Обратное неравенство Урысона и задача Шепарда

ОБРАТНОЕ НЕРАВЕНСТВО УРЫСОНА ДЛЯ ФУНКЦИЙ И
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ЗАДАЧА ШЕПАРДА
В. А. ГОРЕВ
Аннотация. Результаты, полученные в этой работе, обобщают некоторые геометрические неравенства на класс логарифмически вогнутых функций. Они описывают взаимосвязь между смешанными объемами логарифмически вогнутых функций и тел, давая
оценки для констант, участвующих в функциональных задачах типа Шепарда.
1. Введение
Одним геометрическим следствием теоремы Фубини является следующий факт:
Пусть K и V — два тела в Rn при n ≥ 2, H0 — фиксированная (n−1)-мерная гиперплоскость. Предположим, что для любой (n − 1)-мерной гиперплоскости H, параллельной H0
верно неравенство
λn−1 (SH (K)) ≤ λn−1 (SH (V )),
где SH (M ) — сечение множества M гиперплоскостью H, тогда
λn (K) ≤ λn (V ).
Таким образом, неравенства на объемы (n − 1)-мерных сечений тел влекут неравенства
на объемы самих тел. Естественным образом возникает вопрос, есть ли какие-то другие
конфигурации сечений с таким же свойством.
Вместо того, чтобы сравнивать объемы сечений в параллельных плоскостях, можно
сравнивать объемы в плоскостях, проходящих через фиксированную точку (например, 0).
Соответствующая задача называется Задача Буземанна–Петти.
Классическая задача Буземанна–Петти. Пусть для двух центрально-симметричных
выпуклых тел K и V в Rn выполняются неравенства
λn−1 (SH (K)) ≤ λn−1 (SH (V ))
для любой (n − 1)-мерной гиперплоскости H, проходящей через точку 0. Верно ли, что
λn (K) ≤ λn (V )?
Здесь SH (M ) обозначает сечение множества M гиперплоскостью H.
Оказывается, ответ на этот вопрос положижельный для размерностей n ≤ 4 и отрицательный для n ≥ 5 (см. [12, Теорема 5.4]).
В определенном смысле понятием, двойственным к сечениям тел, являются их проекции, что приводит к следующей задаче.
Классическая задача Шепарда. Пусть для двух центрально-симметричных выпуклых тел K и V в Rn выполняются неравенства
λn−1 (PH (K)) ≤ λn−1 (PH (V ))
для любой (n − 1)-мерной гиперплоскости H, проходящей через точку 0. Верно ли, что
λn (K) ≤ λn (V )?
Здесь PH (M ) обозначает ортогональную проекцию множества M на гиперплоскость H.
Оказывается, ответ на этот вопрос в общем случае отрицательный, а именно, ответ
положительный только в размерности n = 2 (см. [12, Теорема 8.12]).
Работа поддержана проектом РНФ № 22-11-00015, выполняемым при МГУ им. М. В. Ломоносова.
1
2
В. А. ГОРЕВ
Итак, в больших размерностях соответствующие неравенства неверны. В связи с этим
возникает задача нахождения асимптотики (или хотя бы как можно более точной оценки
сверху) для двух следующих последовательностей:
λn (V )
S
Sn,k = inf
: K, V — выпуклые тела, т.ч. ∀H ∈ Gn,k : λk (PH (K)) ≤ λk (PH (V ))
λn (K)
и
λn (V )
BP
Sn,k = inf
: K, V — выпуклые тела, т.ч. ∀H ∈ Gn,k : λk (SH (K)) ≤ λk (SH (V )) ,
λn (K)
где Gn,k — множество всех k-мерных гиперплоскостей в Rn , проходящих через точку 0.
Многие доказательства геометрических неравенств основаны на тех или иных интегральных преобразованиях, применяемых к индикаторам соответствующих тел. Поэтому
естественным шагом является изучение возможных функциональных обобщений соответствующих геометрических задач (см., например, [1], [2], [3], [5], [11]). В этой работе продолжаются исследования, начатые в [8], где функциональные задачи Буземанна–Петти и
Шепарда рассматривались для класса логарифмически вогнутых функций. В частности,
в данной работе получено обобщение следующего результата из работы [7] (см. торему 4.8
там).
th4
Теорема 1.1. Пусть K, V — выпуклые тела в Rn и выполнено условие Шепарда:
|PH (K)| ≤ |PH (V )|
∀H ∈ Gn,k .
Тогда верно неравенство
1
1
|K| n ≤ c ln(n)|V | n ,
где c > 0 — абсолютная константа.
