Контрольная работа по геометрии: перпендикулярность прямых и плоскостей

Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа
Вариант А1
Задание 1. Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного
треугольника АВС (∠С = 90º), СК = 40. В треугольнике АВС проведена
медиана СМ. Расстояние между точками К и М равно 41. Найти гипотенузу
треугольника АВС.
Задание 2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата ABCD (рис. 2)
проведён отрезок ОК, перпендикулярный к плоскости квадрата. Найти длину
ВК, если АС = 16, ОК = 15.
Задание 3. Через вершину В квадрата АВСD (рис. 3) проведена прямая ВМ.
Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90º, МВ = 7, АВ = 4. Найти МD.
Задание 4. Через точки А и В отрезка АВ (рис. 4) проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках
А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ = 15; АА1 = 9,3; ВВ1 = 18,3.
Задание 5. Общая гипотенуза АВ прямоугольных равнобедренных
треугольников АВС и АВD (рис. 5) равна 10. Плоскости этих треугольников
взаимно перпендикулярны. Найти CD.
Задание 6. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 6).
Найдите B1D, если АВ = 2, В1С1 = √3, DD1 = 3.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа
Вариант А2
Задание 1. Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного
треугольника АВС (∠С = 90º), СК = 35. В треугольнике АВС проведена
медиана СМ. Расстояние между точками К и М равно 37. Найти гипотенузу
треугольника АВС.
Задание 2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата ABCD (рис. 2)
проведён отрезок ОК, перпендикулярный к плоскости квадрата. Найти длину
DK, если АС = 12, ОК = 8.
Задание 3. Через вершину В квадрата АВСD (рис. 3) проведена прямая ВМ.
Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90º, МВ = 4, ВС = √10. Найти МD.
Задание 4. Через точки А и В отрезка АВ (рис. 4) проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках
А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ = 17; АА1 = 7,5; ВВ1 = 15,5.
Задание 5. Общая гипотенуза АВ прямоугольных равнобедренных
треугольников АВС и АВD (рис. 5) равна 2. Плоскости этих треугольников
взаимно перпендикулярны. Найти CD.
Задание 6. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 6).
Найдите BD1, если CD = 2, A1D1 = 1, BB1 = 2.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа
Вариант А3
Задание 1. Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного
треугольника АВС (∠С = 90º), СК = 24. В треугольнике АВС проведена
медиана СМ. Расстояние между точками К и М равно 25. Найти гипотенузу
треугольника АВС.
Задание 2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата ABCD (рис. 2)
проведён отрезок ОК, перпендикулярный к плоскости квадрата. Найти длину
ВК, если АВ = 12√2, ОК = 5.
Задание 3. Через вершину В квадрата АВСD (рис. 3) проведена прямая ВМ.
Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90º, МВ = 2√11, CD = 5√2. Найти МD.
Задание 4. Через точки А и В отрезка АВ (рис. 4) проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках
А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ = 37; АА1 = 15,6; ВВ1 = 27,6.
Задание 5. Общая гипотенуза АВ прямоугольных равнобедренных
треугольников АВС и АВD (рис. 5) равна 6. Плоскости этих треугольников
взаимно перпендикулярны. Найти CD.
Задание 6. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 6).
Найдите АС1, если А1В1 = 2, AD = √5, CC1 = 4.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа
Вариант А4
Задание 1. Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного
треугольника АВС (∠С = 90º), СК = 12. В треугольнике АВС проведена
медиана СМ. Расстояние между точками К и М равно 13. Найти гипотенузу
треугольника АВС.
Задание 2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата ABCD (рис. 2)
проведён отрезок ОК, перпендикулярный к плоскости квадрата. Найти длину
DК, если BС = 3√2, ОК = 4.
Задание 3. Через вершину В квадрата АВСD (рис. 3) проведена прямая ВМ.
Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90º, МВ = 15, АD = 4√2. Найти МD.
Задание 4. Через точки А и В отрезка АВ (рис. 4) проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках
А1 и В1. Найдите А1В1, если АВ = 29; АА1 = 22,7; ВВ1 = 43,7.
Задание 5. Общая гипотенуза АВ прямоугольных равнобедренных
треугольников АВС и АВD (рис. 5) равна 4. Плоскости этих треугольников
взаимно перпендикулярны. Найти CD.
Задание 6. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис. 6).
Найдите А1С, если CD = 5, В1С1 = 2√5, AA1 = 6.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа
Вариант В1
Задание 1. Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного
треугольника АВС (∠С = 90º), СК = 17,5. В треугольнике АВС проведена
высота СМ, АМ = 3√2, ВМ = 6√2 Найти КМ.
Задание 2. Через точку О пересечения диагоналей прямоугольника ABCD со
сторонами 20 и 8√6 (рис. 2) проведён отрезок ОК, перпендикулярный к
плоскости прямоугольника. Найти длину СК, если ОК = 4√30.
Задание 3. Через вершину В квадрата АВСD (рис. 3) проведена прямая ВМ.
Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90º, МВ = 42, CD = 40√2. Найти расстояние
от точки М до прямой АС.
