Теория риска для актуариев в задачах

ТЕОРИЯ РИСКА
для актуариев
в задачах
Г.И. Фалин
кафедра теории вероятностей
механико-математический факультет
МГУ им.М.В.Ломоносова
А.И. Фалин
кафедра общей математики
факультет вычислительной математики
и кибернетики
МГУ им.М.В.Ломоносова
Издание второе, исправленное и дополненное
Рекомендовано учебно-методическим советом по прикладной
математике и информатике УМО по классическому университетскому
образованию для студентов высших учебных заведений, обучающихся
по специальности 010200 ”Прикладная математика и информатика” и
по направлению 510200 ”Прикладная математика и информатика”
Москва 2004
Рецензенты:
доктор физ.-мат. наук, профессор А.А.Васин (факультет вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова),
кандидат экономических наук, доцент И.Б.Котлобовский (экономический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова).
Фалин Г.И., Фалин А.И.
Теория риска для актуариев в задачах. – М.: Мир, ”Научный
мир”, 2004. – 240 с., ил.
ISBN 5-03-003607-5 (”Мир”)
ISBN 5-589176-286-2 (”Научный мир”)
С помощью большого числа специально подобранных задач, для которых приведены подробные решения, излагаются основные понятия и идеи
теории оценки рисков в деятельности страховых компаний (модели индивидуальных потерь, наступления страховых случаев, индивидуального и коллективного риска, разорения и перестрахования). Основу книги составляют
задачи по теории риска, предлагавшиеся в последние годы на квалификационных экзаменах Общества актуариев (США). Для понимания материала
читателю достаточно владеть основами математического анализа и теории
вероятностей.
Для студентов экономико-математических специальностей, изучающих
актуарную математику, а также для работников страховых компаний, пенсионных фондов, банков.
c
Г.И.Фалин,
А.И.Фалин 2002
Предисловие
Договоры страхования заключаются для того, чтобы избавиться от финансовых потерь, связанных с неопределенностью наступления тех или иных
случайных событий. До заключения договора страхования страхователь
имел некоторый риск, который мог привести к случайным потерям X (а
мог и не привести к ним). После заключения договора страхования, заплатив некоторую (в простейших случаях неслучайную) сумму p страхователь
избавился от этого риска. Иными словами, страхователь идет на небольшие расходы с тем, чтобы избавиться от случайных потерь, которые хоть и
маловероятны, но могут быть катастрофически большими для него. Однако, сам риск не исчез – его приняла на себя страховая компания. Поэтому
финансовый риск и связанная с ним опасность разорения объективно присутствуют в деятельности любой страховой компании. Оценка этого риска
представляет фундаментальный интерес для компании и служат основой
для принятия важнейших решений.
Проблема обеспечения финансовой устойчивости страховой компании
является комплексной; ее изучение и решение предполагает усилия специалистов в разных областях, прежде всего руководства компании, юристов,
экономистов. Однако многие важные задачи носят чисто математический
характер. В рамках специальной математической теории – теории риска,
разработана система понятий, моделей и методов, которые позволяют количественно оценивать финансовые риски в деятельности страховой компании. Имея в виду присутствие факторов случайности, общематематической
базой для теории риска служат теория вероятностей и математическая статистика. Соответственно, читателю достаточно владеть основами этих разделов математики в объеме обычных курсов высшей школы.
Теория риска традиционно входит в программу подготовки и аттестации актуариев. Скажем, в старой аттестационной программе Общества актуариев США (The Society of Actuaries) (которая действовала до 2000 г.)
был специальный экзамен по теории риска (экзамен 151). В новой аттестационной программе (действующей с 2000 г.) вопросы по теории риска
включены в курс/экзамен 1 ("Математические основы актуарной науки"),
в курс/экзамен 3 ("Актуарные модели") и в курс/экзамен 4 ("Построение
актуарных моделей").
Следует отметить, что Общество актуариев рассматривает теорию риска
как инструмент для решения реальных задач страхового бизнеса, а не как
4
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
чисто математическую теорию, навеянную задачами страхования. Задачи
квалификационных экзаменов имеют ярко выраженную практическую направленность и позволяют получить определенное представление не только
об актуарных расчетах, но и о разработке страховых продуктов, андеррайтинге и т.д.
Основу книги составили задачи по актуарной математике квалификационных экзаменов Общества актуариев, а также оригинальные задачи авторов. Некоторые задачи взяты из зарубежных и отечественных учебников и
монографий по актуарной математике. При этом некоторые условия были
уточнены и их формулировки отредактированы.
В теории риска (как и в других разделах актуарной математики и, более
широко, современных разделах экономики) нет общепринятой терминологии на русском языке. Чтобы избежать недоразумений, при первом употреблении термина мы обычно приводим его английский вариант (хотя полной
стандартизации нет и в англоязычной литературе).
Первое издание книги было выпущено небольшим тиражом факультетом вычислительной математики и кибернетики МГУ им.М.В.Ломоносова
для использования в учебном процессе на тех факультетах, где имеется
программа подготовки актуариев (кроме факультета ВМиК, это – механико-математический и экономический факультеты). Настоящее издание
дополнено большим количеством новых задач.
Мы признательны заместителю декана факультета ВМК МГУ Б.М.Щедрину за помощь в подготовке первого издания и сотрудникам издательства
"Мир"за кропотливую работу по подготовке второго издания.
Книга может использоваться в учебном процессе не только как сборник задач, дополняющий общий теоретический курс теории риска, но и как
основа самостоятельного курса для студентов экономико-математических
специальностей, интересующихся актуарной математикой. Она также будет полезна работникам страховых компаний, пенсионных фондов, банков. Большое число дополнительных учебных материалов по теории риска можно найти на учебно-методическом сайте профессора Г.И.Фалина:
http://mech.math.msu.su/∼ falin.
Мы были бы признательны читателям за советы и пожелания по поводу
книги, которые просим направлять по адресу:
119991 Москва, МГУ, механико-математический факультет, кафедра теории вероятностей, проф.Г.И.Фалину.
д.ф.м.н., проф. Г.И.Фалин
к.ф.м.н., доцент А.И.Фалин
30 сентября 2002 г.
Глава 1
Модели индивидуальных
потерь
Элементарной составляющей финансового риска страховой компании являются выплаты (потери, убытки) по индивидуальному договору. В ряде случаев
(например, при страховании жизни) в рамках договора страхования может произойти только один страховой случай. В других примерах (скажем, при страховании автомобилей) за время действия одного договора может произойти
несколько страховых случаев. Поэтому теория риска начинается с построения
моделей для индивидуальных убытков. В рамках теории риска интересуются только величиной индивидуального убытка X, измеренной в тех или иных
денежных единицах. Основным является следующий вывод.
Относительно величины убытка, связанного с отдельным конкретным договором, нельзя сказать ничего опpеделенного (кроме простой констатации
факта, что он либо будет, либо нет). Однако, если мы имеем дело с большой
одноpодной гpуппой договоров и не интеpесуемся судьбой конкретных договоров из этой гpуппы, то мы находимся в pамках теоpии веpоятностей как науки о
массовых случайных явлениях, обладающих свойством устойчивости частот.
Соответственно, мы можем говоpить о величине потерь X как о случайной
величине.
Случайные величины, моделирующие размер индивидуальных потерь, не
являются совершенно произвольными, а имеют определенные свойства. В ходе
развития актуарной математики были выделены основные типы этих случайных величин и основные операции над ними, которые представляют интерес
для моделирования конкретных ситуаций, встречающихся в страховом деле.
Эти вопросы и рассматриваются в настоящей главе.
В теории риска принято определенным образом структурировать случайную величину X, описывающую индивидуальные потери. Во многих случаях
5
6
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
естественно записать величину X в виде произведения
X = I · Y,
(1.1)
где случайная величина I равна 1 или 0 в соответствии с тем, был или нет
страховой случай, а величина Y описывает размер страхового возмещения
после наступления страхового случая.
Если с одним договором за время его действия может быть связано несколько страховых случаев, то величину X естественно записать в виде суммы
X = Y1 + Y2 + ... + Yν ,
(1.2)
где случайная величина ν описывает число страховых случаев, которые произошли за время действия договора, а случайные величины Yi описывают
величины страховых возмещений после этих случаев.
0
Если принять обычное соглашение о том, что
i=1 Yi = 0, то модель
(1.1) является частным случаем модели (1.2). Отметим, что модель (1.2) в
математическом плане идентична модели коллективного риска для суммарных
потерь страховой компании за определенный период. Поэтому мы поместили
соответствующие задачи в главу 4; см., например, задачу 4.23.
Описание индивидуальных потерь с помощью моделей (1.1), (1.2) (и подобных им) удобно тем, что позволяет разделить влияние разных факторов на
величину потерь по отдельному договору. Как правило, на частоту наступления
страховых случаев, q = P (I = 1) , влияют одни факторы, а на величину страхового возмещения, описываемого переменной Y, совсем другие. В качестве
примера рассмотрим страхование автомобиля от повреждения при дорожнотранспортном происшествии. Ясно, что вероятность попасть в аварию зависит
прежде всего от возраста застрахованного; она велика для молодых людей
(по причине лихачества) и для пожилых людей (из-за замедленной реакции).
Однако величина расходов на ремонт автомобиля после аварии не зависит от
возраста; она связана с маркой автомобиля. В западной актуарной литературе
для среднего размера страхового возмещения после наступления страхового
случая, m = EY , используется термин mean severity (средняя тяжесть или
средний размер) или просто severity (тяжесть, размер).
Величина EX = P (I = 1)·EY = qm описывает ожидаемые потери по договору страхования. Поэтому при назначении платы за страховое покрытие (ее
называют премией) страховая компания прежде всего принимает в расчет эту
сумму. Эта составляющая премии называется нетто-премией (net premium)
или чистой премией (pure premium). Полная премия включает расходы на
ведение дела, прибыль страховщика и т.д. В некоторых случаях нетто-премия
составляет лишь 10% от общей премии.
В простейших схемах страхования индивидуальный убыток X принимает
конечное число дискретных значений
b0 = 0, b1 , . . . , bn .
Как мы знаем из общего курса теории вероятностей, стохастическая природа
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
7
дискретной случайной величины X описывается распределением вероятностей, т.е. набором вероятностей
p0 = P (X = b0 ), . . . , pn = P (X = bn )
возможных значений
b0 , b1 , . . . , bn .
Величина индивидуальных потерь X не может иметь непрерывное распределение, так как всегда имеется положительная вероятность того, что потери
равны 0 (например, если страховой случай по договору вообще не наступил);
более того, эта вероятность очень близка к 1. Однако величину страхового
возмещения Y в представлении X = I · Y часто естественно моделировать
с помощью непрерывных случайных величин. Как мы знаем из общего курса
теории вероятностей, стохастическая природа непрерывной случайной величины Y описывается функцией распределения
F (x) = P (Y < x)
или плотностью
f (x) = F (x).
Поскольку в приложениях к страхованию величина Y положительна, то и функция распределения F (x), и плотность f (x) тождественно равны 0 для отрицательных значений x. Поэтому ниже мы будем предполагать, что всегда x ≥ 0.
Для приложений важны такие макрохарактеристики индивидуальных по(EX)2 ,
терь X, как среднее значение mX = EX, дисперсия V arX = EX 2 − √
среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение) σX = V arX,
коэффициент вариации cX = σX /mX , коэффициент асимметрии γ1 =
E(X−mX )3
.
c3X
В соответствии с общими формулами теории вероятностей, для дискретной
случайной величины X с распределением
p0 = P (X = b0 ), . . . , pn = P (X = bn )
мы имеем:
EX
EX 2
=
=
n
i=0
n
bi pi ,
b2i pi .
i=0
Для непрерывной случайной величины Y с функцией распределения F (x) =
P (Y < x) и плотностью f (x) = F (x) в соответствии с общими формулами
теории вероятностей мы имеем:
∞
∞
xdF (x) =
xf (x)dx,
EY =
0
0
∞
∞
EY 2 =
x2 dF (x) =
x2 f (x)dx.
0
0
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
8
Задача 1.1 ([14]) Найдите коэффициент вариации выплат по договору
страхования жизни на один год. Страховая сумма b = 100 000 руб., вероятность смерти застрахованного в течение года q = 0.0025.
Решение задачи Пусть случайная величина X описывает выплаты по
договору. Тогда
EX = b · q = 105 · 25 · 10−4 = 250 (руб.),
а
V arX = b2 · (1 − q) · q = 1010 · (1 − 25 · 10−4 ) · 25 · 10−4 ≈ 25 · 106 ,
так что среднее квадратичное отклонение
√
σX = V arX ≈ 5 000 (руб.),
а коэффициент вариации
cX = σX /EX ≈ 5 000/250 = 20.
2
Задача 1.2 ([14]) Подсчитайте среднее значение и коэффициент вариации выплат по договору страхования жизни на один год с зависимостью страховой суммы от причины смерти. Страховая сумма при смерти от несчастного случая b1 = 500 000 руб., а при смерти от "естественных"причин b2 = 100 000 руб. Вероятность смерти в течение года
от несчастного случая q (1) = 0.0005, а вероятность смерти в течение
года от "естественных"причин q (2) = 0.0020.
Решение задачи Пусть случайная величина X описывает выплаты по
договору. Тогда
EX = b1 · q (1) + b2 · q (2) = 450 (руб.),
а
V arX
=
≈
b21 · q (1) + b22 · q (2) − (EX)2
145 · 106 ,
так что среднее квадратичное отклонение
√
σX = V arX ≈ 12 042 (руб.),
а коэффициент вариации
cX = σX /mX ≈ 26.76.
2
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
9
Таблица 1.1:
Размер
страхового
возмещения
Вероятность
20
30
40
50
60
70
80
0.15
0.10
0.05
0.20
0.10
0.10
0.30
Задача 1.3 ([21]) Распределение размера страхового возмещения для договоров страхования автомобилей задается таблицей 1.1.
Какова доля страховых возмещений, которые отличаются от своего
среднего значения меньше, чем на одно стандартное отклонение? 1
(A) 45%
(B) 55%
(C) 68%
(D) 85%
(E) 100%
Решение задачи Пусть Y – размер страхового возмещения. Тогда
EY
= 20 · 0.15 + 30 · 0.10 + 40 · 0.05 + 50 · 0.20
+ 60 · 0.10 + 70 · 0.10 + 80 · 0.30 = 55,
EY 2
= 202 · 0.15 + 302 · 0.10 + 402 · 0.05 + 502 · 0.20
+ 602 · 0.10 + 702 · 0.10 + 802 · 0.30 = 3500,
V arY
= EY 2 − (EY )2 = 475,
√
≡
V arY = 21.794 . . .
σY
Нас интересует вероятность события {|Y − EY | < σY }. Это событие равносильно тому, что {33.205 · · · < Y < 76.794 . . . }, и поэтому его вероятность
равна
P (Y = 40) + P (Y = 50) + P (Y = 60) + P (Y = 70) = 0.45.
Следовательно, верным является вариант (A). 2
1 В этой и подобных задачах требуется установить, какой из предложенных вариантов
ответов (A,B,C,D или E) является правильным.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
10
Задача 1.4 Величина индивидуального убытка X по договору за некоторый период времени представима в виде:
X = IY,
где I – индикатор события "произошел страховой случай", а Y описывает
величину ущерба вследствие страхового случая.
Известно, что
1. нетто-премия равна 2,
2. дисперсия случайной величины Y равна 16,
3. дисперсия случайной величины X равна 30.
Определите вероятность наступления страхового случая и средний размер страхового возмещения.
Решение задачи Пусть q = P (I = 1) – вероятность наступления
страхового случая. m = EY – средний размер страхового возмещения. По
формуле полного математического ожидания:
EX
EX 2
так что
=
=
=
=
P (I = 0) · E(X|I = 0) + P (I = 1) · E(X|I = 1)
0 + P (I = 1) · E(Y |I = 1) = P (I = 1) · E(Y ) = qm,
P (I = 0) · E(X 2 |I = 0) + P (I = 1) · E(X 2 |I = 1)
0 + P (I = 1) · E(Y 2 ) = qE(Y 2 ),
V arX = EX 2 − (EX)2 = qV arY + q(1 − q)m2 .
Решая систему уравнений
⎧
qm
⎨
qV arY + q(1 − q)m2
⎩
V arY
=
2,
=
30,
= 16,
мы получим для q квадратное уравнение
8q 2 − 17q + 2 = 0.
Это уравнение имеет два корня: q = 2 и q = 1/8. Поскольку q – вероятность,
значением вероятности наступления страхового случая будет 1/8. Соответственно, средний размер страхового возмещения равен m = 16. 2
Задача 1.5 ([20]) Распределение размера потерь для договора страхования склада от пожаров задается таблицей 1.2.
Подсчитайте средний размер страхового возмещения после пожара.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
11
Таблица 1.2:
Размер
потерь
Вероятность
0
500
1 000
10 000
50 000
100 000
0.900
0.060
0.030
0.008
0.001
0.001
(A) 290
(B) 322
(C) 1 704
(D) 2 900
(E) 32 222
Решение задачи Пусть I – индикатор события "на складе произошел
пожар", Y – размер страхового возмещения после пожара, X = I · Y – размер потерь по договору. Распределение случайной величины X приведено
в таблице 1.2, а среднее значение величины Y нам нужно найти.
Прежде всего отметим связь между распределениями этих случайных
величин:
P (I = 0),
если n = 0,
P (X = n) =
P (I = 1) · P (Y = n), если n > 0.
Действительно, потери по договору равны 0, если только не было пожара.
Иначе говоря, события {X = 0} и {I = 0} совпадают. Соответственно,
равны и их вероятности. Если n > 0, то по договору производится выплата
в размере n, если на складе произошел пожар и страховое возмещение после
пожара в точности равно n. Иначе говоря, события {X = n} и {I = 1, Y = n}
совпадают. Соответственно, равны и их вероятности: P (X = n) = P (I =
1, Y = n). Поэтому, P (X = n) = P (I = 1) · P (Y = n|I = 1) = P (I =
1) · P (Y = n).
Отсюда следует, что
EX = P (I = 1) · EY,
или, что то же самое,
EY =
EX
.
P (I = 1)
12
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Вероятность пожара P (I = 1) может быть непосредственно найдена из первой строки таблицы 1.2:
P (I = 1) = 1 − P (I = 0) = 1 − P (X = 0) = 0.1.
Среднее значение потерь по договору, EX, без труда подсчитывается по
стандартной формуле для среднего значения дискретной случайной величины:
n · P (X = n)
EX =
n
= 500 · 0.060 + 1 000 · 0.030 + 10 000 · 0.008
+ 50 000 · 0.001 + 100 000 · 0.001
= 30 + 30 + 80 + 50 + 100 = 290.
Поэтому EY = 290/0.1 = 2 900, так что верным является вариант (D). 2
Задача 1.6 ([14]) Предположим, что вероятность пожара на застрахованном объекте стоимостью 6 млн. руб. равна q = 10−4 . В случае пожара
ущерб Y равномерно распределен от нуля до полной стоимости объекта.
Подсчитайте среднеее значение и дисперсию потерь по договору X.
Решение задачи Случайная величина Y имеет равномерное распределение на отрезке [a, b], если ее плотность f (x) постоянна на этом отрезке
(и равна нулю вне этого отрезка): 2
1
если a < x < b,
b−a ,
f (x) =
0,
если x < a или x > b.
Поэтому для среднего значения случайной величины Y имеем:
b
∞
x
dx
xf (x)dx =
EY =
0
a b−a
b
=
x2
b+a
b2 − a2
=
.
=
2(b − a) a
2(b − a)
2
В рассматриваемом случае a = 0, b = M , где M – максимальная стоимость
объекта, и мы получим более простую формулу:
EY =
M
.
2
Подставляя числовые значения параметров, мы имеем:
EY =
6000000
= 3 · 106 руб..
2
2 Плотность f (x) может быть произвольно определена в точках a и b, где функция
распределения случайной величины Y не дифференцируема.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
13
Аналогично,
EY
2
b
b
=
x2
x3
dx =
3(b − a) a
a b−a
=
b2 + ab + a2
b3 − a3
=
,
3(b − a)
3
так что
EY 2 − (EY )2
b2 + ab + a2
b2 + 2ab + a2
=
−
3
4
b2 − 2ab + a2
(b − a)2
=
=
.
12
12
В случае a = 0, b = M мы получим более простые формулы:
V arY
=
M2
,
3
M2
.
V arY =
12
Подставляя числовые значения параметров, мы имеем:
EY 2
=
36 · 1012
= 3 · 1012 .
12
Далее, так как X = I · Y, где I – индикатор события "произошел пожар",
по формуле полного математического ожидания мы имеем:
V arY =
EX
= P (I = 0) · E(X|I = 0) + P (I = 1) · E(X|I = 1)
b+a
= 0 + P (I = 1) · E(Y |I = 1) = qEY = q
.
2
Аналогично,
EX 2
= P (I = 0) · E(X 2 |I = 0) + P (I = 1) · E(X 2 |I = 1)
= 0 + P (I = 1) · E(Y 2 |I = 1) = qE(Y 2 )
b2 + ab + a2
= q
,
3
так что
V arX = qE(Y 2 ) − (qEY )2 = q · V arY + q(1 − q) · (EY )2 .
В случае a = 0, b = M мы получим более простые формулы:
EX
=
EX 2
=
V arX
=
M
,
2
M2
,
q
3
q
q(4 − 3q)
M2
.
12
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
14
Подставляя числовые значения параметров, мы имеем:
EX
=
3 · 106 · 10−4 = 3 · 102 = 300 руб.,
V arX
≈
12 · 108 .
Соответственно, для среднего квадратического отконения σX и коэффициента вариации cX имеем:
√
σX =
V arX ≈ 3.46 · 104 руб.,
cX = σX /EX ≈ 115.
2
Нормальное,
попадание в
интервал
Задача 1.7 ([11]) Статистический анализ данных о размерах страховых
возмещений по некоторому портфелю договоров показал, что если Y –
размер страхового возмещения, то величина Z = ln Y имеет нормальное
распределение со средним 6.012 и дисперсией 1.792. 3
Подсчитайте вероятность того, что страховое возмещение превышает 200, но меньше, чем 500.
Решение задачи Искомая вероятность P = P (200 < Y < 500) может
быть записана в виде:
P = P (200 < eZ < 500) = P (ln 200 < Z < ln 500).
Центрируя и нормируя гауссовскую величину Z, мы имеем (ниже ζ – стандартная гауссовская величина):
P
ln 200 − EZ
Z − EZ
ln 500 − EZ
√
< √
< √
V arZ
V arZ
V arZ
ln 200 − 6.012
ln 500 − 6.012
√
√
= P
<ζ<
1.792
1.792
ln 500 − 6.012
ln 200 − 6.012
√
√
= Φ
−Φ
1.792
1.792
≈ Φ(0.151) − Φ(−0.533).
=
P
Здесь, как обычно,
1
Φ(x) = √
2π
x
2
e−t /2 dt
−∞
– функция распределения стандартной гауссовской величины.
3 Такое распределение индивидуальных потерь называется логарифмически нормальным (или лог-нормальным).
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
15
Значения функции Φ(x) могут быть найдены в таблицах, приведенных
в конце большинства учебников по теории вероятностей, или подсчитаны с
помощью Microsoft Excel, функция НОРМСТРАСП(x):
Φ(0.151)
= НОРМСТРАСП(0.151) ≈ 0.560,
Φ(−0.533)
= НОРМСТРАСП(-0.533) ≈ 0.297,
так что P ≈ 0.262.
Отметим, что Microsoft Excel, функция
ЛОГНОРМРАСП(x; a; σ),
позволяет сразу найти значение лог-нормальной функции распределения со
средним a и стандартным отклонением σ в произвольной точке x. Поэтому
искомую вероятность можно подсчитать, набрав в строке формул
ЛОГНОРМРАСП(500; 6.012; КОРЕНЬ(1.792))
−ЛОГНОРМРАСП(200; 6.012; КОРЕНЬ(1.792))
2
Задача 1.8 ([21]) Ежемесячные выплаты страховой компании моделируются как непрерывная положительная случайная величина X с плотностью, пропорциональной (1 + x)−4 (при x > 0).
Определите средние выплаты компании за один месяц.
(A) 16
(B) 13
(C) 12
(D) 1
(E) 3
Решение задачи Пусть f (x) – плотность случайной величины X. По
условию,
C
, x > 0,
f (x) =
(1 + x)4
где C – некоторая константа.
Интегрируя это равенство по x от 0 до +∞, мы получим слева 1, а справа
+∞
0
+∞
C
C
dx = − (1 + x)−3
(1 + x)4
3
0
=
C
.
3
16
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Следовательно, C = 3 и поэтому
3
, x > 0.
(1 + x)4
f (x) =
Теперь для искомой величины EX мы имеем:
EX
=
=
=
=
=
+∞
0
3
3
xf (x)dx =
+∞
+∞
0
0
x+1−1
dx
(x + 1)4
0
1
dx − 3
(x + 1)3
+∞
−2
3(x + 1)
−2
3x
dx
(1 + x)4
+∞
0
+ (x + 1)−3
1
,
2
1
dx
(x + 1)4
+∞
0
и поэтому верным является вариант (C).
_______________________________________________________________________________________
Распределение с плотностью вида
Парето
f (x) =
α
λ
λ
λ+x
α+1
, 0 < x < +∞,
где λ > 0 и α > 0 – некоторые параметры, называется распределением Парето. Таким образом, случайная величина X имеет распределение Парето
с параметрами λ = 1 и α = 3.
Повторяя только что проведенные выкладки, можно получить следующую общую формулу для произвольного распределения Парето:
EX =
λ
.
α−1
Укажем еще один метод решения нашей задачи. Он основан на следующей формуле для среднего значения непрерывной положительной случайной величины X с плотностью f (x) и функцией распределения F (x):
∞
EX =
(1 − F (x))dx.
0
Эта формула может быть легко получена формальным интегрированием по
частям из обычной формулы
∞
xf (x)dx.
EX =
0
Аккуратное доказательство потребует немного усилий.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
17
Прежде всего отметим, что
+∞
+∞
xf (x)dx ≥ A
f (x)dx = A(1 − F (A)).
A
A
Поскольку EX < ∞, при A → +∞ интеграл в левой части этого неравенства стремится к нулю. Значит,
lim A(1 − F (A)) = 0.
A→+∞
Далее,
A
A
0
xf (x)dx
=
0
A
xdF (x) = −
0
A
xd(1 − F (x))
A
= − x(1 − F (x))|0 +
0
A
= −A(1 − F (A)) +
0
(1 − F (x))dx
(1 − F (x))dx.
Переходя к пределу при A → +∞, мы и получим требуемое равенство. 4
Применим этот результат к нашей задаче. Прежде всего подсчитаем дополнительную функцию распределения ежемесячных потерь:
+∞
+∞
3
F (x) = 1 − F (x) =
f (t)dt =
dt
(1 + t)4
x
x
+∞
−(t + 1)−3 x
=
Теперь
EX
=
+∞
0
= (1 + x)−3 .
(1 − F (x)dx =
+∞
+∞
0
(1 + x)−3 dx
(x + 1)−2
−2
0
1
.
=
2
Отметим следующую общую формулу для дополнительной функции распределения произвольного распределения Парето, которую легко получить
простым повторением только что проведенных выкладок:
=
F (x) =
λ
λ+x
α
.
2
4 Подобным образом можно получить аналогичную формулу для второго момента:
EX 2 = 2
+∞
0
x(1 − F (x))dx.
18
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Задача 1.9 ([24]) Договор группового страхования покрывает медицинские расходы сотрудников небольшой компании. Суммарные годовые выплаты страховщика, V , даются формулой
V = 100 000Y,
где Y – случайная величина с плотностью вида (ниже k – некоторая константа):
k(1 − y)4 , если 0 < y < 1,
fY (y) =
0
в противном случае.
Чему равна вероятность того, что V превысит 40 000, при условии, что
V больше, чем 10 000?
(A) 0.08
(B) 0.13
(C) 0.17
(D) 0.20
(E) 0.51
Решение задачи Прежде всего подсчитаем дополнительную функцию
распределения F Y (y) ≡ 1 − FY (y) случайной величины Y . Ясно, что при
y ≤ 0 F Y (y) ≡ 1, а при y ≥ 1 F Y (y) ≡ 0. При y ∈ (0, 1) мы имеем:
F Y (y) =
1
fY (t)dt =
y
1
k(1 − t)4 dt
y
1
=
k
− (1 − t)5
5
y
=
k
(1 − y)5 .
5
Поскольку F Y (0) = 1, при y = 0 отсюда можно найти значение параметра
k:
k = 5,
так что
F Y (y) =
⎧
⎨
1,
(1 − y)5 ,
⎩
0,
если y ≤ 0,
если y ∈ (0, 1),
если y ≥ 1.
Искомая вероятность P может быть записана как
P (V > 40 000|V > 10 000).
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
19
В терминах случайной величины Y ее можно переписать как P (Y > 0.4|Y >
0.1). Поэтому по определению условной вероятности мы имеем:
P
=
P (Y > 0.4, Y > 0.1)
P (Y > 0.4)
=
P (Y > 0.1)
P (Y > 0.1)
=
(1 − 0.4)5
F Y (0.4)
32
≈ 0.13169,
=
=
5
(1 − 0.1)
243
F Y (0.1)
и поэтому верным является вариант (B). 2
Задача 1.10 ([30]) Ущерб от возможного пожара в магазине моделируется случайной величиной Y с плотностью:
0.005(20 − x), если 0 < x < 20,
fY (x) =
0
в противном случае.
Если ущерб от пожара больше 8, чему равна вероятность того, что ущерб
больше 16?
Решение задачи Как и при решении задачи 1.9, прежде всего подсчитаем дополнительную функцию распределения F Y (x) ≡ 1 − FY (x) случайной величины Y . Ясно, что при x ≤ 0 F Y (x) ≡ 1, а при x ≥ 20 F Y (x) ≡ 0.
При x ∈ (0, 20) мы имеем:
F Y (x)
=
20
fY (t)dt =
20
x
=
0.005 20t −
0.005(20 − t)dt
x
t2
2
20
x
= 0.005 200 − 20x +
x2
2
.
Искомая вероятность P может быть записана как
P (Y > 16|Y > 8).
Поэтому по определению условной вероятности мы имеем:
P
=
P (Y > 16, Y > 8)
P (Y > 16)
=
P (Y > 8)
P (Y > 8)
=
200 − 20 · 16 + 162
F Y (16)
1
=
= .
82
9
F Y (8)
200 − 20 · 8 + 2
2
2
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
20
Задача 1.11 ([24]) Актуарий установил, что размер страхового возмещения для определенного вида несчастных случаев является случайной величиной X с производящей функцией моментов 5
ψX (t) =
1
.
(1 − 2500t)4
Определите среднее квадратичное отклонение для размера страхового возмещения.
(A) 1 340
(B) 5 000
(C) 8 660
(D) 10 000
(E) 11 180
Решение задачи Раскладывая функцию ψX (t) ≡ (1 − 2500t)−4 в ряд
по степеням t, 6 мы получим:
ψX (t)
=
=
=
+∞
−4
(−2500t)n
n
n=0
+∞
(−4) · (−4 − 1) · · · · · (−4 − n + 1)
n!
n=0
+∞
(−2500)n tn
4 · 5 · · · · · (n + 3)
2500n tn .
n!
n=0
Отсюда
EX n = 4 · 5 · · · · · (n + 3) · 2500n .
В частности,
EX
EX 2
= 4 · 2500 = 10 000,
= 4 · 5 · 25002 = 125 000 000.
Поэтому
V arX
=
σX
=
EX 2 − (EX)2 = 25 000 000,
√
V arX = 5 000.
5 Производящая функция моментов случайной величины X, ψ (t), определяется как
X
сумма ряда
+∞
tn
E (X n ) .
n!
n=0
Переставляя сумму и математическое ожидание, мы получим ряд для экспоненты, что
позволяет записать ψX (t) как EetX .
+∞ α n
6 Напомним, что (1 + x)α =
n=0 n x .
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
21
Следовательно, верным является вариант (B). 2
Экспоненциальное
Задача 1.12 ([24]) Время от момента приобретения оборудования до момента его отказа имеет экспоненциальное распределение со средним 10
лет. Владелец оборудования решил застраховать его на случай раннего
отказа. По условиям договора страховая компания выплачивает определенную страховую сумму x в случае отказа в течение первого года эксплуатации, 50% от этой суммы в случае отказа в течение второго или
третьего года эксплуатации и не платит ничего, если оборудование проработает без отказа три года.
Известно, что ожидаемые выплаты страховой компании по этому договору составляют 1000. Найдите размер страховой суммы x.
(A) 3858
(B) 4449
(C) 5382
(D) 5644
(E) 7235
Решение задачи Обозначим через T время до отказа оборудования.
Тот факт, что случайная величина T имеет экспоненциальное распределение означает, что ее плотность имеет вид
f (t) = λe−λt , t ≥ 0,
где λ > 0 – некоторый параметр.
Соответственно, функция распределения случайной величины T дается
формулой:
F (t) = 1 − e−λt , t ≥ 0.
Для среднего значения имеем:
+∞
+∞
ET =
(1 − F (t))dt =
e−λt dt
0
=
0
+∞
1
− e−λt
λ
0
=
1
.
λ
Эта формула для среднего значения экспоненциально распределенной случайной величины может быть получена и с помощью преобразования Лапласа ϕ(s) = Ee−sT ; для экспоненциального распределения:
ϕ(s) =
+∞
0
e−st λe−λt dt =
λ
.
s+λ
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
22
Теперь для ET мы имеем:
ET = −ϕ (0) =
λ
1
= .
(λ + s)2 s=0
λ
Таким образом, параметр λ экспоненциально распределенной случайной величины T имеет простой вероятностный смысл; он равен 1/ET . 7 Следовательно, в рассматриваемом случае λ = 0.1.
Пусть X – выплаты страховщика по договору страхования. Условия договора относительно размера страхового возмещения можно выразить следующим образом:
⎧
если T ≤ 1
⎨ x,
0.5x, если 1 ≤ T ≤ 3
X=
⎩
0,
если T > 3
Поэтому
EX
= x · P (T ≤ 1) + 0.5x · P (1 ≤ T ≤ 3)
= x · 1 − e−λ + 0.5x · e−λ − e−3λ
= 0.5x · 2 − e−λ − e−3λ .
Отсюда для страховой суммы x мы имеем:
x=
2000
2EX
=
≈ 5644.23,
−λ
−3λ
−0.1
2−e −e
2−e
− e−0.3
и поэтому верным является вариант (D). 2
Замечание. Как и равномерное распределение, экспоненциальное распределение позволяет получать простые аналитические формулы при решении различных актуарных задач, и потому часто используется в иллюстративных примерах. Однако, в отличие от равномерного распределения,
экспоненциальное распределение отражает некоторые характерные особенности реальных статистических данных при различных видах страхования.
Именно, экспоненциальная модель означает большое число небольших потерь и возможность хоть и редких, но очень больших убытков.
Вместе с тем следует отметить, что хотя в рамках экспоненциальной
модели теоретически и возможны сколь угодно большие убытки, реально
они почти никогда не наблюдаются. Это связано с тем, что вероятность
ущерба , превышающего среднее значение, скажем, в 10 раз, равна P (T >
10/λ) = e−λ·10/λ ≈ 4.5 · 10−5 , т.е. крайне мала.
Кроме того, для экспоненциально распределенных величин среднее значение равно дисперсии. Это довольно жесткое условие, которое не выполняется для многих видов страхования.
аналогично имеем: ET 2 = λ22 , и поэтому V arT = λ12 .
1
Соответственно, среднее квадратичное отклонение σT = λ
, а коэффициент вариации
cT = 1.
7 Для второго момента ET 2
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
23
Задача 1.13 ([30]) В небольшом приморском городе годовые потери от
штормов, пожаров и хищений имущества являются независимыми экспоненциально распределенными случайными величинами со средними значениями 1, 1.5 и 2.4 соответственно.
Найдите вероятность того, что максимальный из этих ущербов будет больше, чем 3.
Решение задачи Пусть X, Y , Z – годовые потери от штормов, пожаров
и хищений имущества соответственно, U = max(X, Y, Z). Тогда:
P (U > t)
= 1 − P (U ≤ t) = 1 − P (X ≤ t, Y ≤ t, Z ≤ t)
= 1 − P (X ≤ t)P (Y ≤ t)P (Z ≤ t) =
= 1 − 1 − e−at 1 − e−bt 1 − e−ct ,
где
a =
b =
c =
1
= 1,
EX
2
1
= ,
EY
3
5
1
=
.
EZ
12
При t = 3 имеем:
P (U > 3) = 1 − 1 − e−3
1 − e−2
1 − e−5/4 ≈ 0.414.
2
Задача 1.14 ([27]) Размер ущерба (в тысячах долларов), причиненного
жилым домам ураганным ветром, моделируется независимыми случайными величинами с плотностью
3
если x > 1,
x4 ,
f (x) =
0
в противном случае.
Предположим, что было заявлено три таких страховых случая. Чему равно среднее значение наибольшего из них?
Решение задачи Пусть Y1 , Y2 , Y3 – размеры потерь по заявленным
страховым случаям, U = max(Y1 , Y2 , Y3 ). Среднее значение случайной величины U удобно найти с помощью формулы
EU =
+∞
0
P (U > x)dx.
24
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Фигурирующая здесь дополнительная функция распределения P (U > x)
в силу независимости и одинаковой распределенности величин Y1 , Y2 , Y3
имеет вид:
P (U > x) = 1 − P (U ≤ x) = 1 − P (Y1 ≤ x, Y2 ≤ x, Y3 ≤ x)
=
3
1 − P (Y1 ≤ x)P (Y2 ≤ x)P (Y3 ≤ x) = 1 − (F (x)) ,
где F (x) – общая функция распределения величин Y1 , Y2 , Y3 . Функцию F (x)
можно найти через плотность f (x); для x > 1 имеем:
x
x
3
1
1
dt
=
−
= 1 − 3.
F (x) =
4
3
t 1
x
1 t
Поэтому для x > 1
3
1
.
x3
Для x ≤ 1, очевидно, P (U > x) = 1. Следовательно,
+∞
3
3
1
EU = 1 +
− 6 + 9 dx
3
x
x
x
1
P (U > x) = 1 − 1 −
+∞
3
3
1
+ 5− 8
2
2x
5x
8x
1
81
3 3 1
= 2.025,
= 1+ − + =
2 5 8
40
или в абсолютных цифрах, $2025. 2
= 1+
−
Задача 1.15 ([27]) Страховая компания изучает страховые случаи, вызванные торнадо, по договорам страхования ферм.
Пусть X – доля ущерба, связанная с повреждением дома, а Y – доля
ущерба, связанная с повреждением другого имущества. Совместное распределение случайных величин X и Y имет плотность
6[1 − (x + y)], если x > 0, y > 0, x + y < 1,
f (x, y) =
0
в противном случае.
Определите вероятность того, что ущерб, причиненный дому, составляет менее 20% от величины общего ущерба.
Решение задачи Найдем распределение случайной величины X, описывающей долю ущерба, связанную с повреждением дома. Для плотности
имеем (ниже мы предполагаем, что 0 < x < 1):
1−x
+∞
f (x, y)dy =
f (x, y)dy
f (x) =
0
=
=
1−x
0
0
1−x
6(1 − x − y)dy = 6(1 − x)y − 3y 2 0
3(1 − x)2 .
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
25
Теперь можно найти функцию распределения:
x
F (x) =
0
x
f (u)du = −(1 − u)3 0 = 1 − (1 − x)3 .
Искомая вероятность P (X < 0.2) – это F (0.2); она равна 1 − 0.83 = 0.488. 2
_______________________________________________________________________________________________
Начало
второго
занятия
Задача 1.16 Пусть X – суммарная годовая премия, собранная страховой
компанией, а Y – общий размер страховых возмещений, выплаченных в
Y
часто используется в качестве
течение этого года. Отношение r = X
простейшей характеристики успешности ведения страхового бизнеса в
течение данного года.
Допустим, что X и Y являются независимыми случайными величинами, распределенными по экспоненциальному закону со средними 2 и 1
соответственно.
Найдите среднее значение величины r.
Решение задачи Найдем дополнительную функцию распределения
случайной величины r:
P (r > t)
≡
=
Y
>t
X
P
+∞
0
= P (Y > tX)
fX (x)P (Y > tx)dx =
+∞
=
1
2
=
1
.
2t + 1
e−(
t+ 12
0
Поэтому
Er =
+∞
0
+∞
0
1 − x −tx
e 2 e dx
2
+∞
)x dx = − 1 1 e−(t+ 12 )x
2 t + 12
x=0
P (r > t)dt = +∞.
EY
= 0.5, т.е. средний размер страОбратим внимание читателя на то, что EX
ховых возмещений в течение года составляет 50% от среднего объема соY
= +∞. 2
бранных премий за этот год. Тем не менее, оказалось, что E X
Задача 1.17 После того как страховая компания получает уведомление о
пожаре на застрахованном объекте, производится предварительная оценка X величины страхового возмещения. Пусть Y – реальное страховое
возмещение, выплаченное страхователю после окончательного урегулирования страхового случая.
26
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Статистический анализ деятельности компании за предыдущие годы
показал, что совместное распределение случайных величин X и Y имеет
плотность
2x−1
2
y − x−1 , x > 1, y > 1.
f (x, y) = 2
x (x − 1)
Допустим, что известна предварительная оценка величины страхового возмещения X = x. Насколько в среднем отличается реальное страховое возмещение, выплаченное страхователю после окончательного урегулирования страхового случая, от этой оценки?
Решение задачи Искомая величина может быть выражена как E(Y −
X|X = x). Для ее подсчета прежде всего найдем плотность случайной величины X:
+∞
+∞
2x−1
2
y − x−1 dy
f (x, y)dy =
fX (x) =
2
x (x − 1)
1
1
+∞
=
x
2
2
= 3.
− 3 y − x−1
x
x
y=1
Таким образом, X − 1 имеет распределение Парето с параметрами α = 2,
λ = 1.
Теперь мы можем найти плотность условного распределения величины
Y при условии, что X = x:
fx (y) =
2x−1
f (x, y)
x
=
y − x−1 .
fX (x)
x−1
Таким образом, при условии, что X = x, случайная величина Y − 1 имеет
x
, λ = 1.
распределение Парето с параметрами α = x−1
Используя общую формулу для среднего значения распределения Парето, полученную в задаче 1.8, мы имеем:
E(Y − 1|X = x) =
1
= x − 1.
x
x−1 − 1
Соответственно,
E(Y |X = x) = x.
Итак, в среднем реальное страховое возмещение, выплаченное страхователю после окончательного урегулирования страхового случая, не отличается от предварительной оценки.
2
Задача 1.18 ([30]) Договор автомобильного страхования покрывает расходы X по ремонту автомобиля страхователя после аварии. Кроме того,
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
27
Рис. 1.1:
y
6
ry =x+1
2r
1r
Π
ry=x
r0.5
r1
0.5 r
T
r
-x
если виновником аварии является страхователь, то оплачивается и стоимость ремонта Y других поврежденных в результате аварии автомобилей.
Случайная величина X равномерно распределена на промежутке (0, 1),
а при условии, что X = x, случайная величина Y равномерно распределена
на промежутке (x, x + 1).
Допустим, что по вине страхователя произошла авария. Найдите вероятность того, что Y > 0.5.
Решение задачи Плотность совместного распределения случайного
вектора (X, Y ) дается формулой
f (x, y) = f (x) · f (y|x),
где f (x) – плотность распределения величины X, а f (y|x) – плотность распределения величины Y при условии, что X = x (условная плотность).
Поэтому вектор (X, Y ) равномерно распределен на параллелограмме Π =
{(x, y)|0 < x < 1, x < y < x + 1} (см. рис. 1.1).
Событие {Y < 0.5} соответствует попаданию точки (X, Y ) в треугольник T = {(x, y)|0 < x < 0.5, x < y < 0.5}, площадь которого равна 1/8.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
28
Поскольку площадь параллелограмма Π равна 1, P (Y < 0.5) = 1/8, а искомая вероятность P (Y > 0.5) = 7/8.
2
Задача 1.19 ([21]) Для того чтобы покрыть случайные потери Y , распределение которых имеет плотность
⎧ 3 2
⎨ 8 x , если 0 ≤ x ≤ 2б
f (x) =
⎩
0
в противном случае,
был заключен договор страхования.
При наступлении страхового случая с величиной потерь x, 0 ≤ x ≤
2, время его обработки отделом урегулирования убытков (измеренное в
часах) равномерно распределено на интервале (x, 2x).
Подсчитайте вероятность того, что обработка займет не менее трех
часов.
(A) 0.17
(B) 0.25
(C) 0.32
(D) 0.58
(E) 0.83
Решение задачи Пусть T – время обработки. По условию,
⎧
1,
если t ≤ x,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
2 − xt , если x ≤ t ≤ 2x,
P (T ≥ t|Y = x) =
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0,
если t ≥ 2x.
Теперь по формуле полной вероятности мы имеем:
2
P (T ≥ 3) =
P (T ≥ 3|Y = x)f (x)dx
0
=
+
1.5
0
2
1.5
P (T ≥ 3|Y = x)f (x)dx
P (T ≥ 3|Y = x)f (x)dx.
В первом интеграле x ∈ [0, 1.5] и поэтому t = 3 удовлетворяет неравенству
t ≥ 2x. Значит, в первом интеграле
P (T ≥ 3|Y = x) = 0
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
29
и соответственно сам первый интеграл равен 0.
Во втором интеграле x ∈ [1.5, 2] и поэтому t = 3 удовлетворяет неравенству x ≤ t ≤ 2x. Значит, во втором интеграле
P (T ≥ 3|Y = x) = 2 −
3
x
и соответственно сам второй интеграл равен
2
2
9x2
3 3 2
x3
11
x dx =
−
≈ 0.171875.
2−
=
x
8
4
16
64
1.5
1.5
Поэтому верным является вариант (A). 2
Задача 1.20 ([21]) Для того чтобы покрыть потери Y , которые равномерно распределены на отрезке [0, 1000], рассматривается вопрос о заключении договора страхования.
Чтобы уменьшить премию, страховая компания предложила страхователю заключить договор страхования чрезмерных потерь, в соответствии с которым страхователь самостоятельно покрывает потери
вплоть до некоторого предела d, а остаток оплачивает страховщик. Иначе говоря, страховщик оплачивает потери за вычетом суммы d (и не платит ничего, если потери меньше, чем d). 8
На каком уровне нужно установить вычет, чтобы средняя тяжесть
страхового случая снизилась в 4 раза?
Решение задачи Пусть d – вычет, Y(d) – размер страхового возмещения
при наличии вычета:
⎧
0,
если Y ≤ d,
⎨
Y(d) =
⎩
Y − d, если Y > d.
С использованием обозначения a+ = max(a, 0) для величины Y(d) можно
написать более короткую формулу
Y(d) = (Y − d)+ .
Ясно, что d должно быть меньше, чем 1000 (в противном случае страховая
компания вообще не участвовала бы в покрытии потерь). Поэтому среднее
8 Английский термин – excess-of-loss insurance. Иногда такое покрытие называют stoploss insurance – страхование, останавливающее потери. Предел d называют вычетом
(deductible) или простым вычетом (straight deductible). Если сумма вычета достаточно
большая, то обычно используется термин retention – удержание. В случае перестраховочных договоров термин excess-of-loss используется, если предел d применяется к индивидуальным потерям, в то время как термин stop-loss используется, если предел d
применяется к суммарным потерям по какому-то виду бизнеса за определенный промежуток времени. Подробнее по поводу таких покрытий см. [10], пп.1.2, 5.3, и [4], пп. 1.5,
13.5.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
30
значение величины Y(d) может быть подсчитано следующим образом (ниже
fY (x) – плотность случайной величины Y ; она равна 1/1000 на отрезке
[0, 1000] и 0 вне этого отрезка):
EY(d)
=
1000
(x − d)fY (x)dx
d
1000
d
x−d
dx
1000
=
1
1000
x2
− dx
2
=
d2
500 − d +
.
