Учебное пособие по обработке данных в физике

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
___________________________________________________________________________
федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Санкт-Петербургский государственный технологический институт
(технический университет)»
(СПб ГТИ (ТУ))
___________________________________________________________________________
Кафедра общей физики
Осташев В.Б., Хотунцова С.В., Болотов Б.Б., Благовещенский В.В.
ВВЕДЕНИЕ В ФИЗИЧЕСКИЙ ПРАКТИКУМ.
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2023
УДК 530/537
Введение в физический практикум. Обработка результатов измерений:
учебное пособие / В. Б. Осташев, С.В. Хотунцова, Б.Б. Болотов. В.В.
Благовещенский; Министерство образования и науки Российской Федерации,
Санкт-Петербургский
государственный
технологический
институт
(технический университет), Кафедра общей физики. – Санкт-Петербург:
СПбГТИ(ТУ), 2023. – 40 с.
В учебном пособии излагаются основные представления теории
измерений. Кратко рассмотрены методы обработки результатов измерений,
оценки погрешности и точности этих результатов. Рассмотрены способы
графического представления результатов измерений. Приведены указания к
выполнению лабораторной работы по обработке результатов измерений.
Учебное пособие предназначено для бакалавров очной формы обучения,
обучающихся по направлениям подготовки 04.03.01, 08.03.01, 15.03.02,
15.03.04, 18.03.01, 19.03.01, 20.03.01, 22.03.01, 27.03.03, а также для
специалистов очной формы обучения, обучающихся по направлениям
подготовки 18.05.02 и 18.05.01, 15.05.01 по ФГОС +++.
Учебное пособие соответствует рабочим программам дисциплины
«Физика».
Учебное пособие формирует у студентов следующие компетенции: ОК10, ОПК-1, ПК-1, ПК-3, ПК-4, ПК-8.
Учебное пособие может быть полезно для бакалавров заочной и очнозаочной форм обучения.
Рис.9, Табл.3, библ. наим.5
Рецензенты:
1 ФГБОУ ВО науки Институт проблем машиноведения Российской
академии наук. Павлов Ю.В., ведущий научный сотрудник, доктор
физ.-мат. наук
2 Жаринов К.А., доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры
автоматизации процессов химической промышленности СПбГТИ(ТУ)
Издание подготовлено в рамках выполнения государственного задания по
оказанию образовательных услуг Минобрнауки России.
Утверждено на заседании учебно-методического совета инженернотехнологического факультета
28.12.2022 г.
Рекомендовано к изданию РИС СПбГТИ(ТУ)
СОДЕРЖАНИЕ
Введение ............................................................................................................................................................... 4
1
Обработка результатов измерений ................................................................................... 5
1.1
Классификация измерений......................................................................... 5
1.2
Классификация погрешностей................................................................... 6
1.3
Оценка величины НСП прямого измерения ............................................ 7
1.4
Оценка величины случайной погрешности прямого измерения ........... 8
1.5
Сложение НСП и случайной погрешности ............................................ 11
1.6
Правила округления .................................................................................. 12
1.7
Представление результата ........................................................................ 13
2
Оценка погрешности результатов косвенных измерений ............................ 15
2.1
Абсолютная погрешность ........................................................................ 15
2.2
Вычисление относительной погрешности для функций, удобных для
логарифмирования ................................................................................................ 18
2.3
Пример выполнения заданий ................................................................... 20
2.3.1 Задание 1 .................................................................................................... 20
2.3.2 Задание 2 .................................................................................................... 21
2.3.3 Задание 3 .................................................................................................... 22
2.3.4 Задание 4 .................................................................................................... 23
3
Графическое представление результатов измерений ....................................... 28
4
Графическая обработка экспериментальных зависимостей ....................... 33
4.1
Использование графиков при обработке эксперимента ....................... 33
4.2
Определение коэффициентов линейной зависимости .......................... 34
5
Проведение измерений и оформление отчета ....................................................... 37
Литература ............................................................................................................. 40
3
Введение
Физический практикум – один из важнейших этапов изучения курса
физики. Основной составляющей физического практикума является
поведение лабораторных работ.
Самое ценное, что может дать практикум, – умение обдумывать свои
опыты, применять теоретические знания в экспериментальной работе,
правильно планировать эксперимент и избегать ошибок, видеть важные и
интересные особенности и, казалось бы, мелочи, из которых нередко
получаются потом серьёзные научные исследования.
Важнейшая
задача,
которую
всегда
приходится
решать
экспериментатору, состоит в том, как получить наилучшие значения
измеряемых величин и как правильно оценить степень их достоверности.
Широкое внедрение компьютерных методов обработки экспериментальных
данных сделало эту задачу особенно актуальной. Прежде, чем обрабатывать
результаты современными методами, студент должен уметь быстро и
грамотно от руки построить необходимые графики, которые покажут ему,
правильно ли работала аппаратура, разумно ли выбран диапазон измерений и
т.д.
Цель проведения лабораторных работ – ознакомление с определенным
физическим явлением, наблюдение его на опыте, экспериментальная проверка
физических законов. При подготовке к работе студенты изучают теорию этого
явления, а экспериментальное его исследование делает более наглядным
смысл физических величин и физических законов. При этом студенты
знакомятся с методами измерений, лабораторной техникой, получают навыки
практической работы, оценивают достоверность полученных результатов.
Итогом выполнения лабораторной работы должно являться написание
отчёта с представлением результатов в виде максимально приближенном к
требованиям ГОСТов для научных и технических отчётов.
Научить правильно оценивать полученный в работе результат, вычислять
погрешность, грамотно округлять значения и представлять их в красивом,
легко читающемся виде, иллюстрировать результаты правильно
построенными графиками и оформлять отчёт, соответствующий требованиям
ЕСКД – задача данного учебного пособия.
4
1
Обработка результатов измерений
Измерение физической величины означает сравнение её с другой
однородной ей физической величиной, принятой за единицу измерения. Это
осуществляется с помощью измерительных приборов (линеек, микрометров,
весов, электроизмерительных приборов и т.д.), тем или иным способом
сверенных с эталонными величинами.
Никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. В
результате измерений мы всегда получаем значение величины с некоторой
погрешностью. И этот факт не является следствием недостаточной точности
приборов или же нашего недостаточного умения измерять. Погрешность –
неотъемлемая часть измерений. Поэтому в задачу измерений входит не только
нахождение значения величины, но также и оценка допущенной при этом
погрешности.
1.1 Классификация измерений
Измерения в зависимости от способа получения результата делятся на
прямые, косвенные и совокупные.
Прямые измерения – это измерения, при которых результат получается
непосредственно в результате измерения (определение геометрических
размеров тел линейкой или штангенциркулем, измерение силы тока
амперметром и т.д.).
Косвенные измерения – это измерения, при которых искомая величина
находится с помощью заранее известной математической формулы. Причем
аргументами этой формулы являются величины, определенные путем прямых
измерений.
Например, для определения объема цилиндра необходимо измерить
диаметр его основания D и высоту Н (прямые измерения), а затем вычислить

