Акустика океана: лекции Дмитриева К.В. из МГУ

МЕХАНИКА • СЛЕПКОВ АЛЕКСАНДР ИВАНОВИЧ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ.
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU.
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА
АКУСТИКА
ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ
КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
ФИЗФАК МГУ
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН
СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ. РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ
СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ.
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ
НА VK.COM/TEACHINMSU.
ЕСЛИ ВЫ ОБНАРУЖИЛИ
ОШИБКИ ИЛИ ОПЕЧАТКИ,
ТО СООБЩИТЕ ОБ ЭТОМ,
НАПИСАВ СООБЩЕСТВУ
VK.COM/TEACHINMSU.
БЛАГОДАРИМ ЗА ПОДГОТОВКУ КОНСПЕКТА
СТУДЕНТА ФИЛОСОФСКОГО ФАКУЛЬТЕТА МГУ
КУДБУ ВЛАДИСЛАВА НОДАРИЕВИЧА
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Содержание
Лекция 1. Введение. Свойства водной среды и особенности распространения звука ...........6
Земля – планета воды....................................................................................................................6
Свойства морской воды .............................................................................................................. 10
Формулы для расчёта затухания звука ....................................................................................... 12
Формулы для расчёта скорости звука ........................................................................................ 14
Подводный звуковой канал ........................................................................................................ 16
Изменчивость океана и акустика ................................................................................................ 20
Лекция 2. Прохождение и отражение плоских волн на границе раздела двух сред ............. 24
Основные уравнения акустики ................................................................................................... 24
Плоская граница жидких сред .................................................................................................... 25
Особенности отражения на разных типах среды ....................................................................... 29
Плоская граница жидкой и твёрдой среды................................................................................. 32
Акустическая модель морского грунта ...................................................................................... 37
Лекция 3. Лучевая картина при постоянной скорости звука в океане .................................. 41
Распространение звука в глубоком море.................................................................................... 41
Распространение звука в плоском слое ...................................................................................... 47
Приповерхностное распространение.......................................................................................... 52
Учет поверхностного волнения .................................................................................................. 54
Лекция 4. Лучевая картина с учётом рефракции звука. Подводный звуковой канал ........ 56
Среда как совокупность слоёв .................................................................................................... 56
Линейное изменение скорости с глубиной ................................................................................ 58
Линейное уменьшение скорости с глубиной ............................................................................. 62
Типичные профили скорости звука ............................................................................................ 64
Билинейный подводный канал ................................................................................................... 65
Лекция 5. Волновое решение задачи о распространении звука в слое .................................. 69
Постановка задачи ...................................................................................................................... 69
Разделение переменных .............................................................................................................. 70
Случай первый: «жёсткая» нижняя граница .............................................................................. 72
Случай второй: «мягкая» нижняя граница ................................................................................. 75
Критические частоты и длины волн ........................................................................................... 78
Дисперсионные зависимости...................................................................................................... 79
Интерференция мод .................................................................................................................... 80
Модообразующие лучи ............................................................................................................... 81
Поле в слое как сумма мод ......................................................................................................... 82
Эксперимент: место проведения ................................................................................................ 83
Эксперимент: спектрограмма записанного сигнала .................................................................. 84
Дисперсионные зависимости в теории и в эксперименте .......................................................... 85
Лекция 6. Волновое решение задачи об отражении звука дном ............................................. 86
3
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Постановка задачи ...................................................................................................................... 86
Разложение поля на плоские волны ........................................................................................... 88
Отраженная волна ....................................................................................................................... 91
Отраженная волна на больших расстояниях .............................................................................. 93
Применимость геометрической акустики .................................................................................. 95
Боковая волна.............................................................................................................................. 97
Лекция 7. Волновое решение задачи о распространении звука в водоеме с жидким дном
....................................................................................................................................................... 101
Постановка задачи .................................................................................................................... 101
Соотношения между волновыми числами ............................................................................... 102
Учет граничных условий .......................................................................................................... 103
Дисперсионное соотношение ................................................................................................... 105
Дисперсионное соотношение: приближения ........................................................................... 107
Определение волновых чисел ................................................................................................... 108
Случай глубокого водоема ....................................................................................................... 110
Критические частоты ................................................................................................................ 113
Фазовая и групповая скорость .................................................................................................. 114
Вертикальный профиль акустического поля ........................................................................... 115
Лекция 8. Усредненное поле в слое. Закон его спадания с расстоянием ............................. 117
Поле как суперпозиция отдельных мод ................................................................................... 117
Цилиндрическая расходимость на малых расстояниях ........................................................... 121
Глубокий слой при малом поглощении в дне .......................................................................... 121
Большие расстояния до источника ........................................................................................... 122
Зависимость давления от расстояния до источника ................................................................ 123
Лекция 9. Моды в слое с переменной по глубине скоростью звука ..................................... 124
Постановка задачи .................................................................................................................... 124
Разделение переменных ............................................................................................................ 125
Поле как сумма мод .................................................................................................................. 126
Интегральное представление поля в волноводе ...................................................................... 128
Связь интегрального представления и суммы мод .................................................................. 130
Линейный волновод с мягкой границей ................................................................................... 131
Функции Эйри ........................................................................................................................... 132
Асимптотика функций Эйри .................................................................................................... 133
Линейный волновод с жесткой границей ................................................................................. 136
Приближение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна ........................................................................ 137
Приближение ВКБ для поля в водоеме .................................................................................... 139
Лекция 10. Распространение звука в слое с переменной глубиной ...................................... 143
Лучевое решение задачи. Мнимые источники ......................................................................... 143
Лучевое решение задачи. Ход луча .......................................................................................... 144
Волновое решение задачи ......................................................................................................... 146
Разделение переменных ............................................................................................................ 147
Учет граничных условий. Случай мягкого дна ........................................................................ 148
4
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Максимум акустического поля в клине ................................................................................... 148
Горизонтальная рефракция в клине ......................................................................................... 149
Лекция 11. Границы применимости лучевой акустики ........................................................ 152
Уравнения акустики в неоднородной среде ............................................................................. 152
Вертикально стратифицированная среда ................................................................................. 153
Разделение переменных ............................................................................................................ 154
Представление эйконала ........................................................................................................... 155
Уравнение эйконала .................................................................................................................. 155
Решение уравнения эйконала ................................................................................................... 157
Область применимости представления эйконала .................................................................... 158
Лекция 12. Течения..................................................................................................................... 161
Модифицированное уравнение эйконала ................................................................................. 161
Скорость распространения сигнала по лучу ............................................................................ 162
Неоднородности фазовой скорости и течения ......................................................................... 163
Завихренность ........................................................................................................................... 164
Модовое описание неоднородностей и теченй ........................................................................ 166
Приближение «вертикальные моды – горизонтальные лучи» ................................................ 169
Лекция 13. Методы оценки параметров источников сигналов ............................................ 170
Антенная решетка ..................................................................................................................... 170
Гармонический сигнал с плоским фронтом ............................................................................. 171
Узкополосный сигнал ............................................................................................................... 172
Случайный гауссовский сигнал ................................................................................................ 172
Диаграмма направленности АР ................................................................................................ 174
Диаграмма направленности линейной эквидистантной АР .................................................... 174
Отношение сигнал/шум для АР ................................................................................................ 179
Определение параметров источников ...................................................................................... 181
Метод максимального правдоподобия ..................................................................................... 181
Метод Кейпона.......................................................................................................................... 186
5
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 1. Введение. Свойства водной среды и
особенности распространения звука
Земля – планета воды
Стоит сразу отметить, что данный курс состоит из двух больших блоков, каждый
из которых рассчитан на семестр. Текущий курс будет посвящён общей гидроакустике.
Наша планета носит название Земля, однако, если посмотреть на карту, то легко
увидеть, что это название не совсем корректно ввиду того, что большую часть
поверхности планеты занимают океаны, моря, реки, озёра и прочие водные объекты. В
совокупности они составляют 361 млн км2 – 71% всей поверхности Земли.
Рисунок 1.1. Карта Земли
Конечно, вода определяет многие процессы на планете, и водную оболочку,
гидросферу необходимо тщательно изучать. Во-первых, океан оказывает колоссальное
влияние на климатические условия, на растительно-животный мир. Кроме того, в
самом океане обитает множество живых организмов, представляющих ценность в
качестве биологического разнообразия и в качестве продукта различных промыслов.
Также нельзя забывать о том, что водоёмы – это прекрасная транспортная
возможность для перемещения огромного количества грузов.
Каким образом можно изучать водную оболочку Земли? Прежде всего, из
повседневного опыта ясно, что вода является прозрачной средой. Поэтому проще всего
посмотреть, что в ней находится – исследование с помощью электромагнитного
излучения. Но оказывается, что свет проникает в воду, но на расстояниях уже порядка
сотен метров происходит полное его поглощение. Глубина океанов может достигать
6
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
нескольких километров, поэтому большая часть водного объема находится в полной
темноте. Таким образом, использование света в изучении океана не представляется
особенно эффективным. Если же использовать электромагнитные волны других частот,
то возникают и другие факторы. В частности, морская вода является электролитом, то
есть, проводит ток, и, как следствие, распространение электромагнитных волн
оказывается значительно осложнённым. Поэтому всё, что нам доступно – это
непосредственный контактный метод проникновения в воду с помощью подводных
лодок, батискафов, зондов и роботов.
Проблема зрительной обозримости содержимого океана приводит к тому, что
наше знание о нём достаточно ограничено, пожалуй, даже больше, чем знание о
ближайшем космосе. И даже эта возможность, связанная с контактными методами,
достаточно сильно сдерживается соотношением имеющихся средств контактного
изучения (количество батискафов) и площадью изучаемого водного пространства
(миллионы квадратных километров).
И здесь удачным открытием является возможность исследования океана с
помощью акустических методов. Акустика – это наука о распространении звука, и мы
смотрим на то, как распространяется звук в океане. В противоположность свету, звук
очень хорошо распространяется в воде. Именно по этой причине многие водные
животные, для поиска добычи или наоборот, спасения от хищника, а также для
ориентации в воде используют звуковые колебания. Поговорка «молчит как рыба»
немного сводит с толку, так как рыбы производят большое количество звуков, правда не
всегда в той области частот, которые доступны человеку.
В рамках этого курса мы посмотрим, каким образом можно обследовать водные
акватории, и на какие расстояния может распространяться звук. Фактически выходит
так, что акустические волны – единственный вид излучения, преодолевающие в океане
значительные расстояния (как известно, звуковые волны могут без существенных потерь
распространяться на тысячи километров). Правда этому распространению
препятствуют определённые особенности, о которых мы успеем поговорить детально.
Разумеется, акустическая волна как-то взаимодействует со дном, с поверхностью, с
неоднородностями ландшафта и объектами. Всё это может приводить к рассеиванию
звука.
Какие области применения характерны для гидроакустики?
•
Определение глубины, рельефа, структуры дна
Действительно, мы можем задействовать эхолот: излучить акустический сигнал
вглубь водоёма, и звук будет отражаться от дна и возвращаться обратно. Измерив
суммарное время движения звука, зная среднюю скорость распространения звука в воде
(~1,5 км/с), мы можем определить глубину места. Если измерить глубину на
7
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
определённом отрезке в разных точках, то можно составить представление о рельефе
поверхности дна, с его неоднородностью. Если при этом на дне есть какие-то слои и
иные структуры, то с помощью анализа приходящих импульсов, их амплитуды и
количества, можно определяться тонкую структуру дна. А это очень полезно: в
последнее время геологоразведка ведётся преимущественно в шельфовой зоне (для
определения местонахождения углеводородов).
•
Определение параметров водной среды
Нас будет интересовать не столько поверхность и дно, сколько то, что находится
непосредственно между ними, в структуре воды. Вода является неоднородной средой,
потому что различные слои воды имеют разные характеристики (температура,
солёность, и т. д.) Это может быть связано с волнами, течениями, вихрями и другими
условиями. Определение параметров воды может быть полезно в том числе для
прогнозирования погоды, а также для предсказания поведения планктона и рыбы.
•
Лоцирование судов, определение скорости их движения
Дальше мы переходим к судоходству – непосредственной деятельности людей. В
частности, нам нужно понимать, где в той или иной акватории находится определённое
судно.
•
Поиск и приманка рыбы
Рыбный промысел активно применяет акустически методы обнаружения рыбы.
У рыбы есть плавательный пузырь, сдувая или надувая который она регулирует свою
плавучесть. Для нас же этот пузырёк воздуха сильно отличается по свойствам от воды,
и, если при попадании в него звуковой волны, происходит сильное отражение и
рассеивание. С помощью эхолокации можно определить, на каком расстоянии от нас
плывёт косяк рыбы. Кроме того, можно имитировать частоты, которые издают те или
иные рыбы, чтобы осуществлять приманку косяка.
•
Связь с подводными аппаратами и аквалангистами, телеметрия и телеуправление
В то же время активно развивается подводная связь. По дну океана проходят
магистральные кабели, связывающие континенты и обеспечивающие доступ в интернет,
а также различные трубопроводы. Организация и обслуживание этих объектов требует
задействования акустических средств.
•
Изучение течений
•
Изучение климата
Изучение течений, климата очень сильно завязано на изучении структуры воды.
Определяя эту структуру, мы можем прогнозировать изменения погоды и вообще,
8
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
условия жизни на планете. Естественно, есть и другие применения акустики, но и из
представленного списка можно сделать вывод о важности данной науки.
Теперь давайте рассмотрим, из чего состоит водная оболочка земли. Первый
параметр, который нужно иметь в виду – это глубина конкретного водоёма. Если
говорить о крупных водных объектах (морях и океанах), то здесь распределение глубин
выглядит следующим образом (Рис. 1.2). Есть некоторая область, которая занята
материком. Высота материка по отношению к уровню моря постепенно убывает, и
дальше начинается шельфовая зона (продолжение материковой зоны под водной
поверхностью). Далее шельфовой зоны, которая обычно тянется с небольшим углом
наклона (здесь глубины достигают порядка 200 метров), располагается так называемый
материковый склон (глубиной от 200 метров до 2,5 километров), переходящий в
океанское ложе, где глубина уже значительна (от 2,5 до 6,5 километров). Суммарная
площадь шельфа составляет 27 млн км2, материковый склон – это ещё 40 млн км2, а
остальные 285 млн км2 приходятся на саму площадь океана.
Рисунок 1.2. Распределение глубин
Конечно, существуют отдельные океанические впадины и желоба, которые
глубже шести километров. Но их общая площадь относительно невелика – примерно 10
млн км2. Для работы в разных зонах водной оболочки, по-видимому, нужны особенные
методы. В частности, если акустическая волна распространяется в шельфовой зоне с
относительно мелкой глубиной, то происходит активное взаимодействие волны с
поверхностью водоёма и со дном. Но если мы говорим о глубоком океане, такое
взаимодействие будет или очень слабым, или же вообще нивелируется. Пока что мы не
будем останавливаться на этих методах, но будем исследовать общую структуру воды, а
именно – её характеристики.
9
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Свойства морской воды
Первая характеристика воды, которая нас интересует – это солёность. В общем,
это свойство указывает на то, что в воде растворена соль. Но соли бывают разные, и на
рисунке мы видим таблицу с химическими составами различных солей (Рис. 1.3).
Солёность измеряется в промилле – это 0,1%. Так типичная солёность составляет 15 −
35‰ (1,5 − 3,5%). В разных морях и океанах степень солёности может значительно
отличаться. Если в Балтийском море мы наблюдаем низкую солёность (0,8‰), то в
Чёрном море солёность уже выше, а в океане – ещё выше. Чем эта разница может быть
обусловлена? Например, реками. Если крупная река (например, Амазонка) впадает в
океан (например, Атлантический), то в области дельты солёность будет пониженной. Но
есть и другие моря, такие как Мёртвое море, которое является по сути озером, но с очень
высокой солёностью.
Рисунок 1.3. Солёность воды
Давайте посмотрим, из чего же состоит морская соль. Конечно же, наибольшая
доля солей приходится на поваренную соль (𝑁𝑎𝐶𝑙). Однако, помимо неё, в составе
морской воды присутствуют и другие соли: 𝑀𝑔𝑆𝑂4 , 𝑀𝑔𝐶𝑙2 , 𝐶𝑎𝐶𝑙2 , и так далее. Эти соли
оказывают влияние на различные другие характеристики воды (которые мы также
рассмотрим), поэтому необходимо изучать химический состав воды.
Если мы говорим про акустическую волну (распространение упругих колебаний
в среде), то нам нужно иметь в виду упругие характеристики среды. Соответственно, для
воды вводится такая величина, как упругость. В частности, это модуль объёмной
упругости и его обратная величина – сжимаемость. Упругость измеряется в Н/м2 , а
сжимаемость – в м2 /Н. Фактически, если мы возьмём единичный объём жидкости и
приложим к нему давление, то этот объём изменится. Относительное изменение и будет
объёмной упругостью. Если мы говорим о пресной воде при 0 градусов, то значение этих
параметров нам известно фиксированное: модуль объёмной упругости 𝜘 = 2 ∙ 109 Н/м2 ,
1
а сжимаемость 𝐾 = 𝜘 = 5 ∙ 10−2 м2 /Н. Оказывается, что для солёной воды (в основном,
за счёт влияния сульфата магния 𝑀𝑔𝑆𝑂4 ) сжимаемость уменьшается, то есть среда
становится всё менее сжимаемой (в некотором смысле вода становится чуть ближе по
упругим свойствам к твёрдому телу). Как известно, в твёрдом теле скорость звука
больше, чем в жидкостях. Это приводит к тому, что с увеличением солёности воды будет
10
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
уменьшаться сжимаемость и увеличиваться скорость звука. Всё это указывает на
возможность акустического исследования, найденную в связи акустики и свойств
жидкой среды.
Ещё одним важным свойством является плотность среды. Она зависит сразу от
нескольких факторов. В частности, одним из факторов является как раз солёность, а
другим – температура. Ниже приведены несколько значений плотности воды при
разных значениях солёности и температуры:
•
𝑇 = 0°𝐶; 𝑆 = 0‰; 𝜌 = 999.87 кг/м3
•
𝑇 = 0°𝐶; 𝑆 = 40‰; 𝜌 = 1032.16 кг/м3
•
𝑇 = 30°𝐶; 𝑆 = 0‰; 𝜌 = 995.67 кг/м3
•
𝑇 = 30°𝐶; 𝑆 = 40‰; 𝜌 = 1025.51 кг/м3
Отсюда можно сделать несколько выводов. Во-первых, что с повышением
солёности плотность жидкости увеличивается. Во-вторых, с повышением температуры
воды плотность будет увеличиваться. Значит, солёность и температура на плотность
жидкости влияют противоположным образом.
К чему это может приводить? Температура в океане, естественно, неравномерна:
в верхних слоях океана прогрев может быть достаточно высоким, в то время, как в
глубине температура будет всё ближе подходить к значению в 1-2℃, в зависимости от
района наблюдения. С другой стороны, на поверхности океана может лежать лёд (мы
рассматриваем в том числе арктические зоны), и тогда зависимость температуры от
глубины будет несколько другой. Коль скоро плотность – это базовая характеристика
упругой среды, то, конечно, это будет в конечном счёте сказываться на скорости
распространения акустической волны.
Помимо скорости, важным аспектом распространения волны является также
степень поглощения звука. Если мы рассматриваем акустический процесс в жидкой
среде, то для его формального описания мы должны выписать уравнение Навье-Стокса,
в которое входят два параметра вязкости:
•
Сдвиговая вязкость η обусловлена трением слоёв при изменении формы тела
постоянного объёма
•
Объёмная вязкость ζ в значительной мере обусловлена релаксационными
процессами, связанными с солями 𝑀𝑔𝑆𝑂4 и 𝐻3 𝐵𝑂3 .
Кроме этого, возможно не только поглощение, но и ослабление звука вследствие
рассеяния на неоднородностях (если у нас, например, есть волнение на поверхностях, в
воду попадает значительное количество пузырьков воздуха, на которых происходит
11
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
очень сильное рассеяние звука). Неоднородности могут быть самыми разными: волны,
рыбные косяки, пыль, и т. д.) Фактически, если мы говорим о факторах, затрудняющих
распространение звука, уместно сказать, что затухание звука – это суммарный эффект от
поглощения и рассеяния.
Формулы для расчёта затухания звука
Теперь давайте перейдём к формальному описанию этих процессов. Здесь общей
теории, которая бы правильно описала затухание звука в океане, не существует, но есть
несколько формул (эмпирических, то есть основанных на большом наборе опытных
данных), которые так или иначе эти явления описывают. Они отличаются друг от друга
тем, в каких частотных диапазонах их можно применять. Первая формула МаршаШулькина применима в диапазоне от 3 до 500 кГц, и для коэффициента затухания
(который выражается в дБ/км), она выглядит следующим образом. Прежде всего, у нас
есть частота звука, которую мы применяем в своём исследовании. Почему зависимость
затухания от частоты имеет место? Представим, что у нас есть трение слоёв жидкости
друг о друга в момент распространения акустической волны. Последняя характеризуется
некоторой длиной волны, которая оказывается тем меньше, чем выше частота. Значит,
если снижается длина волны, то расстояние между слоями, движущимися в
противоположных направлениях, соответственно уменьшается. С какой скоростью
двигаются эти слои? Оказывается, что скорость движения слоёв тоже пропорциональна
частоте.
Два этих эффекта в совокупности обычно приводят к тому, что, в зависимости
поглощения от частоты присутствует величина 𝑓 2 (частота в квадрате). Величина 𝑓𝑇 это некоторая зависимая от температуры частота. Гидростатическое давление также
оказывает небольшое влияние на процессы затухания звуковой волны. Помимо этого,
сюда же входят коэффициенты А и В, а также солёность среды.
•
Формула Марша и Шулькина (3-500 кГц)
𝑆𝐴𝑓𝑇 𝑓 2 𝐵𝑓 2
𝛽 = 8.68 ⋅ 103 ( 2
+
) (1 − 6.54 ⋅ 10−8 𝑝)
𝑓𝑇
𝑓𝑇 + 𝑓 2
ƒ𝜏 = 21.9 · 106 – 1520/273 + 𝜏
𝛽 − коэффициент затухания, дБ/км
𝑝 − гидростатическое давление, Па
1520
𝑓 − частота звука, кГц; 𝑓𝑇 = 21.9 ∙ 106−273+𝑇
𝐴 = 2.34 ∙ 10−6 ; 𝐵 = 3.38 ∙ 10−6
12
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑆 − соленость, ‰
𝑇 − темпертура, °𝐶
В более подробном приближении эта формула представляется в следующем виде:
𝛽 = 8.68 ⋅ 103 (
𝑆𝐴𝑓𝑇 𝑓 2
2
𝑓
⏟𝑇 + 𝑓 2
𝐵𝑓 2
𝑓𝑇
⏟
+
Релаксация MgSO4
(1 − 6.54 ⋅ 10−8 𝑝)
)⏟
Вязкое поглощенис
Зависимость от давления
Крайняя часть формулы передаёт зависимость поглощения от давления, а средняя
часть представляет сумму из двух слагаемых: величины, связанной с вязким
поглощением, и величины, связанной с релаксацией магниевой соли. Вторая величина
отражает достаточно сложную зависимость, чем-то напоминающую амплитудночастотную характеристику колебательного контура. Это связано с тем, что в среде
присутствуют соли, молекулам которых требуется некоторое время для того, чтобы
прийти в начальное состояние после прохождения акустической волны (время
релаксации – 𝑓𝑇 ).
Есть и более простая формула – формула Торпа. Она работает для диапазона
частот от 100 Гц до 3 кГц. И здесь мы видим два слагаемых, каждое из которых имеет
релаксационный вид: первое слагаемое отвечает за релаксацию солей борной кислоты, а
второе – за релаксацию сульфата магния. Давайте применим эту формулу и посмотрим,
каким окажется затухание. Пусть у нас частота = 100 Гц, тогда затухание оказывается
= 0,0012 дБ/км. Упражнение состоит в том, чтобы понять, насколько эта величина
(бета) является большой или малой. В частности, для того, чтобы посчитать, на каком
расстоянии давление звука будет падать в 10 раз, мы можем пренебречь процессами,
связанными с цилиндрической или сферической расходимостью волны. При пересчёте
на заданных условиях затухание акустической волны в 10 раз будет происходить на
расстоянии почти 8400 км (1/4 длины окружности Земли). Это говорит о том, что с
помощью акустической волны можно исследовать океанские просторы в весьма
значительных масштабах.
•
Формула Торпа (0.1 – 3 кГц)
𝛽=
0.11𝑓 2
1 + 𝑓2
⏟
+
Релаксация H3 BO3
44𝑓 2
4100 + 𝑓 2
⏟
Релаксация MgSO4
Если уйти в область ещё более низких частот (порядка 16 Гц – 60 кГц), то здесь
3
существует ещё одна лаконичная формула: 𝛽 = 0.036𝑓 2
Чтобы понять, что описывают все эти формулы, можно построить общий график
зависимости поглощения звука от частоты (Рис. 1.4). На нём видно, что в области
13
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
относительно высоких частот все формулы дают примерно схожие результаты. А в
области низких частот эти формулы достаточно существенно расходятся.
Рисунок 1.4. График зависимости поглощения звука от частоты волны
Формулы для расчёта скорости звука
Теперь давайте разберёмся с самым важным параметром, интересующим нас –
скоростью звука. Мы уже говорили, что в упругой среде ключевую роль играют
плотность и сжимаемость. Эти два параметра и позволяют посчитать скорость звука.
Для её выражения существует большое количество формул, которые отличаются
степенью точности.
Первая из них – формула Вуда-Брауна (при нормальном давлении). Здесь нет
зависимости от давления, зато есть зависимость скорости звука от температуры и
солёности. Такая формула позволяет рассчитывать скорость звука с погрешностью не
более 5 м/с.
𝑐 = 1450 + 4.206𝑇 − 0.0366𝑇 2 + 1.137(𝑆 − 35)
с – скорость звука, м⁄с ,
𝑆 – солёность, ‰,
𝑇 – температура, ˚С
Ошибка не превышает 5 м/с
Но если мы хотим записывать скорость звука с большей точностью, то придётся
брать в расчёт гораздо большее количество элементов функции. Так более точной
является формула Дель-Гроссо. Она также не отображает зависимость скорости звука от
давления, но зато её точность более высока.
с = 1448.6 + 4.618𝑇 − 0.0523𝑇 2 + 1.25(𝑆 − 35) − 0.11(𝑆 − 35)2 + 2.7
∙ 10−8 (𝑆 − 35)𝑇 4 − 2.7 ∙ 10−7 (𝑆 − 35)𝑇 4 (1 + 0.577𝑇 − 0.0072𝑇 2 )
с – скорость звука, м⁄с ,
𝑆 – солёность, ‰,
14
𝑇 – температура, ˚С
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Следующая формула, которой мы также будем пользоваться – формула Вильсона,
которая представляет собой следующую запись. У нас есть некоторое центральное
значение скорости и некоторые добавки (𝛥с 𝑇 , 𝛥𝑐𝑆 , 𝛥𝑐𝑃 ), которые вызваны изменением
температуры, солёности и давления среды. Давайте рассмотрим, насколько сильно
меняется скорость звука при изменении температуры и солёности (при нормальном
давлении). При увеличении температуры на 1 градус и при увеличении солёности на
0,1%, в обоих случаях происходит увеличение скорости звука.
•
Формула Вильсона
𝑐 = 1449.14 + Δ𝑐𝑇 + Δ𝑐𝑆 + Δ𝑐𝑝
Δ𝑐𝑇 = 4.5721𝑇 − 4.45 ⋅ 10−2 𝑇 2 + ⋯
Δ𝑐𝑆 = 1.398(𝑆 − 35) + ⋯
Δ𝑐𝑝 = 1.6027 ⋅ 10−5 𝑝 + ⋯
Вблизи 0°𝐶 повышение 𝑇 на 1°𝐶 ведет к 𝛥с 𝑇 ≈ 4.5 м/с
Вблизи 0°𝐶 повышение 𝑆 на 1‰ ведет к 𝛥с𝑆 ≈ 1.2 м/с
Теперь отдельно следует рассмотреть такой фактор, как зависимость скорости
звука от глубины. В связи с чем такая зависимость возникает? Во-первых, от глубины
зависит давление. Во-вторых, скорость звука зависит в том числе от давления. Поэтому
мы имеем следующую формулу. Видно, что с увеличением глубины величина 𝛥𝑐𝑍 (а
значит, скорость звука) постепенно растёт.
𝑝(𝑧) ≈ 1.033 + 1.028 ∙ 10−1 𝑧 + ⋯
∆𝑐𝑧 = 0.1556 + 1.648 ∙ 10−2 𝑧 + 1.468 ∙ 10−7 𝑧 2 + ⋯
На самом деле, оказывается, что последний тезис справедлив не всегда, поскольку
скорость звука зависит сразу от нескольких показателей:
Глубина 𝑧
Температура 𝑇
Солёность 𝑆
С ростом каждого из этих параметров повышается скорость звука. Но если мы
будем рассматривать повышение скорости звука в связи с глубиной, эти факторы могут
вступать в противоречие. Например, глубина растёт, а температура падает, потому что
верхние слои воды были более прогреты. Или же может неравномерно изменяться
солёность воды. Оказывается, кроме того, что скорость звука может меняться и в
горизонтальной плоскости. Это может быть связано с течениями, вихрями, волнами,
влиянием рек. При этом важно отметить, что вертикальный градиент скорости звука
гораздо больше горизонтального.
15
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Подводный звуковой канал
Теперь скажем несколько слов об очень важном следствии из зависимости
скорости звука от глубины – о явлении подводного звукового канала. Представим себе
типичную ситуацию (Рис. 1.5): с ростом координаты 𝑧 (глубины) происходит увеличение
давления, и, как следствие, увеличение скорости звука. Но этому увеличению
препятствуют другие факторы, в частности, прогрев верхнего слоя воды, который будет
определяющим фактором для увеличения скорости звука в этом месте. Поэтому график
будет иметь характерный минимум в точке 𝑧𝑚 , которая называется осью подводного
звукового канала. Такая зависимость называется гидрологией.
Но почему здесь речь идёт о канале? Давайте представим, что на заданной
глубине 𝑧𝑚 находится некий источник звука. Здесь имеет место минимум скорости
звука. Как известно, если в неоднородной среде распространяется некоторый луч, он,
согласно закону Снеллиуса, будет преломляться. Причём, механизм преломления можно
описать как отклонение луча в сторону, где скорость звука будет меньше. То же самое
справедливо и для света. Так вот, один луч (зелёный), выпущенный из названной точки
вверх, отклоняется в сторону меньшей скорости звука, к оси канала, пока не пересечёт
её. Если луч изначально выпущен вниз (синий), то он будет отклоняться вверх к оси
канала и возвращаться в глубину. Тогда траектория этих лучей будет напоминать
периодическое движение, которое вы видите на графике.
Это приводит к тому, что оба этих луча не касаются поверхности и дна водоёма
(а это как раз те горизонты, в которых может происходить сильное рассеяние и
поглощение звука). На поверхности присутствуют пузырьки воздуха, а на дне лежит
грунт, песок и твёрдые камни. Если оба этих фактора устранены, то единственным
фактором для затухания звука будет просто затухание звука при распространении в воде
(а мы видели ранее, что это затухание крайне низкое). Соответственно, звук,
выпущенный вблизи глубины 𝑧𝑚 , может проходить очень большие расстояния.
Обычно глубина 𝑧𝑚 (ось звукового канала) составляет порядка 1 − 1,2 км. Она
может отличаться, прежде всего, разными условиями прогрева верхних слоёв водоёма.
Отметим также, что границы подводного звукового канала устанавливаются по
глубинам. Что это такое? На поверхности скорость звука = с0 , на глубине 𝑧𝑚 она = с𝑚 ,
затем она растёт, но на какой-то глубине она возвращается к показателю с0 .
Соответственно, вся область, где значения = с0 , будет относиться к подводному
звуковому каналу.
Почему область ниже уже нельзя к нему отнести? Потому что, если луч оказался
ниже этой области, значит он смог покинуть область низких скоростей звука, а это
говорит о том, что звуковая волна будет выходить из этой области и сверху, при контакте
с поверхностью, и тогда эту ситуацию нельзя будет охарактеризовать как подводную.
16
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Понятно, что лучи будут захватываться каналом только в том случае, если они будут
идти относительно полого (близко к горизонтальному направлению). Если луч идёт
вертикально вниз или вверх, то в этом случае для него таких траекторий нарисовать не
получится (поскольку он будет взаимодействовать с поверхностью и дном). Захват лучей
с пологими углами скольжения описывается формулой, представленной на рисунке.
Сейчас эти формулы вводятся без доказательства, поскольку в дальнейшем мы будем
рассматривать ПЗК подробно. Таким образом, мы можем зафиксировать, что ПЗК – это
способ распространения звука на сверхдальние расстояния. Кстати сказать,
эксперименты подобного рода проводились неоднократно.
Рисунок 1.5. Подводный звуковой канал
•
Глубина 𝑧𝑚 – ось звукового канала: обычно 𝑧𝑚 = 1000 − 1200 м
•
Горизонты 𝑧 = 0 и 𝑧 = 𝑧𝑘 – границы подводного звукового канала.
•
Захватываются лучи с углами скольжения 𝑥 ≤ √2(𝑐𝑘 − 𝑐𝑚 )/𝑐𝑚 .
Давайте рассмотрим, какие есть типы подводных звуковых каналов:
1) Гидростатический – если увеличение скорости звука ниже 𝑧𝑚 вызвано
гидростатическим давлением
2) Термический – если увеличение скорости звука ниже 𝑧𝑚 вызвано наличием
тёплых водных масс с повышенной солёностью (например, Чёрное и Балтийское
моря)
Теперь скажем о том, как происходит формирование лучей в ПЗК в зависимости
от глубины его местонахождения (Рис. 1.6). Для больших глубин мы этот случай уже
рассмотрели: пусть глубина обозначена h, и к большим глубинам мы будем относить те
водоёмы, для которых скорость звука на дне больше, чем с0 на поверхности. Если луч
захвачен каналом, он будет распространяться без взаимодействия с поверхностью и
дном. Но что может происходить, если данное условие не выполнено? Это означает, что
17
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
глубина водоёма относительно мала, то есть величина с0 > сℎ . Получается, что именно
глубиной h будет определяться граница ПЗК. Самое страшное, что может произойти в
этом случае – это взаимодействие луча с дном, в связи с чем будет испытывать серьёзное
затухание.
Рисунок 1.6. Типы звуковых каналов по глубине
Есть также понятие приповерхностного канала (Рис. 1.7). Представьте себе, что у
нас есть верхний слой моря или океана. За счёт того, что в верхних слоях происходит
активное движение ветровых волн, очень часто наблюдается перемешивание верхней
водной массы. Это приводит к тому, что солёность и температура в этих слоях
постоянны. Тогда единственный существенный фактор, влияющий на скорость звука в
этих условиях – это глубина. Как известно, с глубиной скорость звука будет расти,
поэтому зависимость скорости звука от глубины будет иметь следующий вид: на
некоторой глубине ℎ наблюдается не минимум, а максимум. Как же в таком случае будут
распространяться лучи от некоего источника, находящегося в точке, выше этой
глубины? По известному правилу, лучи изгибаются в сторону меньшей скорости (в
данном случае, к поверхности). Если же луч направлен резко вниз, он сможет покинуть
зону приповерхностного канала, и тогда он пойдёт в сторону дна, не возвращаясь
обратно.
Такое явление встречается в тропической и умеренной зонах океана. Если же мы
рассмотрим арктический и антарктический регионы, то там может иметь место
возрастание скорости звука до дна (потому что эти моря обладают относительно малой
глубиной).
18
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 1.7. Приповерхностный канал
Рассмотрим и другой тип распространения звука – так называемое
антиволноводное распространение (Рис. 1.8). Предположим, что имеется очень сильный
прогрев верхнего слоя воды. В этом случае скорость звука будет падать с глубиной. Раз
она падает, то любой луч будет стремиться уйти в глубину (даже отражаясь от
поверхности). За самым длинным лучом будет образовываться акустическая тень – такая
область пространства, в которой звук от источника не будет слышен совсем.
Рисунок 1.8. Антиволноводное распространение звука
В море возможны ситуации, когда наличествует одновременно несколько
подводных каналов – двухосевой канал (Рис. 1.9). Например, это могут быть
приповерхностный и глубинный звуковые каналы. Дело вот в чём: верхние слои сильно
перемешаны (и значимым фактором является глубина, с которой происходит повышение
скорости звука), чуть ниже вступает в игру фактор температуры (с падением
температуры падает скорость звука), а дальше фактор глубины опять становится
определяющим (при выравнивании температуры). Таким образом, у нас есть два
минимума, поэтому, с одной стороны, лучи могут идти в верхнем канале, а с другой –
лучи могут отклоняться и идти в нижнем канале. Иногда луч из нижнего канала
19
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
встречает на пути некоторую неоднородность, например, ветровое волнение. Тогда угол
падения не равен углу отражения. В итоге, луч из одного канала переходит в другой.
Такое явление называется ликидж.
Рисунок 1.9. Двухосевой канал
В случае, когда море мелкое, оказывается, что звук будет постоянно
взаимодействовать с дном. То есть, если на мелководье вода оказалась сильно прогретой,
звук в значительной мере ослабляется. Это тот случай, который часто имеет место на
океанском шельфе. С одной стороны, это, конечно плохо, потому что мы не можем
просвечивать звуком большую дистанцию. Но, с другой стороны, если звук постоянно
взаимодействует с поверхностью, то отражённый звук будет нести информацию об этой
поверхности, позволяя делать выводы о её структуре.
Рисунок 1.10. Распространение звука на мелком море
Изменчивость океана и акустика
Мы уже сказали о том, что с глубиной очень существенно меняются характеристики
океана (скорость звука, температура, солёность). Но оказывается, что наиболее сильными
градиентами изменений обладают так называемые фронтальные зоны – области, разделяющие
водные массы с существенно разными физическими характеристиками (Рис. 1.11). Часто эти
зоны возникают на границах течений. В частности, Гольфстрим, который идёт из Северной
20
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Америки в Европу, в какой-то степени похож на подводную реку с северной и южной границами.
На северной границе градиент температуры составляет 10°/9 км (значительно!). Наличие такого
мощного течения, в совокупности с тем, что оно разделяет холодные и тёплые водные потоки,
оказывает очень сильное влияние на распространение акустических волн.
Рисунок 1.11. Крупные течения и фронтальные зоны
Изучение Гольфстрима, в том числе, с помощью акустических методов, является
продуктивным и важным, поскольку это течение во многом определяет климат в
Западной Европе. Если посмотреть на Гольфстрим более детально, то обнаруживается
некое сходство с рекой, которая течёт не по прямой, но изгибами, формирующими
синоптические вихри (ринги). Они могут отделяться от общего течения и
распространяться по океану независимо, оказывая влияние на пространство вокруг.
Такие структуры могут иметь диаметр от 25 до 500 км и медленно перемещаться. В них
происходит вихревое движение воды, что значительно влияют на распространение звука
как по вертикальной, так и по горизонтальной координате. Акустические методы
позволяют определять и скорость звука, и характер среды внутри такого вихря.
Рисунок 1.12. Синоптические вихри. Сложная структура поля скорости звука
существенно сказывается на его распространении в зоне вихря.
Теперь следует от качественного изложения перейти к количественному, и
рассмотреть изменчивость океана на примере так называемых внутренних волн, которые
имеют место помимо привычных поверхностных волн. Внутренние волны, затрагивая
большие водные толщи, представляют для акустики более серьёзный исследовательский
материал. Как уже было сказано, плотность воды зависит от глубины. Допустим, что эта
плотность задана функцией 𝜌(𝑧). Внутри водной толщи выделим некоторый объём
21
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
жидкости 𝑉, который находится на глубине 𝑧0 . Поскольку этот объём в обычном
состоянии находится в равновесии, для него можно записать второй закон Ньютона в
проекции на вертикальную ось. С одной стороны, на объём действует сила тяжести
(𝑚
⃗⃗ 𝑔), а с другой стороны – архимедова сила.
Давайте предположим, что этот объём жидкости, за счёт каких-то случайных
процессов, сместился по вертикали с глубины 𝑧0 на другую глубину 𝑧. Тогда на этот
объём по-прежнему действует сила тяжести, но архимедова сила будет уже другой
(потому что вокруг будет жидкость другой плотности). Это приведёт к тому, что этот
объём жидкости будет двигаться с ускорением, и тогда второй закон Ньютона будет
иметь другой вид. Соответственно, всё уравнение принимает вид уравнения колебаний:
у нас есть вторая производная по времени от вертикальной координаты, величина,
пропорциональная координате, и квадрат частоты колебаний объёма жидкости.
Плотность жидкости задана функцией 𝜌(𝑧). Рассмотрим объём жидкости 𝑉,
находящийся на глубине 𝑧 = 𝑧0 . Для него
𝑚𝑔 − 𝜌(𝑧0)𝑔𝑉 = 0
Пусть теперь он смещается на глубину 𝑧, тогда
𝑚𝑔 − 𝜌(𝑧0)𝑔𝑉 = 𝑚ż
𝜌(𝑧0 )𝑔𝑉 − 𝜌(𝑧)𝑔𝑉 = 𝜌(𝑧0 )𝑉𝑧̈ ;
𝑔 ∂𝜌(𝑧)
(𝑧 − 𝑧0 ) = 0
𝑧̈ −
𝜌(𝑧0 ) ∂𝑧
Эта частота колебаний жидкости в вертикально стратифицированной среде (где
есть зависимость плотности от глубины) определяется корнем из этой величины
(которую мы вывели в уравнении выше). Она называется частотой Брента-Вяйсяля –
частотой колебаний элемента жидкости в вертикально стратифицированной среде.
𝑁(𝑧) = √−
𝑔 𝜕𝑝(𝑧)
𝑝(𝑧) 𝜕𝑧
На поверхности 𝑁 ≈ 3 цикла/ч; в глубине 𝑁 ≈ 0.2 цикла/ч.
Оказывается, что эта частота зависит от глубины: на поверхности достигает
3 цикла/ч, а в глубине ~ 0,2 цикла/ч (низкочастотные волны). Тем не менее,
амплитуда колебаний в таких волнах может быть довольно большой (метры и десятки
метров). А где мы с этими волнами встречаемся в обычной жизни? Например, когда
наливаем кофе, разбавляя его молоком. Получится, что плотность жидкости будет
зависеть от глубины, и, если рассматривать стакан сбоку, будет видно, как различные
слои жидкости начинают колебаться вниз и вверх.
22
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Различные параметры зависят от глубины в представлениях гладких функций. Но
оказывается, что при измерении реальных параметров морской среды с помощью зонда,
структура всех этих величин (солёности, температуры и т. д.) не будет гладкой, но
скорее ступенчатой (Рис. 1.13). На самом деле, в океане есть большое количество самых
разных слоёв, которые лишь очень приблизительно описываются гладкой функцией:
𝜎 = (𝜌 − 1) · 10−3
Рисунок 1.13. Тонкая структура параметров морской воды
Акустика океана выглядит просто, пока мы рассматриваем воду как однородную
среду. Если это приближение отбросить и рассматривать реальный океан, ситуация
значительно усложняется, и подобные мелкие зависимости могут очень сильно искажать
акустическое поле.
23
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 2. Прохождение и отражение плоских волн на
границе раздела двух сред
В нашем курсе мы будем просматривать различные модели водной среды, продвигаясь
по нарастанию сложности этих моделей. Естественно, что вначале мы познакомимся с
наиболее упрощённой моделью, когда имеются две однородные среды, и всё, что нужно учесть
– это разницу их упругих параметров, которая проявляется в том, что волна взаимодействует с
границей раздела. Когда имеет место такая ситуация? Представим себе некоторый водоём, у
которого есть минимум три случая применения данной модели:
1) Поверхность водоёма как граница двух жидких сред: воздуха (который описывается теми
же уравнениями, что и жидкая среда) и воды.
2) Дно водоёма: вода и дно (которое может описываться по-разному, в том или ином
случае). В частности, в твёрдой среде дна распространяются другие типы волн, например,
упругие волны и колебания поперечного типа, соответственно необходимо учитывать
большее количество физических факторов.
3) Толща водной среды: совокупность слоёв, каждый из которых можно считать болееменее однородным (в зависимости от глубины меняются различные параметры воды), и
на границе между которыми также происходит прохождение и отражение волны.
Основные уравнения акустики
Мы начнём с самых основ уравнений и переменных, которые будут использоваться для
описания акустического поля. Прежде всего, в жидкой среде физически существуют два поля:
акустическое давление 𝑝 (которое зависит от пространственной координаты и времени) и
колебательная скорость 𝑣 (векторная величина, которая зависит от пространственной
координаты и времени). Эти параметры описывают практически все волновые процессы в
жидкой среде, но применять их часто бывает неудобно, поэтому вводится ещё одно поле (не
физическое) – скалярный потенциал 𝜑 (который позволяет выразить одновременно и
акустическое давление, и колебательную скорость).
•
•
Акустическое давление p (𝑟, 𝑡)
Колебательная скорость 𝑣(𝑟, 𝑡)
•
Потенциал 𝜑(𝑟, 𝑡):
𝑝(𝑟, 𝑡) = 𝑝(𝑟, 𝑡)
𝜕𝜑(𝑟 ,𝑡)
𝜕𝑡
:
𝑣(𝑟, 𝑡) = ∇𝜑(𝑟, 𝑡)
А каким уравнениям удовлетворяют акустические поля? Если мы описываем
распространение волны с точки зрения 𝑝 и 𝑣, то это система уравнений гидродинамики, в которое
включены переменные плотности и сжимаемости. В таком виде первое уравнение системы
выражает второй закон Ньютона, а второе представляет собой уравнение неразрывности.
Однако, эта система уравнений является приближенной, ведь здесь не учитываются эффекты
нелинейного распространения звука. Если мы будем рассматривать такие уравнения, мы будем
заранее предполагать, что амплитуда колебаний акустической волны относительно мала. В
случае большой амплитуды нужно задействовать более сложные уравнения для описания. Кроме
24
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
того, потребуется введение параметра вязкости с помощью комплексных добавок к
используемым величинам (чаще всего волновое число).
∂𝑣 (𝑟, 𝑡)
= −∇𝑝(𝑟, 𝑡)
∂𝑡
∂𝑝(𝑟, 𝑡)
(𝑟)
𝜂
= −∇𝑣(𝑟, 𝑡) + ƒ(𝑟, 𝑡)
{
∂𝑡
𝜌(𝑟)
Почему наша система уравнений линейная? Потому что давление и скорость увязаны с
направлением и временем. Во втором уравнении есть также параметр 𝑓 (источники, которые
создают наше акустическое поле). Если подставить в эту систему уравнений скалярный
потенциал, тогда одно из уравнений становится тождеством, а второе даёт так называемое
волновое уравнение, где остаётся потенциал, а также локальная фазовая скорость звука с2 (𝑟).
∆𝜑(𝑟, 𝑡) −
1 ∂2 𝜑(𝑟, 𝑡)
= ƒ(𝑟, 𝑡)
𝑐 2 (𝑟) ∂𝑡 2
Часто нас будут интересовать монохроматические процессы. Тогда мы будем
использовать для всех упомянутых уравнений зависимость 𝑒 −ωt . При подстановке данной
производной два раза выносится − ω, два минуса дают плюс и квадрат, преобразуя множитель.
Само уравнение при этом переходит в уравнение Гельмгольца, которое уже не содержит
зависимость от времени, потому что мы рассматриваем заранее монохроматическую
зависимость. Волновое число здесь определяется как отношение частоты 𝜔 к 𝑐(𝑟). Это число по
сути является характеристикой среды, но зависит от фазовой скорости звука и частоты. Если
среда поглощающая, то проще всего учесть поглощение путём добавки в волновое число
некоторого комплексного мнимого слагаемого. Осталось подытожить, что все эти уравнения
являются базовыми для любой акустической задачи.
𝜔
∆𝜑(𝑟) + 𝑘 2 (𝑟)𝜑(𝑟,
⃗⃗ 𝑡) = ƒ(𝑟), где 𝑘(𝑟) = с(𝑟)
Плоская граница жидких сред
Теперь давайте перейдём к рассмотрению самой границы жидких сред в рамках задач.
Введём систему координат, которая выглядит следующим образом (Рис. 2.1): ось 𝑧, направленная
вертикально (от неё будут очень сильно зависеть все остальные переменные). Она является
выделенным направлением, в связи с тем, что действует сила тяжести, направленная вдоль этой
оси. Перпендикулярные оси никак не выделены, и мы можем произвольно рассматривать,
например, зависимости только на оси 𝑥. Тогда система координат будет состоять из параметров
𝑥 и 𝑧. Мы рассматриваем две среды: верхнюю (обозначается буквами без индекса) и нижнюю
(буквы с индексом 1).
25
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 2.1. Характеристика волны на границе двух жидких сред
Для того, чтобы охарактеризовать волну, которая распространяется в одной или другой
среде, мы будем использовать два параметра: волновое число (соотношение частоты к фазовой
скорости звука) и угол по отношению к границе (который определяет направление
распространения волны). Можно также говорить о единичном векторе направления, который при
умножении на волновое число даёт так называемый волновой вектор.
Какие же здесь будут волны? Допустим, на границу двух сред падает некая плоская волна,
соответственно, появляется отражённая волна и прошедшая волна. Таким образом, мы
рассматриваем совокупность трёх волн. Падающая волна будет обозначаться полем 𝑝𝑖𝑛𝑐 . И
поскольку все акустические параметры друг другу пропорциональны, то мы рассмотрим что-то
одно (например, безразмерное акустическое давление, равное 1). Допустим, у плоской волны
есть акустическая амплитуда. А зависимость акустического поля от координат будет выглядеть
как 𝑒 𝑖𝑘 (где стоит произведение двух векторов: вектор текущей точки наблюдения и единичный
вектор распространения волны):
𝑝𝑖𝑛𝑐 = 𝑒𝑥𝑝[𝑖𝑘(𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃)]
𝑝𝑟 = 𝑉𝑒𝑥𝑝[𝑖𝑘(𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃)]
𝑝𝑡 = 𝑊𝑒𝑥𝑝[𝑖𝑘1 (𝑥𝑠𝑖𝑛𝜃1 + 𝑧𝑐𝑜𝑠𝜃1 )]
Теперь посмотрим, что происходит при описании отражённой и прошедшей волн. Для
отражённой волны (𝑝𝑟 ) появляется множитель 𝑉 (характеризует амплитуду отражённой волны),
меняется направление распространения, при сохранении прежнего волнового числа (так как
падающая и отражённая волны распространяются в одной и той же среде). При этом не забудем,
что угол падения равен углу отражения. Прошедшая волна (𝑝𝑡 ) отличается тем, что амплитуда
будет задаваться величиной 𝑊, а под экспонентой будет стоять 𝑒 𝑖𝑘1 (и произведение векторов
угла).
По сути, нам неизвестны два параметра – 𝑉 и 𝑊. Для того, чтобы понять, чему они равны,
нам потребуется применить граничные условия. Вообще, в акустике существует два граничных
условия: давление и колебательная скорость. Представим, что имеется некий объём среды,
26
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
который имеет следующую форму: у него есть площадь 𝑆 (очень маленькая) в плоскости 𝑥𝑦,
высота вдоль оси 𝑧 (устремляется к 0). Тогда объём этого элемента среды будет стремиться к 0,
а значит, и масса жидкости внутри него также будет стремиться к 0. Если мы запишем для него
второй закон Ньютона, то в силу равенства получается, что силы, действующие на него со
стороны верхней среды и со стороны нижней среды, должны уравновешиваться. А коль скоро
это так, то эти силы равны. А значит, должны быть равны давления в верхней и нижней средах
вблизи границы. Это первое из граничных условий.
Второе граничное условие возникает, если мы учитываем, что наша среда является
неразрывной. Действительно, пусть есть некоторые частицы среды сверху и снизу от границы.
Предположим, что они двигаются с разными колебательными скоростями, в проекции на ось 𝑧.
В этом случае, либо среда будет разрываться, либо частицы будут наползать друг на друга. Такое
поведение не будет описываться моделью сплошной среды. Допущение о неразрывности среды
приводит к тому, что колебательная скорость сверху и снизу от границы должна быть равной.
Если мы рассматриваем среды, где нет никакого поглощения, то в этом случае среды
могут скользить друг относительно друга в направлениях, заданных плоскостью 𝑥𝑦. Это
означает, что скорости 𝑉𝑥 и 𝑉𝑦 сверху и снизу от границы не обязаны быть равными. В том
случае, если в среде имеет место какое-то поглощение (все реальные случаи), так быть не
может, и равенство скоростей должно состояться. Пока что мы не будем накладывать это
дополнительное условие, ограничившись лишь двумя вышеописанными.
Раз мы записываем все наши волны с точки зрения давления, то первое из граничных
условий будет выглядеть следующим образом:
𝑧=0∶
𝑝𝑖𝑛𝑐 + 𝑝𝑟 = 𝑝𝑡
1
𝜕(𝑝
1 𝜕𝑝1
{
𝑖𝑛𝑐 + 𝑝𝑟 )
=
𝑝
𝜕𝑧
𝑝1 𝜕𝑧
Для второго условия просто поделим соответствующее давление на 𝜌, а потом возьмём
производную 𝜕𝑧, что даст нам выражение для проекции колебательной скорости частиц. Одну
часть уравнения мы относим к верхней границе раздела, а другую – к нижней. Таким образом,
мы получаем при 𝑧 = 0 два уравнения, и, кроме этого, три уравнения полей.
То есть, мы имеем 5 неизвестных, и такую систему можно решить. В данном случае мы
рассмотрим только конечный результат этого решения. Во-первых, вводятся обозначения: 𝑚
(отношение плотностей нижней и верхней сред), 𝑛 (коэффициент преломления, то есть
соотношение скоростей верхней и нижней сред). Также вводятся так называемые импедансы
сред (𝑍 и 𝑍1). Нормальный импеданс – это произведение скорости звука в среде на плотность
данной среды. Поскольку мы рассматриваем падение волны под различными углами, делается
корректировка: произведение ρс делится на косинус угла распространения волны. Давайте сразу
заметим, что если угол падения = 0, то значение импеданса становится нормальным.
Всё это мы проделали для того, чтобы допустить простую формулу записи коэффициента
отражения и коэффициента прохождения.
27
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑝
𝑝1𝑐
𝑐
𝑝𝑐
Введём обозначения: 𝑚 = 𝑝1 ; 𝑛 = 𝑐 ; 𝑍1 = 𝑐𝑜𝑠𝜃1 и 𝑍 = 𝑐𝑜𝑠𝜃
1
1
Коэффициент отражения:
𝑉=
𝑚 cos 𝜃 − √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
𝑚 cos 𝜃 + √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
=
𝑍1 − 𝑍
𝑍1 + 𝑍
Коэффициент прохождения:
𝑊 = 1+𝑉 =
2𝑚 cos 𝜃
𝑚 cos 𝜃 + √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
Теперь мы рассмотрим, как данные параметры изменяются в конкретных ситуациях:
1) Если 𝜃 → 𝜋/2
Это ситуация, когда угол падения равен прямому углу, то есть волна распространяется
фактически вдоль границы (Рис. 2.9). cos 𝜃 также будет стремиться к 0, и в верхней формуле
получается отношение −√/√. А 𝑊 становится = 0. Таким образом, практически вся энергия,
сосредоточенная в волне, будет отражена и преобразована в отражённую волну.
𝑉=
𝑚 cos 𝜃 − √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
𝑚 cos 𝜃 + √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
=
𝑍1 − 𝑍
𝑍1 + 𝑍
𝑊 = 1+𝑉
Тогда 𝑉 → −1; 𝑊 → 0 независимо от параметров сред
m2 −n2
2) Если угол θ удовлетворяет условию sin θ = √ m2 −1
Подставляя данное значение в уравнение, мы получим, что коэффициент 𝑉 = 0, а 𝑊 =
1. Это означает, что у нас не образуется отражённая волна, но присутствует волна прошедшая
(вся энергия падающей волны уходит в нижнюю среду. Когда возможна такая ситуация? Её
делают возможной два фактора: 1) если угол 𝜃 будет действительным числом и 2) подкоренное
выражение не должно быть отрицательным.
𝑉=
𝑚 cos 𝜃 − √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
𝑚 cos 𝜃 + √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
=
𝑊 = 1+𝑉
Тогда 𝑉 = 0; 𝑊 = 1
Это возможно, если:
а) 𝑛 ∈ 𝑅; 𝑚 > 𝑛; 𝑛 > 1, что означает 𝑍1 > 𝑍 при 𝑐1 < 𝑐
б) 𝑛 ∈ 𝑅; 𝑚 < 𝑛; 𝑛 < 1, что означает 𝑍1 < 𝑍 при 𝑐1 > 𝑐
28
𝑍1 − 𝑍
𝑍1 + 𝑍
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
А в каком случае коэффициент преломления может не быть действительным числом?
Если мы в среде введём поглощение. Тогда волновое число мы формально полагаем комплексным
числом, и это означает, что скорость звука мы также выражаем комплексным числом. Итак,
возможны две ситуации:
•
•
И числитель, и знаменатель – положительные (тогда 𝑚 > 𝑛; 𝑛 > 1)
И числитель, и знаменатель – отрицательные (тогда 𝑚 < 𝑛; 𝑛 < 1)
На языке импеданса это означает следующее. В первом случае получается, что нижняя
среда обладает большим импедансом, чем верхняя, и при этом, скорость звука в ней меньше, чем
в верхней среде (нижняя среда обладает настолько большой плотностью, что даже при меньшей
скорости звука импеданс её всё равно больше). Во втором случае получается обратное: импеданс
нижней среды и её плотность настолько малы, что несмотря на то, что скорость звука в ней
больше, чем в верхней среде, импеданс верхней среды оказывается больше.
3) Если 𝑛 принадлежит области 𝑅; 𝑛 < 1; 𝑠𝑖𝑛 𝜃 < 𝑛
Если показатель преломления меньше 1, то мы всегда найдём некоторый угол 𝜃 такой,
что его синус будет меньше, чем 𝑛 (Рис. 2.11). Для коэффициента отражения 𝑉 под корнем
стоит 𝑛2 – 𝑠𝑖𝑛2 𝜃. Если единицу вынести вперёд корня, то выражение преобразуется, и под
корнем оказывается положительное число. В таком случае выражение 𝑉 можно записать в виде
𝑒 −𝑖𝜓 , где угол пси определяется отдельно. Данное выражение означает, прежде всего, что |𝑉| =
1, то есть что вся энергия падающей волны преобразуется в энергию отражённой волны (ничего
не проходит в нижнюю среду). Явление полного внутреннее отражения известно ещё из курса
школьной физики. Амплитуда отражённой волны равна амплитуде падающей волны, но со
сдвигом по фазе на величину 𝜓.
𝑉=
𝑚 cos 𝜃 − √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
𝑚 cos 𝜃 + √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
=
𝑍1 − 𝑍
𝑍1 + 𝑍
𝑊 = 1+𝑉
Тогда 𝑉 =
𝑚 cos 𝜃−𝑖√𝑠𝑖𝑛2𝜃−𝑛2
𝑚 cos 𝜃+𝑖√𝑠𝑖𝑛2𝜃−𝑛2
= 𝑒 𝑖Ψ , где Ψ = 2𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛√
𝑠𝑖𝑛2𝜃−𝑛2
𝑚 cos 𝜃
𝐶
Выражение данного угла начинается с sin 𝜃𝑐𝑟 = 𝑛 = 𝐶 . Такое явление имеет место
1
только в среде, где отсутствует поглощение.
