
⎞
𝑎11
𝑎12
...
𝑎1𝑛
⎜
⎟
⎜ 𝑎21
⎟
𝑎
.
.
.
𝑎
22
2𝑛
𝐴=⎜
.. ⎟
⎜ ...
. ⎟
⎝
⎠
𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 . . .
𝑎𝑚𝑛
𝑎𝑖𝑗 - элемент матрицы и индексы:
• 𝑖 - номер строками
• 𝑗 - номер столбца
𝑀𝑚×𝑛 (R) - Множество всех матриц размера 𝑚 × 𝑛 с элементами из R
Матрица 𝑚 × 1 называется столбцом:
⎛
⎞
𝑎11
⎜
⎟
⎜ 𝑎21 ⎟
⎟
𝐴=⎜
⎜ ... ⎟
⎝
⎠
𝑎𝑚1
Если 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) - квадратная, 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀𝑖 ̸= 𝑗, то 𝐴 называется диагональной.
⎞
⎛
𝑎11
0
⎟
⎜
⎟
⎜
𝑎
22
⎟
𝐴=⎜
...
⎟
⎜
⎠
⎝
0
𝑎𝑛𝑛
Если 𝐴 - диагональноая и 𝑎𝑖𝑖 = 1, то 𝐴 называется единичной.
⎛
⎞
1
0
⎜
⎟
⎜
⎟
1
⎟
𝐴=⎜
...
⎜
⎟
⎝
⎠
0
1
3
Если 𝐴 - квадратная, то
⎛
⎞
𝑎11
⎜
⎟
...
• 𝐴=⎝
⎠ главная диагональ
𝑎𝑛𝑛
⎛
⎞
𝑎1𝑛
⎜
⎟
• 𝐴=⎝
...
⎠ побочная диагональ
𝑎𝑛1
Определение. Если 𝐴 - размера 𝑚 × 𝑛, 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀𝑖, 𝑗, то 𝐴 называется нулевой.
1.2
(*)
Система линейных (алгебраческих) уравнений
⎧
⎪
𝑎11 𝑥1 + ... + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 𝑏
21 2
2𝑛 𝑛
2
..
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑎𝑛1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
где 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏 ∈ R, 𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 - неизвестные.
⎞
⎛
𝑎11 . . .
𝑎1𝑛
⎜
.. ⎟
𝐴 = ⎝ ...
. ⎠
𝑎𝑛1 . . .
𝑎𝑛𝑛
⎛ ⎞
𝑎11
⎜ .. ⎟
𝐵=⎝ . ⎠
𝑏𝑛
𝐴 - матрица коэффициентов, 𝑎𝑖𝑗 называется коэффициентом СЛУ.
𝐵 - столбец свобоных членов, 𝑏𝑗 - свободный член.
Определение. Расширенная матрица (𝐴|𝐵) . Набор чисел 𝑥01 , ..., 𝑥0𝑛 ∈ R назы𝑚×(𝑛+1)
вается решением системы (*), если подстановка этих чисел вместо неизвестных
в (*) дает тождество в каждом уравнении. (𝑥0𝑖 ←→ 𝑥)
Решить систему - это найти все решения системы. Любое конткретное решение называется частным.
Определение. Если СЛУ имеет решение, то она называется совместной, иначе
несовместной.
Определение. Совместная система, имеющая одно решение, называется определенной, иначе неопределенной (более одного решения).
4
1.3
Элементарные преобразования над СЛУ
1. Прибавить к одному уравнению другое уравнение, умноженное на число
𝜆∈R
2. Поменять местами два уравнения
3. Умножить уравнение на ненулевое число 𝜇 ∈ R
Утверждение. Эти преобразования обратимы.
Определение. Две системы линеных уравнений называются эквивалентными,
если их множества решений совпадают.
Утверждение. Если одна СЛУ получена из другой СЛУ с помощью конечного
числа элементарных преобразований, то эти системы эквивалентны.
Доказательство.
˜ =𝐵
˜ преобразованная система.
=⇒ 𝐴𝑋 = 𝐵 - исходная система, 𝐴𝑋
˜ =
Пусть 𝑧1 , ..., 𝑧𝑛 некотороое решение 𝐴𝑋 = 𝐵. Будем рассматривать 𝐴𝑋
˜ в ней ЭП 𝐼𝐼 типа умножают строку на 𝜇, имеем:
𝐵,
𝑎𝑖1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑖𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑖 в 𝐴𝑋 = 𝐵
˜ =𝐵
˜
𝜇𝑎𝑖1 𝑥1 + ... + 𝜇𝑎𝑖𝑛 𝑥𝑛 = 𝜇𝑏𝑖 в 𝐴𝑋
Выносим 𝜇 из второго уравнения:
𝜇(𝑎𝑖1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑖𝑛 𝑥𝑛 ) = 𝜇𝑏𝑖
˜ = 𝐵.
˜ Для 𝐼𝐼𝐼 типа ЭП очевидно.
Получаем, что 𝑧1 , ..., 𝑧𝑛 решение для 𝐴𝑋
Теперь рассмотрим 𝐼 тип, будем к i-ой строчке прибавлять j-ую к коэффициентом 𝜆, получаем:
(𝑎𝑖1 + 𝜆𝑎𝑗1 )𝑥1 + ... + (𝑎𝑖𝑛 + 𝜆𝑎𝑗𝑛 )𝑥𝑛 =
= 𝑎𝑖1 𝑥1 + 𝜆𝑎𝑗1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑖𝑛 𝑥𝑛 + 𝜆𝑎𝑗𝑛 𝑥𝑛 =
= 𝑎𝑖1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑖𝑛 𝑥𝑛 + 𝜆(𝑎𝑗1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑗𝑛 𝑥𝑛 ) = 𝑏𝑖 + 𝜆𝑏𝑗
Таким образом, любое решение старой СЛУ - это и решение новой, то есть
множество решений не уменьшилось. (со столбцами все тоже самое)
⇐= В обратную сторону аналогично (для доказательства эквивалентности),
используя обратимость элементарных преобразований.
Мораль в том, что мы можем работать с расширенной матрицей (𝐴|𝐵).
5
1.4
Элементарные преобразования над матрицами
Элементарные преобразования над строками:
⎛ ⎞
𝑎1
⎜ ⎟
⎜𝑎2 ⎟
⎟
𝐴=⎜
⎜ ... ⎟ , где 𝑎𝑖 − строка
⎝ ⎠
𝑎𝑖
• ЭП1: 𝑎𝑖 → 𝑎𝑖 + 𝜆𝑎𝑖
• ЭП2: 𝑎𝑖 ←→ 𝑎𝑗
• ЭП3: 𝑎𝑖 → 𝜇𝑎𝑖 , 𝜇 ̸= 0
Определение. Лидер строки (ведущий элемент) - это 1-й ненулевой элемент
слева.
Пример: (0, 0, ⏟ 3⏞ , 4, 5, 0, 0, 7)
лидер
Определение. Матрица 𝐴 размера 𝑚 × 𝑛 называется ступенчатой, если
1. Номера лидеров ненулевых строк строго возрастают с увеличением номера
строки.
2. Все нулевые строки стоят внизу (в конце).
Теорема. Любую матрицу 𝐴 размера 𝑚 × 𝑛 за конечное число элементарных
преобразований над строками можно привести к ступенчатому виду.
Доказательство. Индукция по 𝑛:
Если 𝐴 - нулевая, то 𝐴 - ступенчатого вида. Если 𝐴 ̸= 0 : найдем первый
ненулевой столбец (начиная слева). Пусть 𝑗 - номер первого ненулевого столбца.
Пусть 𝑎𝑖𝑗 ̸= 0:
⎛
⎞
0 0
⎜ ..
⎟
..
⎜.
⎟
.
⎜
⎟
⎟
𝐴=⎜
𝑎
𝑖𝑗
⎜
⎟
⎜ ..
⎟
..
.
⎝.
⎠
0 0
6
Меняем 1-ю и 𝑖-ю строку местами и получаем, что 𝑎𝑖𝑗 стал лидером первой
строки. Считаем, что сразу 𝑎1𝑗 ̸= 0:
⎛
⎞
0 0 𝑎𝑖𝑗 *
..
⎜ ..
⎟
.
*
*⎟
⎜.
⎜
⎟
..
⎟
𝐴=⎜
.
⎜
⎟
⎜ ..
⎟
..
..
.
.
⎝.
⎠
..
0 0
.
Вычитаем из кажкой 𝑘-й строки, начиная со 2-ой, 1-ю строку, умноженную на
𝑎
число 𝑎𝑘𝑗
. Получает вид:
1𝑗
⎛
⎞
𝑎𝑖𝑗 * · · ·
*
⎜
⎟
⎜0
⎟
*
·
·
·
*
⎟
𝐴˜ = ⎜
⎜ ...
* ···
*⎟
⎝
⎠
0
*
···
*
К правой части матрицы (без 1 столбца и 1 строки) применяем индукцию и
проводим матрицу к ступенчатому виду.
Замечание. Этот метод называется методом Гауса.
1.5
Решение СЛУ методом Гауса
⎧
⎪
𝑎11 𝑥1 + ... + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 𝑏
21 2
2𝑛 𝑛
2
..
⎪
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑎𝑚1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
Элементарные преобразования над 𝐴𝑋 = 𝐵 ⇐⇒ элементарные преобразования
над (𝐴|𝐵).
СЛУ 𝐴𝑋 = 𝐵 ступенчатая =⇒ (𝐴|𝐵) имеет ступенчатый вид.
7
Утверждение. Решение СЛУ ступенчаного вида.
Пусть 𝐴𝑋 = 𝐵 - ступенчатая
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
(𝐴|𝐵) = ⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
𝑎11
𝑎22
0
...
𝑎𝑠𝑛
..
.
··· ··· 0
⎞
𝑏1
.. ⎟
.⎟
⎟
.. ⎟
.⎟
⎟
𝑏𝑠 ⎟
.. ⎟
.⎟
⎠
𝑏𝑠̃︀
𝑠̃︀ - ненулевые строки расширенной матрицы
s - число
[︃ ненулевых строк
𝑠
𝑠̃︀ =
𝑠+1
1 случай: 𝑠̃︀ ̸= 𝑠 (𝑠̃︀ = 𝑠 + 1)
Рассмотрим последнюю ненулевую строку:
⎛
𝑎11
⎜
⎜
𝑎22
⎜
...
⎜
⎜
⎜
𝑎𝑠𝑛
⎝
0 ··· ··· 0
⎞
𝑏1
.. ⎟
. ⎟
.. ⎟
. ⎟
⎟
⎟
𝑏𝑠 ⎠
𝑏𝑠+1
0𝑥1 + ... + 0𝑥𝑛 = 𝑏𝑠+1 =⇒ решение у этого уравнения нет =⇒ СЛУ не имеет
решения, т.е. несовместнаю.
Далее 𝑠̃︀ = 𝑠
Заметим, что 𝑠̃︀ = 𝑠 ≤ 𝑛 (n-количество столбцов)
2 случай: 𝑠̃︀ = 𝑠 = 𝑛
⎧
⎪
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + · · · + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
𝑎22 𝑥2 + · · · + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏2
..
.
...
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
Такая СЛУ называются строго треугольной
𝑛
Из n-го уравнения однозначно находится 𝑥𝑛 = 𝑎𝑏𝑛𝑛
Подставляем во все
𝑏𝑛
оставшиеся уравнения 𝑥𝑛 = 𝑎𝑛𝑛 =⇒ исключаем 𝑥𝑛 . Получаем строго треугольную систему с меньшим количество неизвестных.
8
Далее из (n-1)-го уравнения находим 𝑥𝑛−1 и т.д. =⇒ СЛУ имеет единственное решение т.е. является определенной.
3 случай: 𝑠̃︀ < 𝑛
⎛
0
⎜
⎝0
0 |𝑎1𝑘1 * · · · · · · *
0 0 |𝑎2𝑘2 * · · · *
...
⎞
*
⎟
*⎠
..
.
𝑎1𝑘1 , ..., 𝑎𝑠𝑘𝑠 - лидеры;
𝑥𝑘1 , ..., 𝑥𝑘𝑠 - главные неизвестные (неизвестные соответствуют лидерам)
Оставшиеся неизвестные назовем свободными.
Перекинем в правую часть СЛУ слагаемые, соответствующие свободным
неизвестным =⇒ получаем относительно главных неизвестных строго треугольную СЛУ.
Как в случае 2 однозначно выражается главные неизвестные через свободные =⇒ с точностью до нумерации получаем:
⎧
⎪
⎪
⎨𝑥1 = 𝑐1,𝑠+1 𝑥𝑠+1 + · · · + 𝑐1𝑛 𝑥𝑛 + 𝑑1
..
.
⎪
⎪
⎩
𝑥𝑠 = 𝑐𝑠,𝑠+1 𝑥𝑠+1 + · · · + 𝑐𝑠𝑛 𝑥𝑛 + 𝑑𝑠
Это выражение называется общим решением системы. Подставляя вместо
свободных неизвестных конкретное число из R, получаем значение для
главных.
=⇒ получаем все решения СЛУ
Если СЛУ имеет > 1 решения - такая СЛУ называется неопределенной.
СЛУ
↘
↘
𝑠̃︀ ̸= 𝑠
несовместна
𝑠̃︀ = 𝑠
совместна
↘
𝑠̃︀ = 𝑠 = 𝑛
определенна
Алгоритм. 𝐴𝑋 = 𝐵 ↦−→ (𝐴|𝐵) ∼ (𝐴𝑐 |𝐵𝑐 ) ↦−→ 𝐴𝑐 𝑋 = 𝐵𝑐
9
↘
𝑠̃︀ = 𝑠 ≤ 𝑛
неопределенна
Определение. Матрица 𝐴 имеет улучшенный ступенчатый вид, если выполнены следующие условия:
1. 𝐴 - ступенчатого вида
2. Все лидеры равны 1
3. В каждом столбце, где есть лидер ̸= 0 , все элементы равны 0
Утверждение. Любую матрицу 𝐴 можно привести к улучшенному ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.
Доказательство. Т.к. любую матрицу можно привести к ступенчатому виду
=⇒ будем считать, что 𝐴 - ступенчатая.
Рассмотрим последний лидер 𝑎𝑠𝑘𝑠 . Если 𝑎𝑠𝑘𝑠 ̸= 1, то s-ю строку делим на 𝑎𝑠𝑘𝑠 и
получаем, что 𝑎̃︂
𝑠𝑘𝑠 = 1.
Далее из всех строк вычитаем первую, умноженную на 𝑎𝑖𝑘𝑠 =⇒ 𝑎̃︂
𝑖𝑘𝑠 = 0 и
т.д.
Определение. СЛУ 𝐴𝑋 = 𝐵 называется однородной, если 𝐵 = 0, т.е. все
свободные члены нулевые.
Утверждение. Однородная система всегда совместна.
Доказательство. 𝐴𝑋 = 0 всегда имеет решение 𝑥1 = 0, ..., 𝑥𝑛 = 0 (тривиальное
решение)
Следствие. Однородная СЛУ, в которой число уравнений < числа неизвестных, имеет нетривиальное решение.
Доказательство. (в обозначениях из метода Гаусса)
Т.к. система совместна (т.к. 𝐵 = 0), то 𝑠 = 𝑠̃︀
С другой стороны 𝑠 = 𝑠 ≤ число исходных уравнений < n =⇒ 𝑠 = 𝑠̃︀ < 𝑛 =⇒
СЛУ неопределенна =⇒ ∃ более одного решения =⇒ ∃ нетривиальное решение.
10
2
Векторные пространства
2.1
Аксиомы элементов векторного пространства
Мы рассматриваем векторные пространства над полем R.
Определение. Векторным пространством над R называют множество элементов 𝑉 , на котором введены операции сложения и умножения на числа из R:
1. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 =⇒ 𝑥 + 𝑦 = 𝑧 ∈ 𝑉
2. ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑥 ∈ 𝑉 =⇒ 𝜆𝑥 = 𝑤 ∈ 𝑉
Удовлетворяет следующими свойствами:
1. 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥 (коммутативность)
2. (𝑥 + 𝑦) + 𝑧 = 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) (ассоциативность)
3. ∃ 0 ∈ 𝑉 : ∀𝑥 ∈ 𝑉 : 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥 (нейтральный элемент относильно
сложения)
4. ∀𝑥 ∈ 𝑉 : ∃ 𝑥′ : 𝑥 + 𝑥′ = 0 (противоположный элемент)
5. ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 : 𝜆(𝑥 + 𝑦) = 𝜆𝑥 + 𝜆𝑦 (дистрибутивность умножения
отностильно сложения)
6. ∀𝜆, 𝜇 ∈ R, ∀𝑥 ∈ 𝑉 : (𝜆 + 𝜇)𝑥 = 𝜆𝑥 + 𝜇𝑥 (дистрибутивность сложения
отностильно умножения)
7. ∀𝜆, 𝜇 ∈ R, ∀𝑥 ∈ 𝑉 : 𝜆(𝜇𝑥) = (𝜆𝜇)𝑥 (ассоциативность умножения)
8. ∀𝑥 ∈ 𝑉 : 1 · 𝑥 = 𝑥 (нейтральный элемент относильно умножения)
Определение. Любой элемент векторного пространства называется вектором.
Примеры векторных пространств:
1. 𝑉 2 - Геометрические векторы на плоскости.
2. 𝑉 3 - Геометрические векторы в пространстве.
3. R𝑛 = {(𝑎1 , ..., 𝑎𝑛 )|𝑎𝑖 ∈ R} - арифметические векторы.
"+": (𝑎1 , ..., 𝑎𝑛 ) + (𝑏1 , ..., 𝑏𝑛 ) = (𝑎1 + 𝑏1 , ..., 𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )
"×": (𝑎1 , ..., 𝑎𝑛 ) × 𝜆 = (𝑎1 𝜆, ..., 𝑎𝑛 𝜆)
Упражнение. Проверьте, что R𝑛 (арифметическое пространство строк) с этими операциями является векторным пространством.
11
2.2
Следствия
1. нулевой вектор единственный
Доказательство. Пусть существует два 01 , 02 ∈ 𝑉 , тогда:
02 = 01 + 02 = 02 + 01 = 01
2. ∀𝑥 ∈ 𝑉 противоположный вектор единственный
Доказательство. Пусть существует два 𝑥1 , 𝑥2 - различные противоположные к вектору 𝑥, тогда:
0 + 𝑥2 = (𝑥1 + 𝑥) + 𝑥2 = 𝑥1 + (𝑥 + 𝑥2 ) = 𝑥1 + 0
3. ∀𝜆 ∈ R : 𝜆 · 0 = 0
Доказательство.
𝜆 · 0 = 𝜆 · (0 + 0) = 𝜆 · 0 + 𝜆 · 0
Прибавим к обе им частям уравнения 𝜆 · 0 = 𝜆 · 0 + 𝜆 · 0 противоположный
к 𝜆 · 0, тогда:
𝜆 · 0 + (−𝜆 · 0) = 𝜆 · 0 + 𝜆 · 0 + (−𝜆 · 0)
0=𝜆·0
4. 𝜆 · (−𝑥) = −𝜆 · 𝑥
5. 𝜆 · (𝑥 − 𝑦) = 𝜆𝑥 − 𝜆𝑦
6. (−1) · 𝑥 = −𝑥
7. (𝜆 − 𝜇) · 𝑥 = 𝜆𝑥 − 𝜇𝑥
12
2.3
Векторные подпространства
Определение. Подмножество 𝑈 ⊆ 𝑉 называется векторным подпространством, если:
1. 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑈 =⇒ 𝑥 + 𝑦 ∈ 𝑈
2. ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑥 ∈ 𝑈 =⇒ 𝜆 · 𝑥 ∈ 𝑈
3. 𝑈 ̸= ∅
Замечание. 3 условие заменить на условие: 0 ∈ 𝑈
⇐= очевидно.
=⇒ если 𝑈 ̸= ∅, то ∃ 𝑥 ∈ 𝑈 =⇒ по 2. : (−1) · 𝑥 ∈ 𝑈 =⇒ −𝑥 ∈ 𝑈 =⇒
𝑥 + (−𝑥) ∈ 𝑈 =⇒ 0 ∈ 𝑈
Утверждение. Любое векторное подпространство векторного пространства 𝑉
само является векторным пространством относительно операций векторного
пространства 𝑉 .
Доказательство. Надо проверить определение. 1 и 2 свойство из операций
векторного пространства означают, что в 𝑈 заданы операции сложения и
умножения на вещественное число. Проверка аксиом векторного пространства:
1,2,5,6,7,8 - выполнены для всех векторов из 𝑉 , а значит и для всех векторов
из 𝑈 .
3,4 доказательство как в замечании:
∀𝑥 ∈ 𝑈, ∃ (−𝑥) = (−1) · 𝑥 ∈ 𝑈, 0 ∈ 𝑈, т.к. 𝑈 ̸= ∅
Примеры.
1. 𝑉 3 , 𝑈 - множество всех векторов из 𝑉 3 , параллельные фиксированной плоскости.
2. R𝑛 , 𝑈 = {(𝑎1 , ..., 𝑎𝑛 )|𝑎2𝑖 = 0} - векторное подпространство
̃︀ = {(𝑎1 , ..., 𝑎𝑛 )|𝑎2𝑖 = 1} - не векторное подпространство, т.к. множество
𝑈
не замкнуто относительно сложения и умножения.
3. В любом векторном простанстве 𝑉 есть такие подпространства, состоящие
только из нулевого вектора. (тривиальное или несобственное подпространство) (Остальное называется собственными)
13
2.4
Линейная зависимость системы векторов
𝑉 - векторное пространство над полем R
Определение. Линейной комбинацией векторов 𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 с коэффициентами 𝜆1 , ..., 𝜆𝑛 ∈ R называется выражение вида:
𝜆1 𝑥1 + · · · + 𝜆𝑛 𝑥𝑛
Говорят, что вектора 𝑤 ∈ 𝑉 линейно выражаются через (𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 ),
если ∃ 𝜆1 , ..., 𝜆𝑛 ∈ R : 𝑤 = 𝜆1 𝑥1 + · · · + 𝜆𝑛 𝑥𝑛
Определение. Линейная комбинация 𝜆1 𝑥1 + · · · + 𝜆𝑛 𝑥𝑛 называется тривиальной, если 𝜆1 = 0, ..., 𝜆𝑛 = 0. Иначе нетривиальной.
Определение. Система векторов 𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 называется линейно зависимой (ЛЗ),
если ∃ нетривиальная линейная комбинация равная 0, (т.е. ∃ 𝜆1 , ..., 𝜆𝑛 ∈ R не
все равные 0) такая что 𝜆1 𝑥1 +· · ·+𝜆𝑛 𝑥𝑛 = 0. Иначе система называется линейно
независимой (ЛНЗ), т.е. из любого такого равенства 𝜆1 𝑥1 + · · · + 𝜆𝑛 𝑥𝑛 = 0
=⇒ (𝜆1 , ..., 𝜆𝑛 ) = 0.
Примеры. 𝑉 2 , 𝑣1 = 𝑖 + 𝑗, 𝑣2 = 2𝑖, 𝑣3 = 3𝑖 -линейно зависимая система, т.к.
1
1
1 · (𝑖 + 𝑗) + (− ) · (− ) · (3𝑖) = 0
2
3
1
1
1 · 𝑣1 + (− ) · 𝑣2 + (− ) · 𝑣3 = 0
2
3
Свойства.
1. Система из одного вектора 𝑉1 ЛЗ ⇐⇒ 𝑉1 = 0
2. Система из 2-х векторов 𝑣1 и 𝑣2 ЛЗ ⇐⇒ они пропорциональные, т.е.
𝑣1 = 𝜆𝑣2 , 𝑣2 = 𝜇𝑣1 .
Пример. R𝑛
Система (1, 0, 0, ..., 0), (0, 1, 0, ..., 0), ..., (0, 0, 0, ..., 1) линейно независимая
⏟
⏞
⏟
⏞
⏟
⏞
𝑒1
𝑒2
𝑒𝑛
𝜆1 𝑒1 + · · · + 𝜆𝑛 𝑒𝑛 = (0, ..., 0) ⇐⇒ (𝜆1 , ..., 𝜆𝑛 ) = 0 ⇐⇒ ЛНЗ
Лемма 1. (Критерий линейной зависимости) Система векторов 𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 ∈ 𝑉,
𝑛 > 1 - линейно зависимы ⇐⇒ хотя бы один вектор линейно выражается через
оставшиеся.
14
Доказательство.
=⇒ По определению ЛЗ ∃ 𝜆1 , ..., 𝜆𝑛 ∈ R не все нулевые: 𝜆1 𝑣1 +· · ·+𝜆𝑛 𝑣𝑛 = 0. Без
ограничения общности можем считать, что 𝜆1 ̸= 0, тогда 𝑣1 = 𝜆11 (−𝜆2 𝑣2 −
· · · − 𝜆𝑛 𝑣𝑛 )
⇐= Пусть один из этих векторов выражается через оставшиеся. Без ограничения общности можем считать, что 𝑣1 выражается через оставшиеся
𝑣1 = 𝜇2 𝑣2 + · · · + 𝜇𝑛 𝑣𝑛
1 · 𝑣1 − 𝜇𝑣2 − · · · − 𝜇𝑛 𝑣𝑛 = 0 - нетривиальная линейнвая комбинация,
т.к. 𝜇1 (коэф. перед 𝑣1 ) ̸= 0 =⇒ 𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 - линейно зависима.
Замечание. В лемме 1 нельзя «хотя бы один» заменить на «любой»!
Пусть 𝑣1 ̸= 0, 𝑣2 = 0 и 𝑣1 , 𝑣2 - ЛЗ, т.к. 0 · 𝑣1 + 1 · 𝑣2 = 0
Лемма 2. Пусть 𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 ∈ 𝑉 - ЛНЗ, тогда 𝑤 ∈ 𝑉 линейно выражается через
𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 ⇐⇒ (𝑤, 𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 ) - ЛЗ.
