Базовые аспекты проектирования и расчетов прочности элементов сварных конструкций

Дальневосточный федеральный университет
Политехнический институт
К.А. Молоков, В.Д. Суворов
БАЗОВЫЕ АСПЕКТЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
И РАСЧЕТОВ ПРОЧНОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ
СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Учебное электронное издание
Учебное пособие для вузов
Владивосток
2025
Дальневосточный федеральный университет
Политехнический институт
К.А. Молоков, В.Д. Суворов
БАЗОВЫЕ АСПЕКТЫ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ И РАСЧЕТОВ ПРОЧНОСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Учебное электронное издание
Учебное пособие для вузов
Владивосток
Издательство Дальневосточного федерального университета
2025
1
УДК 621.791.052:539.4(075.8)
ББК 30.4-028я73
М757
Рецензенты: В.В. Кузлякина, д.т.н., профессор, научный руководитель ВМВЛ «IT в инженерии и образовании», генеральный директор (Виртуальная МежВузовская лаборатория, Владивосток); А.П. Аносов, д.т.н., профессор, профессор Департамента морской техники и транспорта Политехнического института (Дальневосточный
федеральный университет, Владивосток).
Авторы
Молоков Константин Александрович, к.т.н., доцент
Департамент промышленной безопасности Политехнического института
Дальневосточный федеральный университет, Владивосток
Кафедра информационных технологий и систем
Владивостокский государственный университет, Владивосток
Суворов Владислав Денисович, студент направления 15.03.01 «Машиностроение»
Департамент промышленной безопасности Политехнического института
Дальневосточный федеральный университет (Владивосток)
Молоков К.А., Суворов В.Д. Базовые аспекты проектирования и расчетов прочности элементов сварных конструкций: учебное пособие для вузов / Политехнический институт ДВФУ. – Владивосток: Изд-во Дальневост. федерал. ун-та, 2025. – 1 CD. [103 с.]. – Систем. требования: Acrobat Reader, Foxit Reader либо другой их
аналог. – ISBN 978-5-7444-5956-7. – Текст: электронный.
В пособии рассматриваются разделы, изучаемые в первой части курса «Проектирование сварных конструкций». Оно включает соответствующий теоретический материал, обширное количество примеров расчета по
каждой теме, а также индивидуальные задания и контрольные вопросы. Эти материалы успешно использовались
на протяжении нескольких лет для руководства и выполнения расчетной части практик, что позволяло охватить
широкий спектр вопросов не только теоретической подготовки, но и решения практических задач. Пособие освещает наиболее общие и важные вопросы прочности и долговечности материалов и сварных элементов. Оно может
быть использовано частично в разделах специальных курсов по материаловедению и расчетам прочности. Предполагается, что учащиеся обладают необходимыми базовыми знаниями в области материаловедения, технической
механики и сварки.
Пособие предназначено для студентов старших курсов машиностроительных специальностей, обучающихся по направлению 15.03.01 «Машиностроение», изучающих «Расчетное проектирование сварных конструкций» и «Проектирование сварных конструкций». Оно также может быть полезно студентам других направлений,
изучающих дисциплины с разделами по расчету прочности сварных швов и соединений.
Ключевые слова: сварное соединение, расчет прочности, катет шва, прокатный профиль, сварной шов,
предел текучести, предел прочности, работоспособность материала, предел выносливости, крестовое соединение, стыковое соединение, кривая деформирования, допускаемое напряжение, концентрация напряжения.
Keywords: welded joint, strength calculation, weld leg, rolled section, weld seam, yield strength, tensile strength,
material performance, fatigue limit, cross joint, butt joint, stress-strain curve, permissible stress, stress concentration.
Редактор И.А. Гончарук
Компьютерная верстка Г.П. Писаревой
Дизайн CD Г.П. Писаревой
Опубликовано: 10.10.2025
Формат PDF
Объем 3,5 МБ [Усл. печ. л. 12]
Тираж 10 экз.
Издание подготовлено редакционно-издательским отделом
Политехнического института ДВФУ
[Кампус ДВФУ, корп. С, каб. 714]
Дальневосточный федеральный университет
690922, Владивосток, о. Русский, пос. Аякс, 10
Изготовитель CD: Дальневосточный федеральный университет
(типография Издательства ДВФУ
690091, Владивосток, ул. Пушкинская, 10)
Защищено от копирования
ISBN 978-5-7444-5956-7
© ФГАОУ ВО «ДВФУ», 2025
2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................................................................................................................. 5
ГЛАВА 1. Работоспособность материалов сварных конструкций ............................................... 7
1.1 Работоспособность конструкционных сталей для сварных конструкций ......................... 7
1.1.1 Основная теория ................................................................................................................ 7
1.1.2 Задание по вариантам...................................................................................................... 12
1.1.3 Пример расчета. Работоспособность конструкционных сталей для сварных
конструкций .............................................................................................................................. 13
1.1.4 Контрольные вопросы ..................................................................................................... 19
1.2 Сравнительная оценка работоспособности конструкционных сталей с учётом
температур эксплуатации ........................................................................................................... 20
1.2.1 Основная теория .............................................................................................................. 20
1.2.2 Задание по вариантам...................................................................................................... 23
1.2.3 Пример расчета. Работоспособность конструкционных сталей для сварных
конструкций при низких температурах ................................................................................. 23
1.2.4 Контрольные вопросы ..................................................................................................... 32
ГЛАВА 2. Расчёт сварных соединений на статическую прочность .......................................... 33
2.1 Расчёт катета сварного шва .................................................................................................. 33
2.1.1 Основная теория .............................................................................................................. 33
2.1.2 Задание по вариантам...................................................................................................... 35
2.1.3 Пример расчета. Расчёт катета сварного шва ............................................................... 36
2.1.4 Контрольные вопросы ..................................................................................................... 37
2.2 Расчёт катета сварного шва при сложной нагрузке ........................................................... 37
2.2.1 Основная теория .............................................................................................................. 37
2.2.2 Получение расчетных зависимостей для вычисления катета шва ............................. 39
2.2.3 Пример расчета. Расчет катета сварного шва из условия равнопрочности .............. 40
2.2.4 Контрольные вопросы ..................................................................................................... 42
ГЛАВА 3. Задачи оптимального проектирования и предельной несущей способности
сварных элементов ........................................................................................................................... 43
3.1 Оценка эффективности формы прокатных профилей для сварных конструкций ......... 43
3.1.1 Основная теория .............................................................................................................. 43
3.1.2 Задание ............................................................................................................................. 44
3.1.3 Пример расчета. Оценка эффективности формы прокатных профилей
для сварных конструкций ........................................................................................................ 44
3.1.4 Контрольные вопросы ..................................................................................................... 46
3.2 Проектирование сварного составного профиля металлоконструкции
в заданной постановке ................................................................................................................ 46
3.2.1 Пример 1. Расчет геометрических размеров составного профиля балки для
симметричной оси работы ....................................................................................................... 46
3.2.2 Пример 2. Расчет геометрических размеров составного профиля балки
для несимметричной оси работы ............................................................................................ 50
3.2.3 Задание ............................................................................................................................. 52
3
3.2.4 Пример расчета. Проектирование сварного составного профиля
металлоконструкции в заданной постановке. Труба с перегородкой ................................ 54
3.2.5 Контрольные вопросы ..................................................................................................... 57
3.3 Концентрация напряжений в сварных соединениях .......................................................... 58
3.3.1 Основная теория .............................................................................................................. 58
3.3.2 Задание ............................................................................................................................. 59
3.3.3 Пример расчета. Концентрация напряжений в сварных соединениях....................... 60
3.3.4 Контрольные вопросы ..................................................................................................... 63
3.4 Проектирование из условий устойчивости, прочности на срез и изгиб .......................... 64
3.4.1 Основная теория .............................................................................................................. 64
3.4.2 Проверка балки на срез ................................................................................................... 65
3.4.3 Проверка балки на смятие .............................................................................................. 65
3.4.4 Проверка балки на нормальные напряжения................................................................ 65
3.4.5 Проверка балки на касательные напряжения ............................................................... 65
3.4.6 Теория расчета балок на сложную нагрузку ................................................................. 66
3.4.7 Сложная нагрузка: поперечная сила и изгибающий момент ...................................... 66
3.4.8 Пример расчета. Проектирование составной балки из условий
устойчивости, прочности на срез и изгиб .............................................................................. 70
3.4.9 Контрольные вопросы ..................................................................................................... 74
3.5 Предельная несущая способность сварных составных балок при изгибе
и растяжении ................................................................................................................................ 74
3.5.1 Краткая теория ................................................................................................................. 74
3.5.2 Пример расчета. Предельная несущая способность составной сварной
балки заданного сечения......................................................................................................... 79
3.5.3 Контрольные вопросы ..................................................................................................... 84
ГЛАВА 4. Влияние геометрической формы сечения различных сварных соединений
на их выносливость .......................................................................................................................... 86
4.1 Основная теория и понятия .................................................................................................. 86
4.2 Методика расчета предела выносливости по известной геометрии сечения
сварного соединения ................................................................................................................... 90
4.3 Задание по вариантам ........................................................................................................... 95
4.4 Пример расчета. Влияние геометрической формы сечения различных сварных
соединений на их выносливость ................................................................................................ 96
4.5 Контрольные вопросы .......................................................................................................... 99
Заключение ..................................................................................................................................... 100
Список литературы ........................................................................................................................ 102
4
ВВЕДЕНИЕ
Учебное пособие по дисциплине «Проектирование сварных конструкций» играет ключевую роль в подготовке студентов к профессиональной деятельности в области строительства, машиностроения, судостроения и других отраслях, где требуется проектирование и изготовление металлоконструкций. Это пособие не только закрепляет теоретические знания, полученные в ходе лекций и семинаров, но и развивает практические навыки, необходимые для
решения реальных инженерных задач. В условиях современного рынка труда, где требуется
не только глубокое понимание теории, но и умение применять эти знания на практике, использование такого учебного пособия становится важным этапом в подготовке специалистов.
Учебное пособие охватывает широкий спектр задач, связанных с проектированием
сварных конструкций. Оно включает в себя анализ работоспособности конструкционных сталей, расчет катетов сварных швов, оценку эффективности формы прокатных профилей, а
также изучение влияния экстремальных температур на механические характеристики материалов. Каждая из этих тем имеет важное значение для успешного проектирования и эксплуатации металлоконструкций.
Учебное пособие позволяет студентам не только закрепить теоретические знания, но и
развить навыки анализа, синтеза и критического мышления. Используя это пособие, студенты
учатся применять полученные знания для решения конкретных инженерных задач, что является важным аспектом их профессиональной подготовки. Кроме того, пособие способствует
развитию у студентов умения работать с технической документацией, выполнять расчеты и
интерпретировать результаты, что является неотъемлемой частью работы инженера.
Один из ключевых аспектов учебного пособия – его ориентация на решение реальных
инженерных задач. Это позволяет студентам понять, как теоретические знания могут быть
применены на практике, и подготовиться к решению аналогичных задач в своей профессиональной деятельности. Например, расчет катетов сварных швов или оценка эффективности
формы прокатных профилей требуют от студентов не только знания математических методов,
но и умения применять эти методы в конкретных условиях, что развивает их инженерное мышление.
Учебное пособие также играет важную роль в научных исследованиях. Оно позволяет
студентам и молодым ученым экспериментировать с различными методами и подходами, что
способствует развитию новых идей и решений. Например, исследование влияния экстремальных температур на механические характеристики сталей может привести к разработке новых
материалов или технологий, которые будут более устойчивы к экстремальным условиям эксплуатации.
Кроме того, учебное пособие способствует развитию навыков проведения экспериментов и анализа данных, что является важным аспектом научной деятельности. Студенты учатся
планировать эксперименты, собирать и анализировать данные, а также интерпретировать результаты, что развивает их научные компетенции.
Используя учебное пособие, студенты осваивают широкий спектр знаний и навыков,
необходимых для успешной профессиональной деятельности. Они учатся:
– анализировать и синтезировать информацию: Студенты учатся анализировать исходные данные, выявлять ключевые параметры и синтезировать информацию для решения задач;
– применять математические методы: учебное пособие требует от студентов умения
применять математические методы для выполнения расчетов, что развивает их аналитические
5
способности;
– работать с технической документацией: студенты закрепляют навыки оформления отчетов по результатам проделанных работ, что является важным навыком для инженера;
– интерпретировать результаты: студенты учатся интерпретировать результаты расчетов и экспериментов, что развивает их критическое мышление;
– развивать инженерное мышление: учебное пособие способствует развитию у студентов умения решать инженерные задачи, что является ключевым аспектом их профессиональной подготовки.
Почти весь изложенный материал представлен расчетами, рассмотренными на конкретных примерах. Принятый способ изложения в учебном пособии представляется целесообразным в связи со сложными для понимания математическими зависимостями, трудностью вычислений и недостаточным количеством необходимой литературы в контексте рассматриваемых в пособии тем. Кроме того, это связано с потребностью в ясной постановке рассматриваемых примеров задач и в их целенаправленном решении. Тем не менее в процессе изучения
материала студентам может потребоваться обращение к дополнительным источникам информации, особенно это касается примеров расчетов, таким как справочная литература, научные
статьи и техническая документация, а также по наиболее сложным темам – консультации с
преподавателем. Это связано с необходимостью более глубокого понимания теоретических
основ и с потребностью в актуальных данных и современных методах расчета, которые могут
быть не полностью освещены в рамках данного пособия. Использование дополнительных источников позволит студентам расширить свои знания, получить более полное представление
о рассматриваемых вопросах и успешно применять полученные знания на практике.
При выполнении расчетных примеров по вариантам рекомендуется придерживаться составных частей:
– оформление титульного листа (название работы, вариант, ФИО);
– введение к расчетной работе;
– сформулировать цель работы;
– задание (краткое описание сути задачи и исходные данные);
– краткая теория (пояснить используемые формулы);
– расчеты с подробными математическими выкладками;
– выводы;
– список использованной литературы (в том числе методической).
6
ГЛАВА 1. РАБОТОСПОСОБНОСТЬ МАТЕРИАЛОВ
СВАРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
1.1 Работоспособность конструкционных сталей
для сварных конструкций
1.1.1 Основная теория
Правильность выбора материала – один из основных вопросов при проектировании
сварных конструкций, поскольку материал определяет работоспособность изделия, технологию его изготовления, стоимость изделия.
Исходные данные для выбора материала – условия эксплуатации. Кроме того, материал
должен обладать требуемыми для изготовления технологическими свойствами.
При выборе материала учитывают комплекс условий: первоначальные затраты на материал, технологическую обработку (в том числе сварку) возможность последующего ремонта
и т.д.
К материалам, используемым при изготовлении сварных конструкций, можно отнести
стали, цветные сплавы, а также пластмассы и композитные материалы. Но основное место при
проектировании и производстве сварных конструкций занимают конструкционные стали и
цветные сплавы. Перспективными являются сплавы титана.
Разберем кратко преимущества и недостатки применения этих материалов в конструкциях.
К основным достоинствам относятся:
– высокую надежность в работе, обусловленная однородной структурой металла. Металлические конструкции хорошо «работают» не только при статических, но и циклических
нагрузках. Они сравнительно безопасно выдерживают кратковременные перегрузки, при этом
подавляющее большинство сталей имеют диаграмму растяжения (J – Е с упрочнением, а также
способны упрочняться при перегрузке;
– высокую и одинаковую прочность при работе на растяжение, сжатие и изгиб. Для
сравнения: стали сравнительно недорогие и широко используемые имеют прочность 𝑅𝑦 =
230 … 330 МПа, а сплавы алюминия – 180 МПа, бетон марки 400 – 25 МПа (при сжатии). На
растяжение бетон работает очень плохо и из-за этого редко применяется в тяжело нагруженных конструкциях без предварительного напряжения. Кирпич марки 100 имеет прочность
2,5 МПа (при сжатии);
– относительная легкость по показателю отношения удельной плотности к 𝑅𝑦 , если
сравнивать с бетонными или кирпичными, или деревянными конструкциями.
– непроницаемость для жидкостей и газов вследствие высокой плотности (для стали
она 7,85 т⁄м3 , для сплавов алюминия 2,75 т⁄м3 ). Это преимущество особенно важно для листовых конструкций;
– достижение высокой технологичности. Металлоконструкции, как правило, изготавливают на специализированных заводах, а на площадке или в цехе выполняется только монтаж, это повышает качество и сокращает сроки введения конструкций в эксплуатацию;
– эстетичность объектов с применением металлоконструкций;
– сплавы алюминия и титана являются легкими и обладают большой долговечностью,
однако требуется применение более дорогой технологии для их сварки в сравнение со сваркой
малоуглеродистых и низколегированных сталей.
Недостатков у металлоконструкций значительно меньше.
7
К основным недостаткам можно отнести:
– низкую коррозионную стойкость сталей, эксплуатирующихся в агрессивной среде и
особенно сталей, которые свариваются хорошо при использовании простой технологии. В
настоящее время для снижения коррозии используются различные защитные и лакокрасочные
покрытия;
– высокую коррозийную стойкость конструкций из сплавов алюминия, которой они обладают благодаря защитной окисной пленке;
– малую огнестойкость. Сталь при температуре 600°С, а сплавы алюминия уже при
300°С полностью теряют прочность, и конструкции разрушаются. Этот недостаток при необходимости устраняется путем создания защитного покрытия из огнеупорных материалов.
При большем содержании углерода хотя и повышается прочность, но снижается пластичность и сталь становится хрупкой (это опасно для конструкций, работающих при низких
температурах и при динамических нагрузках). Кроме того, ухудшается свариваемость стали.
Все стали для металлоконструкций делятся на 3 группы: малоуглеродистые стали обычной прочности; стали повышенной прочности; высокопрочные стали.
Стали обычной прочности в зависимости от степени раскисления могут быть спокойными, полуспокойными и кипящими. Спокойные стали рекомендуется использовать в несущих конструкциях, работающих как на статические, так и динамические нагрузки в определенных температурно-климатических условиях, кипящие – для второстепенных, малонагруженных конструкций. Важно знать, что более прочная спокойная сталь обеспечивает экономию материала и в то же время является более дорогой. Окончательный выбор стали делается
с учетом требований норм и на основе сравнения вариантов.
Все стали повышенной и высокой прочности спокойные. Увеличение прочности достигается легированием (введением в структуру стали при её выплавке легирующих добавок) и
термической обработкой (например, закалкой). Лучше поддаются закалке стали с большим
количеством углерода.
