Загрузил Vera07011929

Веселовский И.Н. — Курс механики для техникумов, 1947

И.Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ
/
К У Р С
^ МЕХАНИКИ
ОГИЗ- Г0СТЕХИЗДА7
»Q47
И. Н. ВЕСЕЛОВСКИЙ
КУРС МЕХАНИКИ
ДЛЯ ТЕХНИКУМОВ
Допущено Министерством высшего образо
вания СССР в качестве учебного пособия
для техникумов
ОГИЗ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА
1 9 4 7
ЛЕНИНГРАД
Редактор А . 3 . Ры вкин. Техн. редактор Н. А . Т ум аркин а. Подписано к печати 17/XII 1946 г,
37 печ. л. 42,55 авт. л. 44,05 уч.-изд. л* 49 000 тип. зн. в печ. д. Тираж 100 000 эк з. А - 11749 Цена
книги 15 р. 50 к. Переплёт 1 р. Заказ № 667.
2-я типография «Печатный Двор» им. А. М. Горького треста «Полиграфкнига»
Совете Министров СССР. Ленинград, Гатчинская, 26.
О ГИ За при
ОГЛАВЛЕНИЕ.
П р е д и с л о в и е ...................... ...........................................
В ведение
9
. . * ....................... . . . •
И
Г л а в а 1. Р ав н о м ер н о е дв иж ен ие. С к о р о с т ь .......................................... •
§ 1. Что такое д в и ж е н и е .......................................................................
§ 2. Поступательное д в и ж е н и е .............................................................
§ 3. Траектория и закон д в и ж е н и я ....................................................
§ 4. Графическое представление д в и ж е н и я..................... • ...............
§ 5. Закон равномерного д в и ж е н и я ....................................................
§ 6. Обобщение формулы равномерного д в и ж ен и я .....................
§ 7. Скорость в неравномерном д в и ж е н и и ....................................
§ 8. Параллелограмм скоростей............................................• .............
§ 9. Вычисление пройденного пути пографику скоростей
. ..
Г л а в а 2. Р авн о м ер н о е в р а щ е н и е ................................................... . . . .
§ 10. Вращ ательное д в и ж е н и е ................................................................
§ 11. Равномерное вращение и угловая скорость...........................
§ 12. Линейная и окружная с к о р о с т и .................................................
§ 13. План скоростей во вращательном движ ении..................... .
................
• ..............
Г л а в а 3. П е р е д а ч а в р а щ е н и я
§ 14. Ремённая передача. . . .............................. ....................................
§ 15. Зубчатая передача
........................................ “.........................
§ 16. Модуль зубчатого к о л е с а .............................................................
§ 17. Системы зубчатых к о л ё с ............................................. ...
§ 18. Конические зубчатые колёса
...........................................
§ 19. Зубчатая р ей к а..........................................................................
13
13
14
15
ОТДЕЛ п е р в ы й .
ДВИЖЕНИЕ.
Г л а в а 4. В и н товое д в и ж е н и е
16
17
21
25
27
33
35
35
35
37
40
43
43
45
48
50
52
54
...........................
56
§ 20. Винтовая линия. . . .....................................................................
§ 21. Червячная передача .........................................................................
§ 22. Винтовая передача.................................................
.....
56
59
60
Г л а в а 5. Р авн ом ерн о-п ерем ен н ое д в и ж ен и е . .................................
§ 23. Свободное п а д е н и е .........................................................................
§ 24. Зависимость скорости падения от пройденного пути . . .
§ 25. Равномерно-переменное движение с начальной скоростью.
Г л а в а 6. У ск о р ен и я в криволинейном движ ении
......................
§ 26. Тангенциальное и нормальное ускорения ...............................
§ 27. Д ругой вывод формулы нормального ускорения..................
§ 28. Равномерно-переменное в р а щ е н и е..............................................
§ 29. Линейные ускорения точек вращающегося тела. . • • • • .
1*
61
61
65
67
69
69
74
75
78
£
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
СИЛА.
Г л а в а 7. Р авн о в еси е сил, действую щ их по одной п р я м о й
§ 30. Сила и её и зм ер е н и е......................................................................
§ 31. Равновесие............................................................................................
§ 32. Действие и противодействие.......................................................
§ 33. Равновесие несвободной материальной точки; аксиома
св язей .....................................................................................
§ 34. Механическая система......................................................................
...............................
§ 35. Перенесение точки приложения си л ы
§ 36. Две основные задачи статики........................................................
§ 37. Равнодействующая системы сил, действующих по одний
п р я м о й ..................................................................................................
82
82
84
85
87
88
90
91
91
Г л а в а 8. Силовой т р е у го л ь н и к ..................
§ 38. Параллелограмм сил..........................................................................
§ 39. Силовой м н о го у го л ьн и к ................................................................
§ 40. П р и м ер ы ..............................................................................................
§ 41. Равновесие трёх непараллельных с и л .......................................
94
94
95
96
102
Г л а в к а 9. М етод п р о е к ц и й ...............................................................................
§ 42. Аналитический метод задания си л ы ....................................
§ 43. Уравнения р а в н о в е с и я ...................................................................
§ 44. Разложение силы по двум н ап р авл ен и ям ...............................
'§ 45. Трение скольж ения.................................
.
§ 46. Трение в м аш и н ах.........................................
Г л а в а 10. Р авн ов еси е твёрд ого тела с одной закреп лён н о й точкой.
101
104
107
108
110
115
119
§ 47. Момент силы относительно то ч к и .............................................
§ 48. Теорема В ари н ьон а........................................................................
§ 49. Условия равновесия твёрдого тела с одной неподвижной
т о ч к о й ..................................................................................................
§ 50. Трение качени я..................................................................................
Г л а в а 11. П араллельны е силы в п л о с к о с т и ..........................................
§ 51. Сложение двух параллельных си л .............................................
§ 52. Теорема Вариньона для параллельных с и л .............................
§ 53. Определение равнодействующей плоской системы парал
лельных с и л ...............................................................................
§ 54. Равновесие системы параллельных с и л ...................................
§ 55. Блоки......................................................................................................
119
122
124
127
129
129
131
Г л а в а 12. Центр т я ж е с т и .................................................................................
143
§ 56. Центр тяжести системы материальных то ч ек ........................
§ 57. Центр тяжести однородных фигур и тел, ограниченных
прямыми линиями и п лоскостям и..............................................
1 rq* VreiITp тяжестн площадей, ограниченных кривыми линиями.
§ 5У. Центр тяжести объёмов, ограниченных кривыми позерхно*
спт я м и
. .
& 60. П рим еры ......................................................
143
134
135
139
147
154
156
Г л а в а 13. Момент силы относительно о с и .............................................
§ 61. Основные понятия . . . .
163
igo
1$ оо.
ва П
= е^ . ™ ёрДОГО
С Диумя ««подвижными точками!
Параллельные
силы втелл
пространстве..........................................
364
167
ОГЛАВЛЕНИЕ
5л
§ 64. Опытное определение положения центратяжести................
§ 65. Устойчивость тела на п л о с к о с т и .....................................
§ 66. Три вида р а в н о в е с и я
169
171
’[]’172
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
СИЛЫ 3 ДВИЖЕНИИ.
Г л а в а 14. З а к о н ы Н ью тона . . . .............................
§ 67. В в ед ен и е.......................................................................................... ..
§ 68. Падение т е л ........................................ 1 *. 1 *.*.! !
§ 69. Первый закон Н ью то н а...............................................................
§ 70. Второй закон Н ь ю т о н а
. . .' ! ! ! ! ! ! ! !
§ 71. Ускорение, масса и си л а..............................................................
§ 72. П р и м ер ы .............................................................................................
§ 73. З а к л ю ч е н и е ......................................
177
j 77
178
179
181
183
137
192
194
Г л а в а 15. К оличество дви ж ен и я и ж ивая с и л а ...................................
§ 74. Количество движ ения. . . ...........................................................
194
§ 75. Работа и живая с и л а ....................
‘ ............................
195
■;§ 76. Удар т е л .................................................................................................... 199
§ 77. Применение теоремы живых сил к исследованию явлений 1
У Д ара....................................................................................................
203
§ 78. З а к л ю ч е н и е .......................................................................................
206
Г л а в а 16. К оли чество дви ж ен и я и ж и вая сила в коиволикейном
движ ении . .
............................‘ ............................
§ 79. Динамика криволинейного движения то ч к и
§ 80. Количество движения в криволинейном движении точки J
Ъ 81. Ж ивая сила в криволинейном движ ении................................
§ 82. Работа силы т я ж е с т и
.• ....................................
$ 83. Энергия .............................................................................................
§ 84. Работа переменной с и л ы ............................................................. *
§ 85. М о щ н о с т ь
.....
Г л а в а 17. -К оличество д ви ж ен и я и ж и в ая сила во вращ ательном
д в и ж ен и и тв ёр д о го тел а . . . . ..........................................
§ 86. Вычисление количества движения и жизой силы вращаю
щ егося твёрдого тел а. . ..........................................................
§ 87. Вычисление моментов и н е р ц и и
§ 88. Вычисление моментов инерции для различных осей, про
ходящих через одну т о ч к у ............................................
231
§ 89. Теорема Ш тейнера . . . . Г
..!.!!
§ 90. Центр у д а р а ............................................................... . ' . . . * ! ! ! !
207
207
209
214
215
217
218
220
222
222*
225
235
238
Г л а в а 18. В ращ аю щ ий м омент
и м омент количества движ ения.
§ 91. Работа вращ ающ его м ом ента.....................................................
243
§ 92. Теорема живых сил во вращательном движении
*.
246
§ 93. Теорема моментов количества д в и ж е н и я
. . .
251!
§ 94. В а л ..............................................* .............................. ! . ! ! ! ! ! ! ! ' 255
§ 95. З а к л ю ч е н и е ................................................................ ......................
258
Глава
§
§
§
§
§
19. О сн овн ы е пон яти я динам ики машин
....................
96. О сновное уравнение динамики машин.Принцип возмож
ных перем ещ ений
259
97. П р и л о ж е н и я ..........................................................................
262
98. Коэффициент полезного д е й с т в и я ................................
267
99. Регулирование хода м а ш и н ............................................
271
100. Заклю чение............................................................................
272
259
g
ОГЛАВЛЕНИЕ
ОТДЕЛ ЧЕТВЁРТЫЙ,
СТАТИКА*
................... ...
Г л а в а 20. П ара сил • • • • • * • «
§ 101. П онятие о паре си л, ...................................................
^ .
& 102. Эквивалентность п а р ....................................................................
§ 103. И зображ ени е момента пары при пом ощ и в е к т о р а .............
§ 104. Сложение пар г ................................................................................
275
275
276
279
280
282
282
& 105. Метод П уансо..................................
*
%
§ 106. Равновесие плоской системы сил: определение опорных
286
реакций
..........................................................................
.
Г л а в а 21. Система сил, прилож енн ы х в разли ч н ы х т о ч к а х . . . .
§ 107. Равновесие плоской системы сил: определение положения
р ав н ов еси я ............................ .................... ....................................................
§ 108. Р авновеси е при наличии т р е н и я
* 1
§ 109. Понятие об условиях равновесия пространственной систе
мы с и л ................................................................................................
Г л а в а 22. В ерёвочны й м ногоугольник
............................................
§ 110. Графическое определение равнодействующей сил, прило
женных в различных точках твёрдого тела .........................
§ 1 1 1 . Общий случай построения верёвочного многоуго ьника
§ 112. Случай, когда силовой многоугольник замы кается. • . •
§ 1-13. Эшора изгибающих моментов. . . . . г ...............................
Г л а в а 23. Расчёт ф е р м ......................................................................................
§ 114. Понятие о ф е р м е................................................................
§ 115. Диаграммы К рем оны ..........................................................
§ 116. Случай несимметричных ферм и нагрузок . . . . . . . . . .
§ 117. Более сложные случаи расчёта ферм. Метод Риттера • .
292
294
£99
303
303
305
307
311
314
314
318
323
324
отдел пятый.
КИНЕМАТИКА.
Г л а в а 24. С лож ение движ ен ий
........................... *. ..................
§ 118. Параллелограмм с к о р о с т е й ..............................................
§ 119. П р и м ер ы .............................................................................................
§ 120. Сложение ускорений в случае, когда переносное движе
ние поступательное . . - ....................................
- - *
§ 121. Разложение криволинейного движения точки на два пря
молинейных ................ .............................. ........................... ...
§ 122. Гармоническое колебание........................................... ..
§ 123. Сложение гармонических к о л е б а н и й .....................................
§ 124. Сложение ускорений в случае, когда переносное движе
ние не является поступательным...............................................
328
328
332
Г л а в а 25. Кинематика твёрд ого т е л а ........................................................
§ 125. Плоскопараллелыюе д в и ж е н и е ..................................................
§ 126. Мгновенный ц е н т р .........................
. ...........................
§ 127. Циклоидальное д в и ж ен и е................ . . . . . . . . . . . . . . .
§ 128. Кардановское движ ение...........................................................
§ 129. Сложение вращений вокруг параллельных о с е й ................
§ 130. П ри м еры ...........................................................................
355
355
358
363
368
374
378
383
§ 131. Параллелограмм углозых скоростей. . •
.........................
334
337
340
343
347
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а 26. О сновны е п он ятия теории м еханизм ов
§ 132. Кинематические п ар ы ....................................................
§ 133. Кинематическая цепь
§ 134. Шарнирный четырёхугольник и его видоизменения
Г л а в а 27. Ш арнирны е м е х а н и зм ы .................................................
§ 135. Кинематические д и а гр а м м ы ...........................................
§ 136. Кривошипно-шатунный механизм .
.* .* [
§ 137- Кривошипный механизм с качающейся кулиссой.
§ 138. Общий случай шарнирного четырёхугольника
Г л а в а 28. К улачковы е м е х а н и з м ы .....................................
§ 139. Кулачковые механизмы с поступательным движением.
§ 140. Кулачковые механизмы с вращательным движением (экс
ц ентрики)..................................................................................
§ 141. Кулачки с плоскими толкателями . . ! *. * *. *.# * * *
Г л а в а 29. Зац еп л ен и е зу б ч аты х к о л ё с ..............................................
§ 142.. О гибаю щ ие.........................................................................
§ ИЗ,'. Циклоидальное и эвольвентиое зацепления.
„
389
389
394
396
399
399
403'
406
408
415
415
417
421
423
423
426
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ДИНАМИКА.
Г л а в а 30. Принцип Д а л а м б е р а ................................................................
§ 144. Силы инерции . . ...................................................................
§ 145. Примеры
§ 146. Силы инерции в криволинейном движении «
§ 147, Силы инерции в относительном движении.
Г л а в а 31. Д и н ам и ка точки
§ 148. Две основные задачи динамики........................ .......................
§ 149. Динамика гармонического колебания....................................
§ 150. Вынужденные колебания............... .................... ...............
§ 151. Несвободное движение материальной точки ........................
Г л а в а 32, Динамика твёрдого тела......................................................
429
429
433
437
442
448
448
452’
457
461
464
§ 152. Динамические уравнения плоскопараллельного движения
§ 153. Теорема К ени га................................. ............................................
§ 154. Физический маятник......................................................................
§ 155. Опытное определение моментов инерции...........................
§ 155. Уравновешивание центробежных сил инерции..................
Г л а в а 33. Основные понятия теории гироскопа.............................
464
466
473
478
480
§ 157. Гироскопический момент ............. ........................ ..................
§ 158. Примеры и приложения. ...................................................... ..
483
486
483
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ.
Г л а в а 34. В в е д е н и е ................................. • • • .............................................
§ 159. Предмет и задачи сопротивления материалов. Упругость.
П р о ч н о сть .........................................................................................
§ 160. Виды деформаций.........................................................................
§ 161. Силы упругости. Закон Гука. Р аб ота....................................
489
489
490
494
$
ОГЛАВЛЕНИЕ
Г л а в а 35. Р а с т я ж е н и е ......................................................................................
§ 162. Основные понятия и ф орм улы ................................................
§ 163. Диаграмма растяж ения.........................................
§ 164. Допускаемое напряжение. Расчётная формула. Учёт соб
ственного в е с а ..................................................................................
§ 165. Изменение объёма бруска при растяж ении........................
§ 166. П ри м еры ............................................................................................
497
497
500
Г л а в а 36. С ж а т и е ..................................................................................................
§ 167. Аналогия с растяжением. Особенности сж ати я..................
§ 168. Расчёт на сж атие.........................................................................
§ 169. Понятие о см ятии........................................................................
§ 170. П ри м еры ............................................................................................
517
517
519
520
520
Г л а в а 37. С д в и г ..................................................................................................
§ 171. Сущность сдвига. Формулы......................................................
§ 172. Расчётная формула. Допускаемые напряж ения.................
173. П р и м е р ы ............................................................................................
§ 174. Расчёт заклёпочного соединения. . ....................................
525
525
528
529
532
Г л а в а 38. И згиб . . ...........................................................................................
§ 175. Общая картина деформации. Нейтральный слой. Нейтраль»
ная ось .....................................
§ 176. Изгибающий момент. Поперечная си л а.................................
§ 177. Примеры определения изгибающих моментов для различ*
ных случаев н а г р у ж е н и я .............................................................
§ 178. Определение поперечных сил для различных случаев загружения. Опасное сечение..........................................
§ 179. Зависимость между нормальным напряжением и изгибаю
щим м о м е н то м .................................................................................
§ 180. Моменты инерции и моменты сопротивления наиболее
употребительных сечений.............................................................
§ 181. Расчётная формула на изгиб. Допускаемые напряжения.
§ 182. П р и м ер ы ...........................................................................................
§ 183. Расчёт двутавровых и швеллерных б а л о к ....................
537
Г л а в а 39. П родольный и з г и б ..........................................................................
§ 184. Явление продольного изгиба. Критические сила и напря
жение. Гибкость...............................................................................
§ 185. Расчёт на продольный и зги б ...................................................
§ 186. П р и м е р ы .........................................
568
Г л а в а 40. К р у ч е н и е .............................................................................................
§ 187. Сущность деформации кручения. Расчётные ф орм улы . .
§ 188. Определение крутящ его м о м е н т а ..........................................
§ 189. Моменты инерции и моменты сопротивления при круче
нии некруглых п ро ф и л ей .............................................................
§ 190. Примеры * .........................................................................................
575
575
581
Предметный
588
у к а з а т е л ь ...........................................................................
503
506
506
537
538
541
547
550
554
555
557
563
568
571
572
582
583
ПРЕДИСЛОВИЕ.
Настоящая книга написана на основе программы технической
механики для техникумов, утверждённой Министерством Высшего
Образования.
В первых трёх отделах книги изложен элементарно и довольно
подробно материал, общий для техникумов всех специальностей,
а в следующих трех в более строгом и сжатом изложении помещены
дополнительные главы, необходимые при изучении курса механики
в техникумах различных специальностей. Эти отделы написаны так,
что могут быть без больших изменений объединены с соответствую
щими первыми отделами.
При доказательствах излагаемых теорий мы пользовались в ос
новном элементарной математикой. В книге не рассматриваются
дифференциальные уравнения динамики, теорема Журавского-Шведлера, уравнение изогнутой оси балки и статически неопределимые
случаи изгиба, так как их изложение без методов высшей матема
тики невозможно. Единственное исключение в этом отношении сде
лано для теории продольного изгиба, исключение которой из кур
са было бы совершенно нецелесообразным.
Мы не являемся сторонниками обязательного исключения высшей
математики из курса техникумов и, в частности, из преподавания
механики; мы думаем, что только те элементарные доказательства
имеют право ка существование, которые или просты (вывод Эдсера
формул для определения моментов инерции), или изящны (доказа
тельства Пуансо и Архимеда в теории центра тяжести), или физичны (доказательства Н. Е. Жуковского в теории гироскопа)^ и на
деемся, что не слишком погрешили против этих требований. Во
всяком случае, в курсе всё подготовлено для возможности исполь
зования. высшей математики (в особенности в четвёртом, пятом и
шестом отделах книги), так что преподавателю остаётся лишь
ввести соответствующую терминологию.
10
ПРЕДИСЛОВИЕ
Ввиду отсутствия задачников по механике для техникумов в
книгу включено 400 примеров и задач.
Отдел седьмой, посвящённый сопротивлению материалов, воспро
изводит в основном изложение, написанное Т. В. Веселовской для
нашей другой книги «Техническая механика» (элементарный учеб
ник для самообразования), изданной в последний раз в 1943 г.; вне
сены лишь некоторые добавления в связи с новой программой и
освежён цифровой материал в соответствии с новыми стандартами.
Автор просит о всех недостатках книги писать в Государ
ственное Издательство технико-теоретической литературы (Москва,
Орликов пер., 3) и заранее приносит благодарность за все заме
чания.
И, Веселовский,
ВВЕДЕНИЕ.
Первый вопрос, который возникает у каждого, приступающего к
изучению механики, будет, конечно, следующий: что такое механика?
Если бы на этот вопрос автору пришлось ответить лет двести
назад, то он определил бы механику как науку о механизмах, ма
шинах. Однако в настоящее время область человеческого знания,
посвящённая изучению различных механизмов и машин, настолько
разрослась, что во всей своей полноте она не может быть охвачена
даже целым курсом науки любого высшего технического учебного
заведения; студент каждого втуза изучает за время своего пребы
вания в последнем лишь одну часть этой области знания, посвящён
ную тем механизмам и машинам, которые он в дальнейшем встретит
на работе по выбранной им специальности. Но, с другой стороны,
механика изучается во всех технических учебных заведениях: и в
авиационных, и в энергетических, и в строительных, и в технологи
ческих и т. д. При этом механика является первым предметом,
в котором общие математические и физические теории применяются
для решения поставленных техникой задач. Это показывает, что пред
метом механики является изучение тех общих характерных свойств,
которые можно подметить у каждого механизма или машины.
Для того чтобы выяснить эти основные характерные для каждой
машины свойства, рассмотрим сущность работы какой-либо из боль
ших современных машин, например трактора. Давление газовой
смеси в цилиндре последнего приводит в движение поршень, кото
рый, в свою очередь, вращает вал трактора, а затем движет и весь
трактор в целом. При этом периодическое прямолинейно-возврат
ное движение поршня преобразуется сначала во вращательное дви
жение вала, а затем в поступательное движение всего корпуса трак
тора. Таким образом для нас выясняется первая характерная особен
ность работы трактора как машины; мы замечаем наличие передачи
движ ения между отдельными частями последнего.
Затем мы должны отметить, что последовательное приведение в
движение отдельных частей (деталей) трактора связано с опреде
лённым силовым воздействием одних частей на другие; в цилиндре
трактора сила давления газовой смеси передаётся поршневому што
ку, а затем окружности ведущего колеса и, наконец, рабочему сель
скохозяйственному орудию, приводимому в движение трактором.
12
ВВЕДЕНИЕ
Таким о б разом о б н ар у ж и в ается вто р ая х ар ак тер н ая особ ен н ость
р аб о ты т р а к т о р а к ак м аш ины , а им енно: наличие в последнем пере
дачи силы от одной его части к д р у го й .
Те же самые особенности можно подметить и в работе других,
совершенно как будто бы отличных по своим задачам машин. Так,
например, в работе сверлильного станка вращение оси при помощи
приводных ремней и шкивов передаётся шпинделю, который вместе
с прикреплённым к нему сверлом углубляется в подлежащее обра
ботке тело; и здесь от одной детали станка к другой происходит
одновременно и передача движения и передача силы.
Оба эти процесса — передача движения и передача силы — совер
шаются всегда одновременно и неразрывно связаны между собой.
Изучение совокупности этих двух процессов и является задачей
теоретической м еханики, которую можно определить как общую
науку о движении и с и л а х .
В зависимости от свойств движущихся тел теоретическая меха
ника делится на механику абсолютно твёрдого тела, механику изме
няемого твёрдого тела (теорию упругости и сопротивление материа
лов) и на гидро-аэромеханику.
Абсолютно твёрдым телом называется такое тело, в котором
расстояние между двумя любыми его точками остаётся постоянным
при любых силовых воздействиях.
Механика абсолютно твёрдого тела делится на кинематику, ста
тику и динамику. Кинематика занимается изучением движений
вне связи с действующими силами. Слово «кинематика» происходит
от греческого слова, обозначающего «движение». Статика занимается
изучением сложения сил и их равновесия. Слово «статика» проис
ходит от греческого слова, обозначающего «стою». Динамика зани
мается общей задачей механики— исследованием движения тел под
действием сил. Слово «динамика» происходит от греческого слова,
обозначающего «мощность», «сила».
Изучению механики абсолютно твёрдого тела посвящены первые
шесть отделов этой книги.
Во многих случаях при исследованиях приходится обращать вни
мание и на изменение формы тел, которые под действием сил сжи
маются, растягиваются, изгибаются, скручиваются, вообще говоря,
деформирую тся. Механика таких тел изучается в теории упруго
сти, прикладная часть которой называется сопротивлением мате
риалов. Обе эти дисциплины отличаются друг от друга только мето
дами исследования.
Изучению основ сопротивления материалов посвящён седьмой
отдел книги.
ОТДЕЛ ПЕРВЫЙ.
Д В И Ж Е Н И Е .
Г Л А В А 1.
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ.
§ 1. Что такое движение. Мы говорим, что тело движется,
если само оно целиком или отдельные его части с течением времени
изменяю т своё положение относительно окруж ающих предметов.
Приходится говорить «или отдельные части», потому что быва
ют случаи, когда при движении тела некоторые точки его остаются
неподвижными; например, точки, лежащие на оси вращающегося
вала, при движении последнего будут оставаться на одном и том
же месте, как бы быстро ни вращался вал.
Мы говорим: «изменяют своё положение относительно других
предметов», потому что положение тела можно определить только
относительно других тел, например, задав его расстояние от дру
гого тела и направление, по которому это расстояние откладывается,
задав расстояния от двух каких-нибудь неподвижных тел и т. д.
Все эти тела, считаемые неподвижными, образуют так называемую
систему отсчёта, по отношению к которой определяется положение
рассматриваемого тела. В применении к движению это обозначает,
что движение можно считать определённым только в том случае,
если задана система отсчёта, относительно которой определяется
положение движущегося тела, или, как говорят, относительно кото
рой движется это тело. Совсем не одно и то же получается, если
движение пассажира,, переходящего из вагона в вагон, мы будем
рассматривать по отношению к поезду или по отношению к желез
нодорожному полотн}'; движение самолёта, гонимого ветром, — по
отношению к воздуху или же по отношению к поверхности земли;
движение резца токарного станка— по отношению к обтачиваемому
предмету или по отношению к поверхности земли. В общежитии
в большинстве случаев рассматривают все движения совершающи
мися относительно поверхности земли; но так бывает, однако, не
всегда; так, например, в последнем примере резец относительно
земли неподвижен (или почти неподвижен), по обтачиваемому же
телу он движется достаточно быстро.
Различают два основных вида движений: к одному относятся
такие движения, при которых весь предмет в целом меняет своё
место, а ко второму — такие, при которых предмет, оставаясь на
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
14
одном месте, обращается во время движения к окружающим пред
метам различными своими сторонами. Первые движения называются
поступательными, а вторые вращательными. Может случиться, что
один и тот же предмет будет одновременно иметь оба эти движе
ния; так, например, колесо повозки, вращаясь вокруг своей оси,
перемещается поступательно вместе с осью; также шпиндель свер
лильного станка, вращаясь вокруг своей оси, в то же время пере
мещается (подаётся) по направлению оси вниз. Когда направление
поступательного движения совпадает с направлением оси вращения
(например, в последнем примере), мы имеем случай так называемого
винтового движения; такое движение совершает ввинчивающийся
з гайку винт.
§ 2. П оступательное движение. При поступательном движении
всё тело в целом меняет своё положение относительно окружающих
предметов и притом так, что все его точки движутся совершенно
одинаково, не забегая и не отставая одна от другой, т . е. совершают равные и параллельные перемещения.
а
Фиг. 1,
Фиг. 2.
Примером такого движения может • служить движение ящика,
вытаскиваемого из стола или комода (фиг. 1), движение суппорта
токарного станка по станине, педали велосипеда, движущегося по
прямой линии (фиг. 2), и т. д. Эти примеры показывают, что
поступательные движения бывают очень разнообразными; в то время
как в первых двух примерах все точки движущегося тела описы
вают равные и параллельные отрезки прямых линий, в последнем
примере педаль, двигаясь то вверх, то вниз, будет при движении
велосипеда описывать не прямую, а волнообразную линию. Точно
так же в московском Парке Культуры и Отдыха прикреплённые к вра
щающемуся колесу кабинки движутся совершенно одинаково, опи
сывая при своём движении окружности (фиг. 3); мы опять имеем
случай поступательного движения, которое не будет прямолинейным.
Примеры с педалью велосипеда и кабинками вращающегося коле
са позволяют указать легко отличимый признак поступательного
движения. Отметим на педали или на кабинке какую-нибудь пря
мую, например ту, которая отмечена на фиг. 2 и 3 буквами аа~
ТРАЕКТОРИЯ И ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ
15
Если мы будем наблюдать движение педали или кабинки, то заме
тим, что прямая аа во всё время движения остаётся параллельной
самой себе, несмотря на то что кабинка колеса как целое обра
щается вокруг центра колеса.
Таким образом, мы имеем следующий признак поступательного
движения: при поступательном движении всякая прям ая тела
ост аёт ся всё врем я движ ения параллель
ной самой себе.
Можно доказать, что это свойство име
ет место для всякого поступательного дви
жения.
Возьмём (фиг. 4) какие-нибудь две точки
А и В в теле, совершающем поступательное
движение, и соединим их прямой линией.
Если тело совершает поступательное движе
ние, то это значит, что все его точки дви
ж утся совершенно одинаково, совершают
равные и параллельные перемещения. Таким
образом, если А х и В х будут какие-то но
вые положения движущихся точек А и В
через некоторый промежуток времени, то
перемещения A A V В В Х точек А и В будут
равны и параллельны; в таком случае фигура А А [В В 1 будет паралле
лограммом и прямая А ХВ Х будет параллельна А В . Таким образом
новое положение прямой А В будет параллельно старому: прямая
А В при поступательном движении будет
двигаться параллельно самой себе.
При изучении поступательного движе
ния тела нет надобности рассматривать
отдельно движения различных его точек;
так как все точки движутся совершенно
одинаково, то, зная движение одной, мы
будем знать движение и остальных точек, fi
а, значит, и всего предмета в целом; одна
точка как бы заменяет нам весь предмет.
Подобную замену мы будем делать очень
часто, и читатель не должен удивляться,
Фиг. 4.
если в дальнейшем ему придётся встре
чаться с выражениями: «точка движется», «точка находится в по
кое» и т. д.
Итак, когда нас будет интересовать лишь общее перемещение
рассматриваемого предмета и можно не обращать внимания на осо
бенности движения отдельных его частей, мы будем заменять рас
сматриваемый предмет одной точкой.
§ 3. Т р аекто р и я и зак о н движ ения. Мы говорим, что точка
движется, если она изменяет своё положение относительно окружа
16
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
[Г Л .
1
ющих предметов. Последовательные положения движущейся точки,
А А хАъ (фиг. 5), образуют некоторую линию, которая носит назва
ние т раект ории движения. Эта линия по своему характеру может
быть какой угодно. Если последовательные положения движущейся
точки образуют прямую линию, то движение называется прям оли нейным\ в противном же случае оно будет называться криволинейным.
Однако, для того чтобы вполне определить движение, недоста
точно знать только одну траекторию. Ряд последовательных поло
жений движущегося поезда образует линию, которая совпадает с
линией железной дороги; иными словами, траекторию можно было
бы определить как дорогу, по которой движется рассматриваемая
точка. Но ведь по одной и той же дороге можно двигаться самыми
разнообразными способами; поэтому необходимо ещё знать, как
движется точка по траектории. Возвращаясь к примеру с движе
нием поезда, мы можем сказать, что, кроме карты железнодорож
ного пути, нужно ещё знать расписание дви
жения поезда. Эго расписание указывает
нам те станции, в которых будет находиться
jf
движущийся поезд в различные моменты вре
мени. Если вполне установлено, о какой
Фиг. 5.
железнодорожной линии идёт речь, то вместо
названий станций можно просто указать рас
стояние их от начальной точки железнодорожной линии; тогда расписа
ние будет давать нам расстояния движущейся точки (поезда) от началь
ного пункта в различные моменты времени. Если для любого момента
времени можно установить местонахождение движущейся точки на тра
ектории, то говорят, что задан закон движ ения. Закон движения может
быть задан различными способами: можно задать его в виде таб
лицы, аналогично железнодорожному расписанию; можно, как мы
это покажем ниже, дать его графически ввиде некоторой
линии,
аналогично графикам железнодорожного движения; можно задать
его, наконец, при помощинекоторой формулы,
вычисляя которую
можно было бы для различных моментов времени узнавать место
нахождение движущейся точки. Во всех случаях движение точки
считается известным, если известна т раект ория движущейся
точки и задан тем или иным способом закон её движения по
т раект ории.
§ 4. Графическое представление движения. Для того чтобы
наглядно представить движение тела, воспользуемся методом коор
динат. Пусть, например, движение тела определено следующей таб
лицей:
t сек = 0
1 2
4 5
6 7
8
9 10
12 14 16
s см = 0
2 2,5
3,5 4
6 8
8,5
9 8,5
7
4
2
В верхней строчке помещены числа секунд, прошедших от момента
начала движения, во второй — выраженные в сантиметрах расстол-
ЗАКОН РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ
17
ния движущейся точки от некоторой начальной, где она находилась
в момент начала движения. Возьмём две взаимно перпендикулярные
прямые, так называемые оси координат . Будем по горизонтальной
прямой откладывать какие-нибудь отрезки одинаковой длины, изо
бражающие секунды; в полученных точках будем восстанавливать
перпендикуляры к горизонтальной прямой и на них откладывать
отрезки, изображающие соответствующие каждому моменту расстоя
ния. Так, например, отрезок 2Л2 (фиг. 6) должен изображать 2,5 см,
4
— 3,5 см, бА 6 — 6 см и т. д. Соединив все полученные точки
непрерывной линией ОЛ1Л 2Л 3Л 4Л3Л б..., мы и получим графическое
изображение рассматриваемого движения ?). При взгляде на фиг. 6 мы
можем сказать, чтоточсм
ка сначала удалялась
от начального положе
ния и в первую секун
ду прошла расстояние
2 см; затем движение
замедлилось, и в каж
дую из последующих
секунд точка прохо
дила лишь по пол санти
метра до момента t =
= 5 сек; затем движе
ние ускорилось; с мо
мента t — 1 сек начи
нается замедление; на
конец, в момент t =
= 9 сек точка, достигнув наибольшего отклонения от начальной
точки, изменила направление своего движения и стала приближаться
к начальному положению; в момент £ = 1 6 сек, когда движение
закончилось, точка находилась на расстоянии 2 см от начальной
точки О. В этом возвратном движении за 10-ю секунду точка прошла
всего 0,5 см, за 11 и 12-ю секунды — 1,5 см, за 13 и 14-ю — 3 см
и за 15 и 16-ю — 2 см.
Мы видим, что в рассматриваемом движении в одинаковые про
межутки времени точка перемещалась на неодинаковые расстояния.
§ 5. З ако н равном ерного движения. Наиболее простым дви
жением будет такое, при котором движущаяся точка всё время пе
ремещается одинаково, т. е. в равные промежутки времени проходит
всегда равные по длине отрезки траектории; такого рода движение
носит название разномерного. Если движение совершается всё время
в одном направлении, то расстояние движущейся течки от той
точки, в которой она находилась в момент 'начала движения, назы1) Следует оговорить, что полученная линия отнюдь не является траек
торией движения точки.
2
Зак. 607. И . II. Веселовский
18
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
вается пройденным пут ём . В равномерном движении пройденный
путь увеличивается пропорционально времени движения; за вдвое
больший промежуток времени точка пройдёт и вдвое больший путь.
Это показывает, что частное от деления пройденного пути 5 на
время t, в течение которого пройден этот путь, есть величина
постоянная. Эта постоянная величина называется скоростью равно
мерного движения и обозначается буквой v. Скорость равномерного
движения тем больше, чем больше пройденный путь для заданного
промежутка времени и чем меньше промежуток времени, нужный
для прохождения заданного пути. Скорость v мы получим численно,
если разделим пройденный путь s на соответствующий промежуток
времени L Эго записывается формулой:
* =
f .
а )
Если t = 1, то v = s ; это показывает, что скорость в равномерном движении численно равна пути, проходимому в единицу вре
мени. В связи с этим становятся совершенно ясными выражения:
«скорость самолёта равна 400 километров в час», «скорость сна
ряда равна 800 метров в секунду», «скорость света равна 300 000
километров в секунду». Никоим образом нельзя говорить: «ско
рость самолёта равна 400 километров», «скорость снаряда равна
800 метров», «скорость света равна 300 000 километров», не указы
вая или, по крайней мере, не подразумевая того времени, в тече
ние которого соответствующее расстояние проходится. Таким обра
зом, численное выражение скорости зависит не только от выбран
ной единицы длины, но и от выбранной единицы времени: скорость
выражается не просто в километрах или метрах, но всегда в кило
метрах в час (или в секунду), в метрах в секунду (или в минуту)
и т. д. Это обстоятельство принято записывать так:
скорость самолёта равна
400 км/час,
скорость снаряда равна
800 м /сек,
скорость света равна 300 000 км!сек.
Мы обозначаем единицы скорости в виде дроби, числитель кото
рой изображает соответствующую единицу длины, а знаменатель
единицу времени. Это делается потому, что для получения скорости
нужно пройденный путь разделить на соответствующий промежуток
времени.
Выражения: км /час, м/сек, км/сек в числовом выражении ско
рости играют ту же роль, что и выражения км, м в числовом
выражении длины или час, сек — в числовом выражении времени.
Поскольку к м , Mt час, сек суть соответственно единицы длины и
времени, мы можем наши новые выражения км /час, м /сек, км/сек
считать обозначениями соответствующих единиц скорости; первая
единица соответствует такой скорости, при которой в 1 час про
19
ЗАКОН РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ
ходится 1 километр, вторая единица — скорости, при которой в 1
секунду проходится 1 метр и т. д.
Указанный способ обозначения единицы скорости представляет
большие удобства при переводе числового значения скорости из
одних единиц в другие. Пусть, например, известно, что поезд про
ходит 72 км в час, и требуется выразить скорость в метрах в
секунду (узнать, сколько метров поезд проходит в секунду).
При нашем способе обозначения эта задача решится так: в ра
венстве
v = 72 км)час
подставим вместо «км» его выражение в метрах и вместо « ч а о
соответствующее выражение в секундах и вычислим полученное
произведение. Будем иметь:
1 - —*
М 20
v — 77 02 ' —
3 600 сек
ОА м/сек.
/
'
Полученный результат показывает, что выраженная в м/сек ско
рость равна 20; другими словами, поезд в одну секунду проходит
20 метров.
Пользуясь формулой (1), мы легко можем задать закон равно
мерного движения в виде ф о р м у л ы . Эта формула будет иметь вид:
5= v t
(2)
Подставляя в неё известную величину скорости v и любые задан
ные значения времени t, будем иметь для соответствующих момен
тов времени значения пройденного пути s; таким образом, мы смо
жем определить положение движущейся точки на траектории. Пусть,
например, и = 2 0 м/сек. Если мы будем давать t последовательно
значения 0, 1, 2, 3, ... сек, то получим следующую таблицу:
i сек — 0
s м = 0
1
20
2
40
3
60
4
80
5
100
6
120
7
140
Как нетрудно видеть, эта таблица даёт нам своего рода расписание
движения. Единственная разница заключается в том, что в железно
дорожном расписании даются моменты прибытия поезда в опреде
лённые точки железнодорожной линии, а у нас, наоборот, даются
точки траектории, соответствующие определённым моментам t = О,
1, 2 , ... сек.
Имея табличное представление движения, нетрудно перейти к гра
фическому способу его изображения. Возьмём две взаимно перпен
дикулярные прямые (фиг. 7) и будем на горизонтальной прямой
откладывать отрезки одинаковой длины, изображающие секунды, а
по вертикальной прямой— отрезки, изображающие пройденные пути.
В точках горизонтальной прямой, которые соответствуют временам
2*
20
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
^=2= 1 , 2, 3, ... , 7 сек, будем восстанавливать перпендикуляры к этой
прямой и на них откладывать отрезки, равные соответственно 20,
40, 6 0 ,... , 140 м ; полученные точки А и Л2, ... , Л7 будут лежать на
одной прямой, которая и даст нам графическое представление рас
сматриваемого движения. Построив такую линию, мы без труда
можем найти положение движущейся точки для любого момента
времени.
Пусть на фиг. 8 даны только оси координат с нанесёнными на них
делениями и, кроме того, наклонная линия ОА, представляющая
график нашего движения. Чтобы найти пройденный путь, соответ
ствующий, например, времени t = 4 сек, проведём в точке В 4 вер-
Фиг. 7.
Фиг. 8.
тикаль £ 4Л4 до пересечения её с линией ОА в точке Л 4, затем из
точки Л 4 проведём горизонталь Л 4С4 до пересечения её в точке С4
с вертикальной прямой и отсчитаем деление, которое соответствует
этой точке.
Так как это деление соответствует 8 0 м, то пройденный путь
за время t = 4 сек равен 80 м.
Пример 1. Машинисты для определения скорости поезда поль
зуются следующим приёмом: если подсчитать число оборотов веду
щего колеса паровоза за время 9/ 8D сек, где D есть диаметр веду
щего колеса в дециметрах, то полученное число с большой точно
стью даёт скорость поезда, выраженную в км/час. Проверить пра
вильность такого расчёта.
Пусть N есть сосчитанное число оборотов. За время каждого
оборота поезд продвигается на длину окружности ведущего колеса,
т. е. на ъО дециметров, а за N оборотов пройдёт расстояние
s — v D N дециметров.
ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ
21
Для прохождения этого пути требуется врем я/, равное 9/8Dcerc.
Отсюда скорость поезда в дециметрах в секунду будет равна
тzDN . ,
v = -^т-рг ом сек.
/8й
Подставляя вместо 1 Аж и 1 сек соответственно ■/,
после сокращения на D будем иметь:
км и Чш л час,
3 600 . 8тиN
,
32izN
9.10 ООО км ! час — уоо" км !часНаконец, подставив вместо тс его приближённое
3,14, получим:
значение,
равное
v = ~lQ0 ~ N км /час.
™
100,5
1ак как —
yqq- л и ш ь очень немного отличается от единицы,
то опи
санный в задаче подсчёт можно считать вполне допустимым.
§ 6. О бобщ ение формулы равном ерного движ ения. Мы выве
ли формулу:
s = vt
(2)
в предположении, что 5 есть пройденный путь, т. е. расстояние дви
жущейся точки от той точки, в которой она находилась в момент
начала движения; это расстояние во вредмя движения всё время
увеличивалось пропорционально времени.
В дальнейшем полезно будет обобщить эту формулу. Будем
рассматривать, во-первых, случай, когда в момент начала движения,
или, ещё лучше, в момент / = О, который мы приняли за началь
ный, движущаяся точка находилась на некотором расстоянии s0 от
начальной точки; во-вторых, предположим,что расстояние движущейся
точки от начальной во время движения может не только увеличи
ваться, но и уменьшаться. При таком обобщении полезно будет
установить определённое терминологическое различие между поня
тиями «расстояние» и «пройденный путь».
Р асст оянием движущейся точки в данный момент t назы
вается длина от резка т раект ории от начальной точки до той,
в которой движ ущ аяся точка находит ся в данный момент; это
расстояние может быть положительным или отрицательным, в зави
симости от того, будет ли движущаяся точка находиться справа
или слева от начальной точки траектории.
Пройденным пут ём за некоторый промеж уток времени, про
т екш ий между моментами t x и / 2, в течение которого направ
ление движ ения не изм енялось, называется абсолютная величина
разност и расст ояний вг и s2 движ ущейся точки в моменты t x и / а,
соответствующие началу и концу рассматриваемого промеж утка
времени.
22
[ГЛ.
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
1
Если в течение данного промежутка времени направление движе
ния точки менялось, то мы всегда можем разбить этот промежуток
на такие, в течение каждого из которых направление движения
оставалось неизменным (точки деления, естественно, будут соответ
ствовать моментам, в которые точка изменяла направление своего
движения), и определить пройденный путь за данный промежуток
времени как сумму путей, пройденных за те промежутки, на кото
рые мы разбили рассматриваемый и в течение которых направление
движения точки не изменялось.
Таким образом, пройденный путь As за некоторый промежуток
времени A t = t ^— t u протекший между моментами t x и 12 (мы
всегда можем считать
определится как разность расстояний
s2 и sx в начале и конце этого промежутка, т. е.
As — s2— sX9 если s2^> sx
или
As = s x — s 2> если s2< ^ sv
Если s2^ > s x, то расстояние движущейся точки от начальной
будет с течением времени увеличиваться; если s2< ^ s v то расстоя
ние это будет уменьшаться.
Равномерным движением назовём такое движение, при котором
отношение
As
s2 — $i
At ~ h - h
будет сохранят ь постоянную величину независимо от выбранных
значений t 2 и t x.
Предположим теперь, что момент t x есть начальный момент
t = 0, a s x есть расстояние s0 движущейся точки от начальной
в момент ^ = 0; обозначим величину отношения
As через v. Вг* та
ком случае
*2 — -S-О=
^ (^ 2
°)>
Если вместо s 2 и t 2 поставим просто s и t (расстояние s в данный
момент t)9 то получим следующую формулу равномерного движения:
s = s0 + vt.
As
Отношение -^-= = v назовём
скоростью
(2')
равномерного
движения.
Так как At = t 2— t x мы всегда можем считать положительным,
то знак скорости v будет зависеть только от знака As. Если Дs =
= s2 — s x будет положительным, т. е. расстояние s движущейся
точки от начальной возрастает с течением времени, то скорость
v будет положительной; если же As будет отрицательным, т. е. рас
стояние s уменьшается с течением времени, то скорость v будет
отрицательной.
ОБОБЩЕНИЕ ФОРМУЛЫ РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ
23
Таким образом, мы получили общий закон равномерного движения:
s===so
в котором постоянные коэффициенты s 0 и v могут иметь как поло
жительную, так и отрицательную величину.
Пример 2, Расстояние между двумя городами А к В равно
400 км. В полдень из города А но направлению к городу В выхо
дит поезд, который прибывает в В в 8 часов вечера. В 2 часа
дня из В выходит поезд, который прибывает в Л в 12 часов ночи.
Определить место и время встречи обоих поездов.
Примем точку А за начало отсчёта расстояний, будем напра
вление от А к В считать положительным, наконец начальный момент
t = 0 будем считать соответствующим 12 часам дня.
Тогда закон движения первого поезда выразится формулой:
s = so
vi^
Расстояние s0 в начальный момент равнялось нулю; скорость v x мы
определим из равенства
t7t
<$1 — s0
400 — 0
1 — t, — t0 ~
8 —0 ’
так как в момент t 1 = S часов вечера расстояние первого поезда
от начальной точки равнялось 400 км. Таким образом, v x = 50 KMjnac
и закон движения первого поезда будет:
s = 50/.
Закон движения второго поезда будет:
s ' = S b -\-v J .
Так как в момент t t = 2 часа расстояние я / = 400, а в момент
^2= 12 часов расстояние s2’ = 0, то скорость х/2 будет:
Ss' — Si __ 0 — 400 __ ___^
U — tt
12 — 2
Отрицательная величина скорости соответствует тому, что второй
поезд приближается к начальной точке; закон его движения будет:
s ’ = s0' — 40/.
Для определения начального расстояния s0* мы имеем условие,
что в момент / = 2 часа расстояние s' равнялось 400 км; таким
образом:
400 = s o' — 40 • 2,
откуда
s0' = 480
и закон движения второго поезда будет:
s ' = 480 — 40/.
24
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
В момент t встречи обоих поездов расстояния их s и s' от на
чальной точки будут одинаковы
s = s',
т. с*
60* = 430 — 4 0*,
откуда
.
480
- 1
-
ОА
* = -g g -= 5 * g - часа = 5 час 20 м ин вечера.
Расстояние s места встречи поезда от города А определяется
по формуле:
s = 50 • 5 у = 266
км .
При графическом решении поставленной задачи поступаем таким
образом (фиг. 9). Берём две координатные оси: на вертикальной
оси откладываем рассто/ш6
яние в км, считая, что
t
В
1
т
течка А совпадает с на
!
т
чалом координат, а по
горизонтальной оси от
№
Г
5 # ^
! ^
кладываем времена в ча
№> J r
\
\
сах * = 1 , 2, 3 , , 12 час.
1
F
Закон движения первого
1 2 3 V 5 8 7 8 3 W 11 12<
поезда изобразится пря
Фиг. 9.
мой, соединяющей точку
О ( 5 = 0 , t = 0) с точкой С (5 = 400, * = 8); закон движения второго
поезда представится прямой, соединяющей точку D (s' = 400, * = 2)
с точкой Е (s' = 0, * = 1 2 ) . Встреча обоих поездов будет соответ
ствовать точке К пересечения линий, представляющих движения
обоих поездов; расстояние места встречи изобразится отрезком
2
1
ОМ = 2 6 6 -о
OZ, = 5-^часа.
О к м > а момент встречи отрезком
'
и
Пример 3. Переезд из Гавра в Нью-Йорк длится ровно 12 су«
ток. Каждый полдень из Нью-Йорка в Гавр и из Гавра в Нью-Йорк
отходит по пароходу. Сколько пароходов встретит в открытом море
один из этих пароходов во время своего путешествия через Ат лаптический океан?
СКОРОСТЬ В НЕРАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ
25
Эта задача была предложена в кулуарах во время' заседания во
Франции съезда математиков и вызвала целый ряд неверных решений
за чашкой кофе после обеда в столовой. Если бы математики при
бегли к графическому способу решения этой задачи, показанному на
фиг. 10, то они без всякого труда нашли бы правильное решение —
23 встречи в открытом море, если не считать встреч: в Гавре во
время отбытия и в Нью-Йорке в момент прибытия парохода.
§ 7. Скорость в неравномерном движении. В предыдущем па
раграфе мы установили, как нужно определять скорость в равно
мерном движении. Величина скорости находится в результате деле
ния расстояния As, пройденного в какой-нибудь промежуток вре
мени А/, на величину этого промежутка. При графическом изображении
движения от величины скорости зависит наклон прямой, изображаю
щей данное равномерное движение, а именно: чем больше скорость
движения, тем круче поднимается определяющая это движение
прямая.
Теперь решим вопрос, каким образом определяется скорость
в неравномерном движении.
Прежде всего, если не требуется особой точности, мы можем
говорить о средней скорости за некоторый промежуток времени.
Чтобы определить, например, среднюю скорость, поезда во время
его движения из Москвы в Ленинград, нужно расстояние от Москвы
до Ленинграда разделить на общее . время, которое поезд находился
в пути. Таким образом, средняя скорость определяется по той же
формуле (1), по какой вычисляется и скорость равномерного дви
жения. Это позволяет нам ввести следующее определение: средней
скоростью неравномерного движ ения за некоторый промежуток
времени называется т акая скорость равномерного движ ения, при
которой тело за тот же промеж уток времени проходит то же
самое расст ояние.
Конечно, такого рода определение не даёт вполне точного
представления о движении. Так, в примере с поездом последний
во время поездки из Москвы в Ленинград двигался иногда быстрее,
иногда медленнее, а иногда и вовсе стоял на станциях. Если
мы желаем дать более точное представление об изменении ско
рости поезда, то мы должны задать среднюю скорость его за
первый час движения, за второй, третий и т. д. Если бы мы за
хотели добиться ещё большей точности, то должны были бы опре
делить скорость за первую минуту, за вторую, третью и т. д.
В железнодорожной практике вряд ли приходится пользоваться
более мелкими промежутками времени, но теоретически можно время
подразделять на ещё более и более мелкие части (секунды, десятые
доли секунды и т. д.), и, следовательно, можно определять скорость
для всех таких промежутков. Чем меньше будет выбранный проме
жуток, тем меньшую ошибку мы сделаем, считая движение за этот
промежуток времени равномерным. При графическом представлении
26
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
[ГЛ. 1
движения это равносильно тому, что чем меньше промежуток вре
мени (следовательно, чем меньше соответствующий участок кривой
движения), тем точнее мы можем считать рассматриваемое движение
в течение этого промежутка времени равномерным и, следовательно,
с меньшей ошибкой можем такую часть кривой движения заменить
прямой линией. Если этот промежуток времени будет совсем малым —
сведётся, как говорят, к одному моменту, — то скорость в этот
момент может быть определена как наклон кривой в данной точке,
или как наклон прямой, заменяющей этот отрезок кривой. Эта пря
мая называется касательной в данной точке. Пусть, например, тре
буется (фиг. 11) определить скорость неравномерного движения,
изображаемого на графике кривой О А А гК» Чтобы найти скорость для
момента t — \ сек, нужно взять на кри
вой точку А, дающую положение дви
жущегося тела в момент t = 1 сек,
продолжить эту кривую по её направ
лению, т. е. провести касательную АС,
затем отложить по горизонтали отрезок
А В , равный одной секунде, и в точке
В восстановить перпендикуляр В С до
пересечения с касательной. Тогда отре
зок В С даёт нам то расстояние, кото
рое было бы пройдено телом за одну
секунду, если бы в течение этой секунфиг. 11.
ды тело двигалось со скоростью, кото
рую оно имело в момент её начала. На
нашем чертеже эта скорость, измеряемая отрезком ВС, будет ра
вняться 3 м в секунду. Аналогично хмы можем определить скорость
и для момента t — 2 сек, построив касательную A xCt и определив
её наклон; она будет измеряться отрезком В 1С1, равным в нашем
масштабе ИД м , что соответствует скорости 1*Д м в секунду.
Продолжая таким образом, мы можем определить скорость для лю
бого момента времени t .
Если в точке, соответствующей данному моменту, кривая идёт
горизонтально (точка А х фиг. 11), то наклон касательной, а следо
вательно, и скорость будут равняться нулю. Мы будем для этого
момента иметь остановку тела на мгновение, после чего оно в нашем
примере изменяет направление своего движения и поворачивает
назад; вследствие этого расстояние движущейся точки от начальной
уменьшается.
На фиг. 12 показано определение скорости в случае приближе*
ния движущейся точки к начальной. В этом случае касательная будег
направлена вниз (точка С будет находиться ниже В); величина ско
рости будет попрежнему измеряться длиной отрезка ВС (в нашем
случае 3,5 м в секунду), но сама скорость в данном случае уже
будет отрицательной.
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ СКОРОСТЕЙ.
27
Когда точка движется по прямой, то знак скорости указывает
нам направление движения: если точка движется в ту сторону, в ка
кую происходит возрастание расстояния от начальной точки, то ско
рость её берётся со знаком -J-; если же точка движется в проти
воположном направлении, то скорость её берётся со знаком — .
В движении по прямой возможны только два направления — положи
тельное и отрицательное; в движении же по криволинейной траек
тории направление движения будет всё время меняться (фиг. 13).
В этом случае условились
скорость изображать отрез
ком прямой, направление
которой совпадает с напра
влением движения в данной
точке, т. е. с направлением касательной к траектории; длина от
резка даёт в известном масштабе величину скорости в рассма
триваемом месте: такого рода величины, которые характеризуются
не только величиной, но и направлением, называются векторными
величинам и или векторами. Таким образом, скорость есть век
торная величина, направление которой определяется направлением
касательной в данной точке траектории, а величина — расстоянием,
которое было бы пройдено точкой в единицу времени, если бы точка
двигалась в течение этого времени равномерно со скоростью, кото
рую наша точка имела в начале этой единицы времени.
§ 8. П араллелограм м скоростей. Параллелограммом скоростей
называется построение, которое позволяет определить величину
скорости в сложном движении точки, когда последняя принимает
одновременно участие в двух движениях.
Зададим себе вопрос, каким образом точка может участвовать
в двух движениях. Пусть точка движется равномерно по некоторой
прямой Л Д причём в течение некоторого времени (например, одной
секунды) одна из точек А этой прямой попадает в точку С (фиг. 14).
Пусть одновременно с этим прямая А В передвигается параллельно
самой себе и притом так, что точка А через то же самое время
(в нашем примере через одну секунду) переходит в точку С,
а точка В в точку D. Тогда АС будет равна и параллельна B D f
так что фигура A B C D есть параллелограмм. Движение ^точки А по
28
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
[гл. 1
прямой А В мы назовём относительным, а движение самой пря
мой А В , в результате которого она занимает положение C D , мы
назовём переносным движением. Переносное движение происходит
относительно некоторой неподвижной системы отсчёта, например,
Земли. Таким образом, движущаяся по прямой А В точка участвует
в двух движениях — относительном и переносном: спрашивается,
каково будет движение этой
точки относительно непо
движной системы отсчёта —
Земли. Такое движение на
зывают абсолютным и рас
сматривают как результат
сложения переносного и о т
носительного движений.
Нетрудно
определить,
где будет находиться через
одну секунду наша точка,
которая вышла из Л и дви
жется по прямой А В . Если
бы прямая А В была неподвижна, то точка через секунду оказалась бы
в точке В . Но одновременно с этим прямая А В сама перемещается,
и через одну секунду точка В окажется в точке D. Таким образом,
наша точка в абсолютном движении за одну секунду перейдёт из
А в конец D диагонали параллелограмма A B C D , построенного на
перемещениях А В и CD. Легко видеть, что в абсолютном движении
наша точка перейдёт из А в D, оставаясь всё время на этой диаго
нали. Действительно, возьмём промежуток времени, который в ни
сколько раз меньше одной секунды (на нашем чертеже в 6 раз).
Тогда за одну шестую долю секунды точка переместится по прямой
А В на одну шестую часть расстояния А В (пусть это будет А В Х) 9
в то же время сама прямая переместится переносным движением на
расстояние А С и которое тоже будет в 6 раз меньше расстояния АС.
В результате сложения обоих этих движений точка через одну шестую
долю секунды окажется в D x( причём параллелограмм A B 1D 1Ci по
добен параллелограмму A B D C и диагональ его A D X будет совпадать
с диагональю A D параллелограмма A B C D . Продолжая рассуждать
таким же образом, мы убедимся, что ещё через одну шестую долю
секунды движущаяся точка переместится в абсолютном движении
из D x в D 2) затем в D 3, D 4, D 3, причём все эти точки будут ле
жать на диагонали нашего параллелограмма. Отрезки А В и А С
выражают путь, проходимый точкой А за одну секунду в относи
тельном и переносном движениях. Поскольку скорость измеряется
путём, проходимым в одну секунду, мы можем отрезки А В и А С
принять за векторы, изображающие относительную и переносную
скорости точки А . В абсолютном же движении точка переместится
из А в D по направлению диагонали параллелограмма, построенного
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ СКОРОСТЕЙ
29
па переносной и относительной скоростях А В и АС. Таким образом,
скорость абсолютного движения изобразится вектором АО , так как
он, во-первых, совпадает с направлением абсолютного движения
точки от А к D и, во-вторых, численно будет равен пути (отрез
ку) A D , проходимому за одну секунду в абсолютном движении
ТОЧКИ.
Мы таким образом пришли к следующему выводу:
П ри слож ении двух равномерных прям олинейны х движений__
переносного и относительного — скорость абсолютного движения
по величине и направлению равна вектору — диагонали парал
лело гр а м м а , построенного на вект орах переносной и относитель
ной скоростей.
Это положение носит название закона параллелограмма ско
ростей.
Отметим, что нет никакой надобности при сложении скоро
стей чертить весь параллелограмм A B C D (фиг. 15); можно обой
тись его половиной A B D — так называемым треугольником ско
ростей\
Таким образом, для получения абсолютной скорости A D можно
поступать так: откладываем одну из наших скоростей, например,
В
aj А----------- э—
ШФиг. 16.
относительную скорость А В ; потом от конца В вектора относитель
ной скорости откладываем по величине и направлению BD — вектор
переносной скорости. Соединяя начальную точку А первого вектора
с конечной точкой D второго, получим по величине и направлению
вектор A D абсолютной скорости.
К тому же самому результату мы пришли бы и в том случае,
если бы сначала отложили вектор Л С переносной скорости, а затем
от его конца С вектор CD относительной скорости, равный и па
раллельный вектору А В . Таким образом, всё дело свелось бы
только к тому, что вместо половины A B D параллелограмма мы взяли бы
другую его половину A C D . .
Если векторы А В и B D имеют одно направление, то диагональ
параллелограмма A D будет равняться просто сумме отрезков, изо
бражающих эти векторы (фиг. 16, а). Если же эти отрезки имеют
прямо противоположные направления (фиг. 16,£), т0 диагональ AD
будет равна разности обоих отрезков А В и B D . Во всех остальных
30
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
[гл. I
случаях, когда векторы направлены друг к другу под некоторым
углом, как нетрудно видеть, диагональ будет меньше суммы, но
больше разности обоих отрезков. Таким образом, абсолютная ско
р о с т ь будет не больше суммы и не меньше разности относительной
и переносной скоростей.
Вышеуказанная операция построения диагонали параллелограмма
носит название геометрического слож ения, а сама диагональ назы
вается геометрической суммой векторов, изображаемых сторонами
параллелограмма. Необходимо только иметь в виду, что при по
строении параллелограмма векторов как оба складываемые вектора
(А В и А С на фиг. 15), так и вектор, получающийся в результате
их сложения (A D на той же фигуре), должны иметь своё начало
в одной и той же точке А . Это замечание важно в том отношении,
что оно позволяет решить вопрос, какую из двух диагоналей парал
лелограмма (A D или ВС) нужно взять, чтобы получить сумму обоих
складываемых векторов (в нашем случае это будет, конечно, диаго
наль A D ).
При практическом применении закона параллелограмма скоро
стей необходимо всегда помнить, что абсолютная скорость вы
ражается геометрической суммой относительной и переносной ско
ростей; применяя этот закон, надо разобраться, какая скорость
является переносной, какая относительной и, наконец, какая аб
солютной.
Пример 4. Скорость моторной лодки в спокойной воде равна и,
скорость течения реки v . Определить, сколько времени потребуется
для того, чтобы пройти туда и обратно расстояние d между двумя
городами.
Пусть моторная лодка сначала идёт вниз, по течению. Тогда
скорость ее и относительно воды будет относительной скоростью,
скорость течения реки v — переносной скоростью, а скорость лодки
относительно неподвижных берегов — абсолютной скоростью. Так
как переносная и относительная скорости направлены в одну сторону,
то абсолютная скорость лодки будет u - \ - v и время, затраченное
на прохождение расстояния dy будет:
t -
А
и+ о *
При обратном путешествии против течения абсолютная скорость
будет и — v, и теперь на прохождение расстояния d потребуется
время:
Нетрудно показать, что в самом общем случае время t = t i -^ - t2
будет больше того, которое необходимо для прохождения туда
31
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ СКОРОСТЕЙ
и обратно расстояния d в спокойной воде. В самом деле!
f— f
I./ _
1 ‘
d
_______
2
| _ d
d (а — v) + d (и -f- v )
_________________________
U + V 1 и— v
{и + v) {и — v)
2 da
u?— vz
Разделив числитель и знаменатель на и2, получим;
1
и
2d
В этой формуле — есть время, необходимое для прохождения рас
стояния 2d в спокойной воде; эта величина делится на выражение
1—
, которое меньше
единицы:
в результате
такого деления
получается величина, большая делимого, причём она будет тем
больше, чем скорость течения реки v ближе к скорости лодки и.
Если бы v оказалась равной к, то знаменатель этого выражения
обратился бы в нуль и время движения стало бы бесконечно боль
шим. Действительно, лодка, проплывши
расстояние d вниз по течению, никак не
могла бы подняться вверх.
Пример б. Пловец желает переплыть
реку по кратчайшему расстоянию из точ
ки Л в лежащую прямо напротив точку
В . Если известны скорость и пловца
относительно воды, скорость v течения
реки и ширина реки d , то под каким углом
а к прямой А В он должен плыть и сколь
ко времени займёт переправа (фиг. 17).
При переправе по кратчайшему расстоянию абсолютная скорость w
пловца относительно берегов должна бытьнаправлена от А к В. С другой
стороны, эта скорость будет равна геометрической сумме относитель
ной скорости пловца и и переносной v. Значит, пловец должен
держать курс несколько вверх по течению и плыть к направлению
А В под углом а, который мы получим, построив прямоугольный
треугольник A K L , в котором гипотенуза А К равна относительной
скорости пловца и, катет KL — переносной скорости v реки; второй
катет A L даёт абсолютную скорость w пловца. Отношение катета,
противолежащего данному острому углу, к гипотенузе называется
синусом угла. В нашем случае синус искомого угла а будет рав-
KL
v
Ке,
, Абсолютная скорость w
пловца равна
будет У и 1— v l (по теореме Пифагора о квадрате
а время, которое уйдёт на переправу, будет:
гипотенузы),
пяться отношению
32
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
[гл. 1
Заметим, что если бы требовалось переплыть реку в кратчайшее
время, тонадо было быдержать курс прямо на
точку В . В этом
случае пловцаотнесло бы вниз по течению (фиг. 18), и он вместо
расстояния А В проплыл бы расстояние А С , причём он плыл бы со
скоростью AL, равной геометрической сумме скоростей А К = и
и KL = v . Из подобия треугольников
A B C и A K L нетрудно видеть, что вели
чина А В во столько раз больше А/С,
во сколько раз А С больше AL; други
ми словами, в нашем случае для пере
правы потребуется столько же времени,
сколько нужно для переправы в спокойной
d
воде, т. е. — .
Пример 6. Прямоугольный клин K M N ,
длина которого К М — а, а высота K N = h ,
движется горизонтально
со скоростью v и при своём движении
подымает вертикальный штифт А В .
Определить скорость
w подъёма этого штифта
(фиг.19).
Исследуем движение
точки А штифта. Относительно неподвиж
ных стенок она движется вертикально вверх со скоростью w , по
отношению к клину идёт с какой-то относительной скоростью и от
М к N и, наконец, сам клин дви
жется с переносной скоростью v
вправо.
Так как абсолютная скорость w
равна сумме переносной и относи
тельной скоростей v и и, то для
получения её поступаем так: по
горизонтали откладываем отрезок
PQ, равный скорости v; из конца Q
проводим прямую QR параллельно
M N , т. е. по направлению отно
сительной скорости и до пересечения с восстановленным из Р
перпендикуляром PR, который даёт направление абсолютной ско
рости w. Тогда искомая абсолютная скорость w изобразится
отрезком PR. Из подобия треугольников K M N и PQ R получаем:
Фиг. 18.
PR
PQ
KN
w
,/ . 7 ИЛИ
КМ
v
откуда искомая скорость w будет равна:
h
W= V— .
а
h
■"
а
§
9]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО-ПУТИ ПО ГРАФИКУ СКОРОСТЕЙ
33
§ 9. Вычисление пройденного пути по графику скоростей.
Вычислив значения скоростей для различных моментов времени, мы
можем изобразить графически изменение скорости со временем. Для
этого возьмём две взаимно перпендикулярные прямые — оси коорди
нат. На горизонтальной оси будем откладывать отрезки, изобра
жающие прошедшее от начала движения время t = 1, 2, 3 и т. д.
секунд, а на вертикальной — соответствующие этим моментам ско
рости V. Это построение будет происходить совершенно так же,
как при графическом изображении расстояния движущейся точки на
фиг. 6; только теперь измеряемые по вертикали отрезки будут вы
ражаться не в единицах длины (см, м), а в единицах скорости
(т. е. в см/сек, м /сек и т. д.).
Пусть рассматриваемое нами движение будет равномерным. Так
как в равномерном движении скорость остаётся постоянной, то все
концы откладываемых по вертикали v См/сек
отрезков, изображающих значения
скорости для различных моментов,
окажутся на прямой, параллельной
горизонтальной оси, по которой 3
откладываются времена. На фиг. 20 ^ .
изображён график скоростей для
равномерного движения со скоростью
^
_____________
v
3 см/сек, продолжающегося в тече- q
ние 7 секунд. Если мы хотим опре1 2 3 Ч 5 6 1 сек
делить путь, пройденный за эти 7
Фиг. 20.
секунд, то должны скорость движе
ния 3 см/сек, изображаемую отрезком ОС, попшожить на вре
мя движения 7 секунд, изображаемое отрезком ОА. В результате
получим 3 см/сек X 7 сек — 21 см. Эта величина представляет
площадь прямоугольника О АВС , ограниченного осью времён ОА,
линией графика скоростей СВ и двумя прямыми ОС и А В , которые
соответствуют начальному и конечному моментам движения t = 0
и t = l сек. Таким образом, в равномерном движении пройденный
путь изображается площадью прямоугольника, построенного на от
резках ОА и ОС, изображающих время и скорость движения, или,
другими словами, площадью, заключённой между линией графика
скоростей, осью времён и двумя прямыми (так называемыми орди
натами), соответствующими начальному и конечному моментам дви
жения.
Если движение будет неравномерным, то значения скорости для
различных моментов времени не будут одинаковыми, и график ско
ростей будет представлен не прямой, а какой-то кривой линией
(фиг. 21). Но мы можем в течение достаточно малого времени
любое неравномерное движение считать равномерным. Пусть, напри
мер, мы возьмём промежуток времени между двумя моментами t, из
меряемыми отрезками Оа и ОЪ\ величина промежутка времени между
3
Зак. 667. И. Н . Веселовский
34
РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ. СКОРОСТЬ
[гл. 1
этими моментами будет измеряться отрезком ab, который мы можем
считать достаточно малым. Для различных моментов времени внутри
этого промежутка скорость будет меняться между величинами ad
и b d ’, т. е. между наибольшим и наименьшим значениями скорости
в течение этого промежутка-. Чем меньше рассматриваемый проме
жуток, тем меньше будут различаться эти крайние значения как
между собой, так и от некоторого среднего значения скорости
k l в течение этого промежутка. Это среднее значение скорости
можно подобрать так, чтобы площадь прямоугольника abed равня
лась площади фигуры abe'd', ограниченной отрезком ab оси времён,
отрезком d d ' кривой графика и двумя ординатами ad и b d \ соот
ветствующими начальному и конечному моментам промежутка вре
мени ab. Но площадь abed представляет путь, пройденный со средней
скоростью k l в течение времени ab. Та
ким образом, площадь abc'd' будет пред
ставлять путь, пройденный точкой в не
равномерном движении за время ab. Если
мы весь промежуток времени OD разобьём
на такие достаточно малые промежутки,
причём в течение каждого из них прой
денный путь будет изображаться площа^ дью, ограниченной осью времён, отрез
ком графика скоростей и двумя ордина
тами, соответствующими начальному и ко
нечному моментам каждого промежутка,
то сумма всех таких площадей будет давать сумму всех путей,
пройденных за время, равное сумме всех промежутков ab. Ины
ми словами, путь, пройденный за время, изображаемое отрезком
OD, в неравномерном движении, изменение скорости в котором пред
ставляется кривой Л В С , будет равняться площади фигуры OABCD,
ограниченной осью времён О Д кривой графика скоростей Л ВС и двумя
ординатами ОЛ и CD, соответствующими начальному и конечному
моментам времени.
Чтобы определить единицы, в каких выражается это расстояние,
представляемое площадью OABCD, необходимо «перемножить» на
звания единиц, измеряющих скорость и время;
см
сек = см.
сек
ЗАДАЧИ.
1. Найти среднюю скорость поршня двигателя, если ход поршня равен
15 см, а коленчатый вал делает в минуту 1 ООО оборотов.
О т в е т : 500 см)сек.
2. Автомобиль прошёл в час 55 км. Определить его скорость в метрах
в секунду.
О т в е т ; 15,3 MjceK.
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ
3. Резец шеппинга в первую полусекунду прошёл 30 мм, во вторую
70 мм и в третью полусекунду 90 мм. Определить среднюю скорость за
первую секунду и за всё время движения.
О т в е т : 100 мм!сек, 127 мм!сек.
4. Дирижабль проходит со скоростью 20 м/сек расстояние 180 км между
двумя пунктами А и В. Сколько часов продолжается полёт при спокойном
воздухе? при попутном ветре со скоростью 5 м/сек?
при полёте против такого ветра?
О т в е т : 2,5 часа; 2 часа; 3 часа 20 минут.
5. Требуется обстрогать чугунную плиту, имеющую
в длину 2 м и в ширину 0,9 м. Определить время, необ
ходимое для обстрагивания всей поверхности плиты,
если стол строгального станка, на котором укреплена
плига, имеет скорость при рабочем ходе 180 мм/сек,
а при холостом 360 мм)сек и подача стола зд один
ход равна 5 мм.
‘
■
1
О т в е т : 50 мин.
6. Отвесно падающий дождь, попадая на угол А
стекла автомобиля, высота которого ДС = 0,5 м, остав
ляет след, который пересекает нижнюю сторону стекла
в точке В, отстоящей от стороны АС на расстоянии ВС = 25 см. З н а ^
что скорость автомобиля равна 72 км/час, определить скорость падения
дождевых капель (фиг. 22).
О т в е т ; 40 м/сек.
Г Л А В А 2.
РАВНОМЕРНОЕ ВРАЩЕНИЕ.
§ 10. Вращательное движение. Если в твёрдом теле закрепить
две точки, то возможность движения для такого тела ещё не исклю
чена; оно может поворачиваться вокруг проходящей через эти точки
прямой, носящей название оси
вращ ения. Все точки нашего
тела будут при этом описывать
окружности, центры которых
находятся на оси вращения и
размеры которых возрастаю т.
по мере увеличения расстояния
точки от оси вращения.
В качестве примера рас
смотрим вращающийся цилин
дрический вал, ось которого
ОО' вращается в подшипни
Фиг. 23.
ках О и О', закреплённых на
горизонтальной станине О А О 1А! (фиг. 23). Для того чтобы изу
чить вращение вала, нет надобности рассматривать этот последний
целиком. Посмотрим в торец О вала, представляющий круглое
сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к его оси. Легко
заметить, что, зная движение этого круга, мы будем знать движение
35
РАВНОМЕРНОЕ ВРАЩЕНИЕ
[Г Л .
2
и всех остальных круглых сечений нашего вала плоскостями, перпен
дикулярными к оси вращения, так как все такие сечения будут
вращаться совершенно одинаково; следовательно, мы будем знать
движение всех точек вала. Таким образом, вместо того, чтобы рас
сматривать движение всего вала в целом, достаточно ограничиться
изучением движения одного такого круглого сечения. Это, конечно,
уже большой шаг к упрощению изучения движения вала, но можно
пойти ещё дальше.
Если мы проведём в плоскости торцевого сечения какой-нибудь
радиус О В , то достаточно будет ограничиться изучением движения
одного этого радиуса, потому что и все остальные радиусы сечения
будут вращаться совершенно одинаково. В качестве радиуса ОВ
удобнее всего выбрать такой, который в начальный момент движе
ния находился в плоскости горизонтальной станины ОА и занимал
положение О В0. В таком случае положение движущегося радиуса ОВ
вполне определится, если мы будем знать угол В О В 0 = ср, образуе
мый в некоторый момент движущимся радиусом О В с его начальным
положением О В0. Этот угол ср носит название у г л а поворота во
вращательном движении и соответствует расстоянию в поступа
тельном движении. Если мы для любого момента времени t будем
знать соответствующее значение угла поворота ср, а следовательно,
и положение подвижного радиуса ОВ, то вращение движущегося
радиуса ОВ, затем торцевого сечения, а также и всего вала можно
считать вполне определённым.
§ 11. Р авном ерное вращ ение и угловая скорость. Если изу
чаемое вращ ение'таково, что в равные промежутки времени тело
поворачивается на одинаковые углы, то оно называется равномерным.
В § 5 скоростью равномерного движения мы назвали отношение
пройденного пути ко времени, в течение которого последний был
пройден, т. е. частное от деления пути на время. Аналогичным обра
зом, изучая равномерное вращение, в качестве величины, измеряю
щей быстроту его, мы возьмём угловую скорость, представляющую
отношение угла поворота к соответствующему промежутку времени.
За единицу скорости в равномерном движении мы принимали ско
рость такого движения, при котором в единицу времени (час, минуту
или секунду) проходится единица длины (километр, метр или санти
метр). Аналогично этому за единицу угловой скорости мы примем
угловую скорость такого разномерного вращения, в котором за еди
ницу времени (секунду или минуту) тело поворачивается на угол,
равный единице. Какой же угол принять за единицу? В геометрии
углы измеряются или в долях полного оборота, или в градусах,
или, наконец, в радианах. На практике за единицу угла принимается
полный оборот; поэтому практической единицей угловой скорости
будет скорость такого равномерного вращения, при котором тело
делает оборот в одну минуту (соответствующая единица угловой
скорости обозначается сокращённо об/мин), или в одну секунду
ЛИ НЕЙН АЯ
И О К РУ Ж Н А Я
СКОРОСТИ
37
{об/сек) \ выраженную в таких единицах угловую скорость обозначают
соответственно буквой N или п.
В теории же за единицу угловой скорости удобнее принимать
угловую скорость, при которой тело за единицу времени (секунду)
поворачивается на один радиан; соответствующую единицу угловой
скорости обозначают г/сек, а выраженную в таких единицах угловую
скорость принято обозначать греческой буквой ш (омега). Не
обходимо хорошо освоиться с обеими этими единицами и уметь
угловую скорость, выраженную в одних единицах, переводить
в другие.
Пусть тело делает п оборотов в секунду; требуется найти угло
вую скорость о. На основании определения угловой скорости послед
няя будет равна числу радианов, на которое тело повернётся в одну
секунду. Каждому полному обороту тела соответствует угол в 360°
или
радианов (так' как радиус укладывается в полной окружности
2тс раз). Поэтому в течение п оборотов, совершаемых в одну секунду,
тело повернётся на
радианов. Следовательно, мы сможем напи
сать
со 1/сек = 2ъп об/сек.
(3)
Если угловая скорость задаётся числом оборотов в минуту /V, то
для того, чтобы получить число оборотов в секунду, мы должны
N разделить на 60. Формула перехода в таком случае будет:
2irN
со 7 сек = - g g - =
kN
-gg- об]мин.
(4 )
Если не требуется особенно большой точности, то можно число
т с 3,14 принять равным 3; тогда формула (4) примет вид
со 1/сек = ~ N об/мин.
Форхмулы (3) и (4) дают возможность определять число оборотов
или величину угловой скорости при равномерном вращении.
Пример 7. Найти угловую скорость вала, делающего 12 оборо
тов в минуту.
Применяя формулу (4), получаем:
<■>=
^ - = ^ = 1 ,2 6
Усек.
§ 12. Л инейная и о круж н ая скорости. Покажем теперь, как по
угловой скорости тела найти скорость различных его точек, нахо
дящихся на заданных расстояниях от оси вращения. Эти скорости,
в отличие от угловой, носят название линейны х. Угловая скорость
будет одна и та же для всего вращающегося тела, линейные же
скорости для различных точек будут различны.
38
РА ВН О М ЕРН О Е
ВРА Щ ЕН И Е
Пусть тело вращается вокруг оси, перпендикулярной к плоскости
чертежа и пересекающей её в некоторой точке О (центр вращения
фигуры сечения тела плоскостью чертежа). Требуется найти ско
рость точки А , лежащей на расстоянии г см от оси вращения О
(фиг. 24). Скорость этой точки в сантиметрах
в секунду численно будет равна выраженному
\ в сантиметрах пути, проходимому точкой А
\ в одну секунду. Если угловая скорость тела
I равна о)1/ше, то в одну секунду оно повернётся на угол ср, равный со радианов. Длина дуги
А А которую за это время опишет точка А,
Фиг. 24.
равна произведению радиуса г на выражен
ный в радианах центральный угол А О А '. Так как в нашем случае
о = со, то дуга А А ' будет равна юг. Отсюда мы получим:
v см/сек = (л х/сек тем
или, отбрасывая наименование скорости (см/сек),
v = сог.
(5)
Если мы рассматриваем вращающийся вокруг оси круглый вал
или шкив, то линейная скорость точек, лежащих на окружности вала
или шкива, носит название окруж ной скорости. Если D есть диа
метр вала или шкива, то окружная скорость v Q будет;
Формула (5) является одной из очень важных формул техни
ческой механики.
Пример 8. Длина г минутной стрелки часов на Спасской башне
Московского кремля равна 3,56 ж — 356 см. Чему равна скорость
конца этой стрелки в сантиметрах в минуту (предполагается, что
стрелка движется непрерывно и не скачками).
Минутная стрелка описывает полную окружность, т. е. угол
в 360° или 2тс радианов в 60 минут = 60*60 секунд; поэтому
угловая скорость минутной стрелки равна
со 7 "сек — —
'6 0 . 60*
П о д с тав л яя значения со и г в ф ор м у л у (5 ), получим
ЛИ Н ЕЙ Н А Я
И
О К РУ Ж Н А Я
39
СКО РО СТИ
Умножая на 60, получим скорость в сантиметрах в минуту:
2 тс • ео
60- 60
356 см/мин = Ъ1
см/мин.
Пример 9. С какой скоростью должен лететь горизонтально
самолёт на широте Ленинграда, чтобы иметь Солнце постоянно над
собой ? Расстояние Ленинграда от оси вращения Земли равно 3 200 км.
Для того чтобы эго было возможно, самолёт должен вылететь
в полдень и лететь противоположно направлению вращения Земли,
т. е. с востока на запад (Земля вращается с запада на восток), со
скоростью, равной окружной скорости частиц, лежащих на поверх
ности Земли на широте Ленинграда. Угловая скорость Земли в ра
дианах в час будет:
24
тс 1
12 час *
Окружная скорость точек земной поверхности на широте Ленинграда
будет
3,14
_»
хZt
1
оолл
3,14 • 3 200
. — . з 200 к м = - — тх
нас
Хи
00_
.
= 837 км /час.
Двигаясь с такой скоростью на запад, самолёт всё время будет
занимать одинаковое положение между Землёй и Солнцем, и, следо
вательно, лётчик будет иметь всё время Солнце почти над своей
головой.
Пример 10. Скоростью резания называется та скорость, с кото
рой резец перемещается по обрабатываемому телу. Если резец не
подвижен, а тело вращается, то мы будем иметь случай вполне
аналогичный предыдущему примеру, где самолёт по отношению
к Солнцу остаётся неподвижным, а Земля как бы уходит из-под
него. Это обстоятельство позволит нам, несмотря на совершенно
различные условия обеих задач, применить одинаковые способы их
решения; скорость резания при неподвижном резце равна окружной
скорости обтачиваемого тела.
Пусть на патронном станке обтачивается шкив диаметром
D = 2 000 м м при диаметре отверстия ступицы ^ = 175 мм.
Сколько оборотов в минуту должен делать шкив при обточке обода
и расточке ступицы для того, чтобы скорость резания составляла
150 м м /сек?
В этой задаче по окружной скорости и радиусу вращения
требуется определить число оборотов в минуту. Формула (5) при
нимает вид
40
РА В Н О М Е РН О Е
[гл. 2
В РА Щ Е Н И Е
откуда найдём число оборотов в минуту:
2 • 30 • v
N = ■ тсD
Подставляя v = 1 5 0 м м /сек, D в одном случае 2 000 мм, а в дру
гом 175 мм, будем иметь:
— 2 2 QQQY ° = *>^3 об/мин (обточка обода),
Л^ = -2- 1у5 *71.15^ = 16,36 об/мин (расточка ступицы).
Пример 11. Скоростью шлифования называется скорость переме
щения шлифующего инструмента по обрабатываемому изделию.
Пусть шлифовальный круг делает
800 оборотов в минуту. На каком расстоя
нии г от оси вращения нужно поместить
обрабатываемое изделие А , чтобы по
лучить скорость шлифования v = 25 м/сек
(фиг. 25).
Угловая скорость, соответствующая
800 об/мин, на основании формулы (4)
равна
тс АГ
800 тс
1
--------— .
(q = —
N = —-к
30
30
сек
Фиг. 25.
Подставляя это значение ш и задан
ную скорость ш лиф ования^ = 25 м/сек в формулу (5), получим
800тс
25 ~~ 30 Л
откуда
800 тсл
0,3 .к = 30 см.
§ 13. План скоростей во вращ ательном движении. Если мы за
хотим графически изобразить, как меняются скорости различных
точек радиуса вращающейся фигуры, то получим построение, нося
щее название плана или карт ины скоростей. Пусть О будет центр
вращения, ОВ — движущийся радиус (фиг. 26). Для точки А , ле
жащей на расстоянии ОА = г от центра О, скорость будет Va —
Выбрав определённый отрезок за единицу скорости, построим ско
рость каждой точки перпендикулярно к радиусу вращения по напра
влению вращения. Так как угловая скорость будет одна и та же для всего
ПЛАН
С К О РО С ТЕЙ
ВО
ВРА Щ А ТЕ Л ЬН О М
41
ДВИ Ж ЕН И И
радиуса О В , то линейные скорости различных точек радиуса ОВ б у дут
пропорциональны их расстояниям г от центра О. Из этого следует,
что концы векторов, изображающих скорости различных точек
радиуса, расположатся все по одной прямой, которая пройдёт через
центр вращения О. Полученное построе
ние имеет форму треугольника, а поэтому
г * /
его иногда называют также треугольником
0^
скоростей.
^
/ 1
1
Это построение имеет большое значение
1
при графическом решении задач, связанных
с передачей вращательного движения.
8
Покажем, как при помощи треугольника
Фиг. 26.
скоростей определить графически угловую
скорость вращательного движения, если известна скорость какойнибудь точки. На фиг. 27 точка О есть центр вращения, ОА —
= /' — радиус вращения, A K = v — линейная скорость точки А %
Угловая скорость
<ю по
формуле (5) будет равна -у-; следова
тельно, на чертеже со будет представлена отношением катетов ^
Сл/х
„
Это отношение называется наклоном прямой ОК или танген
сом угла К О А = 9, образуемого линией ОК с горизонтальным
радиусом О А . Чем больше угловая скорость вращения, тем больше
будет наклон прямой ОЛТ, тем круче будет
подниматься она по отношению к горизон
тальному радиусу ОА.
Это построение па практике применяется для
графического построения так называемой ном о
грам м ы nvD%позволяющей по двум любьнм за
данным величинам из п (числа оборотов в мину
ту), v (окружной скорости) и D (диаметра вала
или шкива) определить третью.
Возьмём оси координат и будем по горизонтали откладывать значения
диаметра в миллиметрах, а по вертикали значения окружной скорости
в метрах в секунду. Если мы зададимся определённым значением угло
вой скорости — числом п оборотов в минуту, то по значению диаметра D
мы можем по известной формуле (5) определить и значение окружной
скорости V. Возьмём для примера п = 400 об/мин, D — 300 мм и вы
числим для этих значений величину окружной скорости v в меграх в
секунду.
Формула (5), взятая в виде v0
тсп D
30' 2
тс • 400 • 300 мм
30 • 2
сек
даёт нам:
тс . 400 300 м
2 * 30 * 1000 сек
g 23 м
*
сек'
Теперь отложим по горизонтальной оси £> = 300 мм, по вертикаль
ной г/0 = 6 ,2 8 м/сек (фиг. 28) и проведём из полученных точек горизонталь-
42
Р А В Н О М Е РН О Е
В РА Щ Е Н И Е
[ГЛ .
2
ную и вертикальную прямые до пересечения их в точке К. Эту точку К мы
соединим с точкой О — началом координатных осей. Сравнивая полученную
фигуру с предыдущей, нетрудно заметить, что прямая О К на фиг. 28 полно
стью соответствует линии ОК на фиг. 27 и угол наклона прямой ОК на
обеих фигурах будет соответствовать заданной угловой скорости. Поэтому
мы и подписываем над прямой ОК: п = 400 об/мин.
При помощи такого построения нетрудно для любого значения диамет
ра и заданной угловой скорости, соответствующей 400 об/мин, опреде
лить окружную скорость. Например,
им/сек-..
пусть задан диаметр вала £>г—250 мм.
Тогда на горизонтальной оси нужно
отложить отрезок ОС, соответствую
щий в выбранном масштабе значению
диаметра Д = 250 мм, из полученной
точки С восставить перпендикуляр
CL до пересечения с прямой числа
оборотов ОК и из точки пересечения
L провести горизонтальную прямую
LM до пересечения её с’ вертикаль
ной осью. Полученная на вертикаль
ной оси отметка и даёт нам величину
окружной скорости в м/сек; в нашем
примере
= 5,25 м/сек. На фиг. 28
построена только одна прямая ОК, соответствующ ая 400 об/мин. Но такие
прямые ОК можно построить для различных чисел оборотов в минуту.
Тогда мы получим целый пучок прямых, выходящих из точки О. При по
мощи этих прямых мы можем для любого заданного числа оборотов
в минуту определить величину окружной скорости v Q по значению диа
метра D и обратно.
Если требуется по заданным v и D найти подходящую величину числа
оборотов п, то нужно поступить так: заданные величины v и D в выбран
ных масштабах отложим по вертикальной и горизонтальной осям и из
полученных точек пересечения проведём прямые, параллельные осям, как ML
и CL на фиг. 28.
Обе прямые встретятся (пересекутся) на одной из прямых ОК, прохо
дящих через точку О. Число оборотов, соответствующее этой прямой,
и будет искомым.
ЗАДАЧИ.
7. Шкив диаметром 1 000 мм в 1 секунду поворачивается на 180°. Опре
делить линейную скорость на окружности шкива.
О т в е т : 157 см/сек.
8. Вычислить угловую скорость шкива, делающего 120 об/мин, и линей
ную скорость точки на ободе, если диаметр шкива равен 800 мм.
О т в е т : ю = 4тс \/сек, v = 5,02 м/сек.
9. Найти угловую скорость колеса трактора диаметром 1,5 м, идущего
со скоростью 12 км.час.
О т в е т : 4,44 1/сек.
10. Требуется обточить железный вал диаметром ^ = 8 0 мм и длиной
/ = 4 , 5 м. Определить необходимое для обточки время, если скорость реза
ния 200 мм/сек и подача на один оборот шпинделя 0,5 мм.
О т в е т : 11 250 сек = 3 часа V/%мин.
РЕМ ЕННАЯ П ЕР Е Д А Ч А
43
11. Круговая пила имеет диаметр 850 мм; окружная скорость равняется
32 м/сек. Определить число оборотов в минуту.
О т в е т : 720 об/мин.
12. В чугунном фланце нужно пробуравить отверстие 14 мм в диаметре.
Сколько оборотов в минуту должен делать спиральный бурав, если окруж
ная скорость равна 12 м/мин.
О т в е т : 271 об/мин.
Г Л А В А
3.
ПЕРЕДАЧА ВРАЩЕНИЯ.
§ 14. Р ем ённая передача. Пусть у нас имеются два вала А и В
с параллельными осями, диаметры которых соответственно равны
D t и 1)2 (фиг. 29). Пусть первый — ведущий вал А вращается
с заданной угловой скоро
стью Юл (N r об/мин) и тре
буется передать с него вра
щение на второй — ведомый
вал В . Для этого на оба
вала одевают кожаный или
из другого материала ремень
так, чтобы он плотно при
легал к каждому валу (иначе
при вращении будет проис
Фиг. 29.
ходить скольжение ремня
по валу). Тогда при вращении вала А будет двигаться и облегающий
его ремень, который, в свою очередь, заставит вращаться и вто
рой вал В . При этом в случае открытой передачи (фиг. 29) оба
вала будут вращаться в одну сторонз^ а в случае перекрёстной
(фиг. 30) — в противопо
ложные стороны (на фигу
рах это показано стрелка
ми). Требуется найти угло
вую скорость со2 ведомо
го вала.
Мы будем считать, что
скольжение между валом и
ремнём совершенно отсут**
Фиг. 30.
ствует; тогда скорость дви
жения ремня должна рав
няться окружной скорости каждого из шкивов. Сравнивая выражения
окружных скоростей, взятые из формулы (5), получим
<o1D 1 = a > aD a.
(б )
Формула (6) является основной формулой для подсчёта угловых
скоростей при передаче вращения.
44
ПЕРЕДАЧА
ВРА Щ ЕН И Й
[гл. 3
Из формулы (6) определяем угловую скорость ведомого вала:
Di
_
0)2 — Ш1
•
Если вместо
и <о.2 подставить их выражения в числах оборотов
в минуту N x и Л/а по формуле (4), то совершенно аналогично
получим
=
(7)
Отношение
й-*
называется передаточным числом. Если k больше единицы (диа
метр ведущего вала больше диаметра ведомого), то ведомый вал
вращается быстрее ведущего; если k меньше единицы (диаметр
ведомого вала больше), то ведомый вал вращается медленнее веду
щего.
Кроме того, условились считать k положительным для откры
той передачи и отрицательным для перекрёстной передачи.
Пример 12. Два вала А к В соединены бесконечным ремнём,
передающим вращение от А к В . Ведущий вал делает N x = 150 об)мин.
На ведомом валу, который должен давать 7V2 = 375 об)мин, сидит
шкив диаметром D 2 = 250 мм. Какого диаметра D x шкив должен
сидеть на ведущем валу?
Подставляя заданные значения в формулу (7), получаем
n
=
п N2
250 . 375
Г50 - — 625
Пример 13. У простого токарного станка маховик диаметром
D x = 75 см соединён ремённой передачей со шкивом диаметром
D%= 18 см9 сидящим на той же оси, к которой прикреплены пат
рон и обтачиваемый предмет. Токарь делает в минуту 40 нажимов
на педаль, давая маховику каждый раз один оборот. Определить
скорость резания, если остриё резца находится на расстоянии 5 = 25 мм
от оси вращения.
Искомая скорость v будет равна o)2s, где ш2 есть угловая скорость
вращения патрона. Согласно формуле (6) она будет
Dx
2тс . 40 .---75
m.
i __ ------(Qrt --- C
O. —_
2
1 £>»
60
18
1/сек,
следовательно:
v = 2 • 3,14 . jjjj7 -yg • 25 мм/сек — 43,6 cMfceic.
Удобство ремённой передачи состоит в том, что оба враща
ющихся вала могут между собой не соприкасаться; с другой стороны,
§ 15]
ЗУ Б Ч А Т А Я
45
ПЕРЕДА Ч А
недостатком ремённой передачи является то, что очень трудно избе
жать полностью скольжения ремня по шкивам. Принимают, что
потеря на скольжение не должна превышать 1,6% Для новых рем
ней и 1 % Для ремней, уже бывших в употреблении.
Это значит, что при учёте скольжения передаточное число при
заданных диаметрах D l и D 2 в действительности несколько меньше
отношения ~ 9 а именно: для новых ремней оно равно g i ( IQQ— ]>6)
2
r
F
£>2
100
’
а для ремней, бывших в употреблении, ^ l(1Q°1~ Ч . Для уменьшения скольжения рекомендуется брать передаточное число не больше 5
и не меньше - g - . Кроме того, расстояние между центрами
обоих
валов должно быть обязательно больше
удвоенной суммы их диаметров.
Если оси валов не параллельны, то теоретические рассуждения
о передаче вращения от одного вала к другому остаются теми же
самыми; на практике же, чтобы избежать соскальзывания ремней
со шкивов, приходится прибегать к некоторым техническим при
способлениям: опыт показывает, что ремень работает лучше всего,
если средняя линия набегающей его части совпадает со средней
плоскостью шкива и если сбегающая часть ремня отклоняется
от средней плоскости шкива на угол, не превышающий 26° (фиг. 31).
Если этого трудно добиться, то приходится изменять направление
ремней при помощи промежуточных, так называемых направляю щ их,
шкивов; это схематически показано на фиг. 32, где направляющими
являются шкивы А и В.
§ 15. З у б ч а т а я п еред ач а. Если ведущий и ведомый валы нахо
дятся в непосредственной* близости друг с другом и требуется (как,
например, в часовом механизме) абсолютно точное соотношение
45
ПЕРЕДАЧА
ВРА Щ ЕН И Я
[гл. 3
между угловыми скоростями обоих валов, то удобнее пользоваться
зубчат ой передачей.
П р ед стави м себе два вала с центрами А к В, прижатых друг
к другу так, что скольжение между обоими валами является невоз
можным (ф иг. 33), Тогда вал А при своём вращении будет увлекать
за собой и вал В , причём вследствие отсутствия скольжения между
окружностями Балов их окруж
ные скорости будут одинаковы.
Если ODj и со2 суть угловые ско
рости обоих валов, a D x и D 2 и х
диаметры ,то формула (б) предьь
дущего параграфа даёт нам;
Фиг. 33.
Такие два прижатых друг к
другу вала (точнее, насаженные
на них колёса) образуют так называемую ф ракционную передачу
(передачу трением). Надёжность работы этой передачи всецело
зависит от силы сжатия обоих валов, исключающей возможность
скольжения между их окружностями. Однако устранить возможность
скольжения можно и другим способом. Представим себе (фиг. 34),
что по окружности обоих цилиндрических валов сделаны зубцы,
могущие входить в промежутки между зуб
цами другого колеса, устраняя, таким обра
зом, возможность скольжения между колёсами.
Такая передача называется зубчатой.
Основные окружности обоих цилиндров
зубчатой передачи, которые касаются между
собой, носят название начальны х или дели
т ельны х окружностей; вершина каждого зуб
ца приходится несколько выше начальной ок
ружности, а основание ниже её.
Если оба колеса сцеплены между собой
выпуклыми частями, то зацепление называется
внешним (фиг. 34 и 35); если же выпуклая
сторона одного колеса цепляется за вогну
Фиг. 34.
тую сторону другого, то зацепление назы
вается внут ренним (фиг. 36). В случае внешнего
зацепления оба колеса вращаются в противоположные стороны,
в случае внутреннего зацепления в одну и ту же сторону. Так как
зубцы препятствуют взаимному скольжению, то окружные скорости
обоих колёс одинаковы. На этом основании мы можем дать следу
ющий графический способ определения угловых скоростей обоих
колёс. Пусть
будет угловая скорость первого колеса. При точке О х
строим угол 0j, тангенс которого равен ш1; прямую ОхК проводим
ЗУ Б Ч А Т А Я
ПЕРЕДАЧА
47
до пересечения её в точке К с касательной к начальным окружно
стям. Тогда отрезок этой касательной А К равен в принятом масштабе
общей окружной скорости колёс / и //. Соединяя теперь точку К
с точкой 0 2, мы получим угол
тангенс которого равен угловой
скорости со.2 колеса //. Это построение одинаково относится как
к случаю внешнего зацепления (фиг. 35), так и внутреннего (фиг. 36);
вся разница будет заключаться лишь в направлениях вращения обоих
колёс; эти направления будут одинаковыми для внутреннего и противо
положными для внешнего зацепления.
Если мы хотим эти соотношения выразить формулами, то можем
воспользоваться тем же самым соотношением что и для фрикцион
ной передачи, а именно:
щ
<о2
D t
9
т. е. угловые скорости обоих колёс обратно пропорциональны их
диаметрам. На практике вместо угловых скоростей со± и со.2 берут
числа оборотов N t и N 2t а вместо диаметров D t и
обеих началь
ных окружностей (которые в натуре непосредственно измерить
нельзя) берут длины этих окружностей %DX и
или числа зуб
цов z x и z v Для того чтобы оба колеса могли работать, зубцы
на том и на другом должны быть одинаковыми и, кроме того, ширина
промежутка между зубцами должна равняться ширине зубца; шири
на зубца и промежутка, вместе взятых, составит так называе
мый шаг зубчатого зацепления. Таким образом, число зубцов,
помноженное на шаг, даёт длину окружности зубчатого колеса.
[ГЛ. 3
ПЕРЕДАЧА ВРАЩЕНИЯ
48
В соответствии с этим соотношение между числами оборотов обоих
колёс будет:
NL _ 2 a
Nt
Zi
или
Wa= - jA / i =
& V i.
Отношение — — k носит название передаточного числа, так же
как и в случае ремённой передачи. Для того чтобы показать, что
направление вращения меняется в случае внешнего и сохраняется
в случае внутреннего зацеплений, принято считать передаточное
число в первом случае отрицательным, а во втором положительным.
Поэтому окончательно формула, дающая соотношение между чис
лами оборотов, напишется в виде
TV2 = — — N x (внешнее зацепление),
z2
JSl2 = - U ~ N t (внутреннее зацепление).
Для удовлетворительности работы зубчатого зацепления необхо
димо, чтобы передаточное число не выходило за определённые пре
делы, а именно, оно по абсолютной величине должно быть не больше б
и не меньше
1
.
§ 16. М одуль зуб чатого колеса. При конструировании зубчатого
колеса большое значение имеет так называемый модуль — основная величина,
в зависимости от кото
рой определяются все
элементы, нужные для
построения колеса. Эти
ми элементами являются:
диаметр начальной или
делительной окружности
D; внешний и внутренний
диаметры зубчатого ко
леса Di и D2, т. е. диа
метры окружностей, со
впадающих с вершинами
и основаниями зубцов,
так называемых окруж
ностей выступов и впа
дин; затем высота h-i
головки
зубца (часть
зубца, находящаяся вне
делительной окружности)
и — ножки зубца (часть зубца, находящаяся внутри делительной окруж
ности), которые в сумме дают высоту h= ^hi -\- h2 зубца; наконец, толщина
зубца s, ширина впадины sL и шаг зубчатого зацепления t = s +
Все эти
елементы изображены на фиг. 37. Если через z обозначим число зубцов, то
§
16]
М О ДУЛ Ь
ЗУ Б Ч А Т О ГО
49
КОЛЕСА
зависимость между длиной начальной окружности и шагом зубчатого зацепле
ний будет:
тсD = zt,
откуда
D — z —тг .
t
Величина — , выраженная в миллиметрах, носит название м одуляМ з у б 
чатого зацепления. Это и есть основная величина зубчатого колеса. Если
дан модуль М, то все остальные элементы зубчатого зацепления выразятся
по следующим формулам:
t=nzM (шаг зубчатого зацепления),
D = zM (диаметр начальной окружности).
Высота головки зубца h± обычно принимается равной модулю:
/г1== М .
Тогда диаметр окружности выступов DL будет равняться:
Di =^D + 2h=;(z + 2) М.
7
Высота ножки h2 для обработанных зубцов принята h2=
М ^ 1,17 М\
в связи с этим
^
л
ь
D2= D — 2h2= ( z — 2,34) М.
Что касается толщины s зубца, то она для фрезерованного зубца составляет
1
19
-?р t, для литого же несколько меньше, а именно,
t. Нетрудно видеть,
что если у двух колёс равны шаги t, то будут равны и модули М. Практи
чески гораздо проще определить модуль колеса, чем его шаг. Действительно,
шаг равняется длине начальной (делительной) окружности, делённой на число
зубцов Z-; поскольку же у готового колеса диаметр начальной окружности
измерить очень трудно, то и непосредственное определение шага трудно
выполнимо. Что же касается модуля М , то он сразу определится, если внеш
ний диаметр зубчатого колеса, легко замеряемый в натуре, разделить
на (z + 2), где 2 — число зубцов. Зная же модуль Mt мы по вышеприведённым
формулам найдём и все интересующие нас элементы зубчатого колеса —
диаметр начальной окружности и шаг t зубчатого зацепления А).
Пример 14. Два зубчатых колеса имеют число зубцов ^ = 48 и г2= 32.
Они построены по модулю М = 11. Определить диаметры D, Du D2 обоих
колёс, ш а г '£ высоту зубца hL и высоту h2 ножки зубца, считая, что послед1
няя взята равной 1 -g - М.
Для первого колеса £> = 48 • 11 = 528 мм, Dl = (48 + 2) • 11 = 5 5 0
мм,
А = ^48 — 2 * 1 - g - j • 1 1 = (48 — - ^ - ) • 11 = 502,3 мм.
Для
второго
колеса
А = ( з 2 - 4 - ) . 11=29
£> = 32 • 11 = 352 мм,
DL= 34* 11 = 374 мм,
• 11 = 326,3 мм.
Высота зубца ht = 11 мм, высота ножки /г2 = 1 1/в, М = 12,9 мм и шаг
= 34,6 мм одинаковы для обоих колёс.
^= ^
*) Для того чтобы при изготовлении зубчатых колёс иметь единый нор
мальный режущий инструмент, установлены следующие нормированные
значения модулей М в мм (ОСТ 1597): 0,3; 0,4; 0,5; 0,7; 0,8; 1; 1,25; 1,5; 1,75;
2; 2,25; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 5,5; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 18; 20;
24; 26; 28; 30; 33; 36; 39; 40; 42; 45; 50.
4
Зак. 667. И. Н . Веселовский
50
ПЕРЕДАЧА
[гл. 3
ВРАЩ ЕНИЯ
Пример 15. В предыдущем зацеплении определить расстояние между
осями сцепленных колёс.
Оно равно полусумме начальных диаметров обоих колёс
D ' + D" _
5 2 * + 352
= 440 мм.
§ 17. Системы зубчаты х колёс. В том случае, когда передаточ
ное число выходит за пределы */б и 6, пользуются несколькими
парами зубчатых колёс. Рассмотрим несколько простых примеров.
Пример 16. Три колеса /, II, III с числами зубцов z v z ,
находятся во внешнем зацеплении (фиг. 38). Определить передаточ
ное число от колеса I к колесу III.
Соотношение между угловыми скоростями колёс I и II будет:
Ю.,
(знак «минус» поставлен потому, что зацепление
так же для колёс II и III:
о.
внешнее). Точно
Zo
5Г в »’
Вставляя ш2 из перзой формулы во вторую, получим
Искомое передаточное число будет — ; оно по абсолютной величине такое, как если бы оба колеса / и III были непосредственно
сцеплены друг с другом. На первый взгляд вставка промежуточного
колеса II представляется нам как будто совершенно излишней (оно
так и называется паразитным) ; однако, это не совсем так. Во-пеовых, оба колеса / и III вращаются в одну сторону, а при непо-
§ 17J
СИСТЕМЫ
ЗУ Б Ч А Т Ы Х
51
КОЛЁС
средственном сцеплении они вращались бы в противоположные сто
роны; следовательно, паразитное колесо меняет направление враще
ния, позволяя, таким образом, избежать менее удобных колёс с вну
тренним зацеплением. Во-вторых, при помощи паразитных колёс
можно сцеплять и такие зубчатые колёса, которые непосредственно
спаривать нельзя.
Пусть передаточное число между колёсами / и III равно 20; по
скольку это число выходит за допустимые пределы удовлетворитель
ной передачи, сцеплять их непосредственно нельзя. Возьмём поэтому
три колеса: / с 200 зубцами, II — с 40 и III— с 10 зубцами; пере
даточное число между I к II колёсами равно 5, между II и III равно
4, что вполне допустимо; сцепив же /, II и III колёса, как показано
по
на фиг. 38, мы получаем нужное нам передаточное число
200 40
ол
: ^ = 20*
Гораздо чаще, однако, эта задача разрешается при помощи двух пар
зубчатых колёс, как
показано в следующем
примере.
Пример 17. Зубча
тое колесо I, имеющее
z x зубцов и сидящее
на валу, делающем
N x об!мин, ецеплено с
шестернёй II, имеющей
z 2 зубцов; на общей
оси с этой шестернёй
сидит зубчатое колефиг 39
со III с
зубцами,
которое сцеплено с колесом IV, имеющим z i зубцов. Определить
число N оборотов в минуту колеса IV (фиг. 39).
Передаточное число между колёсами / и II (колесо I — ведущее,
колесо
II — ведомое)
будет: -----—
z3
поэтому
число оборотов А/а
колеса II (и одновременно колеса III) будет:
n, =
- ^
nv
Для III и I V колёс (Я /— ведущее, I V — ведомое) будем иметь
N = — ^N «.
Отсюда
N
N
Таким образом, передаточное число между I w IV колёсами равно
дроби, в числителе которой стоит произведение чисел зубцов ведущих
4*
52
П ЕРЕДАЧА
ВРАЩ ЕНИЯ
[гл. 3
колёс, а в знаменателе — произведение чисел зубцов ведомых
колёс, умноженное на — 1, взятую множителем столько раз, сколько
раз встречается в данной системе колёс внешнее зацепление.
Рассуждение можно, конечно, обобщить и на случай произволь
ного числа колёс, находящихся в таком зацеплении; таким образом,
мы приходим к следующему результату. Полное передаточное число
несколысих зубчат ы х колёс, н а х о д я щ и х ся в зацеплении, равняет ся
произведению всех част ны х передаточных чисел или дроби, в числи
теле которой стоит произведение чисел зубцов всех ведущих, а в зна
менателе— произведение чисел зубцов всех ведомых колёс, умно
женное на — 1, взятую множителем столько раз, сколько раз встре
чается в ряду частных передач внешнее зацепление.
Эта формулировка вполне применима и к случаю передачи при
помощи системы нескольких ремённых передач (как, например, на
f
фиг. 40, где ведущими являются шкивы
/ и III, а ведомыми— II и IV ). Единствен
ное изменение, которое придётся ввести,
будет заключаться в том, что вместо чи-
Фиг. 40..
сел зубцов ведущих колёс придётся поставить величины диаметров
ведущих шкивов, а вместо зубцов ведомых — диаметры ведомых
шкивов, и — 1 придётся брать хмножителем столько раз, сколько раз
в общей системе встретится перекрёстная ремённая передача.
Пример 18. Определить число N оборотов шкива D 8 (фиг. 41),
если число оборотов ведущего вала
= 1 440 об!мин (D 3, D s и D 7 —
ьедущие шкивы) и диаметры отдельных шкивов равны: D i = 2 0 0 мм,
Г>ъ== 500 м м , D d = 300 м м , Z)4 = 600 мм, D 5 = 250 мм , D s ==
■— 4э0 мм, Drj —
—•200 aim , IDg = 800 mai.
На оснозании вышеприведённого правила получаем:
N =
N t = -gg- • 1 440 == 40 обjмин.
§ 18. Конические зубчаты е колёса. Пусть потребуется пере
дать вращение от одного вала к другому, ось которого не парал
лельна оси первого, а пересекается с ним.
§ 18]
КОН ИЧЕСКИЕ
ЗУ Б Ч А Т Ы Е
К О Л ЕСА
53
Если насадить на оба вала два касающихся между собой прямых
усечённых конуса с общей вершиной в точке О пересечения осей
(фиг. 42), то при наличии достаточной силы, прижимающей оба эти
конуса друг к другу, скольжение между их поверхностями будет
исключено. Тогда при вращении одного вала вместе с ним будет
Фиг. 42.
Фиг. 43.
вращаться и другой; мы получим так называемую коническую фрик
ционную передачу. Если же мы нарежем вдоль образующих этих
конусов зубцы, которые во время вращения одного конуса будут
входить в промежутки между зубцами другого конуса, то получим
коническую зубчат ую передачу или конические зубчатые колёса.
Такая передача употребляется большей частью тогда, когда обе оси
пересекаются под прямым углом, но она вполне
возможна и в том случае, когда оси пересекаются
под любыми углами.
Пусть ОА и ОВ суть пересекающиеся в точке
О оси двух валов (фиг. 43); на концы этих осей
надеты два конических зубчатых колеса одинако
вого шага, т. е. зубцы одного колеса совершенно
точно входят в промежутки другого. Зубцы и про
межутки теперь уже не будут иметь на всём протя
жении одинаковую ширину, а будут становиться
тоньше по направлению к вершине конуса (фиг. 44).
Вследствие отсутствия скольжения между поверхно
Фиг. 44.
стями обоих конусов окружная скорость точки С со
прикосновения обоих конусов будет одинакова. Если со1 и ш2 будут
соответственно угловые скорости первого и второго валов, то
окружная скорость точки С первого конуса будет coj • АС (где А С
есть расстояние точки С от оси или радиус вращения точки С) и
точно так же окружная скорость точки С второго конуса будет <о3 • В С
(где В С есть радиус вращения точки С второго конуса). Вследствие
равенства окружных скоростей мы будем иметь;
о)| • А С = со%* В С
54
ПЕРЕДАЧА
ВРЛ Щ ВН И Я
[гл. 3
или, разделив почленно на со2, получим:
ом
ВС
~й7
АС'
Так как радиусы ВС и А С конусов относятся между собой как
длины окружностей обоих конусов или, иначе говоря, как числа
зубцов z 2 и
обоих конических колёс, а угловые скорости coj и ш.2
относятся, как числа оборотов N x и N 2 обоих валов, то, следова
тельно,
Nt
г*
отсюда получаем формулу для определения числа оборотов кониче
ских зубчатых колёс:
(7')
совершенно подобную той, какую мы имели и для обыкновенных
(цилиндрических) зубчатых колёс.
§ 19. Зу б чатая рейка. При помощи зубчатой рейки можно пре
образовать вращательное движение в поступательное и обратно. Если
Фиг. 45.
(фиг. 45) шестерня А радиуса R вращается с угловой скоростью ю
и зацепляет прямолинейную зубчатую рейку, зубцы которой имеют
тот же шаг, что и зубцы шестерни, то вследствие отсутствия сколь
жения между шестернёй и рейкой последняя будет двигаться посту
пательно со скоростью v , равной окружной скорости со/? шестерни.
Пример 19. Определить скорость подъёма чашки Q домкрата,
схема которого изображена на фиг. 46, если рукоятка Р делает
А /= 1 0 o6jMiiH) числа зубцов на колёсах 1— I V равны соответственно
§
19]
ЗУ БЧ АТ АЯ
55
РЕЙКА
6, 2г3 = 20,
= 8,
= 25 и радиус R начальной (делительной)
о к р у ж н о сти ш естерн и V равен 3 ,5 см.
И ском ая ск о р о с ть равна
2, =
v — 0)4/?,
где со4— у гл о вая скорость ш естерн и IV у разн ая
2тгN,
С°4 _
60
’
где
г 2г 4
Таким образом:
„ м
v— — ^
R = 0,35 см/сек.
ЗАДАЧИ.
13. На валу /, дающем 200 об/ман, сидит шкив диаметром 450 мм. Какого
диаметра шкив надо посадить на вал //, получающий вращение от вала /, если
он должен* давать 150 об/ мин.
О т в е т ; 600 мм.
14. Ремень, охватывающий шкив диаметром 1 200 мм , имеет скорость
15 м/сек. Чему равны окружная v0 и угловая <о скорости шкива и чис
ло п его оборотов в минуту?
Ответ;
= 15 м/сек, <о= 2 5 1/сек, ti = 240 об/мин.
15. Ведущее колесо имеет 20 зубцов и делает 200 оборотов в ми
нуту. Сколько зубцов имеет ведомое
колесо, если передаточное число равно
Vi? Чему равно число его оборотов?
О т в е т: 80 зубцов; 50 оборотов.
16. Диаметры начальных окружно
стей D и числа зубцов z даны в следую
щей таблице;
£> = 150 216
z = 25 36
442
52
740
74
Определить модуль М и шаг t для
всех этих случаев.
Ответ;
714= 6
7 = 1 8 ,9
6
18,9
8,5
26,7
10
31,4
17. На фиг. 47 изображена схема
привода токарного станка с одним пере
бором. На шпинделе 1 свободно сидит ступенчатый шкив Z)x— Dit который
приводится во вращение ремнём от ступенчатого шкива бл — d4 контрпри
вода. Какие различные числа оборотов шпинделя можно получить, если
контрпривод делает N = 155 об/мин, ступенчатый шкив Dt—Z)4 сцеплен со
шпинделем, а приводной ремень последовательно перебрасывается по всем
ступеням шкивов. Диаметры их равны;
Di = dA= 90 мм; Д* =
= 123 мм; Д =
= 157 мм, Д = dL= 190 мм.
56
винтовое
движ ение
[гл. 4
О т в е т : При положении ремня на первой ступени Dx число оборотов
будет:
л
N1= N j j - = 327 об/ман.
и1
При положении ремня на следующих ступенях числа оборотов будут:
N2= 196 об/ман; N3= 121,4 об/ман;
= 7 3 ,4 об/мин.
ГЛАВА
4.
ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ.
§ 20. Винтовая линия. Представим себе, что тело равномерно
вращается вокруг некоторой оси и вместе с тем равномерно пере
мещается вдоль этой оси поступательным движением. Такое движе
ние будет иметь, например, винт, ввинчиваю
щийся в гайку, буравчик, ввёртывающийся в
пробку, и т. п. Получающееся таким образом
движение носит название винтового.
Рассмотрим траектории (линии), описывае
мые различными точками тела при винтовом
движении.
Возьмём какую-нибудь точку А, находя
щуюся на расстоянии а от оси вращения (фиг.
48). Это расстояние, по условию, не меняется
в течение всего времени движения и, следова
тельно, точка А будет перемещаться по по
верхности круглого цилиндра радиуса а, ось
которого совпадёт с осью вращения.
Повороту тела на равные углы будут соответствовать равные
перемещения его вдоль оси. Пусть повороту тела вокруг оси на
угол <х соответствует перемещение z вдоль этой оси; тогда в ре
зультате обоих этих совместных движе
д
ний точка А тела перейдёт в положение
А ,, двигаясь по отрезку А А Х так на
зываемой винтовой линии.
Посмотрим, каким образом строит
ся винтовая линия. Отложим по горизон
тали пути, проходимые точкой А при
вращательном движении (дуга АА0 на
фиг. 48); пусть это будут отрезки ОА,,
ОА2, ОА3, . . . (фиг. 49), а по вертика
ли в полученных Точках— соответствую
щие им перемещения по оси цилиндра А 1В 1, А гВ 2, A ^B V . . . ; во
всех случаях будем считать перемещения от начала движения.
Вследствие пропорциональности перемещений вдоль оси и вокруг
оси мы увидим, что точки В к) В 2, В г, . . . расположатся по одной
ВИ Н ТОВАЯ
57
ЛИНИЯ
прямой ОВ. Когда тело сделает полный оборот, точка А во враща
тельном движении пройдёт путь ОА = 2 таг, т. е. равный длине
окружности цилиндра, а в поступательном движении передвинется
на расстояние A B = h ,
называемое шагом вин
товой ли н и и *).
Если полученный пря- / ^
моугольный треугольник 1
О АВ навернём на поверх
ность цилиндра так, что
бы прямая ОА совпала
с окружностью цилиндра,
то точка В придётся стро
го над точкой А и мы по
лучим один виток винто
вой линии. Повторив этот
виток столько раз, сколь
ко было оборотов вокруг
оси, мы и получим тра<^>иг- 50.
екторию точки А — винтовую линию (фиг. 50). Угол подъёма 9 (на
клон винтовой линии) в треугольнике О АВ определится из условия:
V]
Полученная таким образом
винтовая линия даёт нам простой
одноходовой винт.
Если мы построим траектории
двух точек, находящихся на по
верхности цилиндра на концах
одного диаметра (фиг. 51), то
совокупность их даст нам так на
зываемый двухходовой винт; если
взять траектории трёх точек, ле
жащих на равных расстояниях
по окружности цилиндра, то мы
получим т рёхходовой винт (фиг.
*52); аналогичным способом можЪо образовывать вообще многохо
довые винты. Так как каждая вин
Фиг. 51.
Фиг. 52.
товая линия (нитка) на реальных
винтах осуществляется в виде треугольного возвышения или канала
на поверхности цилиндра, то, чтобы определить число ходов (ниток)
<
о
N
К
х) Не следует смешивать этот шаг — величину поступательного переме
щения на оси за время одного оборота — с шагом зубчатого зацепления,
о котором мы говорили в предыдущей главе; это два совершенно различные
понятия.
58
ВИНТОВОЕ
ДВИЖ ЕНИЕ
[гл. 4
данного винта, нужно посмотреть в торец; если он заканчивается
одним концом, то винт одноходовой, если д вум я— двухходовой
и т. д. Можно также, держа палец у какой-нибудь нитки, сделать
полный оборот вокруг винта по этой нитке другим пальцем; если
винт одноходовой, палец окажется на соседнем витке, при двуххо
довом — через один виток, при трёхходовом — через два и т. д.
В связи с этим не следует смешивать шаг винта с расстоянием
по оси между двумя соседними витками; шаг равняется этому рас
стоянию только для одноходового винта, для двухходового — шаг
вдвое больше этого расстояния, для трёхходового — втрое и т. д.
Зная шаг винта h , нетрудно вывести формулу, связывающую
угловую со и поступательную v скорости винта. Если п есть число
оборотов в секунду, то поступательное перемещение винта за одну
секунду будет nh. Так как скорость поступательного движения
численно равна перемещению за одну секунду, то, если шаг h выра
жен в сантиметрах,
v = nh см!сек.
(8)
Но со = 2тгя; определив отсюда п и подставив в формулу (8), будем
иметь:
Различают винты с правой и левой нарезкой. В винте с правой
нарезкой подъём винтовой линии вверх идёт слева направо; в винте
с левой, наоборот, справа налево (фиг. 53). На практике в подав
ляющем большинстве случаев употребляются винты с правой нарез
кой, но всё же могут представиться случаи, когда приходится иметь
дело с винтами и с левой нарезкой.
Винт употребляется в технике в самых разнообразных случаях.
Одним из наиболее важных является применение винта к точному
измерению расстояний (фиг. 54) (микрометренный винт). Поместив
измеряемую деталь А В между неподвижной площадкой А и по
движным концом В винта, отмечают положение последнего.
После этого, вынув тело, доводят винт до соприкосновения,
ЧЕРВЯЧНАЯ
П ЕРЕДА Ч А
59
с пластинкой Л и считают для этого число полных оборотов и долей
оборота винта. Если шаг винта равен, например, 0,5 мм, а окруж
ность винта (или диска О, скреплённого с винтом) разделена на
50 частей, то полному обороту винта соответствует 0,5 мм, а одной
пятидесятой его части, которую мы можем отсчитать по делениям
на круге О, соответствует 0,01 мм. Таким образом, мы получаем
возможность измерять длину с точностью до одной сотой милли
метра.
§ 21. Ч ервячная передача. Винтовым движением можно поль
зоваться для передачи вращения между двумя непересекающимися
взаимно перпендикулярными осями. Рассмотрим употребляющуюся для
этой цели червячную передачу. ЧерА
вячная передача состоит из червя
ка Л (фиг. 55) и сцепляющегося
с ним зубчатого колеса В . Червяк
представляет собой стальной цилиндр
с винтовыми выступами четырёх
угольного сечения, представляющими
одноходовой или многоходовой винт.
Для возможности работы червячной
передачи необходимо, чтобы рассто
яние между двумя соседними вин
тами червяка равнялось шагу зуб
чатого колеса. Если червяк однохо
довой, то при полном его обороте
колесо повернётся на один зубец;
если червяк двухходовой, то при
полном обороте его две нитки
увлекут два зубца червячного ко
Фиг. 55.
леса и т. д.
Вообще, если число ходов червяка равно т , а число зубцов
колеса равно z, то полному повороту червяка соответствует поворот
колеса на т зубцов или на — частей оборота колеса. Если через
Юкол и Ючер обозначим угловые скорости колеса и червяка, то будем
иметь равенство:
со
m
— соч
z
или, вводя числа оборотов N колеса и червяка:
Л/кол =
Величина
^ Л / чер:
: k N чер*
(7)
£ есть передаточное число в червячной передаче;
сравнивая его с соответствующими выражениями предыдущей главы,
60
ВИНТОВОЕ
[гл. 4
ДВИЖ ЕНИЕ
замечаем, что числу ходов червяка соответствует число зубцов
ведущего колеса.
Особенностью червячной передачи является то, что при помощи
её можно получать очень значительное уменьшение числа оборотов
(угловой скорости). Так, если г = 36, то при одноходовом червяке
получается уменьшение угловой скорости в 36 раз; такое уменьше
ние при помощи только одной пары зубчатых колёс недостижимо.
Пример 20. Тележка перемещается на колёсах диаметром
D = 400 мм. На оси передней пары колёс закреплено червячное
колесо с 0 = 40 зубцами, приводимое в движение от одноходового
червяка, делающего Л /= 1 6 0 0 об/мин. Определить скорость переме
щения тележки (равную окружной скорости колёс).
Угловая скорость червяка равна
_ 2 nN
ШчеР — '60-#
Следовательно, угловая скорость червячного колеса, согласно фор
муле (7), будет:
- _2^_l_„4*i
лол— go z — я /сек.
Умножив её на
радиус
последнего:
колеса, найдём
окружную
скорость
4
г>0 = -g- тс • 20 = 84 см/сек,
которая и будет искомой скоростью тележки.
§ 22. В интовая п ередача. В тех случаях, когда при передаче
между двумя непараллельными и непересекающимися валами (обык
новенно взаимно перпендикулярными) не требует
ся очень большого уменьшения числа оборотов
(как при червячной передаче), употребляют, так
называемые винтовые колёса (фиг. 56). Послед
ние представляют насаженные на сцепляющиеся
валы многоходовые винты, число ниток которых
соответствует числу зубцов обыкновенного зуб
чатого колеса. Если ведущее колесо имеет z x ни
ток, а ведомое 0 2, то в течение полного оборота
ведущего колеса ведомое сделает всего — обэрота, и
стями
соотношение между угловыми скоро
ведущего и о\ 2 ведомого колёс будет
® а = -/<*>!•
Для возможности совместной работы двух винтовых колёс не
обходимо, чтобы измеренные по перпендикуляру к винтовой линии
СВОБОДНОЕ
ПАДЕНИЕ
61
ширина канавки и толщина нитки были бы на обоих колёсах оди
наковы (сумма ширины канавки и длины нитки составляет так назы
ваемый норм альны й шаг винтового* колеса, который не следует
смешивать с окруж ны м шагом, измеряе
мым по окружности торца).
Для цилиндрических зубчатых колёс
нормальный и окружной шаг совпадают,
для винтовых же нет; разница между
ними показана на фиг. 57, где h0 есть
окружной, a k H— нормальный шаг винта.
Большим достоинством как винтовой,
так и червячной передач являются плав
ность их работы, отсутствие каких бы
то ни было толчков. Недостатком их
является то обстоятельство, что в них,
как и в винте, вращающемся в гайке, во
время движения происходит скольжение
винтовых ниток одна по другой.
Вследствие этого трение, сопрово
ждающее это скольжение, разогревает
оба сцепленных колеса, что заставляет
обращ ать особое внимание на искусственное охлаждение механизма
во время работы.
ЗАДАЧИ.
18. Одноходовой червяк делает 900 оборотов в минуту и передаёт дви
жение колесу с 30 зубцами. Определить число оборотов колеса в минуту.
О т в е т : 30 об/мин.
19. Тот же вопрос при трёхходовом червяке.
О т в е т : 90 об/мин.
29. С какой скоростью будет перемещаться конец винта, имеющего шаг
& = 1 см, если угловая скорость вращения винта составляет 60 об/мин?
О т в е т : v = l cMjceK.
Г Л А В А 5.
РАВНОМ ЕРНО-ПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ;
§ 23. С вободное падение. Если скорость движения в каждую
единицу времени меняется, то движение называется неравномерным.
Простейшим видом неравномерного движения является такое, при
котором скорость за одинаковые промежутки времени возрастает
или убывает на одинаковую величину. Если скорость возрастает,
то движение носит название равноускоренного; если убывает, то
62
РАВНОхМ ЕРНО-ПЕРЕМ ЕННОЕ Д ВИ Ж Е Н И Е
[гл, 5
движение называется равнозамедленным. Наиболее простым приме
ром равноускоренного движения является свободное падение тела,
изучением которого мы сейчас и займёмся.
Если с большой высоты, например, с крыши многоэтажного дома,
выпустить из руки камень или другое тело, то оно падает сначала
сравнительно медленно (можно следить за его падением глазами),
а потом движение его становится всё более и более быстрым.
В тот момент, когда камень был выпущен из руки, скорость его
была равна нулю, если только мы не сообщили ему начальной ско
рости, толкнув его вниз. Через одну секунду после начала падения
скорость камня делается настолько большой, что он, двигаясь с такой
скоростью равномерно, может пройти за секунду пу!ь около 10 м
(точнее 9,81 м ). Через две секунды после начала движения его ско
рость увеличится ещё на столько же и будет приблизительно равна
20 м/сек (точнее 2» 9,81 = 19,6 м/сек). Через 3 секунды она будет
равна 3 * 9 ,8 1 = 2 9 ,4 м/сек и т. д.: другими словами, в течение
каждой секунды скорость возрастает на одну и ту же постоянную
величину 9,81 м/сек. Это постоянное число обозначается буквой g
и носит название ускорения силы тяж ести. Вообще говоря, уско
рением в равноускоренном движении называется огнощение при*
ращения скорости за некоторый промежуток врехмени к величине
этого последнего (аналогично тому, как скорость измеряется от*
ношением приращения пути к соответствующему промежутку вре«
мени).
В качестве единицы ускорения принимают такое ускорение, при
котором в единицу времени скорость увеличивается на единицу
скорости. Чтобы найти ускорение, мы должны получившееся при
ращение скорости разделить на промежуток времени, в течение
которого это увеличение имело место. Подобно тому, как для полу
чения единицы скорости мы делили единицу длины на единицу вре
мени {м/сек или см/сек), так и для получения единицы ускорения
мы должны единицу скорости разделить на единицу времени — секунду*.
Таким образом получаются выражения для единиц ускорения:
м /с е к : сек = м/сек*,
см/сек : сек = см/сек*.
Единица ускорения, обозначенная м/сек*, будет представлять
ускорение, при действии которого скорость в секунду увеличивается
на 1 м/сек, а единица ускорения см/сек* будет представлять уско
рение, при действии которого скорость в секунду увеличивается на
1 см/сек. Вспоминая, что при действии ускорения g скорость падаю
щего тела увеличивается каждую секунду на 9,81 м /сек, мы можем,
записать, что величина ускорения земного притяжения будет:
^ = 9,81 м/сек'2;
С ВО БО ДН О Е
П А Д ЕН И Е
63
или, если за единицу длины мы будем брать сантиметр, то
£-— 981 см/сек1.
Таким образом при свободном падении тела через t секунд после
начала движения его скорость v будет равна:
v = gt.
(9)
Если мы изобразим этот закон графически, откладывая по горизон
тали время t в секундах, а по вертикали скорость v в м/сек, то
получим прямую линию (фиг. 58).
Если имеется график изменения скорости по времени, то на
основании изложенного в § 9 определение пути, пройденного за
данный промежуток времени,
сводится к определению площади, заключённой между осью
времён, линией скоростей и
ординатами (перпендикуляра
ми),
соответствующими на
чальному и конечному момен
там для данного промежутка.
В случае равномерно ускорен
ного движения дело сводится
к вычислению площадей тре
угольников. Если за основа
ния мы примем длины пер
пендикуляров, дающих величи
ны скоростей для моментов 1 , 2 , 3 , . . . сек, а за высоты — измеря
ющие время отрезки 01, 02, 0 3 , . . . , то путь, пройденный
1*9,8
за 11 сек, *будет —
о
за 2 секу
ь
2-19,6
—^
3-29,4
за 3 сек,
за tЛ. сек,
ь
t'V
1
Таким образом путь з, пройденный при равноускоренном движе
нии за t секунд, выражается формулой:
8= ^ .
Пользуясь формулами (s ,
о свободном падении тела.
и (10), можно решать
(Ю)
все
задачи
64
РА В Н О М Е РН О -П Е Р Е М Е Н Н О Е
[гл. 5
ДВИЖ ЕНИЕ
В виде примера составим по формуле (10) таблицу путей, прой
денных падающим телом за различные промежутки времени:
t=
1
5 = 4 ,9
2
3
4
19,6 44,1 78,5
5 6
122,5 176,4
7
240,3
8
~
313,9
396,0
10 сек
490 *
По этой таблице можно представить себе пути, проходимые
парашютистом во время затяжного прыжка; мы видим что в тече
ние первых 10 сек после прыжка
он пролетает почти полкило
метра1). Изобразим графически
движение парашютиста, отклады
вая по горизонтали время в се
кундах, и по вертикали вниз —
пройденные
пути
в
метрах
(фиг. 59). Полученная на графике
быстро уходящая вниз кривая на
зывается параболой.
Пример 21. Для определения
времени действия моментального
фотографического затвора можно
воспользоваться следующим при
ёмом. Берут шарик и заставляют
его без начальной скорости па
дать вдоль разделённой на сан
тиметры вертикальной шкалы,
деления которой идут вниз и ну
левое деление которой совпадает
с верхним концом её (местом,
откуда шарик начал падать), и
фотографируют шкалу вместе с
шариком во время падения по
следнего. На фотографии шарик
получается в виде тёмной полоски между некоторыми делениями шкалы. Зная, что верхнее десм, определить время
ление соответствует пг сму а нижнее
действия затвора.
Если от начала падения шарика до начала действия затвора про
шло t l сек, а до конца
сеКу то время его действия T = t 2— t t.
Значения 12 и t x определяются из условия, что за
сек шарик
*) В действительности сопротивление воздуха замедляет движение па
дающего тела и, кроме того, приводит к тому, что тело, пролетев опре
делённое расстояние, дальше начинает падать не ускоренно, а равномерно.
Так, парашютист падает ускоренным движением только около одного ки
лометра.
§
24]
ЗА ВИ С И М О СТЬ
С К О РО С Т И
ПАДЕНИЯ
ОТ П РОЙДЕНН ОГО
ПУТИ
65
прошёл путь п.2 см, а за t t сек — путь п у см. Следовательно, для
определения t x и t a имеем уравнения:
Подставляя вместо g его значение 9,81 м /сеф или 981 см/сеФ
и вычитая t1 из / 2, мы для Т будем иметь:
Т=
^ ( У й2 — у и ,) сек.
§ 24. Зависимость скорости падения от пройденного пути.
В предыдущем параграфе мы вывели формулы (9) и (10):
v = g t,
s = C ,
которые позволяют для любого момента времени t определить вели
чину скорости v и пройденного пути s. Эти формулы являются
основными в теории свободного падения тяжёлого тела и позволяют
решать все задачи, касающиеся падения тела. Среди этих задач часто
встречается следующая: определить, с какой скоростью достигнет
зем ли т яж ёлое т ело, падающее вниз без начальной скорости
с данной высоты k . Эта задача встречается настолько часто, что
для решения её полезно иметь специальную формулу. Для вывода
этой формулы из уравнения
найдём время
получим:
‘- V
j
-
Подставив полученное значение для t в формулу (9), мы и, найдём
искомую связь между скоростью v и пройденным путём s:
v = g Y ^ ~ = V ^SS.
(И )
О
Если будем выражать s в метрах, а время t в секундах, то
ускорение g будет равно 9 ,8 м/сек2, а скорость v выразится в м/сек.
5
Зак. 667. И. Н . Веселовский
66
РА В Н О М Е РН О -П Е Р Е М Е Н Н О Е
ДВИЖ ЕНИЕ
[Г Л . 5
Подставляя в формулу (11) вместо s значения 1, 2, 3 , . . . ,
получаем следующую таблицу:
*= 1
2
3
4
5
6
7
8 ^ 9
V— 4,41 6,24 7,64 8,82 9,8 6 10,80 11,66 12,48 13,24
10 лс,
Ю
м
13,95 м/сек.
Если по горизонтальной оси будем откладывать расстояния s ,
а по вертикальной соответствующие значения v y то получим кривую,
изображённую на фиг. 60. Она будет тоже параболой, но несколько
иначе расположенной.
Пример 22. 'Какую скорость приобретёт тело, падая с высоты
в 1 0 0 м.
Подставляя в формулу (11) значение 5 = 10Э, получаем:
v = ] / г2g Y 100 ^ 44,1 м/сек.
Пример 23. Какое ускорение надо сообщить поезду, чтобы он
развил скорость 72 км/час, отойдя от станции на расстояние 400 м.
Эта задача может быть тоже^разрешена при помощи формулы
( 1 1 ), но только теперь вместо ускорения свободного падения нужно
будет взять какое-то другое ускорение w . Формула (11) принимает
вид:
___
v = } /2 w s *
Возводя обе части в квадрат и определяя ускорение w , мы будем
иметь:
Если мы хотим иметь ускорение w , выраженное в м / с е к то
должны предварительно и скорость 72 км/час выразить в м/сек.
Проделывая вычисления, будем иметь:
§ 25)
РАВНОМЕРНО-ПЕРЕМЕННОЕ ДВИЖЕНИЕ С НАЧАЛЬНОЙ СКОРОСТЬЮ
П одставив
67
это значение в формулу для w, получим:
(20)2
п - м
w = ^ - —= 0 , 5 — 5
2 •400
сек2
§ 25. Равномерно-переменное движение с начальной скоростью.
Если в момент начала падения тело уже обладало некоторой
начальной скоростью v Q (например, телу был сообщён толчок вниз),
то вместо формулы (9) мы будем иметь:
v = v 0-J-gt,
т. е. скорость, которую тело постепенно приобретает вследствие
наличия ускорения, складывается с начальной скоростью v 0. Вели
чина £ -= 9 ,8 1 м /сек2, как мы уже говорили, называется ускорением
силы тяжести. Кроме свободного падения могут также быть равно
ускоренные движения с ускорениями не равными g; например, при
качении шарика по наклонной плоскости ускорение будет меньше,
чем g . Обозначая в общем случае ускорение буквой w, мы для
скорости равномерно-ускоренного движения будем иметь формулу:
v = v 0-]-w t.
(12)
Если w отрицательно, то скорость в каждую секунду умень
шается на одно и то же значение. Такое движение называется
равномерно-замедленным. В этом случае формула (12) примет вид:
v = v Q— w L
( 1 2 а)
Следовательно,
при равномерно-замедленном движении скорость
*0
в определённый момент t = ^ будет равна нулю. Примером равномерно-замедленного движения может служить движение пули при
выстреле из винтовки вертикально вверх. На определённой высот?,
когда скорость пули «иссякнет», пуля на мгновение остановится
и сейчас же начнёт падать вниз. Равномерно-ускоренное и равномерно-замедленное движения представляют частные случаи одного
движения — равномерно-переменного] так называется движение, в
котором ускорение сохраняет постоянную величину — положительную
или отрицательную.
Величину пройденного пути мы можем найти тем же способом,
что и в случае движения без начальной скорости, определяя площадь,
заключённую между осью времён, линией скоростей и ординатами,
соответствующими начальному и конечному моментам движении.
Для случая равномерно-ускоренного движения график скоростей
изображён на фиг. 61, а для равнозамедленного на фиг. 62.
5*
68
РА В Н О М Е РН О -П Е Р Е М Е Н Н О Е Д В И Ж Е Н И Е
[гл. 5
Пройденные за время t пути s мы определим как площади тра
пеции ОАВС. В нашем случае мы можем написать формулу для
площади в виде:
(OA + B Q O C
Но OC = t , OA = v 0i a B C = v 0- \- w t (для движения равноускорен
ного) и v Q— w t (для движения равнозамедленного). Отсюда для
пройденного пути получаем формулы:
(Vo+Vo + w t ) t _____, , 1w i 3
(13)
-------------"2----------5------------v ol*' “1
~r~ 2~
= ‘‘'о
для движения равноускоренного и
(13a)
для движения равнозамедленного.
Отметим, что формулы (12) и (12а), (13) и (13а) отличаются
только знаком при ускорении w. Если принять, что замедление w
в формулах (12а) и (13а) соответствует отрицательному ускорению,
то в обоих случаях можно пользоваться одной формулой ( 12 ) для
скорости и формулой (13) для пройденного пути.
При выводе последней формулы мы молчаливо подразумевали,
что в момент t — 0 расстояние движущейся точки от начала отсчёта
расстояний равнялось нулю. Если бы это расстояние равнялось не
нулю, а некоторому значению s 0, то последнюю формулу (13) нам
пришлось бы переписать в виде
(14)
совершенно так же, как мы это сделали в § 6 , обобщая формулу
равномерного движения s = vt.
Пример 24. На какую высоту поднимется камень, брошенный
вертикально вверх с начальной скоростью 70 м /сек? (Ускорение g
можно считать для простоты равным 10 м /сек1.)
В этом случае камень при взлёте вверх имеет ускорение силы
тяжести, направленное вниз, т. е. противоположно направлению
движения. Поэтому ускорение силы тяжести g следует считать
ТА НГЕН ЦИАЛ ЬНО Е
И НОРМ АЛЬНОЕ
УС КОРЕН ИЯ
69
отрицательным и нужно применить формулы (12а) и (13а). В наи
высшей точке подъёма камень на мгновенье остановится, прежде чем
начать опускаться. Положив поэтому в формуле (12а) х/ = 0,
v 0 = 70 и w — — g = — 10, получим:
0 = 7 0 — 10/,
откуда t — 7 сек, т. е. камень будет подниматься вверх 7 сек.
Пройденный за это время путь, т, е. высота подъёма, получится по
формуле (13а):
5 = 7 0 -7 — ~
= 245 м.
ЗАДАЧИ.
21. Тело движется со скоростью, которая увеличивается каждую секунду
на 5 м/сек. Какой путь оно пройдёт за 1 час?
