Математическая модель гистерезиса на основе магнитомеханической аналогии

Математическое
моделирование
том 1 номер
4/1989
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЯВЛЕНИЙ И ПРОЦЕССОВ
•УДК 629.7+538.23
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА,
ОСНОВАННАЯ НА МАГНИТОМЕХАНИЧЕСКОЙ АНАЛОГИИ
В.А. Сарычев, В.И Пеньков, М.Ю. Овчинников
Предложена модель гистерезиса, допускающая наглядную механическую интерпретацию в виде
работающего на растяжение однородного стержня, находящегося под действием переменной осе­
вой нагрузки и трущегося боковой поверхностью о неподвижное основание. Модель позволяет
исследовать поведение намагниченного материала в произвольно меняющемся магнитном поле.
Входные параметры модели связаны простыми соотношениями с основными физическими ха­
рактеристиками материала.
1. Введение. При изучении физических процессов, происходящих под влиянием
гистерезисных потерь, будь то механический или магнитный гистерезис, исследова­
тель сталкивается с проблемой выбора модели гистерезиса. Модель должна не только
отражать основные свойства гистерезиса, но и быть достаточно простой, чтобы полу­
ченные с ее помощью результаты были обозримы, а не приводили к "нечитаемым"
формулам или непомерным затратам времени счета на ЭВМ. Установление компро­
мисса между этими противоречивыми требованиями является нетривиальной зада­
чей. Один из возможных путей ее решения заключается в проведении предваритель­
ных в том числе и аналитических, расчетов с использованием простых моделей типа
параллелограмма, Релея, эквивалентной линеаризации. Такие модели позволяют
установить во многих случаях качественные зависимости и получить результаты в
виде квадратур или даже конечных соотношений. С их помощью можно успешно
провести синтез параметров системы с гистерезисными элементами по заранее
выбранному критерию. Окончательную проверку и коррекцию полученных результа­
тов можно провести, используя уточненные модели гистерезиса. Именно такой под­
ход был успешно применен в работах [1—3], в которых исследовалась динамика
трехосного гравитационно-ориентированного спутника с демпфером в виде установ­
ленных на нем магнитогистерезисных стержней с большим удлинением.
Сравнительный анализ простых моделей гистерезиса [4], проведенный частич­
но в [5], показывает, что эти модели позволяют получить качественно адекватные
результаты в случае, когда внешнее поле изменяется по синусоидальному закону и
© ИЗДАТЕЛЬСТВО "НАУКА". ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ,
"МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ", 1989
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА
123
перемагничивание происходит вдоль симметричных петель. При относительном дви­
жении спутника перемагничивающее поле меняется весьма произвольно, петли имеют
несимметричный вид, перемагничивание стержней происходит как вдоль главных,
так и вдоль частных петель. В этом случае без дополнительной проверки не прихо­
дится полагаться на получение достоверных аналитических результатов. В настоящей
работе описывается-разработанная авторами уточненная модель гистерезиса, позво­
ляющая проводить численное моделирование гистерезиса с помощью ЭВМ в произ­
вольно меняющейся внешнем магнитном поле.
Одна из уточненных численных моделей, построенная на основе доменной
теории ферромагнетизма, описана в [6]. Отметим также эмпирическую модель гисте­
резиса, предложенную в [7]. Модель представлена в виде выражения, содержащего
квадратуры, допускает появление частных петель, но "не помнит" предысторию
перемагничивания.
