ОГЭ по математике: все прототипы задачи №20 из банка ФИПИ

%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
ОГЭ по математике
Все прототипы задач №20 из банка ФИПИ
ОГЭ по математике с Настей
Задачи №20
Все прототипы №20 из банка ФИПИ
Задача 20.1 #90555 (8AA84C)
Решите уравнение x3 + 2x2 − x − 2 = 0.
Решение. Преобразуем уравнение:
x3 + 2x2 − x − 2 = 0
x2 (x + 2) − (x + 2) = 0
(x + 2) x2 − 1 = 0
Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:
(x + 2)(x − 1)(x + 1) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение
равносильно совокупности:


x+2=0
x = −2


⇔ x = 1
x − 1 = 0
x+1=0
x = −1
Ответ: −2; −1; 1.
Задача 20.2 #90571 (8B4010)
Решение. Преобразуем уравнение:
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Решите уравнение x3 + 2x2 = 9x + 18.
x3 + 2x2 = 9x + 18
x3 + 2x2 − 9x − 18 = 0
x2 (x + 2) − 9(x + 2) = 0
(x + 2) x2 − 9 = 0
Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:
(x + 2)(x − 3)(x + 3) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение
равносильно совокупности:


x+2=0
x = −2


⇔ x = 3
x − 3 = 0
x+3=0
x = −3
Ответ: −3; −2; 3.
1 / 22
Задачи №20
Задача 20.3 #49725 (541E78)
Решите уравнение (x − 1) x2 + 8x + 16 = 6(x + 4).
Решение. Преобразуем уравнение:
(x − 1) x2 + 8x + 16 = 6(x + 4)
(x − 1) x2 + 8x + 16 − 6(x + 4) = 0
По формуле сокращённого умножения:
x2 + 8x + 16 = x2 + 2 · 4 · x + 42 = (x + 4)2
Тогда имеем:
(x − 1)(x + 4)2 − 6(x + 4) = 0
(x − 1)(x + 4)(x + 4) − 6(x + 4) = 0
(x + 4) ((x − 1)(x + 4) − 6) = 0
(x + 4) x2 + 4x − x − 4 − 6 = 0
(x + 4) x2 + 3x − 10 = 0
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение равносильно
совокупности:
"
x+4=0
x2 + 3x − 10 = 0
Решим второе уравение совокупности:
x2 + 3x − 10 = 0
D = 32 + 4 · 10 = 49 = 72
x=
"
−3 ± 7
2
x=2
x = −5
Таким образом,
"
x+4=0
x2 + 3x − 10 = 0
⇔

x = −4

x = 2
x = −5
Ответ: −5; −4; 2.
2 / 22
Задачи №20
Задача 20.4 #46327 (193429)
Решите уравнение x4 = (2x − 3)2 .
Решение. Заметим, что x4 = x2
2
. Тогда:
x4 = (2x − 3)2
2
x2 = (2x − 3)2
2
x2 − (2x − 3)2 = 0
Преобразуем левую часть полученного уравнения, воспользовавшись формулой разности квадратов:
x2 − (2x − 3) x2 + (2x − 3) = 0
x2 − 2x + 3 x2 + 2x − 3 = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение
равносильно совокупности:
"
x2 − 2x + 3 = 0
x2 + 2x − 3 = 0
Решим первое уравнение совокупности:
x2 − 2x + 3 = 0
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
D = (−2)2 − 4 · 1 · 3 = 4 − 12 = −8 < 0
Следовательно, первое уравнение совокупности не имеет решений.
Решим второе уравнение совокупности:
x2 + 2x − 3 = 0
D = 22 − 4 · 1 · (−3) = 4 + 12 = 16 = 42
−2 ± 4
x=
2
"
x=1
x = −3
Таким образом,
"
x2 − 2x + 3 = 0
x2 + 2x − 3 = 0
"
⇔
x=1
x = −3
Ответ: −3; 1.
3 / 22
Задачи №20
Задача 20.5 #90617 (2E0EEA)
2
2
Решите уравнение x2 − 9 + x2 + x − 6 = 0.
Решение. Способ 1
Квадрат числа неотрицателен, поэтому для любого x верно, что
x2 − 9
2
2
x2 + x − 6 ⩾ 0
⩾0 и
Сумма квадратов двух выражений равна 0, когда квадраты обоих выражений равны 0, поэтому исходное
уравнение равносильно системе:
(
2
x2 − 9 = 0
2
x2 + x − 6 = 0
Квадрат выражения равен 0, когда само выражение равно 0, поэтому
(
(
2
x2 − 9 = 0
x2 − 9 = 0
⇔
2
x2 + x − 6 = 0
x2 + x − 6 = 0
Решим первое уравнение системы:
x2 − 9 = 0
(x − 3)(x + 3) = 0
"
x=3
x = −3
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Решим второе уравнение системы:
x2 + x − 6 = 0
D = 12 − 4 · (−6) = 1 + 24 = 25 = 52
−1 ± 5
x=
2
"
x=2
x = −3
Вернёмся к системе:
(
x2 − 9 = 0
x2 + x − 6 = 0
⇔
"
x=3