Особенности отражения на разных типах среды
Теперь разберём два примера сред, когда возникают те или иные особенности отражения
на границе:
1) Модель для песчаного грунта (Рис. 2.2).
29
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Мы будем добавлять поглощение, умножая коэффициент 𝑛 на множитель 1 + 𝑖𝛼. График
был получен численно с применением формул, представленных ранее. Мы меняем угол падения
волны от 0 до 90°, наблюдая, чему равен |𝑉| в трёх случаях, когда у нас разные параметры альфа.
В первом случае 𝛼 = 0. Понятно, что 𝑛 < 1, и в какой-то момент возникает полное внутреннее
отражение. Коэффициент растёт до 1 и остаётся равным на всём диапазоне критического угла.
Во втором случае 𝛼 = 0,04. Оказывается, что влияние этой малой добавки весьма существенно.
В диапазоне от 0 до 50° красная и чёрная кривые практически сливаются. Однако, если мы
подходим к критическому значению угла, малое поглощение влияет гораздо сильнее. Если мы
добавим ещё больше поглощения (𝛼 = 0,5), при малых углах падения волны отличия
несущественны, но они возрастают с приближением к критическому значению угла. Стоит
обратить внимание на то, что при угле 𝜃 = 90° у нас на всех кривых коэффициент отражения
равен 1. Это говорит о том, что вне зависимости от степени поглощения, все волны пройдут
через эту точку.
Рисунок 2.2. Модель для песчаного грунта
2) Модель для глинистого ила (Рис. 2.3).
Следующий тип грунта – это глинистый ил, у которого меньше отношение плотностей
(𝑚 = 1,56), но коэффициент 𝑛 > 1 (в этом случае мы не ожидаем появления полного
внутреннего отражения). При 𝛼 = 0 кривая устремляется к 1. Вместе с тем наблюдается падение
коэффициента отражения до нулевого значения. Если вводится небольшое поглощение (𝛼 =
0,04), красная кривая идёт до определённой точки также, как и в случае сильного поглощения
идёт чёрная кривая 𝛼 = 0,5. Но по мере приближения к области полного прохождения отличия
становятся существенными: не возникает полного прохождения, и более того, коэффициент
поглощения растёт вплоть до 1. Опять же, если угол падения 𝜃 = 90°, на всех кривых
коэффициент отражения равен 1.
30
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 2.3. Модель для глинистого ила
В заключение блока с жидкими средами рассмотрим такую задачу, как распространение
звука из воздуха в воду и обратно с целью определить коэффициент прохождения в одном и
другом случае. В целом, для решения этой задачи нам всего лишь нужно знать плотности двух
сред и скорости звука в обеих средах. Применив формулы, мы получим определённые величины
для коэффициентов 𝑚 и 𝑛. Тогда для коэффициента прохождения формула может быть
упрощена до вида W =
2𝑚 cos 𝜃
𝑛
. Численно, если положить 𝜃 = 0, то мы получаем 𝑊𝑚𝑎𝑥 = 5,7 ∙
−4
10 . То есть, происходит довольно сильное ослабление давления в акустической среде. Это
означает, что, если источник звука находится в воде, то в воздухе он едва ли будет слышен.
Переход волны из воды (𝑝𝑎 = 1.3 кг/м3; 𝑐𝑤 = 340 м/с) и обратно
𝑝
𝑐
Из воды: 𝑚 = 𝑝 𝑎 = 0.0013; 𝑛 = 𝑐𝑤 = 4.41;
𝑤
𝑊=
2𝑚 cos 𝜃
𝑚 cos 𝜃 + √𝑛2 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃
𝑎
≈
2𝑚 cos 𝜃
𝑛
𝑊𝑚𝑎𝑥 = 5.7 ∙ 10−4
Теперь посмотрим, что же будет происходить в обратной ситуации. Мы действуем точно
также, считая коэффициенты 𝑚 и 𝑛, которые равны обратным значениям по отношению к
предыдущим. Теперь формула для коэффициента прохождения позволяет пренебречь вторым
слагаемым в знаменателе. Тогда числитель делится на знаменатель, и после сокращения
оказывается, что 𝑊 ≈ 2. Это говорит о том, что давление не просто не ослабляется, а в 2 раза
усиливается при проникновении звука из воздуха в воду. Значит, источник, находящийся в
воздухе, будет очень хорошо слышен в воде. С этим фактом связаны рекомендации «не шуметь»
во время рыбалки. Другой пример – это возможность подводной лодки хорошо «слышать» звук
пролетающих самолётов.
31
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Если посмотреть на эту задачу немного с другой стороны, то вспоминается известный
принцип взаимности. Он говорит о том, что если в некоторой среде есть источник и приёмник
звука, и в этой среде нет течений, то меняя местами источник и приёмник, мы должны получить
один и тот же сигнал. Но это, как кажется, противоречит нашим результатам, где давление в
одном случае падает в 2000 раз, а в другом – растёт в 2 раза. Но дело в том, что, если мы говорим
о сохранении энергии, то нам нужно рассматривать коэффициент прохождения звука по энергии
(а не по давлению). В таком случае, значения действительно окажутся совпадающими в обоих
случаях.
Введём импедансы:
𝑍1,2 =
𝑝1 𝑐1,2
𝑝𝑐
;𝑍 =
и 𝑍𝑖𝑛 = 𝑍1 𝑐𝑜𝑠 2 (2𝜃2 ) + 𝑍2 𝑠𝑖𝑛2 (2𝜃2 )
𝑐𝑜𝑠𝜃1,2
cos 𝜃
Коэффициент отражения:
𝑉=
𝑍𝑖𝑛 − 𝑍
𝑍𝑖𝑛 + 𝑍
Коэффициент прохождения:
𝑊=
2 𝑍1 cos (2𝜃2 )
2 𝑍2 sin (2𝜃2 )
;𝑌 = −
𝑚 𝑍𝑖𝑛 + 𝑍
𝑚 𝑍𝑖𝑛 + 𝑍
Плоская граница жидкой и твёрдой среды
Мы рассмотрели самый простой случай, а теперь будем двигаться к усложнённой модели
– преломлению звука на границе жидкой и твёрдой среды (Рис. 2.4). Верхняя среда будет жидкой,
а нижняя – твёрдой. В чём здесь состоит принципиальная разница? Она заключается в том, что в
однородной (изотропной) среде может распространяться сразу две волны: продольная
(характеризующаяся скоростью звука с1 ) и поперечная (характеризующаяся скоростью звука 𝑐2 ).
Параметры волн обозначены буквами с разными индексами.
Рисунок 2.4. График для волн на границе жидкой и твёрдой сред
32
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Для твёрдого тела существует большое количество упругих параметров, которые
применяются в том или ином случае. Например, можно описывать упругие процессы с помощью
модуля Юнга, коэффициента Пуассона, модуля сдвига, постоянные Ламе, и так далее. В
зависимости от того, какие характеристики у среды, можно применять те или иные способы.
Например, если у нас заданы параметры Ламе, тогда продольная и поперечная волны имеют
скорости:
Продольная волна имеет скорость
𝜆 + 2𝜇1
с1 = √
𝑝1
Поперечная волна имеет скорость
𝜇1
с2 = √
𝑝1
В данном случае, если мы будем определять конкретные значения, то у нас на графике
будет уже четыре волны, приведённые в записи для потенциалов. Нас интересуют коэффициенты
отражения (𝑉) и прохождения (𝑊 – по продольной волне, 𝑌 – по поперечной волне). С точки
зрения записи это выглядит ровно так же, как это осуществлялось применительно к границе двух
жидких сред.
Введём импедансы:
𝑍1,2 =
𝑝1 𝑐1,2
𝑝𝑐
;𝑍 =
и 𝑍𝑖𝑛 = 𝑍1 𝑐𝑜𝑠 2 (2𝜃2 ) + 𝑍2 𝑠𝑖𝑛2 (2𝜃2 )
𝑐𝑜𝑠𝜃1,2
𝑐𝑜𝑠𝜃
Коэффициент отражения:
𝑉=
𝑍𝑖𝑛 − 𝑍
𝑍𝑖𝑛 + 𝑍
Коэффициент прохождения:
𝑊=
2 𝑍1 cos (2𝜃2 )
2 𝑍2 sin (2𝜃2 )
;𝑌 = −
𝑚 𝑍𝑖𝑛 + 𝑍
𝑚 𝑍𝑖𝑛 + 𝑍
Теперь нам нужно записать граничные условия, которые имеют более сложный вид, чем
в предыдущем случае. С помощью этих условий можно определить все три искомые
коэффициента. Опять же, здесь мы приводим только конечный результат преобразования. Мы
вводим два импеданса (𝑍1 и 𝑍2 ), которые характеризуют нижнюю твёрдую среду (по продольной
и поперечной волнам соответственно, которые вместе составляют входной импеданс нижней
среды). Кроме того, 𝑍 – это импеданс верхней среды. Мы ввели их для того, чтобы можно было
записать коэффициент отражения в простом виде. Коэффициента прохождения у нас два, и для
них формулы вы также можете видеть ниже:
33
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝜑𝑖𝑛𝑐 = 𝑒𝑥𝑝[𝑖𝑘(𝑥 sin 𝜃 + 𝑧 cos 𝜃)]
𝜑𝑟 = 𝑉𝑒𝑥𝑝[𝑖𝑘(𝑥 sin 𝜃 − 𝑧 cos 𝜃)]
𝜑1 = 𝑊𝑒𝑥𝑝[𝑖𝑘1 (𝑥 sin 𝜃1 + 𝑧 cos 𝜃1 )]
𝜑2 = 𝑌𝑒𝑥𝑝[𝑖𝑘2 (𝑥 sin 𝜃2 + 𝑧 cos 𝜃2 )]
Теперь давайте рассмотрим несколько случаев, которые могут возникать при
распространении звука из жидкой среды в твёрдую:
1) Если падение волны нормальное, то есть 𝜃 = 𝜃1 = 𝜃2 = 0.
Если волна падает по нормали, тогда все углы равны 0 (по закону Снеллиуса).
Подставляя данные значения, мы видим, что величина 𝑌 обращается в 0. Это означает, что
сдвиговые волны не возбуждаются (только продольные волны уходят вглубь твёрдой среды).
При этом входной импеданс нижней среды также соответствует импедансу верхней среды.
𝑍1,2 =
𝜌1 𝑐1,2
𝜌𝑐
;𝑍 =
и 𝑍𝑖𝑛 = 𝑍1 𝑐𝑜𝑠 2 (2𝜃2 ) + 𝑍2 𝑠𝑖𝑛2 (2𝜃2 )
𝑐𝑜𝑠𝜃1,2
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑍 −𝑍
2 𝑍 cos (2𝜃 )
2 𝑍 sin (2𝜃 )
𝑖𝑛
𝑖𝑛
𝑖𝑛
𝑉 = 𝑍𝑖𝑛 +𝑍 ; 𝑊 = 𝑚 1 𝑍 +𝑍 2 ; 𝑌 = − 𝑚 2 𝑍 +𝑍 2
Тогда 𝑍𝑖𝑛 = 𝑍1 ; 𝑌 = 0 (сдвиговые волны отсутствуют)
2) Если 𝑠𝑖𝑛 𝜃 =
√2 𝑐
2 𝑐2
Во этом случае берётся угол θ, удовлетворяющей более сложному соотношению. Тогда
из закона Снеллиуса мы получаем значения углов 𝜃1 и 𝜃2 . Для второго угла синус оказывается
равен √2/2, что соответствует значению 𝜋/4. Давайте подставим это значение в формулы для
коэффициентов 𝑊 и 𝑌 (при этом, в случае 𝑊 мы получим 0). Значит, если 𝑊 = 0, то у нас нет
распространения продольной волны – в нашей твёрдой среде распространяется только
сдвиговая волна. Это обстоятельство часто используется, если мы хотим создать условия для
распространения конкретной поперечной сдвиговой волны.
𝑠𝑖𝑛𝜃1 =
𝑐1
√2 𝑐1
𝑠𝑖𝑛𝜃 =
𝑐
2 𝑐2
𝑠𝑖𝑛𝜃2 =
𝑊=
𝑐2
√2
𝑠𝑖𝑛𝜃 =
𝑐
2
2 𝑍1 cos (2𝜃2 )
2 𝑍2 sin (2𝜃2 )
;𝑌 = −
𝑚 𝑍𝑖𝑛 + 𝑍
𝑚 𝑍𝑖𝑛 + 𝑍
𝜋
𝜃2 = 4 ; 𝑊 = 0 (распространяются только сдвиговые волны)
3) Если с2 < с1 < с
34
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
В этом случае мы рассмотрим разные ситуации соотношения между скоростями в
жидкой среде и между скоростями продольной и поперечной волн (Рис. 2.22). Вообще
говоря, с2 < с1 выполняется всегда (а вот что касается жидкой среды, то скорость с1 может быть
и меньше с2 , и лежать в её диапазоне). Из закона Снеллиуса для углов 𝜃1 и 𝜃2 будет выполнено
указанное неравенство. Входной импеданс будет действительным числом – он называется
активным. Коэффициент 𝑉 оказывается меньше 1. Раз 𝜃2 < 𝜃1 , значит в круглых скобках
оказывается положительная величина, как и sin2, следовательно величина 𝑍𝑖𝑛 /𝑍1 < 1. Это
означает, что, если у нас есть жидкая среда со скоростью звука с1 , и мы добавляем к этой среде
возможность распространения поперечных волн (с2 ), это приводит к тому, что граница как бы
размягчается.
𝜃2 < 𝜃1 < 𝜃,
2(
𝑍in = 𝑍1 cos 2𝜃2 ) + 𝑍2 sin2 (2𝜃2 ) ∈ ℛ
Такой импеданс считается активным.
𝑉=
𝑍in − 𝑍
𝑍in
tan 𝜃2
< 1.
= 1 − (1 −
) sin2 (2𝜃1 ) < 1.
𝑍in + 𝑍
𝑍1
tan 𝜃1
Возбуждение поперечных волн «размягчает» границу.
Теперь посмотрим, как ведёт себя волна в случае касания дна. Дно твёрдое, скорость
звука = 1000 м/с, а с2 = 700 м/с. Значит, поведение коэффициента отражения определяется
следующей кривой (Рис. 2.5): при некотором угле наблюдается полное прохождение волны из
жидкой среды в твёрдую (что-то подобное наблюдалось в случае с илистым дном), а при
увеличении угла 𝜃 происходит увеличение коэффициента отражения вплоть до 1.
Рисунок 2.5. График поведения волны для третьего случая
4) Если с2 < с < с1
Теперь коснёмся случая, когда скорость звука лежит между скоростями поперечной и
продольной волн. Это является условием для возникновения полного внутреннего отражения.
Получается, что отношение с/с1 меньше 1, и при каком-то из углов падения, равном 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 с/с1,
35
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 1, а 𝜃1 = 𝜋/2. Если это так, то импедансы 𝑍1 и 𝑍𝑖𝑛 обращаются в бесконечность (очень
плотная среда), и при подстановке в формулу, коэффициент отражения 𝑉 = 1.
При сохранении прежних импедансов и коэффициентов,
𝑐
получается
𝑐1
sin 𝜃1 = 1; 𝜃1 = 𝜋/2; 𝑍1 = ∞; 𝑍in = ∞; 𝑉 = 1
при 𝜃 = 𝜃cr1 = arcsin
(полное внутреннее отражение)
Теперь давайте посмотрим на график для этого случая (Рис. 2.6). Заданы параметры
плотности твёрдого дна и скорости с1 и с2 . Скорость распространения звука в воде составляет
примерно 1500 м/с. При критическом угле 𝜃 = 1 возникает ситуация полного отражения волны
(импеданс обращается к бесконечности). Обратите внимание, что такое отражение возникает в
очень узком диапазоне углов. Потом, когда θ уже стремится к 90°, |𝑉| приближается к 1.
Рисунок 2.6. График для четвёртого случая
Рисунок 2.7. График для пятого случая
5) Если с < с2 < с1
Наконец, познакомимся со случаем, когда с2 < с1 . При 𝜃 = 𝜃𝑐𝑟 также происходит полное
внутреннее отражение. Соответственно, оба импеданса 𝑍1 и 𝑍𝑖𝑛 обращаются в бесконечность, а
|𝑉| = 1. Если же мы будем увеличивать угол, то будет происходить снижение |𝑉|. Но через
некоторое время мы подберёмся к значению угла 𝜃𝑐𝑟2 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑐/𝑐1. Начиная с этого угла вновь
возникает полное внутреннее отражение, когда ни продольная, ни поперечная волна не могут
более распространяться в среде.
𝑐
при 𝜃 = 𝜃𝑐𝑟1 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 𝑐 получается полное внутреннее отражение
1
Давайте посмотрим, как это выглядит на графике (Рис. 2.7). Имеется среда, у которой
скорость звука составляет 2800 м/с, а с2 = 1800 м/с. Тогда на графике модуль |𝑉| от угла
выглядит следующим образом: первый острый пик возникает вблизи критического угла, а второй
пик формирует ступень (то есть значение коэффициента отражения равно 1 для всех значений
36
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
угла падения, которые больше второго критического угла). Такая двойная структура характерна
тогда, когда имеются два типа волн.
Акустическая модель морского грунта
Следующий пункт сегодняшней лекции – акустическая модель морского грунта. Мы
говорили, что скорость звука и плотность грунта могут сильно меняться относительно скорости
звука в воде. Это не совсем очевидно, потому что, если у нас есть твёрдое тело, лежащее на дне,
то, наверное, плотность его должна быть выше плотности воды. Возникает вопрос о том, как же
обеспечивается богатство рассмотренных ситуаций (когда скорость звука в воде может быть
больше или меньше скорости звука в грунте). Дело в том, что грунт представляет собой смесь 𝑁
компонентов с плотностями 𝜌𝑖 и скоростями звука ci. Кроме того, задаётся объёмная
концентрация каждого компонента 𝑛𝑖 = 𝑉𝑖 /𝑉 (доля объёма, занятая той или иной фракцией).
В составе грунта может присутствовать песок, вода, пузырьки газа (связанные с
процессами разложении органики на дне или с выделением газа из подземного месторождения).
Прежде всего, давайте посчитаем общую плотность такой смеси. Для этого общую массу делим
на общий объём. Если грунт представлен большим количеством компонентов, тогда мы объём
каждого компонента умножаем на плотность каждого компонента, суммируя результат.
Возникает отношение 𝑉𝑖 /𝑉 (объёмная концентрация). Тогда объёмная плотность будет
представлять собой взвешенную сумму плотностей всех компонентов грунта: ∑ 𝑛𝑖 𝜌𝑖 .
Общая плотность
𝜌=
𝑚
𝜌𝑖 𝑉𝑖
=∑
= ∑ 𝑛𝑖 𝜌𝑖
𝑣
𝑉
На следующем шаге предположим, что с прохождением некоторого колебательноволнового процесса у нас происходит изменение объёма некоторого элемента нашего грунта
(𝛥𝑉/𝑉). Понятно, что изменение объёма всего элемента грунта равно сумме изменений объёма
каждого компонента грунта. В формуле мы вносим под знак суммы все элементы,
перегруппировываем порядок множителей и получаем следующую запись: первая дробь
представляет собой объёмную концентрацию (𝑛𝑖 ), а вторая дробь есть относительное изменение
объёма конкретного компонента.
Относительное изменение объёма
Δ𝑉 ∑Δ𝑉𝑖
Δ𝑉𝑖 𝑉𝑖
Δ𝑉𝑖 𝑉𝑖
Δ𝑉𝑖
=
=∑
=∑
= ∑𝑛𝑖
𝑉
𝑉
𝑉 𝑉𝑖
𝑉𝑖 𝑉
𝑉𝑖
Теперь посчитаем модуль объёмной упругости: прикладываем к нашей грунтовой смеси
некоторое давление, в связи с чем возникает относительное изменение объёма 𝛥𝑉/𝑉.
𝜘: 𝑝 = 𝜘
Δ𝑉
𝑉
𝑝 Δ𝑉
Δ𝑉𝑖
𝑝
1
𝑛𝑖
=
= ∑𝑛𝑖
= ∑𝑛𝑖 ⇒ = ∑ .
𝜘
𝑉
𝑉𝑖
𝜘𝑖 𝜘
𝜘𝑖
37
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Теперь подставим в общее уравнение все элементы, и для 𝛥𝑉𝑖 применим аналогичную
формулу: если мы рассматриваем какой-то i-компонент грунта, то к нему применяется то же
𝑛𝑖
самое давление p и модуль объёмной упругости. Отсюда следует, что 1/𝜘𝑖 = ∑ 𝜘𝑖. Получается,
что складываются разные коэффициенты объёмной упругости. Далее введём параметр общей
сжимаемости, то есть суммы всех составных сжимаемостей.
k =
1
= ∑ 𝑛𝑖 𝑘𝑖
𝜘
Теперь из всего записанного нам надо перейти к скоростям звука. У нас есть формула для
сжимаемости и формула для плотности. Нужно посчитать общую скорость звука по
1
следующей формуле: с = √𝑘𝑝. Далее расшифровываем подкоренное выражение с помощью
выведенных рядов. Получается выражение из сумм произведений. Далее в первой сумме
перепишем выражение для сжимаемости через скорости звука (возвести в квадрат и взять
обратную величину). В конечном счёте, получаем 1, делённую на общее подкоренное
выражение.
Имеются
𝑚
𝜌𝑖 𝑉𝑖
1
𝜌 = 𝑣 = ∑ 𝑉 = ∑ 𝑛𝑖 𝜌𝑖 ; k = 𝜘 = ∑ 𝑛𝑖 𝑘𝑖
Тогда общая скорость звука
𝑐=
1
√𝜅𝜌
=
1
√∑𝑛𝑖 𝜅𝑖 ⋅ ∑𝑛𝑖 𝜌𝑖
=
1
𝑛𝑖
√∑ 𝜌 𝑐 2 ⋅ ∑𝑛𝑖 𝜌𝑖
𝑖 𝑖
.
Если произвести ещё один дополнительный шаг (связанный с допущением некоего
основного компонента грунта – его мы будем обозначать индексом 1), новое дробное выражение
будет вынесено в качестве отдельного множителя. Легко увидеть на рисунке, что здесь имеет
место тождественное преобразование (умножение на 𝑐1 2 ) и деление на с1 ).
𝑐=
𝑐1
𝑛1
1
.
𝑛 𝜌 𝑐2
𝑛𝜌
√∑ 𝑖 1 12 ⋅ ∑ 𝑛 𝑖 𝜌𝑖
𝑛1 𝜌𝑖 𝑐𝑖
1 1
Теперь давайте рассмотрим несколько конкретных примеров грунта с разным
количеством компонентов:
1) Двухкомпонентный грунт
Для него вводим плотность 𝜌𝐼𝐼 и сжимаемость 𝜅 𝐼𝐼 . Далее запишем скорость звука в
таком грунте:
𝜌𝐼𝐼 = 𝑛1 𝜌1 + 𝑛2 𝜌2 ;
𝑐 𝐼𝐼 =
𝜅 𝐼𝐼 = 𝑛1 𝜅1 + 𝑛2 𝜅2
1
√(𝑛1 𝜌1 + 𝑛2 𝜌2 )(𝑛1 𝜅1 + 𝑛2 𝜅2 )
38
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Проведём некоторое моделирование (Рис. 2.8). У нас есть всего два компонента, которые
по сумме (𝑛1 и 𝑛1 ) равны 1. Значит, мы можем задать значение 𝑛1 в диапазоне от 0 до 1,
зафиксировать плотности 𝜌𝐼 и 𝜌𝐼𝐼 и скорости звука с1 и с2 . Первая среда – это вода. В качестве
второй среды будет выступать песок. Оказывается, что по мере того, как меняется 𝑛1 , скорость
звука меняется соответственно: при 𝑛1 = 0 скорость звука составляет 1800 м/с (грунт из песка),
а при 𝑛1 = 1 она уже равна 1500 м/с (грунт из воды). Казалось бы, что при изменении 𝑛1 должна
быть монотонная спадающая зависимость. Но оказывается, что эта зависимость имеет минимум,
который лежит ниже значении 1500 м/с. Дело в том, что скорость звука во влажном песке ниже,
чем скорость звука в воде. Это достаточно необычный результат.
Рисунок 2.8. График для двухкомпонентного грунта
2) Трёхкомпонентный грунт
Формулы для плотности, сжимаемости и скорости звука для трёхкомпонентной
модели можно записать следующим образом:
𝜌𝐼𝐼𝐼 = 𝑛1 𝜌1 + 𝑛2 𝜌2 + 𝑛3 𝜌3 ; 𝜅 𝐼𝐼𝐼 = 𝑛1 𝜅1 + 𝑛2 𝜅2 + 𝑛3 𝜅3 ;
1
𝑐 𝐼𝐼𝐼 =
.
√(𝑛1 𝜌3 + 𝑛2 𝜌2 + 𝑛3 𝜌3 )(𝑛1 𝜅1 + 𝑛2 𝜅2 + 𝑛3 𝜅3 )
Проведём также и моделирование (Рис. 2.9). Коэффициенты 𝑛1 , 𝑛2 и 𝑛3 будут в сумме
давать 1. Поэтому мы зафиксируем некое значение 𝑛3 (например, 3е−3 и 3е−2 ) и 𝑛1 (от 0 до 1) и
получим 𝑛2 по формуле. Теперь нам надо определиться с составом грунта. Он будет представлен
смесью воды, песка и пузырьков воздуха. Оказывается, что добавление даже такого маленького
количества воздуха существенно сказывается на скорости звука в смеси. Она оказывается меньше
как скорости звука в воде, так и скорости звука в песке. Но самое странное, что эта скорость
звука оказывается даже меньше, чем скорость звука в воздухе (на графике это около 50 м/с). Это
среда с очень медленным распространением сигнала. Но в чём причина такого поведения? Ответ
состоит в следующем: если концентрация пузырьков воздуха (как наиболее мягкой среды)
маленькая, то средняя плотность среды будет фактически не зависеть от того, есть ли там воздух.
Соответственно, при подсчёте скорости первый множитель знаменателя будет соответствовать
таким плотным средам, как вода или песок.
39
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
кг
•
𝜌1 = 1000 м3 ; с1 = 1500 м/с
•
𝜌2 = 2560 м3 ; с2 = 1800 м/с
•
𝜌3 = 1000 3 ; с3 = 340 м/с
кг
кг
м
А во втором множителе происходит вычисление сжимаемости. И, несмотря на то, что
концентрация воздуха здесь достаточно мала, за счёт того, что газ является легко сжимаемой
средой, общая сжимаемость оказывается весьма высокой. Мы получаем среду с обычной
плотностью и высокой сжимаемостью. То есть, даже при небольшой концентрации этот
множитель является определяющим. Поэтому скорость звука в данном случае, с одной стороны,
оказывается гораздо меньше скорости звука в плотных средах, а с другой стороны, гораздо
меньше, чем в воздухе.
В итоге такой газонасыщенный грунт характеризуется очень низкими скоростями
распространения звука, даже при ещё более низкой концентрации.
Рисунок 2.9. График для трёхкомпонентного грунта
40
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 3. Лучевая картина при постоянной скорости
звука в океане
На предыдущей лекции мы рассматривали такую задачу, как распространение и
отражение акустической волны от границы раздела двух сред. Сейчас мы попробуем применить
полученные результаты к некоторому конкретному водоёму, характеризуя поле источника звука.
В одном случае мы рассмотрим очень глубокий водоём (такой, что влиянием дна можно
пренебречь), а в другом случае мы будем считать, что водоём имеет конечную глубину. В любом
случае, мы позволим себе на данном этапе сделать некоторое упрощение: мы допустим, что
скорость звука в водоёме является постоянной.
Распространение звука в глубоком море
Вообще, как уже говорилось ранее, в гидроакустике часто выбирается система
координат, в которой ось 𝑧 направлена вертикально вниз. Тогда 0 на этой оси располагается на
поверхности водоёма, а сама ось выражает глубину точки интересующего нас параметра среды.
Ось 𝑟 располагается перпендикулярно оси 𝑧. На глубине ℎ в точке 𝑆 располагается источник с
производительностью +𝑄. Нас также интересует поле в точке 𝑃, которое описывается
координатами (𝑟, 𝑧). Чтобы ещё более упростить задачу, предположим, что рассматриваемое поле
находится в однородной водной среде. В этом случае потенциал акустической волны выражается
формулой:
𝜑=
𝑄
exp(𝑖𝑘𝑅 − 𝑖𝜔𝑡) , где 𝑄 = 4𝜋𝑎2 𝑣0
4𝜋𝑅
Величина 𝑄 обозначает производительность источника. Она определяется следующим
образом. Представим себе сферу с радиусом 𝑎, которая описана вокруг источника 𝑆. Площадь
поверхности этой сферы равна 4𝜋𝑎2. Источник создаёт вокруг себя акустическое поле, которое
характеризуется колебательной скоростью v, которая убывает по мере удаления от источника.
На поверхности сферы эта скорость будет равняться 𝑣0 . Фактически, если мы проинтегрируем
модуль амплитуды колебательной скорости по всей поверхности сферы, мы получим указанный
в формуле результат 𝑄.
Как же в таком случае выглядит акустическое давление? Мы берём производную
потенциала по времени и умножаем её на плотность среды. Тогда, если мы интересуемся
зависимостью положения точки, эта зависимость будет выражена в 𝑅, а остальные множители
можно сгруппировать. Обратим внимание на то, что 𝑝0 – это не давление. Если 𝑝 (акустическое
давление) выражается в паскалях, то 𝑝0 имеет размерность Па/м.
𝑝 = 𝑖𝜔𝜌𝜑 =
𝑝0
exp (𝑖𝑘𝑅)
𝑅
41
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 3.1. Распространение звука в глубоком море (границы нет)
Когда у нас всё же есть верхняя граница, то поле, находящееся в нижней среде, должно,
с одной стороны, удовлетворять уравнению Гельмгольца (с источником в точке 𝑆), а с другой –
граничному условию на поверхности водоёма. Коль скоро у нас граница разделяет воду и воздух,
надо посмотреть на импедансы воды (1500) и воздуха (порядка 450). Это означает, что воздух
является существенно более акустически мягкой средой. На границе с такой мягкой средой
давление обращается в 0.
Нам нужно применить тот аппарат, который имел место в ситуации отражения плоских
волн от границы раздела. Но на данный момент это было бы достаточно сложно, поскольку в
данном случае волны не являются плоскими, и, во-вторых, существует более простой способ
решения. Этот способ называется методом изображений и заключается в следующем. Мы
помещаем в точку 𝑆`, которая расположена симметрично точке 𝑆 на поверхности водоёма,
источник с производительностью – 𝑄.
Если среда считается однородной, то давление в поле с мнимым источником будет иметь
такой вид:
p = 𝑝0
exp (𝑖𝑘𝑅)
exp (𝑖𝑘𝑅1 )
− 𝑝0
𝑅
𝑅1
В формуле первая часть выражает волну от настоящего источника, а вторая часть – волну
от мнимого источника. Минус стоит в формуле потому, что у двух источников разная
производительность (+𝑄, −𝑄). Полученное поле, очевидно, будет удовлетворять уравнению
Гельмгольца везде в пределах нижней среды. Теперь рассмотрим любую точку на плоскости
границы и обратим внимание на то, что до этой точки расстояние от точек 𝑆 и 𝑆` является
одинаковым (𝑅 = 𝑅1 ). Это даёт нам давление, равное 0, что говорит о том, что граничное
условие также выполнено. Следовательно, под поверхностью (в нижней части рисунка) формула
даёт нам правильное решение задачи.
42
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 3.2. Распространение звука в глубоком море (граница есть)
То есть, у нас есть прямая волна от источника и волна, отражённая от поверхности
границы раздела, эквивалентная волне из мнимого источника. Теперь давайте посмотрим, к чему
будет вести эта ситуация для 𝑅 и 𝑅1 в заданных координатах. У нас есть координаты точки
𝑃 (𝑟, 𝑧), глубина исходного источника (ℎ), и по теореме Пифагора мы можем легко найти здесь
нужные расстояния:
𝑅 = √𝑟 2 + (𝑧 − ℎ)2
𝑅1 = √𝑟 2 + (𝑧 + ℎ)2
Теперь для того, чтобы получить 𝑝, нужно подставить эти значения непосредственно в
выражение. При этом упрощением будут выступать следующие два фактора: мы будем
предполагать, что глубина расположения источника достаточно мала как по отношению к 𝑅, так
и относительно 𝑅1 .
Пусть 𝑅 ≫ ℎ и 𝑅1 ≫ ℎ, тогда 𝑅 ≈ √𝑟 2 + 𝑧 2 и 𝑅1 ≈ √𝑟 2 + 𝑧 2
Такими приближениями можно пользоваться в таких формулах, где величины 𝑅 и 𝑅1
слабо влияют на результат, а именно – в знаменателе. В числителе их использовать нельзя,
потому что величина 𝑒 𝑖𝑘𝑅 сильно зависит от 𝑅.
Итак, мы имеем формулу:
𝑝 = 𝑝0
exp (𝑖𝑘𝑅0 )
[exp(𝑖𝑘(𝑅 − 𝑅0 )) − exp(𝑖𝑘 (𝑅1 − 𝑅0 ))]
𝑅0
Мы видим, что две экспоненты отправились в общую квадратную скобку. На следующем
шаге мы запишем, чему равняются величины 𝑅 и 𝑅1 , исходя из геометрии нашей задачи. Для
этого мы посмотрим направление на точку наблюдения 𝑃, вводя угол между осью 𝑧 и лучом 𝑂𝑃
(Рис. 3.3).
43
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 3.3. Дополненный график
Тогда можно записать для 𝑅 и 𝑅1 следующие выражения:
𝑅 = 𝑅0 − ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑅1 = 𝑅0 + ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃
Подставляя эти выражения в формулу с экспонентами, мы видим, что величина 𝑅0 в
каждом из случаев будет сокращаться. Тем самым, выражение будет упрощаться до следующего
вида:
𝑝 = 𝑝0
exp (𝑖𝑘𝑅0 )
[exp(𝑖𝑘ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃) − exp(−𝑖𝑘ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃)]
𝑅0
Здесь мы видим разность двух экспонент, причём в показателях стоят одинаковые
величины, отличающиеся знаком. Давайте эти величины умножим и разделим на 2, и тогда
окажется, что квадратная скобка обозначает функцию sin, определённую через экспоненты. Тем
самым, получаем итоговое выражение:
𝑝=
2𝑖𝑝0 exp (𝑖𝑘𝑅0 )
sin (𝑘ℎ𝑐𝑜𝑠𝜃)
𝑅0
В первом множителе выражена зависимость от расстояния до источника, а второй
множитель передаёт зависимость от угла направления на точку наблюдения. Давайте посмотрим,
как выглядит эта конструкция. Здесь у нас есть характерная зависимость
2𝑖𝑝0exp (𝑖𝑘𝑅0 )
𝑅0
, которая
представляет собой ничто иное, как поле точечного источника в бесконечной среде. Оно никак
не зависит от направления на точку наблюдения. Поэтому следует ввести так называемую
диаграмму направленности:
ƒ(𝜃) = 2|sin (𝑘ℎ cos 𝜃)|
44
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Данное поле отличается от предыдущего множителем 2. Она покажет нам, как меняется
поле в зависимости от того, под каким направлением мы его рассматриваем. При этом надо
учитывать, что на круговой диаграмме выполняются условия:
𝑅 ≫ ℎ; 𝑅1 ≫ ℎ
Тогда формула будет описывать на графике своего рода лепестковую фигуру. При 𝜃 =
𝜋/2 cos 𝜃 = 0, а sin 0 = 0. Соответственно, ƒ(𝜃) = 0. Это означает, что поле на границе раздела
(поверхности водоёма) будет нулевым. Это, в принципе, ясно, поскольку такое положение дел
соответствует нашему граничному условию, которое мы применяли при постановке задачи.
Поскольку синус – функция периодическая, на графике мы видим «пульсации», которые
передают изменение аргумента синуса с углом.
Рисунок 3.4. Диаграмма направленности
А что у нас получится, если мы сделаем ещё одно важное приближение, а именно –
скажем, что величина ℎ не только мала по сравнению с расстояниями 𝑅 и 𝑅1 , но и мала по
сравнению с длиной волны. Коль скоро 𝑘 (волновое число, обратно пропорциональное длине
волны) можно записать как 2𝜋/𝜆, то это будет означать, что
𝑘ℎ ≪ 1
Тогда мы можем заменить синус его аргументом, и диаграмма направленности будет
выражена формулой:
ƒ(𝜃) ≈ 2𝑘ℎ|𝑐𝑜𝑠𝜃|
Такая формула выражает собой уравнение окружности. Следовательно, то, что мы видим
здесь в плане диаграммы направленности, представляет собой окружность, которая проходит
через начало координат и имеет некоторый радиус (Рис. 3.5). Если виртуально дорисовать
вторую окружность сверху от границы поверхности, то мы получим диаграмму направленности
диполя. Такое поле дипольного характера будет только в нижней половине, но не будет
наблюдаться в воздухе (от мнимого источника).
45
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 3.5. Направленность в условиях 𝑘ℎ < 1
Теперь давайте рассмотрим ещё одну задачу: зависимость поля источника от дальности.
Когда проводится некоторый гидроакустический эксперимент, привычная схема его проведения
состоит в том, что есть некое судно с источником, который был спущен на тросе в водоём, и
также есть другое судно, которое на тросе спускает приёмник акустического излучения. Второе
судно может двигаться, замеряя зависимость амплитуды акустического давления от
расстояния.
Итак, базовой формулой будет формула, где учитывается, что расстояние 𝑅0 (до
приёмника) гораздо больше, чем глубина погружения источника:
𝑝=
2𝑖𝑝0 exp (𝑖𝑘𝑅0 )
sin (𝑘ℎ cos 𝜃)
𝑅0
Теперь мы будем использовать следующие приближения:
•
•
Во-первых, в точке погружения глубина будет константной: 𝑧 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
Во-вторых, косинус угла будет меняться в зависимости от расстояния: 𝑧 = 𝑅0 cos 𝜃
Если мы подставляем косинус в формулу с синусом, тогда для давления получается
следующая запись:
𝑝=
2𝑖𝑝0 exp (𝑖𝑘𝑅0 )
𝑘ℎ𝑧
sin
𝑅0
𝑅0
Таким образом, у нас получается двойная зависимость от 𝑅0 (у обоих множителей).
Давайте посмотрим, как это выглядит на графике (Рис. 3.6). Зависимость, рассчитанная
численно, имеет пульсирующий характер в начале (амплитуда поля многократно увеличивается).
Потом она может падать до 0, затем снова пульсировать с меньшим ритмом. Если расстояние
оказывается достаточно большим, то с некоторого момента пульсации пропадают, и тогда
зависимость амплитуды от расстояния имеет вид
𝑝 ~ 𝑅0 −2
Пульсации возникают за счёт того, что имеется функция синуса. И когда величина R0 ещё
не слишком большая, синус в силу периодичности имеет возможность обращаться в 1, -1 и 0. В
последнем случае наблюдаются минимумы, а в случае 1 – максимумы. Но поскольку 𝑅0 растет,
а числитель дроби является постоянной величиной, в какой-то момент этот аргумент становится
46
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
малым. Тогда синус становится малым, и мы можем заменить его на аргумент, получая
𝑘ℎ𝑧
зависимость вида 𝑒𝑥𝑝(𝑖𝑘𝑅0 ). Но это зависимость фазовая. А амплитуда будет иметь вид 𝑅 2 .
0
Начиная с определённого расстояния, будет иметь место обратно квадратичная зависимость поля
от расстояния по горизонтали между источником и приёмником.
Рисунок 3.6. График зависимости поля от дальности
Распространение звука в плоском слое
Теперь давайте рассмотрим ситуацию распространения звука в плоском слое. Если
предыдущая ситуация позволяла нам охарактеризовать поле источника вблизи поверхности (не
затрагивая взаимодействие акустического поля со дном), то теперь мы это самое дно учитываем.
Мы по-прежнему вводим схожую систему координат, где 0 расположен на поверхности, ось 𝑟
направлена перпендикулярно. Кроме того, в некоторой точке 𝑆01 расположен источник, а в
некоторой точке 𝑃 расположен приёмник. Если бы водная среда была безграничной, тогда поле
этого источника можно было бы записать следующим образом:
𝑝 = 𝑝0
exp (ik𝑅1 )
𝑅01
Здесь 𝑅01 обозначает расстояние от источника до приёмника. И раз нам нужно
учитывать поверхность, мы будем действовать методом акустических изображений. И, кроме
того, мы должны учитывать дно. Таким образом, мы имеем граничные условия:
•
•
Для поверхности: 𝑧 = 0; 𝑝 = 0
𝜕𝑝
Для дна: 𝑧 = 𝐻; 𝑣𝑧 = 0 или 𝜕𝑧 = 0
Если поверхность можно считать мягкой границей, то для дна это не так: импеданс дна
гораздо выше импеданса воды. Тогда под дном будет находиться мнимый источник 𝑆02 , и его
поле будет характеризоваться дополнительным членом в составе уравнения:
𝑝 = 𝑝0
exp (𝑖𝑘𝑅01 )
exp (𝑖𝑘𝑅02 )
+ 𝑝0
𝑅01
𝑅02
47
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Соответственно, в составе присутствуют выражения распространения прямой волны и
отражённой волны. Коль скоро импеданс нижней части больше, чем импеданс воды, то
изменение фазы при таком движении волны не происходит (сохраняется знак +). По-другому
это можно интерпретировать с точки зрения граничных условий, а именно – если ранее мы
ставили мнимый источник таким образом, чтобы на поверхности давление было равно 0, то
теперь мы будем требовать, чтобы обратилась в ноль колебательная скорость (в условиях
жёсткой среды). Это означает, что давление будет возрастать, причём в 2 раза. В приведённой
формуле как раз и отражён данный факт. Необходимо выбирать знак « + », когда у нас отражение
от плотной среды, и «-», когда отражение от акустически мягкой среды.
Рисунок 3.7. График распространения звука в плоском слое
Теперь посмотрим, что произойдёт при учёте также и поверхности. Согласно методу
изображений, мы должны отразить наши два источника относительно верхней границы. Тогда
появляются ещё два мнимых источника: 𝑆03 и 𝑆04 .
𝑝 = 𝑝0
exp (𝑖𝑘𝑅01 )
exp (𝑖𝑘𝑅02 )
exp(𝑖𝑘𝑅03 )
exp(𝑖𝑘𝑅04 )
+ 𝑝0
− 𝑝0
− 𝑝0
+⋯
𝑅01
𝑅02
𝑅03
𝑅04
Когда у нас был один источник, то удовлетворялось уравнение Гельмгольца в водной
среде, но не удовлетворялось граничное условие по дну. Когда мы добавили источник 𝑆02 , мы
удовлетворили и его. Но эти два источника не удовлетворяют граничному условию по
поверхности. Для того, чтобы удовлетворить условию нулевого поля, мы и вводим
дополнительные мнимые источники сверху (Рис. 3.8).
48
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 3.8. График распространения звука в плоском слое (с отражением от поверхности)
Теперь у нас перестаёт выполняться граничное условие по дну, потому что сверху
оказывается 3 источника, а снизу только 1. Поэтому мы вводим ещё два мнимых источника 𝑆13 и
𝑆14 , на этот раз снизу (Рис. 3.9). Тогда у нас выполняется уравнение Гельмгольца и граничное
условие на дне. Но снова не выполняется граничное условие на поверхности. И так далее…
Получается, что мы постепенно добавляем источники сверху и снизу, получая потенциально
бесконечный набор источников, которые выстраиваются вдоль оси 𝑧. Как работать с этими
источниками? Давайте обратим внимание на то, что расстояние между соседними источниками
соответствует величине 2ℎ. Таким образом, все источники можно сгруппировать: источники
𝑆01 – 𝑆04 периодически повторяются с шагом 2Н (где Н – это глубина). Также у нас есть
расстояния 𝑅01 – 𝑅04 от источников до приёмника (точки наблюдения).
Рисунок 3.9. Дополненный график распространения звука в плоском дне (5 мнимых источников)
49
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Для того, чтобы продвинуться в решении задачи, мы попробуем ввести некоторые
упрощения. Прежде всего, напишем все расстояния от излучателей (действительных и мнимых)
до приёмника:
𝑅𝑁𝑀 = √𝑟 2 + 𝑧 2 𝑁𝑀
где 𝑍𝑁𝑀 выражается в виде формул
𝑍𝑁1 = ℎ + 2𝑁𝐻
𝑍𝑁2 = 2𝐻 − ℎ + 2𝑁𝐻
𝑍𝑁3 = −ℎ + 2𝑁𝐻
𝑍𝑁4 = ℎ − 2𝐻 + 2𝑁𝐻
То есть, для каждого из 4-х источников расстояния будут разные. 𝑁 обозначает номер
группы источников, 𝐻 – глубину водоёма, а ℎ – глубину нахождения действительного источника.
И теперь нам нужно ещё учесть изменение знака при отражении от поверхности:
∞
𝑝 = 𝑝0 ∑ (−1)𝑁 [
𝑁=0
exp (𝑖𝑘𝑅𝑁1 ) exp (𝑖𝑘𝑅𝑁2 ) exp(𝑖𝑘𝑅𝑁3 ) exp (𝑖𝑘𝑅𝑁4 )
]
+
−
−
𝑅𝑁1
𝑅𝑁2
𝑅𝑁3
𝑅𝑁4
Здесь давление равняется произведению множителя 𝑝0 на сумму от 0 до бесконечности
(по всем группам источников). При этом, когда мы переходим от одной группы к другой, мы
добавляем одно отражение от поверхности (тем самым, знак источника меняется на
противоположный). В формуле это производится за счёт внесения −1𝑁 .
До сих пор мы говорили, что у нас имеется идеальная отражающая среда сверху и
идеальная отражающая среда снизу. Теперь нам нужно ввести сами коэффициенты отражения:
•
•
𝑉1 – коэффициент отражения от дна
𝑉2 – коэффициент отражения от поверхности
Если мы учтём эти обстоятельства, то формула для давления модифицируется
следующим образом:
∞
𝑝 = 𝑝0 ∑(𝑉1 𝑉2 )𝑁 [
𝑁=0
exp (𝑖𝑘𝑅𝑁1 )
exp (𝑖𝑘𝑅𝑁2 )
exp(𝑖𝑘𝑅𝑁3 )
exp (𝑖𝑘𝑅𝑁4 )
]
+ 𝑉1
+ 𝑉2
+ 𝑉1 𝑉2
𝑅𝑁1
𝑅𝑁2
𝑅𝑁3
𝑅𝑁4
Отличие одной четвёрки от другой заключается в том, что на единицу больше произошло
отражение от дна и от поверхности. Кроме того, вместо +1 и − 1 появляются коэффициенты 𝑉1
и 𝑉2 . Эти слагаемые соответствуют тому, что здесь присутствует прямой луч от источника до
приёмника, луч, отражённый от дна, луч, отражённый от поверхности, и, наконец, луч,
отражённый от дна и от поверхности. Такая формула справедлива, если нет зависимости от
угла падения. Понятно, что все рассматриваемые лучи падают на границу раздела под разными
углами. Если мы будем учитывать эти углы, тогда окажется, что все коэффициенты будут стоять
50
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
от них в зависимости. Однако, для жёсткого дна и мягкой поверхности этого не происходит.
Иными словами, 𝑉1 = 1 и 𝑉2 = −1.
Для того, чтобы решить задачу с учётом отражения от поверхности и дна (с разными
коэффициентами), а также с учётом разных углов падения, мы зададим новую группировку лучей:
по количеству отражений от дна (𝑛). Количеству же отражений от поверхности будет
соответствовать индекс (m). Давайте тогда рассмотрим сначала лучи, которые отражаются от дна
0 раз (𝑛 = 0):
•
•
Источник – приёмник (число отражений от поверхности 𝑚 = 0)
Источник – поверхность – приёмник (число отражений от поверхности 𝑚 = 1)
Первый луч проходит целиком в водной среде, а второй луч идёт по траектории от
источника к приёмнику через одно касание поверхности. Теперь рассмотрим лучи с числом
отражений от дна 𝑛 = 1:
•
•
•
•
Источник – дно – приёмник (число отражений от поверхности 𝑚 = 0)
Источник – дно – поверхность – приёмник (𝑚 = 1)
Источник – поверхность – дно – приёмник (𝑚 = 1)
Источник – поверхность – дно – поверхность – приёмник (𝑚 = 2)
Во всех этих четырёх случаях отражение от дна происходит только 1 раз. При этом
имеет место разное число отражений от поверхности. Аналогичным образом мы можем
рассмотреть и лучи с большим числом отражений от дна (2,3,4…). Обратим внимание вот на что:
величины 𝑛 и 𝑚 в двух случаях отличается всего на 1. Таким образом, для указанной четвёрки
справедливы формулы:
𝑚 = 𝑛−1
𝑚 = 𝑛 (для 2 и 3 случая)
𝑚 = 𝑛+1
Давайте теперь обозначим через 𝑅𝑀𝑁 длину луча, отразившегося 𝑛 раз от дна и 𝑚 раз от
поверхности. Для того, чтобы посчитать такую длину для каждого из лучей, нужно применить
сведения из геометрии. Оказывается, что в силу теоремы Пифагора, формулы записываются
следующим образом:
𝑅𝑛,𝑚=𝑛−1 = √𝑟 2 + (2𝐻𝑛 − ℎ − 𝑧)2
𝐼
𝑅𝑛,𝑚=𝑛
= √𝑟 2 + (2𝐻𝑛 − ℎ + 𝑧)2
𝐼𝐼
𝑅𝑛,𝑚=𝑛
= √𝑟 2 + (2𝐻𝑛 + ℎ − 𝑧)2
𝑅𝑛,𝑚=𝑛+1 = √𝑟 2 + (2𝐻𝑛 + ℎ + 𝑧)2
Обратим внимание на то, что формулы посередине снабжены индексами I и II, которые
передают различие траекторий у лучей с одинаковыми нижними индексами (𝑚 = 𝑛). Теперь
нужно записать остальные параметры. Так, коэффициент отражения от дна (𝑉1 ) предстаёт в виде
51
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑉(𝜃𝑛 ), а коэффициент отражения от поверхности (𝑉2 ) будет равняться -1 (коль скоро поверхность
граничит с воздухом, и отражение можно считать как в случае мягкой границы). Тогда формула
предстаёт в новом виде:
exp(𝑖𝑘𝑅00 ) exp(𝑖𝑘𝑅01 )
]+
𝑝 = 𝑝0 [
−
𝑅00
𝑅01
∞
+ + 𝑝0 ∑ 𝑉 𝑛 (𝜃𝑛 )(−1)𝑛 [
𝑛=1
𝐼 )
exp(𝑖𝑘𝑅𝑛,𝑛−1 ) exp(𝑖𝑘𝑅𝑛,𝑛
−
−
𝐼
𝑅𝑛,𝑛−1
𝑅𝑛,𝑛
𝐼𝐼 )
exp(𝑖𝑘𝑅𝑛,𝑛
exp(𝑖𝑘𝑅𝑛,𝑛+1 )
],
−
+
𝐼𝐼
𝑅𝑛,𝑛+1
𝑅𝑛,𝑛
Где sin 𝜃𝑛𝑚 =
𝑍𝑛𝑚
𝑅𝑛𝑚
𝑃0 – общий множитель суммы от 0 до бесконечности (𝑛 – количество отражений от дна).
Если луч отразился n раз, то ослабление (коэффициент 𝑉(𝜃𝑛 )) возводится в степень 𝑛. Кроме
того, отразившись от дна n раз, луч отражается n раз и от поверхности, поэтому используется
множитель −1𝑛 . Тогда у нас с плюсом или минусом будут учитываться различные ситуации,
когда число отражений от дна и поверхности одинаково, либо отличаются на 1. Сам вид
слагаемых вполне стандартный. Отдельно следует сказать о моменте, который связан с тем, что
для всех лучей (независимо от того, сколько раз они отразились от поверхности) четверки мы
полагаем угол 𝜃 одинаковым. Коль скоро мы будем считать расстояние от источника до
приёмника достаточно большим, эти углы будут при разных значениях m достаточно близкими.
Поэтому мы позволим себе опускать эту зависимость и брать в расчёт некоторый средний угол
по всем лучам четверки.
Приповерхностное распространение
Вооружившись этой формулой, попробуем выполнить некоторое упрощение.
Рассмотрим случай приповерхностного распространения, когда и глубина, на которой
располагается источник (ℎ), и глубина, на которой располагается приёмник (𝑧), сильно меньше
глубины водоёма (𝐻):
ℎ ≪ 𝐻; 𝑧 ≪ 𝐻
В таком случае ряд формул можно будет упростить. Коль скоро обе глубины меньше
величины 𝐻, то мы имеем право разложить корень в ряд Тейлора, ограничиваясь максимум
членами первого порядка по переменным ℎ и 𝑧. Тогда получается примерно такая конструкция:
𝑅𝑛,𝑚=𝑛−1 = √𝑟 2 + (2𝐻𝑛 − ℎ − 𝑧)2 ≈
2𝐻𝑛
≈ √𝑟 2 + (2𝐻𝑛)2 − (ℎ + 𝑧)
=
2
√𝑟 + (2𝐻𝑛)2
= 𝑅𝑛 − (ℎ + 𝑧)sin 𝜃𝑛
52
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Теперь мы можем представить геометрическую величину с числителем 2𝐻𝑛 как синус
угла 𝜃𝑛 . C другой стороны, подкоренную величину мы обозначим как 𝑅𝑛 , предполагая, что она
зависит только от параметра 𝑛.
Теперь мы можем подробно расписать все расстояния, которые образуются в рамках
каждой четверки:
𝐼
𝑅𝑛,𝑚=𝑛
= √𝑟 2 + (2𝐻𝑛 − ℎ + 𝑧)2 ≈ 𝑅𝑛 + (𝑧 − ℎ)sin 𝜃𝑛
𝐼𝐼
𝑅𝑛,𝑚=𝑛
= √𝑟 2 + (2𝐻𝑛 + ℎ − 𝑧)2 ≈ 𝑅𝑛 + (ℎ − 𝑧)sin 𝜃𝑛
𝑅𝑛,𝑚=𝑛+1 = √𝑟 2 + (2𝐻𝑛 + ℎ + 𝑧)2 ≈ 𝑅𝑛 + (ℎ + 𝑧)sin 𝜃𝑛
Видно, что все эти формулы фактически отличаются знаками во втором и третьем
слагаемом (перед переменными 𝑧 и ℎ). А теперь давайте мы воспользуемся этими
приблизительными соотношениями, предполагая, что
𝑟 ≫ ℎ; 𝑟 ≫ 𝑧
Тогда формулы для 𝑅00 и 𝑅01 преобразуются в ряд Тейлора с получением следующих
выражений:
(ℎ − 𝑧)2
ℎ𝑧
≈ 𝑅0 −
= 𝑅0 − ℎsin 𝜃0 ;
2𝑟
𝑅0
(ℎ + 𝑧)2
ℎ𝑧
𝑅01 = √𝑟 2 + (ℎ + 𝑧)2 ≈ 𝑟 +
≈ 𝑅0 +
= 𝑅0 + ℎsin 𝜃0 .
2𝑟
𝑅0
𝑅00 = √𝑟 2 + (ℎ − 𝑧)2 ≈ 𝑟 +
Распишем первую квадратную скобку, которая у нас возникала:
exp (𝑖𝑘𝑅00 ) exp (𝑖𝑘𝑅01 )
−
≈
𝑅00
𝑅01
𝑅00 и 𝑅01 – расстояния, который близки друг к другу. Когда мы сравниваем
непосредственно их, можно представить их просто как 𝑅0 . Но мы не можем осуществить такую
замену в экспонентах, поскольку экспоненты – это быстро меняющиеся функции относительно
𝑅0 . В итоге получаем приближение:
≈ 2𝑖
exp (𝑖𝑘𝑅0 )
sin (𝑘ℎ 𝑠𝑖𝑛𝜃0
𝑅0
Теперь давайте рассмотрим какую-нибудь четверку лучей, которая умещалась внутри
суммы в большом выражении. Четыре расстояния, зафиксированные здесь, мы приблизительно
заменяем на 𝑅𝑛 . В итоге мы получаем четыре слагаемых с разными знаками:
53
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝐼 )
𝐼𝐼 )
exp(𝑖𝑘𝑅𝑛,𝑛−1 ) exp(𝑖𝑘𝑅𝑛,𝑛
exp(𝑖𝑘𝑅𝑛,𝑛
exp(𝑖𝑘𝑅𝑛,𝑛+1 )
−
−
+
≈
𝐼
𝐼𝐼
𝑅𝑛,𝑛−1
𝑅𝑛,𝑛+1
𝑅𝑛,𝑛
𝑅𝑛,𝑛
exp(𝑖𝑘𝑅𝑛 )
≈
×
𝑅𝑛
× [exp (𝑖𝑘(−ℎ − 𝑧)sin 𝜃𝑛 ) − exp (𝑖𝑘(𝑧 − ℎ)sin 𝜃𝑛 ) −
−exp (𝑖𝑘(ℎ − 𝑧)sin 𝜃𝑛 ) + exp (𝑖𝑘(ℎ + 𝑧)sin 𝜃𝑛 )]
Далее эти слагаемые можно по-разному группировать, но итоговая формула будет иметь
вид:
−4
exp(𝑖𝑘𝑅𝑛 )
sin (𝑘ℎ sin 𝜃𝑛 )sin (𝑘𝑧 sin 𝜃𝑛 )
𝑅𝑛
В первой части задана зависимость от расстояния, а далее следуют два синуса углов.
Теперь давайте соберём это все в единую конструкцию и посмотрим, что же у нас получилось:
𝑝 = −2𝑖𝑝0
exp(𝑖𝑘𝑅0 )
sin (𝑘ℎ sin 𝜃0 ) −
𝑅0
∞
−4𝑝0 ∑ 𝑉 𝑛 (𝜃𝑛 )(−1)𝑛
𝑛=1
exp(𝑖𝑘𝑅𝑛 )
sin (𝑘ℎ sin 𝜃𝑛 )sin (𝑘𝑧 sin 𝜃𝑛 ).
𝑅𝑛
Итак, давление акустического поля в нашем случае складывается из слагаемого,
описывающего два луча, которые не отражаются от дна, и слагаемого, в котором выражена
сумма четверок лучей, каждый из которых отражается от дна заданное количество раз.
Перебираем все эти четверки от 0 до бесконечности, и при этом ослабление учитываем с
помощью коэффициента 𝑉𝑛(𝜃)𝑛 , отражение от поверхности учитываем с помощью
коэффициента (−1)𝑛 , зависимость от расстояния 𝑅𝑛 учитываем с помощью дробного
выражения, и, наконец, зависимость от глубины расположения источника и приёмника
учитываем с помощью двух множителей-синусов.
Учет поверхностного волнения
Когда мы решали предыдущую задачу, мы говорили о том, что коэффициент отражения
звука от поверхности всегда равен -1. Это действительно так, но только в том случае, если
имеется ситуация идеального штиля (нет никакого волнения). Но на самом деле такая ситуация
очень редко реализуется, и чтобы характеризовать ветровой параметр на поверхности, можно
ввести так называемый параметр Релея:
Ф=
2𝜋
(𝑎) sin 𝛼
𝜆
Где 𝜆 – длина волны звука, ⟨𝑎⟩ – средняя высота волнения поверхности, 𝛼 – угол
скольжения. Обычно мы рассматривали углы падения, а угол скольжения равен 90°
– угол падения. В зависимости от того, каков параметр Релея, могут реализовываться разные
ситуации:
54
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
•
•
•
Параметр Релея = 0 (когда средняя высота волны на поверхности = 0)
Если длина звука достаточно велика (низкие частоты), тогда параметр Релея оказывается
малым
Если частоты высокие, то параметр Релея оказывается большим
При большой длине звука, небольшое волнение на поверхности не сильно скажется на
акустической волне. При ɸ ≥ 1 происходит расфазировка лучей. То есть, когда мы
рассматривали группировки лучей, оказывается, что за счёт возмущений на поверхности, разные
лучи, пришедшие по разным траекториям (по-разному отразившись от поверхности), будут
иметь разные фазы. Причём, добавка к фазе у разных лучей будет зависеть от того, как именно
волнуется поверхность (величина будет случайной).
