Урок 4: Перечисление элементов множеств и формула включения-исключения

Урок 4
Перечисление элементов множеств с помощью
организованного перебора и правила умножения.
Формула включения-исключения
На этом уроке мы изучим ещё один способ изображения множеств, который пригодится вам
на уроках алгебры.
Цели урока
Образовательные: познакомить учащихся с новыми для них понятиями.
Развивающие: научить решать задачи с помощью формулы включения-исключения.
Воспитательные: научить использовать знания на практике.
Оснащение урока: универсальные средства ИКТ (компьютер, проектор, экран,
мультимедийная презентация, платформа «Сириус.Курсы»).
Количество элементов множества обозначается |𝐴|.
ЗАДАНИЕ 1
Сравните задачи и решите их.
а) Множество А содержит 15 элементов, а множество В — 12. Их пересечение пусто. Сколько
элементов содержит их объединение?
б) |𝐴| = 15, |𝐵| = 12, 𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, |𝐴 ∪ 𝐵| = ?
Ответ: 27.
ЗАДАНИЕ 2
|𝐴| = 10, |𝐵| = 23, 𝐴 ⊂ 𝐵. Найдите:
а)|𝐴 ∪ 𝐵|;
б)|𝐴 ∩ 𝐵| .
Ответ: а) 23; б) 10.
Если учащимся сложно воспринимать формальный язык, нужно переформулировать условия
простым языком, а также обязательно рисовать диаграммы Эйлера к каждой задаче.
ЗАДАНИЕ 3
Выпишите в тетрадь первые 20 натуральных чисел и ответьте на вопросы.
а) Сколько из них делятся (здесь и далее: делятся — делятся нацело) на 2?
б) Сколько из них делятся на 3?
в) Сколько из них делятся на 2 или 3?
г) Можно ли посчитать пункт в через пункты а и б?
Ответ: а) 10; б) 6; в) 13; г) Нет.
г) Не страшно, если учащиеся не придут к правильному ответу. Требуется, чтобы они поняли,
в чём проблема.
1
ЗАДАНИЕ 4
Рассмотрим первые 100 натуральных чисел. Пусть множество 𝐴 — числа, которые делятся на 2,
𝐵 — числа, которые делятся на 3.
Нарисуйте диаграмму Эйлера для этой задачи и ответьте на вопросы.
а) Чему равны |𝐴|, |𝐵|?
б) Какие числа принадлежат множеству 𝐴 ∩ 𝐵? Чему равна |𝐴 ∩ 𝐵|?
в) Чему равна |𝐴 ∪ 𝐵|?
г) Как выразить |𝐴 ∪ 𝐵| через |𝐴|, |𝐵| и |𝐴 ∩ 𝐵|?
Ответ:
а) |𝐴| = 50, |𝐵| = 33; б) Числа, которые делятся на 6; |𝐴 ∩ 𝐵| = 16;
в) |𝐴 ∪ 𝐵| = 67; г) 50 + 33 − 16 = 67.
Формула включения-исключения в общем виде позволяет посчитать количество элементов
объединения конечного числа конечных множеств через их количества элементов, а также через
количество элементов их пересечений.
Для двух множеств:
|𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|.
Для трёх множеств:
|𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| = |𝐴| + |𝐵| + |𝐶| − |𝐴 ∩ 𝐵| − |𝐵 ∩ 𝐶| − |𝐶 ∩ 𝐴| + |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|.
Нарисуйте диаграмму Эйлера для трёх пересекающихся множеств 𝐴,
𝐵 и 𝐶 и закрасьте на ней 𝐵 ∩ 𝐶.
Здесь надо аккуратно пройтись по формуле включенияисключения в терминах какие элементы посчитаны и сколько раз.
Ко всем следующим задачам обязательно рисовать диаграмму Эйлера.
ЗАДАНИЕ 5
а) Среди 15 восьмиклассников у 8 есть собаки, у 9 есть кошки. У скольких восьмиклассников есть
и кошка, и собака?
б) В классе 24 человека. У 9 из них нет домашних животных. У 8 есть собаки, а у 9 — кошки.
У скольких учеников есть и кошка, и собака?
Ответ: а) 8 + 9 − 15 = 2; б) 8 + 9 − (24 − 9) = 2.
ЗАДАНИЕ 6
Вася и Петя читали книги из списка литературы на лето, в котором было 30 книг. Вася всего
прочёл 9 книг. А Петя — 15 книг. При этом 5 книг они прочли оба.
а) Сколько всего книг они прочли на двоих из списка?
б) Сколько книг не прочитал никто из них?
Ответ: а) 9 + 15 − 5 = 19; б) 30 − 19 = 11.
2
ЗАДАНИЕ 7
В классе учатся 28 человек. 13 из них отдыхали летом на даче, а 7 — на море, 10 человек никуда
не ездили, а отдыхали дома за компьютером. Сколько детей отдыхали только в одном месте,
но не дома?
Ответ: 13 + 7 − (28 − 10) = 2 (пересечение); 18 − 2 = 16 (объединение без пересечения).
ЗАДАНИЕ 8
На контрольной работе 30 восьмиклассникам было предложено 3 задачи. Каждый решил хотя бы
одну задачу. Первую задачу решили 20 человек, вторую — 15, а третью — 7 человек. Если никто
не решил все три задачи, то сколько человек справилось с двумя?
Ответ: 20 + 15 + 7 − 30 = 12.
ЗАДАНИЕ 9
В чате классе, в котором учится 20 детей, провели анонимный опрос: какой предмет
математического цикла (алгебра, геометрия или теория вероятностей) учащимся нравится
больше всего. Можно было выбрать несколько предметов. Результаты опроса были таковы:
12 человек выбрали алгебру, 14 — геометрию, 15 — теорию вероятностей. Каково минимальное
число детей, которые выбрали все три предмета?
Ответ: 20 − (20 − 12) − (20 − 14) − (20 − 15) = 1.
Задачи для самостоятельного решения
ЗАДАНИЕ 10
Запишите формулу включения-исключения для четырёх множеств.
Ответ: Сумма мощностей множеств — двойные пересечения (их 6) + тройные пересечения (их 4)
четверное пересечение.
ЗАДАНИЕ 11
Сколько чисел среди первой тысячи не делятся ни на 2, ни на 3, ни на 5?
Ответ: 1000 − (500 + 333 + 200 − 166 − 100 − 66 + 33) = 266.
3