СтудИзба Веретимус - Уравнения Максвелла электромагнитные волны и основы волновой оптики. Модуль 4

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА
Д.К. Веретимус, Н.К. Веретимус
УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА,
ЭЛЕТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
И ОСНОВЫ ВОЛНОВОЙ ОПТИКИ
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МГТУ ИМ. Н.Э. БАУМАНА
Модуль 4
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана
(национальный исследовательский университет)»
Д.К. Веретимус, Н.К. Веретимус
Уравнения Максвелла,
электромагнитные волны
и основы волновой оптики
Модуль 4
Учебное пособие
Под ред. А.Н. Морозова
1
УДК 537.87+535
ББК 22.343
В31
Издание доступно в электронном виде по адресу
https://bmstu.press/catalog/item/6861/
Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Физика»
Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия
В31
Веретимус, Д. К.
Уравнения Максвелла, электромагнитные волны и основы волновой
оптики. Модуль 4 : учебное пособие / Д. К. Веретимус, Н. К. Веретимус;
под ред. А. Н. Морозова. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана,
2021. —115, [1] с. : ил.
ISBN 978-5-7038-5480-8
Пособие предназначено для самостоятельного изучения студентами материалов
четвертого модуля курса «Физика». Рассмотрены теоретические основы следующих
разделов физики: уравнения Максвелла, электромагнитные волны и основные положения волновой оптики. После каждого раздела приведены решения тематических
задач и задания для самоконтроля.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей, изучающих дисциплину «Физика».
УДК 537.87+535
ББК 22.343
ISBN 978-5-7038-5480-8
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2021
© Оформление. Издательство
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2021
ПРЕДИСЛОВИЕ
Физика как одна из фундаментальных наук изучается на всех направлениях подготовки бакалавров и специалистов в МГТУ им. Н.Э. Баумана. Изучение курса «Физика» обеспечивает успешное освоение прикладных наук,
необходимое для овладения выбранной профессией.
Материл, изложенный в данном учебном пособии, предназначен для самостоятельной проработки разделов физики программы четвертого модуля
курса физики в МГТУ им. Н.Э. Баумана.
В пособии рассмотрены основные положения теории Максвелла для электромагнитного поля, электромагнитные волны, взаимодействие электромагнитных волн с веществом, электромагнитная природа света, интерференция,
дифракция, поляризация света и голография.
Материал учебного пособия адаптирован для студенческой аудитории.
Задачи, решения которых разобраны в конце каждой главы, позволяют успешно усвоить теоретические основы предмета.
Номера и условия иллюстрирующих лекционный курс примеров решения задач и задач для самостоятельного решения взяты из известного учебного пособия *.
Цель изучения дисциплины — получение целостной системы научных знаний
об окружающем мире, овладение способностью на научной основе организовывать свой труд и с большой степенью самостоятельности оценивать результаты
собственной деятельности, формирование навыков самостоятельной работы.
Методика проработки и освоения материала дисциплины состоит в последовательном изучении понятий, явлений, закономерностей, приведенных в
пособии.
Предусматривается также расширение представленного в пособии материала на основании поиска во всех возможных источниках и анализа современной научной информации.
Предложенные задачи для самостоятельного решения необходимо проработать, поскольку аналогичные задачи будут даны при текущем контроле усвоения материала дисциплины. Все задания следует выполнять строго по графику учебной работы, обсуждая результаты на семинарах и консультациях.
Планируемые результаты обучения. После изучения модуля 4 студенты
смогут:
•объяснить не менее 20 понятий и терминов, связанных с данным разделом физики, дать их формулировки;
*
Иродов И.Е. Задачи по общей физике. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2017.
4
Предисловие
• описать основные физические явления и сформулировать основные
законы физики, определить границы их применимости и назвать области их
практического приложения;
• перечислить основные физические величины и физические константы,
привести их определения, объяснить смысл, указать способы и единицы их
измерения;
• объяснить назначение и принципы действия важнейших физических
приборов;
• получить представление о современной научной картине мира на основе целостной системы естественно-научных и математических знаний;
• целенаправленно применять базовые знания в области математических
и естественных наук в профессиональной деятельности;
• использовать основные общефизические законы и принципы для решения технических задач.
ВВЕДЕНИЕ
Изучение фундаментальных наук служит базой для освоения многих прикладных предметов. Поскольку понятия физики и ее законы лежат в основе
всех фундаментальных наук, курс физики является одним из ключевых в техническом вузе.
В курсе «Физика» рассматриваются во взаимосвязи все процессы, происходящие в природе. В начале XIX века был создан важный раздел физики —
электродинамика. При этом законы электродинамики оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея, составляющих основу классической механики. Главное противоречие заключалось в том, что скорость
света в вакууме, определенная из уравнений электродинамики, оказалась
постоянной величиной, а в классической теории такой результат относится
только к системе, находящейся в состоянии покоя. Относительно движущейся системы отсчета можно получить также скорость света, зависящую от скорости движения подвижной системы отсчета, что противоречит экспериментальным данным. Именно из этого противоречия развилась специальная
теория относительности (СТО).
1. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
1.1. Основные положения теории Максвелла
Основные положения теории Максвелла для произвольной среды:
• всякое изменение магнитного поля порождает в окружающем пространстве появление вихревого электрического поля;
• всякое изменение электрического поля порождает появление в окружающем пространстве магнитного поля.
1.2. Вихревое электрическое поле
В замкнутом контуре электродвижущая сила (ЭДС) индукции
1i = −
dΦ
.
dt
(1.1)
Пусть контур Γ и поверхность S (рис. 1.1) неподвижны, изменяется во вреd
мени только магнитное поле. Тогда вместо полной производной
в этом
dt
∂
случае берем частную производную
:
∂t

∂  
∂B 
1i = − ∫ B d S = −∫
d S.
(1.2)
∂t S
∂t
S
Как известно, ЭДС индукции равна ЭДС
сторонних сил 1∗ или циркуляции вектора
напряженности сторонних сил E * по произвольному замкнутому контуру:
 
1i = 1∗ = ∫ E ∗ d l .
(1.3)
Γ
Рис. 1.1. Замкнутый контур,
в котором определяется ЭДС
индукции
В электростатическом поле


∫ Eэ.ст d l = 0.
Γ
(1.4)
1.3. Ток смещения
7
Тогда в общем случае напряженность электрического поля равна сумме

напряженностей электростатического поля и поля сторонних сил E ∗:
 

E = Eэ.ст + E ∗ .
(1.5)
Подставив (1.2), (1.3) и (1.4) в выражение (1.5)

 


 
 
∂B 
∗
∗
∫ E d l = ∫ Eэ.ст d l + ∫ E d l = ∫ E d l = −∫ ∂t d S,
S
Γ
Γ
Γ
Γ
получим закон электромагнитной индукции в интегральной форме:

 
∂B 
d
∫ E l = −∫ ∂t d S .
S
Γ
(1.6)
Таким образом, переменное во времени магнитное поле порождает вихревое
электрическое поле.
Приведем формулировку теоремы Стокса: циркуляция некоторого вектора A по контуру Γ равняется потоку ротора этого вектора через поверхность
S, опирающуюся на этот контур:
 
 

∫ A d l = ∫ rot A d S = ∫ rot A d S.
(
Γ
S
S
)
n
Применим теорему Стокса к (1.6):

 
 
∂B 
∫ E d l = ∫ rot E d S = − ∫ ∂t d S .
S
S
Γ
Стянув контур в точку, получим закон электромагнитной индукции в дифференциальной форме:


∂B
rot E = − .
(1.7)
∂t
1.3. Ток смещения
Рассмотрим процесс зарядки-разрядки конденсатора. Наличие переменного электрического поля позволяет получить замкнутую цепь.
Запишем теорему о циркуляции напряженности магнитного поля:
 
 
(1.8)
∫ H d l = ∫ j d S ,
Γ
S

где j — вектор плотности тока проводимости, А/м2.
8
1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
На замкнутый контур Γ (рис. 1.2), охватывающий провод, опираются разные поверхности, например S1 и S2 . Через поверхность S1 течет ток проводимости I,
пронизывающий замкнутый контур Γ :
 
I = ∫ j d S1 .
(1.9)
S1
Ранее отмечалось, что поверхность S2 ,
как и поверхность S1 , опирается на контур
Γ, однако через нее ток проводимости не
течет.
Таким образом, в соответствии с теоремой Стокса, для поверхности S1
можно записать
 
 
∫ H d l = ∫ rot H d S = I ≠ 0,
Рис. 1.2. Поверхности S1 и S2 ,
опирающиеся на контур Г
Γ
S1
а для поверхности S2 , через которую ток не течет,
 
 
∫ H d l = ∫ rot H d S = ?
Γ
S2
Возникает неоднозначность. В соответствии с уравнением (1.8) следует

предположить, что получатся различные значения циркуляции поля H по
одному и тому же рассматриваемому замкнутому контуру. Однако такая неоднозначность невозможна, так как результат определения физической величины не зависит от метода ее расчета.
Поверхность S2 (см. рис. 1.2) «пронизывает» только электрическое поле,
и по теореме Гаусса
 
(1.10)
∫ D d S = q .
S
Возьмем частную производную по времени от левой и правой частей уравнения (1.10) и, поменяв порядок интегрирования и дифференцирования по
времени в левой части этого уравнения, получим

∂D  ∂q
(1.11)
∫ ∂t d S = ∂t .
S
При этом, согласно уравнению непрерывности,
 
∂q
∫ j d S = − ∂t .
S
(1.12)
Выполнив сложение отдельно левых и правых частей уравнений (1.11) и
(1.12), получим
1.4. Закон полного тока
9

  ∂D  
j
∫  + ∂t  d S = 0 .
S

Из данного уравнения следует, что ∂ D ∂ t имеет размерность плотности тока.
Дж.К. Максвелл предположил, что между обкладками конденсатора возникает ток смещения. Плотность тока смещения


∂D
jсм =
.
(1.13)
∂t
Здесь вектор электрического смещения зависит не только от радиус-вектора, но и от
  
времени: D = D(r , t ).
На пластинах конденсатора линии тока проводимости непрерывно переходят в
линии тока смещения. Цепь замыкается
(рис. 1.3).
Ток смещения обладает свойством создавать в окружающем пространстве магнитное поле, что является единственно
общим с током проводимости.
Рис. 1.3. Линии тока проводимости и тока смещения в конденсаторе
1.4. Закон полного тока
В самом общем случае вводится понятие «полный ток» — сумма тока проводимости и тока смещения:
I пол = I + I см ,
(1.14)
где I — сила тока проводимости; I см — сила тока смещения.
В проводнике ток смещения очень мал ( Iсм ≈ 0 ), тогда
I пол ≈ I .
В диэлектрике ток проводимости также очень мал ( I ≈ 0 ), и
I пол ≈ I см .
Применим теорему о циркуляции для полного тока:
 
∫ H d l = I пол.
Γ
С учетом того, что плотность тока смещения определяется уравнением
(1.13), а ток проводимости — (1.9), запишем закон полного тока в интегральной форме:
10
1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля

 
 
∂D 
H
l
j
S
d
d
=
+
∫
∫
∫ ∂t d S,
S
S
Γ
(1.15)
т. е. вихревое магнитное поле создается движущимися электрическими зарядами и изменяющимся во времени электрическим полем.
Используя теорему Стокса, получим закон полного тока в дифференциальной форме:

  ∂D
rot H = j +
.
(1.16)
∂t
Здесь плотность полного тока


 
 ∂D
jпол = j + jсм = j +
,
(1.17)
∂t


где j — плотность тока проводимости; jсм — плотность тока смещения.
Таким образом, вектор напряженности магнитного поля, так же как и
вектор электрического смещения, является функцией и радиус-вектора, и

 
времени: H = H (r , t ).
1.5. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной
форме
Открытие тока смещения (см. (1.13)) позволило Дж. К. Максвеллу создать
единую теорию электрических и магнитных явлений, которая лежит в основе современной классической электродинамики.
Рассмотрим систему фундаментальных уравнений электродинамики, называемых уравнениями Максвелла в неподвижных средах.
Система уравнений Максвелла в интегральной форме в системе СИ:

 
∂B 
∫ E d l = −∫ ∂t d S ;
S
Γ

 
 
∂D 
∫ H d l = ∫ j d S + ∫ ∂t d S;
S
S
Γ


∫ D d S = ∫ ρ dV ;
S
V
 
∫ B d S = 0.
(1.18)
S

Здесь ρ — объемная плотность сторонних зарядов; j — плотность тока проводимости.
Из уравнений
Максвелла для

 циркуляций векторов напряженности электрического E и магнитного H полей следует, что отдельно как электрическое, так и магнитное поля не существуют. Изменение во времени одного из
них приводит к появлению другого: переменное во времени магнитное поле
1.5. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной форме
11
порождает вихревое электрическое поле, а переменное электрическое поле
порождает вихревое магнитное поле. Дж. К. Максвелл установил существование единого электромагнитного поля.
Таким образом, понятия об электрическом и магнитном полях относительны — существует единое электромагнитное поле. В случае стационарных


полей ( E = const и B = const) уравнения Максвелла (1.18) представляют собой две группы независимых уравнений:
 
 
∫ E d l = 0; ∫ D d S = q
Γ
и
S




∫ H d l = I ; ∫ B d S = 0.
Γ
S
Тогда электрическое и магнитное поля независимы одно от другого, поэтому можно изучать отдельно постоянное электрическое поле и постоянное магнитное поле.
Уравнения Максвелла — основные аксиомы, постулаты электродинамики,
полученные как теоретическое обобщение всех известных экспериментальных
законов электромагнетизма.
Роль уравнений Максвелла в электродинамике подобна роли законов Ньютона в классической механике.
Система уравнений Максвелла в дифференциальной форме:




 
 
∂B
∂B
rot E = −
; div D = ρ;
∇ × E = − ; ∇ ⋅ D = ρ;
∂t
∂t
или
(1.19)


  ∂D

   ∂D
 
∇×H = j +
rot H = j +
; div B = 0;
; ∇ ⋅ B = 0.
∂t
∂t
Полная система уравнений электромагнитного поля представляет собой
фундаментальные уравнения Максвелла, дополненные материальными уравнениями — соотношениями, характеризующими индивидуальные свойства
среды. Материальные уравнения в случае достаточно слабых магнитных полей, которые сравнительно медленно изменяются во времени и в пространстве, для изотропных сред, не содержащих сегнетоэлектриков и ферромагнетиков, имеют вид

 

 

D = εε0 E , B = µµ0 H ; j = σ E + E ∗ ,
(1.20)
(
)
где ε0 , µ0 — электрическая и магнитная постоянные; ε, µ, σ — диэлектрическая проницаемость, магнитная проницаемость и удельная электропроводимость среды соответственно.
Интегральная форма записи последнего уравнения (1.20) представляет
собой закон Ома для неоднородного участка цепи:
I=
ϕ2 − ϕ1 + ε12
.
R
(1.21)
12
1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
Уравнение (1.21) записано для неразветвленного участка цепи, который содержит ЭДС 1 12, имеет сопротивление R, по которому течет ток от сечения
1 к сечению 2, потенциалы электрического поля для рассматриваемых сечений ϕ1 и ϕ2 . При отсутствии ЭДС вместо уравнения (1.21) следует использовать закон Ома для однородного участка цепи:
I=
U
,
R
где U = −(ϕ2 − ϕ1) — напряжение между граничными сечениями участка цепи.
Принципиальная новизна представлений Максвелла о природе электромагнитного поля. Явление электромагнитной индукции описывается законом
электромагнитной индукции Фарадея (1.1) и правилом Ленца:
 
Φ = ∫B d S .
(1.22)
S
Уравнение (1.22) подобно первому уравнению в системе уравнений Максвелла (1.18). М. Фарадей и Э.Х. Ленц рассматривали явление электромагнитной индукции в электропроводящем контуре. В формулировке Дж. К. Максвелла
ЭДС индукции, определяемая циркуляцией напряженности электрического
поля по замкнутому контуру, возникает в тех случаях, когда изменяется во времени магнитный поток через поверхность, натянутую на этот воображаемый
контур.
Отметим, что переменное электрическое поле, в отличие от электростатического поля, непотенциальное и вихревое.
Из третьего (первого во втором ряду) уравнения системы (1.18) получаем, чтопри отсутствии поверхностной плотности объемного тока проводимости j магнитное поле может быть порождено переменным электрическим
полем; магнитное поле вихревое.
Свойства системы уравнений Максвелла
1. Уравнения системы линейны.
2. Система «замкнута», т. е. число неизвестных функций равно числу уравнений в системе.
3. Система содержит уравнение непрерывности, выражающее закон сохранения электрического заряда.
4. Система справедлива для всех инерциальных систем отсчета (ИСО),
т. е. инвариантна относительно ИСО преобразований Лоренца.
5. Система «симметрична» относительно электрического
 и магнитного
полей в нейтральной (ρ = 0 ) однородной непроводящей ( j = 0) среде:

 
 
∂B
; ∇ ⋅ D = 0;
∇×E = −
∂t
(1.23)

  ∂D
 
∇×H =
∇ ⋅ B = 0.
;
∂t
1.6. Основные следствия системы уравнений Максвелла
13
На рис. 1.4, а видно, что линии вихревого электрического поля, индуцированного изменением поля магнитной
индукции


∂B
B, образуют с вектором
левовинтовую
∂t
систему. Линии магнитного поля, индуцируемого изменением вектора электрическо
го смещения D, образуют
правовинтовую

∂D
систему с вектором
(рис. 1.4, б).
∂t
Рис. 1.4. Линии вихревого электрического (а) и магнитного (б)
полей
1.6. Основные следствия системы уравнений Максвелла
Закон сохранения электрического заряда. Вычислим дивергенцию от правой и левой частей третьего уравнения системы (1.19), используя известный
в векторном анализе результат

div rot A = 0
при любых А . Тогда




 ∂

  ∂D 
∂D
div rot H = div  j +
div
div
j
=
+
= div j + div D = 0 .

∂t 
∂t
∂t

(1.24)
Поскольку операция вычисления дивергенции сводится к дифференцированию по пространственным координатам, то порядок вычисления частной производной по времени и вычисления дивергенции можно поменять
местами. Из (1.24) получим уравнение непрерывности:

∂ρ
div j = − ,
(1.25)
∂t

а для стационарного (постоянного) тока ( j = const) из (1.25) следует закон
сохранения электрического заряда в дифференциальной форме:

div j = 0 .
(1.26)
Закон сохранения электрического заряда в интегральной форме:
 
∂
∫ j d S = − ∂t ∫ ρ dV .
S
V
(1.27)
Или с учетом (1.9) и известной формулы из электростатики q = ∫ ρd V полуV
чим
∂q
I =− .
(1.28)
∂t
14
1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
Физический смысл (1.27) и (1.28): в фиксированном объеме величина электрического заряда может измениться только при наличии тока (т. е. направленного движения электрических зарядов) через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем. Закон сохранения электрического заряда
в дифференциальной форме (1.27) не содержит объемной плотности источников
заряда. Следовательно, в классической электродинамике электрический заряд
не может возникнуть и не может исчезнуть.
Важный вывод из уравнений Максвелла: электромагнитное поле способно
существовать самостоятельно — без электрических зарядов и токов, причем
изменение его состояния имеет волновой характер. Поля такого рода называют электромагнитными волнами. В вакууме они распространяются со скоростью света с = 3·10 8 м/с.
Примеры решения задач
 Задача 2.383. Точечный заряд q движется с нерелятивистской скоростью
v = const. Найти плотность тока смещения jсм в точке, находящейся на расстоянии r от заряда на прямой:
а) совпадающей с траекторией заряда;
б) перпендикулярной траектории и проходящей через заряд.
Решение. Плотность тока смещения определяется по формуле (1.13):


∂D
jсм =
.
∂t
Найдем сначала вектор электрического смещения, а затем плотность тока
смещения:
а) определим плотность тока смещения
jсм в точке, находящейся на расстоянии r от
заряда на прямой, совпадающей с траекторией заряда. Пусть в начальный момент времени заряд q находится на расстоянии r от рассматриваемой точки N (рис. 1.5) и движется
Рис. 1.5. К определению раск
ней с постоянной скоростью v. Тогда расстояния от заряда q до точки
стояние от заряда q до точки наблюдения N
наблюдения N
l (t ) = r − vt .
Для точечного заряда напряженность поля в исследуемой точке N

 k q l ( t)
E= 02
l( t) l (t )
или с учетом k 0 =
1
4 πε0
(1.29)
Примеры решения задач
q
.
4 πε0l (t )2
E=
15
(1.30)
Связь векторов электрического смещения и напряженности имеет вид


D = εε0 E ,
где ε — диэлектрическая проницаемость среды; в рамках данной задачи
ε = 1, тогда


D = ε0 E .
(1.31)
Подставив (1.30) в (1.31), получим зависимость вектора электрического
смещения от времени
q
4πl (t )2
(1.32)
q
.
4π( r − v t)2
(1.33)
D(t ) =
или с учетом (1.29)
D(t ) =
Определим плотность тока смещения из (1.13) и (1.33):
jсм =
∂D q ∂ 
 q
1
( −v)
=
=
.
( −2)
( r − v t )3
∂t
4π ∂ t  (r − vt )2  4π
После преобразований это выражение можно записать в виде
jсм =
qv
.
2π( r − v t)3
На расстоянии r от точки наблюдения заряд q находится в момент времени
t = 0, тогда плотность тока смещения


qv
jсм =
.
2π r3
Вектор плотности тока смещения направлен по вектору скорости заряда;
б) определим плотность тока смещения jсм в точке, находящейся на расстоянии r от заряда на прямой, перпендикулярной траектории и проходящей
через заряд (рис. 1.6). Выражение, определяющее расстояние от заряда q до
точки наблюдения N в произвольный момент времени t, имеет вид
l (t ) = r 2 + v 2t2 .
(1.34)
Используя (1.32), запишем модуль вектора электрического смещения:
16
1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
Рис. 1.6. К определению расстояния от заряда q до точки наблюдения N и проекции вектора электрического смещения на оси координат
D(t ) =
q
.
4π( r 2 + v 2 t 2 )
(1.35)
Тогда проекции вектора электрического смещения на оси координат:
Dx ( t ) = D sin ϕ;
(1.36)
Dy (t ) = D cos ϕ.
(1.37)
Из построений на рис. 1.6 следует
sin ϕ =
cos ϕ =
vt
r2
;
+ v 2t 2
r
r2
(1.38)
.
+ v 2t2
(1.39)
Найдем проекцию вектора электрического смещения на ось x, используя
(1.35), (1.36) и (1.39):
q vt
Dx (t ) = −
,
(1.40)
32
4π( r 2 + v2t 2 )
и на ось y, используя (1.35), (1.37) и (1.40):
Dy (t ) =
qr
4π (
r 2 + v2t 2
)
32
.
(1.41)
С помощью (1.13) найдем проекции вектора плотности тока смещения
на ось x:
x =
jсм

qv ∂ 
t
∂Dx (t )
.
=−
4π ∂t  ( r 2 + v2 t 2 )3 2 
∂t


После дифференцирования
x =−
jсм
qv ( r2 − 2v2 t 2 )
4π ( r 2 + v 2 t 2 )
52
,
Примеры решения задач
17
проекция вектора плотности тока смещения на ось y имеет вид
y
jсм
=
∂Dy ( t )
∂t
=

qr ∂ 
1
.
4π ∂t  ( r 2 + v2 t 2 ) 3 2 


После дифференцирования
y
jсм
=−
6 qrv 2 t
8π ( r 2 + v 2 t 2 )
52
.
На расстоянии r от точки наблюдения заряд q находится в момент времени t = 0, тогда проекции плотности тока смещения
x
jсм
=−
qv r 2
qv
=−
;
5
4πr
4πr 3
y
jсм
= 0.
Вектор плотности тока смещения


qv
jсм = −
.
4 πr 3
Таким образом, вектор плотности тока смещения направлен вдоль оси x
или по вектору скорости заряда.