О т в е т : 32 400 км.
22. Шар, пущенный с горы длиной 1,5 км, скатывается в течение 5 мин.
Найти ускорение этого движения, считая его равноускоренным и принимая
начальную скорость равной нулю.
От в е т : 0,033 м/сек2,
23. Паровоз при торможении теряет каждую секунду 1,5 м/сек единиц
скорости (т. е. его ускорение отрицательно и равно 1,5 м/сек2). Сколько
времени пройдёт от начала "торможения до остановки поезда и на какое рас
стояние за это время продвинется поезд, если начальная скорость его рав
нялась 15 м/сек.
О т в е т : 10 сек; 75 м.
24. От поезда отделился задний вагон, который некоторое время
двигался за поездом равнозамедленно и, наконец, остановился, доказать,
что пройденный им путь будет в два раза меньше пути, пройденного за то
же время поездом, если последний продолжал двигаться равномерно с той
же самой скоростью, которую имел вагон в момент отрыва от поезда.
Г Л А В А 6.
УСКОРЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ.
§ 26. Тангенциальное и нормальное ускорения. В предыдущей
главе мы рассмотрели случай равномерно-переменного движения,
совершающегося по прямой линии; теперь нам предстоит обобщить
полученные результаты на случай криволинейного движения.
Пусть движущаяся точка М перемещается по некоторой кри
вой АВу которая, как мы уже знаем, называется траекторией
70
У С КО РЕН И Я
В
КРИ ВОЛИ НЕЙ НОМ
Д ВИ Ж ЕН И И
[гл. 6
движущейся точки (фиг. 63). Для того чтобы определить положение
движущейся точки на траектории, выбираем на пЬследней некоторую
постоянную точку О — начало отсчёта расст ояний; затем устанавли
ваем на кривой А В положительное на~
правление, например от А к В, Поло
жение движущейся точки М вполне опре
деляется длиной s дуги ОМ от начала
отсчёта О до движущейся точки М. Дли
ну s этой дуги считают положительной,
если направление от О к М совпадает
с установленным на траектории положи
тельным направлением, и отрицательной,
если имеет место противный случай. Е с
Фиг. 63.
ли мы выразим расстояние s в зависимо
сти от времени, всё равно, будет ли это сделано при помощи
таблицы, формулы или же графика, то полученная зависимость будет
представлять закон движ ения. Если эта зависимость выражается
формулой
где s 0 и Vq могут иметь любые значения, положительные или отри
цательные, то рассматриваемое движение будет называться равномерным, а величина v 0 будет представлять нам скорость рассматри
ваемого движения. Если же зависимость расстояния 5 от времени t
выражается формулой
I
у , w t2
то рассматриваемое движение будет называться равномерно-перемеиным\ величина v 0 будет представлять начальную скорость, a w —
ускорение в равномерно-переменном движении. Для скорости v
равномерно-переменного движения мы будем иметь аналогичную
формулу
v = v Q-{- w t.
Ускорение w будет положительным, если скорость с течением
времени возрастает, и отрицательным в противном случае.
До сих пор вся наша теория развивалась совершено аналогично
теории прямолинейного движения; только расстояние s мы измеряли
не по прямой, а по кривой линии; кроме того, отрезок кривой
линии обыкновенно считают разомкнутым, имеющим начало А и
конец В (если бы эта кривая делала полный оборот, то пришлось
бы направление на ней устанавливать не при помощи двух точек —
Т А Н Г ЕН Ц И А Л ЬН О Е
И НО РМ А ЛЬН О Е
УСКОРЕН ИЯ
71
от А к В , а по направлению обхода кривой — по или против
стрелки часов). На дальнейшем этапе нашего исследования мы,
однако, встречае*мся с новым обстоятельством; дело в том, что, как
мы видели в § 7, скорость в криволинейном движении является
величиной векторной, направление которой определяется направле
нием касательной к траектории; в связи с этим и ускорение w мы
тоже должны считать векторной величиной, направленной прямо по
скорости в том случае, когда движение является ускоренным, и
прямо противоположно скорости, когда это движение будет замед
ленным. И в том и в другом случае это ускорение,меняю щ ее
величину скорости, будет направлено по касательной ? в ту или
другую сторону её; поэтому это ускорение называется каса
тельным, или т ангенциальным (от латинского слова «тангенс» —
касательная).
Этим, однако, дело не кончается; в криволинейном движении
скорость может меняться не только по величине, но и по направ
лению; поэтому даже в том
случае, когда криволинейное
движение является равномер
ным, мы всё же будем иметь
какое-то ускорение; это уско
рение, меняющее направление
скорости, носит название цен*
тростремительного или нор
мального.
Простейшим движением, где
приходится рассматривать нор
мальное ускорение, является
фкг*
равномерное движение по ок
ружности. Это движение было впервые изучено во второй поло
вине XVII века голландским математиком Гюйгенсом, которому и
принадлежит введение понятия о нормальном ускорении.
Пусть точка М движется по окружности радиуса R с постоян
ной по величине скоростью v (фиг. 64); пусть М х и М 2 будут два
достаточно близких положения движущейся точки, расстояние между
которыми As, где As — дуга окружности, соответствующая централь
ному углу М хОМ^ = Да.
Если перемещение из М х в уИ2 произошло во время At, которое
мы можем считать достаточно малым, то длина дуги As будет:
As — v At.
С другой стороны, длина дуги As, соответствующей центральному
углу Да, будет:
A s = R Да.
72
УСКОРЕНИЯ
В
КРИВОЛИНЕЙНОМ
ДВИЖ ЕНИИ
[гл. 6
Сравнивая оба эти выражения, мы найдём величину Да;
a
v &
Посмотрим теперь, какое изменение скорости произойдёт за времл Дt. Отложим от некоторой точки О векторы Olm 1 — v 1 и Olm 2 = v 2,
представляющие скорости движущейся точки в начале и в конце
рассматриваемого промежутка времени; чтобы получить приращение
скорости A v, посмотрим, какую именно векторную величину нужно
прибавить к начальной скорости v l9 чтобы получить скорость
в конце рассматриваемого промежутка. Очевидно, эта величина пред
ставится вектором Av = т гт2, начало m i которого совпадает с кон
цом вектора
а конец т 2 с концом вектора Оут%\
vi — V i+ k v
(напоминаем, что в данном случае дело идёт о геометрическом сло
жении, рассмотренном нами в § 8 о параллелограмме скоростей).
Разделив приращение Av скорости на At, мы получим ускорение
в рассматриваемом движении.
Определим сначала направление этого ускорения. В треугольнике
О^т^гп^ угол при
будет, очевидно, равняться углу Да между ра
диусами О М х и ОЛ42; если дуга М хМ г будет очень мало отличаться
от нуля, то и угол Да будет близок к нулю, а следовательно, углы
т { и т 2 при основании равнобедренного треугольника
будут
очень мало отличаться от прямых; иными словами, направление при
ращения Av будет перпендикулярно скорости v x или направлению
касательной в М х к траектории.
Поскольку перпендикуляр к касательной носит название нормали
Av *
к траектории, то и соответствующее ускорение ^ будет называться
нормальным. Нетрудно видеть, что оно будет направлено в ту сторону,
в которую будет вращаться скорость при движении вектора v из
М х в М% по траектории, т. е. в сторону вогнутости траектории — от
М х к О.
Остаётся определить величину нормального ускорения. Из равно
бедренного треугольника
(фиг. 64) легко находим, опустив
из О перпендикуляр на т хт<ь\
т хт г — 2 0 1т 1 sin
Да
.
Так как угол Да мал, то, заменяя синус самим углом, будем иметь;
Av = 2 v ~ = v Да,
так как величина Охт есть v.
§
26]
Т А Н ГЕ Н Ц И А Л Ь Н О Е
И
Н О РМ А ЛЬН О Е УСКО РЕН И Я
73
Подставив вместо Дз его значение, получим:
\Аv = v
что после деления на
V
даёт для величины нормального ускорения w n:
At;
v2
Дi = ~R*
Wn
OS)
Так выражается ускорение в* равномерном круговом движении,
когда скорость меняется только по направлению.
Если скорость меняется не только по направлению, но и по вели
чине, то полное изменение скорости мы можем разбить на два: изме
нение скорости по величине и изменение ско
рости по направлению; следовательно, и пол
ное ускорение мы можем рассматривать как
состоящее из двух — тангенциального w t и нор
мального w n (фиг. 65). Складывая эти ускоре
ния по закону параллелограмма, мы получаем
полное ускорение w , равное
w = ]/r w f -f" w n •
Ускорение w образует с касательной угол ос, тангенс которого равен
Пример 25. При отходе от станции скорость поезда возрастает
равномерно и достигает величины 72 км/час через 3 минуты после
отхода; путь расположен на закруглении радиуса 800 м.
Определить касательное, нормальное и полное ускорения поезда
через 2 минуты после момента отхода от станции.
Выберем в качестве основных единиц метр в минуту; тогда
начальная скорость поезда 72 км/час будет соответствовать
72 ,(.д009=
1200
м/мин.
Величину тангенциального ускорения w t определим по формуле:
v = w t * ty
где v = 1200, t = 3; имеем:
t ^ = 400 м /м и н *.
74
УСКОРЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
[гл. б
В момент t = 2 мин скорость движения поезда будетг
v 2 — W f 2 = 800 м/мин.
Нормальное ускорение в этот момент будет равняться:
wn~ R
(800)3
=800 м/мин**
800
Величина полного ускорения w определится по формуле:
w — У w t -\- w n* ;
оно будет равно:
w = У 400* + 800* = 400 V~5 т 900 м /миФ \
оно образует с направлением скорости угол ос, тангенс которого бу~
дет равняться:
§ 27. Другой вывод формулы нормального ускорения. Фор
мулу нормального ускорения мы получили при помощи метода, упо
требляющегося в большинстве современных учеб
ников и основанного на представлении скорости дви
жущейся точки в виде вектора, который может ме
няться как по величине, так и по направлению.
В эпоху Гюйгенса понятия «вектор» ещё не су
ществовало, и он получил эту формулу другим спо
собом, представляя криволинейное движение точки
как результат сложения двух прямолинейных движе
ний: по касательной к окружности и по радиусу по
направлению к центру её.
Пусть точка А движется по окружности с цен
тром в О и радиусом OA = R с 'постоянной скоро
Фиг. бб.
стью v (фиг. бб). В этом движении за очень малый
промежуток времени М она перейдёт из А в В .
Если время Д/ невелико, то можно дугу А В заменить хордой А В ,
стягивающей эту дугу. Если бы точка сохранила ту скорость, кото
рая у неё была в положении А , тойона прошла бы путь A C = v Д/,
двигаясь по прямой, касательной к окружности в точке А . Но на
самом делеточка по истечении зремени Д£ окажется не в С, а в В,
т. е. уклонится от своего первоначального положения на отрезок СВ.
Иными словами, к перемещению АС, перпендикулярному диаметру
АО К, прибавится некоторое перемещение C B = A D 9 направленное
§ 28]
РАВНОМЕРНО-ПЕРЕМЕННО© ВРАЩЕНИЕ
76
по диаметру к центру окружности О. Определим величину этого пере
мещения. Для этого проведём прямую В К , соединяющую точку В
с другим концом диаметра АО К , Полученный ^треугольник А В К бу
дет прямоугольный с прямым углом в точке В (как вписанный угол,
опирающийся на диаметр). Далее отрезок BD , параллельный отрезку
ЛС, будет перпендикулярен к А К , т. е. BD будет перпендикуляром,
опущенным из вершины прямого угла на гипотенузу. По известной
теореме геометрии катет А В будет средней пропорциональной между
всей гипотенузой и прилегающим к точке А отрезком AD . Поэтому
A D : Л В = А В : АК ,
или
AD =
Но так как
АВ2
АК*
A B = v A t, A K = 2 R ,
то
W
.
Для равноускоренного движения без начальной скорости нами
получена формула ( 10 ):
где w есть ускорение. Сравнивая формулу для A D с формулой для
s, мы видим, что путь A D проходится равноускоренным движением,
ускорение которого будет равно
§ 28. Равномерно-переменное вращение. Рассматривая прямо
линейное или криволинейное движение точки, мы установили понятие
о законе движения. Под этим понятием мы подразумевали формулу,
устанавливающую зависимость между расстоянием 5 движущейся точ
ки М- от некоторой неподвижной точки О на траектории и време
нам t ; если эта формула имела вид
* = s. + V »
то рассматриваемое движение мы называли равномерным; величину
s — s0 мы называли путём, пройденным за время t , v Q— скоростью
рассматриваемого движения. Точно так же, если закон движения вы
ражался формулой
76
УСКОРЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
[гл. 6
то рассматриваемое движение мы называли равномерно-переменным
и определяли коэффициент w как ускорение; если w имело одинаковый
знак с v Q, то движение называлось равноускоренным, если же знак w
был противоположен знаку v 0 (например, ^ 0 ^ > 0 , я у < ] 0 ), то движе
ние называлось равнозамедленным.
Эти движения были нами подробно изучены в главе 5 и для них
установлен ряд формул.
Обратимся теперь к совершенно иной категории движений. В гла
ве 2 , изучая вращение тела, мы установили, что положение вращаю
щегося тела в данный момент времени может быть вполне опреде
лено, если мы зададим угол ср, образуемый подвижным радиусом ОВ
вращающегося тела с неподвижной прямой ОЛ, начерченной на той
плоскости, относительно которой происходит движение (фиг. 67). Мы
а)
/)
м
' можем наметить следующие аналогии
между движениями фиг. 67, а и Ь. Бу
дем считать, что:
1. Неподвижная точка О (начало
отсчёта расстояний) на фиг. 67, а соот
ветствует неподвижной прямой ОА на
фиг. 67, Ъ.
2. Подвижная точка М фиг. 67, а
соответствует подвижному радиусу ОВ
фиг. 67, b.
3. Расстояние s между О и М на
фиг. 67, а соответствует углу ср между
Фиг. 67.
О А и О В на фиг. 67, b (будем назы
вать этот угол угл о м вращения).
Наконец, аналогично тому, что мы установили на прямой (фиг. 67, а)
положительное направление движения (слева направо), установим на
фиг. 67, b положительное направление вращения — допустим, против
стрелки часов; углы вращения, измеряемые в соответствующем на
правлении, мы будем считать положительными, в противоположном —•
отрицательными.
После этих предварительных соображений мы можем ряд формул,
установленных нами для прямолинейного движения, так сказать,
«перевести на язык» вращательного движения.
Вращение, при котором зависимость угла вращения ср от време
ни t выражается формулой
? = ?0 + <
мы будем называть равномерным вращением. Угол ср0 мы будем
называть начальным углом вращения в момент t = 0 , величину
ср — ср0— угло м поворота тела за время t (аналогично пути, прой
денному за время /), величину со — угловой скоростью вращения,
причём, если со положительно, то вращение совершается в положи
тельном направлении (против стрелки часов), если со отрицательно,
РАВНОМЕРНО-ПЕРЕМЕННОЕ ВРАЩЕНИЕ
77
то вращение совершается в отрицательном направлении (по стрелке
часов).
После того как мы установили понятие, о знаке угловой скорости,
вполне уместно дать несколько другой вид формулам ( 6 ), касающим
ся передачи вращения. Для случая внутреннего зацепления зубчатых
колёс и открытой ремённой передачи будем писать:
так как направление вращения при передаче не меняется; для слу
чая же внешнего зацепления и перекрёстной ремённой передачи фор
мула ( 6 ) напишется в- виде
так как направление вращения при передаче меняется на противо
положное. Это вполне соответствует установленному нами в конце § 15
правилу знаков для передаточного числа.
Вращение, при котором зависимость между ср и t выражается фор
мулой
? — ?о + °V + ~2 >
(16)
мы будем называть равномерно-переменным вращение м. Величину отбу
дем называть начальной угловой скоростью вращающегося тела,в—у гл о 
вым уско р ени ем ; если со0 и е одного знака (обычно оба положитель
ны), то вращение будет равноускоренным, если же со0 и е разных
знаков (например, со0 положительно, а е отрицательно), то вращение
будет равнозамедленны м .
Таким образом, формула (16) представляет полную аналогию
формуле (14) главы 5. Точно так же по аналогии с формулой ( 1 2 )
напишем:
(17)
а> = <о0 -j- et.
Формулы (16) и (17) дают возможность решать все задачи, связан
ные с равномерно-переменным вращением.
За единицу углового ускорения принимается угловое ускорение
такого равномерно-ускоренного вращения, при котором за единицу
времени (секунду) величина угловой скорости увеличивается на один
радиан в секунду. Эта единица обозначается так: 1/сек1.
Пример 26. Находившийся под действием тормоза вращающийся
вал остановился через 30 секунд после приложения тормоза, сделав
90 оборотов. Определить величину углового ускорения, а также
начальную угловую скорость вращения вала (в оборотах в минуту),
считая вращение равнозамедленным.
78
УСКОРЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
[гл* 6
Для решения этого примера воспользуемся формулами:
*^
^
?=
— 2 *,
со = а>0 — е/.
Если / = 3 0 , то <D= 0, а <р= 90«2я: радианов; таким образом:
180*в*30ю в —
соа = 30s.
Решая полученные уравнения, находим:
е = у тс = 1,26 г/сегс*,
<ол = 1 2 тс Усе?# = 0 ^об/мин*
Пример 27* В открытой ремённой передаче ведущий вал с диа
метром / > ,= 5 0 0 ел* начинает вращаться из состояния покоя с угло
вым ускорением е — 091ъУсек*9 Он приводит во вращение ведомый
вал с диаметром D% — 300 см. Через сколько времени после пуска
б ход ведущего вала ведомый будет обладать угловой скоростью,
соответствующей 2 0 0 об/мин?
Угловая скорость ведущего вала будет:
о, = s / = 0 , 1tc/ г1сек*
гг
и
Dt
500
5
Так как передаточное число ^ = ^ = ^ - = -^-, то угловая ско
рость ведомого вала в момент t будет:
<*>з = - |® 1 в -§"0 ,5 тс/ Vсек,
что соответствует
п — ~ об/еек = Ы об/м ан.
Искомое время t разгона будет равно:
/* = 200
- — = 4Л(\
0 м ин.
Отметим, что при передаче угловые ускорения так же, как и уг
ловые скорости, относятся обратно пропорционально радиусам или
диаметрам валов, но только при помощи зубчатой или ремённой пе
редачи нельзя превратить ускоренное вращение в замедленное и об
ратно; у всех участвующих в передаче валов или колёс угловое уско
рение и угловая скорость будут шчеть или одинаковые или про
тивоположные знаки.
§ 29* Линейные ускорения точек вращ аю щ егося тела. Подоб
но тому, что имело место для угловой скорости, угловое ускорение
будет общим для всех точек вращающегося тела, но каждая точка
§
29]
ЛИ НЕЙН Ы Е
У С К О РЕН И Я
Т О Ч ЕК
ВРА Щ АЮ Щ ЕГО С Я
ТЕЛ А
79
последнего будет обладать и своей линейной скоростью и своим ли
нейным ускорением.
Пусть точка М принадлежит вращающемуся телу, закон враще
ния которого вокруг центра О задан уравнением:
? = ?о + ®о* + х »
где 9 — угол, образуемый радиусом ОМ с некоторой неподвижной
прямой О х (фиг. 6 8 ). Точка М в своём движении описывает окруж
ность М 0М радиуса ОМ = г. Если считать за начало отсчёта рас
стояний точку М 0 пересечения этой ок
ружности с неподвижным радиусом О х ,
то расстояние s = M 0M движущейся точки
М будет:
ff = rp = rp0 + ffl0rf + -g -.
Сравнивая эту формулу с формулой (14)
,
s — so "Ь
J , wt2
>
мы видим, что соответствующее круговое движение точки М будет
производиться с тангенциальным ускорением:
w t = sr.
(18)
Что касается нормального ускорения w n, то оно может быть по
лучено по общей формуле:
va
*>п = у
Но скорость v точки М есть не что иное, как линейная скорость
этой точки:
v = br,
следовательно,
s
® / t = ^ 7 - = «>V.
(19)
Полное ускорение w точки М , изображаемое вектором М т, будет:
w =
Y (w t <l4 - w * =
V
( е гТ +
(<»V)a =
г ] / е 2 - ] - со4;
(2 0 )
оно так же, как и ускорения w t и w n, пропорционально расстоянию
г точки М от центра О. С радиусом ОМ оно образует угол а, тан°
гене которого
че
t g a = 3 = i
(2 1 )
Wa <iiJ
v '
не зависит от расстояния г. Это показывает, что полные ускорения
всех точек, лежащих на одном и том же радиусе ОМ, имеют
одно и то же направление, т. е. параллельны между собой. С другой
стороны, абсолютные величины этих ускорений пропорциональны
80
УСКОРЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
[гл. 6
расстоянию г. Таким образом, если М т и N n представляют полные
ускорения двуз точек М и N , лежащих на одном и том же радиусе,
то 'вследствие подобия треугольников ОМт и ONn (равенство углов
а и пропорциональность сторон, содержащих этот угол) легко дока
зать, что прямая, соединяющая концы т и п этих векторов, пройдёт
через центр вращения О. При помощи этого замечания по ускорению
одной какой-нибудь точки М движущегося радиуса легко найти
ускорение любой его точки N , иными словами, построить план или
картину ускорений вращающегося радиуса ОМ. План ускорений
будет иметь такой же вид, как и разобранный в § 13 план скоростей
во вращательном движении, с той только разницей, что скорости
перпендикулярны к радиусу, а ускорения будут образовывать с послед
ним угол а, вообще го
воря, отличный от пря
мого и определяемый по
формуле ( 2 1 ).
Пример 28. Три коле
са 0 1У 0 2, 0 3 радиусов
rt = 2 0 см, г2 = 10 см,
г3 = 2 0 см, вращающиеся
вокруг неподвижных цен
тров 0 19 0 2, 6 3, сцепле
ны между собой, как по
казано на фиг. 69. К ко
лесу Oj прикреплена ру
коятка ОхА длиной 40 см,
на которую действует сила, сообщающая ей из состояния покоя угловое
ускорение е = ? 0 ,5 1/секI
К колесу 0 3 прикреплена верёвка, поднимающая груз Р. Опре
делить скорость и ускорение конца А рукоятки, окружные скорости
и ускорения трёх колёс, а также скорость и ускорение поднимаемого
гру?а через 2 секунды после начала движения.
Угловая скорость рукоятки определится по формуле
со = еt,
что при s = 0,5 Vсек* и t = 2 сек даёт
ш = 1 Vсек*
Скорость конца А рукоятки
v A= (о . ОгА = 40 см!сек,
её тангенциальное, нормальное и полное ускорения будут:
w t = а . 0 {А = 20 см/сек1; w n = соV = 40 см/сек2;
w— Y
+ w r f = 20 ] / 5 ^ 45 см/сек*.
Угловые скорости соь со2 и со3 колёс I, II и III будут!
о)1 = ( о = 1 */сек\ <оа = — 2со = — 2 7 сек; со3 = соА= 1 1/сек,
§
29]
ЛИНЕЙНЫ Е
УС К О РЕН И Я
ТОЧЕК ВРА Щ АЮ Щ ЕГО С Я
Т ЕЛ А
81
их окружные скорости одинаковы и равны:
v = сокгх == 1 • 2 0 = 2 0 см)сек.
Тангенциальные ускорения точек, лежащих на окружностях всех трёх
колёс, тоже будут одинаковы и равны:
w t = er 1 = 0 , 5 * 2 0 = 1 0 см/сек*.
Нормальные же ускорения всех трёх колёс будут различны:
w ni = <»l*r1 = 20 см/сек*;
w nz = ш2% = 4 0 см/сек*}
w nz = w n = 20 см/сек
Полные ускорения точек, лежащих на окружностях всех трёх колёс,
будут соответственно:
да, = V 10‘2 + 20* — 10 |/*5 = 22,5 см/сек*\
= Y Ю2- |- 4 0 2 = 10 У П = 41,2 см/сек'1',
w 3 = w 1= 22,5 см/сек*.
Что касается скорости и ускорения груза Р, то они будут
v p = v = 20 см/сек; w p = w t = 10 см/сек\
Поскольку груз Р движется прямолинейно, то нормального ускоре
ния он иметь не будет.
Интересно отметить, что окружные скорости всех трёх колёс,
а также скорость подъёма груза равны между собой, в то время как
их ускорения не равны.
ЗАДАЧИ.
23.
Поезд движется равнозамедленно по дуге круга радиуса Р = 800 м
и проходит путь s = 800 м9 имея начальную скорость г>0 = 54 км/час и ко
нечную v = 18 км/час. Определить полное ускорение поезда в начале и кон
це дуги, а также время движения Т по этой дуге.
О т в е т : ш0= 0,303 м/сек2; w = 0,129 м/сек2; Г = 80 сек.
26. Вал начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя и в пер
вые 5 сек делает 12,5 оборотов. Какова его угловая скорость по истечении
этих 5 сек!
О т в е т : о>= 1 0 тиг/сек.
27. Колесо, имеющее неподвижную ось, получило начальную угловую
скорость, соответствующую одному обороту в секунду; сделав 10 оборотов
оно вследствие трения в подшипниках остановилось. Определить угловое
ускорение е колеса, предполагая, что его вращение было равнозамед
ленным.
О т в е т : е = — 0,1 тс 1/сек2.
28. Определить скорость v и ускорение w точки, находящейся на поверх
ности земли в Ленинграде в суточном вращении земли; широта Ленинграда
равна 60°, радиус земли 6000 км.
О т в е т : v = 217 м/сек; w = 0,016 м/сек2.
29. Шкив А паровой машины с радиусом
= 75 см при помощи откры
той ремённой передачи приводит во вращение динамомашину, шкив В ко
торой имеет радиус г2 = 30 см; после пуска в ход паровой машины её уг
ловое ускорение 6 = 0,4%}]сек2.
Через сколько времени динамомашина будет делать 300 об/мин.}
О т в е т : через 10 сек.
6
Зак. 667. И. Н . Веселовский
ОТДЕЛ ВТОРОЙ.
СИЛА,
Г Л А В А 7.
РАВНОВЕСИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ ПО ОДНОЙ ПРЯМОЙ.
§ 30. Сила и её измерение. Ежедневный опыт показывает нам,
что если мы хотим привести в движение какое-нибудь тело, перво
начально находившееся в покое, или если мы хотим изменить движе
ние тела, или даже совсем остановить его, то мы должны приложить
для этого определённое мускульное усилие, тем большее, чем боль
шее действие мы желаем получить. Именно это знакомое каждому
из нас ощущение мускуль
ного усилия и явилось тем
источником, из которого
развилось понятие о силе.
Посмотрим, какие от
дельные стороны можно раз
личить в вводимом нами
Фиг. 70.
понятии о силе.
Если мы хотим сравнить мускульные силы двух людей, то
обычно задаём им вопрос: какую наибольшую тяжесть каждый из
них в состоянии поднять? Таким образом, мы сравниваем усилие
человеческих мускулов с некоторой определённой, хорошо извест
ной нам силой, например, весом какого-нибудь определённого
тела, положим, десятикилограммовой гири. Если мы хотим более точ
но определить величину какой-нибудь силы, то проще всего взять
обыкновенные пружинные весы и поднимать груз, прицепляя его к
крючку весов. Показание весов и послужит мерой того усилия, ко
торое мы должны употребить для подъёма данного груза. Таким об
разом, мы получаем простейший прибор для измерения силы, так
называемый динамометр (силомер, фиг. 70).
Конечно, для измерения больших усилий наш прибор не окажется
пригодным, но основное положение остаётся незыблемым: чтобы
измерить величину силы, проще всего сравнить её с весом какогонибудь определённого, хорошо известного тела. В качестве такого
веса принимают килограмм — вес литра чистой воды при 4° Цельсия
(когда вода имеет наибольшую плотность).
Если приходится иметь дело с очень большими силами, то за
единицу принимают тонну, равную 1 0 0 0 кг) в точных же измерениях,
СИЛА И ЕЕ ИЗМЕРЕНИЕ
83
где приходится иметь дело с небольшими силами, за единицу изме
рения силы удобнее принять грамм, равный тысячной части кило
грамма.
Однако для полного определения силы недостаточно знания одной
только величины, Кроме величины, необходимо знать ещё и напра
вление силы. Под направлением силы подразумевают направление то
го перемещения, которое данная сила сообщает (или стремится сооб
щить) телу, находящемуся в состоянии покоя. Так, мы говорим, что
сила веса данного тела направлена вниз потому, что если выпу
стить тело из рук, не толкая его, то оно будет двигаться вертикаль
но вниз.
Далее, сила имеет так называемую точку прилож ения. Пусть мы
имеем некоторое тело, которое мы хотели бы сдвинуть с места
(фиг. 71). Мы обвязываем
это тело верёвками и в
точке О к этим верёв
кам прикрепляем ещё одну
_
верёвку, за которую берёмся в А рукой и тянем
с определённой силой.
Точка О прикрепления ве
рёвки ОА будет точкой
приложения
силы, на
правление верёвки О А —
фиг- 71.
направлением действую
щей силы. Мы можем изобразить тут же величину нашей си
лы; для этого от О по верёвке ОА отложим отрезок ОД, который
будет равен стольким определённо выбранным единицам длины,
скольким килограммам равняется приложенная сила. После этого мы
можем отбросить и нарисованное тело, и верёвку; тогда полученный
на фиг. 71 отрезок ОВ со стрелкой покажет нам и точку приложе
ния, и направление, и самую величину приложенной силы,
Если на покоящееся тело действуют по одной прямой две силы,
одинаковые по величине и прямо противоположные по направлению,
то такие две силы взаимно уравновешиваются, т. е. не сообщают
телу никакого перемещения. Обратно, если на тело действуют две
взаимно уравновешивающиеся силы, то величины этих сил будут равны,
а направления прямо противоположны.
Таким образом определение величины силы сводится к нахождению
силы, уравновешивающей её. На практике это выполняется так:
в качестве единицы силы берётся сила, с которой притягивается
к земле определённое тело, допустим, литр чистой воды; соответ
ствующая единица, как мы уже говорили, носит название одного
килограмма. Сила притяжения землёй двух литров чистой воды даст нам
вдвое большую силу, равную двум килограммам, и т. д. Таким обра
зом, мы получаем набор сил в 1 , 2 , З и т . д. килограмм; чтобы
6*
84
РАВНОВЕСИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ ПО ОДНОЙ ПРЯМОЙ
[гл. 7
найти величину изм еряемой силы, нам остаётся лиш ь определить,
с какой из наш их образуем ы х сил в 1, 2, 3 и т. д. килограм м она
будет уравновеш иваться.
П ри определении направления силы иногда делаю т следую щ ую
о ш и бку: за направление силы принимаю т направление движ ения тела,
на ко то р о е эта сила действует. Это верно тол ько в том случае, если
сила дей ствует на тело, находивш ееся первоначально в состоянии
покоя; если ж е сила подействовала на тело, уж е находивш ееся в д в и 
жении, то сообщаехмое этой силой движ ение прибавляется к уж е
имевш емуся у тела, и это получаю щ ееся в результате движ ение,
Еообщ е го воря, не будет совпадать с направлением силы.
Величины такого рода, для’ полного определения которых недо
статочно их числового выражения, а требуется знать и направление
их, называются векторными величинами, или векторами (слово
«вектор» — по-латыни «везущий»).
Примером такой векторной величины и является сила, опре
деляемая своей числовой величиной, направлением и точкой прило
жения.
§ 31. Равновесие. Если к телу приложена система сил, не изме
няющих в своей совокупности покоя или движения тела, то говорят,
что такая система сил находит ся в равновесии.
Из этого определения вытекает, что равновесие сил ещё не
исключает движения тела. Если на тело действует система взаимно
уравновешивающихся сил, то тело может или находиться в состоянии
покоя или же двигаться, но это движение может быть только прямо
линейным и равномерным.
Нужно строго различать понятия «равновесия» и «покоя». «Покой»
есть чисто кинематическое понятие: мы говорим, что тело находится
в покое по отношению к другим телам, если оно является по отно
шению к ним неподвижным: «покой» есть просто отсутствие движе
ния. Что же касается «равновесия», то оно обязательно предполагает
наличие сил; строго говоря, в равновесии находится не само тело,
а действующие на него силы *).
Однако иногда говорят о равновесии тела: под этим нужно просто
подразумевать сокращение двух выражений: «Тело находится в покое,
а действующие на него силы в равновесии».
Если к телу приложена система сил, находящихся в равновесии,
то эту систему сил можно отбросить, не изменяя состояния покоя
или движения тела в делом. Равным образом, не изменяя состояния
покоя или движения тела в целом, можно прибавить к нему систему
сил, находящихся в равновесии. Однако не следует думать, что прих) Что это так, мож но видеть из следую щ их соображ ений: вполне е ст е 
ственно сказать про неподвижный световой зайчик, что он находится в с о 
стоянии покоя, но никто не скаж ет, что неподвижный световой зайчик на
ходится в равновесии; действительно световой зайчик не есть материальное
тело, а следовательно, никаких сил к нем у прилож ено быть не м ож ет.
§ 32J
ДЕЙСТВИЕ И ПРОТИВОДЕЙСТВИЕ
85
бавление или отбрасывание такой взаимно уравновешивающейся
системы сил ничего не изменяет в данном теле. Действительно, если
мы к твёрдому телу приложим две силы, действующие по одной
прямой, равные по величине и противоположно направленные, то эти
силы не приведут его в движение, если это тело первоначально на
ходилось в покое, но зато они будут стремиться растянуть или сжать
тело, в зависимости от того, будут ли эти силы направлены в разные
стороны или же навстречу друг другу. От прибавления или отбра
сывания таких взаимно уравновешивающихся сил в теле получаются
или, наоборот, исчезают внутренние усилия растяжения или сжатия;
поэтому в том случае, когда нас интересуют именно внутренние
напряжения в теле, никоим образом нельзя прибавлять или отбрасы
вать взаимно уравновешивающиеся си
лы; это допустимо только тогда, когда
дело идёт о равновесии и движении
всего тела в целом.
§ 32. Действие и противодей
ствие. Когда мы передвигаем какоенибудь тело, то сила, с какой мы это
делаем, представляет действие нашего
организма на это тело; в свою оче
редь, мы испытываем некоторое со
противление, причиной которого являет
ся движимое тело и которое не по
зволяет нам двигаться так же свобод
но, как мы это могли бы делать, не
воздействуя на тело. Когда мы держим
в руках магнит и подносим его к
куску железа, то последи^ стремится
приблизиться к магниту, как говорят, притягиваетсяпоследним.
Это притяжение представляет воздействие магнита на железо.
В свою очередь железо тоже действует на магнит;если
держать
железо в руках, а магнит положить свободно, то последний, в свою
очередь, будет двигаться по направлению к куску железа.
Обобщая все подобные явления, мы можем сказать, что сила про
является при воздействии одного материального тела на другое, и если
при этом .первое тело действует на второе с некоторой силой, то
и второе действует на первое тоже с некоторой силой, которая назы
вается противодействием.
Относительно этих сил знаменитый английский физик Ньютон
установил так называемый закон равенства действия и противо
действия ( 3 -й закон Ньютона). Если одно тело действует на дру
гое с некоторой силой, то второе тело действует на первое
с силой, равной по величине первой силе и прямо ей противопо
лож ной. Это значит, что, например, стоящий на столе цилиндр давит
на стол силой своего веса, направленной вниз, а стол, в свою очередь,
86
РАВНОВЕСИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ ПО ОДНОЙ ПРЯМОЙ
[гл. 7
сопротивляется этому давлению с силой, направленной вверх и равной
по величине весу цилиндра. На фиг. 72 вектор Р изображает силу
веса цилиндра, приложенную в его центре тяжести (см. ниже),
Р 2 — приложенную к столу силу давления цилиндра'на стол, а Р х — силу
противодействия стола, приложенную к цилиндру и равную по вели
чине весу последнего, но направленную в противоположную сторону.
Так как цилиндр на столе остаётся в покое, то это значит, что тяну
щая его вниз сила веса Р уравновешивается сопротивлением стола Р и
которое, таким образом, равно действию Р 2 цилиндра на стол.
Необходимо обратить внимание на то, что действие Р 2 и проти
водействие Р х приложены к различным телам: первое к столу,
а второе к цилиндру. Это важно отметить в том отношении, что действие
и противодействие хотя равны и прямо противоположны, но не уравно
вешиваются именно потому, что они приложены к различным телам.
Так, в нашем примере силы Р и Р г взаимно уравновешиваются (они
приложены к одному телу — цилиндру), но силы P t и Р 2 — действие
и противодействие — не уравновешиваются, так как они действуют
на разные тёла.
Это замечание важно потому, что оно сразу разрушает одно воз
ражение, выставляемое против рассматриваемого закона. Если действие
и противодействие равны и прямо прртивоположны, то спрашивают,
как же может возникнуть движение? Движение может возникнуть именно потому, что действие и про
тиводействие приложены к различным телами, а потому и не уравно
вешиваются, хотя они равны по величине и противоположны по на
правлению. В самом деле, если бы мы запрягли две одинаково силь
ные лошади в одну телегу так, чтобы они тянули её в прямо про
тивоположные стороны, то силы их взаимно уравновесятся и телега
останется в покое; если же мы запряжём две лошади в разные телеги,
хотя бы и стоящие по одной прямой, так, чтобы они тянули в разные
стороны, то никакого равновесия не будет и телеги будут передви
гаться, хотя мы и будем иметь две равные и направленные по одной
прямой и в разные стороны силы.
Рассмотрим ещё один пример. Пусть лошадь везёт телегу и тянет
её с некоторой определённой силой в одну сторону. Если закон
Ньютона верен, то телега, в свою очередь, должна действовать на
лошадь с такой же силой в обратном направлении, и в таком случае
странно, что лошадь вместе с телегой может сдвинуться с места.
Невольно напрашивается предположение, что лошадь действует на телегу
с силой, несколько больше той, с которой телега действует на лошадь;
разность этих сил и даёт нам ту силу, которая движет лошадь
и телегу вместе, взятые как одно тело. Однако это не так. Что обе наши
силы равны, нетрудно убедиться, если вообразить себе лошадь
с телегой на совершенно гладком, не представляющем упора льду;
всякий возчик знает, что в этом случае лошадь так и не сможет сдви
нуться с места. Эго значит, что силу, приводящую в движение лошадь
РАВНОВЕСИЕ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
87
с телегой, надо искать не во взаимодействии лошади и телеги, а во
взаимодействии лошади и земли; только отталкиваясь от земли, лошадь
получает возможность везти телегу. В самом деле, сила, с которой
лошадь отталкивает землю, равна силе, с которой земля отталкивает
лошадь, но так как масса земли неизмеримо больше массы лошади,
то земля остаётся в покое (получает неизмеримо малое ускорение),
а лошадь с телегой движется. Если бы масса земли не была так
неизмеримо велика, то земля тоже двинулась бы в противоположную
сторону. В этом нетрудно убедиться, если представить себе лошадь
на топчане; лошадь, отталкиваясь от топчана, идёт в одну сторону,
а топчан — в другую; в этом случае мы замечаем оба движения, потому
что массы и топчана и лошади не так уж сильно отличаются между собой.
§ 33. Р авновесие несвободной м атериальной точки; аксиома
связей . До сих пор мы говорили о свободной материальной точке,
понимая под этим тело, могущее иметь
любые перемещения. Предположим те
перь, ' что свобода перемещения нашей
точки ограничена некоторыми условия
ми, так называемыми связями. Так, на
пример, точка М может быть привязана
к другой неподвижной точке О гибкой
нерастяжимой нитью ОМ заданной длины /;
в таком случае она может иметь все
перемещения, при которых расстояние ОМ
нашей точки от неподвижной не будет
Фиг. 73.
больше /.
Мы можем считать, что точка М при вытянутой нити будет
перемещаться по окружности с центром О и радиусом I. Те перемещения,
при которых точка будет двигаться по окружности, носят название
возмож ных; это будут перемещения, допускаемые связью. Любое
перемещение точки М может быть разложено на два взаимно
перпендикулярных перемещения, из которых одно будет возможным,
т. е. направленным по связи, а другое или несовместимым со связью
или чосвобождающим от связи. Так, например (фиг. 73), перемещение
М А раскладывается на перемещение по связи М С и перемещение,
уничтожаемое связью М В \ точно так же перемещение M D разбивается
на два — перемещение по связи M E и перемещение, освобождающее
от связи M F.
Эта классификация имеет значение при решении задач на равно
весие несвободной точки. Мы можем свести эти задачи к случаю
свободной точки при помощи следующей аксиомы связей:
Действие каж дой связи может бить заменено силой (так назы
ваемой реакцией связи).
В нашем примере нить действует на материальную точку М с не
которой силой (натяжение нити), которую нужно учитывать наравне
с другими силами.
88
РАВНОВЕСИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ ПО ОДНОЙ ПРЯМОЙ
[гл. 7
Реакции связей обладают всеми свойствами сил за одним лишь
исключением: они представляют так называемые пассивные сил ы. Под
этим названием мы подразумеваем силы, которые могут уничтожить
или видоизменить уже существующее движение, но не могут вызвать
его из состояния покоя. Это последнее обстоятельство заставляет нас
несколько видоизменить определение направления силы. В случае
пассивной силы за направление последней принимается направление
противоположное направлению перемещения, полностью уничтожае
мого данной связью; так, в найюм случае направление реакции нити
будет от М к О, поскольку направление перемещения, полностью
уничтожаемого данной связью, будет от М к В .
Если связь является, как говорят, неосвобождающей, например,
точка должна постоянно оставаться на некоторой поверхности или
линии (в нашем примере это соответствовало бы случаю, когда точка
М прикреплялась бы к О не нитью, но стержнем постоянной длины /),
то направление реакции связи может быть как от М к В , так и от
М к F. В этом случае полезно бывает дать направлению реакции
связи несколько иное определение:
Направление реакции связи являет ся перпендикулярным к напра
влению возмож ных перемещений, допускаемых данной связью.
В нашем случае направление реакции связи будет перпендикуляр
ным к направлению возможных перемещений по касательной к окруж
ности, т. е. реакция связи будет направлена по радиусу.
§ 34. М еханическая систем а. М еханической системой мы
называем совокупность тел> действующих друг на друга с неко
торыми силами, иными словами, оказывающих давление друг на друга,
сообщающих друг другу ускорения, и т. д. Определяя механическую
систему, мы можем оставить в стороне всякие другие воздействия
тел друг на друга (химические, тепловые и т. д.); для нас важ
но только, чтобы между этими телами действовали бы некоторые
силы.
Выберем какое-нибудь одно из тел, составляющих систему. Среди
всех сил, приложенных к этому телу, надо различать внешние силы ,
т. е. воздействия на тело других тел, не входящих в дан
ную систему, и внутренние силы, т. е. силы взаимодействия различных
тел одной и той же системы. Внутренние силы системы по своей
природе очень разнообразны: в солнечной системе, например, вну
тренними силами являются силы взаимного притяжения Солнца и
планет, в твёрдом или жидком теле — взаимные давления или натяже
ния между соседними частицами и т. д.
Согласно третьему закону Ньютона, все внутренние силы системы
можно разбить на ряд пар, каждая из которых представляет собой
две равные и противоположно направленные силы взаимодействия
двух тел одной и той же системы. Каждые такие две силы не будут
находиться между собой в равновесии, поскольку они приложены
к различным телам.
89
МЕХАНИЧЕСКАЯ СИСТЕМА
Для определения внутренних сил, действующих между какиминибудь двумя частями системы, нужно отделить друг от друга эти
взаимодействующие части, или, как говорят, произвести сечение
внутри рассматриваемой системы.
В качестве примера рассмотрим, чему равны внутренние усилия Т ,
развивающиеся в стержне А В , растянутом двумя равными и прямо
противоположными силами Р (фиг. 74).
Начинающие изучать механику иногда предполагают, что две при
ложенные силы Р вызывают внутри стержня растягивающее усилие,
равное 2Р. Однако такого рода заключение неправильно. В самом
деле, согласно определению, внутренними силами мы называем взаимо
действия, возникающие между двумя соседними частями рассматри
ваемой системы. ВозЬхМём какую-нибудь точку С нашего стержня;
если в этой точке мы мысв
ленно проведём сечение, раз
деляющее стержень на две ча
сти: левую А С и правую СВ,
то искомой внутренней силой р * 1 __________j
будет сила, представляющая
А
I
действие одной из отрезанных
Фиг. 74.
частей, например ВС , на дру
гую — АС . Пока стержень не был разрезан, часть АС этого стер
жня находилась в равновесии; согласно аксиоме связей, это' рав
новесие не нарушится, если мы, отбросив часть СВ, заменим её
действие силой Тс. Но часть АС находится в равновесии под дей
ствием двух сил Р и Тс; следовательно, искомое растягивающее уси
лие Тс равно Р.
Среди всех механических систем особо важное значение имеет
одна — так называемое абсолютно твёрдое т ело. Под этим назва
нием мы понимаем такое твёрдое тело, в котором расстояние между
двумя любыми точками постоянно. На абсолютно твёрдом теле
взаимно уравновешиваются любые две равные и прямо противополож
ные силы. Таких тел в природе, конечно, не существует, но любое
реальное тело ведёт себя как абсолютно твёрдое, если только при
ложенные к нему силы не превосходят некоторого определённого
предела, обусловленного физическими свойствами этого тела.
Особо важное значение абсолютно твёрдого тела выясняется
в результате установления так называемого принципа отвер
девания.
Если данная механическая система находит ся в равновесии,
то последнее не наруш ится, если мы налож им на нашу систему
дополнительные связи. Очевидность этого принципа выясняется h i
следующих примерах: если книга находится в равновесии на столе,
то она не придёт в движение, если мы дополнительно приклеим или
прибьём гвоздями эту книгу к столу; если вода в стакане находит
ся в равновесии, то оно не нарушится, если вся эга вода вдруг
к
90
РАВНОВЕСИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ ПО ОДНОЙ ПРЯМОЙ
[ГЛ.
^
обратится в стакане в твёрдое тело (отсюда и само название — прин
цип отвердевания).
Это показывает, что условия равновесия абсолютно твёрдого тела
являются необходимыми условиями равновесия механической системы:
если онине соблюдены, то равновесие невозможно. Однако, если они
соблюдены, то это ещё не значит, что равновесие обязательно будет
иметь место; являясь необходимыми, эти условия не будут, вообще
говоря, достаточными; для отдельных механических систем будут
существовать свои специальные условия равновесия^ Так например.,
если на гибкую нить действуют две силы, то они будут в равновесии
только тогда, когда, во-первых, они равны и прямо противоположны
(необходимое условие равновесия абсолютно твёрдого тела) и, кроме
того, во-вторых, если они будут направлены друг от друга, поскольку
гибкая нить не может сопротивляться ежа*
тию (специфическое условие равновесия
гибкой нити).
Если при помощи метода сечения мы
определяли внутренние силы системы, то
при помощи принципа, отвердевания мы,
наоборот, можем исключить внутренние
силы, предполагая, что наша система об
ратилась в абсолютно твёрдое тело.
§ 35. Перенесение точки приложе
ния силы. Для абсолютно твёрдого тела
имеет место следующая теорема: точку
прилож ения любой силы, действующей
на абсолютно твёрдое телоу можно поФиг. 75.
местить где угодно на линии действия
этой силы (прямой, проведённой через
точку приложения силы по направлению этой последней).
Действительно, пусть на абсолютно твёрдое тело действует сила Р,
приложенная в точке А (фиг. 75). Проведём через А по направлению
этой силы линию А В и покажем, что точку приложения силы Р можно
взять в любой точке В этой прямой.
Мы ничего не изменим в действии силы Р, если приложим в точке
В две равные и противоположно направленные силы Р х и Р 2, равные
по абсолютной величине силе Р. Полученные три силы мы можем
сгруппировать так: силы Р и Р 2 вместе и, кроме того, силу Р 1Г
Поскольку силы Р и Р 2 приложены к абсолютно твёрдому телу, то
они взаимно уравновешиваются, и мы, следовательно, можем их от
кинуть; тогда остаётся одна лишь сила Р и представляющая силу Р>
перенесённую в точку В .
Таким образом, для абсолютно твёрдого тела понятие точки при
ложения силы теряет свой смысл.
Следует помнить, что, отбрасывая силы Р и Р 2, мы, не изменяя
условий покоя или движения всего тела в целом, всё же можем суще
ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ СТАТИКИ
91
ственным образом изменить состояние внутренних усилий в данном
теле; поэтому никоим образом нельзя переносить точку приложения
сил, если идёт речь об определении внутренних усилий в теле.
Действительно, если мы хотим сдвинуть с места камень, привязав
к нему верёвку, то для камня совершенно безразлично, за какое место
верёвки мы схватимся рукой. Однако для верёвки это будет иметь
существенное значение; чем ближе к камню мы схватим верёвку, тем
меньшая часть верёвки будет находиться в напряжённом натянутом
состоянии.
§ 36. Две основные задачи статики. Пусть на заданное твёрдое
тело действует определённая система сил. По отношению к этой
системе статика решает следующие две основные задачи.
Во-первых, она уст анавливает те условия, при кот оры х задан
ная система сил будет находиться в равновесии.
Во-вторых, она определяет наиболее простую систему, ко
торой можно заменить данную, или, как говорят, эквивалент
ную ей:
В статике эквивалентными системами называются такие
системы сил, которые могут быть уравновешены одной и той же
системой. Если данная система эквивалентна одной силе, то последняя
называется равнодействующей этой системы, а силы системы назы
ваются составляющими этой равнодействующей. Сила, равная по
величине равнодействующей и направленная в противоположную сто
рону, носит названиъ уравновешивающей этой системы.
Следует твёрдо помнить, что системы сил, эквивалентные с точки
зрения статики, могут и не быть эквивалентными с точки зрения
других отделов механики. Так, например, две равные и одинаково
направленные силы, действующие по одной прямой, с точки зрения
статики являются, как мы видели выше (§ 35), эквивалентными;
поскольку же перенесение точки приложения силы по линии её дей
ствия изменяет состояние внутренних усилий в данном теле, то в сопро
тивлении материалов такие две силы эквивалентными уже не будут.
С точки зрения статики эквивалентные системы могут быть преобра
зованы одна в другую при помощи:
а) присоединения или отбрасывания взаимно уравновешивающихся
систем сил;
б) замены нескольких сил их равнодействующей, или наоборот,
одной силы несколькими составляющими;
в) перенесения точки приложения силы по линии её действия.
§ 37. Равнодействую щ ая системы сил, действующ их по одной
прямой. Если на точку действуют две силы, направленные по прямой
в одну сторону, то их равнодействующая будет направлена в ту же
сторону и равна их сумме.
Если на точку действуют две силы, направленные по одной прямой
в разные стороны, то равнодействующая их будет равна их разности
и направлена в сторону большей силы.
92
РАВНОВЕСИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ ПО ОДНОЙ ПРЯМОЙ
[ГЛ.
7
Если на точку действует несколько сил, направленных по одной
прямой в разныестороны,то для упрощения
этой системы сил по
ступим следующим образом.
На рассматриваемой прямой выберем
определённое направление в качестве положительного: будем считать
силы, имеющие это направление, положительными, а направленные
в противоположную сторону —
отрицательными.
В таком случае, как нетрудно
видеть, равнодействующая рассма
а)
триваемой
системы сил будет
Ol
равна их алгебраической сумме;
если эта алгебраическая сумма
будет равна нулю (сумма сил, на
правленных в одну сторону, будет
равна сумме сил, направленных в
противоположную сторону), то за
данная система сил будет нахо
диться в равновесии.
Пример 29. Человек, весящий
R=100кв
60 кг, находится в корзине веса
'40 кг, К корзине привязаца переР2*6т кинутая через неподвижный блок
верёвка, свободный конец кото
J*50fo
рой человек держит в одной ру
ке. Требуется определить: 1 ) да
ч
вление R , оказываемое человеком
и корзиной на ось неподвижного
блока; 2) натяжение Т верёвки
Ц=60кг
и 3) давление N человека на дно
корзины (фиг. 76).
1Т=50кг
Очевидно, что
= 1 0 0 кг;
что касается двух других вер
ных ответов Г = 5 0 кг и iV =
= 10 кг у то они встречаются
сравнительно редко.
Применяя, однако, последо
Рг=$0кг
вательно принцип отвердевания
и метод сечения, мы легко мо
Фиг. 76.
жем получить правильные от
веты.
Для определения давления на ось блока рассмотрим корзину,
человека и верёвку (фиг. 76, Ь) как одно тело. На это тело будут
действовать вниз две силы — Р 1 = 40 кг, Р 2 = 60 кг — и вверх одна
сила
противодействие
(реакция)
R
блока.
Очевидно,
что
R = 40 -|- 60 = 10 0 кг. Такой же по величине будет и приложенная
к блоку направленная вниз сила давления на ось блока.
§ 37]
РАВНОДЕЙСТВУЮЩАЯ СИСТЕМЫ СИЛ
93
Для определения натяжения Т верёвки разрежем обе верёвки
и заменим действие отрезанных частей силами (фиг. 76, с).
Верхний, лежащий на блоке обрывочек верёвки будет находиться
под действием двух равных (потому что неподвижный блок изменя
ет лишь направление, а не величину силы) сил Г, направленных
вниз, и реакции блока /? = 1 00 л:г, направленной вверх.
Из уравнения 2 T = R находим 7 = 5 0 кг.
К тому же результату мы пришли бы, рассматривая человека
вместе с корзиной как одно тело. Тогда на полученное тело действо
вали бы вверх две силы 7 и вниз две силы Р г = 40 кг и Р 2 = 60л;г.
Отсюда: 2 7 = 4 0 - f 60 и 7 = 5 0 кг.
Для определения давления человека на дно корзины нам придёт
ся отделить человека от корзины (фиг. 76, d). Рассматривая равнове
сие корзины (сила N давления человека направлена вниз), мы полу
чаем:
Т = Р , + М,
откуда N = Т — Р j = 50 ■
— 40 — 10 кг.
Рассматривая равновесие человека (сила N, с которой корзина
поддерживает человека, теперь уже направлена вверх), мы будем иметь:
7 + 7 V = P a,
откуда Л/т=
— Т = 60 — 50 = 10 кг.
Разобранный нами пример позволяет установить общий ход рассуждений при решении задач на равновесие.
Всё решение можно разделить на следующие три этапа:
1. Вы бираем т ело, равновесие которого будем рассматривать,
например: а) корзину, человека и верёвку как одно тело, б) обры
в о к верёвки и т. д. От удачности выбора этого тела зависит успех
реш ения поставленной задачи.
2. Выбрав т ело, равновесие которого будем рассматривать,
приклады ваем к нему силы т а к , к а к о н и д е й с т в у ю т на
в ы б р а н н о е т е л о . Так, рассматривая равновесие верёвки, мы си
лы Т направляли вниз, а рассматривая равновесие человека в кор
зине, те же самые силы мы направляли вверх.
Этот этап формулируется иногда ещё так: освобождаем выбран
ное т ело , заменяя действие на него окружающих тел силами (актив
ными и пассивными — реакциями связей). После прохождения этого
этапа у нас получается тело или точка, на которую действуют век
торы — силы.
3. Выраж ают, что приложенные к выбранному телу силы
н а хо д ят ся в равновесии. В нашем случае условия равновесия были
необычайно просты — сумма сил, направленных вверх, равна сумме
сил, направленных вниз; в других случаях нам придётся иметь дело
с более сложными условиями равновесия; но два первых этапа по
существу являются одинаковыми для всех систем приложенных сил.
94
силовой ТРЕУГОЛЬНИК
[гл. $
ЗАДАЧИ.
30. На тело по одной прямой действуют пять сил, из которых три—15 кгу
20 к г , 30 кг — направлены вправо и д в е — 30 кг и 10 к г — влево. Определить
равнодействующую этих сил.
О т в е т : 5 кг вправо.
31. Движущая сила, приложенная к столу строгального станка, равна
600 кг, сопротивление движению между сголом и станком равно 75 кг. Под
действием какой силы движется стол при снятии стружки?
О т в е т : 525 кг.
•
32. Поезд, приводимый в движение двумя паровозами, идёт с постоян
ной скоростью. Сила тяги первого паровоза 5 т, второго 4 т. Каково бу
дет усилие в сцепке между обоими паровозами? Между вторым паровозом
и поездом?
О т в е т : 5 т; 9 т *).
33. Цепь АВ длиной в два метра, погонный метр которой весит 10 кг,
подвешена за верхний конец А в неподвижной точке, а к нижнему концу
7?-прикреплён груз 40 кг. Определить растягивающее усилие Т в цени
в точках А и В, а также в С — середине цепи.
Ответ: 7 а = 60 кг, Т$ = 40 кг, Т^ = 50 кг.
ГЛАВА
8.
СИЛОВОИ ТРЕУГОЛЬНИК.
§ 38. П араллелограмм сил. Пусть на материальную точку О
действуют две силы
и р*, образующие между собой некоторый
угол (фиг. 77). Опытом установлено, что равнодействую
щая таких двух сил определяется при .помощи следую
щего построения.
От точки О откладывают два вектора P t и
изо
бражающие данные силы по величине и по направлению;
потом строят на этих векторах параллелограмм и про
водят его диагональ R. Полученный таким образом век
тор R даёт как величину, так и направление равнодейст
вующей силы Р г и Р.2. В свою очередь, вектор R ', при
ложенный в точке О и направленный в противополож
ном вектору R направлении, даст величину силы, уравно
вешивающей данные силы P t и Р 2.
Таким образом, равнодействующая д вух си л , п р и 
лож енных к одной материальной т очке, по величине
Фиг. 77. и по направлению изображ ается диагональю п араллело
грамма, построенного на вект орах, изображ ающ их со
ставляющие силы. В этом заключается закон параллелограмма,
си л, имеющий первостепенное значение в механике.
Величина равнодействующей силы в самом общем случае будет
не больше суммы величин составляющих (так как в т р е у г о л ь н и к е
9 Знак т есть сокращённое обозначение тонны =; 1 000 кг.
§
39]
СИЛОВОЙ МНОГОУГОЛЬНИК
95
любая сторона всегда меньше суммы двух других), Только в том
случае, когда угол между силами Р х и
равняется нулю, т. е.
направления обеих сил совпадают,
мы получим, что R — Р х -J- Р 2.
Если угол между силами Р х <.
\ — ц— L-— >
----и Р 2 равен 180°, т. е. обе силы
^
^
Я
Рх и
направлены в противофиг# 73 ,
положные стороны (фиг. 78), то
равнодействующая рассматриваемых сил будет равна их разности
P i-P *
Из этого следует, что рассмотренное в предыдущей главе сло
жение сил, действующих по одной прямой, представляет частный
случай общего закона параллелограмма сил.
§ 39, Силовой многоугольник. Если на твёрдое тело действует
ряд сил, линии действия (направления) которых пересекаются в одной
точке, то мы можем перенести все эти силы в точку пересечения их
направлений, после чего рассматриваемое тело можно заменить одной
материальной точкой, к которой приложены все действующие на тело
силы,
»Если в одной точке приложены две силы Р и Q (фиг. 79), то,
как мы видели выше, эти две силы можно заменить одной равно
действующей /?, величина и направление которой изобразятся диаго
налью О Б параллелограмма, построенного на этих силах.
На практике всего параллелограмма можно и не строить, огра
ничиваясь лишь одной какой-нибудь его половиной — силовым тре
угольни ко м (фиг. 80). Пользуясь силовым треугольником, мы най
дём равнодействующую при помощи следующего правила:
От некоторой точки О откладываем по величине и направ
лению вектор, изображающий первую складываемую силу (Р), затем
откладываем вектора изображающий по величине и направлению
вторую си лу Q, т а к, чтобы начало его совпадало с концом предыдущей силы; равнодействующая R по величине и направлению
изобразит ся вектором, начало которого совпадает с началом
первой, а конец с концом последней складываемой силы.
В такой форме правило денно тем, что его нетрудно распро
странить на случай произвольного числа сил, приложенных к одной
точке. Пусть к точке О приложены четыре силы Р ь Р 2, Р 3, Р 4
96
СИЛОВОЙ ТРЕУГОЛЬНИК
[гл. 8
(фиг. 81). Для получения равнодействующей этих четырёх сил от
некоторой точки А откладываем А В = Р и от конца В вектор В С = Р 2;
вектор АС изобразит равнодействующую сил Р х и Р 2. Строя от конца
С вектор CD = P%y получим вектор AD\ изображающий равнодей
ствующую сил АС и Р 3, или, что то же, трёх сил Р и Р% и Р 3.
Добавив ещё вектор D E = P 4, мы получим A E = R — равнодействую
щую сил AD и Р 4. Полученная ломаная линия A B C D E носит назва
ние силового многоугольника. Равнодействующую R нашей системы
сил по величине и по направлению мы получим, замыкая построен
ный силовой многоугольник стороной А Е , которая соединяет начало
первой отложенной силы Р г с концом последней Р 4.
В статике имеет особое значение один частный случай. Предпо
ложим, что последняя точка Е (фиг. 81) — конец последней силы
Г Р 4 совпадает с началом
к А первой силы Р х \ в таком случае замыкающая
f А Е исчезнет, обратится
— уЬ в точку. Если' длина-ЛЯ
^ будет равна нулю, то это
значит,что равнодейству
ющая данных сил рав
на нулю, т. е. все эти
Фиг. 81.
силы взаимно уравновешиваются. Отсюда получается важное правило:
Если силы, действующие на тело и прилож енные к нему
в одной точке, находят ся в равновесии, то составленный из э т и х
сил силовой многоугольник замыкается.
Это условие тем более важно для нас, что мы и общую задачу
нахождения равнодействующей нескольких сил могли бы привести
к этому случаю. В самом деле, если бы полученную равнодействую
щую A E = R отложили от точки О в противоположном направлении
(пунктирная сила R x на фиг. 81), то после добавления этой силы
к уже имеющимся четырём мы получили бы, очевидно, равновесие.
Такая силк R x называется уравновешивающей данной системы сил;
она равна по величине и прямо противоположна по направлению
равнодействующей этой системы сил.
Так как из уравновешивающей путём перемены направления
всегда можно получить равнодействующую, то ясно, что задача
сложения сил может быть всегда сведена к определению уравнове
шивающей, т. е. к исследованию условий равновесия некоторой дей
ствующей на материальную точку системы сил.
§ 40. Примеры. Теперь рассмотрим ряд примеров на опреде
ление условий равновесия сил, приложенных к одной точке.
Пример 30. Шарик В центробежного регулятора веса Р (фиг. 82)
висит на стержне А В длины а, прикреплённом шарниром А к вер
тикальной стенке, Определить величину горизонтальной силы Н , ко-
§ 40]
ПРИМЕРЫ
97
торую нужно приложить к шарику В для того, чтобы он находился
в равновесии на расстоянии BC = d от стенки, пренебрегая весом са
мого стержня А В . Каково будет при этом рас
тягивающее усилие Т в стержне А В ?
Разберём на этом примере общий приём ре
шения задач на равновесие (три этапа § 3 7 ).
Во-первых, нужно выбрать тело или точку,
для которой будем рассматривать равновесие
приложенных к ней сил. В нашем случае это,
очевидно, будет точка В , в которой пересека
ются направления всех нужных нам сил.
Во-вторых, к выбранной точке нужно при
ложить силы, изображаемые соответствующи
ми векторами, так как они действуют на
выбранное нами тело или точку. В данном
Фиг. 82.
случае интересующие нас силы Р и Н при
ложены непосредственно к выбранной нами
точке В ; сила же, растягивающая стержень А В , будет , приложена
к стержню и направлена по А В вниз. На точку В действует, однако,
не эта сила, а равное ей по закону Ньютона противодействие, или, как
говорят, реакция Т, направленная вверх (обратите внимание, что
действующая на стержень растягивающая сила направлена по АВ
вниз, а противодействие, приложенное к шарику, направлено по АВ
вверх).
В-третьих, нужно выразить условие того, что приложенные
к шарику силы Р 9 Н , Т находятся в равновесии, Это значит, что
равнодействующая этих сил должна равняться ну
лю, т. е. построенный на этих силах треугольник
должен замкнуться. Выполним построение такого
силового треугольника. Начнём с известной нам
по величине и по направлению силы Р (фиг. 83);
начало этой силы будет в точке К, а конец в точ
ке L. От точки L построим следующую силу Н ,
для чего проведём через L по направлению И
горизонтальную прямую. Так как величина Н нам
неизвестна, то конечную точку вектора, изобра
жающую эту силу (где надо поставить стрелку),
мы пока определить не можем. Обратимся теперь
к третьей силе Т. Относительно её мы, наоборот, знаем, где стоит конец
(стрелка) этой силы; этот конец согласно условию замыкания сило
вого треугольника должен совпадать с началом первой силы, т. е.
с точкой К. Затем мы знаем, что направление этой силы параллельно
стержню АВ; кроме того, известно, что начало вектора, изобража
ющего эту силу, будет находиться в той же точке М , где кончает
ся сила Н . Мы легко получим эту точку М , если из К проведём
прямую К М параллельно А В , а из L проведём LM параллельно И.
7
Зак. 667. И. Н . Веселовский
Q8
[гл. 8
СИЛОВОЙ ТРЕУГОЛЬНИК
Таким образом, силовой треугольник K L M будет построен. После
этого для н ахож дения величин сил Н и Т остаётся только опреде
лить, сколько раз в отрезках LM и М К будет содержаться
тот отрезок, который мы приняли за единицу (1 кг) при по
строении силы Р. Таким образом, наша задача графически будет
решена.
Если бы мы хотели решить эту задачу вычислением, то нужно
сравнить подобные треугольники A B C и K LM . Составляя отношения
сходственных сторон, будем иметь
Н_
Р_
JT
А В = :в с 2 :л с #
Из этих равенств определим Т и Н:
. АВ
Т= Р
АС
/у — р § С
АС *
Но в прямоугольном треугольнике A B C по теореме Пифагора
АС = V А В 1— ВС г = } / !
■d\
Окончательно
Н =Р
Т=Р:
V a* — d -
Пример 31. Дуговая лампа подвешена в точке В (фиг. 84)
к середине троса A B C , прикреплённого к крюкам Л и С, находя
щимся на одной высо^
9 ---------------QS$, ,j£_
те. Определить натя
жение Т троса, если
вес лампы Р — 15 кг,
длина
всего
троса
A B C = 20 м и стрел
ка провеса B D = 0,1 м.
Будем рассматри
Фиг. 84.
вать условия равнове
сия точки В ; к этой точке приложены: вес лампы Р и одинаковые
натяжения Т обеих половинок троса Л ВС (вверх). Строим силовой
треугольник K L M , который вследствие равенства обеих сил Т будет
равнобедренным; в нём нам известна величина основания Д 7 ,= 15 кг.
Проведя высоту M N и сравнивая подобные треугольники D BC
и N L M , будем иметь:
NL
BD
L M ' 'В С 1
Ър
т
BD
ВС'
откуда получим:
Р ВС
2" B D ~
= 7,5 — = 750 кг.
ПРИМЕРЫ
99
В этой задаче интересно отметить то, что такое большое натя
жение 750 кг получается от сравнительно небольшой силы 15 кг.
Читателю уже, конечно, приходилось сталкиваться с подобными
фактами при натягивании нити: чем меньше провисание, тем труднее
вытягивать дальше нить.
Причина этого явления заключается в следующем: каждую
силу Т можно представить в виде суммы горизонтальной силы Тх
(или Г2) и вертикаль"
"
*
ной силы jVj (или Л у
(фиг. 85). Обе горизон
тальные силы Тг и Г2
взаимно уравновеши
ваются, а силы N x и
Фиг. 85.
A7j, поддерживающие груз Р , составляют при небольших наклонах
тросов настолько малые доли всей силы Т, что, конечно, необходимо
иметь очень большую силу Т для того, чтобы уравновесить приходя
щуюся на неё половину веса Р.
Пример 32. Между двумя точками А и В , находящимися на
расстоянии dd протянута нить длины /, по которой может свободно
скользить кольцо С, несущее груз Р. Определить натяжение Т нити
в случае равновесия кольца, если точки А и В находятся на одной
горизонтали. Как изменится это натяже
ние. если одну из точек А и В под
нять на высоту h над другой (фиг. 8 6 )?
Поскольку кольцо С может сво
бодно скользить по нити, то справа
и слева от С натяжение Т нити будет
одинаковым.
Рассмотрим равновесие точки С,
к которой приложены: сила Р — вес
подвешенного гр у за— по вертикали
вниз и две силы натяжения Т вправо
и влево от С Так как эти силы нахо
дятся в равновесии, то построенный
на них силовой треугольник должен
замыкаться. От некоторой точки а от
кладываем вектор аЬ, изображающий
в некотором масштабе силу Р ; от
конца b проводим параллельно направ
лению СВ натяжение Т х спраза от точ
ки С. Затем, поскольку в начале а пер
вой силы Р должен оказаться конец пос
ледней силы Р 2 — натяжения нити слева от С, то., проводя ас парал
лельно А С до пересечения с bcf мы получим точку С — конец силы
и начало силы
Остаётся теперь решить полученный силовой
треугольник afo, Вследствие равенства Тх =
он будет равнобед^
7*
100
СИЛ0 3 0 Й ТРЕУГОЛЬНИК
[гл. 8
рснным. Проводя высоту се, параллельную А В , мы разобьём наш
треугольник abc на два прямоугольных. Искомое натяжение нити Т
будет равняться:
где угол а определится из треугольника A B D :
и окончательно:
Если мы поднимем точку В на некоторую высоту В В ' = h, то
как нетрудно видеть, кольцо С сместится влево в положение С',
а натяжение нити Т не. изменится. В этом мы убедимся, продолжив
В С и В 'С ' до пересечения в точках D и D* с вертикалью, прове
дённой через А; оба полученные треугольника ACD и A C D ’ будут
равнобедренными.
Отметим общий ход мыслей при решении этой задачи. Мы вы
брали точку С, приложили к ней действующие силы Р, Tt и Т2,
выразили, что полученные силы находятся в равновесии, для чего
построили замкнутый силовой треугольник abc. Мы получили две
фигуры: рабочий план (верхняя фигура), где каждая из линий {АВ,
В С , В В ' и т* д.) представляет некоторую длину и измеряется в еди
ницах длины, и силовой план (силовой треугольник abc), в котором
каждая линия изображает некоторую силу и измеряется в единицах
силы. Связь между силовыми и рабочими планами осуществляется
при помощи углов — в на
шем случае при помощи уг
ла а , — позволяющих нам
решить тригонометрически
силовой треугольник abc
и определить искомую силу
L
натяжения Г,
Пример 33. Дуговая лам
па весом в 30 кг подвеше
на к вертикальному столбу
при помощи горизонтальной
Фиг. 87.
поперечины АС = 1,2 м и
подкоса В С = 1,5 м . Определить усилия ’5j и 5 а, получающиеся
в стержнях А С и В С (фиг. 87, а).
Усилием мы называем силу, действующую по направлению стер
жня и производящую в последнем растяжение или сжатие. В нашем
случае, как нетрудно видеть, стержень ВС будет сжат, а стержень
А С растянут. Составим условия равновесия точки С, приложив к ней
вес Р и противодействия обоих стержней. Противодействие сжатого
101
ПРИМЕРЫ
стержня В С мы должны отложить вверх (сжатый стержень как бы
отталкивает место соединения стержней— узел С), а противодействие
стержня А С мы должны отложить влево (растянутый стержень как
бы стремится притянуть к себе узел С). Строим обычным способом
силовой треугольник K L M (фиг. 87, й); из подобия его с треугольни
ком A B C получаем:
JL — А _ А
АВ-
В С ~ АС'
Так как треугольник A B C прямоугольный, то нетрудно видеть, что
А В = Уве 2 — Л С 4 = Vr l,5 i — 1,2 2 = 0,9 м.
Воспользовавшись этим, мы из предыдущих равенств получим:
с
п ВС
30-1,5
o i = И-дд = - - = 50 кг (сжатие),
с
d AC
30-1,2
лп
= ~ д-9—= 40л;г
(растяжение).
Входящие в силовой треугольник силы Sj и 5 2 представляют не
те силы, одна из которых сжимает стержень В С , а другая растяги
вает Л С, а реакции (противодействия) этих стержней, направленные
противоположно растягивающему и сжимающему усилиям.
П ример 34. В паровой машине площадь поршня равна 0,1 ж2;
длина шатуна А В равна 2 ж, длина кривошипа В С = 0,4 ж; давле
ние пара в цилиндре за поршнем Р 0 = : 6 атмосферам, перед порш
нем Р х = 1 атмосфере *). Определить силу Р, вращающую кривошип,
и давление крейцкопфа А на направляющие параллели в том поло
жении поршня, когда угол А В С = 90° (фиг. 8 8 ).
В изображаемом на фигуре положении крейцкопф будет нажи
мать на нижнюю параллель; в свою очередь эта последняя будет
давить на крейцкопф с такой же силой N , направленной вверх.
Точно так же к кривошипу В С в точке В будет приложена действую
щая по направлению шатуна сила Р вправо, а на крейцкопф А та
кая же сила, но уже влево (обе эти силы представляют противо
*) Давление в 1 атмосферу означает, что на каждый квадратный санти
метр площади поршня действует сила в 1 кг.
102
СИЛОВОЙ ТРЕУГОЛЬНИК
[гл. 8
действия шатуна А В , сжатого с одной стороны действующей по
штоку поршня силой Q, а с другой стороны сопротивлением, кото
рое кривошип оказывает вращающей силе Р).
Определим сначала силу Q, Чтобы выразить эту силу в кило
граммах, нужно избыток давления внутри поршня над наружным
давлением, выраженный в атмосферах, помножить на площадь
поршня, выраженную в квадратных сантиметрах, т. е.
Q = 5 « 1 ООО кг = 5 т,
Строим силовой треугольник для сил, приложенных в точке А
(предлагаем сделать это учащемуся; получится треугольник, подоб
ный треугольнику AB C ). Составляя отношение сходственных сторон,
получим:
р _ Q
N
АС
АВ ~ ВС 9
откуда
Заканчивая эти примеры, подчеркнём ещё раз основной приём,
употребляемый для их решения. Он состоит в том, что мы выбираем
определённую точку, равновесие которой рассматриваем и к кото
рой прикладываем все нужные нам силы, изображаемые векторами.
Для этих сил мы строим замыкающийся силовой треугольник, выра
жающий условия равновесия их, и из этого треугольника графически или
вычислением определяем интересующие нас силы. Бея трудность ре
шения задач, которую можно преодолеть только постоянной практикой,
состоит в том, чтобы надлежащим образом выбрать точку, равновесие которой рассматривается в дальнейшем.
Правильный выбор точки даёт нужную гео
метрическую схему (точку с векторами —
^ силами), которая после построения сило
вого треугольника и решает поставленную
задачу.
§ 41, Равновесие трёх н еп араллель
ных сил. Пусть на тело в одной плоско
сти действуют три непараллельных силы Р,
' \?
Q, / ? ,‘приложенные в различных точках А ,
Фиг. £9.
В , С. Покажем, что эти силы могут нахо
диться в равновесии только тогда, когда
нзправления этих сил проходят через одну точку О (фиг. 89),
а величины сил образуют замкнутый силовой треугольник.
Действительно, если эти три силы находятся в равновесии, то
одна из них, например R , будет уравновешивающей для двух других
РАВНОВЕСИЕ ТРЕХ НЕПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
103
сил Р и Q; следовательно, последние две силы Р и Q должны иметь
равнодействующую равную и противоположно направленную R; значит,
направления сил Р и Q должны пересекаться в одной точке О, че
рез которую должны пройти как равнодействующая сил Р и Q, так
и её уравновешивающая/?. Но так как три силы, приложенные в одной
точке, находятся в равновесии, то силовой треугольник, построенный
на Р, Q, R , должен замыкаться.
Пример 35. Стержень ОА, весом которого пренебрегаем, за
креплён концом О в шарнире, а концом А опирается
нагладкую
вертикальную стену. Зная, что наклон стержня кгоризонту
ра
вен 7а (тангенс угла а, образуемого стержнем ОА с горизонталью
ОВ),
определить
давления
на
опоры в О и Л под действием гру
за Р, подвешенного в середине С
(фиг. 90).
Будем рассматривать равновесие
стержня ОА . На него действуют:
во-первых, вес Р, во-вторых, в точ
ке А реакция N гладкой стенки, пер
Фиг. 9Э.
пендикулярная к последней, а в-треть
их, реакция R шарнира О, относи
тельно которой мы знаем только то, что она проходит через точ
ку О. Но поскольку на стержень ОА действуют три силы, нахо
дящиеся в равновесии, то, согласно только что доказанной теореме,
направление реакции R шарнира О должно проходить через точку М
пересечения линий действия сил Р и N .
Теперь, когда направления сил R и N уже известны, остаётся
п о строи ть силовой м ногоугольн ик. П оскол ьку
М К = А В = ~ ОВ —
= ОК, то направление R образует с горизонталью угол в 45°. Из
построенного силового треугольника находим:
в
N = P , R = P ] / 2.
ЗАДАЧИ.
34. Определить графически величину равнодейству
ющей двух сил в 40 и 60 кг, образующих между собой
угол в 30°.
О т в е т : 97 кг.
Ш Ш Ш Ш Ш /Ш ,
35. Найти равнодействующую R двух равных сил
Р, направленных под прямым углом друг к другу.
ф иг<
О т в е т : R = Р ] /2 .
36. К козлам, образующим между собой угол ЛВС — 30°, подвешен груз
Р = 500 кг (фиг. 91). Найти графически давление на каждую из ножек
(сжимающее усилие).
О т в е т : 260 кг .
104
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
37.
Какую силу Р , параллельную наклонной плоскости, нужно прило
жить к лежащему на последней грузу Q = 20 кг, чтобы удержать его в рав
новесии на плоскости, если угол наклона по
следней к горизонту равен 30° (трением прене
брегаем) (фиг. 92).
О т в е т : 10 кг.
33.Человек веса 80 кг стоит на двух льгжах, каждую из которых можно принять за пря
моугольник длины 2,5 м и ширины 5 см. Опре
делить в атмосферах давление человека на снег,
предполагая его равномерно распределённым по
Фиг. 92.
площади лыж.
О т в е т : 0,032 атм.
39.
Каково будет давление, если человек веса 80 кг стоит просто на
двух ногах. Площадь ноги можно считать прямоугольником 5 X 16 см.
О т в е т : 0,5 атм.
Г Л А В А 9.
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ.
§ 42. Аналитический метод задания силы. В том случае, когда
к точке приложено больше трёх сил, а также когда неизвестны на
правления некоторых из них, гораздо удобнее вместо силового много
угольника пользоваться аналитическим методом сложения сил, осно
ванным на теории проекций.
Пусть точка, к которой приложены силы, является началом О
координатных осей О х и Оу; тогда каждую из сил Р , приложенных
к точке О, мы можем задать, указав абсолютную величину Р этой
силы, и угол а, который направление этой силы образует с поло
жительным направлением оси Ох; этот угол мы можем считать
изменяющимся от 0° до 360°. Однако вместо
указанных двух величин Р и а часто удобнее
бывает определять задаваемую силу Р несколь
ко иначе.
Будем рассматривать Р как диагональ пря
моугольника, стороны которого имеют напрах вления координатных осей О х и Оу; тогда
силу Я, изображаемую вектором О В, мы мо
жем представить как результат сложения двух
сил, изображаемых векторами ОА и ОС, направленными по коорди
натным осям (фиг. 9 3 ).
Величины этих двух составляющих сил могут быть выражены
через Р и а при помощи формул:
х = ОА = Р cos а,
у = ОС = P sin а.
Полученные выражения носят названия проекций вектора Р = О В
на координатные оси; если сила Р лежит в первой четверти, то
обе эти проекции будут положительны; если же сила Р лежит в дру
гих чётвертях, то одна или обе проекции её будут отрицательны.
§ 42]
АНАЛИТИЧЕСКИЙ
МЕТОД ЗАДАНИЯ
силы
105
Таким образом, каждую силу Р аналитически можно задавать
двумя проекциями на координатные оси X и Y. Абсолютная вели
чина Р этой силы как диагональ ОВ прямоугольника ОАВС опре
делится по формуле:
P=V "X r+ Y i t
(22)
а угол а — по одной из следующих формул:
cos a —
X
р
=
X
------ —
.
у
у
у
sin а = -77 = —
. te а = —
/оо\
Р
у~Х2-\-У2
х ' ^ ^
Формулы (23) дают возможность однозначно определить угол а,
величина которого зависит от знаков проекций X и У, Действительно,
если
Х ^ > 0 , У^> 0 , то сила Р лежит в 1 -й четверти,
А <0, ^>0, ь
ъ Р » во 2-й
»
А < 0 , > "< 0, »
ъ Р ъ в
3-й
»
А > 0, Г < 0, ъ
ъ Р ъ ъ
4-й
ь
Не следует смешивать составляющую силы по оси с проекцией силы
на эту ось. Составляющая силы есть векторная величина, тогда как
проекция силы на эту ось есть величина алгебраическая. При нашем
обозначении составляющими силы Р по координатным осям будут
векторы: ОА и ОС, тогда как проекциями силы на эти оси являются
числа X и У.
Вернёмся теперь к задаче об определении равнодействующей /?
нескольких сил Р и
Р Пь действующих на точку О и располо
женных в одной плоскости. Эта задача была нами решена графи
чески (§ 39) при помощи построения силового многоугольника, в ко
тором равнодействующая определялась как замыкающая многоуголь
ника, построенного при данных силах, т. е.
Н = Р\
р пМетод проекций даёт возможность решить эту задачу аналити
чески.
Пусть несколько сил Р 19 Р 2, . . Рп, действующих на точку О
и расположенных в одной плоскости, заданы своими проекциями на
оси координат. Это записывают так:
Р 1 (А)» Уi), Р 2 (А2: У?)] • * •} Рп (Х п; Уп).
Определим проекции X и У равнодействующей Ц этих сил. Для
этого воспользуемся следующей теоремой:
Сумма проекций отрезков ломаной линии на какую-нибудь
ось равна проекции замыкающей на т у же ось.
Таким образом, проекция X равнодействующей на ось О х равна
сумме проекций составляющих на эту ось:
Х = Х х + Х ь + . я. + Х п;
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
106
аналогично
У = У 1-{ - Г 9 - \ - . . . + Уя.
Правые части полученных равенств короче записываются так:
IX
и 2 К#
где 2 — греческая буква «сигма», обозначающая сумму.
Зная проекции X и Y, мы найдём по формулам ( 2 2 ) и (23) вели
чину R равнодействующей и угол а наклона её к оси О х .
Расположение вычислений на практике покажем на следующем
примере:
Пример 36« Найти равнодействующую пяти сил Р Х= Ъ0 к г,
Р а = 20 кг, Р 3 = 56 кг, Р 4= 1 0 0 кг и Р 3 = 70 кг, расположенных,
как показано на фиг. 94, если угол а
между силами Р 1 и Р 3 равен 33°, угол |3
между P j и Р 3 равен 30°, угол у ме
жду силами Pj и Р 4 равен 143° и, на
конец, угол 5 между силами P i и Р 8
•нравен 135°.
За ось О х выберем направление
силы Р и ось О у проведём перпенди
кулярно к оси О х в сторону, где рас
положена сила Р 3. Будем отсчитывать
углы от оси О х против стрелки ча
сов; тогда углы а и 8 будут положи
тельными, а р и у отрицательными.
Если под о будем подразумевать угол с осью Олт, образуемый данной
силой, то все вычисления могут быть представлены в следующей
таблице:
N
1 Р гсг
Рх . . .
Р 2, • • •
Р. • • •
Р4 . . .
50
20
56
100
70
Рв
• • •
|
1
0°
33°
— 30°
— 143°
+ 135°
X = Р cos <
р
Y = P sin ©
|
4 - 5 0 cos 0° = + 5 0 .0 0
+ 20 cos 33° = -4-16.77
+ 56 cos 30° = + 48.50
—100 cos 37° = — 79.86
— 70 cos 4-5° = — 49.50
+
+
50 sin 0°==
0.00
20 sin 33° = 4-10.89
— 56 sin -30° = — 28.00
— 100 sin 37° = — 60.18
+ 70 sin 45° = + 49.50
E X = — 14.09
2 К = — 27.79
Р = У ( £ Х ) * + (V у )2 = 31.16
Так как обе проекции j y и \ \ у отрицательны, то равнодействую
щая R будет расположена в 3-й четверти, образуя с осыо О х угол
О, тангенс которого
t ~ 0 — — 27,79 — ,
^ и — 1 1 4 ,0 9
+ 1>У/»
что соответствует углу в — 119°53'.
§ 43]
УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ
107
§ 43. У равнения равновесия. Сказанное выше о равновесии
системы сил с одной точкой приложения можно сформулировать
более строго, а именно: д ля равновесия системы сил с одной точ
кой прилож ения необходимо и достаточно, чтобы равнодействую
щ ая этой системы была равна нулю .
Необходимость этого условия заключается в том, что если система
сходящихся в одной точке сил находится в равновесии, то равно
действующая этой системы обязательно равна нулю. Достаточность
этого условия заключается в том, что если равнодействующая системы
сходящихся сил равна нулю, то эта система обязательно находится
в равновесии.
Так как равнодействующая R равна нулю тогда и только тогда,
если её проекции X и У на координатные оси равны нулю, то не
обходимые и достаточные условия равновесия системы нескольких
сил, сходящихся в одной точке, запишутся в виде следующих двух
равенств
* , + * , + . . . + * „ = (),■>
У1 + П + . . . + У„ = 0 . /
(24)
Эти равенства носят название уравнений равновесия. Таким образом,
для того чтобы система сил, расположенных в одной плоскости и
сходящихся в одной точке, находилась вравновесии, необходимо
и достаточно, чтобы сумма проекций этих сил на каждую из коор
динатных осей была равна нулю.
Из двух уравнений (24) мы можем определить только два не
известных; при произвольном выборе координатных осей мы будем
иметь дело с двумя уравнениями, каждое из которых заключает два
неизвестных. Если надлежащим образом выбрать оси, то можно по
лучить одно (или даже оба) уравнение, содержащее только одно не
известное, что значительно облегчает реше
ние. Поэтому рекомендуется выбирать на
правления осей так, чтобы каждая из них
была перпендикулярна направлению хотя бы
одной из неизвестных сил; тогда проекции
их на соответствующую ось обратятся в нуль.
Пример 37* По гладкому проволочному
КРУГУ* расположенному в вертикальной пло
скости, может скользить кольцо А , несущее
груз А Это кольцо удерживается в равнове
сии при помощи верёвки А В , перекинутой че
рез блок В у который лежит в наивысшей
точке вертикального диаметра круга; к кон
цу верёвки подвешен груз Q. Определить при равновесии угол ср,
образуемый проведёнными из центра О круга радиусами ОА и ОВ
(фиг. 95).
Рассмотрим равновесие кольца А ; на него действуют: сила Р
(по вертикали вниз), сила Q (по нити А В ) и реакция N кольца, на
108
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
правленная по радиусу О А . Неизвестными в нашем случае будут
реакция N и угол ср. Так как нам требуется определить только угол ср,
то выберем направление оси проекций перпендикулярно реакции N ,
иными словами, по касательной к окружности в точке А . Чтобы не
иметь дело с тупыми углами, будем писать уравнение проекций
в таком виде, что сумма проекций сил, тянущих в одну сторону
касательной, будет равна сумме проекций сил, тянущих в противо
положную сторону. В нашем случае это даёт:
пр. Р = пр. Q
или
Psin<? = Q c o s y ,
что можно представить в виде:
2 P s in ^ cos у =
Q cos | .
Решая это уравнение, находим два корня:
( 1 ) cos у = 0 ,
откуда <р=180°.
(2 ) s i n y = y ^ .
Если Q < ^ 2 P , то равновесие возможно в двух положениях; если
Q = 2 P , то оба корня сливаются в один: <р= 180°; если Q ] > 2 P ,
то возможно лишь одно решение: <р== 180°.
При решении задач на определение положения равновесия сле
дует быть очень осторожным в сокращении уравнений на множи
тель, содержащий неизвестное. Если бы мы, не подумав, сократили обе
части уравнения на общий множитель cos у , то потеряли бы один
корень, который при Q ^ > 2 P даёт единственное возможное положе
ние равновесия.
После того как угол о определён, мы могли бы найти и неиз
вестную реакцию jV, для чего пришлось бы взять уравнение проек
ций на направление радиуса ОА:
N = Р cos 9 -j- Q sin у .
При первом корне ср= 180° мы получим N = Q — Я, при втором:
N — Р.
§ 44. Р азлож ение силы по двум направлениям. Выше мы уже
познакомились с принципиальным различием между составляющей
силы по какому-нибудь направлению и проекцией силы на то же
направление: составляющая силы есть векторная величина, имеющая
соответствующее направление, в то время как проекция силы есть
РАЗЛОЖЕНИЕ СИЛЫ ПО ДВУМ НАПРАВЛЕНИЯМ
109
некоторое алгебраическое число, измеряющее отрезок — проекцию
изображающего силу вектора. Для определения проекции силы на
какое-нибудь направление достаточно задать эту силу и соответ
ствующее направление; составляющая же силы по какому-нибудь
направлению будет зависеть от выбора не только этого, но и вто
рого направления, по которым мы можем на плоскости разлагать
рассматриваемую силу. Если оба направления взаимно перпендику
лярны, то абсолютные величины проекций и составляющих по этим
направлениям совпадают; если же угол между ними отличен от пря
мого, то проекции и составляющие силы не будут одинаковыми даже
по абсолютной величине; так, на фиг. 96 составляющими силы Р по
направлениям О х и О у будут Рх = О А и Ру — О В , т. е. стороны
параллелограма, диагональю которого является раскладываемая
Р
Флг. 96.
Флг. 97.
сила Р , в то время как проекции на О х и О у определятся как
отрезки Оа и ОЬ, отсекаемые на этих осях перпендикулярами
Р а и РЬ.
Вследствие того, что составляющие силы имеют гораздо более
физический характер, так как представляют собой различные дей
ствия, оказываемые рассматриваемой силой, инженеры в практиче
ской деятельности предпочитают решать статические задачи разло
жением сил; однако начинающему приходится, применяя этот
приём, опасаться одной ошибки, которая встречается настолько
часто, что даже получила особое название: это так называемое
«разложение силы в воздух». Выясним эту ошибку на конкретном
примере.
Пример 38. Лежащий на наклонной плоскости груз Р удержи
вается неподвижной верёвкой, направление которой образует с пло
скостью угол а. Какозо будет давление N тела на плоскость, если
угол наклона последней к горизонту равен (J (фиг. 97, а).
Часто эта задача решается так: груз Р , изображаемый векто
ром Л Р , раскладывают на составляющие А В и А С параллельно и
перпендикулярно к плоскости, из которых составляющая А В стремится
скатить тело вниз по плоскости, тогда как АС представляет иско
110
[гл. 9
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
мое давление груза на плоскость. Из треугольника А Р С находим,
что это давление будет:
N — A C = P cos p.
Неправильность этого решения обнаружится, если мы поставим
вопрос: каково будет натяжение Q верёвки, удерживающей груз? Для
этого отрезок A S = Psin[3 откладываем в противоположную сторону:
A D = A B и из полученной точки D восставляем перпендикуляр DQ
до пересечения с направлением верёвки A Q . Из прямоугольного
треугольника A D Q имеем:
Q cos сс= A D = Р sin р,
откуда
Но натяжение Q верёвки не только удерживает груз Р от скольжения
вниз по плоскости; разложив его параллельно и перпендикулярно к
плоскости, мы увидим, что составляющая А Е = Q sin ос, направлен
ная перпендикулярно к плоскости, ослабляет полученное давление N
на плоскость, так что истинное давление мы получим, вычитая из
А С отрезок CL = A E ; оно будет:
»rf
т->
п
г\ •
п COS ( а -}-Р)
N = P c o s 3r — Q
sin а = Р
L- J —— .
^
cos а
Для того чтобы избежать сделанной ошибки, мы должны были бы
рассуждать так: вес производит два действия: во-первых, натягивает
верёвку с силой Q, во-вторых, оказывает давление N ' на плоскость.
По этим направлениям (А К и АС ) и следует разложить заданную
силу веса Р; разложение же по А С и А В есть типичное разложение
сев воздух», так как по направлению А В никакой реальной отдель
ной силы не действует. Искомые силы Q = A K и N ' = A L надо
находить сразу из треугольника А К Р , в котором ^ К Р А = $,
/ я К А Р = / aA P L = (90° — р) — а и
А К Р = 9 0 ° + а. Применяя
к этому треугольнику теорему синусов, получаем:
Р
sin (90° + о!)
_
Q _
sin р
№ ______
sin (90° — а — р) 9
откуда получаются найденные выше значения Q и ЛЛ
Указанные направления получатся автоматически, если мы будем
решать задачу, рассматривая равновесие точки Л, на которую дей
ствуют вес Р, натяжение верёвки Q и реакция плоскости 7V'; по
строенный для этих сил треугольник (фиг. 9 7 ,b) будет совпадать
с треугольником A P L на фиг. 97, а .
§ 45. Трение скольж ения, Рассматривая равновесие тела А
в предыдущем примере, мц считали, что наклонная плоскость м ож ет
§ 45]
ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ
111
Ш
1
1
дать только нормальную реакцию, перпендикулярную к поверхности;
на такой плоскости ничтожно малая параллельная поверхности сила
может привести в движение лежащее на ней тело. На реальной
плоскости для приведения в движение лежащего на ней тела необ
ходимо, чтобы параллельная плоскости сила достигла некоторой
определённой величины, необходимой для преодоления сопротивления
движению, оказываемого шероховатостями и неровностями поверх
ности. Поскольку действие всякой связи мы можем заменить неко
торой силой
её реакцией, то и в этом случае задерживающее дей
ствие поверхности мы можем свести к некоторой силе — так на
зываемой силе трения,
Пусть на горизонтальной шероховатой поверхности (фиг. 98) на
ходится тело весом Р. Если тело находится в
покое,товес этот,
как мы знаем, уравновесится направлен
ной вверх нормальной реакцией плоско
сти N (на фигуре не изображена). Для
г
г
ш ш т
зонтальную силу F. Если эта сила не
,рвелика, то рассматриваемое тело в дви
жение не придёг; это значит, что, кроме
нормальной реакции N , на тело действует
Фиг.
и горизонтальная реакция поверхности, на
которой лежит тело,причём горизонтальное действие поверхности напра
влено в противоположную сторону (влево), изображаясь силой F',
равной и противоположной F. Если мы ещё немного увеличим при
ложенную силу F, а движения опять не будет, то это значит, что
и сила F ' увеличится на такую же величину. Эта сила F' и носит
название силы трения. Отсюда мы получаем первый вывод: при
отсутст вии движ ения сила т рения равна сдвигающей силе (или
в общем случае — её составляющей по направлению движения) и
прямо ей противоположна. В общем случае, когда поверхность, на
которой лежит тело, не будет горизонтальной, направление силы тре
ния будет перпендикулярным к нормальной реакции поверхности.
Увеличивая сдвигающую силу F, мы в конце концов придём
к моменту, когда движение вот-вот начнётся. Это значит, что сила
трения F' достигла своей наибольшей возможной величины. Даль
нейшее увеличение сдвигающей силы F пойдёт уже на сообщение
телу ускорения, и тело начнёт двигаться по направлению сдвигающей
силы с соответствующим ускорением. Для расчётов большое значе
ние имеет, конечно, наибольшая величина, которую может иметь
сила трения, или, чго то же, наименьшая величина, которую должна
иметь сдвигающая сила, необходимая для того, чтобы тело начало
двигаться по её направлению. Эта наибольшая величина трения иногда
и называется просто силой трения, которая, таким образом, считается
как бы постоянной.
112
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
[гл. 9
Основные законы трения были установлены в конце XVIII века
французским учёным Кулоном и выражаются так:
1. Трение пропорционально величине силы, сжимающей обе
трущиеся поверхност и, или, что то же, величине нормальной
реакции поверхности. Не надо смешивать эту нормальную реакцию
с весом тела; для случая, изображённого на фиг. 98, нормальная
реакция равна весу, потому что перпендикулярно к поверхности со
прикосновения не действуют никакие другие силы, кроме веса. В са
мом же общем случае перпендикулярно к поверхности соприкосно
вения могут действовать и другие силы, а поэтому нормальная реак
ция может быть и больше и меньше веса. Для примера укажем на
трение тела, движущегося по наклонной плоскости; в этом случае
нормальная реакция будет меньше веса тела (убедиться в этом путём по
строения чертежа предоставляем читателю).
2. Трение не зависит от величины соприкасающейся поверхно
сти д вух т рущ ихся т ел, если только последняя не слишкОхМ мала
или, наоборот, не слишком велика*
Правильность этого закона хможно
проверить следующим опытом.
I
Возьмём прямоугольный парал
Г
лелепипед (коробку или сундук),
П
F
одна грань которого пусть имеет
вдвое большую площадь, чем дру
гая (фиг. 99). Если мы поставим
тело на меньшую грань (положе
Фиг. 99.
ние I) или на большую грань
(положение II), то в обоих случаях сила F , которую надо приложить, чтобы сдвинуть тело, бу
дет одинакова; хотя в положении II друг за друга цепляется вдвое
больше неровностей обеих поверхностей, но зато количество веще
ства находящееся над какой-нибудь элехментарной площадкой, во
втором положении будет вдвое меньше, вследствие чего прижимающая
эти площадки сила веса тоже вдвое меньше; увеличение вдвое числа
работающих элементов кохмпенсируется тем, что каждый из них рабо
тает вдвое меньше. Это будет справедливо, конечно, только до
известных пределов; если, напрИхмер, поставить наше тело на ребро
и тащить его в таком положении, то величина сдвигающей силы
будет гораздо больше, так как в этом случае тащить будет значи
тельно труднее.
В этой связи полезно отметить и ещё одно обстоятельство: нельзя
говорить, что трение пропорционально давлению между трущимися
поверх ностяхми, если понимать под давлением величину силы, прихо
дящейся на единицу поверхности соприкосновения: на фиг. 99
в положении II давление будет в два раза меньше, чем в положении 1,
хотя величина силы трения в обоих положениях одинакова; поэтому
вернее говорить, что сила трения пропорциональна полной сжимающей
113
ТРЕНИЕ СКОЛЬЖЕНИЯ
силе (нормальной реакции), причём под таковой понимается произ
ведение давления на общую площадь соприкосновения.
3.
В ели чи на силы т рения зависит от материала т рущ ихся
т ел, сост ояния и х поверхност и, на ли ч и я смазки и её рода.
Зависимость может быть, однако, установлена лишь опытным путём,
и соответствующие данные помещаются в справочниках.
Все эти законы могут быть выражены следующей простой фор
мулой:
F < kN ,
(25)
где F есть наибольшая величина силы трения, N —нормальная реак
ция и k — коэф фициент т рения скольж ения, зависящий только от
материала и способа обработки поверхностей трущихся тел.
На практике иногда вместо коэффициента трения пользуются так
называемым угл о м т рения.
Пусть сдвигаемое тело стоит на горизонтальной плоскости
(фиг. 100). Если бы трения не было совершенно, то действие .опорной
плоскости на наше тело сводилось бы к
одной лишь нормальной реакции N , перпен
дикулярной к плоскости опоры.
Так как опорная плоскость будет шеро
F
ховатой, то при наличии сдвигающей силы F
появится ещё сила трения F u которую тоже
О
можно считать особой реакцией опорной
поверхности, направленной по касательной
к этой последней. Пусть Fy будет наибольФиг. 100.
шая величина силы трения. Эти две реакции:
нормальная N и касательная (сила трения) F u складываясь по пра
вилу параллелограмма, дадут полную реакцию R опорной плоско
сти, которая будет теперь уже не перпендикулярна к последней, а
отклонена на некоторый угол <р от направления соответствующего
перпендикуляра.
Из прямоугольного треугольника ONR находим:
к
Сравнивая эту формулу с формулой (25) и помня, что Fy= F y т. е.
наибольшей величине силы трения, получим:
tg© = £.
(26)
Это даёт нам следующее определение угла трения ср:
Углом т рения <р называется предельная величина угла , на
который может от клонит ься направление полной реакции опор
ной поверхности от направления перпендикуляра к этой последней;
тангенс этого угла равен коэффициенту трения,
£
Зак. 667. И. Н* Веселовский
114
[гл. 9
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
Пример 39. При каком наибольшем угле а наклона плоскости
на ней будет удерживаться в равновесии груз Р , если коэффициент
трения между телом и плоскостью равен k (фиг. 1 0 1 ).
Так как под действием собственного веса груз Р будет стремиться
съехать по плоскости вниз, то сила трения будет направлена по
плоскости вверх. Если через N обозначим
нормальную реакцию плоскости, то уравнения равновесия тела можно будет написать
в следующем виде (составляем
уравнение
проекций на направление плоскости и на
перпендикуляр к ней):
N = P cosa,
Фиг. 101.
P s in a = P .
Вставляя во второе уравнение вместо F его значение, получим:
P s in a < k N
или
P s in a < k P c o s а,
откуда
tg a < А= tg 9
и окончательно
a < ср.
Таким образом, сила трения будет удерживать тело в равновесии
на плоскости, если только угол наклона плоскости а не превзойдёт
угла трения ср. Это обстоятельство даёт быстрый способ определения
коэффициента трения: он будет равен тангенсу угла наклона плоскости,
при котором начинается скольжение тела вниз.
При помощи введения угла трения ср формулы могут принять
более удобный для вычисления вид.
Пример 40. Какую наименьшую силу Q нужно приложить к телу
веса Р, чтобы везти его вверх по наклонной плоскости с углом
наклона а и коэффициентом трения &= tgcp
J ? '8
'A
^ \а
'Р
(фкг’
102)‘
Поступая,
как в предыдущей задаче, полунаем следующие уравнения:
„
Q ^Psina-fF,
^
Д /= Р с о з а .
Фиг. 102.
в этом случае, поскольку тело уже пришло
в движение, сила трения будет равна максимальной своей величине kN \
тогда:
Q = Р sin a -f- kP cos a = P(sin a -4- sin
1
4
1 cos Ф
cos a) = P -in -a
COS 9
^ .
В случае идеальной плоскости коэффициент, а следовательно, и угол
трения равны нулю, и мы приходим к знакомой из элементарной
физики формуле:
Q = P sia a.
115
ТРЕНИЕ В МАШИНАХ
В следующей таблице приведены в виде иллюстрации значения
коэффициента трения к.
Т а б л и ц а 1»
Вид трения
Значение
коэффициента
трения к
0,21 0,18
Ч
чуел
гуезу
ну(бе»з смазки).............
Чуугу
гун
нп
поож
»
Ж
Реемлеензо
ь ппоодж
уеблоевзу
ому»шки»ву ............. 0,27 0,44
Ремень по чугунному »
0,50
Полозья по снегу илипольду............0,02до0,03
Интересное и не совсем ещё исследованное явление представляет
зависимость коэффициента трения от скорости движения. В момент
начала движения, когда тело «берёт» из состояния покоя, сила трения,
как правило, значительно выше, чем во время движения; эту силу
принято называть силой т рения покоя и соответствующий коэффи
циент — коэффициентом т рения покоя.
С начала движения величина коэффициента трения сразу падает
очень резко и продолжает падать (но менее резко) при дальнейшем
увеличении скорости движения. Это учитывает каждый опытный ма
шинист, который при торможении поезда никогда не даёт тормозов
«до отказа», иначе колёса перестанут вращаться и поезд будет дви
гаться «юзом»; наоборот, он тормозит таким образом, чтобы колёса
продолжали ещё вращаться, так что скорость скольжения колёс по
рельсу уменьшается. Дело в том, что при нормальном ходе поезда
скольжение отсутствует (колесо лишь катится по рельсу), при езде
поезда «юзом» скорость скольжения между колёсами и рельсами равна
всей скорости поезда. Опыты показали, что при скорости скольжения
около 8 км/час коэффициент трения равняется приблизительно 0,27.
При скорости же скольжения 96 км/час коэффициент трения будет всего
лишь 0,074, т. е. почти в четыре раза меньше; таким образом,
заторможённый до отказа поезд может пройти до момента полной
остановки расстояние, примерно в четыре раза большее, чем при таком
торможении, которое допускало бы наибольшую скорость скольже
ния 8 км/час между колёсами и рельсами.
§ 46. Т р ен и е в м аш и н ах . Машинами называются механические
приспособления, при помощи которых можно увеличить движущую
силу, например силу тяги человека, животных и т. п.; основная задача
и цель устройства машин, поставленная ещё древними греками, со
стояла в том, чтобы при помощи малой силы произвести большое
действие. Ряд машин, употреблявшихся ещё древними, был основан
на принципе наклонной плоскости, условия равновесия сил на кото
рой уже были нами рассмотрены в предыдущих параграфах.
Одним из простейших применений на практике принципа наклон
ной плоскости является к л и н , условия работы которого мы рассмот
рим на следующем примере,
8*
116
[гл. 9
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
Пример 41. Клин А , уклон щёк которого а, загоняется в углу
бление В В Х усилием Q. Определить нормальное давление N на щёки
клина, а также усилие Р 9 необходимое для того, чтобы вытащить
загнанный клин, если коэффициент трения между щеками клина и стен
ками углубления равен k = tg v .
На фиг. 103 слева показано расположение сил, приложенных
к клину при его забивании в отверстие; кроме силы Q (вертикально
вниз), на щёки клина действуют две
силы нормального давления N и парал
лельные щекам силы трения F — k N ,
которые при забивании клина действу
ют вверх против движения.
Спроектировав все силы на верти
каль, будем иметь:
Q = 2 iVsin a -f-S P co sa .
Фиг. 103.
Подставляя вместо F его значение k N f
мы находим силу нормального давления N на щёки клина:
Q
7V= ’ 2(sin a -j- k cos а)
2(sin а + tg <pcos а)
Q cos ср
2 sin(a + ср) ’
При вытаскивании загнанного клина А силой Р мы будем иметь
расположение сил, как показано на фиг. 103 справа. Силы трения F
будут теперь уже направлены вниз против действия силы Р. Со
ставляя опять уравнение проекций на вертикаль, будем иметь:
Р -)- 2 iVsin a = 2 &/Vcos a,
откуда определяется величина искомой силы Р :
P = 2 N ( k cos a — sin a) = 27V(tg 9 cos a — sin a)
или окончательно:
P= 2N
Sin(cp — a)
. COS 9
Последняя формула позволяет нам объяснить явление, часто
наблюдающееся при заколачивании клина. Если угол 2а при верши
не клина не мал, то клин иногда нельзя заколотить в отвер
стие— после удара он сейчас же сам выскакивает из отверстия;
если же угол 2а не велик, то клин, будучи загнан, остаётся сидеть
в отверстии и для того, чтобы его вытащить оттуда, нужно прило
жить направленную вверх силу Р. Мы видим, что если угол трения о
больше угла а уклона клина, то сила Р получается положительной,
при <р= а сила Р равна нулю — клин уже готов выскочить; наконец
117
ТРЕНИЕ В МАШИНАХ
при
сила Р становится отрицательной, иными словами, для
того чтобы удержать забитый клин, готовый выскочить от действия
сил нормального давления, надо приложить силу Р, направленную
вниз. Таким образом, забитый клин не будет выскакивать при усло
вии, если угол уклона клина будет меньше угла трения. При со
блюдении этого условия клин, как говорят, будет самотормозящимся
так называются те механизмы, в которых движимое тело
после удаления движущей силы удерживается в равновесии только си
лами трения.
Другим практическим применением наклонной плоскости является
винт, который можно рассматривать как наклонную плоскость, навёр
нутую на цилиндр. Если угол подъ
ёма нитки винта будет меньше угла
трения, то винт будет самотормозящимся; используя его в качестве
подъёмной машины (например дом
крат), мы можем делать передышки
в работе, во время которых под
нимаемое тело будет удерживаться
в равновесии силами трения. На прак
тике винты применяются и для п одъ-.
ёма тел (подъёмные винты), и для
сдавливания их (винтовой пресс,
скрепляющие винты и болты). В пер
вом случае сила трения является
бесспорно вредной, во втором, наоборот, полезной, препятствующей
сдвиганию винта в гайке или в привинченном теле. Для того чтобы
по возможности увеличить силу трения в скрепляющих винтах, поль
зуются треугольной нарезкой, в то время как в подъёмных винтах
употребляется исключительно квадратная нарезка.
Действие треугольной нарезки можно объяснить следующим обра
зом (фиг. 104). Представим себе тело, загоняемое вниз силой Р
и опирающееся боковой стороной на вертикальную плоскость, реакция
которой равна К , а низом на наклонную плоскость, реакция которой
равна N . Так как тело под действием этих сил будет находиться
в равновесии, то величины К и N найдутся из силового треугольника
(фиг. 104 справа). Нетрудно видеть, что если нижняя опорная по
верхность горизонтальна, то N = P и Л " = 0 ; при наклонности же
её N ^ > P . Переходя к винту, мы можем сдавливаемое осевой силой
тело последнего сравнить с нашим загоняемым телом; роль нижней
опорной плоскости будет играть опорная поверхность гайки, которая
в случае квадратной нарезки будет почти горизонтальна, а в случае
треугольной образует с горизонтом угол, равный половине угла ос
при вершине треугольника, получающегося в сечении нарезки. В поР
следнем случае сила N = - pcos
^ - nа >
что при а = 30° даст N = 2 P . Так
1
Фиг. 104.
118
МЕТОД ПРОЕКЦИЙ
[гл. 9
как сила трения равна k N , то для винта с нарезкой в виде равно
стороннеготреугольника (2а= 60°) сила трения будетприблизительно
вдвое больше, чем в случае винта с квадратной нарезкой.
ЗАДАЧИ.
40. На центр циферблата часов действуют 12 сил по направлению
к делениям 1, 2, 3,..., 12 час., равных повеличине соответственно 1, 2, 3,...,
12кг.Ответ:
НайтииР
харванвондоедйесйтв
стувю
ую
щщ
аяуюд.елит пополам угол между делениями
IXиXчасов, величина её равна:
23 кг.
4,1.пеС
пкоим
оущ
ьйючмеарга
зибнлноокго
кранагрузР= 2щ
т подним
аCAD
етсяп=ос30°.
редсУ
твглоы
м
ц
е
п
и
р
е
н
т
о
е
з
и
А иD иобразую
е
й
у
го
л
междустержнямикранаA B C = 60°, АСВ = 30°. Определитьусилия QB иQc
в стержнях А В иАС. Как изменится QB , если угол D AC будет больше
илименьше 30° (фиг. 105)?
Ответ: QB = 0, Qc= 3,5 т (сжатие).
Указание. С
оставляемуравнения проекцийна направления АВ и АС.
Еслиугол C A D > 30°, стержень АВ будетсжат, еслименьше 30°— растянут.
42. Два цилиндра радиусов Риг стянутышпуром, натяжение которого
п
о
с
т
яннандорупга
о в(ф
сеи
йг.дл1и0н
е иимеет величину6. Найтидавление Р цилиндров
другоУказание.
6
).
заехнмьеш
пием
иолстав
амилSяя(наурф
г.ен1и0е6
показанысилы,Рапзр
риелж
оем
женн
ниытеиким
муихцидлеийнсдтв
руи).я сС
аи
вн
проекцийна направление Oi02;находим
D ос
4SV~R?
P = = 2S c o s a - - ^ - ^ .
3.аП
икграукзомР убгл
оннаоваеш
киго
ризо
ойи, прлаовск
леж
а
щий4н
нрей
удеетнаукрлав
вать
сянту
трен
маяклсоинлнам
ныомсти
и каж
дая
еслиодна из нихгоризонтальна, другая вертикальна, третья направлена
о
вверхпонаклоннойплоскости?
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО то ч к и
119
О т в е т : проектируя все силы на направление наклонной плоскости,
Р
Р
получаем: g* + g- cos о
Р
—sin а = Р sin а , откуда искомый угол а опреде-
. а
1
ляется из уравнения: tg 2~= 2'в
4 4 . Какую силу Q нужно приложить под углом 30° к горизонтали к тя
жёлому телу веса Р = 60 кг, для того чтобы привести его в движение при
коэффициенте трения k = 0,2?
О т в е т: Q = 12 кг.
45. При каком коэффициенте трения k выгод
нее просто поднять тяжёлое тело, чем двигать его
вверх по шероховатой наклонной плоскости, об
разующей с горизонтом угол а?_________________ ___
гч
_ 1 — sin а
}
О т в е т : k ^ ----------- .
I
cos а
]j
46. Прокатный стан состоит из двух валов
i
диаметра d==50 см, вращающихся в иротивоположные стороны; расстояние между валами
д = 0,5 см (фиг. 107). Показать, что для воз
можности захвата прокатываемого листа углы
DAB и СВА не должны превышать угла трения
между валами и прокатываемым листом. Какой
толщины b листы можно прокатывать на этом
стане, если коэффициент трения для раскалён
ного железа и чугунных валов А = 0,1?
Решение. При захвате в точках С и D развиваются направленные по
радиусам валов нормальные реакции N и направленные по касательным
(вправо) силы трения kN. Для возможности захвата необходимо, чтобы
равнодействующая этих сил была бы направлена в сторону движения листа
(вправо). Составляя уравнение проекций на горизонталь, имеем:
N sin a < 2 k /V c o s a,
откуда a < ф (угол трения). Нужную ширину листа b определим из трапе-
й
ции ABCD, где AD = ВС = у , AB = d-\-a.
О т в е т : Ъ< 0,75 см.
ГЛАВА
10.
РАВНОВЕСИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЁННОЙ
ТОЧКОЙ.
§ 47. Момент силы относительно точки. Возьмём две лежащие
в одной плоскости силы Р и Q, приложенные к одному твёрдому телу
в различных точках А и В; пусть направления этих сил пересекаются
в некоторой точке О (фиг. 108). Требуется найти равнодействующую
этих сил.
Мы видели, что каждую силу, не изменяя её действия, можно
перенести $ #юбую точку по направлению этой силы (по линии
120 РАВНОВЕСИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЁННОЙ ТОЧКОЙ
[гЛ .
10
действия этой силы). Перенесём обе каши силы Р и Q в точку О пере
сечения линий действия этих сил и полученные таким образом силы
р и Ql сложим. Равнодействующая R сил P t и Q u а следователь
но, и сил Р и Q по величине и напра
влению равна диагонали ОС параллелограмма, построенного на этих си
лах; точку приложения этой равнодей
ствующей можно взять где угодно
на прямой О М , которая таким образом
и будет искомой линией действия рав
нодействующей R .
Диагональ ОС делит параллелограмм
на дза равных треугольника OCD и
ОСЕ, площади которых равны соот
ветственно у Р • С К и
Фиг. 108.
Q • C L, где
СК = р и CL — q суть высоты соот
ветствующих треугольников, опущен
ные из точки С. Из равенства этих
треугольников следует, что
P p — Qq.
Произведение Р р данной силы Р на длину перпендикуляра р , опу
щенного из любой точки С на линию действия этой силы, называется
моментом силы Р относительно точки С и обозначается M q(P), или
М с{Р) = Рр<
Длина перпендикуляра С К = р носит название плеча. Момент силы,
являясь произведением силы на длину (плечо), измеряется в килограммо
метрах (к гм ). Один килограммометр представляет момент силы в
1 кг, приложенной на плече в 1 м.
Равенство P p — Qq выражает, что относительно точки С моменты
обеих складываемых сил Р и Q равны. Но то же самое имеет место
и относительно любой точки С 1 линии О М . Действительно, из подо
бия треугольников О СК и О С 'А ' имееэд
СК _
С'А* ~
ос
ОС' •
Точно так же из подобия треугольников ОСЬ и О С 'В' имеем,
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО т о ч к и
121
Оба эти равенства дадут нам
СК
CL
С А
— ~С ВГ
или, если положить С'А! — р \ C 'B ’ — q'i
Р _ __
Так как мы имели
Р'
Я1 *
Pp= Q q,
то, разделив это равенство почленно на предыдущее, получаем
pГ
P рp- = Q
w q tq
и окончательно
P p '= Q q \
Таким образом, любая точка линии действия равнодействующей
обладает тем свойством, что относительно её моменты обеих состав
ляющих сил Р и Q равны. Посмотрим теперь, в чём заключается
физическое значение момента. Если мы закрепим любую точку С \
лежащую на линии действия равнодействующей, то, очевидно, наша
система сил будет находиться в равновесии, потому что равнодей
ствующая сила R уравновесится сопротивлением точки опоры С .
Какое же действие будут оказывать каждая из складываемых сил Р
и Q в отдельности? При неподвижной точке опоры С сила Р будет
стремиться повернуть тело вокруг С' против стрелки часов, а сила
взятая в отдельности, будет стремиться вращать тело вокруг С
но стрелке часов. Так как этого не происходит, то мы можем
сказать, что вращательные стремления обеих сил взаимно уравно
вешиваются. Сопоставляя это с равенством
Pp = Qq,
можно сказать, что момент силы относительно некоторой точки
измеряет вращательное действие данной силы вокруг этой точки.
Это вполне допустимо, так как вращать тело вокруг какой-нибудь
закреплённой точки тем легче, чем больше вращающая сила во-пер
вых и чем больше расстояние линии действия этой силы от непо
движной точки во-вторых.
Если мы обратим внимание на то, что сила может производить
вращение против стрелки и по стрелке часов, то нужно одни моменты
считать положительными, а другие отрицательными. Условимся в
дальнейшем считать моменты, вращающие тело против стрелки часов,
положительными. После этого момент силы можно определить таким
образом :'
122
РАВНОВЕСИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЕННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ.
10
Моментом силы Р относительно точки О называется проазведение величины Р этой силы на плечо р, т. е. на расст ояние
от точки О до ли ни и действия этой силы, причём это произве
дение берётся со знаком
«плюс», если сила стремится
вращать тело вокруг О про
тив ст релки часов, и со зна 
ком «м инус» при вращении
по стрелке часов.
Точка О, относительно ко
торой берутся моменты, носит
название центра моментов.
§ 48. Теорема В ариньона.
Пусть на наше тело действуют
несколько сил, приложенных
в одной точке; покажем, что
момент равнодействующей этих
сил относительно какого-ни
будь центра равняется алгеб
раической сумме моментов всех составляющих сил относительно того
же центра.
Для доказательства этой важной теоремы статики мы представим
выражение для момента силы относительно точки в несколько иной
форме. Мы назвали моментом М силы Р относительно точки О,
которая предполагается закреплённой (фиг. 109), произведение вели
чины Р этой силы на длину перпендикуляра О К = р , опущенного
из центра моментов О на линию действия силы Р ;
М {Р) = Рр.
Соединим точку О (так называемый центр моментов) с точкой А
приложения силы Р; затем восставим в точке А перпендикуляр LLy
к ОА и разложим нашу силуР на две составляющие: Р х по Ы хи Q по ОА .
Нетрудно видеть, что производить вращение вокруг О будет только
сила Р и так как составляющая Q уничтожится сопротивлением
закреплённой точки О.
Силу Р х называют вращающей силой или вращающей частью
силы Р.
Рассмотрим теперь два подобных прямоугольных треугольника
О АК и А Б С . Из подобия этих треугольников следует, что
О К _О А
В С ~ АС
или
P_— L
P i~ P ’
ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА
123
откуда
Р р = Р хГ.
Иными словами, взятый относительно центра О момент силы Р при
ложенной в точке А , можно определить как произведение вращаю
щей силы Рх на расстояние г = ОА от центра моментов до точки
приложения А силы Р.
Если на фиг. 109 угол АО К, равный углу С А С ,, обозначим
через а, то нетрудно видеть, что
P — r cos а,
Р Х= Р cos а.
Таким ооразом, выражение для вращающего момента силы Р
относительно точки О может быть записано в виде;
г°Р cos а.
Линия О А — г представляет радиус окружности, по которой будет
двигаться точка А приложения силы Р
при вращении тела вокруг центра О.
Проведём к этой окружности в напра
влении положительного вращения каса
тельную A L U в точке А; тогда P c o s a
будет представлять проекцию силы Р на
направление A L t . прА1 г(Р) = Р cos a.
Эта проекция будет положительна, если
сила Р вращает в положительном напра
влении, и отрицательна в противополож
ном случае.
После этого момент силы Р относительно центра О может быть
представлен в таком виде;
* M 0 (P) — T ^ A L l{P)^
Теперь мы можем перейти к доказательству самой теоремы
Вариньона.
Пусть (фиг. 110) Р и Q — две силы, приложенные к телу в точке
А , и Р — их равнодействующая. Если г попрежнему есть расстояние
точки А до центра моментов О, то момент равнодействующей R
относительно точки О будет:
М 0 {R) = г прalXP)-
124 РАВНОВЕСИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЁННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ. 10
Но проекция равнодействующей на какое-нибудь направление равна
алгебраической сумме проекций составляющих; значит:
M 0 { R ) — r { ^ ALlP - \ - П р Л £ ^ ) = Г П р А 1 1Р +
Г ПрA L i Q
или окончательно
М 0(Р) = М 0 (Р) + M 0 (Q).
(27)
Таким образом теорема Вариньона для случая двух сил доказана.
Если мы имеем более чем две составляющих силы, то, сложив две
какие-нибудь силы, заменив их полученной равнодействующей и до
бавив третью силу, докажем теорему Вариньона для случая трёх
сил, а следовательно, продолжая указанным методом, и для любого
количества сил, приложенных в одной точке.
Отметим, что теорема остаётся верной и в том случае, когда
составляющие силы не приложены в одной точке; важно лишь, чтобы
при каждом промежуточном сложении линии действия обоих склады
ваемых сил пересекались бы в одной точке, хотя бы эта точка
и не была бы обязательно одной и той же в двух последовательных
сложениях.
§ 49. Условия равновесия твёрдого тела с одной неподвиж
ной точкой. Применим теорему Вариньона к выводу условий равно
весия твёрдого тела с одной неподвижной точкой. Пусть на тело
действуют несколько непараллельных между собой сил, расположен
ных в одной плоскости, в которой находится и неподвижная точка О.
Поскольку все наши силы пересекаются *), мы можем, складывая
их попарно, найти общую равнодействующую /?. Для того чтобы
тело под действием этой системы сил находилось в равновесии,
необходимо или чтобы эта равнодействующая равнялась нулю,
или же чтобы она уравновешивалась сопротивлением неподвижной
точки О, т. е. линия её действия должна проходить через эту точку.
Составим теперь сумму моментов всех сил относительно точки О;
эта сумма равна будет моменту равнодействующей Р относительно
той же точки О. Этот момент будет равняться нулю в следующих
случаях: 1) когда сила Р равняется нулю, т. е. когда наши силы
уже находятся в равновесии; 2 ) когда плечо, т. е. расстояние от
точки О до линии действия силы Р, равняется нулю (в этом случае
линия действия силы Р пройдёт через точку О, и, следовательно,
эта сила уничтожится сопротивлением опоры О). Таким образом,
искомое условие равновесия выразится так:
Тело, имеющее одну неподвижную т очку опоры, будет находит ься
в равновесии, если сумма моментов всех сил вокруг этой точки
будет равна нулю (сумма моментов вращающих по стрелке часов
х) Мы предполагаем, что во время частных сложений не встретится слу
чаев, когда складываемые силы окажутся параллельными. Однако теорема
Вариньона будет герна и в случае двух параллельных сил, как будет пока
зано ниже.
§ 49]
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ТЕЛА С ОДНОЙ
НЕПОДВИЖНОЙ точкой
125
должна уравновеситься с суммой моментов вращающих против
стрелки часов).
Применим введённое нами понятие о моменте сил для решения
нескольких затач на равновесие.
Пример 42. Круглый каток веса Р и ралиуса R стоит перед
препятствием высоты А (фиг. 111). Какую наименьшую горизонтальи /ю силу нужно приложить к оси кат
ка, чтобы последний мог подняться на
препятствие?
При подъёме на препятствие каток
будет вращаться вокруг выступающей
точки препятствия С; поэтому наимень
шее горизонтальное усилие Q опреде
лится из условия, чтобы момент силы
Q относительно С был больше момента
силы Р относительно той же точки С
или, по меньшей мере, был бы равен
ему. Опустим перпендикуляры СЕ и CD
на направления этих сил. Момент Р бу
дет отрицательным и равным Р -с Ь ;
момент Q будет положительным и равным Q -СЕ. Отрезок СЕ =
— OD = ОА — A D = R — /г; плечо CD определяется из треугольника
OCD цо теореме Пифагора:
CD = / О С 2 — OD*
или
C D = /R * — ( R - h f .
Условие равновесия в нашем случае будет
Q-CE = P -C D 9
откуда
или окончательно
c - p V ^ -iR -h Y
R — h
Так определяется минимальная нужная для передвижения катка
величина силы Q; конечно, практически для перекатывания через
препятствие нужно взять Q чуть больше того значения, которое
получилось по выведенной формуле.
Пример 43. Водонапорная башня представляет цилиндрический
резервуар высотой в б м и диаметром в 4 м 9 укреплённый на четырёх
симметрично расположенных наклонных столбах (фиг, 1 1 2 ); дно
126
РАВНОВЕСИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЁННОЙ ТОЧКОЙ [ГЛ .
10
резервуара находится на высоте 17 м над уровнем земли; вес башни
8 т\ давление ветра принимается равным 125 кг на 1 м 2 и рас
считывается на площадь, которую цилиндр своими крайними очертания.ми вырезает из общего потока набегающего на него воздуха.
Определить расстояние А В между основаниями столба, необходимое
для того, чтобы башня при ветре
не опрокидывалась.
Предположим, что ветер дует
слева: общая сила Q давления будет
проходить через центр О цилиндра
и будет стремиться опрокинуть баш
ню вокруг ноги В (считаем, что
в момент опрокидывания ножка А
уже начнёт отделяться от земли).
Противодействие этому опрокиды
ванию представляет так называемый
восстанавливающий момент силы
веса Р башни, который будет стре
миться вращать башню вокруг В
против стрелки часов.
При равновесии оба эти момента
| |Ь,
должны быть равны. Вычислим силу
давления ветра; она будет равнятьфиг> 112.
ся 125 к г , умноженным на выра
женную в квадратных метрах пло
щадь, которую цилиндр своим обводом вырезает из воздушного по
тока, т. е. 4 Х 6 = 2 4 м 2. Таким образом,
Q = 125-24 = 3000 кг = 3 т>
Опрокидывающий момент силы Q будет равен
Q .£ C = 3«(17-J-3) = 60 тоннометрам.
Той же самой величине должен равняться и восстанавливающий
момент силы Р относительно точки В. Если расстояние А В обозначим
через х , то плечо для силы Р будет:
* л = х = Т ’
а сам момент силы Р
Р ~ = 8 у = 4 х тоннометров.
Приравнивая величины’ опрокидывающего и восстанавливающего
моментов, находим
4 д ;= 6 0 1
откуда а: = 1 5 м.
Так определяется искомое расстояние между столбами А В „
ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ
127
§ 50. Тренае качения. Трение качения имеет место при пере
катывании круглого тела по поверхности. Опыт показывает, что даже
при строгой горизонтальности опорной плоскости требуется прило
жение некоторой горизонтальной силы для
того, чтобы тело могло катиться по ней.
Объясняется это тем, что при нали
чии тяжёлого перекатывающегося тела
опорная плоскость всегда несколько про
гибается под давлением тела (фиг. 113),
так что при качении телу приходится
как бы подыматься на возвышение С. Мы
имеем задачу, совершенно аналогичную
той, которую мы уже рассмотрели в при
мере 42, говоря о вкатывании цилиндри
ческого вала на ступеньку. Обозначим
через г = А В расстояние точки Л прило
жения движущей силы Q от точки касания В тела с плоскостью, че
рез / — расстояние ВС и через Р — вес перекатываемого тела. Взяв
моменты около точки С, мы получим:
Q -A B = P -B C
(ввиду малости прогиба опорной плоскости плечо силы относительно
центра С можно считать равным А В = г) или, подставляя соответ
ствующие ’значения и определяя силу Q:
О— Р
АВ
— f-
(28)
*г
Число / есть так называемый коэффициент т рения качения.
В отличие от коэффициента трения скольжения, который есть отвле
чённое число (отношение двух сил), коэффициент трения качения есть
именованное число и измеряется обычно в сантиметрах или милли
метрах; он представляет расстояние, на которое смещается точка
касания перекатываемого тела А вследствие прогиба поверхности
под давлением тела А .
Значения коэффициента трения качения даны в следующей таблице:
Т а б л и ц а 2.
Вид трения качения
Чугун по дереву...........
Железо по ж е л е з у ...........
Резиновая шина по шоссе,
Значение коэффициента трения
качения / в см
0,046
0,05
0,24
Пример 44. Определить силу, необходимую для перекатывания
железного цилиндра радиуса 0,5 м и весом 2 т по железному на
стилу, если движущая сила приложена на оси цилиндра.
128 РАВНОВЕСИЕ ТВЁРДОГО
ТЕЛА С ОДНОЙ ЗАКРЕПЛЁННОЙ ТОЧКОЙ
[ГЛ . 10
По формуле (28), выражая все длины в сантиметрах и полагая
/■ = 0 ,0 5 , будем иметь:
J
’ 9 J
о П'л
Q = 2000
= 2 кг.
Если бы тащить цилиндр волоком, то при коэффициенте трения
£ _ 0 Д 4 (см. табл. 1 в § 45) пришлось бы затратить силу, равную
2 0 0 0 -0 ,4 4 = 8 8 0 кг.
Фиг. 114.
Фиг. 115.
Уже этот пример показывает, насколько выгодной является замена
трения скольжения трением качения. Именно эту цель преследует
введение шариковых и роликовых подшипников, при помощи которых
скольжение оси вращающегося вала в опорных подшипниках заме
няется перекатыванием оси вала при помощи цилиндрических роли
ков (фиг* 114), или же шариков (фиг. 115).
ЗАДАЧИ.
47 .
Какой груз Q нужно подвесить к концу закреплённого в О рычага
ОА предохранительного клапана парового котла, чтобы клапан не откры
вался ранее, чем давление в паровом котле достигнет р = 10 атмосфер.
О
в
с п
Ш///Ш
Фиг. 116,
Расстояние О А = 5 0 см, 0 5 = 1 0 см, диаметр CD нижнего кругового сече
ния клапана равен d = 5 см (фиг. 116). Весом рычага ОА пренебрегаем
(1 атм. соответствует давлению 1 кг на см2).
О т в е т : d = 39,3 кг.
48.
Горизонтальная балка ОА длины I закреплена в шарнире О и под
держивается тросом АВ, образующим с горизонтом угол а. Определить,
как меняется растягивающее усилие Т в тросе АВ, получающееся от пере-
§ 51]
СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
СИЛ
129
мещеиия по балке ОА груза Р, соответствующего расстоянию О К ~ х
(фиг. 117).
Рх
О т в е т : Т = /т~.—
sin а .
49.
Балка ОА веса Р, могущая вращаться в вертикальной плоскости
вокруг шарнира О, поднимается при помощи верёвки АВ, перекинутой через
блок В, расположенный на одной вертикали с шарниром О на расстояний
ОВ = ОА. Как изменяется при поднятии балки необходима^ сила
натя
гивающая верёвку в зависимости от увеличения угла <х, образуемого балкой
с горизонталью (фиг. 118)?
cos а
5U. Верёвкой ВС данной длины I желают свалить столб ОА> врытый
вертикально в землю. Под каким углом а нужно привязать к столбу верёвку,
чтобы свалить столб наименьшей силой (фиг. 119)?
А
Фиг. 119.
Ф и г . 118.
Указание. Плечо ОК момента силы натяжения верёвки около точки О
должно быть наибольшим.
О т в е т : а = 45е.
51. На деревянном настиле требуется передвинуть деревянный ящик,
весящий 500 кг. Сколько человек могут выполнить эту работу, если коэф
фициент трения в покое равен 0,5,пв движении 0,3 и человек в состоянии
произвести усилие в 15 кг!
О т в е т : 17 человек, чтобы сдвинуть, и 10 — чтобы везти.
52. Решить задачу 51, предполагая, что груз заключён в деревянную
бочку диаметром 80 см; коэффициент трения при качении равен 0,08 см и
усилие прилагается к верхнему концу диаметра.
О т в е т : достаточно одного человека, ибо необходимое усилие равно
V* *г.
Г Л А В А 11.
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ В ПЛОСКОСТИ,
§ 51 ♦ Сложение двух параллельны х сил. Предположим, что
на некоторое тело действуют две параллельные силы Р и Q, направ
ленные в одну сторону и приложенные в точках А и В (фиг. 120).
Приложим к нашему телу в точках А и В две равные и прямо про
тивоположные действующие по одной прямой силы
и Л73; как
равнодействующая этих сил, так и сумма моментов их относительно
9
Зак. 667. И. II. Веселовский
130
[гл. 11
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ В ПЛОСКОСТИ
любой точки будут равны нулю; следовательно, добавление этих
сил ничем не изменит действия сил Р и Q. Полученные четыре силы
Р, Q>
TV2 мы можем теперь сгруппировать таким образом: при
ложенные к точке А силы Р и N t заменим приложенной в точке А
равнодействующей 7^; точно так же приложенные к точке В силы
Q и TV2 могут быть заменены одной равнодействующей Т?2. Линии
действия обеих этих сил, как мы видим, пересекаются в одной
точке О. Перенося R t и Т?2 в эту точку и сложив их по общим
а
R
Фиг. 120.
правилам, мы найдём равнодействующую 7?, которая будет одновре
менно и равнодействующей обеих первоначальных сил Р и Q.
Операции последовательного сложения сил обычно производятся
отдельно (правый чертёж). От некоторой точки а отложим вектор
ab, изображающий силу Р, ют её конца b отложим вектор Ьс, изо
бражающий силу N t ] равнодействующая
этих сил изобразится по
правилу силового треугольника вектором ас,' соединяющим начало
силы Р с концом силы N lt При определении равнодействующей Т?2
сил, приложенных к точке В , мы v. можем воспользоваться тем же
чертежом: вектор cb (от с к ^ ) мы можем принять за изображающий
силу TV2; от конца Ь этого вектора отложим вектор bd, равный и
параллельный силе Q: равнодействующая Т?2 сил TV2 и Q получится,
если мы соединим начало с -первой силы с концом d второй. Для
сложения сил R t и Т?2, которые мы можем считать приложенными
в одной точке О, никакого нового чертежа не придётся строить; их
равнодействующая 7? изобразится вектором ad, который будет ра
вен сумме P -f-Q . Итак, равнодействующая двух направленных в
одну сторону параллельны х сил будет равна и х сумме и на
правлена в т у же сторону; в качестве точки приложения этой рав
нодействующей мы можем взять любую точку линии О К (левый
чертёж), проведённой через точку пересечения линий действия
сил 7?! и Т?2 параллельно общему направлению обеих параллель
ных сил.
Рассмотрим теперь случай двух параллельных сил, направленных
в противоположные стороны. Предположим сначала, что эти силы не
§ 52]
ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
131
равны; пусть для определённости P ^> Q . Поступая совершенно так
же, как и в предыдущем случае (фиг. 1 2 1 ), получим, что равно
действующая Р двух неравных сил Р и Q направлена будет в сторону
большей силы и равна разности Р — Q. В качестве точки приложе
ния этой равнодействующей
мы можем взять любую точp f
ку линии О/С, проведённой >А
М л
параллельно силам Р и Q
через точку О пересечения
линий действия обеих част
ных равнодействующих Р г и
/?2; эта линия пройдёт за ли
нией действия той из со
fcP-Q
ставляющих сил Р , кото
рая будет по абсолютной
величине больше.
Нам остаётся ещё рас
смотреть случай, когда скла
Фиг. 121.
дываются две равные парал
лельные и направленные в
противоположные стороны
силы (фиг. 1 2 2 ).
Согласно только что ра
зобранному случаю, равно
действующая этих двух сил,
если бы она существовала,
должна быть равной нулю;
с другой стороны, эти две
силы не могут уравновеситься, поскольку они не лежат на одной пря
мой. Мы получаем так называемую пару сил. В случае пары сил до-,
бавление двух взаимно уравновешивающихся сил N x и N% (фиг. 122)
ни к чему не приведёт; получаемые после сложения силы Р { и Р 3
будут продолжать оставаться равными, параллельными и направлен
ными в противоположные стороны силами.
§ 52. Теорема В ариньона для параллельны х сил. В § 48 мы
доказали теорему Вариньона для сходящихся сил. Докажем теперь,
что она справедлива и для параллельных сил, т. е. что момент их
равнодействующей равен сумме моментов составляющих. Действи
тельно, в рассмотренных выше случаях (фиг. 12 0 и 1 2 1 ) равно
действующая Р двух параллельных сил получалась в результате
сложения двух составляющих Р г и /?2, линии действия которых
пересекаются в точке О; поэтому можно написать:
М (Р ) = М ( Р 1) + М ( Р 2).
Но P i и Р 2, в свою очередь, являются равнодействующими соот9*
132
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ В ПЛОСКОСТИ
[ГЛ.
11
ветственно для сил Р и N u Q и JV,; поэтому
M ( R l ) = M { P )J r M ( N 1),
М{1Ъ) = М ( 0 ) + М(.Ыг).
Складывая эти равенства, получаем:
M (R ) = M (R t) - f М (tfa) = М (Р) + м (Q) + М (AT,) + М (N t).
Но силы N 1 и N% равны, противоположны и действуют по одной
прямой; следовательно, сумма их моментов равна нулю, и мы при
ходим к равенству, доказывающему нашу теорему:
Таким образом, теорема Вариньона справедлива также для двух
любых параллельных сил, действующих в одну сторону, и двух
неравных параллельных сил, действующих в противоположные сто
роны.
Если центр моментов взять на линии действия равнодействующей,
то момент этой последней будет равен нулю; следовательно, отыска
ние линии действия равнодействующей можно свести к отысканию
точки, для которой сумма моментов обеих складываемых сил будет
равна нулю.
Пересечём линии действия обеих складываемых сил прямой, им
перпендикулярной; пусть А и В (фиг. 120 и 1 2 1 ) суть точки пере
сечения этой прямой с линиями действия складываемых сил Р и Q,
а К — точка пересечения этой же прямой с линией действия равно
действующей р . Для этой точки момент силы Р должен быть равен
по величине и противоположен по знаку моменту силы Q. Это значит,
что в случае параллельных сил, направленных в одну сторону, точка
К должна лежать между точками А и В , в случае же сил, направлен
ных в разные стороны, точка К должна лежать вне отрезка А В за
точкой приложения большей силы, чтобы при составлении моментов
уменьшение плеча компенсировалось бы увеличением силы. Таким
образом для абсолютных величин обоих моментов должно иметь
место равенство:
P * A K = Q 'B K
или
АК _ Q
ВК~ Р '
Это равенство показывает, что принадлежащая линии действия
равнодействующей точка К делит расстояние между линиями
действия обеих складываемых сил обратно пропорционально и х
величинам (внутренним образом, если силы направлены в одну сторону,
и внешним— если силы направлены в разные стороны). Мы получили хо
ТЕОРЕМА ВАРИНЬОНА ДЛЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
133
рошо известное из элементарной физики соотношение, при помощи
которого выводится основное условие равновесия рычага.
Нам остаётся ещё рассмотреть случай, когда обе складываемые
силы равны и направлены в противоположные стороны. Мы видели,
что в этом случае употреблённый нами приём нахождения равно
действующей при помощи добавле
ния двух взаимно уравновешиваю
щихся сил не приводил к удовле
творительному результату; посмот
рим теперь, что даст нам теорема
Вариньона. Конечно в данном слу
чае говорить о моменте равнодей
ствующей мы не имеем права (по
скольку нет самой равнодействую
щей), но определить сумму мо
ментов составляющих сил Р и Q
мы можем. Покажем, что сумма
моментов д в ух сил (Р и Q), соФиг. 123.
ст авляю щ их пару, есть величи
на пост оянная, не зависящ ая от выбора центра моментов.
Пусть нам даны две силы Р х и Р 2, равные каждая Р, действующие
в разные стороны по прямым К К и LL (фиг. 123). Пусть центр
моментов будет в произвольной точке О. Опустим из неё перпенди
куляры ОА и О В на линии действия обеих сил Р х и Р 2; пусть рас
стояние ОА будет г, a OB — r - \ - d , где d — расстояние между прямыми
К К и L L . Сумма моментов сил Р х и Р 2 относительно точки О будет:
м л (Л ) + Л*о
= + P f O B - f (— P r OA),
если считать положительным вращение против стрелки часов,
ставляя Р 1 = Р 2 = Р, находим:
Под-
М 0 (Р х) + М 0 (Р 2) = P ( r + d ) - P r = + Pd.