2000
=
1000
d
По условию EY(d) = 0.25EY . Поскольку EY , очевидно, равняется 500, для
нахождения d мы имеем квадратное уравнение:
d2 − 2000d + 750000 = 0.
Это уравнение имеет два корня: d1 = 1500 и d2 = 500. Первый корень не
удовлетворяет отмеченному в начале решения условию d < 1000. Поэтому
искомым значением d является 500. 2
Задача 1.21 ([30]) Компания продает договоры страхования автомобилей на один год с простым вычетом d = 2. Вероятность того, что договор
приведет к страховому случаю, равна q = 0.05 (по одному договору за время его действия возможен только один страховой случай). Размер потерь
после наступления страхового случая, Y , имеет распределение вида
P (Y = n) =
K
, n = 1, . . . , 5,
n
где K – некоторая константа.
Определите нетто-премию для этого договора.
Решение задачи Прежде всего определим значение константы K.
Поскольку
P (Y = n) = 1,
n
верно равенство:
K
1 1 1 1 1
+ + + +
1 2 3 4 5
откуда
K=
60
.
137
= 1,
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
31
Пусть Y(d) = max(Y − d, 0) – размер страхового возмещения по договору
после наступления страхового случая. Для среднего значения этой случайной величины мы имеем:
EY(d)
=
5
(n − 2)P (Y = n)
n=3
=
1 · P (Y = 3) + 2 · P (Y = 4) + 3 · P (Y = 5)
60
86
1 2 3
+ +
·
=
.
=
3 4 5
137
137
Теперь легко подсчитать нетто-премию:
Π = q · EY(d) =
43
≈ 3.14%.
1370
2
Задача 1.22 ([30]) Владелец автомобиля застраховал его на случай повреждения в аварии. Договор предусматривает простой вычет d = 250.
Найдите среднее значение и стандартное отклонение величины страхового возмещения, если стоимость ремонта автомобиля после аварии
равномерно распределена от 0 до 1500.
Решение задачи Пусть Y – стоимость ремонта автомобиля после аварии, Y(d) ≡ Y(250) – размер страхового возмещения при наличии вычета:
Y(250) =
⎧
⎨
⎩
0,
если Y ≤ 250,
Y − 250,
если Y > 250 .
Обозначим также через fY (x) – плотность случайной величины Y ; она равна 1/1500 на отрезке [0, 1500] и 0 вне этого отрезка.
Для среднего значения величины Y(250) имеем:
EY(250)
=
=
=
=
1500
250
1500
250
(x − 250)fY (x)dx
1
(x − 250)dx
1500
1500
1 (x − 250)2
1500
2
250
55
≈ 520.83.
6
32
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Аналогично для второго момента:
1500
2
EY(250) =
(x − 250)2 fY (x)dx
250
=
=
=
1500
250
(x − 250)2
1
dx
1500
1500
1 (x − 250)3
1500
3
250
2 · 59
.
9
Поэтому
V arY(250) =
и, значит, стандартное отклонение
59
12
55
σY(250) = √ ≈ 403.44.
60
2
Задача 1.23 ([14]) Вероятность аварии в течение года для определенной марки автомобиля равна q = 0.1, а величина ущерба после аварии, Y ,
имеет распределение Парето
√ со средним значением m = 500 руб. и коэффициентом вариации cY = 3. В соответствии с условиями договора, если
ущерб меньше, чем d = 100 руб., то страховая компания его не покрывает;
если же ущерб превышает 100 руб., то страховая компания оплачивает
лишь ту его часть, которая превышает предел 100 руб.
Подсчитайте вероятность того, что убыток будет заявлен, и определите распределение величины страхового возмещения. Как повлияло введение вычета на размер нетто-премии по этому договору?
Решение задачи Напомним, что случайная величина Y имеет распределение Парето с параметрами λ > 0 и α > 0, если ее плотность дается
формулой
α+1
λ
α
, 0 < x < +∞,
f (x) =
λ λ+x
так что
F Y (x) ≡
EY
=
V arY
=
P (Y > x) =
λ
λ+x
λ
,
α−1
λ2 α
.
(α − 1)2 (α − 2)
α
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
33
Отсюда, среднее квадратичное отклонение
σY =
√
λ
V arY =
α−1
α
,
α−2
а коэффициент вариации
σY
=
cY =
EY
α
.
α−2
Из этих равенств можно найти значения параметров α и λ для случайной
величины Y , описывающей ущерб после аварии:
α=
2c2Y
c2Y + 1
=
3,
λ
=
m
= 1000.
c2Y − 1
c2Y − 1
Обозначим через X потери для страхователя по рассматриваемому договору. Ясно, что
X = I · Y,
где I – индикатор события "автомобиль попал в аварию."Поскольку выплаты X(d) по договору со стороны страховой компании не совпадают с
величиной потерь страхователя по договору, индикатор I(d) события "был
заявлен страховой случай"дается формулой:
I(d) = I · I{Y >d} ,
а в случае I(d) = 1 величина страхового возмещения Y(d) = Y − d. Поэтому
вероятность того, что страховой случай будет заявлен, есть
q(d)
≡
=
P (I(d) = 1) = P (I = 1, Y > d)
P (I = 1) · P (Y > d|I = 1)
=
q · F Y (d) = 0.1 ·
1000
1000 + 100
3
≈ 0.07513.
Таким образом, введение вычета снизило частоту наступления страховых
случаев (не аварий, а именно страховых случаев, т.е. событий, при наступлении которых страховщик обязан возмещать убытки) с 10% до 7.5%, т.е.
примерно на четверть.
Распределение величины страхового возмещения Y(d) связано с распре-
34
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
делением величины действительных потерь страхователя Y формулой:
P (Y(d) > x)
= P (Y > d + x|I = 1, Y > d)
=
=
=
=
=
P (Y > d + x, I = 1, Y > d)
P (I = 1, Y > d)
P (Y > d + x, I = 1)
P (Y > d + x|I = 1)
=
P (I = 1, Y > d)
P (Y > d|I = 1)
P (Y > d + x)
F Y (d + x)
=
P (Y > d)
F Y (d)
λ
λ+d+x
λ+d
λ+d+x
α
·
λ+d
λ
α
α
.
Эта формула показывает, что страховое возмещение имеет распределение
Парето с параметрами α = α = 3 и λ = λ + d = 1100.
Отметим, что m(d) ≡ EY(d) = 550 руб. Таким образом, введение вычета
увеличило средний размер страхового возмещения. Коэффициент
вариации
√
в рассматриваемом случае остался неизменным: cY(d) = 3.
Если бы договор не предусматривал наличие вычета в размере 100 руб.,
то нетто-премия Π равнялась бы ожидаемым выплатам:
Π = q · m = 50 руб.
В случае договора страхования чрезмерных потерь нетто-премия также
равняется ожидаемым выплатам по договору, но теперь
Π(d) = q(d) m(d) ≈ 41.32 руб.
Таким образом, введение вычета уменьшило премию на 17%. 2
Задача 1.24 ([30]) Размер ущерба после наступления страхового случая
(в тысячах) моделируется случайной величиной Y с плотностью
f (y) = ye−y , y > 0.
В наступающем году страховщик ожидает N = 100 страховых случаев.
Как изменится эта величина, если страховщик введет простой вычет
d = 1 (тыс.)?
Решение задачи Обозначим через X потери для страхователя по одному договору, I – индикактор события "был страховой случай", Y – размер
страхового возмещения после наступления страхового случая.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
35
После введения вычета индикатор I(d) события "был заявлен страховой
случай"дается формулой:
I(d) = I · I{Y >d} .
Поэтому вероятность наступления страхового случая после введения вычета есть
q(d)
≡
P (I(d) = 1) = P (I = 1, Y > d)
=
P (I = 1) · P (Y > d|I = 1) = q · F Y (d),
где q – вероятность наступления страхового случая до введения вычета.
Соответственно, среднее число страховых случаев после введения вычета,
N(d) , есть
N(d) = N F Y (d).
Но
F Y (d)
+∞
xe−x dx = −
xde−x
d
d
+∞
−x +∞
= − xe d +
e−x dx
=
+∞
d
+∞
= de−d − e−x d
= (1 + d)e−d
= 2e−1 ≈ 0.736.
Следовательно,
N(d) ≈ 74.
2
Задача 1.25 Вероятность попасть в аварию в течение года для определенной марки автомобиля равна q = 0.1, а величина ущерба после аварии,
Y , имеет распределение √
Парето со средним значением m = 500 руб. и коэффициентом вариации 3.
Для защиты от этого риска был заключен договор страхования чрезмерных потерь с возвращаемым вычетом 9 в размере d = 100 руб. Иначе
говоря, если ущерб меньше, чем d = 100 руб., то страховая компания его
не покрывает; если же ущерб превышает 100 руб., то страховая компания
полностью его оплачивает.
Подсчитайте нетто-премию.
9 Английский термин – franchise deductible. Этот вид страхования избавляет страховую
компанию от необходимости заниматься большим числом страховых случаев с небольшим страховым возмещением.
36
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Решение задачи Нетрудно видеть, что для простого вычета и для
возвращаемого вычета события "был заявлен страховой случай"совпадают.
Используя результат задачи 1.23, для вероятности того, что по рассматриваемому договору будет заявлен страховой случай, имеем:
straight
f ranchise
= q(d)
= q(d) ≈ 0.07513.
q(d)
f ranchise
Величина страхового возмещения Y(d)
для возвращаемого вычета свяstraight
зана с величиной страхового возмещения Y(d)
для простого вычета формулой:
f ranchise
straight
= Y(d)
+ d.
Y(d)
Используя результат задачи 1.23, для среднего размера страхового возмещения после наступления страхового случая по рассматриваемому договору
имеем:
ranchise
f ranchise
≡ EY(d)
= 100 + 550 = 650.
mf(d)
Поэтому нетто-премия равна
ranchise
f ranchise
ranchise
= q(d)
· mf(d)
≈ 48.84 руб.
Πf(d)
В отличие от простого вычета, введение возвращаемого вычета практически
не уменьшило премию (напомним, что нетто-премия по договору страхования рассматриваемого риска без вычета равна 50 рублей). 2
Задача 1.26 В ситуации, описанной в задаче 1.25, иногда после наступления страхового случая страхователи старались завысить ущерб, который был немного ниже возвращаемого вычета d = 100 руб., с тем, чтобы
ущерб превысил порог d = 100 руб. и страховая компания полностью возместила все убытки. Для того чтобы страхователь не был заинтересован
в подобном поведении, компания решила впредь предлагать следующий вид
договора страхования чрезмерных потерь с уменьшающимся вычетом: 10
если ущерб для страхователя после наступления страхового случая, Y ,
меньше, чем d = 100 руб., то страховая компания его не покрывает; если
ущерб превышает d∗ = 1100 руб., то страховая компания оплачивает его
полностью (так что вычет отсутствует), а если ущерб больше 100 руб.,
но меньше 1100 руб., то страховая компания оплачивает сумму
Y − 100
Y −d
= 1.1 · (Y − 100) = (Y − 100) +
· 100,
d∗ ∗
d −d
1000
т.е. полностью покрывает ту часть потерь, которая превышает вычет
100 руб., и возвращает часть вычета, пропорциональную полностью покрываемым потерям.
Подсчитайте вероятность того, что убыток будет заявлен, ожидаемый размер страхового возмещения и нетто-премию.
10 Английский термин – disappearing deductible.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
37
Решение задачи Нетрудно видеть, что для простого вычета, возвращаемого вычета и уменьшающегося вычета события "был заявлен страховой случай"совпадают. Используя результат задачи 1.23, для вероятности
того, что по рассматриваемому договору будет заявлен страховой случай,
имеем:
disappearing
straight
f ranchise
= q(d)
= q(d)
= q(d) ≈ 0.07513.
q(d)
Для договора страхования чрезмерных потерь с уменьшающимся вычетом
величина страхового возмещения после наступлении страхового случая,
disap.
disappearing
≡ Y(d)
,
Y(d)
связана с величиной потерь после аварии, Y , формулой:
1.1 · (Y − 100), если 100 < Y ≤ 1100,
disap.
Y(d)
=
Y,
если Y > 1100.
Введем функцию
h(z) =
1.1 · (z − 100),
z,
если 100 < z ≤ 1100,
если z > 1100.
Обратная функция h−1 (x) дается формулой:
x+110
если 0 < x ≤ 1100,
−1
1.1 ,
h (x) =
x,
если x > 1100.
disap.
= h(Y ), для дополнительной функции распределения
Поскольку Y(d)
disap.
> x) мы имеем:
P (Y(d)
disap.
P (Y(d)
> x)
= P (h(Y ) > x|Y > 100)
= P (Y > h−1 (x)|Y > 100)
P (Y > h−1 (x), Y > 100)
=
P (Y > 100)
P (Y > h−1 (x))
=
.
P (Y > 100)
Если x > 1100, то
P (Y > x)
=
P (Y > 100)
1100
1000 + x
P Y > x+110
1.1
=
P (Y > 100)
1210
1210 + x
disap.
> x) =
P (Y(d)
3
.
Если 0 < x ≤ 1100, то
disap.
> x) =
P (Y(d)
3
.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
38
Поэтому
mdisap.
(d)
≡
=
=
disap.
EY(d)
+∞
disap.
P (Y(d)
> x)dx
0
1100
0
1210
1210 + x
3
dx +
+∞
1100
=
≈
12103 (1210 + x)−2
−2
0
590 руб.
1100
1100
1000 + x
3
dx
+∞
+
11003 (1000 + x)−2
−2
1100
Теперь для нетто-премии мы имеем:
disap.
Πdisap.
= q(d)
· mdisap.
≈ 44.33 руб.
(d)
(d)
2
Задача 1.27 Страховая компания занимается автомобильным страхованием. В течение года 1% автомобилей попадает в аварии, после которых они не подлежат восстановлению, а 2% автомобилей попадает в аварии, в результате которых получают частичные повреждения. В последнем случае, принимая стоимость автомобиля в качестве единицы, размер
ущерба можно моделировать случайной величиной Y с плотностью
48x(0.5 − x), если 0 < x < 0.5,
f (x) =
0
в противном случае.
Предполагая, что в течение года автомобиль может попасть в аварию
только один раз, найдите среднее значение выплаты по договору страхования автомобиля стоимостью $4000 на один год с простым вычетом в
размере $200.
Решение задачи Пусть X – величина выплаты по рассматриваемому
договору в тысячах $.
Если автомобиль не попадет в аварию в течение года (вероятность этого
события равна 0.97), то X = 0.
Если в течение года автомобиль попадет в аварию, после которой не
подлежит восстановлению (вероятность этого события равна 0.01), то X =
3.8.
Если в течение года автомобиль попадет в аварию, после которой получит частичные повреждения (вероятность этого события равна 0.02), то
X = max(Z − 0.2, 0), где Z = 4Y – размер ущерба в тысячах долларов.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
39
Средний размер страхового возмещения в этом случае равен
0.5
=
=
0.05
0.5
0.05
(4x − 0.2)f (x)dx =
0.5
0.05
(4x − 0.2)48x(0.5 − x)dx
48(−4x3 + 2.2x2 − 0.1x)dx
−48x4 + 35.2x3 − 2.4x2
0.5
= 0.8019.
0.05
Усредняя, получим:
EX = 0.054038,
или в абсолютных цифрах, примерно $54.
2
Задача 1.28 ([25]) Распределение тяжести страхового случая является экспоненциальным со средним значением 1 000. Страховая компания
оплачивает потери, превышающие вычет величиной 100.
Подсчитайте дисперсию страхового возмещения, выплачиваемого страховой компанией после наступления страхового случая, включая возможность того, что выплата равна 0.
(A) 810 000
(B) 860 000
(C) 900 000
(D) 990 000
(E) 1 000 000
Решение задачи Пусть d = 100 – размер вычета, Y – тяжесть страхового случая, Y(d) – размер страхового возмещения:
⎧
0,
если Y ≤ d,
⎨
Y(d) =
⎩
Y − d, если Y > d.
Случайная величина Y(d) может быть равна 0 с положительной вероятностью, 11 равной вероятности того, что ущерб Y не превосходит вычет:
P (Y(d) = 0) = P (Y ≤ d) = 1 − e−d/m ,
где m – средний размер ущерба.
11 В этом случае говорят, что точка x = 0 является атомом распределения случайной
величины Y(d) , а P (Y(d) = 0) называют массой атома.
40
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
При y > 0 дополнительная функция распределения случайной величины
Y(d) есть:
P (Y(d) > x) = P (Y > d + x) = e−(d+x)/m
=
e−d/m · e−x/m = P (Y(d) > 0) · e−x/m .
Это соотношение означает, что Y(d) можно рассматривать как произведение
индикаторной величины I, которая равна 1 или 0 в соответствии с тем,
превышает или нет ущерб размер вычета, и не зависящей от I случайной
величины Z, которая имеет экспоненциальное распределение со средним
m: Y(d) = IZ. Поэтому по формуле полного математического ожидания мы
имеем:
EY(d)
2
EY(d)
V arY(d)
= P (I = 1) · EZ = me−d/m ,
= P (I = 1) · EZ 2 = 2m2 e−d/m ,
= m2 2e−d/m − e−2d/m
= 1 000 000 · 2e−0.1 − e−0.2 ≈ 990 944,
так что верным является вариант (D). 2
Задача 1.29 ([24]) Предприятие покупает годовой страховой полис для
того, чтобы застраховать свой доход в случае плохой погоды, которая
вынуждает временно прекратить работу. В течение года число случаев
ухудшения погоды, приводящих к прекращению работы предприятия, имеет распределение Пуассона со средним 1.5.
В соответствии с условиями договора страховщик не платит ничего
в первом случае такого ухудшения погоды, но выплачивает по 10 000 за
каждое последующее ухудшение погоды.
Чему равны ожидаемые выплаты страховщика по такому договору?
(A) 2 769
(B) 5 000
(C) 7 231
(D) 8 347
(E) 10 578
Решение задачи Пусть ν – число случаев ухудшения погоды, приводящих к прекращению работы предприятия за время действия договора,
т.е. за один год. По условию случайная величина ν распределена по закону
Пуассона. Это означает, что
P (ν = n) =
λn −λ
e , n = 0, 1, . . . ,
n!
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
41
где λ – некоторый параметр.
Найдем среднее значение величины ν:
=
Eν
=
+∞
n=0
+∞
k=0
nP (ν = n) =
+∞
+∞
λn
λn
e−λ
n e−λ =
n!
(n
−
1)!
n=1
n=1
+∞
λk
λk+1 −λ
e =λ
e−λ = λeλ e−λ = λ.
k!
k!
k=0
Таким образом, для пуассоновской величины параметр совпадает со средним значением.
Этот результат очень легко получить с использованием производящей
функции g(z) ≡ Ez ν . Для пуассоновской случайной величины производящая функция может быть подсчитана без всякого труда:
g(z) ≡
Ez ν =
+∞
z n P (ν = n) =
n=0
=
+∞
(λz)n
n=0
n!
+∞
zn
n=0
λn −λ
e
n!
e−λ = eλz e−λ = eλz−λ .
Поскольку g (z) = E νz ν−1 , мы имеем:
Eν = g (1) = λeλz−λ z=1 = λ.
Выплаты страховщика X в соответствии с условиями договора даются
формулой:
0,
если ν = 0, 1,
X=
10000 · (ν − 1), если ν ≥ 2.
Поэтому ожидаемые выплаты страховщика, EX, по рассматриваемому договору есть:
EX
=
=
10000
10000
+∞
(n − 1)P (ν = n) = 10000
n=2
+∞
n=1
+∞
(n − 1)P (ν = n)
n=1
nP (ν = n) −
+∞
P (ν = n)
n=1
= 10000 (Eν − P (ν ≥ 1)) = 10000 (Eν − 1 + P (ν = 0))
= 10000 λ − 1 + e−λ = 10000 0.5 + e−1.5 ≈ 7231.3,
и поэтому верным является вариант (C). 2
Замечание. Для пуассоновской случайной величины ν дисперсия также равняется параметру: V arν = λ. Действительно, поскольку g (z) =
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
42
E ν(ν − 1)z ν−2 , для любой величины (с конечной дисперсией) верно равенство g (1) = Eν(ν − 1). Используя явный вид g(z) для пуассоновской
величины, мы имеем:
Eν(ν − 1) = g (1) = λ2 eλz−λ z=1 = λ2 .
Следовательно, Eν 2 = g (1)+g (1) = λ2 +λ, и поэтому V arν = Eν 2 −(Eν)2 =
λ.
Задача 1.30 ([20]) Актуарий провел исследование величины ущерба после аварии по договорам автомобильного страхования и установил, что
эта величина имеет экспоненциальное распределение, а вероятность того, что ущерб меньше, чем 1000, равна 0.25.
Спустя десять лет частота аварий и их характер не изменились,
но из-за инфляции ущерб после аварии вырос в два раза по сравнению с
ущербом после аналогичной аварии десять лет назад.
Подсчитайте вероятность того, что в настоящее время ущерб после
аварии меньше, чем 1000.
(A) 0.063
(B) 0.125
(C) 0.134
(D) 0.163
(E) 0.250
Решение задачи Пусть Y – размер ущерба после аварии десять лет
назад, Y – размер ущерба после аварии в настоящий момент. Условие задачи относительно влияния инфляции означает, что случайная величина
Y /2 распределена так же, как и Y . Поэтому для искомой вероятности
P (Y < 1000) мы имеем:
P (Y < 1000) = P
Y
< 500
2
= P (Y < 500) = 1 − e−λ·500 ,
где λ – параметр экспоненциальной величины Y .
По условию,
P (Y < 1000) = 0.25.
Поскольку
P (Y < 1000) = 1 − e−λ·1000 ,
можно преобразовать формулу для P (Y < 1000) следующим образом:
P (Y < 1000)
=
1 − e−λ·1000
1/2
1/2
= 1 − (1 − P (Y < 1000))
√
√
3
= 1 − 0.75 = 1 −
≈ 0.13397.
2
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
43
Поэтому верным является вариант (C).
Полученный результат можно следующим образом интерпретировать в
терминах договоров страхования чрезмерных потерь. Предположим, что
рассматриваемый риск покрыт одним из вариантов договора страхования
чрезмерных потерь с вычетом d = 1000. Тогда вероятность того, что будет
заявлен страховой случай равна
q(d) = q · F Y (d),
где q – вероятность попасть в аварию, а F Y (d) – дополнительная функция
распределения размера ущерба для страхователя после аварии.
Через 10 лет эта вероятность будет равна
= q · F Y (d).
q(d)
Отсюда:
q(d)
q(d)
=
1 − 0.13397
F Y (d)
≈
≈ 1.155.
1 − 0.25
F Y (d)
Таким образом, в случае договора страхования чрезмерных потерь с вычетом 1000руб. частота наступления страховых случаев (не аварий!) увеличится примерно на 15%. Этот факт является одной из причин эффекта рычага (leveraging): в случае договора страхования чрезмерных потерь
нетто-премия растет быстрее, чем инфляция. 2
Задача 1.31 ([22]) Страховой агент получает вознаграждение, если по
заключенным им договорам убыточность меньше, чем 70%.
Известно, что
1. убыточность рассчитывается как отношение всех выплаченных страховых возмещений к собранным премиям,
2. агент получает долю от собранной премии, равную 1/3 разности
между 70% и убыточностью,
3. вознаграждение не платится, если убыточность больше 70%,
4. агент заключил ряд договоров с общей премией 500 000,
5. суммарные потери по договорам распределены по закону Парето:
F (x) = 1 −
600 000
x + 600 000
Подсчитайте ожидаемое вознаграждение.
(A) 16 700
3
, x > 0.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
44
(B) 31 500
(C) 48 300
(D) 50 000
(E) 56 600
Решение задачи Пусть P = 500 000 – собранная премия, S – суммарные потери по заключенным договорам. Тогда убыточность k дается
формулой:
S
S
k=
=
.
P
500 000
Условие задачи относительно размера B вознаграждения можно записать
следующим образом:
⎧
0,
если S ≥ 350 000,
⎨
B=
⎩ 1
S
если S < 350 000.
3 0.7 − 500 000 · 500 000,
Поэтому ожидаемое вознаграждение есть:
EB
= −
350 000
0
350 000 − x
d(1 − F (x))
3
350 000
350 000 − x
(1 − F (x))
3
0
350 000
x
−
(1 − F (x))d
3
0
350 000
600 000
350 000 1
−
=
3
3 0
x + 600 000
= −
=
=
2
3
dx
350 000
600 000
· 600 000
x + 600 000
0
2
600 000
350 000
−1
+ 100 000 ·
3
950 000
350 000
1
+
3
6
≈ 56 556,
и, значит, верным является вариант (E).
2
Задача 1.32 ([14]) Предположим, что величина ущерба при пожаре (при
условии, что он произошел) имеет экспоненциальное распределение со средним значением m = 2 000 руб. Страховая компания установила верхний
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
45
предел своей ответственности L = 5 000 руб. (иными словами, если потери страхователя меньше, чем L, то компания полностью возмещает их;
если же потери превышают уровень L, то компания возмещает только
сумму L).
Подсчитайте средний размер реальных выплат компании по одному
страховому случаю.
Решение задачи Обозначим через Y ущерб для страхователя по рассматриваемому договору, через Y (L) размер страхового возмещения. Математически условие ограниченной ответственности компании можно выразить следующей формулой:
Y (L) = min(Y, L).
Следовательно, дополнительная функция распределения величины страхового возмещения есть
0,
ecли x ≥ L,
(L)
> x) =
P (Y
P (Y > x) = e−x/2000 , ecли x < L.
Отметим, что точка L всегда является атомом распределения величины
Y (L) с массой P (Y ≥ L) = e−5000/2000 ≈ 0.082.
Поэтому среднее значение величины страхового возмещения есть
m(L)
≡ EY (L) =
=
5000
0
+∞
0
P (Y (L) > x)dx =
L
e−x/2000 dx = −2000e−x/2000
−5/2
= 2000 · [1 − e
P (Y > x)dx
0
5000
0
] ≈ 1836 руб.
2
Задача 1.33 ([21]) Страховая компания возмещает стоматологические
расходы Y вплоть до максимального уровня 250. Плотность случайной
величины Y есть
−0.004x
, если x ≥ 0,
ce
f (x) =
0
в противном случае,
где c – некоторая константа.
Подсчитайте медиану распределения величины страхового возмещения.
(A) 161
(B) 165
46
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
(C) 173
(D) 182
(E) 250
Решение задачи Подсчитаем прежде всего функцию распределения
случайной величины Y :
x
x
F (x) ≡
f (t)dt =
ce−0.004t dt
0
=
0
x
c
e−0.004t
−0.004
0
= 250c 1 − e−0.004x , x ≥ 0.
Поскольку F (+∞) = 1, отсюда следует, что c = 0.004, и поэтому
F (x) = 1 − e−0.004x , x ≥ 0.
Отметим, что этот результат немедленно следует из условия задачи; формула для f (x) означает, что случайная величина Y имеет экспоненциальное
распределение с параметром λ = 0.004.
Пусть теперь Y (250) – размер страхового возмещения. По условию договора:
Y,
если X ≤ 250,
(250)
=
Y
250, если X > 250.
Поэтому функция распределения случайной величины Y (250) , FY (250) (x) ≡
P (Y (250) < x), есть:
⎧
0,
если x ≤ 0,
⎨
1 − e−0.004x , если 0 < x ≤ 250,
FY (250) (x) =
⎩
1,
если x > 250.
Поскольку FY (250) (0) = 0, FY (250) (250) = 1 − e−1 ≈ 0.632, а на промежутке [0, 250] функция FY (250) (x) строго возрастает, уравнение FY (250) (m) = 0.5
имеет единственный корень m = 250 ln 2 ≈ 173.287, который и является
медианой распределения FY (250) (x). Таким образом, верным будет вариант
(C). 2
Задача 1.34 ([31]) Распределение тяжести страхового случая по договорам страхования гражданской ответственности владельцев автотранспортных средств имеет распределение
F (x) = 1 − 0.8e−0.02x − 0.2e−0.001x , x ≥ 0.
Ответственность страховщика по возмещению убытков ограничена суммой 1000 (по каждому страховому случаю).
Найдите средний размер страхового возмещения по одному страховому
случаю.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
47
Решение задачи Пусть Y – размер потерь после наступления страхового случая, Y (1000) = min(Y, 1000) – размер страхового возмещения. Поскольку
0,
ecли x ≥ 1000,
(1000)
> x) =
P (Y
1 − F (x), ecли x < 1000,
для среднего размера страхового возмещения имеем:
EY (1000)
=
=
=
+∞
0
1000
0
−
P (Y (1000) > x)dx =
1000
0
(1 − F (x))dx
0.8e−0.02x + 0.2e−0.001x dx
1000
0.8 −0.02x
e
0.02
0
1000
−
0.2 −0.001x
e
0.001
0
= 40 · 1 − e−20 + 200 · 1 − e−1 ≈ 166.42.
2
Задача 1.35 ([24]) Годовые потери Y предприятия (в миллионах долларов) имеют плотность
f (x) =
⎧ 2.5·(0.6)2.5
⎨
,
x3.5
⎩
0
если x > 0.6,
в противном случае.
Для того, чтобы покрыть эти расходы, предприятие покупает договор
страхования, останавливающий потери, с собственным удержанием 2.
Найдите среднее значение потерь предприятия, не оплачиваемых страховщиком.
(A) 0.84
(B) 0.88
(C) 0.93
(D) 0.95
(E) 1.00
Решение задачи Пусть Z = Y − Y(2) – размер потерь предприятия,
не оплачиваемых страховщиком. Условия договора относительно размера
страхового возмещения можно выразить следующей формулой:
Z = min(Y, 2).
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
48
Иначе говоря,
Z=
Y,
2,
если Y < 2,
если Y ≥ 2.
Таким образом, Z совпадает с размером страхового возмещения по договору
страхования с верхним пределом ответственности страховщика в размере
2: Z = Y (2) . Поэтому среднее значение случайной величины Z есть:
+∞
2
+∞
EZ =
min(x, 2)f (x)dx =
xf (x)dx +
2f (x)dx.
0.6
0.6
2
Первый интеграл в правой части этого равенства равен
2
2
2.5 · (0.6)2.5
2.5 · (0.6)2.5
x
dx
=
dx
x3.5
x2.5
0.6
0.6
2
=−
2.5 2.5 −1.5
2.5 (0.6)2.5
2.5 (0.6)2.5
=
−
0.6 x
1.5
1.5 (0.6)1.5
1.5 21.5
x=0.6
=1−
10 2.5
0.3 = 1 − 0.3−1 0.32.5 = 1 − 0.31.5 .
3
Второй интеграл в правой части этого равенства равен
+∞
2.5 · (0.6)2.5
+∞
2·
dx = −2 · 0.62.5 x−2.5 x=2
3.5
x
2
=2·
(0.6)2.5
= 2 · 0.32.5 = 0.6 · 0.31.5 .
(2)2.5
Поэтому
EZ = 1 − 0.31.5 + 0.6 · 0.31.5 = 1 − 0.4 · 0.31.5 ≈ 0.934273.
Таким образом, верным будет вариант (C). 2
Задача 1.36 ([20]) По договору группового страхования страховщик обязуется оплатить 100% всех медицинских расходов сотрудников некоторой
небольшой компании, но в сумме не более 1 миллиона долларов за один год.
Общая сумма годовых медицинских расходов, X, является случайной
величиной с плотностью (X измеряется в миллионах долларов):
⎧ x(4−x)
⎨
, если 0 < x < 3,
9
f (x) =
⎩
0
в противном случае.
Подсчитайте ожидаемые выплаты страховщика по этому договору (в
миллионах долларов).
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
49
(A) 0.120
(B) 0.301
(C) 0.935
(D) 2.338
(E) 3.495
Решение задачи Пусть X (1) – размер выплат страховщика по договору (в миллионах долларов). Условия договора относительно размера
страхового возмещения можно выразить следующей формулой:
X (1) = min(X, 1).
Иначе говоря,
X (1) =
если X < 1,
если X ≥ 1.
X,
1,
Поэтому среднее значение случайной величины X (1) есть:
EX (1)
=
=
+∞
0
1
0
min(x, 1)f (x)dx =
xf (x)dx +
3
1
1
0
xf (x)dx +
+∞
1
f (x)dx
f (x)dx.
Первый интеграл в правой части этого равенства равен
1
x(4 − x)
dx =
x
9
0
1
13
4
−
=
.
=
27 36
108
1
0
4x2 − x3
dx =
9
4x3
x4
−
27
36
Второй интеграл в правой части этого равенства равен
3
1
=
x(4 − x)
dx =
9
2x2
x3
−
9
27
2 · 9 27
−
9
27
2·1
1
−
9
27
Поэтому
EX (1) =
−
3
x=1
=
22
.
27
22
101
13
+
=
≈ 0.935185.
108 27
108
Таким образом, верным будет вариант (C). 2
1
x=0
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
50
Задача 1.37 Предприятие приобрело сложное оборудование и застраховало его на n лет. В случае выхода оборудования из строя в течение первого года действия договора страховое возмещение равно n. В каждый последующий год страховая сумма уменьшается на 1.
Вероятность выхода оборудования из строя на протяжении года равна
q вне зависимости от времени его работы.
Найдите
• вероятность наступления страхового случая;
• средний размер страхового возмещения после выхода оборудования из
строя во время действия договора.
Решение задачи Примем момент начала работы оборудования в качестве начального и будем измерять время годами. Пусть T – время до
выхода оборудования из строя, τ = [T ] + 1 – год выхода оборудования из
строя. Случайная величина τ имеет геометрическое распределение
P (τ = n) = (1 − q)n−1 q ≡ pn−1 q, n ≥ 1,
где p = 1 − q.
Страховой случай наступает, если τ ≤ n. Вероятность этого события
равна
n
n
1 − pn
P (τ = k) =
pk−1 q =
q = 1 − pn .
1−p
k=1
k=1
Индивидуальный убыток по договору дается формулой
X = (n + 1 − τ )+ ≡ max(n + 1 − τ, 0).
Поэтому
EX
=
n
(n + 1 − k)P (τ = k) =
k=1
=
n−1
n
(n + 1 − k)pk−1 q
k=1
(n − k)pk q = nq
k=0
n−1
pk − pq
k=0
n−1
kpk−1 .
k=0
Поскольку
n−1
pk
=
kpk−1
=
k=0
n−1
k=0
1 − pn
,
q
n−1 1 − npn−1 + (n − 1)pn
pk =
,
q2
k=0
средний убыток по договору есть
p
EX = n − (1 − pn ).
q
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
51
Теперь мы можем легко найти средний размер страхового возмещения после
выхода оборудования из строя во время действия договора:
EY =
EX
n
p
=
− .
P (X > 0)
1 − pn
q
2
Задача 1.38 ([20]) Компания, занимающаяся страхованием автомобилей,
делит страхователей на две группы: группу хороших водителей и группу плохих водителей. Для хороших водителей средний размер выплат по
договору равен 1400 и имеет среднее квадратичное отклонение 200. Для
плохих водителей средний размер выплат по договору равен 2000 и имеет среднее квадратичное отклонение 500. Хорошие водители составляют
60% всех страхователей.
Подсчитайте дисперсию размера выплат по случайно выбранному договору.
(A) 124 000
(B) 145 000
(C) 166 000
(D) 210 400
(E) 235 000
Решение задачи Для договора страхования обозначим через X размер
выплат по договору и введем следующие события:
1. G={страхователь является хорошим водителем},
2. B={страхователь является плохим водителем}.
По условию, P (G) = 0.6 и
E(X|G)
=
1 400,
E(X|B)
= 2 000,
V ar(X|G) = 200,
V ar(X|B) = 500.
Отсюда,
V ar(X|G) = 40 000,
E(X 2 |G) = V ar(X|G) + (E(X|G))2 = 2 000 000,
V ar(X|B) = 250 000,
E(X 2 |B) = V ar(X|B) + (E(X|B))2 = 4 250 000.
Кроме того, поскольку события G и B образуют полную группу несовместимых событий, P (B) = 1 − P (G) = 0.4.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
52
Теперь по формуле полного математического ожидания мы имеем:
EX =
E(X 2 ) =
E(X|G) · P (G) + E(X|B) · P (B) = 1 640,
E(X 2 |G) · P (G) + E(X 2 |B) · P (B) = 2 900 000.
Значит,
V arX = E(X 2 ) − (EX)2 = 210 400,
и поэтому верным является вариант (D). 2
Задача 1.39 ([11]) Компания, которая занимается страхованием квартир, получила за месяц 20 заявлений о страховых случаях. Данные о заявленных убытках представлены в таблице 1.3.
Таблица 1.3: Данные о заявленных убытках по договорам страхования квартир
250
250
150
206
300
280
90
250
150
50
50
450
309
146
220
314
180
2100
220
688
Оцените средний размер страхового возмещения и среднее квадратичное отклонение.
Решение задачи Пусть n = 20 – общее число страховых случаев,
x1 = 250, . . . , x20 = 688 – размеры убытков. В качестве оценки среднего
размера страхового возмещения мы берем выборочное среднее
1
1
(250 + · · · + 688) = 332.65.
xi ≡
n i=1
20
n
x=
Эту величину очень удобно вычислять на компьютере. Например, используя такую простую программу как Microsoft Excel, нужно прежде всего ввести в ячейки числовые значения убытков (скажем, в виде столбца, в ячейки
A1,...,A20). После этого в ячейку, где должно быть значение среднего размера страхового возмещения нужно ввести формулу СРЗНАЧ(А1:А20). После
этого нужная величина автоматически будет вычислена и записана в эту
ячейку.
В качестве оценки дисперсии можно взять выборочную дисперсию
2
s
=
n
n
1
1
2
2
2
(xi − x) =
(xi ) − (x)
n i=1
n i=1
≡
1
2
2502 + · · · + 6882 − (332.65)) = 183 687.6.
20
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
53
√
Соответственно, оценкой стандартного отклонения будет величина s = s2 =
428.59.
Для вычисления этих величин на компьютере с помощью Microsoft Excel,
нужно прежде всего ввести в ячейки числовые значения убытков (скажем,
в ячейки A1,...,A20). После этого в ячейку, где должно быть значение выборочной дисперсии размера страхового возмещения, нужно ввести формулу ДИСПР(А1:А20). После этого выборочная дисперсия автоматически
будет вычислена и записана в эту ячейку. Для вычисления соответствующей оценки стандартного отклонения используется функция СТАНДОТКЛОНП(А1:А20).
Оценка s2 является смещенной (ее среднее значение отличается от истинного значения σ 2 множителем n−1
n ; в нашем случае этот множитель
равен 19/20). Несмещенной оценкой дисперсии будет величина
S2
=
n
1 2
(xi − x)
n − 1 i=1
1
(250 − 332.65)2 + · · · + (688 − 332.65)2
19
= 193 355.4.
√
Оценкой стандартного отклонения будет S = S 2 = 439.72.
Для вычисления несмещенной оценки дисперсии и соответствующей оценки стандартного отклонения в Microsoft Excel используются функции ДИСП
и СТАНДОТКЛОН. 2
≡
Задача 1.40 ([11]) Актуарий компании, которая предполагает заняться
медицинским страхованием, должен оценить размер расходов на лечение
одного пациента. Из доступных статистических данных он установил,
что за прошлый год в городе в больницы обратилось 7821 человек. Данные
о стоимости лечения, опубликованные городским центром статистики,
представлены в таблице 1.4.
Оцените средний размер расходов на лечение одного больного, стандартное отклонение и коэффициент асимметрии.
Решение задачи Так как мы не имеем точных данных о медицинских
расходах для каждого больного (доступна лишь обобщенная информация из
таблицы 1.4), будем считать, что расходы на лечение равны средней точке
соответствующего интервала.
Тогда выборочные начальные моменты первого, второго и третьего порядков будут равны
1
(25 · 1728 + · · · + 1200 · 149) ≈ 216.61,
α1 =
7821
1
α2 =
(252 · 1728 + · · · + 12002 · 149) ≈ 96 632.62,
7821
1
α3 =
(253 · 1728 + · · · + 12003 · 149) ≈ 65 142 656
7821
54
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 1.4: Данные о стоимости лечения больных
Стоимость
лечения
Число
случаев
0-50
50-100
100-200
200-400
400-800
800-1600
1728
1346
1869
1822
907
149
Всего
7821
соответственно.
Оценкой среднего, как обычно, является первый выборочный начальный
момент. Стандартное отклонение можно оценить с помощью выборочной
2
дисперсии s2 = α2 − (α1 ) :
s = α2 − α12 = 96 632.62 − (216.61)2 ≈ 222.96.
Соответственно, третий центральный момент оценивается как
α3 − 3α2 α1 + 2α13 ≈ 22 674 514,
а коэффициент асимметрии – как
22 674 514
≈ 2.05.
222.963
2
Задача 1.41 ([11]) Страховщик установил тариф по определенному виду
рисков исходя из предположения, что средняя тяжесть страхового случая равна $1200. В течение года по этому портфелю было заявлено 1243
страховых случая. При этом средний размер ущерба составил $1283.70, а
выборочное стандартное отклонение было равно $1497.31.
Можно ли утверждать, что актуарий компании ошибся в процессе
разработки этого продукта, предположив слишком низкую среднюю тяжесть страхового случая?
Решение задачи Предположим, как обычно, что размеры потерь
для различных страховых случаев – независимые в совокупности и одинаково распределенные случайные величины Y1 , . . . , YN . Пусть m = EYi ,
σ 2 = V arYi – (неизвестные) среднее значение и дисперсия страхового возмещения. Если число страховых случаев N достаточно велико, распределение
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
55
центрированной и нормированной суммы
∗
SN
≡
Y1 + · · · + YN − N m
√
Nσ
является приблизительно стандартным нормальным распределением:
∗
P (SN
< x) ≈ Φ(x).
Пусть
Y ≡
Y1 + · · · + YN
N
∗
=
– выборочный средний размер страхового возмещения. Так как SN
можно утверждать, что
P
√
N
Y −m
<x
σ
√
N Y −m
σ ,
≈ Φ(x),
Обозначая √xσN через y, мы получим:
√ y N
P (Y ≥ m + y) ≈ 1 − Φ
.
σ
Если бы средний размер страхового возмещения действительно был равен
$1200, то это означало бы отклонение выборочного среднего Y от его истинного значения m по меньшей мере на y = $83.7. Вероятность P такого
события, в силу приведенной формулы, примерно равна
√ √
83.7 1243
y N
≡1−Φ
.
1−Φ
σ
σ
Неизвестное стандартное отклонение σ можно приблизительно заменить
выборочным стандартным отклонением $1497.31, откуда
√
83.7 1243
≈ 1 − Φ(1.97) ≈ 2.4%.
P ≈1−Φ
1497.31
Эта вероятность довольно маленькая. Поэтому, видимо, первоначальное
предположение о средней тяжести страховых случаев слишком оптимистичное. 2
Задача 1.42 ([9]) В таблице 1.5 приведены данные о среднем размере ущерба после наступления страхового случая для определенного вида страхования за последние восемь лет (года t−8, . . . , t−1, где t – текущий год). Дайте прогноз среднего размера ущерба после наступления страхового случая
на год t. Общеэкономическая ситуация была стабильной все эти годы и
никаких существенных изменений не предвидится и в следующем году.
56
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 1.5:
Год
Средний размер
ущерба
t−8
t−7
t−6
t−5
t−4
t−3
t−2
t−1
3 864
3 696
3 908
3 754
3 320
3 932
3 734
3 976
Рис. 1.2:
Сумма
6
hhh
(hhh
h(((
hP
(
hhh
h(((
PP
P
- Время
Решение задачи На рисунке 1.2 графически представлены данные
таблицы 1.5. Из этого графика можно заключить, что, хотя размер ущерба
меняется от года к году, эти колебания, видимо, чисто случайные. Стабильность общеэкономической ситуации является дополнительным аргументом
в пользу этой гипотезы. Поэтому в качестве прогноза среднего размера
ущерба после наступления страхового случая на текущий год естественно
взять среднее арифметическое данных за восемь лет, т.е. 3773.
2
Задача 1.43 ([9]) В таблице 1.6 приведены данные о среднем размере ущерба после наступления страхового случая для определенного вида страхования за последние семь лет (года t−7, . . . , t−1, где t – текущий год). Дайте
прогноз среднего размера ущерба после наступления страхового случая на
год t. На протяжении рассматриваемого периода инфляция существенно
влияла на стоимость товаров и услуг. Данные о размере инфляции (росте
цен в следующем году по сравнению с рассматриваемым годом) приведены
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
57
в таблице 1.7. Предполагается, что в текущем году цены вырастут примерно на 7% по отношению к предыдущему году.
Таблица 1.6:
Год
Средний размер
ущерба
t−7
t−6
t−5
t−4
t−3
t−2
t−1
1 182
1 164
1 434
1 540
1 453
1 710
1 867
Таблица 1.7:
Год
Инфляция
t−7
t−6
t−5
t−4
t−3
t−2
t−1
8.8%
11.4%
10.6%
6.7%
8.2%
5.6%
7% (прогноз)
Решение задачи Из таблицы 1.6 ясно видна тенденция роста номинального среднего размера ущерба. Это совершенно естественно, если иметь
в виду довольно высокую инфляцию.
Чтобы исключить влияние инфляции, будем выражать все расходы в
ценах года t − 1.
Средний ущерб за год t − 2 в ценах года t − 1 равен
1710 · 1.056 ≈ 1806.
Аналогично, средний ущерб за год t − 3 в ценах года t − 1 равен
1453 · 1.082 · 1.056 ≈ 1660.
Подобным же образом можно пересчитать и другие данные таблицы 1.6 в
ценах года t − 1. Результаты приведены в таблице 1.8.
Из таблицы 1.8 можно заключить, что, хотя размер ущерба в ценах года t − 1 меняется от года к году, эти колебания, видимо, чисто случайные.
Поэтому в качестве прогноза среднего размера ущерба после наступления
58
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 1.8:
Год
Средний размер ущерба
в ценах года t − 1
t−7
t−6
t−5
t−4
t−3
t−2
t−1
1 932
1 748
1 934
1 877
1 660
1 806
1 867
страхового случая на текущий год естественно взять среднее арифметическое данных за семь лет, т.е. 1832. С учетом прогнозируемой инфляции,
предполагаемый средний размер ущерба в текущем году в ценах текущего
года составит
1832 · 1.07 ≈ 1960.
2
Задача 1.44 ([26]) Для прогноза среднего размера ущерба после наступления страхового случая актуарий использует метод скользящего среднего за последние три года. В текущем году средний ущерб равен 101, год
назад – 99, а два года назад – 100.
Дайте прогноз среднего ущерба за год на ближайшие пять лет.
Решение задачи Примем текущий год за начальный и обозначим
через yn средний ущерб за n-й год, а через ŷn – его прогноз на n-й год. По
условию задачи
y−2 = 100, y−1 = 99, y0 = 101.
Тогда:
2
ŷ1
=
ŷ2
=
ŷ3
=
ŷ4
=
ŷ5
=
y−2 + y−1 + y0
= 100,
3
y−1 + y0 + ŷ1
= 100,
3
1
y0 + ŷ1 + ŷ2
= 100 ≈ 100.33,
3
3
ŷ1 + ŷ2 + ŷ3
1
= 100 ≈ 100.11,
3
9
4
ŷ2 + ŷ3 + ŷ4
= 100
≈ 100.15.
3
27
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
59
Задача 1.45 ([29]) Размер ущерба после наступления страхового случая
имеет экспоненциальное распределение с неизвестным средним θ. Величина страхового возмещения ограничена суммой 1000. Используя данные
таблицы 1.9, найдите оценку наибольшего правдоподобия для θ.
Таблица 1.9:
Величина
страхового
возмещения
меньше 1 000
1 000
Итого
Число
страховых
случаев
62
38
100
Сумма
всех
выплат
28 140
38 000
66 140
Решение задачи Величина страхового возмещения Y связана с величиной ущерба после наступления страхового случая Z соотношением
Y = min(Z, 1000).
Распределение величины Y является смесью непрерывного распределения
с плотностью θ1 e−x/θ , 0 < x < 1000, и вырожденного распределения, сосредоточенного в точке 1000 (с весом P (Z > 1000) = e−1000/θ ).