Из той формулы, где мы складывали давление акустических волн по каждому из лучей,
мы должны перейти к сложению энергий лучей. Если у нас волнение на поверхности не очень
сильное, то мы можем говорить о разфазировке отдельных четверок лучей:
∞
⟨|𝑝|
2⟩
= 2𝑝02 [
sin2(𝑘ℎ sin𝜃0 )
sin2(𝑘ℎ sin𝜃𝑛 )
∑
+
⋅ 4𝑉 2𝑛 (𝜃𝑛 )sin2 (𝑘𝑧 sin𝜃𝑛 )]
𝑅02
𝑅𝑛2
𝑛=1
Каждая четверка – это такая группа лучей, которые отразились от дна одинаковое
количество раз и идут по более-менее схожим траекториям. Тогда для характеристики
акустического поля мы будем использовать уже не давление, а средний квадрат давления. Мы
будем вычислять давление в рамках каждой четверки, возводить его в квадрат, и складывать
полученные величины. Тогда мы имеем пару лучей (которые не отражаются от дна) и сумму по
всем четверкам (которые отражаются от дна), для которой вычисляем приближение и
распространение вблизи поверхности (поле каждой четверки возводится в квадрат).
Но в том случае, если волнение на поверхности существенно, то даже таким способом
пользоваться не получится. Тогда мы должны будем учитывать расфазировку всех лучей,
складывая квадраты полей каждого луча. Для этого случая формула, как ни странно, оказывается
более простой:
⟨|𝑝|
2⟩
∞
1
= 𝑝02 [ 2 + 2 ∑
𝑅0
𝑛=1
𝑉 2𝑛 (𝜃𝑛 )
]
𝑅𝑛2
Первое слагаемое выражает ситуацию для первых двух лучей, а дальше следует сумма
для оставшихся четверок, которая даст при усреднении ½. Каждая двойка сокращается при
интегрировании по всем углам с синус-квадратом, что и даёт по итогу столь простое выражение.
Данной формулой можно пользоваться, если параметр Релея достаточно большой (все лучи
приходят по существенно разным стохастическим траекториям).
55
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 4. Лучевая картина с учётом рефракции звука.
Подводный звуковой канал
Среда как совокупность слоёв
В этот раз мы рассмотрим ситуации, когда скорость звука зависит от глубины места, где
мы её измеряем. В частности, мы затронем явление подводного звукового канала. Например, мы
можем взять график, на котором показано, что скорость звука падает с глубиной. Это может быть
связано с тем, что верхние слои жидкости более прогреты, чем глубокие. Если у нас есть такая
зависимость, мы можем представить её в виде кусочно-постоянной функции. Тогда мы как бы
разбиваем нашу непрерывную среду на слои, в каждом из которых мы считаем плотность и
скорость звука постоянными. При этом толщина слоёв может быть выбрана достаточно малой,
чтобы это приближение работало. Впоследствии, мы даже можем перейти к пределу (когда
толщина слоя стремится к 0), и тогда скорость звука в задача на слои будет приближаться к
скорости звука в задаче с непрерывной функцией.
Рисунок 4.1. График зависимости скорости звука от глубины
В рамках нашей задачи необходимо записать закон преломления Снеллиуса:
sin 𝑣0 𝑐0
𝑐𝑜𝑠𝜃0
= = 𝑛(𝑧) =
sin 𝑣
𝑐
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝜋
где угол скольжения 𝜃 = − 𝑣
2
У нас имеются углы падения – углы, составляющие угол с нормалью падения луча, и если
посмотреть какую-нибудь границу раздела, тогда закон Снеллиуса утверждает, что отношение
синуса угла падения к углу преломления соответствует отношению скоростей звука этих двух
сред (или через показатель преломления 𝑛(𝑧), который в данном случае является параметром
глубины). Оказывается, что даже удобнее будет пользоваться углами скольжения (углами между
лучом и самой горизонтальной поверхностью). В принципе, имеющихся данных достаточно для
того, чтобы записать закон построения лучей:
56
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑐𝑜𝑠𝜃0 𝑐𝑜𝑠𝜃1
𝑐𝑜𝑠𝜃𝑛
=
=⋯=
=𝑎
с0
с1
с𝑛
Если у нас есть некоторый луч, то он характеризуется углом скольжения (с которым он
входит в среду) и некоторой скоростью с0 в точке рассмотрения. Получается, согласно
представленной выше формуле, что отношение косинуса угла к скорости – величина
постоянная. Она зависит только от того, какой конкретно луч мы рассматриваем (то есть, под
каким углом он попал в точку раздела двух сред).
Теперь давайте рассмотрим некоторый малый участок траектории (например, из точки О
– в точку А) и его геометрию (Рис. 4.2). У нас есть некоторый луч, по которому распространяется
звук. Поскольку участок мал, то глубина, на которую смещается луч, расстояние смещения по
горизонтали и, собственно, длина пути могут быть аппроксимированы прямолинейной
зависимостью, образуя прямоугольный треугольник. Тогда для величин 𝑑𝑧, 𝑑𝑠, 𝑑𝑟 справедливы
все соотношения, которые здесь можно записать. В частности, наша гипотенуза 𝑑𝑠 связывается
с величиной 𝑑𝑧 (расстоянием по вертикали) с помощью синуса угла θ. Тогда от синуса угла мы
можем перейти к косинусу угла, потому что косинус угла θ может быть выражен из того закона
распространения луча, который мы ввели ранее. Оказывается, что если зависимость скорости
распространения звука от глубины известна (𝑐(𝑧)), тогда для косинуса мы можем записать
выражение через a (константа, характеризующая конкретный луч), умноженное на 𝑐(𝑧). Так мы
получаем однозначную зависимость между расстоянием 𝑑𝑠 и тем, насколько глубоко на данном
участке луч успевает опуститься.
𝑑𝑠 =
𝑑𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑧
=
=
𝑠𝑖𝑛𝜃 √1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 √1 − 𝑎2 𝑐 2 (𝑧)
Рисунок 4.2. Участок траектории
Но нас также будет интересовать время распространения сигнала из точки О – в точку А.
Теперь, имея дифференциальный закон, мы возьмём интеграл по всему лучу (в акустическом
смысле) ОА по величине 𝑑𝑠, которую делим на 𝑐(𝑧). Взять этот интеграл непосредственно
достаточно сложно, и мы можем заменить переменную на корень, и перейти от интегрирования
по 𝑠 к интегрированию по 𝑧. Пускай глубина точки О = 0, а глубина А = 𝑧, и тогда для времени
распространения сигнала мы получаем такое выражение:
57
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝐴
𝑧
𝑂
0
𝑑𝑠
𝑑𝑧
𝑇=∫
=∫
𝑐(𝑧)
𝑐(𝑧)√1 − 𝑎2 𝑐 2 (𝑧)
Теперь попробуем переписать это выражение в ином ключе – как уравнение траектории
луча. Для этого нам нужно связать некоторую глубину 𝑧 в каждой точке ОА с расстоянием по
горизонтали 𝑟. Помним, что у нас есть дифференциальное уравнение луча, и мы, исходя из
треугольника, записываем соотношение между катетами 𝑑𝑟 и 𝑑𝑧. Оказывается, что это будет
котангенс угла θ. А его можно выразить через косинус и синус угла. А далее мы пользуемся тем
же самым приёмом, что и в предыдущем случае, заменяя косинус угла θ на величину 𝑎 (𝑐(𝑧)), и
у нас вырисовывается уравнение. Для того, чтобы теперь найти траекторию, нам нужно взять
интеграл в пределах (0, 𝑧), получая расстояние 𝑟.
𝑧
𝑑𝑟
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑎𝑐(𝑧)
𝑎𝑐(𝑧)𝑑𝑧
= 𝑐𝑜𝑡𝜃 =
=
⇒𝑟=∫
𝑑𝑧
√1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 √1 − 𝑎2 𝑐 2 (𝑧)
√1 − 𝑎2 𝑐 2 (𝑧)
0
Тем самым, совокупность этих двух уравнений даёт нам все необходимые сведения: мы
знаем, по какой траектории распространяется звук, и за какое время он проходит заданное
расстояние.
Линейное изменение скорости с глубиной
Перейдём к некоторому частному, но важному случаю – линейному изменению скорости
с глубиной. Даже если распространение идёт нелинейно, на некотором малом участке допустимо
делать аппроксимацию с помощью линейной зависимости. Задавать зависимость скорости звука
от глубины мы будем следующим образом:
𝑐(𝑧) = 𝑐0 (1 + 𝑞𝑧)
Параметр с0 – это скорость звука на нулевой глубине (обычно, но не всегда – по
поверхности). И далее мы строим линейную зависимость по глубине 𝑧. А 𝑞 – ничто иное, как
градиент скорости (величина, которая показывает, насколько сильно меняется скорость с
глубиной, а также в какую сторону меняется скорость). Итак, если у нас есть уравнение для 𝑟,
где 𝑎 – это константа по конкретному лучу, мы запишем наши действия с интегралом. Прежде
всего, подставим все имеющиеся параметры: зависимость 𝑐(𝑧), 𝑎. Мы должны проинтегрировать
эту зависимость по 𝑧. Во-первых, заметим, что косинус присутствует в числителе и под корнем
в квадрате – в знаменателе, поэтому можно поделить на косинус и то, и другое. Тогда косинус в
квадрате сократится. Кроме того, мы поделим числитель и знаменатель на коэффициент 𝑞. Здесь
1
уже можно сделать замену переменных для (𝑧 + 𝑞) как 𝜉. Соответственно, интеграл теперь будет
браться в новых пределах. Кроме того, величину 𝑞2 cos2 𝜃0 мы обозначим как 𝜁. Дальнейшее
преобразование происходит достаточно просто. Такой интеграл является табличным, и
первообразная такой функции – это √𝜁 2 − 𝜉 2 в заданном диапазоне. Мы получаем итоговый
результат, где развёрнута зависимость расстояния, пройденного лучом по горизонтали, от
глубины.
58
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Однако полученную формулу всё же придётся преобразовать, чтобы она получила
внятный физический и геометрический смысл. Мы группируем параметры и возводим обе части
в квадрат. Тогда получается следующая последовательность:
𝑧
𝑟=∫
0
1
𝑧+
𝑞
=∫
1
𝑞
√1 − (1 + 𝑞𝑧)2 cos2 𝜃0
=∫
1
𝑧+
𝑞
𝜉𝑑𝜉
√𝜁 2 − 𝜉 2
1
(𝑧 + ) 𝑑𝑧
𝑞
𝑧
(1 + 𝑞𝑧) cos 𝜃0 𝑑𝑧
= − √𝜁 2 − 𝜉 2 |1
0
=
𝑞
√ 2 1 2 − (𝑧 + 1)
𝑞
𝑞 cos 𝜃0
=
2
tan 𝜃0
1
1
−√ 2
− (𝑧 + )
2
𝑞
𝑞 cos 𝜃0
𝑞
2
tan 𝜃0
1 2
1
(𝑟 −
) + (𝑧 + ) = 2
𝑞
𝑞
𝑞 cos2 𝜃0
При взгляде на данное уравнение, становится сразу видно, какая геометрическая фигура
описывается лучом при таком изменении скорости с глубиной. Это ничто иное, как дуга
окружности. При этом центр окружности – это точка 𝑟0 =
1
tan 𝜃0
𝑞
(по горизонтали) и точка 𝑧0 =
1
− 𝑞 (по вертикали), а радиус окружности 𝑅 = |q| cos 𝜃 .
0
Но нам нужно также ввести дополнительное понятие – кривизну луча:
1
𝜕𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃0
= |𝑞|𝑐𝑜𝑠𝜃0 =
𝑅
𝜕𝑧 𝑐0
Если мы говорим про смысл величины 𝑞, то его можно выразить как производную от
скорости звука по глубине, делённую на с0 . Давайте теперь взглянем, какие характерные
особенности здесь возникают. Первое наблюдение, которое мы можем сделать, говорит о том,
что кривизна луча пропорциональна 𝜕𝑐 по 𝜕𝑧. То есть, чем более сильно изменяется скорость
звука с глубиной, тем больше кривизна луча, по которому звук распространяется:
1
𝜕𝑐
=~
𝑅
𝜕𝑧
Второе наблюдение говорит нам о том, что если дробная величина – это константа (мы
зафиксировали скорость изменения скорости звука с глубиной), то максимальная кривизна будет
в том случае, если 𝑐𝑜𝑠𝜃0 = 1. Действительно, это видно из того, что эта величина ограничена
сверху 1. Отсюда следует, что максимально искривляться луч будет в начале своего движения
горизонтально:
1
𝑚𝑎𝑥 ↔ 𝑐𝑜𝑠𝜃0 = 1 ↔ 𝜃0 = 0
𝑅
Теперь предположим обратную ситуацию, где 𝜃0 = 𝜋/2. Естественно, если луч идёт
вертикально вниз, то наши слои никак не будут влиять на распространение звука, ведь угол
падения в каждом случае будет равен 0 (луч не будет преломляться). Тогда косинус равен 0, и
кривизна обращается в 0:
59
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝜃0 =
𝜋 1
⇒ =0
2 𝑅
Последний случай указывает на то, что происходит в точке с глубиной 𝑧0 . Это та точка,
на которой располагается центр окружности, по которой распространяется луч. Если подставить
эту точку в зависимость скорости от глубины, мы узнаем, что скорость в этой точке обращается
в 0. Это замечание будет важно при дальнейшем построении геометрического хода лучей в
водоёме.
𝑐(𝑧0 ) = с0 (1 + 𝑞𝑧0 ) = 0
Давайте теперь перейдём к этому рассмотрению зависимости скорости звука от глубины
(Рис. 4.3). Например, пускай скорость звука с глубиной увеличивается. Такая ситуация
соответствует случаю, когда температура не зависит от глубины (тогда рост скорости звука
может быть обусловлен увеличением гидростатического давления). На глубине 𝑧0 скорость
звука равняется 𝑐0 . Если мы продлим нашу линию до пересечения с осью 𝑧, то эта точка и
определит нам центр окружности.
Рисунок 4.3. Зависимость скорости звука от глубины (1)
О какой окружности речь? У нас возникла новая система координат, где ось 𝑟 направлена
горизонтально, а ось 𝑧 – вертикально (Рис. 4.4). Направим луч, который пойдёт под углом 𝜃0 к
оси 𝑟. Теперь необходимо построить саму окружность, центр которой должен лежать на линии,
где скорость обращается в 0. Нам также нужно найти дополнительную линию, которая поможет
нам определить центр однозначно. Здесь можно воспользоваться свойством, что луч всегда идёт
по касательной к окружности, а касательная всегда перпендикулярна радиусу. Это означает, что
мы можем построить радиус, если построим перпендикуляр к нашему лучу. Тогда точка
пересечения перпендикуляра с прямой даст нам искомый центр окружности – 𝐺.
Из геометрических соображений определим, на каком расстоянии 𝐿 у нас произойдёт
выход луча на изначальный горизонт: 𝐿 = 2𝑅 sin𝜃0 . Теперь предположим, что у нас имеется
некоторая максимальная глубина (водоём ограничен дном в точке 𝐻). Тогда оказывается, что все
60
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
наши окружности не могут быть слишком большими, и есть окружность максимального
1
радиуса, которая ещё не взаимодействует со дном. Такая окружность имеет радиус 𝑅𝑚𝑎𝑥 = 𝑞 +
𝐻. Если мы будем запускать луч по радиусу большему, чем 𝑅𝑚𝑎𝑥 , то такой луч неизбежно будет
взаимодействовать со дном, и закон распространения звука будет иным.
Рисунок 4.4. Окружность с центром в точке 𝑧0 (1)
Теперь давайте попробуем понять, какие характерные расстояния проходит луч в океане.
𝑑𝑐
Для оценок возьмём скорость звука в 1,5 км/с, а обратный градиент 𝑑𝑧 = 0.018𝑐 −1 с углом
1
𝜃0 = 0. Тогда у нас получается, что 𝑅1 = |𝑞| ≈ 83.3 км, что достаточно много. Но это в том
случае, если мы считаем, что никакого взаимодействия со дном не происходит. Если же мы
предположим, что у океана есть заданная глубина 𝐻 = 3.5 км, то окажется, что 𝑅𝑚𝑎𝑥 = 86.8 км.
Эти значения говорят нам о том, что траектория движения звука во многих случаях будет прямой
(луч искривляется весьма медленно).
Теперь узнаем, на каком максимальном расстоянии от источника произойдет выход луча
на поверхность. Можно определить это расстояние просто из геометрии, взяв треугольники из
предыдущего графика, а можно использовать максимальные расстояния и величину 𝑧0 . Тогда
окажется, что, подставляя в формулу вместо 𝑅𝑚𝑎𝑥 разность 𝐻 − 𝑧0 2 и осуществляя раскрытие
скобок под знаком корня, мы получаем следующую формулу:
2𝐻
𝐿𝑚𝑎𝑥 = 2√𝑅2 𝑚𝑎𝑥 − 𝑧 2 0 = 2√𝐻2 − 2𝐻𝑧0 + 𝑧 2 0 − 𝑧 2 0 = 2√𝐻2 − 2𝐻𝑧0 ≈ 2√
≈ 48 км
𝑞
Здесь мы пренебрегаем величиной 𝐻2 . Для данных параметров это расстояние
получается меньшим, чем в предыдущем случае. Если глубина океана достаточная, и источник
располагается вблизи поверхности, то самое далёкое расстояние, на котором звук, испущенный
из источника в разные стороны вглубь водоёма, выйдет на поверхность, будет в точке 48
километров.
61
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Линейное уменьшение скорости с глубиной
Теперь рассмотрим другой случай – линейное уменьшение скорости звука с глубиной. В
общем-то, процедура будет аналогичной. Вот перед нами имеющиеся уравнения, а также
гидрология луча (Рис. 4.5):
𝑟0 =
tan 𝜃0
𝑞
1
1
1
𝜕𝑐 𝑐𝑜𝑠𝜃0
; 𝑧0 = − 𝑞 ; 𝑅 = |q| cos 𝜃 ; 𝑅 = |𝑞|𝑐𝑜𝑠𝜃0 = 𝜕𝑧
0
𝑐0
Рисунок 4.5. Зависимость скорости звука от глубины (2)
Мы должны найти некоторую точку, в которой линейная зависимость пересекает ось 𝑧.
Зададим некоторый угол 𝜃0 и начертим горизонт. Далее надо определить центр окружности (𝐺),
поэтому мы строим перпендикуляр к оси горизонта (в данном случае – вниз). В этом случае звук
идёт по окружности иначе, чем в предыдущем случае. Обратите внимание, что какой-то момент
траектория луча становится вертикальной. Если в предыдущем случае (когда скорость звука с
глубиной увеличивалась) у нас происходил заворот луча наверх, то здесь заворот идёт вниз (угол
падения луча становится близок к 0, и в какой-то момент луч пойдёт вертикально вниз).
Теперь попробуем очертить окружность, в которой мы будем слышать сигнал от нашего
источника. Остальная же область правее этой окружности будет тенью. Пускай ℎ – это глубина,
и коль скоро мы знаем точку 𝑧0 , то мы можем найти расстояние из прямоугольных
треугольников. Раз максимальная длина соответствует тому случаю, когда луч запускается
параллельно поверхности, точка центра оказывается прямо под началом координат на оси 𝑧.
Значит, эти расстояния равны (поскольку это окружность), и тогда искомый катет находится из
теоремы Пифагора. Делая приближение, то есть учитывая, что наш радиус – довольно большая
величина, мы можем записать выражение следующим образом:
2ℎ
𝐿 = √𝑧 2 0 − (ℎ − 𝑧0 )2 ≈ √
𝑞
62
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Здесь надо отметить, что для разговора об акустическом сигнале в области тени нам
нужно уже более точное описание поля (не с помощью лучей, а с помощью полноценного
волнового подхода).
Рисунок 4.6. Окружность с центром в точке 𝑧0 (2)
Теперь продолжим данное построение и попробуем рассмотреть случай, когда источник
и приёмник одновременно погружены на некоторую глубину (Рис. 4.7). То есть, в отличие от
предыдущего случая, источник будет размещаться на глубине ℎ𝑠 . Как тогда нам следует очертить
зону тени? Максимальная окружность будет проходить через точку расположения источника и
при этом будет касаться поверхности. Тогда мы будем интересоваться расстоянием 𝐿. Глубина
в этой точке нам известна – это точка ℎ𝑟 (место нахождения приёмника). Далее, для того, чтобы
найти искомое расстояние, мы воспользуемся двумя возникающими прямоугольными
треугольниками. В одном из них катет от точки 𝐿 до перпендикуляра можно найти по теореме
Пифагора. Во втором из них катет от точки 𝑧0 до перпендикуляра также находим по теореме
Пифагора. Значит для расстояния 𝐿 можно записать формулу, которая может быть
приблизительно упрощена следующим образом:
2ℎ𝑠
2ℎ𝑟
𝐿 = √𝑧 2 0 − (𝑧0 − ℎ𝑠 )2 + √𝑧 2 0 − (𝑧0 − ℎ𝑟 )2 ≈ √
+√
𝑞
𝑞
Кстати, можно обратить внимание, что, когда мы пишем подобные формулы (глубинное
расположение источников и приёмников), получаются такие симметричные выражения. Это в
целом согласуется с принципом взаимности: если мы поменяем местами глубины источника и
приёмника, итоговое поле останется неизменным (при сохранении той же максимальной
глубины).
63
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 4.7. Окружность с центром в точке 𝑧0 (3)
Типичные профили скорости звука
Теперь обратимся к рассмотрению типичных профилей скорости звука. Первый из них –
это так называемый приповерхностный канал (Рис. 4.8). У нас известна глубина водоёма, а также
то, что скорость звука возрастает с глубиной. Это возможно, например, когда происходит
сильное перемешивание верхних слоёв водоёма, обеспечивающее рост скорости звука за счёт
нарастания давления. На графике мы видим различные лучи, выпущенные из некоторого
источника на глубине ℎ. Один из них является максимальным, то есть касается дна.
Рисунок 4.8. Изменение скорости звука в приповерхностном канале
Теперь посмотрим случай, когда скорость звука уменьшается с глубиной, как в случае
антиволноводного распространения (Рис. 4.9). Если бы дна не было, все лучи бы шли по
окружностям, уходящим вниз. Но если дно есть, то надо учесть, например, ситуацию идеального
отражения, когда окружности будут отражаться периодическим образом. Конечно, в таком
случае нам также будет нужно знать свойства дна, которые, очевидно, будут так или иначе
влиять на коэффициент отражения звука и на амплитуду соответствующих полей.
64
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 4.9. Изменение скорости звука при антиволноводном распространении
Билинейный подводный канал
Также давайте посмотрим на другой интересный случай, не затрагиваемый ранее –
подводный звуковой канал. У нас есть два фактора: согласно первому происходит постепенное
уменьшение скорости звука с глубиной, а согласно второму происходит увеличение скорости
звука с глубиной. Первым фактором может быть прогрев верхних слоёв водоёма, а вторым,
например, увеличение давления. Тогда у нас образуется некоторая точка минимума на
некоторой глубине на оси звукового канала. Как можно охарактеризовать такую ситуацию? Один
из способов состоит в том, чтобы задать нулевую глубину (звукового канала), сверху и снизу от
которой скорость звука линейно растёт. Допустим, некоторый луч был выпущен в верхнюю
часть, отклоняясь к области меньшей скорости (к центру). Но попадая на горизонт, он попадает
в нижнюю область, но отклоняясь уже в симметрично противоположную сторону. Поэтому
движение луча будет представлять собой совокупность окружностей. Если же луч пойдёт вниз,
его траектория будет в целом аналогичной. Он не касается поверхности и дна водоёма, и вся
энергия звука будет находиться вблизи оси звукового канала.
Рисунок 4.10. Изменение скорости звука в подводном звуковом канале
65
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Давайте решим задачу о скорости распространения звука в билинейном подводном
канале. Для этого рассмотрим, например, зелёный луч, который был выпущен под углом
скольжения 𝜃0 . Выделим небольшой участок траектории 𝑑𝑠 на данной окружности, которому
будет соответствовать центральный угол 𝑑𝜃. Из геометрических соображений, можно видеть
также угол, равный углу 𝜃0 , направленный к началу участка.
Чтобы посчитать скорость, нам сначала нужно найти время распространения звука по
дуге окружности. Время будет соответствовать интегралу по данной кривой 𝑑𝑠, делённой на
скорость 𝑐(𝑧). Интегрировать мы будем по всему диапазону углов на выделенном участке дуги
окружности. Как видно на графике, угол меняется из положения 𝜃0 до симметричного положения
−𝜃0 . Теперь, чтобы взять нужный интеграл, прежде всего заметим, что расстояние 𝑑𝑠 – это ничто
иное, как 𝑅𝑑𝜃 (по формуле длины дуги). Мы также знаем радиус дуги и 𝑐(𝑧):
𝜃0
𝜃0
−𝜃0
−𝜃0
𝑑𝑠
𝑅𝑑𝜃
𝑡= ∫
= ∫
𝑐(𝑧)
𝑐(𝑧)
𝑅=
1
; 𝑐 (𝑧) = 𝑐0 (1 + 𝑞∆𝑧)
𝑞𝑐𝑜𝑠𝜃0
Для изменения ∆𝑧 можно записать отдельную формулу, где множителем выступает
радиус и косинус угла 𝜃. Эту формулу мы подставляем в формулу для скорости звука (выше), а
её и формулу для радиуса подставляем в конечный интеграл.
∆𝑧 = 𝑅(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃0 )
Тогда мы имеем формулу скорости звука:
𝑐(𝑧) = 𝑐0 [1 + 𝑞𝑅(𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃0 )] = 𝑐0
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃0
Формула с радиусом превращается в два слагаемых внутри скобок, которые взаимно
уничтожаются, и остаётся просто 𝑐0 . Теперь нам нужно упростить входящие в интеграл
выражения. Прежде всего, давайте воспользуемся выражениями для радиуса и для скорости
звука. ∆𝑧 – это расстояние по вертикали от точки, где проходит ось канала, до некоторой точки,
где мы рассматриваем участок 𝑑𝑠. Как посчитать это расстояние? Пользуясь, опять же,
прямоугольными треугольниками и соответствующей разницей катетов 𝑐𝑜𝑠𝜃 и 𝑐𝑜𝑠𝜃0 . Значение
∆𝑧 мы далее подставляем в формулу скорости. Это выражение является очевидным, поскольку
оно выражает ничто иное, как закон преломления Снеллиуса.
Итак, мы подставляем 𝑐(𝑧) в интеграл и получаем сложную формулу:
𝜃0
𝑡= ∫
−𝜃0
𝑑𝜃
𝑞𝑐(𝑧)𝑐𝑜𝑠𝜃0
Теперь подставляем 𝑐0 и видим итоговый результат:
66
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝜃0
𝜃0
−𝜃0
−𝜃0
𝑑𝜃
𝑑𝜃
𝑡= ∫
= ∫
𝑞𝑐(𝑧)𝑐𝑜𝑠𝜃0
𝑞𝑐0 𝑐𝑜𝑠𝜃0
1
От 𝜃 зависит только косинус, соответственно этот интеграл 𝑐𝑜𝑠𝜃 нам нужно как-то взять.
Он оказывается табличным интегралом, где уже подставлены значения, и разность логарифмов
1
преобразована в логарифм частного. 𝑞𝑐 по физическому смыслу может быть преобразована в
0
𝑑𝑐 −1
( ) . Тогда время распространения по окружности будет находимо следующим образом:
𝑑𝑧
𝑡=
1
1 + 𝑠𝑖𝑛𝜃0
𝑑𝑐 −1
1 + 𝑠𝑖𝑛𝜃0
ln (
) = ( ) In (
)
𝑞𝑐0
1 − 𝑠𝑖𝑛𝜃0
𝑑𝑧
1 − 𝑠𝑖𝑛𝜃0
А на какое расстояние по горизонтали распространяется луч, когда он проходит половину
такой окружности (в одном полупространстве относительно горизонта оси подводного звукового
канала)? Из геометрических соображений легко получается следующее выражение:
𝐿 = 2𝑅𝑠𝑖𝑛𝜃0
А теперь, если поделить это расстояние на время, мы получим среднюю скорость
распространения сигнала по горизонтали:
𝑣𝑟 =
𝐿
2𝑅 𝑠𝑖𝑛𝜃0
2 𝑡𝑎𝑛𝜃0
= 𝑞𝑐0
= 𝑐0
1 + 𝑠𝑖𝑛𝜃0
1 + 𝑠𝑖𝑛𝜃0
𝑡
)
)
In (
In (
1 − 𝑠𝑖𝑛𝜃0
1 − 𝑠𝑖𝑛𝜃0
Эта формула недостаточно наглядна, поэтому имеет смысл продублировать эти
выражения численно. Пускай 𝜃0 – это угол, под которым пойдёт луч из источника. Он будет
меняться в различных пределах от 0° до 90°. Когда угол равен 0, луч идёт горизонтально, не
отклоняясь, и тогда скорость распространения сигнала будет равна 𝑐0 . Но что произойдёт в том
случае, если угол будет > 0? Оказывается, что по мере роста угла скорость распространения
достаточно сильно увеличивается. Ясно, что это обеспечивается тем обстоятельством, что если
угол стремится к 90°, тангенс будет стремиться к бесконечности. А логарифм этого отношения
– это всегда ограниченная величина (уменьшает силу зависимости). В итоге образуется
характерный загиб, который видно на графике (Рис. 4.11).
Как это можно объяснить с физической точки зрения? Траектория зелёного луча (Рис.
4.10) действительно гораздо шире траектории красного луча, но при этом можно заметить, что
большую часть своего пути он проходит в диапазоне скоростей, которые больше скорости звука
на оси. Оказывается, что такое увеличение скорости не только компенсирует увеличение пути,
но и даёт существенный рост финальной скорости. Если мы излучим какой-нибудь импульсный
сигнал, то в точке приёма мы будет наблюдать, в первую очередь, сигналы, прошедшие по
максимально отклонённым от оси траекториям. Отклик по сигналу в таком водоёме будет
иметь резко обрывающийся фронт в конце сигнала, в то время как начальный фронт будет
достаточно размытым (поскольку имеют место несколько каналов распространения).
67
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 4.11. График скорости распространения сигнала
В заключение давайте попробуем нарисовать несколько траекторий лучей, которые
распространяются от источника, находящегося не на билинейной оси канала, а несколько выше
него. Окружности мы продлеваем в нижней части рисунка. Оказывается, что в начале пути лучи
идут достаточно кучно, а далее начинают постепенно охватывать всё большую область
пространства. При этом надо обратить внимание на области, в которых происходит сгущение
лучей – каустики. В этих областях интенсивность звука может быть существенно повышена.
Правда вблизи них применение лучевых методов не является оправданным, и для того, чтобы
описывать поле здесь, нам будет необходимо сделать полноценное волновое описание поля.
Этим мы займёмся в следующий раз.
Рисунок 4.12. Каустики
68
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 5. Волновое решение задачи о распространении
звука в слое
В рамках этого занятия мы рассмотрим волновое решение задачи о распространении
звука в слое жидкости.
Постановка задачи
Начальный этап будет состоять в обозначении системных координат и условий среды.
Вертикальная ось координат 𝑧 будет направлена вниз в цилиндрической системе координат (то
есть на оси будет находиться источник звука и где-то за её пределами – приёмник звука)), и у нас
будет зависимость от расстояния по горизонтали – 𝑟.
Теперь нам нужно задать граничные условия:
•
•
𝑧 = 0 (плоскость поверхности водоёма);
𝑧 = 𝐻 (поверхность дна водоёма).
В рамках текущей задачи мы будем рассматривать два случая: 1) дно идеально мягкое; 2)
дно идеально жёсткое. То есть, является ли импеданс дна много большим или много меньшим
импеданса воды.
Рисунок 5.1. Условия в цилиндрической системе координат
Необходимо записать уравнения:
•
Уравнение Гельмгольца для акустического давления:
∆𝑝 + 𝑘 2 𝑝 = 0
где 𝑘 2 – это волновое число (константа), а поле 𝑝 – зависит от координат 𝑟 и 𝑧.
Давайте дополним это уравнение граничными условиями, прежде применив к нему
цилиндрическую систему координат (с соответствующим оператором Лапласа):
69
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
1 𝜕𝑝 𝜕𝑝
𝜕2𝑝
(𝑟 ) + 2 + 𝑘 2 𝑝 = 0
𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑧
По-прежнему берутся двойные частные производные по координатам, но коль скора нет
зависимости от угла, остаются только первые два слагаемых.
•
Граничное условие на поверхности:
𝑝(𝑧 = 0) = 0
Поскольку импеданс воздушной среды гораздо меньше импеданса воды, то это условие
приводит к тому, что давление в заданной точке должно быть равным нулю.
•
Граничное условие на дне:
𝜕𝑝
1) «жёсткая» граница: 𝑣𝑧 (𝑧 = 𝐻) = 0 или 𝜕𝑧 |𝑧 = 𝐻 = 0
Тогда верхняя компонента колебательной скорости в точке 𝑧 = 𝐻 обращается в ноль. На
языке акустического давления формула представлена в дробном виде. Чтобы получить такое
выражение, можно расписать колебательную скорость через потенциал и добавить давление
через потенциал. В однородной среде выразить одно через другое достаточно просто.
2) «мягкая» граница: 𝑝 = 0
Дно может обладать такими свойствами (скорость звука в твёрдой субстанции может
быть меньше, чем скорость звука в воде), например, если в составе дна присутствует множество
пузырьков газа.
Для того, чтобы замкнуть наш ряд условий, необходимо ещё одно уравнение условия.
Оно связано с тем, что уравнение Гельмгольца – это уравнение второго порядка, то есть имеет
два линейно независимых решения. И мы можем выбирать одно из этих решений, но так, чтобы
оно соответствовало разумным физическим принципам. Такое соответствие выражено в
следующем условии:
•
На бесконечности волна является расходящейся
То есть, мы будем рассматривать такие волновые процессы, когда волна исходит из
источника, расположенного в начале координат, и энергия волны уходит в бесконечность.
Вторая же возможность реализуется тогда, когда у нас есть какие-то источники на
бесконечности, и от них мы регистрируем приходящее поле вблизи начала координат.
Разделение переменных
Теперь приступим к решению задачи.
1 𝜕𝑝 𝜕𝑝
𝜕2𝑝
(𝑟 ) + 2 + 𝑘 2 𝑝 = 0
𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟
𝜕𝑧
70
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Стандартный способ решения заданного дифференциального уравнения – это метод
разделения переменных. Представим, что давление 𝑝 зависит от двух пространственных
координат следующим образом:
𝑝 = 𝑅 (𝑟)𝑍(𝑧)
То есть, мы представляем давление в виде произведения двух функций. В разных частях
уравнения будут браться либо производные по 𝑅, либо производные по 𝑍. Тогда выражение
может быть упрощено:
𝑍
(𝑟𝑅′ )′ + 𝑅𝑍 ′′ + 𝑘 2 𝑝 = 0
𝑟
Для использования метода разделенных переменных мы группируем слагаемые таким
образом, чтобы в одной части уравнения были те из них, которые зависят только от одной
координаты. Если нам удастся это сделать, то окажется, что левая часть уравнения зависит от 𝑅
и не зависит от 𝑍, а правая, наоборот, зависит от 𝑍 и не зависит от 𝑅, и их равенство возможно
только в том случае, когда и левая, и правая части уравнения одновременно не зависят ни от 𝑅,
ни от 𝑍 (равны константе). Тогда вместо одного уравнения мы получим систему
дифференциальных уравнений.
Итак, мы группируем слагаемые:
1 ′′
1
(𝑍 + 𝑘 2 𝑍) = − (𝑟𝑅′ )′ = 𝑚 2
𝑍
𝑟𝑅
Тогда система из двух дифференциальных уравнений будет иметь вид:
𝑅′
+ 𝑚2 𝑅 = 0
{
𝑟
𝑍 ′′ + (𝑘 2 − 𝑚 2 )𝑍 = 0
𝑅′′ +
Заметим, что скобка в правой части уравнения группировки была раскрыта по правилу
производной произведения. Теперь посмотрим на получившиеся два уравнения.
Первое из них является классическим уравнением для цилиндрических функций (функции
Бесселя, функции Неймана, а также функции Ханкеля первого и второго рода). Давайте запишем
решение первого уравнения для функции Ханкеля первого рода. Уравнение второго рода
отсутствует здесь, потому что волна на бесконечности расходится (что описывается функцией
Ханкеля 1-го рода). А функция Ханкеля 2-го рода описывает сходящуюся из бесконечности
волну. Соответственно, пользуясь заданным условием, мы выделили только одно решение из
двух как удовлетворяющее нашим условиям. Второе уравнение оказывается стандартным
уравнением, решением которых являются синусы/косинусы (уравнение на тригонометрические
функции), что можно записать через экспоненты.
{
𝑅(𝑟) = 𝐻0 (1) (𝑚𝑟)
𝑍(𝑧) = 𝐴 exp(𝑖𝑙𝑍) + 𝐵 exp(−𝑖𝑙𝑍)
71
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑙 = √𝑘 2 − 𝑚 2
Если даже задать дополнительную константу для верхнего уравнения, мы не потеряем
общности, так как две константы 𝐴 и 𝐵 уже позволяют нам задать любую амплитуду волны.
Поэтому на данном этапе достаточно просто указать константу 𝑅 с амплитудой = 1, а
конкретные значения будут получаться уже при рассмотрении 𝑍.
Случай первый: «жёсткая» нижняя граница
Для того, чтобы определить наши константы, нам нужно будет учесть дополнительные
уравнения, а именно – граничные условия. В первом случае – это «жёсткая» нижняя граница.
𝑅(𝑟) = 𝐻0 (1) (𝑚𝑟)
𝑍(𝑧) = 𝐴 exp(𝑖𝑙𝑧) + 𝐵 exp(−𝑖𝑙𝑧)
𝑍(0) = 0
𝜕𝑍
|𝑧 = 𝐻 = 0
{
𝜕𝑧
Последние три уравнения данной системы должны помочь нам определить, какова
реализуемая функция 𝑍. Давайте подставим нулевое значение 𝑍 в формулу. Обратим внимание,
что во втором уравнении мы подставили 𝑍 = 𝐻. Минус образовался за счёт того, что мы берём
производную. Давайте также учтём, что – 𝐵 можно заменить на 𝐴, которое сокращается. А сумма
экспонент есть ничто иное как cos (𝑙𝐻). Отсюда мы расписываем дальнейшее решение
уравнения, где 𝑛 есть некоторое произвольное целое число. Значит, в данной задаче оказывается,
что есть не одно решение, но счётный набор решений, заданных индексом 𝑛. И у каждого из
таких решений будет своё значение параметра 𝑙𝑛 . Теперь найдем 𝑚𝑛 через выражение во втором
уравнении. А коль скоро мы находим 𝑚𝑛 , то подставляем его в формулу функции Ханкеля 𝑅(𝑟)
и получаем в итоге, что она определяется также параметром 𝑛.
𝐴 + 𝐵 = 0; ⇒ 𝐴 = −𝐵
1 𝜋
𝐴 exp(𝑖𝑙𝐻) − 𝐵 exp(−𝑖𝑙𝐻) = 0; ⇒ cos(𝑙𝐻) = 0; ⇒ 𝑙𝑛 = (𝑛 − )
2 𝐻
{
1 2 𝜋 2 𝜆 2
𝑚𝑛 = √𝑘 2 − 𝑙 2 𝑛 = 𝑘 √1 − (𝑛 − ) ( ) ( )
2
𝐻
2𝜋
При нахождении 𝑚𝑛 𝑘 был вынесен за знак корня, и в скобках появилась обратная
величина для 𝑘. Теперь посмотрим на то, какие же значения будут в нашем случае. У нас есть 𝑙𝑛
(не зависит от свойств распространяющейся волны: какая бы частота волны ни была, параметр
определяется только номером 𝑛 и глубиной водоёма 𝐻. Величина 𝑚𝑛 же зависит от частоты (𝑘 =
𝜔
, где с – это скорость звука в жидкости), и, кроме того, определяется выделенным корнем. Этот
𝑐
корень зависит от глубины 𝐻 и длины волны 𝜆. Под корнем у нас стоит единица минус некая
неотрицательная величина. Это означает, что какие бы мы ни взяли 𝐻 и 𝜆, при достаточно
большом 𝑛 произведение под корнем станет > 1. Когда это случится, величина под корнем
станет отрицательной, а 𝑚𝑛 – мнимой.
72
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Итак, 𝑚𝑛 – действительная величина:
𝑅𝑒 𝑚𝑛 > 0 при 𝑙𝑛 < 𝑘
В противном случае, когда 𝑚𝑛 – мнимая величина, знаки будут расставлены иным
образом:
Im 𝑚𝑛 > 0 при 𝑙𝑛 > 𝑘
Это делается для того, чтобы волновой процесс, который мы описываем, представлял
собой некоторую волну с амплитудой, убывающей по направлению к источнику. Теперь давайте
запишем решение:
𝑝𝑛 = 𝐴𝑛 𝐻0
(1)
(𝑚𝑛 𝑟) ∙ 2 sin( 𝑙𝑛 𝑧)
Здесь отражена зависимость давления от горизонтальной (с помощью функции Ханкеля
нулевого порядка первого рода) и вертикальной координат. Теперь надо понять, как функция
Ханкеля зависит от расстояния. Вообще, нужно вспомнить, что эта функция представляет собой
сумму функций Бесселя (синий цвет на графике) и Неймана (красный цвет на графике), которые
умножены на −1 (комплексная функция). Видно, что при достаточно больших значениях
аргумента эти функции ведут себя очень похоже на тригонометрические функции.
Рисунок 5.2. График для функции Ханкеля
Действительно, для асимптотики функции Ханкеля на больших расстояниях при 𝑚𝑛 𝑟 ≫
1 можно записать следующее выражение:
2
π
𝑝𝑛 = 2𝐴𝑛 √
exp (𝑖𝑚𝑛 𝑟 − sin( 𝑙𝑛 𝑧)
𝜋𝑚𝑛 𝑟
4
На самом деле это наблюдение является не совсем полным, потому что амплитуда этих
функций не постоянна, а убывает при увеличении 𝑟 как
1
√𝑟
. Это обеспечивает так называемую
цилиндрическую расходимость волны. В нашем решении есть некоторая амплитуда, волна с
убывающей амплитудой, фаза волны и зависимость по глубине. При этом надо обратить
внимание, что при подставлении 𝑧 = 0 синус автоматически даёт условие на поверхности
73
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
жидкости (давление обращается в ноль). Если же мы подставим 𝑧 = 𝐻, и при любом 𝑛 мы
получим ±1. Такие значения 𝑙𝑛 будут давать максимум давления на нижней границе
(одновременно в ноль будет обращаться производная давления по глубине).
Фактически, как уже говорилось, поле в водоёме будет представлено не единичной
функцией, но суммой всех возможных функций заданного вида при разных значениях 𝑛. В связи
с этим можно дать определение. Нормальная волна (мода) – волновой процесс с определенной
зависимостью поля от вертикальной координаты, которая остается неизменной по мере
удаления от источника сигнала. Соответственно, и записанное ранее решение, и его
приближение представляют собой нормальные волны. Общий волновой процесс будет их
суммой с некоторыми коэффициентами (для параметра 𝐴𝑛 ).
Отчего в данном случае зависят коэффициенты? Они определяются источником поля.
Доселе мы рассматривали поле без источника, в свободной среде, не говоря об особенностях
возникновения волны. Если же мы в уравнении Гельмгольца вместо нулевой правой части
положим некоторый источник, тогда нам нужно будет наложить дополнительное условие, чтобы
все волны складывались определенным образом.
Давайте нарисуем профили акустического давления в зависимости от номера моды (Рис.
5.3). Допустим, 𝑛 = 1. Тогда профиль – это некоторый отрезок синусоидальной зависимости,
который всегда исходит из точки и должен прийти в точку максимума. Для 𝑛 = 2 получается
одно пересечение нуля и далее вновь максимум. И так далее, для больших значений 𝑛 = 2, 𝑛 =
3. Обратите внимание, сколько точек в нашем водоеме имеет нулевое значение давления. Это
количество равно номеру моды (числу 𝑛).
Рисунок 5.3. Профили давления в зависимости от номера моды
Теперь посмотрим, как мода распространяется по горизонтали. Здесь нас будут
интересовать такие величины, как фазовая и групповая скорости волны. В обычном определении
мы берем частоту и делим на волновое число в данной среде (для фазовой скорости), либо
производную (для групповой скорости). Но когда мы рассматриваем распространение сигнала
по горизонтальной координате, вдали от источника зависимость имеет вид 𝑒 = 𝑚𝑟. То есть, 𝑚
74
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
играет роль горизонтального волнового числа. Соответственно, мы указываем этот параметр в
знаменателе вместо 𝑘. Первый вариант формулы для фазовой скорости отражает зависимость от
длины волны. Во втором варианте мы длину волны выражаем через частоту, и тогда формула
имеет иной вид.
𝜔
1 2 𝜆 2
𝑐ph,𝑛 =
= 𝑐0 [1 − (𝑛 − ) ( ) ]
𝑚𝑛
2
2𝐻
−1/2
=
1 2 𝑐0 𝜋 2
) ]
= 𝑐0 [1 − (𝑛 − ) (
2
𝜔𝐻
−1/2
Теперь напишем уравнение для групповой скорости волны:
2
1/2
2
∂ (𝑐0 √𝑚𝑛 + 𝑙𝑛 )
∂𝜔
𝑚𝑛
1 2 𝑐0 𝜋 2
) ]
𝑐g,𝑛 =
=
= 𝑐0
= 𝑐0 [1 − (𝑛 − ) (
∂𝑚𝑛
∂𝑚𝑛
𝑘
2
𝜔𝐻
𝑐ph,𝑛 𝑐g,𝑛 = 𝑐02 𝑐ph,𝑛 > 𝑐0 ; 𝑐g,𝑛 < 𝑐0
Здесь мы вновь указываем параметр 𝑚 в знаменателе вместо 𝑘 Вспомним также, что 𝜔
может быть выражена через фазовую скорость звука в однородной среде 𝑐0 и полное волновое
число. Записать формулу для полученной величины довольно легко, и она оказывается похожа
на фазовую скорость, с отличием в знаке степени. Отсюда есть несколько важных следствий:
𝑐ph,𝑛 𝑐g,𝑛 = 𝑐02 (пропадает всякая зависимость)
• 𝑐ph,𝑛 > 𝑐0 ∶ 𝑐g,𝑛 < 𝑐0
•
Таким образом, фазовая и групповая скорости будут всегда расположены с разных сторон
от скорости звука в однородной среде. Кроме того, надо отметить, что групповая скорость – это
скорость, с которой распространяется некоторый волновой «пакет» (такой узкополосный сигнал,
который резко ограничен по частоте, с узкой огибающей). Соответственно, если предположить,
что в среде распространяется некоторый волновой «пакет», то энергия, которую он несет в себе,
сосредоточена в этом самом «пакете». Поэтому групповая скорость распространения равна
энергии. С другой стороны, можно говорить о том, что волновой «пакет» несет некоторую
информацию. Следовательно, групповая скорость – это та скорость, с которой передается
информация от источника к приемнику. Раз это физически ощутимые величины, то понятно, что
они не могут передаваться со сколь угодно большой скоростью. С другой стороны, фазовая
скорость волны – это другая физическая величина, которая не связана с этими величинами. А раз
это так, то допустима ситуация, когда фазовая скорость является бесконечной. Помня это важное
различие, мы никогда не запутаемся между этими двумя скоростями.
Случай второй: «мягкая» нижняя граница
Перейдем теперь к случаю «мягкой» нижней границы. Уравнения здесь остаются
прежними, и принцип вывода здесь также аналогичный. Поэтому мы запишем только конечные
пункты вывода. Итак, давление на поверхности и на дне обращается в ноль. Мы вновь применяем
решение с помощью метода разделения переменных с двумя граничными условиями. Отличие
75
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
от предыдущей системы уравнений видно только в уравнении с 𝑍 = 𝐻 (где знак – меняется на
+). Поэтому в этом условии получается синус, а значит меняется значение 𝑙𝑛 , из которого мы
находим также 𝑚𝑛 , вынося волновое число 𝑘 за знак корня.
𝐴 + 𝐵 = 0; ⇒ 𝐴 = −𝐵
𝐴 exp(𝑖𝑙𝐻) + 𝐵 exp(−𝑖𝑙𝐻) = 0; ⇒ 𝑠𝑖𝑛(𝑙𝐻) = 0; ⇒ 𝑙𝑛 =
𝑚𝑛
= √𝑘 2 − 𝑙 2
√
𝑛 = 𝑘 1−(
𝜋𝑛
𝐻
𝜋𝑛 2 𝜆 2
𝜆 2
√
) ( ) = 𝑘 1−( )
𝐻
2𝜋
2𝜋
Теперь давайте порассуждаем о том, какие здесь возможны реализации. Также, как для
жесткой нижней границы, при больших значениях 𝑛 произведение под корнем станет > 1. При
этом знак определяется следующими условиями:
𝑅𝑒 𝑚𝑛 > 0 при 𝑙𝑛 < 𝑘
Im 𝑚𝑛 > 0 при 𝑙𝑛 > 𝑘
Это делается для того, чтобы волновой процесс, который мы описываем, представлял
собой некоторую волну с амплитудой, убывающей по направлению к бесконечности. Теперь
запишем решение:
𝑝𝑛 = 𝐴𝑛 𝐻0
(1)
(𝑚𝑛 𝑟) ∙ 2 sin( 𝑙𝑛 𝑧)
Пользуясь асимптотикой функции Ханкеля, на больших расстояниях при 𝑚𝑛 𝑟 ≫
1 можно записать следующее выражение, удовлетворяющее граничным условиям на
бесконечности:
2
π
𝑝𝑛 = 2𝐴𝑛 √
exp (𝑖𝑚𝑛 𝑟 − sin( 𝑙𝑛 𝑧)
𝜋𝑚𝑛 𝑟
4
Подставляя это уравнение в уравнение Гельмгольца, мы с вами обнаружим, что
последнее обращается в тождество (то есть, что решение правильно). Теперь посмотрим, как
ведут себя графики для каждой из мод (Рис. 5.4). Для 𝑛 = 1 отличие от предыдущего случая в
том, что синус обращается в ноль как сверху, так и снизу. Для 𝑛 = 2 добавляется ещё один ноль
(так называемый «узел»), для 𝑛 = 3 ещё один ноль, и так далее. В данном случае правило гласит,
что количество нулей на единицу больше номера моды.
На этом же графике можно посмотреть изменение колебательной скорости от глубины.
Если посмотреть на вертикальную компоненту скорости, нам нужно продифференцировать
зависимость скорости по глубине. Эти зависимости будут описываться функциями типа
косинуса (синий цвет на рисунке). Если говорить о количестве нулей, характеризующем каждую
из зависимостей колебательных скоростей, то оказывается, что здесь число нулей соответствует
номеру моды.
76
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 5.4. Профили давления и колебательной скорости для «мягкой» границы
Такие графики бывают также нужны, когда в эксперименте необходимо померить какоето поле. Если мы знаем, что распространяется какая-то одна мода, и знаем её профиль, то нам
также известно, на какую глубину следует поместить приемник для того, чтобы он эффективно
принимал сигнал. Например, для моды 𝑛 = 1 приемник следует помещать на середину глубины.
Кстати, при таком размещении приемника будет слышен только сигнал, соответствующий 1-й,
3-й, 5-й и так далее модам (то есть, только нечётные моды).
Теперь посмотрим, как сигнал распространяется вдоль оси 𝑟. Для этого мы берем
фазовую и групповую скорости волны. Имеют место аналогичные формулы, за небольшим
отличием: в данном случае в числителе 𝜋𝑛.
𝜔
𝜆 2
[1
𝑐ph,𝑛 =
= 𝑐0 − ( ) ]
𝑚𝑛
2𝐻
−1/2
=
𝑐0 𝜋𝑛 2 −1/2
) ]
= 𝑐0 [1 − (
𝜔𝐻
Теперь напишем также уравнение для групповой скорости волны:
∂𝜔
𝑚𝑛
𝑐0 𝜋𝑛 2 1/2
) ]
= 𝑐0
= 𝑐0 [1 − (
∂𝑚𝑛
𝑘
𝜔𝐻
𝑐ph,𝑛 𝑐g,𝑛 = 𝑐02 𝑐ph,𝑛 > 𝑐0 ; 𝑐g,𝑛 < 𝑐0
𝑐g,𝑛 =
Здесь точно так же выполняются те наблюдения, которые были характерны для
предыдущего случая:
•
•
𝑐ph,𝑛 𝑐g,𝑛 = 𝑐02
𝑐ph,𝑛 > 𝑐0 ∶ 𝑐g,𝑛 < 𝑐0
77
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Также вновь подчеркнем, что групповая скорость связана с переносом информации и
энергии (имеет серьезный физический смысл), поэтому ограничена в значении, в то время как
фазовая скорость может быть бесконечной.
Критические частоты и длины волн
Теперь давайте посмотрим на значения 𝑛, которые могут реализовываться для мод. Для
этого надо ответить на вопрос о том, какие типы колебаний могут в принципе распространяться
в водоеме. Действительно, начиная с некоторого 𝑛, выражения под корнем (для горизонтального
волнового числа 𝑚) станет отрицательным (то есть, само волновое число станет мнимым). Оно
входит в формулу как 𝑒 𝑖𝑚𝑟 , и тогда наше поле экспоненциально затухает с расстоянием. Такая
волна не распространяется. Это означает, что у нас всегда найдется некоторое 𝑛𝑚𝑎𝑥 .
Остановимся на этом вопросе подробнее.
Пусть 𝑛′ = 𝑛 − 1/2 для «жесткой» нижней границы, а 𝑛′ = 𝑛 для «мягкой» нижней
границы. Тогда параметры 𝑙 и 𝑚 будут иметь следующий вид:
2
𝜋𝑛′
𝜆𝑛′
𝑙𝑛 =
; 𝑚𝑛 = 𝑘√1 − ( )
𝐻
2𝐻
Если под корнем неотрицательное число, тогда мы получаем условия и следующие
значения 𝑚 и 𝑝(𝑟):
Если
𝜆𝑛′
2𝐻
exp(𝑖 |𝑚𝑛 |𝑟)
< 1, т.е. 𝜆 < 𝜆𝑛′ = ′ , то 𝑚𝑛 ∈ ℜ и 𝑝(𝑟) ∼
.
2𝐻
𝑛
√𝑟
Если же под корнем отрицательное число, то мы, исходя из правила выбора знака
выбираем +, и тогда 𝑚𝑛 чисто мнимое, и значение 𝑝(𝑟) меняется:
Если
𝜆𝑛′
2𝐻
exp(−|𝑚𝑛 |𝑟)
> 1, т.е. 𝜆 > 𝜆𝑛′ = ′ , то 𝑚𝑛 ∈ ℑ и 𝑝(𝑟) ∼
.
2𝐻
𝑛
√𝑟
Это нераспространяющаяся волна, которая не будет иметь место в нашем водоеме. Такие
волны можно наблюдать только вблизи источника, на значимом же удалении мы их не услышим.
Поэтому данное значение длины волны 𝜆𝑛′ является критическим.
4𝐻
2𝐻
В итоге мы имеем 𝜆𝑛 = 2𝑛−1 для «жесткой» и 𝜆𝑛 = 𝑛 для «мягкой» нижней границы.
Критическая длина волны – максимальная длина волны, для которой данная мода является
распространяющейся. Волны большей длины волны уже относимы к категории
нераспространяющихся волновых процессов. Коль скоро у нас имеется некоторая длина волны,
её можно также связать с частотой: у нас есть связь частоты волнового процесса со скоростью
звука в среде и длиной волны. По данному соотношению мы получаем критические частоты:
𝑓𝑛 = 𝑐0 /𝜆𝑛
78
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Критическая частота – минимальная частота, на которой данная мода является
распространяющейся. Также вспомним, что модуль |𝑛| есть некоторое целое число, причем во
все формулы он входит в квадрате (натуральное число). Коль скоро это так, мы можем
рассмотреть частоты всех мод и выбрать среди них минимальные. Частота отсечки –
минимальная частота, на которой возможно распространение мод.
Настало время посмотреть на ситуацию под другим углом. Итак, на фиксированной
частоте 𝑓 распространяются моды 𝑓𝑛 < 𝑓. Теперь с точки зрения критических частот попробуем
описать наши случаи для «жесткой» и «мягкой» границ:
𝑐0
2𝑛 − 1
< 𝑓;
4𝐻
𝑛𝑚𝑎𝑥 =
2𝐻 1
+
𝜆
2
𝑛𝑚𝑎𝑥 =
2𝐻
𝜆
и
𝑐0
𝑛
< 𝑓;
2𝐻
Отсюда мы видим, что номер моды не может быть больше значения 𝑛𝑚𝑎𝑥 , иначе мода
становится нераспространяющейся.
Дисперсионные зависимости
Теперь рассмотрим все эти процессы наглядно с помощью дисперсионных зависимостей
(Рис. 5.5). У нас есть два случая: 1) дно жесткое и 2) дно мягкое. По вертикальной оси будем
откладывать скорость звука в однородной водной среде 𝑐0 . По горизонтальной оси мы будем
откладывать частоты 𝜔. И, согласно нашим формулам, также отложим зависимость групповой
скорости (синий цвет) и фазовой (красный цвет) скоростей от частоты.
Рисунок 5.5. Графики дисперсионных зависимостей
79
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
У этой диаграммы достаточно много особенностей, которые нужно заметить. Первое, что
мы видим – это то обстоятельство, что каждое решение представляет собой пару «ветвей»
(фазовой и групповой скоростей). Так каждая пара здесь соответствует определенной моде
колебаний, которые распространяются в нашем водоеме. То есть, мы сразу фиксируем модовый
характер поля. Далее групповая скорость все время меньше фазовой скорости – это проявление
фактора того, что произведение этих скоростей должно быть равно с0 2 . При этом групповая
скорость всегда конечна и < с0 , а фазовая, наоборот, > с0 и устремляется к бесконечности. Для
каждой пары существует некая частота, ниже которой график не присутствует. То есть, у нас
здесь нет изображения волнового процесса. Иными словами, каждая из этих частот является
критической. Есть минимальная критическая частота 𝜔1 , ниже которой не распространяются
никакие волны.
Ещё одна особенность состоит в том, что фазовая и групповая скорости всех мод сходятся
на бесконечности к скорости звука с0 (характерной для однородной бесконечной среды). То есть,
по мере роста частоты, длина волны уменьшается, а среда волнового процесса уже слабо
отличается от ничем не ограниченной среды. Граничные условия же проявляются
непосредственно вблизи критических частот. И последнее, что надо отметить: расположение
критических частот у «мягкого» и «жесткого» дна разная. Обратите внимание, что частота 𝜔1 в
первом случае в два раза меньше. Этот сдвиг продолжает наблюдаться и для всех последующих
частот.
Надо сказать, что подобные графики показательны в отношении критических частот,
количества распространяющихся колебаний, значения фазовой и групповой скоростей. Если
такие дисперсионные зависимости установлены, по ним можно довольно много сказать о
характере водоема и свойствах дна.