Большое количество конструкций, как по многообразию, так и по количеству однотипных вариантов, где громадную долю в процессе изготовления составляет сварка, можно отнести к областям судостроения и строительства зданий и сооружений (строительные конструкции). Для строительных конструкций есть свое наименование сталей, из которых они изготавливаются. Все стали начинаются с буквы «С» (строительные), за ней следует цифровое обозначение (класс прочности) – нижнее значение предела текучести в МПа. Каждому строительному обозначению соответствует одна или несколько марок сталей по действующим стандартам (табл. 1).
В сталях, используемых в строительстве, в качестве добавок обычно применяется марганец (повышает и прочность, и пластичность стали), кремний (повышает прочность, но снижает стойкость к коррозии), медь (повышает прочность, и коррозионную стойкость) и некоторые другие легирующие добавки – не более 1–2%, то есть все строительные стали являются
низколегированными. Стали повышенной и особенно высокой прочности очень дорогие и
должны применяться с учетом экономического обоснования. Строительными нормами рекомендуется использовать стали повышенной прочности (С345, С375) для наиболее ответственных несущих конструкций, работающих в тяжелых условиях (низкая температура эксплуатации, агрессивная среда, динамическое нагружение). Высокопрочные стали (С390, С440, С590)
в связи с их высокой стоимостью применяются редко и обычно для изготовления стальных
канатов и тросов [1].
8
Таблица 1
Соответствие наименований и марок строительной стали по ГОСТ 27772–2015
Наименование стали
С235
С245
С255
С275
С285
С345
С375
Марки по действующим стандартам
Марка стали
Обозначение стандарта
Ст3кп2
гост 380–2005, гост 535–2005
Ст3пс5
гост 380–2005, гост 535–2005
Ст3сп5
гост 380–2005, гост 535–2005
Ст3Гпс, Ст3Гсп
гост 380–2005
Ст3пс
гост 380–2005
Ст3сп,Ст3Гпс,Ст3Гсп
гост 380–2005
12Г2С
–
09Г2С
гост 19281–2014
12Г2С
–
Все строительные сварные металлоконструкции можно условно разделить на 4 группы.
В первую группу входят сварные конструкции, работающие в особо тяжелых условиях
(динамическая или подвижная циклическая нагрузка). Примеры таких конструкций – подкрановые балки для мостовых кранов производственных зданий. В зависимости от расчетной низкой температуры эксплуатации для них рекомендуются применять стали обычной прочности
(С255, С285) либо повышенной (С345, С375) прочности. При определенных условиях, указанных в строительных нормах, возможно использование и высокопрочных сталей (С390 и С440).
Однако необходимо учитывать повышенные требования к технологии и качеству сварки для
высокопрочных сталей, работающих на циклические нагрузки. Экономически это в целом может оказаться нецелесообразным.
Ко второй группе относятся сварные конструкции, работающие при статических
нагрузках в условиях растяжения. Это фермы, балки покрытий и перекрытий. Для таких металлоконструкций нормы рекомендуют использовать все стали обычной прочности, кроме кипящей С235, и сталей повышенной прочности.
В третью группу входят сварные конструкции, работающие на сжатие. Это все разновидности колонн. Нормы допускают использование сталей обычной и повышенной прочности
(кипящая сталь С235 – только для конструкций, находящихся в отапливаемом помещении).
Четвертая группа – это вспомогательные и второстепенные малонагруженные конструкции: связи, прокатные балки, лестницы. При расчетной температуре не ниже −40°С рекомендуется использовать наиболее дешевую кипящую сталь С235, а при более низких температурах – спокойные или полуспокойные стали С245...С285. Использование сталей повышенной прочности для этой группы экономически нецелесообразно.
Каждый материал можно характеризовать тем количеством энергии, которую может
поглотить единица его объема до момента разрушения. Эта характеристика материала может
быть использована при выборе материала конструкции. Работоспособность ∆𝑝 материала может быть определена из площади действительной диаграммы растяжения при испытаниях образцов на разрыв.
Для приближенного сравнения различных материалов между собой можно использовать величину относительной работоспособности. Её можно выразить как интегральное произведение истинных напряжений на истинное относительное удлинение до разрушения для
единичного объема материала. Такой подход требует введение коэффициента пропорциональности заполнения площади под кривой 𝜎 − 𝜀. За неимением этого коэффициента наиболее
9
простой известный способ вычисления работоспособности – это использовать уравнение степенной аппроксимации истинной кривой деформирования:
𝜎𝑖 = 𝜎0,2 (
𝑒𝑖 𝑚
𝑒𝑖𝑚
) = 𝜎0,2 ∙ 𝑚 ,
𝑒𝑇
𝑒𝑇
где 𝑒𝑖 – интенсивность истинных деформаций; 𝑚 – коэффициент степенного упрочнения, изменяющийся от 0,08 до 0,24 для конструкционных упрочняющихся сталей. Тогда:
𝑒𝑝 =𝑙𝑛(1⁄[1−𝜑кр ])
𝑒𝑝 =𝑒𝑓
𝛥𝑝 =
∫ 𝜎𝑖 (𝑒𝑖 )𝑑𝑒𝑖 = 𝜎0,2 ∙
𝑒𝑝 =𝑒0,2
∫
𝑒𝑝 =𝑒0,2
𝑒𝑖 𝑚
( ) 𝑑𝑒𝑖 ,
𝑒𝑇
(1)
где 𝑒𝑓 = 𝑙𝑛(1⁄[1 − 𝜓к ]) – истинная критическая пластическая деформация, деформация до
разрушения образца; 𝜓к – сужение образца при разрыве.
Предел прочности определяется до образования шейки на образце. Для определения
максимального сопротивления разрыву с учетом образования шейки может быть предложено
выражение зависимости его от предела прочности. Тогда, пренебрегая работой упругой деформации ввиду её малости, работа пластической деформации, приходящаяся на единицу объема (один кубический метр) при разрыве до момента разрушения (𝑒𝑝 = 𝑒𝑓 ), вычисляется по
формуле:
𝑒𝑝 =𝑒𝑓
𝛥𝑝 =
∫ 𝑆(𝑒𝑝 ) 𝑑𝑒𝑝 ,
(2)
𝑒𝑝 =𝑒0,2
где 𝑆 – функция изменения истинных напряжений от истинных пластических деформаций в
стадии деформируемого образца.
После подстановки функции напряжений аппроксимации истинной диаграммы деформирования и интегрирования с подстановкой пределов расчётная формула для единицы работоспособности сталей получится из (2):
∆р = екр ∙ σпц +
екр 2 ∙ (sв − σпц )
+ (sв ∙ (1 − ев ) − σпц ) ×
2 ∙ ев
𝑚
m
1 m
1 m
2ев ∙ екр ∙ (екр ) ∙ (е )
е2кр ∙ (екр ) ∙ (е )
в
в
−
∙ (𝑚 + 1) +
ев ∙ m2 + 3 ∙ ев ∙ m + 2 ∙ ев ев ∙ m2 + 3 ∙ ев ∙ m + 2 ∙ ев
×
.
m
1 m
ев ∙ екр ∙ (екр ) ∙ m ∙ ( )
ев
+
2
(
ев ∙ m + 3 ∙ ев ∙ m + 2 ∙ ев
)
Пользуясь справочными данными, которые накоплены за целые десятилетия испытаний различных материалов, можно достаточно точно рассчитать значения работы разрушения
(количество энергии) сталей, т.е. определить работоспособность различных сталей. Такой подход в инженерной практике может быть достаточно эффективным для предварительного сравнения различных марок сталей, а принятое допущение – вполне оправданным. Однако в связи
с разбросом механических характеристик сталей для более точного определения работоспособности необходимо экспериментальное их получение для конкретного образца.
Рассмотрим ряд углеродистых и специальных сталей (табл. 2). Рассматривая обычные
характеристики сталей (предел текучести, предел прочности, удлинение, поперечное сужение
10
до разрушения и предел выносливости), мы совершенно не имеем никаких критериев для взаимной связи всех величин. Непосредственно в расчетах применяются только предел текучести
и предел выносливости. Все остальные величины используются лишь для сравнения материалов и относительного суждения о пригодности данного материала для того или иного назначения, причем здесь остаются очень широкие возможности для совершенно противоположных
заключений. Например, с повышением предела текучести и временного предела прочности
ударная вязкость может снижаться для различных сталей.
Работоспособность материала зависит от предела прочности и поперечного сужения.
Естественно, что такая характеристика сопротивления материала приложенной к нему
нагрузке дает новые показатели, зависящие от двух ранее не связанных величин, одна из которых вообще не могла быть учтена прежде при расчетах.
Из рассмотрения работоспособности гостированных углеродистых сталей видно, что
от стали марки 10 до стали марки 50 работоспособность колеблется в пределах от 550 до 790,
средняя работоспособность составляет 670. Стали марок 45 и 50 имеют пониженную работоспособность.
Одна и та же сталь под номерами 11, 12 и 13 (табл. 2), с содержанием углерода 0,37 и
марганца 0,55 при отжиге или нормализации и закалке имеет, соответственно, различные экспериментальные коэффициенты работоспособности 𝛥𝑝э . Стали под номерами 11 и 12 по
своим обычным механическим характеристикам можно считать вполне удовлетворительными. В то же время в сравнении со сталью марки 40 рассматриваемые стали по работоспособности уступают последней, хотя после закалки имеет место существенное увеличение предела выносливости.
Таблица 2
Механические свойства сталей 2
№
Марка или
химический
состав
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 (Ст.1)
15 (Ст.2)
20 (Ст.3)
25 (Ст.4)
30
35 (Ст.5)
40 (Ст.6)
45
50
10
11
12
13
0,02С
0,03Мn
0,37C
0,55Мn
0,37С
0,55Мn
0,37С
0,55Мn
Состояние
поставки
Нормализация
То же
»
»
»
»
»
»
Нормализация
Отжиг при 850°
Нормализация
при 850°
Закалка в воде
при 850°, отпуск
при 550°
𝜎т ,
МПа
𝜎в ,
МПа
𝛿5 ,
%
Углеродистые стали
180
370
30
200
420
27
220
450
24
240
490
22
260
540
19
280
560
18
300
590
17
320
670
15
340
710
13
Марганцевые стали
133
299
48
𝜓к ,
%
𝜎−1 ,
МПа
𝛥𝑝э ,
МПа
55
55
55
50
50
45
45
40
40
160
170
180
190
200
215
230
250
270
650
740
790
670
730
600
630
550
590
76
183
2000
266
493
32
49
204
630
292
558
29
46
206
630
486
739
22
56
350
1370
11
14
0,49С
0,46Мn
Нормализация
при 910°
330
646
26,5
39,5
232
520
Такая сталь, подвергнутая закалке, является наиболее выгодной с точки зрения пригодности ее для работы в условиях переменных и ударных нагрузок. Действительно, в машиностроении невозможно создать детали, в которых отсутствовала бы концентрация напряжений,
а предел выносливости сталей с малой вязкостью резко снижается с появлением концентрации
напряжений. Так, например, для углеродистых сталей коэффициент снижения предела выносливости равен: 0,18 для стали 15; 0,19 для стали 20 и 0,23 для стали 50[2].
Следует также отметить на примере сталей под номерами 11–13 совершенное неудовлетворение такой характеристики, как относительное удлинение, полученное из условной
диаграммы растяжения. Действительно, при переходе от нормализации к закалке величина относительного удлинения снижается с 29 до 22 единиц. Это совершенно неправильно характеризует уменьшение пластичности материала, так как фактически поперечное сжатие растет с
46 до 56% и, следовательно, резко возрастает и действительное относительное удлинение 𝛿5 .
За неимением экспериментальных или справочных данных 𝜓к может быть вычислено
приближенно в зависимости от предела текучести 𝜎0,2 малоуглеродистой низколегированной
стали [3]:
𝜓к = 98 − 0,1σ0,2 .
1.1.2 Задание по вариантам
Согласно своему варианту из табл. 3 выполнить расчеты дополнительных характеристик материала и его работоспособности, сравнить полученные результаты с известными данными (табл. 2).
– разрушение по действительной (логарифмической деформации);
– действительные напряжения при относительном удлинении до разрушения образца;
– степенное упрочнение;
– предел пропорциональности.
Таблица 3
Варианты заданий
Вариант
Номера сталей
Вариант
𝑓
1
1; 5; 9
(2)
11
2
2; 6; 10
(2)
12
3
3; 7;11
(2)
13
4
4; 8; 12
(2)
14
5
13; 14; 2
(2)
15
6
3; 5; 7
(2)
16
7
8; 10; 12
(2)
17
8
1; 4; 7
(2)
18
9
2; 5; 8
(2)
19
10
3; 6; 9
(2)
20
Примечание. 𝑓 – номер используемой аппроксимации.
Номера сталей
4; 7; 10
5; 8; 11
6; 9; 12
1; 13; 2
3; 14; 4
5; 6; 13
7; 8; 14
9; 10; 1
11; 12; 2
13; 14; 3
𝑓
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
Проанализировать полученные результаты, сравнить расчётное значение работоспособности с экспериментальным значением из табл. 2, сделать выводы об адекватности расчетов, их точности и результатах сравнительной оценки.
12
1.1.3 Пример расчета. Работоспособность конструкционных сталей
для сварных конструкций
Для своего варианта задания находим основные характеристики сталей, которые понадобятся для выполнения расчетов. Сводим их в таблицу для удобного дальнейшего использования (табл. 4).
Таблица 4
Основные механические характеристики сталей
№
1
8
9
Марка стали
35
12ХГС
09Х18Н10Т
σт , МПа
280
320
190
σВ МПа
560
470
540
φк %
45
59
55
δ5 %
18
26
40
Рассчитываем критическую пластическую истинную деформацию по разрушению образцов для различных сталей:
100
),
екр = ln (
100 − φк
где
φк – относительное сужение при разрыве (%).
Для стали № 1
екр = ln (
100
) = 0,6.
100 − 45
Для стали № 8
100
) = 0,89.
екр = ln (
100 − 59
Для стали № 9
100
) = 0,8.
100 − 55
Для сталей, у которых δ = 13 − 30%, можно рассчитать условную равномерную деформацию, соответствующую временному пределу прочности, так [4]
σ0,2
ε′в = δ5(10)
.
σв
Истинная логарифмическая деформация предела прочности будет вычисляться по формуле:
екр = ln (
ев = ln(1 + ε′в ),
а истинные напряжения предела прочности
σив ≈ σв (1 + εв ).
Для стали № 1
σив = 560(1 + 0,09) = 610,4 МПа.
Для стали № 8
σив = 470(1 + 0,177) = 553,2 МПа.
Для стали № 9
σив = 540(1 + 0,141) = 616,14 МПа.
13
С другой стороны, существует зависимость логарифмической деформации от удлинения образца на момент образования шейки:
ев = ln(1 + δш ),
где δш почти совпадает с δв или почти равно равномерному удлинению образца. После
замены и записи относительно δв , получаем формулу для расчета равномерного удлинения
образца:
δв = exp(ев ) − 1.
Для сталей, у которых δ5(10) = 13 − 30%, можно рассчитать равномерную деформацию, соответствующую временному пределу прочности по эмпирической формуле:
σ0,2
ε′в = δ5(10)
.
σв
Для стали № 1
ε′в = 0,18 ∙
280
= 0,09;
560
Для стали № 8
ε′в = 0,26 ∙
320
= 0,177;
470
Для стали № 9
190
= 0,141.
540
Логарифмическая деформация, соответствующая временному пределу прочности,
ε′в = 0,40 ∙
где
ев = ln(1 + ε′в ),
ε′в = δ5(10) ∙ σ0,2 ⁄σв – условная деформация предела прочности. Делаем подстановки:
– для стали № 1
ев = ln(1 + 0,09) = 0,086;
– для стали № 8
ев = ln(1 + 0,177) = 0,163;
– для стали № 9
ев = ln(1 + 0,141) = 0,132.
Так как отличие равномерного сужения от равномерной деформации невелико в диапазоне до образования шейки, то φр должно соответствовать моменту деформации ε′в . Отсюда
равномерное относительное удлинение по равномерному сужению φр будет определяться как
φр
δр = (
) 100%.
1 − φр
Для стали № 1
0,09
) 100% = 9,89% = 0,0989
δр = δв = (
1 − 0,09
или по более точной формуле:
δв = exp(ев ) − 1 = 0,09.
14
Для стали № 8
0,177
) 100% = 21,5 % = 0,215
δр = (
1 − 0,177
или по более точной формуле:
δв = exp(ев ) − 1 = 0,177.
Для стали № 9
0,141
) 100% = 16,42 % = 0,1642
δр = (
1 − 0,141
или по более точной формуле:
δв = exp(ев ) − 1 = 0,141.
По приближенной формуле можно найти истинные критические напряжения, соответствующие пределу прочности, через известное действительное относительное удлинение до
разрушения образца:
σикр ≈ σв (1 + δ5 ),
где σв – временное сопротивление (предел прочности); δ5 – действительное относительное
удлинение. Выполняем расчеты истинных напряжений, примерно соответствующих пределу
временной прочности, положив равенство δ5 ≈ ε′в для сталей по приближенной формуле.
Для стали № 1
σикр = 560(1 + 0,09) = 660,8 МПа.
Для стали № 8
σикр = 470(1 + 0,177) = 592,2 МПа.
Для стали № 9
σикр = 540(1 + 0,141) = 756 МПа.
Истинные напряжения предела текучести с хорошей точностью вычисляются по зависимости: σи0,2 = σ0,2 ∙ (1 + ε0,2 ) [3].
Для стали № 1
σи0,2 = 280 ∙ (1 + 0,002) = 280,56 МПа.
Для стали № 8
σи0,2 = 320 ∙ (1 + 0,002) = 320,64 МПа.
Для стали № 9
σи0,2 = 196 ∙ (1 + 0,002) = 190,38 МПа.
Разница между истинными напряжениями предела прочности и текучести на истинной
диаграмме разрушения
∆σи = |σикр −σи0,2 |,
находим ее для сталей.
Для стали № 1
∆σи = |660,8 −280,56| = 380,24 МПа.
Для стали № 8
∆σи = |592,2 −320,64| = 271,56 МПа.
Для стали № 9
∆σи = |756 −196,39| = 565,62 МПа.
15
Для линейной аппроксимации истинной диаграммы деформирования можно найти
долю работы, совершенной за пределом текучести по отношению к суммарной работе, совершаемой материалом, для каждой стали приближенно так:
∆σи
tg(𝛼) = и .
σкр
Тогда для стали № 1
S∆ 380,24
=
= 0,58.
S∎
660,8
Для стали № 8
S∆ 271,56
=
= 0,46.
S∎
592,2
Для стали № 9
S∆
565,62
=
= 0,75.
S∎
756
По этим соотношениям видим, что большее упрочнение будет иметь сталь №9. Истинные напряжения отрыва можно рассчитать через критическое сужение образца по наиболее
точной эмпирической формуле для конструкционных сталей [2, 5, 6]:
Sкр = σв (1 + 1,4φк ).