Поэтому для n = 62 наблюдений x1 , . . . , xn ∈ (0, 1000) и m = 38 наблюдений y1 , . . . , ym = 1000 функция правдоподобия имеет вид:
L(x1 , . . . , xn ; y1 , . . . , ym |θ) =
=
≡
=
n
1
θ
i=1
e−xi /θ ·
m
e−1000/θ
j=1
1 − ni=1 xi /θ −1000m/θ
e
·e
θn
1 −28140/θ −38000/θ
e
·e
θ62
1 −66140/θ
e
.
θ62
Максимум функции правдоподобия достигается в точке
θ̂ =
66140
≈ 1067.
62
Это и есть искомая оценка неизвестного параметра θ. 2
Задача 1.46 ([29]) Размер ущерба после наступления страхового случая
моделируется как экспоненциально распределенная случайная величина. За
истекший год были заявлены десять страховых случаев; сведения об их
тяжести приведены в таблице 1.10 (случаи упорядочены по величине ущерба). Оцените средний размер страхового возмещения в году N + 2 (N –
истекший год), если
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
60
Таблица 1.10:
Случай
1
2
3
4
5
Величина ущерба
18
78
125
168
250
Случай
6
7
8
9
10
Величина ущерба
313
410
540
677
1100
1. в предстоящие 2 года ожидается 5% инфляции;
2. в году N + 2 будет введен простой вычет в размере 100 и, кроме
того, введено условие, в соответствии с которым страхователь самостоятельно покрывает часть ущерба, превышающую 1000 (таким
образом, максимальная величина страховой выплаты равна 900).
Решение задачи Пусть Y – размер ущерба по случайно выбранному
страховому случаю, наступившему в году N . По условию
P (Y < x) = 1 − e−x/θ , x > 0,
где θ – неизвестное среднее.
Размер ущерба по случайно выбранному страховому случаю, наступившему в году N + 2, можно записать как Y = 1.052 Y . Его распределение
имеет вид:
P (Y < x) =
P 1.052 Y < x = P Y <
2
x 1.052
= 1 − e−x/(1.05 θ) .
Таким образом, величина Y имеет экспоненциальное распределение со средним θ = 1.052 θ.
Для величины Z страхового возмещения в году N + 2 имеем:
⎧
⎨
0,
Y − 100,
Z=
⎩
900,
если Y < 100,
если 100 < Y < 1000,
если Y > 1000.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
61
Поэтому
EZ
=
=
=
=
=
=
1000
100
1000
100
−
(x − 100)fY (x)dx + 900P (Y > 1000)
1
(x − 100) e−x/θ dx + 900e−1000/θ
θ
1000
100
(x − 100)de−x/θ + 900e−1000/θ
−(x − 100)e
−x/θ −1000/θ 1000
100
+
−x/θ 1000
100
1000
e−x/θ dx + 900e−1000/θ
−900e
−θe
+ 900e−1000/θ
100
θ e−100/θ − e−1000/θ .
Итак, проблема свелась к оценке неизвестного среднего значения исходного экспоненциального распределения. Используя в качестве оценки среднее
арифметическое наблюдений, мы имеем:
θ = 367.9,
θ ≈ 405.61,
откуда
EZ ≈ 282.52.
2
62
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Глава 2
Модели процесса
наступления страховых
случаев
Страховые случаи происходят в непредсказуемые моменты времени. Неопределенность этих моментов является столь же важной компонентой риска в
деятельности компании, как и неопределенность величин потерь вследствие
страховых случаев. Одно из центральных предположений теории риска заключается в том, что процесс наступления страховых случаев и величины связанных с этим выплат могут и должны изучаться раздельно.
Простейшая модель, описывающая наступление страховых случаев, базируется на следующих упрощающих предположениях: 1
1. анализируется фиксированный промежуток времени;
2. число договоров N фиксировано и неслучайно;
3. по каждому договору за рассматриваемый промежуток времени может
произойти только один страховой случай;
4. риски, связанные с договорами, независимы, т.е наступление или нет
страхового случая по одному договору не влияет на наступление страховых случаев по другим договорам;
5. договора однородны в том смысле, что вероятность q наступления страхового случая по одному договору за рассматриваемый промежуток времени одна и та же для всех договоров;
1 Эта модель является статической, т.е. не содержит сценарий наступления страховых
случаев во времени.
63
64
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
6. мы интересуемся только общим числом ν страховых случаев за рассматриваемый промежуток времени, не обращая внимания на моменты их
наступления.
Общее число страховых случаев в этой модели имеет биномиальное распределение:
N i N −i
.
P (ν = i) =
qp
i
В описанной выше модели естественно предположить, что число договоров N велико, а вероятность наступления страхового случая q мала. При этом
среднее число страховых случаев Eν = N q за рассматриваемый промежуток
времени обычно является "средним"по величине числом λ. В этой ситуации
(когда N → ∞, q → 0, но N q → λ ∈ (0; +∞)) можно приблизить биномиальное распределение для числа страховых случаев более простым распределением – распределением Пуассона:
P (ν = i) →
λi −λ
e .
i!
Более интересной, чем статическая, является динамическая модель процесса наступления страховых случаев, которая описывает динамику наступления страховых случаев во времени. В самом общем случае процесс наступления страховых случаев – это произвольный точечный процесс, т.е. произвольная случайная последовательность точек T1 , T2 , . . . на оси времени.
Однако реальные статистические данные указывают на то, что этот процесс обладает определенными свойствами и может быть весьма точно описан
с помощью относительно простых моделей. Наиболее важной является пуассоновская модель, в которой предполагается, что
1. процесс наступления страховых случаев является стационарным, т.е.
распределение числа страховых случаев за некоторый промежуток времени зависит от его длины и не зависит от его положения на оси времени.
2. процесс является ординарным в том смысле, что наступление двух или
более страховых случаев за малый промежуток времени Δt практически
невозможно.
3. процесс наступления страховых случаев не обладает последействием,
т.е. случайные величины, выражающие число страховых случаев за непересекающиеся промежутки времени, независимы.
Введенные предположения довольно естественны как при описании наступления страховых случаев от всего портфеля договоров, так и при описании
наступления страховых случаев от индивидуального договора в случае, когда
договор за время своего действия может произвести несколько страховых случаев (как это имеет место, например, при страховании автомобилей).
Можно показать, что это определение процесса Пуассона с помощью его
качественных свойств равносильно тому, что интервалы между страховыми
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
65
случаями (ниже T0 = 0) T1 − T0 = T1 , T2 − T1 , T3 − T2 , . . . – независимы и одинаково распределены по экспоненциальному закону с некоторым параметром
λ. Этот параметр равен среднему числу страховых случаев в единицу времени
и называется интенсивностью пуассоновского процесса.
Задача 2.1 ([16]) В некотором городе каждую неделю происходит 7 автомобильных катастроф. Предположим, что каждая отдельная катастрофа с равной вероятностью может произойти в любой день недели и
дни, в которые происходят катастрофы – независимы.
Неделю, в которую катастрофы равномерно распределены по дням недели (т.е. в день происходит ровно одна катастрофа), назовем "обычной",
а неделю, которая содержит дни, в которые произошло не менее двух катастроф, назовем "катастрофической".
Найдите среднее число "обычных"и "катастрофических"недель в течение трех лет.
Решение задачи Найдем вероятность P того, что катастрофы будут
равномерно распределены по дням недели.
Будем описывать аварийность в течение данной недели набором (d1 , d2 , . . . , d7 ),
где di – день, когда произошла i-я катастрофа (напомним, что по условию
задачи каждую неделю происходит ровно 7 катастроф). Общее число различных исходов равно 77 .
"Обычной"неделе соответствует набор (d1 , d2 , . . . , d7 ), где все di различны, т.е. перестановка из 7 элементов; их общее число равно 7!.
В силу условия все исходы равновероятны. Поэтому
P=
7!
≈ 0.00612.
77
Считая, что год состоит из 52 недель, теперь можно найти среднее число
"обычных"недель в течение трех лет; оно равно 3 · 52 · 0.00612 ≈ 1. Соответственно, среднее число "катастрофических"недель ≈ 155. 2
Задача 2.2 ([30]) Число страховых случаев за один месяц моделируется
случайной величиной ν с распределением:
P (ν = n) =
1
, n ≥ 0.
(n + 1)(n + 2)
Найдите вероятность того, что за месяц произойдет хотя бы один страховой случай, если известно, что число страховых случаев за этот месяц
не превосходит 4.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
66
Решение задачи В терминах величины ν искомая вероятность P может быть записана, как P (ν ≥ 1|ν ≤ 4). Используя определение условной
вероятности, мы имеем:
P (ν ≥ 1|ν ≤ 4) =
P (1 ≤ ν ≤ 4)
.
P (ν ≤ 4)
Но
P (1 ≤ ν ≤ 4) =
P (ν = 1) + P (ν = 2) + P (ν = 3) + P (ν = 4)
1
1
1
1
=
+
+
+
2·3 3·4 4·5 5·6
1
,
=
3
P (ν ≤ 4) = P (ν = 0) + P (ν = 1) + P (ν = 2)
+ P (ν = 3) + P (ν = 4)
1
1
1
1
1
5
=
+
+
+
+
= ,
1·2 2·3 3·4 4·5 5·6
6
так что
P=
2
2
.
5
Задача 2.3 ([21]) Совместное распределение числа торнадо в странах A
и B задается таблицей 2.1.
Таблица 2.1:
Годовое число
торнадо в стране B
Годовое число
торнадо
в стране A
0
1
2
0
0.12
0.13
0.05
1
0.06
0.15
0.15
2
0.05
0.12
0.10
3
0.02
0.03
0.02
Подсчитайте условную дисперсию годового числа торнадо в стране B
при условии, что в стране A не было ни одного торнадо.
(A) 0.51
(B) 0.84
(C) 0.88
(D) 0.99
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
67
(E) 1.76
Решение задачи Пусть X и Y – число торнадо в стране A и B соответственно. Условное распределение случайной величины Y при условии,
что X = 0, дается формулой:
P (Y = i|X = 0) =
P (X = 0, Y = i)
.
P (X = 0)
Вероятности P (X = 0, Y = i), i = 0, 1, 2, 3, содержатся в первой строке
таблицы 2.1, а вероятность P (X = 0) получается суммированием элементов
этой строки. Поэтому
P (X = 0) = 0.12 + 0.06 + 0.05 + 0.02 = 0.25,
а условное распределение случайной величины Y при условии, что X =
0, задается таблицей 2.2. Теперь для моментов условного распределения
Таблица 2.2:
i
0
1
2
3
P (Y = i|X = 0)
0.48
0.24
0.20
0.08
случайной величины Y при условии, что X = 0, мы имеем:
E(Y |X = 0)
2
E(Y |X = 0)
= 0 · 0.48 + 1 · 0.24 + 2 · 0.20 + 3 · 0.08 = 0.88,
= 02 · 0.48 + 12 · 0.24 + 22 · 0.20 + 32 · 0.08
= 1.76,
так что
V ar(Y |X = 0) = E(Y 2 |X = 0) − (E(Y |X = 0))2 = 0.9856,
и поэтому верным является вариант (D). 2
Задача 2.4 ([30]) Число страховых случаев, заявленных на протяжении
одной недели, является случайной величиной ν с распределением
P (ν = n) =
1
, n ≥ 0.
2n+1
Кроме того, число страховых случаев, заявленных на протяжении недели, не зависит от числа страховых случаев, заявленных на протяжении
любой другой недели.
Подсчитайте вероятность того, что за две недели будет заявлено
ровно 7 страховых случаев.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
68
1
(A) 256
1
(B) 128
7
(C) 512
1
(D) 64
1
(E) 32
Решение задачи Пусть ν1 и ν2 – числа страховых случаев, заявленных
на протяжении первой и второй недели соответственно. В силу независимости этих случайных величин для распределения суммы ν1 + ν2 имеем:
P (ν1 + ν2 = n) =
=
n
k=0
n
k=0
P (ν1 = k) · P (ν2 = n − k)
1
1
n+1
· n−k+1 =
= n+2 ,
k+1
n+2
2
2
2
2
1
n
k=0
так что искомая вероятность P (ν1 + ν2 = 7) равна 289 = 216 . Следовательно,
правильным будет ответ D.
2
Задача 2.5 ([24]) Перед заключением договора страхования жизни страховая компания проводит медицинский андеррайтинг, который включает
тест для диагностики некоторого заболевания. Этот тест имеет два
возможных исхода: Y = 1, если тест показывает наличие болезни, и
Y = 0, если тест не показывает наличие болезни. Пусть X = 1 или 0
в соотвествии с тем, имеется или нет в действительности это заболевание. Совместное распределение случайных величин X и Y есть:
P (X = 0, Y = 0) = 0.800,
P (X = 1, Y = 0) = 0.050,
P (X = 0, Y = 1) =
0.025,
P (X = 1, Y = 1) =
0.125.
Найдите V ar(Y |X = 1).
(A) 0.13
(B) 0.15
(C) 0.20
(D) 0.51
(E) 0.71
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
69
Решение задачи Прежде всего подсчитаем условное распределение
случайной величины Y при условии, что X = 1:
P (Y = 0|X = 1)
=
=
=
P (Y = 1|X = 1)
=
=
=
P (Y = 0, X = 1)
P (X = 1)
P (Y = 0, X = 1)
P (X = 1, Y = 0) + P (X = 1, Y = 1)
2
0.050
= ,
0.050 + 0.125
7
P (Y = 1, X = 1)
P (X = 1)
P (Y = 1, X = 1)
P (X = 1, Y = 0) + P (X = 1, Y = 1)
5
0.125
= .
0.050 + 0.125
7
Поэтому,
E(Y |X = 1)
= 0 · P (Y = 0|X = 1) + 1 · P (Y = 1|X = 1)
5
= P (Y = 1|X = 1) = ,
7
E(Y 2 |X = 1) = 02 · P (Y = 0|X = 1) + 12 · P (Y = 1|X = 1)
5
= P (Y = 1|X = 1) = ,
7
10
2
2
V ar(Y |X = 1) = E(Y |X = 1) − (E(Y |X = 1)) =
49
≈ 0.2041,
так что верным является вариант (C). 2
Задача 2.6 ([24]) Вероятность того, что случайно выбранный мужчина
имеет проблемы с системой кровообращения, равна 0.25. Мужчина, имеющий такие проблемы, является курильщиком с вероятностью в два раза
больше, чем мужчина, у которого нет никаких проблем с системой кровообращения.
Чему равна условная вероятность того, что мужчина, который курит, имеет проблемы с системой кровообращения.
(A) 14
(B) 13
(C) 25
(D) 12
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
70
(E) 23
Решение задачи Введем в рассмотрение следующие события:
1. H1 ={у мужчины есть проблемы с системой кровообращения},
2. H2 ={мужчина не имеет никаких проблем с системой кровообращения},
3. A={мужчина является курильщиком},
4. B={мужчина не курит}.
В терминах этих событий интересующая нас вероятность – это P (H1 |A).
По условию P (H1 ) = 0.25. Поскольку события H1 и H2 образуют полную
группу несовместимых событий, то P (H2 ) = 1 − P (H1 ) = 0.75.
Кроме того, мы знаем, что P (A|H1 ) = 2P (A|H2 ). Вспоминая определение условной вероятности, мы можем переписать это равенство в виде:
P (AH2 )
P (AH1 )
=2
.
P (H1 )
P (H2 )
Поскольку события H1 и H2 образуют полную группу несовместимых событий, то P (AH1 ) + P (AH2 ) = P (A). Поэтому можно продолжить преобразования следующим образом:
P (AH1 )
0.25
=
2
P (A) − P (AH1 )
0.75
3P (AH1 ) =
2P (A) − 2P (AH1 )
5P (AH1 ) =
2P (A)
P (AH1 )
P (A)
=
2
5
P (H1 |A) =
2
5
так что верным является вариант (C). 2
Задача 2.7 ([21]) Таблица 2.3 содержит данные о состоянии автомобильного парка.
Автомобиль, выпущенный в период между 1997 и 1999 гг. (включительно), попал в аварию.
Найдите вероятность того, что этот автомобиль был выпущен в
1997 г.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
71
Таблица 2.3:
Год
выпуска
машины
Доля среди
всех машин
Вероятность
попасть в
аварию
1997
1998
1999
Прочее
0.16
0.18
0.20
0.46
0.05
0.02
0.03
0.04
(A) 0.22
(B) 0.30
(C) 0.33
(D) 0.45
(E) 0.50
Решение задачи Введем события:
1. H1 ={автомобиль был выпущен в 1997 г.},
2. H2 ={автомобиль был выпущен в 1998 г.},
3. H3 ={автомобиль был выпущен в 1999 г.},
4. A={автомобиль попал в аварию},
5. B = A(H1 + H2 + H3 )={автомобиль, выпущенный в 1997, 1998 или
1999 гг., попал в аварию}.
Первые три строки второго столбца таблицы 2.3 фактически содержат
числовые значения P (H1 ), P (H2 ), P (H3 ), а первые три строки третьего
столбца таблицы 2.3 содержат числовые значения P (A|H1 ), P (A|H2 ), P (A|H3 ).
В терминах этих событий искомая вероятность P может быть записана, как
P (H1 |B).
3
Поскольку B ⊂ i=1 Hi , а P (AHi ) = P (BHi ), i = 1, 2, 3, используя
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
72
определение условной вероятности, мы имеем:
P
=
=
=
=
=
P (BH1 )
P (BH1 )
=
P (B)
P (BH1 ) + P (BH2 ) + P (BH3 )
P (AH1 )
P (AH1 ) + P (AH2 ) + P (AH3 )
P (A|H1 )P (H1 )
P (A|H1 )P (H1 ) + P (A|H2 )P (H2 ) + P (A|H3 )P (H3 )
0.05 · 0.16
0.05 · 0.16 + 0.02 · 0.18 + 0.03 · 0.20
80
≈ 0.45,
176
и поэтому верным является вариант (D). 2 2
Задача 2.8 ([24]) Актуарий изучал вероятность попадания в аварию хотя бы один раз в год для различных возрастных категорий водителей. Результаты его исследования приведены в таблице 2.4.
Таблица 2.4:
Номер
группы
Возраст
водителя
Доля среди
всех
водителей
Вероятность
хотя бы одной
аварии в год
1
2
3
4
до 25 лет
от 26 до 30 лет
от 31 до 50 лет
старше 50 лет
всего
8%
16%
45%
31%
100%
0.15
0.08
0.04
0.05
При условии, что водитель попал в аварию хотя бы один раз на протяжении года, определите, чему равна вероятность того, что водителю
от 26 до 30 лет.
(A) 0.06
(B) 0.16
(C) 0.19
(D) 0.22
(E) 0.25
2 Полученная формула для P ≡ P (H |B) является прямым следствием формулы Бай1
еса, если учесть, что P (A|Hi ) = P (B|Hi ), i = 1, 2, 3.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
73
Решение задачи Обозначим через Hi событие {водитель входит в i−ю
возрастную категорию}, i = 1, 2, 3, 4, а через A – событие {водитель попал
в аварию хотя бы один раз на протяжении года}. Третий столбец таблицы
2.4 фактически содержит числовые значения P (Hi ), а последний столбец
таблицы 2.4 содержит числовые значения P (A|Hi ).
В терминах этих событий искомая вероятность P может быть записана,
как P (H2 |A).
Поскольку события H1 , H2 , H3 , H4 образуют полную группу несовместимых событий, используя определение условной вероятности, мы имеем:
3
P
P (AH2 )
P (AH2 )
=
P (A)
P (AH1 ) + · · · + P (AH4 )
P (A|H2 )P (H2 )
P (A|H1 )P (H1 ) + · · · + P (A|H4 )P (H4 )
0.08 · 0.16
0.15 · 0.08 + 0.08 · 0.16 + 0.04 · 0.45 + 0.05 · 0.31
128
≈ 0.219554,
583
≡ P (H2 |A) =
=
=
=
и поэтому верным является вариант (D). 2
Задача 2.9 ([20]) Страховая компания занимается страхованием жизни. 10% застрахованных в этой компании являются курильщиками. Если
застрахованный не курит, вероятность его смерти на протяжении года
равна 0.01. Если же он курильщик, то эта вероятность равна 0.05.
Какова доля курильщиков среди тех застрахованных, которые умерли
в течение года?
(A) 5%
(B) 20%
(C) 36%
(D) 56%
(E) 90%
Решение задачи Введем события:
1. H1 ={застрахованный – курильщик},
2. H2 ={застрахованный – не курильщик},
3. A={застрахованный умер в течение года}.
3 Фактически мы повторяем вывод формулы Байеса.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
74
Условие задачи означает, что
P (H1 ) = 0.1, P (A|H1 ) = 0.05, P (A|H2 ) = 0.01.
Кроме того, поскольку события H1 и H2 образуют полную группу несовместимых событий, P (H2 ) = 1 − P (H1 ) = 0.9.
Интересующая нас вероятность – это P (H1 |A). Используя формулу Байеса, мы имеем:
P (H1 |A) =
=
P (A|H1 )P (H1 )
P (A|H1 )P (H1 ) + P (A|H2 )P (H2 )
0.05 · 0.1
5
=
≈ 0.35714,
0.05 · 0.1 + 0.01 · 0.9
14
и поэтому верным является вариант (C). 2
Задача 2.10 ([20]) Десять процентов договоров из портфеля страховой
компании, являются договорами с высокой степенью риска, а оставшиеся
90% договоров являются договорами с низкой степенью риска.
Число страховых случаев по одному договору в течение года распределено по закону Пуассона со средним θ; риски, связанные с различными
договорами, независимы друг от друга. Для договоров с высокой степенью
риска θ = 0.6, а для договоров с низкой степенью риска θ = 0.1.
Сколько в среднем можно ожидать страховых случаев в наступающем
году по договору, который в прошлом году привел к одному страховому
случаю?
(A) 0.15
(B) 0.18
(C) 0.24
(D) 0.30
(E) 0.40
Решение задачи Введем следующие события:
1. H1 ={договор имеет высокую степень риска},
2. H2 ={договор имеет низкую степень риска},
3. A={договор привел к одному страховому случаю в прошлом году}.
По условию, P (H1 ) = 0.1, P (H2 ) = 0.9.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
75
Используя формулу Байеса, подсчитаем апостеорную вероятность того,
что договор имеет высокую степень риска:
P (H1 |A)
=
=
=
P (A|H1 )P (H1 )
P (A|H1 )P (H1 ) + P (A|H2 )P (H2 )
0.6e−0.6 · 0.1
0.6e−0.6 · 0.1 + 0.1e−0.1 · 0.9
2
√ ≈ 0.287929.
2+3 e
При условии, что договор имеет высокую степень риска, ожидаемое число
страховых случаев в наступающем году есть 0.6.
Соответственно, апостеорная вероятность того, что договор имеет низкую степень риска, равна
√
3 e
√ ≈ 0.712071,
P (H2 |A) = 1 − P (H1 |A) =
2+3 e
а при условии, что договор имеет низкую степень риска, ожидаемое число
страховых случаев в наступающем году есть 0.1.
Отсюда ожидаемое число страховых случаев в наступающем году по
договору, который в прошлом году привел к одному страховому случаю,
равно
0.6 · 0.287929 + 0.1 · 0.712071 = 0.243964.
Поэтому верным является вариант (C).
Более аккуратное решение выглядит следующим образом.
Пусть ν – число страховых случаев по договору в прошлом году (так
что введенное выше событие A ≡ {ν = 1}), а ν – число страховых случаев
по этому же договору в наступающем году. При условии, что известно,
какое из двух событий, H1 или H2 , наступило, случайные величины ν и
ν – независимы, 4 и имеют одинаковые условные распределения, которые
являются распределениями Пуассона с параметрами θ1 и θ2 соответственно:
P (ν = n|H1 ) =
P (ν = n|H2 ) =
θ1n −θ1
e , n = 0, 1, 2, . . . ,
n!
θn
P (ν = n|H2 ) = 2 e−θ2 , n = 0, 1, 2, . . . ,
n!
P (ν = n|H1 ) =
где θ1 = 0.6, θ2 = 0.1.
В частности,
E(ν |H1 ) =
E(ν |H2 ) =
θ1 = 0.6,
θ2 = 0.1.
4 Это означает, что условное совместное распределение случайных величин ν и ν ,
P (ν = n , ν = n |Hk ), распадается в произведение маргинальных распределений P (ν =
n |Hk ) и P (ν = n |Hk ), k = 1, 2.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
76
Интересующая нас величина – это E(ν |ν = 1). Используя определение
условной вероятности и условную независимость величин ν , ν , мы имеем:
nP (ν = n|ν = 1)
E(ν |ν = 1) =
n
P (ν = n, ν = 1)
n
=
P (ν = 1)
n
P (ν = n, ν = 1, Hk )
=
n
P (ν = 1)
n
Hk
P (ν = n, ν = 1|Hk )P (Hk )
n
=
P (ν = 1)
n
Hk
P (ν = n|Hk )P (ν = 1|Hk )P (Hk )
n
=
P (ν = 1)
n
Hk
=
n
=
Hk
=
Hk
Hk
nP (ν = n|Hk )
P (ν = 1, Hk )
P (ν = 1)
nP (ν = n|Hk )P (Hk |ν = 1)
n
E(ν |Hk )P (Hk |A) =
θk P (Hk |A)
Hk
≡ θ1 P (H1 |A) + θ2 P (H2 |A)
≈ 0.6 · 0.287929 + 0.1 · 0.712071 = 0.243964.
2
Задача 2.11 ([26]) Число страховых случаев по одному договору страхования в течение года распределено по закону Пуассона. Для половины договоров среднее число страховых случаев в год равно 2, а для другой половины
– 4.
По случайно выбранному договору два года подряд было заявлено по 4
страховых случая в год.
Сколько в среднем можно ожидать страховых случаев по этому договору в следующем году?
(A) 3.2
(B) 3.4
(C) 3.6
(D) 3.8
(E) 4.0
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
77
Решение задачи Введем следующие события:
1. H1 ={договор входит в группу со средним числом страховых случаев
в год, равным 2},
2. H2 ={договор входит в группу со средним числом страховых случаев
в год, равным 4},
3. A={договор два года подряд привел к 4 страховым случаям}.
По условию, P (H1 ) = 0.5, P (H2 ) = 0.5. Кроме того, поскольку число страховых случаев в год имеет распределение Пуассона, а риски в различные
года – независимы,
P (A|H1 )
=
P (A|H2 )
=
24 −2 24 −2
4
e
e = e−4 ,
4!
4!
9
44 −4 44 −4
1024 −8
e
e =
e .
4!
4!
9
Используя формулу Байеса, подсчитаем апостеорную вероятность того, что
рассматриваемый договор входит в первую группу:
P (H1 |A)
=
=
=
P (A|H1 )P (H1 )
P (A|H1 )P (H1 ) + P (A|H2 )P (H2 )
4 −4
· 0.5
9e
4 −4
1024 −8
· 0.5 + 9 e · 0.5
9e
1
≈ 0.17578.
1 + 256e−4
Соответственно, апостеорная вероятность того, что договор входит во вторую группу, равна
P (H2 |A) = 1 − P (H1 |A) ≈ 0.82422.
При условии, что договор входит в первую (вторую) группу, ожидаемое
число страховых случаев в следующем году есть 2 (соответственно, 4).
Поэтому безусловное ожидаемое число страховых случаев в очередном
году по договору, который два года подряд приводил к 4 страховым случаям, равно
2 · 0.17578 + 4 · 0.82422 = 3.64844,
так что верным является вариант (C). 2
Задача 2.12 ([21]) Компания устанавливает цену на страхование убытков от ураганов, используя следующие предположения:
1. на протяжении одного календарного года не может быть больше
одного урагана;
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
78
2. вероятность того, что на протяжении одного календарного года будет ураган, равна 0.05;
3. число ураганов на протяжении любого календарного года не зависит
от числа ураганов на протяжении любого другого календарного года.
Используя предположения компании, подсчитайте вероятность того,
что за 20 лет будет меньше трех ураганов.
(A) 0.06
(B) 0.19
(C) 0.38
(D) 0.62
(E) 0.92
Решение задачи Обозначим через ν число ураганов за N = 20 лет.
Для анализа этой величины введем индикаторные величины I1 , . . . , IN , где
Ii = 1 или 0 в соответствии с тем, был или нет ураган в i−м году (иными
словами, Ii – число ураганов в i−м году). Это позволит записать интересующую нас величину ν в виде суммы:
ν = I1 + · · · + IN .
Случайные величины I1 , . . . , IN одинаково распределены по закону :
P (Ii = 1) = q, P (Ii = 0) = p ≡ 1 − q,
где q = 0.05, и имеют одну и ту же производящую функцию
z 0 · P (I = 0) + z 1 · P (I = 1) = p + zq.
Поскольку случайные величины I1 , . . . , IN независимы, производящая функция π(z) величины ν равна произведению производящих функций величин
I1 , . . . , IN :
π(z) = (p + zq)N .
(2.1)
Напомним, что по определению,
π(z) =
N
P (ν = i)z i .
i=0
С другой стороны, по формуле бинома Ньютона
(p + zq)
N
N
N
N
N i N −i i
i N −i
(zp) p
qp
=
=
z,
i
i
i=0
i=0
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
где
N
i
=
79
N!
N (N − 1)...(N − i + 1)
=
.
i!(N − i)!
i!
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих частях
равенства (2.1), мы получим распределение числа ураганов за N = 20 лет:
5
P (ν = i) =
N i N −i
qp
.
i
(2.2)
Эта формула может быть получена и с помощью комбинаторных соображений. Всего имеется Ni вариантов развития событий, при которых
происходит ровно i ураганов. Вероятность каждого конкретного варианта
равна q i pN −i , что влечет справедливость формулы (2.2).
В терминах случайной величины ν искомая вероятность P может быть
выражена следующим образом:
P = P (ν < 3) = P (ν = 0) + P (ν = 1) + P (ν = 2).
Используя формулу (2.2), мы имеем:
P
=
20 1 19
20 2 19
20 0 20
q p +
q p
q p +
1
2
0
= 0.9520 + 20 · 0.051 · 0.9519 + 190 · 0.052 · 0.9518
≈ 0.3585 + 0.3774 + 0.1887 = 0.9246
и поэтому верным является вариант (E).
Еще одно решение этой задачи может быть получено, если мы заметим,
что параметр N (число лет) достаточно большой (N = 20), а вероятность
урагана q мала (q = 0.05). При этом среднее число ураганов Eν = N q за рассматриваемый промежуток времени является "средним"по величине числом λ = 1. В этой ситуации (когда N → +∞, q → 0, но N q → λ ∈ (0; +∞))
можно приблизить биномиальное распределение (2.2) для числа ураганов
более простым распределением – распределением Пуассона с параметром
λ. Действительно, при сделанных предположениях:
(1 − q)N −i
= exp((N − i) ln(1 − q)) = exp((N − i)(−q + o(q)))
= exp(−N q + o(1)) = exp(−λ + o(1)) → e−λ .
Кроме того,
N (N − 1) . . . (N − i + 1)q i
= N q(N q − q) . . . (N q − (i − 1)q)
→ λ · · · · · λ = λi .
5 Распределение (2.2) называется биномиальным распределением, а случайная величина ν – биномиальной случайной величиной. Отметим также, что в общем курсе теории
вероятностей модели, подобные нашей, обычно называют схемой Бернулли; параметр N
называют числом испытаний, а параметр q – вероятностью успеха.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
80
Поэтому
λi −λ
e .
i!
Здесь в правой части стоит распределение Пуассона с параметром λ.
Применяя этот результат к рассматриваемой задаче, мы можем написать для искомой вероятности P = P (ν < 3) приближенное равенство: 6
P (ν = i) →
P
≈
≡
1+λ+
λ2
2
e−λ
(1 + 1 + 0.5) e−1 ≈ 0.92.
2
Задача 2.13 ([21]) При моделировании числа страховых случаев, заявленных владельцами договоров страхования автомобилей за трехлетний
период, актуарий страховой компании сделал упрощающее предположение, что для всех целых n ≥ 0 верно равенство
pn+1 =
1
pn ,
5
где pn – вероятность того, что страхователь заявил n страховых случаев
на протяжении рассматриваемого периода времени.
Какова, при сделанных предположениях, вероятность того, что страхователь заявил более одного страхового случая.
(A) 0.04
(B) 0.16
(C) 0.20
(D) 0.80
(E) 0.96
Решение задачи Рекуррентная формула
pn+1 =
1
pn , n ≥ 0,
5
может быть переписана в виде
pn = λpn−1 , n ≥ 1,
где λ = 15 .
6 Отметим замечательную точность приближения Пуассона; относительная погрешность при расчете искомой вероятности составляет около 0.5%.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
81
Отсюда последовательно имеем:
pn = λn p0 , n ≥ 1.
(2.3)
При n = 0 это равенство превращается в тождество. Поэтому можно считать, что уравнение (2.3) верно при всех n ≥ 0.
+∞
Суммируя соотношение (2.3) по n ≥ 0 и учитывая тот факт, что n=0 pn =
1, мы получим:
p0 = 1 − λ,
так что распределение pn является геометрическим:
pn = λn (1 − λ), n ≥ 0.
(2.4)
Искомая вероятность может быть записана как 1 − p0 − p1 и из выраже1
. Поэтому верным
ния (2.4) мы немедленно получаем, что она равна λ2 = 25
является вариант (A). 2
Задача 2.14 ([21]) Актуарий страховой компании установил, что за время действия определенного вида договоров застрахованные заявляют два
страховых случая в три раза чаще, чем четыре.
Найдите дисперсию числа заявляемых страховых случаев, если оно имеет распределение Пуассона.
(A) √13
(B) 1
√
(C) 2
(D) 2
(E) 4
Решение задачи Пусть ν – число заявляемых страховых случаев для
одного договора. По условию
P (ν = n)
=
P (ν = 2) =
λn −λ
e ,
n!
3 · P (ν = 4).
Отсюда немедленно вытекает, что λ = 2.
Для распределения Пуассона с параметром λ, как известно, дисперсия
в точности равна λ, так что верным является вариант (D). 2
82
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Задача 2.15 ([24]) Страховая компания заключила 1250 договоров страхования. Число страховых случаев, заявленных по одному договору на протяжении одного года, имеет распределение Пуассона со средним значением 2. Предполагая, что количества страховых случаев, заявленных различными страхователями, не зависят друг от друга, подсчитайте вероятность того, что по всему портфелю за год будет заявлено от 2450 до
2600 страховых случаев.
(A) 0.68
(B) 0.82
(C) 0.87
(D) 0.95
(E) 1.00
Решение задачи Пусть νi – число страховых случаев, заявленных по
i−му договору на протяжении одного года, N = 1250 – общее число договоров, S = ν1 + · · · + νN – общее число страховых случаев, заявленных по
всему портфелю за год. Поскольку случайные величины νi имеют распределение Пуассона со средним λ = 2, их дисперсии также равняются λ = 2.
Поэтому
ES = N · Eνi = 1250 · 2 = 2500,
V arS = N · V arνi = 1250 · 2 = 2500.
Искомая вероятность P ≡ P (2450 ≤ S ≤ 2600) может быть записана как
S − ES
2600 − ES
2450 − ES
√
≤ √
≤ √
V arS
V arS
V arS
или, что то же самое,
P
P
,
S − ES
−1 ≤ √
≤2 .
V arS
Прменяя гауссовское приближение для распределения центрированной и
нормированной суммы, мы имеем:
P
≈ Φ(2) − Φ(−1) = Φ(2) + Φ(1) − 1
≈ 0.97725 + 0.84134 − 1 = 0.8186,
и поэтому верным является вариант (B). 2
Задача 2.16 ([25]) Распределение числа страховых случаев является рандомизированным пуассоновским распределением со средним значением, которое равномерно распределено на отрезке [0, 5].
Подсчитайте вероятность того, что произойдет по меньшей мере два
страховых случая.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
83
(A) 0.61
(B) 0.66
(C) 0.71
(D) 0.76
(E) 0.81
Решение задачи Условие задачи означает, что распределение числа
страховых случаев πi = P (ν = i) дается формулой
πi = Eπi (Λ),
i
где πi (x) = xi! e−x – распределение Пуаcсона, а случайный параметр Λ имеет
плотность
1
если 0 < x < 5,
5,
fΛ (x) =
0
в противном случае.
По формуле полного математического ожидания мы имеем:
∞
πi (x) · fΛ (x)dx
πi =
0
=
1
5
5
0
xi −x
e dx.
i!
Для конкретных значений i этот интеграл легко подсчитать по частям:
π0
=
π1
=
=
5
5
1
1 − e−5
−e−x
,
=
5
5
0
0
1 5 −x
1 5
xe dx = −
xde−x
5 0
5 0
5
−xe−x
1 5 −x
+
e dx
5
5 0
0
1
5
e−x dx =
= −e−5 + π0 =
1 − 6e−5
.
5
Поэтому искомая вероятнось P (ν ≥ 2) равна
P (ν ≥ 2) = 1 − P (ν = 0) − P (ν = 1) =
3 + 7e−5
≈ 0.6094.
5
Следовательно, верным является вариант (A). 2
Задача 2.17 ([22]) Известно, что
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
84
1. число страховых случаев ν имеет распределение Пуассона со средним
Λ,
2. Λ имеет гамма-распределение со средним 1 и дисперсией 2.
Подсчитайте вероятность того, что ν = 1.
(A) 0.19
(B) 0.24
(C) 0.31
(D) 0.34
(E) 0.37
Решение задачи Напомним, что случайная величина Λ имеет гаммараспределение с параметрами λ > 0 и α > 0, если ее плотность дается
формулой:
λα α−1 −λx
x
e
, x > 0,
fΛ (x) =
(α)
где
∞
(α) =
tα−1 e−t dt
0
– классическая гамма-функция. Среднее значение и дисперсия величины Λ
связаны с параметрами λ и α формулами:
EΛ =
так что
α=
α
α
, V arΛ = 2 ,
λ
λ
EΛ
(EΛ)2
, λ=
.
V arΛ
V arΛ
В нашем случае
1
1
, λ= .
2
2
Для подсчета распределения числа страховых случаев в рассматриваемой
i
модели мы должны усреднить распределение Пуаcсона πi ≡ πi (x) = xi! e−x
в соответствии с плотностью fΛ (x). Иными словами, распределение случайной величины ν дается формулой:
∞
πi (x) · fΛ (x)dx
πi = Eπi (Λ) =
0
∞ i
x −x λα α−1 −λx
e
dx
=
e
x
i!
Γ(α)
0
∞
λα
=
xi+α−1 e−(λ+1)x dx.
i!Γ(α) 0
α=
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
85
С помощью замены переменной t = (λ + 1)x мы получим:
∞
λα
πi =
ti+α−1 e−t dt.
(λ + 1)i+α i!Γ(α) 0
Вспоминая определение гамма-функции, отсюда имеем:
πi =
λα
· Γ(i + α).
(λ + 1)i+α i!Γ(α)
И наконец, используя классическую формулу Γ(x) = (x − 1) · Γ(x − 1), мы
получим: 7
α · (α + 1) · · · · · (α + i − 1) α i
πi =
p q,
i!
где
1
λ
, q=
.
p=
λ+1
λ+1
В нашем случае
1
2
1
α= , p= , q= ,
2
3
3
так что
1
P (ν = 1) = αpα q = √ ≈ 0.1924501,
3 3
и поэтому верным является вариант (A). 2
Задача 2.18 ([28]) Актуарий компании, занимающейся страхованием автомобилей, установил, что для случайно выбранного застрахованного автомобиля распределение числа страховых случаев, заявленных в течение
года, имеет отрицательное биномиальное распределение со средним 0.2 и
дисперсией 0.4.
С другой стороны, для каждого конкретного застрахованного автомобиля распределение числа страховых случаев, заявленных в течение года,
имеет распределение Пуассона; его параметр для случайно выбранного застрахованного автомобиля имеет гамма-распределение.
Найдите дисперсию этого гамма-распределения.
Решение задачи Для отрицательного биномиального распределения с
параметрами p и α дисперсия и среднее числа страховых случаев по одному
договору даются формулами
Eν
=
V arν
=
α(1 − p)
,
p
α(1 − p)
,
p2
7 Полученное распределение называется отрицательным биномиальным распределением с параметрами p и α.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
86
откуда
p =
α
=
Eν
= 0.5,
V arν
2
(Eν)
= 0.2.
V arν − Eν
Далее, как мы установили в задаче 2.17, если отрицательное биномиальное распределение рассматривать как рандомизированное распределение Пуассона с параметром Λ, распределенным в соответствии с гаммараспределением, то
1. параметр α этого гамма-распределения совпадает с параметром α основного отрицательного биномиального распределения;
2. параметр λ этого гамма-распределения связан с параметром p основного отрицательного биномиального распределения соотношением:
p=
λ
.
λ+1
Поэтому наше гамма-распределение имеет параметры
α
=
λ
=
2
(Eν)
= 0.2,
V arν − Eν
p
Eν
=
= 1,
1−p
V arν − Eν
и, значит,
EΛ =
V arΛ =
α
= Eν = 0.2,
λ
α
= V arν − Eν = 0.2.
λ2
2
Задача 2.19 ([22]) Число страховых случаев за один день по договорам
страхования автомобилей зависит от состояния погоды (дождливая или
нет). Для проведения актуарных расчетов актуарий страховой компании
моделирует состояние погоды в последовательные дни как стационарную
цепь Маркова с двумя состояниями:
1. если сегодня был дождь, то вероятность того, что дождь будет и
завтра, равна 0.50,
2. если сегодня не было дождя, то вероятность того, что завтра будет
дождь, равна 0.30.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
87
Подсчитайте стационарную вероятность того, что два последовательных дня будут дождливыми.
(A) 0.12
(B) 0.14
(C) 0.16
(D) 0.19
(E) 0.22
Решение задачи Пусть Xk – состояние погоды в k−й день: Xk =
1, если дождь был, Xk = 0, если дождя не было. Матрица вероятностей
перехода pij = P (Xk+1 = j|Xk = i) цепи Xk имеет вид:
0.7 0.3
0.5 0.5
.
Поэтому уравнения Колмогорова для стационарного распределения π0 =
P (Xk = 0), π1 = P (Xk = 1) есть:
π0
π1
=
=
π0 · 0.7 + π1 · 0.5,
π0 · 0.3 + π1 · 0.5.
Поскольку π0 + π1 = 1, отсюда сразу получим:
π0 =
5
3
, π1 = .
8
8
Теперь для искомой вероятности P = P (Xk = 1, Xk+1 = 1) имеем:
P
=
=
P (Xk = 1) · P (Xk+1 = 1|Xk = 1)
3
π1 p11 = · 0.5 = 0.1875,
8
и поэтому верным является вариант (D). 2
Задача 2.20 ([25]) Муниципалитет устраивает пикник 14 июля каждого года. В случае дождливой погоды пикник отменяется и муниципалитет теряет 1000, потраченную на его организацию. После очередной
отмены пикника из-за плохой погоды муниципалитет решил купить на
следующие три года страховку, которая покрыла бы эти потери.
При проведении актуарных расчетов страховая компания моделирует
состояние погоды как стационарную цепь Маркова с двумя состояниями:
состояние 1 соответствует хорошей погоде, а состояние 0 – плохой. При
этом предполагается, что вероятность дождя в какой-то день равна 0.50,
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
88
если накануне также был дождь, и равна 0.20, если накануне не было дождя.
Техническая процентная ставка i, используемая компанией в актуарных расчетах, равна 10%.
Подсчитайте разовую нетто-премию по этому договору.
(A) 340
(B) 420
(C) 540
(D) 710
(E) 760
Решение задачи Примем день заключения договора в качестве начала
отсчета времени и обозначим состояние погоды в k−й день через Xk : Xk =
1, если дождь был, Xk = 0, если дождя не было. Матрица вероятностей
перехода pij = P (Xk+1 = j|Xk = i) цепи Xk имеет вид:
0.8 0.2
0.5 0.5
.
Поэтому уравнения Колмогорова для стационарного распределения π0 =
P (Xk = 0), π1 = P (Xk = 1) есть:
π0
π1
= π0 · 0.8 + π1 · 0.5,
= π0 · 0.2 + π1 · 0.5.
Поскольку π0 + π1 = 1, отсюда имеем:
π0 =
5
2
, π1 = .
7
7
Пусть T = 365 – число дней в году. Тогда XT , X2T , X3T – состояния
погоды в дни 14 июля, покрытые страховкой. Поскольку T = 365 – достаточно большое число, приближенно можно считать, что распределения этих
случайных величин совпадают со стационарным распределением:
P (XT = 1) = P (X2T = 1) = P (X3T = 1) ≈ π1 =
2
.
7
Современная стоимость обязательств компании по рассматриваемому договору есть:
Z = 1000 · v · I(XT = 1) + v 2 · I(X2T = 1) + v 3 · I(X3T = 1) ,
где v = 1/(1 + i) = 10/11 – коэффициент дисконтирования.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
89
Соответственно, актуарная современная стоимость обязательств компании равна
EZ
= 1000 · vP (XT = 1) + v 2 P (X2T = 1) + v 3 P (X3T = 1)
6 620 000
≈ 710.53.
= 1000π1 · (v + v 2 + v 3 ) =
9 317
Принцип эквивалентности обязательств влечет, что разовая нетто-премия
равна актуарной современной стоимости обязательств компании. Поэтому
верным является вариант (D). 2
Задача 2.21 ([27]) Промежуток времени от момента заключения договора страхования гражданской ответственности водителей до момента
наступления первого страхового случая для хороших водителей имеет
экспоненциальное распределение со средним 6 лет, а для плохих водителей
– экспоненциальное распределение со средним 3 года. Для разных водителей
эти промежутки времени являются независимыми случайными величинами.
Рассмотрим двух водителей, одного хорошего, а второго – плохого. Чему равна вероятность того, что для хорошего водителя время до наступления страхового случая меньше, чем 3 года, а для плохого – меньше, чем
2 года.
Решение задачи Пусть T (T ) – промежуток времени от момента
заключения договора до момента наступления первого страхового случая
для хорошего (плохого) водителя. Искомая вероятность P может быть записана как P (T < 3, T < 2). В силу независимости случайных величин T ,
T имеем:
P
=
=
P (T < 3) · P (T < 2)
1 − e−3/6 · 1 − e−2/3 ≈ 19.15%.
2
Задача 2.22 ([18]) Процесс наступления страховых случаев является пуассоновским с параметром 2.
Определите среднее время до наступления пятого страхового случая.
(A) 2.0
(B) 2.5
(C) 5.0
(D) 7.5
90
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
(E) 10.0
Решение задачи Пусть T1 , T2 , . . . – моменты наступления страховых
случаев (T0 = 0). Тот факт, что этот процесс – пуассоновский с параметром
λ = 2, означает, что интервалы между страховыми случаями τ1 ≡ T1 − T0 =
T1 , τ2 ≡ T2 −T1 , τ3 ≡ T3 −T2 , . . . – независимы и одинаково распределены по
экспоненциальному закону с параметром λ (т.е. со средним Eτi = λ1 = 12 ).
Поэтому момент наступления пятого страхового случая, T5 , представим в
виде суммы пяти независимых экспоненциально распределенных величин с
параметром λ:
T5 = τ1 + · · · + τ5 .
Отсюда,
5
1
= .
λ
2
Таким образом, верным является вариант (B). 2
ET5 = Eτ1 + · · · + Eτ5 = 5 ·
Задача 2.23 ([25]) Страховая компания имеет два портфеля договоров
страхования. Страховые случаи по портфелю A наступают в соответствии с пуассоновским процессом со средним 3 случая в год. Страховые
случаи по портфелю B наступают в соответствии с пуассоновским процессом со средним 5 случаев в год. Эти два процесса – независимы.
Найдите вероятность того, что по портфелю A 3 страховых случая
произойдут раньше, чем 3 страховых случая произойдут по портфелю B.
(A) 0.28
(B) 0.33
(C) 0.38
(D) 0.43
(E) 0.48
Решение задачи Пусть Tn и Tn – моменты наступления n-го страхового случая по портфелю A и B соответственно. Интересующая нас вероятность P может быть записана как P (T3 < T3 ). По формуле полной
вероятности мы имеем:
+∞
P (T3 > t)fT3 (t)dt.