Одним из важных шагов при доказательстве этой теоремы является следующее утверждение (см. [4, Теорема 6.5.4] и [6, Теорема 1.11.5]).
prop1
Теорема 1.2 (обратное неравенство Урысона). Пусть A — выпуклое тело, тогда
√
min{Wn−1 (T A) : T ∈ GL(n), λn (T A) = 1} ≤ Cωn n ln(n),
где Wn−1 (A) — (n − 1)-й смешанный объемс тела A, ωn — объем евклидова шара радиуса
1, а C > 0 — абсолютная константа. Другими словами,
n
o
√
max
min
Wn−1 (T A) : A — выпуклое тело ≤ Cωn n ln(n).
T ∈GL(n), λn (T A)=1
В данной работе теоремы 1.1 и 1.2 обобщаются на класс логарифмически вогнутых
функций. А именно, получены следующие результаты (подробные обозначения см. в следующем параграфе).
th0
Теорема 1.3. Пусть f1 , f2 ∈ Qn и выполнено условие Шепарда:
∥PH f1 ∥1 ≤ ∥PH f2 ∥1
∀H ∈ Gn,k ,
тогда верно неравенство
n−k
k
∥f1 ∥ nk ≤ (C ln(n))k ∥f2 ∥1n ∥f2 ∥∞n ,
что эквивалетно
Z
Rn
n
k
f1 dx
n1
n−k
kn
≤ C ln(n)∥f2 ∥∞
где C > 0 — абсолютная константа.
n1
Z
f2 dx
Rn
,
3
th6
Теорема 1.4. Пусть f ∈ Qn , тогда
n−1
√
e ∥∞n ωn n ln(n),
min{Wn−1 (T f ) : T ∈ GL(n), ∥T f ∥1 = 1} ≤ C∥f
e > 0 — абсолютная константа.
где C
Отметим, что в работе доказано более сильное утверждение, связывающее смешанные
объемы логарифмически вогнутых функций и смешанные объемы их некоторых множеств
уровня (см. теорему 3.1 далее).
Параграф 2 настоящей работы содержит необходимые определения и обозначения. В
параграфе 3 доказываются неравенства, связывающие смешанные объемы функций и смешанные объемы тел, построенных по этим функциям. Эти результаты используются при
доказательстве теоремы 1.3. Параграф 4 посвящен непосредственному доказательству теоремы 1.3.
2. Определения и обозначения
Пусть ⟨·, ·⟩ — стандартное скалярное
произведение на Rn , и | · | — стандартная евклиp
n
дова норма на R , т.е. |x| := ⟨x, x⟩. Пусть λn — стандартная мера Лебега на Rn . Для
p ∈ (−∞, 0) ∪ (0, +∞) пространство функций на Rn , интегрируемых в p-й степени будем
обозначать Lp (Rn ). На пространстве Lp (Rn ) определен функционал
Z
p1
∥f ∥Lp (Rn ) = ∥f ∥p :=
|f (x)|p dx ,
Rn
который при p ≥ 1 является нормой на этом пространстве. Кроме того, для ограниченных
функций f на Rn положим ∥f ∥∞ := sup |f (x)|.
x∈Rn
Напомним, что функции f : Rn → R называются полунепрерывными сверху, если множества уровня
At (f ) := {x ∈ Rn : f (x) ≥ t}
замкнуты для любого t ∈ R.
Напомним, что функция f : Rn → R+ := [0, ∞) называется логарифмически вогнутой
(log-вогнутой), если
f (sx + (1 − s)y) ≥ [f (x)]s · [f (y)]1−s
∀x, y ∈ Rn , ∀s ∈ (0, 1).
В частности, множества At (f ) = {x ∈ Rn : f (x) ≥ t} выпуклы для любого t для любой
логарифмически вогнутой функции f .
Основной объект изучения данной статьи — это класс логарифмически вогнутых функций, точнее класс
Z
n
o
n
n
Q := f : R → R+ : f — log-вогнута, полунепрерывна сверху, 0 <
f dx < +∞ .
Rn
Пусть Gn,k — это многообразие Грассмана, состоящее из всевозможных k-мерных плоскостей в Rn , и пусть νn,k — стардартная вероятностная мера Хаара на нем. Пусть A ⊆ Rn
— выпуклое тело, тогда его (n − k)-м смешанным объемом называется величина
Z
ωn
Wn−k (A) =
λk (PH (A)) νn,k (dH),
ωk Gn,k
eq0
где PH (A) — это ортогональная проекция тела A на плоскость H, а ωn — это объем nмерного евклидова шара радиуса 1.
Пусть f ∈ Qn , тогда ее (n − k)-м смешанным объемом называется величина (см. [5,
Определение 3.1])
Z ∥f ∥∞
(2.1)
Wn−k (f ) :=
Wn−k (At (f )) dt.
