Физика. 9 класс. Механика. Учебник

DPO0Q
А. Е. Гуревич
ФИЗИКА
Механика
к л а с с
Учебник
для общеобразовательных
учебных заведений
Допущено
Министерством образования
Российской Федерации
орофа
Москва 2001
УДК 373.167.1:53
ББК 22.2я721
Г95
Г95
Гуревич А. Е.
Физика. Механика. 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учеб.
заведений. — М.: Дрофа, 2001. — 288 с.: ил.
ISBN 5—7107—3940—5
Учебник предназначен для учащ ихся общ еобразовательных учебных
заведений. Н аписан в соответствии с авторской программой и является
продолжением курса А. Е. Гуревича «Ф изика. 7 класс», «Ф изика.
8 к л асс».
Д анны й учебник — многоуровневое пособие, поэтому м ож ет быть
использован в классах с различной специализацией.
УДК 373.167.1:53
Б Б К 22.2я721
ISBN 5—7107—3940—5
© ООО «Дрофа», 2001
Часть I
Законы
механики
Глава I
Механическое движение
и его характеристики
1. Определение и виды
механического движения
1.1. Определение механического движения
Изучение механики начнем с определения механического
движ ения.
М еханическим движением называют, изменение поло­
жения одних тел относительно других, происходящее в
пространстве с течением времени.
Проанализируем это определение. Что означает вы раж е­
ние «изменение положения одних тел относительно других»?
Переместите по столу какой-либо предмет (ластик, тетрадь,
ручку) (рис. 1) и подумайте, на ос­
новании чего мы утверждаем, что
этот предмет двигался.
Обычно над подобным вопро­
сом мы не задумываемся, потому
что ответ на него каж ется очевид­
ным. Все ж е отнеситесь серьезно
к этому вопросу и попробуйте дать
на него ответ самостоятельно.
рис. ■)
3
А ответ следующий: мы утверждаем, что предмет двигал­
ся, так как он изменил свое положение относительно стола —
был на краю, оказался на середине.
Мы говорим, что маш ина движ ется, если изменяется ее
положение относительно зданий, деревьев; корабль плывет,
если изменяется его положение относительно берега.
а
q
Остановимся, подумаем
1. В левой колонке таблицы 1 приведены примеры ряда
движений. Попытайтесь самостоятельно в правой колонке
привести обоснования справедливости данных утверж де­
ний.
Т аблица 1
Можно утверждать, что
потому что
ручка при письме движется,
мяч летит по футбольному полю,
движется стрелка часов,
2. Почему, когда самолет летит на большой высоте, у пас­
сажиров в салоне создается впечатление, что самолет не
движется?
И так: факт движ ения т ела можно уст ановит ь, только
сопост авляя его положение с положением других т ел в р а з­
личны е моменты времени.
В определении механического движ ения обратите внима­
ние на два очень важ ны х понятия: пространство и врем я.
Механическое движение происходит в пространстве и в тече­
ние определенного промеж утка времени.
В заключение остановимся еще на одном понятии, кото­
рое будем использовать при изучении механического движ е­
ния, — мат ериальная точка.
М ат ериальной точкой считают такое тело, р а зм е­
рам и которого можно пренебречь в соответствии с усло­
вием рассм ат риваем ой задачи.
4
Например, самолет, движ ущ ийся по взлетной полосе,
можно считать материальной точкой. Тот ж е самолет, выпол­
няю щ ий те или иные фигуры высшего пилотажа, за матери­
альную точку принять нельзя.
Рассматривая взаимодействие Земли и Луны, их можно
принять за материальные точки, так как радиус Земли в 60
раз меньше расстояния между Землей и Луной, а радиус Л у­
ны в 1,7 раза меньше радиуса Земли. Вместе с тем, изучая
движение масс воздуха в атмосфере, Землю нельзя считать
материальной точкой.
1.2. Виды механического движения
Среди огромного количества примеров механического
движ ения часто выделяют следующие виды: пост упат ель­
ное и вращ ательное.
П ри пост упат ельном движении все точки тела дви­
жутся одинаково. Любая прям ая, проведенная в теле, при
движении тела смещается параллельно самой себе (рис. 2).
П ри вращательном движении все точки тела движут­
ся по окружности с центром в одной точке (рис. 3) или на
одной прямой (рис. 4).
Однако не все движ ения в природе можно четко разделить
по указанны м видам. Например, Зем ля совершает орбиталь­
ное движение вокруг Солнца и вращ ается вокруг своей оси.
Колесо автомобиля вращ ается вокруг оси и вместе с автомоби­
лем перемещ ается вдоль дороги.
- Я -
✓
Рис. 3
Рис. 2
5
Рис. 4
и
в Остановимся, подумаем
Н а рисунке 5 показаны примеры движ ения тел. К каком у
виду можно отнести каж дое из них?
1. Что называю т м еханическим движением?
2. П ри к а к и х условиях тело можно счит ат ь мат ери­
альной точкой? П риведит е примеры.
3. К акие виды механического движ ения вам известны?
П риведит е примеры р а зли ч н ы х видов движ ения (ж елат ель­
но не приведенные в § 1).
Упражнение 1
1.
У каж ите, в каком из приведенных ниж е примеров тело
или частицу можно считать материальной точкой:
— электрон движется в атоме вокруг ядра;
— ионы колеблются в узлах кристаллической реш етки;
— гимнаст выполняет упражнение на перекладине;
— железнодорожный состав движется по мосту;
— электрон движется в электрическом поле конденсатора;
— космическая станция в процессе движения вокруг Земли;
6
— космическая станция в процессе пристыковки к ней
грузового корабля.
2.
Н а рисунке б показан кран, перемещающий груз. У ка­
жите тела, движ ущ иеся поступательно; вращательно.
Рис. 6
3. К ак движ ется колесо велосипеда относительно дороги?
2. Характеристики механического
движения
Рассмотрим физические величины (характеристики), кото­
рыми мы будем пользоваться, изучая механическое движение.
Координаты
На столе леж ит ш арик. Каким образом можно охаракте­
ризовать место стола, в котором он находится?
Д ля ответа на этот вопрос не обойтись без указания тела,
которое будет служ ить ориентиром — т ело м от счет а. В дан­
ном случае телом отсчета может быть любой предмет, находя­
щ ийся на столе, или любая точка,
например точка О (рис. 7). Свяжем
с телом отсчета сист ем у коорди­
нат — оси О Х и O Y — два взаимно
перпендикулярных направления в
пространстве. С помощью постро­
ения, показанного пунктирными ли ­
ниями, можно определить координа­
ты точки х, у, в которой расположен
Рис. 7
ш арик.
7
Рис. 8
В данном случае мы имеем дело с расположением тела на
плоскости и для определения положения тела потребовалось
две координаты.
Если же тело движ ется по прямой линии, то для указания
его положения достаточно одной координаты (рис. 8).
В том случае, когда тело перемещается в пространстве, на­
пример муха, летящ ая по комнате, для определения его поло­
ж ения необходимо задать три координаты х, у, z (рис. 9).
Время
Говорить о механическом движении, не пользуясь поня­
тием времени, невозможно. Время — очень сложное понятие.
Но мы будем использовать его только в привычном для по­
вседневной ж изни смысле. Нас будет интересовать, сколько
Р и с .10
8
времени тело двигалось. Например, полет в космическом про­
странстве первого космонавта планеты Ю рия Гагарина про­
долж ался 108 минут.
Часто бывает важно знать, где будет находиться движ у­
щееся тело в различные моменты времени. Так, расписание
движ ения поезда позволяет определить, в какой момент вре­
мени он прибудет в пункт назначения.
Основной единицей времени является секунда (1 с).
Траектория
Траекторией называют линию, вдоль которой двига­
лось тело.
Иногда траектория движ ения тела может быть видимой.
Н апример, туманный след пролетающего в небе самолета
(рис. 10), след автомаш ины на дороге, линия, проведенная ме­
лом на классной доске.
По виду траектории движение делится на прямолинейное
(рис. 11, а) и криволинейное (рис. 11, б).
а)
б)
Рис. 11
Радиус-вектор точки
В ряде случаев положение точки в пространстве характе­
ризуют не координатами, а радиусом -вект ором .
Радиусом-вект ором называют вектор, соединяющий
начало отсчета и точку пространства, в которой распо­
ложено тело.
Рассмотрите рисунок 12, где точ­
к а О — начало отсчета, ОМ — вы ­
бранное направление в пространстве.
Чтобы определить положение на
плоскости точки А, надо указать
модуль радиуса-вектора ОА
и его
9
направление, т. е. угол а между на­
правлением на точку А и выбран­
ным направлением ОМ.
Подобный способ задания поло­
ж ения точки в пространстве ис­
пользуется при ориентировании на
местности (рис. 13).
Путь и перемещение
В процессе механического дви­
ж ения положение тела в простран­
стве изменяется. Для того чтобы
охарактеризовать это изменение,
вводят понятия пут ь и переме­
щение.
П ут ь — расст ояние\ пройденное телом вдоль т раек­
тории за врем я наблюдения.
Перемещ ение — вект ор, соединяющий начальное и ко­
нечное положения тела.
Расстояние измеряют в различны х единицах — метрах,
километрах, дюймах и т. д. Мы будем пользоваться единица­
ми, внесенными в Международную систему единиц СИ. В этой
системе за единицу расстояния принят метр (1 м).
Еще раз отметим, что путь определяет лиш ь расстояние,
пройденное телом. Перемещение ж е указы вает направление,
в котором двигалось тело, и удаление конечной точки движ е­
ния от начальной. Вместе с тем, зная лиш ь перемещение, не­
возможно установить, каким ж е образом (по какой траекто­
рии) тело двигалось.
Путь и модуль перемещения могут совпадать или не совпа­
дать друг с другом. Они будут равны в том случае, если тело
движется прямолинейно в одном направлении. Путь положи­
тельно заряженной частицы, движущейся в электрическом поле
(рис. 14, а), равен M N , модуль ее перемещения также равен M N.
Рис. 15
В случае, показанном на рисунке 14, б, положительный
заряд движется из точки А против силовых линий электриче­
ского поля, замедляет движение, останавливается в точке В и
начинает движение вдоль силовых линий. При движ ении за­
ряда от точки А до точки В и обратно путь равен расстоянию
2АВ, а модуль перемещения нулю.
Рассмотрите рисунок 15. Из точки А в точку С можно
попасть по-разному, по суше или на лодке по воде. Пути,
пройденные в этих случаях, будут разными, а перемещения
одинаковыми.
Иногда достаточно знать лиш ь путь или перемещение, а
бывает, что необходимо знать обе эти величины. Так, напри­
мер, ш турману самолета необходимо знать перемещение само­
лета. Но вместе с тем, поскольку траектория полета далеко не
всегда является прямой, соединяющей пункты назначения,
летчикам важно представлять и путь, который предстоит про­
лететь самолету. Ведь от пути будет зависеть расход горючего
в полете.
В& Остановимся, подумаем
Приведите примеры движ ений, в которых наиболее важ ­
ными следует считать: указание пути; указание переме­
щ ения.
11
Скорость движения (мгновен­
ная и средняя)
Говоря о механическом дви­
ж ении, обычно оценивают, как
быстро оно происходит. При этом
пользуются понятием скорость
движения.
В опыте, показанном на рисунм
ке 16, ш арик из точки А перемеv = (Гбс = 2 ~с
щ ается в точку В. При этом путь
и модуль перемещения совпадают.
Если поделить путь, пройденный
телом, на время его движ ения, мы получим среднюю скорость
движ ения на участке АВ .
Средней скоростью называется величина, равная отно­
шению, перемещения тела ко времени движения:
й ~
—I} >
иср
где иср — средняя скорость;
s — перемещение;
t — время, за которое это перемещение совершено.
Единицу скорости можно получить, разделив единицу пе­
ремещ ения на единицу времени:
r
,
[s]
1 М
1
,
ш = 17 = 1 м / с -
Единица скорости в СИ — метр в секунду (1 м /с ).
Если s — путь, то говорят о путевой скорости движения:
s
V cp ~
i •
Одинаковой ли окаж ется значение средней скорости на от­
дельных участках движ ения тела? Д ля ответа на вопрос опре­
делим значение средней скорости на верхней и ниж ней поло­
винах пути (рис. 17).
Результаты опытов показываю т, что средняя скорость на
участках АС и СВ неодинакова:
< v2. А что, если бы весь
путь АВ мы разбили не на две, а на 100 равных частей (длиной
по 1 см)? Мы бы увидели, что при движении тела от сантимет­
ра к сантиметру значение его средней скорости непрерывно
возрастало бы.
12
Р и с .17
При рассмотрении движ ения важно знать не только зна­
чение средней скорости на всем пути, но и скорость на отдель­
ных его участках и даже в конкретны х точках траектории.
М гновенная скорость — скорость в определенный мо­
мент времени или в определенной точке траектории.
Мгновенную скорость можно представить как среднюю
скорость, но за очень маленький промежуток времени.
Когда мы, наблюдая падение тела, говорим, что его ско­
рость растет, то имеем в виду мгновенную скорость. Во фразе
«автомобиль замедляет движение на перекрестке» такж е речь
идет о мгновенной скорости. Спидометр автомобиля показы ­
вает мгновенную скорость. А вот когда говорится о скорости
течения реки на каком-либо участке или о скорости самолета
по трассе, то речь идет о средней скорости движ ения.
Iq Остановимся, подумаем
Приведите примеры, в которых речь идет: о средней ско­
рости; мгновенной скорости движ ения.
В таблице 2 приведены некоторые встречающиеся в при­
роде и технике средние скорости движения.
Иногда приходится сравнивать значения скоростей, выра­
ж енных в разны х единицах. Например, к ак , пользуясь дан­
ной таблицей, установить, что больше — скорость ветра или
скорость автомобиля? Ясно, что для ответа на этот вопрос на­
до выразить скорости в одних единицах.
13
Таблица 2
Пешеход
1,3 м/с
Луна по орбите вокруг Земли
1 км/с
Слабый ветер
4— 5 м/с
Сильный ветер
10— 12 м/с
Земля по орбите вокруг
Солнца
30 км/с
Бабочка
8 км/ч
Предельная скорость авто­
мобиля в городе
60— 80 км/ч
Ветер при
шторме
19—21 м/с
Звук в воздухе
331 м/с
Молекула водо­
рода при f= 0 °С
1693 м/с
Самолет Як-42
900 км/ч
Космическая станция
« 28 000 км/ч
Напомним, как это делается. Пусть скорость ветра
ов= 1 0 м / с , скорость автомобиля Уа = 3 6 к м / ч , сравним эти
скорости:
ос
/
36 000 м
1П
,
оа = 36 к м /ч = 3600с = 10 м /с => ов = i>a.
Попытайтесь самостоятельно сравнить скорости: ветра
и бабочки; молекулы и самолета; Земли при движении во­
круг Солнца и космической станции при движ ении вокруг
Земли.
Ускорение
Представим себе ситуацию, которая часто возникает на
перекрестках дорог. Перед светофором стоят несколько авто­
маш ин. Включается зеленый свет — маш ины приходят в дви­
жение. Но пока одна из них успевает продвинуться на не­
сколько метров, другая оказывается далеко впереди. Ясно,
что вторая маш ина быстрее набирала скорость, потому и успе­
ла за то ж е время пройти расстояние больше, чем первая.
В большинстве примеров движ ения скорость не остается
постоянной, она либо возрастает, либо убывает. Например, ав­
томобиль при разгоне увеличивает скорость, перед светофо­
ром уменьшает. Но изменение скорости может происходить
по-разному. Не страшно спускаться на санках с пологой горы.
Скорость растет, но не очень быстро. А вот если гора крутая и
скользкая, скорость растет так быстро, что не всякий отва­
ж ится на спуск.
Величину, которая характеризует быстроту изменения
скорости, называют ускорением .
14
Ускорением называют величину, равную изменению
скорости за единицу времени:
где а — ускорение;
и0 — начальная скорость;
v — конечная скорость;
v - д0 — изменение скорости за время t;
v~v0
—-— — изменение скорости за 1 секунду, т. е. ускорение.
А нализируя формулу — определение ускорения, обратим
внимание на два важ ны х обстоятельства.
1. Основная единица измерения ускорения:
Конечно, возможно измерять ускорение и в других едини­
цах, например в 1 см /с2.
2.
В числителе формулы находится векторная величин
(и - и0), в знаменателе — скалярная. Поэтому ускорение как
результат деления вектора на скаляр является векторной ве­
личиной. Н аправление ускорения совпадает с направлением
вектора изменения скорости:
Рассмотрим следующий пример. М альчик скатывается с
горы на санках (рис. 18). На склоне горы скорость м альчика
Рис. 18
15
возрастает (v2 > v^). В ычитая из вектора v2 вектор v t , мы полу­
чаем вектор изменения скорости д2 ~ иг. Обратите внимание:
вектор ускорения совпадает по направлению с вектором ско­
рости: а 1 ТТ v2 - vv
Н а горизонтальной поверхности из-за трения санки начи­
нают останавливаться. Чтобы найти ускорение санок на этом
участке, вычтем из вектора и4 вектор г33. Вычитание векторов
приводит нас к выводу: при торможении санок ускорение их
направлено против направления движ ения.
На участках спуска и торможения скорость либо возраста­
ла, либо уменьш алась, но не меняла направления. А вот при
переходе санок от наклонного к горизонтальному участку до­
роги изменилось и направление скорости. Определим, к ак бы­
ло направлено ускорение на этом участке.
Вычтя из вектора v3 вектор v2, видим, что направление
вектора а2 не совпадает с направлением векторов v2 и v3.
Рассмотренный выше пример иллюстрирует важное поло­
жение, касающееся направления ускорения (табл. 3).
Т аблица 3
Всегда верно
направление ускорения совпадает
с направлением вектора разности
скоростей а ТТ у2 - г 1
Если тело движется прямоли­
нейно и скорость возрастает
ускорение направлено по вектору
скорости а ТТ г
Если тело движется прямоли­
нейно и скорость убывает
ускорение направлено против вектора
скорости а Т Т у
Если направление скорости
изменяется
направление ускорения не совпадает
с направлениями скоростей у 1 и у2
Т абли ца 4
Вид движения
Мгновенная скорость
Ускорение
Равномерное
Не изменяется (у = const)
Равно­
ускоренное
Изменяется (растет или уменьшается)
одинаково за равные промежутки времени
а ф0
а = const
Ускоренное
Изменяется (растет или уменьшается)
аФ 0
а Фconst
16
а =0
В зависимости от изменения скорости прямолинейное дви­
жение может быть равномерным, равноускоренным, ускорен­
ным (табл. 4).
В таблице 5 приведены некоторые значения ускорений,
встречающ ихся в природе и технике.
Т абли ца 5
Лифт пассажирский при спуске
0,3—0,6 м/с 2
Пассажирский поезд при наборе скорости
0,35 м/с 2
Легковой автомобиль при наборе скорости
3 м/с 2
Аварийное торможение легкового автомобиля
6 м/с 2
Ускорение свободного падения на поверхности Земли
9,8 м/с 2
Вопросы и задания
1. П еречислит е характ ерист ики механического движе­
ния, назовит е и х единицы и дайте определения эт их вели ­
чин.
2. Что можно сказат ь о направлениях средней скорости
и перемещения тела?
3. Что можно сказат ь о направлениях ускорения и
мгновенной скорости т ела в начальной и конечной т очках
движения? С чем совпадает направление ускорения?
4. К ак должно быть направлено ускорение т ела, чтобы
скорость его возраст ала; уменьш алась; изм енялась по на­
правлению?
5. Какое движение являет ся равномерным; равноускорен­
ным; ускоренным?
Упражнение 2
1. Спортсмен бежит по кругу. Сделайте соответствующий
рисунок и укаж ите на нем путь и перемещение спортсмена в
момент времени, когда он пробежал четверть круга; половину
круга; полный круг.
2. В чем состоит различие в движении двух тел, скорости
которых 10 м /с и -1 0 м /с?
17
3. Поднимите на некоторую высоту ластик и лист бумаги.
Отпустите их. Чем отличаются движ ения ластика и листа бу­
маги? (Сопоставьте характеристики их движ ения.)
4. Подбросьте ластик вертикально вверх. В какую сторону
направлено ускорение ластика: а) на участке подъема; б) на
участке падения? Ответ объясните.
5. Скорость тела 5 м /с, ускорение 3 м /с 2. Какой станет
скорость тела через 1 с?
6. Н иж е приведен ряд значений скорости движ ения тела в
м /с через каж ды е 2 с: 0; ...; 6; ...; 12; ...; 18. Определите не­
достающие в этом ряду значения скорости, если известно, что
движение тела было равноускоренным.
7. Постройте графики зависимости: а) скорости от време­
ни для равномерного движ ения; б) ускорения от времени для
равноускоренного движ ения.
Ш 3. Относительность механического
движения
3.1. Относительность понятий
«покой» и «движение»
Представьте, что вы движетесь в автомобиле по дороге.
Перемещаетесь вы или нет?
Скорее всего, вы ответите: да. И будете совершенно правы.
Может быть, кто-то из вас даже обоснует ответ: в какое-либо
мгновение автомобиль был на одной улице, а через минуту —
уже на другой. Изменилось его положение относительно дру­
гих тел. Значит, автомобиль и вы вместе с ним двигались. Это
верно.
Но, с другой стороны, вы к ак сидели в автомобиле на пе­
реднем сиденье, так и продолжали сидеть. Значит, ваш е поло­
жение относительно автомобиля не менялось. Следовательно,
вы не двигались.
Так двигались вы или нет? Какой ответ верен? Оба верны.
О казывается, понятия «покой», «движение» зависят от выбо­
ра системы отсчета.
Системой отсчета называют совокупность тепа от­
счета, связанной с ним системы координат и часов.
18
Д ля указания системы отсчета называют одно из тел этой
системы. Например: система отсчета, связанная с Землей; сис­
тема отсчета, связанная с Солнцем, с поездом, атомом и т. д.
В одной системе отсчета тело может покоиться, в другой —
в тот же момент времени двигаться. Например, плот, плы ву­
щий по реке, относительно воды покоится, а относительно бе­
регов движется. Вы сейчас, читая книгу, относительно Земли
покоитесь, но вместе с Землей и, конечно, книгой движетесь
относительно Солнца с колоссальной скоростью 30 км /с.
|
о Остановимся, подумаем
Человек, находящ ийся на плоту, реш ил удить рыбу
(рис. 19). Будет ли течение реки относить поплавок и со­
здавать тем самым неудобство для ловли рыбы? Имеет ли
значение, у какого борта плота расположился человек?
Рис. 19
3.2. Зависимость координаты тела
от выбора системы отсчета
Представьте, что вы находитесь в движ ущ емся поезде и
вам надо определить координату какого-либо тела. Вы можете
отсчитать расстояние до тела, например, от задней стенки
вагона, в котором едете. При этом системой отсчета будет
служ ить поезд, а телом отсчета — стенка вагона. Однако если
систему отсчета связать с Землей, а за тело отсчета принять
19
Рис. 20
вокзал (рис. 20), то координата того же самого тела будет уже
другой. Отсюда, как и из множества подобных примеров, сле­
дует вывод:
Координата тела зависит от выбора системы отсчета.
3.3. Относительность траектории движения
Проделаем следующий опыт (рис. 21). Приведем диск во
вращение вокруг горизонтальной оси и проведем по нему ли ­
нию карандаш ом от центра к краю.
Какой получится траектория грифеля?
Тот, кто чертил эту линию, уверен, что траектория — пря­
мая. Он старался вести мел точно от центра к краю по прямой.
Но посмотрим на диск. На нем остался отчетливый след в
виде спирали. Выходит, что траектория — спираль.
20
Какой же ответ верный? Оба. Относительно стола мел дви­
гался по прямой, относительно вращающегося диска — по
спирали.
Еще один пример. Снимается фильм: параш ютист прыга­
ет с самолета. Видно, как он по прямой уходит вниз к земле.
Парашютист удаляется от самолета, раскры вается парашют.
На съемках, сделанных с самолета, параш ютист спускается
почти по прямой. На ленте ж е, снятой с земли, этот ж е пара­
шютист движется по траектории, напоминающей параболу,
вытянутую в направлении движ ения самолета (рис. 22). И в
этом примере траектории движ ения тела в разны х системах
отсчета не совпадают.
Сделаем вывод:
Траект ория движения тела зависит от выбора систе­
мы отсчета.
У
© Остановимся, подумаем
Ответьте на вопрос: каков вид траектории движ ения иглы
проигрывателя относительно корпуса проигрывателя; отно­
сительно вращающегося диска?
3.4. Зависимостьперемещения
от выбора системы отсчета
Определите по рисунку 23 перемещение девочки.
У кого-то получилось 4 м. Верно.
У кого-то — 9 м! Тоже верно.
Рис. 23
21
Но в первом случае перемещение измерялось относитель­
но платформы, а во втором — относительно земли.
Обозначим через:
s — перемещение девочки относительно земли (относитель­
но неподвижной системы отсчета);
s' — перемещение девочки относительно движущ ейся
платформы (относительно подвижной системы отсчета);
!п — перемещение платформы относительно стола (пере­
мещение подвижной системы отсчета).
Заметьте, что для указанных значений перемещения вы ­
полняется следующее соотношение:
s = s' + sn,
9 м = 4 м + 5м .
Теперь рассмотрим рисунок 24.
Рис. 24
Перемещение девочки относительно движущ ейся плат­
формы равно s' = - 3 м (знак минус объясняется тем, что пере­
мещение совершалось против выбранного направления оси
О'Х'). Ее перемещение относительно земли s = 2 м. Перемеще­
ние платформы относительно земли sn = 5 м.
И в этом случае перемещения девочки относительно плат­
формы и земли неодинаковы, но выполняется соотношение:
s = s' + sn,
2 м = - 3 м + 5 м.
22
Рис. 25
А теперь рассмотрим более сложную ситуацию. По реке
плывет плот, а по плоту от одного его борта к другому (из
точки А в точку В) идет человек (рис. 25).
Заметьте, что при сложении векторов s, s' и sn образуется
треугольник. Вектором суммы в нем является вектор 3, а век­
торы s' и Зп являю тся слагаемыми. То есть 3 = s' + Зп.
Получается такое ж е соотношение, что и в предыдущих
двух случаях, только в векторном виде.
Вывод:
П ерем ещ ение зависит от выбора сист емы отсчета:
-»
-»/ . -»
s = s + вп.
Проверим полученное соотношение, для чего проделаем
экспериментальное задание.
^Экспериментальное задание № 1
Изучение зависимости перемещения
о т выбора систем ы отсчета
Оборудование: линейка, карандаш , тетрадь.
Х од работ ы
1.
Положите на стол лист бумаги или тетрадь. Сверху по­
местите линейку (рис. 26). Проведите карандашом линию
вдоль линейки, одновременно перемещая линейку в перпен­
дикулярном направлении вниз вдоль листа.
23
Рис. 26
2. У каж ите на рисунке пере­
мещение карандаша относительно
листа и линейки, а такж е пере­
мещение линейки относительно
листа.
3. Определите, какие из векто­
ров являю тся слагаемыми. Какой
вектор является вектором суммы?
4. Сделайте вывод.
3.5. Зависимость скорости
от выбора системы отсчета
Рассмотрим следующий пример. Самолет летит на север
со скоростью v' относительно воздуха (рис. 27). Воздух же дви­
ж ется на восток со скоростью ип (скорость подвижной системы
отсчета). С какой скоростью v движется самолет относительно
Земли? Запиш ем соотношение для перемещения самолета от­
носительно Земли:
1 = 2 ' + sn,
где s' — перемещение самолета относительно воздуха;
s — перемещение самолета относительно Земли;
2П— перемещение воздуха относительно Земли.
Рис. 27
24
Разделим обе части равенства на время движения самолета.
Получаем:
S =
&
£п
t
t
t ’
где | — скорость самолета относительно Земли (и);
s'
- — скорость самолета относительно воздуха (и );
-»
g
■j — скорость ветра (ип).
Приведенная выше формула принимает вид: v = v' + vn.
Вывод:
Скорость зависит от выбора системы отсчета.
Д ля скоростей в различных системах отсчета существует
соотношение, подобное соотношению между перемещениями
в этих системах отсчета.
Обобщив все изложенное в данном параграфе, можно сде­
лать общий вывод:
М еханическое движение относительно , т. е. характ е­
ристики движения зависят от выбора системы отсчета.
Правда, из сказанного не следует, что буквально все х а­
рактеристики различаю тся в двух системах отсчета, одна из
которых равномерно движется относительно другой. Класси­
ческая механика, созданная трудами Ньютона, Галилея, ут­
верждает, что в этих системах отсчета одинаковыми являю тся
масса тел, ускорение, сила, время, длина отрезка и некоторые
другие характеристики.
с
Вопросы и задания
1. Что означает утверждение: «М еханическое движе­
ние относительно»?
2. П риведит е примеры, доказывающие зависимость от
выбора системы отсчета координаты, траектории, переме­
щения и скорости.
25
%
L! Упражнение 3
1. В центре плота, плывущего по реке, сделано отверстие
прямоугольной формы (рис. 28). Человек прыгает в воду и ло­
ж ится на ее поверхность без движений. Движется ли человек?
Будет ли человек с течением времени сближ аться с одним из
краев плота?
2. Пусть человек проплывет от точки В до точки С (рис. 28).
Что можно сказать о перемещ ениях человека относительно
плота и земли? Будем считать, что скорость течения 2 м /с,
скорость человека относительно воды 1 м /с. Чему равна ско­
рость человека относительно земли?
Рис. 28
3. Пусть человек проплывет от точки С до точки В (рис. 28),
развивая те ж е усилия, что и в случае, описанном в задании 2.
Чему равна скорость человека относительно плота и относи­
тельно земли?
4. Сравните время движ ения человека (рис. 28) от точки В
до точки С и обратно.
5. Пусть человек плывет от точки А до точки D, развивая
те же усилия, что в предыдущих случаях. Сделайте рисунок.
У каж ите на нем перемещения человека относительно плота,
относительно берега и перемещения плота относительно зем­
ли. Чему равны скорости человека относительно плота и отно­
сительно земли?
26
Повторим, обдумаем изученное
Рассмотрите структурную схему основных понятий гла­
вы I, дайте их определения.
Механическое движение
-
Материальная точка
Характеристики механического движения
координаты
время
средняя скорость
! траектория
мгновенная скорость
путь
перемещение
ускорение
Относительность механического движения
П овт ори м сам ое главн ое
1. Сформулируйте определения векторных и скалярны х
величин. Какие из характеристик механического движ ения
относятся к векторным, какие — к скалярны м ? К ак склады ­
ваются скалярны е и векторные величины?
2. Что называется системой отсчета? Почему, говоря о ха­
рактеристиках механического движ ения, необходимо указы ­
вать систему отсчета? Приведите примеры.
3. Запиш ите формулы, позволяющие по перемещению и
скорости тела в подвижной системе отсчета рассчитать эти ха­
рактеристики в неподвижной системе отсчета.
Упражнение 4
1.
В вертикально расположенной стеклянной трубке, н
полненной водой, наверху находится пузырек воздуха. Трубку
27
переворачивают на 180°, и пузырек воз­
духа всплывает вверх (рис. 29). Одно­
временно с этим трубку перемещают
вдоль доски в горизонтальном направле­
нии. На рисунке в тетради укажите:
— перемещение пузы рька воздуха
относительно трубки;
— перемещение пузы рька воздуха
относительно доски;
— перемещение трубки относиКаким соотношением связаны эти перемещения?
2. Будет ли развеваться флаг, укрепленный на свободно па­
рящ ем воздушном шаре; на движущ емся самолете?
3. Будет ли развеваться флаг, укрепленный на воздушном
шаре; при движении ш ара; в момент, когда ш ар неподвижен
на земле?
4. М отоциклист первые 2 ч ехал со скоростью 50 к м /ч ,
а следующий 1 ч со скоростью 40 к м /ч . Какова средняя ско­
рость мотоциклиста на всем пути?
5. Автомобиль движется по трассе со скоростью 72 к м /ч ,
догоняя автобус, скорость которого 10 м /с. Какова ско­
рость автомобиля относительно автобуса; относительно авто­
мобиля?
6. По параллельным путям в одном направлении движ ут­
ся два поезда. Скорость первого поезда 10 м /с, второго —
15 м /с. Найдите время обгона первого поезда вторым, если
длина первого поезда равна 250 м.
7. Автобус движется равноускоренно с ускорением 0,3 м /с 2
из состояния покоя. Какой будет скорость автобуса через 10 с?
Экспериментальное задание № 2
Изучение относительности
механического движения
Оборудование: деревянная линейка, нитка, кнопка, шайба.
Х од работ ы
1.
Во всю длину и ш ирину тетрадной страницы прочер
тите координатные оси О Х и OY. Вдоль оси OY расположите
28
линейку (рис. 30). Вверху ли ­
нейки укрепите кнопку, но не
вдавливайте ее в дерево до
конца. Оставьте маленький
промежуток. К одному из кон­
цов нити привяж ите шайбу.
Перекиньте нитку через кноп­
ку, как через блок, и пальцем
прижмите свободный конец
нити к листу в точке А , как
показано на рисунке.
2. Удерживая конец нити
в точке А, перемещайте линейку вдоль оси ОХ. Отметьте на
листе начальное и конечное положения шайбы.
3. У кажите на рисунке перемещения шайбы относительно
листа и относительно линейки. У кажите перемещение линей­
ки относительно тетрадного листа. Каким соотношением свя­
заны эти величины?
Глава II
Законы динамики
Движ ения, с которыми мы встречаемся в природе, раз­
личны. Например, планеты движутся вокруг Солнца по тра­
екториям, близким к окружности. Мяч, пущ енный теннисис­
том, летит по параболе. Траектория движ ения заряж енны х
частиц в циклотроне (ускорителе) представляет собой спи­
раль. Стеариновый ш арик в воде всплывает почти равномер­
но. Стальной ш ар погружается в воду ускоренно. Одно тело
покоится, другое ускоряется или останавливается. Естествен­
но, возникает вопрос: от чего зависит характер движения тел?
На этот вопрос отвечает раздел механики — динамика.
Динамика — раздел механики, в котором устанавлива­
ются причины, возникновения различны х видов движения.
В частности, законы динамики позволяют рассчитать воз­
никающее у тел ускорение. А это, к ак оказывается, является
ключом к ответу на вопрос о характере движения.
Разговор о динамике надо начать с упоминания о великом
английском ученом Исааке Ньютоне (1643—1727). В своей
книге «Математические начала натуральной философии» он
систематизировал многовековой опыт человечества, труды
ученых разных времен и сформулировал три закона, которые
составили основу динамики. Помимо этого, он открыл закон
всемирного тяготения. Разлож ив белый свет в спектр, впер­
вые догадался о сложном составе белого света. Одним из пер­
вых Ньютон приступил к изготовлению телескопов. Не менее
важ ны труды Ньютона и в математике.
н 4. Взаимодействия в природе
Природа устроена таким образом, что любой ее объект
обязательно взаимодействует с каким-либо другим объектом
(рис. 31).
Например, листья деревьев движ утся под действием воз­
духа; вода выталкивает погруженное в нее тело; десятки дета30
Рис. 31
лей часов, действуя друг на друга, приводят стрелки во вра­
щение. Тела действуют на опору; атмосфера — на все тела, на­
ходящ иеся на поверхности Земли; магнитное поле, созданное
обмотками статора электродвигателя, приводит во вращение
якорь; электрическое поле электронно-лучевой трубки разго­
няет электроны и т. д.
Возможно ли найти тело или частицу, которые ни с чем бы
не взаимодействовали? Не нужно искать такой объект на игро­
вой площадке, где игроки постоянно контактируют друг с
другом, или в устройстве какого-нибудь механизма, например
автомобиля, в котором тысячи деталей так или иначе действу­
ют друг на друга.
Взгляните на письменный стол. Вот на нем леж ит каран­
даш. Взаимодействует ли он с каким-либо телом? А лепестки
цветов, листья деревьев в безветренную погоду?
Обратите взгляд на микромир. Может быть, там найдутся
частицы, которые ни с чем не взаимодействуют: электрон в
атоме; атом кислорода в молекуле воды?
Продолжим поиски в мегамире: мире планет, звезд, га­
лактик. Например, планета Марс или какая-либо звезда, мо­
жет быть, свободны от влияния других тел.
Сделайте вывод из приведенных рассуждений.
А вывод следующий:
В природе нет тел или частиц, которые не взаимо­
действовали бы с другим и телами или частицами.
31
4.1. Виды взаимодействия
Интересен следующий факт: тел в природе огромное ко­
личество и все они взаимодействуют друг с другом. Но видов
взаимодействия оказывается совсем немного. В настоящ ий
момент известно всего четыре вида физических взаимодей­
ствий: гравит ационное, элект ромагнит ное, сильное и сла­
бое.
В механике мы встречаемся лиш ь с двумя видами взаимо­
действий.
Гравитационное взаимодейст вие (тяготение тел) прояв­
ляется в том, что любые тела или частицы притягиваю тся
друг к другу (рис. 32). Это взаимодействие осуществляется
через гравитационное поле. Оно леж ит в основе образова­
ния планетных систем, звездных скоплений, заставляет сж и­
маться вещество в звездах, планетах. Благодаря тяготению те­
ла удерживаю тся на Земле и падают на Землю. Это же взаимо­
действие имеет место и в микромире. Однако ввиду малой
массы частиц этот вид взаимодействия здесь не так заметен.
Рис. 32
Электромагнит ное взаимодействие имеет место между
заряж енны ми частицами или проводниками с током (рис. 33).
Электромагнитное взаимодействие, так ж е как и гравитаци­
онное, осуществляется через поле, но электромагнитное. Н а­
сколько ш ирок круг электромагнитных взаимодействий в
природе, вы можете судить из курса «Ф изика. 8 класс».
Слабое и сильное взаимодейст вия — взаимодействия
между элементарными частицами в пределах настоящего к у р ­
са не рассматриваются.
32
4.2. В чем проявляется взаимодействие тел
Любое тело (или частица) взаимодействует с другим телом
(или частицей). К ак сказывается на телах это взаимодейст­
вие?
Для ответа на поставленный вопрос выполните предло­
женные задания и рассмотрите ряд примеров.
а
q
Остановимся, подумаем
1. Положите шар на стол. Легкими касаниями рук пере­
мещайте его по столу в разных направлениях (рис. 34).
Установите моменты, когда шар и з­
меняет направление скорости (т. е.
получает ускорение).
2. Мяч леж ит на земле (рис. 35).
При каком условии мяч может
прийти в движение?
3. При каком условии летящ ий
мяч может изменить свою скорость
(рис. 36)?
4. Заводная игруш ка привязана к
ш тативу так, что она не касается
Рис. 34
Р и с.35
Рис. 36
33
2-4172
стола (рис. 37). Придет ли в движение
игруш ка, если дать возможность ее
пружине раскручиваться? Почему иг­
руш ка начнет двигаться, если ее в
этом положении поставить на стол?
При каком условии тела изменяют
свою скорость, т. е. получают ускоре­
ние?
Вывод:
Тела получают ускорение только при
взаимодействии с другими телами.
Но вспомним и такие ситуации. Мяч (рис. 38, а) леж ит на
земле. Зем ля его притягивает, а ускорения у м яча нет.
Автомобиль движ ется равномерно (рис. 38, б). Стало
быть, ускорения у него нет, а двигатель-то работает. Колеса от
земли отталкиваю тся. Взаимодействие есть, а ускорения нет.
Груз висит на пруж ине (рис. 38, в). Взаимодействие, на­
пример, с землей есть, а ускорения нет.
а)
Не противоречат ли эти примеры и множество других ска­
занному выше?
Нет! Конечно, ускорение тела может возникать только
при взаимодействии с другими телами. Но если тело взаимо­
действует одновременно с несколькими телами, то действие
на это тело со стороны других тел может быть скомпенсирова­
но. В этом случае тело не получит ускорения. Так, например,
в известной басне И. А. Крылова воз одновременно тянут ле­
34
бедь, рак и щ ука (рис. 39). Но дей­
ствие их скомпенсировано, и воз не
сдвигается с места.
Почему явление называют не
«действием», а «взаимодействием»?
Ответьте на этот вопрос, используя
рисунок 40.
И еще: стукните по столу ладо­
нью или кулаком . Говоря по-науч­
ному, вы взаимодействуете со сто­
лом. Стол наверняка «ощущает» дей­
ствие вашей ладони. А вы что-то
почувствовали?
А теперь пустите два ш ара навстречу друг другу. Если
у вас получится так, чтобы ш ары столкнулись друг с другом,
то один или оба ш ара изменят свою скорость. Почему?
а)
6)
Р и с.40
И так, вывод:
В природе не бывает одностороннего действия. Если
одно тело дейст вует на другое , то и второе действует
на первое. Так что получает ся не действие , а взаимодей­
ствие.
Вопросы и задания
1. Н азовит е известные вам виды взаимодейст вия и при­
ведите по два примера, соот вет ст вующ их каждому из них.
2. К чему приводит взаимодействие тел? Ответ под­
твердите примерами.
3. Всегда л и взаимодействие т ел приводит к возникно­
вению ускорения? П риведит е пример.
4. Почему явление, о котором говорилось в данном параг­
рафе, называю т не действием, а взаимодействием?
35
Упражнение 5
1. Л ы ж ник спускается с горы ускоренно. Почему?
2. Ш ар падает на землю. Что происходит: действие или
взаимодействие? Ответ обоснуйте.
3. Есть ли у электронов атома ускорение? Если есть, то по­
чему оно возникает?
4. Вспомните движение молекул газа. В какие моменты
молекулы имеют ускорение, в какие — нет? Почему?
§ 5. Сила
5.1. Сила — характеристика взаимодействия
Множество явлений природы изучает физика, и при изу­
чении каждого вводились физические величины, с помощью
которых это явление описывалось.
о Остановимся, подумаем
Вспомните некоторые явления и физические величины,
с помощью которых их можно описать. Заполните таб­
лицу 6.
Таблица 6
Физическое явление
Физическая величина
Механическое движение
Взаимодействие зарядов
Электрический ток
Электромагнитная индукция
Ветер
Звук
Для описания взаимодействия тел или частиц такж е вво­
дятся соответствующие физические величины. Некоторые из
них вам известны, например сила и потенциальная энергия.
В данном месте курса речь пойдет о силе. Ранее мы неод­
нократно использовали эту физическую величину. Вспомните
хотя бы закон Архимеда, закон Кулона, магнитные взаимо­
действия. Но сейчас мы поговорим о силе более подробно.
С ила — ве л и ч и н а , ха р а кт ер и зую щ а я взаим одейст вие.
36
@ Остановимся, подумаем
Н а рисунке 41 показаны три примера, в которых для опи­
сания явлений вводится сила. Рассмотрите внимательно
этот рисунок и придумайте самостоятельно несколько по­
добных примеров.
Н а я к о р ь э л ектр о м агн и та подействовало В ода подним ает
тело н а п оверх­
м агн итн ое поле, созданное током .
ность.
На якорь подействовала
Н а тело действует
магнитная сила
сила А рхим еда
Тело дави т
н а опору.
На опору д ей ­
ствует сила
давления
Рис. 41
Д ля того чтобы установить, сколько сил действует на те­
ло, необходимо определить, сколько тел действуют на него.
Так, предмет, леж ащ ий на столе, взаимодействует с двумя те­
лами: Землей и поверхностью, на которой он находится. По­
этому на тело действуют две силы: Р тяж и Р упр (рис. 42, а).
На тело, показанное на рисунке 42, б, действуют два тела
(нить и Земля). Следовательно, на него так ж е действуют две
силы (^ тяж и ^упр)’
/ 1^уп р
«
f f e l
w k V ///,У /////Ш
а)
Р и с.42
37
ai
WWV©--5
шшшшшшт.
Рис. 43
При рассмотрении данного примера иногда возникают
ошибки — к двум указанны м выше силам добавляют еще и
силу, действующую со стороны руки на свободный конец ни­
ти. Однако этого делать не следует. Н а тело действует нить.
И ее действие характеризует силу упругости (Fynp). Сила же
руки действует на нить. Тем самым она, конечно, опосредо­
ванно влияет на тело. Но это влияние уж е проявляется в силе
упругости нити.
Если тело в результате каких-либо двух взаимодействий
получило одинаковое ускорение, значит, на него в обоих слу­
чаях подействовали одинаковые силы. Если ускорения у тела
возникали разные, значит, на тело действовали разные силы.
В примере, показанном на рисунке 43, силы F 1 и F2 ^эавны,
так как сообщают ш ару одинаковое ускорение. Сила F4> F3,
так как а4 > а3.
Еще раз повторим:
Взаимодействие являет ся причиной ускорения.
Ранее мы упоминали случаи, когда в результате
взаимодействия ускорение у тела не появлялось. Та­
кая ситуация возможна тогда, когда действия на одно
тело со стороны других тел компенсируют друг друга.
Используя понятие «сила», мы можем подобную си­
туацию сформулировать так: «На тело действуют не­
сколько сил, которые компенсируют друг друга»
(рис. 44).
38
Рис. 44
И так, если на тело действуют две или несколько сил, ком ­
пенсирующих друг друга, то у тела нет ускорения. В этом слу­
чае действие силы проявляется по-другому: тело деформиру­
ется. Так, на рисунке 44 вы видите, что пруж ина деформиро­
вана. Не так заметно, но деформировано и тело, висящ ее на
пружине. Когда мяч сжимают с двух сторон руками, он оста­
ется на месте, но деформируется. Автомобиль на стоянке не
движ ется, действие на него Земли приводит к деформации его
шин и амортизаторов.
Общий вывод:
Дейст вие силы на тело приводит к появлению ускоре­
ния у тела и (и ли ) его деформации.
5.2. Чем характеризуется сила?
От чего она зависит?
Результат действия силы может быть различным. Выяс­
ним, от чего это зависит.
Во-первых, конечно, от величины (модуля) силы. Боль­
ш ая по модулю сила вызывает у тела большее ускорение или
сильнее деформирует его по сравнению с силой, меньшей по
модулю.
За единицу силы принимают ньютон (1 Н) — силу, кото­
рая у т ела массой 1 кг вызывает ускорение 1 м /с 2.
Действие силы приводит к ускорению тела
или, если силы скомпенсированы, к его дефор­
мации. Поэтому для измерения силы исполь­
зуют приборы, действие которых основано на
измерении ускорения тел или их деформации.
Наиболее распространены приборы, основан­
ные на измерении деформации пруж ины . Их
называют динамомет рами (рис. 45).
Во-вторых, сила — векторная величина,
имеющ ая направление в пространстве. От
направления силы зависит, как будет происхо­
дить движение тела, на которое она действует.
Так, сила тяж ести, действуя на тело, ускоряет
его падение на землю. Сила трения, действуя
в направлении, противоположном движению,
тормозит автомобиль. Сила тяги винтов верто­
лета поднимает его вверх.
Рис. 45
39
Если на тело действуют несколько
сил, то результат их действия зависит
от равнодействующей силы, которая
находится по правилу слож ения векто­
ров (рис. 46).
F
Р и с.46
Равнодействующей называют си­
л у, оказывающ ую на тело такое же
действие, как и несколько други х
сил, действующ их одновременно на
это тело.
В-третьих, очень важное значение имеет и точка прило­
жения силы. В этом можно убедиться, пытаясь удержать, н а­
пример, топор (рис. 47), взявш ись рукой за край топорища
или за его середину.
Рис. 47
На рисунке 48 показан штатив. Вы видите, что результат
действия силы F на него будет различным в зависимости от то­
го, приложена она в точке А или в точке В.
Как известно, в природе существуют тела, частицы, поля.
Силы ж е возникают при взаимодействии тел или частиц м еж ­
ду собой непосредственно или через поле.
Поскольку это взаимодействие может быть разным: взаимо­
действие токов, тяготение, трение, взаимодействие жидкости
В
Рис. 48
40
и погруженного в нее тела и т. д., — то в каж дом случае есть
своя формула, по которой определяется сила.
Например, сила взаимодействия точечных зарядов зави­
сит от величины зарядов, а сила Архимеда — от объема тела и
плотности жидкости. Сила упругости, возникаю щ ая при де­
формации тел, зависит от величины деформации.
Напоминаем
Электрическая сила
Закон Кулона F = k — 5-
Магнитная сила
Выталкивающая сила
Сила поверхностного натяжения
Закон Ампера F = В Ц
Закон Архимеда F = pxgVt
F = al
Вопросы и задания
1. Что характ еризует сила?
2. К аким образом уст анавливаю т количест во сил, дей­
ст вую щ их на тело?
3. В чем проявляет ся действие силы на тело? Всегда ли
действие сил на тело приводит к возникновению у эт их
т ел ускорения? Ответ поясните примером.
4. К ак определить, какая из сил, дейст вую щ их на тело,
больше?
5. Чем характ еризует ся сила? Что принимают за еди­
ницу силы? Сформулируйте определение единицы силы.
6. С помощью к а к и х приборов измеряют силу?
7. Что называют равнодейст вую щ ей силой?
