Многогранники: Начертательная геометрия и инженерная графика

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ
ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего образования
«Дальневосточный федеральный университет»
(ДВФУ)
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ШКОЛА)
РЕФЕРАТ
по дисциплине «Начертательная геометрия и инженерная графика»
на тему:
«Многогранники»
Выполнила студентка группы:
С3125-08.05.01смт (2)
ФИО:
Кузякина Анна Дмитриевна
Руководитель:
Шустикова Татьяна Валентиновна
г. Владивосток
2025
Содержание
1. Определение многогранника и многогранной поверхности. Основные
элементы. Сеть многогранника.............................................................................. 3
2. Основные виды многогранников и их характеристики. ............................... 4
2.1. Призмы – определение. Основные виды. .................................................... 4
2.1.1. Свойства призм. .......................................................................................... 6
2.1.2. Построение проекций многогранников. Пример на комплексном
чертеже трёхгранной наклонной призмы с основаниями, параллельными П1.7
2.2. Пирамиды – определение. Основные виды. .................................................. 7
2.2.1. Свойства пирамид. ........................................................................................ 8
2.2.2. 2.1.2. Построение проекций многогранников. Пример на комплексном
чертеже трёхгранной наклонной пирамиды с основанием, параллельным П1.9
3. Построение сечений многогранников – определение сечения, процесс
построения. Примеры. ............................................................................................ 9
Список использованных источников .................................................................. 12
1. Определение многогранника и многогранной поверхности. Основные
элементы. Сеть многогранника.
Многогранник — это геометрическое тело, ограниченное конечным
числом плоских многоугольников.
Многогранная
поверхность
–
поверхность,
составленная
из
многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело.
Как
и
многоугольники,
многогранники
бывают
выпуклыми
и
невыпуклыми (вогнутыми).
Выпуклый многогранник — это такой многогранник, который целиком
расположен по одну сторону от плоскости одной из своих граней. Все грани
такого многогранника — это выпуклые многоугольники. Т. е. фигуры,
которые лежат по одну из сторон своих граней.
Невыпуклый (вогнутый) многогранник — это такой многогранник,
плоскости граней которого делят его на части.
На рисунке ниже видно, как плоскость проходит через многогранник и
делит его на верхний и нижний сегменты.
Основные элементы многогранника:
-Грани – многоугольники, из которых состоит многогранник. Две
соседние грани не могут лежать в одной плоскости.
-Рёбра – стороны граней. Каждое ребро принадлежит двум граням.
-Вершины – концы рёбер; точки, где пересекаются соседние грани.
Вершина принадлежит, как минимум, трём граням.
-Диагональ – отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие
одной грани.
Сеть многогранника включает в себя различные виды многогранников,
например, призма, пирамида, куб и т.д.
2. Основные виды многогранников и их характеристики.
2.1. Призмы – определение. Основные виды.
Призма — это выпуклый многогранник, две грани которого представляют
собой равные многоугольники, расположенные в параллельных плоскостях.
При этом все рёбра, не лежащие в этих плоскостях, параллельны между собой.
Основания
призмы
–
два
равных
многоугольника,
лежащих
в
параллельных плоскостях. Боковые грани – параллелограммы, соединяющие
соответствующие стороны оснований.
Виды призм по расположению боковых рёбер:
-Прямая. Боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований.
-Наклонная. Боковые рёбра НЕ перпендикулярны плоскостям оснований.
У прямой призмы боковые грани — всегда прямоугольники и квадраты, т.
к. угол между её рёбрами и основаниями равен 90°. У наклонной —
параллелограммы общего вида, т. к. рёбра и основания призмы образуют
тупые и острые углы.
Виды призм по форме основания: треугольные, четырёхугольные,
пятиугольные и любые другие n-угольные.
2.1.1. Свойства призм.
Для всех призм:
-Основания всегда равны и параллельны друг другу.
-Все боковые рёбра равны между собой.
Правильная призма:
-Основания – правильные многоугольники.
-Боковые грани – равные прямоугольники.
-Все диагонали равны между собой и пересекаются в
одной точке, которая делит их пополам.
Прямая призма:
-Боковые грани – равные прямоугольники.
-Высота равна длине бокового ребра.
Наклонная призма:
-Боковые грани – параллелограммы.
-Высота меньше бокового ребра.
2.1.2. Построение проекций многогранников. Пример на комплексном
чертеже трёхгранной наклонной призмы с основаниями, параллельными
П1.
2.2. Пирамиды – определение. Основные виды.
Пирамида — это многогранник, который состоит из многоугольника в
основании и боковых граней (треугольников), образованных при соединении
точки вершины пирамиды и вершин её основания.
Треугольники — это боковые грани пирамиды, а её ребра — это общие
стороны
треугольников.
Также
у
пирамиды
есть
апофема
—
перпендикулярная прямая, опущенная из её вершины к стороне основания.
Апофема используется для вычисления площади боковой поверхности
пирамиды.