2. Описание модели гистерезиса. Для построения гистерезисной зависимости
воспользуемся механической моделью в виде работающего на растяжение однород­
ного стержня, закрепленного одним концом в точке О, находящегося под действием
переменной осевой нагрузки и трущегося боковой поверхностью о неподвижное ос­
нование. В квазистационарном приближении (медленно меняющаяся F(t)) поведе­
ние стержня можно описать с помощью системы следующих уравнений:
да
bW
--к
при — > 0 >
Ik"
bt
да
bW
при
<0,
дх~~
bt
(2.1)
I да
bW
<к
при — = 0 '
| Эх
bt
dW
= С
bx
Здесь о = Q(X, t) и е = e(x, t) — соответственно механическое напряжение и относиб\
6n=F(t)
Рис. 1. Распределение напряжений в стержне
тельное удлинение в сечении стержня с координатой х, W(x, t) — перемещение сече­
ния, к — коэффициент трения, связанный с коэффициентом к кулонова трения стерж­
ня об основание формулой к = kpg, p — плотность материала стержня, g — ускорение
свободного падения, F(t) отнесена к единичной площади сечении стержня. Чтобы
система (2.1) была замкнутой, необходимо ввести закон деформации, устанавливаю­
щий связь между напряжением и относительным удлинением стержня. Выбирая в
124
B.A. САРЫЧЕВ, В.И. ПЕНЬКОВ, М.Ю. ОВЧИННИКОВ
качестве закона деформации соотношение [8]
в = — ihao
(2.2)
I
(/ — длина недеформированного стержня, а, Ъ — константы), с учетом граничных ус­
ловий
И/(0,0 = 0, a(/,r) = F(f)
при постоянном коэффициенте трения к (Ьк/дх = bkjdt = 0), построим решение
системы (2.1), (2.2), в соответствии с которым на оси Ох в любой момент времени
существует конечное число "промежутков непрерывности" производной bojdx
(рис. 1):
a = kf(x - xj) + ah
ch. ao,
7+i
W(x, t)=W{xhi) + — In
alk
ch aoj
n 1
b
~
1
(2.3)
chflfal+1
W(U) = — 2 — I n ' ^
al /~i £y
ch ао,Здесь x E [JC?«, Xf+i], / = 1 , . . . , я — 1, kj = ±k илиfc;-= 0, причем знак выбирается в
зависимости от "истории" нагружения стержня, a„ = F(f ), Х\ = 0, х и = /, причем в
случае kj = 0 соответствующее слагаемое в сумме следует считать равным нулю.
Построение конкретного решения осуществляется с помощью отслеживания
истории нагружения стержня. Основными моментами истории являются рождение
и исчезновение промежутков непрерьшности производной Эa/Эх. Рождение нового
промежутка происходит на правом конце стержня в момент достижения нагрузкой
максимального или минимального значения, когда dFjdt обращается в нуль. Ясно,
что по достижении максимума нагрузки рождается промежуток с отрицательным уг­
лом наклона к оси Ох (bojdx = — к), по достижении минимума — с положительным
углом наклона к оси Che (bojdx =к). В момент рождения (при этом п увеличивается
на единицу) промежуток имеет длину, равную нулю (x„_i = хп = / ) , которая при
последующем монотонном изменении нагрузки возрастает (рис. 2), пока не произой­
дет новая смена знака dFjdt или не будет достигнуто наибольшее значение длины
участка непрерьшности, равное /. Исчезновение промежутка происходит в момент,
когда х и _! = хп„2 (п > 2). Исчезновению подвержен предпоследний промежуток
непрерьшности. Так, участок ВВ2 (рис. 2) исчезает при tn ->f*. В момент t* исчез-
б^/^тЛ
*^*о
Щ=1
ftic. 2. Напряженное состояние после достижения максимума нагрузки (показано для соответ­
ствующих моментов времени с помощью штриховых линий)
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА
125
новения п уменьшается на две единицы, если п > 3 и кп__2 ^ 0> а длина последнего
промежутка увеличивается скачкообразно от величины, соответствующей отрезку
А*В, до величины А*С Дальнейшее уменьшение нагрузки приводит к распределению
напряжений, показанному при Г = tm штриховой линией АЪСЪ- В случае п = 3 или
кп_2 = 0 исчезновение промежутка, очевидно, сопровождается уменьшением п на
единицу. Отметим, что при указанном построении напряженного состояния измене­
ние нагрузки F(t) захватьюает только последний и предпоследний участки. Напря­
женное состояние всех остальных участков стержня остается неизменным. В качестве
6
F(0)
Ъ
х
I
х
а
б
Рис. 3. Начальное распределение напряжений при t - 0: a) F ( 0 ) <fc/, б) F(0) > kl
начального (при t = 0) выбиралось простейшее распределение напряжений в стержне,
показанное при F(0) > 0 на рис. 3.
