Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
4.1.
Методические
приемы
достижения
планируемых
результатов
обучения при изучении темы «Комплексные числа»
Лекция (2 ч.). Проблемное обучение как одна из основных технологий обучения
вопросам расширения множеств в школьной математике. Создание проблемных
ситуаций. Использование различных форм организации деятельности учащихся.
Методические рекомендации по проведению уроков различных типов по теме
«Комплексные числа». Виды заданий для профильных классов.
План лекции
1.
Вопросы расширения множеств в школьной математике.
2.
Проблемное обучение при изучении числовых множеств.
3.
Тема «Комплексные числа» в школьной математике.
4.
Комплексные числа в профильных классах.
Методические приемы достижения планируемых результатов
обучения при изучении темы «Комплексные числа»
1. Вопросы расширения множеств в школьной математике
Числовая линия (в школьной программе именуемая «Числа и вычисления») –
одна из основных содержательно-методических линий в курсе математики, изучаемая
на протяжении всех лет обучения: с 1-го по 11-й класс.
Цели изучения линии числа:
осмысление числа как основного объекта математики, истории развития
числа;
демонстрация идеи расширения числовых множеств, свойств числовых
множеств;
знакомство с системами счисления, теорией делимости;
1
Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
воспитание
вычислительной
культуры
(алгоритмы
вычислений,
рациональная техника, приближенные вычисления, использование
средств вычислительной техники).
Числовая линия объединяет все школьные математические предметы: в алгебре
с опорой на понятие числа вводятся действия над буквами, числам дается
геометрическая интерпретация, теория измерения базируется на арифметике
действительных чисел и другие.
Можно выделить два основных подхода в изучении числовых множеств:
Исторически числовые множества расширялись следующим образом:
N→N+{0}→ а/в-→ Z-→Q→R. Приверженность школы исторической
последовательности объясняется тем, что понятие «дробь» доступнее
учащимся, чем понятие «отрицательное число».
В современной математике порядок изучения чисел другой: NcZcQcRcC.
Переход от одного множества к другому или расширение множеств происходит
с опорой на следующие принципы расширения.
Пусть множество А расширяется до множества В, тогда необходимо
выполнение следующих условий:
1. А с В.
2. Все операции и отношения, выполняемые в А, должны выполнятся в В.
3. В В выполняется та операция, которая не выполняется в А.
4. Расширение идет по минимальности. (Нельзя N сразу расширить до Q.)
Напомним, что в школьном курсе число будет считаться введенным, если:
дано определение этого числа (часто описательного характера),
вытекающее из мотивирования необходимости его введения;
для введенных чисел определяются отношения: =, >, <;
дается определение алгебраических операций на множестве этих чисел;
2
Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
показывается, что в новом множестве выполнима «новая» операция.
Тогда схема расширения числового множества будет иметь вид:
Исходное
множество
Причины
расширения
исходного
множества
Натуральные
числа
Вычитание равных
чисел
Целые
неотрицательные
числа
Вычитание из
меньшего числа
большего
Деление нацело не
всегда возможно
Целые числа
Присоединяемое
множество
Расширенное
числовое
множество
Нуль
Целые
неотрицательные
числа
Целые
отрицательные
числа
Целые числа
Дробные числа
Рациональные числа
Рациональные
числа
Извлечение корня из
любого
положительного числа
Иррациональные
числа
Действительные
числа
Действительные
числа
Извлечение корня из
отрицательного числа
Мнимые числа
Комплексные числа
2. Проблемное обучение при изучении числовых множеств
Проблемное обучение можно рассматривать как одну из технологий обучения
вопросам расширения множеств в школьной математике.
Суть проблемного обучения заключается в создании под руководством учителя
проблемных ситуаций и активной самостоятельной деятельности учащихся по их
разрешению. В результате происходит творческое овладение знаниями, навыками,
умениями и развитие мыслительных способностей.
Некоторые способы создания проблемных ситуаций на уроках математики:
3
Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
Использование учебных и жизненных ситуаций, возникающих при
выполнении обучающимися практических заданий. Обычно учащиеся в
ходе анализа ситуации сами формулируют проблему.
