Теория предельной полезности: Учебник по экономике

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛЬНОЙ ПОЛЕЗНОСТИ
Теория предельной полезности исследует поведение потребителя на
потребительском рынке. В основу этой теории положено представление о
существовании функции полезности, отражающей зависимость полезности
набора благ от количеств этих благ, входящих в набор.
Введем обозначения:
i = 1, …, m – номер блага;
хi – количество i-го блага в наборе;
Х = (х1, …, хi, …, хm) – набор благ;
U = U (X) = U (х1, …, хi, …, хm) – функция полезности набора
благ;
Pi – цена i-го блага;
В – бюджет потребителя, т.е. количество денег, которым
располагает потребитель для покупок.
Выделим i-е благо. Количество его в наборе будем считать переменной
величиной, а количества всех остальных – постоянными.
На рис. 2.1 показан вид функции U = U (xi) так, как это представляют
себе экономисты.
Количество блага измеряется в физических единицах (килограммах,
метрах и т.д.). Полезность блага измеряется в специально введенных
единицах – ютилях. Это единица условная, она различна для разных людей.
Предполагается, что любой человек в состоянии признать полезность
какого-то количества блага за единицу (ютиль - производное от английского
слова, обозначающего полезность) и в этих единицах измерять полезность
всех других благ. Речь идет об одном благе.
Возьмем единицу этого блага и примем ее полезность за ютиль. Тогда
полезность каждой следующей единицы будет составлять некоторую долю от
полезности первой единицы, и следовательно, также будет измерена в
ютилях.
1
Количество любого блага изменяется либо непрерывно, т.е. его можно
добавлять любыми сколь угодно малыми порциями (хлеб, молоко), либо
дискретно (автомобиль, костюм, книги). Строим функцию для хi,
изменяющегося непрерывно; тогда U=U(хi) также непрерывная функция.
Функция полезности является возрастающей. Люди большее
количество блага ценят больше, чем меньшее, и за него готовы заплатить
больше. Но здесь возникает вопрос о насыщаемости. Количество блага может
достигнуть такой величины, что дальнейшее накопление его приносит
нулевую или даже отрицательную полезность. Например, человеку не нужно
100 костюмов, их придется где-то хранить и затрачивать труд на уход за
ними. Но вспомним, что благом считается то, что нужно человеку для жизни.
Излишнее, ненужное количество какого-нибудь предмета или услуги не
является благом.
В таком случае математики говорят, что функция полезности
определена на отрезке от нуля до Xmax, где Xmax– такое количество блага, при
достижении которого новая порция блага не увеличивает его общей
полезности.
Вспомним также, что экономическим благом является то, что имеется в
ограниченном количестве. Это справедливо не только для отдельного
человека, но и для всего человечества. Следовательно, благо, имеющееся
сверх потребности, перестает быть таковым. И последнее, может быть
главное: большинство людей, испытывает недостаток благ. Насыщение –
исключение, недостаток – правило.
Введем понятие «предельная полезность». Пусть дано некоторое
количество блага и его полезность. Под предельной полезностью понимается
прирост полезности блага в результате добавления единицы этого блага.
Обозначим:
хi – количество i-го блага;
Ui – полезность данного количества i-го блага;
Δхi – приращение количества блага;
ΔUi – приращение полезности;
МUi – предельная полезность блага.
Тогда:
∆
= lim
∆ → ∆
=
Определение: предельная полезность блага есть частная производная
от функции полезности блага по его количеству.
2
Пусть благо имеется в количестве XA , а его полезность равна UA.
Добавим еще блага в количестве ΔX, в результате полезность возрастет на
величину ΔU. Чтобы узнать предельную полезность, нужно ΔU разделить на
ΔX.
MU =
Здесь MU – предельная полезность. Величина MU равна тангенсу
угла наклона секущей, проходящей через точки А и В.
Будем уменьшать добавочную порцию. Пусть ΔX→ 0 (стремится к
нулю), тогда и ΔU→0. В этом случае приращения ΔU и ΔX становятся
дифференциалами dX и dU, а формула предельной полезности приобретает
вид:
MU =
Таким образом, предельная полезность равна производной от
функции полезности по количеству блага.
