Аналитическая геометрия: билеты 31-33 с теоремами и доказательствами

⎪
Аналитическая геометрия. Билеты 31-33
Билет 31. Теорема о том, что через 5 точек общего положения проходит
единственная квадрика.
Определение 31.1. Говорят, что 5 точек плоскости находятся в общем положении, если никакие 4
из них не лежат на одной прямой.
Теорема 31.1. Через 5 точек общего положения проходит единственная квадрика.
Док-во. Пусть P = (x , y ) - данные точки общего положения (i = 1, 2, 3, 4, 5). Исследуем систему
линейных уравнений
i
i
i
2
2
2
2
⎧ a 11 x 1 + 2a 12 x 1 y 1 + a 22 y 1 + 2a 1 x 1 + 2a 2 y 1 + a 0 = 0,
a 11 x 2 + 2a 12 x 2 y 2 + a 22 y 2 + 2a 1 x 2 + 2a 2 y 2 + a 0 = 0,
⎨ a 11 x
⎩
a 11 x
a 11 x
2
3
2
4
2
5
2
+ 2a 12 x 3 y 3 + a 22 y 3 + 2a 1 x 3 + 2a 2 y 3 + a 0 = 0,
+ 2a 12 x 4 y 4 + a 22 y
+ 2a 12 x 5 y 5 + a 22 y
2
4
2
5
+ 2a 1 x 4 + 2a 2 y 4 + a 0 = 0,
+ 2a 1 x 5 + 2a 2 y 5 + a 0 = 0
относительно неизвестных (a a a a a a ) ∈ R . Поскольку уравнений всего 5, ранг матрицы
коэффициентов этой системы не может быть больше, чем 5. Следовательно, эта ОСЛУ имеет
пространство решений размерности не меньше 1, а значит ненулевое решение, отвечающее
некоторой квадрике, существует. Проверим, что оно единственно.
Предположим противное: матрица коэффициентов имеет ранг меньше, чем 5, а значит
выполнение каких-то четырёх уравнений влечёт выполнение оставшегося. Без ограничения
общности можно считать, что пятое уравнение зависимо от остальных четырёх. Простым
перебором случаев и построением контрпримеров к каждому из них доказывается, что такая
ситуация невозможна.
Случай 1. Пусть какие-то три точки (скажем, P
) лежат на одной прямой. Тогда точка P не
лежит хотя бы на одной из прямых P P , P P , т.к. иначе эти прямые, как пересекающиеся по
двум точкам P , P , совпадают, а значит все 5 точек лежат на одной прямой, что противоречие.
Следовательно, существует квадрика (пара пересекающихся прямых), содержащая первые 4 точки,
но не содержащая пятую. Вновь противоречие.
Случай 2. Пусть никакие три точки не лежат на одной прямой. В таком случае пара
(параллельных или пересекающихся) прямых P P ∪ P P , очевидно, не содержит точку P , что
снова противоречит предположению.
Таким образом, ранг матрицы ОСЛУ действительно равен 5, а значит квадрика, проходящая
через точки общего положения, единственна. ■
4
5
6
11
12
22
1
2
0
1,2,3
1
4
2
5
4
1
2
3
4
5
Билет 32. Распадающиеся кривые: теорема о делении без остатка.
Теорема о совпадении двух содержательных квадрик.
Определение 32.1. Говорят, что кривая второго порядка является распадающейся, если её
уравнение представляется в виде
F (x, y) = (A 1 x + B 1 y + C 1 )(A 2 x + B 2 y + C 2 ).
Теорема 32.1. Пусть кривая
F = 0
F = 0 целиком содержит некоторую прямую Ax + By + C = 0. Тогда
- распадающаяся кривая. Более точно, полином F делится на Ax + By + C без остатка.
Док-во. Перейдём в систему координат, где
x
′
= Ax + By + C.
Пусть в этой системе координат кривая задаётся как F = 0. В такой системе координат очевидно,
что F делится на x . Например, потому что в противном случае полином F (0, y ) ∈ R[y ] ∖ {0}
имел бы степень 0, 1 или 2, что невозможно, т.к. он явно имеет бесконечно много корней (а именно
все ординаты точек на прямой x = 0, т.е. просто все вещественные числа). Но
′
′
′
′
′
′
′
′
′
′
F (x , y ) = F (x, y),
а значит F делится на Ax + By + C .
x
′
= Ax + By + C,
■
Определение 32.2. Квадрика называется содержательной, если в ней есть хотя бы две точки.
Теорема 32.2. Пусть содержательная кривая второго порядка задаётся двумя квадриками:
F = 0,
G = 0.
Тогда эти квадрики совпадают:
F = λG,
∃ λ ∈ R ∖ {0}.
Иначе говоря, содержательная кривая второго порядка задаётся единственной квадрикой.