 x = −3
"


x=2



x = −3
⇔
x = −3
4 / 22
Задачи №20
Способ 2
Преобразуем уравнение:
x2 − 9
2
2
+ x2 + x − 6 = 0
Для этого решим уравнение x2 + x − 6 = 0. По теореме Виета:
(
"
x1 + x2 = −1
x=2
⇒
x1 x2 = −6
x = −3
Тогда
x2 + x − 6 = (x − 2)(x + 3)
Следовательно:
x2 − 9
2
2
+ x2 + x − 6 = 0
((x − 3)(x + 3))2 + ((x − 2)(x + 3))2 = 0
(x − 3)2 (x + 3)2 + (x − 2)2 (x + 3)2 = 0
(x + 3)2 (x − 3)2 + (x − 2)2 = 0
(x + 3)2 x2 − 6x + 9 + x2 − 4x + 4 = 0
(x + 3)2 2x2 − 10x + 13 = 0
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение
равносильно совокупности:
"
(x + 3)2 = 0
2x2 − 10x + 13 = 0
Решим первое уравнение совокупности:
(x + 3)2 = 0
x+3=0
x = −3
Решим второе уравнение совокупности:
2x2 − 10x + 13 = 0
D = (−10)2 − 4 · 2 · 13 = 100 − 104 < 0
Следовательно, второе уравнение совокупности не имеет решений. Тогда
"
(x + 3)2 = 0
⇔ x = −3
2x2 − 10x + 13 = 0
Ответ: −3.
5 / 22
Задачи №20
Задача 20.6 #38044 (4BCAFD)
√
√
Решите уравнение x2 − 2x + 3 − x = 3 − x + 8.
Решение. Запишем ОДЗ. Подкоренное выражение неотрицательно, поэтому
3−x⩾0
x⩽3
Решим уравнение на ОДЗ:
x2 − 2x +
√
3−x=
√
3−x+8
2
x − 2x − 8 = 0
D = (−2)2 − 4 · (−8) = 4 + 32 = 36 = 62
2±6
x=
2
"
x=4
x = −2
Из ОДЗ x ⩽ 3, значит, x = −2 "— единственный корень.
Ответ: −2.
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Задача 20.7 #90628 (7A30BC)
1
4
Решите уравнение 2 + − 12 = 0.
x
x
Решение. Способ 1
Найдем ОДЗ:
(
x2 ̸= 0
x ̸= 0
⇒
x ̸= 0
Решим уравнение на ОДЗ. Домножим обе его части на x2 ̸= 0 :
1 + 4x − 12x2 = 0
Домножим обе части уравнения на −1 :
12x2 − 4x − 1 = 0
D = (−4)2 − 4 · 12 · (−1) = 16 + 48 = 64
x=
4±8
2 · 12

1
x = − 6


1
x=
2
Найденные корни входят в ОДЗ, поэтому

1
x = − 6


1
x=
2
6 / 22
Задачи №20
Способ 2
Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому x ̸= 0.
1
1
Вернёмся к уравнению. Сделаем замену t = . Следовательно, t2 = 2 . Тогда имеем:
x
x
t2 + 4t − 12 = 0
D = 42 − 4 · (−12) = 16 + 48 = 64 = 82
−4 ± 8
t=
2
"
t=2
t = −6
Сделаем обратную замену:
1
=2
x