 
 
∂B
Задача 2.388. Показать, что уравнения Максвелла ∇ × E = −
и ∇⋅B = 0
∂t
являются совместимыми, т. е. первое из них не противоречит второму.
Решение. Возьмем дивергенцию от обеих частей первого уравнения системы (1.19):

 
∂B
∇×E = −
(1.42)
∂t
или


∂B
rot E = −
.
∂t


Поскольку div rot A = 0 при любом A , то


 ∂B 
div rot E = div  −
 = 0,
 ∂t 
следовательно,

 ∂B 
div  −
 = 0.
 ∂t 
1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля
18
Эти операции перестановочны. Меняем порядок дифференцирования и
интегрирования:

∂ div B
= 0,
∂t
(
откуда
)

div B = const
или
 
∇ ⋅ B = const.
Примем const = 0 , так как нулевая константа является частным случаем, поэтому уравнение Максвелла (1.42) и последнее уравнение системы (1.19)
 
∇⋅B = 0
не противоречат друг другу.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 2.384. Две частицы, каждая массой m, с зарядами q и −q движутся под действием электрического притяжения по окружности так, что соединяющая их прямая вращается с угловой скоростью ω. Найти плотность
тока смещения в центре этой системы.


 
Ответ: jсм = ε0  ω, E  , где E — напряженность электрического поля в
32ε 20m 2ω7
.
πq
Задача 2.389. В некоторой области инерциальной
системы отсчета име
ется вращающееся
с угловой
кото
  скоростью ω магнитное поле, индукция


B.
ω
∇
×
E
рого равна B . Найти
в
этой
области
как
функцию
векторов
и



Ответ: ∇ × E = − ω, В  .
центре системы; jсм = 3
2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
2.1. Волновое уравнение для электромагнитного поля
и его общее решение
Для последующего вывода уравнения плоской электромагнитной волны
запишем в прямоугольных декартовых координатах первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме (1.19):

i

j

k

∂
rot E =
∂x
Ex
∂
∂y
Ey



∂
∂
Bx i + By j + Bz k .
=−
∂z
∂t
Ez
(
)
Раскроем определитель:

  ∂ Ez ∂E y    ∂ Ez ∂ E x    ∂E y ∂E x 


∂
i
Bx i + By j + Bz k .
−
−
+ k
−
− j
=−

y
z
x
z
x
y
t
∂ 
∂ 
∂ 
∂
 ∂
 ∂
 ∂
(

Приравнивая компоненты при ортах i ,
)
 
j, k, запишем
∂Ez ∂ Ey
∂B
−
=− x;
∂y
∂z
∂t
(2.1)
∂B
∂ E x ∂ Ez
−
=− y;
∂z
∂x
∂t
(2.2)
∂Ey
∂x
−
∂B
∂E x
=− z.
∂y
∂t
(2.3)
Из третьего уравнения Максвелла (1.19) аналогичным способом получим
∂H z ∂ H y
∂D
−
= jx + x ;
∂y
∂z
∂t
(2.4)
∂Dy
∂H x ∂ Hz
−
= jy +
;
∂z
∂x
∂t
(2.5)
20
2. Электромагнитные волны
∂H y
∂x
−
∂Dz
∂H x
= jz +
.
∂y
∂t
(2.6)
Из второго уравнения Максвелла в дифференциальной форме (1.19) с
учетом того, что в прямоугольной декартовой системе координат
 ∂ Dx ∂D y ∂ Dz
div D =
, следует
+
+
∂x
∂y
∂z
∂ Dx ∂Dy ∂Dz
+
+
= ρ.
∂x
∂y
∂z
(2.7)
Преобразуем последнее уравнение Максвелла (1.19) к виду
∂B x ∂ B y ∂Bz
+
+
= 0,
∂x
∂y
∂z
(2.8)
а уравнение непрерывности (1.25) — к виду
∂jx ∂ j y ∂jz ∂ρ
+
+
+
= 0.
∂ x ∂y ∂z ∂t
Система уравнений Максвелла допускает существование переменного
электромагнитного поля в пространстве, свободном от электрических зарядов, в виде электромагнитных волн. Рассмотрим ситуацию в вакууме или в

однородной (ε = const) нейтральной (ρ = 0) непроводящей ( j = 0 ) среде.




Из материальных уравнений среды D = εε0 E и B = µµ 0H получим




∂D
∂E
∂B
∂H
;
;
= εε0
= µµ0
(2.9)
∂t
∂t
∂t
∂t




div D = εε0 div E ; div B = µµ0 div H .
(2.10)
Из уравнений Максвелла в дифференциальной форме (1.19) с учетом (2.9)
для нейтральной непроводящей среды имеем


∂H
rot E = − µµ0
;
(2.11)
∂t

div D = 0;
(2.12)


∂E
rot H = εε0
;
(2.13)
∂t

div B = 0.
(2.14)
2.1. Волновое уравнение для электромагнитного поля и его общее решение
Из векторного анализа известно, что



rot rot a = grad div a − ∆a ,

где a — векторная функция; ∆ — оператор Лапласа.
Тогда из уравнений (2.11) и (2.15) получим




∂H 
∂
rot rot E = rot  −µµ0
= − µµ0 rot H ,

∂t 
∂t

с учетом (2.13)
21
(2.15)


∂2 E
rot rot E = −εµε 0 µ 0 2 ,
∂t
согласно (2.15)



rot rot E = grad div E − ∆E .
Поскольку рассматриваемая среда нейтральная и ее объемная плотность за

ряда ρ = 0 , то из (2.12) с учетом равенств (2.10) получим div D = εε0 div E = 0,

следовательно, div E = 0 . Тогда


rot rot E = −∆E ,
откуда


∂2 E
∆E = εµε0 µ0 2 .
∂t
(2.16)



Аналогично с учетом (2.14) div B = µµ0 div H = 0, следовательно, div H = 0,
из уравнений (2.11) и (2.13) следует





∂E 
∂
∂2 H
E
rot rot H = rot  εε0
rot
= εε0
= − εµε0 µ0 2 ;
∂ t 
∂t
∂t



∂2 H
∆H = εµε 0 µ 0 2 .
∂t
(2.17)
Известно, что волновое уравнение имеет вид
∆f =
1 ∂2 f
,
v 2 ∂t2
(2.18)
где f = f ( x, y, z, t ) — волновая функция; v – скорость волны. В прямоугольной декартовой системе координат уравнение волны
∂ 2 f ∂2 f ∂2 f
1 ∂2 f
+ 2 + 2 = 2 2 .
2
v ∂t
∂x
∂y
∂z
22
2. Электромагнитные волны
Сравнивая (2.16) и (2.17) с волновым уравнением (2.18), отметим, что электрическое и магнитное поля имеют волновой характер.
Электрическое и магнитное возмущения распространяются с некоторой
скоростью. Как любая бегущая волна, электромагнитная волна переносит
энергию.
2.2. Скорость распространения электромагнитных волн

Из (2.16)–(2.18) следует, что фазовая скорость электрической
волны E

совпадает с фазовой скоростью магнитной волны H и в вакууме равна скорости электромагнитной волны в вакууме:
1
v0 =
ε0 µ0
= c.
(2.19)
Здесь c — скорость света в вакууме; ε 0, µ0 — электрическая и магнитная
постоянные соответственно,
c=
1
4π ⋅ 10 −7
4π ⋅ 9 ⋅109
= 3 ⋅ 108 м/с.
Фазовая скорость электромагнитной волны в среде
v=
1
c
= ,
n
εµε0 µ0
где n — показатель преломления среды;
n = εµ .
(2.20)
Скорость электромагнитной волны
v = λv,
где λ, v — длина и частота волны.
Плоская электромагнитная волна. Получим уравнение плоской электромагнитной волны для следующего частного случая: электромагнитная волна
(ε = const, µ = const) нейтральраспространяется в вакууме или
 в однородной
ной (ρ = 0), непроводящей ( j = 0 ) среде. Рассмотрим распространение электромагнитной
в плоском однородном диэлектрике вдоль оси x (рис. 2.1).
 волны

E
H
Векторы
и
не зависят от осей y и z. Тогда из (2.1) и второго уравнения системы (2.9) следует
0 = −µµ0
∂H x
,
∂t
2.2. Скорость распространения электромагнитных волн
23
или
∂H x
= 0.
∂t
Из равенства (2.2) получим
∂H y
∂Ez
= µµ0
,
x
∂
∂t
(2.21)
из выражения (2.3) —
∂Ey
∂H z
.
= − µµ0
∂x
∂t
(2.22)
Рис. 2.1. Распространение электромагнитной волны в вакууме (П —
волновая поверхность)
Используя (2.4) и первое уравнение
системы (2.9), запишем
0 = εε0
откуда,
∂E x
,
∂t
∂ Ex
= 0.
∂t
Из (2.5) следует
∂E y
∂H z
,
= −εε 0
∂x
∂t
(2.23)
∂H y
∂E z
.
= εε0
∂x
∂t
(2.24)
из (2.6) —
С учетом (2.7) запишем
εε0
тогда
∂E x
= 0,
∂x
∂Ex
= 0,
∂x
а из (2.8) имеем
∂H x
= 0.
∂x
Таким образом, получено, что электрическое поле Ex однородное, т. е.
Ex не зависит от времени t и от координаты x:
Ex = const.
24
2. Электромагнитные волны
Магнитное поле H x тоже однородное и не зависит от времени t и координаты x :
Hx = const.
Следовательно, напряженности электрического Ex и магнитного H x полей вдоль оси x могут быть обусловлены только наличием внешних постоянных полей.
Рассмотрим случай, когда внешние постоянные поля отсутствуют, т. е.
Ex = H x = 0.
Выпишем попарно (2.22) и (2.23), (2.21) и (2.24):
∂ Hy
 ∂Ey
∂H z  ∂E z
 ∂x = − µµ 0 ∂ t ;  ∂x = µµ 0 ∂t ;


 ∂ H z = − εε ∂E y ;  ∂Hy = εε ∂E z .
0
0
 ∂ x
∂ t  ∂x
∂t
(2.25)
Из (2.25) следует, что напряженности электрического и магнитного полей
взаимозависимы.
Продифференцируем первую систему в (2.25):
∂2Ey
∂2 E y
∂  ∂H z 
=
−
µµ
=
εµε
µ
;
0
0
0


∂x2
∂ t  ∂x 
∂ t2
∂2 H z
∂2 Hz
∂  ∂Ey 
= −εε0 
= εµε0 µ 0
.

2
∂x
∂t  ∂ x 
∂t 2
Таким образом, получено уравнение плоской электромагнитной волны:
∂2Ey
∂2 Ey
= εµε0 µ0
;
2
∂x
∂t 2
(2.26)
∂2H z
∂2 H z
=
εµε
µ
,
0 0
∂ x2
∂t 2
(2.27)
где εµε0 µ0 = 1 v 2 .
Решения волновых уравнений (2.26) и (2.27) будем искать в виде
E y = Em cos( ωt − kx + α1 )
(2.28)
Hz = Hm cos ( ωt − kx + α2 ),
(2.29)
и
где E m , H m — амплитудные значения электрического и магнитного векторов
соответственно; k = 2π λ — волновое число.
2.2. Скорость распространения электромагнитных волн
25
Подставив (2.28) и (2.29) в первую систему из (2.25), получим
kEm sin ( ωt − kx + α1 ) = µµ0 ωH m sin ( ωt − kx + α2 )
(2.30)
kHm sin (ω t − kx + α2 ) = εε0 ω Em sin (ω t − kx + α1 ) .
(2.31)
и
При α1 = α2 положим α1 = α2 = 0 , тогда выражения (2.28) и (2.29) примут
вид
E y = Em cos ( ωt − kx )
(2.32)
H z = H m cos ( ωt − kx ) .
(2.33)
и
Выражения (2.30) и (2.31) соответственно примут вид
kEm sin (ωt − kx ) = µµ0 H m ω sin (ωt − kx )
(2.34)
kH m sin (ωt − kx ) = εε0 E mω sin (ωt − kx ).
(2.35)
и
Перемножив левую часть (2.34) и правую часть (2.35), и, соответственно,
правую (2.34) и левую (2.35), получим связь амплитудных значений электрического и магнитного векторов в электромагнитной волне:
εε0 Em2 = µµ0 H m2 ;
εε0 E m = µµ0 H m .
(2.36)
εε0 E = µµ0 H .
(2.37)
Для мгновенных значений

Рис. 2.2. Векторы напряженностей электрического E и магнит
ного H полей, совершающие колебания в одинаковой фазе
2. Электромагнитные волны
26


Векторы E и H совершают колебания в одинаковой фазе (рис. 2.2), т. е.

 
E = E y j = E m cos ( ωt − kx ) ;

 
H = H z k = H m cos ( ωt − kx ) .


Здесь j и k – единичные орты прямоугольной
декартовой системы координат.
Плоскополяризованная волна. В электромагнитРис. 2.3. «Правая тройка»

векторов
ной волне изменения векторов E и H происходят во взаимно перпендикулярных плоскостях.
  

 
Векторы v, E y и Hz , v, Ez и H y составляют «правую тройку» векторов (рис. 2.3).
Основной вывод: электромагнитная волна поперечная.
2.3. Энергия и импульс электромагнитного поля.
Вектор Пойнтинга. Теорема Пойнтинга
Рис. 2.4. Элементарный
цилиндр
Выделим площадку d F⊥ , перпендикулярную направлению распространения электромагнитной волны в элементарном цилиндре
(рис. 2.4).
Плотность потока энергии — энергия, переносимая волной за единицу времени через
единичную нормальную площадку
S=
dW
.
d F⊥ d t
Единица S в СИ — Дж/(м2 ∙ с).
Элементарная энергия в элементарном цилиндре (см. рис. 2.4)
d W = w d V = w v d t d F⊥ ,
где w – объемная плотность энергии, Дж/м3 ; dV — объем элементарного
цилиндра.
Вектор Пойнтинга (в упругой волне — вектор Умова)


S = wv.
(2.38)
Объемная плотность энергии электромагнитной волны определяется суммой
объемных плотностей энергий электрического и магнитного полей:
w = wэ + wм =
εε0 E 2 µµ 0 H 2
,
+
2
2
(2.39)
2.3. Энергия и импульс электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга...
27


ED
HB
— объемная плотность энергии электрического поля; wм =
—
2
2
объемная плотность энергии магнитного поля.


Поскольку в электромагнитной волне плоские волны E и H специальным образом ориентированы относительно друг друга, имеют одну и ту же
начальную фазу колебаний и согласованные между собой амплитуды, частоты и волновые векторы у этих волн одинаковы, то с учетом (2.37)
где wэ =
E=
µµ 0 H
εε0
; H =
εε 0 E
µµ0
.
(2.40)
Тогда из (2.33) и (2.34) следует
w=
1
εε 0E 2 εε 0µµ 0 E 2
+
= εε0 E 2 = εµε0 µ0 EH = EH .
2
2 µµ0
v
(2.41)
Вектор Пойнтинга
  
S = E × H;
(2.42)

S = S = EH sin 90° = EH .
Согласно (2.39), вектор Пойнтинга имеет смысл
плотности потока энергии, переносимой через объем.
Единица
вектора
Пойнтинга в СИ — Вт/м2. Векторы
 

S , E и H образуют «правую
 тройку» векторов
(рис. 2.5). Направление вектора S совпадает с направ

лением переноса волной энергии (S ↑↑ v ).
Теорема Умова — Пойнтинга является одной из
форм закона сохранения энергии, связанной с переносом энергии:
Рис. 2.5. К определению направления
вектора Пойнтинга
 

∂
 ∫ w d V  = − ∫ S d F .
∂t  V

F
Левая часть выражения представляет собой скорость изменения энергии
электромагнитного поля в некотором объеме при распространении волны,
правая — поток энергии через ограничивающую этот объем поверхность.
Поток энергии
 
Φ = ∫ S d F,
F
 
где d F = n d F ; d F — элементарная площадка (рис. 2.6).
28
2. Электромагнитные волны
Единица потока энергии в СИ — Вт, 1 Вт =
= 1 Дж/с.
В реальной бегущей электромагнитной волне
отличен от нуля средний по времени вектор Умова — Пойнтинга
T

1 
⟨ S ⟩ = ∫ S ( t ) dt ≠ 0 ,
T0
откуда следует вывод, что бегущая электромагнитная волна переносит
энергию. Среднее по

Рис. 2.6. Выделение элемен- времени значение S c является плотностью потарной площадки в теле
тока импульса.
Перенос энергии W электромагнитной
волной сопровождается также переносом импульса. Согласно специальной
теории относительности (СТО), импульс объекта с массой покоя m0 = 0 , движущегося со скоростью света v = c,
p =W c,
тогда
p = w c,
(2.43)
где p , w — плотности импульса и энергии, т. е. величины, отнесенные к
единице объема.
Умножив числитель и знаменатель правой части (2.43) на c , получим в
числителе, согласно (2.38), плотность потока энергии (wc), которая, в свою
очередь, равна модулю вектора Пойнтинга. Таким образом, в векторном виде
 
 E×H
p=
.
(2.44)
c2
Интенсивность электромагнитной волны I — модуль среднего по времени
значения плотности потока электромагнитной энергии, которая определяется вектором Пойнтинга S следующим образом:
T
I=
1
S d t = S ~ Em Hm ,
T ∫0
где T — период электромагнитной
  волны; S
чение вектора Пойнтинга, S = E × H .
Для прозрачных сред µ ≈1 , n = ε , тогда
H = ε
ε0
E ~ nE ;
µ0
(2.45)
— среднее по времени зна-
Примеры решения задач
Hm ~ nEm ,
29
(2.46)
где Em = A — амплитуда колебаний напряженности электрического поля.
Интенсивность электромагнитной волны
I ~ nE 2m = nA2 .
(2.47)
Примеры решения задач
Задача 3.249. Синусоидальный ток частотой ω = 1000 c−1 течет по обмотке соленоида, радиус сечения которого R = 6, 0 см. Найти отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри соленоида.
Решение. Выделим участок соленоида длиной l (рис. 2.7). Определим
энергию внутри этого участка: энергию электрического поля Wэ , энергию
магнитного поля Wм . Магнитная проницаемость среды внутри соленоида
µ = 1, а ее диэлектрическая проницаемость ε = 1 .
Рис. 2.7. Участок соленоида длиной l
Переменный электрический ток
I = Im sinω t
порождает переменное магнитное поле внутри соленоида, переменный магнитный поток, пронизывающий витки соленоида, порождает вихревое электрическое поле.
Магнитное поле внутри длинного соленоида однородное. Напряженность
магнитного поля в соленоиде
H (t ) =
NI ( t)
,
l
где N — число витков в соленоиде; I — ток в обмотке соленоида; l — длина соленоида.
Значение вектора магнитной индукции в соленоиде (при отсутствии
магнетика)
2. Электромагнитные волны
30
B (t ) = µ 0
NI (t )
.
l
(2.48)
Объемная плотность энергии магнитного поля

2
BH µ0  NI (t ) 
wм =
.
=
2
2  l 
Энергия магнитного поля внутри участка соленоида длиной l
2
Wм = wм πR 2l =
µ0  NI (t ) 
µ N 2 I (t )2 πR 2
πR 2l = 0
;


2  l 
2l
Wм =
µ 0 N 2π R2I m2 sin2 ωt
.
2l
(2.49)
Электрическое поле внутри соленоида неоднородное. Объемная плотность энергии электрического поля

ED
wэ =
.
(2.50)
2
Выберем вспомогательный контур — окружность радиусом r (Cr ) с центром на оси соленоида (см. рис. 2.7).
Закон Фарадея — Максвелла

dΦ

dB
∫ E (r , t )d l = E (r , t )⋅ 2 πr = − d t = − πr 2 d t ;
Cr
E (r , t ) = −
r dB
.
2 dt
С учетом (2.48)
r
N d I (t )
E( r, t) = − µ0
.
l dt
2
(2.51)
Выделим цилиндрический слой длиной l, радиусом r, толщиной d r
(см. рис. 2.7). Энергия электрического поля в этом слое
dWэ = wэ (r , t ) ⋅ 2πrl d r,
(2.52)
во всем участке соленоида —
Wэ = ∫ dWэ .
Объемная плотность энергии электрического поля, согласно (2.50) и (2.51),
Примеры решения задач
31
2
w э(r, t ) =
ε0 r 2 2 N 2  d I (t )
µ