Доказательство.
=⇒ ∃ 𝜇1 , ..., 𝜇𝑛 ∈ R : 𝑤 = 𝜇1 𝑣1 + · · · + 𝜇𝑛 𝑣𝑛 =⇒ по критерию ЛЗ система
{𝑤, 𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 } - ЛЗ.
⇐= Пусть система ЛЗ =⇒ ∃ 𝜆0 , ..., 𝜆𝑛 ∈ R - не все нули, так что 𝜆0 𝑤 + 𝜆1 𝑣1 +
· · · + 𝜆𝑛 𝑣𝑛 = 0, тогда:
1. 𝜆0 = 0, то 𝜆1 𝑣1 + · · · + 𝜆𝑛 𝑣𝑛 = 0 - нетривиальная линейная комбинация
2. 𝜆0 ̸= 0 =⇒ 𝑤 = (− 𝜆𝜆01 )𝑣1 + · · · + (− 𝜆𝜆𝑛0 )𝑣𝑛
Лемма 3. Пусть 𝑣1 , ..., 𝑣𝑘 - ЛНЗ и вектор 𝑤 линейно выражается через 𝑣1 , ..., 𝑣𝑘 .
Тогда это выражение единственное.
Доказательство.
1. Пусть выражается единственно. Допустим, 𝑣1 , .., 𝑣𝑘 - ЛЗ =⇒ ∃{𝜆1 , .., 𝜆𝑘 }
не все нулевые, т.ч. 𝜆1 𝑣1 + · · · + 𝜆𝑘 𝑣𝑘 = 0
Тогда если 𝑤 = 𝜇1 𝑣1 + · · · + 𝜇𝑘 𝑣𝑘 , то 𝑤 + 0 = (𝜇1 + 𝜆1 )𝑣1 + · · · + (𝜇𝑘 + 𝜆𝑘 )𝑣𝑘
другое разложение, противоречие.
15
2. Пусть 𝑣1 , .., 𝑣𝑘 - ЛНЗ. Допустим, что существует два разложения:
𝑤 = 𝜇1 𝑣1 + · · · + 𝜇𝑘 𝑣𝑘
̃︁𝑘 𝑣𝑘
𝑤 = 𝜇̃︀1 𝑣1 + · · · + 𝜇
̃︁𝑘 𝑣𝑘
𝜇1 𝑣1 + · · · + 𝜇𝑘 𝑣𝑘 = 𝜇̃︀1 𝑣1 + · · · + 𝜇
̃︁𝑛 ) = 0
𝑣1 (𝜇1 − 𝜇̃︀1 ) + · · · + 𝑣𝑛 (𝜇𝑛 − 𝜇
=⇒ {𝑣1 , .., 𝑣𝑘 } - ЛЗ =⇒ противоречие.
Лемма 4.
1. Если какая-то подсистема векторов ЛЗ, то вся система ЛЗ.
2. Если система векторов ЛНЗ, то любая подсистема ЛНЗ.
Доказательство.
1. Пусть подсистема 𝑣1 , .., 𝑣𝑘 системы 𝑣1 , .., 𝑣𝑘 , ..., 𝑣𝑚 - ЛЗ =⇒ ∃𝜆1 , ..., 𝜆𝑘 не все
равные нулю, т.ч. 𝜆1 𝑣1 + · · · + 𝜆𝑘 𝑣𝑘 = 0 Положим 𝜆𝑘+1 = 0, ..., 𝜆𝑚 = 0 Тогда
𝜆1 𝑣1 , .., 𝜆𝑘 𝑣𝑘 , ..., 𝜆𝑚 𝑣𝑚 = 0 - нетривиальная ЛК =⇒ {𝑣1 , ..., 𝑣𝑘 , 𝑣𝑘+1 , ..., 𝑣𝑚 } ЛЗ.
2. Следует из 1.
Лемма 5. (ОЛЛЗ)
Пусть 𝑣1 , ..., 𝑣𝑘 ∈ 𝑉, 𝑤1 , ..., 𝑤𝑚 ∈ 𝑉 , причем каждый 𝑤𝑖 линейно выражается
через 𝑣1 , ..., 𝑣𝑘 , тогда, если 𝑚 > 𝑘, то {𝑤1 , ..., 𝑤𝑚 } - ЛЗ.
Доказательство. Пусть
⎧
⎪
𝑤1 = 𝑐11 𝑣1 + · · · + 𝑐1𝑘 𝑣𝑘
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨𝑤 = 𝑐 𝑣 + · · · + 𝑐 𝑣
2
21 1
2𝑘 𝑘
.
⎪
..
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑤 = 𝑐 𝑣 + ··· + 𝑐 𝑣
𝑚
𝑚1 1
где 𝑐𝑖𝑗 ∈ R
𝑚𝑘 𝑘
Докажем, что ∃ нетривиальная ЛК 𝑤1 , ..., 𝑤𝑚 = 0
Для произвольных 𝜆1 , ..., 𝜆𝑚 рассмотрим выражение:
𝜆1 𝑤1 + · · · + 𝜆𝑚 𝑤𝑚 =
= 𝜆1 (𝑐11 𝑣1 + · · · + 𝑐1𝑘 𝑣𝑘 ) + · · · + 𝜆𝑚 (𝑐𝑚1 𝑣1 + · · · + 𝑐𝑚𝑘 𝑣𝑘 ) =
= (𝜆1 𝑐11 + · · · + 𝜆𝑚 𝑐𝑚1 )𝑣1 + · · · + (𝜆1 𝑐1𝑘 + · · · + 𝜆𝑚 𝑐𝑚𝑘 )𝑣𝑘
16
Рассмотрим СЛУ с неизвестными 𝜆1 , ..., 𝜆𝑚 из 𝑘 уравнений:
⎧
⎪
⎪
⎨𝑐11 𝜆1 + · · · + 𝑐𝑚1 𝜆𝑚 = 0
..
.
⎪
⎪
⎩
𝑐1𝑘 𝜆1 + · · · + 𝑐𝑚𝑘 𝜆𝑚 = 0
Т.к. 𝑚 > 𝑘 и это ОСЛУ в которой число уравнений < числа неизвестных, то
эта система имеет нетривиальное решение 𝜆1 , ..., 𝜆𝑚
=⇒ 𝜆1 𝑤1 + · · · + 𝜆𝑚 𝑤𝑚 = 0 - это нетривиальная ЛК
=⇒ 𝑤1 , ..., 𝑤𝑚 - ЛЗ.
2.5
Линейная оболочка множества S
𝑉 - векторное простанство над R
𝑆 ⊆ 𝑉, 𝑆 ̸= ∅
Утверждение. Множество всех ЛК 𝜆1 𝑠1 + · · · + 𝜆𝑘 𝑠𝑘 , 𝜆𝑖 ∈ R, 𝑠𝑖 ∈ 𝑆 образует
векторное подпространство в пространстве 𝑉 .
Доказательство. Д/з.
Определение. Такое векторное подпространство называется линейная оболочка множества 𝑆, обозначается ⟨𝑆⟩.
Примеры.
1. R3 , 𝑆 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0)};
⟨𝑆⟩ = {(𝜆, 𝜇, 0) | 𝜆, 𝜇 ∈ R}
2. 𝑉 3 , 𝑆 = {𝑖, 𝑗, 𝑖 + 𝑗}
k
j
i
<S >
𝑠̃︀ = {𝑖 + 𝑗}
Определение. Если 𝑉 = ⟨𝑆⟩, то 𝑆 называется порождающим множеством векторного простанства 𝑉 . Говорят векторное пространство 𝑉 порождается множеством 𝑆.
Определение. Если ∃ конечное множество 𝑆, т.ч. 𝑉 = ⟨𝑆⟩, то 𝑉 называется
конечномерным (конечнопорожденным), иначе бесконечномерным.
17
Пример. R𝑛 = ⟨(1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1)⟩
Лемма. (Переформулировка ОЛЛЗ) Пусть векторное пространство 𝑉 пораждается 𝑘 векторами. Тогда любые 𝑚 > 𝑘 векторов из 𝑉 - ЛЗ.
2.6
Базис
𝑉 - конечномерное векторное простанство над R
Определение. 1 Система векторов {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } ⊆ 𝑉 называется бизисом векторного пространства 𝑉 , если:
1. {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - ЛНЗ
2. 𝑉 = ⟨𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 ⟩, т.е. ∀𝑥 ∈ 𝑉, ∃ 𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 ∈ R : 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛
Эти числа 𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 - называются координатами вектора 𝑥 в базисе {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 }
Определение. 2 Система векторов {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } ⊆ 𝑉 называется базисом векторного простанства 𝑉 , если любой вектор 𝑥 ∈ 𝑉 выражается через {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 }
единственным образом.
Утверждение. (Опр 1) ⇐⇒ (Опр 2)
Доказательство. По лемме (3).
Теорема. Всякое конечномерное векторное пространство над R обладает базисом. Более того, из любого конечного порожденного множества можно выбрать
базис.
Доказательство. Пусть 𝑆 - какое-то порождающее множество векторного пространства 𝑉 .
Если 𝑆 - ЛНЗ, то 𝑆 - базис
Если 𝑆 - ЛЗ, то по критерию о ЛЗ один из векторов 𝑆1 множества 𝑆 линейно
выражается через остальные.
Тогда 𝑆1 = 𝑆 ∖ {𝑠1 } - конечное пораждащее множество. ч.т.д.
Т.к. 𝑆 - конечное, это процесс прервется и мы получим ЛНЗ порожденную систему.
Теорема. В любом базисе конечномерного векторного пространства 𝑉 над R
одно и тоже число векторов.
Доказательство. Пусть есть два базиса {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } и {𝑓1 , ..., 𝑓𝑚 } векторного
пространства 𝑉 . Тогда каждый вектор 𝑓𝑖 выражается через 𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 .
По ОЛЛЗ: {𝑓1 , ..., 𝑓𝑚 } - ЛЗ =⇒ {𝑓1 , ..., 𝑓𝑚 } - не базис =⇒ противоречие.
18
Определение. Число векторов в базисе конечномерного векторного пространства 𝑉 , называется размерностью векторного простанства и обозначается: 𝑑𝑖𝑚𝑉
Примеры.
1. 𝑑𝑖𝑚𝑉 2 = 2
2. 𝑑𝑖𝑚R𝑛 = 𝑛
Замечание. Если 𝑉 = 0, то 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 0 (базис систоит из ∅ )
Пусть 𝑉 - векторное пространство над R, 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛, 𝑆 ⊆ 𝑉 Любые 𝑚 > 𝑛
векторов в 𝑆 - ЛЗ. (из ОЛЛЗ)
=⇒ в 𝑆 ∃ максимальная ЛНЗ подсистема (т.е. ничего нельзя добавить к этой
подсистеме без нарушения ЛНЗ)
Лемма 6. Пусть 𝑉 - n-мерное векторное пространство над R, 𝑆 ⊆ 𝑉 . Тогда
максимальная ЛНЗ система векторов из 𝑆 образует базис в лин. оболочке ⟨𝑆⟩
Доказательство. Пусть {𝑠1 , ..., 𝑠𝑘 } максимальная (по включению) ЛНЗ система в 𝑆 =⇒ ∀𝑠 ∈ 𝑆 ∖ {𝑠1 , ..., 𝑠𝑘 } =⇒ {𝑠, 𝑠1 , ..., 𝑠𝑘 } − ЛЗ.
По Лемме (2). =⇒ 𝑠 = 𝜆1 𝑠1 + · · · + 𝜆𝑘 𝑠𝑘
Докажем, что {𝑠1 , ..., 𝑠𝑘 } базис в ⟨𝑆⟩.
1. ЛНЗ (очевидно)
2. ∀𝑥 ∈ ⟨𝑆⟩: 𝑥 = 𝑥1 𝑠1 + · · · + 𝑥𝑘 𝑠𝑘
По определению линейной оболочки 𝑥 линейно выражается через вектора из 𝑆
А каждый вектор из 𝑆 линейно выражается через {𝑠1 , ..., 𝑠𝑘 }
Теорема. Пусть 𝑉 конечномерное векторное пространство над R, тогда:
1. Любая максимальная ЛНЗ система векторов из 𝑉 - базис 𝑉 .
2. Любую ЛНЗ систему векторов из 𝑉 можно дополнить до базиса векторного
пространства 𝑉 .
Доказательство.
1. По лемме (6). 𝑆 = 𝑉
2. Пусть 𝑆 - ЛНЗ система векторов из 𝑉
19
Если 𝑉 = ⟨𝑆⟩, тогда 𝑆- базис.
Если 𝑉 ̸= ⟨𝑆⟩ , то ∃𝑠1 ∈ 𝑉 ∖ ⟨𝑆⟩
=⇒ 𝑠1 линейно невыражается через 𝑆 =⇒ (По лемме 2.) 𝑆1 = 𝑆 ∪ {𝑠1 } - ЛНЗ.
=⇒ Если 𝑉 = ⟨𝑆1 ⟩, то 𝑆1 базис, иначе ∃𝑆2 ∈ 𝑉 ∖ ⟨𝑆1 ⟩, и т.д.
Этот процесс прервется на конечном шаге, т.к. пространство 𝑉 - конечное. (Если
𝑑𝑖𝑚𝑉 ̸= 𝑛, то ̸ ∃ ЛНЗ системы с числом векторов > 𝑛)
Следствие. Пусть 𝑉 конечномерное векторное пространство над R
1. Любой ненулевой вектор можно дополнить до базиса.
2. Любые 𝑛 ЛНЗ вектора в 𝑛-мерном пространстве 𝑉 образуют базис.
3
Ранг
3.1
Рангом системы векторного простанства
Определение. Рангом системы векторов 𝑆 ⊆ 𝑉, 𝑑𝑖𝑚𝑉 < ∞, назовем 𝑑𝑖𝑚⟨𝑆⟩,
т.е. число векторов в максимальной ЛНЗ системы из 𝑆.
𝐴 - матрица 𝑚 × 𝑛
Определение. Рангом матрицы 𝐴 называется ранг системы ее строк, т.е. максимальное число ЛНЗ строк матрицы.
3.2
Ранг матрицы
Определение. Ранг системы {𝑠1 , ..., 𝑠𝑛 } - векторов называется 𝑑𝑖𝑚⟨𝑠1 , ..., 𝑠𝑛 ⟩.
Определение. Рангом матрица 𝐴 𝑚 × 𝑛 называется ранг системы её строк.
20
Определение. Две системы векторов {𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 } {𝑤1 , ..., 𝑤𝑛 } называются эквивалентными, если каждый вектор 𝑣𝑖 линейно выражается через {𝑤1 , ..., 𝑤𝑛 }, а
𝑤𝑖 через {𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 }.
Это условная эквивалентность: ⟨𝑣1 , ..., 𝑣𝑛 ⟩ = ⟨𝑤1 , ...., 𝑤𝑛 ⟩
Утверждение. При элементарных преобразованиях над строками, ранг матрицы 𝐴 не изменяется.
Доказательство.
̃︁1 , ..., 𝐴
̃︁𝑚 ⟩
⟨𝐴1 , ..., 𝐴𝑚 ⟩ = ⟨𝐴
̃︀ =⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘 𝐴.
̃︀
т.е. система строк 𝐴 эквивалентна системе строк 𝐴
Утверждение. При элементарных преобразованиях над столбцами, ранг матрицы 𝐴 не изменяется.
Предложение 1.
Ранг матрицы 𝐴 равен числу ненулевых строк матрицы струпенчатого вида, к
которому можно привести матрицу 𝐴 с помощью элементарных преобразований
строк.
ЭП строк
Доказательство. 𝐴 −→ 𝐴ст =⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘𝐴ст
A ст=
𝑎1𝑖1 , ..., 𝑎𝑠𝑖𝑠 - лидеры строк в 𝐴ст =⇒ 𝑎1𝑖1 ̸= 0, ..., 𝑎𝑠𝑖𝑠 ̸= 0
Очевидно, что 𝑟𝑘𝐴ст ≤ 𝑠. Достаточно доказать, что ненулевые строки ЛНЗ.
Рассмотрим ЛК:
𝜆1 (0, ..., 0, 𝑎1𝑖1 , *, ..., *) + 𝜆2 (0, ..., 0, 𝑎2𝑖2 , *, ..., *) + · · · + 𝜆𝑠 (0, ..., 0, 𝑎𝑠𝑖𝑠 , *, ..., *) =
(0, ..., 0)
(0, ..., 0, 𝜆1 𝑎1𝑖1 , ..., 𝜆1 𝑎1𝑖2 + 𝜆2 𝑎2𝑖2 , ...) = (0, ..., 0) =⇒ 𝜆1 𝑎1𝑖1 = 0 =⇒ 𝜆1 = 0
⏟ ⏞
лидер
𝜆1 𝑎𝑖2 1 + 𝜆2 𝑎2𝑖2 = 0 =⇒ 𝜆2 = 0 и т.д.
⏟ ⏞
лидер
Получаем, что 𝜆1 = 0, ..., 𝜆𝑠 = 0 =⇒ это ЛК - ЛНЗ.
21
Предложение 2. Ранг системы столбцов не изменяется при элементарных
преобразованиях над строками.
Доказательство.
ЭП строк ̃︀
𝐴 ↦−→ 𝐴
̃︀ = (𝑎̃︁
̃︁
̃︁
Пусть 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) = (𝐴1 , ..., 𝐴𝑛 ), 𝐴
𝑖𝑗 ) = (𝐴1 , ..., 𝐴𝑛 ).
⏞
⏞
⏟
⏟
столбцы 𝐴
̃︀
столбцы 𝐴
Докажем, что если для некоторого числа 𝜆1 , ..., 𝜆𝑛 ∈ R выполнено:
̃︁1 + · · · + 𝜆𝑛 𝐴
̃︁𝑛 = 0 (Верно и
𝜆1 𝐴1 + · · · + 𝜆𝑛 𝐴𝑛 = 0, то для этих же чисел 𝜆1 𝐴
∑︀ ̃︁
обратное, т.к. ЭП обратимы, т.е. если для каких-то чисел 𝜆𝑖 ∈ R : 𝜆𝑖 𝐴
1 = 0,
∑︀
то
𝜆𝑖 𝐴𝑖 = 0).
⎧
⎛ ⎞
⎪
⎪
0
⎨𝜆1 𝑎11 + 𝜆2 𝑎12 + · · · + 𝜆𝑛 𝑎1𝑛 = 0
⎜ ⎟
Дано: 𝜆1 𝐴1 + · · · + 𝜆𝑛 𝐴𝑛 = ⎝ ... ⎠ =⇒ ...
=⇒
⎪
⎪
⎩
0
𝜆1 𝑎𝑚1 + 𝜆2 𝑎𝑚2 + · · · + 𝜆𝑛 𝑎𝑚𝑛 = 0
𝜆1 , ..., 𝜆𝑛 − решение ОСЛУ 𝐴𝑋 = 0. Т.к. при ЭП над уравнениями множество
̃︀ = 0 =⇒
решений не меняется, поэтому 𝜆1 , ..., 𝜆𝑛 - это решение ОСЛУ 𝐴𝑋
̃︁1 + · · · + 𝜆𝑛 𝐴
̃︁𝑛 = 0
𝜆1 𝐴
Отсюда получаем, что если 𝐴𝑖1 , ..., 𝐴𝑖𝑠 - максимальная ЛНЗ система столбцов в
̃︁𝑖 , ..., 𝐴
̃︁𝑖 - максимальная ЛНЗ система столбцов в 𝐴
̃︀ =⇒ 𝑟𝑘{𝐴
̃︁1 , ..., 𝐴
̃︁𝑛 } =
𝐴, то 𝐴
1
𝑠
𝑟𝑘{𝐴1 , ..., 𝐴𝑛 }.
Определение. Пусть 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) - матрица 𝑚×𝑛, тогда 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ) матрица 𝑛×𝑚
называется транспонированной к матрице 𝐴, если 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 , где 𝑖 = 1, 𝑚; 𝑗 = 1, 𝑛
Обозначаем 𝐵 = 𝐴𝑇
Пример.
⎛
⎞
(︃
)︃𝑇
1 4
1 2 3
⎜
⎟
= ⎝2 5⎠
4 5 6
3 6
Следствие. Ранг системы строк матрицы 𝐴 (=рангу матрицы 𝐴) не изменяется при элементарных преобразованиях над столбцами.
Доказательство. Предложение 2 применяем к 𝐴𝑇
Теорема 1. Ранг системы строк матрицы 𝐴 совпадает с рангом системы столбцов матрицы 𝐴.
22
Доказательство. Было доказанно, что ранг системы строк (столбцов) матрицы
не изменяется при ЭП над строками и над столбцами. Приведем матрицу 𝐴 к
ступенчатому виду с помощью ЭП над строками. 𝐴ст имеет вид:
𝑎1𝑖1 ̸= 0, ..., 𝑎𝑠𝑖𝑠 ̸= 0
Используем 𝑖1 -столбец, вычитая этот столбец из оставшихся с подходящими
коэффициентами, получаем:
Далее используем 𝑖2 -столбец, обнуляем все элементы правее 𝑎𝑖2 2 . В итоге получаем:
⎞
⎛
𝑎1𝑖1
0
⎟
⎜
...
⎠
⎝
0
𝑎𝑠𝑖𝑠
Очев, что у такой матрицы ранг системы строк = рангу системы столбцов.
4
Возвращаемся к системе линейных уравнений
⎧
⎪
𝑎11 𝑥1 + ... + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 𝑏
21 2
2𝑛 𝑛
2
..
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑎𝑚1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
(𝐴𝑋 = 𝐵)
Теорема. (Кронекера-Капелли)
1. (Критерий совместимости СЛУ)
CЛУ 𝐴𝑋 = 𝐵 совместна ⇐⇒ 𝑟𝑘(𝐴|𝐵) = 𝑟𝑘𝐴
2. (Критерий определенности СЛУ)
Совместная СЛУ 𝐴𝑋 = 𝐵 - определенна ⇐⇒ 𝑟𝑘(𝐴|𝐵) = 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛
23
3. (Критерий существования нетривиального решения у однородной СЛУ)
ОСЛУ 𝐴𝑋 = 0 имеет нетривиальное решение ⇐⇒ 𝑟𝑘𝐴 < 𝑛
⎧ Однородная СЛУ
⎪
𝑎11 𝑥1 + ... + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 0
21 1
2𝑛 𝑛
..
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑎𝑚1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0
(𝐴𝑋 = 0)
Утверждение. ОСЛУ всегда совместна, т.к. есть тривиальное решение.
Свойства.
⎛ 0⎞
𝑥1
⎜ .. ⎟
0
1. Если 𝑋 = ⎝ . ⎠;
𝑥0𝑛
⎛
⎞
̃︀
0
𝑥
⎜ .1 ⎟
̃︁0 = ⎜ .. ⎟ - решение ОСЛУ,
𝑋
⎝ ⎠
̃︁0
𝑥
𝑛
⎞
⎛
̃︁
0
0
𝑋 +𝑋
⎜ 1 . 1⎟
0
̃︁
⎟
..
тогда 𝑋 + 𝑋 0 = ⎜
⎠
⎝
0
̃︁
0
𝑋 +𝑋
𝑛
𝑛
⎛ 0⎞
⎛ 0⎞
𝑥1
𝜆𝑥1
⎜
⎟
⎜
⎟
2. Если 𝑋 0 = ⎝ ... ⎠ - решение ОСЛУ 𝐴𝑋 = 0, то 𝜆𝑋 0 = ⎝ ... ⎠ - решение.
𝑥0𝑛
𝜆𝑥0𝑛
Доказательство. Д/з
Следствие. Множество всех решений ОСЛУ является векторным
подпространством в R𝑛 . Будем говорить, что это пространство над ОСЛУ.
Замечание. Если ∃ нетривиальное решение ОСЛУ над R, то ∃ бесконечно
много решений.
Теорема 2. Пространство решений ОСЛУ 𝐴𝑋 = 0 имеет базис из 𝑛 − 𝑟 векторов, где 𝑛 - число неизвестных, а 𝑟 = 𝑟𝑘𝐴.
4.1
Фундаментальная система решений
Определение. Любой базис пространства решений ОСЛУ называется
Фундаментальной Системой Решений ОСЛУ (ФСР).
24
Доказательство. (Теоремы 2.)
Решение СЛУ методом Гаусса: приводим её к ступенчатому виду (число ступенек 𝑟 = 𝑟𝑘𝐴), главные неизвестные выражаем через свободные.
⎧
⎪
⎪
⎨𝑥1 = 𝑐1,1 𝑥𝑟+1 + · · · + 𝑐1,𝑛−𝑟 𝑥𝑛
..
.
⎪
⎪
⎩
𝑥𝑟 = 𝑐𝑟,1 𝑥𝑟+1 + · · · + 𝑐𝑟,𝑛−𝑟 𝑥𝑛
Определим 𝑛 − 𝑟 частных решений приравнивая одно из 𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 к 1, а остальные к 0.
⎛ ⎞
⎞
⎛ ⎞
⎛
𝑐11
𝑐12
𝑐1,𝑛−𝑟
⎜ .. ⎟
⎜ .. ⎟
⎜ .. ⎟
⎜ . ⎟
⎜ . ⎟
⎜ . ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎜𝑐𝑟1 ⎟
⎜𝑐𝑟2 ⎟
⎜𝑐𝑟,𝑛−𝑟 ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜
𝐹1 = ⎜ 1 ⎟ , 𝐹2 = ⎜ 0 ⎟ , ..., 𝐹𝑛−𝑟 = ⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎜0⎟
⎜1⎟
⎜ 0 ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜
⎜ .. ⎟
⎜ .. ⎟
⎜ .. ⎟
⎝ . ⎠
⎝ . ⎠
⎝ . ⎠
0
0
1
Докажем, что 𝐹1 , ..., 𝐹𝑛−𝑟 - базис пространства ренений ОСЛУ
1. 𝐹1 , ..., 𝐹𝑛−𝑟 - ЛНЗ?