Побуждение обучающихся к теоретическому объяснению явлений,
фактов, внешнего несоответствия между ними. Это вызывает поисковую
деятельность обучающихся и приводит к активному усвоению новых
знаний.
Побуждение
обучающихся
к
сравнению,
сопоставлению
и
противопоставлению фактов, явлений, правил, действий, в результате
которых возникает проблемная ситуация.
Решение нешаблонных задач. Например, задач логического содержания.
Использование связок задач. В каждой связке по 3–5 задач, первые достаточно
просты, но работа над ними готовит к решению последней, которая содержит
проблему.
Проблемное обучение оказывает значительное воздействие на умственное
развитие обучающихся, так как соответствует самой природе мышления как
процесса, направленного на открытие новых для человека закономерностей путем
решения познавательных и практических проблем.
Данная технология подходит для введение нового для числового множества:
1. На специально подобранных задачах установить недостаточность известного
на данном этапе числового множества для решения этой задачи и сделать вывод о
необходимости расширения множества путем введения новых чисел (создание
проблемной ситуации).
2.
Показать,
что
невозможность
решения
данных
задач
связана
с
невозможностью выполнения какого-либо действия в известном числовом
множестве. Сделать вывод о необходимости расширения старого множества путем
4
Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
добавления таких новых чисел, чтобы в расширенном множестве выполнялись
действия, которые раньше были невыполнимы или не всегда выполнимы.
3. Ввести новое число, дать ему название и определение.
4. Объединить известное множество и множество новых чисел. Дать ему
название и проиллюстрировать место новых чисел на числовой прямой.
5. Показать, что предыдущее множество является подмножеством нового
множества, решая соответствующие задачи.
6. Определить операцию сравнения и арифметические действия над числами
как элементами нового множества. Вывести правила действий (коммуникативный,
дистрибутивный законы и т.д.) над этими числами, установив, что для элементов
нового множества они имеют тот же смысл, что и в прежнем множестве.
Проиллюстрировать новые для учащихся факты на числовой прямой.
7. Организовать решение упражнений на действия с новыми числами. При этом:
- выделить в явном виде алгоритм и приемы вычислений;
- установить, что действие, ради которого производилось расширение, всегда
выполнимо;
- подтвердить выполнимость в новом числовом множестве известных законов
действий над числами. Заметим, что ни одно обратное действие, а из прямых –
возведение в степень, не подчиняется переместительной закономерности.
8. Организовать решение текстовых задач с использованием новых чисел.
При анализе существующих УМК можно увидеть такие подходы к подведению
к теме «Комплексные числа»:
В учебнике Виленкина Н.Я. в качестве мотивации изучения комплексных
чисел приводится необходимость расширения знания темы корней
квадратного уравнения при D < 0.
5
Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
Колягин Ю.М. обосновывает необходимость появления комплексных
чисел и их изучения стремлением сделать алгебраические уравнения
решаемыми для решения задач физики, практики и т.п.
В УМК Муравина Г.К. поднимается проблема невозможности извлечения
корней четных степеней из отрицательных чисел, и решить эту проблему
может самое широкое числовое множество – множество комплексных
чисел.
Мордкович А.Г. в качестве подведения к изучаемой теме рассматривает
проблему необходимости расширения прямой действительных чисел до
поля комплексных чисел в связи с тем, что не все алгебраические
операции могут выполняться на поле действительных чисел.
Пратусевич М.Я. начинает рассмотрение темы «Комплексные числа» с
введения в исторический факт решения Кардано кубического уравнения.
3. Тема «Комплексные числа» в школьной математике
Существуют различные подходы к введению понятия комплексного числа.
Первый: комплексное число – упорядоченная пара действительных чисел,
которой на плоскости соответствует точка.
Второй: символ вида а + bi, где а и b – действительные числа, i^2 = ‒1.
Третий: вектор, соединяющий точку плоскости с началом координат и
характеризующийся длиной и углом.