Упражнение 6 (ответы на задания этого упражнения
сопровождайте рисунками в тетради)
1. У каж ите силы, действующие на
следующие тела:
— айсберг, плаваю щий в океане;
— мяч, падающий на землю;
— м яч, брошенный вверх.
2. У каж ите силы, действующие на
столб воды в стеклянном капилляре
(рис. 49).
41
Рис. 49
3. Ш арик двумя нитям и прикреплен к опорам (рис. 50).
У каж ите силы, действующие на него.
4*. Проводник с током помещают в магнитное поле
(рис. 51). Возникает ли у него ускорение? Если да, то опреде­
лите его направление.
5.
В электрическое поле, силовые линии которого направ­
лены вертикально вниз, помещают положительно заряж ен­
ный ш арик. Возникает ли у него ускорение? В чем будет со­
стоять различие в поведении ш арика, если его заряд окаж ется
отрицательным ?
F1
ша)
б)
F2
в)
*1
г)
Р и с.52
6.
Найдите равнодействующую силу в примерах, показан­
ных на рисунке 52.
6. Инертность тел. Масса
6.1. Инертность — свойство всех тел
Представьте себе следующие ситуации: водитель, пытаясь
разогнать автомобиль, изо всех сил жмет на педаль газа. Что­
бы автомобиль «ВАЗ-2107» с места разогнать до скорости
100 к м /ч , необходимо 15 с. Водителю же «Москвича-2141»
для этого потребуется 20 с. Самолету, чтобы разогнаться до
скорости, при которой он отрывается от земли, нуж на взлет­
ная полоса длиной около 1 км.
42
Что ж е мешает разгону этих и всех других тел? Силы тре­
ния, сопротивления воздуха? Да, конечно. Но в основном не
это. О казывается, любое тело само препят ст вует изменению
скорости. Это свойство тел называют инертностью.
Инертность препятствует не только разгону, но и тормо­
жению тел. Поэтому движ ущ ийся автомобиль представляет
собой опасность для пешеходов, так к ак остановить его мгно­
венно невозможно.
Например, автомобиль «ГАЗ-24», движ ущ ийся со скоро­
стью 50 к м /ч , после того как водитель перестанет давить на
педаль газа, до полной остановки проедет еще 547 м.
При наж атии водителем на педаль тормоза при скорости
80 к м /ч «ГАЗ-24», прежде чем остановиться, проедет 43 м!
Тормозной путь железнодорожного состава составляет 1 км.
Всем нам хорошо известны примеры проявления инерт­
ности тел на транспорте.
Железнодорожный вагон резко трогается вперед (рис. 53, а).
Человека в этот момент отбрасывает назад. Дело в том, что его
ноги вместе с полом начинают двигаться вперед, а тело из-за
инертности остается в покое.
В
Остановимся, подумаем
Опишите и объясните самостоятельно ситуацию, возни­
кающую при резком торможении вагона (рис. 53, б).
a
a
a)
б)
Р и с.53
При повороте автобуса, например, направо пассажиров
прижимает к левому борту (рис. 54). И здесь проявляется
инертность. Скорость автобуса в любой точке траектории на­
правлена по касательной. Тела пассажиров продолжают со43
Рис. 54
хранять это направление движ ения, в то время как автобус
перемещается по дуге вправо. В результате пассажиры откло­
няю тся влево.
6.2. Масса как мера инертности
На рисунке 55 показан следующий опыт. На столе нахо­
дятся две тележ ки, между которыми расположена упругая
пластина, связанная нитью. Когда нить пережигают, то плас­
тина распрямляется и тележ ки приходят в движение. Обрати­
те внимание на то, что правая тележка за то ж е время проехала
больший путь lv чем левая 12 (1г > 12). Очевидно, что пластина
подействовала на обе тележ ки с одинаковыми силами
и F2.
44
Но правая тележ ка получила большее ускорение, чем левая.
Какой вывод следует из этого?
Тележ ки инертны по-разному. Л евая тележ ка приобрела
при взаимодействии меньшую скорость, чем правая. Так как
скорость ее изменилась меньше, чем у правой тележ ки, то го­
ворят, что она более инертна.
Вывод:
Различны е тела инертны неодинаково.
Д ля характеристики инертности вводится физическая
величина — масса.
М асса — мера инертности тел или частиц.
И з двух взаимодейст вую щ их т ел масса больше у того
т ела, которое меньше изменяет свою скорость, т. е. получа­
ет меньшее ускорение.
Таким образом, отношение масс взаимодействующих тел
обратно пропорционально отношению их ускорений:
т1
т2
а2
«1 "
В опыте, показанном на рисунке 55,
больше оказалась масса левой тележ ки, ибо
она получила ускорение меньшее, чем пра­
вая тележ ка.
Грузовая автомашина обладает большей
массой, чем легковая. Поэтому при тормо­
ж ении она проходит больший путь. Ею
труднее управлять на поворотах.
За единицу массы принимается масса эт алона — ц и ­
линдра из сплава платины и иридия (рис. 56), хранящ егося в
музее эталонов во французском городе Севр, расположенном
близ П ариж а. Масса этого эталона принята за килограмм
(1 кг). Его хранят, тщательно оберегая от воздействия внеш­
ней среды, и поэтому поместили под двумя колпаками.
6.3. Способы измерения массы
Масса — довольно слож ная для изучения физическая ве­
личина. Дело в том, что большинство физических величин ха­
рактеризуют только одно физическое явление или одно свой­
ство тел. С массой же дело обстоит иначе.
45
а)
б)
в)
Рис. 57
Масса, безусловно, характеризует содержание в телах того
или иного количества вещества. Если в стакан с водой долить
еще воды, общая масса увеличится. Масса связана с объемом
(тп = pF) (рис. 57, а). Если мы вместо 100 г конфет покупаем 1 кг,
то понимаем, что удовольствия от съеденного будет больше.
С другой стороны, масса определяет инертность тел, и по­
этому ее можно определить через взаимодействие с телом из­
вестной массы (рис. 57, б). При взаимодействии тела приоб­
ретают ускорения. Если измерить эти ускорения, то из формут1 а2
лы —
= — можно определить массу тела {т9). При этом масса
7712
тела т г считается известной. Этот способ измерения массы ис­
пользуют при определении чрезвы чай­
но маленьких масс частиц или, наобо­
рот, очень больших масс, например
планет или звезд (рис. 57, в).
Наконец, масса тел определяет при­
тяж ение тел друг к другу, в частности
притяж ение тел к Земле. Чем больше
масса тела, тем оно сильнее притяги­
вается к Земле. Н а этой зависимости
основано измерение массы с помощью
Рис. 58
весов.
Если весы уравновешены, то масса груза на одной чаше
окаж ется равной массе гирь на другой (рис. 58).
f
Вопросы и задания
1. В чем заклю чает ся свойство инерт ност и тел? П р и ­
ведите примеры, иллю ст рирую щ ие это свойство.
2. Одинакова л и инертность р азличны х тел? Ответ под­
твердите соответствующ ими примерами.
46
3. К аким способом можно сравнить инертность двух
тел?
4. Что такое масса? В каких единицах измеряется масса?
5. Назовите способы измерения массы тела. Разъясните,
на чем они основаны.
Упражнение?
1. Человек, приземляясь после пры ж ка, сгибает ноги в ко­
ленях. Почему?
2. Автомобиль перевозит цистерну с жидкостью. По какой
причине уровень жидкости может оказаться не горизонталь­
ным (рис. 59)?
Рис. 59
Рис. 60
3. Существует два способа насадки молотка на рукоятку
(рис. 60). Дайте их объяснение.
4. Почему происходит отделение пыли от одежды при ее
встряхивании или выколачивании?
5. Вспомните проявления инертности тел, не упоминав­
шиеся в данном параграфе.
Проделайте опыты
1.
Поставьте несколько дисков
или толстых монет друг на друга
стопкой (рис. 61). Линейкой рез­
ким движением выбейте ниж ний
диск. Верхние останутся на месте.
Почему?
2 (опасный). Этот опыт похож
на предыдущий. Положите на край
стола лист бумаги, поставьте стакан
47
Рис. 62
с водой (рис. 62). Теперь, взявш ись рукой за
край листа, резким движением другой руки
выдерните лист из-под стакана.
Если вы достаточно резко будете двигать
Р и с.64
лист, стакан останется на месте. Почему?
3. Накройте стакан листом картона, а на картон положите
шарик (рис. 63). Щ елкните по листку картона пальцем в гори­
зонтальном направлении. Картон полетит в сторону, а ш арик
упадет на дно стакана. Почему?
4. На ш тативе на нити висит груз массой 1 кг (рис. 64).
К грузу привязан кусок нити такой ж е, что и наверху.
К ак вы думаете, к ак ая нить (верхняя или ни ж няя) обо­
рвется:
а) при медленном натягивании ниж ней нити;
б) при резком рывке за нижнюю нить?
Попытайтесь проделать этот опыт и дать ему объяснение.
7. Первый закон Ньютона
Посмотрите вокруг себя. Вы увидите множество тел, непо­
движ ны х относительно земли. Рассмотрев силы, действую­
щие на каждое из этих тел, вы сможете убедиться в том,
что они компенсируют действие друг друга. Такой ж е вывод
вы можете сделать, рассмотрев примеры, показанные на ри­
сунке 65.
Конечно, вывод о том, что тело сохраняет состояние по­
коя, если силы, действующие на него, скомпенсированы, для
вас прост и понятен. Трудность состоит в другом: много столе­
тий в науке и сознании людей преобладало мнение, вы сказан­
ное еще несколько веков до нашей эры древнегреческим уче­
ным Аристотелем. Он утверждал, что способно двигаться
только такое тело, которое двигают. «Двигаемое движ ется»,
т. е., для того чтобы тело привести в движение, необходимо
48
Fупр
F,
hh
F,Т Я Ж
Рис. 65
какое-то другое тело, которое двигало бы первое. Правда это
утверждение каж ется довольно убедительным?
Действительно, телегу везет лошадь, автомобиль движет
мотор, мяч летит после удара футболиста, пуля вылетает из
ствола под действием пороховых газов и т. д. Все эти и огром­
ное количество подобных наблюдений, каж ется, подтвержда­
ют точку зрения Аристотеля. Недаром она просуществовала
многие века.
,
Однако итальянский ученый Галилео Галилей убедитель­
ными опытами и рассуждениями опроверг эту точку зрения.
Он указал на существование в природе я в л е н и я инерции. Со­
гласно Галилею, тела могут двигаться не только под действием
других тел, но и сами, по инерции. Если тело имеет некоторую
скорость движ ения, то при компенсации внешних воздейст­
вий или в идеальном случае без внешних воздействий это тело
продолжает двигаться, сохраняя скорость неизменной. Конеч­
но, это предположение Галилея внесло революцию в представ­
ления его современников. Опыты и наблюдения подтвержда­
ют правоту Галилея. Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1
Ш ар по наклонной плоскости скатывается на горизон­
тальную поверхность (рис. 66). Если на его пути насыпать пе­
сок, то шар быстро остановится (рис. 66, а). Если на поверхно49
Рис. 66
сти расстелить ткань, то ш ар будет двигаться по ней до оста­
новки дальш е, чем в первом случае (рис. 66, б). Если ж е шар
будет катиться по гладкой поверхности стола, то он прокатит­
ся по ней еще дальше (рис. 66, в). Песок, ткань, поверхность
стола в разной степени действовали на шар, уменьш али его
скорость. Но можно представить, что если горизонтальная по­
верхность была бы настолько гладкая, что трение отсутствова­
ло совсем, то ш ар по такой поверхности катился бы без оста­
новки. Заметьте, что при этом на горизонтальном участке сила
в направлении движения не действовала. Ш ар сохранял свою
скорость по инерции.
Пример 2
Сила тяги двигателя автомоби­
ля уравновешивает силы трения и
сопротивления воздуха (рис. 67).
При этом автомобиль движется рав­
номерно и прямолинейно. Важно
Рис. 67
понять, что сила тяги двигателя в
этом примере преодолевает трение и сопротивление воздуха.
Движение ж е происходит по инерции, т. е. приобретенная при
разгоне автомобиля скорость сохраняется.
Пример 3
Под действием силы тяж ести мальчик на санках скаты ва­
ется с горы. Н а горизонтальном ж е участке скольж ения на
санки сила в направлении движ ения уж е не действует, а они
продолжают двигаться. И тем дальше, чем меньше трение.
Пример 4
Н а мяч, брошенный вертикально вверх, действуют лиш ь
силы, направленные вниз. Это сила тяж ести и сила сопротив­
50
ления воздуха. А мяч летит вверх, стремясь сохранить ско­
рость, полученную во время броска.
И так, тело может двигаться не только под действием си­
лы, но и по инерции. Возникает вопрос: какова же роль силы
для движения?
Сила создает ускорение, изменяет скорость тела. В отсут­
ствие силы ни одно тело не могло бы прийти в движение и не
могло бы остановиться. Поэтому всем видам транспорта необ­
ходим двигатель.
В заключение подведем итог приведенным наблюдениям и
рассуждениям в том виде, как его сформулировал Ньютон.
Тело сохраняет состояние покоя или равномерного
прямолинейного движения, если действия на него со сто­
роны других тел скомпенсированы.
В этом состоит первый закон Ньютона.
Вопросы и задания
1. Сформулируйте первый закон Ньютона.
2. П ри каком условии тело движется равномерно и пря­
молинейно?
3. В чем состоит отличие во взглядах на причину дви­
жения тел Арист от еля и Ньютона?
8. Второй закон Ньютона
Напоминаем: если силы, действующие на тело, скомпен­
сированы, то тело сохраняет свою скорость неизменной.
А если силы, действующие на тело, не скомпенсированы?
Ясно, что в этом случае скорость тела не останется постоянной.
Она будет изменяться, т. е. у тела появится ускорение (рис. 68).
Многие примеры, рассмотренные выше, помогают просле­
дить тесную взаимосвязь между тремя основными величина­
ми динамики: силой, массой и ускорением.
а =0
А
а
F.
Рис. 68
51
Сила вызывает ускорение, ее величина и направление
определяют величину и направление ускорения, возникаю щ е­
го у тела.
Вывод:
Ускорение зависит от силы, его вызывающей.
Такж е ускорение, приобретаемое телом, зависит от инерт­
ности тела, т. е. от его массы.
Вывод:
Ускорение тела тем больше, чем меньше его масса.
Второй закон Ньютона объединяет эти две закономер­
ности и устанавливает взаимосвязь между силой, массой и ус­
корением. Этот закон гласит:
Ускорение тела прямо пропорционально силе и обрат­
но пропорционально его массе:
Закон был установлен экспериментально и подтверждает­
ся большим числом опытов.
Для правильного понимания второго закона Ньютона не­
обходимо учитывать следующее.
1.
Аргументами (независимыми переменными), в этом за­
коне являю тся сила или масса. Ускорение ж е является функ­
цией. Правильно утверждать, что ускорение зависит от массы
тела и силы.
Вместе с тем из приведенной выше формулы следуют две
другие:
- т =Й .
Fй = та,
W
Так вот, некоторые учащ иеся на основе этих формул дела­
ют такие утверждения:
«Сила прямо пропорциональна ускорению» или «Масса
тела прямо пропорциональна силе».
Многим каж ется, что эти утверждения вполне соответст­
вуют виду приведенных выше формул и поэтому совершенно
справедливы.
Однако это не так.
52
а)
б)
Рис. 69
Например, вы щ елкаете пальцем по ластику, он получает
ускорение (рис. 69, а). Но сила, с которой вы подействовали
на ластик, зависит от вас, а не от ускорения ластика. И масса
ластика зависит не от вас, не от ускорения ластика и не от си­
лы, с которой вы на него подействуете, а от его объема и плот­
ности. Ускорение же, полученное ластиком, зависит от силы
и его массы.
Сила трения, действующая на движущ ееся тело
(рис. 69, б), зависит от степени обработки поверхности и от си­
лы давления тела на поверхность. Но не от ускорения, с кото­
рым движется тело. Как раз ускорение тела зависит от силы
трения (если другие силы на тело не действуют).
Ускорение, которое получит заряд (рис. 70), конечно, за­
висит от силы, с которой на него действует ^электрическое
поле. То есть от напряженности поля £ д созданного
заряженной палочкой, и заряда ш ара q: F — qE. Но
утверждать, что сила, подействовавшая на заряд, зависит от
массы и ускорения ш арика, нельзя.
Как быть, если на тело действует не одна, а несколько сил
(рис. 71)? К акая из них сообщает телу ускорение?
53
В этом случае следует предварительно найти равнодейству­
ющую силу R и ее уж е подставлять во второй закон Ньютона:
->
R
а = —.
т
Н аправление силы совпадает с направлением ускорения,
но может не совпадать с направлением скорости.
Посмотрите на рисунок 72. На нем показан
Л
ш ар, на который действует сила. Ответьте на
вопрос: «В какую сторону движ ется шар?»
Многие учащ иеся на этот вопрос отвечают:
«Шар движ ется вниз потому, что сила действует на
{^
ш ар вниз».
На самом деле правильный ответ такой: «Неиз­
вестно!» Да, да, неизвестно, в каком направлении
движ ется шар.
Движение ш ара при данном направлении силы может
быть самым различным. Несколько возможных вариантов
движ ения показаны на рисунке 73.
Дело в том, что, согласно второму закону Ньютона, сила
совпадает по направлению с ускорением. Н аправление ж е ус­
корения может не совпадать с направлением скорости.
Так, на рисунке 73 во всех случаях на тело действует одна
сила — сила тяж ести. Она вызывает ускорение, направленное
вниз, но скорость может быть направлена по-разному.
Единица силы — ньютон (1 Н) является производной еди­
ницей:
F = та => [.F] = [т] [а] =
= 1 Н.
Из второго закона Ньютона вытекает условие, при кото­
ром тело движется равноускоренно.
Д л я того чтобы ускорение тела было постоянным,
необходимо, чтобы равнодействующ ая сил, действующих
на тело, была бы отлична от нуля и постоянна:
_>
F
а = — => если F = const,
т = const, то а = const.
Остановимся, подумаем
Рассмотрите примеры движения тел, показанные на ри­
сунке 74. В каки х случаях движение тел будет равноуско­
ренным, в каки х — нет?
Рис. 74
Ответ. Движение тел будет равноускоренным в примерах
а, б, г, е, так как сила, действующая на тело, постоянна (в слу­
чае е сила Архимеда Р А не изменяется только до тех пор, пока
тело не достигло поверхности воды). В примерах в и д сила из­
меняется. Поэтому ускорение не останется постоянным.
Вопросы и задания
1. Сформулируйте второй закон Ньютона.
2. П ри каком условии тело получает ускорение; дви­
жется равноускоренно?
55
3. Верны ли следующие утверждения:
— ускорение тела зависит от силы, действующей на него;
— сила, действующая на тело, зависит от его ускорения?
4. К ак найт и ускорение тела, если на него действуют
несколько сил?
5. Можно ли только по направлению силы, действую­
щей на тело, указат ь направление его движения ( скорости);
ускорения?
Упражнение 8
1.
В каком из приведенных на рисунке 75 примеров тел
движется равноускоренно?
F
ТЯЖ
а)
б)
Рис. 75
2.
На рисунке 76 показан график зависимости силы, дейст
вующей на тело, от времени движ ения. В какой промежуток
времени движение тела было равномерным; равноускоренным?
В течение какого промежутка
времени ускорение было положи­
тельным?
К ак изменялась скорость тела
в течение первой, третьей, чет­
вертой секунды?
Найдите ускорение тела че­
рез 1 с после начала его движе­
ния, если масса тела 2 кг.
56
Ц 9. Третий закон Ньютона
Еще раз отметим, что в природе нет тел или частиц, кото­
рые бы не взаимодействовали с какими-нибудь другими тела­
ми или частицами. Обратите внимание: в природе существует
лиш ь взаимное действие тел друг на друга, т. е. взаимодейст
вие. Причем при взаимодействии друг с другом тела оказы ва­
ются «равноправными». П оскольку характеристикой взаимо­
действия является сила, то «равноправие» тел при взаимодей­
ствии выраж ается в равенстве сил, с которыми тела действу­
ют друг на друга. Равенство сил при взаимодействии тел или
частиц отражает третий закон Ньютона.
Силы, с кот орыми два т ела дейст вуют друг на друга,
равны по м одулю , направлены в противоположные сторо­
ны по прямой, соединяющей эти тела.
Проиллюстрируем этот закон на ряде примеров.
Пример 1
М альчик растягивает два динамометра, сцепленные друг с
другом (рис. 77). Он не видит показаний динамометров и по­
этому не может их регулировать. Тем не менее динамометры
показывают одинаковые значения сил. Но если бы мальчик и
пытался приложить разные усилия, силы могли бы изменить­
ся, но все равно оставались бы при этом равными по модулю.
Пример 2
Человек при ходьбе действует на почву с силой Fy (рис. 78).
Почва с такой ж е силой F2 действует на человека вперед. Эта
сила уравновешивает мышечное усилие, действующее на ступ­
ню назад. Нога остается на месте (не проскальзывает). Чело­
век имеет возможность переступить на другую ногу.
-F2
Рис. 78
Рис. 77
57
Пример 3
Третий закон Ньютона леж ит в ос­
нове реакт ивного движения. Реактив­
ный двигатель действует на топливо с
силой F v направленной против пред­
полагаемого движ ения ракеты. Топли­
во ж е действует на двигатель в проти­
воположную сторону, приводя в дви­
жение ракету (рис. 79).
Реактивны й двигатель на сегод­
няш ний день является единственным
двигателем, способным преодолеть значительную силу тяж ес­
ти. Сила тяги реактивных двигателей порядка 106 Н. Такая
сила тяги позволяет, например, ракете «Энергия» поднимать
груз до 2400 т, 100 т из которых составляет масса полезного
груза, выводимого на орбиту. Остальная масса — топливо и
конструкция ракеты.
а
Остановимся, подумаем
Перенесите в тетрадь рисунок 80 и укаж ите на нем силы
действия и противодействия. Ответ на этот вопрос покажет,
насколько хорошо вы усвоили третий закон Ньютона.
Распространенная ошибка многих учащ ихся состоит в том,
что в качестве сил действия и противодействия они указы ва­
ют силу тяж ести и силу, действующую на тело со стороны опо­
ры (рис. 81, а). Однако это неверно. Прежде всего необходимо
установить, взаимодействие каки х тел рассматривается.
Правильно расставлены силы на рисунке 81, б. Тело дей­
ствует на опору с силой F, а опора на тело — с силой F2 (сила
тяж ести, конечно, действует на тело, но к данному заданию не
имеет прямого отношения).
б)
ж
II
т
Г
Рис. 80
Рис. 81
58
¥
Заметьте:
при указании сил взаимодействия надо учитывать не только
то, что они равны по модулю, направлены в противоположные
стороны, но и то, что они прилож ены к р а зн ы м т ела м .
И
Остановимся, подумаем
На рисунке 82 приведен ряд проявлений и применений
третьего закона Ньютона. Разберитесь в этих примерах и
сделайте к ним пояснения.
Существуют примеры, которые, к ак может показаться,
опровергают третий закон Ньютона. Рассмотрим один из них.
Пример (печальный)
При столкновении грузового и легкового автомобилей
всегда больше страдает легковой.
Опровергает ли этот пример равенство сил при взаимодей­
ствии автомобилей? Что вы думаете по этому поводу?
Пример не опровергает третий закон Ньютона. Силы, с ко­
торыми автомобили подействовали друг на друга, одинако­
г)
д)
Р и с .82
59
е)
вые. Но из-за различия масс легковой автомобиль получил
большее ускорение (ал > а гр). Поэтому легковой автомобиль
сильнее деформировался. К тому ж е следует учесть и разную
прочность конструкций этих автомобилей.
© Вопросы и задания
1. Сформулируйте третий закон Ньютона.
2. Что можно сказат ь о величине, направлении и точке
прилож ения сил дейст вия и противодействия?
3. П риведит е примеры проявления или использования
третьего закона Ньютона из числа тех, о которых не гово­
рилось в § 9.
Упражнение 9
1. Почему у винтовки делают массивный приклад? Поче­
му при выстреле его плотно прижимаю т к плечу?
2. У многих конструкций вертолетов, кроме основного т я ­
гового винта, существует винт и на хвосте (см. рис. 82, а). З а ­
чем он нужен?
3. В опыте, показанном на рисунке 83, после погружения
тела в стакан с водой верхний динамометр стал показывать
3 Н. Каковы показания нижнего динамометра?
4. Небезызвестный барон Мюнхj----------гаузен утверждал, что однажды
НЕ
.1
он вытащ ил себя за волосы из бо- —М------- Ы------------------лота. Оцените достоверность его
рассказа.
5. Ш ар висит на нити. Сделайте рисунок в тетради и ука­
жите на нем силы действия и противодействия.
6 . К железной тележке с помощью длинного стерж ня при­
креплен магнит (рис. 84). Придет ли тележ ка в движение?
Повторим, обдумаем изученное
Рассмотрите схему изучения главы «Законы динамики».
Перерисуйте ее в тетрадь, дополнив недостающими фразами.
За д а ч а д и н ам и к и
Ф и зи ч еск и е величины
характеристика
взаимодействия
мера
инертности
характеристика
движения
Первый закон
Ньютона
устанавливает
условие состояния по­
коя или равномерного
прямолинейного
движения
Второй закон
Ньютона
устанавливает
Третий закон
Ньютона
устанавливает
П овт ори м сам ое главн ое
1. Приведите примеры взаимодействия тел или частиц.
2. Как сказывается на телах или частицах действие дру­
гих тел или частиц?
61
3. Почему изучаемое в данной главе явление называется
взаимодействием?
4. Что такое сила? Чем она характеризуется?
5. В каки х единицах измеряю т силу? Каким прибором из­
меряют силу?
6 . Какую силу называют равнодействующей?
7. В чем заклю чается свойство инертности тел?
8 . Что характеризует масса? К каки м величинам она
относится — векторным или скалярны м?
9. Перенесите в тетрадь таблицу 7 и заполните ее.
Т абли ца 7
Закон
Что
устанавливает
Формула
Пояснительный
рисунок
Первый закон Ньютона
Второй закон Ньютона
Третий закон Ньютона
Упражнение 10
1. У каж ите тела, взаимодействие с которыми влияет на
характер движ ения гири (рис. 85, а); поплавка (рис. 85, б).
2. Современные автомобили оснащены средствами за­
щ иты водителя и пассажиров от внезапных столкновений:
ремнями безопасности, подголовниками, м ягким и спинками
Рис. 85
62
кресел. Назовите, какие из этих средств
защ иты предохраняют человека от уда­
ра спереди; от удара сзади. Ответ объяс­
ните.
3. Найдите величину и направление
равнодействующей силы, действующей
на кольцо (рис. 8 6 ). В каком направле­
нии надо подействовать силой Fs, чтобы
кольцо оставалось на месте? Чему равна
Рис. 86
величина силы F 3?
4. Перенесите рисунок 87 в тетрадь. Выполните необходи­
мые построения и установите, в каки х случаях тело останется
в покое, а в каки х — получит ускорение.
\v
е)
д)
г)
Рис. 87
5.
В каж дом из примеров движ ения тел, показанных н
рисунке 8 8 , определите ускорение.
F 2= 8 Н
4 *Fj
1 =2H
т = 2 кг
F, = 1 I T
б)
Рис. 88
63
^ Х= 6 Н
ф т. = ОД кг
в)
Рис. 89
6.
В каждом из показанных на рисунке 89 примеров взаи
модействия указана лиш ь одна из сил. Определите, к каком у
телу и в каком направлении приложена сила противодействия.
Экспериментальное задание № 3
Проверка условия равновесия тела
Оборудование: лист фанеры, кольцо, три динамометра,
лист клетчатой бумаги, гвоздь.
Х од работ ы
1. Н а тетрадный лист положите кольцо и в масштабе
1 клетка — 0,1 Н отложите две силы, равные F 1 — 0,4 Н,
F 2 = 0,4 Н, приложенные к кольцу под углом 90°.
Найдите величину и направление третьей силы F3, кото­
рая уравновесила бы силы F1 vlF22. Под тетрадный лист подложите лист фанеры. Гвоздем
зафиксируйте положение кольца на листе.
3. Прикрепите к кольцу крю чки динамометров. Располо­
жите динамометры под углом 90° друг к другу и растяните их
пружины до значений 0,4 Н и 0,3 Н. В этом состоянии зафикси­
руйте динамометры, для чего прибейте гвоздь к листу, пропус­
тив его сквозь отверстие (или петлю) в корпусе динамометра.
4. Возьмите третий динамометр, зацепите его крючок за
кольцо, растяните его пружину до значения F3, рассчитанного
вами, и установите его на листе вдоль предполагаемого вами
направления действия этой силы. Подобно предыдущим укре­
пите и этот динамометр на листе.
Осталось ли кольцо в покое? Свободно ли оно? Не удерж и­
вает ли его гвоздь?
64
Если не удерживает, то ваш расчет и все ваш и действия
были правильными.
5.
Сформулируйте закон, на основе которого вы произво­
дили расчет.
Заглянем глубже
Всегда ли верны законы Ньютона?
(Разговор об одной чрезвычайно поучительной ситуации)
Изучая данную главу, вы могли убедиться в том, насколько пра­
вильно законы Ньютона объясняют явления, происходящ ие в окру­
жающ ем нас мире. Например, если мы видим покоящееся тело (или
тело, движущ ееся равномерно и прямолинейно), то обязательно на­
ходим силы, компенсирующие действие друг друга. Стоит какой-ли­
бо силе измениться, равновесие нарушается и тело получает ускоре­
ние. Мы рассмотрели так много подобных опытов и примеров, что в
настоящее время вы не должны сомневаться в справедливости зако­
нов Ньютона.
Однако вернемся к опытам и оценим их несколько с других по­
зиций, чем делали это до сих пор.
Л А Экспериментальное задание № 4
Законы Ньютона в различных системах отсчета
Вам предлагается проделать ряд опытов и дать им разъяснения.
Чтобы глубже вникнуть в суть возникающ их проблем, ваши наблю­
дения и предполагаемый вывод занесите в таблицу 8. Пример такого
рассуждения приведен в таблице для задания 1. Для остальных зада­
ний заполнение таблицы проведите самостоятельно.
Оборудование: брусок, динамометр, лист бумаги или тетрадь.
Задание 1
Ход р а б о ты
1.
Положите брусок на лист бумаги или тетрадь. Чтобы обозна
чить положение бруска относительно листа, положите на стол рядом
с бруском (только не на лист) какой-либо предмет, например ластик
(рис. 90, а).
а)
б)
Рис. 90
65
Таблица 8
За­
да­
ние
1
2
У ра вн ове ­
ш ены ли
силы ?
И м е е тл и
б р усо к
уско р е ни е ?
В ы полнился ли
закон Н ью тона
(1 и II)?
СО связана со столом
Я =0
а =0
Выполнился
СО связана с листом бумаги
я =о
а Ф0
Не выполнился
С истем а
о тсчета (СО)
СО связана со столом
СО связана с динамометром
3
СО связана со столом
СО связана с листом бумаги
4
СО связана со столом
5
СО связана со столом
СО связана с листом бумаги
2. Резким движением руки выдерните лист бумаги из-под бру­
ска. Если ваше движение действительно окажется достаточно рез­
ким, то брусок по-прежнему останется рядом с ластиком (рис. 90, б).
3. Сделайте соответствующий вывод по отношению к системе от­
счета, связанной со столом, и к системе отсчета, связанной с листом.
Пусть система отсчета (СО) связана со столом. На брусок в гори­
зонтальном направлении силы не действуют (трение мало, им пре­
небрегаем). В вертикальном направлении действие земли уравнове­
шивается действием опоры. Значит, можно утверждать, что силы,
действующие на брусок, компенсируют друг друга. Вы видели, что
по отношению к столу брусок с места не сдвинулся: как был до опыта
напротив ластика, так и остался возле него. Значит, ускорение бру­
ска равно нулю (а = 0 ) . Можно подвести итог: силы компенсируют
друг друга — тело находится в покое. Значит, второй закон Ньютона
выполняется.
Теперь рассмотрим этот ж е опыт, но только по отношению к сис­
теме отсчета, связанной с листом бумаги.
Силы, действующие на брусок, по-прежнему компенсируют
друг друга (R = 0). Других сил не появилось. Но по отношению
к листу бумаги брусок имел ускорение. Заметьте: брусок сначала
был, например, на середине листа, а затем оказался на его краю.
Значит, а * 0. Что ж е получается? Действие сил скомпенсировано,
а ускорение у бруска есть. Это нарушение второго закона Ньютона.
В системе отсчета, связанной с листом, второй закон Ньютона не вы­
полнился.
66
Задание 2
Ход работы
1. Прикрепите брусок к крючку динамометра и ускоренно пере­
местите брусок по столу в горизонтальном направлении (рис. 91).
2. Проведите необходимые наблюдения за поведением бруска и
сделайте вывод, выполнялся ли второй закон Ньютона по отноше­
нию к системам отсчета, связанным со столом и с динамометром.
3. Заполните таблицу 8.
Рис. 92
Рис. 91
Задание 3
Ход работы,
1. Положите брусок на лист бумаги и достаточно медленно, без
рывков, равномерно двигайте лист с бруском по столу (рис. 92).
2. Наблюдая за поведением бруска, установите, выполнился ли
второй закон Ньютона по отношению к системам отсчета, связанным
со столом и с листом.
3. Заполните таблицу 8.
Задание 4
Ход работы
1. Дайте возможность бруску свободно падать с небольшой высо­
ты на стол (рис. 93).
2. Объясняется ли данное явление на основе второго закона
Ньютона в системе отсчета, связанной со столом?
3. Заполните таблицу 8.
Задание 5
Ход работы
1.
Пусть брусок неподвижно лежит на столе (рис. 94). Ускорен
но проведите рядом с бруском лист бумаги.
Рис. 94
Рис. 93
67
з*
2. Можно ли объяснить поведение бруска с точки зрения второго
закона Ньютона в системе отсчета, связанной со столом; в системе
отсчета, связанной с ускоренно движущ имся листом?
3. Заполните таблицу 8. При этом учтите, что в данном опыте
брусок по отношению к листу имеет ускорение.
Какой ж е вывод можно сделать, обдумывая все проведенные на­
блюдения?
Как это ни покажется кому-нибудь печальным или непонятным,
но приходится признать, что законы Ньютона выполняются не всег­
да (точнее, не во всех системах отсчета).
Системы отсчета, в которых законы Ньютона выполняются,
называют инерциальными. В проведенных выше опытах такими
системами являлись системы отсчета, связанные со столом, с равно­
мерно движущ имся листом бумаги (вспомните: брусок относитель­
но листа покоился и силы, действующие на него, были уравнове­
шены).
В задании 4 брусок, падая, имел ускорение относительно земли,
но силы, действующие на брусок, не были уравновешены. Поэтому
брусок и получил ускорение. Второй закон Ньютона выполняется,
что доказывает утверждение: Землю можно считать инерциальной
системой отсчета.
Наряду с инерциальными существуют и неинерциальные систе­
мы отсчета, в которых законы Ньютона не выполняются. В зада­
нии 1, например, таковой являлась система отсчета, связанная с
листом бумаги. Относительно нее брусок имел ускорение, несмотря
на то что силы, действовавшие на него, были уравновешены.
В задании 2 неинерциальной являлась система отсчета, связан­
ная с динамометром. Относительно нее брусок оставался в покое, но
при этом на него действовала сила со стороны растянутой пружины.
В задании 5 неинерциальной являлась система отсчета, связан­
ная с ускоренно движущ имся листом. Брусок по отношению к листу
двигался с ускорением. Однако силы в горизонтальном направлении
на брусок не действовали.
Если вы задумаетесь и будете вспоминать происходивш ие во­
круг вас явления, то вы наверняка сумеете выделить инерциальные
и неинерциальные системы отсчета.
Например, равномерно движущ ийся поезд (рис. 95, а). В нем все
тела ведут себя «нормально», в строгом соответствии с законами
Ньютона. Яблоко лежит на столе, если его никто не трогает, или по­
лучает ускорение под действием какой-либо силы. Капли воды пада­
ют отвесно под действием силы тяжести.
Но стоит поезду начать двигаться ускоренно (рис. 95, б), напри­
мер затормозить, как он становится неинерциальной системой отсче­
та. С точки зрения законов Ньютона невозможно объяснить явления,
68
б)
а)
Рис. 95
происходящ ие в таком поезде. Ни с того ни с сего, без каких-либо
воздействий, яблоко начинает катиться по столу. Капли перестают
падать отвесно.
Итак, вывод:
Законы Ньютона выполняются только в инерциальных сис­
темах отсчета.
И первый закон Ньютона фактически утверждает, что такие сис­
темы существуют.
СгГ)
с
Вопросы и задания
1. П очем у, р а ссм а т р и ва я опы т ы и я в л е н и я в основной част и
д анной гла вы , м ы не с т а л к и в а л и с ь со с лу ч а я м и н а р уш ен и я за к о ­
нов Н ью т она?
2. П р и веди т е прим еры и н е р ц и а л ь н ы х и н е и н ер ц и а л ь н ы х сис­
т ем от счет а. О т вет обоснуйт е.
Глава HI
Силы в механике
Теперь вам известно, что для нахождения ускорения тела
необходимо знать силы, действующие на него. В данной главе
вы познакомитесь с наиболее распространенными в механике
силами.
10. Сила упругости
С ила упругост и — сила, возникаю щ ая при деформа­
ции т ел.
Напоминаем
1. Деформация — изменение формы тела.
2. Существует несколько видов деформации (рис. 96).
♦И
Растяжение
(сжатие)
Сдвиг
Кручение
Изгиб
Рис. 96
10.1. Причина возникновения силы упругости
Рассмотрите внимательно рисунок 97. Н а нем показано рас­
положение двух соседних частиц в твердом теле, а такж е силы
взаимодействия между ними. Заметьте, что частицы (молеку­
лы, атомы или ионы) располагаются в теле таким образом, что
силы притяж ения и отталкивания, действующие между поло­
жительными и отрицательными зарядами, входящими в состав
этих частиц, компенсируют действие друг друга (рис. 97, а).
70
а)
6)
Fm i
-©
i1« O
■T■ (+)•
У
■&
' F„
F np I
r > rn
в)
- /
F
i
,ot 1
- 4
/Г
F
'
,F
Г7\ ДР i _ _ у р (О,
4
L_a
' F
Рис. 97
При деформации изменяются расстояния между частицами
твердого тела. В результате этого силы взаимодействия уже не
будут компенсировать друг друга. Начинают преобладать силы
притяжения (рис. 97, б) или силы отталкивания (рис. 97, в).
Сила упругости возникает в результате взаимодействия
заряж енны х частиц. Поэтому она относится к силам электро­
магнитной природы.
10.2. Направление и величина силы упругости
Сила упругости всегда препятствует деформации тела
и стремится восстановить его первоначальную форму. Эту за­
кономерность иллюстрируют примеры, показанные на рисун­
ке 98. Сила упругости направлена противоположно смещению
частиц тела при его деформации.
Рис. 98
71
От чего зависит сила упругости? Д ля того чтобы ответить на
этот вопрос, проделаем следующее экспериментальное задание.
Экспериментальное задание № 5
И сследование силы упругости
Оборудование-, штатив, резинка длиной 20 см (на концах
резинки закреплены канцелярские скрепки), линейка, дина­
мометр, набор грузов, пруж ина, нить.
Задание 1. Установление зависимости модуля силы упру­
гости от удлинения тела.
Х од работ ы
1.
Расположите на парте резинку, линейку и динамометр
так, как показано на рисунке 99.
Рис. 99
2. Одной рукой прижмите к парте конец резинки в точ­
ке А. Другой рукой с помощью динамометра растягивайте ре­
зинку вдоль линейки.
3. Ф иксируйте значение показаний динамометра через
каж ды е 0,5 см удлинения резинки.
4. По полученным данным составьте таблицу и постройте
график зависимости Р упр (АI).
5. Сделайте вывод.
У казание: сильно резинку не растягивайте. Ограничьтесь
удлинением, равным 4 см.
При правильном выполнении работы графиком зависи­
мости модуля силы упругости от удлинения будет прям ая, вы­
ходящ ая из начала координат. Лиш ь при значительны х для
данной резинки удлинениях эта зависимость нарушается.
Напоминаем
П ри построении графика учт ит е, что измеренные
значения удлинен ия и м одуля силы упругости прибли­
зит ельны. Поэтому допускается, чтобы л и н и я прохо­
дила вблизи полученны х точек.
72
Уравнение зависимости модуля силы упругости от удли­
нения имеет вид:
Ы
= kA I,
где |Уупр| — модуль силы упругости;
k — жесткость;
А1 — величина удлинения (или сж атия) тела.
Это уравнение выраж ает закон Г ука для деформации рас­
тяж ения или сжатия:
Сила упругост и п р ям о пропорциональна уд ли нен и ю
т ела до некот орого предельного значения.
Говоря о законе Гука, следует иметь в виду, что:
1. П рям ая пропорциональная зависимость между силой
упругости и величиной деформации выполняется не при лю ­
бых деформациях, а лиш ь в некоторых пределах изменения
длины. При больших удлинениях резинки (по отношению к ее
длине) линия на графике перестает быть прямой. Это означа­
ет, что прямая пропорциональная зависимость нарушается.
2. Коэффициент пропорциональности k называют жест­
костью тела. Единица жесткости:
Al
1н = 1н.
LJ
[A Z]
1м
м
Формула закона Гука представляет собой линейную зави­
симость вида у = kx.
F
= kAl,
У = kx,
где у соответствует силе Гупр;
х соответствует удлинению АI;
k соответствует жесткости k.
Поскольку коэффициент пропорциональности k не зави­
сит от аргумента х, то соответственно жесткость не зависит от
удлинения АI и силы упругости Г упр.
© Остановимся, подумаем
От чего зависит жесткость тел (подвесов или опор)?
73
Во-первых, жесткость зависит от материала. Можно взять
резинку и проволоку одинаковой длины и диаметра и подве­
сить на них одинаковые грузы. Вам, наверное, приходилось
что-то подобное наблюдать. Сильнее растянется резинка — ее
жесткость меньше, чем жесткость проволоки.
Можно предположить, что жесткость тел зависит от их
длины (Z0) и площади поперечного сечения (S).
Вспомните, тела большого сечения трудно сжать или растя­
нуть. Для выяснения зависимости жесткости тел от сечения и
длины продолжим выполнение экспериментального задания.
Экспериментальное задание № 5
(продолжение)
Задание 2. Установление зависимости жесткости резинки
от ее длины.
Х од работ ы
1. По результатам задания 1 рассчитайте жесткость резин­
ки длиной 101 = 20 см.
Указание: для этого вам достаточно по графику определить
значение тангенса угла наклона прямой к оси удлинения АI.
Можно такж е разделить любое из значений модуля силы упру­
гости Fynp на соответствующее значение удлинения ЛI.
2. Расположив приборы, к ак показано на рисунке 100,
прижмите к столу не конец резинки, а середину (точка В).
Тогда динамометр будет растягивать лиш ь половину резинки
длиной 102 = 1 0 см.
3. Произведя измерение, рассчитайте жесткость полови­
ны резинки. У вас получатся следующие данные:
Z01 = 20 см;
102 = 1 0 см;
k 1= ...;
* 2 = ... •
4. Н а основе полученных данных сделайте вывод.
Задание 3. Установление зависимости жесткости резинки
от площади поперечного сечения.
Х од работ ы
1.
П рижмите к столу середину резинки, концы ее сведите
вместе (рис. 100). П олучится резинка длиной 10 см с удвоен­
ной площадью поперечного сечения.
74
Рис. 100
2. Измерьте жесткость резинки длиной /03= 10 см и пло­
щадью сечения S 3 = 2S. У вас получатся следующие данные:
102 = 1 0 см;
103 = 1 0 см;
S 2 = S;
S3=2S;
k 2 = ...;
k 3 = ... .
3. Сделайте вывод.
Если вы все сделали точно, то результаты выполнения за­
даний 2 и 3 позволят сделать следующий вывод:
Жесткость тела прямо пропорциональна площади по­
перечного сечения, обратно пропорциональна его длине:
k~S;k ~ f
‘о
.
Задание 4. Установление зависимости жесткости подвеса
от материала.
Ход работ ы
1. Укрепите на опоре различные подвесы: нить, резинку и
пружину.
2. Подвесьте на них одинаковые грузы. Определите, какой
подвес имеет наибольшую жесткость.
Общий вывод:
Сила упругост и, возникающ ая в теле при его раст я­
жении (сжатии), зависит от величины деформации и жест­
кости тела, т. е. от его длины, площади поперечного сече­
ния и м ат ериала, из которого изготовлено данное тело.
о
Вопросы и задания
1. Н азовит е виды деформации. Приведит е примеры.
2. Объясните причину возникновения силы упругости.
3. К ак направлена сила упругости?
75
4. От чего зависит величина силы упругости? Сформу­
лируйт е закон Гука.
5. От к а к и х величин зависит жесткость подвеса или
опоры?
I Упражнение 11
1.
Н а рисунке 101 показаны два граф ика зависимости мо­
дуля силы упругости от удлинения для пружин I и II. У какой
из пружин жесткость больше?
Р и с . 101
Рис. 102
2. На рисунке 102 показаны три резинки, отрезанные от
одного мотка. К какой из резинок требуется приложить боль­
шую силу для одинакового их удлинения?
3. Требуется изготовить динамометры с пределами изме­
рения на 1 Н и 4 Н. В каком из этих случаев следует использо­
вать пруж ину большей жесткости? Ответ обоснуйте.
4. К ак можно с помощью двух динамометров с пределом
измерения 10 Н определить вес тела от 11 Н до 20 Н?
5. П руж ина динамометра, рассчитанного на 4 Н, состоит
из 40 звеньев. Если пруж ину укоротить на 10 звеньев, то к а ­
кому значению модуля силы упругости будет соответствовать
последнее деление ш калы динамометра? (Задача слож ная, но
реш аемая.)
j 11. Сила тяготения
11.1. Закон всемирного тяготения
Давно известно, что Зем ля притягивает к себе все тела, на­
ходящ иеся на ней, а такж е вне ее (например, Луну). Долгое
время считалось, что притяжение тел — особое свойство Зем ­
ли. Однако развитие астрономии и изменение представлений
76
Рис. 103
о строении звезд и планет опровергли это утверждение. В ча­
стности, у планет были обнаружены спутники, существование
которых немыслимо без притяж ения планет. Оказывается
такж е, что Земля не только притягивает к себе Луну, но и са­
ма притягивается Луной. (Вспомните третий закон Ньютона.)
В результате этого взаимодействия Луна, к ак вам хорошо и з­
вестно, движется вокруг Земли. Но и Земля под действием
Луны приобретает орбитальное движение (рис. 103). Причем
оказалось, что центром орбиты Луны является не геометри­
ческий центр Земли О, а точка О', удаленная от него на рас­
стояние 4700 км (эта точка расположена внутри земного
шара). Вокруг этой же точки движ ется и геометрический
центр Земли.
Возникло предположение, что многие тела, а может быть
даж е все, обладают способностью притягивать к себе другие
тела. Но тогда почему не заметно тяготение всех тел друг
к другу, за исключением притяж ения к Земле? Ответ на этот
вопрос впервые дал Ньютон. П ытаясь объяснить законы дви­
ж ения планет, открытые немецким ученым Иоганном Кепле­
ром, Ньютон сформулировал закон всемирного тяготения
(1687).
Тела прит ягиваю т ся друг к д р угу с силой, прямо про­
порциональной произведению их масс и обратно пропор­
циональной квадрат у расст ояния между ними :
77
Говоря о законе всемирно­
го тяготения, следует иметь в
виду, что:
1. Данный закон справед­
лив для материальных точек и
тел сферической формы (когда
можно пренебречь собственны­
ми размерами тел по сравнению
с расстоянием между ними).
2. В формулу закона вхо­
дит коэффициент — гравит а­
ц и о нна я пост оянная G. Эта
постоянная впервые была из­
мерена английским ученымэкспериментатором Кавендишем в 1798 г. Д ля этой цели К а­
вендиш использовал крут ильны е весы (рис. 104).
В замкнутом прозрачном сосуде находилось коромысло 1,
к концам которого были прикреплены два свинцовых ш ара 2
массой по 158 кг. Сверху свисала тонкая упругая проволока,
несущ ая легкий стержень, на концах которого были укрепле­
ны маленькие свинцовые ш арики 3 массой по 730 г. При пово­
роте коромысла, когда большие шары оказывались поблизости
от ш ариков, они стали заметно притягиваться. В результате
стержень поворачивался на некоторый угол и закручивал про­
волоку-подвес, на которой укреплено зеркало 4. По отклонению
луча вдоль ш калы 5 определялся угол закручивания проволо­
ки, а затем сила взаимодействия между ш ариками. На основе
закона всемирного тяготения по известным силе тяготения,
массам ш ариков и расстоянию между ними было рассчитано
н тjyj2
значение G. Оно оказалось равным G = 6,67 • 10 -11 —
.
КГ
Теперь становится совершенно ясно, почему в наш их по­
вседневных наблюдениях мы не замечаем взаимного притя­
ж ения тел (за исключением притяж ения тел к Земле).