 .
2 4 0 l2  d t 
(2.53)
Энергия электрического поля в тонком цилиндрическом слое в соответствии с (2.52) и (2.53)
2
dWэ =
ε 0µ 20 N 2  d I (t ) 
3

 πr d r .
4l  d t 
Энергия электрического поля внутри участка соленоида длиной l
2
R
2
R
ε0 µ20 N 2  d I (t) 
ε µ2 N 2  d I ( t ) 
πr 3 d r = 0 0
π r 3 d r,


4l  d t 
4 l  d t  ∫0
0
Wэ = ∫
2
ε µ 2 N 2  d I (t)  πR 4 ε0 µ20 N 2 πR 4 ω2I m2
Wэ = 0 0
=
cos 2 ωt.
4l  d t  4
16l
Таким образом,
Wм =
µ0 N 2 πR 2 Im2
sin2 ωt;
2l
(2.54)
ε µ 2 N 2πR 4ω2I m2
Wэ = 0 0
cos 2 ωt.
16l
Амплитуда при гармонической функции в первой степени. С учетом математических формул преобразования
sin 2 ( α 2 ) =
1 − cos α
1 + cos α
; cos2 ( α 2) =
2
2
(2.55)
из (2.54) получим отношение амплитудных значений электрической и магнитной энергий внутри соленоида:
(Wэ ) m ε0 µ0 R 2ω2 R 2ω2
=
=
,
8
8 c2
(Wм )m
где c =
1
— скорость света в вакууме, c = 3 ⋅ 108 м/с.
ε 0µ 0
Согласно (2.56),
(Wэ ) m (6 ⋅10−2 )2 ⋅ (103 )2 36 ⋅10−4 ⋅106 4 −4 +6 −16
=
=
= ⋅ 10
= 0,5 ⋅ 10−14 ,
8 ⋅( 3 ⋅ 108) 2
8 ⋅ 9 ⋅ 1016
8
(Wм )m
(2.56)
2. Электромагнитные волны
32
т. е.
(Wэ )m << (Wм )m .
(2.57)
Амплитудное значение электрической энергии внутри соленоида значительно меньше амплитудного значения магнитной энергии.
Задача 3.250. Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами медленно заряжают. Показать, что поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора
за единицу времени. Рассеянием поля на краях конденсатора при расчете пренебречь.
Решение. Поскольку конденсатор медленно заряжают, то


dσ
dE
dD
>0 ⇒
>0 ⇒
> 0.
dt
dt
dt
Рис. 2.8. Плоский конденсатор с круглыми параллельными пластинами

Следовательно, ток смещения направлен вниз
(рис. 2.8).
Проведем в пространстве между обкладками конденсатора вспомогательный замкнутый
контур – окружность, лежащую в плоскости,
параллельной плоскостям обкладок с центром
на оси обкладок. Радиус вспомогательной
окружности равен радиусу обкладок. Запишем
теорему о циркуляции вектора напряженности
магнитного поля с учетом того, что токи проводимости внутри конденсатора отсутствуют
(проводимость среды не указана), есть только
токи смещения:
∂D

∂E
∫ H d l = H ⋅ 2 πR = πR2 jсм = πR2 ∂t = πR2 εε0 ∂t ;
CR
H =
∂E
R
εε0
.
∂t
2
Вектор Пойнтинга
  
S = E × H.
Поток вектора Пойнтинга (энергия, которая вносится вектором Пойнтинга за единицу времени) через боковую поверхность конденсатора
PS = S ⋅ 2πRl = EH ⋅ 2πRl = E
R
∂E
εε0
⋅ 2π Rl;
2
∂t
Примеры решения задач
33
∂E
.
∂t
(2.58)
PS = π R2 l εε0 E
Энергия конденсатора представляет собой сумму энергий электрического Wэ и магнитного Wм полей:
W = Wэ + Wм
и
W ≈ Wэ ,
поскольку известно (можно проверить расчетом, аналогичным приведенному в задаче 3.249), что в данной задаче
(Wэ )m >> (Wм )m .
(2.59)
Тогда изменение энергии конденсатора за единицу времени (изменение
энергии внутри объема конденсатора в единицу времени)
dWэ
d
= ( wэ πR 2l ) ,
dt
dt
(2.60)
где wэ — объемная плотность энергии электрического поля. Электрическое
поле в пространстве между обкладками плоского конденсатора однородно,
т. е.

ED εε0 E 2
.
wэ =
=
(2.61)
2
2
Подставив (2.61) в (2.60), получим изменение энергии конденсатора за
единицу времени:
d Wэ
d  εε E 2  πR2 l εε 0 d
dE
E 2 ) = π R2 lεε0 E
.
= π R 2l  0  =
(
dt
dt  2 
2
dt
dt
(2.62)
Сравнивая (2.58) и (2.62), получаем, что поток вектора Пойнтинга через
боковую поверхность конденсатора равен приращению энергии конденсатора за
единицу времени:
dWэ
PS =
,
dt
что и требовалось доказать.
Задача 3.251. По прямому проводнику круглого сечения течет постоянный ток I. Найти поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка данного проводника, имеющего сопротивление R .
Решение. Поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность участка
цилиндрического проводника (рис. 2.9)
2. Электромагнитные волны
34
PS = S ⋅ 2πrh ,
где 2πrh – площадь боковой поверхности проводника.
Вектор Пойнтинга
  


S =E×H , E ⊥H ,
тогда значение вектора Пойнтинга
S = EH .
Рис. 2.9. Прямой проводник
круглого сечения с постоянным током I
Найдем
вектор напряженности магнитного

H
поля
на боковой
поверхности цилиндра. На
правление H определим по правилу
правой ру
ки. Для нахождения модуля H применим теорему о циркуляции. Вспомогательный контур —
окружность с центром на оси цилиндра, радиусом r (см. рис. 2.9),
 
I
∫ H d l = H ⋅ 2πr = I ⇒ H = 2π r .
C
r

Электрическое поле E однородно по сечению проводника. Напряжение
U на концах проводника, согласно закону Ома,
U = IR ;
U = Eh = IR, откуда
E=
IR
.
h
Тогда значение вектора Пойнтинга
S = EH =
IR I
I 2R
.
=
h 2π r 2π rh
Поток вектора Пойнтинга через боковую поверхность проводника
PS =
I 2R
⋅ 2πrh = I 2 R .
2 πrh
Задачи для самостоятельного решения
Задача 3.243. В вакууме вдоль оси Х распространяются две плоские одинаково поляризованные волны, электрические составляющие которых изме



няются по закону E1 = E0 cos(ωt − kx ) и E2 = E0 cos(ω t − kx + ϕ). Найти среднее значение плотности потока энергии.
Ответ: S = ε0cE 02 ( 1 + cos ϕ ) .
Задачи для самостоятельного решения
35
Задача 3.245. Шар радиусом R = 50 см находится в немагнитной среде с
проницаемостью ε = 4, 0. В среде распространяется плоская электромагнитная волна, длина которой λ << R , амплитуда электрической составляющей
Em = 200 В/м. Какая энергия падает на шар за время t = 60 с?
Ответ: Здесь t >> T , где T — период колебаний; поэтому искомая энергия W =
εε0 Em2 πR2t
= 5 кДж.
2
µ0
3. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН
С ВЕЩЕСТВОМ
3.1. Нормальная и аномальная дисперсии
Дисперсией света называют совокупность явлений, обусловленных зависимостью показателя преломления n вещества (и скорости света в этой среде) от частоты ω, или длины волны λ света соответственно:
n = n (λ ); n = n(ω).
Дисперсия вещества — количественная мера дисперсии, т. е.
D=
dn
.
dλ
Для прозрачных бесцветных веществ в видимой части светового спектра
нормальная дисперсия
dn
∆λ > 0; ∆n < 0,
< 0.
dλ
Дисперсия света считается нормальной, если показатель преломления n
монотонно убывает с увеличением длины волны λ (рис. 3.1, а).
Рис. 3.1. Зависимость показателя преломления n вещества от длины волны λ света
в вакууме при нормальной (а) и аномальной (б) дисперсиях
Аномальная дисперсия — вид дисперсии света, при которой показатель преломления n увеличивается с увеличением длины волны λ света (рис. 3.1, б):
∆λ > 0; ∆n > 0;
dn
> 0.
dλ
3.1. Нормальная и аномальная дисперсии
Согласно современным представлениям,
нормальная и аномальная дисперсии — явления единой природы.
На рис. 3.2 область аномальной дисперсии совпадает с полосой поглощения a(λ).
Вакуум дисперсией не обладает. Все остальные вещества обладают дисперсией в той
или иной степени.
Определим дисперсию для плоской монохроматической волны.
Монохроматической волной называется
электромагнитная волна одной определенной частоты ν (ν = const), описываемая уравнением
37
Рис. 3.2. Зависимость показателя преломления вещества n(λ) ,
полоса поглощения a(λ) совпадает с областью аномальной
дисперсии
E ( x, t ) = A cos(ωt − kx ),
где k — волновое число;
ϕ = ωt − kx
— фаза волны.
Продифференцировав предыдущее выражение, запишем
ωd t − k d x = 0.
Отсюда получим дисперсию — зависимость фазовой скорости от частоты:
v=
dx ω
= ,
dt k
2π
— волновое число.
λ
Тогда зависимость фазовой скорости от длины волны примет вид
где ω = 2πν — циклическая частота; k =
v = λν.
Группа волн или волновой пакет. Строго монохроматическая волна является идеализацией. Любая реальная волна, согласно теореме Фурье, может
быть представлена в виде суперпозиции монохроматических волн с различными амплитудами и частотами ω в некотором интервале ∆ω .
Волновой пакет (рис. 3.3) или
группа волн — суперпозиция волн , незначительно отличающихся одна от
другой по частотам (∆ω << ω) . В пределах волнового пакета монохроматические составляющие взаимно усиливаются, вне пакета — практически
Рис. 3.3. Волновой пакет
гасятся.
38
3. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
Длина волны видимого света лежит в диапазоне λсв = ( 3, 8... 7, 6) ⋅ 10−7 м.
При ∆λ << λ и ∆ω << ω уравнение группы волн имеет вид
ω0 +
E ( x, t ) =
∆ω
2
∫∆ω Aω cos( ωt − kω x)d ω.
ω0 −
2
В вакууме все монохроматические волны, образующие пакет, и сам волновой пакет распространяются с одинаковой фазовой скоростью
v = ω k.
(3.1)
В вакууме волновой пакет не изменяет своей формы.
Групповая скорость. В диспергирующей среде волновой пакет расплывается,
поскольку скорости его монохроматических составляющих различны.
Диспергирующая среда — распределенная среда, в которой наблюдается
дисперсия волн.
Если дисперсия достаточно мала, расплывание волнового пакета происходит не слишком быстро. Скорость, с которой перемещается его «центр тяжести» Amax (максимальная амплитуда) называется групповой скоростью uгр
волнового пакета. Центр группы волн перемещается с групповой скоростью
dω
uгр =
dk
или с учетом (3.1)
uгр =
d(v k )
dv
=v+k
.
dk
dk
(3.2)
Умножив и разделив второе слагаемое в правой части уравнения (3.2) на
d λ, получим
dv d λ
uгр = v + k
.
(3.3)
dλ d k
Рассмотрим второе слагаемое в правой части выражения (3.3). С учетом
того, что λ = 2π k , запишем
dλ
2π
= − 2,
k
dk
а k = 2π λ,
dλ
2πλ2
=−
2
dk
( 2π)
или
λ
dλ
=− .
k
dk
(3.4)
3.2. Электронная теория дисперсии
39
Подставив (3.4) в (3.3), получим формулу Рэлея
uгр = v − λ
dv
.
dλ
(3.5)
dv
> 0, и тогда, как следует из формулы (3.5),
dλ
групповая скорость меньше фазовой скорости uгр < v. При отсутствии дисdv
= 0, а значит,
персии групповая скорость не зависит от длины волны и
dλ
из формулы Рэлея (3.5) следует uгр = v.
В области нормальной дисперсии
3.2. Электронная теория дисперсии
Рассмотрим движение электрона, входящего в состав атома, в электромагнитном поле. Электрон в этом поле находится под действием обобщенной силы Лоренца


 
F = −eE + (−e )v × B,
где e = 1, 6 ⋅ 10− 19 Кл — модуль заряда электрона, знак «минус» учитывает знак
заряда. В вакууме
F = −eE − eµ0 v H ≈ − eE.
(3.6)
Вторым слагаемым в (3.6) можно пренебречь. Для того чтобы показать это,
используем (2.37) с учетом вакуума (ε = 1, µ = 1):
v
µ 0 v H µ 0 v ε0
=
= v ε0 µ0 = .
E
c
µ0
Здесь c = 1 ε 0µ 0 = 3 ⋅ 108 м/с — скорость света в вакууме, скорость электрона
на орбите в атоме v ~ 105 м/с, следовательно, v c << 1, т. е. вторым слагаемым
в (3.6) действительно можно пренебречь.
Дифференциальное уравнение движения электрона (колебаний оптического
электрона в поле световой волны)



d2 r
m 2 = −mω20 r − eE ,
dt
где ω0 — циклическая
частота вращения электрона по орбите вокруг ядра

(рис. 3.4); −m ω20 r — сила, обеспечивающая центростремительное ускорение
электрона, движущегося по окружности. Напряженность электрического поля электромагнитной волны, действующего на электрон,
 
E = Em cos(ω t + α ),
где ω — циклическая частота внешнего поля.
3. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
40
Решение дифференциального уравнения
ищем в виде

eE (t )

r ( t) = −
.
(3.7)
m ( ω20 − ω2 )
Рис. 3.4. Движение электрона по орбите вокруг
ядра
Рассмотрим среду – диэлектрик. Дипольный
момент молекулы в диэлектрике




p( t) = ∑ qi Ri + ∑ ( − e) rok + ∑ (− e)rk ( t) =
i
k
k


 

=  ∑ qi Ri + ∑ (− e )rok  + ∑ (− e)rk (t ),
 i
 k
k

где i — число протонов в ядре; Ri — радиус-вектор протона.
Дипольный момент



p0 = ∑ qi Ri + ∑ (− e )rok ,
i
k

в неполярных диэлектриках при E = 0

p0 = 0 .
Тогда атом в электрическом поле приобретает дипольный момент


p(t ) = ∑ ( −e )rk (t ),
(3.8)
k
подставив (3.7) в (3.8), получим

e2 E (t )
.
2
2
k m ( ω0 k − ω )

p( t) = ∑
(3.9)
Поляризованность диэлектрика, с одной стороны, зависит от вектора
электрической напряженности


P = ε0 κE ,
(3.10)
где κ — диэлектрическая восприимчивость вещества.
Диэлектрическая проницаемость диэлектрика
ε =1+ κ .
(3.11)
В изотропной немагнитной среде (µ = 1) показатель преломления (2.20)
n= ε
или
n2 = ε .
(3.12)
3.3. Закон Бугера
41
С другой стороны, поляризованность связана с дипольным моментом (3.9):




e2 E (t )
Ne2
E (t )
P = Np( t) = N ∑
=
,
(3.13)
∑
2
2
m k ( ω20 k − ω2 )
k m ( ω0 k − ω )
где N — число молекул в единице объема диэлектрика.
Найдем диэлектрическую восприимчивость диэлектрика из (3.10) и (3.13):

P
Ne2
1
κ=  =
.
(3.14)
∑
ε0 E ε0 m k ( ω20 k − ω2 )
Подставив (3.11) и (3.14) в (3.12), получим
n2 = ε = 1 + κ = 1 +
Ne 2
1
.
∑
ε0 m k ( ω02 k − ω2 )
Таким образом, видно, что показатель преломления вещества зависит от частоты внешнего поля.
3.3. Закон Бугера
Интенсивность света при прохождении через обычное вещество уменьшается (часть энергии волны затрачивается на изменение состояния электронов в атоме вещества, переходит, например, во внутреннюю энергию вещества).
Через однородное вещество распространяется параллельный световой пучок. Выделим в этом веществе тонкий плоский слой толщиной d l (рис. 3.5).
Убыль интенсивности света d I при прохождении этого слоя пропорциональна интенсивности света I в данном слое и толщине слоя d l . Поглощение света
d I = − aI d l ,
где а — коэффициент поглощения, зависит от свойств
среды и частоты света.
Запишем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и проинтегрируем левую и правую его части:
I
dI
l
∫ I = −∫ a dl
I0
0
или
ln I − ln I0 = ln
I
= −al .
I0
Рис. 3.5. Изменение
интенсивности света при прохождении
через однородное
вещество
42
3. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
После потенцирования получим закон
Бугера:
I = I 0 e −al
Рис. 3.6. Зависимость интенсивности света при прохождении через
однородное вещество от толщины
слоя вещества
(3.15)
— интенсивность света при прохождении
однородного вещества уменьшается по экспоненциальному закону (рис. 3.6).
В случае точечного источника света,
находящегося в однородной поглощающей
среде, аналогичные рассуждения проводятся для светового потока Φ . В качестве
исходного выбирают тонкий сферический
слой радиусом r и толщиной d r , тогда
Φ = Φ0 e − al ,
(3.16)
где Φ 0 — световая мощность источника (или его световой поток при r → 0).
Коэффициент поглощения а зависит от длины волны света (в вакууме). Для
жидких и твердых веществ зависимость a(λ) изображена на рис. 3.7, для газов или паров металлов при невысоком давлении — на рис. 3.8.
Рис. 3.7. Зависимость коэффициента поглощения для жидких и
твердых веществ от длины волны
света в вакууме
Рис. 3.8. Зависимость коэффициента
поглощения для газов или паров металлов при невысоком давлении от
длины волны света в вакууме
3.4. Рассеяние света
Механизм рассеяния света. Рассеяние света заключается в том, что световая волна, проходящая через вещество, вызывает колебания электронов в
атомах или молекулах вещества. Эти электроны возбуждают вторичные волны, которые, распространяясь по всем направлениям, являются когерентными волнами и интерферируют.
В однородной среде рассеяния света не происходит, так как вторичные волны полностью гасят друг друга во всех направлениях, кроме направления
распространения первичной волны.
3.4. Рассеяние света
43
В неоднородной среде наблюдается рассеяние света: световые волны, дифрагируя на мелких неоднородностях среды, дают дифракционную картину в
виде практически равномерного распределения интенсивности света по всем
направлениям.
Мутные среды — среды с ярко выраженными оптическими неоднородностями, содержащие мелкие частицы, показатель преломления которых отличается от показателя преломления окружающей среды, например, аэрозоли
(дым, туман), коллоидные растворы, матовые стекла и др.
Закон Рэлея. При рассеянии света в мутных средах на неоднородностях, размеры которых меньше 0,2λ, а также при молекулярном рассеянии интенсивность
рассеянного света обратно пропорциональна четвертой степени длины волны:
I ~ ω4 ~
1
.
λ4
(3.17)
Голубой цвет, частота которого примерно в 1,5 раза больше частоты красного, рассеивается почти в 5 раз интенсивнее, чем красный.
Поляризация рассеянного света. При рассеянии естественного света в мутной среде интенсивность рассеянного света
I = I 0 ( 1 + cos2 θ),
(3.18)
где I 0 – интенсивность света, рассеянного под углом θ = π 2 к направлению первичного светового пучка; θ – угол рассеяния.
Если размеры неоднородностей значительно больше длины волны света,
то спектральный состав рассеянного света практически совпадает со спектральным составом первичного пучка. Этим объясняется белый цвет облаков.
Молекулярное рассеяние — рассеяние света, обусловленное флуктуациями
плотности.
Причиной оптических неоднородностей даже в тщательно очищенных от
посторонних примесей жидкостях и газах являются флуктуации плотности,
т. е. отклонения в пределах малых объемов плотности от ее среднего значения,
возникающие в процессе хаотического теплового движения молекул среды.
При наличии атмосферы значительная доля прямого солнечного излучения рассеивается в стороны. Она тем больше, чем короче длина волны. Поэтому рассеянный свет преимущественно содержит коротковолновую составляющую спектра, этим и объясняется синий цвет неба. Солнце при восходе
и заходе кажется красным потому, что прямой солнечный свет в этом случае
проходит через большую толщу атмосферы, и при этом большая доля коротковолновой части спектра теряется на рессеяние; из прямого света до поверхности земли доходит преимущественно красная составляющая спектра.
Экспериментально подтверждено, что эффект, связанный с молекулярным рассеянием света, увеличивается с ростом температуры. Это объясняет
более насыщенный цвет неба в летний день, чем в зимний.
Ослабление узкого светового пучка. В результате рассеяния интенсивность
узкого светового пучка убывает в направлении распространения быстрее, чем в
случае одного лишь поглощения. Поэтому для мутной среды в (3.6) вместо коэффициента поглощения а должен стоять коэффициент ослабления
3. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
44
µ = a + a ′,
где a′ — коэффициент экстинкции, связанный с рассеивающими свойствами
среды. Тогда интенсивность узкого светового пучка будет изменяться при прохождении им расстояния l по закону
I = I 0 e −µl .
(3.19)
Примеры решения задач
Задача 4.235. Найти зависимость между групповой u и фазовой v скоростями для следующих законов дисперсии:
а) v ~ 1 λ ; б) v ~ k; в) v ~ 1 v 2 , где λ, k, v — длина волны, волновое число и частота соответственно.
Решение.
а) фазовая скорость электромагнитной волны обратно пропорциональна
корню из длины волны:
λ
v ~1
или
v=
A
λ
,
где A — постоянная.
В соответствии с (3.5) запишем
u=v−λ
A
dv
d  A 
.
=
−λ
dλ
d λ  λ 
λ
После дифференцирования получим
u=
A
λ
A 