⎛ ⎞
0
⎜ .. ⎟
Рассмотрим ЛК 𝜆1 𝐹1 + · · · + 𝜆𝑛−𝑟 𝐹𝑛−𝑟 = ⎝ . ⎠
0
⎛
⎞
*
⎜ . ⎟
⎜ .. ⎟ ⎛ ⎞
⎟
⎜
0
⎜ * ⎟
⎟ ⎜ .. ⎟
⎜
=⇒ ⎜
⎟ = ⎝ . ⎠ =⇒ 𝜆1 = 0, ..., 𝜆𝑛−𝑟 = 0
⎜ 𝜆1 ⎟
⎜ . ⎟
0
⎜ .. ⎟
⎠
⎝
𝜆𝑛−𝑟
2. Надо доказать, что любое решение выражено через 𝐹1 , ..., 𝐹𝑛−𝑟
⎞
⎛
𝑐11
⎜ . ⎟
⎜ .. ⎟
⎟
⎜
⎜𝑐 ⎟
⎜ 𝑟1 ⎟
𝑋0 = ⎜
⎟ = 𝜇𝑟+1 𝐹1 + · · · + 𝜇𝑛 𝐹𝑛−𝑟
⎜𝜇𝑟+1 ⎟
⎜ . ⎟
⎜ .. ⎟
⎠
⎝
𝜇𝑛
25
Пример. Найти ФСР ОСЛУ
⎧
⎨𝑥 + 𝑥 + 3𝑥 + 5𝑥 − 𝑥 = 0
1
2
3
4
5
⎩𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 0
(︃
)︃
)︃
)︃
(︃
(︃
1 0 5 9 −3
1 1 3 5 −1
1 1 3 5 −1
→
→
0 1 −2 −4 2
0 1 −2 −4 2
1 2 1 1 1
где 𝑥1 , 𝑥2 - главные, 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 - свободные
⎧
⎨𝑥 = −5𝑥 − 9𝑥 + 3𝑥
1
3
4
5
𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 ∈ R - произвольные
⎩𝑥2 = 2𝑥3 + 4𝑥4 − 2𝑥5
⎛ ⎞
−5
⎜ ⎟
⎜ 2⎟
⎜ ⎟
⎟
𝐹1 = ⎜
⎜ 1 ⎟,
⎜ ⎟
⎝ 0⎠
0
⎛ ⎞
−9
⎜ ⎟
⎜4 ⎟
⎜ ⎟
⎟
𝐹2 = ⎜
⎜ 0 ⎟,
⎜ ⎟
⎝1 ⎠
0
⎞
3
⎜ ⎟
⎜−3⎟
⎜ ⎟
⎟
𝐹3 = ⎜
⎜ 0 ⎟ - три частных решения ОСЛУ
⎜ ⎟
⎝0 ⎠
1
⎛
Проверим, что {𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 }- базис пространства решений ОСЛУ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
*
0
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜*⎟
⎜0⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜𝜆1 ⎟ = 𝜆1 𝐹1 + 𝜆2 𝐹2 + 𝜆3 𝐹3 = ⎜0⎟ =⇒ 𝜆1,2,3 = 0 =⇒ 𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 - ЛНЗ.
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝𝜆2 ⎠
⎝0⎠
0
𝜆3
Проверим, что {𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹3 } порождает пространство решений. Возьмем произвольные числа 𝜇3 , 𝜇4 , 𝜇5 и приравняем 𝑥3 = 𝜇3 , 𝑥4 = 𝜇4 , 𝑥5 = 𝜇5
⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞
⎛ ⎞ ⎛
−5𝜇3 − 9𝜇4 + 3𝜇5
−5
−9
3
𝑥1
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ 2⎟
⎜ 4⎟
⎜−2⎟
⎜𝑥2 ⎟ ⎜ 2𝜇3 + 4𝜇4 − 2𝜇5 ⎟
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0 ⎟
⎜𝑥3 ⎟ = ⎜
=
𝜇
+
𝜇
+
𝜇
𝜇
1
0
3
4
5
3
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟
⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜
𝜇4
⎠
⎝ 0⎠
⎝ 1⎠
⎝0 ⎠
⎝𝑥4 ⎠ ⎝
𝑥5
𝜇5
0
0
1
Такой базис называется нормальный ФСР.
26
4.2
Неоднородная СЛУ
⎧
⎪
𝑎11 𝑥1 + ... + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 𝑏
21 2
2𝑛 𝑛
2
..
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑎𝑚1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑚
(𝐴𝑋 = 𝐵)
Рассмотрим соответствующую (ассоциированную) к ней ОСЛУ
⎧
⎪
𝑎11 𝑥1 + ... + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨𝑎 𝑥 + ... + 𝑎 𝑥 = 0
21 2
2𝑛 𝑛
..
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝑎𝑚1 𝑥1 + ... + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 0
(𝐴𝑋 = 0)
Теорема. Пусть СЛУ 𝐴𝑋 = 𝐵 - совместна. 𝑋0 - произвольное частное решение. Тогда множество 𝑀 всех решений неоднородной СЛУ: 𝐴𝑋 = 𝐵 равно
сумме частного решения 𝑋0 и множеству 𝑀одн всех решений соответствующей
однородной СЛУ: 𝐴𝑋 = 0
𝑀 = 𝑋0 + 𝑀одн = {𝑋0 + 𝑌 |𝑌 ∈ 𝑀одн }
Доказательство. 𝑋0 + 𝑀одн ⊆ 𝑀
Рассмотрим произвольное решение ОСЛУ. 𝑌 ∈ 𝑀одн
⎛ ⎞
⎛ 0⎞
𝑦1
𝑥1
⎜ .. ⎟
⎜ .. ⎟
Пусть 𝑋0 = ⎝ . ⎠ , 𝑌 = ⎝ . ⎠
𝑥0𝑛
𝑦𝑛
⎞
⎛ 0
𝑥1 + 𝑦1
⎟
⎜
Докажем, что 𝑋0 + 𝑌 = ⎝ ... ⎠ - решение СЛУ, т.е. 𝑋0 + 𝑌 ∈ 𝑀
𝑥0𝑛 + 𝑦𝑛
𝐴𝑋 = 𝐵 : 𝑎𝑖1 𝑥01 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝑥0𝑛 = 𝑏𝑖
𝐴𝑋 = 0 : 𝑎𝑖1 𝑦1 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝑦𝑛 = 0
где 𝑖 = 1, 𝑚.
Проверим, что 𝑋0 + 𝑌 ∈ 𝑀
𝑎𝑖1 (𝑥01 + 𝑦1 ) + · · · + 𝑎𝑖𝑛 (𝑥0𝑛 + 𝑦𝑛 ) = 𝑏𝑖
(𝑎𝑖1 𝑥01 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝑥0𝑛 ) + (𝑎𝑖1 𝑦1 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝑦𝑛 ) = 𝑏𝑖
⏟
⏞
⏟
⏞
0 (т.к. 𝑌 ∈𝑀одн )
𝑏𝑖 (т.к. 𝑋0 ∈𝑀 )
27
Обратное утверждение: 𝑀 ⊆ 𝑋0 + 𝑀одн ⎛ ⎞
𝑧1
⎜ .. ⎟
Рассмотрим произвольное решение 𝑍 = ⎝ . ⎠ - неоднородная СЛУ.
𝑧𝑛
⎛
⎞
𝑧1 − 𝑥01
⎜
⎟
Докажем, что 𝑍 − 𝑋0 = ⎝ ... ⎠ - решение однородной СЛУ.
𝑧𝑛 − 𝑥0𝑛
Проверяем
𝑎𝑖1 (𝑧1 − 𝑥01 ) + · · · + 𝑎𝑖𝑛 (𝑧𝑛 − 𝑥0𝑛 ) = 0
(𝑎𝑖1 𝑧1 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝑧𝑛 ) − (𝑎𝑖1 𝑥01 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝑥0𝑛 ) = 0
⏞
⏟
⏟
⏞
𝑏𝑖 (т.к. 𝑍∈𝑀 )
𝑏𝑖 (т.к. 𝑋0 ∈𝑀 )
Замечание.
Общее решение ОСЛУ имеет вид вид:
𝑋 = 𝜇1 𝐹1 + · · · + 𝜇𝑠 𝐹𝑠
где 𝐹1 , ..., 𝐹𝑠 - ФСР ОСЛУ, 𝑠 = 𝑛 − 𝑟𝑘𝐴
Общее решение неоднородной СЛУ:
𝑋 = 𝑋0 + 𝜇 1 𝐹 1 + · · · + 𝜇 𝑠 𝐹 𝑠
𝑋0 - частное решение неоднородной СЛУ
5
Операции над матрицами
𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) - множество всех матриц размера 𝑚 × 𝑛 с коэффициентами из R
𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R), 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ), 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )
1. Сложение матриц
Суммой матриц 𝐴 и 𝐵 называется матрица 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 ) размера 𝑚 × 𝑛, у
которой 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 . Обозначается: 𝐶 = 𝐴 + 𝐵
2. Умножение матриц на число 𝜆 ∈ R
Произведение матрицы 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) на 𝜆 называется матрица 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 ) размера 𝑚 × 𝑛, у которой 𝑐𝑖𝑗 = 𝜆𝑎𝑖𝑗 . Обозначается: 𝐶 = 𝜆𝐴
Утверждение. Множество 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) относительно этих операций сложения и умножения на число, образует векторное пространство над R.
28
Доказательство. 𝐴, 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) =⇒ 𝐴 + 𝐵, 𝜆𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R)
Надо проверить 8 аксиом
1) коммутативность
𝐶 = 𝐴 + 𝐵 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗
̃︀ = 𝐵 + 𝐴 𝑐̃︁
𝐶
𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 + 𝑎𝑖𝑗
т.к. сложение вещественных чисел из R - коммутативно, то 𝑐𝑖𝑗 = 𝑐̃︁
𝑖𝑗 =⇒
̃︀
𝐶=𝐶
=⇒ 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
Упражнение. Аналогично доказать 2), 5)-8)
3) ∃0 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) ∀𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) : 0 + 𝐴 = 𝐴
В качестве 0 берем нулевую матрицу размера 𝑚 × 𝑛
4) ∀𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) ∃𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R) : 𝐴 + 𝐵 = 0
В качестве 𝐵 берем 𝑏𝑖𝑗 = −𝑎𝑖𝑗
Утверждение. 𝑑𝑖𝑚𝑀𝑚×𝑛 = 𝑚 · 𝑛
Доказательство. Достаточно указать базис
= 1, 𝑛
{𝐸𝑠𝑡 }, 𝑠 = 1, 𝑚, 𝑡⎧
⎨1, 𝑖 = 𝑠, 𝑗 = 𝑡
𝐸𝑠𝑡 = (𝑎𝑖𝑗 ), 𝑎𝑖𝑗 =
⎩0, иначе
Упражнение. Проверить, что это базис.
Определение. Матрица 𝐸𝑠𝑡 называется матричной единицей. Базис из
всех матричных единиц называется стандартным базисом в пространстве
∑︀
𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑛 (R). 𝐴 = 𝑎𝑠𝑡 𝐸𝑠𝑡
3. Умножение матриц
𝐴 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑚×𝑘 (R), 𝐵 ∈ 𝑀 𝑎𝑡𝑘×𝑛 (R)
Произведение матрицы 𝐴 на матрицу 𝐵 называется матрица 𝐶 размера
𝑘
∑︀
𝑚 × 𝑛, у которой 𝑐𝑖𝑗 =
𝑎𝑖𝑠 𝑏𝑠𝑗 . Обозначаем 𝐶 = 𝐴𝐵.
𝑠=1
Свойство. Произведение матриц не коммутативно.
29
Пример.
(︃
)︃
(︃
)︃
1 0
0 1
𝐴=
, 𝐵=
0 0
0 0
)︃
)︃
(︃
(︃
0 0
0 1
=⇒ 𝐴𝐵 ̸= 𝐵𝐴
, 𝐵𝐴 =
𝐴𝐵 =
0 0
0 0
Замечание.
⎧
⎪
⎪
⎨𝑎11 𝑥1 + · · · + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
..
.
⎪
⎪
⎩
𝑎𝑚1 𝑥1 + · · · + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
⎛
⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
𝑎11 · · · 𝑎1𝑛
𝑥1
𝑏1
⎟
⎜
⎟
⎜
⎜ ..
.
.
.. ⎠ ⎝ .. ⎠ = ⎝ ... ⎟
⇐⇒ ⎝ .
⎠
𝑎𝑚1 · · · 𝑎𝑚𝑛
𝑥𝑛
𝑏𝑚
Примеры.
1. Проекция
𝜙 : 𝑉 3 → 𝑉 2 , 𝜙 : 𝑥1 𝑖 + 𝑥2 𝑗 + 𝑥3 𝑘 → 𝑥1 𝑖 + 𝑥2 𝑗
2. Поворот
𝜙 : 𝑉 2 → 𝑉 2 Поворот на угол 𝛼 вокруг точки 𝑂
6
Линейные отображения
6.1
Изоморфизм
𝑉, 𝑊 - векторные пространства над R
Определение. Отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 называется изоморфизмом векторных пространств, если:
30
1. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 : 𝜙(𝑎 + 𝑏) = 𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏)
2. ∀𝜆 ∈ R ∀𝑎 ∈ 𝑉 : 𝜙(𝜆𝑎) = 𝜆𝜙(𝑎)
3. 𝜙 является биекцией.
При этом 𝑉, 𝑊 называется изоморфными. Обозначается 𝑉 ∼
=𝑊
Утверждение. Любое векторное пространство над R размерности 𝑛 изоморфно R𝑛 .
Доказательство. Фиксируем базис {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - в 𝑉 .
1. ∀𝑥 ∈ 𝑉 однозначно раскладывается по базису 𝑥 =
𝑛
∑︀
𝑥𝑖 𝑒𝑖 . Зададим отоб-
𝑖=1
ражение 𝜙 : 𝑉 → R𝑛 по правилу:
𝜙 : 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 → (𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 )
Т.к. координаты вектора определены однозначно, то 𝜙 инъективно, сюрьективность очевидна =⇒ 𝜙 - биекция.
2. ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉
𝑥=
𝑛
∑︁
𝑥𝑖 𝑒𝑖
𝑖=1
𝑦=
𝑛
∑︁
𝑦𝑖 𝑒 𝑖
𝑖=1
𝑥+𝑦 =
𝑛
∑︁
(𝑥𝑖 + 𝑦𝑖 )𝑒𝑖
𝑖=1
𝜙(𝑥 + 𝑦) = (𝑥1 + 𝑦1 , ..., 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 ) = (𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 ) + (𝑦1 , ..., 𝑦𝑛 ) = 𝜙(𝑥) + 𝜙(𝑦)
3. ∀𝜆 ∈ R ∀𝑥 ∈ 𝑉
𝑛
∑︁
𝜙(𝜆𝑥) = 𝜙(
𝜆𝑥𝑖 𝑒𝑖 ) = (𝜆𝑥1 , ...., 𝜆𝑥𝑛 ) = 𝜆(𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 ) = 𝜆𝜙(𝑥)
𝑖=1
Примеры.
1. 𝑉 2 ∼
= R2
𝑉3 ∼
= R3
2. 𝑀𝑚×𝑛 (R) ∼
= R𝑚𝑛
Упражнение. 𝑉 ∼
= 𝑊 ⇐⇒ 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑑𝑖𝑚𝑊 ; 𝑉, 𝑊 − конечномерные пространства над R.
31
6.2
Линейные отображение и матрицы
Определение. Отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 называется линейным, если
1. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 𝜙(𝑎 + 𝑏) = 𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏)
2. ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑎 ∈ 𝑉 𝜙(𝜆𝑎) = 𝜆𝜙(𝑎)
Утверждение. 𝑉, 𝑊 - векторные пространства над R.
Если {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - базис 𝑉 , (𝑤1 , ..., 𝑤𝑛 ) - набор векторов из 𝑊 .
Тогда ∃! линейное отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 , которое 𝜙 : 𝑒𝑖 → 𝑤𝑖 ∀𝑖 = 1, 𝑛.
Доказательство.
1. Пусть 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 - линейное отображение такое, что
𝜙(𝑒𝑖 ) = 𝑤𝑖 ∀𝑖 = 1, 𝑛. Тогда образ вектора 𝑥 определяется однозначно по
формуле:
𝜙(𝑥) = 𝜙(𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 ) = 𝑥1 𝜙(𝑒1 ) + · · · + 𝑥𝑛 𝜙(𝑒𝑛 ) = 𝑥1 𝑤1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑤𝑛
где 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛
=⇒ линейное отображение определяется однозначно.
2. Докажем, что ∃ линейное отображение, которое переводит 𝑒𝑖 в 𝑤𝑖 . Отображение зададим формулой:
𝜙 : 𝑥 = 𝑥1 𝑒1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑒𝑛 → 𝑥1 𝑤1 + · · · + 𝑥𝑛 𝑤𝑛
𝜙(𝑎 + 𝑏) = 𝜙((𝑎1 + 𝑏1 )𝑒1 + · · · + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑒𝑛 ) = (𝑎1 + 𝑏1 )𝑤1 + · · · + (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )𝑤𝑛
𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏) = 𝜙(𝑎1 𝑒1 + · · · 𝑎𝑛 𝑒𝑛 ) + 𝜙(𝑏1 𝑒1 + · · · 𝑏𝑛 𝑒𝑛 ) =
= 𝑎1 𝑤1 + · · · + 𝑎𝑛 𝑤𝑛 + 𝑏1 𝑤1 + · · · + 𝑏𝑛 𝑤𝑛 = 𝑤1 (𝑎1 + 𝑏1 ) + · · · + 𝑤𝑛 (𝑎𝑛 + 𝑏𝑛 )
=⇒ 𝜙(𝑎 + 𝑏) = 𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏)
Проверить, что 𝜙(𝜆𝑎) = 𝜆𝜙(𝑎) - ДЗ
Пусть 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 - линейное отображение 𝑉 - 𝑛-мерное, 𝑊 − 𝑚-мерное
пространство.
Фиксируем базис ℰ = {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - базис в 𝑉 ; ℱ = {𝑓1 , ..., 𝑓𝑚 } - базис в 𝑊
𝜙(𝑒1 ) = 𝑤1 = 𝑎11 𝑓1 + · · · + 𝑎𝑚1 𝑓𝑚
..
.
𝜙(𝑒𝑛 ) = 𝑤𝑛 = 𝑎1𝑛 𝑓1 + · · · + 𝑎𝑚𝑛 𝑓𝑚
32
Определение. Матрица 𝐴 размера 𝑚 × 𝑛, составленая из столбцов координат
образов векторов 𝑒𝑖 в образе ℱ, называется матрицей линейного отображения
в базисах ℰ и ℱ
⎛
⎞
𝑎11 · · · 𝑎1𝑛
⎜
.. ⎟
𝐴 = ⎝ ...
. ⎠
𝑎𝑚1 · · · 𝑎𝑚𝑛
⏟ ⏞
⏟ ⏞
𝜙(𝑒1 )
𝜙(𝑒𝑛 )
Утверждение. Пусть ℰ = {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - базис в 𝑉 над R ; ℱ = {𝑓1 , ..., 𝑓𝑚 } базис в 𝑊 над R. Тогда:
• Каждому линейному отображению 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 однозначно соответствуют
матрица размера 𝑚 × 𝑛 этого линейного отображения в базисах ℰ и ℱ.
• Любой матрицы 𝐴 размера 𝑚×𝑛 однозначно соответствует линейное отображение 𝜙 : 𝑉 → 𝑊 , для которого 𝐴 - матрица этого линейного отображения в ℰ, ℱ.
6.3
Операции над линейными отображениями
Пусть 𝑉, 𝑊 - векторные пространства над R
1) Сложение линейных отображений.
𝜙1 : 𝑉 → 𝑊 𝜙2 : 𝑉 → 𝑊 - два линейных отображения
Зададим отображение по правилу
(𝜙1 + 𝜙2 )(𝑥) = 𝜙1 (𝑥) + 𝜙2 (𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑉
Утверждение. Отображение 𝜙1 + 𝜙2 : 𝑉 → 𝑊 является линейным отображением.
Доказательство. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 :
(𝜙1 + 𝜙2 )(𝑎 + 𝑏) = 𝜙1 (𝑎 + 𝑏) + 𝜙2 (𝑎 + 𝑏) =
= 𝜙1 (𝑎) + 𝜙1 (𝑏) + 𝜙2 (𝑎) + 𝜙2 (𝑏) = (𝜙1 + 𝜙2 )(𝑎) + (𝜙1 + 𝜙2 )(𝑏)
Аналогично для (𝜙1 + 𝜙2 )(𝜆𝑎) = 𝜆(𝜙1 + 𝜙2 )(𝑎)
33
Фиксируем базисы ℰ = {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - в 𝑉 и ℱ = {𝑓1 , ..., 𝑓𝑛 } - в 𝑊
𝐴1 - матрица линейного отображения 𝜙1 относильно ℰ и ℱ.
𝐴2 - матрица линейного отображения 𝜙2 относильно ℰ и ℱ.
𝐵 - матрица линейного отображения 𝜙1 + 𝜙2 относильно ℰ и ℱ.
Утверждение. 𝐵 = 𝐴1 + 𝐴2
Доказательство. Размеры совпадают
𝜙1 (𝑒𝑖 ) = 𝑎1𝑖 𝑓1 + · · · + 𝑎𝑚𝑖 𝑓𝑚
𝜙2 (𝑒𝑖 ) = 𝑎̃︁
1𝑖 𝑓1 + · · · + 𝑎̃︁
𝑚𝑖 𝑓𝑚
(𝜙1 + 𝜙2 )(𝑒𝑖 ) = 𝑏1𝑖 𝑓1 + · · · + 𝑏𝑚𝑖 𝑓𝑚
(𝜙1 +𝜙2 )(𝑒𝑖 ) = 𝜙1 (𝑒𝑖 )+𝜙2 (𝑒𝑖 ) = (𝑎1𝑖 𝑓1 +· · ·+𝑎𝑚𝑖 𝑓𝑚 )+(𝑎̃︁
1𝑖 𝑓1 +· · ·+ 𝑎̃︁
𝑚𝑖 𝑓𝑚 ) =
= (𝑎1𝑖 + 𝑎̃︁
1𝑖 )𝑓1 + · · · + (𝑎𝑚𝑖 + 𝑎̃︁
𝑚𝑖 )𝑓𝑚
Т.к. разложение по базису единственное, то
̃︁
𝑏1𝑖 = 𝑎1𝑖 + 𝑎̃︁
1𝑖 , ..., 𝑏𝑚𝑖 = 𝑎𝑚𝑖 + 𝑎̃︁
𝑚𝑖 =⇒ 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑎
𝑖𝑗 =⇒ 𝐵 = 𝐴1 + 𝐴2
2) Умножение линейного отображение на число.
𝜙 : 𝑉 → 𝑊 - линейное отображение, 𝜇 ∈ R - произвольное число.
Зададим отображение по правилу: (𝜇𝜙)(𝑥) = 𝜇𝜙(𝑥) ∀𝑥 ∈ 𝑉
Утверждение. Отображение 𝜇𝜙 : 𝑉 → 𝑊 является линейным (Упражнение)
Доказательство. Аналогично.
Пусть ℰ = {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - базис в 𝑉 и ℱ = {𝑓1 , ..., 𝑓𝑛 } - базис в 𝑊 .
𝐴 - матрица линейного отображения 𝜙 относильно ℰ и ℱ.
𝐵 - матрица линейного отображения 𝜇𝜙 относильно ℰ и ℱ.
Утверждение. 𝐵 = 𝜇𝐴
Доказательство. Видимо дз(
34
3) Композиция (произведение) линейных отображений.
Пусть 𝑉, 𝑊, 𝑈 - векторные простанства над R
𝜙:𝑉 →𝑊
𝜓:𝑊 →𝑈
Зададим отображение по правилу:
(𝜓 ∘ 𝜙)(𝑥) = 𝜓(𝜙(𝑥)) ∀𝑥 ∈ 𝑉
Утверждение. Отображение 𝜓 ∘ 𝜙 : 𝑉 → 𝑈 является линейным.
Доказательство. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉
1. (𝜓 ∘ 𝜙)(𝑎 + 𝑏) = 𝜓(𝜙(𝑎 + 𝑏)) = 𝜓(𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏)) = 𝜓(𝜙(𝑎)) + 𝜓(𝜙(𝑏))
2. Аналогично для (𝜓 ∘ 𝜙)(𝜆𝑎) = 𝜆(𝜓 ∘ 𝜙)(𝑎)
Фиксируем базис: ℰ = {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - базис в 𝑉
ℱ = {𝑓1 , ..., 𝑓𝑚 } - базис в 𝑊
𝒢 = {𝑔1 , ..., 𝑔𝑘 } - базис в 𝑈
𝐴 - матрица линейного отображения 𝜙 относительно ℰ, ℱ.
𝑚×𝑛
𝐵 - матрица линейного отображения 𝜓 относительно ℱ, 𝒢.
𝑘×𝑚
𝐶 - матрица линейного отображения 𝜓 ∘ 𝜙 относительно ℰ, 𝒢.
𝑘×𝑛
Утверждение. 𝐶 = 𝐵 · 𝐴
Доказательство.