Перейдем к магнитомеханической аналогии. Предполагая, что нагрузка F про­
порциональна напряженности внешнего магнитного поля, а перемещение конца
стержня W(l, t) пропорционально магнитному моменту, получим соответственно
гистерезисную зависимость магнитного момента стержня от напряженности маг­
нитного поля.
Параметрами модели являются /, а, Ъ, к. Величина к определяет ширину петли
гистерезиса (при к = 0 площадь петли равна нулю). При F -*°o W -*Ь\ таким обра­
зом, Ь характеризует магнитный момент насыщения. Величина а характеризует маг­
нитную восприимчивость стержня. Не теряя общности, можно положить Ъ = / = 1.
В дальнейшем удобнее все величины, входящие в (2.1) —(2.3), считать безразмер­
ными и для W(l, t) использовать обозначение W=W(F), имея в виду при этом
гистерезисную зависимость от F, определяемую решением (2.3).
Перечислим основные свойства модели гистерезиса. Легко видеть, что пе­
риодическое изменение поля вызывает периодическое изменение намагниченности
(семейство симметричных петель показано на рис.4). Основная кривая намагни­
чивания, проходящая через вершины симметричных петель, совпадает с кривой
D'E'OED первоначального намагничивания. Если переход на новую ветвь происхо­
дит в момент смены знака dF/dt, то касательная к новой ветви гистерезиса в
точке пересечения с предыдущей ветвью горизонтальна. При переходе на новую
ветвь вследствие исчезновения промежутка положение касательной в начале новой
ветви может быть произвольным. Однако выход на предельную петлю происхо­
дит по касательной к соответствующей ветви предельной петли. Под ветвью здесь
понимается кусок гистерезисной зависимости W=W(F), представляемый с по­
мощью гладкой кривой. Выход на предельную петлю гистерезиса происходит при
конечном значении F (при F > к). Полное размагничивание стержня может быть
126
В.А. САРЫЧЕВ, В.И. ПЕНЬКОВ, М.Ю. ОВЧИННИКОВ
Рис. 4. Пример гистерезисной зависимости (а = 2, Ъ = 1, £ = 0,5, / = 1)
получено только в результате бесконечного числа непрерывно убывающих перемагничиваний.
При и > 1 и достаточно большой амплитуде изменения F (F m a x > к) имеем
поочередно в цикле типы напряженного состояния, изображенные на рис. 5. Из (2.3)
п-1
для состояний а и б, полагая ch аа « еа а, получаем W(/, t) = (bjl) 2 (xJ+ x - xf) = Ь.
/= i
Дня состояния в, полагая chaoi ъ#°\ (ох > 0 ) и chaa2 ^e~aa% (о2 < 0 ) , и з (2.3)
имеем W(l91) = 2bF/(lk) +Ь(^ =F + kl). Аналогично для состояний г и д W(l,t) =
= - b, а для состояния е И^/, г) = 2bF/(l к) - Ь. В выражениях, приведенных здесь
и на рис. 5, с учетом вышесказанного следует положить b = / = 1. В рассмотренном
случае петля гистерезиса близка к параллелограмму (рис. 6, а).
При а I F m a x I < 1 и А: < I F m a x I (случай слабых полей и узких петель) гистеI
min I
I
min I
резисные петли (рис. 6, б) образованы из отрезков двух близко расположенных
параллельных прямых
ак
dF
W = aF
sign
(2.4)
2
dt
127
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА
и парабол, касающихся прямых,
ак
а
0
W = aFmax
— (F m a x - F ) 2 ,
ак
а
0
W = *F m i n + — + — ( F m i n - F ) 2 .
Такую зависимость будем называть близкой к линейной, так как основная кривая
намагничивания и линии, образующие петлю гистерезиса, почти везде имеют одина­
ковый наклон к оси абсцисс.
