Понятие производной. Формулы и правила дифференцировани

04.11.2024, 19:58
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
Понятие производной.
Формулы и правила
дифференцирования
Имя, фамилия ученика
Класс
Дата
1. Вычисление производной (4 Б.)
Воспользовавшись определением, вычисли производную функции в точке x :
y = 4x2 + 5x.
Опиши шаги решения:
x2 +
1. f(x) =
2.
x2 +
x ⋅ Δx +
⋅(Δx)2 +
x ⋅ Δx +
(Δx)2 +
⋅Δx ;
f(x + Δx) =
3. Δy =
Δy
=
Δx
5. f ′ (x) =
4.
x;
x+
⋅Δx +
x+
.
x+
Δx ;
;
2. Производная многочлена (3 Б.)
Дана функция 10x4 + 6x + 2 .
Вычисли её производную:
f '(x) =
+
x
.
3. Производная функции, состоящей из слагаемых (4 Б.)
Дана функция:
−−
3
5 2
3
√
y = 4x −
+ 25 x + 15.
x3
Найди производную данной функции.
(Вводи в ответ соответствующие числа.)
y′ =
⋅x
+
+
x
−−−−−−−−
√
x
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
+
.
1/12
04.11.2024, 19:58
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
4. Производная произведения функций в данной точке (2 Б.)
Дано:
1) u(x0 ) = −3 и u'(x0 ) = 2 ;
2) v(x0 ) = 3 и v'(x0 ) = −3;
3) f(x) = u(x)v(x) .
Вычисли значение f '(x0 ):
.
5. Производная частного функций в данной точке (2 Б.)
Дано:
1) u(x0 ) = −4 и u'(x0 ) = 6 ;
2) v(x0 ) = 7 и v'(x0 ) = −3;
u(x)
.
v(x)
3) f(x) =
Вычислить значение f '(x0 ):
.
(Ответ записывай в виде дроби с положительным знаменателем, дробь сократи.
Если в результате получается 0, пиши
0
k
. Если получается целое число k, пиши .)
1
1
6. Производная тригонометрических функций (1 Б.)
Найди производную данной функции y = 3 sin α + 4 ctg α − 6 arccos α:
y′ =
3
1
1
+4⋅
+ 6 ⋅ −−−−−
cos α
√1 − α2
sin2 α
1
α
−
−
−−−
cos2 α
√α2 − 1
1
1
y ′ = 3 ⋅ cos α − 4 ⋅
+ 6 ⋅ −−−−−
√1 − α2
sin2 α
1
1
y ′ = −3 ⋅ cos α − 4 ⋅
+ 6 ⋅ −−−−−
√α2 − 1
sin2 α
y ′ = 3 cos α + 4 ⋅
−6⋅
7. Производная сложной функции (2 Б.)
Вычисли производную функции:
(sin 3x)′ .
Укажи правильный ответ:
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
2/12
04.11.2024, 19:58
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
3 cosx
3 cos 3x
3 + cos 3x
cos 3x
8. Производная сложной тригонометрической функции (2 Б.)
Найди производную данной функции: y =
1
sin2 9x
.
Выбери правильный ответ:
y′ =
4
sin3 9x ⋅ cos 9x
18 cos 9x
sin3 9x
18 cos 9x
−
sin3 9x
1
−
2 cos 9x
9. Производная функции в данной точке (2 Б.)
Дано:
1) u'(x0 ) = 1,5 и v'(x0 ) = 3,5;
2) f(x) = −2u(x) + 4v(x) .
Вычисли значение f '(x0 ):
.
10. Производная элементарной функции (2 Б.)
Найди производную данной функции.
′
(2x−3 ) =
x
.
11. Производная суммы степеней (4 Б.)
8−
Вычисли производную функции f(x) = x7,6 − x√
x−
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
1
.
3 −−
4
√
x
3/12
04.11.2024, 19:58
f(x) =
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
x
8−
x
√
1
−−−−−−−−
3
√
x
12. Вычисление производной в указанной точке (4 Б.)
Найди производную функции y = 3x
3 − 1 в точке x = 3 .
Ответ (если необходимо, ответ округли до 0.01):
y ′ (3)=
.