Для точки Ои лежащей на расстояниях гх и
действия К К и LL мы будем иметь:
г2, между линиями
M 0l (Pi) 4 “ M 0i ( ^ 2) = 4~ P iri 4 ” P*r* — 4" ^ (ri "4 ^2) = 4" Pd. (29)
Таким образом сумма моментов обеих сил не зависит от рас
стояний г, ги г2 центра моментов.
Эта сумма постоянна для любых центров и равна произведению
абсолютной величины силы, составляющей пару, на её плечо, т. е.
на расстояние между линиями действия сил, образующих пару. Про
изведение P d называется моментом пары и является мерой враща
тельного действия, оказываемого парой на тело, к которому она при
ложена. Следовательно, нельзя найти такую точку, для которой сумма
134
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ В ПЛОСКОСТИ
[ГЛ.
11
моментов обеих сил равнялась бы нулю; иными словами, изложенный
выше метод определения линии действия равнодействующей тоже не
может дать никаких результатов.
Две равные противоположно направленные по параллельным прямым
силы не имеют равнодействующей и, однако, не находятся в равно
весии.
§ 53. Определение равнодействующей плоской системы парал
лельных сил. Зная, как складываются две параллельные силы, мы
можем, путём последовательного прибавления по одной силе, найти
равнодействующую произвольного числа параллельных сил.
Пусть на тело действует система параллельных сил Р и Р 2, Р 3, . . . ,
Qi, Q 2, • • • , из которых силы Р и Р 3, Р 3, „ . . направлены в одну сторону,
а силы Qj, Q2, . . . в другую. Разобьём всю эту систему на две
группы одинаково направленных сил и заменим каждую группу одной
силой, величина которой будет, очевидно, равняться сумме величин
всех сил складываемой группы. У нас получатся две силы Р и Q —
равнодействующие обеих выделенных групп:
р = я 1+ р , + р, + . . . >
Q — Qi
Q 2 ~г Оз."г • • • у
если Р не равно Q, то мы можем обе полученные силы заменить равно
действующей, которая будет направлена в сторону большей силы
(предположим для определённости Р ^> Q) и равна их разности:
R = P - Q = (P 1 + P%+ . „ ) - { Q t + Qt + . . . ) .
Если считать силы Р и Р 2, . . . положительными, a
Q2, . . .
отрицательными, то полученный результат можно записать в такой
форме:
(— Qi) “Ь (— Qa)
и выразить так:
Равнодействующая системы параллельны х сил будет равна и х
алгебраической сумме:
R = Р 1 -f-
+ Рг + • • • >
где Р ь Р 2, Р 3, . . . могут быть как положительными, так и отрица
тельными.
Умея- находить величину и линию действия двух параллельных
сил, мы сможем путём последовательного сложения определить линию
действия и равнодействующей всей заданной системы сил.
Если, все силы находятся в одной плоскости, то мы можем из
бежать скучного последовательного сложения по две силы, если
применим теорему Вариньона, которую путём последовательного
сложения по две силы легко распространить на случай произвольного
числа сил.
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
135
Пример 45. Найти равнодействующую четырёх сил P i = 3 кг,
Р%= 4: кг, Р 3 = 5 кг, Р^ — 1 кг, из которых сила Рг имеет направле
ние, противоположное направлению- трёх остальных сил (фиг. 124).
Будем считать направление вверх положительным. Равнодействующая
R данной системы сил будет равна их алгебраической сумме:
R =г= Р\~\~
(
^з) “f" ^ 4 === 3
4 -(- (— 5) -j- 7 = 9 кг.
Для определения линии действия равнодействующей R мы можем
поступить так:
Возьмём какую-нибудь точку О и проведём через неё прямую О х,
перпендикулярную к общему направлению складываемых сил. Эта поя m i -i
пересечёт линии действия наших сил
в точках А х, Л2, Л 3, Л 4. Положение этих
точек мы можем определить так: уста
рг
1
новим на прямой положительное на
р
правление и будем задавать расстояния
А
•.
I
этих точек от начала О абсциссами:
7
1 “ ) ■я
ОA j — х х, ОЛ 2 —
ОЛ 3 — х%,
ОА. = X , .
Эти абсциссы, как нетрудно видеть,
будут представлять плечи момент.оз
Фиг. 124.
рассматриваемых
сил
относительно
центра О. Положим, что О Ах = 2 дм, Л*Л 2 = 2 дм, Л 2Л 3 — 1 дм,
Л 3Л 4 = 2дл/. Линия действия равнодействующей R будетвполне
определена, если мы будем знать абсциссу х точки Л пересече
нии этой линии с прямой О х; эта абсцисса будет плечом момента
равнодействующей относительн.о точки О.
По теореме Вариньона момент равнодействующей R , равный R x ,
будет равен сумме моментов составляющих, т. е.
R x = Р \Х х -)- Р ^х 2 -(- (
Р 3) х 3 -\~ Р pCfa
откуда неизвестная абсцисса х определится по формуле:
v
Х—
P ix i + Ръ*2 + (— Рг) х з + Р*х\
Р1 + Р2 + ( - Р з) + Р,
/ог\\
W
*
Если подставим значения х г — 2 дм, аг2 = 4 дм, х 3 — Ъ дм, х ^ = 7 дм9
то искомая абсцисса л; будет:
3 .2 + 4 . 4 - 5 . .5 + 7 . 7
х =
----------------------- 9------------------------=
4б
у
r 1 л
=
5 д
дм.
Линия действия равнодействующей пройдёт между точками Л 3 и Л 4
на расстоянии 1/ д дм от точки Л 3.
§ 54. Равновесие системы параллельны х сил. Для того чтобы
система параллельных сил, действующих на данное твёрдое тело, на
ходилась в равновесии, прежде всего необходимо, чтобы сумма сшг*
136
[гл. 11
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ В ПЛОСКОСТИ
действующих на тело в одном направлении, равнялась сумме сил,
действующих на то же тело в противоположном направлении. Это
условие является необходимым, но оно, однако, не будет достаточ-.
ным: обе равные направленные в противоположные стороны частные
равнодействующие Р и Q (§ 53) могут образовать пару сил. Таким
образом, для того чтобы равновесие имело место, необходимо, чтобы
эти две частные равнодействующие Р и Q были бы не только равны,
но и направлены в разные стороны по одной и той же прямой; иными
словами, необходимо, чтобы момент одной силы з^ничтожался противо
положным моментом другой силы, т. е. чтобы алгебраическая сумма
моментов всех складываемых сил равнялась нулю. Итак, условия
равновесия системы параллельных сил можно выразить в следующей
форме:
Необходимые и достаточные усло ви я равновесия системы
параллельны х сил заключают ся в т ом, что должны равняться
нулю алгебраическая сумма всех сил и алгебраическая сумма
моментов всех сил относительно любой т очки, т. е.
^ >1 +
^ >2 + ^)з + - • . = 0 ,
\
/313
Если бы мы захотели какую-либо точку принять за центр моментов,
т. е. закрепили бы её, то последнее из условий (31) будет соот
ветствовать
тому, что
должно равняться "^улю
£
вращательное
действие
всех приложенных сил от
носительно любой точки.
7
't
Пример 46. Пусть да
Г*
1
1.
С
____
t
I
на балка А В (фиг. 125),
Л
ь
на которую действуют
нагрузки
P j = 100 к г ,
Р 2 = 200 кг и Р 3 = 300л:г,
г
приложенные соответст
вие
венно в точках С, D и Е.
Длина балки А В = Ю м ;
расстояния: А С — Ъ м , CD = 2 м, D E = 3 m , B E = 2 м . Опре
делить давления балки на опоры А и В,
Реакции опор А и В , которые мы обозначим через N A и N Bt
должны уравновесить действие всех внешних нагрузок. Для этого
необходимо: во-первых, чтобы сумма обеих направленных вверх
опорных реакций была равна сумме действующих вниз сил, т. е.
N a + N b = 100 - f 200 - f 300;
(а)
RO-вторых, чтобы опорные реакции уничтожили и вращательное
действие внешних нагрузок. Отбросим опору В ; балка после этого
РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ СИЛ
137
получает возможность вращаться вокруг оставшейся опоры Л; заме
няющая действие опоры В опорная реакция N A должна уравновесить
моменты всех действующих на балку сил. Вокруг точки А силы
Р\*
Р* будут вращать балку по стрелке часов, а сила N B — про
тив стрелки часов; абсолютная величина суммы первых моментов
должна быть равна абсолютной величине момента силы N B. Это
можно выразить уравнением:
Pi • А С + Р% • AD + Р 3 • А Е = N B • А В
или
100 . 3 + 200 . 5 + 300 . 8 = N Q. 10.
Отсюда
(Ь)
N B = 370 к гс
Подставив найденное значение реакции N B в уравнение (а), определим
реакцию N a
-15мN a — 600 — N B — 230 кг.
-гм-15м—
Пример 47. Железная балка ВС
т
длиной в 4 м и в£сом в 500 кг зало С
жена в стену, толщина которой равна
0,5 м 9 так, что опирается на неё в ко
Н т
нечных точках А и В 1). Определить
реакции в этих точках, если к сво
бодному концу балки подвешен груз
Р = 4 т (фиг. 126).
Фиг. 126.
В точке А реакция стены N A под
держивает балку; в точке В , наоборот, реакция N B стремится опу
стить балку вниз. Напишем, что сумма сил, действующих вверх, равна
сумме сил, действующих вниз,
P + Q + N b = N a,
ИЛИ
4 + 0,5 + Л^ = ЛГл.
(а)
Второе уравнение для определения опорных реакций N A и N B мы
получим из условия, что сумма моментов сил Р иQ относительно
точки В равна моменту силы N A относительно той же точки.
N a • А В = Р . 4 -J- Q • 2,
или
0 , 5 . Д/л = 4 . 4 + 0 , 5 . 2 = 17;
(Ь)
0 Балка будет опираться в этих двух точках, потому что под тяжестью
собственного веса Q и приложенной нагрузки Р балка в стене перекосится
так, что будет нажимать на стену только в крайних её точках А и В.
£38
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ В ПЛОСКОСТИ
[гл. 11
отсюда
N a = S4 т.
Подставив значение N A в уравнение (а), определим Мв :
n b =
N a ~
р — <3 = 34 — 4 — 0,5 = 29,5 т.
Отметим, что реакцию N A можно разложить на две части; одна
часть, равная 4,5 т, уничтожает вес балки с грузом, направленный
вш з, а другая часть, равная 29,5 т , равна и противоположно на
правлена реакции N B. Эти две реакции образуют пару сил, вращаю
щую балку В С по -стрелке часов и уравновешивающую вращатель
ное действие сил Р и Q, стремящихся поворачивать балку против
стрелки часов.
Пример 48. Разберём один -способ устройства моста, имеющий
большое значение в современной технике. Если река не особенно
глубока и течение её не
очень быстро, то при по
стройке моста на дно реки
ставят каменные или дере
вянные устои (быки) и на
них настилают самое по
лотно
моста (мостовые фер
тх ^ !
[
.
мы). Но если почему либо
нельзя поставить быков по
Фиг. 127.
самой середине русла реки
(вследствие бурного течеш я или если река протекает в горной местности), то среднюю
ферму CD моста (фиг. 127) подвешивают к двум боковым АС
и D F. Такого рода мост носит название консольного. Пусть кон
сольный мост состоит из трёх ферм А С , CD, DF, из которых
обе крайние опираются каждая соответственно на две опоры А и В,
Е и F . Требуется при заданных на фиг. 127 размерах и при весе
погонного метра длины фермы в б т определить давления, произ
водимые на опоры А , В , Е и F моста.
Ввиду симметричности обеих половин моста достаточно рассчитать
давления на опоры А и В (давление на опору Е будет такое же,
как и на В , а на опору F — как на А ).
Рассмотрим условия равновесия фермы АС. На неё действуют:
в точке С направленная вниз сила (1), равная половине веса фермы
CD или 0,5 • 15 ♦ б = 45 т \ приложенный в середине пролёта ВС вес
этой части, равный 25 • 6 = 1 5 0 т [сила (2)]; приложенный в сере
дине пролёта А В вес части А В , равный 1 5 * 6 = 90 т [сила (3)];
неизвестные опорные реакции в точках
А и В. Составим
уравнение моментов относительно точки В . Приложенные вправо от
§ 55]
БЛОКИ
139
В силы ( 1 ) и (2) будут вращать ферму по стрелке часов; их общий
момент будет равен
4 5 . 25 + 1 5 0 . -^ - = 3 000 тм.
Этому моменту противодействует момент силы (3), т. е. момент
15
веса пролёта А В , равный 90 • -у- = 675 тм. Так как этот момент
меньше момента, вращающего по стрелке часов, то недостающий
момент 3 000 — 675 = 2 325 т м должен быть уравновешен моментом
силы, приложенной к точке А и действующей на ферму А С вниз.
Обозначив эту силу через N A и составив уравнение моментов от
носительно точки В , будем иметь (сравнивая моменты, вращающие
по и против стрелки часов)
N A . 15
90 . -у - = 150 • Щ- + 45 -25,
откуда
N a = 155 т .
Такой величиной выражается сила, с которой опора А действует по
направлению вниз на ферму А С ; обратно, ферма А С действует на
опору с такой же силой вверх, т. е, стремится оторвать часть Л о т
левого берега. Этого и следовало ожидать, так как часть моста,
расположенная между В и Е, провешивается вниз и стремится рас
тянуть те связи, которые прикрепляют концы моста к берегам
в точках А и F , а веса частей ферм А В и E F слишком малы,
чтобы противодействовать этому провешиванию. Чтобы получить
давление в точке В , нужно сложить
вседействующие внизсилы,
приложенные к ферме А С , а именно: 155 т (действие опоры Л),
90 т (вес пролёта А В ), 150 т (вес пролёта ВС) и
45 tn (приложенное в точке С давление — половина
ш ш ш т
веса ферхмы CD); складывая все эти
л
Ш 2Ш Ж
силы, находим, что давление в точке В
будет равно 440 т ,
§ 55. Блоки. Блоком называется
круглое цилиндрическое тело, могущее
а ©
вращаться вокруг неподвижной или
подвижной оси. Если ось блока не
подвижна, то блок называется непо
0
движным (фиг. 128). При помощи не
Фиг. 128.
Фиг. 129.
подвижного блока выигрыша в силе
не получается, а только изменяется на
правление силы; для того чтобы при помощи верёвки, перекинутой
перез блок, поднять какой-нибудь груз, верёвку тянут за свободный
конец вниз, что конечно удобнее, чем тянуть её вверх.
В общем случае для выигрыша в силе мы должны пользоваться
подвижным блоком (фиг. 129). В этом случае поднимаемый груз Q
[гл. 11
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ. СИЛЫ В ПЛОСКОСТИ
140
подвешивается к обойме подвижного блока Л, который находится
на ог'ибающем его внизу канате, закреплённом одним своим концом.
Этот канат в дальнейшем перебрасывается через неподвижный блок В ;
к свободному концу каната приложена поднимающая сила Р . Так
как вес груза Q распределяется на две верёвки, то нетрудно сообра
зить, что сила Р при равновесии должна равняться всего лишь по
ловине поднимаемого груза Q.
Если мы хотим получить выигрыш в силе больше, чем в два
раза, то необходимо воспользоваться системами подвижных блоков.
Блоки в этих системах можно расположить
'щ щ щ ш ш ш щ т двояким образом. Во-первых, подвижные
блоки можно расположить так,
как на фиг. 130. Такого рода
система подвижных блоков но
сит название степенного полис
паст а. Подвижной блок /
в два раза уменьшает силу,
необходимую для подъёма гру
за Q, блок II уменьшает эту
силу еще в два раза ^т. е. Q \;»
блок
III — ещё
в два
раза
( 2 '« 2 ^ ~2 ) И’ нак°Яец» блок
IV — ещё в два раза ( 2-2-2' 2 )'
Нетрудно видеть, что при чи
сле п подвижных блоков об
щее уменьшение силы полу
чается в 2п раз, и отношение
между силой Р и грузом Q
выразится формулой
Р= Q
2п
Фиг. 130.
Фиг. 131.
Другая система расположе
ния блоков показана на фиг. 131,
где имеются три подвижных блока, .расположенных в одной обойме,
к которой подвешен поднимаемый груз Q, и три неподвижных блока.
В этом случае уменьшение получается всего в шесть раз, так как
вес Q распределяется между шестью верёвками. Если бы число
блоков в каждой обойме было не 3, а п, то, поскольку каждый
подвижной блок висит на двух верёвках, выигрыш в силе получается
всего в 2п рйз, и отношение между силой Р и грузом Q выразится
формулой
р —
^
2п ‘
§ 55J
141
БЛОКИ
Несмотря на то, что степенной полиспаст даёт больший выигрыш
в силе, на практике пользуются преимущественно второй системой
подвижных блоков. Мы поймём причину этого, если подсчитаем на
тяжение в отдельных верёвках для обеих систем, В степенном полиспасте наибольшее натяжение получается в верёвке, огибающей самый
нижний блок (/); оно равно - у , т. е. половине
веса поднимаемого груза. В полиспасте же
второго рода (фиг. 131) все участки верёв
ки натянуты с одинаковой силой, равной
Таким образом, при пользовании полиспа
стом второго рода можно брать даже при
подъёме больших
грузов * Q не столь
прочные верёвки, как те, которые тре
буются при степенном полиспасте. При
практическом осуществлении полиспаста вто
рого рода обычно все блоки каждой обоймы
насаживают для экономии места на одну ось:
таким образом получают хорошо известные
каждому рабочему тали.
При помощи талей можно получить выи
грыш в силе в 8 — 10 раз. Если же требуется
получить ещё более крупный выигрыш, то
употребляют так называемый дифференциаль
Фиг. 132.
ный блоге (фиг. 132). Он состоит из неподвиж
ного двойного блока радиусов R и г, окруж
ности \ которых покрыты зубчиками. Эти зубчики входят в кольца бесконечной цепи, огибающей подвижной блок, к которому
подвешивается поднимаемый груз Q. Эта бесконечная цепь идёт
С малого неподвижного блока вниз, огибает подвижной, затем воз
вращается на больший неподвижный блок, свешивает
ся с него свободно одной петлёй и затем снова воз
вращается на малый неподвижный блок. Движущая
сила Р действует на часть Л цепи, принадлежа
щей свободной петле. Натяжение обеих частей цегпи, огибающей подвижной блок, равно у - ,
а
в
свободной петле одна часть натянута силой Р,
а другая остаётся без нагрузки. Чтобы получить
соотношение между силой Р и сопротивлением для Р £
Дифференциального блока, обратим внимание на
схему фиг. 133, где изображены силы, действуюфиГв
Щие на двойной неподвижный блок вдоль отдельных
частей цепи. Если взять уравнение моментов относительно оси бло*
ка О и сравнить суммы моментов, вращающих против и по стрелке
/
142
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СНДЫ, В . ПЛОСКОСТИ.
[ГЛ.
Ц
часо в, то будем иметь
■Р. Я + 4 * Г== - Т откуда
•§ ( R - r ) = P . R ,
и , н ак о н ец ,
> _ Q RТ ак к ак разн ость R - — г р ад и усов м ож ет быть сделана сколь у го д н о
малой по сравнению с рад и усом R , то при пом ощ и это го б л о к а
м ож но добиться очень б ольш ого вы игры ш а в силе.
ЗАДАЧИ.
... 53. На балку Ол действуют пять параллельных си л Р 1 = 42лгг, Р 2= ;3 2 кг,
р * = 4 0 кгк Р 4 ==42 кг и Р 5=д=26 кг, из них силы Р 2 и Р 5 направлены вверх,
а' остальные вниз. Зная, чгофасстояния точек приложения этих сил от конца
О балки равны соответственно x t = 50 см, х 3= 125 см,х3= 240 см, лт4= 3 0 0 см
и ^5 = 400 см, определить, величину R равнодействующей и расстояние х
линии её действия от* точки О.
О т в е т: Р = бб кг (вниз), х = 150 см.
А1
о
i
L9 0
д
D
%
\р
ъ
Фиг. 134.
54.
Щ рыч аг AD с точкой опоры О действуют силы Рх = 80 кг, Р2= 80 к
и Р 3= 40 /сг. Силы Р 4 и Р 2 приложены, слева от точки опоры О на рас
стояниях ОЛ = 200 см и ОВ = 50 см, а сила Р 3 справа от О на расстоянии
а
%
*
'
£
\о
С
Д
’
F
Ф иг.
I)
П Ь
Т
\ Г
135.
ОС = 2 0 0 дм. Какую силу Р 4 нужно приложить к правому концу D рычага
(расстояние СЮ = 600 см), чтобы удержать рычаг в равновесии? (фиг. 134).
О т в е т : Р 4 = 20 кг (вниз).
55.
На балку АВ длиной 200 см, лежащую на опорах С, D, действую
пять сил P i — 170 кг, Р 2 = 230 кг, Р 3 = 240 кг, Р 4= 1 2 0 кг и Р б = 280 кг,
приложенных в точках А, Е, F', G, В (АЕ = 22 см, ЕЕ = 50 см, FG = 50 см,
§ 56}
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
143
GB = 78 см}. Определить величины опорных реакций Nc и Np, если
АС = 34 см, a BD = 6Q см (фиг. 135).
О т в е т : Nc = 463,8 кг, No = 576,2 кг.
^
56. Две балки АВ длиной в 2 м и весом 1 т и ВС длиной 4 м и весом
3 т соединены шарнирами А, В и С между собой и со стенами. Зная, что
i
Ф.
'S/s\ я
в
о
1
*
'
А
^
1
%
Фиг. 136.
балка ВС подпёрта в точке D на расстоянии BDt= 1 м, определить опор
ные реакции RA, Rc , RD и взаимное давление балки в шарнире В (фиг. 136).
Указание. Рассмотреть в отдельности условий равновесия балок АВ
и ВС.
О т в е т : RA= R B= 0,5 т, RD= 2,67 т, /?с = 0 ,8 3 т .
ГЛАВА
12.
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ.
§ 66. Центр тяжести системы материальных точек. Обычное
определение центра тяжести, даваемое в курсах элементарной физики,
сводится к тому, что центром тяжести материального тела называется
точка приложения силы веса данного тела, или, точнее, равнодейст
вующей сил веса всех материальных точек, из которых состоит тело.
Это определение, пригодное для средней школы, не является вполне
точным, потому что действующая на абсолютно твёрдое тело сила
характеризуется не точкой приложения, а линией её действия. Точ
ное определение центра тяжести было впервые дано ещё Архимедом,
который называл центром тяжести такую точку данного тела, после
. закрепления которой оно под действием силы веса остаётся в равно
весии при всяких положениях относительно вертикали. Это требует,
чтобы вес тела при всех положениях последнего относительно вер
тикали уничтожался сопротивлением закреплённой точки. Исходя из
этих соображений, мы определяем центр тяжести так:
Центром тяж ести неизменной системы материальных точек
называется точка, через которую проходят линии действия равно
действующих всех сил веса мат ериальны х точек данной системы
при р а зли ч н ы х полож ениях последней относительно верт икали.
144
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[гл. 12
Центр тяжести одной материальной точки, естественно, совпадает
с этой последней; центр тяжести системы, состоящей из двух неиз
менно между собой связанных, материальных точек, будет находиться
на прямой, их соединяющей, в точке, расстояния которой от задан
ных материальных точек будут обратно пропорциональны их весам
(фиг. 137). Действительно, пусть А к В будут заданные точки
с весами P t и Р 2. Если прямая А В , их соединяющая, будет горизон
тальна, то линия действия равнодействующей Р х -f- Р 2 сил веса обеих
точек пересечёт А В в точке С, расстояния которой от А и В будут
обратно пропорциональны их весам Р г и Р 2.
А С : СВ = Р 2 : Р 1#
Повернём теперь прямую А В на угол ср; это равносильно тому,
что мы поворачиваем относительно прямой А В направление вёртикали
так, чтобы новые линии действия Аа, ВЬ сил веса точек А и 5
образовали бы со старыми тот же самый угол ср. Линия действия
новой равнодействующей сил веса обеих точек пройдёт так, что её
расстояния A D и B E от этих точек будут относиться как Р 2 к Р х\
A D \ B E = P i ' . P l.
Но из подобия треугольников ACD и В С Е мы видим, что
A D : B E = А С : СВ = Р 2 : Р ±.
Иными словами, и при новом положении наших точек относительно
вертикали линия действия новой равнодействующей пересечёт А В
в той же точке С.
Это обстоятельство является основным для нахождения центра
тяжести.
Положение точки М в пространстве вполне определяется
её расстояниями AIL, М К и M N до трёх взаимно перпендикулярных
плоскостей, одна из которых обычно горизонтальна (О ху), две дру
гие (O xz) и (Oyz) вертикальны (фиг. 138). Эти плоскости называются
координатными плоскост ями; линии их пересечения О х, Оу, Oz
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
145
называются координатными осям и. По этим осям обычноизмеряются
вышеупомянутые расстояния M L = ОА — Ху М К = ОВ — у , M N —
—=OC = z y называемые координатами х , у , 2 рассматриваемой
точки.
Пусть положение наших точек А и В по' отношению к данной
системе координат определяется координатами
*1 = Оа, у у — Оа', z t = AD; x 2 = Ob, y 2 — Ob', z 2 = BE.
Для определённости предположим, что ось Oz вертикальна (фиг. 139);
тогда линии действия сил веса бу
дут параллельны O z. Пусть A D , B E
и CF будут линии действия весов Р г
и Р 2 точек А и В, а также их равно
действующей Р\ длины перпендикуля
ров A D = z l9 B E = z 2y C F = z n , опу
щенных на плоскость О х у , будут ко
ординатами точек Л , В 9 С. Покажем,
ТГ9
как, зная координаты. г х и г 2, найти
координату z l2 точки С. Проведём че
рез Л и С прямые AG и СН парал- ,
лельно линии D E, соединяющей на пло
скости О х у основания D и Е перпен
Фиг. 139.
дикуляров A D — z x и B E = z%; пусть
Л" и Я будут точки, в которых эти
прямые пересекут перпендикуляры CF = z ]12 и B E = z 2; нетрудно
видеть, что
_ г,
С К = г 1г — г 1% B H = z 2
12
Из подобия треугольников А С К и С В Н заключаем:
С К : В Н = А С : С В = Р 2 : Р 1.
Отсюда С К • P i = В Н • Р 2 или:
(г19 — z t) Ру = (z.2 — z l2) P v
Раскрывая скобки
уравнение
и собирая члены
с z 12 в одну
(P i -(- Р 2) Z 12 = Р iz i -[- Р 2^ 2,
часть,
получим
(а)
откуда
^
1в—
Р 1^1 ”Ь Р 2^2
Pl + P 2 ’
Аналогичным путём, опуская перпендикуляры на координатные
плоскости O yz и OxZy мы получим и формулы для определения дру
гих координат х 12 и у п центра тяжести двух материальных точек:
Р л + Р 2аг2
Pi + р 2
10
Зак. 667. И. Н . Веселовский
1f
•У1* —
Pijyi 4" Р 2У2
Рх + Ра
146
[гл. 12
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Обратим внимание на формулу (а) и две ей аналогичные для коор
динат х и у:
(Pi -J- Р 2) -#12 === РрС\ “{"
+ Р ^ У п — Р 1У1 +
мы можем понимать их как определённое правило слож ения мате
риальных точек.
Две материальные точки А и В с весами P t и Р 2 могут быть
заменены одной точкой С — центром и х тяж ести, — в которой
сосредоточен вес, равный 4сумме весов Р г и Р 3 складываемых
точек.
Установив правило сложения для двух материальных точек, мы
можем путём последовательного сложения попарно распространить
их на случай трёх и более точек и таким образом получить формулы,
определяющие координаты центра тяжести более чем двух материаль
ных точек. Ввиду того, что все три координаты х , у , z между собой
равноправны, достаточно будет вести рассуждения применительно
лишь к одной координате, допустим для конкретности к высоте z.
Пусть нам даны три материальные точки с весами Р и Р 2, Р 3
и высотами z u z 2i z 3 . Заменяя первые две точки их центром тяжести,
мы по установленному правилу сложения [формула (а)] получим:
(Pi "f“ Р 2)^12 ~ Р lZ\ -f- Р 2Z2*
Добавим ещё третью точку с весом Р 3 и высотой z s; мы получим,
если через z 123 обозначим высоту центра тяжести всех трёх точек:
*^123
0 P i + p , ) * i , + P$ZZ
или
(Р\
Рг) z m = P \z i “Ь Р<зРъ “Ь Р з^з*
Продолжая таким образом добавлять по одной точке, мы полу
чим в конце концов для п материальных точек:
(Р х -)- Р 2 +
. . . ~f- Рп) Zc = P \z \ “Ь P ZZ%
где Zc есть высота центра тяжести всех этих
определяющаяся по формуле:
z _
с
• • • “Ь Pnz nt
материальных точек,
Piz 1 + Р& 2 + »-• + Pnzn .
Рх+Рш +... +Р п
’
аналогичные формулы для координат х и у будут:
^ _ Л*1 + />«*!+
*с—
_ Р&1 + Р2У2 + . . . + РпУп
+ Р ПХп
Pi + Л + . . . + Р я ’
*с
Л + > 2+ ... У Рп—
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ОДНОРОДНЫХ ФИГУР.
147
Эти формулы, первая из которых повторяет формулу (30) преды
дущей главы* принято сокращённо обозначать так»
G~ E P i 9 Ус
%Pi 9 с ~
(32)
§ 57. Центр тяжести однородных фигур и тел, ограниченных
прямыми линиями и плоскостями. Выведенные формулы позволяют
определить центры тяжести любого количества материальных точек.
Однако на практике приходится иметь дело со случаями, когда мате
рия, обладающая весом, распределяется по линиям, поверхностям
и объёмам». Если на единицу длины, площади или объёма приходится
одинаковое количество материи независимо от того места тела или
фигуры, откуда мы взяли рассматриваемую единицу, то подобноё
распределение материи называется равномерным, а само тело или
фигура — однородными. Нахождение центра тяжести однородных
фигур и тел может быть сведено к чисто геометрическим задачам;
действительно, если в формулах (32) мы увеличим или уменьшим
в одинаковое число раз веса Р ъ Р 2, Р 3, . . , , то во сколько же раз
увеличатся или уменьшатся числители и знаменатели дробей, стоящих
в правых частях формул (32), так что величины самих дробей, а сле
довательно, и координаты центра тяжести останутся неизменными.
Это показывает, что положение центра тяжести в . теле не зависит
от абсолютной величины .веса Р тела, а только от отношений весов
различных его частей; так, центры тяжести железной и деревянной
палочек будут одинаково находиться в серединах палочек, хотя вес
железной палочки будет в восемь раз больше веса деревянной
палочки такой же длины. Поэтому, если пластинка или тело, центр
тяжести которых определяется, будут однородными, то можно счи
тать, что вес единицы площади пластинки или объёма тела равен
тоже единице; тогда вес тела или пластинки будет численно равен
площади или объёму тела. Поэтому принято говорить о центре
тяжести фигуры или тела, не упоминая совершенно о материале, из
которого тело или пластинка сделаны. Следует, однако, помнить, что
это справедливо только для однородных фигур и тел; в противном
случае, если различные части тела сделаны из различного мате
риала, то это различие нужно обязательно учесть при определении
центра тяжести.
Центр тяжести отрезка однородной прямой линии находится в его
середине; на практике удобнее выражать это несколько иначе: центр
тяжести однородной прям ой совпадает с центром тяжести двух
масс, равны х каж дая половине веса прямой и располож енных по
её концам .
Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр
тяжести находится в этой плоскости; если тело имеет ось симмет
рии, то центр тяжести лежит на этой оси; если тело имеет центр
симметрии, то центр тяжести совпадает с этим центром*
ю*
148
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[гл. 12
Центр тяжести квадрата, правильного многоугольника, площади
круга или кольца находится в их центрах.
Центр тяжести площади параллелограма
находится в пересече
нии его диагоналей (фиг. 140).
Действительно, разобьём параллелограм
на ряд бесконечно
тонких прямолинейных полосок одинаковой ширины параллельно
Фиг. 140.
какому-нибудь основанию и сосредоточим массу такой полоски в её
середине. Массы всех этих полосок распределятся по одной прямой
и притом равномерно. Таким образом центр тяжести площади одно
родного параллелограма , будет совпадать с центром тяжести одно
родной прямой, соединяющей середины противоположных сторон
параллелограма, т. е. будет находится в цен
тре параллелограма.
Центр тяжести площади однородного тре
угольника может быть найден таким образом.
Разделим (фиг. 141) заданный треугольник
A B C прямыми параллельными одной ’ из его
сторон, например А В , на ряд бесконечно тон
ких полосок; центр тяжести каждой такой по
лоски будет находиться в её середине и, сле
довательно,
все они расположатся на ме
диане СМ, соединяющей вершину С треугольника с серединой М
стороны А В ; на этой медиане, но только, конечно, не в середине
её, будет находиться центр тяжести площади треугольника. Чтобы
определить, где именно, постараемся найти высоту he — центра тяжести
над основанием А В . Если Н есть высота треугольника, то высота
центра тяжести треугольника будет составлять какую-то её часть;
положим
hc = a /i,
149
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ОДНОРОДНЫХ ФИГУР
где а пока ещё неизвестная правильная дробь. Разделим пополам
стороны нашего треугольника в точках /С, L , М и проведём прямые
K L , LM (фиг. 142). Они разделят треугольник A B C на два тре
угольника CJKL и L M B , подобных треугольнику A B C , и на парал
лелограмм A K L M . Все эти фигуры будут
//
иметь одинаковую высоту
; если площадь
всего треугольника A B C примем за 4, то
ц/ *
площадь каждого из маленьких треугольни/
^
ков будет равна 1 , а площадь параллело- f\L------------ L------грамма равна 2 . Напишем теперь, что вы^
сота центра тяжести h e всего треугольника
Фиг. 142.
A B C , помноженная на его площадь, равна
сумме произведений высот центров тяжести составляющих его частей
на площади последних:
S a вс • h e =
S KLC • h ^ ic *-f- S l m b • h iM B - f - S a k l m • Ьа к ь м
или
4hc =
1 • h ^ ic - f - 1 • h iM B 'j r ^ • h a k l m *
Ho
he =
^ • H , h iM B — a • ^
,
Hk lc =
у -f- а у ,
так как высота параллелограмма равна ~ Н.
На к ь м =
Теперь
для
у у *
определе
ния а мы имеем уравнение
4 - « " = >
( - ? + “? ) + ' - 4 + *
4 ? .
откуда после сокращения на Я и приведения
4а — т + а + 4
и окончательно а = 7 3. Таким образом высота центра тяжести плоti
щади треугольника равна
; иными словами, центр тяжести этот
лежит на медиане на расстоянии одной трети её, считая от ос
нования.
В применениях удобнее пользоваться таким правилом:
Центр тяжести площади однородного треугольника совпадает
с цент ром тяжести т р ё х весов, равны х каждый одной трети
веса всего т реугольника и располож енных по вершинам послед
него.
Пример 49. Найти центр тяжести площади однородной трапеции
с основаниями а и & и высотой h (фиг. 143).
150
[гл. 12
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Центр тяжести заданной трапеции A B C D будет, очевидно,
находиться на прямой M N , соединяющей середины М и N обоих
оснований А В и CD трапеции. Чтобы узнать, где именно, разделим
данную трапецию, площадь которой равна
-\~b)h_ ^ т
даа
угольника: AC D с площадью
и A B D с площадью
Мы знаем, что при нахождении центра тяжести каждого треуголь
ника можно вес последнего распределить поровну по его вершинам.
При таком распределении в каждой вершине трапеции будут соот
ветственно следующие веса:
От площади ABD
От площади A CD
ah
6
В --------------
Итого
bh
“F
рл
(я + £ ) &
6
ah
г» ah
Р в= т
6
bh
~7Г
■О
bh
с , .............. —
ah
• • • • • • ' • • "Т
у'
О
Рс = ^ С
6
P n_ ^(a +f>)h
6
6
Выберем теперь систему координат так, чтобы ось О х совпала
со стороной А В . Тогда ордината у с центра тяжести определится по
формуле:
• УА
*Ув -f- ^сУс ~Ь
Ус = — --------------------“Н ^В “Ь
“j~ РD
bh_
Ра • 0 + Яв • О + ^ h +
6
(a + b)h
2
или окончательно
—
.h
§
57]
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ОДНОРОДНЫХ
ФИГУР
151
Так определяется расстояние ha центра тяжести О трапеции от
основания а; расстояние h b центра тяжести О от основания b будет:
h. — /»
и ___^
Ъ+ 2а
Отношение обоих расстояний будет:
К
hb
а +26
Ь + 2а
2 ^ b __ МЕ
Ь
Л!Е '
а+т
Таким образом центр тяжести трапеции можно получить при
помощи следующего построения:
Разделим стороны А В и CD пополам в точках М и АА и на
продолжениях обоих оснований трапеции отложим отрезки D F = a
и А Е = b, равные соответственно противолежащим основаниям; получен
ные точки Е и F соединяем прямой; искомый центр тяжести О най
дётся в пересечении E F с прямой M N , соединяющей середины осно
ваний трапеции.
Действительно, из подобия треугольников ЕМ О и FNO заключаем,
что высоты ОМ' и O N \ дающие в сумме высоту трапеции, относятся между собой как
стороны Е М = ^ г -\-Ь
и
F N — — -f- а,
т. е. как раз находятся в том отношении, какое существует между
расстояниями ha и h b центра тяжести трапеции от обоих оснований
последней.
Так как любой многоугольник может быть разбит на треуголь
ники, то центр тяжести любого многоугольника может быть опре
делён как центр тяжести ряда материальных точек, совпадающих
с его вершинами и обладающих весами, равными каждый одной трети
суммы весов сходящихся в этой Еершине треугольников, на которые
может быть разбит рассматриваемый многоугольник.
Переходим к определению центра тяжести объёмов тел, ограни
ченных плоскостями. Очевидно, что центр тяжести объёма однород
ной призмы будет лежать на её оси на одинаковых расстояниях от
оснований. Поверхность любого другого многогранника может быть
разбита на треугольники и объём его может быть рассматриваем как
сумма объёмов пирамид, основаниями которых являются эти тре
угольники, а общей вершиной какая-то точка многогранника.
Такая элементарная пирамида с треугольным основанием носит на
звание тетраэдра. Остаётся теперь найти положение центра тяжести
объёма такого тетраэдра.
Для этого плоскостями, параллельными какому-нибудь основанию
(например А Б С ) тетраэдра, разобьём объём последнего на ряд беско
нечно тонких треугольных пластинок. Центры тяжести этих пласти
нок расположатся на прямой линии E D , соединяющей центр тяжести
152
[гл. 12
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
основания Е с противоположной вершиной D (фиг. 144); на этой
прямой в некоторой её точке F расположится центр тяжести объ
ёма всего тетраэдра; отрезок E F составляет какую-то часть X отрез
ка E D .
Чтобы узнать, какую именно, воспользуемся тем же приёмом,
при помощи которого мы находили центр тяжести площади треуголь
ника. Проведём в тетраэдре S A B C (фиг. 145) через середины
D, Е , F рёбер S A , S B , SC пло^
скость, которая отсечёт тетраэдр
D
Фиг. 145.
Фиг. 144.
О
SEDF, подобный
первоначальному; затем плоскость,проведённая
через середины F, Е , G, К рёбер SC, SB , АС , А В , отсечёт треуголь
ную призму AKGDEF; наконец плоскость FGH,
проведён
ная через середины рёбер SC, АС , ВС, разделит оставшуюся часть
на подобный первоначальному тетраэдр FGHC и треугольную призму
KGFLBFE.
Если через Я обозначим высоту тетраэдра S A B C , то высота
ы
каждого из четырёх полученных тел будет
. Если объём тетра
эдров S D E F и FGHC примем за 1 , то объём тетраэдра S A B C
будет 8 , а объёмы призм AD EFG K и G K FEBH по 3; высота центра
тяжести призмы A D E FG K будет
а высотаЦентРа
тяжести
призмы BH G f(FE будет 4 - 4 4 .
О
Z
Таким образом мы имеем равенство;
( т + хт г ) Сокращая на Я и делая приведение, получаем
уравнение;
х . 3 . 1 , 1. X
8Л — 2 Т 4 Т
2 ' 2* 2
для определения X
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ОДНОРОДНЫХ ФИГУР
153
или
7Х=1
откуда Х= 1 . Таким образом центр тяжести объёма однородного
тетраэдра находит ся на прям ой, соединяющей вершину с центром тяж ести основания, на расстоянии одной четверти этой
прямой, счит ая от основания. Нетрудно ви
деть, что центр тяжести объёма однородного
тетраэдра совпадает с центром тяжести
чет ы рёх весов, располож енных по вершинам
тетраэдра и р а вн ы х каждый одной четверти
веса последнего; именно так и удобнее всего
находить на практике центр тяжести объёма
тетраэдра.
Так как любую пирамиду всегда можно р а з
бить на ряд тетраэдров S A B C , S A C D , SA D E
(фиг. 146) с одной и той же вершиной 5 и
высотой, центры тяжести которых будут находиться на четверти
высоты, считая от основания, то и центр тяжести любой пира
миды будет лежать на прямой, соединяющей вершину 5 с цент
ром тяжести основания, на одной четверти её, считая от основания,
Так как конус можно рассматривать как пирамиду, имеющую
в основании многоугольник с бесконечно большим числом сторон,
то то же самое будет справедливо и относительно центра тяжести конуса.
Разбивая каждый многогранник на* тетраэдры, мы можем опре*
делить положение центра тяжести этого многогранника, если только
известны величины объёмов и положения
центров тяжести этих тетраэдров.
Пример 50. Найти центр тяжести объ
ёма однородного тетраэдра, усечённого
плоскостью параллельно основанию,, если
площади его оснований равны соответ
ственно а и Ь, а высота h (фиг. 147).
Искомый центр тяжести будет нахо
диться на прямой, соединяющей центры
тяжести обоих оснований. Чтобы узнать,
где именно, примем плоскость A B C за
координатную плоскость О ху и будем
искать координату z центра тяжести или расстояние его ha от ниж>
него основания. Как известно из стереометрии, наш тетраэдр разби
вается на три пирамиды: A B C F с объёмом ^ ah, BEFD с объёмом
-g- bh
и,
ляя
объёмы
эти
наконец,
ABDF
с
поровну между
объёмом
Распреде
всеми вершинами каждого со-
154
ответствующего тетраэдра,
дётся :
От тетраэдра
ABCF
найдём, что на каждую вершину при
От тетраэдра
ABDF
На / ! » • ♦ •
ah
У2 V ab h
>> 13 ( » • •
ah
^2 У ab k
» С.
От тетраэдра
BEFD
12
Y ) h ( a - \ ~ y ab)
p B = l f t ( a + УШ +Ь)
bh
P c = T 2 ha
12
» £ .
. >Y>ah
Всего
Pa=
T2ah
» D*
* £ .
[гл. 12
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
j 2 У ab h
bh
PD = ^ h (b+ y o b )
12 **
Pe = T 2 M
k bh
Pa = jTj ft (« +
b).
Так как координата z для вершин А, В , С равна нулю, а для вер
шин D, Е, F равна h, то искомое расстояние ha будет:
h -P D + h ■P E + h • Рр
ка =
-гг
-g- (a 4- Ь + У ab)
4 a + У ab + b
§ 58. Центр тяж ести площ адей, ограниченны х кривыми ли
ниями. Любую кривую линию можно разбить на ряд достаточно
малых частей, каждую изкоторых можно принять за дугу окруж
ности. Положение центра тяжёсти
дуги окружности было впервые
определено английским математиком
XVII века Валлисом (Wallis):
Расстояние центра тяжести
дуги окруж ности от центра по
следней т ак относится к радиусу
этой окружностНу как длина хорды
к величине стягиваемой этой х о р 
дой дуги (фиг. 148).
Это можно записать в виде сле
дующей формулы:
>sin а
OD — x n
(33)
Ha практике удобнее определять расстояние центра тяжести не
от центра О окружности, но от хорды А В . Это расстояние будет:
FD = OD
уо r~>
OF = R
sin ct
a
R cos a.
Если угол a не очень велик, то можно воспользоваться следующими
§ 58] ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
ПЛОЩАДЕЙ, ОГРАНИЧЕННЫХ КРИВЫМИ
линиями 155
известными из тригонометрии приближёнными формулами:
sin а
а
а8
-j
у \~2 . 3 5
а2
cos а ^
1 —' | — 2 •
Подставив эти выражения в формулу для FD, получим
<3 4 >
Применяя эту формулу, не следует забывать, что угол должен, быть
выражен в радианах; если угол и = 30°, то ошибка будет около 3°/0.
Зная положение центра тяжести дуги
д
окружности, нетрудно определить положе
ние центра тяжести кругового сектора.
\М
Пусть О АВ — круговой сектор с радиусом
OA = R и центральным углом 2а. Искомый
центр тяжести лежит на оси симметрии ОС, q
q
которую мы примем за ось О х (фиг. 149).
Разобьём рассматриваемый сектор на ряд
бесконечно малых секторов, которые можно
принять за треугольники. Центр тяжести пло
щади одного из таких треугольников O M N
будет находиться в точке т , находящейся
фиг> 149
па расстоянии 2/з высоты, считая от центра О
круга. Вследствие бесконечной малости треугольника O M N можно
высоту его принять равной радиусу R; в таком случае центры тя
жести всех таких элементарных треугольников расположатся по
2
дуге ab, описанной из центра О радиусам Оа = - $ R ,
и,
следова
тельно, расстояние центра тяжести площади сектора, совпадающего
с центром тяжести упомянутой дуги, будет по формуле Валлиса
r_ l n
3 ^ ' а
•
Зная положение центра тяжести кругового сектора О АСВ и тре
угольника О А В , можно было бы определить и положение центра
тяжести сегмента АС В; однако более удоб^
ные формулы получаются, если рассма
триваемый криволинейный сегмент заме
с>
' - - “ -------- ^ 0
нить сегментом параболы. СоответствуюдУ
/.-------------1L4----- - \
щие формулы были даны ещё Архимедом.
"
Пусть дан некоторый криволинейный
Фиг. 150.
сегмент, ограниченный дугой кривой линии
A G B и хордой А В (фиг. 150). Разделим хорду А В в точке К
пополам, проведём параллельно ей ряд хорд CD, E F и соединим
середины их L, М с точкой К. Эта линия будет диаметром для соот
ветствующего направления хорд, точка G пересечения диаметра
с кривой называется вершиной сегмента, а отрезок от вершины до
156
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
[гл. 12
середины К основания А В — высотой сегмента, или его стрелкой
(в общем случае она не будет перпендикулярной к хорде А В ).
Если дуга A G В есть дуга параболы, то точки G, Al, L, К точно
лежат на прямой линии; затем, отрезки GM, GL (так называемые
абсциссы) относятся как квадраты отрезков Е М , CL (так называемых
ординат) параболы *); наконец, в параболе все диаметры будут парал
лельны между собой.
На основании вышесказанного
Архимед доказал следующую тео
рему:
Площадь сегмента параболы
равна двум третям площади п а 
раллелограм м а, построенного на
основании сегмента и его стрелка
(фиг. 151).
Пользуясь этой теоремой, можно
Фиг. 151.
доказать, что центр тяжести па
раболического сегмента находит ся
на его стрелке на расстоянии 2/в длины её, считая от осно
вания.
Для того чтобы определить центр тяжести любой площади, огра
ниченной кривыми линиями, разбивают её на ряд прямолинейных
трапеций и небольших криволинейных сегментов, которые принимают
за параболические.
Формулы, дающие положение центра тяжести трапеции, будут
h а + 2Ь
к = - 3 a + t?
j __ h Ъ+ 2а
ь
“3 ~а+1Г
(35)
Площадь параболического сегмента с хордой а и стрелкой h
Йудет;
S = ^ah,
(36)
при условии, если h перпендикулярна к а.
Точно так же расстояние центра тяжести площади параболиче
ского сегмента от хорды, измеренное по ст релке, будет:
ha = j h .
(37)
§ 59. Центр тяжести объёмов, ограниченных кривыми поверх
ностями. Что касается фигур и тел, ограниченных кривыми поверх
ностями, то здесь удобных для вычисления результатов удаётся до
стигнуть лишь в немногих простых случаях. Так, центр тяжести
*) В частном случае, если GK перпендикулярно к АВ , то это следует
из уравнения параболы. Если принять за ось Ох прямую GK, а за ось Оу —
касательную к параболе, проведённую через точку О, то уравнение пара
болы, как известно, будет у 2 = 2р х%
§ 59J
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ОБЪЁМОВ
157
объёма и боковой поверхности прямого цилиндра находится в одной
и той же точке М
середине оси 0 Х0 2 (фиг. 152); центр тяжести
объёма конуса находится в точке М х на оси на расстоянии одной
четверти от основания; что же касается центра тяжести боковой
поверхности, то он будет находиться на оси в точке Ж на расстоя
нии одной трети от основания.
Действительно, боковую поверхность конуса мы можем разбить
на ряд бесконечно малых треугольников; центры тяжести всех этих
треугольников располо
жатся на окружности, де
лящей образующие в от
ношении 1 : 2 , считая от
основания; центр тяжести
этой окружности М ъ со
впадающей с центром тя
жести боковой поверх
ности конуса, будет ле
жать на высоте SO на
расстоянии одной трети
от основания.
Очень легко находится
центр тяжести боковой
поверхности сферического пояса, заключённого между двумя парал
лельными плоскостями (фиг. 153). Как известно из геометрии, поверх
ность такого сферического пояса равна произведению окружности боль
шого круга на высоту А В пояса (расстояние между обеими секущими
плоскостями). Это показывает, что если мы разделим высоту А В пояса
на сколь угодно большое число равных частей и проведём через точки
деления параллельные плоскости, то полу
чившиеся в сечениях поверхности шара с
этими плоскостями бесконечно малые пояса
будут иметь одинаковые поверхности, а следойательно, и массы. Так как центр тяжести
каждого такого элементарного пояса-обруча
будет лежать в его центре, то центры тяже
сти всех этих поясов расположатся по пря
мой А В , соединяющей центры верхнего и
нижнего кругов, причём вследствие равенства поверхностей поясов
в каждом из этих центров будет сосредоточена одинаковая масса.
Это показывает, что распределение масс по высоте А В будет
равномерным и, следовательно:
Центр тяж ести боковой поверхност и сферического пояса наход и т ся в середине его высоты.
Если радиус верхнего основания обращается в точку, иными
словами, если мы имеем дело со сферическим сегментом, то высота А В
получает название ст релки сегмента (фиг. 154).
158
[гл. 12
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
Мы видим', что центр тяжести боковой поверхности сферического
сегмента находится в середине С его стрелки А В .
. Зная, где находится центр тяжести боковой поверхности сфери
ческого сегмента, мы можем определить центр тяжести объёма сфе
рического сектора (фиг, 155).
Действительно, сферический сектор мы мо
жем рассматривать как состоящий из ряда бес
конечно малых конусов ОМ, основания М ко
торых заполнят всю выпуклую поверхность
сегмента CAF.
Центр тяжести каждого такого бесконечно
малого конуса будет находиться на прямой ОМ
на расстоянии 3/ 4 ОМ, т. е, 3/ 4 радиуса шара,
считая от вершины. Таким образом, центры тяжести всех таких
конусов расп эложатся на поверхности сферического сегмента С1A 'F '
с тем же самым телесным углом при вершине О, описанного из
центра О радиусом О С , равным 3/ 4 радиуса
ОС; следовательно, центр тяжести объёма
сферического сектора будет совпадать с цент
ром тяжести выпуклой поверхности сфери
ческого сегмента с радиусом, равным 3/ 4
радиуса шара.
Применим эти соображения к нахожде
нию центра тяжести объёма однородного по
лушара (фиг. 156).
Если O A = R — радиус полу шара, то
центр тяжести объёма полушара будет со
впадать с центром тяжести боковой поверхности полушара O B1A 1D lj описанного из центра О радиусом О А1 —
= 7 4 OA = 3/ l R; согласно только что доказанному он будет нахо
диться в середине С высоты ОАг этого полушара, т. е. на расстоя
нии 72 • 3Д R = i U R от центра шара. Таким
образом-, центр тяжести объёма однородного
полушара определяется по формуле:
Ас = -% « •■
(38)
Умея находить центр тяжести сектора и
конуса, мы сможем найти и центр тяжести
объёма сферического сегмента, рассматривая
последний как разность объёмов сфериче
ского- сектора и конуса, а зная положение
центра тяжести сферического сегмента, мы сможем найти и центр
тяжести объёма сферического пояса. Общих формул в этом случае
не выводят, а решают каждую задачу индивидуально.
§ 60. Примеры. Если требуется определить центр тяжести более
сложной геометрической фигуры или тела, то обычно разбивают её
§ 60J
iijl)
прим еры
на такие части, для которых можно определить как вес, так и поло
жение центра тяжести, а после этого определяют точку приложения
равнодействующей весов этих частей или по сл ед онате л ьным сложением
или по формулам (32).
Пример 51. "Найти центр тяжести площади двутаврового сечения
(фиг. 157), размеры которого даны ка чертеже.
Центр тяжести С этого сечения будет лежать на оси симметрии Ох.
Разобьём сечение на три прямоугольника, площади которых будут:
I) 2 X 8 = 16.
II) 2 X 6 = 1 2 .
III) 2 X 4 =
8.
Принимая площади за соответствующие веса, будем иметь P j = 1 6 ,
Р * = 12, Р 3 = 8 о Центры тяжести этих прямоугольников будут нахо-
Фиг. 157.
ф иг< J58.
диться в точках
А$. Применяя формулу .(4 3 ), где в рассматри
ваемом случае х 1 = О А х = 1 , х 2^= О А 2= Ь, х г = О А ^ = 9., будем
иметь
_
Х С~
16 • 1 + 12 • 5 + 8 • 9 _
16 4 -12 + 8
~
148 _
36 ~
. 1
9 СМ'
Искомый центр тяжести С будет находиться на оси О х на расстоя
нии ОС = 4 1Д см от левого основания двутавра.
Пример 52. Из площади квадрата со стороной 8 см вырезан,
как показано на фиг. 158, квадрат со стороной 3 см и с центром
в точке В. Найти центр тяжести площади оставшейся части. (Раз
меры даны на фиг. 158.)
Воспользуемся следующим искусственным приёмом. Площадь це
лого квадрата равна Р 1 = 8 Х ^ = 64; центр тяжести находится в
точке А . Из этой площади вырежем площадь Р 2 = 3 X 3 = 9 с цент
ром тяжести в В ; будем считать эту площадь отрицательной и вес
[гл. 12
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
160
её направленным не вниз, а вверх. Центр тяжести оставшейся пло
щади будет лежать в какой-то точке С на общей диагонали ква
дратов, соединяющей центры А и В. Проведём оси О х и Оу через
вершину О квадрата и найдём расстояния х с и у с центра тяжести С
от осей О х и Оу. Нетрудно видеть, что вследствие симметрии x c = y Qt
Считая Оу вертикальной, возьмём моменты всех весов относи
тельно точки О; момент приложенного в* точке С веса оставшейся
части будет равняться сумме моментов положительного и отрица
тельного весов, приложенных в А и В , Так как плечи x t = 4 и
= 4—
|—2 = 6 , то, считая, что ОС1 = х с , мы будем иметь
(64—9) дгс = 6 4 • 4 — 9 * 6
и окончательно:
256—54
'
202
Q
■ * с = - 5 Г - = -55= я З ,° 8 с л .
Пример 53. Найти центр тяжести однородного тела, состоящего
из цилиндра и сегмента шара, центр которого совпадает с центром
нижнего . основания (фиг. 159). Радиус основания
ОА — 1 , высота А С = 3.
Разбиваем наше тело на цилиндр OABCD и шаро. вой сегмент EC F D ; последний^ мы можем рассма“ тривать как результат вычитания конуса OCED из
шарового сектора OCFD или как алгебраическую
сумму сектора OCFD и конуса OCED, причём по
следний будем
считать обладающим отрицатель
ным весом.
и
Так как наше тело,обладает осью симметрии О/7,
то если принять последнюю за ось O z, достаточно
будет определить координату z центра тяжести отно
сительно начала координат в точке О.
Объём цилиндра OABCD будет:
У1 = ъОА* • А С — к . Ц . 3 = 3 ^;
координата z t его центра тяжести
Объём конуса OCED будет:
координата
центра тяжести:
3
§
ПРИМЕРЫ
®0]
161
Объём шарового сектора OCFD будет равняться */з произведения
радиуса ОС шара на выпуклую поверхность сегмента CDF, которая
будет, в свою очередь, равна произведению окружности большого
круга 2т,ОС на высоту сегмента EF:
Vz ~ Т 0 С ' 2 i:0 C ( 0 F ~ 0 Е ) =
ъОСг (ОС — ОЕ).
Из треугольника^ ОАС находим: ОС 2 = ОЛа - |- Л Сг = 1 0 .
Считая тс = |/ ^ 0 , получаем:
Из = ~ 7ЮС3 — -|-7гОС 2 • ОЕ =
= ^
— 20 У \ 0
66,33 — 62,8
3,53.
Расстояние центра тяжести сферического сектора от центра шара
вычислится та к :'
Радиусом О К = ъ1цОС описываем внутри конуса OCED шаро
вую поверхность K N L и отрезаем сферический сегмент KNL; ценго
тяжести сферического сектора будет находиться в середине стрелки M N
этого сегмента.
Таким образом
*3 =
ОМ -Е ^
= |o £ - |- i - .|- ( O F - 0 £ ) =
=
( O F - f - 0 £ ) = = - | . 6,14 = 2,30.
Теперь вычисление координат производится согласно следующей
таблице:
!
1 (цилиндр) . . . .
2 (конус)..............
3 (сф. сектор) , . .
Р
Z
Pz
Зтс = 9,42
— тс = —ЗД4
3,53
1,5
2,25
2,30
14,13
— 7,06
V р _ 9,81
8,12
£ P z = 15,19
15>19 -
1 55
9,81 — *
Отметим, что вес конуса OCED мы считаем отрицательным,
поскольку конус OCED мы должны отнять от цилиндра OABCD
чтобы в последний можно было поместить шаровой сектор OCFD.
ЗАДАЧИ.
57.
Найти центр тяжести рамки ABCD, составленной из стержней в форм
прямоугольника, если стороны его имеют одинаковое поперечное сечение,
причём стержни АВ и ВС сделаны из железа (удельный вес 8 ), a AD и CD
из дерева (удельный вес 1). Длины АВ = CD = 100 мм; AD = ВС = 50 мм.
11
Зак. 667. И. Н. Веселовский
[гл. 12
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ
162
Указание. Вес каждой стороны рамки пропорционален её длине и удель
ному несу.
О т в е т : Центр тяжести будет находиться на расстояниях 12 мм от АВ
и 63 мм от AD (с округлением).
58.
Найти центр тяжести симметричного сечения, изображённого н
фиг. 160.
О т в е т : Центр тяжести находится на оси симметрии на расстоянии,
равном лгс = 208 мм от левого конца.
БЭ« Провести через вершину D однородного прямоугольника ABCD пря
мую DE так, чтобы при подвешивании отрезанной по этой прямой трапе
ции ABED за вершину Е сторона AD была бы горизонтальна; AD — a,
АВ — h (фиг. 161).
О т в е т: С Е = (3 — | / 3 ) -jj- а.
f 3„ От квадратного листа картона размером 60 X 60 см при каждом угле
отрезано по одинаковому квадрату и из оставшейся фигуры сделана коробка.
Найти высоту центра тяжести коробки над её дном, если сторона вырезан
ных квадратов равна 10 см.
О т в е т : h = 2,5 см.
t К Определить центр тяжести системы грузов, расположенных в вер
шинах прямоугольного параллелепипеда, стороны которого АВ = 20 см,
А С — 10 см, AD = 5 см. Веса грузов в вершинах А, В, С, D, Е, F, G, И
соответственно равны: 1 кг, 2 кг, 3 кг, 4 кг, 5 кг, 3 кг, 4 кг, 3 кг (фиг. 162).
О т в е т : х = 3,2 см, у — 9,6 см, z — 6 см.
Г
Iс______
О
Фиг. 162.
Фиг. 163.
62.
Найти центр тяжести С площади кругового сегмента ADB (фиг. 163
радиуса АО — 30 см, если угол АОВ — 60°.
Какая разница получается, если вычислить положение центра тяжести
точно, рассматривая сегмент ABD как разность кругового сектора OABD
и треугольника ОАВ, или вычислить положение центра тяжести, принимая
сегмент ABD за параболический,
О т в е т ; ОС — 27,7, ОС = 27,75.
§ 61]
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
163
Г Л А В А 13.
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ.
§ 61. Основные понятия. Мы видели, что на плоскости момент
силы относительно точки измеряет вращательное действие, которое
данная сила оказывает на плоскую фигуру, вращающуюся в своей
плоскости вокруг закреплённой точки — центра моментов. В случае
тела для получения вращения необходимо закрепить две точки, опоеделяющие ось, вокруг которой и происходит вращение. Строго говоря,
и в случае вращения в своей плоскости плоской фигуры последняя
вращается вокруг оси, проходящей через центр моментов и перпен
дикулярной к плоскости фигуры. Таким образом, расширяя понятие
вращающего момента, мы должны сделать это* так, чтобы опреде
лённый нами момент относительно точки в плоскости оказался бы
частным случаем нового обобщённого понятия.
Пусть Oz (фиг. 164) будет ось Еращения некоторого твёрдого
тела, к которому в точке А приложена сила Р, образующая с на
правлением оси некоторый угол
а. Если этот угол равен нулю,
т. е. сила параллельна оси вра
щения, то вращательное дей
ствие её будет равняться нулю,
так как она будет стремиться
лишь передвигать тело вдоль
оси вращения O z. Если же этот
угол будет равняться 90°, т. е.
данная сила будет перпендику
лярна оси вращения, то мы
получаем случай, уже рассмо
Фиг. 164.
тренный нами при определении
момента силы вокруг непо
движной точки в плоскости. В общем случае мы можем поступить
так: через точку А проведём плоскость /, перпендикулярную оси
вращения Oz, и прямую A z , параллельную оси Oz; затем, через
A z и вектор, изображающий силу Р , проведём плоскость, ко
торая пересечёт плоскость I по некоторой прямой АК \ наконец
раскладываем силу Р на две со^Щвляющих: Р' и Р 0, из которых
вращательное действие силы Р ' будет равно нулю, а вращательное
действие силы Р 0, лежащей в плоскости /, будет измеряться произ
ведением силы Р 0 = P s in a на длину перпендикуляра, опущенного из
центра О на линию действия А К силы Р 0, или, что то же, удвоенной
площадью треугольника О АР0. Таким образом, момент силы Р о т 
носительно оси Oz определит ся ка к момент проекции Р 0 э т о й
силы на плоскость, перпендикулярную оси, взятый относительно
точки О пересечения этой плоскости с осью вращ ения. Абсолют
ная величина этого момента будет равна произведению проекции Р 0
11 *
164
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
[гл. 13
оси
силы на длину перпендикуляра, опущенного из О на линию А К дей
ствия силы Р 0; что касается знака, то он определится из таких
соображений. Условимся на оси вращения Oz взять некоторое поло
жительноенаправление (от О к z) и поставим наблюдателя на пло
скость / так, чтобы голова его находилась по направлению положи
тельной оси Oz; тогда те моменты, которые для этого наблюдателя
будут представляться вращающими в положительном направлении,
будем считать положительными и наоборот.
Пример 54. Сбегающий конец ремня, действующий на окруж
ность шкива диаметра 0,4 м с усилием 40 кг, отклонён от средней
плоскости последнего на угол 30°.
Определить момент
силы натяжения
ремня относительно оси вала (фиг. 165).
Пусть х х будет ось вращения вала,
Р = 4 0 кг — сила натяжения сбегающего
ремня. Чтобы найти момент этой силы
относительно оси х х , мы должны спроек
тировать эту силу на плоскость, перпенди
кулярную оси вала; эта проекция будет
равна:
P c o s 30° = 40 • -К-Д
40 • ^
— 35 №2.
Фиг. 165.
Так как ремень сбегает с вала по касательной к шкиву, то плечо
момента силы Р относительно оси вала будет равно радиусу шкива
Г = 0,2 м. Таки;я образом, искомый момент будет равен:
P r cos 30° = 35 • 0,2 = 7 кг.
Если на вал действует несколько сил, то сумма моментов этих
сил относительно оси вала будет называться вращающим моментом.
§ 62. Р авновесие твёрдого тела с двумя неподвижными точ
кам и. Если в твёрдом теле закреплены две точки, то за этим телом
ещё остаётся возможность движения: оно можег вращаться вокруг
оси, проходящей через эти точки.^Шля того чтобы силы, действую
щие на это тело, находились в равновесии, необходимо, чтобы вра
щающий момент всех сил относительно оси равнялся нулю.
Пример 55. Ворот состоит из барабана с диаметром d = 10 см
и колеса Е с диаметром D = 60 см, вращающихся на общей гори
зонтальной оси А В , На барабан намотана верёвка, подымающая
груз Р = 40 кг. Какую горизонтальную силу Q нужно приложить
к окружности колеса Е , чгобы удержать этот груз в равновесии?
Каковы при эгом будут реакции в подшипниках А к В , если
А В = 1 = 100 см, А Е — а = 50 см и A F = b = 20 см ? (фиг. 166, а).
§ 62]
РАВНОВЕСИЕ ТЕЛА С ДВУМЯ НЕПОДВИЖНЫМИ ТОЧКАМИ
165
Для определения величины силы Q возьмём сумму моментов всех
сил относительно оси ворота; будем иметь
^
D
_ d
(а)
откуда
« = ^ = - 4 0 .g = e
Что касается опорных реакций подшипников, направления кото
рых нам неизвестны, то разложим их по вертикальному и горизон
тальному направлениям: пусть Х А, УА и Х £9 Ув будут соответ
ственно составляющие обеих опорных реакций. Приложим в точке Б
две горизонтальные силы Q' и Qn 9 равные Q, а в точке F две вер
тикальные силы Р и Р " , равные Р; тогда силы Q и Qn9 а также Р
и Р " образуют две пары, представляющие соответственно вращаю
щие моменты сил Q и Р; как нетрудно видеть, эти вращающие мо
менты взаимно уравновешиваются [уравнение (а)], и мы их можем
отбросить. Что касается сил Q' и Р 9 то их можно рассматривать
как силы Р и Q, перенесённые на ось вала; эти силы вместе с со
ставляющими реакций Х А, УА, Х В9 Ув образуют две системы парал
лельных сил, из которых одна (фиг. 166, Ь) лежит в вертикальной,
а другая (фиг. 166, с) в горизонтальной плоскостях; каждая из этих
систем в отдельности должна находиться в равновесии. Составляя
уравнения равновесия для каждой из этих систем в отдельности,
находим:
Система b £ К = 0, у А -\-У В = Р 9
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
166
оси
Система с ^ Х = 0 ,
Х А -f - Х в -f- Q = О,
% м А = о,
q - a e + x b - a b = o,
[гл. 13
откуда
Обе реакций будут направлены в стороны, противоположные пока
занным на чертеже (вле.во). Абсолютные величины реакций в точ
ках А и В будут:
КА
= V Ч + п = ] / А(3 {-)* + 324 = 32>17
r b= y
х '1в Л - у в — " У 8 2 + (з 4 ") — 8 >7 5 к г •
В, рассмотренной задаче все внешние силы были перпендикулярны
оси вала; поэтому боковые давления, направленные по оси вала,
отсутствовали. Если это не имеет места,
■----1
то считают, что составляющие по оси вала
внешних приложенных сил воспринимаются
целиком какой-нибудь одной „опорой (строго
говоря, они как-то распределяются между
обеими опорами). Ошибка, которую мы при
этом делаем, будет, как говорят, «в сторону
О
безопасности» — рассчитанные в таком пред
положении давления на опоры будут больше,
чем в действительности.
«А
Пример 56. Вертикальная дверь, высота
которой равна 4 м, а ширина 2 м, имеет
вес Я = 4 0 кг и закреплена в точках А и
/>, расстояние между^ которыми равно 3,6 м.
Фиг. 167.
Определить опорные давления в А и В ,
предполагая, что вес двери целиком воспринимается нижней опорой А (фиг. 167).
Сила веса Р приложена в центре тяжестиС прямоугольника
на
расстоянии а = 1 м , от оси А В вращениядвери. Приложим в ка
кой-нибудь точке О на оси двери две'силы Р' и Я ", равные Я, из
которых сила Р' передаётся целиком на опору А , а сила Я" вместе
с Р образует пару, момент’ которой должен уравновеситься парой,
образуемой горизонтальными, реакциями Х а = Х ц обоих подшипни
ков. Сравнивая моменты этих пар, мы будем иметь:
Р • а = Х А •АВ,
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ СИЛЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
р ,а
откуда
167
40<1
^ = Л 5 = = ' а д “ = 1 1 ’1 кгОпорная реакция в точке В будет /?В= И (1 кг (влево), а в точке А'.
Ra =
V Х% +Р> =
У 40* + ТТТ* = 41,66 кг.
Если мы будем рассчитывать петли двери в предположении, что на
каждую из них передаётся давление около 42 к г, то мы, конечно,
не сделаем наши крепления недостаточно прочными.
В общем случае всякую силу, действующую на твёрдое тело с
неподвижной осью, мы можем разложить на две составляющих:
одну — перпендикулярную к плоскости, проходящей через ось и точку
приложения этой силы, и другую, лежащую в этой плоскости;
первая составляющая даст некоторый вращающий момент около оси
и может быть уравновешена какой-нибудь внешней силой, дающей
около оси вращения моменты противоположного знака; что касается
составляющей, лежащей в плоскости оси, то она уравновешивается
опорными реакциями; разбивая её, в свою очередь, на две состав
ляющих, мы можем уравновесить её по образцу примеров 5 5 (со
ставляющая, перпендикулярная оси) и 56 (составляющая, параллель
ная оси).
§ 63. П араллельны е силы в п ространстве. Пусть на некото
рое тело действует система параллельных сил, линии действия кото
рых не лежат в одной плоскости. Возьмём координатные оси так,
чтобы ось z была параллельна общему направлению этих сил; тогда
линия действия каждой из них будет определена координатами х ь
и y t точки своего пересечения с плоскостью О ху, Таким образом,
при аналитическом задании каждая сила определится своей величи
ной Z L, которая может быть положительной или отрицательной в за
висимости от того, будет ли направление данной силы совпадать
с направлением оси z или же будет противоположным последнему,
а также координатами x h y t точки пересечения линии действия
с плоскостью О ху. Складывая постепенно по две силы, получим,
что равнодействующая R будет равняться алгебраической сумме всех
сил Z L\
/ ? = v z i = Z I + Z , + Z8 + . . . ( a ) .
Эта равнодействующая всегда существует, если только сумма
всех сил Z t не будет равна нулю. Если это имеет место (R =£ 0),
то мы можем определить линию действия равнодействующей, т. е.
координаты х у у точки пересечения линии её действия с плоскостью
О х у по теореме Вариньона, взяв моменты равнодействующей и её
составляющих относительно координатных осей. Сравнивая соответ
ствующие выражения, будем иметь:
R *х =
R -у —
-\-Z%x% -j- Z3^ 3
-J- Ziy i -{- Z3;-a-f-. . .
168
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
оси
[гл. 13
Из этих равенств определяются координаты х , у точки пересечения
линии действия равнодействующей с плоскостью О ху\ они будут;
x —
ZxXi-^-Z2x 2-\-. . .
Zt + Z s + . . .
2 Z tXi
% Zl ’
^
Z xy x + Z 2y 2 + • • •
]tlZ;yi
A + z t + ... — Z z t •
Если сумма в правой части равенства (а) равна нулю, то нашу
систему сил можно разделить на две, в зависимости от направления
сил в положительную или в отрицательную сторону оси. Равнодей
ствующие всех сил каждой системы будут равны между собой; если
линии их действия не совпадают, то они образуют пару сил; если
же обе силы имеют общую линию действия, то они взаимно урав
новешиваются. Образуем суммы моментов всех сил относительно
координатных осей О х и Оу. Если эти выражения равны нулю, то
данная система параллельных сил будет находиться в равновесии.
Таким образом условия равновесия системы параллельных сил
в пространстве выразятся тремя уравнениями:
2 ^ = 0;
2М
= 0;
2№
= 0,
т. е. алгебраическая сумма всех сил и суммы и х моментов относителъно осей Y и X должны быть равны н у лю .
Пример 57. На столе, имеющем форму правильного треугольника
со стороной 2 м, лежит груз Р = 20 кг на расстояниях 0,5 м от
сторон А В и ВС . Найти давления в ножках А } В } С, получающиеся
от действия груза (фиг. 168).
Стол находится в равновесии под действием груза Р и трёх
спорных реакций ножек: N a 9 N b * N c • Приравняв нулю сумму всех
сил, получим:
N a -f* N b
N c = Р — 20.
§
64]
ОПЫТНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ
169
Взяв момент относительно А В , найдём:
откуда
N c -O C = P . 0,5,
А7
20-0,5
с
~у££~ = ’
кг•
Далее, взяв моменты относительно ВС, будем иметь:
откуда
N a - 1 /3 = Р .0 , 5 ,
N a = N c = 5,75 кг.
После этого третья реакция N b найдётся по формуле
N b = P — 2N a = 20 -
11,5 = 8,5 кг.
I-*---- Q------
§ 64. Опытное определение положения центра тяжести. Если
мы имеем твёрдое тело неоднородное или совершенно неправильной
формы, то центр тяжести его приходится определять опытным, путём.
Если это тело представляет плоскую пла
стинку небольших размеров, то центр тяже Щ/
сти можно получить, подвешивая пластинку
поочерёдно за две точки и находя пересече a
L
ние двух прямых — следов на плоскости 1
^0
^
\х
пластинки двух вертикалей, проходящих че
у
рез точку привеса. Приходится, однако,
прибегать и к другим способам, при
/
менение которых мы иллюстрируем на за ъ
дачах.
Пример 58. Для определения центра тя
жести пластинки её подвесили горизонтально
за три точки А , В , С и нашли натяжения
каждой из вертикальных нитей ТА, Тв , Тс
(фиг. 169). Определить координаты цент
ра тяжести относительно осей, совпадаюФиг. 169.
щих с прямыми А В и ОС, если расстояния ОА = а, ОВ = Ь, ОС = с.
Мы имеем твёрдое тело с тремя точками опоры — случай, разо
бранный нами выше.
Примем направления: О В за ось О х, ОС за ось Оу, перпенди
куляр в О к плоскости A B C за ось Oz; тогда M L = x и М К = у
будут искомые координаты центра тяжести М.
Составляем уравнение проекций на ось Oz; находим величину
веса Р пластинки:
(а)
Р = т А + тв + т(с-
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
170
Момент относитетьно
оси
оси О х даст нам координату у
р . у = Т с . С,
тяжести:
откуда
[гл. 13
центра
(Ъ)
Тс е
1 А - Г1 Т .в +' Т „С
Наконец, момент относительно оси Оу позволит нам найти коор
динату х = M L. Замечая, что моменФ натяжения Т а будет иметь
знак, противоположный знаку момента T R и одинаковый со знаком
момента, приложенного в М веса Р, получим:
а -\- Р • х = Т В • Ь,
откуда
х =
(С)
Тв -Ь — ТА • а
ТА + Т В+ Т с
На практике удобнее всего иметь а = 0 и точку А совпадающей
с началом координат О.
Пример 59. Для определения координат центра тяжести твёр
дого тела его прикрепили к прямоугольной раме О АВ и нашли
давления в опорных точках О,
А , В , когда рама подвешена
горизонтально — Р 0, Р А< Р в.
Затем раму повернули вокруг
Фиг. 170.
горизонтальной оси ОА на угол а и измерили давление P ’Q в опор
ной точке В (фиг. 170). Определить координаты центра тяжести
относительно прямоугольных координатных осей О х , О у, O z, если
оси О х и Оу соответственно совпадают с ОА и ОВ (О А — а,
ОВ = Ь).
На фиг. 170, а изображено положение тела, когда рама О ху го
ризонтальна. Составляя проекции на ось Oz и моменты около осей
О х и О у, получаем вес тела Р и координаты х и у центра тя
жести А/, а именно:
Р А-а
Рв -Ь
§ 65]
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЛА НА ПЛОСКОСТИ
171
Повернув теперь (фиг. 170, Ь) нашу систему вокруг оси О х , предполагаемой перпендикулярной плоскости чертежа, и взяв момент
относительно этой оси, будем иметь:
Р'в • ОВ cos а = Р * CWt .
Но
O N x = К М cos а — M N sin а — у cos а — z sin а.
В таком случае:
Р в • Ъ cos а — Р ( у cos а — z sin а)
и координата z найдётся по формуле
(Ру — Р'в'Ь)соь*
г=
РШГа
Рв *
=_У c tg а
р - Ъ c tg а.
§ 65. У стойчивость тела на плоскости. Начнём с рассмотре
ния конкретной задачи.
Пример 60. Автомобиль весом 2 т , центр тяжести которого
лежит посредине расстояния между осями, тянет прицепленную те
лежку с силой Р = 2 0 0 кг,
причём высота
крюка
д
над поверхностью земли
равна 1 м. Определить
давления колёс автомо
биля в точках А и В
(фиг. 171).
Если бы сила Р от
сутствовала, то давления
колёс автомобиля были
бы одинаковы и равня
лись каждое по 500 кг.
Фиг. 171.
Посмотрим, какие изме
нения внесёт приложенная сила Р. Обозначим через /?д и R b полное
давление на каждую ось (равное сумме давлений на оба колеса; да
вление на каждое колесо мы, очевидно, можем принять равным по
ловине давления на соответствующую ось). Взяв сумму проекций
всех давлений на вертикаль, получим:
Я д + Я в = 2 ° 00.
Составим сумму моментов относительно оси А:
Q . \ = R B .'2 + P . 1,
откуда
Я в = 900 кг,
и, наконец,
R a = 1 Ю0 кг.
172
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
оси
[гл. 13
Таким образом, давления на колёса передней оси будут всего лишь
по 450 к г , а на колёса задней оси по 550 кг; приложенная сила
тяги заставила давление переместиться назад. Если бы сила тяги
была ещё больше, то различие между давлениями на задние и пе
редние колёса оказалось бы ещё значительнее. При дальнейшем уве
личении силы тяги Р мы дошли бы до такого положения, когда
давление на переднюю ось оказалось бы равным нулю; в случае
автомобиля это действительно иногда имеет место: автомобиль, как
говорят, «подпрыгивает», т. е. передние колёса отделяются от земли.
Это, очевидно, бывает тогда, когда момент относительно оси А силы
веса Q будет равняться моменту силы Р. Это «подпрыгивание» пред
ставляет неприятное явление; если бы сила Р оказалась бы ещё
большей, то давление на переднюю ось стало бы отрицательным —
автомобиль стал бы опрокидываться, вращаясь вокруг оси А .
Момент силы тяги Р относительно оси вращения при опрокиды
вании (в нашем случае относительно оси А) носит название опро
кидывающего момента; момент силы веса Q относительно той же
оси называется восстанавливающим моментом или моментом
устойчивости относительно этой
оси; его абсолютная величина
равна произведению веса Qтелана расстояние от оси опрокидыва
ния до вертикали, проведённой через центр тяжести.
Для устойчивости тела должны соблюдаться условия, чтобы опро
кидывающий момент М (Р) был меньше момента устойчивости М (Q).
Отношение
м (П\
<з9>
носит название коэффициента устойчивости. Он всегда должен
быть больше единицы; в только что рассмотренном примере он
равен
2 С0 0 -1
,л
т
200-1
#
§ 6 6 . Три вида равн овеси я. Представим себе диск, подвешен
ный за одну свою точку А (фиг. 172). Он будет в равновесии, если
центр тяжести, совпадающий
с
центром О диска, будет нахо
диться на одной вертикали с точ
кой подвеса А; в этом случае
вес диска уравновесится реакцией
точки опоры А , Могут предста
виться следующие три случая:
точка опоры
находится ниже
фиг- П 2 .
центра тяжести О диска (левый
чертёжД точка опоры находится
выше центра тяжести (правый чертёж) и, наконец, точка опоры
совпадает с центром тяжести. В первом случае равновесие является
§ 66]
ТРИ ВИДА РАВНОВЕСИЯ
173
теоретически возможным, но практически может быть осуществимо
только на недолгое время; это есть случай так называемого не
устойчивого равновесия.
Во втором случае равновесие осуществляется само собой после
нескольких колебаний диска, и остановившийся диск будет оставаться
в этом положении продолжительное время; мы имеем практически
наиболее важный случай так называемого устойчивого равновесия.
Разница между этими двумя случаями равновесия заключается в сле
дующем :
Равновесие называется устойчивым, если при небольш их от
к л о н ен и я х от полож ения равновесия, вызываемых внешними слу
чайными причинами, тело по уст ранении последних само со
бой стремится вернуться в первоначальное положение равно
весия.
Равновесие называется неустойчивым, если при небольш их от
к л о н е н и я х от полож ения равновесия тело не только не возвра
щается в это полож ение, но, наоборот, стремится всё больше
и больше отклонит ься от этого положения.
Наконец, третий случай, когда центр тяжести О диска и точка
привеса А совпадают, характеризует так называемое безразличное
равновесие: тело остаётся в равновесии в любом полож ении, и
при выведении его из данного полож ения равновесия оно не стре
м ит ся в него возвратиться.
Описанный опыт как будто позволяет думать, что устойчивое,
неустойчивое и безразличное равновесия всецело зависят от положе
ния центра тяжести ниже точки подвеса, выше её или в самой точке;
однако такре объяснение неправильно.
Для установления правильного объяснения явления обратим вни
мание на то обстоятельство, что под действием силы тяжести центр
тяжести тела (или целой системы соединённых тел) стремится за
нять наинизшее положение. Таким образом, равновесие будет устой
чивым, если при небольших отклонениях от положения равновесия
центр тяжести будет подыматься; равновесие будет неустойчивым,
если при выводе тела из положения равновесия центр тяжести будет
опускаться, и, наконец, равновесие будет безразличным, если при
небольших отклонениях от положения равновесия высота центра
тяжести будет оставаться неизменной. Нетрудно проверить, что это
правило в полной мере оправдывается для уже разобранного нами
примера с подвешенным диском.
Разберём ещё три примера. Начнём с хорошо всем знакомой
игрушки «Ванька-встанька». Никто не станет отрицать того, что
«Ванька-встанька» при равновесии находится в положении устойчи
вого равновесия, хотя его центр тяжести находится, конечно, выше
точки опоры при любом положении тела.
Представим себе шарик с центром А (фиг. 173). Будучи поло
жен на какую-нибудь поверхность, он останется в равновесии, если
174
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
оси
[гл. 13
его центр будет на одной вертикали с точкой опоры. Поместим
шарик в вогнутой чашке — он займёт в ней самое низкое положе
ние. Если мы толкнём его, то он откатится в сторону, но сейчас
же снова вернётся в исходное положение. Равновесие в этом случае
будет устойчивым, хотя центр тяжести тела находится выше точки
опоры. Если мы поместим шарик на выпуклую поверхность, то он
может находиться в равновесии лишь в самой высокой точке её;
равновесие это будет неустойчивым. Наконец, тот же шарик, нахо
дясь на горизонтальной плоскости, будет оставаться в равновесии
в любом положении; равновесие будет безразличное. Отметим, что
во всех этих случаях центр тяжести находится всегда выше точки
опоры.
Приведём пример неустойчивого равновесия при положении центра
тяжести ниже точки опоры. Во многих учебниках разбирается за
дача, каким образом поставить конус на остриё. Для этого предла
гают пропустить через конус согнутую под прямым углом прово
локу A B C D (фиг. 174), в концах А и D которой прикреплены два
достаточно тяжёлых груза. Если трение между проволокой и кону
сом достаточно велико и не даёт возможности проволоке повора
чиваться, то равновесие будет устойчивым. Часто причину этого
видят в том, что центр тяжести находится ниже точки опоры. Это
объяснение неправильно, так как если настолько уменьшить трение
между проволокой и конусом, что проволока будет в нём сво
бодно поворачиваться, или если грузики подвесить к горизонталь
ной проволоке В С на шнурах, то равновесие будет неустойчи
вым, хотя центр тяжести попрежнему будет находиться ниже точки
опоры.
175
ТРИ ВИДА РАВНОВЕСИЯ
Те же самые рассуждения останутся справедливыми, если тело
будет иметь две точки опоры, т. е. будет в состоянии вращаться
вокруг оси, проходящей через эти точки; тогда придётся только
вместо «центр вращения» говорить «ось вращения».
ЗАДАЧИ.
63.
На шпинделе токарного станка сидит ступенчатый шкив с диамет
рами. Z)j = 200 мм, D2= 160 мм, D3— 120 мм. Определить вращающие
моменты вокруг оси шпинделя, даваемые окружным усилием Р = 40 кг
приводного ремня, действующим по очереди на каж дvjo ступень шкива.
О т в е т : 400 лгг/сж;, 320 кг/см; 240 кг/см.
Ф иг. 176.
64. Действуя на рукоятку Аа = 40 см силой Р, поднимают при помощи
ворота груз Q = 80 кг. Определить величину силы Р, необходимой для рав
номерного поднятия груза и дазления на опоры А и В при горизонтальном
положении рукоятки, если диаметр барабана во
/7
рота d = 10 сму а канат находится как раз по
средине барабана АВ — 1№ см (фиг. 175).
О т в е т : Р — 10 кг, Х А = Х в = — 40 кг,
Y А = 10 кг, Ув — 0.
65. На платформе трёхколёсной тележки в точ
ке С лежит груз Р = 100 кг на расстояниях CF —
= 0,4 м и CD — 0,25 м. Найти давление на ка
ждое колесо, если А В — 4 м, А О = ОВ — 0,5 м и
ОЕ — 2 м (фиг. 176)..
О т в е т : NA — 3,75 кг,
NB — 83,75
кг,
Ne = 12,5 кг.
66. Будет ли устойчива стена высотой 5 ж,
представляющая
сечении прямоугольник шири-Z7~L_~_JTZLTZ:
ной 0,6 ж и построенная из материала, кз^биче- т — --------------- --------- —
ский метр которого весит 2,5 т, если на неё дей
ствует боковое давление ветра, равное 125 лг/ж
С^’ИГ- *77.
и приложенное посредине её высоты (предпола
гается, что стена подземной части не имеет). Коэффициент устойчивости 1,1.
Указание. Расчёт ведется на погонный метр длины.
О т в е т : Опрокидывающий момент силы ветра равен 1 562,5 кгм, вос
станавливающий момент веса стены 2 250 кгм. Устойчивость обеспечена.
т
МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО
оси
[гл. 13
67.
Определить наименьшую высоту АС = h конуса с радиусом осно
вания BC — R , составляющего одно твёрдое тело с полушаром того же
радиуса R , сделанным из того же материала, если полученное таким обра
зом тело будет находиться в положении устойчивого равновесия (теория
«Ваньки-встаньки») (фиг. 177).
- Указание. Наименьшая высота конуса определяется из условия, что
общий центр тяжести фигуры должен в случае безразличного равновесия
совпадать с центром шара С. Считая ОА горизонтальной и полагая веса
конуса и полушара равными их объёму, взять сумму моментов относи
тельно С. Чтобы центр тяжести находился в С, момент относительно С
веса конуса должен уравновешиваться моментом веса полушара.
О т в е т : h ^ /? ]/ &
ОТДЕЛ ТРЕТИЙ.
СИЛЫ В ДВИЖЕНИИ.
Г Л А В А 14.
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА.
§ 67. Введение. Мы знаем, что если подействовать с некоторой
силой на свободное покоящееся тело, то последнее придёт в дви
жение. Какого же рода будет это
движение? — вот вопрос,
интересовавший в давно прошедшие времена древнегреческих учёных
и в том числе творца науки механики Аристотеля. Почти две ты
сячи лет взгляды Аристотеля были общепризнанными в науке, и
только лет триста тому назад великие учёные итальянец Галилей и
англичанин Ньютон первые в полной мере доказали неправильность
его взглядов. Остановимся несколько подробнее на взглядах Ари
стотеля, потому что и в данный момент многие всё же бессозна
тельно их придерживаются.
Устанавливая свою теорию, Аристотель исходил из следующего
наблюдения. Он замечал, что для передвижения какого-нибудь тяжё
лого тела (например, повозки) нужно приложить к нему определён
ную силу, в нашем примере — запрячь лошадь. Когда последняя
повезёт телегу, то и скорость телеги и сила тяги лошади во время
движения будут оставаться при движении по горизонтальной поверх
ности почти постоянными. Отсюда вполне естественно получается
вывод, что постоянная сила, приложенная к телу, сообщает ему
равномерное движение по направлению этой силы. Если нужно уве
личить скорость передвижения тела, то нужно приложить к нему
и большую силу; в примере с повозкой, если мы хотим получить
двойную скорость, то вместо одной лошади надо впрячь две. От
сюда столь же естественно получается допущение, что величина
скорости, сообщаемой телу данной силой, пропорциональна величине
этой силы: если сила увеличится в определённое число раз, то и
скорость увеличится во столько же раз. Поэтому Аристотель пола
гал, что состояние покоя есть естественное состояние вещества и что
все тела, будучи выведены из этого состояния какой-нибудь силой,
по прекращении действия её стремятся прекратить своё дви
жение. Такое стремление всех тел к покою древние называли инер
цией (косностью) тела. Изложенная теория очень проста и на пер
вый взгляд как будто совершенно точно объясняет наблюдающееся
12
Зак. 667.
И. Н . Веселовский
178
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[гл. 14
в действительности. Однако, при более глубоком исследовании не
правильность этой теории легко обнаруживается.
Нужно сказать, что и от древних механиков не укрылись неко
торые затруднения, возникающие при пользовании этой теорией. Мы
знаем, что после прекращения действия силы тело останавливается
не сразу; мало того, в отдельных случаях после прекращения дей
ствия силы тело может пройти довольно значительное расстояние.
Этот последний случай (движение стрелы, выпущенной из лука)
в особенности доставлял много затруднений древним механикам.
С одной стороны, для непрерывного движения стрелы требуется, как
они думали, постоянно действующая приложенная к стреле сила,
а с другой стороны, казалось нелепостью искать источник этой
действующей во время движения силы в непосредственном действии
тетивы лука. И древние и современные з^чёные сходятся в том, что
тело не может действовать там, где его нет, т. е. где нет непосред
ственного соприкосновения источника силы с движущимся телом.
Древние считали поэтому, что в момент спуска стрелы тетива лука
производит в окружающем воздухе непрерывно продолжающееся
изменение (волнение), в результате которого и получается нужная
для движения сила; стрела как бы несётся охватывающим её возду
хом, сжатым в момент спуска тетивы.
Такого рода объяснение в корне неправильно; однако настоящее
представление о законах действия силы на движущееся тело было вы
работано значительно позднее. Новая механика ведёт своё начало с того
момента, как Галилей обратился к опытному исследованию падения тел.
§ 6 8 . Падение тел. Для изучения законов свободного падения
тел необходимо уметь непосредственно определять пройденный путь.
Однако, непосредственное определение пройденных путей при свободнОхМ падении в те времена (около 1600 года) представляло большие
затруднения, так как за движением трудно сле
дить; поэтому Галилей воспользовался тем, что
при движении тела по наклонной плоскости
принимает участие не полный вес движущегося
тела Р, а лишь часть его Р ' = P sin а, что не
трудно доказать, разлагая силу веса по на
клонной плоскости и перпендикулярно к ней
Фиг. 178.
(фиг. 178). Выбирая угол а достаточно малым, мы
можем значительно уменьшить скорость движе
ния тела и тем самым получить возможность измерить пройденный путь
для различных моментов времени. Проделав соответствующий опыт,
Галилей нашёл, что в движении тела по наклонной плоскости пройден
ные пути возрастают пропорционально квадратам протекшего времени.
Обозначив коэффициент пропорциональности через а, мы можем
написать закон движения в виде:
5 = аР .
§ 69]
ПЕРВЫЙ ЗАКОН НЫОГОНА
179
Сравнивая это выражение с разобранным нами в § 23, мы видим,
что рассмотренное движение является равноускоренным. Ускорение
свободного падения равняется 9,81 м/сек 2 и обозначается буквой g.
Изучая падение тел, Галилей пришёл к выводу: если сила равна
нулю, то и ускорение равно нулю, так что при отсутствии прило
женной силы тело должно двигаться без
ускорения, иными словами, равномерно.
Таким образом выходит, что отсутствие
силы, вообще говоря, не исключает дви
жения, но движение без действия силы бу
дет движением равномерным. Галилей при
шёл к этому, изучая движение тела по
наклонным плоскостям, образующим раз
личные углы с горизонтом. Он убедился,
что получающаяся скорость зависит лишь от разности высот первона
чального и конечного положений. Это значит, что если тело скаты
вается по плоскостям ОА, ОВ, ОС, OD (фиг. 179), то в точках А, В ,
С, D получаются одинаковые скорости движения, время же движения
возрастает вместе с длиной наклонной плоскости. Убедиться в этом
нетрудно: рассмотрим, например, плоскость ОВ, образующую с гори
зонтом угол а. Длина этой плоскости будет
h
s in а 5
а величина ускорения w = ^ s i n а. Чтобы вычислить скорость в точке В,
воспользуемся формулой г г = ] / 2 ws; подставляя w = g sin а и
^
___
5 = ^ — , получим v — \ r 2gh независимо от наклона плоскости. Так
как время движения возрастает вместе с длиной наклонной плоскости,
то при бесконечном увеличении длины плоскости (приближение её
к горизонтальному положению) движение по такой плоскости про
должалось бы вечно с постоянной скоростью v.
§ 69. Первый закон Ньютона. Ньютон дал этому закону более
общую формулировку в своей первой аксиоме (закон инерции), кото
рая читается так:
Всякое тело стремится сохранят ь своё состояние покоя или
равномерного и прямолинейного движения до т ех пор, пока при
ложенные к нему силы не заставят его изменить своё состояние.
Этот закон известен под названием закона инерции. Под инер
цией мы подразумеваем свойство материи сохранять своё состояние
прямолинейного и равномерного движения (в частном случае, покоя),
или, короче, сохранять свою скорость, так как покой можно рас
сматривать как движение с нулевой скоростью. Не нужно считать
инерцию силой: сила есть то, что сообщает телу ускорение и таким
образом меняет скорость последнего, а инерция, наоборот, то, что
сохраняет скорость. На это нужно обратить особое внимание, так
12*
180
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[гл. 14
как иногда приходится слышать, что тело, движущееся по инерции
равномерно и прямолинейно, называют телом, движущимся под дей
ствием силы инерции.
Если, например, мы обратим внимание на камень, брошенный под
углом к горизонту, то на вопрос, какие силы действуют на этот
камень, часто отвечают: «сила тяжести, заставляющая его падать
вниз, и сила инерции, сообщающая ему прямолинейное и равномерное
движение по направлению начальной скорости».
Мы нарочно подробнее развили вторую половину ответа, чтобы
обнаружить всю его неправильность.
Из закона Ньютона получаются следующие важные следствия:
1. Под инерцией тела нужно подразумевать способность тела
сохранять не только своё состояние покоя, но и скорость своего
прямолинейного и равномерного движения. Для того чтобы привести
какое-нибудь тело в движение или остановить уже движущееся тело,
необходимо и в том и в другом случае приложить определённую
силу.
2 . Прямолинейное равномерное движение может происходить и без
действия внешних сил или тогда, когда эти приложенные силы взаимно
уравновешиваются; его поэтому называют движением по инерции.
3. Действие силы на тело проявляется в изменении величины его
скорости или направления его движения. С этой точки зрения оста
новка движущегося тела происходит только под действием некоторой
силы. Если катящийся по горизонтальной плоскости шар остана
вливается, то это происходит не потому, что он стремится возвратиться
к состоянию покоя, а потому, что движение тела в действительности
всегда происходит по горизонтальной плоскости, имеющей неровности
(трение), преодоление которых вызывает замедление движения, а потом
и полное прекращение его.
При отсутствии силы трения или вообще сопротивления раз начав
шееся движение продолжалось бы вечно.
Следует, однако, признать, что при ближайшем рассмотрении
вопроса первый закон Ньютона представляет большие трудности для
своего понимания. Вполне естественно поставить следующий вопрос:
«так как всякое движение относительно, то по отношению к какой же
системе отсчёта тело по инерции движется равномерно и прямо
линейно?»
В самом деле, представим себе тело, движущееся равномерно
и прямолинейно хотя бы относительно поверхности земли. Пусть
в своём движении тело проходит над диском, вращающимся с по
стоянной угловой скоростью. Если предположить, что эта последняя
такова, что за то время, когда тело пройдёт диаметр диска, послед
ний сделает полоборота, то в момент, когда наше тело сойдёт с диска,
под ним будет та же точка диска, которая находилась под телом
в момент вступления его на диск (предполагаем, что прямолинейная
траектория тела проходит через центр диска). Иными словами, наше
§
70]
ВТОРОЙ ЗАКОН НЬЮТОНА
181
тело относительно диска опишет некоторую проходящую через центр
диска замкнутую кривую, хотя относительно земли оно и двигалось
по инерции, т. е. без действия сил.
Ньютон за искомую систему отсчёта принимал абсолютно непо
движное пространство или тело, которое относительно неподвижного
пространства движется прямолинейно и равномерно (по инерции).
Таким образом, мы можем принимать законы Ньютона лишь в том
случае, когда установим, какое тело является абсолютно неподвижным.
Отыскание тел, которые находятся в абсолютном покое, проходит
красной нитью через всю историю естествознания. До Коперника
таким телом считалась Земля; после падения средневековой системы
астрономии за абсолютно неподвижное тело одно время считали
Солнце. Но в конце XVIII века было установлено, что и Солнце тоже
не остаётся неподвижным: оно со всей системой планет перемещается
относительно неподвижных звёзд, двигаясь по направлению к созвез
дию Геркулеса. В первой половине XIX века в связи с успехами
звёздной астрономии было установлено, что и считаемые неподвиж
ными звёзды также движутся. Во второй половине XIX века в каче
стве находящейся в абсолютном покое системы отсчёта был пред
ложен эфир; однако послуживший к созданию теории относительности
опыт Майкельсона показал, что мы не имеем никакой возможности
наблюдать движение по отношению к эфиру.
Но если мы не имеем возможности указать тело, которое является
абсолютно неподвижным, мы можем указать ряд тел, которые с до
статочной степенью точности можно считать неподвижными.
Для инженера в громадном большинстве практических задач за
абсолютно неподвижную систему отсчёта вполне достаточно считать
поверхность земли; лишь в очень небольшом числе задач (маятник
Фуко, гироскопический компас и некоторые другие) приходится при
нимать в расчёт суточное вращение Земли вокруг своей оси, и пока
ещё нет ни одной задачи, где пришлось бы принимать во внимание
обращение Земли вокруг Солнца. Мы говорим «пока ещё», потому
что со временем практическое осуществление межпланетных сообще
ний, конечно, заставит инженеров принять в соображение и эти
обстоятельства, но и тогда всё же вряд ли придётся пользоваться
какой-нибудь другой механикой, кроме ньютоновской. К вопросу об
определении той степени точности, которая получается, если мы будем
считать неподвижной ту или другую систему отсчёта, мы ещё вер
нёмся впоследствии, когда будем говорить о динамике относитель
ного движения.
§ 70. Второй закон Ньютона. После того как было установлено,
что равномерное и прямолинейное движение по инерции происходит
без действия сил, необходимо установить, какое же движение будет
происходить под действием силы постоянной величины, действующей
на тело всё время. Примером такой постоянной силы может служить
в первом приближении вес данного тела, зависящий только от коли
182
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[гл. 14
чества вещества в данном теле — от его массы 3). Поэтому Галилей,
поставивший впервые этот вопрос, и предпринял изучение свобод
ного паления тел. Он установил, что действие силы на тело про
является в сообщении ему ускорения. Если действующая на тело
сила по своей величине постоянна, то будет постоянным и сообщае
мое телу этой силой ускорение, в результате которого начинает
возрастать скорость движения тела по закону равноускоренного
движения:
v — w t%
где v — скорость, w — ускорение, t — время действия силы. Послед
няя формула имеет место в том случае, если тело, к которому при
ложена сила, находилось в покое
в момент начала действия этой силы.
Ньютон формулировал закон Га
лилея так (второй закон Ньютона):
Ускорение w , сообщаемое данному
т елу какой-нибудь силой, прям о
пропорционально величине этой си
лы и имеет направление этой по
следнейо
Таким образом, для заданного
тела величина
ускорения будет
прямо пропорциональна величине
действующей силы, причём тело под
Фиг. 180.
действием этой силы из состояния
покоя будет совершать равноускоренное движение по направлению
этой силы.
Разберём случай, когда сила действует на тело, уже находив
шееся вдвижении. Примером может служить случай, когда тело
брошено под некоторым углом к горизонту [полёт снаряда (фиг. 180)].
Снаряд вылетает из орудия с некоторой начальной скоростью по
направлению ОА. Если бы сила тяжести отсутствовала, то снаряд
двигался бы по линии ОА равномерно и прямолинейно и в равные
промежутки времени проходил бы равномерным движением равные
п ути 2) О А и А гА 2, А 2Л3, А 3А4, А 4Ай. Сила тяжести будет откло
нять снаряд от эгой прямой, заставляя его падать равноускоренно
вниз. Если, двигаясь равномерно с начальной скоростью v 0f снаряд
за некоторое время t прошёл бы путь O A1= v 0t , то под действием
gf*
силы тяжести он за т о ж е время опустится на расстояние А ХВ Х=%£*) В действительности вес тела несколько изменяется в зависимости от
широты места (на экваторе он меньше, чем на полюсе) и от высоты места
(с высотой он уменьшается); однако это изменение настолько незначительно,
что представляет интерес только для физиков; инженер может и не обра
щать на него внимания.
Сопротивлением воздуха мы здесь пренебрегаем.
УСКОРЕНИЕ, МАССА И СИЛА
183
(где g есть ускорение силы тяжести) и попадёт в точку В и Через
время 21 снаряд в равномерном движении попал бы в точку А 2 (где
O A 2 = 2 v 0t), под действием же силы тяжести он опустится на
A 2B 2 = y
и попадёт в точку В 2.
Давая теперь времени t различные значения, мы можем найти
последовательные положения В 2, В гу B iy В ъ снаряда для различных
моментов времени; они дадут нам траекторию движения, которая
будет параболой.
Рассмотренный пример очень поучителен в том отношении, что
силой, действующей на движущийся снаряд и сообщающей ему уско
рение, будет направленная вертикально вниз сила тяжести. Таким
образом, в рассматриваемом случае направление силы, действующей
на тело, не совпадает с направлением движения этого тела. Так как
снаряд движется по кривой линии сначала вверх, а потом вниз, то
направление его движения всё время меняется, в то время как сила
тяжести всё время будет направлена по вертикали вниз. На это
обстоятельство необходимо обратить особое внимание, так как начи
нающие обычно смешивают направление движения тела с направлением
движущей его силы. Так можно сказать только в том случае, если
данная сила подействовала на свободное тело, находившееся до этого
в состоянии покоя; если же тело находилось уже в движении, то
сообщаемое данной силой движение прибавляется к уже имеющемуся,
и направление результирующего движения уже не будет совпадать
с направлением приложенной силы.
§ 71. Ускорение, масса и сила. Второй закон Ньютона уста
навливает связь между величиной силы и величиной соответствую
щего ускорения. Если *мы для одного и того же тела будем нахолить
ускорения, сообщаемые этому телу различными приложенными к нему
силами, то мы можем составить ряд отношений:
Fi :/=з :F 3 : . . . = w x :w 3 :w 3 : . . . ,
где Fu F 3, . . . — силы, a w u w 3,
— сообщаемые ими данному
телу ускорения. Эти отношения мы можем переписать в таком виде:
A — Z*. =
W t
W t
w
z
Общую величину этих отношений обозначают через т и называют
массой рассматриваемого тела.
Все эти отношения можно переписать и в таком виде:
Fl = rnwli F%= m w 2y Fz = mw.iy . . .
или вообще
F — mw,
(40)
184
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[гл. 14
т. е. сила равна произведению массы на ускорение. Полученная
формула даёт нам новый динамический способ измерения сил путём
сравнения сообщённых ими одному и тому же телу ускорений.
Выведенное равенство может быть переписано и в таком виде:
т. е. величина ускорения тела пропорциональна величине дей
ствующей на него силы и обратно пропорциональна массе этого
тела.
Следует отметить, что не только величина ускорения опреде
ляется величиной приложенной силы, но и направление ускорения
совпадает с направлением силы. Иными словами, вектор силы и вектор
ускорения имеют одно направление. Если мы хотим подчеркнуть это
в равенствах, то будем изображать векторные величины с чертой
сверху. Тогда оба последних равенства могут быть написаны так:
F=mw
и
В обеих формулировках мы вплотную подошли к важному по
нятию о массе тела.
Мы определили массу как отношение между величиной силы
и сообщаемого этой силой данному телу ускорения. Если рассматри
ваемая сила представляет вес Р данного тела, то масса его опре
делится как отношение этого веса Р к величине ускорения g сво
бодного падения. Если g постоянно, то нетрудно видеть, что два
тела, обладающие равным весом, будут обладать и равными массами.
Это позволяет (по крайней мере, в общежитии) судить о массе тела
по его весу, а поскольку в общежитии по весу тела судят и о коли
честве вещества, заключённого в данном теле, то тем самым очень
часто определяют, следуя примеру Ньютона, массу как количество
вещества в данном теле. Для обычных тел это определение не
вызывает сомнений: массу тела можно измерять как динамически
(отношение между силой и ускорением), так и по весу.
Установим теперь методы измерения величины массы. Ввиду того,
что на практике в данном вопросе встречаются известные недоразу
мения, остановимся на этом более подробно.
Мы знаем, что единицы измерения физических величин устана
вливаются не вполне произвольно, а объединяются в стройную систе
му, зависящую от выбора единиц одной или нескольких основных
величин.
В геометрии мы встречаемся с первой такой величиной — длиной
(единица — метр или сантиметр).
УСКОРЕНИЕ, МАССА И СИЛА
185
В кинематике к единице длины присоединяется ещё новая еди
ница— единица времени (например, секунда). Комбинируя единицы
длины и времени, мы находим единицы измерения скорости и уско
рения: сантиметр или метр в секунду, сантиметр или метр в секунду
в квадрате.
В динамике к этим двум единицам приходится присоединять ещё
третью. Выбор этой последней может быть сделан двояко: мы можем
взять в качестве основной или единицу силы или единицу массы.
Первоначально (в физике до начала XIX века, а в технике и до
сих пор) за основную единицу была выбрана единица силы. Выбрав
единицу силы, мы устанавливаем единицу массы по равенству:
З а единицу массы принимает ся т акая масса, д ля которой отно
шение между силой и сообщённым ей ускорением равно единице.
Примем за основные единицы метр, секунду и килограмм-силу;
получающееся под действием силы веса ускорение w будет равно
# = 9,81 м /сек1 и наша формула примет вид
F
т
кг
9,81 M jc en 2 '
Отсюда следует, что масса будет равна единице для тела, вес кото
рого равен 9,81 кг. Эта единица носит название технической еди
ницы массы. Если бы мы за основные единицы взяли килограмм,
сантиметр, секунду, то за единицу массы пришлось бы взять массу
тела, весящего 981 кг: в самом общем случае за единицу массы мы
приняли бы массу тела, вес которого равнялся бы g единиц веса.
Такого рода способ измерения вполне достаточен для техники,
где мы можем в пределах допустимой погрешности считать вес тела
одинаковым от полюса до экватора. Однако ускорение силы тяжести
меняется в зависимости от широты места на земной поверхности
и высоты над уровнем моря; эти различия очень невелики, но при
точных расчётах ими пренебрегать нельзя.
В связи с этим физики переменили основную единицу. Поскольку
можно было считать массу связанной с количеством вещества в дан
ном теле, они сделали вполне естественное, по крайней мере в начале
XIX века, предположение, что с перемещением тела по земле или
в межпланетном пространстве будет меняться только вес тела, но
не его масса. Поэтому за основную единицу была выбрана не сила,
а масса. Но в качестве основного эталона массы был взят тот же
самый литр чистой воды, вес которого равнялся килограмму и который
получил теперь название килограмм-массы. В результате оказалась
определённая двусмысленность в понятии «килограмм»: с одной
стороны, это — единица силы в технической системе единиц (кило
грамм-вес), а с другой — единица массы в физической системе
186
[гл. 14
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
единиц (килограмм-масса). На практике же и единица силы, и единица
массы представлены одним и тем же эталоном: гирей в 1 кг или
литром чистой воды при 4° С. В связи с этим следует помнить, что
масса тела в килограммах массы и вес гела в килограммах веса
выражаются одним и тем же числом.
После того как выбрана единица массы, единица силы устана
вливается по уравнению F = mw\ это будет сила, которая единице
массы сообщает единицу ускорения. Если мы в качестве основных
единиц примем сантиметр, секунду и грамм-массу, то соответствую
щая единица силы будет дина — сила, которая массе в 1 г сообщает
ускорение в 1 см/сек2. Так как тело с массой в 1 г падает с уско
рением 981 см)сек1, то отсюда следует, что сила (вес) в 1 г = 981 дине.
Ввиду крайней незначительности этой силы техника осталась при
старой системе единиц, в которой сила выражается в килограммах.
Наличие двух систем единиц иногда приводит учащихся к грубым
ошибкам; для того чтобы избежать их, надо помнить, что в вычи
слениях все величины должны быть выражены в одной системе
единиц. Это значит, что, измеряя силу в весовых единицах, мы
должны обязательно измерять массу в технических единицах, и
обратно, если мы измеряем массу в килограммах и граммах, то силу
должны выражать в динах или в единицах, производных от дины.
Покажем теперь, как нужно рассуждать, чтобы не впасть в ошибку.
На тело, весящее Р кг, действует сила F кг. Определить
в мет рах и секундах получающееся ускорение.
Имеем основную формулу (40)
F=mw.
Решим сначала в физической системе единиц. Наши основные еди
ницы: килограмм-масса, метр и секунда; в таком случае силу F мы
уже не можем выражать в килограммах. В выбранной системе
единиц за единицу силы мы должны принять силу, которая массе
в 1
сообщает ускорение в 1 м/сек*. Так как вес в 1 ^ сообщает
ускорение g — 9,81 м/сек?, то наши F кг будут равны F • g = F • 9 81
новых единиц силы, и уравнение напишется так:
9,81 F = P w ,
где т, конечно, выражается тем же числом, что и Р . Отсюда
w — ^p • 9,81 м/сек*.
В общем случае мы получили бы
Отметим, что обе части нашего vnarmpmm
мерность, а именно, размерность ускорения
° ДНУ " 4
р33'
ПРИМЕРЫ
187
Решим теперь ту же задачу в технической системе единиц. Если
за основные единицы выбраны метр, секунда и килограмм-вес, то
за единицу массы мы должны взять массу тела, вес которого равен
9,81 кг или вообще g единиц веса. Чтобы выразить нашу массу
в этих единицах, мы должны число, выражающее массу в кг, раз
делить на 9,81 (вообще на g), и наше уравнение перепишется так:
Гп =
отсюда
Р
—
g
W,
F
W = ~pgОчевидно, идя тем и другим путём, мы приходим к одному
результату.
На практике можно пользоваться следующим мнемоническим
правилом: килограмм-масса и килограмм-сила наедине не могут встре
чаться, а обязательно в сопровождении ускорения g*1).
В последнее время была сделана попытка перестроить техни
ческую систему единиц на основе физической. В новой системе
единиц основными являются: метр, секунда и тонна-масса. За еди
ницу силы мы должны принять силу, сообщающую массе в 1 тонну
ускорение в 1м/сек2; эта единица получила название стэна. Воинах
стэн будет равен
1
л т* м
1 Ю6г • 102см
1Л8 .
1 стэн = 1 -— Г = 1 --------- ------ = 1 0 8 дан.
секл
сек*
В килограммах стэн будет равен
108
105
1 стэн = ^ г — ^ - к г =
102 кг.
£ 72. Примеры. Применим теперь результаты предыдущего
параграфа к решению задач. В качестве первого примера разберём
ещё раз задачу о свободном падении тела.
Пример 61. Определить ускорение, получаемое телом веса Р кг
под действием силы тяжести.
Соответствующее ускорение определится по формуле:
Р
w= —
т .
Чему же равна масса тела т ? Если вес его, который в нашем случае
является движущей силой, выражается в килограммах, то массу мы
этого последнего
выбора
иивремении системе не зависит т^ого
=,9,81к,акихединицах
килограммах мыбудем
силу илимассу.
А) Ч исловая величина
зависит только от
единиц
Длины
(в
«метр-секунда»
«сантиметр-секунда»
£Г=981
т. д.)
соверш енно
от
в
— грам
мах пли
—
измерять
188
8АК0НЫ НЬЮТОНА
[гл. 14
должны выразить в технических единицах, иными словами, применить
формулу:
Подставляя полученное значение для т в выражение ускорения
w f будем иметь
w = g.
Мы получили уже известный положенный нами в основу опре
деления понятия массы результат, что все тяжёлые тела падаю г
с одинаковым ускорением g, иными словами, падая с одинаковой
высоты, должны единовременно достигать земной поверхности. Это
объясняется тем, что хотя для более тяжёлого тела приводящая его
в движение сила веса больше, но во столько же раз больше и масса
этого тела, а следовательно, ускорение, представляющее частное от
деления веса на массу, остаётся неизменным.
Против этого можно было бы привести на первый взгляд сле
дующие возражения. Опыт показывает нам, что если мы с одина
ковой высоты бросим кусок железа и комок бумаги, то кусок
железа упадёт на землю скорее. Это объясняется тем, что при
своём падении тело встречает сопротивление воздуха, которое зависит
не от веса тела, а от формы его, скорости и других причин (каждому
известно, что один и тот же бумажный лист будет падать с разной
скоростью, бросим ли мы его в виде раскрытого листа бумаги или
же в виде комка). Были поставлены опыты, изучающие падение тел
в безвоздушном пространстве (под колоколом воздушного насоса);
они показали, что в таких условиях все тела с одной и той же
высоты падают с одинаковой скоростью. Не ограничиваясь этим
результатом, попробуем вычислениями показать увеличение скоро
сти более тяжёлого тела при падении его с учётом сопротивления
воздуха.
Опытными данными установлено, что сила сопротивления воздуха
возрастает пропорционально квадрату скорости движения и, кроме
того, зависит от размеров и формы движущегося тела. Если взять
два одинаковых шара — деревянный и чугунный, — то при одной
и той же скорости движения сопротивление того и другого шаров
будет совершенно одинаковым, хотя чугунный будет раз в восемь
тяжелее деревянного. Тогда, если при скорости в 1 м/сек силу
сопротивления принять равной k к г, то при скорости v м/сек сила
сопротивления будет
F = k v * кг.
Чем больше скорость падения, тем больше и сила сопротивления.
В конце концов настаёт момент, когда величина силы сопротивления
становится равной весу падающего тела. После этого уже не происходит
§
ПРИМЕРЫ
72]
189
дальнейшего увеличения скорости падающего тела (сила веса и сила
сопротивления воздуха взаимно уравновесились) и тело движется до
самого момента патения на землю равномерно. Определить скорость
этого дзижения можно, приравняв силу веса Р силе сопротивления
F, т. е. положив
р _ к у ъ^
откуда
Если мы возьмём два тела, веса которых Р х и Р 2, то их пре
дельные скорости падения на землю будут:
Если оба тела отличаются только весом, имея одинаковые раз
меры и форму, то величина k в обоих случаях будет одинаковой.
Поэтому, разделив оба равенства почленно, будем иметь:
£i _ V 3.
V»
у р \'
Мы получили так называемый закон М ариотт а: предельные скорости тел одинаковой формы при падении в воздухе относятся, как
квадратные корни их весов.
__
В нашем примере деревянного и чугунного шаров скорость, с которой ударится о землю чугунный
шар, будет в
2 ,8 раза больше, чем соответ
ствующая скорость деревянного шара.
.
П ример 62. М аш ина Ат вуда (фиг. 181). Через
\f
неподвижный блок с центром О перекинута нить, не
сущая на своих концах два груза Р х кг и Р 2 к г ,
причём Р%^> Р\- Определить ускорение w, с которым
будут двигаться оба груза.
Так как вес груза Р 2 больше веса Р и то груз Р 2 буФиг. 181.
дет опускаться, поднимая груз Р х. Сила, движущая оба
груза, будет равна их разности Р 2 — Р и а приводимая в движение
масса равна сумме масс обоих грузов. Искомое ускорение будет
у , у
g
g
Делая оба груза P t и Р 2 почти равными друг другу, можно сделать
множитель р* _|_
очень малым и, следовательно, значительно умень
шить величину ускорения. Так, если Р 2 — 5/ ег и Р 1 = А к г , то
____ 5 — 4
1
190
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[гл. 14
Это/г прибор был предложен английским физиком Атвудом для
исследования опытным путём законов падения тел.
Пример 63. Центростремительная сила. Определим силу, необ
ходимую для равномерного движения материальной точки по окруж 
ности. Как мы видели (см. § 26), прй равномерном движении по
окружности радиуса R с постоянной скоростью v . имеет место
направленное к центру этой окружности центростремительное уско-
v2
рение w n = -g ,
Если существует ускорение, то должна существовать и произ
водящая это движение сила, равная массе т движущейся точки,
помноженной на величину центростремительного ускорения w n. Эта
сила называется центростремительной и выражается следующей
формулой:
Понятие о центростремительной силе было введено в науку гол
ландцем Гюйгенсом в XVII веке. Ньютон применил это понятие
к изучению сил, управляющих движением планет вокруг Солнца.
Планеты описывают вокруг Солнца траектории (орбиты), которые
мало отличаются от окружностей. В центре этих орбит находится
Солнце. Так как для кругового движения необходимо наличие центро
стремительной силы, то в качестве первого вывода Ньютон уста
новил, что сила, управляющая в первую очередь движением планет,
есть сила притяжения их Солнцем. Далее, опираясь на работы своего
предшественника, великого немецкого астронома Кеплера, установив
шего на основе наблюдений, что квадраты времён обращения планет
вокруг Солнца относятся, как кубы их расстояний до последнего,
Ньютон вывел, что сила этого притяжения изменяется обратно про
порционально квадратам расстояний. Действительно, если Т есть
время полного оборота планет вокруг Солнца, то угловая скорость
обращения планеты вокруг Солнца будет
2ти
а>= - у ,
а линейная скорость v движения планеты по её орбите
v = со/?,
где R есть радиус орбиты. Отсюда время Т оборота планеты будет
j.
2тс
(о
"
2тzR
V f
Для двух планет мы будем иметь соответственно
Rl
'Г
О—
ПРИМЕРЫ
191
Возводя эти равенства в квадрат и деля друг на друга, будем иметь
II— R\ . /гг
П ~
-1
vl
Согласно закону Кеплера
11 — 3
Ti~ RI'
Так как левые части последних двух равенств равны, то должны
быть равны и первые части. Приравнивая их, после упрощений полу
чаем
m i _#1
v\R'l —Rl
или
v l_ _ R i
vl ~ R 2'
Помножив обе части этого равенства на ~ , будем иметь
ft*
vlRi _ R l
v\r : ~
или
Rl
3L.Л — 3
R2 : R, ~ Rl •
JJ
v\
v\
Hi ^ R3 С^ ТЬ не ЧТ0 иное’ как Центростремительные ускорения
в движениях обеих планет, т. е. w l и w v Таким образом
или
Щ
Rf_
Wi
Rl
Wj_
_1 _
Щ ~
R l '* RI '
1
что и требовалось доказать. Более точные исследования показали,
что планеты движутся по эллипсам, мало отличающимся от окруж
ностей, и не вполне равномерно; однако эти отклонения так невелики,
что при элементарном выводе ими вполне возможно пренебречь,
Если бы мы этого не сделали, то вывести закон обратной пропор
циональности было бы значительно труднее, тем не менее он спра
ведлив и в самых общих случаях движения планет.
Следующим шагом в работе Ньютона было установить, что сила,
управляющая движением Луны вокруг Земли, есть та же сила,
которая заставляет падать на земную поверхность тяжёлые тела.
Так как силы относятся как сообщаемые им ускорения, то Ньютону
надлежало показать, что центростремительное ускорение Луны в её
движении вокруг Земли представляет ускорение земного притяжения,
уменьшенное обратно пропорционально квадратам расстояний точек
192
ЗАКОНЫ НЬЮТОНА
[гл. 14
земной поверхности и центра Луны до центра Земли. Заинтересо
вавшийся читатель может сам проделать те вычисления, после выпол
нения которых, как говорит научное предание, Ньютон настолько
был взволнован, что не мог сам проверить свои вычисления и обра
тился за помощью к одному из своих друзей. Вот все необходимые
данные1). Радиус Земли R = 6400 км. Ускорение силы тяжести на
поверхности Земли ^ = 9,81 м/сек*. Расстояние от центра Земли
до центра Луны D = 384 ООО км. Продолжительность полного обо
рота Луны вокруг Земли = 27 дней 7 час. 43 м и н .
§ 73. Заклю чение. Изложенный в этой главе материал, обни
мающий 1 -й и 2-й законы Ньютона вместе с изученным нами ранее
3-м законом (законом равенства действия и противодействия, см. § 32),
представляет ту базу, на которой строится классическая динамика.
Подчеркнём значение каждого из этих законов в общей системе
механики.
1 -й закон устанавливает признак наличия силы — сила есть то,
что сообщает или стремится сообщить телу ускорение. Он таким
образом даёт нам качественное определение силы.
2 -й закон устанавливает количественную связь между силой
и сообщаемым ею ускорением; выражающее этот закон уравнение
F — mw
(40)
содержит в зародыше всю динамику точки; при помощи этого урав
нения мы можем по заданным силам и массе тела определить сооб
щаемое ему этими силами движение и, наоборот, зная движение тела,
определить силы, необходимые для сообщения телу этого движения.
Попутно при его помощи устанавливается понятие о массе тела.
Наконец, 3-й закон — закон равенства действия и противодей
ствия— уже был нами разобран ранее; здесь мы должны только
подчеркнуть важное для динамики обстоятельство, что этот закон
устанавливает источник силы: сила есть действие одного мат ери
ального тела на другое; там, где нет действующего материального
тела, нет и никакой реальной силы. С этой точки зрения нам ещё
придётся встретиться с 3-м законом Ньютона при разборе так назы
ваемого принципа Даламбера — другой формы, в которой могут быгь
выражены основные принципы динамики.
ЗАДАЧИ.
68.
Под каким углом а должна быть наклонена крыша, перекрывающая
пролёт длиной 2а, "для того чтобы дождевая вода скатывалась с неё в наи
меньшее время (допускается, что скорость капли у конька крыши равна
нулю) (фиг. 182)?
О т в е т : а = 45°.
х) Вследствие некоторого округления нельзя ожидать абсолютно точного
совпадения результатов (можно ожидать ошибки до 1 — 2%).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
193
Указание. С увеличением а увеличивается пройденный путь s = ----COS <Ж
и ускорение w = gsm а.
69.
З а д а ч а Г а л и л е я . Из точки О без начальной скорости по раз
личным наклонным линиям, лежащим в одной плоскости, падают шарики
A lf А2, A s, ... Доказать, что в каждый мо^
мент времени все эти шарики будут одновре
менно находиться на некоторой окружности,
диаметр которой будет возрастать пропорцио
нально квадрату времени, а центр будет на
ходиться на вертикали точки О (фиг. 183).
Указание. При доказательстве обратить
внимание на то, что через время t после начала
падения дальше всего уйдёт шарик, падающий
по вертикали ОАъ причём ОЛ4 = 4 ^-.
По линии ОА2, образующей угол а с вертикалью, ускорение падения
будет geos а, откуда нетрудно видеть, что ОА2= ОЛ4 cos а, так как угол
ОА2А4 прямой.
Воспользовавшись результатом этой задачи, доказать, что если мы хотим
поставить жолоб О так, чтобы точка, скатываясь по этому жолобу, дости
гала в кратчайший срок заданной наклонной плоскости АВ (безраз
лично, в какой точке), образующей угод а с горизонтом, то мы долж
ны поставить жолоб так, чтобы он образовывал с вертикалью угол ¥ = -g*
(фиг. 184).
70. Какое ускорение получает тело, весящее 20 кг, под действием силы
5 кг (g = 9,81 м/сек2).
О т в е т : 2,45 м/сек*.
71. Чему равен вес гири в 1 кг на Луне, если там ускорение свободного
падения равняется 1,7 м/сек*.
О т в е т : 0,173 кг.
72. Тело, лежащее на негладком горизонтальном полу, получает началь
ную скорость 2 м/сек и останавливается, пройдя 4 м. Определить приходя
щуюся на массу в 1 кг величину силы трения пола, считая последнюю
постоянной (g можно принять за 10).
О т в е т: 50 г.
13
Зак. 667.
И. Н . Веселовский
194
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ И ЖИВАЯ СИЛА
[гл. 15
Г Л А В А 15.
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ И ЖИВАЯ СИЛА.
§ 74. Количество движения. В практических приложениях зако
нов Ньютона приходится встречаться с рядом новых физических
величин, значительно облегчающих во многих случаях решение задачи.
Эти новые величины возникли почти одновременно с законами
Ньютона. Произведение массы на изменение скорости, о котором
говорится в законах Ньютона, можно понимать как изменение коли
чества движения
т Av = A (m v) .
Количеством движ ения материальной точки мы называем
вектор, равный произведению её массы т на скорость v и имею
щий направление скорости.
При такой формулировке понятия о движении второй закон
Ньютона будет читаться так:
Действующая сила пропорциональна (или при соответствующем
подборе единиц равна) изменению количества движ ения, отнесён
ному к единице времени, в течение которого это изменение про
изош ло:
А {то)
р
At
Помножив обе части этого уравнения на At, получаем
A {m v) = F At,
(42)
т. е. изменение количества движ ения Arnv равно произведению
силы F на время её действия At, т. е. равно так называемому
импульсу силы. Отметим, что в настоящее время иногда вместо
термина «количество движения» просто говорят «импульс».
Написанное нами равенство справедливо для всякой силы для
весьма малого промежутка времени, в течение которого мы можем
считать действующую на тело силу постоянной. В случае постоянной
силы рассматриваемое уравнение можно писать для любого проме
жутка времени; в таком случае оно принимает вид
m > ,— m v0 — F ( t 1— / 0)>
(43)
где v xи v 0— соответственно значения скорости для моментов t x
и V
Если мы привлечём в круг нашего внимания ещё третий закон
Ньютона, то придём к важному принципу сохранения количества
движения.
Пусть мы имеем систему связанных между собой механическими
взаимодействиями тел, на которые не действуют никакие внешние
РАБОТА И ЖИВАЯ СИЛА
195
силы. В таком случае единственными силами, приложенными к телам
системы, будут так называемые внутренние силы системы, т. е. силы
взаимодействия между её телами. Вследствие равенства действия
и противодействия мы можем для каждой пары таких сил взаимо
действия написать:
F i + F %= 0.
Мы имеем возможность разбить все внутренние силы на такие пары,
каждая из которых в сумме даст нуль. Это показывает, что для
системы, на которую не действуют никакие внешние силы, геомет
рическая сумма всех сил, приложенных к различным телам системы,
равна нулю:
2 /7 = о .
Но
д.
А (ту)
F = S T '
Так как Дt является одинаковым для всех тел системы, то, суммируя
все такие равенства и вынося за скобки \ t , мы получим
VI A (mv)
Л г 1 или
ы
А
•
Это равенство возможно, если
£ Д (m v) = 0 ,
(4 4 )
т. е. сумма изменений количества движения различных тел системы
равна нулю, а это значит, что общая сумма количеств движения
системы остаётся пост оянной. В этом и заключается сформули
рованный ещё Декартом закон сохранения количества движения.
Покажем теперь на примерах, каким образом можно пользоваться
законом количества движения для решения различных задач.
Пример 64. Тело, весящее т г и находившееся первоначально
в покое, падает под действием силы тяжести в течение t секунд.
Определить скорость в конце последней секунды.
Сила тяжести равна m g , следовательно, полный импульс её за
время t будет равен m g t. Так как начальная скорость движения
равна нулю, то полное приращение количества движения за время t
как раз и даёт нам количество движения в конце £-ой секунды.
Таким образом
m v — m gt у
откуда
v = g t.
§ 75. Работа и живая сила. Когда под действием силы Р тело
перемещается по её направлению, то говорят, что эта сила «совер
шает работу». Работа эта, во-первых, тем больше, чем больше
13*
196
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ И ЖИВАЯ СИЛА
[гл. 15
движущая сила, и, во-вторых, тем больше, чем больше расстояние,
на которое передвинулось тело, или, говоря схематически, точка
приложения силы. Условились измерять работу А данной постоянной
силы Р на расстоянии s, пройденном по направлению этой силы,
произведением этой силы на путь, т. е.
A = Ps.
(45)
Если мы будем измерять силу в килограммах, а путь в метрах,
то работа будет измеряться в килограм м ом ет рах (кгм).
К илограммомет ром мы, следовательно, будем называть работу,
которую совершает сила в 1 кг при перемещении на 1 м по
направлению этой силы {например, при подъёме 1 к г на высо
т у 1 м).
Если мы будем измерять силу в динах, а путь в сантиметрах,
то соответствующая единица работы — работа 1 дины на расстоянии
1 см — будет называться эргом. Ввиду крайней малости этой еди
ницы на практике пользуются другой единицей — дж оулем, равным
10 млн. эргов. Если мы вспомним, что сила в 1 г равна приблизи
тельно 1 0 0 0 (981) дин, то нам нетрудно будет переводить работу
из килограммометров в джоули, и наоборот. В самом деле, 1 кгм —
= 1 0 0 0 • 1 0 0 граммсантиметров = 1 0 0 0 • 1 0 0 0 *1 0 0 = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 эргов,
иными словами, 1 кгм равен приблизительно 10 (точнее 9,81) дж о
улям.
Если направление силы Р образует некоторый угол с направле
нием перемещения (фиг. 185), то раскладываем силу Р на две соста
вляющие Q и Q ', из которых Q направим по направлению переме
щения, a Q' перпендикулярно к этому направлению.
Сила Q' не будет ни помогать, ни мешать передвижению тела
и производить работу будет исключительно сила Q. Сила Q есть
проекция силы Р на направление перемещения s; она будет равна
P c o s a , а её работа P scoscl. Таким образом вообще работой А
силы Р на данном перемещении s называется произведение величины
силы Р на перемещение s и на косинус угла между ними:
A = Ps cos a.
(46)
В том случае, когда сила Р образует тупой угол с направлением
перемещения s , то её составляющая Q по линии 5 будет направлена
против перемещения (фиг. 186); иными словами, Q будет не помо
§
75]
РАБОТА И ЖИВАЯ СИЛА
197
гать, а мешать перемещению; работу её в таном случае считают
отрицательной, поскольку для приведения тела в движение придётся
преодолевать сопротивление этой силы.
Из определения работы следует, что при передвижении тяжёлого
тела по горизонтальному направлению работа веса передвигаемого
тела будет равняться нулю. Этот результат на первый взгляд пред
ставляется несколько странным. В действительности, для этого пере
движения приходится затрачивать некоторую работу, но только
работа эта идёт на преодоление не силы тяжести, а силы трения.
Всякому известно, что легче передвинуть тяжесть на катках, чем
тащить её просто по земле; это опять объясняется тем, что при
качении сила трения будет значительно меньше, чем при простом
волочении тела по земле.
Если на тело действует несколько сил, которые можно заменить
одной равнодействующей, то сумма работ всех сил будет равна
работе равнодействующ ей,
Действительно, выражение P s cos а может быть переписано в виде
произведения перемещения s на величину проекции силы Р на на
правление перемещения (это и будет как раз равно Р cos а). Пусть
теперь к данной точке приложены силы Р и Р а» Рг> имеющие равно
действующую R , Работа силы Р х на перемещении $ равна произве
дению 5 на величину проекции силы Р г на это перемещение —
P jco so tj, работа силы Р 2 равна произведению s на P 2 c o sa 2 и т. д.,
где 04 , a 2 обозначают углы между направлениями каждой силы Р и
Р 2 с направлением s.
Тогда сумма работ составляющих будет:
sP t cos 04 -j- sP 2 cos a 2 -j~ sP3 cos a 3 =
= s (P t cos a, -f- Pt cos 04 -(- P 3 cos a3) = ’
= s (np sPl + nP* P i + ПР* р ъ)Но сумма проекций составляющих равна проекции равнодействую
щей R на то же направление.
Итак, сумма работ составляющих будет равна s n p s R f т. е.
работе, равнодействующей на том же перемещении.
Пример 65. Строгальный станок сделал 50 рабочих ходов дли
ной 2500 м м каждый. Зная, что для равномерного движения стола
при рабочем ходе требуется сила, равная 600 лгг, определить работу,
совершённую резцом.
Эта работа будет
A = z P s = 600 k z • 50 • 2,5 м = 75 000 кгм.
В том случае, когда действующая сила Р, которую мы считаем
постоянной, будет больше сопротивления движению, то работа
силы Р разобьётся на две части: одна пойдёт на преодоление сопро
тивления /?, для чего потребуется работа Rs, другая же часть,
198
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ
и ЖИВАЯ СИЛА
[гл. 15
Q= p
/?, пойдёт на сообщение телу ускорения, т. е. на увели
чение его скорости. Если масса нашего тела будет т , то величина
ускорения w определится по формуле:
Q t= m w .
Если движение началось из состояния покоя, то через время t
наше тело получит скорость
v — wt
и пройдёт путь
5 = Y w t2.
Работа силы Q будет
Aл = Qs — m w - j - = ~тy (
А2
= mV3
~2 ~~ •
Величина
T= ^ f
(4 7 )
носит название кинет ической энергии или живой силы . В состоянии
покоя скорость тела v , а следовательно, и его кинетическая энергия
были равны нулю. После же того, как сила, действующая на тело,
совершила работу A = Qs, тело стало обладать некоторой кинети
ческой энергией
. Если в момент начала действия силы Q тело
уже имело некоторую скорость v 0, то по формулам равномерно
переменного движения выражения для v и s будут:
I /
* I
v = v Q+ wt; 5 = V + - 2 ~»
и формула работы примет вид
A = Qs = m w v 0t -f- т ^
.
Прибавляя к правой части и вычитая из неё
~
mv\ . , . m (w £f
Qs = —g1 + m w v 0t -j------^
будем иметь
mv%
Приведя первые три члена к одному знаменателю, получим
mv 5 + 2 mwv0t + т (w ff
У
2
mv\
2
*
Если в первой дроби вынести массу т за скобки, то в скобках,
как легко видеть, останется выражение (v0 -f- w t)2, т. е. v 2. Это
даёт нам
199
УДАР ТЕЛ
_
mv%
Так как —
есть значение кинетической энергии, которой обладало
наше тело в момент начала движения, то выражение, стоящее в пра
вой части формулы, равно приращению кинетической энергии, и само
равенство выражает следующую теорему: приращение кинетической
энергии движущегося тела равно работе силы, действующей на
это т ело .
Эта так называемая теорема ж ивых сил имеет громадное зна
чение как в теоретической, так и в прикладной механике.
Выражение «живая сила» может заставить подумать, что под
этим скрывается какая-то новая, обнаруживающаяся во время дви
жения у движущего тела сила. Однако, такой взгляд является непра
вильным: живая сила представляет не силу, а особый вид энергии,
а именно энергию движения, или кинетическую энергию, о чём мы
будем говорить в дальнейшем.
Пример 6 6 * Тело, весящее 200 кг и находящееся на горизон
тальном шероховатом полу, получило скорость 2 м!сек и стало
двигаться прямолинейно и равнозамедленно: пройдя 4 м , оно оста
новилось. Определить силу R сопротивления пола.
Вся начальная сила тела пойдёт на работу преодоления силы
сопротивления, т. е.
Г
zuu
В нашем случае т = т ^ _ = 2 0 техн.
s = 4 м, откуда
ед.
-
массы, v 0 = 2 м/сек,
§ 76. Удар тел. Написав равенство
Д (m v) = F А/,
мы видим, что за весьма малое приращение времени At, вообще
говоря, происходит весьма малое изменение количества движения;
чем в меньший промежуток времени произойдёт заданное изменение
количества движения, тем большая сила потребуется для этого.
В некоторых случаях материальная точка в весьма малый проме
жуток времени получает конечное изменение скорости, а следова
тельно, и количества движения. Такое явление называется ударом,
и силы, развивающиеся при этом, ударными или мгновенными
си ла м и . Так как здесь весьма малому изменению времени соответ
ствует значительное изменение количества движения, то мгновенные
силы при ударе очень велики по сравнению с обычными силами,
так что последними при изучении явлений удара можно пренебречь.
В связи с этим принято измерять ударную силу ударным импульсом,
т. е. просто соответствующим изменением количества движения.
200
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ И ЖИВАЯ СИЛА
[гл. 15
Исторически понятие о количестве движения развилось именно
при изучении явлений удара [работы голландского математика Гюй
генса и английского Рена (W ren)].
Рассмотрим в первую очередь удар тела (материальной точки)
о неподвижную преграду. Опыт показывает, что если направление
движения перпендикулярно к поверхности преграды в месте удара, то
после удара точка отскакивает назад по тому же направлению
с некоторой скоростью v, величина которой не превышает скорости
до удара
Отношение
к= ^
(49)
или, ещё лучше, k = — — (чтобы учесть изменение знака скорости г»
V0
по сравнению со скоростью г/0) зависит от физических свойств уда
ряющегося тела и преграды и называется коэффициентом восстав
новления. Абсолютная величина коэффициента восстановления меняется
в пределах от 0 до 1. Если v = — v 0, то k = l ; такой удар, когда
не происходит потери в величине скорости, называется абсолютно
у п р у ги м ударом . Если k = 0, то т>= 0 , и тело после удара остаётся
на ударяемой поверхности; мы имеем другой предельный случай —
абсолютно неупругого уд а р а .
Пример 67. Мячик, весящий 100 г, падает на горизонтальный
пол с высоты 500 см и, отскакивая, поднимается на половину на
чальной^ высоты. Определить коэффициент восстановления и ударный
импульс.
Пользуемся известной формулой, дающей связь между скоростью
и пройденным путём h при свободном падении: х / = у 2 gh. Она
даёт нам
v 0 = \ / 2 g • 500,
v = j / 2 g • 250;
отсюда коэффициент восстановления
,
v
' v0
1
0,707.
|/ 2
Для определения величины ударного импульса нам необходимо при
нять в расчёт, что скорость до удара направлена вниз, а после
удара вверх. Беря положительным направление вверх, получим:
m v — m v0 — 100 ■/2g • 250 — (— 100 / 2 g • 500)
(мы имеем, следовательно, не арифметическую разность, а сумму
количеств движения). После вычислений получаем, что
импульс равен
17 • 10 3 гсм/сек = 0,17 кгм!сек.
ударный
УДАР ТЕЛ
201
В том случае, когда тело ударяется о двигающееся тело, нам при
дётся рассматривать относительную скорость ударяющегося тела по
отношению к ударяемому. Практически это всего удобнее выполнить,
сообщая обоим телам скорость ударяемого тела в обратном напра
влении, так что ударяемое тело останавливается, и мы приходим
к случаю удара о неподвижную преграду.
Приложим теперь рассмотренные понятия к выводу одной формулы,
являющейся основной в современной кинетической теории газов. Эта фор
мула даёт выражение закона Бойля-Мариотта в терминах кинетической
теории газов; она пишется так:
P V = ^N m u\
где Р — давление на стенку сосуда, V — объём последнего, N — число моле
кул в этом объёме, т — масса каждой молекулы и и — её скорость.
Будем считать рассматриваемый объём кубом со стороной а.
Разложим каждую скорость по трём направлениям, перпендикулярным
граням этого куба. Если число N молекул весьма велико и распределение
их скоростей случайно, то можно считать, во-первых, что все молекулы
движутся перпендикулярно к какой-нибудь грани куба и, во-вторых, что ско
рость движения каждой молекулы равна её средней скорости и. Самый
удар мы будем считать абсолютно упругим.
При каждом ударе молекулы о стенку ударный импульс будет равняться
та — (— ти) = 2ти. Число ударов в секунду будет равно ~ ; это даёт нам,
что изменение количества движения, отнесённое к единице времени (секунда),
ти?
