Линейная алгебра: Практикум, часть II

Донецкий государственный университет
Oткрытый математический колледж
Центр математического и компьютерного просвещения
МИВТ
Потёмкин Л.В., Кизименко А.М., Слипенко А.К. Сорока Л.И.
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
часть II
(п р а к т и к у м)
Донецк-2000
УДК 514.14
Потёмкин Л.В., Кизименко А.М., Слипенко А.К., Сорока Л.И.
Линейная алгебра. Практикум. Пособие для студентов. – Донецк: ДонГУ, 2000. Часть
II. – 51с.
Пособие содержит дидактические материалы для изучения теории
конечномерных линейных пространств.
Перечень понятий и фактов даёт представление о содержании курса.
Методические материалы знакомят студентов с основными определениями и
теоремами, изучение которых предусмотрено действующими программами.
Наличие примеров решения типовых задач содействует успешному выполнению
индивидуальных заданий и усвоению материала. Этому же способствуют и
контрольные вопросы, имеющие, как правило, характер устных упражнений.
Приводимые в каждом разделе задачи нацеливают на овладение основными методами
линейной алгебры, а также усиливают творческую, неалгоритмическую линию курса.
Рецензент доцент Донецкого госуниверситета Бродский Я. С.
Редактор доцент Донецкого госуниверситета Павлов А. Л.
Печатается по решению методического совета математического факультета ДонГУ от
14 января 2000 года.
Компьютерный набор Кизименко А.А.
 Потёмкин Л.В., Кизименко А.М., Слипенко А.К., Сорока Л.И.
2
Литература
1. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. – М.: Наука, 1971. – 271 с.
2. Воеводин В.В. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1980. – 400 с.
3. Ильин В.А., Позняк В.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1978. – 304 с.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1975. – 432 с.
5. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. – М.: Наука, 1984. – 416 с.
6. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре.–М.: Наука, 1984.– 336 с.
7. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре. – М.: Наука, 1975. –
8. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. – М.: Мир, 1980. –
9. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. – М.:
Наука, 1974. – 544 с.
10.Мальцев Ф.И. Основы линейной алгебры. – М: Наука, 1975. – 400 с.
11.Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра и
геометрия. – М.: Наука,
1986. – 304 с.
1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Понятия:
1) линейные пространства, подпространства;
2) линейная комбинация векторов, линейная оболочка;
3) линейная зависимость (независимость) векторов;
4) размерность пространства, базис, координаты вектора;
5) матрица перехода к новому базису;
6) эквивалентные системы векторов, максимальные
подсистемы, ранг системы векторов, ранг матрицы;
7) элементарные преобразования систем векторов и матриц;
8) сумма и пересечение подпространств,
9) прямая сумма; изоморфизм линейных пространств.
линейно
независимые
Факты:
1) простейшие следствия из аксиом линейного пространства;
2) критерий подпространств;
3) свойства линейной зависимости, основная теорема;
4) независимость числа базисных векторов от выбора базиса;
5) существование и единственность разложения векторов по базису;
6) теорема о дополнении до базис;
7) преобразование координат вектора при переходе к другому базису;
8) теоремы о ранге матрицы;
9) теорема об элементарных преобразованиях системы векторов (матрицы);
3
10)
11)
12)
13)
14)
теорема о связи между размерностями суммы и пересечения подпространств;
критерий прямой суммы;
критерий совместности систем линейных уравнений;
размерность и базис пространства решений однородных систем;
теорема об изоморфизме линейных пространств.
Пусть P – произвольное поле, элементы которого будем называть скалярами, а
V – непустое множество, элементы которого назовем векторами. Множество V назовем
линейным пространством над полем P, если определены операции сложения
векторов и умножения векторов на скаляры (т.е. для всех a, b  V а+b  V для всех
a  V,   P а  V), причем, данные операции удовлетворяют следующим условиям
(аксиомам линейного пространства):
(1) a+b = b+a;
(2) (a+b)+c = a+(b+c);
(3) существует вектор 0 такой, что для любого a  V a+0=a;
(4) для любого a  V существует противоположный вектор  a такой, что
( a  (a )  0 );
(5) (    )a=a+a;
(6)  (a+b)= a+b;
(7) (  )a= (a);
(8) 1  a  a , где 1 – единица поля P.
Здесь и далее малыми латинскими буквами обозначены произвольные векторы,
греческими - скаляры.
Важнейшими примерами линейных пространств являются арифметические
пространства R n , где R – поле действительных чисел, n – натуральное число.
Векторами этих пространств являются упорядоченные n-ки действительных чисел,
скалярами – действительные числа, операции сложения векторов и умножения
вектора на скаляр выполняются "матричным" способом .
Пример 1. Выяснить, является ли линейным пространством над полем
действительных чисел множество M (2  2) матриц вида 
a b
 с действительными
c
a


элементами относительно обычных для алгебры матриц действий сложения и
умножения на число?
□ Прежде всего, следует проверить, определены ли на данной совокупности
матриц указанные операции? Иначе, замкнуто ли множество M относительно этих
операций? Не получим ли мы, складывая матрицы из множества M, либо умножая их
на действительные числа, матрицы другого вида? Убедимся, что:
 a1 b1   a 2 b2   a1  a 2 b1  b2 
 a b   a b 

  
  
  M и  
  
  M .
 c a   c a 
 c1 a1   c2 a 2   c1  c 2 a1  a 2 
Далее следует проверить выполнимость аксиом линейного пространства.
В данном случае будем активно использовать сведения из алгебры матриц, ведь речь
идет об известных операциях. Итак, аксиомы (1)-(2) и (5)-(8) являются обычными
4
свойствами действий над матрицами. Они выполняются для всех матриц, а значит и
0 0
 . Ее
для матриц данного вида. Роль нуля (аксиома (3)) играет матрица 
0 0
получаем из общего вида матриц при a=b=c=0. Наконец, противоположная для
a b
 a  b

 матрица 
 также принадлежит M ( аксиома (4) ). ■
c a
  c  a
Проверки того, является ли множество U линейным пространством, существенно
упрощаются, если речь идет о подпространстве некоторого пространства V, т.е. о
подмножестве линейного пространства, являющегося в свою очередь линейным
пространством относительно операций определенных в V. В этом случае достаточно
проверить замкнутость множества U относительно сложения и умножения на
скаляры из общего для V и U поля скаляров P (критерий подпространства).
Пример 2. Выяснить, является ли линейным пространством над полем R
a  b
 относительно
множество K действительных матриц второго порядка вида 
b
a


обычных операций.
□ Множество K является подмножеством линейного пространства M из примера
1. И поскольку речь идет об одних и тех же операциях, то достаточно убедиться в
замкнутости множества K относительно сложения и умножения на число:
 a1 b1   a2 b2   a1  a2 b1  b2 
 a b    a b 



K
и

b a  b
 

 b a    b  a   K .

 

 1
1 
 2 a2   b1  b2 a1  a2 
Заметим, что и в примере 1 можно было воспользоваться критерием
подпространства.■
Важным примером подпространств являются линейные оболочки L(a1,...,an),
состоящие из всевозможных линейных комбинаций 1a1  ...  n an векторов a1 ,..., an
некоторого пространства.
Введем еще несколько фундаментальных понятий теории линейных
пространств.
Система векторов _a1,...,an называется линейно независимой, если равенство
λ1a1+…+λnan = 0 возможно только при λ1 =…= λn = 0. В противном случае эта система
линейно зависима. Для линейно зависимой системы характерно то, что хотя бы один из
векторов системы является линейной комбинацией остальных.
Базисом линейного пространства V
называется линейно независимая
упорядоченная система векторов (e1,…,en)=[e] такая, что L(e1,…,en)=V. Количество
базисных векторов называют размерностью пространства. Заметим, что мы
ограничимся рассмотрением пространств, для которых существует конечный базис, то
есть конечномерных пространств.
Любой вектор a пространства однозначно представляется в виде линейной
комбинации базисных векторов: a=ξ1e1+…+ξnen , причем набор скаляров ξ1,…,ξn
называют координатами вектора a в базисе [e].
Базис пространства определен неоднозначно, но количество базисных векторов
(размерность) является инвариантом для данного пространства. Связь между двумя
базисами [e] и [f] можно выразить в виде матричного равенства [f]=[e]C, где
невырожденная матрица C называется матрицей перехода от базиса [e] к базису [f].
5
Формула (x)e=C(x)f устанавливает связь между координатными столбцами одного и
того же вектора x в базисах [e] и [f].
Соответствие между векторами и их координатами при фиксированном базисе
взаимно однозначно и сохраняется при выполнении операций над векторами, т.е.
является изоморфизмом n-мерного пространства V над полем P и "координатного"
пространства Pn над P. Поэтому многие задачи, касающиеся линейных пространств,
удобно решать, обращаясь к соответствующим координатным пространствам.
Пример 3. Найти базисы и размерности пространств из примеров 1 и 2.
Установить изоморфизм между пространством K из примера 2 и линейным
пространством комплексных чисел над полем действительных чисел.
□ Для пространства М простейшим базисом является система матриц
1 0
0 1
 0 0
, E2  
, E3  
. Она линейно независима, ибо ни одну из
E1  
0 1
 0 0
 1 0
указанных матриц нельзя представить в виде линейной комбинации остальных. Кроме
a b
  M имеем представление A=aE1+bE2+cE3
того, для произвольной матрицы A  
c
a


(тройка (a,b,c) и есть координаты вектора A в базисе [E]). Размерность пространства
M равна 3 (она равна, кстати, количеству параметров, от которых зависит матрица A).
Для пространства K из примера 2 рассуждения аналогичны: его базис
1 0
 0  1
, G2  
 , размерность пространства
составляют, например, матрицы G1  
0
1
1
0




равна 2. Изоморфизм между этим пространством и пространством комплексных чисел
 a  b
  a  bi . Легко проверяемые соотношения
над R устанавливает функция  : 
b a 
 ( X  Y )   ( X )   (Y ) и  (X )   ( X ) для произвольных X , Y  C и   R
являются формальным выражением того, что соответствие не нарушается при
выполнении операций. ■
Для арифметического пространства Rn простейшим является "стандартный"
базис e1=(1,0,...,0), e2=(0,1,...,0),...,en=(0,0,...,1), поэтому размерность пространства
равна n, а компоненты любого вектора – это его координаты в стандартном базисе.
Другой базис этого пространства можно получить, взяв произвольную систему
a1,...,an линейно независимых векторов. Матрица перехода от [e] к [a] будет состоять
из компонент векторов a1,...,an, расставленных в столбцы.
Обобщением понятий базиса и размерности для системы векторов,
не
являющейся, в общем случае, подпространством линейного пространства, есть
понятия максимальной линейно независимой подсистемы и ранга системы векторов,
т.е. количества векторов в максимальной линейно независимой подсистеме. Базис
линейной оболочки некоторых векторов совпадает с ее максимальной линейно
независимой подсистемой, а размерность – с ее рангом.
Вычисление ранга конечной системы векторов сводится к вычислению ранга
матрицы, составленной из координатных столбцов (или строк) данных векторов в
некотором базисе. В свою очередь, ранг матрицы равен наивысшему порядку
отличных от нуля миноров, построенных на матрице.
6
Пример 4. Используя критерий совместности, выяснить, является ли совместной
 x1  2 x2  x3  x4  1;

система
 x1  2 x2  x3  x4  1;
 x  2 x  x  5 x  5.
2
3
4
 1
□ Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг
матрицы системы, составленной из коэффициентов при неизвестных, равен рангу
расширенной матрицы (теорема Кронекера-Капелли).
В нашем случае ранги
1
1  2 1 1 
1  2 1 1



матрицы системы 1  2 1  1  и расширенной матрицы 1  2 1  1  1 равны
1  2 1  5 
1  2 1  5 5 




2, т.к. обе они содержат ненулевой "базисный" минор
второго
1 1
порядка
а все окаймляющие его миноры третьего порядка для обеих матриц
1 1
равны нулю. Таким образом, система совместна. Заодно мы можем утверждать, что
третье уравнение (не проходящее через базисный минор) является линейной
комбинацией первых двух, поэтому его можно отбросить, не нарушая при этом
эквивалентности системы. ■
На подпространствах линейного пространства V вводится ряд операций. Так,
суммой подпространств U и W является подпространство U+W состоящее из
всевозможных сумм вида x+y , где x U , y W . Пересечением этих подпространств
называется подпространство U  W состоящее из векторов, входящих как в U, так и
в W. Известно, что размерность суммы двух подпространств равна
сумме
размерностей слагаемых минус размерность пересечения.
Если пересечение двух подпространств содержит только 0, то их сумма
называется прямой.
Пример 5. Найти сумму и пересечение подпространств U=L(a,b,c) и W=L(s,t),
где a=(1,0,0), b=(1,1,1), c=(0,1,1), s=(1,1,–1), t=(0,0,1).
□ Ясно, что U+W=L(a,b,c,s,t), поэтому размерность суммы этих подпространств
1 1 0 1 0


равна рангу матрицы  0 1 1 1 0  , полученной из компонент данных векторов,
0 1 1 1 1


расставленных в столбцы (можно и в строки!).
1 1 1
Поскольку эта матрица содержит минор третьего порядка 0 1 1 , отличный
0 1 1
от 0, а миноров более высоких порядков составить невозможно, то ранг матрицы
равен 3, указанный минор является базисным, т.е. векторы a, b, s на основе которых
составлен минор, образуют базис пространства U+W.
Для нахождения базиса пересечения U  W воспользуемся тем, что всякое
подпространство арифметического пространства является пространством решений
некоторой однородной системы уравнений. Нетрудно заметить, что базис U
составляют, например, векторы: a и b.
7
Если kx1 +lx2 +px3 = 0 – общий вид уравнений системы, решения которой
образуют пространство U, то подставляя в это уравнение вместо неизвестных
 0;
k
компоненты векторов a и b, получим систему 
Ранг этой системы равен
k  l  p  0.
2, общее решение ее можно записать в виде (0,-p,p). Базисным, (фундаментальным)
решением является, например, решение (0,-1,1). И если на основе этого решения
составить систему (она будет состоять из одного уравнения) ax1–x2+x3=0, то
U
является пространством ее решений.
Аналогично, для пространства W базисом являются векторы s и t. Решая
k  l  p  0;
однородную систему 
находим общее решение (-l,l,0) и базисное
p  0.