Например, два тела массой по 1 кг, удаленные друг от дру­
га на расстояние 1 м, притягиваю тся друг к другу с силой:
F = 6,67 • 1 0 - ч ^
кг2
• 1 кТ-— ---г = 6,67 • 10 - 11 Н.
1 м2
Ничтожно маленькая сила! Заметьте, что с увеличением
расстояния между телами или частицами она существенно
78
уменьшается (обратно пропорционально квадрату расстоя­
ния). Ввиду малого значения гравитационной постоянной си­
ла тяготения между частицами или телами настолько мала,
что ее во многих расчетах не учитывают. Но когда хотя бы од­
ним из двух тел является планета, то сила тяготения стано­
вится весьма ощутимой, а тяготение заметным. Так, тяготе­
нием объясняется образование планетных систем, движение
спутников вокруг планет, сжатие звезд в ходе эволюции, при­
ливы и отливы.
Остановимся на причине приливов и от ливов (рис. 105).
И з-за вращ ения Земли вокруг своей оси Луна раз в сутки на­
ходится над одним и тем же местом Земли. Представим, что
Земля неподвижна, т. е. не вращ ается вокруг оси, а Луна дви­
жется относительно нее по круговой орбите. В данной мест­
ности (под Луной) вода, притягиваясь к Луне, выходит из
берегов — образуется прилив. Однако прилив образуется не
только в местности 1, но и в диаметрально противоположных
местах земного ш ара 2. Дело в том, что воды морей и океанов
в этих местах Земли притягиваю тся к Луне слабее, чем по­
верхность Земли. Из-за этого масса воды отходит от поверхно­
сти Земли на небольшое расстояние по сравнению с радиусом
Земли, но заметное для рельефа данной местности. И здесь об­
разуется прилив.
Если в какой-то момент прилив происходит в местностях
1 и 2, то где же на Земле наблюдается отлив? Мысленно прове­
дите сечение, перпендикулярное плоскости рисунка, проходя­
щее через центр Земли. В местах, обозначенных цифрами 3 и 4,
происходит отлив. Вода из этих мест отходит в зоны прилива
l-a.2.
Р и с .105
79
В течение суток Луна перемещается над поверхностью
Земли. Одновременно с ней перемещаются места приливов и
отливов. Причем приливы и отливы в этих местах происходят
дважды в сутки.
Интересно и то, что приливы и отливы происходят не
только в водной поверхности, но и в толще Земли. Не замечая
этого, вместе с поверхностью Земли мы дваж ды в сутки под­
нимаемся и опускаемся на расстояние более 70 см.
Отметим такж е и следующее обстоятельство, связанное с
приливами и отливами. Движение огромных масс водной по­
верхности вызывает трение их о твердую часть поверхности
земного ш ара и замедляет его суточное вращение вокруг своей
оси. Очевидно, на ранних стадиях существования Земли она
вращ алась быстрее и период ее обращения составлял всего 5—
6 ч. Ясно, что в далеком будущем период обращения Земли не
останется равным 24 ч, а увеличится.
11.2. Сила тяжести и вес тела
Частным проявлением закона всемирного тяготения я в л я ­
ется сила тяж ести.
Сила тяжести — сила, с которой т ела прит ягиваю т ­
ся к Зем ле (или к другой планет е).
Применим формулу закона всемирного тяготения для рас­
чета силы тяжести:
,т р п 2
„
F = G - ^ И =>Р
^ М 3т
= <?-
(Да + *)* ’
где т — масса тела;
G — гравитационная постоянная;
М 3 — масса Земли (или другой планеты);
R3 — радиус Земли (или другой планеты);
h — высота тела над Землей (или другой планетой).
Из данной формулы видно, что сила тяж ести зависит от
массы тел и удаления их от центра Земли.
Будем считать, что тело находится на поверхности Земли
или удалено от нее на высоту много меньше радиуса Земли
(Л « R3).
Тогда сила тяжести:
-^тяж =
' т80
Известно:
_il Hj_M2
КГ^
Rc, = 6400 км = 6,4 • 10 6 м,
М 3 = 6 • 10 24 кг.
G = 6,67 10
Следовательно:
М3
6 • 1 0 24 к г
т = 6,67 • 10-11 к гу2 - (,п6 , 4. • 1П
6Л2 2 т = 9,8 — ■т.
кг
1 0 6)2 м 2
Дз
Мы получили формулу, связывающую между собой массу
тела и действующую на него силу тяжести:
G
н
Ф изический смысл коэффициента 9 ,8 — мы рассмотрим
далее. Сейчас ж е отметим, что он обозначается буквой g.
С учетом обозначения формула силы тяж ести принимает
вид:
РТЯШ= т §Сила тяжести, действующая на тела одной массы на раз­
ных планетах, конечно, разная ввиду различия масс и ра­
диусов планет. Н а диаграмме (рис. 106) приведены значения
отношения силы тяж ести на различны х небесных телах к си­
ле тяжести на Земле.
Н аряду с силой тяж ести часто используют понятие вес
тела.
Весом тела называют силу, с которой тело действует
на опору или подвес.
30
25
20
со
00
со
15
10
5Н
о
05
о
О
о
1
1
о
Л
сб
сб
2
PQ
а
И
>>
1=2
СчГ
1
.
1
1
ft
ф
В
К
S
ф
со
В
<D
0
Рис. 106
81
1
в
сб
ft
К*
оо
<м
1
гЧ
ft
Ф
Н
В
к
2
I
■о
5
О
Вес и силу тяжести часто путают. Путают потому, что обе
величины представляют собой силу, связанную с притяж ени­
ем тел к Земле. К тому ж е если тело находится на горизон­
тальной, неподвижной опоре, то сила тяж ести Frax и вес Р
равны по модулю и сонаправлены (рис. 107, а). Однако между
весом и силой тяж ести есть различия, и существенные. Они
показаны в таблице 9.
Таблица 9
Сила тяжести
Вес
— приложена к телу;
— по своей природе отно­
сится к силам тяготения;
— приложен к опоре или подвесу;
— является разновидностью силы
упругости и поэтому относится к силам
электромагнитного происхождения;
— перпендикулярен опоре или направлен
вдоль подвеса
— всегда направлена
к центру Земли
На рисунке 107, б тело расположено на наклонной плос­
кости. Направления силы давления тела на плоскость (т. е. ве­
са) и силы тяж ести не совпадают. Кстати, и модули этих сил в
данном случае не равны.
P*F..
P = F„.
__
а)
Рис. 107
Часто такж е вес путают с массой тела.
Например, в медицинском кабинете нам сообщают наш
вес в килограммах, в магазинах вес покупки такж е называют
в килограммах или граммах. Но ведь килограмм — это едини­
ца массы.
Поэтому в упомянутых выше ситуациях правильнее ска­
зать «масса человека» и «масса покупки». Ведь покупая, на­
пример, конфеты, мы интересуемся не давлением их на опору,
а количеством вещества, содержащимся в них. Правда, если
речь пойдет о меш ке картош ки, то нас, кроме массы, будет ин­
тересовать и его вес: поднимем или не поднимем.
82
Возникш ая путаница не случайна. Она имеет свою причи­
ну. Дело в том, что массу измеряют на весах. Они уравновеше­
ны в том случае, если вес измеряемого тела на одной чаше (си­
ла, с которой на чаш у весов действует тело) оказывается рав­
ным весу гирь на другой чаше (силе, с которой на чаш у весов
действует гиря). Если веса тел равны, то равны и силы тяж ес­
ти, действующие на них, а значит, по закону всемирного тяго­
тения, равны и массы этих тел. Только благодаря этому обсто­
ятельству массу тел можно измерять на весах. Но поскольку
весы все ж е реагируют на вес, то многие люди не видят разли­
чия между весом и массой. А они есть, и существенные! Све­
дем их в таблицу 1 0 .
Таблица 10
Масса
Вес
— мера инертности, мера количества
вещества, содержащегося в теле;
— скалярная величина, не имеет
направления;
— измеряется в килограммах
— сила давления тела на опору;
— вектор, имеет направление
в пространстве;
— измеряется в ньютонах
шш
о Вопросы и задания
1. Сформулируйте закон всемирного тяготения.
2. Почему взаимное притяжение заметно не для всех тел?
3. Что называют силой тяжести? От ка к и х величин
она зависит?
4. Что называют весом тела?
5. В чем состоят р азличия между силой тяжести и ве­
сом тела; между массой и весом тела?
Упражнение 12
1. Известно, что Земля — не шар.
Она несколько приплюснута у полюсов
(рис. 108).
Одинаковы ли будут значения массы
и силы тяж ести одного и того же тела на
полюсе и на экваторе?
2. Сила тяж ести на поверхности Зем ­
ли составляет 10 Н. Чему она будет равна
на высоте, равной радиусу Земли?
83
Рис. 108
3.
Известно, что в космических кораблях тела испытываю
состояние невесомости. К акая из следующих величин в этом со­
стоянии оказывается равной нулю: масса, вес, сила тяжести?
- 12. Сила трения
Еще одна сила, с которой мы сталкиваемся ежедневно, —
сила трения.
Сила трения — сила, возникающ ая при движении од­
ного тела по поверхности другого.
12.1. Виды трения
Хотя сопротивление возникает и при движении тел в ж ид­
костях и газах, мы остановимся на сухом трении, т. е. на
трении, возникающем при движении твердых тел. Существу­
ет три вида сухого трения: трение покоя, трение скольже­
ния, трение качения (рис. 109).
Трение
покоя
Трение
скольжения
Трение
качения
Fтр
Fтр
Р и с .109
Причины возникновения трения:
1. Неровности трущ ихся поверхностей (рис. 110, а).
2. Силы молекулярного взаимодействия (рис. 110, б).
а)
б)
Рис. 110
84
Так как возникновение сил молекулярного взаимодейст­
вия объясняется действием электрических сил, то силу тре­
ния следует отнести к силам электромагнитной природы.
12.2. Сила трения покоя
Д ля того чтобы установить, от чего зависит сила трения
покоя, проделайте следующее экспериментальное задание.
А
Экспериментальное задание N2 6
Изучение силы трения покоя
Оборудование: брусок, линейка, динамометр, набор грузов.
Задание 1. Исследование величины и направления силы
трения покоя.
Х од работ ы
1. Поставьте на брусок 2—3 гру­
зика массой 100 г. Потяните брусок
динамометром, приклады вая к нему
силу F = 0,2 Н (рис. 111). Вы види­
те, что брусок не сдвигается с места.
Рис. 111
Объясните почему.
Чему равна сила трения покоя? В какую сторону она на­
правлена?
2. Проделайте тот ж е опыт, увеличив силу, действующую
на брусок, до значений 0,4 Н, 0,6 Н, 0,8 Н. Д ля каждого опы­
та ответьте на вопросы, поставленные в пункте 1 .
3. Данные измерений занесите в таблицу 11.
Т а б л и ц а 11
Показания динамометра F, Н
0
0,2
0,4
0,6
0,8
Сила трения покоя F, Н
4. Подействуйте на брусок силой, например, 0,8 Н, но по
другому направлению. И в этом случае ответьте на вопросы,
поставленные в пункте 1 .
5. Сделайте вывод относительно величины и направления
силы трения покоя.
85
Наблюдения в ходе проведенных опытов должны были
привести вас к следующему выводу:
Сила трения покоя равна по м одулю силе, стремящ ей­
ся сдвинут ь тело с места, и всегда направлена против
этой силы: Fт р = Fв н еш
Задание 2. Исследование зависимости силы трения покоя
от внешней силы.
Х од работ ы
Пусть на бруске по-прежнему находятся грузы. Действуй­
те на брусок динамометром, постепенно наращ ивая силу.
Что вы наблюдаете? Что произошло с бруском?
Какой вывод относительно величины силы трения вы мо­
жете сделать теперь?
Вывод, к которому вы должны были прийти, состоит в
следующем:
Сила трения покоя способна возраст ат ь лишь до неко­
торого предела FTp макс.
Далее нам предстоит установить, от каких величин зависит
м аксимальная сила трения. Каковы ваш и предположения?
Наверное, в первую очередь следует установить характер
зависимости предельного значения силы трения покоя от си­
лы давления тела на опору и от качества обработки трущ ихся
поверхностей.
Задание 3. Исследование предельного значения силы тре­
ния покоя.
Ход работ ы
1. И зм еняя число грузов, поставленных на брусок (сни­
майте их с бруска или добавляйте новые), определите силу
давления бруска на опору в каж дом случае.
2. Заполните таблицу 12.
3. Установите зависимость максимального значения силы
трения покоя от силы давления бруска на опору.
Т абли ца 12
Сила давления Ffl, Н
Максимальное значение трения
покоя FTp MaKC, Н
86
Рис. 112
4. Поставьте брусок с определенным числом грузов на
стол (на книгу, на какой-нибудь другой предмет). Измерьте в
каждом опыте значение F Tp макс.
5. Сделайте вывод.
Объединим наблюдения, сделанные в процессе выполне­
ния всего задания, и сделаем общий вывод.
Если на тело подействует сила параллельно поверх­
ности, на которой оно находится, то возникает сила
трения покоя. Сила трения покоя всегда направлена про­
тив силы, стремящ ейся вывести тело из состояния по­
коя. М одуль силы трения покоя равен м одулю приложен­
ной к т елу силы до некоторого предельного значения, за­
висящего от силы давления, от м ат ериалов и от качест­
ва обработки т рущ ихся поверхностей.
Сила трения покоя играет важную роль. Она бывает вред­
на, когда мы пытаемся сдвинуть с места какое-либо массивное
тело. Но во многих ситуациях сила трения покоя очень помо­
гает. Рассмотрим рисунок 112. Сила тяж ести стремится сдви­
нуть тела, показанные на рисунке, но возникаю щ ая сила тре­
ния покоя препятствует этому. Не будь силы трения покоя,
человек не смог бы устоять на по­
верхности, имеющей даже небольшой
наклон, предметы бы вы скальзы ва­
ли из рук, скатывались со стола.
Особо следует обратить внима­
ние на роль силы трения покоя при
ходьбе (рис. 113). Человек напряж е­
нием мыш ц создает силу FM, дейст­
87
вующую назад. При этом нога^цолжна бы проскальзывать, но
возникает сила трения покоя Етр п, направленная вперед. Эти
силы уравновешивают друг друга — нога остается в покое.
А теперь представьте человека, стоящего на льду. Пытаясь
сдвинуться с места, он мышечным усилием создает силу FM,
но сила трения покоя не может возрасти до этого значения.
Последствия такой ситуации каж ды й из нас неоднократно на­
блюдал. Нога проскальзывает, и человек может упасть.
12.3. Сила трения скольжения
Если приложенная к телу сила больше, чем предельное
значение силы трения покоя, то тело приходит в движение.
Трение покоя меняется на трение скольж ения. Чтобы устано­
вить, от каки х величин зависит сила трения скольж ения, про­
делайте экспериментальное задание.
Экспериментальное задание № 7
Исследование зависим ости силы трения
скольжения о т силы давления тела на опору
Оборудование: брусок, линейка, динамометр, набор грузов.
Задание 1. Измерение силы трения скольж ения.
Х од работ ы
С помощью динамометра двигайте по линейке брусок рав­
номерно. При этом, согласно первому закону Ньютона, сила
трения скомпенсирует силу упругости динамометра Етр = Еупр.
У казание: динамометр должен располагаться параллель­
но поверхности линейки, но не касаться ее.
Задание 2. Получение зависимости силы трения скольж е­
ния от силы давления бруска на опору.
Ход выполнения задания наметьте самостоятельно.
Д ля тех, кто самостоятельно не справился с заданием, да­
ем подсказку. М еняя число грузов, устанавливаемых на бру­
сок, необходимо в каж дом опыте измерить вес бруска с груза­
ми (в данном случае вес равен силе давления тела на опору) и
силу трения скольж ения. Н а основании опытов составляется
таблица, по ней строится график зависимости силы трения от
силы давления и делается вывод относительно характера этой
зависимости.
88
Вывод:
Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе
давления FTp ~ FK.
Коэффициент пропорциональности называют коэффици­
ентом трения скольжения и обозначают ц.
Тогда формулу для силы трения скольж ения можно запи­
сать так:
Fтр —u F д -.
х
Коэффициент трения зависит от рода трущ ихся материа­
лов и от качества обработки поверхностей. Значения ц для не­
которых поверхностей приведены в таблице 13.
Таблица 13
Коэффициент трения
Материалы
0,15— 0,20
0,20-0,50
0,06-0,028
Металл по металлу
Дерево по дереву
Металл по металлу при смазке
Лед по льду
Шина по сухому асфальту
Шина по мокрому асфальту
Шина по сухой грунтовой дороге
0,50-0,70
0,35—0,45
0,40-0,50
Трение скольж ения в ряде случаев очень полезно. Н апри­
мер, при торможении автомобиля. Здесь, стремясь увеличить
силу трения, у шин делают специальной формы протектор.
(Обратите внимание на приведенные в таблице значения коэф­
фициента трения шин о различные поверхности.)
Чтобы уменьшить трение в узлах различных машин, ис­
пользуют смазку — при этом сила сухого трения заменяется
силой жидкого трения, которая существенно меньше. Н апри­
мер, для того чтобы в двигателе внутреннего сгорания пор­
шень из-за трения о стенки цилиндра не нагревался, при­
шлось создать сложную систему смазки, а такж е систему ох­
лаж дения.
Трение можно значительно уменьшить, если трение
скольж ения заменить трением качения. Убедитесь в этом на
простом опыте. Поставьте тетрадь или книгу наклонно к по­
верхности стола. Положите на нее круглый (без граней) к а­
рандаш так, как показано на рисунке 114, а.
89
б)
Рис. 115
Рис. 114
Н аклон книги сделайте таким, чтобы карандаш медленно
соскальзывал с книги. А теперь разверните карандаш так, к ак
показано на рисунке 114, б.
Заметили разницу? Трение качения намного меньше тре­
ния скольж ения. Вот почему так важно было для человечест­
ва открытие колеса.
Втулка любого колеса насаживается на ось (рис. 115). При
вращ ении между осью и втулкой возникает трение скольж е­
ния. Чтобы уменьш ить трение, используют подш ипник. Под­
ш ипник состоит из внутренней обоймы, внешней обоймы и
тел качения (шариков или роликов). Так, у велосипедного ко­
леса внутренняя обойма насаж ивается на ось, неподвижно
связанную с передней вилкой велосипеда. В тулка колеса наде­
вается на внешнюю обойму. При вращ ении колеса внеш няя
обойма не скользит вдоль оси, а перекатывается по шарам.
П рактически во всех механизмах, где есть движущ иеся части,
используются подш ипники: от микроскопически маленьких
до подшипников диаметром больше метра.
о
Вопросы и задания
1. П ри каком условии возникает трение?
2. Каковы причины возникновения трения? К силам ка­
кой природы относится сила трения?
3. Н азовит е виды трения. П риведит е соответствую­
щие примеры.
4. Чему равна и в какую сторону направлена сила тре­
ния покоя?
90
5. От чего зависит сила т рения скольжения? П риведи­
те соответствующую формулу.
6. П риведит е примеры полезного использования трения
и примеры, в которых трение оказывается вредным.
Ш Упражнение 13
1.
На тело, находящ ееся на гори­
зонтальной поверхности, действует
сила. График зависимости силы от
времени показан на рисунке 116. К а­
кой из графиков зависимости Г тр(£),
показанных на рисунке 117, по ваш е­
му мнению, соответствует графику на
рисунке 116?
^ р-Н
ОД 0,2 0,3
а)
t, с
б)
в)
г)
Рис, 117
2. В тисках зажато тело массой 2 кг. Чему равна сила тре­
ния тела о поверхности тисков? С какой наименьш ей силой
должны быть сж аты тиски, чтобы тело из них не выпадало,
если д = 0,4?
3. Три бруска массой 100 г поставлены друг на друга, к ак
показано на рисунке 118. Коэффициент трения брусков друг
о друга равен 0,15. Какую силу F надо приложить к среднему
бруску, чтобы вытащ ить его из стопы?
4. Брусок равномерно движ ется по
столу под действием пруж ины. Масса
бруска 100 г. Коэффициент трения бру­
ска о поверхность стола равен 0,3.
Ж есткость пружины 0,5 ^ . Рассчитай­
те у д л и н е н и е п р у ж и н ы .
Рис. 118
91
Повторим, обдумаем изученное
П о в т о р и м сам ое гла в н о е
1. В каки х случаях между телами действуют силы тяготе­
ния, упругости и трения?
2. Назовите причины возникновения сил упругости и тре­
ния.
3. От каки х величин зависят силы тяготения, упругости и
трения скольж ения?
4. Запиш ите формулы, по которым определяются силы тя ­
готения, упругости, трения.
5. Приведите примеры проявления сил тяготения, упру­
гости, трения.
6 . В каки х случаях действие сил тяготения, упругости и
трения мешает человеку? В каки х случаях действие этих сил
оказывается полезным?
7. Почему притяж ение тел к Луне меньше, чем к Земле?
8 . Что больше, сила гравитационного притяжения двух про­
тонов или сила электрического взаимодействия между ними?
9. В таблице 14 представлены силы, изученные вами в
главе 3. Рассмотрите эту таблицу, перенесите ее в свою тет­
радь, заполнив вторую и третью колонки.
Т а б л и ц а 14
Сила
Формула
Пояснительный рисунок
всемирного тяготения,
тяжести
упругости
трения покоя,
трения скольжения
Упражнение 14
1. У каж ите направление силы упругости, действующей на
каждое из тел, показанны х на рисунке 119.
2. У пружинного динамометра связываю т ниткой несколь­
ко звеньев (рис. 120). Правильными ли останутся показания
такого динамометра?
92
а)
I a a /w
w v ^
P 1
Ш/ШШЖ
Р и с . 119
3. Н а опоре укреплены три одинаковые резинки. Две из
них соединены вместе так, как показано на рисунке 121. К ре­
зинкам подвешивают грузы равной массы. Одинаково ли рас­
тянутся резинки?
4. Н а рисунке 122 показан график зависимости модуля си­
лы упругости, возникающей в пружине, от величины дефор­
мации. Определите жесткость этой пружины.
5. Первый раз два м альчика растягиваю т пружину, к а ж ­
дый действуя на нее с силой F. Второй раз один конец пруж и­
ны прикрепляю т к стене, а на другой конец действует один из
мальчиков с прежней силой F. Потом пружину, укрепленную
за один конец, растягивают оба мальчика. Сравните растяж е­
ние пружины в трех случаях.
6 . Ускорение свободного падения у поверхности Земли
равно g0. Чему равно это ускорение на расстоянии от Земли,
равном ее радиусу?
7. С какой силой притягивает к себе Землю тело массой
5 кг, расположенное на поверхности Земли?
F, Н
4
/
3
/
2
1 2
Рис. 120
Р и с . 121
93
3
Р и с . 122
см
F н
8 . Грузовой автомобиль забуксовал
на скользкой дороге. Что должен пред­
принять водитель, чтобы сдвинуть авто­
мобиль с места:
— высадить людей из машины;
— увеличить силу тяги, наж ав на
педаль газа;
°
1 2
— насыпать под ведущие колеса пе­
сок или положить ветки?
Рис- 123
9. Тело массой т = 1 кг леж ит на го­
ризонтальном столе. Коэффициент тре­
ния ц = 0,1. На тело в горизонтальном направлении начинает
действовать возрастающая по величине сила F. График зависи­
мости величины этой силы от времени представлен на рисунке
123. Начертите график зависимости силы трения от времени.
А*ЪЭкспериментальное задание № 8
И змерение ж есткости пружины
О борудование: динамометр, линейка.
Х од работ ы наметьте самостоятельно.
ААЭкспериментальное задание № 9
Р асчет ускорения тела, движущ егося под
д е й ств и е м нескольких сил
О борудование: деревянный брусок, динамометр.
Х од работ ы
1. Укрепите на крю чке динамометра брусок. Оттяните
брусок вертикально вниз, пока указатель пруж ины не опус­
тится до деления 3 Н, и отпустите.
2. Рассчитайте ускорение бруска в первый момент его дви­
ж ения. Будет ли изменяться ускорение бруска по мере его
подъема? Ответ обоснуйте.
3. Прикрепите брусок к крю чку динамометра и положите
его на стол. У держивая одной рукой динамометр в горизон­
тальном положении, другой рукой оттяните брусок таким об­
разом, чтобы пруж ина динамометра растянулась до деления
2 Н. Отпустите брусок.
4. Рассчитайте ускорение бруска в момент начала движ е­
ния.
94
Глава iV
Законы сохранения в механике
В этой главе вам предстоит подробнее изучить уже извест­
ные физические величины: работу, мощность, энергию, а так ­
же познакомиться с новой для вас величиной — импульсом
тела. Знание этих величин поможет вам разобраться в наибо­
лее общих законах природы — законах сохранения.
) 13. Другая формулировка
второго закона Ньютона
Пусть на тело массой т, движущ ееся со скоростью о0, ста­
л а действовать сила F. За промежуток времени At она измени­
ла скорость тела до значения V.
Запиш ем второй закон Ньютона:
—
>
F = та.
Вспомнив определение ускорения, подставим его в форму­
лу второго закона Ньютона. При этом получим:
у -т—
у-0 .
F3 = т —
At
Откуда
FAt = m v - mi30.
Полученное выраж ение, по сути, является вторым зако­
ном Ньютона, но в другом виде. Величины, входящие в эту
формулу, имеют свое название:
FAt — импульс силы;
m v0 — импульс тела в начальный момент времени;
m v — импульс тела спустя время At после начала дейст­
вия силы.
—
э
И м п у ль с си лы (FAt) — очень важ ная физическая величи­
на. Даж е более важ ная, чем сама сила. Ведь результат дейст­
вия силы зависит не только от силы, но и от времени ее дейст­
вия.
95
Например, ручеек в горах, в течение длительного време­
ни действуя малой силой, разруш ает породу, образуя в ней
пещеру.
Чем длиннее ствол орудия, тем больше времени порохо­
вые газы действуют на снаряд и тем большую скорость они
ему сообщают.
Импульс силы — векторная величина, совпадающая по
направлению с вектором силы. Поэтому если на тело действу­
ет не одна, а несколько сил, то складывать импульсы сил надо
векторно.
Единица импульса силы ньютон-секунда (1Н • с).
И м п уль с т ела — ф изическая вели чи н а , р а вн а я произ­
ведению массы т ела на его скорость:
р = т ■V.
Импульс тела — векторная вели­
чина, совпадающая по направлению
с вектором скорости. Поэтому мате­
матические действия — сложение
(рис. 124), умножение и т. д. с ним
следует производить к ак с векторами.
Единица импульса тела кило-
mv2
-m v2
Рис. 124
грамм-метр на секунду ^ 1 кг^ м ).
Используя введенные физические величины — импульс
силы и импульс тела, мы можем дать следующую формули­
ровку второго закона Ньютона:
И зм енение и м п ул ь с а т ела равно и м п у л ь с у силы .
Обратите внимание на единицы импульса тела и импульса
силы. Они одинаковые:
1 Н
с = 1 —с
.
Рассмотрим несколько примеров.
З ад ач а 1
Ш арик из пластилина массой 0,05 кг, падая с некоторой
высоты, в момент падения имел скорость 4 м /с. Ударившись
об опору (рис. 125), ш арик остановился (удар абсолютно неуп­
ругий). Каково изменение импульса ш арика в процессе удара?
96
Д ано:
т = 0,05 кг
Uj = 4 м /с
1>2= °
Ар
Реш ение
Импульс ш арика до удара:
p l = muj = 0,05 кг ■4 м /с =
= 0 , 2 кг ■м /с.
После удара:
р 2 = m v2 = 0 , так как v2 = 0 .
Ар = р 2 ~ Pi = - 0, 2 кг ■м /с.
Пластилин
ш »»*®
Рис. 125
Ответ: Ар = -0 ,2 кг м /с.
Задача 2
По условию задачи 1 вычислить изменение импульса ш ара
в процессе удара, если ш ар пластмассовый (для настольного
тенниса).
Д ано:
т = 0,05 кг
= 4 м /с
Vo = - 4 м /с
Ар
Реш ение
Такой шар при ударе отско­
чит от опоры (рис. 126). Бу­
дем считать удар абсолютно
упругим. Это означает, что
после отскока ш ар будет
иметь ту же скорость, что и
в момент падения.
Р2
TPi
IP1
Рис. 126
Поскольку в этом случае направление скорости изменяет­
ся, то необходимо задать положительное направление оси OY.
Пусть она совпадает с направлением начальной скорости ш а­
ра. Тогда:
p l = m vl = 0,05 кг • 4 м /с = 0,2 кг • м /с,
р 2 = m v2 = 0,05 кг • (-4 м /с) = - 0,2 кг • м /с,
Ар = р 2 - p i = -0 ,2 кг • м /с - 0,2 кг ■м /с = -0 ,4 кг • м /с.
О твет : Ар = -0 ,4 кг м/с
т 1= 40 кг
Задача 3
Чему равен общий им ­
пульс мальчиков, движ у­
щ ихся в одном направле­
нии (рис. 127)?
т 2= 30 кг
и2= 2 м/с
С
Рис. 127
97
Задача 4
Чему равен общий импульс мальчиков, движ ущ ихся на­
встречу друг другу (рис. 128)?
Задача 5
Требуется найти общий импульс двух шаров, движ ущ их­
ся, как показано на рисунке 129.
Р и с .128
Рис. 129
О т вет ы :
В задаче 3 общий импульс равен 140 кг ■м /с.
В задаче 4 общий импульс равен 50 кг ■м /с (в этой ситуа­
ции импульс второго м альчика оказывается отрицательным).
В задаче 5 общий импульс равен 0,5 кг • м /с. Он находится
по правилу сложения векторов.
© Вопросы и задания
1. Что называют импульсом тела?
2. Что называют импульсом силы?
3. Сформулируйте второй закон Ньютона двум я р а зны ­
м и способами. П риведит е примеры, иллюст рирующ ие обе
формулировки закона.
4. Может л и общий им пульс двух т ел быть меньше им­
пульса одного из эт их тел? Ответ объясните.
Упражнение 15
1.
Кот массой 3 кг, спрыгнув со стола, в момент падени
на пол имел скорость 2 м /с. На сколько изменился его им ­
пульс в процессе удара о пол?
98
К акая сила подействовала на кота со сторо­
^ = 5Н
ны пола, если продолжительность удара о пол
составила приблизительно 0 , 1 с?
F2 = 5Н
С какой силой кот подействовал на пол?
Ф
2. Зачем человек при пры ж ке с высоты в
момент приземления сгибает колени?
Рис. 130
3. Ш ар массой 100 г подбросили вверх со
скоростью 5 м /с. Н а сколько изменится импульс ш ара за вре­
м я подъема? за время полета?
4. На покоящ ийся ш ар массой 0,1 к г одновременно дейст­
вуют две силы, направленные под углом 90° друг к другу
(рис. 130). Какую скорость получит ш ар за 0,01 с? К ак будет
направлена эта скорость?
ЭМ 4. Закон сохранения импульса
Запиш ем второй закон Ньютона в виде
j
j
—
>
m v - m v0 = FAt,
где F — сила, действующая на тело массой т.
Если на тело действуют несколько^ил, то необходимо сна­
чала найти равнодействующую силу R по правилу сложения
векторов (рис. 131).
Уравнение второго закона Ньютона примет вид:
m v - m vn
RAt.
Ну а что, если тело (или частица) не изолировано от дру­
гих тел и является частью системы тел?
В качестве примера такой системы тел или частиц могут
являться планетная система, атом, кристаллическая реш етка,
два взаимодействующих заряда или проводника с током. Н а­
пример, электрон, движ ущ ийся под действием электрическо­
го поля, и атом газа (рис. 132). Электрон сталкивается с ато­
мом. Последствия этого могут быть самыми разны ми. Удар
Атом
Е
Рис. 132
Р и с .131
99
может быть упругим — электрон и атом разлетятся в разные
стороны. Если при взаимодействии электрона с атомом атом
поглотит электрон и станет отрицательным ионом, то такое
взаимодействие окаж ется неупругим. Электрон такж е может
ионизовать атом.
Д ля системы тел «электрон—атом» уравнение второго за­
кона Ньютона можно записать в виде
р 2 ~ P i = R A t,
где R — равнодействующая внешних сил, действующих на
тела системы (находится по правилам сложения векторов);
р г — суммарный импульс системы тел или частиц до их
взаимодействия;
р 2 — суммарный импульс системы тел или частиц после
их взаимодействия.
Тогда второй закон Ньютона для системы тел формулиру­
ется следующим образом:
Изменение им пульса системы тел равно им пульсу
внешних сил, дейст вующ их на тела системы.
Представьте себе, что мы имеем дело с замкнутой систе­
мой тел или частиц.
Зам кнут ой называют сист ему таких тел, на кото­
ры е не дейст вуют внешние силы или действие этих сил
скомпенсировано.
Так, если в разобранном выше примере (рис. 132) убрать
электрическое поле, то система «электрон—атом» окаж ется
замкнутой. Рисунок 133 позволит вам уяснить, какие систе­
мы тел можно считать замкнутыми.
Система тел (A + Б)
незамкнута.
Есть внешние силы
Система тел (В + Г)
замкнутая.
Нет внешних сил
Система тел (Д + Е)
замкнутая.
Внешние силы
уравновешены
R =0
Д= 0
Р и с .133
100
И так, если система тел замкнута, то RAt = 0 и р 2 = PiВывод:
Сум м арный им пульс зам кнут ой системы тел есть
величина постоянная.
В этом состоит закон сохранения импульса.
Вы уж е знаете, что для замкнутой системы тел при R = О
значение импульса сил обращается в нуль. Поэтому в таких
системах тел импульс остается постоянным. Но в формуле им ­
пульса силы RAt есть и второй множитель — время (Д£).
И если время действия сил на тело или систему тел очень
мало и его возможно принять за нуль, то значение импульса
сил и в этом случае обратится в нуль. А значит, при этом усло­
вии такж е выполнится закон сохранения импульса. Примера­
ми таких процессов могут являться разрыв гранаты на оскол­
ки, распад ядра атома на частицы, соударения атомов и моле­
кул и др.
Закон сохранения импульса — один из самых общих зако­
нов природы, распространяющий свое действие как на объек­
ты микромира (элементарные частицы, атомы, молекулы),
так и на объекты мегамира (планеты, звезды и их скопления).
Проиллюстрируем этот закон на ряде примеров.
Пример 1
Центральный удар двух биллиардных шаров.
По ш ару ударяют кием и сообщают ему скорость v по на­
правлению к центру другого ш ара (рис. 134, а).
Систему шаров 1 и 2 можно считать замкнутой, так как
сила тяж ести компенсирует силу реакции опоры. Силу трения
считаем незначительной и пренебрегаем ею. До соударения
двигался первый ш ар, второй покоился. После соударения
До соударения
р, = mv
После соударения
а)
б)
Р и с .134
101
р2 = mv
первый ш ар остановился, а второй приобрел скорость, равную
скорости первого ш ара до соударения (рис. 134, б).
Как вы видите, импульс каждого из шаров в процессе
их столкновения изменился, а суммарный импульс остался
тем же.
Пример 2
Н ецентральный удар биллиардных шаров (рис. 135).
Р и с .135
В этом случае ш ар ударяет не в центр второго ш ара. По­
этому ш ары разлетаю тся под некоторым углом друг к другу.
Но заметьте, они разлетаю тся таким образом, что их общий
импульс после столкновения, найденный по правилу сложе­
ния векторов, остается тем ж е, что и до столкновения.
Пример 3
Фигуристы на льду (рис. 136).
Фигуристов, стоящ их на гладком льду, такж е в большой
степени можно считать замкнутой системой. Вначале они стоя­
ли неподвижно и их импульс был равен нулю. Оттолкнувшись
друг от друга, фигуристы разъезж аю тся в противоположные
стороны. Если массы фигуристов не равны, то скорости, кото­
рые они приобретут после взаимодействия, окажутся разными.
Л =0
Р2=
Рис. 136
102
О
Но импульсы по модулю будут оди­
наковыми. А их общий импульс не
изменится и по-прежнему будет
равным нулю.
m\Vi
m2v2
Пример 4
Разрыв снаряда на осколки
(рис. 137).
Пусть снаряд, выпущенный вер­
тикально вверх, в наивысшей точке
траектории, когда его скорость рав­
на нулю, разрывается на два оскол­
ка. Снаряд нельзя считать зам кну­
той системой, ибо сила тяжести его
ничем не скомпенсирована. Но по­
скольку время взрыва можно счи­
Р и с .137
тать равным нулю, то общий им ­
пульс осколков после разрыва равен импульсу снаряда до
взрыва. Поэтому-то осколки и разлетаются по одной прямой в
противоположные стороны. Скорости осколков разные, но им ­
пульсы их по модулю одинаковые.
Пример 5
Сцепка вагонов (рис. 138).
На сортировочной станции формируют состав. Пусть
вагон 1 движется навстречу трем неподвижным вагонам
(рис. 138, а). Данную систему можно считать замкнутой, если
пренебречь силой трения колес вагонов о рельсы.
До сцепки
rriv
а)
Н
4mv'
После сцепки
б)
Рис. 138
До соударения импульс системы был равен импульсу пер­
вого вагона m v. После удара вагоны соединятся (рис. 138, б).
Далее они будут двигаться как одно тело массой 4т. Их им ­
103
пульс будет равным 4m v', где v' — скорость вагонов после
сцепки. По закону сохранения импульса:
m v = 4m v' => v' = 4- .
Такой будет скорость вагонов после их сцепки.
г-%)
© Вопросы и задания
1. К ак формулируется второй закон Ньютона для сис­
темы тел?
2. Какую систему т ел называю т замкнут ой?
3. Сформулируйте закон сохранения импульса.
4. Н азовит е условия, при которых вы полняет ся закон
сохранения импульса для системы тел.
5. П риведит е примеры, иллюст рирующ ие закон сохране­
ния импульса.
; J Упражнение 16
1. М альчик массой 40 кг прыгает
с кормы неподвижной лодки со ско­
ростью 2 м /с (рис. 139). Что происхо­
дит в это время с лодкой? Ответ объ­
ясните. Считая силу сопротивления
воды равной нулю, определите ско­
рость, которую приобретает лодка.
рис 139
Масса лодки 80 кг.
2. М альчик катится на роликовых коньках со скоростью
3 м /с (рис. 140, а). На его пути оказывается другой мальчик
на роликовых коньках. Первый мальчик охватывает руками
второго, и они едут вместе (рис. 140, б). Рассчитайте скорость
104
а)
v=О
V
О
до ионизации
г = 0
в
v= 0
в)
а)
после ионизации
Рис. 142
Р и с . 141
их движ ения. Массы мальчиков одинаковы. Силу трения не
учитывать.
3. По ровному полу катится тележ ка массой 10 кг со ско­
ростью 3 м /с. Н а тележ ку сверху со стула спрыгивает кот мас­
сой 5 кг. Рассчитайте скорость тележ ки с котом.
4. Д виж ущ ийся электрон сталкивается с неподвижным
нейтральным атомом разреженного газа (рис. 141, а). Какие
из предложенных ниже вариантов последствий данного столк­
новения могут иметь место, какие — нет?
1) Атом поглотит электрон (станет отрицательным ионом)
и останется в покое (рис. 141, б).
2) Электрон отскакивает назад. Но атом в результате уда­
ра ионизуется — из него вылетает электрон в направлении на­
чального движ ения первого электрона. Сам атом при этом ос­
тается в покое (рис. 141, в).
3) Пусть соударение будет таким ж е, к ак в пункте 2, но с
той разницей, что атом получит скорость в том же направле­
нии, что и вылетевш ий из него электрон (рис. 141, г).
Сравните скорости электрона, вылетевшего из атома, в
случаях 2 и 3.
5. Н еподвижный нейтральный атом выбрасывает элект­
рон. К акая из двух ситуаций данного явления, показанных на
рисунке 142, может иметь место?
§ 15. Реактивное движение
Реактивные двигатели относятся к числу самых мощных.
С их помощью можно преодолеть силу притяжения, поднять над
землей свою собственную массу и сотни тонн полезного груза.
105
Существует несколько типов реактивных двигателей. Одни
из них предназначены для самолетов, другие для космических
ракет. Но принцип их действия одинаков. Он основан на законе
сохранения импульса.
На рисунке 143 показана принципиальная схема реактив­
ного двигателя для ракет. На борту ракеты есть баки с топли­
вом 1 и окислителем 2. Насосы подают топливо и окислитель в
камеру сгорания 3. Здесь смесь воспламеняется. Давление ее
резко возрастает, и она с большой скоростью устремляется в
выходное отверстие (сопло ракеты) 4. Форма сопла такова, что
скорость смеси на выходе еще возрастает.
И зучая третий закон Ньютона, мы уже разбирали суть
данного явления. По третьему закону Ньютона рабочая смесь,
выходя из сопла, действует на ракету с некоторой силой, кото­
рая приводит ее в движение в противоположном направлении.
Третий закон Ньютона объясняет, почему летит ракета.
Однако он не позволяет рассчитать ее скорость.
X
Р и с .143
Р и с .144
Данный расчет можно произвести с помощью закона со­
хранения импульса, он довольно сложен, и в настоящем посо­
бии мы не имеем возможности его рассмотреть. Однако если
воспользоваться одним допущением, то расчет значительно
упростится. Этим приемом мы уже пользовались, когда вво­
дили понятие материальной точки, инерциальной системы от­
счета, замкнутой системы тел и т. д.
И так, будем считать, что вся масса топлива выбрасывает­
ся одномоментно, как при взрыве. На самом деле струя газа
вытекает из сопла ракеты постепенно, пока не иссякнут горю­
чее и окислитель. Но вместе с тем скорость истечения струи
очень велика. Поэтому принимаемое нами допущение позво­
лит оценить скорость ракеты.
106
Будем считать систему «ракета—топливо» (рис. 144) зам ­
кнутой. Действие силы тяж ести ракеты на стартовой установ­
ке скомпенсировано силой реакции опоры.
Импульс системы до взрыва:
•Робгц"
0.
После взрыва:
Робщ = m pVp ~ m TVT
где m pvp — импульс ракеты после взрыва;
m TvT — импульс топлива после выброса.
Знаки импульсов ракеты и топлива соответствуют выбору
направления оси ОХ.
По закону сохранения импульса:
0 = m
v - mTvT => m v
=> v
т т
= —
ит.
p
Из данной формулы видно, к ак можно увеличить скорость
ракеты.
Во-первых, можно увеличить скорость истекания рабочей
смеси из сопла двигателя. С этой целью выбирают оптималь­
ные составы топлива и окислителя, совершенствуют конст­
рукцию камеры сгорания и выходного сопла.
Во-вторых, можно увеличить отношение ~ . Одним из ва­
риантов реш ения этой проблемы является многоступенчатое
строение ракеты (рис. 145). Каж дая
ступень имеет свой двигатель. Н авер­
ху ракеты, под обтекателем, находит­
ся полезный груз (спутник, космиче­
ский корабль, контейнер с грузом).
Когда в одной ступени все топли­
во израсходовано, то ее отстреливают
и полет продолжает оставш аяся часть
ракеты. От этого величина отношения
тп.
—
тр не изменяется так заметно, как
у одноступенчатой ракеты такой же
массы.
Выведенная нами формула лиш ь
приближенно определяет скорость ра­
кеты. Формулу, учитывающую посте­
107
пенное истечение рабочей смеси из сопла ракеты, удалось вы­
вести К. Э. Циолковскому. Она легла в основу теории косми­
ческих полетов.
И нтересный ф акт из истории
К онст ант ин Эдуардович Ц иолковский прожил долгую и
трудную жизнь. В детстве почти полностью потерял слух.
Б ы л вынужден пользоваться слуховы м аппаратом. Будучи
оторванным от общества, он проводил время среди книг и
множества т ехнических устройств, которые сам конст ру­
ировал и изгот овлял в мастерской. Он верил в невероятные
возможности реакт ивного двигат еля, разрабат ы вал проек­
ты ракет , строил модели, испы т ы вал их. Задолго до нача­
ла космической эры Ц иолковский разрабат ы вал программы
космических полетов, конст рукции орбит альных космиче­
ских станций. В нашей стране Циолковского считают осно­
ват елем теории косм ических полетов.
Основоположником же практической космонавтики стал
Сергей П авлович Королев. В 30—40-е гг. X X в. Королев за­
инт ересовался проблемами реакт ивного движения. Вместе
с группой молодых т а ла н т ли вы х инженеров он ст роил пер­
вые ракет ы и проводил и х запуски. В конце концов эти ра­
боты привели к созданию мощной ракет ной т ехники, позво­
ливш ей начат ь осущ ест вление косм ических программ.
Д лит ельное время Королев был вынужден работать в
очень слож ных условиях. Он был незаслуж енно осужден и
приговорен к длит ельном у сроку заклю чения. Б удучи под
строгим надзором тюремных начальников в атмосфере л и ­
ш ений и униж ения, Королевым и его помощ никами велась
работа, итогом которой ст ал прорыв человека в космиче­
ское пространство.
В 1957 г. в наш ей стране была запущ ена первая меж кон­
т инент альная ракет а. Позднее — первый в мире искусст ­
венны й спут ник Зем ли. М асса его была всего 83,6 кг. Н а
борту его находилась м аленькая радиост анция, непрерывно
посылавш ая сигналы, которые приним али радиост анции
м ногих ст ран мира.
12 апреля 1961 г. под руководством Королева был совер­
шен первый пилот ируемы й полет в космос. Первым челове­
ком, поднявш имся на ракет е в космическое пространство,
108
ст ал лет чик-космонавт Ю рий Гагарин. П олет Гагарина
продолжался всего 108 м инут , но означал для Зем ли начало
освоения человеком внеземного пространства.
Под руководством Королева космонавт ика делала пер­
вые шаги. Б ы ли совершены облет и посадка на Л ун у авт о­
м ат ических аппаратов. Космонавт А лексей Леонов первым
выш ел за пределы космического корабля в от крыт ый кос­
мос.
П олет ы осущ ест влялись на кораблях т ипа «Восток»,
«Восход», «Союз». Н ы не в космосе работают уже космиче­
ские ст анции. Время и х эксплуат ации — годы. Ст анции
имеют несколько ст ыковочных узлов, к которым прист ы­
ковываются космические корабли. Н а н и х в течение д ли ­
тельного времени проводятся самые различны е научные, ме­
дицинские исследования, ведутся наблюдения за поверхно­
стью Зем ли, за состоянием ее атмосферы.
Значит ельны х успехов в деле освоения космоса достиг­
л и и Соединенные Ш т ат ы Америки. В 1969 г. ими был осу­
щ ест влен проект высадки экспедиции на Л уну. Армстронг
ст ал первым человеком, ст упивш им на поверхность Луны.
В настоящее время американские астронавты прово­
дят космические исследования с помощью кораблей типа
«Ш атл». Этот корабль соединил в себе ракет у, космиче­
скую ст анцию и спускаемый аппарат . Корабль со специаль­
ной платформы, как и ракет а, совершает взлет , длит ель­
ное время находит ся на орбите, совершает маневры и в
конце, подобно самолету, совершает мягкую посадку на по­
лосе аэродрома. Следующий шаг в исследовании космоса —
совместный проект российских и ам ериканских учены х —
ст анция «Альфа» (М.К.С.).
© Вопросы и задания
1. К ак устроен реакт ивны й двигатель?
2. П ринцип дейст вия реакт ивного двигат еля можно
объяснить на основе третьего закона Ньютона или закона
сохранения импульса. В чем состоит преимущество второго
способа?
3. От ка ки х величин зависит скорость реактивного дви­
гателя? К акими способами эту скорость можно увеличить?
109
Упражнение 17
1. Модель ракеты имеет мас­
су 300 г. Рассчитайте скорость,
которую приобретает ракета на
старте, если масса пороха 60 г, х
а скорость выхода пороховых гарис. -|4 б
зов 1 0 0 м /с.
2. На рисунке 146 схематично показан космический ко­
рабль на трассе его полета. К ак следует развернуть корабль,
чтобы при работающем тяговом двигателе ускорить корабль;
замедлить движение корабля?
16. Механическая работа и мощность
16.1. Что такое механическая работа?
И зучая курс механики, вы могли убедиться в том, на­
сколько важ на ф изическая величина — сила. Зная силу, м ож ­
но определить, сможет ли человек поднять тело, переместить
его, разорвать на части. Зная силу, по второму закону Ньюто­
на можно рассчитать ускорение тела и тем самым установить,
как это тело будет двигаться. К аж ется, знание сил позволяет
ответить на все вопросы, касаю щ иеся движ ения тел или час­
тиц. Но достаточно ли этих знаний?
Подумайте над таким вопросом: сможете ли вы поднять
кирпич и положить его на опору высотой 1 м? Несомненно,
сможете, силы у вас для этого хватит. Действительно, масса
кирпича приблизительно 2 кг. Значит, сила тяж ести, кото­
рую нужно преодолеть, равна:
Кяж= m g = 2 к г • 9 ’ 8 f r = 1 9 >6 н Один кирпич вы поднимете на высоту 1 м. А два кирпича?
Тоже поднимете. А три? И три поднимете. (Будете поднимать
по одному кирпичу.) А десять? Труднее, но, если надо, можно.