𝜙(𝑒𝑖 ) =
𝑚
∑︁
𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑠 ;
𝜓(𝑓𝑠 ) =
𝑠=1
𝑘
∑︁
𝑡=1
По определению матрицы линейного отображения:
(𝜓 ∘ 𝜙)(𝑒𝑖 ) =
𝑘
∑︁
𝑙=1
35
𝑐𝑙𝑖 𝑔𝑙 (*)
𝑏𝑡𝑠 𝑔𝑡
По определению композиции:
𝑚
𝑚
∑︁
∑︁
(𝜓 ∘ 𝜙)(𝑒𝑖 ) = 𝜓(𝜙(𝑒𝑖 )) = 𝜓(
𝑎𝑠𝑖 𝑓𝑠 ) =
𝑎𝑠𝑖 𝜓(𝑓𝑠 ) =
𝑠=1
𝑠=1
=
𝑚
∑︁
𝑘
𝑘 ∑︁
𝑚
∑︁
∑︁
𝑎𝑠𝑖 (
𝑏𝑡𝑠 𝑔𝑡 ) =
(
𝑏𝑡𝑠 𝑎𝑠𝑖 )𝑔𝑡 (⋆)
𝑠=1
𝑡=1
𝑡=1 𝑠=1
=⇒(*) = (⋆).
Т.к. координаты определены однозначно ⇒ 𝑐𝑖𝑡 =
𝑚
∑︀
𝑏𝑡𝑠 𝑎𝑠𝑖 ⇒ 𝐶 = 𝐵 · 𝐶
𝑠=1
6.4
Свойства операций над матрицами
Предположим, что все размеры матриц согласованы.
1. 𝑀𝑚×𝑛 (R) - векторное пространство над R
2. Ассоциативность 𝐴(𝐵𝐶) = (𝐴𝐵)𝐶
Доказательство. 𝐴 , 𝐵 , 𝐶
𝑚×𝑘 𝑘×𝑛 𝑛×𝑙
̃︀ = (𝐴𝐵)𝐶. Надо проверить, что ∀𝑖, 𝑗 : [𝐷]𝑖𝑗 =
Пусть 𝐷 = 𝐴(𝐵𝐶), 𝐷
𝑚×𝑙
𝑚×𝑙
̃︀ 𝑖𝑗 .
[𝐷]
[𝐷]𝑖𝑗 = [𝐴(𝐵𝐶)]𝑖𝑗 =
𝑘
∑︁
[𝐴]𝑖𝑠 · [𝐵𝐶]𝑠𝑖 =
𝑠=1
=
𝑘
∑︁
𝑛
∑︁
[𝐴]𝑖𝑠 ( [𝐵]𝑠𝑡 · [𝐶]𝑡𝑖 ) =
𝑠=1
𝑘 ∑︁
𝑛
∑︁
𝑡=1
[𝐴]𝑖𝑗 ([𝐵]𝑠𝑡 · [𝐶]𝑡𝑖 )
𝑠=1 𝑡=1
̃︀ 𝑖𝑗 = [(𝐴𝐵)𝐶]𝑖𝑗 =
[𝐷]
𝑛
∑︁
𝑛 ∑︁
𝑘
∑︁
[𝐴𝐵]𝑖𝑡 [𝐶]𝑡𝑗 =
( [𝐴]𝑖𝑠 · [𝐵]𝑠𝑡 )[𝐶]𝑡𝑗 =
𝑡=1
=
𝑛 ∑︁
𝑘
∑︁
𝑡=1 𝑠=1
([𝐴]𝑖𝑠 · [𝐵]𝑠𝑡 ) · [𝐶]𝑡𝑗
𝑡=1 𝑠=1
По свойствам операций над R, результаты преобразований равны.
3. 𝐴(𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶
4. (𝐵 + 𝐶)𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴
5. 𝜆(𝐴𝐵) = (𝜆𝐴)𝐵 = 𝐴(𝜆𝐵); ∀𝜆 ∈ R
36
6. ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑚 (R), ∃ единичная матрица 𝐸 ∈ 𝑀𝑚×𝑚 (R) : 𝐸𝐴 = 𝐴
7. ∀𝐴 ∈ 𝑀𝑚×𝑛 (R) : 0 · 𝐴 = 0
8. Нет коммутативности: 𝐴𝐵 ̸= 𝐵𝐴 даже если размеры согласованы
Доказательство. Свойства 3. - 7. упражнение)
6.5
Свойства операции транспонирования
1. (𝐴𝑇 )𝑇 = 𝐴
2. (𝜆𝐴)𝑇 = 𝜆𝐴𝑇
3. (𝐴 + 𝐵)𝑇 = 𝐴𝑇 + 𝐵 𝑇
4. (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵 𝑇 𝐴𝑇
Доказательство. 4. 𝐴 , 𝐵 =⇒ 𝐵 𝑇 , 𝐴𝑇 (размеры совпадают)
𝑚×𝑘 𝑘×𝑛
𝑛×𝑘 𝑘×𝑚
̃︀ = 𝐵 𝑇 𝐴𝑇 .
Проверим равенство 𝐷 = (𝐴𝐵) и 𝐷
𝑇
𝑇
[𝐷]𝑖𝑗 = [(𝐴𝐵) ]𝑖𝑗 = [(𝐴𝐵)]𝑗𝑖 =
𝑘
∑︁
[𝐴]𝑗𝑠 [𝐵]𝑠𝑖
𝑠=1
𝑇
𝑇
̃︀ 𝑖𝑗 = 𝐵 𝐴 =
[𝐷]
𝑘
∑︁
𝑘
∑︁
[𝐵]𝑖𝑠 [𝐴]𝑠𝑗 =
[𝐴]𝑗𝑠 [𝐵]𝑠𝑖
𝑠=1
6.6
𝑠=1
О ранге и операциях над матрицами
Теорема.
1. 𝑟𝑘𝐴𝑇 = 𝑟𝑘𝐴
⎧
⎨𝑟𝑘𝐴, если 𝜆 ̸= 0
2. 𝑟𝑘(𝜆𝐴) =
⎩0, если 𝜆 = 0
3. 𝑟𝑘(𝐴 + 𝐵) ≤ 𝑟𝑘𝐴 + 𝑟𝑘𝐵
4. 𝑟𝑘(𝐴𝐵) ≤ min{𝑟𝑘𝐴, 𝑟𝑘𝐵}
Доказательство.
1. Следует из того, что ранг системы строк = рангу системы столбцов, и из
определения ранга матрицы.
37
2. Очев.
3. Пусть 𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 - строки матрицы 𝐴. 𝑏1 , .., 𝑏𝑚 - строки матрицы 𝐵.
𝑎1 + 𝑏1 , ..., 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 - строки матрицы 𝐴 + 𝐵.
𝑟𝑘𝐴 = 𝑑𝑖𝑚⟨𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ⟩, 𝑟𝑘𝐵 = 𝑑𝑖𝑚⟨𝑏1 , ..., 𝑏𝑚 ⟩
𝑟𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑑𝑖𝑚⟨𝑎1 + 𝑏1 , ..., 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 ⟩
Заметим, что (⟨𝑎1 + 𝑏1 , ..., 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 ⟩) ⊆ (⟨𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 , 𝑏1 , ..., 𝑏𝑚 ⟩)
Лемма. Пусть 𝑉 векторное пространсво над R 𝑑𝑖𝑚𝑉 = 𝑛
𝑈 - произвольное подпространство в 𝑉 . Тогда 𝑑𝑖𝑚𝑈 ≤ 𝑛
Более того, если 𝑈 ̸= 𝑉 , то 𝑑𝑖𝑚𝑈 < 𝑛.
Доказательство. Пусть {𝑒1 , ..., 𝑒𝑚 } - базис 𝑈 ⊆ 𝑉 , т.е. 𝑑𝑖𝑚𝑈 = 𝑚
ЛНЗ система {𝑒1 , ..., 𝑒𝑚 } можно дополнить до базиса в 𝑉 =⇒ 𝑚 ≤ 𝑛
Если 𝑚 = 𝑛, то {𝑒1 , ..., 𝑒𝑚 } - базис 𝑉 =⇒ 𝑉 = 𝑈
Применяем лемму и получаем, что
𝑑𝑖𝑚⟨𝑎1 + 𝑏1 , ..., 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 ⟩ ≤ 𝑑𝑖𝑚⟨𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 , 𝑏1 , ..., 𝑏𝑚 ⟩
Т.к. объединение базисов линейной оболочки 𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 и 𝑏1 , .., 𝑏𝑚 является
конечной порождающей системой линейной оболочки ⟨𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 , 𝑏1 , ..., 𝑏𝑚 ⟩,
а из любой конечной порождающей системы можно выбрать базис, значит:
𝑑𝑖𝑚⟨𝑎1 + 𝑏1 , ..., 𝑎𝑚 + 𝑏𝑚 ⟩ ≤ 𝑑𝑖𝑚⟨𝑎1 , ..., 𝑎𝑚 ⟩ + 𝑑𝑖𝑚⟨𝑏1 , ..., 𝑏𝑚 ⟩
=⇒ 𝑟𝑘(𝐴 + 𝐵) ≤ 𝑟𝑘𝐴 + 𝑟𝑘𝐵
4. Докажем, что 𝑟𝑘𝐴𝐵 ≤ 𝑟𝑘𝐴. Пусть 𝐶 = 𝐴𝐵, 𝐴 , 𝐵
𝑚×𝑘 𝑘×𝑛
𝐴1 , ..., 𝐴𝑛 - столбцы матрицы 𝐴
𝐵1 , ..., 𝐵𝑛 - столбцы матрицы 𝐵
𝐶1 , ..., 𝐶𝑛 - столбцы матрицы 𝐶
𝐶1 = 𝐴𝐵1 = 𝐴1 𝑏11 + · · · + 𝐴𝑘 𝑏𝑘1
𝐶2 = 𝐴𝐵2 = 𝐴1 𝑏12 + · · · + 𝐴𝑘 𝑏𝑘2
..
.
𝐶𝑛 = 𝐴𝐵𝑛 = 𝐴1 𝑏1𝑛 + · · · + 𝐴𝑘 𝑏𝑘𝑛
38
=⇒ ⟨𝐶1 , ..., 𝐶𝑛 ⟩ ⊆ ⟨𝐴1 , ..., 𝐴𝑘 ⟩ =⇒ 𝑑𝑖𝑚⟨𝐶1 , ..., 𝐶𝑛 ⟩ ≤ 𝑑𝑖𝑚⟨𝐴1 , ..., 𝐴𝑘 ⟩ =⇒
𝑟𝑘𝐶 ≤ 𝑟𝑘𝐴.
Докажем, что 𝑟𝑘𝐴𝐵 ≤ 𝑟𝑘𝐵.
𝑟𝑘(𝐴𝐵) = 𝑟𝑘(𝐴𝐵)𝑇 = 𝑟𝑘(𝐵 𝑇 𝐴𝑇 ) ≤ 𝑟𝑘𝐵 𝑇 = 𝑟𝑘𝐵
7
Перестановки
Определение. Упорядоченная последовательность (𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 ) чисел 1, 2, ..., 𝑛
расположенных в некотором порядке называется перестановкой из 𝑛 элементов.
Пример. (3, 1, 2) перестановка из 3-х элементов.
Определение. Перестановка (1, 2, ..., 𝑛) называется тривиальной.
Определение. Говорят, что пара элементов 𝑘𝑖 и 𝑘𝑗 образуют инверсию, если
𝑖 < 𝑗, то 𝑘𝑖 > 𝑘𝑗 .
Определение. Перестановка называется четной (нечетной), если число инверсий в ней четное (нечетное).
Знак переставки 𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 ) = (−1)𝑠 , где 𝑠 - число инверсий в перестановке.
Определение. Перемена двух элементов в перестановке называется транспозицией этих элементов.
Утверждение. При транспозиции любых двух элементов четность меняется
на противоположную.
Доказательство.
1. Транспозиция двух соседних элементов.
При этом изменяется расположение только этих элементов относительно
других =⇒ количество инверсий изменился на 1 =⇒ четность поменяется.
2. Общий случай:
(..., 𝑘𝑖 , ..., 𝑘𝑗 , ...) → (..., 𝑘𝑗 , ..., 𝑘𝑖 , ...)
Пусть между 𝑘𝑖 и 𝑘𝑗 (s) элементов.
Перемену 𝑘𝑖 и 𝑘𝑗 произведем за 2𝑠 + 1 транспозиций соседних элементов.
Сначала 𝑘𝑖 переставим последовательно с каждым из элементов, стоящих
39
между 𝑘𝑖 и 𝑘𝑗 (это 𝑠 транспозиций), потом 𝑘𝑖 переставим с 𝑘𝑗 , затем 𝑘𝑗 поставим на 𝑖 позицию (это еще 𝑠 транспозиций).
Т.к. транспозиция соседних элементов меняет четность, то за 2𝑠 + 1 транспозиций четность изменится.
Следствие. Пусть 𝑛 > 1. Тогда число четных перестановок из 𝑛 элементов
равно числу нечетных.
Доказательство. Перечислим все четные перестановки и в каждой поменяем
местами первые 2 элемента. При этом получим различные нечетные перестановки =⇒ число четных перестановок ≤ числа нечетных. Аналогично в обратную
сторону.
=⇒ число четных = число нечетных.
Утверждение. Число перестановок из 𝑛 элементов равно 𝑛!
Доказательство. (𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 ) для 𝑘1 вариантов - 𝑛
Пусть выбрали 𝑘1 =⇒ для 𝑘2 вариантов - 𝑛−1 и т.д. Получаем всего вариантов:
𝑛 · (𝑛 − 1) · ... · 1 = 𝑛!
8
Определители n-го порядка
Определение. Определителем квадратной матрицы 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) порядка 𝑛 на𝑛×𝑛
зывается число, которое вычисляется по формуле:
∑︁
|𝐴| = det 𝐴 =
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , . . . , 𝑘𝑛 )𝑎1𝑘1 𝑎2𝑘2 . . . 𝑎1𝑘𝑛
(𝑘1 ,...,𝑘𝑛 )
Где
∑︀
- сумма по всем перестановкам из 𝑛 элементов. Эта формула называ-
(𝑘1 ,...,𝑘𝑛 )
ется формулой полного разложения или полного развертывания определителя.
Пример.
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑎 ⃒
⃒ 11 12 ⃒
⃒ = 𝑠𝑔𝑛(1, 2)𝑎11 𝑎22 + 𝑠𝑔𝑛(2, 1)𝑎12 𝑎21 = 𝑎11 𝑎22 − 𝑎12 𝑎21
⃒
⃒𝑎21 𝑎22 ⃒
⎛
𝑎1
𝑎2
..
.
𝑎𝑛
⎜
⎜
𝐴 =⎜
⎜
𝑛×𝑛
⎝
40
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
Пусть 𝑎1 , 𝑎2 , . . . 𝑎𝑛 - строки матрицы 𝐴. Тогда определитель можно рассматривать как функцию от строк det 𝐴 = det (𝑎1 , 𝑎2 , . . . 𝑎𝑛 )
Определение. Функция 𝑓 (𝑣1 , . . . , 𝑣𝑛 ), которая векторам 𝑣1 , . . . , 𝑣𝑛 в вектроном
простанстве 𝑉 над R ставит в соответствие число из R, то есть 𝑓 : 𝑉 ×· · ·×𝑉 →
R называется полилинейной, если она линейна по каждому аргументу, т.е. для
каждого 𝑖 = 1, 𝑛 выполнено:
1. 𝑓 (𝑣1 , . . . , 𝑣𝑖 + 𝑣̃︀𝑖 , . . . , 𝑣𝑛 ) = 𝑓 (𝑣1 , . . . , 𝑣𝑖 , . . . , 𝑣𝑛 ) + 𝑓 (𝑣1 , . . . , 𝑣̃︀𝑖 , . . . , 𝑣𝑛 ),
∀𝑣𝑖 , 𝑣̃︀𝑖 ∈ 𝑉 .
2. 𝑓 (𝑣1 , . . . , 𝜆𝑣𝑖 , . . . , 𝑣𝑛 ) = 𝜆𝑓 (𝑣1 , . . . , 𝑣𝑖 , . . . , 𝑣𝑛 ), ∀𝜆 ∈ R, ∀𝑣𝑖 ∈ 𝑉 .
Определение. Полилинейная функция 𝑓 : 𝑉 × · · · × 𝑉 → R называется кососимметричной, если при перестановке любых двух аргументов значение функции умножается на (−1). Кососимметричная функция с двумя одинаковыми
аргументами равна нулю.
Пример. Если 𝑓 - кососимметричная функция и 𝑣1 = 𝑣2 , то
𝑓 (𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 , . . . , 𝑣𝑛 ) = −𝑓 (𝑣2 , 𝑣1 , 𝑣3 , . . . , 𝑣𝑛 ) = 𝑎 =⇒ 𝑎 = −𝑎 =⇒ 𝑎 = 0.
8.1
Свойства определителей
Теорема 1. Определитель 𝑛-го порядка является кососимметричной полилинейной функцией от строк матрицы.
Доказательство.
⎛
⎜
⎜
𝐴=⎜
⎜
⎝
𝑎1
𝑎2
..
.
𝑎𝑛
⎞
⎟
⎟
⎟ = (𝑎𝑖𝑗 ), 𝑎𝑖 = (𝑎𝑖1 , . . . , 𝑎𝑖𝑛 )
⎟
⎠
∑︁
det 𝐴 = det (𝑎1 , . . . 𝑎𝑛 ) =
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , . . . 𝑘𝑛 )𝑎1𝑘1 . . . 𝑎𝑛𝑘𝑛
(𝑘1 ,...𝑘𝑛 )
Докажем, что det 𝐴 линеен по 𝑖-му аргументу.
𝑛
∑︁
det 𝐴 =
𝑎𝑖𝑘 𝑢𝑘
𝑘=1
где 𝑢𝑘 - число не зависящее от элементов строки 𝑎𝑖
′
1. det(𝑎1 , . . . , 𝑎𝑖 + 𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑛 ) =
𝑛
∑︁
(𝑎𝑖𝑘 + 𝑎′𝑖𝑘 )𝑢𝑘 =
𝑘=1
𝑛
∑︁
𝑘=1
𝑎𝑖𝑘 𝑢𝑘 +
𝑛
∑︁
𝑎′𝑖𝑘 𝑢𝑘 =
𝑘=1
= det (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑛 ) + det (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑖 ′ , . . . , 𝑎𝑛 )
41
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
𝑎𝑖𝑘 𝑢𝑘 = 𝜆 det (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑛 )
(𝜆𝑎𝑖𝑘 )𝑢𝑘 = 𝜆
2. det (𝑎1 , . . . , 𝜆𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑛 ) =
𝑘=1
𝑘=1
Теперь докажем кососимметричность:
det (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑗 , . . . , 𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑛 ) =
=
(𝑎𝑖 )
(𝑎𝑗 )
∑︁
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , . . . 𝑘𝑛 )𝑎1𝑘1 . . . 𝑎𝑗𝑘𝑖 . . . 𝑎𝑖𝑘𝑗 . . . 𝑎𝑛𝑘𝑛 =
(𝑘1 ...𝑘𝑖 ...𝑘𝑗 ...𝑘𝑛 )
=
∑︁
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , . . . 𝑘𝑛 )𝑎1𝑘1 . . . 𝑎𝑖𝑘𝑗 . . . 𝑎𝑗𝑘𝑖 . . . 𝑎𝑛𝑘𝑛 =
(𝑘1 ...𝑘𝑖 ...𝑘𝑗 ...𝑘𝑛 )
∑︁
=−
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , . . . 𝑘𝑛 )𝑎1𝑘1 . . . 𝑎𝑖𝑘𝑖 . . . 𝑎𝑗𝑘𝑗 . . . 𝑎𝑛𝑘𝑛 =
(𝑘1 ...𝑘𝑖 ...𝑘𝑗 ...𝑘𝑛 )
= − det (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑖 , . . . , 𝑎𝑗 , . . . , 𝑎𝑛 )
Теорема 2. Пусть 𝑓 (𝐴) = 𝑓 (𝑎1 , . . . , 𝑎𝑛 ) - функция от строк, 𝐴 ∈ 𝑀𝑛 (R) такие,
что:
1. 𝑓 (𝐸) = 1
2. 𝑓 - Полилинейная
3. 𝑓 - Кососимметричная
тогда 𝑓 (𝐴) = det 𝐴.
Доказательство.
𝑒1 ⎞
= (1, 0, ..., 0), ..., 𝑒𝑛 = (0, ..., 0, 1) - строки единичной мат⎛
1
0
⎜ ..
⎟
рицы 𝐸 = ⎝
. ⎠ =⇒ {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - базис в векторном пространстве R𝑛
0
1
=⇒ 𝑎𝑖 = (𝑎𝑖1 , ..., 𝑎𝑖𝑛 ) = 𝑎𝑖1 𝑒1 + · · · + 𝑎𝑖𝑛 𝑒𝑛
=⇒ 𝑓 (𝐴) = 𝑓 (𝑎1 , ..., 𝑎𝑛 ) = 𝑓 (
𝑛
∑︁
𝑘1 =1
=
𝑛
∑︁
𝑘1 =1
=
...
𝑛
∑︁
𝑎1𝑘1 𝑒𝑘1 , ...,
𝑛
∑︁
𝑘𝑛 =1
𝑎1𝑘1 · ... · 𝑎𝑛𝑘𝑛 · 𝑓 (𝑒𝑘1 , ..., 𝑒𝑘𝑛 ) =
𝑘𝑛 =1
∑︁
𝑎𝑛𝑘𝑛 𝑒𝑘𝑛 ) =
𝑓 (𝑒𝑘1 , ..., 𝑒𝑘𝑛 ) · 𝑎1𝑘1 · ... · 𝑎𝑛𝑘𝑛
(𝑘1 ,...,𝑘𝑛 )
42
Осталось доказать, что 𝑓 (𝑒𝑘1 , ..., 𝑒𝑘𝑛 ) = 𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 ).
Т.к. 𝑓 (𝐸) = 1, то 𝑓 (𝐴) = 𝑓 (𝑒1 , 𝑒2 , ..., 𝑒𝑛 ) = 𝑠𝑔𝑛(1, 2, ..., 𝑛)(*)
Меняя любые два аргумента местами, 𝑓 меняет знак, т.к. 𝑓 кососимметрична.
С другой стороны, меняя два любые числа перестановки местами, знак перестановки 𝑠𝑔𝑛 тоже меняет знак.
Любую перестановку можно получить из тривиальной за конечное число транспозиций.
Т.к. (*) верно, то, делая последовательно транспозицию в перестановке, и такую
же перемену аргументов у функции 𝑓 , получим 𝑓 (𝑒𝑘1 , ..., 𝑒𝑘𝑛 ) = 𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 ).
Следствие.
1. Если в квадратной матрице 𝐴 одна из строк равна линейной комбинации
остальных, то 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0
2. Если к строке квадратной матрицы 𝐴 применить ЭП1 (т.е. к строке прибавить другую, умноженную на число), то определитель не изменится.
Доказательство.
2) 𝑑𝑒𝑡(𝑎1 , ..., 𝑎𝑖 + 𝜆𝑎𝑗 , ..., 𝑎𝑛 ) =
= 𝑑𝑒𝑡(𝑎1 , ..., 𝑎𝑖 , ..., 𝑎𝑗 , ..., 𝑎𝑛 ) + 𝜆𝑑𝑒𝑡(𝑎1 , ..., 𝑎𝑗 , ..., 𝑎𝑗 , ..., 𝑎𝑛 ) =
= 𝑑𝑒𝑡(𝑎1 , ..., 𝑎𝑖 , ..., 𝑎𝑗 , ..., 𝑎𝑛 )
Определение. Квадратная матрица 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) называется (верхней) треугольной матрицей, если 𝑎𝑖𝑗 = 0 при 𝑖 > 𝑗.
⎛
⎞
1 2 3
⎜
⎟
Пример. ⎝0 4 2⎠
0 0 0
Можно проследить, как влияют ЭП на определитель:
• ЭП1 = 𝑎𝑖 → 𝑎𝑖 + 𝜆𝑎𝑗
𝑑𝑒𝑡 не изменится.
• ЭП2 𝑎𝑖 → 𝑎𝑗
𝑑𝑒𝑡 умножается на -1.
• ЭП3 𝑎𝑖 → 𝜇𝑎𝑖 , 𝜇 ̸= 0
𝑑𝑒𝑡 умножится на 𝜇.
Утверждение. Определитель верхней треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов.
43
⃒
⃒
⃒𝑎 𝑎 · · · 𝑎 ⃒
⃒ 11 12
1𝑛 ⃒
⃒
⃒
⃒ 0 𝑎22 · · · 𝑎2𝑛 ⃒
⃒ = 𝑎11 · 𝑎22 · ... · 𝑎𝑛𝑛
Доказательство. ⃒⃒
...
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 0 0 · · · 𝑎𝑛𝑛 ⃒
Рассмотрим любую не тождественную перестановку (𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 ), где 𝑘𝑖 ̸= 𝑖. Тогда
найдется такой множитель (𝑖 > 𝑗) 𝑎𝑖𝑗 = 0, =⇒ это слагаемое обнулится. =⇒ Во
всей сумме останется только тождественная перестановка.