P ≡ P (T3 < T3 ) =
0
Таким образом, нам нужно найти функцию распределения случайной величины T3 и плотность случайной величины T3 .
Рассмотрим некоторый пуассоновский процесс с интенсивностью λ и
обозначим через ν(t) число событий этого процесса к моменту t, а через
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
91
Tn – момент наступления n-го события. Для любого точечного процесса
события {Tn > t} и {ν(t) ≤ n − 1} совпадают. Поэтому
P (Tn > t) = P (ν(t) ≤ n − 1) =
n−1
P (ν(t) = k).
k=0
Для пуассоновского процесса, как известно, случайная величина ν(t) имеет
распределение Пуассона с параметром λt:
P (ν(t) = k) =
(λt)k −λt
e , k = 0, 1, 2, . . . .
k!
Поэтому дополнительная функция распределения момента наступления nго события есть:
n−1
(λt)k
e−λt .
P (Tn > t) =
k!
k=0
Дифференцируя эту формулу по t, мы получим следующее выражение для
плотности случайной величины Tn :
fTn (t) = λ
(λt)n−1 −λt
e .
(n − 1)!
Возвращаясь к нашей задаче, из этих общих формул мы имеем:
P (T3 > t) =
1 + 5t +
fT3 (t) =
27t2 −3t
e .
2
Поэтому
P=
Интеграл вида
+∞
0
27
16
t2 + 5t3 +
+∞
25t2
2
e−5t ,
25 4
t 8e−8t dt.
2
tn λe−λt dt
0
можно рассматривать как n-й момент экспоненциального распределения с
параметром λ. Как известно, этот момент равен λn!n . Следовательно,
P=
27
16
2!
3!
25 4!
·
+5· 3 +
82
8
2 84
=
9018
= 0.2752075,
32768
и поэтому верным является вариант (A). 2
Задача 2.24 ([19]) Пусть Vk – время между окончанием обработки (k −
1)−го и k−го заявлений о страховых случаях отделом урегулирования убытков страховой компании. Известно, что
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
92
1. V1 , V2 , . . . независимы в совокупности и одинаково распределены,
2. плотность каждой из случайных величин Vk есть 0.2e−0.2t , t > 0,
где t измеряется в минутах.
Определите вероятность того, что в течение 10 минут будет обработано по меньшей мере 2 заявления.
(A) 0.2
(B) 0.3
(C) 0.4
(D) 0.5
(E) 0.6
Решение задачи Поскольку плотность случайной величины Vk имеет
вид λe−λt , t > 0 (при λ = 0.2), случайные величины Vk распределены по
показательному закону с параметром λ. Вместе с первым условием относительно взаимной независимости случайных величин Vk , 1 ≤ k < +∞, это
означает, что моменты окончания обработки заявлений образуют пуассоновский поток с интенсивностью λ заявлений/мин. Поэтому число событий
этого потока за фиксированный промежуток времени t, ν(t), имеет распределение Пуассона с параметром λt:
P (ν(t) = n) =
(λt)n −λt
e , n = 0, 1, 2, . . . .
n!
Искомая вероятность P может быть записана как P (ν(10) ≥ 2). Ее удобно
представить в виде:
P = 1 − P (ν(10) = 0) − P (ν(10) = 1),
так что
P = 1 − e−2 − 2e−2 = 0.593994,
и поэтому верным является вариант (E). 2
Задача 2.25 ([21]) Страховщик продает два вида договоров страхования
автомобилей – базовые и элитные. Страховые случаи по базовым договорам наступают в среднем через два дня, а по элитным – в среднем
через три дня. В обоих случаях промежутки времени между наступлением страховых случаев взаимно независимы и имеют экспоненциальное
распределение. Кроме того, наступление страховых случаев по базовым
договорам не зависит от наступления страховых случаев по элитным договорам.
Найдите вероятность того, что очередной страховой случай будет
связан с элитным договором.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
93
(A) 0.172
(B) 0.223
(C) 0.400
(D) 0.487
(E) 0.500
Решение задачи Условие задачи означает, что моменты наступления страховых случаев по базовым (элитным) договорам образуют процесс
Пуассона с интенсивностью λ1 = 1/2 (λ2 = 1/3); сами эти процессы не зависят друг от друга. В этой ситуации объединенный процесс также является
пуассоновским; его интенсивность равна λ = λ1 + λ2 = 5/6, а при условии, что произошло событие объединенного потока (т.е. наступил страховой случай), вероятность того, что это событие из первого (второго) потока
(т.е. наступил страховой случай по базовому (элитному) договору) равна
λ1 /λ = 3/5 (соответственно, λ2 /λ = 2/5). Поэтому верным является вариант (C). 2
Задача 2.26 ([24]) Часть портфеля автомобильного страхования состоит из договоров с высокой степенью риска. Для каждого такого договора
промежуток времени от начала года до момента наступления страхового
случая имеет одно и то же экспоненциальное распределение. Страховая
компания предполагает, что в течение первых 50 дней календарного года
произойдут страховые случаи по 30% договоров с высокой степенью риска.
Определите среднюю долю договоров с высокой степенью риска, по которым произойдут страховые случаи в течение первых 80 дней календарного года.
(A) 0.15
(B) 0.34
(C) 0.43
(D) 0.57
(E) 0.66
Решение задачи Пусть N – число договоров с высокой степенью
риска, Ti – промежуток времени от начала года до момента наступления
страхового случая по i−му договору. Тогда число договоров, по которым
произойдут страховые случаи в течение первых t дней календарного года,
можно выразить формулой:
νt = I(T1 < t) + · · · + I(TN < t).
94
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Соответственно, доля таких договоров – это νt /N , а средняя доля есть
ft ≡ E
ν t
N
=
1
1
Eνt = N P (Ti < t) = P (Ti < t).
N
N
Поскольку случайные величины Ti имеют показательное распределение,
P (Ti < t) = 1 − e−λt , где λ – некоторый положительный параметр. Поэтому,
ft = 1 − e−λt .
По условию, f50 = 0.3. Отсюда можно найти параметр экспоненциального
распределения:
ln(0.7)
ln(1 − f50 )
=−
.
λ=−
50
50
Искомая величина – это f80 . Используя полученую выше формулу для ft ,
мы имеем:
f80 = 1 − e−80λ = 1 − e
80 ln(0.7)
50
= 1 − 0.71.6 ≈ 0.43486.
Значит, верным является вариант (C). 2
Задача 2.27 ([20]) В процессе медицинского андеррайтинга у каждого человека, желающего застраховать свою жизнь, проверяется давление крови. Пусть X – число людей, у которых было проведено измерение кровяного давления, до того, как был выявлен очередной случай повышенного
давления крови. Случайная величина X имеет среднее значение 12.5.
Подсчитайте вероятность того, что после выявления случая повышенного давления крови следующий такой случай будет выявлен при шестом обследовании.
(A) 0.000
(B) 0.053
(C) 0.080
(D) 0.316
(E) 0.394
Решение задачи Пусть q – вероятность того, что у человека повышенное давление, p = 1 − q – вероятность того, что у человека нормальное
давление. Тогда P (X = n) = pn−1 · q, n ≥ 1. Теперь мы можем найти EX.
Проще всего это сделать с помощью производящей функции случайной величины X:
g(z) ≡ Ez
X
=
+∞
n=1
z P (X = n) =
n
+∞
n=1
z n pn−1 q =
qz
.
1 − pz
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
95
Поэтому,
EX = g (1) =
q · (1 − pz) − qz · (−p)
q
1
=
= .
2
(1 − pz)2
(1
−
pz)
q
z=1
z=1
По условию EX = 12.5. Значит, q = 0.08, p = 0.92, и поэтому искомая вероятность P (X = 6) равна p5 · q = 0.925 · 0.08 ≈ 0.0527, так что верным
является вариант (B). 2
Задача 2.28 ([25]) За один месяц происходит в среднем 100 страховых
случаев. При этом 2% из них приводят к ущербу, превышающему 30 000.
Предполагая, что моменты наступления страховых случаев образуют пуассоновский процесс, а размеры потерь не зависят от моментов
наступления страховых случаев, подсчитайте, сколько полных месяцев
нужно собирать данные, чтобы зафиксировать по меньшей мере 3 страховых случая, превышающих 30 000, с вероятностью не меньше, чем 90%.
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
(E) 5
Решение задачи Рассмотрим моменты наступления страховых случаев, превышающих 30 000. Этот процесс получается в результате "просеивания"пуассоновского процесса и поэтому также является пуссоновским с
параметром λ = 100 · 0.02 = 2.
Если период наблюдения за портфелем равен n месяцев, то число страховых случаев, превышающих 30 000, которые произойдут за этот период,
имеет распределение Пуассона со средним λn = 2n:
P (ν = i) =
(λn)i −λn
e
.
i!
Интересующую нас вероятность P = P (ν ≥ 3) удобнее преобразовать к
виду
P
=
1 − P (ν = 0) − P (ν = 1) − P (ν = 2)
(λn)2
e−λn
= 1 − 1 + λn +
2
=
1 − 1 + 2n + 2n2 e−2n .
В таблице 2.5 приведены значения вероятности P для интересующих нас
значений числа месяцев наблюдения n. Первое значение n, для которого P
96
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 2.5:
n
P
1
2
3
4
5
32.3%
76.2%
93.8%
98.6%
99.7%
становится больше, чем 90%, равно 3. Поэтому верным является вариант
(C). 2
Задача 2.29 Страховая компания получает от страхователей заявления о наступлении страховых случаев в соответствии с пуассоновским
процессом с интенсивностью λ = 2 (случая/день). Время T (в днях), которое требуется отделу урегулирования убытков для окончательного урегулирования, является случайной величиной со средним значением m = 3.
Найдите среднее число страховых случаев, заявленных в течение года, но
неурегулированных к его концу.
Решение задачи Примем начало года в качестве нулевого момента
времени, так что концу года соответствует момент t = 365. Пусть Tn –
момент поступления n-го заявления о наступлении страхового случая, ν(t)
– число страховых случаев, заявленных к моменту t, q(t) - число страховых
случаев, заявленных в течение года, но неурегулированных к его концу.
Распределение случайной величины q(t) можно записать в виде:
P (q(t) = k) =
+∞
P (q(t) = k|ν(t) = n)P (ν(t) = n).
n=k
Поскольку страховая компания получает от страхователей заявления о наступлении страховых случаев в соответствии с пуассоновским процессом с
интенсивностью λ, случайная величина ν(t) имеет распределение Пуассона
с параметром λt:
(λt)n −λt
P (ν(t) = n) =
e .
n!
Далее, известно, что, если фиксировано число n событий процесса Пуассона
на промежутке (0, t), то моменты их наступления распределены так же, как
и порядковая статистика, соответствующая n независимым случайным величинам, которые равномерно распределены на (0, t). Поэтому при условии,
что ν(t) = n, каждый отдельный страховой случай из этих n заявленных
не будет урегулирован к моменту t независимо от других с вероятностью
p = P (T > U ), где U – случайная величина, равномерно распределенная
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
97
на (0, t), а T – время урегулирования. Следовательно, при условии, что
ν(t) = n, q(t) соответствует числу "успехов"в схеме n независимых испытаний с вероятностью "успеха"p:
P (q(t) = k|ν(t) = n) =
n k
p (1 − p)n−k .
k
Для безусловного распределения числа неурегулированных случаев имеем:
P (q(t) = k)
=
=
=
+∞
(λt)n −λt
n k
p (1 − p)n−k
e
k
n!
n=k
+∞
n=k
+∞
n=k
n!
(λt)n −λt
pk (1 − p)n−k
e
k!(n − k)!
n!
1
pk (1 − p)n−k (λt)n e−λt .
k!(n − k)!
Введем новый индекс суммирования i = n − k:
+∞
1 k
p (1 − p)i (λt)i+k e−λt
k!i!
i=0
P (q(t) = k) =
+∞
(λtp)k −λt (λt(1 − p))i
e
k!
i!
i=0
=
(λtp)k −λt λt(1−p)
e e
k!
(λtp)k −λtp
e
=
.
k!
Таким образом, число неурегулированных случаев имеет распределение Пуассона со средним λtp. Фигурирующую здесь вероятность p можно преобразовать к более простому виду:
t
1
P (T > u)du,
p ≡ P (T > U ) =
0 t
так что
=
t
Eq(t) = λ
0
P (T > u)du.
Поскольку t достаточно большое число, интеграл
t
P (T > u)du
0
можно приближенно заменить его пределом при t → +∞, который равен
ET . Итак, среднее число страховых случаев, заявленных в течение года, но
неурегулированных к его концу, приближенно равно λET = 2 · 3 = 6. 2
98
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Задача 2.30 ([11]) Страховая компания установила тариф по определенному виду рисков исходя из предположения, что частота наступления
страховых случаев равна 0.01 (в течение года), а средняя тяжесть страхового случая равна $980, и заключила 1000 договоров страхования этих
рисков. Через год оказалось, что по этому портфелю наступило 15 страховых случаев, а средний размер страхового возмещения составил $989.70.
В то время как реальный средний размер страхового возмещения довольно
хорошо соответствует исходному предположению, реальное число страховых случаев на 50% превышает ожидавшееся (1000 · 0.01 = 10). Можно ли утверждать, что актуарий компании ошибся, предположив слишком низкую частоту наступления страховых случаев, или это расхождение просто является следствием неблагоприятного стечения обстоятельств?
Решение задачи Предположим, что частота наступления страховых
случаев действительно равна q = 0.01. Тогда число страховых случаев по
портфелю из N = 1000 договоров будет иметь биномиальное распределение
P (ν = i) =
N i
q (1 − q)N −i , i = 0, 1, . . . , N.
i
В рассматриваемой ситуации число договоров N достаточно велико, а вероятность наступления страхового случая q достаточно мала. При этом среднее число страховых случаев Eν = N q за рассматриваемый промежуток
времени является "средним"по величине числом λ = 10. В этой ситуации
можно приблизить биномиальное распределение для числа страховых случаев более простым распределением – распределением Пуассона:
P (ν = i) ≈
10i −10
λi −λ
e ≡
e .
i!
i!
Поэтому вероятность P того, что ν превысит свое среднее значение 10 по
меньшей мере на 50% равна
P=
+∞
10i
i!
i=15
e−10 = 1 −
14
10i
i=0
i!
e−10 ≈ 8.3%.
Эта вероятность достаточно велика и поэтому наступление 15 страховых
случаев не является чем-то необычным. 2
Задача 2.31 ([11]) Рассмотрим еще раз ситуацию, описанную в предыдущей задаче, и предположим, что на следующий год компания заключила
2600 договоров. По истечении года выяснилось, что эти договора привели к 32 страховым случаям, что опять превышает ожидавшееся число
страховых случаев 2600 · 0.01 = 26 (хотя уже не на 50%, а лишь на 23%).
Что можно сказать о точности исходных предположений относительно частоты наступления страховых случаев?
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
99
Решение задачи Предположим, что частота наступления страховых
случаев действительно равна q = 0.01. Тогда число страховых случаев за
два года можно рассматривать как число случаев по портфелю из N = 3600
договоров, так что оно будет иметь биномиальное распределение
P (ν = i) =
N i
q (1 − q)N −i , i = 0, 1, . . . , N.
i
Как и в предыдущей задаче, это распределение можно приблизить распределением Пуассона с параметром λ = N q = 36:
36i −36
e .
i!
Мы наблюдали за два года 47 страховых случаев. Иначе говоря, наблюдаемое значение величины ν превысило ожидаемое на 11 случаев (т.е. на 30%).
Вероятность такого события равна
P (ν = i) ≈
P=
+∞
36i
i!
i=47
e−36 = 1 −
46
36i
i=0
i!
e−36 .
Поскольку параметр λ = 36 – достаточно большой, эту вероятность можно
оценить с помощью гауссовского приближения:
P
ν − Eν
47 − Eν
√
≥ √
V arν
V arν
ν − Eν
47 − 36
= P √
≥ √
36
V arν
≈ 1 − Φ(1.83) ≈ 3.4%.
≡ P (ν ≥ 47) = P
Эта вероятность достаточно мала и поэтому, видимо, исходное предположение относительно частоты наступления страховых случаев слишком оптимистическое. Если конкуренция на страховом рынке не очень сильная,
было бы разумно повысить тариф. Однако в условиях высокой конкуренции нужны более убедительные доказательства того, что тариф занижен. 2
Задача 2.32 ([11]) Страховая компания заключила 4000 договоров страхования. Договоры статистически однородны и риски, связанные с ними,
независимы. Данные о числе страховых случаев, заявленных по одному договору на протяжении одного года, приведены в таблице 2.6. Предполагая,
что число страховых случаев, заявленных по одному договору, распределено по закону Пуассона, оцените среднее число страховых случаев по договору, λ, и найдите 95% доверительный интервал для этой величины.
Решение задачи Точечной оценкой для параметра λ будет выборочное
среднее:
λ=
1
786
(0 · 3288 + 1 · 642 + 2 · 66 + 3 · 4) =
= 0.1965.
4000
4000
100
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 2.6:
Число страховых
случаев
Число
договоров
0
1
2
3
3288
642
66
4
Чтобы получить доверительный интервал для параметра λ, отметим, что
общее число страховых случаев по всему портфелю, ν, будет пуассоновской
величиной со средним 4000λ. Поскольку λ ≈ 0.2, это среднее примерно
равно 800, т.е. является достаточно большим. Поэтому распределение центрированной и нормированной величины
ν − Eν
ν − 4000λ
√
≡ √
V arν
4000λ
приближенно можно считать стандартным нормальным распределением.
Следовательно, можно утверждать, что вероятность события
ν − 4000λ
< x97.5% ,
−x97.5% < √
4000λ
где x97.5% ≈ 1.96 – квантиль стандартного нормального распределения, примерно равна 95%. Это неравенство можно переписать в виде:
λ− < λ < λ + ,
где
λ−
=
λ+
=
2ν + x297.5% − x97.5%
8000 2ν + x297.5% + x97.5%
8000
4ν + x297.5%
4ν + x297.5%
,
.
Подставляя сюда значение ν = 786, мы получим следующий доверительный
интервал для λ:
0.183 < λ < 0.211.
2
Задача 2.33 ([32]) Страховая компания занимается страхованием гражданской ответственности владельцев автомобилей.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
101
Некоторые страхователи завышают число автомобилей ν, поврежденных в результате дорожно-транспортных происшествий, которые произошли по их вине (предполагая получить долю от незаконно полученного
страхового возмещения).
В таблице 2.7 приведены данные
1. о числе автомобилей, поврежденных в результате 1000 недавних
ДТП, виновниками которых были владельцы автомобилей, застрахованных в компании;
2. о распределении вероятностей числа автомобилей, поврежденных в
результате одного ДТП, которое получено на основании статистического анализа тщательно расследованных страховых случаев (что
исключает всякую возможность мошенничества).
Таблица 2.7:
Число поврежденных
автомобилей
Вероятность
Число ДТП
1
2
3
4
5
6+
Итого
0.25
0.35
0.24
0.11
0.04
0.01
1.00
235
335
250
111
47
22
1000
Используя критерий χ2 с уровнем значимости 0.005, проверьте гипотезу о том, что в заявленных 1000 страховых случаях не было случаев
мошенничества.
Решение задачи Фактически речь идет о проверке простой гипотезы
о виде распределения числа ν поврежденных автомобилей в результате одного ДТП для 1000 рассматриваемых страховых случаев. Для этих целей
используется статистика Пирсона:
2
X =
m
2
(Ni − N pi )
i=1
N pi
,
где N = 1000 – объем выборки, m = 6 – число групп, на которые разбито множество возможных значений случайной величины ν, Ni – число
наблюдений, когда ν = i, pi – гипотетическое распределение вероятностей
величины ν.
Величина X 2 приближенно имеет распределение χ2 . Поскольку число
интервалов наблюдения равно 6 и ни один параметр по результатам наблюдений не оценивался, число степеней свободы этого распределения χ2 равно
5.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
102
Квантиль порядка 0.995 распределения χ2 с пятью степенями свободы, χ20.995;5 , может быть подсчитан с помощью Microsoft Excel, функция
ХИ2ОБР(0.005;5); он равен 16.75.
В нашем случае наблюдаемое значение статистики Пирсона равно
X2
=
+
(335 − 350)2
(250 − 240)2
(235 − 250)2
+
+
250
350
240
(47 − 40)2
(22 − 10)2
(111 − 110)2
+
+
≈ 17.59.
110
40
10
Поскольку эта величина попадает в критическую область y > χ20.995;5 , мы
должны отвергнуть гипотезу о том, что мошенничества не было, с уровнем
значимости α = 0.005. 2
Задача 2.34 ([23]) В таблице 2.8 приведены данные о числе страховых
случаев, заявленных за один день на протяжении года. Используя критеТаблица 2.8:
Число страховых
случаев в день
Число
дней
0
1
2
3
4+
50
122
101
92
0
рий χ2 , проверьте гипотезу о том, что распределение числа страховых
случаев, заявленных за один день, имеет распределение Пуассона.
(A) Отвергнуть при уровне значимости 0.005.
(B) Отвергнуть при уровне значимости 0.010, но не отвергать при уровне
значимости 0.005.
(C) Отвергнуть при уровне значимости 0.025, но не отвергать при уровне
значимости 0.010.
(D) Отвергнуть при уровне значимости 0.050, но не отвергать при уровне
значимости 0.025.
(B) Не отвергать при уровне значимости 0.050.
Решение задачи Точечной оценкой для параметра λ будет выборочное
среднее:
λ=
1
600
(0 · 50 + 1 · 122 + 2 · 101 + 3 · 92) =
≈ 1.643836.
365
365
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
103
Рассмотрим распределение Пуассона со средним, равным выборочному среднему:
π0
π1
π2
π3
= e−1.643836 ≈ 0.193237,
= 1.643836e−1.643836 ≈ 0.317651,
(1.643836)2 −1.643836
=
≈ 0.261083,
e
2
≡ 1 − π0 − π1 − π2 ≈ 0.228029,
и с его помощью подсчитаем ожидаемое число дней, когда заявлено 0, 1, 2,
3 и более страховых случаев:
N0
N1
N2
N3
=
=
=
≡
365 · 0.193237 ≈ 70.53,
365 · 0.317651 ≈ 115.94,
365 · 0.261083 ≈ 95.30,
365 − N0 − N1 − N2 ≈ 83.23.
Теперь подсчитаем наблюдаемое значение статистики Пирсона:
X2
=
+
(122 − 115.94)2
(101 − 95.30)2
(50 − 70.53)2
+
+
70.53
115.94
95.30
(92 − 83.23)2
≈ 7.5587.
83.23
Она приближенно имеет распределение χ2 . Поскольку число интервалов
наблюдения равно 4, а один параметр (это параметр анализируемого пуассоновского распределения) оценивался по результатам наблюдений, число
степеней свободы этого распределения χ2 равно 2. Вероятность того, что
случайная величина χ2(2) , распределенная по закону χ2 с двумя степенями
свободы, примет значение, не меньшее, чем 7.5587, может быть подсчитана
с помощью Microsoft Excel, функция ХИ2РАСП(x;r):
P (χ2(2) ≥ 7.5587) = ХИ2РАСП(7.5587; 2) ≈ 2.28%.
Поэтому верным является вариант (C).
2
Задача 2.35 ([14]) В начале года в страховой компании было застраховано 50 тыс. автомобилей. В конце года была собрана статистика о числе
страховых случаев, заявленных каждым страхователем в течение года.
Оказалось, что 40544 человека вообще не попадали в аварию, 8082 человека
попадали в аварию один раз каждый, 1205 человек – 2 раза, 145 человек –
3 раза, 20 человек – 4 раза, 3 человека – 5 раз, и один человек попадал в
аварии 6 раз.
Какая модель, пуассоновская или отрицательная биномиальная, лучше
описывает число аварий в течение года для владельца застрахованного
автомобиля.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
104
Решение задачи Пусть N = 50 000 – общее число застрахованных
автомобилей, xi – число страховых случаев по i-му договору. С помощью
исходных данных задачи мы без труда можем подсчитать выборочные моменты первого и второго порядка для числа страховых случаев по одному
договору:
1 xi
N i=1
N
α1
≡
x=
1 · 8082 + 2 · 1205 + 3 · 145 + 4 · 20 + 5 · 3 + 6 · 1
50 000
= 0.22056,
N
1 2
=
x
N i=1 i
=
α2
=
=
1 · 8082 + 4 · 1205 + 9 · 145 + 16 · 20 + 25 · 3 + 36 · 1
50 000
0.29276.
Соответственно выборочная дисперсия равна
2
s2 = α2 − (α1 ) = 0.244113.
Поскольку выборочное среднее x примерно на 10% больше, чем выборочная
дисперсия, распределение Пуассона вряд ли будет хорошей моделью для
распределения числа страховых случаев (для распределения Пуассона, как
известно, среднее совпадает с дисперсией).
Чтобы подробнее проанализировать эту ситуацию, рассмотрим распределение Пуассона со средним, равным выборочному среднему, и подсчитаем
ожидаемое число договоров, приводящих к 0,1,2 и т.д. страховым случаям.
Результаты этих расчетов приведены в таблице 2.9 (мы объединили в одну
группу все договора с числом аварий 4 и больше, так как ожидаемое число
договоров, приводящих к 5 и 6 авариям слишком мало – соответственно,
0.17 и 0.00662). Для проверки гипотезы о пуассоновской модели, обозначим
Таблица 2.9:
Число договоров с данной аварийностью
Число
аварий
Реально
Пуассоновская
модель
0
1
2
3
≥4
40544
8082
1205
145
24
40103
8845
975
72
4
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
105
через Ni число договоров с аварийностью i (N4 – число договоров с аварийностью 4 и больше), а через pi теоретическую (пуассоновскую) вероятность
соответствующей аварийности, и подсчитаем статистику Пирсона:
X2 =
4
2
(Ni − N pi )
N pi
i=0
≈ 295.
Она приближенно имеет распределение χ2 . Поскольку число интервалов
наблюдения равно 5, а один параметр (это параметр анализируемого пуассоновского распределения) оценивался по результатам наблюдений, число
степеней свободы этого распределения χ2 равно 3. Квантиль порядка 0.999
распределения χ2 с тремя степенями свободы, χ20.999;3 , может быть подсчитан с помощью Microsoft Excel, функция ХИ2ОБР(0.001;3); он равен 16.27.
Поскольку в нашем случае статистика X 2 попадает в критическую область
y > χ20.999;3 , мы должны отвергнуть гипотезу о том, что распределение
числа аварий по договору является пуассоновским, с уровнем значимости
α = 0.001. Конечно, крайне низкая точность пуассоновской модели видна
из таблицы 2.9 даже без специальных статистических критериев.
Для отрицательного биномиального распределения с параметрами p и
α распределение числа страховых случаев по одному договору есть
P (ν = i) =
α · (α + 1) · · · · · (α + i − 1) α
p (1 − p)i .
i!
Среднее и дисперсия даются формулами
Eν
=
V arν
=
α(1 − p)
,
p
α(1 − p)
,
p2
и поэтому дисперсия всегда больше среднего. Поэтому можно надеяться,
что отрицательное биномиальное распределение будет более адекватной моделью для числа аварий.
Как и раньше, проблема заключается в выборе значений параметров α
и p. Мы опять будем использовать метод моментов, т.е. приравняем теоретические среднее и дисперсию выборочным среднему x и дисперсии s2 :
α(1 − p)
α(1 − p)
= x,
= s2 ,
p
p2
и из полученных уравнений определим параметры p и α:
p
=
α
=
x
≈ 0.903515,
s2
2
(x)
≈ 2.06539.
s2 − x
106
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 2.10 содержит реальные значения числа договоров с данной аварийностью и значения, которые предсказывает отрицательное биномиальное распределение. Из этой таблицы хорошо видно, что теоретические значения очень близки к наблюдаемым. Отметим, кроме того, что отрицательная биномиальная модель предсказывает, что в среднем 19 договоров приведут к 4 авариям, 2.24 договора – к 5 авариям, 0.25 договоров – к 6 авариям,
что очень близко к наблюдаемым значениям 20, 3 и 1 соответственно.
Таблица 2.10:
Число договоров с данной аварийностью
Число
аварий
Реально
Отрицательная
биномиальная модель
0
1
2
3
≥4
40544
8082
1205
145
24
40547
8080
1195
156
22
Для точного анализа опять подсчитаем статистику Пирсона:
X2 =
4
2
(Ni − N pi )
N pi
i=0
≈ 1.158.
Она приближенно имеет распределение χ2 . Поскольку число интервалов наблюдения равно 5, а два параметра (это параметры p и α анализируемого
отрицательного биномиального распределения) оценивались по результатам наблюдений, число степеней свободы этого распределения χ2 равно 2.
Вероятность того, что случайная величина χ2 с двумя степенями свободы
примет значение, не меньшее, чем 1.158, может быть подсчитана с помощью
Microsoft Excel:
P (χ2(2) ≥ 1.158) = ХИ2РАСП(1.158; 2) ≈ 0.56.
Таким образом, гипотеза о том, что распределение числа аварий по договору является отрицательным биномиальным, не противоречит реальным
данным.
Отрицательное биномиальное распределение с параметрами α и p можно
рассматривать как пуассоновское распределение, параметр которого случаен и имеет гамма-распределение
fλ (x) =
β α α−1
e−βx,
x
Γ(α)
где
β=
p
.
1−p
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
107
Применительно к рассматриваемой задаче это означает следующее. Можно считать, что число страховых случаев по договору имеет распределение Пуассона, однако договора неоднородны в том смысле, что параметр λ
этого распределения меняется от договора к договору. Чем этот параметр
больше, тем больше риск наступления страхового случая по этому договору. Распределение параметра λ характеризует структуру портфеля с этой
точки зрения.
В нашем случае α = 2.06539, β = 9.3643 и поэтому можно подсчитать функцию распределения Fλ (x) параметра λ для любого конкретного значения x. В Microsoft Excel это удобно делать с помощью функции
ГАММАРАСП(x; α; 1/β; 1).
Этим методом можно подсчитать, например, что договора с аварийностью, вдвое превышающей среднюю (напомним, что среднее по всему портфелю ожидаемое число страховых случаев по одному договору равно 0.22)
составляют примерно 9% от всех договоров. Более подробные данные о
структуре рассматриваемого портфеля приведены в таблице 2.11.
Таблица 2.11:
2
Ожидаемое число
аварий по договору
Доля договоров с
данной аварийностью
меньше 0.1
0.1-0.2
0.2-0.3
0.3-0.4
0.4-0.5
0.5-0.6
0.6-0.7
0.7-0.8
0.8-0.9
0.9-1.0
больше 1.0
22.4%
31.5%
21.7%
12.3%
6.3%
3.1%
1.5%
0.7%
0.3%
0.1%
0.1%
108
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Глава 3
Модель индивидуального
риска
Модель индивидуального риска – это простейшая модель функционирования страховой компании, предназначенная для расчета вероятности разорения.
Она базируется на следующих упрощающих предположениях:
1. анализируется фиксированный относительно короткий промежуток времени (так что можно пренебречь инфляцией и не учитывать доход от
инвестирования активов) – обычно это один год;
2. число договоров страхования N фиксировано и неслучайно;
3. премия полностью вносится в начале анализируемого периода; никаких
поступлений в течение этого периода нет;
4. мы наблюдаем каждый отдельный договор страхования и знаем статистические свойства связанных с ним индивидуальных потерь X. 1
Обычно предполагается, что в модели индивидуального риска случайные величины X1 , . . . , XN – независимы (в частности, исключаются катастрофы, когда
одновременно по нескольким договорам наступают страховые случаи).
В рамках этой модели разорение определяется суммарными потерями
по портфелю S = X1 + · · · + XN . Если эти суммарные выплаты больше, чем
активы компании u, то компания не сможет выполнить все свои обязательства
и разорится. Поэтому вероятность разорения компании равна
R = P (X1 + · · · + XN > u).
1 Поскольку не все договоры приводят к страховому случаю, некоторые из случайных
величин X1 , . . . , XN , где Xi – потери по i−му договору, равны нулю.
109
110
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Иными словами, вероятность разорения – это дополнительная функция распределения величины суммарных потерь компании за рассматриваемый промежуток времени.
Поскольку суммарные выплаты S представляют собой сумму независимых
случайных величин, распределение случайной величины S может быть подсчитано с помощью классических теорем и методов теории вероятностей.
Прежде всего это использование сверток. Напомним, что если η1 и η2 –
две независимые неотрицательные случайные величины с функциями распределения F1 (x) и F2 (x) соответственно, то функция распределения их суммы
η1 + η2 может быть подсчитана по формуле:
x
F (x) =
F1 (x − y)dF2 (y).
0
Применяя эту формулу несколько раз, можно подсчитать функцию распределения суммы любого числа слагаемых.
Если случайные величины η1 и η2 – непрерывны, то обычно работают с
плотностями f1 (x), f2 (x). Плотность суммы может быть подсчитана по формуле
x
f (x) =
0
f1 (x − y)f2 (y)dy.
Если случайные величины η1 и η2 – целочисленны, то вместо функций
распределения обычно работают с распределениями
p1 (n) = P (η1 = n), p2 (n) = P (η2 = n).
Распределение суммы p(n) = P (η1 + η2 = n) может быть определено по формуле:
n
p(n) =
p1 (k) · p2 (n − k).
k=0
Подсчет вероятности разорения часто упрощается, если использовать производящие функции и/или преобразования Лапласа.
Обычно число застрахованных в страховой компании очень велико. Поэтому подсчет вероятности разорения предполагает расчет функции распределения суммы большого числа слагаемых. В этом случае точный непосредственный численный расчет может привести к проблемам, связанным с малостью
вероятностей. Однако обстоятельство, затрудняющее точный расчет, открывает возможность быстрого и простого приближенного расчета. Это связано с
тем, что при росте N вероятность P (X1 + · · · + XN ≤ x) часто имеет определенный предел (обычно нужно, чтобы x определенным образом менялось
вместе с N ), который можно принять в качестве приближенного значения
этой вероятности. Точность подобных приближений обычно очень велика и
удовлетворяет практическим потребностям. Основным является нормальное
(гауссовское) приближение.
Гауссовское приближение основано на центральной предельной теореме
теории вероятностей. В простейшей формулировке эта теорема выглядит следующим образом:
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
111
если случайные величины X1 , . . . , XN независимы и одинаково распределены со средним a и дисперсией σ 2 , то при N → ∞ функция распределения
центрированной и нормированной суммы
∗
=
SN
X1 + · + XN − N a
SN − ESN
√
= √
V arSN
σ N
имеет предел, равный
1
Φ(x) = √
2π
x
2
e−t /2 dt.
−∞
Существуют многочисленные обобщения центральной предельной теоремы
на случаи, когда слагаемые Xi имеют разные распределения, являются зависимыми и т.д. Детальное обсуждение этого вопроса увело бы нас слишком далеко
в сторону от изучаемого предмета. Поэтому мы ограничимся утверждением,
что если число слагаемых велико (обычно достаточно, чтобы N имело бы порядок нескольких десятков), а каждое слагаемое относительно мало влияет на
сумму, то применимо гауссовское приближение для
P
SN − ESN
√
<x .
V arSN
Конечно, это утверждение очень неопределенно, но и классическая центральная предельная теорема без точных оценок погрешности не дает ясного указания на сферу применения. 2
Стандартная гауссовская фунция распределения Φ(x) детально изучена в
теории вероятностей. Существуют подробные таблицы как для самой функции
распределения Φ(x), так и для плотности
2
1
f (x) = √ e−x /2 .
2π
Значения 1 − Φ(x) в наиболее интересном диапазоне 1 < x < 4 приведены
в таблице 3.1.
Полезно также иметь таблицу квантилей xα , 3 отвечающих достаточно
малой вероятности разорения 1 − α; они приведены в таблице 3.2.
Сумма p, за которую человек или организация покупает себе страховку,
называется премией. Вопрос о том, какую плату страховая компания должна
назначать за то, что принимает на себя тот или иной риск, крайне сложен.
При его решении учитывается большое число разнородных факторов: вероятность наступления страхового случая, ожидаемая величина страхового возмещения и возможные флуктуации, связь с другими рисками, которые уже
2 Подробнее о центральной предельной теореме можно прочитать, например, в книгах
В.Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. том 2, Москва, "Мир", 1984,
стр.297-305, стр. 576-584, и Б.В.Гнеденко. Курс теории вероятностей. Москва, "Наука",
1988, стр.248-256.
3 Квантиль x определяется как корень уравнения Φ(x) = α.
α
112
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 3.1:
x
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
1 − Φ(x)
15.87%
13.57%
11.51%
9.68%
8.08%
6.68%
5.48%
4.46%
3.59%
2.87%
x
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
1 − Φ(x)
2.28%
1.79%
1.39%
1.07%
0.82%
0.62%
0.47%
0.35%
0.26%
0.19%
x
3.0
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
1 − Φ(x)
0.14%
0.10%
0.069%
0.048%
0.034%
0.023%
0.020%
0.011%
0.007%
0.005%
Таблица 3.2:
1−α
xα
1−α
xα
0.1%
3.090
3%
1.881
0.5%
2.576
4%
1.751
1%
2.326
5%
1.645
2%
2.054
10%
1.282
приняты компанией, организационные расходы компании на ведение дела, соотношение между спросом и предложением по данному виду рисков на рынке
страховых услуг и т.д. Однако основным обычно является принцип эквивалентности финансовых обязательств страховой компании и страхователя.
В простейших видах страхования, когда плата за страховку полностью вносится в момент заключения договора, обязательства страхователя выражаются
в уплате суммы p. Обязательства компании заключаются в оплате потерь X.
Однако мы не можем выразить принцип эквивалентности обязательств равенством p = X, поскольку p – детерминированная величина, а X – случайная.
Чтобы решить эту проблему, можно заменить случайную величину X ее
средним значением EX, т.е. назначить в качестве платы за страховку ожидаемую величину выплат по договору. Однако равенство p = EX на самом деле
не выражает эквивалентности обязательств компании и страхователя. Хотя в
среднем и компания, и страхователь платят одну и ту же сумму, компания имеет риск, связанный с тем, что в силу случайных обстоятельств ей, может быть,
придется выплатить гораздо большую сумму, чем EX. Страхователь же такого риска не имеет. Поэтому было бы справедливо, чтобы плата за страховку
включала некоторую надбавку l, которая служила бы эквивалентом случайности, влияющей на компанию. Поэтому в качестве платы за страховку обычно
берут сумму p = EX + l, где l – некоторая добавочная сумма. Первое слагаемое называют нетто-премией. Добавочную сумму l называют страховой
(или защитной) надбавкой, а θ = l/EX – относительной страховой (или
защитной) надбавкой.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
113
Задача 3.1 ([19]) Договор группового страхования сотрудников небольшого предприятия гарантирует выплаты в случае временной нетрудоспособности из-за болезни. Страховое возмещение выплачивается в конце
каждого полного месяца нетрудоспособности, но не более, чем за шесть
месяцев.
Размер возмещения зависит от професионального класса работника;
соответствующие данные приведены в таблице 3.3.
Вероятность заболевания в течение определенного промежутка времени для работника первого (второго) профессионального класса в три
(соответственно, в два) раза больше, чем вероятность заболевания для
работника третьего профессионального класса. За рассматриваемый промежуток времени вероятность того, что сотрудник заболеет два или
больше раз, равна нулю.
Вероятность выздоровления больного работника в течение ближайшего месяца равна 0.1, 0.2 или 0.3 в соответствии с тем, к какому профессиональному классу (первому, второму или третьему) он принадлежит,
и не зависит от того, как долго он уже болен.
Таблица 3.3:
Профессиональный
класс
Число
работников
Ежемесячные
выплаты в случае
нетрудоспособности
I
II
III
100
10
2
50
100
200
Ожидаемые суммарные выплаты по договору за рассматриваемый промежуток времени равны 4900.
Определите вероятность заболевания в течение рассматриваемого промежутка времени для работников третьего профессионального класса.
(A) 0.01
(B) 0.03
(C) 0.05
(D) 0.07
(E) 0.09
Решение задачи Для каждого работника i-го профессионального класса обозначим:
1. Di – число полных месяцев временной нетрудоспособности;
114
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
2. Xi = min(Di , 6) – число оплаченных месяцев временной нетрудоспособности;
3. bi – размер ежемесячного страхового возмещения;
4. Bi = bi Xi – общие выплаты по временной нетрудоспособности;
5. qi – вероятность заболевания;
6. ki – вероятность того, что больной работник не поправится в течение
месяца.
Исходные данные задачи позволяют легко найти дополнительную функцию
распределения случайной величины Di :
P (Di ≥ n) = qi kin , n = 1, 2, . . . .
Действительно, чтобы работник был нетрудоспособен по меньшей мере n
месяцев, нужно, чтобы
1. работник заболел (вероятность этого события равна qi );
2. работник был нетрудоспособен полностью весь первый месяц (вероятность этого события равна ki );
3. при условии, что работник не мог работать в конце первого месяца, он
был нетрудоспособен полностью весь второй месяц (вероятность этого
события равна ki ), и т.д.;
4. при условии, что работник не мог работать в конце (n − 1)-го месяца,
был нетрудоспособен полностью весь n−й месяц (вероятность этого
события равна ki ).
Отсюда для распределения числа оплаченных месяцев временной нетрудоспособности для одного работника i-го профессионального класса мы имеем:
P (Xi ≥ n) = P (Di ≥ n) = qi kin , n = 1, 2, . . . , 6,
P (Xi ≥ n) =
0, n = 7, 8, . . . .
Среднее число оплаченных месяцев временной нетрудоспособности, EXi ,
удобно подсчитать с помощью формулы
EXi =
+∞
P (Xi ≥ n),
n=1
что дает:
EXi = qi (ki + ki2 + · · · + ki6 ) = qi ki
1 − ki6
.
1 − ki
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
115
Соответственно, ожидаемые общие выплаты по временной нетрудоспособности для одного работника i-го профессионального класса, EBi , даются
формулой:
1 − ki6
EBi = bi qi ki
.
1 − ki
Подставляя числовые значения параметров bi и ki , мы получим следующие
данные для ожидаемых общих выплат по временной нетрудоспособности
для одного работника каждого из трех профессиональных классов:
1. класс I: EB1 = 210.8516q1 ;
2. класс II: EB2 = 295.1424q2 ;
3. класс III: EB3 = 411.7638q3 .
Поскольку q1 = 3q3 , q2 = 2q3 , общие ожидаемые выплаты по всему портфелю будут равны
100 · EB1 + 10 · EB2 + 2 · EB3 ≈ 69 981.8406q3 .
С другой стороны, по условию эта величина равна 4900. Отсюда q3 ≈ 0.07
и поэтому верным является вариант (D). 2
Задача 3.2 ([22]) Страховая компания продала 300 полисов страхования
от пожара. Структура портфеля задается таблицей 3.4.
Таблица 3.4:
Число
договоров
Страховая
сумма
по договору
100
200
400
300
Вероятность
страхового
случая
для одного
договора
0.05
0.06
Известно, что
1. величина ущерба для каждого договора (в случае наступления страхового случая) равномерно распределена от 0 до страховой суммы,
2. вероятность более, чем одного страхового случая по договору равна
0,
3. страховые случаи происходят независимо. 4
4 Если явно не оговорено противное, в последующих задачах также предполагается,
что страховые случаи по различным договорам наступают независимо друг от друга.
116
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Подсчитайте дисперсию суммарных выплат по всему портфелю.
(A) 150 000
(B) 300 000
(C) 450 000
(D) 600 000
(E) 750 000
Решение задачи Пусть Ik – индикатор события "по k−му договору
наступил страховой случай", Yk – величина ущерба по k−му договору при
условии, что наступил страховой случай, Xk = Ik · Yk – выплаты по k−му
договору, N = 300 – число договоров, qk = P (Ik = 1), Mk – страховая сумма
по k−му договору.
Тогда суммарные выплаты по портфелю, S, даются формулой:
S = X1 + · · · + XN ,
так что
V arS = V arX1 + · · · + V arXN .
Поскольку в пределах двух групп договора статистически неотличимы,
V arS = N · V arX + N · V arX ,
где N = 100, N = 200 – число договоров первого и второго вида соответственно, V arX , V arX – дисперсия выплаты по одному договору первого
и второго вида соответственно. Как мы установили в задаче 1.6, для случайной величины X = I · Y, где величины I и Y – независимы, I – индикаторная величина (P (I = 1) = q), величина Y – равномерно распределена
на промежутке (0, M ),
V arX =
qM 2
· (4 − 3q).
12
Поэтому
V arX ≈ 2567,
V arX = 1719,
так что V arS ≈ 100 · 2567 + 200 · 1719 = 600 500 и поэтому верным является
вариант D. 2
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
117
Задача 3.3 ([13]) Рассмотрим портфель из четырех одинаковых договоров страхования жизни. Страховая сумма зависит от причины смерти; в
случае смерти от "естественных"причин страховая сумма равна 250 000
руб., а если смерть наступила от несчастного случая, то выплачивается удвоенная страховая сумма. Для каждого из застрахованных вероятность смерти от несчастного случая равна 0.1, вероятность смерти от
естественных причин равна 0.1. Найдите распределение суммарных выплат.
Решение задачи (1 способ). Примем 250 000 руб. в качестве единицы
измерения денежных сумм.
Пусть X1 , X2 , X3 , X4 – индивидуальные выплаты по договорам. Случайные величины X1 , X2 , X3 , X4 независимы в совокупности и имеют одно
и то же распределение, задаваемое таблицей
n
p(n)
0
0.8
1
0.1
2
0.1
Для подсчета распределения суммы X1 + X2 образуем матрицу из 3-х
строк и 3-х столбцов с элементами p1 (i)p2 (j) :
⎛
⎞
0.64 0.08 0.08
⎝ 0.08 0.01 0.01 ⎠
0.08 0.01 0.01
Для формирования этой матрицы удобно написать слева столбец из вероятностей p1 (i), а сверху – строку из вероятностей p2 (j), а затем перемножить
их поэлементно.
Суммируя по линии i + j = n, параллельной второй диагонали, мы получим
p1 (n)p2 (0) + p1 (n − 1)p2 (1) + ... + p1 (0)p2 (n),
т.е. в точности P (X1 + X2 = n). Поэтому для q(n) = P (X1 + X2 = n) имеем
таблицу (поскольку X1 , X2 ≤ 2, их сумма не превосходит 4):
n
q(n)
0
0.64
1
0.16
2
0.17
3
0.02
4
0.01
Для подсчета r(n) = P (X1 + X2 + X3 = n) = P ((X1 + X2 ) + X3 = n)
образуем матрицу из трех строк и пяти столбцов с элементами p3 (i)q(j) :
⎛
⎞
0.512 0.128 0.136 0.016 0.008
⎝ 0.064 0.016 0.017 0.002 0.001 ⎠
0.064 0.016 0.017 0.002 0.001
Поэтому для распределения случайной величины X1 + X2 + X3 имеем таблицу:
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
118
n
r(n)
0
0.512
1
0.192
2
0.216
3
0.049
4
0.027
5
0.003
6
0.001
Наконец, для подсчета распределения p(n) суммарных выплат S = X1 +
X2 + X3 + X4 образуем матрицу из 3 строк и 7 столбцов с элементами
p4 (i)r(j) :
⎛
⎞
0.4096 0.1536 0.1728 0.0392 0.0216 0.0024 0.0008
⎝ 0.0512 0.0192 0.0216 0.0049 0.0027 0.0003 0.0001 ⎠
0.0512 0.0192 0.0216 0.0049 0.0027 0.0003 0.0001
Отсюда мы немедленно можем подсчитать распределение p(n) (оно приведено во втором столбце таблицы 3.5) и, следовательно, функцию распределения случайной величины S = X1 +X2 +X3 +X4 (она приведена в третьем
столбце таблицы 3.5).