1
= −6
x
⇔

1
x
=

2

1
x=−
6
1 1
Ответ: − ; .
6 2
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Задача 20.8 #90637 (29978C)
1
2
Решите уравнение
+
− 3 = 0.
2
(x − 1)
x−1
Решение. Запишем ОДЗ. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому x − 1 ̸= 0, следовательно x =
̸ 1.
1
1
Вернёмся к уравнению. Сделаем замену t =
. Следовательно, t2 =
. Тогда имеем:
x−1
(x − 1)2
t2 + 2t − 3 = 0
D = 22 − 4 · (−3) = 4 + 12 = 16 = 42
−2 ± 4
t=
2
"
t=1
t = −3
Сделаем обратную замену:
1
=1
x − 1
 1
= −3
x−1

Ответ:
⇔

x−1=1

1
x−1=−
3
⇔

x=2

2
x=
3
2
; 2.
3
7 / 22
Задачи №20
Задача 20.9 #55282 (93098E)
Решите уравнение (x − 3)4 − 3(x − 3)2 − 10 = 0.
Решение. Сделаем замену t = (x − 3)2 . Тогда (x − 3)4 = (x − 3)2
2
= t2 . Решим новое уравнение:
t2 − 3t − 10 = 0
D = (−3)2 − 4 · (−10) = 9 + 40 = 49 = 72
3±7
t=
2
"
t=5
t = −2
Сделаем обратную замену:
"
(x − 3)2 = 5
(x − 3)2 = −2
Так как для любого x верно, что (x − 3)2 ⩾ 0, то второе уравнение полученной совокупности не имеет решений.
Решим первое уравнение:
(x − 3)2 = 5
Воспользуемся формулой разности квадратов:
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
(x − 3)2 − 5 = 0
√ 2
(x − 3)2 −
5 =0
√ 2
(x − 3)2 −
5 =0
√ √
x−3− 5 x−3+ 5 =0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому полученное уравнение
равносильно совокупности:
"
"
√
√
x=3+ 5
x−3− 5=0
√
√
⇔
x−3+ 5=0
x=3− 5
Ответ: 3 −
√
5; 3 +
√
5.
8 / 22
Задачи №20
Задача 20.10 #90652 (F2373A)
(
3x2 + y = 6,
Решите систему уравнений
4x2 − y = 1.
Решение. Преобразуем систему уравнений:
(
3x2 + y = 6
4x2 − y = 1
(
3x2 + y + 4x2 − y = 6 + 1
3x2 + y = 6
(
7x2 = 7
3x2 + y = 6
(
x2 = 1
3x2 + y = 6
(
x2 = 1
3+y =6
(
x2 = 1
y=3
Если x2 = 1, то x = ±1. Тогда
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
(
x=1

 y=3
(
 x = −1

y=3
Ответ: (1; 3), (−1; 3).
9 / 22
Задачи №20
Задача 20.11 #90659 (FA4684)
(
2x2 − 5x = y,
Решите систему уравнений
2x − 5 = y.
Решение.
(
2x2 − 5x = y
2x − 5 = y
(
2x2 − 5x = 2x − 5
2x − 5 = y
Решим первое уравнение полученной системы:
2x2 − 5x = 2x − 5
2x2 − 5x − 2x + 5 = 0
2x2 − 7x + 5 = 0
D = (−7)2 − 4 · 2 · 5 = 49 − 40 = 9 = 32
7±3
x=
2·2

x=1

5
x=
2
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Вернемся к системе:

x=1



5
x=

2


2x − 5 = y
⇔
(
x=1

 2x − 5 = y


5
 x=

2
2x − 5 = y
Решим первую систему полученной совокупности:
(
(
x=1
x=1
⇔
2x − 5 = y
y =2·1−5
Решим вторую систему полученной совокупности:


