Комбинаторика: Задачи и ответы

Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?
Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его
заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество
возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни
один предмет не стоит дважды.
Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать,
комбинируя синий, красный и белый цвета?
Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать
команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если
каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?
Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек
делегацию в составе 3 человек?
Задача 8: В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных
видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных
блокнотов и одной ручки?
Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3,
если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?
Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в
четырехместной каюте?
Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика,
содержащего 10 деталей?
Задача 12: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек.
Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек?
Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько
всего было сделано рукопожатий?
Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими
фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?
Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек,
если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки
не лежат в одной плоскости?
Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных
номеров?
Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных
номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?
Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых
3 определенных ученика находятся рядом друг с другом?
Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах.
Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и
2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли?
Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых
нечётные и различные?
Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8.
Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки
другого?
Задача 1: Сколькими способами можно составить список из 5 учеников?
Ответ: перестановки, 5! = 120.
Задача 2: В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его
заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Ответ: размещения из 11 по 2, А2 11 = 110.
Задача 3: Расписание на день содержит 5 уроков. Определить количество
возможных расписаний при выборе из 14 предметов, при условии, что ни
один предмет не стоит дважды.
Ответ: размещения из 14 по 5, 1320.
Задача 4: Сколько различных трехцветных флагов можно сделать,
комбинируя синий, красный и белый цвета?
Ответ: перестановки, 6 способов.
Задача 5: В классе 24 ученика. Сколькими способами можно сформировать
команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
Ответ: сочетания из 24 по 4,
Задача 6: Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если
каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?
Ответ: перестановки, 6 способов.
Задача 7: Сколькими различными способами можно избрать из 15 человек
делегацию в составе 3 человек?
Ответ: сочетания, 455 способами.
Задача 8: В магазине продаются блокноты 7 разных видов и ручки 4 разных
видов. Сколькими способами можно выбрать покупку из двух разных
блокнотов и одной ручки?
Ответ:84
Задача 9: Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3,
если каждая цифра входит в изображение числа только 1 раз?
Ответ: перестановки, 4! – 3! =18.
Задача 10: Сколькими способами можно разместить 6 пассажиров в
четырехместной каюте?
Ответ: размещения из 6 элементов по 4, 360 способами.
Задача 11: Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика,
содержащего 10 разных деталей?
Ответ: сочетания из 10 элементов по 2, 45 способами.
Задача 12: Бригадир должен отправить на работу бригаду из 4 человек.
Сколько бригад по 4 человека в каждой можно составить из 13 человек?
Ответ: сочетания из 13 по 4, 715 бригад.
Задача 13: При встрече 16 человек обменялись рукопожатиями. Сколько
всего было сделано рукопожатий?
Ответ: сочетания из 16 по 2, 120 рукопожатий.
Задача 14: Группа учащихся в 30 человек пожелала обменяться своими
фотокарточками. Сколько всего фотокарточек потребовалось для этого?
Ответ: сочетание(размещение) из 30 по 2, 435(870) фотокарточек.
Задача 15: Сколько различных плоскостей можно провести через 10 точек,
если никакие три из них не лежат на одной прямой и никакие четыре точки
не лежат в одной плоскости?
Ответ: сочетание из 10 по 3; 120 точек
Задача 16: Сколько существует различных семизначных телефонных
номеров?
Ответ: 107.
Задача 17: Сколько существует различных семизначных телефонных
номеров, если в каждом номере нет повторяющихся цифр?
Ответ: размещение из 10 по 7.
Задача 18: Сколько существует таких перестановок 7 учеников, при которых
3 определенных ученика находятся рядом друг с другом? Ответ: 720 = 3! ·
5!
Задача 19: На книжной полке стоит собрание сочинений в 30 томах.
Сколькими различными способами их можно переставить, чтобы: а) тома 1 и
2 стояли рядом; б) тома 3 и 4 рядом не стояли?
Ответ: а)2∙29!; б)28∙29!
Задача 20: Сколько существует трёхзначных чисел, все цифры которых
нечётные и различные?
Ответ: размещение из 5 по 3, 60.
Задача 21: У одного мальчика имеется 10 марок для обмена, а у другого – 8.
Сколькими способами они могут обменять 2 марки одного на 2 марки
другого?
Ответ: сочетания, С2 10 ·С2 8 = 1260.