решение (-1,1,0).
Система  x1  x2  0 x3  0 имеет своим пространством решений пространство
 x2  x3  0;

W. Объединив полученные две системы, будем иметь систему 
 0,
  x1  x2
пространством решений которой есть U  W . Система уже имеет ступенчатый
вид. Ее общее решение есть (x, x, x), x  R , а базис составляет, например, вектор
f=(1,1,1). Итак U  W =L(f) .■
Пересечение подпространств в примере 5 можно отыскать, не обращаясь к
трактовке подпространств арифметического (координатного) пространства R n , как
пространств решений некоторых однородных систем.
Пусть x U  W , тогда x U и x W . И если, в общем случае, a1 ,..., ak – базис
U, b1 ,..., b – базис W, то x  x1a1  ...  xk ak  y1b1  ...  y b .
Последнее равенство эквивалентно однородной системе n линейных уравнений с k  
неизвестными, ранг которой r равен dim(U  W ) . И поскольку r  k , то в качестве
свободных неизвестных этой системы можно взять последние k    r  d
неизвестные: y r  k 1 ,..., y . Фундаментальные решения ( xi1 ,..., xik , yi1 ,..., yi ) , i  1,..., d
можно получить, давая свободным неизвестным значения строк определителя
y1, r  k 1 . y1

...
... ... порядка d, отличного от 0. Отсюда можно получить базис
y d , r  k  1 . y d
U W :
c1  y11b1  ...  y1 b ,
………………
cd  y d1b1  ...  yd b .
В примере 5 базис U составляют векторы a, b , а базис W – векторы s, t . Мы уже
знаем, что r  3 , поэтому d  dim(U  W )  2  2  3  1 . Для нахождения базиса
 x1  x2  y1 ,

пересечения обратимся к системе x1a  x2 b  y1s  y 2t , или
x2  y1 ,


x2   y1  y 2 .

Поскольку ранг системы 3, а векторы a, b, t линейно независимы, то в качестве
8
свободного неизвестного удобно выбрать y1 . Положив y1  1 и решив систему,
получим (0;1;1;2) в качестве фундаментального решения однородной системы.
Базис U  W составляет вектор c1  1  s  2  t  (1;1;1) .
Заметим, наконец, что во многих случаях не целесообразно обращаться к
координатной форме записи векторов и стандартным методам нахождения
объединения и пересечения подпространств.
a b
Так, нетрудно заметить, что для подпространств вещественных матриц 

0 c
s t 
 x 0
 общими являются матрицы вида 
 , которые и составляют пересечение
и 
t
s
0
x




данных пространств, а учитывая известное соотношение для размерностей суммы и
пересечения, получим, что размерность суммы равна 3  2  1  4 , то есть сумму
данных подпространств составляют все 2  2 -матрицы.
Контрольные вопросы
1. Является ли линейным пространством над полем действительных чисел:
а) множество всех комплексных чисел;
б) множество всех векторов плоскости, коллинеарных данному вектору;
противоположно направленных данному вектору;
в) множество всех вещественных многочленов f(x):
степени, большей или равной n, пополненное 0;
степени, меньшей или равной п, пополненное 0;
степени, равной n;
таких, что f(1)=0;
таких, что f(0)=1;
г) множество (m  n)-матриц: с целыми элементами; с вещественными элементами;
д) множество непрерывных на [a,b] функций?
2. Существует ли алгебраическая система, в которой выполняются все аксиомы
линейного пространства, кроме 1  a  a ?
3. Привести пример подмножества линейного пространства, являющегося линейным
пространством, но не подпространством данного пространства.
4. Пусть система векторов a, b, c линейно зависима. Верно ли, что система a+b,
b+c, a+c линейно зависима?
5. Пусть некоторый вектор линейно выражается через линейно зависимую систему
векторов. Верно ли, что такое разложение единственно?
6. Можно ли любой ненулевой вектор включить в некоторый базис?
7. Верно ли, что две системы векторов, имеющие одинаковые ранги, эквивалентны?
8. Верно ли, что пространства C над R и C над C имеют одинаковую
размерность?
9. Верно ли, что объединение подпространств – снова подпространство?
10.Верно ли, что n-мерное пространство есть прямая сумма одномерных?
Задачи и упражнения
9
1. Доказать, что все вещественные линейные пространства , кроме нулевого,
содержат бесконечное количество векторов.
2. Доказать, что коммутативность сложения вытекает из остальных аксиом линейного
пространства.
3. Доказать, что в произвольном n-мерном вещественном пространстве n  2  ,
содержится бесконечное количество подпространств.
4. Доказать линейную независимость чисел 2 , 3 , 5 , над полем рациональных
чисел.
5. Доказать линейную независимость функций:
а) 1, cos x, sin x ;
б) 1, sin x, sin2 x,...,sinn x.
6. Доказать, что если система векторов x,y,...,z линейно независима, а система
x,y,…,z,t линейно зависима, то вектор t можно представить, и причём однозначно, в
виде линейной комбинации векторов x,y,…,z.
7. Доказать, что вещественные функции f1  x  , f 2  x  , f 3  x  линейно независимы при
условии, что для различных с1 , с2 , с3 det  f k ct   0 ; k, t  1,2,3 .
8. Доказать, что если разные линейные оболочки векторов x, y и x, z совпадают то,
векторы x, y, z линейно зависимы.
9. Доказать, что каждая невырожденная матрица может быть матрицей перехода к
новому базису.
10.Доказать, что сумма подпространств A = B + C является прямой тогда и только
тогда, когда объединение базисов B и C дают базис A.
11.Доказать, что сумма подпространств B + C является прямой тогда и только тогда,
когда произвольная система x, y ненулевых векторов, где x  B , y  C , линейно
независима.
12.Доказать, что для произвольного подпространства U пространства V существует
дополнительное подпространство W такое, что V=U  W.
13.Доказать, что если для подпространств A и B dim A  B   1  dim A  B  , то сумма
A+B равна одному из подпространств, а пересечение A  B – другому.
14.Доказать, что при изоморфизме пространств: а) базис переходит в базис;
б) эквивалентные системы векторов – в эквивалентные.
Индивидуальные задания
Задача 1. Образуют ли линейное пространство над R все строки над R
следующего вида?
1) (0,x,y,0); 2) (x,x+1,y,0); 3) (x,y,x,y);
4) (x,y,1-y,0);
5) (x,0,y,0); 6) (1,x,y,y);
7) (x,y,y,1);
8) (0,1,y,x);
9) (0,x,0,-x); 10) (x,1,x,y); 11) (0,x,1-x,y); 12) (0,x,y,1-y).
Задача 2. Пусть A и B – фиксированные, X – произвольная n  n -матрицы.
Выяснить, является ли линейным пространством над R множество всех матриц X,
удовлетворяющих условию:
1) AX=0;
2) AX=X;
3) AX=A;
4) AX=B;
5) AXA=0;
6) AXA=X;
7) AXB=0;
8) AXB=X;
9) AXB=B; 10) AX=XA; 11) XA+B=0; 12) XA+BX=0.
10
Задача 3. Выяснить, является ли линейным пространством над R
множество всех многочленов над R :
1) данной степени n;
2) степени, не превышающей n;
3) с нулевым свободным членом;
4) не имеющих действительных корней;
5) имеющих хотя бы один действительный корень;
6) имеющих данный корень a;
7) имеющих двукратный корень a;
8) имеющих не менее чем двукратный корень a;
9) имеющих данные корни a и b;
10) дающих один и тот же остаток при делении на x-c;
11) удовлетворяющих условию f(-x) = f(x) (т.е. множество всех четных
многочленов );
12) удовлетворяющих условию f(-x) = -f(x) (т.е. множество всех нечетных
многочленов ).
Задача 4. Выяснить, является ли линейным пространством над R множество
всех функций от x, определенных на отрезке [-1,1] и:
1) возрастающих на этом отрезке;
2) убывающих на этом отрезке;
3) монотонных на этом отрезке;
4) принимающих равные значения на концах этого отрезка;
5) ограниченных сверху;
6) ограниченных снизу;
7) ограниченных по модулю данным числом p;
8) ограниченных по модулю;
9) обращающихся в нуль в некоторой точке отрезка;
10) обращающихся в нуль во всех точках отрезка [0,1];
11) имеющих предел при x  0 ;
12) имеющих данный предел p при x  0 .
Задача 5. Пусть a=(1,1,1,2); b=(1,1,2,2); c=(2,2,3,4);
h=(3,3,4,6); k=(3,3,5,6); m=(3,4,4,4).
Найти размерность и какой-нибудь базис каждой из следующих линейных оболочек
векторов-строк. Какой из них принадлежит вектор (1,1,1,1)?
1) L(a,b,c,h); 2) L(a,b,c,m); 3) L(a,b,c); 4) L(a,c,h,k);
5) L(c,h,k);
6) L(a,b,c,k);
9) L(b,c,h,k); 10) L(b,c,h);
7) L(a,c,k,m); 8) L(b,c,h,m);
11) L(b,h,k);
12) L(m,c,h,k).
Задача 6. Пусть a x   x 3  x 2 ; b x   x 3  x ; c x   x 3  1 ;
h  x   x 2  x ; k  x   x 2  1 ; m x   x  1 .
Найти размерность и какой-нибудь базис каждой из следующих линейных оболочек
многочленов. Какой из них принадлежит многочлен x 3  3 x  2 ?
1) L(a,b,h); 2) L(a,b,h,k); 3) L(a,c,k,m); 4) L(a,c,k);
5) L(b,c,h,k); 6) L(h,b,m,k); 7) L(b,c,m);
8) L(k,h,m);
11
9) L(m,c,h,k); 10) L(a,b,c,h); 11) L(a,c,h,k);
12) L(a,m,h,k).
Задача 7. Пусть
1 1
 2 2
 3 3
 2 4
1 1
 2 4
 ; B  
 ; C  
 ; M  
 ; P  
 ; T  
 .
A  
 2 2
 4 4
 6 6
 2 4
1 1
 3 5
Найти размерность и какой-нибудь базис каждой из следующих линейных оболочек
 3 1
 ?
матриц. Какой из них принадлежит матрица 
 7 5
1) L(A,B,M,T); 2) L(A,B,C);
3) L(A,B,C,M); 4) L(B,C,M,P);
5) L(C,M,P,T); 6) L(A,B,M);
7) L(A,B,C,P);
8) L(B,C,T,A);
9) L(P,B,M,T); 10) L(T,B,C);
11) L(P,T,C,M); 12) L(C,M,T).
Задача 8. В таблице для каждого из 12 вариантов даны векторы x и a,
b, c ( вектор x слева, векторы a, b, c – вверху, а номер варианта – на пересечении
строки и столбца, содержащих соответствующие векторы). При каких значениях
параметра p вектор x принадлежит линейной оболочке векторов a, b и c?
x
(2,2,1)
(2,1,1)
(1,1,1)
a (p,-2,3)
b (-7,p,-8)
c (3,2,p)
1
5
9
(3,p,3)
(p,3,-3)
(-3,-3,p)
2
6
10
(-5,p,-7)
(6,4,p)
(p,-4,6)
3
7
11
(2,4,p)
(p,-4,2)
(-3,p,-3)
4
8
12
Задача 9. Даны уравнения:
2x + 2y + z + 2t + 2v = 2 , (1)
3x + 3y + 2z + 2t + 2v = 4 , (2)
4x + 4y + 3z + t + v = 5 ,
(3)
5x + 5y + 3z + 4t + 4v = 6 , (4)
2x + 3y + 3z + 3t + 3v = 1 , (5)
2x + y + z + t + v = 3 ,
(6)
4x + 3y + z + t + v = 7 ,
(7)
2x + 4y +5 z + 4t + 4v = 0 . (8)
а) Решить следующие системы уравнений:
1) 1,4,6,7;
2) 3,4,5,6;
3) 1,3,4;
4) 2,3,4,6;
5) 1,2,5;
6) 1,5,6,8;
7) 2,5,6;
8) 3,5,6,8;
9) 3,4,5;
10) 1,6,8;
11) 5,6,7,8; 12) 4,7,8.
б) Решить соответствующие однородные системы уравнений.
в) Проверить, что множество
всех
решений
однородной
системы
уравнений является линейным пространством над R; найти размерность и
какой-нибудь базис этого пространства.
г) Представить общее решение неоднородной системы в виде суммы
некоторого ее частного решения и общего решения соответствующей
однородной системы.
Задача 10. Пусть
12
1 1
0 1
 0 1
 0 0
 1 1
1 0 
 ; B  
 ; C  
 ; H  
 ; K  
 ; M  
 .
A  
1 1
1 0
 0 1
1 1
 0 1
1 1 
1 2
 в каждом из следующих базисов (проверив
Найти координаты матрицы 
3 4
предварительно, что эти системы матриц действительно являются базисами
пространства всех (2х2)-матриц над R):
1) A,B,C,H;
2) A,B,C,K;
3) A,B,C,M;
4) A,B,H,M;
5) A,B,K,Н;
6) A,C,H,K;
7) A,C,K,M;
8) A,H,K,M;
9) B,C,H,K;
10) B,C,H,M; 11) B,H,K,M; 12) C,H,K,M.
Задача 11. В таблице для каждого из 12 вариантов даны многочлен p(x) и
число c (соответственно слева и вверху таблицы). Найти координаты многочлена
p(x) в базисе 1, x  c ,  x  c 2 ,  x  c 3 пространства всех многочленов от x над R
степени не выше 3.
c
-3
-2
2
3
p(x)
x3
1
2
3
4
3
5
6
7
8
x  3x
9
10
11
12
x 3  3x 2
Задача 12. В таблице для каждого из 12 вариантов даны системы векторов f1, f2,
f3 (слева) и g1, g2, g3 (вверху). Проверить, что каждая из них является базисом
арифметического пространства R3 , и найти матрицу перехода от первого базиса ко
второму. Найти координаты вектора x во втором базисе, если в первом базисе он имеет
координаты (1,1,1).
f1
f2
(1,1,2)
(1,2,2)
(1,2,3)
(3,4,4)
(1,2,3)
(2,2,3)
(2,3,3)
(4,4,5)
f3
g1
g2
g3
(1,2,4)
(2,3,4)
(2,3,4)
(4,5,5)
(3,3,4)
(3,4,4)
(4,5,5)
1
4
7
10
(2,3,3)
(3,3,4)
(3,4,4)
2
5
8
11
(2,2,3)
(3,4,4)
(4,5,5)
3
6
9
12
Задача 13. В таблице для каждого из 12 вариантов даны два подмножества
арифметического пространства R4 : V состоит из всех строк вида, указанного слева, а
W – из всех строк вида, указанного вверху. Показать, что V и W являются
подпространствами, найти сумму и пересечение этих подпространств, а также
размерности и базисы V, W, V + W, V  W .
W (x,y,y,p) (x,0,0,p) (0,x,x,0) (x,y,x,y)
V
(x,y,y,x)
1
2
3
4
(x,y,p,x)
5
6
7
8
(x,0,y,p)
9
10
11
12
Задача 14. В таблице для каждого из 12 вариантов даны два подмножества
13
пространства всех (2х2)-матриц над R: V состоит из всех матриц X, удовлетворяющих
условию, записанному слева, а W - из всех матриц X,
удовлетворяющих условию, записанному вверху таблицы. Показать, что V и
W являются подпространствами, найти сумму и пересечение этих подпространств, а
также размерности и базисы V , W, V+W, V  W .
1 0
0 1
1 1 
 B  
 C  

