Controllo di Algebra Lineare: Operatori, Matrici, Valori Propri

Êîíòðîëüíàÿ ðàáîòà.
Ïóñòü φ, ψ : V → V äâà êîììóòèðóþùèõ ëèíåéíûõ îïåðàòîðà,
òî åñòü φ ψ = ψ φ. Äîêàçàòü, ÷òî
(1) Ó íèõ ñóùåñòâóåò îáùèé ñîáñòâåííûé âåêòîð
(2) Ïóñòü φ è ψ äèàãîíàëèçèðóåìû. Òîãäà ñóùåñòâóåò áàçèñ V ,
ñîñòîÿùèé èç îáùèõ ñîáñòâåííûõõ âåêòîðîâ.
1.
2.
Ëèíåéíûé îïåðàòîð A â áàçèñå
e1 = (8, −6, 7)⊤ , e2 = (−16, 7, −13)⊤ , e3 = (9, −3, 7)⊤
èìååò ìàòðèöó

1 −18 15
−1 −22 20 .
1 −25 22

Íàéäèòå ìàòðèöó äâîéñòâåííîãî îïåðàòîðà A∗ â äâîéñòâåííîì
áàçèñå ê áàçèñó
f1 = (1, −2, 1)⊤ , f2 = (3, −1, 2)⊤ , f3 = (2, 1, 2)⊤ .
3.
Íàéäèòå ñîáñòâåííûå ÷èñëà è ñîáñòâåííûå âåêòîðû îïåðàòîðà
∂2
∂2
+
∂x2 ∂xy 2
â ïðîñòðàíñòâå ìíîãî÷ëåíîâ R[x, y] ïîëíîé ñòåïåíè ⩽ 4.
△=
Îïåðàòîð ∂x∂ îáîçíà÷àåò ÷àñòíóþ ïðîèçâîäíóþ ïî ïåðåìåííîé x,
îáðàç ìîíîìà xnym ðàâåí ∂x∂ (xnym) = nxn−1ym.
Íàéäèòå æîðäàíîâó 
ôîðìó ìàòðèöû 
4.
3 −4 0
2
4 −5 −2 4 

.
0 0
3 −2
0 0
2 −1
5.
Íàéäèòå ýêñïîíåíòó ìàòðèöû


4 2 −5
6 4 −9 .
5 3 −7