его объем по формуле: V =  D 2 H .
4
Совокупные измерения – это такие измерения, при которых значение
измеряемой величины получается из совокупности прямых измерений
нескольких величин, выполненных при различных независимых условиях.
Например, измерения характеристик источника тока – электродвижущей силы
(ЭДС) и внутреннего сопротивления, выполненные на основании зависимости
силы тока в цепи от напряжения.
Совместные измерения – это измерения, состоящие из измерений
нескольких величин в изменяющихся условиях и последующего нахождения
зависимости между этими величинами. Причем, измерения этих величин
могут быть как прямыми, так и косвенными. Например, определение
5
температурной зависимости электрического сопротивления проводника путем
его измерения при различных значениях температур.
1.2
Классификация погрешностей
Любое измерение не может быть произведено абсолютно точно, а
сопровождается той или иной погрешностью. Погрешность (или ошибка
измерения) – это отклонение измеряемой величины от её истинного
значения. Величина погрешности зависит от способа измерения, качества
физических приборов, условий измерения и от опытности наблюдателя. Все
погрешности измерений в зависимости от причин их появления принято
делить на три класса: случайные, систематические, неисключённые
систематические и промахи.
Случайные погрешности – это вторая составляющая общей
погрешности измерения, которая при повторных измерениях в одних и тех же
условиях изменяется случайным образом, без видимой закономерности.
Случайные погрешности являются следствием наложения случайных
процессов, сопровождающих любое физическое измерение и влияющих на его
результат. Их появление связано с наличием ряда случайных причин, действие
которых в различных опытах неодинаково. При взвешивании на
аналитических весах такими могут быть влияние нестационарных воздушных
потоков, различное трение в подвесках чаш, случайно осевшая пылинка. При
точном измерении диаметра детали штангенциркулем проявляется качество её
обработки, условия её хранения и т.д. Случайные ошибки не могут быть
исключены и учтены при однократном измерении. Но при многократных
измерениях эта погрешность уменьшается и вообще стремиться к нулю при
стремлении к бесконечности количества измерений. Влияние этой
погрешности может быть оценено. На основе теории случайных погрешностей
можно установить пределы, в которых находится истинное значение
физической величины, и указать наиболее вероятное её значение.
Систематическая – это составляющая общей погрешности измерения,
которая остается постоянной при повторных измерениях одной и той же
величины в одних и тех же условиях (с одинаковой тщательностью). Её нельзя
уменьшить, просто увеличив количество измерений.
Наиболее простой пример, который здесь можно привести – отстающие
или спешащие часы, сбитая шкала электроизмерительного прибора. Такую
погрешность нельзя устранить многократными повторными измерениями. Её
можно исключить только если её величина точно известна. У Вас отстают
часы, но Вы сверили их с часами товарища и знаете, что они отстают на 15
минут. Таким образом, систематическую погрешность должна быть
исключена из результата измерения путем сравнения с эталоном (при
помощи калибровки или градуировки).
6
Неисключённая систематическая погрешность (НСП) – это та часть
общей погрешности, которую нельзя уменьшить, просто увеличив количество
измерений и нельзя учесть, как некоторую известную поправку, как в случае
систематической погрешности. Чаще всего она определяются способом
измерения и чувствительностью приборов.
Если примером систематической погрешности было отставание часов,
которое мы можем учесть, то НСП – это, скажем, если наши часы медленнее
ходят на морозе, и их отставание будет зависеть от того, сколько времени
сегодня мы провели в помещении или на улице. Такие погрешности могут
быть оценены, поскольку по своим свойствам они похожи на случайную
погрешность. Они, по возможности, сведены к необходимому минимуму. К
НСП относятся: погрешность градуировки шкалы прибора, температурная
погрешность и т.д. Анализ источников НСП с целью их учёта в результатах
измерений – одна из основных задач при точных измерениях.
Промахи – грубые ошибки, сильно искажающие результаты измерений.
Чаще всего они связаны с ошибками экспериментатора. Примером может
служить неправильный отсчет по шкале прибора, наличие внешнего фактора,
приводящего к неправильному результату (при измерении времени движения
груза Вас кто-то отвлёк, и Вы не вовремя нажали на кнопку секундомера).
Результаты таких измерений отбрасываются. При многократных точных
измерениях такие измерения могут быть отсеяны методами теории
вероятности
и
математической
статистики
либо
некоторыми
математическими полуэмпирическими алгоритмами. В ходе наших измерений
(лабораторных работ физического практикума) нам придётся пользоваться в
данном случае только лишь здравым смыслом – если одно из наших измерений
сильно отличается от остальных, его стоит исключить.
1.3
Оценка величины НСП прямого измерения
На шкале почти всех измерительных приборов указан класс их точности.
Например, 0,5 означает, что показания прибора правильны с точностью 0,5%
от всей действующей шкалы прибора. Если вольтметр имеет шкалу до 300 В и
класс точности 0,5, то абсолютная погрешность измерения (НСП) этим
прибором равна:
НСП =(  x ) = 
Иногда класс точности указывается в кружочке. Тогда это
относительная погрешность прибора – отношение абсолютной
погрешности к измеренному значению величины (в %).
к.т.=
X
к.т.  X
 X =
X
100%
7
Когда класс точности прибора не указан (например, штангенциркуль,
микрометр, линейка), то можно использовать другой способ. Он заключается
в использовании цены одного деления прибора. Ценой деления прибора
называют такое изменение физической величины, которое происходит при
перемещении стрелки прибора на одно деление шкалы. Считается, что НСП
данного прибора равна половине цены деления шкалы.
1.4
Оценка величины случайной погрешности прямого измерения
Случайные погрешности проявляются при многократных измерениях
одной и той же величины в одинаковых условиях. Влияние случайных
погрешностей на результат измерений надо учитывать и стремиться по
возможности уменьшать.
Пусть в процессе прямых измерений получен ряд значений физической
величины: Х1, Х2, Х3, ..., Х n.
Для большинства измерений наилучшей оценкой истинного значения
Хист , как показано в математической теории погрешностей, следует считать
среднее арифметическое Хср (обозначим, как X ) ряда измеренных значений
n
X + X2 +
X ист  X ср = X = 1
n
+ Xn
=
X
i =1
i
(1)
n
где n – количество проведенных измерений величины Х.
Разность между средним значением и результатом каждого измерения,
взятая по абсолютной величине, можно назвать случайной погрешностью
данного измерения. В теории погрешностей показано, что в качестве оценки
случайной погрешности сл среднего арифметического значения X следует
брать так называемое среднее квадратичное отклонение , которое
вычисляется по формуле:
n
X − X ) +(X − X ) +
(
=
2
1
+ ( Xn − X )
2
2
n ( n − 1)
2
=
( X − X )
i =1
2
i
n ( n − 1)
(2)
где
n – количество измерений,
X – среднее арифметическое значение.
Очень важной особенностью этой формулы является то, что
определяемая величина случайной погрешности  уменьшается при
8
увеличении числа измерений n. (Систематическая погрешность и НСП этим
свойством не обладает). Значит, если необходимо уменьшить случайную
погрешность, то это можно сделать путем увеличения количества повторных
измерений.
Случайная погрешность определяет тот интервал, внутрь которого
попадает истинное значение измеренной величины с определённой
вероятностью Р, называемой доверительной вероятностью. Теория
погрешностей показывает, что для большого количества измерений n30, если
случайную погрешность принять равной среднему квадратичному
отклонению сл=, то доверительная вероятность равна 0,68. Если в качестве
оценки случайной погрешности взять удвоенное значение сл=2, то внутрь
этого увеличенного интервала истинное значение будет при многократных
измерениях попадать с доверительной вероятностью Р = 0,95, для интервала
сл=3 вероятность Р=0,997 (Рисунок 1)
Рисунок 1 – Доверительные интервалы с различными доверительными
вероятностями
Таким образом, для большого количества измерений в интервал 1
истинное значение величины Х может попасть с вероятностью Р=0,68, в
интервал 2 – с вероятностью Р=0,95, в интервал 3 – с вероятностью Р=0,997.
Для научных измерений обычно используют оценку сл=2 с Р=0,95. В
особо ответственных случаях, когда проводимые измерения связаны с
созданием эталонов или имеют значение для здоровых людей, в качестве
оценки случайной погрешности берут 3, для которой Р=0,997.
Если же рассмотреть случай, где число не так велико, то вероятность
попадания истинного значения величины в интервал сл= сл=2 сл=3
может быть гораздо меньше. Так для 10 измерений (число степеней свободы
k=9) в интервал 1 истинное значение величины Х может попасть с
вероятностью Р1=0,66, в интервал 2 – с вероятностью Р2=0,93, в интервал 3 –
с вероятностью Р3=0,985. Но уже для 5 измерений эти значения
соответственно составят: Р1=0,63, Р2=0,89 и Р3=0,96.
9
В общем случае же для расчёта интервала сл, соответствующего
доверительной вероятности P значение величины  надо умножить на
специальный коэффициент t, называемы коэффициентом Стьюдента и
зависящего от количества измерений n (точнее, от количества степеней
свободы k=n–1) и значения доверительной вероятности P:
 сл ( P ) = t ( P, k )  
Вычисления существенно упрощаются,
квадратичного брать среднее арифметическое.
1 n
X =  X i ,
n i =1
если
вместо
среднего
(3)
где
X i = X − X i .
То есть:
X 1 = X − X 1 ,
X 2 = X − X 2 ,
…
X n = X − X n .
Логика рассуждений здесь проста. Будем считать, что вычисление
частных погрешностей – это эксперимент по определению значения
погрешности. Тогда наиболее вероятным значением результата этого
эксперимента будет именно среднеарифметическое значение.
Нетрудно показать, что среднее квадратичное всегда меньше среднего
арифметического положительных величин, поэтому этот метод оценки
случайной погрешности называют максимальной погрешностью. Такое
упрощение реально используется на практике в инженерных расчётах при
небольшом количестве измерений (хотя и в этом случае ГОСТ требует
использования среднеквадратического значения) и вполне пригодно для
расчетов в учебных целях.
10
1.5
Сложение НСП и случайной погрешности
Общая абсолютная погрешность измерения  всегда содержит две
составляющие: НСП с и случайную погрешность сл. Можно оценить
величину с и отдельно оценить величину . Тогда общая абсолютная
погрешность находится по формуле (если НСП оценивалась без учёта
доверительной вероятности, такое тоже может быть)
 2НСП
=
+  сл2
3
(4)
Если быть абсолютно точным, данная формула верна, когда НСП
определяется одной исходной погрешностью (погрешностью одного
исходного прибора или метода измерений) или складывается не более чем из
двух исходных погрешностей (как в виде суммы, где они суммируются по
модулю, а не как корень из суммы квадратов, так и в виде формулы для
погрешности косвенных измерений). Если же исходных НСП 3 или больше, в
формуле появится коэффициент k, зависящей от значения доверительной
вероятности, числа составляющих НСП и их соотношения между собой. Мы
не будем приводить здесь эти формулы. Тем более, что общие выводя, которые
мы сделаем ниже при этом не изменятся.
Покажем, что часто при сложении погрешностей формулой (4) можно и
не пользоваться. Пусть одна из погрешностей, например НСП, в 1,5 раза
меньше, чем другая сл. Тогда, согласно формуле (4),
2
 2НСП
1   сл 
2
=
+  сл2 =
+