Таблица 3.5:
n
0
1
2
3
4
5
6
7
8
p(n)
0.4096
0.2048
0.2432
0.0800
0.0481
0.0100
0.0038
0.0004
0.0001
P (S ≤ n)
0.4096
0.6144
0.8576
0.9376
0.9857
0.9957
0.9995
0.9999
1.0000
2
Подсчет распределения суммы независимых случайных величин с помощью сверток – крайне кропотливое и утомительное занятие, если делать
это вручную. Однако при использовании компьютеров никаких проблем не
возникает. Для аналитических же расчетов удобнее использовать производящие функции.
Напомним, что производящей функцией ϕ(z) неотрицательной случайной
η с распределением p(n) = P (η = n) называется сумма ряда
∞ величины
n
n=0 z p(n) (нетрудно понять, что эквивалентным образом мы могли бы
определить производящую функцию как Ez η ). Следующие свойства производящих функций используются чаще всего:
1. Если производящие функции ϕ1 (z) и ϕ2 (z) двух случайных величин η1
и η2 совпадают, то совпадают и распределения этих величин. Иными
словами, распределение однозначно восстанавливается по своей производящей функции.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
119
2. ϕ (1) = Eη, V arη = ϕ (1) + ϕ (1) − [ϕ (1)]2 .
3. Если случайные величины η1 и η2 независимы, то производящая функция их суммы, ϕ(z), равна произведению производящих функций слагаемых: ϕ(z) = ϕ1 (z)ϕ2 (z).
Используя производящие функции, можно предложить следующий 2
способ решения:
Каждое слагаемое имеет одну и ту же производящую функцию:
ϕ1 (z)
= ϕ2 (z) = ϕ3 (z) = ϕ4 (z)
= 0.8 · z 0 + 0.1 · z 1 + 0.1 · z 2
= 0.1(8 + z + z 2 ).
Соответственно их сумма имеет производящую функцию
Ez S
=
ϕ1 (z)ϕ2 (z)ϕ3 (z)ϕ4 (z)
=
=
=
=
+
+
0.14 (8 + z + z 2 )4
10−4 · (64 + z 2 + z 4 + 16z + 16z 2 + 2z 3 )2
10−4 (64 + 16z + 17z 2 + 2z 3 + z 4 )2
10−4 · (4096 + 256z 2 + 289z 4 + 4z 6 + z 8
2048z + 2176z 2 + 256z 3 + 128z 4 + 544z 3
64z 4 + 32z 5 + 68z 5 + 34z 6 + 4z 7 )
= 10−4 · (4096 + 2048z + 2432z 2 + 800z 3
+ 481z 4 + 100z 5 + 38z 6 + 4z 7 + z 8 ).
Отбирая коэффициенты при степенях z, мы немедленно получим такую же
таблицу для вероятностей p(n) = P (S = n), какую мы получили выше с
помощью сверток.
Замечание. Уже этот пример позволяет сделать поучительный вывод
о величине премии. Допустим, что мы подсчитали нетто-премию в соответствии с принципом эквивалентности обязательств страховщика и страхователя как p(n) = EX = 0 · 0.8 + 1 · 0.1 + 2 · 0.1 = 0.3 и приняли ее в качестве
платы за страховую защиту. Тогда суммарная премия по рассматриваемому
портфелю будет 1.2 и, значит, вероятность того, что для выплат не хватит
этих средств (вероятность ”разорения”) будет равна P (S > 1.2) = 0.3856,
т.е. недопустимо велика. Из таблицы 3.5 видно, что для того, чтобы вероятность разорения не превосходила 10%, мы должны иметь активы в 3 единицы, т.е. стоимость одного полиса должна быть 0.75. Конечно, это слишком
большая плата (напомним, что мы взяли в качестве единицы измерения
денежных сумм 250 000 руб.) – это связано со слишком малым объемом
портфеля. Тем не менее, этот пример показывает, что реальная плата за
страховку должна превосходить нетто-премию.
Задача 3.4 ([21]) Компания обеспечивает страховую защиту домов в трех
городах: J, K и L. Поскольку эти города находятся на достаточно большом
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
120
расстоянии друг от друга, разумно предположить, что потери компании
в этих городах не зависят друг от друга.
Производящие функции моментов величины потерь в этих городах даются формулами:
MJ (t) =
MK (t) =
ML (t) =
(1 − 2t)−3 ,
(1 − 2t)−2.5 ,
(1 − 2t)−4.5 .
Пусть случайная величина X описывает общие потери во всех трех
городах. Подсчитайте EX 3 .
(A) 1 320
(B) 2 082
(C) 5 760
(D) 8 000
(E) 10 560
Решение задачи Пусть XJ , XK , XL – размеры потерь в городах J,
K, L соответственно, так что X = XJ + XK + XL . Используя независимость слагаемых XJ , XK , XL , можно подсчитать производящую функцию
моментов случайной величины X:
ψX (t) = EetX = et(XJ +XK +XL )
=
etXJ etXK etXL = etXJ EetXK EetXL
=
(1 − 2t)−3−2.5−4.5 = (1 − 2t)−10 .
Поскольку
(1 + x)α =
+∞
α n
x ,
n
n=0
раскладывая функцию ψX (t) в ряд по степеням t, мы получим:
ψX (t)
=
=
=
+∞
−10
(−2t)n
n
n=0
+∞
(−10) · (−10 − 1) · · · · · (−10 − n + 1)
n=0
+∞
n!
10 · 11 · · · · · (9 + n) n n
2 t .
n!
n=0
Отсюда
EX n = 10 · 11 · · · · · (9 + n) · 2n .
(−2)n tn
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
121
В частности,
EX 3 = 10 · 11 · 12 · 8 = 10 560,
и поэтому верным является вариант (E). 2
Задача 3.5 ([4]) Компания заключила 32 договора страхования. Для каждого договора вероятность q наступления страхового случая равна 1/6, а
страховое возмещение B, выплачиваемое после наступления страхового
случая, имеет плотность
fB (y) =
2(1 − y),
0
если 0 < y < 1,
в противном случае.
Пусть S – общие выплаты по всему портфелю. Используя нормальное
приближение, оцените P (S > 4).
Решение задачи Общие выплаты по всему портфелю являются суммой индивидуальных потерь:
S = X1 + · · · + X N ,
где N = 32 – общее число договоров, а Xi – выплаты по i−му договору.
Поэтому
ES
V arS
=
EX1 + · · · + EXN = N · EXi ,
= V arX1 + · · · + V arXN = N · V arXi .
Случайные величины Xi , в свою очередь, удобно представить в виде:
Xi = Ii · Bi ,
где Ii – индикатор события "по i−му договору наступил страховой случай",
а Bi – размер страхового возмещения, выплачиваемого после наступления
страхового случая по i−му договору. Это позволит найти два первых момента размера индивидуальных потерь:
EXi
EXi2
= P (Ii = 0) · E(Xi |Ii = 0) + P (Ii = 1) · E(Xi |Ii = 1)
= 0 + P (Ii = 1) · E(Bi |Ii = 1) = qE(Bi ),
= P (Ii = 0) · E(Xi2 |Ii = 0) + P (Ii = 1) · E(Xi2 |Ii = 1)
= 0 + P (Ii = 1) · E(Bi2 |Ii = 1) = qE(Bi2 ).
Итак, проблема сводится к расчету двух первых моментов случайной
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
122
величины B:
EB
=
1
y2 −
=
EB 2
=
yfB (y)dy =
0
1
0
1
2y 3
3
0
=
y 2 fB (y)dy =
0
1
2y 3
y4
−
3
2
=
1
2y(1 − y)dy
1
,
3
1
0
2y 2 (1 − y)dy
1
= .
6
0
Теперь для двух первых моментов размера индивидуальных потерь Xi мы
имеем:
EXi
=
EXi2
=
V arXi
1
,
18
1
,
36
= EXi2 − (EXi )2 =
2
.
81
Соответственно,
ES
=
V arS
=
32
,
18
64
.
81
Теперь мы можем оценить искомую вероятность P (S > 4):
P (S > 4)
S − ES
4 − ES
√
>√
V arS
V arS
4 − ES
= 1 − Φ(2.5) ≈ 0.62%.
1−Φ √
V arS
= P
≈
2
Задача 3.6 ([21]) Общая величина выплат по договору медицинского страхования имеет плотность
f (x) =
1 −x/1000
e
, x > 0.
1000
Премия за этот продукт установлена на уровне, превышающем на 100
ожидаемые выплаты.
Если продано 100 договоров, какова приблизительно вероятность того,
что потери страховой компании будут превышать собранные премии?
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
123
(A) 0.001
(B) 0.159
(C) 0.333
(D) 0.407
(E) 0.460
Решение задачи Пусть X – величина выплат по одному договору.
Формула для плотности случайной величины X может быть записана в
виде:
f (x) = λe−λx , x > 0,
1
где λ = 1 000
. Это означает, что X имеет экспоненциальное распределение с
параметром λ и поэтому ее функция распределения F (x) дается формулой:
F (x) = 1 − e−λx , x > 0.
Для средней величины выплат по договору мы имеем:
=
EX
+∞
0
(1 − F (x)dx =
+∞
1
− e−λx
λ
0
=
=
+∞
e−λx dx
0
1
= 1000.
λ
Аналогично, для второго момента:
EX
2
=
=
=
=
+∞
0
2x(1 − F (x)dx =
+∞
0
2xe−λx dx
2 +∞
xλe−λx dx
λ 0
2 +∞
2
xf (x)dx = EX
λ 0
λ
2
= 2 000 000,
λ2
так что
V arX =
2
−
λ2
1
λ
2
=
1
= 1 000 000.
λ2
Премия p равна 1 000+100=1 100 и, значит, общий объем собранной премии
есть 110 000.
Суммарные выплаты по портфелю, S, даются формулой:
S = X1 + · · · + X N ,
124
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
где N = 100 – число договоров, Xi – выплаты по i− му договору. Интересующая нас вероятность P ≡ P (S > N p) может быть записана в виде:
P
=
P
=
P
=
P
=
P
S − ES
N p − ES
√
> √
V arS
V arS
S − ES
N p − N EX
√
> √
V arS
N V arX
√ p − EX
S − ES
√
> N√
V arS
V arX
S − ES
√
>1 .
V arS
Применяя гауссовское приближение для центрированной и нормированной величины суммарных потерь по портфелю, мы имеем:
P ≈ 1 − Φ(1) ≈ 15.87%,
и поэтому верным является вариант (B). 2
Задача 3.7 ([15]) Предположим, что в компании застраховано N = 3000
человек с вероятностью смерти в течение года q = 0.3%. Компания выплачивает сумму b = 250 000 руб. в случае смерти застрахованного в
течение года и не платит ничего, если этот человек доживет до конца
года.
Определите суммарную премию, достаточную, чтобы обеспечить вероятность разорения порядка 5%.
Решение задачи Как обычно, примем величину страховой суммы в
качестве единицы измерения денежных сумм. В этом случае выплаты по
i−му договору, Xi , принимают два значения: 0 и 1 с вероятностями 1 − q и
q соответственно. Поэтому
EXi
EXi2
V arXi
= (1 − q) · 0 + q · 1 = q = 0.003,
= (1 − q) · 02 + q · 12 = q,
= EXi2 − (EXi )2 = q − q 2 ≈ 0.003.
Теперь для среднего значения и дисперсии суммарных выплат S = X1 +
· · · + XN мы имеем:
ES
V arS
= N EXi = 3000 · 0.003 = 9,
= N V arXi ≈ 3000 · 0.003 = 9.
Используя гауссовское приближение для центрированной и нормированной величины суммарных выплат, мы можем представить вероятность нера-
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
125
зорения компании в следующем виде:
P (S ≤ u)
= P
≈ P
≈ Φ
S − ES
u − ES
√
≤√
V arS
V arS
S − ES
u−9
√
≤
3
V arS
u−9
.
3
Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина u−9
3 должна быть равной x95% = 1.645, т.е. u = 3 · 1.645 + 9 ≈ 13.935 (величины
страховой суммы) или в абсолютных цифрах около 3 483 750 руб.
2
Задача 3.8 ([4]) В страховой компании, которая занимается страхованием от пожаров, застраховано 160 зданий. В таблице 3.6 описана структура портфеля. Вероятность пожара на отдельном объекте в течение
Таблица 3.6:
Число
договоров
Страховая
сумма
80
35
25
15
5
10 000
20 000
30 000
50 000
100 000
года равна 0.04. В случае пожара ущерб равномерно распределен от 0 до
страховой суммы. Все рассматриваемые риски – независимы. Пусть ν –
общее число страховых случаев, S – суммарные выплаты компании за один
год.
Подсчитайте:
1. среднее значение и дисперсию случайной величины ν,
2. среднее значение и дисперсию случайной величины S,
3. относительную защитную надбавку θ, достаточную, чтобы с вероятность 99% собранных премий хватило для покрытия всех потерь
(используйте нормальное приближение).
Решение задачи Поскольку вероятность пожара на всех объектах на
протяжении года одна и та же, а все рассматриваемые риски – независимы, общее число страховых случаев ν имеет биномиальное распределение с
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
126
числом "испытаний"N = 160 и вероятностью "успеха"q = 0.04 (см. задачу
2.12). Поэтому
Eν
=
N q = 160 · 0.04 = 6.4,
V arν
=
N q(1 − q) = 160 · 0.04 · 0.96 = 6.144.
Размер выплат Xi по i−му договору удобно представить в виде Xi =
Ii · Yi , где Ii – индикатор события "на i−м объекте был пожар", а Yi –
размер ущерба после этого пожара. Как мы установили в задаче 1.6, для
случайной величины X = I · Y , где величины I и Y – независимы, I – индикаторная величина (P (I = 1) = q), величина Y – равномерно распределена
на промежутке (0, M ),
EX
V arX
M
,
2
qM 2
· (4 − 3q).
12
= q
=
Для договоров с одной и той же страховой суммой M средние значения и
дисперсии индивидуальных потерь совпадают. Поэтому если S – суммарные потери для договоров с одной и той же страховой суммой, то ES =
N · V arX, V arS = N · V arX, где N – число договоров в группе.
Результаты расчетов по этим формулам для каждой из пяти рассматриваемых групп договоров удобно расположить в таблицу 3.7.
Таблица 3.7:
N
80
35
25
15
5
M
10 000
20 000
30 000
50 000
100 000
ES 16 000
14 000
15 000
15 000
10 000
EX
200
400
600
1 000
2 000
V arX
1 293 333
5 173 333
11 640 000
32 333 333
129 333 333
ES
V arS
= 70 000,
= 1 707 200 000.
V arS 103 466 667
181 066 667
291 000 000
485 000 000
646 666 667
Поэтому
Пусть u – активы, достаточные, чтобы с вероятностью 99% покрыть все
выплаты по портфелю:
P (S < u) = 99%.
Переходя к центрированным и нормированным потерям, мы получим:
P
u − ES
S − ES
√
<√
V arS
V arS
= 99%.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
127
Используя гауссовское
приближение, левую часть этого равенства можно
u−ES
√
:
заменить на Φ
V arS
Φ
Поэтому
u − ES
√
V arS
≈ 99%.
u − ES
√
≈ x99% ,
V arS
√
u = ES + x99% V arS.
откуда
Иными словами, суммарная защитная надбавка равна
√
l = x99% V arS = 96 106.
l
равна 1.37. 2
Соответственно, относительная защитная надбавка θ ≡ ES
Задача 3.9 ([15]) Страховщик заключил N = 10 000 договоров страхования жизни сроком на один год на следующих условиях: в случае смерти
застрахованного в течение года от несчастного случая компания выплачивает выгодоприобретателю 1 000 000 руб., а в случае смерти от естественных причин – 250 000 руб. Компания не платит ничего, если застрахованный не умрет в течение года. Вероятность смерти от несчастного
случая одна и та же для всех застрахованных и равна 0.0005. Вероятность смерти от естественных причин зависит от возраста. Застрахованных можно разбить на две возрастные группы, содержащие N1 = 4000
и N2 = 6000 человек, с вероятностью смерти в течение года q1 = 0.0040
и q2 = 0.0020 соответственно.
Подсчитайте премию, достаточную для выполнения компанией своих обязательств с вероятностью 95% без привлечения дополнительных
средств. Защитная надбавка для индивидуального договора берется пропорциональной:
1. нетто-премии;
2. дисперсии выплат по договору;
3. среднему квадратичному отклонению выплат по договору.
Решение задачи Примем сумму 250 000 руб. в качестве единицы измерения денежных сумм.
Тогда для первой группы договоров индивидуальный убыток принимает
три значения: 0, 1 и 4 с вероятностями 0.9955, 0.0040 и 0.0005 соответственно. Среднее значение и дисперсия величины индивидуального убытка есть
m1
σ12
= 1 · 0.0040 + 4 · 0.0005 = 0.0060,
= 12 · 0.0040 + 42 · 0.0005 − m21 ≈ 0.0120.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
128
Для второй группы договоров индивидуальный убыток принимает те же
три значения 0, 1 и 4, но с другими вероятностями: 0.9975, 0.0020 и 0.0005.
В этой группе среднее значение и дисперсия индивидуального убытка есть
m2
σ22
=
=
1 · 0.0020 + 4 · 0.0005 = 0.0040,
12 · 0.0020 + 42 · 0.0005 − m22 ≈ 0.0100.
Таким образом, для договоров первой группы нетто-премия есть m1 =
0.006, а для договоров второй группы нетто-премия равна m2 = 0.004.
Займемся теперь защитными надбавками.
Среднее значение и дисперсия суммарных выплат по всему портфелю
равны:
ES
=
N1 · m1 + N2 · m2 = 4000 · 0.006 + 6000 · 0.004 = 48,
V arS
=
N1 · σ12 + N2 · σ22 ≈ 4000 · 0.012 + 6000 · 0.010 = 108.
Предположим, что суммарная премия равна u. Используя гауссовское
приближение для центрированной и нормированной величины суммарных
выплат, мы можем представить вероятность неразорения компании в следующем виде:
P (S ≤ u) =
P
≈
Φ
S − ES
u − ES
√
≤√
V arS
V arS
u − ES
√
.
V arS
Если мы хотим, чтобы вероятность разорения была 5%, величина √u−ES
V arS
должна быть равной √
x95% = 1.645, т.е. суммарная премия должна быть
равна u = ES + x95% V arS. Первое слагаемое, ES = N1 · m1 + N2 · m2 ,
является суммарной нетто-премией (как мы видели, она равна 48), а второе
дает общую защитную добавку l:
√
√
l = x95% · V arS ≈ 1.645 · 108 ≈ 17.095.
Относительно индивидуальных защитных надбавок l1 , l2 для договоров
из первой и второй групп соответственно мы знаем пока лишь то, что
N1 · l1 + N2 · l2 = l.
1. Если индивидуальные защитные надбавки пропорциональны неттопремиям:
l1 = θm1 , l2 = θm2 ,
то относительная страховая надбавка θ одна и та же для всех договоров и равна
l
θ=
≈ 35.6%.
ES
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
129
Поэтому для договоров из первой группы премия равна
p1 = m1 · (1 + θ) ≈ 0.00814 = 2034руб.
Для договоров из второй группы премия равна
p2 = m2 · (1 + θ) ≈ 0.00542 = 1356руб.
2. Если добавочная сумма l делится пропорционально дисперсиям, то
коэффициент пропорциональности k есть
k=
l
≈ 15.8%.
V arS
Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна
l1 = k · σ12 ≈ 0.001899,
так что премия есть
p1 = m1 + l1 ≈ 0.007899 = 1975руб.,
а относительная страховая надбавка
θ1 =
l1
≈ 31.7%.
m1
Для договоров из второй группы страховая надбавка равна
l2 = k · σ22 ≈ 0.001583,
так что премия есть
p2 = m2 + l2 ≈ 0.005583 = 1396руб.,
а относительная страховая надбавка
θ2 =
l2
≈ 39.6%.
m2
3. Если добавочная сумма l делится пропорционально средним квадратичным отклонениям (они равны σ1 ≈ 0.1095 для договоров первой
группы и σ2 = 0.1 для договоров второй группы), то коэффициент
пропорциональности k есть
k=
l
≈ 0.0165.
N 1 σ 1 + N2 σ 2
Поэтому для договоров из первой группы страховая надбавка равна
l1 = k · σ1 ≈ 0.001804,
130
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
так что премия есть
p1 = m1 + l1 ≈ 0.007804 = 1951 руб.,
а относительная страховая надбавка
θ1 =
l1
≈ 30%.
m1
Для договоров из второй группы страховая надбавка равна
l2 = k · σ2 ≈ 0.001647,
так что премия есть
p2 = m2 + l2 ≈ 0.005647 = 1412 руб.,
а относительная страховая надбавка
θ2 =
l2
≈ 41%.
m2
2
Замечание. Изменение принципа назначения индивидуальных премий
приводит к уменьшению относительной страховой надбавки для договоров
первой группы:
θ1 = 35.6%, 31.7%, 30%.
Соответственно для договоров второй группы относительная защитная
надбавка увеличивается:
θ2 = 35.6%, 39.6%, 41%.
Это связано с тем, что коэффициент рассеяния суммарного ущерба есть
V arS
− 1 = 1.25,
ES
в то время как для договоров первой (второй) группы он равен σ12 /m1 −
1 = 1 (соответственно, σ22 /m2 − 1 = 1.5). Коэффициент вариации величины
индивидуального убытка для договоров первой группы есть
c1 = σ1 /m1 ≈ 18.26,
а для договоров второй группы он равен
c2 = σ2 /m2 = 25.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
131
Средний коэффициент вариации, усреднённый по всему портфелю с весами
Ni mi /ES, i = 1, 2, есть
c =
=
N1 m1
N2 m2
+ c2 ·
ES
ES
24
24
c1 + c2
c1 ·
+ c2 ·
=
≈ 21.63.
48
48
2
c1 ·
Таким образом, хотя дисперсия величины индивидуального убытка для
договоров второй группы меньше, чем для договоров первой группы, флуктуации индивидуальных убытков для договоров второй группы (измеренные как коэффициентом рассеяния, так и коэффициентом вариации) превышают средние флуктуации по всему портфелю. Поэтому было бы оправдано принять один из принципов 2 или 3 в качестве основы для назначения
индивидуальных премий.
Имея в виду только неразорение компании, совершенно неважно, как
общая защитная надбавка распределяется по индивидуальным договорам
(в равной степени не играет роли распределение суммарной нетто-премии
на индивидуальные нетто-премии). Однако, имея в виду маркетинговые соображения, важно сделать это "справедливым"образом. Прежде всего, ясно, что в силу статистической однородности договоров в пределах одной
группы (из двух рассматриваемых), защитная надбавка должна быть одной и той же для договоров из одной группы. Однако одного уравнения
N1 · l1 + N2 · l2 = l недостаточно для однозначного определения индивидуальных нагрузок l1 , l2 . Необходимо некоторое принципиальное решение о
"справедливом"соотношении между ними.
Задача 3.10 ([19]) Компания продает договора страхования жизни на
один год. Информация относительно структуры покрытия приведена в
таблице 3.8.
Таблица 3.8:
Страховая
сумма
500 000
1 000 000
Причина
смерти
обычная
несчастный случай
Вероятность
0.10
0.01
Относительная защитная надбавка равна 20%.
Предположим, что отдельные полисы независимы и страховщик использует нормальное приближение для распределения суммарных выплат.
Определите, сколько договоров должен продать страховщик, чтобы собранная премия с вероятностью 95% покрывала суммарные выплаты.
(A) 550
(B) 560
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
132
(C) 570
(D) 580
(E) 590
Решение задачи Пусть N – общее число проданных договоров, Xk –
выплаты по k−му договору, S = X1 + · · · + XN – суммарные выплаты по
всему портфелю, θ – относительная защитная надбавка, так что премия по
одному договору равна p = (1 + θ)EXk .
По условию, P (S < N p) = 0.95. С другой стороны,
S − ES
N p − ES
√
< √
V arS
V arS
N p − ES
≈ Φ √
V arS
√
θEXk
.
N√
= Φ
V arXk
P (S < N p) = P
Поэтому
√
θEXk
N√
= x0.95 ≡ 1.645,
V arXk
где x0.95 – корень уравнения Φ(x) = 0.95 (квантиль порядка 0.95 стандартного гауссовского распределения).
Отсюда для искомого числа договоров имеем:
N=
x20.95 · V arXk
.
θ2 · (EXk )2
Поскольку для индивидуального договора,
EX
EX 2
V arX
= 500 000 · 0.10 + 1 000 000 · 0.01 = 60 000,
= 500 0002 · 0.10 + 1 000 0002 · 0.01 = 35 · 109 ,
= 314 · 108 ,
искомое число договоров равно 590 и поэтому верным является вариант (E).
2
Задача 3.11 ([19]) Известно, что:
1. условное распределение медицинских расходов для человека с геном,
вызывающим раковые заболевания, имеет среднее значение 100 и дисперсию 500;
2. условное распределение медицинских расходов для человека, который
не имеет гена, вызывающего раковые заболевания, имеет среднее значение 10 и дисперсию 70;
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
133
3. число людей с геном, вызывающим раковые заболевания, в группе из
n случайно выбранных человек имеет биномиальное распределение с
параметрами n и p = 0.02.
Страховщик определяет премию по договору медицинского страхования для группы как среднее плюс одно стандартное отклонение распределения суммарных медицинских расходов для этой группы.
Определите премию для группы из 20 случайно выбранных людей.
(A) 235
(B) 275
(C) 305
(D) 335
(E) 375
Решение задачи Предположение о том, что число людей с геном,
вызывающим раковые заболевания, в группе из n случайно выбранных
человек имеет биномиальное распределение с параметрами n и p = 0.02,
означает, что для разных людей опасный ген присутствует независимо с
вероятностью p = 0.02.
Для некоторого человека, пусть C = 1 или 0 в соответствии с тем, имеет
этот человек ген, вызывающий раковые заболевания, или нет, а X – сумма
медицинских расходов для этого человека. Тогда:
EX
EX 2
= P (C = 0) · E(X|C = 0) + P (C = 1) · E(X|C = 1)
= 0.98 · 10 + 0.02 · 100 = 11.8,
= P (C = 0) · E(X 2 |C = 0) + P (C = 1) · E(X 2 |C = 1)
= P (C = 0) · V ar(X|C = 0) + (E(X|C = 0))2
+
P (C = 1) · V ar(X|C = 1) + (E(X|C = 1))2
= 0.98 · 170 + 0.02 · 10 500 = 376.6,
V arX
=
EX 2 − (EX)2 = 237.36.
Отсюда для суммарных медицинских расходов S имеем:
ES
V arS
√
V arS
= n · EX = 236,
= n · V arX = 4747.2,
≈ 68.9,
так что премия за групповое медицинское страхование равна 304.9 и поэтому верным является вариант (C). 2
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
134
Таблица 3.9:
Профессиональный
класс
Число
сотрудников
Страховая
сумма
Вероятность
смерти
1
2
3
4
100
100
200
200
1
1
2
2
0.1
0.2
0.1
0.2
Задача 3.12 ([18]) Компания ABC предполагает организовать групповое страхование жизни для своих сотрудников. Структура персонала приведена в таблице 3.9.
ABC предполагает внести в страховой фонд сумму, равную ожидаемым выплатам страховых возмещений.
Каждый сотрудник, в свою очередь, должен будет внести сумму, равную определенной доле p от размера ожидаемой выплаты. Размер этой
доли определяется таким образом, чтобы с вероятностью 95% средств
страхового фонда хватило для выплаты страховых возмещений.
Определите размер взноса для работников четвертого профессионального класса.
(A) 0.060
(B) 0.066
(C) 0.072
(D) 0.078
(E) 0.084
Решение задачи Пусть q – вероятность смерти сотрудника, SA – размер страховой суммы. Поскольку индивидуальные потери по договору принимают только два значения: 0 с вероятностью 1 − q и SA с вероятностью
q, среднее значение индивидульных потерь есть EX = q · SA, а дисперсия
– V arX = q(1 − q) · SA2 .
Далее, предполагая, как обычно, независимость времен жизни сотрудников компании, можно подсчитать среднее и дисперсию суммарных выплат
для каждого профессионального класса. Для этого нужно среднее/дисперсию
индивидуальных потерь умножить на число работников в классе:
ES V arS =
=
N · EX,
N · V arX.
Результаты расчетов приведены в таблице 3.10. Чтобы получить среднее
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
135
Таблица 3.10:
Проф.
класс
Число
сотрудников
SA
q
EX
V arX
ES V arS 1
2
3
4
100
100
200
200
1
1
2
2
0.1
0.2
0.1
0.2
0.1
0.2
0.2
0.4
0.09
0.16
0.36
0.64
10
20
40
80
9
16
72
128
значение/дисперсию суммарных выплат S для всего портфеля нужно сложить средние/дисперсии суммарных потерь для всех четырех профессиональных классов, так что
ES = 150, V arS = 225.
Размер страхового фонда равен u = ES + p · ES. По условию, должно быть
верно равенство
P (S ≤ u) = 0.95,
или, что то же самое,
P
u − ES
S − ES
√
≤√
V arS
V arS
= 0.95.
Применяя гауссовское приближение для центрированной и нормированной
величины общих выплат, мы имеем:
u − ES
√
= x0.95 .
V arS
В рассматриваемой ситуации это равенство примет вид:
p = 0.1x0.95 ≈ 0.1645.
Соответственно, защитная надбавка для работников четвертого профессионального класса равна 0.1645 · 0.4 = 0.0658. Поэтому верным является
вариант (B). 2
Задача 3.13 ([18]) Страховая компания продает договора, для которых
1. вероятность наступления страхового случая равна 1/2;
2. размер ущерба при наступлении страхового случая дается формулой
1000e−0.05T , где T – случайная величина, равномерно распределенная
на интервале (0, 20);
3. портфель состоит из N независимых договоров;
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
136
4. премия по договору равна 350;
5. общая премия равна ожидаемым суммарным выплатам по всему портфелю плюс 125% стандартного отклонения суммарных выплат от
своего среднего.
Определите N .
(A) 158
(B) 160
(C) 162
(D) 164
(E) 166
Решение задачи Прежде всего найдем два первых момента размера
страхового возмещения после наступления страхового случая:
+∞
e−0.05t fT (t)dt
EY = 1000Ee−0.05T = 1000
0
20
1
= 1000
e−0.05t dt = 1000 −e−0.05t
20
0
−1
= 1000 · (1 − e ) ≈ 632.1206,
+∞
= 106 Ee−0.1T = 106
e−0.1t fT (t)dt
EY 2
20
t=0
0
20
1
20
= 106
e−0.1t dt = 106 −0.5e−0.1t t=0
20
0
1 − e−2
≈ 432 332.3584.
= 106 ·
2
Размер выплат по договору, X, связан с размером страхового возмещения
Y формулой X = I · Y, где I – индикатор события "наступил страховой случай". Поэтому по формуле полного математического ожидания мы имеем:
EX
= P (I = 0) · E(X|I = 0) + P (I = 1) · E(X|I = 1)
= 0 + P (I = 1) · E(Y ) ≈ 0.5 · 632.1206 = 316.0603,
EX 2
P (I = 0) · E(X 2 |I = 0) + P (I = 1) · E(X 2 |I = 1)
= 0 + P (I = 1) · E(Y 2 ) ≈ 0.5 · 432 332.3584
= 216 166.1792,
= EX 2 − (EX)2 ≈ 116 272.079.
V arX
=
Теперь можно определить среднее и дисперсию суммарных выплат по всему
портфелю:
ES
=
N · EX,
V arS
=
N · V arX.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
137
√
По условию общая
√ √ премия по всему портфелю равна ES + 1.25 V arS =
N · EX
√ + 1.25√ N V arX, так что премия по одному договору равна EX +
1.25 V arX/ N . С другой стороны, по условию эта премия равна p = 350.
Отсюда легко найти N :
N = 1.252
V arX
= 158.
(p − EX)2
Поэтому верным является вариант (A). 2
Задача 3.14 ([24]) Страховая компания занимается автомобильным страхованием. Пусть случайная величина X обозначает общие потери компании по договорам страхования на случай повреждения автомобиля при
аварии, а случайная величина Y обозначает общие потери компании по договорам страхования гражданской ответственности водителей (все суммы измеряются в млн. долларов). Известно, что совместное распределение случайных величин X и Y задается следующей формулой:
⎧ 2x+2−y
, если 0 < x < 1 и 0 < y < 2,
⎨
4
f (x, y) =
⎩
0
в противном случае
Найдите вероятность того, что общие потери составят по меньшей мере 1 млн. долларов.
(A) 0.33
(B) 0.38
(C) 0.41
(D) 0.71
(E) 0.75
Решение задачи Искомую вероятность P ≡ P (X + Y ≥ 1) можно
найти как двойной интеграл по формуле:
P=
f (x, y)dxdy,
D
где D – область на плоскости xOy, задаваемая условиями
⎧
⎨ x + y ≥ 1,
0 < x < 1,
⎩
0 < y < 2.
Эта область изображена на рисунке 3.1.
138
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Рис. 3.1:
y
26
r
@
@
r
1@
@
D
@
@
@
@ 1
@r
@
@
@
@
y =1−x @
@
-x
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
139
Из рисунка ясно, что область D может быть задана и как
{(x, y)|0 < x < 1, 1 − x ≤ y < 2}.
Поэтому наш двойной интеграл равен повторному интегралу
1
2
dx
0
dy
1−x
2x + 2 − y
.
4
Вычислим вначале внутренний интеграл:
2
2x + 2 − y
dy
4
1−x
y=2
=
2xy + 2y − 0.5y 2
4
y=1−x
=
5x2 + 6x + 1
.
8
Теперь можно подсчитать внешний интеграл; он равен
1
0
x=1
5 3
x + 3x2 + x
5x2 + 6x + 1
17
dx = 3
≈ 0.7083.
=
8
8
24
x=0
Поэтому верным является вариант (D). 2
Задача 3.15 Предприятие заключило договор группового страхования своих рабочих от несчастных случаев на следующих условиях:
1. срок действия договора – 1 год;
2. если несчастный случай привел к инвалидности, пострадавший получает сумму 1 и, кроме того, такую же сумму получает каждый
член его семьи;
3. первую выплату по договору производит страхователь, а последующие – страховщик (иначе говоря, заключен договор страхования,
останавливающий потери, с собственным удержанием страхователя r = 1).
Найдите нетто-премию по этому договору, предполагая, что:
1. индивидуальные риски независимы;
2. на протяжении года вероятность несчастного случая, который приводит к инвалидности, для одного рабочего равна q;
3. число рабочих равно N ;
4. среднее число членов семьи рабочего равно a.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
140
Решение задачи Пусть Xn – выплаты по договору для n-го рабочего.
Эта случайная величина может быть записана в виде
Xn = In · (1 + Yn ),
где In – индикатор события "с n-м рабочим произошел несчастный случай,
который привел к инвалидности", Yn – число членов семьи n-го рабочего.
Общие потери по договору даются формулой
S=
N
Xn .
n=1
Доля страховщика равна (S − 1)+ ≡ max(S − 1, 0) и поэтому для неттопремии P0 имеем:
P0
≡
E(S − 1)+ =
+∞
(k − 1)P (S = k)
k=1
=
+∞
k=1
=
2
kP (S = k) −
+∞
P (S = k) = ES − (1 − P (S = 0))
k=1
N · EXn − 1 + (1 − q)N = N q(1 + a) − 1 + (1 − q)N .
Глава 4
Модель коллективного
риска
Так же как и в модели индивидуального риска, в модели коллективного риска
анализируется относительно короткий промежуток времени и предполагается,
что плата за страховку полностью вносится в начале анализируемого периода.
Однако, в отличие от модели индивидуального риска, в модели коллективного риска весь портфель заключенных договоров страхования рассматривается
как единое целое, без различения отдельных составляющих его договоров. Соответственно, наступающие страховые случаи не связываются с конкретными
договорами, а рассматриваются как результат суммарного риска компании.
Отсюда следует, что основной характеристикой портфеля является не число заключенных договоров N, а общее число страховых случаев ν за анализируемый период. Ясно, что ν является случайной величиной.
Второе важное отличие модели коллективного риска от модели индивидуального риска заключается в том, что предполагается одинаковая распределенность случайных величин Y1 , Y2 , . . . , описывающих величины потерь вследствие последовательных страховых случаев. Это предположение означает определенную равноценность страховых случаев, связанную с тем, что страховые
случаи рассматриваются как следствие общего риска компании, а не индивидуальных договоров с их специфическими особенностями.
Кроме того, важно подчеркнуть, что случайные величины Yi описывают
только реальный ущерб и поэтому в отличие от величин Xj , фигурирующих в
модели индивидуального риска, строго положительны.
В теории коллективного риска также обычно предполагается, что число
страховых случаев и потери после наступления страховых случаев независимы
в совокупности.
Так же как и в модели индивидуального риска, в модели коллективного
риска "разорение"определяется суммарными выплатами S страховой компа141
142
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
нии. Однако теперь S записывается в виде:
S = Y1 + ... + Yν ,
и поэтому в модели коллективного риска вероятность разорения компании
определяется как
R = P {Y1 + ... + Yν > u},
где u – активы компании. Следует отметить, что в рамках модели коллективного риска (так же, как и для модели индивидуального риска) нельзя ответить
на многие практически важные вопросы. Например, нельзя оценить момент
разорения, величину недостающего капитала в этот момент и т.д.
Многочисленные исследования показали, что реальные данные из практики страхования о числе страховых случаев за фиксированный промежуток
времени хорошо описываются с помощью пуассоновского или отрицательного биномиального распределения (этот факт тесно связан с моделированием
процесса наступления страховых случаев как пуассоновского процесса). Если
ν имеет распределение Пуассона
P (ν = i) =
λi −λ
e ,
i!
или отрицательное биномиальное распределение
P (ν = i) =
α · (α + 1) · · · · · (α + i − 1) α
p (1 − p)i ,
i!
то распределение случайной величины S называется составным пуассоновским
(соответственно, составным отрицательным биномиальным).
Для распределения размеров индивидуальных страховых возмещений Yi
имеется гораздо больше возможностей, но все же класс возможных распределений не слишком широк (дискретные распределения, экспоненциальное распределение, распределение Парето, гамма-распределение и, возможно, еще 3-4
типа распределений). Особенно важен случай, когда Yi принимают дискретные
значения. В сущности, этот частный случай покрывает все реальные ситуации,
так как на практике страховые возмещения обычно измеряются целыми рублями (или даже округляются до сотен или тысяч рублей).
Специфические предположения о характере распределений случайных величин ν и Yi позволяют установить ряд дополнительных свойств модели коллективного риска и сделать общие формулы более содержательными.
Задача 4.1 ([19]) Суммарные потери даются формулой S = X1 + X2 +
· · · + Xν , где:
1. ν с равной вероятностью принимает только три значения 0, 1 и 2;
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
143
2. каждая из величин Xi имеет экспоненциальное распределение со средним 0.5;
3. ν, X1 , X2 , . . . взаимно независимы.
Определите E eS .
(A) 1.9
(B) 2.1
(C) 2.3
(D) 2.5
(E) 2.7
Решение задачи Используя формулу полного математического ожидания, мы имеем:
E eS
=
P (ν = n) · E eX1 +···+Xν |ν = n
n
=
P (ν = n) · EeXi
n
n
=
1
2
1 + EeXi + EeXi
.
3
Поскольку случайные величины Xi имеют экспоненциальное распределение
со средним 0.5, их плотность дается формулой
f (t) = λe−λt , t > 0,
где λ = 1/0.5 = 2, и поэтому,
Xi
E e
=
=
=
+∞
0
+∞
0
λ
λ−1
et · λe−λt dt
λe−(λ−1)t dt
+∞
(λ − 1)e−(λ−1)t dt.
0
Поскольку λ > 1, функция (λ − 1)e−(λ−1)t является экспоненциальной плот +∞
ностью, так что 0 (λ − 1)e−(λ−1)t dt = 1. Значит,
E eXi =
λ
= 2.
λ−1
Объединяя полученные результаты, мы имеем:
1
1
E eS = (1 + 2 + 4) = 2 ≈ 2.3,
3
3
144
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
и поэтому верным является вариант (C). 2
Задача 4.2 ([18]) Для размера суммарных потерь S = X1 + X2 + · · · + Xν
в модели коллективного риска известно, что:
1. ν имеет биномиальное распределение с числом "испытаний"N = 5 и
вероятностью "успеха"p = 0.1;
2. каждая из величин Xi имеет распределение P (Xi = 1) = P (Xi = 2) =
0.5;
3. ν, X1 , X2 , . . . взаимно независимы.
Определите MS (0.2), где MS (t) ≡ EetS – производящая функция моментов
суммарных потерь.
(A) 1.15
(B) 1.17
(C) 1.19
(D) 1.21
(E) 1.23
Решение задачи Используя формулу полного математического ожидания, мы имеем:
MS (t) ≡
EetS =
N
P (ν = k) · E etX1 +···+tXν |ν = k
k=0
=
N
P (ν = k) · EetXi
k
k=0
=
5
5
k
0.1k 0.95−k · 0.5et + 0.5e2t
k
k=0
=
0.1 · 0.5 · et + e2t + 0.9
5
Поэтому
MS (0.2) = 0.05 · e0.2 + e0.4 + 0.9
.
5
≈ 1.191486,
так что верным является вариант (C). 2
Задача 4.3 ([19]) Известно, что в модели индивидуального риска при наступлении страхового случая размер ущерба фиксирован. Для аппроксимации модели индивидуального риска с помощью составного пуассоновского
распределения используется два варианта метода эквивалентных замен:
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
145
1. первый основан на совпадении средних значений числа страховых случаев, Eν, в обеих моделях,
2. второй метод основан на совпадении вероятностей отсутствия страховых случаев, P (ν = 0), в обеих моделях.
Пусть V1 (V2 ) – дисперсия числа страховых случаев для составного пуассоновского распределения при первом (втором) приближении. Истинно или
ложно неравенство V2 < V1 ?
(A) Истинно
(B) Ложно
Решение задачи Рассмотрим вначале модель индивидуального риска. Пусть N – число договоров, Xk – величина потерь по k−му договору,
Ik = I(Xk > 0) – индикатор события "k−й договор привел к страховому
случаю", q = P (Xk > 0). Тогда суммарное число страховых случаев для
модели индивидуального риска есть ν = I1 + · · · + IN . Значит,
Eν P (ν = 0)
= N · EIk = N q,
= P (I1 = 0) . . . P (IN = 0) = (1 − q)N .
Для составного пуассоновского распределения общее число страховых
случаев, ν , имеет распределение Пуассона с некоторым параметром λ, так
что
Eν = λ,
P (ν = 0) = e−λ .
Первое приближение определяется равенством
Eν = Eν ,
откуда
λ ≡ λ1 = N q.
Второе приближение определяется равенством
P (ν = 0) = P (ν = 0),
откуда
λ ≡ λ2 = −N ln(1 − q).
Поскольку V1 = λ1 , V2 = λ2 , неравенство V2 < V1 равносильно неравенству
ln(1 − q) > −q, которое, как нетрудно установить, ложно.
Таким образом, верным является вариант (B). 2
146
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Задача 4.4 ([18]) В модели коллективного риска распределение суммарных потерь характеризуется следующими данными:
1. распределение числа страховых случаев есть:
n+3
3
P (ν = n) =
1
2
n+4
, n = 0, 1, 2, . . . ;
2. плотность распределения величины страхового возмещения есть:
f (x) = 4xe−2x , x > 0.
Определите дисперсию распределения суммарных потерь.
(A) 2
(B) 4
(C) 6
(D) 8
(E) 10
Решение задачи Прежде всего найдем производящую функцию числа
страховых случаев:
π(z)
≡ Ez =
ν
+∞
n=0
=
+∞
n=0
+∞
zn
zn
n+3
3
1
2
n+4
(n + 3)(n + 2)(n + 1) 1
1·2·3
2n+4
k(k − 1)(k − 2) 1
6
2k+1
k=3
+∞
z −1
1 z k
1 1−
=
=
12
2
12
2
k=0
−4
z
1
1−
=
.
16
2
=
z k−3
Теперь найдем преобразование Лапласа величины страхового возмещения:
+∞
+∞
4
−sx
−2x
ψ(s) ≡
e
4xe
dx =
x(2 + s)e−(2+s)x dx.
2+s 0
0
Интеграл в правой части этого равенства можно рассматривать как среднее
значение экспоненциального распределения с параметром λ = 2 + s. Как
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
147
известно, это среднее равно 1/λ = 1/(2 + s). Таким образом, 1
ψ(s) =
4
.
(2 + s)2
Наконец, для преобразования Лапласа Ψ(s) суммарных потерь S = Y1 +
Y2 + · · · + Yν , где Y1 , Y2 , . . . , Yν – размеры потерь для последовательных
страховых случаев, имеем:
= Ee−s(Y1 +···+Yν )
+∞
=
E e−s(Y1 +...+Yν ) |ν = n) P (ν = n)
Ψ(s)
=
=
n=0
+∞
n=0
+∞
E e−s(Y1 +...+Yn ) |ν = n) P (ν = n)
n
(ψ(s)) P (ν = n)
n=0
= Eψ(s)ν = π(ψ(s)) =
1
−4
1 − 2(2 + s)−2
.
16
Из этой формулы дифференцированием по s в точке s = 0 имеем:
ES
Аналогично,
так что
1
−5
(−4) 1 − 2(2 + s)−2
16
−2 · (−2) · (2 + s)−3 s=0 = 4.
= −Ψ (0) = −
ES 2 = Ψ (0) = 26,
V arS = ES 2 − (ES)2 = 10,
и поэтому верным ответом будет (E). 2
Задача 4.5 ([18]) Распределение общих потерь имеет следующие параметры:
1. распределение числа страховых случаев:
P (ν = 0) = 0.5, P (ν = 1) = 0.3, P (ν = 2) = 0.2;
2. распределение размера индивидуальных потерь:
P (Y = 1) = 0.8, P (Y = 4) = 0.2.
1 Преобразование Лапласа ϕ(s) экспоненциального распределения с параметром λ = 2
дается формулой ϕ(s) = 2/(2 + s). Поскольку ψ(s) = (ϕ(s))2 , отсюда следует, что страховое возмещение можно рассматривать как сумму двух независимых экспоненциальных
величин.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
148
Подсчитайте вероятность того, что суммарные потери превысят свое
среднее более, чем в два раза.
(A) 0.132
(B) 0.138
(C) 0.144
(D) 0.150
(E) 0.156
Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, Y1 , Y2 , . . . , Yν –
размеры потерь для соответствующих страховых случаев. Тогда производящая функция числа страховых случаев, π(z) ≡ Ez ν , и производящая функция величины ущерба при наступлении страхового случая, 2 g(z) ≡ Ez Yi ,
даются формулами:
π(z) = 0.5z 0 + 0.3z 1 + 0.2z 2 = 0.1 · (5 + 3z + 2z 2 ),
g(z) = 0.8z 1 + 0.2z 4 = 0.2z · (4 + z 3 ).
Величина суммарных потерь S = Y1 + ... + Yν является целочисленной
случайной величиной. Поэтому мы будем характеризовать ее распределение (как и распределение размера индивидуальных потерь) производящей
функцией G(z) ≡ Ez S . По формуле полного математического ожидания мы
имеем:
G(z)
=
=
=
+∞
n=0
+∞
n=0
+∞
P (ν = n)E z Y1 +···+Yν ν = n
P (ν = n)E z Y1 +···+Yn =
+∞
P (ν = n) Ez Yi
n
n=0
n
P (ν = n) (g(z)) = π(g(z))
n=0
=
0.1 · (5 + 3g(z) + 2g 2 (z))
=
0.5 + 0.24z + 0.128z 2 + 0.06z 4 + 0.064z 5 + 0.008z 8 .
Отсюда дифференцированием по z в точке z = 1 можно получить среднее
значение суммарных потерь ES:
ES = 1.12.
Кроме того, коэффициенты при степенях z дают распределение вероятностей случайной величины S; оно приведено в таблице 4.1.