A  
 0 0
 0 0
1 1 
XC = 0
CXC = 0
BX = XB
AXA = 0
W
V
CX = 0
1
2
3
4
AX = XA
5
6
7
8
BXB = 0
9
10
11
12
Задача 15. В таблице для каждого из 12 вариантов даны два подмножества
пространства всех многочленов от x над R степени не выше 3: V состоит из всех
многочленов f(x), удовлетворяющих условию, записанному слева, а W – из всех
многочленов f(x), удовлетворяющих условию, записанному вверху таблицы. Показать,
что V и W являются
подпространствами, найти сумму и пересечение этих
подпространств, а также размерности и базисы V , W, V+W, V  W .
W
f(1) = 0
f (  x )   f ( x)
f (0)  f (1)  0
f (1)  f (1)
1
5
9
2
6
10
3
7
11
4
8
12
V
f ( x)  f ( x)
f (1)   f (1)
f (1)  f (1)  0
Задача 16. Для каждого из 12 вариантов найти сумму и пересечение линейных
оболочек векторов, записанных слева и вверху таблицы, а также их размерности и
базисы .
a=(3,3,4,6); b=(3,3,5,6); c=(3,4,4,4); d=(3,4,4,4);
e=(1,1,1,2); f=(1,1,2,2); p=(2,2,3,4); q=(2,2,3,4);
s=(3,3,4,6); u=(3,3,5,6); v=(3,4,4,4); w=(3,4,4,4).
L(p,q,a)
L(p,a,u)
L(q,a,v)
L(a,u,w)
W
V
L(a,b,c)
1
2
3
4
L(a,b,d)
5
6
7
8
L(d,e,f)
9
10
11
12
2. ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА
Понятия:
1) скалярное произведение, длина вектора, угол между векторами;
2) ортогональный и ортонормированный базисы;
3) ортогональное дополнение к подпространству;
4) определитель Грама;
14
5) существование и единственность ортогональной
подпространство;
6) изоморфизм евклидовых подпространств;
проекции
вектора
на
Факты:
1) неравенство Коши-Буняковского;
2) существование ортонормированного базиса в евклидовом пространстве, процесс
ортогонализации;
3) формула скалярного произведения в ортонормированном базисе;
4) условие изоморфизма евклидовых пространств;
5) ортогональная проекция вектора на пространство;
6) метод наименьших квадратов.
В линейном пространстве Е над полем действительных чисел R определено
скалярное произведение, если каждой паре векторов а, b поставлено в соответствие
действительное число (a, b), причем для всех a, b, c  E,  R выполняются
следующие условия (аксиомы скалярного произведения):
(1) (a,b)=(b,a);
(2) (a+b,c)=(a,c)+(b,c);
(3) (λa,b)=λ(a,b);
(4) (a,a)>0 при а  0.
Наличие скалярного произведения позволяет ввести в пространстве понятия
длины вектора, ортогональности векторов, угла между векторами.
Длиной вектора а называется число a  (a, a ) ; векторы а и b ортогональны
(a  b), если (a,b)=0; угол φ между ненулевыми векторами а и b определяется
( a , b)
соотношениями: cos 
, 0   .
ab
Линейное действительное пространство, в котором определено скалярное
произведение, называют евклидовым. Линейное действительное пространство, в
котором определено скалярное произведение, называют евклидовым.
В арифметическом пространстве Rn одним из примеров скалярного произведения
может служить «стандартное» скалярное произведение, заданное формулой:
х  ( x1 ,..., xn ), y  ( y1 ,..., yn )  R n ( x, y )  x1 y1  ...  xn yn . Несложно самостоятельно
убедиться, что соответствие, заданное такой формулой, удовлетворяет всем аксиомам
скалярного произведения. Рассмотрим другие примеры.
Пример 1. Выяснить, можно ли в R2 скалярное произведение ввести с помощью
 1 1 
формулы (a,b)=a∙C∙bt, где C  
?
1
1


Решение. Ясно, что для ответа на вопрос необходимо проверить выполнимость
аксиом скалярного произведения. Пусть, далее, a  ( x1 , x2 ) b  ( y1 , y 2 ) , тогда
 1 1  y1 
(a, b)  ( x1 , x2 ) 
  y    x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2 , и выполнимость первой
1
1

  2
аксиомы вытекает из симметричности последнего выражения относительно наборов
15
неизвестных
( x1 , x 2 )
и
( y1 , y 2 ) .
Действи-тельно,
(b, a )   y1 x1  y1 x2  y2 x1  y2 x2   x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2  ( a , b) .
Выполнимость аксиом (2)-(3) следует из известных свойств сложения матриц и
умножения матриц на число. Убедимся в этом непосредственно: пусть c  ( z1 , z2 ) ,
найдем
(a+b,c)= ( x1  y1 ) z1  ( x1  y1 ) z2  ( x2  y2 ) z1  ( x2  y2 ) z2 
 (  x1z1  x1 z2  x2 z1  x2 z2 )  (  y1z1  y1 z2  y2 z1  y2 z2 )  ( a, c )  (b, c ) .
Так как  a  ( x1 ,  x2 ) , то (λa,b)=
 ( x1 ) y1  ( x1 ) y2  ( x2 ) y1  ( x2 ) y2   (  x1 y1  x1 y2  x2 y1  x2 y2 )   (a, b) .
Обратимся, наконец, к аксиоме (4). Знак скалярного квадрата (a,a) легче
определить, если в выражении выделить полные квадраты суммы (разности):
( a , a )   x12  2 x1 x2  x22   x12  2 x1 x2  x22  2 x22  ( x1  x2 ) 2  2 x22 ,
и
последняя
аксиома не выполняется, например, при a  (1,0) (a, a )  1  0 , что противоречит 4-й
аксиоме. Таким образом, указанная формула не задает скалярное произведение.
Пример 2. Выяснить, можно ли в R2 скалярное произведение ввести с помощью
формулы ( a, b)  2 x1 y1  4 x1 y2  4 x2 y1  9 x2 y2 .
Решение. Пусть a  ( x1 , x2 )
b  ( y1 , y 2 ) , проверим первую аксиому:
(b, a )  2 y1 x1  4 y1 x2  4 y2 x1  9 y2 x2  2 x1 y1  4 x1 y2  4 x2 y1  9 x2 y2  ( a, b) , – выполняется.
Убедимся, что аксиомы (2)-(3) также выполняются: пусть c  ( z1 , z2 ) ,
найдем (a+b,c)= 2( x1  y1 ) z1  4( x1  y1 ) z2  4( x2  y2 ) z1  9( x2  y2 ) z2 
 (2 x1z1  4 x1 z2  4 x2 z1  9 x2 z2 )  (2 y1 z1  4 y1 z2  4 y2 z1  9 y2 z2 )  ( a , c )  (b, c ) .
Так как  a  ( x1 ,  x2 ) , то (λa,b)=
 2( x1 ) y1  4( x1 ) y2  4( x2 ) y1  9( x2 ) y2   (2 x1 y1  4 x1 y2  4 x2 y1  9 x2 y2 )   ( a, b).
Обратимся, наконец, к аксиоме (4). Знак скалярного квадрата (a,a) легче
определить, если в выражении выделить полные квадраты суммы (разности):
( a , a )  2 x12  8 x1 x2  9 x22  2( x12  4 x1 x2  4 x22 )  8 x22  9 x22  2( x1  2 x2 ) 2  x22  0 , т. к.
квадрат
действительного
числа
–
величина
неотрицательная,
2
2
2
2
( x1  2 x2 )  0, x2  0, 2( x1  2 x2 )  x2  0 . Причем, сумма неотрицательных чисел
обращается
в
0
только,
если
каждое
слагаемое
равно
0:
 ( x1  2 x2 ) 2  0
 x1  2 x2  0
 x1  0
2
2
2( x1  2 x2 )  x2  0  


 a  (0,0) , Таким


x22  0
 x2  0
 x2  0

образом, 4-я аксиома – полностью выполняется, а указанная формула задает скалярное
произведение.
Пример 3. Выяснить, можно ли в R2 скалярное произведение ввести с помощью
формулы ( a, b)  2 x1 y1  3x1 y2  5 x2 y1  9 x2 y2 .
Решение. Пусть a  ( x1 , x2 )
b  ( y1 , y 2 ) , проверим первую аксиому:
(b, a )  2 y1 x1  3 y1 x2  5 y2 x1  9 y2 x2  2 x1 y1  3 x1 y2  5 x2 y1  9 x2 y2 ,
(b, a )  ( a, b) –
аксиома симметричности не выполняется.
Таким образом, указанная формула не задает скалярное произведение.
Пример 4. Выяснить, можно ли в R2 скалярное произведение ввести с помощью
формулы ( a, b)  2 x1 y1  4 x1 y2  4 x2 y1  8 x2 y2 .
16
Решение. Пусть a  ( x1 , x2 ) b  ( y1 , y 2 ) , проверим 4-ю аксиому (аксиомы 1-3
предоставляем проверить самостоятельно аналогично предыдущим примерам).
Знак скалярного квадрата (a, a) легче определить, если в выражении выделить
полные квадраты суммы (разности):
( a , a )  2 x12  8 x1 x2  8 x22  2( x12  4 x1 x2  4 x22 )  8 x22  8 x22  2( x1  2 x2 ) 2  0 ,
т.
к.
квадрат
действительного
числа
–
величина
неотрицательная,
2
2
( x1  2 x2 )  0,
2( x1  2 x2 )  0 . Причем,
 x  2 x2
( a , a )  0  2( x1  2 x2 ) 2  0  x1  2 x2  0  x1  2 x2   1
 a  (2 x2 ; x2 ). Нап
x

R
 2
ример, при a  (2;1)  0, однако ( a , a )  0 , что противоречит 4-й аксиоме. Таким
образом, 4-я аксиома – не выполняется, а указанная формула не задает скалярное
произведение.
Пример. Ортогонализовать систему векторов e1 (t )  1 ,
e2 (t )  1  t ,
e3 (t )  1  t  t 2
в
пространстве
вещественных
многочленов,
где
скалярное
1
произведение определяется формулой ( f (t ), g (t ))   f (t ) g (t )dt.
0
Решение. Ортогональную систему многочленов ищем в виде:
f1 (t )  e1 (t ) ,
f 2 (t )   21 f1 (t )  e2 (t ) ,
f 3 (t )   31 f1 (t )   32 f 2 (t )  e3 (t ) .
Неизвестные коэффициенты  21 ,  31 ,  32 находим из условий ортогональности f1, f2, f3.
Получим
1
(e , f )
 21   2 1 .
( f1 , f1 )
Далее,
1
( f1 , f1 )   (1)(1)dt  1 ,
1
2
 21  .
то
0
 32  
(e3 , f 2 )
 0.
( f2 , f2 )
Таким
поскольку
образом,
1
(e2 , f1 )   (1)(1  t )dt   ;
2
0
Аналогично,
f1 (t )  1 ,
 31  
(e3 , f1 ) 7
 ,
( f1 , f1 ) 6
1
1
f 2 (t )  (1)  1  t   t ,
2
2
7
f 3 (t )  (1)  1  t  t 2 – искомая ортогональная система многочленов.
6
Заметим, что для получения ортонормированной системы достаточно каждый
многочлен разделить на его длину.
Пример. Ортогонализовать систему векторов
f 3 =(1,0,–1,1),
f 4 =(0,0,1,1)
относительно
f1 =(–1,1,1,0),
«стандартного»
задания
f 2 =(1,–1,0,1),
скалярного
произведения. В пространстве R4 для произвольных векторов a  ( x1 , x2 , x3 , x4 )
17
b  ( y1, y2 , y3 , y4 )
стандартное
скалярное
произведение
задается
формулой
( a, b)  x1 y1  x2 y2  x3 y3  x4 y4 .
Решение.
Ортогональную
систему
ищем
в
виде:
e1  f1; e2  f 2   e1; e3  f 3  1e1   2e2 ; e4  f 4   1e1   2e2   3e3 .
Числовые
коэффициенты последовательно находим из условий ортогональности векторов новой
системы. Вектор
e1  f1
найден. Чтобы найти
e2 , найдем

из условия
ортогональности ( e2 , e1 )  0; ( f 2   e1 , e1 )  ( f 2 , e1 )   ( e1 , e1 )  0 . Отсюда выразим и
вычислим

( f 2 , e1 )
1  ( 1)  ( 1)  1  0  1  1  0 2


( e1 , e1 )
( 1)2  12  12  02
3
2
1 1 2
e2  f 2   e1  (1, 1,0,1)  ( 1,1,1,0)  ( ,  , ,1) .
3
3 3 3
и
найдем
Непосредственной
вектор
проверкой
убеждаемся, что полученные векторы ортогональны ( e2 , e1 )  0 .
Чтобы
найти
e3 ,
вычислим
1 ,  2
из
условий
ортогональности
 (e3 , e1 )  0;
 ( f  1e1   2e2 , e1 )  0;
 ( f , e )  1 ( e1 , e1 )   2 ( e2 , e1 )  0;
 3
 3 1
.

(
e
,
e
)

0;
(
f


e


e
,
e
)

0;
(
f
,
e
)


(
e
,
e
)


(
e
,
e
)

0;
 3 2
 3
1 1
2 2 2
 3 2
1 1 2
2 2 2
Так как ( e2 , e1 )  (e1 , e2 )  0 по построению, то из системы уравнений находим
( f 3 , e1 ) 2




 ;
1

(
e
,
e
)
3

1 1
Вычисляем теперь вектор

(
f
,
e
)
2
3
2
2  
 .

( e2 , e2 )
5
2
2 1 1 2
1 4 3 3
e3  f 3  1e1   2 e2  (1,0, 1,1)  ( 1,1,1,0)  ( ,  , ,1)  ( , ,  , ) .
3
5 3 3 3
5 5 5 5
Непосредственной проверкой
убеждаемся, что
полученные векторы попарно
 (e , e )  0;
ортогональны:  3 1
Аналогично для отыскания e4 вычислим  1 ,  2 ,  3 из
(
e
,
e
)

0.
 3 2
 (e4 , e1 )  0;
 ( f 4   1e1   2e2   3e3 , e1 )  0;


условий ортогональности: ( e4 , e2 )  0;  ( f 4   1e1   2e2   3e3 , e2 )  0; 
( e , e )  0;  ( f   e   e   e , e )  0;
 4 3
 4 11 2 2 3 3 3
18
 ( f 4 , e1 )   1 ( e1 , e1 )   2 ( e2 , e1 )   3 (e3 , e1 )  0;

 ( f 4 , e2 )   1 (e1 , e2 )   2 ( e2 , e2 )   3 ( e3 , e2 )  0; Предоставляем самостоятельно решить
 ( f , e )   (e , e )   ( e , e )   (e , e )  0.
 4 3
1 1 3
2 2 3
3 3 3
последнюю систему относительно
 1,  2 ,  3 , а найденные решения вместе с
найденными векторами e1; e2 ; e3 подставить и вычислить e4  f 4   1e1   2e2   3e3 .
Обратите внимание, что в ответе должны быть четыре попарно ортогональных вектора
e1; e2 ; e3 ; e4 .
В задаче 5 нужно проверить, что данные векторы x и y ортогональны, и
дополнить их систему до ортогонального базиса пространства E4 (линейного
пространства всех четырехмерных строк над R со стандартным заданием скалярного
произведения). Пусть х=(1,0,–1,1), у=(0,0,1,1), очевидно, их скалярное произведение
равно нулю (убедитесь самостоятельно). Базис линейного пространства всех
четырехмерных строк над R состоит из четырех линейно независимых векторов (по
теореме о базисе). Нам нужен ортогональный базис. Для линейной независимости
ортогональной системы достаточно, чтобы все векторы были ненулевыми (смотрите
лекцию). Значит, нам нужна ортогональная система четырех ненулевых векторов, два
из которых уже есть (х и у). Найдем третий вектор z  ( z1; z2 ; z3 ; z4 ) из условий
попарной
ортогональности:
z  ( 2 z4 ; z2 ;  z4 ; z4 ) ,
нам
 z1  2 z4 ;
 ( x, z )  0;  z1  z3  z4  0;


  z3   z4 ;

z3  z4  0; 
( y, z )  0; 
 z2 , z4  R.
достаточно
выбрать
любой
ненулевой,
Итак,
например,
z  ( 2;3; 1;1) . Возможно, вам удастся выбрать более удобный ненулевой вектор.
Далее ищем четвертый вектор t  (t1; t2 ; t3 ; t4 ) из условий попарной ортогональности:
 t3  t4  0;
 ( x, t )  0;
 t1


t3  t4  0;
( y, t )  0;  
 ( z, t )  0;
 2t  3t  t  t  0.