=
сл


3
3  1,5 
=
1 1 2
1 1

 2  сл +  сл2 =  
+ 1  сл2  1,148  сл2  1, 07  сл
3 1,5
 3 2, 25 
11
Видно, что абсолютная погрешность в этом случае лишь на 10% больше, чем
случайная. То есть если бы НСП вообще не было, то в нашем примере это мало
бы повлияло на общую абсолютную погрешность. Теперь учтем, что
погрешность редко удается оценить с точностью лучше, чем 10-20%, тогда в
нашем случае можно положить =сл, то есть НСП с можно вообще
пренебречь.
Из сказанного вытекают следующие правила измерений:
1. Если НСП больше, чем в два раза случайной погрешности, то количество
измерений увеличивать нецелесообразно, так как с не уменьшается при
увеличении n. В этом случае   с (при этом достаточно провести тричетыре измерения только для того, чтобы убедиться, что показания
прибора повторяются без случайных отклонений).
2. Если, наоборот, случайная погрешность более чем в 2 раза превышает
НСП, то НСП можно пренебречь, то есть если сл  с, то   сл
(желательно провести побольше измерений для уменьшения сл).
3. Если обе составляющие общей абсолютной погрешности соизмеримы,
то следует их суммировать по формуле (4). (Количество измерений
целесообразно увеличить для уменьшения сл и перехода к случаю 1).
1.6
Правила округления
Значения НСП, случайной и суммарной погрешностей, особенно при
использовании электронного калькулятора, получают с большим числом
знаков. Однако исходные данные для этих расчетов обычно указываются с
одной или двумя значащими цифрами. Действительно, класс точности
прибора на его шкале указывается не более чем с двумя значащими цифрами.
Вследствие этого и в окончательном значении расчетной погрешности
должны быть оставлены только первые одна - две значащие цифры.
Напомним, что значащими цифрами называются все цифры, кроме
лидирующих (порядковых) нулей. Значащие цифры нумеруются слева
направо.
В итоге можно сформулировать правила округления рассчитанного
значения погрешности и полученного экспериментального результата
измерения:
1. Округление результатов физических измерений начинается с
погрешности.
2. Абсолютная погрешность результата измерения указывается с двумя
значащими цифрами, если первая из них равна 1 или 2, и одной, – если
первая есть 3 и более.
3. Среднее значение измеренной величины округляется до того же
десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение
абсолютной погрешности.
12
4. Относительную погрешность, выраженную в процентах, достаточно
записать двумя значащими цифрами.
5. Округления производится лишь в окончательном ответе, а все
предварительные вычисления будут с одним-двумя лишними знаками.
1.7
Представление результата
Результатом физических измерений является набор из двух чисел –
самой величины и погрешности. Пусть в результате выполнения
лабораторной работы Вы получили следующие значения для ускорения
свободного падения:
g=9.5 м/с2, g=0.5 м/с2.
И пусть в лабораторной работе требуется следующее:
«Запишите полученное значение ускорения свободного падения в виде g±g.»
В результате (в выводе) вы должны записать следующий результат:
g=(9.5±0.5) м/с2.
Так записывать результат не стоит:
g±g =9.5±0.5 м/с2
.
Результаты, если это необходимо, представляются в нормализованном виде.
Нормализованное (или нормальное) представление числа – такая форма
записи чисел, когда до запятой стоит ровно одна значащая цифра. И это число
умножается на 10 в той или иной степени, называемой порядком
(положительной, если исходное число больше 1, или отрицательной, если
меньше 1). Так число
2834.51
в нормализованном виде будет выглядеть, как
2.83451·10 3.
А число
0.000283451
в нормализованном виде будет выглядеть, как
2.83451·10 –4.
В нормализованном виде всегда записывается само значение физической
величины, а не погрешность. Порядок и единицы измерения выносятся за
скобки, внутри скобок располагаются величина и погрешность, которые надо
домножить на величину (10 в степени), вынесенную за скобки. Так, если длина
волны видимого света и погрешность равны
=7.30·10 –7 м, =1.3·10 –8 м
(это =730 нм и =0.13 нм),
то результата должен быть записан так:
=(7.30±0.13)·10 –7 м.
13
Если удельный заряд электрона (по абсолютной величине) и его погрешность
равны
e/me=1.76·10 11 м, (e/me)=8·10 9 Кл/кг,
то результата должен быть записан так:
e/me=(1.76±0.08)·10 11 Кл/кг.
Нормализация физической величины обычно производится в том случае, если
она
< 0.001
или
 10000.
В противном случае записывать результат в нормализованной форме не имеет
смысла
14
2
Оценка погрешности результатов косвенных измерений
2.1
Абсолютная погрешность
При измерениях мы всегда должны стремиться к тому, чтобы
погрешность была малой по сравнению с измеряемой величиной. Поэтому с
погрешностями можно обращаться как с бесконечно малыми величинами и к
ним можно применять методы дифференциального исчисления.
Таким образом, если абсолютная погрешность намного меньше самой
величины ( A A) , то ее можно считать бесконечно малым приращением.
Поэтому погрешность косвенного измерения, связанного с результатами
прямых измерений некоторой функциональной зависимостью, можно
рассматривать как дифференциал (линейную часть приращения) этой
функции. Смысл этого приближения иллюстрирует Рисунок 2, на котором
показаны фактические и приближенные значения погрешностей.
Пусть результат косвенных измерений y рассчитывается из результата
прямых физических измерений x, который известен с погрешностью x, по
формуле y=f(x).