Интерференция мод
Теперь представим себе следующую задачу. Пусть у нас распространяется
одновременно несколько мод в водоеме. Если мы вспомним определение моды, то выяснится, что
это некоторый физический процесс, который распространяется при сохранении постоянной
зависимости акустического поля от вертикальной координаты. Если рассмотреть фазовую
скорость, то для разных мод она оказывается разной (в силу разного горизонтального волнового
числа). Отсюда следует, что набег фазы, который будет приобретать каждая из мод при
прохождении заданного расстояния ∆𝑟 тоже будет разным. Соответственно, если в начале
предположить разницу фазы, равную нулю, то по прохождении заданного расстояния разница
будет иметь вид:
∆𝜙 = (𝑚𝑖 − 𝑚𝑗 )∆𝑟
где 𝑖 и 𝑗 – номера неких мод.
Давайте посмотрим, что происходит в случае, если в водоеме распространяется всего две
моды, и какие значения сдвига фазы при этом наблюдаются. При ∆𝜙 = 0 профиль будет
выглядеть соответствующим образом (Рис. 5.6). По прохождении расстояния, при ∆𝜙 = 𝜋/2
профиль сильно меняется, как и в случаях ∆𝜙 = 𝜋 и ∆𝜙 = 3𝜋/2, и так далее. Каждый раз мы
80
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
получаем новый профиль. Таким образом, волновой процесс, в котором присутствует сразу
несколько мод, будет характеризоваться существенным изменением профиля акустической
волны в зависимости от расстояния до источника.
Рисунок 5.6. Интерференция мод
Данное является называется интерференцией мод, и ее необходимо учитывать. Нам
нужно отделять одну моду от другой, тогда мы сможем достаточно много сказать об
исследуемом водоеме. В противном случае мы имеем очень разные профили в зависимости от
точки измерения. Как же отделить одну моду от другой? Например, если мы измеряем поле в
одной точке (центр водоема), то отделить не получится, так как с помощью разных наборов мод
можно получить одно и то же значение. А если мы принимаем поле целой антенной из
приемников, которые занимают всю глубину водоема, тогда мы можем отделить моды. В таком
случае мы вспоминаем, что каждая мода имеет по вертикали вид тригонометрической функции
(например, синуса), и для того, чтобы отделить одну моду от другой, нужно определить
пространственную частоту этой функции (синуса). Фактически, нужно выполнить нечто вроде
преобразования Фурье. При выполнении такой процедуры мы получаем амплитуды каждой моды
в отдельности.
Модообразующие лучи
Теперь давайте поговорим о смычке подхода, основанного на описании мод, и подхода,
основанного на описании лучей. Для этого нам потребуется написать несколько уравнений:
(1)
𝑝𝑛 = 𝐴𝑛 𝐻0 (𝑚𝑛 𝑟) ⋅ 2sin (𝑙𝑛 𝑧)exp (−𝑖𝜔𝑡) ∼
∼
1
√𝑟
[exp (𝑖𝑚𝑛 𝑟 + 𝑖𝑙𝑛 𝑧 − 𝑖𝜔𝑡) − exp (𝑖𝑚𝑛 𝑟 − 𝑖𝑙𝑛 𝑧 − 𝑖𝜔𝑡)]
sin 𝜃𝑛 = ±
𝑙𝑛
𝑘
Мы записывали ранее формулу поля, говоря, что для больших расстояний функция
Ханкеля
будет
представляться
пропорциональности,
и
тогда
в
виде
остаётся
1
√𝑟
𝑒 𝑖𝑚𝑛 𝑟 .
множитель
81
Давайте
опустим
критической
коэффициент
расходимости
и
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
экспоненциальная зависимость. А синус мы будем также расписывать в виде двух экспонент
𝑙
± 𝑘𝑛. Если посмотреть на общую формулу, то видно, что она представляет собой сумму двух
плоских волн. Эти волны распространяются под углом 𝜃𝑛 по горизонтальной плоскости.
Соответственно, геометрически у нас есть две волны (синяя и красная), горизонтальное волновое
число 𝑚𝑛 и вертикальное волновое число 𝑙𝑛 и треугольник, дающий нам информацию о характере
распространения волн.
Рисунок 5.7. График для двух волн
Этот график можно трактовать следующим образом. Каждая из мод представляет собой
некоторую пару лучей, распространяющихся симметрично относительно всех горизонтальных
плоскостей. Они по очереди взаимодействуют с поверхностью и дном водоема (отражаются),
образуя некую интерференциальную структуру, которая дает ту зависимость акустического
давления от вертикального волнового показателя.
Поле в слое как сумма мод
А как нам поступать в том случае, когда нам нужно описать поле некоторого источника
с большим количеством мод? Тогда поле 𝑝 будет представимо в виде суммы по всем модам 𝑝𝑛 ,
где номер моды изменяется в пределах единицы до некоторого максимального значения. Каждая
мода описывается данной функцией с зависимостью от глубины и горизонтальной координаты:
𝑛𝑚𝑎𝑥
(1)
𝑝 = ∑ 𝑝𝑛 ; 𝑝𝑛 = 𝐴𝑛 𝐻0 (𝑚𝑛 𝑟) ⋅ 2sin (𝑙𝑛 𝑧)
𝑛=1
Каждую моду характеризует амплитуды возбуждения, которые зависят от условий
возникновения конкретной моды. Для того, чтобы их определить, нам нужно решить уравнение
Гельмгольца с ненулевой правой частью. Я приведу здесь результат в том случае, когда у нас есть
единственный точечный источник, который располагается на глубине 𝑧0 . Для коэффициента
излучателя 𝐴𝑛 выполнено следующее равенство:
𝐴𝑛 =
2𝜋𝑖
sin (𝑙𝑛 𝑧0 )
𝐻
Воспользуемся этим равенством и посмотрим, чему будет равно поле точечного
излучателя:
𝑛𝑚𝑎𝑥
2𝜋𝑖
∑ 𝐻0(1) (𝑚𝑛 𝑟)sin (𝑙𝑛 𝑧)sin (𝑙𝑛 𝑧0 )
𝑝=
𝐻
𝑛=1
82
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Под знаком суммы остаются, как видим, три элемента. Теперь мы можем перейти к
случаю, когда расстояние между источником и приемником звука достаточно большое:
При 𝑚𝑛 𝑟 ≫ 1: 𝑝 =
1
𝑛𝑚𝑎𝑥
∑ Φ𝑛 (𝑧, 𝑧0 , 𝑚𝑛 )exp (𝑖𝑚𝑛 𝑟)
√𝑟 𝑛=1
В получившемся выражение одна величина будет определять фазу моды, а функция от
трех переменных будет определять амплитуду данного процесса. Чему равна эта функция?
1
2
𝑖𝜋 2𝜋 2
ɸ𝑛 (𝑧, 𝑧0 , 𝑚𝑛 ) = exp ( ) ( ) sin (𝑙𝑛 𝑧)sin (𝑙𝑛 𝑧0 )
𝐻
4 𝑚𝑛
Мы видим произведение двух синусов с вертикальным волновым числом 𝑙𝑛 и глубинами
𝑧 (в которой мы измеряем поле) и 𝑧0 (глубина источника). Обратите внимание, что из этой
формулы следует так называемый принцип взаимности: если мы поменяем местами источник и
приемник, регистрируемое поле останется прежним. Даже если мы бы проигнорировали
формулу для 𝐴𝑛 , мы бы смогли вывести её из синусоидальной зависимости поля от координаты
расположения точки регистрации сигнала.
Эксперимент: место проведения
Давайте теперь внесем некоторое количество экспериментальных данных. В нашей
лаборатории мы проводили много экспериментов на различных мелководьях Подмосковья. На
рисунке приведен водоем – карьер Сима, расположенный под Звенигородом и имеющий
установленные размеры (Рис. 5.8). Он окружен болотистым участком, а его глубина составляет
1 м. Эксперименты по большей части заключались в установлении некоторого приемника звука
и продвижении источника по некоторой траектории, с измерением сигнала по данному пути. На
рисунке отображены составленные трассы, и хотелось бы охарактеризовать полученные
зависимости.
Рисунок 5.8. Карьер Сима
Рисунок 5.9. Пространственные координаты
для исследуемого водоема
Мы записывали сразу несколько каналов, отличающихся глубиной расположения
приемника (многоканальное оборудование). Для того, чтоб записать звук в нескольких точках,
была задействована надувная лодка, которая перемещалась между всеми точками под силой
ветра.
83
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Эксперимент: спектрограмма записанного сигнала
Итак, мы видим несколько записанных сигналов от источника. Представлена диаграмма
зависимости акустического давления от времени (Рис. 5.10), а также спектрограмма данного
сигнала (Рис. 5.11).
Рисунок 5.10. Диаграмма зависимости акустического давления от времени для записанного
сигнала
Рисунок 5.11. Спектрограмма записанного сигнала
Спектрограмма по сути отражает зависимость содержания разных частотных
компонент сигнала от времени. На графике видно, что два импульса имеют разную форму. А с
точки зрения спектрограммы, всё становится ясно. В разные моменты времени нам приходят
сигналы разных частот. И если в водоеме могут присутствовать одновременно несколько мод, то
зависимость прихода сигнала каждой моды от времени будет каждый раз разной (потому что
у волн разная скорость). Получается, что наибольшая групповая скорость – это скорость, которая
соответствует скорости распространения звука в однородной бесконечной среде. С такой
скоростью приходят (если вспомнить графики дисперсионных зависимостей) волны самых
больших частот.
Далее начинают приходить волны все более низких частот (для которых групповая
скорость меньше). Соответственно, все больше времени требуется на их приход. На
спектрограмме эту зависимость мы и видим: слева идет одна мода (может распространяться на
более низких частотах), и под ней другая мода. А на втором сигнале мы видим распространение
84
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
только одной моды. Соответственно, спектрограмма – это второй способ, по которому можно
проводить разделение мод даже в случае с одним источником.
Дисперсионные зависимости в теории и в эксперименте
Мы проводили ряд измерений и откладывали зависимость регистрируемой скорости
звука от частоты (для одной моды). На рисунке разными цветными точками обозначены
экспериментально полученные данные, а красная кривая – это теоретическая зависимость,
соответствующая тому, что дно водоема является акустически «мягким». Видно, что эта кривая
очень неплохо накладывается на экспериментальные данные, и мы действительно можем сделать
вывод о строении дна, исходя из того, какую дисперсионную зависимость мы наблюдали.
Рисунок 5.12. График зависимости регистрируемой скорости звука от частоты
Конечно, в другом водоеме такого однозначного отнесения дна к твердому или мягкому
уже не будет, но это даже более интересно, потому что тогда мы можем специально померить
акустические характеристики грунта с помощью данного измерения.
Несколько точек, которые выпали в разных областях, обусловлены тем, что в разных
частотных областях оказались разные условия распространения. В частности, в диапазоне 4 −
5 кГц и в диапазоне больших частот было очень сильное поглощение (за счет того, что в сигнале
неминуемо присутствует большое количество шумов). В результате, погрешности сказались на
диаграмме. С другой стороны, область пониженных частот тоже получила некоторые
«выбросы» (уже в силу того, что там никакие моды не являются распространяющимися – ниже
частоты отсечки для данного водоема). На самом деле здесь нет сигнала, и мы попросту не
регистрируем поле. Соответственно, глядя на такой график и представляя себе, как
распространяются моды, мы можем довольно много сказать об исследуемом водоеме.
85
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 6. Волновое решение задачи об отражении звука
дном
На очередной лекции мы рассмотрим волновое решение задачи об отражении звука дном.
Эту задачу мы уже решали с точки зрения лучевого подхода.
Постановка задачи
В этот раз мы немного изменим координаты, и вместо того, чтобы задавать вертикальную
ось 𝑧 направленной вниз, мы направим её вверх. В остальном, мы точно так же вводим
цилиндрическую систему координат, с осью 𝑟 перпендикулярной оси 𝑧. Ноль на оси 𝑧 будет
соответствовать той плоскости, которая представляет собой поверхность грунта. То есть, мы
будем рассматривать распространение волны на границе водной среды (сверху) и грунта (снизу).
Пускай источник звука находится в точке 𝑆 (0, 𝑧0 ). Мы будем интересоваться полем в
точке 𝑃 (𝑟, 𝑧), расположенной в водной среде.
Рисунок 6.1. Система координат
Если бы системы координат не существовало, и мы находились бы в безграничной
однородной среде, потенциал акустического поля был бы задан следующим образом:
𝜑=
𝑄
exp(𝑖𝑘𝑅 − 𝑖𝜔𝑡),
4𝜋𝑅
где 𝑄 = 4𝜋𝑎2 𝑣0
Здесь 𝑄 – такая величина, которая называется производительностью источника. Она
равна площади некоторой сферы, умноженной на амплитуду колебательной скорости
(измеряемой на сфере). Но если нас интересует не потенциал, а акустическое давление, тогда мы
должны умножить эту функцию на плотность и взять производную по времени:
86
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑝 = −𝑖𝜔𝜌𝜑 =
𝑝0
exp (𝑖𝑘𝑅)
𝑅
В данном выражении 𝑝0 – это некоторый амплитудный множитель, который не является
давлением, поскольку имеет другую размерность (в Па ∙ м). Теперь же вспомним, как мы решали
данную задачу, когда говорили о лучевом подходе. В простейшем случае, когда наша граница
является, например, идеально мягкой, мы можем воспользоваться методом мнимых источников
(Рис. 6.2). В данном случае такой источник у нас один, и располагается он в точке 𝑆′(0, −𝑧0 )
симметрично точке 𝑆 относительно границы раздела двух сред.
С мнимым источником:
𝑝 = 𝑝0
exp (𝑖𝑘𝑅)
exp (𝑖𝑘𝑅1 )
− 𝑝0
𝑅
𝑅1
Мы представляем поле в виде суммы полей искомого источника и мнимого источника.
За счет знака −, который здесь возникает, мы можем обеспечить выполнение граничного
условия, а именно: если мы рассматриваем точку 𝑃 на границе сред (при 𝑍 = 0), то окажется, что
расстояние 𝑅 = 𝑅1 . Тогда два слагаемых равны по модулю и противоположны по знаку, что дает
нам акустическое давление, равное нулю, на границе раздела (граничное условие при мягкой
нижней среде).
Рисунок 6.2. Добавление мнимого источника
Теперь нам нужно построить аналогичное решение для того случая, когда среда внизу не
является акустически мягкой или жесткой, а имеет какие-то особые свойства, которые приводят
к тому, что коэффициент отражения будет зависеть от угла падения волны (импедансная
среда). Частично мы эту задачу уже затрагивали, когда говорили о падении плоской волны на
границу раздела. У нас известны граничные условия, соответствующие импедансным средам
(заданным с помощью скоростей звука и плотности). Соответственно, тогда же мы находили
коэффициент прохождения и коэффициент отражения волны, в зависимости от угла падения
87
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
волны. Мы даже рассматривали случай твердых сред, когда возбуждаются не только
продольные, но и поперечные волны.
Задача, которую мы хотим решить сейчас, предполагает, что наш источник – это точечная
конструкция, то есть мы рассматриваем поле точечного источника. Раз это так, то мы уже не
говорим о плоских волнах. Если волны не являются плоскими, то закон преломления и
отражения таких волн будет иным. Если же мы всё же хотим применить прежние формулы, то
нам нужно разложить поле точечного источника на совокупность плоских волн, посмотреть на
отражение каждой из них от границы раздела и сложить полученные результаты.
Начнем мы с основных уравнений. И в данном случае уравнение Гельмгольца имеет
следующий вид:
∆𝑝(𝑟) + 𝑘 2 𝑝(𝑟) = 𝛿(𝑟)
Обратите внимание, что раньше мы в правой части уравнения писали ноль
(рассматривали уравнение в однородной среде без источников), а теперь там стоит дельтафункция. Это означает, что в начале координат находится точечный источник поля.
Стандартным решением такого уравнения с точки зрения математической физики являются
функции Грина (𝐺 ± (𝑟), и для нашего случая (однородной неограниченной среды) такая функция
имеет следующий вид:
⃗
𝑝(𝑟) = 𝐺 ± (𝑟) = −
𝑒 ±𝑖𝑘𝑟
4𝜋𝑟
где 𝑟 – модуль вектора.
Что означают здесь знаки ±? Как мы знаем, уравнение Гельмгольца – это
дифференциальное уравнение второго порядка, то есть у него имеются два линейно независимых
решения. Для того, чтобы выделить одно из этих решений, мы должны наложить дополнительное
условие на бесконечности: волна, которую мы рассматриваем, может либо расходиться на
бесконечности (если источник поля находится в области нашего интереса), либо сходиться из
бесконечности в интересующую область. Это условие и обозначается верхним индексом ±. Нас
будет интересовать так называемая запаздывающая функция Грина, которая обозначается 𝐺 + (𝑟).
Такая функция определяет волны, которые расходятся от источника на бесконечности
(опережающая функция Грина 𝐺 + (𝑟) описывает другой тип волн).
Разложение поля на плоские волны
Давайте подойдем к этому решению с другой стороны. Мы говорили о том, что неплохо
было бы представить поле в виде совокупности плоских волн. С точки зрения математики мы
раскладываем наше поле 𝑝(𝑟) в интеграл Фурье и переходим от поля в координатном
пространстве к полю в пространстве волновых векторов 𝑝(𝑘 ′ ). Фактически, мы говорим, что
исходное поле представляется суммой бесконечного числа плоских волн с векторами 𝑘 ′ и
соответствующими амплитудами.
88
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Теперь подставим имеющийся интеграл в уравнение Гельмгольца, а заодно в виде такого
же интеграла представим нашу дельта-функцию. Поскольку интеграл – это линейная операция,
мы можем поменять местами оператор Лапласа с интегралом, и тогда будет два раза выноситься
𝑖𝑘′. Интеграл по дельта-функции в итоге дает нам константу. Теперь для того, чтобы найти 𝑝(𝑘 ′ ),
мы решаем алгебраическое уравнение и получаем дробное произведение. Соответственно, если
для данных амплитуд уже есть формула, то мы можем записать решение в явном виде:
⃗ ′
𝑝(𝑟) = ∫ 𝑝(𝑘⃗ ′ )𝑒 𝑖𝑘𝑟 𝑑𝑘⃗ ′
−𝑘 ′2 𝑝(𝑘⃗ ′ ) + 𝑘 2 𝑝(𝑘⃗ ′ ) =
𝑝(𝑘⃗ ′ ) =
1
(2𝜋)3
1
1
1
1
⇒ 𝑝(𝑟) =
∫ 2
𝑒 𝑖𝑘⃗ 𝑟 𝑑𝑘⃗ ′
3
2
′2
3
(2𝜋) 𝑘 − 𝑘
(2𝜋)
𝑘 − 𝑘 ′2
Теперь мы можем выполнить преобразование Фурье от функции в первом решении
уравнения Гельмгольца. Тогда мы получим ровно то же представление, с тем отличием, что в
последнем решении мы не оговаривали, является ли волна опережающей или запаздывающей.
Для того, чтобы быть точными, нужно добавить некую мнимую добавку в знаменатель второй
дроби, и в зависимости от положительного или отрицательного значения мнимой части,
интеграл будет переходить в одну из функций Грина.
Итак, мы нашли поле нашего точечного источника в бесконечной однородной среде.
Давайте теперь учтем, что в нашей задаче есть некоторое выделенное направление – ось 𝑧. То
есть, в декартовой системе координат ничего не меняется, а по оси 𝑧 где-то пролегает граница
раздела (где поле может изменяться). Поэтому следует выполнить несколько преобразований
данной формулы, выделив в интеграле отдельно части, относимые к оси 𝑧 и части,
соответствующие горизонтальному направлению:
∫
1
1
′
′
′
⃗ ′𝑟 ⃗ ′
𝑖𝑘
𝑒
𝑑𝑘
=
∫
𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥+𝑖𝑘𝑦 𝑦 𝑒 𝑖𝑘𝑧𝑧 𝑑𝑘𝑥′ 𝑑𝑘𝑦′ 𝑑𝑘𝑧′ =
′2
𝑘 2 − 𝑘 ′2
𝑘 2 − 𝑘𝑥 − 𝑘𝑦′2 − 𝑘𝑧′2
′
′
′
= ∫ 𝑑𝑘𝑥′ 𝑑𝑘𝑦′ 𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥+𝑖𝑘𝑦 𝑦 ∫
𝑒 𝑖𝑘𝑧𝑧 𝑑𝑘𝑧′
′2
′2
2
(𝑘
⏟ − 𝑘𝑥 − 𝑘𝑦 )
− 𝑘𝑧′2 =
𝑎2
Мы имеем дело с тройным интегралом по трем координатам. Мы разбиваем его на два
интеграла: внутренний (все, что зависит от 𝑘𝑧′ ) и внешний (все, что зависит от 𝑘𝑥′ ). Теперь, коль
скоро в знаменателе имеется сумма четырех слагаемых, мы обозначим их совокупность как 𝑘 2 .
Искомый интеграл можно взять с помощью стандартного подхода с применением теории
функций комплексного переменного.
Мы берем комплексную плоскость (Рис.6.3), на которой оси – это действительная и
мнимая части величины 𝑘𝑧′ . Мы формально рассматриваем данную величину как комплексную.
Интеграл, который мы берем, обычно берется на комплексной плоскости вдоль вещественной
оси. Но вместо этого, мы можем взять этот интеграл по контуру, замкнув прямую
полуокружностью, строя ее в верхней или в нижней полуплоскости. От чего это зависит?
Предположим, координата 𝑧 > 0 и мы рассматриваем точку 𝑘𝑧′ в верхней полуплоскости, тогда
экспонента будет отрицательной. Причем, если радиус полуокружности стремится к
89
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
бесконечности, то мы получаем экспоненту от большой по модулю отрицательной величины
(такая экспонента стремится к нулю). Поэтому в этом случае, если мы к интегралу по
действительной оси добавим интеграл по верхней полуокружности, итоговый интеграл не
изменится.
Аналогично мы можем рассмотреть другой случай, когда переменная 𝑧 < 0. Тогда нам
нужно замыкать контур не по верхней, а по нижней полуплоскости. Имея в виду эти
обстоятельства, мы берем данный интеграл с помощью теоремы о вычетах. Тогда интеграл будет
равен 2𝜋𝑖, умноженное на сумму всех вычетов в найденных полюсах функции. Часть в
знаменателе легко расписывается по формуле разницы квадратов, и вычеты находятся
достаточно просто.
Рисунок 6.3. Комплексная плоскость
Итоговый результат записывается в следующем виде:
1
1
′
′
′
𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥+𝑖𝑘𝑦 𝑦 𝑒 𝑖𝑘𝑧𝑧 𝑑𝑘𝑥′ 𝑑𝑘𝑦′ 𝑑𝑘𝑧′ =
′2
′2
2
′2
𝑘 − 𝑘𝑥 − 𝑘𝑦 − 𝑘𝑧
′
𝑖𝑎|𝑧|
𝑒 𝑖𝑘𝑧 𝑧 𝑑𝑘𝑧′
′𝑦
′𝑦 𝑒
′
′ 𝑖𝑘𝑥′𝑥+𝑖𝑘𝑦
′2
′
′ 𝑖𝑘𝑥′ 𝑥+𝑖𝑘𝑦
= ∫ 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑒
∫ 2
−
𝑘
=
−2𝜋𝑖∫
𝑑𝑘
𝑑𝑘
𝑒
=
𝑧
𝑥
𝑦
′2
′2
2𝑎
(𝑘
⏟ − 𝑘𝑥 − 𝑘𝑦 )
∫
𝑘 2 − 𝑘 ′2
′
𝑒 𝑖𝑘 𝑟 𝑑𝑘⃗ ′ = ∫
𝑎2
= −𝜋𝑖∫ 𝑑𝑘𝑥′ 𝑑𝑘𝑦
𝑒
′2 |𝑧|
𝑖𝑘𝑥′ 𝑥+𝑖𝑘𝑦 𝑦+𝑖√𝑘 2−𝑘𝑥2−𝑘𝑦
√𝑘 2 − 𝑘𝑥′2 − 𝑘𝑦′2
Модуль |𝑧| взялся из тех соображений, что мы отдельно рассмотрели случаи 𝑧 < 0 и 𝑧 >
0, и написали общую формулу, справедливую для любого знака. Далее мы можем, во-первых,
сократить на 2, а во-вторых, перейти к исходному соотношению по трем переменным. Тогда наш
интеграл запишется в дробном виде.
Теперь перейдем к нашему полю 𝑝. Это поле точечного источника, но его можно
записать через функцию Грина. А зная соотношение между функцией Грина и интегралом, мы
подставляем одно в другое и получаем следующее выражение:
90
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑝0
𝑖𝑝0
𝑒
𝑝 = exp (𝑖𝑘𝑅) = −4𝜋𝑝0 𝐺 + (𝑅⃗) =
∫ 𝑑𝑘𝑥′ 𝑑𝑘𝑦′
𝑅
2𝜋
′ 𝑦+𝑖√𝑘 2 −𝑘 ′2 −𝑘 ′2 |𝑧|
𝑖𝑘𝑥′ 𝑥+𝑖𝑘𝑦
𝑥
𝑦
√𝑘 2 − 𝑘𝑥′2 − 𝑘𝑦′2
Заметим только, что мы добились того, что здесь интеграл берется только по
горизонтальным осям (𝑘𝑥′ , 𝑘′𝑦 ).
Отраженная волна
Теперь давайте рассмотрим другой случай – когда источник располагается не в начале
координат, а в точке (0, 𝑧0 ). Для 𝑘𝑧 будет задано соотношение:
𝑘𝑧 = √𝑘 2 − 𝑘𝑥2 − 𝑘𝑦2
Тогда для поля 𝑝 мы можем записать следующее выражение:
𝑖𝑝0
𝑒 𝑖𝑘𝑥𝑥+𝑖𝑘𝑦 𝑦+𝑖𝑘𝑧 |𝑧−𝑧0 |
∫ 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦
;
2𝜋
𝑘𝑧
𝑖𝑝0
𝑒 𝑖𝑘𝑥 𝑥+𝑖𝑘𝑦 𝑦+𝑖𝑘𝑧(𝑧+𝑧0 )
𝑝𝑟 =
∫ 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 𝑉(𝑘𝑧 )
2𝜋
𝑘𝑧
𝑝=
Оно отличается от предыдущего тем, что здесь имеется модуль |𝑧 − 𝑧0 |. Тем самым, мы
выполнили трансляцию координат по вертикали из начала координат в точку расположения
источника. Если мы действуем методом мнимых источников, то поле отраженной волны можно
тоже записать, имея ввиду, что для каждой из плоских волн амплитуда будет выражаться с
учетом коэффициента отражения и расположения мнимого источника. Таким образом, модуль
поменяет знак.
Ранее, когда мы говорили о коэффициенте отражения, мы рассматривали его как
функцию угла падения, либо угла скольжения, поэтому обозначали в формуле некоторый угол 𝜃.
Здесь эта функция записана как функция вертикальной проекции волновой функции, и понятно,
что в принципе это то же самое (угол 𝜃 все равно будет однозначно определен).
Мы разобрались с падающей волной, и теперь перейдем к отраженной волне. Для нее
мы введем цилиндрические координаты, чтобы вместо 𝑘𝑥 и 𝑘𝑦 использовать какую-то одну
координату (исключая рассмотреть по горизонтали). Чтобы это сделать, мы введем два угла:
𝑥 = 𝑠 𝑐𝑜𝑠𝜒; 𝑦 = 𝑠 𝑠𝑖𝑛𝜒
𝑘𝑥 = 𝑘|| 𝑐𝑜𝑠𝜓; 𝑘𝑦 = 𝑘|| 𝑠𝑖𝑛𝜓
Угол 𝜒 будет работать в координатном пространстве, а угол 𝜓 – в пространстве
волновых векторов. Кроме того, для координат (𝑥, 𝑦) мы введем расстояние от источника до
точки наблюдения и обозначим его 𝑠. А для горизонтального вектора мы введем обозначение
𝑘|| . Теперь введем запись для поля отраженной волны:
91
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑝𝑟 =
𝑖𝑝0 ∞ 𝑖𝑘 (𝑧+𝑧 )
𝑘∥ 𝑑𝑘∥ 2𝜋 𝑖𝑘 𝑠cos (𝜓−𝜒)
0 𝑉 (𝑘 )
∫ 𝑒 𝑧
∫ 𝑒 ∥
𝑑𝜓 =
𝑧
2𝜋 0
𝑘𝑧 0
∞
𝑘∥ 𝑑𝑘∥
= 𝑖𝑝0 ∫ 𝑒 𝑖𝑘𝑧 (𝑧+𝑧0 ) 𝑉(𝑘𝑧 )𝐽0 (𝑘∥ 𝑠)
𝑘𝑧
0
Давайте отдельно посмотрим на состав формулы. Все, что зависит от 𝑘𝑧 , вынесено во
внешнюю часть. Вместо того, чтобы интегрировать по 𝑑𝑘𝑥 𝑑𝑘𝑦 , мы пишем, что это интеграл по
𝑘|| 𝑑𝑘|| 𝑑𝜓. По 𝑘|| ведется интегрирование от 0 до ∞, а по 𝜓 – от 0 до 2𝜋. Это стандартный
переход от декартовой к цилиндрической системе координат. В числителе дроби у нас также
было произведение горизонтального волнового вектора на горизонтальный координатный
вектор. Если перейти к цилиндрической системе координат, это скалярное произведение можно
представить как 𝑒 𝑖𝑘∥ 𝑠cos (𝜓−𝜒) 𝑑𝜓.
Во внутренней части, как оказывается, записан табличный интеграл, который дает в
результате функцию Бесселя нулевого порядка - 𝐽0 (𝑘∥ 𝑠). Также исчезает при сокращении 2𝜋 в
знаменателе и интеграле.
Теперь давайте вспомним, как связаны между собой функции Бесселя и Ханкеля первого
(функция Бесселя + 𝑖, умноженная на функцию Неймана) и второго рода (функция Бесселя − 𝑖,
умноженная на функцию Неймана). Имея это ввиду, можно записать выражение таким образом:
1 (1)
1 (1)
(2)
(1)
𝐽0 (𝑘∥ 𝑠) = (𝐻0 (𝑘∥ 𝑠) + 𝐻0 (𝑘∥ 𝑠)) = (𝐻0 (𝑘∥ 𝑠) + 𝐻0 (−𝑘∥ 𝑠))
2
2
Кроме того, существует связь между функциями Ханкеля первого и второго рода. Мы
можем написать, что функция Ханкеля второго рода от своего аргумента равна функции Ханкеля
первого рода от аргумента с противоположным знаком. Значит, мы можем заменить возникшую
функцию Бесселя на полусумму двух функций Ханкеля нулевого порядка первого рода. Что нам
это дает? То, что в полученном интеграле мы можем перейти к интегрированию в бесконечных
пределах (при этом ½ выносится за знак интеграла). С таким интегралом удобнее работать.
∞
𝑝𝑟 = 𝑖𝑝0 ∫ 𝑒
0
𝑖𝑘𝑧(𝑧+𝑧0 )
𝑘∥ 𝑑𝑘∥ 𝑖𝑝0 ∞ 𝑖𝑘 (𝑧+𝑧 )
𝑘 𝑑𝑘
(1)
0 𝑉 (𝑘 )𝐻
(
)
(
)
(𝑘∥ 𝑠) ∥ ∥
∫ 𝑒 𝑧
𝑉 𝑘𝑧 𝐽0 𝑘∥ 𝑠
=
𝑧
0
𝑘𝑧
2 −∞
𝑘𝑧
Имея эту формулу, прежде всего, рассмотрим самый простой случай:
1) коэффициент отражения постоянен, то есть 𝑉(𝑘𝑧 ) ≡ 𝑉
Тогда 𝑉 выносится за знак интеграла, а под интегралом оказывается выражение, которое
не зависит от свойств грунта. Оказывается, что перед нами табличный интеграл. Что за величина
стоит под корнем √𝑟 2 + (𝑧 + 𝑧0 )2 ? Если представить себе геометрию нашей задачи, окажется,
что это величина 𝑅1 – расстояние от мнимого источника до точки наблюдения. Если
пользоваться данным обстоятельством, мы получаем лаконичный результат:
92
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑝𝑟 =
∞
𝑖𝑝0
𝑘∥ 𝑑𝑘∥
𝑒 𝑖𝑘𝑅1
(1)
𝑉 ∫ 𝑒 𝑖𝑘𝑧(𝑧+𝑧0 ) 𝐻0 (𝑘∥ 𝑠)
= 𝑝0 𝑉
; 𝑅1 = √𝑟 2 + (𝑧 + 𝑧0 )2
2 ⏟−∞
𝑘𝑧
𝑅1
−2𝑖
𝑒 𝑖𝑘 √𝑟2 +(𝑧+𝑧0 )2
√𝑟2 +(𝑧+𝑧0 )2
Поле отраженной волны есть ничто иное, как поле точечного мнимого источника,
расположенного на расстоянии 𝑅1 от точки приема. Нам нужно разве что учесть коэффициент
отражения, который говорит нам, во сколько раз отличаются амплитуды падающей и
отраженной волн.
Что же будет в случае, если
2) коэффициент отражения не является постоянным:
В общем случае эта задача крайне сложна, и решить её не представляется возможным, но
мы рассмотрим некоторые приближения.
Отраженная волна на больших расстояниях
Мы рассмотрим отраженную волну на больших расстояниях между источником и
приемником. Здесь нам потребуется асимптотика функции Ханкеля. На данном этапе мы
ограничимся двумя членами выражения. Первый множитель уже знаком нам – это стандартная
асимптотика. Но есть и второй множитель, и, кроме того, ряд дополнительных членов (пока не
конкретизированных).
2 𝑖(𝑘 𝑠−𝜋/4)
1
(1)
𝐻0 (𝑘∥ 𝑠) ≈ √
𝑒 ∥
(1 +
+⋯)
𝜋𝑘∥ 𝑠
8𝑖𝑘∥ 𝑠
𝑝𝑟 =
≈
𝑖𝑝0 ∞ 𝑖𝑘 (𝑧+𝑧 )
𝑘∥ 𝑑𝑘∥
(1)
0 𝑉 (𝑘 )𝐻
(𝑘∥ 𝑠)
∫ 𝑒 𝑧
≈
𝑧
0
2 −∞
𝑘𝑧
𝑝0
√2𝜋𝑠
𝑤(𝑘∥ )
∞
𝑒 𝑖𝜋/4 ∫
𝑒
⏞
𝑖(𝑘∥ 𝑆+𝑘𝑧(𝑧+𝑧0 ))
−∞
𝑉(𝑘𝑧 )
√𝑘∥ 𝑑𝑘∥
𝑘𝑧
Итак, наш интеграл – это точное решение задачи об отражении волны от границы. Но мы
будем использовать соображение о больших расстояниях. В таком случае мы вместо функции
Ханкеля подставляем другую запись. Тогда мнимая единица 𝑖 компенсируется множителем
𝑒 𝑖(𝑘∥ 𝑠−𝜋/4) . Поэтому получается степень с положительным знаком. Всё остальное, кроме
множителя с √2𝜋𝑠 и 𝑝0, переходит под интеграл. Обратим внимание, что в итоге √𝑘∥ оказывается
в числителе.
Теперь давайте поймем, что мы ввели некоторое обозначение 𝑤(𝑘∥ ), куда входят обе
координаты (горизонтальная и вертикальная) нашего волнового вектора. Для того, чтобы брать
такой интеграл, нам понадобится метод стационарной фазы. Если мы рассматриваем волну на
большом расстоянии, тогда величина 𝑠 – большая, и при малых изменениях 𝑘∥
экспоненциальный множитель будет иметь тригонометрический характер изменения (синус или
93
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
косинус с очень большой частотой). Если мы будем интегрировать такой множитель, в любом
случае будет происходить некоторое усреднение, и мы получим величину, равную 0, за
исключением одной единственной возможности – стационарной точке, когда производная
равна 0. В этом случае наш множитель не будет так сильно осциллировать и преобразуется в
нечто более постоянное.
Тогда значение данного интеграла можно посчитать. Для этого берем производную по
𝑑𝑤
𝑑𝑘 ∥
и приравниваем ее к 0. Пользуясь тем, что знаменатель полученной дроби – это ничто иное,
как 𝑅1 , и отношение 𝑠 к 𝑅1 – это синус угла 𝜃0 (угла распространения волны), мы легко находим
искомую стационарную точку.
𝑑𝑤
𝑘𝑠
𝑠
= 0 ⇒ 𝑘∥0 =
=𝑘
= 𝑘 sin 𝜃0
2
2
𝑑𝑘∥
𝑅1
√𝑠 + (𝑧 + 𝑧0 )
𝜃0 – угол падения луча при отражении от дна
Теперь давайте разложим в ряд величину 𝑤(𝑘∥ ) относительно нашей точки. При этом
учтем, что первая производная равна 0. Тогда мы имеем следующее выражение с двумя членами
(остальные не учитываются в рамках нашего приближения):
1
𝑤(𝑘∥ ) = 𝑤(𝑘∥0 ) + 𝑤 ′′ (𝑘∥0 )(𝑘∥ − 𝑘∥0 )2
2
Это выражение мы можем подставить в интеграл и выполнить некоторые упрощающие
преобразования, которые состоят в том, что все члены, не являющиеся сильно зависимыми от
величины 𝑘∥ , мы полагаем константами. Эти константы берутся для точек, где 𝑘∥ = 𝑘∥0 . Давайте
посмотрим, что получится в итоге преобразования:
𝑝𝑟 ≈
𝑝0
√2𝜋𝑘𝑅1 cos 𝜃0
∞
𝑖
exp [ 𝑤 ′′ (𝑘∥0 )(𝑘∥ − 𝑘∥0 )2 ] 𝑑𝑘∥
2
−∞
𝑒 𝑖𝜋/4 𝑒 𝑖𝑤(𝑘∥0) 𝑉(𝜃0 ) ∫
Надо сказать, что мы берем такой коэффициент отражения, который соответствует углу
𝜃0 , который однозначно определен соотношением 𝑘∥ и 𝑘𝑧 . Под интегралом остается
интегрируемая в бесконечных пределах экспонента от второго множителя (где есть зависимость
от 𝑘∥ ). Если присмотреться к данному выражению, можно заметить, что по форме оно очень
напоминает интеграл от функции Гаусса (табличный). Для него можно записать данное
равенство (конечный результат):
∞
𝑖
2𝜋
𝜋𝑖
exp [ 𝑤 ′′ (𝑘∥0 )(𝑘∥ − 𝑘∥0 )2 ] 𝑑𝑘∥ = √ ′′
exp (sgn (𝑤 ′′ (𝑘∥0 )) )
2
4
|𝑤 (𝑘∥0 )|
−∞
∫
Теперь рассмотрим вторую производную. Оказывается, что ее легко посчитать, и в точке
𝑘∥0 она будет такой:
𝑤 ′′ (𝑘∥0 ) = −
94
𝑅1
𝑘 cos2 (𝜃0 )
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Если мы подставим данное значение в нашу формулу и объединим все выкладки, много
чего сокращается. В итоге формула для отраженной волны сводится к простому выражению:
𝑝𝑟 ≈
𝑝0 𝑖𝑘𝑅
𝑒 1 𝑉(𝜃0 )
𝑅1
Таким образом, мы снова получили похожий результат, который соответствует тому, что
у нас есть всего одна отраженная волна (которая исходит из мнимого источника). И
единственное, что нам нужно учесть – это коэффициент отражения. Так при угле падения 𝜃0
берется нужный коэффициент 𝑉 (𝜃0 ). Данное поле легко считается.
Теперь давайте решим ту же задачу, но с большим вниманием к деталям. Когда мы
расписывали наши формулы, мы делали приближение, заменяя функцию Ханкеля некоторым
рядом. Если учесть не только первый, но и последующие члены данного ряда, тогда для
формулы, описывающей отраженную волну, получается следующая запись:
𝑝𝑟 ≈
𝑝0 𝑖𝑘𝑅
𝑖Ɗ
]
𝑒 1 [𝑉(𝜃0 ) −
𝑅1
𝑘𝑅1
1
где Ɗ = [𝑉 ′′ (𝜃0 ) + 𝑉 ′(𝜃0 ) cot 𝜃0 ]
2
Появляется новый коэффициент Ɗ, который связан с производными коэффициента
отражения по углу и котангенсом угла 𝜃0 . Более детально для данного коэффициента можно
расписать такую формулу:
𝒟=
𝑚 (1 − 𝑛2 )
[2𝑚(𝑛2 − 1) + 3𝑚𝛾03 + 𝑞0 𝛾0 (2𝑛2 + 1 − 𝛾02 ) − 𝑚𝛾04 ];
𝑞03 (𝑚𝛾0 + 𝑞0 )3
𝛾0 = cos 𝜃0 ; 𝑞0 = √𝑛2 − sin2 𝜃0 ; 𝑚 = 𝜌1 /𝜌
Эта формула оказывается достаточно громоздкой, поэтому мы не будем в рамках нашего
курса приводить вывод из нее. В этой формуле ряд параметров были преобразованы на 𝛾0 , 𝑞0 , 𝑚
и 𝑛 соответственно. Представим себе, что величина 𝑘 (волновое число) очень высокая. Тогда у
нас работает так называемое приближение геометрической акустики:
𝑘 → ∞, тогда
𝑖Ɗ
𝑝0 𝑖𝑘𝑅
→ 0 и 𝑝𝑟 ≈
𝑒 1 𝑉 (𝜃0 )
𝑘𝑅1
𝑅1
В этом случае волна распространяется близко к прямолинейному варианту. То есть, для
ее описания можно применять аппарат лучей. В этом случае отраженная волна будет
определяться только первым слагаемым.
Применимость геометрической акустики
Давайте теперь задержимся на изучении данного вопроса, а именно: когда мы можем
поле реально отраженной волны рассматривать таким образом.
𝑝
𝑖Ɗ
1
1
1
𝑝𝑟 ≈ 𝑅0 𝑒 𝑖𝑘𝑅1 [𝑉(𝜃0 ) − 𝑘𝑅 ], где Ɗ = 2 [𝑉 ′′ (𝜃0 ) + 𝑉 ′(𝜃0 ) cot 𝜃0 ]
95
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
1) Если 𝑉(𝜃0 ) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, то Ɗ = 0
Предположим, что коэффициент отражения – константа. Тогда, коль скоро в выражение
Ɗ входят производные, они приравниваются к 0. Отсюда следует, что сама величина Ɗ = 0, и
второго слагаемого в этой формуле просто нет. То есть, когда мы рассматривали случай с не
зависящим от угла коэффициентом отражения, мы фактически отбрасывали это слагаемое.
Отсюда следует, что:
•
Если граница абсолютно мягкая или жесткая, то 𝑉(𝜃0 ) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 (тогда поле можно получить
методом изображений)
•
Если 𝑛 = 1, то 𝑉(𝜃0 ) = 𝑚+1 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡
𝑚−1
2) Если 𝑧 ≪ 𝑅 и 𝑅1 ≈ 𝑅
Теперь мы будем считать, что оба слагаемых имеются. Однако, надо понять, когда второе
слагаемое является много меньшим, чем первое. Рассмотрим случай, когда расстояние между
поверхностью раздела двух сред и точкой, где расположен приемник, много меньше 𝑅.
Выполним сравнение величин Ɗ и 𝑘𝑅(1 + 𝑉 (𝜃0 )). Во-первых, у нас есть поле, обусловленное
отражением по закону геометрической акустики. Во-вторых, есть непосредственно поле
источника, из которого распространяется волна без отражений. В-третьих, у нас есть слагаемое,
которое описывает поле, отличающееся от приближения геометрической акустики. При
сложении первых двух полей получится как раз величина 1 + 𝑉(𝜃0 ). Итак, для первого поля мы
получаем такую величину:
𝑘𝑅(1 + 𝑉(𝜃0 )) =
2𝑚𝑘𝑅cos 𝜃0
𝑚cos 𝜃0 + √𝑛2 − sin2 𝜃0
=
2𝑚 ⋅ 𝑘𝑧
𝑚cos 𝜃0 + √𝑛2 − sin2 𝜃0
Поскольку величина 𝑉(𝜃0 ) известна (мы можем записать ее в зависимости от
коэффициента преломления и отношения плотностей), то можно вывести два равенства (в
одном случае, через 𝑘𝑅cos 𝜃0 , а в другом случае – через 𝑘𝑧). Давайте скажем, когда эта величина
будет точно > Ɗ:
𝜋
•
Если 𝜃0 ≠ 2 , то 𝑘𝑅(1 + 𝑉(𝜃0 )) ≫ Ɗ
•
Если 𝜃0 ≈ 2 ≫, то при 𝑘𝑧 ≫ 1 выполнено 𝑘𝑅(1 + 𝑉(𝜃0 )) ≫ Ɗ
𝜋
Вторая ситуация означает необходимость удаления источника от границы. По сути, 𝑘𝑧 –
это расстояние между границей и точкой наблюдения, выраженное в длинах волн. Если
источник и приемник находимся далеко от границы, то заданные условия будут выполнены.
3) Если sin 𝜃0 → 𝑛
Теперь рассмотрим еще один случай, когда синус угла 𝜃0 стремится к значению
показателя угла преломления. Для этого нам надо вновь посмотреть на формулу Ɗ, и, в
частности, на параметр 𝑞0 , который в предельном переходе оказывается близким к 0.
𝑞0 = √𝑛2 − sin2 𝜃0
96
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
В формуле Ɗ этот параметр стоит в знаменателе в третьей степени. Это означает, что
когда sin 𝜃0 → 𝑛, величина Ɗ растет неограниченно (Ɗ → ∞). Таким образом, независимо от
того, на каких расстояниях и что мы рассматриваем, у нас остается альтернатива, состоящая в
том, что геометрическая акустика неприменима.
Боковая волна
Для того, чтобы sin 𝜃0 → 𝑛, должно быть выполнено: 𝑛 < 1; sin 𝜃0 > 𝑛. Тогда имеет
место полное внутреннее отражение. Мы уже рассматривали данное явление, когда волна не
проникает в нижнюю среду, полностью отражаясь в объем воды. Тогда коэффициент отражения
задается следующим образом:
√𝑘∥2 − 𝑘12
2 𝜃 − 𝑛2
√sin
𝑉 = 𝑒 −𝑖𝜓 , где 𝜓 = 2 arctan
= 2 arctan
.
𝑚 cos 𝜃
𝑚√𝑘 2 − 𝑘∥2
По-другому можно записать это уравнение через 𝑘∥ и 𝑘1 (значение волнового числа в
нижней среде). Теперь давайте используем условие полного внутреннего отражения, подставляя
данный коэффициент в формулу для отраженной волны:
𝑝𝑟 ≈
𝑝0
√2𝜋𝑠
∞
𝑒
𝑖𝜋/4 ∫
−∞
𝑒 𝑖𝑤(𝑘∥ )
√𝑘∥ 𝑑𝑘∥
; 𝑤(𝑘∥ ) = 𝑘∥ 𝑆 + 𝑘𝑧 (𝑧 + 𝑧0 ) − 𝜓
√𝑘 2 − 𝑘∥2
Что касается величины 𝑤 (𝑘∥ ), теперь мы рассматриваем не только первые два слагаемых,
но и дополнительную фазу – 𝜓, вызванную отражением. Действует методом стационарной
фазы, точно так же, как делали ранее. Находим точку, в которой
𝑑𝑤
𝑑𝑘 ∥
= 0. Отсюда находим
величину 𝑠, которая соответствует этой точке. Производную от функции 𝜓 по 𝑘∥ мы будем
обозначать как Δ. Выполняя дифференцирование, приходим к заключению:
𝑑𝑤
𝑘∥0 (𝑧 + 𝑧0 )
= 0 ⇒ 𝑠 = 𝜓 ′ (𝑘∥0 ) +
= Δ + (𝑧 + 𝑧0 )tan 𝜃0
𝑑𝑘∥
2
2
√𝑘 − 𝑘∥0
где 𝜃0 – угол падения луча; Δ – смещение луча вдоль границы
Такая волна, заключающаяся во втором слагаемом, называется боковой и приводит к
смещению луча вдоль границы, возникающем при полном внутреннем отражении. Давайте
посмотрим конкретный пример, когда у нас есть формула для фазы 𝜓 и формула для производной
этой фазы по 𝑘∥ :
97
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝜓(𝑘∥ ) = 2arctan
√𝑘∥2 − 𝑘12
𝑚√𝑘 2 − 𝑘∥2
2𝑚𝑘∥ (𝑘 2 − 𝑘12 )
𝜓 ′ (𝑘∥ ) =
(𝑚 2 (𝑘 2 − 𝑘∥2 ) + 𝑘∥2 − 𝑘12 )√𝑘∥2 − 𝑘12 √𝑘 2 − 𝑘∥2
Возьмем пример песчаного грунта с заданной плотностью и скоростью звука, которая
несколько больше скорости звука в водной среде:
𝜌 = 1000
кг
м
; 𝑐 = 1500
3
м
с
𝜌1 = 2560
кг
м
;
𝑐
=
1800
1
м3
с
Давайте построим график зависимости данной величины Δ от 𝑘∥ (Рис. 6.4). Численно
получается кривая, которая при определенных условиях устремляется к бесконечности. Первое
условие возникает, когда 𝑘∥ ≅ 𝑘. В этом случае фактически идет распространение волны в
горизонтальном направлении. Но гораздо интереснее второе условие, когда 𝑘∥ → 𝑘1 . Если это
происходит, то имеет место неограниченный рост, что и демонстрирует наш график.
Рисунок 6.4. График зависимости величины Δ от 𝑘∥
Теперь мы, наконец, рассмотрим геометрию боковой волны (Рис. 6.5). У нас есть
некоторый источник, находящийся в точке 𝑆 (0, 𝑧0 ). Мы интересуемся полем в точке 𝑃 (𝑟, 𝑧). Это
поле находится в как бы неограниченной среде. Вторая компонента – это поле, рассчитываемое
из уравнения геометрической акустики. То есть, у нас есть некоторый луч, который падает на
раздел, отражается и приходит в заданную точку. Для определения этого поля мы строим
мнимый источник в точке с координатами 𝑆′ (0, −𝑧0 ). Мы рассматриваем это поле, учитывая
коэффициент отражения от дна, который получается для заданного угла падения.
98
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 6.5. График поля боковой волны
Теперь обратим внимание на параметр s – расстояние от точки 𝑆 до точки 𝑃 по
горизонтали:
𝑠 = ∆ + (𝑧 + 𝑧0 ) tan 𝜃0
Это расстояние складывается из отрезков 𝑂𝐵′ , 𝐵′ 𝐵′′ и 𝐵′′𝑃(𝑟). При этом предположим,
что у нас есть некоторый луч, который мы запускаем от нашего источника под углом падения
𝜃0 . Тогда величина 𝑂𝐵′ есть ничто иное, как 𝑧0 ∙ tan 𝜃0 . Для такого треугольника мы можем найти
расстояние от точки 𝐵′′ до проекции точки 𝑃 на оси 𝑟, которое равно 𝑧 ∙ tan 𝜃0 . Расстояние ∆
соответствует пути 𝐵′ 𝐵′′. Получается, что запуская луч под углом, соответствующим углу
полного внутреннего отражения, мы получаем интересную волну, которая идет в дно, далее как
бы по поверхности раздела двух сред, после чего он покидает дно и распространяется в точку 𝑃.
Эта волна приходит как бы сбоку от обеих линий. А коль скоро расстояние от очки 𝑆 до точки 𝑃
может быть довольно большим, то смещение как бы подстраивается под геометрию нашего
рисунка.
Возникает вопрос о том, как с точки зрения физики происходит ситуация, когда боковая
волна покидает границу раздела в заданной точке и переизлучается обратно в водную среду. На
самом деле, ответ достаточно прост: такое переизлучение происходит в каждой точке, где эта
волна бежит. Оказывается, что точка 𝑃 расположена на одном из лучей, которые получаются из
переизлучения боковой волны.
Для зависимости амплитуды боковой волны от расстояния справедлива формула:
𝑝𝑟 =
2𝑖𝑛𝑝0
2
𝑘𝑚 (1 − 𝑛2 )√𝑟Δ3
𝑒 𝑖[𝑘1 𝑟+𝑘√1−𝑛 (𝑧+𝑧0 )]
Она, опять-таки, дается без вывода, который достаточно обширен. Здесь 𝑟 –
горизонтальное расстояние, ∆ – расстояние сноса. И, поскольку мы рассматриваем большие
расстояния между источником и приемником, то 𝑟 и ∆ – величины одного порядка. Это означает,
что поле боковой волны убывает как 1/𝑟 2 . Это довольно быстрое убывание, поэтому для многих
ситуаций на практике поле боковой волны оказывается очень слабым, так что его можно не
99
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
учитывать. Но также существует ряд ситуаций, когда поле боковой волны является
определяющим для акустической картины:
•
При импульсном возбуждении звука
У нас есть несколько траекторий волны: прямая, отражательная и боковая. Если звук
порождается импульсом, то это значит, что будет зарегистрировано несколько импульсов,
которые приходят по разным путям. Значит, мы обнаружим по крайней мере три импульса, и для
боковой волны поле будет существенно отличаться от нуля.
•
В зоне геометрической тени
Если мы дополнительно к нашей простой ситуации изучим вопрос о том, что скорость
звука в среде не обязана быть постоянной, то мы получим антиволноводное распространение,
когда все лучи так или иначе попадают в дно, и нет прямого луча, достигающего приемника. Это
не относится к боковой волне, и ее поле вполне может достичь приемника в этом случае. При
этом она будет определять тот сигнал, который мы в итоге услышим.
•
Если волновой пучок узконаправленный
Если мы используем не источник монопольного типа, а направленный источник, который
озвучивает конкретную область, тогда, запуская пучок лучей таким образом, что он падает на
дно под углом полного внутреннего отражения, мы получим эффективное возбуждение боковой
волны. При этом возбуждение прямой и отраженной волн будет незначительным.
•
Если источник и приемник находятся вблизи границы раздела
Мы рассмотрели случай, когда величина 𝑘𝑧 ≫ 1. Тогда боковой волной можно было
пренебречь, и величина Ɗ была маленькой по сравнению со слагаемыми, определяющими поле
геометрической акустики. Но если приемник находится вблизи границы раздела, наше
приближение работать не будет, и необходимо учитывать существенное поле боковой волны.
•
На частотах ниже критической
Мы можем рассмотреть волновод, где есть критические частоты (для каждой моды есть
частота, ниже которой поле этой моды является нераспространяющимся). Поле боковой волны
является убывающим как 1/𝑟 2 . Здесь зависимость от расстояния является существенно слабее,
чем экспоненциальная зависимость. Поэтому если мы работаем для каких-то мод ниже
критических частот, поле боковой волны, опять-таки, будет для них определяющим.
100
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 7. Волновое решение задачи о распространении
звука в водоеме с жидким дном
Эта лекция будет посвящена волновому решению задачи о распространении звука в
водоеме с жидким дном. В прошлый раз мы рассматривали похожую задачу и возможности,
связанные с распространением звука из водного слоя в область дна. Но мы не учитывали, что
водоем – это некая конечная по глубине область жидкости (соответственно, необходимо
учитывать поверхность водоема).
Постановка задачи
Система координат будет содержать ось 𝑧, направленную вниз, 0, фиксирующий
поверхность водоема, ось цилиндрической системы координат 𝑟, направленную горизонтально.
При этом на глубине 𝐻 расположено дно водоема, а среда задана следующим образом:
•
•
Водная среда: 𝜌; 𝑐0
Жидкое дно: 𝜌1 ; 𝑐1
Рисунок 7.1. Система координат
Кроме имеющихся плотности и скорости звука, мы также будем считать, что дно – это
поглощающая среда. Для того, чтобы описать поглощение и при этом не сильно усложнить наши
выкладки, мы будем относить поглощение в дне на плотность. То есть, мы будем рассматривать
плотность дна как некую комплексную величину, и мнимая часть такой плотности будет
ответственна за поглощение (строго говоря, это можно сделать и относя поглощение в мнимую
часть скорости звука). Такой волновод, когда имеется водная среда с однородными параметрами
и жидкое дно с однородными параметрами, называется волноводом Пеккериса.
В первую очередь, нам нужно записать все уравнения и возникающие граничные
условия. Мы выбираем одну частоту, на которой будет рассматриваться волновой процесс, и
записываем уравнения Гельмгольца для водного слоя и для грунта:
•
•
Уравнение Гельмгольца в воде: ∆𝜑 + 𝑘 2 𝜑 = 0
Уравнение Гельмгольца в грунте: ∆𝜑1 + 𝑘 2 1 𝜑1 = 0
Здесь 𝜑 – это потенциал акустического поля в терминах потенциала (ранее мы
подходили к решению с точки зрения давления). Теперь зададим граничные условия:
101
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
1) Граничное условие на поверхности:
𝑝(𝑧 = 0) = 0 ⇒ 𝜑(𝑧 = 0) = 0
(1)
Давление в выделенной точке должно обращаться в ноль. Отсюда следует, что потенциал
в этой точке тоже будет равен нулю.
2) Граничные условия на дне:
{
𝑝(𝑧 = 𝐻) = 𝑝1 (𝑧 = 𝐻);
𝜌𝜑(𝑧 = 𝐻) = 𝜌1 𝜑1 (𝑧 = 𝐻);
⇒{
𝑣𝑧 (𝑧 = 𝐻) = 𝑣1,𝑧 (𝑧 = 𝐻)
∂𝜑(𝑧 = 𝐻)/ ∂𝑧 = ∂𝜑1 (𝑧 = 𝐻)/ ∂𝑧
(2)
Одно из условий выражает равенство давлений в воде и в грунте на той плоскости,
которую занимает поверхность грунта, а второе условие выражает равенство вертикальных
компонент колебательной скорости на той же плоскости. От этих двух условий мы переходим
к тем же условиям, но для потенциала.
3) На бесконечности волна является расходящейся:
Используется физическое соображение о том, что если у нас есть некоторый источник
звука, который находится, например, в водном слое, то в этом случае он будет создавать
акустическое поле, которое при распространении в грунте будет поглощаться. Если это
происходит, значит по мере удаления от источника акустическое поле должно обязательно
убывать по своей амплитуде. Это условие будет важно, когда нам потребуется выбирать
правильный волновой знак для расчетов.
У нас есть два волновых числа (𝑘,𝑘1 ), два потенциала (𝜑,𝜑1 ), две плотности (𝜌,𝜌1 ) и две
скорости звука (𝑐,𝑐1 ). Прежде всего рассмотрим уравнение Гельмгольца и возникающие решения
в виде совокупности плоских волн (волны, идущие вниз и вверх, которые уже возникали у нас во
время рассмотрения задачи на водоеме, где грунт представлял собой идеально отражающую
среду):
𝜑 = 𝜑′ exp (−𝑖(𝑚𝑟 + 𝑙𝑧)) + 𝜑′′ exp(−𝑖 (𝑚𝑟 − 𝑙𝑧))
𝜑1 = 𝜑1′ exp(−𝑖 (𝑚1 𝑟 + 𝑙1 𝑧))
(3)
(4)
В случае грунта мы используем физическое соображение о том, что источник находится
где-то в водном слое (а не на бесконечности), что приводит к тому, что в грунте будет
существовать только одна волна, которая бежит от источника, удаляясь от границы раздела.
В случае воды у нас будут фигурировать обе эти волны.