5

x =
x = 5
2
⇔
2
2x − 5 = y

y = 2 · 5 − 5
2
Следовательно, (1; −3),
5
Ответ: (1; −3),
;0 .
2
⇔
(
x=1
y = −3
⇔

x = 5
2
y = 0
5
; 0 "— решения системы уравнений.
2
10 / 22
Задачи №20
Задача 20.12 #49733 (817AD0)
(
3x2 + 2y 2 = 45,
Решите систему уравнений
9x2 + 6y 2 = 45x.
Решение. Домножим первое уравнение системы на 3:
(
9x2 + 6y 2 = 45 · 3
9x2 + 6y 2 = 45x
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Левые части равны, следовательно, равны и правые части. Тогда:
(
45x = 45 · 3
9x2 + 6y 2 = 45 · 3
(
x=3
3x2 + 2y 2 = 45
(
x=3
3 · 9 + 2y 2 = 45
(
x=3
2y 2 = 18
(
x=3
y2 = 9


x
"=3
y=3


y = −3
(
x=3

 y=3
(
 x=3

y = −3
Ответ: (3; −3), (3; 3).
Задача 20.13 #90706 (125CD4)
2a − 5b + 7
= 6.
5a − 2b + 7
Решение. Знаменатель дроби не может быть равен 0, поэтому 5a − 2b + 5 ̸= 0. Тогда можем перемножить
дробь крест-накрест:
6
2a − 5b + 7
=
5a − 2b + 7
1
Найдите значение выражения 28a − 7b + 40, если
2a − 5b + 7 = 6 · (5a − 2b + 7)
2a − 5b + 7 = 30a − 12b + 42
28a − 7b + 35 = 0
Теперь ответим на вопрос задачи:
28a − 7b + 40 = (28a − 7b + 35) + 5 = 0 + 5 = 5.
Ответ: 5.
11 / 22
Задачи №20
Задача 20.14 #90709 (D24A93)
√
Решите неравенство (x − 1)2 < 2(x − 1).
Решение. Преобразуем неравенство:
√
(x − 1)2 < 2(x − 1)
√
(x − 1)2 − 2(x − 1) < 0
√ (x − 1) x − 1 − 2 < 0
Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части
неравенства:
√ (x − 1) x − 1 − 2 = 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно
совокупности:
"
"
x−1=0
x=1
√
√
⇔
x−1− 2=0
x=1+ 2
Рисуем ось, решив сопутствующее уравнение, отмечаем на ней нули и выкалываем их, так как знак неравенства
строгий. Расставляем знаки на промежутках:
−
+
1
√ 2 .
Задача 20.15 #90715 (2D3686)
−15
Решите неравенство
⩾ 0.
(x + 1)2 − 3
Решение.
1+
2
x
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Таким образом, x ∈ 1; 1 +
√ Ответ: 1; 1 + 2 .
+
√
−15
⩾0
(x + 1)2 − 3
Разделим обе части неравенства на −15. Тогда неравенство поменяет знак на противоположный:
1
⩽0
(x + 1)2 − 3
1
√ 2 ⩽ 0
2
(x + 1) −
3
1
√ ⩽0
√ x+1− 3 x+1+ 3
Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули знаменателя, решив сопутствующее уравнение:
√ √ x + 1 − 3 x + 1 + 3 = 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно
совокупности:
"
"
√
√
x+1− 3=0
x = −1 + 3
√
√
⇔
x+1+ 3=0
x = −1 − 3
12 / 22
Задачи №20
Рисуем ось, отмечаем на ней найденные корни, выкалываем нули знаменателя, расставляем знаки на
промежутках:
−
+
−1 −
√
+
−1 +
3
√
x
3
√
√ Таким образом, x ∈ −1 − 3; −1 + 3 .
√
√ Ответ: −1 − 3; −1 + 3 .
Задача 20.16 #171843 (80E8AF, новый тип)
49
Решите неравенство x ⩽ .
x
Решение. Преобразуем неравенство:
x−
49
⩽0
x
x2 49
−
⩽0
x
x
x2 − 49
⩽0
x
(x − 7) (x + 7)
⩽0
x
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Решим неравенство методом интервалов. Заметим, что все множители «хорошие», значит, на крайнем правом
промежутке будет стоять «+». Найдем нули числителя:
(x − 7) (x + 7) = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно
совокупности:
"
x−7=0
x+7=0
"
x=7
x = −7
Найдем нули знаменателя:
x=0
Заметим, что все получившееся нули имеют кратность 1, а значит, знаки на оси будут чередоваться. Рисуем
ось, отмечаем на ней найденные нули числителя, выкалываем нули знаменателя. Далее расставляем знаки на
промежутках и выбираем из них те, на которых стоит знак «−»:
−
−
+
−7
0
+
7
x
Таким образом,
x ∈ (−∞; −7] ∪ (0; 7].