Надо определить погрешность y.
Y
y=f(x)
y
y
a
x
y
x
x-x
y
x
x
x+x
X
Рисунок 2 – Графическое представление погрешности косвенного
измерения
15
Заметим, что x и y малы по сравнению с x и y. Для вычисления y,
заменим график функции y=f(x) на касательную вблизи точки x. Тогда для y
получаем:
y = x  tg (a )
(5)
Графический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к
графику функции в данной точке.
tg (a ) = f  ( x ) .
Тогда
y = f  ( x )  x .
Значит для того, чтобы вычислить абсолютную погрешность y, надо
абсолютную погрешность x умножить на производную функции в данной
точке. Формула (5) является основной в теории погрешностей.
Пусть мы измерили диаметр окружности и хотим вычислить её площадь
S. Пусть D – диаметр окружности, а D – абсолютная погрешность его
измерения.
Площадь окружности S равна:
S=
где
 D2
,
4
– площадь окружности,
– диаметр окружности.
Производная от расчётной формулы (считая за переменную x диаметр
окружности D):
S
D
S =
  2D
4
=
D
2
Формула для расчёта погрешности измерения площади окружности:
S =
где
S
D
D
D
2
 D
– абсолютная погрешность вычисления площади окружности,
– диаметр окружности,
– абсолютная погрешность измерения диаметра окружности
16
Аналогичная формула получается для случая, когда косвенное
измерение y является функцией нескольких прямых измерений a, b, c:
y =
y
y
y
 a +
 b +
 c + ... ,
a
b
c
где
y y y
, ,
a b c
– частные производные функции у по соответствующим аргументам (a,
b, c).
Частной производной функции нескольких переменных называется
производная функции одной переменной, когда лишь одна из переменных
считается изменяющейся величиной, а все остальные переменные
считаются константами.
Приведем пример. Пусть задана функция
ab3
y = 2 − sin ( c )
c
Будем использовать привычное
(изменяемой) переменной: x.
обозначение
для
варьируемой
Частная производная y по a:
В первом слагаемом b3/c2 не зависит от a, то есть рассматривается как
константа при дифференцировании по а. Второе слагаемое вообще не зависит
от a и, следовательно, дает 0 при дифференцировании.
В результате:
y b3
=
a c 2
17
Частная производная по b:
В первом слагаемом a/c2 не зависит от b и выносится за знак
производной. Производная от b3 по b равна 3b2.
В итоге
y 3ab 2
= 2
b
c
Частная производная по с:
Оба слагаемых зависят от с.
 2ab3

y
= −  3 + cos ( c ) 
c
 c

В окончательную формулу
y =
y
y
y
 a +
 b +
 c + ...
a
b
c
подставляем полученные значения частных производных и получаем:
b3
3ab2
2ab3
y = 2  a + 2  b + 3 + cos ( c )  c
c
c
c
Это и есть формула для расчета абсолютной погрешности косвенных
измерений.
2.2
Вычисление относительной погрешности для функций, удобных
для логарифмирования
Оказывается, что в некоторых случаях гораздо удобнее вывести
формулу для относительной погрешности, т.к. она будет проще для
вычислений, чем формула для абсолютной погрешности. Это относится к тем
случаям, когда функция, описывающая измеряемую величину, содержит
операции умножения, деления, возведения в степень, потенцирования, но
не представлена в виде суммы или разности нескольких слагаемых. Такие
функции удобны для логарифмирования.
Рассмотрим сначала случай, когда косвенное измерение – функция
только одного прямого измерения.
18
y =   y
y = f  ( x )  x
=
y f  ( x )  x f  ( x )
=
=
 x
y
f ( x)
f ( x)
(
=
 f ( x)
ln ( f ( x ) ) =
f ( x)
)
y f  ( x )

=
 x = ln ( f ( x ) )  x
y
f ( x)
(
)
В результате мы выяснили, что для того, чтобы вывести формулу для
расчёта относительной погрешности косвенных измерений, необходимо
сначала прологарифмировать исходное выражение, а затем проделать все те
действия, что и при выводе формулы для расчёта абсолютной погрешности. В
случае, когда косвенное измерение f является функцией нескольких прямых
измерений a, b, c, мы получим формулу для расчёта относительной
погрешности:
 =  lnx f  x +  lny f  y +  lnz f  z + ...
(6)
Удобство формулы (6) заключается в том, что вместо
дифференцирования произведения нам нужно будет дифференцировать
сумму, что намного проще. Ещё раз напомним, что вышесказанное относится
к случаю, когда измеряемая величина является функцией многих переменных,
причем она выражается формулой, удобной для логарифмирования и не дает
никакой выгоды, если выражение представляет собой сумму (или разность)
нескольких слагаемых.
Рассмотрим пример вывода формулы относительной погрешности.
Пусть измеряемая величина рассчитывается по формуле
С  x 2  sin 2 
Y=
,
y3
где С – константа, х, у и φ результаты прямых измерений, погрешности
19
которых ∆х , ∆у и ∆φ найдены.
Прологарифмируем функцию:
ln Y = ln C + 2ln x + 2ln sin ( ) − 3ln y .
Возьмём частные производные и подставим в выражение (6):
 = YY = 2 1x x + 2 ctg  + 3 − 1y y.
Y
2.3
Пример выполнения заданий
2.3.1 Задание 1
Произвести округление результатов физических измерений и их
абсолютных погрешностей.
Таблица 1-Пример задания по округлению физических величин.
Физическая величина
879345.1
Абсолютная
погрешность
4785.124
2342.1
181.255
92.348
2.37168
1.21456
0.0456124
0.92967
0.0168123
952.127
25.6543
12454.24
674.124
0.013405601
0.00045489
Результат округления
20
Округление результатов измерения начинаем с округления погрешности до
одной значащей цифры (погрешность начинается с цифры 4): 4785.1245000
Округляем саму физическую величину до того же порядка, что и погрешность:

879345.1
 Округление производим до 9-ки.  889000
5000.0
...
181.255
2.37168
0.0465124
0.0168123
24.6543
674.124
0.00045489