А сто, двести, тысячу? Тут-то и возникает проблема.
Она упирается в то, что чрезвычайно важную роль играет
расстояние, на котором действует сила. В последнем случае
вы фактически должны приклады вать силу почти в 20 Н на
пути 1 0 0 0 м.
110
Еще один пример. Сможете ли вы удержаться, повиснув
на канате? Сможете. Хорошо. А подняться по нему на метр,
два, три? Сможете. Еще лучше. А на 30 метров? Сомнительно.
Здесь придется прикладывать силу на большом пути.
Значит, для того чтобы понять, можно ли поднять тело на
какую-либо высоту или переместить его из одного места в дру­
гое, кроме силы надо оценивать еще и расстояние.
М еханическая работа является величиной, которая зави­
сит и от силы, и от расстояния. Она определяется по формуле:
А = Fs cos а,
где А — механическая работа;
F — модуль силы;
s — модуль перемещения;
а — угол между направлениями силы и перемещения.
Обратите внимание на то, что в формулу механической ра­
боты входят не сила и перемещение, а модули этих величин.
Поэтому работа является скалярной величиной. М еханиче­
ская работа не имеет направления и характеризуется лиш ь
численным значением.
М еханическая работа может быть как положительной,
так и отрицательной. Это зависит от угла между линией дей­
ствия силы и перемещением (табл. 15).
Т а б л и ц а 15
а
А
cos а = 1
cos а > 0
cos а = 0
cos а < 0
c o s a = -1
A = Fs
А >0
А= 0
А <0
5
i
п
а =0
а< 90°
а = 90°
90° < а < 180°
а= 180°
cos а
Таким образом, если сила и перемещение сонаправлены
или угол между ними острый, то А > 0.
Если направление силы противоположно направлению пе­
ремещ ения или составляет с ним тупой угол, то А < 0 .
Обратите внимание такж е и на то, что формула механиче­
ской работы, известная вам ранее (А = Fs), является лиш ь ч а­
стным случаем более общей формулы А = Fs cos а при а = 0.
Напомним единицу механической работы:
[А] = [E][s] = 1 Н м = 1 Д ж {джоуль).
111
в)
V
, .Ш
Т '
<9
Т
Рис. 147
Важно учитывать следующее обстоятельство: если хотя бы
один из трех сомножителей, входящ их в формулу механиче­
ской работы, равен нулю, то механическая работа над телом
не совершается (рис. 147).
Обратите внимание на различие двух понятий: «механи­
ческая работа» как физическая величина и работа как часто
употребляемое нами в быту слово, означающее труд.
Вот, например, штангист поднял штангу и замер на мгнове­
ние. В то время, когда ш тангист поднимал ш тангу, он совер­
ш ал механическую работу. В тот ж е момент, когда ш танга не­
подвижна, работа над ней не совершается. Даж е если вес
ш танги рекордный. Перемещ ения нет, значит механическая
работа будет равна нулю. Слесарь контролирует работу стан­
ка, ученый пишет важную статью, писатель — книгу, ш коль­
ник учит уроки — все они трудятся, но механической работы
не совершают.
16.2. Мощность
Рассмотрим пример.
Н а строительной площ адке работают два экскаватора, за­
гружаю т грунтом самосвалы. Оба экскаватора выполнили
норму — заполнили одинаковое число самосвалов. Но один из
них выполнил работу быстрее, чем другой.
Одинаковую работу выполнили экскаваторы? Конечно,
да. Они оба подняли одинаковый груз на равную высоту. Но,
конечно, для строителей важ на не только величина совершен­
ной работы, но и время, за которое эта работа совершается,
иначе говоря — мощность.
112
М ощ ност ью назы ваю т работ у, соверш аемую в едини­
цу времени:
где N — мощность;
А — работа;
t — время ее выполнения.
1 Дж
Единица мощности: ват т (1 Вт) 1 е ■ = 1 Вт, названа
в честь английского инженера-изобретателя первой паровой
маш ины Джеймса Уатта.
Ниже в таблице 16 приведены значения мощности, разви­
ваемые человеком в некоторых случаях, и мощности ряда ме­
ханизмов.
Т а б л и ц а 16
Мощность, развиваемая взрослым человеком
при обычной ходьбе:
по ровной дороге
при быстрой ходьбе
при быстрой езде на велосипеде
Мотоцикл «Иж-Юпитер»
Автомобиль «Волга»
Дизель трактора «Кировец-701»
Ракета-носитель «Энергия»
Мощность излучения Солнца
65 Вт
200 Вт
320 Вт
18 кВт
70 кВт
220 кВт
1,25 - 108кВт
3,85 - 1023 кВт
Получим еще одну распространенную формулу мощности:
,,
A
Fs
N = - ——
,
(cos а = 1).
Д ля равномерного движ ения выражение s- представляет
модуль скорости. Отсюда:
N = F ■и.
Эта зависимость объясняет некоторые ситуации, которые,
возможно, вам известны. Вот одна из них.
Что делает водитель, когда его маш ина въезж ает на кру­
той подъем? Включает первую передачу и начинает двигаться
на малой скорости. Водитель не может изменить мощность
двигателя. Зато, уменьшив скорость вращ ения вала двигате­
л я, он увеличил его силу тяги. А это как раз то, что необходи­
мо для того, чтобы взобраться в гору.
113
% Вопросы и задания
1. Что такое м еханическая работа?
2. К каким величинам относится механическая работа —
векторным или скалярным?
3. От чего зависит зн а к м еханической работы?
4. Что называют мощностью?
5. В к а к и х единицах измеряются работа; мощность?
Проделайте опыты
1. Рассчит айте приближ енно работу, которую вы совер­
шаете, поднимаясь по лест нице на свой этаж.
2. За обедом мы поднимаем лож ку на высоту около
30 см. Рассчит айт е приближ енно работу, которую мы со­
вершаем, съедая т арелку супа. Все необходимые для расче­
та величины оцените сами.
3. Рассчит айте приближ енно мощность, которую вы
развивает е при подъеме бегом по лест нице. Необходимые
для расчета величины уст ановит е и измерьте сами.
Ill Упражнение 18
1. С некоторой высоты на стол падает ш арик и отскакива­
ет вверх. Определите знак работы, совершаемой силой тяж ес­
ти на участке падения и на участке подъема.
2. М альчик поднимает и опускает гантель (рис. 148). К а­
кую по знаку работу совершают на обоих участках движ ения
сила тяжести гантели и сила упругости мышц
мальчика?
3. Слой снега скатился с крыш и. Какую по
знаку работу совершили сила тяж ести и сила
трения снега о крыш у? Ответ поясните рисун­
ком. У каж ите на нем силы, действующие на
снег, и направление его движ ения.
4. М альчик втягивает санки в гору. Какую
по знаку работу совершает сила тяж ести са­
нок? Ответ поясните рисунком.
5. За день вы можете несколько раз подни­
маться по одной и той же лестнице на один и
тот же этаж. Одинаковую ли работу вы совер114
шаете при каждом подъеме? Одинаковую ли мощность вы раз­
виваете на подъемах?
6.
Экскаватор за 1 ч поднимает 140 т песка на высоту 10 м
Какую мощность он при этом развивает?
Ц 17. Формулы для расчета
работы различных сил
Формула А = Fs cos а является определением механиче­
ской работы. Однако для каждого конкретного вида сил из
этой формулы получаются вы раж ения, более удобные для вы ­
числения работы.
17.1. Работа силы тяжести
Ограничимся примерами, в которых расстояние, пройден­
ное телом, невелико, и поэтому сила тяж ести не меняется.
Пусть тело массой т падает с высоты h l до высоты h2
(рис. 149).
f 'W
Сила тяж ести, действующая на тело:
К яж = т ' S’Перемещение тела:
s = h1 - h2; Z а = 0° =s> cos a = 1.
U
t
К
=
В этом случае:
тяж
S
m
h2
А = Fs cos a => A = m g (h l - h2).
V
ТЯЖ
Мы получили формулу для определения
работ ы силы тяжести.
Рис- 14®
Обратите внимание на знак работы силы тяжести.
Если тело падает, h x > h2 => А ТЯЖ> 0.
Если тело поднимается, hl < h 2=$ А ТЯЖ< 0.
Безусловно, к этому выводу можно было прийти, сопос­
тавляя направления силы и перемещения.
Если тело, двигаясь, возвратится в исходную точку, то
h x - h2 = 0 и работа силы тяжести окаж ется равной нулю. Н а­
пример, если вы утром выш ли из дома, в течение дня подни­
мались и опускались по лестницам зданий, а затем вернулись
домой, то механическая работа силы тяж ести над вашим те­
лом за день окажется равной нулю.
115
17.2. Работа силы трения
Пусть тело переместилось из положения 1 в положение 2
(рис. 150) под действием силы трения FTp. Угол между направ­
лением силы и перемещ ения а = 180°, cos а = —1 .
Работа силы трения
А = F.n)s cos а = ~F,ivs =»Атр = - P Tps.
1
Р и с .150
Рис. 151
В отличие от работы силы тяж ести работа силы трения
всегда отрицательна. Поэтому если тело из точки А перемести­
лось в точку В (рис. 151), а затем вернулось опять в точку А,
работа силы трения не окаж ется равной нулю. На обоих уча­
стках движ ения работа силы трения была отрицательной.
Полная работа такж е окаж ется отрицательной.
17.3. Работа силы упругости
Определим работу, совершенную силой упругости пру­
ж ины при движении. На рисунке 152 показана пружина,
которую растягиваю т до положения I и дают возможность со­
кратиться до положения II.
При сокращ ении пруж ины ее удлинение становится мень­
ше, значит, и сила упругости уменьш ается. Сила упругости по
| a a / v \ a / v v ^o
^Vnp2
Р и с .152
116
закону Гука не будет постоянной. Поэтому при расчете работы
этой силы следует использовать среднее значение модуля си­
лы упругости, которое оказывается равным:
Ет
_
^ у п р .1
г ср . у п р
- Г у д р .2
2
Модуль силы упругости найдем по закону Гука: Г упр = kAl.
Из рисунка 152 определим, что: А1г = x v AZ2 = х 2. Значит,
F y u p .l =
k x V
F y n p .2 =
k x 2-
Модуль перемещения s = х 1 - х 2.
Такж е из рисунка видно, что направления силы и переме­
щ ения совпадают, т. е. угол между ними а = О, cos а = 1 .
Работа силы упругост и:
л
п
hx^ "Ь kX2 .
А упр =
^ ср . ynpS =
----------2 ---------- ( Х 1 “
fejef
= ~~2
fexf
2~ ^
.
Х 2) =
k, о
2 (Х 1
_ fe-Kf
УИР - _2_
о,
-
Х 2 ) =
ftxl
2~ ’
Вопросы и задания
1. От к а к и х величин зависит работа силы тяжести?
2. В каком случае работа силы тяжести полож итель­
на; отрицательна?
3. Тело с одной и той же высоты один р а з падает на
землю отвесно, а другой ра& опускается по наклонной плоско­
сти. Одинакова ли работа силы тяжести в эт их случаях?
4. В чем состоит от личие работы силы тяжести от
работы силы трения?
5. От к а к и х величин зависит работа силы упругости?
6. В каком случае работа силы упругости полож итель­
на; отрицательна?
Экспериментальное задание № 10
Определение работы сил тяжести,
упругости и трения
Оборудование: брусок, линейка, динамометр, сантимет­
ровая лента.
Задание 1. Определение работы сил при движении тела по
наклонной плоскости.
117
1. Установите линейку наклонно
JcrfT ^
2. С помощью динамометра втяните
|
брусок вверх по линейке. Динамометр
перемещайте параллельно линейке.
3. Рассчитайте:
Рис' 153
а) работу силы тяж ести;
б) работу силы трения;
в) работу силы упругости динамометра.
Необходимые для определения работы величины устано­
вите самостоятельно. Произведите измерения этих величин.
Задание 2. Определение работы силы трения.
Х од работ ы
1. Щ елчком приведите брусок в движение по столу.
2. Рассчитайте работу, которую совершила над бруском
сила трения, после его остановки.
Задание 3. Определение работы силы упругости пружины.
Ход работ ы
1. Растяните пруж ину динамометра до деления 2 Н и от­
пустите. Определите работу, которую совершит сила упругос­
ти при сжатии пружины.
2. Растяните пруж ину динамометра от деления 2 Н до де­
ления 4 Н. Рассчитайте: а) работу, совершенную силой упру­
гости пружины; б) работу, совершаемую вами.
18. Простые механизмы
Давно прошло то время, когда любую работу человек дол­
ж ен был выполнять непосредственно своими руками. Сейчас
поднимать грузы, перемещать их по земле, воде и воздуху,
обрабатывать материалы, проводить строительные работы и
многое, многое другое человеку помогают механизмы. Это —
строительные краны и самосвалы, станки и локомотивы, эле­
ваторы, насосы и т. д. Вся слож ная чудо-техника является
творением ума и рук человеческих. Но на заре развития цивили­
зации человек для своей деятельности использовал простые
м еханизм ы — ры чаг, блок, наклонная плоскость, винт,
клин, ворот (рис. 154). С их помощью были созданы уни­
кальные сооружения, некоторые из которых сохранились до
118
Р и с .154
наш их дней. И сегодня простые механизмы имеют широкое
применение как сами по себе, так и в качестве частей слож ­
ных механизмов.
18.1. Для чего служат простые механизмы
Рассмотрим, как и зачем можно использовать наклонную
плоскость. Д ля этого выполним следующее эксперименталь­
ное задание.
Экспериментальное задание № 11
Исследование свойств простых механизмов
на примере наклонной плоскости
О борудование: линейка-трибометр, динамометр, деревян­
ный цилиндр на оси с петлей, сантиметровая лента, штатив.
Х од работ ы
1. Поднимите деревянный ци­
линдр с помощью динамометра вверх
на высоту 20 см (рис. 155).
2. Запишите значения силы Fv
высоты h.
3. Рассчитайте значение совер­
шенной работы A v
4. С помощью ш татива устано­
вите наклонно линейку-трибометр.
119
5. Зацепите пруж ину динамо­
метра за петлю деревянного цилинд­
ра. Перемещайте динамометр парал­
лельно линейке, втягивая по ней
цилиндр на высоту 20 см (рис. 156).
6 . Запиш ите значения силы F2 и
перемещения s.
7. Рассчитайте значение совершенной работы А 2.
8 . Сравните результаты экспериментов и сделайте вывод.
А вывод состоит в следующем:
1. Н аклонная плоскость позволила получит ь вы иг­
рыш в силе. По ней легче поднимать тела, чем без нее. Поэтому-то так часто ее используют. Это лестничные марш и в до­
мах, горные дороги в виде серпантина, ленты транспортеров и
многое другое.
2. Используя наклонную плоскость, проигрывают в рас­
стоянии. Чтобы поднять по ней тело на высоту 20 см, вам
пришлось перемещать тело на больший отрезок пути.
3. Работа же при подъеме тела с использованием на­
клонной плоскости и без нее совершается одинаковая.
Действительно, А = F ■s; и во сколько раз мы выигрываем
в силе, во столько ж е раз мы проигрываем в расстоянии. Поэтому-то работа в обоих случаях оказывается одинаковой.
Исследования, проводимые не только с наклонной плос­
костью, но и с другими механизмами, приводят к общему
выводу:
Ни один механизм не позволяет вы играт ь в работе.
И спользуя механизмы , мы можем вы играт ь в силе, но
проиграт ь в расст оянии. Или, наоборот, вы играт ь в р а с­
стоянии, но проиграт ь в силе.
Данное выражение называют законом равенст ва работ
или «золотым» правилом механики.
18.2. Коэффициент полезного действия
механизмов
Н икакие механизмы не дают выигрыш а в работе. Мы ви­
дели, что при подъеме тела без применения механизма или
с его помощью приходится совершать одинаковую работу.
Однако заметим, что в рассмотренном примере не учиты ва­
120
лось действие силы трения. Вместе с тем в реальных м еханиз­
мах обязательно происходит перемещение, вращение тел, и
поэтому всегда присутствует трение. В результате сделанный
выше вывод наруш ается. В этом вы убедитесь, выполнив
экспериментальное задание 12. В предыдущем задании вдоль
наклонной плоскости вы перемещали цилиндр. Трение его
о плоскость было невелико. Теперь воспользуемся бруском.
Трение станет значительны м, и вы сможете увидеть, как это
согласуется со сделанным ранее выводом.
& ■Экспериментальное задание № 12
Определение работы по подъему тела
с использованием наклонной плоскости и без нее
Оборудование: линейка-трибометр, брусок, набор грузов,
динамометр, измерительная линейка.
Х од работ ы
1. Поднимите брусок с грузом массой 100 г на высоту h
двумя способами (с помощью динамометра; с помощью дина­
мометра и наклонной плоскости).
2. Произведите необходимые измерения (Fv h и F 2, s) и
вычислите работу по подъему тела (Ах и А 2) в обоих случаях.
3. Сделайте вывод.
Вы убедились, что работа, совершенная с помощью м еха­
низма, оказалась больше, чем работа, которую требуется со­
вершить при подъеме тела (работа против силы тяжести). То
есть, применяя механизм, мы проигрываем в работе. На это
приходится идти для того, чтобы иметь возможность подни­
мать тяж елы е грузы, быстро перемещать их и т. д. Но, конеч­
но, всегда при этом важно знать, насколько мы проигрываем в
работе. Д ля этого вводится коэф ф ициент полезного дейст ­
ви я (КПД) механизма. Он равен отношению работы, которую
требуется совершить, т. е. полезной работы (Апол), к работе,
которую приходится совершать, применяя механизм, — к за­
траченной работе (Азатр):
КПД =
100% .
затр
Так как работа, совершаемая с помощью механизма,
всегда больше, чем работа, которую требуется совершить,
то КПД < 100% .
121
*
о«
Остановимся, подумаем
Рассчитайте КПД наклонной плоскости, использованной
вами при выполнении экспериментального задания 1 2 .
Конечно, чем выше КПД механизма, тем лучше. Озна­
комьтесь по таблице 17 со значениями КПД ряда простых ме­
ханизмов.
Таблица 17
Блок (подвижный или неподвижный)
94— 98%
80%
Лебедка ручная
Домкрат винтовой
30-40%
Домкрат рычажно-реечный
95-97%
§ 19. Энергия
19.1. Энергия. Что значит она для человека?
Современному человеку для его существования нужно
очень многое: перемещаться по земле, воде и воздуху (и даже
в космическом пространстве), освещать улицы и дома, обогре­
вать квартиры, вспахивать землю, возводить здания и т. д.
Все сказанное связано с совершением механической работы.
Причем такой колоссальной, что физические возможности че­
ловека не позволяют ее совершить.
Человек давно придумал механизмы, которые облегчают
ему работу (хотя, конечно, не всегда и не везде). Но механиз-
Р и с .157
122
/
Р и с . 158
мы сами по себе не способны совершать работу. Те примеры,
что вы видите на рисунке 157, бывают только в сказках.
В реальной ж изни, чтобы механизмы работали, к ним не­
обходимо подводить энергию (рис. 158). Например, чтобы ча­
сы ш ли, необходимо их завести — сжать пружину; чтобы
ехать на велосипеде, надо крутить педали; чтобы двигаться на
автомобиле, тепловозе, самолете, надо заправить их горючим;
чтобы заработало какое-либо электрическое устройство, его
следует включить в сеть. Человек такж е непрерывно должен
пополнять свой запас энергии. Эту энергию он получает в про­
цессе питания.
Из таблицы 18 вы можете увидеть, сколько энергии чело­
век получает при потреблении ряда пищевых продуктов в рас­
чете на 10 0 г продукта.
П озже мы дадим определение энергии. П ока ж е просто от­
метим, что энергия — это то, что необходимо для соверше­
ния работы.
123
В таблице 19 приведены ориентировочные значения рас­
хода энергии человеком при различны х видах деятельности.
Т абли ца 18
Продукт
Морковь
Яблоки
Молоко
Картофель
Мороженое
Продукт
Энергия, потреб­
ляемая человеком
в расчете на 100 г
продукта (Дж)
Хлеб пшеничный
Хлеб ржаной
Яйцо
Говядина
Сметана
Сахар
890
890
690
750
1480
1720
Энергия, потреб­
ляемая человеком
в расчете на 100 г
продукта (Дж)
170
200
280
380
750
Т абли ца 19
Вид деятельности
Расход энергии в 1 ч на 1 кг массы
человека (Дж)
5,4— 6,7
14— 18
30
3,8
14— 18
Подготовка уроков
Физическая зарядка
Плавание
Сон
Ходьба по ровной дороге
Роль энергии в ж изни человека можно сравнить с ролью
денег. Человеку, для того чтобы существовать, необходимо их
иметь. И чем больше, тем, конечно, лучше. Деньги можно
тратить, зарабатывать, передавать от одного человека друго­
му. Нечто подобное можно сказать и об энергии.
Из каки х же источников человек черпает энергию?
Колоссальную энергию посылает на Землю Солнце
(2,1 • 1018Д ж за каждую секунду). Большинство двигателей,
построенных человеком, работают за счет энергии, вы деляе­
мой при сгорании минерального топлива: угля, нефти, газа
и т. д. (рис. 159). Человек использует такж е энергию воды и
газа, разогретых в недрах Земли. Огромное количество энер­
гии сосредоточено в недрах ядер атомов.
Энергией называет ся физическая величина, изм еряе­
мая работой, кот орую может совершить тело или сис­
тема тел.
124
Р и с .159
Из данного определения следует, что энергией обладают
тела, которые способны совершить работу. Энергия, к ак и ра­
бота, измеряется в дж оулях.
Обратите внимание на слово «может» в определении энер­
гии. Например, пруж ина растянута, но работу не совершает.
Обладает она энергией или нет? Согласно определению обла­
дает. Если отпустить пружину, она совершит работу. Важно
не то, что тело совершает работу, а то, что оно может ее совер­
шить.
19.2. Механическая энергия
Как вам известно, в природе существуют различные виды
энергии: механическая, внутренняя, электромагнитная, ядерная.
125
К механической энергии относятся: потенциальная энер­
гия тяготения, потенциальная энергия деформированных тел,
кинетическая энергия движ ущ ихся тел.
Пусть тело массой т поднято над землей на высоту h
(рис. 160). Оно притягивается Землей и поэтому обладает по­
тенциальной энергией. Найдите ее. Из определе­
ния энергии следует, что необходимо подсчитать
т
работу, которую может совершить система тел
(в данном случае система «тело—земля»). Вос­
пользуемся формулой работы силы тяж ести:
h
А я ж = m g h x - m g h 2.
В данном случае: h x = h, так как h2 = 0.
Поэтому пот енциальная энергия т ягот ения
Е П= Атяж = m ghx ^ Е п = m g h .
Рис. 160
Из полученной формулы видно, что значение потенциаль­
ной энергии тяготения определяется высотой. Чем выше тело
поднято над землей, тем больше его потенциальная энергия.
Поэтому-то для повыш ения мощности электростанции увели­
чивают высоту плотины (до 10 0 м и более); для забивания
свай в землю ударяющее тело делают массивным и поднимают
его на максимально возможную высоту.
Замечание (очень существенное). В формулу потенциаль­
ной энергии тяготения входит высота. Но от какого уровня она
отсчитывается? Об этом указания в формуле нет. Поэтому-то
значение пот енциально й энергии т ела от носит ельно —
оно зависит от выбора нулевого уровня. Таким уровнем может
быть земля. Если опыт или явление протекают в комнате,
то за нулевой уровень можно принять уровень пола, стола.
Можно за нулевой уровень принять уровень потолка комнаты.
Правда, в этом случае потенциальная энергия всех тел в ком­
нате будет отрицательной. Но в этом нет ничего странного.
П отенциальная энергия может быть как положительной, так
и отрицательной в зависимости от выбора начала отсчета вы ­
соты.
Потенциальной энергией обладает и упругодеформированное тело. Пусть пруж ину жесткостью k сжимают на расстоя­
ние х (рис. 161). Звенья сжатой пружины отталкиваю тся друг
от друга, и поэтому пружина обладает потенциальной энергией.
Рассчитаем ее.
126
Рис, 161
Потенциальная энергия равна работе, которую пруж ина
сможет совершить распрямляясь, т. е. двигаясь из положения I
в положение II. Воспользуемся формулой для работы силы
упругости:
Получаем выражение для потенциальной энергии уп р у­
гой сформированного тела:
Из данной формулы видно, что потенциальная энергия упругодеформированного тела зависит от жесткости пружины и
величины деформации х. Причем при сжатии или растяжении
пружины будет изменяться знак х, но значение потенциаль­
ной энергии не зависит от этого, так как в формулу входит х 2.
Теперь становится понятно, почему, чтобы часы дольше
ш ли, мы сильнее закручиваем их пружину; чтобы стрела, вы ­
пущ енная из лука, летела дальше, спортсмен сильнее натяги­
вает тетиву лука; для того чтобы подкидная доска выше под­
бросила акробата, он сильнее деформирует ее, пры гая на нее с
высоты. Таких примеров можно привести достаточно много.
Кинетическая энергия — энергия движ ущ ихся тел или
частиц.
Выведем формулу, по которой можно рассчитывать вели­
чину кинетической энергии.
Пусть на покоящ ееся тело (и0 = 0) массой т начинает дей­
ствовать сила F (рис. 162). На расстоянии s скорость тела под
127
действием силы увеличивается до значения v. Рассчитаем ра­
боту, которую эта сила совершает над телом:
А = F ■s (cos а = 1).
По второму закону Ньютона сила: F = т ■а.
Модуль ускорения тела:
V
у0 = 0
F
а=
н0= °
т—
I
\
ту
■F ' ~ г
Рис. 162
Перемещение тела:
vn + v
о
О
w ya
2
t.
t.
Подставим вы раж ения для F и s в формулу работы:
mv
А, = Fт-, ■s = —
v
2
_ mv*
2
Такую работу сила F совершила над телом. Теперь само те­
ло, останавливаясь, способно совершать эту же работу, т. е.
,,
его кинет ическая энергия равна: мк =
mv2
.
Из полученной формулы видно, что кинетическая энергия
зависит от массы и скорости тела. Так, чем больше масса ар­
тиллерийского снаряда, тем большей энергией он обладает, тем
сильнее его разруш ительное действие. Чем до большего значе­
ния скорости разогнана электрическим полем заряж енная
частица, тем большей кинетической энергией она обладает,
тем вероятней, что при встрече с атомом она его ионизует.
а Остановимся, подумаем
К ак вы думаете, зависит ли кинетическая энергия от вы ­
бора системы отсчета? Ответ обоснуйте и проиллюстри­
руйте примером.
Ответ. Так как скорость зависит от выбора системы отсче­
та, то и кинетическая энергия в разных системах отсчета имеет
разные значения. Например, бежит футболист по футбольно­
му полю со скоростью v1. Его тело относительно поля обладает
128
определенным запасом кинетической энергии. Но относитель­
но другого футболиста, бегущего ему навстречу со скоростью
д2, его скорость по модулю равна |их| + |у2|. К инетическая энер­
гия первого футболиста относительно второго значительно
больше его кинетической энергии относительно земли. В ре­
зультате столкновение этих футболистов может привести к
печальным последствиям для них обоих.
© В опросы и за д а н и я
1. Про какие т ела говорят, что они обладают энергией?
2. Д л я чего человеку нужны ист очники энергии?
3. И з к а к и х ист очников человек черпает энергию?
4. К акие виды энергии вам известны?
5. Что называет ся механической энергией?
6. Н азовит е формулы для определения значений ки не­
тической, пот енциальной энергии.
7. Зависят л и значения кинет ической и пот енциальной
энергии от выбора системы отсчета?
1. П ружина динамометра жесткостью 40 Н /м растянута
на 2 см. На какую высоту надо поднять грузик массой 100 г,
чтобы он обладал такой ж е энергией, что и растянутая пруж и­
на динамометра?
2. С какой скоростью должно лететь тело, чтобы его кине­
тическая энергия была равна его потенциальной энергии на
высоте 2 м?
3. Обладают ли энергией: а) незаведенная пруж ина часов;
б) вода, поднятая плотиной; в) сж атый газ; г) тело, лежащ ее
неподвижно на земле?
4. Определите энергию, которой обладает яблоко массой
200 г, висящ ее на ветке на высоте 3 м над землей.
Проде л айте опыты
1.
2.
Растяните пружину динамометра до деления 3 Н. Рассчи­
тайте потенциальную энергию, возникшую в пружине.
Рассчитайте потенциальную энергию какого-либо из тел,
находящ ихся на вашем столе.
129
20. Закон сохранения
механической энергии
20.1. Изменение энергии и работа
Энергию тела (потенциальную или кинетическую) можно
изменить при совершении работы.
Как связаны между собой изменение энергии и соверше­
ние работы? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим не­
сколько примеров.
П ример
1
Реактивный двигатель совершает работу при перемещении
ракеты (рис. 163). Вследствие этого энергия ракеты возрастает.
Рис. 163
Пусть Е х — механическая энергия ракеты в начальный
момент времени;
А — работа, совершенная двигателем за некоторый проме­
жуток времени;
Е 2 — механическая энергия ракеты в конечный момент
времени.
Тогда можно утверждать, что изменение механической
энергии тела равно работе внешней силы
Е 2 ~ Е 1 = А , или Е 2 = Е х + А.
В данном примере работа, совершенная двигателем, поло­
ж ительная. Поэтому энергия ракеты возрастала.
П ример
2
Электрон движется вокруг ядра атома
(рис. 164). Электрическая сила притяж ения
к ядру направлена перпендикулярно векто­
ру скорости. Поэтому работа этой силы над
электроном оказывается равной нулю. Вслед­
ствие этого кинетическая энергия электрона
не изменяется — он движется с постоянной
по модулю скоростью.
130
©
Рис. 164
Рис. 165
П ример 3
Девочка разбежалась и начала скользить по ледяной до­
рож ке (рис. 165). В начале скольж ения девочка обладала не­
которой кинетической энергией. В конце м еханическая энер­
гия исчезла. Здесь такж е проявляется приведенное выше со­
отношение между работой и энергией. Только работа внешней
силы (в данном случае силы трения) отрицательна. Поэтому
энергия девочки уменьшилась.
20.2. Закон сохранения
механической энергии
Рассмотрим изолированную систему тел, между которы­
ми действуют только силы двух видов — тяготения или упру­
гости (или обе эти силы одновременно).
Примером такой системы может быть брусок, скользящ ий
под действием пруж ины по гладкой поверхности (рис. 166).
В вертикальном направлении действия на брусок силы реак­
ции опоры (силы упругости) N и силы тяж ести Р тяж скомпен­
сированы. Будем считать поверхность гладкой и поэтому силу
трения учитывать не будем. Тогда система тел «пруж ина—
брусок» оказывается изолированной. Работа над этой систе­
мой тел не совершается, а значит, ее механическая энергия не
изменяется. Важно понимать, что
II' [N
I
неизменной долж на оставаться
I
111
r
1
энергия всей системы тел. Энер­
1 . 1
гия ж е каждого из тел может из­ ; - k / v W
1
1
-L—-=т-я^--,
ftL.. .....
меняться.
1 -*
mg
Представьте, что брусок оття­
нули вправо (положение I) и отРис. 166
131
пустили. В начальны й момент полная
энергия системы тел состояла лиш ь из
потенциальной энергии растянутой
пруж ины. Затем, когда пруж ина сж а­
лась, ее потенциальная энергия умень­
ш илась. Но полная энергия тел при
этом не изменилась, так к ак кинети­
ческая энергия тела возросла ровно
настолько, насколько уменьш илась
потенциальная энергия. В положении
II пруж ина не деформирована. Ее по­
тенциальная энергия уменьшилась до
нуля, но зато возросла кинетическая
энергия бруска. Ее значение в этот момент равно потенциаль­
ной энергии пружины в начальный момент. И так в процессе
колебания бруска на пружине энергия будет от одного тела пе­
редаваться другому. Но механическая энергия системы тел
меняться не будет.
Еще один пример. С высоты Н на упругую плиту падает
ш ар (рис. 167). Система тел «шар—земля» изолированная
(сопротивление воздуха не учитывается). Поэтому м ехани­
ческая энергия тела в процессе его движ ения меняться не
должна.
По мере падения тела его потенциальная энергия будет
уменьш аться, но зато будет возрастать кинетическая энергия.
Если в положении I механическую энергию составляет лиш ь
потенциальная энергия тяготения, то в положении II тело
обладает и потенциальной и кинетической энергией, а в поло­
ж ении III, когда ш ар подлетает к опоре, только кинетической
энергией. В момент соударения ш ара с опорой он теряет и по­
тенциальную энергию тяготения, и кинетическую энергию.
Но механическая энергия не исчезает. Ведь шар и опора де­
формируются. А стало быть, возникает потенциальная энер­
ги я деформированного тела. Она и составляет механическую
энергию системы в этот момент.
И так, сформулируем закон сохранения механической
энергии :
В изолированной системе тел, между кот орыми дей­
ст вуют лишь силы тяготения и упругост и, механиче­
ская энергия остается неизменной.
132
Закон сохранения механической энергии является прояв­
лением более общего закона природы — закона сохранения
энергии. Этот закон касается любых видов энергии. Он гласит:
Энергия не возникает ниот куда и не исчезает бесслед­
но. Она способна лишь переходить от одного тела к д р у­
гом у или из одного вида в другой.
Закон сохранения механической энергии позволяет до­
вольно просто производить расчеты, касаю щ иеся многих
конкретных видов движения.
Задача 1
Из зенитного орудия вертикально вверх выстреливается
снаряд со скоростью и0 (рис. 168). На какую максимальную
высоту Н тах он поднимется?
Решение
Система тел «земля—снаряд» изолирован­
ная, поэтому механическая энергия в поло­
ж ениях I и II одинакова: Е г = Е 2.
Дано:
и0=О
В положении I снаряд обладает кинетической энергией:
m v§
Е 1 =
Е К =
В положении II Е к2 = 0 и он обладает лиш ь
потенциальной энергией:
Е 2 = Е и = т ^ Н тах.
_
mvQ
Получаем: — = mgH ш ах*
Откуда Я тах= T g.
п2
Рис. 168
Ответ: Н„
2 ifЗадача 2. Тело брошено под углом к горизонту со скоро­
стью Vq (рис. 169). Какую скорость
оно будет иметь, нахо­
дясь на высоте h i
Дано:
H i-?
Решение
В этом примере, как и в
предыдущем, система тел
«земля—тело» изолиро­
ванная. Поэтому Е х = Е 2.
133
II
■-2L
Р и с .169
В положении I тело обладает кинетической энергией:
mv$
Ei =
В положении II тело обладает к ак кинетической, так и по­
тенциальной энергией:
ЕJ20
2
+ mgh.
П риравняем значения энергий Е г и Е 2, получим:
mv§
mv2
+ mgh.
Откуда после преобразований получаем
v l = Jv$ - 2 gh.
Ответ: v x= J v - 2gh.
Задача 3
Автомобиль массой т, двигаясь со скоростью о0, начал
торможение. Чему равен тормозной путь автомобиля, если си­
ла трения FTp известна?
5П
г =0
Рис. 170
Дано:
т
vo
F тр
Решение
Система тел состоит из единственного тела — авто­
мобиля. Н а него в горизонтальном направлении
действует внеш няя сила F (рис. 170). Поэтому
энергия тела не сохраняется: Е 2 - Е г = Атр.
mvn
E i = Е к = п j Е 2 — 0, А = —F s;
0
Ответ: s =
mvo
„
— ~-^rps ^ s
mv о
2FZ
134
2F
Вопросы и задания
© 1. К аким соотношением связаны между собой энергия
т ела и работа, совершаемая над ним?
2. П ри каком условии энергия т ела возрастает; умень­
шается?
3. Какую систему т ел считают изолированной? П риве­
дите пример т акой системы.
4. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.
5. П риведит е пример, иллю ст рирую щ ий закон сохране­
ния механической энергии.
Упражнение 20
1. Тело падает с высоты 10 м. Какую скорость оно приоб­
ретет при падении на землю? Чему равна скорость тела на вы ­
соте 3 м от Земли?
2. В пружинном пистолете расположена пруж ина ж естко­
стью k. Ее сжимают на расстояние х и заряж аю т ш ариком
массой т (рис. 171). Какую скорость получит ш арик при вы ­
лете из пистолета?
Реш ите задачу при условии, что ствол пистолета располо­
жен вертикально.
Рис. 171
Рис. 172
3. П руж ина жесткостью k и массой т падает отвесно с вы ­
соты Н (рис. 172). Найдите величину сж атия пруж ины при ее
ударе о пол.
4. Каким должно быть напряж ение между двумя точками
электрического поля, чтобы разогнать электрон до скорости о?
(Заряд и масса электрона считаются известными.)
5. Электрон влетает в однородное электрическое поле в н а­
правлении линий напряж енности. Какова долж на быть вели135
Р и с .173
чина напряженности поля, чтобы затормозить электрон на
расстоянии а?
6.
Опишите превращ ения энергии, происходящие при
пры ж ке гимнаста на сетку-батут (рис. 173).
Повторим, обдумаем изученное
1.
Рассмотрите схему, которая раскрывает содержание
части главы, касаю щ ейся закона сохранения импульса, и дай­
те определение физическим величинам, указанным в ней.
Сформулируйте законы, указанные в схеме, приведите соот­
ветствующие им формулы.
136
2.
Рассмотрите схему, которая раскрывает содержание ч а­
сти главы, касающейся механической работы и энергии, и дай­
те определение физическим величинам, в ней содержащимся.
Запиш ите формулы для расчета работы ряда сил и соответст­
вующих им видов энергии, представленных в схеме; сформу­
лируйте законы сохранения механической энергии, приве­
дите примеры явлений, в которых этот закон выполняется,
а такж е примеры явлений, в которых он не выполняется.
Механическая энергия
Часть II
Виды
механического
движения
ГлаваУ
Прямолинейное движение
21. Задание механического движения
21.1. Способы задания механического движения
Задат ь механическое движение — значит указать способ,
с помощью которого возможно определить положение движ у­
щегося тела в любой момент времени. А такж е узнать его ха­
рактеристики (скорость, ускорение, перемещение, энергию).
Одним из наиболее распространенных способов задания
движ ения является т аблица. Например, посмотрев расписа­
ние пригородных поездов, можно увидеть, где будет находить­
ся поезд в различные моменты времени его движ ения.
Расписание, конечно, очень удобно для пассажиров, но, вопервых, занимает слишком много места и, во-вторых, не позво­
ляет проследить за положением тела в любой момент времени.
В качестве научного способа задания движ ения можно
привести уравнение.
Если задано уравнение координаты x(t), то по нему в лю ­
бой момент времени t можно рассчитать координату тела х.
Пусть задано уравнение координаты
х — 5 - t,
где t — в секундах, х — в метрах.
Определим, чему равна координата тела х в момент време­
ни t = 1 с:
х = 5 - 1 = 4 (м ).
138
Рассчитаем, через какое время тело окаж ется в начале ко­
ординат:
х = 0, 0 = 5 - t, f = 5 (с).
Если задано уравнение скорости v(t), то по нему можно оп­
ределить скорость в любой момент времени t.
Пусть задано уравнение скорости
v = 20 - 1 0 1,
где t — в секундах, v — в м /с.
Определим, чему равна скорость тела через 1 с, 4 с:
их = 2 0 - 1 0 1 = 1 0 (м/с),
и2 = 20 - 10 • 4 = -2 0 (м/с)
(знак «-» означает, что тело движ ется против оси ОХ).
Рассчитаем, через какое время после начала движения тело
остановится:
v = 0 , 0 = 20 - 1 0 1, t — 2 (с).
По уравнению вида у = f{x) можно составить представле­
ние о траектории движ ения. Например, если у = 2х, то тело
движется по прямой линии. При этом координате х = 10 см
соответствует координата у = 20 см.
По уравнению траектории у = 5 - х 2 определим коорди­
нату у при х — 2 м:
х = 2 м , у = 5 - 4 = 1 (м).
Очень наглядно характеризует движение график. Здесь
необходимо иметь в виду, что график строится по уравнению.
Каждому виду зависимости соответствует свой график,
и каждому графику соответствует свой вид зависимости.
Например, графиком линейной зависимости является
прям ая (рис. 174, а). Параболе соответствует квадратичная
зависимость между величинами (рис. 174, б).
Р и с .174
139
21.2. Равномерное прямолинейное движение
Рассмотрим один из самых простых видов движ ения.
Р авн ом ерны м п р я м о ли н е й н ы м движ ением назы ваю т
движ ение, происходящ ее с пост оянной скоростью.
Строго говоря, таких движ ений в природе нет. Но возмож ­
но привести примеры, когда в течение определенного проме­
ж утка времени движение тел или частиц приближенно можно
считать равномерным.
Например, равномерным можно считать движение Земли
по орбите за сутки, движение одной молекулы до столкнове­
ния с другой частицей; движение ленты транспортера; эскала­
тора метро.
Скорость равномерного движ ения равна пути, пройденно­
му в единицу времени:
■>
v = - . Следовательно, путь при и = const равен: 3 = v t.
Из того, что скорость есть величина постоянная для рав­
номерного движ ения, следует важное следствие:
За любые равны е промеж утки времени тело проходит
равны е расст ояния.
Установим зависимость координаты от времени для рав­
номерного прямолинейного движ ения. Пусть тело в некото­
рый начальный момент находилось в точке с координатой х 0.
За время t тело вдоль оси X совершит перемещение 3 = v ■t, а
проекция перемещ ения на ось X окаж ется равной sx = uxt.
При этом координата х = х 0+ sx= х0 + vxt (рис. 175).
Рассмотрите рисунок 176. Из капельницы , установленной
на борту автомобиля, через равные промеж утки времени, на­
пример через 1 с, падают капли. Следы от капель располож и­
лись на равных расстояниях друг от друга. Поэтому можно
сказать, что автомобиль движется равномерно. Знание вида
зависимости пути и скорости от времени позволяет построить
соответствующие графики.
Рис. 175
Рис. 176
140
о Остановимся, подумаем
Самостоятельно постройте графики зависимости скорости
и пути от времени для движ ения автомобиля (рис. 177).
Расстояние между каплям и определите по сантиметровой
ленте.
0
Вопросы и задания
1. Н азовит е способы задания механического движения.
2. Зависимы или независимы друг от друга различны е
способы задания движения?
3. Какое движение называет ся равномерным прям оли­
нейным?
4. К ак задается равномерное движение?
22. Равноускоренное движение
22.1. Определение
равноускоренного движения
Во многих реальных движ ениях скорость может изме­
няться весьма сложно: резко возрастать или, наоборот, умень­
ш аться, на некоторое время оставаться неизменной, менять
направление и т. д.
1
Q Остановимся, подумаем
По графику (рис. 177) опишите, как изменялась скорость
тела. У каж ите промеж утки времени, в которые:
— скорость тела увеличивалась;
— скорость тела не изменялась.
Что изменилось в движении тела в момент времени t 3?
Ответы. Скорость тела возрастала
в течение промеж утка времени O tv Заv“
тем скорость не менялась (ix?2). Г
скорость за время t 2t 3 уменьшила
нуля. В момент времени t 3 тело
нило направление своего движен
скорость в течение промеж утка
Р и с .177
ни t 3t4 снова увеличивалась.
141
Надо отметить, что из всех видов движений, происходя­
щ их с изменяю щ ейся скоростью, наиболее простым для изу­
чения является равноускоренное движение.
Равноускоренны м называют движение с постоянным
ускорением.
Скорость при таком движ ении меняется, а ускорение оста­
ется постоянным. Из определения ускорения следует, что при
равноускоренном движении скорость т ела за любые р а в ­
ные промеж утки времени изменяет ся на одну и т у же ве­
личину. (Может увеличиваться, а может и уменьш аться.)
Напомним, что если в процессе движ ения ускорение тела
изменяется, то движение называют ускоренны м .
в
© Остановимся, подумаем
Н иже в таблице 20 приведены значения скорости ряда ав­
томобилей через каж ды е 1 0 с движ ения.
Т абли ца 20
Время (с)
Скорость(м/с)
0
10
20
30
40
50
60
I
10
10
10
10
10
10
10
II
0
5
10
15
20
25
30
III
18
15
12
9
6
3
0
IV
0
2
5
8
10
12
14
V
25
20
15
10
7
4
1
К каком у виду относится каждое движение? К ак изм еня­
ется скорость каждого из автомобилей? Чему равно ускорение
в каж дом из примеров?
Ответ. Автомобиль I движ ется равномерно со скоростью
v = 10 м /с, ускорение равно нулю. Автомобиль II движется
равноускоренно, его скорость увеличивается на 5 м /с за 10 с,
ускорение — 0,5 м /с 2. Автомобиль III такж е движ ется равно­
ускоренно, но скорость его уменьш ается, а ускорение равно
0,3 м /с 2. Движение автомобилей IV и V является ускоренным,
но у автомобиля IV скорость возрастает, а у пятого — умень­
ш ается.
142
22.2. Уравнение и график скорости
равноускоренного движения
Запиш ем определение ускорения:
где д0 — начальная скорость тела;
t — время движ ения;
v — скорость тела через время t.
Из этой формулы получим уравнение зависимости v0 от t :
a t = v - п0 => v = 50 + at.
К ак вы видите, уравнение записано в векторной форме.
Соответствующее ему уравнение для проекций на координат­
ную ось О Х будет иметь вид:
Vx =
V 0x +
a J -
При подстановке в эту формулу числовых значений v0x и ах
необходимо учитывать знаки их проекций (рис. 178).
и0 = О
М
г*
2
«о, = 0
VX = v0x + aJ = °>5i
vx = v 0x + a xt =2 - 0,5t
ах = 2 ~
vx = v0x + axt = 2t
Р и с .178
И так, уравнение скорости равноускоренного движ ения
v = v0 + at.
Вспомним вид алгебраической зависимости, которой соот­
ветствует уравнение скорости.
143
Н апом инаем
Конечно, данная зависимость линейная, и ее общий
вид вам должен быть хорошо известен из курса алгебры:
у = k x + Ъ. Сопост авляя уравнение скорости с видом
линейной зависимости, можно уст ановит ь соответ­
ствие между величинам и, входящ ими в эти формулы:
у — k x + b,
где х соответствует t,
v = a t + v0,
у — v, k — a, b — v0.
Графиком линейной функции у = k x + Ъ является прямая,
проходящая через точку (О, Ъ) и идущ ая тем круче, чем больше
k (рис. 179, а). Соответственно графиком скорости равноуско­
ренного движения является прямая, проходящая через точку
(О, и0) и идущ ая тем круче, чем больше ускорение (рис. 179, б).
а) У
б) v
v = v0 + at
Рис. 179
Рассмотрим задачи на составление уравнения скорости и
построение граф ика зависимости скорости от времени.
Задача 1
Н ачальная скорость тела 20 м /с. Оно движ ется равноуско­
ренно с ускорением —2 м /с 2. Составьте уравнение скорости
данного движ ения. Постройте график скорости. Двумя спосо 1
бами (аналитическим и графическим) определите время, че­
рез которое значение скорости станет равным 10 м /с. Что и з­
менится в движении тела через 1 0 с после его начала?
Д ано:
v0 = 20 м /с
а = - 2 м /с 2
v1 = 10 м /с
t2 = 1 0 с
v(t) - ?
?
.?
Реш ение
V = Vn at => v — 20 - 2 ■t.
Таблица строится на основе полученной
формулы:
f, с
0
20
и, м/с
20
-2 0
144
По графику (рис. 180) = 10 м /с через t l = 5 с.
По уравнению v = 20 - 21, vl = 10 м /с => 10 = 20 - 2 tx = 5 (с).
При t 2 = Ю с скорость и2 = 0.
При t > 10 с скорость v < 0, т. е. тело поменяло направле­
ние движ ения. Оно движется против направления оси ОХ.
Задача 2
На рисунке 181 представлен график зависимости проек­
ции скорости от времени движ ения. Определите вид движ е­
ния. Составьте уравнение скорости.
Решение:
1. Так как графиком проекции скорости является прям ая,
то данное движение — равноускоренное.
2. Д ля составления уравнения скорости необходимо знать
значения и0 и а. Определяем их по графику:
V -
1>0
п0 = 2 м /с, а = —-— .
Выберем промежуток времени от 0 до 10 с : t = 10 с.
Из графика видно, что за это время скорость изменилась
от 2 до 3 м /с, т. е. на 1 м /с.
Значит, ускорение а =
= 0 , 1 м /с 2.
Теперь составим уравнение скорости:
v — v0 + at => v = 2 + 0 , 1 t.
22.3. Формула перемещения тела
при равноускоренном движении
Формула перемещения широко используется во многих
расчетах и представляет интерес для изучения. Получим эту
формулу из эксперимента.
145
Рис. 182
Для проведения опыта воспользуемся ш ариком, скаты ­
вающимся вдоль наклонной плоскости. Кстати, это движение
было предметом исследования великого итальянского ученого
Галилео Галилея (1564—1642). Он впервые ввел в науку поня­
тие ускорения и, в частности, показал, что движение ш арика
по наклонной плоскости является равноускоренным.