Теорема 3. Определитель при транспонировании не изменяется: 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡𝐴𝑇
Доказательство. Пусть 𝐵 = 𝐴𝑇 , 𝑎 = (𝑎𝑖𝑗 ), 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )
∑︀
𝑑𝑒𝑡𝐴 =
𝑠𝑔𝑛(𝑙1 , ..., 𝑙𝑛 )𝑎1𝑙1 , ..., 𝑎𝑛𝑙𝑛
(𝑙1 ,...,𝑙𝑛 )
𝑑𝑒𝑡𝐴𝑇 = 𝑑𝑒𝑡𝐵 =
∑︁
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 )𝑏1𝑘1 , ..., 𝑏𝑛𝑘𝑛 =
(𝑘1 ,...,𝑘𝑛 )
=
∑︁
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 )𝑎𝑘1 1 , ..., 𝑎𝑘𝑛 𝑛 =
(𝑘1 ,...,𝑘𝑛 )
=
∑︁
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 )𝑠𝑔𝑛(1, 2, ..., 𝑛)𝑎𝑘1 1 , ..., 𝑎𝑘𝑛 𝑛 = (*)
(𝑘1 ,...,𝑘𝑛 )
Переставим 𝑎𝑖𝑗 , переупорядочив номера строк, т.е. первые индексы по возрастанию последовательно, меняя два множителя местами:
𝑎𝑘1 1 , ..., 𝑎𝑘𝑖 𝑖 , ..., 𝑎𝑘𝑗 𝑗 , ..., 𝑎𝑘𝑛 𝑛
⏞
⏟
меняем
При этом перемене двух множителей местами меняется местами и первые индексы и вторые. При этом:
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑖 , ..., 𝑘𝑗 , ..., 𝑘𝑛 ) · 𝑠𝑔𝑛(1, ..., 𝑖, ..., 𝑗, ..., 𝑛) =
= (−1)2 𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑗 , ..., 𝑘𝑖 , ..., 𝑘𝑛 ) · 𝑠𝑔𝑛(1, ..., 𝑗, ..., 𝑖, ..., 𝑛)
(*) =
∑︀
𝑠𝑔𝑛(1, 2, ..., 𝑛)𝑠𝑔𝑛(𝑙1 , ..., 𝑙𝑛 )𝑎1𝑙1 , ..., 𝑎𝑛𝑙𝑛 = 𝑑𝑒𝑡𝐴
(𝑙1 ,...,𝑙𝑛 )
Следствие. Определитель матрицы есть кососимметричная и полилинейная
функция столбцов матрицы.
Все свойства определителя, которые верны для строк матрицы, верны и для
столбцов.
44
8.2
Элементарные матрицы
Определение. Матрица, полученная из единичной матрицы 𝐸, с помощью
одного элементарного преобразования над строками или столбцами, называется
элементарной матрицей.
ЭП1: 𝑎𝑖 → 𝑎𝑖 + 𝜆𝑎𝑗 , 𝑖 ̸= 𝑗
ЭП2: 𝑎𝑖 ↔ 𝑎𝑗 , 𝑖 ̸= 𝑗
ЭП3: 𝑎𝑖 ↔ 𝜇𝑎𝑖 , 𝜇 ̸= 0
Лемма 1.
1.1 Любые ЭП над строками матрицы 𝐴 равносильно умножению матрицы 𝐴
слева на элементарную матрицу, т.е.
̃︀ ⇐⇒ 𝐴
̃︀ = 𝑇 · 𝐴 где 𝑇 - элементарная матрица, такая что 𝐸 ⇝ 𝑇
𝐴⇝𝐴
1.2 Любые ЭП над столбцами матрицы 𝐴 равносильно умножению матрицы
𝐴 справа на элементарную матрицу.
Доказательство. Непосредственная проверка
Лемма 2. Пусть 𝐴 - квадратная матрица порядка 𝑛, тогда:
1. Если 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0, то с помощью ЭП над строками, 𝐴 можно привести к 𝐸.
2. Если 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0, то с помощью ЭП над строками, в 𝐴 можно получить
нулевую строку
45
Доказательство. Методом Гаусса любую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Ступенчатый вид для квадратной матрицы является верхнетреугольной, т.е.:
⎛
⎞
𝑎̃︁
*
11
⎜
⎟
...
̃︀
𝐴⇝𝐴=⎝
⎠
0
𝑎̃︁
𝑛𝑛
̃︀ где 𝜉 ̸= 0, 𝑑𝑒𝑡𝐴
̃︀ = 𝑎̃︁
=⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝜉 · 𝑑𝑒𝑡𝐴,
11 · ... · 𝑎̃︁
𝑛𝑛
Итак,
̃︀ = 0 ⇐⇒ 𝑎̃︁
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 ⇐⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴
11 · ... · 𝑎̃︁
𝑛𝑛 = 0
1. Если 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0, то 𝑎11 ̸= 0, ..., 𝑎𝑛𝑛 ̸= 0 - лидеры матрицы 𝐴
̃︀ приводится к улучшенному ступенчатому виду обратными ходом
=⇒ 𝐴
Гаусса и этот улучшенный ступенчатый вид совпадает с 𝐸
2. Если 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0, то 𝑎11 · ... · 𝑎𝑛𝑛 = 0 =⇒ ∃𝑘 : 𝑎𝑘𝑘 = 0. По определению
̃︀
ступенчатого вида ∀𝑖 > 𝑘 : 𝑎̃︁𝑖𝑖 = 0 =⇒ 𝑎̃︁
𝑛𝑛 = 0 =⇒ последня строка в 𝐴
нулевая.
Теорема 4. Пусть 𝐴, 𝐵 - квадратные матрицы порядка 𝑛, тогда:
𝑑𝑒𝑡𝐴𝐵 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 · 𝑑𝑒𝑡𝐵
Доказательство. Из ассоциативности умножения 𝑇 (𝐴𝐵) = (𝑇 𝐴)𝐵, где 𝑇 элементарная матрица, получаем, что элементраное преобразование над строками
матрицы 𝐴 соответствует элементарному преобразованию строк матрицы 𝐴𝐵.
̃︀ с нулевой строкой)
1 случай. 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 (по лемме (1), пункт 2)=⇒ 𝐴 ⇝ 𝐴(
̃︀ = ·(𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 ) · 𝐴, где 𝑇𝑖 - матрицы элементарных преобразований.
=⇒ 𝐴
̃︀ =⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴𝐵 = 0, т.к. 𝐴𝐵 ⇝ 𝐴𝐵
̃︀
=⇒ (𝑇1 ·...·𝑇𝑘 )(𝐴𝐵) = ((𝑇1 ·...·𝑇𝑘 )𝐴)𝐵 = 𝐴𝐵
2 случай. 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 (по лемме (1), пункт 1) =⇒ 𝐴 ⇝ 𝐸 =⇒ 𝐸 = (𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )𝐴, где 𝑇𝑖
- матрицы элементарных преобразований.
(𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )(𝐴𝐵) = ((𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )𝐴)𝐵 = 𝐸𝐵 = 𝐵
=⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴𝐵 = 𝑐 · 𝑑𝑒𝑡((𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )𝐴𝐵) = 𝑐 · 𝑑𝑒𝑡𝐵
Рассмотрим отношение:
𝑑𝑒𝑡𝐴𝐵
= (*)
𝑑𝑒𝑡𝐴
46
Произведем над матрицей 𝐴 ЭП, которые приведут матрицу 𝐴 ⇝ 𝐸, одновременно производим такие же ЭП над 𝐴𝐵.
𝑑𝑒𝑡𝐸𝐵
= 𝑑𝑒𝑡𝐵
(*) =
𝑑𝑒𝑡𝐸
Теорема 5. (Об определителе с углом нулей)
Пусть 𝐴 - квадратная матрица порядка 𝑘
𝐵 - квадратная матрица порядка 𝑚
𝐶 - матрица размера 𝑘 × 𝑚.
Тогда:
(︃
)︃
𝐴 𝐶
𝑑𝑒𝑡
(*) = 𝑑𝑒𝑡𝐴 · 𝑑𝑒𝑡𝐵
0
𝐵
Доказательство.
1 случай. 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 0
̃︀ Производя точно такие же ЭП над послед(По лемме (2), пункт 2) 𝐵 ⇝ 𝐵
ними 𝑚 строками матрицы (*) , получаем нулевую строку
)︃
(︃
𝐴 𝐶
= 𝑑𝑒𝑡𝐴 · 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 0
=⇒ 𝑑𝑒𝑡
0
𝐵
2 случай. 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 Аналогично как в 1 случае, только ЭП над столбцами.
3 случай. 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0, 𝑑𝑒𝑡𝐵 ̸= 0
Рассмотрим отношение:
𝑑𝑒𝑡
(︃
𝐴
0
𝐶
𝐵
)︃
𝑑𝑒𝑡𝐴 · 𝑑𝑒𝑡𝐵
(По лемме (2), пункт 1) 𝐴 ⇝ 𝐸, 𝐵 ⇝ 𝐸
Преобразуем матрицу 𝐴 с помощью ЭП над стролбцами, которые приводят
𝐴 ⇝ 𝐸, преобразуем 𝐵 с помощью ЭП над строками, которые приводят
𝐵 ⇝ 𝐸. Одновременно преобразуем матрицу (*) с помощью таких же ЭП
над строками и столбцами, отношение при этом не изменится.
Тогда:
(︃
)︃
(︃
)︃
𝐴 𝐶
𝐸
𝐶
𝑑𝑒𝑡
𝑑𝑒𝑡
0
𝐵
0
𝐸
=
=1
𝑑𝑒𝑡𝐴 · 𝑑𝑒𝑡𝐵
𝑑𝑒𝑡𝐸 · 𝑑𝑒𝑡𝐸
47
8.3
Разложение определителя по строке
𝐴 - матрица размера 𝑚 × 𝑛.
𝑖1 , ..., 𝑖𝑘 - номера некоторого разложения строк в 𝐴.
𝑗1 , ..., 𝑗𝑡 - номера некоторого разложения столбцов в 𝐴.
Определение. Матрица, состоящая из элементов матрицы 𝐴, стоящих на пересечении строк с номерами 𝑖1 , ..., 𝑖𝑘 и столбцов с номерами 𝑗1 , ..., 𝑗𝑡 , называется
подматрицей матрицы 𝐴
𝑖1 · · · 𝑖𝑠
..
Обозначение: 𝐴 ...
.
𝑗1 · · · 𝑗𝑡
Определение. Минорами 𝑘−ого порядка матрицы 𝐴 называется определитель
квадратной подматрицы порядка 𝑘.
Пример.
⃒
⃒
⃒6 8 ⃒
⃒
⃒
=⇒ Минор = ⃒
⃒
⃒7 7 ⃒
Пусть 𝐴 квадратная матрица порядка 𝑛
Определение. Минор порядка (𝑛 − 1) квадратной матрицы 𝐴, порядка 𝑛, полученный вычеркиванием 𝑖−ой строки и 𝑗−ого столбца, называется дополнительным минором к элементу 𝑎𝑖𝑗 .
Обозначается: 𝑀𝑖𝑗
Пример.
⃒
⃒2
⃒
=⇒ 𝑀12 = ⃒
⃒8
⃒
3⃒⃒
⃒ = −6
9⃒
Определение. Алгебраческое дополнение к элементу 𝑎𝑖𝑗 - это число:
𝐴𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗 · 𝑀𝑖𝑗
Пример. (к прошлому примеру) 𝐴21 = (−1)2+1 (−6) = 6
Лемма. Матрица 𝐴 , полученная из 𝐴 заменной 𝑖−ой строки на
(0, ..., 0, 𝑎𝑖𝑗 , 0, ..., 0):
⎛
⎞
..
.
⎜
⎟
𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡 ⎝0 · · · 𝑎𝑖𝑗 · · · 0⎠ = 𝑎𝑖𝑗 · 𝐴𝑖𝑗
..
.
48
Доказательство.
⃒
⃒ 𝑎11 ... ... ... 𝑎1𝑛
⃒
⃒ ..
..
⃒ .
.
⃒
⃒ 0 ... 𝑎𝑖𝑗 ... 0
⃒
⃒ ..
..
⃒ .
.
⃒
⃒𝑎𝑛1 ... ... ... 𝑎𝑛𝑛
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒𝑎
⃒
⃒ = (−1)𝑖−1 · (−1)𝑗−1 · ⃒⃒ 𝑖𝑗 0 ⃒⃒ =
⃒
⃒* 𝐵 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
= (−1)𝑖+𝑗 · 𝑎𝑖𝑗 · 𝑑𝑒𝑡𝐵 = (−1)𝑖+𝑗 · 𝑎𝑖𝑗 · 𝑀𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 · 𝐴𝑖𝑗
где 𝐵 - подматрица 𝐴, из которой вычеркнули 𝑖−ую строку и 𝑗−ый столбец.
Теорема 6.
1. 𝑑𝑒𝑡𝐴 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 - формула разложения по 𝑖-ой строке.
𝑗=1
2. 𝑑𝑒𝑡𝐴 =
𝑛
∑︀
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗 - формула разложения по 𝑗-ому столбцу.
𝑖=1
Доказательство.
⃒
⃒
⃒ 𝑎11 ... ... ... 𝑎1𝑛 ⃒
⃒
⃒
⃒ ..
.
.. ⃒⃒
⃒ .
⃒
⃒ В силу линейности
𝑑𝑒𝑡𝐴 = ⃒⃒ 𝑎𝑖1 ... ... ... 𝑎𝑖𝑛 ⃒⃒
=
⃒ ..
.. ⃒
⃒ .
. ⃒
⃒
⃒
⃒𝑎𝑛1 ... ... ... 𝑎𝑛𝑛 ⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑎11 ... ... ... 𝑎1𝑛 ⃒
⃒ 𝑎11 ... ... ... 𝑎1𝑛
⃒
⃒
⃒
⃒ ..
⃒
⃒ ..
.
..
.. ⃒
⃒ .
⃒ .
.
⃒
⃒
⃒
= ⃒⃒ 𝑎𝑖1 0 ... ... 0 ⃒⃒ + ... + ⃒⃒ 0 ... ... 0 𝑎𝑖𝑛
⃒ ..
⃒ ..
.. ⃒
..
⃒ .
⃒ .
. ⃒
.
⃒
⃒
⃒
⃒𝑎𝑛1 ... ... ... 𝑎𝑛𝑛 ⃒
⃒𝑎𝑛1 ... ... ... 𝑎𝑛𝑛
= 𝑎𝑖1 𝐴𝑖1 + ... + 𝑎𝑖𝑛 𝐴𝑖𝑛 =
𝑛
∑︁
𝑗=1
49
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑗
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒=
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒
8.4
Определитель Вандермонда
Определение. 𝑉 (𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 ) - определитель Вандермонда.
⃒
⃒
⃒ 1
⃒
1
1
...
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑥1
𝑥2
𝑥3 ... 𝑥𝑛 ⃒
∏︁
⃒
⃒
𝑥22
𝑥23 ... 𝑥2𝑛 ⃒⃒ =
𝑉 (𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 ) = ⃒⃒ 𝑥21
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )
..
..
.. ⃒ 1≤𝑖≤𝑗≤𝑛
⃒ ..
.
.
...
. ⃒
⃒ .
⃒ 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−1
⃒
⃒𝑥1
⃒
... 𝑥𝑛−1
𝑥3
𝑥2
𝑛
Вычисление
по 𝑛
⃒ индукции
⃒
⃒1 1⃒
⃒
⃒
База: 𝑛 = 2 : ⃒
⃒ = 𝑥2 − 𝑥1
⃒𝑥1 𝑥2 ⃒
Пусть верно для (𝑛 − 1), тогда вычислим для 𝑛:
(1)
𝑉 (𝑥1 , ..., 𝑥𝑛 ) =
⃒
⃒
⃒
⃒1
1
1
...
1
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒0
𝑥2 − 𝑥1
𝑥3 − 𝑥1
...
𝑥𝑛 − 𝑥1 ⃒
⃒ (2)
(1) ⃒
...
𝑥2𝑛 − 𝑥1 𝑥𝑛 ⃒⃒ =
𝑥23 − 𝑥1 𝑥3
𝑥22 − 𝑥1 𝑥2
= ⃒⃒0
..
..
..
⃒ ..
⃒
.
.
...
.
⃒.
⃒
⃒
⃒
𝑛−1
𝑛−2
𝑛−1
𝑛−2
𝑛−2
𝑛−1
⃒0 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2
𝑥3 − 𝑥1 𝑥3
... 𝑥𝑛 − 𝑥1 𝑥𝑛 ⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑥 −𝑥
𝑥3 − 𝑥1
...
𝑥𝑛 − 𝑥1 ⃒⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
2
2
2
⃒ (3)
−
𝑥
𝑥
−
𝑥
𝑥
...
𝑥
𝑥
(2) ⃒ 𝑥2 − 𝑥1 𝑥2
1
𝑛
1
3
𝑛
3
⃒=
= ⃒⃒
..
..
..
⃒
.
.
...
.
⃒
⃒
⃒ 𝑛−1
⃒
𝑛−2
𝑛−1
𝑛−2
𝑛−1
𝑛−2
⃒𝑥2 − 𝑥1 𝑥2
𝑥3 − 𝑥1 𝑥3
... 𝑥𝑛 − 𝑥1 𝑥𝑛 ⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑥 −𝑥
𝑥3 − 𝑥1
...
𝑥𝑛 − 𝑥1 ⃒⃒
⃒
2
1
⃒
⃒
⃒
𝑥
(𝑥
−
𝑥
)
...
𝑥
(𝑥
−
𝑥
)
(3) ⃒ 𝑥2 (𝑥2 − 𝑥1 )
3
3
1
𝑛
𝑛
1
⃒=
= ⃒⃒
..
..
..
⃒
.
.
...
.
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑛−2
𝑛−2
⃒𝑥2 (𝑥2 − 𝑥1 ) 𝑥3 (𝑥3 − 𝑥1 ) ... 𝑥𝑛−2
𝑛 (𝑥𝑛 − 𝑥1 )⃒
⃒
⃒ 1
1
⃒
⃒
𝑛
∏︁
⃒ 𝑥2
𝑥3
=
(𝑥𝑖 − 𝑥1 ) ⃒⃒ ..
..
.
⃒ .
𝑖=2
⃒ 𝑛−2 𝑛−2
⃒𝑥 2
𝑥3
...
...
...
...
⃒
1 ⃒⃒
⃒
𝑥𝑛 ⃒⃒
.. ⃒ =
. ⃒
⃒
𝑥𝑛−2
𝑛 ⃒
𝑛
∏︁
=
(𝑥𝑖 − 𝑥1 )
𝑖=2
∏︁
2≤𝑖≤𝑗≤𝑛
50
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 ) =
∏︁
1≤𝑖≤𝑗≤𝑛
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )
(1) Из каждой строки, начиная с последней, вычитаем предыдущую умноженную на 𝑥1
(2) По теореме об определителе нулей
(3) Выносим (𝑥𝑗 − 𝑥1 )
Следствие. (О фальшивом разложение определителя)
Пусть 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) - квадратная матрица порядка 𝑛, тогда:
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑗 = 0 (при 𝑖 ̸= 𝑘)(*)
𝑗=1
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑖𝑘 = 0 (при 𝑗 ̸= 𝑘)
𝑖=1
(*) - Т.е. алгебраическое дополнение берем из другой строки
Доказательство. Для сторок (для столбцов аналогично)
⎛
⎞
𝑎1
⎜
⎟
⎜ 𝑎2
⎟
⎟
𝐴=⎜
.
⎜
⎟
.
.
⎝
⎠
𝑎𝑛
Рассмотрим матрицу 𝐵, где вместо 𝑘-ой строки стоит 𝑖-ая.
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑎
1
⃒
⃒
⃒
⃒
.
.
⃒
⃒
.
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎
𝑖
⃒
⃒
⃒
⃒
.
..
𝑑𝑒𝑡𝐵 = ⃒
⃒ = 0 (т.к совпадающие строки)
⃒
⃒
⃒
⃒
𝑎
𝑖
⃒
⃒
⃒
⃒
..
.
⃒
⃒
⃒
⃒
⃒ 𝑎𝑛 ⃒
С другой стороны, разложим 𝑑𝑒𝑡𝐵 по 𝑘-ой строке:
𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 ), 𝑑𝑒𝑡𝐵 =
𝑛
∑︁
𝑗=1
8.5
𝑏𝑘𝑗 𝐵𝑘𝑗 =
𝑛
∑︁
𝑎𝑖𝑗 𝐴𝑘𝑗
𝑗=1
О ранге
Определение. Квадратная матрица 𝐴 порядка 𝑛 называется невырожденной,
если 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛 (т.е. её строки ЛНЗ, как и все столбцы)
51
Теорема 7. Квадратная матрица 𝐴 является невырожденной ⇐⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0
Доказательство. Пусть 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) - квадратная матрица порядка 𝑛
Надо доказать, что 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛 ⇐⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0
⇐= 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 =⇒ (по лемме (2), пункт 1) 𝐴 ∼ 𝐸 =⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘𝐸 = 𝑛
̃︀
=⇒ 𝑟𝑘 = 𝑛. Допустим, что 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 0 =⇒ (по лемме (2), пункт 2) 𝐴 ∼ 𝐴,
̃︀ матрица с нулевой строкой =⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟𝑘 𝐴
̃︀ < 𝑛. Противоречие
где 𝐴
=⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0
Следствие.
• Все строки квадратной матрицы 𝐴 ЛНЗ ⇐⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0
• Все столбцы квадратной матрицы 𝐴 ЛНЗ ⇐⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0
Теорема. (О ранге матрицы)
Ранг матрицы 𝐴 совпадает с максимальным порядком отличного от нуля минора.
Доказательство. Пусть 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟
• Докажем, что все миноры порядка 𝑠, где 𝑠 > 𝑟 равны нулю.
Рассмотрим произвольный минор 𝑀 порядка 𝑠:
𝑖1 · · · 𝑖𝑠
..
𝑀 = 𝑑𝑒𝑡 ...
.
𝑗1 · · · 𝑗𝑠
т.к. 𝑠 > 𝑟, то строки матрицы 𝐴 с номерами 𝑖1 , ..., 𝑖𝑠 ЛЗ =⇒ строки, образующие минор ЛЗ =⇒ 𝑀 = 0
̃︁ порядка 𝑟.
• Докажем, что ∃ хотя бы один ненулевой минор 𝑀
Т.к. 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟, то ∃ 𝑟 ЛНЗ строк =⇒ 𝑟𝑘𝐵 = 𝑟 =⇒ в 𝐵 ∃ 𝑟 ЛНЗ столбцов.
Сформируем матрицу 𝐶 из этих столбцов =⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0
̃︁
𝑑𝑒𝑡𝐶 это и есть искомый минор 𝑀
𝑖1 · · · 𝑖𝑠
.. - минор порядка 𝑠
Определение. Пусть 𝑀 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ...
.
𝑗1 · · · 𝑗𝑠
𝑖 ̸∈ {𝑖1 , .., 𝑖𝑠 }, 𝑗 ̸∈ {𝑗1 , .., 𝑗𝑠 }
52
𝑖1 · · · 𝑖𝑠 𝑖
.. - минор порядка 𝑠 + 1
̃︁ = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ...
𝑀
.
𝑗1 · · · 𝑗𝑠 𝑗
̃︁ - окаймляющий минор.
𝑀
Пример.
⎛
1 2
⎜5 6
⎜
𝐴=⎜
⎝9 1
1 −1
⎞
3 4
7 8⎟
⎟
⎟
3 5⎠
0 7
⃒
⃒
⃒
1 3 ⃒2 4⃒⃒
𝑀 = 𝑑𝑒𝑡𝐴
=⃒
⃒=6
2 4 ⃒1 5 ⃒
⃒
⃒
⃒2 3 4⃒
⃒
1 2 3 ⃒⃒
⃒
̃︁
𝑀 = 𝑑𝑒𝑡𝐴
= ⃒6 7 8⃒ = 0
⃒
2 3 4 ⃒⃒
1 3 5⃒
Метод окаймляющих миноров:
∃ 𝑀1 ̸= 0?
да ↘
↘ нет
∃ 𝑀2 ̸= 0?
да ↘
↘ нет
∃ 𝑀3 ̸= 0?
да ↘
...
𝑟𝑘𝐴 = 0
𝑟𝑘𝐴 = 1
↘ нет
...
Утверждение. Пусть 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) матрица размера 𝑚 × 𝑛, ∃ минор 𝑀 порядка
𝑟, отличный от нуля и все миноры, окаймляющие его, равны нулю.
Тогда 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟
𝑖1 · · · 𝑖𝑟
.. . Т.к. 𝑀 ̸= 0, то строки матрицы
Доказательство. Пусть 𝑀 = 𝑑𝑒𝑡𝐴 ...
.
𝑗1 · · · 𝑗𝑟
𝐴 с номерами 𝑖1 , ..., 𝑖𝑟 ЛНЗ =⇒ 𝑟𝑘𝐴 ≥ 𝑟
Предположим, что 𝑟𝑘𝐴 ≥ 𝑟 + 1. Т.е. ∃ ЛНЗ строка (или больше). Рассмотрим
строки 𝑎𝑖1 , ..., 𝑎𝑖𝑟 , которые формируют минор 𝑀 . Они ЛНЗ.
Т.к. 𝑟𝑘𝐴 ≥ 𝑟 + 1, то ∃ 𝑖 ̸∈ {𝑖1 , ..., 𝑖𝑟 } : не выражаются линейно через
53
𝑎𝑖1 , ..., 𝑎𝑖𝑟 =⇒ 𝑎𝑖1 , ..., 𝑎𝑖𝑟 - ЛНЗ.
Образуем из этих строк матрицу 𝐵 =⇒ 𝑟𝑘𝐵 = 𝑟 + 1 =⇒ ∃ 𝑟 + 1 ЛНЗ столбец.
Столбцы с номерами 𝑗1 , ..., 𝑗𝑟 ЛНЗ, т.к. 𝑀 ̸= 0
Т.к. 𝑟𝑘𝐵 = 𝑟 + 1, то ∃ 𝑗 ̸∈ {𝑗1 , ..., 𝑗𝑟 }: столбец с номером 𝑗 не выражается через
столбцы с номерами 𝑗1 , ..., 𝑗𝑟
Расмотрим подматрицу 𝐶 матрицы 𝐵, составленную из столбцов с номерами
𝑗1 , ..., 𝑗𝑟 , 𝑗 =⇒ 𝐶− квадратная матрица порядка 𝑟 + 1 из ЛНЗ столбцов =⇒
𝑑𝑒𝑡𝐶 ̸= 0
=⇒ т.к. 𝑑𝑒𝑡𝐶 является окаймляющим минора 𝑀 , то получаем противоречие
условию =⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑟.
8.6
Правила Крамера СЛУ
⎧
⎪
⎪
⎨𝑎11 𝑥1 + · · · + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
..
Матричная форма 𝐴𝑋 = 𝐵
.