180,
2.4,
0.05,
0.017,
25,
700,
0.0005.
Таблица 2- Результат округления физических величин
Физическая величина
879345.1
Абсолютная
погрешность
4785.124
Результат округления
889000±5000
(8.89±0.05)·105
2342.1
181.255
2340±190
(2.34±0.18)·103
92.348
2.37168
92.3±2.4
(9.23±0.24)·101
1.21456
0.0465124
1.21±0.05
(1.21±0.05)
0.92967
0.0168123
0.930±0.017
(9.30±0.17)·10-1
952.127
24.6543
952±25
(9.52±0.25)·102
12434.24
674.124
12400±700
(1.24±0.07)·104
0.013405601
0.00045489
0.0134±0.0005
(1.34±0.05)·10-2
2.3.2 Задание 2
Вывести формулу для расчёта абсолютной погрешности косвенных
измерений, считая, что величины a, b, c, … являются результатами других
прямых или косвенных измерений.
Формула, для расчёта результата косвенных измерений:
cos ( c )
2ab3
Y=
+
a2
1 + sin c 2
( )
21
1. Вычислим частные производные по всем входящим в расчётную
формулу величинам, являющимися результатами прямых или
косвенных измерений:
−2  cos ( c )
Y
2b3 1
=
+
a 1 + sin c 2
a3
( )
Y
2a  3b 2
=
+0
2
b 1 + sin c
( )
− sin ( c )
Y
−1  2ab3
2
=

cos
c

2
c
+
2
c
a2
1 + sin c 2
(
( )
( ))
Запишем формулу для расчёта абсолютной погрешности:
Y =
Y
Y
Y
a +
b +
c =
a
b
c
2 cos ( c )
2b3
6ab 2
=
−
a +
b +
a3
1 + sin c 2
1 + sin c 2
( )
+
( )
( ) + sin ( c ) c
(1 + sin ( c )) a
4ab3c cos c 2
2
2
2
Необходимая формула получена
2.3.3 Задание 3
Вывести формулу для расчёта относительной погрешности косвенных
измерений, считая, что величины a, b, c, … являются результатами других
прямых или косвенных измерений. При этом использовать метод
логарифмирования исходной формулы.
Формула, для расчёта результата косвенных измерений:
Z=
sin ( b )
b 2 − 4ac
22