Пустим ш арик по наклонной плоскости (рис. 182).
Возникает вопрос: каковы перемещения, совершаемые
ш ариком за последовательные равные промеж утки времени?
Если, к примеру, эти перемещения окаж утся одинаковы­
ми, то данное движение можно будет считать равномерным.
Однако, глядя на движение этого ш арика, мы сразу понима­
ем, что это не так. Перемещения скатывающегося ш арика за
равные промежутки времени становятся все больше и больше
(рис. 183):
s 3 > s 2 >Si ,
где Sj — перемещение за первый промежуток времени;
s 2 — перемещение за второй промежуток времени;
s 3 — перемещение за третий промежуток времени.
Для проведения измерений потребуется электрический се­
кундомер и электронное устройство с электромагнитным реле
(рис. 184).
146
Р и с .184
Когда ш арик начинает скатываться, он ударяет легкий
рычажок А , который, отклоняясь, замыкает командную цепь
электромагнитного реле.
Реле, срабатывая, включает секундомер. В процессе дви­
ж ения ш арик задевает рычажок В, который отклоняется и
размыкает командную цепь реле. При этом секундомер от­
ключается. На его ш кале мы видим время движ ения ш арика.
Перемещая в ходе опыта рычажок В, мы сможем установить
положение ш арика через равные промежутки времени. Один
из опытов, проведенных в лаборатории, дал следующие ре­
зультаты. Измерялись перемещения ш арика за последова­
тельные промежутки времени At = 0 , 1 с. Оказалось:
s 1= 2,5 см, s 2 = 7 , 5 c m ,
s 3 =
1 2 , 5 c m ,
s 4 =
1 7 , 5 c m .
Посмотрим внимательно на значения перемещений. Как и
следовало ожидать, значения перемещений возрастают. Но
несложные математические расчеты, проведенные ниже, по­
зволяют заметить следующую важную закономерность для
перемещения ш арика при его равноускоренном движении:
7.5 см _ „ 12,5 см _ _ 17,5 см _ _
2.5 см
’ 2,5 см
’ 2,5 см
Вывод:
Перемещения, совершаемые телом за последователь­
ные равны е промежутки времени, относятся как последо­
вательные нечетные числа нат урального ряда:
s 4: s2 : s 3 : s4 : ... = 1 : 3 : 5 : 7...
147
Р и с .185
Теперь по результатам проведенного опыта рассчитаем пе­
ремещения ш арика не за отдельные равные промежутки вре­
мени, а за время от начала движения (рис. 185):
с
0
0,1
0,2
0,3
S, м
0
2,5
10
22,5
t,
h =
= ? £2 = 1 0
t2 0,1
’ Sl
2,5
(КЗ = „ Sg 22.5
0,1
в,
2.5
Получим, что, если время увеличивается в 2 раза, переме­
щение увеличивается в 4 раза; время увеличивается в 3 раза,
перемещение — в 9 раз; время увеличивается в 4 раза,
перемещение — в 16 раз.
Из курса алгебры известно, что такая зависимость назы­
вается квадратичной.
Вывод:
П ри равноускоренном движении перемещение прямо
пропорционально квадрат у времени s ~ t 2 (при v0 = 0 ).
о Остановимся, подумаем
Вспомните, как зависит перемещение от времени при рав­
номерном движении.
Для того чтобы от зависимости перейти к уравнению, не­
обходимо ввести коэффициент пропорциональности s = k t2.
148
в
© Остановимся, подумаем
К ак вы думаете, от какой величины (кроме как от време­
ни) может зависеть перемещение равноускоренно движ у­
щегося тела?
Конечно, от ускорения. Поэтому формула перемещения
при равноускоренном движ ении при v0 = О имеет вид:
a t2
s — 2 ’
где | — коэффициент пропорциональности в зависимости пе­
ремещ ения от времени s(t).
Д ля тела, движущ егося с начальной скоростью v0, форму­
л а перемещ ения при равноускоренном движении записывает­
ся следующим образом:
->
S = v0t +
a t2
,
где s — вектор перемещения;
v0 — вектор начальной скорости;
a — вектор ускорения;
t — время.
Уравнение для проекций векторов на координатную ось О Х
можно записать следующим образом:
Cl
Sx = V0 J + ~ f~ ’
где sx, u0x, ax — проекции соответствующих векторов на коор­
динатную ось. Конечно, при подстановке проекций векторов в
формулу необходимо учитывать их знаки.
§
© Остановимся, подумаем
Вспомните, как определяются знаки проекций на коорди­
натную ось.
Если тело движ ется без начальной скорости (из состояния
покоя) v0= 0 , то выраж ение для перемещения принимает вид:
К такому же виду зависимости мы приш ли, рассматривая
равноускоренное движение ш арика по наклонному желобу.
149
В этих опытах шар как раз двигался из со­
стояния покоя (v0 = 0 ).
Зависимость перемещения от времени
является квадратичной s ~ t2, следовательно,
графиком этой зависимости является пара­
бола, крутизна ветвей которой определяется
значением ускорения (рис. 186).
О
t
В заключение разговора о перемещении
Рис. 186
тела при равноускоренном движении сделаем
общий вывод.
1. Перемещения, совершаемые телом за последователь­
ные равные промежутки времени, относятся как последо­
вательные нечетные числа натурального ряда (при в0 = 0):
s
si : s 2 : s 3 : s 4: ••• = 1 : 3 : 5 ; 7: ...
2. Перемещение прямо пропорционально квадрату врея
мени движения
s = аt 2 .
о
Вопросы и задания
1. Какое движение называют равноускоренным?
2. Как зависят от времени характ еристики механиче­
ского движения ( перемещение, скорость, ускорение)?
3. Какой вид имеют графики зависимости скорости и
перемещения от времени для равноускоренного движения?
4. Чем отличаются отношения перемещений тела за
последовательные равные промежутки времени для равно­
мерного и равноускоренного движений?
^ Упражнение 21
1.
Для двух движений тел, показанных на рисунке 187,
составьте уравнения зависимости проекции скорости от вре­
мени. Постройте графики этих зависимостей.
X
О
Рис. 187
150
2. По графикам, показанным V, м /с
на рисунке 188, составьте уравне­
5
ния скорости и перемещения двух
4
тел. Что изменилось в движении
3
второго тела после 8 с?
2
3. Тело движется с ускорением
1
а — 0,5 м /с 2. Н ачальная скорость
О
равна 2 м/с. Определите аналитиче­
ски (по уравнению) и графически,
через какое время скорость тела
Рис. 188
достигла значения 6 м /с. Опреде­
лите его скорость и перемещение через 2 с движ ения; через 6 с
движ ения. В каком направлении движется тело через 2 с; 6 с?
4. Тело, двигаясь равноускоренно, за первую секунду про­
ходит расстояние 1 м. Какое расстояние проходит это тело за
третью секунду? пятую секунду?
5. Тело движется равноускоренно с начальной скоростью
20 м /с и ускорением 0,5 м /с 2. Составьте уравнения зависимос­
ти скорости и перемещения от времени.
6 . Тело движется равноускоренно с ускорением а = 2 м /с 2
и начальной скоростью v0 = 0. Постройте графики зависимос­
ти скорости и перемещения от времени.
23. Свободное падение тел
23.1. Ускорение свободного падения
Падение тел — широко распространенный на Земле вид
движ ения. Свободным является падение тел, происходящее
только под действием силы тяж ести. Сила сопротивления сре­
ды или какие-либо другие силы действовать на тело не долж ­
ны. Например, при падении кам ня в воде на него действуют и
сила Архимеда и сила сопротивления воды. Поэтому такое
движение нельзя считать свободным паде­
нием. Такж е движение лифта при спуске
т
нельзя отнести к свободному падению,
так как кроме силы тяж ести на кабину
I
лифта действует сила натяж ения троса.
А вот падение м ячика в воздухе мож—
-но считать свободным (рис. 189). (Силой
сопротивления воздуха из-за ее малости
Рис. 189
151
по сравнению с силой тяж ести можно пренебречь.) Установим
характер этого движ ения.
Согласно второму закону Ньютона: а —
т-г
^
F
т-,
По закону всемирного тяготения F = F
=
G M 4m
(R3 + h)2m ’
где М 3 — масса Земли; R 3 — радиус Земли; h — высота над
Землей.
Отсюда ускорение тела:
G M 3m
^
(i?3 + h)2m
М3
(Ra + h)2'
Из полученной формулы становится ясен характер движ е­
ния. Если высота намного меньше радиуса Земли и ею можно
пренебречь, то формула ускорения принимает вид:
GM4
a = -R T = 8 -
3
Все величины, входящ ие в последнее выражение, посто­
янны , поэтому свободное падение является равноускоренны м
движением с ускорением свободного падения тел на землю
(его обозначают буквой g). Подставим в формулу ускорения
значения гравитационной постоянной, массы и радиуса Зем ­
ли, найдем его значение.
л / ,( 7
, гч 1 1
g = 6,67 ■10 1 1
П '
б
1024 jjp
о1
/ 9
у- ■
— 5 = 9,81 м /с 2.
кг2
6,4 • 106 м2
'
Заметьте, что в формулу ускорения свободного падения не
входит масса тел. Значит,
Все т ела, независимо от их массы, падают на землю
с одинаковым ускорением.
К такому выводу, который противоречил безоговорочно
признаваемому в то время утверждению древнегреческого уче­
ного Аристотеля (384—-322 гг. до н. э.), пришел итальянский
ученый Галилео Галилей. Сбрасывая шары различной массы с
вершины Пизанской башни, он отметил, что они падают на зем­
лю за одно и то ж е время. Отсюда еще в XVI в. он сделал вывод
о том, что ускорение свободного падения всех тел одинаково.
Говоря о постоянстве ускорения свободного падения тел
на землю, надо иметь в виду те допущ ения, при которых это
утверждение оказывается справедливым:
152
1 ) форма и размеры тел таковы, что сопротивлением воз­
духа можно пренебречь по сравнению с силой тяжести;
2 ) падение тел происходит с высоты, значительно мень­
шей, чем радиус Земли.
В таблице 21 приведены значения ускорения свободного
падения на различной глубине (I) под землей и различной вы ­
соте {К) над землей.
Т а б л и ц а 21
I, KM
h, k m
g, м / с 2
384 000 (орбита Луны)
9,80
9,78
9,50
1,50
0,0027
g, м / с 2
1000
100
9,95
9,89
10
0
9,82
9,81
1
10
100
10 000
Ранее, рассматривая соотношение между силой тяж ести и
массой, мы получили формулу Р тяж = mg, где g — коэффици­
ент, равный 9,8 Н /к г. Сейчас можно сказать, что g является
ускорением свободного падения. Самостоятельно докажите,
что размерность Н /к г совпадает с м /с 2.
23.2. Скорость, перемещение и координата
при свободном падении
Установив, что свободное падение является равноускорен­
ным движением, мы можем для него применять формулы рав­
ноускоренного движ ения, внося лиш ь незначительные кор­
рективы.
Н а рисунке 190 за начало оси O Y примем точку, в которой
было расположено тело в начальны й момент времени (при
этом проекции векторов g и в будут положительными). С уче­
том этого преобразуем формулы скорости,
О
перемещ ения и координаты равноускоренного
движ ения для случая свободного падения:
и = и0 + at => v = v0 + g t,
at2
t%
s = v 0t +
= v0t + g j ,
Y"
~2~
cit^
У = Уо + vot +
=* У = Уо+ vo* + 2 •
153
Рис. 190
В последней из этих формул предполагается, что тело н а­
чинает двигаться не из точки, принятой за начало координат,
а из точки с координатой у = г/0.
Полученные формулы позволят вам справиться со следую­
щ ими двумя заданиями.
© Остановимся, подумаем
1. Начертите график скорости тела, падающего на землю
без начальной скорости.
2. Определите время падения тела с высоты h, а такж е его
скорость в момент падения.
Ответы. 1. Формула скорости для свободного падения тела
без начальной скорости имеет вид: v = gt. Данная зависимость
прямо пропорциональная. Поэтому графиком скорости является
наклонная прям ая, проходящ ая через точки (0; 0) и (1; 9,8).
2. Ф ормула перемещения для свободного падения тела без
t2
начальной скорости имеет вид: s = g j .
Выразим из этой формулы время t:
s =
=> 2 s = g t2 => t 2 = Ц
12h
Скорость тела в момент падения определим по формуле:
v = gt =
2h = J 2 g h .
23.3. Движение тела, брошенного
вертикально вверх
Пусть с земли со скоростью v0 тело
брошено вертикально вверх (рис. 191).
Запиш ем для данного движ ения фор­
мулы скорости, координаты, времени
подъема, времени полета и м аксималь­
ной высоты подъема.
За начало отсчета примем точку на
поверхности земли и направим ось вер­
тикально вверх. (При таком выборе на­
правления оси O Y проекции начальной
скорости и координаты тела окаж утся
полож ительны ми.)
154
Рис. 191
П оскольку в течение всего полета на тело действует одна и
та же сила (сила тяж ести), то ускорение тела не изменяется.
Поэтому данное движение можно отнести к равноускорен­
ному. На участке подъема вектор g направлен против скорос­
ти v, поэтому скорость по модулю уменьш ается. Н а участке
спуска вектор g направлен по скорости и, поэтому скорость по
модулю возрастает. Но в течение всего полета ускорение g не
меняется ни по модулю, ни по направлению. И поэтому мы
имеем право для данного движ ения воспользоваться выведен­
ными ранее формулами равноускоренного движ ения, внеся в
них коррективы. Ввиду того что ускорение направлено против
оси OY, его проекция отрицательна: ау = -g ,
v = 1>0 + at => v = v0 - g t,
± , a t2
. g t2
s = v0t + ~y => s = v0t ,
at^
У = Уо + vot +
=* У = Уо + uo* “
2
'
В последней формуле предполагается, что тело брошено не
с поверхности земли, а из точки с координатой у0.
у
6 Остановимся, подумаем
1. Постройте график зависимости скорости тела, брошен­
ного вертикально вверх, от времени. У каж ите на нем точ­
ку, соответствующую положению тела в момент наивыс­
шего подъема.
2. Рассчитайте время подъема тела на максимальную вы ­
соту, считая известной начальную скорость.
3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью v0. Опре­
делите время полета тела.
Ответы. 1. П оскольку зависимость скорости от времени
линейная, то графиком скорости данного движения является
прямая, проходящая через точку (0, и0) (рис. 192). Точка пере­
сечения граф ика с осью времени соот­
ветствует моменту наивысшего подъе- v
ма. Ведь скорость тела к этому моменту vвремени упала до нуля и далее меняет
направление.
2. Чтобы рассчитать время движ е­
ния тела до наивысш ей точки подъема,
Рис. 192
155
используем формулу скорости v = v0 - gt. В точке м аксим аль­
ного подъема и = 0. Ф ормула принимает вид:
v
= и0 - g t => о = ц0 - g tnm=> V 0 = g tnoK=* г под = J
Д ля определения максимальной высоты подъема можно
воспользоваться такж е законом сохранения механической
■I .
энергии. Мы приведем лиш ь ответ: H mSLX = ^vo
3.
Д ля определения времени всего полета тела воспользу
емся формулой скорости. Учтем при этом, что тело упадет на
землю с той ж е по модулю скоростью, что было брошено
вверх, но противоположной по направлению.
Сопоставьте формулы гпод и tnoJ1, и вы увидите, что время
подъема тела на максимальную высоту равно времени падения.
о В опросы и задания
1. Ч е м у равн о ускорение свободного падения т е л на землю?
2. О т чего з а в и с и т ускорен и е свободного п ад ен и я ?
3. К к а к о м у виду дв и ж ен и й о т н о с и т с я свободное падение?
4. К к а к о м у ви ду д в и ж е н и й о т н о с и т с я д в и ж е н и е т е л а ,
брош енного в е р т и к а л ь н о вверх?
5. З а п и ш и т е ф о р м у л ы с к о р о с т и и п е р ем ещ ен и я д л я с л у ­
ч а я свободного падения.
6. З а п и ш и т е ф о р м у л ы вр ем ен и п од ъем а и м а к с и м а л ь н о й
в ы с о т ы п о л е т а т е л а , брош енного в е р т и к а л ь н о вверх.
Упражнение 22
1.
Оцените приблизительно время падения на землю пред
мета массой 10 0 г, выброшенного из окна четвертого этажа.
Каким будет импульс тела в момент падения на землю? К акая
сила действует на тело при ударе о землю, если этот удар про­
должается 0,01 с? С какой силой предмет действует на опору?
У к а з а н и е . Для расчета силы вспомните вторую формулиров­
ку второго закона Ньютона. Решив задачу, оцените силу удара.
156
2. Постройте график зависимости скорости тела, брошен­
ного вертикально вниз со скоростью 2 м /с, от времени.
3. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м /с.
Рассчитайте скорость тела и высоту, на которой оно будет на­
ходиться через 1 с; 2 с; 3 с; 4 с; 5 с; 6 с.
4. Постройте график зависимости скорости тела, брошен­
ного вертикально вверх с начальной скоростью 20 м /с, от вре­
мени. По графику определите время подъема и время полета.
Рассчитайте эти величины по соответствующим формулам.
Проделайте опыты
1.
2.
Рассчитайте скорость, с которой упадет на пол ластик,
сброшенный со стола.
Подбросьте ластик вверх. Приблизительно оцените ско­
рость, которую вы сообщили ластику при броске, и время
движ ения ластика.
J 24. Вес тела, движущегося с ускорением
в вертикальной плоскости
24.1. Перегрузка
Явление, с которым вам предстоит сейчас познакомиться,
можно наблюдать в обычной ж изни, в спорте, использовать в
научных экспериментальных установках. Особенно хорошо
знакомо оно летчикам и космонавтам.
Рассмотрим это явление на примере
движ ения человека в лифте (рис. 193).
Пусть лифт имеет ускорение, направлен­
ное вверх. При этом направление скоро­
сти движ ения может быть разным. Н а­
пример, лифт с первого этаж а начинает
движение вверх или с верхних этажей
опускается вниз, но тормозит. Н аправ­
ление ускорения при этом не изменится
и будет направлено вверх.
Рассчитаем при таком движении
вес человека — силу, с которой человек
действует на опору (пол лифта). Д ля
Рис. 193
этого рассмотрим силы, действующие
157
на человека: силу, действующую со стороны земли (Етяж), и
силу, действующую со стороны опоры — пола лифта (Еупр).
Iо Остановимся, подумаем
Вы видите, что на рисунке длина стрелки Fynp больше, чем
длина стрелки^ Етяж. Попытайтесь самостоятельно объяс­
нить, почему ^унр! > |FTjJ .
Равнодействующ ая всех сил долж на быть сонаправлена с
ускорением. Д ля этого необходимо, чтобы |Рупр| > |РТЯЖ|Обозначим на чертеже вес человека Р. По третьему закону
Ньютона эта сила равна по модулю силе упругости |Р| = I-Eyj.
Поэтому, чтобы рассчитать вес человека, нам нужно най­
ти силу упругости. Воспользуемся вторым законом Ньютона:
R = та,
где т — масса человека; а — ускорение лифта;
R — равнодействующая сил, действующих на человека,
равная R = Р упр + Р тяж, а сила тяж ести: Р тяж = mg.
Направим ось O Y вертикально вверх. Тогда уравнение для
проекций на координатную ось OY будет иметь следующий вид:
Р упр - mg = та =$ Р упр = m g + та.
Вес человека, движущ егося с ускорением, направленным
вертикально вверх:
Р = m g + та.
Посмотрите на полученную формулу.
Вес человека Р оказался больше действующей на него силы
тяж ести Р тяж. Насколько больше — это зависит от ускорения.
Такое состояние называется перегрузкой.
П ерегрузка — отношение веса т ела при ускоренном
движении к силе тяжести.
Увеличение веса человека «почувствует на себе» опора. Но
с другой стороны, ведь одни части тела человека являю тся
опорой для других. Поэтому увеличение веса каж дой части
человека приводит к возрастанию напряж ения мыш ц и к до­
полнительной нагрузке на все его органы. Если при движении
лифта ускорение составляет 0,3 м /с 2 - 1 м /с 2, то вес немного
превыш ает силу тяж ести. Человек при этом не испытывает
неприятны х ощущений.
158
При взлете и посадке ракеты или скоростного самолета ус­
корение может составить до 10 0 м /с 2, что приведет к значи­
тельной перегрузке. Летчики и космонавты отмечают, что при
таких перегрузках их тело огромной тяжестью приж имается
к сиденью, руки оказываю тся неподъемно тяж елы м и, веки
«наливаются свинцом» — невозможно открыть глаза. Случа­
лись такие экстремальные ситуации, когда некоторое время
летчики вынуждены были управлять самолетом вслепую.
Чтобы ослабить действие перегрузки на организм человека,
летчики сверхзвуковых самолетов надевают специальные
противоперегрузочные комбинезоны. Д ля космонавтов изго­
тавливают специальные ложементы, в которых при старте и
спуске они леж ат, т. е. их тела расположены перпендикуляр­
но направлению движ ения ракеты. Оказалось, что перегрузка
в направлении «спина—грудь» человеком переносится лучше,
чем в направлении «голова—ноги». Рассмотрите таблицу 22,
в которой приведены значения коэффициента перегрузки,
возникаю щ ей при различны х движ ениях.
Т а б л и ц а 22
до 1,5
Пассажир при взлёте самолета
Парашютист во время раскрытия парашюта:
при скорости падения 30 м/с
при скорости падения 50 м/с
5,2
Летчик в момент катапультирования из самолета
до 16
Кратковременные перегрузки, относительно безболезненно
переносимые тренированным человеком:
в направлении спина— грудь и грудь— спина
в направлении голова— ноги
в направлении ноги— голова
до 30
до 20
до 8
Длительная перегрузка, соответствующая пределу физио­
логических возможностей человека
Перегрузка при спуске космических кораблей
1,8
8
3—4
24.2. Невесомость
Рассмотрим еще раз движение человека в лифте (рис. 194).
Только теперь лифт имеет ускорение, направленное вниз, т. е.
либо опускается ускоренно или поднимается, но замедленно.
159
На человека действуют две силы:
сила со стороны земли (Ртяж) и сила со
стороны опоры (Fупр):
IF
I > I\Fупр!I.
Iх тяж1
По третьему закону Ньютона
\Р\ = |Рупр|. Найдем вес человека. Для
этого запиш ем второй закон Ньютона в
векторном виде:
—
>
.
R = та;
где а — ускорение лифта; т — масса
человека; R — равнодействующая сил,
действующих на человека.
Направим координатную ось OY вертикально вниз и запи­
шем уравнение для проекций на эту ось. Получим:
mF - FynP= та => -Рупр = m g - та.
Вес человека, движущ егося с ускорением, направленным
вниз:
Р = m g - та.
Из полученной формулы видно, что в данном случае вес
человека становится меньше действующей на него силы тяж е­
сти Р < Р тяж. Это — состояние частичной невесомости. В том
ж е случае, если тело падает с ускорением а = g, вес тела
Р = mg - mg = 0.
Состояние, в кот ором тело не давит на опору, т. е.
у него от сут ст вует вес, называет ся невесомостью.
Разберемся детально в особенностях этого состояния.
Многие люди, путая вес и силу тяж ести, думают, что в неве­
сомости могут находиться только тела, чрезвычайно далеко
удаленные от Земли, на которые не действует притяж ение к
Земле. Н а самом деле в невесомости теряется не сила тяж ести,
а вес тела, т. е. сила давления на опору. Тело продолжает при­
тягиваться к Земле. Поэтому оно и имеет ускорение. Но на
опору оно не действует.
Важно, что в состоянии невесомости отсутствует вес не толь­
ко всего тела в целом, но и каждой его части. Это означает, на­
пример, что голова перестает давить на шею, шея на грудь и т. д.
Отсутствие сил упругости внутри тела, находящ егося в не­
весомости, можно продемонстрировать на следующем опыте
160
(рис. 195). Сквозь кольцо, укрепленное
в ш тативе, продета веревка. Один конец
веревки закреплен на ш тативе, к друго­
му привязан наборный груз. Он состоит
из ряда дисков, положенных друг на
друга. Между двумя дисками прокла­
дывают лист тонкой бумаги. Если осла­
бить веревку и медленно опускать груз,
то бумажный лист порвется. Ведь он
был заж ат между дисками. Если ж е ве­
ревку отвязать от ш татива и отпустить,
Р и с .195
то груз начнет свободно падать. Резуль­
тат опыта будет другим. Лист бумаги останется целым. П ри­
чина в том, что в состоянии невесомости диски не оказывают
давления друг на друга.
У каж ем условие, при котором возникает состояние неве­
сомости:
Ускорение тела должно быть направлено к Зем ле и
равно 9,8 м /с 2.
Согласно второму закону Ньютона для того, чтобы ускоре­
ние тела было равно g, необходимо, чтобы на него действовала
всего лиш ь одна сила — сила тяж ести. По-другому сформули­
руем условие, при котором возникает состояние невесомости:
Тело должно двигат ься только под действием силы
тяжести.
Очевидно, что не только космонавты, но и каж ды й из нас
очень часто испытывает состояние невесомости. Например,
при пры ж ках, при беге, когда обе ноги оторваны от земли. На
рисунке 196 показаны ситуации, в которых тела находятся в
состоянии невесомости.
161
Но если каждый из нас в этом состоянии может находиться
лиш ь кратковременно, то космонавты в космических полетах
на орбитальных станциях в невесомости находятся в течение
длительного времени. Есть пример, когда человек находился
в полете более года. М ежпланетные ж е полеты будут продол­
ж аться еще дольше. Такое длительное состояние невесомости
может оказать весьма ощутимые и даж е необратимые измене­
ния в деятельности организма человека. Н аруш ается работа
органов кровообращения, системы питания. Ну и, конечно,
наруш ается координация движений.
Когда планировались полеты человека в космос, многие
ученые высказывали мысль о невозможности безопасного на­
хож дения человека в невесомости. Первые полеты продолжа­
лись в течение часов или нескольких суток, и поэтому серьез­
ных изменений в состоянии космонавтов не наблюдалось.
После ж е 18-суточного полета состояние здоровья космонав­
тов оказалось под угрозой. Они долго не могли вернуться к
обычному ритму ж изни. Стало ясно, что при длительных кос­
мических полетах необходима специальная система упраж не­
ний, компенсирующих действие невесомости на организм че­
ловека. В настоящее время она уже достаточно хорошо разра­
ботана и позволяет космонавтам длительное время переносить
невесомость, а после возвращ ения на Землю восстанавливать
нормальную жизнедеятельность своего организма.
Экспериментальное задание № 13
Наблюдение явлений невесом ости и перегрузки
О борудование: динамометр, груз массой 100 г.
Х од работ ы
1. Прикрепите к динамометру груз массой 100 г.
2. Рывком опустите руку с динамометром и грузом. Опре­
делите показания динамометра (силу упругости) в момент на­
чала движения.
В каком состоянии находился груз?
3. Рассчитайте ускорение, с которым вы опускали дина­
мометр.
4. Поднимите резко руку с динамометром и грузом. Опре­
делите значение силы упругости.
В каком состоянии находился груз?
162
5. Рассчитайте ускорение, с которым вы поднимали дина­
мометр с грузом.
6 . Сделайте вывод.
Вопросы и задания
1. В чем заклю чаю т ся состояния невесомости и пере­
грузки?
2. П ри к а к и х условиях возникаю т состояния невесомос­
т и и перегрузки? П риведит е примеры.
Упражнение 23
1. Человек поднимается в лифте. Испытывает ли он в про­
цессе подъема состояние перегрузки; частичной невесомости?
Если да, то на какой стадии подъема?
2. Человек, находясь в лифте, испытывает перегрузку.
Что можно сказать о движении кабины лифта в этот промежу­
ток времени (лифт поднимается или опускается, тормозит или
ускоряется)?
3. Парашютист совершает пры ж ок из кабины самолета.
Какое состояние испытывает парашютист:
— в период свободного падения до раскры тия парашюта;
— в момент раскры тия парашюта;
— в период равномерного спуска при раскрытом парашюте?
25. Сложное движение
25.1. Разложение движения на составляющие
До сих пор мы рассматривали движ ения тел, происходя­
щие в одном направлении, и ориентировали координатную
ось вдоль прямой, по которой движется тело (рис. 197).
У;
/ ‘■\
1 \1
1
1
1
1
А
1
1
1
1
1
1
1
i О'
Рис. 197
163
Однако часто возникает ситуация, когда одной координа­
ты для описания положения тела становится недостаточно.
Рассмотрим несколько таких случаев.
Пример 1
На рисунке 198 показан взлетающий со скоростью v само­
лет. В этом случае летчику и наземным службам важ на не
только скорость движ ения самолета. Необходимо такж е сле­
дить, с какой скоростью самолет набирает высоту и с какой
скоростью он удаляется от аэродрома вдоль поверхности зем­
ли. Поэтому удобно направить оси координат по горизонтали
и вертикали (рис. 198). Затем производят разложение вектора
скорости на составляющие. Можно считать, что в момент вре­
мени, изображенный на рисунке, самолет вдоль поверхности
земли движется со скоростью vx и взлетает вертикально со
скоростью vy (vx и vy называют составляющими скоростями
или проекциями скорости на оси О Х и O Y).
Р и с .199
Р и с .198
П ример 2
Л одка переплывает реку, двигаясь относительно земли со
скоростью v (рис. 199). Разложение вектора скорости на со­
ставляю щие позволяет нам определить скорость, с которой
лодка приближается к противоположному берегу (составляю­
щ ая vy), и скорость, с которой лодка движ ется вдоль берега
(составляющая vx).
0
о Остановимся, подумаем
Приведите примеры, подобные приведенным выше, когда
движение можно представить в виде независимых дви­
жений.
164
Рассмотрим опыт.
Пусть на небольшой пло­
щ адке, поднятой над столом,
находится шар 2 (рис. 200). Н а­
встречу ему со скоростью и и с
той ж е высоты пускают такой
же шар 1. В процессе удара
шар 1 теряет свою скорость и
сквозь отверстие падает отвес­
Р и с .200
но. Ш ар 2, приобретя скорость
и, такж е начинает падать. Но его движение сложное: тело
движ ется и по горизонтали, и по вертикали (ив, )3Г).
И так, шар 1 движ ется только по вертикали. Ш ар 2, кроме
движ ения по вертикали, движ ется еще по горизонтали. Одно­
временно ли упадут ш ары?
Если время движ ения ш ара 2 окаж ется больше, чем время
движ ения ш ара 1, то можно будет сказать, что движение ш а­
ра по горизонтали как-то повлияло на падение тела. Если же
ш ары упадут одновременно, то логично будет сделать другой
вывод: горизонтальное движение ш ара 2 никак не сказалось
на его падении.
Можно много раз проделывать этот опыт, меняя скорость v,
сообщаемую шару 1. Необходимо только, чтобы высоты, с кото­
рых падают шары, были одинаковыми. Результат опытов всег­
да окажется одним и тем же: шары будут падать одновременно.
Значит,
Д виж ение ш ара по вер т и ка льн о м у и го р и зо нт а льно м у
н а п р а влен и я м прои схо д и ли независим о друг от друга.
Вследствие независимости движений по двум перпендикуляр­
ным направлениям время падения ш ара со стола (рис. 2 0 1 )
а)
б)
Рис. 201
165
Р и с.202
при разных значениях начальной скорости оказывается оди­
наковым. Скорость, сообщаемая ш ару при ударе, скаж ется
лиш ь на движении по горизонтали, т. е. на дальности полета.
Примеров независимости движ ения по двум перпендику­
лярны м направлениям можно привести множество. Рассмот­
рим два из них.
П ример 1
Пусть человек на лодке в одном случае переплывает озеро,
а в другом — реку (рис. 2 0 2 ).
Если человек сообщает лодке скорость v в направлении,
перпендикулярном берегу, то время достижения противопо­
ложного берега не будет зависеть от того, движется лодка по
озеру или по реке, а скорость течения скаж ется лиш ь на сме­
щении лодки вдоль берега.
П ример 2
Н а рисунке 203 показан положительный заряд q, влетаю^
щ ий в электрическое поле со скоростью V. Н апряженность Е
Рис. 203
166
поля в случаях а) и б) разная. Поэтому сила, действующая на
заряд, тоже разная. Но на движение заряда в направлении,
перпендикулярном силовым линиям , это ни как не сказы ва­
ется. Время пролета промеж утка d оказы вается одинаковым,
а вот смещение заряда вдоль силовых линий s разное.
25.2. Примеры разложения движения
на составляющие
Рассмотрим две задачи, в которых используется разлож е­
ние движ ения на составляющие.
Задача 1
Самолет взлетает со скоростью 400 м /с под углом 30° к го­
ризонту. Через какое время самолет достигнет расчетной вы ­
соты 6 км над землей? На какое расстояние от места взлета
удалится за это время самолет?
Д ано:
v = 400 к м /ч
а = 30°
Н = б км
Реш ение
Проекции скорости на координатные оси
О Х и O Y (рис. 204):
vx = v cos 30° = 400 •
t - ?
I— ?
~ 340 к м /ч ,
vy = v sin 30° = 400 • | = 200 к м /ч .
Движение по вертикали равномерное,
и время подъема определится из формулы:
t- Z ,
Vy
t
6 км
= 0,03 ч = 1,8 мин.
200 км/ч
X
О
Рис. 204
Теперь рассмотрим движение в горизонтальном направле­
нии. Оно происходит с постоянной скоростью их = 340 к м /ч .
Поэтому за время 0,03 ч самолет по горизонтали сместится от
места взлета на расстояние:
l = v xt
340 к м /ч ■0,03 ч = 10,2 км.
167
Задача 2
С высоты Н = 2 м над землей со скоростью v0 — 4 м /с бро­
сают ш ар в горизонтальном направлении (рис. 205). Опреде­
лить время падения ш ара на землю; дальность полета; ско­
рость тела через 0 ,2 с после начала движ ения.
Дано:
v0 = 4 м /с
Я = 2м
£ = 0 ,2 с
g = 9,8 м /с 2
Решение
Движение ш ара сложное:
по горизонтали — равно­
мерное,
по вертикали — свободное
падение.
I
н
I
\
\
\
N
\
1
Р и с . 205
Воспользуемся принципом независимости движений. Най­
дем время, которое тело падало бы отвесно с высоты Н = 2 м.
При свободном падении:
2Я
*п =
2 •2 м
9,8 м / с 2
0,63 с.
Поскольку движение по горизонтали, в котором участвует
шар, и по вертикали независимы, то время падения ш ара ока­
ж ется таким же:
£п = 0,63 с.
За время падения ш ар, двигаясь равномерно по горизонта­
ли, пролетит
®max = U ■* « 2 , 5 м.
Принцип независимости движений позволит выполнить
и третье задание — определить значение скорости ш ара через
0 ,2 с.
Если бы тело двигалось только вдоль оси ОХ, то его
скорость осталась бы неизменной, равной их = 4 м /с. Если бы
тело лиш ь падало отвесно, то за время 0 ,2 с оно, согласно
формуле свободного падения, набрало бы скорость vy = gt ~
~ 9,8 м /с 2 • 0,2 с ~ 2 м /с. Результирую щ ая же скорость ш ара
находится по правилу сложения векторов. Применив теорему
Пифагора, получаем:
v = f i l + Ц = л/16 м 2/ с 2 + 4 м 2/ с 2 ~ 4,5 м /с.
168
^
Вопросы и задания
° 1. В к а к и х случа ях производится разлож ение движения
т ела на составляющие? П риведит е примеры.
2.
В чем состоит принцип независимост и движений?
П роиллю ст рируйт е его примерами.
Я Упражнение 24
1. Лодка плывет со скоростью 5 м /с под углом 60° к ско­
рости течения реки. За какое время лодка переплывает реку
ш ириной 200 м? На какое расстояние снесет лодку по течению
относительно берега?
2. Человек переплывает реку на моторной лодке так, что
она все время плывет перпендикулярно течению. Скорость,
сообщаемая лодке мотором, составляет 1,7 м /с. Скорость тече­
ния 1 м /с. Чему равна скорость лодки относительно земли? За
какое время лодка достигнет противоположного берега, если
ш ирина реки равна 100 м? На какое расстояние снесет лодку
вдоль берега?
Повторим, обдумаем изученное
П о в т о р и м сам ое гла в н о е
1. Что значит «задать механическое движение»?
2. Назовите способы задания механического движ ения.
3. Вспомните характеристики механического движ ения.
Сформулируйте их определения.
4. Назовите известные вам виды прямолинейного движ е­
ния. Дайте им определение.
5. В чем состоит принцип независимости движений? П ри­
ведите примеры его использования.
6 . Составьте задачу, решаемую на основе принципа неза­
висимости движ ения. Реш ите ее.
7. В чем проявляется состояние перегрузки? Когда оно
возникает?
8 . В чем проявляется состояние невесомости? Когда оно
возникает?
Таблица 23 позволит вам вспомнить виды механического
движения, о которых говорилось выше. Перерисуйте в тетрадь
и дополните ее соответствующими формулами и графиками.
169
Т абли ца 23
Равномерное движение
Перемещение
Скорость
Ускорение
Координата
а -
О1
0L
Равноускоренное движение
Скорость
Ускорение
а = ............
V
=
............................
Перемещение
Координата
s = ..............
х = .............
х
О
О
О
О
Свободное падение
Скорость
Ускорение
а,,У =
Перемещение
V
О
Y
О
О
Движение тела, брошенного вертикально вверх
Ускорение
Скорость
Перемещение
а„У =
О
О
О
170
Заглянем глубже
Вывод формулы перемещения
при равноускоренном движении
В § 21 была приведена формула перемещ ения при равноуско­
ренном движении тела. Ее вывод представляет большую ценность,
так как основан на приеме, часто используемом в физике.
Начнем с простого. Определим по графику зависимости скорос­
ти от времени (рис. 206) перемещение тела при равномерном движ е­
нии. Рассчитаем перемещ ение тела за время t (от tx до t2):
s = vt.
С другой стороны, как видно из рисунка, произведение vt равно
площади прямоугольника, ограниченного графиком скорости, осью
времени и отрезками времени t1 и t2. Это пригодится в дальнейш их
р ассуж дениях.
На рисунке 207 показан график скорости равноускоренного движе­
ния. Требуется определить перемещ ение тела за время t (от t1 до t2).
Попытаемся свести неизвестное к известному. К настоящему мо­
менту вам известно лишь то, как определить перемещ ение тела при
равномерном движении. Поэтому разобьем промежуток времени t на
множество маленьких отрезков времени (обозначим их A£t). Отрезки
должны быть настолько малы, чтобы в течение каждого из них дви­
жение можно было считать равномерным. Такая операция проделана
на рисунке 207. Площадь каждого малого прямоугольника представ­
ляет перемещ ение тела за соответствующий малый промежуток вре­
мени. Нетрудно понять, что для определения перемещения за все вре­
мя t надо просуммировать эти площади. Однако обратите внимание
на то, что при суммировании всех малых площадей мы получаем пло­
щадь, близкую к площади фигуры ABCD. Некоторое расхож дение в
значении этих площадей объясняется тем, что в течение каждого из
этих малых промежутков времени At скорость все ж е не была посто-
171
янной, она немного, но изменялась. Чтобы использовать правильно
этот прием, необходимо делать эти отрезки At все меньше и меньше.
Вывод:
Из графика зависимости скорости от времени перемещение
можно определить по площади фигуры, расположенной под участ­
ком графика, соответствующего интервалу времени движения.
Воспользуемся полученным выводом и оп­
ределим перемещ ение тела за время t по пло­
щади фигуры ОАВС на рисунке 208. Фигура
ОАВС — трапеция, поэтому
S = ОА 1 вс ■ОС.
Так как ОА = и0, ВС = и,
ОС = t,
■t.
s=
Скорость тела при равноускоренном движении v = v0 + at, поэтому
vn + v 0 + at
2 v0 + at
2
2
at2
t = V 0t + 2
В векторном виде это выражение можно записать
->
S = v 0t
at2
+ ~y ■
Д ви ж ен и е те л а , брош енного гор и зо н тал ьн о
Движение тела, брошенного горизонтально, и движения подоб­
ного типа имеют широкое распространение. Например, движение
снарядов огнестрельных орудий, движение заряженны х частиц в не­
которых устройствах, движ ение тел в различных спортивных состя­
заниях.
172
Пусть с некоторой высоты Н с начальной скоростью и0 в гори­
зонтальном направлении брошено тело (рис. 209).
Выберем направления координатных осей О Х и O Y такими, как
показано на рисунке, и установим характер составляющих движ е­
ния по этим осям.
Выясним, какие силы действуют на тело, найдем их проекции
на выбранные направления. Силы позволят найти ускорение по к аж ­
дой из осей, что, в свою очередь, определит характер составляющих
движ ения, и мы сможем установить соответствующие формулы
(табл. 24).
Таблица 24
Ось
Сила
Ускорение
ОХ
Rx = 0
а = 0
Характер движения
Равномерное
Формулы
vx = v0
X = v 0t
OY
Ry = mg
Равноускоренное
a = g
Vy
= gt
gt2
Итак, положение тела в любой момент времени t определяется
двумя координатами:
х
.
= v 0t ,
у
=
g t2 ■
Скорость тела определяется следующ им образом:
Согласно теореме Пифагора для прямоугольного треугольни­
ка и — модуль скорости тела в любой момент времени:
v
= J v f+ Ц
= 7 ио + Ш ) 2 ■
Из рисунка 209 видно, что с течением времени:
— горизонтальная составляющая скорости остается постоянной;
— вертикальная составляющая скорости растет;
— в любой точке вектор скорости направлен по касательной к
траектории.
При различных расчетах, касающ ихся движения тела, брошен­
ного горизонтально, обычно необходимо бывает установить время
полета и максимальную дальность полета.
Воспользуемся принципом независимости движений. Рассмот­
рим движение по направлению оси OY. При падении на землю ко­
нечная координата тела у = Н .
173
Найдем время полета t n o q :
Пока тело падает, оно равномерно смещается по оси О Х со ско­
ростью и0. Поэтому дальность полета Lmax
■ ^m ax — ^ х ' ^ п о л ^
-^ ш а х
^0 J
g
"
Д ви ж ен и е те л а , брош енного под углом к горизон ту
Пусть тело брошено под углом а 0 к горизонту со скоростью v0
(рис. 210). Это движение тож е сложное, его можно разложить на два
вдоль координатных осей О Х и OY. Найдем проекции начальной
скорости на оси О Х и O Y ;
v 0x = v o c o s a o ’
v oy = v 0 s i n a 0.
Используя примененную выше последовательность действий,
заполним таблицу 25. Для упрощ ения рассуж дения не будем учиты­
вать сопротивление воздуха.
OY
Fy = -m g
О
ОХ
У ско р е н и е
&
Н
II
Сила
О
О сь
н►ч
II
Таблица 25
ay=~g
Х а р а кте р д в и ж е н и я
Равномерное
Движение тела, брошен­
ного вертикально вверх
Ф о р м улы
X = V0xt
v x = v 0x = const
Vy = %
- gt
,
g t2
- ~2~
У- V
Итак, данное движение можно представить в виде двух состав­
ляющ их движений, что мы попытаемся сделать в виде символов сле­
дующим образом (рис. 211).
174
—А-А
Рис. 211
Рис. 212
Полож ение тела в любой момент времени определяется двумя
координатами:
х = уоА
t2
у = voyt - § 2 ■
Скорость тела в любой момент времени:
Vx =
V 0x’
V y = V 0y - S t ,
V —
f i l + V *
.
В течение полета горизонтальная составляющая скорости не
изменяется.
Вертикальная составляющая скорости до верхней точки подъ­
ема уменьшается, а затем, изменив направление, возрастает. Модуль
скорости от начала движения до точки наибольшего подъема уменьша­
ется. В верхней точке она имеет наименьшее значение, равное горизон­
тальной составляющей скорости. Затем модуль скорости возрастает до
первоначального значения. Конечно, как и при любом криволинейном
движении, вектор скорости тела направлен по касательной к траекто­
рии.
В задачах на движение артиллерийских снарядов, как правило,
требуется узнать следующ ие величины: время полета, дальность по­
лета, максимальную высоту подъема тела (рис. 212).
Воспользуемся принципом независимости движений. Рассмот­
рим движение тела по направлению оси O Y.
Его можно представить как движение тела, брошенного верти­
кально вверх со скоростью v0y. Запиш ем формулы времени подъема,
максимальной высоты подъема:
f
аю д
= g 9 1пол = g
- * « . t
V
г г
9л
тах
= Аg
2
*
Найдем максимальную дальность полета. Для этого рассмотрим
горизонтальное движ ение тела по координатной оси О Х . В этом на­
правлении тело двигалось равномерно со скоростью v0x. Поэтому
Ап ах
^Ох
А л "
Отсюда видно, что максимальная дальность полета зависит от ве­
личины начальной скорости и от ее направления (от а 0).
175
Р и с . 213
Недостаток в знаниях тригонометрических формул (временный,
конечно) не позволит вам в настоящий момент провести алгебраиче­
ские преобразования полученных формул. Поэтому, для того чтобы
выяснить, как зависит дальность полета от угла бросания, восполь­
зуемся опытом, схема установки которого показана на рисунке 213.
Из банки по резиновому ш лангу, на конце которого небольшой
кран, вытекает вода. Дома вы можете соорудить что-то подобное, на­
дев резиновый шланг на водопроводный кран в ванной. Еще лучше на­
блюдать за струей воды, вытекающей из шланга для полива огорода.
Меняя в этом опыте угол наклона шланга, можно обнаружить
следующее:
1. При увеличении угла а 0 до 45° дальность полета струи растет,
а затем уменьшается. То есть при одной и той ж е начальной скорости
тела можно добиться максимальной дальности при угле 45°.
2. В любую другую точку, удаленную от места броска на расстоя­
ние, меньшее, чем Zmax при 45°, можно попасть двумя способами: на­
стильной и навесной траекториями, т. е. при углах а 0 и ( 9 0 ° - а 0).
Например, при 15° и 75°, 30° и 60°.
Учтите это обстоятельство, поливая огород или бросая какие-ли­
бо предметы.
@ Вопросы и задания
1. Тело брошено горизонт ально. К а ко в х а р а кт ер движ ения т е­
л а по го р и зо н т а льно м у и ве р т и к а л ь н о м у на п р а влен и я м ? О т к а ­
к и х ве л и ч и н за ви сят врем я и дальност ь полет а?
2. Тело брошено под угло м к горизонт у. К а ко в ха р а кт ер д в и ­
ж ения т е ла по го р и зо н т а льно м у и ве р т и к а л ь н о м у на п р а влени ям ?
От к а к и х ве л и ч и н за ви ся т врем я, м а к с и м а ль н а я вы сот а и
дальност ь полет а?
3. К а к за в и с и т дальност ь п о лет а т ела, брошенного под угло м
к горизонт у, от у гл а бросания?
176
Упражнение 25
1. Тело брошено горизонтально со скоростью v0 с высоты Н . Опре­
делите значение скорости, с которой тело упадет на землю, исходя из
закона сохранения энергии.
2. Тело брошено горизонтально с высоты 10 м со скоростью
10 к м /с. Рассчитайте время падения тела, дальность полета, ско­
рость на высоте 5 м.
3. Тело брошено горизонтально. У кажите, как с течением време­
ни полета изменится скорость тела. В какой точке траектории поле­
та тело обладает наибольшей кинетической энергией?
4. Тело брошено со скоростью 20 м /с под углом 60° к горизонту.
Рассчитайте время полета, максимальную дальность полета, макси­
мальную высоту подъема, скорость тела на высоте 2 м.
5. Тело брошено под углом 60° к горизонту со скоростью 20 м /с.
Постройте графики зависимости проекций скоростей на координат­
ные оси О Х и O Y от времени движения. По графикам определите
значение времени подъема и полета тела.
Проделайте опыт
Положите ластик на край стола. Слабым щелчком задайте лас­
тику скорость в горизонтальном направлении. Он упадет на неко­
тором расстоянии от стола. Проделайте необходимые измерения
и рассчитайте скорость, которую вы сообщили ластику.
Глава VI
Движение по окружности
: 26. Равномерное движение по окружности
26.1. Характеристики движения
Равномерное движение по окружности широко распрост­
ранено в природе. Приведите известные вам примеры движ е­
ний тел или частиц, траектория которых представляет собой
окружность. Занесите эти примеры в таблицу 26.
Т абли ца 26
Примеры
Мегамир (мир звезд, планет)
Макромир (мир тел, наблюдаемых человеком)
Микромир (мир молекул, элементарных частиц)
Движение тел по окружности часто путают с вращ а­
тельным движением. Рассмотрите рисунок 214. Про диск
(рис. 214, а) можно сказать, что он вращ ается. Все его точки
двигаются по окружностям, центр которых расположен в
точке О.
Остановимся подробнее на характеристиках движения те­
ла по окружности.
а)
б)
Р и с.214
178
в)
Д ля данного движ ения, конечно, применимы характерис­
тики, рассмотренные нами ранее (координата, перемещение
и т. д.). Но особенности движ ения тела по окружности застав­
ляю т ввести ряд величин, характеризую щ их только это дви­
жение.