При ΔX→0 точка В смещается в точку А, секущая линия становится
касательной, а предельная полезность равна тангенсу угла наклона
касательной.
Свойства функции полезности (рис. 2.1):
1) функция существует;
2) проходит через ноль, т.е. Ui = 0 при хi = 0;
3) непрерывна;
4) дифференцируема;
5) возрастает на всей области определения, т.е.
6) выпукла, т.е. предельная полезность убывает,
> 0;
< 0.
3
Свойство убывания предельной полезности получило название первого
закона Госсена. Этот закон не доказывается, точнее – это постулат, а не
закон. Каждый человек легко может признать его, наблюдая за своими
предпочтениями: предельная полезность блага убывает с ростом его
количества.
Благосостояние человека определяется набором благ, которым он
обладает. Разумность экономического человека состоит в том, что он
стремится получить в свое распоряжение набор благ наибольшей
полезности, действуя в рамках закона и нравственности.
Для потребителя возникает оптимизационная задача – найти набор
благ наибольшей полезности при ограничении по бюджету.
Целевая функция:
U = U (х1,…,хi,…,хm)→max .
Ограничения: ∑
= ;
≥ 0.
Смысл ограничений: первое – покупки ограничены бюджетом, второе –
блага потребителем либо покупаются, либо нет, но не продаются.
Сформулированная задача является задачей на условный экстремум.
Составим функцию Лагранжа:
= ( ,…,
,…,
)+
−
В этой функции к полезности добавлено ограничение по бюджету,
умноженное на дополнительную переменную Лагранжа .
Величина
−∑
есть оставшаяся (неизрасходованная)
сумма денег. Экономический смысл переменной – предельная полезность
оставшихся денег.
В математике доказана теорема, из которой следует, что функция
Лагранжа имеет экстремум, который совпадает с максимумом функции
полезности при ограничении по бюджету и неотрицательных переменных.
Необходимым и достаточным условиями экстремума является равенство
нулю частных производных от функции Лагранжа по всем переменным.
=
−
= 0;
……..
4
=
−
= 0;
−
= 0;
………..
=
=
−
= 0.
Полученная
система
уравнений
содержит m+1 переменных
и m+1 уравнений. Если бы функция полезности была выражена в явном виде,
то решение этой системы дало бы оптимальный набор благ:
X* = (x1*,…,xi*,…,xm*).
Так как функция полезности не выражена явно, продолжим анализ,
чтобы выявить условия, которым отвечает оптимальный набор благ. Выше
было дано определение предельной полезности, из которого следует,
что
=
. Заменив частные производные на МUi и выполнив
некоторые преобразования, получим систему уравнений:
= ;
…….
= ;
…….
= ;
= .
Проанализируем экономический смысл полученной системы.
5
МUi – предельная (добавочная) полезность единицы (килограмма,
метра и т.д.) блага, а Рi – цена этой единицы, допустим, в рублях. Тогда
величина λесть предельная полезность такого количества блага, которое
можно купить за 1 руб.
Таким образом, есть предельная (добавочная) эффективность затраты
1 руб. на покупку данного блага. Если, затратив все деньги, потребитель
купил оптимальный набор благ, то израсходовав 1 руб. на дополнительную
покупку любого блага, он получит одинаковую дополнительную полезность.
На примере проведенного анализа видна последовательность действий
при экономико-математическом моделировании.
1. Анализируется экономическая ситуация – задача потребителя.
2. Разрабатывается математическая модель – функция полезности и
ограничения.
3. Теперь можно забыть об экономическом содержании модели и
заняться чисто математическим анализом – поиском экстремума.
4. Возвращаемся к экономическому содержанию и анализируем
экономический смысл полученных результатов.
Перепишем полученную систему уравнений в несколько ином виде:
=⋯=
=⋯=
= .
Это
выражение
называется
равновесием
потребителя
на
потребительском рынке и является математической записью второго закона
Госсена: для оптимального набора благ вложения дополнительной
единицы денег в покупку любых благ равнополезны.
6
ПРИМЕР
7