Ответ: x ∈ (−∞; −7] ∪ (0; 7].
13 / 22
Задачи №20
Задача 20.17 #171850 (0B532B, новый тип)
x2
⩽ x.
x−5
Решение. Преобразуем неравенство:
Решите неравенство
x2
−x⩽0
x−5
x2
x (x − 5)
−
⩽0
x−5
x−5
x2 − x2 + 5x
⩽0
x−5
5x
⩽0
x−5
Разделим обе части неравенства на 5. Тогда знак неравенства не изменится:
x
⩽0
x−5
Решим неравенство методом интервалов. Заметим, что все множители «хорошие», значит, на крайнем правом
промежутке будет стоять «+». Найдем нули числителя:
x=0
Найдем нули знаменателя:
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
x−5=0
x=5
Заметим, что все получившееся нули имеют кратность 1, а значит, знаки на оси будут чередоваться. Рисуем
ось, отмечаем на ней найденные нули числителя, выкалываем нули знаменателя. Далее расставляем знаки на
промежутках и выбираем из них те, на которых стоит знак «−»:
−
+
0
+
5
x
Таким образом,
x ∈ [0; 5).
Ответ: x ∈ [0; 5).
14 / 22
Задачи №20
Задача 20.18 #171888 (E5C8E9, новый тип)
1
1
Решите неравенство ⩾
.
x
x−3
Решение. Преобразуем неравенство:
1
1
−
⩾0
x x−3
x−3
x
−
⩾0
x (x − 3) x (x − 3)
x−3−x
⩾0
x (x − 3)
−3
⩾0
x (x − 3)
Разделим обе части неравенства на −3. Тогда знак неравенства поменяется на противоположный:
1
⩽0
x (x − 3)
Решим неравенство методом интервалов. Заметим, что все множители «хорошие», значит, на крайнем правом
промежутке будет стоять «+». Для этого найдём нули знаменателя:
x (x − 3) = 0
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно
совокупности:
"
x=0
x−3=0
"
x=0
x=3
Заметим, что все получившиеся нули имеют кратность 1, а значит, знаки на оси будут чередоваться. Рисуем
ось и выкалываем на ней нули знаменателя. Расставляем знаки на промежутках и выбираем из них те, на
которых стоит знак «−»:
−
+
0
+
3
x
Таким образом,
x ∈ (0; 3).
Ответ: x ∈ (0; 3).
15 / 22
Задачи №20
Задача 20.19 #171878 (6E7950, новый тип)
x2 − 7x + 12
⩽ 0.
x−3
Решение. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули знаменателя:
Решите неравенство
x−3=0
x=3
Также найдем нули числителя, решив квадратное уравнение через дискриминант:
x2 − 7x + 12 = 0
D = b2 − 4ac = (−7)2 − 4 · 1 · 12 = 49 − 48 = 1
√
7± 1
7±1
x=
=
2"· 1
2
x=4
x=3
Тогда по теореме о квадратном трехчлене ax2 + bx + c можно представить как a (x − x1 ) (x − x2 ) , где x1 , x2 –
корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Получаем итоговый вид неравенства:
(x − 4) (x − 3)
⩽0
x−3
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули числителя, выкалываем нули знаменателя, корни чётной
кратности помечаем знаком ∨. Далее расставляем знаки на промежутках и выбираем из них те, на которых
стоит знак «−»:
∨
−
−
3
+
4
x
Таким образом,
x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; 4].
Ответ: x ∈ (−∞; 3) ∪ (3; 4].
16 / 22
Задачи №20
Задача 20.20 #171880 (D0878B, новый тип)
2x2 − 16x + 32
⩽ 0.
x+6
Решение. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули знаменателя:
Решите неравенство
x+6=0
x = −6
Также найдем нули числителя, решив квадратное уравнение через дискриминант:
2x2 − 16x + 32 = 0 | : 2
x2 − 8x + 16 = 0
D = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 16 = 64 − 64 = 0
√
8
8± 0
=
x=
2·1
2
x=4
Тогда по теореме о квадратном трехчлене ax2 + bx + c можно представить как a (x − x1 ) (x − x2 ) , где x1 , x2 –
корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Получаем итоговый вид неравенства:
(x − 4) (x − 4)
⩽0
x+6