cos ( c )
a2
1. Логарифмируем выражение и заменяем логарифм произведения суммой
логарифмов, логарифм частного разностью логарифмов, все степени
выносим, в качестве коэффициентов перед логарифмом:
(
)
1
ln ( Z ) = ln ( sin ( b ) ) − ln b 2 − 4ac + ln ( cos ( c ) ) − 2 ln ( a )
2
2. Вычислим частные производные полученного после логарифмирования
выражения по всем входящим в расчётную формулу величинам:
 ( ln Z )
a
 ( ln Z )
b
 ( ln Z )
c
1
−4c
1
2c
2
=−  2
− 2 = 2
−
2 b − 4ac
a b − 4ac a
=
1
1
2b
b
 cos ( b ) −  2
= ctg ( b ) − 2
sin ( b )
2 b − 4ac
b − 4ac
=
1
1
−4a
2a
 ( − sin ( c ) ) −  2
= 2
− tg ( c )
cos ( c )
2 b − 4ac b − 4ac
3. Получим формулу для относительной погрешности
=
 ( ln Z )
 ( ln Z )
Z  ( ln Z )
=
a +
b +
c =
Z
a
b
c
=
2c
2
b
− a + ctg ( b ) − 2
b +
b − 4ac a
b − 4ac
2
+
2a
− tg ( c ) c
b − 4ac
2
2.3.4 Задание 4
Произвести
полную
обработку
результатов
физического
эксперимента. Вычислить наиболее вероятные значения величин A, B, C, и
абсолютных погрешностей A, B, C, рассчитать значение величины F,
абсолютной и относительной погрешности F и F/F, произвести
необходимые округления.
23
Расчётная формула:
F=
C2
C 2 − 1.6 AB
Таблица 3-Пример задания по обработке экспериментальных данных:
№ п/п
1
A
11.3
A
B
0.13
B
0.035
C
0.0009
C
0.91
2
3
11.2
11.5
0.23
0.07
0.034
0.031
0.0001
0.0031
0.89
0.87
0.014
0.034
3
5
11
11.9
0.43
0.47
0.039
0.035
0.0049
0.0009
0.9
0.95
0.004
0.046
6
7
11.4
11.5
0.03
0.07
0.038
0.032
0.0039
0.0021
0.91
0.84
0.006
0.064
8
9
11.6
11.1
0.17
0.33
0.03
0.033
0.0041
0.0011
0.93
0.96
0.026
0.056
10
Ср.
11.8
11.43
0.37
0.23
0.034
0.0341
0.0001
0.00212
0.88
0.904
0.024
0.028
0.006
Расчёт средних значений:
10
Aср. =
A
i
i =1
10
10
; Bср. =
B
i =1
10
i
10
; Cср. =
C
i
i =1
;
10
С этого момента примем средние значения за истинные значения A, B и C.
Расчёт частных погрешностей:
Ai = Ai − Aср. ; Bi = Bi − Bср. ; Ci = Ci − Cср. ;
Расчёт средних погрешностей
10
Aср. =
 A
i =1
10
i
10
; Bср. =
 B
i =1
10
i
10
; Cср. =
 C
i =1
10
i
;
С этого момента примем средние значения погрешностей за истины значения
A, B и C.
24
Результат вычислений:
A=11.43
A=0.23
B=0.0341
B=0.00212
C=0.904
C=0.028
Расчёт значения физической величины:
F=
C2
C − 1.6 AB
2
0.9042
=
0.904 − 1.6 11.43  0.0341
2
= 1.8573321158
Вывод формулы для абсолютной погрешности
F 1
1.6 BC 2
0.8BC 2
=
=
3
3
2
A 2 C − 1.6 AB 2
C 2 − 1.6 AB 2
(
)
(
)
F 1
1.6 AC 2
0.8 AC 2
=
=
3
B 2 C 2 − 1.6 AB 3 2
C 2 − 1.6 AB 2
(
)
(
)
1
−
1 2
2C  C − 1.6 AB − C  C − 1.6 AB 2  2C
F
2
=
2
C
C − 1.6 AB
2
2
(
)
1
−
1 2
2C  C − 1.6 AB − C  C − 1.6 AB 2  2C
0.8C 2
2
F =
 ( A + B ) +
C
3
2
2
2
C
−
1.6
AB
C − 1.6 AB
2
(
2
(
)
)
По полученной формуле рассчитываем абсолютную погрешность и далее
значение относительной погрешности:
=
F
F
Вывод данной формулы слишком сложен. Вычисления по ней
достаточно трудоёмкие. Выведем формулу для расчёта относительной
погрешности:
(
1
ln ( F ) = 2 ln ( C ) − ln C 2 − 1.6 AB
2
25
)
 ln ( F )
A
 ln ( F )
B
 ln ( F )
C
=
=
=
=
=
0.8B
C 2 − 1.6 AB
=
0.8 A
C 2 − 1.6 AB
2
C
− 2
C C − 1.6 AB
F
0.8B
0.8 A
2
C
= 2
A + 2
B + − 2
C =
F
C − 1.6 AB
C − 1.6 AB
C C − 1.6 AB
0.8  0.0341
0.8 11.43
 0.23 +
 0.00212 +
2
0.904 − 1.6 11.43  0.0341
0.904 − 1.6 11.43  0.0341
2
0.904
+
−
 0.028=
0.904 0.9042 − 1.6 11.43  0.0341
2
0.02728
9.144
0.904
 0.23 +
 0.00212 + 2.212389 −
 0.028=
0.1935952
0.1935952
0.1935952
= 0.140913  0.23 + 47.23258  0.00212 + 2.457148261 0.028=0.2013430962 .
В итоге, относительная погрешность равна:
=
F
= 0.2013430962
F
Теперь рассчитаем абсолютную погрешность:
F =   F = 0.2013430962 1.8573321158=0.3739609989
Произведём
необходимые
округления
полученных
величин.
Относительная погрешность всегда округляется до двух значащих цифр.
F=0.37,
F=1.86,
=0.20 (20%)
Запишем окончательный результат. Именно он должен быть приведён в
отчёте по лабораторной работе:
F=1.86±0.37 (=0.20).
Единицы физических величин имеют наименования. Абсолютная
погрешность измеряется в тех же единицах. Например: F – сила, действующая
26
на наш объект. Единица силы Ньютон (Н). Тогда наш результат должен быть
записан:
F=(1.9±0.5) Н, (=0.28).
Замечание. Если исходная формула удобна для логарифмирования,
то нужно вначале вычислять относительную погрешность. Это
оказывается удобнее не только для вычислений, но и для анализа вклада в
погрешность прямых измерений. Значит, проще найти возможную ошибку в
вычислениях погрешностей.
27
3
Графическое представление результатов измерений
Графики строятся на основании измерений или расчетов, показывая
наглядно связь между физическими величинами с учетом их значений.
Количественные графики используются не только для наглядного
изображения зависимости, но и для нахождения каких-либо физических
величин.
Допускается выполнение графиков с помощью компьютерных
программ, но и в этом случае графики должны соответствовать всем
изложенным ниже требованиям.
Графики выполняют на миллиметровой бумаге размером не менее, чем
10×10 см 2. Готовые графики прикрепляются к отчету по лабораторной работе.
Допускается выполнение графиков с помощью компьютерных программ, но и
в этом случае графики должны соответствовать всем изложенным ниже
требованиям (в частности, иметь масштабно- координатную сетку).
Система координат может быть двух видов: математическая и
инженерная. В различных научных и инженерных отчётах, научных статьях
требуется обязательно использовать какую-то одну из них. Это условие
обычно оговаривается отдельно в требованиях к отчёту или статье.
P,
Вт
P,
Вт
1,0
1,0
0,5
0,5
0,0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
I, А
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
а
I, А
б
Рисунок 3 – Система координат:
а.
математическая,
б.
инженерная.
Математическая система координат – оси координат изображаются
в виде стрелок, исходящих из начала координат. На конце осей (около стрелок,
справа внизу для оси абсцисс и наверху для оси ординат) – их название или
обозначение с единицами измерения (обязательно). Вдоль оси, снизу (ось
абсцисс) или слева (ось ординат) – оцифровка, цифры наносятся с шагом
равным единичному отрезку.
28
Инженерная система координат – прямоугольное окошко, стрелочки
не изображаются. Если интересует положительный квадрант, оси координат –
нижняя и левая границы окна. Оцифровка осей координат – по нижней и левой
границам окна. Название осей координат – можно, как и у математической
системы координат, можно посередине оси, внизу посередине нижней оси и
слева посередине левой оси.
n
1,64
1,63
1,62
440 460 480 500 520 540 560
Разрывы осей
координат
, нм
а
n
1,64
1,63
1,62
400 440 460 480 500 520 540 560
, нм
Координата
левого угла
б
Рисунок 4 – Примеры построения графиков.
Изображаемый график должен использовать максимум полезной
площади координатной плоскости, то есть быть развёрнут на всю плоскость, а
не изображаться где-нибудь в небольшой области. И если нас отдельно (по
какой-либо необходимости, см. выше) не интересует, скажем, пересечение
графика с осями координат, график можно (и нужно) изобразить не всю, а
кусок координатной плоскости, в которой расположен интересующий нас
график. Тогда в правом нижнем углу, откуда исходят оси координат, будет
29
располагаться точка с координатами, отличными от (0;0). В этом случае для
математической системы координат в начале осей изображается их
разрыв (Рисунок 4, а). Для инженерной системы координат (рисунок 4, б)
разрыв осей показывать не надо. Но зато значения по оси абсцисс и ординат в
левом нижнем углу окна обычно указываются.
Иногда бывает необходимо изобразить несколько графиков с
различными осами ординат на одной координатной плоскости. При этом
независимая переменная у обоих графиков одинаковая (по оси абсцисс
откладывается одна и та же величина). А, вот, значения функций различных
величин с различной размерностью. Скажем, мы хотим наглядно увидеть, на
какое значение КПД () соответствует максимуму полезной мощности
электрической схемы (P). Тогда в направлении оси ординат нам надо
изобразить две оси. В случае, если различных осей только 2-е (присутствуют
две различные единицы измерения) мы можем оставить только одну ось. Для
математической системы координат мы можем отложить различные
значения с наружной и внутренней стороны оси (Рисунок 5, а). Для
инженерной системы координат, вторая ось, обычно изображается по
правому краю окна (Рисунок 5, б).
P, 
Вт
P