Nmu*
будет для одной молекулы 2
, а для N молекул 2 —- — . Чтобы полу
чить давление, мы должны разделить эту величину на всю поверхность
куба, равную 6 л2, что даёт нам
1 Nmu*
Р ~ 3 а8 •
Вспоминая, что д 8 = V — объёму, вмещающему газ, мы приходим к нужной
нам формуле:
p V = ^-NmuK
Пример 68. Определить скорость отката v орудия во время
выстрела, если масса орудия М , масса снаряда tn и скорость его z/0.
Рассматривая снаряд и орудие как изолированную систему тел, мы
можем написать, что сумма количеств движения во время выстрела
остаётся постоянной. Но до выстрела сумма количеств движения
равнялась нулю, следовательно, и после выстрела она тоже будет
равна нулю. Это даёт нам
M v -{- m v0 = 0,
откуда v = —
Знак «минус*
показывает, что после выстрела
скорость орудия будет противоположна скорости снаряда — орудие
пойдёт назад.
количество
движ ения
и ж ивая
сила
[гл. 15
Пример 69. Два шара / и II с массами т х и т 2 и скоростями
v t и v 2 движутся по одному направлению, причём задний шар /
налетает на передний II. Определить скорость движения обоих шаров
после удара, считая, что удар был абсолютно неупругим.
До удара сумма количеств движения была m lv l -|- /и2г/2. Посль
удара скорости изменятся и обратятся в иг и щ , но сумма коли
честв движения измениться не может, поэтому
= m l u l -jЕсли удар абсолютно неупругий, то после удара скорости шаров
будут одинаковы, т. е.
= щ — и, откуда
_ ttijVi + m2v2
т1 + т2 •
Если оба шара движутся навстречу друг другу, то мы можем поль
зоваться той же формулой, учитывая, что скорости имеют разные
знаки, и рассматривать стоящую в числителе сумму как алгебраи
ческую.
Пример 70. Шарик массы т со скоростью v налетает на шар
массы М , первоначально находившийся в покое. Определить ско
рости обоих шаров после удара, считая удар абсолютно упругим*
Большой шар после удара будет двигаться в сторону первона
чального движения первого шара с некоторой скоростью и. До уда
ра относительная скорость маленького шара по отношению к боль
шому будет v . Если удар абсолютно упругий, то после удара отно
сительная скорость сохранит свою величину, но изменит направле
ние на прямо противоположное. В таком случае относительная ско
рость маленького шара по отношению к большому будет — v и по
отношению к земле и - \ - ( — г>). Закон сохранения количеств движе
ния даёт нам
m v = m {tt — v) -j- M u ,
откуда
2mv
U~ M + m 9
Скорость шарика с меньшей массой относительно земли после удара
будет
2mv
м
(m — M )v
и ~ v ~ W + m ~ ю~ ~ Ж + п Г '
4
Так как т < ^ М , то эта скорость отрицательна: маленький шарик
после удара движется назад.
В случае равенства масс мы получили бы, что после удара уда
ривший шар остановился, а ударенный стал бы двигаться со ско
ростью v ударившего шара; таким образом между обоими шарами
произойдёт обмен количеств движений; ударивший шар отдаст всё
своё количество движения удареннохму.
§
77]
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ
живых сил
203
Пример 71. Решить пример 69 в предположении, что коэффициент
восстановления при ударе равняется к.
Закон сохранения количеств движения даст нам
“ f“ ^ 2 ^ 2 = = f t ly lly - J - t n %U v
Относительная скорость первого шара по отношению ко второму
до удара равна:
—vt.
Относительная скорость
рому после удара будет
— щ первого шара по отношению ко вто
- k ( ? y - V
,).
ото даёт нам
их=
u 2 — k ( v x — г>2).
Для определения щ имеем уравнение
m iv i “Ь
откуда
= (pi\ -j- т%) щ — m vk (vx —
и
2
Аналогично
и,=
ЩУх + m2vs + mLk [vi — у2)
т, + т2
ttijVi + m2v2- f m2k [v2— Vj)
mt + m%
Если удар абсолютно упругий, то k = \. Это даёт нам
и
2
Если
=
Ъп{ох — (ntj — т2) v2
ml + т2
’
Ul
__ 2m2v2— (m2— rnl) v l
mL+ т2
то эти формулы дают
«1=^2,
u2=
vu
т. е. после удара оба шара просто меняются своими скоростями,
что мы уже видели в примере 70.
§ 77* Применение теоремы живых сил к исследованию явле
ний удар а. Начнём с рассмотрения конкретного примера.
Пример 72. Грунт утрамбовывается с помощью ручной бабы
весом 60 к г , которая, падая с высоты 1 м> входит в грунт на глу
бину 1 см, причём сопротивление грунта можно считать постоян
ным. Определить силу, развивающуюся во время удара.
Искомая сила должна быть равна сопротивлению грунта; послед
нее мы можем найти, считая, что вся живая сила бабы пойдёт на
работу преодоления сопротивления грунта. Так как баба падает с
высоты 1 м , то соответствующая скорость будет У cl g h = Y (2 gM/ CsK.
Живая сила в момент прикосновения к грунту будет P h — 60 кгм .
Разделив эту последнюю величину на 0,01 м г найдём, что средняя
величина ударной силы будет равна 6 т .
204
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ И ЖИВАЯ СИЛА
[гл. 15
Определив величину ударной силы, мы без больших затруднений
сможем найти и время удара, применив теорему о количестве дви
жения. В самом деле,
m v — Ft
или
j \ r 2 g = 600<W,
откуда
t = -Лп - ^ L = ^ | = 0,0045 сек.
100 1/9,81
100
Мы видели, что величина ударной силы тем больше, чем меньше
деформация ударяемого тела при ударе; если деформация равна нулю
(мы считаем ударяемое тело абсолютно твёрдым), то ударная сила
была бы бесконечно большой (так как перемещение равнялось бы
нулю). Не нужно думать, что работа ударных сил всегда будет
равняться нулю. Она равна нулю, если удар абсолютно упругий;
вообще же она равна изменению живой силы за время удара или
потере живой силы при ударе.
В случае, когда удар абсолютно неупругий, потеря живой силы
определяется по теореме Карно:
При абсолютно неупругом ударе двух тел общая потеря живой
силы системы равна живой силе, соответствующей потерянным ско
ростям.
В обозначениях § 75 эта теорема выражается формулой:
\ г
1
ntiVf , m2v%
2
2
(//*!+/Я2)н 2 __ Wi (t^i- иу , m2 (v2 — и)a
2
—
2
'
2
*^
'
Доказательство может быть проведено следующим образом. Умножив
обе части равенства на 2 , получим
2 Д Т — m xv \ -j- m 2v \ — (m x -j- пгг) и 2 = m x{v \— и2) - f m 2(v \ — и2) =
= m x (v t — u) (v x -j- u) -f- m3 (v 2 — и) {v2 - f a).
Но вследствие закона сохранения импульса:
Щ (v t — и ) =
— т<ь (х>2 — и)
(выигрыш количества движения первого шара равен соответствую
щей потере второго). В связи с этим, вынося tni (v 1— и) за скобки,
можем написать:
2A.T— m i (v i — ^ { ( г ^ + и) — (г»2 -|-и )} =
= Щ (v x — и) (г>, — v 2) =
= Щ (г>, — и) { (v x — и) — (г>2 — и)} =
= Щ (®i — и ) 2 — Щ (v x — и) (v 3 — к).
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ЖИВЫХ СИЛ
Но т х
иметь
— ti)= —
205
— гг); следовательно, окончательно будем
2 к Т = т х (v x — гг) 2 -f“т 2 (г;2 — гг)2,
что и доказывает теорему Карно.
Так как в технических применениях после удара оба соударяю
щихся тела (молоток и гвоздь, кузнечный молот и поковка и т. д.)
остаются в соприкосновении, то происходящий удар можно считать
абсолютно неупругим.
Дадим ещё одну формулу для вычисления потери живой силы
при абсолютно неупругом ударе двух тел. Мы имеем
2 Д Т = m xv \ -f- tn%
v \ — (m x -J- m 2) гг2.
Ho
a_
m&i + m2v2
mi -j- m2
Следовательно,
22
mi + m2
(mi + m2)vl + m2 {mx+ m^v\ — (mxvx + m2v2)2
mx + m2
111
Окончательно
AT =
mim2 (v2— v t)s
2(rnl + щ )
Эта потеря живой силы идёт на деформацию частей ударяемого
тела, нагревание последнего и т. д. Иногда бывает выгодным увели
чить эту потерю (например, при ковке металла), иногда, наоборот,
уменьшить, чтобы возможно большая часть всей живой силы пошла
на продвижение ударяемого тела (например, при забивании сваи
бабой в грунт). В обоих случаях ударяемое тело находилось до
удара в покое. Положив поэтому v% = 0 и приняв во внимание, что
m1v l _
— первоначальной живой силе, будем иметь
2
д т = — ^ — Г 0.
ttii
tn%
Отсюда видно, что максимальная возможная потеря живой силы
получится при т 2 возможно близком к значению
в таком случае почти вся | точнее
т частьj первоначальная жи
вая сила тратится на деформацию; поэтому при ковке желательно,
чтобы ударяемое тело (наковальня) обладало массой, гораздо боль
шей массы молота. Наоборот, если мы хотим уменьшить потерю
живой силы при ударе, то нужно максимально увеличить массу т х
ударяющего тела, чтобы отношение т
(увеличение массы бабы при забивке свай).
стало возможно малым
206
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ И ЖИВАЯ СИЛА
[гл. 15
8 78. Заключение. Мы установили два важных понятия о коли,
честве движения и живой силе и выяснили связь их с понятиями
импульса и работы силы. Далее мы доказали две теоремы динамики:
во-первых, теорему количества движения
Amv = F M
(42)
или в случае постоянной силы:
m v — m v0 — F ( t — 19),
(43)
во-вторых, теорему живой силы в случае постоянной силы
=
(48)
ИЛИ
E f + H f = : F ( s - s 0).
Каждая из этих теорем имеет свою область применения, а имен
но теорема количеств движ ения применяет ся в вопросах, связан
ны х со временем движ ения, а теорема ж ивы х сил — в вопросах,
связанны х с пройденным расст оянием.
Для сопоставления между собой обоих этих понятий и связываю щ х их теорем решим следующие две задачи.
71ример 73. Тело брошено вертикально вверх с начальной ско
ростью v Q. Определить время поднятия на максимальную высоту.
Будем считать положительным направление вверх; тогда силу
тяжести мы должны, естественно, взять со знаком минус. Так как
в наивысшей точке скорость будет равна нулю, то теорема об изме
нении количества движения даст нам
0 — m vQ= (— mg) t.
Отсюда
Пример 74. В условиях предыдущей задачи определить макси
мальную высоту поднятия.
Поскольку в этом случае дело идёт о пройденном расстоянии,
применяем теорему живых сил. В обозначениях предыдущей задачи
мы будем иметь:
0—
— (— m S) h>
откуда искомая высота поднятия h будет:
g 79]
ДИНАМИКА КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ т о ч к и
207
ЗАДАЧИ.
73. Стол строгального станка весит 1 500 кг. Какой живой силой обла
дает стол, если скорость его движения равна 16 м/мин (g = 10)?
О т в е т : 5lJs кгм.
74. На каком расстоянии 5 может произойти остановка поезда, идущего
го скоростью 90 км/час, если сила сопротивления составляет 0,16 веса поезда ( £ = 9 ,8 1 )?
О т в е т : 200 м.
75. В условиях предыдущей задачи определить время остановки поезда.
О т в е т : 16 сек.
76. Материальная точка весом 3 кг двигалась по горизонтальной пря
мой налево со скоростью 5 м/сек. К ней приложили постоянную силу, на
правленную вправо, действие которой прекратилось через 30 сек, после чего
скорость точки оказалась равной 55 м/сек и направленной вправо. Найти
величину этой силы и работу, которую она совершила.
О т в е т : 0,612 кг, 459 кгм.
77. При выстреле из орудия снаряд вылетает с горизонтальной скоро
стью 570 м/сек; вес снаряда 6 кг. Определить среднее давление Р поро
ховых газов, если снаряд проходит внутри орудия 2 ж, а также время Т
движения снаряда внутри орудия.
О т в е т : Р = 48,7 m ; Т = 0,007 сек.
78. Во сколько времени и на каком расстоянии может быть остановлен
тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному пути со скоростью
36 км/час, если сопротивление при торможении составляет 300 кг на тонну
веса вагона?
О т в е т : 3 4 сек* 1 69 м.
79. Камень, весящий 1 кг, ударяет в заднюю стенку вагона, двигающегося
со скоростью 8 м/сек. Определить скорость камня относительно земли после
удара, зная, что k ==0,8 и что в момент удара скорость была перпендику
лярна стенке вагона и равнялась 10 м/сек относительно земли. Каков будет
ударный импульс?
О т в е т : Камень полетит за вагоном со скоростью относительно земли
6,4 м/сек. Ударный импульс равен 3,6 кгм/сек и направлен противоположно
движению вагона.
Г Л А В А 16.
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ И ЖИВАЯ СИЛА
В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ.
§ 79. Динамика криволинейного движения точки. Пусть точка
совершает криволинейное движение; тогда для вычисления ускорения
представим себе, что истинные (мгновенные) скорости в двух очень
близких между собой точках пути А и А х (фиг. 187) равны соот
ветственно векторам A B = v t и A xC — v 2, направленным по каса
тельным к траектории. Положим далее, что для перехода движу
щейся точки из А в А х требуется весьма малое время АЛ Так как
скорость за это время успеет измениться лишь очень мало, то мы
можем в первом приближении положить
A A t = v j At*
208
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ.
16
Чем ближе мы возьмём точку А х к точке А , тем точнее дуга тра
ектории, заключённая между ними, будет совпадать с дугой неко
торого круга, проходящего через точку А и касательного к прямым
А В и А ХС . Этот круг называется кругом кривизны нашей кривой
в точке А , а его центр называется центром кривизны этой кривой
в той же точке. Чтобы найти этот центр, восстановим перпендику
ляры к обеим касательным в точках А и А х. Точка их пересечения
О в пределе и будет центром круга кривизны. Радиус этого круга
г = О А = ОАх называется радиусом кривизны нашей кривой в точ
ке А ; обратная же величина этого радиуса 1/г служит мерой кри
визны бесконечно малой дуги траектории А А Х вблизи точки А.
Фиг, 187.
Чтобы найти полное изменение истинной скорости движущейся
точки за время перехода её из Л в A Xi мы должны геометрически
вычесть вектор А В из вектора А ХС, Для этого переносим вектор
А В параллельно самому себе, так, чтобы начало его А совпало с А х;
он займёт положение А гВ х. Вектор В ХС, замыкающий треугольник,
и будет искомым полным приращением скорости за время Дt. Если
мы ускорение обозначим через w , то будем иметь
w=
или B xC = w А/.
Направление ускорения в пределе совпадает с направлением В ХС.
Если В ХС составляет угол а с направлением скорости v i9 то это
полное приращение скорости может быть разложено на две состав
ляющие: В х С cos a = w A^cos а = В хТ по направлению скорости и
B iC sin ol — w A^sin а — перпендикулярно к скорости. Ввиду малости
угла 9 можно написать A xB x= A xN = v и A C = A m = v - 4 - Дх/.
Ускорение w может быть разложено на две составляющие:
Первое из них всегда направлено по касательной к траектории
а выражает собой только изменение числовой величины скорости
§ 80]
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
точки
209
без изменения её направления. Второе всегда перпендикулярно к тра
ектории и не влияет на величину самой скорости, а только изме
няет её направление.
Из фиг. 187, а видно, что £ АОА х=
B XA XN (как заключённые
между взаимно перпендикулярными попарно сторонами). Следова
тельно, равнобедренные треугольники А О Ах и B XA XN { A XN = A XB X)
подобны, и '
BtN
AA t
wnU
v А/
t V = ттт"
или ——v = ------,
А
ХВХ
ОА
г 9
откуда
Мы видим, что нормальное ускорение равно квадрату истинной
скорости, умноженному на кривизну ~ траектории в том месте, к
которому относится эта скорость. Оно всегда направлено к центру
кривизны О, т. е. в сторону вогнутости кривой.
Когда w n = 0, а существует одно лишь тангенциальное ускоре
ние, то г = оо и траектория обращается в прямую.
Если, наоборот, w z = 0, a w n имеет какие угодно конечные зна
чения, то движение по криволинейной траектории будет равномер
ным.
Если w x — 0, a w n всё время постоянно, то будем иметь случай
равномерного движения по окружности.
Таким образОхМ ускорение w в криволинейном и неравномерном
движении точки можно разложить на две составляющих w х и w n9
причём:
Дг>
Vs
« Ч = - э и w n = -r .
Силы, вызывающие эти ускорения, будут соответственно
Fx = m g ,
(51)
Fn = m * .
(52)
Сила Fx называется тангенциальной силой. Она направлена ло
касательной и изменяет только абсолютную величину скорости.
Сила Fn называется центростремительной силой. Она направлена
по нормали к траектории в сторону вогнутости последней.
§ 80* Количество движения в криволинейном движении точки,
В том случае, когда направление скорости меняется, что всегда имеет
место в криволинейном движении, мы определяем количество дви
жения материальной точки как вектор, имеющий направление ско
рости точки и равный по абсолютной величине произведению ско
рости на массу движущейся точки.
14 Зак. 667, и. Н . Веселовский
210
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ.
16
Второй закон Ньютона, выражающийся формулой
F — mw
или
В
F = m u>
мы можем теперь переписать в виде:
F At = т Av
или
(53)
F A t = A (m v)9
так как т (г;2 — v 4) = m v%— m vx = A (mv). В полученном равенстве
как сила Z7, так и количество движения представляют векторные
величины.
Разобьём теперь промежуток времени t — tQ движения точки на
ряд весьма малых промежутков:
Дt x = t \
t Qt At% = t%
tu • • • >^ п = ^
^/1-1
и силы в течение каждого из них обозначим соответственно через
F\,
• • • э Fп* Равенство (53) для каждого из этих промежутков
времени примет вид:
F x At = m v j — m bQf
*
F^ At — m v%— m v u
Fn At — m v — m vn _ b
Сложим геометрически все полученные равенства; тогда в левой
части мы будем иметь геометрическую (векторную) сумму импуль
сов силы, в правой же после ряда сокращений получим геометри
ческую разность количества движения в конце и начале рассматри
ваемого промежутка времени
At = m v — mT0,
(54)
т. е. разность векторов количества движения в конце и начале
некоторого промеж утка времени t — t 0 равна векторной сумме
элемент арны х (весьма м а лы х) импульсов силы за тот же прот
межу ток времени.
Чтобы показать, как эта векторная сумма получается в действи
тельности, найдём, опираясь на формулу (54), величину силы, не*
обходимой для равномерного движения по окружности.
§ 80]
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
точки
211
Пусть точка массы т движется по окружности A B C радиуса R
с постоянной скоростью v (фиг. 188). Мы знаем, что для этого
движения необходима центростремительная сила F, направленная по
радиусу к центру окружности.
Пусть точка описывает полуокружность A B C радиуса R . В поло
жении А элементарный импульс силы F At будет иметь направление
вправо (аа* на фиг. 189); по мере передвиже
ния точки от А к В соответствующие весьма
малые элементарные импульсы силы заполнят
часть дуги окружности от а до Ь9 когда же
движущаяся точка достигнет С, то соответ
ствующие элементарные импульсы силы займут
дугу Ьс окружности. Геометрическая сумма всех
таких весьма малых векторов будет равна диа
метру ас; геометрическая же разность колиличеств движения в точках С и А равна
m v — ( — m v) = 2m v (направление вниз по вертикали считаем по
ложительным). Таким образом диаметр ас окружности элементар
ных импульсов силы равен 2mv. При этом все элементарные импульсы
силы расположатся по полуокружности abc и, следо
вательно, сумма их абсолютных величин равна длине
полуокружности, т. е.
£ F A t — ъО'а.
Но
LF M = F 2 b t = Ft,
где t обозначает время движения точки А до С.
Таким образом мы имеем:
Ft = TzOfa = nmv.
С другой стороны, время t движения точки по
полуокружности A B C равно частному от деления
длины тс/? этой полуокружности на скорость v:
ST
■У
т
/
Фиг. 189.
v *
Подставляя это значение t в вышенаписанную формулу, будем иметь
F ~ - = vm v,
V
откуда после сокращения на тс получим:
nvtr
F=
R
Мы получили уже знакомую нам формулу центростремительной силы,
необходимой для равномерного движения точки по окружности.
14*
212
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ.
16
То обстоятельство, что при применении теоремы количеств дви
жения необходимо находить геометрическую сумму бесконечно малых
векторов импульсов силы, делает применение этой теоремы на прак
тике затруднительным.
Значительно проще обстоит дело, если по крайней мере напра
вление действующей силы остаётся неизменным; тогда геометрическая
сумма векторов переходит в простую алге
браическую.
Пример 75. Материальная точка брошена
вверх под углом а = 4 5 ° к горизонту с на
чальной скоростью 10 м /сек. Определить
время подъёма и скорость в наивысшей точ
ке (фиг. 190).
Так как скорость в наивысшей точке
траектории будет горизонтальна, то реше
ние задачи мы можем получить таким образом. От некоторой точ
ки О отложим вектор О А — начальное количество m v0 под у г 
лом а к горизонту. Количество движения в наивысшей точке изо
бразится вектором О В, проведённым из точки О горизонтально до
линии А В , проведённой из А по направлению силы тяжести mg.
Геометрическая разность конечного и начального количеств движе
ния будет:
_
ОВ — ОА = А В .
Из прямоугольного треугольника О АВ определим скорость v в наи
высшей точке. Имеем .
ОВ = m v = m v0 cos а,
_
откуда
v = v 0 cosa = 10 c o s 45° = 5 ] / 2 м/сек.
Время подъёма t определим, вычисляя катет А В , равный mgt:
t _ mv0 sin а _ г»оsin а _ 5]/~2 p_ q 7 ceK
mg
g
9,8
Теорема количеств движения представляет особый интерес при
изучении движения жидкостей; при её помощи можно определить
давление струи текущей жидкости на бокод вые стенки.
------------------------ Пусть в трубке А В происходит течение
жидкости; пусть в сечении А с площадью s {
St
скорость жидкости имеет величину v u а в
Фиг. 191.
сечении В с площадью s 2 скорость жидко
сти равна v 2 (фиг. 191). Для того что
быимело местоискривление пути жидкости в трубке, необходимо,
чтобы последняя действовала на жидкость с некоторой силой F .
Эту силу, вернее равнодействующую всех сил давления на жидкость
§ 80] КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ точки
213
в различных местах трубки, мы получим, если рассмотрим изме
нение количества движения жидкости в трубке, происшедшее за
время Д/. За это время жидкость, заполнявшая первоначально весь
объём трубки между сечением А и В , выйдет из сечения В на рас
стояние
t, а в сечении А наоборот втянется внутрь трубки на
расстояние v xAt. Если через у мы обозначим плотность жидкости,
то выступившая масса жидкости из сечения В будет:
г • W ito ,
а вошедшая в сечение А будет:
У*
Таким образом всё изменение количества жидкости А В сведётся
к тому, что прибавится количество движения (в сечении В )
у•
At •
и исчезнет количество движения
у♦
•vt
в сечении А . Но yslv 1 есть количество жидкости, протекающей
в одну секунду через сечение А , а ys2v 2 есть количество жидкости,
вытекающей в одну секунду через сечение В; так как вследствие
неразрывности струи жидкости в трубке количество вытекающей
жидкости должно равняться количеству втекающей, то
T ^i = TW
Эту постоянную величину называют секундным расходом жидкости.
Обозначив её через
мы будем иметь что изменение количе
ства движения жидкой колонны А В за
время Дt будет равно сумме двух векто
ров:
• Д£-{-(— F»i) Д*.
Разделив эту геометрическую сумму на
время At, мы получим величину силы, дей
ствующей на жидкость как геометриче
скую сумму двух векторов, р.г/а и — jaz/j
(фиг. 192).
Фиг. 192.
Таким образом:
Равнодействующая всех сил давления стенок трубки на текущ ую в последней жидкую струю равна геометрической р а з
ности скоростей выходящей и входящ ей жидкости, помноженной
на величину секундного расхода ж идкости:
F = p ( v t — Vi).
(55)
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
214
[ГЛ.
16
Равнодействующая всех сил давления жидкости на трубку будет
равна и противоположна полученной величине F (согласно закону
равенства действия и противодействия).
§ 81. Живая сила в криволинейном движении. В противопо
ложность количеству движения, являющемуся векторной величи
ной, живая сила, определённая нами как половина произведения
массы на квадрат скорости, будет скалярной величиной; более
того, поскольку и масса и квадрат скорости являются величинами
положительными, и живая сила будет всегда положительной вели
чиной.
Мы имели теорему живых сил, а именно, что приращение живой
силы или кинетической энергии движущегося тела на некотором
перемещении равно работе действующей силы на том же пере
мещении; эту теорему мы доказали для случая, когда действующая
на тело сила постоянна. Если сила, действующая на тело, будет
переменной (напомшш, что сила может меняться как по величине,
так и по направлению), то всю траекторию движения точки мы мо
жем разбить на ряд весьма малых отрезков Asu As2, As3, . . . , на
каждом из которых действуют соответственно силы
Р 2» Р 3> * • ’»
которые можно считать постоянными. Обозначим через ах, <х2,
а 3, . . . углы каждой силы с направлением соответствующего пе
ремещения. Тогда полной работой силы на всём перемещении
будет называться алгебраическая сумма этих весьма малых (так
называемых элементарных) работ силы на всех перемещениях,
т. е. сумма Р* As4 cos 0 4 - |- P 2As2 cos а2
. Если г>0 есть начальная
укорость, v x — скорость в конце перемещения Asj и в начале пере
мещения А&2, т>2 — скорость в конце перемещения Д$2 и т. д., то
мы будем иметь следующие равенства:
^
mv 1
mvZ
mvo
mv a
_
^
±
= P 1k s l COS 04 ,
= P 2As2 c o s a2,
= PnA ^ c o s a ,,
Складывая почленно все эти равенства, мы получим
m v\
m vi
^
—2----------Т ~ = 2
, ч
5 С08 a’
Т. е. что при перемещении из одной точки в другую приращение
Живой силы равно алгебраической сумме работ движущей силы на
элементарных бесконечно малых перемещениях, на которые можно
РАБОТА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
215
разбить всю траекторию движущейся точки. Покажем, как вычи
сляется сумма элементарных работ в некоторых практически наи
более важных случаях.
§ 82. Р аб о та силы тяж ести. Начнём с определения работы,
совершаемой в криволинейном движении силой тяжести. Докажем
следующую теорему:
Работа силы тяжести при перемещении между двумя точ
ками равна произведению силы веса движущегося тела на разницу
высот т ела в начальном и конечном полож ениях и не зависит
от формы кривой, описываемой т елом.
Пусть (фиг. 193) тяжёлое тело весом Р перемещается по неко
торой кривой между точками А и В . Разобьём эту кривую на
ряд весьма малых отрезков As. Общая работа силы веса при
опускании из А в В будет согласно определению работы:
£ Р As cos ос.
Но As cos ос= ДА — проекции отрезка As на вер
тикаль. В таком случае
2 Р As cos а = P £ k h .
Но J ] ДА даёт величину разности уровней точек
А и В , а именно Ад — Ав- Итак,
2 Р As cos ос = Я (Ад-— Ад).
(57)
Фиг. 193.
Заметим, что при опускании тела работа силы тяжести положи
тельна, при подъёме же отрицательна (Ав будет больше Ад).
Пример 76. Определить наибольшую высоту поднятия тяжёлой
материальной точки, брошенной с начальной скоростью v 0 под
углом а к горизонту.
Решая пример 75, мы установили, что скорость в наивысшей
точке траектории будет равна v 0 cos а. Обозначив наибольшую вы
соту поднятия через Н и применяя теорему живых сил, будем
иметь
- f - ( v , cos «)а ---- ! • * ? = (— mg) Н,
откуда находим Я :
t>o(l — cos3a)
н =
i/qsin5а
2£
Наибольшая высота подъёма в баллистике, так называемый <спотолок» орудия, получится при а = 90"; она будет равна
216
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[ГЛ.
16
Пример 77. Тяжёлая материальная точка массы т 9 привязанная
нитью длины / к неподвижной точке, отведена на
угол а от
положенияравновесия и отпущена без начальной
скорости
(фиг. 194).
Определить скорость v a этой точки во время её прохождения
через наинизшую точку А (положение равновесия).
Теорема живых сил даёт нам:
mv\
mvk
g~ = m g A K .
Так как начальная скорость v 0 равна нулю,
а А К = О А — O K = l ( 1 — cos а), то искомая
скорость будет:
Va — V 2 ^ /(1 — c o sа) = 2 sin —
Пример 78. Определить работу, совершаемую
весом тяжёлой цепи длины 21 и веса Р, кото
рая была первоначально собрана в одной точке, где был прикре
плён один её конец, а потом упала из этой точки, развёртываясь
во всю свою длину, пока не приняла положения устойчивого
равновесия А В 9 (фиг. 195).
Поскольку работа силы тяжести при пе
ремещениях по горизонтали будет равна нулю,
мы ничего не изменим в условиях нашей
задачи, если перед тем как отпустить нашу
цепь, вытянем её предварительно, чтобы она
приняла горизонтальное положение АВ.
Пусть т — масса какого-нибудь звена цепи
А', а х = А А 9— расстояние этого звена от
закреплённого конца А; очевидно, что ра
бота, совершённая весом этого звена при
переходе из Л' в а 9, будет равна:
m g A a 9= mgxг,
а сумма работ, совершённая силами всех звеньев цепи, будет равна
Y j n g x = g y2 imx.
Но выражение ^tnx уже встречалось нам в теории центра тяжести;
мы видели, что координата х с центра тяжести определялась фор
мулой
~
'Zmx
хс— ^ — .
Z jn
Таким образом искомая работа будет:
A = g ^ r n x = g x с 'Lm. — M gx с = Р х с ,
ЭНЕРГИЯ
217
если через М = £ т мы обозначим сумму масс всех звеньев нашей
цепи. Так как Х с = А С — А С ' представляет опускание центра тя
жести нашей цепи, то полученный результат может быть выражен
в таком виде:
Работа, произведённая силами веса системы материальных
т очек, равна произведению веса системы на разность высот центра
тяж ести.
В нашем случае величина искомой работы будет равна
Р ' ~ ~ = Р . АС=Р1.
§ 83. Э нергия. Способность производить работу мы называем
энергией. Если мы поднимаем груз на какую-нибудь высоту, то по
следний при падении с этой высоты может произвести известную
работу, причём работа эта будет тем больше, чем выше мы подняли
груз, иными словами, чем большую работу мы сообщили послед
нему. Из этого вытекает, что, совершая над телом некоторую ра
б о т у , мы, вообще говоря, увеличиваем его энергию.
Это увеличение энергии может быть скрытым, как в нашем при
мере с поднимаемым грузом, где для получения обратно работы мы
должны предварительно освободить наш груз — предоставить ему
падать, без чего никакая работа произведена быть не может; такого
рода скрытая форма энергии носит название потенциальной энергии.
J величение энергии может иметь и явную форму, выразиться в уве
личении скорости движения тела, увеличении живой силы последнего,
или, как мы скажем теперь, его кинетической энергии. Эта кине
тическая энергия может быть, в свою очередь, преобразована в ра
боту, в чём мы легко убедимся, изучая, например, разрушения,
произведённые артиллерийским снарядом, у которого, кроме силы
взрыва, есть и определённая ударная сила, зависящая от массы сна
ряда и его скорости. В сущности не сам снаряд производит разру
шение, а та энергия, кинетическая и химическая, носителем которой
он является.
Этот взаимный переход кинетической и потенциальной энергии
мы уже имели возможность изучить на примере силы тяжести. Под
нимая какой-нибудь груз Р на высоту А, мы увеличиваем потен
циальную энергию этого груза на величину совершённой работы РА*
при обратном падении тела потенциальная энергия, соответствующая
уменьшению высоты, идёт на сообщение ему кинетической энергии
(живой силы).
Итак, общая работа, сообщаемая телу, идёт на увеличение его
потенциальной и кинетической энергии, а отчасти теряется, или,
лучше говоря, преобразуется в другие виды энергии, например, те
пловую (увеличение температуры тела), и другие, которые мы не
можем непосредственно использовать и которые представляют, таким
218
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
[гл. 16
образом, потери в общем процессе превращения энергии в потреб
ную для нас полезную работу.
Из физики известно, что при всех взаимодействиях тел общее
количество энергии всех участвующих во взаимодействии тел
остаётся постоянным. В этом заключается закон сохранения энергии,
аналогичный закону сохранения количества движения. Разница за
ключается только в том, что принцип сохранения энергии имеет
силу только, если мы выйдем из узких пределов механической энер
гии и будем рассматривать всю совокупность физических процес
сов мира.
Так как увеличение энергии тесно связано с сообщением рас
сматриваемому телу работы, то в первую очередь нам следует за
няться изучением методов определения работы.
В случае постоянной силы работа последней равна произведению
силы на перемещение по направлению этой силы; в том случае, если
сила не будет постоянной, нам придётся разбить перемещение на
ряд бесконечно малых отрезков, на каждом из которых мы можем
считать рассматриваемую силу постоянной.
§ 84. Р аб о та переменной силы. Приложенную к движущейся
точке силу мы можем разложить на две составляющие: одну, напра
вленную по касательной к траектории точки, и другую, перпенди
кулярную к этой касательной.
Так как работа второй составляющей равна нулю, то при вычи
слении работы достаточно ограничиться определением работы первой
составляющей (назовём её движущей си
лой). Будем считать её положительной,
если она направлена прямо по движе
нию, и отрицательной, если она направ
лена против движения. Пусть теперь для
каждой точки траектории движущегося
тела (мы всегда можем представить эту
траекторию вытянутой в прямую линию)
известна величина движущей силы; по
строим график, изображающий изменение
её в зависимости от положения движущейся точки (фиг. 196). Пока
жем теперь, чтовеличина работы движущей силы при перемещении
из точки А в точку В будет измеряться площадью криволинейной
трапеции A B C D , ограниченной осью абсцисс, ординатами А С и
В О , представляющими величины движущей силы в точках А и В ,
и кривой CD, характеризующей изменение движущей силы.
Разобьём часть А В траектории на весьма малые отрезки As,
на которых можно считать постоянной величину движущей силы F.
Гогда работа силы F на перемещении As, равная произведению F
на As, представится площадью весьма малого прямоугольника, за
штрихованного на фиг. 196. Суммируя площади таких прямоуголь
ников и переходя к пределу, мы и получим площадь A B C D ,
РАБОТА ПЕРЕМЕННОЙ СИЛЫ
219
измеряющую всю работу движущей силы при перемещении из
А в В.
Технически важный случай переменной силы мы имеем в па
ровой машине, где работа производится за счёт расширения впу
щенного пара. Разберём, как в этом случае вычисляется работа.
Общий принцип действия парового двигателя состоит в том, что
в цилиндре А в точке ш впускают находящийся под определённым
давлением пар, который отодвигает впра
во поршень (фиг. 197). В некоторый
момент впуск пара прекращается, пор
шень продолжает перемещаться, но с уве
личением объёма перед поршнем давление
на последний будет уменьшаться. В мо
мент, когда давление уменьшилось до
величины атмосферного, начинается вы
пуск отработанного пара. После этого
поршень идёт влево до крайнего поло
жения, когда вновь начинается впуск па
ра и т. д. Выберем теперь систему пря
моугольных координат О х р , где по оси O^jjr
абсцисс
откладываются
перемещения
поршня, а по оси ординат силы давления
на поверхность последнего в соответст
вующем месте траектории (фиг. 197). Периоду впуска пара под
поршень соответствует отрезок ab; работа, совершённая паром, изо
бразится площадью прямоугольника аЬКМ. После прекращения впу
ска пара давление убывает по кривой bed и соответствующая ра
бота будет равна площади криволинейной
трапеции MbcdL.
В течение впуска пара из-под порш
ня последний перемещается в обратном
направлении против силы давления, так
что соответствующая работа будет отри
цательна и равна площади прямоуголь
ника dLKe.
Наконец, в момент нового впуска
пара под поршень давление поднимается
Фиг. 198.
по прямой еа, но поршень остаётся на
месте, так что работа равна нулю. Таким
образом, полная работа, отданная паром поршню за время полного
хода последнего, будет измеряться площадью, ограниченной зам
кнутой линией abede, так называемой площадью индикаторной диа
граммы. На практике острые углы этой площади обычно являются
сглаженными, так что она имеет вид, как на фиг. 198. Покажем те
перь, как по этой площади определить величину работы, отданной
паром поршню.
220
КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
Пусть площадь поршня равна 0,1 м 2, ход поршня 40 см, макси,
мальное давление перед поршнем достигает 5 at. Если по оси О*
1 см изображает 1 дм натуры и по оси Оу 1 см даёт 1 at, tq
какова будет работа, отданная поршню, если площадь индикаторной
диаграммы равна 15 см2.
Давление в 1 at соответствует 1 кг на 1 см 2 площади, еле.
довательно, полное давление на площадь поршня для 1 at равно
1 * 1 0 0 0 = 1 т; 1 см 2 площади диаграммы соответствует работе
1 т * 1 0 с м = 10 т е м , а 15 см2 дадут 150 т см = 1,6 тонно.
метров. Вот какова будет работа, отданная паром поршню за время
одного полного хода последнего.
§ 85. М ощность. Кроме общей величины работы, важно знать,
во сколько времени может быть совершена эта работа. Теорети
чески рассуждая, комар может выполнить ту же работу, что и ло
шадь, если будет выполнять её маленькими порциями; только всей
жизни комара нехватит для того, чтобы сделать ту работу, которую ло
шадь выполняет за одну минуту. Работа совершённая в единицу
времени, характеризует мощность. Она измеряется отношением про
изведённой работы ко времени, в течение которого эта работа была
совершена. За единицу мощности можно принять такую мощность,
которая в единицу времени, например секунду, совершит единицу
работы, например 1 кгм. Соответствующая единица мощности назы
вается «килограммометр в секунду» (обозначается кгм/сек). Однако,
ввиду малости этой единицы на практике употребляются другие. Пер
вой по времени была так называемая лош адиная сила (обозначается л.с.),
которая соответствует мощности 75 кгм/сек. Наряду с ней употре
бляется в качестве единицы мощности ватт, который равен мощ
ности машины, дающей в 1 сек работу, равную 1 джоулю. Часто
употребляется также киловатт — единица мощности, равная 1 0 0 0 ват
там. Одна лошадиная сила составляет 0,736 киловатта.
В этом нетрудно убедиться, проделав следующую цепь вычи
слений:
1
кгм
- - 1000 г • 100 см
1ЛА<> 981 дин см
1 л. с. = 7 5 ------ = 7 5 --------------------- = /5U • l(Jlr
сек
сек
сек
= 7 5 0 • 100а . 981 - ^ - = 750 . 100* . 981
—
сек
10000 000 сек
75 • 981
=
100
75 • 981 киловатт
А _0 ~
ватт= -------lOO'T lOOO----- = ° > 7 3 6 киловатт.
Если мощность равна работе, делённой на время, то, обратно, ра
бота будет равна мощности, помноженной на время. В связи с этим
можно установить новую единицу работы — киловат т час, которая
равна работе, совершаемой в 1 час мощностью в 1 киловатт.
Так как мощность N равна работе А , делённой на время, и ра
бота, в свою очередь, равна силе Р, помноженной на путь s , то
мощность
221
практически мощность можно вычислить по формуле;
аг=
4 = -х = ^ т = ^ .
(58)
так как отношение пути ко времени ~~ даёт нам скорость равно
мерного движения.
П ример 79* Строгальный станок работает со скоростью
180 см/сек; зная, что для перемещения стола требуется сила в 500 кг,
определить мощность, расходуемую на снятие стружки;
N = P v = 5Q0 • 0,18 кгм/сек = 90 кгм/сек
или (в лошадиных силах)
W = g = l ,2 л. с.
Пример 80. Зная, что мощность человека составляет в среднем
•0 ,1 л. с, и что гребец в лодке движется равномерно со скоростью
6 км /час, определить сопротивление воды движению лодки.
Мощность гребца равна 7,5 кгм/сек , скорость движения v —
б . 1000
10 м
~
= Г ~~ШЮ~~Ъ~ сёк' ^ тсюда сила сопротивления воды равна
D
N
7,5 • 6
. .
Я = Т = - Т о - = 4 >5 * гЗАДАЧИ.
80. Секундный расход воды, протекающей через трубу со скоростью 5 м
в секунду, равняется 10 л. Определить равнодействующую F сил давления
воды на угловой отрезок трубы, соединяющей две её части, идущие под
углом 90° друг к другу (g = 10 м/сека).
О т в е т : / 7= 5 } / 1 Г = 7 кг и направлена по биссектрисе угла между
частями трубы.
81. За 500 м до станции, стоящей на пригорке высотой 2 м, машинист
поезда, идущего со скоростью 12 м/сек, закрыл пар и начал тормозить. Как
велико должно быть сопротивление от торможения, чтобы поезд остановился
у станции, если вес поезда равен 1000 nt, а сопротивление трения 2 т ?
О т в е т : 8 400 кг.
82. Определить работу, необходимую для опрокидывания прямоуголь
ного параллелепипеда квадратного сечения со стороной 6 м и высотой 8 м,
если вес его равен 4 т.
Указание. Необходимо, чтобы центр тяжести параллелепипеда оказался
как раз над ребром, вокруг которого происходит опрокидывание.
О т в е т : 4 000 кгм.
83. На столе лежит вытянутая цепь длины 2/ = 1 м и веса Р = 3 кг,
так что половина её спускается со стола вниз. Определить, какую скорость
падения приобретёт цепь в тот момент, когда она соскользнёт со стола,
а также работу при соскальзывании.
О твет:
v=
у gl = 2,75 м/сек, А — р {^1---- J‘) ==^T кгМч
222
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ-
17
84. Человек весом 75 кг поднялся с грузом 30 кг на высоту 10 ж в тече.
пае 1
мин. Определить развитую человеком при этом мощность.
О т в е т : 0,16 л. с.
85. Весящая 200 кг бадья вмещает 1 т угля. Какой мощности мотор
надо поставить на разгрузку, если требуется за 12 часов поднять на высоту
10 ж количество угля, равное 600 /и. Сколько человек могут сделать это
вручную, если мощность человека 0,1 л. с.?
О т в е т : 2,22 л. с.; 22 чел.
Г Л А В А 17.
КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ И ЖИВАЯ СИЛА
ВО ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ ТВЁРДОГО ТЕЛА.
§ 86. Вычисление количества движения и живой силы вра
щающегося твёрдого тела. Мы определили количество движения и
живую силу для одной материальной точки. Если мы имеем тело
достаточно больших размеров, отдельные
части которого движутся с различными ско
ростями, то его всегда можно разбить ка
какое-то количество частиц, каждую из ко
торых можно принять за материальную точку,
и для каждой точки определить количество
движения и живую силу.
Количеством движения твёрдого тела
называется геометрическая сумма векто
ров количеств движ ения м ат ериальны х
точек, из кот оры х состоит это тело.
)Кивой силой твёрдого тела называется арифметическая сумма
ж ивых сил составляющ их это тело точек.
Покажем, как вычисляются количество движения и живая сила
в случае твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
Разобьём наше тело на ряд материальных точек с массами т\
пусть расстояние такой точки А от оси вращения будет Т\ тогда, если
ш будет угловая скорость вращения, твёрдого тела, то линейная
скорость элементарной массы m будет шг, а её количество движе
ния изобразится вектором A B = m v = mo>r.
Выберем систему координат O x y z так, чтобы ось Oz совпала
с осью вращения (фиг. 199); обозначим через а угол, образуемый
направлением радиуса вращения ОА = г с плоскостью O x z; тогда
координаты какой-нибудь точки А будут:
х = OK = r cos а,
у = А К = г sin а.
(Мы предполагаем, что координатные оси составляют одно целое
§ 86]
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
и живой силы
223
с вращающимся телом, так что угол а во время вращения остаётся
неизменным.) Вектор А В количества движения точки А мы можем
разложить на два вектора:
А Е — А В cos (90° — а) = m w sin а = тту,
A D = А В cos а = пкаг cos а = п т х.
Суммирование векторов количеств движения мы можем произвести
по общим правилам, найдя в отдельности суммы проекций количеств
движения на оси О х и Оу, Если координаты точки А будут обе
положительны, то проекция количества движения на ось О х будет
отрицательна и равна
— тшу,
а проекция на ось Оу положительна и равна
пиах.
Таким образом проекции суммы векторов количеств движения на
координатные оси будут:
х = 2 (— тту) = — со 2 ту,
= 2 тюх = со 2 т х .
Выражения 2 т х и 2 тУ Уже встречались нам в теории центра
тяжести; они будут соответственно равны:
2 т х = М х С9 % т у = М уС9
где М = £ т есть масса всего вращающегося тела, а х с и у с —
координаты его центра тяжести. Таким образом
х = — М(оус,
у = М ы хс.
(5 9 )
Мы видим, что эти проекции совершенно такие же, как если бы
в центре тяжести С была сосредоточена вся масса вращающегося
твёрдого тела и мы искали бы количество движенияполучившейся
материальной точки. Величина вектора количества движения вра
щающегося твёрдого тела будет:
R — Z x * -f-y 3 = Мш / х 1 - \ - у 1 — Мтгс,
(60)
где гс есть радиус вращения центра тяжести тела.
Таким образом мы пришли к следующему результату: количество движ ения вращающегося твёрдого тела равно количеству
движ ения центра его тяж ести, предполагая, что в последнем
сосредоточена вся масса вращающегося тела.
224
ВР А Щ А Т Е Л Ь Н О Е
ДВИЖЕНИЕ
ТВЁРДОГО
Т ЕЛ А
[ГЛ.
17
Если центр тяжести вращающегося тела находится на оси вращения, то количество движения этого тела равно нулю (так как
гс = 0).
Обратимся теперь к вычислению живой силы вращающегося
твёрдого тела.
Живая сила каждой материальной частицы массы т , на которые
разбито наше тело, будет
mv*
т (шг)2
2
2
—
*
Полная живая сила тела будет равна сумме живых сил отдель
ных точек тела, т. е.
jj.
1—
/ / Z jC O " / * j[
2
|
tY l< g ip Y \
1
2
j
/7£3 0>3 Г з
1
2
_
|
‘
e*
G
U
“
Во всех этих членах имеется общий множитель у ; вынеся его за
скобку, будем иметь
7 ' = у (/иЛ + щ г* - f т гг\ + . . .)•
В скобках стоит выражение, равное сумме произведений масс мате
риальных точек тела на квадраты их расстояний до оси вращения.
Это выражение носит название момента инерции рассматриваемого
тела относительно оси. Обозначая его через У, будем иметь
У = о т 1г2, + /гег^ + . . . = 2 ]отг9.
(61)
При введении понятия о моменте инерции вышенаписанная фор
мула для живой силы примет вид:
7 W £ .
(62)
Если мы сравним эту формулу с выражением живой силы при
mv*
поступательном движении, т. е. с - у - » т 0 станет совершенно ясной
аналогия в строении обеих этих формул; вместо линейной скорости
v теперь стоит угловая скорость а>, а вместо массы т момент
инерции J. Последний в динамике вращательного движения играет
ту же самую роль, какую масса играет в динамике поступательного
движения. Поскольку массу можно считать мерой инертности тела
(чем больше масса, тем большую силу нужно приложить к телу для
сообщения последнему заданного ускорения), то этим и объясняется
самоеназвание
«момента инерции»: слово «момент»напоминает
о вращении («вращающий момент силы»), а «инерция» — об аналогии
момента инерции с массой.
§ 87]
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ и нерци й
225
§ 8 7 . В ы числение моментов инерции* Момент инерции данного
тела по отношению к данной оси зависит от положения этой оси
относительно тела (в этом состоит его существенное отличие от
массы, которая для данного тела является вполне постоянной вели
чиной) и в каждом отдельном случае может быть вычислен по
особым формулам или же определён опытным путём. Можно дать
элементарные выводы для момента инерции в случае практически
важных тел. Общий метод будет состоять в том, что мы разбиваем
наше тело на весьма большое число
весьма малых частей, определяем мо- q
менты инерции этих частей и скла- j
дываем их, переходя к пределу при J
бесконечном увеличении числа ча- ;
мм
'7 "2
стиц.
Л'г
ЕЕЕ
В первую очередь начнём с опре
Аг
деления
момента инерции
тонкого ^
стержня массой т и длиной I относи- }
тельно оси, проходящей через его ко- f
нец и перпендикулярной
к длине ^
фиг-20°*
стержня.
Пусть 0 0 — ось вращения, А В = 1 — длина стержня,
и
—
концы весьма малого отрезка длины Аг (фиг. 200).
Определим в первую очередь массу, которая приходится на
длину Дг; масса, приходящаяся на единицу длины стержня, будет
а на длину Аг, очевидно, Д//г = ^уДг.
Пусть A M x = ra9 A M ^ = rb; в таком случае
& r = r b — ra.
Чтобы получить момент инерции части
стержня, мы должны
соответствующую массу Ат помножить на величину квадрата сред
него расстояния отрезка
Д-/=Т (ГЬ -
Га )
г?р.
Это гср мы можем выбрать подходящим образом; например:
r l + r arb + rl
*------------- 5-------
rl+ ri
— 2
и т. д. Все эти выражения при весьма малых отличиях га и гь друг
о т друга будут весьма мало различаться между собой (при га = гь
они дают един и тот же результат), поэтому мы можем при пере
ходе к пределу пользоваться любым выражением для ГсР. Выберем его
15
Зак« 667.
И. Н . Веселовский
226
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл 17
таким образом, чтобы после умножения на гь — га получить раз
ность каких-нибудь степеней гь и га.
Положим
rl + rarb + rl
_
Гер----------------- з --------------
В таком случае
о
s . (П _ г Э .
« + V ,+
Пусть мы разбили нашу прямую на п частей, причём расстояния
последовательных точек деления от оси будут
О* 7*]» т
= /.
Гп .„ j ,
Тогда общий момент инерции J будет:
; = * Д 4 + дув + . . . + ду|1 =
= Ъ
+ £ < /1 - 0
+
... + 1 ^ - ^ ) .
После приведения подобных окончательно получим
J = s ' i = T mr‘Так выражается момент инерции стержня относительно его конца,.
Рассмотрим теперь момент инерции стержня массой m и длиной
2 / относительно оси, проходящей через середину стержня перпен
дикулярно к длине последнего. Разбив стержень на две половины мас
со й
каждая, найдём, что полный момент инерции будет согласно
предыдущему:
7 ___ О 55. -L 73
2 2 3 1 ~
V" /2
3
’
т. с. он выразится той же самой формулой, где под пг нужно пони
мать массу всего стержня.
В дальнейшем нам будет полезно следующее очевидное замеча
ние: момент инерции не изменится, если мы передвинем все массы
параллельно оси т ак, чтобы расст ояния и х до оси остались без
изм енения 1 На основании этого замечания легко решается следую
щий пример:
Пример 81. Найти момент инерции стержня А В массой М дли
ной 2 а вокруг осп zz, проходящей через его середину и образую
щей угол а с направлением стержня.
Этот момент одинаков с моментом инерции стержня ab9 который
мы получим, передвинув все массы параллельно оси* z z %как показано
на фиг. 2 0 1 .
227
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
П ример 82. Найти моменты инерции прямоугольника массой /VIу
длиной 2а и шириной 2Ь вокруг осей О х и Оу, проходящих через
его центр и параллельных его сторонам (фиг* 2 0 2 ;.
К
~Т“
Ъ
-JL.
Фиг. 202.
Для определения момента инерции относительно оси Оу мы
можем сжать прямоугольник так, чтобы он обратился в стержень,
совпадающий с осью О х. Это даёт нам
Jv= L M a \
т
/* =
аналогично
1
3 " Mb'2.
Если через О проведём третью ось перпендикулярно к плоскости
прямоугольника и возьмём момент инерции около этой оси, то
получим так называемый полярны й момент инерции прямоугольника. Обозначая О М через г, расстояния ОА = х , A M — v и поме
щая в М элементарную массу т, мы
можем написать по определению
у, = 2 « Л
где сумма взята для всех точек на
шей фигуры. Но (фиг. 203)
г 2 = х* + У 2;
поэтому
Л = * > (* * + У ) = £ т х2+
+ Z m y l = Jv + J<*
Это показывает, что полярны й момент инерции плоской фигуры
равен сум м е мом ент ов инерции около д вух взаимно перпендику
л я р н ы х осей, леж а щ и х в плоскост и этой фигуры . В применении
к прямоугольнику примера 82 это даёт нам
Пример 83- Определить моменты инерции прямоугольного парал
лелепипеда массой М с измерениями 2а, 2Ь, 2с, относительно осей,
15*
228
[гл. 17
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
проходящих через центр О параллельно рёбрам параллелепипеда
(фиг. 204).
Момент инерции относительно оси О х не изменится, если мы
сплюснем наш параллелепипед так, чтобы он обратился в пластинку,
перпендикулярную к оси О х с изме
рениями 2 b и 2 с.
В таком случае, пользуясь вве
дённым понятием о полярном мо
менте, мы можем написать:
Jx =
±M {b' +
c *).
Аналогично будем иметь
Jy = -7jrM (a1 - f - c 2),
Jz = ± M (.a * + b%
Перейдём теперь к определению моментов инерции круга и цилиндра.
Момент инерциивесьматонкого кругового кольца массой
т и
радиусом г относительно оси,
проходящей через центр кольца пер
пендикулярно к плоскости последнего, будет, очевидно,
Возьмём теперь весьма тонкий диск и определим момент инерции
части его, заключённой между двумя концентрическими окружностями,
описанными радиусами гА и гв вокруг центра О; ось, относительно
которой берётся момент инерции, будем предполагать проходящей
через О перпендикулярно к плоскости чертежа.
Пусть М будет масса диска, 8 — его поверх
ностная плотность (масса, приходящаяся на
единицу площади); в нашем случае:
8—
М
Разделим наш диск на ряд весьма тонких ко
лец окружностями, концентрическими с О;
одно из таких колец изображено на фиг. 205.
Пусть внутренний и внешний радиусы его будут га и гъ. В таком случае момент инерции этого элементарного
кольца будет равен массе его 8 тг (г^ — г |), помноженной на квадрат
среднего радиуса, лежащего между га и гь. Если га и гь очень
близки друг к другу, то мы можем взать
„
га + г1
§ 87J
ВЫЧИСЛЕНИЕ
229
МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
В таком случае элементарный момент инерции будет
AJ = 8 * (r \ - rl)
= ~ (г* -
rl).
Суммируя все такие моменты для всех колец, на которые мы раз
делили наш диск, мы получим аналогично тому, как в случае
палочки, что полный момент части диска (заключённой между двумя
концентрическими окружностями) будет
J = Y i 'i - r l ) ,
или, подставляя вместо 8 его значение,
i
Полагая гд = 0,
сом ^
-т ф ъ « - ■ъ = тм« + ЧУ
найдём момент инерции сплошного диска радиуJ0 = ± - M R \
Такими же формулами выразятся и момент инерции сплошного и
полого цилиндров массой М и радиусом гв
внешнего и гд внутреннего относительно осей
последних.
Пример 84. Найти момент инерции тон
кого кругового кольца массой М и радиусом R
относительно оси, совпадающей с его диаме
тром (фиг. 206).
Проведём в плоскости кольца два взаимно
перпендикулярных диаметра О х и Оу и вос
пользуемся соотношением
Фиг, 206.
Л = /*
Л*
П нашем случае, очевидно, Jx = Jy ; таким образом, искомый момент
инерции JX = J будет
Л __MR*
J— 2 — 2 *
Аналогичным рассуждением установим, что для случая сплошь
ного диска момент инерции относительно диаметра будет:
,__Л _ M R 8
2
4 в
Пример 85. Найти момент инерции тонкой сферической оболочки
массой М ирадиусом R относительно оси,совпадающей с её диаМетРом (фиг. 207).
Проведём через центр оболочки три взаимно перпендикулярные
плоскости О х у, O x z, Oyz>
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
230
[ГЛ.
17
Возьмём какую-нибудь точку М оболочки; расстояния её от этих
плоскостей будут измеряться соответ
ственно перпендикулярами M G , GK
GH (фиг. 207). Положим:
OK = G H ~ x ,
O H = G K = y , MG = z.
Расстояние точки М до оси О у обо
значим через М Н = г . В таком случае
момент инерции оболочки относительно
диаметра Оу будет
Jy = Z m r a = 2 m ( x t + J ) .
Но нетрудно видеть, что
V т хл = 2 ту'1 = £ m z1,
так как все три диаметра О х, Оу, Oz вполне равноправны между
собой. Сложив эти три выражения, мы получим
ЦюСя’ + У + г * ) Но х* -j- y 2 - f - z 1 = R*; таким образом
S « ( j e » + y + «a) = Al/?1.
где
и
M — 'Ejn
тх~ = У т у1 = ^ m z 2 — -g M R 1,
Это даёт нам
Пример 8 6 . Найти момент инерции шара массы М и радиуса R
относительно его диаметра.
Разобьём шар концентрическими сферами на ряд тонких сфери
ческих оболочек; пусть внешний и внутренний радиусы одной такой
оболочки будут г ь и га. Момент инерции этой оболочки относительно
диаметра Оу будет согласно предыдущему примеру равен ~ произ
ведения массы на квадрат среднего радиуса между га и гь. Остаётся
определить массу оболочки.
Обозначим через й массу, приходящуюся на единицу объёма
(плотность); в таком случае масса оболочки будет равна произведе
нию плотности на объём. Объём оболочки мы можем взять в виде
произведения высоты его (разности внешнего и внутреннего радиу
сов гь — га) на площадь сферы для какого-то среднего радиуса
между га и гЬ) т, е, 4^ГсР. Составляя теперь выражение для элемен
§
88]
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ОСЕЙ
231
тарного момента инерции, будем иметь:
A J = -g- 84тсгср (гь
га) тср.
Что касается гср, то мы можем взять его в таком виде:
„4
Гср
га + rurb + r2arl + rar'l + r\
5
В таком случае, как нетрудно видеть, элементарный момент инерции
представится в виде
Аг
ГВ ~ Л
— — •
2
Складывая все такие элементарные моменты инерции, мы получим,
что полный момент инерции шара будет:
• ^ т - i 84^ 5Остаётся определить 8 . Мы имеем
M = bV= bОкончательно
будет
момент
инерции
шара
относительно
его
диаметра
J = ^ MR3.
§ 88. Вычисление моментов инерции для различных осей,
проходящих через одну точку. Мы нашли моменты- инерции про
стейших тел для осей симметрии,
пересекающихся в центре тяжести
тела. Покажем теперь, как, зная
эти моменты, найти момент для
любой оси, проходящей через центр
тяжести; ограничимся лишь частным
случаем, когда тело представляет
пластинку, и будем рассматривать
только оси, лежащие в плоскости
этой пластинки.
Пусть О — центр тяжести пла
стинки (фиг. 208), а оси О х и Оу
суть оси её симметрии. Возьмём
какую-нибудь ось O n, образующую угол а с направлением оси О х,
и попробуем определить момент инерции пластинки относительно
этой оси.
Разобьём нашу пластинку на ряд материальных точек: пусть А
будет одна из таких точек, содержащая массу т\ положение этой
232
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[ГЛ.
17
точки в пластинке определяется координатами х = ОВ и у = А В \
расстояние А К этой точки до оси On обозначим через г.
Искомый момент инерции Jn относительно оси On будет
Jn = ' L mr'l >
Из треугольника О А К имеем:
г2 = А К 1= ОА 2 — О К*.
В этом выражении ОА* = х 2 -f-y*, а ОК представляет проекцию на
ось On ломаной линии О В А К \ эта проекция, как нетрудно видеть,
равна:
OK = ОВ cos a -f- В A sin а = х cos а - \ - у sin а.
Возведя обе части нашего равенства в квадрат, будем иметь:
О К 2 = х 2 cos2 а -\-у~ sin2 а -f- 2 х у sin а cos а.
Таким образом:
г — ОА '2— ОК* = х 2 -J- у 2 — ( х 2 ccs 2 a -f-y 2 sin 2 a -f- 2 у у sin a cos a) =
— x l sin 2 a -f-У 2 cos 2 a — 2 x y sin a cos a.
Подставляя полученное выражение в формулу для Jn, будем иметь
Jn = £ тг 2 = V т х 2 sin2 a -j- V ту 2 cos2 a — 2 2 ^УУ sin a cos a.
Так как величины множителей sin2 a, cos2 a постоянны, то' их можно
вынести за знаки соответствующих сумм, и мы получим:
Jn = sin2 a v т х 2 -f- cos'2 a V my 2— 2 sin a cos a 2 mxy.
Выражение 2 //?Jt 2 представляет сумму произведений масс т точек
тела на квадрат расстояния х каждой точки до оси Оу; таким
образом оно будет представлять момент инерции пластинки относи
тельно оси Оу:
V т х 1= Jr
Точно так же убедимся, что
v т у2 = Jx,
где Jx есть момент инерции пластинки относительно оси О х.
Что касается выражения £ т х у — суммы произведений масс точки
на её расстояния jc и у до осей Оу и О х , то оно носит название
произведения инерции или центробежного момента инерции. Впо
следствии нам ещё придётся встретиться с выражёншши такого вида;
в данном случае мы можем ими не заниматься, так как нетрудно
показать, что если оси О х и Оу суть оси симметрии, то выражение
£ т х у равно нулю.
§
88]
ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ
ОСЕЙ
233
Действительно, если О х и Оу суть оси симметрии пластинки,
то каждой точке Л, в которой сосредоточена масса т и которая
имеет координаты О С = у и СА = х (фиг. 208), будет соответство
вать точка А ', представляющая её зеркальное отображение отно
сительно оси Оу; в этой точке А \ координаты которой будут СА' = — х
и О С = у, тоже сосредоточена масса т . Для этих двух точек мы имеем:
т х у -(- т (— х ) у = 0.
Так как ось Оу является осью симметрии пластинки, то все точки
последней могут быть распределены на такие пары, и общая сумма
2 ] т х у будет, следовательно, равняться нулю.
Отметим, что оси О х и О у, относительно которых ^ т х у рав
няется нулю, называются главными осями инерции пластинки. Если
О х и Оу суть главные оси инерции, то выражение для Jn принимает
вид:
Jn = Jx cos 2 a -f- Jy sin 2 а.
(63)
Если JX = JV, то из формулы (63) видно, что
Jn будет иметь
такую же величину.
Если моменты инерции пласт инки относительно главны х осей
равны, то момент инерции относительно любой оси, проведённой
в плоскости пласт инки через точку
пересечения
главны х
осей, будет
иметь ту же самую постоянную ееличину.
Мы видели, что это действительно
имеет место для диска; теперь мы мо
жем утверждать, что то же самое бу
дет справедливо и для квадрата — мо
мент инерции относительно любой оси,
проведённой в плоскости квадрата че
рез его центр, есть величина постоян
ная.
Воспользуемся этим обстоятельством
для того, чтобы определить моменты
инерции ромба относительно его диа
гоналей.
Пусть A B C D (фиг. 209) будет ромб, диагонали которого ОА = а
и О В = Ь, Момент инерции этого ромба относительно оси Оу не
изменится, если мы вытянем ромб, не изменяя его массы, парал
лельно оси Оу так, чтобы полоска K L , параллельная оси Оу, перешла
в полоску K L \ составляющую часть квадрата A B 'C D '. Если ОА = а,
то сторона А В ' этого квадрата будет а ] / 2 , а половина её а V2I ‘
234
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 17
Момент инерции квадрата со стороной аУ~2 относительно оси Оп9
проходящей через его центр параллельно стороне, будет равен
согласно разобранному в примере 82:
Согласно предыдущему такую же величину будет иметь и момент
инерции квадрата относительно диагонали B ’D \ следовательно, и
момент инерции ромба A B C D относительно той же оси. Таким обра
зом для ромба A B C D :
^ = - 1 МаК
Аналогично будем иметь:
и наконец:
Момент инерции ромба относительно диагонали важен в том
отношении, что он позволяет вычислить момент инерции треугольника
относительно оси, совпадающей с основанием последнего.
Действительно, если мы разобьём ромб A B C D на четыре тре
угольника О А В , ОВС, OCD, O D A, то нетрудно видеть, что моменты
инерции всех этих частей относительно каждой из осей О х и Оу
равны между собой; таким образом момент инерции треугольника О АВ
относительно оси О х будет:
4 МТ '
Но масса треугольника О А В будет равна четверти массы ромба;
следовательно, если под М подразумевать массу рассматриваемого
треугольника, то момент инерции прямоугольного треугольника с кате
тами а и b будет выражаться такими же формулами
_М Ъ 2
Jx
5 ,
J _ Ма2
v
б
>
если оси О х и Оу совпадают соответственно с катетами а и Ъ.
Но любой треугольник A B C с основанием А В = а и высотой k
можно перенесением параллельно основанию А В преобразовать
в равновеликий ему прямоугольный треугольник А Б С (фиг. 210),
причём момент инерции относительно оси А В при эгом преобразо
вании не изменится. Таким образом момент инерции треугольника
ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
235
с основанием а и высотой h относительно оси, совпадающей с его
основанием, будет равняться:
4- Mh*.
Отметим, что все выведенные формулы можно объединить в следую
щем мнемоническом правиле:
Пусть координатные оси совпадают с направлениями главных осей
инерции, проходящих через центр тяжести С; на каждой из этих
осей отложим отрезки а, b, с до точек пересечения с границами
определяемого тела (если наше тело является пластинкой, то один
из этих отрезков будет равен нулю), В таком случае момент инерции
относительно какой-нибудь оси будет равен массе тела, помноженной
на сумму квадратов отрезков, перпендикулярных к этой оси, делён
ную на некоторый коэффициент п:
J2 = M
где п = 2
п= 3
для окружности (a — b = R ~ радиус окружности, с = 0 ),
для прямоугольного параллелепипеда (а, b, с равны его
полуизмерениям),
п = 4 для круга (а = b =
с — 0),
п = 5 для шара (a = b — c = R ) t
для ромба (а и b равны полудиагоналям ромба, с — 0 ).
Пример 87. Найти момент инерции треугольника с основанием а
и высотой h относительно оси, проходящей через его вершину
параллельно основанию.
Пусть рассматриваемый треугольник будет Л В С (фиг. 211) и тре
буется определить момент его инерции относительно оси х х , парал
лельной основанию А В ; пусть масса треугольника Л ВС будет М .
Дополняя этот треугольник до парал
лелограмма A B C D , будем иметь отно
сительно оси х х :
или
J a b c d - - j ACD “Ь Jabc
откуда:
МП»
Jabc “
2
*
§ 89. Теорем а Штейнера. Для вычисления моментов инерции
относительно осей, не проходящих через центр тяжести, пользуются
следующей теоремой о параллельных осях — так называемой теоре
мой Штейнера.
236
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ.
17
Момент инерции около любой оси равен моменту инерции
около оси, проходящ ей через центр тяж ести, параллельно данной,
сложенному с произведением массц тела на квадрат расстояния
между обеими осями.
Рассечём тело плоскостью, перпендикулярной оси, относительно
которой мы берём момент. Пусть фиг. 212 представляет рассматри
ваемое сечение, точка А — след данной оси,
О — след параллельной ей оси, проходящей
через центр тяжести, OA = d есть расстоя
ние между обеими осями. Представим дан
ное тело разбитым на ряд элементарных ма
териальных точек. Пусть L — одна из этих
точек с массой т> удалённая от осей О и Л
соответственно на расстояния OL = r, и
A L = р. Момент инерции относительно оси
Фиг. 212.
А будет
2
Уд = 2 Щ Но из косоугольного треугольника OAL по теореме косинусов имеем
р2 _ г2
^2
2 dr cos ср.
Если центр тяжести О примем за начало координат, а прямую ОА
за ось О х у то rcos(p = x — координате данной точки L по оси О х.
Подставляя выражение для р2 в формулу, определяющую Уд, будем
иметь после небольших преобразований
Уд = 21
+ 2 т(Р — 2 У 2 т х -
Но
равно М х е — произведению массы М всего тела на коор
динату Хс его центра тяжести. Если центр тяжести находится в на
чале координат О, то координата Хс равна нулю. Тогда, после за
мены £ т = М , получим
JA = 2 m r * -\-M d * .
(64)
Но 2 i m r2 = J0 — моменту инерции относительно оси, проходящей
через центр тяжести О, и теорема доказана.
При помощи теоремы Штейнера мы можем найти момент инерции
треугольника относительно оси, проходящей через его центр тяжести
параллельно основанию; он будет равен:
Jc =
— М (4 ) = ^ M h\
Так как площадь всякой прямолинейной фигуры всегда можно
разбить на треугольники (а также и на прямоугольники вместе с тре
угольниками), стороны которых параллельны и перпендикулярны оси,
относительно которой момент инерции определяется, то мы можем
найти момент инерции такой фигуры относительно любой оси, лежа
щей в её плоскости,
ТЕОРЕМА ШТЕЙНЕРА
237
Пример 88. Вычислить относительно оси х х момент инерции
неправильного четырёхугольника, изображённого на фиг. 213, у кото
рого на единицу площади приходится единица массы и размеры
которого даны на чертеже.
Все вычисления расположены в следующей таблице, где М есть
площадь треугольника, h — его высота, Jc — момент инерции относи
тельно оси, проведённой через центр тяжести, he — расстояние центра
тяжести от оси
M
h
A B E .............
з
2
A E D .............
4,5
3
В С Е .............
0
3
C D F .............
4
2
J Mh'c
J c = V8Mh*
i hc
J
X 12
18
1
X 40,5
18
1
X 54
18
1
X 16
18
1
X 122,5 = 6,80
18
4-1
3
65,33
3
40,50
4
96,00
2 T3
21,77
223,60
Искомый момент инерции будет 6 ,8 -[-2 2 3 ,6 — 230,4.
Если требуется найти момент инерции пластинки относительно
оси, перпендикулярной к её плоско
сти (например, около оси, прохо
дящей через точку Z,, перпенди
кулярно плоскости четырёхуголь
ника A B C D ), то этот момент полу
чается как сумма моментов* инерции
относительно двух взаимноперпенди
кулярных осей, лежащих в плоско
сти пластинки и проходящих через
точку пересечения этой плоскости
с осью, относительно которой ищет
ся момент.
В нашем примере мы уже нашли
ф иг< 213.
момент инерции относительно оси
х х : момент инерции относительно перпендикулярной к ней оси BL
будет:
BD ' CF С Р \ = j 5 BD {АЕг - f C P ) = 38,0.
Искомый момент инерции JL будет:
Л = Л + Л = 230,4 - f 38,0 = 268,4.
[гл .
ВРЛЩ \ТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
238
17
Пример 89. Найти главные моменты инерции круглого цилиндра
с массой М , высотой 2Н и радиусом основания R (фиг. 214).
Нетрудно видеть, что относительно оси О х момент инерции будет
MR2
равен — , т. е. моменту инерции диска, который мы получим, когда
перенесём всю массу цилиндра параллельно оси О х в одну плоскость
поперечного сечения.
Относительно оси Оу дело будет обстоять несколько сложнее.
Разрежем цилиндр перпендикулярными к его оси плоскостями на
весьма малые диски толщины Дат; о д и н и з таких дисков, расстояние
которого от центра тяжести О цилиндра равно О К = х , изображён
на нашем чертеже. Если тол
щина этого диска Дат, т о мас
са его будет:
Дт — ~ Дат.
Момент инерции цилиндра от
носительно оси Оу будет ра
вен сумме моментов инерции
всех таких элементарных дисков. Для выделенного диска элементар
ный момент инерции по теореме Штейнера будет равен моменту
инерции относительно оси аа> параллельной Оу и проходящей через
центр его К, сложенному с произведением массы \ т этого диска на
квадрат расстояния х между осями Оу и аа. Следовательно, момент
инерции цилиндра относительно оси Оу равен:
„
-
Первая сумма, как нетрудно видеть, даст нам
MR*
момент инерции,
который бы мы получили, если бы вся масса цилиндра была сосре
доточена в плоскости перпендикулярного к оси сечения цилиндра, п ро
ведённого через его центр , яжести О; что касается второй суммы,
то она будет представлять момент инерции палочки длины 2Н и массы М
относительно оси, проведённой через середину палочки перпендику
лярно к ней; мы видели, что этот момент инерции будет:
МИ*
3 •
Таким образом искомый момент инерции цилиндра будет:
§ 90. Центр удара. Мы видели, что количество движения вра
щающегося твёрдого тела вычисляется как количество движения
ЦЕНТР УДАРЛ
239
одной материальной точки, обладающей массой всего тела и распо
ложенной в центре его тяжести; таким образом с точки зрения
вычисления количества движения мы можем наше вращающееся тело
заменить одной его точкой, а именно центром тяжести. При вычис
лении живой силы подобная замена уже не будет допустимой; дей
ствительно, если центр тяжести тела находится на оси вращения, то
количество движения тела будет равно нулю, в то время как его
живая сила, равная т г ^ 2, не будет равна нулю.
Радиусом инерции называется расстояние от оси вращения
до той т очки, в которой нужно сосредоточить всю массу вра
щающегося т ела, чтобы ж ивая сила полученной т аким образом
мат ериальной точки равнялась живой силе вращающегося тела.
Радиус инерции р определится таким образом из равенства:
откуда
f= V n -
<66>
Положение этой точки в теле может быть совершенно произ
вольным, лишь бы расстояние её от оси вращения равнялось р.
В теории вращательного движения тела большое значение имеет
ещё одна точка, известная под различными названиями в различных
отделах механики; одно из этих названий, упо
требляющееся в теории удара, будет центр удара.
Пусть твёрдое тело, которое мы будем счи
тать плоской пластинкой, вращается вокруг неко
торой оси, перпендикулярной к его плоскости и
проходящей через точку О (фиг. 215). В некото
рый момент оно ударяется о неподвижную точку
А и останавливается; каждая материальная точка
этого тела, обладающая некоторым количеством
движения, теряет его за короткое время, равное
продолжительности удара; таким образом, если
Фиг. 215.
продолжительность удара мы обозначим через А^,
в каждой точке ударяющегося тела возникает удар
ная сила, измеряющаяся изменением количества движения в единицу
времени
• A (mv) mv
“5F
(так как вначале тело находилось в покое). Требуется определить:
какую ударную силу испытывает точка А и как нужно поместить
ударяемую точку А , чтобы испытываемая ею ударная сила была
наибольшей?
240
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. 17
Решение этой задачи может быть получено из следующих сооб
ражений. Будем считать, что в каждой точке материального тела
приложена сила, равная количеству движения этой точки, делённому
на время удара At, или, если оставить пока в стороне общий мно
житель
просто её количеству движения m v. Найдём равнодей
ствующую всех таких сил: для того чтобы ударное действие на точку А
было бы наибольшим, необходимо, чтобы линия действия этой равно
действующей проходила бы через рассматриваемую точку А .
Пусть со будет угловая скорость вращения тела в момент, непо
средственно предшествующий удару, М — его масса, ОС = а — рас
стояние центра вращения О от центра тяжести С. Мы знаем (§ 8 6 ),
что количество движения вращающегося тела, т. е. векторная сумма
количеств движения всех составляющих его точек, равно количеству
движения центра тяжести тела С, предполагая, что в последнем
сосредоточена вся масса тела; таким образом равнодействующая
всех количеств движения тела равна Маю и направлена перпен
дикулярно к ОС.
Однако не следует думать, что линия действия этой равнодей
ствующей должна пройти через центр тяжести С. Та точка В , в кото
рой линия действия этой равнодействующей пересекает проведённую
через центр тяжести С прямую ОС, называется центром удара. Мы
можем определить её расстояние О В, применив теорему Вариньона
о моменте равнодействующей. Момент равнодействующей всех коли
честв движения, взятый относительно центра О, будет:
М аю ^О В .
Если через т обозначим массу какой-нибудь частицы тела, а через г
её расстояние от центра О, то количество движения этой частицы
будет:
тюг>
а его момент относительно О:
Составляя сумму мохментов всех таких векторов количеств движения
и приравнивая её моменту равнодействующей, будем иметь:
Маю • ОВ = £ т ю г 2;
правую часть мы можем представить в виде
2 тюг2 = ю • ^ мг* = У0со,
где ^ = £ т г * есть момент инерции тела относительно оси О. Та
ким образом:
Маю • ОВ = / 0со,
откуда
о в = А .
(6 6 )
ЦЕНТР УДАРА
241
Покажем, что это расстояние ОВ будет больше а. Если через Jq
обозначим момент инерции тела относительно параллельной оси,
проходящей через центр тяжести С, а через р радиус инерции для
оси, проходящей через центр тяжести С, равный 1 / J p то согласно
Г ЛГ
теореме Штейнера будем иметь:
J0 = J C+ М а 2= M f + М а \
и окончательно:
С В — Jo — Ma2 + M ?s - ^ „ I р8
Ма
Ма
а
— величина, определённо большая а . Таким образом центр удара лежит
дальше от оси вращения, чем центр тяжести.
Если ударяемая точка лежит на линии, проходящей через В ,
перпендикулярно прямой ОС, то, с одной стороны, вся ударная сила
Ма<о
..
пойдет в точку Л, с другой, возникающая в точке закрепле
ния О ударная реакция будет равна нулю.
Если проведённая через центр удара перпендикулярно к ОВ так
называемая л и н и я уд а р а не пройдёт через Л, то ударная сила рас
пределится между О и Л ; если считать направления этих составляю
щих параллельными линии удара, то их величины будут обратно
пропорциональны расстояниям точек О и Л до линии удара.
П ример 90. Найти центр удара для однородной палочки ОА
длины /, вращающейся около своего конца О.
Согласно формуле ( 6 6 ) имеем:
J
\М 1 *
2
ОВ — — = — —I
Ма
I — 3
м т
Таким образом центр удара лежит на расстоянии одной трети
от свободного конца палочки. Отсюда хорошо знакомое каждому
кавалеристу правило: рубить шашкой прибли
зительно на расстоянии одной трети от конца
для того, чтобы рука возможно меньше уста
вала во время рубки.
Этот результат можно сделать совершенно
наглядным при помощи следующих соображений (фиг. 216).
Мы можем рассматривать нашу палочку как
нагружённую силами, возрастающими пропор
ционально расстоянию от неподвижного конца О; эти силы мы можем
считать заполняющими площадь некоторого треугольника ОАа. Равно
действующая всех этих сил, равная площади этого треугольника,
16
o a ii. С67. И. Н . В есел о а ск и й
242
ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО ТЕЛА
м о ж ет
бы ть
получена
как
[гл. 17
произведение
основания треугольника
середине с линии ОА —
цен тру её тяж ести; линия действия этой равнодействую щ ей будет
совпадать с линией, проведённой ч е р ез центр тяж ести площ ади
О А — 1 на ординату Сс, соответствую щ ую
это го треугольн ика,
леж ащ ий
на
расстоянии
от сторон ы А а .
ЗАДАЧИ-
86.
Найти главные моменты инерции кругового кольца с массой N1
и внутренним и внешним радиусами RL и R2.
Ответ:
Jx
/у -
M (R \+ R l)
M (R\ + Rl)
если Ох и Оу совпадают с двумя взаимно перпендикулярными диаметрами
кольца.
87.
Определить момент инерции магнитной стрелки, имеющей форму
ромба относительно оси, проходящей через центр тяжести перпендикулярно к
плоскости стрелки, если масса стрелки 100 г,
длина 16 см и ширина 2 см.
Ответ:
j = 1 083 г см2.
88.
Вычислить момент инерции полукруга
массы М и радиуса R относительно гранич-
Ответ:
r_ M R 2
J“
4"*
89.
Найти момент инерции изображённого на фиг. 217 четырёхуголь
ника ABCD относительно оси, совпадающей с его 'основанием, если масса
квадратного сантиметра этого четырёхугольника равна 2 г, а размеры таковы:
А Е = 1 см , ВЕ = 3 с м , EU — 3 см , CG = 4 см , GD = 2 см .
Ответ
1
j x = ^ M ,B E - + ^ М.2ВЕ> + Ж 3{ ^ 2+ ( « ? + ' т У ) + т ' и' с 0 ’ = 4 ,5 + 1 0 8 + 67+ 21,3 = 200,8 г см*.
90. Показать, что если центр вращения палочки лежит на расстоянии
одной трети от её конца, то центр удара будет находиться в другом конце
этой палочки.
91. Определить ударную силу палочки ОА массой 1 кг, длиной 2 м,
вращающейся с угловой скоростью ш= Юн '{сек около одного конца О, если
ударяемая точка совпадает с другим концом А палочки и продолжитель
ность удара равна 0,1 сек.
О т в е т : 21 кг; ударная реакция точки О равна 10 ^ кг.
РАБОТА ВРАЩАЮЩЕГО МОМЕНТА
243
Г Л А В А 18.
ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ.
§ 91. Р абота вращающего момента. Представим себе, что на
какое-то тело, могущее вращаться вокруг неподвижной оси О, дей
ствует пара сил P xP2i точки приложения которых
находятся в А х и А 2 (фиг. 218) на расстояниях со
ответственно R x и Р 2 от оси вращения О. Пусть во
вращении вокруг О тело повернётся на некоторый
угол ср; при этом точка приложения А х силы Р х пе
рейдёт в В 19 двигаясь по дуге окружности A 1B li
равной произведению радиуса P t на измеренный в ра
дианах угол поворота ?, а точка А 2 перейдёт в В 2,
описав дугу A 2B 2f равную /?</?.
Так как во всё время движения силы Р х и Р2
оставались направленными по касательным к дугам
окружностей А 1В 1 и А 2В 2, иными словами, всё время'
движения направление перемещения совпадало с на
правлением силы, то работа силы Р х на перемещении А ХВ Х будет
равна:
Л • R flt
а работа силы Р 2 на перемещении А гВ %
обе эти работы будут, конечно, положительными. Обозначая общую
величину обеих сил Р х и Р2 через Р, складывая обе полученные
работы и вынося общий множитель за скобки, получим
А = Р? ( / ? , + * , ) .
Но сумма P j -f- R , даёт нам расстояние между линиями действия
обеих сил пары, или так называемое плечо пары; произведение силы Р
на плечо P i + P 2 Даёт нам момент пары. Следовательно, работа А
пары сил равна произведению момента- P ( R X-j-P a) на угол пово
рота ср. Обозначая величину момента пары через М , мы увидим,
что работа сил пары при повороте на угол <р будет равна:
А = М<р.
(67)
Таким образом работ а вращающего момента равна произведению
вращающего момента Л1 на у го л поворота <р, выраженный в радиа
н а х . Это выражение аналогично формуле, дающей работу силы Р
при перемещении по направлению этой силы s . Вместо силы Р стоит
вращающий момент М 9 а вместо линейного перемещения s угловое
перемещение 9 .
16*
£44
ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА д в и ж е н и я
[гл .
18
Если разделить работу А на время t , в течение которого эта
работа была совершена, то получится выражение для мощности Л/:
Но частное от деления угла поворота о на время t при равномер
ном вращении даёт нам угловую скорость со. Таким образом
N — Жш,
(6 8 )
т. е. во вращательном движении мощность равна произведению
вращающего момента М на угловую скорость со.
Пример 91. Секундная масса воды, поступающей в точке А во
вращающееся колесо радиальной турбины, равна Q к г , скорость
в точке А равна
и образует угол аЛ с направлением касатель
ной к внешней окружности колеса радиуса гх.
В точке В та же масса оставляет колесо со ско
ростью v 2, образующей угол сц с касательной к
внутренней окружности колеса радиуса г2. Опре
делить мощность турбины, если угловая скорость.её
вращения равна со ^
(фиг. 219).
Равнодействующая сил давления жидкости на по
верхность канала А В будет равна разности прилол о
Q Q
женных в точках А и В векторов ^ v t и
Фиг. 219.
(см. § 80); иными словами, всё дело обстоит
5 точке А
а в
на
внешнее
колесо
турбины
так, как
действовала
будто
бы
сила ~ Vu
точке В к нему была приложена сила — ^ Вращающий момент
около оси О турбины будет равен суммемоментов этих сил
| (г>, cos otj • r-j -f- г/2 cos a 2 • r2).
Умножив это выражение на угловую скорость ш, мы получим
мощность турбины, выраженную в килограммометрах в секунду;
чтобы получить величину этой мощности в лошадиных силах, доста
точно будет разделить найденное значение на 75. Таким образом:
N = j ~ ^ - 8 (v lrl co sa i - \ - v 2r^c°saLi ) л. с.
Обратим внимание на одно обстоятельство. Чтобы получить работу
и мощность во вращательном движении, нужно величину вращающего
момента умножить на угловое перемещение ср или угловую ско
рость ш, выраженные обязательно в радианах или в радианах в се
кунду. Это обстоятельство выясняет всю важность радианной еди
ницы угла в угловой скорости. Практически, конечно, легче углы и
§ 91]
РАБОТА ВРАЩАЮЩЕГО МОМЕНТА
245
скорости измерять в оборотах (или в долях оборота) и в оборотах
в секунду (или в минуту), но расчётные формулы гораздо проще
выражаются в радианной мере.
В качестве применения выведенных формул разберём, как проис
ходит передача работы и мощности при передаче вращательного
движения, например, при помощи зубчатых колёс (фиг. 220). Пусть
на зубчатое колесо / с центром Ох и радиусом Р х действует вра
щающий момент М х. Этот момент мы можем представить парой,
плечо которой равняется ра
диусу Р х соответствующего
колеса /. Пусть эта пара бу
дет Р ХР%, где общая величина
Р сил Р х и Р 2 будет равняться
частному от деления вращаю
щего момента М х на радиус
R u Т. е.
P — Mi
~
Rl *
Из этих двух сил Р х и Я 2
первая сила Р х передаёт давле
ние на ось 0 Xi а вторая Р 2—
на колесо //, находящееся в точке А в сцеплении с колесом /. Эта
сила Р 2 и приводит во вращение колесо //; соответствующий вра
щающий момент уИ2 будет равняться произведению силы Р^ = Р
на плечо /?2:
Л42 = Р 2^ 2*
Подставляя вместо Р его значение, будем иметь
Таким образом вращающий момент М 2, передающийся на второе
R
колесо, будет больше М х в отношении радиусов
обоих колёс.
Но так как угловые перемещения относятся обратно пропорциональ
но радиусам (чем больше /?2, тем меньше соответствующее угловое
перемещение), то нетрудно видеть, что переданная на колесо 11
работа Л 2 будет та же самая. В самом деле, если обозначим через
? i и ?2 угловые перемещения колёс / и //, связанные соотношением
ъ
R i9
то работа силы, действующей на первое колесо, будет
А Х= М Х<?1,
а на второе
Л 2 = Л42<р2.
246
ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ.
18
Но
М, = М
^
а
=
поэтому после
будем иметь
подстановки
этих
I
выражений
в равенство для Л 2
А 2 = М 2?2 = М 1у 1 = А Х.
Иными словами, несмотря на то, что при передаче увеличивается
вращающий момент М 2, увеличения работы при этом не происходит.
Строго говоря, при передаче происходит некоторая потеря работы
за счёт преодоления силы трения и других сопротивлений движению;
если пренебречь последними, то можно написать просто Л 1 = А 2.
Эго обстоятельство очень важно: оно показывает, что при помощи
передачи движения можно увеличить вращающий момент или дей
ствующую силз^, но увеличения передаваемой работы при этом не
происходит: энергия «течёт» от двигателя, как река, несколько
теряясь во время движения, но никоим образом не увеличиваясь
в своих размерах, если только не существует внешних источников
питания. Сама собой энергия в машине зародиться никоим образом
не может, как не можег при отсутствии дождей, притоков или
ключей внезапно увеличиться количество воды в реке.
§ 92. Теорема ж ивы х сил во вращ ательном движении. Мы
доказали, что в случае криволинейного движения точки сумма эле
ментарных работ всех сил, приложенных к данной точке, при пере
мещении из одного положения в другое равна приращению живой
силы этой точки при переходе из начального положения в конечное.
Внешние активные силы, приложенные к некоторым материальным
точкам механической системы, приводят в движение не только эти
точки, но и всю систему в целом. Эта передача действия внешних
сил совершается при помощи внутренних сил взаимодействия между
различными точками механической системы. Эти силы согласно
3-му закону Ныогона равны между собой и направлены в противо
положные стороны. Из этого следует, что если бы мы просумми
ровали все внутренние силы, приложенные к различным материальным
точкам .системы, то, поскольку все внутренние силы можно раз
бить на ряд пар — противоположных сил действия и противодей
ствия, сумма всех таких сил, как и сумма проекций их на любое
направление, равна нулю. Далее, поскольку две силы взаимодействия
направлены по одной прям ой в противоположные стороны, то и
сумма моментов двух таких сил, а следовательно, и всех вообще
внутренних сил, тоже равна нулю. Однако не следует думать, что
и сумма работ внутренних сил тоже всегда равна нулю. Что это
ке так, мы можем убедиться на следующем простом примере.
§
92]
ТЕОРЕМА ЖИВЫХ СИЛ ВО ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
247
Возьмём две массы, соединённые между собой растянутой пружиной;
если мы будем держать каждую из этих масс неподвижно в одной
и в другой руке, то живая сила каждой из них будет равна нулю.
Но если мы выпустим их из рук, то растянутая пружина, стремясь
сжаться, сообщит каждому телу скорость по направлению друг
к другу; соответствующее появление живой силы обусловлено рабо
той сил натяжения пружины, которые для рассматриваемой системы
являются, конечно, внутренними силами.
Докажем, однако, что если наша механическая система предста
вляет абсолютно твёрдое тело, то сумма работ внутренних сил при
перемещении этой
системы будет равна
нулю.
Действительно, выделим из состава твёр
дого тела две взаимодействующие точки
А и В (фиг. 221); пусть РА и Рв будут
приложенные к А и В силы их взаимодей
ствия; расстояние А В между этими точками А
будет оставаться неизменным.
Рассмотрим какое-нибудь перемещение
Фиг. 221.
твёрдого тела, при котором прямая А В пере
ходит в положение A XB V Это перемещение мы можем осуществить
в два приёма: сначала передвинем А В параллельно самой себе
в положение А ХВ \ а потом повернём вокруг А и пока точка В' не
совместится с В х. При первом перемещении работы сил Р А и Рв со
ответственно будут:
Р х • А А Хcos а, Р 2 • В В ' соз (180° — а).
Поскольку P j = P 2, А А Х— В В \ c o s a = — c o s(180° — а), то ясно,
что сумма работ обеих этих сил равна нулю. При втором враща
тельном перемещении работа каждой силы будет всё время равняться
нулю (работа силы Р А вследствие неподвижности точки A lf а работа
силы Р в вследствие того, что направленная по радиусу сила P Q
всегда будет перпендикулярна к перемещению при движении из В'
в В х по окружности). Таким образом наша теорема доказана.
Теперь мы можем перейти к доказательству основной теоремы.
Разобьём вращающееся тело на ряд материальных точек. Пусть т и
т,г, т ъ, . . . суть массы этих точек, rlf г2, г3, . . . —их расстояния до
оси вращения, а о>1 и оо2 — угловые скорости соответственно в на
чальном и конечном положениях. По теореме живых сил для каждой
из этих точек получим:
2
М\<й\г\
^внутр.
. W gttifr!
.внутр.
2
2
^ внеш н.
I
лвнешн.
2
У
248
ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ.
в этих равенствах Л внутр' и ^ внешн- обозначают соответственно сумм^
работ внутренних и внешних сил, приложенных к данной точке.
Сложим все эти равенства: в левых частях после вынесения
<07
^
— и
за скобку мы получим момент инерции тела относительно
оси вращения: У = 2 ]/ига; в правой части сумма работ внутренних
сил для абсолютно твёрдого тела будет равна нулю,
мы будем
иметь:
y | i _ 4 = y A
(69)
т. е. изменение живой силы при перемещении абсолютно твёрдого
т ела из одного полож ения в другое равно сумме работ внеш них
сил при соответствующем перемещении.
Что же касается суммы работ внешних сил при переходе из
начального положения в конечное, то она равна произведению вра
щающего момента на угол поворота.
Действительно, если к движущимся точкам с радиусами враще
ния rv гъ г3, . . . приложены внешние силы F it F2, FZt. . . , напра
вления которых образуют с касательными соответствующих окруж
ностей углы а1? а2, а3.,. . . , то при повороте тела на угол А© сумма
работ внешних сил будет:
£ F As cos a = F 1r1 A? cos otj -f- F2r2 A© cos a 2 -j- • • *=
= A? (F iri cos -f- F2r2 cos a* -f- . . .).
Каждое из выражений F 1ri созоц, как нетрудно видеть из фиг. 222,
представляет момент силы Fu приложенной в точке А 1 относительно
оси О (см. §§ 47 и 61); сумма таких моментов
для всех внешних сил относительно оси вращения
и есть то, что называется вращающим моментом
относительно этой оси:
М = 2У У/ cos а£.
(70)
Отметим, что при доказательстве этой тео
ремы мы молчаливо предполагали, что все внеш
ние силы находятся в плоскостях перпендику
лярных к оси вращения; если для какой-нибудь
силы F это не имеет места, то согласно правилу
нахождения момента относительно оси мы всегда
можем разложить её на две составляющих: Ft
параллельную и Fit перпендикулярную к оси вращения; поскольку
работа первой составляющей при вращении тела равна нулю (сила Fz
всегда перпендикулярна перемещению), мы можем её отбросить и
в дальнейшем иметь дело исключительно лишь с составляющими,
перпендикулярными к оси вращения.
Фиг. 222.
§ 92]
ТЕОРЕМА ЖИВЫХ СИЛ ВО ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
249
Пример 92. Вычислить живую силу диска веса Р = 100 кг
с радиусом R = 2 m , делающего 1 0 0 0 об/мин вокруг оси, проходящей
через его центр и перпендикулярной к его плоскости.
Живая сила вычисляется по формуле (62). Момент инерции диска
будет;
Р_ /?2_ 100
Ш?=
g 2
2
22 _ 200_
9,81 * 2 — 9,81 *
Угловая скорость со, выраженная в радианах в секунду, будет
(О:
2 тг. 1000
100
60
1/сек.
Отсюда живая сила Т диска будет
j
j i о3
200
2
2 9,81
тс2 : 100а
З2
или; сокращая на гсйя^ 9 ,8 1 , получим
^
1000 000
111 0 0 0 кгм.
9
Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси с посто
янной угловой скоростью, то живая сила его остаётся постоянной
и, следовательно, работа действующих на него сил равна нулю. Для
этого необходимо, чтобы приложенный к телу вращающий момент
в точности уравновешивал всю сумму моментов сил сопротивления
и чтобы работа вращающего момента уничтожалась бы работой сил
сопротивления. Если вращающий момент будет больше момента со
противления и работа его будет больше работы сил сопротивления,
то живая сила, а следовательно, и угловая скорость вращающегося
тела будут увеличиваться.
Так как увеличение скорости вращения требует расхода энергии,
которая может быть лучше использована по своему настоящему
назначению, то на практике стремятся достигнуть наиболее возмож
ной равномерности хода всех частей машины. Проще всего это сде
лать при помощи маховика. Когда вращающий момент больше силы
сопротивления, то излишняя энергия поглощается маховиком, ход
которого чуть ускоряется; наоборот, когда вращающий момент меньше
момента сил сопротивления, то нужная для вращения энергия заим
ствуется из запаса кинетической энергии, накопленного в маховике.
Так как живая
сила маховика выражается формулой T — J ^ - 9
то очень важно, чтобы момент инерции маховика был возможно
больше. Чтобы сделать это, не тратя лишнего материала, стараются
поместить вещество маховика на возможно большем расстоянии от
оси вращения последнего; поэтому маховик и конструируется в виде
колеса, центр которого находится на оси вращения, а главная масса
сосредоточивается по ободу последнего.
250
ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ.
1$
Посмотрим, какую экономию материала можно получить, если
сконструировать маховик, разобранный в предыдущем примере,
в виде колеса, а не в виде диска.
Если через R обозначить средний радиус колеса (среднюю вели
чину между радиусами внутреннего и внешнего обедов), то момент
инерции последнего вокруг оси, проходящей через центр, будет
равен M R 21 в то время как для диска момент инерции будет
.
Таким образом, конструируя махозик в виде колеса, а не1 в виде
диска, мы можем массу маховика взять в 2 раза меньше, т. е. мы
получим почти пятидесятипроцентную экономию материала при том
же количестве запасённой кинетической энергии.
Пример 93. Груз Р прикреплён к нити, которая намотана на
окружность цилиндра весом Q и радиусом R . Определить ускорение
в движении груза Р (фиг. 223).
Пусть груз Р опустится на высоту А; соответствующая работа Ph
пойдёт на приращение живой силы груза Р и приведение во враще
ние цилиндра: таким образом
Ph — L Д . г,* _)_ ! гт* - 1 ( £ _ , А
— 2 g V т 2
— 2 U + /Р
гг,
так как v = u>R вследствие отсутствия скольжения между верёвкой
и цилиндром. Это даёт нам
= 2h
L + JL
g
Пользуясь
рение
PR*g
Jg + PR* *
' R*
v — ]/2w h, определим уско
формулой
PR 2
В нашем случае
ж « .=
>5
2
2 g
Ф иг. .223.
W-
,
2Р
2P+ Q
В общем случае, измеряя ускорение движения, мы могли бы чисто
опытным путём определить момент инерции цилиндра, исходя из
формулы
PR1 „
wJg + P R 1 g
(если, конечно, центр тяжести цилиндра лежит на оси вращения).
Пример 94. Для определения момента инерции тела Л, вращаю
щегося на горизонтальной оси (учитывая трение), можно поступать
§ 93]
ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
251
так: наматывают на ось верёвку, привешивают к её свободному
концу груз Р и определяют время t u в течение которого груз опу
стится на некоторую высоту h\ затем проделывают то же с другим
грузом Р ъ наблюдая время t 2 его спуска на ту же высоту h. Зная,
что радиус оси равен R , определить момент инерции J тела. [Центр
тяжести тела А предполагается на оси вращения (фиг. 224).]
Работа силы тяжести в обоих случаях идёт на сообщение живой
силы грузам, приведение во вращение тела и на преодоление силы
трения F. Если ср будет угол поворота оси, соответствующий опусканию груза на /г, то работа силы тре
ния будет R y F в обоих опытах. Поэтому мы можем
написать
Для первого опыта и
Фиг. 224.
Для в т о р о го . В ы читая из верхнего уравнения
силы тр ен и я и найдём для J вы раж ение
нижнее, мы исключим
{ м - ® I)
Для определения со{, со2,
=
v 2 будем иметь соотношения
v i = / 2 w ik,
—
Подставляя все эти выражения в нашу формулу, окончательно будем
иметь
§ 93. Теорема моментов количества движения. Формула
выражающая теорему живых сил во вращательном движении, пред
252
ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА д в и ж е н и я
[гл. 18
ставляет аналогию формуле:
дающую выражение той же теоремы для прямолинейного движения
точки; более того, можно сказать, что первая формула есть не что
иное, как вторая, лишь надлежащим образом переведённая на язык
вращательного движения; при этОхМ «переводе» вместо массы т
ставится мохмент инерции / , вместо силы F — вращающий мОхмент Ж,
вместо линейного перехмещения A s — угловое Д<р и вместо линейной
скорости v — угловая со.
Но кроме теоремы живых сил мы имели для прямолинейного
движения и теорему количеств движения, выражавшуюся фор4мулой
m v2 — m v{ = Ti F At;
при «переводе» её на язык вращательного движения мы получили бы:
/со2 — Усо4 = 2 М At;
покажем, что написанное уравнение действительно справедливо.
Напишем уравнение живых сил для весьхма малого углового пере
мещения Д<р:
—
—Mд<р;
выражение, стоящее в левой части, может быть переписано в виде:
4 к
- o =
j
(<о* -
>•
Так как перемещение Дер очень мало, то о>4 и со2— угловые скорости
в начале и в конце этого перемещения — очень мало отличаются друг
от друга; поэтому полусумму
щ- угловых скоростей мы можем
принять равной средней угловой скорости со в течение этого пере
мещения, а со9 — со, = Дсо будет приращение угловой скорости между
конечныхМ и начальным положениями. После этих преобразований
наше уравнение принимает вид:
/<о*Асо=Ж Дер.
Правую часть пол ученн ого уравнения разделам и помножИхМ на At:
/со Дсо = Ж
At,
ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
Частное
253
есть не что иное, как зтловая скорость со. Сокращая
на него обе части пол)^ченного равенства, будем иметь:
УАсо = М U
или
А (7о>) = М А/.
Если At есть одна из частей промежутка времени между двумя
моментами t 2 и t l9 которым соответствуют значения со2 и coj угловой
скорости со. то полное приращение выражения 7 ш в течение проме
жутка времени от t x до
будет равно сумме элементарных выра
жений вида М At для того же промежутка:
Ло2 — Усо, = 2 Ж А/.
(71)
Таким образом правильность нашей формулы доказана; остаётся
лишь выяснить физическое значение входящих в неё величии *).
Величина М М — произведение вращающего
момента на время её действия — аналогично им
пульсу силы F М может быть названа импульсом
пращающего момента,
соответствующим вре-мени М.
Выражение /со мы можем представить в та
ком виде:
М = 2 т г 2со = 2 пш г * П
здесь т есть масса некоторой точки, г — её рас
стояние до оси вращения, сог — её линейная
скорость, пт г — её количество движения, про
изведение же пклг • г есть не что иное, как мо
мент вектора тыг (фиг. 225) относительно точки О или, что одно
и то же, относительно оси вращения, проходящей через точку О
перпендикулярно к плоскости чертежа. Таким образом выражение
7 о )= У]/тог • г
(72)
мы можем представить как сумму взятых относительно оси вращения
моментов количеств движения различных материальных частиц, из
которых составлено вращающееся тело; будем называть эту сумму
м ом ент ом количества движения вращающегося тела. Выражение (71)
даёт нам закон моментов количеств движения, который можно фор
мулировать так: изменение момента количеств движения равно
М Мы доказали теорему моментов количества движения для случая J
постоянного, но формула (71) будет справедлива и в том случае, когда
момент инерции J будет переменным (например в случае деформации вра
щ аю щ егося тела).
254
ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ И МОМЕНТ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ.
1$
сумме элем ент арны х произведений р а зли ч н ы х значений вращаю
щего момента на соответствующие промеж ут ки виемени.
Формула (71) показывает, что если вращающий момент во все
время движения равен нулю, то:
Усо2 = Усо1 = const.,
т. е. если момент внеш них сил относительно оси вращения равен
нулюу то момент количества движ ения относительно этой оси
есть величина пост оянная.
Это равенство представляет полную аналогию с формулой
M v = const.,
выражающей сохранение количества движения точки при отсутствии
действующих на неё внешних сил. Однако между этими выражениями
есть и существенная разница.. Действительно, поскольку масса дан
ного тела есть величина постоянная, то F — 0 соответствует и
v = const.; в выражении же /со = const. мы можем утверждать по
стоянство со лишь в том случае, когда и момент инерции J будет
постоянным, если же момент инерции тела будет меняться вследствие
деформации тела или передвиже
ния отдельных его частей, то
будет меняться и угловая скоВ рость со вращения всей системы.
Пример 95. Стержень А В
длины 2 L и веса Q, на кото
ром насажены две материальные
массы
и Л12 веса Р каждая
Фиг. 226.
на расстояниях / 1 от середины
стержня, вращается в горизонтальной плоскости вокруг О с постоянной угловой скоростью ш1#
С какой скоростью со2 будет вращаться этот стержень, если массы
М г и М% под действием внутренних сил, возникающих между ними
и стержнем, переместятся в положения М \ и М'3 на расстояния / 2
от центра О стержня (фиг. 226)?
Поскольку силы веса не даьот моментов относительно оси вра
щения O z, а сумма моментов внутренних сил будет равна нулю
для любой оси, общий момент количества движения системы в первом
и втором положениях будет один
и тот
же.
Если
/д д = -i- - - - /У
есть момент инерции стержня относительно оси Ozt то мы будем
иметь:
Р
б первом положении M — JAB . a ^ -j - 2 — ш р
Р
во втором положении М = J ab <&%-J- 2 — <о2/|.
§ 94]
ВА Л
255
Подставляя вместо J ab его значение, после ряда очевидных преобра
зований получим
6P/J-+ QL2
0)2 — 6Pl$ + QL2 * 0)1 •
Если вращающий момент будет отличным от нуля, то тело будет
вращаться вокруг неподвижной оси вращения с угловым ускорением е,
величину которого мы можем определить, пользуясь законом момента
количеств движения. Действительно, для весьма малого промежутка
времени М мы имеем:
Д (Л >) = MAt,
или, если J постоянно:
7Д<о = Ж Дt.
Разделим обе части на
тогда, вспомнив, что частное
есть не
что иное, как угловое ускорение е, будем иметь:
Je = M .
(73)
Равенство (73) для вращательного движения играет ту же самую
роль, что и выражающее 2-й закон Ньютона уравнение
mw = F
в случае прямолинейного движения точки.
Угловое ускорение е равно частному от деления вращающего
мом ент а на момент инерции, так же как и линейное ускорение w
равно отношению силы к массе.
§ 94. Вал, Валом мы называем тяжёлое цилиндрическое или приз
матическое тело, могущее вращаться вокруг оси, проходящей через
его центр тяжести. Собственный вес вала не даёт, таким образом,
момента относительно оси его вращения, и, для того чтобы привести
его во вращательное движение, необходимо воздействие внешнего
приложенного вращающего момента. Если Q — величина этого вра
щающего момента, J — момент инерции вала относительно оси вра
щения, то угловое ускорение s, сообщаемое валу вращающим
моментом, определится по формуле
Если вращающий момент постоянен, то угловое ускорение будет
тоже постоянным и получающееся вращение вала равномерно-уско
ренным. В этом равноускоренном вращении угловая скорость со
И угол поворота с вала выразятся формулами:
ш = ш0 -(- zt
(а)
?= ? ,-W + T *
(b)
256
ВРАЩАЮ ЩИЙ
МОМЕНТ
И МОМЕНТ
КОЛИЧЕСТВА
ДВИЖЕНИЯ
[ГЛ .
18
где <р0 и о>0 суть угол поворота и угловая скорость в начальный
момент, когда время £ = 0. Эти уравнения аналогичны уравнениям
равноускоренного прямолинейного движения материальной точки.
С такого рода движением приходится иметь дело, исследуя
явления, возникающие при торможении вала.
При постоянном значении вращающего момента М уравнения,
выражающие законы живых сил и моментов количеств движения,
будут:
-|-У(аЯ — ш1) = М(<р — <р0),
(74)
У(ш— o>0) = M ( t — 10).
(75)
/ При помощи этих уравнений, аналогичных уравнениям -(43) и (48)
для прямолинейного движения точки, мы можем определить время
торможения и число оборотов до остановки;
вращающий момент М* конечно/ нужно счи
тать отрицательным.
^
ц
Пример 96. К колесу радиуса г, вра
щающемуся с угловой скоростью ш0 вокруг
оси О, прижимают с силой N тормозную
колодку А В . Через п секунд после этого
колесо вследствие трения останавливается.
Зная, что момент инерции колеса относи
тельно оси вращения равен У, определить
величину коэффициента трения / , считая его постоянным (фиг. 227).
Из уравнения для угловой скорости (а), приравнивая конечную
угловую скорость ш нулю, определяем угловое ускорение е:
о 0 — пе = 0 ,
откуда
С другой стороны, е мы можем получить, разделив абсолютную
величину момента силы трения f N r на момент инерции У;
/ Nr
е= — •
Сравнивая оба полученных выражения, легко находим коэффициент
трения / :
'
Nnr *
Пример 97. Тормоз П рони. На вал вращающегося мотора наса
живается шкив, к которому при помощи винтов 5 прижимается
с соответствующей силой тормозная колодка Р. Верхняя тцекч тор
моза продолжена в виде рычага, на другом конце которого имеемся
§ 941
257
ВАЛ
чашка для гирь. Для того чтобы при вращении вала тормоз оста
вался в горизонтальном положении, на чашку рычага необходимо
положить некоторый груз G. Зная величину этого груза, расстоя
ние I точки прикрепления чашки весов до осевой плоскости вала
и число п оборотов вала, определить мощность мотора (фиг. 228).
При равномерном вращении вала против стрелки часов вращающий момент будет уравновешиваться моментом сил трения, дей
ствующим по стрелке ч а 
сов на вал (как показано
г-*
^
на чертеже) и против стрел
ки часов на колодки Р\
на последних этот момент
уравновесится моментом при
ложенного груза G, а имен
но О/. Это даёт нам вели
чину вращающего момента
Q — GL Для получения мощ
ности необходимо умножить
Q на угловую скорость.
Ф иг. 228.
Пусть п есть число обо
ротов в минуту, G и I из
меряются соответственно в килограммах и метрах. Тогда, если мощ
ность N измерять в лошадиных силах, мы придём к следующей фор
муле:
N =
= 0,0014 Gin.
Пример 98. Вал мотора мощностью в 100 л.с. делает 580 об/мин.
Определить его вращающий момент М и окружное усилие Р, если
диаметр шкива мотора D — 800 мм.
Окруж ным уси ли ем называется частное от деления вращающего
момента на радиус шкива; в ременной передаче оно равно разности
натяжений ведущей и ведомой частей ремня (обычно натяжение Т
ведущей части в два раза больше натяжения ведомой части).
Берём формулу для мощности:
N = — У
iV
откуда
М кгм =
75М
где со есть угловая скорость в радианах в секунду. В нашем случае
СО :
17
1Ш
"30
Зак. 667. И. Н . ВеселопскпИ
580тс
30
:6Э,5 — .
* сек
258
В РА Щ А Ю Щ И Й
МОМЕНТ
И МОМЕНТ
К О Л И ЧЕ С ТВ А
движ ения
[гл .
18
Поэтому
а окружное усилие
§ 95. Заклю чение. Заканчивая эту главу, следует ещё раз под
черкнуть те формально-математические аналогии, которые суще
ствуют между прямолинейным движением точки и вращательным
движением твёрдого тела; ряд формул, выведенных для прямолиней
ного движения точки, может быть непосредственно переписан для
вращательного движения, если только произвести замену одних понятий
другими. При таком «переводе»
пройденному расстоянию s соответствует угол вращения о
линейной скорости v
»
угловая скорость ю
угловое ускорение г
»
линейному ускорению w
вращающий момент М
»
действующей силе F
момент инерции У
»
массе т]
момент количества дви»
количеству движения mv
жения Уш
работа момента Му
»
работе силы Fs
живой силе -ту тг)2
»
живая сила
-Уш2.
В особенности важно отметить, что при таком переходе работа
и живая сила сохраняют тождественность своего смысла, в то время
как количество движения при «переводе» на язык вращательного
движения преобразуется в момент количества движения. Вот это
постоянство физического смысла работы и живой силы привело
к обобщению понятия о силе, более того, к подчинению понятия
силы более общему понятию о работе или энергии. Работу мы можем
рассматривать как произведение двух факторов: фактора действия
и фактора перемещения; если это перемещение есть обыкновенное
линейное перемещение, то фактор действия есть обычная Ньюто
новская сила; если же вместо линейного будем рассматривать другой
вид перемещения — угловое, то Ньютоновская сила переходит во
вращающий момент; последний мы таким образом можем рассматри
вать как обобщённую силу, установив таким образом понятие,
которое охватывает более широкий круг, чем первоначальное понятие
о силе.
ЗАДАЧИ,
92.
Железный диск диаметром 1 м и толщиной 1 см вращается вокру
оси, проходящей через его центр перпендикулярно к его плоскости, делая
360 об/мин. Зная, что его удельный вес разен 7,6, определить живую силу
этого диска.
О т в е т : 540 кгм>
§96]
,
ПРИНЦИП
ВОЗМОЖНЫХ
П ЕР Е М Е Щ ЕН И Й
259
93. Ремень передаёт шкиву окружное усилие 300 кг при скорости 15 м/сек.
Определить передаваемую мощность.
О т в е т : 60 л. с.
94. Маховик, весящий 0,5 т и имеющий радиус инерции р = 1,5 м, вра
щ ается с угловой скоростью в 240 об/мин. Под действием сил трения он
останавливается через 20 сек. Определить момент сил трения.
О т в е т : 144 кг ж.
95. На цилиндрический вал диаметра 10 см и массы 0,5 т насажено
маховое колесо диаметра 2 м и массы 3 ту которую можно считать распре
делённой по ободу. Валу вместе с маховым колесом сообщена начальная
угловая скорость 60 об/мин. Сколько оборотов сделают они до остановки,
если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05.
О т в е т : 110 оборотов.
96. Два одинаковых однородных диска А и В вращаются с одинаковой
скоростью
один относительно диаметра, а другой относительно оси,
проходящ ей через центр перпендикз'лярно к плоскости диска (фиг. 229). У
какого диска живая сила будет больше?
О т в е т : у диска В — в диа раза.
Фиг. 229.
Фиг. 230.
97. Однородный стержень ОА длины / подвешен за конец О и висит
неподвижно. Какую скорость v0 нужно сообщить свободному концу А этого
стержня^чтобы он мог бы сделать четверть оборота, вращаясь вокруг О
О т в е т : v0= \^W g.
98. Электромотор мощностью в 200 -д. с. даёт 580 об/мин. Определить
вращающий момент М и окружное усилие F, если диаметр шкива равен
400 мм.
О т в е т : М = 14800 кгсм, F = 740 кг.
Г Л А В А 19.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИНАМИКИ МАШИН.
§ 96. Основное уравнение динамики машин. Принцип воз
можных перемещений. В практической деятельности инженеру при
ходится решать две различные задачи: во-первых, получить силу
достаточной величины, чтобы уравновесить (преодолеть) определён
ное сопротивление, и, во-вторых, произвести определённую работу
для преодоления этого сопротивления. Начинающие очень часто
смешивают понятия «силы» и «работы». Ведь и нам в течение этого
17*
260
ОСН ОВ НЫЕ
ПОНЯТИЯ
Д ИН А М И КИ
МАШИН
[гл. 19
курса приходилось говорить о «живой силе», которая вовсе не сила,
а энергия, т. е. сумма определённых затраченных работ, о «лоша
диной силе», которая тоже не сила, а мощность, измеряемая произ
ведённой в единицу времени работой. Эта терминология ясно обна
руживает, что и у создателей механики первоначально не было об
этих вещах вполне отчётливого представления. Тем более необходимо
раз навсегда разобраться в различии, существующем между понятием
работы и силы.
Рассмотрим конкретный пример. Пусть требуется поднять на
высоту 10 м груз в 1 ш. Можно поступить таким образом: если
человек без большого усилия поднимает тяжесть в 2 0 к г , то можно
разделить весь груз на части по 2 0 кг (таких частей в тонне будет
всего 50) и поднять каждую такую часть на высоту Юл/ . Рабочему
придётся совершить всего 50 путешествий, причём необходимое
усилие, прикладываемое им к грузу, составляет всего 2 0 кг, а работа,
производимая им во время каждого путешествия, будет равна
120 * 10 = 200 кгм. Во время подъёма ему придётся совершить
5 0 * 2 0 0 = 10 0 0 0 кгм работы, но усилие его не превзойдёт 2 0 кг.
Если бы он захотел избавиться от этих утомительных 50 путеше
ствий, то нужно было бы увеличить усилие. Если довести его до
100 к г у то можно ограничиться только 10 подъёмами. Если можно
при помощи подъёмного крана получить усилие в 1 0 0 0 кг, то весь
подъём можно было бы произвести в <^ин приём. В обоих последних
случаях полная затраченная работа, как нетрудно видеть, составляла
бы те же 10 000 кгм. Получить усилие в 100 и 1000 кг человек
сам при помощи своих мускулов не может; для этого ему прихо
дится прибегать к помощи машины.
Таким образом получается поставленная ещё в древности задача:
как маленькой силой добиться большого действия? Для решения
этой задачи и были созданы машины. Но, увеличивая мускульную
силу человека, машина никоим образом не может увеличить произ
водимой им работы. В нашем примере при подъёме 1 т груза на
высоту 10 м необходимо было затратить работу 10 0 0 0 кгм, без
различно, производим ли мы этот подъём вручную или при помощи
подъёмного крана. Если бы мы хотели получить работу в большем
количестве, чем это может дать в заданное время один человек, то
нам пришлось бы обратиться к другим источникам энергии (электри
ческой, водяной, тепловой и т. д.). Использование этих источников
составляет предмет той части машиностроения, которая занимается
конструкцией дающих энергию машин-двигателей. Кроме этих машин,
существует ещё один класс — машины-орудия, которые, нё являясь
сами источником энергии, используют её на произведение опреде
лённой работы.
Введя понятие о работе, мы можем сразу уточнить разницу
понятий «механизма» и машины, которые в общежитии очень часто
не отличают одно от другого. Механизмом называют всякое приспо
§ 96]
ПРИНЦИП
В ОЗ М ОЖ НЫ Х
ПЕР ЕМЕ ЩЕ НИ Й
2 61
собление, служащее для передачи движения от одного тела к другому
посредством промежуточных тел — звеньев.механизма, машиной же —
приспособление, служащее для передачи работы. Обычно всякий
механизм является одновременно и машиной; однако принципиальное
различие между этими понятиями громадно; понятие о механизме
принадлежит области ведения кинематики, понятие же о машине —
динамики.
Чтобы подчеркнуть различие этих понятий, приведём следующий
простой пример: мы можем говорить о часовом механизме, при
помощи которого движение гири или спиральной пружины преобра
зуется в движение часовой стрелки, но было бы совершенно непра
вильно говорить о часовой машине, потому что стрелка часов как
раз никакой работы не производит; таким образом отсутствуют те
основные элементы, которые входят в понятие машины.
Какой бы ни была конструкция машины или её назначение, она
всегда состоит из ряда тел, действующих друг на друга взаимно
с некоторыми силами. Кроме этих сил взаимодействия, на различные
части машин действуют движущие силы, затем силы сопротивления,
которые мы можем разделить на сопротивления полезные (противо
действия тех тел, к ‘Которым приложены рабочие органы машины)
и на сопротивления вредные (силы трения и т. п.). Для каждого из
тел, входящих в машину, напишем уравнение живых сил и затем
сложим все эти уравнения вместе. Нетрудно заметить, что работы
внутренних сил взаимодействия различных деталей машины между
собой дадут в сумме величину, равную нулю (потому что в каждой
точке соприкосновения двух взаимодействующих тел приложены две
равные и прямопротивоположные силы), так что на одном и том же
перемещении работа одной из этих сил будет положительна, а другой
отрицательна. Тогда в результате сложения всех этих уравнений мы
будем иметь, что на некотором перемещении всех деталей машины
из одного положения в другое
т. е. приращение живой силы, равное работе действующих сил /4 ДВПЖ
за вычетом работы полезных и вредных сопротивлений Л пол и А вр,
Переписав эту формулу в виде
А■движ
А
4j- Д V mv*
^ПОЛ
^2--- гI А
>
(76)
мы придём к следующему выводу.
Наилучшей конструкцией машины будет такая, при которой ЛДВ11Ж
будет возможно близка к А пол. Для этого необходимо, чтобы, вопервых, была возможно меньше работа вредных сопротивлений и,
во-вторых, чтобы не изменялась живая сила машины, т. е. чтобы все
детали двигались с постоянными скоростями. Предполагая такой
262
ОС НО ВНЫ Е
ПОНЯТИЯ
Д И НА М И К И
МАШИН
[гл. 19
идеальный случай осуществлённым, мы приходим к равенству
-^ Д В И Ж = =
Апол »
которое показывает, что вся работа, приложенная у одного конца
машины, получается у её другого конца. Таким образом, выясняется
следующий основной принцип работы всякой машины: при помощи
машины нельзя увеличит ь общую величину производимой работы.
Таким образом вечный двигатель (perpetuum mobile), над изобре
тением которого много бились механики XVIII века, является невоз
можным: нельзя создать машину, которая, будучи раз пущена вход,
сама не только производила бы всё время некоторую полезную
работу, но и создавала бы из себя энергию, необходимую для под
держания своего собственного движения.
Если все силы, приложенные к машине, сводятся только к двум:
движущей силе Р и полезному сопротивлению Q, и если перемещения
точек приложения этих сил по направлению их будут Asj и As2, то
мы приходихм к так называемому золотому правилу м еханики:
PAst = Q bs%,
(77)
что выигрывается в силе, то теряется в скорости (так как пере
мещения A и As2 за одно и то же время прямо пропорциональны
скоростям движения точек приложения этих сил).
Переписав наше равенство в виде
— QAs2 = О
и заметив, что QAs2 представляет отрицательную работу силы сопро
тивления Q, мы получаем частный случай более общего принципа
возможных перемещений, который формулируется так:
Необходимое условие равновесия совокупности сил, прилож енных
к некоторой механической системе т ел, состоит в т ом, чтобы
равнялась нулю сумма работ всех сил при всех возмож ных пере
мещ ениях системы:
2 PAs cos (Р, As) = 0.
(78)
§ 97. Приложения. Разберём применение принципа возможных
перемещений к некоторым примерам.
Пример 99. Задача Эйлера о наклонной плоскости. Какую силу
Q под заданным углом (5 к наклонной плоскости нужно приложить
к лежащему на последней грузу Р, чтобы удержать его в равно
весии, если наклонная плоскость образует с горизонтом угол а
(фиг. 231).
Дадим грузу Р перемещение As вниз по наклонной плоскости.
Работа веса Р будет положительна и равна:
P&s sin а.
ПРИЛ ОЖЕ НИ Я
§ 97]
263
Работа силы Q будет отрицательна и равна — QHs cos р. Написав,
что сумма соответствующих работ равна нулю, мы будем иметь:
Р sin а • \ s — Q cos £ • As = О,
откуда:
Пример 100. Найти условия равновесия рычага А В с плечам^
АС — а и В С — Ьу на концы которого действуют силы Р и Q
(фиг. 232).
3 нашем случае возможное перемещение будет состоять в повороте
рычага на некоторый угол Да. Считая этот угол весьма малым, мы
9
&
(vs
IP
Фиг. 231
можем принять перемещения точек А и В равными соответственно.
аДа и bДа.
Сравнивая работы на концах рычага, получаем равенство
Р а Да = Q M a,
откуда
Pa = Qb.
Пример 101* Рассмотреть условия равновесия коленчатого рычага.
Под этим названием мы подразумеваем изогнутое твёрдое тело,
могущее вращаться вокруг неподвижной оси О. В точках А и В 9
расстояния которых ОА = а и ОВ = Ь образуют с горизонтом углы
а и J5, подвешены грузы Р и Q. Требуется найти зависимость
между этими грузами при равнове
сии (фиг. 233).
Давая рычагу весьма малое пе
ремещение Д<р, напишем уравнение
работ в виде
Р а До cos а — Qb\<p cos (J = О,
откуда
Ра cos а == Q b cos ^
известное из статики уравнение моментов относительно точки О.
Из решения этих задач видно, что рассмотренные нами уравнения
проекций и моментов сил представляют лишь частный случай прин
ципа возможных перемещений.
ОСН ОВ НЫЕ
ПОНЯТИЯ
ДИ НА МИ КИ
В л. 19
МАШИН
Пример 102. Клин А (фиг. 234), могущий скользить вдоль верти,
кальной стенки, загоняется вниз силой Р. При этом он нажимает
одной своей стороной на стену, а другой на горизонтальную призму
В , которая движется по горизонтальной плоскости и с силой Q ото.
двигает некоторый груз. Определить величину силы Q, если изве.
стны длина l = ab и высота h = bc клина.
При опускании клина на длину ab сила Р совершает работу Р/;
в то же самое время призма отодвигается вправо на расстояние /г,
совершая работу Qh. Сравнивая обе эти работы, будем иметь
P l= Q h ,
откуда
Q= P
I
Но отношение
ba
be
h
равно котангенсу угла a.
Таким образом
Фиг. 234.
Q-
■Р ctg а — -— .
&
tga
Чем меньше угол а, тем меньше катет Ьс при заданном катете аЬУ
следовательно, тем больше сила Q. Разобранный механизм носит
название клинового пресса.
Пример 103. Винтовой пресс. Винт А В , ввинчиваясь в непо
движную раму К К , может оказывать в точке В давление на подло
женное тело. Зная, что рукоятка винга равна
-fa2 а, шаг винта h и что на рукоятку действуin
ют две равные силы Р перпендикулярно к
М
M N , определить силу Q, сжимающую в точке
V P 'В подложенное тело. Шагом, как мы знаем,
»
4
называется расстояние, на которое опускается
и
конец винта за время полного оборота по
Щ
К
следнего вокруг своей оси (фиг. 235).
Обозначая через As перемещение точек
М
и N и Az — перемещение точки В , бу
J
L
дем иметь
Фиг. 235.
_Аs _Ъиг
A z~ h ’
Далее, работа обеих
сил Р будет 2PAs, работа Q будет
Сравнивая обе работы, находим:
Q&Z.
§ 97]
ПР ИЛ О ЖЕ Н ИЯ
Пример 104. Гидравлический пресс (фиг. 236) состоит из двух
наполненных водой или другой жидкостью сообщающихся сосудов,
закрытых двумя поршнями, на которые действуют г р у з ыЯи Q. Каково
отношение величин этих грузов при равновесии, если площади поршней
равны соответственно ^ и S2?
Из условия равенства работ заключаем, что работа, затраченная
при опускании груза Р, должна равняться работе при соответству
ющем поднятии груза Q. Пусть поршень с грузом Р опустится
на расстояние A/z.2; совершённая
при этом работа будет PA/z2.
При опускании поршня будет
вытеснен объём воды S 2A/z2, ко
торый перейдёт во второй сосуд,
причём поршень в последнем
поднимается на высоту Ahv опре
деляемую из соотношения:
SjA/Zj = S^A k^
Фиг. 236.
которое выражает, что вытесненный из правого цилиндра объём
воды перешёл в левый и соответственно приподнял закрывающий
его поршень. Так как при этом поднятии поршня последний подни
мает груз Q на высоту A/Zj, т. е. совершает работу QA/zj, то • из
равенства работ силы и сопротивления будем иметь
QA/?! = PA/z2.
Разделив почленно оба
полученных равенства,
получим
Si — S,
f-t t f f f t t f - f
t l t f t f f . ,,
\ \ \ \ \ \ \ \ \ VA y H \ \ \ \ \
I
или
Р
Q
«V
Фиг. 237.
т. e. действующая сила P может быть во столько раз меньше под
нимаемого груза Q, во сколько раз площадь поршня S L больше
площади поршня *S2.
Пример 105. Паровой котёл, имеющий форму цилиндра с вну
тренним диаметром D см, подвергается внутреннему давлению р
атмосфер. Зная, что толщина стенок котла равна 8 см, определить
приходящиеся на единицу площади поперечного сечения стенки растя
гивающие усилия Тх и Туу стремящиеся разорвать котёл по окруж
ности сечения цилиндра и по образующей (фиг. 237).
266
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ ДИ НА МИ КИ
МАШИН
[гл. 19
Давление в 1 атмосферу соответствует нагрузке в 1 кг на 1 см2.
Силы давления, действующие на оба основания цилиндра, стремятся
разорвать котёл вдоль окружности E F . Распределённые по сечению
EF усилия Тх уравновешивают общую силу давления Q на днище
котла. Если 8 — толщина стенки котла, то площадь поперечного
сечения его по EF будет равна окружности внутреннего основания,
умноженной на толщину стенки о.
Умножив далее эту площадь на величину растягивающего усилил
Тх и приравняв силе Q давления, мы получим уравнение, опреде
ляющее Тх :
откуда
= \ y kz!cm*'
Для определения усилия Tv вырежем из цилиндрической поверх
ности ленту шириной 1 см (фиг. 238). Под действием сил внутрен
А-
Р
Фиг. 238.
него давления лента будет растягиваться, стремясь разорваться по
образующей. Если мы разрежем ленту по А В , то растягивающие
усилия Ту, умноженные на площадь поперечного сечения А В ленты
1 • 8 см2, будут уравновешивать распирающие ленту по радиусам
силы давления р. Для определения связи между р и Ту воспользуемся
золотым правилом механики. Разрежем ленту по А В и представим
ей возможность расширяться. Тогда радиус её увеличится на Аг
н мы получим работу всех растягивающих сил давления, если возьмём
сумму произведений всех сил р на перемещение Дг. Эта работа
оудет равна
£</>• Д г ) = Д г . £ р .
Но У о
ПЯШТЯ
Г V \T \fP
DPOV
ЛП1.
__ _____
§ 98]
КОЭФ ФИЦ ИЕН Т
П О ЛЕ ЗН ОГ О
ДЕЙ СТ ВИЯ
267
неподвижной, то работа усилия, приложенного в Л, будет равна
нулю, а работа усилия в В будет равна произведению усилия на
перемещение A B = As, на которое точка В отошла от Л. Таким обра
зом, сумма работ указанных двух сил будет равна
Ту* 1 • 8 • As
(вспомним, что для получения силы нужно величину Ту умножить
на плсщадь). Приравнивая друг другу обе полученные величины,
будем иметь
Ту * 1 • 8 • As = pTzD • Аг,
Но если радиус г увеличится на Аг, то длина окружности увели
чится на As = 2тг (r-J- Аг) — 2тгг=2тсАг. Подставляя значение As
в наше уравнение, получим
Ту* 8 • 2тсДг= р • tcD - Дг,
откуда
7^ = ^
кг/см*.
Итак, разрывающее усилие Ту по образующей G H будет в два раза
больше разрывающего усилия Тх по окружности EF.
И действительно, в случае разрыва котла последний разрушается
всегда по образующей.
§ 98. К оэф фициент полезного действия. Мы уже говорили о том,
что в работе реальной машины часть энергии расходуется непроиз
водительно
переходит в теплоту, идёт на преодоление вредных
сопротивлений, сообщает ускорения отдельным частям машины — и
таким образом не доходит до места назначения. Эти потери энергии
конечно, необходимо свести к минимуму. Поэтому, чтобы устранить
по возможности потерю энергии на вредные сопротивления, смазы
вают соприкасающиеся части машины, значительно уменьшая силу
их взаимного трения.
Однако на практике, несмотря на все усилия, не удаётся исполь
зовать целиком всю работу, отдаваемую машине; отношение работы,
дошедшей до своего назначения, — полезной работы Л пол к общей
работе Л, полученной машиной, называется коэффициентом полез
ного действия yj:
Коэффициент полезного действия есть всегда правильная дробь;
однако иногда удооно выражать его в процентах, помножая соот
ветствующее выражение на 1 0 0 ; с этой точки зрения вместо того,
чгооы говорить т] = 0,3, употребляют часто выражение tj = 30°/в.
268
ОС НО ВН Ы Е
ПОНЯТИЯ
ДИ НА МИ КИ
МАШИН
[гл . 19
Коэффициент полезного действия обычно определяется опытным
путём; однако иногда возможно определить его и теоретически.
Наиболее важным и интересным примером в этом отношении явля
ется теоретическое определение коэффициента полезного действия
теплового двигателя.
Общий принцип работы теплового двигателя состоит в том, что
объём газа v под давлением р и с температурой t (по абсолютной
шкале) охлаждается, расширяется и тем самым производит работу.
Пусть начальная температура газа была t u а после произведения
работы стала / 2; всегда
Чтобы определить коэффициент
полезного действия теплового двигателя, нужно знать первоначаль
ную энергию газа, затем остаток энергии его после произведённой
работы; разность этих двух значений и даёт работу, отданную газом
двигателю (точнее говоря, максимально возможную работу, потому
что часть энергии неизбежно будет потеряна). Из физики мы знаем,
что уравнение состояния для газа будет
pv = R t,
где R — газовая постоянная, a t — абсолютная температура. Мы
можем теперь более глубоко проникнуть в сущность совершающе
гося процесса.
Мы уже видели (стр. 201), что произведение
p v = у N m ii1,
где N — число молекул, т — масса одной молекулы, Nm — масса
всего газа в данном объёме и и — скорость движения одной моле
кулы. Живая сила всех частиц нашего газа была бы
Т = ^ Nrnti*;
отсюда мы видим, что
и полная
энергия
подходящего газа 7\ =
3
3
p v = -^ R tv Точно так
же энергия отходящего газа будет
г, =
Теперь коэффициент полезного действия
Г, — Г2
г, — и
Ч= - 7 Т - в —
•
Эта важная формула даёт максимально возможную
фициента полезного действия теплового двигателя.
величину коэф
К ОЭ ФФИ ЦИ ЕНТ
П О ЛЕ ЗН ОГ О
ДЕ ЙС ТВИ Я
269
Пусть начальная температура пара равна 1 0 0 °С = 373° абс.,
конечная 15°С = 288°. Соответствующий коэффициент полезного
действия будет
^ —
373 — 2 8 8
373
п 0
’
При начальной температуре 200°С мы имели бы аналогично 7] = 0,37.
Но при '2 0 0 ° упругость пара воды будет слишком незначительной;
для эффективности работы машины надо брать в качестве начальных
значительно более высокие температуры.
Мы видим, таким образом, что большая часть энергии теплового
двигателя уходит бесполезно; в тепловых двигателях коэффициент
полезного действия не превышает 2 3 —30°/0. Для повышения коэф
фициента полезного действия следовало бы максимально понизить
температуру, которую принимает отработанный газ.
В том случае, когда работа происходит за счёт не тепловой,
а механической энергии, с коэффициентом полезного действия обстоит
несколько лучше.
Для металлообрабатывающих станков коэффициент полезного
действия достигает 0 ,8 и выше; наиболее высоким он является для
турбин, достигая значения 0,95.
При помощи принципа возможных перемещений мы легко могли
бы получить формулы для соотношения между силой и сопротив
лением в случае блоков и полиспастов (§ 55); эти формулы были
нами выведены совершенно без учёта потери энергии на трение
и другие сопротивления. Если учесть получающуюся потерю энер
гии, то величину действующей силы Р нужно взять несколько больше
теоретической.
Отношение теоретической величины силы Р к действительно
наблюдающейся даёт нам коэффициент полезного действия. Для не
подвижных блоков этот коэффициент достигает 96°/0, для подвиж
ных 9 7 % . Для приблизительных расчётов можно считать, что каж
дый неподвижный блок обусловливает увеличение силы на 100 — 96 =
= 4 % , а подвижный на 100 — 97 = 3% . Так, в случае полиспаста,
изображённого на фиг. 131 (стр. 140), имеющего три подвижных
и три неподвижных блока, соответствующее увеличение равнялось
бы примерно 3 • 3 % -j—3 • 4 ° /0 = 21% для полиспаста на фиг. 130
(стр. 140) с четырьмя подвижными и одним неподвижным блоками
увеличение составило бы 4 • 3% - f - 1 . 4 ° /0 = 16% .
В случае дифференциального блока потери значительно боль
ше и там на практике приходится брать для Р значение почти
вдвое большее теоретического (коэффициент полезного действия околэ 5 0% ).
Если пользоваться для подъёма грузов домкратом, основанным
на употреблении винтовой линии с шагом /г, то теоретическое
270
ОСНОВ НЫЕ
ПОНЯТИЯ
ДИНАМИКИ
МАШИН
[гл. 19
значение вращающего момента М мы можем получить, как в примере
103, и# формулы
Л1 e < 2-= Q h,
где Q -величина поднимаемого груза. Если вращающий момент обра
зуется силой Р , действующей на конце рукоятки длины /?, то M = P R
и соотношение между работой движущей силы Р и работой сопрои м е н и я Q будет:
P R . 2* = Qk,
откуда
p = Q ,^ .
Наличие силы трения значительно увеличивает силу Р ; это уве
личение в общем доходит до 2 0 °/fr, так что коэффициент полезного
действия винта будет составлять около 80°/0 (он зависит от угла
подъёма винтовой нитки и коэффициента трения^ что, конечно, мало
по сравнению с коэффициентом полезного действия одного блока,
равного 97°/0. Но если учесть, что большой выигрыш в силе при
пользовании блоками получается только лишь при употреблении не
скольких блоков, от чего общий коэффициент полезного действия
значительно понижается, то при больших величинах поднимаемого
груза пользование полиспастом или винтовой передачей является
почти одинаково выгодным.
В главе 4 мы познакомились с видоизменением винта — червяч
ной передачей, служащей для передачи вращения между двумя пер
пендикулярными пересекающимися валами. Если со1 и а>2 суть угло
вые скорости ведущего и ведомого валов, z x и
соответственно
число ниток червяка или зубцов колеса ведущего или ведомого ва
лов, то, как мы видели, соотношение между передаваемыми угло
выми скоростями будет
‘Ч — z2
Если M t и Af2 будут соответственно вращающими моментами,
действующими на ведущий и ведомый валы, то, сравнивая работы
их за единицу времени, будем иметь
откуда
=
М2= Л ^ .
Но
(i)j
2Га
^ _ V
Таким образом мы получим следующее соотношение между переда
ваемыми червячной передачей моментами:
м л= м Л .
zi
Вследствие значительного скольжения между червяком и колесом
коэффициент полезного действия червячной передачи низок и состав-
§ 99]
РЕГУЛИРОВАНИЕ
ХОДА
271
М А Ш ИН
ляег всего лишь 5 0 % в среднем (колеблется от 2 5 в/ 0 лри однохо
довом до 70°/0 при трёхходовом червяке).
§ 99. Р егу л и р о ван и е х о д а маш ин. Изложенное в начале этой
главы даёт нам возможность судить о важности равномерности хода
машин, которая позволяет значительно снизить потери энергии на
бесполезное ускорение и замедление отдельных деталей машины.
Если бы движущая сила и полезное сопротивление сохраняли во
всё время работы машины постоянную величину, то задача получе
ния равномерности хода машины1 не представляла бы больших труд
ностей. На практике, однако, как и движущая сила, так и полезное
сопротивление не являются постоянными, изменения же их неизбежно
должны отражаться на ускорениях и замедлениях отдельных частей
машины. Наиболее простой способ борьбы с неравномерностью хода
состоит в употреблении маховика, который воспринимал бы излиш
нюю энергию при избытке движущей силы и отдавал бы её, когда
это потребовало бы увеличение полезного сопротивления. Обыкно
венно маховик устраивается в виде колеса, главная масса которого
сосредоточена по ободу; пусть JQ будет момент ^инерции маховика.
Самым простым предположением для расчёта необходимой вели
чины
будет, если мы сочтём, что весь избыток работы движущей
силы над работой полезного сопротивления тратится на сообщение
кинетической энергии маховику. Если <ошах и comin будут максималь
ная и минимальная скорости соединённой с маховиком вращающейся
детали машины, то уравнение живых сил для маховика имело бы
следующий вид:
.
• Ч ~ 2 ----------2 ~ j = ДГИзбыточную работу А Т мы можем определить по диаграммам
изменения движущей силы и полезного сопротивления в зависимости
от перемещений их точек приложения; что касается сотах и comin , то
они, вообще говоря, неизвестны.
Выражение, стоящее в левой части нашего равенства, мы можем
преобразовать так:
т ( ^ т а х “Ь ^m in \
Jq(
2
0)тах —
Н (Omin
Выражение -~ а-х—^ т1-п— мы
) ( тах
м
\
)•
можем , принять за
среднюю
ско
рость шср движения данной детали, которую мы тоже можем счи
тать известной, так как каждая машина конструируется в расчёте
на определённую скорость движения отдельных её деталей. Величина
S = -^ ах ■ тш- носит название степени неравномерности.
р
Эта степень неравномерности имеет определённые значения а
зависимости от характера данной машины. Для машин, приводящих
в движение
насосы, степень
неравномерности
о— ^ д л а
272
ОС НО ВНЫ Е
механических
мастерских
ПОНЯТИЯ
ДИНАМИКИ
МА Ш ИН
[гл. Ш
8 = -^ ,
для динамомашин трёхфазного
тока 8 принимают равным даже ^
. Зная значение 8 , мы легко опре-
делим J0 по формуле
(так как
откуда
j y cp 8 = 4 Г
штах — comin = <вср 8 ),
г шаср°т
•7О
2
-
*
Если величина полезного сопротивления изменяется не толчками,
а накапливается постепенно или постепенно падает (или если период
изменения силы сопротивления очень велик), то ма
ховик непригоден для регулирования, ибо постепен
но и медленно изменяет свою скорость вследствие
приращения живой силы, так что машина может
ав развить слишком большую, недопустимую скорость
или вовсе остановиться/ В таких случаях приходится
прибегать к регуляторам, могущим непосредственно
влиять на величину движущей силы. Примером т а 
кого рода регулятора является хорошо известный
каждому мастеру регулятор Уатта (фиг. 239). При
Фиг. 239.