У г о л п о в о р о та р а д и уса -векто р а
Пусть точка А движ ется по окружности (рис. 215). Мож­
но, конечно, ввести систему координат и определять положе­
ние точки А координатами хА и уА (рис. 215, а).
Однако чащ е делают так, к ак показано на рисунке 215, б.
Из центра окружности проводят в точку А радиус-вектор и из­
меряют уго л поворот а радиуса-вект ора относительно н а­
правления, принятого за начальное (угол (р).
При движении тела поворачивается его радиус-вектор.
Вместо двух координат положение точки на окружности можно
охарактеризовать лиш ь значением угла поворота радиуса-век­
тора. Например, так поступают, когда следят за изменениями
положения Солнца или звезд по отношению к горизонту
(рис. 216). Известно, что наибольшее отклонение Солнца над
горизонтом имеет место 22 июня в 1 2 часов, оно составляет
угол 23°15'.
б)
Р и с .216
Рис. 215
179
Напоминаем
Угол измеряют в градусах. 1 градус — угол, опи­
рающийся на дугу, равную
длины окружности.
1 м инут а = 1 ' = -^ градуса,
1 секунда = 1" =
минуты.
Названные единицы угла, конечно, вам хорошо известны.
Но есть и другая мера измерения угла. Причем в технике да­
же более распространенная, чем градус. Эту единицу называ­
ют радиан (1 рад).
1 радиан — уго л, опираю щ ийся на дугу, численно р а в­
ную радиусу окруж ности (рис. 216).
,о
1
опирается на дугу, равную ^ 1
длины окружности,
1 рад опирается на дугу, равную радиусу окружности.
Из рисунка 217 хорошо видно, что 1 рад больше, чем 1°.
Простое рассуждение позволит нам установить соотношение
между ними.
П олны й угол опирается на всю окружность и равен 360°.
С другой стороны, полный угол опирается на окружность,
длина которой равна 2nR. Значит, радиус укладывается на
длине окружности 2 л раз, а полны й уго л равен 2 л радиан.
И так, полный угол, выраженный в гра­
дусах, равен 360°, а в радианах 2л рад.
Вывод:
2л рад = 360°,
1 рад =
360°,
,
360°
(л = 3,14) => 1 рад = ^
к _0
= 57°,
1 рад » 57°.
Выразим в радианах значения наиболее
=г распространенных углов. Заодно обратите
внимание на то, каким образом вычисляет­
ся значение угла в радианах:
полный угол 360° = 2л рад;
развернутый угол 180° = л рад;
Рис. 217
п р я м о й у го л 9 0° = ^ рад.
180
Остановимся, подумаем
Самостоятельно по рисунку 218 определите в радианах
значения углов, вы раж енны х в градусах.
У гловая скорость
Если мы хотим охарактеризовать, насколько быстро дви­
ж ется тело, мы говорим о его скорости. Когда ж е речь идет
о движении тела по окружности, вполне логично говорить
о скорости изменения угла поворота радиуса-вектора тела,
т. е. об угловой скорости.
Угловая скорость определяется по следующей формуле:
где о) — угловая скорость;
ф — угол поворота радиуса-вектора за время f .
Единица угловой скорости: 1 рад/с.
Период обращ ения
П ериодом обращения называют врем я одного полного
оборота.
Пусть ш арик на нити движется по окружности (рис. 219).
Заметим время t, за которое ш ар совершит N полных оборо­
тов. Тогда, чтобы определить период обращения ш арика Т,
нам надо будет время движения t разделить на число оборотов:
N = 10 оборотов
Р и с .218
Рис. 219
181
в
о
Остановимся, подумаем
Вспомните, чему равны период обращения Земли вокруг
Солнца, период обращения Луны вокруг Земли, периоды
обращения часовой и минутной стрелок часов.
Частота обращения
Вернемся к опыту, показанному на рисунке 219. Разде­
лим число полных оборотов ш арика N на время движения #.
При этом получается число оборотов за единицу времени (1 се­
кунду или 1 минуту) — это частота обращения:
Частотой обращения называют число оборотов тела
за единицу времени:
N
v=7’
где v — частота. Единица частоты секунда в минус первой
степени ( 1 с-1).
Итак:
Частота обращения ш арика (рис. 219):
v= w
= ° ’5 ! = 0 ’5 c - 1Сопоставив формулы для периода и частоты, легко убе­
диться в том, что эти величины связаны соотношением:
Т = v- .
Получим еще одну формулу, на этот раз связывающую
частоту и угловую скорость. Пусть тело совершило один обо­
рот. Его угловая скорость равна:
2я
m —
1 , значит, со = о2п\.
(0 = Т , но Т = v
Экспериментальное задание № 14
Определение характеристик движения тела
по окружности
Оборудование: шар на нити, секундомер, циркуль.
Ход работы
1. Нарисуйте на листе бумаги окружность.
2. Прикрепите к нити шарик.
3. Возьмитесь за свободный конец нити и приведите ш а­
рик в движение вдоль окружности.
182
4. Рассчитайте для движ ения ш арика
— угол поворота радиуса-вектора за пять оборотов шарика;
— угловую скорость;
— частоту обращения;
— период обращения;
— путь за пять оборотов;
— перемещение за пять оборотов.
5. Запиш ите получивш иеся результаты.
6 . Вращайте ш арик быстрее, укаж ите, как изменились уг­
ловая скорость, частота, период.
7. Сделайте вывод.
Л инейная скорость
Земля движ ется по окружности вокруг Солнца (рис. 220).
Мы можем проследить, к ак меняется угол поворота радиусавектора за некоторый промежуток времени. Например, угол
поворота радиуса-вектора Земли за год составляет 360°, или
2л рад. При этом Земля проходит расстояние, равное s = 2nr.
s = 2я 1,49 108км = 6,28 1,49 108км = 9,4 • 10 8 км.
В году приблизительно 3,2 • 10 7 с. Разделив путь на время,
мы получим путевую скорость движ ения Земли по орбите.
При движении тел по окружности такую скорость называют
линейной.
s
v = ~,
где v — модуль линейной скорости;
s — путь;
t — время;
9,4 • 108 км
оп
.
V* = 3,2 • 107 с ~ 3 0 КМ/С-
Вот с такой скоростью Земля мчится в пространстве.
Р и с .220
183
Важен такж е ответ на вопрос: как
направлена мгновенная скорость?
Пусть тело, двигаясь по дуге окруж ­
ности, переместилось из точки А в точ­
ку В (рис. 221). Его перемещение А В .
Для определения мгновенной скорости
рис. 221
тела в точке А необходимо непрерывно
уменьшать промежуток времени дви­
жения. Таким образом, получились соответственно векторы
А В , А В ', А В " .
Обратите внимание на то, как изменяется направление пе­
ремещения при уменьшении промежутка времени. Легко
представить, что при совсем малом промежутке времени на­
правление перемещения совпало бы с направлением касатель­
ной, проведенной к окружности в данной точке.
Вывод:
При движении по окружности вектор мгновенной ско­
рости в точке направлен по касательной, проведенной к
окружности через данную точку.
Надо отметить, что этот вывод распространяется не только
на движение по окружности, но и на любое криволинейное
движение.
Вывод относительно направления мгновенной скорости
хорошо подтверждается известными примерами (рис. 2 2 2 ).
а)
б)
Рис. 222
184
У
' Остановимся, подумаем
На рисунке 223 показан диск, вращ аю ­
щ ийся вокруг точки О.
Точка А расположена на середине радиуса
диска. Точка В — на его конце. Сравните
угловые и линейные скорости точек Aw. В.
Одинаковые ли они или разные? Ответ
обоснуйте.
Рис. 223
Конечно, линейная и угловая скорости связаны друг с дру­
гом. Получим соответствующую формулу. Пусть тело за вре­
м я t совершило N полных оборотов. Модуль линейной скорости
~~
S
v = - , где s — путь, пройденный телом за время t. В свою оче­
редь, s —N ■2тсR, где R — радиус окружности, по которой двигг,
2тгR N
N
0
жется тело. Тогда v = —-— , учиты вая, что — = v, a 2nv = со,
2kRN
o n
i,
получим v = —-— = 27WR = юй.
Ускорение
На первый взгляд существование
данной характеристики для равномерно­
го движения по окружности вызывает
сомнение. Ведь если движение равномер- :
но, то скорость не изменяется, а значит,
ускорение такого тела равно нулю.
Да, при данном движении не меняетр ис 224
ся угловая скорость, а такж е и модуль
линейной скорости. Но ведь скорость — вектор. И здесь важ ­
ную роль играет направление скорости. А оно-то непрерывно
изменяется (рис. 224). Поэтому вполне уместно говорить об
ускорении при равномерном движении тела по окружности.
а
о Остановимся, подумаем
Вспомните определение ускорения. Какую операцию не­
обходимо произвести для определения ускорения?
Чтобы найти ускорение, необходимо определить разность
векторов Oj и v2. В соответствии с правилом вычитания векто­
ров найдем вектор До — вектор разности скоростей: До = v2 - v v
185
а)
б)
Р и с .225
-> V2 ~ V1
Ускорение а = — -— направлено в ту ж е сторону, что и
Ад. Заметим, что ускорение тела при его движении по дуге А В
является средним (рис. 225, а).
Д ля нахождения мгновенного ускорения необходимо со­
кращ ать длину дуги А В (рис. 225, б). При выполнении соот­
ветствующих построений можно убедиться в том, что при
каждом уменьш ении длины дуги направление ускорения все
больше приближается к направлению в центр окружности.
Вывод:
Ускорение при равном ерном движении по окружности
направлено перпендикулярно скорости по р а ди усу к цент­
р у окружности.
Такое ускорение называют цент рост ремит ельным.
Именно потому, что ускорение направлено перпенди­
кулярно скорости, оно не способно изменить модуль скорости,
а лиш ь изменяет ее направление.
О чем дальш е пойдет речь при изучении ускорения при
равномерном движении по окружности, к ак вы думаете?
Конечно, о модуле ускорения. Ведь надо иметь представ­
ление о том, какие величины определяют значение ускоре­
ния.
Мы опускаем сейчас вывод формулы (это будет сделано в
конце главы). Приведем лиш ь ее вид:
а цс = ® 2Г ИЛИ «цс = 7 •
Из данных формул видно, что ускорение зависит от v, со и г.
186
1
о Остановимся, подумаем
Чтобы лучше усвоить описанный выше материал, попы­
тайтесь найти ответы на следующие вопросы:
1. На рисунке 226 показано направление векторов скорос­
ти о и ускорения а. Как будет изменяться скорость при та­
ком движении?
Рис. 226
Рис. 227
2. Точки А и Б расположены на диске, вращающемся
равномерно (рис. 227). Как относятся ускорения в точках
А иБ
3. Пусть угловая скорость вращ ения диска увеличится
вдвое. Как изменится ускорение точки А?
Ответы. Задания 2 и 3 сложны. Сопоставьте ваши ответы с
правильными.
2.
Угловые скорости точек А и В одинаковы. Поэтому для
ответа применим формулу а цс = со2г. Из нее видно:
2А
%а В
CL л > CLt
Применять для данного задания формулу а цс= — нера­
ционально, так как у точек А и В различаю тся не только ра­
диусы г, но и линейные скорости v.
3. Ответ можно дать на основании любой из формул:
ацс=
со2= 2со,
а цс
а 2 = 4av
г
>
v2 = 2 vv
г9= г.
г ,= г,
187
=> а 2 = 4а1.
26.2. При каком условии тела
движутся по окружности?
Мы уже рассмотрели несколько примеров движ ения тел
или частиц по окружности. К этим примерам добавим еще
один — движение на поворотах. Так, при беге на роликовых
коньках, езде на велосипеде, просто во время бега вам неод­
нократно приходилось изменять направление движ ения —
поворачивать (рис. 228). И в одних случаях вам это удавалось
легко, а в других случаях сделать это было непросто. И навер­
ное, иногда вы даже падали.
Возникает вопрос: что нужно сделать, чтобы тело стало
двигаться по окружности? И ли по-другому: при каком усло­
вии тело массой т будет двигаться по окружности радиусом г
со скоростью V?
Д ля ответа на этот вопрос воспользуемся вторым законом
Ньютона:
R = та.
Из него следует, что для возникновения у тела ускоре­
ния а необходима сила или равнодействующая нескольких
сил R. Причем эта сила долж на быть направлена в сторону ус­
корения.
Как мы установили, тело, движущ ееся по окружности,
имеет ускорение а цс= — (или а =со2г), направленное к центру.
Чтобы такое ускорение у тела возникло, необходимо, чтобы
на это тело дейст вовала сила, направленная к цент ру
г,
mv2
,,
2
окружности и равная f = - у - или г = тозЛг.
Р и с .228
188
В справедливости данного вывода вы сможете убедиться,
рассмотрев любой пример равномерного движения тел по ок­
ружности.
П рим ер 1
На планету действует единственная сила — сила притяж е­
ния к Солнцу (рис. 229). Она и вызывает центростремительное
ускорение.
Второй закон Ньютона имеет вид:
„
~
mv2
тяж — т а и с ^
^ТЯЖ ~
у
’
где т — масса планеты;
v — скорость движения планеты;
г — радиус орбиты.
Рис. 229
Рис. 230
П рим ер 2
На столе расположен шар на нити (рис. 230), закреплен­
ной в точке О на поверхности стола. Щелчком сообщим шару
скорость v в направлении, перпендикулярном нити. При дви­
жении шара нить растягивается, в ней возникает сила упру­
гости, которая и вызывает центростремительное ускорение.
Второй закон Ньютона для шара имеет вид:
т?
mv2
*VnP= ™ v = — >
т. е. шар станет двигаться по окружности, когда сила упругос„ mv2
ти, возникшая в нити, станет равной - у .
П рим ер 3
На шар, находящийся в нижней точке окружности
(рис. 231), действуют сила упругости (-Fynp) и сила тяжести
(mg). Причем по модулю сила упругости больше силы тяжести.
189
Р и с .231
Р и с .232
Поэтому равнодействующая этих сил R = Fynp + m g оказы ва­
ется направленной вверх, т. е. к центру окружности. Она
п = т ацс — mv2 ■
и вызывает центростремительное ускорение К
Второй закон Ньютона для проекций на координатную ось OY
имеет вид:
„
mv2
Fynp - m S = тацс==
Определим из этой формулы вес ш ара, т. е. силу упругоеTTZV^
ти нити: Fyup = m g -I— — . Обратите внимание: вес (Fynр) боль­
ше силы тяжести (mg), значит, возникает перегрузка.
Н а рисунке 232 показаны силы, действующие на шар, нахо­
дящ ийся в верхней точке траектории. Второй закон Ньютона
для проекций на координатную ось OY в этом случае имеет вид:
т ё
, т-1
mv2
+
—
F ynp= т а цс=
„
„
Отсюда следует, что Fупр = m g
возникает невесомость.
■
mv2
— , значит, в этом случае
П ример 4
Пример конического маятника показан на рисунке 233.
Ш ар, раскручиваемый на нити, закрепленной в точке С, дви­
жется по окружности с центром в точке О. На него, как и в
предыдущем примере, действуют сила упругости и сила тя ­
жести. В данном случае эти силы направлены не по одной пря­
мой. Но если по правилу векторного сложения найти их рав­
нодействующую R, то она будет направлена к центру окруж190
ности и вызовет у ш ара ускорение.
Уравнение второго закона Ньютона
имеет вид:
С
Рассматривая треугольник сил,
можно увидеть, что в этом треуголь­
нике R, равнодействующая сила, я в ­
ляется катетом. Другим катетом
mg
является сила тяж ести mg. М еж­
ду ними существует соотношение:
Р и с.233
R = m g ■tg а , где а — угол отклоне­
ния нити от положения равновесия. Поэтому второй закон
Ньютона можно записать для данного случая так:
,
mv2
m g -tg а = —
,
.
v2
g tg а = —
По этой формуле можно рассчитать угол, на который от­
клоняется нить маятника.
Остановимся, подумаем
Рассмотрите следующие примеры движ ения тел (частиц)
по окружности:
— электрон, движ ущ ийся вокруг ядра атома;
— Луна, движ ущ аяся вокруг Земли;
— лы ж ник, скативш ийся со склона горы во впадину.
Самостоятельно выполните задания:
Д ля каждого из случаев движ ения укаж ите на рисунке в
тетради силы, действующие на тело, центр окружности,
направление ускорения. Запиш ите второй закон Ньютона
для проекций на ось OY.
Вопросы и задания
1. Н азовит е характ ерист ики движ ения т ела по окруж­
ности и дайте им определение.
2. Что называют радианом? Углы равны 30°, 45°, 60°,
90°. Выразит е значения эт их углов в радианах.
191
3. К ак связаны между собой ли ней на я и угловая ско­
рость точек, движ ущ ихся по окружности?
4. К ак направлены скорость и ускорение точки, равно­
мерно движущейся по окружности?
Упражнение 26
1. О каки х характеристиках движ ения идет речь в сле­
дующих выраж ениях:
— год;
— на музыкальном диске (пластинке) написано «33 об/мин»;
— скорость движения Земли вокруг Солнца равна 30 км /с;
— 200 рад/с?
2. К ак будут изменяться модуль и направление скорости
при различных направлениях ускорения в случаях, показан­
ных на рисунке 234?
v
а= 0
а
а)
б)
в)
д)
г)
Рис. 234
3. Лента магнитофона сматывается с прослушиваемой к а ­
туш ки на приемную (рис. 235). Скорость движ ения ленты
около воспроизводящей головки можно считать постоянной.
Как в процессе перемотки ленты изменяю тся частоты вращ е­
ния обеих катуш ек?
4. С помощью ремня движение передается со ш кива I на
ш кив II (рис. 236). Сравните угловые и линейные скорости то­
чек А и В.
А
Рис. 236
Р и с .235
192
5. Почему во время забега на длинные дистанции конько­
бежцы меняются дорожками?
6 . Влияет ли длина хоккейной клю ш ки на скорость, сооб­
щаемую шайбе при ударе?
7. Рассчитайте угловую скорость секундной стрелки ч а­
сов. У всех ли часов эта скорость одинаковая?
Одинакова ли скорость конца секундной стрелки у раз­
личных часов?
8 . Рассчитайте период обращения музыкального диска,
если он вращ ается с частотой 33 об/мин.
£
27. Примеры равномерного движения
по окружности
27.1. Движение тела на поворотах
Движение тела на поворотах является частным случаем
движ ения по окружности. Рассмотрев несколько примеров,
мы снова увидим выполнение рассмотренной выше законо­
мерности — наличие силы (или нескольких сил), направлен­
ной к центру окружности.
Пример 1
Ж елая развернуть автомобиль, водитель рулем устанавли­
вает передние колеса в такое положение, что возникает сила
трения, направленная к центру поворота (рис. 237).
Возникаю щ ая сила трения и вызывает центростремитель­
ное ускорение. Согласно второму закону Ньютона:
Сила трения:
Получим:
Рис. 237
Полученное выраж ение позволяет рассчитать значение
скорости v, двигаясь с которой автомобиль сможет совершить
поворот радиусом г при коэффициенте трения ш ин о дорогу,
равном ц.
193
Оценим приблизительно это значение, считая радиус за­
кругления дороги равным 15 м. Известно, что коэффициент
трения резины о сухой асфальт составляет 0 ,5 —0,7.
Возьмем максимальное значение ц = 0,7. Найдем скорость
движ ения автомобиля:
у^
/
\lg
=
—
=> V 2 = I L g r => V =
J \lg r,
v = J o , 7 • 9,8 м /с 2 • 15 м ~ 10 м /с = 36 к м /ч .
Такое значение скорости будет указано на дорожном зна­
ке перед поворотом, и водителю в целях безопасности необхо­
димо снизить скорость автомобиля до этого значения.
Пример 2
Значение скорости движ ения ав­
томобиля на повороте дороги сравни­
тельно невысоко. Сила трения покоя
ш ин о дорогу не способна вызвать
большое ускорение, необходимое для
поворота на больших скоростях.
Поэтому необходимо было что-то
придумать, чтобы на скоростных ав­
тотрассах водителям не приходилось
значительно уменьш ать скорость сво­
их автомобилей. На поворотах таких
трасс стали делать наклон дороги.
На рисунке 238 показано, как ре­
ш ается обсуждаемая нами проблема. На автомобиль действу­
ют сила тяжести и сила реакции опоры. Их равнодействую­
щ ая оказывается направленной к центру поворота и вызывает
у автомобиля центростремительное ускорение, необходимое
для поворота на большой скорости: а цс = у .
Пример 3
Представьте себе такую ситуацию.
Вы подъезжаете на велосипеде к повороту. Каковы ваши
действия? Конечно, надо повернуть руль. Но сильно — это
очень опасно, особенно при значительной скорости. Не заду­
мываясь, интуитивно вы наклоняете корпус в сторону центра
поворота, такж е интуитивно подбираете величину наклона
и ... поворачиваете. Почему так получается? Что дает наклон
корпуса?
194
Посмотрите на рисунок 239. Когда
корпус велосипедиста наклонен, то на
него действуют три силы:
— сила тяж ести (mg);
— сила реакции (упругости) опоры (N);
— сила трения покоя (Frp).
П оследняя сила возникает потому,
N
что колесо наклонено и стремится про­
скользнуть вдоль поверхности Земли в сто™-~рону, противоположную наклону. Тогда-то
и возникает сила трения покоя, мешаюрис 239
щ ая проскальзыванию колеса. Она вы зы ­
вает центростремительное ускорение, что приводит к поворо­
ту велосипедиста. В данном случае выполняю тся условия:
V^
N = mg, FTp = т - .
Аналогично велосипедисту, наклоняясь, производят пово­
рот мотоциклисты, конькобежцы, бегуны.
Пример 4
У самолетов на хвостовом оперении есть руль поворота
(рис. 240). При движ ении на криволинейном участке летчик
пользуется им. При повороте руля в полете набегающий поток
воздуха ударяет о руль и разворачивает корпус самолета. Но
поворачивать руль поворота на большой угол опасно, к ак и во
всех рассмотренных выше случаях (учитывая разницу в ско­
ростях, особенно опасно).
Поэтому, пользуясь рычагами управления, летчик задает
крен самолету. В этом положении силы, действующие на са­
молет в вертикальной плоскости, расположены так, к ак пока­
Руль
поворота
Рис. 240
Рис. 241
195
зано на рисунке 241, где Р под — по дъ ем н а я сила — сила, дей­
ствующая перпендикулярно плоскостям (кры льям) самолета
при его движении. Величина этой силы в значительной степе­
ни зависит от скорости самолета. В данном учебнике об этой
силе не упоминалось.
На рисунке вы видите, что равнодействующая сила на­
правлена к центру поворота. Она вызывает центростремитель­
ное ускорение, чем и обеспечивает поворот самолета.
Конечно, для того чтобы поворот произошел безопасно,
угол крена должен иметь определенное значение.
0 Остановимся, подумаем
q
1. Почему на велотреках настил делают наклонным? (В е­
лот рек — наклонная круговая дорожка для соревнования
велосипедистов.)
2. При строительстве железных дорог на участке их закруг­
ления наруж ный по отношению к центру поворота рельс
поднимают выше, чем внутренний. Д ля чего это делают?
27.2. Движение спутников и планет
Известно, что искусст венны е спут ники запускаются с по­
мощью ракет. Ракета, подняв спутник на расчетную высоту,
сообщает ему скорость, направленную по касательной к орби­
те, по которой предстоит двигаться этому спутнику (рис. 242).
Какой должна быть эта скорость, для того чтобы спутник
действительно двигался по окружности, а не упал бы на Зем ­
лю, как тело, брошенное с некоторой высоты горизонтально?
Воспользуемся вторым законом
Ньютона:
F = та,
где т — масса спутника; а — уско­
рение спутника на высоте h, оно равV^
но а = (д з + h)2 > R 3 — радиус Земли.
На спутник действует сила тяж ести,
которая по закону всемирного тяго­
тения равна
тМ з
Рис. 242
тяж
196
( * з + h )2 '
Подставив значения а и F в формулу второго закона Нью­
тона, получаем:
Г*
тМ о
3 _
_ mv2
{R3 + h)2 ~ R 3 +h
Откуда:
м.
1У1
v = А/G-ilo
б—г г — формула скорости спутника.
'3 + Я
i
о
Эта формула позволяет рассчитать значение скорости, ко­
торую ракета должна сообщить спутнику, для того чтобы он
стал двигаться по круговой орбите.
Обратите внимание на то, что
Скорость спут ника не зависит от его массы и ум ень­
шается с увеличением высоты.
Спутники, запускаемые в настоящее время, движутся на
небольшой по сравнению с радиусом Земли высоте над Землей
(300—500 км). Таким значением высоты в формуле скорости
можно пренебречь. Поэтому формула скорости приобретает
вид:
Все величины, входящие в эту формулу, известны. Их
можно найти в таблицах, подставить в эту формулу и произ­
вести расчет.
Вместе с тем оказывается, что расчет можно произвести и
проще, если использовать формулу ускорения свободного па­
дения тел у поверхности Земли:
Теперь вам станет понятным следующий план действий.
Умножим и разделим подкоренное выраж ение на R3:
v =
дI R3
з ■Но выраж ение
R3
= g0, т. е. ускорение свобод-
ного падения у поверхности Земли. Теперь формула скорости
спутника принимает более простой вид:
197
Рассчитаем скорость движ ения спутника,
g0 = 9,8 м /с 2, R 3 = 6400 км = 6,4 • 10 6 м:
0!=
принимая
J 9 ,8 м /с 2 • 6,4 • 1 0 6м /с 2 = 7,9 км /с,
I»! = 7,9 км /с.
Данное значение называют первой космической скоростью.
П ервая космическая скорость — скорость, кот орую
надо сообщить т елу, чтобы оно стало спут ником Зем ли
и двигалось по круговой орбите на небольшой по сравне­
нию с радиусом Зем ли высоте.
Если телу сообщить меньшую ско­
рость, то оно упадет на Землю. А если
большую?
Расчеты показываю т, что в этом
случае спутник будет двигаться по эл­
липсу (рис. 243). Причем чем больше
скорость, тем более вытянутым будет
становиться этот эллипс.
При скорости уп = 11,2 к м /с орби­
та спутника окаж ется не замкнутой
вокруг Земли. Такую скорость назы ва­
ют второй космической скоростью.
Именно ее сообщают тем космическим
кораблям, которые направляю тся к другим планетам. Совет­
ские и американские корабли не раз совершали посадку на Ве­
неру, Марс. В тех же случаях, когда встреча с планетой не со­
стоялась, космический корабль становился спутником Солнца.
Вернемся к формуле скорости спутника:
I Mg
u = J GB ~ h •
Конечно, она справедлива для расчета скорости не только
искусственных спутников Земли.
Если в знаменатель этой формулы подставить значение ра­
диуса орбиты Луны 384 ООО км, то можно получить скорость
ее движ ения вокруг Земли. Она оказывается равной 1 км /с.
По этой формуле можно рассчитать скорость планет —
спутников Солнца. Д ля этого надо массу Земли заменить мас­
сой Солнца, а вместо R 3 + h записать значения радиусов орбит
планет. Рассчитаем орбитальную скорость Земли.
198
Как известно:
М с = б • Ю 30 кг,
R3C= 1,5 • 10 11 м,
G = 6,7 • 10_11Н • м 2/к г 2.
Подставив эти значения в формулу скорости спутника, по­
лучаем:
v = ^ 6 ,7 • 1 0 ПН • м 2/ к г 2 • f- 5 ?ionKM= 3 104 м /с = 3 0 КМ/С'
А теперь вспомните расположение планет относительно
Солнца и установите закономерность, касающуюся скоростей
этих планет. Сопоставьте ваш вывод с данными таблицы 27.
Выясним, от чего зависит период обращения планеты во­
круг Солнца.
Считая движение планеты равномерным, мы можем найти
ее период обращения, разделив длину окружности на скорость:
rp _ s _
2nR
_ Z n R jR
~ v _ J
~
‘
Отсюда следует важны й вывод, касаю щ ийся движ ения
планет Солнечной системы:
Чем дальше планета удалена от Солнца, тем больше
ее период обращения.
Проверьте этот вывод по табличным данным.
Таблица 2 7
Планета
Удаление от
Солнца (в а. е.*)
Звездный период
обращения (в годах)
Скорость
движения планет
Меркурий
0,4
0,7
1,0
1,5
5,2
9,5
19,2
30,1
39,5
0,24
0,62
1,00
1,88
11,86
29,46
84,07
164,82
248,60
47,9
35,0
29,8
24,1
13,1
9,6
6,8
5,4
4,7
Венера
Земля
Марс
Юпитер
Сатурн
Уран
Нептун
* 1 а. е. — астрономическая единица, равная 1,496 • 108км.
199
27.3. Центробежные механизмы
Мы уж е знаем: для того чтобы тело двигалось по окруж ­
ности, на него долж на подействовать сила перпендикулярно
m v2
направлению его движ ения, равная -— .
А что, если установленное нами условие не будет выполне­
но? Например, сила не подействует перпендикулярно скорос­
ти движ ения, или ее значение окаж ется меньше оговоренно­
го. В этих случаях у тела не возникнет необходимое значение
центростремительного ускорения и тело не станет двигаться
по окружности предполагаемого радиуса, его занесет.
Рассмотрим несколько примеров.
П ример
1
При движении автомобиля на повороте дорога оказалась
скользкой, сила бокового трения невелика и не вызвала у ав.
jj 2
томобиля ускорения — . И з-за этого автомобиль не смог дви­
гаться по окружности радиусом г, его занесло (рис. 244, а).
П ример
2
Коробочка движ ется по окружности вместе с диском
(рис. 244, б), потому что сила трения вызывает необходимое
ускорение. Но стоит увеличить угловую скорость вращения дис­
ка, как коробочка слетает с диска. При большей угловой скоро­
сти для движения по окружности требуется большее ускорение
(ацс = со2г). А сила трения это ускорение не смогла вызвать.
П ример 3
Н а рисунке 244, в показан стержень, укрепленный на ва­
лу центробежной маш ины. К концу стерж ня привязана нить,
на другом конце которой расположен ш арик. При малой угло-
а)
б)
Р и с .244
200
вой скорости вала центробежной маш ины ш арик движ ется по
окружности радиусом г. При увеличении угловой скорости ва­
ла ш арик не удерживается на этой окружности. Его сносит на
окружность большего радиуса.
Отклонение тела или частицы от движ ения по окружнос­
ти определенного радиуса леж ит в основе действия центро­
бежных механизмов.
Ц ент робеж ный водяной насос состоит из корпуса и
кры льчатки (рис. 245). В центр насоса поступает жидкость из
откачиваемого сосуда (скваж ины, водоема). К ры льчатка, вра­
щ аемая электродвигателем, захватывает массу жидкости и
приводит ее во вращение. Слои жидкости, следуя друг за дру­
гом, раскручиваются кры льчаткой и, не удерживаясь на ок­
ружности, отбрасываются от центра к краю, где и попадают в
выпускное отверстие, к которому присоединен ш ланг.
Такие насосы изготавливают малых и больших размеров,
рассчитанными на разную мощность. Их устанавливают на
двигателях внутреннего сгорания автомобиля, ими качают во­
ду на садовых участках и полях для полива. Центробежные
насосы используют в водопроводных сетях, при перекачива­
нии нефти и других жидкостей.
Ц ент риф уга может иметь различные размеры и исполь­
зоваться для разных целей. Но принцип ее действия всегда
одинаков.
Встряхнуть один градусник после измерения температу­
ры — не проблема. А каково медсестре, если у нее несколько
больных, которым надо измерять температуру два раза в
день? В этом деле медсестрам помогает центрифуга (рис. 246).
Выпуск
Впуск
Рис. 246
Рис. 245
201
Р и с .247
Р и с .248
Н а валу центробежной маш ины укреплен горизонтальный
стержень. К нему подвижно подвешены две ячейки. В эти
ячейки медсестра закладывает термометры (сразу несколько).
При вращ ении стержней ячейки с пробирками поднимаются и
движ утся почти в горизонтальной плоскости. При этом ртуть
в трубочках термометров, переходя на окружность большего
радиуса, устремляется в резервуары. Несколько оборотов, и
термометры готовы к употреблению.
Аналогично действие центрифуги в стиральной машине
(рис. 247). Влажное после стирки белье располагается в сетча­
том барабане. Барабан приводят во вращение от электродвига­
теля. Частицы воды двигаются по окружностям, удерж ивае­
мые силами молекулярного сцепления с бельем. Однако при
большой угловой скорости вращ ения барабана действие этих
сил оказывается недостаточно, чтобы удержать капли влаги
на окружности. Вода отрывается от белья и отлетает за преде­
лы барабана с бельем.
Ц ентрифуга используется на молокозаводах для разделе­
ния фракций разной плотности — молока и сливок. А нало­
гично действие бетономешалки (рис. 248) и других подобных
устройств.
Вопросы и задания
1. П ри каком условии тело или част ица движ утся по
окружности? П риведит е примеры.
2. Объясните движение т ел на поворотах.
3. Что называю т первой космической скоростью? От
к а к и х величин она зависит?
4. К ак измеряются скорости и периоды движ ения п л а ­
нет в зависимости от удаления их от Солнца?
202
5. Что произойдет с движ ущимся телом, если сила, дей­
ст вующ ая на него перпендикулярно вектору скорости, ока­
жется меньше, чем
? П риведит е примеры подобных си­
т уаций.
6. П риведит е примеры центробежных механизмов. Объ­
яснит е принцип и х действия.
Повторим, обдумаем изученное
Рассмотрите схему и сформулируйте определения указан­
ных в ней физических величин, характеризую щ их движение
тела по окружности. В каки х единицах измеряю тся эти ф изи­
ческие величины? Вспомните формулы, устанавливающ ие со­
отношение между этими величинами. Перенесите схему в тет­
радь и впиш ите недостающие формулы.
Физические величины
Угол
Угловая
Период
поворота
скорость
(Т)
радиуса-
(со)
Частота
(V)
Линейная
скорость
Ускорение
(а)
(а)
вектора
(Ф)
П о в т о р и м сам о е гл а в н о е
1.
К ак направлена линейная скорость при равномерном
движ ении по окружности?
203
2. К ак направлено ускорение при равномерном движении
по окружности?
3. Если при движении по окружности тело имеет ускоре­
ние, то почему используется термин «равномерное движение»?
4. При каком условии тело может двигаться по окружнос­
ти? Приведите примеры.
5. Что произойдет с телом, движ ущ имся по окружности,
если в процессе этого движ ения сила, действующая на тело,
увеличится; уменьш ится; исчезнет? Приведите соответствую­
щие примеры.
Глава VII
Вращательное движение тела
Ш 28. Вращательное действие силы
28.1. От чего зависит
вращательное действие силы?
Очень часто мы встречаемся с таким и явлениям и, в кото­
рых действие силы на тело вызывает его вращение. В природе
и технике вращательное движение очень широко распростра­
нено. Например, движение планет вокруг своих осей, вращ е­
ние колес, частей различны х станков, стрелок часов и т. д. Во
всех случаях, для того чтобы раскрутить тело, к нему надо
прилож ить силу.
Уо Остановимся, подумаем
Вырежьте из картона кру~ ттг'''
делайте в его центре oti
(рис. 249). Вставьте в него
либо ось (спицу или гвоздь
кой приведите круг во вращение.
Сделав некоторое количество оборис 249
ротов, круг остановится. Почему?
Ответ. Кинетическая энергия диска расходуется на работу
против силы трения.
Если есть сопротивление движению в виде трения в оси,
сопротивления окружаю щ ей среды, то вращение необходимо
поддерживать.
Так, вращение колес автомобиля происходит за счет силы,
развиваемой двигателем; электродвигатели приводят во вра­
щение шпиндель токарного станка, сверло дрели, диск проиг­
рывателя; человек приводит во вращение ворот колодца.
о Остановимся, подумаем
Поддерживается ли вращение Земли вокруг своей оси дей­
ствием какой-либо силы?
205
Ответ. Если сопротивление очень м а­
ленькое, то тело, приведенное во вращ е­
ние, продолжает двигаться довольно дол­
го. Нетрудно представить, что если со­
противление вращению отсутствует сов­
сем, то вращение будет продолжаться
бесконечно долго. Зем ля не встречает со­
противление вращению, поэтому вращ а­
ется без действия какой-либо внешней
силы.
Выясним, от чего зависит вращ а­
тельное действие силы.
Рис. 250
В качестве объекта наблюдения возь­
мем тело, которое приводим во вращение
много раз в день, — дверь (рис. 250). От чего зависит действие
силы на дверь (т. е. откроется она или нет; если откроется, то
насколько быстро будет возрастать ее скорость)?
Опыт показывает: дейст вие силы зависит (положение I):
— от величины силы;
— от точки прилож ения силы;
— от направления действия силы.
Рассмотрим рисунок 251.
Действие силы зависит от ее величины, поэтому дверь,
показанная на рисунке, _поддается взрослому человеку
(рис. 251, б), а не м альчику (рис. 251, а).
О казывая действие в точке А , мы легко откроем дверь
(рис. 251, в), в точке В сделать это сложнее. П риклады вая си­
лу в точке С, дверь открыть вообще не сможет никто.
2Л
в)
Рис. 251
206
г)
Легче открыть дверь, приклады вая силу в направлении 1
перпендикулярно двери (рис. 251, г). Труднее в направле­
ниях 2, 3.
Оказывая действие в направлении 4 (вдоль двери), дверь от­
крыть нельзя.
Экспериментальное задание № 15
Исследование вращательного действия силы
Оборудование: ш татив, динамометр.
Х од работ ы
1. Положите ш татив на стол так, как показано на рисун­
ке 252.
2. Прикрепите динамометр к муфте
и поднимите с его помощью штатив.
3. М еняя положения муфты, при­
кладывайте к ш тативу одну и ту ж е си­
лу, например 3,8 Н.
У казан ия: прикладывайте силу
перпендикулярно штативу. Следите за
тем, чтобы показания динамометра не
превыш али предел измерения.
4. Во всех ли случаях вам удалось
повернуть ш татив?
рис 252
5. Сделайте вывод из данного опыта.
6 . Действуйте на ш татив в точке А с одинаковой силой, но
в различны х направлениях.
7. В каком случае легче повернуть штатив?
8 . Сделайте вывод.
Вывод:
Вращательное действие силы зависит от точки ее
приложения и от ее направления.
Введем важную величину, характеризую щую вращ атель­
ное действие силы, — плечо силы.
П лечом силы называют кратчайшее расст ояние от
оси вращения до направления действия силы.
К ак известно, кратчайш ее расстояние от точки до прямой
отсчитывается по перпендикуляру. Поэтому, чтобы найти
плечо силы, надо из оси вращ ения опустить перпендикуляр
на линию , вдоль которой действует сила.
207
о
ОА — плечо силы F
Рис. 253
На рисунке 253 приведены примеры нахож дения плеча
силы.
Выполняя упражнение, вы могли убедиться, что плечо
силы зависит от точки приложения и направления действия
силы. Поэтому положение I может быть сформулировано ко­
роче.
Вращательное действие силы зависит (положение II):
— от величины силы;
— от плеча силы.
Введем новую физическую величину, характеризую щую
вращ ательное действие силы, — момент силы.
М омент ом силы называют произведение величины си­
лы на ее плечо:
М = FI,
где М — момент силы;
F — величина силы;
I — плечо силы.
Единица момента силы — ньютон-метр (1 Н ■м). Момент
силы — физическая величина, объединяющая в себе все вели­
чины, от которых зависит вращательное действие силы (см.
положения I и II). Значит, момент силы полностью опреде­
ляет вращ ательное действие силы. Это означает, что для
поворота (вращ ения) тела надо создать соответствующий мо­
мент силы. Данное условие можно осуществить за счет изме­
нения величины или плеча силы.
208
Р и с .254
Посмотрите на рисунок 254. Гайка сильно закручена. Си­
ла трения создает большой момент, мешающий ее отвернуть.
Чтобы открутить неподдающуюся гайку, необходимо увели­
чить момент силы. Это возможно за счет увеличения либо си­
лы (рис. 254, а), либо плеча силы (рис. 254, б).
Известно, что при конструировании любых устройств обя­
зательно указываются моменты сил, которые должны быть
приложены к болту или гайке при их закручивании. В табли­
це 28 приведены значения ряда моментов сил.
Т а б л и ц а 28
Вращательный момент, создаваемый на валу гидротурбины
107Н м
Вращательный момент на валу двигателя автомобиля «ЗИЛ-130»
400 Н ■м
Вращательный момент, создаваемый мышцами взрослого
человека:
— при подъеме руки (сгиб в локтевом суставе)
— при езде на велосипеде (на третьей передаче)
1 Н ■м
12 Н •м
28.2. Условие равновесия тела, имеющего
ось вращения
На тела чащ е всего действует не одна, а несколько сил.
Вспомните (или найдите в тексте учебника) условие, при кото­
ром поступательно движущ ееся тело под действием несколь­
ких сил будет продолжать оставаться в состоянии покоя или
двигаться равномерно и прямолинейно.
Теперь нам предстоит найти ответ на вопрос: при каком
условии тело, находящееся под действием нескольких сил, не бу­
дет вращаться (или будет вращаться, но равномерно)? Ответ на
209
него позволяет объяснить работу многих механизмов. Для реше­
ния данного вопроса проделаем экспериментальное задание.
Экспериментальное задание № 16
Условие равновесия тела, имею щ его ось вращения
О борудование: рычаг-линейка с петлями, набор грузов,
ш татив с осью, измерительная линейка.
Х од работ ы
1. Укрепите рычаг-линейку на оси, снимите с нее петли и
уравновесьте ее с помощью винтов, расположенных на концах.
2. Подвесьте грузы по обе стороны от оси вращ ения.
3. Определите моменты сил, вращ ающ ие рычаг по часовой
стрелке и против нее.
4. Результаты опыта запиш ите в таблицу 29.
Т а б л и ц а 29
№
опыта
По часовой
стрелке
Рису­
нок
F
1
Против часовой
стрелки
М
F
1
М
Равновесие
или нет
Проделайте не менее четырех опытов в различны х вариан­
тах.
У казан ия: ниже приводится ряд возможных вариантов
постановки опытов (рис. 255), но вы можете придумать и дру­
гие. Работу проводите, постепенно услож няя установку.
5. По результатам опытов сделайте вывод.
Рис. 255
210
Проделав экспериментальное задание, вы могли убедиться
в том, что
Тело, имеющее ось вращ ения, находится в состоянии
покоя, если равн ы моменты сил, вращ ающ их это тело в
противоположные стороны. (В этом состоит правило момен­
тов.)
28.3. Применение правила моментов
Д ля того чтобы тело начало вращ аться в какую-либо сто­
рону, необходимо, чтобы момент сил, действующих в эту сто­
рону, превосходил (хотя бы ненамного) момент сил, вращающих
тело в противоположную сторону. Основываясь на знании
Р и с .256
211
правила моментов, возможно рассчи­
тывать силы (или плечи сил), которые
надо приложить к телу, чтобы уравно­
весить его или привести во вращение.
На рисунке 256 приведено несколь­
ко примеров задач, в которых требу­
ется произвести расчет силы, необходи­
мой для уравновеш ивания рычага.
Руку человека можно рассматривать
как рычаг, ось вращения которого нахо­
дится в локтевом суставе (рис. 257). В одну сторону руку вра­
щает груз, в другую сторону — двуглавая мышца (бицепс), кото­
рая прикреплена к бугорку лучевой кости.
Если пренебречь силой тяж ести самой руки, то можно
считать, что М 1 — М 2, т. е.
F ОА = mg ОБ.
© Вопросы и задания
1. Что называю т плечом силы?
2. Что называет ся моментом силы?
3. От чего зависит вращ ательное действие силы?
4. П ри каком условии тело сохраняет равновесие; р а в­
новесие нарушается?
Рис. 259
5. Зачем у подъемного крана делают противовес (рис. 258)?
6. Д л я чего гайку-барашек снабжают лопастями (рис. 259)?
i Упражнение 27
1.
Из картона вырезана пластинка (рис. 260). В точке О
проделано отверстие, и в него вставлена ось. Перенесите рису­
нок в тетрадь и найдите построением плечи сил F i - F7.
212
Рис. 260
Рис. 261
2. Опытным путем определите момент силы, необходимый
для поворота стула таким образом, как показано на рисун­
ке 261, а, б, в.
3. Как легче перекатить бревно через преграду: действуя
силой
или силой F2 (рис. 262)? Почему?
Р и с.262
4.
Определите неизвестную величину в примерах, пока­
занных на рисунке 263.
Ш И Ш
Iщ
h-7
МММ ?I I М I!
Iн
II н
Р и с .263
5.
Опытным путем определите, какую максимальную силу
способна развивать двуглавая мы ш ца вашей руки.
213
I
29. Центр тяжести и устойчивость тела
29.1. Центр тяжести
Вспомните, чем характеризуется любая сила. Величиной,
направлением и точкой прилож ения.
А сила тяжести? К ак она направлена, всем известно.
Величину силы тяжести можно определить, зная массу тела.
А в какой точке сила тяж ести приложена к телу?
Сейчас нам предстоит выяснить это. Точка, в которой при­
ложена сила тяж ести, называется цент ром тяж ести т ела.
Где расположена эта точка?
Вырежем из картона или фанеры пластинку произволь­
ной формы. П рикрепим к ней в какой-либо точке нитку и под­
весим пластинку на штативе (рис. 264).
Н а пластинку действуют две силы:
— сила упругости нити, которая приложена к телу в точке
подвеса и направлена вертикально вверх;
— сила тяж ести, которая направлена вертикально вниз и
равна по величине силе упругости. П ластинка находится в по­
кое, значит, силы уравновешивают друг друга. Но где распо­
ложена точка приложения силы тяжести? Попробуем предпо­
ложить различные варианты.
Может ли она быть приложена в точке А? Нет. В этом слу­
чае пластинка под действием сил упругости и тяжести должна
была бы вращ аться против часовой стрелки, так как моменты
этих сил относительно, скаж ем, точки Ol не были бы равны.
=4
Р и с .264
Рис. 265
214
По той ж е причине сила тяж ести пластинки не может быть
прилож ена в точке Б . Она бы вращ алась вокруг точки 0 2 по
часовой стрелке.
А может ли сила тяж ести быть приложенной в точке С
(рис. 265)?
Теперь обе силы действуют по одной прямой в противопо­
ложные стороны. И какую точку мы ни возьмем: Ох, 0 2 или
любую другую, мы увидим, что плечи Еупр и Б тяж будут одина­
ковые. Эти силы вызывают вращение пластинки в противопо­
ложные стороны. Моменты их будут равны.
Значит, пока из наш их рассуждений следует, что точка С
может быть центром тяж ести.
Однако вы, наверное, уж е заметили, что этому условию
удовлетворяет любая точка, леж ащ ая на вертикальной п р я­
мой, проходящ ей через точку подвеса. Это конечно ж е верно.
Если сила тяж ести будет действовать в любой из этих точек,
моменты этой силы и силы упругости будут равны относи­
тельно любой точки.
И так, пока мы не узнали, где расположен центр тяж ести
пластинки, но зато установили, что он расположен на верти­
кали, проходящ ей через точку подвеса.
В
Остановимся, подумаем
К ак же найти положение центра тяж ести? Попытайтесь
догадаться сами, не загляды вая в текст параграфа.
Ответ. Подвесим эту пластинку к
ш тативу не в точке А, а в какой-либо
другой, например в точке D (рис. 266).
Рассуждение, аналогичное проведен­
ному выше, приводит нас к выводу
о том, что центр тяж ести должен ле­
ж ать на вертикальной линии DE, про­
ходящ ей через точку D. Теперь подве­
дем итог. Центр тяж ести должен одно­
временно находиться на прямой А В и
на прямой DE. Значит, он леж ит в
точке пересечения этих прямых, точ­
к а О — центр тяж ести тела. (Подвешивая данную пластину не
в точках А и Б , а в любых других точках, мы увидим, что вер215
тикальная линия, проходящ ая через точку подвеса, каж ды й
раз будет проходить через точку О.)
Проводя подобные опыты, можно найти положение цент­
ра тяж ести многих тел. На рисунке 267 показано расположе­
ние центров тяж ести тел наиболее распространенной формы.
Предполагается, что тело выполнено из одного материала, од­
нородно по плотности, имеет одинаковую толщину.
Экспериментальное задание № 17
Определение центра тяжести плоской фигуры
Оборудование: лист картона, карандаш , ножницы.
Х од работ ы
1. Положите на лист картона кисть вашей руки, обведите
карандаш ом ее контуры.
2. Вырежьте из картона получивш ийся контур.
3. Определите положение центра тяжести картонной кисти.
Указание: можно вырезать из картона фигуру любой формы.
4. К ак изменится положение центра масс, если на к а ­
кую-то часть фигуры дополнительно наклеить слой картона?
5. Сделайте вывод.
29.2. Виды равновесия
Подвесим линейку на ш тативе в точке С и отклоним ее от
вертикали (рис. 268). Сила упругости прилож ена в точке С.
Поэтому ее плечо, а стало быть и момент, равны нулю. Плечо
силы тяж ести равно CD. Момент, созданный этой силой, при­
ведет линейку во вращение. Она будет двигаться до тех пор,
пока момент силы тяж ести не станет равным нулю. Это усло­
вие будет выполнено при отвесном положении линейки.