⎪
⎪
⎩
𝑎𝑚1 𝑥1 + · · · + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
СЛУ называется квадратной, если 𝑚 = 𝑛
Пусть СЛУ 𝐴𝑋 = 𝐵 - квадратная.
Обозначение: △ = 𝑑𝑒𝑡𝐴 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴1 , ..., 𝐴𝑛 )
△𝑖 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴1 , ..., 𝐵, ...𝐴𝑛 )
Теорема. Пусть 𝐴𝑋 = 𝐵 - квадратная СЛУ с невырожденной 𝐴
Тогда СЛУ имеет единственное решение и это решение можно найти по формуле:
△1
△𝑛
𝑥1 =
, ..., 𝑥𝑛 =
△
△
Доказательство. Т.к. 𝐴 - невырожденная, то 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 =⇒ 𝐴 ⇝ 𝐸
Будем решать СЛУ методом Гаусса:
⎧
̃︀
⎪
⎪
⎨𝑥1 = 𝑏1
̃︀ =⇒ ...
(𝐴|𝐵) = (𝐸|𝐵)
⎪
⎪
⎩
𝑥𝑛 = 𝑏̃︀𝑛
̃︀ ..., 𝐸𝑛 )
𝑑𝑒𝑡(𝐴1 , ..., 𝐵, ..., 𝐴𝑛 ) 𝑑𝑒𝑡(𝐸1 , ..., 𝐵,
𝑏̃︀𝑖
△𝑖
=
=
= = 𝑏̃︀𝑖
△
𝑑𝑒𝑡(𝐴1 , ..., 𝐴𝑘 , ...𝐴𝑛 )
𝑑𝑒𝑡(𝐸1 , ..., 𝐸𝑘 , ...𝐸𝑛 )
1
54
8.7
Обратная матрица
Пусть 𝐴 - квадратная матрица порядка 𝑛
Определение. Матрица 𝐵 - назвается обратной матрицей к 𝐴, если:
⎧
⎨𝐴 * 𝐵 = 𝐸
⎩𝐵 * 𝐴 = 𝐸
Обозначается 𝐴−1
Утверждение. Если квадратная матрица 𝐴, имеет обратную матрицу, то она
одна.
Доказательство. Пусть ∃ две обратной матрицы 𝐵1 , 𝐵2 , тогда:
𝐵1 (𝐴𝐵2 ) = (𝐵1 𝐴)𝐵2
𝐵1 𝐸 = 𝐸𝐵2
𝐵1 = 𝐵2
Свойства.
1. Если матрица 𝐴 имеет обратную, то 𝐴−1 тоже имеет обратную, причем
(𝐴−1 )−1 = 𝐴
2. Если матрица 𝐴 имеет обратную, 𝜆 ̸= 0, то 𝜆𝐴, тоже имеет обратную,
причем (𝜆𝐴)−1 = 𝜆−1 𝐴−1
3. Если матрица 𝐴 имеет обратную, то 𝐴𝑇 тоже имеет обратную, причем
(𝐴𝑇 )−1 = (𝐴−1 )𝑇
4. Если матрицы 𝐴, 𝐵 квадратные порядка 𝑛 и каждая имеет обратную, то
𝐴𝐵 тоже имеет обратную, причем (𝐴𝐵)−1 = 𝐵 −1 𝐴−1
Доказательство. Докажем, что 𝐵 −1 𝐴−1 удовлетворяет определению отбратной
матрицы для 𝐴𝐵
(𝐴|𝐵)(𝐵 −1 |𝐴−1 ) = 𝐴(𝐵𝐵 −1 )𝐴−1 = 𝐴𝐸𝐴−1 = 𝐴𝐴−1 = 𝐸
(𝐵 −1 |𝐴−1 )(𝐴|𝐵) = 𝐵 −1 (𝐴−1 𝐴)𝐵 = 𝐵 −1 𝐸𝐵 = 𝐵 −1 𝐵 = 𝐸
=⇒ (𝐴|𝐵)(𝐵 −1 |𝐴−1 ) = (𝐵 −1 |𝐴−1 )(𝐴|𝐵)
55
Замечание. 𝐴, 𝐵, имеют обратные ̸⇒ 𝐴 + 𝐵, имеют обратную.
Пример. 𝐴 и −𝐴
Утверждение. Любая элементарная матрица 𝑇 имеет обратную, причем она
соответствует обратному преобразованию.
Доказательство. Непосредственная проверка
Теорема. (Критерий существования обратной матрицы)
Квадратная матрица 𝐴 имеет обратную ⇐⇒ она невырожденная.
Доказательство. Пусть 𝐴 - квадратная, порядка 𝑛
Надо доказать, что 𝐸𝐴−1 ⇐⇒ 𝑟𝑘𝐴 = 𝑛 ⇐⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0
=⇒ Пусть ∃ 𝐴−1 . По определению ∃𝐵 : 𝐴𝐵 = 𝐸
Вычислим определитель из обеих частей равенства:
𝑑𝑒𝑡𝐴 · 𝑑𝑒𝑡𝐵 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝐵) = 𝑑𝑒𝑡𝐸 = 1 =⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0
⇐= Пусть 𝐴 - невырожденная, 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0 =⇒ 𝐴 ⇝ 𝐸 =⇒ ∃ элементарная
матрица
𝑇1 , ..., 𝑇𝑘 : (𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )𝐴 = 𝐸(*)
По утверждению ∀𝑖 = 1, 𝑘 𝑇𝑖 имеет обратную.
По свойству (4) : 𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 имеет обратную.
Умножим (*) на обратную к 𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 : (𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )−1 · (𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 ) · 𝐴 =
(𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )−1 𝐸 =⇒ 𝐴 = (𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )−1 𝐸
По свойству (1) : 𝐴, как обратная к (𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 ), имеет обратную и 𝐴−1 =
((𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )−1 )−1 = (𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )
Из докозательства имеем:
1. 𝐴−1 = 𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 = (𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )𝐸
2. (𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )𝐴 = 𝐸
Т.е. 𝐴−1 получена из 𝐸 с помощью ЭП над строками, которые приводят 𝐴 к 𝐸.
Что бы производить ЭП над строками матрицы 𝐸 такие как над строками 𝐴,
преобразования делают над расширенной матрицей:
(𝐴|𝐸) ⇝ ((𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )𝐴(𝑇1 · ... · 𝑇𝑘 )𝐸) = (𝐸|𝐴−1 )
Это метод находа обртаной матрицы
56
Теорема. (о явном выражении элементов обратной матрицы)
Пусть 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) - квадратная матрица порядка 𝑛, тогда обратная матрицв к
𝐴∃ и её элементы могут найдены по формуле:
𝑏𝑖𝑗 =
1
· 𝐴𝑗𝑖
𝑑𝑒𝑡𝐴
где 𝐴−1 = (𝑏𝑖𝑗 ), 𝐴𝑗𝑖 - алгебраическое дополнение.
⎛
⎛
⎞
⎞
𝐴11 · · · 𝐴1𝑛
𝑎11 𝑎12 · · · 𝑎1𝑛
⎜
.. ⎟ 𝐴−1 = 1 ⎜ ..
.. ⎟
𝐴 = ⎝ ...
. ⎠
. ⎠
⎝ .
𝑑𝑒𝑡𝐴
𝐴𝑛1 · · · 𝐴𝑛𝑛
𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 · · · 𝑎𝑛𝑛
Доказательство. Т.к. 𝐴 - невырожденная, то ∃ 𝐴−1 по предыдущей теореме
Обратная матрица к 𝐴 удовлетворяет уравнению: 𝐴𝑋 = 𝐵
Пусть 𝑋 = (𝑋1 , ..., 𝑋𝑛 ), 𝐸 = (𝐸1 , ..., 𝐸𝑛 )
Тогда 𝐴𝑋 = 𝐵 эквивалентно системе:
⎧
⎪
𝐴𝑋1 = 𝐸1
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨𝐴𝑋 = 𝐸
2
2
.
⎪
..
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
𝐴𝑋 = 𝐸
𝑛
𝑛
∀𝑘 = 1, 𝑛 : 𝐴𝑋𝑘 = 𝐸𝑘 - квадратная СЛУ с невырожденной матрицей коэффициентов =⇒ Решение единственное и может быть найдено по формулам
Крамера:
⎛
⎞
𝑋1,𝑘
△𝑖
△𝑖
⎜
⎟
=
𝑋𝑘 = ⎝ ... ⎠ , где ∀𝑖 = 1, 𝑚, 𝑋1,𝑘 =
△
𝑑𝑒𝑡𝐴
𝑋𝑛,𝑘
𝐴𝑘𝑖
△𝑖 = 𝑑𝑒𝑡(𝐴1 , ..., 𝐸𝑘 , ..., 𝐴𝑛 ) = ........ = 𝐴𝑘𝑖 =⇒ 𝑋𝑖,𝑘 = 𝑑𝑒𝑡𝐴
57
9
Алебраические структуры
𝐴, 𝐵 -множества.
Декартовое произведение: 𝐴 × 𝐵 = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎 ∈ 𝐴, 𝑏 ∈ 𝐵}
Определение. Бинарной операцией на множестве 𝐴 называется отображение:
𝜌:𝐴×𝐴→𝐴
Обозначается:
1. 𝜌(𝑎1 , 𝑎2 ) = 𝑎3
2. 𝑎1 𝜌 𝑎2 = 𝑎3
3. 𝑎1 * 𝑎2 = 𝑎3
4. (𝐴, *)− на 𝐴 задана бинарная операция *
Определение. (𝐴, *) - говорят, что на 𝐴 определена алгебраическая структура.
(𝐴, *) называется алгебраической системой.
Определение. Бинарная операция (*) на 𝐴 называется коммутативной, если
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 : 𝑎 * 𝑏 = 𝑏 * 𝑎
Определение. Бинарная операция (*) на 𝐴 называется ассоциативной, если
∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 : 𝑎 * (𝑏 * 𝑐) = (𝑎 * 𝑏) * 𝑐
Примеры.
1. (Z, +) ассоциативна и коммутативна.
2. (Z, −) НЕ ассоциативна и НЕ коммутативна.
3. (𝑀𝑚×𝑛 , +) ассоциативна и коммутативна.
4. (𝑀𝑚×𝑛 , ·) ассоциативна и НЕ коммутативна.
Определение. Элемент 𝑒 ∈ 𝐴 называется нейтральным элементом относительно бинарной операции (*), если ∀𝑎 ∈ 𝐴 : 𝑎 * 𝑒 = 𝑒 * 𝑎 = 𝑎
Примеры.
1. (Z, +) 𝑒 = 0
2. (Z, ·) 𝑒 = 1
58
3. (Z, −) ̸ ∃ 𝑒
4. (N, +) ̸ ∃ 𝑒
Утверждение. Если нейтральный элемент существует, то он единственный.
Доказательство. (От противного) Допустим, что ∃ 𝑒1 , 𝑒2 ∈ 𝐴 - нейтральные
𝑒1 ̸= 𝑒2 =⇒
𝑒
⏟ ⏞1
*𝑒2 = 𝑒2 ;
𝑒1 *
нейтральный
𝑒
⏟ ⏞2
= 𝑒1 =⇒ 𝑒1 = 𝑒2
нейтральный
Определение. Группоид - это множество 𝐴, на котором введена бинарная операция (*). (𝐴, *)
Определение. Полугруппа - группоид с ассоциативной бинарной операцией.
Определение. Моноид - полугруппа, в которой ∃ нейтральный элемент.
Обозначение: (𝐴, *, 𝑒)
Утверждение. Если элемент 𝑎 моноида 𝐴 имеет обратный, то этот обратный
единственный.
Доказательство. Допустим ∃ 𝑏1 , 𝑏2 - обратные к 𝑎 элементы: 𝑏1 ̸= 𝑏2
В силу ассоциативности:
𝑏1 * (𝑎 * 𝑏2 ) = (𝑏1 * 𝑎) * 𝑏2
𝑏1 * 𝑒 = 𝑒 * 𝑏2
𝑏1 = 𝑏2
Примеры.
1. (𝑀𝑛×𝑚 (R), ·, 𝐸) моноид, ∃ 𝐴−1 ⇐⇒ 𝑑𝑒𝑡𝐴 ̸= 0
2. (Z, ·, 1) моноид, 1, −1 обратимы
3. (R, ·, 1) моноид, ∀𝑎 ̸= 0 : ∃ 𝑎−1
Свойства.
1) Если элемент 𝑎 имеет обратный 𝑏 , то элемент 𝑏 имеет обратный и этот
обратный равен 𝑎
59
2) Если 𝑎1 имеет обратный 𝑏1 , 𝑎2 имеет обратный 𝑏2 , то: (𝑎1 * 𝑎2 )−1 = 𝑏2 * 𝑏1
Определение. Группа - моноид, в котором каждый элемент имеет обратный.
Определение. Группоид (полугруппа, моноид, группа) называется коммутативной, если бинарная операция коммутативна.
Определение. Абелева группа - коммутативная группа.
Примеры.
1. (Z, +, 0) - группа (абелева)
2. (Z, ·, 1) - НЕ группа (коммутативный моноид)
3. (R, ·, 1) - НЕ группа
4. (R/{0}, ·, 1) - группа (абелева)
5. (𝑀𝑚×𝑛 (R), ·, 𝐸) - НЕ группа
6. (𝐺𝐿𝑛 , ·, 𝐸) - группа
(𝐺𝐿𝑛 - множество невырожденных матриц порядка 𝑛 с коэф. из R)
Определение. Множество 𝐴, на котором задана бинарная операция (*) называется группой, если:
1. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐴 : 𝑎 * (𝑏 * 𝑐) = (𝑎 * 𝑏) * 𝑐 (ассоциаивность)
2. ∃ 𝑒 ∈ 𝐴 : ∀𝑎 ∈ 𝐴𝑎 * 𝑒 = 𝑒 * 𝑎 = 𝑎 (нейтральный элемент)
3. ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∃ 𝑏 ∈ 𝐴 : 𝑎 * 𝑏 = 𝑏 * 𝑎 = 𝑒 (обратный элемент)
*
𝑒
обратный к 𝑎
Терминология
Аддитивность
+, сложение
0, нулевой элемент
−𝑎, противоположный
60
Мультипликативность
· , умножение
1, единичный элемент
𝑎−1 , обратный
9.1
Изоморфизм группы
Пусть (𝐺1 , *, 𝑒1 ), (𝐺2 , ∘, 𝑒2 ) - группы
Определение. Группы 𝐺1 , 𝐺2 называются изоморфными, если ∃ отображение
𝜙 : 𝐺1 → 𝐺2 :
1. 𝜙− биекция.
2. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐺1 : 𝜙(𝑎 * 𝑏) = 𝜙(𝑎) ∘ 𝜙(𝑏)
Обозначение: 𝐺1 ∼
= 𝐺2
При этом отображение называется изоморфизмом групп.
Пример. (R, +, 0), (R+ , ·, 1)
𝜙 : R → R+
⎧
⎨𝜙(𝑥) = 𝑒𝑥 − биекция
⎩𝜙(𝑎 + 𝑏) = 𝑒𝑎+𝑏 = 𝑒𝑎 · 𝑒𝑏 = 𝜙(𝑎) · 𝜙(𝑏)
=⇒ R ∼
= R+
Свойства.
1. 𝜙(𝑒1 ) = 𝑒2
2. 𝜙(𝑎−1 ) = 𝜙(𝑎)−1
Доказательство.
1) ∀𝑎 ∈ 𝐺1 :
𝑎 * 𝑒1 = 𝑎
𝜙(𝑎 * 𝑒2 ) = 𝜙(𝑎)
𝜙(𝑎) ∘ 𝜙(𝑒1 ) = 𝜙(𝑎)
Т.к. 𝐺2 - группа, то ∃ 𝜙(𝑎)−1 . Умножение на 𝜙(𝑎)−1 слева:
𝜙(𝑎)−1 ∘ (𝜙(𝑎) ∘ 𝜙(𝑒1 )) = 𝜙(𝑎)−1 ∘ 𝜙(𝑎) = 𝑒2
2)
𝑎−1 * 𝑎 = 𝑒1
𝜙(𝑎−1 * 𝑎) = 𝜙(𝑒1 ) = 𝑒2
𝜙(𝑎−1 ) ∘ 𝜙(𝑎) = 𝑒2
=⇒ обратный к 𝜙(𝑎) является 𝜙(𝑎)−1
Аналогично 𝜙(𝑎) ∘ 𝜙(𝑎−1 ) = 𝑒2
61
9.2
Группа подстановок
Определение. Подстановкой степени 𝑛 называется биективное отображение 𝜎
множества {1, ..., 𝑛} в себя.
{1, ..., 𝑛} → {1, ..., 𝑛} − биективная
Подстановку можно написать в виде таблицы:
(︃
)︃
𝑖1 𝑖2 · · · 𝑖𝑛
𝜎=
𝑗1 𝑗2 · · · 𝑗𝑛
В верхней строке расположены числа от 1 до 𝑛 в некотором порядке. В нижней
строке расположены их образы, т.е. 𝑗𝑘 = 𝜎(𝑖𝑘 )
Пример. 𝑛 = 3 :
(︃
)︃
1 2 3
𝜎=
2 1 3
Если поменять столбцы местами, отображение не изменится.
Если в верхней строке числа упорядочить по возрастанию, то такая запись будет
называться стандартной.
Определение. Подстановка 𝑖𝑑 степени 𝑛 называется тождественной, если:
∀𝑘 ∈ {1, ..., 𝑛} : 𝑖𝑑(𝑘) = 𝑘
т.е.
(︃
)︃
1 2 ··· 𝑛
𝑖𝑑 =
1 2 ··· 𝑛
Обозначение: Ω = {1, ..., 𝑛}
Определение. Произведение подстановок 𝜋 и 𝜏 степени 𝑛 - это их композиция
𝜋 ∘ 𝜏 , т.е.
(𝜋 ∘ 𝜏 )(𝑘) = 𝜋(𝜏 (𝑘))
Утверждение. (1) Произведение подстановок степени 𝑛 - снова подстановка
длины 𝑛
Утверждение. (2) Множество 𝑆𝑛 всех подстановок степени 𝑛 относительно
этого произведения (композиции) является группой.
Доказательство. По утверждению (1) произведение - это бинарное отношение:
62
1) ассоциаивность верна
2) 𝑖𝑑 - нейтральный элемент
биекция
3) ∀𝜎 ∈ 𝑆𝑛 ∃ 𝜎 −1 ∈ 𝑆𝑛 , т.к. 𝜎 : Ω −→ Ω
Определение. Группа 𝑆𝑛 называется симметрической группой степени 𝑛
(группой всех подстановок степени 𝑛)
Утверждение. |𝑆𝑛 | = 𝑛!
Утверждение. Группа 𝑆𝑛 НЕ коммутативна.
Пример.
)︃
)︃ (︃
)︃ (︃
(︃
1 2 3
1 2 3
1 2 3
=
2 3 1
1 3 2
2 1 3
̸=
(︃
)︃ (︃
)︃ (︃
)︃
1 2 3
1 2 3
1 2 3
=
1 3 2
2 1 3
3 1 2
Определение. Циклом длины 𝑘 называется подстановка, в которой
∀𝑖 ∈ {1, ..., 𝑛} ∖ {𝑖1 , ..., 𝑖𝑘 }, где 𝜎(𝑖) = 𝑖, при этом:
𝜎(𝑖1 ) = 𝑖2 , 𝜎(𝑖2 ) = 𝑖3 , .., 𝜎(𝑖𝑘 ) = 𝑖1
Обозначение: (𝑖1 , ..., 𝑖𝑘 ) Представление в виде графа: РИСУНОК
Пример. 𝑛 = 6, 𝜎 = (1, 3, 2) РИСУНОК
Замечание. Заметим, что (𝑖1 , 𝑖2 , ..., 𝑖𝑘 ) = (𝑖𝑘 , 𝑖1 , ..., 𝑖𝑘−1 ) = (𝑖2 , 𝑖3 , .., 𝑖1 ) = ...
Определение. Циклы (𝑖1 , ..., 𝑖𝑘 ) и (𝑗1 , ..., 𝑗𝑘 ) называется независимыми, если:
{𝑖1 , ..., 𝑖𝑘 } ∩ {𝑗1 , ..., 𝑗𝑘 } = ∅
Пример. (1, 2, 3), (4, 5)
Утверждение. Независимые циклы коммутируют.
(︃
)︃
(︁
)︁ (︁
)︁ (︁ )︁
1 2 3 4 5 6
Пример.
= 1 2 3 4 5 6 РИСУНОК
2 3 1 5 4 6
Теорема 1. Любая подстановка 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 , 𝜎 ̸= 𝑖𝑑 раскладывается в произведение независимых циклов длины ≥ 2, причем это разложение единственно с
точностью до перестановки множителей.
63
Доказательство.
∃: Рассмотрим степени подстановки 𝜎.
По определению 𝜎 0 := 𝑖𝑑; 𝜎 𝑚 := 𝜎 · ... · 𝜎, при 𝑚 > 0;
𝜎 𝑚 := 𝜎 −1 · ... · 𝜎 −1 , при 𝑚 < 0
Отметим, что:
1. Степень подстановки 𝜎 𝑚 - это подстановка ∀𝑚 ∈ Z
2. 𝜎 𝑚1 · 𝜎 𝑚2 = 𝜎 𝑚1 +𝑚2
3. (𝜎 𝑚1 )𝑚2 = 𝜎 𝑚1 ·𝑚2
Рассмотрим произвольный 𝑖 ∈ {1, ..., 𝑛}
РИСУНОК
Определение. Множество 𝑂𝑟𝑏(𝑖) = {𝜎 𝑚 (𝑖) | 𝑚 ∈ Z} называется орбитой
числа 𝑖.
𝑂𝑟𝑏(𝑖) ⊆ {1, ..., 𝑛} =⇒ ∃ 𝑚1 , 𝑚2 ∈ Z : 𝜎 𝑚1 (𝑖) = 𝜎 𝑚2 (𝑖)
Допустим, что 𝑚1 > 𝑚2 , тогда 𝜎 𝑚1 −𝑚2 (𝑖) = 𝑗 =⇒ (т.к. 𝑚1 − 𝑚2 ∈ N)
∃ наименьшее натуральное 𝑘 ∈ N0 : 𝜎 𝑘 (𝑖) = 𝑗
(𝑂𝑟𝑏(𝑖) = {𝑖, 𝜎(𝑖), ..., 𝜎 𝑘−1 (𝑖)})
.
Свойства.
1. Различные орбиты не пересекаются.
Доказательство. Пусть 𝑙 ∈ 𝑂𝑟𝑏(𝑖) ∩ 𝑂𝑟𝑏(𝑗) =⇒ ∃ 𝑚1 , 𝑚2 ∈ N0 :
𝜎 𝑚1 (𝑖) = 𝑙 = 𝜎 𝑚2 (𝑗) =⇒ 𝜎 𝑚1 −𝑚2 (𝑖) = 𝑗 =⇒
∀𝑚 ∈ Z : 𝜎 𝑚 (𝑗) = 𝜎 𝑚(𝑚1 −𝑚2 ) (𝑖) =⇒ 𝑂𝑟𝑏(𝑗) ⊆ 𝑂𝑟𝑏(𝑗)
Аналогично 𝑂𝑟𝑏(𝑖) ⊆ 𝑂𝑟𝑏(𝑗) =⇒ 𝑂𝑟𝑏(𝑖) = 𝑂𝑟𝑏(𝑗)
2. {1, ..., 𝑛} = 𝑂𝑟𝑏(𝑖1 ) ∪ ... ∪ 𝑂𝑟𝑏(𝑖𝑠 )
Доказательство. Т.к. ∀𝑖 ∈ {1, ..., 𝑛} : 𝑖 ∈ 𝑂𝑟𝑏(𝑖)
{1, ..., 𝑛} = 𝑂𝑟𝑏(𝑖1 ) ⊔ ... ⊔ 𝑂𝑟𝑏(𝑖𝑡 ) ⊔ 𝑂𝑟𝑏(𝑖𝑡+1 ) ⊔ ... ⊔ 𝑂𝑟𝑏(𝑖𝑠 )
𝑘1
𝑘𝑡
𝑘𝑡+1
𝑘𝑠
Если 𝜎 ̸= 𝑖𝑑, то 𝑘1 > 1, ..., 𝑘𝑡 > 1, 𝑘𝑡+1 = 1, ..., 𝑘𝑠 = 1 =⇒
𝜎 = (𝑖1 𝜎(𝑖1 ) ... 𝜎 𝑘1 −1 (𝑖1 )) ... (𝑖𝑡 𝜎(𝑖𝑡 ) ... 𝜎 𝑘𝑡 −1 (𝑖𝑡 )). ∃ доказано.
64
! : (От противного)
Допустим,
𝜎 = 𝜋1 , ..., 𝜋𝜈
𝜎 = 𝜏1 , ..., 𝜏𝜇
Различные разложения на независимые циклы длины ≥ 2
Т.к. 𝜎 ̸= 𝑖𝑑, то ∃ 𝑗 : 𝜎(𝑗) ̸= 𝑗 =⇒ с точностью до нумерации
𝜋1 (𝑗) ̸= 𝑗, 𝜏1 (𝑗) ̸= 𝑗
𝜎(𝑗) = 𝜋1 (𝑗)
𝜎 𝑚 (𝑗) = 𝜋1𝑚 (𝑗)
=⇒ ∀𝑚 ∈ Z 𝑚
𝜎(𝑗) = 𝜏1 (𝑗)
𝜎 (𝑗) = 𝜏1𝑚 (𝑗)
Т.к. цикл полностью определяется степенями 𝜎, то 𝜋1 = 𝜏1 =⇒ 𝜋2 ...𝜋𝜈 =
𝜏2 ...𝜏𝜇 . Далее индукция по 𝜈 и 𝜇 =⇒ Противоречие =⇒ Разложение 𝜎
единственно.