Задание 4. Через точки Р и К отрезка РК (рис. 4) проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках
Р1 и К1. Точка О - середина отрезка РК. Найдите РР1, если КК1 = 12,2; а
расстояние от точки О до плоскости α равно 8,6.
Задание 5. Общая сторона АВ правильных треугольников АВС и АВD (рис.
5) равна 12. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найти
CD.
Задание 6. Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 6). Найдите ВС, если B1D2 = 588.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа
Вариант В2
Задание 1. Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного
треугольника АВС (∠С = 90º). В треугольнике АВС проведена высота СМ,
АМ = 8√2, ВМ = 9√2, КМ = 12,5. Найти СК.
Задание 2. Через точку О пересечения диагоналей прямоугольника ABCD со
сторонами 18 и 6√7 (рис. 2) проведён отрезок ОК, перпендикулярный к
плоскости прямоугольника. Найти длину СК, если ОК = 2√85.
Задание 3. Через вершину В квадрата АВСD (рис. 3) проведена прямая ВМ.
Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90º, МВ = 12, АD = 16√2. Найти расстояние
от точки М до прямой АС.
Задание 4. Через точки Р и К отрезка РК (рис. 4) проведены прямые,
перпендикулярные к плоскости α и пересекающие её соответственно в точках
Р1 и К1. Точка О - середина отрезка РК. Найдите РР1, если КК1 = 18,4; а
расстояние от точки О до плоскости α равно 13,2.
Задание 5. Общая сторона АВ правильных треугольников АВС и АВD (рис.
5) равна 14. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найти
CD.
Задание 6. Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 6). Найдите АВ, если А1С2 = 507.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа
Вариант С1
Задание 1. Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного
треугольника АВС (∠С = 90º), СК = 2√31. В треугольнике АВС проведена
высота СМ, АС= 5, ВС = 10. Найти КМ.
Задание 2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата ABCD (рис. 2)
проведён отрезок ОК, перпендикулярный к плоскости квадрата. Найти
площадь квадрата ABCD, если известно, что ОС = ОК, а площадь
треугольника КОС равна 37,25.
Задание 3. Через вершину В квадрата АВСD (рис. 3) проведена прямая ВМ.
Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90º. Расстояние от точки М до прямой АС
равно 7√11. Известно, что ВМ больше стороны квадрата в 1,5 раз. Найдите
ВМ.
Задание 4. Точка D равноудалена от всех вершин правильного треугольника
АВС (рис. 4). Найти расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС,
если известно, что АВ = 12√3, CD = 13.
Задание 5. АВ - общая сторона равносторонних треугольников АВС и АВD
(рис. 5). Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найти
CD, если площадь треугольника АВС равна 96√3.
Задание 6. Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 6). Найдите его полную
поверхность, если площадь четырёхугольника BB1D1D равна 25√2.
Перпендикулярность прямых и плоскостей.
Углы между прямыми и плоскостями. Контрольная работа
Вариант С2
Задание 1. Прямая СК (рис. 1) перпендикулярна плоскости прямоугольного
треугольника АВС (∠С = 90º), СК = 1,6. В треугольнике АВС проведена
высота СМ, АС = 6, ВС = 12. Найти КМ.
Задание 2. Через точку О пересечения диагоналей квадрата ABCD (рис. 2)
проведён отрезок ОК, перпендикулярный к плоскости квадрата. Найти
площадь квадрата ABCD, если известно, что ОС = ОК, а площадь
треугольника КОС равна 34,25.
Задание 3. Через вершину В квадрата АВСD (рис. 3) проведена прямая ВМ.
Известно, что ∠МВА = ∠МВС = 90º. Расстояние от точки М до прямой АС
равно 12√3. Известно, что ВМ больше стороны квадрата в 2,5 раз. Найдите
ВМ.
Задание 4. Точка D равноудалена от всех вершин правильного треугольника
АВС (рис. 4). Найти расстояние от точки D до плоскости треугольника АВС,
если известно, что АВ = 8√3, CD = 17.
Задание 5. АВ - общая сторона равносторонних треугольников АВС и АВD
(рис. 5). Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найти
CD, если площадь треугольника АВD равна 54√3.
Задание 6. Дан куб ABCDA1B1C1D1 (рис. 6). Найдите объём куба, если
известно, что B1D = 9√3.
Ответы
1
2
3
4
5
6
А1
АВ = 18
ВК = 17
MD = 9
A1B1 = 12 CD = 5√2 B1D = 4
А2
АВ = 24
DK = 10
MD = 6
A1B1 = 15 CD = √2
А3
АВ = 14
BK = 13
MD = 12 A1B1 = 35 CD = 3√2 AC1 = 5
А4
АВ = 10
DK = 5
MD = 17 A1B1 = 20 CD = 2√2 A1C = 9
В1
КМ = 18,5
CK = 26
58
PP1 = 5
CD = 6√6 BC = 14
В2
СК = 3,5
CK = 22
20
PP1 = 8
CD = 7√6 AB = 13
C1
KM = 12
S = 149
BM = 21
5
CD = 24
S = 150
C2
KM = 5,6
S = 137
BM = 20
15
CD = 18
V = 729
BD1 = 3