Док-во. Из теоремы о классификации кривых второго порядка известно, что содержательными
из них являются только коники и всевозможные пары действительных прямых. Каждая из них бесконечное множество. Ясно, что во всех случаях, кроме пары совпадающих прямых, найдутся 5
точек общего положения на кривой. Значит, по теореме 31.1., квадрика, задающая эту кривую,
единственна. В случае пары совпадающих прямых это также верно в силу теоремы 32.1. и
критерия совпадения прямых в терминах их общих уравнений (первого порядка). ■
Билет 33. Теорема Паскаля. Теорема Паппа. Восстановление кривой по
5 точкам с помощью линейки.
Теорема 33.1. (Паскаль) Точки пересечения противоположных сторон шестиугольника,
вписанного в конику, лежат на одной прямой.
Док-во. Пусть
- шестиугольник, вписанный в конику Г (т.е. A ∈ Γ ,
). Тогда противоположные стороны - {A A , A A }, {A A , A A }, {A A , A A }.
Пусть первая пара сторон пересекается в точке P , вторая в точке P , третья - P .
Рассмотрим кубику:
A = A1 A2 A3 A4 A5 A6
i
∀ i = 1, 2, 3, 4, 5, 6
1
1
F (x, y) = a 111 x
3
2
+ a 112 x y + a 11 x
2
+ a 122 xy
2
2
4
5
2
3
5
2
+ a 12 xy + a 1 x + a 222 y
6
3
4
3
3
+ a 22 y
2
+ a 2 y + a 0 = 0.
6
1
Для удобства обозначим набор коэффициентов этого уравнения как a ∈ R . Ясно, что для
заданных 8 точек A , A , A , A , A , A , P , P всегда найдётся кубика, проходящая через них
(поскольку ранг матрицы получившейся ОСЛУ относительно a на 8 уравнений и 10 неизвестных
будет не больше 8, а значит размерность пространства решений не менее 2). Докажем, что
уравнения в полученной системе линейно независимы, т.е. ранг соответствующей матрицы равен 8,
а размерность пространства решений - 2.
Очевидно, достаточно проверить, что не являются "зависимыми" точки P и A , т.к. для всех
прочих среди этих 8 точек, рассуждение будет абсолютно такое же.
Предположим, что зависимо уравнение, отвечающее точке P , т.е. если некоторая кубика F = 0
проходит через все остальные точки, то она проходит и через P . Эта ситуация вступает в
очевидное противоречие с кубикой Γ ∪ (любая прямая, проходящая через P , но не через P ).
Пусть теперь зависимо уравнение, отвечающее A . Вновь противоречие: можно взять кубику
A A ∪ A A ∪ A A , которая, по определению точек P
, содержит их.
Итак, уравнения линейно независимы, а значит через набор точек A , A , A , A , A , A , P , P
проходит двумерное множество кубик. Ясно, что в качестве базиса в этом пространстве можно
взять любые две несовпадающие (как множества) кривые третьего порядка.
Рассмотрим две различные кубики, содержащие точку P и проходящие через
A , A , A , A , A , A , P , P . Скажем, A A ∪ A A ∪ A A
и A A ∪ A A ∪ A A . Тогда уравнение
кубики Γ ∪ P P представляется линейной комбинацией уравнений этих кривых, откуда, очевидно,
10
1
2
3
4
5
6
1
2
1
1
1
1
2
1
1
2
3
4
5
5
6
1,2
1
2
3
4
5
6
1
2
3
1
2
3
4
5
1
6
1
2
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
1
2
(A 1 A 2 ∪ A 3 A 4 ∪ A 5 A 6 ) ∩ (A 2 A 3 ∪ A 4 A 5 ∪ A 6 A 1 ) ⊂ Γ ∪ P 1 P 2 .
Ясно, что точка P не лежит на конике. Значит, P ∈ P P , т.е. все три точки пересечения
противоположных сторон вписанного конику шестиугольника A лежат на одной прямой. ■
3
3
1
2
Теорема 33.2. (Папп) Теорема Паскаля верна для пары несовпадающих прямых при условии, что
точки A = A A A A A A лежат через одну на разных прямых, т.е. A , A , A на одной, и
A ,A ,A
на другой.
1
2
4
2
3
4
5
6
1
3
5
6
Док-во. Полностью аналогично доказательству теоремы Паскаля.
■
Замечание 33.1. Дополнительное требование в теореме Паппа неявно используется в
доказательстве того, что точка A не является "зависимой" в ОСЛУ, задающей кубику.
1
Пусть известны точки A
, лежащие на кривой Г. Утверждается, что, проводя одни лишь
прямые, можно восстановить другие точки этой кривой. Пусть P := A A ∩ A A . Для
произвольной точки P ∈ A A найдём P := A A ∩ P P . Тогда можно построить точку A коники
как пересечение прямых P A и P A . Проделывая эту процедуру со всеми точками P ∈ A A ,
будем получать различные точки A ∈ Γ .
1,2,3,4,5
1
2
2
2
3
5
3
3
1
6
3
4
1
1
2
4
5
2
6
2
2
3