− λ ⋅ −
(
)3 2 
2
λ

или
u=
3A
2 λ
,
а с учетом (3.20)
3
u = v;
2
б) фазовая скорость пропорциональна волновому числу:
v~k
(3.20)
Примеры решения задач
или
v = Bk,
45
(3.21)
где B — постоянная.
Воспользуемся выражением (3.3) для определения связи между групповой и фазовой скоростями:
dω
u=
.
dk
С помощью (3.1) с учетом исходных данных (3.21) находим
ω
= Bk .
k
(3.22)
ω = Bk 2 .
(3.23)
Выразим круговую частоту
Подставив в (3.3) (3.23), получим
u=
или с учетом (3.21)
d
( Bk2 ) = 2Bk
dk
u = 2v;
в) фазовая скорость обратно пропорциональна квадрату частоты
v ~ 1 ν2
или
v=
С
,
ν2
(3.24)
где С — постоянная. Тогда с учетом (3.1) и (3.24)
С ω
= ,
ν2 k
откуда
ω=
kС
.
ν2
С учетом взаимосвязи частоты и круговой частоты ω = 2 πν, запишем
ω=
kС4 π2
ω2
или
ω = 3 kС1 ,
где C1 = 4 π
2C
— постоянная.
(3.24)
46
3. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом
Определим связь между групповой и фазовой скоростями по формуле (3.3):
dω d 3
u=
=
kC .
dk d k
(
)
После дифференцирования имеем
1
C1 3
−2 3
u = C ( kC )
= 23 ,
3
3k
тогда с учетом (3.24) получим
u=
ω
.
3k
(3.25)
Используя (3.25) и (3.1), находим групповую скорость:
v
u= .
3
Задача 4.248. Узкий пучок рентгеновского излучения с длиной волны
62 пм проходит через алюминиевый экран толщиной dAl = 2,6 см. Какой
толщины свинцовый экран будет ослаблять данный пучок в такой же степени? Массовые показатели ослабления алюминия и свинца для этого излучеµ
µ
ния составляют соответственно µ *Al = Al = 3, 48 см2/г и µ*Pb = Pb = 72, 0 см2/г,
ρ Al
ρPb
где ρAl и ρPb — плотности алюминия и свинца соответственно.
Решение. Выпишем справочные значения плотности алюминия и свинца:
ρAl = 2700 кг/м2, ρPb = 11300 кг/м2. Переведем в СИ размерности исходных
* =
данных задачи: dAl = 0, 026 м, µ Al
0,348 м2/кг, µ*Pb = 7, 20 м 2/кг.
Используя (3.19), записываем для алюминия и свинца соответственно:
I Al = I 0 exp ( −µ Al dAl ) ;
IPb = I 0 exp ( −µPb dPb ) ,
*
ρPв — коэффициенты ослабления алюминия и свингде µAl = µ*Al ρAl , µPв = µPв
ца соответственно. Тогда
I Al = I 0 exp ( − µ*Al ρAl dAl );
* ρ d
IPb = I 0 exp ( −µ Pb
Pb Pb ) .
Поскольку ослабление пучка одинаково, то
I Al = I Pb ,
Задачи для самостоятельного решения
следовательно
47
exp( −µ*AlρAl dAl ) = exp ( −µ*PbρPb dPb ),
или после логарифмирования
µ*AlρAl dAl = µ*PbρPb dPb .
Отсюда толщина свинцового экрана
dPb =
* ρ
µ Al
Al
d Al ,
*
µPbρPb
или
dPb =
0,348 ⋅ 2700
⋅ 0, 026 = 0, 0003 м.
7, 20 ⋅11300
Отметим, что толщина свинцового экрана в 87 раз меньше толщины алюминиевого экрана.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.237. Показатель преломления сероуглерода для света с длинами
волн 509, 534 и 589 нм равен соответственно 1,647, 1,640 и 1,630. Вычислить
фазовую и групповую скорости света вблизи λ = 534 нм.
 ( ∆n ∆λ ) λ 
1 +
c
n
c


= 0, 65 c.
Ответ: v = = 0, 61 c, u =
n
n
Задача 4.249. Найти для алюминия толщину слоя половинного ослабления узкого пучка монохроматического рентгеновского излучения, если массовый показатель ослабления µ ρ = 0, 32 см2/г.
ln 2
= 8 мм.
Ответ: d =
µ
4. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА.
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА
4.1. Шкала электромагнитных излучений
В середине 60-х годов XIX века Дж.К. Максвелл теоретически открыл
электромагнитные волны. Экспериментальные данные измерений скорости
света в вакууме и в воздухе совпали с расчетными значениями скорости распространения электромагнитных волн:
v =1
εµε 0 µ 0 = c
εµ = c n,
где c — скорость света в вакууме; n — показатель преломления среды.
В результате такого совпадения предположили, что свет представляет собой электромагнитные волны. Электромагнитную природу света подтверди-
Рис. 4.1. Шкала электромагнитных излучений
4.2. Оптика. Оптическое излучение, его интенсивность
49
ли осуществленные в 1888 г. опыты немецкого физика Г. Герца, показавшего,
что для электромагнитных волн выполняются те же законы отражения и преломления, что и для света.
В разное время были открыты различные излучения, которые, как и свет,
представляют собой электромагнитные волны и отличаются от света значениями длин соответствующих электромагнитных волн. На рис. 4.1 приведена шкала электромагнитных волн этих излучений с указанием процессов,
обусловливающих действие источников этих излучений (длина волн λ на
шкале отмечена в логарифмическом масштабе).
В спектре электромагнитных волн границы диапазона видимого света определяются способностью среднестатистического человеческого глаза регистрировать электромагнитное излучение в интервале длин волн 380...780 нм.
Диапазоны других излучений в спектре электромагнитных волн не имеют строго определенных границ, поскольку нет принципиального различия
между соответствующими излучениями в области перекрытия их диапазонов.
Различия в названиях электромагнитных излучений одинаковых длин волн
искусственно связывают с типом источника.
Вследствие сходства процессов, происходящих в источниках видимого
света, УФ-, ИК- и рентгеновского излучений, эти диапазоны объединяют
общим названием — оптическое излучение.
4.2. Оптика. Оптическое излучение, его интенсивность
Волновая оптика изучает широкий круг закономерностей, связанных с
процессами распространения света в материальных средах с учетом его волновой природы. К волновой оптике относятся: интерференция света, дифракция света, голография, поляризация света, дисперсия света.
Вопросы, рассматриваемые в волновой оптике, вместе с вопросами, рассматриваемыми в квантовой оптике, в которой изучаются механизмы процессов
испускания и поглощения света, составляют содержание физической оптики.
Физическая оптика — наука о природе света и световых явлений.
Геометрическая оптика рассматривает распространение света на основе
представлений о световых лучах, исходя из эмпирически установленных законов. Ее методы широко используются при расчетах и проектировании
сложных оптических систем и устройств.
Геометрическая и физическая оптики являются частями единой и многосторонней науки о свете — оптики.
Интенсивность света I — модуль среднего по времени значения плотности потока электромагнитной энергии:
T
I=
1
S d t = S ~ Em H m ~ nE m2 = nA2 ,
T 0∫
50
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
где T — период световой волны; S — среднее по времени значение век  
тора Пойнтинга S = E × H ; E m = A — амплитуда светового вектора.
Рис. 4.2. Отражение и преломление
плоской волны на границе раздела
двух диэлектриков
Рассмотрим плоскую электромагнитную волну на границе раздела двух сред.
Пусть обе среды — диэлектрики, магнитная проницаемость которых µ1 = µ2 = 1
(для всех оптически прозрачных тел µ = 1);
диэлектрическая проницаемость первого
диэлектрика ε1 , его показатель преломления n1 = ε1 , второго — ε2 и n2 = ε2 соответственно (рис. 4.2).
Волновой вектор

 2π  ω 
k = kn =
n = n,
λ
v

где n — единичный вектор, характеризующий направление распространения плоской волны; k = ω v; v — скорость волны.
Отметим, что длина волны λ при переходе света из вакуума в вещество изменяется, частота ν — не изменяется. Длина волны света в вакууме
λ 0 = cT =
c v
= n = λ n,
ν ν
где c — скорость света в вакууме; n — показатель преломления.
Уравнение плоской волны можно записать в экспоненциальной форме:
{
)}


f (r , t ) = A cos ωt − kr = A Re exp  i ωt − kr  .


(
)
(
Отметим, что в электростатике действительная часть тангенциальной составляющей вектора напряженности одинакова по
обе стороны границы раздела диэлектриков, т. е.
E1τ = E 2 τ ,
аналогичная связь справедлива и для переменного электрического поля.
В первой среде (рис. 4.3)
{
Рис. 4.3. Прохождение и отражение электромагнитных волн
}
 

E + E ′ = Em Re exp i ( ω t − kx x − ky y + α )  +

+E m′ Re exp i ( ω′t − k x′ x − ky′ y + α′ ) ,
{
}
4.2. Оптика. Оптическое излучение, его интенсивность
51


где E — вектор напряженности падающей волны; E ′ — вектор напряженности отраженной волны; α , α′ — начальная фаза падающей и отраженной
волн, у падающей волны α = 0 .
Во второй среде (см. рис. 4.3)


E ′′ = Em′′ Re exp i ( ω ′′t − kx′′x − ky′′y + α ′′)  ,

где E ′′ — вектор напряженности преломленной волны, прошедшей во вторую среду; α′′ — ее начальная фаза; индексом m отмечены амплитудные значения соответствующих векторов напряженности.
На границе раздела при y = 0 выполняется условие E1τ = E 2 τ , тогда
{
}
{
}
{
}
Emτ Re exp  i ( ωt − kx x ) + E m′ τ Re exp  i ( ω′ t − kx′ x + α′ ) =
{
}
= Em′′τ Re exp i ( ω′′t − kx′′x + α′′ )  .
Равенство при любых t и x будет иметь место при равенстве частот
ω = ω′ = ω′′ и периодов T = T ′ = T ′′ при
kx = kx′ = kx′′ .
(4.1)
На рис. 4.2 видно, что
kx = k sin θ =
ω
sin θ.
v
(4.2)
С учетом (4.1) и (4.2) запишем
ω
ω
ω
sin θ = sin θ′ = sin θ′′.
v1
v1
v2
(4.3)
Из (4.3) следует закон отражения света: угол падения θ равен углу отражения θ′
θ = θ′.
Из (4.3)
1
1
sin θ = sin θ ′′
v1
v2
или
sin θ v1 c n2
=
=
.
sin θ′′ v2 n1 c
Здесь n1 , n2 — абсолютные показатели преломления, характеризующие изменение скорости света при переходе из вакуума в вещество (n = c v , v = c εµ ).
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
52
Тогда
sin θ n2
= .
sin θ′′ n1
(4.4)
Отсюда относительный показатель преломления* второй среды относительно
первой
n21 =
n2 sin θ
=
.
n1 sin θ ′′
(4.5)
Из (4.4) следует закон преломления
n1 sin θ = n2 sin θ′′ .
Таким образом, если n1 > n2 или θ < θ ′′, то первая среда оптически более
плотная, чем вторая.
В предельном состоянии угол падения θ = θпред , а преломленный луч
π
скользит по границе двух сред, т. е. θ′′ = (рис. 4.4).
2
Из (4.5) следует
sin θпред =
n2
,
n1
откуда
n 
θпред = arcsin  2  .
 n1 
Рис. 4.4. Полное внутреннее отражение на границе двух диэлектриков
(4.6)
При θ > θпред имеет место полное внутреннее отражение.
При нормальном падении волны на границу раздела двух сред
Ex + Ex′ = Ex′′ .
(4.7)
Мгновенные значения интенсивностей (в любой момент времени)
I x = I x′ + I x′′ .
Учитывая, что I ~ nE2 , можно записать
n1E 2x = n1E x′2 + n2E x′′2 .
(4.8)
С учетом (4.7) представим (4.8) в виде
n1 Ex2 = n1 ( Ex′′ − Ex ) + n2Ex′′2 = n1 Ex′′ 2 − 2n1Ex′′E x + n1Ex2 + n2E x′′2 .
2
* Если прозрачное вещество поместить в среду с таким же показателем преломления n, то
это вещество будет невидимым.
4.2. Оптика. Оптическое излучение, его интенсивность
53
После преобразований получим связь напряженностей проходящей и падающей волн:
2n1
Ex′′ =
Ex .
(4.9)
n1 + n2
Для отраженной волны из (4.7) следует
Ex′ = Ex′′ − Ex .
(4.10)
Подставив (4.9) в (4.10), получим
2n1
Ex − E x
Ex′ =
n1 + n2
или
Ex′ =
n1 − n2
Ex .
n1 + n2
При n1 < n2 напряженность падающей волны Ex > 0, а отраженной —
Ex′ < 0. Таким образом, падающая волна
отражается в противофазе от оптически более плотной среды, т. е. происходит изменение фазы волны на α′ = π
(рис. 4.5).
И для амплитудных значений напряженностей аналогично (4.9) и (4.11)
можно записать
Em′′ =
2n1
Em ;
n1 + n2
(4.11)
Рис. 4.5. Падающая волна, отраженная
в противофазе от оптически более плотной среды (n 1, n2 — показатели преломления двух сред)
Em′ =
n1 − n2
n1 + n2
Em .
(4.12)
Коэффициент отражения
R=
I отр n1E m′2
=
,
Iпад n1Em2
с учетом (4.12)
2
 1 − n2 n1 
R =
 .
 1 + n2 n1 
Введем коэффициент прохождения (пропускания)
D=
Iпрош
I пад
=
n2Em′′ 2
,
n1Em2
(4.13)
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
54
с учетом (4.12)
2

 n2
2
D =
.

 1 + n2 n1  n1
(4.14)
Здесь Iпад , I отр , Iпрош — интенсивности падающей, отраженной и прошедшей волн соответственно.
Сумма коэффициентов отражения и прохождения равна единице:
R + D =1 .
(4.15)
Пример 1. Возьмем две среды — воздух и стекло. Коэффициент преломления воздуха n1 = 1, стекла — n2 = 1, 5 . Определим коэффициенты отражения
и прохождения. Найдем коэффициент отражения по (4.13):
2
2
 1 − n2 n1   1 − 1, 5 1 
R =
 =
 = 0 ,04
 1 + n2 n1   1 + 1, 5 1 
и коэффициент прохождения — по (4.14):
2
2

 n2 
 1, 5
2
2
D =
=
= 0, 96.

 ⋅
n
n
n
+
+
1
1
1
,
5
1
2 1 
1


 1
Пример 2. Возьмем две среды — воздух и воду. Коэффициент преломления воздуха n1 = 1 , воды — n2 = 1, 33 . Определим коэффициенты отражения
и прохождения.
Определим коэффициент отражения по (4.13):
2
2
 1 − n2 n1   1 − 1, 33 1 
R=
 =
 = 0, 02
 1 + n2 n1   1 + 1,33 1 
и коэффициент прохождения — по (4.14):
2
2

 n2 
 1, 33
2
2
D =
=
= 0, 98.

 ⋅
n
n
n
+
+
1
1
1
,
33
1
1
2 1 
1



При n1 << n2 коэффициент отражения R = 1 , коэффициент прохождения
D = 0 — это стоячая электромагнитная волна.
4.3. Интерференция электромагнитных волн
Монохроматическая волна имеет определенную частоту.
Интерференция волн — взаимодействие двух и более когерентных волн,
при котором происходит перераспределение энергии и интенсивности I из-
4.3. Интерференция электромагнитных волн
55
лучения в пространстве: в одних местах возникают максимумы, в других —
минимумы интенсивности.
Когерентными называют такие колебания (волны), разность фаз ∆Φ которых постоянна во времени. Фаза колебаний
Φ = ωt + α,
где ω — круговая (циклическая) частота; α — начальная фаза; t — время.
Для наблюдения интерференции необходимо иметь одинаковую поляризацию волн и близкие амплитуды.
Если при сложении волн перераспределения энергии нет, используется
принцип суперпозиции: результирующее колебание в данной точке пространства следует искать как геометрическую сумму.
Рассмотрим сложение гармонических колебаний одного направления равных
частот:
x1 = A1 cos (ω1 t + α1 );
x2 = A2 cos ( ω2t + α 2 ),
где A1 , A2 — амплитуды; ω1 , ω2 — циклические частоты; α1 , α 2 — начальные фазы колебаний; t — время.
Согласно принципу суперпозиции,
x = x1 + x2 .
Пусть
ω1 = ω2 = ω ; ∆α = α 2 − α1 .
При суперпозиции колебаний равных частот воспользуемся методом векторной диаграммы (рис. 4.6). Согласно теореме косинусов (см. рис. 4.6),
A 2 = A12 + A22 − 2 A1 A2 cos ( π − ∆α ) ;
A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos ( ∆α ) , (4.16)
где A — результирующая амплитуда.
Проанализируем полученное выражение.
При ∆α = 2πm, m = 0, ± 1, ± 2,… , амплитуда
A = A1 + A2 максимальна.
При ∆α = (2m + 1)π, m = 0, ± 1, ± 2, ..., ам- Рис. 4.6. Векторная диаграмма
плитуда A = A1 − A2 минимальна. Если A1 = A2 ,
то A = 0 = min .
Интенсивность результирующего колебания пропорциональна квадрату
амплитуды светового вектора:
I ~ A2 .
Тогда из (4.16) получим
56
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ( α2 − α1 ) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ∆α ,
(4.17)
где I1 , I 2 — интенсивности взаимодействующих волн.
1. При ∆α = α2 − α1 = 2πm, m = 0, ± 1, ± 2, ..., происходит усиление интенсивности световой волны:
I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 > I1 + I 2 (max).
2. При ∆α = α2 − α1 = (2m + 1)π, m = 0, ± 1, ± 2, ..., — ослабление интенсивности световой волны:
I = I 1 + I 2 − 2 I 1I 2 < I 1 + I 2 (min).
3. Если ∆α будет изменяться во времени ( ∆α = α2 − α1 = ∆ α(t )) , то среднее значение cos( α2 − α1 ) = 0, тогда интенсивность световой волны
I = I1 + I2 ,
т. е. интерференции нет.
Интерференция характерна для волн любой природы и сравнительно просто наблюдается на опыте для волн на поверхности воды или для звуковых
волн. Наблюдать интерференцию световых волн можно лишь при определенных условиях. В случае взаимодействия когерентных волн интенсивность
результирующего колебания описывается выражением (4.17).
Свет, испускаемый обычными (нелазерными) источниками, не бывает монохроматическим. Источники некогерентны. Когерентные световые волны
можно получить и от обычных источников. Общий принцип их получения: волну, излучаемую одним источником света, разделяют тем или иным способом на
две и затем накладывают их одну на другую подходящим способом.
4.4. Расчет интерференционной картины с двумя источниками
Рассмотрим две волны, распространяющиеся в вакууме, исходящие из
когерентных источников S1 и S2 (рис. 4.7). В области, где эти волны перекрываются (зона интерференции) должна возникать система чередующихся максимумов и минимумов освещенности, которую можно наблюдать на экране.
Введем понятия геометрической и оптической разности хода волн, которые понадобятся нам в дальнейших рассуждениях.
Геометрическая разность хода — разность расстояний l2 и l1 от источников до исследуемой точки N:
∆геом = l2 − l1 .
4.4. Расчет интерференционной картины с двумя источниками
57
Рис. 4.7. Интерференционная картина с двумя источниками
В случае когда волны от источников распространяются не в вакууме, а в среде с показателем преломления n , под ∆ следует понимать не геометрическую,
а оптическую разность хода:
∆ = n( l2 − l1).
(4.18)
Определим положение m-х максимумов (расстояние ym ). Сначала получим условия интерференционных максимумов и минимумов.
Пусть в некоторой области экрана взаимодействуют две волны:
f1 = A1 cos ( ω1t − k1l1 );
f2 = A2 cos ( ω2t − k2l2 ) .
Эти волны когерентны, т. е.
ω1 = ω2 = ω; k1 = k2 = k .
Тогда их разность фаз
∆ α = k (l2 − l1 ) = k ∆l =
где k =
2π
∆l ,
λ
2π
— волновое число.
λ
Амплитуда
A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos∆α .
Интенсивность
I ~ A2 ,
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos ∆α .
Положим, что
∆l = 2m
λ
= mλ, m = 0, ± 1, ± 2, ...,
2
тогда разность фаз
∆α =
2π mλ
= 2πm .
λ
58
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
Результирующая амплитуда принимает максимальное значение
A = A1 + A2 = max,
если A1 = A2 , то A = 2 A1 , I = 4I1 . Результирующая интенсивность в этом случае также максимальна.
Положим, что
λ
∆l = (2m + 1) , m = 0, ± 1, ± 2, ...,
2
тогда
∆α = (2m + 1)π;
A = A1 − A2 = min ,
если A1 = A2 , то A = 0 , I = 0 .
Для выполнения условия максимума интерференции в данной задаче должно выполняться следующее условие:
m = 0, ± 1, ± 2, ...,
∆ = n(l2 − l1 ) = mλ ,
(4.19)
где λ — длина волны в вакууме.
Из геометрических построений на рис. 4.7 следует
l12 = L2 + ( y − d )2 ,
l22 = L2 + ( y + d )2 .
(4.20)
Вычитая из второго уравнения (4.20) первое, получаем
l22 − l12 = (l 2 − l1 ) (l 2 + l1 ) = 4 yd .
(4.21)
Учитывая, что L  d , можно считать, что l1 + l2 ≈ 2L. Тогда
l2 − l1 =
2 yd
.
L
(4.22)
Подставив условие максимума (4.19) для вакуума (n =1) , получим положение
m-х максимумов:
mλ L
ym =
.
(4.23)
2d
Определим ширину интерференционной полосы — расстояние между ближайшими максимумами интенсивности, например расстояние между m-м и
(m + 1)-м максимумами:
δy =
λL
2d
(4.24)
4.5. Пространственно-временная когерентность
59
или
δy =
λ
,
ϕ
(4.25)
где ϕ — угол, под которым видны оба источника из центра экрана, ϕ = 2d L.
Отметим, что δy не зависит от порядка максимума m.
4.5. Пространственно-временная когерентность
Когерентность — согласованное протекание нескольких колебательных
или волновых процессов.
Временная когерентность: α1 − α2 = const; в данной точке пространства не
зависит от времени.
Пространственная когерентность: α1 − α2 ; для колебаний, происходящих
в двух разных точках так называемой псевдоволновой поверхности, остается
неизменной.
Псевдоволновая поверхность — волновая поверхность монохроматического источника.
Радиус когерентности (длина пространственной когерентности) ρког
(lког ) — расстояние вдоль псевдоволновой поверхности, на длине которого
фаза случайным образом изменяется на величину порядка π (∆α ~ π). Следует учесть, что фаза в разных точках волны изменяется хаотично.
Если рассматривать два колебания на псевдоволновой поверхности, расстояние l между которыми меньше радиуса когерентности, l < ρког , то эти
колебания будут практически когерентными.
К источникам с высокой когерентностью относятся лазеры (имеют большую пространственную и временную когерентность).
Установка для демонстрации интерференции была предложена Т. Юнгом (опыт Юнга). В ней яркий пучок солнечного света освещает узкую щель
S (рис. 4.8). Прошедший через щель свет вследствие дифракции образует
расходящуюся волну, которая падает на две узкие щели S1 и S2 . Эти щели
действуют как вторичные когерентные источники, и исходящие из них дифрагированные волны, перекрываясь, дают на экране Э систему интерференционных полос.
Вдоль распространения волны когерентными между собой будут только участки волны в интервале, называемом длиной
когерентности
lког ≈ mλ,
(4.26)
где m — максимальный порядок интерференции, соответствующий еще видимой
светлой полосе,
Рис. 4.8. Схема опыта Юнга
60
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
m≈
λ
.
∆λ
(4.27)
Монохроматический свет является идеализацией. Степень монохроматичности света λ ∆λ . Длина когерентности
lког ≈
λ2
.
∆λ
(4.28)
Ширина когерентности падающей на щели S1 и S2 световой волны — ширина hког , на которой отдельные участки волны в достаточной степени когерентны между собой. Под hког имеется в виду характерное для данной установки
расстояние между точками поверхности, перпендикулярной направлению распространения волны. Щели S1 и S2 становятся некогерентными источниками, если
hког ≈ 2d ,
где 2d — расстояние между щелями. Интерференционная картина исчезает,
если ширина щели
s ≈ δy,
ширина полосы, согласно (4.24),
δy =
λL
,
2d
откуда
hког ≈
λL λL λ
≈
= ,
s
δy
ϕ
(4.29)
где ϕ — угловая ширина щели S относительно диафрагмы с двумя щелями.
Получение устойчивой интерференционной картины возможно лишь при
условиях, что у исходной световой волны:
1) длина когерентности lког превышает оптическую разность хода ∆ складываемых колебаний;
2) ширина когерентности hког превышает расстояние d между щелями.
Будем считать, что
lког ≥ 2∆ ;
(4.30)
hког ≥ 2d .
(4.31)
Выполнение этих условий гарантирует получение интерференционной
картины с достаточно хорошей различимостью полос.
4.6. Интерференционные полосы равной толщины и равного наклона
61
4.6. Интерференционные полосы равной толщины
и равного наклона
Интерференционные полосы равного наклона возникают при отражении параллельных пучков света от плоскопараллельных пленок. Интерференционные
полосы равной толщины возникают при отражении пучков света от пленок,
толщина которых не постоянна. Полосы равной толщины и равного наклона
могут наблюдаться и при прохождении указанных пучков света через пленки.
Попадая на границу раздела сред электромагнитные волны частично отражаются, частично преломляются.
В теории электромагнетизма показано: если показатель преломления n2
среды, от которой отражается электромагнитная волна, больше показателя
преломления n1 среды, в которой распространяется волна (n2 > n1 ), то при
отражении происходит
потеря полуволны электрического вектора E (фаза

