Методические указания: Вычисление погрешностей в численных методах

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЫ
ПО ЧИСЛЕННЫМ МЕТОДАМ В СПО
Разработал преподаватель: Игнатьева Елена Сергеевна
Тема:
Вычисление погрешностей
приближёнными числами.
результатов
арифметических
действий
над
Цель работы:
- применить умения вычислять погрешности результатов арифметических действий;
- применить умения определять количество верных цифр в числе, вычислять
относительные и абсолютные погрешности.
Оборудование:
1. Рабочая тетрадь в клетку.
2. Раздаточный материал: инструкционные карты-20шт.
3. Калькулятор простой.
Задание:
Вариант 1
1. Определить, какое равенство точнее.
19
 0,463.
41
15
б) 10  3,16 или
 2,14.
7
2. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют
только верные цифры
а) в узком смысле 0,2387;
б) в широком смысле 42,884.
Вариант 2
2. Определить, какое равенство точнее.
7
а) 30  5,48 или
 0,467.
15
4
б) 10,5  3,24 или
 0,235.
17
2. Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они имеют
только верные цифры
а) в узком смысле 3,751;
б) в широком смысле 0,537.
а)
44  6,63 или
Порядок выполнения:
1. Внимательно прочитать тему и цель практической работы.
2. Изучить учебный материал по теме.
3. Ответить на вопросы.
4. Выполнить задания.
5. Подготовить отчет.
Пояснения к работе (учебный материал):
Приближенным числом a называется число, незначительно отличающееся от
точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его записи,
начиная с первой ненулевой слева.
Примеры:
1) У числа 5142,39 все цифры значащие.
2) У числа 0,0046 только две значащих цифры: 4 и 6.
3) У числа 0,004600 четыре значащих цифры: 4, 6 и два последних нуля.
Абсолютная величина разности между точным числом А и его приближенным
значением а называется абсолютной погрешностью приближенного числа а ( а ).
а  А  а .
Пример.
А  784,2734; а  784,274
а  784,2737  784,274  0,0003
Точное значение числа А часто бывает неизвестно, значит неизвестна абсолютная
погрешность числа а, поэтому пользуются понятием границы абсолютной погрешности.
Граница абсолютной погрешности, то есть число заведомо превышающее
абсолютную погрешность или в крайнем случае равное ей, называется предельной

абсолютной погрешностью  а .
 а  А  а  а
Значение
точного

а
числа
А
всегда
заключено
в
следующих
границах

а .
а  А а
Цифра приближенного числа называется верной в широком смысле, если абсолютная
(предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного
разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в широком
смысле.
Пусть А  7,158  0,009 . Определим верные и сомнительные в широком смысле

цифры приближенного числа 7,158. Заметим, что а  7,158,  а  0,009 . Т.к. 0,009  1 ,
то цифра 7 верная в широком смысле. Т.к. 0,009  0,1 , то цифра 1 верная в широком
смысле. Т.к. 0,009  0,01 , то цифра 5 верная в широком смысле. Т.к. 0,009  0,001 , то
цифра 8 сомнительная в широком смысле.
Цифра приближенного числа называется верной в узком смысле, если абсолютная
(предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит половины единицы
десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в
узком смысле.
Определим верные и сомнительные в узком смысле цифры приближенного числа
1
7,158 из предыдущего примера. Т.к. 0,009   0,5 , то цифра 7 верная в узком смысле.
2
0,1
0,01
Т.к. 0,009 
 0,05 , то цифра 1 верная в узком смысле. Т.к. 0,009 
 0,005 , то
2
2
цифра 5 сомнительная в узком смысле. Очевидно, что цифра 8 также сомнительная в
узком смысле.
Относительной погрешностью приближенного числа а называется отношение
абсолютной погрешности  а к модулю точного числа А.
а 
а
,
А
а  А а .
Число
 а , заведомо превышающее относительную погрешность или в
крайнем случае равное ей, называется предельной относительной погрешностью  а .