0
4
В. А. ГОРЕВ
С помощью теоремы Фубини нетрудно убедиться, что
Z
ωn
∥PH f ∥L1 (H) νn,k (dH),
Wn−k (f ) =
ωk Gn,k
где PH (f ) : H → R+ — это проекция функции f на плоскость H, заданная формулой
PH f (y) := sup f (y + z),
z∈H ⊥
Для упрощения формул введем следующее обозначение для множеств уровня:
A[u] (f ) := A∥f ∥∞ e−u (f ).
Нам понадобится следующая функция gk (f ) : R+ → R+
1
gk
(2.2)
k
(A[u] (f )),
gk (f )(u) := Wn−k
важным свойством которой является вогнутость (см. лемму 3.2 далее). Отметим, что на
1
k
индикторах тел функция gk постоянна, т.е. gk (IM ) = Wn−k
(M ).
Делая замену переменных
t
−u
t = ∥f ∥∞ e ⇐⇒ u = − ln
∥f ∥∞
eq1
в интеграле (2.1), получаем Wn−k (At (f )) = gk (f )k (u) и
Z ∞
Z ∥f ∥∞
t
k
gk (f ) − ln
dt = ∥f ∥∞
(2.3)
Wn−k (f ) =
gk (f )k (u)e−u du.
∥f
∥
∞
0
0
Пусть T ∈ GL(n) и f ∈ Qn , обозначим за T f : Rn → R+ функцию
T f (x) := f (T −1 x).
alex
Отметим, что для индикаторов множеств f = IA верно равенство T IA = IT A .
Нам понадобится следующее неравенство, называемое неравенством Александрова (см.
[6, раздел 1.4.4]) и [14, неравенство (7.67)]): Пусть K — выпуклое тело в Rn , тогда
1
1
Wj (K) n−j
Wi (K) n−i
≥
, n>i>j≥0
(2.4)
ωn
ωn
3. Связь между смешанными объемами функций и их множеств уровня
Основным результатом данного раздела является следующая теорема.
prop2
Теорема 3.1. Пусть k ∈ {1, . . . , n} и f ∈ Qn , тогда
k
k2
k
Wn−k (f )
≤ e n ≤ ek .
≤
n−k
k
en
A[k] (f )
∥f ∥1n ∥f ∥∞n Wn−k
1
λn (A[k] (f )) n
Для доказательства этой теоремы нам понадобится несколько вспомогательных утверждений.
lemma3
Лемма 3.2. Функция gk (f ), определенная равенством (2.2): 1) неотрицательна, 2) неубывает, 3) вогнута.
Доказательство. Напомним, что функция gk (f ) имеет следующий вид:
1
k
gk (f )(u) = Wn−k
(A∥f ∥∞ e−u (f )).
Пункт 1) следует из неотрицательности смешынных объеком Wn−k . Пункт 2) следует
из монотонности смешанных объемов и монотонности линий уровня.
5
Докажем 3). Пусть f (x) ≥ t ≥ 0 и f (y) ≥ s ≥ 0 и α ∈ [0, 1], β = 1 − α, тогда
f (αx + βy) ≥ f (x)α g(y)β ≥ tα sβ .
Следовательно,
α{f ≥ t} + β{f ≥ s} ⊆ {f ≥ tα sβ },
что эквивалентно вложению
αAt (f ) + βAs (f ) ⊆ Atα sβ (f ).
Воспользуемся неравенством Брунна–Минковского для смешанных объемов (см. [14,
Теорема 7.4.5], а также формулу (5.31) там же):
eq2
1
1
1
Wn−k (A + B) k ≥ Wn−k (A) k + Wn−k (B) k ,
(3.1)
где A, B — выпуклые тела в Rn и k ∈ {1, . . . , n}. Из монотонности смешанного объема
Wn−k и неравенства (3.1) следует, что
1
1
1
1
k
k
k
k
(Atα sβ (f )) ≥ Wn−k
(αAt (f ) + βAs (f )) ≥ αWn−k
(At (f )) + βWn−k
(As (f )),
Wn−k
Подставив в неравенство выше t = ∥f ∥∞ e−u и s = ∥f ∥∞ e−v , где u, v ∈ [0, +∞], получаем
вогнутость функции gk (f ), и лемма доказана.
□
Лемма 3.3. Пусть g : R+ → R+ — неотрицательная неубывающая вогнутая непрерывная в 0 функция. Тогда ее можно с любой точностью равномерно приблизить C 1 -гладкой
неотрицательной неубывающей вогнутой функцией g̃ : R+ → R+ .
Доказательство. Покажем, что можно приблизить ломаными. Из условия вогнутости
функции g следует ее непрерывность на R+ . Найдем такое δ > 0, что g(δ) − g(0) ≤ ε.