Соотношения между волновыми числами
Прежде всего, для описания каждой из плоских волн введены волновые числа –
компоненты волнового вектора в каждой среде. Этих компонент две – горизонтальная (𝑚) и
вертикальная (𝑙) без индекса и с индексом. С точки зрения уравнения Гельмгольца, если мы
будем подставлять решения в виде плоских волн, мы получим фактически теорему Пифагора
для обоих случаев:
102
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑚1 2 + 𝑙1 2 = 𝑘1 2
𝑚2 + 𝑙2 = 𝑘2
(5)
При этом мы должны помнить, что 𝑘 2 и 𝑘1 2 – это две разные величины. Нам также надо
иметь в виду необходимость «сшивки» уравнений (3) и (4) на дне (то есть, должны быть
выполнены условия на равенство вертикальных компонент колебательной скорости и на
равенство давлений сверху и снизу от границы сред). Поскольку здесь везде есть зависимость от
горизонтальной координаты 𝑟, и при этом должна быть выполнена «сшивка», легко увидеть, что
единственная возможность этого достигается, когда числа 𝑚 и 𝑚1 равны. Если это не так, то
выполнение граничных условий во всех точках сразу будет невозможным.
Поэтому граничное условие на дне:
𝑚 = 𝑚1
(6)
Вместо того, чтобы оперировать двумя волновыми числами, мы должны оперировать
четырьмя волновыми числами. Также необходимо учесть, что каждое из этих чисел является
комплексной величиной. Поэтому мы будем обозначать их следующим образом, если грунт
является поглощающей средой:
𝑘1 = 𝑘 ′1 − 𝑘 ′′1
(7)
𝑙1 = 𝑙 ′1 − 𝑙 ′′1
(8)
𝑚1 = 𝑚 = 𝑚 ′ − 𝑖𝑚 ′′
𝑙 = 𝑙 ′ + 𝑖𝑙′′
(9)
(10)
Нужно обратить внимание, что переменные со штрихом – это действительные части
соответствующих волновых чисел, а переменные с двойным штрихом – это мнимые части. Также
следует заметить, какой знак выбран между действительной и мнимой частями. Предполагается,
что величины с двумя штрихами являются положительными. Поэтому знак был выбран
соответствующим образом для того, чтобы обеспечить затухание волны по мере удаления от
источника. Кроме того, в уравнении (9) осуществлена замена переменной 𝑚1 на две
соответствующих переменных.
Учет граничных условий
•
Условие на поверхности, которое было обозначено как уравнение (1) и решение в виде
уравнения плоских волн (3): 𝜑(𝑧 = 0) = 0.
𝜑(𝑧 = 0) = 𝜑′ exp (−𝑖𝑚𝑟) + 𝜑′′ exp (−𝑖𝑚𝑟) = 0 ⇒ 𝜑′ = −𝜑′′
Коль скоро потенциал будет равен нулю во всех точках r, то 𝜑′ = −𝜑′′ . То есть, данное
условие позволяет нам избавиться от одного неизвестного коэффициента, а именно – от
амплитуды второй волны. Тогда мы можем потенциал акустической волны в водном слое для
двух волн описывать зависимостью:
𝜑 = 𝜑′ 𝑒 −𝑖(𝑚𝑟+𝑙𝑧) + 𝜑′′ 𝑒 −𝑖(𝑚𝑟−𝑙𝑧) = −2𝑖𝜑′ 𝑒 −𝑖𝑚𝑟 sin(𝑙𝑧)
103
(11)
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Она уже встречалась нам, когда мы рассматривали акустическое поле в водном слое с
идеальными границами. Тогда мы говорили, что у нас есть определенное граничное условие на
дне, и подставляли значение вместо глубины водоема. Давление или колебательная скорость
должны были обращаться в ноль, и в зависимости от этого задавалось значение вертикального
волнового числа. Сейчас наша задача сложнее, и придется более тщательно записывать
граничные условия на дне.
•
Условия на дне (2) и решения в виде (4) и (11):
−2𝑖𝜌𝜑′ 𝑒 −𝑖𝑚𝑟 sin (𝑙𝐻) = 𝜌1 𝜑1′ 𝑒 −𝑖(𝑚1𝑟+𝑙1𝐻)
(12)
−2𝑖𝑙𝜑′ 𝑒 −𝑖𝑚𝑟 cos (𝑙𝐻) = −𝑖𝑙1 𝜑1′ 𝑒 −𝑖(𝑚1𝑟+𝑙1𝐻)
(13)
Поле в водном слое мы подставляем в наши граничные условия для равенства давлений
и равенства колебательных скоростей.
•
Частное (12) и (13) приводит к дисперсионному соотношению:
На первый взгляд, полученная совокупность уравнений выглядит сложной, однако
оказывается, что достаточно поделить уравнение (12) на уравнение (13), тогда вместо системы
мы получаем равенство, которое не содержит величин 𝜑′ и 𝜑1′ и экспонент, а потому в его левой
части есть только величины, зависящие от вертикального волнового числа 𝑙, а в правой части –
зависящие от вертикального волнового числа 𝑙1 .
𝜌
𝜌1
tan(𝑙𝐻) = 𝑖
𝑙
𝑙1
Это соотношение называется дисперсионным потому, что если мы фиксируем
определенную частоту 𝜔, то на основании дальнейших выкладок из этого соотношения мы
можем найти скорость распространения той или иной волны. Иными словами, это соотношение
определяет дисперсию волн в нашем водоеме.
Под тангенсом у нас стоит величина 𝑙𝐻, поэтому мы выполним преобразования,
позволяющие привести запись к виду:
𝜌
𝑙
𝜌
𝜌
1
1
tan(𝑙𝐻) = 𝑖 𝑙 1 ⇒ 𝑖(𝑙𝐻) cot(𝑙𝐻) = 𝜌 (𝑙1 𝐻)
(14)
Видно, что это уравнение трансцендентное, и решать его нужно будет численно.
Переходя к численному решению, мы сможем выполнить некоторые упрощающие
преобразования. Но прежде остановимся на двух имеющихся волновых числах, которые мы
хотим записать в уравнение относительно одного из этих чисел. Чтобы это сделать, мы вспомним
имеющиеся соотношения. С учетом 𝑚 2 = 𝑘 2 − 𝑙 2 ; 𝑚 2 = 𝑘1 2 − 𝑙1 2 можно избавиться от 𝑙1 :
𝜌
𝑖(𝑙𝐻)cot (𝑙𝐻) = 𝜌 √𝑘12 − 𝑘 2 + 𝑙 2 𝐻
1
104
(15)
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Дальше надо обратить внимание на мнимую единицу 𝑖. Ведь в каждом уравнении наше
волновое число – это комплексная величина, как и плотность 𝜌1 . Поэтому будем считать, что 𝑙 –
это тоже комплексная величина, которая имеет вид:
𝑙𝐻 = (𝑙 ′ + 𝑖𝑙 ′′ )𝐻 = 𝜉 + 𝑖𝜂; 𝜌1 = 𝜌1′ + 𝑖𝜌1′′
И действительную, и мнимую компоненты волнового числа мы обозначим новыми
переменными 𝜉 и 𝑖𝜂. Плотность мы распишем в виде суммы двух переменных, соответственно.
План будет состоять в том, что мы попытаемся свести одно равенство к системе из двух
равенств, одно из которых будет представлять действительную часть уравнения, а второе –
мнимую часть уравнения:
𝑖[(𝑙 ′ + 𝑖𝑙 ′′ )𝐻]cot [(𝑙 ′ + 𝑖𝑙 ′′ )𝐻] =
𝜌
= √(𝑘1′2 − 𝑘1′′2 − 2𝑖𝑘1′ 𝑘1′′ )𝐻2 − 𝑘 2 𝐻2 + (𝑙 2 − 𝑙 ′′2 + 2𝑖𝑙 ′ 𝑙 ′′ )𝐻2
𝜌1
(16)
𝑖(𝜉 + 𝑖𝜂)cot (𝜉 + 𝑖𝜂) =
𝜌
= 𝜌 √(𝑘1′2 − 𝑘1′′2 − 𝑘 2 )𝐻2 + (𝜉 2 − 𝜂2 ) − 2𝑖 (𝑘1′ 𝑘1′′ 𝐻2 − 𝜉𝜂)
1
(17)
Полученное после процедуры возведения в квадрат равенство достаточно громоздкое.
Здесь были подставлены все компоненты, кроме 𝑘 (волнового числа в водной среде), потому что
мы считаем, что наша водная среда поглощает звук очень слабо (поэтому у нее есть только
действительная часть). Также, как видно, в уравнение были подставлены новые переменные
𝜉 и 𝑖𝜂.
Дисперсионное соотношение
Теперь нам нужно как-то преобразовать данные выражения. Типичный прием,
используемый для подобных уравнений – это возведение в квадрат. Мы возводим в квадрат
левую и правую части, и тогда нам удается избавиться от корня:
𝑖(𝜉 + 𝑖𝜂)cot (𝜉 + 𝑖𝜂) =
𝜌
= √(𝑘1′2 − 𝑘1′′2 − 𝑘 2 )𝐻2 + (𝜉 2 − 𝜂2 ) − 2𝑖 (𝑘1′ 𝑘1′′ 𝐻2 − 𝜉𝜂)
𝜌1
2
−(𝜉 − 𝜂2 + 2𝑖𝜉𝜂)cot 2 (𝜉 + 𝑖𝜂) =
=
𝜌2
{(𝑘1′2 − 𝑘1′′2 − 𝑘 2 )𝐻2 + (𝜉 2 − 𝜂2 ) − 2𝑖 (𝑘1′ 𝑘1′′ 𝐻2 − 𝜉𝜂)}
𝜌12
Теперь, коль скоро мы помним, что все входящие сюда величины – действительные, то
нам необходимо выделить действительные и мнимые компоненты в левой и правой частях и
приравнять их друг к другу. Этому плану мешает котангенс в квадрате от комплексного
аргумента. Поэтому требуется выполнить преобразование, которое позволит расписать
имеющуюся функцию более удобно:
105
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
cos (𝜉 + 𝑖𝜂) 2sin (𝜉 − 𝑖𝜂)
⋅
=
sin (𝜉 + 𝑖𝜂) 2sin (𝜉 − 𝑖𝜂)
sin (2𝜉) − sin (2𝑖𝜂) sin (2𝜉) − 𝑖sh (2𝜂)
=
=
cos (2𝑖𝜂) − cos (2𝜉) ch (2𝜂) − cos (2𝜉)
cot (𝜉 + 𝑖𝜂) =
Оказывается, что можно представить котангенс как частное косинуса и синуса,
умноженного на знаменатель 2sin (𝜉 − 𝑖𝜂). Поскольку среда у нас поглощающая, и скорость
звука в ней конечная, то аргумент синуса не может быть отрицательным. Тогда и в числителе, и
в знаменателе получаются известные из тригонометрии формулы для разности синусов и
разности косинусов. Такой котангенс записывается в виде отношения первой разности ко
второй. Но сложность состоит в том, что мы получаем синус комплексного аргумента. Такая
функция – это ничто иное, как 𝑖, умноженное на чинус мнимой части. Соответственно, из
косинуса такого мнимого аргумента мы можем перейти к чосинусу мнимой части.
Теперь взглянем еще раз на полученную формулу. Помимо котангенса у нас есть и
отношение квадратов плотностей, и величина 𝜌1 – это комплексная величина. Поэтому здесь
нам также понадобятся преобразования, которые позволят рассмотреть действительную и
мнимую часть. Мы подставляем 𝜌1 как сумму действительной и мнимой части, и, кроме того,
пользуемся соображением о том, что обычно мнимая часть в среде оказывается гораздо более
малой, чем действительная часть (то есть, среда является слабо поглощающей). Тогда мы
можем пренебречь квадратом мнимой части в знаменателе и расписать данную формулу по
известной формуле для разложения в ряд Тейлора следующим образом:
𝜌2
𝜌2
𝜌2
𝜌1′′
=
≈
(1 − 2𝑖 ′ )
𝜌1
𝜌12 𝜌1′2 − 𝜌1′′2 + 2𝑖𝜌1′ 𝜌1′′ 𝜌1′2
Теперь мы должны подставить результаты наших преобразований в формулу для
дисперсионного соотношения. В левой части вместо квадрата котангенса мы записываем
выражение, где в числителе уже было произведено возведение в квадрат. А в правой части мы
воспользовались формулой для отношения квадратов плотностей. Нам осталось приравнять обе
части, и наша цель будет достигнута:
(𝜂2 − 𝜉 2 − 2𝑖𝜉𝜂)
=
sin2(2𝜉 ) − sh2 (2𝜂) − 2𝑖 sin(2𝜉 ) sh(2𝜂)
=
(ch (2𝜂) − cos (2𝜉))2
𝜌2
𝜌1′′
(1
−
2𝑖
) ((𝑘1′2 − 𝑘1′′2 − 𝑘 2 )𝐻2 + (𝜉 2 − 𝜂2 ) − 2𝑖 (𝑘1′ 𝑘1′′ 𝐻2 − 𝜉𝜂)
𝜌1′
𝜌1′2
(𝜂2 − 𝜉 2 )(sin2(2𝜉 ) − sh2 (2𝜂)) − 4𝜉𝜂 sin(2𝜉 ) sh(2𝜂)
=
(ch (2𝜂) − cos (2𝜉))2
𝜌2
𝜌1′′ ′ ′′ 2
′2
′′2
2
2
2
2
)
(
)
= ′2 ((𝑘1 − 𝑘1 − 𝑘 𝐻 + 𝜉 − 𝜂 − 4 ′ (𝑘1 𝑘1 𝐻 − 𝜉𝜂))
𝜌1
𝜌1
𝜉𝜂(sin2(2𝜉 ) − sh2 (2𝜂)) + (𝜂2 − 𝜉 2 ) sin(2𝜉 ) sh(2𝜂)
=
(ch2 (2𝜂) − cos(2𝜉 ))2
𝜌2 𝜌1′′
= ′2 ( ′ [(𝑘1′2 − 𝑘1′′2 − 𝑘 2 )𝐻2 + (𝜉 2 − 𝜂2 )] + 𝑘1′ 𝑘1′′ 𝐻2 − 𝜉𝜂)
{ 𝜌1 𝜌1
106
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
В итоге мы получаем большую систему из двух уравнений. Первое из них выражает
равенство действительных частей, а второе – равенство мнимых частей исходного уравнения.
Видно, что такая система имеет внушительный вид, и для того, чтобы как-то с ними работать,
необходимо будет выполнить ряд приближений.
Дисперсионное соотношение: приближения
Первым приближением будет:
•
Для многих грунтов 𝑘′′1 ≪ 𝑘′1
То есть, мы считаем, что наше поглощение очень слабое (волна слабо затухает в грунте.
Кроме того, мы будем пользоваться еще одним соображением, что:
•
Моды слабо затухают с расстоянием
Математически эти требования сводятся к следующему:
𝜂2 ≪ 𝜉; 𝜂 ≪ 1
⇒
sh 2𝜂 ≪ sin 2𝜉
Из этого следует, что мы можем в той системе уравнений, которая была, сделать
некоторое приближение и прийти к следующему выражению, которое тоже довольно громоздко,
но уже несколько проще предыдущего:
𝜌1′2
𝑐02
2
2 [1
]
cot
𝜉]
=
(𝑘𝐻)
−
𝜌2
𝑐12
𝜌1′′ 2 2
𝜌2 ′ ′′ 2
′ 𝜉 cot 𝜉 + ′2 𝑘1 𝑘1 𝐻
𝜌1
𝜌1
𝜂=
.
𝜌2
cot 𝜉
2
𝜉 [ 2 + cot 𝜉 − 𝜉 2 ]
sin 𝜉
𝜌1
𝜉 2 [1 +
{
Обратите внимание, что первое из этих уравнений не содержит вообще переменную 𝜂, то
есть это уравнение отражает волновое число только на 𝜉. Это означает, что мы можем решить
его численными методами. Отсюда мы можем найти 𝜉, и далее, подставив его во второе
уравнение, найти переменную 𝜂. Если у нас есть обе эти переменные, то мы находим
вертикальную компоненту волнового числа в водной среде. А далее, используя соотношение
между всеми волновыми числами, мы находим их все, тем самым полностью решая нашу задачу
о распространении звука.
Однако, здесь нужно сделать несколько замечаний. Во-первых, скорость 𝑐1 в грунте
𝜔
вычисляется «без учета» затухания. Если мы возьмем комплексное волновое число 𝑘 = 𝑐 , то
величина 𝑐 тоже будет комплексной. Смысл вычисления 𝑐1 как бы без затухания говорит о том,
𝜔
что мы используем условие 𝑘′ = 𝑐 , то есть считаем, что скорость определяет именно
действительную часть волнового числа. Во-вторых, уравнение (18) имеет смысл только при
𝑐0 < 𝑐1 . Явно мы использовали условие, что скорость звука в дне обязательно должна быть
больше, чем скорость звука в жидкости. Если это не так (грунты, где скорость звука меньше,
107
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
чем в жидкости), то тогда вся система уравнения станет неправильной. Ведь тогда величина,
которая стоит в квадратных скобках, становится отрицательной. А в левой части в квадратных
скобках находится явно положительная величина, что не дает нам получить действительную
часть 𝜉.
Как решать задачу в данном случае? Нам нужно вернуться на шаг назад и там, где мы
приравнивали действительную и мнимую части нашего уравнения, нам придется учесть
обратный знак данного неравенства. Но такой вариант решения задачи мы рассматривать не
будем.
Определение волновых чисел
Казалось бы, что на данном моменте, имея систему уравнений, можно переходить к
численном решению, но на самом деле необходимо сделать еще несколько аналитических шагов.
𝜁 = 𝜉 2 [1 +
𝜌1′2
𝑐02
2
2 [1
]
cot
𝜉]
=
(𝑘𝐻)
−
𝜌2
𝑐12
Обратим внимание, что правая часть данного уравнения определяется глубиной водоема,
частотой и соотношением скоростей звука в водоеме. Левая же часть определяется величиной
𝜉, то есть действительной частью вертикальной компоненты волнового числа. Она никак не
связана с вышеупомянутыми параметрами и зависит только от отношения плотностей двух
сред. Поэтому удобно рассмотреть графическое представление данного уравнения (Рис. 7.2). Мы
обозначим каждую из частей уравнения переменной зета (𝜁) и построим график левой части
уравнения (зависимость для логарифма 𝜁 от переменной 𝜉). Котангенс – это периодическая
функция, и когда 𝜉 кратно равна 𝜋, он возрастает до ∞. Поэтому мы имеем набор вертикальных
асимптот. Кроме того, множитель 𝜉 2 приводит к тому, что вся функция в целом возрастает с
ростом 𝜉.
Рисунок 7.2. График для уравнения 𝜉 2
108
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝜌′
Данный график был получен для отношения плотностей 𝜌1 = 2. Давайте предположим,
что у нас есть разные частоты (от частоты зависит правая часть уравнения). Значит для того,
чтобы найти решение, нам нужно для данной частоты вычислить значение коэффициента,
провести прямую и посмотреть на точки пересечения с функцией. При низких частотах эта
величина будет столь малой, что не будет ни одного пересечения между горизонтальной осью и
графиком (все поле будет представлено нераспространяющимися волнами). Затем будет одно
пересечение, и новые пересечения будут добавляться с ростом частоты. Тем самым,
дополнительные корни будут соответствовать возбуждению мод все больших порядков. Такая
структура является для нас знакомой, поскольку примерно то же самое мы получали,
рассматривая распространение волн в водоеме с идеальными границами.
𝑐2
При выборе частоты ln {(𝑘𝐻)2 [1 − 𝑐02]} мы увидим ряд точек, в которых горизонтальная
1
прямая пересекает наш график. Причем, в целом наша прямая пересекает каждую «ветвь» в двух
точках. На самом деле, физически смысл имеет только точка пересечения с правой частью
каждой «ветви». Левая парная точка не имеет физического смысла, поскольку для нее
происходит увеличение амплитуды волны при удалении от источника. Дело в том, что одним из
важных физических условий нашего решения является то, что на бесконечности амплитуда волны
обязательно должна падать за счет поглощения в среде. Тогда количество корней
соответствует количеству пересеченных «ветвей».
Давайте посмотрим, что будет, если изменить отношение плотностей. Оказывается, что
в целом практически ничего качественно не меняется (только становится более резким
возрастание функции), и практически не смещаются по горизонтали и вертикали вершины
«ветвей» функции.
Давайте выпишем алгоритм нашего решения задачи:
𝜌′2
•
Построить график зависимости 𝜁(𝜉) = 𝜉 2 [1 + 12 cot 2 𝜉]
•
Определить точки его пересечения с прямой 𝜁 = (𝑘𝐻)2 [1 − 02]
𝜌
𝑐2
𝑐1
2 [1
𝜁 = (𝑘𝐻)
𝑐02
1
1
− 2 ] = 𝜔2 𝐻2 [ 2 − 2 ]
𝑐1
𝑐0 𝑐1
Коль скоро мы имеем запись точек пересечения, далее мы можем через них найти
переменную 𝜉𝑛 : для каждой прямой получается некоторый набор точек пересечения. Тем самым,
мы находим 𝜉𝑛 , соответствующее 𝑛-той моде, возбужденной в водоеме.
•
Для каждого 𝜉𝑛 определить значение 𝜂𝑛 с помощью (18)
𝜂𝑛 – это мнимая часть горизонтальной компоненты волнового числа (будет описывать
затухание).
𝜉
𝜂
•
Найти вертикальные волновые числа 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛′ + 𝑖𝑙𝑛′′ = 𝐻𝑛 + 𝑖 𝐻𝑛
•
Найти горизонтальные волновые числа 𝑚𝑛 = √𝑘 2 − 𝑙 2 𝑛
109
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Случай глубокого водоема
Теперь давайте посмотрим случай, когда водоем является глубоким: 𝑘𝐻 ≫ 1. Тогда дно
– это бесконечное жидкое полупространство, оказывающее достаточно сильное влияние на
волновое число. Если величина 𝑘𝐻 много больше единицы, то горизонтальная прямая будет
проходить далеко от оси 𝜉. Если так, то каждая из «ветвей» (каждое из решений) будет прижата
к соответствующей асимптотике.
Получается, что решение 𝜉𝑛 ≈ 𝜋𝑛. Это геометрическое соображение мы будем
использовать для наших выкладок. Итак, мы говорили, что наш водоем достаточно глубок.
Тогда можно записать:
𝜉𝑛 ≈ 𝜋𝑛
⇒
cot 𝜉 ≈
1
𝜋𝑛 − 𝜉
Рисунок 7.3. Случай глубокого водоема
Теперь, используя это выражение, попробуем сделать некоторые приближения:
𝜌1′2
𝜌1′2
𝜉 2 𝜌1′2
𝜌1′2
2
2 [1
]≈ 2
𝜉
+ 2 cot 𝜉] ≈ 𝜉
+ 2
=
𝜌
𝜌 (𝜋𝑛 − 𝜉)2
𝜌 (𝜋𝑛 − 𝜉)2 𝜌2 (𝜋𝑛/𝜉 − 1)2
𝜌1′2
𝑐02
2 [1
= (𝑘𝐻)
− 2]
𝜌2 (𝜋𝑛/𝜉 − 1)2
𝑐1
2 [1
−1
𝜉≈
𝜋𝑛
𝜌
𝑐02
√1
[1
≈
𝜋𝑛
−
(𝑘𝐻
−
) ]
−1
𝜌1′
𝑐12
𝑐2
𝜌
1 + (𝑘𝐻 ′ √1 − 02 )
𝜌1
𝑐1
110
(19)
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Коль скоро 𝜋𝑛 − 𝜉 – величина малая, то обратная ей величина – очень большая. Значит,
единицей можно пренебречь. Затем поделим числитель и знаменатель на 𝜉 2 и будем иметь
величину 𝜉 только в знаменателе выражения. Следовательно, мы имеем обновленное равенство.
А решение его не составляет труда. С учетом того, что величина 𝑘𝐻 ≫ 1, и степень −1 дает очень
малую величину, знаменатель мы преобразуем в разность и записываем формулу (19), которая
позволяет нам определять значение 𝜉.
Теперь действуя согласно нашему плану, получив значение 𝜉, мы определяем значение
𝜂:
𝜌1′′ 2 2
𝜌𝑐0 2 𝑘 2 ′ ′′ 2
𝑘 𝑘 𝐻
′ 𝜉 cot 𝜉 + ( ′ )
𝜌1
𝜌1 𝑐1 𝑘1′2 1 1
𝜂=
𝜌2
cot 𝜉
𝜉 [ 2 + cot 2 𝜉 − 𝜉 2 ]
sin 𝜉
𝜌1
Здесь, прежде чем выполнить такую подстановку, тоже следует выполнить некоторое
упрощение котангенса. Во втором слагаемом мы умножаем на 𝑘 2 и делим на 𝑘 2 . Теперь мы
𝜌𝑐
можем объединить вместе совокупность 𝜌 и 𝑘, записав вместо них ′ 0 . А оставшиеся множители
𝜌1 𝑐1
можно сократить, и, кроме того, можно сгруппировать 𝑘𝐻 с получением квадрата.
Теперь смотрим на знаменатель. Первое слагаемое в скобках – это величина порядка
единицы. Второе слагаемое – это косинус, деленный на синус в квадрате. Третье слагаемое – то
же самое, умноженное на 𝜉. Исходя из сравнения между собой всех этих переменных, мы можем
пренебречь первыми двумя из них и учитывать только последнее слагаемое (как наибольшее из
них). Тогда для величины 𝜂 мы получаем равенство:
𝜌1′′ 2 2
𝜌𝑐0 2 𝑘1′′
𝜉
cot
𝜉
+
(
)
(𝑘𝐻)2
𝜌1′
𝜌1′ 𝑐1 𝑘1′
𝜂=
cot 𝜉
−𝜉 2 2
sin 𝜉
Теперь давайте вернемся опять к величине 𝜉, удовлетворяющей равенству, из которого
можно вывести (𝑘𝐻)2 . Это делается для того, чтобы потом подставить это выражение в формулу
для 𝜂:
𝜉
2 [1
𝜌1′2
𝑐02
𝜌1′2
𝑐02
+ 2 cot 2 𝜉] = (𝑘𝐻)2 [1 − 2 ] ⇒ (𝑘𝐻)2 = 𝜉 2 2 cot 2 𝜉 [1 − 2 ]
𝜌
𝜌
𝑐1
𝑐1
−1
−1
𝑐2
𝜌1′′
𝜌𝑐0 2 𝑘1′′ 𝜌1′2
[1 − 02 ]
′ +( ′ )
′
2
𝜌1
𝜌1 𝑐1 𝑘1 𝜌
𝑐1
𝜂 = 𝜉 2 cot 2 𝜉
cot 𝜉
−𝜉 2 2
sin 𝜉
=−
sin 2𝜉 𝜌1′′ 𝑘1′′ 𝑐02
[ ′ + ′ 2
]
2
𝜌1 𝑘1 𝑐1 − 𝑐02
В результате сокращений остается один cot 𝜉, который умножается на sin2 𝜉 с
получением произведения cos 𝜉 на sin 𝜉, которые мы записываем по формуле двойного угла. Для
множителей в числителе также можно выполнить ряд сокращений. В итоге для 𝜂 мы получаем
гораздо более удобное для работы равенство.
111
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Теперь мы вместо величины половины от синуса двойного угла напишем другое
выражение. Кроме того, для величины 𝑘1 мы запишем формулу, выражающую плотность через
параметры 𝜌1′ и 𝜌1′′:
sin 2𝜉
𝜌1′′
≈ 𝜉 − 𝜋𝑛; 𝑘1 = 𝜔 √𝜌1 𝑐1 = 𝜔√𝑐1 (𝜌1′ + 𝑖𝜌1′′ ) ≈ 𝜔√𝑐1 𝜌1′ (1 + 𝑖 ′ )
2
2𝜌1
Эта запись дает нам возможность сразу записать отношение между 𝑘1′ и 𝑘1′′ . Тогда данное
отношение мы сможем задействовать в формуле для волновых чисел. Используя имеющиеся
выражения и подставляя их в формулы для 𝜉 и 𝜂, мы получаем следующие выкладки:
sin 2𝜉
𝑘1′′
𝜌1′′
≈ 𝜉 − 𝜋𝑛; ′ = ′
2
𝑘1 2𝜌1
−1
𝜌
𝑐2
𝜉 ≈ 𝜋𝑛 [1 − (𝑘𝐻 ′ √1 − 02 ) ]
𝜌1
𝑐1
𝜌1′′ 𝑘1′′ 𝑐02
𝜌1′ 𝑐1
𝜌1′′ 𝑘1′′ 𝑐02
]
[
𝜂 = (𝜋𝑛 − 𝜉) [ ′ + ′ 2
=
𝜋𝑛
′ + ′ 2
2] ≈
𝜌1 𝑘1 𝑐1 − 𝑐02
𝑘𝐻𝜌√𝑐 2 − 𝑐 2 𝜌1 𝑘1 𝑐1 − 𝑐0
1
0
𝜌1′′ 𝑐1
1 𝑐02
[1 + 2
]
≈ 𝜋𝑛
2 𝑐1 − 𝑐02
𝑘𝐻𝜌√𝑐 2 − 𝑐 2
1
(20)
0
Раз уж мы решили данную задачу, теперь мы можем записать выражения для
действительной и мнимой частей 𝑙𝑛 , то есть вертикальное волновое число:
−1
𝑙𝑛′ =
𝜋𝑛
𝜌
𝑐2
[1 − (𝑘𝐻 ′ √1 − 02 ) ]]
𝐻
𝜌1
𝑐1
𝜌1′′ 𝑐1
(21)
𝑐02
1
[1 + 2
]
𝑙𝑛′′ = 𝜋𝑛
2
2
2
2 𝑐1 − 𝑐02
𝑘𝐻 𝜌√𝑐1 − 𝑐0
{
Следующий пункт нашего плана – горизонтальное волновое число. Здесь мы пользуемся
связью между различными компонентами волновых чисел и также учитываем, что 𝑙 ′′ ≪ 𝑙′. Это
позволяет нам перейти к приближению. Тогда у нас получается следующее равенство, где
выделяются величины 𝑚 ′ и 𝑚′′:
𝑚 = 𝑚 ′ − 𝑖𝑚 ′′ = √𝑘 2 − 𝑙 2 − 2𝑖𝑙 ′ 𝑙 ′′ − 𝑙 ′′2 ≈ √𝑘 2 − 𝑙 ′2 (1 − 𝑖
𝑙 ′ 𝑙 ′′
)
𝑘 2 − 𝑙 ′2
Для 𝑚 ′ мы получаем корень с вынесенным значением 𝑘 и подкоренным 𝜉, который мы
уже нашли. А для 𝑚 ′′ мы получаем дробное выражение. Для 𝑙 ′ 𝑙 ′′ мы можем использовать
формулу (21) выше, что дает нам произведение следующего вида:
112
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑚 ′ ≈ 𝑘 √1 − (
𝜉 2
)
𝑘𝐻
𝑙 ′ 𝑙 ′′ 𝜋𝑛
𝜌1′′ 𝑐1
1 𝑐02
2
[1 + 2
𝑚 ′′ ≈
=
𝜋𝑛
2] ∼ 𝑛
2
2
2
𝑘
𝑘𝐻
2
𝑐
−
𝑐
𝑘𝐻 𝜌√𝑐1 − 𝑐0
{
1
0
(22)
Здесь важно обратить внимание, что для коэффициента 𝑚 ′′ мы получаем зависимость
от номера моды 𝑛, пропорциональную 𝑛2 . То есть, чем больше номер моды, тем больше
поглощение этой моды (эта величина возрастает как 𝑛2 ).
Критические частоты
Теперь давайте обсудим, что происходит, когда частота используемого нами звука
находится вблизи критической частоты (Рис. 7.4).
Рисунок 7.4. Критические частоты
Как мы помним, на уровне критической частоты происходит появление новой моды. На
графике новые моды появляются в начале каждой новой «ветви»: либо 𝜋/2 для первой моды,
либо 3𝜋/2 для второй моды, либо 5𝜋/2 для третьей, и так далее. Такие значения 𝜉 будут
соответствовать критическим частотам. Для 𝜉𝑛 общую формулу мы можем записать как:
𝜉𝑛 =
2𝑛 − 1
𝜋
2
Данное значение подставим в уравнение ниже и посмотрим на результат. Котангенс
квадрата 𝜉 будет равен нулю. Тогда для частоты 𝑓𝑛 мы получаем формулу, связывающую эту
частоту со скоростями звука в воде и грунте, а также с глубиной водоема.
113
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝜉 2 [1 +
𝜌1′2
𝑐02
2
2 [1
]
cot
𝜉]
=
(𝑘𝐻)
−
𝜌2
𝑐12
𝜉 2 = (𝑘𝐻)2 [1 −
𝑐02
2𝑛 − 1
𝑐02
√1
]
⇒
𝑓
=
𝑐
−
𝑛
0
4𝐻
𝑐12
𝑐12
Полезно выполнить сравнение данной критической частоты с результатами, которые мы
получили для «жесткой» и «мягкой» нижней границы:
2𝑛−1
•
Для «жесткой» нижней границы 𝑓𝑛 = 𝑐0 4𝐻
•
Для «мягкой» нижней границы 𝑓𝑛 = 𝑐0 2𝐻
𝑛
Видно, что отличие от волновода Пеккериса заключается в корневом множителе. Коль
скоро этот множитель < 1, то рассмотрение жидкого дна приводит к тому, что критическая
частота уменьшается по отношению к критической частоте «жесткой» границы. С другой
стороны, если сравнить эту формулой с формулой для мягкой границы, то величина окажется
больше. Значит, случай жидкого дна с точки зрения критических частот оказывается срединным.
Фазовая и групповая скорость
Посмотрим теперь, что происходит с фазовой и групповой скоростями звука. В
частности, для простоты мы будем рассматривать их на критической частоте. Напомним себе,
что когда мы рассматривали случай с идеальными граничными условиями, получалось, что в
каждой из ситуаций на критической частоте фазовая скорость звука стремится к
бесконечности, в то время как групповая скорость звука стремится к нулю. Но так ли это в
случае волновода Пеккериса?
𝑐ph,𝑛 =
𝜉 2 = (𝑘𝐻)2 [1 −
𝜔
∂𝜔
; 𝑐g,𝑛 =
′
𝑚
∂𝑚 ′
𝑐02
𝜉 2
𝑐
𝜔
′
√1 − ( ) = 𝑘 0 = ⇒ 𝑐ph,𝑛 = 𝑐1
]
;
𝑚
≈
𝑘
2
𝑘𝐻
𝑐1 𝑐1
𝑐1
Итак, на критической частоте для величины 𝜉 справедливо данное соотношение. А коль
скоро мы знаем выражение для величины 𝑚 ′, то мы можем подставить эту формулу, с
𝜔
получением 𝑐 . В результате выходит, что фазовая скорость и групповая скорость – это величина
1
𝑐1 . Ни в какую бесконечность она не обращается, и обе эти скорости одинаковы (как скорость
звука в грунте).
Перед нами дисперсионные кривые для такого случая (Рис. 7.5). У нас есть зависимость
скорости от частоты. Но при этом вспомним, что в нашей задаче изначально фигурируют две
скорости: 𝑐0 – скорость звука в воде, 𝑐1 – скорость звука в дне. Когда мы говорим про волновод
Пеккериса, мы накладываем дополнительное условие: 𝑐1 > 𝑐0 . В противном случае наши
рассуждения и результаты будут другими. Наши критические частоты 𝜔 определяются
формулами типа 𝑓𝑛 . Вместо того, чтобы начинаться с бесконечности и стремиться к 𝑐0 , фазовые
114
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
скорости начинаются в точке 𝑐1 . То же самое происходит и с групповыми скоростями, причем
групповая скорость опускается ниже 𝑐0 (в какой-то момент групповая скорость становится
меньше скорости звука в жидкости). А потом, с увеличением частоты до бесконечности, обе
эти скорости стремятся к величине 𝑐0 . Это стремление характерно проявляется во многих
волноводах. Характерный минимум фазовой скорости – это однозначное свидетельство того, что
имеется некоторая конечная скорость распространения звука в грунте (которая сказывается на
дисперсионной диаграмме).
Рисунок 7.5. Дисперсионные кривые
Вертикальный профиль акустического поля
Теперь давайте посмотрим, как выглядят вертикальные профили акустического поля в
нашем волноводе (Рис. 7.6). Такие профили мы уже рисовали для идеального волновода. В
водной среде тогда у нас, например, зависимость акустического давления выражалась функцией
типа sin. Если мы будем говорить про потенциал поля, эта функция всё равно будет
тригонометрической (за счет того, что граничное условие по поверхности будет нулевым) – sin.
С ростом критической частоты мы видим характерный изгиб, который отражает уменьшение
длины волны с ростом синуса.
Рисунок 7.6. Вертикальный профиль акустического поля
115
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Что касается поля под границей (для идеальной границы мы не рассматривали это поле,
поскольку туда волна не проникала), то там надо отметить две особенности:
1) Образуется некий «скачок» поля (поле не является непрерывным). Это происходит
потому, что мы рассматриваем поле потенциала, а потенциал – это функция,
испытывающая разрыв на границе. На границе также появляются такие параметры, как
акустическое давление и вертикальная компонента колебательной скорости. Если мы
нарисуем графики для давления, то разрывов уже не будет. Это связано с тем, что
отношение потенциалов сверху и снизу от границы соответствует отношению
плотностей.
2) Функция, которая здесь используется, имеет вид убывающей экспоненты: поле
акустической волны в грунте является быстро затухающим. Из графиков можно видеть,
что для больших частот это затухание происходит слабо (для первой критической
частоты и для частот несколько больше поле проникает глубоко в границу, чем для мод
на более высоких частотах, где почти сразу возникает непроникновение волны в дно).
Соответственно, если бы мы хотели изучать структуру дна, было бы логично
воспользоваться именно такими волнами, которые находятся вблизи первой критической
частоты (а может быть – и на частотах ниже критической).
116
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 8. Усредненное поле в слое. Закон его спадания с
расстоянием
В рамках прошлой лекции мы решали задачу о волновом распространении звука в слое
жидкости, который лежит на жидком полупространстве с другими свойствами (в частности,
скорость звука в этом полупространстве должна быть больше скорости звука в жидкости). Мы с
вами рассматривали, каким образом выглядят горизонтальное и вертикальное волновые числа, а
также коэффициент затухания в такой системе (волновод Пеккериса). На этот раз мы затронем
такой момент, как усредненное поле в слое. Иными словами, мы будем рассматривать не
отдельные моды, а некоторое усредненное по глубине водного слоя поле и то, каким образом
амплитуда этого поля будет спадать с расстоянием до источника.
Поле как суперпозиция отдельных мод
Поле в слое можно представить как суперпозицию отдельных мод, которая записывается
согласно такому уравнению:
𝑁
𝑝(𝑟, 𝑧) = ∑
𝑎𝑗
′′
𝑗=1 √𝑚𝑗′ 𝑟
′
𝑒 −𝑚𝑗 𝑟 𝑒 −𝑖𝑚𝑗 𝑟 sin (𝑙𝑗 𝑧)
Верхняя запись является очень общей, и мы выведем из нее те величины, которые нам
нужны. А пока посмотрим, что же здесь имеется. Во-первых, здесь стоит сумма от 1 до 𝑁 по всем
отдельным модам, распространяющимся в данном слое. Каждая мода имеет в составе некоторый
амплитудный множитель (амплитуда будет задаваться коэффициентом 𝑎𝑗 . Во-вторых, мы
рассматриваем моды на большом расстоянии от источника, поэтому необходимо учесть
цилиндрическую расходимость такого поля
1
√𝑚𝑗′𝑟
, где 𝑟 – это расстояние по горизонтали от
источника до приемника, а 𝑚𝑗′ – горизонтальная компонента волнового вектора. Также можно
воспользоваться соображением о том, что энергия должна распространяться, сохраняясь по
постепенно расширяющимся окружностям (на каждой окружности энергия должна быть
одинаковой). Но коль скоро давление – это корень из энергии, а длина окружности – это 𝑝𝑟 (и
чем больше 𝑟, тем по большей длине окружности мы интегрируем величину), то мы имеем такую
дробную запись.
С другой стороны, можно вспомнить формальную часть: при решении уравнения
Гельмгольца в цилиндрической системе координат, зависимость от координаты 𝑟 обеспечивается
функцией Ханкеля, которая при больших расстояниях она имеет именно такую асимптотику.
Также у функции Ханкеля есть некоторый комплексный множитель, который может быть
′
формально отнесен в амплитуду. Далее 𝑒 −𝑖𝑚𝑗 𝑟 – это множитель, который определяет изменение
′′
фазы в моде при прохождении расстояния. В то же время, множитель 𝑒 −𝑚𝑗 𝑟 описывает
поглощение волны в среде. Опять же, в стандартной записи асимптотики функции Ханкеля
117
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
фигурирует просто некоторое горизонтальное волновое число 𝑚𝑗 . Но коль скоро это число
является комплексной, то добавляется также мнимая часть. Наконец, последний множитель здесь
- это sin(𝑙𝑗 𝑧), где 𝑙𝑗 – это вертикальная компонента волнового числа, а синус – это функция,
которая описывает решение уравнения Гельмгольца по вертикали (выбор синуса связан с тем, что
на поверхности жидкости должно быть нулевое граничное условие).
Такое поле в общем случае формируется в водоеме. Причем, такой вид может получаться
независимо от того, какие граничные условия на дне присутствуют. Все, что нам нужно – это 1)
нулевое граничное условие на поверхности, а также 2) независимость скорости звука от глубины
(в противном случае синус не будет правильно описывать поле).
Теперь давайте переходить к решению. Если просто проинтегрировать по вертикальной
координате, то хорошего результата не получится, потому что поле знака переменной. Тогда мы
будем интересоваться квадратом модуля акустического давления. Эта величина равна 𝑝,
умноженному на 𝑝-сопряженное. Если мы возьмем такую запись и умножим ее на комплексное
сопряженное, то множитель
1
𝑟
возводится в квадрат, и мы можем вынести его. Во-вторых,
появится сумма из перекрестных множителей, один из которых с индексом 𝑗, а другой – с
индексом 𝑘. И мы берем сумму всех возможных попарно произведений членов. 𝐴𝑗 𝐴𝑘 –
амплитуды обозначены так, в связи с тем, что в каждую амплитуду входит сложный множитель.
От номеров 𝑗 и 𝑘 здесь также возникнет косинус. Из-за чего он получается? Давайте
′
возьмем множитель 𝑒 −𝑖𝑚𝑗 𝑟 и предположим, что он умножается на аналогичный множитель,
только с индексом 𝑘 (со знаком +) и комплексно сопряженный. Тогда множитель с индексом 𝑗
будет идти со знаком −. И соответственно, получится экспонента. Но надо не забывать, что
индексы пробегают диапазон от 1 до 𝑁, и в какой-то момент они поменяются местами. То есть,
у нас есть пара множителей с индексами 𝑗 и 𝑘, и другая пара с индексами 𝑘 и 𝑗. Можно
объединить эти два случая, и тогда вместо того, чтобы брать отдельно две экспоненты, их можно
сразу объединить, что и дает нам косинусный множитель. А то, что мы учли эти пары два раза,
2
обеспечивается путем введения множителя √𝑚′ в коэффициент 𝐴𝑗 .
𝑗
𝑁
1
2
′′
|𝑝| = 𝑝𝑝 = ∑ 𝐴𝑗 𝐴𝑘 cos [(𝑚𝑗′ − 𝑚𝑘′ )𝑟]; 𝐴𝑗 = 𝑎𝑗 √ ′ 𝑒 −𝑚𝑗 𝑟 sin (𝑙𝑗 𝑧)
𝑟
𝑚𝑗
2
∗
𝑗,𝑘=1
⟨|𝑝|2 ⟩ =
1 𝐻 2
∫ |𝑝| 𝑑𝑧
𝐻 0
Чтобы сделать из общего давления среднее давление, мы проинтегрируем величину из
верхней формулы по всей длине водоема (возьмем интеграл от 0 до 𝐻, который поделим на 𝐻).
Средний квадрат давления – величина, которая будет полезна в последующем анализе изменения
поля.
Давайте попробуем расписать эту величину. Мы перейдем обратно от множителей 𝐴 к
множителям 𝑎. И тогда для среднего квадрата акустического давления можно записать такое
длинное выражение:
118
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑁
⟨|𝑝|
2⟩
1 𝐻
∫ ∑
=
𝑟𝐻 0
2𝑎𝑗 𝑎𝑘
𝑗,𝑘=1 √𝑚𝑗′ 𝑚′𝑘
𝑁
1
∑
=
𝑟𝐻
2𝑎𝑗 𝑎𝑘
′′
𝑗,𝑘=1 √𝑚𝑗′ 𝑚′𝑘
𝑁
1
= ∑
𝑟
𝑎𝑗 𝑎𝑘
′
𝑗,𝑘=1 √𝑚𝑗′ 𝑚𝑘
×[
−(𝑚𝑗′′ +𝑚𝑘′′)𝑟
sin (𝑙𝑗 𝑧)sin (𝑙𝑘 𝑧)𝑑𝑧 =
𝐻
′′
cos [(𝑚𝑗′ − 𝑚𝑘′ )𝑟]𝑒 −(𝑚𝑗 +𝑚𝑘 )𝑟 ∫ sin (𝑙𝑗 𝑧)sin (𝑙𝑘 𝑧)𝑑𝑧 =
0
cos [(𝑚𝑗′ − 𝑚𝑘′ )𝑟]𝑒
sin[(𝑙𝑗 − 𝑙𝑘 )𝐻]
(𝑙𝑗 − 𝑙𝑘 )𝐻
cos [(𝑚𝑗′ − 𝑚𝑘′ )𝑟]𝑒
−
−(𝑚𝑗′′ +𝑚𝑘′′)𝑟
×
sin[(𝑙𝑗 + 𝑙𝑘 )𝐻]
]
(𝑙𝑗 + 𝑙𝑘 )𝐻
На самом деле, его довольно легко и быстро можно упростить за счет того, что интеграл
от 0 до 𝐻 берется по переменной 𝑧, от которой зависят только вертикальные профили каждой
моды (произведение синусов). Всё остальное можно вытащить за знак интеграла, а под знаком
появляется интеграл от произведения синусов. Это произведение можно расписать через синус
суммы и разности, поэтому эта функция легко интегрируется аналитически. В результате мы
получаем величину, где в знаменатель была перенесена глубина водоема (𝐻). Это удобно, потому
что тогда в знаменателе образуются безразмерные функции, с которыми удобно работать.
Для того, чтобы упростить полученное выражение, мы воспользовались приближением
того, что слой глубокий (в толщине водоема укладывается большое количество длин волн: 𝐻 ≫
𝜆). Как мы уже видели, для глубокого слоя:
•
𝑐𝑝ℎ ≈ 𝑐0 и 𝑚′𝑗 ≈ 𝑘
То есть, можно считать, что фазовая скорость примерно равна скорости звука в воде и
что горизонтальное волновое число примерно равно 𝑘.
•
sin [(𝑙𝑗 + 𝑙𝑘 )𝐻] = 0
𝑙𝑗 𝐻 = 𝜉𝑗 ≈ 𝜋𝑗 ⇒ {sin[(𝑙𝑗 −𝑙𝑘)𝐻]
= 𝛿𝑗𝑘
(𝑙
)𝐻
𝑗 −𝑙𝑘
Кроме того, для глубокого слоя на прошлом занятии мы получали значение 𝜉𝑗 как
примерно равное 𝜋𝑗 . Отсюда следует, что синусы (𝑙𝑗 + 𝑙𝑘 )𝐻 будут близки к 0 (поскольку каждое
из слагаемых примерно равно 𝜋𝑗 ). Что касается 𝑠𝑖𝑛𝑐, когда 𝑗 ≠ 𝑘, значения также будут близки к
0. Но вот если 𝑗 = 𝑘, то мы будем пользоваться известным выражением для предела 𝑠𝑖𝑛𝑐 при
стремлении его аргумента к 0. Исходя из этого выражения мы будем полагать его результат как
1. Поэтому наш 𝑠𝑖𝑛𝑐 будет переходить в дельта-функцию (рассматриваемую дискретно). Она
равна 0 при 𝑗 ≠ 𝑘 и равна 1 при 𝑗 = 𝑘. Такая функция называется символом Кронекера.
•
𝑚′′𝑗 = 0.5𝑀𝑗 2
На прошлой лекции мы получили важное соотношение для коэффициента затухания
моды в зависимости от номера моды. Оказалось, что этот коэффициент затухания
119
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
пропорционален квадрату номера данной моды. Это условие записывается путем ввода
множителя 𝑀 и множителя 0.5.
Теперь мы можем продолжать. У нас есть выражение для среднего квадрата
акустического давления, и если слой глубокий, то мы можем подставить в формулу все наши
предположения:
𝑁
⟨|𝑝|
2⟩
𝑎𝑗 𝑎𝑘
1
= ∑
𝑟
′
𝑗,𝑘=1 √𝑚𝑗′ 𝑚𝑘
×[
cos [(𝑚𝑗′ − 𝑚𝑘′ )𝑟]𝑒
sin[(𝑙𝑗 − 𝑙𝑘 )𝐻]
(𝑙𝑗 − 𝑙𝑘 )𝐻
−(𝑚𝑗′′+𝑚𝑘′′ )𝑟
×
𝑁
sin[(𝑙𝑗 + 𝑙𝑘 )𝐻]
1
2
] = ∑ 𝑎𝑗2 𝑒 −𝑀𝑗 𝑟
−
𝑘𝑟
(𝑙𝑗 + 𝑙𝑘 )𝐻
𝑗=1
Синус суммы сразу приравнивается к 0, а первое слагаемое становится равным 1, но
только в том случае, когда 𝑗 = 𝑘 (во всех остальных случаях приравнивается к 0). Поэтому сумма
будет проходить по одному индексу. Косинус нуля также не останется в выражении, а 𝑚𝑗′′ мы
приравниваем к 𝑚𝑘′′ и подставляем имеющееся выражение: получится 2𝑚𝑗′′, и двойка
сокращается за счет множителя 0.5. В итоге выражение для среднего квадрата акустического
давления становится простым и лаконичным.
Теперь давайте оценим, какие изменения происходят в случаях, поддающихся
аналитическому решению. Такой случай возникает, когда амплитуды мод одинаковы: 𝑎𝑗 = 𝑎.
Тогда 𝑎𝑗 можно вынести за знак суммы и получить следующую величину:
𝑁
⟨|𝑝|
2⟩
(𝑁+0.5)√𝑀𝑟
𝑎2
𝑎2 𝑁+0.5 −𝑀𝑗 2 𝑟
𝑎2
2
2
∫
∫
= ∑ 𝑒 −𝑀𝑗 𝑟 ≈
𝑒
𝑑𝑗 =
𝑒 −𝜁 𝑑𝜁
𝑘𝑟
𝑘𝑟 𝑗=0.5
𝑘𝑟√𝑀𝑟 𝜁=0.5√𝑀𝑟
𝑗=1
erf (𝑥) =
2
𝑥
2
∫ 𝑒 −𝜁 𝑑𝜁
√𝜋 0
2
⟨|𝑝|2 ⟩ =
𝑎
𝜋
√
[erf [(𝑁 + 0.5)√𝑀𝑟] − erf [0.5√𝑀𝑟]]
2𝑘𝑟 𝑀𝑟
Просуммировать эту величину на первый взгляд довольно сложно. Но можно
воспользоваться интересным и оригинальным приемом. Давайте вспомним, что при изучении
интегралов в курсе математического анализа, интеграл обычно вводится как некоторый предел
суммы. Например, мы можем взять некий график функции, разбить ось интегрирования на
отдельные участки и найти площадь функции, просуммировав площадь прямоугольников,
которые получаются при разбиении. Такой метод можно использовать и в обратную сторону, и,
вместо того чтобы приближать интеграл некоторой суммой, будем приближать сумму
интегралом. Мы заменяем сумму в выражении на интеграл от функции по переменной 𝑗, то есть
мы от дискретной переменной переходим к непрерывной переменной: от 𝑗 = 0.5 до 𝑁 + 0.5.
Такой интеграл, если осуществить замену переменных (обозначить как 𝜁 величину
−𝑀𝑗 2 𝑟
𝑒
), является известной специальной неэлементарной функцией, которая называется
функцией ошибок. С ее помощью довольно просто расписать значение величины ⟨|𝑝|2 ⟩:
120
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
⟨|𝑝|2 ⟩ =
𝑎2
𝜋
√
[erf [(𝑁 + 0.5)√𝑀𝑟] − erf [0.5√𝑀𝑟]]
2𝑘𝑟 𝑀𝑟
В ее составе оказываются два дробных множителя и разность функции ошибок, взятой в
двух точках.
Цилиндрическая расходимость на малых расстояниях
Теперь давайте попробуем получить некие асимптотики для того, чтобы применить
данную формулу к разным значениям расстояния.
1) Рассмотрим случай, когда аргумент функции ошибок мал:
Если 𝑥 мало, то erf (𝑥) ≈
2
√𝜋
𝑥3
𝑥5
(𝑥 − 3 + 10 − ⋯ )
Нас будет интересовать первый член этого ряда. Средний квадрат акустического
давления тогда записывается так:
⟨|𝑝|2 ⟩ =
≈
𝑎2
𝜋
√
[erf [(𝑁 + 0.5)√𝑀𝑟] − erf [0.5√𝑀𝑟]] ≈
2𝑘𝑟 𝑀𝑟
𝑎2 1
𝑎2 𝑁 1
√
[(𝑁 + 0.5)√𝑀𝑟 − 0.5√𝑀𝑟] =
∼
𝑘𝑟 𝑀𝑟
𝑘𝑟
𝑟
При этом мы пользуемся разложением и вместо данной сложной формулы получаем
умноженное на 𝑥. При этом
2
√𝜋
2
√𝜋
,
сокращается, а значение даст 𝑁, умноженное на √𝑀𝑟, который
1
также сокращается. Поэтому получается простая формула, которая пропорциональная . То есть,
𝑟
у нас на малых расстояниях реализуется случай, когда акустическое поле спадает в зависимости
от расстояния обратно пропорционально √𝑟.
Это справедливо, когда:
𝑥<1
⇒
𝑟<
1
𝑀𝑁 2
1
Если 𝑥 < 1, то мы переходим от него к аргументу 𝑟 меньшему, чем 𝑀𝑁2 .
Глубокий слой при малом поглощении в дне
1) Если у нас достаточно глубокий водоем и слабое затухание, то число мод оказывается
большим.
Если 𝑀 мало, а 𝐻 велико, то число мод 𝑁 тоже велико
Тогда:
121
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑀 → 0; 𝑁 → ∞ ⇒ erf [0.5√𝑀𝑟] → 0, но erf [(𝑁 + 0.5)√𝑀𝑟] ≈ 1
То есть, функция ошибок будет стремиться к нулю, потому что 𝑀 → 0. С другой стороны,
вторая функция ошибок (где будем считать, что 𝑁 → ∞ быстрее, чем 𝑀 → 0) при больших
значениях аргумента будет примерно равна 1.
⟨|𝑝|2 ⟩ =
𝑎2
𝜋
𝑎2
𝜋
1
√
√
[erf [(𝑁 + 0.5)√𝑀𝑟] − erf [0.5√𝑀𝑟]] ≈
∼ 3/2
2𝑘𝑟 𝑀𝑟
2𝑘𝑟 𝑀𝑟 𝑟
Тогда мы подставляем в нашу формулу эти два значения асимптотики и получаем иной
1
закон спадания. Таким образом средний квадрат акустического давления спадает уже как 𝑟 3/2.
Такой знаменитый закон 3/2 Л. Бреховских очень часто формулируется, когда говорят о том,
каким именно образом ведет себя поле с увеличением расстояния. Нам только осталось указать,
в каких пределах наше приближение будет работать:
𝑟𝑀 < 0.1
Большие расстояния до источника
Теперь рассмотрим еще один вариант, когда мы, наоборот, находимся достаточно далеко
от источника:
Если 𝑥 велико, то erf (𝑥) ≈ 1 −
𝑒 −𝑥
2
𝑥√𝜋
(1 −
1
1⋅3
1⋅3⋅5
+
−
+ ⋯)
2
2
2
(2𝑥 )
(2𝑥 2 )3
2𝑥
Подкоренные значения тогда окажутся очень большими, и ни в одной из функций
ошибок нельзя будет считать аргумент малым. Тогда мы можем воспользоваться другой
асимптотикой, а именно расписать значение функции ошибок в точке, где 𝑥 → ∞. Тогда
справедливо показанное выше разложение, и в этом ряду мы будем ограничиваться множителем
2
𝑒 −𝑥
𝑥√𝜋
. Посмотрим, что у нас получается:
erf [(𝑁 + 0.5)√𝑀𝑟] − erf [0.5√𝑀𝑟]
2
2
𝑒 −(0.5) 𝑀𝑟
𝑒 −(𝑁+0.5) 𝑀𝑟
2
2
≈
(
−
)≈
𝑒 −(0.5) 𝑀𝑟
(𝑁 + 0.5)√𝑀𝑟
√𝜋 0.5√𝑀𝑟
√𝜋𝑀𝑟
1
Разность двух функций ошибок будет соответствовать разности членов (с сокращением
единицы). При этом √𝜋 можно вынести за скобку, а в скобках получается разность двух функций.
Обращаем внимание, что в одном случае у нас имеется величина 0.52 , а в другом 𝑁 + 0.52 , и,
конечно, вторая величина гораздо больше. Отсюда мы уже можем сделать вывод о том, что
второе слагаемое будет гораздо меньше первого, и им можно пренебречь. Тогда мы получаем
интересный закон спадания с расстоянием для среднего квадрата акустического давления:
⟨|𝑝|2 ⟩ =
𝑎2
𝜋
𝑎2 −0.25𝑀𝑟
√
[erf [(𝑁 + 0.5)√𝑀𝑟] − erf [0.5√𝑀𝑟]] ≈
𝑒
2𝑘𝑟 𝑀𝑟
𝑘𝑀𝑟 2
122
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
То есть, на больших расстояниях наше поле спадает очень быстро (гораздо быстрее, чем
то, что можно было бы описать простой цилиндрической расходимостью).
Зависимость давления от расстояния до источника
Теперь давайте все полученные результаты мы изобразим на общем графике (Рис. 8.1).
На вертикальной оси отложен логарифм акустического давления, а по горизонтальной оси
отложен логарифм от 𝑘𝑟 (расстояние, выраженное в длинах волн). Когда мы зависимость
давления от расстояния выбираем в виде степенного закона, то в таком дважды
логарифмическом масштабе он отображается в виде линейных зависимостей, поэтому работать
на такой диаграмме довольно удобно.
Толстая черная линия – это полученный нами закон, рассчитанный численно без
применения каких-либо асимптотик для функции ошибок. Различные же асимптотики
приведены в цветных пунктирных линиях. Когда величина 𝑘𝑟 мала (на небольших расстояниях),
работает закон 𝑟 −1 (практически обычная цилиндрическая расходимость волны).
Рисунок 8.1. График зависимости давления от расстояния до источника
Если расстояние становится больше, то более крутая зависимость отражена законом
𝑟 . Далее какое-то время зависимость можно приближать по закону 𝑟 −2 , где экспонента еще не
включилась в работу. Но на больших расстояниях именно она определяет быстрое спадание
поля (одновременное наложение зависимостей 𝑒 −0.25𝑀𝑟 и 𝑟 −2 ). Таким образом, мы увидели, как
численно происходит переход из одного спадания акустического поля в другой его режим
спадания.
3/2
123
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 9. Моды в слое с переменной по глубине
скоростью звука
В рамках предыдущих лекций мы рассмотрели несколько моделей водоемов,
охарактеризовав волновое поле в каждой из них при различных условиях. В частности, мы брали
идеальные граничные условия, волновод Пеккериса, и так далее. При этом мы полагали, что
скорость звука в водоеме не зависит от глубины. Еще в начале курса мы говорили, что на самом
деле это не так, и скорость звука зависит от многих факторов. В конечном счете у нас всегда есть
зависимость скорости звука от глубины, и ее нужно учитывать. В этот раз мы посмотрим, как
решаются подобные задачи с точки зрения волнового подхода.