б
б
6
а
6, ^ ~ ^
*,
п=2
1
0
х
^dff
§<*
j
/7=3
,
0
I
X
<b?F
I x
n*3
Рис. 5. Последовательность смены напряженных состояний
б
a
W
w
^^
2l-j
"•?« J
J:
Анн
1
1
2 /
k«a /о
! /
п
з*/
Рис. 6. Варианты гистерезисных зависимостей
4
1
4e
F
В.А. САРЫЧЕВ, В.И. ПЕНЬКОВ, М.Ю. ОВЧИННИКОВ
128
При aFmzx < 1, к > Fmax(Fm'in
= — F m a x ) (случай слабых магнитных полей
и широких симметричных петель гистерезиса) описанная модель для материалов с
невысокой начальной магнитной проницаемостью близка к модели Ре лея [9]. В этом
случае петли гистерезиса (рис. 6, в) образованы параболами
w=
w=
flFiax
?HZL
2k
a
4k
(Fmax-F)
V max
}
2
,
Ea + _ (Fmin -Ff.
2k
4k
Площади петель гистерезиса, характеризующие потери энергии на цикле перемагничивания, определяются для этих случаев выражениями
ak2
2 aF2max
S = *.
S = 2akFmax
S = - - f ^
3
3
k
соответственно.
Говоря о недостатках предложенной модели, следует отметить невозможность
получения с ее помощью прямоугольных петель, для которых отношение остаточной
индукции к максимальной обычно принимается более 0,85. Наибольшее распростра­
нение из магнитных материалов с прямоугольной петлей получили магний-марганце­
вые ферриты, применяемые для коммутирующих дросселей, элементов памяти
вычислительных машин, устройств автоматического управления. Тем не менее, мо­
дель, содержащая петли, близкие к прямоугольным, может быть получена, если от­
казаться от предположения bk/bx = 0. Выбор в качестве k(x) функции неограничен­
ного роста при JC, стремящемся к нулю (например, k ~~ 1/х), гарантирует недостижи­
мость предельной петли гистерезиса при конечном значении F. Допуская зависимость
k от предыстории перемагничивания и полагая, скажем, что k уменьшается ("старе­
ние" материала) с ростом пути, пройденного точкой (F, W) по ветвям гистерезиса,
можно ликвидировать совпадение начальной и основной кривых намагничивания.
Выбор в качестве закона деформации (2.2) иных соотношений (th2ао> a r c t g a a n
т.д.) позволит осуществить в случае необходимости дальнейшее уточнение модели.
Это может оказаться полезным при построении модели для конкретных магнитных
элементов.
Существенный недостаток подобных моделей, включая и случай к = const,
состоит в трудности их использования в аналитических исследованиях без упрощаю­
щих предположений. Однако реализация моделей при численном исследовании с
помощью ЭВМ не представляет принципиальных затруднений [10].
В качестве общего замечания следует также отметить, что при использовании
методов численного интегрирования высокого порядка типа Рунге—Кутта 4-го по­
рядка во избежание резкого накопления погрешности и неоправданных затрат ма­
шинного времени моменты смены ветвей гистерезиса должны находиться с гаранти­
рованной точностью. Это можно осуществить с помощью быстро сходящегося процес­
са, например, итерационного метода Ньютона.
3. Связь входных параметров модели с магнитными характеристиками мате­
риалов. Рассмотрим входные параметры модели применительно к магнитным гистерезисным стержням, используемым в составе пассивных систем ориентации ИСЗ.
Будем считать, что отношение длины \ъ стержня к его диаметру d велико (lb/d > 1).
Тогда его магнитный дипольный момент I определяется выражением I = /е, где е —
единичный вектор продольной оси стержня, / = /(Я г ) — модуль I, являющийся гистерезисной функцией от проекции Нт на ось стержня вектора Н е напряженности внеш-
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА
129
него поля, Нт = Нее. Механический момент М, приложенный к стержню во внешнем
магнитном поле, можно представить в виде
М = Д/е X В^ ,
где R = BmIs — коэффициент, имеющий размерность момента и вобравший в себя
эффект нормировки индукции В е и магнитного момента I, B m = Ъе/Вт - безразмер­
ная индукция внешнего магнитного поля, / = I(HT)/IS — безразмерный магнитный
момент стержня, Is - магнитный момент насыщения стержня. Вводя вместо Is эк­
вивалентную величину — индукцию насыщения Bs = id0IsIV, V — объем стержня,
можно записать
R=
BmmBssV
.