Из условия неубывания следует, что
g(0) ≤ g(u) ≤ g(0) + ε ∀u ∈ [0, δ].
Из условия вогнутости получаем g(2δ) ≤ g(δ) + g(δ)−g(0)
δ ≤ g(δ) + ε. Следовательно,
δ
g(δ) ≤ g(u) ≤ g(δ) + ε ∀u ∈ [δ, 2δ].
Аналогично
g(N δ) ≤ g(u) ≤ g(N δ) + ε ∀N ∈ N ∪ {0}, u ∈ [N δ, (N + 1)δ].
Для ломаной ĝ с вершинами в точках (N δ, g(N δ)), N ∈ N ∪ 0 верно то же самое условие
ĝ(N δ) ≤ ĝ(u) ≤ ĝ(N δ) + ε ∀N ∈ N ∪ {0} ∀u ∈ [N δ, (N + 1)δ].
Следовательно, на всей R+ ломаная ĝ равномерно приближает функцию g с точностью ε.
Теперь по ломаной ĝ построим C 1 -гладкую функцию g̃ следующим образом: заменим
участки графика ĝ, содержащие изломы на дуги окружностей так, чтобы полученная
функция отличалась от исходной не больше, чем на ε по норме ∥ · ∥∞ . Тогда g̃ будет
отличаться от g не больше, чем на 2ε. Лемма доказана.
□
lemma5
Лемма 3.4. Пусть g : R+ → R+ — неотрицательная неубывающая вогнутая функция.
Тогда ∀m ≥ 0, q > 0 верно неравенство
Z +∞
Z +∞
Z +∞
m
q−1 −u
m
q −u
q
g (u)u e du ≤
g (u)u e du ≤ (m + q)
g m (u)uq−1 e−u du,
0
0
0
в частности, для g ̸≡ 0
R +∞
0
q ≤ R +∞
0
g m (u)uq e−u du
g m (u)uq−1 e−u du
≤ m + q.
6
В. А. ГОРЕВ
Доказательство. Без ограничения общности рассматриваем случай гладкой функции g.
В противном случае по предыдущей лемме приблизим ее гладкими функциями. Проинтегрировав по частям, получаем, что
Z +∞
Z +∞
Z +∞
m
q
−u
m
q −u
e−u d(uq g m (u)) =
g (u)u d(e ) =
g (u)u e du = −
0
0
0
Z +∞
Z +∞
e−u mg m−1 (u)g ′ (u)uq du.
e−u g m (u)quq−1 du +
=
0
0
Теперь нижняя оценка следует из неотрицательности второго слагаемого выше. Для
доказательства верхней оценки воспользуемся неравенством g ′ (x) ≤ g(x)−g(0)
≤ g(x)
для
x
x
x > 0 во втором слагаемом выше и получим, что
Z +∞
Z +∞
−u m
q−1
e g (u)qu du +
e−u mg m−1 (u)g ′ (u)uq du ≤
0
0
Z +∞
Z +∞
−u m
q−1
e g (u)qu du +
e−u mg m (u)uq−1 du =
≤
0
0
Z +∞
= (m + q)
g m (u)uq−1 e−u du.
0
□
Лемма доказана.
cor0
Следствие 3.5. Пусть g : R+ → R+ — неотрицательная неубывающая вогнутая функция. Тогда ∀m ≥ 0, q > 0 верно неравенство
Z +∞
Z
g(q) +∞ m
m+1
q−1 −u
g
(u)u e du ≤
g (u)uq e−u du.
q 0
0
Доказательство. Если g ≡ 0 всюду на R+ , то утверждение тривиально. Предположим
теперь, что g ̸≡ 0.
Для начала воспользуемся неравенством Йенсена для меры с плотностью g m (u)uq−1 e−u du.
!Z
R +∞ m
Z +∞
q −u
+∞
g
(u)u
e
du
0
g m+1 (u)uq−1 e−u du ≤ g R +∞
g m (u)uq−1 e−u du.
m
q−1
−u
g (u)u e du
0
0
0
Воспользовавшись нижней оценкой из леммы 3.4, имеем x ≤ y, где
R +∞ m
g (u)uq e−u du
0
x = q, y = R +∞
.
g m (u)uq−1 e−u du
0
Теперь из неравенства g(y) ≤ g(x) xy при 0 < x ≤ y следует
!
R +∞ m
R +∞
q −u
g
(u)u
e
du
g(q) 0 g m (u)uq e−u du
0
g R +∞
≤
,
R +∞
m (u)uq−1 e−u du
m (u)uq−1 e−u du
q
g
g
0
0
□
что влечет утверждение следствия.
cor1
Следствие 3.6. Пусть g : R+ → R+ — неотрицательная неубывающая вогнутая функция. Тогда ∀k ∈ N, p ≥ 0 верно неравенство
Z +∞
k
−p
g (p)e ≤
g k (u)e−u du ≤ g(1) · g(2) · ... · g(k) ≤ g k (k).