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
4/12
04.11.2024, 19:58
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
1. Вычисление производной (4 Б.)
Воспользовавшись определением, вычисли производную функции в точке x :
y = 4x2 + 5x.
Опиши шаги решения:
1. f(x) =
2.
x2 +
4
f(x + Δx) =
3. Δy =
Δy
=
Δx
5. f ′ (x) =
4.
x;
x2 +
4
8
x ⋅ Δx +
8
x+
x+
8
5
8
x ⋅ Δx +
(Δx)2 +
4
⋅Δx +
4
5
4
5
5
⋅(Δx)2 +
5
x+
5
Δx ;
⋅Δx ;
;
.
Шаги решения
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента, если приращение
аргумента стремится к нулю (и этот предел существует), называется производной этой
функции:
Δy
= f ′ (x).
Δx→0 Δx
lim
В решении задачи используем алгоритм нахождения производной для функции y = f(x) :
1. зафиксировать значение x , найти f(x).
2. Дать аргументу x приращение Δx , перейти в новую точку Δx + x , найти f(Δx + x).
3. Найти приращение функции: Δy = f(Δx + x) − f(x).
4. Составить отношение
5. Вычислить
Δy
.
Δx
Δy
′
. Этот предел и есть f (x).
Δx→0 Δx
lim
Итак:
2
1. для фиксированного значения x имеем: f(x) = 4x + 5x.
f(x + Δx) = 4(x + Δx)2 + 5(x + Δx)= 4(x2 + 2x ⋅ Δx + (Δx)2 ) + 5(x + Δx)=
2.
= 4x2 + 8x ⋅ Δx + 4(Δx)2 + 5x + 5 ⋅ Δx.
При этом предлагаем, что x и Δx + x — числа одного знака, чтобы в промежутке между x и
Δx + x не оказалась точка 0.
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
5/12
04.11.2024, 19:58
3.
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
Δy = f(Δx + x) − f(x) = 4x2 + 8x ⋅ Δx + 4(Δx)2 + 5x + 5 ⋅ Δx − 4x2 − 5x =
= 8x ⋅ Δx + 4(Δx)2 + 5 ⋅ Δx.
8x ⋅ Δx + 4(Δx)2 + 5 ⋅ Δx
Δy
=
= 8x + 4 ⋅ Δx + 5.
4.
Δx
Δx
5. Используем правило: предел суммы равен сумме пределов:
lim (8x + 4 ⋅ Δx + 5)= lim 8x + lim 4 ⋅ Δx + lim 5 = 8x + 5.
Δx→0
Δx→0
Δx→0
Δx→0
′
Правильный ответ: f (x) = 8x + 5.
2. Производная многочлена (3 Б.)
Дана функция 10x
4 + 6x + 2 .
Вычисли её производную:
f '(x) =
40
x
3
+
6
.
Шаги решения
Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производную в точке x , то и их сумма имеет
производную в точке x , причём производная суммы равна сумме производных.
Решение:
f '(x) =(10x4 + 6x + 2)' =
= (10x4 )' + (6x)' +(2)' =
= 10 ⋅(x4 )' + 6 ⋅ x' + 0 =
= 10 ⋅ 4x4−1 + 6 ⋅ 1 =
= 40x3 + 6.
3. Производная функции, состоящей из слагаемых (4 Б.)
Дана функция:
y = 4x 3 −
3
x3
−−
5
+ 25√x2 + 15.
Найди производную данной функции.
(Вводи в ответ соответствующие числа.)
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
6/12
04.11.2024, 19:58
y′ =
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
⋅x
12
2
9
+
x
+
4
10
−−−−−−−−
5
3
√
x
+
0
.
Шаги решения
−−
5 2
3 − 3 + 25√
x + 15 состоит из отдельных слагаемых. Производная
x3
суммы равна сумме производных слагаемых. Поэтому находим производную каждого слагаемого
отдельно, используя формулы:
Данная функция y = 4x
(C)′ = 0, где C − постоянная величина;
(xα)′ = α ⋅ xα−1 .