2 Поскольку случайные величины Y принимают только целые значения, мы характеi
ризуем их распределение производящей функцией, а не преобразованием Лапласа. Кроме того, поскольку случайные величины Yi одинаково распределены, g(z) не зависит от
номера i страхового случая.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
149
Таблица 4.1:
n
P (S = n)
0
0.5
1
0.24
2
0.128
3
0
4
0.06
5
0.064
6
0
7
0
8
0.008
Поэтому искомая вероятность P (S > ES) равна
P (S > 2.24) =
P (S ≥ 3)
=
1 − P (S = 0) − P (S = 1) − P (S = 2)
=
1 − 0.5 − 0.24 − 0.128 = 0.132.
Значит, верным является вариант (A). 2
Задача 4.6 ([25]) В таблице 4.2 приведено распределение числа заявленных страховых случаев по некоторому портфелю. Когда происходит страТаблица 4.2:
n
0
2
3
P (ν = n)
0.7
0.2
0.1
ховой случай, размер страхового возмещения равен 0 или 10 с вероятностями 0.8 и 0.2 соответственно. Число страховых случаев и страховые
возмещения независимы в совокупности.
Подсчитайте вероятность того, что суммарные выплаты по портфелю превысят свое среднее больше, чем на два стандартных отклонения.
(A) 0.02
(B) 0.05
(C) 0.07
(D) 0.09
(E) 0.12
Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, Y1 , Y2 , . . . , Yν –
размеры потерь для соответствующих страховых случаев. Тогда производящая функция числа страховых случаев, π(z) ≡ Ez ν , и производящая функция величины ущерба при наступлении страхового случая, g(z) ≡ Ez Yi ,
даются формулами:
π(z) = 0.7z 0 + 0.2z 2 + 0.1z 3 = 0.1 · (7 + 3z 2 + z 3 ),
g(z) = 0.8z 0 + 0.2z 10 = 0.2 · (4 + z 10 ).
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
150
Суммарные выплаты S = Y1 + ... + Yν являются целочисленной случайной
величиной. Поэтому мы будем характеризовать ее распределение (как и
распределение размера индивидуальных потерь) производящей функцией
G(z) ≡ Ez S . По формуле полного математического ожидания мы имеем:
G(z)
=
=
=
+∞
n=0
+∞
n=0
+∞
P (ν = n)E z Y1 +···+Yν ν = n
P (ν = n)E z Y1 +···+Yn =
+∞
P (ν = n) Ez Yi
n
n=0
n
P (ν = n) (g(z)) = π(g(z))
n=0
=
0.1 · (7 + 3g 2 (z) + g 3 (z))
=
0.8792 + 0.1024z 10 + 0.0176z 20 + 0.0008z 30 .
Отсюда дифференцированием по z в точке z = 1 можно получить моменты
случайной величины S:
ES = 10 · 0.1024 + 20 · 0.0176 + 30 · 0.0008 = 1.4,
E(S(S − 1)) = 10 · 9 · 0.1024 + 20 · 19 · 0.0176 + 30 · 29 · 0.0008
= 16.6,
V arS = E(S(S − 1)) + ES − (ES)2 = 16.04,
√
так что стандартное отклонение σS ≡ V arS ≈ 4.005. Поэтому искомая
вероятность P ≡ P (S > ES + 2σS ) равна P (S > 9.41). Поскольку случайная
величина S принимает только значения 0, 10, 20, 30 (это хорошо видно из
полученной нами формулы для ее производящей функции), для искомой
вероятности имеем:
P = P (S = 10, 20, 30) = 1 − P (S = 0) = 1 − 0.8792 = 0.1208.
Значит, верным является вариант (E). 2
Задача 4.7 ([18]) В модели коллективного риска суммарные потери S
имеют составное пуассоновское распределение с λ = 63 и распределением
величины страхового возмещения, приведенным в таблице 4.3. С помощью
нормального приближения подсчитайте вероятность P (S > 315).
(A) 0.03
(B) 0.04
(C) 0.05
(D) 0.06
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
151
Таблица 4.3:
x
p(x)
1
5
10
0.5
0.3
0.2
(E) 0.07
Решение задачи Нормальное приближение предполагает рассмотрение центрированной и нормированной величины потерь
S − ES
.
S∗ ≡ √
V arS
Чтобы найти среднее значение и дисперсию случайной величины S, мы
получим формулу для ее производящей функции Ez S (S, как сумма целочисленных слагаемых, принимает только целые значения), а затем дифференцированием в точке z = 1 подсчитаем требуемые моменты.
Прежде всего найдем производящую функцию размера индивидуального страхового возмещения Yi после наступления i−го страхового случая:
g(z) ≡ Ez Yi = 0.5z + 0.3z 5 + 0.2z 10 .
Отсюда дифференцированием по z в точке z = 1 получим моменты размера
индивидуального страхового возмещения:
EYi
=
EYi (Yi − 1) =
EYi2
g (z)|z=1 = 0.5 + 1.5z 4 + 2z 9
3
g (z)|z=1 = 6z + 18z
8
z=1
z=1
= 4,
= 24,
= EYi (Yi − 1) + EYi = g (1) + g (1) = 28.
Теперь для производящей функции суммарных потерь мы имеем:
G(z)
≡ Ez S =
+∞
P (ν = n)E z Y1 +···+Yν ν = n
n=0
=
+∞
P (ν = n)E z Y1 +···+Yn =
n=0
+∞ n
λ
n!
n=0
e−λ Ez Yi
n
= eλg(z)−λ .
Отсюда дифференцированием по z в точке z = 1 получим моменты вели-
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
152
чины суммарных потерь:
ES
=
=
ES(S − 1) =
V arS
√
V arS
G (z)|z=1 = λg (z)eλg(z)−λ
z=1
λg (1) = λEYi = 63 · 4 = 252,
2
G (z)|z=1 = λg (z) + (λg (z)) eλg(z)−λ
z=1
2
=
λg (1) + (λg (1)) ,
=
ES(S − 1) + ES − (ES)2
=
=
λg (1) + (λg (1)) + λg (1) − (λg (1))
λ(g (1) + g (1)) = λEYi2 = 63 · 28 = 1764,
=
42.
2
2
Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы применить гауссовское приближение для подсчета P (S > 315):
P (S > 315) =
=
315 − ES
S − ES
√
> √
V arS
V arS
P (S ∗ > 1.5) ≈ 1 − Φ(1.5) ≈ 6.68%.
P
Поэтому верным является вариант (E). 2
Задача 4.8 ([25]) Человек старше 65 лет на протяжении одного года
покупает лекарства случайное число раз, которое имеет распределение
Пуассона со средним 25. При каждой покупке расходы на лекарства равномерно распределены на отрезке [5, 95]. Число случаев покупки лекарств и
размеры покупок независимы в совокупности.
Определите вероятность того, что общие годовые расходы на лекарства превысят 2000 (используйте нормальное приближение).
(A) 1 − Φ(1.33)
(B) 1 − Φ(1.66)
(C) 1 − Φ(2.33)
(D) 1 − Φ(2.66)
(E) 1 − Φ(3.33)
Решение задачи Пусть ν – число случаев покупки лекарств в течение
года, Y1 , . . . , Yν – соответствующие расходы, S = Y1 + · · · + Yν – суммарные
годовые расходы на лекарства.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
153
Для преобразования Лапласа случайной величины S по формуле полного математического ожидания мы имеем:
Ψ(s) ≡
Ee−sS =
+∞
P (ν = n)E e−s(Y1 +···+Yν ) ν = n
n=0
=
=
+∞
P (ν = n)E e−s(Y1 +···+Yn )
n=0
+∞
λn −λ
n
e
Ee−sYi = eλψ(s)−λ ,
n!
n=0
где λ = 25 – параметр пуассоновской величины ν, ψ(s) = Ee−sYi – преобразование Лапласа величины разовых расходов на лекарства.
Отсюда дифференцированием по s в точке s = 0 мы получим моменты
величины S:
ES = −Ψ (s)|s=0 = −λψ (s)eλψ(s)−λ
s=0
ES 2
= −λψ (0) = λEYi ,
2
= Ψ (s)|s=0 = λψ (s) + (λψ (s)) eλψ(s)−λ
V arS
= λψ (0) + (λψ (0)) ,
= ES 2 − (ES)2
s=0
2
2
2
= λψ (0) + (λψ (0)) − (λψ (0))
= λψ (0) = λEYi2 .
Далее, так как случайные величины Yi равномерно распределены на
отрезке [5,95], используя формулы для моментов равномерного распределения, полученные в задаче 1.6, мы имеем:
EYi
=
EYi2
=
5 + 95
= 50,
2
52 + 5 · 95 + 952
= 3 175.
3
Таким образом, среднее и дисперсия суммарных годовых расходов на
лекарства равны:
ES
V arS
= 25 · 50 = 1 250,
= 25 · 3 175 = 79 375.
Чтобы применить нормальное приближение, запишем искомую вероятность P (S > 2000) того, что суммарные годовые расходы на лекарства пре-
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
154
высят 2000, в виде:
P (S > 2000) =
P
=
P
=
P
S − ES
2000 − ES
√
> √
V arS
V arS
S − ES
2000 − 1250
√
> √
79 375
V arS
S − ES
750
√
>√
.
79 375
V arS
Используя нормальное приближение, имеем:
P (S > 2000) ≈ 1 − Φ
√
750
79 375
≈ 1 − Φ(2.66),
так что верным является вариант (D). 2
Задача 4.9 ([22]) В таблице 4.4 приведены характеристики распределения числа страховых случаев и распределения величины ущерба после наступления страхового случая для модели коллективного риска.
Таблица 4.4:
Среднее
значение
Стандарное
отклонение
Число
страховых случаев
8
3
Размер ущерба
10 000
3 937
Используя нормальную аппроксимацию, определите вероятность того,
что суммарные потери превысят 150% от ожидаемых потерь.
(A) Φ(1.25)
(B) Φ(1.5)
(C) 1 − Φ(1.25)
(D) 1 − Φ(1.5)
(E) 1.5Φ(1)
Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, Y1 , Y2 , . . . , Yν
– размеры потерь для соответствующих страховых случаев, π(z) = Ez ν –
производящая функция числа страховых случаев, ψ(s) = Ee−sYi – преобразование Лапласа величины ущерба при наступлении страхового случая
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
155
(поскольку случайные величины Yi одинаково распределены, ψ(s) не зависит от номера i страхового случая).
Тогда для преобразования Лапласа Ψ(s) суммарных потерь S = Y1 +
· · · + Yν мы имеем:
Ψ(s) =
=
=
=
Ee−s(Y1 +···+Yν )
+∞
E e−s(Y1 +...+Yν ) |ν = n) P (ν = n)
n=0
+∞
n=0
+∞
E e−s(Y1 +...+Yn ) |ν = n) P (ν = n)
n
(ψ(s)) P (ν = n)
n=0
=
Eψ(s)ν = π(ψ(s)).
Из этой формулы дифференцированием по s в точке s = 0 можно получить формулы для моментов суммарных потерь ES и V arS; эти моменты
потребуются для получения гауссовского приближения для функции распределения суммарных потерь.
1. Поскольку
Ψ (s) = π (ψ(s)) · ψ (s),
при s = 0 получим:
Ψ (0) = π (ψ(0)) · ψ (0).
Однако,
ψ(0)
=
1,
=
=
=
Eν,
−EY,
−ES.
π (1)
ψ (0)
Ψ (0)
Значит,
ES = Eν · EY = 8 · 10 000 = 80 000.
2. Поскольку
Ψ (s) = π (ψ(s)) · (ψ (s))2 + π (ψ(s)) · ψ (s),
при s = 0 получим:
Ψ (0) = π (ψ(0)) · (ψ (0))2 + π (ψ(0)) · ψ (0).
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
156
Однако,
ψ(0)
=
1,
=
=
=
=
=
Eν,
Eν(ν − 1) = Eν 2 − Eν = V arν − Eν + (Eν)2 ,
−EY,
EY 2 = V arY + (EY )2 ,
ES 2 = V arS + (ES)2 .
π (1)
π (1)
ψ (0)
ψ (0)
Ψ (0)
Отсюда,
= V arν · (EY )2 + V arY · Eν
= 9 · 108 + (3 937)2 · 8
= 1 023 999 752,
V arS
так что для суммарных потерь среднее квадратичное отклонение есть
√
V arS ≈ 32 000.
Искомая вероятность P = P (S > 1.5ES) может быть записана в виде:
P=P
0.5ES
S − ES
√
>√
V arS
V arS
.
Гипотеза о нормальном приближении означает, что
P
S − ES
√
>x
V arS
Значит,
P ≈1−Φ
0.5ES
√
V arS
≈ 1 − Φ(x).
= 1 − Φ(1.25),
и поэтому верным ответом будет (C). 2
Задача 4.10 ([31]) Грузчики на электроламповом заводе иногда роняют
ящики с готовой продукцией. Таблица 4.5 содержит статистические данные о потерях при погрузке в течение одного месяца. Если общие потери
за месяц не превышают 8000, бригада грузчиков получает премию.
Используя гауссовское приближение, подсчитайте вероятность того,
что грузчики получат премию.
Решение задачи Пусть ν – число разбитых ящиков (за один месяц),
Y1 , Y2 , . . . , Yν – стоимость разбитых ламп в одном ящике, S = Y1 + ... + Yν –
общие потери за месяц.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
157
Таблица 4.5:
Среднее число разбитых ящиков
Дисперсия числа разбитых ящиков
Средняя стоимость разбитых ламп
в одном ящике
Дисперсия стоимости разбитых ламп
в одном ящике
50
100
200
400
Используя результаты задачи 4.9, мы имеем:
= Eν · EY = 50 · 200 = 10 000,
= V arν · (EY )2 + V arY · Eν
= 100 · (2002 ) + 400 · 50
ES
V arS
√
= 4 020 000,
≈ 2 005.
V arS
Искомая вероятность P = P (S ≤ 8 000) может быть записана в виде:
P=P
S − ES
8 000 − ES
√
≤ √
V arS
V arS
≈P
S − ES
√
≤ −0.9975 .
V arS
Гипотеза о нормальном приближении означает, что
P
S − ES
√
≤x
V arS
≈ Φ(x).
Значит,
P ≈ Φ(−0.9975) ≈ 16%.
2
Задача 4.11 ([14]) Предположим, что для некоторого портфеля договоров за определенный промежуток времени может произойти 0, 1, 2 или
3 страховых случая с вероятностями 0.2, 0.3, 0.4 и 0.1 соответственно
(возможность больше, чем трех страховых случаев пренебрежимо мала).
Когда происходит страховой случай, величина потерь равна 1, 2, или 3 с
вероятностями 0.6, 0.3, и 0.1 соответственно.
Определите наиболее вероятное значение суммарных потерь за рассматриваемый промежуток времени.
Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев за рассматриваемый промежуток времени, Y1 , Y2 , . . . , Yν – размеры потерь для соответствующих страховых случаев, π(z) = Ez ν – производящая функция числа
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
158
страховых случаев, g(z) = Ez Yi – производящая функция величины ущерба при наступлении страхового случая (поскольку случайные величины Yi
одинаково распределены, g(z) не зависит от номера i).
Тогда для производящей функции G(z) суммарных потерь S = Y1 +· · ·+
Yν мы имеем:
G(z)
= Ez Y1 +···+Yν
∞
=
E z Y1 +···+Yν |ν = n) P (ν = n)
=
=
n=0
∞
n=0
∞
E z Y1 +···+Yn |ν = n) P (ν = n)
n
(g(z)) P (ν = n) = Eg(z)ν = π(g(z)).
n=0
В рассматриваемом случае производящая функция числа страховых случаев есть π(z) = 0.2 + 0.3z + 0.4z 2 + 0.1z 3 , а производящая функция величины
ущерба есть g(z) = 0.6z + 0.3z 2 + 0.1z 3 . Поэтому производящая функция
величины суммарных потерь есть
G(z) =
=
=
+
π(g(z))
0.2 + 0.3g(z) + 0.4(g(z))2 + 0.1(g(z))3
0.2 + 0.3(0.6z + 0.3z 2 + 0.1z 3 )
0.4(0.6z + 0.3z 2 + 0.1z 3 )2 + 0.1(0.6z + 0.3z 2 + 0.1z 3 )3 .
Раскрывая скобки, приводя подобные члены и затем отбирая коэффициенты при последовательных степeнях z, мы получим распределение величины
суммарных потерь S; оно приведено в таблице 4.6. Поэтому наиболее вероТаблица 4.6:
n
0
1
2
3
4
P (S = n)
0.2000
0.1800
0.2340
0.1956
0.1164
n
5
6
7
8
9
P (S = n)
0.0510
0.0175
0.0045
0.0009
0.0001
ятное значение суммарных потерь равно 2. 2
Задача 4.12 ([14]) Распределение числа страховых случаев за анализируемый промежуток времени описывается геометрическим законом со средним 9, т.е.
πn = P (ν = n) = 0.9n · 0.1, n = 0, 1, 2, . . . ,
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
159
а убытки после наступления страхового случая имеют экспоненциальное
распределение со средним 1, т.е.
P (Yi < x) = 1 − e−x .
Определите зависимость вероятности разорения от величины активов
компании.
Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, Y1 , Y2 , . . . , Yν –
размеры потерь для последовательных страховых случаев. Как известно,
величина Y1 + ... + Yn имеет гамма-распределение с параметрами λ = 1 и
α = n, т.е. ее плотность есть
fY1 +...+Yn (x) =
xn−1 −x
e .
(n − 1)!
Поэтому плотнoсть суммарных потерь S при x > 0 есть
fS (x)
=
=
∞
n=1
∞
P (ν = n)fY1 +...+Yn (x)
0.9n 0.1
n=1
= 0.09
xn−1 −x
e
(n − 1)!
∞
(0.9x)k
k=0
0.9x−x
= 0.09e
k!
e−x
= 0.09e−0.1x .
Если u – размер активов компании, то вероятность разорения равна
∞
f (x)dx = 0.9e−0.1u .
R(u) ≡ P (S > u) =
u
3
2
Задача 4.13 ([22]) Страховая компания обеспечивает страховую защиту концертного зала от потерь вследствие отказов системы электроснабжения. Известно, что
1. число отказов системы электроснабжения в течение года имеет
распределение Пуассона со средним 1,
2. распределение величины ущерба вследствие одного отказа системы
электроснабжения задается таблицей 4.7.
3 Отметим, что распределение суммарных потерь всегда имеет атом в нуле с массой,
равной вероятности того, что не было
ни одного страхового случая. В нашем случае эта
вероятность равна 0.1. Интеграл 0∞ f (x)dx дает вероятность того, что 0 < S < +∞ и
поэтому должен равняться 1 − P (S = 0) = 0.9. Непосредственный подсчет показывает,
что это действительно так.
160
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 4.7:
x
Вероятность значения x
10
20
50
0.3
0.3
0.4
3. число отказов системы электроснабжения и величины потерь независимы,
4. страхователь оплачивает потери сам до тех пор, пока они не превысят предел 30.
Подсчитайте ожидаемые выплаты страховщика за один год.
(A) 5
(B) 8
(C) 10
(D) 12
(E) 14
Решение задачи Пусть ν – число отказов системы электроснабжения
за один год. Так как случайная величина ν имеет распределение Пуассона,
верны равенства:
1
P (ν = n) = e−1 , Eν = 1.
n!
Пусть, далее, Y1 , . . . , Yν – величины потерь вследствие отказов. Принимая сумму 10 в качестве единицы измерения денежных сумм, мы получим
для распределения случайных величин Yi таблицу 4.8, так что EYi = 2.9,
Ez Yi = 0.3z + 0.3z 2 + 0.4z 5 .
Таблица 4.8:
x
P (Yi = x)
1
2
5
0.3
0.3
0.4
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
161
Наконец, пусть S = Y1 + · · · + Yν – суммарные потери за один год. Производящая функция случайной величины S есть
+∞
=
Ez S
n=0
+∞
=
E z S | ν = n P (ν = n)
Ez Yi
n
P (ν = n)
n=0
+∞
(0.3z + 0.3z 2 + 0.4z 5 )n −1
e
n!
n=0
=
2
5
e0.3z+0.3z +0.4z −1 .
=
Дифференцируя по z в точке z = 1, мы имеем:
ES = Eν · EY = 1 · 2.9 = 2.9.
Кроме того, раскладывая производящую функцию Ez S в ряд по степеням
z вплоть до z 2 , мы получим:
Ez S
=
e−1 · 1 + (0.3z + 0.3z 2 + 0.4z 5 )
(0.3z + 0.3z 2 + 0.4z 5 )2
+ ...
2
e−1 · 1 + 0.3z + 0.3z 2 + 0.045z 2 + . . .
=
e−1 · 1 + 0.3z + 0.345z 2 + . . . ,
=
+
что дает распределение суммарных потерь за один год в точках 0, 1 и 2: 4
P (S = 0) = e−1 , P (S = 1) = 0.3e−1 , P (S = 2) = 0.345e−1 .
По условиям договора, страховая компания покрывает только превышение потерь над собственным удержанием страхователя (в размере 3), т.е.
выплаты страховой компании даются формулой:
S =
0,
S − 3,
если S ≤ 3,
если S > 3.
4 Этот результат легко получить и непосредственно по формуле полной вероятности:
P (S = 0)
=
P (ν = 0) = e−1 ,
P (S = 1)
=
P (ν = 1) · P (Y1 = 1) = 0.3e−1 ,
P (S = 2)
=
P (ν = 1) · P (Y1 = 2)
+
P (ν = 2) · P (Y1 = 1) · P (Y2 = 1) = 0.345e−1 .
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
162
Значит,
ES =
=
+∞
n=0
+∞
nP (S = n) =
+∞
nP (S = n + 3) =
(n − 3)P (S = n)
n=3
(n − 3)P (S = n) −
n=0
=
nP (S − 3 = n)
n=0
+∞
n=0
=
+∞
2
(n − 3)P (S = n)
n=0
ES − 3 + 3 · P (S = 0) + 2 · P (S = 1) + 1 · P (S = 2)
= 2.9 − 3 + (3 + 0.6 + 0.345)e−1
≈ 1.3513 (условных единиц).
и поэтому верным ответом будет (E). 2
Задача 4.14 ([31]) Число страховых случаев по групповому договору медицинского страхования имеет отрицательное биномиальное распределение со средним Eν = 300 и дисперсией V arν = 800.
Распределение тяжести страхового случая задается таблицей 4.9.
Таблица 4.9:
Тяжесть
Вероятность
40
80
120
200
0.25
0.25
0.25
0.25
Подсчитайте среднее значение общих выплат по договору, если
1. тяжесть страхового случая увеличится на 50%,
2. частота наступления страховых случаев не изменится,
3. будет введен простой вычет в размере d = 60.
Решение задачи
Пусть Y – размер медицинских расходов по одному страховому случаю,
Y = max(1.5Y − 60, 0) – размер страхового возмещения по одному случаю
заболевания после увеличения тяжести страховых случаев на 50% и введения простого вычета в размере d = 60. Распределение случайной величины
Y задается таблицей 4.10.
Отсюда легко подсчитать среднее значение EY :
EY = (20 + 80 + 200)/4 = 75.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
163
Таблица 4.10:
Возмещение
Вероятность
0
20
80
200
0.25
0.25
0.25
0.25
Поскольку частота наступления страховых случаев не изменилась, среднее
значение общих выплат по договору в рассматриваемой новой ситуации
будет равно
Eν · EY = 22 500.
2
Задача 4.15 Число страховых случаев в течение года по договору группового медицинского страхования имеет пуассоновское распределение со
средним λ = 500.
Распределение размера расходов по одному страховому случаю задается
таблицей 4.11.
Таблица 4.11:
Расходы
Вероятность
50
100
200
300
400
500
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
Актуарий страховой компании предполагает, что в наступающем году
из-за инфляции медицинские расходы по одному страховому случаю вырастут на 20%.
Подсчитайте среднее значение и коэффициент вариации общих выплат
по договору в наступающем году, если будет заключен договор страхования чрезмерных потерь с возвращаемым вычетом в размере d = 60.
Решение задачи
Пусть Y – размер медицинских расходов по одному страховому случаю в
прошедшем году, Y = 1.2Y – размер медицинских расходов по одному страховому случаю в наступающем году. Распределение случайной величины Y задается таблицей 4.12. Для возвращаемого вычета событие "был заявлен
164
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 4.12:
Расходы
Вероятность
60
120
240
360
480
600
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
страховой случай"имеет вероятность q(d) = P (Y > d) = 0.7. Поэтому число страховых случаев после введения вычета будет иметь распределение
Пуассона со средним λ = λ · q(d) = 350. Величина страхового возмещения
после введения вычета, Y(d) , будет иметь распределение, задаваемое таблицей 4.13. Отсюда
Таблица 4.13:
Расходы
Вероятность
120
240
360
480
600
2/7
2/7
1/7
1/7
1/7
EY(d)
=
2
=
E Y(d)
2160
≈ 308.57,
7
864 000
≈ 123 428.57.
7
Поэтому для среднего значения и коэффициента вариации суммарных выплат по договору в наступающем году имеем:
2160
= 108 000,
= λ · EY(d) = 350 ·
7
V arS(d)
c =
≈ 6%.
ES(d)
ES(d)
2
Задача 4.16 В течение прошедшего года по групповому договору медицинского страхования работников большого завода было заявлено 800 страховых случаев.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
165
Таблица 4.14:
Расходы
50
100
200
300
400
500
Вероятность
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
Распределение размера возмещения по одному страховому случаю задается таблицей 4.14.
Урегулирование каждого страхового случая обходится страховой компании в сумму 50. Кроме того, вне зависимости от числа страховых случаев компания имеет общие административные расходы в размере 50 000.
Актуарий страховой компании предполагает, что в наступающем году
1. из-за инфляции медицинские расходы по одному страховому случаю
вырастут на 20%;
2. мероприятия по улучшению условий труда уменьшат заболеваемость
на 5%;
3. из-за инфляции все административные расходы вырастут на 15%.
Чтобы не увеличивать стоимость покрытия, страховщик предполагает ввести по каждому страховому случаю простой вычет в размере
d = 60.
Подсчитайте ожидаемые выплаты по договору в наступающем году.
Решение задачи Пусть Y – размер медицинских расходов по одному
страховому случаю в прошедшем году, Y = 1.2Y – размер медицинских
расходов по одному страховому случаю в наступающем году. Распределение случайной величины Y задается таблицей 4.15. Для простого вычета
Таблица 4.15:
Расходы
60
120
240
360
480
600
Вероятность
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
событие "был заявлен страховой случай"имеет вероятность q(d) = P (Y >
166
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
d) = 0.7. Поэтому ожидаемое число страховых случаев в наступающем году
после введения вычета будет равно n = 800 · 0.95 · 0.7 = 532.
Величина страхового возмещения после введения вычета, Y(d) , будет
иметь распределение, задаваемое таблицей 4.16. Отсюда
Таблица 4.16:
Расходы
60
180
300
420
540
EY(d) =
Вероятность
2/7
2/7
1/7
1/7
1/7
1740
≈ 248.57.
7
Поэтому для среднего значения суммарных выплат по договору в наступающем году имеем:
ES(d) = n · EY(d) = 532 ·
1740
= 132 240.
7
Суммарные административные расходы будут в среднем равны
50 000 · 1.15 + 532 · 50 · 1.15 = 88 090,
так что ожидаемые общие расходы страховщика равны 220 330. Поскольку
EY = 195, в прошедшем году общие расходы страховщика были равны
800 · (EY + 50) + 50 000 = 246 000,
т.е. в наступающем году можно ожидать их уменьшения примерно на 10.4%.
2
Задача 4.17 ([31]) Производственная компания в среднем 2 раза в год
терпит убытки от непредвиденных аварий. Индивидуальный убыток принимает значения 1, 2 или 3 с вероятностями 1/3 каждое.
Для защиты от этих потерь компания заключила договор страхования чрезмерных потерь, в соответствии с которым страховщик покрывает все потери, превышающие собственное удержание страхователя в
размере 2 (в год).
Подсчитайте ожидаемые годовые выплаты страховщика по этому договору, предполагая, что число страховых случаев в год распределено по
закону Пуассона.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
167
Решение задачи Пусть ν – число аварий за год, Y1 , . . . , Yν – величины
индивидуальных потерь, S = Y1 + · · · + Yν – суммарные потери за один год.
Производящая функция случайной величины S есть
G(z) ≡ Ez S = eλg(z)−λ ,
где
λ
≡ Eν = 2,
g(z)
≡ Ez Yi =
z + z2 + z3
.
3
Дифференцируя по z в точке z = 1, мы имеем:
ES = Eν · EY = 2 · 2 = 4.
Кроме того, по формуле полной вероятности:
P (S = 0)
= P (ν = 0) = e−2 ,
P (S = 1)
= P (ν = 1) · P (Y1 = 1) =
2 −2
e .
3
По условиям договора, страховая компания покрывает только превышение потерь над собственным удержанием страхователя (в размере 2), т.е.
выплаты страховой компании даются формулой:
0,
если S ≤ 2,
S =
S − 2, если S > 2.
Значит,
ES =
+∞
(n − 2)P (S = n)
n=2
=
+∞
n=0
(n − 2)P (S = n) −
1
(n − 2)P (S = n)
n=0
=
ES − 2 + 2 · P (S = 0) + 1 · P (S = 1)
2
= 4 − 2 + (2 + )e−2
3
≈ 2.3609.
2
Задача 4.18 ([19]) Для составного распределения Пуассона, которое описывает суммарные выплаты страховой компании, известно, что:
1. λ = 2;
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
168
2. страховые возмещения могут равняться только 1, 2 или 3;
3. ES = 4.6;
4. V arS = 11.8.
Подсчитайте P (S = 3).
(A) 0.17
(B) 0.20
(C) 0.23
(D) 0.26
(E) 0.29
Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев, π(z) = Ez ν =
– производящая функция числа страховых случаев, Y1 , Y2 , . . . , Yν
e
– размеры потерь для соответствующих страховых случаев, g(z) = Ez Yi
– производящая функция величины ущерба при наступлении страхового
случая (поскольку случайные величины Yi одинаково распределены, g(z)
не зависит от номера i страхового случая).
Тогда для производящей функции G(z) = Ez S суммарных потерь S =
Y1 + ... + Yν мы имеем:
λ(z−1)
G(z)
= Ez Y1 +...+Yν
∞
=
E z Y1 +...+Yν |ν = n) P (ν = n)
=
=
n=0
∞
n=0
∞
E z Y1 +...+Yn |ν = n) P (ν = n)
n
(g(z)) P (ν = n)
n=0
= Eg(z)ν = eλ(g(z)−1) .
Дифференцируя по z в точке z = 1, мы имеем:
G (z)
G (z)
= eλ(g(z)−1) · λg (z),
= eλ(g(z)−1) · (λg (z))2 + eλ(g(z)−1) · λg (z).
Полагая здесь z = 1, мы получим:
ES = G (1) = λg (1) = λEYi ,
ES 2 = G (1) + G (1) = (λg (1))2 + λg (1) + λg (1)
= (λEYi )2 + λEYi2 ,
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
откуда
169
V arS = ES 2 − (ES)2 = λEYi2 .
Мы знаем, что λ = 2, ES = 4.6, V arS = 11.8. Поэтому из полученных
формул немедленно следует, что EYi = 2.3, EYi2 = 5.9.
В рассматриваемом случае случайные величины Yi принимают только
три значения 1, 2, 3; пусть p1 , p2 , p3 – соответствующие вероятности. Тогда
=
=
EYi
EYi2
p1 + 2p2 + 3p3 ,
p1 + 4p2 + 9p3 .
Таким образом, для вероятностей p1 , p2 , p3 верны уравнения:
p1 + 2p2 + 3p3 = 2.3,
p1 + 4p2 + 9p3 = 5.9.
Кроме того, для этих вероятностей верно очевидное соотношение
p1 + p2 + p3 = 1.
Решая эту систему трех уравнений с тремя неизвестными, мы получим:
p1 = 0.2, p2 = 0.3, p3 = 0.5.
Теперь вернемся назад, к полученной формуле для производящей функции G(z) суммарных потерь. Поскольку производящая функция величины
индивидуальных потерь g(z) есть
g(z) = p1 z + p2 z 2 + p3 z 3
= 0.2z + 0.3z 2 + 0.5z 3
=
0.1z(2 + 3z + 5z 2 ),
производящая функция величины суммарных потерь примет вид
2
G(z) = e0.2z(2+3z+5z )−2 .
Раскладывая экспоненту в ряд, мы получим следующее разложение в ряд
по степеням z для функции G(z) (имея в виду решаемую задачу, мы ограничиваемся членами не выше z 3 ):
G(z) = e−2 · 1 + 0.4z + 0.68z 2 +
Отсюда
3.752 3
z + ...
3
3.752 −2
e ≈ 0.16926,
3
и поэтому верным является вариант (A).
2
P (S = 3) =
.
170
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Задача 4.19 ([28]) Число несчастных случаев на заводе в течение года
имеет распределение Пуассона со средним 12. Число пострадавших в результате несчастного случая может быть равно 1, 2 или 3 с вероятностями 1/2, 1/3 или 1/6 соответственно.
Подсчитайте дисперсию общего числа пострадавших в результате несчастных случаев в течение года.
Решение задачи Общее число пострадавших в результате несчастных
случаев, S, можно представить в виде:
S = Y1 + ... + Yν ,
где ν – число несчастных случаев в течение года, Y1 , Y2 , . . . , Yν – число
пострадавших в результате соответствующих несчастных случаев.
Следовательно, случайная величина S имеет составное пуассоновское
распределение, и, как мы установили при решении задач 4.7, 4.8, 4.18, ее
дисперсия может быть подсчитана по формуле:
V arS = λ · EYi2 .
В нашем случае λ = 12, а
EYi2 = 12 ·
10
1
1
1
+ 22 · + 3 2 · =
,
2
3
6
3
так что V arS = 40.
2
Задача 4.20 ([32]) Число страховых случаев в модели коллективного риска распределено по закону Пуассона со средним λ = 10, а величина страхового возмещения после наступления страхового случая равна 1 или 2 с
равными вероятностями (так что средняя тяжесть страхового случая
равна 1.5).
Для упрощения расчетов актуарий решил использовать более простую
модель, предположив, что величина страхового возмещения после наступления страхового случая не является случайной, а равна в точности 1.5.
Найдите коэффициент корреляции между размерами суммарных потерь в исходной и аппроксимирующей моделях.
Решение задачи Пусть
S
S
= Y1 + · · · + Yν ,
= 1.5 · ν
– размеры суммарных потерь в исходной и аппроксимирующей моделях
соответственно.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
171
Коэффициент корреляции ρ между случайными величинами S и S определяется как отношение
E (S · S ) − ES · ES √
.
V arS · V arS Величины ES, ES , V arS, V arS находятся без труда с помощью общих
формул для составного распределения Пуассона:
ES
ES V arS
V arS = λEY = 10 · 1.5 = 15,
= λ · 1.5 = 15,
12 + 22
= 25,
= λ · EY 2 = 10 ·
2
2
= λ · 1.5 = 22.5.
Подсчет E (S · S ) потребует немного больше усилий:
ν
E (S · S ) = E 1.5ν
Yi
i=1
=
=
=
+∞
n=0
+∞
n=0
+∞
P (ν = n) · E
1.5ν
P (ν = n) · E
1.5n
ν
i=1
n
Yi ν = n
Yi
i=1
P (ν = n) · 1.5n · (1.5n)
n=0
= 2.25
+∞
n2 P (ν = n)
n=0
=
Таким образом,
ρ=
2
2.25Eν 2 = 2.25 · λ + λ2 = 247.5.
247.5 − 15 · 15 √
√
= 0.9 ≈ 0.95.
25 · 22.5
Задача 4.21 ([28]) Страховая компания застраховала большой парк автомобилей. Известно, что суммарные выплаты по этому портфелю в
течение месяца описываются составным распределением Пуассона; среднее число страховых случаев в течение месяца равно λ = 20, а страховое
возмещение по одному заявленному случаю характеризуется экспоненциальным распределением со средним значением s = 200.
Чтобы уменьшить стоимость страхового покрытия, компания предлагает
172
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
1. не страховать определенные марки автомобилей, что позволит снизить частоту наступления страховых случаев на 20%;
2. ввести простой вычет в размере 100 по каждому страховому случаю.
Подсчитайте ожидаемые выплаты по портфелю до и после внесения этих
изменений в условия страхования.
Решение задачи Ожидаемые выплаты по портфелю до внесения изменений равны
ES = λ · s = 4000.
После внесения изменений ожидаемое число страховых случаев в месяц
уменьшится до 16. При этом естественно считать, что распределение числа
страховых случаев останется пуассоновским.
Кроме того, введение вычета приведет к тому, что из наступивших страховых случаев будут заявлены лишь те, для которых потери больше 100;
доля этих случаев равна
100
1
P (Y > 100) = e− 200 = e− 2 ≈ 0.606531.
Таким образом, после внесения изменений ожидаемое число заявленных
страховых случаев в месяц будет равно
1
λ = 16 · e− 2 ≈ 9.7045.
При этом естественно считать, что распределение числа страховых случаев
останется пуассоновским.
В силу свойства отсутствия памяти у экспоненциального распределения,
статистические свойства тяжести страхового случая после внесения изменений не изменятся.
Поэтому, ожидаемые выплаты по портфелю после внесения изменений
будут равны
ES = λ · s ≈ 1941.
2
Задача 4.22 ([30]) Для некоторого вида договоров относительно числа
страховых случаев в течение года по одному договору, ν, известно, что
P (ν = 0) =
P (ν = 1) =
P (ν > 1)
=
1
,
2
1
,
3
1
.
6
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
173
Пусть X – суммарное страховое возмещение за один год по одному договору. Если ν = 1, то X имеет экспонециальное распределение со средним
5, а если ν > 1, то X имеет экспонециальное распределение со средним 8.
Найдите P (4 < X < 8).
Решение задачи По формуле полной вероятности,
P (4 < X < 8)
= P (ν = 1) · P (4 < X < 8|ν = 1)
+ P (ν > 1) · P (4 < X < 8|ν > 1).
Далее,
P (4 < X < 8|ν = 1)
= P (X > 4|ν = 1) − P (X > 8|ν = 1)
=
P (4 < X < 8|ν > 1) =
=
4
8
e− 5 − e− 5 ,
P (X > 4|ν > 1) − P (X > 8|ν > 1)
4
8
e− 8 − e− 8 .
Поэтому
P (4 < X < 8) =
1 4
8
8
1 −4
· e 5 − e− 5 + · e− 8 − e− 8 ≈ 0.122253.
3
6
2
Задача 4.23 ([19]) Для договора медицинского страхования страховые
случаи, связанные с обычными заболеваниями и стоматологическими проблемами, описываются независимыми составными распределениями Пуассона с характеристиками, приведенными в таблице 4.17.
Таблица 4.17:
Характер
заболевания
Распределение величины
медицинских расходов
λ
Обычное
Равномерное на (0,1000)
2
Стоматологическое
Равномерное на (0,200)
3
По условиям договора, если медицинские расходы по некоторому страховому случаю меньше, чем 100, то их полностью оплачивает застрахованный. Если же эти расходы больше, чем 100, то застрахованный оплачивает первые 100, а страховая компания оплачивает оставшуюся часть.
Подсчитайте среднее значение одного страхового возмещения.
(A) 161
(B) 167
174
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
(C) 172
(D) 177
(E) 183
Решение задачи Рассмотрим вначале следующую общую ситуацию.
Предположим, что случайные величины S1 , S2 , . . . – независимы и имеют составное пуассоновское распределение с параметрами
λ1 , F1 (x); λ2 , F2 (x); . . .
∞
соответственно. Предположим, далее, что ряд i=1 λi сходится; это условие
заведомо выполнено, если число слагаемых конечно. Найдем распределение
суммы S = S1 + S2 + . . . .
Обозначим через
ψi (s) =
∞
0
e−sx dFi (x)
преобразование Лапласа–Стилтьеса функции Fi (x) и подсчитаем преобразование Лапласа величины S:
∞
Si
Ψ(s) ≡ E exp(−sS) = E exp −s
i=1
=
=
∞
i=1
∞
E exp (−sSi )
exp (λi ψi (s) − λi )
i=1
= exp
∞
λi ψi (s) −
i=1
∞
∞
λi
i=1
λi
= exp λ
ψi (s) − λ ,
λ
i=1
где
λ=
∞
λi .
i=1
Функция
ψ(s) =
∞
λi
i=1
λ
ψi (s)
может рассматриваться как преобразование Лапласа–Стилтьеса функции
распределения F (x), задаваемой формулой
F (x) =
∞
λi
i=1
λ
Fi (x).
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
175
Действительно,
∞
−sx
e
0
dF (x)
=
∞ ∞
i=1
=
=
e−sx d
0
∞
λi ∞
λ
i=1
∞
λi
i=1
λ
0
λi
Fi (x)
λ
e−sx dFi (x)
ψi (s) = ψ(s).
Поэтому
Ψ(s) = exp{λψ(s) − λ}.
Это означает, что величина S имеет составное пуассоновское распределение
с параметрами λ и F (x).
Доказанное свойство следующим образом можно интерпретировать в
терминах модели коллективного риска.
Предположим, что мы имеем несколько независимых групп договоров
страхования; наступление страховых случаев от i−й группы за анализируемый промежуток времени описывается пуассоновской величиной со средним λi , а величина страхового возмещения имеет распределение Fi (x). Тогда, если мы объединим все договора в один портфель, то наступление страховых случаев от этого суммарного портфеля будет характеризоваться распределением Пуассона со средним λ = λ1 + λ2 + ..., а величина страхового
возмещения будет иметь распределение F (x), являющееся средним с весами
λi /λ значением распределений Fi (x).
Применяя этот общий результат к нашей задаче, мы можем сказать,
что распределение числа страховых случаев по рассматриваемому договору
является пуассоновским со средним λ = 2+3 = 5, а распределение величины
медицинских расходов Y после наступления страхового случая является
смесью с весами 2/5 и 3/5 равномерных распределений на (0, 1000) и (0, 200)
соответственно. Поэтому плотность случайной величины Y есть
⎧
0,
если x < 0,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
17
⎪
, если 0 < x < 200,
⎨ 5000
fY (x) =
⎪
2
⎪
⎪
⎪ 5000 , если 200 < x < 1000,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0,
если x > 1000.
Размер страхового возмещения B после наступления страхового случая связан с величиной медицинских расходов Y соотношением:
0,
если Y ≤ 100,
B=
Y − 100, если Y > 100.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
176
Поэтому искомая величина равна
EB
=
=
1000
100
200
100
(x − 100)fY (x)dx
(x − 100)fY (x)dx +
1000
200
(x − 100)fY (x)dx
200
1000
17
2
(x − 100)dx +
(x − 100)dx
5000 100
5000 200
= 17 + 160 = 177,
=
так что верным является вариант (D). 2
Задача 4.24 ([31]) Число страховых случаев за определенный промежуток времени имеет распределение Пуассона со средним 3000. Страховые
случаи бывают двух видов; вероятность того, что страховой случай имеет тип 1 равна 1/3, а размер ущерба после наступления страхового случая
первого типа равен ровно 10.
Найдите дисперсию суммарных потерь, связанных со страховыми случаями второго типа, если дисперсия суммарных потерь равна 2 100 000.
Вид конкретного страхового случая не зависит от вида других страховых
случаев, числа страховых случаев и размеров индивидуальных потерь.
Решение задачи Пусть ν1 и ν2 – число страховых случаев первого и
второго типа соответственно. В силу условия задачи эти случайные величины независимы и распределены по закону Пуассона со средними
λ1
≡
λ2
≡
1
· 3000 = 1000,
3
2
Eν2 = · 3000 = 2000
3
Eν1 =
соответственно.
Суммарные потери S можно рассматривать как сумму S1 + S2 , где
S1
S2
=
=
ν1
n=1
ν2
Yn ,
Yn
n=1
– суммарные потери, связанные со страховыми случаями первого и второго типа соответственно (Yn и Yn – размеры индивидуальных потерь для
страховых случаев первого и второго типа соответственно).
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
177
Поскольку случайные величины S1 и S2 – независимы и имееют составное пуассоновское распределение,
V arS
= V arS1 + V arS2
= λ1 · E(Yn )2 + V arS2
= 1000 · 100 + V arS2 ,
откуда
V arS2 = 2 100 000 − 100 000 = 2 000 000.
2
Задача 4.25 ([18]) Портфель договоров страховой компании, занимающейся страхованием автомобилей, можно разбить на две группы. Для
каждой группы размер страхового возмещения после наступления страхового случая равномерно распределен на некотором интервале (a, b). Характеристики групп приведены в таблице 4.18.
Таблица 4.18:
Группа
Число
договоров
в группе
Вероятность
наступления
страхового случая
1
2
1000
4000
α
0.1
Параметры
a
b
100
500
2000
5000
Распределение суммарных потерь в каждой группе приближено с помощью составного пуассоновского распределения; при этом ожидаемое число
страховых случаев, а также распределение размера страхового возмещения после наступления страхового случая, в исходной модели индивидуального риска и в аппроксимирующей модели коллективного риска одно и
то же.
Использование аппроксимирующей модели дает для вероятности того, что размер страхового возмещения лежит на интервале (1000, 2000),
значение 0.32.
Определите значение параметра α.
(A) 0.15
(B) 0.17
(C) 0.19
(D) 0.21
178
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
(E) 0.23
Решение задачи Среднее число страховых случаев в первой группе равно λ1 ≡ 1000 · α. Поэтому распределение суммарных потерь в первой группе является составным пуассоновским с параметром λ1 и разме(1)
рами страховых возмещений Yi , которые равномерно распределены на
(100, 2000).
Аналогично, распределение общих потерь во второй группе является
составным пуассоновским с параметром λ2 ≡ 4000 · 0.1 = 400 и разме(2)
рами страховых возмещений Yi , которые равномерно распределены на
(500, 5000).
Используя результаты задачи 4.23, можно утверждать, что суммарные
потери по всему портфелю также имеют составное распределение Пуассона
с параметром λ = 1000α + 400 и размером страхового возмещения, являю1000α
400
и 1000α+400
равномерных распределений
щимся смесью с весами 1000α+400
на (100, 2000) и (500, 5000) соответственно.
Поэтому вероятность P того, что размер страхового возмещения лежит
на интервале (1000, 2000), является такой же смесью аналогичных вероятностей для этих равномерных распределений:
P
=
+
1000α
(1)
P (Yi ∈ (1000, 2000))
1000α + 400
400
(2)
P (Yi ∈ (1000, 2000)).
1000α + 400
Поскольку интервал (1000, 2000) лежит внутри интервала (a, b),
(1)
∈ (1000, 2000))
=
(2)
∈ (1000, 2000))
=
P (Yi
P (Yi
10
2000 − 1000
=
,
2000 − 100
19
2000 − 1000
2
= .
5000 − 500
9
Значит, условие P = 0.32 можно записать в виде:
10
4
2
10α
·
+
· = 0.32,
10α + 4 19 10α + 4 9
откуда
6688
≈ 0.18957,
35280
и поэтому верным является вариант (C). 2
α=
Задача 4.26 ([23]) Портфель страховщика состоит из независимых рисков, не обладающих последействием.
Эти риски можно разбить на два однородных класса: A и B; в классе
A в два раза больше рисков, чем в классе B.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
179
Среднее число страховых случаев в течение года для одного риска из
класса A (B) равно 0.22 (соответственно, 0.11). В течение года по каждому риску может наступить только один страховой случай.
Статистические свойства распределения ущерба после наступления
страхового случая приведены в таблице 4.19.
Таблица 4.19:
Размер ущерба
50 000
100 000
Вероятность
класс A класс B
0.60
0.40
0.36
0.64
Суммарный убыток за два года по наудачу выбранному риску составил
100 000. Найдите вероятность того, что этот риск принадлежит классу
A.
Решение задачи Введем события:
1. H1 ={риск принадлежит классу A},
2. H2 ={риск принадлежит классу B},
3. E={суммарный убыток за два года составил 100 000}.
Интересующая нас вероятность – это P (H1 |E). Для ее подсчета будем
использовать формулу Байеса:
P (H1 |E) =
P (E|H1 )P (H1 )
.
P (E|H1 )P (H1 ) + P (E|H2 )P (H2 )
Из условия задачи следует, что
P (H1 ) =
2
1
, P (H2 ) = .