Подставляем значения и вычисляем Sкр для сталей своего варианта.
Для стали № 1
Sкр = 560 ∙ (1 + 1,4 ∙ 0,45) = 912,8 МПа.
Для стали № 8
Sкр = 470 ∙ (1 + 1,4 ∙ 0,59) = 858,22 МПа.
Для стали № 9
Sкр = 490 ∙ (1 + 1,4 ∙ 0,55) = 955,8 МПа.
Рассчитываем степенное упрочнение [3]
1 + 1,4 ∙ φк
]
σ0,2
m=
.
1
ln (1 − φ )
к
lg [105 ∙
]
200 + 0,5 ∙ σ0,2
0,75 ∙ lg [σв ∙
Для стали № 1
1 + 1,4 ∙ 0,45
]
280
m=
= 0,171.
1
ln (
)
1 − 0,45
lg [100 000 ∙
]
200 + 0,5 ∙ 280
0,75 ∙ lg [560 ∙
Для стали № 8
16
1 + 1,4 ∙ 0,59
]
320
m=
= 0,134.
1
ln (
)
1 − 0,59
lg [100 000 ∙
]
200 + 0,5 ∙ 320
0,75 ∙ lg [470 ∙
Для стали № 9
1 + 1,4 ∙ 0,55
]
190
m=
= 0,216.
1
ln (
)
1 − 0,55
lg [100 000 ∙
]
200 + 0,5 ∙ 190
0,75 ∙ lg [540 ∙
Предел пропорциональности для конструкционных сталей обычно равен:
σпц = 0,8 ∙ σ0,2 ,
вычислим его для следующих сталей.
Для стали № 1
σпц = 0,8 ∙ 280 = 224 МПа.
Для стали № 8
σпц = 0,8 ∙ 320 = 256 МПа.
Для стали № 9
σпц = 0,8 ∙ 190 = 152 МПа.
Расчётная единица работоспособности сталей
∆р = екр ∙ σпц + (sв ∙ (1 − ев ) − σпц ) ×
m
m
1 m
1 m
1 m
2
ев ∙ екр ∙ (екр ) ∙ m ∙ (е )
2 ∙ ев ∙ екр ∙ (екр ) ∙ (е )
екр ∙ (екр ) ∙ m ∙ (е )
в
в
в
×(
+
−
ев ∙ m2 + 3 ∙ ев ∙ m + 2 ∙ ев ев ∙ m2 + 3 ∙ ев ∙ m + 2 ∙ ев ев ∙ m2 + 3 ∙ ев ∙ m + 2 ∙ ев
m
m
1 m
екр 2 ∙ (екр ) ∙ ( )
екр 2 ∙ (sв − σпц )
ев
)+
−
.
е в ∙ m2 + 3 ∙ е в ∙ m + 2 ∙ е в
2 ∙ ев
Для стали № 1
∆р = 0,6 ∙ 224 + (912,8 ∙ (1 − 0,086) − 224) ×
17
1 0,171
0,086 ∙ 0,6 ∙ 0,6
∙ 0,171 ∙ (0,086)
×(
0,086 ∙ 0,1712 + 3 ∙ 0,086 ∙ 0,171 + 2 ∙ 0,086
0,171
+
1 0,171
2 ∙ 0,086 ∙ 0,6 ∙ 0,60,171 ∙ (0,086)
0,086 ∙ 0,1712 + 3 ∙ 0,086 ∙ 0,171 + 2 ∙ 0,086
1 0,171
0,62 ∙ 0,60,171 ∙ 0,171 ∙ (0,086)
−
0,086 ∙ 0,1712 + 3 ∙ 0,086 ∙ 0,171 + 2 ∙ 0,086
1 0,171
0,62 ∙ 0,60,171 ∙ (0,086)
0,62 ∙ (912,8 − 224)
)+
−
0,086 ∙ 0,1712 + 3 ∙ 0,086 ∙ 0,171 + 2 ∙ 0,086
2 ∙ 0,086
= 371,98.
Для стали № 8
∆р = 0,8915 ∙ 256 + (858,22 ∙ (1 − 0,163) − 256) ×
1 0,1342
0,163 ∙ 0,8915 ∙ 0,89150,1342 ∙ 0,1342 ∙ (0,163)
×(
0,163 ∙ 0,13422 + 3 ∙ 0,163 ∙ 0,1342 + 2 ∙ 0,163
1 0,1342
2 ∙ 0,163 ∙ 0,8915 ∙ 0,8915
∙ (0,163)
+
0,163 ∙ 0,13422 + 3 ∙ 0,163 ∙ 0,1342 + 2 ∙ 0,163
1 0,1342
0,1342
2
0,8915 ∙ 0,8915
∙ 0,1342 ∙ (0,163)
−
0,163 ∙ 0,13422 + 3 ∙ 0,163 ∙ 0,1342 + 2 ∙ 0,163
1 0,1342
0,89152 ∙ 0,89150,1342 ∙ (0,163)
0,89152 ∙ (858,22 − 256)
)
−
+
0,163 ∙ 0,13422 + 3 ∙ 0,163 ∙ 0,1342 + 2 ∙ 0,163
2 ∙ 0,163
0,1342
= 826,12.
Для стали № 9
∆р = 0,7884 ∙ 152 + (833 ∙ (1 − 0,132) − 152) ×
18
1 0,216
0,132 ∙ 0,7884 ∙ 0,7884
∙ 0,216 ∙ (0,132)
×(
0,132 ∙ 0,2162 + 3 ∙ 0,132 ∙ 0,216 + 2 ∙ 0,132
0,216
+
1 0,216
2 ∙ 0,132 ∙ 0,7884 ∙ 0,78840,216 ∙ (0,132)
0,132 ∙ 0,2162 + 3 ∙ 0,132 ∙ 0,216 + 2 ∙ 0,132
1 0,216
0,78842 ∙ 0,78840,216 ∙ 0,132 ∙ (0,132)
−
0,132 ∙ 0,2162 + 3 ∙ 0,132 ∙ 0,216 + 2 ∙ 0,132
1 0,216
0,78842 ∙ 0,78840,216 ∙ (
)
0,78842 ∙ (833 − 152)
0,132
)
−
+
0,132 ∙ 0,2162 + 3 ∙ 0,132 ∙ 0,216 + 2 ∙ 0,132
2 ∙ 0,132
= 537,3.
Сравним расчетное значение с экспериментальным (на примере стали 35):
∆э − ∆р 600 − 371,98
=
≈ 38%.
∆э
600
Вычисляем для остальных таким же образом и определяем, какая из сталей является
работоспособнее остальных.
Вывод. В ходе работы были рассмотрены стали 35, 12ХГС, 09Х18Н10Т, расчитаны для
них такие характеристики, как:
– разрушение по действительной (логарифмической деформации);
– действительные напряжения, соответствующие точке предела временной прочности;
– степенное упрочнение;
– предел пропорциональности.
А также произведен расчет работы пластической деформации для каждой стали. В ходе
анализа было выявлено, что сталь 12ХГС имеет наибольшую работу пластической деформации, а следовательно, является самой прочной из предложенных сталей.
%∆=
1.1.4 Контрольные вопросы
1. Почему правильный выбор материала является ключевым при проектировании сварных конструкций?
2. Какие условия эксплуатации являются исходными данными для выбора материала
сварных конструкций?
3. Какие материалы, кроме сталей и сплавов, могут использоваться в сварных конструкциях?
4. Как содержание углерода влияет на свойства стали, используемой в сварных конструкциях?
5. Какие группы сталей существуют для металлоконструкций и в чем их основные различия?
6. Почему стали повышенной прочности должны применяться с учетом экономического обоснования?
7. Какие стали рекомендуется использовать для наиболее ответственных несущих конструкций?
8. Как рассчитывается работоспособность материала на основе диаграммы растяжения?
9. Какие характеристики материала используются для сравнения и выбора сталей?
19
10. Как определить относительную работоспособность материала?
11. Зависит ли работоспособность от степени пластичности стали и если да, то как?
12. Как вы думаете, если сталь станет хрупкой, то при неизменных остальных ее характеристиках работоспособность ее увеличится или уменьшится?
1.2 Сравнительная оценка работоспособности конструкционных сталей
с учётом температур эксплуатации
1.2.1 Основная теория
Единица объема материала при нагружении до разрушения поглощает некоторое количество энергии. На основании закона сохранения энергии и движения можно утверждать, что
для доведения единичного объема материала до разрушения необходимо отнять у него энергию, равную приложенной из вне энергии разрушения. Работоспособность материала не является постоянной величиной, характеризующей данный материал при всех условиях. Достаточно понизить температуру эксплуатации, чтобы работоспособность уменьшилась. Из графика ниже (рис. 1) мы видим, что работоспособность твердых тел монотонно убывает, стремясь к нулю при приближении температуры к абсолютному нулю.
Рис. 1. Изменение работоспособности в зависимости от температуры [2]:
1 – для стали 20; 2 – для стали 40; 3 – для стали 20 перегретой; T – температура в градусах Кельвина;
θ = 420 для железа
Результаты исследований прочности и механических свойств металлов при низких температурах позволяют сделать вывод: снижение температуры, как правило, сопровождается повышением прочности, снижением пластичности металлов и увеличением предела прочности
𝜎в1 , истинного предела прочности 𝑆н , предела текучести 𝜎т , (𝜎0,2 ) (табл. 5).
Таблица 5
Механические характеристики конструкционных материалов
при 𝟐𝟗𝟑 𝑲 и низких температурах [2]
Материал
𝑇, 𝐾
𝜎в, МПа
𝜎0,2, МПа
𝜓к , %
𝑆кр , МПа
Сталь 12Х18Н10Т
293
200
77
681
1053
1646
254
362
411
78
70
56
2048
2323
2675
Сталь 30ХГСА
293
200
77
1156
1274
1558
1039
1156
1441
54
47
14
1616
1715
1813
20
Сталь 30
293
200
77
568
627
940
343
411
833
60
56
14
1029
1176
1039
Сталь 45
293
200
77
588
784
1049
392
627
931
56
47
40
1205
1372
1558
Сталь 19Г
293
200
77
548
617
921
352
441
842
50
47
24
–
–
–
Алюминиевый
сплав Д16Т
293
200
77
431
451
557
294
313
367
17
17
16
–
–
–
Алюминиевый
сплав Д20
293
200
77
401
434
512
283
317
380
45
41
33
656
700
808
Титановый сплав
АТ–2
293
200
77
646
759
1055
558
686
921
62
60
67
1323
1401
1548
Несмотря на уменьшение пластичности у многих металлических сплавов, в частности
у конструкционных сталей, в условиях значительного снижения температуры (до 77 𝐾) при
статическом нагружении сохраняется достаточно большой запас пластичности (относительное поперечное сужение 𝜓к = 10 − 50%).
Зависимость 𝜎т и 𝜎в от температуры 𝑇 может быть представлена в виде экспоненциальных функций [7]:
1 1
(1)
𝜎т = [𝜎т ] 𝑇0 ∙ 𝑒𝑥𝑝 [𝛽̃𝑇 ( − )] ;
𝑇 𝑇0
1 1
𝜎в = [𝜎в ] 𝑇0 ∙ 𝑒𝑥𝑝 [𝛽̃𝐵 ( − )],
𝑇 𝑇0
где 𝛽̃𝑇 и 𝛽̃𝐵 – характеристики материала; [𝜎т ] 𝑇0 , [𝜎В ] 𝑇0 – предел текучести и предел прочности
при комнатной температуре соответственно; 𝑇0 – 293 К. Зависимость 𝛽̃𝑇 от предела текучести
материала приведена в работе [8].
Значение 𝛽̃𝐵 можно вычислить по формуле:
𝛽̃𝐵 = 𝛽̃𝑇 ∙
𝑙𝑔([𝑆𝑘 ] 𝑇0 ⁄[𝜎в ] 𝑇0 )
𝑙𝑔([𝑆𝑘 ] 𝑇0 ⁄[𝜎т ] 𝑇0 )
(2)
,
где [𝑆𝑘 ]𝑇0 – истинный предел прочности при комнатной температуре.
При статическом нагружении образцов с надрезом (концентратором напряжений) даже
в условиях значительного снижения температуры (до 77 𝐾) обычно увеличивается прочность
с сохранением еще относительно большого запаса пластичности (табл. 6).
Практика испытаний металлических образцов в режиме усталостного нагружения показывает, что в общем случае с понижением температуры пределы выносливости гладких образцов и образцов с надрезом на базе испытаний 𝑁 = 102 циклов возрастают.
21
Таблица 6
Прочность цилиндрических образцов с кольцевым надрезом при 𝟐𝟗𝟖 и 𝟕𝟕 𝑲 2
Материал
Никелевая
Низколегированная
Нержавеющая
Титан
Алюминий
Сопротивление при разрыве по
наименьшему сечению, МПа
Изменение, %
298 𝐾
77 𝐾
1450
1764
+22
1411
1656
+18
1852
2519
+36
852
1529
+78
509
725
+18
𝜓к , %
298 𝐾
22,0
11,3
11,5
12,5
7,0
77 𝐾
6,8
3,3
7,3
5,0
6,5
Для того чтобы получить зависимости основных механических характеристик стали от
температуры эксплуатации, нужно найти неизвестные коэффициенты материалов 𝛽̃в и 𝛽̃𝑇 в
формулах (1). Это можно сделать, если использовать совместно с (1) уравнение (2). Таким
образом, объединив уравнения в систему и основываясь на физическом факте того, что при
хрупком разрушении с пренебрежимо малыми пластическими деформациями 𝜎т = 𝜎в , можно
определить неизвестные коэффициенты материала. Этот факт приближенного равенства
(3)
𝜎т ≈ 𝜎в ,
характерен для температуры 77 𝐾 малоуглеродистых и низколегированных сталей. На основе
него найдем определяющие уравнения для 𝛽̃в и 𝛽̃𝑇 , позволяющие вычислять 𝜎в и 𝜎т соответственно для любой заданной отрицательной температуры.
Для этого запишем (1) в виде системы уравнений [9]
1 1
𝜎т = [𝜎т ] 𝑇0 ∙ 𝑒𝑥𝑝 [𝛽̃𝑇 ( − )]
𝑇 𝑇0
.
1 1
̃
𝜎 = [𝜎в ] 𝑇0 ∙ 𝑒𝑥𝑝 [𝛽𝐵 ( − )]
{ в
𝑇 𝑇0
(4)
Здесь 𝑇0 = 293 𝐾, тогда, принимая 𝑇 = 77 𝐾 с учетом (3), а также взяв отношения первого уравнения (4) ко второму уравнению системы (4), получим систему уравнений в виде:
𝛽̃в 𝑙𝑛([𝑆𝐾 ] 𝑇0 ⁄[𝜎в ] 𝑇0 )
=
𝛽̃𝑇 𝑙𝑛([𝑆𝐾 ] 𝑇 ⁄[𝜎т ] 𝑇 )
0
[𝜎т ]𝑇0
=
[𝜎в ] 𝑇0
0
1 1
𝑙𝑛 (𝛽̃𝐵 (𝑇 − 𝑇 )) .
(5)
0
1 1
𝑙𝑛 (𝛽̃𝑇 (𝑇 − 𝑇 ))
0
{
Решив систему (5), приходим к зависимостям[9], справедливым только при 𝑇 = 77 𝐾;
𝑇0 = 293 𝐾:
22
𝛽̃в =
𝑙𝑛([𝑆𝐾 ] 𝑇0 ⁄[𝜎в ] 𝑇0 )
×
1 1
1 1
(𝑇 − 𝑇 + 𝑙𝑛([𝑆𝐾 ]𝑇0 ⁄[𝜎в ] 𝑇0 ) ∙ (𝑇 − 𝑇 )⁄𝑙𝑛([𝑆𝐾 ]𝑇0 ⁄[𝜎т ] 𝑇0 ))
0
0
𝑙𝑛([𝜎т ] 𝑇0 ⁄[𝜎в ] 𝑇0 )
×
;
𝑙𝑛([𝑆𝐾 ] 𝑇0 ⁄[𝜎т ] 𝑇0 )
𝛽̃𝑇 =
(6)
𝑙𝑛([𝜎т ] 𝑇0 ⁄[𝜎в ] 𝑇0 )
.
1 1
1 1
]
⁄
[𝜎
]
]
⁄
[𝜎
]
−
+
𝑙𝑛([𝑆
)
∙
(
−
)
⁄
𝑙𝑛([𝑆
)
𝐾 𝑇0
в 𝑇0
𝐾 𝑇0
т 𝑇0
𝑇0 𝑇
𝑇 𝑇0
Значение истинных напряжений ([𝑆𝐾 ] 𝑇0 ) в момент разрыва металла определяется формулой:
[𝑆𝐾 ] 𝑇0 = 𝜎в ∙ (1 + 1,4𝜓к ),
где
(7)
𝜓к – относительное сужение металла, доли.
1.2.2 Задание по вариантам
Рассчитать работоспособность конструкционных сталей для сварных конструкций при
низких температурах и рассмотреть влияние экстремально низкой температуры (−60℃) на
механические характеристики сталей (табл. 2) согласно своему варианту (табл. 3).
1.2.3 Пример расчета. Работоспособность конструкционных сталей
для сварных конструкций при низких температурах
Для расчета работоспособности сталей необходимо определить характеристики материалов: предел текучести σ−60
, предел прочности, σв−60, при температуре −60℃ (213 К).
т
Таблица 7
Механические характеристики сталей при температуре 𝟐𝟎 ℃
№
1
8
9
Марка стали
35
12ХГС
09Х18Н10Т
σт , МПа
280
320
190
σВ , МПа
560
470
540
φк , %
45
59
55
δ5 , %
18
26
40
Эти характеристики вычисляются по формулам:
– предел текучести
1
1
)] ;
σ−60
= σт ∙ 𝑒𝑥𝑝 [𝛽т ∙ (
−
т
213 293
– предел прочности
1
1
)],
σв−60 = σв ∙ 𝑒𝑥𝑝 [𝛽в ∙ (
−
213 293
где
exp(𝑥) – это функция 𝑒 𝑥 .
Коэффициенты 𝛽т и 𝛽в находятся из зависимости, в которую нужно подставить определяющие температуры Т = 77 К и Т0 = 293 К:
23
σ
ln [ т ]
σв
𝛽в =
∙
;
1
1
𝑠𝑘
−
1
1
𝑠𝑘
77 293 ln [σт ]
(
−
+
ln
[
])
∙
293 77
𝑠
σв
ln [ 𝑘 ]
σт
𝑠
ln [ 𝑘 ]
σв
𝛽т =
σ
ln [ т ]
σв
1
1
− 293
1
1
𝑠𝑘
77
(
293 − 77 + ln [σв ]) ∙
𝑠
ln [ 𝑘 ]
σт
.