Определение. Цикл длины 2 называется транспозицией.
Теорема. Любая подстановка 𝜎 ∈ 𝑆𝑛 раскладывается в произведение транспозиций.
Доказательство. Если 𝜎 = 𝑖𝑑, то 𝜎 = (12)(12)
Если 𝜎 ̸= 𝑖𝑑, то по Теореме (1) 𝜎 раскладывается в произведение независимых
циклов длины ≥ 2
Поэтому достаточно разложить на транспозиции каждый такой цикл.
𝑘 > 1 (1, 2, ..., 𝑘) = (1, 𝑘)(1, 𝑘 − 1)...(1, 3)(1, 2)
9.3
Четность подстановки
(︃
𝜎 ∈ 𝑆𝑛 𝜎 =
𝑖1 · · · 𝑖𝑛
𝑗1 · · · 𝑗𝑛
)︃
Определение. Знаком подстановки 𝜎 называется функция:
𝑠𝑔𝑛(𝜎) := 𝑠𝑔𝑛(𝑖1 , ..., 𝑖𝑛 ) · 𝑠𝑔𝑛(𝑗1 , ..., 𝑗𝑛 )
Утверждение. Знак подстановки не зависит от способа записи подстановки в
виде таблицы.
65
(︃
)︃ (︃
)︃
𝑖1 · · · 𝑖𝑛
𝑚1 · · · 𝑚𝑛
Доказательство. Если
и
- две записи одной и
𝑗1 · · · 𝑗𝑛
𝑘1 · · · 𝑘𝑛
(︃
)︃ (︃
)︃
𝑖1 · · · 𝑖𝑛
𝑚1 · · · 𝑚𝑛
той же подстановки 𝜎, то от
к
можно перейти за
𝑗1 · · · 𝑗𝑛
𝑘1 · · · 𝑘𝑛
конечное число перемен столбцов местами. Каждая перемена столбцов местами
производят транспозицию в верхней и в нижней строке =⇒ знак меняется и там,
и там =⇒ знак произведения не изменяется.
(︃
)︃
1 2 ··· 𝑛
В стандартной записи 𝜎 =
=⇒ 𝑠𝑔𝑛(𝜎) = 𝑠𝑔𝑛(𝑖1 , 𝑖2 , ..., 𝑖𝑛 )
𝑖1 𝑖2 · · · 𝑖𝑛
Определение. Подстановка 𝜎 называется четной (нечетной), если:
𝑠𝑔𝑛(𝜎) = +1 (𝑠𝑔𝑛(𝜎) = −1)
Свойства.
1. 𝑠𝑔𝑛(𝜎 −1 ) = 𝑠𝑔𝑛(𝜎)
(︃
𝑖1 · · · 𝑖𝑛
𝑗1 · · · 𝑗𝑛
Доказательство. 𝜎 =
)︃
(︃
)︃
𝑗1 · · · 𝑗𝑛
=⇒ 𝜎 −1 =
𝑖1 · · · 𝑖𝑛
2. 𝑠𝑔𝑛(𝜎 · 𝜏 ) = 𝑠𝑔𝑛(𝜎) · 𝑠𝑔𝑛(𝜏 ) (𝜎, 𝜏 ∈ 𝑆𝑛 )
Доказательство.
(︃
𝜎=
𝑖 1 · · · 𝑖𝑛
𝑗1 · · · 𝑗𝑛
)︃
)︃
(︃
)︃
𝑘1 · · · 𝑘𝑛
,𝜏 =
𝑖1 · · · 𝑖𝑛
(︃
𝑘1 · · · 𝑘𝑛
=⇒ 𝜎 · 𝜏 =
=⇒ 𝑠𝑔𝑛(𝜎 · 𝜏 ) = 𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 ) · 𝑠𝑔𝑛(𝑗1 , ..., 𝑗𝑛 ) =
𝑗1 · · · 𝑗𝑛
𝑠𝑔𝑛(𝑘1 , ..., 𝑘𝑛 ) · 𝑠𝑔𝑛(𝑖1 , ...., 𝑖𝑛 ) · 𝑠𝑔𝑛(𝑖1 , ...., 𝑖𝑛 ) ·𝑠𝑔𝑛(𝑗1 , ..., 𝑗𝑛 ) = 𝑠𝑔𝑛(𝜎) · 𝑠𝑔𝑛(𝜏 )
⏟
⏞
1
Утверждение.
1. если 𝜏 - транспозиция, то 𝑠𝑔𝑛(𝜏 ) = −1
2. если 𝜎 - цикл длины 𝑘, то 𝑠𝑔𝑛(𝜎) = (−1)𝑘−1
3. если 𝜎 = 𝜏1 · ... · 𝜏𝑙 , где 𝜏𝑖 - транспозиции, то 𝑠𝑔𝑛(𝜎) = (−1)𝑙
Доказательство.
66
1)
)︃
(︃
1 ··· 𝑖 ··· 𝑗 ···𝑛
𝜏=
1 ··· 𝑗 ··· 𝑖 ···𝑛
=⇒ 𝑠𝑔𝑛(𝜏 ) = 𝑠𝑔𝑛(1, ..., 𝑗, ..., 𝑖, ..., 𝑛) = 𝑠𝑔𝑛(1, ..., 𝑖, ..., 𝑗, ..., 𝑛) = −1
3) следует из Свойства (2) и Утверждения (1):
𝑠𝑔𝑛(𝜎) = 𝑠𝑔𝑛(𝜏1 ) · 𝑠𝑔𝑛(𝜏2 ) · ... · 𝑠𝑔𝑛(𝜏𝑙 ) = (−1) · (−1) · ... · (−1) = (−1)𝑙
⏟
⏞
𝑙
2) 𝜎 = (𝑖1 , ..., 𝑖𝑘 ) = (𝑖1 , 𝑖𝑘 )(𝑖1 , 𝑖𝑘−1 )...(𝑖1 , 𝑖2 ) = (по Утверждения (3)) = (−1)𝑘−1
Пример.
(︃
)︃
(︁
)︁ (︁
)︁
1 2 3 4 5 6
= 1 3 2 4 5 = (−1)2 · (нечет) =
3 1 2 5 4 6
= (чет) · (нечет) = (нечет)
9.4
Подгруппа
(𝐴, *) - множество с бинарной операцией. 𝐵 ⊆ 𝐴
Определение. Говорят. что 𝐵 замкнуто относительно бинарной опериции *,
если:
∀𝑏1 , 𝑏2 ∈ 𝐵 : 𝑏1 * 𝑏2 ∈ 𝐵
В этом случае 𝐵 превращается в алгебраическую структуру.
Пример. N (коммутативная полугруппа) ⊂ Z (с + абелева группа)
Определение. Множество 𝐻 называется подгруппой группы 𝐺, если:
1. ∀ℎ1 , ℎ2 ∈ 𝐻 =⇒ ℎ1 · ℎ2 ∈ 𝐻
2. 1 ∈ 𝐻
3. ∀ℎ ∈ 𝐻 =⇒ ℎ−1 ∈ 𝐻
Обозначается: 𝐻 ≤ 𝐺
Утверждение. Любая подгруппа группы 𝐺 сама является группой, относительно той же операции.
67
Замечание. В определении подгруппы (2.) ←→ ”𝐻 ̸= ∅”
Примеры.
1) N ≤ Z
2) Z ≤ Q ≤ R
3) 𝑚Z ≤ Z, 𝑚 ∈ N
4) 𝐴𝑛 - все четные подстановки
𝐴𝑛 ≤ 𝑆𝑛 . (для нечетных неверно)
9.5
Кольца и поля
Определение. Множество 𝐾, на котором введены 2 бинарные операции:
” + ” - сложение, ” · ” - умножение, называется кольцом, если выполнены следующие аксиомы:
1. (𝐾, +) - абелева группа
2. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐾 : 𝑎(𝑏 + 𝑐) = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 и (𝑎 + 𝑏)𝑐 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑏
Обозначается: (𝐾, +, ·)
Примеры.
1. (Z, +, ·)
2. (𝑀𝑛 (R), +, ·)
Определение. Кольцо называется ассоциативным, если умножение ассоциативно.
Определение. Кольцо называется коммутативным, если умножение комутативное.
Определение. Кольцо называется кольцом с единицей, если существует нейтральный элемент по умножению:
∃ 1 ∈ 𝐾 : ∀𝑎 ∈ 𝐾 : 1 · 𝑎 = 𝑎 · 1 = 𝑎
Утверждение. Если в 𝐾 есть единица, то она единственная.
Примеры.
1. (Z, +, ·) - коммутативное, ассоциативное кольцо с 1
68
2. (𝑀𝑛 (R), +, ·) - НЕ коммутативное, ассоциативное кольцо с 1
3. (𝑉 3 , +, 𝑥), (𝑥 - векторное произведение) - НЕ коммутативное, НЕ ассоциативное кольцо без 1
4. (2Z, +, ·) - коммутативное, ассоциативное кольцо без 1
Следствия. (простейшие)
1.
• 0 - единственный
• ∀𝑎 ∈ 𝐾 - противоположный единственный
• ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 ∃! 𝑥 ∈ 𝐾 : 𝑎 + 𝑥 = 𝑏, (𝑥 = 𝑏 + (−𝑎); !𝑥, т.к. !(−𝑎)) Обозначается: 𝑥 = 𝑏 − 𝑎
2. ∀𝑎 ∈ 𝐾 : 𝑎 · 0 = 0 · 𝑎 = 0
3. 𝑎 · (−𝑏) = (−𝑎) · 𝑏 = −(𝑎 · 𝑏)
4. ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐾 : 𝑎(𝑏 − 𝑐) = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐, (𝑏 − 𝑐)𝑎 = 𝑏𝑎 − 𝑐𝑎
5. Если 𝐾 - кольцо с 1, то 𝑎(−1) = (−1)𝑎 = −𝑎
Замечание. Пусть 𝐾 - кольцо с единицей (1), то если 0 = 1 =⇒ 𝐾 = {0}
Доказательство. ∀𝑎 ∈ 𝐾 : 0 = 0 · 𝑎 = 1 · 𝑎 =⇒ 𝑎 = 0
Пусть 𝐾 - кольцо с единицей
Определение. Элемент 𝑎 ∈ 𝐾 называется обратимым, если ∃ 𝑏 ∈ 𝐾 :
𝑎𝑏 = 𝑏𝑎 = 1. При этом элемент 𝑏 должен быть обратным к 𝑎
Утверждение. Если 𝐾 - ассоциативное кольцо с 1, то если элемент 𝑎 ∈ 𝐾
имеет обратный, то он единственный.
Примеры.
1. (Z, +, ·): 1, −1 - обратимые, других нет.
2. (R, +, ·): ∀𝑎 ∈ R, 𝑎 ̸= 0 - обратим. Обозначается: 𝐾 - ассоциативное кольцо
с1
𝐾 * - множество элементов кольца 𝐾, имеющих обратный.
Утверждение. 𝐾 * - группа относительно умножения.
Пример. Z* = {1, −1}
69
Определение. Поле 𝐾 - коммутативное, ассоциативное кольцо с 1 ̸= 0 , в
котором любой ненулевой элемент обратим.
Замечание. 0 = 1 ⇐⇒ 𝐾 = {0} - не поле.
Примеры.
1. (R, +, ·) - поле
2. (Q, +, ·) - поле
3. (Z, +, ·) - НЕ поле
Пример. Коммутативное, ассоциативное кольцо с 1: Z𝑛
Утверждение. 𝑘 ∈ Z𝑛 - обратим ⇐⇒ (𝑘, 𝑛) = 1
Теорема. Z𝑛 - поле ⇐⇒ 𝑛− простое
Доказательство.
=⇒ Пусть Z𝑛 - поле, то ∀𝑘 ∈ Z𝑛 имеет обратный: 𝑚 : 𝑘𝑚 = 1. Предположим,
что 𝑛− не простое.
=⇒ 𝑛 = 𝑠𝑡, где 1 < 𝑠, 𝑡 < 𝑛 =⇒ 𝑠 ̸= 0 в Z𝑛
=⇒ 𝑠 имеет обратный 𝑠̃︀ : 𝑠 · 𝑠̃︀ = 1 в Z𝑛
=⇒ 𝑡 · 𝑠 · 𝑠̃︀ = 𝑡 в Z𝑛 =⇒ 𝑡 = 0 в Z𝑛 - противоречие.
⇐= 𝑛− простое, то ∀𝑘 ∈ Z𝑛 : 𝑘 ̸= 0 в Z𝑛 , т.е. 𝑛 ̸= 𝑘 =⇒ (𝑛, 𝑘) = 1 =⇒ 𝑘 обратим.
Определение. Говорят, что кольцо 𝐾 не имеет делителей нуля, если из равенства 𝑎 · 𝑏 = 0 =⇒ 𝑎 = 0 или 𝑏 = 0
Если же для ненулевого элемента 𝑎 ∈ 𝐾 найдется ненулевой элемент 𝑏 ∈ 𝐾,
т.ч. 𝑎 · 𝑏 = 0, то 𝑎, 𝑏 называются делителями нуля.
Примеры.
1. Z без делителя нуля
2. Z6 : 2 · 3 = 0 =⇒ есть делители нуля.
(︃
)︃ (︃
)︃ (︃
)︃
1 0
0 0
0 0
3. 𝑀2 (R):
·
=
0 0
0 1
0 0
70
Утверждение. Если в кольце 𝐾 нет делителя нуля, то возможно сокращение,
если 𝑎 · 𝑐 = 𝑏 · 𝑐, и 𝑐 ̸= 0, то 𝑎 = 𝑏
Доказательство. 𝑎 · 𝑐 = 𝑏 · 𝑐 =⇒ 𝑎 · 𝑐 − 𝑏 · 𝑐 = 0 =⇒ (𝑎 − 𝑏) · 𝑐 = 0
т.к. нет делителя нуля =⇒ либо 𝑐 = 0, либо 𝑎 − 𝑏 = 0, но 𝑐 ̸= 0 =⇒ 𝑎 = 𝑏
Утверждение. В поле нет делителя нуля.
⎧
⎪
⎪
⎨𝑎 · 𝑏 = 0
Доказательство. Предположим, что: 𝑎 ̸= 0
⎪
⎪
⎩
𝑏 ̸= 0
Умножим 𝑎 · 𝑏 = 0 на 𝑎−1
⎧
⎨𝑎−1 (𝑎 · 𝑏) = 𝑎−1 · 0 = 0
=⇒ 𝑏 = 0
⎩𝑎−1 (𝑎 · 𝑏) = (𝑎−1 · 𝑎)𝑏 = 1 · 𝑏 = 𝑏
т.к. 𝑎 ̸= 0, в поле ∃ 𝑎−1
Утверждение. Пусть 𝐾 - коммутативное, ассоциативное кольцо с 1, тогда:
𝑥 - обратный ⇐⇒ 𝑥 - не делитель нуля.
Доказательство. Упражнение
9.6
Изоморфные кольца и поля
̃︀ называются изоморфными, если: ∃ 𝜙 : 𝐾 → 𝐾
̃︀
Определение. Кольцо 𝐾 и 𝐾
т.ч.:
1. 𝜙 - биекция
2. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 : 𝜙(𝑎 + 𝑏) = 𝜙(𝑎) + 𝜙(𝑏)
3. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐾 : 𝜙(𝑎𝑏) = 𝜙(𝑎) · 𝜙(𝑏)
̃︀
Обозначается: 𝐾 ∼
=𝐾
𝜙 − изоморфизм колец
Следствия.
1. 𝜙(0) = ̃︀
0
2. 𝜙(−𝑎) = −𝜙(𝑎)
3. если 𝐾 - ассоциативное кольцо с 1, то 𝜙(1) = 1,
а если 𝑎 ∈ 𝐾 имеет обратный, то 𝜙(𝑎−1 ) = 𝜙(𝑎)−1
Определение. Поля 𝑃 и 𝑃̃︀ изоморфны, если они изоморфны как кольца.
71
Определение. Подмножество 𝐿 кольца 𝐾 называется подкольцом, если:
1. 𝐿 - подгруппа адитивной группы кольца 𝐾, т.е.
• ∀𝑎, 𝑏 ⊂ 𝐿 : 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝐿
• 0∈𝐿
• ∀𝑎 ∈ 𝐿 : (−𝑎) ∈ 𝐿
2. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐿 : 𝑎 · 𝑏 ∈ 𝐿
Утверждение. Любое подкольцо кольца 𝐾 само является кольцом относительно тех же операций.
Определение. Подмножество 𝐿 поля 𝐾 называется подполем, если:
1. 𝐿 - подкольцо кольца 𝐾
2. 1 ∈ 𝐿
3. ∀𝑎 ∈ 𝐿, 𝑎 ̸= 0 =⇒ 𝑎−1 ∈ 𝐿
Утверждение. Любое подмножество поля 𝐾 само является полем относильно
тех же операций.
Примеры.
1. Q ⊆ R - подполе
2. Z ⊆ R - подкольцо
3. 2Z ⊆ Z - подкольцо
Упражнение. В Q нет подполей, отличных от самого Q
9.7
Характеристика поля
Пример. Z3 : 1 + 1 + 1 = 0
Определение. Говорят, что поле 𝑃 имеет характеристику 𝑛, если 𝑛 - наименьшее натуральное число, такое, что 1⏟ + 1 +⏞... + 1 = 0.
𝑛
Если такого числа нет, то говорят, чот поле имеет характеристику 0.
Обозначается: 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑃 = 𝑛
Примеры.
72
1. 𝑐ℎ𝑎𝑟Z3 = 3
2. 𝑐ℎ𝑎𝑟R = 0
Замечание. Если 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑃 = 𝑛 ̸= 0, то ∀𝑎 ∈ 𝑃 :
· 1 + 𝑎 · 1 ⏞+ ... + 𝑎 · 1 = 𝑎 · (1⏟ + 1 +⏞... + 1) = 𝑎 · 0 = 0
𝑎
+ 𝑎 +⏞... + 𝑎 = 𝑎
⏟
⏟
𝑛
𝑛
𝑛
Утверждение. Если 𝑃 - поле характеристики 𝑛, 𝑛 ̸= 0, то 𝑛 − простое.
Доказательство. Докажем, 𝑛 = 𝑚 · 𝑘, 1 < 𝑚, 𝑘 < 𝑛:
1⏟ + 1 +⏞... + 1 = (1⏟ + 1 +⏞... + 1)(1⏟ + 1 +⏞... + 1) =⇒ 𝑚 · 𝑘 = 0
𝑛
𝑚
𝑘
В поле нет делителей нуля =⇒ 1⏟ + 1 +⏞... + 1 = 0. Противоречие.
𝑚
Замечание. Теория решения СЛУ (метод Гаусса, правила Крамера, ...), теория определителей, утверждения о векторных пространсвах (в частности о матрицах), которые мы рассматривали раннее, переносятся с R на произвольные
поля.
Исключение - поле характеристики 2: в определение кососимметричной и полилинейной функции надо требовать, что при 2 совпадающих аргументов
𝑓 (..., 𝑣, ..., 𝑣, ...) = 0. Отсюда получаем, что 𝑓 (..., 𝑣, ..., 𝑤, ...) = −𝑓 (..., 𝑤, ..., 𝑣, ...)
(при 𝑐ℎ𝑎𝑟𝑃 = 2 1 = −1)
9.8
Поле комплексных чисел
xd
Определение. Поле комплексных чисел C - это поле, в котором выполнены
следующие условия:
1. Поле R содержится в C в качестве подполя.
2. В C ∃ элемент 𝑖 : 𝑖2 = −1
3. C - наименьшее поле, удовлетворяющее условию 1. и 2.
Т.е. ∀𝐹 ⊆ C : R ⊆ 𝐹, 𝑖 ∈ 𝐹 =⇒ 𝐹 = C
Теорема. Поле C комплексных чисел существует, причем оно единсвенно с
точностью до изоморфизма, оставляющего все вещественные числа на месте.
Кроме того ∀𝑧 ∈ C представляется единсвенным образом в виде: 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖, где
𝑎, 𝑏 ∈ R
73
Доказательство.
1.) Предположим, что поле комплексных чисел C существует и докажем его
единственность.
Для этого иследуем C
Рассмотрим в C подмножество
𝐹 = {𝑎 + 𝑏𝑖 | 𝑎, 𝑏 ∈ R} ⊆ C
Докажем, что 𝐹 - подполе:
(𝑎 + 𝑏𝑖) + (̃︀
𝑎 + ̃︀𝑏𝑖) = (𝑎 + ̃︀
𝑎) + (𝑏 + ̃︀𝑏)𝑖 ∈ 𝐹
(𝑎 + 𝑏𝑖)(̃︀
𝑎 + ̃︀𝑏𝑖) = (𝑎̃︀
𝑎 − 𝑏̃︀𝑏) + (𝑎̃︀𝑏 + ̃︀
𝑎𝑏)𝑖 ∈ 𝐹
– 0 = 0 + 0𝑖 ∈ 𝐹
– 1 = 1 + 0𝑖 ∈ 𝐹
– −(𝑎 + 𝑏𝑖) = (−𝑎) + (−𝑏)𝑖 ∈ 𝐹
– ∀𝑎 + 𝑏𝑖 ∈ 𝐹 будем искать обратный в виде:
𝑥 + 𝑦𝑖 : (𝑎 + 𝑏𝑖)(𝑥 + 𝑦𝑖) = (𝑎𝑥 − 𝑏𝑦) + (𝑎𝑦 + 𝑥𝑏)
⎧
⎨𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 1
⎩𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 = 0
⎧
⎨− 𝑎2 𝑦 − 𝑏𝑦 = 1
𝑏
1 случай. 𝑏 ̸= 0
⎩𝑥 = − 𝑎𝑦
Т.к. 𝑎 + 𝑏𝑖 ̸= 0 =⇒ 𝑎2 + 𝑏2 ̸= 0
𝑏
𝑏
𝑎
=⇒ ∃ 𝑦 = − 𝑎2 +𝑏2 , 𝑥 = 𝑎2 +𝑏
2 ∈ R
2 случай. homework
=⇒ 𝐹 - подполе поля C
R ⊆ 𝐹 , т.к. 𝑖 = 0 + 1 · 𝑖 ∈ 𝐹
По аксиоме 3) Определения поле C : 𝐹 = C
Мы доказали, что если поле помплексных чисел существует, то любой элемент в нем представляется в виде 𝑧 = 𝑎 = 𝑏𝑖, где 𝑎, 𝑏 ∈ R
Проверим, что это предтавление единственное.
От противного:
𝑎 + 𝑏𝑖 = ̃︀
𝑎 + ̃︀𝑏, 𝑎, ̃︀
𝑎, 𝑏, ̃︀𝑏 ∈ R
𝑎 − ̃︀
𝑎 = (̃︀𝑏 − 𝑏)𝑖
74
(𝑎 − ̃︀
𝑎)2 = −1(̃︀𝑏 − 𝑏) − это вещественное число
⎧
⎧
⎧
⎨(𝑎 − ̃︀
⎨
⎨𝑎 = ̃︀
2
2
𝑎) ≥ 0
(𝑎 − ̃︀
𝑎) = 0
𝑎
=⇒
=⇒
⎩(̃︀𝑏 − 𝑏)2 ≥ 0
⎩(̃︀𝑏 − 𝑏)2 = 0
⎩𝑏 = ̃︀𝑏
Предположим, что есть еще одно поле комплексных чисел C.
̃︀ представляетя единТ.к. рассуждение выше верны и для C, то ∀𝑧̃︀ ∈ C
ственным образом в виде:
𝑧̃︀ = 𝑎 + 𝑏̃︀𝑖, где 𝑎, 𝑏 ∈ R, (̃︀𝑖)2 = −1
Рассомтрим отображение:
̃︀
𝜙:C→C
𝜙 : 𝑎 + 𝑏𝑖 → 𝑎 + 𝑏̃︀𝑖
Это отображение - изоморфизм полей, сохраняющие вещественные числа
на месте.
2.) Докажем существование поле помплексных чисел.
Построим поле удовлетворяющее определению:
Γ = {(𝑎, 𝑏) | 𝑎, 𝑏 ∈ R}
Введем операции:
∘ (𝑎, 𝑏) + (̃︀
𝑎, ̃︀𝑏) = (𝑎 + ̃︀
𝑎, 𝑏 + ̃︀𝑏)
∘ (𝑎, 𝑏)(̃︀
𝑎, ̃︀𝑏) = (𝑎̃︀
𝑎 − 𝑏̃︀𝑏, 𝑎̃︀𝑏 + ̃︀
𝑎𝑏)
1. Это бинарная операция; Выполнено: коммутативность,
ассоциативность, дистрибутивность (непосредственная проверка).
2. (0, 0) - ноль
3. (−𝑎, −𝑏) - противоположный к (𝑎, 𝑏)
4. (1, 0) - единица
𝑎
−𝑏
5. ∀(𝑎, 𝑏) ̸= (0, 0) ∃ обратный : ( 𝑎2 +𝑏
2 , 𝑎2 +𝑏2 )
=⇒ Γ - поле.
Рассмотрим подмножество
L = {(𝑎, 0) | 𝑎 ∈ R} ⊆ Γ
Это поле изоморфное R 𝑎 ←→ (𝑎, 0)
(0, 1)(0, 1) = (−1, 0) ←→ −1
75
𝑖 = (0, 1) ∈ Γ
∀(𝑎, 𝑏) ∈ Γ
(𝑎, 0)(1, 0) + (𝑏, 0)(0, 1) = (𝑎, 𝑏)
т.е. ∀𝑧 ∈ Γ 𝑧 = 𝑎 · 1 + 𝑏 · 𝑖
∀𝐹 ⊆ Γ
⎧
⎨R ⊆ 𝐹
=⇒ 𝐹 = Γ
⎩𝑖 ∈ 𝐹
Замечание. Запись 𝑧 = 𝑎 + 𝑏𝑖 называется алгебраической записью комплексного числа.