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули числителя, выкалываем нули знаменателя. Далее расставляем
знаки на промежутках и выбираем из них те, на которых стоит знак «−», а также закрашенные точки:
−
+
−6
∨
4
+
x
Таким образом,
x ∈ (−∞; −6) ∪ {4}.
Ответ: x ∈ (−∞; −6) ∪ {4}.
17 / 22
Задачи №20
Задача 20.21 #171869 (C7733C, новый тип)
Решите неравенство (9 − x) x2 − 81 ⩾ 0.
Решение. Преобразуем вторую скобку неравенства, воспользовавшись формулой разности квадратов
a2 − b2 = (a − b) (a + b) .
Получаем
(9 − x) x2 − 92 ⩾ 0
(9 − x) (x − 9) (x + 9) ⩾ 0
Умножим первую скобку неравенства на −1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
(x − 9) (x − 9) (x + 9) ⩽ 0
(x − 9)2 (x + 9) ⩽ 0
Решим неравенство методом интервалов. Заметим, что все множители «хорошие», значит, на крайнем правом
промежутке будет стоять «+». Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
(x − 9)2 (x + 9) = 0
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно
совокупности:
"
x−9=0
x+9=0
"
x=9
x = −9
Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули числителя, выкалываем нули знаменателя, корни чётной
кратности помечаем знаком ∨. Далее расставляем знаки на промежутках и выбираем из них те, на которых
стоит знак «−»:
−
+
−9
∨
+
9
x
Таким образом,
x ∈ (−∞; −9] ∪ {9}.
Ответ: x ∈ (−∞; −9] ∪ {9}..
18 / 22
Задачи №20
Задача 20.22 #171870 (F5A849, новый тип)
Решите неравенство (4 − x) x2 + x − 20 ⩾ 0.
Решение. Умножим первую скобку неравенства на −1, при этом знак неравенства изменится на
противоположный:
(x − 4) x2 + x − 20 ⩽ 0
Решим неравенство методом интервалов. Заметим, что все множители «хорошие», значит, на крайнем правом
промежутке будет стоять «+». Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части неравенства:
(x − 4) x2 + x − 20 = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно
совокупности:
"
x−4=0
x2 + x − 20 = 0
"
x=4
x2 + x − 20 = 0
Найдем корни второго уравнения совокупности, решив это квадратное уравнение через дискриминант:
x2 + x − 20 = 0
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
D = b2 − 4ac = 12 − 4 · 1 · (−20) = 81 = 92
√
−1 ± 9
−1 ± 92
=
x=
2"· 1
2
x=4
x = −5
Тогда по теореме о квадратном трехчлене ax2 + bx + c можно представить как a (x − x1 ) (x − x2 ) , где x1 , x2 –
корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Получаем итоговый вид неравенства:
(x − 4) (x − 4) (x + 5) ⩽ 0
(x − 4)2 (x + 5) ⩽ 0
Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули числителя, выкалываем нули знаменателя, корни чётной
кратности помечаем знаком ∨. Далее расставляем знаки на промежутках и выбираем из них те, на которых
стоит знак «−»:
−
+
−5
∨
+
4
x
Таким образом,
x ∈ (−∞; −5] ∪ {4}.
Ответ: x ∈ (−∞; −5] ∪ {4}.
19 / 22
Задачи №20
Задача 20.23 #171877 (7585FE, новый тип)
Решите неравенство x2 + 3x − 18 x2 − 5x + 6 ⩽ 0.
Решение. Решим неравенство методом интервалов. Заметим, что все множители «хорошие», значит, на
крайнем правом промежутке будет стоять «+». Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой части
неравенства.
x2 + 3x − 18 x2 − 5x + 6 = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно
совокупности:
"
x2 + 3x − 18 = 0
x2 − 5x + 6 = 0
Найдем нули первого уравнения совокупности, решив получившееся квадратное уравнение через дискриминант:
x2 + 3x − 18 = 0
D = b2 − 4ac = 32 − 4 · 1 · (−18) = 9 + 72 = 81 = 92
√
−3 ± 92
−3 ± 9