 1
2
3
4
Предоставляем
самостоятельно
решить
полученную систему и найти какой-нибудь ненулевой вектор t. Не забудьте
обосновать, почему построенная система векторов x, y, z, t образует базис (ссылки на
теоремы, фактически, я уже о них упоминала).
Пример. Найти ортогональную проекцию и перпендикуляр вектора х=(–1,–1,–1)
на подпространство U – линейную оболочку L векторов e1=(1,0,2), e2=(2,0,1), e3=(1,0,19
1); вычислить угол между вектором х и подпространством L.
Если о способе задания скалярного произведения ничего не говорится в условии,
то принято считать его стандартным (сумма произведений соответствующих
компонент векторов). Сначала найдем базис подпространства U=L(e1, e2, e3). Базис
линейных оболочек находить учились на прошлых занятиях. Нужно из системы
образующих e1, e2, e3 выделить максимально линейно независимую подсистему. Для
этого из векторов как из строк (или как из столбцов) составим матрицу, найдем ее
ранг. Самостоятельно предлагаю убедиться, что ранг такой матрицы равен 2, т. к.
единственный минор 3-го порядка (определитель матрицы) равен 0, а определитель 2го порядка, отличный от 0, можно найти (например, построенный на векторах e1, e2).
Таким образом, векторы e1, e2 составляют базис подпространства U.
Далее по определению ортогональной проекции и перпендикуляра x=y+z.
Искомую
проекцию
ищем
в
виде y  1e1   2 e2 Из условия ортогональности
вектора z=x–y к подпространству U вытекает, что (x–y,e1)=( x–y,e2)=0, или
( x, e1 )  ( y , e1 );
( x, e1 )  (1e1   2e2 , e1 );
( x, e1 )  ( e1 , e1 )1  ( e2 , e1 ) 2 ;





( x, e2 )  ( y , e2 ); ( x, e2 )  (1e1   2e2 , e2 ); ( x, e2 )  (e1 , e2 )1  (e2 , e2 ) 2 ;
Векторы x, e1, e2 – известны. Найдем все скалярные произведения, подставим в
1

1   ;

 3  51  4 2 ;

3
систему, получим: 
. Решим систему: 
Найденные значения

3

4


5

;
1

1
2
 2   .

3
подставим,
чтобы
найти
проекцию
y  1e1   2 e2 .
Таким
образом,
1
1
y  e1  e2  ( 1,0, 1) и есть проекция вектора х на подпространство U. Найдем
3
3
перпендикуляр z=x–y=(0, –1, 0). Угол φ между х и U равен углу между векторами х и
у. Поскольку
  arc cos
(х,у)=2,
x  3,
y  2 , то cos 
2
2

. Следовательно,
3
3 2
2
.
3
Понятие ортогональной проекции вектора на подпространство, ее свойства
позволяют ввести и обосновать метод наименьших квадратов
для решения
несовместных систем линейных уравнений, т.е. для нахождения таких значений
20
неизвестных, которые в определенном смысле наилучшим образом удовлетворяют
систему. А именно, при подстановке
таких значений неизвестных сумма
квадратов «отклонений» левых частей уравнений от правых наименьшая.
Пример 7. Методом наименьших квадратов найти уравнение прямой вида
y=kx+l, ближайшей к точкам A(-2,-2), B(-1,1), C(1,3), D(3,4).
 Подстановка значений координат данных точек в искомое уравнение даст
линейную систему относительно неизвестных k и l, которая, очевидно, решений в
обычном смысле не имеет.
 2  k  (2)  l ;
  2
  2
1
 
 
 
1  k  (1)  l ;
1

1

 
 
1
если обозначить a    , e1    , e2    , то данная система

3
1
1
3  k  1  l ;
 
 
 
4  k  3  l ;
 4 
 3 
1
эквивалентна векторному уравнению a=ke1+le2, которое, конечно, точных решений
также не имеет. Но если взять в качестве k и l такие числа, что ke1+le2=b есть
2
ортогональная проекция вектора a на подпространство L(e1,e2), то a  b (а это и есть
сумма квадратов отклонений левых частей уравнений системы от правых !) является
наименьшей.
Как и в примере 3 для k и l составим систему
(a, e1 )  k (e1 , e1 )  l (e2 , e1 );
18  15k  l ;
или 

6  k  4l.
(a, e2 )  k (e1 , e2 )  l (e2 , e2 );
66

k  59 ;
66
72
Откуда 
и искомая прямая имеет вид y  x  .
59
59
l  72 ;
 59
Контрольные вопросы
1. Однозначно ли задается скалярное произведение на линейном пространстве ?
2. Если (x, y) – скалярное произведение на вещественном пространстве, то будет ли
λ (x,y) тоже скалярным произведением для каждого λ ∈ R ? А если λ > 0 ?
3. Верно ли, что для определения скалярного произведения на линейном пространстве
следует его задавать для всех пар векторов?
4. Может ли быть линейно зависимой система попарно ортогональных векторов?
5. Пусть (a, x)=0 и (b, x)=0. Чему равно скалярное произведение (λ a+ βb, x) ?
6. Верно ли, что если (a, x)=(b, x) при некотором ненулевом векторе x, то a=b ?
7. Верно ли, что при ортогонализации линейно зависимой системы получаются
ненулевые векторы?
8. Какова размерность подпространства, образованного всеми векторами x такими,
что (a,x)=0 для ненулевого вектора a ?
9. Чему равно ортогональное дополнение для всего пространства? Для нулевого
подпространства?
10.Чему равно A  A  ? A  A  ?
11.Верно ли, что для x, y ∈ Е, λ ∈ R
21
a) x  0;
в) x   x ;
б) x  0  x  0;
г) x  y  x  y ;
2
2
2
2
д) x  y  x  y  2 x  2 y ?
Задачи и упражнения
1. Доказать, что если (x, y) и <x, y> - скалярные произведения, то (x, y) + <x, y> – тоже
скалярное произведение.
2. Доказать, что если (a, x)=(b, x) для всех векторов x, то a=b.
3. Доказать, что скалярное произведение на подпространстве можно распространить
на все пространство.
4. Доказать, что x  y тогда и только тогда, когда ( x  y )( x  y ) .
5. Доказать, что в неравенстве (a, b) 2  (a, a )(b, b) знак равенства можно поставить
тогда и только тогда, когда векторы a и b линейно зависимы.
6. Доказать, что для любого базиса e1, e2,...,en евклидового пространства
существует "взаимный" базис f1, f2,...,fn такой, что (ei, fj)=1 , при i=j; (ei, fj)=0 при
i  j.
7. Доказать, что определить Грама G(a1,...,ak) равен 0, если векторы a1,...,ak линейно
зависимы, и положителен в случае их линейной независимости.
8. Доказать, что любую ортогональную систему ненулевых векторов можно
дополнить до базиса.
9. Доказать, что в произвольном вещественном пространстве можно ввести скалярное
произведение так, чтобы данный базис был ортонормированным.
10.Доказать, что при ортогонализации линейно зависимой системы появится нулевой
вектор.
11.Расстояние между векторами x и y определяется формулой: ρ (x,y)= x  y ..
Доказать что  ( x, z )   ( x, y )   ( y, z ) , для всех векторов x, y, z.
12.Пусть E - евклидово пространство, A, B – его подпространства. Доказать, что:
а) ( A  )   A ;
б) ( A  B)   A   B  ;
в) ( A  B )   A   B  ;
г) если A  B , то B   A  .
13.Доказать, что если E  A  B , то E  A   B  .
14.Доказать, что детерминант Грама трех векторов в пространстве равен квадрату
объема параллелепипеда, построенного на этих векторах, как на сторонах.
Индивидуальные задания
Задача 1. Можно ли в пространстве R 2 задать скалярное произведение
формулой  x; y   Ax1 y1  Bx1 y 2  Cx 2 y1  Dx2 y 2 (для краткости указанная функция
обозначается через (A,B,C,D)
22
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
(a)
(b)
(c)
(-2,3,3,4)
(8,-4,-4,8)
(3,-2,-2,2)
(1,-2,-2,4)
(2,3,4,6)
(6,4,4,2)
(4,3,2,1)
(4,3,3,3)
(3,-5,-5,9)
(5,5,6,9)
(3,4,5,6)
(9,-6,-6,4)
(1,3,-3,9)
(-4,3,8,-4)
(-3,2,2,-2)
(5,2,2,1)
(2,-3,-3,6)
(6,4,3,2)
(4,2,2,1)
(4,3,3,2)
(3,4,6,9)
(5,6,6,9)
(3,-4,-4,6)
(5,4,4,3)
(9,4,4,2)
(9,3,3,1)
(3,2,3,2)
(3,2,2,1)
(-2,3,3,-6)
(6,3,3,2)
(2,-3,-3,5)
(4,3,2,2)
(-3,5,5,-9)
(4,6,6,9)
(3,-4,-4,5)
(6,4,4,3)
Задача 2. Проверить, что в пространстве всех многочленов от x над R степени не
выше
второй
можно
задать
скалярное
произведение
формулой
1
 f  x , g x    f  x g  x dx .
1
Пользуясь этой формулой, найти расстояние между заданными парами многочленов
(см табл.)
x2  x  2
1
5
9
x 2  3x  2
2
6
10
x2  x  6
3
7
11
x2  x  6
4
9
12
x2  2x  1
x2  x
x2  2x  1
Расстоянием между векторами называют длину вектора их разности.
Задача 3. Пусть
1 0
 0 1
 1 0
 0 1
 ; A  
 ; B  
 ; C  
 ;
E  
0
1
0
1

1
1

1
1








1 1
 1 1
 1 1 
1  1
 ; K  
 ; M  
 ; P  
 .
H  
1 1
  1 1
 1  1
1  1
Проверить, что в пространстве всех (2х2)-матриц над R можно задать скалярное
произведение формулой (X,Y)=tr(X Yt), где tr A – след матрицы A, т.е. сумма всех ее
элементов, стоящих на главной диагонали, Yt – матрица, транспонированная по
отношению к матрице Y. При таком задании скалярного произведения вычислить углы
между следующими парами матриц:
1)Е,А; 2)Е,Н; 3)Е,М; 4)А,К; 5)А,Р; 6)В,К;
7)В,М;
8)C,K;
9)C,P; 10)H,K; 11)K,M; 12)K,P.
Задача 4. Пусть a=(1,1,1,0), b=(1,1,0,1), c=(1,0,1,1), f=(0,0,1,1), g=(0,1,1,0),
h=(1,1,0,0).
В
условиях
стандартного
задания
ортогонализовать следующие системы векторов:
23
скалярного
произведения
1)a,b,c,f; 2)c,f,g,h;
3)a,f,g,h; 4)b,c,g,h;
5)a,c,f,h; 6)b,c,f,g;
7)a,b,g,h; 8)a,b,c,h;
9)a,b,f,g; 10)a,b,c,g; 11)a,c,f,g; 12)b,f,g,h.
Задача 5. Проверить, что данные векторы x и y ортогональны и дополнить их
систему до ортогонального базиса пространства E4
y
(1,-1,0,-2)
(0,1,1,2)
(1,1,2,2)
(1,2,3,4)
1
5
9
2
6
10
3
7
11
4
8
12
x
(2,0,-2,1)
(1,1,-1,0)
(1,3,-1,-1)
Задача 6. В евклидовом пространстве E4 найти размерность и какой-нибудь
базис ортогонального дополнения линейной оболочки векторов, указанных в задаче
5 лабораторной работы 1.
Задача 7. Пусть p=(2,1,-1,0); q=(1,0,1,-1); r=(2,1,0,-1); s=(2,2,0,-1). Найти
проекцию данного вектора на соответствующую линейную оболочку и вычислить угол
между ними.
L(p,q,r)
L(p,q,s)
L(p,r,s)
L(q,r,s)
1) (7,7,3,-1); 2) (-7,5,3,5); 3) (-1,1,5,9); 4) (6,6,0,6);
5) (3,3,9,-3); 6) (9,1,-1,5); 7) (-1,3,7,7); 8) (5,5,7,3);
9) (5,7,-3,5); 10) (3,7,7,-1); 11) (3,3,3,9); 12) (6,2,8,2).
Задача 8. Даны матрицы:
1 1 1
2 1 1
1 3 3
1
1
 2
1






 
 
 
 
1 2 2
1 2 1
1 3 1
1
 2
 3
 3
A
;
B

;
C

;
H

;
K

;
P

;
T

1 1 2
2 1 1
 3
 2
 0
5 .
2 3 1






 
 
 
 
3
2
1
3
1
2
1
1
2
3
1
1






 
 