(3.1)
Mo
Здесь и далее используется система единиц СИ, в которой д 0 = 4яг • 10~7Гн/м. Полез­
но отметить, что максимальный момент M m a x = R, действующий на намагниченный
до полного насыщения стержень в магнитном поле с индукцией Вт, определяется
коэффициентом R. Индукция насыщения Bs для типичных ферромагнитных материа­
лов имеет величину порядка 1 Тл.
В качестве F принимаем нормированную напряженность внешнего магнитного
поля вдоль стержня
Не
F=
,
(3.2)
где Нт = Bm/fx0, и представляем индукцию В магнитного поля внутри стержня в
виде
B = BSW(F),
(3.3)
имея в виду предельную петлю гистерезиса. Выход на предельную петлю гистерезиса
происходит при достаточно большой амплитуде изменения F (F > kl). Последова­
тельность смены напряженных состояний при этом показана на рис. 5. Для состояний
а, в, г, е (п = 2) из (2.1) имеем
Ъ sign dFldt
ch aF
W{F) =
— In
.
(3.4)
alk
ch(<zF - ak sign dF/dt)
При выводе этой формулы учитывалось ог = F — к sign(dF/dt).
чить, что В обращается в нуль при Не -±Нес, где
H
c=~f--
Далее, легко полу­
(3-5)
Для однородно или почти однородно намагничивающихся тел, в частности для
сильно вытянутых стержней, напряженность Н магнитного поля внутри стержня
связана с напряженностью Не внешнего поля соотношением
H=He-NJt
где / - намагниченность, N- коэффициент размагничивания, слабо зависящий о т # в
и / . Учитывая, что В = д 0 ( / + Я ) , на основании (3.5) получаем
Н€
N
В
#=
.
\ -N
1 -N
до
5. Математическое моделирование т. 1, № 4
В.А. САРЫЧЕВ, В.И. ПЕНЬКОВ, М.Ю. ОВЧИННИКОВ
130
Для сильно вытянутых стержней N < I и В/ц0 велико по сравнению с Не, тогда
В
Н = Не -N — .
(3.6)
Из (3.6) следует, что Нс =НС и параметр к, принятый в модели в качестве входного,
связан с коэрцитивной силой Нс соотношением
кН„
яс =
Дифференцируя (3.3) с учетом (3.4), (3.5) при dF/dt > 0 и полагая F = к/2, легко
связать параметр а, также принятый в качестве входного, с крутизной предельной
петли гистерезиса стержня в точке Не=Н% соотношением
dB
2HQBS
e
dH
е
и
= Н<
кВт
th- ак
(3.7)
или с крутизной петли гистерезиса материала, из которого изготовлен стержень,
поскольку на основании (3.6)
dB/dHe
dB
(3.8)
dH н=нг
l~W»o)dB/dH€
Для случая слабых нолей и узких гистерезисных петель (aFmSLX <\,k
соотношение (3.7)*иринимает вид
aBs
Мст=—-,
<Fmax)
(3-9)
где цСТ — относительная магнитная проницаемость стержня ("кажущаяся" прони­
цаемость, "проницаемость формы"), под которой понимается безразмерная
величина
1 dB
ц
dHe
не = н*
Выражение (3.9) можно получить также исходя из (2.4). С использованием относи­
тельной магнитной проницаемости /i CT индукцию В магнитного поля внутри стерж­
ня можно представить в виде
B = iiCTHoHe±AB,
(ЗЛО)
где АВ — малая (в случае узкой петли) гиртерезисная добавка.
С помощью (3.6) и (3.10) легко получить зависимость В от напряженности Н
магнитного поля внутри стержня
Мет
В=
1 -/WV
...