увеличении угловой скорости вращения оси ОС мас
сы Л и В отходят от оси вращения и поднимают
муфту С, связанную с клапаном, пропускающим пар в машину,
уменьшая впуск пара; при уменьшении же угловой скорости они,
наоборот, падают, в результате чего увеличивается впуск пара
и убыстряется вращение вала. Центробежные регуляторы имеют
широкое применение на паровых машинах, водяных двигателях и
других установках.
§ 100. Заклю чение. В настоящей главе мы рассмотрели наибо
лее общий принцип, позволяющий определить условия равновесия
с,ил, принцип, частными случаями которого являются подробно нами
изученные выше уравнения проекций и моментов.
В наиболее простой форме «золотого правила механики»
или
*
P v i = Qv^
1
(77)
(что выигрывается в силе, то теряется в скорости) он был изве
стен ещё древним механикам (впервые отчётливая формулировка
встречается у Герона Александрийского — механика, жившего около
100 г. н. э.); в более общей формулировке принципа возмож ны х
перемещений
2 P A s c o s (P ,A s ) = 0
(78)
273:
ЗА КЛ Ю ЧЕ НИ Е
0н был положен в основание всей статики Лагранжем в конце
XVIII века. Достоинства эгого принципа заключаются в том, что он
позволяет рассматривать условия равновесия целой системы тел,
недостаток — в том, что в полученные при его помощи формулы
приходится вводить поправки на потерю энергии на трение и
другие сопротивления. В этой связи мы установили понятие о коэф
фициенте полезного действия, позволяющее нам приблизить
к действительности получаемые нами чисто теоретические
формулы, учитывающие потерю энергии на сопротивление,
ЗАДАЧИ.
99.
Из одинаковых стержней сделан ряд шарнирных ром
бов (фиг. 240), которые могут сжиматься и растягиваться, оста
ваясь всегда между собой равными. К нижнему концу прило
жен груз Р ; верхний конец подвешен к неподвижной точке и
верхний ромб перетянут по диагонали верёвкой ОС. Опреде
лить натяжение Q этой верёвки под действием груза Р, если
число ромбов равно п.
в
с
F
£
G Н
Фиг. 240.
Фиг. 241.
Указание. Предполагая верёвку ОС разорванной и заменив её действие
двумя силами Q и Q, сравнить перемещения по вертикали точек Л и С.
О т в е т : Q = пР.
100. В изображённой на фиг. 241 системе ры чагов, где точки В, Е, Н
неподвижны, AB = DF = KG = 3BC = 3EF=3GH, определить соотношение
между действующей силой Р и сопро
тивлением Q.
О т в е т : Р = ^Q .
48
101. В вороте, радиус вала кото
рого г = 1 0 см, а радиус рукояток R =
= 40 см (фиг. 242), определить величину
двух сил Р, которые надо приложить
к обеим рукояткам, чтобы поднять груз
Q = 40 кг при коэффициенте полезного
действия 60%.
Ответ:
Теоретическое значение
Р = 5 Агг; учитывая потери и принимая
коэффициент полезного действия рав
ным 60%> надо взять Р = 8,33 кг.
102. На вертикальном полукруге ра
Фиг. 242.
диуса R находятся две тяжёлые точки
А к В весов Р и Q, связанные нитью длиною в четверть окружности. Опре
делить угол ср при равновесии (фиг. 243).
18
Здк. 667. II. II. Веселовсьий
S74
ОСН ОВ НЫЕ
ПОНЯТИЯ Д И Н А М И КИ
[гл. 19]
М АШ ИН
Указание. Дать возможное перемещение As = /?A<p по окружности, со
ставить уравнение работ.
Ответ:
tg <р= — .
103.
Стержень весом Р и длиной ОВ = 2/ (фиг. 244) подвешен за вер
пий конец вертикально. Какую горизонтальную силу Q нужно приложить
к свободному концу В, чтобы стержень отклонить
от вертикали на угол а?
Р
О т в е т : Q = -g- tg а.
104. В е с ы Р о б е р в а л я . Коромысло весов
составлено из четырёх стержней AD, AC, DF, CF,
соединённых между собой шарнирами и образую
щих параллелограмм ADCF (фиг. 245). Середины В
и Е горизонтальных стержней прикреплены шарни
рами к двум неподвижным точкам В и Е, вокруг
которых стержни могут вращаться, изменяя свой
угол с горизонтом. К остающимся всё время вертикальными стержням AD
и CF прикреплены две чашки весов. Доказать, что равновесие будет полу
чаться при равенстве весов обоих грузов, положенных на чашки / и II, не
зависимо от того места на чашке, где положен каждый груз.
В XVIII веке этот прибор, встречающийся теперь в каждом магазине,
носил название «парадокса Роберваля», так как перемещение груза влево и
вправо по чашке изменяет длину плеча для каждого груза и, следовательно,
как будто противоречит законам равновесия рычага.
105. Определить коэффициент полезного дей
ствия наклонной плоскости, образующей с горизон
том угол а, если коэффициент трения равен k. Дей
ствующая сила предполагается параллельной наклон
ной плоскости.
Л
о
A
Л
Ч
В
fii
E
г
Фиг. 245.
Фиг. 244.
f
r
О т в е т : Для поднятия груза Q без трения требуется сила P = Q s i n a ;
в случае трения нужна сила Р' = Q sin а -|- kQ cos а. Искомый коэффициент
полезного действия будет:
Р
1
Ч— р — 1 + f t c t g a ‘
106. Найти коэффициент полезного действия, подымающего груз Q
клина с углом а при вершине, нижняя сторона которого движется по гори
зонтальной плоскости, если коэффициент трения для наклонной и горизон
тальной щёк клина равен k.
О т в е т : Для подъёма груза Q без трения нужна сила P = Q tg а, при
наличии трения на обеих поверхностях клина Р' = Q tg a - f 2kQ.
1
Tl
1 + 2k ctg a *
ОТДЕЛ ЧЕТВЁРТЫЙ.
СТАТИКА.
Г Л А В А 20.
ПАРА СИЛ.
§ ”101. П онятие о паре сил. Ранее мы оставили без детального
рассмотрения случай, когда на тело действуют две равные и парал
лельные силы, направленные в противоположные стороны, но не по
одной прямой. Мы видели, что такая совокупность сил, называемая
парой, не имеет равнодействующей и вместе с тем не находится в
равновесии. Далее мы убедились, что сумма моментов сил, состав
ляющих пару, есть величина постоянная для любого центра момен
тов, равная произведению абсолютной величины
силы, составляющей пару, на её плечо — рас\
стояние между линиями действия образующих
—N
пару сил. Это произведение называется момен\
\
т ом пары и является мерой вращательного
У
У \ /
.действия, оказываемого парой на тело, к кото- 1\ У
у
рому она приложена. Если идёт речь о си/С
У
/ \
стеме сил, расположенных в одной плоскости, /
У
то моменту пары придают знак «плюс» или «ми- V 0 \ . ^ у
нус», в зависимости от направления вращения,
вызываемого данной парой (против или по
Я
стрелке часов).
Фиг. 246.
Введённое в механику известным француз
ским геометром Пуансо понятие пары сил важно в том отношении,
что оно позволяет дать графическое изображение момента силы,
который до сих пор мы просто обозначали некоторым числом, положительным или отрицательным. В этом отношении оно представ
ляет параллель изображению силы в виде вектора, позволяющему
графически представить действие силы по величине и по направлению.
Пусть на плоскую фигуру, закреплённую в точке О -.'фиг. 246),
действует сила Р, направленная по прямой, отстоящей от центра О
на расстоянии d. Эта сила, с одной стороны, оказывает давление
на закреплённую точку О, с другой, сообщает телу вращательное
движение вокруг этой точки — в нашем случае против стрелки
часов — причём вращательное действие этой силы измеряется её мо
ментом — произведением Р на d.
Мы не изменим действия силы Р, если приложим в точке О
две равные ей взаимно уравновешивающиеся силы Рх и Р а. Сила Р 4
18*
276
ПА Р А
СИЛ
[гл. 20
будет представлять оказываемое на точку О силой Р давление, а
сила Р 2 вместе с первоначальной силой Р образует пару, момент
к о т о р о й Pd как раз и будет представлять вращающий момент нашей
силы Р по отношению к центру О.
Поскольку момент пары измеряется но абсолютной величине
произведением силы на плечо, мы можем графически представить
его в виде площади прямоугольника или параллелограмма с основа
нием Р и высотой d (фиг. 247); для полноты представления мы
должны придать этой площади определённый знак в зависимости от
направления вращения, вызываемого парой (Р, Р),
которое в нашем случае будет происходить про
тив стрелки часов. Это направление, как нетруд
но видеть, совпадает с направлением обхода кон
тура О А В С , который получился бы, если бы мы
пошли по направлению, указанному стрелками сил
Р , т. е. от О к Л, от А к В , далее к С и, на
конец, возвратились бы к О. Условимся поэтому
считать положительными те площади, контур коФиг. 247.
торых обходится в положительном направлении
(против стрелки часов), и отрицательными те,
которые обходятся в противоположном направлении. Если придер
живаться этого условия, то момент пары можно изображать площадью
параллелограмма, образованного силами пары, взятой со знаком
«плюс» или «минус» в зависимости от направления обхода контура
получаемого параллелограмма.
§ 102. Э квивалентность п ар. Мы видели, что в статике экви
валентными системами сил называются такие, которые могут быть
уравновешены одной и той же системой сил (§ 36). Исходя из этого
определения,
мы
нашли, что две равные
силы, действую
щие на абсолютно твёрдое тело по одной и той же прямой,
являются эквивалентными; иначе, каждую силу можно перенести как
угодно по линии её действия.
В настоящее время мы ввели новый механический образ — пару
сил; естественно встаёт вэпрос — в каком случае можно считать
эквивалентными две пары, иными словами, по каким законам можно
переносить действующую на абсолютно твёрдое тело пару, не меняя
её действия.
Покажем, что, не изменяя действия пары, можно силы её состав
ляющие:
1 . Переносить параллельно самим себе в плоскости действия пары.
2. Переносить параллельно самим себе в любую плоскость, па
раллельную первоначальной плоскости пары.
3. Поворачивать на любой угол как в плоскости действия пары,
так и в любой ей параллельной.
Эго обозначает следующее: нам дана некоторая пара сил (Р , Р)
с плечом d (фиг. 248), лежащая в плоскости а (положение /). Не
§ 102]
Э КВ И В АЛ ЕН ТН О С Т Ь
277
ПАР
изменяя действия этой пары, её можно передвинуть параллельно
самой себе в её плоскости (положение //), перенести параллельно
самой себе в плоскость р, параллельную плоскости (положение ///),
повернуть её на любой угол при этом перенесении или до него
(положение IV ).
Во всех этих случаях мы применяем один и тот же метод доказа
тельства: уравновешиваем перенесённую пару другой парой, каждая
сила которой равна по величине и
противоположна по направлению
« ... d
\
Р
р\
Ь
1/+*"
/О
0 ' \С
>t
у
р
А
't
р
Фиг. 249.
силам первой пары, и затем показываем, что эта уравновешивающая
пара будет одновременно уравновешивать и первоначальную пару
положения /. Чертежи во всех
трёх случаях будут различны,
но рассуждения одинаковы. На
фиг. 249 изображено перенесение
пары в своей плоскости, на фиг.
250 перенесение в параллельную
плоскость и, наконец, на фиг. 251
поворот пары в её плоскости.
Пусть нам дана пара (Р, Р)
с плечом A B = d . Требуется
доказать, что она эквивалентна
паре (Р ', Р '), где Р = Р', с та
ким же плечом CD = d. При
ложим в точках С и D две си
лы Р " и Р ", уравновешивающие
силы Р ' и Р ' (Р ' = Р "); покажем,
что эти силы уравновесят и две
силы Р, Р первоначальной пары.
Рассмотрим в отдельности си
лы Р и Р " , приложенные в точках
Л и D; равнодействующая этих сил будет равна их сумме Р - \ - Р п
(в случае фиг. 251 геометрической сумме Р - \- Р " ) и будет прохо
дить через точку О (на фиг. 249 и 250 эта точка О будет сере
278
ПА РА
[гл. 20
СИЛ
диной отрезков A D и ВС, на фиг. 251 серединой диагоналей ромба,
образованного линиями действия сил первоначальной и преобразо.
ванной пары). Далее равнодействующая сил Р и Р ", приложенных
в точках В и С, тоже будет равна их сумме Р - } - Р " и тоже прой
дёт через точку О. Таким образом обе эти равнодействующие
взаимно уравновесятся; это значит, что силы Р '\ Р ", уравновешивающие пару сил Р ' и Р \ уравновесят и пару Р, Р. Таким образом
пары Р, Р и Р \ Р будут экви
валентны.
Покажем теперь, что, не изме
няя действия пары, мы можем из
менить величины силы и плеча
пары, лишь бы моменты первона
чальной пары (произведение силы
на плечо) были равны и по вели
чине и по знаку.
1
л
Г
а
Л
с
6
\9
к
Т
99
Фиг. 252.
Пусть дана пара сил Р, Р с плечом А В = а (фиг. 252); возь
мём другую пару Q, Q с плечом CD = b так, чтобы направления
вращения обеих пар были одинаковы (в нашем случае против
стрелки часов) и чтобы произведения Ра и Qb были равны:
p . a = Q • b.
Так как каждую пару можно как угодно переносить в её плоскости,
то поместим преобразованную пару Q, Q так, чтобы плечи А В и CD
составили продолжение одно другого. Пару сил Q, Q мы можем
уравновесить, если в точках С и D приложим силы Q', Q', равные
каждая Q и направленные в противоположные стороны; покажем,
что эти силы могут уравновесить и первоначальную пару Р, Р.
Действительно, две силы Р и Q', приложенные в одной точке (В, С),
могут быть заменены
одной равнодействующей P -J -Q ', направ
ленной вверх и приложенной в той же точке (В , С); далее сила Р,
приложенная в Л, и сила Q', приложенная в D , могут быть заме
нены равнодействующей
приложенной в точке, делящей
расстояние между точками А и D (разное a + £) обратно пропор
ционально этим силам. Из равенства Pa — Qb заключаем, что это
будет та же самая точка (В, С). Таким образом, четыре силы Р, Р ,
§
103]
ИЗОБРАЖЕНИЕ
МОМЕНТА
ПА РЫ
ПРИ
ПО МОЩИ
В ЕК ТО Р А
279
Q \ Q' оказываются эквивалентными двум силам P - j- Q , приложен
ным в одной точке и направленным в противоположные стороны;
значит, пара Q Q ', уравновешивающая пару Q, Q, одновременно
уравновесит и пару Р , Р , откуда и следует, что обе эти пары будут
эквивалентны.
§ 103* Изображение момента пары при помощи вектора. Мы
доказали, что две пары являются эквивалентными, если плоскости
их параллельны, направления вращения одинаковы и численные ве
личины произведений сил пары на плечо равны. Все эти теоремы
можно обобщить в одну, если принять следующийспособ
изобра
жения момента пары.
Момент пары можно изобразить в виде площади параллелограмма
заключённого между обеими силами пары: величина этой площади
будет давать величину момента пары, на
правление обхода контура параллелограмма,
указываехмое стрелками обеих сил пары, даст
направление вращения, наконец, сама пло
скость параллелограмма даст нам плоскость
(точнее одну из параллельных плоскостей),
в которой расположены обе силы пары.
Эту плоскость можно задать также, если
указать направление перпендикуляра (нор
мали) к этой плоскости. На этом перпендикуляре отложим в неко
тором масштабе отрезок, изображающий величину момента (произ
ведения силы на плечо или площади параллелограмма пары).
Условимся указанный перпендикуляр, на котором мы отклады
ваем отрезок, изображающий момент пары, восстанавливать с той
стороны плоскости, с какой пара представляется вращающей в по
ложительном (против стрелки часов) направлении, как это сделано
у нас на фиг. 253.
Резюмируя всё вышеизложенное, мы можем сказать: момент пары
изображается вектором, перпендикулярным к плоскости действия па
ры, направленным в ту сторону от этой плоскости, с которой пара
представляется вращающей в положительном направлении, и числен
но равным площади параллелограмма, построенного на силах пары.
Так как пара может быть перенесена в любое место простран
ства, то точка приложения этого вектора может быть выбрана со
вершенно произвольно. Вектор, изображающий момент пары, есть
так называемый вектор свободный; в этом состоит его отличие от
вектора, изображающего силу, точку приложения которого можно
выбирать только на линии действия силы (так называемый скользя
щий вектор).
Если воспользоваться векторным способом изображения момента
пары, то все теоремы предыдущего параграфа можно будет резю
мировать так: две пары эквивалентны, если будут геометрически
равны изображающие и х моменты.
П А РА
[гл. 20
СИЛ
§ 104. Сложение пар. Две или несколько пар, действующие на
одно и то же твёрдое тело, могут быть складываемы между собой
аналогично тому, что мы имели в случае сил.
При сложении пар приходится различать два случая: 1) когда
пары лежат в одной или параллельных плоскостях (в последнем
случае их всегда можно перенести в одну плоскость) и 2 ) когда
пары лежат в пересекающихся плоскостях. Общий метод, употреб
ляемый при доказательстве теорем о сложении пар, состоит в том,
что складываемые пары заменяют эквивалентными им парами, имею
щими одинаковые плечи (приведение к одному плечу) или одина
ковые силы (приведение к одной силе), после чего при помощи
фиг* 254.
1
1
1
\'
1
1
1
\f
1
)
- 4 -
i 'р
1
1
' i
'
C^NJ _
Р
-- --------------- <?/
&
-
i
d ,-*
^
^—
Фиг< 255.
соответствующего перенесения складываемых пар дело приводится
к сложению или сил, составляющих пары, или их плеч.
Т е о р е м а 1 . Две или несколько пару располож енны х в одной
плоскостиу эквивалентны одной пареу момент которой равен
алгебраической сумме моментов складываемых пар.
Пусть на тело действует несколько пар (положим для опреде
лённости три), из которых одни имеют моменты, вращающие против
(пары с моментами
M l9 -f-Af2), а другие по стрелке часов (пара
с моментом — Ж3).
Выбираем некоторую силу Р; все три складываемые пары можно
заменить составленными из сил Р; соответствующие плечи d u d9
определятся из равенств:
2’
Af1 == P rfi; АГ2 = Р</2; M 3 = P ds.
После этого составляем полученные пары концами плеч так
чтобы по две силы взаимно уничтожались (фиг. 254); после этого
У нас получится единственная пара Р, Р сплечом, равным
“ i t «а — «з- Момент этой пары будет:
M = P ( d 1- f
_ rf>) = p dt + p di _ p d ^ =
+
При приведении всех пар к одному плечу d силы Р, Р Р
делятся из равенств:
19 2'
Л11 = Р А
М г = P,tf; М 3 = p t d]
«ппг
опре-
§ 104]
СЛОЖЕНИЕ
28 i
ПА Р
мы получим единственную пару, сила которой равна P l -f— Р 3,
а плечо будет d (фиг. 255); момент М этой пары будет равен:
М = d (P i + Р 2 -
Р 3) =
+ ЛГ4 - М г.
Ф
Т е о р е м а 2. Д ве пары, располож енные в пересекающихся пло
с к о с т я х э к в и в а л е н т н ы 'одной паре, момент которой равен гео
метрической сумме моментов складываемых пар.
Если привести складываемые пары к одной силе Р , то доказа
тельство получается при помощи построения на фиг. 256. Пусть
нам дана пара сил, изо
бражаемая вектором мо
ментом М х = аЬ\ мы мо
жем представить её в ви
де пары, плоскость A B C D
которой перпендикуляр
на к вектору М и сила име
ет произвольную величи
ну Р, а плечо й х опре
деляется из равенства
Pdl = M i \ силы, образу
ющие эту пару, будут
иметь направления А В и
DC (так как направление
вращения этой пары бу
дет происходить про
тив стрелки часов, если
смотреть с_конца_вектора AfА). Точно так же вторую пару сил с
моментом 1Щ = Ьс мы можем представить как параллелограмм CDEF,
плоскость которого перпендикулярна к М ъ силы CD и EF рав
ны выбранной силе Р , а плечо d% определяется из равенства
Рдо = М г.
Составляя эти пары, чтобы силы DC и CD взаимно уничтожи
лись, мы получим врезультате две силы А В и EF, равныекаждая
Р иобразующие пару,
момент которой равен произведению Р »а
B E = d.
Из подобия треугольников B D E и abc, г стороны которых взаимно
перпендикулярны, получаем:
ab __ Ьс __ ас
BD ОЁ
ВЁ
или после умножения всех знаменателей на Р :
ab __ Ьс
ас
P d^P d^P d ‘
282
СИС ТЕМ А
СИЛ,
ПРИЛОЖЕННЫХ
В РА З Л И Ч Н Ы Х
ТОЧКАХ
[ГЛ.
2\
Но ab = M t = P d t и Ъс — M %= Pd%\ отсюда следует, что ас будет
равно P d и перпендикулярно к плоскости A B E F , иными словами,
геометрическая сумма мо*
ментов M t и М 2 представит момент М парь#сид
А В и EF.
Если приводить скла
дываемые пары к одному
плечу, то доказательство
может быть проведено,
как показано на фиг. 257:
силы Р х = А В и Я 2 = В В
заменяются одной силой
Р = А Ё , а силы F C = P y
и CD — Р х — одной си
лой FD = P; эти две си
Фиг. 257.
лы А Ё и FD
образуют
пару сил, плечо которой
AD = d и момент M = Pd. Поскольку Р = Р х -\- Ръ то, умножая
все члены этого равенства на d и поворачивая полученные векторы
на прямой угол, найдём, что моменты:
М — Pd, M x = P xd, М г = P2d
тоже образуют треугольник abc, подобный A B E f откуда:
М = М 1 + М 2.
Г Л А В А 21.
СИСТЕМА СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ В РАЗЛИЧНЫХ ТОЧКАХ*
§ 105* МетодПуансо. Втеории параллельных сил мы познако
мились спонятием о паре сил; это понятие было введено в науку
французским механиком Пуансо, с одной стороны, для того, чтобы,
как мы уже говорили, дать наглядное представление о моменте силы,
а с другой .для того, чтобы использовать его в приведении любой
системы сил к простейшему виду.
Прежде всего отметим, что при помощи пары сил можно все
силы, действующие на тело, перенести в одну точку. Это упрощение
может быть получено при помощи следующей леммы:
В ся к а я сила, прилож енная в данной точке, может быть замейена той же самой силой, прилож енной в другой точке> и парой,
момент которой равен моменту относительно второй точки силы,
приложенной в первой точке.
§ 105]
МЕТОД
283
ПУАНСО
Пусть нам дана сила Р, приложенная в некоторой точке А
(фиг. 258); мы желаем перенести её в некоторую точку О, которую
мы в дальнейшем будем называть центром приведения. Приложим
в точке О две взаимно уравновешивающиеся равные и противоположно
направленные силы Р 1 и Р 2, одна из которых, а именно Pj будет
равна и параллельна силе Р . Рассмотрим
полученную совокупность трёх сил Р, Р и
^ 2 - С одной стороны, она будет эквива
лентна единственной силе Р , с другой стоР°ны, мы можем эти три силы рассматри
\
вать как комбинацию из силы Р 19 предсга,
вляющей первоначальную силу Р , перенз\
3
'"“ Т2
сенную в точку О, и пары сил (Р, Р 2),
1
момент которой мы получим, умножая ве'
личину силы Р на длину d перпендикуляра
Оа, опущенного из точки О на линию
Фиг. 258.
Действия силы Р ; эта же последняя величина,
к ак мы знаем, будет представлять не что иное как абсолютную
величину момента силы Р относительно центра приведения О.
Таким образом наша лемма доказана.
Полученный результат символически можно записать следующим
образом:
)'
Р ( Л ) ( = ) Р ( О ) ( + ) 7 Й 0 (Р),
(а)
т - е. сила Р, приложенная в точке Л, эквивалентна такой же силе,
приложенной в точке О, вместе с парой, представляющей момент
переносимой силы относительно точки О.
Пусть у нас имеется совокупность сил: Р и приложенной в точке
-4], Р 2, приложенной в точке Л 2, Р 3 — в точке Л 3 и т. д.
Выбираем произвольную точку О и переносим в неё все рас
сматриваемые силы.
Применяя нужное число раз равенство (а), мы можем написать;
Л (Л]) ( = ) Л (О) ( - f ) м 0 (р ,),
( = ) Р * ( 0 ) ( + ) м 0 (р ,),
Р »(Л 3) (=)~Р3 (0 ) ( + ) М 0(Р,),
Все силы Р и Р 2, Р 3, . . . , приложенные в одной и той же точке О,
мыможем заменить одной силой /?, равной их геометрической сумме:
Р= Л+
р * 4- р *
• ••
(Ь)
и тоже приложенной в точке О. Эта сила /?, приложенная в точке О,
носит название главного вектора рассматриваемой системы сил.
234
СИСТЕМА
СИЛ,
ПРИ ЛО Ж ЕН Н ЫХ
В РА ЗЛИ Ч Н Ы Х
ТОЧ КАХ
[гл. 21
Далее все получившиеся пары, моменты которых суть М 0 (Я,),
А40 (Я2), М 0 (Яу) , . . . , мы можем гп правилу сложения пар заменить
одной парой, момент которой будет равняться геометрической сумме
моментов всех складываемых пар; этот момент носит название глав*
ного момента системы по отношению к центру приведения О.
Таким образом, рассматриваемая система сил оказалась эквивалент
ной одной силе (главному вектору), приложенной в центре приведе
ния, и одной паре, момент которой (главный момент) равен геомет
рической сумме моментов всех пар, возникших при перенесении сил
в центр приведения О.
Отметим, что величина и направление главного вектора будут,
оставаться одними и теми же для всех центров приведения (точнее
говоря, приложенные в различных центрах главные векторы будут
различаться лишь точками приложения), величина же и направление
главного момента будут, вообще говоря, меняться с изменением центра
приведения.
Не следз^ет смешивать главный вектор данной системы сил с её
равнодействующей. Как известно, равнодействующей системой сил
мы называем единственную силу, эквивалентную данной системе сил;
эта сила будет обладать некоторой вполне определённой линией
действия; что же касается главного вектора системы, то он может
быть приложен в любой точке, выбранной за центр приведения; кроме
того, он может заменить данную систему сил только взятый вместе
с главным моментом.
До сих пор мы рассматривали силы произвольного направления,
приложенные в различных точках. Сделаем теперь одно ограничение:
буд|к считать, что все точки приложения выбранных сил, а равно и
сами силы будут лежать в одной и той же плоскости. Обладающая
таким свойством система носит название плоской системы с и л .
Нетрудно видеть, что в случае плоской системы все силы и
получающиеся при перенесении пары будут лежать в одной плоскости
(мы подразумеваем, что и центр приведения будет лежать в той же
плоскости). В таком случае главный вектор будет лежать в той же самой
плоскости; точно так же все возникшие при переносе пары будут
лежать в той же плоскости и главный момент будет равняться а л ге
браической сумме моментов складываемых пар. Таким образом мы
приходим к следующей теореме:
Плоская система сил эквивалентна одной силе (глазном у
вектору 9 , равной геометрической сумме всех сил системы и п р и 
ложенной в произвольно выбранной точке (центр приведения), и
одной паре, момент которой (главный момент) равен алгебраической
сумме моментов всех сил системы относительно центра приведения.
Предположим, что главный вектор П, приложенный в центре
приведения О, не равен нулю. Величину главного момента
Q = Ж , (Я,) + уИ0 (/>„) 4 - м 0 (/>,) -1- . . .
(с)
§
105]
МЕТОД ПУАНСО
285
мы можем представить в виде произведения R на некоторую величину а,
представляющую длину плеча той пары, момент которой равен глав
ному моменту. Эту пару мы можем перенести в нашей плоскости
так, чтобы одна из сил её была приложена в центре приведения О и
направлена прямо противоположно главному вектору R \ тогда эта сила
уравновесится с главным вектором и у нас останется только вторая
из сил пары; эта последняя, как эквивалентная нашей системе сил,
будет, очевидно, представлять её равнодействующую.
Таким образом:
1. Если главный вектор неравен нулю, то данная система может
быть заменена одной равнодействующей, равной и параллельной глав
ному вектору.
2 . Если главный вектор равен нулю, но главный момент не равен
нулю, то данная система будет эквивалентна паре, момент которой
будет равняться главному моменту.
Отметим, что в этом случае главный момент будет представлять
постоянную, не зависящую от выбора центра приведения, величину.
3 . Если главный вектор и главный
момент будут одновременно равны ну
лю, то данная система сил эквивалентна
нулю — составляющие её силы будут
взаимно уравновешиваться.
Два последние положения (2 и 3)
очевидны.
/
\ гч
ft
Пример 106. Вдоль сторон квад- р.р
\
s
рата A B C D и его диагонали С А дей/
ствуют пять сил, равных Р. Зная, что
\
/
сторона квадрата равна а, опреде\
/
лить величину, направление и линию
действия равнодействующей этих сил
(фиг. 259).
^
В
качестве центра приведения
Фиг. 259.
выберем вершину А квадрата. Пере
нося в неё все наши силы, найдём, что главный вектор R системы
будет равен Р и приложен в точке А по направлению диагонали СА.
Составляя главный момент системы, мы видим, что относительно
точки А моменты сил Р и Р 4, Р л будут равны нулю, а моменты сил
и Р 3, направленные по стрелке часов, будут равны каждый Ра.
Таким образом, главный вектор R системы будет Р, а главный момент
2Ра (по стрелке часов). Эгот последний мы можем изобразить
в виде пары сил Р с плечом А А 1= 2 а .
Отбрасывая приложенные в точке А главный вектор R и силу Р’
как взаимно уравновешивающиеся, мы получим однулишь силу Р,
приложенную в точке Л '; эта сила и будет представлять равно
действующую нашей системы; линия её действия M N пройдёт на
расстоянии 2а от центра приведения Л.
286
СИСТЕМА С ИЛ,
ПРИ ЛО Ж ЕН Н Ы Х
В РА ЗЛИ Ч Н Ы Х
ТОЧ КАХ
[гл. 21
§ 106. Равновесие плоской системы сил: определение опор
ных реакций. Если главный вектор и главный момент одновременно
равны нулю, то система сил эквивалентна нулю, или, как говорят,
находится в равновесии.
Для того чтобы главный вектор R равнялся нулю, необходимо и
достаточно, чтобы равнялись нулю его проекции, или, что то же,
суммы проекций всех сил на координатные оси О х и Оу.
+
+
+
+ * ,= < > ,
^ + к .2 + к 3 + . . . + к „ = 0 .
Если главный вектор равняется нулю, то главный момент (момент
той пары, которой будет теперь эквивалентна рассматриваемая система)
будет величиной постоянной; поэтому для того, чтобы он равнялся
нулю, необходимо и достаточно, чтобы равнялась нулю сумма моментов
всех сил системы относительно любой точки
Ж , + Л 1в + Ж , + . . . + уИя = 0 .
Выбор направлений осей проекций всецело находится в нашем рас
поряжении; на практике выбирают их так, чтобы уравнения равно
весия получались возможно более простыми. Так как из трёх урав
нений можно определить только три неизвестных, то число неизвест
ных в нашей задаче в случае одного твёрдого тела не может быть
больше трёх. Подбирая направления осей проекций соответствующим
образом, мы можем получить уравнения равновесия, содержащие
меньшее число неизвестных. Для этой цели рекомендуется выбирать
направление осей проекций так, чтобы они были бы перпендикулярны
по меньшей мере одной из неизвестных сил (исключение одной неиз
вестной), а центр моментов так, чтобы он совпадал с точкой пере
сечения линий действия двух неизвестных сил (исключение д вух неиз
вестных). Поэтому очень часто бывает полезным начинать именно
с уравнения моментов, которое позволяет определить одну неизвест
ную, а потом, применяя уравнения проекций, определить поочереди
и остальные два неизвестных.
Более того, можно составить уравнения равновесия таким образом,
чтобы у нас получились три уравнения, каждое только с одним неиз
вестным. Это позволяет сделать так называемая теорема т р ё х
моментов статики, которая читается так:
Необходимое и достаточное условие равновесия плоской системы
сил заклю чает ся в т ом, что должны быть равны нулю суммы
моментов всех сил относительно т р ё х точек, не леж ащ их на
одной прям ой.
Необходимость этих условий очевидна: если система сил находится
в равновесии, то сумма моментов относите,тьно любой точки обяза
тельно будет равна нулю.
§
106]
О П РЕ Д ЕЛЕН И Е
ОПОРНЫХ
РЕАКЦИЙ
287
Покажем теперь, что эти условия будут и достаточными; иными
словами, что при соблюдении их система сил будет обязательно на
ходиться в равновесии.
Мы знаем, что для плоской системы сил возможны всего три
случая при приведении её к простейшему виду:
1 . Система сил приводится к одной силе — равнодействующей.
2 . Система сил приводится к паре (в таком случае сумма моментов
Есех сил будет постоянной для всех возможных центров моментов).
3. Система эквивалентна нулю (равновесие).
Пусть равна нулю сумма моментов всех сил относительно не
которой точки А . Если это имеет место, то случай пары будет уже
исключённым (мы имели бы пару с моментом, равным нулю); система
или будет находиться в равновесии, или приводиться к одной равно
действующей, но тогда эта равнодействующая необходимо должна
проходить через эту точку А. Если с^мма моментов будет равна
нулю для какой-нибудь другой точки В , то система сил или будет
находиться в равновесии, или приводиться к равнодействующей, про
ходящей через точку В , т. е. тем самым будет определена линия
действия равнодействующей; тогда будет равна нулю сумма моментов
для любой точки, лежащей на прямой А В . Если же сумма моментов
всех сил будет равна нулю для какой-нибудь точки С, не лежащей
на прямой А В У то поскольку линия действия равнодействующей не
может проходить через три точки, не лежащие на одной прямой,
то равнодействующая должна быть равна нулю, т. е. данная система
сил будет находиться в равновесии.
Задачи на равновесие распадаются на два класса: в более простых
задачах равновесие уже предполагается существующим и требуется
определить реакции связей; в более сложных случаях требуется
предварительно определить положение
равновесия.
Разберём сначала несколько задач
первого класса, в которых требуется
определить величины реакций связей.
I.
Если тело опирается на гладкую
поверхность, то реакция последней бу
дет нормальна (перпендикулярна) к по
верхности соприкосновения.
Пример 107. Палочка А В длины
2 а и веса Р опирается концом А на
горизонтальную плоскость, а точкой С на угол (расстояние
А С = 1). Какую горизонтальную силу 5 надо приложить в точке A t
чтобы удержать палочку в равновесии при заданном угле наклона а
и какие при этом получаются реакции N A и N c в точках А и С
(фиг. 260).
Реакция в точке А будет, очевидно, перпендикулярна к A D ;
направление N c будет перпендикулярно к прямой А В ; действительно,
288
СИСТЕМА СИ Л,
ПРИ ЛО Ж ЕН НЫХ
В РА ЗЛ И Ч Н Ы Х
ТОЧ КАХ
[Г Л .
21
если бы палочка А В была неподвижной, а угол С скользил бы по
ней, то направление реакции палочки, а стало быть и противо
действие угла С, было бы перпендикулярно А В .
Решение задачи начинаем с уравнения моментов относительно
точки А: моменты неизвестных сил N A и S будут равны нулю,
а моменты N Q и Р равны по величине и противоположны по знаку:
N c l = Pa cos а,
откуда
Теперь, после того, как известна сила N c , составляем уравнение
проекций на горизонталь. Проекции N A и Р будут равны нулю, и мы
сможем определить S:
S = N C sin а
или, после подстановки значения N c :
о = Рг»-jа cosot sin
• ос=
Ра sin
• о2 а.
Наконец, последнюю неизвестную определяем,
проекций на вертикаль:
N A - \ - N c cosa = P,
откуда:
составив уравнение
N A = p ( l — у cos2aj .
II.
Если одна из точек тела закреплена шарниром, то реакция
закреплённой точки обязательно будет проходить через последнюю,
но направление её будет, вообще говоря, неизвестным.
При аналитическом решении задачи эту неизвестную реакцию
раскладывают по двум взаимно перпендикулярным направлениям, что
будет равносильно введению двух неизвестных. Так как число урав
нений равновесия в случае плоской задачи равно трём, то шарнирное
закрепление может быть только в одной точке; реакция другой точки
должна определяться при помощи только одной неизвестной; иными
словами, направление второй опорной реакции должно быть задано.
При графическом решении задачи удобнее всего найти равнодей
ствующую всех заданных сил и затем применить теорему о равно
весии трёх сил: направление реакции шарнира должно пройти
через точку пересечения линии действия равнодействующей известных
сил системы и известного направления другой реакции; определив
же направаение реакции шарнира, строим силовой треугольник и
находим из него величины обеих неизвестных реакций.
§
1061
ОП РЕ Д Е ЛЕН И Е ОПОРНЫХ
РЕАКЦИЙ
289
Пример 108. Ферма А В , перекрывающая пролёт А В ширины 3а,
имеет высоту h . В точке А она закреплена шарниром, а в В опирается
на гладкую плоскость, образующую с горизонтом угол а. Определить
опорные реакции в точках А и В под действием двух сил Р , и Я*,
из которых одна горизонтальна и приложена в точке С другая
вертикальна и приложена в точке D (фиг. 261).
*
Реакцию шарнира А раскладываем по горизонтали и вертикали
на составляющие Х А и Y д; реакция точки В , перпендикулярная
к опорной плоскости, образует угол а с вертикалью.
Берём уравнение моментов относительно точки А :
P th -J- Р2а = N B3a cos а.
Уравнение моментов относительно В позволит нам определить УА :
Yа • 3& -|—Р \h ==*Р%2а,
Наконец, составляющую Х А мы могли бы определить, взяв урав
нение моментов относительно точки пересечения направления реакции
N B с вертикалью, проходящей через А ; проще, однако, найти её из
уравнения проекций на горизонталь:
Х А = Р х — N B sin а.
Заметим, что если бы в точке В был тоже шарнир, то задача стала
бы статически неопределимой. Аналитически это следует из того, что
мы будем иметь только три уравнения для определения четырёх
неизвестных: Х А, Х в , УА, Y в ; физически м& можем в этом убедиться
из тех соображений, что при закреплённых точках А и В расстояние
между ними должно оставаться неизменным; поэтому, если бы мы
подвергли ферму нагреванию, то закрепления в точках А и В пре
пятствовали бы свободному расширению; мы получили бы так назы
ваемые, температурные ус и л и я , величины которых зависели бы от
коэффициента теплового расширения материала, из которого построена
ферма. Чтобы избавиться от этих добавочных усилий (а заодно и
19
Зак. 667. И. Н . Веселовский
290
СИСТЕМА СИЛ,
ПРИ ЛО Ж ЕН Н Ы Х
В Р А ЗЛ И Ч Н Ы Х
ТОЧ КАХ
[гл. 21
сделать задачу расчёта статически определимой), делают одну опору
подвижной, позволяя тем самым ферме свободно расширяться.
Однако есть и другой способ выйти из затруднения. Можно, не
трогая шарнирной опоры В , сделать задачу статически определимой,
если разбить нашу ферму на две, соединённые между собой шар
ниром; мы получаем так называемую т рёхш арнирную а р к у .
Пример 109. Пролёт ширины А В = 2а перекрыт двумя полу
арками веса Р каждая, соединёнными шарниром С. Зная, что на левую
полуарку. действует дополнительная нагрузка Q по вертикали, от
стоящей от А на расстоянии b, определить опорные реакции шарниров
А , В и С, если высота шарнира С над линией А В равна h , а рас-
Фиг. 262.
стояния вертикалей центров тяжести обеих полуарок от их конечных
шарниров будут d (фиг. 262).
Считая, что каждый ш&рнир даёт две неизвестные реакции, мы
будем иметь всего шесть неизвестных. На первый взгляд кажется
парадоксальным, что введение третьего шарнира сделало статически
определимой задачу, бывшую при двух шарнирах статически неопре
делимой. Это, однако, объясняется тем, что в нашем случае мы имеем
два тела (две полуарки), дающие нам 2 X ^ = 6 уравнений, в то
время, как для двухшарнирной арки мы имели только одно тело, т. е.
три уравнения для определения четырёх неизвестных.
Раскладываем реакции шарниров по горизонтали и по вертикали.
Заметим, что в точке С направления опорных реакций для правой
и левой полуарок будут по закону равенства действия и противодей
ствия прямо противоположными (на фиг. 262 силы, приложенные
к правой полуарке, будут Х с и Ус , а к левой — Х'с и У^).
В том случае, когда мы имеем несколько тел, можно рекомен
довать ещё один приём исключения неизвестных сил; для этого нужно
так выбрать тело, равновесие которого мы рассматриваем, чтобы
исключаемые силы оказались внутренними. Будем рассматривать обе
полуарки как одно тело (согласно принципу отвердевания); тогда
проекции и моменты сил Х с и Х 'с , а также Ус и У^, взаимно уни
чтожившись, не войдут в уравнение равновесия.
§
106]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПОРНЫХ РЕАКЦИЙ
291
Уравнение проекций на горизонталь даёт нам:
X A= x v
<а)
Проектируя на вертикаль, получаем:
YA Jr YB— 2 P -\- Q‘
(b)
Наконец, уравнение моментов относительно точки А даст нам:
P d -\-Q b + P (2а — d ) ~ Ув2а,
(с)
откуда
r> = p + ^ i: Из уравнения (b) определяем теперь УА:
yt = p - Q - k + Q Составим уравнения равновесия одной из полуарок, например, правой.
Уравнение проекций на горизонталь даст:
с
Х В = Х С.
(а')
Проектируя на вертикаль, получаем:
O ')
P + Yc = y B>
откуда
y c = q 4s
-
Наконец, уравнение моментов относительно центра В даст нам:
Yca - { - P d = X ch,
(с )
откуда
Величина X А= Х В = Х С носит название распора арки; это та
сила, которая стремится раздвинуть нижние концы арки, производя
в конечном счёте её обрушивание. Нетрудно видеть, что чем больше
высота замка h , тем меньше распор. *Этим объясняется то обстоя
тельство, что в средневековых постройках употреблялись стрельчатые
готические арки, высота h которых была значительно больше, чем
половина пролёта А В (фиг. 263).
В случае симметричной нагрузки на арку (Q = 0) величина рас
пора Х с определится формулой:
г, d
292
СИСТЕМА СИЛ,
ПРИ ЛО Ж ЕН Н ЫХ
Если считать приблизительно d =
В РА ЗЛИ Ч Н Ы Х
ТОЧКАХ
[Г Л .
21
(практически оно гораздо меньше),
то даже если высота А зймка с только равна длине пролёта А В = Ча,
мы получаем, что величина распора будет не больше четверти веса
полуарки.
§ 107. Равновесие плоской системы сил: определение положения равновесия. В задачах второго класса требуется кроме опорных реакций ещё определить, какое положение примут при равно
весии тело или система тел, к которым приложены данные силы.
В этом случае неизвестными будут кроме сил реакций связей ешё
некоторые чисто геометрические величины (расстояния, углы и т. д.),
определяющие положение рассматриваемого тела. Для нахождения
этих геометрических величин из полученных обычным способом ура
внений равновесия по очереди исключают неизвестные реакции свя
зей до тех пор, пока не получится уравнение, содержащее только
геометрические величины; уравнение это называется условием равно
весия. Число условий равновесия должно быть равно числу геоме
трических величин, определяющих положение системы, число это,
между прочим, называется числом степеней свободы данного тела
или системы тел. Так, например, для точки на плоскости число сте
пеней свободы равно двум, ибо оба уравнения равновесия (сумма
проекций на оси О х и Оу) не со
держат реакций связей; с другой
стороны, положение точки на пло
скости определяется тоже двумя
координатами. В связи с этим гео
метрические величины, определя
ющие положение данного тела или
системы тел, часто тоже называют
координатами данного тела или
системы.
Пример 110. Определить поло
жение равновесия однородной тяжё
лой доски А В , концы которой ле
жат на двух гладких наклонных
плоскостях ОА и О В% образующих
с горизонтом углы а и Р (фиг. 264).
За координату, определяющую положение доски А В, возьмём
угол ср, образуемый ею с горизонтом А лг. Условие равновесия будет за
ключаться в том, что вертикаль М С, проходящая через середину доски,
должнапройти через точку пересечения нормалей А С и
В С к обеим
наклоннымплоскостям; искомый
угол ср при равновесии может быть
определён чисто геометрически.
Применим теорему синусов к треугольникам А М С и В М С :
CM
sin САМ
CM
sin СВМ
AM
sin ACM '
ВМ
sin В CM*
§ 107]
293
О П РЕД Е ЛЕН И Е ПОЛОЖЕ НИЯ РАВНОВЕСИЯ
Так как А М = В М , то
sin САМ
sin ACM
Но угол
A C M = а,
sin СВМ
sin ВСМ #
В С М = (5, СА х =
угол С /Ш = у — а — ср; точно также
Тогда после подстановки получим:
i
cos (a -fc y j
sin a
а; следовательно,
угол С ВМ = —
(}-{” ?•
cos (3 — sp)
sinp
*
Освобождаясь от знаменателей и применяя формулы косинуса суммы
и разности, получаем:
cos 9 (sin р cos a — sin ос cos p) = sin 9 2 sin a sin p,
откуда
tg 9 :
sin 0 — a)
’ 2sin a sin j3 *
Пример 1 1 1 . Полый цилиндр радиуса R с очень тонкими стен
ками, открытый с обоих концов, поставлен на горизонтальную пло
скость. Внутрь его кладут два шара радиуса г и веса Р (где г > ^ ) .
Каков должен быть наименьший вес G
цилиндра для того, чтобы он не опро
кинулся (фиг. 265).
Мы имеем систему, состоящую из
трёх тел: цилиндра B C D E и двух ша
ров А 1 и Л 2. При положении, указан
ном на чертеже,, цилиндр будет опро
кидываться, вращаясь вокруг точки В ,
где и будет сосредоточена вся опор
ная реакция стола, в то время как в
точке С реакция в момент опрокиды
вания будет равна нулю. На цилиндр
действуют следующие силы: 1 ) не
известный
вес цилиндра G,
дей
ствующий по оси 0 0 ', 2 ) реакция А нетола, приложенная в точке В,
и, наконец, 3) и 4) силы N x и jV2 давления шаров А х и А 2 на стенки
цилиндра. Применяя к цилиндру последовательно все три уравнения
равновесия, получаем:
%х=о,
= О,
V A I B= 0 ,
N „ — G,
g ,R=
B F — N y- BH,
294
СИСТЕМА СИЛ,
ПРИЛО ЖЕН НЫХ
В РА ЗЛ И Ч Н Ы Х ТОЧКАХ
[гл .
21
Мы видим, что силы 7V, и iV2 образуют пару сил, момент кото
рой N • F H равняется G • R — моменту веса цилиндра относительно
точки В.
Рассмотрим теперь оба шара А { и А 2, считая их (согласно прин
ципу отвердевания) за одно тело. На это тело будут действовать
реакции — jVj (вправо), — TV2 (влево), веса шаров Р и Р, приложенные
в точках А 1 и Л 2, и, наконец, реакция N L стола, приложенная в точке L
соприкосновения нижнего шара со столом. Составляя уравнения равно
весия, будем иметь:
*
£ * = 0,
— N t = — N 29
2 У = 0,
N l — 2Р,
Ъ М А = о, — УУ2 • F H = Р •
Последнее уравнение показывает, что момент пары реакций
N2
будет равняться Р • А 1К = Р • 2 (/? — г). С другой стороны, момент
той же пары будет равняться G • Р .
Сравнивая оба эти выражения, будем иметь:
О . /? = 2 Р ( / ? - г ) ,
откуда
Таково будет наименьшее значение веса цилиндра, при котором
последний не будет опрокидываться.
§ 108. Равновесие при наличии трения. Если поверхности,
на которые опираются рассматриваемые тела, являются шероховатыми,
то при рассмотрении условий равновесия, кроме нормальных реакций
этих поверхностей, приходится ещё учитывать силы трения. Так
*как силы трения не могут превзойти некоторого предела, то усло
вия равновесия выражаются при помощи неравенств. При составлении
уравнений равновесия введём кроме всех действующих сил и нормаль
ных реакций ещё силы трения F и затем после составления уравне
ний, как обычно, применяем известное соотношение для сил трения:
F ^kN ,
где k — коэффициент трения, N — соответствующая опорная реакция;
после подстановки уравнения равновесия перейдут в неравенства,
которые и дадут ответ на предложенную задачу.
Пример 112. На цилиндрическую ось диаметра d , расположенную
вертикально, надет барабан BC D E высоты А, к которому сбоку при
делана ручка с подвешенным к её концу А грузом Р. Расстояние ОА
точки приложения силы Р от оси цилиндра равно а. Найти соотно
шение между Р, a, d, А, при котором барабан B C D E не будет
§
10»]
РАВНОВЕ СИЕ ПРИ
НАЛИЧИИ ТРЕНИЯ
295
скользить по цилиндрической оси вниз (фиг, 266), если коэффициент
трения между цилиндром и барабаном равен к.
Под действием боковой нагрузки Р барабан перекашивается на
оси, нажимая на последнюю в точках В и D, где появляются нор
мальные реакции Ыв и N Dt Если бы барабан был совершенно глад
ким, то под действием веса Р он стал бы скользить вниз; в нашем
случае этому будут препятствовать появляющиеся в точках В и D
направленные вверх силы трения F в
и
Удовлетворяющие соотношению
Составляя уравнение проекций на
горизонталь, получим
N b = N d = N;
(а)
отсюда следует, что и силы трения Вв
и F d будут равны между собой. Обо
значая общую их величину через F и составляя уравнение
ций на вертикаль, находим:
2F= P.
проек
lb)
Наконец, составляем уравнение моментов относительно центра О.
Нетрудно видеть, что относительно точки О моменты сил трения ■£
взаимно уничтожаются, и мы получаем
P a~N •
Iе]
Последнее уравнение определяет реакцию ЛЛ
N =
Ра
h '
Подставляя в уравнение (Ь) выражение для силы трения F, полу
НРПЯ RPHPTRH*
чаемМ неравенство:
2
После сокращения на Р
равновесии:
h
получаем
искомое соотношение при
h^2ka.
Ни от величины груза Р, ни от размеров диаметра цилиндра
условия равновесия не зависят.
Мы видим, что при решении задач на равновесие с трением усло
вия равновесия выражаются не только уравнениями, но и неравен
ствами.
296
СИСТЕМ А
С И Л , П РИ ЛО Ж ЕН Н Ы Х
В РА ЗЛИ Ч Н Ы Х
ТОЧКАХ
[гл .
21
При решении задач подобного рода необходимо сделать следующие
методические указания:
1. В первую очередь необходимо составить те условия равнове
сия, которые выражаются равенствами, и исключить из них те не
известные, которые поддаются исключению.
2. При исключении какого-нибудь неизвестного из двух нера
венств необходимо получить сначала величину, большую исключаемого
неизвестного, а потом меньшую, после чего оба полученные неравен
ства заменяются одним, которое уже не будет содержать выделен
ного неизвестного.
Пример И З . На шероховатом полу, коэффициент трения кото
рого k u стоит лестница А В , вес Р которой можно считать прило
женным в точке С, находящейся на расстоя
ниях А С = а и В С = b от концов лестницы;
верхний конец В лестницы прислонён к стене,
коэффициент трения для которой равен &2.
Найти угол ср, образуехмый лестницей с гори
зонтом в положении равновесия (фиг. 267).
Если бы стена и пол были совершенно
гладкими, то конец А лестницы двигался бы
влево, а конец В вниз; так как этого не про
исходит, то сила трения F A в точке А на
правлена вправо, а сила трения FB в точке/? —
вверх. Таким обоазом, лестница находится в
равновесии под действием пяти сил: веса Р, двух нормальных
реакций N a , N B и двух сил трения FА и F в , удовлетворяющих не
равенствам:
Fа ^
; F в ^ k^N B.
Условие равновесия лестницы, выражающееся равенством, мы по
лучим, исключив обе силы трения F A и F B; этого мы достигнем,
если возьмём уравнение моментов относительно точки О:
Pb cos <р-}- N B (a -f~ b) sin <р= N A (a -j- b) cos
.
Из этого уравнения определяем N A:
N A =
P
^ - b - \ - N b tg*.
Таким образом мы подготовились к исключению одной неизвест
ной реакции Л/А, которую всегда можем выразить через N B.
§
108]
РАВНОВЕСИЕ
ПРИ
НАЛИЧИИ
ТРЕНИЯ
297
Составляем уравнение проекций на горизонталь:
N
1У/в = F1 А
или после подстановки вместо FA его значения:
N B ^ k xN A.
Заменяя N A через найденное выше выражение, будем иметь:
к хР J L -b + k xN B tg <?,
отсюда находим верхний предел для N B:
N <
в
Ы * ______
(в + b) (1 — A’, tg <р) ■
Уравнение проекций на вертикаль даёт нам:
» А + Р . = Р.
откуда
P - N A = F B^ k , N B,
Заменяя N A его выражением, получим:
Р-Р-^-Н вЫ ^ЬЛр
откуда
.
if
и мы получаем нижний предел для N B:
Ра
' в — [а + b) (*2 + tgcp) •
Сопоставляя вместе оба полученных неравенства, будем иметь:
Рй
(а -г b) (Aa + tg <р)
в
к'РЬ
(а + Ь) (1 — кх tg <р) ‘
Сокращая крайние части полученных неравенств на
иметь:
д
kvb
CL4" ^
будем
298
СИСТЕМА С И Л,
П РИЛОЖ ЕННЫ Х
В РА ЗЛ И Ч Н Ы Х
ТОЧКАХ
[гл .
21
Перенося все члены с t g ? в одну часть неравенства, будем иметь:
Vа ' b ) ^ ‘
te r 0 ^ 2
. ! ________
кха
а у
что после очевидных упрощений даёт:
tg ? ;
а
—kxk%b
К {а + Ъ)
Так определяется наименьший угол наклона <р, при котором лестница
ещё будет оставаться в равновесии; последнее будет обеспеченным
при всех значениях ср больших полученного.
Что касается опорных реакций N д и N B, то величины их зависят
от угла <р, который не вполне определён, и, следовательно, будут и
сами изменяться в довольно широких пре
делах.
Мы можем сделать эти обстоятельства
более наглядными, если воспользуемся графи
ческим построением при помощи введения угла
трения. Как мы видели (§ 45), углом трения
называется предельный угол, на который мо
жет отклониться от нормали направление пол
ной реакции шероховатой поверхности в опор
ной точке.
Чтобы проверить, будет ли лестница в
равновесии при данном ^ угле наклона а, в
точках А и В восставляем перпендикуляры А К
и В К к опорным поверхностям ОА и ОВ; от них в ту же сторону,
что и силы трения F A и F Bf откладываем углы трения <p1 = arctg& 1
(на фиг. 268 угол К A N ) и cp2 = arctg&2 (угол К В М ); получившиеся
клинья M A N и К В М представляют области возможных опорных
реакций в точках А и В. Отметим четырёхугольник K L M N пересе
чения обоих этих клиньев; если вертикаль, проведённая через точку С,
пересечёт этот четырёхугольник, то равновесие при данном пол.ожении лестницы будет возможным. Возьмём какую-нибудь точку D ,
ёж ащ ую внутри четырёхугольника K L M N на линии действия CD
силы весаР; соединяя эту точку D с опорными точками А и В и
раскладывая вес Р по направлениям D A и D B , мы найдём значения
опорных реакций /?д и R B; очевидно, последние будут зависеть от
положения точки D, а она в свою очередь будет зависеть от перво
начальных значений опорных реакций в момент прикосновения лест
ницы к А и В.
Отметим, что если шероховатой является только одна поверхность
(например, горизонтальная плоскость 0.4), то задача нахождения опор
ных реакций будет вполне определимой.
§
109]
У СЛОВИЯ
РАВНОВЕСИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННОЙ
СИСТЕМЫ с и л
299
Действительно, в случае гладкой поверхности О В направление её
реакции В К будет вполне определённым; если точка пересечения
нормали В К с вертикалью, проведённой через С, окажется внутри
угла M A N , то равновесие будет возможно; направление опорной
реакции
определится при помощи соединения полученной точки
пересечения Е с опорной точкой А ; величины опорных реакций
найдутся разложением силы веса Р по направлениям BE и ЕА.
При наличии только одной шероховатой
поверхности четырёхугольник K L M N об
ращается в линию.
В рассмотренных задачах мы могли
установить направление силы трения (про
тив движения соответствующих точек со
прикосновения по шероховатым поверхно
стям). Если невозможно установить на
правление движения, то приходится рас
сматривать силы трения направленными
.и в ту и в другую стороны от точек
Фиг. 269.
прикосновения. Так, например, если бы
в примере 110 обе плоскости были шеро
ховатыми (фиг. 269), то мы не могли бы заранее сказать, будут ли точки
А и В под действием силы веса Р двигаться вправо или влево по ли
ниям ОА и ОВ. При графическом решении задачи восставляем нор
мали А Н , В Н и откладываем углы трения и в ту, и в другую сто
роны от А Н и В Н \ при равновесии вертикаль, проходящая через С,
при отсутствии трения должна проходить через точку Н пересече
ния обеих нормалей, при наличии же сил трения она может прохо
дить через четырёхугольник H K M L
(при сдвигании доски влево) или
через четырёхугольник H K ^M VL V
(при сдвигании доски вправо).
§ 109. Понятие об условиях
равновесия пространственной си*
стемы сил. Изложенный в начале
главы метод Пуансо вполне приме
ним и к пространственной системе
сил. В этом случае при перенесе
Фиг. 270.
нии всех сил в одну точку появля
ются пары, моменты которых те
перь уже не будут лежать в одной плоскости. То же самое надо
сказать и о силовом многоугольнике для пространственной системы
сил. Поэтому гораздо удобнее в этом случае пользоваться методом
проекций.
Силу Р, приложенную в начале координат (фиг. 270), мы можем
заменить тремя составляющими силами Х = О А у Y = O B , Z = O C ,
направленными по сторонам прямоугольного параллелепипеда, диаго
300
СИСТЕМА СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ В РАЗЛИЧНЫХ т о ч к а х
[гл. 21
налью которого является раскладываемая сила. Эти составляющие
будут представлять проекции нашей силы Р на координатные оси,
а именно:
Х = п р х(Ру) Y = upy(P); Z = n p 2(P).
Равнодействующую данной системы сил мы найдём, складывая в от
дельности проекции на координатные оси всех составляющих сил
совершенно так же, как мы это делали на плоскости: единственная
разница будет заключаться в том, что мы будем иметь не две, а три
суммы по трём координатным осям. Таким образом найдётся главный
вектор /?, проекции которого на координатные оси будут равняться
алгебраическим суммам проекций всех складываемых сил. Для того
чтобы этот главный вектор равнялся нулю, необходимо и достаточно,
чтобы равнялись нулю его проекции на координатные оси, т. е.
£Х =0;
2 Г = 0;
£ Z = 0.
Поскольку при перенесении сил в одну точку полученные пары
не будут лежать* в одной плоскости, моменты их придётся склады
вать уже не алгебраически, как в случае плоской системы сил, а
геометрически; в результате получится пара, момент которой будет
равняться геометрической сумме моментов всех складываемых пар;
эта геометрическая сумма получается совершенно так же, как и
главный вектор, равный геометрической сумме векторов сил. Вектор,
изображающий момент каждой пары, мы можем разложить по трём
координатным осям, т. е. представить его в виде суммы трёх момен
тов, направленных по координатным осям. Каждому из 5этих момен
тов будет соответствовать пара, лежащая в плоскости, перпендику
лярной взятой оси; так вектору — моменту, направленному по оси О х
будет отвечать пара, лежащая в плоскости O yz, и т. д. Каждая из
трёх полученных пар, моменты которых будут направлены по к о 
ординатным осям, будет стремиться вызывать вращение вокруг этой
оси; вращательное же действие какой-нибудь силы или пары вокруг
какой-нибудь оси измеряется, как мы видели, моментом относительно
этой цси.
Для того чтобы соответствующая главному моменту пара не вы
зывала вращения вокруг координатных осей, необходимо, чтобы
равнялись нулю моменты всех составляющих сил относительно этих
координатных осей. Таким образом к уже установленным трём урав
нениям проекций:
% Х = 0 , Z Y = 0, £ Z = 0
прибавляются ещё три уравнения, выражающие, что приложенная
система сил не стремится вызывать вращение вокруг рассматривае
мых осей:
2 }Ж* = 0, % М у = 0, % М г = 0.
§ 109]
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ
сил
301
Полученные шесть уравнений являются самыми общими условиями
равновесия для свободного твёрдого тела; все рассмотренные нами
задачи являются лишь частными случаями этих шести уравнений
статики.
ЗАДАЧИ107.
Бревно АВ веса Р = 1 0 0 кг втаскивается по наклонной плоскости
образующей с горизонтом угол в 30°. Какую силу Q нужно приложить
к бревну по направлению, параллельному наклонной плоскости, и какие
Фиг. 271.
Давления получатся в точках А и В, если и горизонтальная и наклонная
плоскости являются совершенно гладкими (фиг. 271)?
О т в е т : С? = 25 кг, АГЛ = 50 кг, Nb =43,3k2.
108.
Однородная балка АВ, длина которой 21, а вес Р , прикреплен
в точке А шарниром, а за конец В удерживается верёвкой ВС, образую
щ ей с горизонтом угол а. Найти опорную реакцию шарнира А и натяжение
верёвки / , если балка образует с горизонтом угол 3 (фиг. 272),
cos a cos 3
Y — р \ 1_
sin g CQSР 1 .
О т в е т : Х л— Р
2 sin (а — 3)
А
L
2 Sin (ас — р) J ’
Т=Р
COS 3
2 sin (а — 3) '
109. Балка АВ, весящ ая 900 кг, верхним концом В свободно лежит на
гладкой опоре, а нижним концом А упирается в стену. Зная, что наклон
балки tg a = 0,5, опреде
лить опорные реакции в
ъЯ
точках А и В (фиг. 273).
О т в е т : Х А= 180 кг,
Ya <= 540 кг, NB = 400 кг.
110. Три однородных
стерж ня одинаковой дли
ны и веса Р расположе
ны, как показано на чер
теж е, между дву у я па
раллельными
стенками
так, что образуют с гори
зонтом одинаковые уг
Фиг. 274.
лы а. Определить давле
ния, оказываемые ими в точках А , В, С и D на стены, а также на горизоитальный пол в точке D (фиг. 274).
СИСТЕМА СИЛ, ПРИЛОЖЕННЫХ В РА ЗЛ И Ч Н Ы Х ТОЧКАХ
302
[ГЛ . 2 1
О т в е т: Na = у ctg а (от стержня АВ),
^ = ~ c t g a + y P c t g a (от стержня АВ и ВС),
о
Nc = y P c t g
XD =
a +
5
"2
^ Ctg а (от стержня ВС и CD),
Р ctg а (от стержня С£>),
KD = 3P.
111. На гладкой горизонтальной плоскости стоит и переносная лестница,
состоящая из двух частей АС и ВС весом Р=18 кг идлиной А С —В С === 12 ж,
соединённых шарниром С и верёвкой EF, при
вязанной на расстояниях AE—B F = 2 ж. В точи
ке D на расстоянии CD = 1 м стоит человек,
1
А \Л 9 5 '
\
%
« г /\Ь
1
жШШШ
’р
\р
Фиг. 275.
Фиг. 276.
весящий (3 = 72 кг. Определить реакции пола и шарнира, а также натяже
ние Т верёвки EF, если обе части Лестницы образуют с горизонтом угол
в 45° (фиг. 275).
"
О т в е т : ЛГд=51 кг, /7 ^ = 5 7 кг, А^с = 50,4 кг,
Yq = 33 кг, Т = 50,4 лгг.
112, Два стержня АВ = а и CD = 2a, весами которых пренебрегаем,
соединены между собой и с горизонтальным полом шарнирами А, В, С
так, что треугольник ABC равно
сторонний. Определить реакции
в точках Л и С под действием
груза Р, прикреплённого к концу
D стержня CD (фиг. 276).
Ответ:
Р
-
(по Г0*
ризонтали влево).
" а - Ц - V 5"
(по направлению стержня АВ).
113, Однородный стержень АВ опирается концом А на гладкую вертикаль
ную плоскость и постоянно проходит через угол С, отстоящий от стены на
§
110]
ГРА Ф И ЧЕС КО Е О П РЕДЕЛЕН И Е РАВНОДЕЙСТВУЮ Щ ЕЙ
СИЛ
303
расстоянии с. Зная, что длина стержня А В ~ 2 а , определить величину угла а,
образуемого направлением стержня с вертикалью в положении равновесия
(фиг. 277).
Ответ:
sina='jf ! L
114.
Лестница АВ упирается в гладкую стену и стоит на негладком пол
с коэффициентом трения k. Под каким углом а к горизонту должна быть
поставлена лестница, чтобы по ней мог до самого верха подняться человек,
вес которого равен Q, если вес лестницы равен Р (фиг. 278).
° ТВ€т:
Г Л А В А 22.
ВЕРЁВОЧНЫЙ МНОГОУГОЛЬНИК*
§ 110. Г раф ическое определение
равнодействующ ей сил,
прилож енны х в различны х точках твёрдого тела. Пусть к какомунибудь твёрдому телу приложены две силы Р и Q, линии действия
которых лежат в одной плоскости. Если эти линии пересекаются,
то мы легко найдём равнодействующую этих сил, если перенесём
их по линиям действия в точку пересечения и после перенесения
сложим их по правилу параллелограма. - Однако не всегда точка
пересечения линий действия обеих сил оказывается в пределах
чертежа; бывает, что линии действия обеих сил пересекаются далеко
за пределами чертежа.
Чтобы выйти в данном случае из затруднения, вспомним, как мы
поступали, когда имели две заведомо не пересекающиеся в пре
делах чертежа, а именно две параллельные силы. Для нахожде
ния их равнодействующей мы добавляли к заданным две новые рав
ные и противоположные силы, которые, не меняя равнодей
ствующей обеих складываемых сил, позволяли свести задачу к
определению равнодействующей двух сил, пересекающихся в пре
делах чертежа; мы, так сказать, «сводили» наши силы, заставляли
-Их пересекаться в пределах чертежа. Этот способ можно применить
и в рассматриваемом случае.
Пусть Р и Q две силы, точка пересечения которых лежит за
пределами чертежа (фиг. 279); пусть А и В будут любые две точки,
взятые на линиях действия этих сил. В точках А и В приложим две
взаимно уравновешивающиеся силы N x и Л72, направленные по пря
мой А В ; они, будучи сложены с нашими силами Р и Q, дадут две
равнодействующие Р и Р 2, линии действия которых К А и LB пере
секутся в пределах чертежа. Сложение мы производим отдельно на
особом чертеже (справа). Откладываем по величине и направлению
силу Я, изображаемую вектором ас; от точки с по направлению А В
откладываем силу N u изображаемую вектором со; тогда равно
304
ВЕРЁВОЧНЫ Й
[гл. 22
МНОГОУГОЛЬНИК
действующая Р х сил Р и N x изобразится вектором ао, соединяющим
начало первой складываемой силы Р с концом второй силы
чтобы получить линию действия равнодействующей Р и проводим
через точку А линию К А , параллельную изображающему силу Р±
вектору ао. Таким образом первые две силы Р и N x заменены
одной силой Р и линия действия которой будет КА.
Переходим ко второй паре сил Q и TV2. Так как сила
равна
и прямопротивоположна силе N lt то для её изображения можем
воспользоваться тем же вектором со, которым мы изображали силу N lt
но только изменим её направление, так что начало силы N 2 будет.
а
в точке о, а конец в точке с. Затем от точки с откладываем век
тор cb, изображающий по величине и направлению силу Q. Соединив
точку о с Ь, получим силу Р 2— равнодействующую сил N% и Q .
Линия действия этой силы получится, если мы через В проведём BL
параллельно изображающему силу вектору ob.
Теперь вместо двух первоначальных сил Р и Q, приложенных
в точках А и В, мы получили имеющие ту же самую равнодей
ствующую две новые силы Р х и Р 2, линиями действия которых являются
две прямые К А и L B . Эти две прямые пересекаются в точке С,
лежащей в пределах нашего чертежа; значит, через эту точку С
пройдёт и линия действия равнодействующей сил Р х и Р 2, которая
одновременно б ^ е т и равнодействующей сил Р и Q.
Для получения этой равнодействующей нам нужно отложить
силу Pj (вектор ао), а затем от её конца — силу Р 3 (вектор ob).
Нетрудно видеть, что для получения этой равнодействующей доста
точно на правом чертеже просто соединить точки а и Ь\ сила R,
изображаемая вектором ab, будет одновременно равнодействующей
как сил Р х и Р 2, так и сил Р и Q. Линия действия этой равнодей
ствующей получится, если мы через С проведём прямую С М , парал
лельную изображающему силу R вектору ab на правом чертеже.
§
ill]
О БЩ И Й
СЛУЧАЙ ПОСТРОЕНИЯ ВЕРЁВОЧНОГО М НОГОУГОЛЬНИКА
305
Отметим, что величину и направление равнодействующей /? мы
могли бы получить и просто складывая векторы ас и cb, изображаю
щие силы Р И Q.
Сравнивая обе фигуры, мы можем заметить, что ломаная KABL
имеет отдельные свои части, соответственно параллельными линиям ао,
со и Ьо, пересекающимся в точке о — так называемом полюсе Обра
тим внимание на то, как получается этот полюс. Если построен
силовой треугольник acb, служащий для определения равнодействую
щей к сил Р И Q, то полюс о получится, если мы от средней
точки с по направлению прямой А В , соединяющей точки приложе
ния обеих сил, проведём прямую со и на ней отложим общую вели
чину обеих прикладываемых сил
и АЛ>, изображаемую вектором со.
Но так как точки А и В могут быть взяты как угодно на линиях
действия сил Р и Q и величина сил N t и Д/2 тоже может
быть какой угодно, то выходит, что и сама точка о может
быть взята в любом направлении и на произвольном расстоянии
от с. В таком случае всё построение может быть проведено та
ким образом.
Сначала находим величину и направление равнодействующей сил
Р и Q, для чего строим Р — а Ь — замыкающую силового треуголь
ника acb, образованного силами Р и Q. Затем берём полюс в произ
вольной точке о и соединяем её прямыми (лучами) ао, Ьо и со
с вершинами силового треугольника. После этого проводим прямую
К А параллельно первому лучу ао до пересечения с линией действия
первой силы Р, затем из полученной точки А параллельно второму
лучу со силового треугольника ведём линию А В до пересечения
с линией действия второй силы Q, наконец, из полученной точки В
параллельно третьему лучу Ьо ведём линию BL. Полученная ломаная
линия K A B L носит название верёвочного многоугольника. Построив
верёвочный многоугольник, находим точку С пересечения его край
них сторон и через полученную точку проводим прямую СМ — линию
действия равнодействующей К обеих взятых сил.
Название «верёвочный многоугольник» объясняется тем, что если
мы заменим ломаную K A B L верёвкой с закреплёнными концами /Си L,
и в точках А и В этой верёвки приложим силы Р и Q, то ломаная
K A B L будет представлять в положении равновесия ту фигуру, кото
рую примет верёвка под действием приложенных сил Р и Q.
Подчеркнём ещё раз самую сущность построения верёвочного
многоугольника: данные силы Р и Q заменяются двумя силами P t и
Р 2, равными крайним лучам ао и Ьо силового многоугольника и
действующими по крайним сторонам К А и BL верёвочного много
угольника.
§ 111. Общий случай построения верёвочного многоуголь
ника. Зная, как складываются две силы, мы можем при помощи
последовательного сложения определить равнодействующую и какого
угодно числа сил.
20
Зак. 667. И. Н . Веселовский
306
ВЕРЕВОЧНЫ Й
М НОГОУГОЛЬНИК
[гл. 22
Пусть даны четыре силы 7, 2, 3, 4 (фиг. 280), лежащие в одной
плоскости и приложенные к различным точкам твёрдого тела. Сна
чала строим силовой многоугольник, для чего от некоторой точки А
откладываем последовательно векторы АВ> В С , CD и D E , изобра
жающие по величине и направлению силы 7, 2, 3, 4 . Замыкающая А В
этого силового многоугольника изобразит по величине и направлению
равнодействующую R четырёх взятых сил. Для определения линии
её действия берём произвольную точку О — полюс и соединяем её
лучами со всеми вершинами А , В у С, D, Е силового многоугольника.
Отметим особый способ обозначения лучей — каждый луч обозначается
номерами тех сил, которые встречаются в соответствующей вершине
силового многоугольника. Так, луч А О обозначится R — 7, потому
что в точке А встречаются силы R и 1, луч ВО обозначится 7— 2,
О
Фиг. 280.
так как в точке В встречаются силы 7 и 2, и т. д .; теми же самыми
цифрами мы будем обозначать и соответствующие параллельные этим
лучам стороны верёвочного многоугольника.
Приступаем теперь к последовательному сложению сил. Берём
силы 7 и 2. Для этих сил силовой многоугольник будет О А В С ;
равнодействующая их изобразится пунктирной прямой АС. Для опре
деления линии её действия параллельно первому лучу R — 7 ведём
прямую R — 7 до пересечения в точке К с линией действия силы 7.
Из полученной точки К ведём прямую 7— 2 параллельно среднему
лучу ВО или 7— 2 силового многоугольника до пересечения в точке L
с линией действия силы 2. Из полученной точки L ведём параллельно
крайнему лучу 2—3 или ОС силового многоугольника последнюю
сторону 2— 3 верёвочного многоугольника. Равнодействующая сил
7 и 2 пройдёт через точку Lx пересечения крайних сторон R — 7
и ^ 3 верёвочного многоугольника для первых двух сил 7 и 2.
После этого сц^адываем изображаемую вектором А С равнодей
ствующую Т?12 первых двух сил с третьей силой 3. Силовой много
угольник для этих сил будет OACD, равнодействующая 7?13 изобра
зится вектором A D , причём лучи силового многоугольника будут
R
А 2 3 и 3 4. Для определения линии действия равнодействующей /?13 параллельно R — 1 ведём прямую R — 7 верёвочного много
угольника теперь уже до точки Lu лежащей на линии действия
§
112]
С ЛУЧАЙ,
К О ГДА СИЛОВОЙ
М НОГОУГОЛЬНИК З А М Ы К А ЕТ С Я
307
равнодействующей /?12 двух сил / и 2; о т с т о й точки параллельно
среднему лучу 2— 3 ведём прямую Ь ХМ до пересечения с линией
действия силы 3 (нетрудно заметить, что эта линия — средняя в верё
вочном многоугольнике для сил /?12 и 3 — будет совпадать с край
ней в верёвочном многоугольнике для сил / и 2); затем из полученной
точки М параллельно последнему лучу 3— 4 ведём прямую М М Х до
пересечения в точке Nix с крайним лучом верёвочного многоуголь
ника R — 1\ через эту точку и пройдёт линия действия изображае
мой вектором A D равнодействующей R n первых трёх сил 1 , 2 и 3.
1еперь эту силу R X3 складываем с последней силой 4. Силовой
многоугольник для них будет OADE с лучами R
1 , 3 __4 и 4
R.
Верёвочный многоугольник будет состоять из линий: R — 1, которая
теперь будет кончаться в точке М х, лежащей на линии действия
равнодействующей R n , затем параллельной лучу 3— 4 линии M XN,
идущей до пересечения с линией действия силы 4, и, наконец, послед
ней линии 4 — R, идущей из точки N параллельно соответствующему
лучу 4
R силового многоугольника. Продолжая эту линию до
пересечения, с первой линией R — 1 верёвочного многоугольника,
мы находим точку N x, лежащую на линии действия равнодействую
щей R взятых четырёх сил.
Нетрудно видеть, что желаемой цели мы могли бы добиться при
помощи следующего построения. Построив силовой многоуголь
ник A B C D E , берём полюс О и соединяем его лучами R — 1, 1—2,
2— 3, 3 — 4Г 4 — R со всеми вершинами силового многоугольника.
Параллельно лучу R — 1 ведём прямую до пересечения в точке К
с линией действия силы 1, от полученной точки К ведём прямую KL
или / —2, параллельную лучу 1— 2 силового многоугольника до
пересечения с линией действия силы 2, затем из L ведём прямую LM
или 2— 3 параллельно лучу 2— 3 силового многоугольника, из
точки М проводим прямую 3— 4 или M N и, наконец, из точки N
пересечения этой прямой с линией действия последней силы 4 про
водим параллельно последнему лучу силового многоугольника послед
нюю сторону 4 — R верёвочного многоугольника. В точке N x пере
сечения сторон R — 1 и 4 — R верёвочного многоугольника мы и
можем приложить равнодействующую R всех взятых четырёх сил.
Опять отметим, что всё происходит совершенно так же, как если
бы мы заменили наши четыре силы двумя силами АО и ОЕ, рав
ными крайним лучам силового многоугольника и действующими по
крайним сторонам R — 1 и 4 — R верёвочного многоугольника.
§ 112. С лучай, когда силовой многоугольник замыкается.
Последнее замечание позволит нам разобраться в важном частном
случае, когда силовой многоугольник замыкается, т. е. когда конец
последней силы совпадает с началом первой, так что равнодейст
вующая оказывается равной нулю. Если первая и последняя вершины
силового многоугольника совпадают, то совпадают и оба крайних
его луча. Мы видим, что наши силы можно заменить двумя силами,
20*
308
ВЕРЁВОЧНЫ Й
М НОГОУГОЛЬНИК
[гл. 22
равными каждая длине совпавших крайних лучей силового много
угольника; эти силы будут, конечно, равными, но противоположно
направленными. Что касается крайних сторон верёвочного много
угольника, то они будут или параллельными, или совпадающими.
В первом случае мы можем заменить взятые силы двумя равными
противоположными силами, действующими по параллельным прямым,
т. е. получаем пару сил, во втором же случае— две равные про
тивоположные силы действуют по совпадающим прямым, т. е. взаимно
друг друга уравновешивают. Таким образом графически условия
равновесия будут сводиться ктому,
чтобы, во-первых, замыкался
силовой многоугольник (начало, первой силы совпадало с концом
последней) и,кроме того,,чтобы совпадали
две крайние стороны
верёвочного многоуголь
ника, т. е. чтобы, как
говорят, замыкался и ве
рёвочный многоугольник.
Поясним эти общие
соображения цесколькими
примерами.
Пример 114. Найти
равнодействующую трёх
параллельных сил в 1, 2
и 3 к г , из которых по
следняя направлена в сторону, противоположную двум первым (фиг. 281).
В этом случае, очевидно, данную совокупность сил можно заме
нить парой. Откладываем А В = 1, В С = 2 и CD = 3; точка D сов
падает с А — силовой многоугольник замкнулся. Берём полюс О
и проводим лучи ОЛ, О В , ОС и OD (OD сольётся с ОА); данные
силы могут быть заменены двумя силами А О и О Д которые будут
равными и прямо противоположными. Теперь строим верёвочный много
угольник: проводим НК параллельно R — /, затем KL и L M парал
лельно 1 — 2 и 2 — 3 и, наконец, M N параллельно 3 — R; она будет
параллельна НК или R — 1. Откладывая по НК и M N в противо
положные стороны две силы, равные слившемуся лучу R — 1 и 3 — R
силового многоугольника, мы получим пару сил, плечом которой
будет служить расстояние между крайними сторонами Н К и M N
верёвочного многоугольника.
Так как, не изменяя вращательного действия пары, можно как
угодно поворачивать её в плоскости или даже изменять величины
составляющих пару сил, лишь бы оставалось постоянным произведе
ние силы на плечо (момент пары), то не будет ничего удивительного
в том, чго мы поЛ5*чили наклонную пару в то время, как может быть
ожидали бы получить пару, обе силы которой были бы вертикальны.
Пример 115. Найти равнодействующую трёх параллельных сил
2, 2 и 4 /ег, из которых последняя проходит посредине между
двумя первыми и направлена в противоположную им сторону (фиг, 282).
§ 112]
С ЛУ ЧА Й ,
К О ГДА СИЛОВОЙ М НОГОУГОЛЬНИК ЗАМ ЫКАЕТСЯ
309
Очевидно, что данные силы будут взаимно уравновешиваться.
В силовом многоугольнике точка D слилась с А (АВ = 2, В С — 4
и СА — 2). Верёвочный многоугольник HKLMN: две крайние его
стороны И К и M N лежат на одной
прямой; действующие по ним
(11
(2)
Т С
Н-
R-1
J-R
-К
м.
-№
Фиг. 282.
силы R — 1 и 3 — R взаимно уравновешиваются. Если мы проведём
прямую К М , то увидим, что в этом случае, кроме силового много
угольника, замкнётся также и верёвочный многоугольник.
Пример 116. Определить графически опорные реакции балки А В ,
лежащей на двух опорах А и В и несущей изображаемые векторами
( /) , (2), (3) грузы (фиг. 283).
Обозначим опорные реакции через N A и N B \ эти опорные реак
ции должны уравновесить три приложенных к балке груза (/), (2)
и (3), так что упомянутые пять сил должны находиться в равнове
сии; следовательно, построенные для них силовой и верёвочный
многоугольники должны замыкаться. Строим силовой многоугольник,
для чего по очереди откладываем векторы ab, be, cd, изображающие
грузы (7), (2), (3); полуденные точки соединяем лучами с полюсом О.
В точке, где кончается сила (3), должно быть начало силы N B ; по
этому соответствующий луч обозначим 3 — N B. Так как при равно
310
ВЕРЁВОЧН Ы Й
МНОГОУГОЛЬНИК
[гл. 22
весии силовой многоугольник замыкается, то, отложив силу N Bf а от
её конца силу N A% мы должны попасть в точку а\ поэтому луч Оа
обозначим N a — 7. Точка, где кончается сила N B и начинается А7Д>
нам неизвестна; следовательно, неизвестен и луч N A — N B, соединяю
щий эту точку с полюсом О. Для его определения строим верёвоч
ный многоугольник: между линиями действия сил N A и (7) проводим
К М параллельно N A — 7, затем между (7) и (2), (2) и (5) ведём
М Р и PQ параллельные соответственно (7 — 2) и (2 — 3), наконец,
из Q до пересечения с линией действия силы N B в точке L ведём
прямую QL, параллельно 3 — N B. Так как при равновесии верёвоч
ный многоугольник должен замкнуться, то, соединив К и L, мы и по
лучим направление недостающего луча N A — N B, соединяющего полюс
с точкой встречи сил NA и N B на силовом многоугольнике. П ро
ведя затем через О луч N A — N B> параллельный стороне N A — N B
верёвочного многоугольника, мы найдём величины и направления
обеих реакций; начало реакции N B будет в конце луча 3 — N B, а ко
нец её совпадёт с концом луча N A — N B\ затем в указанной точке
будет начало реакции TV^, а конец её окажется в конце луча N A — 7.
Во избежание возможных недоразумений следует всегда иметь в
виду, что каждая сила в силовом многоугольнике будет заключаться
между двумя лучами, носящими в своём обозначении её название;
так N a будет между лучами N A — 7 и N A — N B, сила (7) между
лучами N a — 7 и 7 — 2 и т. д.
В общем случае, когда на балку действует система сил, не яв
ляющихся параллельными, мы знаем, что для статической определи
мости задачи направление одной из опорных реакций должно быть
вполне определённым, направление же другой реакции может быть
произвольным. Построение в этом случае остаётся принципиально
тем же самым; только первую линию, соответствующую лучу N A — 7,
нужно обязательно проводить через ту точку, где имеется реакция
с неизвестным направлением.
Пример 117. Определить опорные реакции балки, конец А ко
торой закреплён шарнирно, а конец В опирается на гладкую плоскость,
если на балку действует система сил, приводящаяся к равнодей
ствующей Р (фиг. 284).
Направление реакции
перпендикулярно к опорной плоскости В .
Отметим, что есл«* направления сил Р и N B пересекаются в преде
лах чертежа, то линия действия реакции .7\7Д шарнира А тоже должна
пройти через точку их пересечения; после этого, зная направ
ление обеих неизвестных реакций, легко решим задачу, разлагая
заданную силу Р по направлениям N A и N B, что делается при по
мощи силового треугольника (§§ 39 и 41).
§ Ш ]
ЭПЮ РА
И ЗГИ БА Ю Щ И Х
МОМЕНТОВ
811
Если же направления Р и N B не пересекаются в пределах чер
тежа, то прибегаем к следующему построению:
Откладываем вектор ab = Р и соединяем его концы лучами Оа
и ОЬ с каким-нибудь полюсом О. Будем считать, что в точке Ь
начинается реакция N B> направление которой известно; проводим
прямую Ьс параллельно этому направлению. В какой-то, пока ещё
неизвестной, точке с должна окончиться сила N B и начаться реакция N
конец которой обязательно должен совпасть с началом а силы Р;
тем самым у нас определяются названия лучей Oa = N A Р
и Ob = Р
N в . Через точку А (единственную известную нам точку
линии действия опорной реакции N A) ведём сторону N A— Р верё
вочного многоугольника до пересечения с линией действия силы Р ;
из полученной точки С ведём CD параллельно лучу Р — N B до
пересечения с проходящей через В линией действия опорной реак
ции N B. Если мы соединим полученную таким образом точку D с А,
то замыкающая A D верёвочного многоугольника даст нам направ
ление последнего луча Oc = N A — N B силового многоугольника.
Проводя луч Ос параллельно A D до пересечения в точке с с линией
Ьс, находим величину реакции N B— bc, а также величину и направ
ление реакции N A шарнира А , которая изобразится стороной са
силового многоугольника.
§ 113, Эпю ра изгибаю щ их моментов. Условия равновесия
системы параллельных сил, приложенных к твёрдому телу, мы имели
в форме равенства нулю суммы всех сил и суммы моментов этих
сил. Графически этим двум условиям соответствуют условия замыка
ния силового и верёвочного многоугольников. Замыкание силового
многоугольника, очевидно, равносильно требованию равенства нулю
суммы всех сил. Аналогично этому существует связь между замы
канием верёвочного многоугольника и равенством нулю суммы мо
ментов всех сил.
312
ВЕРЁВОЧНЫ Й
М НОГОУГОЛЬНИК
[гл. 22
Возьмём лежащую на опорах А и В балку, на которую дейст
вуют три груза Р и Р% и Р 3 (фиг. 285). Определим для этой балки
при помощи верёвочного многоугольника опорные реакции А ^иА /^эти последние будут уравновешиваться с приложенными силами Р и
Ръ,
сумма этих сил и сумма их моментов будут равны нулю.
Но если мы возьмём лишь часть сил, действующих на балку, лежа
щих по одну сторону от какого-нибудь сечения (например, лежащие
влево от сечения II силы N A и Р х), то эти силы не будут уравно
вешиваться, следовательно, и сумма моментов их не будет равна
нулю. Покажем, что сумма моментов всех сил, действующих на бал
ку по одну сторону от какого-нибудь сечения, взятая относительно
/ IР //
Гпи III
Фиг. 285.
центра моментов в этом сечении, будет измеряться шириной замкну
того верёвочного многоугольника в месте, расположенном под этим
сечением. Точки приложения сил разбивают балку на пролёты; в на
шем случае будет всего четыре пролёта: AC, CD, DE и Е В . Возь
мём в первом пролёте какое-нибудь сечение I на расстоянии х х от
конца А балки и попробуем для этого сечения определить сумму
моментов всех сил, действующих на лежащую влево от этого сече
ния часть балки. В пролёте А С слева от сечения I лежит одна
только сила N А; её момент относительно центра / будет равняться
произведению N A на плечо х х. Рассмотрим треугольники A i UUl
и O R H : у них UUt параллельна RH, A^U параллельна N A — N B
или OR и А хи х ^р ал л ел ьн а О Н — следовательно, эти треугольники
подобны. В подобных треугольниках сходственные стороны UUt
и H R = N a относятся как высоты, которыми в треугольнике A iUU1
является расстояние х и а в треугольнике OHR опущенный из О на
линию Н М перпендикуляр — гак называемое полюсное расстояние rf.
§ ИЗ]
ЗП Ю РА
ИЗГИБАЮ Щ ИХ
МОМЕНТОВ
313
Написав соответствующую пропорцию, будем иметь:
UU± _ x A
HR
~d *
Замечая,, что H R = N A, и приравняв произведение крайних про
изведению средних, получим:
Na •
= UU1 . d .
Длина
называется ординатой верёвочного многоугольника,
соответствующей сечению /. Взятая относительно данного сечения сумма
моментов всех сил, лежащих по одну сторону от этого сечения, на
зывается изгибающим моментом в данном сечении. Таким образом
для пролёта АС мы убеждаемся, что изгибающий момент в какомнибудь сечении равняется произведению полюсного расстояния d на
длину ординаты UUX верёвочного многоугольника в этом сечении.
Переходим теперь к пролёту CD. Для какого-нибудь сечения II
в этом пролёте, лежащего на расстоянии х 2 от точки Л, изгибаю
щий момент будет равняться алгебраической сумме моментов сил N A
и Р х относительно этого сечения. При этом момент силы N A будет
действовать по стрелке часов, а момент силы Р х — против стрелки
часов. Момент силы N A относительно сечения II будет разняться N Ax 9.
Рассматривая подобие треугольников A 1V V l и O H R% аналогично
предыдущему найдём, что
откуда
V V — x %' ‘
N AXz = d - V V v
Этот момент мы должны взять со знаком «минус». Положительт
ный момент (против стрелки -часов) силы Р х будет равен
Р г( х %- А С ) .
Н о х% — А С будет высотой в треугольнике C^V^V^ подобном тре
угольнику ОНКу в котором сторона Н К равна Р х. Написав, что
в подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны
высотам, будем иметь:
Л_
d
VXV2
х 2— АС *
откуда
P1( x 9 — A C ) = V JV9d.
Общий изгибающий момент в сечении II по абсолютной величине будет:
N^Xt — Р х( х 9 — АС )
[гл. 23
РА С Ч Ё Т ФЕРМ
ИЛИ
d . V V l — d > V l V%= d ( V V i — V 1V,) = d . V V t ,
т. е. опять произведению полюсного расстояния d на соответствую
щую сечению II ординату верёвочного многоугольника.
Продолжая дальше, найдём, что для сечения III в пролёте DE
изгибающий момент по абсолютной величине будет:
N A-
Р i(* 3
АС)
Р%(х3
AD).
Но х ъ будет высотой в треугольнике A XW W U подобном треуголь
нику OHR, далее х 3 — АС будет высотой в треугольнике C%WiW.2,
подобном треугольнику ОНК, наконец, х ъ — A D будет высотой
в треугольнике D^W^W3, подобном треугольнику OKL. Написав, что
в
подобныхтреугольниках сходственные стороны относятся как
высоты, и зная, что H K = P U KL = P it будем иметь:
Na
d
W W l= JT9 '
d
Р х __
W M - X '- A C ’
Р2 _____
d
\ V ,W ,— X t - A D *
откуда изгибающий момент в сечении III будет:
N k x 3 — Р х (Хд — АС) — Р 2 ( х 3 — AD) =
= W W t d — W x W 2d — W o W 3d —
= d ( W W i — W l 1F.2— W 2W 3) = d W W 3,
т. e. опять произведению полюсного расстояния на ординату верё
вочного многоугольника.
При вычислении нужно помнить, что ординаты верёвочного мно
гоугольника измеряются в том масштабе, в каком при построении
откладывались на балке длины х и х 2, х 3> А В и т. д. (в масштабе
длин), а полюсное расстояние d в том масштабе, в каком при постро
ении силового многоугольника откладывались силы Р и Р 2, Р 3
(в масштабе сил). Таким образом, если в масштабе длин 1 см изо
бражал метр, а в масштабе сил — одну тонну, то, измерив в санти
метрах ординату верёвочного многоугольника и полюсное расстояние
и перемножив полученные числа, найдём изгибающий момент в тонно-метрах.
ГЛАВА
23.
РА С Ч ЁТ Ф ЕРМ .
§ 114. Понятие о ферме. В механике фермой называют шарнир
ное соединение дарж ней, не меняющее своей формы под действием
приложенных нагрузок. По своему назначению различают стропиль
ные фермы, передающие вес покрытия какого-нибудь пролёта на
опоры, мостовые фермы и т. д. Примеры наиболее употребительных
ферм показаны на фиг. 286.
§ 1Н ]
ПОНЯТИЕ О ФЕРМЕ
315
Данное нами определение несколько расходится с теми реальными
фермами, которые встречаются на практике; оно представляет некоторую
идеализацию последних, требуемую необходимостью облегчения мето
дов расчёта, которые в наиболее общем случае представляют значи
тельные трудности.
Прежде всего мы считаем все соединения стержней фермы шар
нирными, т. е. не препятствующими повороту одного стержня фермы
по отношению к другому (предполагая, конечно, оба рассматриваемых
Стропильные термы
Мостодые фермы
fac/юшая ферма
Ларабалаческая ферма
Лесишетрит/е фермы
Фиг. 286.
стержня вынутыми из состава фермы); в реальных фермах соедине
ния стержней бывают не шарнирными, но клёпаными, сварными и т. д.,
удерживающими угол между двумя стержнями фермы неизменным;
в механике такого рода соединения называются уже не фермами,
а ра м а м и . При помощи шарнирного соединения могут передаваться
лишь растягивающие и сжимающие усилия, тогда как в рамах через
места соединения стержней могут передаваться и моменты, заставля
ющие поворачиваться рассматриваемый стержень. Такого рода укло
нение от действительности объясняется тем, что в большинстве слу
чаев расчёт рамы не может быть выполнен элементарными методами
316
РА С Ч Е Т ФЕРМ
[гл 23
теоретической механики, представляя, вооогце говоря, задачу, ста
тически неопределимую.
Прямолинейные брусья, из которых состоит ферма, мы называем
стержнями, иными словами, подразумеваем, что они испытывают
лишь растягивающие и сжимающие усилия, но никоим образом не
работают на изгиб (брусья, работающие на изгиб, называются уже
не стержнями, а балками; расчёт усилий в балках составляет одну
из задач сопротивления материалов). В реальных фермах брусья,
конечно, изгибаются под действием собственного веса, но если ли
нейные размеры брусьев невелики (а для их уменьшения и устраи
ваются те «решётки» ферм, которые разбивают один большой брус
на несколько брусьев меньших размеров), то изгибающими усилиями
в брусьях можно пренебречь. Наше допущение равносильно тому,
что действующие на ферму нагрузки приложены только в местах
соединения стержней фермы, так называемых у з л а х . Действительно,
если мы выделим из состава фермы какой-нибудь стержень, то
все силы, приложенные в каждом из его концов, мы можем заменить
одной равнодействующей; тогда наш стержень будет находиться под
действием только двух приложенных по его концам сил, которые
в случае равновесия должны быть равны и противоположны, а это
и значит, что стержень будет испытывать только сжимающие или
растягивающие усилия. Таким образом весом стержней фермы мы
пренебрегаем; обычно он бывает незначительным по сравнению с
действующими в узлах фермы основными нагрузками; если же вес
фермы 'довольно значителен, то вес каждого стержня при расчёте
можно распределять поровну между его концами.
Не всякое шарнирное соединение стержней является фермой.
Чтобы получить простейшую ферму, достаточно будет соединить
шарнирами три стержня;
полученное треугольное со
единение стержней будет
оказывать
сопротивление
действующим на него си
лам. Если мы соединим
Фиг. 287.
шарнирами четыре стержня,
то полученное соединение
уже не будет' сохранять своей формы под действием внешних
сил; оно будет представлять то, что в теоретической механике
называется механизм ом. Чтобы сделать такое соединение неизменяе
мым, достаточно перетянуть его по одной диагонали стержнем
(фиг. 287, Ь); есд» же четырёхугольник перетянуть и по второй
диагонали (фиг. 287, с), то ферма будет уже так называемой ст ат и
чески неопределимой. Как уже показывает само название, расчёт ста
тически неопределимых ферм не может быть произведён методами
теоретической механики; для её расчёта необходимо знать свойства
материала, из которого построена ферма, тогда как расчёт статически
§ П41
ПОНЯТИЕ О ФЕРМЕ
3)7
определимой фермы можетбыть произведён при знании только геометри
ческих характеристик данной фермы и действующих на последнюю сил.
Примером статически определимой фермы может служить тре
угольная ферма; в этом мы убедимся ниже, после того как произве
дём расчёт такой фермы.
В статически определимой ферме напряжения отдельных стерж
ней не изменяются заметно при небольших изменениях длин отдель
ных составляющих её стержней; точнее говоря, при бесконечно
малом изменении длины одного стержня получаются бесконечно ма
лые изменения напряжений в остальных стержнях. Это объясняется
тем, что в статически определимой ферме, простейшим примером
которой является треугольная, длины различных стержней могут быть
в широких пределах выбраны независимо одна от другой; фер
ма не будет оказывать сопротивления изменению своих размеров;
небольшое изменение длины какого-нибудь стержня от нагревания или
каких-либо других причин не произведёт заметных дополнительных
напряжений в остальных стержнях. Статически определимой будет тре
угольная ферма или ферма, составленная путём пристройки треуголь
ников на уже имеющихся стержнях, рассматриваемых Как основания.
Совершенно иначе будет обстоять дело в случае статически
неопределимой фермы, простейшим примером которой является пере
тянутая двумя диагоналями четырёхугольная ферма (фиг. 287, с).
В такой ферме размеры всех стержней уже не могут быть выбраны
совершенно независимо друг от друга; так, например, в ферме
фиг. 287, с мы можем произвольно задаться размерами пяти стержней,
но длина шестого 'стержня уже будет вполне определённой; вслед
ствие этого все стержни будут оказывать сопротивление изменению
длины каждого стержня в отдельности. Отсюда следует, что нагре
вание или охлаждение какого-нибудь отдельного стержня сразу же
отразится на напряжениях во всех остальных стержнях. Таким обра
зом в статически неопределимой ферме усилия в стержнях будут
зависеть не только от внешних сил, действующих на ферму, и гео
метрических размеров последней, но и от деформаций отдельных
стержней, для определения которых необходимо знать свойства ма
териалов, из которых построена ферма.
То обстоятельство, что статически определимая ферма является
треугольной или построенной из треугольников, позволит нам дать
правило для определения, будет ли данная ферма статически опре
делимой или нет. Выведем для этого зависимость между числами
стержней и узлов в статически определимой ферме.
В треугольной ферме имеем три узла и три стержня; присоеди
нение каждого нового треугольника увеличивает число стержней на
2 и число узлов на 1. Отсюда следует, что если п — число стержней,
a k — число узлов, то в статически определимой ферме между ними
Должна существовать такая зависимость:
п — 3 — 2 ( k — 3)
318
или
РА С Ч Е Т
ФЕРМ
[гл. 23
n = 2k — 3.
Отметим, что это условие, являясь необходимым, вообще говоря,
не будет достаточным, ибо может случиться, что стержни будут рас
пределены так, что некоторые части фермы будут иметь лишние
стержни, а другие не будут иметь достаточного числа стержней для
сохранения неизменности фермы.
Среди ферм, изображённых на фиг. 288, три фермы верхнего
ряда будут статически определимыми, левая ферма нижнего ряда
статически неопределимой, для правой фермы нижнего ряда условие
статической определимости будет
соблюдено, но, как нетрудно ви
деть, соединение не будет фермой
(средний квадрат).
§ 115. Д иаграммы Кремоны.
Обращаясь теперь к расчёту ста
тически определимых ферм, нач
нём с простейщей равнобедрен
ной стропильной фермы (фиг. 289).
Нагрузку 2Я (вес крыши), дей
ствующую на каждую из боко
вых сторон, распределяют по
ровну между её концами, так
что на конёк крыши придётся на
грузка 2Я, а на два боковых
узла по Я. Вследствие симметричности как фермы, так и нагрузки
реакция каждой опоры будет равняться 2Я — половине всей на
грузки на ферму; обозначая узлы фермы римскими цифрами 7, //,
77/, а стержни арабскими 7, 2, 3, мы получаем окончательно кар
тину, как на фиг. 289, Ь.
Чтобы найти усилия Ти Г2, Тъ в отдельных стержнях фермы,
будем по очереди рассматривать равновесие отдельных её узлов.
Узел / фермы будет находиться в равновесии под действием трёх
сил; реакции опоры Я, усилия Тх в стержне 7 и усилия Г3 в стерж
§ 115]
ДИАГРАММЫ
КРЕМОНЫ
319
не 3. Опорная реакция Р нам известна как по величине, так и по
направлению, усилия ^ и Г3 только по направлению (каждое из них
будет параллельным соответствующему стержню). Построив силовой
треугольник (фиг. 290), видим, что стержень 1 будет сжатым, а
стержень 3 растянутым.
Переходим к рассмотрению равновесия двух остальных узлов.
Для узла 77 силовой треугольник изображён на фиг. 2 9 1 оба стерж
ня I и 2 будут сжатыми, так как полученные на фиг. 291 усилия
Фиг. 290.
7 \ и 7\, будучи перенесены на узел 77, направлены к узлу. Силовой
треугольник для последнего узла III изображён на фиг. 292; стер
жень 3 будет растянут, так как усилие Г3, будучи перенесено на
узел 77/, направлено от узла; стержень 2 будет сжат.
По существу задача наша закончена: для определения величин
усилий Т и Г2, Тг нам остаётся только измерить полученные для
них отрезки в том же масштабе, в каком мы строили отрезок, изо
бражающий силу Р.
Однако применённый нами метод, несмотря на всю его теорети
ческую простоту, обладает следующими недостатками: если число
узлов фермы достаточно велико (а оно на практике может
быть порядка десятка-двух), то нам приходится
строить большое количество треугольников, при
чём по крайней мере половина проделанной ра
боты будет лишней, потому что, как нетрудно
видеть на фиг. 290 — 292, усилия Т и 7^, Г3 по
вторяются по два раза, правда каждый раз в про
тивоположных направлениях (почему?). Если мы
не будем обращать внимания на различие напра
вления, а просто обозначим двойной чертой как
Усилия сжатых стержней, так и сами эти стержни
на ферме, то мы могли бы все три наши силовых
треугольника соединить в одной фигуре, которая приняла бы вид, изо
бражённый на фиг. 293. Мы получили бы значительно более компакт
ную и удобозримую диаграмму всего только из двух чертежей; самой
фермы (фиг. 289, Ь) и силовой диаграммы (фиг. 293). Однако при
построении такой объединённой диаграммы нужно помнить, что не
всякий силовой треугольник может быть уложен в общую диаграмму.
320
РА С Ч Ё Т ФЕРМ
[гл. 23
Действительно, силовой треугольник для узла / (фиг. 290) можно
было бы построить и в таком виде, как на фиг. 294: все усилия
в стержнях получатся совершенно такими же как по величине, так
и по знаку (растяжение и сжатие); рассматри
ваемый в отдельности силовой треугольник фиг. 294
совершенно равнозначен треугольнику фиг. 290f
но только силовой треугольник (фиг. 294) нам не
удастся так же удобно уложить на общей диа
о
грамме, как мы это сделали для силового тре
Фиг. 294.
угольника фиг. 290. Поэтому необходимо дать
правило, которое позволило бы из двух возможных силовых треугольников выбирать всегда как раз тот, который
укладывается на общую диаграмму.
Отметим характерные особенности диаграммы фиг. 293. Каждой
линии фермы (фиг. 289, Ь) соответствует на этой диаграмме парал
лельная линия, дающая величину усилия в соответствующем стержне.
Каждому узлу фермы соответствует на диаграмме (фиг. 293) тре
угольник, стороны которого параллельны тем силам, которые нахо
дятся в рассматриваемом узле. Точно так же каждой вершине много
угольника (фиг. 293) соответствует на ферме некоторая площадь,
ограниченная силами, сходящимися в этой точке; точке а (фиг. 293),
в которой сходятся усилия Ти Г2, Г3, на ферме соответствует вну
тренняя площадь фермы, ограниченная стержнями (/), (2), (5) фер
мы; точке b схода сил Tlt Р и 2 Р соответствует внешняя часть
плоскости, лежащая справа от фермы и имеющая своими правыми
Фиг. 295.
границами линию действия силы 2 Р, стержень 1 и линию действия силы Р
приложенной в узле / (фиг. 295); точкам с и d соответствуют левая
внешняя и нижняя (лежащая под стержнем 3) области фермы. Далее,
кроме трёх силовых треугольников, соответствующих узлам фермы,
на нашей диаграмме имеется ещё один— слившийся в одну прямую
силовой треугольник bdt dc, cb для внешних сил Р, Р , 2Р фермы,
выражающий, что эти силы находятся в равновесии. Этого треуголь
ника мы не строили; он появился у нас на диаграмме автоматически.
§
115]
ДИАГРАММ Ы
КРЕМ ОНЫ
321
Для того чтобы дать правило выбора нужного для диаграммы
силового треугольника, введём следующие обозначения сил и узлов
фермы, предложенные английским инженером Боу. Представим себе,
что линии действия внешних сил, а также стержни ферм (которые
тоже представляют линии действия сил, а именно усилий в соответ
ствующих стержнях) разрезают плоскость, на которой начерчена
ферма, на отдельные части (фиг. 295, а): три внешних — Л, В у С и одну
внутреннюю Z). Будем называть эти части полями фермы и обо
значать буквами Л, В , С, D. Каждую силу будем обозначать двумя
буквами, принадлежащими тем полям, которые разделяются линией
действия данной силы; так, сила 2Р обозначится А В , правая сила Р,
приложенная в узле /, будет СЛ, усилие в нижнем горизонтальном
стержне обозначится через CD и т. д. Каждый узел мы будем обоз
начать буквами, принадлежащими тем полям, которые сходятся в этом
узле; так, верхний узел И фермы обозначится A B D , правый I будет
DCA и т. д. Отметим, что внешних полей фермы будет столько же,
сколько и внешних сил.
Построение диаграммы начинаем с многоугольника внешних сил —
того самого, который у нас на фиг. 293 получился автоматически.
Выбираем определённое направление обхода вокруг фермы (против
стрелки часов) и будем откладывать внешние силы, а также и обоз
начать их буквами, в том самом порядке, в котором нам при обхо
де фермы будут встречаться как сами силы, так и соответствующие
поля (фиг. 295, а и 295, Ь). Если мы, идя против стрелки часов,
начнём с поля Л, то сила 2Р обозначится через А В (пересекая ли
нию действия этой силы, мы из поля Л переходим в поле В), сле
дующие силы будут В С и СА (заметим, что теперь порядок букв
в названии силы уже будет вполне определённым при данном напра
влении обхода; если мы изменим направление обхода на обратное,
то изменится и порядок букв в обозначении силы). Когда построен
многоугольник внешних сил — та основа, на "которой строится вся
диаграмма, мы приступаем к построению силовых треугольников
для узлов, или, как говорят, будем «вырезать узлы». Это вырезание
начинают с узла, в котором имеется известная внешняя сила и схо
дятся только два стержня. Мы начали с правого узла ADC; в этом
узле сходятся силы A D y DC и СЛ, образующие силовой треугольник
A D C . Отметим важное преимущество обозначений Боу: называя
вырезаемый у з е л , мы одновременно называем и силовой треуголь
н и к , соответствующий этому у з л у . В силовом треугольнике ADC
мы знаем сторону А С и направления двух других сторон, параллель
ных соответствующим стержням фермы. Из вершин Л и С проводим
прямые, параллельные стержням A D и DC фермы; в их пересечении
мы получаем точку D силового треугольника, а следовательно, и
направления A D и DC соответствующих стержней. Построив силовой
треугольник для узла A D C y переходим к следующему узлу A B D :
все вершины соответствующего треугольника у нас уже получены;
21
Зак. 667. И. Н . Веселовский
322
РА С ЧЁТ
ФЕРМ
[гл .
23
остаётся только соединить В и D. Силовой треугольник для по
следнего узла BCD получается автоматически; в более сложных фер
мах это может служить способом проверки правильности построен
ных диаграмм.
Указанная диаграмма носит название диаграммы Кремоны по
имени итальянского математика, применившего на практике к расчёту
ферм этот способ, теоретическое обоснование которого было дано
знаменитым английским физиком Клерком Максвеллом.
Е
D
Фиг. 296.
На фиг. 296 и 297 построены диаграммы Кремоны для треуголь
ной фермы и фермы Полонсо (для случая равномерной симметрич
ной нагрузки). Вырезание узлов начинается с узла, где имеется толь
ко два стержня (например A D C на фиг. 296 и A FE на фиг. 297);
вырезав этот узел и получив на диаграмме соответственно точки D
(фиг. 296) и F (фиг. 297), переходим к следующему узлу (на фиг.
296 безразлично DEC или A B E D ; на фиг. 297 к узлу A B G F ), затем
Фиг. 297.
к узлу EFGH (фиг. 297) и т. д.; вырезание каждого нового узла
добавляет по одной новой точке к диаграмме и определяет усилие
в двух новых стержнях.
Обратим внимание на то, каким образом определяется знак уси
лия в данном стержне, т. е. будет ли он растянут или сжат. Для
этого берут силовой многоугольник для содержащего рассматрива
емый стержень узла, устанавливают в нём направление обхода и гю-
§
116]
СЛУЧАЙ НЕСИММЕТРИЧНЫХ
ФЕРМ И НАГРУЗОК
323
лученные направления усилий переносят на соответствующий узел
фермы; если направление полученной силы б^дет к узлу, то стер
жень сжат, в противном случае он растянут. Пусть, например, на
диаграмме (фиг. 297) требуется определить знак усилия в стержне
AF. Рассматриваем силовой треугольник для узла AFE; в нём нам
известно направление силы 2Р, именно вверх от Е к А; в соответ
ствии с этим направление усилия в стержне A F будет от А к F
вправо и вниз; перенеся полученное направление на узел A F E , мы
видим, что оно будет направлено к узлу; значит соответствующий
стержень будет сжат. Мы могли бы установить это и из рассмотре
ния силового многоугольника для другого узла AB Q F ; направление
силы Р в нём будет вниз, т. е. от А к В ; тогда направления других
усилий будут: от В к G, от G к F и от F к А, т. е. влево и вверх;
перенеся это направление на узел ABGF, мы снова получаем, что
направление усилия будет к узлу и стержень A F сжат. Необходимо
обратить внимание на то, что направление усилия в стержне A F по
лучается в обоих силовых многоугольниках прямо противоположным:
для узла A F E вправо и вниз, для узла A B G F влево и вверх; этого
и следовало ожидать, потому что усилия в сжатом стержне на обоих
концах должны быть направлены к тому и другому узлу.
Иногда приходится устанавливать знак усилия и по направлению
внутренней силы. Пусть, например, требуется определить усилие в
стержне НЕ (фиг. 297). В узле EFGH не имеется внешней силы,
но известно, что стержень E F растянут, т. е. действующее на
узел EFG H усилие будет направлено по стержню E F вправо и вниз.
Это значит, что в силовом многоугольнике EFGH направление об
хода будет от Е к Z7, от F к G, от G к Н и от Н к Е, т. е. вле
во: перенеся это направление на узел EFGH, мы видим, что оно
будет направлено по стержню Н Е влево, т. е. от узла; это значит,
что соответствующий стержень будет растянут.
§ 116. Случай несимметричных ферм и нагрузок. В только
^то рассмотренных примерах величины опорных реакций вследствие
симметрии определялись очень просто. Если же нагрузка или ферма,
или и то и другое вместе, несимметричны, то до расчёта фермы не
обходимо определить опорные реакции. В случае параллельных сил
это делается графически тем же способом, как и для определения
опорных реакций балки (§ 112): а именно, строятся силовой и верёвочный
многоугольники, последний замыкается прямой, соединяющей точки
пересечения верёвочного многоугольника с линиями действий опор
ных реакций, а в силовом многоугольнике проводится параллельно этой
прямой луч из полюса.
Если силы, действующие на ферму, не параллельны, то для того,
чтобы задача была бы статически определимой, необходимо знать
опорные реакции фермы. Если ферма имеет две опоры, то для ста
тической определимости нужно, чтобы направление одной опорной
реакции было известно. Обычно, если одна опора бывает шарнирной,
21*
324
(гл. 23
РА СЧЁТ ФЕРМ
то другая берётся подвижной; для неё направление реакции бывает
перпендикулярным к плоскости опоры. Если внешние силы приводятся
к одной равнодействующей, то определение опорных реакций полу
чается на основании теоремы о равновесии трёх сил, пересекающихся
в одной точке.
Если направления равнодействующей внешних сил и реакции Л^д
не пересекаются в пределах чертежа, то величина реакции N B мо
жет быть найдена при помощи верёвочного многоугольника, как это
сделано в примере 117 (§ 112).
§ 117. Б олее сложные случаи расчёта ферм. Метод Риттера.
Бывают случаи, когда метод Кремоны-Максвелла в чистом его
виде не может дать решения поставлен
ной задачи. Предположим, что нам дана
ферма, изображённая на фиг. 298. Ферма
имеет 11 стержней и 7 узлов, так что
необходимое условие статической опре
делимости фермы является выполненным:
1 1 = 2 . 7 — 3.
Однако, приступая к расчёту этой фермы,
мы сразу же замечаем, что не можем
вырезать ни одного узла, так как в тех
внешние силы, сходятся по три и четыре
узлах, где приложены
стержня.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. В узле D схо
дятся три стержня /, 2, 5, из которых стержни / и 2 составляют
продолжение один другого. Поскольку в D никаких внешних сил
не приложено, мы можем заключить, что стержень 3 не работает;
действительно, если бы мы спроектировали все три усилия, прило
женные к узлу Д на перпендикуляр к линии А С , то получили бы,
что проекции усилий в стержнях 1 и 2 на это направление равня
лись бы нулю, откуда выходит, что усилие в стержне 3 тоже обра
щается в нуль. Но если стержень 3 не работает, то не будут рабо
тать и стержни 4 и 5\ действительно, в узле Е приложены, два вза
имно уравновешивающихся усилия в стержнях 4 и 5, не действую
щие по одной прямой, а это возможно только в том случае, когда
каждое из этих усилий в отдельности будет равно нулю. Выбросив
неработающие стержни 3 9 4, 5 и аналогичные им стержни правой
половины В С рассматриваемой фермы, мы получим в результате
простую треугольную ферму A B C , расчёт которой уже был нами
произведён.
Ферма, изображённая на фиг. 299, носит название тройной шпренгельной балки; эта конструкция имеет своей целью заменить изги
бающие Усилия балки А В через Чсжимающие усилия в стойках CF%
§
117]
БО Л ЕЕ
СЛОЖ НЫЕ
СЛУЧАИ
РА С ЧЁТА .
МЕТОД РИТТЕРА
325
D G , ЕН, воспринимаемые тягами A F , FD, A G , BG и D H , £ # ;
в этой ферме тоже нельзя вырезать ни одного узла. Обратим вни
мание на узлы С и Е; составляя уравнения проекций на вертикаль,
мы легко получим, что стойки CF и Е Н будут сжаты усилиями 2Р;
они служат для того, чтобы передать
давление 2Р с верхнего узла фермы
на нижний; поэтому ничего не изме
нится, если мы, уничтожив эти стер
жни, как показано на нижнем чер
теже пунктиром, перенесём передавае
мые ими усилия непосредственно на
узлы F и Н, в которых после этого
будет находиться всего только по два
стержня и которые таким образом мо
гут быть вырезаны, после чего диа
грамма строится обычным порядком.
При этом построении в точках К и L
мы вводим дополнительные узлы, раз
бивающие стержни FD и D H на два;
усилия в них от этого не изменятся и будут оставаться равными.
В более общем случае можно будет воспользоваться методом
Риттера, основанным на теореме трёх моментов статики. Расчёт
предыдущей фермы можно было бы произвести и таким образом
(фиг. 300). Рассечём ферму по линии х х ; каждая из половин фермы
будет находиться в равновесии. Рассмотрим условия равновесия левой
части: на ней уравновешиваются: 1) опорная реакция 3Р в точке Л,
2) приложенная в С сила 2Р и 3) усилия TCD% TAG и TDp перере
занных стержней. Условия равновесия получатся всего проще, если
применить уравнение трёх моментов.
Если мы возьмём момент относительно
точки А пересечения стержней CD и ^
ЛО, то определится условие в стерж
не FD; точно так же, взявши моменты
относительно точек D и К, мы найдём ^
усилия в стержнях AG и CD.
Метод Риттера даёт результат в
том случае, если в ферме можно про
вести сечение, пересекающее только три стержня, не проходя
щих через одну точку. Преимущества этого метода заключаются в
том, что каждое сечение позволяет определить усилие в т рёх стерж
нях, тогда как, применяя метод Кремоны, мы при каждом выреза
нии узла можем определить усилия только в двух стержнях. Недо
статки его заключаются в том, что точки пересечения перерезанных
стержней (так называемые точки Риттера), относительно которых
берутся моменты, могут находиться и вне пределов чертежа; тогда
нахождение моментов относительно их будет представлять затруд*
326
РА С ^Т
ФЕРМ
[гл. 23
нения. Е сли на ферму действуют параллельные силы, то при опре
делении моментов большую пользу может оказать разобранное в § 113
построение эпюры изгибающих моментов; если силы непараллельны,
то определение моментов приходится производить или аналитически,
или при помощи измерения опущенных на стержни перпендикуляров
из центра моментов. На практике метод Риттера применяют обык
новенно в комбинации с методом Кремоны или для того, чтобы в слу
чае отсутствия узлов, содержащих только два стержня и внешнюю
силу, найти усилия в каком-нибудь стержне и после этого начинать
обычным способом построение диаграммы Кремоны, или для того,
чтобы в процессе построения этой диаграммы проверить уже най
денные значения усилий и таким образом предотвратить накопле
ние погрешностей в процессе последовательного построения диа
граммы. Только в очень редких слур
р
р
чаях расчёт фермы производитсяцеликом по методу Риттера.
Пример
118. Найти методом
Риттера усилия в стержнях прямо
угольной фермы, изображённой на
фиг. 301.
Проведём сечение, пересекаю
щее стержни /, 3, 4 фермы, и рас
смотрим равновесие правой отре
занной части, к которой приложена
только одна сила Р и три усилия в перерезанных стержнях / , 3 и 4 ,
которые мы все будем считать растянутыми. Взявши момент около
точки 1 (точка Риттера для стержня /), мы легко найдём, что Тх — 0.
Уравнение моментов относительно точки I V будет:
Pci —[—Т\ cl= 0,
откуда Г4 = — Р: стержень 4 будет сжатым. Поскольку стержни
1 и 4 параллельны, то точка Риттера для стержня 3 уходит в бес
конечность: вместо уравнения моментов пользуемся уравнением про
екций. Проектируя на вертикаль приложенные к отрезанной части
силы, будем иметь:
Г3 cos 45° = Р у
откуда
__
Тг = + Р } / 2.
Стержень 2 будет сжат с усилием Р:
То = — Р.
Второе сечение проводим через стержни 4у 5, 6 . Берём моменты
относительно точки VI:
Ра — 76а,
ф
1 17]
БОЛЕЕ
СЛ ОЖ НЫ Е
СЛУЧАИ
° ткуда
РА С Ч Е Т А ,
г 6 == +
МЕТО Д
РИ ТТЕ РА
327
р.
усилие в стержне 5 находим из уравнения проекций на вертикаль
%
Т -j- 2 Р = О,
откуда Г5 = — 2Я (сжатие).
Аналогично находим усилия и в остальных стержнях:
(сечение 6 — 7 — 8): Г7 = - f 2 Я ] / Т , т8= — ЗР
(сечение 3 — 9 — 10): Тд= — 3Я,
7 1о = ЗЯ
(сечение 1 0 - 1 1 — 12): Тп = + З Р / Т 9 Г13 = - 6 Я .
ОТДЕЛ ПЯТЫЙ.
КИНЕМАТИКА.
Г Л А В А 24.
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ.
§ 118. Параллелограм скоростей. Мы уже познакомились в самом
начале курса с простейшими движениями: прямолинейным, поступа
тельным и вращательным. Из этих элементарных движений можно по
лучить и другие более сложные путём так называемого сложения
движений. С простейшими случаями сложения движений мы уже по
знакомились; теперь нам остаётся поставить рассматриваемый вопрос
во всей его общности;
Математически построение параллелограма скоростей, рассмот
ренное нами в § 8, одинаково с построением параллелограма
сил;
иногда даже в элементарных курсах физики выводят последнее
построение из первого; и тем не менее, между обоими построениями
есть глубокая разница по самому существу. Мы знаем, что к одно
му и тому же телу могут быть приложены две, три и более сил,
которые мы можем заменить одной равнодействующей, но каким
образом одно и то же тело может иметь несколько движений? Для
того чтобы движение было бы вполне определённым, необходимо
кроме движущегося тела указать и систему отсчёта, т. е. тела,
которые при этом движении считаются неподвижными и по отно
шению к которым определяется положение движущегося тела. Если
указано движущееся тело и система отсчёта, то по отношению к этой
системе отсчёта движение, раз оно определено, может быть только
единственным: не может тело одновременно занимать два различных
положения по отношению к одной и той же системе отсчёта. Но
движение твёрдого тела мы можем рассматривать по отноше
нию к различным системам отсчёта: движущееся тело может одно
временно двигаться относительно нескольких различных систем
отсчёта; так, рассматривая классический пример пассажира, шагаю
щего по палубе парохода, мы можем говорить о движении пасса
жира относительно палубы парохода, относительно поверхности
воды, по которой перемещается последний, относительно берегов,
в которых течёт река, по которой идёт пароход; все эти движения
совершаются нашим пассажиром одновременно; существующая меж
ду этими движениями связь устанавливается при помощи теоремы
сложения движений.
§
1183
ПАРАЛЛЕЛОГРАМ М
СКОРОСТЕЙ
329
Предположим, что какое-нибудь тело — в нашем примере пасса
жир — движется по отношению к какой-нибудь системе отсчёта
(пароход), которая в свою очередь как-то перемещается по отноше
нию к другой системе (вода или берег), которую мы считаем непо
движной, Движение первого тела (пассажира) по отношению к дви
жущейся системе отсчёта (пароход) мы называем относительным;
движение этой перемещающейся системы отсчёта (пароход) по отно
шению к той, которую мы считаем неподвижной (река или берег),
мы называем переносным; наконец движение первого тела (пассажира)
по отношению к той системе отсчёта, которую мы считаем неподвижной
(вода), мы называем абсолютным. (Конечно эта последняя си
стема не является абсолютно неподвижной — в свою очередь она
может двигаться по от
ношению к какой-нибудь
другой системе отсчёта—
в нашем примере вода
может перемещаться по
отношению *к берегам.)
Абсолютное
движение;
принято рассматривать
как результат сложе
н и я относительного и
переносного движений;
задача сложения движе
ний состоит в том, что
бы по заданным пере
носному и относительному движениям определить абсолютное. Таким
образом сложение движений сводится по существу к изменению
системы отсчёта, «пересчёту» движения от одной системы отсчёта
к другой. Нужно иметь постоянно в виду следующее: в относи
тельном и абсолютном движениях общим является движущийся
объект, а в переносном и абсолютном — система отсчёта. Таким
образом, между переносным и относительным движением существует
принципиальная разница— переносное движение всегда есть движе
ние некоторого тела, тогда как относительное движение может быть
движением как тела, так и точки; в то время как при сложении сил
нет принципиальной разницы между обеими составляющими, при
сложении движений такая разница имеется.
Предположим теперь, что некоторая точка Л (фиг. 302) движется
по некоторой плоскости /, которая в свою очередь перемещается
переносным движением (мы его будем пока считать поступательным)
по другой неподвижной плоскости //. Возьмём достаточно малый
промежуток времени Д/, в течение которого можно оба движения — и
поступательное переносное и относительное — считать прямолинейными
и равномерными. Пусть А В — As i представляет относительное пере
мещение за время At движущейся точки А по плоскости 1; если мы
330
СЛОЖ ЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
[гл. 24
Дд
составим
отношение ~
и возьмём предел его при At, приближаю
щемся к нулю, то получим относительную скорость г;отн:
,.
^ O T II
Д
------ l l t t l
-+ Т -
№-> 0 аг
»
Пусть далее АЛ1 = Д52 представляет перемещение за тот же
промежуток времени At той точки А ' плоскости /, в которой, в
начальный момент промежутка Дt находилась движущаяся относи
тельным движением точка А (нужно помнить, что обе точки А и А 1
геометрически тождественны, т. е. представляют в данный момент
одну и ту же точку, но кинематически различны: точка А ' непо
движна на плоскости /, в то время как точка А движется по послед
ней). Если мы разделим Дs 2 на Дt и возьмём предел этого отноше
ния при At, стремящемся к нулю, то получим так называемую пере
носную скорость:
—
<. Д«9о
*
^пеР = lim
д* ->о
Таким образом переносной , скоростью движущейся точки мы назы
ваем скорость той точки подвижной системы отсчёта,, в кото
рой в данный момент находится движущаяся относительным
движением точка.
Отрезок А В , представляющий относительное перемещение точки А
по плоскости /, в переносном движении плоскости I переместится
параллельно самому себе и займёт положение А^В^: точка А в ре
зультате обоих движений — переносного и относительного, происхо
дящих совместно,— окажется в точке B t плоскости II; перемещение
точки А относительно плоскости II представится вектором А В г —
диагональю параллелограмма, построенного на векторах А А Х и А В .
Это абсолютное перемещение As будет представлять геометрическую
сумму переносного и относительного перемещений:
As = As1 -f- Д?2.
Разделим обе части этого равенства на At:
As
Asi
( Д£з
At
17
At
и перейдём к пределу при At, стремящемся к нулю; тогда в правой
части мы получим абсолютную скорость точАи А по отношению
к плоскости II:
-
«.
As
§
118]
ПАРАЛЛЕЛОГРАМ М
СКОРОСТЕЙ
331
Таким образом:
или
(79)
т. е. абсолютная скорость равняется геометрической сумме (диа
гонали параллелограмма, построенного на векторах) переносной и
относительной скоростей.
То же самое положение остаётся верным и в том случае, когда
переносное движение не будет поступательным. Действительно, если
переносное движение не поступа
тельное (фиг. 303), то через про“
межуток At отрезок относитель
ного перемещения А В займёт по
ложение А ХВ 2, образующее не
который
весьма малый угол
В 1А 1В 2 = ^ с направлением от
резка АВ: мы получили бы то
И
же самое перемещение А В Ъ если
бы сначала перенесли А В постуФиг. 303.
пательно в положение А хВ и а
затем повернули бы вокруг точки А х на весьма малый угол Дер*
Абсолютное перемещение АВ% точки А мы можем теперь рассма
тривать как сумму перемещений:
АВ.г = А А j -j- А ХВ Х-f* B \ B r
Но
А А } — As2, А \ В }
— А В — bus
В хВ г = А В Дер = h s xА?
(по абсолютной величине); таким образом, абсолютное перемещение
As равно будет сумме:
ДS — As2+ Ast -f- Д^ Дер.
Разделив на А/ и перейдя к пределу при Д£, стремящемся к нулю,
мы получим:
v a6c = v liep-Jr v 0TH + ^о тн lim Дер.
дг - о
Но при At, стремящемся к нулю, не только Д?, Д$ь Д<?2, но и весь
ма малый угол Дер тоже будут стремиться к нулю; следовательно,
последнее слагаемое обратится в нуль, и мы будем иметь, что при всяком
переносном движении абсолютная скорость равна геометрической
сумме переносной и относительной скоростей.
Заметим, что этот результат получился только потому, что отре
зок А УВ Х был бесконечно малым; если бы он имел конечную вели
332
СЛОЖ ЕНИЕ ДВИЖ ЕНИЙ
[гл. 24
чину, то после деления на А/ третье слагаемое в нашей сумме не
пропало бы, и мы кроме переносного и относительного членов полу
чили бы ещё третий дополнительный член: как мы увидим ниже, это
действительно б>дет иметь место при сложении ускорений.
§ 119. Примеры. Для надлежащего усвоения полученных резуль
татов рассмотрим несколько примеров, которые могли бы нам у ка
зать, с какого рода ошибками приходится сталкиваться в примене
ниях теоремы параллелограмма скоростей.
Пример 119. Две прямые А В и CD движутся поступательно по
плоскости / со скоростями, которые в данный момент изображаются векторами и и v (фиг. 304). Опреде
лить скорость точки М пересечения обеих
прямых.
Воспользуемся для определения скоро
сти точки М следующим рассуждением:
так как прямые А В и CD движутся посту
пательно, то все точки прямой А В обла
дают в данный момент скоростью й, а все
точки прямой CD обладают скоростью v ;
точка /И, как точка пересечения прямых А В
и CD, принадлежит им обеим и, следова
тельно, обладает в данный момент двумя
скоростями и и v\ значит, результирующая
С
скорость этой точки получится как диаго
Фиг. 304.
наль М М '
параллелограмма
M K L M \ по
строенного на скоростях M K = v и M L — U.
Это рассуждение, каким бы простым и удобопонятным оно нам
ни казалось, является неверным. Действительно, предположим, что
движения наших прямых будут не только прямолинейными, но и
равномерными; тогда векторы скоростей и и v дадут величины
перемещений обеих прямых за одну секунду: следовательно, через
одну секунду наши прямые займут положения А 1В' и C 'D ', которые
пересекутся в точке N; отрезок M N , изображающий перемещение
точки М за одну секунду, и даст нам величину скорости точки М;
эта скорость ни по величине, ни по направлению не будет совпадать
С ЛИЯ г л и п t t l i/л
АЛ А Л 1
^ п „
____________
1 . гг т . ж I
С диагональю М М ’ параллелограмма M K L M ’, построенного на о б еи х
скоростях и их/.
§ 119]
333
ПРИМ ЕРЫ
относительной, а ведь теорема параллелограмма доказана нами только
для сложения переносной и относительной скоростей.
Для получения правильного результата нужно рассуждать так:
Точка М перемещается по прямой А В (относительное движение)
и вместе с этой прямой (переносное движение); её абсолютная ско
рость будет равна сумме переносной скорости u = M L и относи
тельной, о которой мы знаем только то, что она направлена по
прямой А В ; следовательно, конец вектора абсолютной скорости w
будет лежать на прямой А 'В ', проведённой через L параллельно АВ.
Далее т очка*Ж движется вместе с прямой CD (переносная ско
рость v = M K ) и по этой прямой с относительной скоростью, парал
лельной CD; следовательно, конец вектора абсолютной скорости w
будет лежать на прямой C'D', проведённой через К параллельно CD.
Проведя упомянутые прямые К С и L B ', мы видим, что конец
вектора абсолютной скорости w, долженствующий лежать как на
той, так и на другой прямой,
обязательно совпадёт с точкой N
пересечения этих прямых; ско с -------рость точки М изобразится век
тором M N — результат, совпада
ющий с уже найденным выше.
Пример 120. Задача Роберв а л я . Показать, что касатель
ная к эллипсу образует равные
углы
с
радиусами-векторами,
проведёнными в точку касания
(фиг. 305).
Напомним, что эллипсом называется геометрическое место точек,
сумма расстояний которых A M и В М (так называемых радиусоввекторов) до двух неподвижных точек А и В (так называемых
фокусов эллипса) является величиной постоянной.
Это значит, что на сколько увеличится радиус-вектор A M , на
столько же должен уменьшиться радиус-вектор M B . Следовательно,
если мы через точку М проведём две прямые A M и M B , то ско
рость удаления точки М от А должна равняться скорости приближе
ния точки М к В. Обозначим первую скорость вектором М К,
тогда вторая изобразится такой же величины вектором ML, направ
ленным к В. Таким образом, описывающая эллипс точка М одно
временно обладает двумя равными скоростями М К и ML; построен
ный на эгих скоростях параллелограмм M K LM будет ромбом и
изображаемая диагональю последнего результирующая скорость
точки М (направление её и даст нам направление касательной
к эллипсу) будет биссектрисой угла при вершине ромба, иными
словами, составит с радиусами-векторами М А и М Б равные углы
О М А и N01 В.
Фиг. 305.
334
С Л О Ж Е Н И Е ДВИ Ж ЕН И Й
[гл. 24
Результат, полученный при помощи этого очень простого и
изящного доказательства, совершенно правилен, чего, однако, нельзя
сказать о самом доказательстве; в нём мы встречаемся с той же
коренной ошибкой, что и в предыдущем примере: мы не знаем,
какая из скоростей М К и M L будет переносной и какая относи
тельной. Неправильность приведённого доказательства можно обна
ружить так: возьмём произвольное количество точек С, D , . . . ,
в плоскости чертежа и соединим их прямыми с точкой М; при
неподвижных концах С и D наши прямые С М , D M будут вращаться,
проходя через точку М у которая таким образом будет перемещаться
по этим прямым с некоторыми скоростями; эти последние мы, соб
ственно говоря*, тоже должны включить в качестве слагаемых в сумму
тех скоростей, которыми одновременно обладает точка М; таким
образом скорость последней будет зависеть от числа взятых нами
точек А, В , С, D , . . . , т. е. окажется практически неопределённой
и по величине, и по направлению.
Можно, однако, не меняя изящества предложенного Робервале.м
доказательства, сделать его верным.
Будем рассматривать движение точки М по прямой A M : так как
последняя во время движения вращается вокруг центра А, то дви
жение точки М мы можем представить как результат сложения
относительного движения по прямой A M со скоростью М К и пере
носного. вращения прямой A M вокруг А; переносная скорость точки
М будет равна угловой скорости вращения прямой A M , помножен
ной на радиус A M , и будет направлена перпендикулярно к A M ;
конец вектора абсолютной скорости точки М будет лежать на пря
мой K N X, проведённой через точку К под прямым углом к A M .
Точно так же, рассматривая движение точки М как состоящее из
относительного по M B со скоростью M L и переносного вместе
с М Б со скоростью, изображаемой проведённым через L перпенди
куляром к M L, мы получим, что конец N t вектора абсолютной
скорости точки М будет лежать на прямой L N X, проведённой через
L под прямым углом к M B . Таким образом абсолютная скорость
точки М изобразится вектором M N lf соединяющим М с точкой
N x пересечения обеих упомянутых прямых.
Полученный четырёхугольник M K L N t разбивается на два равных
прямоугольных треугольника с общей гипотенузой M N t и равными
катетами М К н M L; из равенства этих треугольников заключаем
о равенстве углов КМЛ? и L M N ’, что и доказывает выставленное
положение.
§ 120* Сложение ускорений в случае, когда переносное дви
жение поступательное* Пусть точка М движется относительно
системы отсчёта А, которая в свою очередь совершает поступатель
ное движение по отношению к некоторой, считаемой нами непо
движной системе отсчёта В (фиг. 306). IП усть в некоторый момент
§
120] -
СЛОЖ ЕНИЕ
УСКОРЕНИЙ
ПРИ
ПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖ ЕНИИ
335
времени точка М , скорость которой по отношению к системе А
изображается вектором w, находится в точке М системы А , ско
рость которой в рассматриваемый момент изображается вектором и.
Требуется определить, как будет изменяться скорость точки М
в движении последней по отношению к неподвижной системе отсчёта В .
Скорость точки М по отношению к системе В , так называемая
абсолютная скорость v, изобразится вектором, равным геометриче
ской сумме векторов относительной
скорости w и переносной скоро
сти й\
v = w -\-U .
>
Чтобы определить ускорение в
абсолютном движении, мы должны
узнать, как будет меняться с те
чением времени абсолютная ско
рость v. Её изменение равно сумме
изменений относительной и переФиг. зоа.
носной скоростей w и и.
Пусть в относительном движении ускорение в данный момент
изображается некоторым вектором а (фиг. 307); тогда для доста
точно малого промежутка времени At изменение относительной ско
рости будет:
Ац = а At<
Если ускорение а равно нулю, то относительное движение будет
прямолинейным и равномерным — вектор относительной скорости
будет сохранять свою величину и направле
ние по отношению к системе А. Так как пря
молинейная траектория относительного движения ^
будет в переносном движении перемещаться па^
раллельно самой себе, то относительная скорость
от переносного движения не будет изменять ни
своего направления, ни своей величины; таким
образом единственное изменение вектора отно
сительной скорости сведётся к уже известному нам изменению и
в результате относительного ускорения:
Ай = а At.
Перейдём теперь к изменению переносной скорости. Мы опреде
лили последнюю как скорость той точки переносной системы отсчёта,
в которой в данный момент находится движущаяся в относительном
движении точка М. Так как в поступательном движении все точки
движутся совершенно одинаково со скоростями, равными по вели
чине и по направлению, то ясно, что, перемещая точку М как
336
С ЛО Ж ЕН ИЕ ДВИЖ ЕНИЙ
[гл . 2 4
угодно по системе А , мы не сможем изменить её переносной ско
рости — относительное движение не влияет на переносную скорость.
Переносная скорость может измениться только в том случае, если
изменится скорость самой той точки М' системы А, в которой
будет в данный момент находиться наша точка М . Если ускорение
этой точки М ' в данный момент изображается вектором Ь, то
изменение переносной скорости в промежуток времени At будет:
Aw = Ъ At.
Таким образом изменение Av абсолютной скорости v будет равно
геометрической сумме двух изменений Аа и Aw
Av = Аи -j- Aw = a At -f- b At = (a -j- b) At.
Мы видим, что оно таково, как если бы наша движущаяся точка
обладала абсолютным ускорением с, равным сумме (геометрической)
переносного и относительного ускорений
с = а —j—b .
Таким образом мы доказали, что в случае, когда переносное движе
ние является поступательным, абсолютное ускорение будет равняться
геометрической сумме переносного и относительного ускорений.
Заметим опять, что под переносным ускорением мы понимаем
ускорение той точки ( М г) подвижной системы отсчёта, в которой
в данный момент находится движущаяся точка (/И).
Пример 121. Клин А с углом при вершине а движется по гори
зонтальной плоскости с ускорением w t и в своём движении подни
мает штифт В, движущийся в направляющих, ось которых образует
угол р с горизонтом. Определить величину ускорения w 2 штифта
(фиг. 308).
Движение штифта В относительно неподвижной плоскости мы
можем рассматривать как состоящее из относительного движения по
отношению к клину А и переносного дви
жения этого клина по отношению к плоско
сти х х . В этом дви^
/
жении мы знаем вели''- . / 77/
чину и направление
переносного
ускоре
ния w u направление
относительного уско
Фиг. 308.
рения w '— вдоль по на
клонной плоскости —•
и направление абсолютного ускорения w q (по ВС), образующее угол Р
с горизонтом. От некоторой точки О строим вектор Оа, изображающий
переносное ускорение w l9 и от его концов О и а проводим прямые ab и
Ос параллельно направлениям,относительного и абсолютного ускоре
ний (фиг. 309); точка т пересечения этих прямых определит нам
§
121]
РАЗЛОЖЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ точки
337
векторы Om = w %и am — w ', представляющие абсолютное и относи
тельное ускорения. Решая треугольник Ота, мы по теореме синусов
получаем:
W1sin а
sing
Wq= ’ sin (a -j- P) ’ W
sin (a- f
p) *
§ 121. Разложение криволинейного движения точки на два
прямолинейных. Пусть движущаяся точка М относительно некото
рой системы отсчёта, изображаемой системой координатных осей
О х у , описывает кривую линию K M L (фиг. 310). Представим себе,
что через точку М проходит параллельная оси Оу прямая А А ,
движущаяся поступательно так,
что некоторая её точка А 0 всё
время
движения перемещается
вдоль оси О х. Мы можем рас
сматривать, что точка М совер
шает
относительное движение
вдоль прямой А А , которая в свою
очередь перемещается поступа
тельным переносным движением
так, что одна из её точек (Л0)
движется по оси Ох; все осталь
ные её точки будут тоже дви
гаться по прямым, параллельным
оси О х. Таким образом мы разложили криволинейное движение
точки М на два прямолинейных: переносное параллельно оси О х —
и относительное по прямой А А . Чтобы задать первое движение, нам
достаточно будет указать для любого момента времени t положение
какой-нибудь точки переносной системы отсчёта прямой А А ; мы
можем это сделать, если выберем точку А 0 — пересечение прямой
А А с осью О х — и укажем формулу, которая позволила бы нам для
момента t определить расстояние ^ этой точки А 0 от начала коор
динат О:
* = / i (0 *
Для заданЙяг- второго движения по прямой А А мы можем указать,
как меняется расстояние А 0М = у движущейся точки М от той же
самой выбранной нами точки А 0:
y = A (t)В обоих равенствах мы под / , (t) и / 2 {£) понимаем . какие-то
определённые зависимости (алгебраические или графические), позво
ляющие нам для заданного значения t найти соответствующие
значения х н у .