3
3
Далее, для некоторого фиксированого риска пусть p – вероятность наступления (единственного) страхового случая в течение года, q = 1 − p, f1 и f2
– вероятности того, что ущерб после наступления страхового случая равен
50 000 и 100 000 соответственно. За два года суммарный убыток величиной
100 000 может образоваться только одним из следующих способов:
1. один страховой случай с ущербом 50 000 за первый год и один страховой случай с ущербом 50 000 за второй год (вероятность этого события
равна p2 f12 );
2. один страховой случай с ущербом 100 000 за первый год и ни одного
страхового случая за второй год (вероятность этого события равна
pqf2 );
180
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
3. ни одного страхового случая за первый год и один страховой случай
с ущербом 100 000 за второй год (вероятность этого события равна
pqf2 ).
Поэтому
P (E|H1 ) = 0.222 · 0.602 + 2 · 0.22 · 0.78 · 0.40
= 0.154704,
P (E|H2 ) = 0.112 · 0.362 + 2 · 0.11 · 0.89 · 0.64
=
0.12688016.
Теперь по формуле Байеса имеем:
P (H1 |E) =
0.154704 · 23
≈ 0.7092.
0.154704 · 23 + 0.12688016 · 13
2
Задача 4.27 В соответствии с договором группового страхования страховщик покрывает расходы на лечение заболевших сотрудников большого
предприятия.
В ходе предварительного медицинского обследования было установлено,
что сотрудников можно разбить на L групп в соответствии с уровнем
их здоровья; доля сотрудников с уровнем здоровья l равна hl . Для каждого
сотрудника число случаев заболевания в течение года имеет распределение
Пуассона, параметр λ которого зависит от уровня l здоровья сотрудника:
λ = λl , l = 1, . . . , L.
Расходы на лечение заболевшего сотрудника с уровнем здоровья l имеют
экспоненциальное распределение со средним al и не зависят от того, насколько часто он болеет, а также от расходов на лечение по другим случаям заболеваний.
Наудачу выбранный сотрудник предприятия за прошедший год болел n
раз; при этом расходы на его лечение составили x1 , . . . , xn .
Подсчитайте ожидаемые расходы на его лечение в следующем году.
Рассмотрите следующий частный случай [23]:
1. L = 2 уровня здоровья (”хорошее” и ”плохое”), h1 = 0.5, h2 = 0.5
(ровно половина сотрудников имеет ”хорошее” здоровье);
2. сотрудник с ”хорошим” здоровьем болеет в среднем λ1 = 1 раз в год,
а с ”плохим” – λ2 = 3 раза;
3. расходы на лечение заболевшего сотрудника с ”хорошим” (”плохим”)
здоровьем имеют экспоненциальное распределение со средним a1 = 1
(a2 = 3 соответственно);
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
181
4. наудачу выбранный сотрудник предприятия за прошедший год болел
n = 2 раза; при этом расходы на лечение составили x1 = 1 и x2 = 3
соответственно.
Решение задачи Пусть H – уровень здоровья сотрудника, ν – число
случаев заболевания сотрудника в течение года, Y1 , . . . , Yν – соответствующие расходы на лечение.
Используя формулу Байеса, подсчитаем апостеорную вероятность того,
что уровень здоровья рассматриваемого сотрудника равен k. По определению,
=
P (H = k|ν = n, Yi = xi , i = 1, . . . , n)
P (H = k|ν = n, Yi ∈ (xi , xi + dxi ), i = 1, . . . , n) .
lim
dx1 → 0
···
dxn → 0
По формуле Байеса вероятность под знаком предела,
P (H = k|ν = n, Yi ∈ (xi , xi + dxi ), i = 1, . . . , n) ,
равна дроби
P (ν = n, Yi ∈ (xi , xi + dxi ), i = 1, . . . , n|H = k) P (H = k)
.
L
l=1 P (ν = n, Yi ∈ (xi , xi + dxi ), i = 1, . . . , n|H = l) P (H = l)
Но (с точностью до бесконечно малой высшего порядка),
=
=
P (ν = n, Yi ∈ (xi , xi + dxi ), i = 1, . . . , n|H = l)
λnl −λl 1 −x1 /al
1
e
e
dx1 · · · e−xn /al dxn
n!
al
al
λnl −λl 1 −(x1 +···+xn )/al
e
dx1 · · · dxn .
e
n!
anl
Поэтому апостеорная вероятность того, что сотрудник имеет здоровье
уровня k, равна
λnk e−λk a1n e−(x1 +···+xn )/ak · hk
∗
k
.
hk = L
n e−λl 1 e−(x1 +···+xn )/al · h
λ
l
l=1 l
an
l
При условии, что сотрудник имеет здоровье уровня k, ожидаемые расходы
на его лечение в следующем году равны произведению ожидаемого числа
заболеваний, λk , на средние расходы на лечение одного заболевания, ak .
Поэтому ожидаемые расходы на лечение рассматриваемого сотрудника
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
182
в следующем году равны
L
λk ak h∗k
k=1
L
n −λk 1 −(x1 +···+xn )/ak
e
· hk
k=1 λk ak λk e
an
k
.
L
n −λl 1 e−(x1 +···+xn )/al · h
l
l=1 λl e
an
l
=
Отметим, что эта величина зависит от расходов на лечение только через
суммарные годовые расходы s = x1 + · · · + xn .
В описанном частном случае,
h∗1
=
12 −1 1 −4/1
· 0.5
2! e
12 e
12 −1 1 −4/1
32 −3 1 −4/3
e
e
·
0.5
+
e
· 0.5
2!
12
2!
32 e
1
≈ 0.33924,
1 + e2/3
e2/3
h∗2 = 1 − h∗1 =
≈ 0.66076,
1 + e2/3
так что ожидаемые расходы на лечение рассматриваемого сотрудника в
следующем году равны примерно
=
1 · 1 · 0.33924 + 3 · 3 · 0.66076 ≈ 6.286.
2
Задача 4.28 ([18]) Случайная величина S1 имеет составное пуассоновское распределение с параметром λ1 = 4 и следующим распределением сла(1)
гаемых Yi :
(1)
P (Yi
(1)
= 1) = 2P (Yi
(1)
= 2) = 3P (Yi
= 3) = 6/11.
Случайная величина S2 имеет составное пуассоновское распределение с
(2)
параметром λ2 = 2 и следующим распределением слагаемых Yi :
(2)
P (Yi
(2)
= 1) = 3P (Yi
= 2) = 3/4.
Величины S1 и S2 – независимы. Подсчитайте вероятность того, что
S ≡ 2S1 + 4S2 равняется 4.
Решение задачи Прежде всего отметим, что для случайных величин
(1)
(2)
S1 , S2 слагаемые Yi , Yi имеют следующие распределения:
(1)
6
= 1) = 11
,
P (Yi
(2)
= 1) = 34 ,
P (Yi
P (Yi
P (Yi
(1)
3
= 2) = 11
,
(2)
= 2) = 14 .
(1)
P (Yi
2
= 3) = 11
,
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
183
Поэтому соответствующие производящие функции даются формулами:
1
(6z + 3z 2 + 2z 3 ),
11
(2)
1
= Ez Yi = (3z + z 2 ).
4
(1)
g1 (z)
= Ez Yi
g2 (z)
=
Используя результаты задачи 4.18, для производящих функций случайных
величин S1 , S2 имеем:
G1 (z)
≡ Ez S1 = exp (λ1 g1 (z) − λ1 )
4
(6z + 3z 2 + 2z 3 ) − 4 ,
= exp
11
G2 (z)
≡ Ez S2 = exp (λ2 g2 (z) − λ2 )
1
(3z + z 2 ) − 2 .
= exp
2
Теперь мы можем найти производящую функцию суммы S ≡ 2S1 + 4S2 :
G(z)
≡ Ez S = Ez 2S1 +4S2 = E z 2
S1
· E z4
S2
= G1 z 2 · G 2 z 4
= exp
8
1
24 2 57 4
z + z + z6 + z8 − 6 .
11
22
11
2
(4.1)
Искомая вероятность может быть найдена как коэффициент при z 4 в разложении G(z) в ряд по степеням z. Ясно, что для получения искомого коэффициента достаточно взять три первых члена в разложении экспоненты:
G(z) =
e−6 + e−6
−6
+
e
=
e−6
24 2 57 4
8
1
z + z + z6 + z8
11
22
11
2
24 2
57 4
8 6
1 8 2
11 z + 22 z + 11 z + 2 z
2
24 2 1203 4
z + ...
1+ z +
11
242
+ ...
.
Поэтому
1203 −6
e ≈ 0.0123.
242
Еще один способ подсчета вероятности P (S = 4) заключается в следующем.
Перепишем формулу (4.1) для производящей функции G(z) в виде:
P (S = 4) =
G(z) = eλg(z)−λ ,
где
λ = 6, g(z) =
4
1
4 2 19 4
z + z + z6 + z8.
11
44
33
12
(4.2)
184
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Функцию g(z) можно рассматривать как производящую функцию следующего дискретного распределения:
⎧ 4
, если n = 2,
⎪
⎪
⎪ 11
⎪
⎪
⎪
⎪
19
⎪
если n = 4,
⎪
44 ,
⎪
⎪
⎪
⎨
4
если n = 6,
pn =
33 ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
1
⎪
если n = 8,
⎪
12 ,
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
0,
если n = 2, 4, 6, 8.
Используя результаты задачи 4.18, можно утверждать, что случайная величина S имеет составное пуассоновское распределение с параметром λ = 6
и распределением индивидуальных потерь pn , приведенным выше.
Для точного расчета распределения Pn ≡ P (S = n) составной пуассоновской величины S с дискретным распределением pn величины индивидуальных потерь самым эффективным является использование следующей
рекуррентной формулы:
λ
ipi Pn−i .
n i=1
(4.3)
P0 = e−λ .
(4.4)
n
Pn =
Начальное условие имеет вид:
Для доказательства этой формулы продифференцируем почленно формулу (4.2) для производящей функции G(z) и умножим результат на z:
zG (z) = λzg (z) · G(z).
(4.5)
∞
Функция zG (z) равна n=0 nz n Pn и поэтому может рассматриваться
как производящая функция последовательности nP (n). Аналогично, λzg (z)
является производящей функцией последовательности λnpn . Поскольку произведение производящих функций любых последовательностей является
производящей функцией свертки этих последовательностей, λzg (z) · G(z)
является производящей функцией последовательности
λ
n
ipi Pn−i .
i=1
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z в обеих частях
соотношения (4.5), мы получим:
nP (n) = λ
n
i=1
ipi Pn−i ,
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
185
что немедленно влечет рекуррентное соотношение (4.3).
Поскольку слагаемые Yi строго положительны, сумма S = Y1 + · · · + Yν
может равняться 0, если только ν = 0. Иначе говоря, P (S = 0) = P (ν = 0).
Это влечет начальное условие (4.4).
Применительно к рассматриваемой задаче мы имеем следующую цепочку рекуррентных формул:
P0
P1
=
=
P2
=
P3
=
P4
=
=
=
e−λ = e−6 ,
λp1 P0 = 0,
λ
24 −6
(p1 P1 + 2p2 P0 ) = λp2 P0 =
e ,
2
11
λ
(p1 P2 + 2p2 P1 + 3p3 P0 ) = 0,
3
λ
(p1 P3 + 2p2 P2 + 3p3 P1 + 4p4 P0 )
4
λ
(2p2 P2 + 4p4 P0 )
4
1203 −6
e .
242
Рекуррентное соотношение (4.3) особенно удобно для численных расчетов
на компьютере. 2
Задача 4.29 ([18]) Страховщик получил уведомления о наступлении 100
страховых случаев двух видов. Информация о заявленных убытках приведена в таблице 4.20. Случайная величина ν имеет биномиальное распреТаблица 4.20:
Тип
страхового
случая
Число
страховых
случаев
Среднее значение
страхового
возмещения
Дисперсия
страхового
возмещения
1
2
ν
100 − ν
1
2
2
5
деление с параметрами N = 100 и p = 0.5. Индивидуальные потери и ν
взаимно независимы.
Определите дисперсию величины суммарных потерь.
(A) 300
(B) 325
(C) 350
(D) 375
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
186
(E) 400
Решение задачи Обозначим через X1 , . . . , Xν , Y1 , . . . , YN −ν размеры
страховых возмещений по ν страховым случаям первого типа и N − ν страховым случаям второго типа. Пусть
a(s) = Ee−sXi , b(s) = Ee−sYi
– соответствующие преобразования Лапласа.
Теперь для преобразования Лапласа величины суммарных потерь мы
имеем:
Ee−sS
Ee−s(X1 +···+Xν +Y1 +···+YN −ν )
N
n
N −n
Ee−sYi
P (ν = n) Ee−sXi
=
=
n=0
=
N
N n N −n
(a(s))n (b(s))N −n
p q
n
n=0
=
(pa(s) + qb(s)) .
N
Отсюда дифференцированием по s в точке s = 0 можно получить среднее значение суммарных потерь:
ES
N
= − (pa(s) + qb(s))
= −N (pa(s) + qb(s))
s=0
N −1
· (pa (s) + qb (s))
s=0
= N · (pEXi + qEYi ) = 100 · (0.5 · 1 + 0.5 · 2) = 150.
Аналогично,
ES 2
= N (N − 1) · (pEXi + qEYi )2 + N · (pEXi2 + qEYi2 )
= 22 875.
Поэтому
V arS = ES 2 − (ES)2 = 375,
так что верным является вариант (D). 2
Глава 5
Динамические модели
разорения
Динамические модели отличаются от статических тем, что в них события разворачиваются во времени. Простейшая модель такого рода включает только
два процесса: процесс поступления премий и процесс выплаты страховых возмещений. Эти два процесса протекают в разных масштабах времени и имеют
разные масштабы измерения. Премии поступают гораздо чаще, чем наступают страховые случаи, и при этом величина премии намного меньше величины
убытков. Поэтому, если в качестве основного рассматривать процесс наступления страховых случаев, то в масштабах этого процесса поступление премий
можно мыслить как непрерывный детерминированный процесс.
В простейшем случае поступление премий характеризуется одним параметром – скоростью поступления средств, которую мы обозначим c. Это означает,
что если в некоторый момент времени t компания имела активы ut и до момента t+h страховые случаи не наступали, то активы компании в момент t+h
будут равны ut+h = ut + ch. Отметим, что в этом рассуждении игнорируются
такие важные факторы, как инвестиционный доход и инфляция.
В качестве простейшей модели процесса наступления страховых случаев
берется пуассоновский процесс; пусть λ – интенсивность этого процесса. Обозначим через Tn момент наступления n-го страхового случая, τn = Tn −Tn−1 –
интервал между n-м и (n − 1)-м страховыми случаями (T0 условимся считать
равным нулю).
В нашей простейшей модели предполагается, что страховое возмещение
выплачивается немедленно после наступления страхового случая. Величины
последовательных страховых возмещений Y1 , Y2 , . . . считаются независимыми
и одинаково распределенными случайными величинами, которые, кроме того,
не зависят от процесса наступления страховых случаев T1 , T2 , . . . .
Теперь изменение во времени активов компании можно описать следую187
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
188
щим образом. В момент t = 0 компания имеет некоторые начальные активы u0 = u. К моменту T1 = τ1 наступления первого страхового случая
активы вырастут (за счет поступления премий) до величины u + cτ1 . Однако, в момент T1 страховая компания оплатит убытки величиной Y1 и активы
уменьшатся до величины u + cτ1 − Y1 . К моменту T2 наступления второго
страхового случая активы увеличатся на сумму c(T2 − T1 ) = cτ2 и составят
u + cτ1 − Y1 + cτ2 = u + c(τ1 + τ2 ) − Y1 . В момент T2 оплачивается убыток
величиной Y2 и активы уменьшаются до величины u + c(τ1 + τ2 ) − (Y1 + Y2 ).
Этот процесс продолжается до бесконечности, если только в момент наступления некоторого страхового случая средств компании не хватит, чтобы
оплатить убытки. В этом случае мы говорим о разорении компании. Итак, в
рамках описываемой модели компания не разорится, если
u + cTn − (Y1 + · · · + Yn ) ≥ 0, n = 1, 2, . . . .
Если же
u + cτ1 − Y1 ≥ 0,
u + c(τ1 + τ2 ) − (Y1 + Y2 ) ≥ 0,
.......................
u + c(τ1 + · · · + τn−1 ) − (Y1 + · · · + Yn−1 ) ≥ 0,
но
u + c(τ1 + · · · + τn ) − (Y1 + · · · + Yn ) < 0,
то в момент Tn наступления n−го страхового случая компания разорится.
Основной характеристикой этой модели является вероятность разорения
R = R(u).
За единицу времени наступает в среднем λ страховых случаев, что приводит к выплате в виде страховых возмещений в среднем суммы λm, где
m = EYi . С другой стороны, за это же время компания получит в виде премий
сумму c. Эта сумма должна равняться "нагруженной"средней сумме выплат:
c = (1 + θ)λm,
где θ – относительная защитная надбавка. Поэтому c обязательно должно
быть больше, чем λm.
Основные теоретические результаты для описанной модели заключаются
в следующем:
1. Преобразование Лапласа вероятности разорения (как функции начальных активов страховой компании), дается формулой:
+∞
1 − ϕ(s) − ms
,
(5.1)
e−su R(u)du =
ρ(s) ≡
s(1 − ϕ(s) − (1 + θ)ms)
0
где ϕ(s) = Ee−sYi – преобразование Лапласа величины индивидуальных
потерь; m = EYi – среднее значение величины индивидуальных потерь;
θ = c−λm
λm – относительная защитная надбавка.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
189
2. Вероятность разорения удовлетворяет неравенству Лундберга:
R(u) ≤ e−ru .
(5.2)
Здесь r – так называемый характеристический коэффициент, который
определяется как положительное решение характеристического уравнения (относительно z): 1
ψ(z) = 1 + (1 + θ)mz,
(5.3)
где ψ(z) = ϕ(−z) = EezYi – производящая функция моментов величины
индивидуальных потерь.
3. При u → +∞ верна асимптотика Крамера-Лундберга:
R(u) ∼
θm
e−ru .
ψ (r) − (1 + θ)m
(5.4)
Имея в виду неравенство Лундберга и асимптотику Крамера-Лундберга,
можно сказать, что вероятность разорения мала, если характеристический коэффициент r большой. Иными словами, характеристический коэффициент r,
который включает в себя основные параметры модели (интенсивность наступления страховых случаев λ, распределение величин индивидуальных потерь
Yi , скорость поступления премий c), является интегральной характеристикой
финансовой безопасности компании. По этой причине многие задачи квалификационных экзаменов Общества актуариев (США) связаны с этим понятием.
Задача 5.1 ([19]) Страховая компания имеет начальные активы 1 и портфель договоров, который может привести самое большее к одному страховому случаю.
Известно, что
1. величина ущерба (при наступлении страхового случая) равна 5;
2. вероятность того, что страховой случай произойдет, равна 13 ;
3. время наступления страхового случая (при условии, что он действительно наступил) задается следующей формулой для плотности
f (t) = 2t−3 , t > 1.
Премия платится непрерывно со скоростью 3.
Подсчитайте вероятность разорения.
1 Нетрудно видеть, что характеристическое уравнение можно записать и в виде
λψ(z) = λ + cz.
190
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
(A) 0.03
(B) 0.06
(C) 0.09
(D) 0.12
(E) 0.15
Решение задачи Если единственный возможный страховой случай не
наступит (вероятность этого события равна 23 ), то компания, конечно, не
разорится никогда.
Если же единственный возможный страховой случай наступит (вероятность этого события равна 13 ), то компания, разорится или нет в зависимости от того, меньше или нет ее активы в момент T наступления страхового
случая, чем величина ущерба (которая равна в точности 5). Поскольку к
моменту T активы компании будут равны 1 + 3T , компания разорится, если
1 + 3T < 5.
Таким образом, вероятность разорения P есть:
P=
1
1
P (1 + 3T < 5) = P
3
3
T <
4
3
,
и задача сводится к расчету функции распределения случайной величины
T (в точке 43 ). Эта функция может быть легко подсчитана:
t
P (T < t) =
так что
1
P=
3
2
1
t
du = −u−2 1 = 1 − 2 , t ≥ 1,
3
u
t
1
1−
1
4 2
3
=
7
≈ 0.1458,
48
и поэтому верным ответом будет (E). 2
Задача 5.2 ([22]) Для того чтобы застраховать одно предприятие, была организована специальная страховая компания. Риск заключается в
единственном возможном страховом случае. Известно, что
1. величина ущерба (при наступлении страхового случая) имеет следующее распределение:
Сумма
Вероятность
100
200
0.60
0.40
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
191
2. вероятность того, что страховой случай не произойдет до момента
1
t, равна 1+t
,
3. активы страховщика в момент t даются формулой U (t) = 60 + 20t −
S(t), где S(t) – суммарные выплаты к моменту t,
4. страховое возмещение выплачивается немедленно.
Подсчитайте вероятность разорения страховой компании.
(A) 47
(B) 35
(C) 23
(D) 34
(E) 78
Решение задачи Пусть T – момент наступления страхового случая,
Y – величина ущерба после его наступления. По условию задачи случайные
величины T и Y – независимы,
P (T > t) =
1
,
1+t
t
так что функция распределения величины T есть P (T < t) = 1+t
, а плот1
ность fT (t) = (1+t)2 ,
P (Y = 100) = 0.60, P (Y = 200) = 0.40.
Обозначая через R событие "компания разорилась", по формуле полной
вероятности имеем
+∞
P (R) =
P (R | T = t, Y = 100)P (Y = 100)fT (t)dt
0
+∞
+
P (R | T = t, Y = 200)P (Y = 200)fT (t)dt
0
+∞
= 0.6
I(60 + 20t < 100)fT (t)dt
0
+∞
+ 0.4
I(60 + 20t < 200)fT (t)dt
0
+∞
+∞
= 0.6
I(t < 2)fT (t)dt + 0.4
I(t < 7)fT (t)dt
0
2
7
0
=
0.6
=
0.6P (T < 2) + 0.4P (T < 7)
2
7
3
0.6 + 0.4 = ,
3
8
4
=
0
fT (t)dt + 0.4
0
fT (t)dt
192
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
и поэтому верным ответом будет (D). 2
Задача 5.3 ([18]) Относительно динамики активов страховой компании
известно, что:
1. размеры страховых возмещений взаимно независимы и равномерно
распределены на интервале (0, 10);
2. в каждый момент времени 1, 2, 3, . . . происходит в точности один
страховой случай;
3. в другие моменты времени страховые случаи не наступают;
4. относительная защитная надбавка равна 0.2;
5. премии платятся непрерывно;
6. начальные активы равны 1.
Подсчитайте вероятность разорения в момент 2.
(A) 0.05
(B) 0.06
(C) 0.07
(D) 0.08
(E) 0.09
Решение задачи Каждую единицу времени происходит ровно один
страховой случай и страховое возмещение в среднем равно 5. Поэтому в единицу времени должна собираться нетто-премия 5. Поскольку относительная защитная надбавка равна 0.2, общий сбор премий в единицу времени
должен быть 1.2 · 5 = 6 (так что скорость поступления средств составляет
6).
К моменту 1 активы компании будут равны 1+6=7. Так как компания не
должна разориться в этот момент, страховое возмещение Y1 по страховому
случаю, наступившему в момент 1, не должно быть больше, чем 7:
Y1 ≤ 7.
После выплаты этого страхового возмещения активы компании будут равны 7 − Y1 и к моменту 2 они вырастут до величины 7 − Y1 + 6 = 13 − Y1 .
В этот момент наступит второй страховой случай и компания должна будет выплатить страховое возмещение величиной Y2 . Компания разорится в
момент 2, если размер этого страхового возмещения больше, чем активы
компании:
Y2 > 13 − Y1 .
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
193
Рис. 5.1:
y
6
10
6 r
y = 13 − x
@r
r
@
@ D
@
@
@r
K
@
@
@
@
@
r
3
7
-x
10
Итак, искомая вероятность P равна
P (Y1 ≤ 7, Y2 > 13 − Y1 ).
Проще всего подсчитать эту вероятность геометрически (см. рис. 5.1). Поскольку случайные величины Y1 и Y2 независимы и равномерно распределены на интервале (0, 10), точка (Y1 , Y2 ) равномерно распределена на квадрате
K = {(x, y)|0 < x, y < 10}.
Искомая вероятность может рассматриваться как вероятность попадания случайной точки (Y1 , Y2 ) в область
D = {(x, y)|0 < x ≤ 7, y > 13 − x}.
Поэтому P равняется отношению площадей фигур D и K. Площадь квадрата K, очевидно, равна 100. Область D, как легко видеть, является равнобедренным прямоугольным треугольником с катетами, равными 4, и поэтому
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
194
ее площадь равна 8. Таким образом, P = 0.08, т.е. верным является вариант
(D). 2
Задача 5.4 ([22]) Для страховой компании с начальными активами 2:
1. суммарные годовые выплаты S имеют следующее распределение:
P (S = 0) = 0.6, P (S = 3) = 0.3, P (S = 8) = 0.1;
2. страховые случаи оплачиваются в конце года;
3. в начале каждого года собирается премия 2;
4. i = 0.08.
Подсчитайте вероятность того, что страховщик не разорится к концу третьего года.
(A) 0.74
(B) 0.77
(C) 0.80
(D) 0.85
(E) 0.86
Решение задачи Проследим динамику активов компании за первый
год. Расчеты удобно проводить с помощью таблицы 5.1. Отрицательные
активы в конце первого года в третьем случае (годовые выплаты величины
8) означают разорение. Поэтому вероятность разорения в конце первого
года равна 0.1.
Таблица 5.1: Динамика активов компании за первый год
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
активы в конце предыдущего года
вероятность
годовая премия
активы в начале года:
(4)=(1)+(3)
выплаты за год
вероятность
активы в конце года: (7) =
(4) · (1 + i) − (5)
вероятность: (6) = (2) · (6)
2
1
2
4
0
0.6
4.32
3
0.3
1.32
8
0.1
-3.68
0.6
0.3
0.1
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
195
Расчеты для второго года зависят от величины активов в конце первого
года.
Динамика активов компании за второй год для первого сценария развития событий за первый год (выплаты величины 0 с вероятностью сценария
0.6) приведена в таблице 5.2. Отрицательные активы в конце второго года в третьем случае (годовые выплаты величины 8) означают разорение
(вероятность этого события равна 0.06).
Таблица 5.2: Динамика активов компании за второй год; 1-й сценарий для
первого года
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
активы в конце предыдущего года
вероятность
годовая премия
активы в начале года:
(4)=(1)+(3)
выплаты за год
вероятность
активы в конце года: (7) =
(4) · (1 + i) − (5)
вероятность: (6) = (2) · (6)
4.32
0.6
2
6.32
0
0.6
6.8256
3
0.3
3.8256
8
0.1
-1.1744
0.36
0.18
0.06
Динамика активов компании за второй год для второго сценария развития событий за первый год (выплаты величины 3 с вероятностью сценария
0.3) приведена в таблице 5.3.
Таблица 5.3: Динамика активов компании за второй год; 2-й сценарий для
первого года
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
активы в конце предыдущего года
вероятность
годовая премия
активы в начале года:
(4)=(1)+(3)
выплаты за год
вероятность
активы в конце года: (7) =
(4) · (1 + i) − (5)
вероятность: (6) = (2) · (6)
1.32
0.3
2
3.32
0
0.6
3.5856
3
0.3
0.5856
8
0.1
-4.4144
0.18
0.09
0.03
Отрицательные активы в конце второго года в третьем случае (годовые выплаты величины 8) означают разорение (вероятность этого события
равна 0.03).
Поэтому общая вероятность разорения в конце второго года равна 0.06+
0.03 = 0.09.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
196
Динамика активов компании за третий год (в зависимости от величины
активов в начале года) приведена в таблицах 5.4, 5.5, 5.6 и 5.7.
Таблица 5.4: Динамика активов компании за третий год; 1-й сценарий для
второго года
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
активы в конце предыдущего года
вероятность
годовая премия
активы в начале года:
(4)=(1)+(3)
выплаты за год
вероятность
активы в конце года: (7) =
(4) · (1 + i) − (5)
вероятность: (6) = (2) · (6)
6.8256
0.36
2
8.8256
0
0.6
9.531648
3
0.3
6.531648
8
0.1
1.531648
0.216
0.108
0.036
Таблица 5.5: Динамика активов компании за третий год; 2-й сценарий для
второго года
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
активы в конце предыдущего года
вероятность
годовая премия
активы в начале года:
(4)=(1)+(3)
выплаты за год
вероятность
активы в конце года: (7) =
(4) · (1 + i) − (5)
вероятность: (6) = (2) · (6)
3.8256
0.18
2
5.8256
0
0.6
6.291648
3
0.3
3.291648
8
0.1
-1.708352
0.108
0.054
0.018
Общая вероятность разорения компании в конце третьего года равна
0.018 + 0.018 + 0.027 + 0.009 = 0.072.
Следовательно, вероятность разорения за три года есть 0.1 + 0.09 +
0.072 = 0.262. Соответственно, вероятность того, что страховая компания
не разорится за три года равна 0.738 и поэтому верным ответом будет (A).
2
Задача 5.5 ([31]) Страховая компания начала операции в момент 0 с
начальными активами 3. В начале каждого года она собирает премии
в размере 2 и в течение года выплачивает страховые возмещения, общий размер которых за год имеет распределение, задаваемое таблицей 5.8.
Размеры выплат за различные годы являются независимыми случайными
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
197
Таблица 5.6: Динамика активов компании за третий год; 3-й сценарий для
второго года
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
активы в конце предыдущего года
вероятность
годовая премия
активы в начале года:
(4)=(1)+(3)
выплаты за год
вероятность
активы в конце года: (7) =
(4) · (1 + i) − (5)
вероятность: (6) = (2) · (6)
3.5856
0.18
2
5.5856
0
0.6
6.032448
3
0.3
3.032448
8
0.1
-1.967552
0.108
0.054
0.018
Таблица 5.7: Динамика активов компании за третий год; 4-й сценарий для
второго года
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
активы в конце предыдущего года
вероятность
годовая премия
активы в начале года:
(4)=(1)+(3)
выплаты за год
вероятность
активы в конце года: (7) =
(4) · (1 + i) − (5)
вероятность: (6) = (2) · (6)
0.5856
0.09
2
2.5856
0
0.6
2.792448
3
0.3
-0.207552
8
0.1
-5.207552
0.054
0.027
0.009
величинами.
Если активы компании в конце года больше, чем 3, разница выплачивается акционерам в виде дивидендов (так что активы становятся равными в точности 3).
Если компания не в состоянии произвести страховые выплаты или ее
активы уменьшаются до 0, она разоряется.
Предполагая, что у компании нет административных расходов, а активы не приносят инвестиционного дохода, найдите вероятность того,
что компания не разорится на протяжении трех первых лет.
Решение задачи Пусть un – активы компании в конце n-го года (после выплаты страховых возмещений и дивидендов), Sn – размер страховых
возмещений, которые должны быть выплачены в течение n-го года. При
этом будем считать, что если un−1 + 2 ≤ Sn (т.е. компания разоряется в
течение n-го года), то un = un+1 = · · · = 0.
При сделанных предположениях последовательность случайных величин un образует цепь Маркова с фазовым пространством {0, 1, 2, 3} (0 –
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
198
Таблица 5.8:
Сумма
Вероятность
0
1
2
4
0.15
0.25
0.40
0.20
поглощающее состояние) и следующей матрицей перехода:
⎛
⎞
1
0
0
0
⎜ 0.2 0.4 0.25 0.15 ⎟
⎟
P =⎜
⎝ 0.2 0
0.4 0.4 ⎠
0 0.2
0
0.8
Действительно,
1. если un = 0, то в силу сделанного выше предположения на следующем, (n + 1)-м, шаге состояние не изменится. Иначе говоря, условное
распределение un+1 при условии, что un = 0, т.е. первая строка матрицы P , есть
P (un+1 = 0|un = 0) =
1,
P (un+1 = 1|un = 0) =
P (un+1 = 2|un = 0) =
P (un+1 = 3|un = 0) =
0,
0,
0.
2. если un = 1, то (за счет собранных премий) в момент n + 0 активы
увеличатся до величины 3 (здесь символом n + 0 мы подчеркиваем то
обстоятельство, что активы в момент n учитывают премии, поступившие в момент n).
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 4 (вероятность этого
события равна 0.2), то страховщик не сможет выплатить страховые
возмещения и разорится, т.е. un+1 = 0.
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 или 2 (вероятность
этого события равна 0.15, 0.25 или 0.4 соответственно), то в конце
(n+1)-го года активы будут равны 3, 2 или 1 соответственно. В любом
случае дивиденды не выплачиваются и поэтому un+1 = 3, 2 или 1
соответственно. Итак, условное распределение un+1 при условии, что
un = 1, т.е. вторая строка матрицы P , есть
P (un+1 = 0|un = 1) =
P (un+1 = 1|un = 1) =
P (un+1 = 2|un = 1) =
P (un+1 = 3|un = 1) =
0.2,
0.4,
0.25,
0.15.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
199
3. если un = 2, то (за счет собранных премий) в момент n + 0 активы
увеличатся до величины 4.
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 4 (вероятность этого
события равна 0.2), то страховщик выплатит страховые возмещения,
но его активы уменьшатся до величины 0, что означает, что un+1 = 0.
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 или 2 (вероятность
этого события равна 0.15, 0.25 или 0.4 соответственно), то в конце
(n+1)-го года активы будут равны 4, 3 или 2 соответственно. В первом
случае будут выплачены дивиденды в размере 1 и активы уменьшатся
до 3. Итак, условное распределение un+1 при условии, что un = 2, т.е.
третья строка матрицы P , есть
P (un+1 = 0|un = 2)
P (un+1 = 1|un = 2)
P (un+1 = 2|un = 2)
P (un+1 = 3|un = 2)
=
=
=
=
0.2,
0,
0.4,
0.4.
4. если un = 3, то (за счет собранных премий) в момент n+0 активы увеличатся до величины 5. Поскольку максимальная страховая выплата
равна 4, в этом случае разорение невозможно, т.е.
P (un+1 = 0|un = 3) = 0.
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 , 2 или 4 (вероятность
этого события равна 0.15, 0.25, 0.4 или 0.2 соответственно), то в конце
(n + 1)-го года активы будут равны 5, 4, 3 или 1 соответственно. В
первом и втором случаях будут выплачены дивиденды в размере 2
или 1 соответственно и активы уменьшатся до величины 3.
Итак, условное распределение un+1 при условии, что un = 3, т.е. четвертая строка матрицы P , есть
P (un+1 = 0|un = 3) =
P (un+1 = 1|un = 3) =
0,
0.2,
P (un+1 = 2|un = 3) =
P (un+1 = 3|un = 3) =
0,
0.15 + 0.25 + 0.4 = 0.8.
Начальное распределение цепи un есть:
p0 = 0, p1 = 0, p2 = 0, p3 = 1.
Распределение состояний цепи в момент 3 может быть получено умножением вектора π0 = (0, 0, 0, 1), образованного из начального распределения, на матрицу P 3 . Технически удобно последовательно находить векторы
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
200
π1 = π0 · P , π2 = π1 · P , π3 = π2 · P :
⎛
1
0
⎜ 0.2 0.4
π1 = (0, 0, 0, 1) · ⎜
⎝ 0.2 0
0 0.2
⎞
0
0
0.25 0.15 ⎟
⎟
0.4 0.4 ⎠
0
0.8
= (0, 0.2, 0, 0.8),
⎛
π2
1
0
0
⎜ 0.2 0.4 0.25
= (0, 0.2, 0, 0.8) · ⎜
⎝ 0.2 0
0.4
0 0.2
0
⎞
0
0.15 ⎟
⎟
0.4 ⎠
0.8
= (0.04, 0.24, 0.05, 0.67),
⎛
π3
⎞
1
0
0
0
⎜ 0.2 0.4 0.25 0.15 ⎟
⎟
= (0.04, 0.24, 0.05, 0.67) · ⎜
⎝ 0.2 0
0.4 0.4 ⎠
0 0.2
0
0.8
= (0.098, 0.230, 0.08, 0.592).
Страховая компания не разорится на протяжении трех первых лет, если
u3 > 0. Вероятность этого события равна
0.230 + 0.08 + 0.592 = 0.902.
2
Задача 5.6 Страховая компания начала операции в момент 0 с начальными активами 3. В начале каждого года она собирает премии в размере
2 и в течение года выплачивает страховые возмещения, общий размер
которых за год имеет распределение, задаваемое таблицей 5.9. Размеры
Таблица 5.9:
Размер потерь
Вероятность
0
1
2
4
0.15
0.25
0.40
0.20
выплат за различные годы являются независимыми случайными величинами.
Если активы компании в конце года больше, чем 3, акционерам выплачиваются дивиденды в точности равные 3.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
201
Если компания не в состоянии произвести страховые выплаты или ее
активы уменьшаются до 0, она разоряется.
Предполагая, что у компании нет административных расходов, а активы не приносят инвестиционного дохода, найдите средний размер активов в конце второго года при условии, что компания не разорилась.
Решение задачи Пусть un – активы компании в конце n-го года (после выплаты страховых возмещений и дивидендов), Sn – размер страховых
возмещений, которые должны быть выплачены в течение n-го года. При
этом будем считать, что если un−1 + 2 ≤ Sn (т.е. компания разоряется в
течение n-го года), то un = un+1 = · · · = 0.
При сделанных предположениях последовательность случайных величин un образует цепь Маркова с фазовым пространством {0, 1, 2, 3} (0 –
поглощающее состояние) и следующей матрицей перехода:
⎞
1
0
0
0
⎜ 0.2 0.4 0.25 0.15 ⎟
⎟
P =⎜
⎝ 0.2 0.15 0.4 0.25 ⎠
0 0.45 0.15 0.4
⎛
Действительно,
1. если un = 0, то в силу сделанного выше предположения на следующем, (n + 1)-м, шаге состояние не изменится. Иначе говоря, условное
распределение un+1 при условии, что un = 0, т.е. первая строка матрицы P , есть
P (un+1 = 0|un = 0) =
P (un+1 = 1|un = 0) =
1,
0,
P (un+1 = 2|un = 0) =
P (un+1 = 3|un = 0) =
0,
0.
2. если un = 1, то (за счет собранных премий) в момент n + 0 активы
увеличатся до величины 3.
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 4 (вероятность этого
события равна 0.2), то страховщик не сможет выплатить страховые
возмещения и разорится, т.е. un+1 = 0.
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 или 2 (вероятность
этого события равна 0.15, 0.25 или 0.4 соответственно), то в конце
(n+1)-го года активы будут равны 3, 2 или 1 соответственно. В любом
случае дивиденды не выплачиваются и поэтому un+1 = 3, 2 или 1
соответственно. Итак, условное распределение un+1 при условии, что
202
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
un = 1, т.е. вторая строка матрицы P , есть
P (un+1 = 0|un = 1) =
P (un+1 = 1|un = 1) =
P (un+1 = 2|un = 1) =
P (un+1 = 3|un = 1) =
0.2,
0.4,
0.25,
0.15.
3. если un = 2, то (за счет собранных премий) в момент n + 0 активы
увеличатся до величины 4.
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 4 (вероятность этого
события равна 0.2), то страховщик выплатит страховые возмещения,
но его активы уменьшатся до величины 0, что означает, что un+1 = 0.
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 или 2 (вероятность
этого события равна 0.15, 0.25 или 0.4 соответственно), то в конце
(n+1)-го года активы будут равны 4, 3 или 2 соответственно. В первом
случае будут выплачены дивиденды в размере 3 и активы уменьшатся
до 1. Итак, условное распределение un+1 при условии, что un = 2, т.е.
третья строка матрицы P , есть
P (un+1 = 0|un = 2) =
P (un+1 = 1|un = 2) =
0.2,
0.15,
P (un+1 = 2|un = 2) =
P (un+1 = 3|un = 2) =
0.4,
0.25.
4. если un = 3, то (за счет собранных премий) в момент n+0 активы увеличатся до величины 5. Поскольку максимальная страховая выплата
равна 4, в этом случае разорение невозможно, т.е.
P (un+1 = 0|un = 3) = 0.
Если потери в течение (n + 1)-го года равны 0, 1 , 2 или 4 (вероятность
этого события равна 0.15, 0.25, 0.4 или 0.2 соответственно), то в конце
(n + 1)-го года активы будут равны 5, 4, 3 или 1 соответственно. В
первом и втором случаях будут выплачены дивиденды в размере 3 и
активы уменьшатся до 2 или 1 соответственно.
Итак, условное распределение un+1 при условии, что un = 3, т.е. четвертая строка матрицы P , есть
P (un+1 = 0|un = 3)
P (un+1 = 1|un = 3)
P (un+1 = 2|un = 3)
P (un+1 = 3|un = 3)
=
=
=
=
0,
0.25 + 0.2 = 0.45,
0.15,
0.4.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
203
Начальное распределение цепи un есть:
p0 = 0, p1 = 0, p2 = 0, p3 = 1.
Распределение состояний цепи в момент 2 может быть получено умножением вектора π0 = (0, 0, 0, 1), образованного из начального распределения, на матрицу P 2 . Технически удобно последовательно находить векторы
π1 = π0 · P , π2 = π1 · P :
⎛
⎞
1
0
0
0
⎜ 0.2 0.4 0.25 0.15 ⎟
⎟
π1 = (0, 0, 0, 1) · ⎜
⎝ 0.2 0.15 0.4 0.25 ⎠
0 0.45 0.15 0.4
= (0, 0.45, 0.15, 0.4),
⎛
π2
⎞
1
0
0
0
⎜ 0.2 0.4 0.25 0.15 ⎟
⎟
= (0, 0.45, 0.15, 0.4) · ⎜
⎝ 0.2 0.15 0.4 0.25 ⎠
0 0.45 0.15 0.4
= (0.1200, 0.3825, 0.2325, 0.2650).
Условное распределение случайной величины u2 при условии, что u2 > 0
есть:
153
0.3825
=
,
1 − 0.1200
352
93
0.2325
=
,
P (u2 = 2|u2 > 0) =
1 − 0.1200
352
106
0.2650
=
.
P (u2 = 3|u2 > 0) =
1 − 0.1200
352
P (u2 = 1|u2 > 0) =
Значит,
E(u2 |u2 > 0) =
657
1 · 153 + 2 · 93 + 3 · 106
=
≈ 1.87.
352
352
2
Задача 5.7 ([28]) Страховая компания начала операции в момент 0 с
начальными активами 3. В начале каждого года она собирает премии в
размере 2 и в течение года выплачивает страховые возмещения, общий
размер которых за год имеет распределение, задаваемое таблицей 5.10.
Размеры выплат за различные года являются независимыми случайными
величинами.
Если активы компании в конце года больше, чем 3, разница выплачивается акционерам в виде дивидендов (так что активы становятся равными в точности 3).
204
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 5.10:
Сумма
Вероятность
0
1
2
4
0.15
0.25
0.50
0.10
Если компания не в состоянии произвести страховые выплаты или ее
активы уменьшаются до 0, она разоряется.
Предполагая, что у компании нет административных расходов, а активы не приносят инвестиционного дохода, найдите ожидаемый размер
дивидендов в конце третьего года.
Решение задачи Как и при решении задач 5.5 и 5.6, обозначим через
un активы компании в конце n-го года (после выплаты страховых возмещений и дивидендов), Sn – размер страховых возмещений, которые должны быть выплачены в течение n-го года. При этом будем считать, что
если un−1 + 2 ≤ Sn (т.е. компания разоряется в течение n-го года), то
un = un+1 = · · · = 0.
Если активы в конце второго года равны 0 или 1, то после поступления
премий в начале третьего года они вырастут до 2 или 3 соответственно.
Выплата страховых возмещений в конце третьего года только уменьшит
эти активы. Поэтому не будет никакой возможности выплатить дивиденды.
Если активы в конце второго года равны 2, то после поступления премий
в начале третьего года они вырастут до 4. Дивиденды в конце третьего
года можно будет выплать, если только эти активы не уменьшатся, т.е. на
протяжении третьего года не будет заявлено ни одного страхового случая.
Вероятность этого события равна 0.15, а размер дивидендов равен 1.
И наконец, если активы в конце второго года равны 3, то после поступления премий в начале третьего года они вырастут до 5. Дивиденды в конце
третьего года можно будет выплать, если только на протяжении третьего
года
1. не будет заявлено ни одного страхового случая (вероятность этого
события равна 0.15); в результате к концу третьего года активы будут
равны 5, что позволит выплатить дивиденды в размере 2;
2. будет заявлен ровно один страховой случай (вероятность этого события равна 0.25); в результате к концу третьего года активы будут
равны 4, что позволит выплатить дивиденды в размере 1.
По формуле полного математического ожидания для среднего значения
дивидендов в конце третьего года, ED3 , имеем:
ED3 = P (u2 = 2) · 0.15 · 1 + P (u2 = 3) · (0.15 · 2 + 0.25 · 1) .
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
205
Итак, для решения задачи нужно найти вероятности P (u2 = 2) и P (u2 =
3). Для этого отметим, что (как и в задачах 5.5, 5.6) при сделанных предположениях последовательность случайных величин un образует цепь Маркова с фазовым пространством {0, 1, 2, 3} (0 – поглощающее состояние) и
следующей матрицей перехода:
⎛
⎞
1
0
0
0
⎜ 0.1 0.5 0.25 0.15 ⎟
⎟
P =⎜
⎝ 0.1 0
0.5 0.4 ⎠
0 0.1
0
0.9
Начальное распределение цепи un есть:
p0 = 0, p1 = 0, p2 = 0, p3 = 1.
Распределение состояний цепи в момент 2 может быть получено умножением вектора π0 = (0, 0, 0, 1), образованного из начального распределения, на матрицу P 2 . Технически удобно последовательно находить векторы
π1 = π0 · P и π2 = π1 · P :
⎛
⎞
1
0
0
0
⎜ 0.1 0.5 0.25 0.15 ⎟
⎟
π1 = (0, 0, 0, 1) · ⎜
⎝ 0.1 0
0.5 0.4 ⎠
0 0.1
0
0.9
= (0, 0.1, 0, 0.9),
⎛
π2
=
⎞
1
0
0
0
⎜ 0.1 0.5 0.25 0.15 ⎟
⎟
(0, 0.1, 0, 0.9) · ⎜
⎝ 0.1 0
0.5 0.4 ⎠
0 0.1
0
0.9
=
(0.01, 0.14, 0.025, 0.825)
Теперь для ED3 имеем:
ED3 = 0.025 · 0.15 · 1 + 0.825 · (0.15 · 2 + 0.25 · 1) = 0.4575.
2
Задача 5.8 ([14]) Определите характеристический коэффициент, если распределение индивидуальных потерь является экспоненциальным со средним m.
Решение задачи Для экспоненциального распределения преобразование Лапласа–Стилтьеса есть
ϕ(s) =
1
.
1 + ms
206
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Соответственно, производящая функция моментов, ψ(z), есть:
ψ(z) =
1
.
1 − mz
Поэтому характеристическое уравнение выглядит следующим образом:
1
= 1 + (1 + θ)mz,
1 − mz
т.е.
(1 + θ)m2 z 2 − θmz = 0.
Оно имеет тривиальный корень z = 0 и единственный положительный корень
c − λm
θ
=
,
z=
(1 + θ)m
cm
который по определению и является харатеристическим коэффициентом r.
2
Задача 5.9 ([14]) Определите характеристический коэффициент, если величина индивидуальных потерь равномерно распределена на отрезке [0, 2m].
Решение задачи Прежде всего, найдем производящую функцию моментов для равномерного распределения:
ψ(z) =
=
2m
0
ezx
1
dx
2m
2m
1 zx
e2mz − 1
=
e
.
2mz
2mz
x=0
Поэтому характеристическое уравнение выглядит следующим образом:
e2mz − 1
= 1 + (1 + θ)mz,
2mz
т.е.
e2mz = 2(1 + θ)(mz)2 + 2mz + 1.
Отсюда следует, что зависимость характеристического коэффициента r ≡
r(θ, m) от относительной защитной надбавки θ и средней величины страхового возмещения m имеет вид:
r(θ, m) = r(θ, 1)/m.