 
1
Методом наименьших квадратов решить следующие системы уравнений:
1) AX=H;
2) AX=K; 3) AX=P; 4) AX=T;
5) BX=H; 6) BX=K;
7) BX=P;
8) BX=T; 9) CX=H; 10) CX=K; 11) CX=P; 12) CX=T.
Задача 9. Методом наименьших квадратов построить уравнения прямой y=kx+l
и параболы y=ax2+bx+c, имеющих наименьшее уклонение от данных точек.
Построить их графики.
1) (0,0); (1,1); (3,2); (4,5); 2) (-1,1); (2,1); (-2,2); (3,3);
3) (2,-1); (3,1); (0,2); (-1,1); 4) (3,3); (2,-2); (1,1); (-2,0);
5) (5,0); (2,1); (-3,-2); (0,3); 6) (2,2); (-1,-1); (3,2); (4,4);
7) (3,-1); (-2,2); (1,3); (2,4); 8) (3,1); (-2,2); (0,-3); (-1,3);
9) (5,1); (-3,2); (2,-1); (1,3); 10) (3,3); (2,2); (-1,-1); (0,3);
11) (2,-2); (-3,3); (0,4); (5,1); 12) (-2,2); (1,-3); (3,2); (5,4).
24
3. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
В ВЕЩЕСТВЕННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Понятия:
1) линейная функция, линейная форма;
2) билинейная форма и её матрица;
3) симметрическая билинейная форма;
4) квадратичная форма, её матрица;
5) канонический вид квадратичной формы, нормальный вид, ранг квадратичной
формы;
6) положительно ( отрицательно) определенные квадратичные формы;
7) полуторалинейные и квадратичные формы в комплексных пространствах.
Факты:
1) преобразование коэффициентов билинейной и квадратичной форм при переходе
к другому базису;
2) возможность приведения квадратичной формы к каноническому виду методом
Лагранжа;
3) приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби;
4) закон инерции квадратичных форм;
5) критерий Сильвестра положительной
(отрицательной) определенности
квадратичных форм;
6) независимость ранга квадратичной формы от базиса.
Числовая функция A(x, y) от векторов x , y линейного пространства V над полем
R называется билинейной формой, если:
A(x+z, y)=A(x, y)+A(z, y);
A(λ x, y)=λ A(x, y);
A(x, y+z)=A(x, y)+A(x, z);
A(x, λ y)= λ A(x, y)
для всех векторов x, y, z из V и для всех чисел λ из R.
Если для билинейной формы выполнено условие A(x, y)=A(y, x) при всех x, y из
V, то функция A(x, x) называется квадратичной формой.
При заданном базисе пространства V
билинейная
форма имеет вид
n n
A(x,y)=   ai j xi y j , где x=x1e1+...+xnen, y=y1e1+...+ynen произвольные векторы из V,
i 1 j 1
ai j=A(ei, ej). Тогда A=(ai j) – матрица билинейной формы в заданном базисе. Если B –
матрица билинейной формы A(x, y) в базисе  f , то B  C t AC , где C – матрица
перехода от базиса e к базису  f .
Матрицей квадратичной формы называется матрица соответствующей
билинейной формы. В пространстве V размерности n существует базис,
называемый каноническим, в котором квадратичная форма имеет канонический
вид: A( x, x)  1 x12  2 x22  ...  n xn2 . Продемонстрируем на примерах методы Лагранжа
и Якоби построения канонического базиса и нахождения канонического вида
квадратичной формы.
Пример 1. Привести методом Лагранжа к каноническому виду квадратичную
25
форму,
записанную
в
некотором
базисе
формулой:
2
A( x, x)  4 x3  2 x1 x2  4 x1 x3  8 x2 x3 .
 Выберем координату, квадрат которой входит в данную форму с ненулевым
коэффициентом, в данном случае это x3 и дополним члены, содержащие x3, до полного
квадрата:
1
A( x, x)  4( x32  x1 x3  2 x2 x3  x1 x2  x12  x22 )  4 x1 x2  x12  4 x22  2 x1 x2 ;
4
поступая аналогично с координатой x1, получим:
1
 4( x1  x2  x3 ) 2  ( x12  2 x1 x2  x2 )  x22  4 x22 
2
1
 4( x1  x2  x3 ) 2  ( x1  x2 ) 2  3 x22 .
2
1
Обозначив y1  x1  x2  x3 ; y 2  x1  x2 ; y3  x2 будем иметь канонический вид
2
квадратичной формы: A( x, x)  4 y12  y 22  3 y32 .
Связь между координатами вектора x в исходном базисе e и в каноническом
базисе  f  можно представить в виде Y f  C 1 X e или
1

1

 1 1

 y1   2  1 1   y1 
2
  
 

1 
y

1

1
0
y
,
где
C

1
 1 0  – матрица перехода от конечного
 2 
 2

 y   0 1 0  y 
 0 1 0
 3 
 3






базиса  f  к старому базису e . Тогда C будет матрицей перехода от базиса e к
базису  f . В нашем примере матрицы квадратичной формы A(x,x) в базисе e и в
базисе  f  соответственно равны
 0 1  2
  4 0 0




A   1 0 4  и B   0 1 0 .
  2 4  4
 0 0 3




Причем, должно выполняться соотношение B  C t AC . Сделаем проверку, вычислив
предварительно матрицу С:
1  0 1  2  0
1
1    4 0 0
0 0



 

0
1    0 1 0 . 
 1 0  1 / 2  1 0 4  0
 1 1 1 / 2   2 4  4  1  1 / 2 1 / 2   0 0 3 



 

Канонический вид квадратичной формы A( x, x)  1 x12  2 x22  ...  n xn2
называется нормальным, если i принимают значения 1, –1 или 0 для всех i=1,...,n.
Пример 2. Привести методом Лагранжа к нормальному виду квадратичную
форму A( x, x)  2 x1 x2  2 x1 x3 .
 Здесь отсутствуют квадраты координат, поэтому сделаем преобразование
26
 1 1 0


координат x1  y1  y2 ; x2  y1  y 2 ; x3  y3 с невырожденной матрицей  1  1 0  .
0 0 1


1
1
Тогда A( x, x)  2 y12  y22  2 y1 y3  2 y 2 y3  2( y 2  y3 ) 2  2 z12  2 z 22 , где z1  y1  y3 ;
2
2
1
z  y 2  y3 ; z 3  y3 .
2
 x1   1 1 0  y1 
 y1  1 0  1 / 2  z1 
  
 
 
 
Поскольку  x2    1  1 0  y2 ,
 y2  0 1 1 / 2  z 2  , то матрицей
 x   0 0 1  y 
 y  0 0
1  z3 
 3 
 3 
 3 
перехода от старого базиса к каноническому будет матрица:
0
 1 1 0  1 0  1 / 2   1 1


 

 1  1 0  0 1 1 / 2    1  1  1.
 0 0 1  0 0
1   0 0
1 


Если в каноническом виде квадратичной формы A( x, x)  2 z12  2 z12 сделать замену
t1 2 z1 , t 2  2 z 2 , t3  z3 то получим нормальный вид:
A( x, x)  t12  t 22 . 
Пример 3. Привести к каноническому виду методом Якоби квадратичную
форму A( x, x)  x12  4 x32  2 x1 x3  4 x2 x3 и записать преобразование координат,
приводящее эту форму к каноническому виду.
 1 0  1


 Выпишем матрицу квадратичной формы A   0 0 2  и её главные
1 2 4 


1 0
миноры: 1  1 ,  2 
 0 ,  3  det A  4 . Так как  2  0 , то метод Якоби пока
0 0
что не применим, поэтому предварительно сделаем замену y1  x1 , y 2  x3 , y3  x2 .
После чего получим: A( x, x)  y12  4 y 22  2 y1 y 2  4 y 2 y3 , где
 x1   1 0 0  y1 
1 0 0
  
 


 x2    0 0 1  y 2  и C   0 0 1  – матрица перехода от исходного базиса e к
 x   0 1 0  y 
0 1 0
 3 
 3 


новому базису h , в котором квадратичная форма A(x,x) имеет матрицу
 1  1 0


1 1
B    1 4 2  . Здесь главные миноры
1  1,  2 
,  3  det B  4

1
4
0
2 0 

отличны от нуля и метод Якоби уже применим. Каноническим видом квадратичной
1 2 1 2  2 2 2 1 2 3 2
формы есть выражение: A( x, x) 
z1 
z2 
z3 = z1  z 2  z3 .
1
2
3
3
4
Канонический базис ищем в виде:
27
f1  11h1 , f 2   21h1   22 h2 , f 3   31h1   32 h2   33h3 , где коэффициенты
 0,
  31   32
  21   22  0,

определяются из условий: 11  1 ; 
;   31  4 32  2 33  0,



4


0
,
 21
22

2 32
 1.

Определителями этих систем будут, соответственно, миноры 1 ,  2 и  3 причем


1
11  ,  22  1 ,  33  2 .
1
2
3
Вычислив остальные коэффициенты  i j получим:
1
1
1
1
3
f 2  h1  h2 ,
f 3  h1  h2  h3 .
2
2
4
3
3
Отсюда легко найти матрицу перехода D от базиса h к базису  f  –
 1 1/ 3 1/ 2 


D   0 1/ 3 1/ 2  .
Преобразование координат можно записать следующим
 0 0  3/ 4


образом:
1
1
1
1
3
y1  z1  z 2  z3 ; y 2  z 2  z3 ; y3  z3 .
4
3
2
3
2
Тогда матрицей перехода от старого базиса e к новому, каноническому базису  f 
 1 0 0  1 1 / 3 1 / 2   1 1 / 3 1 / 2 


 

будет: T  CD   0 0 1  0 1 / 3 1 / 2    0 0  34  ,
 0 1 0  0 0  3 / 4   0 0 1 / 2 


 