Нетрудно видеть, что употреблённое нами разложение криволи
нейного движения не будет единственным; мы могли б£^ провести
22
Зак, 667. И. Н . Веселове киД
338
[гл. 24
С ЛО Ж ЕН ИЕ ДВИЖ ЕНИЙ
через М горизонтальную прямую В В и считать относительным дви
жение точки М на этой прямой, а переносным— движение самой
рассматриваемой прямой В В; закон относительного движения мы
могли бы задать, выразив в зависимости от времени t расстояние
ВцМ = х ,
азакон переносного движения — выразив
расстояние
ОВ0= у . Таким образом при новом представлении движения у нас
переносное движение стало бы относительным и обратно, но оба
УР,ВМ„""
* = /,( 0 ,
* = /,« .
(80)
определяющие координаты х н у движущейся точки М , не измени
лись бы.
Уравнения (80) носят название уравнений движения в криволи
нейном движении точки.
Если vx и vy суть скорости в движениях по осям О х и Оу, то
одну из них (безразлично какую) мы можем принять за переносную,
а другую за относительную; тогда абсолютная скорость v точки М
изобразится диагональю параллелограмма (в нашем случае прямо
угольника), построенного на скоростях v x и vy \
v = / v ^ + Vy •
(81)
То же самое мы можем сказать и об ускорении w точки М.,
которое будет равно геометрической сумме ускорений w и w
в движениях по осям О х и Оу:
w
Wy-
(82)
Пример 122. Исследовать дви
жение тяжёлого тела, брошенного
под углом а к горизонту с на
чальной скоростью v 0 (фиг. 311).
Пусть точка, из которой бро
шено тело, будет началом коор
динат, ось О х возьмём по гори
зонтали, ось Оу по вертикали
вверх. При отсутствии силы тя
жести брошенное тело двигалось
Фиг. 311.
бы равномерно по прямой, образующей с горизонтом угол а; в первую секунду оно прошло бы
по этой прямой отрезок О Аи численно равный начальной скоро
сти v 0, во вторую секунду такой же длины отрезок А ^А %, в третью
секунду— Л 2Л 3 и т. д.; через t секунд после начала движения оно
оказалось бы на нашей прямой на расстоянии v 0t от точки О.
Усть •'ч• • •, А 6 — положения движущегося тела без действия
силы тяжести в моменты t = 1, 2.......... 6 секунд; сила тяжести заставляет
наше тело отклониться вниз от этих положений на отрезки, изобра
жающие пути пройденные в свободном падении за тот же проме-
§ 121]
РА ЗЛ О Ж ЕН И Е КРИВОЛИ НЕЙ Н ОГО ДВИЖ ЕНИЯ
жуток времени 1, 2, . 6
точки
339
сек. Эти отрезки будут;
^ £ , = 1 (I )9,
Л 2Я 2 = - | (2)*,
• • • • • • • •
^ 6^6 — ^ (б)2.
Вообще в какой-нибудь произвольный момент времени / мы получим
положение нашего тела, если под углом а к горизонту отложим от
точки О отрезок OA = v 0t, а от полученной точки А вниз отрезок
л в=
^ ; тогда полученная точка В будет искомым положением
нашего тела (фиг. 312). Координаты О С — л: и С В = у тела в момент
t мы получим, спроектировав на координатные оси ломаную О А В ;
будем иметь:
^ А
х = ОA cos а = v 0t cos а,
у = О А sin а — А В = v 0t sin а — -4р.
Таковы будут уравнения движения; при их помощи мы можем для
любого момента t определить положение движущейся точки.
А ,
д?
\ t2
7*------ 1
— 1
. . —«=--- ^
р
Фиг. 312.
Фиг. 313.
Для того чтобы определить скорость в какой-нибудь момент
времени t 9 проще всего будет поступить так:
Мы можем рассматривать наше движение как результат сложения
Двух движений: прямолинейного и равномерного со скоростью и0,
образующей с горизонтом угол а, и свободного падения, скорость
которого в момент времени t будет равна g t и направлена по вер
тикали вниз (фиг. 313); таким образом, если мы отложим отрезок
Oa = v 0 под углом ос к горизонту, а от полученной точки отрезок
ab = g t по вертикали вниз, то искомая скорость изобразится векто
ром ОЬ. Продолжив ab до пересечения в точке с с горизонталью,
мы определим ОЬ из прямоугольного треугольника ОЪс
v = Ob = / Ос* -{- Ьс1 = / (г/0 cos а)а + (г/0 sin а — g t f ;
в этом выражении
z/0 cosot = z^ и v 0s m (t— g t = v v
будут представлять скорости Движущейся точки по координатным
осям О х и Оу.
22*
[гл .
С Л О Ж Е Н И Е ДВИЖЕНИЙ;
340
24
Рассматривая фиг. 313, нетрз'дно убедиться, что скорость б ро
шенного тела, равная в начальный момент v 0, будет сначала умень
шаться, пока не достигнет наименьшей величины x/0 cos а, после чего
будет увеличиваться. Это наименьшее значение, соответствующее
прохождению брошенного тела через наивысшую точку траектории,
где скорость будет горизонтальной, получится в момент времени f,
определяемый из условия vy = 0 , т. е.
v 0 sin а — g t = 0,
откуда*
г/0 s i n а с
^
~ ~ g ~
9
соответствующую высоту подъёма мы получим, подставив найден
ное значение t в уравнение
у — v 0t sin а —
.
Оно будет
и
п =
v \ sin 3 а
й
.
Наибольшую дальность полёта по горизонтали мы получим, если
приравняем у нулю и найденное из полученного уравнения значение
времени t подставим в уравнение для дг. Таким образом, если
у = 0? то
v Qt sin а = - у - ,
откуда
t x = 0,
а • первое значение соответствует моменту
начала движения, второе же — моменту падения на поверхность земли.
Искомая дальность полёта будет:
r
.
2 vl sin a c o s a
02
g
L = v nL cos a = — 5
=
vl
g
.
n
sin 2 a;
она будет наибольшей из всех возможных, если s i n 2 a = l , что
соответствует углу бросания, равному 45°.
§ 122. Гармоническое колебание. Рассмотрим один из важных
видов движения, а именно, так называемое гармоническое колебание.
П}'сть дана окружность с радиусом ОМ = а и центром в О; по этой
окружности движется равномерно точка М у так что радиус О М
вращается с угловой скоростью ш(фиг. 314). Пусть в начальный
момент £ = 0 движущаяся точка находится в М 0. Изучим движение
проекции т точки М на ось Ох. В момент t — О движущаяся точка
т будет находиться в точке т 0. Так как радиус ОМ вращается
равномерно с угловой скоростью ш, то угол М О М 0 будет равняться
произведению угловой скорости на время движения, т. е.
Z . M O M 0 — о/.
§ 1221
341
ГАРМ О Н И ЧЕСКО Е КОЛЕБАНИЕ
Определяя положение точки т расстоянием От = х от центра окруж
ности О, мы получим закон движения в виде:
х — а cos {<&t -f- а),
где
(83)
а = £ М 0Ох.
Если при положении точки т влево от О мы буЛем считать рас
стояние х отрицательным, то выведен
ная нами формула будет справедлива
при всяком t.
Определённое таким образом дви
жение точки т носит название гар
монического колебания. Длина а, даю
щая максимально возможное расстоя
ние от О, называется амплитудой
к о л е б а н и я ; время Г, в течение кото
рого точка М совершит полный обо
рот по окружности, определяется урав
нением шТ = 2 тс, откуда
j
2тс
<0
Фиг. 314.
Т называется периодом колебания\ угол а, при помощи которогэ мы можем определить положение точки m на прямой х х
в начальный момент t = 0, есть так называемая начальная фаза
колебания1). Очевидно, что вполне достаточно изучить движение
точки m за время только одного
периода; в дальнейшем все явления
будут периодически повторяться.
Определение скорости и ускорения
легко может быть нами произведено
при помощи теоремы сложения дви
жений. Действительно, круговое дви
жение точки М мы можем разложить
на два: по оси О х и по оси Оу (§ 121).
Скорость точки М в круговом движе
нии будет направлена по касательной
к окружности и равна a to — произве
дению угловой скорости to на радиус
Фиг. 315.
вращения а. Раскладывая эту скорость
по вертикали и горизонтали — напра
влениям скоростей в обоих составляющих движениях, — мы получим
*) Вообще фазой колебания называется угол, образуемый движущимся
радиусом ОМ с диаметром хх, на который проектируется точка М. В нашем
случае фазой будет угод МОх.
342
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 2 4
(фиг. 315):
v x — — К М = — асо cos (90е — <р) = — am sin 9 ,
vy = ML — am cos 9
(в выражении для v x мы ставим знак «минус», поскольку составляю*
щая направлена в отрицательную сторону оси Ох), или окончательно:
v x = — a<osin(orf + a), )
vy = асб cos (a>^ —
(—a).
/
^
v '
Ускорение в равномерном движении по окружности будет направлено
по радиусу к центру и равно квадрату угловой скорости, помно
женному на радиус; оно изобразится вектором M D = ат2.
Раскладывая его по осям О х и Оу, получим:
w x — — М К' = — M D cos 9 = — aco2 cos 9 ,
w y = — M L 1= — M D sin 9 = — am1 sin 9
или, окончательно, заменяя угол 9 его значением:
(85)
Сравнивая первую из формул (85) с формулой (83):
х = а cos (соt -|- а),
приходим к очень интересной зависимости:
w x = — т*х.
(86)
Формула ( 8 6 ) показывает, что величина ускорения прямо пропор
циональна отклонению х движущейся точки от центра колебания О.
Если расстояние х положительно (точка находится вправо от О), то
ускорение будет отрицательным; если х отрицательно (точка влево
от О), то ускорение будет положительным; в обоих случаях уско
рение будет направлено к центру колебания и прямо пропорцио
нально величине отклонения от центра *).
*) Важность последнего обстоятельства выясняется, если мы поставим
вопрос, каковы силы, под действием которых точка совершает гармониче
ское колебание.
Чтобы получить силу, мы должны взять произведение из массы на уско
рение. Обозначая массу через т, мы получим, что сила выражается законом:
F = tnw — — mk?x.
Таким образом, производящая гармоническое колебание сила будет направлена
к центру О (притягивающая сила) и возрастает пропорционально отклоне
нию от этого последнего. Примером такой силы может служить упругая
сила (при растяжении пружины, изгибе балки), величина которой возрастает
пропорционально отклонению от положения равновесия; таким образом под
действием упругих сил возникают гармонические колебания.
§
СЛОЖ ЕНИЕ
123]
ГАРМ ОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
343
Пример 123. Лента прибора, служащего для записи гармониче
ских колебаний (ондографа), движется слева направо со скоростью
г>0 = 2 м/сек. Колеблющееся тело вычерчивает на ней синусоиду,
наибольшая ордината которой А В = а = 2,5 см, а длина волны
А С = Х = 8 см. Найти уравнение гармонического колебания, записан
ного ондографом, предполагая, что в начальный момент t — 0 дви
жущаяся точка находилась в центре колебания О (фиг. 316).
----Фиг. 316.
Чтобы определить гармоническое колебание, мы должны найти
амплитуду, период и начальную фазу. В нашем случае амплитуда
а = 2,5 см, период Т определится из условия
откуда
~
8
1
200— 25 СеК'
Уравнение гармонического колебания будет:
или в нашем случае.
х = 2,5 cos (50
а).
Остаётся только определить начальную фазу а. Так как при t = О
и х = 0 (точка находится в центре колебаний О), то мы будем
иметь
0 = 2,5 cos а,
откуда
Выбрав
в виде
для а значение — у , мы можем написать наше уравнение
х = 2,5 cos ( б Ок? — у ) =
sin 50тс/.
§ 123. Сложение гармонических колебаний. Важность изуче
ния гармонических колебаний усиливается ещё тем обстоятельством,
[гл . 2 4
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖ ЕНИЙ
344
что любое периодическое движение может быть представлено в виде
суммы ряда гармонических колебаний. Не входя в подробности дока
зательства этого, которое даётся в высшей математике (теория триго
нометрических рядов или рядов Фурье), покажем на простом при
мере, как можно произвести это разложение для самого важного
из периодических движений, употребляющихся в технике, а именно
кривошипно - шатунного механизма,
паровой машины.
Пример 124. Стержень ОА = а,
так называемый кривошип, вращает
ся с постоянной угловой скоро
стью со вокруг неподвижного цен
тра О. В точке А к нему прикре
плён шарниром шатун А В = Ь, кото
рый в точке В , в свою очередь,
прикреплёншарниром
кползушке С, могущей перемещаться по
прямой линии, проходящей
через О. Определить движение ползушки (фиг. 317).
Мы будем знать это движение, если сможем определить в функ
ции времени t расстояние ОС = х . Опустив перпендикуляр А К , мы
из треугольника О АК , где угол cp=otf, найдём
OK = a cos Ы,
A K — d sinm t.
Далее
х = OK-}- КС = а cosco/f-f- УУ* — a - s in ? o>£.
Но
____________
' У К 1— a 2sin 2 &t = 6 j / ^ 1 —
Разлагая выражение, стоящее
Ньютона, будем иметь
i_
(l —
si n2 ^ t — b ^1 — ~ s i n 2 <o^ 2 .
в
скобках,
по
формуле
бинома
sin 2 (ot) 2 = 1 — y - ^ s i n 2 со/ — у ^
Таким образом
x = b -} -a cos соt — у -у- sin2 соt
На практике
отношение
у
"fr s*n4
‘"Ь
не превышает у . Это показывает, что
а
^
а
четвёртый член в нашем ряду не превышает "g~; 27
'200*так что
мы можем отбросить его, не говоря уже о всех последующих. Таким
образом
/
*I
,
1 а* . * .
*
x = b a cos Ы — у —у sin4т .
§
123]
СЛ О Ж Е Н И Е
ГАРМ ОНИЧЕСКИХ
КОЛЕБАНИЙ
345
Воспользовавшись формулой
• <г ^
sin
со/ =
1 — cos 2<о/
g
,
мы получим окончательно
х =
(b - j -
Ч” а cos
~f~ \
c o s 2 со/.
Таким образом мы представили наше движение б виде суммы двух
гармонических колебаний:
я 2-c o s 2 o)/,
a cos со// и -^1--£
причём центром колебания служит точка, определяемая абсциссой
АО. 1
&+ Т Т Разобранная задача подвела нас к вопросу о сложении гармони
ческих колебаний. В том случае, когда складываемые колебания имеют
разные периоды, мы приходим к некоторому периодическому движе
нию, которое уже не будет гармоническим колебанием. Если же
складываемые гармонические колебания имеют одинаковый период,
то можно доказать, что в результате их сложения мы придём к чи
стому гармоническому колебанию того же периода.
Пусть определяемое движение выражается формулой
х = а cos (со/
cos (со/
р),
где а и а, b и [3 соответственно амплитуды и начальные фазы обоих
складываемых гармонических колебаний. Если они равносильны
одному чистому гармоническому колебанию, то при всяком значении /
долж но иметь место равенство
A cos (со/ -f~ 9) = а Cos № 4~ а) + b cos № Ч~ а)’
где А и ф суть пока ещё неизвестные амплитуда и начальная фаза
результирующего колебания.
Разлагая косинусы суммы, будем иметь:
A cos ср cos со/ — A sin ср sin соt =
— (a cos <х—
{—b cos р) cos соt — (a sin а -{- b sin (3) sin со/.
Так как это равенство является тождеством, справедливым при
всех значениях /, то оно влечёт за собой два других равенства,
которы е мы получим, сравнивая коэффициенты при cos со/ и sin ш/
в обеих частях нашего равенства:
A cos ср = a cos a -j- b cos 8 ,
A sin ср = a sin ос -[- b sin р.
1Лз этих уравнений мы можем определить А и ср. Деля второе урав
346
СЛОЖ ЕНИЕ ДВИЖ ЕНИЙ
[гл. 2
нение почленно на первое, найдём
a sin а +!------Ъsin Я
3- #
t, рг (5 —
— --------6 *
a cos a -f- b cos р
Возводя их в квадрат и складывая, получим
A 1(cos 2 ср
sin 2 ср) == а 2 (cos 2 а -[- sin 2 ос) -|~
4~ 2 ab (cos а cos р —
|—sin а sin [3) -f- £ 2 (cos 2 (3-f- sin 2 (3)
или
A 2 = a 2 -f- £ 2 -f- 2 a 6 cos (a — (3).
Так определяются амплитуда А и начальная фазаср результирующего
гармонического колебания.
Это определение может быть произведено и графически при
помощи так называемой векторной диаграммы или параллелограмма
гармонических колебаний (фиг. 318).
От некоторой точки К проведём
ось КС и от этой оси отложим
углы а = М К С и $ — NKC. На
сторонах К М и K N этих углов отло.жим отрезки К М — a, К М = Ь . В та
ком случае отрезки К М и КМ,
рассматриваемые как векторы, опре
делят складываемые гармонические
колебания. Далее на этих отрезках
построим параллелограмм K M N P ;
диагональ К Р этого параллелограм
ма даёт нам результирующее гармо
ническое колебание; длина К Р определит амплитуду А , а угол
РКС — начальную фазу ср результирующего колебания. В самом деле,
по формуле для квадрата диагонали параллелограмма
К Р 1= К М * + КМ2 + 2 к м . AW cos (МКМ) —
= a 2 -f- Ъ2 2 ab cos (ас — |3).
Далее,
tgcp:
PS + S T
’ KR + RT
a sin a -f- Ь sin ft
b cos ft + a cos a
Этим и доказывается справедливость нашего построения.
В том случае, если периоды складываемых колебаний неодина
ковы, пользуются обычно чисто графическим методом. Строим гра
фики обоих: колебаний, изображающие пройденный путь в зависимости
от времени для обоих движений. После этого строим новую кривую
(график результирующего движения), так чтобы ординаты её для
каждого момента времени равнялись суммам (алгебраическим) ординат
обеих складываемых кривых для того же момента времени. Получен
ная таким способом кривая и выразит закон искомого результирую
щего движения.
§
124]
СЛОЖЕНИЕ
УС КО РЕН И Й ПРИ
НЕПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
347
На фиг. 319 изображено движение, получающееся в результате
сложения двух гармонических колебаний с одинаковыми начальными
фазами, из которых период одного вдвое больше периода другого.
Кривые I и II изображают оба складываемые движения, кривая III
составное; пунктиром повторена кривая /, чтобы показать суммиро
вание ординат обоих складываемых движений. Что полученное коле
бание не будет уже гармоническим,
видно из того, что различные части
полученной кривой обладают неоди
наковым наклоном: в одну сторону
4 V
точка будет совершать размах бы 4 d
стрее, чем в другую.
ъ,
В
§ 124. Сложение ускорений в
4
случае, когда переносное движе
е
ние не является поступательным.
Рассмотрим сложение ускорений в
С
простейш ем случае непоступатель //// //
// 4
ного переносного движения, а имен
\\
/§
но, когда оно представляет собой
\ \
✓///
/
вращение вокруг некоторой непод
Ч' \
вижной оси. Оказывается, что при
Фиг. 319.
такого рода движении для получе
ния абсолютного ускорения нужно
к геометрической сумме переносного и относительного ускорений
добавить ещё одно так называемое поворотное или Кориолисово
ускорение.
Вспомним, что абсолютное ускорение равняется отношению гео
метрического изменения абсолютной скорости к соответствующему
промежутку времени, считая последний бесконечно малым, и, кроме
того, что полное изменение абсолютной скорости равно геометри
ческой сумме изменений переносной и относительной скоростей.
Посмотрим теперь, от каких именно факторов будет зависеть изме
нение этих скоростей.
В относительном движении точка описывает некоторую траек
торию, составляющую одно целое с движущейся переносно системой
отсчёта; так, траекторию пассажира мы можем считать как бы начер
ченной на палубе движущегося корабля. При перемещении с течением
времени движущейся точки из одного пункта траектории в другой
величина скорости точки меняется. Изменение относительной скорости
точки при её перемещении по траектории относительного движения
(т. е. по отношению к движущейся переносной системе отсчёта) изме
ряется относительным ускорением. Но нельзя сказать, что полное
изменение относительной скорости определяется одним только изме
нением местонахождения точки на траектории. Если последняя вместе
с переносной системой отсчёта каким-то образом вращается, то это
вращение отразится на изменении направления относительной скорости;
348
СЛО Ж ЕН ИЕ Д ВИЖ ЕНИЙ
[гл. 24
так, в нашем примере с пароходом направление скорости пассажира
изменяется не только вследствие того, что с перемещением его по
траектории изменяется направление касательной к последней, но и
вследствие того, что сама эта траектория каким-то образом пово
рачивается по отношению к окружающим берегам, так что направле
ние скорости пассажира изменялось бы, даже если бы траектория
его по отношению к пароходу была прямолинейной. Таким образом
полное изменение относительной скорости составляется из двух —
изменения скорости при перемещении по траектории относительного
движения и изменения с перемещением этой последней. Отметим, что
последнее изменение будет равно нулю только в том случае, когда
будет отсутствовать вращение переносной системы, т. е. когда послед
няя или будет двигаться поступательно или находиться в покое, так
как в поступательном движении все прямые переносятся параллельно
самим себе, так что направление скорости от поступательного пере
несения не меняется.
Перейдём теперь к определению изменения переносной скорости.
Переносная система отсчёта представляет некоторое тело; величина
скорости какой-нибудь точки тела в общем случае меняется как
с изменением движения тела во времени, так и с изменением поло
жения рассматриваемой точки в движущемся теле. Таким образом
переносная скорость будет меняться, во-первых, с течением времени,
когда мы предполагаем рассматриваемую точку не изменяющей своего
положения в теле (отношение этого изменения скорости к величине
соответствующего промежутка времени даёт нам переносное ускоре
ние рассматриваемой точки), во-вторых, вместе с переходом движу
щейся точки в результате её относительного движения из одного
места переносной системы отсчёта в другое. Последнее изменение
будет равно нулю только в том случае, когда все точки переносной
системы отсчёта имеют в данный момент времени одинаковые ско
рости, т. е. когда рассматриваемая переносная система отсчёта будет
двигаться поступательно.
Подводя итоги, мы можем сказать, что полное изменение абсо
лютной скорости будет равно сумме следующих четырёх её изме
нений :
1. Изменения относительной скорости движущейся точки вслед
ствие движения её по траектории.
2 . Изменения направления этой скорости вследствие поворачива
ния траектории.
3. Изменения с течением времени переносной скорости данной
точки.
4. Изменения переносной
скорости с изменением в отно
сительном движении положения точки на переносной
системе
отсчёта.
Разделив изменения 1 и 3 на соответствующий промежуток вре
мени, мы получаем относительные и переносные ускорения; измене
§ 124]
СЛО Ж ЕН И Е УСКО РЕН И Й ПРИ НЕПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
349
ния 2 и 4, вместе взятые, дают начало так называемому поворотному
или кориолисову ускорению. Отметим кстати, что оба они одновре
менно обращаются в нуль, если переносное движение будет посту
пательным, это значит, что при поступательном движении перенос
ной системы отсчёта поворотное ускорение будет равно нулю.
Поскольку изменение относительной
скорости точки от движения её по
траектории измеряется относительным
ускорением, то, отбрасывая последнее
как не имеющее значения для измене
ний 2 и 4, мы можем считать относи
тельное движение прямолинейным и
равномерным.
Скорость относительного движения
точки мы можем разложить на две, из
которых одна параллельна, а другая
перпендикулярна к оси вращения. Эту
последнюю составляющую мы, в свою
очередь, разложим на две, из которых
одна направлена по радиусу вращения
Данной точки, другая же ему перпен
дикулярна. На фиг. 320 скорость v точки М разложена на три: vZ9
параллельную оси вращения, v y — перпендикулярную как к оси вра
щения, так и перпендикуляру ОМ, опущенному из М на ось враще
ния z z , и, наконец, v Xi направленную по
х
этому перпендикуляру ОМ.
Разберём теперь все эти случаи в от
дельности:
Ь Определим абсолютное ускорение
т °чки М, движущейся со скоростью v x по
прямой ОМ, вращающейся с постоянной
Угловой скоростью ш вокруг центра О
(Фиг. 321).
*рй
Пусть в некоторый момент t враща
ющаяся прямая ОМ занимает положение
ч
О-хг, движущаяся точка М находится на
расстоянии ОМ = г от центра О. Абсо
лютная скорость точки М в этом положе
нии будет состоять из двух: относитель
ной скорости v x по ОМ и переносной скорости шг, перпенди
кулярной к ОМ. Через некоторое бесконечно малое время Д/ пря
мая О х перейдёт в положение О х , повернувшись на угол Да = <оДt
В свою очередь точка М перейдёт по Ох' на расстояние M ,M i =
= Дг = г/*Д/. В новом положении относительная скорость v x со
храняет свою величину и лишь повёртывается на угол Да. Чт<
касается новой переносной скорости а> (г -j- Дг), то она изменит Kai
[гл. 24
СЛ О Ж ЕН И Е Д ВИЖ ЕНИЙ
с*ою величину, так и направление, повернувшись на тот же самый
угол Да. Подсчитаем все эти изменения:
a) Изменение направления относительной скорости v x (фиг. 321, а).
Вспоминая способ, которым мы в § 26 вычисляли нормальное уско
рение, легко напишем следующие формулы:
Дх/j = v x \ct = v x<x>Дt и w t = ^
= <sbvx.
Направление соответствующего ускорения w t в пределе при беско
нечно малом Дt будет перпендикулярно к относительной скорости vx
и направлено в ту сторону, в которз^ю движется конец её во вра
щении вокруг центра О.
b) Изменение направления переносной скорости сог (фиг. 321, Ь).
Аналогичные рассуждения дадут нам
Дх>2 = сог Да = согсо Дt и w 2 = ^
= со2г.
Направление в пределе будет перпендикулярно переносной скорости
и направлено к центру вращения О. Нетрудно видеть, что ускоре
ние
есть обычное нормальное ускорение во вращательном дви
жении.
c) Изменение величины переносной скорости. Для получения
соответствующего изменения Дх/3 необходимо из со(г-)-А г) вычесть
первоначальную скорость сог. Это даёт нам
Ди3 = со Дг = &vxte
и
= —- = сох;^.
Соответствующее ускорение w 9 будет направлено, как нетрудно
видеть, в ту же самую сторожу, что и w x. Оба эти ускорения
в сумме и дают поворотное ускорение w k = w 1 - \ - w 3 = 2o>vXi состоя
щее из двух половин, представляющих взаимное влияние переносного
и относительного движения на изменение скоростей в этих движе
ниях.
Мы считаем угловую скорость со переносного движения постоян
ной. Если бы она изменялась, то пришлось бы дополнительно учесть
изменение переносной скорости от изменения угловой скорости со.
Это изменение было бы
А1^4 = (со —
|—Дсо) Г— с о г= тДсо,
Соответствующее ускорение
есть не что иное, как тангенциальное ускорение во вращательном
движении, каким является наше переносное движение.
■*
Собирая все ускорения вместе, мы видим, что полное ускорение
в а солютном движении равняется геометрической сумме переносного
§ 124]
С ЛО Ж ЕН ИЕ УСКО РЕН И Й
ПРИ НЕПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
351
ускорения (результат геометрического сложения
f-w 4) и пово
ротного ускорения.
2.
Перейдём теперь к случаю, когда относительная скорость vy
перпендикулярна как к оси вращения, так и к радиусу вращения ОМ.
Точка М перемещается с постоянной скоростью vy по прямой Му,
которая, в свою очередь, вращается с постоянной угловой ско
ростью со вокруг центра О. В начальный
Г
момент М находится в точке основания
перпендикуляра О М , опущенного из точки
ШГ £
О на прямую М у (фиг. 322). Определить
у -----\ —
-1М
полное ускорение точки М в абсолют
ном движении.
А ,
Аналогично предыдущему случаю, р а
зобьём изменение абсолютной скорости
точки на три:
a)
— изменение направления отношг
сительной скорости от вращательного
шг
переносного движения.
b)
— изменение направления пере
Av>
Ц!
носной скорости от вращательного дви
А
жения.
Аи3
*4
c) Аг/3 — изменение переносной ско
Фиг. 322.
рости от относительного движения.
Ускорения, соответствующие первым двум изменениям скорости,
вычисляются совершенно так же, как и в первом случае. Ускорение
w i ==J f будет равно o>vy и направлено перпендикулярно к отно
сительной скорости в сторону вращения последней. Ускорение
А%}
Щ—
—
направлено по ОМ к центру вращения О. Остаётся
лишь несколько детальнее рассмотреть изменение Az/3 переносной
скорости от относительного движения. Вследствие того что в отно
сительном движении точка М из положения М' переходит в М и при
чём расстояние М ’М { = А г = vykt, новая переносная скорость СА 3
будет перпендикулярна к радиусу О М х и будет равна ыОМ1. По
смотрим, изменится ли величина этой скорости. Мы имеем
ом,-.
ОМ'
cos {М.ОМ') ’
но при Д/, стремящемся к нулю, как хорда М 'М и так и угол M'OMj
стремятся к нулю, следовательно, cos (М^ОМ ) — к единице. Это
обозначает, что в пределе О М х = О М \ т. е. можно считать, что
величина переносной скорости остаётся неизменной. Однако, на
правление переносной скорости не остаётся неизменным; наклонив
шись на угол Да от переносного вращения, она наклоняется ещё до
352
СЛОЖЕНИЕ ДВИЖЕНИЙ
[ГЛ. 2 4
полнительно на угол Др. Соответствующее изменение Аг>з = Л аЛ 3 буде>р
Дг
Дг'з = cor Др = cor — = оДг
(вследствие малости угла ДВ = М !ОМх вместо Др можно взять
М ’М1
tg др: ' ом В таком случае приращение Дг/3, перпендикулярное
в пределе к переносной скорости сог (так как при приближении
Дt к нулю будет стремиться к нулю и Да вместе с ДР), даст ускорение
Дг>3
Дг
W* = u = m -M=°>vr
Это будет вторая половина поворотного ускорения, в пределе пер
пендикулярная к переносной скорости сог, а следовательно, в нашем
случае и к относительной скорости v y . Таким об
разом и в этом случае поворотное ускорение бу
дет равно удвоенному произведению относительной
скорости v y на угловую скорость со и направлено
перпендикулярно к направлению относительной скоро
сти в ту сторону, в которую вращается относитель
ная скорость v v.
3.
Что касается третьей скоро
2 ш
\£ ._______
wg трудно видеть, что для этой скорости поворотное
Фиг. 323.
ускорение будет равно нулю. В самом деле, враща
тельное переносное движение не изменяет направ
ления относительной скорости, перемещающейся в данном случае парал
лельно самой себе. Точно так же и относительная скорость, пере
двигая точку параллельно оси вращения, не изменяет ни величины,
ни направления переносной скорости. Таким
образом обращаются в нуль обе составляющие
поворотного ускорения, и следовательно, если
относительная скорость точки параллельна
оси вращения, то поворотное ускорение бу
дет равно нулю.
Таким образом при вычислении поворот
ного* ускорения имеет значение только перпен
дикулярная к оси вращения z z составляющая
относительной скорости V-. Взгляд на фиг. 323
покажет, что вектор — сумма поворотных уско
рений для составляющих относительной ско
рости v x и v Vi — как видно из подобия пря
моугольников, будет перпендикулярен к скорости v , геометрической
сумме v x и Vy и равен этой последней скорости, помноженной на уд
военную угловую скорость со.
Если через а обозначим угол между осью вращения z z и отно
сительной скоростью v , то перпендикулярная к оси вращения соста
§ 124]
С ЛО Ж ЕН И Е У С КО РЕН И Й
ПРИ НЕПОСТУПАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
353
вляющая скорость v z будет v sin а (фиг, 324), так что полная вели
чина поворотного ускорения будет
<oft = 2 сот»sin а.
Что касается направления поворотного ускорения, то проще всего
определить его так:
у
1 ) спроектировать относительную скорость на плоскость, пер
пендикулярную к оси вращения;
2 ) полученную проекцию отложить своим началом от лежащей
на оси вращения точки;
скорости^°ЖеННЫЙ В0КТОР Умножить на удвоенную величину угловой
4) полученный после умножения вектор повернуть на 90° по на
правлению вращения.
Резюмируя всё вышесказанное, мы приходим к следующему
результату, высказанному Кориолисом в 1837 г.:
Абсолютное ускорение точки разно геометрической сумме
переносного, относительного и поворотного ускорений. причём по
воротное ускорение равно нулю:
1) если переносное движение поступательное;'
2 ) если относительная скорость точки равна в данный момент
нулю и
3) если относительная скорость точки параллельна оси вращения.
ЗАДАЧИ,
115.
Клин А движется, подымая штифт, кончающийся роликом Р и пере
мещающийся в вертикальных направляющих А и В. Определить скорость
Ж 'л ау
vt подъёма этого штифта, если скорость vx клина равна б см/сек, а угол а
равен 27° (фиг. 325).
О т в е т : г>9 = 3,1 см/сек.
116.
Два ползуна А и В движутся навстречу друг другу со скоростям
и и w (и -< гг;) и выдавливают вверх клин С, имеющий форму равнобедрен
ного треугольника с углами при основании, равными углам при вершине
клиньев А и В (фиг. 326). Показать, что скорость v клина С по величине
и по направлению найдётся при помощи следующего построения (фиг. 326):
от некоторой точки О откладываем векторы Оа — и и Ob = w, из получен
ных точек а и b проводим под углом а к горизонту прямые ао и Ьс до
23
Зак. 667. И. Н . Веселовский
[гл .
С ЛО Ж ЕН ИЕ ДВИЖ ЕНИЙ
354
24
пересечения в точке с. Искомая скорость v изобразится вектором, соеди
няющим точку О с пересечением с обоих векторов.
117 Под каким углом а к горизонту должен быть произведён выстрел
с начальной скоростью v0, чтобы снаряд попал в точку В, отстоящую от
орудия О на расстоянии ОА = а (по горизонтали) и АВ = Ь (по вертикали)
(фиг. 327).
Указание. Исключить время t из уравнений движения брошенного тела:
x = v0 ( c o s а и у = v0 t sin а — 1/2gi2f положив х = а, y = b .
О т в е т : Искомый угол а определяется из уравнения
.
‘g2 “ - - ^ tg “ + ( 1 + ^ r ) = 0Если корни этого уравнения действительные, то имеем два возможных угла
встречи а, соответствующих навесной и настильной траекториям полёта снаряда;
если корни мнимые, то цель лежит вне
пределов досягаемости орудия; выразив,
что корни этого уравнения равны, по
лучим соотношение, которому долж, ^
^
8
Фиг. 328.
Фиг. 327.
ны удовлетворять координаты а и Ъ точки В , чтобы последняя лежала на
пределах досягаемости орудия, так называемой параболе безопасности.
118 Координаты движущейся точки (в сантиметрах) заданы уравнениями:
.
х = 3 cos
/,
у = 4 sin
t.
Определить скорость и ускорение точки в моменты, соответствующие
/ = 0 и * = 1 секундам.
О т в е т : При t = 0 vx= О,
vv = 2%= 6,28 см!сек,
Зтс2
wx = ------ - = — 7,5 см!сек2, w v = 0,
При t = \ v x = — — 7Г= - *4,71 см!сек, Ру = 0,
wv = —
— 10 см/сек2.
119 Кулиса АВ движется в образующих КК и LL; внутри её имеется
прорезь, в которой ходит ползушка М, прикреплённая шарниром к стержню
ОМ длиной а = 10 см, вращающемуся вокруг неподвижной точки О, делая
6 оборотов в минуту. Определить скорость v вертикального перемещения
кулисы АВ в тот момент, когда стержень образует с верти к^ью угол 30°
.
w x = С,
О т в е т : v = аи sin 30° == 3,14 см/сек.
120 Найти сумму гармонических колебаний
.
x t = 4 cos ^
Ответ:
х 2 = 4 cos ^ izt + ^ j .
х = 8 cos ^ cos {^zt -j- ^ тс j .
§ 125]
П Л О С К О П А РА Л Л ЕЛ ЬН О Е
355
ДВИЖ ЕНИЕ
121. Сложить гармонические колебания
^ = 6 c o s ( |< + ^ ) , д-2 = 4 cos ( f ; + £ ) .
О т в е т : х = 10 cos ^ t -f ~ j .
122. Сложить гармонические колебания
дг1 = 6 c o s ( y / + - j ) , лг2 = 6 cos ( у ^ +
y
).
О т в е т : Покой.
123. Точка А равномерно движется со скоростью v по окружности
радиуса R, вращающейся с угловой скоростью <о вокруг оси, проходящей
через центр окружности и перпендикулярной к плоскости последней. Опре
делить ускорение в абсолютном движении этой точки непосредственно, зная,
что точка в абсолютном движении движется по окружности радиуса R с абсо
лютной скоростью v ± <1>Я, а также разлагая его на переносное, относитель
ное и поворотное ускорения. Разобрать случаи, когда скорости v и оR на
правлены в одну и в разные стороны.
124. Точка А движется равномерно со скоростью v по диаметру диска,
вращающегося со скоростью о>. Как меняется поворотное ускорение этой
точки при перемещении от окружности к центру? Тот же вопрос для лётчика,
летящего со скоростью v по меридиану от экватора до полюса (угловая
скорость вращения земли равна а>).
О т в е т : В первом случае поворотное ускорение постоянно и равно 2<i>ti;
во втором случае оно выражается формулой 2a>t/sin9 , где ср— широта место
нахождения лётчика (на экваторе поворотное ускорение равно нулю, на
полюсе достигает наибольшей величины 2w).
Г Л А В А 25.
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА.
§ 125. П лоскопараллельное движение. Движение твёрдого тела
можно считать известным, если мы можем для каждого момента
времени определить положение движущегося тела. Так как, закрепив
три точки тела, мы тем самым лишаем его возможности двигать
ся, то для определения положения твёрдого тела достаточно за
дать положение любых трёх его точек, не лежащих на одной
прямой.
Рассмотрим один важный частный случай. Пусть твёрдое тело
движется так, что три его точки, не лежащие на одной прямой, во
всё время движения находятся на некоторой неподвижной плоско
сти; такого
рода движение называется плоскопараллелъным.
Пусть А, В , С — три выбранные точки, Р — плоскость, в которой
23*
356
КИНЕМАТИКА
Т В Ё РД О Г О
ТЕЛА
[гл. 25
находятся эти точки во всё время движения (фиг. 329); эта плоскость
образует в сечении с нашим телом некоторую фигуру, которая всё
время движения будет находиться в плоскости Р . Если мы знаем,
как движется эта фигура, то мы сможем определить, как движется
любая точка нашего тела. Действительно, пусть нас интересует какаянибудь точка М нашего тела; опустим из неё перпендикуляр М т на
плоскость нашей секущей фигуры; так как полученный перпендикуляр всё время движения перемещается
параллельно самому себе, то все его
точки будут совершать одинаковые
движения; следовательно, взятая точка
М будет двигаться совершенно так
же, как и принадлежащая нашему се
чению точка т — основание перпенди
куляра М т . Таким образом изучение
движения твёрдого тела мы можем за
менить изучением движения плоской
фигуры в её плоскости.
Пусть О х у — некоторая неподвиж
Фиг. 329.
ная плоскость, в которой движется
плоская фигура М (фиг. 330). Мы
можем задать движение этой фигуры, указав положение двух её то 
чек А и В для различных моментов времени. Следовательно, изучение
движения плоской фигуры в её плоскости сводится к изучению дви
жения отрезка А В У соединяющего две
выбранные точки нашей фигуры.
Положение этого отрезка вполне
определяется координатами Ха, У а ка
кой-нибудь его точки А и углом ср
отрезка А В с неподвижной осью О х.
Проведём через точку А две прямые
AD и А Е , перемещающиеся вместе с
точкой. А , но остающиеся всё время
движения параллельными выбранным
координатным осям О х и Оу\ тогда
относительно плоскости, определяемой этими прямыми, фигура
М будет иметь только вращательное движение вокруг центра А , в то
время как сами прямые будут перемещаться поступательно.
Таким образом движение отрезка А В мы можем представить себе
состоящим из двух движений: переносного поступательного (пло
скость A D E )9 определяемого движением точки Л, и относительного —
вращения отрезка А В вокруг центра А .
Так как наше переносное движение является поступательным, то
переносная скорость и ускорение в этом движении будут предста
вляться скоростью v a и ускорением w a точки А , являющейся движу
щимся центром вращения. Что касается относительных скорости
П Л О С К О П А РА Л Л Е Л Ь Н О Е Д ВИ Ж ЕН И Е
357
и ускорения какой-нибудь точки В , то они определяются согласно
установленным нами для вращательного движения правилам; если
обозначить их через vba и w b a 9 то скорость и ускорение какойнибудь точки В нашей фигуры определятся по формулам:
v b = v a -1- vba ,
(87)
W b = W a -f- WBA*
(88 )
Относительная скорость Vba перпендикулярна к отрезку А В и равна
произведению этого отрезка на угловую скорость со:
Vba = соA B .
Относительное же ускорение Wba > как ускорение во вращательном
движении, состоит из двух-частей: тангенциального w zB Aи нормаль
ного w nBA ускорений, причём тангенциальное ускорение перпенди
кулярно к отрезку А В и равно произведению длины этого отрезка на угловое
®
ускорение е:
а нормальное ускорение направлено от
В к А и равно произведению квадрата
угловой скорости (о на длину отрезка В А:
Ь
w ”A = со*ВА1
Фиг. 331.
Таким образом мы разложили движение нашего отрезка на по
ступательное и вращательное. В правильности полученного резуль
тата мы можем убедиться из следующих чисто геометрических со
ображений.
Рассмотрим два последовательных положения А 1В 1 и Аф% нашего
движущ егося отрезка А В (фиг. 331). Для того чтобы перевести
отрезок А В из положения А ф 1 в положение А ф ъ мы можем по
ступить так:
1)
Переведём А В поступательным движением так, чтобы точк
А из положения А х перешла в положение Л 2; при этом точка В перей
дёт из положения В х в В ', отрезок А ф ' будет равен и параллелен
А ф х\ отрезок А 1А% = В ф ' — Asa после деления на время А/, в течение
которого имело место перемещение из А ф г в А ф г> определит
скорость поступательного перемещения для точки А :
_Д £а
— д/ >
если считать промежуток времени At достаточно малым.
358
КИНЕМАТИКА ТВ ЁРД О ГО
ТЕЛА
[гл., 25
2) Повернём А В вокруг точки так, чтобы точка В
перешла
из В ' в Я 2; соответствующий
угол поворота будет Д<р иуглова
скорость вращения
До
То же самое перемещение может быть получено и иначе. Пере
ведём сначала наш отрезок А В так, чтобы он, двигаясь поступа
тельно, перешёл из положения А ХВ Х в положение А !В г\ величина
В^В^ — &sb после деления на время Дt даст нам скорость поступа
тельного перемещения для тонки В:
AsB
После этого повернём А В вокруг точки В% так, чтобы А перешла
из А* в В Соответствующий
угол поворота А В гА^ тоже буд
равен Дер, причём не только по величине, но и по направлению вра
щения (в обоих случаях по стрелке часов на фиг. 331); следова
тельно, угловая скорость сод по вращении вокруг В будет:
До
<»В=
=
®Л-
Мы пришли к следующему выводу: при разлож ении плоскопараллельного движ ения на- поступательное и вращательное переноская пост упат ельная скорость ( v a и л и v b ) будет зависеть от
выбора т очки, определяющей поступательное движение (А или В),
в то время к а к у гл о в а я скорость ш вращательного движ ения,
а следовательно и угловое ускорение е будут одинаковы д ля всех
центров (А или В ) вращ ения.
§ 126. Мгновенный центр». Вернёмся к равенству (87). Мы видели,
что скорость любой точки В складывается из скорости, определяю
щей поступательное перемещение точки Л, и вращательной скорости
вокруг Л ..Е сл и скорость точки А в данный момент равна кулю,
то скорость точки В равна скорости вращения отрезка А В вокруг
неподвижной в этот момент точки А . Такая неподвижная в рас
сматриваемый момент точка носит название мгновенного центра для
рассматриваемого момента.
Иногда положение этого мгновенного центра уже даётся самими
условиями движение; например, если какая-нибудь фигура (положим
диск) катится без скольжения по какой-нибудь линии, то точка
соприкосновения движущейся фигуры с линией и будет мгновенным
центром, так как вследствие отсутствия скольжения с к о р о е ^ её будет
равна нулю (но только в тот момент, когда эта точка находится
в соприкосновении).
Пример 125. Катушка радиуса R катится без скольжения по
горизонтальной прямой НН. На средней цилиндрической части
катушки радиуса г намотана нить А В . Зная, что конец В свободного
§ 126]
359
МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР
участка этой нити движется горизонтально со скоростью п, опреде
лить скорость v перемещения оси О катушки (фиг. 332).
В изображённом положении мгновенным центром будет точка
К соприкосновения катушки с прямой ИН. Равная п скорость точки
А катушки будет такой же, как если бы
катушка вращалась вокруг Л"; это позволит
нам определять угловую скорость ш вра
щения катушки; она будет:
После этого скорость точки О опреде
лится по формуле
Vq= (о • О К —
R - r
R.
Фиг. 332.
Пример 123. Механизм редуктора скоростей устроен следующим
образом: быстро вращающийся мотор приводит в движение колесо
/ с неподвижным центром 0 {, находящееся во внешнем зацеплении
с колесом Ну которое, в свою очередь, находится во внутреннем
зацеплении с неподвижным колесом III
и, кроме того, скреплено шарниром
со спарником 0 t 0 2y насаженным на ту
же ось, что и колесо /. Зная угловую
скорость Oj вращения колеса 1 и ради
у су гг и г3 к о л ё с /и //, определить угло
вую скорость со спарника OjOg (фиг. 3 3 3 ).
Сначала находим окружную ско
рость колеса I (точка К):
Vk = (» i ' ОхК = ш1г1*
Так как скорость точки К равна
Фиг. 333.
скорости находящейся на ней в заце
плении точки колеса //, мгновенный центр которого находится в М ,
то угловая скорость со2 колеса II будет:
<0^
оь =
МК
2 г2 •
После этого найдём скорость центра 0 2 колеса II:
яяs~\
СОIГ1
v o%= ш2 • М 0 2 = ~ 2 ~ •
Но точка 0 2 одновременно является концом спарника OjO*, следо
вательно, угловая скорость со последнего будет:
..
*0 .
OiOz
П
1 2 (Гх + Га)
360
КИНЕМАТИКА ТВ ЁРД О ГО ТЕЛА
[гл. 25
Если плоскопараллельное движение плоской фигуры разложено
на поступательное, определяемое движением некоторой точки А , и вращательное вокруг А , то положение мгновенного центра для данного
момента может быть определено, если известны значения угловой
скорости со и скорости Va точки А в рассматриваемый момент.
Пусть (фиг. 334) А — положение центра вращения, VА его ско
рость в данный момент, изображаемая вектором А а. Проведём через А
прямую А х перпендикулярно к направлению
а
скорости v A; эта прямая в переносном дви
жении перемещается параллельно самой себе;
скорости всех её точек одинаковы и равны
v A = A a . Попробуем теперь найти на этой
прямой такую точку С, абсолютная скорость
которой в данный момент равнялась бы ну
лю. Для этого необходимо, чтобы перенос
ная поступательная скорость уничтожилась
относительной вращательной, а это возможно
лишь когда обе эти скорости будут равны
и прямо противоположны. Так как скорость
во вращательном движении^ перпендикулярна
радиусу вращения рассматриваемой точки,
Фиг, 334.
то очевидно, что нужную нам точку мы
можем искать только на прямой А х , проходящей через центр вращения А перпендикулярно к скорости
точки А . Пусть эта точка будет С: расстояние её А С от центра
вращения А определится из условия, что произведение углойой
скорости со на радиус вращения А С должно равняться посту
пательной скорости v A:
toAC = v
откуда
нетрудно видеть, что точку С мы должны искать на той части
нашей прямой А х , для которой направление поступательной пере
носной и вращательной относительной скорости прямо противопо
ложны.
Если известны направления скоростей двух точек движущейся
фигуры А я В , то положение мгновенного центра для соответствую
щего момента времени может быть определено на основании следую
щих соображений.
Выберем точку А за точку, определяющую поступательное пере
носное движение; тогда рассуждение, аналогичное вышеприведённому,
показывает, что искомый мгновенный центр должен лежать на прямой,
проходящей через А перпендикулярно скорости v A этой точки, ъ д ру
§ 126J
361
МГНОВЕННЫЙ ЦЕН ТР
гой стороны, если за определяющую поступательное движение точку
принять другую точку В , то искомый мгновенный центр должен
лежать на прямой, проходящей через точку В перпендикулярно к ско
рости v B этой точки. Таким образом мгновенный центр С совпадает
с точкой пересечения обеих прямых А С и ВС, перпендикулярных к
направлениям скоростей v А и v B.
Пример 127. Прямая линия А В движется так, что её концы А
и В скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым О х и Оу.
Скорость точки А в некоторый момент равна v A. Определить ско
рость точки В , если расстояние А от точки О пересечения обеих
прямых имеет в рассматриваемый момент величину а, а длина А В
равна / (фиг. 3 3 5 ).
Для нахождения мгновенного центра М найдём пересечение пер
пендикуляров A M и В М , которые будут совпадать с направлениями
прямых Оу и О х; если расстояние ОА = а, то ОВ будет
Р — я*.
Зная величину радиуса вращения A M = ОВ, мы определим угловую
скорость ш для соответствующего мо- ик
мента времени:
АМ
У 1* — а* ’
н затем и линейную скорость точки В \
Фиг. 335.
Графически скорость точки В определится так. Пусть vA изоб
разится вектором А а ; угловую скорость со получим, разделив Аа на
величину радиуса A M , т. е. найдя тангенс угла О при точке М в пря
моугольном треугольнике М Аа:
со = tg
Скорость точки В получим, если умножим радиус вращения М Б на
угловую скорость со; для этого достаточно на M B как на катете
построить угол 0 и найти величину второго катета ВЬ; вектор ВЬ даст
величину скорости точки В в том же самом масштабе, в каком мы
строили вектор А а скорости точки А.
П ример 128. Найти мгновенный центр шатуна А кривошипно
шатунного механизма в положении, когда кривошип ОА образует
с прямой О х, по которой перемещается ползушка, заданный угол <р
(фиг. 336).
Так как точка А кривошипа движется по окружности, центр ко
торой находится в О, а скорость ползушки В направлена по пря
мой О х, то искомый мгновенный центр М найдётся в точке М пере
сечения продолжения радиуса ОА и перпендикуляра В М , восставлен
ного к прямой О х в точке её В .
362
КИНЕМАТИКА
ТВЁРДОГО , ТЕЛА
|
[гл .
Пример 129. Две параллельные рейки А В и D E движутся в
противоположные стороны со скоростями v x и v q ( v ^ V q ) . Между
ними зажат диск радиуса а, который катится по каждой из реек без
скольжения (таким образом скорости точек С и F касания этог0
диска с рейками равны соответственно v x и и 2). Определить угловую
скорость <0 вращения диска, а также скорость v 0 перемещения
центра (фиг. 337).
Восставляя перпендикуляры из точек С и F к направлениям их
скоростей, мы йидим, что эти перпендикуляры совпадают; таким об
разом, мгновенный центр будет лежать где-то на прямой CF. Чтобы
определить, где именно, всНомним, что согласно уравнению
его
V = (M
линейные скорости различных точек будут пропорциональны соот
ветствующим радиусам вращения; иными словами, если мы на точках
диаметра C F построим векторы, изображающие скорости рассматри
ваемых точек, то концы этих векторов окажутся на одной прямой.
.Отложив векторы C c = v t и F f — v^iA соединив точки с и / прямой,
мы получаем в её пересечении с диаметром CF точку Л4 , скорость
которой равна нулю; эта точка и будет мгновенным центром для
рассматриваемого момента. Что касается угловой скорости <ю, то она
изобразится тангенсом угла СМс или CFd (если проведём F d парал
лельно j с); тангенс последнего угла будет равен отношению катетов
C d = C c -\-c d = Се -j- / F = v t - f
и CF = 2a; отсюда:
со _
Cd
g y, _
vx -f- v3
2a
.
Скорость точки О, изображаемая вектором Оо, как нетрудно
будет равна:
Действительно
Оо — O N - o N =
- v%.
видеть,
§ 1271
Ц И К Л О И Д А Л ЬН О Е Д ВИ Ж ЕН И Е
363
§ 127. Ц иклоидальное движ ение. Так называется движение ко
леса, катящегося без скольжения по прямой. При этом движении точки
окружности катящегося колеса описывают линии, называемые циклои
дами; тр ае к то р и и то ч ек , лежащих внутри окружности, называются
укороченными циклоидами или т рохоидам и: траектории точек, ле
жащих вне окружности касания (например траектории точек, распо
ложенных на самых краях железнодорожного колеса, обнимающих
рельс), носят название у д л и н ё н н ы х ц иклоид . Форма этих траекторий
не зависит о т т о г о , каким образом дви
жется центр катящегося колеса; будем
предполагать в дальнейшем, что ско
рость движения этого центра постоян
на и равна v 0.
Составим уравнение движения ка
кой-нибудь точки D колеса, расстояние
которой от центра последнего равно р;
радиус колеса обозначим через R ; в
зависимости от того, будет ли р мень
ше, равно или больше /?, мы будем
получать укороченную, обычную или
удлинённую циклоиду. Пусть а началь
ный момент t = 0 центр С колеса находится на оси Оу и переме
щается по прямой С С с постоянной скоростью v 0 (фиг. 338); тогда,,
если в некоторый момент t центр катящегося колеса попал в точку
С \ то отрезок С С будет равен v 0t . Поскольку колесо катится без
скольжения, то
s j A B = ОА = С С
и угол 9 , на который повернётся колесо, мы получим из соотно*
шения:
kj А В = /? 9 = ОА = СС' = v Qt~
откуда
9 = V01
Ц'
Возьмём
теперь на радиусе СО какую-нибудь точку D на рас
стоянии CD — р; в рассматриваемый момент £ эта точка будетнахо
диться в положении D '. Определим координаты х = О Е \ y = ED9
точки D ':
х = ОА — А Е — А В — D 'F — R y — р sin 9 ;
у = А С — C F = R — р cos 9 .
При R = р мы получаем уравнения обыкновенной циклоиды:
x = R (9 — sin 9 ),
у = R (l — cos 9 ),
КИНЕМАТИКА
364
ТВЁРД ОГО ТЕЛА
[гл. 25
Полагая р = 0 , мы получаем прямую линию — траекторию центра С;
увеличивая р, мы получаем волнистую линию, проходящую то выше,
то ниже прямой СС', причём наибольшие отклонения вверх и вниз
от последней будут как раз равны р. При р = R мы получаем обык
новенную циклоиду, образующую в точке касания с рельсом за
острение; при р > / ? в случае удлинён
ной циклоиды это заострение переходит
Ъ‘
в петлю.
v f
Если угол поворота <Р= "^г» т 0 _Угло*
/ К
т
/
вая скорость вращения колеса будет:
* /
А
/
/ \
/
%
1
* Щ7 ° \
m = R'
\
\
°
Зная величину угловой скорости со и
скорости
v Q центра колеса, мы можем
$ /
J
определить скорость любой точки М ко
леса (фиг. 339). Скорость точки М , ле
v/zmMv/луШ/Уу/ш/шт/М
жащей на расстоянии ОМ = р от центра
Фиг. 339.
колеса, будет равна сумме двух скоро
стей: переносной скорости M L = v 0 и
относительной скорости М К , перпендикулярной к ОМ и равной
о • ОМ, где со будет угловая скорость вращения колеса, связанная
с v 0 соотношением
г>0 = со/?.
\
\
Абсолютная скорость точки М изобразится вектором М т , равным
геометрической сумме М К и M L. Рассмотрим треугольники МЮ п
и А О М ; в этих треугольниках:
М К = сор = со • О М г
M L = v 0 = <i)R = со « ОА .
Мы видим, что
МК
ML
ОМ
ОА •
С другой стороны, вследствие перпендикулярности ОМ щ М К ,
ОА и К т получается, что угол М К т равен углу М О А ; это значит,
что треугольники А О М и М К т подобны. Из подобия этих треуголь
ников следует, что, во-первых, M m Перпендикулярно к A M , во-вторых,
М т : А М = М К :О М .
Поскольку же последнее отношение равно со, то
M m — v M = со . A M ,
§
127J
Ц И КЛ О И Д А Л ЬН О Е Д ВИ Ж ЕН И Е
365
т. е. скорость т очки М т акова, к а к если бы всё колесо, кото
ром у принадлеж ит т очка М , вращалось вокруг мгновенного
центра А .
Таким образом скорость точки В , лежащей на верхнем конце
вертикального диаметра А В , будет равна 2v0, т. е. вдвое больше
скорости v 0 центра колеса. Точки, расположенные в верхней части
колеса, движутся гораздо быстрее точек, расположенных в нижней
части последнего. Это на первый взгляд парадоксальное обстоятель
ство нетрудно проверить на опыте; если посмотреть на спицы колёс
проезжающего мимо экипажа или велосипеда, то спицы, расположен
ные в нижней части, будут видны довольно отчётливо, сцицы же
верхней части не видны, так как быстрота их движения настолько
велика, что они не успевают оставить
впечатления на сетчатой оболочке глаза.
Так как скорость движущейся точки
направлена по касательной к описывае
мой ею кривой, то нетрудно видеть, что
касательная к циклоиде в какой-нибудь
точке её М будет перпендикулярна к пря
мой М А , соединяющей эту точку с точ
кой касания А образующего- круга, т. е.
с мгновенным центром для рассматриО
ваемого момента (фиг. 340).
На примере циклоидального движения
можно изучить, каким образом во время движения изменяется положение мгновенного центра. Этот послед
ний, представляющий в случае циклоидального движения точку ка
сания образующего круга с прямой, будет перемещаться и по ко
лесу и по прямой. Траектория мгновенного центра носит название
полодии или центроиды. Если рассматривается движение мгновен
ного центра по отношению к самому движущемуся телу, то полу
чающаяся траектория носит название подвижной полодии; в цикло
идальном движении подвижная полодия представляет окружность
катящегося круга. Если же рассматривается движение мгновенного
центра по отношению к той неподвижной системе отсчёта, по отноше
нию к которой совершается качение колеса, то получающаяся траек
тория носит название неподвижной полодии; в нашем случае не
подвижной полодией является та прямая линия, по которой катится
колесо.
Обратимся теперь к изучению ускорений в циклоидальном дви
жении. Мы видели (формула 8 8 ), что полное ускорение какой-нибудь
точки складывается из переносного ускорения центра вращения и из
относительного ускорения вокруг центра вращения. Если за центр
вращения принять центр колеса, который в нашем случае движется
прямолинейно и равномерно, то переносное ускорение будет равно
нулю и ускорения всех точек будут такими, как если бы колесо
Збб
[гл. 25
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
вращалось вокруг центра О. Так как угловая скорость со есть
величина постоянная, то тангенциальное ускорение будет равно нулю
и единственным ускорением для каждой точки будет ускорение нор,
мальное, направленное к центру колеса; для точек, лежащих на окру^,
кости, это ускорение равно со2/? или
2
тх
таково,
между
прочим
1
будет и ускорение мгновенного центра А.
Точка, ускорение которой в данный момент равно нулю., называется центром ускорений; как показывает рассматриваемый при
мер, центр ускорения обладает некоторой скоростью (в нашем случае
движется прямолинейно со скоростью *ц0), С другой стороны, мгно
венный центр, скорость которого равна нулю, обладает некоторым
ускорением, направленным по нормали к обеим касающимся поло
диям. В этом заключается существенное
отличие между мгновенным и постоянным
центрами вращения; в случае вращения
вокруг постоянного центра последний яв
ляется одновременно и центром ускоре
ний и центром скоростей (его скорость
и ускорение равны нулю), тогда как в
случае вращения вокруг мгновенного
центра центр ускорений и центр скоро
стей (мгновенный центр) не совпадают.
Кроме этого между вращением во
круг неподвижного центра и вращением
вокруг мгновенного центра есть ещё одно
различие» неподвижный центр является
центром всех окружностей, описываемых различными точками вра
щающегося тела, тогда как мгновенный центр не будет даже центром
их кривизны (так называется центр той окружности, дуга которой
может заменить весьма малую дугу рассматриваемой криволи
нейной траектории). Это тем более важно отметить, что, по
мнению начинающих, центр вращения всегда является и центром
той элементарной окружности, которой мы заменяли рассматривае
мую весьма малую дугу кривой, Что это не так, проще всего по
казать на примере.
Определим радиус кривизны обыкновенной циклоиды. Пусть М
(фигу 341) какая-нибудь точка циклоиды, А — мгновенный центр,
С — центр образующего круга в тот момент, когда описывающая
циклоиду точка его окружности находится в М . Нормаль к циклоиде
в точке М проходит через мгновенный центр А ; центр кривизны В
будет находиться где-то на этой нормали. Если через R обозначим
радиус образующего круга, то в рассматриваемом нами случае, когда
центр Собразующего круга движется прямолинейно
и равномерно,
ускорение точки М будет равно со2/? и направлено от М к С. Проек
ция полного ускорения точки М на нормаль даст нам нормальное
§
127}
Ц И К Л О И Д А Л ЬН О Е Д ВИ Ж ЕН И Е
367
ускорение w n. Обозначая угол СМ А через а, будем иметь:
^
о.г\
о АЛЯ
<шп = a>-/?cos.a = er
.
С другой стороны, нормальное ускорение равно квадрату скорости,
делённому на радиус кривизны р:
р—
р
>
так как скорость v точки М равна произведению угловой скорости о>
на расстояние точки М до мгновенного центра А . Сравнивая оба
полученных выражения, имеем
откуда
I
Q >
р= 2AM ,
Т п1)остое построение для центра В кривизны циклоиды.
ы видим, что центр кривизньГ В не совпадает с мгновенным
центром А . Это объясняется тем, что мгновенный центр получается
из рассмотрения скоростей, требующего знания двух последователь
ных положений движущейся точки, тогда
как при определении центра кривизны при
ходится проводить окружность через
т ри последовательные точки. Таким об
разом точность, достаточная для опре
деления скоростей, становится уже недо
статочной при определении ускорений, тре
бующем более детального представления
движения точки.
При изучении циклоидального движе
ния мы считали прямую неподвижной и
окруж ность катящейся по этой прямой.
Посмотрим, что изменится, если мы будем рассматривать движение
с точки зрения окружности, считая её неподвижной, а прямую дви
жущ ейся; такого рода взаимный обмен ролями носит название обраще
н и я движения. При обращении движения скорости меняют своё на
правление на противоположное, центр вращения сохраняет своё по
ложение, но полодии взаимно меняются: подвижная становится не
подвижной, а неподвижная — подвижной. Гораздо более существенные
изменения происходят с траекториями; в то время как в циклоидаль
ном движении точки окружности движутся относительно прямой
по циклоидам, при обращении движения точки прямой относи
тельно окружности движутся по так называемым эвольвентам
(фиг. 342).
Пусть ОA B C -—окружность с центром О и радиусом R ; пусть M N
прямая, перекатывающаяся по ней без скольжения; пусть в начальный
ЧТ0^
368
КИНЕМАТИКА
ТВЕРДОГО ТЕЛА
[гл. 25
момент конец М этой прямой совпадал с точкой А, лежащей
на оси Ох. Посмотрим, каковы будут координаты точки М в тот
момент, когда касание прямой и окружности перейдёт из Л в В,
описав дугу А В , соответствующую углу 9 . Вследствие того что
прямая перекатывалась без скольжения, длина ВМ будет равна дуге
AB — R<? и координаты точки М будут:
л; = О К = ОВ cos 9 -f- ВМ cos (90° — 9) = R cos 9 -f- /?? sin 9,
у = M K = OB sin 9 — B M cos 9 = R sin 9 — R<? cos 9.
Давая 9 ряд последовательных значений, мы можем построить любое
число точек эвольвенты. С этой кривой нам ещё придётся встре
титься при изучении профилей зубчатых колёс.
§ 128. Кардановское движение. В примере 127 мы рассматри
вали движение отрезка прямой линии, концы которого скользят по
двум пересекающимся перпендикуляр
ным друг другу прямым. Это движе
ние носит название кардановского, по
имени исследовавшего его итальян
ского учёного XVI века Кардана, хотя
последние исследования показывают,
что это движение было уже известно
древнегреческим математикам. Разбе
рём более детально особенности этого
движения.
Пусть прямолинейный отрезок А В
скользит своими концами по взаимно
перпендикулярным прямым О х и Оу
(фиг. 343). Мгновенный центр М этого
отрезка мы получили в точке пересече
ния перпендикуляров AM и ВМ к прямым Ох и Оу. Полученная фигура
ОАМВ представляет прямоугольник, в котором диагональ ОМ — А В ;
это показывает, что расстояние мгновенного центра М от точки О пере
сечения прямых Ох и Оу есть величина постоянная; таким образом
по отношению к неподвижной системе отсчёта мгновенный центр
будет перемещаться по окружности, описанной из точки О радиу
сом ОМ = АВ: неподвижная полодия в кардановском движении
есть окружность радиуса АВ.
Так как диагонали прямоугольника пересекаются пополам, то
точка С есть середина и А В и ОМ. Эго показывает:
во-первых, что мгновенный центр М всё время движения нахоАR
дится на одинаковом р а с с т о я н и и о т середины С движущейся пря
мой АВ , таким ооразом подвижная полодия в кардановском двит
жении будет описанная на АВ как на диаметре окружность вдвое
меньшего радиуса, нем неподвижная полодия;
§ 128]
К А РД а й о в с к о е
369
движ ение
во-вторых, поскольку расстояние ОС =
AR
,
середина С движу
щегося отрезка А В будет описывать окружность вокруг точки О;
мы не стесним свободы движения нашей прямой А В , если соединим'
А /?
её середину С с точкой О стержнем ОС неизменной длины - j - , как
показано на фиг. 344; заставляя ОС делать полный оборот вокруг
О, мы сможем добиться, чтобы мгновенный центр М описал всю
окружность неподвижной полодии. В положе
нии, когда отрезок А В стоит вертикально,
мгновенный центр находится в точке А 0 не
подвижной оси Оу и в конце А движущейся
прямой А В (фиг. 343); когда же А В займёт ( В’ (
горизонтальное положение О В0, то мгновенный \ 1 ^\/ / 0 ) В )
центр будет находиться в точке В 0 неподвиж \ 1
ной оси О х, совпадал с концом В движущего
/Р
ся отрезка г А В . В промежуточных положе
ниях мгновенный центр М будет перемещаться
^Фиг. 344.
по неподвижной плоскости, совпадая последо
вательно со всеми точками дуги А 0Л1В0, в то
время как на подвижной плоскости он опишетполуокружность
АА1В.
Поскольку
длина дуги А^МВ^ неподвижной полодии
равна длине дуги А М В подвижной, то рассматриваемое движение
может быть представлено как качение без скольжения подвижной
полодии — окружности О А М В — внутри большей окружности — непо
движной полодии. Этот результат является частным случаем более
общей теоремы Пуансо, которая гласит, что непрерывное движение
плоско й фигуры по неподвижной плоскости может быть получено
в результ ат е качения без скольж ения подвижной полодии по
неподвиж ной.
Действительно, пусть М 0 и М х суть места мгновенных центров
на неподвижной плоскости для двух бесконечно близких друг другу
моментов времени t 0 и t x (фиг. 345), а Л4'0
и М \ суть положения мгновенных центров на
плоскости движущейся фигуры для тех же
самых моментов; отрезки М 0М 19 М \М \ суть
весьма малые элементарные
дуги неподвижной
и подвижной полодий. В момент t0 элементар
ное движение плоской фигуры сводится к вра
Фиг. 345.
щению вокруг точки, в которой совпадают
точки М 0 и М'0 обеих полодий; это беско
нечно малое вращение должно привести к совпадению точки М \
и М и после чего Элементарное вращение для следующего мо
мента t x будет происходить уже вокруг центра М х на неподвиж
ной и А1\ на подвижной плоскостях. Так как смена мгновенных
центров происходит в результате вращения вокруг мгновенного
\
У
24
Зак. 667. И. Н . Веселовский
370
КИНЕМ АТИКА ТВ ЁРД ОГО
ТЕЛА
[гл . 25
центра для первого момента, то отрезки М 0М 1 неподвижной и М \ М\
подвижной полодий будут равны; поскольку же мы можем раз
ложить обе полодии на пары равных друг другу весьма малых
отрезков, то будут равны между собой и представляющие их суммы
дуги обеих полодий; из равенства же дуг следует, что подвижная
полодия будет прокатываться по неподвижной без скольжения.
Рассмотрим траектории различных точек движущейся прямой в
кардановском
движении (фиг. 346). Точки А и В движутся
по прямым, точка С — сере
дина отрезка А В — описывает
окружность; что касается дру
гих точек отрезка, например,
точки М , расстояния которой
от концов равны А М = а и
M B = bt то она опишет во•Д
круг О эллипс с.центром в О,
главные оси которого будут —
по оси О х отрезок ОЕ = а , а
по оси Оу отрезок OD = b .
Это свойство кардановского
движения и применялось как
древними математиками, так
и математиками эпохи Возрождения для черчения эллипса непрерыв
ным движением при помощи так называемого эллипсограф а, схема
которого изображена на фиг. 346*). Он состоит из двух взаимно
перпендикулярных направляющих линеек О х и Оу, по которым
скользят концы А и В линейки А В , приводимой в движение стержАВ
нем ОС длины
, закреплённым в О и С шарнирами; когда стер
жень ОС сделает полный оборот, то карандаш, помещённый в какойнибудь точке
М 9 опишет эллипс с полуосями А М = а, В М = Ь;
если точка М находится между С и В , то получаются эллипсы,
вытянутые в направлении оси О х \ при положении М между А и С
будут вычерчиваться эллипсы, вытянутые в направлении оси Оу.
Пусть кривошип О С = а вращается с постоянной угловой скоростью
ш против
стрелки
часов ивначальный момент ^ = 0 совпадает
А) Опустив из точки М перпендикуляр МК на ось Ох (фиг. 346J и
обозначив через <р равные углы БОС и ОВС, мы найдём:
х = OK = AM cos ОБА = a cos ср,
у = КМ = ВМ sin ОБА = b sin ср;
определив из этих равенств sin ср и cos ср, возводя их в квадрат и приравни
вая сумму квадратов единице, приходим к хорошо известному в высшей
математике уравнению эллипса:
х2
,
§ 128]
К А РД А Н О В С К О Е Д ВИ Ж ЕН И Е
371
с направлением оси О х (фиг. 347). Поставим вопрос об определении
скоростей различных точек отрезка А В — 2 а . Из них точка С
совершает равномерное движение по окружности со скоростью
Сс = асо; точка В совершает на прямой О х гармоническое колеба
ние вокруг центра О по закону:
х в = ОВ = ОС cos ср -f- СВ cos ср= 2 a cos со£,
скорость v B и ускорение w B которого по формулам (8 4 ) и (85) § 1 22
^УДУТ
v B = — 2 асо sin соt,
W b = — 2 а со2 cos соt = — аЛхгВщ
Скорости других точек отрезка А В мы могли бы получить при
помощи рассмотренного в примере 127 построения. Для определения
скоростей большого количества точек пользуются следующими двумя
теоремами.
Т е о р е м а 1 Е сли из каж дой точки прямой л и н и и проведём
вект ор, изображаюш>ий величину и направление скорости этой
т о ч к и , то концы всех пост роенны х векторов скоростей распо
лож ат ся на одной прям ой.
Доказательство этой теоремы основывается на том, что скорость
любой точки движущейся фигуры может быть получена в результате
сложения скорости подвижного центра вращения v A и скорости во
вращении вокруг этого центра v BA
VB = VA -\~VBA.
Пусть А В (фиг. 348) будет рассматриваемая прямая, А — точка
её, выбранная за подвижный центр вращения, В и М — какие-нибудь
две другие точки нашей прямой. Мы имеем:
v B = v A -j- v BA= B B ' -j- B 'b ,
v m =
24*
va
-\-vm a = M M ! +
M 'm .
37:2
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО
ТЕЛА
[гл. 25
Пусть
вращение вокруг А совершается с угловой скоростью со,
соответствующей углу 9, определяемому равенством co = tgO; тогда
вращательные скорости Vba и Vma будут:
v BA = А В tg 0 = аВ' tg 9 = B 'b ,
v MA = A M tg 9 = аМ ' tg 9 = М 'т .
Так как В ’Ь и М 'т пропорциональны расстояниям аВ ' и а М ', то
точки а, b, т окажутся на одной прямой; следовательно, и концы
векторов А а , ВЬ = А а -}- B'b, M m — А а -J- М 'т ,
представляющих
скорости точек А , В , М , тоже будут лежать на одной прямой.
Теорема доказана.
Таким образом, если известны скорости двух точек движущейся
прямой, то скорость любой третьей её точки мы найдём, соединив
эту точку с мгновенным центром
и восставив перпендикуляр к полу
ченному радиусу вращения до пере
сечения с прямой, на которой лежат
концы векторов скоростей первых двух
точек. На фиг. 347 так определена
скорость А а точки А , направление
которой перпендикулярно к прямой
А М , соединяющей рассматриваемую
т
точку А с мгновенным центром Ж.
е о р е м а 2. Проекции скоростей д вух точек от резка, взятые
на направление этого отрезка, равны.
й
пй60рема Л6о К0 доказывается на основании того, что скорость
kL
c t l Т0ЧКИ
0Т?еЗКа Л В (фиг- 349> может быть получена
как сумма скорости v A подвижного центра А и скорости v BA во
S T n m S r A
ТЗК КЗК ПОСледняя ск°РОСть будет перпендику
лярна к прямой А В как радиусу вращения В вокруг А то отсюда
и следует правильность высказанного положения:
'
ПРАДЕД = Прддг>д -j- ПрдДУдд = ПрдДУд.
(ggj
На основании этой теоремы мы могли бы найти скорость точки
В при помощи следующего построения (фиг. 3 4 7 )
л е н и е ' п р я З Т ^ - ^ Г ’ ° " ускаем пеР В Д к у л я р се1 на направВ (ВЬ' = Сс') и из точки / /
отрезок Сс откладываем при точке
пересечения с направлением скп™°ТаВЛЯеМ К
перпендикУляР д 0
ВЬ и будет представлять скорость ™очк°и Д.
П0Лученный отРезок
АВ. Так как кри вош и п^О С ^ а вмщ аетс раЗЛИЧНЫХ точек отрезка
то ускорение точки С будет состояв П°тС
Г1Т0ЯН'юй скоростью
иудет состоять только из нормаль-
кА РД А Н О В С К О Е
§ 128)
ДВИЖ ЕНИЕ
373
ного ускорения, равного ш* ОС = <п?а и направленного от С к О
(фиг. 350).
Примем •точку С за подвижный центр вращения: её ускорение
известно и по величине
ипо направлению. Посмотрим
теперь, каковы будут угловая скорость и угловое ускорение во
вращении отрезка А В вокруг М .
Построив мгновенный центр М
и скорость Сс точки С, равную
дсо = ОС *tg&, мы видим прежде
всего из равенства ОС = С М , что
угловая скорость вращения от' резка А В вокруг М , равная
<о
Сс
'мс:
будет по абсолютной величине
равна скорости а> кривошипа, но
по направлению противоположна
Фиг. 350.
ей (центры вращения О и М лежат
по разные стороны от точки С); если вращение кривошипа Ос совер
шается против стрелки часов, то вращение А В будет совершаться
по стрелке часов. Из равенства абсолютных величин скоростей а>
и а/ следует, что и угловая скорость а>' будет величиной постоян
ной; иными словами, угловое ускорение е отрезка А В, а следова
тельно, и тангенциальное ускорение точек А и В во вращательном дви
жении вокруг С будет равно нулю.
Попробуем найти мгновенный центр ускорений прямой А В ; для
этого нам нужно найти такую точку К , принадлежащую плоскости
прямой А В , ускорение которой было бы равно нулю. Мы знаем,
что ускорение точки К равно геометрической сумме переносного
поступательного ускорения w c и относительного ускорения w ^c во
вращении вокруг С:
w K — w c - \ - w KC.
Нетрудно видеть, что такой - точкой будет та точка К содержащей
прямую А В плоскости, которая будет лежать непосредственно над
точкой О. Из условия
__
Wc -j- Wkc = 0
или
___
___
o)‘2CO + <i)'2/CC = 0
следует, что СО = — КС, т. е. точка К должна совпадать с О.
Таким образом мгновенный центр ускорений К будет всё время
Движения находиться непосредственно над точкой О.
Так как ускорение какой-нибудь точки N движущейся фигуры
определяется по формуле ( 8 8 ):
— Wk + WKN,
374
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл . 25
то при w k = 0 м ы будем иметь, что ускорения всех точек прямой
А В таковы, как если бы эта прямая вращалась вокруг центра уско
рений ЛГ. Поскольку во вращении А В угловое ускорение будет равно
нулю, то ускорения различных точек отрезка А В сведутся лишь
к нормальным ускорениям, направленным в точку К (или О); таким
образохм:
w c = о)2 • СО, W a = ф2 • АО, тв. = ф2 • ВО.
Нетрудно видеть, что если от А* В , С мы отложим векторы
А а \ ВЬ', Сс', изображающие ускорения этих точек, то концы а \ Ь \
с' этих векторов расположатся на одной прямой параллельной А В .
§ 129. Сложение вращений вокруг параллельных осей. Пусть
стержень 0 0 ' вращается вокруг центра О по отношению к не
подвижной системе отсчета,, представляемой неподвижным радиуС0 хМ О х (фиг. 351); пусть в данный момент положение вращающегося
стержня характеризуется углом вра
щения <рг и угловой скоростью шР
Пусть сам вращающийся стержень
0 0 ' является неподвижной системой
отсчёта во вращении другого стер
жня О'А, центр которого будет на
ходиться в точке О', а положение
будет характеризоваться углом вра
щения <р2 с радиусом О 'х'; пусть
угловая скорость этого относитель
ного вращения стержня О'А будет
ш.2. Требуется определить центр вра
щения и угловую скорость в движе
нии части плоскости, на которой^начерчен подвижный радиус О'А по
отношению к неподвижной системе отсчёта О х; это абсолютное
движение мы можем рассматривать как результат сложения перенос
ного вращения стержня 0 0 ' по отношению к О х и относительного
вращения стержня О'А по отношению к О 'х'.
Каждая точка В плоскости К У на которой начерчен подвижный
радиус О'А, обладает переносной скоростью v x =
ОВ и относи
тельной скоростью
= щ * 0 'В ; скорость этой точки В будет
равна нулю, если переносная и относительная скорости будут равны
по величине и прямо противоположны по направлению. Из условия
равенства величин переносной и относительной скоростей мы полу
чаем, что если точка В является мгновенным центром (т. е. абсо
лютная скорость её равняется нулю), то расстояния её ОВ и О' В
до центров складываемых вращений должны относиться обратно про
порционально соответствующим угловым скоростям;
ОВ
o)t .
(90)
§ 129]
С ЛО Ж ЕН И Е
ВРАЩ ЕНИЙ
ВОКРУГ
П АРАЛЛЕЛЬНЫ Х
ОСЕЙ
375
Но переносная и относительная скорости должны быть не только
равны по
величине, но и направлены по одной и той же
прямой; иными словами, радиусы вращения ОВ и О'В тоже должны
быть направлены по одной прямой; таким образом центр абсолют
ного вращения М будет обязательно лежать на одной прямой с цен
трами обоих складываемых вращений. При этом если направления
обоих складываемых вращений одинаковы, то мгновенный центр
абсолютного вращения М будет лежать
между центрами складываемых вращений ai
{фиг. 352, а); если они совершаются в раз
ные стороны, то он должен лежать за
О
центром
вращения,
соответствующим
большей величине угловой скорости (на
фиг. 352, b принято, что угловая скорость Ь)
вокруг центра О9 больше угловой
скорости
вокруг центра О).
q.
Что касается угловой скорости о> аб
Фиг. 352.
солютного движения, то мы найдём её,
если подсчитаем, насколько изменится
за весьма малый промежуток времени At угол ?, который подвиж
ный радиус О'А образует с неподвижной прямой О х. Обозначив
этот угол A L x через 9 , мы будем иметь из треугольника OO'L
<Р= L 0 * 0 L -\- L L 0 ’0 = 9 1 + ? 2Отсюда следует, что изменение Д9 угла 9 за промежуток At равно
будет сумме изменений Д91 и А<р$ за тот же промежуток времени
обоих углов 9 , и 9 *. Но 4
Аог = в>1 At, Д?92= г
At
и, следовательно,
А9 = ( щ
Разделив полученное значение Д9
щ ) At.
на время At, находим величину
абсолютной скорости ф =
ш= а
)
,
(91)
Таким образом угло ва я скорость в абсолютном движении равна
алгебраической сумме угловы х скоростей обоих складываемых
враш,ений.
Рассмотрим частный случай, когда 0 0 ’ имеет постоянную длину I
и обе угловые скорости тоже постоянны или, по крайней мере,
сохраняют постоянным своё отношение.
376
КИНЕМАТИКА
ТВЁРДОГО
ТЕЛА
[гл .
25
Из условий со, • ОМ = оз2 • О'М и 0 0 ' = 1 будем иметь, что
расстояния мгновенного центра ОМ и O'М от центров складываемых
вращений будут:
ОМ =
0 ' М = . /<0‘
.
Если со, и со2 постоянны, то и расстояния ОМ и О'М тоже будут
постоянными; иными словами, мгновенный центр сохраняет одни и
те же расстояния до центров складываемых вращений, т. е. непо
движная полодия будет окружностью с центром О и радиусом ОМ,
а подвижная полодия — окружностью с центром О' и радиусом О'М.
Это обстоятельство позволяет нам следующим образом осуществить
рассматриваемое движение: возьмём неподвижное зубчатое колесо /
(фиг. 353) с центром О и радиусом ОМ , затем подвижное зубча-
тое колесо II с центром О' и радиусом О 'М , соединим их центры
спарником 0 0 ' и заставим подвижное колесо II перекатываться без
скольжения по неподвижному /, приводя спарник во вращение с угло
вой скоростью со,. Если со, и
имеют одинаковый знак, то оба
колеса надо сцепить внешним образом (фиг. 353, а); если же угловые
скорости разных знаков, то колёса сцепляются внутренним образом,
как показано на фиг. 353, ^ (а>2 <°i) и 353, с (<*>,]> ю2). Получен
ный механизм носит название планет ны х колёс, потому что движе
ние колеса II (вращение вокруг центра О' и обращение вокруг
центра О) почти точно воспроизводит движение планеты, состоя
щее из вращения вокруг своей оси и годового обращения вокруг
солнца.
Полученные правила сложения угловых скоростей (абсолютная ско
рость равна алгебраической сумме составляющих, а центр результи
рующего вращения делит расстояние между центрами складываемых
вращений на части, обратно пропорциональные соответствующим
угловым скоростям) необычайно близки к правилам нахождения
равнодействующей двух параллельных сил, направленных в одну
и в разные стороны; единственная разница заключается лишь в том,
§
129]
СЛО Ж ЕН И Е
ВРА Щ ЕН И Й
ВОКРУГ П АРАЛЛЕЛЬНЫ Х
ОСЕЙ
377
что сила есть векторная величина, в то время как угловая скорость
есть величина алгебраическая — положительная или отрицательная
в зависимости от направления вращения. Мы можем, однако, унич
тожить и эту разницу, если условимся изображать угловую скорость
вектором по следующим правилам:
1 . Длина вектора изображает в некотором масштабе величину
угловой скорости.
2 . Вектор откладывается по оси вращения в ту сторону, с какой
данное вращение представляется совершающимся в положительном
направлении, т. е. против стрелки часов. ,
При таком способе изображения угло
вой скорости правила получения резуль
тирующей угловой скорости в точности
воспроизводят правила сложения парал
лельных сил; на фиг. 354 изображены
построения, соответствующие получению
угловой скорости абсолютного движения
в случае, соответствующем фиг. 3 5 3 , а .
Фиг. 354.
Полученный векторный способ изо
бражения угловой скорости позволит...
нам разобраться в одном частном случае, который мы до сих пор
оставляли в стороне. Пусть 0^ = — со2: вращения совершаются
с одинаковыми угловыми скоростями, но в противоположные сто
роны. Мы получаем так называемую пару вращений, аналогичную
ларе сил статики. Правила получения результирующей угловой ско
рости показывают, что величина её будет равна coj — (— со2), т. е.
нулю, а центр вращения будет делить внешним образом на равные
части отрезок, заключённый мет
ж ду центрами обоих склады
ваемых вращений, т. е. будет
леж ать в бесконечности ана
логично точке приложения, рав
ной нулю, равнодействующей
д ву х сил, составляющих пару.
Докажем следующую тео
рему.
П ара вращений эквивалент
на пост упат ельному движению, скорость которого геометри•
чески изображ ается вектором моментом полученной пары векто
ров, изображ аю щ их угловые скорости.
Пусть точка М принадлежит фигуре, которая в данный момент
совершает два вращения вокруг центров M t и М 2 с угловыми ско
ростями-]-со и — со (фиг. 355), перпендикулярными к плоскости чер
тежа. От вращения вокруг центра М х точка М получает скорость
М т и равную со • М ХМ и направленную перпендикулярно к вектору
М хМ ; от вращения же вокруг центра М % точка М получает
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
378
[ гл . j
скорость М т ^ равную ш • М 2М и направленную перпендикуляр^
к М ^М . Складывая обе эти скорости по закону параллелогра^
мы получаем результирующую скорость М т. Величина и напра^
дение этой скорости определятся из таких соображений.
Возьмём треугольники M tM M 2 и Мт^т. Мы имеем:
М т { = со . M M lt
т 1т = М т 2 = со * /И Ж 2;
таким образом
М т { :т 1т = М М 1 :Л Ш 2.
Кроме того, стороны Мт^ и т хт соответственно перпендикулярны
Сходственным сторонам M tM и М 2М. Это показывает, что обд
треугольника подобны, а следовательно, и третьи стороны Mm и
будут тоже взаимно перпендикулярны и связаны соотноше
нием:
M m = <d • М {М 2.
Таким образом скорость точки М совершенно не зависят от её
положения (в полученное выражение расстояния
и М 2М. совер
шенно не входят); это значит, что скош рость любой точки М будет одна и
та же, равная произведению общей
угловой скорости со на расстояние мег
/
M
___/
жду центрами М х и М ъ а этой ве
личиной как раз выражается величина
момента пары. Далее направление Aim
Фиг. 356.
будет перпендикулярно к плоскости,
содержащей векторы угловых скоро
стей -)-а> и — ш, и идёт как раз в ту сторону от этой плоскости,
с какой направление вращения, указываемое стрелками обоих векто
ров угловых скоростей, представляется совпадающим с направлением
обхода против стрелки часов, т. е. как раз в направлении вы
бранном нами в качестве положительного (фиг. 356); мы видели, что
именно таким образом и изображается в виде вектора момент пары
сил (глава 2 0 ).
§ 130. Примеры. Применяя теорему сложения угловых скоро
стей, нужно твёрдо помнить, как и всегда в теории сложения дви
жений, что одна из складываемых угловых скоростей должна
обязательно принадлежать переносному, а другая относительному
вращению.
Пример 130. Стержень ОА вращается вокруг центра О в вер
тикальной плоскости так, что угол его с горизонтом <р1 равняется а)^.
В точке А к нему прикреплён шарниром другой стержень А В , вра
щающийся в вертикальной плоскости так, что угол его с горизон
том ю2 равняется
Определить угловую скорость со стержня АВ
в абсолютном движении (фиг. 357).
Z
§
130]
ПРИМЕРЫ
379
Применяя к этому случаю теорему сложения угловых скоростей,
мы получили бы, что
СО =
соА - [ - (0 2 .
t
На самом же деле угол <р, который образует с прямой О х напра
вление стержня АВ., будет
откуда угловая скорость в абсолютном движении стержня А В
будет со2.
Противоречие получилось в результате того, что относительное
движение определялось нами не по отношению к вращающемуся
с угловой скоростью coj стержню
ОА, а по отношению к совершаю
щей круговое поступательное дви
жение прямой А х ; это переносное
поступательное движение опреде
ляется движением точки А и ни
коим образом не может влиять на
угловую скорость относительного
вращения.
Что касается мгновенного цен
тра а абсолютном движении, то он будет лежать на прямой ОА
слева от А на расстоянии
d= V
-A- = ^ O A
*>2
°°2
(согласно теории сложения поступательного и аращательного движе
ний, см. § 126), а не на расстоянии
как следовало бы по теореме сложения вращений вокруг параллель
ных осей.
г
П ример 131. Даны два сцепленных между собой цилиндрических
зубчатых колеса / и // радиусов
и /?.2 с неподвижными осями, ш
которы х колесо I вращается с угловой скоростью со4. Найти отно
сительную скорость ш2 колеса II по отношению к к о л е с у / в случае
внешнего и внутреннего зацепления.
Разберём сначала случай внешнего зацепления (фиг. 358). Если ко
лесо 1 вращается с угловой скоростью о)ь то угловая скорость ко
леса II определится по абсолютной величине из равенства
CO^j = ( 02/?2.
Если учесть, что при
внешнем
зацеплении направление вращения
380
[гл. 25
КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА
колеса 11 противоположно направлению вращения колеса У, то угло
вая скорость колеса 11 будет:
Если мы считаем колесо 1 неподвижным, то движение колеса II
представится как результат сложения относительного вращения со
скоростью о)2 по отношению к спарнику Оj 0 2 и переносного вра-
ч
(у
щения спарника ОхО2, совершающегося с угловой скоростью — со,
(по стрелке часов). Согласно теореме сложения угловых скоростей
результирующее вращение будет совершаться по стрелке часов со
скоростью
Rx = 0)^— 0)^
Ш21= — COj — ^ —
В случае внутреннего зацепления (фиг. 359) будем иметь:
I
Rt
«* = + “ 1/5
(знак «плюс» потому, что вращение колеса 11 совершается в ту же
сторону, что и у колеса У). Если мы остановим колесо У, то спар
ник OjOa будет вращаться по стрелке часов со скоростью — <о1 по
абсолютной величине, меньшей чем со2. Результирующая угловая ско
рость колеса /У будет равна разности:
У?1
Ш21 = С
01 Ъ
Аа
0)1 =
0>а — О),.
Таким образом в обоих случаях относительная
будет выражаться одной и той же формулой
скорость <о21
<*>21 =<*>2 — <*>!•
где под о)2 и о), понимаются алгебраические значения
ростей кол5с У и II.
угловых ско
§
130]
ПРИМЕРЫ
381
Тот же результат мы могли бы получить и таким образом.
Относительное движение двух тел не изменится, если сообщить
им одно и то же движение. Сообщим обоим колёсам I и 11 угло
вую скорость <oj колеса 1 в противоположном направлении; тогда
угловая скорость колеса / будет равна нулю, а колесо // будет
вращаться с угловой скоростью
“ 4 + (— <°l) = Щ — “ 1Что касается мгновенного центра вращения в относительном
движении, то он, конечно, будет совпадать с точкой взаимного
касания обоих колёс.
Пример 132. Кривошип ОА вращается вокруг неподвижного
центра с постоянной угловой скоростью ах В точке А к нему шар
ниром прикреплена педаль В С , враща
ющаяся вокруг центра А с той же
угловой скоростью (о относительно
кривошипа, но в обратную сторону.
Определить абсолютное движение пе
дали (фиг. 360).
Выберем в качестве начального мо
мента / = 0, когда линия В С соста
вляла продолжение ОА ; ту линию не
подвижной плоскости, по которой в
этот момент располагались кривошип
ОА и педаль В С , примем за ось О х
неподвижной системы отсчёта. В таком случае переносное враще
ние определится углом А О х = у:
ср= со/.
Примем продолжение кривошипа ОА за ось Оу* подвижной
системы отсчёта; вращение педали ВС относительно этой системы
отсчёта определится углом СДу' = <р1, тоже равным со/;
<Pi = <*>/,
так как в начальный момент / = 0 педаль ВС совпадала с осью О у \
Таким образом всё время движения мы будем иметь
? = ? 1Э
это значит, что педаль всё время движения остаётся параллельной
самой себе, т. е. совершает круговое поступательное движение со
скоростью V==Q) • ОА.
С точки зрения сложения движений мы получаем, что абсолют
ное движение получается в результате сложения двух вращений:
переносного вращения с центром О с угловой скоростью-}-*» и
382
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
относительного с центром А и угловой скоростью — со. Таким
разом мы как раз имеем- дело с парой вращений, которая оказала^
эквивалентной поступательному движению со скоростью и = с о . с ц
равной моменту соответствующей пары вращений.
1
В главе 3 мы рассмотрели соединение зубчатых колёс с нспо,
движными осями;, теперь мы можем рассмотреть более общий случад
так называемого эпициклического зацепления, когда стержень, ^
котором находятся оси зубчаты^
колёс, так называемое водило, ^
является неподвижным, а в свою
очередь вращается с некоторое
угловой скоростью со.
Пусть на водиле 0 t0 4 (фиг.
361) насажен ряд зубчатых колёс
Фиг. 361.
7, 2 3, 4 с центрами в 0 j 0 a0 30 4;
пусть сю-!, ш2, ш3, со4 будут угло
вые скорости этих колёс при неподвижном водиле Из теории зубча
тых зацеплений мы знаем, что угловые скорости колёс 2 У 3 и 4
и т. д. будут
соо = /г9а>1, соя = /м>
ш, = п Lсо
где я 2, /г3, /г4 суть передаточные числа положительные, если напра
вления вращения сцепленных колёс одинаковы (внутреннее зацепле
ние), и отрицательные, если они различны (внешнее зацепление)
Если водило в свою очередь вращается с угловой скоростью со,
то абсолютные скорости колёс будут;
а>А
' = а>1 — со,
a>J = а> — я 2а>г,
0>з~0> -\-П 3Ч > 0)'4 = ( 0 - f
Если в последних частях формул относительную скорость со4 первого
колеса выразить через его абсолютную скорость со'= со- } - то
абсолютная угловая ско
рость k-vo колеса выра
зится следующей формулой;
< = ®+
— ®) (92)
Это так называемая фор
мула Виллиса.
Пример 133. Рама ABC D
вращается с. угловой ско
ростью со вокруг оси АВ]
насаженное на ось А В ко
лесо I радиуса гх неподвижно; оно сцеплено с колесом II радиуса
г2, неизменно связанным с колесом III радиуса г3, могущим вра
щаться вокруг оси CD. Колесо III сцеплено с колесогм IV радиуса
г4, свободно насаженным на ось А В , вокруг которой оно может
вращаться. Определить угловую скорость колеса I V (фиг 362).
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
383
Передаточные числа для колёс II и IV будут:
Л
га
— + п г, •
Так как колесо / неподвижно, то <01 = 0 и угловая скорость колеса I V
будет:
“ '• = * + 5 Й < ° — » ) = • ( !
Пример 134. П арадокс Фергюссона. Вокруг центра Ох может
вращаться рукоятка 0 {0 г, на которой закреплены оси трёх сцеплен
ных зубчатых колёс /, //, III с ра
диусом гь г2 и г3 = г,. Колесо I
неподвижно. Найти угловую ско
рость колеса ///, если рукоятка
вращается с угловой скоростью со
(фиг. 363).
Передаточные числа будут:
Ло = — г—
,
2’
= 4 - — ~гг = -4-* 1.
3
По формуле Виллиса угловая
скорость колеса III будет:
а>з = ш -}- 1 (со; — со)
или, поскольку
= 0 (колесо I неподвижно):
со^ = со — со = 0.
Колесо 111 совершает поступательное движение со скоростью
v = ш . ОхОъ = со (г - f 2 г2 - f г3) = 2 со (г* + г2).
§ 131. Параллелограмм угловых скоростей. Изображая угло
вую скорость в виде вектора, мы получаем возможность доказать
и для угловых скоростей теорему, аналогичную закону параллело
грамма сил.
Пусть данное тело 1 вращается по отношению к другому телу II
вокруг оси ОА; пусть далее эта ось ОА вместе с телом //вращ ается
относительно некоторого тела III, которое мы считаем абсолютно
неподвижным, причём осью вращения служит некоторая прямая ОВ
(фиг. 364). Обе оси пересекаются в одной точке О, которая таким
образом является неподвижной во всех трёх телах. Спрашивается,
каково будет абсолютное движение тела I относительно тела III для
того момента времени, когда оси вращения занимают положения ОА
и ОВ.
384
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[гл. 25
Покажем, что это движение можно представить как вращение
вокруг мгновенной оси, проходящей через точку О, причём, если
векторы ОА' и О В' изображают относительную и переносную угло
вые скорости
и со2 тела I по величине и по направлению, то
угловая скорость абсолютного вращения со изобразится по величине
и направлению вектором ОС — диагональю параллелограмма, построен
ного на векторах угловых скоростей ОА' и ОВ относительного
и переносного вращения.
Для определения оси вращения нуж^о найти две точки, являю
щиеся в данный момент неподвижными. Одна из таких точек у нас
уже имеется — это будет точка О пересечения обеих осей. Покажем,
что в качестве другой такой точки
мы можем взять точку С — ко
нец диагонали ОС параллелограмма
О А 'В 'С , построенного на векторах
сох и со2. Действительно абсолютная
скорость точки С будет равна сумме
переносной и относительной скоро
стей в обоих составляющих враще
ниях. Предположим для определён
ности, что оба вращения соверша
ются по стрелке часов, если смо
треть с положительной стороны
осей ОА и ОВ. Тогда в перенос
ном вращении точка С будет иметь
скорость, перпендикулярную к пло
скости О ВС у направленную на нас
и равную произведению угловой скорости со2 на величину радиуса
вращения £С, перпендикулярного к оси О В, т. е. удвоенной пло
щади треугольника О В1С. Точно так же в относительном движении
точка С будет иметь скорость, перпендикулярную к плоскости ОА С, на
правленную от нас и равную произведению угловой скорости <Dj на
перпендикулярный к оси ОА радиус вращения СК\ это опять даёт
нам удвоенную площадь треугольника ОА С. Поскольку обе пло
щади ОА'С и ОВ'С равны, то значит переносная и относительная
скорости точки С взаимно уничтожают друг друга, так что точка С
является в данный момент неподвижной, определяя вместе с О мгно
венную ось вращения в абсолютном движении.
Мы доказали, что направление вектора абсолютной угловой ск о
рости определяется диагональю параллелограмма, построенного на
векторах относительной и переносной скоростей; покажем теперь,
что и величина вектора абсолютной угловой скорости будет изоб
ражаться длиной диагонали ОС параллелограмма О А 'В 'С .
Обратим внимание на вершину А ' параллелограмма; её относи
тельная скорость будет равна нулю, так что абсолютная скорость
будет равна переносной. Но переносная скорость точки А! будет
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
§ 131]
385
равна произведению со2 на перпендикулярный к оси ОВ радиус враще
ния A 'A I, т. е. удвоенной площади половины О А'В' параллелограмма
ОА 'В 'С . Для того чтобы такая же скорость получилась и в абсо
лютном движении, нужно, чтобы произведение отложенной по оси ОС
пока ещё неизвестной абсолютной угловой скорости со на опущенный
на ось ОС перпендикуляр A 'N равнялось площади параллелограмма,
а это возможно лишь в том случае, когда величина угловой ско
рости со изобразится длиной диагонали ОС параллелограмма.
Пример 135* Диск радиуса г обегает 5 раз в минуту окруж
ность радиуса
с центром в О, оставаясь наклонённым к её пло
а) г.
О
Фиг. 365.
скости под углом ,60°, причём перпендикуляр к плоскости диска
в его центре О' проходит через центр О окружности. Вычислить
угловую скорость со вращения диска вокруг оси 0 0 ', а также угло
вую скорость вращения Q вокруг мгновенной оси (фиг. 365).
Предположим для определённости, что движение диска вокруг
оси Oz будет происходить против стрелки часов, если смотреть
сверху; тогда переносная скорость вращения изобразится вектором o)lf
направленным по оси Oz вверх, относительная же скорость ш2 будет
направлена по оси О'О ; направление же абсолютной угловой ско
рости Q катящегося диска будет совпадать с образующей О М , так
как вследствие отсутствия скольжения точка М диска будет в дан
ный момент неподвижной по отношению к плоскости, на которой
происходит качение диска. Соответствующий треугольник угловых
скоростей построен на фиг. 365, b. Так как угловая скорость
соответствует 5 оборотам в минуту, то мы имеем:
5 • 2тс
тс 1
60
6 сек
Тогда относительная скорость ш2 будет
25
Зак. 667. И. Н . Веселовский
[гл. 25
КИНЕМАТИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
386
Пример 136* Даны два конических зубчатых колеса А и В , оси
которых неподвижны, а углы конусов при вершинах равны соот
ветственно а = 3 0 ° и (3= 60°. Колесо А вращается с угловой ско
ростью соь соответствующей 10 об)мни. Опре
делить угловую скорость колеса В относи
тельно А (фиг. 366).
Предположим для определённости, что ко
лесо А вращается так, что точка С идёт на
нас; тогда угловая скорость coj будет напра
влена от Л к О, если считать за положитель
ное направление вращение против стрелки ча
сов. Направление угловой скорости ш2 колеса В
будет направлено от О к В. Мы можем рас
сматривать эту скорость как абсолютную в дви
жении, состоящем из переносного вращения
колеса А и относительного вращения В по
отношению к А; если считать А неподвижным,
то колесо В будет вращаться вокруг мгновен
ной оси, совпадающей с образующей ОС. Зная
направления всех трёх скоростей и величину
переносной угловой скорости (оь строим треугольник скоростей
(фиг. 366, Ь).
ПрИхменяя к нему теорему синусов, имеем:
.
а
Slny
:Wf
. р
sin 2
sm, а- Ч~ 3
2
<*>21 = ®х * -. а
В нашем случае
—
2к • 10
go—
= 15°,
3 сек1
= 45°;
I - = 30°.
следовательно,
*
У Ъ /У з -
i\
2 ^ 2
2/
7тс
,2 2 — 0 55
*40* "40
7С /рг—
®м = Т3 /у 2А
h7тс
’
1
сек9
1*,46сек-1
Отметим, что, как и в примере 184, относительная скорость
колеса В по отношению к А выражается разностью (но только уже
геометрической) угловых скоростей
=
— ш1#
Пример 137. Диф ф еренциальное зацепление. Коробка В В , вра
щающаяся вокруг вертикальной оси СС, несёт горизонтальную ось А А ,
§
131]
ПАРАЛЛЕЛОГРАММ УГЛОВЫХ СКОРОСТЕЙ
387
на которую насажены два жёстко соединённых конических колеса
радиусов гг и г2. Колесо радиуса гг цепляется с колесом радиуса /?ь
сидящим на вертикальной оси, а колесо радиуса г2 с колесом радиуса
/?2, сидящим на той же оси, но независимым от колеса R t (фиг. 367).
Зная угловые скорости cot и ш2 колёс R 1 и /?2, определить угловую
скорость 9 коробки В В во вращении вокруг оси СС и угловую
скорость (о сателлита гхг2 во вращении вокруг оси А А .
Сателлит rt n2 имеет две неизвестные угловые скорости: переносную 9
и относительную со; далее условия зацепления требуют,, чтобы относи
тельные угловые скорости сателлита по отношению к колёсам
и
были соответственно направлены по образующим О К и OL. Таким обра
зом абсолютная угловая скорость сателлита может быть получена так:
откладываем от точки О векторы Оа = сох и ОЬ = ш2 (полагаем для
конкретности
из точек а и b проводим a d \\O K и b d \\O L
до пересечения в точке d. Из полученной точки d проводим d c \\A A
до пересечения с ОЬ; вектор Ос изобразит переносную скорость 9
сателлита, а вектор cd его относительную угловую скорость со,
ЗАДАЧИ.
125. Внутри окружности радиуса R = 20 см катится без скольжения круг
вдвое меньшего радиуса с центром О. Зная, что О движется равномерно и
описывает полную окружность в 1 секунду, определить скорость точки С
окружности подвижного круга, совпадающей в данный момент с центром
неподвижной окружности (фиг. 368).
О т в е т : vc = 40тс ^ 1 2 6 см)сек.
126. По стержню О Д . вращ ающ емуся вокруг точки О с угловой скоростью
движется поступательно ползуш ка Р со скоростью v . Определить мгновен
ный центр М в абсолютном движении ползушки в указанном на фиг. 369
положении.
О т в е т : Мгновенный центр будет находиться на перпендикуляре, вос
ставленном из центра О к направлению скорости ползушки на расстоянии
ОМ — -(О
<
127. Найти скорость точки А ползушки коихоидографа, перемещающейся
по стержню ОС, вращ аю щ емуся вокруг центра О с угловой скоростью
25*
[гл. 25
КИНЕМАТИКА. ТВЕРДОГО ТЕЛА
388
ю = 1 i /л?*:. если конец А ползушки скользит вдоль прямой АВ, расстояние
Фиг. 369.
Фиг. 368.
Ответ:
Мгновенный центр ' находится в точке Л*. Искомая , скорость
v Аа = о) —
~ — = 0.667 м/сек.
спя2 со
C O S " ср
128. Определить скорость и ускорение точки М шатуна кризошипношатунного механизма, в котором длина шатуна АВ равна длине кривошипа
J
ОЛ = г = 60 см, если расстояние
Л АЛ ------ 9 П
Фиг. 370.
nix
ЛГГТГППЯСТ
гтгпп пгтъ
ття -
Фиг. 371.
129. Решить пример 129 (фиг. 337), если обе скорости
в одну сторону (vt > vs).
и v2 направлены,
130.
Определить подвижную й неподвижную полодии блоков А и В поли
спаста с радиусами гА и гв , предполагая, что обойма С движется поступа
тельна (фиг. 372).
Указание. Учесть, что если v есть скорость опускания конца верёзки,
то скорость движения обоймы С, а следовательно, и центров блоков А и В
будет равна
.
О т в е т : Подвижные полодии суть окружности с радиусами гА и
гв
с центрами соответственно в центрах блоков А и В) неподвижные суть
вертикальные прямые, расположенные с правой стороны от центров блоков
А и В на расстояниях гА и -^тв от последних.
389
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛГЫ
§ 132]
131.
Прямой угол ЛОВ движется таким образом, что стороны его ОА
ОВ всё время движения проходят через две неподвижные точки М, N (рас
стояние AIN = 2 а). Найти подвижную и неподвижную полодии (фиг. 373).
О т в е т : Неподвижная полодия есть окружность радиуса а с центром
в середине D расстояния MN, подвижная полодия есть окружность вдвое
больш его радиуса, проходящая через точку О и имеющая центр в точке С
пересечения перпендикуляров МС и NC к сторонам ОА и ОВ. (Движение
в указанной задаче представляет обращение кардановского
движения.)
132. Показать, что все точки подвижной окружности за
дачи 125 (фиг. 368) описывают прямые линии, проходящие че
рез центр неподвижной окружности.
133. Решить пример 126 (фиг. 333) при помощи формулы
Виллиса.
134. Дифференциальная передача состоит из двух дисков
АВ и CD, центры вращения К и Ь которых находятся на об
щей оси, перпендикулярной к плоскостям этих дисков. Ме
жду дисками зажато колесо EF, ось вращения Ml которого
перпендикулярна к оси KL и составляет с ней одно целое.
О
ф иг. 373 .
Фиг. 372.
Фиг. 374,
Определить угловую скорость
сателлита EF во вращении вокруг оси Ml
а такж е переносную угловую скорость вращения Q оси M l вокруг KL , если
угловые скорости вращения колёс АВ и CD равны соответственно ю1# «ь,
радиусы их одинаковы и равны R, а радиус сателлита EF равен г (фиг. 374).
Указание. В этой задаче нет надобности прибегать к общей теории
дифференциала, изложенной в примере 137. Рассматривая в данный момент
движение сателлита как плоское и используя результаты задачи 125, получаем:
п — ®м — Ш1R +
Ml
2 -R
_
^F
О)! - f С1>2
2
*
EF
К — о>2) R
“
2r
Г Л А В A 26.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ.
§ 132. К инем атические пары . В предыдущей главе мы рассмот
рели движение одного твёрдого тела; но уже и при этом рассмотре
нии нам приходилось ставить вопрос о передаче движения от одного
тела к другому, о связи движущегося тела с другими одновременно
с ним движущимися и так или иначе определяющими его движение.
Если это движение было вполне определённым, то рассматриваемое
390
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ
[гл. 26
тело составляло часть механизма. Вообще говоря, механизмом назы
вается совокупность тел, связанных взаимно так, что при заданном
движении одного или нескольких из этих тел каждое из остальных
имеет вполне определённое движение относительно любого другого.
Понятие механизма есть понятие кинематическое — механизм есть
средство передачи движения; его следует отличать от «машины»
строго динамического понятия. Машина есть средство передача
работы или энергии; так как передача работы тесно связана с п еро
дачей движения, то машина, вообще говоря, является одновременно
и механизмом. Обратное положение не будет справедливым; можно,
например, говорить о механизме часов, приводящем в движение часо
вые стрелки; однако при такой передаче движения совершенно
исключается вопрос о передаче работы — понятие о «часовой машине»
не имеет смысла.
В статике, где рассматриваются вопросы, связанные с переда
чей силы от одного тела к другому, не существует общего по
нятия, соответствующего
кинематическому понятию
механизма
или динамическому понятию машины; правда, рассматривая, напри
мер, ферму, мы отчётливо замечаем, что её роль сводится к пе
редаче силы действия внешних нагрузок на опоры; но понятие о
ферме не является общим понятием; как увидим ниже, кинемати
чески ему соответствует лишь особый класс механизмов — так назы
ваемые шарнирные механизмы.
Передача движения от одного тела к другому достигается
тем, что одно тело постоянно касается другого и опирается на
него. Те части тел, которые постоянно касаются друг друга н
взаимно определяют движение одного тела относительно другого
(стесняют свободу перемещения), называются кинем ат ическим и
n a o v HT Z r L BmCTe СОСтавляют элементарную кинем ат ическую
пару. В статике известную аналогию кинематической паре предста" 1!: Г т Г 5 ИГ УСЛ0ВИЯ' стесняющие « о б о д у перемещения движуще
гося тела. Степень ограничения налагаемого связями на свободу
" Х Мт е л Г Я Т6Ла ИЗМеряется так называемым числом степеней c e l
Числом степеней свободы тела называется число незаригг
мых перемещений, которое может иметь рассматриваемое тело это
понятие является общим как для кинематики, так и для ста^июг
примеров™ МЫ П° СТараемся выяснить из рассмотрения' отдельных
ири^кТма™поСхарактеру со^рикоснГвенм”^ ? 3113 П° раз;1ИЧНЫМ
степеней свободы с о п р ^ м с ^ а д ^ Г Г м с ^ ™ ^ ’ " ° ЧИСЛУ
имя точек, принадлежащих движущемуся телу
ДВИЖ6'
По птрактеру соприкосновения пары делятся на ниччт* „ ...
в первых соприкосновение происходит „ Г ™ . ! низм ие и высшие;
по лннин или даже в точке.
' 9
поверхности, во вторых
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРЫ
391
По области движения различают линейные, поверхностные и
поостранственные пары. В первых каждая точка тела, находящегося
б' соприкосновении, может двигаться лишь по определённой линии,
во вторых — лишь по определённой поверхности, наконец, в третьих
может занимать любое положение внутри некоторого, вообще говоря*
ограниченного объёма.
Представим себе ящик, выдвигаемый из письменного стола или
комода; все точки тела при этом движении описывают прямые линии.
Мы имеем простейшую — так называемую поступательную пару;
эта поступательная пара является низшей линейной парой с одной
степенью свободы, потому что положение движущегося тела может
быть определено одним числом (например, расстоянием какой-нибудь
точки от задней стенки).
В качестве второго примера возьмём колесо, могущее вращаться
вокруг определённой оси, но не могущее перемещаться вдоль этой
оси. Мы имеем вторую простейшую так называемую вращательную
п а р у ; она является низшей, так как оба элемента пары соприкасаются
между собой по цилиндрическим поверхностям; линейной — так как
каждая течка колеса описывает Еполне определённую окружность;
с одной степенью свободы, поскольку положение вращающегося тела
может быть ог1^еделено одним числом — величиной угла между
подвижным и неподвижным радиусами.
Обе рассмотренные пары являются частными случаями более
общей — винтовой пары, примером которой может служить винт,
перемещающийся в гайке. Винтовая пара является низшей (соприкос
новение происходит по винтовым поверхностям), линейной (все точки
винта описывают определённые винтовые линии) и с одной„ степенью
свободы (поскольку поступательное перемещение по оси винта и
вращение вокруг оси тесно связаны между собой, так что, зная одно
из них, можно вполне определить и другое). Если мы представим
себе, что винтовые нарезки будут расположены по образующим
цилиндра так, что вращение вокруг оси будет исключено, то вин
товая пара перейдёт в поступательную, допускающую лишь переме
щение вдоль оси. Если, наоборот, винтовые нарезки распадутся на
ряд колец, расположенных перпендикулярно к образующим (угол
подъёма винтовой линии будет равен нулю), то поступательное движе
ние будет исключённым и наша винтовая пара обратится во враща
тельную.
Все три рассмотренные пары обладают одним важным свойством:
они являются, как говорят, обратимыми. Это значит, что если мы
один элемент пары будем удерживать неподвижным, а другому
предоставим свободу движения, то движение второго будет совершенно
определённым, не зависящим от того, какой именно элемент мы держим
неподвижным. Так точки ящика относительно комода и точки комода
по отношению к ящику будут двигаться совершенно одинаково по
прямым линиям (только в обратную сторону), точки колеса относи
392
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ
[ г л . 26
тельно оси и оси по отношению к колесу будут двигаться по концен
трическим окружностям, наконец точки винта относительно гайки и
точки гайки по отношению к телу винта будут двигаться по винтовым
линиям одинакового шага. Во всех- этих случаях при обращении
движения характер его не меняется, изменяется лишь направление
движения.
Это свойство обратимости имеет место только для низших пар;
в случае высших пар оно уже перестаёт быть верным. В качестве
примера высшей пары мы можем взять движение, определяемое
качением подвижной полодии по неподвижной. Эти две полодии
образуют кинематическую пару: она будет линейной, поскольку
каждая точка подвижной фигуры описывает определённую линию;
она будет иметь одну степень свободы, поскольку положение движу
щейся фигуры может быть определено одним числом, например,
расстоянием, на которое переместился мгновенный центр по каждой
из полодийр но так как соприкосновение между полодиями происходит
лишь в одной точке — мгновенном центре,— то рассматриваемая пара
будет высшей. Рассматривая циклоидальное движение (§ 127), мы
видели, что при обращении движения изменяется вид траекторий;
точки окружности, катящейся по неподвижной прямой, описывают
циклоиды, в то время как точки прямой, обкатывающейся по не
подвижной окружности, описывают эвольвенты. Таким образом пары
высшего порядка необратимы. Относительное движение двух элементов,
образующих высшую пару, кроме качения может быть и скольж е
нием ; например, если бы мы, удерживая мгновенный центр на подвиж
ной полодии в одной и той же точке, стали бы перемещать послед
нюю по неподвижной полодии, то получили бы чистое скольжение
кривой (бывшей подвижной полодии) по другой неподвижной кривой.
Оба эти движения — качение и скольжение — могут иметь место и одно
временно. В качестве примера мы можем разобрать знаменитый
парадокс Аристотеля: «все окружности имеют одинаковую длину».
Возьмём две составляющие одно тело концентрические окруж
ности радиусов ОА и ОВ (фиг. 375). Для нахождения длины окруж 
ности можно прокатить её по прямой и смерить расстояние между
двумя последовательными положениями на этой прямой одной и той
же тськи А катящейся окружности; для окружности с радиусом ОА
эта длина будет А А ', а для окружности ОВ — равная ей длина В В
§
132]
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ПАРЫ
393
Поскольку А А ' = В В ' , то можно сделать вывод, что длина окруж
ности ОА равняется длине окружности ОВ.
Ошибка этого рассуждения станет ясной, если мы обратим внима
ние на то, что при определении длины окружности качением послед
нее должно происходить без скольжения, как это и имеет место для
окружности ОА. Для окружности ОВ длина В В ' состоит из двух
частей — В К , проходимой чистым качением, и К В ' — чистым скольже
нием (только оба движения совершаются не одно после другого,
а одновременно). Если рассматривать точку О как окружность нуле
вого радиуса, то вся прямая 0 0 1 будет пройдена только чистым
скольжением без качения.
Р ассм о трен н ы е нами случаи пар являю тся единственными имею
щ ими в данный момент практи ч еское значение, п оэтом у при изучении
д р у ги х пар мы можем ограничиться лиш ь краткими указаниями
отд ельн ы х прим еров.
П редставим себе, что в теле винта срезана вся нарезка; тогда
п олученны й цилиндр м ож ет иметь в гайке два перемещ ения — вращ е
ние в о к р у г оси и п оступ ательн ое движение вдоль оси, причём в от
личие о т винтовой пары , где взаимная связь поступательного и
в р ащ ател ьн о го перемещ ений устанавливалась при пом ощ и шага винто
вой линии, величины п о ступательн ого и вращ ательного перемещений
м о гу т бы ть теп ер ь выбраны какими угодно соверш енно независимо
одн о о т д р у г о г о . Э то значит, что данная пара обладает двумя степе
нями св о б о д ы . К аж дая точ ка тела винта во время движения будет
п ерем ещ аться по определённой цилиндрической п оверхности: данная
п ара б у д ет поверхностной.
Книга, перем ещ аю щ аяся по столу, даёт нам пример низшей п о
в ер х н о стн о й пары с тремя степенями свободы (лю бое перемещение
тела по п л о ск о ст и всегда м ож ет быть разлож ено на вращ ательное и
п о ст у п ате л ьн о е , причём последнее м ож ет быть в свою очередь р а з
л о ж ен о на два независим ы х прямолинейных поступательны х перемещ е
ния по ко орди н атн ы м осям ); ш ар, вращ аю щ ийся в полой полусф ере,
д а ёт п ри м ер низш ей п оверхностн ой пары тож е с тремя степенями
св о б о д ы (п олож ен и е ш ара м ож ет быть установлено при помощи
т р ё х чи сел: д в у х устанавливаю щ их положений оси вращения на
ш а р о в о й п оверхн ости , наприм ер, при помощ и двух углов аналогично
гео гр аф и ч ески м д о л го те и ш ироте, и третьего определяю щ его угол
вр ащ ен и я ш ар а в о к р у г полученной оси).
Наконец шар, могущий перемещаться внутри полого цилиндра
равного диаметра, даст нам пример кинематической пары высшей (со
прикосновение происходит по линии окружности большого круга),
пространственной (каждая точка может совпасть с любой точкой,
расположенной внутри . цилиндра, ось которого совпадает с осью
неподвижного полого цилиндра, а радиус равен расстоянию взятой
точки от центра шара) и с четырьмя степенями свободы (положе
ние шара устанавливается четырьмя числами: ( 1) положением его
394
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ
1ГЛ- 28
центра, (2) и (3) положением оси вращения и (4) углом вращение
вокруг этой оси). Далее шар, могущий перемещаться между двумя
параллельнымиплоскостями, расстояние
между которыми равц 0
диаметру шара, даст нам пример высшей пространственной пары с
пятью степенями свободы (положение центра теперь будет устаназливаться уже не одной, а двумя координатами) и т. д.
§ 133. К инем атическая цепь. Обычно элементы кинематических
пар (так называемые звенья) участвуют не в одной, а в несколь
ких — по меньшей
мере в двух парах; совокупность ряда таких
звеньев, соединённых между собой кинематическими парами, назы
вается кинемат ической цепью.
Если звенья кинематической цепи совершают плоскопараллельные
движения в'одной и той же или в параллельных плоскостях, то цепь
называется плоской. Наиболее важным приме
ром с точки зрения практики является так на
зываемая плоская ш арнирная цепь, звенья
которой соединены между собой только вра
щательными парами, оси которых перпендику
лярны к плоскости движения. Простейшим приФиг. 376.
мером такой шарнирной цепи является так назы
ваемый шарнирный чет ы рёхугольник (фиг. 376),
представляющий совокупность четырёх звеньев, соединённых между
собой шарнирами; в теории механизмов он играет такую же важную
роль, как простая треугольная ферма, разобранная нами в главе 23,
играет в теории ферм.
Представим себе, что одно звено (например, звено 1) шарнирного
четырёхугольника сделано неподвижным; тогда стержень ВС (фиг., 376)
будет перемещаться таким образом, что точки его В и С будут
перемещаться по окружностям. Эго движе£
I
— К ние стержня В С может- быть осуществлено
/
м ^\
и таким способом: прикрепим стержень ВС
j
/
\
в точке С шарниром к дуге М М радиуса
j JL J
JK
\q
CD, могущей скользить по неподвижной
окружности К К того же радиуса, описанФиг. 377.
ной около центра D (фиг. 377). Предпо
ложим далее, что радиус окружности К К
всё время увеличивается; тогда эта окружность будет всё более и
более приближаться к прямой; если, наконец, центр D этой ок
ружности уйдёт в бесконечность, то и эта окружность и переме
щающаяся по ней дуга М М обратятся в прямые. Звено 4 обращается
теперь в ползушку, и мы получаем четырёхзвенную цепь, в которой
имеются три вращательные пары (Л, В , С) и одна поступательная,
заменившая прежнюю вращательную пару £). Таким образом посту
пательную пару мы можем рассматривать как частный случай вра
щательной, когда соответствующий центр вращения D уйдёт в бес
конечность (фиг. 378),
§ 1331
КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ЦЕПЬ
395
Если при последовательном переходе от одного звена цепи к
другому окажется, что последнее звено соединено в пару с первым
звеном, то цепь называется зам кнут ой. Если замкнутая цепь со
ставлена так, что движение всякого звена относительно любого дру
гого является совершенно определённым,
то такую цепь называют замкнут ой к и 
нематической цепью принуж дённого дви
ж ения. Если одно из звеньев такой цепи
сделаем неподвижным, обратим, как го
ворят, в стойку (или устой), то получим
механизм у в механизме движения всех
звеньев по отношению к неподвижной
Фиг. 378.
стойке будут вполне определены, если
только будет известно движение одного какого-нибудь звена. Таким
образом с этой точки зрения мы приходим к такому определению
механизма:
М еха н и зм есть за м кн ут ая цепь принуж дённого движения, в
кот орой одно звено сделано неподвижным.
Посмотрим теперь, каким условиям должна удовлетворять данная
замкнутая цепь, чтобы из неё можно было получить механизм. Так
как любая поступательная пара может быть рассматриваема как
частный случай вращательной, то для наших целей вполне доста
точно будет рассмотреть лишь систему звеньев, соединённых между
собой шарнирами, примерно такого типа, с которым нам приходи
лось встречаться при рассмотрении статической определимости
фермы; единственная разница будет заключаться в том, что там нам
приходилось исходить от шарнирного треугольника, а теперь точкой
нашего отправления будет простейший ме
ханизм. Таким простейшим механизмом бу
дет шарнирный четырёхугольник, который
мы получим, сделав на фиг. 376 одно звено
неподвижным.
Этот механизм содержит 4 звена и
4 соединяющих их пары. Для того чтобы
получить более сложные механизмы, будем
пристраивать к нему новые звенья попарно
Фиг. 379.
(фиг. 379); если концы новых звеньев при
крепляются шарнирами к одному и тому же звену, то эти до
бавленные стержни вместе с первоначальным образуют жёсткий
треугольник; если же они будут прикреплены к разным звеньям, то
дадут шарнирный четырёхугольник, положение сторон которого
будет вполне определено, если только будет известно положение
одной из его сторон, а в качестве такой всегда можно иметь одну
из сторон первоначального шарнирного четырёхугольника. Присоеди
нение каждых таких двух звеньев 5 и 6 влечёт за собой доба
вление ещё трёх пар (Е } F , G); следовательно, отношение числа пар
396
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ
[гл. 23
без четырёх начальных к числу звеньев без четырёх должно быть равно
О
у . Таким образом, если k — число пар, а п — число звеньев, то мы
имеем
2 {k — 4) = 3 (« — 4),
откуда искомое условие выразится так:
2k — Зя
4 = 0.
(93)
Пользуясь формулой (93), нужно иметь в виду, что в отличие
от того, что мы имели для фермы, где стержни могли соединяться
друг с другом только в узлах, соедини/
В г
£ 3' % тельная паРа может стоять в любом ме£
^ звена и, как правило, соединяет только
два звена; поэтому, если в каком-нибудь
Фиг. 380.
шарнире соединяются три, вообще говоря,
т звеньев, то соответствующий шарнир
надо считать за два, вообще говоря, за т — 1 шарниров.
Применяя эту формулу, следует, однако, помнить, что она даёг
необходимое, но не достаточное условие; на практике мы можем
встретиться с рядом исключений. Таков, например, случай, когда
центры всех вращательных пар А , В , С, D (фиг. 380) расположены
.
по одной прямой; условие (93) удовлетво[
]
ряется, но изображённая система никоим обт|
гЬ
разом не может быть механизмом. Далее
i ;&
^ \к
в изображённой на фиг. 381 цепи, получену т
'
ной из шарнирного четырёхугольника, в кол/ ........... ............... тором две пары В и С заменены поступательными с параллельными осями, услоФиг. 381,
вие (93) удовлетворяется, но цепь не будет
механизмом; действительно звенья 1 и 3
будут в ней неподвижными, а звено 2 может иметь произвольное
движение по вертикали.
§ 134. Шарнирный четырёхугольник и его видоизменения.
Отправляясь от заданного механизма, мы можем строить новые или
пристраивая к нему новые цепи, как мы это делали в построении
фиг. 379, или же видоизменяя входящие в его состав пары. Первый
метод был нами использован при определении условий, когда данная
замкнутая кинематическая цепь может быть механизмом; посмотрим
теперь, что может нам дать второй метод— видоизменение образую
щих пар.
Мы уже видели (фиг. 378), что при помощи замены одной из
вращательных пар через поступательную мы можем шарнирный че
тырёхугольник превратить в новый механизм. Если направление дви
жений новой поступательной пары К К проходит через центр враще
ния стержня /, то мы получаем уже достаточно хорошо нам из
§ 134]
ШАРНИРНЫЙ ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИК И ЕГО ВИДОИЗМЕНЕНИЯ
397
вестный кривошипно-шатунный механизм (фиг. 382, а); если же на
правление движения ползушки 4 не будет проходить через центр
вращения А кривошипа (фиг. 382, £), то мы будем иметь кри
вошипно-шатунный механизм
с дезаксиалом — так называется
расстояние а центра вращения криво
шипа А от линии движения ползушки.
Будем исходить из кривошипно
шатунного механизма (фиг. 382, а); со
ставляющие его звенья имеют специаль
ные названия: так, звено 1 иногда на
зывается «камнем», звено 2 носит
название кривош ипа, звено 3 — ша
т уна и, наконец, звено 4 — ползуш ки.
Рассматривая движение различных ча
стей этого механизма, мы можем лю
бое звено его считать неподвижным, или, как говорят иногда, «по
ставить м еха ни зм на данное звено». На фиг. 382, а механизм
«поставлен» на звено 7. Если мы поставим его на звено 2, и, кроме
того, сделаем длину шатуна 3 меньше длины кривошипа, то по
лучим изображённый ка фиг. 383 механизм так называемого «шеппинга». Когда стержень ВС шеппинга совершает рав
номерное вращение, то стержень А х колеблется око
ло среднего положения АВ; при этом, когда пол
%
6/
Фиг. 383.
Фиг. 384.
Фиг. 385.
зуш ка 4 проходит вне отрезка А В , то вращение происходит
медленно, когда же ползушка проходит А и В, то обратный ход
стержня А х совершается быстро; этим пользуются для того, чтобы
в металлообрабатывающих станках получать медленный рабочий ход
резца и затем быстрый холостой ход, возвращающий резец к исход
ному положению.
Сделав далее неподвижным звено 3 , мы получаем изображён
ный на фиг. 384 механизм паровой машины с качающимся цилин
дром, иногда применяемый для экономии места на пароходах;
наконец, если сделать неподвижной ползушку 4 , то получим изо
бражённый на фиг. 385 механизм, который можно было бы, при
надлежащем подборе длин составляющих его стержней, использо
вать для конструкции насоса. Все эти, казалось бы, совершенно
398
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ
[гл. 26
чуждые друг другу механизмы представляют на самом деле вилоизменение одного и того же механизма, более того, кинематически
представляют одно и то же движение, только рассматриваемое
с различных систем отсчёта.
Если мы заменим ещё одну из вращательных пар поступатель
ной, то получим новые видоизменения шарнирного четырёхугольника.
Если будут заменены поступательными две
соседние (вращательные пары, то получится
механизм, воспроизводящий хорош о нам из
вестное кардановское движение (если только
звено 1 выполнить в виде прямого угла), как
показано на фиг. 386. Если же заменить по
ступательными две противоположные враща
тельные пары, то в результате получится изо
бражённый на фиг. 387 механизм так назы
ваемого конхоидографа; ползушка 3 скользит по стержню 2 , вра
щающемуся вокруг центра Л, а скреплённая с ней шарниром С полвушка 4 скользит по неподвижной прямой, составляющей одно звено
с центром Л* КриЕые, описываемые концами К
и L ползушки 3, суть так называемые конхои
ды — кривые, которые получаются, когда мы на
различных исходящих из точки Л прямых, пере
секающих неподвиж
ную прямую, будем
откладывать от точек
их пересечения с по? следней прямой раз
ные длины С К = C L .
Ш / V
-J*
Видоизменение этого
< гш т т т т % е ш т '
/ >
движения
осущест
7
вляется, между про
м
чим, в нижеследую
Фиг. 387.
щей задаче.
Фиг. 388.
Пример 138. Пря
мой угол А М В дви
жется так, что его конец А скользит по оси Оу, а сторона А1В
проходит через неподвижную точку С, лежащую на оси Олт, удалённую от начала координат О на расстоянии ОС — А М = а. Опре
делить подвижную и неподвижную полодии в движении прямого
угла А М В (фиг. 388).
Мгновенный Центр Р получается в точке пересечения перпенди
куляров А Р а СР к прямым Оу и M B . Мы видим, что точки О,
М , А и С лежат на окружности, построенной на А С как на днаКЗК А М = = О С > то из Равенства треугольников А О С
i i A ; ^ C заключаем 0 Равенстве сторон ОА и М С , углов К С М и
и* наконец* 0 Равенстве А Р и СР. Это позволит заклю-
§
135]
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ
ДИАГРАММЫ
399
члгь, что^геометрическое место точек Р будет парабола с фокусом
в точке С и директриссой О у ') (неподвижная полодия).
Аналогично заключаем, что подвижная полодия (геометрическое
место точек Р по отношению к осям А М Б ) будет тоже параболой
с фокусом в точке Л и с директриссой M B .
Отметим, что эта, казалось бы на первый взгляд совершенно
искусственная, задача имеет практическое применение при вычерчи
вании профилей направляющих для опрокидыва
ющихся вагонеток (фиг. 389). Если точка Л я
/[
/
будет центром тяжести вагонетки и подвижная
полодия будет выполнена в виде связанной с ва/
гонеткой жесткой параболы, то при вертикальном положений оси О х во время перекагызанля подвижной полодии C M D по неподвижной —
J
N M L , выполненной тоже в виде жёсткой паФиг. 389.
рабоды, соединённой с рамой вагона, центр тя
жести вагонетки А будет двигаться по горизонтальной прямой, так
Чао пои опрокидывании вагонетки не потребуется никакой лишней
работы для преодоления тяжести вагонетки,
Г Л А В А 27.
ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ,
§ 135- К инем атические диаграммы . Исследовать какой-нибудь
механизм — значит построить траектории, описываемые его точками,
определить скорости и ускорения этих точек.
Построение траектории какой-нибудь точки обычно совершается
при помощи нахождения ряда последовательных положений этой
точки. Для этого берётся ряд последовательных положений движу
щ егося механизма, отмечается на каждом из них .положение рас
сматриваемой точки, которые затем от руки или при помощи шаб
лонов соединяются плавной кривой; полученная кривая и будет
представлять траекторию рассматриваемой точки.
Вспомним, что для определения скорости и ускорения какойнибудь точки необходимо знать скорость v A и ускорение <wA ка
кой-нибудь основной точки, выбранной в качестве определяющей
поступательное движение тела, которому принадлежит выбранная
точка, а также угловую скорость со п угловое ускорение е этого
тела в соответствующий момент. При помощи этих данных можно
определить по формулам (87) и ( 8 8 ) (см. стр. 357) скорость и уско
рение выбранной точки для того момента времени, которому соот
ветствуют взятые величины скоростей и ускорений. Для определения
скорости и ускорения любой точки з любой произвольно выбран
*) Параболой называется геометрическое место точек, равноудалённых
от какой-нибудь точки (фокуса) и прямой (директриссы).
400
ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
[гл .
27
ный момейт времени нужно знать величины v A, w A, со, е для всех
интересующих нас моментов времени. Это достигается при помощи
так называемых кинем ат ических диаграмм, или графиков v А и w At
позволяющих определить изменение их в зависимости от времени.
Если движение выбранной точки прямолинейное, то достаточно
одной диаграммы; в случае криволинейного движения точки её
движение раскладывается на две составляющих по координатным
осям, как мы это делали в § 121. Таким образом в обоих случаях
приходится в конечном счёте иметь дело только с прямолинейными
движениями, направленными по координатным осям.
Прямолинейное движение будет определено, если мы будем знать,
как изменяется с течением времени расстояние движущейся точки
от некоторой начальной точки, обычно начала координат. Эта зави
симость обычно задаётся графически при помощи так называемой
диаграммы расстояния (5 ) по времени (t), или просто диаграммы
§
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ДИАГРАММЫ
135]
401
s по t (фиг. 390, а). При помощи этой диаграммы мы можем получить
графически и закон изменения скорости с течением времени, если
подвергнем диаграмму s по t так называемому графическому диф
ференцированию. Мы знаем, что величина скорости определяется
тангенсом угла наклона касательной к кривой, проведённой в точке,
соответствующей данному моменту; с другой стороны, в случае
равномерного движения скорость измеряется путём, проходимым
точкой в единицу времени
s = v » h t , или при Д / = 1 просто s = v.
В точках В 0, В {, В ъ . . * , £ 6 (фиг. 390, а), соответствующих моментам
времени / 0, t i \ А х), ^2 (А2), .
(Л 6), проводим касательные к кри
вой расстояний движущейся точки; тангенсы угла наклона этих ка
сательных дадут нам величины скорости движущейся точки в соот
ветствующий момент. Чтобы получить пути, проходимые с этими
скоростями в единицу времени, отложим (фиг, 390, Ь) отрезок 0 0 ',
изображающий в принятом масштабе одну секунду, и будем прово
дить из конца О' этого отрезка прямые О'а0, 0 'а и . . . , 0 'а 6, соот
ветственно параллельные касательным £ 0т0, B tzl9 , , В 6т6; если через
другой конец О проведём прямую Ov перпендикулярно к О'О, то эти
касательные будут отсекать на ней отрезки, равные О'О • tg а = 1 »vt
дающие нам пути, которые были бы пройдены с этими скоростями
в течение одной секунды; эти отрезки содержат столько же единиц
скорости (например м/сек), сколько единиц длины уложится на со
ответствующем отрезке, если отрезок 0 0 ' численно равен 1 секунде;
если же он равен 2 секунда'м, то отрезок, соответствующий 1 м/сек,
в 2 раза больше отрезка, изображающего 1 м на оси Os; если он
равен 1 /2 секунды, то, наоборот, он будет в 2 раза меньше отрезка
в 1 метр на оси Osh Полученные отрезки Оа0, Оаь . . . , Оа 6 отложим
на перпендикулярах, восставленных к оси времён в точках Су, С2,
.. . ,С с, соответствующих точкам А 0,А и . , . , Л 6 на оси времён диаг
раммы 5 по t; отложив на этих перпендикулярах отрезки сф { = Оаи
сФъ = Oa.2 i. , сеЬ6 = Оа 6 и соединив полученные точки плавной
кривой
мы получим кривую, представляющую графи
чески изменение скорости с течением времени, так называемую диа
грам м у скоростей (v) по времени (/).
Так как ускорение равняется пределу отношения ^ при А/, стре
мящемся к нулю, совершенно так же как скорость представляет пре
дел отношения
то, подвергнув графическому дифференцирова
нию полученную кривую a 0&i * . . 6 6, мы получим кривую, дающую
изменение ускорения с течением времени — так называемую диаг
р а м м у ускорений (w ) по времени (<t), или просто диаграмму w по t .
Зная величину и направление скорости и ускорения точки А,
£ также скорость и ускорение (по 7 крайней мере по направлениям)
26
Зак. 667. И. II. Веселовский
402
ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
[гл. 2 ?
для какой-нибудь другой точки В в тот же самый момент, мы см0.
жем определить величины угловой скорости и углового у ск о р ен ^
тела, которому принадлежат точки А и В , а следовательно и опр,/
делить по формулам (87) и ( 8 8 ) величины скорости и ускорения лю,
бой точки этого тела для того же хмомента времени. Это последнее
совершается при помощи так называемых планов скоростей а уасо*
р ен и й ; так называются графические построения, позволяющие опре^
делить для одного момента времени скорости и ускорения всех точек
движущегося тела; в этом заключается их отличие от диаграмм
скоростей и ускорений, которые определяют, наоборот, скорости
и ускорения одной точки для всех моментов времени.
В §§ 13, 29 мы уже строили планы скоростей и ускорений пря
мой линии, проходящей через центр вращения. Скорости и ускоре
ния всех точек такого подвижного радиуса образуют с его направ
лением равные углы (в случае скоростей — прямые, в случае уско
рений— направленные в сторону центра вращения острые углы а,
определяемые из уравнения tg a = A^i где ш и г угловая
скорость
и ускорение); концы всех таких векторов скоростей и ускорений
лежат па одной прямой (фиг. 391 и 392) и, как нетрудно видеть, концы а ,
в
Bf
Ъ, с и а', b; с' этих векторов делят прямые ОасЪ и O d c 'b ' в том же
самом отношении, в каком соответствующие точки А , В , С деляг
подвижной радиус ОА С В . В § 128 (теорема 1) мы показали, что
то же самое будет справедливым и для концов векторов скоростей
всех точек данной прямой (фиг. 348); они будут лежать ма одной
прямой и делить её в таком же отношении, в каком их начальные
точки деляг движущуюся прямую. Нетрудно видеть (фиг. 393), что
то же самое будет справедливо и относительно ускорений: концы
а 'г Ь \ с' векторов А а ’у В Ь \ Сс' лежат на одной примой, причём
а'с' :с о ' — А С : СВ,
Доказательство этого, вполне аналогичное доказательству теоремы
1 § 128, мы предоставляем читателю.
В рассмотренном построении начала векторов скорости или у с 
корения совпадали с самими движущимися точками А , В и С. Однако
§
136]
КРИВОШИПНО-ШАТУННЫЙ
МЕХАНИЗМ
403
существует ещё и другой способ построения планов скоростей и
ускорений движущейся прямой или фигуры; при этом способе начала
векторов скоростей и ускорений находятся все в одной точке О.
Покажем, что те же самые свойства (концы векторов точек прямой
лежат тоже на прямой и делят её в том же отношении, в каком
сами точки делят движущуюся прямую) остаются справедливыми
п при новом способе построения планов скоростей и ускорений.
Возьмём три лежа
щие на одной прямой
точки А, В и С (фиг.
394);
мы
знаем, что '
скорости их v A, v B, v c
перпендикулярны к радиу
сам, соединяющим данные* точки с мгновен
ным центром О, и про- ^
лорционадьны длинам ОА,
О В , ОС. Пусть точка
О, от которой мы бу- Фиг. 394.
Фиг. 395.
дем откл адывать векто
ры скорости, будет мгновенный центр О. Построив Oa = v A9 Ob = v B
Oc = v c > мы легко убедимся, что
фигуре ОА.ВС; действительно
фигура Oabc
будет подобна
О а __ ОЬ_____ Ос______
ОА
ОВ ОС
Ш
и, кроме того, вследствие перпендикулярности: ОА ± Оа, О В ± О Ь ,
О С JL Ос, углы А О В и aOb9 АОС и аОс, ВО С и ЬОс будут равны,
что и доказывает подобие треугольников ОАВ и ОаЬ9 ОАС и ОаС,
а следовательно, и фигур О АВС и ОаЬс9
То же самое будет справедливо и относительно планов ускоре
ний (фиг. 395). Для доказательства нам остаётся только в качестве
точки О взять центр ускорений; кроме того, углы АО ау ВОЬ%СОс
будут теперь не прямыми, а соответственно равными 90°-f-<x, где а
есть острый угол, образуемый направлением ускорения с радиусом
относительного вращения (соединяющим данную точку и мгновен
ный центр ускорений), определяемый из условия;
где ш и е — угловая скорость и угловое ускорение.