-Мо#:
№
1 - iiCTN
(3.11)
Напомним, что в выражении (3.11) коэффициент при д 0 # е с т ь относительная маг­
нитная проницаемость ц материала стержня, т.е.
Мет
М=
1
-nclN
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА
131
откуда
/
i
McT = - f v '
l
N=
l
•
(ЗЛ2)
1 +nN
iiCT
ii
Полезно отметить, что при увеличении магнитной проницаемости ц. материала, из
которого изготовлен стержень, магнитная проницаемость стержня цст остается
ограниченной, т.е.
1
Мет
•
— •
Коэффициент W размагничивания стержня при р = lb/d > 1 может быть найден
с помощью эмпирической формулы [11 ]
N=— ( l n l , 2 p - l ) .
Р
(3.13)
Соотношения (3.1), (3.5) вместе с соотношениями (3.7), (3.8) и (3.13) позво­
ляют но заданным R, к, а найти параметры реального стержня, а по гистерезисной
характеристике реального стержня вычислить значения параметров математической
модели гистерезиса. Для узких петель вместо (3.7) и (3.8) удобнее использо­
вать (3.9) и (3.12).
Предлагаемая интерпретация параметров, которая базируется на локальных
свойствах кривых, может оказаться не самой удачной. Возможно, более подхо­
дящим является установление соответствия математической модели реальной гис­
терезисной характеристике не по отдельным точкам (или даже кривым), а в не­
котором интегральном смысле. Дополнительное улучшение соответствия может
быть получено с учетом реального диапазона изменения напряженности и индук­
ции магнитного поля. Нет смысла требовать совпадения модели с реальной гисте­
резисной зависимостью во всем допустимом диапазоне изменения В и Я, если
процесс перемагничивания в конкретной задаче развивается, например, в окрест­
ности начала координат (В, Н) или вдали от насыщения. Привязка к истинным
значениям индукции насыщения и коэрцитивной силы в таких случаях становит­
ся необязательной, и появившийся произвол в выборе Bs и Нс можно употре­
бить на улучшение совпадения в реальном диапазоне изменения В и Я
4. Числовые примеры. Предварительный анализ динамики гравитационно-ори­
ентированного спутника с гистерезисными стержнями показал [10], что наиболее
подходящими для целей демпфирования возмущенного относительного движения
являются стержни с гистерезисными зависимостями, близкими к линейным (R =
= 10 3 , а = 0,1, к =0,1). Найдем характеристики стержня. Полагая Bs = 1 Тл,
Вт = 1,77 • 10" 5 Тл (для высоты орбиты спутника 600 км), из (3.1) находим
объем стержня V = n0RI(BmBs)
« 7 1 см 3 . С помощью (3.5) найдем коэрцитивную
силу Нс = 0,7 А/м. Понимая в (3.2) под Не напряженность магнитного поля Земли,
легко показать, что F m a x = 2. Так как условия aFmaiX <1, k<Fm2LX можно считать
выполненными, воспользуемся соотношениями (3.9) и (3.12), справедливыми для
гистерезисной зависимости, близкой к линейной. При этом ^ с т = 0,57 • 104 и так как
д > 0,57 • 10 4 , то N= l//i CI = 1,77 • 10~ 4 . На основании (3.13) р = 155. Вычисляя
длину и дламетр стержня, находим 1Ъ = 130 см, d = 8,4 мм. Из (3.10) следует, что
максимальная индукция В магнитного поля внутри стержня равна 0,2 Тл и, следова­
тельно, далека от насыщения.
5*
В.А. САРЫЧЕВ, В.И. ПЕНЬКОВ, М.Ю.ОВЧИННИКОВ
132
Рис. 7. Кривая В(Н) при заданной форме изменения Я: а) экспериментальная кривая (параметры
стержня 1Ь = 60 см, d = 0,2 см, материал стержня Peraienonn = 5000); б) кривая, построенная, на
основании математической модели гистерезиса (параметры модели а = 0,24, к = 0,3, R = 26)
В качестве второго примера найдем параметры R, а, к, соответствующие экспе­
риментальной характеристике для стержня с 1Ь = 60 см, d = 2 мм (рис. 7, я), взятой
dB .