Напомним, что можно существуют различные формы комплексного числа:
1. Алгебраическая: комплексное число представлено в виде z = а + iв, где а –
действительная часть, в – мнимая часть. В такой форме записи удобно
совершать некоторые арифметические действия – сложение, умножение.
2. Тригонометрическая: комплексное число записано в виде z = r(cosφ +
i·sinφ), где r = √(а^2+в^2 ) ‒ модуль, Cos φ = а/r, Sin φ = в/r, φ ‒ аргумент. В
6
Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
такой форме записи удобно проводить возведение в степень и извлечение
корней (рис. 1).
3. Показательная: комплексное число представлено в виде z = r·e^(iφ). В
такой форме удобно производить различные операции, но введение данной
формы возможно только после изучения темы «Показательная функция».
Рис. 1
В алгебраической форме действия над комплексными числами будут
осуществляться следующим образом:
Нетрудно заметить, что возведение в степень будет достаточно трудоемким при
использовании алгебраической формы комплексного числа.
А при извлечении корней мы столкнемся с рядом трудностей:
7
Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
1.
Ограничение по случаю применения. Такой способ можно использовать
только в простых случаях.
2.
Громоздкость вычислений. Вычисления при извлечении корня из
комплексных чисел в алгебраической форме получаются достаточно
сложными.
3.
Отсутствие
однозначности.
Из
комплексного
числа
невозможно
однозначно извлечь корень. Количество значений корня соответствует его
степени. Например, квадратный корень имеет два значения, кубический – три,
а при вычислении корня n-й степени получается n значений.
Данные проблемы решаются при использовании тригонометрической формы
комплексного числа:
Исходя из этого, можно рассмотреть следующую примерную тематику
изучения комплексных чисел:
Тема 1. Постановка задачи о расширении поля действительных чисел.
Комплексные числа, алгебраическая форма комплексного числа.
Тема 2. Четыре действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Тема 3. Векторы на плоскости как изображение комплексных чисел. Модуль и
аргумент комплексного числа и связь между ними.
8
Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
Тема 4. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление
комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Возведение в степень и
извлечение корня из комплексного числа.
Тема 5. Решение двучленных уравнений 3-й и 4-й степени с действительными
коэффициентами. Алгебраическое уравнение n-й степени.
Тема 6. Исторические замечания.
4. Комплексные числа в профильных классах.
Как правило, в учебниках для углубленного (профильного) изучения тема
рассматривается в 11 классе, но в учебнике А.Г. Мордковича, П.В. Семенова
«Алгебра и начала математического анализа» – в 10 классе.
Изучение темы «Комплексные числа» преследует следующие цели:
углубление представлений о понятии числа;
повышение математической культуры учащихся;
дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.
После изучения темы учащиеся должны уметь:
производить
над
комплексными
числами
операции
умножения,
сложения, вычитания, деления, возведения в степень;
извлекать корень из комплексного числа;
переводить
комплексное
число
из
алгебраической
формы
в
тригонометрическую;
иметь представление о геометрической модели комплексных чисел;
решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами.
Комплексные
числа
облегчают
решение
сложных
задач
профильной
математики, повышают интерес учащихся к изучаемой дисциплине, направляют
мышление на поиск решения.
9
Современные достижения отечественной
науки для обеспечения технологического
суверенитета страны (математика)
При изучении данной темы целесообразно предложить учащимся следующие
задачи:
1. Решить уравнение х2 ‒ 2х + 2 = 0.
2. Решить уравнение z2 + 3 + 4i = 0.
3. Изобразить
на
комплексной
области
множества
всех
точек
z,
удовлетворяющих условию: а) |𝑧 − 2| − |1 − 2𝑧̅| = 0
б) |𝑧 − 1 + 𝑖| ≥ 1, 𝑅𝑒 𝑧 < 1, 𝐼𝑚 𝑧 < −1
1
4. Вычислить (𝑧1 𝑧2 )10 , если 𝑧1 = −1 + 𝑖√3, 𝑧2 = (𝑆𝑖𝑛300 + 𝑖𝐶𝑜𝑠300 ).
4
10