0
Доказательство. Для нижней оценки необходимы лишь неотрицательность и неубывание. Действительно,
Z +∞
Z +∞
k
−u
g (u)e du ≥
g k (u)e−u du ≥ g k (p)e−p .
0
p
7
Докажем теперь верхнюю оценку. Применяя индуктивно следствие 3.5, получаем, что
Z +∞
Z +∞
Z
g(2) +∞ k−2
k−1
−u
k
−u
g (u)ue du. ≤ g(1)
g (u)e du ≤ g(1)
g (u)u2 e−u du ≤ ... ≤
2 0
0
0
Z
g(2) g(k) +∞ k −u
≤ g(1)
...
u e du = g(1)g(2)...g(k).
2
k 0
□
Следствие доказано.
cor2
Предложение 3.7. Пусть k ∈ {1, . . . , n} и f ∈ Qn , тогда
k1
1
1
1 k1
k
(A[k] (f )).
Wn−k (A[k] (f )) ≤
Wn−k (f )
≤ Wn−k
e
∥f ∥∞
Доказательство. Напомним, что по формуле (2.3)
Z ∞
1
gk (f )k (u)e−u du.
Wn−k (f ) =
∥f ∥∞
0
Применяя следствие 3.6 для функции g = gk (f ) и p = k, получаем
Z ∞
1
gk (f )k (u)e−u du ≤ gk (f )k (k) = Wn−k (A[k] (f )),
Wn−k (f ) =
∥f ∥∞
0
где последнее равенство — это определение функции gk из (2.2). По тому же следствию,
получаем
1
Wn−k (f ) ≥ gk (f )k (k)e−k = Wn−k (A[k] (f ))e−k .
∥f ∥∞
Предложение доказано.
□
lemma1
Лемма 3.8. Пусть k ∈ {1, . . . , n} и f ∈ Qn , тогда
n
k
1
1
∥f ∥1 ≤ λn (A[k] (f )) ≤ ek
∥f ∥1
n
∥f ∥∞
∥f ∥∞
Доказательство. Верхняя оценка следует из неравенства Чебышева. Поясним нижнюю
оценку. По следствию 3.6
Z +∞
1
1
∥f ∥1 =
Wn−n (f ) =
gn (f )n (u)e−u du ≤ gn (f )n (n).
∥f ∥∞
∥f ∥∞
0
Кроме того, из вогнутости функции gn (f ) (см. лемма 3.2) получаем
1
n
n
gn (f )(n) ≤ gn (f )(k) = λn (A[k] (f )) n .
k
k
Таким образом,
n
k
1
λn (A[k] (f )) ≥
∥f ∥1 .
n
∥f ∥∞
Лемма доказана.
□
Доказательство теоремы 3.1. Предложение 3.7 утверждает, что
1
1
Wn−k (A[k] (f )) ≤
Wn−k (f ) ≤ Wn−k (A[k] (f )).
k
e
∥f ∥∞
Верхняя оценка из леммы 3.8 дает
Wn−k (A[k] (f )) = Wn−k
!
A[k] (f )
λn (A[k] (f ))
1
n
k
n
λn (A[k] (f )) ≤ Wn−k
!
A[k] (f )
λn (A[k] (f ))
1
n
k2
en
k
k
n
∥f ∥∞
∥f ∥1n .
8
В. А. ГОРЕВ
Нижняя оценка из леммы 3.8 дает
!
A[k] (f )
k
λn (A[k] (f )) n ≥ Wn−k
Wn−k (A[k] (f )) = Wn−k
1
λn (A[k] (f )) n
! k
k
k
1
n
∥f
∥
1
k
1 ,
n
n
λn (A[k] (f )) n
∥f ∥∞
A[k] (f )
□
и теорема доказана.
Замечание 3.9. В теореме 3.1 была получена двусторонняя оценка

 k1

k
≤
en 
Wn−k (f )
n−k
k
n
n
∥f ∥1 ∥f ∥∞ Wn−k


 ≤ e.
A[k] (f )
1
λn (A[k] (f )) n
Отметим, что нижняя оценка не улучшается до константы c. Покажем это на примере
функции f (x) = e−|x| . Вычислим необходимые величины:
∥f ∥∞ = 1,
Z
Z
−|x|
∥f ∥1 =
e
dx =
Rn
Z +∞
S n−1
e−r rn−1 dr dθ = nωn (n − 1)! = ωn n!,
0
λn (Ae−u (f )) = λn ({e−|x| ≥ e−u }) = λn ({|x| ≤ u}) = ωn un ,
Z
ωn
Wn−k (Ae−u (f )) =
λk (PH (Ae−u (f ))) νn,k (dH) = ωn uk = gk (f )k (u),
ωk Gn,k
Z +∞
Z +∞
k
−u
gk (f ) (u)e du = ωn
uk e−u du = ωn k!,
Wn−k (f ) =
0
0
!
