Конспект урока по ориентированным графам 7 класс

Конспект урока по предмету «Вероятность и статистика» в 7 классе
Тема: «Представление об ориентированных графах».
Цель урока: сформировать у учащихся представление об ориентированных
графах как средстве наглядного отображения связей между объектами с
указанием направления этих связей.
Задачи:

познакомить с понятием ориентированного графа;

научить отличать ориентированный граф от неориентированного;

сформировать навыки построения ориентированных графов по описанию;

показать практическое применение ориентированных графов.
Оборудование: доска, раздаточные материалы (карточки с заданиями),
проектор и экран (для демонстрации презентации).
Ход урока
1. Организационный момент (2–3 мин)

Приветствие.

Проверка готовности класса к уроку.

Объявление темы и целей урока.
2. Актуализация знаний (10 - 15 мин)
Вопросы для проверки домашнего задания:

Из каких элементов состоит граф? (Вершины, рёбра)

Сколько в графе вершин? (5) Сколько рёбер? (6)

Чем отличается цепь от цикла в графе?

Укажите один из циклов? Из скольких рёбер он состоит?

Существует ли эйлеров путь в этом графе?
Проблемная задача для актуализации знаний
Условие:
В небольшом городе есть 5 автобусных остановок: А, Б, В, Г и Д. Между ним
и проложены маршруты, но не все они двусторонние. Известно следующее:

от остановки А можно доехать до Б и до Г;

от Б можно доехать только до В;

от В можно доехать до Г и обратно до Б;

от Г можно доехать до Д;

от Д можно доехать до А и до В.
Задание:
1. Изобразите схему автобусных маршрутов в виде графа.
2. Ответьте на вопросы:
o
Можно ли доехать от А до Д? Если да, то каким маршрутом?
o
Можно ли доехать от Д до А?
o
Сколько разных способов доехать от А до В? Перечислите их.
Методические указания по работе с задачей
Ход работы на уроке:
1. Постановка задачи. Учитель читает условие и предлагает учащимся попроб
овать изобразить схему маршрутов в виде обычного графа (с рёбрами без стр
елок).
2. Выявление проблемы. Учащиеся пытаются решить задачу, но сталкиваются
с трудностями:
o
обычный граф не показывает направление движения;
o
невозможно однозначно определить, двусторонний ли маршрут между остан
овками;
o
при ответе на вопросы возникают разногласия: одни ученики считают, что от
Г до В доехать можно, другие — что нельзя.
3. Дискуссия и постановка проблемы:
o
Почему у нас получились разные ответы?
o
Чего не хватает в нашем графе, чтобы точно отобразить ситуацию?
o
Как можно исправить эту проблему?
4. Подведение к новому знанию. Учитель подводит учащихся к выводу:
«Чтобы точно отобразить односторонние маршруты, нам нужно указать напр
авление движения. Для этого введём специальные рёбра со стрелками —
дуги. Граф с такими рёбрами называется ориентированным графом или ор
графом».
5. Решение задачи с новым инструментом. Класс вместе с учителем перестра
ивает схему в виде ориентированного графа, где каждая дуга показывает нап
равление движения автобуса. Затем заново отвечает на вопросы задания —
теперь ответы однозначны и точны.
Ответы к задаче (для учителя)
Ориентированный граф (описание связей):

А→Б, А→Г

Б→В

В→Г, В↔Б (двусторонний маршрут)

Г→Д

Д→А, Д→В
Ответы на вопросы:
1. От А до Д можно доехать: А→Г→Д.
2. От Д до А можно доехать напрямую: Д→А.
3. От А до В можно доехать двумя способами:
o
А→Б→В;
o
А→Г→Д→В.
3. Изучение нового материала (15 мин)
Определение:

Ориентированный граф (орграф) — это граф, в котором каждое ребро
имеет направление. Такие рёбра называются дугами и изображаются
стрелками.
Основные понятия:

Дуга — направленное ребро, показывающее связь от одной вершины к
другой.

Входящая степень вершины — количество дуг, входящих в вершину.

Исходящая степень вершины — количество дуг, исходящих из вершины.

Путь в ориентированном графе — последовательность дуг, где конец
одной дуги является началом следующей.

Цикл в ориентированном графе — путь, начинающийся и
заканчивающийся в одной вершине.
Свойства ориентированных графов:

Сумма исходящих степеней всех вершин равна сумме входящих степеней и
равна количеству дуг в графе.

Ориентированный граф может содержать циклы или быть ациклическим.
Проверка свойств ориентированного графа на предыдущем примере.
4. Практическая работа (10 мин)
Задание 1.
Задание 2. Постройте ориентированный граф по описанию:
В компании 5 сотрудников: А, Б, В, Г, Д. Сотруднику А подчиняется
сотрудник Б, сотруднику Б подчиняется сотрудник В, сотруднику Г
подчиняется сотрудник А, сотрудник Д не имеет подчинённых и никому не
подчиняется.
Задание 3. Определите входящие и исходящие степени всех вершин в
построенном графе.
Задание 4. (доп.) Придумайте свою ситуацию (например, схему движения
автобусов или дружеские связи с указанием, кто кому звонил) и изобразите
её в виде ориентированного графа.
5. Закрепление материала (5–10 мин)
Обсуждение:

В чём главное отличие ориентированного графа от неориентированного?

Как определить входящую и исходящую степень вершины?

Где в реальной жизни можно встретить ориентированные графы?
Примеры ориентированных графов в жизни:

схема движения транспорта (односторонние улицы);

организационная структура компании (подчинение сотрудников);

веб-ссылки между страницами сайта;

пищевые цепи в экосистеме.
Демонстрация примеров на слайдах.
6. Подведение итогов (3–5 мин)
Рефлексия:

Что нового узнали на уроке?

Что было самым интересным?

Какие трудности возникли при построении графов?
Выводы:

Ориентированные графы показывают связи с указанием направления.

Они широко применяются в информатике, логистике, социологии и других
областях.

Основные характеристики — входящая и исходящая степени вершин.
7. Домашнее задание
1. Выучить определения (ориентированный граф, дуга, входящая/исходящая
степень).
2. Построить ориентированный граф для схемы движения общественного
транспорта в вашем районе (3–4 остановки, указать направления движения).
3. Придумать и описать ситуацию, где можно применить ориентированный
граф (5–6 предложений).