Для решения этих уравнений необходимо найти истинные напряжения 𝑠𝑘 . Их находят
из зависимости:
𝑠𝑘 = σв ∙ (1 + 1,4φк ).
Выполним расчет истинных напряжений:
– для стали 35
𝑠𝑘 = 560 ∙ (1 + 1,4 ∙ 0,45) = 912,8 МПа;
– для стали 12ХГС
𝑠𝑘 = 470 ∙ (1 + 1,4 ∙ 0,59) = 858,2 МПа;
– для стали 09Х18Н10Т
𝑠𝑘 = 540 ∙ (1 + 1,4 ∙ 0,55) = 955,8 МПа.
Рассчитаем коэффициент 𝛽в:
– для стали 35
912,8
280
]
ln [
]
560
560 = 51;
𝛽в =
∙
912,8
1
1
912,8
1
1 ln [ 560 ] ∙ (77 − 293) ln [ 280 ]
−
+
912,8
293 77
ln [ 280 ]
ln [
– для стали 12ХГС
𝛽в =
858,2
ln [ 470 ]
320
ln [470]
∙
= 62,9;
858,2
858,2
1
1
ln
[
]
ln
[
]
∙
(
−
)
1
1
320
470
77 293
293 − 77 +
858,2
ln [ 320 ]
– для стали 09Х18Н10Т
955,8
190
]
ln [
]
540
540 = 59.
𝛽в =
∙
955,8
955,8
1
1
1
1 ln [ 540 ] ∙ (77 − 293) ln [ 190 ]
293 − 77 +
955,8
ln [ 190 ]
ln [
Рассчитаем коэффициент 𝛽т .
24
– для стали 35
280
]
560
𝛽т =
= 123,4;
912,8
1
1
1
1 ln [ 560 ] ∙ (77 − 293)
−
912,8
293 77 +
ln [ 280 ]
ln [
– для стали 12ХГС
𝛽т =
320
ln [470]
= 103;
858.2
1
1
1
1 ln [ 470 ] ∙ (77 − 293)
−
293 77 +
858.2
ln [ 320 ]
– для стали 09Х18Н10Т
190
ln [
]
540
𝛽т =
= 168,7.
955,8
1
1
1
1 ln [ 540 ] ∙ (77 − 293)
−
+
293 77
955,8
ln [ 190 ]
Расчет предела текучести и предела прочности при 𝑇 = 213 К и Т0 = 293 К.
Для стали 35:
– предел прочности
1
1
)] = 598 МПа;
σв−60 = 560 ∙ еxp [51 ∙ (
−
213 293
– предел текучести
σ−60
= 280 ∙ еx𝑝 [123,4 ∙ (
т
1
1
)] = 328 МПа.
−
213 293
Для стали 12ХГС:
– предел прочности
1
1
)] = 509,5 МПа;
σ−60
= 470 ∙ еx𝑝 [62,9 ∙ (
−
в
213 293
– предел текучести
σ−60
= 320 ∙ еx𝑝 [103 ∙ (
т
1
1
)] = 365 МПа.
−
213 293
Для стали 09Х18Н10Т:
– предел прочности
1
1
)] = 582 МПа;
σ−60
= 540 ∙ еx𝑝 [59 ∙ (
−
в
213 293
– предел текучести
1
1
)] = 236 МПа.
−
213 293
Условимся в первом приближении, что сопротивление микросколу 𝑅𝑀𝐶 не сильно зависит от температуры, тогда вычислим φ−60
– значение сужения после понижения темперак
туры – по формуле:
σ−60
= 190 ∙ еx𝑝 [168,7 ∙ (
т
25
𝜑к−60 = √1 −
σв(−60)
∙ 100%,
𝑅𝑀𝐶
где φк – сужение при нормальной температуре, известно (табл. 7); а 𝑅𝑀𝐶 – константа, сопротивление микросколу, вычисляемая по эмпирической формуле [10]:
𝜎в
𝑅𝑀𝐶 =
.
1 − (φк )2
Вычисляем, делая подстановку значений.
Для стали № 1:
𝑅𝑀𝐶 =
𝜎в
560
=
= 702 МПа.
2
1 − (φк )
1 − (0,45)2
φк = 0,45.
Учитывая условие, что 𝑅𝑀𝐶 изменяется незначительно от температуры, оставляя его
постоянным для конкретной стали, находим сниженное значение φк при температуре −60℃:
φ−60
= √1 −
к
598
∙ 100% = 39%.
702
Аналогичные вычисления делаем для других сталей.
Для стали № 8:
𝑅𝑀𝐶 =
𝜎в
470
=
= 721;
2
1 − (φк )
1 − (0,59)2
φк = 0,59;
φ−60
= √1 −
к
509,5
∙ 100% = 52%.
721
Для стали № 9:
𝑅𝑀𝐶 =
𝜎в
540
=
= 774,2;
2
1 − (φк )
1 − (0,55)2
φк = 0,55;
φ−60
= √1 −
к
582
∙ 100% = 49%.
774,2
Таблица 8
Механические характеристики сталей при температуре –60 ℃
№
1
8
9
Марка стали
35
12ХГС
09Х18Н10Т
σ−60
т , МПа
328
365
236
σ−60
В , МПа
598
509,5
582
φк−60 , %
39
52
49
δ5 %
18
26
40
После того как новые характеристики материала при низких температурах стали известны, можно производить расчет работоспособности сталей.
Рассчитываем критическую пластическую истинную деформацию по разрушению образцов для различных сталей:
26
100
),
екр = ln (
100 − φ−60
к
где
φ−60
– относительное сужение при разрыве для температуры −60, %.
к
Делаем подстановки:
– для стали № 1
100
) = 0,49;
екр = ln (
100 − 39
– для стали № 8
– для стали № 9
100
) = 0,73;
екр = ln (
100 − 52
100
) = 0,67.
екр = ln (
100 − 49
Для сталей, у которых δ = 13 − 30%, можно рассчитать условную равномерную деформацию, соответствующую временному пределу прочности, так:
σ0,2
ε′в = δ5(10)
.
σв
Истинная логарифмическая деформация предела прочности будет вычисляться как
ев = ln(1 + ε′в ),
а истинные напряжения предела прочности – по формуле:
σив ≈ σв (1 + εв ).
С другой стороны, существует зависимость логарифмической деформации от удлинения образца на момент образования шейки:
ев = ln(1 + δш ),
где δш почти совпадает с δв или почти равно равномерному удлинению образца. После замены и записи относительно δв получаем формулу для расчета равномерного удлинения образца:
δв = exp(ев ) − 1.
Для сталей, у которых δ5(10) = 13 − 30%, можно рассчитать равномерную деформацию, соответствующую временному пределу прочности, по эмпирической формуле:
σ0,2
ε′в = δ5(10)
.
σв
Для стали № 1
ε′в = 0,18 ∙
328
= 0,0987.
598
Для стали № 8
ε′в = 0,26 ∙
365
= 0,1863.
509,5
Для стали № 9
ε′в = 0,40 ∙
236
= 0,1622.
582
27
Для стали 35
σив = 328 ∙ (1 + 0,0987) = 657 МПа.
Для стали 12ХГС
σив = 365 ∙ (1 + 0,1863) = 604,4 МПа.
Для стали 09Х18Н10Т
σив = 236 ∙ (1 + 0,1622) = 676,4 МПа.
Логарифмическая деформация, соответствующая временному пределу прочности:
ев = ln(1 + ε′в ),
где
ε′в = δ5(10) σ0,2 ⁄σв – условная деформация предела прочности.
Для стали № 1
ев = ln(1 + 0,987) = 0,0942.
Для стали № 8
ев = ln(1 + 0,1863) = 0,1708.
Для стали № 9
ев = ln(1 + 0,1622) = 0,1503.
Так как отличие равномерного сужения от равномерной деформации невелико в диапазоне до образования шейки, то равномерное φр должно соответствовать моменту деформации
ε′в . Отсюда равномерное относительное удлинение по равномерному сужению φр будет определяться как
φр
δр = (
) 100%.
1 − φр
Для стали № 1
0,0987
) ∙ 100% = 10,9% = 0,11
δр = δв = (
1 − 0,0987
или по более точной формуле:
δр = δв = exp(ев ) − 1 = 0,0987.
Для стали № 8
δр = (
0,1863
) ∙ 100% = 20,6% = 0,206
1 − 0,1863
или по более точной формуле:
δр ≈ δв = exp(ев ) − 1 = 0,1863.
Для стали № 9
0,1622
) ∙ 100% = 17,68% = 0,1768
δр = (
1 − 0,1622
или по более точной формуле:
δр = δв = exp(ев ) − 1 = 0,1622.
Теперь можно сопоставить значения равномерного удлинения и сделать вывод, что по
более точной формуле значение существенно не отличается от расчета по сильно приближенной формуле для данных сталей.
28
По приближенной формуле можно найти истинные критические напряжения, соответствующие пределу прочности, через известное действительное относительное удлинение до
разрушения образца:
σикр ≈ σв (1 + δ5 ),
где σв – временное сопротивление (предел прочности); δ5 – действительное относительное
удлинение. Выполняем расчеты истинных напряжений, примерно соответствующих пределу
временной прочности, положив равенство δ5 ≈ ε′в для сталей по приближенным формулам.
Для стали 35
σикр = 328 ∙ (1 + 0,18) = 705,64 МПа.
Для стали 12ХГС
σикр = 365 ∙ (1 + 0,26) = 641,97 МПа.
Для стали 09Х18Н10Т
σикр = 236 ∙ (1 + 0,4) = 814,8 МПа.
Расчет истинных напряжений предела текучести можно произвести по формуле:
σи0,2 = σ0,2 ∙ (1 + ε0,2 ).
Для стали 35
σи0,2 = 598 ∙ (1 + 0,002) = 328,66 МПа.
Для стали 12ХГС
σи0,2 = 509,5 ∙ (1 + 0,002) = 365,73 МПа.
Для стали 09Х18Н10Т
σи0,2 = 582 ∙ (1 + 0,002) = 236,47 МПа.
Расчет возрастания истинных напряжений после предела текучести и до разрушения
производится по формуле:
∆σи = σикр − σи0,2 .
Для стали 35
∆σи = |705,64 −328,66| = 376,98 МПа.
Для стали 12ХГС
∆σи = |641,97 −365,73| = 276,24 МПа.
Для стали 09Х18Н10Т
∆σи = |814,8 −236,47| = 578,33 МПа.
Находим долю работы, совершённой за пределом текучести, по отношению к суммарной работе, совершаемой материалом, для каждой стали при установленной вариантом задания температуре:
∆σи
tg(α) = и .
σкр
Для стали 35
376,98
tg(α) =
= 0,53.
705,64
29
Для стали 12ХГС
tg(α) =
276,24
= 0,43.
641,97
tg(α) =
578,33
= 0,71.
814,8
Для стали 09Х18Н10Т
Для сопоставления истинных напряжений sB сделаем расчет их по другой эмпирической формуле:
sB = σв (0,8 + 2,06φкр ).
Для стали 35
sB = 598 ∙ (0,8 + 2,06 ∙ 0,39) = 1410,26 МПа.
Для стали 12ХГС
sB = 509,5 ∙ (0,8 + 2,06 ∙ 0,52) = 1482,97 МПа.
Для стали 09Х18Н10Т
sB = 582 ∙ (0,8 + 2,06 ∙ 0,49) = 1611,82 МПа.
Расчет коэффициента 𝑚 степенного упрочнения:
m = 0,75 ∙ lg [σв ∙
1 + 1,4 ∙ φк
ln(1⁄(1 − φк ))
]⁄lg [105 ∙
].
σ0,2
200 + 0,5 ∙ σ0,2
Для стали 35
1 + 1,4 ∙ 0,39
]
328
m=
= 0,1582.
1
ln (1 − 0,39)
lg [105 ∙
]
(200 + 0,5 ∙ 328)
0,75 ∙ lg [598 ∙
Для стали 12ХГС
m=
1 + 1,4 ∙ 0,52
]
365
= 0,1256.
1
ln (
)
1 − 0,52
lg [105 ∙
]
200 + 0,5 ∙ 365
0,75 ∙ lg [509,5 ∙
Для стали 09Х18Н10Т
m=
1 + 1,4 ∙ 0,49
]
236
= 0,1996.
1
ln (1 − 0,49)
lg [105 ∙
]
200 + 0,5 ∙ 236
0,75 ∙ lg [582 ∙
Предел пропорциональности
σпц = 0,8 ∙ σ0,2 .
Для стали 35
σпц = 0,8 ∙ 328 = 262,4 МПа.
Для стали 12ХГС
σпц = 0,8 ∙ 365 = 292 МПа.
Для стали 09Х18Н10Т
σпц = 0,8 ∙ 236 = 188,8 МПа.
30
Работоспособность сталей
∆=
екр 2 ∙ (sв − σпц )
+ екр ∙ σпц + (sв ∙ (1 − ев ) − σпц ) ×
2 ∙ ев
1 m
ев ∙ екр ∙ екр m ∙ m ∙ (е )
1 m
2 ∙ ев ∙ екр ∙ екр m ∙ (е )
1 m
екр 2 ∙ екр m ∙ m ∙ (е )
в
в
в
×(
+
−
ев ∙ m2 + 3 ∙ ев ∙ m + 2 ∙ ев ев ∙ m2 + 3 ∙ ев ∙ m + 2 ∙ ев ев ∙ m2 + 3 ∙ ев ∙ m + 2 ∙ ев
1 m
екр ∙ екр ∙ (е )
в
).
−
е в ∙ m2 + 3 ∙ е в ∙ m + 2 ∙ е в
2
m
Для стали 35
∆р = 0,49 ∙ 262,4 + (1410,26 ∙ (1 − 0,0942) − 262,4 ) ×
0,1582
1
0,0942 ∙ 0,49 ∙ 0,490,1582 ∙ 0,1582 ∙ (0,0942)
×(
0,0942 ∙ 0,15822 + 3 ∙ 0,0942 ∙ 0,1582 + 2 ∙ 0,0942
+
0,1582
1
2 ∙ 0,0942 ∙ 0,49 ∙ 0,490,1582 ∙ (0,0942)
0,0942 ∙ 0,15822 + 3 ∙ 0,0942 ∙ 0,1582 + 2 ∙ 0,0942
0,1582
1
0,1582
2
0,49 ∙ 0,49
∙ 0,1582 ∙ (0,0942)
−
0,0942 ∙ 0,15822 + 3 ∙ 0,0942 ∙ 0,1582 + 2 ∙ 0,0942
0,1582
1
0,492 ∙ 0,490,1582 ∙ (0,0942)
)
−
0,0942 ∙ 0,15822 + 3 ∙ 0,0942 ∙ 0,1582 + 2 ∙ 0,0942
+
0,492 ∙ (1410,26 − 262,4 )
= 408,94.
2 ∙ 0,0942
Для стали 12ХГС
∆р = 0,73 ∙ 292 + (1482,97 ∙ (1 − 0,2305) − 292 ) ×
0,1256
1
0,1708 ∙ 0,73 ∙ 0,730,1256 ∙ 0,1256 ∙ (0,1708)
×(
0,1708 ∙ 0,12562 + 3 ∙ 0,1708 ∙ 0,1256 + 2 ∙ 0,1708
0,1256
1
)
0,2305
+
2
0,1708 ∙ 0,1256 + 3 ∙ 0,1708 ∙ 0,1256 + 2 ∙ 0,1708
1 0.1256
0.1256
2
0,73 ∙ 0,73
∙ 0.1256 ∙ (0,163)
−
0,1708 ∙ 0.12562 + 3 ∙ 0,1708 ∙ 0.1256 + 2 ∙ 0,1708
1 0.1256
0,732 ∙ 0,730.1256 ∙ (0,163)
)
−
0,1708 ∙ 0.12562 + 3 ∙ 0,1708 ∙ 0.1256 + 2 ∙ 0,1708
2 ∙ 0,2305 ∙ 0,73 ∙ 0,730.1256 ∙ (
+
0,732 ∙ (1482,97 − 292 )
= 704,69.
2 ∙ 0,1708
Для стали 09Х18Н10Т
31
∆р = 0,67 ∙ 188,8 + (1611,82 ∙ (1 − 0,1503) − 188,8 ) ×
0,1996
1
0,1503 ∙ 0,67 ∙ 0,67
∙ 1996 ∙ (
)
0,1503
×(
0,1503 ∙ 0,19962 + 3 ∙ 0,1503 ∙ 0,1996 + 2 ∙ 0,1503
0,1996
0,1996
1
)
0,1503
+
2
0,1503 ∙ 0,1996 + 3 ∙ 0,1503 ∙ 0,1996 + 2 ∙ 0,1503
0,1996
1
0,672 ∙ 0,670,1996 ∙ 0,1996 ∙ (
)
0,1503
−
2
0,1503 ∙ 0,1996 + 3 ∙ 0,1503 ∙ 0,1996 + 2 ∙ 0,1503
0,1996
1
0,1996
2
0,67 ∙ 0,67
∙(
)
0,1503
)
−
0,1503 ∙ 0,19962 + 3 ∙ 0,1503 ∙ 0,1996 + 2 ∙ 0,1503
2 ∙ 0,1503 ∙ 0,67 ∙ 0,670,1996 ∙ (
0,672 ∙ (1611,82 − 188,8 )
+
= 617,61.
2 ∙ 0,1503
Выводы. В ходе работы было рассмотрено влияние низкой температуры −60℃ на механические характеристики сталей 35, 12ХГС, 09Х18Н10Т и на их работоспособность. Анализ
данных показал, что низкие температуры приводят к повышению значений предела выносливости и предела текучести. Однако, несмотря на повышение этих характеристик, способность
к пластической деформации снижается, что заметно уменьшает работоспособность сталей.
Итак, можно сделать вывод, что низкие температуры приводят к повышению прочности сталей, однако негативно сказываются на их пластичности и сопротивляемости распространению
хрупких трещин.
В ходе работы также были рассчитаны такие характеристики, как:
– разрушение по действительной (логарифмической) деформации;
– действительная нагрузка при относительном удлинении;
– степенное упрочнение;
– предел пропорциональности,
а также произведен расчет работы пластической деформации для каждой стали. В ходе
анализа было выявлено, что сталь 12ХГС имеет наибольшую работу пластической деформации, а следовательно, является предпочтительной из списка предложенных сталей.
1.2.4 Контрольные вопросы
1. Как низкие температуры влияют на механические характеристики сталей?
2. Какие изменения происходят с прочностью и пластичностью металлов при снижении
температуры?