Постановка задачи
Итак, введем некоторую систему координат. Ось 𝑧 направлена вертикально вниз, начало
координат – на поверхности водоема (в точке z = 0). Перейдем к уравнениям:
•
Уравнение Гельмгольца:
Δ𝑝 + 𝑘 2 (𝑧)𝑝 = 0;
𝑘 (𝑧) =
𝜔
𝑐 (𝑧)
Единственное отличие от тех уравнений Гельмгольца, которые мы использовали ранее,
состоит в том, что теперь волновое число 𝑘 является функцией вертикальной координаты 𝑧.
Соответственно, 𝑐(𝑧) – это скорость звука на глубине 𝑧. Мы решаем данное уравнение в
цилиндрической системе координат, и при этом считаем, что нет зависимости от угла. В этих
условиях оператор Лапласа расписывается таким образом:
1 ∂
∂𝑝
∂2 𝑝
(𝑟 ) + 2 + 𝑘 2 𝑝 = 0
𝑟 ∂𝑟 ∂𝑟
∂𝑧
Есть производная от координаты 𝑟 и производная по координате 𝑧, а также
дополнительное слагаемое 𝑘 2 𝑝. Для решения данного уравнения ранее мы использовали метод
разделенных переменных.
•
Граничное условие на поверхности:
𝑝(𝑧 = 0) = 0
•
Граничное условие на дне:
1) «жесткая» граница:
𝑣𝑧 (𝑧 = 𝐻) = 0 или
124
∂𝑝
|
=0
∂𝑧 𝑧=𝐻
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Идеальная «жесткая» граница характеризуется тем, что вертикальная компонента
колебательной скорости должна обращаться в ноль при 𝑧 = 𝐻. Если мы записываем уравнения
на языке акустического давления, то мы выписываем производную ∂𝑝 по ∂𝑧 в заданной точке.
2) «мягкая» граница:
𝑝=0
Этот случай оказывается таким же, как на поверхности: давление обращается в ноль. Но,
конечно, эти идеальные граничные условия выполняются довольно редко, и всегда имеет место,
например, импедансное или слоистое дно, или волновод Пеккериса. Но мы сконцентрируемся на
эффектах, связанных с зависимостью скорости от глубины.
•
На бесконечности волна является расходящейся
Последнее обстоятельство, которое необходимо учесть – это поведение нашей волны на
бесконечности. В данном случае источник волны будет находиться в конечной области
пространства вблизи приемников (поэтому волна постепенно расходится на бесконечности).
Разделение переменных
Итак, наше уравнение мы решаем методом разделенных переменных. То есть, вместо
давления мы записываем произведение двух функций: 𝑅(𝑟) и 𝑍(𝑧). Если подставить их вместо
𝑝, тогда можно сгруппировать слагаемые в уравнении Гельмгольца, с получением в левой части
того, что зависит от вертикальной координаты, а в правой части того, что зависит от
горизонтальной координаты. Коль скоро эти две части уравнения должны быть тождественны,
и взаимно независимы по противоположным переменным, то ни одна из частей уравнения не
зависит ни от 𝑟, ни от 𝑧. Следовательно, это некоторая константа 𝑚 2.
1 ∂
∂𝑝
∂2 𝑝
(𝑟 ) + 2 + 𝑘 2 (𝑧)𝑝 = 0
𝑟 ∂𝑟 ∂𝑟
∂𝑧
𝑝 = 𝑅(𝑟)𝑍(𝑧)
1 ′′
1
(𝑍 − 𝑘 2 (𝑧)𝑍) = − (𝑟𝑅′ )′ = 𝑚 2
𝑍
𝑟𝑅
Из этого уравнения мы получаем систему уравнений:
𝑅′
+ 𝑚 2 𝑅 = 0;
{
𝑟
𝑍 ′′ + (𝑘 2 (𝑧) − 𝑚 2 )𝑍 = 0
𝑅′′ +
(1)
𝑅(𝑟) = 𝐻0 (𝑚𝑟);
{ ′′
𝑍𝑚 + (𝑘 2 (𝑧) − 𝑚 2 )𝑍𝑚 = 0
Похожий результат мы получали, когда рассматривали скорость звука в жидкости
(считая ее постоянной). Отличие состоит только в том, что здесь вертикальная координата 𝑧
введена как функция волнового числа 𝑘. Для первого уравнения мы записали решение в виде
функции Ханкеля нулевого порядка первого рода. Здесь используется соображение о
расходящейся не бесконечности волне, и именно функция Ханкеля первого рода подходит для
описания данного процесса (а функции второго рода описывают волны, сходящиеся из
125
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
бесконечности). А для второй функции у нас нет аналитического решения, поэтому мы будем
осуществлять решение постепенно.
Поле как сумма мод
Еще раз скажем, что мы определили радиальную зависимость поля 𝑅(𝑟). Кроме того, у
нас есть дифференциальное уравнение второго порядка относительно вертикальной функции
𝑍(𝑧). Также у нас есть некоторые граничные условия: для примера сначала рассмотрим случай,
когда на поверхности граница «мягкая», а на дне граница «жесткая»:
(1)
′′
′
𝑅(𝑟) = 𝐻0 (𝑚𝑟); 𝑍𝑚
+ (𝑘 2 (𝑧) − 𝑚 2 )𝑍𝑚 = 0; 𝑍𝑚 (0) = 0; 𝑍𝑚
(𝐻) = 0
Поскольку искомая зависимость нам еще никак не дана, и мы ее не конкретизируем, то
будем исходить из того, что мы каким-то образом умеем решать данное уравнение. Коль скоро
наше дифференциальное уравнение второго порядка, значит имеются два линейно независимых
решения. Одно из них мы обозначим индексом 1, а другое – индексом 2. Индекс 𝑚 означает, что
данное решение будет зависеть от переменной горизонтального волнового числа.
Если у нас имеется два независимых решения, то общее решение такого уравнения будет
их линейной комбинацией. На это решение мы накладываем граничное условие: вместо 𝑧
подставляется 0. Коэффициент 𝐴1 мы выразим через коэффициент 𝐴2 . Теперь полученное
выражение мы подставляем обратно, и тогда получится общее решение с учетом первого
граничного условия. Но у нас есть еще второе граничное условие. Поэтому мы берем вновь
формулу 𝑍𝑚 (𝑧), но вместо коэффициента 𝐴1 в первой производной используем полученную
запись. В итоге мы получаем выражение, в котором нет зависимости от 𝑧. Это есть ничто иное,
как уравнение относительно переменной 𝑚:
𝐴2,𝑛 𝑍𝑚2,𝑛 (0)
𝑍𝑚1,𝑛 (0)
′
′
(
)
(
)
(
)
(
)
𝑍𝑚1,𝑛 0 𝑍𝑚2,𝑛 𝐻 − 𝑍𝑚2,𝑛 0 𝑍𝑚1,𝑛 𝐻 = 0 ⇒ 𝑚𝑛
𝑍𝑚 (𝑧) = 𝐴1 𝑍𝑚1 (𝑧) + 𝐴2 𝑍𝑚2 (𝑧)
⇒
𝐴1,𝑛 = −
Что же означает введенный индекс 𝑛? Он указывает на возможность учета нескольких
решений для переменной 𝑚. Когда мы говорили про однородный жидкий слой, у нас получалось
простое уравнение типа sin 𝑙𝑍 = 0, либо cos 𝑙𝑍 = 0. Из такого уравнения мы находили
вертикальное волновое число и горизонтальное волновое число. В данном случае мы уже не
можем так поступить.
Горизонтальные волновые числа 𝑚𝑛 мы подставляем в исходную формулу, и задача
оказывается решенной. В общем случае поле 𝑝 будет являться суперпозицией всех наших
решений. Каждое такое решение по сути является модой, поэтому общее решение представляет
собой сумму мод:
(1)
𝑝(𝑟, 𝑧) = ∑ 𝐴𝑛 𝐻0 (𝑚𝑛 𝑟)𝑍𝑚 (𝑧)
𝑛
126
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
В данном случае 𝑛 – это номер моды, а 𝐴 – это новый амплитудный множитель
конкретной моды. Функция Ханкеля описывает горизонтальную зависимость моды, а функция
𝑍𝑚 (𝑧) описывает вертикальную зависимость.
Если это так, то давайте теперь рассмотрим случай, когда данное поле порождается
некоторым точечным источником. Это позволит нам выразить коэффициенты возбуждения той
или иной моды (𝐴𝑛 ). Пускай у нас есть задача, в которой источник располагается на оси
цилиндрической системы координат в точке 𝑧 = 𝑆. Тогда мы подставим решение для нашего
поля в уравнение Гельмгольца (где останется разве что часть, передающая зависимость от
вертикальной координаты поля):
𝐻
∑ 𝐴𝑚 𝑍𝑚 (𝑧) = 𝜋𝑖𝛿(𝑧 − 𝑧𝑠 ) ∫ 𝑍𝑚′ (𝑧)𝑑𝑧
0
𝑚
Подстановка даст нам уравнение, где есть сумма по 𝑚 двух коэффициентов. Но для того,
чтобы из этого уравнения найти наши коэффициенты 𝐴𝑚 , мы домножим левую и праву части на
′ ( )
функцию 𝑍𝑚
𝑧 и проинтегрируем результат в пределах от 0 до 𝐻. Поскольку в правой части
есть дельта-функция, такое интегрирование приведет по определению к числу 𝜋𝑖𝑍𝑚 в точке 𝑆. А
в левой части мы должны воспользоваться тем свойством, что полученные решения
дифференциального уравнения, которые соответствуют разным параметрам 𝑚 и 𝑚′ - это по сути
скалярное произведение функций 𝑍𝑚 и 𝑍𝑚′ будет равно 0. Это отражает известный факт из
линейной алгебры: если у нас есть собственные векторы, которые соответствуют разным
собственным значениям некоторого линейного оператора, то данные векторы должны быть
ортогональны друг другу. Применяя данный факт к нашему уравнению, мы получим, что только
в случае 𝑚 = 𝑚′ это произведение будет не нулевым. Тогда слева получается 𝐴𝑚 , умноженное
𝐻
на ∫0 𝑍𝑚 , а справа 𝜋𝑖𝑍𝑚 (𝑧𝑠 ). Тогда, перенося интеграл из левой части в правую, мы приводим
нашу конструкцию к такому виду:
𝐻
−1
2
𝐴𝑚 = 𝜋𝑖𝑍𝑚 (𝑧𝑠 ) [∫ 𝑍𝑚
(𝑧)𝑑𝑧]
0
Тем самым, мы находим амплитуды каждой моды (то есть, их коэффициенты
возбуждения). И, в конечном итоге, результат в виде зависимости поля от двух координат (𝑟 и 𝑧)
можно записать следующим образом:
−1
𝐻
(1)
2
𝑝(𝑟, 𝑧) = 𝜋𝑖 ∑ 𝐻0 (𝑚𝑛 𝑟)𝑍𝑚 (𝑧)𝑍𝑚 (𝑧𝑠 ) [∫ 𝑍𝑚 (𝑧)𝑑𝑧]
0
𝑛
В составе есть радиальная зависимость, произведение двух вертикальных зависимостей
(одна из функций берется в точке расположения приемника, а вторая – в точке расположения
источника поля). Это произведение получается нормированным по интегралу квадрата нормы
функции 𝑍𝑚 . Так устроено поле в нашем водоеме, причем данное решение найдено в самом
общем случае. И еще одна ремарка: индекс 𝑚 здесь также зависит от 𝑛 (то есть волновое число
для каждой моды отличается).
127
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Интегральное представление поля в волноводе
Давайте теперь попробуем рассмотреть, каким еще образом можно прийти к такому
представлению поля. Мы снова напишем уравнение Гельмгольца, и в правой части в ту же самую
точку поместим точечный источник в виде дельта-функции:
∞
1 ∂
∂𝑝
∂2 𝑝
2
2( )
(
)
(
)
(𝑟 ) + 2 + 𝑘 𝑧 𝑝 = − 𝛿 𝑧 − 𝑧𝑠 𝛿 𝑟 ; 2𝜋 ∫ 𝛿(𝑟)𝑓(𝑟)𝑑𝑟 = 𝑓(0)
𝑟 ∂𝑟 ∂𝑟
∂𝑧
𝑟
0
Трехмерная дельта-функция может быть представлена в виде выражения, где
присутствуют две другие дельта-функции: обычная дельта-функция, которая берется по
координате 𝑧, а вторая удовлетворяет заданному соотношению. Обратите внимание, что в этом
соотношении интеграл берется в пределах от 0 до ∞, то есть мы расписываем нашу трехмерную
дельта-функцию в цилиндрической системе координат.
Здесь нам на помощь приходит так называемое преобразование Фурье-Бесселя:
∞
𝑝(𝑟, 𝑧) = ∫ 𝑝̃(𝑧, 𝑚)𝐽0 (𝑚𝑟)𝑚𝑑𝑚
0
{
∞
𝑝̃(𝑧, 𝑚) = ∫ 𝑝̃(𝑟, 𝑧)𝐽0 (𝑚𝑟)𝑟𝑑𝑟
0
Это такое преобразование, которое некоторой функции 𝑝(𝑟, 𝑧) ставит в соответствие ее
образ 𝑝̃(𝑧, 𝑚). И обратно, из координаты 𝑚 можно сделать координату 𝑟. Заметим, что по
переменной 𝑧 никаких операций не производится. Представьте себе, что у нас есть некоторая
функция 𝑓, которая зависит от двух декартовых координат 𝑥 и 𝑦, и нам нужно взять двумерное
преобразование Фурье-Бесселя. Понятно, что тогда мы берем двойной интеграл с
соответствующими экспонентами по 𝑥 и 𝑦. А теперь допустим, что исходная функция 𝑓(𝑥, 𝑦) на
самом деле зависит от расстояния между началом координат и точкой с координатами (𝑥, 𝑦). То
есть, имеется зависимость от радиальной координаты в виде функции 𝑓(𝑟).
Если от такой радиально-симметричной функции сделать двойное преобразование
Фурье, то логично, что результат не будет зависеть от направления. То есть, пространственные
частоты 𝑘(𝑥) и 𝑘(𝑦) будут влиять не на двумерный образ, а на модуль вектора 𝑘. Значит, мы
можем попытаться сделать такое преобразование, которое для некоторой радиальной функции
(зависящей только от координаты 𝑟) ставит в соответствие ее двумерный Фурье-образ. Это
соответствие и осуществляется с помощью преобразования Фурье-Бесселя (где интегрирование
производится с помощью функции Бесселя).
Теперь, зная это преобразование, применим его к нашему уравнению. Умножим
уравнение на функцию Бесселя 𝐽0 (𝑚𝑟)𝑟𝑑𝑟 и проинтегрируем результат в пределах от 0 до ∞.
∞
1 ∂
∂𝑝
∂2 𝑝
2
(𝑟 ) + 2 + 𝑘 2 (𝑧)𝑝 = − 𝛿(𝑧 − 𝑧𝑠 )𝛿(𝑟) ∣⋅ ∫ 𝐽0 (𝑚𝑟)𝑟𝑑𝑟
𝑟 ∂𝑟 ∂𝑟
∂𝑧
𝑟
0
Можно показать, что в этом случае сложное уравнение сведется к уравнению, где 𝑝̃ – это
функция, зависящая от переменной 𝑧 и переменной 𝑚:
128
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
∂2 𝑝̃(𝑧, 𝑚)
+ [𝑘 2 (𝑧) − 𝑚 2 ]𝑝̃(𝑧, 𝑚) = −2𝛿 (𝑧 − 𝑧𝑠 )
∂𝑧 2
Решение этого уравнение предполагает, что мы должны осуществить некоторый прием.
Мы проинтегрируем уравнение по ∂𝑧 в пределах от 𝑧𝑠 − 𝜀 до 𝑧𝑠 + 𝜀, где 𝜀 – это небольшая
положительная константа. Правую часть проинтегрировать очень просто. Тем временем, слева
мы получим разность двух первых производных. А что со вторым слагаемым? Коль скоро
величина 𝜀 небольшая, а давление – это функция непрерывная по 𝑧, то величина оказывается
пропорциональной 2𝜀 (тоже будет стремиться к нулю). Поэтому у нас имеют место такие
выражения:
𝑧𝑠 +𝜀
∂2 𝑝̃(𝑧, 𝑚)
2
2 ]𝑝
(
)
[𝑘
∫
+
(𝑧)
−
𝑚
̃(𝑧,
𝑚)
=
−2𝛿
𝑧
−
𝑧
∣⋅
𝑑𝑧
𝑠
∂𝑧 2
𝑧𝑠 −𝜀
𝑝̃′ (𝑧𝑠 + 𝜀) − 𝑝̃′ (𝑧𝑠 − 𝜀) = −2
Значит сама функция непрерывна, а производная испытывает скачок. Как известно, у
такого уравнения второго порядка с нулевой частью есть два линейной независимых решения.
Их можно выбирать по-разному, но таким образом, чтобы:
•
•
𝑝̃1′ (𝑧) удовлетворяет условию на поверхности
𝑝̃2 (𝑧) удовлетворяет условию на дне
Тогда оказывается, что мы можем сразу записать общее решение нашего уравнения,
которое имеет вид:
2𝑝̃2 (𝑧𝑠 )𝑝̃1 (𝑧)
;
𝑊12 (𝑚)
𝑝̃(𝑧) =
2𝑝̃2 (𝑧)𝑝̃1 (𝑧𝑠 )
;
{ 𝑊12 (𝑚)
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑠
𝑊12 (𝑚) = 𝑝̃1′ (𝑧)𝑝̃2 (𝑧) − 𝑝̃1 (𝑧)𝑝̃2′ (𝑧)
𝑧 ≥ 𝑧𝑠
Оно в двух случаях дает совокупность, в которой либо переменная 𝑧 располагается между
нулем и 𝑧𝑠 (тогда решение задается верхней формулой), либо 𝑧 ≥ 𝑧𝑠 (решение задается нижней
формулой). В этих решениях 𝑧 и 𝑧𝑠 меняются местами. В верхней части некоторый множитель
(состоящий из коэффициентов) представляет собой решение данного уравнения 𝑝̃1 (𝑧), то такое
решение удовлетворяет условию на поверхности. Кроме того, если подставить сюда 𝑧 = 0, то
мы получим, что 𝑝̃1 (0) = 0. Аналогично можно рассмотреть и нижнюю функцию, где
множители будут формировать некоторый постоянный множитель, и от 𝑧 будет зависеть только
функция 𝑝̃2. А раз она удовлетворяет условию на дне (является решением), значит и уравнение
будет ему удовлетворять.
Далее мы проверяем уравнение по третьему условию. Для этого мы берем производную
по 𝑧 от величин в обеих дробях, вычитаем одно из другого и получаем результат 𝑊12 (𝑚) –
вронскиан функций 𝑝̃1 и 𝑝̃2 (определитель матрицы, состоящий из элементов типа 𝑝̃1, 𝑝̃2, 𝑝̃1′ и
𝑝̃2′). Как известно, вронскиан для двух функций позволяет, в частности, сказать, что при его
нулевом значении функции являются линейно зависимыми. Второе свойство вронскиана состоит
в том, что он не зависит от аргумента 𝑧.
129
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Тогда, если решение 𝑝̃(𝑧) найдено, то для общего решения мы можем опять
воспользоваться преобразованием Фурье-Бесселя и записать его в виде:
∞
𝑝(𝑟, 𝑧) = ∫
−∞
(1)
𝑝̃(𝑧)𝐻0 (𝑚𝑟)𝑚𝑑𝑚
Связь интегрального представления и суммы мод
Итак, у нас есть решение, а также выражение для 𝑝̃(𝑧). И мы интегрируем в пределах
от − ∞ до + ∞.
2𝑝̃2 (𝑧𝑠 )𝑝̃1 (𝑧)
;
𝑊12 (𝑚)
𝑝̃(𝑧) =
2𝑝̃2 (𝑧)𝑝̃1 (𝑧𝑠 )
;
{ 𝑊12 (𝑚)
(1)
𝑝(𝑟, 𝑧) = ∮𝐶 + 𝑝̃(𝑧)𝐻0 (𝑚𝑟)𝑚𝑑𝑚;
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑠
𝑧 ≥ 𝑧𝑠
Вместо того, чтобы брать такой интеграл, мы можем взять интеграл по комплексной
плоскости с замыканием действительной оси по полуокружности в верхней полуплоскости. Это
(1)
делается так, потому что функция Ханкеля 𝐻0 (𝑚𝑟) при больших значениях 𝑚 имеет
асимптотику 𝑒 𝑖𝑚𝑟 . И если это комплексная величина с положительной и мнимой частью, тогда 𝑖
дает −, и получается асимптотика вида экспоненты от большой отрицательной величины.
Таким образом, интеграл по верхней полуокружности будет равен нулю. А если такое
интегрирование мы ведем по замкнутому контуру, то мы можем воспользоваться известной
формулой для такого интеграла (из теории функций комплексного переменного), а именно:
интеграл по замкнутому контуру равен произведению 2𝜋𝑖 на сумму вычета по всем особым
точкам, расположенным внутри контура.
Что это за особые точки? В этих точках 𝑊12 (𝑚) должно обращаться в 0. Посчитать
вычеты здесь не представляет особого труда, и в каждом случае получается выражение с двумя
вариантами:
2𝜋𝑖 ∑ 𝑝̃2 (𝑧𝑠 )𝑝̃1 (𝑧) (
𝑛
𝑝(𝑟, 𝑧) =
{
2𝜋𝑖 ∑ 𝑝̃2 (𝑧)𝑝̃1 (𝑧𝑠 ) (
𝑛
∂𝑊12 −1
(1)
) 𝑚 𝐻 (𝑚𝑛 𝑟); 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑧𝑠
∂𝑚 𝑚𝑛 𝑛 0
∂𝑊12 −1
(1)
) 𝑚 𝐻 (𝑚𝑛 𝑟); 𝑧 ≥ 𝑧𝑠
∂𝑚 𝑚𝑛 𝑛 0
С точки зрения решения данной системы, интересным является вронскиан 𝑊12 (𝑚). По
определению он представляет собой разность функций. Но коль скоро, он не зависит от z, мы
подставим сюда конкретный 𝑧 = 0. Тогда у нас получится такая запись:
𝑊12 (𝑚) = 𝑝̃1′ (𝑧)𝑝̃2 (𝑧) − 𝑝̃1 (𝑧)𝑝̃2′ (𝑧) = 𝑝̃1′ (0)𝑝̃2 (0) − 𝑝̃1 (0)𝑝̃2′ (0) = 𝑝̃1′ (0)𝑝̃2 (0)
Но мы с вами знаем, что функции 𝑝̃1 и 𝑝̃2 – это функции, удовлетворяющие
определенным граничным условиям: для 𝑝̃1 – на поверхности, а для 𝑝̃2 – на дне. Значит, 𝑝̃1 (0) =
130
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
0, и второго слагаемого у нас попросту нет. Поэтому вронскиан будет представлен
произведением.
Теперь посчитаем производную
∂𝑊12 (𝑚)
∂𝑚
. Взять производную довольно просто:
производная первого множителя суммируется с производной второго множителя.
Воспользуемся соображением, что нас интересуют особые точки (где 𝑊12 (𝑚 ) = 0). Если
вронскиан равен нулю, то функции 𝑝̃1 и 𝑝̃2 являются линейно зависимыми с коэффициентом
пропорциональности 𝐴. Мы видим, что второго слагаемого нет, и для вронскиана остается только
запись:
∂𝑊12 (𝑚) ∂𝑝̃1 (0) ∂𝑝̃2 (0) ∂2 𝑝̃1 (0)
=
+
𝑝̃ (0)
∂𝑚
∂𝑧
∂𝑚
∂𝑧 ∂𝑚 2
Если 𝑊12 (𝑚) = 0, то 𝑝̃2 (𝑧) = 𝐴𝑝̃1 (𝑧) и 𝑝̃2 (0) = 𝐴𝑝̃1 (0) = 0
Подставляя эти значения в нашу формулу для давления, мы записываем ее таким
образом:
𝑝(𝑟, 𝑧) = 2𝜋𝑖 ∑ 𝑝̃1 (𝑧𝑠 )𝑝̃1 (𝑧) (
𝑛
∂𝑝̃1 (0) −1 ∂𝑝̃1 (0) −1
(1)
) (
) 𝑚 𝐻 (𝑚𝑛 𝑟)
∂𝑧 𝑚𝑛 ∂𝑚 𝑚𝑛 𝑛 0
Давление представляется в виде суммы по отдельным функциям. И здесь уже не нужно
делать различие между двумя случаями (𝑧 ≥ 𝑧𝑠 и 𝑧 ≤ 𝑧𝑠 ), и независимо от условия, формулы
получаются одинаковыми. Нужно обратить внимание на то, что акустическое давление в среде
представляется суммой из отдельных слагаемых с радиальной зависимостью вида функции
Ханкеля и с зависимостью от вертикальной координаты. То есть, интегральное представление
поля есть ничто иное, как та же сумма мод, которую мы рассмотрели ранее.
Линейный волновод с мягкой границей
Теперь давайте рассмотрим некоторый конкретный случай, в частности, линейный
волновод с мягкой границей. Линейный указывает на то, что скорость звука зависит от глубины
линейным образом. Мы решали данную задачу в лучевом приближении, получив результат, что
траекторией луча описывает окружность. Теперь же мы занимаемся модовым описанием поля.
Мы говорим, что скорость зависит от глубины следующим образом:
𝑐 = 𝑐0 (1 + 𝑞𝑧); 𝑞𝑧 ≪ 1
При этом мы будем считать, что величина 𝑞𝑧 много меньше единицы. Тогда для квадрата
коэффициента преломления можно записать формулу:
𝑛2 (𝑧) = 1 − 2𝑞𝑧;
0≤𝑧≤
1
2𝑞
𝑝̃′′ + [𝑘02 (1 − 2𝑞𝑧) − 𝑚 2 ]𝑝̃ = 0
Такую запись можно применять лишь в определенных пределах, и мы будем считать, что
1
глубина 𝑧 расположена от 0 до 2𝑞 (для выполнения условия желательно чтобы она была близка
131
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
к нулю, поскольку равенство является приблизительным). Тогда для уравнения Гельмгольца или
же для уравнения на 𝑝 с волной (если мы рассматриваем преобразование Фурье-Бесселя) у нас
получается уравнение выше. Особенностью его является то, что перед линейно независимым
членом стоит коэффициент, линейно зависящий от 𝑧. Поэтому мы выполняем довольно
сложную замену переменных:
𝑡 = 𝑡0 +
𝑧
𝑁
𝑧
Во-первых, мы обозначаем 𝑡 как 𝑡0 + 𝑁, и далее:
𝑁 = (2𝑞𝑘02 )−1/3 ;
𝑡0 = 𝑁 2 (𝑚 2 − 𝑘02 )
Если ввести такие замены, тогда уравнение становится вот таким:
𝑑2 𝑝̃(𝑡)
= 𝜏𝑝̃(𝑡)
𝑑𝑡 2
Функции Эйри
Это уравнение второго порядка, и решениями такого типа уравнений являются так
называемые функции Эйри. У нас есть два независимых решения: первая и вторая функция Эйри
выражаются интегралами. А ниже приводится зависимость каждой из функций Эйри от ее
аргумента 𝑡 (Рис. 9.1).
1 ∞
𝑡 ′3
∫
cos
(
+ 𝑡𝑡 ′ ) 𝑑𝑡 ′
𝑑2 𝑝̃(𝑡)
𝜋 0
3
= 𝑡̃ (𝑡) ⇒
𝑑𝑡 2
1 ∞
𝑡3
𝑡 ′3
Bi (𝑡) = ∫ [sin ( + 𝑡𝑡 ′ ) + exp (−
+ 𝑡𝑡 ′ )] 𝑑𝑡 ′
𝜋
3
3
{
0
Ai (𝑡) =
Рисунок 9.1. График для функций Эйри
132
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Можно заметить, что в области отрицательно значения 𝑡 эти функции похожи на синус
и косинус (убывающие и сдвинутые друг относительно друга по фазе). А в области
положительного значения 𝑡 эти функции ведут себя по-разному: в частности, «синяя» функция
быстро спадает к нулю, в то время как «красная» функция неограниченно возрастает.
Асимптотика функций Эйри
Давайте посмотрим на явные асимптотики этих функций Эйри:
При 𝑡 → +∞
2
1 −1/4
2
Ai (𝑡) =
𝑡 −1/4 exp (− 𝑡 3/2 ) Bi (𝑡) =
𝑡
exp ( 𝑡 3/2 )
3
3
2√𝜋
√𝜋
При 𝑡 → −∞
1 −1/4
2 3/2 𝜋
1 −1/4
2
𝜋
Ai (𝑡) =
𝑡
sin ( 𝑡
+ ) Bi (𝑡) =
𝑡
cos ( 𝑡 3/2 + )
3
4
3
4
√𝜋
√𝜋
1
Видно, что при 𝑡 → +∞ во всех случаях стоит множитель 𝑡 −1/4 . Но для первой функции
1.5
3/2
Эйри у нас 𝑒 −𝑡 , а для второй функции Эйри 𝑒 𝑡 (быстро возрастающая функция). А в области
отрицательных значений убывание этих функций описывается одинаково множителем 𝑡 −1/4 .
Если мы рассматриваем случай линейного волновода с мягкой границей, то для того,
чтобы сразу записать решение, мы будем пользоваться найденным выражением для поля:
∂𝜁𝑛 (0) −1 ∂𝜁𝑛 (0) −1
] [
] 𝑚𝑛 𝐻0(1) (𝑚𝑛 𝑟),
𝑝(𝑟, 𝑧) = 2𝜋𝑖 ∑ 𝜁𝑛 (𝑧𝑠 )𝜁𝑛 (𝑧) [
∂𝑧
∂𝑚
𝑛
где 𝜁𝑛 (𝑧) = Ai (𝑡0 + 𝑧/𝑁)
Что за функции здесь фигурируют? Это решения нашего дифференциального уравнения.
Коль скоро у нас есть решение, нам осталось только выбрать, какую из функций Эйри мы будем
использовать. Поскольку для второй функции Эйри характерно неограниченное возрастание, мы
не можем использовать ее, исходя из физических соображений. Соответственно, будет
применяться только первая функция Эйри.
Значит, поле 𝑝, в зависимости от координат 𝑟 и 𝑧 будет иметь вид, где решение функции
𝜁𝑛 (𝑧) представляет собой функцию Эйри, взятую с аргументом 𝑡0 + 𝑧/𝑁. Волновые числа
находятся из выражения, что наша функция в нуле должна быть равна нулю. Подставляем 𝑧 в
условие для функции Эйри. А 𝑡0 (какой-то из корней функции Эйри, чьи значения известны) –
это переменная, связанная с числом 𝑚.
Ai(𝑡0 ) = 0;
𝑡0 = 𝑁 2 (𝑚 2 − 𝑘02 )
Тогда мы можем из имеющегося выражения посчитать значение 𝑚:
𝑁 2 (𝑚𝑛2 − 𝑘02 ) = 𝛼𝑛 ;
𝑚𝑛2 = 𝑘02 + 𝛼𝑛 /𝑁 2
Пускай 𝛼𝑛 – это энтый корень функции Эйри, и тогда мы приравниваем одно к другому,
с получением выражений для горизонтальных волновых чисел. Теперь, зная, эти выражения и
133
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
подставляя такие функции в выражение для поля, мы можем записать поле для нашей ситуации
следующим образом:
(1)
𝑝(𝑟, 𝑧) =
Ai (𝑡𝑛,𝑠 )Ai (𝑡𝑛 )𝐻0 (𝑚𝑛 𝑟)
𝜋𝑖
∑
; 𝑡𝑛 = 𝑧/𝑁 + 𝛼𝑛 ; 𝑡𝑛,𝑠 = 𝑧𝑠 /𝑁 + 𝛼𝑛
[Ai′ (𝛼𝑛 )]2
𝑁
𝑛
Здесь первая функция берется с аргументом 𝑧/𝑁 + 𝛼𝑛 , а вторая – с 𝑧𝑠 /𝑁 + 𝛼𝑛 (где
𝑧𝑠 отражает глубину расположения источника поля).
Теперь нам нужно посмотреть, как себя будут вести фазовая и групповая скорости в
таком волноводе. Если у нас есть значение горизонтального волнового числа 𝑚𝑛 , мы просто
подставляем назад те коэффициенты, которые мы ранее заменяли. И теперь мы просто считаем
фазовую и групповую скорости по определению:
𝑚𝑛2 = 𝑘02 + 𝛼𝑛 /𝑁 2 = 𝑘02 + 𝛼𝑛 (2𝑞𝑘02 )2/3
𝜔
𝑐0
𝑐ph,𝑛 =
=
𝑚𝑛 √1 + 𝛼𝑛 /(𝑘0 𝑁 )2
𝑐g,𝑛 =
∂𝜔
√1 + 𝛼𝑛 /(𝑘0 𝑁)2
= 𝑐0
∂𝑚𝑛
1 + 2𝛼𝑛 /3(𝑘0 𝑁)2
В коэффициенте 𝛼𝑛 , который здесь фигурирует в обоих случаях, заключена некоторая
константа, которая представляет собой энтый корень функции Эйри.
Давайте теперь увидим, как выглядят профили акустического давления и дисперсионный
график фазовой и групповая скорости (Рис. 9.2).
Рисунок 9.2. График фазовой и групповой скорости
134
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
На первом рисунке по вертикальной оси отложено отношение скорости 𝑐 к 𝑐0 (скорости
звука на нулевой глубине – на поверхности). Далее с глубиной скорость постепенно растет с
коэффициентом 𝑄. По горизонтальной оси отложена частота. Здесь мы видим, что поле
представлено совокупностью отдельных мод. Для каждой из мод будет какая-то своя
зависимость фазовой и групповой скоростей от частоты. Надо отметить, что, несмотря на график,
на самом деле между критическими частотами нет одинаковых расстояний (оно определяется
корнями функции Эйри). Такая картинка во-многом похожа с той картинкой, которую мы
получали для идеальных условий, когда рассматривали скорость звука вне зависимости от
глубины. Здесь, однако, есть важное отличие. Следует обратить внимание, к какой величине
стремятся групповая и фазовая скорости при стремлении частоты к бесконечности. В случае
со скоростью звука вне зависимости от глубины это значение совпадало с 𝑐0 . Теперь же
получается, что все кривые пересекают прямую в области выше этого значения.
Это связано с тем, что, когда волна распространяется в среде, у которой скорость с
глубиной возрастает, распространение идет на частично большей глубине, на которой и скорость
звука будет больше. Естественно предполагать поэтому, что скорость распространения сигнала
должна быть большей, чем скорость звука на нулевой глубине. В остальном идеальность
граничных условий приводит к тому, что фазовая скорость вблизи критических частот
устремляется к бесконечности, а групповая скорость в этих точках устремляется к нулю.
Теперь обратим внимание на профили мод и посмотрим на то, как они строятся (Рис. 9.3).
Рисунок 9.3. Профили мод для линейного волновода с «мягкой» границей
Раньше мы приводили график функции Эйри, где было видно, что в области
отрицательного значения аргумента функция напоминает синус, а в области положительных
значений функция быстро убывала. Чтобы нарисовать профиль моды, нам нужно взять функцию
Эйри, взять ее ноль и строить функцию относительно переменной 𝑧 вниз в область
положительных значений. Например, если мы берем первую моду, то берется первый ноль
функции Эйри с соответствующим профилем. В случае второй моды (красная линия) мы также
рисуем профиль начиная от нуля вправо. Профили третьей (зеленая линия) и четвертой моды
(черная линия) обозначены соответственным образом.
Надо отметить, что с увеличением номера моды поле все больше отходит от границы и
забирается в область более глубоких значений переменной 𝑧. Но в целом, независимо от этого,
135
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
для любой моды есть характерная концентрация энергии вблизи верхней части волновода. С
точки зрения лучей это понятно: лучи искривляются в ту область, где скорость звука меньше. С
точки зрения мод, как видно, концентрирование также происходит в приповерхностном слое.
Линейный волновод с жесткой границей
Теперь давайте рассмотрим второй случай: когда имеется линейный волновод с жесткой
границей. Например, у нас опять есть линейная зависимость скорости звука от глубины. Но мы
рассматриваем область водного слоя вблизи жесткого дна. Здесь несколько меняется формула
для зависимости акустического давления с возникновением нового множителя в скобках.
𝑝(𝑟, 𝑧) = 2𝜋𝑖 ∑ 𝜁𝑛 (𝑧𝑠 )𝜁𝑛 (𝑧) [𝜁𝑛 (0)
𝑛
∂2 𝜁𝑛 (0)
]
∂𝑧 ∂𝑚
−1
(1)
𝑚𝑛 𝐻0 (𝑚𝑛 𝑟),
где 𝜁𝑛 (𝑧) = Ai (𝑡0 + 𝑧/𝑁)
Откуда он получается? Когда мы рассматривали производную от вронскиана, мы брали
две независимые функции, подставляли туда граничные условия и сводили все к некоторой единой
функции (к одному из решений), которая имела нулевое значение на поверхности. Здесь,
поскольку граница задана как «жесткая», мы должны сделать все то же самое, но свести
функции ко второму решению (когда выполняется как раз условие для «жесткой» границы).
Тогда из двух возникающих при дифференцировании вронскиана слагаемых у нас будет
оставаться не первое слагаемое, а второе. В остальном формулы будут аналогичными тому, какие
получились в прошлом случае.
Функция 𝜁𝑛 определяется как функция Эйри. Волновые числа находятся из следующего
выражения:
𝑡0 = 𝑁 2 (𝑚 2 − 𝑘02 )
Ai′ (𝑡0 ) = 0;
Здесь берется производная функции Эйри и приравнивается к нулю. И мы в качестве
решения данного уравнения используем соответственно нули производной. Далее мы
подставляем эти выражения в имеющуюся формулу и получаем результат:
𝑁 2 (𝑚𝑛2 − 𝑘02 ) = 𝛼𝑛 ; 𝑚𝑛2 = 𝑘02 + 𝛼𝑛 /𝑁 2
(1)
Ai (𝑡𝑛,𝑠 )Ai (𝑡𝑛 )𝐻0 (𝑚𝑛 𝑟)
𝜋𝑖
𝑝(𝑟, 𝑧) = ∑
; 𝑡𝑛 = 𝑧/𝑁 + 𝛼𝑛 ; 𝑡𝑛,𝑠 = 𝑧𝑠 /𝑁 + 𝛼𝑛
[𝛼𝑛 Ai2 (𝛼𝑛 )]
𝑁
𝑛
Теперь давайте посмотрим на фазовую и групповую скорости. Они считаются
аналогичным образом, с тем отличием, что немного иначе определяются коэффициенты 𝛼𝑛 .
136
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
2
𝑚𝑛2 = 𝑘02 − 𝛼𝑛 /𝑁 2 = 𝑘02 − 𝛼𝑛 (2𝑞𝑘02 )3
𝜔
𝑐0
𝑐ph,𝑛 =
=
𝛼𝑛
𝑚𝑛
√1 − (𝑘 𝑁)2
0
𝛼
1 − ( 𝑛 )2
√
𝑘
∂𝜔
0𝑁
𝑐g,𝑛 =
= 𝑐0
2𝛼
∂𝑚𝑛
1 − ( 𝑛 )2
3 𝑘0 𝑁
В плане зависимостей скоростей от частоты нет качественного изменения, поэтому
мы их отдельно не приводим. А вот профили мод имеет смысл рассмотреть еще раз (Рис. 9.4).
Рисунок 9.4. Профили мод для линейного волновода с «жесткой» границей
Опять-таки, ноль – это некоторый горизонт «жесткой» границы. Далее мы берем первую
функцию Эйри (синяя линия), ищем ее экстремум и рисуем ее вниз по возрастанию аргумента.
Для второй моды мы берем следующий экстремум, и так далее. Отличие волновода с «мягкой»
границей от волновода с «жесткой» границей заключается в том, что во втором случае вблизи
поверхности наблюдается максимум значений поля (а не его нулевое значение). Также стоит
заметить, что поле концентрируется вблизи той области, где скорость звука минимальна.
Приближение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна
Теперь перейдем к следующей важной теме – рассмотрению того, как с точки зрения
лучевой акустики определять поле в волноводе, если скорость звука зависит от глубины. Здесь
нам поможет приближение Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна – один из вариантов геометрической
акустики.
Мы берем наше уравнение Гельмгольца, где множитель 𝑘 2 (𝑧) мы представляем в виде
произведения 𝑘02 𝛾 2 (𝑧), где 𝛾 – величина, которая определяет зависимость скорости от глубины.
𝑝̃′′ + 𝑘02 𝛾 2 (𝑧)𝑝̃ = 0;
𝛾 = √𝑛2 (𝑧) − 𝑚/𝑘02
137
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Если среда была бы однородной, тогда 𝛾 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, а решение уравнения давалось бы
простой формулой:
𝑝̃ = exp (±𝑖𝑘0 𝛾𝑧)
Давайте предположим, что среда почти однородная. Это означает, что масштаб
изменения показателя преломления 𝑛(𝑧) много больше длины волны:
𝑍 ≫ 𝜆0 =
2𝜋
𝑘0
Тогда решение ищется в виде:
𝑧 ∞
𝑝̃ = exp (𝑖𝑘0 𝑀(𝑧)), где 𝑀(𝑧) = ∫ ∑
𝑧0 𝜈=0
𝑦𝜈 (𝑧)
𝑑𝑧
𝑘0𝜈
Вместо 𝛾𝑧 мы напишем здесь некоторую функцию 𝑀(𝑧), которую будем представлять в
виде интегрального ряда в пределах от 𝑧0 до 𝑧 для бесконечной сумме по индексам 𝜈 от 0 до ∞
от дроби
𝑦𝜈 (𝑧)
𝑘0𝜈
1
. Величина 𝑘 пропорциональна 𝜆0 (то есть является малой величиной), поэтому с
0
увеличением степени 𝜈 коэффициент при соответствующей функции будет становиться все
меньше. Этим будет обеспечиваться сходимость данного ряда.
Итак, мы определили, в каком виде будем искать наше решение. Здесь 𝑧0 – это некоторая
точка (произвольная), относительно которой мы будем рассматривать решение. Итак, у нас дано
уравнение, вид его решения и функция 𝑀(𝑧):
𝑧 ∞
𝑝̃
′′
+ 𝑘02 𝛾 2 (𝑧)𝑝̃ = 0;
𝑝̃ = exp(𝑖𝑘0 𝑀(𝑧)) ;
𝑀(𝑧) = ∫ ∑
𝑧0 𝜈=0
𝑦𝜈 (𝑧)
𝑑𝑧
𝑘0𝜈
Подставим эту функцию в уравнение и получим формулу для второй производной 𝑝 и
обеих производных 𝑀:
∞
′′
𝑝̃ = exp(𝑖𝑘0 𝑀(𝑧))[𝑖𝑘0 𝑀
′′
∞
− 𝑘02 (𝑀′ )2 ] ; 𝑀′ = ∑
𝜈=0
𝑦𝜈 (𝑧) ′′
𝑦𝜈′ (𝑧)
∑
;
𝑀
=
𝑘0𝜈
𝑘0𝜈
𝜈=0
Теперь мы должны подставить вторую производную в изначальное уравнение, и у нас
должно выполниться тождественное равенство нулю. Обратите внимание, что у нас
получаются наборы некоторых слагаемых, каждое из которых по-своему зависит от 𝑘0 . Для того,
чтобы было выполнено наше условие, у нас должно быть равенство нулю всех коэффициентов
при всех степенях 𝑘0 .
{
𝑘02 :
𝑦02 = 𝛾 2 (𝑧);
1
𝑘0 :
−2𝑦0𝑦1 + 𝑖𝑦0′ = 0; ⇒
𝑘00 : −2𝑦0 𝑦2 − 𝑦12 + 𝑖𝑦1′ = 0
138
𝑦0 = ±𝛾(𝑧);
1 ′
𝑦1 = 𝑖 (ln 𝛾 2 )
1 −1 −1 ′′
𝑦
=
±
𝛾 2 (𝛾 2 )
{ 2
2
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Во-первых, приравняем коэффициенты при 𝑘02 . Один оставшийся множитель – это 𝛾 2 , а
при второй производной остается 𝑦02 . Аналогичным образом мы рассматриваем и другие ряды,
записывая равенство коэффициентов при 𝑘01 , 𝑘00 и так далее. Первое уравнение сразу дает нам
функцию 𝑦0. Из второго уравнения мы получаем простое дифференциальное уравнение функции
𝑦1. А из третьего – функцию 𝑦2. А если мы нашли весь этот набор функций, мы можем
подставить его в выражение для 𝑀(𝑧), чтобы получить поле:
𝛾(𝑧0 )
𝑝̃(𝑧) = √
⏟ 𝛾(𝑧)
ЗСЭ
𝑧
exp (±𝑖𝑘0 ∫ 𝛾𝑑𝑧)
𝑧0
⏟
𝑧 (𝛾 −1/2 )′′
exp (±𝑖 ∫
𝑧0 2𝑘0 𝛾
1/2
𝑑𝑧)
Две не взаимодействуюшие волны
Если учесть только первые два члена ряда (𝑦0 и 𝑦1), у нас получается формула под
корнем. Фактически это множитель, который определяет изменение амплитуды поля при его
распространении от горизонта 𝑧0 до горизонта 𝑧. В какой-то степени, это можно воспринимать
𝑧
как некоторый закон сохранения энергии. Второй множитель имеет вид exp (±𝑖𝑘0 ∫𝑧 𝛾𝑑𝑧) и
0
оказывается фазовым множителем, который определяет изменение фазы при изменении глубины
от 𝑧0 до 𝑧. Здесь есть два решения:
𝑧
1) 𝑒 +𝑖𝑘0 ∫𝑧 𝛾𝑑𝑧
0
𝑧
2) 𝑒 −𝑖𝑘0 ∫𝑧 𝛾𝑑𝑧
0
Эти два решения описывают волны, бегущие независимо вниз и вверх и не
взаимодействующие друг с другом (нет никаких отражений). Можно также записать следующий
множитель, и так далее. Следует обратить внимание вот на что: если у нас 𝛾 (𝑧) становится очень
малой (или нулевой), то весь дробный множитель стремится к бесконечности. Это говорит о
том, что в таких точках мы такое приближение использовать не можем. Это видно также из
коэффициентов, где гамма стоит в отрицательной степени.
Точки, где 𝛾 = 0 – это так называемые горизонты поворота. Ведь гамма определяет, в
какую сторону идет волна, и если представить луч при нулевой гамме, то он распространяется
горизонтально.
Приближение ВКБ для поля в водоеме
Давайте ещё раз посмотрим на полученную формулу. Интеграл, присутствующий здесь,
называется фазовым и описывает изменение фазы:
Фазовый интеграл
⏞ 𝑧
𝛾 (𝑧0 )
𝑝̃(𝑧) = √
exp ±𝑖 𝑘0 ∫ 𝛾𝑑𝑧
𝛾(𝑧)
𝑧0
(
)
Вблизи горизонта поворота 𝛾(𝑧′) = 0, и ВКБ становится неприменимо. Зато сверху и
снизу от горизонта поворота приближение вполне можно использовать. Давайте рассмотрим
общий случай, когда есть некая точка 𝑧′, являющаяся горизонтом поворота.
139
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑧
𝑧
𝑝̃(𝑧) = 𝛾 −1/2 [𝐶+ exp (𝑖𝑘0 ∫ 𝛾𝑑𝑧) + 𝐶− exp (−𝑖𝑘0 ∫ 𝛾𝑑𝑧)] ; 𝑧 < 𝑧 ′ ;
𝑧′
𝑧
{
𝑧′
𝑝̃(𝑧) = |𝛾|−1/2 𝐶exp (−𝑘0 ∫ |𝛾|𝑑𝑧) ; 𝑧 > 𝑧 ′ ;
𝑧′
Давление сверху от горизонта при 𝛾(𝑧′) = 0 поле определяется формулой выше
(фактически оно представлено в виде двух волн, бегущих в разные стороны). А поле снизу от
горизонта поворота оно будет определяться иначе: в какой-то момент под корнем 𝑧 становится
больше, чем 𝑧′, и возникает отрицательное число. Поэтому в этом случае вместо гаммы мы
можем записать мнимую единицу. Тогда эта мнимая единица, будучи умноженной на мнимую
единицу 𝑖, даст нам просто −, и формула для давления под горизонтом будет иметь вид нижней
формулы системы. То есть, давление экспоненциально затухает по мере удаления от горизонта
поворота.
Теперь задача состоит в том, как связать между собой три константы 𝐶+ , 𝐶− и 𝐶, чтобы
получить полное решение. Например, у нас есть некоторое падающее поле, и мы хотим найти
отраженное и прошедшее поле. Обычно мы говорили, что на границе должно быть выполнено
равенство давлений. Но в данном случае оказывается, что приближение ВКБ в точке 𝛾(𝑧′) = 0
неприменимо, а значит, эти формулы работать не будут. Как же тогда действовать правильно?
Поскольку у нас горизонт поворота в целом занимает ограниченную небольшую область
пространства, мы вполне можем заменить реальную зависимость скорости звука от глубины в
этой области некоторой линейной зависимостью. А в таком случае мы уже знаем решение в виде
функции Эйри. С помощью функций Эйри, которые будут использованы между двумя
уравнениями (по сути, в среднем слое). Если произвести двойную «сшивку» вблизи 𝑧 = 𝑧′, то
получится следующее соотношение:
𝐶± = 𝐶 𝑒𝑥𝑝 (±
𝑖𝜋
)
4
𝜋
Обратите внимание, что получается сдвиг по фазе на угол 4 между падающей волной и
волной, прошедшей под горизонт. Такой же сдвиг присутствует между отраженной волной и
𝜋
прошедшей. А между падающей и отраженной волной сдвиг составляет 2 . Вся эта картина очень
сильно напоминает случай полного внутреннего отражения.
Но коль скоро у нас коэффициенты 𝐶+ и 𝐶− и связь между ними известны, то две волны
можно объединить, с получением формулы для зависимости поля сверху от горизонта поворота
в волноводе:
𝑧′
𝑝̃(𝑧) = 2𝐶𝛾
−1/2
𝜋
cos (𝑘0 ∫ 𝛾𝑑𝑧 − )
4
𝑧
Теперь рассмотрим несколько случаев:
•
Если область распространения ограничена поверхностью 𝑧 = 0
140
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
У нас есть некоторый нулевой уровень, относительно которого происходит отражение
волны. Нам нужно, чтобы было выполнено граничное условие, то есть 𝑝̃(0) должно оказаться
равным нулю. Тогда данное условие сводится к простому тригонометрическому уравнению
cos = 0, а это значит, что фазовый интеграл должен быть равен:
𝑧𝑙′
𝑝̃(0) = 0
⇒
1
𝑘0 ∫ 𝛾𝑙 𝑑𝑧 = 𝜋 (𝑙 − ) ,
4
0
1/2
где 𝛾𝑙 = (𝑛2 (𝑧) − 𝑚𝑙2 /𝑘02 )
;
𝑙 = 1,2,3, …
Из такого условия мы находим решение для функции 𝛾𝑙 , а также величину 𝑚𝑙 –
горизонтального волнового числа. Однако, мы рассматриваем задачу в общем случае, поэтому
продвинуться с определением значения ее мы пока аналитически не можем.
•
Если область распространения ограничена горизонтом поворота 𝑧 = 𝑧′′
В таком случае границы фактически нет: некоторое поле распространяется в подводном
звуковом канале. Тогда у луча есть два горизонта поворота: нижний (𝑧′) и верхний (𝑧 ′ ′):
𝑧′
𝑝̃(𝑧) = 2𝐶𝛾
−1/2
𝜋
cos (𝑘0 ∫ 𝛾𝑑𝑧 − ) =
4
𝑧
𝑧′
= 𝐶𝛾
⏟
−1/2
′
𝑧
𝑖𝜋
𝑖𝜋
exp (𝑖𝑘0 ∫ 𝛾𝑑𝑧 − ) + 𝐶𝛾 −1/2 exp (−𝑖𝑘0 ∫ 𝛾𝑑𝑧 + )
4
4
⏟
𝑧
𝑧
Падаюшая волна
Отраженная волна
В области между двумя горизонтами поворота должна быть выполнена формула для
𝜋
поля: между падающей и отраженной волной должен быть сдвиг на величину по фазе 2 . Но, с
другой стороны, можно рассмотреть эти самые волны на верхнем горизонте поворота.
Поскольку там ситуация аналогична, мы можем сделать вывод о том, что на верхнем горизонте
𝜋
поворота тоже должен быть сдвиг по фазе 2 . Отсюда следует, что интеграл должен давать
значение:
𝑧𝑙′
1
𝑘0 ∫ 𝛾𝑙 𝑑𝑧 = 𝜋 (𝑙 + )
2
𝑧𝑙′′
Далее, из анализа этой формулы мы легко получим значение для 𝛾𝑙 (функция,
определяющаяся значением горизонтального волнового числа 𝑚𝑙 ). Фактически, это и будет
выражением для 𝑚𝑙 , которая определяет распространение волны в горизонтальном направлении.
Теперь напоследок посмотрим, как в целом получается зависимость поля от
горизонтального расстояния и глубины водоема, с учетом того, что такое поле распространяется
именно в подводном звуковом канале. Если учесть сказанное ранее, то поле окажется
представимо в виде следующего ряда:
141
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑧𝑙′
(1)
𝑚𝑙 𝐻0 (𝑚𝑛 𝑟)
′
𝑧𝑙
𝜋
𝜋
𝑝(𝑟, 𝑧) = 4𝜋𝑖 ∑
cos (∫ 𝛾𝑑𝑧 − ) cos (∫ 𝛾𝑑𝑧 − )
4
4
𝑘0 𝐷𝑙 √𝛾𝑙 (𝑧)𝛾𝑙 (𝑧𝑠 )
𝑧
𝑧𝑠
𝑙
𝑧𝑙′
𝐷𝑙 = 2cos 𝜃𝑙 ∫
𝑑𝑧
𝑧𝑙′′ √𝑛2 − cos 2 𝜃𝑙
− длина луча между точками 𝑧 = 0
Здесь обратим внимание на то, что амплитуда поля убывает обратно пропорционально
коэффициенту 𝐷𝑙 . Этот коэффициент из геометрических соображений можно трактовать как
длину некоторого луча между точками на горизонте 𝑧 = 0. То есть, имеет место подводный
звуковой канал, при движении вдоль которого луч проходит то ниже оси 𝑧 = 0, то выше оси 𝑧 =
0, и расстояние между двумя этими траекториями определяется величиной 𝐷𝑙 . Оказывается, что
именно такая геометрическая величина входит в описание давления: с увеличением расстояния
амплитуда поля будет постепенно уменьшаться.
142
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 10. Распространение звука в слое с переменной
глубиной
В рамках этой лекции мы рассмотрим еще один фактор, оказывающий очень
существенное влияние на распространение звука в водоеме. Таким фактором является изменение
глубины. А до этого мы касались всех случаев волноводов, когда глубина была постоянной и
никак не зависела от горизонтальных координат.
Лучевое решение задачи. Мнимые источники
Обычно глубина меняется каким-то образом, в зависимости от удаления от берега
водоема. В простейшем случае будем считать, что у нас имеется некоторая горизонтальная
поверхность водоема, и изменение глубины идет линейно, нарастая по мере увеличения
расстояния от берега до точки измерения.
Рисунок 10.1. График изменения глубины
Начнем мы с лучевого решения данной задачи. В точке 𝑆01 у нас находится источник
звука, и есть две границы (допустим их как идеально отражающие). Как в таком случае строится
решение? На самом деле, нам уже известен метод мнимых источников, который мы также
отразим на изображении (Рис. 10.2). В некоторой точке 𝑃 мы будем интересоваться значением
акустического поля.
Первое, что мы имеем – это сигнал, который идет непосредственно из точки 𝑆01 в точку
𝑃. Кроме того, у нас есть сигналы, которые отражаются от верхней и нижней границ нашего
волновода. Такие сигналы можно рассматривать как мнимые источники (здесь нет разницы
между рассмотрением такого водоема и водоема, у которого дно параллельно поверхности). Мы
строим точку 𝑆02 , которая симметрична точке 𝑆01 относительно дна водоема. Точка 𝑆03
симметрична точке 𝑆01 относительно поверхности водоема. Наконец, точка 𝑆04 симметрична
точке 𝑆03 относительно дна.
143
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рисунок 10.2. Мнимые источники
Таким образом, мы получаем четверку мнимых источников, и продолжая данный
процесс многократно, мы сможем найти все источники, присутствующие в данной задаче. Мы
регистрируем прямой сигнал из точки 𝑆01 , а также сигналы, идущие из точек 𝑆02 , 𝑆03 и 𝑆04 .
Рисунок 10.3. Сигналы действительного и мнимых источников
Из равенства треугольников следует, что сигнал из точки 𝑆01 , отраженный на
поверхности и принятый в точке 𝑃 – это такой же сигнал, как и сигнал от мнимого источника.
Все это мы уже рассматривали, когда говорили о звуковой картине в слое жидкости.
Лучевое решение задачи. Ход луча
Давайте попробуем посмотреть на задачу немного иначе, а именно: как проходит
траектория луча, когда он направлен под некоторым углом в данный волновод (Рис. 10.4).
144
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Форма волновода, соответственно, задана углом 𝛼, поэтому такой волновод называется клином.
Как известно, угол падения равен углу отражения. Но мы будем использовать угол скольжения
между лучом и соответствующей поверхностью. Из геометрии следует, что каждый
последующий луч ударяется попеременно об обе границы клина, и при каждом отражении
данный угол (который луч образует с поверхностью клина) увеличивается. Это увеличение
происходит по такому закону:
𝜃𝑛 = 𝜃0 + 𝑛𝛼
То есть, каждое следующее отражение прибавляет к углу значение альфа.
Соответственно, постепенно данный угол растет, и когда он становится ≥ 𝜋/2, происходит
разворот (луч разворачивается и идет обратно, выходя из клина).
Рисунок 10.4. График хода луча
С точки зрения того, как это движение происходит не в плоскости, а в пространстве,
картина немного иная (Рис. 10.5). Наш луч, который двигается внутрь клина, с другой стороны,
под некоторым углом двигается также горизонтально. Поскольку в плоскости луч сначала
заходит в клин, а потом выходит, а в плане пространственного отображения этот луч двигается
в одном направлении, то его движение происходит по траектории, похожей на дугу. Мы видим,
что луч не доходит до ребра и заворачивает в сторону глубокого моря.
Рисунок 10.5. Пространственная картина хода луча
145
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Как можно определить амплитуду давления в такой распространяющейся волне? В
уравнении для давления у нас ранее фигурировала величина 𝑝(𝑟0 ). Мы также учтем сферическую
расходимость путем умножения на множитель 𝑟, и, кроме того, коэффициент отражения луча
в каждой точке:
𝑝(𝑟) =
𝑟0
𝑝(𝑟0 )𝑉(𝜃0 )𝑉(𝜃1 )𝑉(𝜃2 ) …
𝑟
Обратите внимание, что углы каждый раз меняются (растут, с добавлением 𝛼). Поэтому
итоговое поле будет представлено таким сложным образом. В принципе, мы могли бы расписать
все коэффициенты, посмотреть, как зависит коэффициент отражения от угла и от свойств среды.
Однако, мы опустим эту процедуру и перейдем к рассмотрению задачи в волновой постановке.