Ae−k (f )
Wn−k (Ae−k (f ))
ωn k k
ωn
Wn−k
=
=
1
k
k =
k ,
n
λn (Ae−k (f )) n
λn (Ae−k (f )) n
(ωn k ) n
ωnn
n
где ωn = Γ(πn 2+1) — объем n-мерного шара единичного радиуса. Подставляем:
2
 k1




Wn−k (f )
n−k
k
∥f ∥1n ∥f ∥∞n Wn−k



 =
A[k] (f )
 k1

1
k! k
k

= 1 ≤e .
k ω 
n
n
n! n
(ωn n!) n k
ωn k!
ωnn
1
λn (A[k] (f )) n
4. Логарифмическая по размерности константа в задаче Шепарда для
функций
Данный раздел посвящен доказательству теоремы 1.3.
Нам понадобится следующее интегральное неравенство Минковского для отрицательных степеней, являющееся простым следствием обратного неравенства Гельдера (см. [10]).
th5
Теорема 4.1. Пусть (X, µ), (Y, ν) — пространства с мерой (конечной или σ-конечной).
Пусть p < 0 и f > 0 — измеримая функция на X × Y , т.ч. ∀x ∈ X : f (x, ·) ∈ L1 (Y, ν) и
∀y ∈ Y : f (·, y) ∈ Lp (X, µ), тогда верно неравенство
Z
Z
f (·, y) ν(dy)
≥
∥f (·, y)∥Lp (X,µ) ν(dy).
Y
Lp (X,µ)
Y
В работе [13] (см. Теорему 1.3 там) было доказано следующее утверждение.
9
th2
lemma6
Теорема 4.2. Пусть K — выпуклое тело в Rn , тогда верно неравенство
!− n1
Z
k
ωk
≥ k λn (K) n .
λk (PH K)−n νn,k (dH)
Gn,k
ωnn
Обобщим ее на случай log-вогнутых функций. Перед этим сфорумлируем следующее
вспомогательное утверждение. Рассуждениями, аналогичными рассуждениям в доказательстве Теоремы 4.1 в [15] (см. формулу (4.6) там), можно получить следующую лемму.
Лемма 4.3. Пусть функция f ∈ Qn и p ≥ 1, тогда верно неравенство
Z +∞
1
λn (At (f )) p dt
∥f ∥p ≤
0
th3
n
Теорема 4.4. Для любой f ∈ Q верно неравенство
!− n1
Z
ωk
≥ k ∥f ∥ nk .
∥PH f ∥−n
1 νn,k (dH)
Gn,k
ωnn
Доказательство. Заменим норму в левой части неравенства на интеграл по теореме Фубини
Z
Z +∞
∥PH f ∥1 =
PH f (y) dy =
λk (At (PH f )) dt.
H
0
Подставим полученное выражение в формулу выше и воспользуемся неравенством Минковского для отрицательных степеней из теоремы 4.1.
!− n1
!− n1
−n
Z
Z
Z
+∞
∥PH f ∥−n
1 νn,k (dH)
=
λk (At (PH f )) dt
Gn,k
Gn,k
νn,k (dH)
≥
0
Z +∞
Z
≥
0
!− n1
λk (At (PH f ))−n νn,k (dH)
dt.
Gn,k
Заметим, что At (PH f ) = PH At (f ). Применяя Теорему 4.2 для множества At (f ), получаем
!− n1
Z
Z +∞
k
ωk
−n
n dt.
∥PH f ∥1 νn,k (dH)
≥
k λn (At (f ))
Gn,k
0
ωnn
n
Применяя Лемму 4.3 для случая p = k , получаем утверждение теоремы.
□
Для f ∈ Qn введем следующую величину (аффинный функциональный смешанный
объем функции f ):
Z
n1
ωn n
Φn−k (f ) =
∥PH f ∥L1 (H) νn,k (dH) .
ωk Gn,k
lemma4
Лемма 4.5 (Аффинная инвариантность смешанных объемов). Пусть f ∈ Qn и T ∈ SL(n).
Тогда для k ∈ {1, ..., n} верно равенство Φn−k (f ) = Φn−k (T f ).
Доказательство. В случае k = n верно равенство Φ0 (f ) = ∥f ∥1 .
В случае k < n доказательство аналогично доказательству теоремы-аналога для тел
(см. [9, теорема 2]).