2 ′
′
′
′
−3
3
y = 4 ⋅ (x ) − 3 ⋅ (x ) + 25 ⋅ (x 5 ) + (15)′ =
= 4 ⋅ 3x3−1 − 3 ⋅(−3 ⋅ x−3−1 )+25 ⋅
= 12x2 + 9 ⋅ x−4 + 10 ⋅ x
= 12x2 +
− 35
2 ( 25 −1)
+0=
x
5
+0=
9
10
+ 5 −− + 0.
x4
√x3
4. Производная произведения функций в данной точке (2 Б.)
Дано:
1) u(x0 ) = −3 и u'(x0 ) = 2 ;
2) v(x0 ) = 3 и v'(x0 ) = −3;
3) f(x) = u(x)v(x) .
Вычисли значение f '(x0 ):
15 .
Шаги решения
Здесь нужно использовать формулу: (uv)' = u'v + uv ' .
f ' = (uv)' = u'v + uv ' ;
f '(x0 )= u'(x0 )v(x0 )+u(x0 )v'(x0 )=
= 2 ⋅ 3 + (−3) ⋅ (−3) = 6 + 9 = 15.
5. Производная частного функций в данной точке (2 Б.)
Дано:
1) u(x0 ) = −4 и u'(x0 ) = 6 ;
2) v(x0 ) = 7 и v'(x0 ) = −3;
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
7/12
04.11.2024, 19:58
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
u(x)
.
v(x)
3) f(x) =
Вычислить значение f '(x0 ):
30
.
49
(Ответ записывай в виде дроби с положительным знаменателем, дробь сократи.
Если в результате получается 0, пиши
0
k
. Если получается целое число k, пиши .)
1
1
Шаги решения
Здесь нужно использовать формулу (
u'v − uv '
u '
) =
.
v
v2
u'v − uv '
u '
f' =( ) =
.
v
v2
f '(x0 )=
u'(x0 ) v(x0 )−u(x0 ) v'(x0 )
6⋅7−(−4)⋅(−3)
=
=
v2 (x0 )
72
= 42−12
= 30
.
49
49
Правильный ответ (в виде несократимой дроби с положительным знаменателем):
30
.
49
6. Производная тригонометрических функций (1 Б.)
Найди производную данной функции y = 3 sin α + 4 ctg α − 6 arccos α:
y′ =
3
1
1
+4⋅
+ 6 ⋅ −−−−−
cos α
√1 − α2
sin2 α
1
α
−
−
−−−
cos2 α
√α2 − 1
1
1
✓ y ′ = 3 ⋅ cos α − 4 ⋅
+ 6 ⋅ −−−−−
√1 − α2
sin2 α
1
1
y ′ = −3 ⋅ cos α − 4 ⋅
+ 6 ⋅ −−−−−
√α2 − 1
sin2 α
y ′ = 3 cos α + 4 ⋅
−6⋅
Шаги решения
Производная суммы равна сумме производных слагаемых. Поэтому находим производную
каждого слагаемого отдельно, используя формулы:
(sin α)′ = cos α;
(ctg α)′ = −
1
sin2 α
;
(arccos α)′ = −
1
.
−−−−−
√1 − α2
Получаем:
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
8/12
04.11.2024, 19:58
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
y ′ = 3 ⋅ (sin α)′ + 4 ⋅ (ctg α)′ − 6 ⋅ (arccos α)′ =
= 3 ⋅ cos α + 4 ⋅(−
= 3 ⋅ cos α − 4 ⋅
1 )−6 ⋅(−
1
)=
−−−−−
2
√1−α2
sin α
1
1
+ 6 ⋅ −−
−−− .
2
α
√
sin
1−α2
7. Производная сложной функции (2 Б.)
Вычисли производную функции:
(sin 3x)′ .
Укажи правильный ответ:
3 cosx
✓ 3 cos 3x
3 + cos 3x
cos 3x
Шаги решения
При нахождении производной сложной функции y = y(u(x)) сначала находим производную
самой функции и умножаем её на производную внутренней функции:
y ′ x = y ′ u ⋅ u′ x .
(sin 3x)′ = cos 3x ⋅ (3x)′ = 3 cos 3x.
8. Производная сложной тригонометрической функции (2 Б.)
Найди производную данной функции: y =
1
sin2 9x
.
