Контрольная работа по теории вероятностей и математической статистике

Министерство цифрового развития, связи и
массовых коммуникаций Российской Федерации
Сибирский государственный университет телекоммуникаций и
информатики
Контрольная работа
по дисциплине: Теория вероятностей и математическая статистика
Выполнил: Меньшиков Александр
Юрьевич
Группа: ДПО-52
Вариант: № 3
Проверил: Храмова Татьяна
Викторовна
Новосибирск, 2026
Задание 1. Комбинаторика
Сколько 5-ти буквенных слов можно составить из букв слова ФУРАЖ?
Решение. Переставить буквы в слове можно 5! способами (формула
перестановок из n элементов: Pn = n!).
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
Ответ: 120.
Задание 2. Основные теоремы
Изделие, изготовленное первым станком-автоматом, является бракованным с
вероятностью 0,01, для второго станка эта вероятность 0,03. Четверть всех
изделий изготовлена первым станком, остальные – вторым. Найти
вероятность брака произвольно взятого изделия.
Решение. Используем формулу полной вероятности события.
Событие A – брак изделия, P(A) – вероятность брака изделия.
Событие B1 – изделие 1-го станка, P(B1) – вероятность того, что изделие
изготовлено на 1-ом станке.
Событие B2 – изделие 2-го станка, P(B2) – вероятность того, что изделие
изготовлено на 2-ом станке.
A|B1 – изделие 1-го станка бракованное, P(A|B1) – вероятность брака при
условии, что изделие изготовлено на 1-ом станке.
A|B2 – изделие 2-го станка бракованное, P(A|B2) – вероятность брака при
условии, что изделие изготовлено на 2-ом станке.
P(B1) =
1
4
= 0,25;
P(A|B1) = 0,01;
P(B2) =
3
4
= 0,75;
P(A|B2) = 0,03.
По формуле полной вероятности:
P(A) = P(B1) P(A|B1) + P(B2) P(A|B2) = 0,25*0,01 + 0,75*0,03 = 0,025
Ответ: 0,025.
Задание 3. Случайные величины
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое
отклонение дискретной случайной величины, заданной рядом распределения
ξ -1 0
1
2
𝜌 0,4 0,2 0,3 0,1
Решение.
Запишем формулу для вычисления мат. ожидания и подставим в неё данные
задачи:
M(ξ) = ∑𝑖 𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑖 = -1 * 0,4 + 0*0,2 + 1*0,3 + 2*0,4 = 0,1
Запишем формулу для вычисления дисперсии и подставим в неё данные
задачи:
D(ξ) = ∑𝑖 𝑥𝑖2 ∙ 𝑝𝑖 – M2(ξ) = (-1)2 * 0,4 + 02 *0,2 + 12*0,3 + 22 *0,4 - 0,12 = 0,4 +
0+ 0,3+0,4 – 0,01 = 1,1 – 0,01 = 1,09
Среднеквадратичное отклонение вычисляется по формуле:
𝜎(𝜉) = √D(ξ) = √1,09 = 1,04
Ответ: M(ξ) = 0,1; D(ξ) = 1,09; 𝜎(𝜉) = 1,04.
Задача 4. Нормально распределение С.В.
Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a =
8, 𝜎 = 1. Найдите вероятность того, что случайная величина принимает
значения из интервала [7 ; 11].
Решение. Вероятность попадания нормально распределённой величины в
интервал вычисляется по формуле
𝑘 −𝑎
P( k1 < x < k2) = Ф0 ( 2
𝜎
𝑘 −𝑎
) - Ф0 ( 1
𝜎
) , где Ф0 – функция Лапласа.
Согласно условиям задачи, имеем:
𝑘2 −𝑎
𝜎
𝑘1 −𝑎
𝜎
=
=
11−8
1
7−8
1
= 3, по таблице находим значение Ф0(3) = 0,49865.
= -1, с учётом того, что функция Лапласа нечётная, то
Ф0(-x) = - Ф0(x)
Ф0(-1) = - 0,3413.
Подставим полученные значения в формулу:
P( 7 < x < 11) = Ф0 (3) - Ф0 (−1) = 0,49865+ 0,3413 = 0,83995
Ответ: 0,83995.