x=
=
2"· 1
2
x=3
x = −6
Найдем нули второго уравнения совокупности, решив получившееся квадратное уравнение через дискриминант:
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
x2 − 5x + 6 = 0
D = b2 − 4ac = (−5)2 − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1
√
5± 1
5±1
x=
=
2"· 1
2
x=3
x=2
Тогда по теореме о квадратном трехчлене ax2 + bx + c можно представить как a (x − x1 ) (x − x2 ) , где x1 , x2 –
корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
Получаем итоговой вид неравенства:
(x − 3) (x − 3) (x − 2) (x + 6) ⩽ 0
(x − 3)2 (x − 2) (x + 6) ⩽ 0
Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули числителя, выкалываем нули знаменателя, корни чётной
кратности помечаем знаком ∨. Далее расставляем знаки на промежутках и выбираем из них те, на которых
стоит знак «−»:
−
+
−6
+
2
∨
3
+
x
Таким образом,
x ∈ [−6; 2] ∪ {3}.
Ответ: x ∈ [−6; 2] ∪ {3}.
20 / 22
Задачи №20
Задача 20.24 #171879 (A2F1F4, новый тип)
Решите неравенство x2 + x − 12 x2 + x − 20 ⩽ 0.
Решение. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой
части неравенства.
x2 + x − 12 x2 + x − 20 = 0
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно
совокупности:
"
x2 + x − 12 = 0
x2 + x − 20 = 0
Найдем нули первого уравнения совокупности, решив получившееся квадратное уравнение через дискриминант:
x2 + x − 12 = 0
D = b2 − 4ac = 12 − 4 · 1 · (−12) = 1 + 48 = 49 = 72
√
−1 ± 49
−1 ± 7
x=
=
2"· 1
2
x=3
x = −4
Найдем нули второго уравнения совокупности, решив получившееся квадратное уравнение через дискриминант:
x2 + x − 20 = 0
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
D = b2 − 4ac = 12 − 4 · 1 · (−20) = 1 + 80 = 81 = 92
√
−1 ± 81
−1 ± 9
x=
=
2"· 1
2
x=4
x = −5
Получаем итоговой вид неравенства:
(x − 3) (x + 4) (x − 4) (x + 5) ⩽ 0
Рисуем ось и отмечаем на ней найденные нули. Далее расставляем знаки на промежутках и выбираем из них
те, на которых стоит знак «−», а также закрашенные точки:
−
+
−5
−
+
−4
3
+
4
x
Таким образом,
x ∈ [−5; −4] ∪ [3; 4].
Ответ: x ∈ [−5; −4] ∪ [3; 4].
21 / 22
Задачи №20
Задача 20.25 #174674 (8E13D9, новый тип)
Решите неравенство x2 − x − 6 x2 − 8x + 15 ⩾ 0.
Решение. Решим неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули выражения, стоящего в левой
части неравенства.
x2 − x − 6 x2 − 8x + 15 = 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, поэтому уравнение равносильно
совокупности:
"
x2 − x − 6 = 0
x2 − 8x + 15 = 0
Найдем нули первого уравнения совокупности, решив получившееся квадратное уравнение через дискриминант:
x2 − x − 6 = 0
D = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 · 1 · (−6) = 1 + 24 = 25 = 52
√
1 ± 25
1±5
x=
=
2
"2 · 1
x=3
x = −2
Найдем нули второго уравнения совокупности, решив получившееся квадратное уравнение через дискриминант:
x2 − 8x + 15 = 0
%474d9db8b7e55b8dfe78f892d62cbabf%
D = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 15 = 64 − 60 = 4 = 22
√
8± 4
8±2
x=
=
2"· 1
2
x=5
x=3
Получаем итоговой вид неравенства:
(x − 3) (x + 2) (x − 5) (x − 3) ⩾ 0
(x − 3)2 (x + 2) (x − 5) ⩾ 0
Рисуем ось, отмечаем на ней найденные нули числителя, выкалываем нули знаменателя, корни чётной
кратности помечаем знаком ∨. Далее расставляем знаки на промежутках и выбираем из них те, на которых
стоит знак «−»:
−
+
−2
∨
3
−
+
5
x
Таким образом,
x ∈ (−∞; −2] ∪ {3} ∪ [5; +∞).
Ответ: x ∈ (−∞; −2] ∪ {3} ∪ [5; +∞).
22 / 22