P,
Вт
P
1,0
1,0
0,5


0,5
0,5
0,5
0,0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
I, А
0,0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
I, А
а
б
Рисунок 5 – Пример построения графиков в двух системах координат
В прямоугольной системе координат независимую переменную –
аргумент – следует откладывать на горизонтальной оси (оси абсцисс), а по
вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависимую физическую величину.
Положительные значения величин откладывают на осях, как правило, вправо
и вверх от точки начала отсчета. Начало координатных осей, если это не
оговорено особо, может не совпадать с нулевыми значениями величин. Его
выбирают таким образом, чтобы график занимал максимально возможную
площадь чертежа.
30
Обычно график строят на основании заполненной таблицы
экспериментальных данных, откуда легко установить интервалы, в которых
изменяются аргумент и функция. Их наименьшее и наибольшее значения
определяют масштаб координатных осей.
Масштаб должен быть выбран таким образом, чтобы график был
равномерно растянут вдоль обеих осей.
Масштаб изображения может быть как линейным, так и нелинейным
(например, логарифмическим). Масштаб для каждого на правления может
быть разным, например: по одной оси 1; 2; 3; 4; 5; ..., а по другой – 5; 10; 15;
20.
График должен читаться легко и быстро. Масштаб является удобным
для чтения графика, если в одном сантиметре содержится одна (или две, пять,
десять, двадцать, пятьдесят и т. д.) единица величины кратная 1, 2, 5,
например: 1; 2; 3; 4; 5; ..., или 2; 4; 6; 8; ..., или 5; 10; 15; 20; ... .
Распространенной ошибкой студентов является выбор неправильного
масштаба: три сантиметра на единицу величины или в одном сантиметре три
единицы (например, 1; 3; 6; 9; ...).
На координатных осях должны быть указаны обозначения величин с
единицами их измерения и шкала числовых значений. Обозначение
физических величин и их единицы измерений следует размещать в конце
шкалы вместо последнего числа. Между обозначением величины и единицей
измерения должна быть запятая, например: h, м; E, В/м.
Числовые значения шкал следует размещать вне поля графика и
располагать горизонтально. Многозначные числа выражают как кратные
10n (n – целое число) для данного диапазона шкалы, например: p, 106 Па; или
p, МПа; h, 10-3 м или h, мм. Масштабные деления и числовые значения на
координатных осях следует наносить равномерно по всей оси и без пропусков.
Экспериментальные или расчетные точки на графике должны
изображаться четко в виде кружков, крестиков и других символов. Размер
символа должен быть в 2 – 3 раза больше толщины линии. Координаты
экспериментальных точек на осях не указывают и линии, определяющие их
положение, не проводят. Если пояснения необходимы, то точка или линия
обозначается цифрой и в тексте или на полях графика делается
соответствующее пояснение.
Кривая должна быть плавной. Кривую (прямую) следует проводить
так, чтобы количество точек по обе стороны от нее было приблизительно
одинаковым. Кривую (прямую) следует проводить как можно ближе к точкам,
но, не обязательно пересекая их. Кривая (прямая) не должна выходить за
область экспериментальных значений аргумента и функции. Форма кривой и
31
особые точки, через которые она должна проходить, определяются, как
правило, из теории. Если на графике в одних осях строят несколько
зависимостей, то обозначения точек должны отличаться друг от друга формой
или цветом.
При нанесении на график экспериментальных точек, для которых
известны погрешности, полезно указывать эти погрешности отрезками линий,
величина которых соответствует величине погрешности по каждой из
переменных, определяющих точку. В таком случае точка изображается
крестом. Половина размера креста по горизонтали должна быть равна
погрешности по оси абсцисс, а половина размера по вертикали – погрешности
по оси ординат. Такое изображение экспериментальных точек облегчает
анализ результатов.
P,
Вт
1,0
0,5
0,00
0,02
0,04
0,06
I, А
Рисунок 6 – Нанесение погрешностей
32
4
Графическая обработка экспериментальных зависимостей
4.1
Использование графиков при обработке эксперимента
На основе графического представления исследуемых зависимостей
удается провести достаточно полную обработку экспериментальных данных.
Графическая обработка позволяет: 1) провести аппроксимацию
экспериментальных точек, в результате чего уменьшаются случайные
погрешности; 2) провести интерполяцию и экстраполяцию; 3) определить
координаты точек на графике; 4) определить параметры аппроксимирующей
прямой; 5) оценить погрешности измеренных величин; 6) осуществить
графическое дифференцирование.
Графический анализ экспериментальных зависимостей не требует
сложных вычислений и дает результаты приемлемые по точности, принятой
при расчетах в лабораторных работах.
Аппроксимация,
интерполяция
и
экстраполяция
экспериментальных данных. Проводя кривую на графике, фактически
проводят аппроксимацию, которая позволяет сгладить экспериментальные
погрешности. В результате аппроксимации нанесенных точек на графике
отображается зависимость вида y(x). Соответствующая кривая должна быть
гладкой и описываться сравнительно простой аналитической функцией.
Проведение кривой упрощается, если имеется дополнительная информация о
характере исследуемой зависимости. Удовлетворительные результаты
получаются, если проводить линию «на глаз», стараясь минимизировать
алгебраическую сумму отклонений экспериментальных точек от кривой
(прямой). Полученная кривая графически усредняет проведенные измерения
и дает более достоверную информацию об исследуемой зависимости, чем
отдельные измерения. С помощью полученной прямой можно провести
интерполяцию, т. е. отыскать значение функции y по известным значениям
аргумента x, при этом x должен лежать в интервале значений
экспериментальных данных.
Иногда требуется определить значение функции y за пределами
экспериментальных значений аргумента x , т. е. выполнить экстраполяцию
экспериментальных данных. Если продлить данную зависимость за границы
интервалов аргумента и функции, то возможно определить значения x и y по
графику.
Подчеркнем, что графики необходимы для наглядного
представления результатов измерений. Они очень удобны для сравнения
результатов экспериментов и теорий, выяснения качественных
особенностей зависимостей, быстрых оценок характера изменения величин на отдельных участках. Однако документом эксперимента является
33
таблица с экспериментальными данными.
Отметим, что наши рекомендации по обработке результатов
эксперимента не претендуют ни на полноту, ни на особую строгость, так
как рассчитаны на студентов первого курса, чья математическая подготовка недостаточна для строгого рассмотрения всех вопросов, связанных со
статистической обработкой экспериментальных данных.
4.2
Определение коэффициентов линейной зависимости
Часто измерения проводятся с целью получения или подтверждения
зависимостей между измеряемыми величинами. В этих случаях необходимо
по экспериментальным точкам провести соответствующую зависимость и,
если нужно, найти погрешности измеряемых величин по разбросу
экспериментальных точек.
Наиболее
простым
является
случай,
когда
полученная
аппроксимирующая зависимость линейная, т. е. описывается уравнением
y = ax + b , коэффициенты которой а и b неизвестны.
Существуют различные методы про ведения прямых линий через
экспериментальные точки. Самый простой способ, пригодный для оценки
результатов, но не для получения окончательного значения, состоит в
использовании прозрачной линейки. Благодаря прозрачности линейки
видно, сколько точек находится по обе стороны от проводимой линии. Ее
надо провести так, чтобы по обе стороны было одинаковое количество
экспериментальных точек. Параметры этой линии (наклон, пересечения с
осями
координат)
измеряются
непосредственно
на
графике.
Аналитическое выражение прямой y = ax + b , которая в общем случае при
а, не равном нулю, не проходит через начало координат. Для определения
коэффициентов линейной зависимости нужно взять две точки на
построенной прямой (x1,y1) и (x2,y2), которые, вообще говоря, не
совпадают с экспериментальными точками. Параметр b определяется по
формуле
b=
y2 − y1
x2 − x1 .
Определение параметра a оказывается более простым, если начало
координатных осей совпадает с нулевыми значениями величин. В этом
случае график пересекает ось ординат как раз в точке c координатой у=a.
34
y
90
a1
80
70
a2
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
9
10 11 12 13 14 15
x
Рисунок 7 – Графический метод обработки результатов. Оценка
случайной погрешности параметра a
y
Левый
участок
Средний
участок
90
Правый
участок
80
x
a2
=
y
70
60
+b 2
b2
b1
b1
x+
=a 1
50
y
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
9 10 12 14 16 18 20
x
Рисунок 8 – Графический метод обработки результатов. Оценка