§ 136. К ривош ипно-ш атунны й механизм . Исследуем теперь
более детально кривошипно-шатунный механизм. Пусть длина криво
шипа О А — а, длина шатуна А В — b и кривошип вращается равно
мерно с угловой скоростью ш; в таком случае нам уже известны
20 *
404
ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
[гл. 27
скорость v a и ускорение w a конца А кривошипа (фиг. 396). Кроме
того, нам известны направления скорости v b и ускорения w b п о л зушки В : и та и другая будут направлены по прямой О х .
Покажем, что скорость любой точки С шатуна А В может быть
найдена при помощи следующего построения. Продолжаем линию
шатуна А В до пересечения с воеу
ставленным в точке О перпендику-
Фиг. 393.
ляром ОЬ к линии О В , делим АЬ в том же самом отношении, в ка
ком С делит длину А В , и полученную точку с соединяем с О
(фиг. 397); искомая скорость точки С будет равна со • Ос, где со
угловая скорость вращения кривошипа ОА.
Для доказательства строим мгновенный центр М шатуна; если со'
есть угловая скорость последнего, то:
со • О A = va = со' • А М ;
из подобия треугольников ОАЬ и А М В имеем:
АВ
ВМ
АМ
ОЬ : ''АЬ = ОА :
и, следовательно,
Фиг. 398.
vb =
со' • В М — со • ОЬ.
Треугольник ОАЬ мы можем таким образом рассматривать как
план скоростей шатуна А В , в котором все скорости повёрнуты на
90° и уменьшены в со раз. В таком случае соответствующая С
точка с на плане будет делить прямую А В в том же самом отно
шении, в каком точка С делит шатун А В . Таким образом:
v c — iо • Ос.
Кроме того, мы получили формулу, позволяющую определить угло
вую скорость со' шатуна в рассматриваемом положении
ОА
СО =
СО
.
АМ
Покажем теперь, что ускорение любой точки шатуна может быть
найдено при помощи следующего построения (фиг. 398).
1. На шатуне А В как на диаметре строим окружность А К В \
из точки А как из центра радиусом АЬ описываем окружность до
§ 136]
405
КРИВОШИПНО-ШАТУННЫЙ МЕХАНИЗМ
пересечения в точке К с первой полуокружностью; из полученной
точки К опускаем перпендикуляр KL на направление шатуна А В
и продолжаем его .до пересечения в /V с линией О В ; тогда ускоре
ние точки В будет равно со*N 0.
2.
Полученную точку N соединяем с Л и проводим Сс II ОВ;
тогда ускорение точки С шатуна будет направлено от с к О и
равно о)2 . сО .
Действительно, ускорение точки В направлено по ОВ и равно
сумме переносного ускорения точки Л, равного со2 - АО и относи
тельного ускорения точки В во вращении вокруг А . Последнее
может быть разбито на два: а) нормальное ускорение
—
направленное по В А У и Ь) тангенциальное ускорение wt, перпендику
лярное к А В . Относительная скорость v BA будет равна
V3A ==vB — гГд==со Ob — 0 )0 4 = со А 6 = со А~К9
если повернуть все эти скорости на 90° так, чтобы v Ba было бы
перпендикулярно к А В .
Нормальное ускорение в относительном движении будет:
v *ba
©М/С*
з гл
Wn==~ M = ^ Г ==ШL A -
Тангенциальное ускорение wt мы получим, восставив перпенди
куляр L N до пересечения с направлением полного ускорения w B;
оно будет равно о 2 • N L. В таком случае полное ускорение точки В
будет:
w B = W A ^ w n ^ w t = <&1 АО -j-(o 2 Z A -{-<*>2 А Т ,= = < "NO.
После этого, рассматривая треугольник OAN как план ускоре
ний шатуна, легко определим ускорение любой точки С из про
порции
A c :c N = A C :C B ,
откуда и получается выставленное положение.
Отметим, что скорость и ускорение ползушки В могут быть
вычислены и по формуле.
Действительно, в § 123 мы видели, что расстояние ОВ = х пол
зушки может быть с достаточной точностью выражено формулой,
если положить ОА = а и А В = Ь:
x — ( b -{-~ -у-j -f- a cos
cos 2 (оt.
Таким образом мы представили движение ползушки В как резуль
тат сложения двух гармонических колебаний вокруг центра, лежа. , 1 а2
щего на расстоянии я - г у - у от точки
406
ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
[гл .
27
В § 122 мы видели, что, если гармоническое колебание выра
жается формулой
j^r = ac os (со^ —
]—ос),
(83)
то скорость и ускорение в нём могут быть выражены формулами:
v x = — аа>sin (Ы -(- а ),
w x = — аы* cos (а>£ -j- а).
(84)
(85)
Полагая a = 0, а со равным последовательно со и 2<о, мы прихо
дим к следующим формулам, дающим скорость и ускорение пол
зушки В :
i а2
Vb = — acosin со£—
2 °° sin 2о°^
wb =
— a®1 cos Ы — х4
г- 4 со2 cos 2соt.
О
Что касается углового ускорения е шатуна, то оно может быть
определено из соотношения:
откуда
w t= e A B = ^ N L ,
>NL
1А В '
§ 137. Кривошипный механизм с качаю щ ейся кулиссой. Пред
ставим себе пластинку ОС, так называемую кулиссу, с прорезью
по всей её длине, могущую вращаться вокруг
4
центра О. В этой прорези может двигаться
ползушка B f прикреплённая шарниром к стер
жню А В , который вращается вокруг непод
вижной точки А . Если длина кривошипа А В
меньше расстояния А О между центрами вра
щения кривошипа и кулиссы, то кривошип
может делать полные обороты вокруг центра
А (фиг. 399). Равномерное вращение криво
шипа преобразуется в колебательное движе
Фиг. 399.
ние кулиссы, крайние положения которой бу
дут соответствовать моментам, когда криво
шип А В становится перпендикулярно оси кулиссы. Если ОА = а ,
а А В = Ь, то наибольший угол а отклонения кулиссы от среднего
положения ОА определится по формуле
Ъ
sin а — — .
а
Предположим, что кривошип А В вращается по стрелке часов.
Когда конец его В находится выше точки А , кулисса движется
вправо, когда же он проходит под Л, то кулисса идёт влево. С ле
дует отметить, что эти движения кулиссы не будут одинаковыми:
движение кулиссы вправо совершается медленно, влево же гораздо
быстрее. Этим пользуются для того, чтобы провести различие между
§
137]
КРИВОШИПНЫЙ МЕХАНИЗМ С КАЧАЮЩЕЙСЯ КУЛИССОЙ
407
рабочим и холостым ходами; если конец С кулиссы соединён с рез
цом, то во время медленного движения кулиссы последний движется
по обрабатываемой площади; во время же обратного движения этот
резец быстро переносится влево к исходной точке, с которой он
опять начинает своё движение по обрабатываемой детали. Таким
образом достигается экономия времени на холостые хода механизма,
когда резец не совершает полезной работы.
Пусть расстояние ОА = а, длина кривошипа А В = Ь и постоян
ная угловая скорость его вращения со0. Определим, каким обра
зом меняется угловая скорость со и угловое
ускорение е кулиссы в зависимости от угла о
(фиг. 400).
Скорость точки В изобразится вектором
ВЬ = (х>0Ь. Разложим её на ВЬп — относитель
ную скорость
ползушки по стержню ОС —
и В Ь ' — переносную скорость вместе с кулиссой,
равную произведению искомой угловой скорости
со кулиссы на радиус ОВ = s. Если угол А О В = ос,
то из равенства
со0b cos ос = со • ОВ
определяем угловую скорость со кулиссы:
, cos а
“ = <°о6 —Г ~ ;
углы ср, а и расстояние s связаны
уравнением (В К J. ОК).
O K = s cos а = а -j- Ъ cos 9 .
Таким образом
ш — ш f t fl + *cos<|>;
и
:со0&
a -M coscp
•<оп
наибольшие .и наименьшие значения со получаются
и „<р= 0. Они будут:
0)ш а х = %
А В -О К
ОВ2
при
^min = ^ 0 ^ ) 7 5 -
Относительная скорость ползушки v^ — Bb" будет!
v%= со0&sin а.
И з треугольника А О В :
В К = s sin ос= b sin 9 ;
в таком случае
b sin со
:<Р0У — ,
-----v%= со06 -j- b* 4 - tab cos 9
или
AB • BK
V q = Q>,
OB '
:180°
[гл . 2 7
ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
408
Полное ускорение точки В , сводящееся к одному нормальному
—
направленному от В к А , мы можем разложить на
относительное
(по кулиссе), переносное (вместе с кулиссой)
и поворотное Wk. Переносное ускорение будет в свою очередь состоять из тангенциального wt = &• ОВ и нормального
В
Wn = ( ^ 'O B .
Эго разложение изображено на
фиг. 401; из его составляющих нам известны два
ускорения: нормальное
и поворотное
Фиг. 401,
Строим B T = w B, затем В Р = w n и P Q = Wk>
из полученной точки Q ведём QR ± В Р и T R || В Р
до пересечения в точке R ; полученные отрезки QR п R T определят
тангенциальное ускорение wt и относительное w 2.
Мы имеем:
wt = QR — PR — PQ = wq sin (9 — a) — Wk —
2 • АВ* - OK- ВК
= со^ . А В sin (9 — a) — 2 со^
°*
ОВ*
АВ .
t
Отсюда находим угловое ускорение е
Относительное ускорение будет:
о АВ 2 . ОК3
= В Р — В Т cos (9 — a) = со’о
ОВ—
А В cos (9 — a) =
§ 138. Общий случай ш арнирного четы рёхугольника. В за 
ключение разберём несколько задач, касающихся шарнирного четырёх
угольника с одними только вращательными парами.
Пример 139. В шарнирном четырёхугольнике- A B C D дана у гл о 
вая скорость сох звена А В . Определить угловые скорости со2 и со3
звеньев ВС и CD (фиг. 402).
Строим мгновенный центр М звена ВС и проводим А К парал
лельно CD до пересечения в точке К с продолжением стержня В С .
Скорость точки В будет:
v B = сох • А В .
§
138]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ШАРНИРНОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
С другой стороны,
звену ВС . то:
если
рассматривать
её как
409
принадлежащую
-
Vb = сю2 • M B.
Сравнивая оба эти выражения, будем иметь
АВ
1
~мв
•
Из подобия треугольников А В К и М ВС имеем:
А В : М В = В К :ВС
и окончательно:
ВК
ВС
Зная угловую
точки С:
скорость
*
<о2 звена ВС.
определяем
скорость
v c = со2 . М С — о>1 - В К -мс
щ г = о)1 . АК .
Мы получаем изящный приём построения скорости точки С.
Отметим, между прочим, что треугольник А В К можно рассматривать как план скоростей стержня В С , начала которых предпо
лагаются совпадающими с точМ
кой А .
Фиг. 402.
Угловая скорость <о3 стержня CD определится из соотношения;
Vc = щ • М С — ш3 • CD,
откуда
МС
"■л
вк мс
— 2 qD — в С
CD ~
АК
1 CD
*
Наконец скорость точки С в её относительном вращении во
к р у г В по отношению к системе отсчёта движущейся поступа
тельно со скоростью точки В , будет:
vcb — Щ • ВС — соLBK .
Пример 140. Зная угловую скорость соА и угловое ускорение е,
стержня А В , определить угловые ускорения е2 и s 3 стержней ВС
и CD, а также ускорение точки С (фиг. 403). Пусть А В = гд,
410
ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
[гл .
27
В С = г ъ СО = гъ. Полное ускорение точки В сложится из нор
мального w B= ( n 2Lrl9 направленного от В к А , и тангенциального
w f = £iri> перпендикулярного . к А В .
Ускорение точки С мы можем рассматривать как результат сло
жения ускорения w b точки В и двух ускорений: тангенциального
w f c и нормального w BC во вращении С вокруг В . Нормальное
ускорение будет:
где отрезок В К Х строится следующим образом. Проводим А К || DQ
до пересечения в точке К с продолжением звена ВС; строим
B L 1 Jl B C и откладываем B L i — В К ; соединяем L x с С и в точке Lx
к прямой LXC восстанавливаем перпендикуляр L XK X до пересечения
с продолжением ВС (обычное построение третьей пропорциональ
ной). Направление w BC будет от С к В; о тангенциальном ускоре
но
нии wt =
мы можем только сказать, что оно перпендику
лярно к ВС.
Это же самое ускорение Wc точки С мы можем рассматривать
как состоящее из перпендикулярного к CD тангенциального w ct =*
= г 3г3 и направленного от С к D нормальпого w%, равного:
где DK<z определяется аналогичным построе
нием (восставляем перпендикуляр DL% = А К )
из равенства:
CD • DK% = D L\ .
Теперь мы можем перейти к построению
многоугольника ускорений для точки С. От
некоторой точки О (фиг. 404) откладываем
параллельно В К Х вектор Оа = В К х, от его конца откладываем аЪ,
равный и параллельный В А , и наконец перпендикулярно к нему в стоФиг. 404.
рону w f вектор be = - \ - А В ; геометрическая сумма этих векторов
после умножения на о)2 даст нам ускорение точки С, если добавить
к нему пока ещё неизвестное тангенциальное ускорение
перпен
дикулярное к Оа (фиг. 404). После этого из точки О параллельно CD
проводим Od — D Ki и перпендикулярно к нему de до пересечения
с се. Соединяя полученную в пересечении точку е с о, получаем
направление ускорения точки С, величина которого будет
wq =
. Ое.
§ 138]
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ШАРНИРНОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
411
Угловые ускорения е 2 и е3 звеньев В С и CD определятся по
формулам:
• dz
со1 • се
г2
Шарнирный четырёхугольник, в котором противоположные сто
роны равны, но не параллельны, называется антипараллелограммом
(фиг. 405).
Пример 141. Найти полодии' стержня ВС антипараллелограмма
A B C D , поставленного на меньшее звено A D (фиг. 405).
Мгновенный центр стержня В С будет в точке Ж. Соединив А
и С, получим два равных треугольника A B C и A C D t из равенства
которых заключаем, что угол ACD = угл у В А С ,
а следовательно и А М — М С, Таким образом
•M B = А В ,
СЖ + М В = А М
A M + M D = CM -j- M D = CD.
Мгновенный центр М движется так, что суммы
его расстояний как от точек А и D , так и от
точек В и С суть величины постоянные; это обо
значает, что подвижная и неподвижная полодии
стержня В С будут двумя одинаковыми эллипсами
с фокусами в точках В и С, А и D.
Если мы будем считать . неподвижным большое звено А В (или
CD ), то стержни A D и DC, а следовательно и их полодии — эллипсы
будут вращаться вокруг центров А и В (или С и D), находясь
постоянно в соприкосновении друг с другом; при этом согласно
свойству полодий скольжение между обоими эллипсами будет отсут
ствовать. В таком случае мы можем профили обоих колёс сделать
зубчатыми и использовать этот м еха н и зм
э л л и п т и ч е с к и х колёс-ляп передачи вра
щения между осями А и В. При этом,
если одно колесо будет вращаться с по
стоянной угловой скоростью, то другое
колесо будет вращаться неразномерно,
причём его угловая скорость будет коле
баться в довольно широких пределах
аналогично движению шеппинга (§ 134).
П рим ер 142. В шарнирном четырёх
угольнике A B C D с перекидывающимися
стержнями звено A D неподвижно, ззено
А В вращается с постоянной угловой ско
ростью o>j. В том положении, когда А В и CD параллельны, найти
на звене С В точку Ж , которая в данный момент находится на пере
гибе своей траектории (фиг. 406).
412
ШАРНИРНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
[гл .
27
Если точка находится на перегибе своей траектории, то кривизна
сё в соответствующем месте равна нулю — выпуклость сменяется
вогнутостью и траектория точки весьма мало отличается от прямой;
это свойство было использовано Уаттом при построении его прибли
жённого направляющего механизма, теория которого разбирается
в этом примере*.
Поскольку скорости точек В и С параллельны и мгновенный
цецтр звена В С лежит в бесконечности, то в данный момент звено
ВС совершает поступательное движение по направлению, перпенди
кулярному А В и CD. Пусть А В — а, C D = b , угловые скорости
звеньев А В и CD суть соответственно ш1 и ш2; тогда скорость
поступательного движения ВС будет:
г/ = со1а = со2&.
Если o)t постоянна, то ускорение точки В сведётся к нормальному;
оно будет равно
w b = ®\а
и направлено от В к А.
Ускорение точки С может быть, с одной
стороны,полученокак сумма ускорения w B точки В
и тангенциаль
ного ускорения е • ВС в относительном движении стержня В С вокруг
В (нормальное ускорение равно нулю, по-<
С т^н
' скольку равна нулю угловая скорость звена
/Г TVff “7" / wzn
ВС: движение поступательное). От некото
рой точки О откладываем O K = w b = (^\cl
j
и от полученной точки К ведём K L пер
пендикулярно к В С — по этой прямой будет
Фиг 407
направлено относительное (тангенциальное)
иг* '
ускорение точки С (фиг. 407). С другой сто
роны, ускорение точки С может быть полу
чено как результат сложения нормального ускорения О Н точки С звена
CD, равного <ь\Ь и перпендикулярного ему тангенциального ускоре
ния HL\ точка пересечения прямых K L и H L определит нам конец
вектора OL ускорения точки С. Поскольку K L = e • В С , то угло
вое ускорение стержня ВС будет:
KL
КН
_К О +
О Н __ о\Ъ
£
ВС
ВС • cos (90°— <р)
jBCsin<p
£Csin<p *
Если искомая точка М находится на перегибе своей траектории,
то её ускорение должно быть направлено по перпендикулярной к А В
и CD поступательной скорости звена ВС, а конец его должен лежать
на одной прямой с концами векторов w B= O K и w c = OL ускоре
ний точек В и С» Таким образом ускорение точки М мы получим,
проведя из О прямую 01, перпендикулярную к А В и CD; это уско
рение состоит из ускорения точки В — вектора ОК — и тангенциаль-*
§
138]
413
ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ШАРНИРНОГО ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
ного ускорения во вращении вокруг В , равного е • В М и изобра
жаемого вектором KL Таким образом, если положить В М = х и
М С = у , то для определения х и у мы имеем следующие уравнения:
t
rlo мы имели
с=
'
К! = 0К - =
ВМ
х sin 9
х sin о *
*|~Woi
ВС sincp 4
Таким образом по свойству производных пропорций:
р
-[- *&\Ъ __ оу\а
ВС sin 9
л: sin 9
у sin 9 4
Сокращая обапоследние равенства на общий множитель
получаем:
^1
<*2
X
у 9
соАа = (*>.,&,
е. искомые
расстояния точки М от концов В и Сотрезка
Должны относиться как угловые скорости
ВС
X_
У
<”2 "
Но из равенства ш2а = со2& следует, что:
Wj ___ Ь
оз2
а*
Таким образом
х__±
у
а 9
т * е. расстояния искомой точки М от концов стержней А В и DC
Должны быть обратно пропорциональны длинам соответствующих
стержней.
ЗАДАЧИ.
135. Кривошип ОА = а = 30 см вращается с угловой скоростью п =
— 120 об/мин. Зная, что длина шатуна АВ = / = 150 см, определить скорость
ползуш ки в том положении, когда кривошип образует угол а = 30° с напра
влением прямой АВ.
О т в е т : v = 221 см]сек.
136. Тот же вопрос для точки М, лежащей в середине шатуна, когда
у го л а равен соответственно 0° и 90°.
О т в е т : 188 см/сек, 376 см]секш
137. В кривошипно-шатунном механизме с дезаксиалом найти скорость
ползуш ки В в положениях, когда кривошип ОА занимает горизонтальное и
вертикальное положение (9 = 0°, 90°), если угловая скорость вращения кри
Ш АРНИРНЫ Е МЕХАНИЗМЫ
414
[гл . 2 7
вошипа равна 1 у
±/сех, длина кривошипа д = 40 см, длина шатуна £ = 2 0 0 см
и дезаксиал с = 20 см (фиг. 408).
От в е т : 1>о=6,03 см/сек, vf0= 6Q CMjcetc.
138.
В механизме шеппиига составить уравнение относительного движе
ния ползушки В по кулиссе ОС, а также уравнение вращения кулиссы, если
-О ч/т Ш й
Фиг. 409.
длина АВ кривошипа равна ^ р а с с т о я н и е между центрами вращения криво
шипа и кулиссы ОА = а и угол вращения кривошипа ZAB равняется т
(фиг. 399).
О т в е т : s = O B = ] / а 3 - |-£ а -{-2а£ coscd^,
b sin <ot
.
t? 9 = ----------a -j- b cos <i>/
139. В ускорительном механизме (фиг. 339), где £ > д, т. е. кулисса ОС
может делать полный оборот, найти соотношение между угловыми скоро
стями кулиссы со и кривошипа со0 в зависимости от переменного расстояния
OB=.s, а также наибольшую и наименьшую величины угловой скорости о>
кулиссы:
Г*
шо L , £3 — а2\
Ъ
ъ
От в е т : ш= -j- р
р— j ;
^mln=o>o
; < -w = ш0
140. В механизме шарнирного четырёхугольника найти в указанном па
фиг. 409 положении угловые скорости стержней АВ и О^В, если угол
Л 0 £ = 9 О ° , 0 Л = 0 1Д = у Л Я
и угловая скорость вращения стержня ОА
равна 3 ljceK.
шЛ5 ==: 3 ljceK, &0lB = 5,2 1/сек.
14!. В изображённом на фиг. 410 механизме найти скорости точки В
в положениях: 1) когда А лежит на одной линии с 0 iO 2 слева от Ои 2) когда
Ответ:
АВ параллельно O i0 2; 3) когда В лежит на прямой OiOs справа от В . Дано:
ОхА = АВ = 0 2В = 10 см, 010 з = 4 см угловая скорость вращения стержня
0 ^ 4 = 60 об/мин,
О т в е т : 1) vB= 44,9 см/сек; 2) vB~ 62,8 см/сек; 3) ^ = 88 см/сек.
§
13 & ]
КУЛАЧКОВЫ Е
М ЕХАНИЗМ Ы С ПОСТУПАТЕЛЬНЫМ
ДВИЖЕНИЕМ
415
142. Найти наибольшую и наименьшую угловые скорости эллиптического
колеса Я, сцепленного с таким же колесом /, вращающимся с постоянной
угловой скоростью 270 об/мин, если расстояние 0 (0» между црнтрами вра
щений равно 50 см, большая полуось каждого из эллипсоз ЛД = 50 см,
VtA — 40 см (фиг. 411).
От в е т : <ишах = 81 я ‘/еде, <oniin = « xlceic.
ГЛАВА
23.
КУЛАЧКОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ.
§ 139. К улачковы е механизмы с поступательным сдвижением.
Рассмотрим простейший пример механизма с высшими парами. Кулач
ком называется тело, двигающееся поступательно или вращательно,
большей частью с постоянной скоростью и преобразующее своё
Движение в поступательное движение штиф
та, опирающегося на поверхность кулачка.
^ ^
Изучение кулачковых механизмов мы начА \ \Jt
нём с кулачков, движущихся поступатель
ным движением, которые на практике встре
чаются гораздо реже, но теория которых
значительно проще, чем теория кулачков х 0 /
и \д \0 х
с вращательным движением.
Ш Ш Й Щ
'-wTH
П у с т ь по го р и зон тальн ой плоскости х х
с к о л ь з и т тел о , ограниченное с нижней с т о 
Фиг. 412.
р о н ы п л о ск о ст ью 0 0 ', а с верхней цилин
д р и ч е с к о й п о верхн остью ОБО ' (фиг. 412). На верхнюю поверхность
э т о г о тел а, к о т о р о е н оси т название кулачка, опирается движущийся
в н ап р авл яю щ и х К К ш тиф т ММ, К улачок ОБО' движется с постоян
н о й с к о р о с т ь ю v^y тр е б у е тся , зная* ф орм у цилиндрической поверх
н о с т и , о п ред ел и ть движ ение ш тиф та.
П р ед п о л о ж и м , ч то в начальный момент ^ = 0 конец М штифта
н а х о д и л с я ка го р и зо н тал ь н о й плоскости х х и соприкасался с началь
н о й т о ч к о й О кулачка. П оследний при своём движении слеза направо
б у д е т п ри п оды м ать ш тиф т ММ, причём смещение последнего по
о т н о ш е н и ю к го ри зон тальн ой п лоскости х х ,, равное АМ, будет
р а в н я т ь с я о рди н ате А М линии ОБО' поперечного сечения кулачка,
с о о т в е т с т в у ю щ е й абсц и ссе ОА — х . Таким образом закон движения
ш т и ф т а граф и ч ески задан как раз профилем кулачка; нам остаётся
т о л ь к о у стан о ви ть м асш таб э т о г о изображ ения и найти формулу,
в ы р а ж а ю щ у ю закон движ ения ш тифта М.
П у с т ь зависим ость ординаты А М — у от абсциссы ОА = х
в ы р а ж а е т с я н е к о т о р о й ф орм улой
г д е / — символ, к а к о г о -т о
аналитического
выражения, содержащ его
416
КУЛАЧКОВЫ Е МЕХАНИЗМЫ
[гл .
28
переменную величину х и, кроме того, ряд постоянных коэффициен
тов. Ординату у мы можем принять за расстояние s в прямолиней
ном движении точки М по прямой А К . Если в начальный момент
t = 0 конец М штифта совпадал с точкой О, то расстояние ОА — х
было пройдено за время t со скоростью v 0; таким образом
x = v 0t
и закон движения точки М выразится формулой:
* = /(V )>
в которой вместо лг подставлено выражение v 0t.
Пусть, например, профиль 0 3 0 выполнен по параболе, обращён
ной вогнутостью вверх; для неё связь между абсциссой и ординатой
выражается уравнением:
у = а х 2;
в таком случае закон движения штифта М выразится формулой;
s = a v \t
равномерное движение кулачка преобра
зуется в равноускоренное (фиг. 413); в этом
последнем скорость будет выражаться ф о р -1
мулой
v = 2 a v\t,
а ускорение
w = 2av%.
Таким образом, чтобы построить графически закон движения
кулачка, нам нужно на осц абсцисс откладывать расстояния
=
— x = v 0t и в полученной точке А восставлять ординату А В = У ,
соответствующую на профиле кулачка взя
тому значению дг. Надо только помнить, что
на диаграмме 5 по / профиль кулачка о т
кладывается в противоположную сторону по
сравнению с фиг. 412; на последней расстоя
ние х мы измеряли от точки О влево, на диа
Фиг. 414.
грамме же фиг. 414 величины v 0t отклады
ваются от точки О вправо в той последова
тельности, в какой ординаты у подходят под штифт MN^ в посту
пательном движении кулачка слева направо.
Чтобы найти закон изменения скоростей и ускорений в зависи
мости от времени, остаётся только графически продифференцировать
полученную кривую, как это было сделано в § 135.
График скоростей можно построить и непосредственно по п р о 
филю кулачка, без построения диаграммы s по t . Для того чтобы
£ 140]
КУЛА ЧКО ВЫ Е М ЕХАНИЗМЫ
С В РА Щ А ТЕЛЬНЫ М ДВИЖ ЕНИЕМ
417
найтИ величину скорости v , соответствующую заданному моменту t ,
0 преДсляют абсциссу О А = х , равную произведению скорости v 0
движения кулачка на заданное значение t , восставляют перпендикуляр
и в полученной точке В про
филя проводят касательную Вх
(фиг. 415). Пусть она образует
с горизонтом угол а. На диа
грамме v по t от начальной точкИ О откладываем отрезок ОМ
и3ображающий
поступательную
скорость кулачка г>0, и из полу
ченной точки N под углом а про
водим линию N a 1 до пересечения
t
_____ ______
с осью ординат Ov. Полученный
отрезок Оа' и даёт нам величину
скорости v штифта в выбранный
момент t\ остаётся только сме
сти полученный отрезок параллельно оси Ot на ординату ab, соот
ветствующую абсциссе Оа, изображающей выбранный момент t. Со
вокупность полученных таким образом точек Ъ и даст нам кривую
скоростей.
Что касается кривой ‘ускорений, то её можно получить, диффе
ренцируя полученную кривую; однако на практике это приходится
делать редко потому, что большей частью закон
ускорений штифта уже бывает задан и приходится
решать обратную задачу: по заданному закону
ускорений (или, вообще говоря, закону движения
штифта) подобрать профиль движущегося кулачка.
На практике во избежание поломок и порчи
от стирания штифт M N заканчивается не остриём,
а роликом (фиг. 416). Все рассуждения остаются
прежними, только вместо реального профиля В ЬВ
кулачка (фиг. 416) приходится брать теорети
ческий Ь0Ь, который получается как параллельная кривая, удалённая
от В 0В на расстояние, равное радиусу г ролика.
§ 140. К улачковы е механизмы с вращ ательны м движением
(эксцентрики). На практике вместо поступательно движущихся
кулачков гораздо чаще употребляются кулачки с вращательным
Движением, преобразующие равномерное вращение кулачка в посту
пательное движение штифта.
Пусть М представляет остриё штифта M N , наинизшее положение
которого определяется точкой М 0, лежащей на горизонтальной
прямой х х (фиг. 417). Требуется сообщить ему периодическое
Поступательное движение по закону, определяемому графически диа
граммой s по t, изображённой на фиг. 417, Ь. Берём непосредственно
Па продолжении оси штифта точку О — центр вращения кулачка —
27
Зак. 667. И. Н, Веселовский
418
К У Л А ЧК О В Ы Е МЕХАНИЗМЫ
[г л .
28
и описываем окружность радиусом ОМ 0, равным расстоянию д 0
наинизшего положения АГ0 штифта. Период Т делим на некоторое
число равных частей (обычно на 1 2 ) и для каждого из них опреде.
ляем расстояние М 0М конца штифта, изображаемое отрезками t icu
h cs и т - Д* Описанную окружность делим на такое же число
равных частей и напродолжениях радиусов откладываем отрезки
alb1= t 1cu а а&а = ^ с 2, а 3й3 = / 3с3 и т. д., до последнего a>i\bn = t n ciXt
Еслисоединим
полученные точки а(р хЬг . . . Ь п плавной кривой и
сообщим вырезанному по этому
профилю кулачку равномерное
вращение с угловой скоростью
со, определяемой из уравнения
со • Т = 2тс
(так, чтобы кулачок делал за
время периода Т полный обо
рот), то в результате получим периодическое движение штифта по
закону, выражаемому графиком фиг. 417, Ь.
Определим теперь, по какой кривой должен быть вырезан про
филь кулачка для того, чтобы его равномерное вращение преобразо
валось в равномерное же движение штифта.
Для этого, очевидно, необходимо, чтобы равным углам поворота
Дер соответствовали равные приращения вращающегося радиуса Аг.
Соответствующая кривая, известная под именем спирали Архимеда,
построена на фиг. 418.
Если ш и г; суть угловая и поступательная скорости переносного
движения, то
А
А,
Дг = г>Д*,
Д<р = шД*
или, суммируя все отрезки Аг и Дер, получим
r = v t ,
<р= ( <
если в начальный момент Ь О и радиус г и угол поворота о имели
значение, равное нулю. Разделив почленно два полученные равенства
получаем
*
’
т= —
ер.
о\ »
§
140]
КУЛАЧКОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ
С ВРАЩ А ТЕЛЬНЫ М Д ВИ Ж ЕНИЕМ
Так выражается связь между радиусом г и углом поворота ср для
Архимедовой спирали. Обозначив постоянное отношение буквой к ,
мы будем иметь:
r = ky.
(94)
Мы получили уравнение Архимедовой спирали.
Практические применения её очень разнообразны; приведём
несколько из них.
Мы имеем, что при <р= 0 г = 0, а при <р= 2тг г =
таким
образом полному повороту кулачка соответствует увеличение его
радиуса на величину, равную длине окруж 
ности радиуса к; поэтому, подбирая под
ходящим образом значения А, мы могли
бы получать графически длины окружно
стей соответствующих радиусов.
Пусть требуется данный угол ср раз
делить на 3, вообще на любое число п
равных частей (фиг. 419).
Помещаем центр О Архимедовой спи
рали в вершину данного угла и отмечаем
точки А и В пересечения спирали с его
сторонами. Радиусом ОА описываем ок
ружность до пересечения с ОВ и полу
ченный отрезок А 0В делим на столько
равных частей, на сколько требуется раз
делить данный угол ср — в нашем случае на три части. Через полу
ченные точки деления А 19 А 2 радиусами О Аг и ОА2 проводим окруж
ности до пересечения со спиралью и-полученные точки А[А'2 соеди
няем с вершиной О: заданный угол ср разделился на три равные части.
Фиг. 419.
Предположим теперь, что движение штифта должно совершаться
взад и вперёд с постоянной скоростью v так, чтобы кривая рас
стояний имела вид, изображённый на фиг. 420; отрезок Q4P 4 равен
наибольшему перемещению штифта М 0.
На продолжении направления движения штифта берём в произ
вольной точке центр вращения О (фиг. 421) и радиусом ОМ 0, рав27*
420
[гл. 28
К УЛАЧКОВЫ Е М ЕХАНИЗМЫ
ным расстоянию до нижнего положения штифта, описываем окруж
ность. Разделив её на 8 частей соответственно делениям отрезка
ОР8 на диаграмме фиг. 420, откладываем на продолжениях получен
ных радиусов отрезки ахМ г = QXP U а 2М 2 = Q9P9, а3М 3 = Q3P 3 и т. д.;
полученный контур будет состоять из двух симметричных отрезков
Архимедовой спирали М 0М Х . . . М к и М 0 . . . М ЪМ ^
Так как, например, а 1М 1 -(- а9М а = P XQX- f Р бОв =
есть
постоянная величина, то полученный профиль, как говорят, пред
ставляет «профиль равного диаметра»; его можно заключить между
двумя закреплёнными на штифте роликами, рас
стояние между которыми равно величине наи
большего смещения Q4P 4 штифта.
Полученный кулачок носит название серд
цевидного. Его недостаток состоит в том, что
в точках М 0 и М 4 происходит внезапное изме
нение направления скорости, в результате чего
получается удар. Правда, при применении ро
ликов острые углы при М 0 и М к по необхо
димости несколько округляются, но тем не ме
нее при быстром вращении применение этого
кулачка представляет, некоторые
неудобства.
Французский механик Морен для
избежания
этого дал такое очертание профилю кулачка,
что штифт в конце своего хода имеет ско
рость, равную нулю (так называемый эксцент рик Морена). При
егоконструировании Морен исходи'л из условия, чтобы в течение
1 -й четверти периода движение штифта было бы равноускоренным
с постоянным ускорением ®>0, в течение 2 -й и 3 -й четверти равно
замедленным с тем же самым ускорением и, наконец, в течение
последней четверти опять равноускоренным. Таким образом в течение
1-й четверти периода Т скорость меняется от значения х»== 0 до
Т
значения v = w Q-^ по закону:
v = w Qt,
а в течение 2 -й четверти по закону:
v = w oТ — Щ ( t —
Фиг. 422.
— — w№
t,
^
где t меняется в пределах от -Т4 - до ~2Т . Если
в
начальный момент расстояние s равнялось нулю, то в течение пер
вой четверти периода закон движения будет:
КУЛАЧКИ
С ПЛОСКИМ И
ТОЛКАТЕЛЯМ И
421
а в течение второй четверти:
* ь ( т\ %х т г I *
т\
w« ( +
T \ ^ _ w 0Г.
^ в=- 2 Ы + ® 0 Т Г “ Т У “ т 1 ^ “ Т ] — — *
wj * __ w J Z
2----- 16 •
Построенный по этому закону эксцентрик будет иметь вид, изобра
жённый на фиг. 422.
1
§ 141. К улачки с плоскими толкателям и. Иногда в кулачко
вых механизмах кулачки действуют на штифт не через ролик, а при
помощи касания go некоторой прямой или плоскости. Примером
такого механизма может служить изображённый на фиг. 423 круглый
кулачок или эксцентрик в рамке.
Круглый диск радиуса R с центром в С равномерно вращается
с угловой скоростью со вокруг центра О, не совпадающего с центром
С круга; во время своего вращения он
увлекает рамку A B E F , высота A F ков начальный момент центр С диска стоял
непосредственно над центром вращения О;
через некоторый промежуток времени t
9 = ш£, точка касания перешла из М в М 1
и рамка сместилась вниз на расстояние
CD. Так как расстояние OD = ОС cos ср,
то нетрудно видеть, что если положим расстояние между цент
рами OC = d , то закон движения рамки выразится уравнением:
х — OD — d cos (ot.
При равномерном вращении кулачка рамка, а вместе с ней
и штифт, совершает гармоническое колебание, амплитуда которого
равна расстоянию D между центрами,
В качестве второго примера рассмотрим так называемый тре
угольный кулачок Вольфа (фиг. 424). Он представляет равносторон
ний треугольник, на сторонах которого описаны дуги из противо
положной вершины радиусом, равным стороне; центр вращений
кулачка совпадает с одной из вершин треугольника. Этот кулачок
422
[гл. 28
К У Л А ЧК О В Ы Е М ЕХАНИЗМ Ы
заключён в рамку, высота которой равна стороне треугольника; во
время равномерного вращения кулачка рамка совершает периоди.
ческое возвратно-поступательное движение, сопровождаемое оста,
новками.
Пусть в начальный момент кулачок, вращаясь против стрелки
часов, занимает положение фиг. 424 (I) — сторона ОВ стоит верти,
кально; во время перехода из положения ( 1 ) в положение ( 2 ) рамка
остаётся неподвижнрй; во время перехода из положения ( 2 ) в поло,
жение (3) рамка начинает опускаться, причём её движение опреде.
ляется движением находящейся в соприкосновении с ней точки А —
если через ср обозначим угол поворота стороны О А , считая от верти,
кали, то положение рамки, если отсчитывать расстояние её верхнего
конца от точки О, будет:
х = R cos ср = R cos со/,
(а)
где R — сторона треугольника, а со — угловая скорость вращения
кулачка; при дальнейшем вращении во время перехода из положения
(3) в положение (4) движение рамки будет определяться движением
точки В — центра дуги круга А О , которая теперь будет находиться
в соприкосновении с рамкой; положение последней при прежних
обозначениях будет определяться формулой:
* = я cos ( 9 - f - 60°) + # = 2/? cos 2
В дальнейшем, при обратном движении весь
+30°).
процесс будет
ЗАДАЧИ.
поворота выражается уравнением:
От в е т : 10 смj сек.
на расстоянии ОС = а. в" начальный момент *= 0
одной вертикали с центром вращения О.
От в е т : t/ = дш sin ш/.
повто-
§ 142]
О ГИ БА Ю Щ И Е
423
Г Л А В А 29.
ЗАЦЕПЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЁС.
§ 142. О гибаю щ ие. Разбирая вопросы, связанные с передачей
вращения, мы уже познакомились в первом отделе с зубчатыми
колёсами, определили соотношение между угловыми скоростями
сцепленных колёс, а позднее в главе 25 мы рассмотрели соединение
зубчатых колёс друг с другом. Во всех этих случаях мы оставляли
в стороне вопрос о том, каким образом осуществляется в деталях
сцепление обоих колёс, какую форму должны иметь зубья сцепляемых
колёс для того, чтобы работа их производилась плавно, без толчков
и поломок. Если бы мы, как это иногда рисуют, выполняли зубья
в виде прямоугольников, заполняющих взаимно промежутки между
зубьями другого колеса, то такие колёса после их сцепления не
могли бы совсем вращаться вследствие полного отсутствия зазоров;
если бы мы, наоборот, оставили слишком большие зазоры между
зубьями сцепляемых колёс, то передача совершалась бы рывками,
с толчками и ударами. Таким образом естественно встаёт вопрос,
какую форму должны иметь профили зубцов сцепляемых колёс для
того, чтобы работа их совершалась плавно и без толчков?
Для того чтобы лучше разобраться в происходящих явлениях,
воспользуемся приёмом, постоянно применяющимся в кинематике,
можно сказать, составляющим её специфическую особенность в ряду
других отделов механики, — будем рассматривать движение с точки
зрения одного колеса, которое мы считаем неподвижным; тогда
зубцы другого колеса будут двигаться по отношению к остановив
шимся зубцам первого. Для того чтобы это движение совершалось
плавно и без ударов, необходимо, чтобы профили движущихся зуб
цов скользили по профилям неподвижных, зубцов первого колеса;
это же предполагает, в свою очередь, чтобы оба профиля постоянно
имели в точке соприкосновения общую касательную, иными словами,
чтобы неподвижный профиль зубца первого зубчатого колеса был
вычерчен по кривой, которая в различных своих точках касалась бы
последовательных положёний профиля движущегося, т. е. была бы,
как говорят, его огибающей. В качестве простейших примеров таких
огибающих можно привести следующие: огибающая последовательных
положений окружности, центр которой перемещается по прямой
линии, представляет прямую (вернее две прямых), проходящую парал
лельно траектории центра движущейся окружности на расстоянии
радиуса от этой прямой; огибающие окружности, центр которой
Движется по другой неподвижной окружности, представляют две
окружности, концентрические с траекторией центра, проходящие на
расстоянии от неё, равном радиусу движущегося круга, и т. д.
Посмотрим, какими свойствами должна обладать кривая для т о г о ,
чтобы она была огибающей некоторой движущейся кривой.
424
ЗАЦЕПЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
[гл .
29
Пусть нам даны две плоскости S и S ', одну из которых, напри
мер S , мы будем считать неподвижной. Согласно теореме Пуансо
мы знаем, что движение одной плоскости (S ') по другой (S ) может
быть осуществлено в результате качения подвижной полодии А А но
неподвижной А А (фиг. 425); точка С соприкосновения обеих полодий
будет мгновенным центром. Пусть В 'В ' будет профиль какой-то
кривой, принадлежащей плоскости S ', а В В представляет его оги
бающую — неподвижную, а следовательно, принадлежащую плоскости
S, кривую. Если В В является огибающей профиля В 'В ', то обе кри
вые должны иметь в точке своего соприкосновения М общую каса
тельную и, кроме того, точка М подвижного профиля должна
в данный момент скользить, т. е. иметь скорость, направленную по
касательной к профилю В В . Но направление скорости любой точки
движущейся плоскости перпендикулярно к прямой,
соединяющей эту точку с мгновенным центром;
таким образом перпендикуляр М С к направле
нию скорости точки М должен проходить через
мгновенный центр С. Но направление скорости
точки М совпадает с направлением общей каса
тельной к кривым В В и В ’В \ это же обозначает,
Фиг. 425.
в свою очередь, что общий перпендикуляр к обеим
касательным,
называемый
нормалью,
должен
проходить через мгновенный центр* Таким образом мы пришли к сле
дующему выводу: общая нормаль к огибающей (В В ) и огибаемой
(В В ) в точке и х взаимного касания (М ) долж на проходит ь че
рез мгновенный центр (С).
Пусть Q представляет угловую скорость вращения подвижной
плоскости S ; тогда скорость точки М движущейся кривой В 'В ' будет
равна Q • МС. Так как находящаяся с ней в соприкосновении точка
М кривой В В неподвижна, то полученная величина будет предста
влять скорость скольжения подвижного профиля В 'В по огибающей
в точке М. Таким образом мы нашли, что скорость скольж ения
огибаемого проф иля по огибающей равна произведению угловой
скорости вращения подвижного проф иля на расстояние от т очки
касания обоих профилей до мгновенного центра.
Теперь после этих предварительных результатов мы можем
вернуться к рассмотрению специфических вопросов зубчатой передачи. Поставленную перед нами задачу можно формулировать сле
дующим образом:
v
Даны два неподвижных центра вращения О, и О.,, угловые
скорости вращения вокруг кот оры х суть
« 'о>2 n p u S T e c U
время движения отношение эт их скоростей долж но быт 7пост о
янным, требуется подобрать профили д вух тел, вращ аю щ ихся
вокруг О, и Oit так, чтобы они взаимным своим соприкосновением
обеспечивали передачу вращ ения от одного центра к другому
с постоянным отношением угло вы х скоростей.
ОГИБАЮ,ДНЕ
§ 142]
425
Для конкретности рассмотрим наиболее часто встречающийся случай,
когда оба вращения ш1 и ш2 совершаются в противоположных на
правлениях (фиг. 426). Пусть 1 и II будут два вращающихся про
филя; посмотрим, как представится относительное движение одного
из них по отношению к другому. Будем считать один из этих про
филей, положим //, неподвижным, тогда линия, соединяющая центры
вращения Oj и 0 2 обоих профилей, будет вращаться с угловой
скоростью — <о2 против стрелки часов, а профиль / будет по отно
шению к этой линии вращаться тоже против стрелки часов с угло
вой скоростью (Dj. Согласно правилам сложения вращений в абсо
лютном движении (т. е. в нашем случае в движении относительно
профиля II) угловая скорость Q будет равна сумме обеих склады
ваемых угловых скоростей
— а>.2), а мгновенный центр— точка
соприкосновения полодий С — будет находиться на линии центров 0 А0 2
обеих складываемых скоростей в расположен
ной между ними точке С, расстояния кото
рой до точек Oj и 0 2 будут обратно про
порциональны соответствующим угловым ско
ростям. Если под coj, <о,2 мы будем понимать
абсолютные величины обеих угловых ско
ростей, то в нашем случае мы будем иметь:
Q =
CD, 4 - Щ )
ОхС : 0 2С = ш2 : coj.
Фиг. 426.
Если отношение а>2: о>1 постоянно и расстоя
ние 0 j 0 2 не меняется, то положение мгновен
ного центра С на линии центров будет вполне определенным; обе
полодии будут представлять окружности, описанные вокруг центров
и 0 2 радиусами ОхС и 0 2С (это будут так называемые основ
ные или делительные окружности, о которых мы уже упомина
ли, разбирая теорию передачи вращения посредством зубчатых колёс).
Сопоставляя всё вышесказанное, мы приходим к следующему
результату:
1. Подвижная и неподвижная полодии в относительном движении
Двух зубчатых колёс должны быть окружностями с центрами в центрах
вращения обоих колёс.
2. Нормаль к огибающему и огибаемому профилям в точке их
взаимного касания должна всё время проходить через постоянную
точку, лежащую на линии центров обоих зубчатых колёс и делящую
расстояние между ними обратно пропорционально величинам соот
ветствующих угловых скоростей.
3. Скорость взаимного скольжения в точке касания равна произ
ведению расстояния этой точки до точки соприкосновения полодий
на сумму абсолютных величин угловых скоростей (при внешнем за
цеплении) или их разность (при внутреннем зацеплении).
426
ЗАЦЕПЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕ С
[гл .
29
§ 143. Циклоидальное и эвольвентное зацепления. Кроме
этих общих условий, которым должны удовлетворять профили оги
бающей и огибаемой, можно поставить ещё несколько частных требо
ваний. Прежде всего желательно, чтобы огибающая не очень отлича
лась от огибаемой; в противном случае пришлось бы иметь специаль
ные профили для каждого колеса из сцепленной пары. Наконец
было бы очень хорошо, если бы можно было при построении оги
бающей не прибегать к утомительному вычерчиванию ряда последо
вательных положений движущегося контура и проведения к ним
касательной кривой; лучше всего было бы, если бы удалось свести
построение огибающей к построению траектории некоторой точки.
Заслугой французского механика XVIII века Камуса является то, что
он показал, каким образом можно добиться поставленной цели.
Пусть АСА и ВСЕ суть неподвижная и подвижная полодии
в виде окружностей, CMF какая-то новая вспомогательная окруж 
ность, которую мы будем в дальнейшем
представлять себе катящейся то по не
подвижной, то по подвижной полодиям
(фиг. 427). Возьмём какую-нибудь точку М
этой окружности и построим её траектории
в качении без скольжения окружности МС сначала по подвижной, потом по неподвижной
Фиг. 427.
полодиям. Пусть траектория точки М в ка
чении по окружности ВСЕ будет кривая
М М " (это так называемая гипоциклоида — траектория какой-нибудь
точки окружности в качении её без скольжения внутри другой ок
ружности), а в качении по окружности АСА кривая ММ' (так на
зываемая эпициклоида — траектория точки окружности в её каче
нии по неподвижному кругу снаружи); можно показать, что эпи
циклоида ММ' будет огибающей контура М М" в перекатывании по
следнего вместе с подвижной полодией ВСВ по неподвижной АСА.
Действительно, возьмём какую-нибудь точку М подвижной окруж 
ности и попытаемся построить обе её указанные траектории. В по
ложении М прямая МС, соединяющая её с мгновенным центром
С, будет общей нормалью и к огибающей и к огибаемой, имеющим
в точке касания М общую касательную. Пусть окружность МС пере
катится так, что точка касания её из С перейдёт в F; соответствую
щее положение М" точки М в качении МС по подвижной полодии
мы можем получить, отложив на окружности СВ дугу CE = CF,
построив при точке Е криволинейный угол СЕ М" , равный углу СЕМ ,
и отмерив на стороне ЕМ" отрезок ЕМ" = FM. Точно так же от
ложив на неподвижной полодии дугу CD = CF , построив криволинейный угол CDM = C F M и отложив DM! = F M , мы найдём положение точки М на неподвижной плоскости. Траектория ММ' на
черчена на плоскости неподвижной полодии АСА, траектория ММ"
составляет одно целое с плоскостью подвижной полодии ВСВ и пере
§
143]
ЦИКЛОИДАЛЬНОЕ И ЭВОЛЬВЕНТНОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЯ
427
метается вместе с последней. Так как нормаль к траектории какойнибудь точки проходит через мгновенный центр для соответствую
щего положения, то М"Е есть нормаль к траектории ММ" точки М
на плоскости, связанной с ВСВ, а М!D — нормаль к траектории
М М ' точки М на плоскости, связанной с неподвижной полодией
АСА (они обе проходят через точки Е и D касания вспомогательной
окружности с окружностями обеих полодий). Теперь представим себе,
что обе окружности, как подвижная полодия ВСВ , так и вспомога
тельная, катятся одновременно по окружности не
подвижной полодии АСА; нетрудно видеть, что
когда точка касания Е совпадёт с Z), то в этой
точке окажется и точка F ; вследствие равенства
криволинейных углов CFM, СЕМ " и СDM' со
впадут и направления нормалей, а так как FM =
фщ\ 428.
= ЕМ" = D M ' , то совпадут и точки М' и Ж ".
Таким образом кривые ММ" и ММ' в указанном положении имеют со
впадающие точки М' и М" и нормали в этих точках, а это и значит,
что ММ! будет огибаемой последовательных положений профиля ММ".
Таким образом, если профиль одного зуба вычертить по гипо
циклоиде ММ", то профиль второго находящегося с ним в зацеп
лении зуба придётся чертить по эпициклоиде ММ'. Чтобы избавиться
от этого неудобства, пользуются тем обстоятельством, что корень
одного зуба сцепляется с головкой другого; поэтому профиль каж
дого зуба составляют из двух частей: корень чертят по гипоциклоиде,
а головку по эпициклоиде, тогда оба зуба будут иметь одинаковую
форму, изображённую на фиг. 428. Такая форма зубцов предста
вляет определённые удобства с точки зрения прочности, но она
представляет тот недостаток, что требует
^
точной пригонки зубчатых колёс друг к
Другу; когда вследствие истирания точность
пригонки нарушается, то и сцепление пере
стаёт работать удовлетворительно.
Вследствие этих обстоятельств в настоя
щее время в машиностроении пользуются так
называемыми эвольвентными профилями.
В качестве вспомогательной окружности
мы можем взять окружность любого диа
метра; возьмём предельный случай, когда
центр вспомогательной окружности уходит
в бесконечность (окружность обращается
Фиг. 429.
в прямую), тогда эпи- и гипоциклоида пере
ходят в траектории, описанные какой-нибудь точкой прямой, катя
щейся без скольжения по окружности, т. е. в так называемые эволь
венты (§ 127).
Пусть
и 0 2 будут центры основных или делительных окруж -.
ностей М 1М 1. и М 2М 2 (фиг. 429), касающихся в точке С — мгновен-
428
ЗАЦЕПЛЕНИЕ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
[гл. 29
ном центре относительного движения обеих полодий. Опишем из
точки 0 2, как из центра, радиусом 0 2К 2 какую-нибудь концентри
ческую окружность, возьмём на ней произвольную точку Л 0, при
ложим в этой точке касательную прямую тт и будем перекатывать
последнюю по окружности Л 0/С2; тогда совпадавшая с точкой Л 0
окружности точка нашей прямой очертит эвольвенту А 0А 'А , причём
сама перекатывающаяся прямая будет всё время служить нормалью
к эвольвенте. Полученный профиль можно взять в качестве профиля
ведущего зубца. Для того чтобы вычертить сопряжённый с ним про
филь ведомого зубца, поступим таким образом: когда прямая тт
в своём перекатывании по окружности займёт положение К^С КХ и
будет проходить через мгновенный центр С, опустим на неё из
центра Ог перпендикуляр ОхК и опишем этим радиусом концентри
ческую окружность ОхК\ и будем перекатывать по ней прямую КхКъ
заставляя точку А ' — пересечение этой прямой с кривой А 0А — вычер
чивать эвольвенту сначала от А ' к В 0, а потом обратным движением
от В 0 к В. Точка А ' будет точкой касания обеих эвольвент,
—
их общей нормалью, проходящей через мгновенный центр относи
тельного движения С. При вращении обоих колёс точка касания А '
будет передвигаться по линии
которая носит специальное
название линии зацепления: так называется траектория точки каса
ния огибающей и огибаемой в её движении по неподвижной плоскости,
относительно которой совершаются вращения обоих зубчатых колёс.
Вычертив контуры одной стороны зубцов, вырисовывают сим
метричные профили и другой стороны зубца, обрывая их так, чтобы
точка касания А ' не удалялась слишком далеко от мгновенного
центра С (чтобы не получать слишком больших
скольжений). Вычерченные по эвольвенте профили
I
\
зубцов имеют вид, как на фиг. 430; так как они
слишком быстро утоньшаются к головке, что плохо
отражается на их прочности, то стараются брать обе
Фиг. 430.
вспомогательные окружности ОхК \ и 0 2/б2 возможно
ближе друг к другу так, чтобы их общая касательная
К\Къ пересекала линию центров 0 20 2 под углом, не очень отлича
ющимся от прямого (обычно угол а между перпендикуляром 0±Кх и
прямой OjOa берут 15—20°); тогда используются части эвольвенты,
почти нормальные к окружностям К\ и /б2; вообще же получен
ные профили приходится несколько исправлять (коррегировать), для
того чтобы удовлетворить условиям прочности.
ОТДЕЛ ШЕСТОЙ.
ДИНАМИКА.
Г Л А В А 30.
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА.
§ 144. Силы инерции. Законы Ньютона дают основу, на кото
рой строится всё здание современной динамики. Второй закон
Ньютона, который мы записывали в виде
F = mw,
является основным законом динамики точки. Можно, однако, это
уравнение записать в другой форме, которую удобно распространить
на случай системы материальных точек. Это вцервые сделал фран
цузский учёный XVIII века Даламбер в форме так называемого прин
ципа Д а лам б гра. Мы разберём этот важный принцип сначала в про
стейших случаях его применения, а именно на задачах, касающихся
динамики одной материальной точки.
Представим себе материальную точку массы т , которая совер
шает некоторое движение под действием силы F. Мы знаем, что
ускорение точки выражается согласно второму закону Ньютона;
F=mw.
Мы получили уравнение, связывающее силу, массу и ускорение.
Будем обращаться с ним как с математическим уравнением и пере
несём все члены в одну часть. Оно п р и м ет вид
F — mw = 0
(95)
или
mw) = 0 .
Это последнее равенство можно рассматривать как условие равен
ства двух сил F и ( — mw), приложенных к движущейся точке.
Но будет ли это равновесие в действительности? Нет, конечно;
если бы это равновесие имело место, то тело или находилось бы
в покое или двигалось бы прямолинейно и равномерно; на самом
же деле тело движется с ускорением w. Таким образом сила— mw
будет силой фиктивной и само равновесие тоже чисто фиктивным.
В самом деле, оно получилось просто в результате формального
430
ПРИНЦИП ДА ЛА М БЕРА
[гл. 30
переноса члена из одной части уравнения в другую; мы получили
бы равновесие, если бы действительно приложили такую силу
но поскольку эта сила фиктивная, то, конечно, на самом деле равно
весия нет. Эту фиктивную силу называют силой инерции. Таким
образом мы приходим к следующему выражению принципа Даламбера:
Если ко всем действующим на тело силам мы добавим ф ик
тивную силу инерции, равную произведению массы т ела на ег о
ускорение и направленную в сторону, противополож ную ускорению
{знак минус в нашей формуле), то мы получим систему взаимно
уравновеш иваю щ ихся си л.
Таким образом каждому ускорению соответствует и своя сила
инерции. Если тело падает с ускорением силы тяжести g , направлен
ным вниз, то сила инерции будет равна — m g и направлена вверх.
Поскольку вес Р тела тоже равен mg, то эти две силы взаимно
уравновесились бы, если бы сила инерции была действительной
силой. На самом деле этого равновесия нет; если бы вес тела урав
новесился силой инерции, то тело или совсем не падало бы или
двигалось бы вниз равномерно и прямолинейно.
Если тело движется равномерно по окружности, то мы знаем,
что существует действующая на него центростремительная сила ~ - 9
и
направленная к центру; ей соответствует противоположная сила
mv2
инерции, равная
и направленная от центра; этой формулой выра
жается так называемая центробеж ная сила. Как сила инерции, эта
сила должна быть силой фиктивной. Но ведь центробежная сила,
о которой говорится в физике, может, например, разнести маховик
паровой машины; её чувствует каждый мальчик, держащий в своих
руках вращающуюся нить, к которой привязан камень. Таким обра
зом в понятии силы инерции должен как будто бы иметься и эле
мент реальности.
Разгадка этого недоумения получится, если мы вспомним третий
закон Ньютона — закон равенства действия и противодействия. Если
одно тело, действуя на другое, сообщает последнему ускорение w
(для этого требуется приложенная ко второму телу сила m w , имею
щая направление ускорения), то и второе тело, в свою очередь, дей
ствует на первое тело с вполне реальной силой, по закону равен
ства действия и противодействия тоже равной m w , но уже направлен
ной в сторону, противоположную действующей силе или сообщае
мому ей ускорению w . Это противодействие движимого тела дви
жущему представляет вполне реальную силу, равную по величине m w
и направленную противоположно ускорению, т. е. как будто бы нашу
силу инерции, с той только разницей, что эта реальная сила прило
жена к движущему телу. Таким образом мы должны различать две
силы: одну фиктивную силу инерции, приложенную к движимому
§
144]
СИЛЫ
ИНЕРЦИИ
431
телу, а другую реальную силу, приложенную к движущему телу и
представляющую противодействие движимого тела.
Рассмотрим пример. Желая привести в движение неподвижное
тело, мы толкаем его, чтобы сообщить ускорение; при этом мы
отчётливо ощущаем в руке сопротивление этого тела (как говорят
«преодолеваем инерцию этого тела», откуда, между прочим, и пошло
название «силы инерции»). Эта реальная сила представляет противо
действие толкаемого тела; она приложена к нашей руке, т. е. к дви
жущему телу. К движущемуся, толкаемому нами телу приложена
единственная реальная сила—сила руки; если приложить к телу силу
инерции, то она могла бы уравновесить на нём толкающую силу
руки, но равновесие это в действительности не существует, так как
тело движется с ускорением.
Второй пример посвятим разбору центробежной силы.
Представим себе камень, привязанный к верёвке длиной /? и
вращающийся в горизонтальной плоскости со скоростью v. Если т
есть масса движущегося камня, то для осуществления этого движе
ния нужна центростремительная сила, равная
и представляющая
к
приложенное к камню натяжение верёвки. По закону равенства дей
ствия и противодействия на верёвку должна действовать в противо
положную сторону, т. е. от центра, вполне м
реальная центробежная сила. Для верёвки эта
р
сила вполне реальна и может разорвать её,
если скорость вращения v достигнет достаточ
но большой величины. На движущееся тело,
в нашем случае камень, будет действовать лишь
3к&'НШэкений
одна центростремительная сила, т. е. натяжение
бёребки.
верёвки. В самом деле, после разрыва на ка
мень не будет действовать натяжение верёвки
и он полетит по касательной, сохраняя по
!кг*сш ийёщт
инерции имевшуюся в момент разрыва скорость.
Ш-деятельная
Это явление каждый может наблюдать во вре
мя работы на шлифовальном или точильном
круге: отколовшаяся пыль летит не по радиусу,
но по касательной, продолжая уже имевшееся
9кг-потерянная ’
у неё в момент отрыва движение. Таким обра
сила
зом, возвращаясь к нашему примеру, мы ви
дим, что центрЪбежная сила, сумевшая разор
вать верёвку, ни на волос не смогла откло
нить камень от его пути; это обстоятельство и
Фиг. 431.
обнаруживает реальность центробежной силы
для движущегося тела (верёвки) и фиктивность для движимого
(камня).
Рассмотрим ещё один пример, который позволит нам с другой
точки зрения взглянуть на силу инерции.
432
ПРИНЦИП ДАЛАМ БЕРА
[гл .
30
Пусть привязанный к верёвке камень Р (фиг. 431) весом в 10 кг
опускается вниз с ускорением, равным ~ g ; требуется определить
натяжение верёвки.
Сила, приводящая в движение камень, будет силой его веса;
невесомый камень мы не смогли бы опустить, двигая вниз конец
верёвки. Однако, если бы вся сила веса действовала на камень цели
ком, то она сообщила бы ему ускорение g ; на самом же деле уско
рение равно всего ^ g . Таким образом вес тела разделяется на две
части: одна идёт на то, чтобы сообщить телу ускорение ^ g , другая
же натягивает верёвку. Первая сила равна — полного
веса камня,
т. е. 1 к гу а вторая — разности между весом камня и силой, сооб
щающей камню ускорение, т. е. 10 — 1 = 9 кг. Сила, сообщающая
камню ускорение, называется, согласно Даламберу, деятельной силой,
сила же, натягивающая верёвку, — потерянной силой, поскольку она
не участвует в движении и уничтожается сопротивлением верёвки.
С таким же правом мы могли бы сказать, что деятельная сила,
•тратясь на сообщение ускорения, не участвует в натяжении верёвки.
Чтобы выбросить её из расчётов, достаточно приложить её с обрат
ным знаком (вычесть её), а это формально сводится к добавлению
к действующим силам даламберовой силы инерции.
Таким образом при вычислении давлений (воздействий) на окру
жающие тела необходимо выбрасывать деятельные силы или, что то
же, добавлять силы инерции.
По поводу принципа Даламбера, вернее, вопроса о том, являются
ли силы инерции фиктивными или реальными, существует много
недоразумений.
В чисто теоретических исследованиях движения тел учёного
йнтересует само движущееся тело; он изучает его траектории, ско
рости и ускорения, пытается составить уравнения, выражающие
законы движения этого тела. То, что происходит в среде, окружаю 
щей движущееся тело, и в телах, воздействия которых обусловли
вают изучаемое движение, остаётся для теоретика на втором плане:
его главной задачей является получение математических формул,
определяющих движение рассматриваемого тела.
Для практика же тела, движение которых он изучает, составляют
часть обширного комплекса взаимодействующих элементов, необхо
димых для того, чтобы осуществить изучаемое движение при помощи
реальной конструкции, состоящей из вполне конкретных материаль
ных тел, поэтому всё то, что происходит по соседству с движу
щимся телом, представляет для него не Меньший, а иногда даже
больший интерес, чем само движущееся тело; поэтому даже в эле
ментарнейших вопросах статики там, где теоретик решает задачу
составлением уравнений равновесия сил, приложенных к данному
§
145]
ПРИМ ЕРЫ
433
телу, инженер предпочитает прибегать к разложению силы на соста
вляющие, приложенные к окружающим телам.
Различие в формулировке всех указанных установок можно
иллюстрировать на следующих схемах.
Пусть М будет движущаяся точка, Р — равнодействующая всех
приложенных к ней активных сил, R — равнодействующая всех при
ложенных к ней реакций связи, F — равный их геометрической сумме
вектор, представляющий согласно 2-му закону Ньютона произведение
массы на ускорение (фиг. 432).
У Ньютона равнодействующая сил Р и R изображается вектором
F = m w (фиг. 432, а); изменяя направление этой последней силы на
противоположное, Даламбер сводит решение задачи к рассмотрению
Фаг. 432.
условий фиктивного равновесия (фиг. 432, Ь)\ наконец практик,
добавляя к активной силе Р равную — ат т действительную силу,
получает в сумме действующую на связь силу — R (фиг. 432, с). Все
три способа дают правильный ответ на поставленный вопрос и
с этой точки зрения вполне равноценны. Однако с методической
точки зрения схемы Ньютона и Даламбера являются гораздо более
чёткими; в обоих случаях все силы, вне всяких сомнений, приложены
к одному телу — движущейся точке М; в схеме же практика сила Р
приложена к движущемуся телу, сила R — к окружающим телам;
вопрос же, .к какому телу приложена сила — «niw » — остаётся нере
шённым; если считать её приложенной к окружающим телам, то она
будет вполне реальной, но не будет даламберовой силой инерции,
потому что силы Р , — /?, — niw не уравновешиваются.
В заключение необходимо подчеркнуть то обстоятельство, что
при помощи введения фиктивных сил инерции динамическая задача
сводится к простой статической; в этом сведении к хорошо уста
новленным для любой системы материальных тел методам решения
задач на равновесие и заключается вся ценность принципа Даламбера.
§ 145. Примеры. Для наилучшего усвоения принципа Даламбера
разберём ряд примеров.
Пример 143. Лифт, поднимаясь равноускоренно, проходит в 5 сек
2 5 м . Определить давление на дно лифта человека, весящего Р = 8 0 кг.
У с к о р е н и е g можно принять за 10 л*/сел;3.
28
Зак. 667. И. Н . Веселовский
434
[гл. 30
ПРИНЦИП Д А ЛА М БЕРА
Ускорение движения лифта найдём по формуле
wt2
:"2~ 5
где 5 = 25 Му 1 = 5 сек. Следовательно, w — 2 м /сек1. Сила инерции
будет
Р
—w =
g
80 о
Tr.
« 2 = 1 1C
6 АГ2.
10
Поскольку ускорение направлено вверх, сила инерции имеет одно
направление с силой тяжести. Давление человека на дно лифта будет
8 0 - j - 16 = 96 k z .
Пример 144. М ашина Атвуда. Через блок, весом которого пре
небрегаем, перекинута нить, несущая на концах два груза Р х и Р 2
(Р 2 > Л ) - Определить: 1) ускорение w , с которым будут двигаться
два груза; 2 ) натяжения правой и левой верёвок
и 3) давление N на ось блока (фиг. 433).
Так как груз j° 2 будет опускаться с ускорением,
°Z7
направленным вниз, то для него сила инерции Ф2
будет направлена вверх и равна
Для тела P t сила
вниз и разна
g
инерции
Ф 1 будет направлена
Фиг. 433.
Добавив эти силы к силам веса Р х и
и написав, что силы, дей
ствующие по обеим сторонам блока, равны, получим:
P%
Ф 2 — Р\~\- Ф 1,
или
= Р ,+ Л |,
'
откуда
— Р 1 Р*
W = Р 2------
Pi + Рш*'
Чтобы определить натяжение правой нити, обрежем последним*
приложив в точке разреза силу натяжения Т
Написав что Э1
^
/ Г
° ВеШИВаеТ СИЛУ Р% ~ Фъ П0ЛуЧИМ П0-Сле п°ДСтановки зн;
§ И5]
435
ПРИ М ЕРЫ
Аналогично мы получим и для левой нити:
7-
р
I ф
Т 1— Р 1 - Г ф 1— Pt + P2 •
Давление на ось блока будет равно сумме обоих натяжений, т. е.
4Р,Р2
Л + Л-*
Предлагаем читателю убедиться, что оно будет меньше суммы обоих
весов Р j Р.2»
Пример 145. Решить предыдущую задачу в предположении, что
неподвижный блок поднимается кверху с постоянным ускорением w r
В таком случае к силам инерции <!>! и Ф 2 приходится добавить
ещё две силы инерции от ускорения щ , равные
и направленные вниз
2Я,Р 8
Ответ
Pi + Рш
(*+ ?)•
Пример 146. Через невесомый неподвижный блок А перекинута
нить, несущая на одном конце груз 3 кг, а на другом невесомый
Даок В , через который перекинута вторая нить, несущая на своих
концах грузы 1 и 2 кг. Определить ускорения, с которыми будут
двигаться все три груза (фиг. 434).
Груз 3 кг будет иметь некоторое ускорение w i вниз, блок В —
такое же ускорение вверх. Кроме того, грузы 1 кг и 2 кг относи
тельно блока В будут иметь некоторое ускорение
направленное
длягруза 2 кг
вниз, а для
груза
1 к г — вверх. Таким образом к грузу 3 кг будет
приложена сила
3 —3 ^
кг (вниз),
к грузу 1 кг сила
1
-i
S
(вниз),
а к грузу 2 кг сила
24 —
— J- щ
(тоже вниз).
Остаётся составить два уравнения равновесия:
«
1
I
1+ у
I
1
+ у
О
I
2
= 2 + у
одно для блока В
W 1—
2
у wi
и Другое для блока А
3—“ Щ
28*
=
(* + I
w i~ S
r
у даа) + ( 2 + у Щ — у «'а) •
ПРИНЦИП Д А ЛА М БЕРА
436
[гл . 30
Решая их, находим
1
w \ = |7 £>
=
6
Пример 147. Стержень А В длиной I и весом Q, лежащий на
гладкой горизонтальной плоскости, растягивается двумя силами Рх
и
причём Р<ь^>Р\. Определить ускорение стержня и усилие Тх
в любом сечении С, отстоящем на расстоянии х от левого конца А
(фиг. 435).
Ускорение w в движении стержня будет
w-
P s - P i g (вправо).
Q
Усилие Тх в сечении С найдём, взяв сумму всех сил, лежащих по
одну сторону от этого сечения.
На фиг. 436 видно, что усилие Тх уравновешивает силу Р г и
все силы инерции, действующие на часть АС . Чтобы получить сумму
Тх
в
Фиг. 435.
Фиг. 436.
в^ех этих сил, достаточно массу М х части А С стержня помножить на
ускорение w. Имеем
Таким образом
7< = Р . + f
м ж= м ~ = Я *
i
g i
j
Мы видим, что усилие по длине стержня не остаётся постоянным
изменяясь по линейному закону от значения А на конце А до зна
чения Р 2 на конце В.
m a llu T lo l i t а П,рибор КУЛ°на для определения коэффициенте
Гк?сти I L Z Z .
T ' s ГРУЗ Q СТ0ИТ «а-горизонтальной пло
скости, коэффициент тренйя / которой требуется определить К нем^
привязана горизонтальная верёвка, перекинутая через блок А \
обремененная грузом Р, достаточно большим, чтобы преодолет,
силу трения груза. Найти зависимость между к о э ф ф и ц и е н т е
пия / И величиной ускорения w с котопым й „ м т
ВДентом тре
Q (фиг. 4 3 7 )
*
К0т°рым будет опускаться гру
СИЛЫ
I4(ij
ИН ЕРЦ И И
В КРИВОЛИНЕЙНОМ
ДВИЖ ЕНИИ
■±37
Д обавим к гр у зу Р направленную вверх силу инерции Ф1= — w,
а к грузу Q направленную влево силу трения T = / Q и силу инерг.и ф . = —
цйИ ^ 2
g w.
Составляя
условие
равновесия
сил на неподвижном блоке А у
будем иметь:
Р — <&1 = Г -f- Ф-2
или
Q
p - ^ w = fQ + g w>
откуда
w ■ P -/Q
’ P+Q
Ш
g-
Фиг. 437.
Поскольку это ускорение постоянно, его на практике определяют
изменением высоты h груза Я, происшедшим за время t 9 по ф ор
муле
2h
после чего легко получить и коэффициент трения / .
§ 146. Силы инерции в криволинейном движении. Рассмотрим
теперь ряд примеров, в которых придётся иметь дело с тангенциаль
ными и нормальными силами инерции во вра
щательном движении.
Пример 149. Определить ускорение w в
машине Атвуда, приняв в расчёт вращение бло
чка, массу Q которого можно считать равно
мерно распределённой по окружности блока
радиусом R . Скольжение нити по блоку равно
нулю (фиг. 438).
В этом случае, кроме сил инерции грузов
Pi и Яа от ускорения w придётся учесть тангенциальные и нормальные силы инерции по
'
окружности блока. Разобьём последний на весь
ма малые части массы т , которые можно при
нять за материальные точки. К каждой такой
Фиг. 438.
материальной точке приложим центробежную
силу инеоции Фп ===
и тангенциальную
=
(вследствие отсутствия скольжения тангенциальное ускорение на окружности блока будет равно ускорению w грузов Р , и Р 4).
Составляя сумму моментов всех сил относительно оси блока О,
увидим, что сумма моментов центробежных сил инерции будет равна
нулю, так что мы будем иметь
P R — Фар —X Ф*я - P i R - Ф А = О
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
438
[ г л . 30
ИЛИ
P 2R — -- w R — 2 m w R — P XR — — w R = 0.
g
Но нетрудно видеть, что ^ tnw R = w R
= .Q
~ w R , так как 2 ал
равна, очевидно, полной массе блока. По сокращении на R будем
иметь
я , - р , = » ( ^ + 9 + |) .
откуда
■Pt
P1 + P2 + Q1
w =
Натяжение правой нити
Р%
-
будет
Л (Я 2 - Л ) _
— Л + я 2+ 0 ~
~g W
Фз
2P 1P2 + P 2Q
P1 + P 2 + Q ‘
Натяжение левой нити Тх будет
г
1
=
л
+
ф
1 =
^ Р Л + PxQ
Pi + Р2 + Q
Теперь уже натяжение правой нити не будет равно натяжению
левой. Разность этих натяжений и даёт ту силу, которая будет при
водить во вращение блок.
Пример 150. Определить силу натяжения верёвки длиной 1 = 1 м,
привязанной к телу весом 10 кг, делающему в горизонтальной пло
скости 10 оборотов в секунду.
Искомое натяжение будет равно центробежной силе:
~
где ^ = 9,81м /сек1,
10 v2
7 Т "*•
а г; = 10 • 2 тт м /сек. Подставляя эти значения
в нашу формулу и пользуясь приближённым
равенством тг*я^9,81, получаем 7 ^ 4 0 0 0 кг.
Пример 151. Решить ту же задачу для
однородного стержня длиной ОА = 1 и весом
Р, вращающегося с угловой скоростью со во
круг одного из своих концов.
Натяжение Тх в каком-нибудь сечении бу
дет равно сумме всех элементарных ц е н т р о 
бежных сил, расположенных с внешней стороны
рассматриваемого сечения (на фиг. 4 3 9 справа).
Фиг. 439.
Разобьём стержень на элементарные массы,
расположенные по длине рассматриваемого
стержня. Пусть Am — одна из этих масс, приходящаяся на в е с ь м а
малую длину Аг стержня, расположенная на расстоянии O C = f
от центра вращения О. Элементарная центробежная сила этой мас
сы будет Aa/z • wV.
§
146]
СИЛЫ ИНЕРЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
439
Искомое усилие Тх в сечении В будет равно сумме всех центро
бежных сил, расположенных справа от сечения В . Таким образом
Тх = '£ к т ы 1г=<й1 2 &tnr.
Но А т = Ц- Аг =
/
gi
Дг, следовательно, вынося за знак суммы общий
множитель, получим:
Тх = Щ ? . г Ь г .
А
gl
Если мы от середины каждого элементарного отрезка Аг отложим
длину г перпендикулярно к длине стержня А В , то нетрудно видеть,
что £ r A r , если мы возьмём предел этой суммы при бесконечном
возрастании числа делений, даёт нам площадь трапеции АВЬа, кото
рая будет равна
Подставляя это значение в выражение для Txi будем иметь
(I — х ) есть масса М АВ отрезанной
&
части А В , то упомянутое выражение можно представить и в таком
виде:
з *+ х
Тх =— М1У1Ая В
п -со
"*
2 *
Если заметить, что
Но
/ ~4- х
есть расстояние от оси О до середины стержня А В или
центра его тяжести. Обозначив
иметь окончательно
т х =
это
м
расстояние
через гс , будем
А В
Мы приходим к следующему результату:
Равнодействующая элемент арны х центробежных сил однород
ного стерж ня равна центробежной 1але его центра тяжести,
счит ая, что в последнем сосредоточена вся масса рассматривае
мого ст ерж ня.
К тому же результату можно притти и гораздо проще, если
вспомнить из статики формулу, определяющую координаты центра
тяжести:
5
тх
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
440
[ГЛ. 3 0
В нашем случае вместо х стоит г и формула
Тх =
^
Дm - r
даёт прямо
Tx = * %- M ABrCt
где гс — расстояние от оси вращения центра тяжести отрезанной
части А В стержня.
Пример 152. Крестовина А О В вращается вокруг вертикальной
оси M N с постоянной угловой скоростью со. В точках А и В при
креплены два массивных груза Р. Пре
небрегая весом крестовины, определить
реакции подпятника М и цилиндрическо
го подшипника N (фиг. 440), если ОА =
= О В = а, OM — m , O N = п , жёсткий
угол N O B = a.
При определении динамических реак
ций в опорах М и N ко всем действу
ющим силам добавим силы инерции Фд
и Фв. Нетрудно видеть, что они образу
ют пару сил, которая должна уравновесить
ся соответствующей парой горизонталь
ных реакций Х м и X N. Равным образом
Ф и-. 440,
веса Я обеих масс уравновесятся равной
2 Я вертикальной реакцией Ум подшипника М . Снимая эти три силы,
как, очевидно, находящиеся в равновесии, и приравнивая моменты
обеих пар {Хм , X N) и (Фд, Фв ), будем иметь
(*»-[- я) = Фд • 2 a cos а,
где
ф л = ^ B = j< ^ a s in а,
откуда
__ у
у
М
N
P<dV sin 2 а
~g(rn + O f •
Этот пример объясняет появление биения в подшипниках вследствие
того, что ось вращения не является осыо симметрии вращающегося
тела. Указанные горизонтальные силы Х м и Х „ будут находиться
в плоскости вращающейся крестовины и при вращении последней
удут портить подшипник. Для уничтожения этих сил необходимо,
чтобы sin 2 а = 0 , что возможно или при а = 0 или при а = 90°.
В обоих случаях ось вращения станет осью симметрии вращающей
ся крестовины.
,
г
§
146]
СИЛЫ ИНЕРЦИИ В КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
441
П ример 153. Решить тот же пример’, прёдполагая массу каждого
груза Р равномерно распределённой по отрезку (фиг. 441).
Вспоминая пример 151, легко найдём, что величина равнодей
ствующей всех центробежных сил стержня ОВ будет равна центро
бежной силе центра тяжести отрезка О В, считая сосредоточенной
в нём всю массу второго стержня. Но не надо думать, что линия
действия этой равнодействующей обязательно пройдёт через центр
тяжести рассматриваемого стержня. В самом
деле, для нахождения линии действия этой рав
нодействующей мы можем воспользоваться
теоремой Вариньона о моменте равнодейству
ющей. Если величина равнодействующей всех
центробежных сил связана с величиной площади
треугольника ОВЬ, то сумма моментов всех
составляющих сил будет связана со статическим
моментом этой площади, равным произведению
площади на расстояние центра тяжести её от
Фиг. 441.
рассматриваемой точки. Но центр тяжести тре
угольника ОВЬ будет лежать на параллельной основанию прямой,
которая пересечёт сторону ОВ на расстоянии двух третей её от
точки В . В этой точке и можно приложить равнодействующую
всех центробежных сил при вычислении моментов их относительно
точки О. Составляя теперь сумму моментов всех пар, будем иметь
/
I
Х М+
v
Л) =
Р
\
ъ a si n а 2
J
£ “
а C0S а >
центробежная
сила
откуда
У __ Ра>9а2 sin 2а
т Ь Qn -j- п) g *
Величины опорных реакций получаются в шесть раз меньше.
Пример 154. Автомобиль весом Q = 1 т, идущий со скоростью
v = = 1 8 0 км /час, находится на вершине холма, радиус г кривизны
кото р о го равен 1 км. Определить давление автомобиля на землю.
Для определения этого давления прикладываем центробежную
силу инерции. Давление N автомобиля б^Дет равно весу минус цен
тробежная сила или
Выражая скорость v автомобиля в м/сек, будем иметь х; = 50 м/сек.
Таким образом
дI
^
ЮОО
1000 — ^
-
2500
1000 = 7 5 0 * г*
442
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
[гл. Зо
Итак, давление уменьшилось на 25°/#. Отсюда можно было бы получить предельную скорость, когда давление обращается в нуль и
автомобиль, следовательно, отрывается от земли.
Пример 155. С какой начальной горизонтальной скоростью долж
но быть пущено тело, чтобы оно могло описать вокруг Земли пол
ный круг? Сопротивлением воздуха пренебрегаем. Радиус Земли
/? = 6400 к м .
Для этого вес тела должен равняться центробежной силе, откуда
02
e = R '
Полагая g * = 1 0 м/сек и выражая
в метрах, будем иметь
и* = 64 ООО ООО
и окончательно
-0 = 8000 м/сек = 8
км /сек.
§ 147. Силы инерции в относительном движении. При раз
боре законов Ньютона мы видели, что они имеют место при абсо
лютной неподвижности систехмы отсчёта, к которой относится дви
жение рассматриваемого тела; точнее говоря, они справедливы или
по отношению к некоторым определённым (которые мы считаем за
неподвижные) системам отсчёта или же к систехмам, которые отно
сительно них движутся равномерно и прямолинейно; напомним, что
системой отсчёта называются тела, которые во время этого движе
ния предполагаются неподвижныхми и относительно которых изучается
заданное движение.
На практике очень часто приходится наблюдать движение по
отношению к некоторой движущейся системе отсчёта; наблюдаемое
относительно этой системы ускорение носит название относительного
ускорения. Из вышесказанного прежде всего следует, что нельзя
никоим образом, составляя динамическое уравнение движения, писать,
что сила равна произведению массы движущейся точки на относи
тельное ускорение; мы имеем право только писать, что она равна
произведению массы точки на абсолютное ускорение. Если мы все
же хотим написать уравнение движения, составляя произведение
массы на относительное ускорение, то к действующим на данную
точку силам нам необходимо для получения правильного результата
добавить ещё некоторые силы, зависящие от переносного движения
взятой системы отсчёта.
Пусть на точку М действует заданная сила F. Требуется опре
делить ускорение w 0TB этой точки по отношению к некоторой дви
жущейся системе отсчёта, перемещение которой относительно неко
торой абсолютно неподвижной системы отсчёта является вполне
определённым.
§
147]
СИЛЫ ИНЕРЦИИ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
443
Пусть т — масса точки М . Мы можем написать основное уравне
ние динамики по отношению к абсолютно неподвижной системе от
счёта. Если через w&6c обозначим абсолютное ускорение точки М
(по отношению к абсолютно неподвижной системе отсчёта), то ос
новное уравнение динамики будет
m w a6c = F.
Н о, согласно теореме Кориолиса (§ 124),
Тогда
Wa6c = = ^ отн
m ( w отн
^пер
^иер ~Ь
% ор .
) =
FУ
°ткуда, раскрывая скобки и перенося два последних
право, получим:
слагаемых на
m w отн — F — m w aep — niw кор •
Таким образом всё дело сводится к тому, что к действующей на
точку реальной силе F добавляются две силы — m w пер и — m w K0Pt
равные произведениям массы этой точки
соответственно на переносное и поворот
ное ускорения и направленные прямо про
тивоположно направлениям этих ускоре
ний. Эти добавочные силы носят название
переносной и поворотной (или кориолисовой) сил инерции. Таким образом для
получения относительного ускорения нуж
но при составлении основного уравнения
динамики ко всем действующим на точку
силам добавить переносную и поворотную
Фиг. 442.
силы инерции.
Иллюстрируем изложенную теорию небольшим примером.
Пусть ОA B C (фиг. 442) — диск, вращающийся вокруг своего
центра О с постоянной угловой скоростью оо. Пусть далее М
не
которая неподвижная относительно земли точка массы т, отстоящая
на расстоянии г от центра диска. Определить силы, необходимые для
относительного движения точки М по ^нош ению к диску.
Если мы предполагаем диск неподвижным, то по отношению к
этом у диску точка М опишет окружность радиусом г по стрелке
часов с постоянной относительной скоростью tj0TH= <dг. Для совер
шения этого движения необходима центростремительная сила, на
правленная от Ж к О и равная
444
ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА
[ГЛ.
30
Так как никаких реальных сил к точке М не приложено, то эта
сила должна получаться в результате сложения переносной и пово
ротной сил инерции. Переносное ускорение — ускорение находящейся
под М точки вращающегося диска — равно ш2г и направлено к
центру О. Соответствующая ему переносная (в нашем случае цен
тробежная) сила инерции будет направлена по радиусу от центра О.
Для, получения поворотной силы инерции множим относительную
скорость Uqth на удвоенную угловую скорость переносного враще
ния и поворачиваем на 90° по направлению вращения, т. е. против
стрелки часов; полученный направленный по радиусу от центра век
тор 2шх/отн и даст нам поворотное ускорение. Поворотная сила инер
ции будет равна 2ягал/отн = 2/moV и направлена к центру. Вычитая
из неё центробежную силу mcoV, мы и получим направленную по
радиусу кцентру силу /жо2г,— находящемуся на диске наблюдателю
л/ и будет казаться, что на точку М действует имен
но эта сила.
Пример 156. Определить изменение ускорения
силы тяжести в зависимости от изменения широты
(формула Клеро).
В этом примере мы имеем равновесие точки
М относительно вращающегося тела (Земли).
L
Пусть N — северный полюс, N C — меридиан точФиг. 443 .
ки М 9 ОС — сечение Земли экваториальной пло
скостью. Добавляем согласно принципу Даламбера
переносную силу инерции, т. е. центробежную силу Q = mo>*MK,
где М К — радиус вращения точки М (вследствие отсутствия относи
тельного движения поворотная сила инерции будет равна нулю)
(фиг. 443); для получения видимой силы веса О складываем по
правилу параллелограмма направленную к центру Земли силу ве
са P — tng и центробежную силу Q = rrn^M K = m ^ R c o s o 9 где
R — радиус Земли.
Отсюда видно, что равнодействующая двух этих сил, совпадаю
щая с диагональю параллелограмма, уже не пройдёт через центр
Земли О. Величину её мы определим как диагональ параллелограмма О,
построенного на Q и Р. Имеем G2 = Р* -f- Q2 — 2PQ cos ср или, так
как G = mg<fi где g ®— значение ускорения g на широте <р:
g 9 = j / V + со4/? 2 cos 2 <р— 2 g ^ R cos29 ,
Но угловая скорость вращения Земли ш равна
г -= 0,72 . 10"4 Усек.
12 • 60 • 60
Далее со9/? = <о* • 6400 • 1 0 3 = 0,033 м/сек*. Отсюда, пренебрегая чле
ном, содержащим ш4, можем написать:
0,033
§
147]
СИЛЫ ИНЕРЦИИ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
445
пли, пользуясь формулой
/Г
1_ £
2 *
будем иметь окончательно
g y ^ g — 0,033 cos 2 ф.
На полюсе gy = g?=& 9,832 м/сек*. Таким образом на широте о
gy = 9,832 — 0,033 cos 2 ср.
На экваторе
gQ
9,832 — 0,033 = 9,799.
На самом деле g *0 = 9,7.8. Разница объясняется тем, что при
выводе этой формулы не принято в расчёт сжатие Земли у полюсов,
благодаря которому сила притяжения на экваторе ослабляется ещё
в большей степени.
П ример 157. Река шириной 1 /2 км течёт с юга на север со
скоростью 5 км/час. Определить поворотное ускорение w k частиц
воды, находящихся на 60°
северной широты. Опреде
лить затем, у какого берега
вода выше и насколько, если
известно, что поверхность
воды должна быть перпен
дикулярна к направлению
равнодействующей силы тя
жести m g и поворотной си
лы инерции — m w k.
Пусть (фиг. 444) ON —
ось Земли, N — северный полюс, NOC — меридиональная плоскость,
проходящая через движущуюся частицу М воды. На том же чертеже
справа изображён вид с северного полюса N (стрелкой обозначено
направление вращения Земли с угловой скоростью о = 0 ,7 2 ПО-4 1/сек).
Д ля получения поворотного ускорения разлагаем скорость v — 5 км/час
реки параллельно и перпендикулярно к оси вращения Земли. Перпен
дикулярная составляющая г;0 = х; sin 60° и будет участвовать в об
разовании поворотного ускорения 2 сог>0, которое, как видно из
правого чертежа, будет направлено к западу. Величина его будет
1,75 • 1 СГ4 м/сек*. Поворотная си. я инерции направлена, следова
тельно, к востоку, или на правый по течению берег реки. Повыше
ние у правого берега будет равно (фиг. 4 4 5 )
446
ПРИНЦИП .ДАЛАМБЕРА
[гл ,
30
Заметим, что стремление воды на северном полушарии к правому
берегу, действуя в течение геологических периодов, подмывает пра
вый берег и делает его более высоким (закон Бэра для рек север
ного полушария). Предоставляем читателю убедиться, что направле
ние поворотной 4 силы инерции всегда будет направлено к правому
берегу назависимо от направления течения реки.
В заключение посмотрим, какую ошибку мы допускаем, считая
в технике Землю неподвижной. Собственно говоря, мы должны были
бы кзаданнымсилам добавить переносные силы инерции от движе
нияЗемли вокруг Солнца и от вращения Земли
вокруг своей оси,
а также кориолисову силу инерции от пово
ротного ускорения.
Ускорение в движении Земли вокруг Солнца
будет
• Ч = ( у ) гЯ.
где
Т — число
секунд в году,
равное
3 6 0 . 2 4 *3600 = 3,1 • 107; R — среднее расФиг. 445.
стояние^Земли от Солнца, равное 150 млн. км
или 15 • Ю10 м. Это даёт нам w t = 6 • Ю" 3
м/сек? — 0 ,6 см/сек2, т. е. меньше 0 ,0 0 1 ускорения g.
Ускорение от вращения Земли вокруг своей оси имеет наиболь
шую величину на экваторе, где оно будет
w 2 = r fR = (0,72 * 10~4) 2 . 6,4 • 106 м/сек* = Ъ,6 см/сек\
т. e. около 0,004 ускорения g .
Наконец поворотная сила инерции достигает своего максимума
на полюсе. Соответствующее ускорение будет
Щ = 2 сог/отн.
Если мы положим zfOTH =100 м/сек, скорость, которз^ю в современ
ной технике имеют быстроходные самолёты, то величина w % будет
2 * 0,72 > 104 • 10 000 см/сек* = 1,4 см/сек2.
И это ускорение не превосходит 0,0015 ускорения g . Таким обра
зом в громадном большинстве технических задач, где потребная
точность не превышает 1 —3 °/0, мы имеем полное право при реше
нии динамических задач рассматривать Землю как неподвижное тело.
ЗАДАЧИ.
145. В шахте опускается равноускоренно бадья весом 280 кг; в п ервы е
10 сек она проходит 35 м. Найти натяжение каната, на котором висит бадья.
О т в е т : 260 кг.
146. Камень весом 3 кг, привязанный к нити длиной 1 м, описывает
окружность в вертикальной плоскости. Определить наименьшую угловую
447
СИЛЫ ИНЕРЦИИ В ОТНОСИТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ
§ 147]
скорость нити со, при которой произойдёт разрыв, если нить может выдер
жать наибольшее растягивающее усилие 9 кг.
О т в е т : со= 4,49 1/сек.
147.
К онический м аятник. Груз М весом Р = 1 кг, подвешенный на
нити длиной 1 = 1 м к неподвижной точке О, описывает окружность в го-
С
а
т?
Фиг. 447.
ризонтальной плоскости, причём нить составляет с вертикалью постоянный
Угол ф = 60°. Определить скорость v движения груза и натяжение Т нити
(фиг. 446).
^ = 2 кг, v = sin ф 1 / - lg : 380 см/сек.
cos срср
у cos
с ср
148. Лебёдка, подымающая груз Р = 2 п г, стоит на балке АВ длиной 8 м,
подпёртой по концам А и В (фиг. 447). Зная, что расстояние лебёдки от
точки А равно а = 3 м и что груз Р подымается с ускорением 0,5 м/сек*,
найти давление на опоры А и В.
О т в е т : 1312 кг, 788 кг.
149.
Два груза Рх й Р2 подве
шены на двух нитях, навёрнутых
на составляющие одно целое ба
рабаны радиусов и и г2, насажен
ные на общую ось. Грузы движут
ся под действием силы тяжести.
Определить угловое ускорение е
барабанов, пренебрегая их масса
ми (фиг. 448).
Ответ: Т=
A r a — P in
P irl + P*r*
Ответ:
£Сли считать положительным, вра Фиг. 448.
щение по стрелке часов.
150. Решить ту же задачу, учитывая веса обоихбарабанов СД
принимая их распределёнными по окружностям обоих блоков.
Р
g^
т в е т. е
2Г 2 —
Р
1Г 1
и
и
_____________
-\~(Рз -f-
151. Жёсткий прямой угол АОВ, массой которого можно пренебречь,
Подвешен за вершину О при помощи шарнира к вертикальной оси так, что
Может вращ аться около точки О в вертикальной плоскости. По концам А
и В этого угла ( O A = llt 0 £ = /s) прикреплены грузы Pt и Р 2. Плоскость
АОВ вращ ается вокруг оси z с какой-то неизвестной угловой скоростью со.
Определить эту скорость, если известно, что уголAOz
имеетзаданную
Величину а (фиг. 449).
~
о
О т в е т : ш3 =
АД sinа — PJs cos а
-т т г ^
?тт,у с!п „ — — g-
ДИНАМИКА ТОЧКИ
448
, [ГЛ . 31
152. Решить ту же задачу, предполагая, что массы P t и Р 2 равномерц 0
распределены по стержням ОА и ОВ, причём Pi и Я 2 относятся как длины
ОА и ОВ.
.
3 l\ Sin а — П cos а
О т в е т : <“’ = у ( И —7^) sin а cos а *
153. Прямоугольный клин поставлен одним из катетов на гладкие гори,
зонтальные рельсы. На его гипотенузу, образующую угол а с горизонтом,
кладут тело, могущее скользить по клину „без трения (фиг. 450).
Найти ускорение Wi клина и относительное ускорение w2 тела по клипу,
если веса клина и тела равны Р и Q. Каковы будут давления
между
телом и клином и N2 клина на рельсы?
$ sin 2а
w,
О т в е т : W i = g п7п
^ . „—г,
6 2{Р + Q S1Q а)
J P + Q ) Sin a
P + Q sina a ’
дг __ PQ COS а
P (P + Q )
Фиг. 450.
P + 0 7 i n i7 ’
P -f- Q Siil2 а *
154.
Локомотив движется равноускоренно, достигая через 20 сек посл
начала движения скорости 72 км/час.
Определить угол а наклона к горизонту свободной поверхности воды
...
_
в тендере.
О т в е т : я = 5°50'.
Г Л А В А 31.
ДИНАМИКА ТОЧКИ*
§ 148* Две основные задачи динамики. Динамика решает следую
щие две основные задачи:
1. По заданному движению тела определить силы, необходимые
для его воспроизведения
так называемая прямая задача динамики.
2 . Определить, какое движение сообщают телу приложенные
к нему заданные силы,— обратная задача динамики.
Решение прямой задачи не представляет больших затруднений:
по заданному закону движения определяем скорости движущегося
тела для различных моментов времени, затем, найдя закон изменения
скоростей, определяем ускорения для различных моментов времени,
наконец, помножив найденные величины ускорений на массу, получаем
значения силы, соответствующие различным моментам времени.
Обратная задача представляет несколько большие трудности.
Зная величину силы и массу заданного тела, определяют простым
делением величину сообщаемого данной силой ускорения- затем
умножив эго ускорение на достаточно малый промежуток времени’
чтобы в течение его считать величину ускорения постоянной, находят
приращение скорости в течение этого промежутка времени- чтобы
знать величину получающейся скорости в конце этого промежутка,
§
Д ВЕ
148]
449
ОСНОВНЫ Е ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
необходимо знать величину начальной скорости, к которой мы могли
бы прибавить величину получившегося приращения; если это началь
ное значение скорости известно, то после определения последователь
ных приращений скоростей для ряда следующих один за другим
достаточно малых промежутков времени мы можем определить, как
будет изменяться скорость движущейся точки за весь рассматриваемый
промежуток времени. Зная значения скорости для различных моментов
времени, мы можем определить перемещение тела в течение любого
промежутка времени, если только он достаточно мал для того, чтобы
в течение этого промежутка считать движение равномерным; если,
кроме того, нам известно расстояние движущейся точки от некоторой
неподвижной точки (начала отсчёта) в начальный момент времени,
то мы, суммируя получающиеся перемещения, сможем найти для
каждого момента расстояние движущейся точки от начала отсчёта,
и следовательно, определить закон движения точки.
Покажем, как это делается, на небольшом примере.
Пусть нам дана материальная точка, масса которой составляет
2 технических единицы или 19,62 кг; на эту точку действует сила,
значения которой для последовательных моментов времени заданы
следующей таблицей:
* = 0 ,0
Р = 20
* = 0,7
Р= 8
0,1
20
0,3
18
0 ,2
0 ,8
19
0,9
5
2
1,0
—1
0,4
16
05
14
0 ,6 сек
11 кг
1,1
1,2
—3
—4
сек
кг
Движение точки является прямолинейным; сила, направленная сначала
вправо, в промежуток времени от 0,9 до 1,0 сек изменила своё
направление на обратное.
Разделив заданные значения силы на массу, равную 2 техническим
единицам, получаем выражение в м/сек* величины ускорений
*=
то =
*=
то =
0 ,0
10
0 ,1
10
0,7
4,0
0 ,8
9,5
0,9
2,5
1 ,0
0,3
9,0
0 ,2
1 ,0
— 0,5
0,4
8 ,0
1,1
-1 ,5
0,5
7,0
1 ,2
—2
0 ,6 сек
5,5 м/сек 2
сек
м/сек*.
Приращение скорости за каждую десятую долю секунды мы получим,
умножая среднюю величину ускорения в течение каждого промежутка
на величину этого промежутка (в нашем случае 0,1 сек). Средние
величины ускорений за каждую десятую часть секунды будут:
A t : 0, — 0,1 0,1 — 0,2 0,2 — 0,3 0,3 — 0,4 0,4 — 0,5 0,5 — 0,6
*2>со 10
9,75
9,25
8,5
_
7,5
6,25 м/сек 3
A t :0 ,6 — 0,7 0,7 — 0,8 0,8 — 0,9 0,9 — 1,0 1,0 — 1,1 1,1 — 1,2
^ cp = 4,75
3,25
1,75
0,25
— 1.0
— 1,7 5 м/сек*
29
З ак . 667.
И . Н . В есел овск и й
450
ДИНАМИКА
точки
[гл. 31
Соответствующие приращения скоростей будут:
A t : 0 — 01, 0,1 — 0,2 0,2 — 0,3 0,3 — 0,4 0,4 — 0,5 0 ,5 — 0,6
Av = 1,0
0,975
0,925
0,85
0,75
0,625 м/сеК
Д /:0 ,6 — 0,7 0,7 — 0,8 0,8 — 0,9 0 ,9 — 1,0 1 ,0 — 1,1 1,1 — 1,2
Av = 0,475
0,325
0,175
0,025
— 0,10
— 0 , 17 Ь м/сек.
Пусть начальное значение скорости в момент t = 0 сек будет
г;0 = 9 ,0 м/сек, тогда значения скорости в моменты * = 0 , t = 0 , 1 , • • •>
t = 1 , 1, t = 1,2 сек представятся следующей таблицей:
t =
0
0,1
г»= 9 , 0
10,0
* = 0,7
0 ,8
V — 14,6 14,925
0 ,2
10,975
0,9
15,1
0,3
11,900
0,4
12,750
1 .0
1,1
15,125
15,025
0 ,6 сек
14,125 м /се#
1,2 сек.
14,850 м/сек.
0,5
13,5
Поступая аналогично, находим средние значения скорости v cp за
каждую десятую долю секунды и перемещения As:
A t: 0 — 0,1 0,1 — 0,2 0 , 2 — 0,3 0,3 — 0,4 0,4 — 0,5 0;5 — 0 ,6
v Cp = 9,5
10,487
11,438
12,325
13,125
13,813 м/сеК
As = 0,95
1,049
1,144
1,232
1,313
1,381 м
A t : 0 ,6 — 0,7 0,7 — 0,8 0,8 — 0,9 0 ,9 — 1 ,0 1,0 — 1,1 1,1 — 1 ,2
г;ср= 14,362 14,762
15,012
15,112
15,075
14,938 м/сеК
As = 1,436
1,476
1,501
1,511
1,507
1,494 л*.
Если начальное расстояние s 0 равно нулю, то, суммируя последова
тельные приращения As и добавляя их к начальному расстоянию
получаем следующую таблицу изменения расстояния s в зависимости
от времени:
/ = 0 ,0
s = 0 ,0
<= 0,7
s = 8 ,50
од
0,95
0 ,2
2 ,0 0
0,3
3,14
0 ,8
0,9
11,48
9,98
0,4
4,37
0,5
5,68
1,0
1,1
12,99
14,50
1,2 сек
15,99 м
Резюмируя всё вышесказанное, мы приходим к следующему вы воду:
для того чтобы движение точки заданной массы было вполн е
определённым, необходимо, кроме величины силы, знать ещё п о л о 
жение точки в момент начала действия силы и величину скорост и
для этого момента времени.
Конечно, в простейших случаях можно получить закон движения
и без этих утомительных вычислений. Так, если на точку не действуют
никакие силы, то закон её движения будет:
s= = so + V ;
§ 148]
Д ВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ
451
если на точку действует постоянная сила Р, то, обозначая частное
— буквой w, будем иметь:
v = s0 -f- w t,
Если движение будет криволинейным, то мы можем заменить его
двумя прямолинейными движениями по осям О х и Оу, разложив
одновременно по этим направлениям действующую силу, и потом
составлять закон движения по каж
дой оси в отдельности.
Пример 158* Составить закон
движения материальной точки массы
т под действием двух сил: одной,
исходящей из центра Clf — оттал
кивающей, а другой, исходящей из
центра С2, — притягивающей, если
обе эти силы действуют прямо про
порционально расстоянию, причём
коэффициент
пропорциональности
равен k как для той, так и для другой силы. В начальный" момент
точка находилась на середине прямой, соединяющей оба центра Ct
и С 2 (С 1Са = 2а), и имела перпендикулярную к этой прямой ско
рость v 0 (фиг. 451).
Возьмём начало координат в начальном положении нашей точки,
направим ось О х по прямой, соединяющей Сг и С2, а ось Оу по
направлению начальной скорости v 0. Возьмём какое-нибудь положе
ние М движущейся точки: к ней будут приложены две силы: от
талкивающая F x = k* CiM и притягивающая / 72 = & • Л1С2. Геометри
ческая сумма этих сил будет:
R = k * C lM -\-k*M C <b = k (C lM - \- M C ^ = k * C lC%.
Таким образом, равнодействующая будет направлена параллельно оси
О х от Cj к С4 и равна по абсолютной величине k • 2а.
Разбивая наше движение на два по направлениям осей Ох и
О у, мы получаем два следующих уравнения:
mwx = X ,
m wy — У,
(96)
где через w x и w y обозначаются величины ускорений по направле
ниям координатных осей, X и У представляют проекции действующей
силы на те же координатные оси. В нашем случае;
X = к • 2а,
29*
У — 09
452
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. 31
так что окончательно исходные уравнения будут:
m w x = 2aky
mwy = 0 .
Это показывает, что по оси О х движение будет равноускоренным
2аk
с ускорением w x = - ^ - y а по оси Оу равномерным; таким образом:
x = x a Jr v U Jr ^ ’ Л
У=Уо + Щ .
При t = 0 мы имеем х = 0 и у = 0 (точка находилась в начале
координат), v* = 0, v l = v 0 (начальная скорость была направлена
вверх по оси Оу). Таким образом, окончательно уравнения движения
будут:
y = v 0t.
По этим уравнениям мы можем определить положение движущейся
точки для любого момента времени.
§ 149. Д инамика гармонического кол еб ан и я. В главе 24 мы
рассмотрели гармоническое колебание: так называется периодическое
движение точки, в котором расстояние её от некоторой точки —
центра колебаний — изменяется по следующему закону:
х = а cos {kt -J- а).
Величина а — наибольшее расстояние точки от центра колебаний —
носит название амплит уды, величина k t - f-a есть так называемая
фаза колебания, а значение, которое принимает фаза при t = 0 ,
называется начальной ф азой: наконец, период колебания Т опре
деляется формулой:
Мы видели, далее, что скорость v и ускорение w в гармоническом
колебании определяются формулами:
v = — a k sin {kt -{- a),
w — — ak* cos {kt -j- a) = — k*x.
Начальная фаза в отличие от периода и амплитуды колебания
зависит от того, какой момент мы выберем в качестве начального;
поэтому надлежащим подбором начального момента можно всегда
сделать начальную фазу равной любой заданной величине. Обычно
за начальный момент выбирают или момент нахождения точки в по
§ 149]
ДИНАМИКА
ГАРМ ОНИЧЕСКОГО КОЛЕБАНИЯ
453
ложении наибольшего отклонения или момент прохождения её через
центр колебаний. В первом случае начальная фаза обращается в нуль
и уравнения движения принимают вид:
x = a c o s k t,
|
v = — a k s \n k t,
I
w — — a k 1cos k t = — k?x. I
(9 7 )
Во втором случае мы должны так подобрать начальную фазу, чтобы
при t — 0 было бы и х = 0; мы можем достичь этого, положив
тс
« = — гг', в таком случае уравнения движения будут:
х = а cos ( k t —
= а sin kt,
v — — a k sin \ k t — y j = ak cos kt,
w = — a k 2 cos [kt —
(98>
= — ak? sin k t — —k? x. J
Покажем, что всякое гармоническое колебание можно представить
как результат сложения двух колебаний вида (97) и (98). Действи
тельно, в формуле
х = а cos (k t + а)
разложим c o s ( ^ - f - a ) по формулам косинуса суммы:
cos (k t -f- a) = cos k t • cos a — sin k t • sin a;
наша формула примет вид:
х = а cos (k t -f- a) = a cos a • cos k t — a sin a . sin k t.
Положив
A — a cos a,
В = — a sin
a,
мы получим выражение для х в виде:
х = А cos k t
В sin kt.
(9 9 )
Выражение (99) представляет самую общую формулу, которая вы
ражает закон движения в гармоническом колебании.
Обратимся теперь к выяснению тех сил, под действием которых
совершается гармоническое колебание. Решение прямой задачи дина
мики будет следующим: если закон движения выражается уравнением
х = a cos (kt -j- 3)i
454
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. 31
то ускорение в этом движении будет:
w = — ak? cos (kt -f- a)
или
w = — k?x.
Помножив ускорение на массу т движущейся точки, мы получим
закон действующей силы в виде:
F 1 — — так? cos (kt -j- a),
F<z = — m t f x .
Таким образом гармоническое колебание может возникнуть и под
действием силы, периодически изменяющейся по закону косинуса
или синуса с тем же самым периодом, что и" рассматриваемое
колебание, и под действием силы притяжения к центру колебания
прямо пропорциональной расстоянию движущейся точки от этого
центра (действительно, при х положительном — точка вправо от
центра — сила будет
отрицательной,
_______ О
с М
дg
направленной влево, т. е. к центру; при
U— х — *4
х же отрицательном — точка влево от
центра — сила будет положительной,
Фиг. 452.
направленной вправо, т. е. опять к
центру). Второй закон действия силы
представляет особую важность; именно по этому закону действует
упругая сила, которая стремится вернуть точку в положение равно
весия и возрастает прямо пропорционально отклонению от положе
ния равновесия.
Перейдём теперь к решению обратной задачи. Требуется опре
делитьпрямолинейноедвижение точки массы
т под действием силы
притяжения к неподвижному
центру, прямо пропорциональной рас
стоянию до последнего (коэффициент пропорциональности обозначают
или буквой Ft — единичная сила, т. е. сила притяжения на расстоянии
х = 1 , или же в виде
где т есть масса движущейся точки);
дано, что в момент ^ = 0 начальное расстояние х = х 0, а начальная
скорость v = v 0.
Пусть О х есть прямолинейная траектория точки, а центр колеба
ния совпадает с началом отсчёта О (фиг. 452). Пусть в некоторый
момент t движущаяся точка находится справа от О на расстоянии
ОМ = х ; на неё будет действовать сила F = F tx или F = m k ^ x ;
так как эта сила будет направлена влево, то в уравнение движения
mw = F
она войдёт со знаком минус; мы будем иметь:
m w = — m k 2x ,
что после сокращения на т даст:
W — — k*x.
ДИНАМ ИКА ГАРМ О Н И ЧЕСКО ГО КОЛЕБАНИЯ
455
Именно такую связь между ускорением и отклонением х мы имели
в случае гармонического колебания по закону
x = a o ,o $ (k t-\-v)\
поэтому мы можем написать
х = A cos k t - j - S sin kti
Что касается коэффициентов А и В, то они могут быть найдены из
0 расстояние х и скорость v должны иметь
заданные величины х 0 и v 0. Подставляя в уравнения
условий, что при t s
х = A z o s kt
В sin k t,
г ; = — A k cos k t -j- B k cos k t
[смотри формулы (97) и (98)] значения х = х 0, v = v 0, * = 0 , полу
чаем два уравнения для определения А и В. Решая эти уравнения,
будем иметь:
Таким образом, закон движения получится окончательно в виде:
х — х 0 cos k t -}-
sin kU
После этого по правилу сложения гармонических колебаний одина
кового периода (§ 123) мы можем найти амплитуду и начальную
фазу результирующего колебания.
Очень часто, однако, на практике нет надобности получать урав
нения движения и можно ограничиться лишь определением амплитуды
и периода колебания — двух существенно важных величин, характе
ризующих колебание. Покажем, как это можно сделать, не составляя
уравнения движения.
Амплитуду можно найти, вычисляя расстояние между двумя
точками, в одной из которых (центре колебания) равна нулю дей
ствующая сила, а в другой (максимальном отклонении) равна нулю
скорость. Таким образом для определения амплитуды важно знать
точку, где скорость равна нулю. Если такая точка известна, то
амплитуда определяется непосредственно, в противном же случае
придётся при помощи теоремы живых сил определять положение,
где останавливается движущаяся точка.
Дадим теперь формулы, определяющие период колебания. Для
последнего мы имели формулу
^
2те
456
ДИНАМИКА ТО Ч КИ
[гл. 31
Что касается
то последнее связано с абсолютной величиной движу„
щей силы соотношением
F = m t i lx .
Если х = 1, то
где Ft есть сила, действующая на движущуюся точку на расстоянии,
равном единице от центра колебания. Таким образом для периода
колебания получаем следующую важную формулу:
( 100)
Пример 159. К концу Л вертикального упругого стержня с за
деланным нижним концом В прикреплён груз Q = 2,5 кг. Груз будет
колебаться, если стержень отклонить и затем предоставить самому
себе. Известно, что для отклонения конца А стержня на 1 см
в горизонтальном направлении нужно приложить силу, равную 0 ,1 кг.
Найти период Т малых колебаний груза Q, считая их прямолинейными.
В нашем случае Fx = 0,1 кг/см , пг = -2- —
(даём g значение
981 потому, что единица длины сантиметр). Пользуясь равенством
я* = 9,81 (очень точным), напишем:
Пример 160. На каждую рессору вагона приходится нагрузка,
под которой рессора прогибается при равновесии на 3 см. Определить амплитуду и период колебаний вагона на
рессорах, если вагон был поставлен на рессору
без начальной скорости.
Центр колебания (точка, где сила равна ну
лю) лежит на 5 см ниже первоначального поло
жения вагона; следовательно, амплитуда равна
5 см. Обозначая через Р нагрузку на каждую
рессору, получаем для периода колебаний вели
чину
силу веса
§ 150!
ВЫ Н У Ж ДЕНН Ы Е КОЛЕБАНИЯ
457
р по радиусу ОМ и касательной; составляющая по радиусу Q'
уничтожается сопротивлением нити, и точку М движет только
сила Q, равная P s in ср. Таким образом сила, приводящая в движение
маятник, будет
Q = m g sin у
mg
Угол <р можем выразить через дугу M C — s . Имеем
s =
Это даёт нам
/ср.
Такимобразом
сила Qвозрастает пропорционально
расстоянию s
от точки С центра
колебаний. Величина Fi в нашем случае будет
р __ mS
Л — — *
Подставляя значение F г в формулу для периода колебаний, получим
7’= 2 т г |Л - Т .
(101)
Второй способ определения периода колебаний заключается в том,
что при прохождении через центр колебания скорость точки дости
гает своего максимума, равного a k , где а — амплитуда колебания.
Поэтому период колебания может быть определён формулой
Т = ~ -.
( 102)
m ax
Что касается самой величины v mах, то последняя может быть опре
делена при помощи теоремы живых сил.
§ 150. Вынужденные колебания. Рассмотренные нами в преды
дущем параграфе колебания носят название собственных колебаний;
они возникают под действием сил упругости тела и период их не
зависит ни от величины начального отклонения, ни от начальной ско
рости движущегося тела, определяясь только его массой т и еди
ничной силой F v
Мы видели, что кроме упругих сил гармонические колебания
могут получиться и под действием периодической силы, период ко
торой, вообще говоря, будет отличен от периода собственных коле
баний. Эти так называемые вынужденные колебания, однако, всегда
сопровождаются и собственными колебаниями, поскольку в теле, от
клонившемся от положения равновесия, на некоторое расстояние, обя
зательно возникнут упругие силы, которые будут стремиться» вернуть
его в положение равновесия.
458
ДИНАМИКА
точки
[гл. 31
Пусть наибольшее значение периодической силы, вызывающей
вынужденные колебания, — так называемой возмущающей силы — бу
дет т Р где т попрежнему масса движущейся точки, а период её
изменения
будет
Гв = — , где п — некоторое вполне определённое
число; тогда, если выберем начальный момент так, чтобы возмущаю
щая сила имела свою наибольшую величину, то выражение для воз
мущающей силы будет:
FB ~ т Р cos n t.
Добавляя эту силу к возникающей при движении упругой силе,
равной F = m k?x, мы получим следующую связь между ускорением
и действующей силой:
m w — — m k?x *-}- т Р cos nt,
(a)
Так как под действиехм возмущающей силы получается периодическое
движение того же периода, то общее движение точки будет склады
ваться из двух колебаний — собственного и вынужденного. Возьмём
его в таком виде:
х = А cos k t - j - B sin k t -f- С cos n t- \- D sin nt.
(b)
Коэффициенты A , В , C, D мы должны подобрать так, чтобы удовле
творялись при всех значениях t выражения для скоростей и ускоре
ний, а также чтобы при t = 0 получались начальные значения
x = x Qi v = v 0.
Сокращая на т наше основное уравнение (а), мы имеем:
w — — k?x
Р со s nt.
(с)
Если х выражается формулой (Ь), то скорость и ускорение будут
v = — A k sin k t -j- B k cos k t — Cn sin nt -f- Dn cos n t,
w = — Ak? cos k t — B k 2 sin k t — Ся 2 cos nt — D n 2 sin n t.
Подставляя полученное значение w вместе со значением для х по фор
муле (Ь) в уравнение (с), будем иметь:
— A k 2 cos k t — B k 2 sin k t — Cn 2 cos nt — D ti 2 sin nt —
= — k?A cos k t — k?B sin k t — Ck? cos nt — Dk? sin nt -J- P cos nt,
что после очевидных сокращений и приведений даст:
С (k? — я2) cos nt -f- D (Л2 — я 2) sin nt — Р cos nt.
Это равенство будет удовлетворено при всех значениях t , если мы
положим;
С (k? — я 2) = Р , D = 0.
§
150]
ВЫ НУЖ ДЕННЫ Е
КОЛЕБАНИЯ
459
Таким образом закон получающегося движения будет иметь вид:
р
х — А cos k t —
j—В siti k t 4 - -г------ ; cos nt,
1
1 k* — Я*
Мы видим, что, кроме собственного колебания, выражаемого первы
ми двумя членами суммы, будет ещё получаться вынужденное коле
бание, амплитуда которого С выражается формулой:
(103)
Что касается коэффициентов А и Б , то мы определим их из началь
ных условий.
Из условия, что при t = 0, x — X q имеем:
Составляя выражение для v и полагая в нём / = = 0 , v = v 0, получим:
v 0 = B k.
Таким образом окончательно мы получим закон движения в виде:
Особенный интерес представляет случай, когда k = n, т. е. когда
период собственных колебаний совпадает с периодом вынужденных
колебаний; этот случай носит специальное название резонанса. Взгляд
на формулу (103) показывает, что при k = n амплитуда вынужден
ного колебания С становится бесконечно большой. Так как при до 
статочно большой деформации упругого тела происходит разрушение
его, а при резонансе такое разрушение действительно может про
изойти, то из того обстоятельства, что при k = n амплитуда С ста
новится бесконечно большой, делают вывод, что при резонансе де
формация тела сразу становится бесконечно большой, что приводит
к мгновенному разрушению тела. Поэтому иногда приходится слы
шать утверждение, что голосом можно разбить стакан, игрой на
скрипке можно разрушить мост, если брать ноту, период колебаний
для которой равен периоду собственных колебаний стакана или
моста. В конце XIX века в Америке нашёлся даже предприимчивый
авантюрист, некто Кили, который, опираясь на такого рода рас
суждения, сумел получить от ряда лиц, в том числе и американ
ских миллиардеров, довольно большие суммы для эксплоатации ^чу
десных» свойств звуковых колебаний.
Для того чтобы разобраться в том, что действительно происхо
дит, не надо увлекаться чисто формальным подходом к формуле (103).
Более внимательное изучение вышеприведённых формул показывает,
460
ДИНАМИКА
[гл. 31
ТОЧКИ
что не только коэффициент С, но и Л тоже обращается в беско
нечность и притом ещё бесконечность отрицательного знака. Возьмём
поэтому целиком всё выражение для х , представив его в таком виде
* = * 0 cos kt +
rZ
sin k t - P ^ f - c o s k tJ'
К — tl
Первые два члена не представят нам никаких затруднений; огра
ничимся поэтому рассмотрением лишь последнего члена. Представим
его в таком виде:
d о o\„ ntJr k t
. nt — kt
— Н • 2 sin — ^— . sin — ^—
(k + п) • (k — п)
Если п близко к k , то sin -—
весьма мал и его можно заменить
углом; таким образом наше выражение принимает вид:
Р sin i n +<W_. (k — ri)t
Pt sin
(k + tl) (k — tl)
При n = k мы получаем ~
n+ k
*
n i,
Таким образом уравнение движения принимает вид:
JC= х 0 cos nt - f ^ sin nt -f- ^ sin nt.
Последний член можно рассматривать как гармоническое колебание,
амплитуда которого ^ с течением времени увеличивается и по истечеНИИ достаточно большого времени t может достигнуть достаточно боль
шой величины, которая приведёт к разрушению, причём это будет тем
скорее, чем больше величина Р — отношение наибольшей величины
возмущающей силы к массе движущегося тела. Теперь мы можем
сказать, можно ли голосом разбить стакан. Такие факты как
говорят, действительно бывали, но для этого необходимо быть или
опытным певцом, могущим достаточное время тянуть одну и ту
же ноту, или же обладать громовым голосом. Что же касается скрипп ячп'иптт^л 1° теоРетически> конечно, возможно игрой на скрипке
бы п гп ять тяк- С; : только> пожалуй, для достижения цели пришлось
Ппимеп lfi 9 т Г0’ ЧТ0 скрипка наверняка разрушилась бы раньше.
Р
Точка привеса О, математического маятника длины I
совершает горизонтальные гармонические колебания около неподвижной точки О по закону
OOi = a sin p t.
§
151 ]
НеСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ
м атериальной
точки
461
Определить вынужденные колебания маятника, считая, что в мо
мент / = 0 он находится в покое (фиг. 454).
Так как маятник совершает колебания по отношению к центру О х
обладающему переносным движением, то при
исследовании колебаний маятника необходи
мо прибавить силу инерции переносного дви
жения Ф:
Ф =
—
mwn€?.
Переносное ускорение w ne? получаем из
уравнения переносного движения точки О х;
оно будет:
w nep = — ар 2 sin pt.
Таким образом возмущающая сила, которая
в нашем случае будет переносной силой инерции,
мулой:
ф = т ар 2 sin pt;
выразится ф ор
она будет направлена в сторону перемещения центра О х и будет
иметь наибольшую величину т Р = ат р2.
Период собственных колебаний маятника по формуле ( 1 0 1 ) будет:
T = 2 « y z,
что соответствует k = j/~& .
Амплитуда
вынужденных
колебаний
определится по формуле (103):
с _
р
—
№—
g_„2
g—W
I
Разделив эту линейную амплитуду на длину / маятника, мы найдём
угловую амплитуду вынужденных колебаний маятника:
■=f V
§ 151. Несвободное движение материальной точки. Пусть ма
териальная точка всё время движения должна оставаться на некото
рой кривой; в таком случае, проектируя полное ускорение этой
точки на касательную и нормаль, получаем тангенциальное и нор
мальное ускорения в движении этой точки:
V2
И wn= j>
где р — радиус кривизны траектории в данной точке, a v — скорость
её движения. Помножив эти ускорения на массу т движущейся
точки и приравняв их проекциям Fx и Fn действующих сил на ка
462
ДИНАМИКА ТОЧКИ
[гл. 31
сательную и нормаль, мы получим'основные уравнения несвободно
го д в и ж е н и я точки. В число действующих сил войдёт и реакция R
связи, которая даёт проекцию только лишь на направление нормали.
Таким образом мы будем иметь уравнения движения в таком виде:
m w x = Fx , m ^ j = Fn -Jr R,
(104)
где Fx и Fn и обозначают проекции активных сил на касательную
и нормаль. Первое уравнение служит для определения движения, вто
рое для нахождения реакции R связи. Для нахождения последней
очень удобно пользоваться теоремой живых сил, если только мож
но найти кинетическую энергию движущегося тела в соответствен
ном положении.
Пусть,например, активная сила F есть сила тяжести. Мы видели
(§ 82),что работа силы тяжести при перемещении из одного поло
жения в другое равна произведению силы веса движущегося тела
на разницу высот в начальном и конечном положениях и не зависит
от формы кривой описываемой точкой.
^
Пользуясь упомянутой теоремой, мы мо
жем находить живую силу, а следовательно,
и скорость тяжёлого тела в любой точке
траектории и таким образом определять ве
личину центробежной силы в соответствую
щем месте.
Пример 163, М ё р т в а я п е т л я . По
рельсам, проложенным по пути А В и обра
зующим затем круговую петлю В С радиуса /?,
двигается велосипедист (фиг. 455). С какой
высоты Н должен скатиться последний без начальной скорости, что
бы он мог достигнуть, не сорвавшись, верхней точки С?
При движении велосипедиста по А В живая сила его будет увели
чиваться, при подъёме от В к С уменьшаться.
Для того чтобы велосипедист не падал, необходимо, чтобы во
всё время движения (за исключением, может быть, на один момент
в самой высшей точке С) он прижимался с некоторой силой к пет
ле, т. е. чтобы давление велосипедиста на петлю не равнялось нулю.
Для вычисления этого давления мы, согласно принципу Даламбера,
должны прибавить центробежную силу инерции. Таким образом на
велосипедиста в самой высшей точке С будут действовать: вес Р
вниз, давление (реакция) петли N вниз и центробежная сила инерции
m ^ вверх. Согласно условиям равновесия будем иметь
N + P = m ^,
откуда
§ 151],
НЕСВОБОДНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
46&
Так как N должно быть больше нуля (или, в крайнем случае равно
нулю), то
т ^ — Р ^О
или
т ^ ^ Р.
Живая сила в точке В будет равна работе, совершаемой весом»
велосипедиста при опускании из А в В. Так как при вычислении
работы надо брать или величину силы по направлению перемещения
или, наоборот, величину перемещения по направлению силы, то в
данном случае работа веса Р при переходе из А в В будет равна
произведению веса Р на вертикальное перемещение велосипедиста
между А и В г т. е. на расстояние Н. Такимобразом, если вес ве
лосипедиста равен Р , то в точке В живая сила его будет PH.
В точке С она уменьшится на 2 R P — работу при поднятии по вер
тикали из В в С и будет равна Р ( Н — 27?). Таким образом наимень
шая скорость v в точке С будет определяться из уравнения
^
= Р ( Я - 2 /?),
С другой стороны* вес Р должен быть меньше или равен центро
бежной силе:
mv2 р
R
Приравнивая выражения для
получаемые из обоих уравнений,
будем иметь
P R ^ 2 P ( H — 2 /?),
откуда
Такова та минимальная высота, с которой безопасно, не работая
ногами, может съезжать велосипедист. Во избежание потерь на тре
ние и прочие сопротивления рекомендуется сделать её несколько выше
или же дать дополнительную энергию, для чего необходимо работать
педалями.
ЗАДАЧИ,
155. Дирижабль летит на высоте 400 м над землёй с горизонтальной
скоростью 72 км/час. На каком расстоянии х, измеряемом по горизонтали
от данной точки В, должен быть сброшен с дирижабля без начальной отно
сительной скорости груз для того, чтобы он попал в эту точку.
О т в е т: х== 180 м.
156. Пружина АВ, закреплённая одним концом в верхней точке А, такова,
что для удлинения её на 1 см необходимо приложить в точке В силу 20 г.
В некоторый момент, когда пружина не растянута, к нижнему концу её под
вешивают гирю весом 100 г и предоставляют ей падать. Написать уравнен
вис гармонического колебания, взяв за начальный момент: / = 0 — моментг
464
ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА
[ГЛ. 3 £
подвешивания гири. Начало координат — в положении статического равно
весия (центре колебаний). _
О т в е т : а: = 5 cos (2тс J/"5 1).
157.
При падении тела внутри земли сила тяжести убывает пропорци
опально расстоянию тела от центра Земли. Зная, что радиус шара равен
6400 км, определить время, в течение которого тело без начальной скорости
долетит до центра Земли, а также скорость г/тах его прохождения через
центр,
предполагая, что сопротивление движению
отсутствует.
Указание. Это время будет равняться четверти пол
ного периода колебания движущегося тела вокруг цен
тра Земли.
О т в е т : 1260 сек — 21 минута, v m2^ = 7 $ км/сек.
158. Камень, находящийся на вершине гладкого
полусферического купола радиуса R , получает начальФиг. 456.
ную горизонтальную скорость vQ. В каком месте камень
покинет купол? (фиг. 456).
О т в е т : Если через <р обозначим угол, соответствующий дуге АА1 до
точки М, где камень покинет купол, то <р3 определится из условия:
2 , vl
созср = у + зjQ -
Г Л А В А 32.
ДИНАМИКА ТВЁРДОГО ТЕЛА.
§ 152. Динамические уравнения плоскопараллельного движе
ния.При помощи
принципа Даламбера мы имеем возможность
составить уравнения движения любой механической системы, в том
числе и твёрдого тела. Ограничимся практически наиболее важным
случаем плоскопараллельного движения.
Пусть нам дана плоская материальная фигура (фиг. 457), движу
щаяся в своей плоскости, к которой приложены несколько внешних
сил; приводя эти силы к некоторой
точке О, как мы это делали и в гла
ве 2 1 , мы заменяем их одной силой R
и одной парой, момент которой Q0
равен сумме моментов всех дей
ствующих сил относительно центра
приведения О. Эта система должна
уравновешиваться с системой сил
инерции различных материальных
точек, из которых состоит наше тело.
Пусть А одна из таких точек, об
ладающая массой т и отстоящая на
расстоянии ОА = г от центра приве
дения О. Мы знаем, что ускорение любой точки в плоскопараллельном
движении состоит из трёх ускорений: переносного ускорения точки,
§
1 5 2 ] ДИНАМ ИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
465
выбранной за центр вращения (пусть это будет та же самая точка
О), и двух ускорений— тангенциального и нормального — во враще
нии фигуры вокруг этого центра. Пусть со и е будут соответственно
угловая скорость и угловое ускорение во вращении нашей фигуры
вокруг центра О, a w 0 — ускорение точки О; тогда А будет иметь
три ускорения: одно переносное w 0 и два относительных: тангенци
альное w i = er и нормальное w i = (&V. Соответственно с этим к
точке А будут приложены три силы инерции: F0 = m w 0) F 1 = mcoV
и F%= msr. Так как переносное ускорение будет одним и тем же для
всех точек твёрдого тела подобно ускорению свободного падения g,
то равнодействующая всех переносных сил инерции обязательно
пройдёт через центр тяжести движущегося тела. Поэтому, поскольку
мы пока ещё не делали никаких ограничений при выборе центра
приведения О, то вполне естественно взять в качестве такового
центр тяжести тела, который таким образом будет одновременно
и центром приведения и центром вращения. Равнодействующая всех
переносных сил инерции тела будет равна:
R = ^ jn w о = w Q• J/jn;
если обозначить
через М — массу всего движущегося тела,— то.
эта равнодействующая будет:
R = M w 0,
её направление будет прямо противоположно направлению ускоре
ния w 0.
Обратимся теперь к определению равнодействующей всех центро
бежных (F t) и тангенциальных (F2) сил инерции. Проведём через
точку О две координатные оси О х и Оу; пусть радиус-вектор ОА
образует с осью О х угол ср; тогда проекции сил Fx и F 2 на коор
динатные оси будут:
np^F*х= т<х?г COS ср= /Ш02лг,
np^Fj = /яш2г sin ср= тш*у,
прXF%= — тег sin 9 = — теу,
np^F 2 = тег cos ср == т ех,
где х н у суть координаты ОК и К А рассматриваемой точки А .
Суммы проекций этих сил на координатные оси будут:
X = 2 np^Fj
2 ПР .Л =
y j n r f x -f- 2 (— теу) = о>* % т х — е %ту,
Y — 2 np>,F1 -j- 2 npyF2—
-f- У^тех = < d - j - s %мх.
Так как точка О есть центр тяжести нашего тела, то выражения
2 ,т х и ^ тУ>равные М х с и М ус, где х с и у с суть координаты центра
тяжести рассматриваемого тела, обращаются в нуль. (Центр тяжести
совпадает с началом координат.) Таким образом главный вектор
30
Зак. 667. И. Н. Веселовский
ш
ДИНАМИКА ТВЕРД ОГО ТЕДА
[гл. 32
системы тангенциальных и нормальных сил инерции в относительном
движении тела вокруг центра тяжести будет равен нулю; в центре
тяжести будут приложены лишь главный вектор
системы внешних
сил и главный вектор системы переносных сил инерции. Так как
этот последний должен быть прямо противоположен ускорению w 0
центра тяжести, то при равновесии, которого требует принцип
Даламбера, мы должны будем иметь:
R = M w 0.
(105)
Это есть уравнение движения точки, в которой сосредоточена масса
Ж и к которой приложена сила /?. Мы получаем важную теорему.
Центр тяжести движется к а к точка* в которой сосредото
чена вся масса тела и к которой прилож ены все внешние силы,
действующие на т ело.
Перейдём теперь к составлению главного момента всех сил инер
ции рассматриваемого тела. Так как точка О будет одновременно
и центром тяжести и центром вращения, то ясно, что суммы момен
тов переносных и центробежных сил инерции тела относительно этой
точки будут равны нулю; сумма же моментов тангенциальных сил
инерции будет
Щтег • г = е'Щтг* — / 0в,
где J0 — момент инерции тела вокруг оси, проходящей через центр
тяжести тела перпендикулярно к его плоскости. Так как момент сил
инерции должен уравновеситься с моментом внешних сил, взятым
относительно точки О, то мы будем иметь согласно принципу
Даламбера:
Q * = 4 *(Ю 6 )
Таким образом вращение вокруг оси, проходящей через центр
тяжести, происходит так, как-будто бы он был неподвижен; это
получается, если мы сравним полученное уравнение с формулой (73)
в § 93.
Отметим, что если бы точка О не совпадала с центром тяжести,
то наши уравнения (105 и 106) не получились бы в такой простой
форме: в уравнении (105) были бы члены, представляющие равно
действующие тангенциальных и центробежных сил инерции (суммы
£ т х и ]£ту равны нулю только для центра тяжести), а в уравнение
(106) вошёл бы момент переносных сил инерции. Таким образом,
если в кинематике нам безразлично, какую точку выбирать в качестве
центра вращения, то в динамике выбор центра тяжести в качестве
точки, определяющей поступательное переносное движение, является
почти что обязательным под страхом усложнения получающихся
уравнений движения.
§ 153, Теорема Кенига. То же самое можно сказать и относи
тельно вычисления живой силы твёрдого тела. Мы видели [§ 8 6
§ 153]
ТЕОРЕМ А КЕНИГА
467
формула (62)], что живая сила твёрдого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси, выражается формулой:
где У есть момент инерции относительно оси вращения или, в случае
плоской фигуры, относительно центра вращения.
Всякое плоско-параллельное движение мы можем в любой мо
мент представить как вращение тела вокруг мгновенного центра Л.
Пусть <D будет угловая скорость враще
ния, С — центр тяжести тела. В таком случае
живая сила тела будет:
T = ± J Am \
где Уд— момент инерции вокруг оси, перпен
дикулярной плоскости движения (которую мы
приняли за плоскость чертежа) и проходящей
Фиг. 458.
через Л. Момент инерции Уд (фиг. 458) отно
сительно оси, проходящей через Л, может быть
выражен суммой, состоящей из момента инерции Jc вокруг оси, про
ходящей через центр тяжести С, и квадрата расстояния от Л до С,
умноженного на массу М тела, т. е.
J a = Jc - \ - M - A O .
Это даёт нам
~ I / a . М •А2С
2<оа
— .
Заметим, что
со9 . A C * = v c ,
где v c есть
поэтому
линейная
скорость
центра тяжести С нашего тела;
л
гг
1 г 2 I MVc
T = y J c <*> +
т. е. ж ивая сила в общем случае движ ения твёрдого тела равна
сумме о/сивой силы в носту нательном движении тела со скоростью
цент ра тяж ести и живой силы во вращательном движении
вокруг цент ра тяж ести (теорема Кенига).
Пример 164. Сани весят Р к г, а экипаж 3Д р кг> из которых
Vi Р кг весят колёса, a xj 2 Р кг — кузов. Считая, что масса колеса
распределена по обручу радиуса /?, определить работы, которые
нужно сообщить саням и экипажу для того, чтобы везти их с оди
наковой скоростью v .
30*
ДИНАМИКА Т В Ё РД О ГО
468
а) Живая сила Тс саней будет
~
mv2
Р
Тс = ~55—9 где m =
z
б) Живая
силы кузова
и живой силы колёс
масса саней.
S
сила экипажа
Гэк
т
k~
Гкол,
[гл. 32
ТЕЛА
будет состоять из суммы живой
m у*
mv2
2 ~2~ 4
которую мы вычисляем по теореме Кенига:
m v2 - „и?_____mv 2 I ^
0)3
mv* I m ^2R2
J 2 +
2
4 ^ У — “ 8 “ "*
8
*
HO соR = v, поэтому
T
mv 2 I /иг;2 __ mv 8
кол —
кол
“8
T
r
I
8
T
“ *
следовательно,
*
r
Э К -------- -* /г “ Г
*
__ m^2
КОЛ
>
т. e.
Tc — T экТаким образом живая сила экипажа и саней одинакова; если же
живые силы равны, то и необходимые для их сообщения работы
будут тоже равны, хотя экипаж легче саней.
Пример 165. Шарик массы М и радиуса R катится без сколь
жения по наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол а
(фиг. 459).
Определить ускорение в
движении шарика по плоскости.
Обычно ответ бывает, что искомое
ускорение равняется ^ s i n a . Это неверно,
потому что работа силы тяжести тратится
не только на сообщение телу скорости в
поступательном движении по наклонной
плоскости, но и на приведение тела во
вращение.
Пусть шарик опустится по наклонной плоскости на расстояние
A B — s . Работа силы тяжести при этом перемещении будет
•
M gs sin a.
Эта работа пойдёт, во-первых, на сообщение шарику поступательного
движения. Если в положении А шарик находился в покое, то соот
ветствующее приращение живой силы будет, если v — скорость центра
Y Mv*
(так как в начальный момент шарик находился в покое). В о -в т о р ы х ,
§
153]
ТЕОРЕМА КЕНИГА
469
часть работы пойдёт на сообщение шарику вращения вокруг оси,
перпендикулярной к плоскости чертежа; соответствующая живая сила
будет
Но вследствие отсутствия скольжения между шариком и плоскостью
мы будем иметь
v = со/?,
и живая сила во вращательном движении будет
4-уИг>9.
О
Написав,
что работа равна приращению живой силы, будем иметь
M g s sin а = 4 Ж ( l + 4
Отсюда
<2? r = о2 g * s• i n a - 5y s.
Сравнивая это с формулой равноускоренного движения
v 2= 2 w s,
получаем, что ускорение w в нашем случае будет
5
w = у g*sm a.
Э тот пример показывает, почему Галилей не мог найти точ
ного значения g при помощи наклонной плоскости; сила тяжести
кроме сообщения ’ускорения шла на сообщение вращения шарику,
преодоление силы трения и т. д. В том случае, когда нет вращения,
от силы тяжести нужно отнять довольно большую силу трения;
если же мы для уменьшения силы трения будем скатывать шарик,
то мы не можем, с одной стороны, целиком устранить скольжения,
а кроме того, не можем ручаться за его однородность, так как
только в этом случае могут быть применены формулы, выведенные
нами для момента инерции. Таким образом для точного определения
ускорения силы тяжести способ наклонной плоскости Галилея не
пригоден.
Оба разобранных примера показывают нам оборотную сторону
вы бора вращательного движения для перемещения тел. С одной сто
роны, трение скольжения мы заменяем более выгодным трением
качения, с другой стороны, нам приходится тратить работу на при
ведение во вращение; поэтому желательно вращающиеся части делать
возможно меньшего веса. Если внимательно рассматривать изобра
жения фотографий паровозов со времён Стефенсона до настоящей
470
ДИНАМИКА ТВЁРДОГО
[гл. 32
ТЕЛА
эпохи, то уменьшение диаметра колёс (кроме ведущих) можно заме
тить вполне отчётливо.
На практике перемещение тела при помощи вращения осущ ест
вляется или при помощи колёс, или при помощи катков: в первом
случае движущая сила прикладывается в центре колеса, во втором — в
верхней точке его диаметра. Разбирая трение качения (§ 50), мы ви
дели, что величина движущей силы F определится формулой
F—
— kЬ —
Г
d,
где Р — вес тела, k — коэффициент трения 2 -го рода и d — плечо
движущей силы относительно точки соприкосновения колеса с пло
скостью качения. При применении катков мы получаем вдвое мень
шее значение движущей силы F , но так как мы видели при разборе
циклоидального движения (§ 127), что верхний конец вертикального
диаметра движется вдвое быстрее центра колеса, то совершаемая
работа в том и другом случае остаётся совершенно одинаковой;
практически же употребление катков неудобно вследствие необходи
мости постоянного их подкладывания. Это последнее обстоятельство
не имеет места в шариковых подшипниках, где шарики заполняют
всю окружность, по которой перекатывается вращающаяся ось;
больше того, при одинаковом весе шарика и ролика использование
первого представляет то преимущество, что момент инерции шара
меньше момента инерции цилиндриче
ского колеса равного веса и диаметра.
В § 149 мы имели формулу для
определения периода колебания:
2па
Т
*— 4
( 102)
где а — амплитуда колебания, a z w
(наибольшая) скорость во время про
хождения через центр колебания. Д а
дим несколько примеров на примене
ние этой формулы.
Пример 166. Определить период колебаний шара А радиуса г,
катящегося по окружности радиуса R без скольжения (фиг. 460).
Пусть начальное отклонение шарика от положения равновесия
соответствует углу ВО А = а; в таком случае амплитуда колебания а
будет равна дуге А В , равной (/? — г) а.