□
Доказательство теоремы 1.3. Запишем неравенство из Теоремы 4.4 для функции
f1
k
n
∥f1 ∥ nk ≤
ωn
ωk
Z
Gn,k
!− n1
∥PH f1 ∥−n
1 νn,k (dH)
.
10
В. А. ГОРЕВ
Из условия Шепарда следует оценка
!− n1
Z
!− n1
Z
∥PH f1 ∥−n
1 νn,k (dH)
∥PH f2 ∥−n
1 νn,k (dH)
≤
Gn,k
.
Gn,k
Из леммы 4.5 следует, что для всех T ∈ SL(n) верно равенство
!− n1
Z
∥PH f2 ∥−n
1 νn,k (dH)
Z
=
!− n1
∥PH T f2 ∥−n
1 νn,k (dH)
.
Gn,k
Gn,k
Из неравенства Йенсена
Z
!− n1
∥PH T f2 ∥−n
1 νn,k (dH)
Z
≤
ωk
Wn−k (T f2 ).
ωn
∥PH T f2 ∥1 νn,k (dH) =
Gn,k
Gn,k
Воспользовавшись теоремой 3.1 для функции f = T f2 , получаем неравенство
!
n−k
k
A
(T
f
)
k2
2
[k]
.
Wn−k (T f2 ) ≤ e n ∥f2 ∥1n ∥f2 ∥∞n Wn−k
1
λn (A[k] (T f2 )) n
Чтобы упросить выражение в скобках, заметим, что
λn (A[k] (T f2 )) = λn (T A[k] (f2 )) = λn (A[k] (f2 )),
следовательно, неравенство выше можно переписать в виде
k2
n
k
n
n−k
n
Wn−k (T f2 ) ≤ e ∥f2 ∥1 ∥f2 ∥∞ Wn−k
A
T
!
A[k] (f2 )
1
λn (A[k] (f2 )) n
.
(f )
[k] 2
Воспользовавшись для тела T
1 классическим неравенством Александрова (2.4),
λn (A[k] (f2 )) n
получаем оценку
!
!
A[k] (f2 )
A[k] (f2 )
1
k
Wn−k T
≤ k−1 Wn−1 T
.
1
1
ωn
λn (A[k] (f2 )) n
λn (A[k] (f2 )) n
Напомним, что T — произвольный оператор из SL(n), тогда перебирая всевозможные T ,
A[k] (f2 )
можем получить любой аффинный образ объема 1 тела
1 . Тогда из Теоремы 1.2
λn (A[k] (f2 )) n
получаем
!
√
A[k] (f2 )
min Wn−1 T
≤ cωn n ln(n).
1
T ∈SL(n)
λn (A[k] (f2 )) n
1
Объединяя все последние неравенства, с учетом неравенства ωnn ≤ √Cn , где C > 0 —
абсолютная постоянная, получаем, что
k
n−k
n−k
k
k
√
ωnn ωk k2
1
∥f1 ∥ nk ≤
e n ∥f2 ∥1n ∥f2 ∥∞n k−1 (cωn n ln(n))k ≤ (c1 ln(n))k ∥f2 ∥1n ∥f2 ∥∞n .
ωk ωn
ωn
Теорема доказана.
□
11
5. Обратное неравенство Урысона для функций
Этот раздел посвящен доказательству следующей теоремы, обобщающей теорему 1.4.
th1
Теорема 5.1. Пусть k ∈ {1, . . . , n} и f ∈ Qn , тогда
k2
min
T ∈GL(n), ∥T f ∥1 =1
n−k
Wn−k (T f ) ≤ e n ∥f ∥∞n
min
T ∈GL(n), λn (T A[k] (f ))=1
Wn−k (T A[k] (f )),
Доказательство. Возьмем T0 ∈ GL(n), λn (T0 A[k] (f )) = 1, т.ч.
Wn−k (T0 A[k] (f )) =
min
Te∈GL(n), λn (TeA[k] (f ))=1
Wn−k (TeA[k] (f )).
Пусть T = Tb0 = αT0 , т.ч. ∥Tb0 f ∥1 = 1. Из теоремы 3.1 (подставляем функцию Tb0 f ) получаем
неравенство
!
b0 A[k] (f )
n−k
k
T
k2
Wn−k (Tb0 f ) ≤ e n ∥Tb0 f ∥1n ∥f ∥∞n Wn−k
,
1
λn (Tb0 A[k] (f )) n
где мы воспользовались равенством T At (f ) = At (T f ) для T ∈ GL(n).
1
1
Т.к. ∥Tb0 f ∥1 = 1 и λn (Tb0 A[k] (f )) n = αλn (T0 A[k] (f )) n = α, то
2
n−k
k
Wn−k (Tb0 f ) ≤ e n ∥f ∥∞n Wn−k (T0 A[k] (f )).