Выбери правильный ответ:
y′ =
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
9/12
04.11.2024, 19:58
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
4
sin3 9x ⋅ cos 9x
18 cos 9x
sin3 9x
18 cos 9x
✓ −
sin3 9x
1
−
2 cos 9x
Шаги решения
Находим производную сложной функции.
Обрати внимание!
Производная сложной функции y = y(u(x)) по независимой переменной x равна
производной самой функции y по внутренней функции u , умноженной на
производную внутренней функции u по независимой переменной \(x\):
y ′ x = y ′ u ⋅ u′ x .
Чтобы найти производную сложной функции, используем формулы:
(sin α)′ = cos α;
(xα)′ = α ⋅ xα−1 ;
C ′ = 0, где C − постоянная величина.
Запишем данную функцию таким образом:
y=
1
sin2 9x
= y = sin−2 9x.
Сначала найдём производную степенной функции sin2 u, умножим её на производную
внутренней функции sin(u) и на производную аргумента 9x :
′
(sin−2 9x) = −2 ⋅ sin−3 9x ⋅ cos 9x ⋅ 9 = −
18 cos 9x
sin3 9x
.
9. Производная функции в данной точке (2 Б.)
Дано:
1) u'(x0 ) = 1,5 и v'(x0 ) = 3,5;
2) f(x) = −2u(x) + 4v(x) .
Вычисли значение f '(x0 ):
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
10/12
04.11.2024, 19:58
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
11 .
Шаги решения
Здесь нужно использовать формулу (k1 u + k2 v)' = k1 u' + k2 v'
(Которую можно получить из (u + v)' = u' + v' и (Cu)' = Cu ' ).
f ' = (−2u + 4v)' = −2u' + 4v' .
Следовательно f '(x0 ) = −2u'(x0 ) + 4v'(x0 ) = −2 ⋅ 1,5 + 4 ⋅ 3,5 = 11 .
10. Производная элементарной функции (2 Б.)
Найди производную данной функции.
′
(2x−3 ) =
-6
-4
x
.
Шаги решения
Чтобы найти производную данной функции, используем формулу:
′
(xα) = α ⋅ xα−1 .
Поэтому:
′
(2x−3 ) = −3 ⋅ 2x−3−1 = −6x−4 .
11. Производная суммы степеней (4 Б.)
8−
Вычисли производную функции f(x) = x7,6 − x√
x−
f(x) =
7,6
x
6,6
9
8
8−
x
√
1
.
3 −−
4
√
x
4
+
3
1
−−−−−−−−
3
7
√
x
Шаги решения
Если функции y = f(x) и y = g(x) имеют производную в точке x , то и их сумма имеет
производную в точке x , причём производная суммы равна сумме производных.
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
11/12
04.11.2024, 19:58
Понятие производной. Формулы и правила дифференцирования
'
8 −− 1 ) =
f '(x) = (x7,6 − x√
x
3 −−
√x4
9
= (x7,6 − x 8 − x
− 43
'
) =
'
9 '
'
− 43
7,6
8
= (x ) − ( x ) − ( x ) =
9 −1
= 7,6x7,6−1 − 98 x 8
1
−(− 43 )x
= 7,6x6,6 − 98 x 8 + 43 x
− 4 −1
3
=
−7
3 =
8 −+ 4 1 .
= 7,6x6,6 − 98 √
x 3 3 −−
√x7
12. Вычисление производной в указанной точке (4 Б.)
Найди производную функции y = 3x
3 − 1 в точке x = 3 .
Ответ (если необходимо, ответ округли до 0.01):
y ′ (3)=
81
.
Шаги решения
Находим производную функции, используя формулы:
(C)′ = 0, где C − постоянная величина;
(xα)′ = α ⋅ xα−1 .
Получаем:
′
y ′ = 3(x3 ) − (1)′ = 3 ⋅ 3 ⋅ x3−1 − 0 = 9x2 .
Производную функции в точке x = 3 , находим, подставляя вместо x соответствующее значение:
y ′ (3)= 9⋅(3)2 = 81 .
https://www.yaklass.ru/TestWork/ExerciseTasksPrint/21742735?printMode=Combined
12/12