𝑅𝑒(𝑧) = 𝑥 - вещественная часть комплексного числа
𝐼𝑚(𝑧) = 𝑦 - мнимая часть комплексного числа
𝑖 - мнимая единица.
На декартовой плоскоси:
𝑦
𝑀 (𝑥, 𝑦)
𝑥
𝑂
𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 ←→ точка 𝑀 (𝑥, 𝑦) ←→ вектор 𝑂𝑀
Определение. Число 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 называется комплексно-сопряженным к 𝑧 =
𝑥 + 𝑖𝑦
Утверждение. Отображеие 𝜙 : 𝑧 → 𝑧 является изоморфизмом поля C в себя
(т.е. является автоморфизмом).
Доказательство. биекция очевидна
𝑧1 + 𝑧2 = (𝑥1 + 𝑥2 ) − (𝑦1 + 𝑦2 )𝑖 = 𝑧1 + 𝑧2
𝑧1 𝑧2 = (𝑥1 𝑥2 − 𝑦1 𝑦2 ) + (𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 ) = 𝑧1 · 𝑧2
Свойства.
1. 𝑧 = 𝑧
2. 𝑧 · 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦 2 ∈ R
76
3. 𝑧 + 𝑧 = 2𝑥 ∈ R
𝑧
4. ∀𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦, 𝑧 ̸= 0, ∃ 𝑧 −1 = 𝑧1 = 𝑧·𝑧
= 𝑥𝑥−𝑖𝑦
2 +𝑦 2
Определение. Тригонометрическая форма (полярная система координат на
плоскости)
точка 𝑀 (𝑥, 𝑦) ←→ РИСУНОК
−−→
−−→
𝜌
=
|
𝑂𝑀
|;
𝜙
=
∠
(𝑂𝑥,
𝑂𝑀 )
⎧
⎨𝑥 = 𝜌𝑐𝑜𝑠(𝜙)
√︀
𝑧 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠(𝜙) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙)); 𝜌 = |𝑧| = 𝑥2 + 𝑦 2
⎩𝑦 = 𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜙)
𝜙 называется аргументом комплексного числа 𝑧
𝜙 определяется с точностью до 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ Z
𝐴𝑟𝑔(𝑧) = 𝜙 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ Z
0 ≤ 𝐴𝑟𝑔(𝑧)
⎧≤ 2𝜋 - главный аргумент
⎨𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( 𝑦 ),
𝑥>0
𝑥
𝐴𝑟𝑔(𝑧) =
⎩𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔( 𝑦 + 𝜋), 𝑥 < 0
𝑥
Если 𝑧 = 0, то
⎧ аргумент не определяется (либо угол любой, либо |𝑧| = 0 )
⎨|𝑧 | = |𝑧 |
1
2
𝑧1 = 𝑧2 ⇐⇒
⎩𝜙1 = 𝜙2 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ Z
Утверждение. (Формула Муавра)
Пусть 𝑧1 = 𝜌1 (𝑐𝑜𝑠(𝜙1 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙1 )), 𝑧2 = 𝜌2 (𝑐𝑜𝑠(𝜙2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙2 ))
Тогда:
1. 𝑧1 · 𝑧2 = (𝜌1 · 𝜌2 )(𝑐𝑜𝑠(𝜙1 + 𝜙2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙1 + 𝜙2 ))
2. если 𝑧2 ̸= 0, то 𝑧𝑧21 = 𝜌𝜌21 (𝑐𝑜𝑠(𝜙1 − 𝜙2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙1 − 𝜙2 ))
Доказательство.
1. 𝑧1 · 𝑧2 = 𝜌1 (𝑐𝑜𝑠(𝜙1 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙1 )) · 𝜌2 (𝑐𝑜𝑠(𝜙2 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙2 )) =
= (𝜌1 ·𝜌2 )(𝑐𝑜𝑠(𝜙1 )𝑐𝑜𝑠(𝜙2 )+𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙1 )𝑠𝑖𝑛(𝜙2 )) = (𝜌1 ·𝜌2 )(𝑐𝑜𝑠(𝜙1 +𝜙2 )+𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙1 +
𝜙2 ))
2. Аналогично
Определение. Число 𝑤 ∈ C называется корнем 𝑛−ой степени из 𝑧 ∈ C, где
𝑛 ∈ N, если 𝑤𝑛 = 𝑧.
77
Утверждение. Пусть 𝑧 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠(𝜙) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙)), 𝑧 ̸= 0, 𝑛 ∈ N
Тогда ∃ ровно 𝑛 корней 𝑛−ой степени из 𝑧 ∈ C: 𝑤0 , 𝑤1 , ..., 𝑤𝑛−1 , причем
𝜙 + 2𝜋𝑙
𝜙 + 2𝜋𝑙
√
) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(
))
𝑤𝑙 = 𝑛 𝜌 · (𝑐𝑜𝑠(
𝑛
𝑛
𝐼𝑚(𝑧)
𝑤2
𝑤3
𝑤1
𝑤4
𝑤0
𝑤5
𝑤11
𝑂
𝑤6
𝑅𝑒(𝑧)
𝑤10
𝑤7
𝑤9
𝑤8
𝑤0 , 𝑤1 , ..., 𝑤𝑛−1 - лежат в верщинах правильного 𝑛 - угольника, вписанного в
окружность.
Доказательство. Рассмотрим 𝑤 = 𝑟(𝑐𝑜𝑠(𝜓) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜓))
𝑧 = 𝜌(𝑐𝑜𝑠(𝜙) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝜙)) = 𝑟𝑛 (𝑐𝑜𝑠(𝑛𝜓) + 𝑖𝑠𝑖𝑛(𝑛𝜓)) = 𝑤𝑛
⎧
⎨𝑟𝑛 = 𝜌
=⇒
⎩𝑛𝜙 = 𝜙 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ Z
√
𝜙+2𝜋𝑘
=⇒ 𝑤 = 𝑛 𝜌 · (𝑐𝑜𝑠( 𝜙+2𝜋𝑘
𝑛 ) + 𝑖𝑠𝑖𝑛( 𝑛 )), 𝑘 ∈ Z
при 𝑘 = {0, 1, ..., 𝑘 − 1} - 𝑤 принимает все различные значения
10
Алгебра над полем
Пусть 𝐹 - поле
Определение. Алгеброй над полем 𝐹 , называется множество 𝐴 с операциями
сложения, умножения и умножения на элементы поля, удовлетворяет следующим аксиомам:
1. (𝐴, +, ·) - кольцо
78
2. 𝐴, +, 𝜆· - векторное пространсво под полем 𝐹
3. ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴, 𝜆 ∈ 𝐹 : 𝜆(𝑎 · 𝑏) = (𝜆𝑎)𝑏 = 𝑎(𝜆𝑏)
Обозначается: (𝐴, +, ·, 𝜆·), 𝜆 ∈ 𝐹
Определение. Алгебрай над полем называется коммутативной (ассоциативной, с единицей и т.д.), если алгебра, как кольцо, имеет соответвенное свойство.
Определение. Размерность алгебры - размерность алгебры, как векторного
пространства над полем.
Примеры.
1. 𝑀𝑛 (𝐹 )− алгебра матриц с коэффициентами из 𝐹 (это НЕ коммутативная,
ассоциативная с единицей алгебра над 𝐹 )
2. (𝑉 3 , +, ×, 𝜆·) - векторное произведение (НЕ коммутативна, НЕ ассоциативная без единицы алгебра над R, размерности 3)
3. 𝐿 - подполе поля 𝐹 =⇒ 𝐹 можно рассматривать, как алгебру над 𝐿
Пример. C− алгебра над R размерности 2 (Базис: {1, 𝑖})
Пусть 𝐴 - алгебра над полем 𝐹 , {𝑒1 , ..., 𝑒𝑛 } - базис алгебры 𝐴, как векторного
пространства, тогда
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴 : 𝑎 =
𝑛
∑︁
𝑎𝑗 𝑒 𝑗 , 𝑏 =
𝑗=1
𝑛
∑︁
𝑎𝑗 𝑒 𝑗
𝑗=1
𝑛
𝑛
𝑛
∑︁
∑︁
∑︁
=⇒ 𝑎 · 𝑏 = (
𝑎𝑗 𝑒𝑗 )(
𝑎𝑗 𝑒𝑗 ) =
𝑎𝑗 𝑏𝑘 (𝑒𝑗 𝑒𝑘 )
𝑗=1
𝑗=1
𝑗,𝑘=1
Для умножения произвольных элементов достаточно знать таблицу умножения
базисных элементов (𝑒𝑗 · 𝑒𝑘 )
Утверждение. Для проверки коммутативности · в алгебре (ассоциативности
и т.д.) достаточно проверить на базисных векторах.
Доказательство. Очевидно
Примеры.
1. C - алгебра над R с базисом {1, 𝑖}
1 𝑖
1 1 𝑖
𝑖 𝑖 −1
79
2. (𝑉 3 , +, ×, 𝜆·) Матрица
3. 𝑀𝑛 (𝐹 )
Пусть 𝑉 - векторное пространство над полем 𝐹 . Хотим превратить 𝑉 в алгебру над полем 𝐹
Пусть 𝑒𝑗𝑘 - произвольные векторы из 𝑉, 𝑗, 𝑖 = 1, 𝑛
Положим 𝑒𝑗 · 𝑒𝑘 = 𝑒𝑗𝑘 =⇒
∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑉 : 𝑎 · 𝑏 =
𝑛
∑︁
𝑎𝑗 𝑏𝑘 𝑒𝑗𝑘
𝑗,𝑘=1
Пример. Алгебра кватернионов H
H - 4-х - мерное векторное пространство над R с базисом {1, 𝑖, 𝑗, 𝑘} и таблицей
умножения: МАТРИЦА
Определение. Подмножество 𝐵 алгебры 𝐴 назвается подалгеброй 𝐴, если 𝐵
- подпространство 𝐴, как кольца и подпространства 𝐴, как пространства.
Утверждение. Любоя подалгебра сама является алгеброй относильно тех же
оперций и тем же полем.
̃︀ над одним и тем же полем назваются изоморфОпределение. Алгебра 𝐴 и 𝐴
ными, если они изоморфны.
Надо дописать прошлую лекцию
10.1
Алгебра многочленов над полем
𝐹 - поле
Определение. Бесконечная последовательность (𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , ...), где 𝑎𝑖 ∈ R, называется финитной, если только конечное число 𝑎𝑖 отлично от нуля.
𝐹 ∞ = {(𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , ...) | 𝑎𝑖 ∈ R}
Утверждение. Множество 𝐹 ∞ относительно операции сложения:
(𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , ...) + (𝑏0 , 𝑏1 , 𝑏2 , ...) = (𝑎0 + 𝑏0 , 𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , ...)
и умножения на элементы 𝜆 ∈ 𝐹 :
(𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , ...) · 𝜆 = (𝜆𝑎0 , 𝜆𝑎1 , 𝜆𝑎2 , ...)
𝐹 ∞ - бесконечномерное векторное пространство.
80
Утверждение. 𝐹 ∞ - счетномерно с базисом:
(𝑒0 , 𝑒1 , 𝑒2 , ...) = ( (1, 0, 0, ...), (0, 1, 0, ...), (0, 0, 1, ...), ... )
Зададим умножение 𝑒𝑘 · 𝑒𝑙 = 𝑒𝑘+𝑙 =⇒ 𝐹 ∞ превращается в алгебру над полем 𝐹
Замечание. Так как 𝑒𝑙 = 𝑒𝑘+𝑙 и в Z сложение коммутативно и ассоциативно, то
𝐹 ∞ - ассоциативная, коммутативная алгебра над 𝐹 с единицей: 𝑒0 = (1, 0, 0, ...)
Определение. Такая алгебра называется алгеброй многочленов над полем 𝐹 .
Обозначается: 𝐹 [𝑥]
Получаем привычный вид многочлена: ∀𝑎 ∈ 𝐹 : 𝑎 · 𝑒0 отожествим с элементом 𝑎, а вектор 𝑒1 обозначим через 𝑥:
𝑒𝑘 = 𝑒1 · 𝑒1 · ... · 𝑒1 = 𝑥𝑘
⏟
⏞
𝑘
Рассмотрим произвольный (𝑎0 , 𝑎1 , 𝑎2 , ...) ∈ 𝐹 ∞ . Так как она финитная, то:
(𝑎0 , 𝑎1 , ..., 𝑎𝑛 , 0, 0, ...) = 𝑎0 𝑒0 + 𝑎1 𝑒1 + ... + 𝑎𝑛 𝑒𝑛 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ... + 𝑎𝑛 𝑥𝑛
𝑎𝑖 называется коэффициентом многочлена.
Определение. Если 𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ... + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 , где 𝑎𝑛 ̸= 0, 𝑎𝑘 = 0, ∀𝑘 > 𝑛,
то 𝑎𝑛 называется старшим членом, а число deg 𝑓 = 𝑛 называется степенью
многочлена.
Замечание. deg 0 = −∞ (или неопределена)
𝑓 ̸= 0, deg 𝑓 ∈ N ∪ {0}
Свойства.
1. deg(𝑓 + 𝑔) ≤ max{deg 𝑓, deg 𝑔}
2. deg(𝑓 𝑔) = deg 𝑓 + deg 𝑔
Доказательство.
1. Упражнение
2.
𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ... + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 , 𝑎𝑛 , deg 𝑓 = 𝑛
𝑔 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ... + 𝑏𝑚 𝑥𝑚 , 𝑏𝑚 , deg 𝑓 = 𝑚
𝑓 𝑔 = 𝑎0 𝑏0 + ... + 𝑎𝑛 𝑏𝑚 𝑥𝑛+𝑚
𝑎𝑛 , 𝑏𝑚 ̸= 0, т.к. в поле нет делителей нуля =⇒ 𝑎𝑛 𝑏𝑚 - старший член
=⇒ deg 𝑓 𝑔 = deg 𝑓 + deg 𝑔
81
Следствие.
1. в 𝐹 [𝑥] нет делителей нуля.
2. Обратные в 𝐹 [𝑥] - это многочлены нулевой степени и только они, т.е. это
все ненулевые константы.
10.1.1
Деление с остатком
Теорема. Пусть 𝐹 - поле, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹, 𝑔 ̸= 0. Тогда ∃! 𝑞, 𝑟: 𝑓 = 𝑔 · 𝑞 + 𝑟,
причем либо 𝑟 = 0, либо deg 𝑟 < deg 𝑔
Доказательство. Пусть 𝑓, 𝑔 ̸= 0
𝑓 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + ... + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 , 𝑎𝑛 ̸= 0, deg 𝑓 = 𝑛
𝑔 = 𝑏0 + 𝑏1 𝑥 + ... + 𝑏𝑚 𝑥𝑚 , 𝑏𝑚 ̸= 0, deg 𝑓 = 𝑚
Докажем существование:
1. 𝑛 < 𝑚 =⇒ 𝑓 = 0 · 𝑔 + 𝑓 (𝑞 = 0, 𝑓 = 𝑟)
2. 𝑛 ≥ 𝑚 =⇒ 𝑓1 = 𝑓 − 𝑏𝑎𝑚𝑛 · 𝑔 · 𝑥𝑛−𝑚
Если deg 𝑓1 < deg 𝑔 =⇒ 𝑟 = 𝑓1 , 𝑞 = 𝑏𝑎𝑚𝑛 · 𝑥𝑛−𝑚
Иначе продолжаем процесс с 𝑓1 (заметим, что deg 𝑓1 < deg 𝑓 ): находим 𝑓2
и т.д. Процесс закончится на конечном шаге.
Докажем единственность:
Допустим, 𝑓 = 𝑔 · 𝑞1 + 𝑟1 и 𝑓 = 𝑔 · 𝑞2 + 𝑟2
=⇒ 𝑟1 − 𝑟2 = 𝑔(𝑞2 − 𝑞1 ) =⇒ deg(𝑟1 − 𝑟2 ) = deg 𝑔 + deg(𝑞2 − 𝑞1 )
deg(𝑟1 − 𝑟2 ) ≥ deg 𝑔
. С другой стороны
deg(𝑟1 − 𝑟2 ) < max{deg 𝑟1 , deg 𝑟2 } < deg 𝑔
- получаем противоречие.
82
10.1.2
Мгогочлены как фунции
𝐹 - поле, 𝑓 = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + ... + 𝑎0
Определение. Значение многочлена 𝑓 в точке 𝑐 называет число, равное:
𝑎𝑛 𝑐𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑐𝑛−1 + ... + 𝑎0
Таким образом, множество 𝑓 задает отображение 𝐹 → 𝐹
𝑐 → 𝑓 (𝑐) =⇒ 𝑓 задает функцию
Замечание. Разные многочлены могут задавать одну функцию.
Пример. 𝐹 = Z2 , 𝑓1 = 𝑥2 , 𝑓2 = 𝑥 - разные многочлены, но они задают одну и
ту же функцию:
𝑓1 (0) = 0, 𝑓1 (1) = 1, 𝑓2 (0) = 0, 𝑓2 (1) = 1
Теорема. Пусть 𝐹 - бесконечное полею. Тогда разные многочлены задают разные функции.
Доказательство. Допустим, 𝑓, 𝑔 ∈ 𝐹 [𝑥], 𝑓 ̸= 𝑔, ∀𝑐 ∈ 𝐹, 𝑓 (𝑐) = 𝑔(𝑐)
Введем ℎ = 𝑓 − 𝑔 ∈ 𝐹 [𝑥], ℎ ̸= 0, ∀𝑐 ∈ 𝐹, ℎ(𝑐) = 0
Т.к. поле 𝐹 - бесконечное, то ∃ 𝑐0 , 𝑐1 , ..., 𝑐𝑛 ∈ 𝐹 - различные числа, такие что:
⎧
⎧
⎪
⎪
ℎ(𝑐0 ) = 0
+ ... + 𝑎1 𝑐0 + 𝑎0 = 0
𝑎𝑛 𝑐𝑛0 + 𝑎𝑛−1 𝑐𝑛−1
⎪
⎪
0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ℎ(𝑐 ) = 0
⎨𝑎 𝑐𝑛 + 𝑎 𝑐𝑛−1 + ... + 𝑎 𝑐 + 𝑎 = 0
1
𝑛 1
𝑛−1 1
1 1
0
=⇒
..
..
⎪
⎪
⎪
.
⎪
.
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎩ 𝑛
ℎ(𝑐 ) = 0
𝑎 𝑐 + 𝑎 𝑐𝑛−1 + ... + 𝑎 𝑐 + 𝑎 = 0
𝑛
𝑛 𝑛
𝑛−1 𝑛
1 𝑛
0
- квадратная однородная СЛУ относительно неизвестных 𝑎𝑛 , 𝑎𝑛−1 , ..., 𝑎0 с матрицей коэффициентов 𝐴 :
⎛
⎞
𝑐𝑛0 · · · 𝑐10
⎜ 𝑛
⎟
⎜𝑐1 · · · 𝑐11 ⎟
𝐴=⎜
, det 𝐴 = (−1)2 ·
𝑉 (𝑐0 , 𝑐1 , ..., 𝑐𝑛 )
.. ⎟
⎜ ...
⎟
⏞
⏟
.⎠
⎝
Определитель
Вандермонда
𝑐𝑛𝑛 · · · 𝑐1𝑛
=⇒ по правилу Крамера СЛУ имеет единственное решение и оно тривиальное
=⇒ ∀𝑖 ∈ {0, 1, ..., 𝑛} : 𝑎𝑖 = 0 =⇒ 𝑛 = 0 противоречие.
Теорема. (Безу) Пусть 𝐹 - поле, 𝑓 ∈ 𝐹 [𝑥], 𝑐 ∈ 𝐹 .
Тогда остаток при делении 𝑓 на (𝑥 − 𝑐) равен значению многочлена в точке 𝑐.
83
Доказательство. Пусть 𝑓 (𝑥) = (𝑥 − 𝑐)𝑔(𝑥) + 𝑟(𝑥) (*)
deg 𝑟(𝑥) < deg(𝑥 − 𝑐) = 1 =⇒ 𝑟(𝑥) − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
=⇒ Либо 𝑟(𝑥) = 0, либо 𝑟(𝑥) = 𝑟 ∈ 𝐹
Подставим в (*) 𝑥 = 𝑐
𝑓 (𝑐) = (𝑐 − 𝑐) · 𝑞(𝑐) + 𝑟(𝑐) = 𝑟
10.1.3
Корни многочленов
Определение. Элемент 𝑐 ∈ 𝐹 - корень многочлена 𝑓 ∈ 𝐹 [𝑥], если 𝑓 (𝑐) = 0. Из
теоремы Безу получаем утверждение:
Утверждение. 𝑐 ∈ 𝐹 - корень многочлена 𝑓 ∈ 𝐹 [𝑥] ⇐⇒ (𝑥 − 𝑐) | 𝑓 .
Определение. Если 𝑐 - корено многочлена 𝑓 и (𝑥 − 𝑐)2 ∤ 𝑓 , то корень 𝑐 называется простым, иначе кратным.
Определение. Если 𝑐 - корень и (𝑥 − 𝑐)𝑘 | 𝑓, (𝑥 − 𝑐)𝑘+1 ∤ 𝑓 , то 𝑐 - корень
кратности 𝑘 (𝑘 ∈ N).
⎧
⎨𝑓 = (𝑥 − 𝑐)𝑘 · 𝑔
Утверждение. 𝑐- корень многочлена 𝑓 кратности 𝑘 ⇐⇒
⎩𝑔(𝑐) ̸= 0
Следствие. Пусть 𝑓 ∈ 𝐹 [𝑥], 𝑓 ̸= 0, deg 𝑓 = 𝑛, 𝑘 - число всех корней многочлена 𝑓 с учетом кратности.
Тогда 𝑘 ≤ 𝑛, причем если 𝑘 = 𝑛 ⇐⇒ 𝑓 раскладывается на линейные многочлены.
Доказательство. Если 𝑐1 - корень, то 𝑓 = (𝑥 − 𝑐1 )𝑔1
Если 𝑐2 - корень, то 𝑓 = (𝑥 − 𝑐1 )(𝑥 − 𝑐2 )𝑔2 и т.д.
=⇒ 𝑓 = (𝑥 − 𝑐1 )(𝑥 − 𝑐2 )...(𝑥 − 𝑐𝑘 )𝑔
где 𝑔 не имеет корней. То есть 𝑐1 , ..., 𝑐𝑘 - корни многочлена 𝑓 , при этом среди
них могут быть одинаковые.
=⇒ 𝑓 = (𝑥 − 𝑐̃︀1 )𝑘1 (𝑥 − 𝑐̃︀2 )𝑘2 ...(𝑥 − 𝑐̃︀𝑠 )𝑘𝑠 𝑔
где 𝑐̃︀1 , ..., 𝑐̃︀𝑠 - все различные корни.
Т.к.
𝑓 = (𝑥 − 𝑐̃︀𝑙 )ℎ
84
где ℎ(𝑐̃︀𝑙 ) ̸= 0 =⇒ 𝑐̃︀𝑙 - корень кратности 𝑘𝑙
=⇒ deg 𝑓 = 𝑘1 + ..., +𝑘𝑠 + deg 𝑔 =⇒ 𝑘 = 𝑘1 + ... + 𝑘𝑠 ≤ 𝑛
При этом:
𝑠
∏︁
(𝑥 − 𝑐̃︀𝑙 )𝑘𝑙
𝑘 = 𝑛 ⇐⇒ deg 𝑔 = 0 ⇐⇒ 𝑓 =
𝑙=1
Определение. Формальной производной многочлена
𝑓 = 𝑎𝑛 𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 𝑥𝑛−1 + ... + 𝑎0
называется многочлен:
𝑓 ′ = 𝑎𝑛 𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1 (𝑛 − 1)𝑥𝑛−1 + ... + 𝑎1
Утверждение.
1. (𝑓 + 𝑔)′ = 𝑓 ′ + 𝑔 ′
2. (𝛼𝑓 )′ = 𝛼𝑓 ′
3. (𝑓 𝑔)′ = 𝑓 ′ 𝑔 + 𝑓 𝑔 ′
Утверждение. Пусть 𝑐ℎ𝑎𝑟𝐹 = 0, 𝑐 ∈ 𝐹, 𝑓 ∈ 𝐹 [𝑥], тогда:
𝑓 ′ (𝑐)
𝑓 (2) (𝑐)
𝑓 (𝑛) (𝑐)
2
𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑐) +
(𝑥 − 𝑐) +
(𝑥 − 𝑐) + ... +
(𝑥 − 𝑐)𝑛
1!
2!
𝑛!
𝑛
𝑛−1
Доказательство. 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑛 𝑥 + 𝑎𝑛−1 𝑥
+ ... + 𝑎0 .
Подставим 𝑥 = 𝑦 + 𝑐:
𝑓 = 𝑏𝑛 𝑦 𝑛 + 𝑏𝑛−1 𝑦 𝑛−1 + ... + 𝑏0
Подставим 𝑦 = 𝑥 − 𝑐:
𝑓 = 𝑏𝑛 (𝑥 − 𝑐)𝑛 + 𝑏𝑛−1 (𝑥 − 𝑐)𝑛−1 + ... + 𝑏0
=⇒ 𝑓 (𝑘) (𝑐) = 𝑘! · 𝑏𝑘 (вопросик)
Следствие. Пусть 𝑐ℎ𝑎𝑟𝐹 = 0, 𝑓 ∈ 𝐹 [𝑥], 𝑐 ∈ 𝐹 ⎧
⎪
𝑓 (𝑐) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
′
⎪
⎪
⎨𝑓 (𝑐) = 0
Тогда 𝑐 - корень многочлена 𝑓 кратности 𝑘 ⇐⇒ ...
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑓 (𝑘−1) (𝑐) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩𝑓 (𝑘) (𝑐) ̸= 0
85