колебаний E изменяется на π). Если же n1 > n2 , потеря полуволны происходит у магнитного вектора H (рис. 4.9).
Рис. 4.9. Отражение волны на границе раздела
двух сред
Среда с большим показателем преломления — оптически более плотная
среда. При отражении волны от оптически более плотной среды выражение
λ
оптической разности хода ∆ должно быть дополнено слагаемым ± , причем
2
λ
знак перед
выбирают исходя из соображений удобства.
2
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
62
4.7. Интерференция в тонких пластинах (пленках)
Рассмотрим однородную пластину постоянной толщины (рис. 4.10). Показатель преломления материала пластины n >1, вне пластины находится
вакуум, показатель преломления которого nв = 1.
Оптическая разность хода лучей 1 и 2
∆ = ( AB + BC ) n − ( DC + λ 2 ) .
(4.32)
Рис. 4.10. Ход лучей в пластине постоянной
толщины:
1, 2 — падающие лучи; 1 ' — луч, преломленный после
отражения внутри пластины; 2 ' — отраженный луч
Из построений на рис. 4.10 следует
AB = BC =
d
;
cos r
DC = AC sin i = 2 BC sin r sin i = 2 d tg r sin i , (4.33)
где i, r — углы падения и преломления лучей.
Подставив (4.33) в (4.32), получим
∆=
λ
2dn
− 2d tg r sin i − .
cos r
2
С учетом того, что
sin i
= n,
sin r
(4.34)
1 − sin2 i n2 λ
− .
cos r
2
(4.35)
запишем
∆ = 2 dn
При
sin r =
sin i
,
n
4.8. Тонкий клин (с малым углом при вершине)
63
соответственно,
sin2 r =
sin 2 i
,
n2
следовательно,
cos2 r = 1 − sin2 r = 1 −
sin 2 i
.
n2
(4.36)
Подставив (4.36) в (4.35), получим
∆ = 2 dn cos r − λ 2 ,
или, с учетом (4.36),
∆ = 2d n2 − sin2 i − λ 2 .
Условие максимума:
λ
λ
= 2m .
2
2
(4.37)
λ
λ
= ( 2 m + 1) .
2
2
(4.38)
2d n 2 − sin 2 i −
Условие минимума:
2d n2 − sin 2 i −
4.8. Тонкий клин (с малым углом при вершине)
Свет с длиной волны λ от удаленного точечного источника падает нормально на поверхность стеклянного клина с малым углом раствора. В отраженном свете наблюдают систему интерференционных полос.
Условие максимума для луча 1 (рис. 4.11):
2d1n − λ 2 = mλ.
(4.39)
Условие максимума для луча 2:
2d2 n − λ 2 = ( m + a) λ .
(4.40)
Здесь d1, d 2 — толщины клина на уровнях лучей 1 и 2.
Вычтем из (4.40) выражение (4.39):
2( d2 − d1 ) n = aλ;
2nl tg α = aλ.
(4.41)
Пусть имеется стеклянный клин, nстекла =1,5,
l = 10− 2 м, число штрихов a = 5 (см. рис. 4.11) λ ≈ 5 ⋅ 10−7 м
(зеленый свет). Тогда, используя (4.41), получаем
Рис. 4.11. Ход лучей в
тонком клине
64
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
tg α =
aλ
5 ⋅5 ⋅10−7
=
= 8, 3 ⋅ 10 −5, α = 17′′
2nl 2 ⋅ 1,5 ⋅ 10−2
угол α получается в секундах.
Если взять толстый клин (α порядка нескольких градусов), то максимумов будет больше и они могут быть неразличимы глазом (сливаются).
4.9. Кольца Ньютона
Кольца Ньютона — полосы равной толщины, возникающие в результате
интерференции света в воздушном зазоре, образованном при соприкосновении в точке О плосковыпуклой стеклянной линзы малой кривизны с плоской
стеклянной поверхностью (рис. 4.12). При использовании источника монохроматических волн полосы равной толщины представляют собой систему
концентрических темных и светлых колец, расположенных вокруг темного
круга с центром в точке О (наблюдение проводится в отраженном свете).
Пучок монохроматических лучей с длиной волны λ падает нормально на плоскую
поверхность линзы (лучи 1 и 2). Согласно теореме Пифагора, применительно к рис. 4.12,
r 2 = R2 − ( R − b ) .
2
Проведем преобразования:
r 2 = R2 − R2 + 2 Rb − b2,
в результате получим
r 2 = 2Rb − b2 .
Рис. 4.12. Плосковыпуклая линза малой кривизны при соприкосновении с плоской стеклянной поверхностью
Поскольку b  R, то b2 — бесконечно
малая величина более высокого порядка, следовательно,
r 2 ≈ 2bR,
радиус кольца
r = 2bR .
Оптическая разность хода интерферирующих лучей (см. рис. 4.11) с учетом «потери» полуволны при отражении от оптически более плотной среды
(при падении луча из воздуха на стекло):
λ
∆ = 2b + .
2
Для темного кольца
∆ = 2b +
λ
λ
= (2m + 1) , m = 0, 1, 2, …,
2
2
4.10. Применение интерференции. Интерферометры
65
откуда
2b = mλ, m = 0, 1, 2, …
и радиус m-го темного кольца
rm = mλR , m = 0, 1, 2, … .
(4.42)
Значению m = 0 соответствует минимум темного пятна (не кольца).
Аналогично для светлого кольца
∆ = 2b +
λ
= mλ, m = 1, 2, 3, …,
2
откуда
1

2 b =  m −  λ, m = 1, 2, 3, …
2

и радиус m-го светлого кольца
1

rm =  m −  λ R, m = 1, 2, 3, … .
2

(4.43)
Если в зазор поместить жидкость с показателем преломления nж , причем
nж < n, то
λ
∆ = 2bnж + .
2
Соответственно изменятся и остальные выражения.
4.10. Применение интерференции. Интерферометры
Просветление оптики. В его основе лежит интерференция света при отражении от тонких пластинок. Это связано с тем, что при прохождении света
через каждую преломляющую поверхность линзы отражается примерно 4 %
падающего света. В сложных объективах такие отражения совершаются многократно, и суммарная потеря светового потока оказывается весьма ощутимой, например в призменном бинокле она превышает 50 %.
В просветленной оптике на каждую поверхность линзы наносят путем
напыления тонкую пленку прозрачного диэлектрика с показателем преломления n′ ≈ n1 n2 , где n1 и n2 — показатели преломления сред, между которыми находится пленка. При этом условии амплитуды отраженных от обеих
поверхностей пленки волн оказываются практически одинаковыми.
При E1′ ≈ E 2′
E1′ E2′
=
.
E
E
(4.42)
66
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
Согласно (4.11),
Ex′ =
n1 − n2
Ex ,
n1 + n2
с учетом (4.42) и (4.11)
n1 − n ′ n ′ − n2
.
≈
n1 + n ′ n′ + n2
При n1 = 1 , n2 = n > 1
1 − n′ n′ − n
≈
1 + n′ n ′ + n
⇒ n′ ≈ n .
Толщину пленки выполняют такой, чтобы волны, отраженные от обеих
поверхностей пленки, оказывались в противофазе, т. е. гасили одна другую.
На рис. 4.13 приведены когерентные волны E ′, E ′, которые интерферируют. Необ1
2
ходимо выполнить условие интерференционного минимума (минимума интенсивности).
Сравним показатели преломления сред:
n > n ′ > n1;
n′ = n .
Определим толщину пленки, при которой отраженные волны будут в противофазе. В этом случае оптическая разность хода
этих двух отраженных волн на выходе из
пленки должна быть равна полуцелому числу длин волн:
Рис. 4.13. Пленка, нанесенная на
стекло
λ λ
λ

∆ =  2bn′ +  − = ( 2 m + 1 ) , m = 0, 1, 2, ...
2
2
2


Здесь учтено, что обе волны отражаются от оптически более плотных сред, и,
значит, одинаково испытывают скачок фазы на π (потеря полуволны):
λ
∆ = 2bn′ = (2 m + 1 ) , m = 0, 1, 2, ...
2
Толщина тонкой пленки
b=
( 2m + 1) λ = (2 m + 1) λ ,
4n′
4 n
m = 0, 1, 2, ...
Интерферометры. Интерферометр Майкельсона. С помощью интерферометра Майкельсона впервые была измерена длина световой волны, проведено изучение тонкой структуры спектральных линий, выполнено первое пря-
4.10. Применение интерференции. Интерферометры
67
мое сравнение эталонного метра с определенной длиной волны света.
С применением этого интерферометра был осуществлен знаменитый опыт
Майкельсона — Морли, доказавший независимость скорости света от движения Земли.
Упрощенная схема интерферометра Майкельсона приведена на рис. 4.14.
Монохроматический свет от источника S падает на разделительную пластинку Р, которая состоит из двух одинаковой толщины плоскопараллельных стеклянных пластинок, склеенных одна с другой. Одна из склеиваемых пластинок покрыта полупрозрачным тонким слоем серебра или алюминия.
Рис. 4.14. Схема интерферометра Майкельсона
Пластинка Р разделяет падающий пучок на два взаимно перпендикулярных пучка 1 и 2 одинаковой интенсивности. Пучок 1, отраженный затем от
зеркала З1, вторично падает на пластинку Р, где снова разделяется на две части. Одна из них отражается в сторону зрительной трубы Т (1′), другая же
идет к источнику S и не учитывается в исследовании.
Пучок 2, прошедший пластинку P, отражается от зеркала З 2, возвращается к пластинке P, где опять разделяется на две части, одна из которых (2 ′)
попадает в трубу Т.
Таким образом, от одного источника S получаются два пучка примерно
одинаковой амплитуды, которые распространяются после разделительного
слоя P в разных плечах интерферометра, затем снова встречаются и создают
при условии соблюдения временной и пространственной когерентности интерференционную картину в фокальной плоскости объектива зрительной
трубы.
Зеркало З1 неподвижно, а зеркало З 2 можно перемещать поступательно и
изменять его наклон.
Заменим мысленно зеркало З1 его мнимым изображением З′1 (в полупрозрачном «зеркале» Р). Тогда пучки 1' и 2' можно рассматривать как возникающие при отражении от прозрачной «пластинки», ограниченной плоскостями З′1 и З2, что упрощает дальнейшие рассуждения.
Вид интерференционной картины зависит от юстировки зеркал и от расходимости пучка света, падающего на разделительную пластинку Р. Обычно
используют два случая.
68
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
1. Если пучок слегка расходящийся, а плоскости зеркал З 2 и З′1 параллельны, то получаются полосы равного наклона, имеющие вид концентрических
колец. При поступательном перемещении зеркала З 2 радиусы колец изменяются: когда зеркало З2 приближается к зеркалу З′1, кольца стягиваются к центру, где и исчезают. Смещение картины на одну полосу соответствует перемещению зеркала З2 на половину длины волны. Визуально смещение можно
оценить с точностью до 1/20 полосы, но есть методы, позволяющие обнаружить смещение до 10–3 полосы. По мере приближения зеркала З2 к зеркалу
З′1 ширина полос возрастает, и при совпадении плоскостей зеркал З2 с З′1 освещенность поля зрения становится равномерной.
2. Если пучок от источника S параллельный, а плоскости зеркал З 2 и З ′1
не параллельны, то в поле зрения трубы будут наблюдаться полосы равной
толщины (как от клиновидной пластинки), в месте пересечения — белый максимум (нулевой порядок интерференции, m = 0).
При больших расстояниях между зеркалами З2 и З′1 и высокой степени
монохроматичности света удавалось с помощью нелазерных источников наблюдать интерференцию очень высокого порядка (около 10 6).
Интерферометр Рэлея. На рис. 4.15 приведена схема интерферометра Рэлея, где S — узкая щель, освещаемая монохроматическим светом с длиной
волны λ; 1, 2 — две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из которых
равна l, торцы трубок прозрачные; Д — диафрагма с двумя щелями. Когда
воздух в трубке 1 постепенно заменили газом Х, то интерференционная картина на экране Э сместилась на N полос. Зная показатель преломления n0
воздуха, определяют показатель преломления газа Х.
Смещение на N полос означает, что оптическая разность хода ∆ лучей,
падающих на щели, стала равной
N λ, т. е.
∆ = ln − ln0 = N λ.
Отсюда показатель преломления
газа Х
n = n0 + N λ l .
Смещение полос вверх свидетельствует о том, что и максимум нулевого порядка сместился вверх. При этом увеличение геометрической длины луча 2 компенсируется увеличением оптической длины луча 1.
Интерферометр Рэлея используют для измерения малых разностей показателей преломления прозрачных веществ (газов и жидкостей).
Рис. 4.15. Схема интерферометра Рэлея
Примеры решения задач
Задача 4.81. На рис. 4.16 показана интерференционная схема с бизеркалами Френеля. Угол между зеркалами α = 12′, расстояния от линии пересечения зеркал до узкой щели S и экрана Э равны соответственно r = 10,0 см
Примеры решения задач
и b = 130 см. Длина волны света λ = 0,55 мкм.
Определить ширину интерференционной полосы на экране и число возможных максимумов.
Решение. Источники света S ′ и S ′′ являются отражениями источника S в зеркалах
(рис. 4.17). По правилам построения изображения в зеркале, оно находится на перпендикуляре, проведенном от предмета к зеркалу
на том же расстоянии от точки пересечения
перпендикуляра с зеркалом, что и отраженный предмет.
69
Рис. 4.16. Бизеркала Френеля
Рис. 4.17. Интерференционная схема с бизеркалами Френеля
Рассмотрев треугольники SS ′O и SS ′′O (см. рис. 4.17) с учетом правил
построения изображения в зеркале, приходим к выводу, что эти треугольники равнобедренные. Тогда источник света S и отраженные источники S ′ и
S ′′ лежат на дуге окружности с центром в точке O .
Угол ∠S ′SS ′′ равен α, так как это углы со взаимно перпендикулярными
сторонами.
Угол ∠S ′OS ′′ равен 2α, так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на дугу той же окружности.
Интерференционная картина будет наблюдаться только на той части экрана, на которой происходит наложение волн хотя бы от двух когерентных
источников. В связи с тем, что зеркала не бесконечны, их геометрические
размеры также влияют на ширину зоны интерференции:
H = 2b tg α.
Ширина интерференционной полосы, согласно (4.24),
λL
δH =
,
2h
где расстояние от когерентных источников до экрана можно представить, как
L = r1 + b = r cos α + b,
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
70
половина расстояния между когерентными источниками
h = r sin α,
тогда
δH =
λ ( r cos α + b )
2 r sin α
.
Поскольку угол α мал (α 1 ), то cos α ≈ 1, а sin α ≈ α . С учетом малости угла между зеркалами ширина интерференционной полосы
δH ≈
λ ( r + b)
и δH ≈ 1,1 мм.
2 rα
Число возможных максимумов интерференции
H
2b tg α ⋅ 2r sin α
N=
=
,
δH
λ ( b + r cos α )
с учетом малости угла α tg α ≈ α и
N≈
2bα ⋅ 2r α
;
λ(b + r )
N≈
4bα2 r
.
λ (b + r )
Задача 4.87. На рис. 4.18 приведена схема интерферометра Рэлея для измерения показателей преломления прозрачных веществ, где S — узкая щель,
освещаемая монохроматическим светом с длиной волны λ = 589 нм, 1 и 2 —
две одинаковые трубки с воздухом, длина каждой из них l = 10,0 см, Д — диафрагма с двумя щелями. Когда воздух в трубке 1 заменили аммиаком, то интерференционная картина на экране Э сместилась вверх на N = 17 полос.
Показатель преломления воздуха n = 1,000277. Определить показатель преломления аммиака NH3.
Рис. 4.18. Интерферометр Рэлея с длиной трубок l
Примеры решения задач
71
Смещение на N полос означает, что оптическая разность хода ∆ лучей,
падающих на щели, стала равной Nλ:
∆ = d2 − d1 = lnNH 3 − ln = N λ.
Определим показатель преломления аммиака
nNH3 = n + N λ l .
nNH3 = 1, 000277 + 17 ⋅ 589 ⋅ 10−9 0,1 = 1, 000377.
Задача 4.97. Плосковыпуклая стеклянная линза с радиусом кривизны
R = 40 см соприкасается выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой
(рис. 4.19). При этом в отраженном свете радиус некоторого кольца
r = 2,5 мм. Наблюдая за данным кольцом, линзу осторожно отодвинули от
пластинки на h = 5,0 мкм. Каким стал радиус этого кольца?
Рассуждения и выкладки, необходимые для решения первой части данной
задачи, в которой линза соприкасается со стеклянной (n = 1,5) пластиной, приведены в разд. 4.9.
Рассмотрим решение для темного и светлого колец.
Радиус темного кольца, согласно (4.42),
rm = mλR , m = 0, 1, 2, …
Радиус светлого кольца, согласно (4.43),
1

rm =  m −  λR , m = 1, 2, 3, …

2
После того как линзу отодвинули от
пластинки на расстояние h (рис. 4.20), условие наблюдения темных колец (условие
минимума) примет вид
λ
λ
∆ = 2 ( b′ + h ) + = ( 2m + 1) , m = 0, 1, 2, … ,
2
2
1,5
1,5
Рис. 4.19. Стеклянная линза при
соприкосновении выпуклой поверхностью со стеклянной пластинкой
откуда
2( b′ + h) = mλ, m = 0, 1, 2, … ;
2b ′ = mλ − 2h,
радиус темного кольца
r ′ = 2b′R =
( mλ − 2h) R = mλ R − 2hR = r 2 − 2hR, m = 0, 1, 2, … ;
r 2 = mλR, m = 0, 1, 2, … ,
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света
72
r ′ = r 2 − 2 Rh.
Условие наблюдения светлых колец (условие максимума):
nB = 1
∆ = 2 ( b′ + h ) +
λ
= mλ, m = 1, 2, 3, … ,
2
откуда
1