Волновое решение задачи
Здесь, казалось бы, все условия стандартны, и мы должны решать уравнение
Гельмгольца, но на самом деле есть нюансы различия. Прежде всего, ставя данную задачу, нам
нужно выбрать максимально удобную систему координат. Раньше мы выбирали ее таким
образом, что ось 𝑧 была направлена вертикально вниз (и 0 выбирался на поверхности жидкости).
Но в данном случае, для рассмотрения волны в жидком клине такая система координат будет
непрактична. Поэтому мы исходим из другой системы координат: ось 𝑧 у нас пойдет вдоль ребра
клина, ось 𝑥 пойдет вдоль поверхности, а угол будет отсчитываться от оси 𝑥 в глубину. Таким
образом, мы учтем геометрию задачи.
•
Итак, уравнение Гельмгольца в нашей задаче будет иметь следующий вид (относительно
потенциала 𝜑):
1 ∂
∂𝜑
1 ∂2 𝜑
(𝑟 ) + 2 2 + 𝑘02 𝜑 = 0
𝑟 ∂𝑟 ∂𝑟
𝑟 ∂𝜃
Отличие такого уравнения от предыдущих его версий состоит в том, что поле будет
зависеть от полярного угла 𝜃 и координаты 𝑧 (направления вдоль ребра клина).
•
Граничное условие на поверхности:
𝑝(𝜃 = 0) = 0
Поверхность – такая плоскость, у которой полярный угол равен нулю, и давление на всех
поверхности также должно быть приравнено к нулю.
•
Граничное условие на дне:
1) «жесткая» граница:
𝑣𝜃 (𝜃 = 𝛼) = 0 или
146
∂𝑝
|
=0
∂𝜃 𝜃=𝛼
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
При «жесткой» границе нормальная компонента колебательной скорости должна быть
равна нулю. Эта компонента вычисляется путем взятия производной давления по углу 𝜃.
2) «мягкая» граница:
𝑝(𝜃 = 𝛼 ) = 0
В случае «мягкой» границы на дне давление должно быть нулевым. Дно – это некоторая
плоскость, для которой угол 𝜃 равен углу 𝛼.
•
В начале координат источника нет, поэтому
𝜑(𝑟 = 0) = 0
Отсюда следует, что потенциал 𝜑 в нуле должен быть равен нулю.
•
На бесконечности волна является расходящейся
Разделение переменных
Метод решения подобных задач остается прежним – разделение переменных. Раньше мы
вводили две функции, зависящие от координат 𝑟 и 𝑧 соответственно. Но теперь вместо 𝑧 у нас
полярная координата Θ(𝜃).
1 ∂
∂𝜑
1 ∂2 𝜑
(𝑟 ) + 2 2 + 𝑘02 𝜑 = 0
𝑟 ∂𝑟 ∂𝑟
𝑟 ∂𝜃
𝜑(𝑟, 𝜃) = 𝑅(𝑟)Θ(𝜃)
Мы подставляем это выражение в наше уравнение Гельмгольца и группируем отдельно
члены, содержащие только 𝑟 и только 𝜃. При этом оказывается, что каждая из групп будет равна
некоторой константе. Мы, обозначив ее как 𝑙 2 , разбиваем наше исходное уравнение на систему
уравнений (относительно угла 𝜃 и относительно полярной координаты 𝑟):
Θ′′ + 𝑙 2 Θ = 0;
𝑙2
{ ′′ 𝑅′
𝑅 + + (𝑘02 − 2 ) 𝑅 = 0
𝑟
𝑟
Θ = 𝐴𝑒 −𝑖𝑙𝜃 + 𝐵𝑒 𝑖𝑙𝜃
{
𝑅(𝑟) = 𝐽𝑙 (𝑘0 𝑟)
Для первого уравнения решение выписывается сразу, а второе уравнение представляет
собой типичное решение функции Бесселя 𝑙-го порядка. С точки зрения каждого решения
амплитуда была отнесена на коэффициенты 𝐴 и 𝐵, которые будут определяться исходя из
граничных условий. Общее решение нашей задачи записывается следующим образом:
𝜑(𝑟, 𝜃) = (𝐴𝑒 −𝑖𝑙𝜃 + 𝐵𝑒 𝑖𝑙𝜃 )𝐽𝑙 (𝑘0 𝑟)
147
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Учет граничных условий. Случай мягкого дна
Например, давайте рассмотрим случай мягкого дна. У нас 𝜑 от нуля должно быть равно
нулю, как и 𝜑 от угла альфа. Тогда отсюда следует, что энтое решение 𝑙 – это просто 𝜋𝑛/𝛼. В
рамках нашей задачи не имеют смысла компоненты волнового вектора, потому что это
безразмерная величина, которая связана именно с угловой зависимостью. И при подстановке мы
получаем для 𝜑𝑛 формулу:
𝜑(𝑟, 𝜃) = (𝐴𝑒 −𝑖𝑙𝜃 + 𝐵𝑒 𝑖𝑙𝜃 )𝐽𝑙 (𝑘0 𝑟)
𝜑(𝜃 = 0) = 0; 𝜑(𝜃 = 𝛼) = 0
𝜑𝑛 (𝑟, 𝜃) = 2𝑖𝑎𝑛 sin (𝑙𝑛 𝜃)𝐽𝑙𝑛 (𝑘0 𝑟)
𝑙𝑛 = 𝜋𝑛/𝛼;
Если в нашей среде присутствуют несколько мод (имеется несколько решений), то в
таком случае общее решение дается в таком виде, где они все просуммированы с разными
амплитудами:
∞
𝜑 = ∑ 𝑎𝑛 sin (
𝑛=1
𝜋𝑛
𝜃) 𝐽𝜋𝑛 (𝑘0 𝑟)
𝛼
𝛼
Максимум акустического поля в клине
Теперь давайте рассмотрим, как выглядят эти моды и как зависят от расстояния
значения давления для каждой из них. Возьмем два разных случая, соответствующие двум разным
клинам. Первый клин численно был для угла 𝛼 = 𝜋/6 (30°), а второй – для угла 𝛼 = 𝜋/10 (18°).
В зависимости от угла у функции Бесселя из формулы выше будет разный порядок.
Итак, первая мода имеет максимум вблизи от ребра клина, и, осциллируя, она постепенно
убывает. Остальные моды имеют аналогичный вид, но максимум у них достигается на большем
удалении от ребра клина (Рис. 10.7). Тем самым, получается некоторая область, где в основном
присутствует первая мода, а при большем удалении включаются вторая и третья моды, и так
далее.
Рисунок 10.7. Профили мод для 𝛼 = 𝜋/6
Рисунок 10.8. Профили мод для 𝛼 = 𝜋/10
148
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Если угол клина будет еще меньше, то такой эффект будет выражен еще более ярко (Рис.
10.8). Удаление второй и третьей мод, на которых они достигают максимума, становится еще
больше.
Сделаем некоторую оценку всей ситуации. По порядку величины для расстояния 𝑟0 , на
которое проникает мода, можно записать следующее условие:
𝑘0 𝑟0 ≈ 𝜋⁄𝛼 ,
где 𝛼 − угол, который при небольшом значении можно приблизительно представить в виде его
тангенса (отношения глубины водоема к расстоянию от берега):
𝛼≈
𝐻0
𝑟0
Отсюда следует, что глубина, на которую проникает мода, составляет:
𝐻0 ≈ 𝜆/2
То есть, если есть некоторый источник, который испускает несколько мод, то акустическое поле
не доходит до ребра клина и заворачивает на том расстоянии, где глубина составляет примерно
𝜆/2. Если сравнить это обстоятельство с таким водоемом, где глубина является постоянной, то
надо сказать, что там происходит примерно то же самое, но немного в другом смысле. Там
глубина является постоянной, но зато меняется частота звука, и, соответственно, меняется
длина волны нашего излучения. В случае «мягкой» границы получается, что начинает
распространяться первая мода в том случае, когда длина волны составляет примерно 𝜆/2.
Минимумы акустического давления приходятся на поверхность и дно, что дает нам длину волны
в два раза больше глубины водоема.
Горизонтальная рефракция в клине
Давайте теперь обратимся к тому, по какой траектории будет распространяться сигнал,
если он был запущен в клине. Здесь мы попробуем применить такой подход, как вертикальные
моды / горизонтальные лучи. Идея состоит в том, что мы будем описывать нашу систему в
вертикальной плоскости с помощью мод (некоторый профиль акустического давления
конкретной моды, где фазовая скорость зависит от глубины), а в горизонтальной плоскости – в
представлении лучей (есть некоторая скорость распространения сигнала, которая зависит от
глубины).
Рисунок 10.9. График по методу вертикальные моды / горизонтальные лучи
149
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Обратимся к системе координат (Рис. 10.9). Ось 𝑧 направлен вертикально вниз, ось 𝑥
направлена вдоль берега, а ось 𝑦 – в сторону открытого водоема. Глубина водоема в каждой точке
определяется соотношением:
𝐻 (𝑦) = 𝑦 tan 𝛼
где 𝛼 – угол клина.
Тогда для фазовой скорости звука справедливо следующее выражение, которое берется
из формулы для фазовой скорости в водоеме с постоянной глубиной:
𝑛𝜆 2
𝑐 = 𝑐0 [1 − (
) ]
2𝐻(𝑦)
−1/2
при 𝐻(𝑦) ≥ 𝜆𝑛/2.
Если условие выше выполняется, то начинает распространяться соответствующая мода
𝑛 с соответствующей скоростью. Давайте тогда определим траекторию этого распространения.
Для этого нам нужно в горизонтальной плоскости (в плоскости 𝑥𝑦) воспользоваться законом
преломления Снеллиуса. Этот закон можно записать так:
cos 𝜃0 cos 𝜃1
cos 𝜃(𝑦)
=
=⋯=
=𝑎
𝑐0
𝑐1
𝑐(𝑦)
То есть, у нас есть константа 𝑎, отображающая постоянное соотношение угла 𝜃0 к
скорости звука в данной точке. Оно будет зависеть от того, какой конкретно луч мы
рассматриваем.
Уравнение луча получается согласно следующей формуле:
𝑦
𝑥=∫
𝑎𝑐(𝑦)𝑑𝑦
𝑦0 √1 + 𝑎 2 𝑐 2 (𝑦)
Нам остается только применить конкретную зависимость скорости звука 𝑐 от
координаты 𝑦 и взять этот интеграл:
𝑛𝜆 2
𝑐 = 𝑐0 [1 − (
) ]
2𝐻(𝑦)
𝑥=
=
2𝑎𝑐0 𝐻
∫
tan 𝛼 𝐻0
−1/2
𝐻𝑑𝐻
=
4 (1 − 𝑎2 𝑐 2 ) 𝐻2 − (𝑛𝜆)2
√ ⏟ 2 0
𝜁
2𝑎𝑐0
[√4𝜁 2 𝐻2 − (𝑛𝜆)2 − √4𝜁 2 𝐻02 − (𝑛𝜆)2 ]
𝜁 2 tan 𝛼
Вычисления выглядят довольно громоздкими, но они достаточно простые. Мы
подставляем сюда имеющуюся формулу и меняем переменную интегрирования: от переменной
150
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑛𝜆
2
𝑦 переходим к переменной 𝐻. Далее мы можем обозначить величину 1 − (2𝐻(𝑦)) как 𝜁, что дает
возможность рассматривать данный интеграл как табличный.
Далее мы несколько преобразуем данное выражение и посмотрим на него более детально.
Оказывается, что величина 2𝜁𝑦tan𝛼 – это константа, умноженная на 𝑦 2 . Величина
1
(𝑛𝜆)2
учитывает линейную комбинацию компонент от переменной 𝑥, возведенную в квадрат. Разница
этих величин равна константе в виде единицы.
2
1 2𝜁 2 tan 𝛼
[
[2𝜁𝑦tan 𝛼] −
𝑥 + √(2𝐻0 𝜁 )2 − (𝑛𝜆)2 ] = 1
(𝑛𝜆)2
𝑎𝑐0
2
Оказывается, что такое уравнение есть ничто иное, как уравнение гиперболы, которая
проходит через точку, из которой испущен сигнал. И в зависимости от того, какой параметр 𝑎
мы выбираем, у нас может быть сформировано целое «семейство» таких гипербол (Рис. 10.10).
Рисунок 10.10. График уравнения гиперболы
Можно также поинтересоваться тем, как выглядит область, которая может быть в
принципе озвучена таким источником. Оказывается, что для такой области тоже можно написать
уравнение: эта область ограничена кривой (изображена на рисунке красным пунктиром) и также
является некоторой гиперболой. Как мы видели в лучевой трактовке данной задачи, имеет место
движение сигнала в сторону берега, одновременно с его движением вдоль оси 𝑥 в одном и другом
направлении. Область в непосредственной близи от берега оказывается неозвученной. То есть, у
нас максимально близко к берегу подходит первая мода, а еще дальше располагаются вторая,
третья и последующие моды.
151
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 11. Границы применимости лучевой акустики
В течение нашего курса мы рассматривали различные подходы к описанию
акустического поля в водоеме (в частности, лучевой и волновой подходы). На самом деле, надо
сказать, что лучевой подход является некоторым приближением, и в рамках данной лекции мы
обсудим границы применимости лучевого приближения.
Уравнения акустики в неоднородной среде
Начнем наше описание с уравнения акустики в неоднородной среде. Обычно мы
исходили из волнового уравнения или уравнения Гельмгольца. Но сейчас мы сделаем некоторый
шаг назад и, прежде чем записывать данные уравнения, сформулируем исходные для акустики
уравнения гидродинамики. К таковым относится, в частности, уравнение Эйлера и уравнение
неразрывности:
∂𝑣
𝜌
= −∇𝑝
{ ∂𝑡
1 ∂𝑝
= −∇𝑣
𝜅 ∂𝑡
Они имеют вид системы уравнений, и видно, что это достаточно простые уравнения,
поскольку здесь не учитываются два фактора: во-первых, не берется в расчет поглощение звука
(отсутствует компонента, описывающая вязкость), а во-вторых, предполагается, что
распространяющаяся акустическая волна имеет малую амплитуду (исключаются нелинейные
эффекты).
Здесь присутствуют четыре переменные: давление, колебательная скорость, плотность
среды 𝜌 и упругость среды 𝜅. Полевые переменные представлены двумя первыми параметрами,
а плотность и упругость описывают свойства среды. Из этих уравнений можно получить
волновое уравнение. Для этого продифференцируем по времени первое уравнение. Тогда в левой
части будет стоять вторая производная по времени, а в правой части – минус оператор набла по
∂𝑡 (как известно, этот оператор можно переставлять местами с производной по времени).
А производная по времени может быть выражена как раз из второго уравнения, и при
подстановке ее в первое уравнение, получится уравнение только относительно колебательной
скорости 𝑣. Аналогично, если мы сделаем производную по времени относительно второго
уравнения, то в левую часть встанет вторая производная по времени от давления, а в правую
часть – минус оператор набла ∂𝑝 по ∂𝑡. Тогда у нас выходит уравнение только относительно
акустического давления.
∂2 𝑣
− ∇𝜅∇𝑣 − 𝜅Δ𝑣 = 0
∂𝑡 2
1 ∂2 𝑝 1
1
+ 2 ∇𝜌∇𝑝 − Δ𝑝 = 0
2
𝜌
𝜌
{𝜅 ∂𝑡
𝜌
152
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Каждое из двух уравнений этой системы представляет собой волновое уравнение: первое
уравнение – векторное (потому что колебательная скорость – это векторная величина), второе
– скалярное (потому что акустическое давление – скалярная величина). Отличие от тех
уравнений, которые мы исследовали ранее, состоит в том, что прежде мы просто записывали,
что у нас имеется некоторое волновое число 𝑘 (либо его квадрат), а теперь мы описываем нашу
среду с помощью двух параметров (𝜌 и 𝜅). В принципе, мы можем использовать любое из этих
эквивалентных уравнений. С точки зрения акустики разницы здесь нет: мы можем из давления
получить колебательную скорость, и наоборот.
Как еще можно упростить данные уравнения? Пока что они записаны для произвольно
неоднородной среды. Но мы рассматриваем водоем, где свойства среды сильно зависят от
глубины и при этом слабо зависят от горизонтальных координат. А коль скоро свойства среды
резко меняются с глубиной, то градиенты (упругости ∇𝜅 и плотности ∇𝜌) будут иметь
вертикальную компоненту.
Вертикально стратифицированная среда
Тем самым, мы переходим к модели вертикально стратифицированной среды. Здесь
сразу оговорим введение, например, декартовой системы координат. Так ось 𝑧 направлена
вертикально вниз, а оси 𝑥 и 𝑦 – горизонтально, причем ноль оси 𝑧 будет расположен на
поверхности жидкости.
Тогда градиенты мы можем записать, используя вектор 𝑖3 – орт выбранной системы
координат по оси 𝑧:
∇𝜌 = 𝑖3
∂𝜌
;
∂𝑧
∇𝜅 = ⃗⃗⃗
𝑖3
∂𝜅
∂𝑧
Эти формулы могут быть подставлены в волновые уравнения, и тогда они принимают
следующий вид:
∂2 𝑣
∂𝜅
− 𝑖3 ∇𝑣 − 𝜅Δ𝑣 = 0
2
∂𝑡
∂𝑧
1 ∂2 𝑝 1 ⃗⃗⃗ ∂𝜌
1
+ 2 𝑖3 ∇𝑝 − Δ𝑝 = 0
2
𝜌
∂𝑧
𝜌
{𝜅 ∂𝑡
𝜌
Для того, чтобы продолжить, давайте посмотрим на первое уравнение. Здесь
присутствует векторная колебательная скорость. Поэтому можно рассмотреть три компоненты
этого вектора: 𝑣𝑥 , 𝑣𝑦 и 𝑣𝑧 . Коль скоро оси 𝑥 и 𝑦 симметричные (между ними нет особой
разницы), мы для упрощения выкладок возьмем частный случай, когда компонента 𝑣𝑦 = 0. Мы
не потеряем принципиальной общности, но получим более простое уравнение. Остальные две
компоненты требуют записи отдельных уравнений. Для этого мы будем проецировать первое
уравнение на обе оси 𝑥 и 𝑧.
Итак, запишем проекцию уравнения на ось 𝑥, а также поделим на плотность (чтобы
коэффициент перед второй производной был равен единице):
153
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
∂2 𝑣𝑥 𝜅 ∂2 𝑣𝑥 ∂2 𝑣𝑥
− (
+ 2)=0
∂𝑡 2 𝜌 ∂𝑥 2
∂𝑧
2
∂ 𝑣𝑧 1 ∂𝜅 ∂𝑣𝑥 ∂𝑣𝑧
𝜅 ∂2 𝑣𝑧 ∂2 𝑣𝑧
−
(
+
)
−
(
+ 2)=0
∂𝑡 2 𝜌 ∂𝑧 ∂𝑥
∂𝑧
𝜌 ∂𝑥 2
∂𝑧
2
2
2
∂ 𝑝 𝜅 ∂𝜌 ∂𝑝 𝜅 ∂ 𝑝 ∂ 𝑝
+
− (
+
)=0
∂𝑡 2 𝜌2 ∂𝑧 ∂𝑧 𝜌 ∂𝑥 2 ∂𝑧 2
{
Второй член при проецировании дает ноль (не участвует в дальнейших шагах
∂2 𝑣
𝜅
рассуждения), а первый и третий члены дают проекцию в виде разности ∂𝑡 2𝑥 и 𝜌. Теперь давайте
так же спроецируем уравнение на ось 𝑧. Получится примерно такое же выражение, но вместо 𝑣𝑥
1 ∂𝜅
встанет 𝑣𝑧 , и появится второй член (отсутствовавший ранее). Он будет иметь вид 𝜌 ∂𝑧 ,
умноженное на дивергенцию 𝑣. Треть уравнение (относительно давления) подразумевает, что мы
должны домножить на 𝜅 (чтобы множитель перед второй производной был равен единице) и
учесть во втором слагаемом градиент давления, скалярно умножаемый на 𝑖3 . Поэтому получается
∂𝜌
только производная давления по вертикальному направлению ∂𝑧 .
Разделение переменных
Как мы уже сказали, уравнение относительно давления является несколько более
простым (потому что величина является скалярной). Поэтому мы будем подходить к его
решению в дальнейшем. Методом будет выступать, как обычно в таких случаях, разделение
переменных. Вместо того, чтобы записывать общий вид зависимости 𝑝 от трех переменных
(𝑥, 𝑧, 𝑡), мы ищем решение сразу в виде произведения трех функций:
𝑝 = 𝑋(𝑥)𝑍(𝑧)exp (𝑖𝜔𝑡)
Подставляем такой вид решения в наше волновое уравнение и получаем стандартную
программу действий:
𝜅 ′ ′ 𝜅 ′′
𝜅
𝜌
𝑋𝑍
−
𝑋
𝑍
−
𝑋𝑍 ′′ = 0
𝜌2
𝜌
𝜌
𝑋 ′′
𝑍 ′′ 𝜌′ 𝑍 ′ 𝜔2 𝜌
=−
+
−
= −𝑚 2
𝑋
𝑍
𝜌 𝑍
𝜅
−𝜔2 𝑋𝑍 +
Первое уравнение сводится просто к умножению на −𝜔2 . Во втором уравнении
производные по 𝑋 и 𝑍 будут обозначаться соответствующими штрихами. Плотность и
сжимаемость будут зависеть только от переменной 𝑍 (поэтому переменная 𝜌′ – это производная
плотности по координате 𝑍). Группируем с одной стороны уравнения все, что зависит от 𝑋, с
другой – все, что зависит от 𝑍. Получается, что обе части уравнения равны некоторой константе,
которую мы обозначаем как −𝑚 2 (где 𝑚 – это горизонтальное волновое число).
Тогда мы вместо одного уравнения получаем систему из двух уравнений: первое
уравнение описывает распространение поля по горизонтали, а второе – распространение поля по
154
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
вертикали. На второе уравнение мы дополнительно должны наложить граничные условия на
поверхности и на дне, а также учесть зависимость упругости и плотности от глубины.
𝑋 ′′ + 𝑚2 𝑋 = 0
′
𝜔2 𝜌
{ ′′ 𝜌 ′
𝑍 − 𝑍 +(
− 𝑚2 ) 𝑍 = 0
𝜌
𝜅
Решений данного уравнения будет несколько: каждое решение будет описывать
конкретную моду, у которой будет характерное горизонтальное волновое число 𝑚, которое мы
подставляем в первое уравнение, где выясняется горизонтальная зависимость. В принципе, такую
программу мы выполняли неоднократно для самых разных сред. Это стандартный волновой
подход, которым мы пользовались.
Представление эйконала
Теперь мы посмотрим, что можно сделать с этим же уравнением в рамках лучевого
подхода. В качестве представления геометрической акустики мы будем использовать
представление эйконала. У нас есть уравнение, которое мы решили с точки зрения волнового
подхода:
∂2 𝑝 𝜅 ∂𝜌 ∂𝑝 𝜅 ∂2 𝑝 ∂2 𝑝
+
− (
+
)=0
∂𝑡 2 𝜌2 ∂𝑧 ∂𝑧 𝜌 ∂𝑥 2 ∂𝑧 2
Теперь будем искать его решение с точки зрения представления эйконала в виде такой
функции:
𝑝 = 𝐴(𝑥, 𝑧)𝑒 −𝑖𝑘0𝑊(𝑥,𝑧) 𝑒 𝑖𝜔𝑡 = 𝑒 ln 𝐴(𝑥,𝑧)−𝑖𝑘0𝑊(𝑥,𝑧) 𝑒 𝑖𝜔𝑡
Формула включает коэффициент 𝐴 (зависимый от координат 𝑥 и 𝑧), 𝑒 𝑖𝜔𝑡 (зависимость
от времени) и фазу волны в виде степенного множителя. Здесь функция 𝑊(𝑥, 𝑧) называется
эйконал. Далее мы два множителя записали под общей экспонентой, с получением более
компактного вида. Каков же физический смысл функции 𝑊? Если последние два множителя
содержат мнимую величину в экспоненте, то они определяют фазу волны. Если зафиксировать
некоторый момент времени 𝑡, то поверхность 𝑊(𝑥, 𝑦) = const будет означать множество точек
на плоскости, где фаза будет постоянной. А множество точек с постоянной фазой – это
волновой фронт по определению. Значит, поверхность 𝑊 (𝑥, 𝑦) = const определяет положение
волнового фронта в пространстве.
Уравнение эйконала
Теперь давайте попробуем приблизиться к решению нашего уравнения. У нас есть два
последних множителя, которые описывают фазу волны. В момент времени 𝑡1 давление будет с
точностью до амплитуды пропорционально фазовому множителю:
𝑡1 : 𝑝 ∼ 𝑒 𝑖𝜔𝑡1 −𝑖𝑘0 𝑊(𝑥,𝑧)
155
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Рассмотрим ту же самую волну в момент времени 𝑡1 + 𝑑𝑡. Положение волнового фронта
очевидны образом изменится. Если мы хотим проследить это передвижение, нам нужно
приравнять два давления: с одной стороны, прошло время 𝑑𝑡, с другой стороны, волновой фронт
сдвинулся так, что точка (𝑥𝑧) переместилась в точку (𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑧 + 𝑑𝑧). Фактически мы
приравниваем здесь показатели экспонент:
𝑡1 + 𝑑𝑡: 𝑝 ∼ 𝑒 𝑖𝜔(𝑡1+𝑑𝑡)−𝑖𝑘0 𝑊(𝑥+𝑑𝑥,𝑧+𝑑𝑧)
Получаем простое соотношение:
𝜔𝑡1 − 𝑘0 𝑊(𝑥, 𝑧) = 𝜔(𝑡1 + 𝑑𝑡) − 𝑘0 𝑊(𝑥 + 𝑑𝑥, 𝑧 + 𝑑𝑧) ⇒
Здесь мы переносим множители типа 𝜔𝑡 в одну сторону, а множители типа 𝑘0 𝑊 – в
другую сторону уравнения. Также можно осуществить деление на 𝑘0 . 𝑊/𝑘0 есть ничто иное, как
𝑐0 (эталонная скорость звука). В итоге мы имеем разность, которую с помощью разложения в
ряд Тейлора с ограничением на первый линейный член можно расписать. Тогда получается
следующая запись:
𝑐0 𝑑𝑡 =
∂𝑊
∂𝑊
∂𝑊
∂𝑊
𝑑𝑥 +
𝑑𝑧 ⇒ 𝑐0 =
𝛼𝑐 +
𝛽𝑐
∂𝑥
∂𝑧
∂𝑥
∂𝑧
Два слагаемых образуют член 𝑐0 𝑑𝑡, а запись разности отображает, что за время 𝑑𝑡
(которое мы выбрали) волновой фронт сместился по оси 𝑥 на величину 𝑑𝑥, а по оси 𝑧 на величину
∂𝑧. Давайте тогда введем скорость перемещения фронта (𝑐) и параметры 𝛼 и 𝛽 (направляющие
косинусы, которые составляют направление перемещение с осями). Тогда наше уравнение
∂𝑊
принимает вид сложения двух параметров по ∂𝑥 .
При делении на 𝑐 мы получаем итоговый вид уравнения:
∂𝑊
∂𝑊
𝑐0
𝛼+
𝛽 = = 𝑛(𝑥, 𝑧)
∂𝑥
∂𝑧
𝑐
Причем, заметим, что соотношение 𝑐0 и 𝑐 есть ничто иное, как показатель преломления
𝑛, зависимый от координат. Как мы уже сказали, 𝛼 и 𝛽 – это косинусы нормали к поверхности
𝑊(𝑥, 𝑧), то есть направления, по которым распространяется волна. А коль скоро волна идет
перпендикулярно к поверхности волнового фронта, то из известных соотношений
аналитической геометрии мы получаем, что отношение альфа к бете представляет собой
отношение частных производных. Кроме того, по теореме Пифагора сумма квадратов их дает
единицу.
𝛼: 𝛽 =
∂𝑊 ∂𝑊
:
;
∂𝑥 ∂𝑧
𝛼 2 + 𝛽2 = 1
Из этих равенств мы можем выразить 𝛼 и 𝛽 и подставить их в итоговую формулу выше.
Получается следующее уравнение:
∂𝑊 2
∂𝑊 2
(
) +(
) = 𝑛2 (𝑥, 𝑧)
∂𝑥
∂𝑧
156
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Решение уравнения эйконала
Это уравнение называется уравнением эйконала в неоднородной среде, и мы попробуем
его как-то решить. Пусть показатель преломления – это функция 𝑛(𝑧). Тогда 𝑊(𝑥, 𝑧)
расписывается методом разделения переменных, но немного другим. Обычно, когда мы
говорили про разделение переменных, мы представляли искомую функцию в виде произведения
двух функций. Теперь же мы будем представлять ее в виде суммы двух функций:
𝑛(𝑥, 𝑧) = 𝑛(𝑧),
𝑊(𝑥, 𝑧) = 𝑊1 (𝑥) + 𝑊2 (𝑧)
Так функция 𝑊1 зависит только от 𝑥, а функция 𝑊2 – только от 𝑧. Кроме того, давайте
предположим, что:
∂𝑊/ ∂𝑥 = 𝛾 = const
То есть, мы рассматриваем здесь такое «семейство» решений, которое задано
постоянным параметром. Тогда:
𝑧
𝑊1′2 + 𝑊2′2 = 𝑛2 (𝑧);
𝑊2′ = √𝑛2 (𝑧) − 𝛾 2 ;
𝑊2 = ∫ √𝑛2 (𝑧) − 𝛾 2 𝑑𝑧
0
Из исходного уравнения тогда получается уравнение, где штрихи означают производную
по своему аргументу у каждой из функций. А поскольку 𝑊′ – это гамма, то 𝑊2′ записывается как
подкоренное выражение. И значит, мы можем выразить 𝑊2 из этого уравнения, просто взяв
интеграл в пределах от 0 до 𝑧. Тогда общее решение нашего уравнения записывается
следующим образом:
𝑧
𝑊(𝑥, 𝑧) = 𝛾𝑥 + ∫ √𝑛2 (𝑧) − 𝛾 2 𝑑𝑧
0
Теперь найдем наши направляющие косинусы. Для этого берем производную по 𝑥
(гамма) и производную по 𝑧 (корень), которые с учетом нормировки необходимо поделить на 𝑛.
Получаем:
𝛼=
𝛾
;
𝑛(𝑧)
𝛽 = √1 −
𝛾2
𝑛2 (𝑧)
Если у нас есть распространение волны, и известны направляющие косинусы, тогда мы
можем записать уравнение луча, которое определяется отношением 𝑑𝑧 к 𝑑𝑥:
𝑑𝑧 𝛽
𝑛2 (𝑧)
= = √ 2 −1
𝑑𝑥 𝛼
𝛾
Слева у нас присутствуют обе переменные (𝑥 и 𝑧), а справа – уже только 𝑧. Значит, мы
можем получить из дифференциального уравнения путем перегруппировки слагаемых такое
157
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
уравнение, где с одной стороны есть только величины, зависящие от 𝑧, а с другой стороны –
только величины, зависящие от 𝑥. Тогда решение этого уравнения дается простым интегралом:
𝑧
𝑑𝑧
𝑥 = 𝑥0 + ∫
0
𝑛2 (𝑧)
√ 2 −1
𝛾
Это есть ничто иное, как уравнение луча. Мы получали похожее уравнение, когда
рассматривали непосредственно закон Снеллиуса и изучали, как конкретно двигается каждый
луч.
Область применимости представления эйконала
Теперь же давайте вернемся к основному вопросу – к области применимости
представления эйконала. Напомню, что у нас имеется волновое уравнение, и мы ищем решение
в следующем виде:
∂2 𝑝 𝜅 ∂𝜌 ∂𝑝 𝜅 ∂2 𝑝 ∂2 𝑝
+
− (
+
)=0
∂𝑡 2 𝜌2 ∂𝑧 ∂𝑧 𝜌 ∂𝑥 2 ∂𝑧 2
𝑝 = 𝑒 ln 𝐴(𝑥,𝑧)−𝑖𝑘0 𝑊(𝑥,𝑧) 𝑒 𝑖𝜔𝑡
Вопрос о границах разрешается при помощи подстановки такого решения в исходное
уравнение. Оказывается, что за счет зависимости от двух переменных, оно распадается на
систему из двух уравнений:
∂𝑊 2
∂𝑊 2
𝑘 2
) +(
) −( ) −
∂𝑥
∂𝑧
𝑘0
2
1 ∂ln 𝜌 ∂ln 𝐴
∂ln 𝐴
∂ln 𝐴 2 ∂2 ln 𝐴 ∂2 ln 𝐴
]=0
− 2[
+(
) +(
) +
+
∂𝑥
∂𝑧
∂𝑥 2
∂𝑧 2
𝑘0 ∂𝑧 ∂𝑧
∂𝑊 ∂ln 𝐴 ∂𝑊 ∂ln 𝐴
∂2 𝑊 ∂2 𝑊 ∂ln 𝜌 ∂𝑊
2
(
+
)
+
+
+
=0
{
∂𝑥 ∂𝑥
∂𝑧 ∂𝑧
∂𝑥 2
∂𝑧 2
∂𝑧 ∂𝑧
(
Первое уравнение – это уравнение эйконала, с возникшим дополнительным членом.
Наше приближение будет справедливым, если этот член будет равен нулю, либо если им можно
будет пренебречь. Кроме того, у нас возникает второе уравнение – так называемое уравнение
переноса.
Итак, в первом уравнении у нас также есть три других слагаемых, а четвертое имеет
1
множитель 2. Давайте посмотрим, в каком случае мы можем пренебречь громоздким четвертым
𝑘0
слагаемым:
•
2𝜋
𝑘0 = 𝜆 → ∞
0
158
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Если у нас 𝑘0 стремится к бесконечности, тогда совершенно логично, что последним
слагаемым можно пренебречь. Это выполняется на высоких частотах, когда длина волны
𝜆0 маленькая.
•
∂𝑊 ∂𝑊
max ( ∂𝑥 , ∂𝑧 ) ≡ 𝑊′~𝑛
Из двух производных выберем максимальную и будем условно обозначать ее как 𝑊′ (на
самом деле 𝑊 зависит от двух переменных). Если мы говорим о том, что представление эйконала
справедливо, тогда величина 𝑊′ должна по порядку быть примерно как показатель преломления.
•
𝜆0 (ln 𝐴)′ ≪ 𝑊 ′
2
′′
′ 2
{𝜆0 (ln 𝐴) ≪ (𝑊 )
∂ln 𝜌 ∂ln 𝐴
∂𝑧
∂𝑧
≪ 𝑘2
Записанное условие – это условие малости всех слагаемых. В рамках данной системы
1
множитель 𝑘 2 можно интерпретировать как 𝜆0 2 , умноженную на соответствующую величину в
0
квадратной скобке. Тогда обратим внимание, что там имеется логарифм амплитуды 𝐴 по ∂𝑧, а
также логарифм 𝐴 по ∂𝑥. Также, как мы говорили про обозначение 𝑊′, давайте зададим логарифм
𝐴′ как одну из производных по 𝑥 и 𝑧 (выбирая из них максимальную). Тогда для максимальной
производной получается, что она должна быть много меньше, чем (𝑊 ′ )2.
Также у нас здесь есть вторая производная по 𝑥 и 𝑧. Вторая производная от логарифма 𝐴
должна быть много меньше, чем (𝑊 ′ )2. А для перекрестного члена условие выражается тем, что
этот член, будучи умноженным на
1
𝑘02
, должен быть много меньше единицы. Эти условия должны
соблюдаться для того, чтобы представление эйконала можно было считать справедливым.
Теперь обратим внимание на уравнение переноса. Здесь у нас тоже многочисленные
слагаемые должны в итоге давать ноль.
2(
•
∂𝑊 ∂ln 𝐴 ∂𝑊 ∂ln 𝐴
∂2 𝑊 ∂2 𝑊 ∂ln 𝜌 ∂𝑊
+
)+
+
+
=0
∂𝑥 ∂𝑥
∂𝑧 ∂𝑧
∂𝑥 2
∂𝑧 2
∂𝑧 ∂𝑧
Наибольшие члены должны компенсироваться:
𝑊′′~𝑊′(ln 𝐴)′
∂2 𝑊
Чтобы имело место равенство нулю, второе слагаемое ∂𝑥 2 должно быть по порядку
сравнимо с 𝑊 ′ (ln 𝐴′).
•
𝜆0 (ln 𝐴)′ ≪ 𝑊 ′
Ранее получено выражение, отражающее, что 𝜆0 (ln 𝐴)′ много меньше, чем 𝑊 ′. Отсюда
следует, что:
⇒ 𝑛2 ∼ (𝑊 ′ )2 ≫ 𝜆0 𝑊 ′′ (ln 𝐴)′ ∼ 𝜆0 𝑊 ′′ = 𝜆0
159
Δ𝑊 ′
Δ𝑆
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
(𝑊 ′ )2 – это 𝑊 ′ ∙ 𝑊 ′, а 𝑊 ′ много больше, чем 𝜆0 (ln 𝐴)′ . Это означает, что мы предыдущее
условие использовали для одного 𝑊 ′ из произведения двух таких множителей. Теперь смотрим,
что 𝜆0 (ln 𝐴)′ - это примерно вторая производная 𝜆0 𝑊 ′′. Для оценки этой производной перейдем
к некоторым конечным интервалам, то есть рассмотрим распространение луча на некоторое
расстояние Δ𝑆. При этом расстоянии величина 𝑊 ′ (первая производная) меняется на величину
Δ𝑊 ′. Это отношение тогда и будет оценкой второй производной. Из этой цепочки, а также из
того, что коэффициент преломления является величиной порядка единицы, мы получаем
неравенство:
⇒ 𝜆0
Δ𝑊 ′
≪1
Δ𝑆
Что это означает физически? Величина Δ𝑊 ′ отражает изменение величины 𝑊 ′, которая
представляет собой производную по 𝑥 и 𝑧. Иными словами, это величина, которая определяет
направление распространения волны. Если величина Δ𝑊 ′ малая, то направление
распространения волны меняется слабо (по сравнению с коэффициентом длины волны 𝜆0 ) при
прохождении расстояния Δ𝑆. Это значит, что распространяющиеся лучи слабо искривляются.
•
𝑛 ∼ 𝑊 ′ ≫ 𝜆0 (ln 𝐴)′
⇒
𝜆0
Δ𝐴
𝐴Δ𝑆
≪1
Теперь обрисуем второе условие. Показатель преломления – это величина по порядку
равная 𝑊 ′, которая много больше 𝜆0 (ln 𝐴)′ . Производную логарифма мы расписываем как 𝐴′ /𝐴,
где 𝐴′ мы представляем через конечные приращения
Δ𝐴
𝐴Δ𝑆
. ∆𝐴′ /𝐴 – это относительное изменение
амплитуды поля, которое происходит на длине волны 𝜆0 .Если это изменение оказывается мало,
то приближение эйконала будет работать.
Третье условие, которые мы не будем в рамках нашей лекции выводить отдельно, связано
с медленной изменчивостью параметров среды (плотности и скорости звука или упругости). В
итоге мы можем сказать, что область применимости преставления эйконала заключается в
выполнении следующих утверждений (на масштабе длины волны):
1) Во-первых, лучи слабо искривляются
2) Во-вторых, изменение амплитуды поля мало
3) В-третьих, скорость звука и плотность мало изменяются
В частности, если мы рассмотрим такие явления, как фокусировка поля или образование
каустик, то в этом случае на длине волны может довольно существенно меняться амплитуда
поля. Отсюда следует, что вблизи фокусов и каустик приближение геометрической акустики не
работает.
160
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 12. Течения
В рамках этой лекции мы рассмотрим распространение акустических волн в среде, где
присутствуют течения. Про течения мы говорили еще в самом начале курса, и хотелось бы
напомнить такую важную характеристику течений, как скорость. Если мы рассматриваем самый
типичный случай течения, то его скорость составляет порядка 0.1 м/с, что довольно
незначительно. Сильным течением называют течение, скорость которого составляет порядка
1 м/с. Самое сильное течение на Земле – Гольфстрим, скорость которого может достигать 5 м/с.
Даже в последнем случае скорость течения оказывается гораздо меньше, чем скорость
распространения звука в среде:
𝑣≪𝑐
Вспомним, что скорость звука в воде достигает 1450 − 1500 м/с. Скорость течения,
таким образом, является величиной на несколько порядков меньшей. Это обстоятельство
является существенным, и мы будем использовать его при выводе формул.
Модифицированное уравнение эйконала
Каким образом мы можем описать среду, в которой имеется некоторое течение? Давайте
рассмотрим течение и перейдем в сопутствующую систему координат. В такой системе, с точки
зрения распространения волны, ничего не происходит (волна распространяется в неподвижной
среде), поэтому у нас уже есть весь необходимый аппарат для описания. Дальше мы можем
переход в исходную неподвижную систему координат, и тогда мы сможем рассматривать волну
в исходной системе отсчета.
Вначале подойдем к нашему вопросу с точки зрения лучевой акустики, в частности, с
применением модифицированного уравнения эйконала:
|∇𝑊|2 = (
2
𝑐0
)
𝑐 + 𝑣 𝑛⃗
Итак, мы переходим в сопутствующую систему отсчета и смотрим, как перемещается
фронт волны. Пускай вектор 𝑛⃗ будет отражать направление распространения волны (нормаль к
волновому фронту). В среде также есть скорость звука 𝑐, которая зависит от точки 𝑟 (среда
считается неоднородной), соответственно, в каждой точке 𝑟 распространение происходит со
скоростью 𝑐 (𝑟)𝑛⃗. В неподвижной системе отсчета к этой скорости мы должны добавить также
скорость течения. Тогда скорость перемещения точек фронта в неподвижной СО будет равна
𝑣 + 𝑐(𝑟)𝑛⃗.. Если скорость перемещения известна, то уравнение эйконала имеет указанный выше
вид.
Как мы перешли от нашей формулы скорости к записи в скобке? Если скорость
перемещения точек фронта составляет 𝑣 + 𝑐(𝑟)𝑛⃗, то мы должны умножить эту скорость на
вектор нормали. Тогда мы получим скорость 𝑐 как в исходном уравнении эйконала, но скорость
161
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
распространения волны оказывается зависящей от направления волны. Иными словами,
образуется снос акустической волны под влиянием течения.
Скорость распространения сигнала по лучу
Теперь давайте попробуем проанализировать скорость распространения сигнала в среде
с течением. Пусть у нас есть некий луч, траектория которого будет описана функцией 𝑟(𝑠), где
𝑠 – это длина луча от исходной точки до некоторой точки. Соответственно, с ростом 𝑠
перебираются разные точки 𝑟 на этом луче. В таком представлении легко записать касательную
𝑑𝑟
к лучу 𝑑𝑠 , которая должна совпадать с нормалью к фронту, которая определяется из уравнения
эйконала следующим образом:
𝑛⃗ =
∇𝑊
|∇𝑊|
То есть, мы берем операцию набла по 𝑊 и нормируем ее. Тогда мы можем, с учетом этих
данных и уравнения эйконала, написать выражение и для скорости распространения сигнала
вдоль луча:
𝑣ray = |𝑣ray |
𝑑𝑟
= 𝑣 + 𝑐(𝑟)𝑛⃗
𝑑𝑠
⇒
𝑣ray − 𝑣 = 𝑐 (𝑟)𝑛⃗
Эта скорость по модулю равна модулю этого вектора, а по направлению равна
касательной 𝑑𝑟 по 𝑑𝑠. А направление этой касательной совпадает с вектором 𝑛⃗. Выполняя
произведение модуля скорости на вектор нормали, мы и получаем данное выражение. То есть,
скорость распространения волны по лучу складывается из скорости сноса по течению и
скорости распространения сигнала в направлении нормали к волновому фронту (с текущей
скоростью распространения звука в данной точке). Теперь преобразуем это выражение, перенеся
скорость в левую часть и возведя в квадрат (то есть, избавимся от векторов):
2
(𝑣ray − 𝑣 ) = 𝑐 2 (𝑟)
⇒
2
|𝑣ray | − 2𝑣|𝑣ray |
𝑑𝑟
+ (𝑣 2 − 𝑐 2 ) = 0
𝑑𝑠
Отсюда можно выразить модуль скорости 𝑣ray , и методом решения квадратного
уравнения (с учетом того, что этот модуль должен быть строго неотрицательной величиной) мы
получаем следующее выражение для скорости:
2
|𝑣ray | = 𝑣
𝑑𝑟
𝑑𝑟
𝑑𝑟
+ √(𝑣 ) + 𝑐 2 − 𝑣 2 ≈ 𝑐 + 𝑣
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑑𝑠
На следующем шаге мы обратим внимание на то, что под корнем стоит квадрат скорости
звука в среде 𝑐 2 , а также два слагаемых типа скорость течения в квадрате. Мы знаем, что скорость
течения гораздо меньше скорости распространения звука в среде, поэтому данный корень можно
расписать с учетом малости этой добавки. Тогда этот корень будет примерно равен 𝑐. В итоге мы
имеем более лаконичную запись формулы.
162
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Тогда давайте рассмотрим наш луч, для которого уже известна скорость
распространения. Время распространения сигнала по лучу из некоторой начальной точки в
некоторую конечную точку вычисляется достаточно легко. Надо взять скорость и обратную к
ней величину, проинтегрировав их по всему лучу:
|𝑣ray | ≈ 𝑐 + 𝑣
𝜏=∫
𝑑𝑠
≈∫
|𝑣ray |
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑑𝑠
𝑐(𝑟) +
𝑑𝑟
𝑣
⏟(𝑟) 𝑑𝑠
снос течением по лучу
Первое слагаемое в знаменателе – это скорость звука, а второе слагаемое – это снос
течения в направлении луча. Предположим, что у нас вектор течения 𝑣 направлен в сторону
𝑑𝑟
распространения луча. Тогда вектор 𝑑𝑠 сонаправлен с ним, и скалярное произведение векторов
будет положительным, и эта добавка прибавляется к скорости. Тем самым, скорость
распространения вдоль течения несколько увеличивается. И наоборот, если мы рассматриваем
скорость распространения звука против течения, то эти векторы будут противоположными, и
их скалярное произведение станет отрицательным с уменьшением скорости распространения
против течения.
Значит, если мы рассматриваем систему с течением, то время распространения сигнала
из точки 𝐴 в точку 𝐵 и время распространения сигнала из точки 𝐵 в точку 𝐴 – это два разных
времени. Ранее мы говорили о принципе взаимности: если в акустике источник и приемник
сигнала меняются местами, то для сигнала ничего не должно меняться. Напротив, в среде с
течением этот принцип не работает.
Неоднородности фазовой скорости и течения
Теперь давайте попробуем использовать это обстоятельство для практических целей. В
частности, перед нами стоит задача определения скорости звука и течения в водоеме на
основании измерений (времени распространения сигнала из одной точки в другую), которые мы
производим в разных точках. Пускай у нас есть некоторая среда, для которой имеется априорная
информация. Так в этой среде есть некоторая зависимость 𝑐0 (𝑟). Кроме того, нам известна
зависимость скорости от течения 𝑣0 (𝑟). В настоящей среде, присутствующей в эксперименте,
это не выполняется. На самом деле скорость звука 𝑐(𝑟) отличается от априорной информации
на некоторую добавку Δ𝑐, а скорость течения отличается на некоторую величину Δ𝑣 :
𝑐(𝑟) = 𝑐0 (𝑟) + Δ𝑐 (𝑟) и 𝑣 (𝑟) = 𝑣0 (𝑟) + Δ𝑣(𝑟)
Если бы у нас вообще не было априорной информации, мы в любом случае могли бы
сказать, что течения у нас нет (Δ𝑣 = 0). Тогда скорость звука мы можем положить везде
постоянной. Тогда 𝑐0 (𝑟) = 𝑐0 . В любом случае, величины Δ𝑐 и Δ𝑣 нам бы нужно было
определить. Иными словами, независимо от того, есть ли у нас существенная информация, мы
всегда можем рассмотреть модель добавок.
163
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Обратимся теперь к величине Δ𝜏 – отличию времени распространения сигнала между
двумя точками в случаях, когда 1) среда является априорной и 2) среда является настоящей.
Чтобы посчитать такое отличие, нужно рассмотреть разность двух интегралов (отражающих
скорость в обоих случаях):
Δ𝜏 = ∫
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑐(𝑟) + 𝑣 (𝑟) 𝑑𝑠
−∫
𝑑𝑠
𝑑𝑟
𝑐0 (𝑟) + 𝑣0 (𝑟) 𝑑𝑠
≈ −∫
𝑑𝑠
𝑑𝑟
(Δ𝑐(𝑟) + Δ𝑣 )
𝑑𝑠
𝑐02 (𝑟)
Когда мы рассматриваем такую разность, мы можем сделать следующее. Используем то,
что скорость 𝑣0 и добавка Δ𝑣 – малые величины по сравнению со скоростью звука в среде 𝑐0 .
Кроме того, мы можем предположить, что величина Δ𝑐 также является малой. Тогда вместо
разности интегралов можно воспользоваться приближенными вычислениями и получить один
интеграл.
Давайте посмотрим на состав этого интеграла. Как будут вести себя слагаемые в скобках,
если поменять местами источник и приемник сигнала? Видно, что первое слагаемое является
просто скалярной величиной (от направления ничего не зависит), поэтому от изменения
направления интегрирования здесь ничего не изменится. С другой стороны, второе слагаемое
𝑑𝑟
содержит производную 𝑑𝑠 . В связи с этим, при изменении направления интегрирования здесь
изменится знак с плюса на минус).
Это подводит нас к идее того, чтобы рассмотреть полусумму Δ𝑆 и полуразность Δ𝐷:
1
Δ𝑐(𝑟)𝑑𝑠
Δ𝑆 = (Δ𝜏 + + Δ𝜏 − ) ≈ −∫ 2
2
𝑐0 (𝑟)
1
𝑑𝑠
𝑑𝑟
Δ𝐷 = (Δ𝜏 + − Δ𝜏 − ) ≈ −∫ 2
Δ𝑣
2
𝑑𝑠
𝑐0 (𝑟)
Пускай есть величина Δ𝜏 + – отличие времен распространения сигнала из одной точки
распространения в другую, а Δ𝜏 − – это время распространения обратно из другой точки в первую.
Соответственно, в одном случае мы складываем, а в другом – вычитаем. Оказывается, что при
𝑑𝑟
сложении двух времен член Δ𝑣 𝑑𝑠 в интеграле будет взаимно сокращаться. Тогда получается
интеграл, содержащий только величину Δ𝑐. Это данные для определения отличия скорости звука
в водоеме (без течения). С другой стороны, если мы рассмотрим разность времен
распространения, то будут сокращаться как раз члены с Δ𝑐. Тогда экспериментальные данные
будут выражены интегралами, содержащими только величину Δ𝑣 (зависят от течения). Таким
образом, эти два вклада мы можем отдельно получить в рамках нашей модели.
Завихренность
Давайте теперь рассмотрим еще один интересный случай, указав на то, что помимо
простого течения, в океане также могут распространяться вихри. В общем случае это можно
описать следующим образом:
164
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑣 (𝑟) = ∇Φ(𝑟) + [∇ × Ψ(𝑟)]
Если у нас есть какое-то поле течений 𝑣(𝑟), то его можно представить с помощью
введения двух потенциалов: Φ(𝑟) – скалярного потенциала течений, Ψ(𝑟) – векторного
потенциала течений (вообще, надо отметить, что любое поле можно представить в виде
совокупности потенциального и роторного компонентов). То есть, у нас есть отдельное
слагаемое, описывающее течение в вихре. Величину, которая определяется таким образом,
называется относительной завихренностью:
𝜉𝑧 = [∇ × 𝑣]𝑧
Давайте попробуем определить эту величину с точки зрения нашего эксперимента, в
котором имеется набор датчиков, с возможностью измерять время распространения сигнала
между ними в одну и в другую сторону. Пусть у нас есть некоторая акватория 𝐴 и несколько
датчиков (Рис. 12.1).
Рисунок 12.1. Акватория эксперимента
Давайте померяем время распространения сигнала между этими датчиками 1,2,3 и 4. При
этом мы составляем такое выражение:
1
1
𝑑𝑟
1
(𝜏1,2,3,…,𝑚 − 𝜏𝑚,𝑚−1,…,3,2,1 ) = 2 ∮Γ 𝑣(𝑟) 𝑑𝑠 = 2 ∬ [∇ × 𝑣]𝑑𝑎
2
𝑐
𝑑𝑠
𝑐 𝐴
В одном случае, мы смотрим на суммарное время распространения сигнала по
траектории, обозначенной красной стрелкой на рисунке (последовательно между всеми
датчиками от первого до энтого). В другом случае, мы рассматриваем сигнал, который
распространяется в обратном направлении в сторону, отмеченную синей стрелкой. Эти два
суммарных времени мы вычитаем и умножаем на ½. Нетрудно заметить, что полученная
величина будет ничем иным, как
1
𝑐2
, умноженной на интеграл по границе области 𝐴 по 𝑣(𝑟)
𝑑𝑟
𝑑𝑠
.
А с точки зрения контурных интегралов, по известной теореме о циркуляции такой интеграл
можно свести к интегралу от величины 𝑣 по всей рассматриваемой области. Эта компонента
∇ × 𝑣 и есть та самая завихренность, о которой мы сказали ранее.
165
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Модовое описание неоднородностей и теченй
Теперь давайте подойдем к модовому описанию неоднородностей и течений. Исходить
мы будем из уравнения Гельмгольца, которое, с учетом того, что в среде имеется течение, будет
записываться таким образом:
Δ𝑝(𝑟) + 𝑘 2 (𝑟)𝑝(𝑟) +
2𝑖𝜔
𝑣(𝑧)∇𝑝(𝑟) = 0
𝑐 2 (𝑟)
Видно, что появляется дополнительный член, который содержит множитель 𝑣,
отвечающий за течение. Как вообще решать подобное уравнение? Можно придумать два
способа. Первый способ – классический метод разделения переменных:
𝑝(𝑟) = ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧)
Мы представим давление в виде суммы произведений 𝑅𝑛 (𝑟) на 𝑍𝑛 (𝑧). Подставляем какоенибудь слагаемое в данное выражение, с одной стороны группируя элементы, зависящие от 𝑟, а
с другой – элементы, зависящие от 𝑧, и приравниваем каждую часть к некоторой константе −𝜘𝑛2
(где 𝜘𝑛 – горизонтальное волновое число):
𝑍 ′′
2𝑖𝜔
∇𝑟 𝑅
Δ𝑟 𝑅
+ 𝑘 2 (𝑧) + 2
𝑣 (𝑧)
=−
= −𝜘𝑛2
𝑍
𝑐 (𝑧)
𝑅
𝑅
Оказывается, что в данном случае не все так просто. Проблема заключается в слагаемом,
в котором есть как множитель, зависящий от горизонтальной координаты, так и множитель,
зависящий от вертикальной координаты. Поэтому метод разделения переменных в явном виде
здесь не сработает. Однако, мы можем воспользоваться соображением о том, что скорость звука
гораздо больше скорости течения (то есть, течение слабое). Это говорит о том, что данное
слагаемое – малое. Коль скоро это так, то можно сказать, что его добавление не сильно исказит
общую картину.
Тогда вместо одного сложного уравнения мы все же можем получить систему из двух
уравнений:
Δ𝑅 + 𝜘𝑛2 𝑅 = 0
2𝑖𝜔
∇𝑅
{
Δ𝑍 + (𝑘 2 (𝑧) − 𝜘𝑛2 + 2
𝑣(𝑧) ) 𝑍 = 0
𝑐 (𝑧)
𝑅
Первое из них является стандартным уравнением, решением которого может быть
функции Ханкеля или плоские волны. Второе уравнение имеет достаточно сложный вид, включая
∇𝑅
компонент 𝑅 . Его надо решать с учетом граничных условий на поверхности и на дне водоема. Но
для начала запишем решение первого уравнения в виде плоских волн. Если в таком виде решение
находится, то для градиента 𝑅 можно вывести формулу. Здесь 𝜘𝑛 – это волновой вектор,
указывающий на направление распространения волны. Если такое равенство выполнено, его
можно использовать, подставляя в нижнее уравнение. Тогда оно принимает соответствующий
вид, и оказывается таким, что уже не содержит зависимостей от горизонтальной координаты
(остается только зависимость от 𝑍):
166
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
∇𝑅 = 𝑖𝜘𝑛 𝑅
2𝜔
{
Δ𝑍 + (𝑘 2 (𝑧) − 𝜘𝑛2 − 2
𝑣 (𝑧)𝜘𝑛 ) 𝑍 = 0
𝑐 (𝑧)
Такое уравнение можно решать, но оно довольно сложное. Сложность заключается в
наличии непростой зависимости, а также в том, что само уравнение не относительно волнового
числа (как было раньше, когда каждая мода характеризовалась определенным волновым
числом), а относительно волнового вектора (модуль вектора будет меняться в зависимости от
направления волны).
Теперь рассмотрим второй способ решения – поиск «классических» мод для фоновой
среды.
Δ𝑝(𝑟) + 𝑘 2 (𝑟)𝑝(𝑟) +
2𝑖𝜔
𝑣(𝑧)∇𝑝(𝑟) = 0
𝑐 2 (𝑟)
Предположим, что имеется среда с возмущениями: во-первых, проявляется отличие
скорости распространения звука в каждой точке от некоторой константной скорости 𝑐0 , а
во-вторых, присутствует течение. Тогда можно записать уравнение для вертикальной
зависимости поля:
𝑍𝑛′′ (𝑧) + (𝑘02 (𝑧) − 𝜘𝑛2 )𝑍𝑛 (𝑧) = 0
Кроме того, мы записываем граничные условия на поверхности и на дне, и ищем общее
решение в таком виде:
𝑝 = ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧)
Предполагается, что эти функции в своей форме будут содержать необходимую
информацию о всех возмущениях среды. Имея исходное уравнение, мы подставим в него наше
решение:
Δ𝑝(𝑟) + 𝑘 2 (𝑟)𝑝(𝑟) +
2𝑖𝜔
𝑣(𝑧)∇𝑝(𝑟) = 0
𝑐 2 (𝑟)
∂2
) ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧) + 𝑘02 ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧) =
∂𝑧 2
2𝑖𝜔
=− 2
𝑣(𝑧)∇𝑟 ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧) +
𝑐0 (𝑧)
1
1
+𝜔2 ( 2
− 2
) ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧),
𝑐0 (𝑧) 𝑐 (𝑟, 𝑧)
причем 𝑍𝑛′′ (𝑧) + (𝑘02 (𝑧) − 𝜘𝑛2 )𝑍𝑛 (𝑧) = 0
(Δ𝑟 +
Оператор Лапласа мы расписываем на две части (горизонтальную и вертикальную), а
второе и третье слагаемое переносим в правую часть уравнения. При этом 𝑘 2 мы расписываем
по формуле
𝜔2
𝑐2
. После этого в левую и правую части мы дополнительно добавляем слагаемое
вида 𝑘0 𝑝. Напомним себе, что функция 𝑍𝑛′′ – функции, удовлетворяющие граничным условиям и
167
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
уравнению, где 𝑘0 – известная фоновая среда с заданной скоростью звука. Коль скоро для этих
функции выполнены все условия, давайте посмотрим на некоторые члены:
(Δ𝑟 +
∂2
) ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧)
∂𝑧 2
и
𝑘02 ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧)
Оказывается, что их можно заменить на 𝜘𝑛2 и 𝑍𝑛 . Тогда мы получаем слева и справа
соответствующую запись:
Δ𝑟 ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧) + ∑𝜘𝑛2 𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧) =
2𝑖𝜔
=− 2
𝑣(𝑧)∇𝑟 ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧) +
𝑐0 (𝑧)
𝐻
1
1
+𝜔2 ( 2
− 2
) ∑𝑅𝑛 (𝑟)𝑍𝑛 (𝑧) ∣⋅ ∫ 𝑍𝑚 (𝑧)𝑑𝑧
𝑐0 (𝑧) 𝑐 (𝑟, 𝑧)
0
Для того, чтобы решить данное уравнение, мы умножаем левую и правую часть на
некоторую функцию 𝑍𝑚 (𝑧), которую интегрируем в диапазоне от 0 до 𝐻 (по всей глубине
водоема). Поскольку набор функций 𝑍𝑛 представляет собой решение уравнения на вертикальные
моды (и при разных индексах получаются разные решения, соответствующие разным значениям
𝜘𝑛 ), то отсюда следует, что функции 𝑍𝑛 взаимно ортогональны. То есть, когда мы выполняем
скалярные произведения, то мы получаем либо 0 (когда индексы 𝑛 и 𝑚 отличны друг от друга),
либо квадрат нормы функции 𝑍𝑛 (когда 𝑛 = 𝑚). Мы всегда можем выбрать набор функций 𝑍𝑛
таким образом, что эти функции являются нормированными. Тогда такая процедура будет
выделять единственное слагаемое каждой из сумм, соответствующее номеру 𝑚. Давайте
применим данное обстоятельство:
2
Δ𝑟 𝑅𝑚 (𝑟) + 𝜘𝑚
𝑅𝑚 (𝑟) =
𝐻
2𝑖𝜔
= − ∑ ∇𝑟 𝑅𝑛 (𝑟) ∫ 2
𝑣 (𝑧)𝑍𝑛 (𝑧)𝑍𝑚 (𝑧)𝑑𝑧 +
0 𝑐0 (𝑧)
𝑛
𝐻
1
1
+ ∑ 𝑅𝑛 (𝑟) ∫ 𝜔2 ( 2
− 2
) 𝑍 (𝑧)𝑍𝑚 (𝑧)𝑑𝑧
𝑐0 (𝑧) 𝑐 (𝑟, 𝑧) 𝑛
0
𝑛
Тогда в левой части выделяются только эмтые слагаемые, а за счет нормировке функции
соответствующий интеграл будет равен единице. В то же время, в правой части уравнения этого
сделать не получается. Дело в том, что под интегралом возникает не просто произведение
𝑍𝑛 и 𝑍𝑚 , но и дополнительный множитель, зависимый от Z. Поэтому такой интеграл мы
оставляем в таком виде.