1
1
3
1
1
отсюда x1  z1  z 2  z3 ; x2   z3 ; x3  z 2  z3 
4
3
2
3
2
Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно)
определенной, если для всех x  0 A(x,x)>0 ( A(x,x)<0 ).
Необходимым и достаточным условием положительной определенности
квадратичной формы является положительность всех главных миноров матрицы
квадратичной формы (критерий Сильвестра). Ясно, что
канонический
вид
положительно определенной квадратичной формы содержит квадраты всех
координат с положительными коэффициентами.
f1  h1 ,
Контрольные вопросы
1. Верно ли, что скалярное произведение является билинейной формой?
2. Можно ли утверждать, что квадратичная форма определяет скалярное
произведение?
3. Образуют ли все квадратичные формы в данном пространстве в свою очередь
линейное пространство?
4. Вещественные матрицы n - го порядка A и B, связанные соотношением B  C t AC ,
где C – невырожденная матрица, называются конгруэнтными. Верно ли, что
отношение конгруэнтности рефлексивно, симметрично, транзитивно?
28
5. Пусть в матрице квадратичной формы все элементы положительны. Верно ли, что
квадратичная форма положительно определена?
6. Верно ли, что в положительно определенной квадратичной форме
все
коэффициенты при квадратах строго положительны? А что можно сказать о
коэффициентах при квадратах для отрицательно определенной квадратичной
формы?
7. Как изменится выражение для квадратичной формы, если все базисные векторы
умножить на -2 ?
8. Однозначно ли определяется канонический вид для данной квадратичной формы?
А нормальный?
9. Сколько существует в трехмерном пространстве классов эквивалентных между
собой квадратичных форм? А в n-мерном?
Задачи и упражнения
1. Показать, что всякую линейную форму f (x) в евклидовом пространстве можно
задать как скалярное произведение f ( x)  ( x, f ) , где f – фиксированный вектор.
2. Доказать, что для любой ненулевой линейной формы f (x) существует
канонический базис, в котором форма записывается в каноническом виде f ( x)  x1 ,
где x1 – первая координата вектора x в этом базисе.
3. Найти размерность пространства симметрических билинейных форм в n-мерном
пространстве.
4. Доказать, что если A-симметрическая положительно определенная матрица, то
A 1 также положительно определенная.
5. Доказать, что для положительно определенной квадратичной формы A x, x 
A x  y, x  y   A x, x   A y, y  .
6. Доказать, что если квадратичная форма неотрицательна для всех x и в матрице
квадратичной формы a11  0 , то первая строка и первый столбец этой матрицы –
нулевые.
7. Пусть для каждого вектора x: A(x,x)>0. Доказать, что все решения уравнения
A(x,x)=0 образуют подпространство соответствующего пространства.
8. Доказать, что если A(x,x) – положительно определенная квадратичная форма, то
aii  0 для матрицы квадратичной формы в любом базисе.
9. Доказать, что всякая билинейная форма A(x,y) ранга 1 может быть представлена в
виде произведения двух линейных форм.
10.Доказать, что если для вещественной отличной от нулевой билинейной формы
A(x,y): A x, y   A x, y  при всех x и y, то   1 .
11.Доказать, что если в симметрической матрице некоторый главный минор порядка
r отличен от 0, а все окаймляющие его главные миноры порядков r+1 и r+2 равны
0, то ранг матрицы равен r.
12.Доказать, что квадратичная форма A(x,x) тогда и только тогда положительно
определена, когда ее матрица представима в виде A  C t C , где C – невырожденная
вещественная матрица.
29
Индивидуальные задания
Обозначим через (A,B,C,H,K,M) квадратичную форму
Ax12  Bx22  Cx32  Hx1 x2  Kx1 x3  Mx2 x3 .
Даны следующие квадратичные формы:
1.
а) (1,9,4,-4,6,-2)
б) (9,5,5,6,6,2)
в) (0,0,0,2,4,8)
г) (0,1,2,4,0,4)
д) (-1,-1,-5,0,2,4)
е) (2,2,2,4,4,14)
а) (1,5,2,-4,4,0)
б) (-4,-5,-,4,0,4)
в) (9,1,1,6,6,10)
г) (3,7,7,6,6,-2)
д) (0,0,1,4,2,2)
е) (0,0,0,2,6,2)
а) (1,4,4,-2,6,0)
б) (2,7,7,4,4,4)
в) (1,4,4,4,4,-10)
г) (0,4,4,12,12,4)
д) (-4,-5,-4,4,0,8)
е) (0,0,0,2,-2,-2)
а) (2,9,-5,8,-8,0)
б) (-4,-4,-6,0,4,4)
в) (0,0,0,2,0,-8)
г) (0,1,-3,4,0,4)
д) (1,7,7,4,4,2)
е) (3,3,3,6,6,14)
а) (2,3,3,-4,8,0)
б) (3,7,7,6,6,6)
в) (0,0,0,2,-4,4)
г) (-1,-9,-9,4,4,2)
д) (0,0,4,4,4,4)
е) (1,9,9,6,6,-10)
а) (4,5,-2,-8,-8,4)
б) (-2,-6,-5,4,0,4)
в) (6,6,6,12,12,-2)
г) (1,8,8,4,4,0)
д) (0,-1,-1,4,4,-2)
е) (0,0,0,2,-6,2)
а) (2,6,7,-8,-4,12)
б) (9,6,6,12,12,8)
в) (4,1,1,4,4,10)
г) (-1,-5,-5,2,2,6)
д) (0,-4,5,8,4,8)
е) (0,0,0,2,-8,-4)
а) (-1,-6,-1,4,4,4)
б) (-4,-4,-9,4,4,4)
в) (0,0,0,2,2,-2)
г) (0,-1,1,4,4,0)
д) (1,5,5,4,2,0)
е) (6,6,6,12,12,2)
а) (-1,-1,3,4,4,4)
б) (4,7,9,8,8,8)
в) (0,0,0,2,4,0)
г) (0,4,4,4,2,0)
д) (-1,-4,-4,2,2,4)
е) (2,2,2,4,4,-14)
10. а) (-1,-7,1,2,6,6)
б) (-2,-6,-5,4,0,4)
в) (9,4,4,12,12,12)
г) (0,0,-4,6,4,4)
д) (2,6,6,4,4,4)
е) (0,0,0,0,4,-8)
11. а) (-1,-1,-5,6,4,4)
б) (4,5,5,4,4,2)
в) (3,3,3,6,6,-14)
г) (0,0,1,0,4,8)
д) (-1,-6,-9,4,2,4)
е) (0,0,0,2,2,6)
12. а) (-2,-1,-3,4,4,0)
б) (-2,-2,-9,0,4,4)
в) (0,0,0,2,0,8)
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
г) (0,1,1,4,8,0)
д) (2,3,6,4,4,0)
е) (9,4,4,12,12,-2)
Задача 1. Составить матрицы квадратичных форм и вычислить их ранги.
Задача 2. Выбрать некоторый ненулевой вектор x и вычислить значение
квадратичной формы (а) на векторе x.
Задача 3. Привести каждую из данных квадратичных форм к каноническому
виду методом Лагранжа. Выяснить по каноническому виду, какие из этих форм
30
положительно (отрицательно) определены. Для форм (а),(в),(г) найти канонический
базис и записать преобразование координат, приводящее каждую из этих форм к
каноническому виду.
Задача 4. Формы (а), (б) привести к каноническому виду методом Якоби и
записать преобразование координат, приводящее их к каноническому виду. Сравнить
результаты с результатами задачи 3. В чем проявился закон инерции?
Задача 5. Какие из заданных форм положительно (отрицательно) определены в
соответствии с критерием Сильвестра ? Сравнить с результатами задачи 3.
Задача 6. Выяснить, при каких значениях параметра p положительно
(отрицательно) определены следующие квадратичные формы :
1) а) (2,2,2,2p,2,2);
б) (-3,p,-2,4,-p,4);
2) а) (1,2,5,2p,4,6);
б) (p,-4,-9,2p,0,2p);
3) а) (1,1,1,2p,-2p,2p);
б) (-2,-2,-2,2,2,2p);
4) а) (-1,-3,-6,2,4,2p);
б) (1,p,2,4,2p,4);
5) а) (1,4,1,2p,10,6);
б) (p,p,p,8,6,0);
6) а) (-1,p,-2,2,2,0);
б) (3,1,1,2p,2p,2p);
7) а) (p,1,25,4,2p,0);
б) (p,-3,-3,2,2,-2p);
8) а) (-1,-2,-3,2p,2,4);
б) (1,2,p,2p,0,2);
9) а) (-1,-2,-4,2,2p,4);
б) (1,2,5,2p,-2p,2p);
10) а) (p,1,18,2p,4,-4);
б) (-6,-6,-p,2p,4,4);
11) а) (2,2,1,2p,6,2);
б) (p,p,p,12,12,2);
12) а) (p,-1,-1,4,2,0);
б) (2,2,2,2p,2p,2p).
4. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
Понятия:
1) линейный оператор;
2) матрица линейного оператора, подобные матрицы;
3) сумма и произведение операторов, произведение оператора на число;
4) ядро, образ, ранг линейного оператора;
5) собственный вектор линейного оператора, собственное значение;
6) характеристический многочлен;
7) инвариантное подпространство.
Факты:
1) определяемость линейного оператора образами базисных векторов;
2) теорема о размерности ядра и образа линейного оператора;
3) алгебра линейных операторов и ее изоморфизм алгебре матриц;
4) преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису;
5) условие существования и правила нахождения собственных векторов линейного
31
оператора;
6) критерий приводимости матрицы линейного оператора к диагональному виду;
7) достаточное условие существования собственного базиса.
Пусть V – линейное пространство над полем P. Функция  : V  V
называется линейным оператором, если для всех a, b V и   P  (a  b)   (a )   (b)
(аддитивность) и  (a )   (a ) (однородность).
Важнейшие преобразования геометрических пространств (проектирования,
растяжения, повороты, симметрии) являются линейными операторами. Обратим
внимание на дифференцирование в функциональных пространствах: свойства
аддитивности и однородности – это хорошо известные свойства дифференцирования.
Пример 1. В линейном пространстве всех квадратных n  n матриц над R
действует преобразование  , которое каждую матрицу X переводит в матрицу
 ( X )  AX  BXA , где A, B – фиксированные матрицы из данного линейного
пространства. Проверить линейность преобразования  .
 Для произвольных матриц X и Y из данного пространства:
 ( X  Y )  A( X  Y )  B( X  Y ) A  AX  AY  BXA  BYA 
 ( AX  BXA)  ( AY  BYA)   ( X )   (Y ) ;
 (X )  A(X )  B (X ) A  AX  BXA   ( AX  BXA)   ( X ) ,
где  – произвольное действительное число. Таким образом,  – линейный
оператор.
Линейный оператор  полностью определяется заданием образов  (e1 ),..., (en )
векторов некоторого базиса e  (e1 ,..., en ) . Этот факт позволяет сопоставить каждому
оператору  в базисе e матрицу, состоящую из координатных столбцов вектора
 (e1 ),..., (en )
в данном базисе. Указанное соответствие между линейными
операторами и их матрицами в базисе e взаимно однозначно и сохраняется при
выполнении операций сложения, умножения, умножения на скаляр операторов и
матриц.
Если (x) – координатный столбец вектора x в базисе e , A – матрица оператора
 в этом базисе, то координатный столбец вектора ( ( x)) находится по формуле
( ( x))  A  ( x) .
Матрицы A и B одного и того же оператора  в базисах e и  f  связаны
соотношением подобия: B  C 1 AC , где C – матрица перехода от базиса e к базису
 f .
Важными характеристиками линейного оператора  : V  V
являются его
образ (Im ) и ядро (Ker  ) . Ядро оператора составляют все векторы, переводящиеся
в нулевой вектор, а Im    (V ) . Размерности подпространств Im и Ker  называют,
соответственно
рангом
и
дефектом
оператора
,
причем,
dim V  dim Ker   dim Im  .
Заметим еще, что ранг оператора совпадает с рангом матрицы оператора.
32
Пример 2. В арифметическом пространстве R3 задано
преобразование  ,
переводящее каждый вектор x  ( x1 , x2 , x3 ) в вектор  ( x)  ( x1  x2 , x2  x3 , x1  x3 ) .
Доказать, что  – линейный оператор, найти матрицу этого оператора в стандартном
базисе и в базисе a  (1,1,1) , b  (2,1,2) , c  (1,1,0) ; описать ядро и образ оператора
.
 Докажем, что преобразование  является линейным
оператором.
Для
произвольных
векторов
x  ( x1 , x2 , x3 )
и
y  ( y1 , y 2 , y3 )
из
R3
x  y  ( x1  y1 , x2  y2 , x3  y3 ) ,
 ( x  y )  ( x1  y1  x2  y2 , x2  y2  x3  y3 , x1  y1  x3  y3 ) 
 ( x1  x2 , x2  x3 , x1  x3 )  ( y1  y2 , y2  y3 , y1  y3 )   ( x)   ( y ) ;
x  (x1 , x2 , x3 ) , где λ – действительное число и
 (x)  (x1  x2 , x2  x3 , x1  x3 )   ( x1 x2 , x2  3 , x1  x3 )   ( x) .
Построим матрицу A линейного оператора  в стандартном базисе e1  (1,0,0) ,
e2  (0,1,0) , e3  (0,0,1) . Вычислим образы базисных векторов:  (e1 )  (1,0,1) ,
 (e2 )  (1,1,0) ,  (e3 )  (0,0,1) и
запишем
их
столбцами матрицы
1 1 0 


A : A   0 1 1 . Образ вектора z=(1,2,3)  (z ) =(3,5,-2) можно найти и, используя
 1 0  1


 1 1 0  1   3 

   
матрицу A :  ( z )t   0 1 1  2    5  .
 1 0  1 3    2 

   
Проверим теперь, что векторы a, b, c составляют базис пространства R3 и
найдем матрицу B линейного оператора  в этом базисе. Так как определитель
1 2 1
1 1  1  0 , то три вектора a, b и c образуют базис пространства R3 . Вычислим
1 2 0
теперь образы  (a )  (2,2,0) ,  (b)  (3,1,4) ,  (c)  (2,1,1) и найдем координаты
каждого образа в
базисе
(a,b,c). Пусть  (a )  a  b  c , тогда
2    2  

(2,2,0)   (1,1,1)   (2,1,2)   (1,1,0) , откуда 2    
и   0 ,   0 ,   2 ,
0    2

т.е.  (a )  2c . Аналогично получаем  (b)=12a+4b+17c и  (c)=-3a-b-3c. Запишем
 0 12  3 


полученные координаты столбцами матрицы B: B   0
4  1  . Матрица C
  2 17  3 


перехода от стандартного базиса к базису (a,b,c) состоит из координат векторов a,
33
b, c в стандартном базисе, записанных в столбцы:
1 2  1


C  1 1  1
1  2 0 


тогда
 2  2  1


C  1 1
0  . Легко проверить, что матрицы A и B линейного оператора  в
 3 4 1 


различных базисах связаны соотношением B  C 1 AC .
Ядро данного линейного оператора состоит из всех векторов x, для которых
 (x)=0, т.е. x1  x2  0 , x2  x3  0 , x1  x3  0 Отсюда x1  x3 , x2   x3 т.е. ядро
содержит все векторы вида  (1,-1,1) и имеет размерность 1. Образ оператора
совпадает с линейной оболочкой векторов  (e1 ) ,  (e2 ) ,  (e3 ) . Среди них только
первые два линейно независимы и размерность образа равна 2. Очевидно,
dim Ker   dim Im   dim R3 . 
Вектор a  0 линейного пространства V над полем P называется собственным
для оператора  : V  V , если  (a )  a при некотором   P . Скаляр  называется
собственным значением, соответствующим собственному вектору a.
Если A - матрица линейного оператора  в базисе e , то все собственные
значения  являются корнями характеристического уравнения A  E  0 , а сами
собственные векторы, имеющие собственное значение i , находятся в координатной
форме из линейной системы: ( A  i E )( x) e  0 .
1
Пример 3. Найти собственные векторы и собственные значения оператора  ,
2 1 1


заданного в некотором базисе матрицей A   1 2 1  .
 1 1 2


 Составим характеристическое уравнение матрицы A и найдем его корни:
2
1
1
4 4 4
A  E  1
2
1  1
2
1 
1
1
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
 (4   )  1 2  
1  (4   )  0 1  
0  (4   )(1   ) 2 ,
1
1
2
0
0
1 
A  E  0  1  4 , 2,3  1 .
Собственные векторы с собственным значением 4 находим из системы:
1
1  x1   0 
 2 x1  x2  x3  0,
2  4

   

24
1  x2    0  или  x1  2 x2  x3  0,
 1
 1
 x  x  2 x  0.
1
2  4  x3   0 

3
 1 2
Поскольку ранг системы равен 2, то размерность пространства решений равна 3–2=1
и базис этого пространства составляет очевидное решение (1,1,1)=a. Все решения
34
этой системы имеют вид a ,   R , а собственные векторы оператора с собственным
значением 4 получим при   0 .
Аналогично поступим для собственного значения 1. Соответствующая система
состоит из трех одинаковых уравнений x1  x2  x3  0 , базис пространства
решений составляют, например, векторы b=(-1,1,0) и c=(-1,0,1) а все собственные
векторы имеют вид b  c , где  и  – скаляры, не равные 0 одновременно. 
Предыдущий пример интересен тем, что собственные векторы a, b, c линейно
независимы, поэтому они составляют базис исходного трехмерного пространства
(собственный базис линейного оператора  ). В собственном базисе матрица
линейного оператора диагональна, причем на диагонали стоят собственные значения.
В данном примере в базисе (a,b,c) матрицей оператора  является матрица
 4 0 0
1  1  1 