С учетом того, что
min
Te∈GL(n), ∥Tef ∥1 =1
Wn−k (Tef ) ≤ Wn−k (Tb0 f ),
□
получаем утверждение теоремы.
Следствие 5.2. Пусть k ∈ {1, . . . , n} и f ∈ Qn , тогда
n
o
n
max
min
Wn−k (T f ) : f ∈ Q , ∥f ∥∞ ≤ M ≤
T ∈GL(n), ∥T f ∥1 =1
n
o
n−k
k2
≤ e n M n max
min
Wn−k (T A) : A — выпуклое тело .
T ∈GL(n), λn (T A)=1
Доказательство. В неравенстве из теоремы 5.1 сначала берем максимум по выпуклым
телам A, затем по функциям f ∈ Qn .
□
Применяя к телам в теореме 5.1 классическое неравенство Александрова (2.4) и теорему 1.2, получаем следующее обобщение обратного неравенства Урысона.
Следствие 5.3. Пусть k ∈ {1, . . . , n} и f ∈ Qn , тогда
min
T ∈GL(n), ∥T f ∥1 =1
n−k
√
k2
Wn−k (T f ) ≤ e n ∥f ∥∞n ωn (C n ln(n))k ,
где C — абсолютная константа.
Список литературы
[1] Alonso–Gutierrez, D., Merino, B. G., Jiménez, C.H., Villa, R.: John’s Ellipsoid and the Integral Ratio of a
Log-Concave Function. J. Geom. Anal. 28(2), 1182–1201 (2018). https://doi.org/10.1007/s12220-017-98584
[2] Alonso–Gutiérrez, D.: A Reverse Rogers–Shephard Inequality for Log-Concave Functions. J. Geom. Anal.
29(1), 299–315 (2019). https://doi.org/10.1007/s12220-018-9991-8
[3] Artstein–Avidan, S., Klartag, B., Milman, V.: The Santaló point of a function, and a functional form of
the Santaló inequality. Mathematika 51(1–2), 33–48 (2004). https://doi.org/10.1112/S0025579300015497
[4] Artstein–Avidan, S., Giannopoulos, A., Milman, V.: Asymptotic Geometric Analysis, Part I.
Mathematical surveys and monographs, vol. 202. American Mathematical Society, pp. xx+451 (2015).
https://doi.org/10.1090/surv/202
12
В. А. ГОРЕВ
[5] Bobkov, S.G., Colesanti, A., Fragala, I.: Quermassintegrals of quasi-concave functions and generalized
Prékopa-–Leindler inequalities. manuscr. math.. 143(1), 131–169 (2014). https://doi.org/10.1007/s00229013-0619-9
[6] Brazitikos, S., Giannopoulos, A., Valettas, P., Vritsiou, B.H.: Geometry of isotropic convex bodies. Am.
Math. Soc. (2014).
[7] Giannopoulos, A., and Koldobsky, A.: Variants of the Busemann–Petty Problem and of the Shephard
Problem. Int. Math. Res. Not., 2017(3), 921–943 (2017). https://doi.org/10.1093/imrn/rnw046
[8] Gorev, V., Kosov, E.: Functional analogs of the Shephard, Busemann-Petty, and Milman problems. To
appear in J. Anal. Math. (2024).
https://doi.org/10.48550/arXiv.2208.13308
[9] Grinberg, E.L.: Isoperimetric inequalities and identities for k-dimensional cross-sections of convex bodies.
Math. Ann. 291, 75–86 (1991). https://doi.org/10.1007/BF01445191
[10] Hardy,
G.H.,
Littlewood,
J.E.,
Pólya,
G:
Inequalities.
Cambridge
(1934).
https://doi.org/10.1017/S0025557200143451
[11] Klartag, B., Milman, V.D.: Geometry of log-concave functions and measures. Geom. Dedicata 112(1),
169–182 (2005). https://doi.org/10.1007/s10711-004-2462-3
[12] Koldobsky, A.: Fourier analysis in convex geometry. Am. Math. Soc. – №. 116 (2005).
https://doi.org/10.1090/surv/116
[13] Milman, E., Yehudayoff, A.: Sharp Isoperimetric Inequalities for Affine Quermassintegrals. J. Am. Math.
Soc, 36(4), 1061-1101. (2023). https://doi.org/10.1090/jams/1012
[14] Schneider, R.: Convex bodies: the Brunn-–Minkowski theory. – Cambridge university press – №. 151. (2014).
https://doi.org/10.1017/CBO9781139003858
[15] Zhang, G.: The Affine Sobolev Inequality. J. Differ. Geom, 53(1), 183-202 (1999).
https://doi.org/10.4310/jdg/1214425451