⃗𝑛𝑚 (𝑟),
Тем не менее, давайте обозначим соответствующий интеграл в первом случае как 𝑉
а во втором случае как 𝑆𝑛𝑚 (𝑟), и будем учитывать, что первая величина представляет собой
матрицу из векторов, а вторая – матрицу из скалярных величин. Тогда совокупное уравнение
представляет собой хитрое выражение относительно набора функций 𝑅𝑛 :
168
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
2
Δ𝑟 𝑅𝑚 (𝑟) + 𝜘𝑚
𝑅𝑚 (𝑟) =
𝐻
2𝑖𝜔
= − ∑ ∇𝑟 𝑅𝑛 (𝑟) ∫ 2
𝑣 (𝑧)𝑍𝑛 (𝑧)𝑍𝑚 (𝑧)𝑑𝑧 +
⏟0 𝑐0 (𝑧)
𝑛
⃗ 𝑛𝑚(𝑟)
𝑉
𝐻
1
1
+ ∑ 𝑅𝑛 (𝑟) ∫ 𝜔2 ( 2
− 2
) 𝑍 (𝑧)𝑍𝑚 (𝑧)𝑑𝑧
𝑐0 (𝑧) 𝑐 (𝑟, 𝑧) 𝑛
⏟
0
𝑛
𝑆𝑛𝑚 (𝑟)
Приближение «вертикальные моды – горизонтальные лучи»
В принципе, это уравнение уже подлежит решению. Но часто, прежде этого, делают
некоторые приближения. Одним из таких приближений является так называемое адиаботическое
приближение. Оно состоит в том, что если возмущение скорости звука 𝑐, а также течение в
водоеме малы, то моды не взаимодействуют. Это означает, что не происходит трансформации
энтой моды (при ее распространении через неоднородную среду) в какую-то моду с индексом 𝑛′.
А тогда векторная и скалярная матрицы становятся диагональными.
В таком случае, вместо сумм мы можем записать отдельные матричные элементы. Это
значит, что уравнение для 𝑅𝑚 (𝑟) решается по такому плану:
2𝑖𝜔
1
1
2
Δ𝑟 𝑅𝑚 (𝑟) + 𝜘𝑚
𝑅𝑚 (𝑟) = − 2
𝑣(𝑧)∇𝑟 𝑅𝑚 (𝑟) + 𝜔2 ( 2
− 2
) 𝑅 (𝑟)
𝑐0 (𝑧)
𝑐0 (𝑧) 𝑐 (𝑟, 𝑧) 𝑚
Такой способ решения с помощью приближения называется «вертикальные моды /
горизонтальные лучи». Его суть состоит в том, что мы изначально ищем функции 𝑍𝑛
(вертикальные профили акустических мод), которые будут находиться без учета возмущений
среды и течения. После того, как эти моды были найдены, мы в рамках адиаботического
приближения получаем уравнение 𝑅𝑚 (𝑟) выше, которое решается с помощью лучевого
приближения в движущейся среде. Такой метод оказался довольно эффективным для описания
полей в движущемся океане с помощью суммарного волнового и лучевого подхода.
169
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Лекция 13. Методы оценки параметров источников
сигналов
В заключительной лекции нашего курса мы коснемся такого важного аспекта, связанного
с акустикой океана, как лоцирование источников звука и методы оценки параметров этих
источников. Самым главным параметром будет направление на источник (с какого угла в точку
измерения попадает звук).
Антенная решетка
Для того, чтобы определить это направление, нам потребуется набор датчиков. Антенная
решетка (АР) – множество простых антенн, произвольным образом распределенных в
пространстве и объединенных единой системой управления передачей или приемом сигналов.
Простые антенны называют элементами АР.
Антенных решеток бывает несколько:
•
Линейная АР
С точки зрения расположения элементов, самая простая – линейная решетка. У нас есть
несколько датчиков, которые выстроены вдоль линии.
•
Плоская АР
Она может представлять собой совокупность нескольких линейных АР, где
совокупность элементов распределена на плоскости.
•
Поверхностная АР
Поверхность может быть не только плоскостной, но и более сложной: например, можно
расположить элементы АР на параболоиде. Такая АР будет фокусировать поле, соответственно
позволит лучше принимать сигналы с определенных направлений. С другой стороны, можно
искусственно добавлять задержки в сигналы, принимаемые линейной или плоской АР. Такая АР
электронным образом тоже может сканировать пространство и фокусироваться на определенных
регионах.
•
Эквидистантная линейная АР
Такой тип решетки мы будем рассматривать в рамках лекции. Все ее элементы
расположены на равных расстояниях друг от друга, и, кроме того, строго по прямой.
•
Эквидистантная линейная АР с изотропно излучающими элементами
Коль скоро каждый элемент антенной решетки является по сути некоторой единичной
антенной, он может обладать некоторой диаграммой направленности. То есть, он с одной
170
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
стороны сигнал принимает лучше, чем с другой стороны. Но в рамках нашего рассмотрения мы
будем считать, что наша антенна обладает такими элементами, которые не обладают угловой
избирательностью.
Гармонический сигнал с плоским фронтом
Давайте рассмотрим нашу антенную решетку математически (Рис. 13.1). Введем
некоторую ось 𝑥, вдоль которой расположены элементы антенной решетки (𝑁 штук). Также у
нас имеется ось 𝑦 некоторого направления, где под углом 𝜑 приходит фронт плоской волны. Что
тогда услышат все элементы данной АР. Понятно, что распространяется один и тот же сигнал,
но коль скоро геометрия антенны задана определенным образом, он будет достигать всех
элементов АР в разное время. Соответственно, появятся фазовые задержки сигнала.
Рисунок 13.1. Антенная решетка, принимающая фронт плоской волны
Если каждый элемент АР характеризовать некоторым вектором 𝑟, при условии
однородной среды с волновым вектором 𝑘⃗ , тогда сигнал, который будет слышен в каждой точке,
будет характеризоваться следующей формулой:
𝑠(𝑟, 𝑡) = 𝑒 𝑖𝑘⃗𝑟 −𝑖𝜔𝑡
Теперь давайте учтем расположение этих элементов. Тогда для энтого элемента мы знаем
радиус-вектор и расстояние 𝑑, и выражение преобразуется следующим образом:
𝑠𝑛 (𝑡) = ⏟
𝑒 𝑖(𝑛−1)𝑘𝑑sin 𝜑 𝑒 −𝑖𝜔𝑡
𝑆𝑛
𝑠(𝑡) = 𝑆𝑒 −𝑖𝜔𝑡
Здесь 𝑒 −𝑖𝜔𝑡 – это общий множитель, а для энтого элемента присутствуют иксовая
компонента радиус-вектора, расстояние и синус угла 𝜑 (между осью 𝑦 и направлением фронта
волны). Давайте наш множитель, который зависит только от геометрии нашей антенны и угла
приходящей волны, будем обозначать 𝑆𝑛 . Тогда мы можем говорить, что в рамках эксперимента
с АР мы принимаем сигнал векторного типа 𝑠(𝑡). Этот вектор включает все компоненты 𝑆𝑛 , то
есть представляет собой вектор в 𝑛-мерном пространстве с энным количеством элементов.
171
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Узкополосный сигнал
Мы говорили про монохроматический сигнал. А теперь давайте поставим вопрос
следующим образом: на сколько можно отступить данного приближения и расширить полосу
сигнала, чтобы используемые выкладки были справедливыми? Вообще говоря, если мы
рассматриваем сигнал с какой-то спектральной полосой, и эта полоса достаточно широка, то это
означает, что разные элементы антенной решетки могут услышать разные области этого
сигнала (какой-то элемент может воспринять начало сигнала, а другой элемент – его конец). Но
поскольку начало и конец сигнала могут довольно сильно отличаться, то вся задействованная
математика не будет работать.
Чтобы этого не происходило, нам нужно, чтобы все элементы АР слышали примерно ту
же область нашего сигнала. АР должна максимальный размер, заданный как 𝐿. Тогда по времени
максимальная задержка сигнала между самыми удаленными друг от друга элементами АР
выражается так:
𝜏𝑚𝑎𝑥 =
𝐿
𝑐
Здесь 𝑐 – характерная скорость звука (вообще говоря, в рамках данной лекции мы будем
считать скорость звука постоянной величиной). Характерный временной параметр нашего
сигнала будет определяться как время изменения значения огибающей сигнала:
𝜏𝑒𝑛𝑣 = ~(∆𝑓)−1
Здесь ∆𝑓 – это полоса, которую занимает сигнал, и по известной теореме преобразования
Фурье мы ввели соответствующую величину. Ширина спектра и длительность сигнала связаны
друг с другом, и их произведение – это величина порядка 2𝜋 или единицы. При этом время
изменения значения огибающей должна быть больше максимальной задержки сигнала, потому
что в противном случае мы получим ситуацию, когда разные элементы слышат разные «куски»
сигнала:
𝜏𝑚𝑎𝑥 ≪ 𝜏𝑒𝑛𝑣
Поэтому условие на размер антенной решетки имеет следующий вид:
𝐿≪
𝑐
∆𝑓
Случайный гауссовский сигнал
Помимо полезного акустического сигнала, АР всегда регистрирует некие шумы разных
источников. Это могут быть и электрические шумы, свойственные электронике внутри
элементов АР. Также есть шумы, связанные с акустическими процессами в океане, попадающие
в приемную зону нашей АР. Для того, чтобы работать с шумами, нам нужно привлечь аппарат
теории вероятности. В частности, пускай есть 𝑁 сигналов формирующих вектор случайных
величин 𝑋.
172
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑋 = {𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑁 }𝑇
Если мы считаем, что у нас довольно много величин, формирующих данный вектор,
логично предположить, что эти величины являются гауссовскими, и для них можно записать
следующее распределение функции плотности вероятности:
𝑝(𝑋) =
1
exp (−𝑋 𝐻 ℳ −1 𝑋)
𝜋 𝑁 det ℳ
Здесь ℳ – это корреляционная матрица, указывающая на усреднение по реализации. Мы
берем вектор наших случайных величин, затем берем его гильбертово сопряжение (которое
означает, с одной стороны, комплексное сопряжение, а с другой – транспонирование). Тогда
вектор-столбец умножается на строку, с получением матрицы, которая усредняется по всем
реализациям:
ℳ = ⟨𝑋𝑋 𝐻 ⟩
Обычно, когда говорят про произведение матриц, стандартный способ такого
произведения – умножение строки на столбец. Но в данном случае процедура немного иная: мы
умножаем столбец на строку. Если мы осуществляем такое умножение, то в результате
получаем не число (как в случае обычного матричного умножения), а целую матрицу.
Корреляционная матрица содержит достаточно много информации о том, как получены шумы и
как они друг с другом связаны.
Например, давайте рассмотрим шум, присущий непосредственно антенной решетке
(собственный шум АР):
ℳ = 𝜎 2𝐸
При этом нет никакой связи между отдельными элементами АР, и каждый из них шумит
независимо. Кроме того, если еще предположить, что все элементы АР одинаковы, тогда
корреляционная матрица имеет простой вид, где 𝐸 – это единичная матрица заданного размера,
а 𝜎 2 – мощность наблюдаемого шума.
А что, если у нас есть некоторый источник шума малого размера. Он находится в среде,
шумит, и все элементы АР слышат его, а других шумов и сигналов в среде нет. Тогда матрица
имеет вид:
𝑋 = 𝑎(𝑡)𝑆
⇒
Здесь 𝑎(𝑡) передает зависимость сигнала от времени в источнике, и для каждого элемента
АР происходит сдвиг по фазе на некоторую комплексную величину, которая определяется
расположением элементов антенной решетки (совокупность которых задается вектором 𝑆). Сам
этот шум нас не интересует, и чтобы получить матрицу, надо перемножить вектор и его
гильбертово сопряжение, с усреднением. Тогда мы увидим, что произведение 𝑆 𝑆 𝐻 можно
вынести из под сопряжения, потому что вектор является детерминированным (не зависит от
того, какой формы сигнал поступает) и определяется точками расположения элементов АР:
173
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
ℳ = ⟨|𝑎(𝑡)|2 ⟩𝑆𝑆 𝐻
Теперь усложним задачу и предположим, что в нашей среде присутствует несколько
источников шума малого размера (и все эти источники являются независимыми). Тогда нужно
просуммировать все такие сигналы:
𝑋 = ∑ 𝑎𝑚 (𝑡)𝑆𝑚
Чтобы построить матрицу, мы должны перемножить наш 𝑋 с его гильбертовым
сопряжением, после чего усреднить результат. Тогда будет усреднение от произведения двух
сумм, но мы помним, что источники считаются независимыми. И поэтому после усреднения
перекрестные члены дадут ноль, и останутся только те члены, где перемножаются временные
зависимости от одного и того же источника. Поэтому в итоге мы имеем одинарную сумму
корреляционных матриц от каждого источника шума:
𝐻
𝑋 = ∑ 𝑎𝑚 (𝑡)𝑆𝑚 ⇒ ℳ = ∑⟨|𝑎𝑚 (𝑡)|2 ⟩𝑆𝑚 𝑆𝑚
= ∑ ℳ𝑚
Диаграмма направленности АР
Теперь давайте попробуем посмотреть, каким образом применение АР помогает нам
осуществлять обработку сигналов. Самый простой способ обработки сигналов с АР – это
суммирование сигналов с определенными весами. Пусть есть некоторая волна,
распространяющаяся с волновым вектором 𝑘⃗ , и в точке 𝑟𝑛 находится какой-то приемник. Тогда
⃗
слышимый сигнал (без учета временной зависимости) будет выражен как 𝑒 𝑖𝑘𝑟𝑛 . Такая
совокупность сигналов у нас есть, и для проведения обработки каждый из них умножается на
число 𝑤𝑛∗ с последующим суммированием:
𝑁
𝑁
⃗
𝐹(𝑘⃗ ) = ∑ 𝑤𝑛∗ 𝑒 𝑖𝑘𝑟𝑛 ;
𝑛=1
∑ |𝑤𝑛 |2 = 1
𝑛=1
Понятно, что все веса можно выбрать произвольно, но мы наложим также
дополнительное требование о том, что сумма квадратов, взятых по модулю весов, будет равной
единице (чтобы не рассматривать случаи, когда одна и та же обработка отличается только по
итоговой амплитуде). Соответственно, амплитуда усиления сигнала как бы фиксируется в
качестве постоянной.
Диаграмма направленности линейной эквидистантной АР
Мы хотим добиться того, чтобы с помощью данной функции 𝐹(𝑘⃗), которую мы получаем
в результате обработки сигналов, мы могли определять, с какого направления к нам пришла
волна. Мы будем выбирать нужные коэффициенты в виде
174
1
√𝑁
со сложным множителем:
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑁
𝐹(𝜑) = ∑ 𝑤𝑛∗ 𝑒 𝑖(𝑛−1)𝑘𝑑sin 𝜑
𝑛=1
𝑤𝑛 =
1
√𝑁
𝑒 𝑖(𝑛−1)𝑘𝑑𝜉
Здесь 𝑁 – количество элементов в нашей антенной решетке, 𝑛 – это номер антенной
решетки, 𝑘 – волновое число в нашей среде, 𝑑 – расстояние между отдельными элементами АР,
а 𝜉 – некоторая (пока) неизвестная величина. Мы подставляем вектор весов в исходное
выражение, с получением суммы:
𝐹(𝜑) =
1
𝑁
∑ 𝑒
𝑖(𝑛−1)𝑘𝑑(sin 𝜑−𝜉)
=
√𝑁 𝑛=1
1
𝑁
∑ 𝑞𝑛−1 =
√𝑁 𝑛=1
1 1 − 𝑞𝑁
=
√𝑁 1 − 𝑞
𝑘𝑑
1 sin ( 2 𝑁(sin 𝜑 − 𝜉))
𝑘𝑑
=
exp (𝑖
(𝑁 − 1)(sin 𝜑 − 𝜉))
2
√𝑁 sin (𝑘𝑑 (sin 𝜑 − 𝜉))
2
Видно, что можно обозначить буквой 𝑞 множитель 𝑒 𝑖(𝑛−1)𝑘𝑑(sin 𝜑−𝜉) . Тогда у нас
получится сумма от величин 𝑞𝑛−1 , а это известная формула для суммы геометрической
прогрессии. Естественно, что эта формула приводит нас к выражению, где нам требуется сделать
следующий шаг. Во-первых, вспомним, чему равно 𝑞, а во-вторых, сделаем небольшое
𝑞
преобразование: знаменатель умножим и поделим на . Тогда в числителе умножение будет на
2
𝑞𝑁
2
. Это было нужно для того, чтобы обнаружить, что величина, обозначенная как 𝑞, есть
экспонента.
Соответственно, после такой процедуры и в числителе, и в знаменателе мы получаем
разность двух экспонент, причем показатели степени у них будут противоположными: у одной
+, а у другой −. Разность таких экспонент путем деления на 2𝑖 преобразуется в синус. Таким
образом, наше выражение сводится к отношению двух синусов, а результат наших манипуляций
с экспонентой дает дополнительный фазовый множитель. Таким образом, наша функция, в
зависимости от угла 𝜑 образует комплексный результат.
Множитель, выражающий фазу, нам не особо интересен, и от него легко избавиться, если
мы возьмем функцию по модулю:
|𝐹(𝜑)| = √𝑁
|sin Ψ|
;
Ψ
𝑁sin 𝑁
Ψ=
𝑘𝑑
𝑁(sin 𝜑 − 𝜉)
2
Тогда выражение получает довольно простой вид. Ввиду деления на 𝑁 корень оказался в
числителе. Величина Ψ зависит от угла 𝜑, с которого приходит волна, и от переменной 𝜉, которая
нам пока не известна.
Итак, у нас числитель |sin Ψ|, который выглядит соответствующим образом (Рис. 13.2).
Знаменатель тоже представлен функцией типа модуль синуса, но эта функция имеет более
175
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
широкий период, поскольку синус делится на 𝑁 (Рис. 13.2). Давайте теперь поделим один синус
на другой, с учетом того, что при нулевом значении возникает неопределенность (0/0).
Рисунок 13.2. График функции |sin Ψ|
Ψ
Рисунок 13.3. График функции |sin 𝑁 |
Как мы знаем, если аргумент синуса стремится к нулю, синус можно заменить на
значение его аргумента, и тогда Ψ в числителе и знаменателе сокращается, так же как 𝑁, а общая
величина стремится к √𝑁. Поэтому итоговый результат дает нам зависимость функции от
переменной Ψ (Рис. 13.4).
Рисунок 13.4. График функции |𝐹(Ψ)| и ее максимумы
176
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Когда направление, с которого приходит волна, согласовано с переменной Ψ (то есть,
sinφ = Ψ), общая величина дает нам большой максимум. Но помимо него есть также и побочный
максимум, ведь функция периодическая: если величина Ψ изменилась на 𝜋𝑁, возникает новый
максимум. Такие побочные максимумы являются нежелательным явлением. Кроме того,
появляются также боковые лепестки, то есть осцилляции, вызванные тем, что в числителе стоит
функция |sin Ψ| (с этих направлений наша антенна так же обладает повышенной
чувствительностью).
Главному максимуму соответствует выражение:
Ψ = 0 ⇒ sin 𝜑0 = 𝜉
Оно, как видно, достигается, когда синус угла 𝜑0 равен 𝜉. То есть, когда мы подобрали
такое значение 𝜉, мы тем самым достигаем максимума, и по значению 𝜉 находим направление
прихода сигнала. Полезно также рассмотреть ширину главного максимума (фактически это наша
разрешающая способность по углу, которой обладает наша антенна). Δ𝜑 – это удвоенный
арксинус (
𝜆
dNcos 𝜑0
), где 𝜆 появилась из того, что 𝑘 =
2𝜋
𝜆
. Соответственно, чем больше величина
d и 𝑁 (чем длиннее антенна), тем меньше получается величина Δ𝜑. Это означает, что более
длинная антенна обеспечивает больший максимум и лучшую разрешающую способность.
Δ𝜑 = 2 arcsin (
𝜆
)
dNcos 𝜑0
С другой стороны, чуть ранее мы говорили о том, что если антенна становится очень
большой, то разные части антенны начинают воспринимать разный сигнал, и тогда это
обстоятельство уже препятствует работоспособности антенны. Отсюда следует, что необходимо
подбирать оптимальный размер антенны.
Другой вариант определения ширины главного максимума связан с тем, что мы ширину
находим по некоторому уровню нашей кривой. Когда она достаточно сильно отошла от
максимума (например, вводится уровень −3дB), тогда по заданному уровню высчитывается
ширина. В данном случае значение оказывается таким:
(Δ𝜑)−3дB = 2arcsin (
0.451𝜆
)
𝑑𝑁cos 𝜑0
Теперь давайте обсудим и побочные максимумы, которые по форме не отличаются от
главного. Поэтому побочные максимумы не должны попадать в зону видимости. Что может нам
в этом помочь? Вообще говоря, зона видимости определяется тем, что переменная Ψ не может
принимать сколь угодно большие значения. Это связано с тем, что диапазон углов 𝜑 ограничен
𝜋
𝜋
(от 2 до − 2). Раз это так, то синус угла 𝜑 может быть максимум 1 и минимум −1, а значит,
величина Ψ находится в пределах:
|𝜑| ≤
𝜋
𝑘𝑑
𝑘𝑑
⇒ − 𝑁(1 + 𝜉) ≤ Ψ ≤
𝑁(1 − 𝜉)
2
2
2
177
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Эти пределы и составляют зону видимости нашей антенны. Возникает вопрос: сколько
побочных максимумов попадает в такую зону видимости? (помним, что для нас желательно,
чтобы не попадал ни один, иначе мы не сможем определить направление прихода сигнала).
Побочных максимумов не будет, если переменная Ψ, находясь в заданных пределах,
удовлетворяет некоторым условиям:
−𝜋(𝑁 − 1) ≤ Ψ ≤ 𝜋(𝑁 − 1)
Условием побочного максимума является то, что и числитель, и знаменатель равны нулю,
при условии, что Ψ сильно отличается от нуля. Вторая неопределенность будет, когда Ψ будет
приближаться к величине 𝜋𝑁. Соответственно, если мы отступим от этой величины на 𝜋, то
𝜋
побочных максимумов не будет. Таким образом, интервал |𝜑| ≤ 2 должен быть вложен в
интервал выше. Отсюда мы получаем условие, которое путем простых арифметических действий
преобразуется и приходит к такому виду:
𝑑 𝑁−1 1
≤
𝜆
𝑁 1 + |𝜉|
Здесь содержится 𝑑 – расстояние между элементами АР и длина волны 𝜆. Это отношение
должно быть меньше, либо равно заданной величине.
•
Если антенна не сканирующая, а главный максимум в нуле, то 𝑑 ≤ 𝜆
У нас есть несколько элементов, расположенных на расстоянии 𝑑 друг от друга. Такая
антенна поворачивается как целое, соответственно она при каждом положении принимает
сигналы непосредственно с направления, перпендикулярного себе. Если это так, тогда с учетом
того, что 𝑁 обозначает большое количество элементов, мы получаем наше условие выше.
Другой вариант, если антенна обладает механизмом электронного сканирования. Если
это так, то величина 𝜉 будет равна некоторому углу sin 𝜑0 . Излучение приходит с направления
𝜑0 , и чтобы получить максимум, мы подбираем переменную соответствующим образом:
•
Если антенна сканирующая, то 𝜉 = sin 𝜑0 и 𝑑 ≤ 0.5𝜆
В таком случае условие будет более жестким: для сканирующей антенны мы должны
располагать ее элементы ближе друг к другу (в половину длины волны, либо меньше).
Еще следует сказать о том, как уменьшить боковые лепестки. Если какой-то источник
попадает в область бокового лепестка, то его можно случайно перепутать с основным сигналом,
соответственно, будут иметь место довольно существенные погрешности при определении
направления на источник. Здесь есть несколько практических способов:
1) Уменьшение весовых множителей к краям антенны
Первый способ состоит в том, чтобы не складывать все сигналы с элементов антенны с
одинаковой амплитуды, а ввести уменьшение весовых множителей к краям антенны, то есть
сделать крайние элементы менее значимыми, чем срединные.
178
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
2) Рандомизированные решетки
Мы будем соблюдать требование того, что 𝑑 – это усредненное расстояние между
элементами АР, но при этом конкретные расстояния будут случайными. Общая
закономерность, проявляющаяся здесь, состоит в том, что при уменьшении уровней боковых
лепестков, главный луч расширяется (то есть, уменьшается разрешающая способность АР).
Поэтому на практике приходится искать компромисс между хорошим разрешением и
отсутствием боковых лепестков.
Отношение сигнал/шум для АР
Теперь давайте посмотрим, насколько хорошо наша антенна воздействует на различные
шумы. Мы сравним антенну из одного элемента и из 𝑁 элементов и посмотрим, что происходит
с отношением сигнала и шума в этих двух устройствах. Вектор принимаемых сигналов будет
записываться как некоторая амплитуда, умноженная на вектор 𝑆, определяемый точками
расположения элементов АР:
𝑎𝑆
Полезный сигнал на выходе антенной решетки (после суммирования с весами)
определяется согласно нашей стандартной формуле:
𝑁
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑆
𝑆 = 𝑎 ∑ 𝑤𝑛∗ 𝑆𝑛 = 𝑎𝑊
𝑛=1
С точки зрения шума на выходе антенной решетки мы опять производим аналогичную
операцию:
𝑁
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑋
𝑍 = ∑ 𝑤𝑛∗ 𝑋𝑛 = 𝑊
𝑛=1
Эти два выражения будут для нас основными, но нам также требуется записать мощность
сигнала и мощность шума. Чтобы посчитать мощность, мы берем 𝑆 и умножаем его на
комплексно-сопряженный сигнал. Величина 𝑎 будет скалярной по модулю, умноженной на
попарное произведение всех элементов двух сумм. В матричной форме записи ответ становится
более лаконичным:
𝑁
2
|𝑆| = |𝑎|
2∑
𝑁
∗
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑆|2
∑ 𝑤𝑛∗ 𝑤𝑚 𝑆𝑛 𝑆𝑚
= |𝑎|2 |𝑊
𝑛=1 𝑚=1
С точки зрения мощности шума мы делаем похожие операции. Мы осуществляем
попарное произведение сумм перекрестных множителей. Кроме того, мы производим
усреднение по результату. Тогда получаем аналогичное выражение, но усредненное. Здесь нужно
⃗⃗⃗ – детерминированным
также учесть, что 𝑋 является статистически недетерминированным, а 𝑊
(тот вектор, которым мы производим обработку). Коль скоро это так, то последний вектор можно
179
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
вытащит из усреднения. Тогда, растаскивая вектора вправо и влево, мы получаем запись, где в
скобках дана корреляционная матрица шума. В итоге мы имеем следующий ответ:
𝑁
⟨|𝑍|
2⟩
𝑁
2
∗ ⟩
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝐻 𝑋| ⟩ = 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 ⟨𝑋𝑋 𝐻 ⟩𝑊
⃗⃗⃗ = 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 ℳ𝑊
⃗⃗⃗
= ∑ ∑ 𝑤𝑛∗ 𝑤𝑚 ⟨𝑋𝑛 𝑋𝑚
= ⟨|𝑊
𝑛=1 𝑚=1
Для нахождения отношения сигнала и шума мы должны поделить мощность сигнала на
мощность шума:
𝜂=
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑆 2
|𝑎|2 ∣ 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 ℳ𝑊
⃗⃗⃗
𝑊
Такой результат получается при произвольном выборе весовых векторов. Мы же будем
задавать некоторый оптимизированный 𝑊. Прежде всего, давайте учтем шум
некореллированный. В этом случае
⃗⃗⃗ 𝐻 ℳ𝑊
⃗⃗⃗ = 𝜎 2 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑊
⃗⃗⃗ = 𝜎 2
𝑊
Поэтому отношение сигнала и шума еще более упрощается:
|𝑎|2
2
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑆|
𝜂 = 2 |𝑊
𝜎
⃗⃗⃗ 0 , который коллинеарен вектору сигнала 𝑆 и
Для оптимального весового вектора 𝑊
является нормированным, мы получаем отношение сигнала и шума простой подстановкой
величины в формулу:
⃗⃗⃗ 0 =
𝑊
|𝑎|2
𝜂 = 2 ∣ 𝑆𝐻 𝑆 2 =
𝜎
1
√𝑆𝐻 𝑆
𝑆
𝑁
|𝑎|2
⏟
𝜎2
⋅ ∑ |𝑆𝑛 |2
⏟
𝑛=1
ОСШ в 1 элементе
𝑁
Первый множитель представляет отношение сигнал/шум в одном элементе. Второй
множитель, если мы заметим, что 𝑆𝑛 , умноженная на свое комплексно-сопряженное, равняется
единице, выражает 𝑁. Это означает, что при рассмотрении нашей антенны, переходя от
единичного элемента к целому, мы улучшаем отношение сигнал/шум в 𝑁 раз.
2
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑆|
|𝑎|2 |𝑊
𝜂=
⃗⃗⃗ 𝐻 ℳ𝑊
⃗⃗⃗
𝑊
⃗ , таким образом, что
Если шум произвольный, то вводится вектор 𝑉
⃗⃗⃗ = ℳ −0.5 𝑉
⃗
𝑊
180
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
То есть, мы должны взять корреляционную матрицу и возвести ее в степень −0.5. Эта
процедура делается следующим образом. Для нашей матрицы ℳ мы производим разложение по
собственным числам и собственным векторам. Далее в этой сумме мы возводим каждое
собственное число в заданную степень и суммируем результат. Тогда, если мы подставим наш
⃗⃗⃗ в данное выражение, то получим для отношения сигнал/шум такую формулу:
вектор 𝑊
𝜂=
⃗ 𝐻 ℳ −0.5 𝑆 2
|𝑎|2 ∣ 𝑉
⃗ 𝐻𝑉
⃗
𝑉
⃗⃗⃗ 0 выбирается таким образом, чтобы 𝑉
⃗ был параллелен
Оптимальный весовой вектор 𝑊
−0.5
ℳ
𝑆. Тогда получается следующее выражение, где множитель гамма выносится вперед, и
возникает произведение двух матриц:
⃗⃗⃗ 0 = ℳ −0.5 𝑉
⃗ = ℳ −0.5 𝛾ℳ −0.5 𝑆 = 𝛾ℳ −1 𝑆
𝑊
Тогда наилучшее отношение сигнал/шум, которое соответствует оптимальному
весовому вектору, определяется согласно простой формуле:
𝜂𝑚𝑎𝑥 = |𝑎|2 𝑆 𝐻 ℳ −1 𝑆
Определение параметров источников
Теперь поговорим о различных способах определения параметров источников. Один
параметр, который мы с вами подробно уже рассмотрели, состоял в направлении на источник.
Другой параметр тоже является очень важным и представляет собой мощность сигнала (или
амплитуду источника). Возникает вопрос о том, как определять одно и другое. Существует набор
методов:
1) Параметрические методы (ММП, МНК)
В частности, есть метод максимального правдоподобия и метод наименьших квадратов.
Суть состоит в том, что мы выбираем некоторую модель нашего сигнала, в которой есть
несколько параметров. Далее мы подбираем параметры модели таким образом, чтобы она
максимально точно соответствовала экспериментальным данным. Соответственно, в итоге мы
принимаем, что подобранные и соответствующие параметры и есть оценка нашей модели.
2) Непараметрические методы
Метод максимального правдоподобия
Давайте попробуем исследовать метод максимального правдоподобия. Самая простая
модель – модель с одним источником сигнала. То есть, присутствует некоторая линейная АР, и
расположение ее элементов нам известно.
𝑍 = 𝑎𝑆(𝜑) + 𝑋, где 𝑆𝑛 (𝜑) = exp (𝑖𝑘𝑑𝑛sin 𝜑)
181
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Видно, что элементы вектора задаются функциями экспоненты. 𝑋 представляет собой
шум, регистрируемый антенной. Будем считать, что он является гауссовским, причем в каждом
элементе АР шумы независимы друг от друга. Если сигнал 𝑋 гауссовский, то для модели шума
можно записать корреляционную матрицу:
ℳ = 𝜎 2ℰ
где ℰ – это единичная матрица
Тогда вероятностное распределение для нашего 𝑋 задается гауссовской формулой:
𝑝(𝑋) =
1
|𝑋|2
exp
(−
)
𝜋 𝑁 𝜎 2𝑁
𝜎2
Давайте выпишем функцию правдоподобия, где подставляем 𝑎𝑆 (𝜑) вместо 𝑋:
𝐿(𝜑, 𝑎) =
1
|𝑍 − 𝑎𝑆 (𝜑)|2
exp
(−
)
𝜋 𝑁 𝜎 2𝑁
𝜎2
Теперь, согласно ММП, нам нужно найти максимум этой функции, который будет
соответствовать тому, что функция 𝑔 с параметрами 𝜑 и 𝑎 должна быть минимальна. Взглянем
на геометрическое представление данного метода (Рис. 13.5). Итак, мы работаем в 𝑛-мерном
пространстве, где 𝑛 – это количество элементов в АР. В этом пространстве есть некий вектор 𝑍,
отражающий те сигналы, которые были приняты нами в эксперименте. Кроме того, имеется
вектор 𝑆(𝜑) – вектор, определяющий задержки для сигнала, принятого с направления 𝜑.
𝑔(𝜑, 𝑎) = |𝑍 − 𝑎𝑆(𝜑)|2 ⟶ 𝑚𝑖𝑛
Мы должны умножить этот вектор на 𝑎 и рассмотреть его разность с вектором 𝑍, притом,
чтобы разность оказалась минимальной. Как это осуществить? По теореме Пифагора функцию
разности можно представить в следующем виде: разложить 𝑍 на параллельный и
перпендикулярный вектора. Тогда мы получаем такую величину:
2
𝑔(𝜑, 𝑎) = |𝑍∥ − 𝑎𝑆(𝜑)| + |𝑍⊥ |
2
Рисунок 13.5. Метод ММП с точки зрения геометрии
182
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Первое слагаемое данного выражения всегда может быть обращено в ноль, если мы
будем специальным образом подбирать амплитуду 𝑎. Если мы нашли некоторое направление 𝜑,
с которого приходит волна, то тогда мы также фиксируем 𝑆 и 𝑍⊥ и находим амплитуду из
равенства нулю нашего выражения. Но теперь задача – найти направление 𝜑, соответствующее
вектору 𝑆 (минимизируя перпендикулярный вектор).
Здесь можно воспользоваться приемом, который позволяет вводить так называемые
матрицы проектирования. Их всего две: первая из них обозначается как 𝒫 и вычисляется таким
образом:
𝒫=
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑆 3𝐻
𝑆𝐻 𝑆
В арифметике известно, что от перестановки множителей результат не меняется, но в
матричном случае это не так. В знаменателе стоит произведение строки на столбец (это число
есть квадрат нормы вектора 𝑆). А вот в числителе стоит произведение столбца на строку
(величина, которая дает матрицу). Такая матрица называется проекционной, и оказывается, что
она проектирует любой вектор на вектор 𝑆.
С другой стороны, матрица вида ℰ − 𝒫 проектирует на ортогональное вектору 𝑆
подпространство:
ℰ−𝒫=ℰ−
𝑆𝑆 𝐻
⃗⃗⃗⃗𝐻
𝑆 𝑆
В частности, давайте распишем свойства этих матриц. Оказывается, что для них
выполнены следующие соотношения:
1) 𝒫2 = 𝒫
2) (ℰ − 𝒫)2 = ℰ − 𝒫
3) 𝒫 (ℰ − 𝒫) = 0
Значит, если мы многократно спроецируем вектор в одно и то же направление или в одно
и то же подпространство, то такая процедура будет эквивалентна однократному
проектированию. Если же мы сначала спроецировали вектор в одно подпространство, а затем в
другое, то в итоге, за счет их ортогональности, результат будет нулевым.
Раз у нас матрица 𝒫 представляет собой проектирование на вектор 𝑆, давайте применим
ее к вектору 𝑍, чтобы получить вектор 𝑍∥ . А если мы применим матрицу ℰ − 𝒫 к вектору 𝑍, то
получим соответственно вектор 𝑍⊥ . Кстати, его можно получить и иначе, путем вычитания
вектора 𝑍∥ из вектора 𝑍:
𝑍∥ = 𝒫𝑍 =
𝑆𝐻 𝑍
𝑆𝐻 𝑆
𝑆
183
𝑍⊥ = 𝑍 − 𝑍∥
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
𝑆 𝐻 (𝜑)𝑍
2
2
|𝑍∥ − 𝑎𝑆(𝜑)| = |
− 𝑎| |𝑆(𝜑)|2
𝑆𝐻 (𝜑)𝑆(𝜑)
2
{
2
2
2
|𝑍⊥ | = |𝑍| − |𝑍∥ | = |𝑍| −
|𝑆 𝐻 (𝜑)𝑍|
2
𝑆𝐻 (𝜑)𝑆(𝜑)
Тогда, используя эти формулы, можно сделать оценки для выражений системы, которые
по ММП подлежат минимизации. В частности, в первом выражении вектор 𝑆 можно вынести за
знак модуля. Все, что нам нужно сделать для минимизации – это подобрать амплитуду 𝑎 таким
образом, чтобы модуль был равен 0. А во втором выражении мы поступим следующим образом:
представим 𝑍⊥ через теорему Пифагора, а 𝑍∥ берется из выражения 𝒫𝑍. В числителе там стоит
гильбертово сопряженное 𝑆 𝐻 , умноженное на 𝑍. Мы это берем по модулю в квадрате, чтобы
2
получить 𝑍∥ . Также для получения вектора 𝑍∥ надо взять гильбертово сопряженное 𝑆 и
умножить его на 𝑆.
В знаменателе уже есть такое выражение, и оно будет возведено в квадрат
(соответственно, выражения в числителе и знаменателе сократятся). Тогда получается модуль
2
|𝑆 𝐻 (𝜑)𝑍|
2
|𝑍|2 − 𝑆 𝐻 (𝜑)𝑆(𝜑). Если мы хотим получить минимум по |𝑍⊥ | , то раз уж 𝑍 составляет наши
экспериментальные данные, мы должны максимизировать данное слагаемое. Получается
условие максимума:
|𝑆 𝐻 (𝜑)𝑍|
2
𝑆 𝐻 (𝜑)𝑆(𝜑)
⟶ 𝑚𝑎𝑥
Теперь давайте посмотрим, что же у нас будет в конкретном случае линейной
эквидистантной АР. В этой ситуации максимизация нашего выражения приводит к методу
сканирования лучом, и наше выражение преобразуется следующим образом:
|𝑆 𝐻 (𝜑)𝑍|
2
𝑆𝐻 (𝜑)𝑆(𝜑)
=
|𝑎0 |2
𝑁
2
𝑁
|∑ exp (𝑖𝑘𝑑𝑛(sin 𝜑0 − sin 𝜑))|
𝑛=1
В выражении у нас присутствует вектор 𝑍 – сигнал, который мы получаем.
Предположим, он имеет нулевую амплитуду (эта величина была оценена из первого выражения
системы). Значит, величину 𝑎0 можно вынести из-под квадрата модуля с получением |𝑎0 |2 . В
знаменателе выходит произведение множителей, которое фактически сводится к количеству
элементов в нашей АР. И самое интересное, что остается – произведение векторов 𝑆 𝐻 и 𝑍. Если
по нашей модели мы считаем, что направлением на источник является некоторый угол 𝜑0 , то в
этом случае в нашей АР есть определенные сдвиги фаз для каждого элемента и есть вектор 𝑆,
который тоже вносит свои сдвиги фаз. Тогда общая запись, с учетом того, что мы настраиваемся
на некоторый угол 𝜑0 , получится выражение с суммой, которое, в отличии от такого выражения,
полученного ранее, имеет sin 𝜑0 там, где ранее мы видели величину 𝜉.
184
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Теперь понятно, что при переборе всех углов, при 𝜑 = 𝜑0 у нас получится экспонента от
нуля, и сумма экспонент даст нам максимум (величину равную 𝑁). Тогда две 𝑁 сократятся, и мы
получим |𝑎0 |2. Это выражение и его максимум совпадает с условием 𝜑 = 𝜑0 . Тем самым, мы с
помощью перебора углов находим направление прихода волны. Получается, что метод
сканирования лучом оправдан из ММП.
А что делать в случае двух источников сигнала? Один из вариантов – это использовать
ММП, но уже применяя модель с двумя источниками. Модель получается схожей, но заданы уже
две амплитуды и два угла и где 𝑆𝑛 (𝜑) задается особым образом через экспоненту:
𝑍 = 𝑎1 𝑆(𝜑1 ) + 𝑎2 𝑆(𝜑2 ) + 𝑋
𝑆𝑛 (𝜑) = exp (𝑖𝑘𝑑𝑛sin 𝜑)
Если такую сложную модель не применять, а задействовать модель для одного источника
для новой задачи, то нужно рассмотреть расчеты (Рис. 13.6). Один из них приведен для двух
источников, которые расположены на углах ±5∘ , а другие – на углах ±10∘ .
Рисунок 13.6. Результаты расчетов для двух источников
При этом бралась решетка, включающая 32 элемента, которые расположены на
расстоянии 𝜆/2 друг от друга:
𝑁 = 32; 𝑑 = 𝜆/2
𝜑1,2 = ±5∘ 𝜑1,2 = ±10∘
Красная линия на графике показывает довольно большое удаление источников на углах
±10 . Максимумы достаточно легко указывают нам на источники, и антенна хорошо справляется
со своей задачей. Но если источники расположены близко друг к другу на углах ±5∘ (синяя
линия), видно, что здесь лишь один максимум, и никакого отличия между источниками нет.
∘
185
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Получается, что ММП, в который мы искусственно положили единственный источник, в
реальной ситуации, когда источников два, никак не может их разрешить.
Поэтому, если известно, что у нас присутствуют два источника, нужно применять
соответствующую модель с двумя источниками (в случае расхождения числа источников в опыте
и модели мы будем получать ошибку). Поэтому такие методы обладают недостатком – требуют
знания количества источников, которое существенно влияет на модель и получаемый результат.
Метод Кейпона
Но помимо ММП, есть и другие методы, которые такими недостатками не обладают. Они
называются сверхразрешающими методами, потому что позволяют получить гораздо большее
угловое разрешение. Один из таких методов – это метод Кейпона. Рассмотрим модель с большим
количеством источников сигнала 𝐽. В этом случае, сигнал, попадающий в нашу систему
обработки, записывается следующим образом:
𝐽
𝑍 = ∑ 𝑎𝑚 𝑆(𝜑𝑚 ) + 𝑋 , где 𝑆𝑛 (𝜑) = exp (𝑖𝑘𝑑𝑛sin 𝜑)
𝑚=1
Вектор 𝑍 равен сумме 𝑚 от 1 до 𝐽, 𝑎𝑚 – амплитуде для каждого источника, вектор 𝑆(𝜑𝑚 )
– фазовому набегу для каждого источника, а 𝑋 – шумам антенны. Для векторов 𝑆𝑛 выражение
остается прежним.
Мы будем предполагать, что все наши источники являются статистически
независимыми, поэтому если мы выполняем произведение выше, то оно дает мощность катого
источника, умноженную на дельта-функцию (она считается равной нулю, если 𝑚 ≠ 𝑘, и равно
единице, если 𝑚 = 𝑘). Тем самым, видно, что это фактически не дельта-функция, а символ
Кронекера.
∗ ⟩
⟨𝑎𝑘 𝑎𝑚
= 𝜎𝑘2 𝛿(𝑚, 𝑘)
Для того, чтобы поставить задачу, мы воспользуемся следующими соображениями. Мы
⃗⃗⃗ , который будет минимизировать среднюю мощность на
будем искать такой весовой вектор 𝑊
выходе АР при условии, что для некоторого угла 𝜑0 коэффициент передачи решетки равен
единице.
Итак, минимум средней мощности при некотором угле 𝜑0 должен дать в результате
единицу (задача на условный экстремум):
2
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑍| ⟩ при 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑆(𝜑0 ) = 1
𝑚𝑖𝑛 ⟨|𝑊
𝑊
Чтобы решить такую задачу, мы будем использовать метод неопределенных множителей
Лагранжа. Записываем функционал Лагранжа:
186
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
2
⃗⃗⃗ ) = ⟨|𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑍| ⟩ − 𝜅(𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑆(𝜑0 ) − 1)
ℒ(𝑊
2
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑍| ⟩ = 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 ⟨𝑍𝑍 𝐻 ⟩𝑊
⃗⃗⃗ = 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 ℳ𝑊
⃗⃗⃗
⟨|𝑊
Здесь 𝜅 – это наш неопределенный множитель Лагранжа, умноженный на выражение
𝐻
⃗⃗⃗
𝑊 𝑆 − 1 (из наложенного условия). Давайте выполним преобразования нашей формулы, в
⃗⃗⃗ не является стохастическим, а вектор 𝑍 содержит
частности, исходя из того, что вектор 𝑊
различные шумы (и его нужно усреднять). Поэтому мы можем получить второе выражение. По
нему видно, что 𝑍𝑍 𝐻 есть нечто иное, как корреляционная матрица ℳ:
𝐽
2 (
ℳ = ∑ 𝜎𝑚
𝑆 𝜑𝑚 )𝑆 𝐻 (𝜑𝑚 ) + 𝜎 2 ℰ
𝑚=1
В эту матрицу входят компоненты собственных шумов антенны 𝜎 2 ℰ, а также сигналы,
приходящие от разных источников, которые получаются в результате приписывания каждому
2
источнику мощности 𝜎𝑚
, и временные фазовые набеги, которые определены для каждого
𝐻(
источника как 𝑆 𝜑𝑚 ).
⃗⃗⃗ ,
Итак, у нас есть функционал Лагранжа, и мы должны взять производную по вектору 𝑊
⃗⃗⃗ . При этом выражение сводится к
то есть, фактически, градиент от функции Лагранжа по 𝑊
следующему:
2
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑍| ⟩ при 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑆(𝜑0 ) = 1
𝑚𝑖𝑛 ⟨|𝑊
𝑊
⃗⃗⃗ ) = 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 ℳ𝑊
⃗⃗⃗ − 𝜅(𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑆(𝜑0 ) − 1)
ℒ(𝑊
⃗⃗⃗
⃗⃗⃗
∇𝑊
⃗⃗⃗ ℒ(𝑊 ) = ℳ𝑊 − 𝜅𝑆(𝜑0 ) = 0
⇒
⃗⃗⃗ = 𝜅ℳ −1 𝑆(𝜑0 )
𝑊
⃗⃗⃗ , мы приравниваем производную к нулю и получаем
Чтобы определить вектор 𝑊
лаконичное выражение, указывающее на направление нашего вектора с точностью до
⃗⃗⃗ в верхнее
неопределенного множителя 𝜅. А этот множитель можно найти, если подставить 𝑊
условие:
𝜅 = (𝑆 𝐻 (𝜑0 )ℳ −1 𝑆(𝜑0 ))
−1
Гильбертово сопряженное 𝑆 умножено на обратную матрицу ℳ и вектор 𝑆, с
⃗⃗⃗ ,
возведением общей величины в отрицательную степень. В итоге для оптимального вектора 𝑊
который будет давать для угла 𝜑0 все нужные данные, мы получаем следующее условие:
⃗⃗⃗ =
𝑊
1
𝑆𝐻 (𝜑0 )ℳ −1 𝑆(𝜑0 )
ℳ −1 𝑆 (𝜑0 )
Если у нас есть условие, то давайте посчитаем среднюю мощность 𝜂1 для нашего метода:
187
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
1
2
⃗⃗⃗ 𝐻 𝑍| ⟩ = 𝑊
⃗⃗⃗ 𝐻 ℳ𝑊
⃗⃗⃗ =
𝜂1 = ⟨|𝑊
𝑆𝐻 (𝜑0 )ℳ −1 𝑆(𝜑0 )
⃗⃗⃗ , умножаем его на 𝑍, берем по модулю
В зависимости от угла 𝜑0 , мы берем наш вектор 𝑊
в квадрате и усредняем. Это то же самое, что использовать матричное представление. Если
⃗⃗⃗ , учитывая конкретный вид нашего вектора, то мы
перемножить величины в формуле для 𝑊
получаем простое выражение, откуда ушла матричная часть. То есть, средняя мощность – это
дробь, которая возникает перед вектором. Эта величина является функцией угла 𝜑0 .
Давайте теперь посмотрим, как работает данный метод в случае единственного
источника. В такой ситуации наша корреляционная матрица будет иметь два слагаемых и
выражаться в качестве суммы по 𝑚 от 1 до 𝑁 по величинам 𝜇𝑛 (собственные числа данной
⃗ 𝑛 (собственные векторы данной матрицы):
матрицы) и 𝑈
𝑁
⃗ 𝑛𝑈
⃗ 𝑛𝐻
ℳ = 𝜎12 𝑆(𝜑1 )𝑆 𝐻 (𝜑1 ) + 𝜎 2 ℰ = ∑ 𝜇𝑛 𝑈
𝑚=1
Небольшое замечание: когда я говорил о возведении матрицы в степень, я обращал
внимание на то, что для этого нужно возвести собственное число (которое записано в
разложении) в соответствующую степень.
Давайте посмотрим, какие собственные числа есть у данной матрицы. Например,
подействуем матрицей на вектор временных задержек для нашего источника 𝑆(𝜑1 ):
2
𝐻
2
ℳ𝑆(𝜑1 ) = (𝜎
⏟ 1 𝑆(𝜑1 )𝑆 (𝜑1 ) + 𝜎 ) 𝑆(𝜑1 )
Собственное чшспо 𝜇1
Отсюда видно, что в круглых скобках находится сумма двух чисел, которые
представляют собой число 𝜇1 . Значит результат умножения вектора 𝑆(𝜑1 ) на матрицу ℳ
является произведением 𝜇1 на 𝑆 (𝜑1 ). То есть, собственное число умножается на собственный
⃗ 𝑛 , нам нужно нормировать вектор 𝑆(𝜑1 ). Для этого мы
вектор. Чтобы перейти к векторам 𝑈
посчитаем его модуль и поделим вектор на его норму:
⃗1 =
𝑈
𝑆(𝜑1 )
|𝑆(𝜑1 )|
Тем самым, получается, что вектор 𝑆(𝜑1 ) соответствует некоторому собственному
⃗ , перпендикулярный вектору
вектору матрицы ℳ. Теперь же мы рассмотрим другой вектор 𝑉
𝑆(𝜑1 ):
⃗ ⊥ 𝑆(𝜑1 )
𝑉
⃗ = 𝜎 2𝑉
⃗
ℳ𝑉
Мы подействуем на этот вектор нашей матрицей. За счет того, что такой вектор будет
⃗ с
перпендикулярным, можно гильбертово сопряженный вектор 𝑆 𝐻 (𝜑1 ) умножить на 𝑉
⃗ . Значит вектор
получением 0 (в первом слагаемом).Останется лишь второе слагаемое вида 𝜎 2 𝑉
188
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
⃗ тоже является собственным вектором матрицы ℳ. Перебором нормированного вектора 𝑉
⃗ мы
𝑉
⃗ 𝑛 . Тогда матрицу ℳ можно расписать следующим образом:
получим все вектора 𝑈
𝑁
ℳ=
⃗ 1𝑈
⃗ 1𝐻
𝜇1 𝑈
⏟
+
Сигнальное пространство
⃗ 𝑛𝑈
⃗ 𝑛𝐻
𝜎
𝑈
⏟ 𝑛=2
2∑
Шумовое пространство
Иными словами, это сумма двух слагаемых, первое из которых содержит 𝜇1 – вектор,
параллельный вектору 𝑆(𝜑1 ), а второе содержит сигму в квадрате, умноженную на сумму
от 2 до 𝑁 всех остальных векторов. Значит, все пространство, состоящее из собственных
векторов матрицы ℳ, разбивается на два ортогональных подпространства: сигнальное
пространство и шумовое пространство. Первое из этих пространств называется сигнальным,
потому что его вектора коллинеарны вектору сигнала 𝑆(𝜑1 ). В другом подпространстве лежат
вектора, ортогональные этому сигналу, поэтому оно называется шумовым.
Теперь посмотрим применение метода Кейпона в более общем случае двух источников,
и тогда в сигнальном пространстве будет два слагаемых, а в шумовом пространстве сумма будет
начинаться с 𝑛 = 3:
𝑁
⃗ 1𝑈
⃗ 1𝐻 + 𝜇2 𝑈
⃗ 2𝑈
⃗ 2𝐻 +
ℳ=⏟
𝜇1 𝑈
Сигнальное пространство
⃗ 𝑛𝑈
⃗ 𝑛𝐻
𝜎
𝑈
⏟ 𝑛=3
2∑
Шумовое пространство
Посмотрим, как будет зависеть величина мощности от угла 𝜑 (Рис. 13.7). Синим цветом
изображена кривая, которую мы получали ранее для двух источников, разделенных по углу ±5∘ .
Метод сканирования лучом для этих источников не дал хороших результатов (они слились в
один пик вблизи нуля).
Рисунок 13.7. Метод Кейпона для двух источников
189
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
Если применить метод Кейпона для данной ситуации, то можно построить функцию для
следующей формулы:
𝜂1 = (𝑆 𝐻 (𝜑)ℳ −1 𝑆(𝜑))
−1
Видно, что в данном случае функция дала два пика, которые очень хорошо и очень точно
описывают положение данных источников. Тем самым, метод Кейпона оправдывает свое
применение полученным сверхразрешением. Но оказывается, что такой метод может быть
обобщен, в частности, в методе теплового шума и некоторых других. Я представлю некий общий
подход к этим методам, который заключается в следующем: вместо того, чтобы рассматривать
функцию 𝜂1 , мы будем рассматривать функцию 𝜂𝑛 , которая отличается тем, что матрица ℳ
возводится здесь в степень – 𝑛:
𝜂𝑛 = (𝑆 𝐻 (𝜑)ℳ −𝑛 𝑆(𝜑))
−1
Давайте посмотрим, что происходит дальше. У нас есть корреляционная матрица, для
которой выполняется разложение на ее собственные числа и собственные векторы. Среди них
мы выделяем отдельно сигнальное и шумовое пространства (одно описывает 𝐽 источников, а
второе – только шумы, находящиеся в приемной системе). Теперь возводим матрицу в степень
– 𝑛, сразу приняв, что мощность шума составляет единицу. В случае возведения матрицы в
степень, возведению подлежат все компоненты суммы.
𝐽
ℳ=
∑
⏟
𝑚=1
𝐽
𝐻
⃗𝑚
𝜇𝑚 𝑈𝑚 𝑈
Сигнальное пространство
𝐽
𝐻
⃗ 𝑚𝑈
⃗𝑚
+ (ℰ − ∑ 𝑈
)
𝑚=1
⏟
Шумовое пространство
𝐽
1
⃗𝐻
⃗ ⃗𝐻
𝑛 𝑈𝑚 𝑈𝑚 + (ℰ − ∑ 𝑈𝑚 𝑈𝑚 )
𝜇𝑚
𝑚=1
𝑚=1
⏟
ℳ −𝑛 = ∑
𝒟
Поскольку каждое собственное число, фигурирующее здесь, содержит в себе также
мощность шума (мощность шума + мощность источник), оно должно оказываться > 1. Поэтому
если мы будем возводить в достаточно большую степень, это приведет к тому, что сумма будет
устремляться к 0. В пределе, когда 𝑛 → ∞, вся матрица будет стремиться к своему минимуму –
величине 𝒟:
𝑙𝑖𝑚 ℳ −𝑛 = 𝒟
𝑛→∞
Соответственно, вместо матрицы ℳ −𝑛 будет фигурировать некоторая матрица 𝒟, и
применение такой матрицы обеспечивает хорошие результаты при определении направления
прихода волны.
В частности, давайте посмотрим на результаты такого численного расчета (Рис. 13.8).
Эта ситуация аналогична рассмотренной ранее, но собственный уровень шума повышен в сто
раз. Синяя линия – это результат, полученный при сканировании лучом. По-прежнему есть два
190
КОНСПЕКТ ПОДГОТОВЛЕН СТУДЕНТАМИ, НЕ ПРОХОДИЛ
ПРОФ РЕДАКТУРУ И МОЖЕТ СОДЕРЖАТЬ ОШИБКИ
СЛЕДИТЕ ЗА ОБНОВЛЕНИЯМИ НА VK.COM/TEACHINMSU
АКУСТИКА ОКЕАНА
ДМИТРИЕВ КОНСТАНТИН ВЯЧЕСЛАВОВИЧ
источника, располагающиеся на угловых координатах ±5∘ . Сканирование лучом не позволяет
разрешить данные источники. С другой стороны, красная линия показывает применение метода
Кейпона в данной задаче. Оказывается, что хоть этот метод и улучшает характеристики нашей
системы, в случае достаточно высокого уровня шума он не дает повышенного разрешения. Более
того, отношение максимума к среднему значению для метода Кейпона получается даже хуже,
чем для сканирования лучом.
Но если применять обобщенный метод Кейпона, то уже при 𝑛 = 10 наблюдается
восстановление координат наших источников. Здесь мы видим хорошее разрешение и
восстановленные направления на наши источники. Тем самым, такие сверхразрешающие методы
являются очень перспективными и активно используются для понимания локализации
источников в системе.
Рисунок 13.8. Обобщенный метод Кейпона
191
ФИЗИЧЕСКИЙ
ФАКУЛЬТЕТ
МГУ ИМЕНИ
М.В. ЛОМОНОСОВА