3. Как изменяется работоспособность материала при понижении температуры?
4. Какие механические характеристики конструкционных материалов изменяются при
снижении температуры?
5. Как может быть представлена зависимость предела текучести и предела прочности
от температуры?
6. Как рассчитывается предел прочности деталей с концентраторами напряжений?
7. Как определяется эффективный коэффициент концентрации напряжений?
8. Какие формулы используются для расчета истинных напряжений?
9. Как влияет геометрическая форма сварных соединений на их предел прочности?
32
ГЛАВА 2. РАСЧЁТ СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
НА СТАТИЧЕСКУЮ ПРОЧНОСТЬ
2.1 Расчёт катета сварного шва
2.1.1 Основная теория
При проектировании сварной конструкции важен правильный подход к оценке прочности сварных соединений. При этом различают расчетные виды оценки: при статической
нагрузке; при циклической и динамической нагрузках.
Полученное равнопрочное соединение для статической нагрузки ещё не гарантирует
его равнопрочности при циклических нагрузках. Как упоминалось выше, это связано с возникновением локальных пластических деформаций в местах концентрации напряжений и в прерывистых связях под действием циклических нагрузок. Для пластичных материалов, если пренебречь упрочнением материала в местах концентрации напряжений и ввиду того, что области
возмущенных напряжений малы по сравнению с толщиной материала, максимальные напряжения будут оставаться постоянными и равными пределу текучести. Приближенно предел выносливости конструкционных сталей равен 𝜎−1 = 0,5 … 0,7𝜎т , поэтому при циклических
напряжениях во всех случаях разрушение будет наступать локально в виде появления трещин,
берущих своё начало от концентраторов напряжений.
При статической нагрузке, которую воспринимают шов и близлежащий металл, разрушение происходит по самой слабой зоне сварного соединения.
Как указывалось выше, металл сварных соединений в ответственных конструкциях
должен быть равнопрочным основному металлу. Поэтому из условия равнопрочности расчетные усилия соединений находят по простым формулам (рис. 2):
– для растяжения
𝑃 = [𝜎]𝑝 ∙ 𝐹,
– для сжатия
– для изгибающей нагрузки
𝑃 = [𝜎]сж ∙ 𝐹,
𝑀 = [𝜎]𝑝 ∙ 𝑊,
где [𝜎]𝑝 – допускаемые напряжения при растяжении для основного металла; [𝜎]сж – допускаемое напряжение при сжатии; 𝐹 – площадь поперечного сечения сварного соединения; 𝑊 – момент сопротивления сечения; 𝑃, 𝑀 – расчетное усилие и изгибающий момент соответственно.
Действующие в сварных соединениях напряжения распределяются неравномерно:
наблюдается их концентрация. Причины возникновения концентрации напряжений разнообразны: форма шва, остаточные деформации, дефекты сборки и т.д. Тем не менее расчеты прочности сварных швов пластичных металлов при статических нагрузках выполняют по напряжениям, которые вычисляются в предположении среднего равномерного распределения их по
сечению шва.
Расчет прочности лобовых швов (рис. 2) ведется исходя из оценки напряженности
наименьшего сечения плоскости среза, которая совпадает с биссектрисой прямого угла:
𝜏=
𝑃
,
∑𝑛𝑖=1(𝛽 ∙ 𝑘𝑖 ∙ 𝑙𝑖 )
где [𝜏] – допускаемое напряжение среза; 𝛽 ∙ 𝐾 – расчетная высота шва; обычно принимается
равной 0,7𝐾; 𝑛 – количество швов.
33
Фланговые швы также рассчитываются на срез (рис. 2, в) по формуле:
𝑛
𝜏 = 𝑃⁄∑(𝛽 ∙ 𝐾𝑖 ∙ 𝑙𝑖 ),
𝑖=1
𝑛
где ∑𝑖=1(𝛽 ∙ 𝐾𝑖 ∙ 𝑙𝑖 ) – суммарная площадь опасных сечений для всех фланговых швов, участву-
ющих в расчете.
Рис. 2. Виды сварных соединений и швов[3]:
а – стыковое соединение; б – нахлёсточное с лобовыми швами; в – с фланговыми швами;
г – комбинированное (с лобовыми, фланговыми и косыми швами); д, ж – крестовое, угловой шов;
з – нахлёсточное соединение с косым швом; и – торцовое (угол расхождения плоскостей менее 30°)
Комбинированные швы (рис. 2, г) рассчитываются с учетом независимости действия
сил, т.е. допускаемое усилие для комбинированного соединения определяют как сумму допускаемых усилий для лобового и флангового швов:
𝑛ф
𝑛л
𝑃 = [𝜏]′ ∙ (∑ 𝛽 ∙ 𝐾л𝑖 ∙ 𝑙л𝑖 + ∑ 𝛽 ∙ 𝐾ф𝑖 ∙ 𝑙ф𝑖 ),
𝑖=1
𝑖=1
𝑛
л
где 𝑃 – допустимое усилие для комбинированного соединения; ∑𝑖=1
𝛽 ∙ 𝐾л𝑖 ∙ 𝑙л𝑖 – суммарная
𝑛
ф
площадь опасных сечений всех лобовых швов; ∑𝑖=1
𝛽 ∙ 𝐾ф𝑖 ∙ 𝑙ф𝑖 – то же всех фланговых швов.
Если катеты всех швов одинаковы, то усилие равно:
34
𝑃 = [𝜏]′ ∙ 𝛽 ∙ 𝐾 ∙ 𝐿,
где
𝐿 – суммарная длина всех швов.
Тавровые соединения в зависимости от вида швов при действии растягивающих усилий
(рис. 2, д, ж) могут рассчитываться либо на срез (рис. 2, д), либо на разрыв (рис. 2, ж).
Расчет на срез по касательным напряжениям выполняется по формуле:
𝜏=
𝑃
≤ [𝜏]′ .
2∙𝛽∙𝐾∙𝑙
Величина нормальных напряжений равна:
𝑃
≤ [𝜎′]𝑝 .
𝑆∙𝑙
Для сварных соединений, работающих на растяжение и изгиб, расчет прочности осуществляется следующим образом:
𝜎=
𝜏=
𝑀 𝑃
+ ≤ [𝜏],
𝑊𝑐 𝐹𝑐
где 𝜏 – расчетные касательные напряжения в угловых швах, обваренных по периметру детали,
𝑀 – изгибающий момент, действующий на деталь; 𝑊𝑐 – момент сопротивления угловых швов,
определенный относительно меньшего сечения. Сварное соединение с угловыми швами воспринимает только изгибный момент, создаваемый силой 𝑄. Момент сопротивления 𝑊𝑐 угловых швов можно вычислить по известной формуле при условии, что вероятное разрушение
металла происходит по биссектрисной линии сечения шва [10, 11]:
𝜔
𝑊𝑐 = ℎ ∙ (𝛽 ∙ 𝐾 ∙ 𝐵 + ),
6
где 𝛽 ∙ 𝐾 – расчётная высота шва; 𝜔 – площадь обоих вертикальных швов, 𝜔 = 2(𝛽 ∙ 𝐾 ∙ ℎ).
2.1.2 Задание по вариантам
Рассчитайте катет шва двустороннего таврового соединения (рис. 3) из условия равнопрочности, выбрав стали для своего варианта из табл. 9. Считать, что разрушение происходит
срезом по сварному шву, а длина полки и стенки одинаковые и равны длине шва. Площади
сечения швов считать равными.
Рис. 3. Схематичное изображение шва и нагрузки
35
Таблица 9
Варианты заданий
Марка стали
Полка
Стенка
09Г2
15Г2АФДпс
14Г2
10Г2С1
12ГС
14Г2АФ
16ГС
17ГС
09Г2С
10Г2БД
15Г2СФД
18Г2Афпс
16Г2АФ
14ХГС
10ХСНД
10ХНДП
15ХСНД
15Г2АФДпс
18Г2Афпс
14ХГС
18ХГТ
35XMЛ
35Х3Н5
09Г2Т
10Г2С
14Х2ГМР
35XMЛ
Ст10пс
09Г2ДТ
16ГНМ
45ХН
Ст10пс
14Х2ГМР
45ХН
35Х3Н5
10Г2С
09Г2Т
18ХГТ
16ГНМ
09Г2ДТ
Вариант
𝑆1
𝑆2
1
2
4
3
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
6
7
8
9
12
20
10
9
12
14
20
14
10
9
20
10
9
12
8
9
20
14
10
9
16
12
14
10
20
16
10
9
12
14
9
12
14
20
6
7
2.1.3 Пример расчета. Расчёт катета сварного шва
Задание: рассчитайте катет шва двустороннего таврового соединения из условия равнопрочности, выбрав стали для своего варианта из табл. 9. Считать, что разрушение происходит срезом по сварному шву, а длина полки и стенки одинаковые. Механические характеристики найти по марочнику сталей и сплавов. Площади сечения швов считать равными. Принять пределы текучести швов, равных пределу текучести той детали, для которой мы вычисляем равнопрочность катета.
Пусть даны варианты стали:
– 12ГС, толщина 8 мм;
– 17ГС, толщина 10 мм.
Находим по марочнику механические характеристики сталей:
– 12ГС, предел текучести 𝜎т = 470 МПа.
– 17ГС, предел текучести 𝜎т = 330 МПа.
Высота каждого шва двустороннего таврового соединения составляет 0,7𝐾 (см. рис. 3).
Вычисляем допустимое напряжение среза 𝜏:
𝜏=
Р
,
2∙𝛽∙𝐾∙𝐿
где β ∙ K = 0,7𝐾 – высота нормального валикового шва при ручной дуговой сварке; 𝐿 – суммарная длина шва. Поскольку соединение двойное, то 𝐿 = 2𝐿∗ , где 𝐿∗ – ширина пластины,
равная в нашем случае длине одного шва.
Допускаемое расчетное усилие на соединение из условия равнопрочности:
𝑃 = [𝜎𝑃 ] ∙ 𝐹,
36
𝐹 – площадь поперечного сечения сварного соединения; [𝜎𝑃 ] – допустимое напряжение при
растяжении. [𝜎𝑃 ] = 0,6𝜎т . Получим расчетную формулу для катета шва:
𝜏=
0,6𝜎т ∙ 𝐹
;
2∙𝛽∙𝐾∙𝐿
0,6𝜎т ∙ 𝐹
;
2 ∙ 0,7 ∙ 𝐾 ∙ 𝐿
0,6𝜎т ∙ 𝐹
𝐾=
,
𝜏 ∙ 2 ∙ 0,7 ∙ 𝐿
𝜏=
где 𝜏 = 0,65 … 0,7𝜎т , возьмем большее значение, тогда
0,6 ∙ 𝜎т ∙ 𝐹
𝐾=
.
0,7𝜎т ∙ 2 ∙ 0,7 ∙ 𝐿
Следовательно:
– для стали 12ГС
𝐾=
0,6 ∙ 470 ∙ 8 ∙ 2𝐿
= 9,79 мм;
0,7 ∙ 470 ∙ 2 ∙ 0,7 ∙ 𝐿
𝐾=
0,6 ∙ 330 ∙ 10 ∙ 2𝐿
= 12,24 мм.
0,7 ∙ 330 ∙ 2 ∙ 0,7 ∙ 𝐿
– для стали 17ГС
Вывод. В ходе работы были рассмотрены стали 12ГС и 17ГС, рассчитаны для них такие
характеристики как:
– допустимое напряжение среза;
– допускаемое расчетное усилие на соединение;
– катеты швов двустороннего таврового соединения;
2.1.4 Контрольные вопросы
1. Почему важно учитывать расчетные виды оценки прочности сварных соединений
при проектировании?
2. Какие виды нагрузок учитываются при расчете прочности сварных соединений?
3. Как рассчитывается равнопрочное соединение для статической нагрузки?
4. Почему равнопрочное соединение для статической нагрузки не гарантирует равнопрочности при циклических нагрузках?
5. Какие формулы используются для расчета расчетных усилий соединений при растяжении, сжатии и изгибе?
6. Как распределяются напряжения в сварных соединениях при статических нагрузках?
7. Какие причины могут вызвать концентрацию напряжений в сварных соединениях?
8. Как рассчитывается прочность лобовых швов?
9. Как рассчитывается прочность фланговых швов?
10. Как определяется допустимое усилие для комбинированного соединения?
2.2 Расчёт катета сварного шва при сложной нагрузке
2.2.1 Основная теория
Условие прочности соединения тавра, выполненного стыковым швом при действии
растягивающей силы 𝑃 и момента, запишется следующим образом [10]:
37
𝜎=
при выполнении угловым швом:
𝑀 𝑃
+ ≤ [𝜎]′𝑝 ,
𝑊𝑐 𝐹𝑐
𝑀
𝑃
+ ≤ [𝜏]′𝑐𝑝 ,
2 ∙ 𝑊𝑐 𝐹𝑐
𝑊𝑐 – момент сопротивления угловых швов, определенный относительно меньшего се𝜏=
где
чения.
Условие прочности соединения тавра, нагруженного крутящим вокруг оси трубы и изгибающими моментами 𝑀кр и 𝑀и соответственно (рис. 4):
2 + 𝜏 2 ≤ [𝜏]′ ,
𝜏 = √𝜏кр
и
𝑐𝑝
где
2 ∙ 𝑀кр
;
0,7 ∙ 𝑘 ∙ 𝜋 ∙ (𝑑 + 0,7𝐾)2
4 ∙ 𝑀кр
𝑀и
𝜏и =
≈
.
𝑊𝑐 0,7 ∙ 𝐾 ∙ 𝜋 ∙ (𝑑 + 0,7𝐾)2
𝜏кр =
Рис. 4. Схема к расчету таврового соединения без разделки кромок
Выбор допускаемых напряжений. Допускаемые напряжения для сварных швов из
мало- и среднеуглеродистых сталей, а также из низколегированных сталей при статической
нагрузке в зависимости от вида сварки следует выбирать по табл. 10.
Допускаемое напряжение основного металла в металлических конструкциях выбирают
с коэффициентом безопасности по отношению к пределу текучести: для низкоуглеродистых
сталей при расчете по основным нагрузкам 𝑛 = 1,35 … 1,6, а по основным и дополнительным
нагрузкам 𝑛 = 1,2 … 1,3; для низколегированных сталей, соответственно, 1,5…1,7 и 1,3…1,4.
Нижние значения относятся к строительным и крановым конструкциям при легких режимах
работы, верхние – к крановым конструкциям при тяжелых режимах.
Таблица 10
Допускаемые напряжения в швах сварных соединений
Вид сварки
Автоматическая под флюсом и ручная
электродами (марок) Э42А и Э50А.
Контактная стыковая
Ручная дуговая электродами (марок) Э42
и Э50. Газовая сварка
Контактная точечная сварка
Допускаемые напряжения на:
срез [𝜏]’ср
растяжение [𝜎]′𝑝
сжатие [𝜎]′сж
[𝜎]𝑝
[𝜎]𝑝
0,65[𝜎]𝑝
0,9[𝜎]𝑝
[𝜎]𝑝
0,6[𝜎]𝑝
–
–
0,6[𝜎]𝑝
38
Задание. Требуется рассчитать катет сварного шва для приварки фланца 2 к полуоси 1
автомобиля «Урал» исходя из заданной нагрузки в виде крутящего момента на полуоси. Фланец воспринимает статическую нагрузку в виде крутящего момента с максимальным значением 𝑀 = 27000 Н ∙ м (рис. 5). Материалы: оси (поз. 1) – сталь 30ХГСА, фланец (поз. 2) –
сталь 35Л. Полуось закалена на глубину 5 мм. Варианты выбираются согласно табл. 9 предыдущей главы.
Рис. 5. К расчету катета шва
Необходимо получить расчетные зависимости для вычисления катета шва в символьном виде, приняв допущение, что разрушение ввиду закаленной поверхности полуоси будет
происходить срезом по наименьшей поверхности углового шва.
Решение. Решение задачи в общем случае следует рассматривать в виде итерационного
алгоритма. Прочность будет определяться самой слабой зоной сварного соединения – сечением шва; но прочностные характеристики шва пока не известны, так как не известна требуемая погонная энергия и параметры режима сварки. Поэтому расчетный анализ необходимо
проводить в последовательности:
– сначала нужно задаться начальными (предполагаемыми) механическими характеристиками шва и найти катет в первом приближении;
– рассчитать параметры режима сварки и форму шва, выбрать сварочное оборудование и
сварочные материалы для обеспечения прочности при выбранном катете первого приближения;
– рассчитать химический состав металла шва и получаемые механические характеристики шва;
– получить равенство между заданными (предполагаемыми) механическими характеристиками шва и расчетными корректировкой режима сварки и/или расчетного катета.
При этом предел прочности и предел текучести сварного шва (для обеспечения разрушения по сварному шву) должны быть ниже, чем в закаленной части (поверхности) полуоси.
2.2.2 Получение расчетных зависимостей для вычисления катета шва
Найдем расчетное усилие, действующее в сечении разрушения шва срезом. При этом
сделаем допущение (за малостью катета по сравнению с радиусом полуоси 𝑅), что усилие 𝐹
39
в сечении такое же, как на поверхности полуоси, то есть на расстоянии 𝑅 = 125⁄2 мм. Отсюда
усилие
𝑀
𝐹= .
𝑅
Так как в соединении фланца участвуют два шва с одинаковыми катетами, то сила, приходящаяся на один шов, в два раза меньше: 𝐹 ′ = 𝐹 ⁄2 = 𝑀⁄(2𝑅). Если не ввести указанное
допущение, то сила на один шов в опасном сечении в центре шва будет зависеть от размера
катета, то есть 𝐹 ′ = 𝑀 ⁄(𝑅 + 0,74 𝐾)⁄2.
Составим уравнение равновесия для одного шва:
– c учетом допущения
𝐹 ′ = (2𝜋(𝑅 + 0,74 𝐾) ∙ 0,7𝐾)[𝜏ш ],
– без учета допущения
𝑀 = 4𝜋 ∙ 0,7𝐾(𝑅 + 0,74 𝐾)2 ∙ [𝜏ш ],
где [𝜏ш ] – допускаемое напряжение среза для металла шва; 𝑘 – катет шва. Решение последнего
уравнения настолько громоздко, что здесь привести его затруднительно. С учетом допущения
решение имеет вид[11]:
𝐾 ≥ √16793 ∙
√𝑅[𝜏ш ](5760𝑀 + 16793𝜋𝑅 3 [𝜏ш ])
8064𝑅[𝜏ш ]√𝜋
−
2399𝑅
.
1152
При [𝜏ш ] = 200 Н⁄мм2 и 𝑀 = 27 МН ∙ мм получаем 𝐾 = 3,87 мм . Это только на
1,44 % больше точного значения, полученного при решении уравнения без допущения. Таким
образом, принятое допущение для этого случая оправдано.