 а   а .
При выполнении практической работы рассмотрите следующие примеры:
Пример 1.
9
Определить, какое равенство точнее
 0,818 или 18  4,24 .
11
Решение.
Находим значения данных выражений с большим числом десятичных знаков:
9
А1 
 0,81818...,
11
А2  18  4,2426...
Затем вычисляем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:
 а1  А1  а1  0,81818  0,818  0,00019 ,
 а2  А2  а 2  4,2426  4,24  0,0027 .
Предельные относительные погрешности составляют
а 
1
а 
 а1
а1
 а2
а2
2

0,00019
 0,00024  0,024%,
0,818

0,0027
 0,00064  0,064%.
4,24
Так как  а1   a2 , то первое равенство
9
 0,818 является более точным.
11
9
 0,818 .
11
Пример 2.
Найти предельные абсолютные и относительные погрешности чисел, если они
имеют только верные цифры
а) в узком смысле 0,4357;
б) в широком смысле 12,384.
Решение.
а) Так как все четыре цифры числа а  0,4357 верны в узком смысле, то предельная
абсолютная погрешность вычисляется по формуле
Ответ:
а  0,5  10 mn 1 ,
а относительная погрешность
 a 
0,5
,
a1  10 n 1
где n - количество верных значащих цифр
m - старший десятичный разряд числа
a1 - цифра числа, причем a 1  0.
Значит,
а  0,5 10141  0,5 104  0,00005;
0,5
0,5
0,5
 a 


 0,000125  0,0125%.
4 1
3
4000
4  10
4  10
б) Так как все пять цифр числа а  12 ,384 верны в широком смысле, то абсолютная

погрешность вычисляется по формуле  а  110
а относительная погрешность
 a 
m  n 1
,
1
,
a1  10 n 1
где n - количество верных значащих цифр
m - старший десятичный разряд числа
a1 - цифра числа, причем a 1  0.
Следовательно,
а  110151  103  0,001;
1
1
1
 a 
 4 
 0,0001  0,01%.
5 1
10000
1  10
10
Ответ:

а)  а  0,00005;  a  0,0125%.


б)  а  0,001;  a  0,01%.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
1. Что такое абсолютная и относительная погрешности?
2. Что такое предельная абсолютная и предельная относительная погрешности?

Содержание отчета:
Название практической работы.
Учебная цель.
Решение заданий практической работы.
Ответы на вопросы для закрепления теоретического материала.
Литература:
- Численные методы и программирование: Учебное пособие / В.Д. Колдаев; Под ред. Л.Г.
Гагариной. - М.: ИД ФОРУМ: НИЦ Инфра-М, 2016. - 336 с…
- Гателюк, О. В. Численные методы : учеб. пособие для СПО / О. В. Гателюк, Ш. К.
Исмаилов, Н. В. Манюкова. — М. : Издательство Юрайт, 2018. — 140 с. — (Серия :
Профессиональное образование)
- Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. «Численные методы в задачах и
упражнениях»/ Под ред. В.А.Садовничего – М.:Высш.шк.,2016
- Вержбицкий В.М. «Численные методы. Математический анализ и обыкновенные
дифференциальные уравнения» - М.: Высшая школа, 2017
- Волков Е.А. «Численные методы» - СПб.: Издательство «Лань», 2015
- Исаков В.Н. «Элементы численных методов» - М.: Издательский центр «Академия»,
2016.
- Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В.; Под ред. Садовничий В.А Численные методы
в задачах и упражнениях: Учебное пособие /., - 4-е изд., (эл.) - М.:БИНОМ. Лаб. знаний,
2015. - 243 с.: ISBN 978-5-9963-2980-9 - Режим доступа: http://znanium.com/
- А.В. Гулин, О.С. Мажорова, В.А. Морозова Введение в численные методы в задачах и
упражнениях : учеб. пособие /. — М. : ИНФРА-М, 2017. — 368 с. — (Высшее образование:
Бакалавриат). - Режим доступа: http://znanium.com/
- Калиткин Н.Н., Численные методы: Учебное пособие / - 2-е изд., исправленное. СПб:БХВ-Петербург, 2015. - 587 с. ISBN 978-5-9775-2575-6 - Режим доступа:
http://znanium.com/catalog/product/94450.
Скачано с www.znanio.ru