В этом положении линейка будет находиться в равновесии.
Отклоним линейку от этого положения и отпустим. К ач­
нувшись несколько раз, линейка снова вернется в вертикаль­
216
ное положение, в котором моменты сил,
действующих на нее, равны.
Устойчивым называют положение
равновесия, после выведения из кот оро­
го тело само возвращ ает ся назад.
Положение линейки, показанное на
рисунке 269, а, является положением рав­
новесия,' так как моменты сил F 1 и
относительно точки С равны. Отклоним
линейку от этого положения (рис. 269, б),
и момент силы тяж ести относительно точ­
к и С не будет равным нулю. Л инейка оп­
Рис. 268
рокинется.
Н еуст ойчивы м называют положение равновесия, при
выведении из которого тело само не возвращ ает ся обрат­
но, а удаляет ся от него.
Я Ж
j
1F
;
в
I
1
у п р
II
/■
/
к
ТЯЖ
В
M fтяж
1 р
Г
С
С
а)
б)
Рис. 269
Рис. 270
Поставим на стол шарДрис. 270). Он находится в равнове­
сии. Моменты сил _Fynp и Р тяж равны нулю. П ерекатим шар из
положения I в положение II. Равновесие не нарушается.
Безразличны м называют положение равновесия, при
выведении из которого равновесие тела не наруш ается.
29.3. Условие равновесия тела,
имеющего площадь опоры
Д ля выяснения условия равновесия тела, имеющего пло­
щадь опоры, проведем несколько простых опытов.
Поставим какой-нибудь брусок на линейку (или книгу) и
начнем поднимать линейку за один из ее концов (рис. 271).
217
n t
X L1
a)
£
6)
У
в>
Рис. 271
Брусок наклонится. Не давая ему скаты ваться, продолжим
поднимать конец линейки.
Возникает вопрос: при каком условии наступает тот ру­
беж, при переходе через который брусок опрокинется?
Проделайте несколько раз такой опыт. Н аклоняйте к а ж ­
дый раз линейку на разные углы и предложите ваш вариант
ответа на поставленный вопрос.
Попытайтесь сделать это самостоятельно и лиш ь затем пе­
реходите к чтению дальнейшего текста.
А теперь проверьте себя (рис. 272). Рассуж дать надо было
следующим образом. Опрокидываясь, тело вращалось. Это
значит, что существует какая-то сила, создающая момент,
опрокидывающ ий тело. Нетрудно догадаться, что такой силой
является сила тяж ести. Она опрокинула тело (рис. 272, в)
в том положении, когда вы ш ла за пределы площади опоры
тела.
Из данного рассуждения следует вывод:
Тело, имеющее площадь опоры, будет находиться в
равновесии до тех пор, пока отвесная линия, проходящ ая
через центр тяжести т ела, не выйдет из площади опоры.
ТЯЖ
F,
ТЯЖ
Р и с .272
218
ТЯЖ
Рис. 273
Рис. 274
При этом учтите, что под площадью опоры следует пони­
мать не только ту площадь поверхности тела, с которой дей­
ствительно оно соприкасается, но и ту площадь, которая обра­
зуется при соединении прямы ми линиям и точек соприкосно­
вения тела с опорой.
Например, под площадью опоры стола надо понимать пло­
щадь прямоугольника, в вершинах которого расположены
нож ки этого стола.
Устойчивость тела определяется угл о м , на который
надо отклонить это тело для того, чтобы оно опрокину­
лось. На рисунках 273 и 274 показаны примеры, позволяю­
щие установить причины, от которых зависит устойчивость
тела.
Из двух тел, показанных на рисунке 273, более устойчи­
вым оказалось тело II, так как у него ниж е центр тяж ести,
чем у тела I.
На рисунке 274 у обоих тел высота центра тяж ести одина­
ковая, но площадь основания у тела II больше. Поэтому оно
оказалось более устойчивым (а 2 > а 1).
Вывод:
Тела, имеющие площадь опоры, тем устойчивее, чем
больше площадь их основания и чем ниже расположен
центр тяжести эт их тел.
Вопросы и задания
1. Что называют центром тяжести тела?
2. К ак на опыте можно определить центр тяжести
тела?
3. Какое положение равновесия называется устойчивым;
неустойчивым; безразличным? П риведит е примеры т ел, на­
219
ходящ ихся в сост ояниях устойчивого, неустойчивого и без­
различного равновесия.
4. К ак связан вид равновесия т ела с положением его
центра тяжести?
5. К ак изм енит ся высота центра тяжести и значение
пот енциальной энергии т ела при выведении его:
а ) из положения устойчивого равновесия;
б) из положения неустойчивого равновесия;
в ) из положения безразличного равновесия?
6. П ри каком условии тело, имеющее площадь опоры, на ­
ходит ся в равновесии?
7. От чего зависит устойчивость т ела, имеющего пло­
щадь опоры?
Упражнение 28
1. Проделайте опыт. Встаньте правым боком вплотную к
стене, прислоните к стене правое плечо, колено и наружную
сторону ступни. Выполнив все эти условия, попробуйте ото­
рвать от пола левую ногу. Почему вы не можете устоять на
одной ноге?
2. Почему брусок в первом случае падает поступательно,
а во втором случае вращ ается (рис. 275)?
Р и с.275
3. Почему при ходьбе люди размахиваю т руками?
4. Почему штангист в момент поднятия ш танги делает
шаг вперед?
5. Грузовой автомобиль перевозит одинаковую массу: пер­
вый раз — дров, второй раз — сена. В каком случае автомо­
биль более устойчив?
220
6 . Почему лы ж ник, спускаясь с горы, слегка приседает?
7. Почему черепахи, оказываясь опрокинутыми на спину,
не могут сами перевернуться?
Повторим, обдумаем изученное
Внимательно рассмотрите схему содержания темы «Вра­
щательное действие силы». Сформулируйте определения у ка­
занных в ней величин, условие равновесия.
ь _ — _ _ _ _ _ _ _
_ _
_
П о в т о р и м сам ое гла в н о е
1. Какое равновесие называется устойчивым, неустойчи­
вым, безразличным? Приведите примеры.
2. Как связана устойчивость тела с положением его центра
тяжести?
3. К ак связана устойчивость тела с запасом его потенци­
альной энергии?
221
Невозможно
подняться
со стула,
не нагнув
корпуса вперед.
Почему?
Устои т
или
опрокинется?
Можно ли добавить
еще кирпич, чтобы
не разрушить
конструкцию?
Почему?
почему
Взбираясь
по склону,
человек
наклоняет корпус вперед.
Почему?
-Так устойчивее,
чем так.
Почему?
Рис. 276
4. Рассмотрите рисунок 276 и ответьте на вопросы.
Заглянем глубже
Закон равенства работ при использовании
простых механизмов
1. Рычаг
Внешний вид рычага может быть самым различным. Но он всег­
да представляет собой тело, имеющее ось вращения, к которому при­
кладывают силы, стремящиеся вызвать его вращение в противопо­
ложные стороны.
222
о Остановимся, подумаем
Рассмотрев рисунок 277, в каждом примере рычага найдите ось
вращения, силы, действующие на него, и их плечи.
Для чего ж е служит рычаг? Какие выгоды дает человеку его
применение? И только ли выгоды?
Представьте, что вам предстоит с помощью
динамометра поднять шесть грузиков массой
по 100 г на высоту, скаж ем , 10 см.
Перед тем как поднимать груз, рассчитаем
силу тяжести:
F rяж= mS = 0 ,6 кг
10 Н /к г = 6 Н.
I
Г ~ ------
Чтобы поднять груз на высоту 10 см, надо
приложить силу 6 Н. Но динамометр не может
выдержать такую нагрузку. У него предел измерения 4 Н (рис. 278). Как быть? Понятно,
что для вас это не проблема. Грузы можно под­
нять и без динамометра, просто рукой. Но
223
г-*-,
[, j§[
г“5
Рис. 278
J10 см
сколько подобных ситуаций в ж изни, когда человеку недостает физи^ И
• ------"— И З#
^ ческих сил, чтобы поднять груз.
2 1 /|
(Вспомните подобные реальные си­
туации.) Поэтому давайте искать
выход из создавшейся ситуации:
«Как с помощью динамометра с преО
А
В
C D
делом измерения 4 Н поднять груз
°....—
°
весом 6 Н на высоту 0,1 м? »
I Д,яж
Применим для этой цели ры­
чаг длиной I = 0 ,4 м (рис. 279).
Рис 279
Чтобы поднять груз, надо повер­
нуть рычаг вокруг точки О. Для
этого требуется создать момент, вращающий рычаг против часовой
стрелки, и преодолевающий момент силы тяжести, равный 1,2 Н • м.
Конечно, можно действовать на рычаг вверх, прикладывая силу F
в любой его точке, лишь бы создать момент 1,2 Н ■м.
hi
О
А
В
С
D LTJW
О с т а н о ви м с я, п о д у м а е м
В какой ж е точке лучше всего прикрепить динамометр, чтобы
он выдержал нагрузку? В точках А , В, С или Л?
Ответьте на этот вопрос самостоятельно, не заглядывая в даль­
нейший текст, и рассчитайте также силу упругости, которая
возникает в динамометре при поднятии тела.
Ответ. В точке D:
A I р
*4 »-
1
=>
-. Отт
■-“Г - ТЛГ1 - 3 н-
Значит, вместо силы 6 Н, необходимой при непосредственном
подъеме тела, нам оказалось достаточно 3 Н. Мы выиграли в силе
в 2 раза.
Вывод:
Применяя рычаг, можно выиграть в силе. Для этого необ­
ходимо, чтобы плечо силы, приложенной к рычагу, оказалось
больше плеча той силы, которую приходится преодолевать.
Теперь вам долж на быть понятна причина такого широкого рас­
пространения рычагов в технике.
А если динамометр прикрепить к рычагу-линейке все ж е в точке А ?
Рассчитаем силу упругости Р упр, которую придется приложить
к рычагу в этом случае:
М р
A;
, П тт .
- т г г / - 12Н-
Мы проигрываем в силе в 2 раза. Стоит ли на это идти?
224
D
D
ТЯЖ
Fynp = 12 H; F T>rjK= 6 II
Р и с.281
Рис. 280
Определим расстояние, которое проделает динамометр, подни­
мая груз на 10 см (рис. 280).
Нетрудно видеть: для того чтобы поднять груз в точке В на 10 см
силой F
, приложенной в точке А, приходится действовать на рас­
стоянии вдвое меньшем, т. е. 5 см.. Таким образом, удается выиграть
в расстоянии. Только надо, чтобы плечо силы оказалось меньше пле­
ча силы, которую приходится преодолевать. Необходимость получе­
ния выигрыша в расстоянии возникает очень часто.
В сельской местности применение колодезного журавля позволя­
ет малым перемещением короткого конца рычага на большое расстоя­
ние опускать ведро (рис. 281). В силе при этом возникает, конечно,
проигрыш, что в данном случае не имеет важного значения.
Посмотрите на рисунок 257. На нем показан локтевой сустав че­
ловека и двуглавая мышца. Так как плечо силы тяжести груза больше
плеча силы упругости мышцы, то возникает проигрыш в силе. Сила
упругости мышцы оказывается в несколько раз больше силы тяжести
груза, удерживаемого на ладони. Но зато возникает выигрыш в рас­
стоянии. Значительно увеличивается радиус действия руки.
Таким образом, рычаг позволяет получить выигрыш в силе или в
расстоянии. А в работе? Можно ли, применяя механизм, совершить
меньшую работу по подъему тела по сравнению с тем, если механизм
вообще не применять? Для ответа на этот вопрос проведем расчет.
а)
0,2 м
в)
F
F
2Н
0,1м
Р и с .282
225
0,05 м и 2 Н
а)
б)
в)
Рис. 283
При подъеме груза весом 2 Н на высоту 0,1 м без механизма при­
дется совершить работуА = 0,2 Д ж (рис. 282, а).
Теперь поднимем груз 2 Н на высоту 0,1 м с помощью рычага
(рис. 282, б, в).
Сравнивая работу, совершенную при подъеме груза без рычага и
с рычагом, мы видим, что она получается одинаковой.
Вывод:
Ры чаг не позволяет получи ть выигрыш в работе.
2. Блоки
Неподвижный блок (рис. 283) подобен равноплечному рычагу.
Поэтому выигрыша в силе он не дает, н о... дает удобства.
а)
О
Ж К К !.-
1#
т
тяж
в)
б)
Рис. 284
226
Неподвижный блок не позволяет, вы играть в силе, р а ссто я ­
нии и работе, но и зм еняет направление действия силы.
У подвижного блока (рис. 284) плечо силы F в 2 раза больше, чем
плечо силы Гтяж. Поэтому F =
РТЯХ
. Таким образом, использование
подвижного блока позволяет получить выигрыш в силе в 2 раза, но...
возникает проигрыш в расстоянии: груз поднят на высоту I, а свобод­
ный конец веревки перемещен на 21 (рис. 284, в). Таким образом,
Подвижный блок позволяет получить выигрыш в силе в 2 ра­
за, но в расстоянии происходит проигрыш во столько же раз.
Подвижный блок не дает выигрыша в работе.
С и стем а блоков (рис. 285) позволяет получить выигрыш в силе
в 2 раза и изменить направление действия силы.
Совокупность подвижных и неподвижных блоков, показанная
на рисунке 286, называется полиспастом.
Рис. 285
Рис. 286
Задача. Груз с помощью полиспаста поднимают на 1 м. На какое
расстояние необходимо вытянуть свободный конец веревки?
Решение. В полиспасте три подвижных блока. Значит, он дает
выигрыш в силе в 6 раз. Поскольку работа с применением полиспас­
та такая ж е, что и без него, то долж ен возникнуть проигрыш в рас­
стоянии в 6 раз, т. е. веревку придется вытягивать на 6 м.
Сделаем общий вывод, касающийся всех простых механизмов:
Применение механизмов позволяет получи ть выигрыш ли­
бо в силе, либо в расстоянии, но то лько не в работе.
! Упражнение 29
(желательно проделать все приведенные опыты)
1.
На рисунке 287 показан рычаг, к которому прикреплены два
груза.
а)
Где надо прикрепить к рычагу динамометр, чтобы получить
выигрыш в силе в 2 раза?
227
Р и с .287
Рис. 288
Если при этом надо поднять груз на 5 см, то на какое расстояние
придется перемещать динамометр?
б) Где 'следует прикрепить к рычагу динамометр, чтобы полу­
чить выигрыш в расстоянии в 2 раза?
Какую силу придется приложить к рычагу в этом случае?
в) Чему равна работа, которая будет совершена при подъеме тела
весом 2 Н на высоту 5 см в случаях а и б?
2. Какую силу нужно приложить к нити, чтобы удержать груз
при положениях динамометра I и II (рис. 288)? Ответ поясните. (Тре­
нием и силой тяжести динамометра пренебречь.)
3. Масса ведра 5 кг (рис. 289). Какую силу следует приложить,
чтобы поднять ведро на 3 м? Какая длина веревки при этом подъеме
будет выбрана? Чему будет равна работа, совершенная при подъеме
ведра? А если ведро поднимать без блоков, чему была бы равна ра­
бота?
4. Останется ли в равновесии система грузов и блоков, показан­
ная на рисунке 290, если ее перестать удерживать?
5. Чему равна масса груза тх, если система находится в равнове­
сии (рис. 291)?
228
Рис. 291
6 . Каковы показания динамометра (рис. 292)? (Система нахо­
дится в равновесии.)
7. По какой из плоскостей (рис. 293) легче вкатить груз на одну
и ту же высоту? (Трением пренебречь.) Сравните работы в обоих слу­
чаях.
8 . Какую силу надо приложить, чтобы вкатить вверх по наклон­
ной плоскости груз массой 200 г (рис. 294)? Трение не учитывать.
Рис. 293
Глава VIII
Механические колебания и волны
^ 30. Колебательное движение
На рисунке 295 вы видите несколько примеров колеба­
тельного движ ения. Такое движение ш ироко распространено
в микро-, макро- и мегамире. Ц елый ряд важ нейш их физиче­
ских явлений так или иначе связан с колебаниями. Н апри­
мер, колеблется под действием ветра поверхность озер, морей
и т . п., происходит биение сердца человека, колеблется м аят­
ник в часах и т. д. Звук, свет, электромагнитные волны —
примеры распространения колебаний в средах. В прошлом го­
ду мы рассматривали один из примеров колебательного про­
цесса — переменный ток.
Совершать колебания способны не только тела или час­
тицы. И зменяться во времени могут и значения физических
величин: координаты, скорости, ускорения, силы, давления
и т. д. Напоминаем, что в цепи переменного тока периодичес­
ки во времени изменялись значения силы тока и напряж ения.
В каж дом из примеров, приведенных на рисунке 295, вы
можете заметить признаки колебания: наличие положения
равновесия и повторяемость процесса.
Колебат ельны м называют такое движение, которое
периодически повторяет ся и происходит около определен­
ного положения, называем ого положением равновесия.
Рис. 295
230
30.1. Характеристики
колебательного движения
Д ля описания колебательного движения необходимо вво­
дить новые физические величины.
С м ещ ение
Величину, которая указы вает положение колеблюще­
гося тела в пространстве в любой момент времени, на­
зывают смещением. Оно определяется следующим образом.
Начало координат выбирают в положении равновесия колеб­
лющегося тела — точка О (рис. 296). Затем вдоль движ ения
тела направляют координатную ось О Х. По этой оси от поло­
ж ения равновесия и отсчитывают смещение тела х.
х - смещ ение
утах
Рис. 296
В процессе колебания смещение непрерывно изменяется:
оно может быть как положительным, так и отрицательным.
Но изменение смещения может происходить в некоторых пре­
делах. Значение этого предела представляет собой ам плит у­
ду колебаний х т.
А м плит удой колебаний называют м одуль наибольше­
го смещения тела от положения равновесия.
П ериод, ч астота
Следующие характеристики — период и частота колеба­
ний — аналогичны соответствующим характеристикам дви­
ж ения тела по окружности.
Периодом колебаний ( Г ) называют врем я одного пол­
ного колебания.
231
Период колебаний груза, при­
крепленного к пружине (рис. 297),
равен
У =10
Частотой (v) назы вает ся
число колебаний за 1 с.
За единицу частоты колебаний принят герц (1 Гц):
Рис 297
1 Гц = 1/с = 1 с"1.
Из опыта, показанного на рисунке 296, частота колебаний
груза:
v = ¥ = Т§~с = 0,67 1/с = 0,67 Гц'
Период колебаний и частота связаны соотношением:
1
q
Остановимся, подумаем
1. Груз, подвешенный на пружине, отпустили из положе­
ния I (рис. 298).
У кажите, где будет расположен м аятник через время:
2. У каж ите, сколько времени (в долях периода) прошло с
момента начала движения для положений м аятника, по­
казанны х на рисунке 299.
Ф аза колебания
На рисунке 300, а показана прям ая, вдоль которой проис­
ходит колебание тела в пределах от - 3 см до +3 см. Допустим,
известно, что смещение тела в какой-либо момент времени
равно 2 см. Тогда мы знаем, где находится тело (рис. 300, б).
Но известно ли нам, в какую сторону движ ется тело? Нет. По
одному лиш ь смещению невозможно определить направление
движ ения тела.
а) ----- 1----г*— I----- 1----- - ■ I----- 1—
б)
-4
-3
-2
-1
0
1
,
,
,
,
.
,
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
х = 2 см
т
4
см
,
,
,
--
^
3
4
х, см
? *
Рис. 300
Поэтому к выше названным характеристикам колебания
необходимо добавить еще одну — ф азу колебания.
Сформулировать строгое определение фазы в данном курсе
невозможно, поэтому придется ограничиться лиш ь некоторы­
ми общими рассуждениями. Рассмотрим следующий пример.
Два одинаковых нитяны х м аятника (рис. 301, а) (ш арики
укреплены на нитях одинаковой длины) отвели от положения
равновесия на одинаковые расстояния, но в разные стороны и
отпустили. При движении ш ариков их характеристики — пе­
риоды, частоты и амплитуды — одинаковые. Так что же, в ко­
лебаниях ш ариков нет различия? Конечно ж е есть. Ш арики
все время движутся в разных направлениях. То ж е самое мож ­
но было бы сказать и о колебаниях двух пруж инных маятни-
а)
б)
Рис. 301
233
ков (грузы, прикрепленные к пружинам), отклоненных на
равные расстояния в противоположные стороны (рис. 301, б).
Значит, долж на быть введена такая характеристика, ко­
торая позволяла бы указать не только смещение тела, но и
направление движ ения. Такой характеристикой и является
фаза. Ф азу колебаний обозначают буквой (р.
Понятие фазы встречается не только в физике. Его исполь­
зуют в тех случаях, когда хотят охарактеризовать состояние
(стадию) того или иного процесса. Вам знакомы , например,
такие вы раж ения: «Строительство находится в начальной фа­
зе». Или: «Фаза Луны». Можно говорить о стадии (фазе) вы ­
полнения какой-либо работы.
Фазу колебания выраж аю т числом. Если колеблющееся
тело совершило одно полное колебание, то говорят, что фаза
тела в этом положении равна 2л (рис. 302, а). Через каж ды й
дальнейший промежуток времени, равный периоду Т, фаза воз­
растает на 2л. Если же пройдет время, равное лиш ь - Т, то фаза
изменится в 4 раза, т. е. станет равной ^ (через полпериода
3
3
ф аза станет равной л, а через ^ Т” — ^ л) (рис. 302, б, в, г).
Представьте, что м аятник отпущен из амплитудного поло­
ж ения, и вам говорят, что спустя некоторое время фаза стала
равна ^ . Как определить направление движ ения тела и его
положение? Ф аза колебаний, равная
, в 32 раза меньше,
чем фаза 2л, соответствующая полному колебанию. Значит,
движение лиш ь только начинается, и м аятник находится
.\\\\\\,\\\\ХХ\
ф = 2л
а)
г)
Р и с .302
234
где-то около начального положения, двигаясь к
положению равновесия.
Если, например, фаза равна | к, то можно
рассуждать так: я < | к < | п. Поэтому фаза | п
Т
3
соответствует моменту времени ^ < t < ^ Т. Это
Р и с .303
означает, что м аятник дошел до полож ения н а­
ибольшего отклонения и движется назад к поло­
жению равновесия (рис. 303).
30.2. Изменение смещения, скорости
и энергии тела при гармонических колебаниях
Проследим на опыте (рис. 304), к ак изменяется со време­
нем смещение ш арика, прикрепленного к пружине.
Благодаря сквозному отверстию ш ар способен свободно
передвигаться по стержню. Предположим пока, что трение от­
сутствует. Ш ар с опорой скреплен пружиной. Оттянем шар из
начального положения в положение I. При этом пруж ина бу­
дет растянута. Растягивая пружину, мы совершаем работу,
которая пош ла на создание потенциальной энергии пружины
в положении I. В растянутой (деформированной) пружине воз­
никла сила упругости.
t =о
If
-О— *-
И
W W \A M
III
t =:
<-¥ Ivvwvw-oу
x =
■ c— -
t =T
Р и с.304
235
X}
Напоминаем
Сила упругости возникает при деформации тел.
Она тем больше, чем сильнее деформировано тело.
Отпустим шар. Под действием силы упругости он придет в
движение и будет двигаться, ускоряясь, до положения равнове­
сия. В положении II скорость ш ара становится максимальной.
Но пруж ина уж е не растянута. Она перестает ускорять ш ар.
Ш ар по инерции проскакивает положение II и движ ется
дальше. При этом он начинает сжимать пружину. В ней снова
возникает сила упругости, которая замедляет движение ш ара.
В положении III скорость ш ара станет равной нулю. Нетрудно
понять, что далее движение ш ара повторится в обратном н а­
правлении, т. е. шар придет в колебательное движение около
положения равновесия (положение О).
Проследим, как изменялась энергия шара в ходе движения.
В положении I, когда пруж ина была максимально растя­
нута, ш ар обладал только потенциальной энергией упругости
деформированной пружины. Затем на участке I —II по мере
ослабления деформации пружины потенциальная энергия
уменьш алась. Но зато с увеличением скорости возрастала к и ­
нетическая энергия. В момент прохождения шаром положе­
ния II его скорость максимальна. Вся потенциальная энергия,
которой он обладал в положении I, переш ла в кинетическую.
При движении ш ара на участке II—III скорость ш ара умень­
ш ается, а сжатие пруж ины возрастает. К инетическая энергия
превращ ается в потенциальную. Заметьте, если нет трения, то
энергия, полученная пружиной, переходит из потенциальной
в кинетическую и обратно. П олная ж е механическая энергия
остается в процессе колебания постоянной:
Ек + ЕП= const.
Проведенное рассуждение было качественным. А какой же
вид имеет алгебраическая зависимость смещ ения от времени?
Установим графическую зависимость смещ ения тела от
времени x(t) и через нее уж е найдем алгебраическую зависи­
мость.
Но как проходит линия на графике между этими точка­
ми? Проделаем эксперимент (рис. 305).
236
X
Рис. 306
Р и с.305
Воронка с песком раскачивается на нити. Под ней — до­
щ ечка.
Если бы дощ ечка была неподвижной, то воронка, пери­
одически двигаясь над отрезком А В , ряд за рядом засыпала
бы его слоями песка. На дощечке после проведения опыта ос­
талась бы прям ая, по которой невозможно было бы опреде­
лить, чему было равно смещение воронки в различные момен­
ты времени.
Будем равномерно смещать дощ ечку, как показано на
рисунке 305. Теперь в различны е моменты времени воронка
будет находиться над разными точками дощечки. В результа­
те проведения опыта на дощечке останется песчаный след в
виде синусоиды.
Значит, графиком зависимости смещ ения от времени я в ­
ляется синусоида (рис. 306).
Следует отметить, что, хотя опыт был проделан для нитя­
ного маятника, вывод о виде графика зависимости смещения от
времени справедлив для любого гармонического колебания.
Гармоническим являет ся такое колебание, график ко­
торого предст авляет собой синусоиду (косинусоиду).
По графику легко можно определить амплитуду и период
колебаний. Так, в течение первой четверти периода смещение
тела уменьш ается, затем становится отрицательным. Через
Т
промежуток времени ^ оно достигает амплитудного значения.
3
Затем модуль смещения уменьшается. В момент времени t — j Т
смещение становится равным нулю. А через время, равное пе­
риоду Т, м аятник возвращ ается в исходное положение.
237
Алгебраическая зависимость смещения от времени при
гармонических колебаниях имеет вид:
2л
х = Х т COS Y
t '
Отметим, что эта формула приведена без строгого вывода,
а лиш ь на основе вида графика.
у
о Остановимся, подумаем
1. Заполните таблицу 30, используя формулу.
Т а б л и ц а 30
t
0
Т/4
Т/2
3 /4 Т
Т
X
2. По графику на рисунке 307 составьте уравнение зависи­
мости смещения тела от времени.
3. Определите, чем отличаются друг от друга колебания,
графики которых представлены на рисунках 308, а, б.
Ответы. 2. По графику: амплитуда колебаний тела х т =
= 2 см = 0,02 м, период колебаний Т = 4 с,
х = х т cos Щ t = 0 ,0 2 cos ^ t = 0 , 0 2 cos | #.
3. Н а рисунке 308, а у колебаний одинаковые амплитуды
и период, но различные фазы. Разность фаз равна ^ . На рисун­
ке 308, б колебания отличаются амплитудой. Разность фаз — п.
71
238
о
Вопросы и задания
1. Н азовите характ ерист ики колебательного движения.
2. К акой вид имеет уравнение зависимости смещ ения
от времени гармонического колебания?
3. Что являет ся графиком зависимости смещ ения от
времени для гармонического колебания?
4. Шар, подвешенный на нит и, от клонили от положе­
ния равновесия и от пуст или. Что можно сказат ь о смеще­
нии и скорости колеблющегося шара в следующие моменты
т т
времени: 0 , j ^ > Т?
> ! Упражнение 30
1.
М аятник отпущен из положения наибольшего отклоне
ния. Определите, каком у интервалу времени соответствуют
к
к
9
3
7
значения фазы колебаний: 8„ 2 10
10 л’ 2 Л, То я , 2 Я , 6 Я . В какую сторону он движется при этом?
2.
Определите, чем отличаются колебания м аятников, по
казанны х на рисунке 309.
:
’
’
а)
б) f = 0
4
Р и с.309
239
t= T
Р и с .310
3. Поступим с ш ариками так: один отклоним от положе­
ния равновесия и отпустим, а другой в это ж е время щ елкнем
пальцем (рис. 310). Какова разность фаз колебаний этих м аят­
ников?
4. Ш ар приш ел в движение из полож ения, показанного на
рисунке 311. Период колебаний ш ара Т = 2 с, амплитуда рав­
на 4 см. Нарисуйте (точно или приближенно) положение ш ара
1
1
3
1
5
3
7
0
0
.
через моменты времени g с, ^ с, g с, 1 с, g с, ^ с, g с, 2 с, 3 с, 4 с.
Д ля этих моментов времени (точно или приближенно)
укаж ите значение фазы.
5. Период колебаний тела 1 с, амплитуда 4 см. Считая ко­
лебания тела гармоническими, составьте уравнение зависи­
мости смещ ения от времени и постройте график этой зависи­
мости.
6 . По графику, показанному на рисунке 312, определите
период колебаний тела и амплитуду. Составьте уравнение за­
висимости смещения от времени для данного движения.
Рис. 311
Рис. 312
240
о
л
V
о
V
А
а)
Рис. 313
7. На рисунке 313 представлены графики колебаний.
В каки х случаях колебания имели одинаковый период; оди­
наковую амплитуду; одинаковую фазу?
У каж ите случаи колебаний, в которых разность фаз соста­
вила ТС, 7 1 / 2 .
8 . Два гармонических колебания заданы уравнениями:
= 3 cos nt и х 2 = 1,5 cos 1 1.
Сравните характеристики этих колебательных движений.
Проделайте опыты
Подвесьте к резинке (или пружине) ш ар. Измерьте на
опыте период и амплитуду колебаний ш ара.
Считая движение ш ара гармоническим, составьте уравне­
ние зависимости его смещ ения от времени.
Постройте график зависимости смещения ш ара от времени.
Ц 31. Виды колебаний
31.1. Свободные колебания
Свободными называют колебания, происходящ ие за
счет единожды сообщенной энергии под действием внут ­
ренних сил, возникающ их в системе тел.
Посмотрите на рисунок 314. Телам, показанным на этом
рисунке, можно сообщить энергию разными способами. Ш ар
можно поднять, отведя его в сторону, или щ елкнуть пальцем в
горизонтальном направлении. П руж ину можно сжать или
растянуть. Колебания тел будут свободными. Но тело не всег­
да начнет колебаться, если ему сообщить энергию. Представь­
те себе ш ар, леж ащ ий на столе. Если его щ елкнуть пальцем,
241
«г,
а)
б)
в)
Р и с.314
он просто покатится. Колебания не возникнут. Д ля возникно­
вения колебаний нужно, чтобы при выведении тела из поло­
ж ения равновесия возникала сила, направленная к положе­
нию равновесия.
Так, при отклонении нитяного м аятника от положения
равновесия сила тяж ести (^ тяж) и сила упругости^ (^ упр) дейст­
вуют таким образом, что их равнодействующая (R ) оказы вает­
ся направленной к положению равновесия (рис. 315, а). Когда
груз (рис. 314, в) отпустили, то сила упругости пруж ины воз­
росла, стала больше силы тяж ести (рис. 315, б). При этом рав­
нодействующая сила оказалась направленной вверх к положе­
нию равновесия.
Такж е примером колебательной системы, совершающей
свободные колебания, может явиться кристаллическая ре­
ш етка твердого тела. В ее узлах находятся частицы (атомы,
ионы или молекулы), которые совершают колебания вблизи
этих узлов.
Период свободных колебаний зависит от самой колеба­
тельной системы, от конкретны х особенностей ее строения.
Р и с.315
242
Рассмотрим два широко распространенных примера таких
систем: пружинный и математический м аятники.
М ат ем ат ически й м а я т н и к — это ш ар, подвеш енны й
на д ли н н о й , невесом ой, нераст яж им ой нит и.
Зачем столько ограничений в определении математиче­
ского маятника?
Если не учесть указанные ограничения, шар будет коле­
баться, но все выше выведенные зависимости характеристик
движ ения от времени не будут вы полняться. Например, зави­
симость х = f( t) не будет иметь вид х = x mcos — t.
Так, если масса подвеса окаж ется соизмеримой с массой
груза, то центр масс этой системы не будет расположен в кон­
це ее. Если подвес будет растяж им ы й (представьте себе шар,
подвешенный на резинке), то движение ш ара будет очень
сложным. Непрерывно в процессе движ ения будет изменяться
удаление ш ара от точки крепления нити. Помимо названных
выше условий, при выполнении которых колебания математи­
ческого м аятника становятся гармоническими, есть еще одно:
амплитуда колебания ш ара должна быть незначительной по
сравнению с длиной нити. Для этого желательно, чтобы нить
была как можно длиннее. И тогда ш ар можно будет отводить
от положения равновесия на заметное расстояние.
Д ля того чтобы определить, от каки х величин зависит пе­
риод колебаний математического м аятника, выполните экспе­
риментальное задание.
Экспериментальное задание № 18
И сслед о ва н и е законов колебаний
м ат ем ат ического м аят ника
О борудование: нить длиной 0 ,8 — 1 м, два ш ара разной
массы, ш татив, секундомер.
Задание 1. Исследовать зависимость периода колебаний
математического м аятника от амплитуды.
Х од работ ы
1. П ривяж ите нить к лапке ш татива. На нити укрепите
шар. Установите ш татив на столе таким образом, чтобы шар
мог свободно колебаться, не задевая за край стола.
2. Проделайте три опыта при разны х амплитудах колеба­
ний. В каждом опыте измерьте период.
243
3. Укрепите на нити ш ар другой массы и проведите анало­
гичный эксперимент.
4. Результаты опытов и вывод занесите в таблицу 31.
У казан ия: не забудьте, что отклонение ш ара от положе­
ния равновесия должно быть небольшим по сравнению с дли­
ной нити (не более ^ длины нити).
Т абли ца 31
Период
Вывод
Ш ар 1
Ш ар 2
Задание 2. Исследовать зависимость периода колебаний
математического м аятника от длины нити.
Ход работы,
1. Укоротите нить на j длины, а затем наполовину.
2. Измерьте периоды колебаний маятников.
3. Результаты измерений и вывод занесите в таблицу 32.
Т абли ца 32
Длина
Вывод
I
3-41
1
2
Вывод должен получиться следующим:
Период гармонических колебаний математ ического
маят ника не зависит от ам плит уды колебаний и массы
м аят ника, но зависит от его длины: чем длиннее нить,
тем больше период колебания.
Попытаемся установить зависимость периода колебаний
от длины нити, для чего воспользуемся данными таблицы 32.
Длина нити уменьш илась вдвое, а период в этом случае
должен был уменьш иться приблизительно в 1,4 раза, т. е.
в J2 раз.
Следовательно, период зависит от длины нити прямо про­
порционально J i.
244
Приведем без вывода формулу периода гармонических ко­
лебаний математического м аятника. Она имеет вид:
где g — ускорение свободного падения.
Где используется данная зависимость?
Устройство первых часов было основано на действии мате­
матического м аятника. Ход этих часов регулировался длиной
подвеса м аятника. Такие часы и в настоящее время имеют
ш ирокое применение.
Помимо этого с помощью математического маятника очень
просто измерить ускорение свободного падения. Значение ве­
личины g меняется в зависимости от строения земной коры,
от присутствия в ней тех или иных полезных ископаемых. По­
этому геологи для разведки залеж ей полезных ископаемых
используют прибор, основанный на зависимости периода ко­
лебания математического м аятника от значения g.
П руж инный м аят ник — это груз, прикрепленны й к пру­
жине. Масса пружины должна быть м ала по сравнению с мас­
сой груза. Колебания пружинного м аятника являю тся гармо­
ническими при незначительной деформации пружины.
В этом можно убедиться, проделав опыт, показанный на
рисунке 316. Груз колеблется на пружине. К нему прикрепле­
на кисточка, кончик которой намочен чернилами. В то время
пока груз с кисточкой колеблются, равномерно перемещают
дощечку в горизонтальной плоскости. На ней остается линия —
график колебаний, которая оказывается синусоидой, что по­
зволяет сделать вывод:
Р и с.316
245
Колебания груза , прикрепленного к пружине, или п р у­
жинного маят ника являю т ся гармоническими.
Установим экспериментально, от как и х величин зависит
период колебаний пружинного м аятника.
Экспериментальное задание № 19
Исследование законов колебаний
пружинного маятника
Оборудование: ш татив, пруж ина (резинка), набор грузов,
часы с секундной стрелкой.
Задание 1. Определение зависимости периода колебаний
пружинного м аятника от амплитуды.
Х од работ ы
1. Укрепите на ш тативе пруж ину с грузом и приведите его
в колебательное движение с амплитудой х т (рис. 317, а). И з­
мерьте период Т 1.
2. Уменьшив амплитуду колебаний (хт2) (рис. 317, б),
определите, что период колебаний не изменится, останется
равным Т-у.
а)
б)
Р и с.317
Вывод:
П ериод колебаний пружинного маят ника не зависит
от ам плит уды колебаний.
Задание 2. Определение зависимости периода колебаний
пружинного м аятника от массы груза.
Х од работ ы наметьте самостоятельно (рис. 318). Данные
измерений оформите в виде таблицы и сделайте вывод.
246
Рис. 318
Рис. 319
Вывод, к которому вы должны прийти, следующий:
П ериод колебаний пруж инного маят ника зависит от
его массы.
Задание 3. Установление зависимости периода колебаний
пружинного м аятника от жесткости пруж ины (рис. 319).
Х од работ ы
Стянем проволокой или ниткой звенья верхней половины
пруж ины одного из одинаковых маятников. От этого ж ест­
кость пружины возрастет. Измерение периодов этих двух ма­
ятников приведет нас к выводу:
П ериод пружинного маятника зависит от жесткости
пружины: чем больше жесткость пружины, тем меньше
период колебаний.
Если вы все правильно сделали, то должны были прийти
к следующему выводу относительно законов колебания м аят­
ника:
Период колебаний пружинного маят ника не зависит
от ам плит уды , а зависит от массы тела и жесткости
пружины.
Известна формула периода колебаний пружинного м аят­
ника. Она подтверждает результаты эксперимента:
Т = 2л / 2 ,
"у К
где m — масса груза,
k — жесткость пруж ины.
247
31.2. Вынужденные колебания.
Резонанс
Колебания, о которых мы говорили выше, являю тся сво­
бодными. Напомним, свободные колебания происходят под
действием внутренних сил системы. Но в реальных системах
тел или частиц обязательно происходит потеря энергии — пе­
реход энергии колебательного движ ения в другие виды.
Например, после нескольких
колебаний математического или
пружинного м аятника амплитуда
колебания уменьш ается. Если по
мере колебаний тела мы произве­
дем их графическую запись, то она
окаж ется подобной той, что вы ви­
дите
на рисунке 320. Такие коле­
Р и с.320
бания являю тся за т уха ю щ и м и .
В данном примере уменьшение амплитуды колебаний связано
с переходом механической энергии во внутреннюю. И з-за тре­
ния о воздух нагревался маятник (и воздух тоже). По этой же
причине затихает со временем звук струны.
Если в электрической цепи вызвать колебания зарядов
(т. е. создать переменный ток), а затем отключить ее от источ­
ника, ток прекратится. При этом электрическая энергия пе­
рейдет во внутреннюю. Проводники электрической цепи на­
греются.
Каким ж е образом можно добиться того, чтобы колебания
не затухали? Ответ довольно прост: в колебательную систему
необходимо поставить энергию, компенсируя тем самым ее
потери.
П рактически это можно сделать несколькими способами.
Один из них поясним на примере, показанном на рисунке 321.
248
На неподвижном горизонтальном стержне укреплен шар.
Он может свободно перемещ аться вдоль стержня. К шару
прикреплены две пружины: одна неподвижно закреплена на
стойке ш татива; вторая свободным концом при помощи нити
связана с эксцент риком. (Эксцентрик — выступ на вращ аю ­
щ емся диске, смещенный от центра этого диска.) Эксцентрик
расположен на диске, укрепленном на валу центробежной ма­
ш ины. Вращ ая центробежную маш ину, растянем пружину.
Возникла колебательная система (две пруж ины + шар). Она
имеет собственный период и соответственно собственную час­
тоту колебаний v0. Как мы знаем, эта частота зависит от мас­
сы ш ара и жесткости пружины.
Если отвести ш ар от положения равновесия и отпустить,
то в системе возникнут свободные колебания с частотой v0.
Оценим на глаз эту частоту или с помощью секундомера изме­
рим ее. (Конечно, колебания ш ара в этом случае будут зату­
хаю щ ими.)
Остановим шар и приведем во вращение вал центробежной
маш ины с частотой v « v0. Эксцентрик, двигаясь по окружно­
сти, приведет в колебание нить, которая станет периодически
изменять натяж ение пруж ины. Ш ар начнет колебаться. Эти
колебания будут вынуж денными.
Вынуж денными называют колебания, кот орые проис­
ходят под действием внешней периодически изменяющейся
силы.
В данном случае такой силой является сила, действующая
на пруж ину со стороны нити.
Наблюдая за колебаниями, которые совершает ш ар, мы
заметим, что частота этих колебаний не равна собственной
частоте v0, а совпадает с частотой колебаний нити (равной час­
тоте вращ ения вала центробежной маш ины). М еняя частоту
колебаний вала, мы будем убеждаться в том, что частота
колебаний шара равна частоте изм енения вынуждающей
силы.
Теперь обратим внимание на амплитуду колебаний. Уве­
личивая частоту вращ ения вала, мы заметим, что амплитуда
колебаний ш ара сначала не будет заметно изменяться. Однако
когда частота вращения вала v приблизится к значению собст­
венной частоты v0, амплитуда колебаний ш ара заметно увели­
чится.
249
При v = v 0 амплитуда достигает максимального значения,
а затем начинает уменьш аться. Графически зависимость амп­
литуды колебаний от частоты показана на рисунке 322.
Проделанный опыт позволяет сделать следующий вывод:
Вынужденные колебания происходят с частотой вы ­
нуждающей силы. А м п ли т уда колебаний зависит от со­
отношения между собственной частотой (v0) и частотой
вынуждающей силы (v).
При совпадении частот v = v 0 амплит уда колебаний резко
возрастает.
Явление резкого возрастания ам плит уды колебаний
при совпадении частот вынуждающей силы с собствен­
ной частотой называет ся резонансом.
Вы наверняка слыш али это слово. Очевидно, такж е не раз
встречались с этим явлением, но не вникали в его суть. Вспом­
ним известные вам случаи резонанса.
Например, подвесной мост, перекинутый через речку или
овраг (рис. 323). Когда идешь по такому мосту, он начинает
раскачиваться. Мостик представляет собой колебательную сис­
тему, имеющую собственную частоту колебаний, которую мож­
но измерить или оценить «на глаз». Если один раз подпрыгнуть
на середине мостика, он совершит несколько колебаний. Эти
колебания будут свободными и, конечно, затухающими. Когда
же по такому мосту движутся люди, они приводят его в вы ­
нужденные колебания. И если частота этих колебаний будет
близкой к собственной частоте колебаний мостика, амплитуда
его окажется весьма значительной. Конструкторы, проекти­
рующие такой мост, должны учитывать это обстоятельство.
Иначе может произойти несчастный случай.
х,т
о
Р и с.323
Р и с.322
250
Именно такой случай произошел в Петербурге в 1906 г.
По Египетскому мосту через реку Ф онтанку проходил кавале­
рийский эскадрон. Хорошо обученные кони одновременно в
определенном ритме ударяли копытами по мосту. Частота
этих ударов совпала с собственной частотой моста. Возник ре­
зонанс, на который не рассчитывали строители. П роизош ла
трагедия — мост рухнул.
0© Остановимся, подумаем
Каждому из вас когда-либо приходилось нести ведра с во­
дой. Что в этом примере является колебательной систе­
мой? К ак возникает вынуждаю щ ая сила? В чем проявля­
ется резонанс в этом примере? К ак можно его устранить?
31.3. Автоколебания
Мы уже выяснили, что свободные колебания являю тся за­
тухающ ими. И х можно поддержать, сообщив телу энергию с
помощью периодически изменяю щ ейся силы.
Конечно, действовать постоянной силой, не изменяю щ ей­
ся во времени, проще. Например, нужно поднять на некото­
рую высоту груз. Опускаясь, он совершит работу. Д ля совер­
ш ения работы можно воспользоваться такж е заведенной или
сжатой пружиной; электрической цепью, питаемой от батареи
или аккумулятора.
Однако поддержать колебания с помощью постоянной силы
оказывается невозможно. Ведь при колебании тело должно
изменять направление движ ения. И тогда внеш няя сила в к а­
кую-то часть периода неизбежно будет гасить колебания. В при­
мере, показанном на рисунке 324, сила F постоянна по величи­
не и действует в одном направлении. В течение второй четвер­
ти периода сила мешает телу остановиться. В третьей четверти
периода она тормозит обратное движение
тела и опять препятствует колебаниям.
Однако выход из этой ситуации был
найден. Идея изобретателей заклю чалась
в том, чтобы сила действовала не непре­
рывно, а импульсами, в те доли периода,
когда она способствует колебаниям тела.
Например, если м аятник на рисунке 324
Рис. 324
251
подталкивать силой F короткими
импульсами в течение первой чет­
верти периода, то энергия маятника
будет пополняться. Эта идея реа­
лизована в авт околебат ельной сис­
теме.
Автоколебательные системы мо­
гут быть разными, как механически­
ми, так и электрическими. Но они
обязательно должны состоять из сле­
дующих блоков: колебательная сис­
тема, ист очник энергии, м еханизм
обратной связи. Механизм обратной
Рис. 325
связи является той самой частью уст­
ройства, которая служит для свое­
временной подачи энергии от источника в колебательную сис­
тему, в такт ее колебаниям.
Первым примером автоколебательной системы являю тся
маятниковые часы, изобретенные Христианом Гюйгенсом в
1657 г. Рассмотрите рисунок 325. По нему на примере м аят­
никовых часов можно выделить составные части автоколеба­
тельной системы.
Колеблющимся телом является маятник 1, длина которо­
го определяет период колебаний, т. е. ход часов. Источником
постоянной силы служит груз 2, поднятый вверх с помощью
нити, перекинутой через блок. Для передачи энергии от груза
маятнику в часах используют храповое колесо 3 и анкер 4.
Храповое колесо, вращ аясь под действием груза, своим зуб­
цом толкает анкер, жестко связанный с маятником. Таким об­
разом маятнику в такт его колебаниям сообщается энергия и
колебания становятся незатухающими. М аятник же за счет
анкера позволяет храповому колесу вращ аться под действием
груза лиш ь равномерно. С храповым колесом связана стрелка,
которая перемещается вдоль циферблата 5.
о
Вопросы и задания
1. К акие колебания называют свободными?
2. Почему свободные колебания затухают? Что необхо­
димо сделать, чтобы колебания были незатухающими?
3. Какие колебания называю тся вынужденными? П риве­
дите 2 — 3 примера т а ки х колебаний.
252
4. От чего зависят период и ам плит уда вынуж денных
колебаний?
5. В чем заключается явление резонанса? П ри каком усло­
вии оно возникает? Приведите примеры проявления резонанса.
6. Н азовит е составные части автоколебательной сис­
темы и и х назначения.
7. В чем состоит сходство и различие между вынужден­
ными колебаниями и автоколебаниями?
Упражнение 31
1. Как надо изменить длину м аятника часов, чтобы они не
отставали?
2. Н а пружине колеблется груз. К аким и способами можно
увеличить частоту колебаний?
3. М альчик качается на к а­
челях, один раз сидя, другой раз
стоя. Одинаков ли период коле­
баний качелей в обоих случаях?
4. Будут ли происходить в
невесомости колебания пруж ин­
ного и математического м аятни­
ков?
5. Н а рисунке 326 показаны 1
несколько математических м аят­
ников, укрепленных на прочной
нити. М аятник 4 отводят от положения равновесия и отпус­
кают. Что произойдет при этом с остальными маятниками?
6 . Иногда в движ ущ емся автобусе начинают дребезжать
стекла (особенно если они неплотно закреплены в рамах). Объ­
ясните, почему это происходит.
32. Механические волны
Многие процессы, происходящие в природе, относятся к
колебаниям. Оказывается, что механические колебания спо­
собны распространяться в пространстве. Этот процесс пред­
ставляет собой во л н у. Вы, наверное, наблюдали, к ак распро­
страняю тся волны на поверхности озера или моря, слыш али о
существовании электромагнитных волн. Сейчас вам предсто­
ит разобраться в этом важном и сложном процессе.
253
32.1. Распространение колебаний
в упругих средах
Представьте себе длинный резиновый шнур, леж ащ ий на
ровной горизонтальной поверхности (рис. 327, а). Левый ко­
нец ш нура заставим совершать гармонические колебания.