Для свариваемых толщин деталей такая величина катета вполне удовлетворяет, например, можно принять 𝐾 = 5 мм. Если в результате расчетов механических характеристик шва
сопротивление его на срез получится выше, чем 200 Н⁄мм2 , то следует пересчитать величину
катета. Однако в этом случае он не должен быть ниже регламентируемой величины, а также
по причине возможной смены механизма разрушения со среза на скол. Чем ближе механические характеристики шва к таковым основного закаленного металла, тем выше вероятность
образования разрушения сколом, а не срезом. В нашем случае шов как слабое звено будет
разрушен первым, а ось останется целой и, возможно, будет ремонтопригодной.
2.2.3 Пример расчета. Расчет катета сварного шва
из условия равнопрочности
Задание. Требуется рассчитать катет сварного шва для приварки фланца 2 к полуоси 1
автомобиля «Урал» исходя из условий равнопрочности самого слабого звена. Принять, что
фланец воспринимает статическую нагрузку в виде крутящего момента 𝑀 (рис. 6). Стали взять
согласно своему варианту и положить, что механические характеристики получаемого шва
будут составлять среднее между механическими характеристиками стали полуоси и стали
фланца. Коэффициент запаса 𝑘з принят 1,2.
Находим характеристики материалов [6]:
– сталь 10ХСНД, предел текучести σт1 = 390 МПа;
– сталь 10ХСДП, предел текучести σт2 = 370 МПа.
Предположим, что вал выполнен из стали 10ХСНД, а фланец – из стали 10ХСДП, как
показано на рис. 6.
40
Рис. 6. К расчету катета шва из условий равнопрочности слабого звена
Рассчитываем касательные допускаемые напряжения для шва. По условию задачи они
являются средними между значениями сталей вала и фланца. Тогда для свариваемых сталей
значения предела текучести для шва равны:
σт1 + σт2
;
2
390 + 370
σт.ш =
= 380 МПа.
2
Касательные напряжения шва по условию задачи равны:
σт.ш =
[τш ] =
[τш ] =
σт.ш
σт.ш
=
;
k з ∙ 2 1,2 ∙ 2
σт.ш
σт.ш
=
= 158,3 МПа = 158,3 Н⁄мм2 ,
k з ∙ 2 1,2 ∙ 2
где
𝑘з – коэффициент запаса прочности для шва.
Найдем допускаемое напряжение среза при кручении вала. Поскольку в данном соединении вал – наиболее слабое звено, то допускаемое напряжение среза при кручении рассчитывается для вала, выполненного из стали 10ХСНД:
σт1
τдоп =
;
2 ∙ 1,2
390
τдоп =
= 162,5 МПа.
2 ∙ 1,2
Допускаемый момент среза при кручении вала
Мдоп = τдоп ∙ 𝑆в (𝑅 − 10),
где (𝑅 − 10) – плечо момента, созданного силой, действующей на середине стенки
трубчатого вала, 𝑅 = 𝐷⁄2 = 62,5 ∙ 10−3 м; 𝑆в – площадь поперечного сечения вала, 𝑆в = 𝜋 ∙
41
𝑅 2 − 𝜋 ∙ (𝑅 − 𝑡)2 = 6597,3 ∙ 10−6 м2 , где 𝑡 – толщина стенки, равная 20 мм по эскизу
(см. рис. 3); 𝑅, 𝐷 – радиус и диаметр вала соответственно по наружной стенке; значение «10» –
это ½ толщины стенки трубчатого вала, к которому крепится фланец.
Подставляя значения в последнее, получаем:
Мдоп = 162,5 ∙ 6597,3 ∙ 10−6 ∙ (62,5 − 10) ∙ 10−3 = 0,056281 МН ∙ м,
тогда
√𝑅 ∙ [τш ] ∙ (5760 ∙ 𝑀доп + 16793 ∙ 𝜋 ∙ 𝑅 3 ∙ [τш ])
𝐾 ≥ √16793 ∙
8064 ∙ 𝑅 ∙ [τш ]√𝜋
−
2399𝑅
.
1152
Делаем подстановку значений и получаем, что
𝐾 ≥ √16793 ×
√62,5 ∙ 10−3 ∙ 158,3 ∙ (5760 ∙ 0,056281 + 16793 ∙ 3,14 ∙ (62,5 ∙ 10−3 )3 ∙ 158,3)
×
8064 ∙ (62,5 ∙ 10−3 ) ∙ 158,3 ∙ √3,14
2399 ∙ 62,5 ∙ 10−3
−
= 9,8 10−3 м = 9,8 мм.
1152
Вывод. Таким образом, рассчитали катет сварного шва, который должен составлять
𝐾 ≥ 10 мм для приварки фланца 2 к полуоси 1 автомобиля «Урал» исходя из условий равнопрочности вала на срез. Из соображений запаса прочности примем 𝐾 = 10 мм.
2.2.4 Контрольные вопросы
1. Какие условия прочности соединения тавра, выполненного стыковым швом, необходимо учитывать при действии растягивающей силы и момента?
2. Как записывается условие прочности соединения тавра, нагруженного крутящим и
изгибающим моментами?
3. Какие допускаемые напряжения используются для сварных швов из мало- и среднеуглеродистых сталей?
4. Как выбираются допускаемые напряжения для основного металла в металлических
конструкциях?
5. Какие коэффициенты безопасности используются для низкоуглеродистых и низколегированных сталей?
6. Как рассчитывается катет сварного шва для приварки фланца к полуоси автомобиля
«Урал»?
7. Какие параметры необходимо задать для расчета катета сварного шва?
8. Как определяется расчетное усилие, действующее в сечении разрушения шва срезом?
9. Как влияет закаленная поверхность полуоси на прочность сварного соединения?
10. Какие механические характеристики шва необходимо учитывать при расчете катета
сварного шва?
42
ГЛАВА 3. ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО ПРОЕКТИРОВАНИЯ
И ПРЕДЕЛЬНОЙ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ СВАРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
3.1 Оценка эффективности формы прокатных профилей
для сварных конструкций
3.1.1 Основная теория
Балками называются элементы конструкций, работающие в основном на поперечный
изгиб, хотя в отдельных случаях они могут находиться в условиях косого изгиба и скручивания. Балки – наиболее распространенные элементы конструкций. Они входят в состав корпуса
кораблей, мостов, вагонов, плотин, самолетов, кранов, станков, каркасов зданий и многих других сооружений. Во всех случаях балки, приняв нагрузку от других элементов конструкции,
передают её на опоры (то есть на те элементы, которые в свою очередь поддерживают балки).
Физический предел текучести – это механическая характеристика материала, характеризующая напряжение, при котором деформации продолжают расти без увеличения нагрузки –
σт (Па). Технический предел текучести – напряжение, после снятия которого остается остаточная деформация образца, равная 0,2 %. Предел временной прочности – условное механическое напряжение, выше которого происходит разрушение металла, это напряжение, соответствующее максимальной нагрузке по условной диаграмме деформирования, которую выдерживает образец до разрушения – σв (Па).
Критическое удлинение до разрушения – удлинение, при котором имеет место максимальное удлинение при разрыве 𝛿к .
Коэффициент упрочнения материала – на диаграмме деформирования коэффициент
упрочнения характеризует изменение прочности материала в процессе пластического деформирования. Он определяется как отношение текущей прочности материала (например, предела
текучести 𝜎т или временного сопротивления разрыву 𝜎в ) к его начальной прочности.
На диаграмме 𝜎 − 𝜀 коэффициент упрочнения можно определить как отношение
напряжения в точке упрочнения к напряжению в точке начала пластического деформирования. Он зависит от температуры, степени и скорости деформации – (𝑘𝑡 ).
Мера эффективности формы поперечного сечения профиля – отношение момента сопротивления сечения 𝑊 к его площади 𝐹:
𝑊
.
𝐹
При одинаковой высоте сечения или максимальном его линейном размере (рис. 7) эта
характеристика имеет значения:
– для круглого сечения 𝜌 = 0,125ℎ;
– для прямоугольного сечения 𝜌 = 0,17ℎ;
– для трубчатого сечения 𝜌 = 0,25ℎ;
– для прокатного двутавра 𝜌 = (0,334 − 0,42)ℎ.
Таким образом, для условий работы балок в вертикальной плоскости двутавровое сечение является наиболее эффективным.
Для прокатных двутавровых балок, изгибающихся в горизонтальной плоскости, это отношение имеет значение:
𝜌𝑦 = (0,09 … 0,12)𝑏,
𝜌=
где 𝑏 – ширина симметричного двутавра. Такое относительно малое значение 𝜌𝑦 свидетельствует, что при работе на косой изгиб двутавровое сечение не является удачным.
43
а)
б)
в)
е)
г)
д)
ж)
Рис. 7. Различные формы поперечных сечений[3]:
а) симметричный двутавр; б) труба; в) сплошной прямоугольный брус; г) круглый стержень;
д) коробчатое сечение балки; е) несимметричный полособульб; ж) неравнобокий уголок
3.1.2 Задание
Вычислить расчетные значения мер эффективности форм поперечного сечения балок,
схемы которых указаны на рис. 7. Согласно своему варианту (табл. 11), используя справочную
информацию из источников списка литературы [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18], определить, находятся ли полученные значения в диапазоне или близки к экспериментальным значениям.
Таблица 11
Варианты к заданию
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Профиль
(см. рис. 7)
а, б, в
в, д, ж
а, в, г
в, д, е
а, в, д
в, г, ж
б, д, ж
б, в, е
б, д, е
б, в, ж
№ профиля
Вариант
20; 10; 10
11; 40; 10
12; 12; 10
13; 50; 10
14; 14; 60
15; 11; 11
14; 80; 14
20; 21; 16а
16; 90; 16б
19; 22; 16
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Профиль
(см. рис. 7)
в, г, е
а, в, е
в, г, д
а, в, ж
б, е, г
б, в, г
б, г, ж
б, г, д
б, г, е
б, в, д
№ профиля
16; 12; 12
16; 17; 14а
18; 13; 70
18; 19; 20
12; 14б; 14
13; 20; 15
22; 16; 18
24; 17; 100
25; 18; 18а
26; 23; 120
3.1.3 Пример расчета. Оценка эффективности формы прокатных профилей
для сварных конструкций
Мера эффективности формы поперечного сечения для двутаврового сечения с номером
10 по ГОСТ 8239-72 при справочных значениях:
𝐹 = 12,0 см2 ; 𝑊𝑥 = 39,7 см3 ; ℎ = 100 мм,
имеем:
44
𝑊 39,7
=
= 33,08 мм;
𝐹
12
ρ 33,08
𝑘рас = =
= 0,3308;
ℎ
100
ρ=
𝑘экс = 0,334 ÷ 0,42.
Результаты вычислений сводим воедино (табл. 12).
Таблица 12
Механические свойства
№
10
12
14
33
36
h, см
10
12
14
33
36
Wx см3
39,7
58,4
81,7
597,0
743,0
F, см2
12,0
14,7
17,4
53,8
61,9
ρ, см
3,3083
3,9727
4,6954
1,809
2,063
k
0,3308
0,331
0,33539
0,0548
0,0573
k сред
0,2218
Мера эффективности формы поперечного сечения балки. Круглое сечение по ГОСТ
2590-88. В данном случае для нашего круглого сечения ℎ = 𝐷. Для него 𝐹 = 314,2 мм2 ; 𝑊𝑥 =
785,4 мм3 ; 𝐷 = 20 мм, тогда имеем:
ρ=
𝑊 785,4
=
= 2,5 мм;
𝐹
314,2
ρ 2,5
=
= 0,125;
ℎ
2
𝑘экс = 0,125.
𝑘рас =
Результаты вычислений сводим воедино (табл. 13).
Таблица 13
Механические свойства
№
1
2
3
4
5
h, мм
20
30
40
50
60
Wx см3
0,7854
2,6507
6,2832
12,2718
21,2058
F, см2
3,142
7,069
12,566
19,635
28,274
ρ, см
0,25
0,375
0,5
0,625
0,75
k
0,125
0,125
0,125
0,125
0,125
k сред
0,125
Мера эффективности формы поперечного сечения балки, трубчатое сечение по ГОСТ
10704-91, В данном случае для нашего круглого сечения ℎ = 𝐷, имеем: 𝐹 = 17,09 см2 =
1709 мм2 ; 𝑊𝑥 = 56500 мм3 ; 𝐷 = 140 мм; 𝑑 = 136 мм, получаем:
ρ=
𝑊 56500
=
= 33,06 мм;
𝐹
1709
𝑘рас =
ρ 33,06
=
= 0,236;
ℎ
140
𝑘экс = 0,25.
Результаты вычислений сводим воедино (табл. 14).
45
Таблица 14
Механические свойства
№
1
2
3
4
5
h, мм
10,8
14
15,2
16,8
18
Wx см3
32,77
56,50
67,05
82,53
95,2
F, см2
13,07
17,09
18,6
20,61
22,12
ρ, см
2,510
3,306
3,605
4,01
4,303
k
0,232
0,236
0,237
0,239
0,239
k сред
0,237
Выводы. В ходе работы были вычислены расчетные значения мер эффективности
форм поперечного сечения балок. Полученные значения находятся в диапазоне или близки
экспериментальным значениям.
3.1.4 Контрольные вопросы
1. Какие элементы конструкций называются балками и где они применяются?
2. Какие механические характеристики материала важны для расчета балок на прочность?
3. Как определяется момент сопротивления сечения балки?
4. Как рассчитывается изгибающий момент, действующий на балку?
5. Как определяются нормальные напряжения в сечении балки?
6. Как проверяется балка на срез?
7. Как проверяется балка на смятие?
8. Как проверяется балка на нормальные напряжения?
9. Как проверяется балка на касательные напряжения?
10. Какие теории прочности используются для оценки прочности балки при сложной
нагрузке?
11. Что такое мера эффективности поперечного сечения и от чего она зависит?
3.2 Проектирование сварного составного профиля металлоконструкции
в заданной постановке
Мера эффективности прокатных и составных сварных профилей, работающих на изгибающую нагрузку, как уже известно, определяется геометрическими размерами поперечного
сечения. Продемонстрируем проектирование оптимального сечения профиля для заданного
набора исходных данных на нескольких примерах.
3.2.1 Пример 1. Расчет геометрических размеров составного профиля балки
для симметричной оси работы
Рассмотрим оптимизацию сечения коробчатого профиля, вписанного в прямоугольник
со сторонами 200 мм и 200 мм (рис. 8). Обозначим:
– высота профиля: ℎ = 200 мм;
– ширина профиля: 𝑏 = 200 мм.
Минимальная толщина стенок профиля для обеспечения коррозийной устойчивости
обычно для крупногабаритных конструкций устанавливается пределом 𝑡1,2 = 5 мм.
Вертикальные стенки равны, обозначаются как «𝑡2 », горизонтальные стенки равны и
обозначаются «𝑡1 ». Ограничения по толщине стенок связаны с предельными размерами сечения таким образом:
46
5 мм ≤ 𝑡1 ≤ 100 мм;
5 мм ≤ 𝑡2 ≤ 50 мм.
Рис. 8. Эскиз коробчатого профиля
Дальнейшие расчеты толщины сечения будут производиться для указанных интервалов.
Рассмотрим пример исследования формы эффективности поперечного сечения.
Оптимизация сечения профиля выполняется для уменьшения веса материала профиля
при сохранении оптимальных механических свойств. Для оптимизации заданного профиля
необходимо, чтобы функция эффективности сечения принимала максимальное значение:
𝜌сеч =
𝑊𝑥
→ 𝑚𝑎𝑥.
𝐴сеч
Найдём формулу для вычисления эффективности коробчатого сечения 𝜌сеч для
𝑡1 = 𝑡2 = 𝑡 и для 𝑡1 ≠ 𝑡2 :
2004 1600000000
=
;
12
12
(200 − 2 ∗ t 2 )3 ∗ (200 − 2 ∗ t1 )
𝐽𝐴1 =
;
12
1600000000 − (200 − 2 ∗ t 2 )3 ∗ (200 − 2 ∗ t1 )
𝑊𝑥 =
.
12 ∗ ℎ⁄2
𝐽𝐴 =
Рис. 9. Схема расчета момента сопротивления и площади
Для вычисления момента сопротивления коробчатого профиля также справедливы формулы:
47
𝑏ℎ2
𝑊𝐴 =
;
6
(𝑏 − 2𝑡1 )(ℎ − 2𝑡2 )2
𝑊𝐴1 =
;
6
𝑊𝑥 = 𝑊𝐴 − 𝑊𝐴1 ;
𝐴сеч = 𝑏ℎ − (𝑏 − 2𝑡1 )(ℎ − 2𝑡2 ) .
Мера эффективности профиля сечения
𝑊𝑥
.
𝐴сеч
𝜌сеч =
Получим формулу через моменты инерции для момента сопротивления сечения:
1) для случая 𝑡1 ≠ 𝑡2
1600000000 − (200 − 2 ∗ t 2 )3 ∗ (200 − 2 ∗ t1 )
=
12 ∗ 100 ∗ (40000 − (200 − 2 ∗ t 2 ) ∗ (200 − 2 ∗ t1 ))
100000000 − (100 − t 2 )3 ∗ (100 − t1 )
=
.
300 ∗ (10000 − (100 − t 2 ) ∗ (100 − t1 ))
𝜌сеч. =
2) для 𝑡1 = 𝑡2 = 𝑡
100000000 − (100 − 𝑡)3 ∗ (100 − t)
100000000 − (100 − 𝑡)4
𝜌сеч. =
=
.
300 ∗ (10000 − (100 − t) ∗ (100 − t)) 300 ∗ (10000 − (100 − 𝑡)2 )
Рассчитаем толщину стенок профиля для двух случаев: толщина полки и стенки равны
(𝑡1 = 𝑡2 ), толщина полки и стенки различны (𝑡1 ≠ 𝑡2 ).
Рассмотрим первый случай – толщина равна (𝑡1 = 𝑡2 = t).
Произведем расчет в GNU Octave1 для получения графика зависимости 𝜌сеч = 𝑓(𝑡).
%% Скрипт для расчета эффективности сечения при равной толщине стенок
t = [5:1:100];
p = (100000000–(100–t).^4)./(300.*(10000–(100–t).^2));
plot (t,p);
xlabel (‘t, (t=t1=t2), mm’);
ylabel ('𝜌, mm');
Рис. 10. График зависимости меры эффективности ρ профиля составного сечения,
образованного одной толщиной листа t = t1 = t 2
1
Можно использовать on-line версию интерпретатора с языка Octave после регистрации: https://octave-online.net/
48
В результате расчета получаем график, который явно показывает, что максимальная
эффективность сечения достигается при минимальной толщине стенки: t1 = t2 = 5 мм (рис. 10).