Пирамида может быть остроугольной и тупоугольной. В первом случае
апофема больше длины стороны основания, во втором — меньше.
Виды пирамид по расположению вершины:
-Прямая. Вершина проецируется в центр основания. Высота совпадает с
центральной осью.
-Наклонная. Вершина проецируется не в центр основания, то есть высота
не совпадает с центральной осью.
Виды пирамид по форме основания: треугольные, четырёхугольные,
пятиугольные и любые другие n-угольные.
2.2.1. Свойства пирамид.
Если высота пирамиды соединяет её вершину с центром основания, а оно
само представляет из себя правильный многоугольник, то и пирамида
называется правильной.
Все боковые грани такой фигуры – одинаковые
равнобедренные треугольники. Все рёбра наклонены к её основанию под
одинаковыми углами.
Правильный тетраэдр – пирамида, все грани которой являются
равносторонними треугольниками.
-Все рёбра, грани, а также периметры и площади всех граней
равны между собой.
Усечённая пирамида – образуется, если верхнюю часть пирамиды
отсекает плоскость, параллельная основанию фигуры.
-Основания – подобные многоугольники, лежащие в
параллельных плоскостях.
-Боковые грани – трапеции.
2.2.2. 2.1.2. Построение проекций многогранников. Пример на
комплексном чертеже трёхгранной наклонной пирамиды с основанием,
параллельным П1.
3. Построение сечений многогранников – определение сечения, процесс
построения. Примеры.
Сечение многогранника — это многоугольник, вершины которого
являются точками пересечения секущей плоскости с рёбрами многогранника,
а стороны являются линиями пересечения секущей плоскости с гранями
многогранника.
Способы построения плоского сечения многогранника:
-Построение вершин n-угольника сечения как точек пересечения секущей
плоскости с прямыми – рёбрами (способ рёбер).
-Построение сторон n-угольника сечения как линий пересечения секущей
плоскости с плоскостями – гранями (способ граней).
При первом способе построение сводится к многократному нахождению
точки пересечения прямой с плоскостью, при втором способе - линии
пересечения двух плоскостей. Возможно комбинированное применение
обоих способов.
Пример 1 (способ рёбер). Построить сечение призмы плоскостью общего
положения ∑ (m, n).
В данной задаче целесообразно применить способ ребер. Найдем точку
пересечения ребра АD с секущей плоскостью ∑. Для этого проведем через
ребро АD вспомогательную плоскость ∆ (горизонтально-проецирующую).
Плоскость ∆ пересекает плоскость ∑ по прямой (1-2). Прямые (АD) и (1-2)
лежат в одной и той же плоскости ∆.
Следовательно, точка 𝑴𝑴2 является фронтальной проекцией точки M
пересечения указанных прямых, горизонтальную проекцию которой 𝑴𝑴1
находим по линии связи. Итак, точка M – точка, в которой ребро АD
пересекается с плоскостью ∑.
Аналогично найдем точки N и K. Полученные точки и есть искомые
вершины
многоугольника
сечения
–
треугольника
проецируется на плоскости П1 и П2 с искажением.
MNK.
Сечение
Пример 2 (способ граней). Построить сечение прямой призмы плоскостью
общего положения ∑ (𝛴𝛴1 , 𝛴𝛴2 ).
Так как боковые грани призмы являются проецирующими плоскостями, то
для решения задачи удобно воспользоваться способом граней.
Так,
грань
горизонтально
bc
является
проецирующей
частью
ограничивающей
плоскости
Г,
которая
многогранник
пересекается
с
плоскостью ∑ по прямой (MN). Отрезок [BC] прямой, заключенный между
ребрами b и с, будет тем отрезком, по которому грань bc пересекается с
плоскостью ∑. Таким образом, найдена одна сторона многоугольника сечения.
Грань ас, параллельная плоскости П2, является частью фронтальной
плоскости ∆, пересекающейся с плоскостью ∑ по фронтали f. Отрезок [AC]
этой фронтали – отрезок, по которому грань ас пересекается с плоскостью ∑.
Вторая сторона многоугольника сечения построена. Вершины А и В
определили и третью, замыкающую сторону сечения. Фронтальная проекция
стороны АС сечения изображена штриховой линией, так как фронтальная
проекция грани ас не видна.
Список использованных источников
1. Калашникова Н. Г.; Татаренкова Т. А. Начертательная геометрия:
учебное пособие для вузов. – Орёл: Орёл-ГТУ, 2010. – 145 с.
2. Станийчук А. В.; Медведев А. М. Начертательная геометрия (краткий
курс лекций): Учебно-методическое пособие. – Благовещенск:
Амурский гос. ун-т, 2009. – 36 с.
3. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Киселёва
Л. С. Математика: алгебра и начала математического анализа,
геометрия. Геометрия. 10-11 классы. – М.: Просвещение, 2019. – 287 с.
4. Погорелов А. В. Геометрия: Учеб. для 7-11 кл. ср. шк. – 4-е изд. – М.:
Просвещение, 1993. – 383 с.