Что произойдет со шнуром? Для ответа на этот вопрос мыс­
ленно разобьем шнур на ряд малых звеньев (рис. 327, б).
Т
В момент времени t — -g звено 1 окаж ется в положении
наибольшего отклонения. При смещении звена 1 относитель­
но звена 2 возникнут силы упругости, которые заставят
звено 2 двигаться вслед за звеном 1 . Звено 2 сдвинется из по­
лож ения равновесия. Однако на деформацию и возникновение
сил упругости уйдет некоторое время. Поэтому звено 2 придет
в движение позже, чем звено 1, и за четверть периода колебания
звена 1 проделает путь меньше, чем проделало звено 1 к этому
моменту времени. Теперь возникла деформация шнура между
звеньями 2 и 3. Н а звено 3 начала действовать сила упругости,
и оно приходит в движение вслед за звеном 2.
Т
За вторую четверть периода к моменту времени t = ^ зве­
но 1 вернулось в положение равновесия. Звено 2 успело доа)
б)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314
4=0
..... .
t=Т/4
©6
*=5/4Т
©6 ж
Q©6
i - 6 -г------ — —
Рис. 327
254
стичь положения максимального отклонения и прошло часть
пути к положению равновесия. Звено 3 пришло в положение
амплитудного отклонения, за ним продвинулось звено 4.
Звено 5 начинает движение. Остальные точки (пока) продол­
жают сохранять состояние покоя.
Ш
Остановимся, подумаем
Самостоятельно по рисунку 327 опишите поведение звеньев
ш нура в промежутки времени:
Г ___ 3 7 .
2
4 ’
37
4
.
т _
1
57
4
Вы должны были рассмотреть положение точек шнура через
.
5Т
каждую четверть периода вплоть до момента времени t =
,
На рисунке 327 отмечены положения точек ш нура в раз­
личные моменты времени. Получилось что-то наподобие се­
рии моментальных фотографий ш нура. По этим положениям
попытаемся представить себе поведение отдельных точек и
всего ш нура в целом. Получается следующее.
От первой точки колебания передались остальным благо­
даря тому, что при деформации ш нура в нем возникали силы
упругости. Эти силы заставляли каждую последующую части­
цу ш нура следовать за предыдущей и повторять ее движение,
т. е. колебания распространялись по всему шнуру.
П роцесс передачи м еха н и чески х колебаний от т очки к
т очке среды назы ваю т м ехан ической волной.
Все точки ш нура колеблют ся с одинаковыми периодом,
амплит удой, частотой, но отстают друг от друга по фазе.
Напоминаем
Значение фазы в р а зли ч н ы х поло­
ж ениях м аят ника (рис. 328):
Ф, = 0 , <р2 = ^ , ф 3 = л , ф 4 = у , ф 5 = 2 л .
Вывод относительно периода, ам пли­
туды и частоты для вас должен быть по­
нятен. Подробнее остановимся лиш ь на
фазе колебаний.
255
4
Р и с . 328
Н апример, в момент времени t = ^ звено 1 имело фазу |
(см. рис. 327), а звено 3 — фазу, равную нулю. В момент вре5тс
37t
мени t = -j- звено 1 имело фазу нуль ( 2 л), звено 3 — фазу -у ,
К
"""
звено 5 — фазу л, звено 7 — фазу т> и т. д. Еще раз повторим
этот вывод:
Т очки ш нура колеблю т ся в р а зн о й фазе.
Это отставание легко объяснить. Д ля того чтобы какое-ли­
бо звено пришло в движение, нужно, чтобы произошла дефор­
м ация ш нура в данном его месте и возникла сила упругости.
На это требуется некоторое время. Вот поэтому последующие
звенья ш нура «запаздывают» по отношению к предыдущим.
В шнуре есть точки, колеблющиеся в одинаковой фазе 1 и
9, 2 и 10, 3 ш 11.
Р асст ояние между д ву м я ближ айш им и т о чка м и сре­
ды, колеб лю щ им ися в одинаковой фазе, назы ваю т дли но й
волны .
Д лина волны имеет и другой очень важ ны й смысл. Снова
посмотрите на шнур, показанный на рисунке 327. Точки 1 к 9
колеблются в одинаковой фазе, поэтому расстояние между ни­
ми равно длине волны. Но с другой стороны, расстояние м еж ­
ду этими точками — это расстояние, на которое успела рас­
пространиться волна за время, равное периоду t — Т. Таким
образом, мы приш ли к другому возможному определению
длины волны:
Д л и н о й во лн ы назы ваю т расст ояние, на кот орое ус­
певает распрост ранит ься волновой процесс за вр ем я, р а в ­
ное периоду колебаний.
Данное определение позволяет составить формулу длины
волны. Вспомните определение пути равномерного движ ения:
s = v t;
где s — перемещение тела;
v — скорость движ ения тела.
Если считать, что среда, в которой распространяется волна,
не изменяется от точки к точке (т. е. однородная), а значит,
скорость передачи колебаний в этой среде везде одинаковая,
то расстояние, на которое успеет распространиться волна за
время t, можно рассчитывать по написанной выше формуле.
256
Из определения длины волны следует, что расстояние, на
которое распространится волна за период колебания Т, равна:
X = vT,
где X — длина волны;
v — скорость распространения волны;
Т — период колебаний.
Замечание: учтите, в данной формуле v — скорость, с ко­
торой колебания передаются от одной точки среды к другой.
Конечно, она зависит от свойства среды, в первую очередь от
агрегатного состояния вещества.
В твердых телах частицы расположены близко друг от
друга, связь между ними велика. В ж идкостях частицы распо­
ложены дальше друг от друга, чем в твердых телах; они слабее
взаимодействуют друг с другом. В газах взаимодействие сов­
сем слабо выражено. В соответствии с таким различием в
строении твердых тел, жидкостей и газов отличается и ско­
рость распространения волн в этих средах. Наибольшая ско­
рость распространения механических волн в твердых телах,
наименьш ая — в газах.
Рассматривая рисунок 327, вы могли заметить, что та
часть ш нура, по которой распространились колебания, по ви­
ду напоминает собой синусоиду. На рисунке 327, б видно, что
вдоль ш нура его точки не перемещаются —- они колеблются
вдоль прямой, перпендикулярной шнуру, каждая на своем
месте. На рисунке 327, а вы видите, что вещество в волне не
перемещается в направлении распрост ранения волн.
Но все же почему шнур в любой момент имеет вид сину­
соиды?
Дело в том, что точки шнура колеблются не в одинаковой
фазе — каж дая последующая точка отстает от предыдущей.
Вот и получается такая линия. Представьте себе, что все точ­
ки шнура колебались бы в одинаковой фазе. Что бы мы увиде­
ли в этом случае? Ш нур как единое целое смещ ался бы в одну
и другую стороны. И никакой синусоиды.
В качестве аналогии проделайте такой простой опыт.
Положите на стол карандаш , а затем, сохраняя его горизон­
тальное положение, двигайте его вверх и вниз. Все точки к а ­
рандаша колеблются в одинаковой фазе — картина получает­
ся совсем не такая, как при распространении волн в шнуре.
257
Процесс распространения волны в шнуре вы могли наблю­
дать, если при вас пастух кнутом погонял стадо.
Чаще всего мы наблюдаем механические волны на поверх­
ности воды. Упадет на поверхность озера камень, и от этого
места начинает распространяться волна. В принципе здесь
происходит то же самое, что и в шнуре, но только по всем на­
правлениям вдоль поверхности воды. От места падения кам ня
гребень распространяется по всем направлениям с одинаковой
скоростью, и мы видим круги на воде. Если на воде окажется
какой-либо легкий предмет, например поплавок, то мы смо­
жем заметить, что он не сместится вслед за гребнем, а лиш ь
совершит колебание вверх-вниз.
32.2. Поперечные и продольные волны
Волны в шнуре и на поверхности воды, рассмотренные вы ­
ше, относятся к поперечным волнам.
Поперечными называют волны, в кот орых колебания
точек среды происходят в направлении, перпендикуляр­
ном направлению распрост ранения волны.
Однако существуют и другие волны — продольные. Пред­
ставьте себе длинную пруж ину (рис. 329). Звенья ее поначалу
удалены друг от друга одинаково. Возьмем в руку крайнее зве­
но и приведем его в движение вдоль оси пруж ины (стукнем
его). При этом мы увидим картину, близкую к той, что возни­
к ал а в шнуре. Постепенно звено за звеном станут приходить в
шшшшшмш
'Ш ж ш ш ш вгаш
■^Э там ш ш ш и
Р и с.329
258
колебательное движение. Период и амплитуда колебаний то­
чек среды будут одинаковыми, а фазы разными. В результате
звенья окаж утся на разном расстоянии друг от друга. В одних
местах образуются сгущ ения, в других разреж ения. Причем
сгущение будет распространяться вперед вдоль пруж ины, по­
добно гребню в шнуре. Эта волна — продольная.
П родольной называет ся волна, в которой колебания
точек среды происходят вдоль прямой, по которой р а с­
пространяет ся волна.
И так, волны могут быть поперечными и продольными.
У многих слово «волна» в большинстве случаев рождает в го­
лове, представление волн на воде, в длинном шнуре или в пру­
ж ине. Однако с механическими волнами мы сталкиваемся
куда чаще.
Вв Остановимся, подумаем
1. Положите ладонь левой руки на одном краю стола,
а правой ладонью ударьте о поверхность стола на проти­
воположном конце его (рис. 330, а). Что ощущает левая
ладонь? Объясните данное явление.
2. Приставьте левую ладонь к одному торцу стола, а пра­
вой рукой (кулаком) ударьте по другому торцу стола в на­
правлении к левой ладони (рис. 330, б). Что ощущает левая
ладонь? Объясните данное явление. В чем состоит отличие
в механизме передачи взаимодействия в обоих опытах?
Ответ. В опыте, показанном на рисунке 330, а, в месте уда­
ра ладони о стол возникают колебания (конечно, с очень малой
а)
б)
Рис. 330
259
амплитудой). Эти колебания распространяются вдоль кры ш ки
стола и достигают того места, где расположена левая рука.
В опыте, показанном на рисунке 330, б, происходит то же
самое, только распространяется волна не поперечная, а про­
дольная.
В каки х средах могут распространяться поперечные и
продольные волны?
Как вы видели в описанных выше опытах, поперечная
волна возникает в среде при деформации сдвига. Д ля того что­
бы эта волна могла распространяться в среде, важно, чтобы
при сдвиге одного слоя относительно другого возникали силы
упругости. Так, как это происходит в шнуре (см. рис. 327).
В твердых телах это условие выполняется, а в ж идкостях и
газах — нет.
Выполните такое упражнение. Вытяните вперед две руки.
Проведите ладонью одной руки вверх и вниз рядом со второй
ладонью. Ощутила ли вторая ладонь движение воздуха?
Нет. Значит, слои воздуха, перемещаемые одной ладонью,
не приводили в движение соседние слои воздуха, расположен­
ные сбоку. Аналогично и у жидкостей: при деформации сдви­
га силы упругости не возникают. В твердых телах поперечные
волны способны распространяться, так как при деформации
сдвига возникают силы упругости.
Вывод:
Поперечные волны способны распрост ранят ься в тех
средах, в которых при деформации сдвига возникают силыупругост и. Поперечные волны м огут распрост ранят ься
только в т вердых телах.
Н аверняка при чтении последней фразы у многих из вас
возникло недоумение: к ак так, ведь волны на воде — попереч­
ные. А вода — жидкость. Этому исключению есть свое объяс­
нение. Мы наблюдаем волны на поверхности воды, где грани­
чат вода и воздух. Здесь возникают особые условия, отличные
от тех, что имеют место в толще воды. Более детальное описа­
ние волн на поверхности жидкости сложно, и поэтому мы его
рассматривать не будем.
П родольны е волны возникают в тех средах, в кото­
р ы х возникают силы упругост и при деформации раст я­
жения {сжатия).
260
А это условие выполняется как для твердых тел, так и для
жидкостей и газов. Поэтому продольные волны м огут р а с­
пространяться во всех средах.
Волны, которые мы наблюдаем на берегу озера или моря, —
это очень сложное явление. В нем одновременно наблюдаются
к ак поперечные, так и продольные волны. В толще же воды
способны распространяться только продольные волны.
На поверхности земного ш ара расположено много сейс­
мических станций. Ученые, работающие на этих станциях,
имеют возможность следить за процессами, происходящими
в земной коре и в ее недрах. На таких станциях установлены
датчики, которые за тысячи километров улавливают волны,
возникающие при землетрясениях, взрывах мощных снаря­
дов.
Говоря о сути волновых явле­
ний, следует обратить внимание на
следующее:
Волна — способ передачи энер­
гии без переноса вещества.
Сказанное поясним следующим
примером (рис. 331).
Допустим, шару А следует пере­
дать энергию — привести его в дви­
жение. Это можно сделать, направив
на него другой ш ар (рис. 331, а) или
пустив волну по шнуру (рис. 331, б)
или пружине (рис. 331, в). В первом случае энергия передает­
ся в процессе переноса вещества (движения шара). Во втором
и третьем случаях энергию переносит волна. Вещество же не
перемещается от точки к точке.
Когда мы смотрим на круги на воде, расходящиеся от места
падения камня, то надо иметь в виду, что энергия колеблющей­
ся поверхности воды — это энергия, полученная ею от камня.
f'z)
Вопросы и задания
1. Что называют волной?
2. Сравните ам плит уду, период и фазу колебаний р а з­
ли чн ы х точек среды, в которой распространяется волна.
3. Д айт е два определения длины волны. По какой фор­
м уле определяют длину волны?
261
4. От чего зависит скорость распрост ранения волны?
В к а к и х средах она имеет наибольшее значение; наимень­
шее значение?
5. К акие волны называю т ся поперечными? В ка к и х сре­
дах они распространяются?
6. К акие волны называю т ся продольными? В к а к и х сре­
дах они распространяются?
^
Упражнение 32
1. Н а рисунке 332 показан график колебаний. По графику
определите амплитуду и длину волны. Рассчитайте период ко­
лебаний, если скорость распространения волны равна 2 см /с.
2. Сравните колебания точек среды, удаленных от вибра­
тора (точка О) на 1 см и 3 см; 2 см и 6 см (рис. 332).
х, см
О
-1
-2
Рис. 332
3. В море длина волны составила 200 м. Скорость распро­
странения волны 10 м /с. Найдите период колебаний катера,
оказавшегося в море на этой волне.
4. Рыбак, наблюдая за волной, заметил, что мимо его по­
плавка за 10 с прошло пять гребней. Рассчитайте период и
скорость распространения волны.
33. Звук
Ухо человека способно реагировать на волны определенно­
го диапазона частотой от 16 до 20 000 Гц. Благодаря этому с
помощью звука люди общаются друг с другом.
Звук (звуковая волна ) — механическая волна с часто­
той колебаний от 16 до 2 0 0 0 0 Гц.
Волны с частотой меньше 16 Гц называю тся инф разву­
ком, волны с частотой более 20 000 Гц называют ул ьт р а зву­
262
ком . В природе инфра- и ультразвуки — достаточно распрост­
ранены. Ультразвук широко используется в медицине, во
многих научных и промыш ленных установках.
33.1. Источники звука
В принципе источником звука может служ ить любое тело,
колеблющееся с частотой звуковых колебаний. Даж е неболь­
шой лист картона, совершающий колебания. Дело лиш ь за
тем, чтобы привести его в колебания
с частотой хотя бы немногим более
16 Гц. Просто рукой это вряд ли удаст­
ся сделать. Но с помощью установки,
показанной на рисунке 333, можно за­
ставить «звучать» лист картона. Уста­
новим на валу центробежной маш ины
диск, на котором по кругу расположено
множество отверстий. Если теперь,
приведя во вращение диск, уголок к ар ­
тона поднести к той части поверхности
диска, где расположены отверстия, то
картон зазвучит.
Но картон, конечно, не тот предмет, который предназна­
чен для извлечения звука. А вот камертон, например, или
струна другое дело. При деформации они начинают колебать­
ся с частотой как раз в звуковых пределах.
Установим камертон на какой-либо подставке, например
в лапке ш татива (рис. 334). Поднесем к краю нож ки камерто-
на легкий ш арик, подвешенный
на нити. Если нож ки камертона
не колеблются, то ш арик от них
не отскакивает и звука нет
(рис. 334, а). Если ж е ударом ре­
зинового молоточка вывести
ножки камертона из равновесия,
то они начнут колебаться. Мы
услыш им звук, и ш арик, сопри­
касаясь с колеблющейся ножкой
камертона, будет от нее отскакивать (рис. 334, б). На рисун­
ке 334, в показано, как колеблются нож ки камертона.
Можно убедиться в том, что колебания ножек камертона
гармонические. Д ля этого следует проделать опыт, показан­
ный на рисунке 335.
К одной из ножек камертона прикрепляю т легкую алю ми­
ниевую стрелку (4). Затем камертон приводят в колебательное
движение и стрелкой проводят по стеклянной закопченной
пластине. Н а ней четко очерчивается след в виде синусоиды.
А это означает, что колебания ножек камертона гармонические.
Однако, заметьте, сам камертон, укрепленный в ш тативе, или
же струна, растянутая между двумя заж им ам и (рис. 336, а),
при колебаниях будут излучать очень слабый звук. Д ля усиле­
ния звука используют резонат ор (рис. 336, б).
а)
б)
Рис. 336
264
Камертон укрепляю т на деревянном ящ ике-резонаторе,
струны растягиваю т на корпусе гитары или другого музы­
кального инструмента. Колебания от камертона (или струны)
передаются резонатору. Причем размеры резонатора подбира­
ются так, чтобы частота колебания воздуха в резонаторе и соб­
ственная частота камертона совпали. Тогда вследствие явле­
ния резонанса происходит резкое усиление звука.
Голосовой аппарат человека устроен подобно камертону.
Голосовые связки выполняют роль колеблющегося тела; по­
лость рта, горло выполняют роль резонатора.
у
г Остановимся, подумаем
Вспомните устройство и принцип действия еще одного
распространенного источника звука — громкоговорителя.
Ответ. Строение громкоговорителя
показано на рисунке 337. В катуш ку 1
поступает переменный ток. Под дейст­
вием кольцевого магнита 2 катуш ка с
током приходит в колебания с частотой
тока. Эти колебания передаются резона­
тору (диффузору) 3. Он усиливает и из­
лучает звук.
Рис. 337
33.2. Распространение звука
в различных средах
Звуковые волны распространяются во всех средах. Но ско­
рость их распространения больше в тех средах, в которых
частицы вещества сильнее связаны друг с другом и при дефор­
мации среды возникают большие силы упругости. Поэтому
скорость распространения звука в твердых телах больше, чем
в ж идкостях и газах. Это подтверждают данные таблицы 33.
Обратите особое внимание на значение скорости звука в
воздухе: ив = 340 м /с = 1324 к м /ч . Она зависит от температу­
ры и атмосферного давления. Говоря о движении самолетов,
снарядов, автомаш ин, мы сравниваем их скорости со скоро­
стью звука.
В вакууме, где отсутствуют частицы вещества, которые
могли бы передавать колебания, звук не распространяется.
В этом можно убедиться на следующем опыте.
265
Т а б л и ц а 33
Твердые
тела
м/с
Алмаз
18 350
Олово
2270 Пары воды при 0 °С
Алюминий
6260
Вода при 0 °С
1403
Железо
5850
при 20 °С
1483 Воздух при 0 °С
Бетон
4250-5250
при 100°С
1543
при 20 °С
343
Стекло
4000—5000 Жидкий водород
1187
при 100 °С
387
Эфир
985
Кислород при 0 °С
387
Кирпич
V,
3600
Жидкости
V,
м/с
Газы
и пары
V,
м/с
401
при 100 °С 405
331
Установим на специальной подставке звонок (рис. 338, а)
и подключим его к источнику тока. Звук его будет отчетливо
слышен. Затем накроем звонок толстостенным стеклянны м
колпаком (рис. 338, б) и откачаем из-под него воздух. По мере
откачивания воздуха звук будет слышен тише, пока совсем не
исчезнет.
Зная скорость распространения звука, можно оценить ин­
тервал длин звуковых волн.
З а д а ч а . Рассчитайте ин'рервал длин волн, соответствую­
щ их звуковой волне, распространяющ ейся в воздухе.
Р и с .338
266
Д ано:
v — 340 м /с
v г = 16 Гц
v 2 = 20 ООО Гц
Реш ение
Длина волны А- = vT,
период колебаний Т = ^ ,
v
следовательно, А = - .
Ответ: Aj = 21 м, А2 = 17 м м Как ж е звуковая волна распространяется в воздухе? Ко­
нечно, прямолинейно. А если на пути волны окаж ется препят­
ствие?
Опыт показывает, что дальнейш ий ход волны зависит от
соотношения между длиной волны и размерами преграды. Н а­
пример, когда люди разговаривают в лесу, то деревья не ме­
шают их разговору, так к ак звуковая волна (длина которой в
данном случае имеет порядок 1 м) огибает деревья. Можно
привести и другие подобные примеры: голос слышен за углом
дома, за дверью комнаты.
Если же преграда по своим размерам намного превышает
длину звуковой волны, то имеет место отраж ение звука. Хо­
рошо известным проявлением отраж ения звука является эхо.
Часто во время грозы мы слыш им раскаты грома. Звук, воз­
никш ий во время грозового разряда, распространяется во все
стороны, многократно отраж аясь от облаков, леса, гор, зда­
ний, доходит до нас.
Звук плохо отраж ается от м ягких тканей, пористых тел.
Дело в том, что звуковая волна многократно отраж ается от
складок тканей, заметно теряя энергию. Для строительства
ж илы х домов предпочтительнее использовать пористый ки р ­
пич (а не панели). Звук, проходя сквозь воздушные прослойки
кирпича, теряет значительную часть своей энергии. В кварти­
рах таких домов хорош ая звукоизоляция.
33.3. Характеристики звука
Звуки бывают разными: приятны ми и неприятными,
звонкими и хриплыми, громкими до боли в уш ах и еле-еле
различимыми. Д ля характеристики звука вводятся специаль­
267
ные физические величины: сила звука, громкость, высота
тона, тембр.
Сила звука определяется энергией, излучаем ой источ­
ником звука по всем направлениям в единицу времени.
Энергия, излучаемая источником, зависит от амплитуды
колебания тела. Например, когда по нож кам камертона слабо
ударяют молоточком, то амплитуда их колебаний мала и к а ­
мертон звучит тихо. Если ж е нож ки камертона колеблются со
значительной амплитудой, то он звучит сильнее. Чтобы звук
гитары был громче, гитарист сильнее оттягивает струны, уве­
личивая тем самым амплитуду колебания.
На рисунке 339, а показана схема установки, с помощью
которой можно получить зависимость силы звука от амплиту­
ды колебаний тела. Цифрой 1 обозначен звуковой генератор —
источник переменного напряж ения, частота которого может
изменяться в диапазоне, т. е. от 16 до 20 ООО Гц. С выходных
клемм генератора напряжение подается на громкоговоритель 2,
который становится источником звука, и на вход осциллогра­
фа 3, на экране которого высвечивается график зависимости
напряж ения, подаваемого на громкоговоритель, от времени.
На панели звукового генератора имеется ручка 4, с помощью
которой можно изменять амплитуду напряж ения, подаваемо­
го на громкоговоритель. На рисунке 339, б вы видите графи­
ки, соответствующие сигналам при двух разных положениях
этой ручки. Сила звука оказывается больше при увеличении
амплитуды напряж ения, подаваемого на громкоговоритель,
т. е. при большей амплитуде колебания его диффузора.
268
Вывод:
Сила звука определяется ам плит удой колебаний зв у­
чащего тела.
В отличие от силы звука громкость есть величина субъек­
тивная. Что имеется в виду? Сила звука зависит от источника,
громкость же характеризует восприятие звука приемником
(человеком или какой-либо звуковоспринимающей аппара­
турой).
Громкость зависит как от силы звука источника,
так и от удаления приемника от источника звука.
Например, чем ближе зритель расположен к сцене театра,
тем лучш е он слыш ит голоса актеров. Чтобы громче был слы­
шен звук плеера, его науш ники укрепляю тся прямо на ушной
раковине человека. На громкости звука значительно сказы ва­
ется такж е чувствительность приемника. Так, один и тот же
звук два человека с разной остротой слуха воспримут по-раз­
ному. Да и чувствительность звуковой аппаратуры, например
микрофона, может быть неодинаковой.
Кстати, вам, наверное, известна физическая единица —
децибел (1дБ). Она характеризует уровень интенсивности зву­
ка. В таблице 34 приведены значения уровня интенсивности
некоторых звуков в децибелах.
Т абли ца 34
Источник
звука
Расстояние от
источника звука, м
Уровень
интенсивности,дБ
Шепот
Негромкий разговор
Симфонический оркестр
Отбойный молоток
Мотор самолета
1
1
0
20
3 -5
80
1
10
100
120
Вернемся к опыту, показанному
на рисунке 339. Зафиксировав поло­
жение ручки 4 звукового генерато­
ра, будем вращ ать диск 5. При этом
изменяется частота переменного на­
пряж ения и соответственно частота
звуковой волны, излучаемой гром­
269
а)
б)
Рис. 340
коговорителем. Звуки, которые мы услыш им, будут разли­
чаться высотой тона. Звукам меньшей частоты (рис. 340, а)
соответствует низкий тон. Звукам высокой частоты соответст­
вует высокий тон (рис. 340, б).
Вывод:
Высота тона определяется частотой колебаний тела.
Напоминаем
Чем больше период, тем меньше частота колебания
На рисунке 340 легко просматривается связь частоты с пе­
риодом колебаний.
Голоса людей различаю тся по высоте тона (табл. 35).
Таблица 35
Частота, Гц
Бас
Баритон
Тенор
q
80-350
110—400
230— 520
Частота, Гц
Сопрано
Детский голос
Колоратурное сопрано
260-1050
60-1050
330-1400
Остановимся, подумаем
Приблизительно оцените частоту вашего голоса и соответ­
ствующую ему длину звуковой волны.
Значения частоты колебаний крыльев насекомых и птиц в
полете (в Гц)приведены в таблице 36.
Таблица 36
Бабочка-капустница
Ворона
Стрекоза
Шмель
Воробей
Пчела
Комар
Муха
до 9
3 -4
38-100
180-240
до 13
200— 250
300— 600
190-330
Два певца могут спеть одну и ту ж е ноту с одинаковой
силой звука. Тем не менее мы различим голоса этих певцов,
даж е не глядя на них.
270
Осциллограф
электронный
Микрофон
Усилитель
Рис. 341
На чем основано распознавание голосов людей, звуков
различны х музы кальны х инструментов?
Очевидно, что кроме уж е названных характеристик су­
ществует еще одна — т ем бр звук а . О ней и пойдет сейчас
речь. С помощью установки, показанной на рисунке 341, по­
лучим осциллограммы различных звуков.
В этой установке микрофон преобразует механические ко­
лебания (звук) в соответствующие им электрические колеба­
ния. Усилитель увеличивает амплитуду колебаний и подает
исследуемый сигнал на вход осциллографа. Н а экране осцил­
лографа можно наблюдать графики зависимости напряж ения
от времени, соответствующие различны м звукам.
Сначала расположим перед микрофоном звучащ ий кам ер­
тон. На экране осциллографа высветится график зависимости
напряж ения от времени в виде синусоиды (рис. 342, а). Будем
пользоваться разными камертонами, ударяя по ним молоточ­
ком с разной силой. При этом будут изменяться амплитуда и
частота колебаний, но вид граф ика не изменится. Звук, гра­
фиком которого является синусоида, называют прост ы м или
т оном .
Теперь попросим какого-либо че­
ловека перед микрофоном поговорить
или лучш е спеть. Вместо синусоиды
на экране осциллографа мы увидим
причудливую, но что важно, периоди­
ческую линию (рис. 342, б). Такой
вид граф ика соответствует сложному
Рис. 342
271
и
Основной тон
Рис. 343
звуку. Согласно одной из теорем математики, любую периоди­
ческую линию можно разлож ить на сумму простых гармони­
ческих составляющих. Причем эти составляющие будут иметь
разные частоты и амплитуды.
Разлож им исследуемый нами звук на ряд составляющих.
Такое представление сложного звука показано на рисунке 343.
Составляющая наибольшего периода (наименьшей часто­
ты) называется основны м т оном . А мплитуда основного тона,
к ак правило, больше, чем у остальных составляющ их. Основ­
ной тон определяет высоту сложного звука. По нему го­
лоса людей, звуки инструментов относятся к высоким или
низким.
Остальные составляющие сложного звука называют обер­
т онам и (у них высота тона больше, чем у основного). Набор
этих составляющих создает окраску, тембр звука. П рисутст­
вие в звуке тех или иных обертонов определяется строением
источника. П оскольку строение голосовых аппаратов у р аз­
ных людей хоть немного, но отличается, то набор обертонов,
присутствующих в голосе каждого человека, оказывается сво­
им, определяющим тембр его голоса. На этом и основано рас­
познавание голосов людей или звуков музыкальны х инстру­
ментов.
272
Вопросы и задания
1. Что такое звук? Что являет ся ист очником звука?
2. От чего зависит частота звука, излучаемого источ­
ником?
3. От чего зависит скорость распрост ранения звука в
среде? В какой среде скорость звука имеет наибольшее зн а ­
чение? наименьшее значение?
4. Н азовит е характ ерист ики звука. Чем они определя­
ются?
5. К акой волной являет ся звук в воздухе: продольной
или поперечной?
Упражнение 33
1. На рисунке 344 показаны
осциллограммы трех звуков.
Сравните эти звуки.
2. На столе рядом друг с дру­
Р и с.344
гом поставлены два одинако­
вых камертона (рис. 345). Ударом молоточка возбудим кам ер­
тон 1. Он зазвучит. После этого, прикоснувшись рукой к к а ­
мертону 1, остановим колебание его ножек. Однако звук не
прекратился. Почему? Обязательно ли в этом опыте иметь
одинаковые камертоны?
Рис. 345
3.
Человек, попавш ий в грозу, отметил, что после вспыш ­
ки молнии удар грома последовал через 10 с. Н а каком рас­
стоянии от человека произошел разряд молнии?
273
4.
Звуковая волна переходит из воздуха в воду. К ак при
этом изменяю тся характеристики звука: высота тона; длина
волны; скорость распространения?
Повторим, обдумаем изученное
Рассмотрите схему, в которой представлены характерис­
тики колебательного движ ения.
Сформулируйте определения понятий или величин, вклю ­
ченных в нее.
П о в т о р и м сам ое г л а в н о е
1. Какое движение называют колебательным?
2. Как в течение периода колебания изменяются:
— смещение;
— фаза;
— скорость;
— кинетическая энергия;
— потенциальная энергия;
— механическая энергия?
274
3. Какой вид имеет зависимость смещения тела от време­
ни при гармонических колебаниях? Что является графиком
этой зависимости?
4. Что представляют собой математический и пружинный
маятники? От каки х величин зависит период их колебаний?
5. Какие колебания называют свободными? Приведите при­
меры. Что можно сказать об амплитуде свободных колебаний?
6 . Какие колебания называют вынужденными? Приведи­
те примеры вынужденных колебаний. От чего зависит ампли­
туда вынужденных колебаний?
7. Что такое резонанс? Когда он возникает? Приведите
примеры резонанса.
8 . Какое устройство называют автоколебательным? П ри­
ведите примеры таких устройств.
9. Рассмотрите схему. Дайте определение понятий или ве­
личин, вклю ченных в нее.
Поперечные
Механические волны
Продольные
Характеристики волн
Амплитуда
Период
Частота
Скорость
распространения
Длина
волны
Звук
Характеристики звука
Сила звука
Г ромкость
Высота тона
Тембр
10. В каки х средах распространяются продольные волны;
поперечные волны?
11. Один конец ш нура заставляю т совершать гармониче­
ские колебания в направлении, перпендикулярном шнуру.
Почему шнур принимает вид синусоиды?
275
Заглянем глубже
Спектральный анализ звука
Чаще всего мы слышим сложные звуки. Например, звук, доно­
сящ ийся с улицы, включает в себя гул автомобилей, шум листвы, го­
лоса и многие другие звуки. Звук оркестра — это слитые воедино
звуки музыкальных инструментов. Слушая оркестр, непосвящен­
ный человек-слушатель воспринимает мелодию; опытный ж е музы ­
кант или дирижер в потоке льющейся музыки выделяет звук к аж до­
го инструмента. Таким образом, в сознании музыканта происходит
разложение сложного звука на составляющие, т. е. спектральный
анализ звука.
Нечто подобное можно сказать и о моторах. В двигателях содер­
ж ится огромное число блоков и деталей. В процессе работы двигате­
ля каждая деталь издает свой звук. В результате образуется слож ­
ный звук, специфичный для данного двигателя. Опытный мастер,
различая звук отдельных деталей, может на слух определить неисп­
равность. Более надежно это делают с помощью испытательных
стендов. Скажем, на летном поле расположен стенд, который запи­
сывает осциллограмму (график) звука вертолета, пролетающего на
небольшой высоте над землей. Полученную осциллограмму сравни­
вают с соответствующей осциллограммой исправной машины. Выяв­
ляя отклонения осциллограммы испытуемого вертолета от стандарт­
ной, устанавливают наличие неисправностей в тех или иных агрега­
тах вертолета. Заметьте, что такого вида техосмотр происходит на
расстоянии, без какой-либо разборки двигателя.
Пример с диагностикой моторов не всем может показаться столь
важным и известным, но такое медицинское обследование, как сня­
тие кардиограммы сердца, испытали на себе почти все. Кардиограф
получает сигналы от датчиков, окружаю щ их сердце, и на листе бу­
маги вычерчивает линию — кардиограмму. Опытный специалист по
виду кривой может судить о работе сердца.
Спектральный анализ звука непременно производится и при и з­
готовлении музыкальных инструментов. Мастер, конструируя инст­
румент, представляет себе не только основной тон, который этот ин­
струмент будет издавать, но и набор обертонов, предназначенных
для его наилучшего звучания. Добиться звучания обертонов — дело
очень нелегкое. При обработке инструмента необходимо непрерывно
следить за спектральным составом звука. Для этого используется
электронное устройство, производящее частотный анализ состава
звука. Мастер вносит в конструкцию инструмента изменения, доби­
ваясь звучания нужны х ему обертонов.
276
Электромагнитные волны
Вы уж е могли убедиться в том, что механические колебания рас­
пространяются в упругой среде и переносят энергию от одной точки
пространства к другой.
В прошлом году вы изучали электрическое и магнитное поля.
Напоминаем
Поле — одна из форм существования окружающего нас
мира.
Электрическое поле возникает вокруг зарядов, дейст­
ву ет на заряженные частицы и тела. Силовой характерис­
ти к ой электрического поля является напряженность Е:
где q — пробный положительный заряд, вносимый в точку
поля; F — сила, действующая на пробный заряд.
Магнитное поле возникает вокруг токов и магнитов.
Оказывает действие на токи, железные тела, магнитную
стрелку. Силовой характеристикой магнитного поля явля­
е тся магнитная индукция В.
Направление вектора В определяется по направлению
северного полюса маленькой магнитной стрелки, устано­
вившейся в магнитном поле.
Й - g .
где F — модуль силы, действующей на проводник длиной I
при силе то к а в нем I. Проводник расположен перпендику­
лярно силовым линиям магнитного поля.
Ранее мы говорили о постоянных электрическом и магнитном
полях. Английский ученый Д. Максвелл создал теорию электро­
магнитного поля, главный вывод которой состоял в том, что пере­
менные электрическое и магнитное поля способны распростра­
няться в пространстве. Изменение одного поля порождает появле­
ние другого поля в данной точке пространства. Этот процесс имеет
волновую природу.
Процесс распространения в пространстве переменных
электрического и магнитного полей называют электромагнит­
ной волной.
Если в механической волне происходит передача колебаний от
точки к точке среды, то в электромагнитной волне от точки к точке
277
пространства распространяются ко­
лебания
вектора
напряженности
электрического поля Е и магнитной
индукции магнитного поля В. В каж ­
дой точке пространства, через кото­
рую проходит электромагнитная вол­
на, совершают колебания вектора Е и
В. Для электромагнитной волны на­
блюдаются те ж е закономерности,
что и для распространения волны в
шнуре. Посмотрите на рисунок 327 и
вспомните эти закономерности.
Рисунок 346 представляет собой график электромагнитной вол­
ны. На нем для определенного момента времени показано распреде­
ление значений векторов Е и В в различных точках пространства по
направлению распространения волны. Из этого графика отчетливо
видно, что электромагнитная волна является поперечной.
Длина электромагнитной волны
X = сТ,
где с — скорость распространения электромагнитной волны.
Из теории Максвелла следовало, что значение скорости света
чрезвычайно велико. В вакууме оно приближенно равно 300 ООО км/с.
П озж е многие ученые на опыте измерили и уточнили это значение.
Максвелл оказался прав в своих расчетах.
Отметим два чрезвычайно важных отличия электромагнитной
волны от механической.
Во-первых, огромная скорость распространения. В пределах
Земли волна от одной точки до другой распространяется практиче­
ски мгновенно.
ШКАЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ИЗЛУЧЕНИЙ
Излучения электрических вибраторов
Длина волны, м
Ч------- 1------- 4
1 0 г>
-4-
Частота, Гц g .
4------- i------- 1----
НИЗКОЧАСТОТНЫ Е
К О ЛЕБА Н ИЯ
104
-Н
ю4
—I—
10з
ю 2
ю
1
ю -1
10“2
1CM
1 км
340s
107
—4—
3 10s
РАДИОВОЛНЫ
Рис. 347
278
1010 '
1-------1--- 1--- 4
Во-вторых, электромагнитная волна, в отличие от механиче­
ской, способна распространяться в вакууме. (Ведь электрические и
магнитные поля существуют и в вакууме.) Благодаря этому электро­
магнитные волны сквозь вакуум доходят до нас от Солнца, других
звезд, планет и тем самым осуществляют связь Земли с космосом.
Открытие электромагнитных волн позволило создать радиосвязь, ра­
дио- и телевещание.
Чрезвычайно важным оказалось еще одно научное открытие.
Измерения скорости света показали, что ее значение совпадает со
значением скорости электромагнитной волны. Наряду с другими на­
учными данными это позволило ученым сделать вывод: све т явля­
е т с я электр ом агн итной волной.
Данный вывод нелегко принять. Ведь всем хорошо известно, на­
сколько различны свет и, например, радиоволна. Свет мы видим, он
освещает окружающ ий нас мир. Для излучения и приема радиоволн
надо устанавливать антенны. И тем не менее природа этих явлений
одна. Причина ж е различия свойств света и радиоволн кроется в диа­
пазоне частот, соответствующих им. Радиоволны расположены в
диапазоне длин волн от 5 ■10 5м до Ю10м. Видимому ж е свету соот­
ветствует куда более узкий диапазон, от 4 • 1 0 14 Гц (красные лучи) до
8 • 1014Гц (фиолетовые лучи). Длина волны видимого света изм еня­
ется в пределах от 7,6 ■10 11 м до 3,8 ■10“п м.
Оказалось, что к электромагнитным волнам такж е относятся
инфракрасные и ультрафиолетовые лучи, рентгеновские лучи, ра­
диоактивное у-излучение. В момент их открытия ученые и не подоз­
ревали об этом. Слишком сильны различия этих излучений. Но ско­
рость их распространения в вакууме оказалась одной и той ж е. П оз­
ж е эти виды излучения были расположены в порядке возрастания
их частоты (и соответственно, уменьшения длины волны). Была созда­
на шкала электромагнитных волн (рис. 347).
Излучения молекул, атомов и ядер
10 -3
1 0 -4
ю - 5
1 0 -6
1 0 -7
1 0 -8
1 0 ~9
10 -Ю
ю - 1 1
ю ~ 12
1Q -13
--------------- 1----------- 1----------- 1----------- И ------ 1_|----------- 1--------u-J----------- 1----------- 1---- 1------ 1----------- (
1 мм
3 ■1011
1 нм
,
1 пм
1013
Энергия
фотонов,
Дж
6,6 • 10 21
1----------4—
4 ■1(Г2
6,6 •10"18
-I
к| 4 , 1 - 1 0
I-
6,6 •10"15
4 1 •104
-44------- 14
1 ГАММАИ ЗЛ У Ч ЕН И Е
И Н Ф РА КРА СН О Е
И ЗЛ У Ч ЕН И Е
279
Оглавление
ЧАСТЬ I. ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
Г л а в а I. М е х а н и ч е с к о е д в и ж е н и е и е г о х а р а к т е р и с т и к и
3
§ 1. Определение и виды механического движ ения . .
1.1. Определение механического д в и ж е н и я .................
1.2. Виды механического д в и ж е н и я ................................
§ 2. Х арактеристики механического д в и ж е н и я
§ 3. Относительность механического д в и ж е н и я
3.1. Относительность понятий «покой» и «движение»
3.2. Зависимость координаты тела от выбора системы
отсчета .......................................................................................
3.3. Относительность траектории движ ения ...............
3.4. Зависимость перемещения от выбора системы
отсчета........................................................................................
3.5. Зависимость скорости от выбора системы отсчета
Повторим, обдумаем изученное..........................................
3
3
5
7
18
18
19
20
21
24
27
Г л а в а II . З а к о н ы д и н а м и к и ..............................................................
30
§ 4. Взаимодействия в п р и р о д е..........................................
4.1. Виды в за и м о д е й с т в и я .................................................
4.2. В чем проявляется взаимодействие т е л .................
§ 5 . С и л а ....................................................................................
5.1. Сила — характеристика взаим одействия...............
5.2. Чем характеризуется сила? От чего она зависит?
§ 6 . Инертность тел. М а с с а .................................................
6.1. Инертность — свойство всех тел ................................
6.2. Масса как мера и н е р т н о с т и .......................................
6.3. Способы измерения м а с с ы ..........................................
§ 7. Первый закон Н ью тона.................................................
§ 8 . Второй закон Н ь ю т о н а .................................................
§ 9. Третий закон Н ь ю т о н а.................................................
Повторим, обдумаем и з у ч е н н о е .......................................
Заглянем гл у б ж е.....................................................................
30
32
33
36
36
39
42
42
44
45
48
51
57
61
65
280
Глава I I I . Силы в м е х а н и к е ......................................................
§ 10. Сила уп руго сти .............................................................
10.1. Причина возникновения силы у п р у г о с т и
10.2. Н аправление и величина силы у п р у г о с т и
§ 11. Сила т я го т е н и я .............................................................
11.1. Закон всемирного т я г о т е н и я ..................................
11.2. Сила тяж ести и вес т е л а ............................................
§ 12. Сила т р е н и я ..................................................................
12.1. Виды т р е н и я ..................................................................
12.2. Сила трения п о к о я ......................................................
12.3. Сила трения с к о л ь ж е н и я ..........................................
Повторим, обдумаем изученное .......................................
70
70
70
71
76
76
80
84
84
85
88
92
Глава IV . Законы сохранения в м е х а н и к е .......................... 95
§ 13. Другая формулировка второго закона Ньютона
95
§ 14. Закон сохранения и м п у л ь са..................................... 99
§ 15. Реактивное д в и ж е н и е................................................. 105
§ 16. М еханическая работа и м о щ н о с т ь ............................110
16.1. Что такое механическая р а б о т а ? ........................... 110
16.2. М ощ ность....................................................................... 112
§ 17. Формулы для расчета работы различных сил . . 115
17.1. Работа силы т я ж е с т и ................................................. 115
17.2. Работа силы т р е н и я .................................................... 115
17.3. Работа силы упругости............................................... 116
§ 18. Простые м ех ан и зм ы .................................................... 118
18.1. Для чего служ ат простые м еханизм ы .......................119
18.2. Коэффициент полезного действия механизмов
120
§ 19. Э нергия............................................................................ 122
19.1. Энергия. Что значит она для ч ел о в ек а?............... 122
19.2. М еханическая э н е р ги я ............................................... 125
§ 20. Закон сохранения механической э н е р г и и
130
20.1. Изменение энергии и р а б о т а ......................................130
20.2. Закон сохранения механической э н е р г и и
131
Повторим, обдумаем и з у ч е н н о е ......................................... 136
ЧАСТЬ II. ВИДЫ МЕХАНИЧЕСКОГО ДВИЖЕНИЯ
Глава V . Прямолинейное д в и ж е н и е ......................................... 138
§ 21. Задание механического движ ения ......................... 138
21.1. Способы задания механического движ ения . . . . 138
21.2. Равномерное прямолинейное д виж ение.................. 140
281
§ 22. Равноускоренное д в и ж е н и е ........................................ 141
22.1. Определение равноускоренного д ви ж ен и я
141
22.2. Уравнение и график скорости равноускоренного
д в и ж е н и я ................................................................................. 143
22.3. Формула перемещения тела при равно­
ускоренном движении ......................................................... 145
§ 23. Свободное падение т е л ............................................... 151
23.1. Ускорение свободного падения .................................151
23.2. Скорость, перемещение и координата
при свободном п а д е н и и ......................................................... 153
23.3. Движение тела, брошенного вертикально вверх 154
§ 24. Вес тела, движущ егося с ускорением
в вертикальной плоскости ................................................. 157
24.1. П ер егр у зк а..................................................................... 157
24.2. Н евесом ость................................................................... 159
§ 25. Сложное д в и ж е н и е ...................................................... 163
25.1. Разложение движ ения на составляю щ ие............ 163
25.2. Примеры разлож ения движ ения
на составляю щ ие..................................................................... 167
Повторим, обдумаем изученное.......................................... 169
Заглянем гл у б ж е..................................................................... 171
Глава VI. Движение по о к р у ж н о с т и ........................................ 178
§ 26. Равномерное движение по о к р у ж н о с т и ............... 178
26.1. Х арактеристики д в и ж е н и я ........................................ 178
26.2. При каком условии тела движ утся
по окруж ности?....................................................................... 188
§ 27. Примеры равномерного движ ения
по окружности ....................................................................... 193
27.1. Движение тела на п о в о р о т а х ................................... 193
27.2. Движение спутников и п л а н е т ................................... 196
27.3. Центробежные м ехан изм ы ....................................... 200
Повторим, обдумаем и з у ч е н н о е ...........................................203
Глава VII. Вращ ательное движение т е л а .............................. 205
§ 28. Вращательное действие с и л ы ......................................205
28.1. От чего зависит вращательное действие силы?
205
28.2. Условие равновесия тела, имеющего ось
вращ ен ия...................................................................................... 209
28.3. Применение правила м о м е н т о в .................................211
282
§ 29. Центр тяж ести и устойчивость т е л а ......................... 214
29.1. Центр т я ж е с т и ................................................................ 214
29.2. Виды р а в н о в е с и я ............................................................216
29.3. Условие равновесия тела, имеющего площадь
опоры ........................................................................................ 217
Повторим, обдумаем изученное.......................................... 221
Заглянем гл у б ж е ........................................................................222
Глава V III. М еханические колебания и в о л н ы .................... 230
§ 30. Колебательное д в и ж е н и е .......................................... 230
30.1. Х арактеристики колебательного движ ения. . . . 231
30.2. Изменение смещ ения, скорости и энергии тела
при гармонических к о л е б а н и я х ....................................... 235
§ 31. Виды к о л е б а н и й ........................................................... 241
31.1. Свободные к о л еб ан и я .................................................... 241
31.2. Вынужденные колебания. Резонанс .......................248
31.3. А втоколебания................................................................ 251
§ 32. М еханические в о л н ы ................................................. 253
32.1. Распространение колебаний в упругих ср ед ах . . 254
32.2. Поперечные и продольные волны .............................. 258
§ 33. З в у к .................................................................................... 262
33.1. Источники з в у к а ............................................................263
33.2. Распространение звука в различных средах . . . 265
33.3. Х арактеристики з в у к а ..................................................267
Повторим, обдумаем и з у ч е н н о е .......................................... 274
Заглянем гл у б ж е..................................................................... 276
Учебное издание
Гуревич Александр Евсеевич
Ф И ЗИ К А
М ЕХ А Н И К А
9 класс
Учебник для общеобразовательных
учебных заведений
Ответственный редактор Е. Н. Тихонова
Редактор И. Г. Власова
Оформление Е. П. Кузнецова
Художники JI. Я. Александрова, 3. Г. Флоринская, Н. А. Николаева
Компьютерная графика О. И. Колотова
Художественный редактор О. А.Новотоцких
Технический редактор М. В. Биденко
Компьютерная верстка О. И. Колотова
Корректор Н. С. Соболева
Изд. лиц. № 061622 от 07.10.97.
Подписано к печати 28.09.01. Формат 60x90Vi6'
Бумага офсетная. Гарнитура «Ш кольная». Печать офсетная.
Уел. печ. л. 18,0. Доп. тираж 20 000 экз. Заказ № 4172.
ООО «Дрофа».
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
По вопросам приобретения продукции
издательства «Дрофа» обращ аться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (095) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (095) 795-05-52.
Торговый дом «Ш кольник».
109172, Москва, ул. Малые К аменщ ики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (095) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «М ожайский полиграфический комбинат».
143200, г. М ожайск, ул. Мира, 93.