B   0 1 0  , причем B  C 1 AC , где C  1 1
0 .
0 0 1
1 0
1 



Отметим еще одно свойство собственных векторов. Собственные векторы
оператора  , относящиеся к фиксированному собственному значению  , вместе с
нулевым вектором образуют инвариантное
пространство. В общем случае
подпространство U пространства V называется инвариантным относительно
оператора  , если  (U )  U .
Пример 4. В трехмерном евклидовом пространстве V с ортонормированным
базисом e1 , e2 , e3 действует линейный оператор  – ортогональное проектирование
на плоскость e1 ,e2  . Найти
собственные векторы, описать инвариантные
подпространства оператора  .
 Подпространство {0} и все
пространство V всегда
являются
инвариантными относительно любого оператора.
Одномерными инвариантными подпространствами будут: прямая, содержащая
вектор e1 – линейная оболочка Le1  , и все прямые, принадлежащие плоскости
e2 ,e3  . Действительно, все векторы вида e1 проектируются в нулевой вектор,
который принадлежит одномерному подпространству Le1  . Проекции прямых,
содержащихся в плоскости e2 ,e3  совпадают с этими прямыми.
Двумерным
инвариантным
подпространством
является произвольная
плоскость, ортогональная плоскости e2 ,e3  , т.к. ее образом будет прямая
пересечения этой плоскости с плоскостью e2 ,e3  . При проектировании плоскость
она
также удовлетворяет
определению
e2 ,e3  перейдет в себя и
инвариантности. Очевидно, что других инвариантных подпространств нет.
Собственными векторами оператора  относящимися к собственному значению
1  0 , являются векторы вида x  e1 т.к. они проектируются в 0-вектор и  (х)=0x.
Все векторы y, принадлежащие плоскости e2 ,e3  , под действием оператора 
переходят в себя (  (y)=y ), – являются собственными, относящимися к собственному
значению 2  1 . 
35
Контрольные вопросы
1. Всегда ли линейный оператор переводит линейно независимые векторы в линейно
независимые?
2. Что представляют собой ядро и образ тождественного и нулевого операторов?
3. Как изменится матрица линейного оператора в данном базисе, если два базисных
вектора поменять местами?
4. Пусть оператор в некотором базисе задан невырожденной матрицей. Может ли в
другом базисе матрица этого оператора быть вырожденной?
5. Верно ли, что Ker   Ker  2 или Ker  2  Ker  ; Im  Im 2 или Im 2  Im ?
6. Верно ли, что для произвольных подпространств A и B некоторого пространства и
оператора  в нем  (A+B)=  (A)+  (B);  ( A  B )   ( A)   ( B ) ?
7. Всякий ли оператор в вещественном (комплексном) пространстве
имеет
собственный вектор?
8. Описать все линейные операторы в одномерном пространстве.
9. Верно ли, что сумма собственных векторов снова является собственным вектором
данного оператора?
10.Какова размерность пространства всех линейных операторов в n-мерном
пространстве?
11.Пусть матрицы A и B подобны: B=C-1AC. Однозначно
ли
определена
2
трансформирующая матрица C? Подобны ли матрицы A и В2? Подобны ли
матрицы f(A) и f(B) для произвольного многочлена f(x) ?
12.Каковы собственные значения диагональной матрицы?
13.Верно ли, все собственные векторы линейного оператора принадлежат его
ядру или образу?
14.Верно ли, что если вектор a собственный для оператора  , то он собственный и для
оператора  2 ?
Задачи и упражнения
1. Доказать, что размерность подпространства  (U ) не превышает размерности
подпространства U , где  – линейный оператор.
2. В пространстве M n многочленов степени  n построить два различных линейных
оператора, совпадающих на M n 1 с оператором дифференцирования.
3. Доказать, что всякое подпространство линейного пространства является: а)
ядром ; б) образом некоторого линейного оператора.
4. Доказать, что линейный оператор, определенный на подпространстве, можно
распространить на все пространство.
5. Построить два линейных оператора, имеющих один и тот же образ и одно и то же
ядро.
6. Доказать, что два линейных оператора, образы которых различны, линейно
независимы.
7. Пусть  и  – линейные операторы на пространстве V такие, что     0 .
Следует ли отсюда, что     0 ?
36
8. Доказать, что характеристические многочлены матриц А и Аt одинаковы.
9. Доказать, что если вектор a – собственный для оператора  , то он собственный и
для оператора  2 .
10.Доказать, что если для некоторого k  N  k  0 , то оператор  не имеет отличных
от нуля собственных значений.
11.Доказать, что все ненулевые векторы пространства будут собственные для
оператора  тогда и только тогда, когда    , где  – тождественный оператор,
 – скаляр.
12.Доказать, что если для оператора существует обратный оператор, то оба они имеют
одни и те же собственные векторы. Найти зависимость между собственными
значениями этих операторов.
13.Доказать, что оператор  невырожден тогда и только тогда, когда он не имеет
собственного значения 0.
14.Доказать, что любые коммутирующие линейные операторы в комплексном
пространстве имеют общий собственный вектор.
15.Доказать, что всякое собственное подпространство для оператора  инвариантно
относительно любого оператора, коммутирующего с  .
16.Доказать, что диагональные матрицы подобны тогда и только тогда, когда они
имеют одинаковые характеристические многочлены.
Индивидуальные задания
Задача 1. Линеен ли оператор, действующий в пространстве всех
многочленов от x над R степени не выше второй и переводящий каждый многочлен
p(x) в указанный ниже многочлен
1) 2+p'(x);
2) 2p'(x);
3) p(x+2);
4) p(x)+2;
5) p(x)+p(2); 6) xp(2);
7) x+p(2);
8) p(2x);
9) 2p(x);
10) x+p'(x);
11) xp'(x);
12) p(2) ?
Задача 2. Пусть A – фиксированная ненулевая (2х2)-матрица над R . Линеен ли
оператор, действующий в пространстве всех (2х2)-матриц над R и переводящий
каждую матрицу X в указанную ниже матрицу ?
1) AX–XA; 2) AX–X; 3) AX+A; 4) AXA;
5) AXA+X; 6) A–XA;
7) AXA–A; 8) AX+XA; 9) XAX; 10) XA+X; 11) AXA–X; 12) A+AXA.
Задача 3. Доказать линейность оператора  , действующего в арифметическом
пространства R 3 и переводящего строку (x,y,z) в указанную ниже строку. Найти
матрицу этого оператора в базисе a1 =(1,1,1); а2=(1,1,0); а3=(1,0,0).
1) (x–z,x,x+y–z); 2) (x+y+z,0,x–y–z); 3) (z,z,y–x);
4) (2y,x+3z,0);
5) (2z,3z,x–5z); 6) (x+2y+3z,y,-z); 7) (z–x,x–z,y–x); 8) (y+x+3z,x,x);
9) (0,3x,y–z); 10) (y+z,z,x–z);
11) (z,0,2y+x); 12) (y–z,x+3z,z+x–y).
Задача 4. В трехмерном евклидовом пространстве с ортонормированным
базисом e1 ,e2 ,e3 действует один из следующих операторов :
1) симметрия относительно оси e2 – e3;
2) симметрия относительно оси e3 – e1;
3) симметрия относительно оси e1 – e2;
37
4) поворот вокруг оси e1 на 90 ;
5) поворот вокруг оси e2 на 270 ;
6) поворот вокруг оси e1+e2+e3 на 120 ;
7) отражение относительно плоскости (e1 – e3,e2);
8) отражение относительно плоскости (e1+e2,e3);
9) отражение относительно плоскости (e1,e3 – e2);
10) центральная симметрия относительно начала координат;
11) ортогональное проектирование на ось e1+e3;
12) ортогональное проектирование на плоскость (e1,e2+е3).
Составить матрицу каждого из этих операторов в данном базисе и выяснить, во что
при этом переводится вектор e1  e2  e3 ?
Задача 5. Линейный оператор  , действующий в R2 переводит данные векторы
a, b соответственно в векторы c, d. Найти образ вектора (1,1) и матрицу этого
оператора в стандартном базисе.
c
(2,1)
(3,4)
(1,4)
(1,1)
(2,1)
(2,3)
(1,3)
(2,2)
d
a
b
(1,3)
(1,4)
1
2
3
4
(2,3)
(3,4)
5
6
7
8
(2,1)
(3,2)
9
10
11
12
Задача 6. Доказать линейность преобразования  , найти его ядро и образ, а
также базис и размерность ядра и образа. Составить матрицу преобразования  в
0 1
1 1
 0 1
1 1

 P3  
 P4  
 . Найти ранг составленной
базисе P1  
P2  
0
0
0
0
0
1
1
1








матрицы. Проверить теорему о ранге матрицы, теорему о размерностях ядра и образа.
1)  (X)=XP4 – P4X;
2)  (X)=XP4+P4X;
3)  (X)=P4X;
4)  (X)=XP4;
5)  (X)=P4XP4;
6)  (X)=P3XP3;
7)  (X)=P1X;
8)  (X)=XP1;
9)  (X)=P2XP2;
10)  (X)=X–Xt;
11)  (X)=X+Xt;
12)  (X)=XP2 – P2X.
Задача 7. Доказать линейность преобразования  , найти его ядро и образ, а
также базис и размерность ядра и образа. Составить матрицу преобразования  в
базисе f1(x)=1+x; f2(x)=x+x²; f3(x)=x+x³; f4(x)=x³ пространства всех многочленов степени
не выше 3 над R. Найти ранг составленной матрицы. Проверить теорему о ранге
матрицы, теорему о размерностях ядра и образа.
1)  (f(x))=f(x)+f(-x);
2)  (f(x))=f(x)–f(-x);
3)  (f(x))=f(x+1)-f(x);
4)  (f(x))= f ´´(x);
5)  (f(x))=f(x)–хf´(x);
6)  (f(x))=f(x)–f(0);
7)  (f(x))=f(x)-х² f ´´(x); 8)  (f(x))=f(x)– хf´(0);
9)  (f(x))=f(x)–f´(x);
10)  (f(x))=f´(x+1);
11)  (f(x))= хf´(x) –f´´(0); 12)  (f(x))=xf ´(x).
Задача 8. Найти все собственные векторы линейных операторов, заданных
матрицами A, B, C, D из таблицы.
38
Вариант
A
5 3 4
1
2 4 2
4 4 3
3 2 0
2
2 4 2
4 4 1
1 1 0
3
6 4 4
0 2 1
4
1  1 1
4 0 2
6 2 4
4 1  2
5
2 1 2
1 1 1
3 0 1
6
4 1 2
8 2 4
0
0 2
7
0 2 6
2 6
9
4 1 2
8
6 3 4
6 2 3
5
4 4
9
3 2 4
4 4 6
4 4 4
10
2 3 4
4
5
6
 3 1  3
11
2
3
0
2
1
2
6 1  2
12
 6 1 4
6  2 1
B
C
2 3 3 2 2 1
0
4 6 4
4 2
0
3 5 4
4 2
4 0 4
4
4 2
1 1 1
4
4 2
1 1 1
2 2 1
5
0
6
2 2 3
 3 1  3
0 2 2
3 0 4 2 3 4
7 2 4
2 4 4
6 6 6
2 4 4
8 4 5
3 6 6
4 3 3
1 2 2
3 2 3
2 3 3
3 3 2
2 5 5
5 2 3
8
3 9
2 0 3
2 1
2
3  2 1
6 2 7
1 1 1
1 1 3
0 0 1
2
2
6
1 1 1
2 2 6
3 2 6
7 3 9
2 3 6
1 1 1
6 2 8
 2 2 5
5
1
5 5 2 4
 3  2  2 6 4 6
 3  1  3 3 4 7
4 0 4
1 1 1
2 3 5
1 1 0
2 1 3
4 4 2
0 2 1
 2 4 8
2 5 2
1 2 4
 2 4 1
1 2 4
3 0 4
1
2
3
2 2 5
3
6
9
2 1 4
3 6 9
39
D
2 3 7
1 2 4
1 2 4
0 0 4
0 2 0
1 0 4
2 1 0
1 0 0
1 1 1
3
1
0
4
9
8
3 5 3
5 4 6
2 3 3
4 4 5
6 0 8
1 2 2
2 0 2
3 2 3
4 5 6
4
4
5
5 1 1
4 1 2
0 0
3
3 4 0
1 1 0
2 4 1
2 6 4
4 8 4
2 3 0
1
3
6
3 1 5
2 2 6
5
4 4
0
3 0
1  2 1
Задача 9. Какие матрицы из задачи 8 можно привести к диагональному виду в
некотором базисе?
Задача 10. Найти ядро и образ оператора, заданного матрицей C из задачи 8.
Задача 11. Найти все собственные векторы оператора из задачи 4. Описать ядро,
образ и другие инвариантные подпространства этого оператора.
Задача 12. В стандартном базисе даны координаты собственных векторов x, y, z,
соответствующие собственным значениям 1 , 2 , 3 . Составить в стандартном
базисе матрицу линейного оператора, имеющие эти собственные векторы с
соответствующими собственными значениями.
1
-1
2
2
2
-1
2
3
3
0
3
3
x
y
z
(1,1,2)
(2,2,3)
(1,2,2)
(1,0,-1)
(0,1,1)
(-1,2,2)
(0,1,2)
(1,2,3)
(2,2,3)
(1,-2,-2)
(-1,1,3)
(-1,1,2)
1
5
9
2
6
10
3
7
11
4
8
12
5. ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА МАТРИЦЫ
Понятия:
1) унитарное пространство;
2) сопряженный оператор;
3) самосопряженный оператор, симметрический оператор;
4) унитарный оператор, ортогональный оператор;
5) эрмитовы, унитарные и ортогональные матрицы;
6) жорданова клетка и жорданова матрица;
7) корневое подпространство;
8) циклическое подпространство.
Факты:
1) матрицы сопряженных операторов в ортонормированном базисе;
2) свойства ортогональных (унитарных) операторов;
3) собственный базис унитарных операторов;
4) вещественность собственных значений самосопряженных операторов;
5) диагонализация самосопряженных операторов;
6) приведение квадратичной формы к каноническому виду
ортогональным
преобразованием;
7) разложение пространства в прямую сумму корневых подпространств;
8) разложение корневого подпространства в прямую сумму циклических;
9) приведение матрицы линейного оператора к нормальной жордановой форме.
Операторы  и   в евклидовом вещественном либо комплексном (унитарном)
пространстве называются сопряженными друг к другу, если ( ( x), y )  ( x,  ( y ))
для всех векторов x и y. В ортонормированном базисе матрицы A и B сопряженных
операторов связаны
соотношением:
B=A*, где операция (*) означает
40
транспонирование и замену элементов на комплексно сопряженные. Если   =  , то
оператор  называется самосопряженным, а если композиция  и   дает
тождественный
оператор, то
оператор  называется ортогональным для
вещественных и унитарным для комплексных пространств.
Ортогональные и унитарные операторы сохраняют длины векторов
(характеристическое свойство), а
их матрицы в ортонормированном базисе
1
удовлетворяют соотношению: A  A (т.е. ортогональны для вещественной
ситуации и унитарны для комплексной). Матрицы самосопряженных операторов в
ортонормированных базисах симметрические для (вещественных) и эрмитовы для
комплексных пространств. Для них A  A .
Для самосопряженных операторов характерно наличие ортонормированного
базиса из собственных векторов с вещественными собственными значениями.
Унитарность оператора характеризуется наличием ортонормированного базиса из
собственных векторов, для которых собственные значения равны по модулю 1.
Пример 1. В евклидовом пространстве R2 со стандартным скалярным
произведением оператор  задан образами базиса
f1  1,1 и f 2  1,2  :
  f1   f1  3 f 2 ,   f 2   2 f1  4 f 2 . Найти матрицу сопряженного оператора  * в базисе
 f .
1 2 
 .
 Ясно, матрица Af линейного оператора  в базисе [f] имеет вид: A f  
3 4
Если бы этот базис был ортонормированным, то для решения задачи достаточно
было бы транспонировать матрицу оператора, но базис [f] таковым не является.
Поэтому
обратимся
к
базису
e1  0,1 ,
e2  0,1 ,
который
является
ортонормированным относительно заданного скалярного произведения. Найдем
матрицу Ae оператора  в базисе [e]:
Ae  C 1 A f C , где C – матрица перехода от базиса [f] к базису [e], C 1 –матрица
1 1 
 состоит из компонент векторов f1 и f 2 ,
перехода от [e] к [f]. Матрица C 1  
1 2 
 2  1
1 1  1 2  2  1  2 2 
 2 4
 , Ae  


  
 , Ae  Aet  
 есть
поэтому C  
1 1 
1 2  3 4   1 1   4 3 
 2 3
матрица оператора   в базисе [e]. Матрица оператора   в базисе [f] равна
 2  1 2 4 1 1   7 12 


  
 . ■
A*f  CAe*C 1  
  1 1  2 3 1 2    1 2 
Существование ортонормированного базиса для самосопряженных операторов
позволяет указать еще один способ
получения
канонического
вида
для
квадратичной формы с матрицей A (приведение квадратичной формы к главным
осям).
Коэффициентами при квадратах
в
каноническом
виде выступают
характеристические корни матрицы A, а матрица перехода к каноническому базису
состоит из координатных столбцов ортонормированного базиса из собственных
векторов симметрической матрицы A.
Пример 2. Привести квадратичную форму:
41


A x, x   3 x12  x22  x32  2 x1 x2  x1 x3  x2 x3  к главным осям.
 3 1 1


 Выпишем характеристические корни матрицы A   1 3 1  квадратичной
 1 1 3


1
1 
3  


формы: A  E   1
3
1  , A  E  5   2   2 , A  E  0 ⇔ 1  5 ,
 1
1
3   

2,3  2. Таким образом, квадратичная форма в искомом каноническом базисе имеет
вид: A x, x   5 y12  2 y 22  2 y32 . Найдем собственные векторы матрицы A. Для
собственного значения 1  5 собственные векторы ищем из соотношения
 2 x1  x2  x3  0,
 x1 
 
 A  5E  x2   0 или  x1  2 x2  x3  0,
x 
 x  x  2 x  0.
 3
2
3
 1
Нетрудно заметить, что ранг системы равен 2, базис пространства решений состоит
из одного вектора и таковым может быть вектор e1 =(1,1,1). Аналогично, для
2,3  2. собственные векторы матрицы находят из системы
 x1  x2  x3  0,

или  x1  x2  x3  0,
 x  x  x  0,
2
3
 1
ранг которой равен 1, общее решение x1   x2  x3 , а базис пространства решений
состоит из двух векторов e2   1,1,0  и e3   1,0,1 . Вектор e1 ортогонален к
векторам e2 и e3 (они относятся к разным собственным значениям). Применяя
процесс ортогонализации к векторам e2 и e3 , получим e2 =e2=(-1,2,0) e3 =(-1/2,-1/2,1),
 1 1 1 
либо e3 =(-1,-1,2). Нормируя векторы e1, e2 , e3 , получим: f1  
, ,
,
 3 3 3
 1 1 1 
 1 1 
f2  
,
,0  и f 3  
,
,
 Матрица перехода к каноническому базису
 2 2 
 6 6 6
1 / 3  1 / 2  1 / 6 


имеет вид: C  1 / 3  1 / 2  1 / 6  . 


