Cálculo Geométrico Básico – Superficie y Áreas de Figuras Planas

BLOQUE 4 – CÁLCULO GEOMÉTRICO BÁSICO
UNIDAD 7
(1ª Parte)
SUPERFICIE
UNIDADES DE MEDIDA.
Área de figuras planas
RECTÁNGULO – El área de un rectángulo se halla multiplicando la longitud de su base por la longitud de su
altura.
Área = b x h
h
b
TRIÁNGULO – El área de un triángulo se halla dividiendo por dos el producto de las longitudes de su base y su
altura.
Área = (b x h)/2
h
b
Perímetro de un polígono = Suma de los lados
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO –
- Llamaremos circunferencia a la línea de puntos que equidistan de un punto denominado centro. Hallaremos
la longitud de la circunferencia multiplicando por dos el producto de la longitud de su radio por π (3,1416).
- Llamaremos círculo a la superficie plana encerrada por la circunferencia. Hallaremos su área multiplicando π
por el cuadrado de su radio.
Área del círculo = π x r2
r
Longitud de la circunferencia = 2 x π x r
Área = b x h
Área de figuras planas
h
h
Área = (b x h)/2
b
b
CUADRADO – El área de un cuadrado se halla elevando al
cuadrado la longitud de uno de sus lados.
l
(Cuadrado: Cuadrilátero con 4
lados iguales, y 4 ángulos de 90º)
Área = l2
ROMBOIDE – El área de un romboide se halla multiplicando
la longitud de su base por la longitud de su altura.
(Romboide: Cuadrilátero con
lados opuestos iguales, y
ángulos opuestos iguales)
h
b
Área = b x h
h
b
h
b
ROMBO – El área de un rombo se halla dividiendo por dos el
producto de las longitudes de sus diagonales mayor y menor.
(Rombo: Cuadrilátero con
4 lados iguales, y ángulos
opuestos iguales)
d
D
d
D
Área = (D x d)/2
Área de figuras planas
Área = b x h
h
h
b
b
TRAPECIO – El área de un trapecio se halla dividiendo por
dos el producto de la longitud de su altura y la suma de las
longitudes de sus base, mayor y menor.
(Trapecio: Cuadrilátero con 2
lados paralelos)
Área = (b x h)/2
b
h
B
Área = ((B+b) x h)/2
h
RESTO DE CUADRILÁTEROS – El área puede calcularse
descomponiendo el cuadrilátero en rectángulos y
triángulos..
Área = Suma de polígonos simples
Área de figuras planas
Área = b x h
h
h
b
POLÍGONOS REGULARES – Polígonos regulares son aquellos que
tienen sus lados y ángulos iguales -su perímetro se obtiene de la
multiplicación de la longitud de un lado, por el número de lados del
polígono. Se llama apotema ''a'' al segmento que une el centro del
polígono con el punto medio de uno de sus lados. El área de un
polígono regular se halla dividiendo por dos el producto de la
longitud de su perímetro y la longitud de su apotema.
(Polígono regular: Todos sus
lados son iguales, y todos
sus ángulos son iguales)
a
l
Área = (b x h)/2
b
Área = (p x a)/2
a
l
Perímetro = l x n
Área = b x h
Área de figuras planas
Área = (b x h)/2
Área del círculo = π x r2
h
h
b
b
r
POLÍGONOS NO REGULARES –Cualquier polígono puede ser
dividido en triángulos para calcular su área.
Área = Suma de polígonos simples
FIGURAS COMPLEJAS – Para hallar el área de figuras complejas
procederemos a dividirlas en otras más sencillas de las cuales
sabemos obtener su área.
Área de figuras planas
Deducción de fórmulas para algunos casos particulares, a partir de figuras simples:
c
h
h
b
Área = b x h
b
c
(c*h)/2 + (b-c)*h + (c*h)/2 = 2(c*h)/2 + (b-c)*h =
= c*h + b*h – c*h = b*h
b-c
b
b
h
B
h
c b
B
Área = ((B+b) x h)/2
(c*h)/2 + b*h + (a*h)/2 = (c*h)/2 + 2(b*h)/2 + (a*h)/2 =
= (c*h + 2b*h + a*h)/2 = (c + b + a + b)*h/2 = (B + b)*h/2
a
p = 5*l
5*((a*l)/2) = (5*l*a)/2 = (p*a)/2
a
l
Área = (p x a)/2
a
l
FIGURAS TRIDIMENSIONALES.
POLIEDROS REGULARES
FIGURAS DE REVOLUCIÓN
POLIEDROS
IRREGULARES
ÁREAS DE FIGURAS TRIDIMENSIONALES.
El área de una figura tridimensional puede calcularse sumando la superficie de cada
una de sus caras.
Ejercicios de cálculo de Áreas:
E1)
Calcular la superficie total de la siguiente
figura, sabiendo que el agujero es pasante.
E2)
Calcular la superficie total de la siguiente
figura.
Øext = 8 cm
Øint = 4 cm
5 cm
5 cm
4 cm
10 cm
3 cm
10 cm
10 cm
3 cm
10 cm
10 cm
Ejercicios de cálculo de Áreas:
E3)
Calcular la superficie total de la siguiente
figura.
E4)
Calcular la superficie total de la figura
sabiendo que la cuadrícula marca
distancias de 1cm
Ejercicios de cálculo de Áreas:
A5)¿Área de la superficie sombreada de color verde?
1
Radio=10 cm
A6) ¿Área de la superficie sombreada de color azul claro?
Radio=10 cm
2
1
√2
1
A7) ¿Área de la superficie sombreada amarilla?
Radio=10 cm
1
1
1/2
A8)
¿Área de la superficie sombreada color verde?
Radio=10 cm
(1+√5)/2
1
1
√5/2
√3/2
√3
1/2
1/2
1
√2
1
√5
√3
1
1
√2
Senα = cateto opuesto / hipotenusa
Cosα = cateto contiguo / hipotenusa
Tgα = senα / cosα
√((5+√5)/2)
1
√4
√3
(1+√5)/2
1
A9)
¿Área de la superficie sombreada de color azul?
¿Área de la superficie sombreada de color verde claro?
Radio=10 cm
A11)
¿Área de la superficie sombreada de color naranja, en cada caso?
Radio=10 cm
A10)
A12)
¿Área de la superficie sombreada de color naranja, en cada caso?
Radio=10 cm
A13)
A14)
A15)
A16)
A17)
Se conoce que el perímetro del rectángulo ABCD p=96cm, y se sabe que la base mide 12cm
más que la altura.
Hallar el área coloreada, sabiendo que la figura coloreada se forma a partir de los puntos
medios de los lados.
Solución:
Lados: 18cm y 30cm
Área coloreada: 270cm²
A18)
Se quiere diseñar una forma en la que el lado a mide 10cm más que el lado b.
Además, la altura total mide 24cm. Calcula el área de la figura.
b
a
b
b
A19)
Se quiere diseñar una forma en la que el lado b es 3 veces mayor que el lado a.
Además, el área del triángulo debe ser 2/3 de la del rectángulo.
Calcula el área de la figura.
b
a
8cm
a