2 ( b′ + h ) =  m −  λ, m = 1, 2, 3, … ;
2

1

2b ′ =  m −  λ − 2h,
2

Рис. 4.20. Линза, расположенная на расстоянии от пластинки
радиус светлого кольца
1

r ′ ≈ 2b ′R =  m −  λR − 2hR = r 2 − 2hR , m = 1, 2, 3, … ;
2

1

r 2 =  m −  λR , m = 1, 2, 3, …,

2
r′ = r 2 − 2 Rh;
r ′ = 1,5 мм.
В результате того, что линзу отодвинули от пластины, радиус кольца Ньютона уменьшился. Причем выбор для наблюдения светлого или темного кольца не влияет на ответ задачи.
Задачи для самостоятельного решения
Рис. 4.21. Бипризма
Задача 4.85. Плоская световая волна с длиной
волны λ = 0,70 мкм падает нормально на основание
бипризмы, сделанной из стекла (n = 1,520) с преломляющим углом θ = 5,0°. За бипризмой (рис. 4.21)
находится плоскопараллельная стеклянная пластинка, и пространство между ними заполнено бензолом
(n' = 1,500). Найти ширину интерференционной полосы на экране Э, расположенном за этой системой.
λ
= 0, 20 мм.
Ответ: ∆x ≈
2 θ ( n − n′ )
Задачи для самостоятельного решения
73
Задача 4.98. На вершине сферической поверхности плосковыпуклой
стеклянной линзы имеется сошлифованный плоский участок радиусом
r0 = 3, 0 мм, которым она соприкасается со стеклянной пластинкой. Радиус
кривизны выпуклой поверхности линзы R = 150 см. Найти радиус шестого
светлого кольца в отраженном свете с длиной волны λ = 655 нм.
1

Ответ: r = r02 +  k −  λ R = 3, 8 мм, где k = 6.
2

5. ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
5.1. Основные понятия
Дифракция света — круг явлений, связанных с взаимодействием световой
волны с оптическими неоднородностями, в результате которого происходит
отклонение направления распространения волны от предсказываемого законами
геометрической оптики.
Проявлением дифракции является, например, проникновение света в область геометрической тени, образованной непрозрачным телом.
Различают дифракцию Френеля и дифракцию Фраунгофера.
Дифракция Френеля наблюдается при сферическом излучении, дифракция
Фраунгофера — в пучках параллельных лучей.
5.2. Принцип Гюйгенса — Френеля
Голландский физик Х. Гюйгенс сформулировал принцип, на основе которого может быть объяснено распространение волн при любых волновых
процессах. Принцип Гюйгенса содержит два положения:
1) волна распространяется таким образом, что каждая точка пространства, которую она достигает, становится центром вторичной сферической
волны;
2) огибающая вторичных волн представляет собой поверхность волнового
фронта в последующие моменты времени.
Принцип Гюйгенса позволяет построить положение фронта волны в каждый момент времени
(рис. 5.1).
На основе принципа Гюйгенса нельзя объяснить явления, связанные с дифракцией света. Этот
недостаток устранил О.Ж. Френель. Согласно
принципу Френеля, изменяется формулировка второго положение принципа Гюйгенса: положение
поверхности волнового фронта в последующие моменты времени определяется интерференцией когерентных вторичных волн.
Принцип Гюйгенса – Френеля — совокупность
первого положения принципа Гюйгенса и принципа Френеля.
Рис. 5.1. Фронт волны
5.2. Принцип Гюйгенса — Френеля
75
Рассмотрим экран Э с некоторым отверстием, через которое проходит свет от
точечного монохроматического источника
P0 (рис. 5.2). Определим напряженность
E в любой точке P за экраном.
Согласно методу зон Френеля, напряженность E в точках отверстия такова, как
и при отсутствии экрана, и в точках непоРис. 5.2. Экран с отверстием, чесредственно за экраном E = 0 . Другими
рез которое проходит свет от тословами, существенна только форма отверчечного монохроматического
стия экрана, но не сам экран. Это справедисточника
ливо (из опыта), когда размеры отверстия
и расстояния до источника P0 и точки наблюдения P значительно больше длины волны λ (когда отклонения от геометрической оптики достаточно малы).
Закроем мысленно отверстие в экране произвольной поверхностью S и
разобьем ее на элементарные участки d S . По предположению Френеля, каждый из этих участков становится источником вторичной сферической волны:
d E = d f = K ( ϕ)

A 0dS
cos ωt + α − kr .
r
(
)
Коэффициент (множитель Френеля) K (ϕ) зависит от угла ϕ между первоначальным
 направлением световой волны в данной точке – волновым вектором k и направлением на точку P . При ϕ = π 2, K (ϕ) = 0, при ϕ = 0,
K (ϕ) = max .
Тогда результирующую напряженность E (амплитуду напряженности
Em ) в точке P можно представить в виде:
E = f = ∫ K (ϕ)
S

A0
cos ωt + α − kr d S;
r
Em = ∫ K ( ϕ )
S
(
)
(5.1)

A0
cos α − kr d S .
r
(
)
Здесь α — дополнительная фаза, равная фазе первичной волны в элементе
d S (для разных элементов она в общем случае не одинакова), A0 — величина, определяемая амплитудой световой волны в месте нахождения элемента d S .
Выражение (5.1) описывает математическую суть принципа Гюйгенса —
Френеля: для определения амплитуды колебаний в точке P , лежащей перед
поверхностью S , необходимо найти амплитуды колебаний, приходящих в
эту точку от всех элементов d S поверхности S и затем сложить их с учетом
амплитуд и фаз.
5. Дифракция света
76
Векторная (фазовая) диаграмма (рис. 5.3) наглядно представляет принцип Гюйгенса
— Френеля. На

ней результирующая амплитуда
представлена
векE
m

торной суммой амплитуд d E колебаний в точке P
от различных элементов d S поверхности S с учетом
их фаз, т. е. углов между ними.
Рис. 5.3. Векторная
диаграмма
5.3. Метод зон Френеля
Метод зон Френеля дополняет принцип Гюйгенса. Его применяют для
решения задач с осевой и центральной симметрией.
По Френелю заменяем в расчете бесконечное число источников — точек
λ
конечным числом источников — зон (рис. 5.4). На рис. 5.4 rm = b + m ,
2
λ
λ
r2 = b + 2 , r1 = b + .
2
2
Рис. 5.4. Сферическая световая волна, разбитая на зоны Френеля
(здесь 1, 2, ..., m — зоны Френеля соответственно; ρm — радиус
m-й зоны Френеля)
Разделим фронт сферической волны на кольцевые зоны Френеля таким
образом, чтобы расстояние до каждой последующей зоны было больше, чем
до предыдущей на λ 2, в точках A и B волны будут в противофазе.
Если число зон Френеля m четное, волны будут гасить одна другую —
в точке P наблюдается минимум.
Если число зон m нечетное, в точке наблюдения P будет максимум.
5.3. Метод зон Френеля
77
Запишем
a2 = ρ2m + (a − hm ) = ρ2m + a 2 − 2ahm + hm2 ,
2
где a, b — большие величины; m, hm — малые.
Тогда
hm =
ρ2m
;
2a
2
λ
2

2
 b + m 2  = ρ m + ( b + hm ) ;


2
 λ
b2 + bmλ +  m  = ρ2m + b2 + 2bhm + hm2 ,
 2
2
 λ
где  m  , hm2 — малые величины.
 2
Отсюда
bmλ = ρ2m + 2bhm = ρm2 +
b
( a + b)
2 bρ 2m

= ρ 2m  1 +  = ρ 2m
.
a
a
2a


Радиус m-й зоны Френеля
ρm =
ab
mλ .
a +b
Если a = b = 1 м, λ = 5 ⋅ 10 −7 м, ρ1 = 5 ⋅ 10− 4 м = 0,5 мм, ρ 2 = 7 ⋅ 10−4 м = 0,7 мм.
Для плоской волны a = ∞ , радиус m-й зоны Френеля
ρm = bmλ.
Векторная диаграмма. Спираль Френеля — графический метод сложения
амплитуд. Волновую поверхность мысленно разбивают на весьма узкие коль
цевые зоны. Амплитуда колебаний, создаваемых каждой из таких зон d A .
Вследствие увеличения радиуса r и уменьшения K ( ϕ), амплитуда колебаний, создаваемых каждой следующей узкой кольцевой зоной, будет убывать
по модулю и отставать по фазе от колебаний, создаваемых предыдущей зоной. Изобразим отставание по фазе поворотом каждого d A против хода ча
совой стрелки на соответствующий угол. ∑ d Ai — результирующая амплитуда колебаний в точке P .
На рис. 5.5 приведен результат действия (результирующая амплитуда колебаний в точке Р) первой, двух и трех первых зон Френеля. Интенсивность
света пропорциональна квадрату амплитуды светового вектора.
5. Дифракция света
78
Рис. 5.5. Результирующая амплитуда колебаний в точке Р
первой (а), двух (б) и трех (в) первых зон Френеля
Цепочка по мере увеличения числа узких кольцевых
зон будет закручиваться в спираль (спираль Френеля), в
результате амплитуда от действия всех зон (всей волновой поверхности) будет равна A∞ (рис. 5.6), т. е.
A
A1÷∞ = 1 ,
2
Рис. 5.6. Спираль
Френеля
а интенсивность света от всех зон Френеля
I0 ∼
A12
.
4
Амплитуда результирующих колебаний в точке Р
A = A1 − A2 + A3 − A4 + … ± Am ;
A1 > A2 > A3 > … > Am .
Здесь амплитуды нечетных зон учитываются со знаком «плюс», четных —
со знаком «минус».
Если число зон m нечетное, амплитуда результирующих колебаний в точке Р:
A=
A1  A1
A
A  A
A
A
A
+  − A2 + 3  + … +  m− 2 − Am−1 + m  + m ≈ 1 + m ,




2
2
2
2
2
2
2
2
где
A3 
A 
 A1
 Am−2
− Am−1 + m  ≈ 0.
 − A2 +  ≈ 0, 
2
2 
 2
 2
Если число зон m четное, амплитуда результирующих колебаний в точке Р:
A=
A1  A1
A 
A
 A A
+  − A2 + 3  + … +  m−1 − Am  ≈ 1 − m .
 2
 2
2  2
2
2
5.4. Дифракция от круглого отверстия и от круглого диска
79
Тогда амплитуда результирующих колебаний в точке Р:
A = A1 − A2 + A3 − A4 + … ± Am ≈
A1 Am
.
±
2
2
(5.2)
Здесь знак «+» соответствует нечетному числу зон m, знак «–» — четному.
Интенсивность света
2
A 
A
I ∼ 1 ± m  .
 2
2
5.4. Дифракция от круглого отверстия и от круглого диска
Дифракция от круглой преграды. На рис. 5.7 приведена схема дифракции
от круглой преграды.
Рис. 5.7. Дифракция от круглой преграды
Преграда — сплошной непрозрачный диск — закрывает от наблюдателя
m зон Френеля. Применив метод зон Френеля, определим амплитуду светового вектора в точке Р:
A=
Am+1  Am+1
A 
A
A
A
+
− Am +2 + m+ 3  + … ≈ m+1 + ∞ ≈ m+1 .
2
2
2
2
2
2


Поскольку A∞ ≈ 0 и
то
Am+3 
 Am +1
 2 − Am +2 + 2  ≈ 0 ,


2
A 
I ∼  m +1  .
 2 
Следовательно, в точке Р находится светлое пятно. За круглым непрозрачным диском в центре его геометрической тени интенсивность не равна
5. Дифракция света
80
нулю (светлое пятно) — пятно Пуассона (экспериментально подтвердил французский физик Д.Ф. Араго).
Если m мало, m = 1 или m = 2, то
A1 ≈ Am +1 , A ≈
A1
;
2
I ∼ Am2 +1, I ∼
A12
.
2
Дифракция от круглого отверстия (рис. 5.8). Плоская волна падает на непрозрачный экран с отверстием, диаметр которого d. На расстоянии b от
экрана, в точке Р находится наблюдатель.
Для плоской волны d = 10−2 м, λ ≈ 5 ⋅ 10− 7 м , радиусы зон Френеля
ρm = bmλ
или
d
= bmλ.
2
Рассчитаем расстояние b от экрана, на
котором следует находиться наблюдателю,
чтобы в отверстии экрана были открыты
1, 2 и т. д. зоны Френеля:
Рис. 5.8. Дифракция от круглого
отверстия
b=
d2
10−4
50
=
=
.
4mλ 4m ⋅ 5 ⋅ 10− 7 m
Результаты расчета для m зон Френеля (m — число открытых зон) приведены ниже.
Зависимость расстояния от экрана до наблюдателя
от числа открытых зон Френеля:
m ......................1
b, м ..................50
max
2
25
min
3
16,7
max
4
12,5
min
5
10
max
Чередование max и min свидетельствует о волновой природе света.
Поставим зонный экран (зонную пластинку), закрывающий четные или
нечетные номера зон (рис. 5.9).
Пусть в отверстии для наблюдателя открыто семь зон Френеля, тогда амплитуда
A A
A  A
A  A
A  A
A A
A = 1 +  1 − A2 + 3  +  3 − A4 + 5  +  5 − A6 + 7  + 7 ≈ 1 + 7 .
2  2
2   2
2   2
2  2
2
2
В соответствии с (5.2)
A=
A1 A7
+ .
2
2
(5.3)
5.5. Дифракция Фраунгофера от щели
81
Интенсивность
2
A A 
I ∼ 1 + 7  .
2 
 2
Наблюдается максимум освещенности.
Закроем четные зоны, амплитуда составит
A = A1 + A3 + A5 + A7 .
Интенсивность света в точке наблюдения
I ∼ ( A1 + A3 + A5 + A7 ) .
2
Освещенность еще больше, чем в (5.3)
(в этом случае четные и нечетные зоны не
гасятся).
Рис. 5.9. Зонный экран, закрывающий четные номера зон Френеля:
1–7 — зоны Френеля
5.5. Дифракция Фраунгофера от щели
Рассмотрим дифракцию Фраунгофера (в параллельных лучах) от щели
(рис. 5.10). Ширина щели a . Свет с длиной волны λ падает на щель нормально. На экране Э, расположенном за собирающей линзой, наблюдается
интерференционно-дифракционная картина.
Оптическая разность хода лучей
∆ = BC = a sin ϕ ,
число зон Френеля
m=
a sinϕ
.
λ2
Картина симметрична.
Если число зон Френеля (рис. 5.11) —
нечетное, что соответствует максимуму интенсивности:
m = ( 2z + 1) = ±
a sin ϕmax
,
λ
2
z = 1, 2, 3,… — порядковое число.
Условие максимума
λ
∆ = ( 2z + 1) , z = 0, 1, 2, … ;
2
Рис. 5.10. Дифракция Фраунгофера от щели
5. Дифракция света
82
λ
a sin ϕ = (2 z + 1) , z = 0, 1, 2,… .
2
Центральному максимуму соответствует z = 0 .
Число зон, соответствующее минимуму интенсивности,
m = 2z = ±
Рис. 5.11. Число зон Френеля
a sin ϕmin
.
λ
2
Условие минимума
∆ = λz, z = 1, 2, 3, … ;
a sin ϕ = λ z, z = 1, 2, 3, … .
Рис. 5.12. Очень узкая щель
При белом свете в центре будет белое пятно,
далее распадаются максимумы.
Максимумы волн с большой длиной волны
находятся дальше от центра, чем волн с меньшей
длиной волны.
Ширина щели a сравнима с длиной волны λ:
a>λ.
Рассмотрим очень узкую щель при a < λ (рис. 5.12).
В этом случае дифракционная картина подобна дифракции на круглом
отверстии.
5.6. Предельный переход от волновой оптики к геометрической
Широкая щель при a  λ (рис. 5.13).
Видна резкая граница света и тени. Глаз
не видит дифракции (но она есть). Определим угловое положение минимумов первого и второго порядков:
λ λ
ϕ1 min = arcsin =  1,
a a
где λ  a,
λ
— мало;
a
ϕ2 min = arcsin
Рис. 5.13. Широкая щель
a ~ 10 −3 м, λ ~ 10−7 м.
2λ 2λ
 1,
≈
a
a
5.7. Дифракционная решетка
83
Таким образом, в данном случае человеческий глаз не различает минимумы и максимумы интенсивности. Когда размеры отверстий или преград во
много раз больше длины световой волны (a >> λ ) — это предельный переход к
геометрической оптике.
5.7. Дифракционная решетка
Дифракционная решетка представляет собой совокупность очень большого числа щелей (рис. 5.14). Это стеклянная или металлическая пластинка, на
которой нанесено очень много (до сотен тысяч) прямых равноотстоящих
штрихов одинаковой конфигурации.
Рис. 5.14. Дифракционная решетка
Лучи от соседних щелей интерферируют. Оптическая разность хода лучей
от соседних щелей (лучи синфазны) составит
∆ = ( a + b) sin ϕ = d sin ϕ,
где d — период дифракционной решетки,
d = a + b,
d ~ 10−5...10−6 м. Пусть l — длина решетки, N — число щелей, тогда
d=
l
.
N
Условие максимума интенсивности
∆max = 2 m
λ
.
2
5. Дифракция света
84
Главные максимумы
d sin ϕ max = mλ , m = 0, ± 1, ± 2, … .
(5.4)
Наибольший максимум при ϕ = π 2
mmax =
d
,
λ
где m — целое число.
5.8. Спектральные характеристики дифракционных решеток
1) Дисперсия бывает угловая и линейная.
Угловая дисперсия D — угловое расстояние между двумя линиями спектра, отличающимися по длине волны на единицу. Характеризует степень пространственного (углового) разделения волн с различными длинами λ:
D=
dϕ
.
dλ
(5.5)
Из условия главных максимумов для дифракционной решетки (5.4),
d sin ϕ = mλ, m = 0, ± 1 , ±2, … ,
дифференцируя при данном m, получаем
d ( d sin ϕ) = d ( mλ ), m = 0, ± 1, ± 2, …,
d cos ϕ d ϕ = m d λ ,
из формулы (5.5) следует
D=
dϕ
m
=
.
d λ d cos ϕ
(5.6)
Чем меньше период решетки d, тем больше D, при малых ϕ
d ϕ m mN
≈ =
,
dλ d
l
при малых ϕ (рис. 5.15)
d l = F d ϕ,
линейная дисперсия
Рис. 5.15. Cвязь dl и
dϕ при малых ϕ
Dлин =
dl
= FD.
dλ
5.8. Спектральные характеристики дифракционных решеток
85
Рассмотрим влияние числа щелей на число спектров. Запишем
d sin ϕ = mλ ;
sin ϕ =
m≤
mλ
≤1 ;
d
d
1
~
.
λ Nλ
Таким образом, чем больше число щелей, тем меньше наблюдается спектров.
2) Разрешающая способность — способность решетки разделять две соседние линии.
Критерий Рэлея: две спектральные линии с
разными длинами волн, но одинаковой интенсивности, считаются разрешенными, если главный максимум одной спектральной линии совпадает с первым минимумом другой (рис. 5.16).
В этом случае между двумя максимумами возникает провал, составляющий около 20 %
интенсивности в максимумах, и линии еще
воспринимаются раздельно:
d sin ϕ = ( a + b) sin ϕ = mλ 1;
d sin ϕ = (a + b ) sin ϕ = mλ2 +
λ2
,
N
Рис. 5.16. К критерию Рэлея
(5.7)
λ 1 = λ + δλ , λ 2 = λ .
(5.8)
Из (5.7) и (5.8) получим
m ( λ + δλ ) = mλ +
mδλ =
λ
;
N
λ
.
N
Разрешающая способность
R=
λ1( 2)
λ
=
= mN ;
δλ λ 2 − λ1
где m — порядок спектра. Число щелей
N =
l
l
,
=
d a+b
(5.9)
5. Дифракция света
86
тогда
R=
l
λ
=m ,
d
δλ
(5.10)
ширина дифракционной решетки l ≈ 1 мм;
1
λ
~ .
δλ d
5.9. Дифракция рентгеновских лучей
Рентгеновские лучи — электромагнитное излучение, длина волны кото


рого λ < 10 A . Ангстрем A — внесистемная единица длины, 1 A = 10−10 м = 0, 1нм;

