Математический Анализ (1 семестр) 1. Числовые последовательности: определение, примеры. Ограниченные, неограниченные последовательности. Предел числовой последовательности: определение, свойства. 2. Монотонные последовательности и их пределы. Число e (вывод с док-вом). 3. Предел функции в точке. Односторонние пределы. Предел функции при x→ ∞. Основные теоремы о пределах (Теор.1-7) . 4. Бесконечно малые (БМ) функции и их свойства. Бесконечно большие (ББ) функции и их связь с БМ. 5. Сравнение БМ-функций. Эквивалентные БМ-функции и их свойства. 6. Главная часть БМ-функции: определение, примеры. Замечательные пределы и их следствия. 7. Непрерывность функции в точке: различные виды определений. Свойства непрерывных функций. Непрерывность некоторых элементарных функций. 8. Односторонняя непрерывность функции в точке. Точки разрыва функции и их классификация. 9. Непрерывность функции на интервале и на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 10. Производная функции: определение, геометрический и физический смысл. Односторонние производные функции в точке. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. 11. Основные правила дифференцирования (производная суммы, произведения и частного с док-вами). 12. Производная сложной и обратной функций (Теоремы с док-вами, примеры). 13. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. 14. Дифференциал функции: определение, геометрический смысл, свойства. Инвариантность формы записи дифференциала. Использование дифференциала в приближённых вычислениях. 15. Производные и дифференциалы высших порядков (для явно зад. ф-ции, неявно зад. ф-ции, парам. зад. ф-ции). Касательная и нормаль к кривой. Угол между двумя кривыми. 16. Теорема Ролля (док-во) и ее следствия. 17. Теорема Лагранжа (док-во). Формула конечных приращений. 18. Теорема Коши (док-во). 19. Раскрытие неопределённостей по правилу Лопиталя: док-во Теоремы, примеры. 20. Условия возрастания и убывания функции : Теорема (с док-вом), геометрическая интерпретация. 21. Экстремум функции: определение, НУ экстремума функции (док-во). 22. ДУ экстремума функции (Теорема с док-вом). Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Исследование функции на экстремум с помощью производных высших порядков (Теорема с док-вом). 23. Выпуклость и вогнутость графика функции: определение, ДУ сущ-ия (Теорема с док-вом). 24. Точки перегиба графика функции: определение, ДУ сущ-ия (Теорема с док-вом). 25. Асимптоты графика функции: определение. Вертикальные асимптоты: определение. Наклонные асимптоты: определение, вывод уравнения наклонной асимптоты. 26. Теорема Тейлора (с док-вом). Формула Маклорена. 27. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора. 28. Первообразная функции: определение, Теорема о двух первообразных одной функции. Неопределенный интеграл: определение, геометрический смысл, ДУ существования. Свойства неопределенного интеграла. 29. Интегрирование методом подстановки: док-во Теоремы, примеры. Интегрирование по частям: док-во Теоремы, примеры. 30. Дробно-рациональная функция, разложение на простейшие дроби (Утв.1-8). 31. Интегрирование дробно-рациональных функций. 32. Интегрирование тригонометрических функций: универсальная тригонометрическая подстановка и ее частные случаи. 33. Интегрирование тригонометрических функций: интеграл от произведения синусов и косинусов кратных аргументов, случаи понижения степени. Примеры. 34. Интегрирование некоторых иррациональных функций. 35. Определенный интеграл (ОИ) как предел интегральной суммы. Геометрический смысл ОИ. НУ существования ОИ (док-во Теоремы). ДУ существования ОИ. 36. Свойства ОИ. 37. Вычисление ОИ: формула Ньютона-Лейбница, интегрирование методом подстановки и по частям (док-во Теорем). 38. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (НИБП): определение, сходимость и расходимость, геом. смысл, разновидности НИБП, примеры. 39. Несобственные интегралы от неограниченных функций (НИНФ): определение, сходимость и расходимость, геом. смысл, разновидности НИНФ, примеры. 40. Две основные схемы применения ОИ. 41. Вычисление с помощью ОИ площади криволинейной трапеции: для явно заданной функции, для параметрически заданной функции (вывод формул). 42. Вычисление с помощью ОИ площади криволинейного сектора (вывод формулы). 43. Вычисление с помощью ОИ длины дуги кривой (кривая задана явно, параметрически и в полярных координатах). 44. Вычисление с помощью ОИ объёма тела по известным площадям его параллельных сечений: вывод формулы, примеры. Вычисление с помощью ОИ объёма тела вращения. 45. Вычисление с помощью ОИ площади поверхности вращения. 46. Вычисление с помощью ОИ работы переменной силы; пути, пройденного телом; давления жидкости на вертикальную пластинку. 47. Понятие функции нескольких переменных (ФНП): основные определения и примеры. Предел и непрерывность Ф2П. 48. Частные производные Ф2П: определение, геометрический смысл. Частные производные высших порядков. Условие равенства смешанных производных одного порядка. 49. Определение дифференцируемой в точке Ф2П. Определение полного дифференциала Ф2П. НУ дифференцируемости Ф2П (док-во Теоремы). ДУ дифференцируемости Ф2П (без док-ва). 50. Дифференцирование сложной Ф2П. Полная производная (док-во Теоремы). Случай 2-х независимых переменных. Инвариантность формы полного дифференциала. 51. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл полного дифференциала Ф2П. Дифференциалы высших порядков. 52. Производная по направлению и градиент ФНП: определение, геометрический смысл, взаимосвязь. 53. Экстремумы Ф2П: определения точек максимума и минимума, максимума и минимума функции. НУ экстремума: док-во Теоремы, геометрический смысл. ДУ экстремума (без док-ва). 54. Наибольшее и наименьшее значения Ф2П в замкнутой области.