Для коэффициента r(θ, 1) мы имеем более простое уравнение:
e2y = 2(1 + θ)y 2 + 2y + 1.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
207
Это уравнение уже нельзя решить аналитически. Однако численное решение не вызывает затруднений. Для этого прежде всего локализуем характеристический коэффициент. С этой целью отметим, что
e2y > 1 + 2y + 2y 2 + 4y 3 /3,
и поэтому
F (y) ≡ e2y − 2(1 + θ)y 2 − 2y − 1 >
4 3
4
3θ
y − 2θy 2 = y 2 (y − ).
3
3
2
Правая часть этого неравенства обращается в нуль при y = 3θ/2. Поэтому
левая часть обратится в нуль в точке, которая лежит левее, чем 3θ/2. Итак,
r < 3θ/2. Делением промежутка (0, 3θ/2) пополам нетрудно определить характеристический коэффициент с любой наперед заданной степенью точности. Следующая программа определяет r(θ, 1) с абсолютной погрешностью
10−6 для θ = 0.1; 0.2; . . . ; 1.0:
Program AdjustCo(Input,Output);
Label
L1,L2;
Var
theta,a,b,c,r:real;
Function F(z:real):real;
begin
F:=exp(2*z)-2*(1+theta)*z*z-2*z-1
end;
Begin
theta:=0;
repeat
theta:=theta+0.1;
{числа a,b являются текущими значениями
концов отрезка [a,b], содержащего
характеристический коэффициент r}
a:=0; {начальное значение левого
конца отрезка [a,b]}
b:=3*theta/2; {начальное значение
правого конца отрезка [a,b]}
L2: c:=(a+b)/2;
if (b-a)<1.0E-06 then goto L1;
if F(c)=0 then goto L1;
if F(c)<0 then a:=c;
if F(c)>0 then b:=c;
goto L2;
L1: r:=c;
writeln(theta:3:1,r:8:3,’ ’,F(r));
208
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
until theta>1.0
End.
Полученные с помощью этой программы данные приведены в таблице
5.11.
Таблица 5.11:
θ
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
r(θ; 1)
0.140
0.262
0.370
0.467
0.555
θ
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
r(θ; 1)
0.634
0.708
0.775
0.838
0.897
2
Задача 5.10 ([14]) Определите вероятность разорения R(u), если величина индивидуальных потерь имеет экспоненциальное распределение.
Решение задачи Преобразование Лапласа показательного распределения со средним m дается формулой:
ϕ(s) =
1
.
1 + ms
Поэтому общее уравнение (5.1) для преобразования Лапласа вероятности
разорения примет вид
θ
m (1+θ)m
m
=
.
ρ(s) =
θ
θ + (1 + θ)ms
θ (1+θ)m
+s
Поскольку дробь вида a/(a + s) является преобразованием Лапласа экспоненциальной плотности ae−au , отсюда обращением преобразования Лапласа
мы получим окончательный результат:
R(u) =
=
2
m
θ
θ
·
· exp −
u
θ (1 + θ)m
(1 + θ)m
θ
1
· exp −
u .
1+θ
(1 + θ)m
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
209
Замечание. Интересно сопоставить эту точную формулу с неравенствoм Лундберга (5.2) и асимптотикой Крамера–Лундберга (5.4). Прежде
всего отметим, что, как показано в задаче 5.8, характеристический коэффициент r в случае экспоненциально распределенных индивидуальных потерь
дается формулой
θ
r=
.
(1 + θ)m
Это позволяет переписать нашу явную формулу в виде
R(u) =
1 −ru
.
e
1+θ
Кроме того, поскольку для экспоненциального распределения ψ(z) = 1/(1−
mz), то верно соотношение
ψ (r) = m(1 − mr)−2 = m(1 + θ)2 .
Значит, асимптотика Крамера–Лундберга (5.4) в рассматриваемом случае
примет вид
1 −ru
e
,
R(u) ∼
1+θ
т.е. совершенно идентична точной формуле для R(u).
Относительная погрешность от замены R(u) оценкой Лундберга (5.2)
постоянна и равна
θ
|R(u) − e−ru |
.
=
−ru
e
1+θ
Задача 5.11 ([18]) Процесс динамики активов страховщика описывается составным пуассоновским процессом с экспоненциальным распределением страховых возмещений.
Премии поступают непрерывно со скоростью 5.
Кроме того, известно, что:
1. вероятность разорения при начальных активах u = 50 равна 1%;
2. относительная защитная надбавка равна 25%.
Определите среднее число страховых случаев в единицу времени.
(A) 1.75
(B) 2.00
(C) 2.25
(D) 2.50
(E) 2.75
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
210
Решение задачи Как было установлено в задаче 5.10, в случае экспоненциального распределения страховых возмещений зависимость вероятности разорения R(u) от начальных активов u дается формулой:
R(u) =
θ
1
· exp −
u ,
1+θ
(1 + θ)m
где m – средний размер страхового возмещения, θ – относительная защитная надбавка.
Отсюда
θu
.
m=−
(1 + θ) ln((1 + θ)R(u))
Поскольку интенсивность наступления страховых случаев λ связана со скоростью поступления премий c, относительной защитной надбавкой θ и средним размером страхового возмещения m формулой
c = (1 + θ)λm,
искомая величина λ есть:
λ=
c ln((1 + θ)R(u))
ln 80
c
=−
=
≈ 1.7528.
(1 + θ)m
θu
2.5
Таким образом, верным является вариант (A). 2
Задача 5.12 ([14]) Предположим, что страховые случаи происходят с
интенсивностью λ = 3, скорость поступления премий c = 1, а величина страхового возмещения с вероятностью 1/9 имеет экспоненциальное
распределение со средним 1/3, а с вероятностью 8/9 – экспоненциальное
распределение со средним 1/6. Определите зависимость вероятности разорения R(u) от величины начальных активов u.
Решение задачи Прежде всего отметим, что безусловная плотность
f (x) величины страхового возмещения является смесью с весами 1/9 и 8/9
экспоненциальных плотностей 3e−3x и 6e−6x :
f (x) =
1
8
1
16
· 3e−3x + · 6e−6x = e−3x + e−6x .
9
9
3
3
Соответственно преобразование Лапласа ϕ(s) величины страхового возмещения является смесью с весами 1/9 и 8/9 преобразований Лапласа экспоненциальных величин со средними 1/3 и 1/6:
ϕ(s) =
3
8
6
17s + 54
1
·
+ ·
=
.
9 3+s 9 6+s
3(s2 + 9s + 18)
Аналогичная формула верна и для безусловного среднего значения:
m=
1 1 8 1
5
· + · =
.
9 3 9 6
27
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
211
Поэтому относительная защитная надбавка есть
θ=
c
9
1
4
−1=
5 − 1 = 5 − 1 = 5.
λm
3 · 27
Подставляя эти явные выражения в общее уравнение (5.1) для преобразования Лапласа ρ(s) вероятности разорения R(u) и производя обычные
алгебраические упрощения, мы получим
ρ(s) =
5s + 18
.
9(s2 + 6s + 8)
Для обращения преобразования Лапласа ρ(s) удобно разложить правую
часть этого равенства в сумму простейших дробей:
ρ(s) =
4
9
s+2
+
1
9
s+4
=
2
2
1
4
·
+
·
.
9 s + 2 36 s + 4
Поскольку дробь вида a/(a + s) является преобразованием Лапласа экспоненциальной плотности ae−au , отсюда обращением преобразований Лапласа
мы получим окончательный результат:
R(u) =
1
4
1
2
· 2 · e−2u +
· 4 · e−4u = e−2u + e−4u .
9
36
9
9
2
Задача 5.13 ([19]) Для динамической модели разорения, которая описывается составным пуассоновским процессом, известно, что:
1. ожидаемое число страховых случаев к моменту t равно 5t, t > 0;
2. все выплаты имеют постоянную величину k;
3. скорость поступления премий равна 50;
4. характеристический коэффициент равен 0.85.
Определите k.
(A) 2.6
(B) 2.8
(C) 3.0
(D) 3.2
(E) 3.4
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
212
Решение задачи В рассматриваемой ситуации случайные величины
Yi , описывающие размер индивидуальных потерь, являются детерминированными, так что ψ(z) ≡ EezYi = ekz . Кроме того, так как λ = 5, c = 50,
m = k, относительная защитная надбавка есть:
θ=
10
50 − 5k
=
− 1.
5k
k
Поэтому характеристическое уравнение (5.3) в рассматриваемом случае имеет следующий вид:
ekz = 1 + 10z.
Поскольку z = r = 0.85 – корень этого уравнения, то
e0.85k = 9.5,
откуда
ln 9.5
≈ 2.64858,
0.85
и поэтому верным является вариант (A). 2
k=
Задача 5.14 ([28]) Для динамической модели разорения, которая описывается составным пуассоновским процессом, известно, что:
1. ожидаемое число страховых случаев в единицу времени равно 2;
2. страховые возмещения могут быть только 1, 2 или 3 с равными
вероятностями;
Подсчитайте интенсивность поступления премий, которая бы обеспечивала значение характеристического коэффициента, равное 0.5.
Решение задачи В рассматриваемом случае производящая функция
моментов величины страхового возмещения дается формулой
ψ(z) =
1 z
e + e2z + e3z .
3
Поэтому для интенсивности поступления премий непосредственно из характеристического уравнения имеем:
c=
2
λ
2
(ψ(r) − 1) =
r
0.5
1 0.5
e + e1 + e1.5 − 1
3
≈ 7.798.
Глава 6
Перестрахование
Физические и юридические лица заключают договора страхования со страховыми компаниями для того, чтобы избавиться от финансовых потерь, связанных с неопределенностью наступления тех или иных случайных событий. До
заключения договора страхования страхователь имел некоторый риск, который мог привести к случайным потерям X (а мог и не привести к ним). После
заключения договора страхования, страхователь избавился от этого риска (за
выплату премии). Иными словами, страхователь идет на небольшие (как правило, детерминированные) расходы с тем, чтобы избавиться от случайных потерь, которые хоть и маловероятны, но могут быть катастрофически большими
для него. Однако, сам риск не исчез – его приняла на себя страховая компания. Другое дело, что имея большой портфель договоров, страховая компания
обеспечивает себе гораздо меньшую вероятность разорения. Тем не менее, возможны очень большие выплаты, которые приведут к разорению компании. С
этой точки зрения страховая компания попадает в ту же ситуацию, в которой
первоначально (до заключения договоров страхования) находились страхователи – существует опасность финансовых потерь, связанная с возможностью
выплаты очень больших страховых возмещений. Для решения этой проблемы
страховые компании прибегают к страхованию своего риска в другой компании. Такой вид страхования называется перестрахованием. Компания, непосредственно заключающая договора страхования и желающая перестраховать
часть своего риска, называется передающей компанией, а компания, которая
страхует исходную страховую компанию, называется перестраховочной компанией. При перестраховании могут перестраховываться как чрезмерно большие индивидуальные риски, так и риск чрезмерно больших суммарных потерь
за определенный период, скажем, за один год.
Если страховщик имеет большой портфель хорошо сбалансированных рисков, достаточные активы, хорошо поставленные службы андеррайтинга и урегулирования убытков и т.д., то он может практически гарантированно выпол213
214
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
нять свои обязательства, так что в перестраховании как механизме перераспределения страховых рисков, нет необходимости. На развивающихся рынках, для
молодых компаний, для формируемых портфелей и т.п. (все это в полной мере
относится к современному российскому страховому рынку и в особенности к
рынку страхования жизни) эти условия не выполнены. Формирование зрелого
рынка страховых услуг, подготовка квалифицированного персонала, увеличение финансовой мощи компаний и т.д. требует значительных затрат времени и средств. Перестраховочная защита может быть организована достаточно
быстро, требует относительно небольших ресурсов и поэтому сотрудничество с
перестраховщиками является важным инструментом повышения финансовой
устойчивости страховых компаний.
Следует отметить, что прямой страховщик может быть заинтересован в перестраховании и по другим причинам: необходимость финансирования нового
бизнеса, помощь в андеррайтинге нестандартных рисков, разработке новых
продуктов и т.д. В связи с этим разработано много стандартных перестраховочных схем. Впрочем, некоторые из этих схем являются перестраховочными
только по названию, так как решают не задачи передачи страховых рисков, а
задачи уменьшения налогов, управления активами, высвобождения капитала
прямого страховщика и т.д. (часто их соответствие законодательству является
очень спорным).
Один из распространенных видов перестрахования заключается в следующем. Передающая компания самостоятельно оплачивает все потери вплоть
до некоторого предела r руб.; для выплат, превышающих r руб., передающая
компания выплачивает сумму r самостоятельно, а оставшуюся сумму выплачивает перестраховщик. Если это правило применяется к каждому индивидуальному договору, то такой вид перестрахования называется перестрахованием чрезмерных (индивидуальных) потерь. Если же это правило применяется
к общим выплатам по портфелю за некоторый период, то такой вид перестахования называется перестрахованием, останавливающим (суммарные)
потери. Перестрахование, останавливающее суммарные потери, обеспечивает
защиту прямого страховщика не только от больших индивидуальных потерь,
но и от случайного наступления большого числа страховых случаев. Параметр
r называется пределом удержания.
Задача 6.1 ([14]) Портфель компании состоит из N = 20 тысяч договоров страхования жизни сроком на 1 год. В соответствии с условиями
договора компания выплачивает определенную сумму в случае смерти застрахованного в течение года и не платит ничего, если застрахованный
доживет до конца года. Все застрахованные имеют одну и ту же вероятность смерти в течение года, равную q = 0.01. Из 20 тысяч застрахованных N1 = 10 тысяч человек заключили договор на сумму b1 = 100 000
руб. каждый, N2 = 5 000 человек - на сумму b2 = 200 000 руб. каждый,
N3 = 4 000 человек - на сумму b3 = 500 000 руб. каждый и N4 = 1 000 че-
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
215
ловек - на сумму b4 = 1 миллион руб. каждый. Относительная страховая
надбавка установлена компанией в размере θ = 15%.
Компания заключила договор перестрахования чрезмерных потерь при
пределе удержания r = 500 000 руб. Перестраховочная компания устанавливает свой тариф на основе той же статистики смертности, что и
передающая компания, но с относительной страховой надбавкой θ∗ = 20%.
Определите, как изменится вероятность разорения передающей компании
и ее ожидаемый доход. 1
Решение задачи Прежде всего найдем вероятность разорения и ожидаемый доход при отсутствии перестрахования. Ключевым элементом расчетов (имея в виду применение гауссовского приближения) является определение среднего значения ES и дисперсии V arS суммарных выплат S;
они равны соответственно сумме средних значений и сумме дисперсий всех
индивидуальных потерь:
ES =
N
EXi , V arX =
i=1
N
V arXi .
i=1
Поскольку возможные выплаты по индивидуальному договору принимают
только два значения: 0 с вероятностью 1−q и bi с вероятностью q, мы имеем:
EXi = q · bi , V arXi = q(1 − q) · b2i .
Для посчета величин ES и V arS удобно сгруппировать договора по величине страховой суммы. В нашем случае мы получим 4 группы. Суммы средних значений и дисперсий индивидуальных потерь для договоров из k−й
группы, k = 1, 2, 3, 4, равны Nk qbk и Nk q(1 − q)b2k соответственно. Сложив
эти величины, мы получим ES и V arS. Для численных расчетов удобно
использовать 100 000 руб. как единицу измерения денежных сумм. Результаты расчетов сведены в таблицу 6.1, последний столбец которой содержит
окончательные результаты для исходной группы из N = 20 000 человек:
Общая сумма, собранная в виде страховых премий, есть
u = (1 + θ)ES = 575 условных единиц,
а ожидаемый доход компании есть
u − ES = θES = 75 условных единиц = 7.5 миллиона рублей.
Теперь мы можем подсчитать вероятность разорения R:
R
u − ES
S − ES
√
>√
V arS
V arS
575 − 500
u − ES
√
=1−Φ
≈ 1−Φ √
2277
V arS
≈ 1 − Φ(1.57) ≈ 5.82%.
≡ P (S > u) = P
1 Как обычно, "разорение"означает, что для выплат по рассматриваемому портфелю
не хватит собранных премий и, значит, придется привлекать дополнительные средства.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
216
Таблица 6.1: Расчет среднего значения и дисперсии суммарных выплат без
перестрахования
Номер группы
1
2
3
4
Исходная группа
Число застрахованных (тыс.)
10
5
4
1
20
Страховая сумма
1
2
5
10
Средние выплаты
для группы
100
100
200
100
500
Дисперсия суммарных выплат для
группы
99
198
990
990
2277
Предположим теперь, что наша компания заключила договор перестрахования с пределом удержания r = 500 000 руб., т.е. r = 5 условных единиц.
При наступлении страховых случаев по договорам с величиной страховой
суммы b3 = 5 и b4 = 10 передающая компания выплачивает одну и ту же
сумму r = 5. Поэтому все эти договора можно объединить в одну группу.
Договора с величиной страховой суммы b1 = 1 и b2 = 2 по прежнему образуют отдельные группы. Результаты расчетов для передающей компании в
новой ситуации содержатся в таблице 6.2.
Таким образом, средние суммарные выплаты передающей компании уменьшились с 500 до 450, а дисперсия суммарных выплат уменьшилась с 2277 до
1534.5 Одновременно и коэффициент вариации суммарных выплат уменьшился с 9.54% до 8.71%.
Разность ES − ES (r) = 500 − 450 = 50 дает средние суммарные выплаты
перестраховочной компании. В соответствии с условиями перестрахования
плата за перестрахование равна 1.20 · 50 = 60. Поэтому активы передающей компании уменьшатся с величины u = 575 до u(r) = 515 и, значит,
ожидаемый доход передающей компании составит величину
u(r) − ES (r) = 65 условных единиц ≡ 6.5 миллионов рублей.
Для вероятности разорения после перестрахования мы имеем:
R(r)
≡
≈
≈
S (r) − ES (r)
u(r) − ES (r)
√
> √
V arS (r)
V arS (r)
515 − 450
u(r) − ES (r)
√
=1−Φ √
1−Φ
1534.5
V arS (r)
1 − Φ(1.66) ≈ 4.85%.
P (S (r) > u(r) ) = P
Итак, перестрахование уменьшило вероятность разорения с 5.82% до 4.85%.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
217
Таблица 6.2: Расчет среднего значения и дисперсии суммарных выплат передающей компании после перестрахования
Номер группы
1
2
3
Исходная группа
Число застрахованных (тыс.)
10
5
5
20
Страховая сумма
1
2
5
Средние выплаты
для группы
100
100
250
450
Дисперсия суммарных выплат для
группы
99
198
1237.5
1534.5
Однако, это достигнуто ценой уменьшения ожидаемого дохода с 7.5 миллионов рублей до 6.5 миллионов рублей.
2
Задача 6.2 ([14]) Компания заключила N = 10 000 однотипных договоров страхования жизни сроком на 1 год. В соответствии с условиями
договора компания выплачивает 1 млн. рублей в случае смерти застрахованного в течение года от несчастного случая, 100 тыс. рублей в случае смерти застрахованного в течение года от естественных причин и
не платит ничего, если застрахованный доживет до конца года. Вероятность смерти от несчастного случая равна 5 · 10−4 , вероятность смерти
от естественных причин равна 2 · 10−3 . Компания установила плату за
страховку, исходя из 95% вероятности выполнения обязательств по рассматриваемому портфелю только за счет собранных премий.
Имея в виду значительный размер страхового возмещения в случае
смерти застрахованного от несчастного случая, страховая компания предполагает заключить договор перестрахования чрезмерных потерь c пределом удержания r между 100 000 руб. и 1 000 000 руб.
Перестраховочная компания берет в качестве платы за перестрахование такого риска сумму равную 160% от величины ожидаемых выплат
(т.е. перестраховочная компания устанавливает относительную страховую надбавку, равную 60%).
Определите значение предела собственного удержания, которое бы минимизировало вероятность того, что для выплат по рассматриваемому
портфелю будет нужно привлекать дополнительные средства (вероятность разорения).
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
218
Решение задачи Для расчетов удобно использовать 100 000 руб. как
единицу измерения денежных сумм, так что выплата X по одному договору
принимает значения 10, 1 и 0 с вероятностями 5·10−4 , 20·10−4 и 1−25·10−4
соответственно. Среднее значение выплаты по одному договору есть
= 5 · 10−4 · 10 + 20 · 10−4 · 1
EX
= 7 · 10−3 (условных единиц) = 700 руб.,
а дисперсия
V arX
= EX 2 − (EX)2
= 5 · 10−4 · 100 + 20 · 10−4 · 1 − 49 · 10−6
≈ 5.2 · 10−2 .
Таким образом, нетто-премия p0 ≡ EX = 7 · 10−3 , а поскольку компания
установила брутто-премию p такой, чтобы вероятность неразорения была
95%, мы имеем: 2
√
x95% V arX
√
p = EX +
N
√
1.645
· 5.2 · 10−1
−3
= 7 · 10 +
102
−3
≈ 10.75 · 10 (условных единиц) ≡ 1075 руб.,
так что общая премия равна N p = 107.5 (условных единиц).
Предположим теперь, что компания решает перестраховать иски, превышающие r рублей, 100 000 ≤ r ≤ 1 000 000, в перестраховочной компании.
Поскольку мы используем 100 000 руб. как единицу измерения денежных
сумм, r меняется от 1 до 10. В этом случае выплата передающей компании
по одному договору, X (r) , принимает три значения: 1, r и 0 с вероятностями 20 · 10−4 , 5 · 10−4 и 1 − 25 · 10−4 соответственно. Ее среднее значение и
дисперсия равны
EX (r)
V arX (r)
= 1 · 20 · 10−4 + r · 5 · 10−4 = 5 · 10−4 · (r + 4)
= 12 · 20 · 10−4 + r2 · 5 · 10−4 − 25 · 10−8 · (r + 4)2
≈ 5(r2 + 4) · 10−4 .
2 Таким образом, относительная страховая надбавка есть
x95%
θ= √
·
N
√
√
V arX
1.645 · 5.2 · 10−1
≈ 53.59%.
=
EX
102 · 7 · 10−3
Довольно большое значение θ связано с очень большим значением коэффициента вариации величины возможных выплат по одному договору; он равен
√
√
V arX
5.2 · 10−1
≈ 32.58.
=
EX
7 · 10−3
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
219
Для перестраховочной компании среднее значение выплаты по одному договору есть
EX − EX (r) = 70 · 10−4 − 5 · 10−4 · (r + 4) = 5 · 10−4 (10 − r)
и поэтому плата за перестрахование одного договора равна
1, 6 · 5 · 10−4 · (10 − r) = 8 · 10−4 · (10 − r).
Для передающей компании среднее значение и дисперсия суммарных выплат по всему портфелю, S (r) , есть:
ES (r)
=
N · EX (r) = 5 · (r + 4)
V arS (r)
=
N · V arX (r) ≈ 5 · (r2 + 4).
Общая плата за перестрахование всего портфеля есть
104 · 8 · 10−4 · (10 − r) = 8 · (10 − r)
и поэтому после перестрахования премия, собранная компанией, уменьшится с N p = 107.5 до величины
u(r) = 107.5 − 8 · (10 − r) = 27.5 + 8r.
Для вероятности R(r) того, что суммарные выплаты страховой компании,
S (r) , больше, чем активы компании, u(r) , с помощью гауссовского приближения имеем:
R(r)
S (r) − ES (r)
u(r) − ES (r)
√
> √
V arS (r)
V arS (r)
(r)
(r)
u − ES
27.5 + 8r − 5r − 20
√
√
=1−Φ
5r2 + 20
V arS (r)
7.5 + 3r
√
.
5r2 + 20
=
P (S (r) > u(r) ) = P
≈
1−Φ
=
1−Φ
Таким образом, если мы хотим минимизировать вероятность R(r) , нужно
выбрать параметр r таким образом, чтобы функция
h(r) =
(7.5 + 3r)2
5r2 + 20
принимала наибольшее значение. Поскольку
h (r) =
2 · (7.5 + 3r)(12 − 7.5r)
,
5(r2 + 4)2
12
= 1.6, что в абсолютных цифрах соответоптимальное значение r равно 7.5
ствует 160 000 руб. 2
220
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Замечание. Поскольку
h(1.6) ≈ 2.15, вероятность разорения при
этом пределе удержания равна приблизительно 1.6%. Ожидаемый доход
компании до перестрахования был равен N p − N p0 = 3 750 000 руб. (он
подсчитывается как разность между собранными премиями и ожидаемыми выплатами). После перестрахования ожидаемый доход компании стал
u(r) − ES (r) = 7.5 + 3r = 12.3 (условных единиц) = 1 230 000 руб. Таким
образом, уменьшение вероятности разорения достигнуто ценой уменьшения
ожидаемого дохода на 2 520 000 руб.. Отметим, кроме того, что для достижения такой же вероятности разорения без перестрахования необходимо
увеличить премию до величины
√
x98.4% V arX
√
p = EX +
N
√
2.2
· 5.2 · 10−1
−3
= 7 · 10 +
102
−3
≈ 12.02 · 10 (условных единиц) ≡ 1202 руб.,
т.е. на 12%. Это означает увеличение общей премии по всему портфелю до
12 020 000 руб., а ожидаемого дохода компании до 5 020 000 руб. Конечно,
с точки зрения страховой компании это гораздо лучше, чем 1 230 000 руб.
ожидаемого дохода в случае приобретения перестраховочного покрытия, но
не надо забывать о рыночных факторах – страхователи могут не согласиться приобретать более дорогой продукт и тогда придется забыть вообще о
любой прибыли.
Задача 6.3 ([19]) Портфель страховой компании включает независимые
договора страхования жизни на один год; структура этого блока бизнеса
приведена в таблице 6.3.
Таблица 6.3:
Число
договоров
Страховая
сумма
500
300
100
100
50
40
Страховщик оценивает вероятность наступления страхового случая
по одному договору как 0.020 и назначает общую премию за этот блок
бизнеса в размере 2000.
За перестраховочную премию в размере 860 перестраховщик предлагает покрыть все индивидуальные выплаты сверх собственного удержания
страховщика в размере 40 по одному договору.
Нагрузка перестраховщика вдвое превышает относительную защитную надбавку страховщика.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
221
Определите вероятность наступления страхового случая по одному
договору с точки зрения перестраховочной компании.
(A) 0.014
(B) 0.018
(C) 0.022
(D) 0.026
(E) 0.030
Решение задачи Рассмотрим вначале ситуацию с точки зрения прямого страховщика.
Ожидаемые потери по одному договору каждого вида даются таблицей
6.4. Поэтому ожидаемые выплаты по рассматриваемому портфелю равны
Таблица 6.4:
Число
договоров
в группе
Ожидаемые
выплаты по
одному договору
Ожидаемые
выплаты по
группе договоров
500
300
100
100 · 0.02 = 2
50 · 0.02 = 1
40 · 0.02 = 0.8
500 · 2 = 1000
300 · 1 = 300
100 · 0.8 = 80
1380 – это суммарная нетто-премия. Поскольку общая премия равна 2000,
относительная защитная надбавка, используемая страховщиком, равна
θ=
2000 − 1380
≈ 0.45.
1380
Соответственно, относительная защитная надбавка, используемая перестраховщиком, равна
θ = 2θ ≈ 0.9.
Рассмотрим теперь ситуацию с точки зрения перестраховщика. Поскольку он покрывает только превышение индивидуальных выплат над собственным удержанием прямого страховщика в размере 40, то по договорам первого типа перестраховщик платит сумму 60, по договорам второго типа –
сумму 10, а в договорах третьего типа не участвует вовсе. Поэтому для перестраховщика ожидаемые потери по одному договору каждого вида даются
таблицей 6.5 (где q – оценка вероятности наступления страхового случая
перестраховщиком).
Поэтому для перестраховщика ожидаемые выплаты по перестрахованному портфелю равны 33000q – это суммарная перестраховочная неттопремия. Поскольку относительная защитная надбавка, используемая перестраховщиком, равна 0.9, общая перестраховочная премия равна 62700q. С
222
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Таблица 6.5:
Число
договоров
в группе
Ожидаемые
выплаты по
одному договору
Ожидаемые
выплаты по
группе договоров
500
300
100
60 · q = 60q
10 · q = 10q
0
500 · 60q = 30000q
300 · 10q = 3000q
0
другой стороны, по условию, эта премия составляет 860. Отсюда q ≈ 0.0137,
и поэтому верным является вариант (A). 2
Задача 6.4 ([19]) Суммарные выплаты страховой компании за один год
описываются составным отрицательным биномиальным распределением.
Среднее число страховых случаев за год равно 9, а его среднее квадратичное
отклонение равно 6. Индивидуальные потери могут быть только 1 или 3
с вероятностями 1/3 и 2/3 соответственно. Компания заключила договор перестрахования, останавливающий потери, с пределом собственного
удержания d = 3.
Определите размер ожидаемых выплат перестраховщика.
(A) 18.1
(B) 18.3
(C) 18.5
(D) 18.7
(E) 18.9
Решение задачи Пусть ν – число страховых случаев за один год. Так
как случайная величина ν имеет отрицательное биномиальное распределение,
α · (α + 1) · · · · · (α + n − 1) α n
p q ,
P (ν = n) ≡
n!
где, как обычно, q = 1 − p.
Среднее значение Eν и дисперсия V arν связаны с параметрами α и p
следующими соотношениями:
Eν
=
V arν
=
αq
,
p
αq
,
p2
откуда легко найти, что
α = 3, p = 1/4.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
223
Поэтому,
(n + 1)(n + 2)
·
128
P (ν = n) =
3
4
n
,
а соответствующая производящая функция есть
π(z)
=
+∞
p
1 − zq
z n P (ν = n) =
n=0
=
α
1
.
(4 − 3z)3
Пусть, далее, Y1 , . . . , Yν – величины индивидуальных потерь. Нетрудно видеть, что
EYi =
7
z + 2z 3
, Ez Yi =
.
3
3
Наконец, пусть S = Y1 + · · · + Yν – суммарные потери за один год. Производящая функция случайной величины S есть
Ez S
=
=
+∞
E z S | ν = n P (ν = n) =
n=0
+∞
n=0
=
+∞
Ez Yi
n
P (ν = n)
n=0
z + 2z 3
3
n
z + 2z 3
3
P (ν = n) = π
1
.
(4 − z − 2z 3 )3
Дифференцируя по z в точке z = 1, мы имеем ES = 21. Кроме того, раскладывая производящую функцию Ez S в ряд по степеням z вплоть до z 2 ,
мы получим:
Ez S
=
1
1
·
64 1 − z+2z3 3
4
=
1
z + 2z 3
(z + 2z 3 )2
· 1+
+
+ ...
64
4
16
3
=
=
z
z2
1
· 1+ +
+ ...
64
4 16
1
3z
3z 2
· 1+
+
+ ...
64
4
8
,
3
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
224
что дает распределение суммарных потерь за один год в точках 0, 1, 2: 3
P (S = 0) =
3
3
1
, P (S = 1) =
, P (S = 2) =
.
64
256
512
По условиям договора перестраховщик покрывает только превышение потерь над собственным удержанием 3, т.е. выплаты перестраховочной компании даются формулой:
0,
если S ≤ 3,
S =
S − 3, если S > 3.
Значит,
ES =
=
+∞
n=0
+∞
nP (S = n) =
+∞
nP (S = n + 3) =
n=0
=
+∞
nP (S − 3 = n)
n=0
+∞
(n − 3)P (S = n)
n=3
(n − 3)P (S = n) −
n=0
2
(n − 3)P (S = n)
n=0
=
ES − 3 + 3 · P (S = 0) + 2 · P (S = 1) + 1 · P (S = 2)
6
3
39
3
+
+
= 18
≈ 18.076
= 21 − 3 +
64 256 512
512
и поэтому верным ответом будет (A).
2
Задача 6.5 ([19]) Страховщик имеет портфель договоров, структура которого описывается таблицей 6.6.
Потери, превышающие уровень 2 для каждого договора, перестрахованы за перестраховочную премию, равную 0.02 за покрытие риска потерь
в размере 1.
Вероятность того, что сумма потерь по удержанному риску и стоимости перестрахования превысит 30, равна 0.10.
Определите p.
(A) 0.01
3 Этот результат легко получить и непосредственно по формуле полной вероятности:
P (S = 0)
=
P (S = 1)
=
P (S = 2)
=
P (ν = 0) =
1
,
64
9
1
3
· =
,
256 3
256
3
27 1 1
· · =
.
P (ν = 2) · P (Y1 = 1) · P (Y2 = 1) =
512 3 3
512
P (ν = 1) · P (Y1 = 1) =
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
225
Таблица 6.6:
Вид
договора
Число
договоров
в группе
Страховая
сумма
Вероятность
страхового
случая
1
2
50
100
4
10
0.05
p
(B) 0.03
(C) 0.05
(D) 0.07
(E) 0.09
Решение задачи Ситуация с точки зрения перестраховщика после заключения перестраховочного договора представлена в таблице 6.7. Ожидаемое
Таблица 6.7:
Вид
договора
Число
договоров
в группе
Ответственность
перестраховщика
Вероятность
страхового
случая
1
2
50
100
2
8
0.05
p
число страховых случаев по договорам первой группы, Eν1 , равно 50·0.05 =
2.5, а по договорам второй группы – Eν2 = 100p. Поэтому общие ожидаемые выплаты есть 2.5 · 2 + 100p · 8 = 5 + 800p. С другой стороны, общая
перестраховочная премия равна 0.02 · (50 · 2 + 100 · 8) = 18. Естественно,
она должна быть достаточной, чтобы покрыть ожидаемые выплаты, т.е.
18 > 5 + 800p. 4 Поэтому p < 0.01625. Уже этого вывода достаточно, чтобы
выбрать один вариант ответа из предложенных пяти – это вариант (A).
Мы, однако, отметим лишь то, что как для договоров первой группы, так
и для договоров второй группы, вероятность наступления страхового случая достаточно мала. Поскольку число договоров в каждой группе достаточно велико, число страховых случаев в каждой группе можно приближенно считать пуассоновским с параметрами λ1 = Eν1 = 2.5 и λ2 = Eν2 = 100p
4 Поскольку перестраховщик получает значительный инвестиционный доход на собранные перестраховочные премии, он может назначить плату за перестраховочное покрытие в размере меньшем, чем ожидаемые выплаты. Кроме того, перестраховщик может уменьшить эту плату и из маркетинговых соображений, например, чтобы увеличить
свою долю рынка. Однако, порядок платы за перестраховочное покрытие остается неизменным.
226
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
соответвенно. Общее число страховых случаев, ν = ν1 + ν2 , также можно
считать пуассоновским с параметром λ = λ1 + λ2 = 2.5 + 100p.
После заключения перестраховочного договора, при наступлении страхового случая, прямой страховщик покрывает одну и ту же сумму 2. Поэтому общие выплаты компании есть S = 2(ν1 + ν2 ) = 2ν. Используя пуассоновское приближение, мы имеем:
ES = 2λ = 5 + 200p,
V arS = 4λ = 10 + 400p.
Теперь мы можем записать условие задачи (P (S + 18 > 30) = 0.1) в виде
P
6−λ
S − ES
√
> √
V arS
λ
= 0.1.
Используя гауссовское приближение для распределения центрированной и
нормированной величины выплат прямого страховщика, мы имеем:
6−λ
√ ≈ x90% ≈ 1.282.
λ
Решая это уравнение с помощью новой неизвестной y =
x290% + 24 − x90%
√
,
λ=
2
√
λ, мы получим:
откуда λ ≈ 3.58 и, соответственно, p ≈ 0.0108. Поэтому верным, как и следовало ожидать, является вариант (A). 2
Задача 6.6 ([18]) Страхователь покупает договор группового страхования для группы, состоящей из четырех человек.
Страховщик назначает премию за всю группу в размере 5 и заключает договор перестрахования чрезмерных потерь с пределом собственного удержания 1. Относительная защитная надбавка, используемая перестраховщиком, равна 20%.
В конце срока действия договора страховщик подсчитывает баланс доходов и расходов. Доходы включают премию, а расходы состоят из выплаченных страховых возмещений, платы за перестрахование и административных расходов в размере 20% от премии. Если доходы превышают
расходы, страховщик возвращает разницу страхователю.
Определите ожидаемый размер выплаты страхователю по окончании
договора, если распределение индивидуальных потерь задается таблицей
6.8.
(A) 0.90
(B) 0.92
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
227
Таблица 6.8:
Величина
потерь
Вероятность
0
1
2
0.50
0.25
0.25
(C) 0.94
(D) 0.96
(E) 0.98
Решение задачи Пусть Xi – выплаты i−му застрахованному (таблица
6.8 содержит распределение этих случайных величин), Xi = min(Xi , 1) –
доля страховщика, Xi = max(Xi −1, 0) – доля перестраховщика в страховом
возмещении i−му застрахованному.
Распределение случайных величин Xi , Xi есть:
P (Xi = 0)
P (Xi = 0)
0.50, P (Xi = 1) = 0.50,
0.75, P (Xi = 1) = 0.25.
=
=
Ожидаемые потери перестраховщика по одному застрахованному равны
EXi = 0.25. Соответственно общие ожидаемые потери перестраховщика
равны 1. Значит, плата за перестраховочную защиту есть 1.2.
Пусть S = X1 + X2 + X3 + X4 – доля страховщика в суммарных потерях
по договору. Найдем распределение этой случайной величины. Для этого
подсчитаем ее производящую функцию:
Ez S
=
=
Ez Xi
4
4
= (0.5 + 0.5z) =
1
(1 + z)4
16
1
(1 + 4z + 6z 2 + 4z 3 + z 4 ).
16
Коэффициенты при степенях z дают искомое распределение; оно приведено
в таблице 6.9.
Таблица 6.9:
n
0
1
2
3
4
P (S = n)
1
16
4
16
6
16
4
16
1
16
228
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Поскольку премия по договору страхования равна 5, плата за перестраховочное покрытие равна 1.2, административные расходы равны 1, размер
выплаты страхователю по окончании договора равен D = 2.8−S . Распределение случайной величины D легко получить из распределения случайной
величины S ; оно приведено в таблице 6.10.
Таблица 6.10:
n
2.8
1.8
0.8
0
P (D = n)
1
16
4
16
6
16
5
16
Поэтому для среднего имеем:
ED =
1
4
6
· 2.8 +
· 1.8 +
· 0.8 = 0.925,
16
16
16
так что верным является вариант (B). 2
Задача 6.7 ([25]) Страховая компания в начале года заключает бессрочный договор перестрахования чрезмерных индивидуальных потерь по договорам автомобильного страхования. Известно, что:
1. общие ожидаемые потери страховщика по рассматриваемому блоку
бизнеса в наступающем году равны 10 000 000,
2. распределение размера индивидуального страхового возмещения описывается законом Парето
F (x) = 1 −
2000
x + 2000
2
, x > 0,
3. перестраховщик оплачивает все индивидуальные выплаты сверх собственного удержания страховщика в размере 3000 по одному договору,
4. в начале каждого года перестраховщик получает перестраховочную
премию, равную 110% от своих ожидаемых потерь,
5. вследствие инфляции каждый год размер страхового возмещения после наступления страхового случая увеличивается на 5%,
6. частота наступления страховых случаев не меняется.
Подсчитайте размер перестраховочной премии на наступающий год.
Как изменится эта премия через год?
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
229
Решение задачи Прежде всего подсчитаем ожидаемый размер страхового возмещения после наступления страхового случая:
EY
=
=
+∞
0
(1 − F (x))dx =
−20002
+∞
1
x + 2000 0
+∞
0
2000
x + 2000
2
dx
= 2000.
Поскольку средние суммарные потери за год, ES, равны произведению
ожидаемого числа страховых случаев, Eν, и среднего размера страхового
возмещения после наступления страхового случая, EY , ожидаемое число
страховых случаев за один год есть:
Eν =
10 000 000
ES
=
= 5 000.
EY
2 000
Пусть d = 3000 – размер собственного удержания страховщика, Y – тяжесть страхового случая, Y(d) ≡ Y(3000) – доля перестраховщика в страховом
возмещении:
⎧
0,
если Y ≤ 3000,
⎨
Y(3000) =
⎩
Y − 3000, если Y > 3000 .
Точка x = 0 является атомом распределения случайной величины Y(3000) ;
его масса равна вероятности того, что ущерб Y не превосходит собственное
удержание страховщика:
P (Y(3000) = 0) = P (Y ≤ 3000) = 1 −
2000
3000 + 2000
2
=
21
.
25
При x > 0 дополнительная функция распределения случайной величины
Y(3000) есть:
P (Y(3000) > x) = P (Y > 3000 + x) =
2000
5000 + x
Отметим, что
P (Y(3000) > x) =
4
25
5000
5000 + x
2
.
2
,
т.е. Y(3000) можно рассматривать как произведение индикаторной величины
I, которая равна 1 или 0 в соответствии с тем, превышает или нет ущерб
размер собственного удержания непосредственного страховщика, и не зависящей от I случайной величины величины Z, которая имеет распределение
Парето
2
5000
, x > 0,
FZ (x) = 1 −
x + 5000
230
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Средний размер участия перестраховщика в одном страховом возмещении
есть
+∞
+∞
2
2000
P (Y(3000) > x)dx =
dx
EY(3000) =
x + 5000
0
0
=
−20002
+∞
1
x + 5000 0
= 800.
Средние суммарные потери перестраховщика за год, ESre , равны произведению ожидаемого числа страховых случаев, Eν, и среднего размера участия перестраховщика в одном страховом возмещении, EY(3000) :
ESre = 5 000 · 800 = 4 000 000.
Поэтому перестраховочная премия на наступающий год равна
110%ESre = 1.1 · 4 000 000 = 4 400 000.
Рассмотрим теперь ситуацию спустя год. Пусть Y – размер ущерба после аварии через один год. Условие задачи относительно влияния инфляции
означает, что случайная величина Y /1.05 распределена так же, как и размер ущерба после аварии в наступающем году, Y . Поэтому дополнительная
функция распределения случайной величины Y дается формулой:
P (Y > x) = P (Y >
x
)=
1.05
2100
x + 2100
2
, x > 0.
Соответственно, дополнительная функция распределения случайной вели
чины Y(3000)
, описывающей участие перестраховщика в индивидуальных потерях, есть:
> x) = P (Y > 3000 + x) =
P (Y(3000)
2100
x + 5100
2
.
Средний размер участия перестраховщика в одном страховом возмещении
есть
+∞
+∞
2
2100
P (Y(3000) > x)dx =
dx
EY(3000) =
x + 5100
0
0
=
−21002
+∞
1
x + 5100 0
≈ 864.7058824.
Средние суммарные потери перестраховщика за год, ESre
, равны произведению ожидаемого числа страховых случаев, Eν, которое не подвержено
влиянию инфляции и по условию не изменилось, и среднего размера уча
:
стия перестраховщика в одном страховом возмещении, EY(3000)
≈ 4 323 529.
ESre
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
231
Поэтому перестраховочная премия на наступающий год равна
110%ESre
≈ 4 755 882.
Таким образом, по сравнению с предыдущим годом перестраховочная премия выросла на 8.1%, хотя инфляция выросла на 5%. 5
2
5 Как мы отмечали ранее, это явление, когда нетто-премия растет быстрее, чем инфляция, называется эффектом рычага (leveraging).
232
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Литература
[1] Бенинг В.Е., Королев В.Ю. Введение в математическую теорию риска, Изд-во факультета ВМиК МГУ, 2000.
[2] Булинская Е.В. Теория риска и перестрахование. Часть 1. Упорядочивание рисков, Изд-во механико-математического факультета МГУ,
2001.
[3] Bühlmann H. Mathematical Methods in Risk Theory, Springer-Verlag,
1970.
[4] Bowers N.L. et al. Actuarial Mathematics, Itasca, 1986
[5] Currie I.D. Loss Distributions, Heriot-Watt University, Edinburgh, 1992.
[6] Daykin C.D., Pentikäinen T., Pesonen M. Practical Risk Theory for
Actuaries, Chapman & Hall, 1994.
[7] Dickson D.C.M., Waters H.R. Risk Models, Heriot-Watt University,
Edinburgh, 1992.
[8] Dickson D.C.M., Waters H.R. Ruin Theory, Heriot-Watt University,
Edinburgh, 1992.
[9] Hart D.G., Buchanan R.A., Howe B.A. The Actuarial Practice of General
Insurance, The Institute of Actuaries of Australia, 1996.
[10] Hogg R.V., Klugman S.A. Loss Distributions, John Wiley & Sons, 1984.
[11] Hossack I.B., Pollard J.H., Zehnwirth B. Introductory Statistics with
Applications in General Insurance, Cambridge University Press, 1983.
[12] Herber H.U. An introduction to Mathematical Risk Theory, S.S.Huebner
Foundation for Insurance Education, University of Pennsylvania, 1979.
[13] Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику, Издательство Московского университета, Москва,1994.
[14] Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании, Российский юридический издательский дом, Москва,1994.
233
234
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
[15] Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и
пенсионных схем, АНКИЛ, Москва, 2002.
[16] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, том
1, Москва, Мир, 1984.
[17] Мельников А.В. Риск-менеджмент: Стохастический анализ рисков
в экономике финансов и страхования, АНКИЛ, Москва, 2001.
[18] Exam 151 – Risk Theory, Society of Actuaries, May 1994.
[19] Exam 151 – Risk Theory, Society of Actuaries, May 1999.
[20] Course1 (Mathematical Foundations of Actuarial Science) – Revised
Sample Exam, The Society of Actuaries and the Casualty Actuarial
Society, August 1999.
[21] Course/Exam 1 – Mathematical Foundations of Actuarial Science, The
Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, May 2000.
[22] Course/Exam 3 – Actuarial Models, The Society of Actuaries and the
Casualty Actuarial Society, May 2000.
[23] Course/Exam 4 – Actuarial Modeling, The Society of Actuaries and the
Casualty Actuarial Society, May 2000.
[24] Course/Exam 1 – Mathematical Foundations of Actuarial Science, The
Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, November 2000.
[25] Course/Exam 3 – Actuarial Models, The Society of Actuaries and the
Casualty Actuarial Society, November 2000.
[26] Course/Exam 4 – Actuarial Modeling, The Society of Actuaries and the
Casualty Actuarial Society, November 2000.
[27] Course/Exam 1 – Mathematical Foundations of Actuarial Science, The
Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, May 2001.
[28] Course/Exam 3 – Actuarial Models, The Society of Actuaries and the
Casualty Actuarial Society, May 2001.
[29] Course/Exam 4 – Actuarial Modeling, The Society of Actuaries and the
Casualty Actuarial Society, May 2001.
[30] Course/Exam 1 – Mathematical Foundations of Actuarial Science, The
Society of Actuaries and the Casualty Actuarial Society, November 2001.
[31] Course/Exam 3 – Actuarial Models, The Society of Actuaries and the
Casualty Actuarial Society, November 2001.
[32] Course/Exam 4 – Actuarial Modeling, The Society of Actuaries and the
Casualty Actuarial Society, November 2001.
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
235
[33] Straub E. Non-life Insurance Mathematics,
Association of Swiss Actuaries, 1988.
and
Springer-Verlag
[34] Panjer H.H., Willmot G.E. Insurance Risk Models, The Society of
Actuaries, 1992.
236
Загружено с сайта автора: http://mech.math.msu.su/∼falin
Оглавление
1 Модели индивидуальных потерь
5
2 Модели процесса наступления страховых случаев
63
3 Модель индивидуального риска
109
4 Модель коллективного риска
141
5 Динамические модели разорения
187
6 Перестрахование
213
Digitally signed by ʥʦʤʪ.ɹ.ɾ.ʊʖʡʞʣ
DN: cn=ʥʦʤʪ.ɹ.ɾ.ʊʖʡʞʣ, o=ʂɹʉ ʞʢ.ʂ.ɸ.ʁʤʢʤʣʤʧʤʘʖ,
ou=ʢʛʫʖʣʞʠʤ-ʢʖʨʛʢʖʨʞʭʛʧʠʞʟ ʪ-ʨ,
email=falin@mech.math.msu.su, c=RU
Date: 2015.12.09 11:42:53 +03'00'
237