Для определения z/max воспользуемся теоремой живых сил для
положений В и А шарика. В положении А живая сила шарика будет
равна живой силе от поступательного движения центра шарика по
дуге В А = а со скоростью v , сложенной с живой силой вращатель
ного движения. Далее работа силы тяжести при перемещении из
В в А будет
Р * АС = Р * (ft — r )( 1 — cos а).
ТЕОРЕМА КЕНИГА
§ 15 3 ]
471
Сравнивая выражения живой силы и работы, будем иметь
P > ( R — r ) ( l — cosa) = - j -^-г»4- ] - у Уш4.
п
НО
да
1 — cos a = 2 sin 4 y — ~2
вследствие малости угла а. Далее
*L r4,
J = - 152 —
9
gс г
v = <or.
Это даёт нам
Отсюда
,
о
~
v* = ± g ( R - r ) * * = T g w = f
Подставив выражение для v в формулу
т 2 тza
L~ v 9
найдём
Т = 2 « У Щ ^ ,
Зная период Т колебания и радиус шарика г, мы можем по этой
формуле определить радиус R окружности или
вообще радиус кривизны поверхности, по которой
катится наш шарик.
Пример 167. Для определения момента инер
ции махового колеса, центр которого лежит на
°си вращения, к его окружности прикрепляют
массу М , которую можно считать сосредоточен
ной в одной точке, отводят маховик из положе
ния равновесия на весьма малый угол а и наблю
дают период Т получающихся при этом качаФиг. 461.
Ний* Зная радиус маховика R , определить по
этим данным его момент инерции (фиг. 461).
Рассуждения, аналогичные приведённым в предыдущем примере,
Дадут нам
a — Ra
Ma^Rg
J+ MR
Период колебаний Г будет
откуда
472
ДИНАМИКА
ТВЁ РДОГО
ТЕЛА
[гл .
32
Если мы имеем какой-нибудь механизм, движение звеньев кото
рого вполне определяется движением одного звена, то для вычисления
живой силы этого механизма можно воспользоваться понятиями о при
ведённой массе и приведённом моменте инерции.
В качестве примера применения этих понятий разберём криво
шипно-шатунный' механизм, кривошип которого вращается равно
мерно с угловой скоростью (Oj. Если Jx есть момент инерции этого
кривошипа относительно его оси вращения, то живая сила его
будет:
Г,= 4 Л»?.
Пусть шатун обладает массой
и моментом инерции относительно
центра тяжести / 2; тогда если г>2— скорость движения его центра
тяжести и со2 — угловая скорость вращения шатуна, то, согласно тео
реме Кенига, мы будем иметь:
Г 2 = -g-
-f-
У2<о|.
Пусть, наконец, М 3 и v 3 будут масса и скорость ползушки; тогда
живая сила последней будет:
Живая сила всей системы будет:
Т = Т у-{- Г2
Т3 = -g- (Jy<t>\ -f-
-f- M %v \ -f- M 3v ‘i) .
Вынесем постоянную величину coj за скобку; тогда в последней оста
нется выражение:
Обозначим это выражение через J и назовём приведённым моментом
инерции маш ины. Так как приведённый момент инерции зависит
от соотношений скоростей различных частей машины, которые ме
няются в зависимости от положения машины, то приведённый момент
инерции будет переменной величиной, вполне определённой для
каждого положения вращающегося кривошипа. Введя понятие о при
ведённом моменте инерции, мы можем живую силу рассматриваемого
механизма представить в виде:
г=-| л».
Мы заменили наш механизм одним телом с переменным момен
том инерции, вращающимся вокруг некоторой неподвижной оси.
Можно пойти ещё дальше и заменить его одной точкой, которую ,
§ 154]
Ф ИЗИЧЕСКИЙ
МАЯТНИК
473
вообще говоря, можно взять произвольно. Пусть выбранная точка
будет конец кривошипа. Если длина кривошипа равна г, то живая
сила некоторой массы М , помещённой на его конце, будет:
Приравняв эту величину полученному выражению живой силы, мы
будем иметь:
i
1
± M r * o)J = iy < D jf
Эта величина М называется приведённой массой машины и может
служить для вычисления её живой силы. Как и приведённый момент
инерции, приведённая масса не будет постоянной; она будет иметь
определённую величину для каждого положения вращающегося кри
вошипа. '
Приведённые массы и момент инерции легко могут быть опре
делены, если построен план скоростей механизма для интересующего
нас положения.
§ 154. Ф изический м аятник. Физическим маятником называется
тяжёлое твёрдое тело, могущее вращаться вокруг горизонтальной
оси, не проходящей через центр тяжести. В положении устойчи
вого равновесия центр тяжести будет находиться
непосредственно под осью вращения; если откло
нить маятник от положения равновесия, то он
будет стремиться вернуться к последнему. Если
угол отклонения будет невелик (т. е. если вместо
угла можно взять его синус или тангенс), то по
лучающиеся при этом периодические изменения
угла отклонения будут следовать законам гармо
нического колебания.
Действительно^ пусть на фиг. 462 точка О
изображает сечение оси вращения маятника плос
костью чертежа, проходящей через центр тяжести
С маятника. Если / 0 есть момент инерции маят
ника относительно оси вращения О, то основное уравнение динамики
для вращательного движения будет
V = Q,
где е — угловое ускорение, Q — вращающий момент. Если Д |;—■
масса маятника, то вращающий момент Q будет
Q = M g • B C — M ga sin ср«а M ga ср.
Заметим, что вращающий момент Q будет по знаку противопо
ложен углу отклонения ср; в самом деле, если <р будем считать
474
ДИНАМИКА Т В Е РД О ГО ТВ ЛА
[гл. 32
положительным в направлении вращения против стрелки часов от
положения устойчивого равновесия Oz, то при <р положительном
момент Q будет отрицательным (он стремится вращать по направле
нию стрелки часов), при отрицательных же значениях 9 (слева от 0 )
момент Q будет положительным. Таким образом мы будем иметь
= — Mga<t,
откуда
Mga
Jo
Сравнивая это выражение с зависимостью для ускорения w в гармо
ническом колебании
w = — k*x,
мы видим, что 9 будет изменяться по закону гармонического коле
бания, период Т = - £ которого мы получим, если положим
k < t_ M a g '
Л
Отсюда период Т малых колебаний физического маятника будет
г = 2* V i k i
(107)
Сравнивая его с общей формулой периода гармонического коле
бания
3 = 2* j / i ,
мы заметим аналогию в строении обеих формул; только в случае
физического маятника вместо массы пг стоит, как мы и могли бы
ожидать, момент инерции Ув, а вместо силы Fu действующей на
расстоянии, равном единице, выражение M ag, которое мы могли бы
назвать получающимся при <р= 1 моментом, если рассматривать
небольшие углы отклонения 9 , для которых вращающий момент
выражается формулой
Q = M ag • 9 .
Еще более интересные выводы мы получим, если сравним Фор
мулу периода колебаний физического маятника с формулой периода
колебаний математического маятника (см. пример 161 в § 149);
г = > |/ Т .
§ 154]
ф и зи ч ес к и й
м аятник
475
Мы легко придём к выводу, что период колебаний физического
маятника будет одинаков с периодом колебания математического
маятника, длина / которого равна
Это выражение носит название приведённой длины физического маят
ника. Если по линии ОС отложить от центра О длину О К = I, то
полученная таким образом точка К носит название центра качания.
Покажем, что центр качания лежит ниже центра тяжести С
маятника. В самом деле, по теореме о параллельных осях момент
инерции У0 будет равняться моменту инерции JQ около параллель
ной оси, проходящей через центр тяжести, сложенному с произве
дением массы М на квадрат расстояния а между обеими осями.
В таком случае
_С + Ma2 __
1__ Jc
Ма
I Jcс
~ а * Ма ‘
Поскольку второй член есть величина существенно положитель
ная, мы имеем, что всегда /^ > а .
Для более детального исследования вопроса положим Jc = M k 2,
где k — так называемый радиус инерции (расстояние, на котором
нужно сосредоточить всю массу тела, чтобы полученный таким
образом момент инерции точки равнялся рассма
триваемому моменту инерции тела). Тогда фор
мула для приведённой длины получит следующий
простой вид:
; __ Л | k%
I— а — •
1 а
Эта формула может быть выражена при помощи
следующего простого построения, найденного
впервые Гюйгенсом. Проведём (фиг. 463) через
центр тяжести прямую OL> в точке С восставим
к ней перпендикуляр A C — k , полученную точку
Фиг. 463.
А соединим с О и проведём из А прямую AL
под прямым углом к О А . Полученная точка L и будет центром ка
чания. Доказательство этого построения мы можем представить чита
телю, обратив внимание на известное из элементарной геометрии
свойство перпендикуляра, опущенного из вершины прямого угла
на гипотенузу.
Из построения Гюйгенса можно сделать следующий любопытный
вывод. Если поместить точку подвеса в центре качания Z,, то
согласно построению Гюйгенса центр качания получится в прежней
476
ДИНАМИКА ТВЁРДОГО
ТЕЛА
[гл. 32
точке подвеса О. Таким образом центр качания и точка подвеса
обладают свойством взаимной переместимости.
Второй вывод заключается в следующем. Если взять точку под
веса О достаточно близкой к центру тяжести С, то центр кача
ния L будет получаться очень далеко от С и может быть таким
образом всецело выведен за пределы рассматриваемого колеблющегося
тела. Это обстоятельство тем более важно отметить, что в элементар
ных учебниках физики очень часто рассматривают физический маят
ник, как состоящий из ряда математических, которые колеблются с раз
ными периодами и тем быстрее, чем меньше их расстояние до точки
подвеса О. При своём включении в состав физического маятника более
быстрые маятники были бы задержаны более медленными и, в свою
очередь, подогнали бы их, так что сохранили бы свой период коле
бания лишь те маятники, которые находились бы от точки привеса
как раз на расстоянии, равном приведённой длине. В таком случае
приведённую длину можно было бы рассматривать как какую-то
среднюю длину, получающуюся в результате взаимного влияния к о 
леблющихся с разными периодами элементарных маятников. Непра
вильность такого рассуждения обнаруживается
сразу, если мы обратим внимание на материаль
ные точки тела, которые лежат под осью вра
щения О; эти точки никоим образом не могут
быть приняты за математические маятники, поче
му и отпадает всё вышеприведённое рассуждение.
Пример 168. Найти период колебания Г,
приведённую длину / и центр качания физиче
ского маятника, представляющего однородный
диск радиуса R , колеблющийся вокруг оси А ,
перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через середину
радиуса (фиг. 464).
О т в е т : Независимо от массы М диска
т = *ъУ Щ .
Центр качания будет находиться в точке К на окружности диска.
Пример 169. Определить геометрическое место точек подвеса
плоской фигуры, колеблющейся вокруг оси, перпендикулярной к её плос
кости, для которых период колебания имеет постоянную величину Т .
Поскольку период колебания зависит лишь от приведённой длины,
а приведённая длина — от расстояния точки привеса до центра тя
жести, то период колебания будет одинаковым для точек привеса,
лежащих на одинаковых расстояниях от центра тяжести. Искомое
геометрическое место состоит из двух окружностей, радиусы г к о 
торых удовлетворяют уравнению
г I ь± = ё11
' г
4it8 ’
§
ФИЗИЧЕСКИЙ
154]
477
МАЯТНИК
где к — радиус инерции для оси, проходящей через центр тяжести
фигуры перпендикулярно к её плоскости.
Пример 170. Найти геометрическое место точек подвеса, для
которых период колебания Т будет наименьшим.
Для этого должна быть наименьшей приведённая длина. Из фиг.
463 имеем
/ = о с -f- CL = k ctg a 4~ k tg a —
1
« + c°s_lfO
s ifla c o s a
откуда Tmin соответствует значению а = 45°.
О т в е т : Окружность, описанная около центра тяжести радиусом k
(радиус инерции для центра тяжести).
Пример 171. Для регулирования больших башенных часов фран
цузские часовщики в начале XVIII века употребляли ползушку, ко
торая по стержню маятника передвигалась вверх и вниз, смотря по
тому, требовалось ли уменьшить или увеличить продолжительность
колебания маятника. Они были очень поражены, когда увидели, что
'ползуш ка может действовать указанным образом лишь до некоторой
высоты, после достижения которой она перестаёт влиять на про
должительность периода колебания, при дальнейшем же повышении
начинает действовать в противоположном направлении, увеличивая
период колебания вместо того, чтобы его уменьшить. Объяснить
причину описанного явления.
Если М — масса маятника, J — его момент инерции относительно
оси привеса, а
расстояние центра его тяжести от оси привеса,
ш — масса ползушки и х — её расстояние до оси, то период коле
бания маятника выразится формулой
Уменьшая х , мы, с одной стороны, уменьшаем момент инерции,
с другой, — уменьшаем вращающий момент всей системы. При боль
ших значениях х первенствующее значение имеет числитель и с умень
шением х период уменьшается, при малых х первенствующее зна
чение имеет знаменатель, почему период колебания маятника и может
увеличиться, несмотря на уменьшение х .
П ример 172. Маятник состоит из стержня и прикреплённого к его
концу полого шара, массами которых можно пренебречь. Полость
наполняют один раз водой, могущей свободно перемещаться в по
лости без трения о стенки последней, и другой раз деревом, обла
дающим той же плотностью, что и вода, но не могущим уже пере
мещаться в полости. Каким образом отличить маятник с водой от
маятника с деревом, если радиус инерции объёма полости относи
тельно её диаметра равен к , а расстояние её центра от оси маятника
есть а ?
473
ДИНАМИКА ТВ ЁРД О ГО
[гл. 32
ТЕЛ А
Указание. Заставим оба маятника качаться; маятник с деревом
_1_ у
^8
будет отставать, потому что его приведённая длина будет —
тогда как наполненный водой, движущейся в плоскости поступа
тельно, маятник будет представлять математический маятник с дли
ной а.
Пример 173. Тонкая однородная пластинка, имеющая форму
прямоугольника A B C D , колеблется около неподвижной оси А В , со
ставляющей с вертикалью угол а; ширина пластинки A D = a ; опре
делить период малых колебаний пластинки
(фиг. 465).
О т в е т : Вращающий момент будет созда
ваться лишь составляющей
силой тяжести
m g sin а, перпендикулярной к оси вращения.
Искомый период колебания будет
' = 2 тг | /
ш
f
—
a
----- = 271*1/__ —__
f 3# sin а
/я у g sin a
S
При t небольших значениях угла а мы по
лучаем так называемый горизонтальный маят
ник, играющий важную роль в конструкции с о 
временных сейсмографов. Для того чтобы записать колебания земли,
нужно иметь вне последней точку, которую можно было бы счи
тать практически неподвижной. Поскольку колебания земли занимают
лишь сотые доли секунды, то за такую точку можно было бы при
нять конец маятника, период колебания которого равнялся бы
1 — 2 мин. Конструируя этот маятник как обыкновенный математи
ческий, МЫ получили бы для него длину, определяющуюся из урав
нения:
1= § и
4тса ‘
При 7 = 1 мин. это дало бы нам / = 900 м. Если же заставить
его колебаться около оси, образующей с вертикалью угол в 1 ' то
для I мы имели бы выражение
*
l~
S
*■*
= = 9 0 0 Ш Т бО = Т5 ' э 0 >2 5 *■
у. „ГлГ^“ ;г;сГреГ»т^и% ^г.^
мо“ е« ™ »“Чш яи. Применение
определГТеГе^Те’р ^ Г Г а.^ *= 1ч ^ °к ,Г р ы я Т аХ и " У
е«:
§ 1551
ОП Ы ТНО Е О П РЕД ЕЛ ЕН И Е
МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ
47$
он не в состоянии. Действительно, по формуле полного периода
колебания:
гJ
Т— 2пу j
Mag
всегда можно определить момент инерции J, если только известны
вес тела M g, расстояние а центра его тя
жести от оси вращения и период Т колебания.
Пример 174. Для определения момента
инерции J данного тела относительно некото
рой оси А В , проходящей через центр тяжести
тела, его прикрепили неподвижно к раме
A B C D , могущей вращаться вокруг оси CD,
параллельной А В , момент инерции которой
относительно оси CD равен У0, вес Р 0 и центр
тяжести находится посредине между осями А В и CD. Приведя
затем тело с рамой в колебательное движение, определили продол
жительность Т одного размаха (половины периода). Каквелик
момент инерции J, если вес тела Р и расстояниемежду осями А В
и CD равно h (фиг. 466). Имеем
Т— к
г
- й 4 ^ + рл
откуда
j £ ( P + £ ) = y < + /+ _ ^ ,
у= м (5 - т )
Р0НТ2
2иа
Л-
Пример 175. Б и ф и лярны й подвес. Если треФиг. 467.
буется определить момент инерции тела DG от
носительно оси А С , проходящей через его центр тяжести С, то
подвешивают тело на одинаковых вертикальных нитях BD и FG
длиной I так, чтобы А С была осью вращения. Затем поворачивают
тело на некоторый небольшой угол а в горизонтальной плоско
сти и отпускают колебаться без начальной скорости. Зная вес тела
Р, расстояния CD = CG = a и период получающихся колебаний
Т, определить искомый момент инерции (фиг. 467). '
При небольшом отклонении сг натяжение каждой нити можно
Р
считать равным - у . Если 0 угол, который нить в изменённом по
ложении будет образовывать с первоначальным, то вращающий мо
мент, получающийся при повёртывании прибора для небольших вели
чин углов 0 и а, будет
2у
sin I • а ^ 2 -2~а0*
480
ДИНАМ ИКА ТВЁРД ОГО
ТЕ Л А
[гл. 32
Период Т гармонического колебания найдётся по формуле
откуда
_
Г а 2Р
4 тс2/
*
Формула не изменится, если вместо двух нитей мы возьмём большее
их число, симметрично расположенных вокруг вертикальной оси А С
(мультифиляр).
§ 156. Уравновешивание центробежных сил инерции. Для
того чтобы тело вращалось вокруг данной неподвижной оси, необходимо прежде всего закрепить по
крайней мере две точки твёрдого
тела. Работа реакций закреплённых
точек будет при вращении тела рав
няться нулю, но из этого не сле
дует, что равны нулю и сами эти
реакции.
Для определения этих реакций
мы можем воспользоваться принци
пом Даламбера. Прибавим ко всем
действующим силам силы инерции,
которые в случае равномерного вра
щения сведутся к одним лишь цен
тробежным силам, и напишем усло
Фиг. 468.
вие равновесия полученной системы
сил. Нетрудно видеть, что каждую
реакцию оси мы можем разложить на две части: одна из них будет полу
чаться от обычных приложенных внешних сил (сила тяжести и др.), д р у 
гая же будет обусловлена наличием центробежных сил инерции. Первая
часть каждой реакции находится обычными методами статики и нас
в данном случае интересовать не может. Обратимся к вычислению
другой части, которая объясняется наличием центробежных сил.
Эта часть — так называемая динамическая реакция — возникает лишь
во время движения; её нам и нужно определить, чтобы выяснить
условия, при которых эта реакция может обратиться в нуль.
§
156]
У РАВНОВЕШ ИВАНИЕ Ц ЕН ТРО БЕЖ Н Ы Х
СИЛ ИНЕРЦИИ
481
Пусть данное тело (фиг. 468) массы М вращается вокруг оси Oz,
закреплённой в точках О и А , расстояние между которыми равно /.
Разобьём тело на ряд материальных точек; пусть К будет одна из
этих частиц, обладающая массой т , отстоящая от оси вращения
на расстояние г и определяемая координатами OL = x , ЬКъ=У>
K$K = z. Е сли со есть угловая скорость вращения тела, то центро
бежная сила Ф материальной точки К будет направлена по г и
равна wcoV, проекции её на координатные оси будут:
X = tfZooVcos а = /яаАхг,
Y = пт 2г sin а = ты2у ,
Z = 0.
Если Х а , Уа и X Qi YQ будут составляющие реакций связей
в точках О и А , то, беря по правилам статики суммы проекций
всех сил на оси х и у , будем иметь:
ХА + Х 0 + 2то)2х = 0,
Yа ~Ь Yо~f~'EjnwPy = О
*
Из теории определения центра тяжести мы знаем, что коорди
наты его х с и у с определяются формулами
Y jn x = М х с,
£ т у = М ус>
где М =
— полная масса вращающегося тела. Нетрудно видеть,
что третьи члены полученных формул можно представить в виде
: = oP^jtnx = Мы2х с,
^т ы ^у = ш2£ т у = Мы2у с*
Эти формулы позволяют нам притти к следующим выводам:
1 . Сумма всех центробежных сил инерции вращающегося тела
равна центробежной силе инерции центра тяжести, считая, что
в последнем сосредоточена вся масса вращающегося тела.
2. Если центр тяжести лежит на оси вращающегося тела ( х с =
~ у = 0 ), то сумма центробежных сил будет равна нулю.
Таким образом видно, как важно помещать центр тяжести вра
щающегося вала на оси вращения. Если этого не сделать, то на
подшипники будет действовать центробежная сила, могущая произ
водить на них довольно значительные давления.
Пример 176. Вал весом Р = 1 0 0 кг вращается вокруг горизон
тальной оси, делая 3000 об/мин. Центр его тяжести находится как
раз посредине расстояния между подшипниками на расстоянии
0,5 см от оси вращения.
Если бы вал не вращался или если бы центр тяжести лежал на
оси вращения, то давление на каждый из подшипников равнялось ы
31
З а к . 6 6 7 . И . I I . В есел овск и й
482
ДИНАМИКА
50 кг.
ещё
ТВЁРДОГО
ТЕЛА
[гл. 32
В рассматриваемом случае к весу вала придётся добавить
центробежную
силу, которая
будет
равна 'т<а?гс = — <*>Vc .
Угловая скорость в радианах в секунду будет
™
30
«.3000
30
1 0 0 k .J__
сек
Центробежная сила будет
F = S (100,t)9-0>005 кг
или после сокращения на т:2 = 9,81, F = 5000 кг.
Эта добавочная сила распределится на оба подшипника, причём,
когда центр тяжести будет находиться над осью, она будет направ
лена вверх, а при нахождении центра тяжести под осью — вниз.
Таким образом полное давление на каждый подшипник будет перио
дически колебаться от 2550 кг (вниз) до 2450 кг (вверх); как
видно, основную часть давления будет образовывать центробежная
сила.
Однако для полного уравновешивания центробежных сил ещё
недостаточно поместить центр тяжести на оси вращения. В самом
деле, если х с = у с = 0, то уравнения проекций дают нам
х
9 +
х
л
=
о
,
г 0 + к л = о.
Это означает, что опорные реакции могут образовывать неко
торую пару сил. Возьмём теперь уравнение моментов около осей
О х и Оу. Момент около оси О х даёт нам:
УА1 + Ц Г г = 0,
для оси Оу мы будем иметь
Х А1 + 2 Х г = 0.
Подставляя вместо X и У их значения
X — ти>2х у
Y = тиРу,
получим окончательно после вынесения ш2 за знак суммы
Х А1 -(- oP ^jnxz = 0,
YAl + ^ m y z = 0.
Если теперь равны нулю выражения ^ j n x z и £ \m yzr то нетрудно
видеть, что как Х а , Уа > так и Х 0> Y 0 будут равны нулю.
Выражения £ m x z и 'Ejrnyz носят название центробежных мо
ментов или произведений инерции. Если они равны нулюг то все
§
157]
гироскопический
м ом ент
483
/
центробежные силы автоматически уравновешиваются, т. е. при
вращении тела вокруг оси опорные реакции будут такими же,
как если бы тело и не вращалось, или чисто статическими.
Ось, для которой центробежные моменты равны нулю, называется
главной осью. Можно доказать, что через каждую точку твёрдого
тела проходят три главные взаимно перпендикулярные оси; однако
для практики вполне будет достаточно ограничиться следующей
теоремой:
В ся к а я ось сим мет рии однородного твёрдого тела являет ся
главной осью.
В самом деле, если Oz — ось симметрии тела, то каждой
массе т у лежащей в точке с координатами х , у , £, будет соответ
ствовать такая же масса, находящаяся в точке с координатами
— х > — У» 2- Это показывает, что при вычислении сумм £ m x z
и £ m y z их можно разбить на ряд взаимно уничтожающихся пар
типа
m x z и т (— х ) z,
т уг и m ( — y )z ,
так что оба центробежные момента инерции будут равны нулю.
Так как желательно иметь центробежные силы инерции взаимно
уравновешивающимися, то поэтому там, где это возможно, стараются
придать вращающимся телам симметричную форму, причём’ ось сим
метрии соьпадает с осью вращения.
Сделаем ещё одно замечание. Если ось вращения проходит через
центр тяжести и является главной осью инерции, то реакции, перпен
дикулярные к оси, обращаются в нуль, т. е. закрепления становятся
ненужными. Это показывает, что тело могло бы вращаться и в том
случае, если бы оно было совершенно свободно (без всяких закреп
лений). Подобного рода ось называется свободной осью вращения.
Такой осью является, например, ось вращения Земли в её суточном
движении.
Г Л А В А 33.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГИРОСКОПА.
§ 157. Гироскопический момент. Гироскопом называется сим
метричное тело, приведённое в быстрое вращение относительно оси
симметрии. Простейшим гироскопом, хорошо известным каждому,
является обыкновенный волчок. «Чудесные» свойства этого волчка
его устойчивость при движении, совершенно противоположная его
неустойчивости в покое — тоже, конечно, хорошо известны нашим
31*
484
ОСНОВНЫЕ
понятия теории ГИ РО СКО ПА
1ГЛ. 33
читателям. Ввиду важности технических приложений гироскоп^
в современной технике разберём происходящие при этом явления.
Пусть мы имеем гироскоп, вращающийся вокруг оси Oz с угловой скоростью ш, причём момент инерции этого гироскопа относи
тельно оси вращения будет J. Посмотрим, какие силы нужно при.
ложить к данному гироскопу, чтобы поворачивать его с угловой
скоростью со' вокруг оси Оу, перпендикулярной к оси вращения
гироскопа.
Разобьём гироскоп на ряд материальных точек и попробуем
определить ускорения каждой из этих точек. Помножив каждое из
этих ускорений на массу т данной точки и просуммировав все
полученные таким образом силы, мы и придём к той системе сил,
которая нужна для предположенного движения гироскопа. Если мы
рассматриваем собственное равномерное вращение гироскопа как
относительное, а его вращение вокруг оси Оу как переносное, то
все дело сведётся к определению ускорений различных точек в аб
солютном движении. Теперь, поскольку собственное вращение гиро
скопа вокруг своей оси не требует никаких сил (так как ось Oz,
как ось симметрии, является свободной осью вращения), то относи
тельные ускорения выпадают из поля нашего зрения. Далее, если
вращение ^ вокруг оси Оу совершается с небольшой угловой ско
ростью да, то если не требуется особенно большой точности мы
величинами ПреНебречь Ускорениями в переносном движении’ как
ния\ш т
мал“ ми по сравнению с другими имеющимися ускореускоо-’пчй нам ° ° раЗОМ по исключении относительных и переносных
Ускорений нам остается лишь разобрать одни поворотные ускорения
ьа м с о m Z T T 6yR" м атеРиаль,1Ую точку Л „ а с с ы т, л е ж Т у ю
на расстоянии г от оси гироскопа (фиг. 469). Вследствие симме
е Т Нт0риТИточИк и ' Г С и° Т ИТеГ °
° СИ ВРаЩеНИЯ
М0Ж6М НаЙ™
нГконнах
4 eTb,S ’v па
ЖС МаССЫ
КОТОрые лежали
бы
ла
концах четырех
равных^ и взаимно
перпендикулярных
радиусов
§ 157]
ГИРОСКО ПИ ЧЕСКИЙ
МОМЕНТ
485
ОА , О В, ОС и O D ; представим себе всё тело гироскопа разбитым
на такие четвёрки материальных точек (на фиг. 469 взята четвёрка
точек, лежащих в плоскости О ху, но все дальнейшие рассуждения
приложимы к любой четвёрке точек, расположенных в любой пло
скости, перпендикулярной к оси Oz гироскопа).
Пусть ОА образует с направлением оси О х угол а. Если ОА = г,
то относительная скорость точки А будет равна v — v r и изобра
зится отрезком А А перпендикулярным к ОА. Точно так же ско
рости остальных точек изобразятся отрезками В В ', СС' и D D \
Поворотные ускорения этих точек вычисляются по формуле
w k = 2 со'г/ sin (v, <о'),
где выражение и sin (г/, ш') представляет проекцию относительной
скорости v на направление, перпендикулярное к оси переносного
вращения.
Эти проекции изобразятся отрезками:
А А " = <ог sin а,
В В " = mr cos а,
СС" = а>г sin а,
D D " = o r cos а.
Умножив каждый из них на 2 со', мы получим отрезки
А А '" — 2o)coVsin а,
ВВ"* — 2ша>#r cos а,
СС,п = 2со(оVsin а,
D D '" = 2(ocoVcos а,
представляющие абсолютные величины поворотных ускорений всех
точек А , В , С, D (поскольку в их выражения входят произведения
<*>(о', можно видеть, что они будут достаточно велики по сравнению
с переносными ускорениями, которые зависят от квадрата перенос
ной угловой скорости а>', которая значительно меньше, чем отно
сительная угловая скорость ш).
Теперь для того, чтобы получить и направления векторов пово
ротных ускорений, нужно каждый из отрезков А А '" , В В ,п, С С и
D D ,n повернуть на 90° по направлению вращ ения, соответствую
щего угло во й скорости ш'. Если вращение а>* совершается против
стрелки часов, если смотреть с положительного направления оси Оу,
то поворотные ускорения точек А и В изобразятся векторами А а
и ВЬ, направленными по оси Oz вверх, а ускорения точек С и D —
векторами Сс и D d, направленными вниз. Умножив каждое из этих
ускорений на массу т, мы получим систему сил, которые нужно
приложить к нашему телу. Нетрудно видеть, что все эги силы
привелутся к ряду пар (т А а , тСс), (m Bb, mDd) и др.
Возьмём моменты всех этих сил относительно оси О х. Нетрудно
видеть, что наши четыре силы дадут две пары, которые стремятся
вращать гироскоп против стрелки часов, если смотреть с положи
486
ОСНОВНЫ Е ПОНЯТИЯ
ТЕО РИ И
ГИ РО СКО ПА
[гл. 33
тельного направления оси О х. Моменты их будут:
Мом (тАа) = 2/ио>о)7 sin а • ОA sin а = 2/racocoV2 sin2 а ,
Mom (mBti) = 2/гаа>а>7 cos а • О В c o sa = 2/wo)a>'r* cos2 а,
Мом (/я С с) = 2шоа>72 sin2 а,
Мом (mDd) = 2/?ша) V2 cos2 а .
Сумма этих четырёх моментов даст нам
4wwa>72 (sin2a -f- cos2a) = 4#гг2сосо',
причём результирующий момент будет вращать против стрелки
часов, если смотреть с положительного направления оси О х.
Если мы просуммируем эти моменты для всех точек нашего
тела (достаточно взять все массы tn лишь одной его четверти,
заключенной в трёхгранном угле между положи
тельными направлениями координатных осей Ох>
Oyf Oz), то мы придём к выражению
т г1 = Уша/,
^представляющему величину того вращающего мо
мента вокруг оси О х, который нужно приложить
к гироскопу, чтобы заставить его вращаться с
угловой скоростью со' вокруг оси Оу, перпенди
кулярной к оси Oz его собственного вращения.
Направление этого момента нагляднее всего
определить при помощи следующего правила.
Встанем на положительной части оси О х и
будем смотреть на точки вращающегося гироскопа (фиг. 470); мы увидим их движущимися
по прямой А В от А к В . Если теперь наклонить по направлению
к зрителю гироскоп, вращая его вокруг оси О уу то яритель увидит
точки, лежащие на ближайшей к нему поверхности, описывающи
ми эллипсы в направлении против стрелки часов, т. е. в направлении,
в котором должен вращать необходимый нам момент внешних сил.
Этот момент, равный Ушш, носит название гироскопического
момента. Если внешние силы не могут представить такого момента
перпендикулярного к оси вращения гироскопа, то возможность пово
рачивания последней является исключённой; всё обстоит таким обрав п а ш е н и я еСгпг^Ы вращающееся тело стремилось сохранить плоскость
ращения составляющих его материальных точек и противилось
всякой попытке изменения направления этой плоскости.
§ 158. Примеры и прилож ения. Рассмотрим несколько примеров
на применение только что-изложенной теории.
Пример 177. Однородный диск CD веса Р и радиуса R впащается с угловой скоростью о> вокруг горизонтальной оси А В ,
§
158]
П РИ М Е РЫ
И П РИЛОЖ ЕНИЯ
487
проходящ ей через e r a центр перпендикулярно к его плоскости. Опре
делить давления на опоры А и В , возникающие при повороте оси
А В в горизонтальной плоскости с угловой скоростью а>' (фиг. 471).
Длина А В = 1.
П усть диск вращ ается таким образом, чтобы для наблюдателя,
стоящего спереди, видные точки окруж ности диска двигались сверху
вниз. При повороте диска вокруг
вертикальной оси так, чтобы точка В
/&>
шла на наблюдателя, а точка А от по/
следнего, наблюдатель увидит точки
окруж ности диска вращающимися по ^
эллипсу против стрелки* часов. Н еоб
ходимый для такого движения гироско
пический момент получается при по
мощи усиления опорных реакций А
и В , которы е теперь образуют пару
N B и N a . Противоположные им давления на опоры будут направ
лены для опоры В вниз, для опоры же А вверх. Величина этих
давлений определится из условия
А д • / = У-ССо',
откуда
n a = n b=
/око' Аош'г2
:~ r = ~ W '
Если диск прикреплён как раз в середине оси, то полные давления
на опоры А и В будут:
CDto'r*
gl
(DCD'j
D Р (л
<осо'г2\
на опору В : - ^ l ------
на опору А : у (.1 4
Если* ось переносного вращения ш' образует с
осью да угол ос, отличный от прямого (фиг. 472), то
для вычисления гироскопического момента разложим
угловую скорость со' по направлению оси со и по
направлению, к ней перпендикулярному. Первая составляющая co'cosa
будет увеличивать относительную скорость со и при незначительных
величинах о/ по сравнению с со может быть отброшена, вторая же
составляющая со' sin а будет участвовать в выражении гироскопиче
ского момента, который примет теперь вид Усосо' sin a.
Пример 178. Волчок вращается по часовой стрелке вокруг своей
оси ОА с весьма большой постоянной угловой скоростью со; ось ОА
наклонена над некоторым углом а к вертикали; нижний конец оси О
остаётся неподвижным; центр тяжести волчка находится на оси
в точке С (О С — а), вес волчка равен Р, момент инерции его отно
488
ОСНОВНЫ Е ПОНЯТИЯ
ТЕО РИ И
[ГЛ.
ГИ РО СКО ПА
зэ
сительно оси равен У. Определить угловую скорость вращения оси
волчка ОА вокруг вертикали (фиг. 473).
Если бы ось волчка была совершенно вертикальна, то момент
силы веса его равнялся бы нулю и он продолжал бы вращаться
вокруг своей вертикальной оси. Но ось волчка вертикальной не
является, следовательно, вес последнего вместе с реакцией неподвиж
ной точки О образует пару, вращающую, если смотреть спереди,
по стрелке часов. Для того чтобы точки по
верхности волчка представились наблюдателю
описывающими эллипсы тоже по стрелке часов,
необходимо, чтобы верхняя часть волчка на
клонилась вперёд на наблюдателя. При неподвиж
ной точке опоры О это стремление обратится
в хорошо заметное для каждого волчка вра
щательное движение вокруг вертикальной оси.
так
называемое
прецессионное
движ ение.
ь гловую скорость этого прецессионного движения мы получим,
сравнив гироскопический момент с моментом силы веса волчка.
Это даёт нам
Лх» sin а = Ра sin а,
откуда угловая скорость вращения будет
,
,
Ра
ш — Уо> *
Если бы центр тяжести волчка совпадал с точкой опоры О, то
прецессионное движение отсутствовало бы совершенно, и гироскоп
сохранял бы свою ось вращения постоянной по отношению к непо
движным звёздам, но не по отношению к поверхности Земли. Этим
свойством воспользовался Фуко для демонстрации вращения Земли
при помощи гироскопа, центр тяжести которого совпадал с непо
движной точкой при вращении последнего.
Стремлением гироскопа расположить плоскость вращения своих
точек параллельно плоскости вращения приложенной к нему пары
пользуются при конструкции так называемых гироскопических ком
пасов. Применение сохранения плоскости вращения для динамической
устойчивости движущегося тела (однорельсовая железная дорога,
велосипед) хорошо известно каждому велосипедисту.
трляПр“ “ ер 179‘ 0бъяскить- почемУ при катании «без рук» наклон
п о т п м Г ^ ПеДИСТа в какУю"нибУДЬ сторону сопровождается новоротом в ту же сторону велосипеда.
Решение этого примера после изложенного мы можем уж е предоставить любознательности читателя.
ОТДЕЛ СЕДЬМОЙ.
СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ.
Г Л А В А 34.
ВВЕДЕНИЕ.
§ 159. Предмет и задачи сопротивления материалов* упру
гость. П рочность. При проектировании различного рода машин и
сооружений основными вопросами, стоящими перед конструктором,
являются следующие: из какого материала и каких размеров должны
быть сделаны отдельные части, чтобы машина или сооружение в целом
и в отдельных своих частях были достаточно прочны; сооружение
или машина должны надёжно работать и нигде не должны получить
опасных изменений своей формы. Чтобы ответить на поставленные
вопросы, необходимо знать: какие внешние силы действуют на части
машины или сооружения; какие внутренние силы они вызывают;
каков закон распределения этих внутренних сил; какие порождаются
при этом деформации; как сопротивляется им машина или сооруже
ние; и как устанавливается зависимость между внутренним усилием
и необходимыми размерами проектируемого элемента. Правила рацио
нального решения этих вопросов помещаются в отделе технической
механики, именуемом «Сопротивление материалов».
В сопротивлении материалов все рассуждения и выводы опирают
ся как на данные опыта и некоторые гипотезы, так и на теоре
тические построения, и выражают полученные результаты матема
тическими формулами. В теоретической механике тела считаются
абсолютно твёрдыми, т. е. полагают, что расстояния между отдель
ными точками тел не меняются под действием внешних сил. В сопрот
тивлении материалов это допустимо только при исследовании общих
условий равновесия и совершенно невозможно при изучении условий
прочности и условий протекания деформаций. В последнем случае при
ходится учитывать физические свойства тела, его способность из
менять свою форму под действием внешних сил. Сопротивление
материалов оперирует телами упругими, т. е. такими, которые под
действием внешних сил изменяют свою форму, но при удалении на
грузки способны полностью или отчасти вновь восстанавливать свою
первоначальную форму и размеры.
Предполагают, что тела вполне однородны по своему строению и
чго они состоят из мельчайших частиц или молекул, связанных между
собой внутренними силами упругости. Силы упругости не дают
490
ВВЕДЕНИЕ
[гл .
з4
частицам тела беспрепятственно удаляться одна от другой, равно н
не позволяют им сближаться. Под влиянием этих сил взаимодействие
между частицами тело стремится сохранять ту форму, которая бьма
ему придана при изготовлении. Если на тело начнут действовать
внешние силы, то оно будет изменять свою форму, или, как говорят
будет деформироваться. К внешним силам относят веса самого тела
и прочих тел, приложенных к поверхности изучаемого тела, а также
и реакции опор. При расчёте частей машин или конструкций под
внешними силами разумеют также и силы, передающиеся на рас
считываемую часть соседними частями машины или конструкции.
Всякой попытке внешних сил деформировать тело внутренние
силы стремятся воспрепятствовать. Эго выражается в том, что тело,
проявляя свои упругие свойства, начинает как бы пружинить, упруго
сопротивляется деформации и в результате приобретает новую форму.
Если изменение формы незначительно и не превосходит некоторых
пределов, то по прекращении действия внешних сил внутренние силы
упругости возвращают тело к первоначальной форме; мы имеем
уп р угую деформацию. Если же тело по удалении внешних сил
к первоначальной форме возвращается только отчасти, то' обнаружи
вается остаточная деф ормация, т. е. такое изменение формы тела,
которое не исчезает по прекращении действия внешних сил.
Цель сопротивления материалов — указать правила, следуя которым
можно надёжно производить расчёты частей машин и технических
сооружений. Рассчитать какую-либо часть машины— значит опре
делить её размеры таким образом, чтобы при наименьшей1 затрате
материала она безопасно могла воспринять на себя все усилия, которые
сообразно её назначению могут быть к ней приложены. Под словом
«безопасно» подразумевается, что во время приложения сил рассчитывае
мая деталь машины не только не должна разрушаться, но и деформации,
производимые силами, по прекращении действия сил должны исчез
нуть. Величины деформаций при этом должны быть достаточно
малыми, и «безопасность» должна вполне гарантироваться надлежащим
«коэффициентом запаса».
Иногда размеры детали машины или сооружения могут зависеть
не только от условий прочности, но и от других обстоятельств.
Так, например, при определении размеров иногда имеют решающее
значение соображения экономического характера, конструктивного,
эстетического и т. п. Поэтому конструктору в каждом отдельном
случае приходится считаться со всеми условиями, которые предъяв
ляются к проектируемой части машины или сооружения. Тем не менее,
какие бы требования ни были предъявлены к сооружаемому предмету,
он непременно должен удовлетворять условиям прочности. Эти
условия суть необходимые и главнейшие; они всегда должны быть
выполнены при расчёте деталей машин и сооружений.
§ 160; Виды деф ормаций. В зависимости от характера действия
внешних сил и производимого ими результата различают четыре
§
160]
491
ВИДЫ ДЕФОРМАЦИЙ
основных вида деформаций: 1) растяжение или сжатие, 2 ) сдвиг,
3 ) изгиб и 4) кручение. Рассмотрим каждый из перечисленных видов
деформаций в отдельности.
1 а. Раст яж ение. Если к прямому стержню А В (фиг. 474, а)
приложить по концам силы Р, равные по величине и направленные
по оси стержня в противоположные стороны, то эти силы растянут
стержень. Вследствие этого стержень А В бу
дет деформирован, что выразится в увеличении
его длины и в уменьшении поперечных размеров.
щ ш т
Условия напряжённого состояния стержня
/}\
в основном не изменятся, если один конец
его А закрепить неподвижно (фиг. 474, b), а .а)
6)
к другому концу В приложить силу Р, на
правленную по оси стержня. Так как согласно
условиям равновесия при растяжении в закре
плённом конце А стержня возникает реакция,
равная Р, то стержень опять будет находиться
XР
X'Р
под действием двух равных сил Р, направлен
ных по оси в противоположные стороны,
Фиг. 474.
как и в первом
рассмотренном
случае.
Работают на раст яж ение: тросы; канаты, кабели и цепи
в подъёмных, транспортных устройствах и мостах; стяжки между
вагонами в поездах; провода электросети и телеграфные; стержни
ферм и т. д.
lb . Сж атие. Если по оси короткого стержня А В будут
действовать силы Р , равные по величине, но направленные навстречу
друг другу, как это показано на фиг. 475, то
стержень сожмётся. Деформация стержня в этом
случае выразится в уменьшении его длины и уве
личении поперечных размеров; она отличается от
А
деформации растяжения знаком.
Чистая деформация сжатия может быть осу- )aj
ществлена только в коротких стержнях, у кото
рых длина превышает наименьший поперечный
размер самое большее в 6 — 8 раз. В длинных же
стержнях под действием сжимающих сил вместе
с деформацией сжатия может возникнуть явление
так -называемого продольного изгиба (см. гл. 39).
Фиг. 475.
Работают на сж атие: столбы, колонны,,
стены, некоторые стержни ферм и т. д.
2.
Сдвиг. Если две силы, равные по величине, но противополож
ные по направлению, приложить на весьма близком друг от друга рас
стоянии так, как это показано на фиг. 476, а, то эти силы будут
стремиться сдвинуть одну часть бруса относительно другой.
Предположим недеформированный брус состоящим из продоль®
ных параллельных волокон; без большой погрешности можно д о -
f
Г f
492
ВВЕДЕНИЕ
[гл .
34
пустить, что за пределами действия сил Р направление волокон
сохраняется; деформация сдвига будет заключаться в перекашивании
этих волокон на участке между силами (фиг. 476, Ь). Можно при
дать такое значение силам Р , что они вызовут в металле разруше
ние в виде перерезывания (или, иначе,
среза), а в дереве в форме скалывания.
Работают на сдвиг: болты и заклёп
ки, соединяющие отдельные металлические
части, шпонки, части врубок в деревян
ных конструкциях, сварные швы и т. д.
Рассмотренные выше деформации про
текают под действием двух сил. В случае
растяжения или сжатия эти силы, на
правленные по одной прямой, взаимно
уравновешиваются. В случае же сдвига две
приложенные к телу силы образуют пару. Так как под действием
этой пары сил не происходит вращения, то, очевидно, данная пара
уравновешивается какой-то другой парой.
Наметим эту пару. Упростим пример: рассмотрим пару сил Р,
которые действуют на крайний правый элемент A B D C тела (фиг. 477, а),
левый конец которого
предположим защемлённым. Под действием
пары Р , Р частьA B D C , будучи вполне свободной,
стремилась бы
вращаться против стрелки часов; так как
она не вращается, то это значит, что на неё
Г л
действуют силы, препятствующие этому вра
щению. Действительно, в защемлённом конце
тела возникнет реактивная пара сил Q, Q,
У уравновешивающая
активную
пару
сил
Р, Р. При этом волокна верхней части элемен
та левее А под действием сил Р будут
7 сжаты и заделка будет действовать на элеГ мент A B D C с силой Q, направленной вправо;
9 А
наоборот, в нижней точке С часть A B D C
Ь) будет стремиться отделиться от заделки; сле
О
довательно, заделка будет противодейство
вать этому силой Q, направленной влево.
Передающаяся от заделки пара сил Q, Q,
представляющая действие на элемент A B D C
(фиг. £77, Ь) верхних и нижних волокон
Фиг. 477.
левой закреплённой части, и будет той па
рой, которая уравновешивает вращающее действие пары Р, Р . Обе
пары Р, Р и Q, Q, действуя вместе, будут стремиться изменить ф ор
му части A B D C , превращая её из прямоугольника в параллелограмм
(фиг. 477, а). Аналогичный эффект получим, если допустим, что
пара Q', Q' является извне приложенной к элементу A B C D парой
сил (фиг. 478 а, Ь), а не возникает в результате наличия заделки.
§
ВИДЫ ДЕФОРМАЦИЙ
160]
493
Необходимо оговорить, что обе иллюстрации, приведённые на
фиг. 477 и 478, дают только общую схему явления сдвига, несколько
его упрощая.
Следующие две деформации производятся взаимно уравновешиваю
щимися парами. Если плоскости действия этих пар проходят через
ось бруса, то мы имеем изгиб; если же они перпен
дикулярны к оси бруса, то мы получаем кручение.
3.
Изгиб. Если на брус действуют силы/ перпен- —
А. В
дикулярные к его оси и лежащие в плоскости, проходя
щей через эту ось, то брус изогнётся (фиг. 4 7 9 )!).
а)
Нетрудно найти пары, производящие изгиб. Пусть
на балку А В действует сила Р в точке, удалённой на <■0f
< В
0—' С
расстояния а и b от концов стержня; в опорах возник
нут реакции N A и N B, которые, согласно правилам
статики, определятся из уравнений:
N a +
N.
Nb =
P,
b)
a = N B • b.
Если мы разложим силу Р в точке её приложения на
два слагаемых N A и N fp то, как можно видеть из
фиг. 479, Ь, эти слагаемые вместе с реакциями к А и N Q
образуют две уравновешенные пары (N A, N A) и (N B, N B), имеющие
равные моменты N A • а и N B • b, которые будут стремиться вращать
балку в противоположные стороны; в результате их совместного
действия балка будет изгибаться в
плоскости, проходящей через ось
А
№
<? ш
-ш■я
^
балки 2).
ь
г
а)
Работают на изгиб: балки зда
А
В
ний, мостов, плиты перекрытий и т. д.
4.
К ручение. Если на круглый
брус А В по его концам будут
А
А
действовать две равные и прямо
Ь)
противоположные пары, расположен
Л
А
ные в плоскостях, перпендикуляр
А
ных к оси бруса, то под действием
этих пар брус будет закручиваться
Фиг. 479.
(фиг. 480). Такого рода закручива
ние можно также получить, если брус заделать одним концом А
0 Чтобы явление изгиба не осложнялось кручением, необходимо полагать,
что плоскость действия сил является плоскостью симметрии стержня.
2) В данном примере изгиб балки АВ сопровождается, кроме того,
деформацией сдвига, производимого на участке а силой NA и на участке
b силой N q.
494
ВВЕДЕНИЕ
[гл .
34
в стену, а к другому В приложить пару сил Я, Р. Согласно условиям
равновесия, в заделанном конце А появится реактивная пара, равная
по величине, но противоположная по направлению паре (Я, Я), при
ложенной на конце В . Эти пары, имеющие одинаковые моменты,
будут закручивать стержень А В .
Сама деформация кручения состоит
в повороте поперечных сечений друг
относительно друга вокруг оси
стержня.
Работают на кручение: валы
машин, оси их и т. д.
§ 161. Силы уп ругости . Закон
Г ука. Р а б о т а . Все рассмотренные
нами деформации подчиняются од
Фиг. 480.
ному общему закону, известному
как закон Гука (1676 г.): величина получающейся деформации
будет в первом приближ ении .пропорциональна величине прилож енной силы или величине момента пары. Так, величина растяжения
или сжатия будет тем больше, чем больше растягивающая или сжи
мающая сила; величина прогиба балки будет пропорциональна при
ложенной нагрузке; величина угла закручивания балки будет про
порциональна моменту закручивающей пары. Внутренние силы уп ру
гости, противодействующие внешним силам и ими порождаемые,
стремятся верн}'ть тело в первоначальное положение и имеют величину
также прямо пропорциональную» отклонению упругих тел от их
первоначального положения. Зависимость внут
Я
ренней силы Я от соответствующей ей де
формации лг можно на основании закона Гука
определить формулой
P = kx,
(109)
где k равняется величине силы упругости при
деформации,
равной единице. Действительно,
Фиг. 481.
если л г = 1, то из формулы (109) получим
P i = k. Отсюда следует, что если мы, желая графически изобразить
зависимость (109), по оси абсцисс будем откладывать величину де
формации х у а по оси ординат — соответствующие величины упругой
силы Я, то закон изменения последней выразится прямой линией ОВ
(фиг. 481). Величина работы А упругой силы Я при деформации
от нуля до значения' х определится площадью треугольника О АВ
(фиг. 481), где О А = х и A B = k x . Следовательно,
1
или
АЯ- ОА,.
1_
kx 3
А = Т2Г k x • X = ^
Такой формулой выражается работа упругих сил*
( 110)
§ 161]
СИЛЫ
У П РУ ГО С ТИ .
ЗАКОН
ГУКА.
РАБОТА
495
Пример 180. Чтобы сжать пружину на 1 см, нужно приложить
к ней силу 2 кг. Какую работу нужно затратить для того, чтобы
сжать пружину на 4 см?
Йскомая работа будет у • 2 • 4 • 4 = 16 кгсм = 0,16 кгм.
Если бы мы захотели сжать пружину на вдвое большую вели
чину, т. е. на 8 . см, то нам пришлось бы затратить работу
i - . 2 * 8 « 8 = 64 кгсм = 0,§4 кгм, т. е. не в два, а в четыре раза
большую.
Последнее обстоятельство позволяет нам разобраться в следую
щем интересном явлении. Величина упругой деформации зависит не
только от величины приложенной силы, но и от способа её прило
жения. Так, например, если мы подвесим к пружине груз и будем
отпускать его, осторожно поддерживая для устранения колебаний, то
пружина будет вытягиваться до тех пор, пока величина упругой
силы пружины не станет равной приложенному грузу. Получающаяся
при этом деформация носит название статической деформации.
Если же отпустить подвешенный груз сразу, то полная деформация
пружины будет большей, чем в первом случае; кроме того, возник
нут ещё и колебания пружины. Получающаяся таким образом де
формация носит название динамической; полная деформация пружины
будет в этом случае, как мы сейчас покажем, вдвое больше стати
ческой.
Рассмотрим, прежде всего, что происходит при динамической
деформации пружины. Если мы подвесим груз к нерастянутой пру
жине, то в момент подвешивания сила натяжения пружины будет
равна нулю и груз под действием силы веса начнёт двигаться вниз.
При этом движении груз будет растягивать пружину, и в ней по
явится упругая сила, которая по мере удлинения пружины будет по
степенно увеличиваться; когда деформация достигнет величины ста
тического удлинения, сила упругости станет равной весу груза. Так
как всё время до момента
достижения статического удлинения
сила, веса груза была больше силы растяжения пружины, то, следо
вательно, равнодействующая приложенных к грузу сил была направ
лена вниз. Работа этой равнодействующей при движении груза вниз
была полошггельиой,, что сказывается, в появлении у груза при про
хождении через положение
статического
удлинения некоторой
живой силы; последняя будет равна разности работ силы веса и силы
упругости. Таким образом, через положение равновесия (когда уд
линение пружины будет равняться статической деформации) груз
пройдёт с какой-то скоростью; обладая некоторой живой силой,
он будет продолжать опускаться до тех пор, пока эта живая сила
не израсходуется на дополнительную деформацию пружины и по
глотится работой равнодействующей силы упругости и силы веса.
После прохождения положения,
соответствующего статическому
496
ВВЕДЕНИЕ
[гл .
34
удлинению, эта равнодействующая будет уже направлена вверх, так
как сила упругости больше силы веса. Когда живая сила груза
обратится в нуль, произойдёт остановка груза. Так как при этом
сила упругости окажется больше силы веса, то начнётся движение
груза вверх, при котором повторятся в обратном порядке все об
стоятельства, описанные выше для движения вниз; в результате груз
будет колебаться; однако эти ко
лебания вследствие сопротивлений
будут затухать и в конце концов
прекратятся. Для дальнейших вы
водов существенно отметить, что
в состоянии наибольшего удлине
ния пружины положительная работа
силы веса будет равна отрица
тельной работе силы
упругости
пружины. Графически определение
наибольшего удлинения можно лег
ко выполнить следующим образом.
Будем по горизонтальной оси откладывать величины удлинений
(фиг. 482), а по вертикальной — величины сил. Если О А = х есть
максимальное удлинение пружины, a OD — P — вес прикреплённого
груза, то работа силы веса Р на перемещении х выразится произ
ведением Р * х или площадью прямоугольника O A B D . Пусть пря
мая ОС изображает изменение силы упругости пружины в зависи
мости от удлинения х ; тогда работа силы упругости выразится
площадью треугольника ОАС или половиной произведения ОА • АС .
Так как по условию работа силы тяжести в положении наибольшего
.удлинения будет равна работе силы упругости, то мы получим
ОА • OD = y ОА • АС,
откуда
A C = 2 0 D = 2P.
Таким образом, максимальная сила натяжения пружины будет в два
раза больше силы веса, а это значит, что и максимальное удлинение)
будет в два раза больше статического удлинения, при котором
сила веса будет равняться силе упругости. На фиг. 482 величина OF
даёт статическое удлинение, а ОА — наибольшее удлинение, при
чём ясно, что OF равно половине ОА. Таким образом, мы пришли
к следующему результату: при внезапном прилож ении груза н а и 
большая сила упругост и будет в два раза больше величины п р и 
ложенного груза.
Мы провели рассуждения для случая удлинения пружины, но
нетрудно видеть, что их можно приложить к какому угодно виду
деформации. Так, при кручении работа будет равна п р о и з в е д е н и ю
§
162]
ОСНОВНЫ Е ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ
497
крутящего момента на величину угла кручения; сам же крутящий
момент будет возрастать пропорционально углу закручивания. По
этому, если мы линейное удлинение заменим угловым, а вместо
силы возьмём крутящий момент, то будем иметь формулы, анало
гичные прежним: величина крутящего момента Q будет пропорцио
нальна углу закручивания о, т. е.
Q = q?.
(109')
Работа же крутящего момента Q при угле закручивания <р будет выра
жаться формулой
ГЛАВА35.
РАСТЯЖЕНИЕ.
§ 162. О сновные понятия и формулы. Рассмотрим сущность
явления растяжения на простом примере. Пусть на стержень АС
действуют две равные силы Р, приложенные по концам (фиг. 483),
причём стержень упруго сопротивляется этому воздействию. Найдём
величину возникающих в стер
а) А
жне внутренних сил. Для этого
мысленно разрежем стержень се1 _______
у г%
чением / —/, перпендикулярным
к его оси (фиг. 483, а), отбро
сим часть В С (фиг. 483, с), за
Ъ)
менив действие отброшенной чаР ^
-К
, сти внутренними силами и рас
смотрим равновесие оставшейся
части А В . Этим приёмом мы
С)
Nуже пользовались (гл. 7 § 34)
для отыскания внутренних сил,
возникающих в теле при любом
Фиг. 483.
действии на него внешних сил.
Если бы в сечении / —/н е действовало никаких внутренних сил, то часть
В С свободно отделилась бы от части АС. Если этого не происходит, то,
значит, обе части взаимно удерживаются внутренними силами, оказы
вающими противодействие внешним силам Р. Определим направление
и величину внутренних сил. Так как эти силы заменяют действие
отброшенной части ВС, то направление их равнодействующей должно
совпадать с направлением силы Р , приложенной к части ВС. Можно
считать, что при растяжении внутренние силы во всех сечениях,
кроме лежащих вблизи места приложения внешних сил, распре32
З а к . 667. И . Н . В есел овск ий
498
РА С ТЯ Ж Е Н И Е
[гл. 35
деляются равномерно по площади сечения. Тогда все внутренние
силы, приложенные к сечению / —/, могут быть заменены одной
равнодействующей силой N , приложенной вдоль оси стержня. Вели
чина силы N найдётся из того условия, что, если весь стержень
находится в равновесии под действием заданных сил Р, то и любая
часть стержня (в нашем случае А В ) тоже должна находиться в рав
новесии. Отсюда получаем
N=P.
Если площадь поперечного сечения равна F см2, то величина
внутреннего усилия, приходящегося на каждый квадратный санти
метр, будет:
Эта величина, характеризующая интенсивность распределения внут
ренних сил по площади поперечного сечения, обозначается греческой
буквой о («сигма») и называется нормальным напряэюением в поперечном
сёчении. Из хода рассуждений ясно,
что такое же напряжение мы получим
—
I -----------------для любой площади сечения, перпенди
кулярной к оси стержня. Нормальным
Фиг. 484.
это напряжение называется потому, что
внутренняя сила N называется нормальной (или продольной) силой,
так как она направлена перпендикулярно или, как говорят, нормально
к площади сечения. Итак,
о — -р кг]см%.
(ш )
Как увидим дальше, эта простая формула является основным1 урав
нением для нахождения прочных размеров стержней, работающих на
растяжение.
/
Для получения полной картины явлений, происходящих при рас
тяжении стержня, необходимо, кроме напряжений, знать также и де
формации. Если первоначальная длина стержня А С была равна /,
а после загружения силами Р стала равной 1и то разность
/j — / = Д Л )
носит название абсолютного уд ли н ен и я (фиг. 484). Так как одна
и та же сила в стержнях различной длины вызывает различные уд
линения, то мерой деформации при удлинении принимают не. абсо
лютное удлинение А/, а отношение этого удлинения ко всей длине /,
Греческая буква А («дельта») применяется обычно для обозначения
разности или приращения.
§
162]
О СНОВНЫ Е ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ
499
или, другими словами, удлинение единицы, т. е.
Это отношение носит название относительного уд л и н ен и я и обо
значается греческой буквой е («эпсилон»). Следует иметь в виду,
что s число отвлечённое, тогда как АI — величина, измеряющаяся
в 'единицах длины (см, м м , м).
В предыдущей главе (§ 161) в общем виде показано, что между
деформациями и внутренними силами существует непосредственная
связь. Эта зависимость, найденная английским учёным Гуком, является
основой всей науки сопротивления материалов. Закон Гука приме
нительно к растяжению запишем таким образом:
о = Ее.
(113)
где величина Е для каждого материала имеет своё значение. Этот
закон формулируется так: при растяжении напряж ение прям о про
порционально относительному у д л и н е н и ю *). Таким образом, если
напряжение возрастает вдвое, то и относительное удлинение увели
чится в два раза. Величина Е характеризует упругие свойства
материала и определяется опытным путём. Её называют модулем
Юнга или м одулем упр угост и при раст яж ении. Так как е есть
число отвлечённое, то из формулы (113) видно, что размерность Е
та же, что и размерность напряжения о, т. е. Е выражается в кг/см*.
Подставляя в формулу (113) вместо о и е их значения, опреде
ляемые формулами ( 1 1 1 ) и ( 1 1 2 ), получим:
N
Р М
Т = ЕТ
откуда
(114)
т. е. полное удлинение прямо пропорционально нормальной силе N
и длине I и обратно пропорционально модулю упругости Е и пло
щади сечения F. Произведение, стоящее в знаменателе, Е Е носит
название «ж ёсткости при р а ст яж ен и и ^ чем больше эта величина,
зависящая как от физических свойств материала (£), так и от его
геометрических размеров (Z7), тем меньше удлинение.
Значения модулей упругости Е для разных материалов даны в
таблице 3.
Как видим из таблицы 3, наименьшее значение модуль упругости
Е имеет для резины, которая, следовательно, обладает наименьшей
А) Правильность закона Гука подтверждается многочисленными опытами,
но, как мы увидим ниже, пропорциональность между нормальным напряже
нием и деформацией соблюдается только до известного предела, так назы
ваем ого предека пропорциональности. При дальнейшем увеличении напря
жений величины удлинений уже не будут следовать формуле (113).
32*
500
РАСТЯЖЕНИЕ
Модули упругости Е.
[гл.
35
Т а блиц л 3
Наименование материала
Е кг/см2
Наименование материала
Е кг/см2
Сталь ............................
Чугун (сжатие) . . . .
М е д ь ............................
Дюралюминий............
Сосна, ель (вдоль
в о л о к о н )...............
Д у б ..............................
2, 0—2,2 . 10е
0,75—1,05.10°
0,8— 1,05.10°
0,7-10°
Ремни кожаные новые
)>
» старые
Ж елезобетон...................
Кладка бутовая .............
»
кирпичная . . .
Резина ...............................
ЫОЗ
2.103
14—21.10*
6-104
3-10*
9— 11 - 104
10— 11 . 10*
10
«физической жёсткостью» и очень легко поддаётся деформации.
Наибольший модуль упругости имеет сталь.
Прежде чем применять выведенные формулы к решению задач,
необходимо выяснить: до какого предела загружения тела являются
упругими; какие напряжения соответствуют этому пределу; что
происходит с материалом при дальнейшем загружении и при каком
напряжении материал разрушается. Зная это, а также те требова
ния, которые предъявляются
условиями прочности, можно
будет установить величину так
называемого допускаемого на
пряжения при растяжении и при
решении задач применять уста
новленные практикой расчёт
ные нормы.
§ 163. Д иаграм м а р ас тя
ж ения. Наглядное представле
ние о законе изменения удли
нений в зависимости от величи
ны нагрузки дают «диаграммы
растяжения», которые на мно
гих испытательных машинах
автоматически вычерчиваются при испытании образца.
На этих
диаграммах по вертикальной оси откладывается величина нагрузки,
а по горизонтальной — соответствующее каждой нагрузке абсолют
ное удлинение. Так как нас больше интересует зависимость между
относительными удлинениями и напряжениями и поскольку напряже/ = -^rj,
Р \ а относительное удлинение проние пропорционально силе ^o
/
д /\
порционально аосолютному удлинению ^в
= —
у то мы вместо вели
чин нагрузок будем откладывать по оси ординат напряжения о, а по
оси абсцисс относительные удлинения е. Для железа и многих дру
гих материалов эта диаграмма имеет вид, изображённый на фиг. 485.
§
163]
ДИАГРАММА РА С ТЯ Ж ЕН И Я
501
Ненагруженному состоянию образца соответствует на диаграмме
точка О. По мере загружения начинают появляться удлинения е,
причём до точки Л эти удлинения пропорциональны напряжениям
о, т. е. до этого предела действителен закон Гука о = Ев, и диа
грамма идёт по наклонной прямой. Напряжение, соответствующее
положению точки Л на диаграмме, носит название предела пропор
циональности и обозначается ор. После перехода через предел
пропорциональности прямая на диаграмме переходит в кривую до
точки В . На этом участке удлинения возрастают быстрее, чем на
грузка: закон Гука перестаёт действовать. На участке ВС диаграмма
идёт по прямой, почти параллельной горизонтальной оси. В это
время образец удлиняется без увеличения нагрузки: материал начи
нает, как говорят, течь. Напряжение, соответствующее этому участку,
называется пределом текучести и обозначается as . Точка В носит
название крит ической т очки . Участок ВС имеет замет
ную длину у мягких металлов (сварочное железо, мягкая
литая сталь) и делается мало заметным у твёрдых материа
лов, например, у твёрдых сортов стали (с малым удлине
нием в момент разрыва). Явление текучести сменяется
новым состоянием материала, при котором он восстанав
ливает свою способность сопротивляться растяжению, и
дальнейшее удлинение требует снова увеличения нагрузки.
В точке D напряжение о достигает наибольшего зна
чения. В этот момент поведение материала ещё раз резко
меняется. До этого момента на каждую единицу длины
испытываемого образца приходилось примерно равное
удлинение и по всему стержню было одинаковое умень- Фиг. 486.
шение поперечных размеров. С момента, соответствующего
точке D диаграммы, деформация сосредоточивается в одном месте.
В этом наиболее слабом месте образца появляется заметное сужение,
так называемая «шейка» (фиг. 486), что соответствует началу разру
шения образца.
Наибольшее напряжение, соответствующее максимальной силе,
которая должна быть приложена, чтобы довести брусок до разру
шения, носит название предела прочности и обозначается через оь.
Так как поперечные размеры стержня в месте образования шейки
сильно уменьшаются, то для разрыва образца нужна меньшая сила,
чем соответствующая точке D . Это сказывается в диаграмме на по
нижении кривой до точки К$ которая соответствует разрыву бруска1).
Весьма близко к пределу пропорциональности лежит напряжение,
называемое пределом упругост и ае. На практике часто принимают,
Э Понижение кривой на участке DK получается, если при подсчёте о
пользоваться начальной площадью сечения F; если же, как иногда посту
пают, относить напряжение к площади сечения в месте образования шейки,
кривая будет показывать рост напряжения.
[гл .
РА С ТЯЖ ЕН И Е
502
35
что предел упругости и предел пропорциональности совпадают.
Особенность ае в следующем. Если мы, доведя нагрузку до предела
упругости, начнём затем разгружать образец, то стержень после
полного устранения нагрузки примет первоначальную длину. Если
же вести нагружение образца за предел упругости, то, кроме упру
гих (исчезающих при разгружении) деформаций, появятся и оста
точные деформации, т. е. такие, которые после удаления нагрузки
не исчезнут. Остаточные деформации будут тем больше, чем ближе
мы будем при процессе нагружения подходить к точке D , соответ
ствующей пределу прочности. Для опытного определения предела
упругости нормы обычно указывают ту наибольшую величину оста
точной деформации (она составляет тысячные доли процента), кото
рой можно пренебречь.
Отмеченные выше четыре напряжения — предел упругости, предел
пропорциональности, предел текучести и предел прочности — харак
теризуют способность материала сопротивляться растяжению.
В таблицах 4 и 5 приводятся некоторые упругие характеристики
материалов.
Таблица 4
Предел прочности для некоторых материалов.
Наименование
материала
Предел проч
ности ав кг/см-
Сталь 2 ............................... 3,4— 4,2*103
» 3 . » . . . . . . . . . 3,8—4,7-103
11 - 1О8
» закалённая . . . . .
6— 10 - 103
Чугун (сж атие)................
» .(растяжение) . . . 1,7—2,5-10 3
2 - 2 ,3 - 1 03
Медь к р ас н а я...................
Наименование
материал'а
\ Предел прочности <зв кг/см2
\
1—4,5 • 103
А л ю м и н и й ......................
Кладка кирпич, (сжатие) 25—50
»
бутовая (сжатие)
30—100
Камни (сжатие) . . . . . 100—5000
50—500
Бетон ( с ж а т и е ) .............
»
(растяжение) . .
5—20
Диаграммы растяжения других материалов (чугуна, дерева, есте
ственных камней) отличаются от диаграммы .растяжения железа. Так,
например, для чугуна и камней она не имеет ни ясно выраженного
предела пропорциональности, ни предела текучести.
Таблица 5
Средние значения предела прочности в кг/см2 доброкачественного,
несучковатого, высушенного на воздухе леса.
Сорт л еса
S'S.-*
Предел проч
ности а в к г / см*
Сорт леса
Предел проч
ности а в к г /с м 2
700—1200
700—1 200
700— 800
Лиственница . . . . . .
П и хта..............
•Сосна • • • • • • • • .
710—960
550—800
600—900
1
§
164]
Д О П У С К А ЕМ О Е
Н А П РЯ Ж Е Н И Е . РА СЧЕТНАЯ
ФОРМУЛА
503
Если обе половины бруска после разрыва сложить и измерить
длину бруска, то относительное удлинение, получившееся после
разрыва и выраженное в процентах, называется удлинением при
разры ве. Его обозначим греческой буквой 8 , Следовательно;
юо,
где /, есть длина бруска после разрыва, а / — первоначальная длина
бруска до испытания. У материалов мягких 8 довольно значительно —
от 2 0 до 3 0 % , у твёрдых, наоборот, мало — от 5 до. 1.0 %*
Величина
*= ^
•
100,
где F t есть площадь поперечного сечения в месте разрыва, F —
первоначальная площадь поперечного сечения, называется относи
т ельны м суж ением площади при разрыве и обозначается греческой'
буквой
Эта величина служит для оценки пластичности материала;
чем больше ф, тем пластичнее материал. Мягкие материалы пластич
нее жёстких. Оба значения 8 и ф служат для характеристики пла
стичных свойств материалов и указываются в каталогах заводовизготовителей.
§ 164. Д о п ускаем ое нап ряж ени е. Р асчётн ая ф орм ула. Учёт
со б ст в ен н о го в еса. Условия прочности требуют от нас, чтобы
рассчитанные части машин или сооружения не могли ни разрушиться,,
ни получить остаточных деформаций. Следовательно, мы не только
не можем допустить, чтобы напряжения были близки к пределу
упругости, не говоря уже о пределе прочности (разрушающем
напряжении), но должны обеспечить надёжный запас против возмож
ности достижения этих пределов. Напряжение; которое может быть
допущ ено в материале без риска разрушения тела или получения
в нём остаточных деформаций, называется допускаемым. Поскольку
предел прочности является мерой прочности материала и легко
определяется опытным путём, допускаемое напряжение R берут как
часть от предела прочности1).
Таким образом будем иметь:
где оъ есть предел прочности, а п — так называемый коэффициент
безопасност и (запаса), показывающий, во сколько раз допускаемое
напряжение должно быть меньше разрушающего. Если, например,
х) Для пластичных материалов, имеющих ясно выраженный предел теку
чести ат, допускаемое напряжение R назначают как часть а/д.
504
[гл. 35
РА С ТЯ Ж ЕН И Е
предел прочности аь = 4000 кг/см *, а коэффициент безопасности
скажем, п = 4, то допускаемое напряжение будет:
, _ с±
4000
1 0 0 0 кг/см*%
Чем меньше п у тем больше степень риска, и наоборот. Установлением
коэффициента безопасности ведают особые правительственные органы
решающие эту важную задачу, пользуясь как техническими, так и
главным образом
экономическими данными. Для стали п берут
в среднем
от 2 у
до 4, для железа от 4 до 5, для чугуна от 6 до
8 , для дерева от 8
до 1 0 .
Введя понятие допускаемого напряжения, мыприходим
дующей расчётной формуле прочности:
o = y ^ R z кг/см*,
к сле
(Н 5 )
т. е. действительное напряж ение о, возникающее в т еле под дей
ствием нормальной силы N, должно дыть меньше (или равно)
допускаемого напряж ения при раст яж ении R z. В этой формуле F
есть так называемая рабочая площадь поперечного сечения; при
наличии всякого рода соединений из общей площади поперечного
сечения вычитаются площади ослабления — в металле отверстия
гтт ' заклёпок, в деревянных соединениях — площади
ослабления врубками и т. п.
а
Из формулы (115) получим:
см ’
\
т. е. площадь сечения рассчитываемой детали должна
быть больше или равна силе N , делённой на допуска
V
емое напряжение R z. Величины R zy рекомендованные
для промышленных и жилых сооружений, приводятся
Фиг. 487.
в таблице 6 .
Если при расчёте растянутого бруска нужно учесть влияние его
веса, то в состав нормальной силы N войдёт как внешняя сила Р 9
так и вес Gt части бруска, лежащей ниже того сечения, для кото
рого мы ищем напряжения. Тогда напряжение в сечении 1— 1 (фиг. 487)
будет равно
Наибольшее напряжение будет в том сечении, на которое передаётся
весь вес стержня, т. е. в верхнем сечении ab. Там мы будем иметь:
P+G
§
164]
ДОПУСКАЕМОЕ НАПРЯЖ ЕНИЕ.
РАСЧЕТНАЯ
ФОРМУЛА
505
где G есть вес всего стержня. Если сечение стержня по всей длине
одинаково, то
0 = / 7 Т,
где F есть площадь поперечного сечения, I — длина всего стержня,
а у — удельный вес.
Уравнение прочности примет вид:
F ± fli
F
^
r2
или
р
Следовательно, с увеличением нагрузки увеличиф иг. 488.
ваются необходимые размеры поперечного сечения.
На фиг. 488 изображён брусок, имеющий форму так называемого
«тела равного сопротивления растяжению», т. е. форму, при которой
Таблица б
Основное допускаемое напряжение для некоторых
материалов при статическом нагружении
(в кг/см%
Наименование материала
Сталь 3 (прокат). . .
» 5
»
...
» СПК »
...
Сталь Л 38 (литьё). .
»
50
»
, .
»
52
»
. .
Чугун . . . . . . . 7 . .
» . . . . . . . . . .
Сосна
» .....................
» ......................... ..
» . . . . . . . . . .
Д у б ...............................
»
• . . » .........................
Кирпичная кладка . .
Бетон
0 | ................................
Допускае
мое напря»
жение ti'2
1400 \
1750 V
2000 J
12001
1500 1
1800
1200
j
Примечание
На растяжение
и сжатие
То же
На сжатие
На растяжение
На сжатие
120
На растяжение
100
На смятие (вдоль)
100
На смятие (поперёк)
30
На сжатие
150
На растяжение
130
На смятие (вдоль)
130
На смятие (поперёк)
60
На сжатие
7— 12 •
То же
25—100
1—5
На растяжение
350
во всех поперечных сечениях бруска напряжения, возникающие под
влиянием веса и внешней растягивающей силы, имеют одно и то же
значение.
[гл .
РАСТЯЖ ЕНИЕ
506
35
§ 165. Изменение объём а бруска при растяж ени и . Длина
бруска при растяжении увеличивается и поперечное сечение при этом
уменьшается; следовательно, происходит поперечное сжатие, за меру
которого можно принять относительную поперечную деформацию,
т. е. величину, на которую будет уменьшаться каждая едини
ца какого-либо из размеров поперечного сечения бруска. Как
показывают опыты, относительное поперечное сжатие Sj соста
вляет для разных
материалов
от ~ до у
относительного
удли
нения в.
Отношение относительной поперечной деформации Sj к относи
тельной продольной е называется коэффициентом Пуассона и
обозначается греческой буквой р.. Следовательно,
=
Приводим
некоторые числовые значения р, в таблице 7.
Таблица
7
Коэффициенты Пуассона.
Материал
Материал
Пробка ..................... ...
Ф а н е о а ................................
Камни, б е т о н ы ...............
Ж е л езо ..............................
0,0
М е д ь ..................................
Каучук ............................
Парафин .........................
0,07
0,10—0,30
0,25-0,30
0,30—0,35
0,47
0,50
Итак, р* и растяжении продольные размеры бруска увеличиваются,
попере^ые уменьшаются. Что же делается с объёмом б руска?
И опытные данные и основанные т них вычисления нас убеждают,
что при растяжении объём бруска несколько увеличивается.
§ 166. Примеры.
Пример 18L. Определить диаметр и относительное у д л и н е н и е
круглой железной затяжки стропильной фермы, если р а с т я г и в а ю щ а я
сила равна 10 т , а допускаемое напряжение /? г = 1 0 0 0 кг/см*.
Мы определим искомый диаметр затяжки, если предварительно
найдём площадь поперечного сечения F. Из формулы (115) полу
чаем:
N
10 ’ 1000 =
1000
10 * Л
Так как сила дана в тоннах, а допускаемое напряжение в к г/с м 2,
необходимо силу сначала перевести в килограммы, для чего числи
тель умножаем на 1000. Итак, необходимая площадь поперечного
сечения должна быть равна 10 c m l % т . е.
TZCLz
=
10.
§
507
п ри м еры
Отсюда определим искомый диаметр d:
d = \ f ^ щ я « 3 , 5 8 см.
рав 1юеМ d ~ S,®'CM’ тогда наибольшее напряжение в затяжке будет
0 = = 75Д 1 ^
9 8 0 кг!см^<
Ю0О кг)см'1.
Следовательно, напряжение, соответствующее выбранному сечению
"
см> меньше допускаемого, что вполне понятно, так как мы
увеличили диаметр, взяв 3 ,6 см вместо 3,58 см.
Относительное удлинение легко определить, пользуясь |г
законом Гука. Из таблицы 3, помещённой выше, находим Ц
модуль упругости Е . Для литого железа
ш
£ ’= 2 1 0 0 0 0 0 кг/см2.
По закону Гука о = Ее, откуда
/
г ~ ~ Е ~ 2 100 000 ^ °>00047'
Если затяжка имеет длину / = 5
\
м , то её абсолютное
Удлинение А/ найдётся из
формулы ^ = е. Вычисляя, .
/
*Фиг. 489.
получаем А / = /е = 0 ,0 0 0 4 7 . 5 = 0,00235 м = 2,35 мм.
Пример 182. Рассчитать винт и обойму крюка четырёхтонного
подъёмного крана (фиг. 489).
Прежде чем приступить к расчёту винта, заметим, что нарезки
винтов делаются не произвольных, а строго определённых разме
ров согласно стандарту. Наиболее распространённой является си
стема нарезки Витворта (ОСТ 1260). Некоторые данные приводим
в таблице 8 .
При расчёте винта достаточно найти лишь внутренний диаметр
нарезки d u остальные размеры берутся из таблицы 8 . Заметим ещё,
ч то для винтов и з обыкновенного литого железа, завинчиваемых без
нагрузки, допускаемое напряжение берут равным «
/ ^ = 4,8 кг/м м %= 480 кг/см*.
При особо тщательном изготовлении нарезки можно взять
/?г = 6 кг/мм? = 6 00 кг/см1.
Д ля винтов из железа более высокой марки указанные значения R z
м ож но увеличивать на
для винтов же из литой стали в зави
симости от её качества R z можно увеличивать на 30—60%- Для
508
[гл .
РА СТЯЖ ЕНИЕ
35
Таблица 8
Основные характеристики стандартных винтов по ОСТ 1260.
Нормальный
диаметр резьбы
(дм) d
Диаметр резьбы
Наружный
до
Внутренний
dt
4,63
6,20
7,78
9,36
10,93
12,50
14,08
15,65
18,81
21,96
25,11
28,25
31,42
34,56
37,73
40,85
44,02
47,15
50,32
56,62
62,97
69,26
75,61
81,91
88,26
94,55
100,90
3,408
4,724
6,131
7,492
8,789
9,989
11,577
12,918
15,798
18,611
21,334
23,929
27,104
29,504
32,679
34,770
37,945
40,397
43,572
49,019
55,369
60,557
66,907
72,542
78,892
84,409
90,759
7i«
ъ
Vie
V,
Vie
V*
Vie
Ve
*/*
Ve
'
1
1 l/e
13/s
l 1/,
l Ve
I7 i
l 7/e
2
2‘/e
2 7s
27e
3
3Vs
3Ve
4
тонких винтов
(с
Площадь сече
ния стержня
F см2
Число НИ10К
на I"
п
24
20
18
16
14
12
12
11
10
9
8
7
7
6
6
5
5
47а
47а
4
4
37а
37а
374
374
3
3
, 0,091
* 0,175
0,295
0,441
0,607
0,784
1,052
1,311
1,960
2,720
3,575
4,497
5,770
6,837
8,388
9,495
11,308
12,814
14,911
18,872
24,078
28,802
35,159
41,330
48,883
55,959
64,695
5
наружным диаметром резьбы до у
дюйма =
= 15,65 мм) берут R z на 10—20 ° /0 меньше. При совершенно спо
койной нагрузке следует брать R z в полтора раза больше приве
дённых выше. Для винтов, завинчиваемых с нагрузкой (винты домкратов, прессов), надо
брать
для R z только
указанных
зна
чений. Этими данными мы и будем руководствоваться при наших
расчётах.
Для рассматриваемого случая можем взять R z = 600 кг/см г. Из
условия F ^
находим
§
ПРИМЕРЫ
166]
509
Это — площадь поперечного сечения винта, отвечающая внутрен
нему диаметру нарезки. В таблице 8 винта с такой площадью попе
речного сечения не имеется. Поэтому берём ближайший больший
винт с F = 6 ,8 3 7 см2, для которого диаметр d t по таблице равен 29,5 мм.
Далее по таблице же находим наружный диаметр нарезки d a =
3
= 34,56 м м = 1-g- дюйма. Число нарезок на 1 дюйм равно шести.
Итак, винт рассчитан.
Найдём теперь размеры обоймы. На каждую из половин обоймы
действует сила * ^ — = 2 0 0 0 кг. Обойма имеет прямоугольное сече
ние. Площадь его найдётся из условия:
F:
N
Rz
Для R 2 при расчёте мы могли бы взять тоже 600 кг/см2. Но
при таком R 2 мы получили бы слишком незначительные размеры
для обоймы. Поэтому умышленно примем для R z преуменыиённое значение R z = 300 кг/см2; тогда получим
2000
300
; 6,67 см2 = 667 м м 2.
Принимая меньший размер прямоугольного
сечения равным 15 мм, для другого размера
получим:
667
15 '
;45 мм.
Таким образом каждая из половинок
обоймы будет иметь сечение 1 5 X ^ 5 м м 2,
что вполне согласуется с практикой.
Пример 183. Рассчитать болты для приФиг. 490.
крепления крышки парового цилиндра диа
метром в 400 мм, если известно, что наибольшее давление пара
равно 10 атмосферам, или 10 кг!см2\ диаметр крышки равен 410 мм,
диаметр окружности, на которой расположены центры болтов, 512 мм
(фиг. 490).
Площадь, на которую давит пар, равна:
%(41)2
4
: 1320 сл12. •
-Следовательно, давление пара на крышку равно
1 0 . 1320 = 13 200 кг.
Число болтов, прикрепляющих крышку, найдём из условия, что
расстояние между центрами болтов не должно превышать 150 мм
510
(гл. 35
РАСТЯЖ ЕНИЕ
(так обычно принимается). Следовательно, мы должны разделить
длину окружности, на которой расположены центры болтов, на 15 (^
Получим
те. 512
1 609 _ 1 ( ) 7
150
150
Понятно, что дробного числа болтов взять нельзя. Ближайшее целое
число 11 нечётное — не особенно удобное для разметки центров.
Поэтому берём число болтов равным 12 —
ближайшему чётному числу. Давление, при*
ходящееся на 1 болт, получается равным
N=
13 200
12
: 1 10 0 кг.
Допускаемое напряжение, согласно ска
занному в примере 182, примем R z =
= 480 кг/см 2. Находим площадь попереч
ного сечения болта (соответствующую внут
реннему диаметру нарезки) из условия
гг
Получаем
F^ N
Rz
1 100
480
: 2,29 с м \
Болта с такой площадью поперечного се
чения в таблице 8 не имеется. Ближайший
больший имеет площадь сечения:
F = ^ - = 2,72 с м \
Этот болт имеет
размеры: ^ = 1 8 , 6 1 ^ ,
7
d0 = 21,96 мм = у дюйма.
Фиг. 491.
Пример 184. Рассчитать фундахментный
болт, служащий для прикрепления станины
если действующая на него сила равна 2 700 кг
паровой машины,
(фиг. 491).
Так как при работе машины возможны сотрясения и удары, то
обыкновенно при расчёте фундаментных болтов действующую силу
увеличивают на
Следовательно, в данном случае
N = 2 700-
2700
= 3 600 кг.
Так как материал для таких болтов берётся лучшего качества,
то допускаемое напряжение материала можно принять равным
§
166]
511
ПРИМЕРЫ
R z = 600 кг/см 1. Площадь поперечного сечения болта определяем
из условия:
откуда
3 600
■6 ,0 0 слСг
600
По таблице 8 ближайший к рассчитываемому болт имеет площадь
поперечного сечения / 7= 6 , 8 4 ель1) соответствующий внутренний
диаметр
d i = 29,5 мм,
d0 = 34,56 м м = 1
наружный
дюйма.
о
Остальные размеры фундаментного болта берутся по формулам,
написанным на чертеже.
П ример 185. Рассчитать стяжку, изображённую на фиг. 492,
если силы, стремящиеся её разорвать, равны каждая 4 000 кг, Такие
стяжки применяются весьма часто в стропильных фермах.
—
н ш
J
р
!
к
I
ш
■
ш
Н
-
" " Ъ' '
6
'
4
и ----- ;----- L=3H~-------- -
[
Фиг. 492.
Определим сначала внутренний диаметр нарезанной части тяг,
для чего воспользуемся формулой (115). Принимая во внимание,
что силы, действующие на стяжку, можно считать постоянными,
согласно сказанному в примере 182, допускаемое напряжение для
данного случая можно принять равным:
/ ^ = 4 8 0 . 1,5 = 720 кг/см*.
В таком случае из формулы (115) найдём:
^
откуда
р
4 000
720
Rz ’
?5,56 см*.
Ближайшая подходящая нарезка по таблице 8 имеет площадь попереч
ного сечения
.8
F = ^ = 5,77 сл*
и диаметры d x = 27,1 мм, d0 = 31,42 м м — I
дюйма.
512
РА СТЯЖ ЕН И Е
Для определения размеров боковых частей хомута стяжки заме,
тим, что расчёт их на растяжение силой, равной 4 0 0 0 : 2 = 2 0 0 0 /q
при том же допускаемом напряжении R z = 720 кг/см?, дал бы слицд!
ком малые размеры поперечного сечения. Поэтому, подобно тому
как это было сделано в примере 182, мы рассчитаем их, принимав
для R z заведомо преуменьшенное значение. Примем /?г = 300 кг/сл&%
Тогда из формулы (115) будем иметь:
F
1
следовательно,
р
2 000
•
R z’
_
»
Так как поперечное сечение каждой из половин хомута представляет
прямоугольник со сторонами b и /г, то
F i = b - /г = 6,67 см2.
Обычно принимают к = ЪЬ. Поэтому
£ . 3 £ = 6,67 с м \ Ь2ъ 2,22 = 222 мм*.
Следовательно,
и
Ь = / 2 2 2 = 1 4 , 8 ^ 1 5 мм
h — ЪЬ = 45
Размеры получились вполне согласными с практикой.v Остальные
размеры стяжки берутся по формулам, написанным на чертеже.
П ^.м ер 186. Проволочный канат состоит из 42 стальных про
волок, каждая диаметром 1,2 мм. Вес погонного метра каната равен
0,46 кг. При помощи каната поднимается из шахты некоторый груз
на высоту 10 0 м. Определить, какой наибольший груз может быть
поднят, учитывая собственный вес каната, если предел прочности
проволоки равен 12 0 0 0 кг/см* и требуемый запас прочности равен 1 0 .
Собственный вес каната равен
G = 0,46 • 100 = 46 кг.
Допускаемое напряжение согласно условиям задачи равно
=
= 1 2 0 0 к г /с м \
Площадь поперечного сечения каната равна
к • 1,22
513
ПРИМ ЕРЫ
Наибольший поднимаемый
„ ^ Р Л -G
R z ^ — т— , отсюда
груз
Р
определим
из
формулы
P - \- G = R ZF = 1 200 • 0,48 = 576 кг.
Следовательно,
Р = 5 7 6 — 0 = 576 — 46 = 530 кг.
Пример 187. С аэроплана спущена антенна из медной прово
локи. При какой длине антенна выдержит безопасно собственный
вес, если для медной проволоки R z = 300 кг/см 4 и удельный вес
меди равен 8 , 8 .
Искомую длину антенны в сантиметрах обозначим через /,
а поперечное сечение её (в см*) через F. Тогда объём антенны будет
FI смъ. Следовательно, вес антенны равен 8 ,8 • FI г или 0,0088 FI кг.
Эта сила и будет растягивать антенну. Применяя формулу
R z ^ у , получаем
N = R ZF.
Но N есть вес антенны, поэтому
0,008 8 F l = R 2 'F .
Отсюда, после сокращения обеих частей равенства на F , найдём
1=
300
0,0083 ‘
; 34 090 см
341 м.
Так как обыкновенно антенна на конце несёт ещё некоторый
груз, то практически длина её должна быть меньшей.
Пример 188. Медный электрический провод натянут между двумя
столбами А и В, отстоящими друг от друга на расстоянии 40 м.
X
Найти натяжение в проводе, если вес погонного метра провода
q = 0,6 кг/м , а стрелка провисания / = 0 , 4 м (фиг. 493).
Для решения примера допустим, что центр тяжести любого
участка проволоки находится на вертикали, проходящей через сере33
Зак« 667. И. И. Веселовский
РА С ТЛЖ БН И Б
514
L^- 35
^ину этого участка. Если проволока провисает лишь очень немного$
как это обычно и бывает на практике, то упомянутое допущение
вполне возможно. Теперь разрежем проволоку в середине О и на
конце А и рассмотрим условия равновесия части АО . На неё дей.
ствуют три силы: сила веса Я, проходящая по вертикали К С , гори,
зэнталькое натяжение проволоки TQ и натяжение Гд . Так как отре.
занная часть проволоки находится в равновесии под действием трёх
сил: Р, Т0 и Гд, то сила ТА должна проходить через точку К пере*
сечения линий действия двух первых сил. Построив для этой точки
силовой треугольник, мы убедимся, что он подобен треугольнику
А С К . Из подобия этих треугольников получаем
Р
Ll
с Г ’А С ' А К '
Но
P = q ± - = 0 , 6 - 2 0 = 1 2 кг, С К = 0,4 м, Л С = 4- = 1 0 м.
Отсюда
т _
р -А С _ К 0
СК
0,4— 3 0 0 кг%
ТА определим по теореме Пифагора из прямоугольного
треугольника сил:
0
Натяжение
ТА = / Г 0 + Р г^= 300,24 кг.
Мы видим, что это натяжение ТА
лишь очень немного отличается от
натяжения 7^ в середине.
Таким образом, при пологом
провисании силу натяжения прово
локи можно считать постоянной по
её длине.
Фиг. 494.
Пример 189. Какова должна
быть площадь поперечного сечения
железной тяги А В , поддерживающей конец балки ВС , если длины
на балку В С действует посредине сила
Р = 2 т , а допускае
мое напряжение для же
леза R z= 1 0 0 0 к г/см 1
(фиг. 494).
Раскладываем силу
Р на две силы Q, при
ложенные в точках В
и С. Из этих сил при
Фиг. 495.
ложенная в точке С
непосредственно воспринимается шарниром С, приложенная же
в точке В передаётся на тягу А В . Рассматриваем равновесие шар
§ 1G6J
515
п ри м еры
нира В под действием трёх сил (фиг. 495): вертикальной Q — ^ = \ т*
силы Т А, растягивающей тягу А В , и силы Тс , сжимающей балку
ВС . Построив силовой треугольник (фиг. 495, Ь), замечаем, что он
подобен треугольнику A B C . Следовательно,
Та _ Q _ Т С
АВ
АС
ВС
=
*
Но АС определится из прямоугольного треугольника A B C по фор*
муле
А С = / А В * — ВС* = 3 м.
Следовательно,
Т'л = Q ^ § = y - б ^
1 ,6 7 т.
Площадь F сечения тяги определится по формуле
откуда
р
1 670
,
Тооо“
«
'
<аЛ
Пример 190. Цепи подъёмников, работающие спокойно и без
ударов, рассчитываются по формуле
^
Р = 1 ООО dг?,т
__ #—
о — приходящаяся на цепь наd*
J
где И
грузка в кг, a d — диаметр цепнофиг> 495
го железа в см. Вычислять допу
скаемое напряжение, принятое при выводе этой формулы (фиг. 496).
Растягивающая сила М = Р действует на два сечения цепи, общая
площ адь которых равна 2 ^ - см*. По формуле (115) имеем
откуда наименьшее значение R z определится по формуле
&г — F
&%*
Таким образом
Р
tzR£
РА СТЯ Ж ЕН И Е
516
[гл. 35
По условию задачи ^ - = 1 0 0 0 , откуда
1 0 0 0 = !- /? ,
или
Таким образом, допускаемое напряжение R z было принято в 636 лгг/слг2.
Пример 191. Два бруска одинаковой длины, но с разными пло
щадями поперечного сечения Е г и F2, сделанные из различных
материалов (модули упругости Е х и Е 2), растягиваются силами Р.
Р
Фиг. 497.
Один брусок является трубкой, другой цилиндром, центрально вло
женным в трубку. Найти растягивающие усилия в каждом из брусков
(фиг. 497).
Пусть эти усилия будут Х х и Х 2. Мы можем написать
X t + X 9 = P.
(А)
^ о единственное уравнение, которое даёт нам статика; из него мы
не можем найти величину каждого из усилий Х г и Х г, так как оно
содержит два неизвестных. Такие задачи, для решения которых
уравнений статики недостаточно, носят названия статически неопре
делим ы х.
Нужное нам второе уравнение мы получим из рассмотрения
удлинений обоих брусков. Удлинения обоих брусков между собой
равны, так как они прочно между собой связаны. Удлинение пер
вого бруска будет
„
д/> = й ' >
а второго
v
Сравнивая А/х и Д/2, получаем:
(В)
Из этого уравнения определяем X t и подставляем в уравнение (А);
тогда
§
1671
АНАЛО ГИ Я
G РА С Т Я Ж Е Н И Е М .
ОСОБЕНН О СТИ
СЖАТИЯ
617
о тк у д а
у __
л
2
Ext \ + E ,F 2
Точно так же
Р EXFX
Важно отметить, что уравнение (В) обозначает, что усилия Х г и Х$
прямо пропорциональны жёсткостям; это же видно из полученных
ответов Х х и Х%; следовательно, более жёсткий стержень примет на
себя большую долю силы Р, менее жёсткий — меньшую долю; т. е.
каждый стержень как бы принимает нагрузку в меру своих возмож
ностей.
ЗАДАЧИ*
159. Круглая железная затяж ка длиной 3 м получила от растягивающей
силы Р = 11,25 т, удлинение в 0,75 мм. Найти диаметр затяжки, если
В = 2 • 10° кг/см2.
О т в е т : d = 5,4 см.
160. Определить силу Р, растягивающую железную штангу и доводя
щую напряжение до 1800 кг/см2, если площадь сечения штанги F — 8 см-.
О т в е т : Р = 14,4 т.
161. При какой длине / железная проволока, подвешенная вертикально,
получит от собственного веса напряжение о = 390 кг/см 2, если удельный
вес железа y = 7,8.
О т в е т : / = 500 м.
162. Цепь, служ ащ ая для подъёма грузов до Р = 4 т, сделана из круг
лого железа с пределом прочности аь = 3700 кг/см 2. Коэффициент безопас
ности п = 6. Найти необходимый диаметр звена цепи d. На фиг. 496 изоб
ражено одно звено цепи с частями прилежащих звеньев.
О т в е т : 4 = 21 мм.
Г Л А В А 36.
СЖАТИЕ.
§ 167. Аналогия с растяжением. Особенности сжатия. Если
на короткий брусок действует осевая сила, направленная, как
указано на фиг. 498, то происходит явление, называемое сжа
т ием *). Оно во многих отношениях аналогично растяжению; фор
мулы, выведенные для растяжения, являются расчётными и для сжатия.
9 Если сжимается брусок достаточно большой длины, то кроме простого
сж атия может произойти выпучивание бруска вбок, так называемый про
дольный изгиб, изучаемый далее, в главе’ 39.
518
СЖ АТИЕ
[гл. з6
При сжатии длина бруска уменьшается; отношение получив,
шегося под влиянием сжимающей силы укорочения длины бруска
к его первоначальной длине называется относительным укоро .
пением.
Внутренняя сила, отнесённая к единице площади, или напряжение
материала при сжатии, как и при растяжении, пропорционально
относительному укорочению.
Таким образом, напряжение материала при сжатии равно
о= £>,
(116)
где е — есть относительное сжатие, а Е 1 — коэффициент пропор
циональности, называемый модулем упругости при сжатии и выра
жаемый в кг/см4, Для большинства матери
алов, употребляемых в сооружениях и в ма
шиностроении, модуль упругости при сжа
тии примерно равен модулю упругости при
растяжении, т. е. Е г = Е . Разными модуля
ми Е и E t обладают обычно хрупкие мате
риалы — бетоны, камни и др. Закон, выра
жаемый формулой (116), называется, как и
в случае растяжения, законом Гука. И здесь
этот закон справедлив только до не
Фиг. 498.
которого предела. То предельное значение напряжения, при котором закон Гука ещё приложим, называется пределом пропорциональности при
сж атии.
Деформации, появляющиеся при сжатии-тел, бывают, как и при
г*" Дяжении, двух родов:
1 ) упругие, т. е. исчезающие после снятия нагрузки, и
2 ) неупругие, т. е. остающиеся после удаления нагрузки.
Диаграммы сжатия напоминают по своему виду диаграммы рас
тяжения и имеют аналогичные характерные точки, определяющие
известные уже из растяжения упругие характеристики материала,
как-то: предел упругости, предел пропорциональности, предел теку
чести и предел прочности. Хрупкие материалы не имеют предела
текучести и часто либо вообще не подчиняются или плохо подчи
няются закону Гука.
Для упрощения в расчётах обычно полагают, что в пределах
допускаемых напряжений и в таких материалах соблюдается закон
Гука.
При разрушении бруска из хрупкого металла под влиянием сил
сжатия на его поверхности появляются трещины, часто косые по
отношению к линии действия сил, и брусок распадается на отдель
ные части. Если материал бруска пластичен, то происходит сплющи
вание. Объём бруска при сжатии уменьшается.
РА С Ч Ё Т НА СЖ АТИЕ
519
§ 168. Р асч ёт на сж ати е. Расчёт бр>ска на сжатие ведётся по
ф орм уле:
° = y - ^ R d т/см*,
(117)
где N — сжимающая сила в килограммах, R d — допускаемое напря
жение материала на сжатие в кг/см 2, F — площадь поперечного се
чения в см2.
Коэффициент безопасности п для материалов изотропных назна
чается при сжатии тот же, что и при растяжении, т. е. допускаемое
напряжение R d сохраняет ранее указанную величину R g. Для мате
риалов хрупких, неизотропных, коэффициент п имеет другие значе
ния, чем при растяжении, и допускаемые напряжения на сжатие
отличаются от принятых на растяженйе (таблица 6 ).
а ------------Фиг. 499.
Фиг. 500.
Фиг. 501.
Если желательно учесть и собственный вес части бруска, распо
ложенной над исследуемым сечением (/—/), то к внешней силе Р
надо прибавить вес G1 расположенной над сечением (/—/) части
бруска; тогда получим (фиг. 499)
Наибольшее напряжение от собственного веса будет в нижнем се
чении а — Ь. Если вес всего бруска равен О, то расчётная фор
мула для сечения а — b примет вид:
кг [см*.
Сечение а — b является в данном случае наиболее опасным сече
нием * Форма тела равного сопротивления на сжатие изображена
на фиг. 500; во всех поперечных сечениях тела такой формы на
пряжения, вызываемые силой Р и собственным весом бруска,
одинаковы. Так как выполнение бруса по форме тела равного
сопротивления часто будет затруднительным, то на практике обычно
прибегают к брусьям ступенчатой формы (фиг. 501); эти последние
дешевле в производстве, нежели тела равного сопротивления, хотя
материала на них будет затрачено несколько больше.
620
СЖ АТИЕ
[гл. 38
Нужно заметить, что расчётной формулой (117) можно пользо,
ваться только при расчётах на сжатие коротких и толстых брусков.
Длинные бруски, находящиеся пэд влиянием сжимающих сил, рас,
считываются на так называемый продольный изгиб.
§ 169. Понятие о смятии. Смятие представляет собой дефор,
мацию, однотипную с сжатием; совпадающими для обеих деформа
ций являются направление действующих сил и напряжений, а также
и направления деформаций; но в то время как, рассчитывая на ежатие, мы обращаемся к сечениям, достаточно удалённым от места
приложения сил сжатия, смятие мы считаем местной деформацией,
происходящей на части тела, ближайшей к поверхности загружения.
Если явление смятия происходит в металлических деталях, то материал в местах смятия находится в условиях повышенной сопротивляемости,
так как трение между соприкасающимися частями, а также окру,
жающий материал препятствует развитию деформации. Характерным
примером может служить смятие опорных катков, смятие заклёпок
и др. Для заклёпок допускаемое напряжение на смятие ( R cм) берётся
в два раза больше допускаемого напряжения на сжатие (R d). Гораздо
хуже сопротивляется смятию дерево, так как оно не однородно
в своём строении и разрушение в нём происходит от разрыхления
и разрушения волокон в месте соприкасания с нажимающей поверх
ностью. Для дерева R Ci& ^ Q J R dРасчётное уравнение на смятие имеет такой же вид, как и рас
чётное уравнение на сжатие
дг
о = -р s S /? CMкг/см 1,
только вместо R d берётся допускаемое напряжение на смятие /?см.
-При этом расчёт производится по наименьшему из возможных для
данной конструкции значений R cм.
§ 170. Примеры.
Пример 192. Железная балка должна передать давление на стены
в 8000 кг. Под концы балки подложены прямоугольные чугунные
Фиг. 502.
плиты (этим достигается передача давления на кладку стен по боль
шой площади). Каким должен быть размер плиты, перпендикулярный
к плоскости чертежа (фиг. 502), если ширина плиты равна 25 см,
а давление на кладку может быть безопасно допущено 7 кг/см 2.
521
ПРИМ ЕГЫ
На
каждый
конец
балки
приходится
давление
-= 40 0 0 кг. Если искомый размер чугунной плиты в сантиметрах обо
значим через а, то площадь плиты будет 25а смК Согласно фор
муле (117)
откуда
F = 2 5 a ^» d;
следовательно,
а^7 ^2 5 = Ш
^ 22>8 6 ^ 23
•
Пример 193. Для статуи весом 24 т установлен постамент из
гранита в виде прямоугольного столба со сторонами, относящимися
как 1 : 2 . Предел прочности гранита на сжатие равен 450 к г/с м \
Коэффициент безопасности желательно взять равным 30. Определить
размеры поперечного сечения постамента.
Если меньший размер поперечного сечения постамента обозна
чим через а (в сантиметрах), то больший будет 2 а. Следовательно,
площадь сечения равна F = a ^ 2 a = 2ai. Действующая сила равна
N = Р = 24 • 1000 = 24 000 кг.
Допускаемое напряжение согласно условию должно быть равно
R d=
Применяя формулу
= 15 к г/с м \
, будем иметь
0 >
d
24000
" ‘■ * 5 5 = - Г Г -
откуда
о 24 000
я
а — —2 Q— — oOG i.M"i
следовательно,
а = i/8 0 0 == 28,8
30 см, 2 а = 60 см.
Пример 194. При расчёте винтов домкрата считают, что винг
сжимается весом поднимаемого груза, увеличенным на 30!,/ 0 (для
учёта нагрузки от силы трения между винтом и гайкой). Подобрать
шшт, необходимый для подъёма груза в 6 m t если допускаемое
напряжение / ^ = 600 кг/см*.
Домкрат состоит из чугунной станины (фиг. 503) с вставленнойв неё бронзовой гайкой, в которую входит железный винт дом
крата . Пиит снабжен головкой, через которую просовывается
522
СЖ АТИЕ
[гл .
36
рукоятка для вращения винта, а сверху на головку надевается
чашечка, на которую кладётся подымаемый груз.
Площадь сечения винта определяем из формулы (117) с учётом
того, что Л /= 1 ,З Р :
N _ 1,3- 6000
Rd ~
600 ’
откуда
•
'
Р=13см*.
По таблице 8 ближайший винт имеет внутренний диаметр ^ = 40,397,
или с округлением 40 мм.
Нарезка винта берётся квадратной (фиг. 504), причём глубина
нарезки t берётся равной
В нашем
случае
диаметр
t = b мм, внешний
d, = d l - \- 2 t — bQ
мм.
Пример 195. Стенной кран (фиг. 505), подъёмной силой в 3 nt,
состоит из двух тяжей А В , сделанных из полосового железа пря
моугольного сечения, с отношением сторон 1: 4, и деревянной (сос
новой) укосины А С круглого сечения. Длины тяжей и укосины ука
заны на чертеже. Найти прочные размеры тяжей и укосины.
Сила Я = 3 0 0 0 кг (поднимаемый груз) разлагается на две со
ставляющие iVj и N %i из которых первая растягивает тяжи, а вто
рая сжимает укосину. Составляющую N % найдём из подобия прямо
угольных треугольников APN% и A B C . Имеем;
N2_ A C
Р ~ ВС'
§
170]
ПРИМЕРЫ
523
Нижний катет треугольника A P N it очевидно, разеи Л/j. Поэтому
Ni
АВ
Р
ВС
но
ВС = У а с * — А В г = 4 м,
следовательно,
N * = P W c = ~ 4 - = 3,75 m = 3750 кг,
Л D
о
О
N i = P BC = X
' T ~ = 2 ’2 5 т = 2250 кг.
Сила AAj растягивает два тяжа. Поэтому на каждый тяж приходится
22-0
= П 2 о кг.
Допускаемое напряжение для литого железа можно
взять равным
R z = 600 кг/см г.
Обозначая один размер прямоугольного сечения тяжа через а, а
другой через Аа (согласно условию задачи), для площади сечения
тяжа будем иметь выражение: а « 4 а = 4 а2.
Следовательно, по формз^ле (115) имеем
N
Rt
ИЛИ
А 2
1125
40 =
600 »
откуда
1125
2400
а — У 4 7 ^ 6,9
;0,47 сл*2 = 47 мм*,
7 мм; Аа = 28 мм.
%
Итак, размеры сечения тяжа найдены.
Укосина сжимается силой Р%= 3750 кг.
Фиг. 505.
Допускаемое напряжение на сжатие для
сосны при зачёте опасности потери }'стойчивости (см. главу 3 9 )
можно принять равным R d = 20 кг/см*. По формуле (117)
F:
Rd
Следовательно,
0*7 К сл л ч,
Fт->=__z — =__37о0___
— = 1187,5
откуда находим диаметр ) косины
1 Я7 Я . А
СЖ АТИЕ
524
[Г Л .
36
Пример 196. Стержень с закреплёнными концами А и В под
вергается действию направленной по оси силы Р, приложенной на
расстояниях а и b от концов стержня. Определить, какая часть силы
передаётся на верхний и какая на нижний конец
стержня (фиг. 506).
Мы имеем задачу, которую решить с по
мощью одной только статики не
сможем.
реакции в точках А и В обозначим
через N A
то всё, что нам может дать статика, будет за
ключаться в равенстве
АЛ,
■NB = P.
(А)
Сопротивление материалов даёт нам возм ож 
ность найти в отдельности N A и N B. Действи
тельно, часть А М будет растягиваться силой
N a, а часть M B сжиматься силой N B. Так как
длина стержня А В остаётся без изменения, то это значит, иго
удлинение части А М должно равняться укорочению В М . Это да£г
нам следующее равенство:
NA-a
~£F ~
Cl''
или по сокращении на EF:
Na
N B .b
(В)
Таким образом, мы видим, что силы N A и Лу#
обратно пропорциональны расстояниям а и Ь*
Решая уравнения (А) и (В), находим
ЛЛя> = Р а—y
+ -jb
Пример 197. На медную трубку надета
стальная такой же длины и обе трубки сж аты
силой Р (фиг. 507). Площади поперечных сечений внутренней и н а
ружной трубок Fx и Р 2 относятся, как 2 : 3 ; модули упругости
меди и стали относятся, как 1: 2. Определить, какая часть силы И
передаётся на внутреннюю и какая часть на наружную труб ку.
Пусть N x и No будут усилия, передающиеся соответственно на
медь и на сталь. Аналогично предыдущей задаче будем иметь д ва
уравнения;
N x+ N 2 = P,
Фиг. 507.
NXH
N*H
§
171]
СУЩ НОСТЬ
625
С Д В И ГА . ФОРМУЛЫ
где Н = общая высота трубок. Подставив во второе уравнение зна
чения
Е х=
и
F l = ^ F stf мы, после сокращений, получим:
N i = -J N t .
Решая оба полученных
получим
уравнения
Nt= ±P;
совместно,
мы для N t и
AT, = 4 Р.
ЗАДАЧИ.
163. Прибор Френкеля для определения напряжений в мостах показы
вает с увеличением в 150 раз изменение длины стержня моста между двумя
точками, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. Спрашивается,
насколько увеличилось напряжение в стержне мостовой фермы при прохож
дении поезда, если поибор, установленный на этом стержне, показал укоро
чение в 5 см? (£ = 2 . 10е кг!см2).
О т в е т : с = 667 кг/см*.
164. Ж елезобетонная колонна квадратного поперечного сечения (высота
колонны /г = 8 м, сторона квадрата а = 40 см) поддерживает нагрузку
— 30 т. Определить:
а) какая часть нагрузки передаётся на железо и какая на бетон, если
площ адь железа составляет 0,04 площади бетона, отношение модулей упру
гости ж елеза и бетона равно Р жел : Ебет= 10 : 1 .
б) напряжение в железе и бетоне, если объёмный вес колонны —
2,5 щ/мК
О т в е т : железо берёт 2/ъ а бетон — б/7 всей нагрузки; абет= 14,8 к г/см2,
с жел = 143 кг)см2.
165. О пределить внутренний диаметр dt винта домкрата (фиг. 503), если
максимальный поднимаемый груз /* = 1 0 /и, а допускаемое напряжение
= 600 кг!см2.
О т в е т : di = 49 мм.
Г Л А В А 37.
СДВИГ.
§ 171. С ущ ность сдвига. Ф ормулы . Сущность деформации
сдвига отчасти раскрыта в главе 34 (см. § 160). Дополнительно
рассмотрим следующий пример. Возьмём весьма короткий брусок
А В и нагрузим его силой Р, приложенной на конце. Если мы рас
сечём этот брус любым сечением, перпендикулярным к его оси
(фиг. 508, а), то из условий равновесия правой части (СВ) получим,
что внутренние силы в сечении / - - / должны быть направлены ка
сательно к сечению и противоположно силе Р ; в сумме они должны
526
сдвиг
[гл. 37
равняться силе Р (фиг. 508). Обозначим равнодействующую этих
Вхчутреннкх сил через Q; сила Q = P и направлена по касательной
к сечению 1— L Будем считать, что внутренние силы, составляющие
в сумме Q, распределяются по сечению равномерно1). В таком случае
напряжение в любом сечении бруса от действия силы Q будет равно:
В этой формуле Q есть внутренняя сила, называемая поперечной
или перерезывающей силой, а т (греческая буква «тау») касательное
\С
И!
\\\\
11
f*f!
Ь)
—г
t
9
Фиг. 508.
Фиг. 509.
или тангенциальное напряж ение в рассматриваемом сечении (вы ра
жаемое в кг/см2), F — площадь поперечного сечения в см*. И з
фиг. 508 мы видим, что силы Q стремятся сдвинуть одну часть
бруска относительно другой. Если бы мы взяли любое другое сече
ние, то увидели бы, что и там внутренние силы привелись бы к
силе Q = P, которая также стремилась бы сдвинуть одну часть
сечения относительно другой. Представим себе бросок А В состоя
щим из ряда вертикальных пластинок. Тогда под действием силы
Р произойдёт следующая деформация: пластинки сдвинутся одна
*) Влиянием получающегося в сечении 1—Т момента пары сил Р, Р, вви ду
малости плеча пары (стержень весьма короток) пренебрежём; это допущ ение
имеется в виду и во всех последующих рассуждениях этого параграфа.
§
171]
С У Щ Н О СТЬ
СДВИГА.
ФОРМУЛЫ
527
относительно другой, причём сдвиг любой единицы длины будет
один и тот же, а полный наибольший сдвиг получат те сечения,
которые находятся дальше от заделки (фиг. 509). В целом, сплош
ном бруске такое явление сдвига получится от сечения к сечению
и не по ступенчатой линии (фиг. 509, а), а по наклонной прямой АВ
(фиг. 509, Ь). Любая точка С поперечного сечения переместится вниз
в новое положение, отмеченное С". Смещения СС" или В В" носят
название абсолютного сдвига. Это смещение тем больше, чем дальше
данная точка отстоит от точки А. Однако мерой деформации при
сдвиге принимается не абсолютный сдвиг, а относительный, равный
отношению абсолютного сдвига к расстоянию рассматриваемой точки
от неподвижной точки А . Следовательно, относительный сдвиг равен
ёР "
ВА •
О
слю отношение является тангенсом угла линии А В " к горизонту.
Ооозначая этот угол греческой буквой у («гамма»), можем написать:
ВВ"
Та
,
т. е. относительный сдвиг равен тангенсу угла, образованного на
клонной прямой А В " с горизонтальной прямой А В. Угол у при
упругих деформациях обычно очень мал. Так как для малых >глов
тангенс мало отличается от самих углов, то за меру относительного
сдвига принимают не тангенс угла у, а сам угол у, т. е. полагают
ВВ"
ш = 1г т = т Н а основании опытных данных принимают, что в известных преде
лах тангенциальные напряжения пропорциональны относительному
сдвигу, т .'е . с деду ют закону Гука. Таким образом
x=Gy,
(119)
где G есть так называемый модуль упругости при сдвиге. Изме
ряется он в тех же единицах, что и т, т. е. в кг/см 1, так как у
есть число отвлечённое. Подобно тому как Е характеризует жёст
кость материала при растяжении или сжатии, G характеризует
ж ёсткость материала при сдвиге. Между G и Е существует следую
щая зависимость:
Г—
Е
2(1 + р) '
где р. есть коэффициент Пуассона. Если Iх = -у , то G = 0,4E. Вы
веденные формулы для сдвига имеют большое сходство с форму
лами для растяжения или сжатия. Основное различие их в том, что
628
сдвиг
[гл. 37
внутренняя нормальная сила N, возникающая вследствие растяжения
или сжатия, направлена по оси и перпендикулярна к сечению; со
ответствующие ей напряжения о также нормальны к сечению; внут
ренняя же перерезывающая сила Q, возникающая при сдвиге, касательна к сечению, а напряжения т, вызываемые ею, также касательны
к сечению.
Деформация сдвига в металлических сопряжениях (болты, за
клёпки) может свестись к срезу элементов конструкции или выка
лыванию частей. В случае же дерева и бетона деформация сдвига
может привести к скалыванию.
§ 172. Расчётная ф орм ула. Д опускаемы е напряж ения. При
нимая, что касательные напряжения т распределяются по сечению
равномерно, будем иметь из формулы (118):
т = y ^ R s кг/см 2,
(120)
где Q есть перерезывающая сила, ^ — площадь поперечного сечения
и / j — допускаемое напряжение на сдвиг. Между допускаемым на
пряжением на растяжение и на сдвиг существует определённая заТаблица 9
Значение допускаемого напряжения на сдвиг для некоторых
материалов.
Наименование
материала
mo ff т
»
>
!
Q
5 ..............................
с п к ........................
_ П QQ
> л 50 ..................
Допускаемое
напряжение на
сдвиг R s кг/см*
Наименование
материала
1050
1300
1500
900
1150
Сталь Л 5 2 ............ ...
Чугун ...............................
Кирпичная кладка . . .
Бетон
Допускаемое
напряжение на
с д в и г к г /с м ^
1350
250
1—3
2— 6
_
1
висимость. Так для однородных по структуре материалов (преиму
щественно металлы) величину R s следует назначать в пределах о г
О 60 до 0,8 R 29 где R z есть допускаемое напряжение на растяжение.
В таблице 9 приводятся некоторые данные, взятые из норм.
Фиг. 510.
При выборе допускаемых напряжений для дерева необходимо
различать, как происходит скалывание — параллельно или перпенди-
§
173]
ПРИМЕРЫ
529
кулярно к направлению волокон. Ниже дана таблица 10 для разных
пород деревьев соответственно видам скалывания, изображённым на
фиг. 510, 511, 512.
Из сравнения с таблицей допускаемых напряжений на растяже
ние и сжатие (см. таблицу 6 ) видно, что R s значительно ниже Rz
и Rd*
При выполнении расчётов на срезывание (скалывание) нужно
обязательно делать в нужных местах проверку на смятие, так как
J
Фиг. 511.
Фиг. 512.
последнее всегда встречается в соединениях, рассчитываемых
сдвиг (заклёпки, врубки и т. п.).
на
Т а б л и ц а 10
Допускаемые напряжения Rs при скалывании в кг/см9.
Скалывание
Сорт леса
Параллельно
волокнам
(фиг. 510)
Перпендикулярно
к волокнам
(фиг. 511)
Б у к .............
14
7
Д у б .............
18
10
Ель • • • • .
Сосна . . . .
11
12
6
5
Перерезывание
перпендикулярно
к волокнам
(фиг. 512)
48
70
40
45
§ 173. Примеры.
Пример 198. Определить величину среднего напряжения среза
для болтового соединения, изображённого на фиг. 513, несущего
нагрузку 9 т. Высота А В = 2 ,6 см, длина ВС = 6,5 см.
Под действием силы 9 т средняя часть болта стремится ото
рваться от выступающих частей головки A B C D K L M N и E F Q K V М \
П ри этом может произойти срез по двум плоскостям K L M N
и K !L'М ‘. Общая площадь, по которой может произойти срез,
равна:
F = 2 . 2 , 6 - 6 , 5 = 33,8 с м \
34
З а к . 6 67
И . Н . В есел о в ск и й
[гл. 37
сдвиг
530
Величина напряжения на срез получится,
Р = 9000 кг на F. Она будет равна
если
разделить
силу
S000
= 266 кг]см*
: 33,8
Пример 199. Железный болт растягивается
силой Р = 12 ООО кг. Определить диаметр d
болта, а также диаметр D и высоту h бол
товой головки, если известны допускаемые на
пряжения: /?z = 900 KtjcM*, /?см = 900 кг/см*,
f t s = 0,8 R z (фиг. 514).
Диаметр d болта определяется из расчёта
последнего на растяжение. Площадь Fd сече
ния стержня болта определяется из уравнения
R z • Fd — Р ,
откуда
р
12 000
1 о о г м2
Р а = ~ т г — 1 3 >3 см •
По таблице 8 (ОСТ 1260) находим, что этим условиям удовлет
воряет болт с площадью F d— 14,9 см9, внутренний диаметр к о 
торого равен 43,6 мм, а внешний — 50,3 мм.
Диаметр D головки определится из расчёта на смятие. Смятие
происходит по окружающей стержень болта кольцевой площадке;
этой площадкой головка болта опирается
на опору. - В н еш н и й диаметр этого кольца
будет равен искомому D, а внутренний —
внешнему диаметру болта, т. е. 5,03 см.
Расчётное уравнение на смятие будет
представлено в виде:
-J-(£)*2- 5 , 0 3 2) . / ? CM= P ,
откуда
£>2 = — X - +
*
# с м
5.032 = 42,3 с м \
1
Извлекая квадратный корень, получим D =
= 6,5 см.
Фиг. 514.
Наконец, высоту h головки определим
из расчёта на срез. В данном случае срезы 
вание происходит по окружающей стержень болта цилиндрической
поверхности, высота которой равна высоте головки Л, а диаметр
основания — внутреннему диаметру болта, т. е. 4,36 см. Боковая
площадь этого цилиндра будет izdh = тс • 4,36 h см*. Умножив эту
§
173]
ПРИМ ЕРЫ
531
величину на допускаемое напряжение на срез 0 ,8 R z и приравняв
полученный результат срезывающей силе Р, мы получим уравне
ние для определения ft:
0 ,8 . 900тг. 4,36ft =
12 000,
откуда
ft = 1 , 2 см.
Пример 200. Дыропробивочный штамп действует с силой
Р — 27 т. Какой может быть наибольший диаметр D отверстия,
если толщина листа ft = 0 ,6 см, а коэффициент прочности при сре
зывании равен:
т^ = 2б40 кг/см 2.
При пробивке отверстия выбивается цилиндр, высота которого
равна толщине листа, а диаметр основания — диаметру отверстия.
Срезывание происходит по боковой поверхности этого цилиндра.
Если умножить величину этой боковой поверхности на предел
прочности при срезывании, а результат приравнять срезывающей
силе, то мы получим уравнение для определения D в виде:
hizD • %ь = р 9
откуда
D:
Р
KZbh
27 000
- ,
- = 5,4 см.
тс. 2640 . 0,6
Интересно отметить тот факт, что сила Р должна увеличиваться
пропорционально диаметру отверстия, а не площади последнего,
с увеличением диаметра отверстия интенсивность давления (частное
от деления силы Р на площадь отверстия) будет, следовательно,
падать.
П ример 201. Рассчитать врубку стропильной ноги в затяжку
для кровли с подъёмом 7 3, если нога имеет квадратное сечение
Фиг. 515.
1 6 X 1 6 см2, а сжимающая сила Р = 4000 кг. Допускаемые напря
жения на смятие волокон, наклонённых в 7 з относительно сминаю
щей силы, 40 кг/см^-у на смятие перпендикулярно к волокнам
16 кг/см*9 на скалывание 10 кг/см 1 (фиг. 515).
34*
[гл. 37
сдвиг
532
Подъём крыши в 7з означает, что высота конька крыши в 3 раза
меньше половины перекрываемого пролёта по горизонтали. Раскла
дывая сжимающую силу Р на вертикальную составляющую Ру и го
ризонтальную РХ9 мы из силового треугольника найдём, что гори
зонтальная составляющая будет втрое больше вертикальной Рг т. е.
Рх = ЪРу . Так как сумма квадратов Рх и Ру должна равняться
квадрату Р (фиг. 515), то
Ру
(ЗР у)2 = Р*\
откуда
Р2 = _ ^ .р 2 =
1 6 0 0 ООО.
Из последнего уравнения мы получаем, что сила Ру приблизительно
равна 1300 кг, а Р д. = 3900 кг. По конструктивным условиям ши
рина а затяжки должна равняться ширине ноги, то-есть а = 1 6 см.
Необходимые размеры т , h , I мы получим из расчёта на смятие
и скалывание. Горизонтальная сила Рх сминает площадь упора
затяжки, равную ah, и такую же площадь ноги, наклонённой
к силе Рх в 7з* Следовательно, расчётное уравнение на смятие во
локон ноги будет:
40 • 16/г = 3900,
откуда /г = 6 ,1 см. Назначаем h = Q см. Длина т определится из рас
чёта на смятие перпендикулярно к волокнам под действием верти
кальной силы Ру . Для этого мы имеем:
1 6 . 16 - т =
1300,
откуда т = 5,1 см. Это, конечно, минимальная величина; на прак
тике берётся величина гораздо большая, в зависимости от конструк
ции крепления ноги с затяжкой.
Наконец, величину I определим из условий скалывания, кото
рое может произойти под действием горизонтальной силы Рх по
площади al, проекция которой обозначена на фиг. 515 слева пунк
тиром. Для этого мы имеем уравнение:
10 . 1 6 / = 3900,
откуда / = 24,4 см. Так как внешняя часть затяжки подвержена
климатическим воздействиям и может загнить, то для большей на
дёжности этот размер обычно увеличивают процентов на 30.
§ 174. Р асчёт заклёп очн ого соединения. Прежде чем присту
пить к решению конкретного примера, рассмотрим в общем виде
ход расчёта простейшего заклёпочного соединения (фиг. 516).
Две железные полосы соединены тремя заклёпками, поставлен
ными в ряд (так называемое соединение вн а хлёст ку). Силы стре
мятся сдвинуть одну полосу по другой. Эгому сдвигу препятствуют
§ 174]
РА С ЧЕ Т
ЗА К Л ЕП О Ч Н О ГО
533
СОЕДИНЕНИЯ
заклёпки, на которые и передаётся действие сил; это действие по
казано стрелками на фиг. 516,Ь.
Опытные исследования показывают, что действие силы между
заклёпками распределяется неравномерно: одни заклёпки участвуют
больше в работе соединения, другие меньше. Но для простоты приа>
— ф —
ф—
Ь)
1П — *-Р
JT
JL L
р ~*— {о
Фиг. 516.
нято считать, что все заклёпки работают одинаково. Пусть в рассчитываемом нами соединении число заклёпок равно т; тогда на
каждую заклёпку придётся сила, равная
Рг1 = £пг .
Сила Р х будет стремиться: 1) произвести разрушение материала за
клёпки по плоскости А В (фиг. 517) в виде среза заклёпки и 2), на
жимая на цилиндрическую поверхность заклёпки краями отверстий,
Фиг. 517.
может вызвать явление смятия (фиг. 518). На эти два вида дефор
маций и производится расчёт заклёпки.
При расчёте заклёпки на срез (фиг. 517) считают, что касатель
ные напряжения т в сечении А В заклёпки будут равны:
Л
[гл. 37
сдвиг
534
Подставляя
сюда
значение
площади
„
сечения
АВ
Tzd2
*АВ — 4 I
р
а также найденные выше значения Р 1 = — и удовлетворяя условию
прочности стержня заклёпки на срез, получим
Р
т-т
Обычно диаметр заклёпок d задаётся, и требуется по силе Р,
действующей на соединённые части, и величине допускаемого на
пряжения R s определить необходимое число заклёпок m . Из преды
дущего уравнения мы для пг получаем расчётную формулу
(А)
“4" * *
Допускаемое напряжение на сдвиг R s обычно берут равным
0,8R z, где R z есть допускаемое напряжение материала заклёпки
на растяжение. Выражение, стоящее в знаменателе формулы (А),
даёт величину силы, которую безопасно может выдержать одна
заклёпка при сдвиге.
Перейдём к расчёту заклёпки на смятие (фиг. 5 1 8 ) . Точный за
кон распределения напряжений по цилиндрической поверхности при
смятии сложен. Очевидно, наибольшее напряжение, а следовательно,
и наибольшая деформация смятия заклёпки будет наблюдаться
в точке А сечения (фиг. 5 1 8 ) ; дальше в обе стороны от этой точки
давление будет уменьшаться и в точках С и D обратится в нуль.
Но при расчётах, однако, упрощают и считают, что давление будет
равномерно передаваться на диаметральное сечение стержня за
клёпки (фиг. 5 1 8 , с) . Тогда для осм мы получим формулу
о
—
Л
Fklmn *
р
Если подставить Р 1 = — и / 7д7,лш = ^ , то
_ Р
°см— tndb'
где 8 — есть толщина полосы или высота сминаемой части заклёпки,
Уравнению прочности заклёпки на смятие окончательно можно при
дать следующий вид:
Р
°см
t n d b ^ *см.
§ 174]
РА С Ч Е Т
ЗАКЛЕП О ЧНО ГО
СОЕДИНЕНИЯ
535
откуда
т
dbRcl
(В)
Допускаемое напряжение на смятие заклёпки нужно брать равным
/?см = 2 R g.
Таким образом, необходимое число заклёпок определяется двумя
формулами (А) и (В), причём из полученных значений т необходимо
4 взять большее. Заклёпки, рассмотренные нами для соединений внахлёстку, носят название одно
срезны х, так как имеют одну
I г4
4 .....J П * ' 1
О/
площадь поперечного сечения,
[.
-----3
по которой может произойти
-L
\ \ 13= 1
ГР* I
срез. Перейдём к численному
примеру.
Пример 202. Две железные
Ь)
15cLL
полосы должны быть соедине
ф
ны посредством двух накла
док. Рассчитать заклёпочное
3d
соединение, если силы Я, ра
стягивающие полосы, равны
ш
10 т, ширина полос Ь = 13 см,
толщина полосы 5 = 1 2 мм,
толщина накладки 81 = 0 , 6 8 .
Фиг. 519.
Диаметр заклёпок d = 2 0 мм*
Допускаемое напряжение на растяжение
1400 kzJcm^ (фиг. 519).
Силы Я, действуя на основные полосы соединения, передают
каждой заклёпке деформации: 1 ) среза по двум плоскостям попе
речного сечения (двухсрезные за клёп ки ) и 2 ) смятия как по цилин
дрической поверхности высотой 8 (толщина основной полосы), так и
по двум цилиндрическим поверхностям общей высотой 25х (толщина
накладок).
Всегда нужно иметь в виду, что для смятия опасна меньшая
поверхность — в данном случае поверхность высотой 8 = 1,2 см,
так как 2 8 , = 1,44 см.
Необходимое число заклёпок т по условию прочности на срез
будет равно
т-
izd2 Rs
~Т
или, подставляя числовые значения:
_______ 19 900________ 1 до
Hi ■ ОЛЛ Л
I '
2
0,8 • 1 4 0 J
[гл. 37
сдвиг
536
По условию прочности на смятие число заклёпок т должно быть
равно
Р
или, подставляя числовые данные, будем иметь
10 000
,
” = 2 . 1,2-2» 1400 ~ 1’49‘
Следовательно, берём число заклёпок т = 2; всего в соединении
будет четыре заклёпки, которые мы размещаем друг относительно
друга на расстояниях, показанных на фиг. 519,&.
ЗАДАЧИ*
166.
Определить диаметр заклёпок в соединении, представленном н
фиг. 519, если сила, растягивающая полосы, равна Р = 8,7 т; допускаемое
напряжение на срез RS = 0,8RZ , где / ^ — допускаемое напряжение на растя
жение, равное 1 200 кг/сма. Произвести поверку на смятие заклёпок, если
^см — 2/?2.
О т в е т : < /= 1 7 мм, ссм = 2 130 кг/см*.
167.
Для соединения из сосновых брусьев, изображённого на фиг. 52
определить размеры: / , с, е, если растягивающая брусья сила Р = 9 000 кг ,
------- А—
- с
|
1
1♦
£
иi е
. 1
^ ------ УОсм---
......
— W СМ ---->4
f1
~Sriu(J/.
Фиг. 520.
ширина брусков Ь = 20 см. Допускаемые напряжения для сосны принять
следующие:
Rs = 12 кг/см:2,
RCM= 70 кг/см2,
Rz = 110 кг',см*.
О т в е т : / = 37,5 см; с = 6,5 см; £ = 4,1 см.
163. Две железные полосы толщиной в 1 см, выдерживающие продольное
растягивающее усилие Я = 1 2 т, соединены двумя накладками. Определить
число заклёпок, если диаметр заклёпки </ = 20 мм , ширина полосы Ь = 18 см.
Допускаемые напряжения принять равными: на раетяже -ие R* = 750 кг[слР9
иа срез /?5 = 600 кг/см8, на смятие R - - 2RZ.
О т з е т: Число заклёпок м = i.
§ 175J
ОБЩ АЯ К А РГИ Н А ДЕФ ОРМ АЦИИ.
Н ЕЙТРАЛЬНЫ Й
СЛОЙ
537
Г Л А В А 38.
ИЗГИБ.
§ 175. Общая картина деформации. Нейтральный слой.
Нейтральная ось. Деформация изгиба прямого бруса характери
зуется тем, что первоначально прямолинейная ось бруса после загружения искривляется, а поперечные сечения, до изгиба парал
лельные между собой, поворачиваются друг относительно друга
(фиг. 521). Производящие изгиб силы расположены в плоскости, прохо
дящей через ось бруса, и направлены перпендикулярно к этой оси
Ii-Tt= --г
А
А
в
Ь)
(фиг. 521). Предположено при этом, что плоскость действия сил
является плоскостью симметрии балки.
На фиг. 521 изображена балка, свободно лежащая на двух опо
рах. Под действием внешних сил она изогнулась: первоначально
прямая ось z после действия нагрузки искривилась. Если нанести
на брус сетку вертикальных параллельных линий, то после дефор
мации бруса эти линии перестанут быть параллельными и наклонятся
одна к другой так, как показано на фиг. 521, Ь.Верхние концы
вертикальных линий сблизятся, нижние разойдутся. На основании
этого можно сказать, что верхние волокна балки укоротились, ниж
н и е— удлинились. Волокна же, лежащие на оси 2 , своей длины не
изменили. Наибольшее сжатие отмечается в самых верхних волокнах,
наибольшее растяжение — в самых нижних.
Если мы возьмём балку, заделанную одним концом в стену,
и нагрузим её на конце произвольным грузом, то она тоже изо
гнётся, но характер её изгиба будет несколько иной. Так как за
делка не допускает поворота конца А , то балка изогнётся следую
щим образом (фиг. 522); растянутся у неё верхние волокна, сожмутся
нижние, волокна же по оси z искривятся, но длины своей не
изменят.
Слой, в котором волокна при изгибе не меняют своей перво
начальной длины, носит название нейтрального слоя; нейтральный
слой перпендикулярен к плоскости действия сил и проходит через
538
И ЗГИ Б
[гл. 38
центры тяжести сечений балки. Линия пересечения нейтрального слоя
с любым поперечным сечением бруса называется нейтральной осью
поперечного сечения бруса (фиг. 523). Нейтральная ось перпенди
кулярна к плоскости действия
сил и, как легко устанав
(плоскость дсостоя сил)
ливается из фиг. 521— 523,
вокруг нейтральной
оси
поперечные сечения балки
при изгибе совершают по
ворот.
Если деревянную балку,
изображённую на фиг. 524,
распилить вдоль пролёта на
доски, положить их затем
вместе на опоры и нагру
зить прежними силами, то
каждая доска в отдельности
деформируется подобно це
лой балке, и концевые се
чения аЪ и cd примут уступ
чатый вид: между досками
произойдёт сдвиг, которому
в целой балке, очевидно,
препятствуют какие-то вну
Фиг. 523.
тренние силы, характерные
для сдвига.
Таким образом, при изгибе в волокнах происходит по одну
сторону от оси растяжение, по другую — сжатие; в продольном же
направлении междуволокнами происходит сдвиг.
Дальше мы увидим, что
сдвиг будет происходить
и по площадкам, перпен
дикулярным к оси балки.
Перейдём
теперь к
определению внутренних
сил, возникающих при
изгибе.
§ 176- И згибаю щ ий
момент. Поперечная с и 
л а . Рассмотрим балку,
Фиг. 524
свободно лежащую на
двух опорах, нагружённую силой Р (фиг. 525,а). Пусть эта сила приложена на расстоянии Ь от
правой опоры. Расстояние между опорами (расчётная длина балки) пусть
равно /. Отбросим опоры и заменим их действие реакциями А и В
§ 176J
ИЗГИ БА Ю Щ И Й
М ОМЕНТ, ПОПЕРЕЧНАЯ
СИЛА
539
(фиг. 525,6). Предположим, что значения реакций нам известны.
Займёмся определением внутренних сил, которые возникают в сече
ниях балки от загружения силой Р. Для этого разрежем балку на
расстоянии z от левой опоры (фиг. 525,6), отбросим правую часть
td и рассмотрим равновесие оставшейся части (ас) (фиг. 525,с).
На часть ас балки действует одна
внешняя сила — опорная реакция
А , стремящаяся сместить участок
ас вверх и вращать по часовой z 'r;~
^—
ZJ
стрелке. Чтобы часть ас остава|
h
лась в равновесии, в сечении 1— 1
должна быть прежде всего при
ложена сила Q, направленная а\
^ _____ е\
!d
противоположно силе А и рав- & -------- —-—j ------------- И
b)
пая ей по величине. Кроме того,
сила А , стремясь вращать часть
ас относительно сечения 1—1,
создаёт вместе с силой Q пару
сил, имеющую момент A z . Ч т о б ы
у
этого вращения не было, надо в
сечении 1— 1 приложить вну
треннюю пару сил с моментом М ,
t
равным по величине внешнему
Фиг. 525.
моменту A z, но стремящемуся
вращать часть ас в противопо
ложную сторону. Очевидно, силы этой внутренней пары должны
быть нормальны к поперечному сечению; это отвечает тому, что,
как выяснено в § 175, волокна, лежащие по одну сторону от оси,
испытывают сжатие, лежащие по
другую — растяжение.
Итак, мы выяснили, что в сече
нии 1— / действуют внутренние си
лы, статически уравновешенные с
П
внешними силами и вызывающие
упругие деформации: момент М =
а
== A z и сила Q — А . Момент М
называется изгибаю щ им момент ом,
а сила Q — поперечной силой или
Ф и г . 526.
перерезывающей силой.
Если бы мы взяли другое сечение между точками приложения
сил А и Р (фиг. 525,6), у нас изменилось бы значение с, а следогательно, и значение изгибающего момента А1, так как A l = A z .
Ч то же касается поперечной силы Q, то для всех сечений между
точками приложения сил А и Р она одинакова и равна Q = A.
Проследим теперь, как изменяются АI и Q, если сечение взять
между точками приложения сил Р и В на расстоянии г х от левой
F
t
г
И ЗГИ Б
540
[гл .
38
опоры (фиг. 525,6). Так как реакция А составляет лишь часть
силы Р, то внешняя сила Р, преобладая над реакцией (фиг. 526),
будет стремиться опустить часть балки ае. Внутренняя сила Q
должна обеспечить части ае статическое равновесие, в силу чего
поперечная сила должна быть равна разности этих сил, т. е.
Q = A — P.
Чтобы часть ае не вращалась, изгибающий момент М в сече
нии 2 — 2 должен преодолеть два момента, равные -f- A z { и — Р (z x— а),
стремящиеся повернуть часть ае относительно сечения в противо
положные стороны. Реакция А стремится повернуть часть ае по
ходу часовой стрелки, сила Р — против хода часовой стрелки. П ер
вый момент будем считать полож ительным (-)-), второй — от р и 
цательным (—). Тогда момент М должен быть равен
М = A z t — Р (zx — а).
В сечении 1— 1 мы имели:
M = A z и Q = А.
Теперь же в сечении 2—2:
М = A z v — Р (z j — а) и Q = А — Р .
Рассмотрев внимательно фиг. 525 и 526, можно сделать следующие
выводы:
1. При изгибе балки под действием вертикальной нагрузки внут
ренние силы в общем случае приводятся к изгибающему моменту М
и поперечной силе Q.
2. Изгибающий момент М и поперечная сила Q, вообще говоря,
изменяются по длине балки.
3. Изгибающий момент М в данном сечении равен сумме момен
тов внешних сил, лежащих по одну сторону сечения, относительно
центра тяжести поперечного сечения. Знаки моментов учитываются
соответственно направлению вращения; вращение левых внешних сил
по ходу часовой стрелки оценивается знаком плюс.
Так как правые внешние силы в любом сечении балки по усл о
виям статики уравновешивают левые внешние силы, то при обра
щении к правым силам результат вычислений всегда будет отли
чаться знаком. Так как за истинный знак внутренних сил уславли
ваются принимать тот, что получается при обращении к левым
внешним силам, — вращение правых внешних сил по ходу часовой
стрелки надо оценивать знаком минус.
4. Поперечная сила Q в данном сечении равна сумме проекций
внешних сил, лежащих по одну сторону сечения, на перпендикуляр
к оси балки (на направление среза). Внешняя левая сила считается
положительной, если направлена вверх (например, реакция Л), и от-
§ 177]
П РИМ ЕРЫ
ОП РЕДЕЛЕН И Я
И ЗГИ БА Ю Щ И Х
МОМЕНТОВ
541
рицательноя, если направлена вниз (например, сила Р). Для правых
внешних сил, как и в случае момента (п. 3 ), знак берётся обратный.
Перейдём теперь к установлению связи между деформациями,
возникающими при изгибе и найденными внутренними силами М
и Q. Обращаясь к фиг. 525,с и 526, видим, что момент внутренних
сил М представляет пару внутренних сил, каждая из которых на
правлена перпендикулярно к сечению. Это указывалось уже в настоя
щем параграфе. Верхняя сила будет стремиться сжимать волокна,
а нижняя — растягивать, что соответствует полученной для балки
на двух опорах деформации (ф

Веселовский И.Н. — Курс механики для техникумов, 1947

Похожие документы

Разделы

Поддержка

Веселовский И.Н. — Курс механики для техникумов, 1947

Похожие документы

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить Pubdoc