10 A = 10−9 м .
В дифракционной решетке
d sin ϕmax = mλ ,
где период решетки d ~ 10−6 м, длина волны света λ св ~ (4... 7, 5) ⋅ 10 −7 м, d > λсв .
Длина волны рентгеновского излучения λ рент ~ 10 −10 м. Угловое положение соседних максимумов ϕmax при дифракции рентгеновских лучей на обычных решетках при d ~ 10−6 м таково, что максимумы будут неразличимы, т. е.
sin ϕ1 max =
sin ϕ2 max =
λ
~ 10 −4 ;
d
2λ
~ 2 ⋅10 −4 .
d
В кристаллах расстояние между атомными плоскостями d ~ 10 −9...10 −10 м,
оно сравнимо с длиной волны рентгеновского излучения λ рент .
Размеры препятствия должны быть соизмеримы с длиной волны λ . Поэтому дифракционной решеткой для рентгеновских лучей является кристаллическая
решетка металла.
Вследствие высокой проникающей способности рентгеновских лучей их угол падения α = const ; θ — угол скольжения лучей
(рис. 5.17).
Первый луч, попадая на атом, отражается под углом, равным углу падения. Разность
хода
Рис. 5.17. Дифракция рентгеновских лучей
∆ = BD + DC = 2d sin θ .
5.11. Понятие о рентгеноструктурном анализе
87
5.10. Формула Вульфа — Брэггов
При дифракции рентгеновских лучей на кристаллической решетке металла максимумы интенсивности наблюдаются при выполнении условия,
описываемого формулой Вульфа — Брэггов:
2d sin θ = mλ, m = 1, 2, 3 … ,
(5.11)
где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла; θ – угол скольжения падающего излучения (см. рис. 5.17).
Применение дифракции рентгеновских лучей:
1. Рентгеновская спектроскопия (исследование спектрального состава излучения). Спектральный состав излучения (измерение его длин волн) можно
определить с помощью формулы Вульфа — Брэггов (5.11). Если известна
структура кристалла, находят направления на максимумы интенсивности при
дифракции для данной структуры кристалла, после чего определяют λ.
2. Рентгеноструктурный анализ (изучение структуры кристаллов). Для монокристаллов применяется метод Лауэ, для поликристаллов — метод Дебая —
Шерера.
5.11. Понятие о рентгеноструктурном анализе
При рентгеноструктурном анализе кристаллов используют два метода.
1. Метод Лауэ — узкий пучок рентгеновского излучения направляется на
исследуемый монокристалл. Для каждой системы кристаллических плоскостей в излучении находится длина волны λ, при которой выполняется (5.11).
В результате на помещенной за кристаллом фотопластинке получается система пятен — максимумов, так называемая лауэграмма. Взаимное расположение пятен отражает симметрию кристалла. По расстояниям между максимумами и по их интенсивности можно определить структуру данного
кристалла.
2. Метод Дебая — Шерера — узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения воздействует на образец в виде поликристалла. Исследуемый кристалл предварительно измельчают в порошок и из него прессуют
образец в виде стержня. В большом количестве беспорядочно ориентированных кристаллов найдется множество таких, для которых выполняется (5.11),
и дифрагированный пучок будет образовывать конус направлений — свой
для каждой системы межплоскостных расстояний d и порядка дифракции m.
Рентгенограмма образца, полученная по этому методу, называется дебайграммой (система концентрических колец). Ее расшифровка также позволяет
определить структуру кристалла.
5. Дифракция света
88
Примеры решения задач
Задача 4.156. При нормальном падении света на дифракционную решетку шириной 10 мм обнаружено, что компоненты желтой линии натрия (589,0
и 589,6 нм) оказываются разрешенными, начиная с пятого порядка спектра.
Оценить:
а) период этой решетки; б) при какой ширине решетки с таким периодом
можно разрешить в третьем порядке дублет спектральной линии с длиной
волны λ = 460 нм, компоненты которого отличаются на 0,13 нм.
Решение: а) разрешающая способность (сила) решетки из уравнения (5.9):
R=
λ1
= mN ,
δλ
где m — порядок спектра; N — число периодов (всех щелей).
Запишем
δλ = λ2 − λ1 ;
N =l d ,
тогда
R=
l
λ1
=m ,
d
λ 2 − λ1
(5.12)
период решетки
d=
d=
ml ( λ2 − λ1 )
λ1
;
5 ⋅ 0, 01( 589, 6 − 589, 0) ⋅ 10−9
589,0 ⋅ 10−9
= 5, 093⋅ 10−5 м .
б) используем равенство (5.12) и получим
l* =
l* =
dλ
;
mδλ
5,09 ⋅ 10 −5 ⋅ 460 ⋅ 10 −9
= 0, 06 м .
3 ⋅ 0,13 ⋅10 −9
Задача 4.114. Плоская монохроматическая световая волна интенсивностью I 0 падает нормально на непрозрачный экран с круглым отверстием.
Какова интенсивность света I за экраном в точке, для которой отверстие:
а) равно первой зоне Френеля; внутренней половине первой зоны; б) равно первой зоне Френеля и затем его половина закрыта по диаметру?
5.11. Понятие о рентгеноструктурном анализе
89
Решение. Интенсивность при отсутствии экрана (от действия всех зон
Френеля)
2
A 
I 0 ∼  1  = A∞2 .
2 
а) в точке, для которой отверстие равно первой зоне Френеля (рис. 5.18),
интенсивность
I ∼ A12 = 4 A∞2 ;
I = 4I 0 .
В точке, для которой отверстие равно внутренней половине первой зоны
Френеля (рис. 5.19), интенсивность
2
A 

I ∼ 2 1  =
2 

( 2A ) = 2A ;
2
∞
2
∞
I = 2I 0 ;
б) в точке, для которой отверстие равно первой зоне Френеля и его половина закрыта по диаметру, интенсивность
I ∼ A 2.
Рис. 5.18. Амплитуда световой волны в точке наблюдения при отверстии, равном
первой зоне Френеля
Рис. 5.19. Амплитуда световой волны
в точке наблюдения при отверстии, равном внутренней половине первой зоны
Френеля ( 2 A∞ = A )
Если открыта первая зона Френеля, амплитуда в точке наблюдения
A1 = 2 A∞ ↔ 2 π.
Если закрыта половина отверстия по диаметру, то амплитуда
A ↔ π,
тогда
A=
A1
= A∞ ,
2
5. Дифракция света
90
следовательно, интенсивность
2
A 
I ~ A2 =  1  = A∞2 ;
 2 
I = I0 .
Рис. 5.20. Форма экранов
Задача 4.116. Плоская монохроматическая световая волна интенсивностью I 0 падает нормально
на поверхности непрозрачных экранов. Найти зависимость от угла ϕ интенсивности I света в точке P:
а) расположенной за вершиной угла экрана
(рис. 5.20, а); б) для которой закругленный край
экрана (рис. 5.20, б) совпадает с границей первой
зоны Френеля.
Решение: а) без преграды амплитуда световой
A1
, интенсивность световой волны I 0 ∼ А 2∞.
2
С преградой амплитуда определяется следующим соотношением:
волны A∞ =
A∞
2π
=
A
,
2π − ϕ
где ( 2π − ϕ ) — угол, не закрытый экраном.
Тогда
A
A = ∞ ( 2π − ϕ )
2π
или
2
A2 =
A 12 
ϕ
1−
.
4 
2π 
Искомая интенсивность
2
ϕ 

I = I 0 1 −
 ;
 2π 
б) закругленный край экрана (см. рис. 5.20, б) совпадает с границей первой зоны Френеля. Запишем (5.2) для данного случая с учетом, что A1 ≈ A2 :
A = A1 −
A2 
A 
ϕ  A1 A1 ϕ
ϕ 
+
= 1 1 +
1 −
≈
,
2 
2π  2
2 2π 2 
2π 
интенсивность
2
ϕ 

I = I0  1 +  .
 2π 
5.11. Понятие о рентгеноструктурном анализе
91
Задача 4.118. Плоская световая волна с длиной λ и интенсивностью I0
падает нормально на большую стеклянную пластинку, противоположная сторона которой представляет собой непрозрачный экран с круглым отверстием, равным первой зоне Френеля для точки наблюдения Р. В середине отверстия выполнена круглая выемка, равная половине зоны Френеля. При
какой глубине h этой выемки (рис. 5.21) интенсивность света в точке Р будет
максимальной? Чему она равна?
Решение. При отсутствии выемки A1 — амплитуда колебаний от первой
зоны Френеля, A1 2 — от 1/2 зоны, Aост — от остальных зон (рис. 5.22).
Рис. 5.21. Расчетная схема
Рис. 5.22. Состав амплитуды колебаний от первой зоны Френеля при отсутствии выемки
Если делать выемку постепенно (увеличивать h), тогда возникает опережение по фазе колебаний, проходящих через выемку, так как их оптический
путь уменьшится на
∆ = hn − hnв = hn − h = h(n − 1);
∆ = h( n − 1),
(5.13)
2π ∆
λ
(5.14)
что соответствует сдвигу по фазе
δ=

и повороту вектора A1 2 на этот угол по ходу часовой стрелки (опережение по
фазе).
Для получения максимума интенсивности

 необходимо, чтобы амплитуда
также была максимальной, т. е. A1 2 ↑↑ Aост . Для этого A1 2 следует повернуть (рис. 5.23) на угол
δ=
3
π + 2πm, m = 0, 1, 2, …
2
5. Дифракция света
92
С учетом (5.13) и (5.14) получим
δ=
3
2π h( n − 1)
, m = 0, 1, 2, …
π + 2 πm =
λ
2
Глубина h выемки, при которой интенсивность света в точке Р будет максимальной,
Рис. 5.23. Угол δ, на который необходимо повернуть
3

λ  + m
4

h=
, m = 0, 1, 2, …
n−1

вектор A1/ 2 для достижения
максимальной интенсивности света в точке Р
При отсутствии экрана интенсивность света
пропорциональна квадрату результирующей амплитуды от действия всех зон Френеля (бесконечного числа зон):
2
A 
I 0 ∼  1  = A 2∞.
 2 
Максимум интенсивности соответствует


Imax ⇔ A1 2 ↑↑ Aо ст ;
2 ,
I max ∼ Amax
где
Amax = A1 2 + Aост .
Согласно построениям на рис. 5.24,
A1 2 = 2
A1
= 2 A∞ ;
2
Aост = 2
A1
= 2 A ∞.
2
Максимальная амплитуда
Amax = 2 2
A1
= 2 2 A∞,
2
максимальная интенсивность
2
(
)
2
A 

Imax ∼  2 2 1  = 2 2 A∞ ;
2 

Рис. 5.24. К определению максимума
интенсивности
Imax ∼ 8 A∞2 ⇒ I max ≈ 8I 0∗ .
* Так как реально это спираль Френеля.
*
Задачи для самостоятельного решения
93
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.119. Свет с длиной волны λ = 0, 60 мкм падает нормально на поверхность стеклянного диска, который перекрывает полторы зоны Френеля
для точки наблюдения P. При какой толщине этого диска интенсивность
света в точке P будет максимальной?
5

λ k + 
5
8


= 1, 2  k +  мкм, где k = 0,1, 2,...
Ответ: h =
n −1
8

Задача 4.154. Свет, содержащий две спектральные линии с длинами волн
600,000 и 600,050 нм, падает нормально на дифракционную решетку шириной 10,0 мм. Под некоторым углом дифракции ϑ эти линии оказались на
пределе разрешения (по критерию Рэлея). Найти ϑ.
Ответ: ϑ = 46°.
6. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА
6.1. Естественный и поляризованный свет. Закон Малюса

Световую волну, в которой направление колебаний светового вектора E
упорядочено каким-либо образом, называют поляризованной.
Различают плоскополяризованный свет, эллиптическую
поляризацию,

поляризацию по кругу. Если колебания вектора E происходят только в одной плоскости, проходящей через луч, это плоско- (или линейно) поляризованная волна (рис. 6.1).

Рис. 6.1. Колебания вектора E в плоскополяризованном луче
Плоскость
поляризации — плоскость, в которой колеблется световой век
тор E .

Эллиптически поляризованная волна. В ней вектор E вращается вокруг
направления распространения волны, одновременно
изменяясь периодиче
E
ски по модулю.
При
этом
конец
вектора
описывает
эллипс. Если конец

вектора E описывает окружность — это волна, поляризованная по
 кругу.
Если смотреть навстречу распространения волны, и вектор E при этом
поворачивается
 по ходу часовой стрелки, то поляризацию называют правой,
если вектор E при этом поворачивается против хода часовой стрелки, поляризацию называют левой.
Эллиптически поляризованная — наиболее общий вид поляризации волны, переходящий при определенных условиях в линейную и в круговую поляризации.
Волну с эллиптической поляризацией всегда можно разложить на две
взаимно перпендикулярные линейно-поляризованные волны с взаимно ор-
6.1. Естественный и поляризованный свет. Закон Малюса
95
тогональными плоскостями поляризации. Причем разность фаз этих двух
волн сохраняется постоянной во времени (когерентные волны).
Несмотря на то что световые волны от обычных источников поперечны,
они, как правило, не обнаруживают асимметрии по отношению к направлению распространения. Такой свет называют естественным.
В естественном свете колебания светового вектора неупорядочены (рис. 6.2).
Естественный свет (рис. 6.3, а) можно представить как наложение (сумму) двух некогерентных плоскополяризованных волн с взаимно ортогональными плоскостями поляризации (рис. 6.3, б, направление распространения
света перпендикулярно плоскости рисунка).
Рис. 6.2. Колебания
светового вектора в
естественном свете
Рис. 6.3. Представление естественного света
(а) как наложение двух некогерентных плоскополяризованных волн с взаимно ортогональными плоскостями поляризации (б)
Из естественного света можно получить плоскополяризованный свет с
помощью поляризатора.
Поляризатор — прибор, служащий для получения поляризованного света.
Такой прибор, применяемый для исследования поляризации света, называют анализатором.
Линейно-поляризованный свет получают, пропустив естественный свет
или через естественный кристалл (например, турмалин), обладающий оптической анизотропией, или через искусственно созданный поляроид
(например, герапатит).
Поляроиды — искусственно созданные коллоидные пленки, служащие для получения поляризованного света.
При поляризации естественного
света (рис. 6.4) амплитуда (рис. 6.5)
прошедшего поляроид (в данном
Рис. 6.4. Поляризация естественного
случае поляризатор) света
света:
A || = A0 cos α,
1 — поляризатор; 2 — плоскость поляризации; Iест , I пол — интенсивности естественного
и поляризованного света
6. Поляризация света
96
Рис. 6.5. Связь амплитуд
света, падающего на поляроид и прошедшего
его
где A0 — амплитуда падающего на поляроид света;

α — угол между плоскостью колебаний вектора E
и главной плоскостью поляризатора.
Плоскость пропускания поляризатора — плоскость,
в которой колебания светового вектора проходят свободно (главная плоскость или просто плоскость поляризатора).
Запишем
A2|| = A20 cos2 α ,
где cos2 α — среднее значение cos α . В естественном свете все значения
угла α равновероятны, поэтому для естественного света
cos2 α =
1
.
2
Интенсивность поляризованного света
Iпол ∼ A ||2 = A 20 cos2 α ;
I пол =
1
Iест .
2
(6.1)
При падении на анализатор плоскополяризованного света (рис. 6.6) амплитуда светового вектора света, прошедшего анализатор,
Aан = Aпол cos ϕ;
2
2 cos 2
Aан
= Aпол
ϕ.
Рис. 6.6. Прохождение света через анализатор:
1 — поляризатор; 2 — анализатор
Интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего анализатор, определяет закон Малюса:
1
Iан = Iпо л cos2 ϕ = I ест cos 2 ϕ.
(6.2)
2
6.2. Закон Брюстера
97
π
Iан = 0 = min .
2
Здесь поляризатор и анализатор идеальны, их коэффициент поглощения η = 0
.
Степень поляризации
I
− I min
P = max
.
(6.3)
Imax + Im in
При ϕ = 0 I ан = I пол = max ; при ϕ =
Луч полностью поляризован (плоскополяризованный свет) в нем
I min = 0; P = 1.
Естественный свет неполяризован, для него
Imax = Imin ; P = 0 .
Частично поляризованный свет (рис. 6.7) можно рассматривать как смесь (сумму)
естественной (см. рис. 6.7, в, слева) и плоскополяризованной (см. рис. 6.7, в,
справа) составляющих:
0 < P <1.
Рис. 6.7. Составляющие частично поляризованного света:
а, б — частично поляризованный свет; в — естественная
и плоскополяризованная составляющие
6.2. Закон Брюстера
Закон Брюстера: если неполяризованный
свет падает под углом Брюстера, то составляющая с электрическим вектором E|| (лежит
в плоскости падения) отражаться не будет.
Отраженный свет окажется линейно-поляризованным и притом перпендикулярно плоскости
падения.
Луч света падает на границу раздела вакуума и диэлектрика (рис. 6.8):
Рис. 6.8. Свет падает пол углом
Брюстера на границу раздела
вакуума и диэлектрика
6. Поляризация света
98
n= ε;
ε = n2 .
При падении естественного света
tg iБ = n.
Отраженный луч полностью поляризован.
На границе раздела воздух—диэлектрик (вакуум—среда)
Eτвак = Eτсред ;
(6.4)
E nвак = εE nсред .
(6.5)
Учитываем также, что угол падения равен углу отражения i = i ′ , согласно
(6.4), получаем
E0 cos i − Ei cos i = Er cos r ,
где E0 , E i , E r — падающий, отраженный и преломленный лучи.
Из равенства (6.5) следует
E0 sin i + Ei sin i = n2 E r sin r .
Согласно закону преломления света,
sin i
= n;
sin r
E 0 + Ei = nEr .
Пусть E i = 0 , тогда
sin i
E 0 cos r
=
=n =
,
Er cos i
sin r
в этом случае
cos r = sin i;
cos i = sin r .
Это означает, что
π
i+ r = ,
2
(6.6)
sin i
= tg i = n.
cos i
(6.7)
тогда
6.3. Двойное лучепреломление. Поляризация света при двойном лучепреломлении
99
Угол i в (6.7) — угол Брюстера iБ .
Из (6.6) также следует, что при падении естественного света под углом
Брюстера на границу раздела сред отраженный и преломленный лучи взаимно перпендикулярны.
Закон Брюстера
tg iБ =
n2
= n21.
n1
(6.8)
В этом случае отраженный свет полностью поляризован перпендикулярно
плоскости падения. Преломленный луч – частично поляризован в плоскости
падения.
Если диэлектрик — стекло, то
n = 1, 5;
iБ = arctg n = arctg 1, 5 = 56°.
6.3. Двойное лучепреломление. Поляризация света
при двойном лучепреломлении
Почти все прозрачные кристаллические диэлектрики оптически анизотропны, т. е. оптические свойства света при прохождении через них зависят от направления. Вследствие этого возникает явление, называемое двойным лучепреломлением. Оно заключается в том, что падающий на кристалл
пучок света разделяется внутри кристалла на два пучка, распространяющихся
в общем случае в различных направлениях и с разными скоростями.
Поляризованный свет можно получить при прохождении света через некоторые кристаллы, обладающие анизотропией.
Если кристаллы некубической системы, то будет наблюдаться двойное
лучепреломление света.
В анизотропном кристалле (рис. 6.9), диэлектрические проницаемости
которого различаются, например, в направлениях x и y
µ ≈ 1; εx ≠ εy .
Рис. 6.9. Прохождение света через анизотропный кристалл
6. Поляризация света
100
Показатели преломления в направлениях x и y
nx = ε x ; ny = εy ,
соответственно, скорость распространения света в анизотропном кристалле
в направлениях x и y
c
c
vx = ; v y = ,
nx
ny
где c — скорость света. Отметим, что vx ≠ vy .
Пусть
ε x  ε y , тогда nx  ny и Ex  Ey ,
т. е. E x пренебрежимо мало.
6.4. Распространение электромагнитных волн
в одноосных кристаллах
Внутри кристалла лучи подразделяют на обыкновенные и необыкновенные. Направление в одноосных кристаллах, вдоль которого обыкновенные и
необыкновенные лучи распространяются, не разделяясь пространственно и
с одинаковой скоростью, называют оптической осью.
Главным сечением или главной плоскостью кристалла называют любую
плоскость, проходящую через оптическую ось.
Обыкновенные
и необыкновенные лучи линейно поляризованы. Коле
бания вектора E в обыкновенной волне совершаются в направлении, перпендикулярном главному сечению кристалла для обыкновенного луча (рис. 6.10).
Отметим, что названия «обыкновенная» (о) и «необыкновенная» (е) волны имеют смысл только внутри кристалла. Оба луча, вышедшие из кристалла, отличаются друг от друга только направлением поляризации.
В плоскости, перпендикулярной оптической оси, свойства кристалла по всем направлениям одинаковы. В направлении оптической
оси у одноосного кристалла нет двойного лучепреломления.
В одноосном кристалле скорость распространения обыкновенного луча одинакова во
всех направлениях, а необыкновенного луча —
зависит от направления.
Лучевая поверхность (поверхность лучевых
скоростей, или волновая поверхность) — геометриРис. 6.10. Распространение
ческое место точек — концов векторов, провеобыкновенной (о) и необыкденных из данной точки во всех направлениях,
новенной (е) волн в однооспричем модули этих векторов пропорциональны
ном кристалле
6.4. Распространение электромагнитных волн в одноосных кристаллах
101
значениям лучевой скорости в этих же направлениях
(рис. 6.11).
Для обыкновенной волны это сфера радиусом
vo , для необыкновенной волны — эллипсоид вращения с полуосями vo и vе :
vo =
c
.
no
Рис. 6.11. Лучевая поверхность (АА — оптическая ось кристалла)
Здесь vо , ve — скорости обыкновенного и необыкновенного луча, соответственно; nо — показатель
преломления обыкновенного луча, для которого выполняется закон преломления света
sin i
= no .
sin r
Показатель преломления необыкновенного луча ne = εe , для него закон
преломления света не выполняется, т. е. при i = 0 может быть r ≠ 0.
Скорость обыкновенного луча vo не зависит от направления в кристалле,
скорость vе необыкновенного луча по мере отклонения его от направления
 