Найдём площадь 𝐴𝑡1;𝑡2 при 𝑡1 = 𝑡2 = 5 мм.
𝐴5;5 = 2002 − 1902 = 3900 мм.
Толщина стенки различна (𝒕𝟏 ≠ 𝒕𝟐 ).
Произведем расчет в Octave для получения графика зависимости 𝜌сеч = 𝑓(𝑡1 , 𝑡2 ).
%% Расчет эффективности сечения при различной толщине стенок
[t2, t1] = meshgrid(5:1:100, 5:1:100);
p = (100000000–((100–t2).^3).*(100–t1))./(300.*(10000–(100–t2).*(100–t1)));
surf(t1, t2, p);
Рис. 11. Пространственный график зависимости для t1 ≠ t 2
В результате расчета получаем пространственный график максимальной эффективности сечения, на котором соответствует точка 𝜌𝑚𝑎𝑥 (𝑡1 , 𝑡2 , 𝜌) = (15; 5; 70,14). Таким образом:
𝑡1 = 15 мм, 𝑡2 = 5 мм.
Найдём площадь 𝐴𝑡1;𝑡2 при 𝑡1 = 15 мм, 𝑡2 = 5 мм.
𝐴15;5 = 2002 − 190 ∙ 170 = 7700 мм.
По результатам расчетов максимальной эффективности сечения были получены два
графика, один – для случая, когда толщина стенки равна толщине полки, другой – для случая
различных толщин.
При заданном условии 𝑡1 = 𝑡2 оптимальная толщина стенок 5 мм. При этом эффективность сечения составляет 𝜌 = 63,42 мм.
Площадь сечения А = 3900 мм.
При условии 𝑡1 ≠ 𝑡2 оптимальная толщина вертикальной стенки 𝑡2 = 5 мм, а горизонтальной 𝑡1 = 15 мм.
При этом эффективность сечения составит 𝜌 = 72,14 мм, что будет на 13,75% выше,
чем в первом случае.
Однако площадь сечения увеличится до 𝐴 = 7700 мм, то есть на 111 %. Таким образом, вес профиля увеличится на 97,44 %. Иначе говоря, с точки зрения веса профиля более
рациональным будет изготовление профиля с равной толщиной стенок 𝑡1 = 𝑡2 = 5 мм, если
значение 𝜌 не является критичным для данного случая.
49
3.2.2 Пример 2. Расчет геометрических размеров составного профиля балки
для несимметричной оси работы
Рассмотрим нестандартный случай работы коробчатого сечения балки.
Разберем на примере задачи нахождения оптимальной меры эффективности сечения
профиля, работающего под углом. Пусть есть исходные данные для коробчатого профиля, которое работает на кручение по оси Х-Х (рис. 12):
– высота профиля: ℎ = 90 мм;
– ширина профиля: 𝑏 = 80 мм;
– коробчатое сечение профиля;
– ось работы сечения – ось X-X;
– угол относительно оси работы профиля 𝛼 = 60°.
Рис. 12. Эскиз коробчатого профиля работающего на изгиб под углом
Минимальная толщина стенок коробчатого сечения должна быть принята не менее
𝑠1,2 = 5 мм.
Ограничения по толщине стенок связаны с предельными размерами сечения, следова𝑏
ℎ
тельно, максимальный 𝑠1 должен быть не более 9, а 𝑠2 не превышал 6:
5 мм ≤ 𝑠1 ≤ 10 мм;
5 мм ≤ 𝑠2 ≤ 15 мм.
Дальнейшие расчёты толщины сечения будут производиться для указанных интервалов.
Для оптимизации заданного профиля необходимо, чтобы функция эффективности сечения принимала максимальное значение:
𝑊
𝜌сеч = 𝐴 𝑥 − 𝑚𝑎𝑥.
сеч
Для коробчатого сечения профиля с осью работы, проходящий через угол:
𝑏ℎ ℎ2 cos 2 𝛼 + 𝑏 2 sin2 𝛼
𝑊1 =
∗
;
6 ℎ ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + 𝑏 ∗ 𝑠𝑖𝑛𝛼
(𝑏 − 2𝑠2 ) ∗ (ℎ − 2𝑠1 ) (ℎ − 2𝑠1 )2 cos 2 𝛼 + (𝑏 − 2𝑠2 )2 sin2 𝛼
𝑊2 =
∗
;
6
(ℎ − 2𝑠1 ) ∗ 𝑐𝑜𝑠𝛼 + (𝑏 − 2𝑠2 ) ∗ 𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑊𝑥 = 𝑊1 − 𝑊2 ;
𝐴сеч = 𝑏ℎ − (𝑏 − 2𝑠2 )(ℎ − 2𝑠1 ).
Рассчитаем толщину стенок профиля для двух случаев: толщина полки и стенки равны
(𝑡1 = 𝑡2), толщина полки и стенки различны (𝑡1 ≠ 𝑡2).
50
1. Толщина стенок равна (𝑡1 = 𝑡2).
Произведем расчет в MatLab для получения графика зависимости: 𝜌сеч = 𝑓(𝑡).
%% Расчет эффективности сечения при равной толщине стенок
a = 60;
b = 80;
h = 90;
t = [5:1:15];
W1=b*h/6*(h^2*(cosd(a))^2+b^2*(sind(a))^2)/(h*cosd(a)+b*sind(a));
W2=((b-2.*t).*(h-2.*t))/6.*((h-2.*t).^2.*(cosd(a)).^2+(b2.*t).^2.*(sind(a)).^2)./((h-2.*t).*cosd(a)+(b-2.*t).*sind(a));
Wx=W1-W2;
A = b*h-(b-2.*t).*(h-2.*t);
p = Wx./A;
plot(t,p);
xlabel('Толщина стенки, мм');
ylabel('Эффективность сечения, мм');
В результате расчёта получаем график, который явно показывает, что максимальная
эффективность сечения достигается при минимальной толщине стенки: 𝑡1 = 𝑡2 = 5 мм.
Рис. 13. График зависимости при 𝑡1 = 𝑡2
2. Толщина стенки различна (𝑡1 ≠ 𝑡2).
%% Расчет эффективности сечения при различной толщине стенок
a = 60;
b = 80;
h = 90;
[t1, t2] = meshgrid(5:1:10, 5:1:15);
W1=b*h/6*(h^2*(cosd(a))^2+b^2*(sind(a))^2)/(h*cosd(a)+b*sind(a));
W2=((b-2.*t2).*(h-2.*t1))/6.*((h-2.*t1).^2.*(cosd(a)).^2+(b2.*t2).^2.*(sind(a)).^2)./((h-2.*t1).*cosd(a)+(b-2.*t2).*sind(a));
Wx=W1-W2;
A = b*h-(b-2.*t2).*(h-2.*t1);
p = Wx./A;
surf(t1, t2, p);
51
В результате расчета получаем пространственный график максимальной эффективности сечения, на котором соответствует максимуму точка (𝑥 = 5; 𝑦 = 7; 𝑧 = 14,37), где обозначено: 𝑆1 = 𝑡1 = 5 мм; 𝑆2 = 𝑡2 = 7 мм; 𝜌 = 14,37 мм.
Рис. 14. Пространственный график зависимости для 𝑡1 ≠ 𝑡2
Сделаем проверочный расчет и убедимся, что мера эффективности профиля поперечного сечения составной сварной балки будет составлять:
𝜌сеч =
𝑊𝑥
27582,24
=
= 14,37.
𝐴сеч
1920
Вывод. В данной работе с использованием среды Matlab были произведены расчёты
максимальной эффективности сечения и получены два графика, один – для случая, когда толщина стенки равна толщине полки, а второй – для случая различных толщин.
При заданном условии 𝑡1 = 𝑡2, оптимальная толщина стенок 5 мм. При этом эффективность сечения 𝜌 = 14,21 . Площадь сечения 𝐴 = 1600 мм2 .
При условии 𝑡1 ≠ 𝑡2 , оптимальная толщина вертикальной стенки 𝑡1 = 5 мм, горизонтальной стенки 𝑡2 = 7 мм. Максимальная эффективность сечения 𝜌сеч = 14,37, а площадь сечения 𝐴 = 1920 мм2 .
Эффективность сечения при 𝑡1 ≠ 𝑡2 больше на 1,11%, чем при равной толщине стенок, а площадь сечения увеличивается на 16,67%, следовательно, использовать неравную толщину стенок нецелесообразно.
3.2.3 Задание
Спроектировать оптимальное сечение профиля для заданного набора исходных данных.
Профиль, заданный вариантом задания, должен работать на чистый изгиб вокруг горизонтальной оси 𝑋 − 𝑋 (см. рис. 8 и 17). Необходимо определить геометрические характеристики сечения, которые обеспечат максимальную эффективность при минимальных затратах материала,
технологические затраты на изготовление составного профиля и
𝑊𝑋
→ 𝑚𝑎𝑥,
𝐴сеч
где 𝑊𝑋 – момент сопротивления, в конкретном случае действующий в проекции оси 𝑋. Этот
параметр показывает, насколько эффективно сечение сопротивляется изгибу; 𝐴сеч – площадь
поперечного сечения профиля. Это важно для определения количества используемого материала. Для выполнения работы воспользуйтесь выводом зависимости 𝜌сеч от геометричес𝜌сеч =
52
ких размеров, а также, по мере необходимости – таблицами для простейших форм сечений
(рис. 15 и 16).
Исходя из анализа полученных результатов сделать вывод по проделанной работе.
а)
б)
Рис. 15. Формы сечений, площади сечений, моменты инерции и моменты сопротивления для конструкций достаточно простых геометрических форм (а) и для конструкций более сложных геометрических форм (б) [19]
Рис. 16. Изменения моментов инерции и моментов сопротивления
в зависимости от положения осей [19]
53
Рис. 17. Варианты профилей составных сечений (I–VII)
Таблица 15
Варианты заданий
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Профиль
I
II
III
IV
V
VI
VII
I
II
VII
VI
V
IV
II
III
IV
V
VI
VII
I
Н, мм
200
150
400
300
600
550
700
550
300
450
600
600
600
400
300
600
550
700
450
650
В, мм
100
100
150
100
450
600
600
450
600
700
550
450
350
600
600
400
350
Требования
Найти
𝑆1 =? ;
𝑆2 =? ;
если
𝑆1
2≥
≥ 0,5
𝑆2
и
𝑆1 ; 𝑆2 = (6 − 20)мм,
а
𝜌𝑥 → 𝑚𝑎𝑥
3.2.4 Пример расчета. Проектирование сварного составного профиля
металлоконструкции в заданной постановке. Труба с перегородкой
Цель данного примера расчета – спроектировать оптимальное сечение составного профиля (труба с перегородкой) для заданного набора исходных данных. Расчет сводится к рассмотрению двух случаев.
54
Случай № 1
Пусть профиль должен работать на чистый изгиб вокруг горизонтальной оси 𝑋 − 𝑋
(рис. 18). Необходимо определить геометрические характеристики сечения, которые обеспечат максимальную эффективность при минимальных затратах материала. Заданы габаритные
размеры составного профиля сечения:
𝐻 = 𝐷 = 550 мм.
Рис. 18. Профиль сечения трубы с перегородкой
Чистый крутящий момент прилагается вокруг оси 𝑋. Условия – максимальная толщина
𝑆1 , 𝑆2 не более 20 мм; 𝑆1, 𝑆2 отличается от 𝑆1 не более чем в 2 раза; по причине коррозии материала установить минимальную толщину в 5 мм. Найти 𝑆1 , 𝑆2 , соответствующие наилучшей
мере эффективности данного составного поперченного сечения.
Из соображений коррозионной стойкости металлоконструкции толщина стенок не может быть меньше 5 мм.
Оптимизация сечения профиля выполняется для уменьшения веса материала профиля
при сохранении оптимальных механических свойств. Для оптимизации заданного профиля
необходимо, чтобы функция эффективности сечения принимала максимальное значение:
𝜌сеч =
𝑊𝑋
,
𝐴сеч
где 𝑊𝑋 – момент сопротивления, в конкретном случае действующей в проекции оси 𝑋. Этот
параметр показывает, насколько эффективно сечение сопротивляется изгибу; 𝐴сеч – площадь
поперечного сечения профиля. Это важно для определения количества используемого материала.
Момент сопротивления 𝑊𝑋 для толстостенной трубы с перегородкой профиля находится по формуле:
𝜋(𝐷4 − 𝑑 4 ) 𝑆2 ∙ 𝐻 2
𝑊𝑋 =
+
,
32𝐷
6
где 𝑑 – диаметр внутренней окружности, 𝑑 = 𝐷 − 2 ∙ 𝑆1 (это внутренний диаметр трубы после
вычитания толщины стенок); 𝐷 – внешний диаметр трубы; 𝐻 – высота перегородки, которая
равна 𝐷 в данном случае; 𝑆1 – толщина стенки трубы; 𝑆2 – толщина перегородки.
Площадь поперечного сечения (рис. 18):
𝜋(𝐷2 − 𝑑 2 )
+ 𝐻 ∙ 𝑆2 .
4
Эта формула учитывает как площадь кольца, так и площадь перегородки. Произведем
расчет аналитическим методом в двух случаях.
1. Максимальная мера эффективности профиля сечения при равенстве толщин.
Случай 1: положим 𝑺𝟏 = 𝑺𝟐 = 𝟓 мм.
𝐴сеч =
55
Цель этого случая – минимизировать использование материала, используя минимально
допустимые толщины.
Рассчитываем момент сопротивления (𝑊𝑋 ):
𝜋(𝐷4 − 𝑑 4 ) 𝑆2 ∙ 𝐻 2
𝑊𝑋 =
+
.
32𝐷
6
Подставляем значения:
𝐷 = 550 мм;
𝑆1 = 𝑆2 = 5 мм.
𝑑 = 𝐷 − 2 ∙ 𝑆1 = 550 − 2 ∙ 5 = 540 мм.
𝐻 = 𝐷 = 550 мм.
𝜋(5504 − 5404 ) 5 ∙ 5502
+
≈ 1407990,32 мм3 .
32 ∙ 550
6
Рассчитываем площадь поперечного сечения (𝐴сеч ):
𝑊𝑋 =
𝜋(𝐷2 − 𝑑 2 )
𝐴сеч =
+ 𝐻 ∙ 𝑆2 .
4
Подставляем значения:
𝜋(5502 − 5402 )
+ 550 ∙ 5 ≈ 11310,83 мм2 .
4
Рассчитываем эффективность сечения (𝜌сеч ):
𝐴сеч =
𝜌сеч =
𝑊𝑋
1407990,32
=
≈ 124,48 мм.
𝐴сеч
11310,83
2. Поиск максимальной эффективности сечения при неравенстве толщин.
Случай 2: положим 𝑆1 ≠ 𝑆2.
Исходя из формулы 𝜌сеч = 𝑊𝑋 ⁄𝐴сеч , наибольшая эффективность достигается при максимальном значении числителя и минимальном значении знаменателя.
Принимая во внимание условие, что 𝑆1 больше 𝑆2 и разница между ними не более двух
раз, проведенный анализ показал, что увеличение коэффициента 𝑆1 приводит к росту числителя, а увеличение коэффициента 𝑆2 – к росту знаменателя. Причем рост толщины 𝑆2 в 2 раза
не компенсирует максимально допустимым двукратным увеличением 𝑆1 , т. е. (𝑆1 = 2 ∙ 𝑆2 ) ,
данные преобразования приводят к снижению целевой функции 𝜌сеч . Следовательно, функция
будет иметь наилучшие показатели при наименьшем допустимом значении 𝑆2 и наибольшем
значении 𝑆1 при уже заданном принятом 𝑆2 = 5 мм. Таким образом, исходя из условий задачи,
принимаем значения толщин стенок 𝑆2 = 5 мм и 𝑆1 = 10 мм.
Рассчитываем момент сопротивления (𝑊𝑋 ):
𝑊𝑋 =
𝜋(𝐷4 − 𝑑 4 ) 𝑆2 ∙ 𝐻 2
+
.
32𝐷
6
Подставляем значения:
𝐷 = 550 мм;
𝑆1 = 10 мм;
𝑆2 = 5 мм.
𝑑 = 𝐷 − 2 ∙ 𝑆1 = 550 − 2 ∙ 10 = 530 мм.
𝐻 = 𝐷 = 550 мм.
56
𝜋(5504 − 5304 ) 5 ∙ 5502
𝑊𝑋 =
+
≈ 2501433,21 мм3 .
32 ∙ 550
6
Рассчитываем площадь поперечного сечения (𝐴сеч ):
𝜋(𝐷2 − 𝑑 2 )
𝐴сеч =
+ 𝐻 ∙ 𝑆2 .
4
Подставляем значения:
𝜋(5502 − 5302 )
+ 550 ∙ 5 ≈ 19714,59 мм2 .
4
Рассчитываем эффективность сечения (𝜌сеч ):
𝐴сеч =
𝜌сеч =
𝑊𝑋
2501433.21
=
≈ 126,88 мм.
𝐴сеч
19714.59
Анализ полученных данных. Эффективность сечения в первом случае составила
𝜌сеч1 = 124,48 мм. Во втором случае 𝜌сеч2 = 126,88 мм. Увеличение эффективности во втором случае составляет примерно 1,96%, что положительно скажется на прочности металлоконструкции, однако площадь сечения в первом случае составила 𝐴сеч1 = 11310,83 мм2 , во
втором 𝐴сеч2 = 19714,59 мм2 . Прирост составил 74,3%, что негативно сказывается на металлоёмкости и экономической эффективности предлагаемой конструкции.
Вывод. В процессе работы был выполнен анализ эффективности сечения металлоконструкции. Были предложены два варианта: один – с максимальной экономией металла, другой –
с наивысшей эффективностью поперечного сечения конструкции. Исходя из анализа полученных результатов можно сделать вывод, что во втором варианте конструкция оказалась лишь
незначительно более эффективной (на 1,96%), однако использование на 74,3% большего количества материала ставит под сомнение её целесообразность и необходимость. Первый вариант, использующий минимально допустимые толщины и удовлетворяющий заданию, является
более экономичным при незначительной потере в эффективности составного сечения.
3.2.5 Контрольные вопросы
1. Какие параметры необходимо учитывать при проектировании оптимального сечения
профиля для сварных конструкций?
2. Как определяется мера эффективности формы поперечного сечения профиля?
3. Какие формы поперечных сечений балок наиболее эффективны для работы в вертикальном направлении?
4. Как рассчитывается момент сопротивления коробчатого профиля?
5. Как определяется мера эффективности поперечного сечения профиля при равной
толщине стенок?