1
/
3
0
2
/
6


 x1 
 
 A  2 E  x2   0
x 
 3
Хотя не все операторы диагонализированы, но для широких классов
линейных операторов (например, для операторов в комплексных пространствах)
существует базис, в котором матрицы операторов имеют жорданову форму.
42
 J1

0
Жордановы матрицы близки к диагональным. Они имеют вид  .

0
0

0
...
0.
J2
.
0
.
0
.
.
... J n 1
0
...
0
0

0
. 

0
J n 
только роль диагональных элементов играют жордановы клетки, т.е. матрицы
 i

0
Ji   .

0
0

1
.
0
i .
0
.
0
. .
. i
0
.
0

0
.

1
i 
произвольных порядков и относящиеся к произвольным
числам i .
Продемонстрируем на следующем примере алгоритм нахождения жорданова
базиса и матрицы оператора в нем. Будем считать, что оператор  задан в некотором
базисе [e] матрицей A и не станем отличать (в том числе в терминологическом плане)
оператор от его матрицы.
Пример 3. Найти жорданову форму и жорданов базис матрицы
 1 1 1

0
1 3
A
1 0 1

 0 1 1
0

1 .
1

1 
 Прежде всего, следует отыскать характеристические корни матрицы A :
1 
1
1
0
1 
1
1
0
1 3  
0
1
1  3  
0
1
A  E 


1
0
1 
1
1 
0
1 
1
0
1
1
1   1  1
1
1 
 1   
1
1
1
3
1
1
0
1
1
0
0
1
1 
1
1
1 
2
 1    1
0
1
1

1  1   4 .
0 1 
Отсюда 1  2  3  4  1 .
Известно, что исходное пространство
является
прямой
суммой
инвариантных относительно A корневых подпространств, построенных для каждого
характеристического корня i , поэтому построение жордановой формы и жорданова
базиса оператора сводится к их построению для каждого из корневых
подпространств с последующим объединением. В общем случае берут по очереди
характеристические корни i и вычисляют степени матрицы B  A  i E : B1 , B 2 ,
B 3 ,… . Ядра этих операторов образуют строго возрастающую до определенного места
цепочку подпространств:
Ker B  Ker B 2  Ker B k  Ker B k 1  ... . Здесь Ker B k
и является корневым
подпространством для характеристического корня i , а место стабилизации ядер k
43
можно
определить,
вычисляя ранги матриц B1 , B 2 , B 3 ,...,
d i  dim Ker B i  n  rang B i .
В нашем случае   1 – единственный характеристический корень,
1
1
 0

0
1 2
B
1 0  2

 0 1 1
поскольку
0
 2 2  2 2 



1  , 2   2 2  2 2  , B 3  B 4  ...  0, rang B  2 , rang B 2  1 ,
B 
1
2  2 2  2



0
 2  2 2  2
rang B 3  rang B 4  ...  0 . Таким образом, Ker B 3 – корневое подпространство,
d1  4  2  2 , d 2  4  1  3 , d 3  4
Числа d1 , d 2 ,..., d k позволяют построить схему жорданова базиса для корневого
подпространства в виде ступенчатой таблицы, заполняемой слева направо, нижняя
строка которой содержит d1 векторов, две нижних – d2 векторов, три нижних – d 3
векторов и т.д. Вся таблица содержит d k векторов (размерность

корневого подпространства).

В нашем случае соответствующая таблица имеет вид:
 
Количество столбцов таблицы равно количеству жордановых
клеток, относящихся к характеристическому значению i , а высота столбца
соответствует размеру клетки (или размерности инвариантного циклического
подпространства, в прямую сумму которых разлагается данное корневое
подпространство).
В данном примере корневому подпространству соответствуют две жордановы
клетки порядков 2 и 1. А поскольку наш оператор имеет один корень, т.е. корневое
подпространство совпадает со всем пространством, то указанные клетки составляют
1 1 0 0


 0 1 1 0
искомую матрицу: J  
.
0 0 1 0


0
0
0
1


Для нахождения жорданова базиса, в котором J – матрица данного линейного
оператора, ищем сначала относительный базис Ker B 3 над Ker B 2 (элементы верхней
строки схемы жорданова базиса). В нашем примере это всего лишь один вектор f1 ,
который переводится в нуль матрицей B 3 и не аннулируется более низкой степенью
матрицы B, т.е. B 3 f1  0 , но B 2 f1  0 , Bf1  0 . Возьмем, например, f1 = (0,0,0,1), тогда
0

t
t  1
f 2  Bf1  
1

0
0 0  0
   
1 0  1 .

0
0  2 1 0  1
   
 1  1 0 1  0
1
2
1
0
  2 2  2 2  0  2 

   
2  2 2  0  2  .
t
2 t  2
f3  B f1  

0
2  2 2  2 0   2

   
 2  2 2  2 1   2
Упорядочив полученные
векторы обратным порядком, получим базис
циклического подпространства, соответствующему первому столбцу схемы: g1  f 3 ,
g 2  f 2 , g 3  f1 . Базис циклического подпространства, соответствующего второму
столбцу схемы, состоит из одного вектора g 4 . Этот вектор принадлежит Ker B и
44
линейно независим с g1  Ker B . Вектор g 4 удовлетворяет соотношению: Bg 4t  0
(мы не станем выписывать соответствующую систему линейных уравнений для его
отыскания), и можно, например, взять g 4 = (1,0,0,1).
Вся упорядоченная система векторов g1 , g 2 , g 3 , составляет искомый жорданов
базис для матрицы A. Понятно, что J  C 1 AC , где C – матрица перехода от исходного
базиса [e] к базису [g]. ■
Контрольные вопросы
1. Укажите оператор, сопряженный для поворота евклидовой плоскости на угол  .
2. Пусть оператор  действует в одномерном унитарном (евклидовом) пространстве.
Каким для него есть оператор   , сопряженный с  ?
3. Верно ли, что     ;           ;           ?
4. Верно ли, что если операторы  и  перестановочны, то перестановочны и
операторы   и   ?
5. Пусть ранг оператора  равен r . Чему равен ранг оператора   ?
6. Верно ли, что сумма самосопряженных (унитарных) операторов есть
самосопряженный (унитарный) оператор?
7. Верно ли, что произведение самосопряженных (унитарных) операторов есть
самосопряженный (унитарный) оператор?
8. Каковы унитарные операторы, действующие
в
одномерном
унитарном
(евклидовом) пространстве?
9. Может ли оператор проектирования быть унитарным?
10.Верно ли, что переставляя между собой жордановы клетки снова получим
жорданову форму данного линейного оператора?
11.Пусть матрица A имеет жорданову форму J. Какова жорданова форма для матрицы
B  C 1 AC ?
Задачи и упражнения
1. Доказать, что если подпространство L евклидова пространства инвариантно
относительно линейного оператора  , то ортогональное дополнение L
инвариантно относительно сопряженного оператора   .
2. Доказать, что линейный оператор  в унитарном n–мерном пространстве имеет
инвариантные подпространства произвольной размерности от 0 до n.
3. Доказать, что если  a   a ,   a   a , то    (a  0 .
4. Доказать, что если оператор  унитарного пространства имеет собственные
значения 1 ,  2 ,…,  k то числа 1 ,  2 ,...,  k – собственные значения для
оператора   .
5. Доказать, что если оператор  – самосопряженный, то и  1 – тоже
самосопряженный.
6. Доказать, что для
произвольного линейного оператора  в унитарном
пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора
45
треугольна.
7. Доказать,
что
произведение
самосопряженных
операторов
есть
самосопряженный оператор тогда и только тогда, когда они перестановочны при
композиции.
8. Доказать, что произведение ортогональных операторов есть ортогональный
оператор.
9. Доказать, что если векторы x и y имеют одинаковую длину, то существует
ортогональный оператор, переводящий x в y.
10.Найти канонический базис и жорданову форму оператора дифференцирования в
пространстве многочленов M 4 .
11.Пусть известна жорданова форма оператора А. Как найти жорданову форму для
операторов A 2 , A  E , A 1 ?
12.Доказать, что в жордановой форме оператора А число жордановых клеток,
отвечающих собственному значению  , равно дефекту A  E .
Индивидуальные задания
Задача 1.Каждую из квадратичных форм (а) и (б) лабораторной работы 3
привести к каноническому виду ортогональным преобразованием.
Задача 2. Обозначим через (A,B,C,H,K,M) квадратичную форму
Ax12  Bx22  Cx32  Hx1 x2  Kx1 x3  Mx2 x3
Привести к каноническому виду с помощью ортогонального преобразования
следующие квадратичные формы:
1) (-2,-2,-1,4,2,2); 2) (2,-1,7,2,6,3);
3) (-1,-9,-9,2,3,1);
4) (0,0,0,1,1,-1);
5) (-2,1,1,-2,2,-4);
6) (1,1,1,-2,-2,-2);
7) (1,4,4,-2,2,-4);
8) (1,4,4,2,2,-1);
9) (4,1,1,-2,2,4);
10) (1,9,9,3,3,-1); 11) (1,1,1,-1,-1,-1);
12) (1,-2,1,2,4,2).
Задача 3. Скалярное произведение на пространстве многочленов степени
не выше чем, 2 задано по формуле:  f , g   a0b0  a1b1  a2b2 , где
f  x   a0  a1 x  a2 x 2 , g  x   b0  b1 x  a2 x 2 . Оператор  – дифференцирование. В
указанном базисе построить матрицу оператора, сопряжённого к  .
1) 1, x, x 2 ;
2) 1, 1  x 2 , 1  x ;
5) 1  x,1  x, x 2 ;
6) 1  x , x , 1  x 2 ;
9) 1, x 2  x, x 2  x ; 10) 1  x , x, x 2 ;
3) 1, 1  x 2 , 1  x  x 2 ; 4) 1, 1  x , x2 1;
7) 1, 1  x , 1  x  x 2 ; 8) 1, x, 1  x  x 2 ;
3
1
11) x 2 , x, 1;
12) 1, x, x2  .
2
2
Задача 4. Привести к жордановой нормальной форме матрицы:
Вариант
1
A
0
-2
0
0
2
-4
0
0
B
1
0
0
-1
0
-1
3
-3
0
-2
0
0
2
-4
0
0
C
1
0
1
-1
46
0
-1
3
-3
-2
-4
0
0
4
6
0
0
D
2
2
-2
-4
-2
-2
4
6
-2
-4
0
0
4
6
0
0
0
2
-2
-4
0
0
4
6
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-1
0
2
0
3
3
3
3
2
1
2
2
4
2
1
-2
4
-1
2
-2
5
3
0
0
4
-2
2
0
3
-1
0
1
2
-2
0
0
2
-3
3
0
6
3
3
3
2
0
-2
0
-1
-1
-1
-1
-1
2
-2
-2
-3
1
1
-2
1
2
2
-2
-1
1
-1
0
2
2
0
0
3
-1
6
0
2
-2
0
0
2
-1
2
0
-1
2
-1
-1
0
2
2
0
-2
-2
-2
-2
0
0
2
1
3
2
2
-2
0
0
4
-1
-2
-2
0
0
0
2
0
0
0
0
4
-2
0
1
3
-1
1
1
0
0
-2
-2
1
-2
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
1
1
2
0
-2
2
2
0
0
4
-2
1
0
3
-1
-2
-2
-2
1
0
0
0
3
-2
0
2
0
3
3
3
2
2
1
2
-2
4
2
1
-2
4
-1
2
-2
5
3
3
0
4
-2
2
0
3
-1
0
2
2
-2
0
0
2
-3
3
0
6
3
3
2
2
0
-2
0
1
1
1
1
1
2
-2
2
-3
1
1
-2
1
2
-2
2
-1
1
-1
0
2
2
0
0
3
-1
6
0
2
-2
0
0
2
-1
2
0
-1
2
-1
-1
0
2
2
0
-2
-2
-2
-2
0
0
2
1
3
2
2
2
0
0
4
-1
-2
-2
0
0
0
2
0
0
0
0
4
-2
0
-1
3
-1
1
1
0
0
-2
-2
1
2
47
1
2
1
0
0
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
1
2
2
0
-2
-2
2
0
0
4
-2
1
0
3
-1
-2
-2
2
1
0
0
0
3
1
3
0
0
3
3
3
2
2
1
2
1
6
2
0
0
4
-1
2
2
5
3
3
0
2
2
0
1
3
-1
0
3
5
-2
0
0
4
1
1
0
6
3
3
2
3
1
0
0
-1
-1
-1
-1
1
2
1
2
-2
2
0
0
1
2
-2
-2
-1
1
-1
0
2
2
1
0
3
-1
6
0
2
1
0
0
-1
2
2
0
-1
2
-1
-1
1
3
1
3
-2
-2
-2
-1
0
0
2
1
2
2
6
2
0
0
4
-1
-2
-2
0
0
0
0
2
-2
0
0
4
-2
2
-2
5
-2
0
4
4
1
-2
-2
1
-1
3
1
3
1
0
0
0
0
0
0
1
2
2
2
-2
2
0
0
1
2
1
-1
2
2
0
0
-2
2
0
0
4
-2
2
-2
2
1
4
0
0
2
0
0
0
3
1
3
0
0
1
3
1
1
3
-1
3
1
6
2
0
0
1
1
2
2
2
2
0
0
2
2
0
2
0
0
2
1
5
-2
0
0
4
1
0
0
4
6
0
0
3
1
0
0
1
-1
-1
-1
1
1
-1
1
-2
2
0
0
1
1
-2
-2
2
2
0
0
2
2
1
0
2
2
-2
1
2
1
0
0
-1
2
0
0
-2
-4
0
0
2
-2
1
3
0
0
1
3
0
0
3
-1
2
-2
6
2
0
0
1
1
2
2
2
-2
0
0
2
-2
0
2
4
1
2
2
5
-2
1
3
4
1
-1
5
4
6
2
-2
3
1
0
0
1
-1
0
0
1
1
-2
2
-2
2
0
0
1
1
2
2
-2
2
0
0
-2
2
0
0
0
2
-2
-2
2
1
5
-1
-1
2
3
1
-2
-4