оптической оси (вдоль которой vo = vе ) будет все больше отличаться от скорости обыкновенного луча, достигая максимального различия в направлении,
перпендикулярном оптической оси.
Для отрицательного кристалла (например, исландского шпата) (рис. 6.12)
c
ne < no; ve = ; ve > vo .
ne
Для положительного кристалла (например, кварца) (рис. 6.13)
ne > no ; ve =
Рис. 6.12. Лучевая поверхность отрицательного
кристалла
c
; ve < vo .
ne
Рис. 6.13. Лучевая поверхность положительного кристалла
102
6. Поляризация света
6.5. Поляризационные призмы и поляроиды
Если в кристаллах один из лучей, обыкновенный или необыкновенный,
поглощается сильнее другого, такое явление называют дихроизмом. Кристалл
турмалина, например, практически полностью поглощает необыкновенный
луч на длине 1 мм.
Явление дихроизма используют в поляризаторах, выполняемых в виде
светофильтров, называемых поляроидами (герапатитовые и др.). Они представляют собой тонкую (~ 0,1 мм) пленку, линейно поляризующую проходящий через нее свет.
Для изготовления поляроида наиболее часто используют герапатит, представляющий собой соединение йода с хинином. Герапатит вводят в целлулоидную или желатиновую пленку, в которой его ультрамикроскопические кристаллики каким-либо способом ориентируются своими осями в одном и том
же направлении. Обычно ориентирование кристалликов осуществляют механически, например, протаскиванием вязкой массы через узкую щель. Полученная масса действует как один кристалл и поглощает световые колебания, электрический вектор которых перпендикулярен к оптической оси.
Двупреломляющиеся кристаллы (лучше всего исландского шпата) можно
использовать для получения поляризованного света. Однако гораздо удобнее
пользоваться комбинациями кристаллов, называемыми поляризационными
призмами. Обычно для изготовления поляризационных призм применяется
исландский шпат, в некоторых случаях кварц.
Поляризационная призма состоит из двух или более трехгранных призм
из одноосного кристалла с одинаковой или различной ориентацией оптических осей, склеенных между собой прозрачными веществами или разделенных воздушной прослойкой. Для склейки применяют канадский бальзам
(n D = 1,550), льняное масло (n D = 1,49), глицерин (nD = 1,474) и другие материалы. Для работы в ультрафиолетовой части спектра применяют призмы,
склеенные глицерином, касторовым маслом, а также призмы с воздушной
прослойкой.
Различают однолучевые поляризационные призмы , из которых выходит
только один пучок линейно-поляризованного света, и двухлучевые поляризационные призмы, из которых выходят два пучка света, поляризованных во
взаимно перпендикулярных плоскостях. Призмы первого типа действуют по
принципу полного отражения. Падающий пучок естественного света, проникая в призму, расщепляется в ней на два пучка, поляризованных линейно во
взаимно перпендикулярных плоскостях. Один из этих пучков претерпевает
полное отражение на границе склейки призм и отклоняется вбок, другой
проходит прямо и используется в дальнейшем.
В 1828 г. шотландским физиком У. Николем (1768 – 1851) была изобретена первая поляризационная призма, названная его именем. Также называют и другие призмы, действующие по тому же принципу. Призма изготовлена из исландского шпата. Один монокристалл исландского шпата делят на
две части и вырезают под определенным углом, затем их склеивают канадским бальзамом (смолой канадской сосны).
Примеры решения задач
103
Сечение призмы Николя плоскостью главного сечения показано на
рис. 6.14. Двойная стрелка, наклоненная под углом 64° к длинному ребру,
указывает направление к оптической оси. Луч света, падая на искусственное
основание кристалла, разделяется внутри кристалла на обыкновенный AO
и необыкновенный AE лучи. Показатель преломления канадского бальзама
(nD = 1,550) имеет промежуточное значение между обыкновенным (no = 1,658)
и необыкновенным (ne = 1,486) показателями преломления исландского шпата,
ne < nD < no .
Углы в призме Николя рассчитаны так, чтобы необыкновенный луч прошел через слой канадского бальзама, а обыкновенный претерпел на нем полное отражение и поглотился зачерненной боковой гранью. В больших призмах во избежание их нагревания обыкновенный луч выводится наружу
специальной призмочкой, наклеенной на боковую грань (см. рис. 6.14, изображена пунктиром). В результате свет, вышедший из призмы, окажется линейно-поляризованным.
Рис. 6.14. Призма Николя
В призме Фуко, устроенной, как и призма Николя, канадский бальзам заменен тонким слоем воздуха. Благодаря этому ее можно применять для ультрафиолета (канадский бальзам поглощает ультрафиолетовый свет). Показатель преломления воздушной прослойки меньше обоих показателей no и ne .
Примеры решения задач
Задача 4.180. При падении естественного
света на некоторый поляроид (рис. 6.15) проходит η1 = 30 % светового потока, а через два
таких поляроида — η2 = 13, 5 %. Найти угол ϕ
между плоскостями пропускания этих поляроидов.
Решение. Согласно закону Малюса (6.2),
для плоскополяризованного света (без учета
Рис. 6.15. Расчетная схема для
определения угла между поляризатором и анализатором
6. Поляризация света
104
поглощения) интенсивность
I = I 0 cos2 ϕ ,
а для естественного света интенсивность
I=
I0
,
2
поскольку
cos 2 ϕ =
1
.
2
На первый поляроид, являющийся поляризатором, падает естественный
свет. Согласно закону Малюса, с учетом поглощения света при прохождении
через поляризатор интенсивность
I1 =
I0
(1 − η) .
2
По условию задачи
I1 = η1 I 0 ,
откуда
I0
(1 − η ) = η1 I0 ;
2
(6.9)
1 − η = 2η1 ,
(6.10)
где η — коэффициент поглощения.
На выходе из поляризатора получаем плоскополяризованный свет.
При прохождении света через два одинаковых поляроида (поляризатор и
анализатор) с учетом поглощения света результирующая интенсивность по
закону Малюса
I
I2 = 0 (1 − η) (1 − η) cos2 ϕ,
2
а по условию задачи
I2 = η2 I 0 .
Тогда
(1 − η )2 cos2
2
ϕ = η2 .
Подставив (6.10) в (6.11), получим
4η12
cos2 ϕ = η2 ;
2
cos2 ϕ =
η2
;
2η12
(6.11)
Примеры решения задач
cos ϕ =
η2
η1 2
105
.
Угол ϕ между плоскостями пропускания этих поляроидов
ϕ = arccos
η2
η1 2
.
Задача 4.183. Степень поляризации частично поляризованного света
P = 0, 25 . Найти отношение интенсивности плоскополяризованной составляющей этого света к интенсивности естественной составляющей ( I0 Iecт ).
Решение. Используем закон Малюса (6.2) для естественного света
1
I = I ecт
2
и для плоскополяризованного света
I = I 0 cos2 ϕ.
Определим степень поляризации частично поляризованного света с помощью (6.3):
I
− I min
P = max
.
I max + I min
Частично поляризованный свет является смесью естественной и плоскополяризованной составляющих,
I max = I 0 +
1
I ecт ,
2
I min =
1
I ecт ,
2
тогда
P=
I0
I 0 + I ecт
или
I
1
= 1 + ecт .
P
I0
Тогда отношение интенсивностей естественной и плоскополяризованной составляющих будет иметь вид
Iecт 1 − P
,
=
I0
P
а отношение интенсивностей плоскополяризованной и естественной составляющих —
6. Поляризация света
106
I0
P
.
=
Iecт 1 − P
Задачи для самостоятельного решения
Задача 4.181. Пучок естественного света попадает на систему из N = 6
поляризаторов, плоскость пропускания каждого из которых повернута на
угол ϕ = 30° относительно плоскости пропускания предыдущего поляризатора. Какая часть светового потока проходит через эту систему?
1
2 ( N −1 )
Ответ: η = ( cos ϕ )
.
2
Задача 4.184. Узкий пучок естественного света проходит через газ из оптически изотропных молекул. Найти степень поляризации света, рассеянного под углом ϑ к пучку.
Ответ: P =
sin2 ϑ
.
1 + cos2 ϑ
7. ГОЛОГРАФИЯ
7.1. Опорная и предметная световые волны
Голография — процесс записи и последующего воспроизведения (восстановления) полной информации о пространственном распределении амплитуды и фазы волны, рассеянной предметом. Голография представляет собой метод получения объемного изображения предмета в результате интерференции волн
(опорной и предметной).
При фотографии на фотопластинке получают распределение интенсивности световых волн, отраженных от предмета, т. е. учитывается только распределение амплитуды электромагнитной волны, поэтому полученное изображение плоское.
На голограмме регистрируется не само изображение предмета, как в фотографии, а фиксируется структура световой волны, отраженной предметом.
При этом регистрируются не только амплитудные, но и фазовые соотношения
рассеянного объектом света; получают полную информацию о предмете —
объемное изображение.
Голография была изобретена английским физиком Д. Габором в 1947 г.
Практическое ее осуществление появилось только с изобретением лазера
(1950).
Для получения голограммы необходимо, чтобы на фотоэмульсию одновременно со светом, рассеянным объектом (предметный пучок), попадала также и некоторая часть света источника, освещающего этот объект (опорный,
или референтный, пучок). На рис. 7.1 представлена лишь часть предметного
пучка — пучок лучей, рассеянных только от малого элемента площади поверхности объекта с центром в точке A .
Свет, рассеянный объектом, интерферирует с опорным пучком. Образующаяся интерференционная картина — чередование темных и светлых полос —
регистрируется фотопластинкой. Экспонированная таким образом и затем
проявленная фотопластинка представляет собой голограмму. Для того чтобы
интерференция света происходила вдоль всей поверхности фотопластинки,
источник света должен обеспечить когерентность приходящих туда волн. Такими источниками являются лазеры (квантовые генераторы световых волн).
Голограмма не напоминает объект и внешне производит впечатление случайного набора пятнышек почернения всевозможной формы и ориентации.
Для получения видимого изображения объекта в пространстве голограммы необходимо восстановить изображение, просвечивая голограмму опорным
пучком света. Под углом к опорному пучку появляется изображение на том
108
7. Голография
Рис. 7.1. Получение голограммы:
1 — полупрозрачное зеркало; 2 — предметный пучок; 3 — фотопластинка; 4 — опорный пучок
месте, где находился объект при экспонировании фотопластинки, и наблюдатель видит исходный объект висящим в пространстве. На него можно посмотреть из разных положений, как через окно, ограниченное размерами
голограммы. При этом можно наблюдать параллакс — видимое взаимное
смещение частей объекта при изменении точки наблюдения. Если во время
экспозиции близкие предметы закрывали более дальние, то, смещая точку
зрения, наблюдатель может заглянуть за мешающие предметы.
Особенности голограммы — если голограмму расколоть на несколько кусков, то каждый из них при просвечивании дает полное изображение предмета, но четкость пропадает. Это связано с тем, что каждая точка фотопластинки при экспонировании подвергается действию света, рассеянного
всеми точками объекта.
7.2. Запись и воспроизведение голограмм
На рис. 7.1 была показана схема регистрации голограммы на фотопластинке, которая облучается светом опорного пучка и светом, рассеянным от
объекта. Покажем, что, если после проявления фотопластинки ее установить
на прежнее место и облучить опорным пучком, а объект удалить, то наблюдатель увидит объемное изображение объекта на том же месте, где находился объект при экспонировании. Для этого достаточно доказать, что наблюдатель увидит изображение любой произвольно взятой точки А объекта на
том самом месте, где она была при экспонировании. Необходимо убедиться,
что лучи АВ и АС, участвующие в построении изображения A ′ точки A на
сетчатке глаза наблюдателя, сохраняют свое направление после удаления
объекта и освещения голограммы одним лишь опорным пучком.
7.2. Запись и воспроизведение голограмм
109
В процессе экспонирования лучи AB и AC, рассеянные объектом, интерферируют с опорным пучком вблизи точек B и C и образуют интерференционную картину в виде чередующихся темных и светлых полос. После проявления фотопластинка будет иметь вид дифракционной решетки с периодом
d в окрестности точки B и с периодом d ′ в окрестности точки C . Значения
d и d ′ оказываются такими, что если осветить голограмму опорным пучком, то в результате дифракции света на фотопластинке максимум интенсивности первого порядка в точке B будет наблюдаться под углом ϕ 1, а максимум интенсивности первого порядка в точке C — под углом ϕ1′. Наблюдатель
увидит на пересечении продолжения этих лучей мнимое изображение точки
A (рис. 7.2).
Хрусталик глаза
Рис. 7.2. Воспроизведение голограммы
Убедимся, что углы дифракции первого порядка равны, соответственно,
ϕ и ϕ ′ , т. е. равны значениям углов, под которыми падал свет, рассеянный
точкой A объекта при экспонировании; найдем значения d и d ′ .
Пусть опорный пучок падает на фотопластинку по нормали. Период решетки в точке B равен отношению модуля малого отрезка BD (см. рис. 7.1)
к числу полос интерференции, приходящихся на этот отрезок, т. е.
d = BD N .
(7.1)
Число полос (число максимумов) интерференции на участке BD равно
отрезку DE , выраженному в длинах волн λ , где BE проведено таким образом, что AE = AB . Имеем
7. Голография
110
N = DE λ ,
(7.2)
BD
λ.
DE
(7.3)
откуда
d=
Подставляя в (7.3) выражение DE = BD sin ϕ, получаем
d=
BD λ
λ
.
=
BD sin ϕ sin ϕ
(7.4)
Для угла ϕ1, под которым наблюдается первый максимум дифракции на решетке в точке В, d sin ϕ1 = λ. С учетом (7.4) запишем
λ
sin ϕ1 = λ.
sin ϕ
(7.5)
Тогда sin ϕ1 = sin ϕ и ϕ1 = ϕ. Аналогично в точке С sin ϕ1′ = sin ϕ ′ и ϕ1′ = ϕ ′.
Произвольная точка объекта будет восстановлена на прежнем месте в виде мнимого изображения, получаемого при освещении голограммы опорным
пучком. Следовательно, будет полностью восстановлено объемное изображение всего объекта.
Поскольку выбор точек B и C на поверхности голограммы произволен,
любая малая часть голограммы содержит информацию обо всем объекте. Если
сместить хрусталик глаза на какое-то произвольное расстояние, то получим те
же выводы, ориентируясь на окрестности другой пары точек B ′ и C′ (рис. 7.2).
Монохроматические голограммы можно восстановить с помощью другой
длины волны λ (произойдет изменение размеров изображения, цвет изображения будет соответствовать цвету восстанавливающего пучка).
При использовании для записи трех опорных лучей лазера с разной длиной волны λ (красный, зеленый, синий) получают цветное изображение.
Для восстановления особой голограммы можно применять любой некогерентный источник (обыкновенный свет). Используется толстослойная фотоэмульсия (~ 500...600 мкм). В 1950-х годах ленинградский физик Ю.Н. Денисюк доказал и применил этот метод (трехслойные голограммы записаны
тремя монохроматическими лазерами, восстанавливаются естественным светом, при восстановлении голограммы получается цветное изображение).
7.3. Применение голографии
Голография применяется для получения объемного изображения предметов, разбросанных в пространстве или быстро движущихся. При длительности экспозиции порядка 10− 8 с, что достигается с помощью импульсного лазера, даже быстродвижущиеся предметы как бы застывают в пространстве.
Пример решения задачи
111
Если голограммы, снятые в определенной последовательности, затем рассматривать в той же последовательности, то можно увидеть объемные предметы в движении — это голографическое кино.
Голография широко применяется в так называемом интерферометрическом контроле. Суть его в простейшем варианте заключается в следующем:
на одну пластинку последовательно регистрируются две голограммы, соответствующие двум разным, но мало различающимся состояниям объекта, например в процессе деформации. При просвечивании такой двойной голограммы образуются два изображения объекта, измененные одно относительно
другого в той же мере, как и объект в двух его состояниях. Восстановленные
волны, формирующие эти два изображения, когерентны, интерферируют, и
на поверхности изображения наблюдаются интерференционные полосы, которые и характеризуют состояние объекта.
Принципы голографии являются наглядной иллюстрацией волновой природы света и проявления когерентности световых волн.
Пример решения задачи
Задача 4.160. На фотопластинке, отстоящей на расстояние l = 40см от
небольшого предмета, необходимо получить его голограмму, где были бы записаны детали предмета размером d = 10мкм. Длина волны света λ = 0, 60 мкм.
Каким должен быть размер фотопластинки?
Решение. В данной задаче на пластинку длиной h падают и интерферируют опорная (плоская) и предметная (сферическая) волны (рис. 7.3).
Из большого треугольника на рис. 7.3 следует
h2
tg ϕ <
,
l
или с учетом ϕ  1 tg ϕ ≈ ϕ,
Рис. 7.3. Расчетная схема для определения размера фотопластинки:
1 — предметная волна; 2 — опорная волна
7. Голография
112
ϕ<
h2
.
l
(7.6)
Из маленького треугольника на рис. 7.3 следует
λ 2
sin ϕ =
,
d
или с учетом ϕ  1 sin ϕ ≈ ϕ,
ϕ≈
λ2
.
d
(7.7)
Подставив (7.7) в (7.6), получим
h2 λ 2
>
,
l
d
откуда толщина пластинки
h>
λl 0,60 ⋅ 10− 6 ⋅ 0,4
=
= 2, 4 см.
d
10 ⋅10 − 6
Задача для самостоятельного решения
Задача 4.159. Голограмму точки A получают в результате интерференции
плоской опорной волны и предметной, дифрагированной в точке A. Расстояние от этой точки до фотопластинки l = 50 см, длина волны λ = 620 нм.
Фотопластинка ориентирована перпендикулярно направлению распространения опорной волны. Найти:
а) радиус k-го кольца голограммы, соответствующего максимуму освещенности; вычислить этот радиус при k = 10;
б) зависимость расстояния ∆r между соседними максимумами от радиуса
r соответствующего кольца при r  l .
Ответ: а) rm ≈ 2 kλ l = 2, 5 мм ; б) ∆r ≈ λl r .
ЛИТЕРАТУРА
Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. М.: Издательский центр «Академия», 2005. 720 с.
Иродов И.Е. Волновые процессы. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 1999. 256 с.
Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний,
2017. 431 с.
Иродов И.Е. Электромагнетизм. Основные законы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000. 352 с.
Литвинов О.С., Горелик В.С. Электромагнитные волны и оптика: учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 448 с.
Мартинсон Л.К., Морозов А.Н., Смирнов Е.В. Элетромагнитное поле: учеб.
пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013. 423 с.
Павлов К.Б. Волновые свойства света: учеб. пособие /под ред. С.П. Ерковича М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1986. 81 с.
Савельев И.В. Курс общей физики: учеб. пособие для втузов. В 5 кн. Кн.4:
Волны. Оптика. М.: Астрель, 2002. 256 с.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. III. Электричество. М.: Физматлит;
Изд-во МФТИ, 2004. 774 с.
Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. IV. Оптика. М.: Физматлит; Наука,
1980. 751 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................................................................................................. 3
Введение ........................................................................................................ 5
1. Уравнения Максвелла для электромагнитного поля .............................. 6
1.1. Основные положения теории Максвелла ........................................ 6
1.2. Вихревое электрическое поле ........................................................... 6
1.3. Ток смещения .................................................................................... 7
1.4. Закон полного тока ........................................................................... 9
1.5. Уравнения Максвелла в интегральной и дифференциальной
форме .................................................................................................. 10
1.6. Основные следствия системы уравнений Максвелла ..................... 13
Примеры решения задач ............................................................................... 14
Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 18
2. Электромагнитные волны ......................................................................... 19
2.1. Волновое уравнение для электромагнитного поля и его общее
решение ............................................................................................... 19
2.2. Скорость распространения электромагнитных волн ....................... 22
2.3. Энергия и импульс электромагнитного поля. Вектор Пойнтинга.
Теорема Пойнтинга ............................................................................ 26
Примеры решения задач ............................................................................... 29
Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 34
3. Взаимодействие электромагнитных волн с веществом ........................... 36
3.1. Нормальная и аномальная дисперсии .............................................. 36
3.2. Электронная теория дисперсии ........................................................ 39
3.3. Закон Бугера ....................................................................................... 41
3.4. Рассеяние света .................................................................................. 42
Примеры решения задач ............................................................................... 44
Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 47
4. Электромагнитная природа света. Интерференция света ...................... 48
4.1. Шкала электромагнитных излучений ............................................... 48
4.2. Оптика. Оптическое излучение, его интенсивность ...................... 49
4.3. Интерференция электромагнитных волн ......................................... 54
4.4. Расчет интерференционной картины с двумя источниками .......... 56
4.5. Пространственно-временная когерентность ................................... 59
Оглавление
115
4.6. Интерференционные полосы равной толщины и равного наклона .... 61
4.7. Интерференция в тонких пластинах (пленках) ............................... 62
4.8. Тонкий клин (с малым углом при вершине) .................................... 63
4.9. Кольца Ньютона ............................................................................... 64
4.10. Применение интерференции. Интерферометры .......................... 65
Примеры решения задач ............................................................................... 68
Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 72
5. Дифракция света ....................................................................................... 74
5.1. Основные понятия ............................................................................ 74
5.2. Принцип Гюйгенса — Френеля ........................................................ 74
5.3. Метод зон Френеля ........................................................................... 76
5.4. Дифракция от круглого отверстия и от круглого диска .................. 79
5.5. Дифракция Фраунгофера от щели .................................................... 81
5.6. Предельный переход от волновой оптики к геометрической ......... 82
5.7. Дифракционная решетка ................................................................... 83
5.8. Спектральные характеристики дифракционных решеток ............. 84
5.9. Дифракция рентгеновских лучей ..................................................... 86
5.10. Формула Вульфа — Брэггов ........................................................... 87
5.11. Понятие о рентгеноструктурном анализе ...................................... 87
Примеры решения задач ............................................................................... 88
Задачи для самостоятельного решения ........................................................ 93
6. Поляризация света .................................................................................... 94
6.1. Естественный и поляризованный свет. Закон Малюса .................. 94
6.2. Закон Брюстера .................................................................................. 97
6.3. Двойное лучепреломление. Поляризация света при двойном
лучепреломлении ............................................................................... 99
6.4. Распространение электромагнитных волн в одноосных
кристаллах ..........................................................................................100
6.5. Поляризационные призмы и поляроиды .........................................102
Примеры решения задач ...............................................................................103
Задачи для самостоятельного решения ........................................................106
7. Голография .................................................................................................107
7.1. Опорная и предметная световые волны ...........................................107
7.2. Запись и воспроизведение голограмм ..............................................108
7.3. Применение голографии ...................................................................110
Пример решения задачи ...............................................................................111
Задача для самостоятельного решения .......................................................112
Литература .....................................................................................................113
Учебное издание
Веретимус Диана Константиновна
Веретимус Надежда Константиновна
Уравнения Максвелла,
электромагнитные волны
и основы волновой оптики
Модуль 4
Редактор Л.Т. Мартыненко
Художник Я.М. Асинкритова
Корректор О.Ю. Соколова
Компьютерная графика Т.Ю. Кутузовой
Компьютерная верстка Е.В. Жуковой
Оригинал-макет подготовлен
в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
В оформлении использованы шрифты
Студии Артемия Лебедева.
Подписано в печать 29.01.2021. Формат 70×100/16.
Усл. печ. л. 9,425. Тираж 884 экз. Изд. № 777-2019. Заказ
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
press@baumanpress.ru
https://bmstu.press
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
baumanprint@gmail.com