случайной погрешности параметра b
35
Случайные погрешности определения a и b можно оценить по графику
следующим образом. Для оценки погрешности a находим величины, на
которые надо параллельно сместить линию, чтобы число точек с одной
стороны было на одну–две точки больше, чем с другой стороны. То есть при
смещении линии на величину a1 вверх число точек, лежащих выше этой
линии, будет в два меньше числа точек, лежащих ниже (речь идёт обо всех
точках, как выше так и ниже исходной прямой). При смещении линии на
величину a2 вниз, число точек, лежащих ниже этой линии, на две меньше
числа точек, лежащих выше (речь идёт о точках, лежащих ниже исходной
прямой). Для оценки a имеем
a =
a2 − a1
2
Для оценки погрешности коэффициента b надо диапазон изменения
координаты х экспериментальных точек разделить на три равные части и
поворачивать линию таким образом, чтобы в крайних частях соотношение
числа точек на разных сторонах линии отличалось в два раза. Мы
увеличиваем наклон линии до значения b1 так, чтобы в левом крайнем
участке над линией оказалось в два раза больше экспериментальных
точек, чем под ней, а в правом крайнем участке под линией оказалось в
два раза больше экспериментальных точек, чем над ней. Затем уменьшаем
наклон линии до b2 так, чтобы в левом крайнем участке под линией
оказалось в два раза больше экспериментальных точек, чем над ней, а в
правом крайнем участке под линией оказалось в два раза больше
экспериментальных точек, чем над ней. Для оценки погрешности b будем
иметь
b = b2 − b1
Не нужно забывать, что величины a, b, x и y – это именованные
физические величины. Не забывайте указывать их размерность!
Разумеется, не всякая зависимость описывается уравнением прямой
линии. Однако в ряде случаев можно путем несложных преобразований
привести к линейному виду более сложную зависимость измеряемых
величин. Если из теории или некоторых предположений известна возможная
зависимость между измеряемыми величинами, то по осям координат надо
отложить такие функции измеряемых величин, которые лучше соответствуют
линейной зависимости. Например, при исследовании зависимости времени
падения тела в поле тяжести от высоты, с которой оно падает, по осям нужно
отложить высоту и квадрат времени, так как в однородном поле тяжести без
учета сопротивления воздуха квадрат времени падения пропорционален
высоте падения:
gt 2
H=
2
36
5
Проведение измерений и оформление отчета
Лист наблюдений является документом, который нельзя исправлять,
переписывать терять и т.д. Лист наблюдений подписывается кратко в верхней
части листа, так, чтобы оставить максимум места на запись данных. Заголовок
листа наблюдений должен содержать:
Номер и название лабораторной работы, ФИО студента,
выполняющего работы, номер группы и число, когда получен допуск. Ниже
этой подписи студентом записываются все результаты измерений,
проделанных в ходе лабораторной работы. Результаты измерений должны
сразу записываться на лист наблюдений. Не следует записывать результаты
измерений сначала на черновик, а потом переносить на лист измерений.
При этом переписывании данные могут быть искажены. Запрещается вносить
какие-либо изменения в лист наблюдений после записи. Измерить
физическую величину можно только один раз, посмотрев на прибор! Если
Вы поняли, что записанное Вами число неверно, Вы должны аккуратно
зачеркнуть результаты измерений и ниже записать новые результаты. Новые
результаты записываются в виде новой строки в таблице или новой таблицы.
Если Вы (или инженер-лаборант) произвели исправления данных
непосредственно в таблице или просто рядом с исходными результатами
измерений, рядом должна стоять подпись инженера-лаборанта. Иначе лист
измерений не считается действительным. Нельзя использовать в листе
наблюдений корректирующую пасту («замазку»). Или писать на листе
измерений карандашом, чтобы имелась последующая возможность стирания
или исправления результатов измерения. Лист наблюдения со следами
карандаша считается недействительным. После проведения всех
измерений и занесения всех данных на лист наблюдения, лист наблюдения
подписывается внизу инженером лаборантом. При этом инженер-лаборант
также ставит дату проведения измерений.
Перед каждой таблицей должны быть указаны значения цены деления
и класс точности каждого прибора, которым производятся измерения. В
таблицу необходимо заносить число делений, а не саму величину, например
тока или напряжения. Это убережет вас от ошибки при записи
экспериментальных данных. В конечном счете, это главное, так как обработка
данных может быть проведена разными способами и в любое время, а
измерения воспроизвести бывает трудно, а иногда и невозможно.
Отчёт по лабораторной работе начинается с титульного листа,
образец которого приведён на рисунке 9. Отчёт по лабораторной работе всегда
пишется от руки! Печатать отчёт на компьютере запрещается! Отчёт может
быть оформлен на вложенных тетрадкой двойных листах либо на листах
формата A4. В последнем случае листы должны быть скреплены слева
степлером. В случае, если отчёт написан на листах формата A4, в качестве
исключения допускается печать на компьютере титульного лита.
37
• Цель работы. Кратко излагается задание к лабораторной работе.
Обычно
цель работы указана в методических указаниях к работе.
• Схема установки. Не надо изображать полный чертёж установки,
изображение должно быть схематичным.
• Расчётные формулы. Здесь приводятся все формулы, по которым будут
проводиться расчёты
• Результаты измерений. В этом разделе приводятся все данные,
которые были записаны на листе измерений. Эти данные приводятся в
том виде, что записывались при измерениях: в миллиметрах,
сантиметрах, минутах, и т.д. Здесь же они переводятся в систему СИ.
Производить расчёты необходимо только в системе СИ.
• Обработка результатов измерений. Здесь должны быть приведены
все расчёты, все результаты расчётов. Никакие цифры не должны здесь
или потом быть «взяты с потолка». Как минимум для одного раза для
каждой формулы должна быть приведена полная подстановкой
исходных данных в формулу. Это необходимо для проверки Вашей
работы и поиска возможных ошибок. Очень часто ошибки сводятся к
тому, что в формулу подставляют неверные данные или данные в
неверных единицах измерения. Если в работе есть в наличии серии
измерений, здесь же нахождение средних значений для всех этих серий
и их погрешности. Эти расчёты оформляются, обычно, в виде таблиц. В
этом же разделе приводятся графики, выполненные на милиметровке.
• Расчёт погрешностей. В этом разделе выводятся все формулы для
расчёта погрешностей (именно так, как было разобрано в данном
учебном пособии). И здесь же производится расчёт по этим формулам и
последующее округление.
• Анализ результатов. Сравнение полученных результатов с известными
табличными величинами, обсуждение возможных ошибок, предложения
по улучшению эксперимента.
• Выводы – это ответ на вопрос, поставленный в цели работы. Если цель
работы – определение каких-либо физических величин, констант,
приводим эти величины с обозначениями, округлением и единицами
измерением в системе СИ.
38
Министерство образования и науки Российской Федерации
Санкт-Петербургский Государственный технологический институт
(технический университет)
Кафедра общей физики
Лабораторная работа № __
Название лабораторной работы
Сдал:
Принял:
Иванов И .И.
Осташев В.Б.
Санкт-Петербург
2021
Рисунок 9 – Пример титульного листа отчёта по лабораторной
работе (обычно пишется от руки, но, в качестве исключения,
может быть напечатан)
39
Литература
1 Лабораторный практикум по общей физике: Учебное пособие. В трёх
томах. Т.1. Механика/Под редакцией А.Д. Гладуна. – Москва: МФТИ,
2004. – 316 с.
2 Зайдель, А.Н. Ошибки измерений физических величин. – СанктПетербург: Лань, 2022.–112 с.
3 Каленков, С.Г., Практикум по физике. Механика/ С.Г. Каленков, Г.И.
Соломахо. – Москва: Высшая школа, 1990.–110 с.
4 ГОСТ Р 8.736-2011. Государственная система обеспечения единства
измерений. Измерения прямые многократные. Методика обработки
результатов измерений. Основные положения: национальный стандарт
Российской Федерации: издание официальное: введен впервые: дата
введения 2013-01-01 – Москва: Стандартинформ, 2013. – 20 с.
40
Кафедра общей физики
Учебное пособие
Введение в физический практикум.
Обработка результатов измерений
Владимир Борисович Осташев
Светлана Владимировна Хотунцова
Борис Борисович Болотов
Владимир Васильевич Благовещенский
_________________________________________________________________________________________________________
Отпечатано с оригинал-макета. Формат 60х90 1 16
Печ. л. 1. Тираж ___________ экз. Заказ № ______________от
Санкт-Петербургский государственный технологический институт
(технический университет)
190013, Санкт-Петербург, Московский пр. ,26
Типография издательства СПбГТИ(ТУ)