из [9]. Определяя графически
в точке А, находим, что
dHe
1
Мст^
dB
= 1,37-10 4 .
Но dHe
Принимая абсциссу точки А экспериментальной кривой в качестве Нс {Нс «2,1 А/м),
из (3.5) находим
А: =
2# с
2#сМо
Нгг
вп
= 0,3.
Предположим, что Bs = 1 Тл. Так как максимальная индукция внутри стержня рав­
на 0,15 Тл и много меньше Bs, а петля достаточно узка, то, воспользовавшись соот­
ношением (3.9), получаем а = iiCTBmlBs = 0,24. Из формулы (3.1) находим R = 26.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИСТЕРЕЗИСА
133
Гистерезисная зависимость, построенная при вычисленных значениях параметров
на основании предложенной модели гистерезиса, показана на рис. 7, б.
5. Заключение. В работе предложена математическая модель гистерезиса. Прав­
доподобная магнитомеханическая аналогия позволяет, сохраняя простоту модели,
аппроксимировать сложные формы гистерезисных петель и избежать вырождений,
присущих многим известным моделям. Модель апробирована при исследовании
динамики спутников с гистерезисными стержнями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сарычев В.А., Пеньков В.К, Овчинников М.Ю., Герман А.Д. Движение гравитационно-ори­
ентированного спутника с гистерезисными стержнями в плоскости полярной орбиты //
Космич. исследования. - 1988. - Т. 26, № 5. - С. 6 5 4 - 6 6 7 .
2. Сарычев В.А., Пеньков В.И., Овчинников М.Ю., Герман А.Д. Исследование движений грави­
тационно-ориентированного спутника с гистерезисными стержнями. Нерезонансный случай.
М., 1987. - 31. с. - (Препр./ИПМ им. М.В.Келдыша АН СССР; №39).
3. Сарычев В.А., Пеньков В.И., Овчинников МЖ., Герман А.Д. Движение гравитационно-ори­
ентированного спутника с гистерезисным стержнем, установленным вдоль оси наибольше­
го момента инерции. - М., 1987. - 30 с. - (Препр. / ИПМ им. M.B. Келдыша АН СССР, № 83).
4. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. - М.: Физматгиз, 1960. 193 с.
5. Сарычев В.А., Овчинников МЖ Магнитные системы ориентации искусственных спутников
Земли // Итоги науки и техники.^Сер. Исслед. космич. пространства. - М.: ВИНИТИ. - 1 9 8 5 . Т. 23. - 105 с.
6. Whisnant J.M., Anand D.K., Pisacane V.L., Sturmanis M. Dynamic modeling of magnetic hyste­
resis // J. of Spacecraft and Rockets. - 1970. - V. 7, № 6. - P. 6 9 7 - 7 0 1 .
7. ЯнковичБ. О возможности аппроксимации петли гистерезиса //Применение теории нели­
нейных колебаний в электротехнике и электронике: Тр. V Междунар. конф. по нелиней­
ным колебаниям. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1970. - Т. 4. - С. 503-514.
8. БозортР. Ферромагнетизм. - М.: ИЛ, 1956.
9. Frbhlich К, Mesch F., Schweizer G., Stopfkuchen К. Some results of the development of the
passive magnetic attitude control system for the German research satellite 625 A-l // Proc. 2-nd
IF AC Symp. on Automatic Control in Space, Vienna, Austria. 1967. Русский перевод: в кн.:
Управление космическими аппаратами и колебаниями. - М.: Наука, 1971. - С. 2 9 9 - 3 2 2 .
10. Сарычев В.А., Пеньков В.И., Овчинников МЖ. Динамика спутников с магнитным демпфе­
ром. Модель гистерезиса. - М., 1984. - 27 с. (Препр./ ИПМ им. М.В. Келдыша АН СССР;
№174).
11. Коваленко А.П. Магнитные системы управления космическими летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1975. - 248 с.
Институт прикладной математики
им. М.В. Келдыша АН СССР, Москва
Поступила в редакцию
14.12.88