6. Как определяется эффективность сечения профиля при различной толщине стенок?
7. Как влияет толщина стенок на эффективность сечения профиля?
8. Как рассчитывается площадь поперечного сечения профиля?
9. Как определяется оптимальная толщина стенок профиля?
10. Чем может быть опасна малая толщина стенок составного профиля и как влияет
толщина стенок на вес профиля?
11. Как будет изменяться мера эффективности сечения коробчатого профиля, работающего на чистый изгиб под произвольным углом?
12. Какое сечения профиля будет иметь одинаковую меру эффективности сечения в
двух рабочих плоскостях, в трех, в четырех и в любой?
57
3.3 Концентрация напряжений в сварных соединениях
В этом разделе обсудим влияние изменения параметров сварного шва в стыковом соединении на величину концентрации напряжений; влияние формы перехода от наплавленного
металла к основному в крестовых (тавровых) соединениях на величину концентрации напряжений.
3.3.1 Основная теория
Стыковое сварное соединение представляет собой прерывистую связь, в которой возникает концентрация повышенных напряжений.
В зависимости от толщины свариваемого металла изменяются высота и ширина шва,
следовательно, изменяется форма шва. На концентрацию напряжений оказывает определенное влияние и величина радиуса перехода от наплавленного металла к основному. Именно
радиус перехода и высота валика шва в наибольшей мере влияют на величину максимальной
концентрации напряжений.
На рис. 19 показано характерное распределение напряжений по контуру сварного стыкового соединения. Видно, что максимальные напряжения отмечаются в точке перехода от
наплавленного металла к основному.
а)
б)
Рис. 19. Распределение напряжений по контуру сварного стыкового соединения (а)
и схема нагружения (б) [20]
Важно отметить, что при наличии дефекта сварного шва концентрация напряжений
резко возрастает, а эпюра распределения напряжений носит пилообразный характер. Для
уменьшения концентрации напряжений в сварных соединениях требуется тщательная конструктивная обработка сварных швов и соединений, а также соблюдение технологии их выполнения.
Для оценки концентрации сварных соединений предложены простые расчетные формулы, по которым рассчитывают коэффициенты концентрации напряжений [20]. При этом коэффициент концентрации – это отношение напряжений в зоне сварного шва к напряжениям
на его удалении.
Например, коэффициент концентрации напряжений для стыкового сварного соединения может быть вычислен по выражению:
𝑒12 + 1 𝑔
√ ,
𝛼𝐾 = 1 + 1,1𝑔 ∙
𝑆
𝑅
58
(1)
где 𝑒1 = 𝑒⁄𝑆; 𝑒 – ширина сварного шва; 𝑆 – толщина свариваемого металла; 𝑔 – высота усиления сварного шва; 𝑅 – радиус перехода от наплавленного металла к основному.
В табл. 16 представлены приближенные формулы для расчета коэффициентов концентрации в сварных крестовых соединениях (рис. 20).
Таблица 16
Формулы для расчета коэффициентов концентрации напряжений
в крестовых сварных соединениях
Вид сварного соединения
Формула
Швы образованы по гипотенузе
разностороннего треугольника
𝛼 = 1 + 0,2√ 𝑒 𝑅 (2)
Сварные швы имеют форму
равнобедренного треугольника
𝛼 = 1 + 0,2√ 𝑅 (3)
Сварные швы образованы
с вогнутой формой
𝛼 = 1 + 0,4√ 𝑅 (4)
2𝑒−𝑔
1
2𝑆−𝐾
2𝑆−𝐾
Обозначения в формуле
𝑒 – ширина сварного шва;
𝑆 – толщина свариваемого металла;
𝑔 – высота усиления сварного шва;
𝑅 – радиус перехода от
наплавленного металла к
основному;
𝐾 – катет шва;
𝑒
𝑒1 =
𝑆
Рис. 20. Распределение напряжений по контуру крестового соединения,
шов которого имеет вогнутую форму [20]
Величина коэффициентов концентрации напряжений зависит от относительных размеров сварного шва и толщины свариваемых листов. Наилучшая форма (с точки зрения минимальной концентрации напряжений) поперечного сечения углового шва для крестовых и тавровых соединений – вогнутая форма с плавными переходами от наплавленного металла к основному (см. рис. 19, 20).
3.3.2 Задание
Выяснить влияние параметров сварного шва в стыковом соединении на величину концентрации напряжений. Также следует выяснить влияние формы перехода от наплавленного металла к основному в крестовых (тавровых) соединениях на величину концентрации напряжений.
59
Последовательность работы
Для заданного варианта конфигурации стыкового сварного шва (табл. 17) необходимо:
– изменять заданный радиус перехода 𝑅, увеличив его сначала в 2, затем в 3 раза при
неизменных остальных параметрах;
– изменять высоту усиления сварного шва 𝑔, увеличив ее сначала в 1,5 раза, затем в 2
раза при неизменных остальных параметрах.
Подсчитать коэффициенты концентрации напряжений, формула (1); построить графики влияния исследуемых параметров на коэффициенты концентрации напряжений. Для
этого:
– для заданного варианта конфигурации сварного шва (см. табл. 17) в крестовых (тавровых) соединениях подсчитать коэффициенты концентрации напряжений (табл. 16, формулы
(2), (3), (4));
– составить заключение о влиянии геометрических параметров сварных швов на концентрацию напряжений.
Таблица 17
Варианты исходных данных
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
18
19
20
21
22
𝑆, мм
10
8
6
12
13
8
6
12
13
8
6
12
13
8
6
12
13
6
12
13
8
6
е, мм
15
12
10
16
12
15
12
10
15
12
10
15
12
10
16
12
15
15
12
10
16
12
𝑅, мм
10
6
7
8
8
7
8
10
9
10
8
10
10
11
10
8
10
10
11
10
10
9
𝑔, мм
4
3
2
5
7
3
2
5
3
2
5
3
2
5
3
2
5
3
2
5
3
2
𝐾, мм
2
2
1,5
3
4
2
1,5
3
2
1,5
3
2
1,5
3
2
1,5
3
2
1,5
3
2
3
3.3.3 Пример расчета. Концентрация напряжений в сварных соединениях
Задание. Согласно заданию требуется выяснить влияние изменения геометрических
размеров шва и влияния формы перехода от наплавленного металла к основному в стыковых
и крестовых соединениях на величину концентрации напряжений.
Для заданного варианта конфигурации стыкового сварного шва необходимо:
– изменять заданный радиус перехода 𝑅, увеличив его сначала в 2, затем в 3 раза при
неизменных остальных параметрах;
60
– изменять высоту усиления сварного шва 𝑔, увеличив ее сначала в 1,5 раза, затем в 2
раза при неизменных остальных параметрах.
Подсчитать коэффициенты концентрации напряжений, построить графики влияния исследуемых параметров на коэффициенты концентрации напряжений:
– для заданного варианта конфигурации сварного шва (табл. 18) в крестовых (тавровых)
соединениях подсчитать коэффициенты концентрации напряжений, выяснить, какое соединение при заданных параметрах предпочтительнее с точки зрения снижения концентрации
напряжений;
– составить заключение о влиянии геометрических параметров сварных швов на концентрацию напряжений.
Таблица 18
Исходные данные
№
7
𝑆, мм
6
е, мм
12
𝑅, мм
2
𝑔, мм
2
𝐾, мм
6
Решение
1. Определение величины концентрации напряжений в стыковом сварном соединении
для значений:
𝑅 = 2 мм, 𝑔 = 2 мм.
Коэффициент концентрации напряжений для стыкового сварного соединения может
быть вычислен по выражению:
𝒆𝟐𝟏 + 𝟏 𝒈
√ ,
𝜶𝑲 = 𝟏 + 𝟏, 𝟏 ∙ 𝒈 ∙
𝑺
𝑹
где 𝑒1 = 𝑒⁄𝑆 = 12⁄2 = 2; 𝑒 – ширина сварного шва; 𝑆 – толщина свариваемого металла; 𝑔
– высота усиления сварного шва; 𝑅 – радиус перехода от наплавленного металла к основному.
𝜶𝑲 = 𝟏 + 𝟏, 𝟏 ∙ 𝟐 ∙
𝟐𝟐 + 𝟏 𝟐
√ = 𝟐, 𝟖𝟑.
𝟔
𝟐
𝑅 = 4 мм, 𝑔 = 2 мм
𝜶𝑲 = 𝟏 + 𝟏, 𝟏 ∙ 𝟐 ∙
𝟐𝟐 + 𝟏 𝟐
√ = 𝟐, 𝟑𝟎.
𝟔
𝟒
𝑅 = 6 мм, 𝑔 = 2 мм
𝜶𝑲 = 𝟏 + 𝟏, 𝟏 ∙ 𝟐 ∙
𝟐𝟐 + 𝟏 𝟐
√ = 𝟐, 𝟎𝟔.
𝟔
𝟔
𝑅 = 2 мм, 𝑔 = 3 мм
𝟐𝟐 + 𝟏 𝟐
√ = 𝟒, 𝟑𝟕.
𝜶𝑲 = 𝟏 + 𝟏, 𝟏 ∙ 𝟑 ∙
𝟔
𝟐
𝑅 = 2 мм, 𝑔 = 4 мм
22 + 1 4
√ = 6,19.
𝛼𝐾 = 1 + 1,1 ∙ 4 ∙
6
2
61
Величина конц. напряж.
Графики зависимостей величины концентрации напряжений от параметров стыкового
сварного шва представлены на рис. 21 и 22 (графики 𝛼𝐾 (g) и 𝛼𝐾 (𝑅)).
6,5
6
5,5
5
4,5
4
3,5
3
2,5
2
0
1
2
3
4
5
Высота усиления шва, мм
Величина конц. напряж.
Рис. 21. График зависимости величины концентрации напряжений
от высоты усиления шва
2,9
2,8
2,7
2,6
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
2
0
1
2
3
4
5
6
7
Радиус перехода от шва, мм
Рис. 22. График зависимости величины концентрации напряжений
от радиуса перехода шва
2. Определение величины концентрации напряжений в сварных крестовых соединениях.
Рассмотрим конфигурации сформированного сечения сварного крестового соединения.
1 – Швы образованы по гипотенузе разностороннего треугольника:
2·𝑒−𝑔
),
𝛼 = 1 + 0,2 · √(
𝑒1 · 𝑅
где 𝑒1 = 𝑒⁄𝑆 = 2; 𝑒 – ширина сварного шва; 𝑆 – толщина свариваемого металла; 𝑔 – высота
усиления сварного шва; 𝑅 – радиус перехода от наплавленного металла к основному,
2 · 12 − 2
) = 1,23.
𝛼 = 1 + 0,2 · √(
2·2
2 – Сварные швы имеют форму равнобедренного треугольника:
2·𝑆−𝐾
),
𝛼 = 1 + 0,2 · √(
𝑅
62
где 𝑆 – толщина свариваемого металла; 𝑅 – радиус перехода от наплавленного металла к основному; 𝐾 – катет шва.
2·6−6
) = 1,17.
𝛼 = 1 + 0,2 · √(
2
3 – Сварные швы образованы с вогнутой формой:
2·𝑆−𝐾
),
𝛼 = 1 + 0,4 · √(
𝑅
где 𝑆 – толщина свариваемого металла; 𝑅 – радиус перехода от наплавленного металла к основному; 𝐾 – катет шва.
2·6−6
) = 1,35.
𝛼 = 1 + 0,4 · √(
2
Величина конц. напряж.
1,4
1,35
1,3
1,25
1,2
1,15
0
1
2
3
4
Номер конфигурации шва
Рис. 23. График зависимости величины концентрации напряжений
от конфигурации сварного шва
Выводы. Исходя из результатов расчетов величины концентрации напряжений в стыковом сварном соединении и в крестовом (тавровом) соединении, можно сделать следующий
вывод.
1. Стыковое соединение:
– при увеличении радиуса перехода сварного шва наплавленного металла к основному
в 3 раза концентрация напряжений уменьшается в 1,37 раза (27%);
– при увеличении высоты усиления сварного шва в 2 раза концентрация напряжений
увеличивается в 2,15 раза (55%);
2. Крестовое (тавровое соединение):
– максимальная концентрация напряжений достигается в виде сварного соединения 3
(сварные швы образованы с вогнутой формой) – 1,35;
– минимальная концентрация напряжений достигается в виде сварного соединения 2
(сварные швы имеют форму равнобедренного треугольника) – 1,17;
– наиболее предпочтительной является форма равнобедренного треугольника швов, так
как при этом обеспечивается минимальная концентрация напряжений.
3.3.4 Контрольные вопросы
1. Как влияет изменение параметров сварного шва в стыковом соединении на величину
концентрации напряжений?
63
2. Как влияет форма перехода от наплавленного металла к основному в крестовых (тавровых) соединениях на величину концентрации напряжений?
3. Какие формулы используются для расчета коэффициентов концентрации напряжений
в сварных соединениях?
4. Как изменяется величина концентрации напряжений при увеличении радиуса перехода сварного шва?
5. Как изменяется величина концентрации напряжений при увеличении высоты усиления сварного шва?
6. Какие геометрические параметры сварных швов влияют на концентрацию напряжений?
7. Как строится график зависимости величины концентрации напряжений от параметров стыкового сварного шва?
8. Как определяется коэффициент концентрации напряжений для крестовых сварных
соединений?
9. Как влияет форма сварного шва на величину концентрации напряжений?
10. Как выбирается оптимальная форма сварного шва для минимизации концентрации
напряжений?
3.4 Проектирование из условий устойчивости, прочности на срез и изгиб
3.4.1 Основная теория
3.4.1.1 Введение в расчет балок на прочность
Балки – ключевые элементы в строительных конструкциях, мостах, машинах и других
инженерных сооружениях. Они предназначены для восприятия и передачи нагрузок на опоры,
так как работают преимущественно на изгиб. Расчет балок на прочность необходим для обеспечения их надежности и долговечности, а также для предотвращения аварийных ситуаций. В
этом разделе рассматриваются основные аспекты расчета балок на различные виды нагружений, включая изгиб, срез, смятие, а также нормальные и касательные напряжения.
3.4.1.2 Основные понятия и формулы
1. Момент сопротивления сечения (𝑊)
𝑊=
𝐼
.
𝑦m
Момент инерции (𝐼). Момент инерции сечения относительно нейтральной оси характеризует распределение материала в сечении балки. Для различных форм сечений момент инерции рассчитывается по-разному. Например, для прямоугольного сечения
𝐼=𝑏·
где
ℎ3
,
12
𝑏 – ширина сечения, ℎ – высота сечения.
2. Изгибающий момент (𝑀)
𝑀 = 𝑃 · 𝐿.
Изгибающий момент вызывает напряжения в сечении балки, которые могут привести к
ее разрушению, если превысят допустимые значения.
3. Напряжение в сечении (𝜎)
𝑀
σ= .
𝑊
64
Эта формула позволяет определить максимальное напряжение в балке, что необходимо
для оценки ее прочности.
3.4.2 Проверка балки на срез
Срез возникает в сечении балки, когда приложенная нагрузка вызывает касательные
напряжения, которые могут привести к разрушению материала. Проверка на срез осуществляется по формуле:
τ=
𝑄𝑝
,
𝐴𝑐𝑝
где
𝑄𝑝 – поперечная сила, 𝐴𝑐𝑝 – площадь поперечного сечения балки.
Для обеспечения прочности балки на срез касательные напряжения τ не должны превышать допустимых значений для материала.
3.4.3 Проверка балки на смятие
Смятие происходит, когда балка подвергается сжимающим нагрузкам, которые могут
привести к деформации или разрушению материала. Чаще всего в крупногабаритных конструкциях локальное смятие приводит к изменению формы детали, деталь деформируется локально, что приводит к потере ее устойчивости, если она испытывает сжимающие напряжения
в процессе работы. Проверка на смятие осуществляется по формуле:
𝑃
σ𝑐м = ,
𝐴
где 𝑃 – сжимающая сила, Н; 𝐴 – площадь поперечного сечения балки или область (м2 ), на которую действует сила. Для обеспечения прочности балки на смятие нормальные напряжения
σсм не должны превышать допустимых значений для материала или области детали.
3.4.4 Проверка балки на нормальные напряжения
Нормальные напряжения возникают в балке под действием изгибающих моментов и
осевых сил. Проверка на нормальные напряжения осуществляется по формуле [10]:
𝑀 𝑃
+ ,
𝑊 𝐴
где 𝑀 – изгибающий момент, 𝑊 – момент сопротивления сечения, 𝑃 – осевая сила, 𝐴 – площадь поперечного сечения балки.
Для обеспечения прочности балки нормальные напряжения σ не должны превышать
допустимых значений для материала.
σ=
3.4.5 Проверка балки на касательные напряжения
Касательные напряжения возникают в балке под действием поперечных сил и моментов. Проверка на касательные напряжения осуществляется по известной формуле:
τ=
𝑄𝑝
𝑦
+𝑀· ,
𝐴𝑐𝑝
I
где 𝑄𝑝 – поперечная сила, 𝐴𝑐𝑝 – площадь поперечного сечения балки, 𝑀 – изгибающий момент, 𝑦 – расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого слоя, 𝐼 – момент инерции сечения.
65
Для обеспечения прочности балки касательные напряжения 𝜏 не должны превышать
допустимых значений для материала.
3.4.6 Теория расчета балок на сложную нагрузку
Когда балка подвергается сложной нагрузке, включающей поперечную силу и изгибающий момент, необходимо учитывать взаимодействие этих нагрузок. В таких случаях проверка прочности балки осуществляется с использованием различных теорий прочности, таких
как теория Мизеса, теория максимальных касательных напряжений, а также производится
проверка на допустимый прогиб.
3.4.7 Сложная нагрузка: поперечная сила и изгибающий момент
При сложной нагрузке балка испытывает как нормальные, так и касательные напряжения. В этом случае необходимо учитывать взаимодействие этих напряжений для оценки прочности балки.
– нормальные напряжения (𝜎):
𝑦
σ=𝑀· ,
𝐼
где 𝑀 – изгибающий момент, 𝑦 – расстояние от нейтральной оси до рассматриваемого слоя, 𝐼
– момент инерции сечения.
– касательные напряжения (𝜏) [19]:
𝑄𝑝 · Q
,
𝐼·b
где 𝑄𝑝 – поперечная сила, 𝑄 – статический момент части сечения, 𝐼 – момент инерции сечения,
𝑏 – ширина сечения.
τ=
3.4.7.1 Теория Мизеса
Теория Мизеса используется для оценки прочности материала при сложном напряженном состоянии. Согласно этой теории разрушение происходит, когда эквивалентное напряжение σэкв достигает предела текучести материала σ𝑦 . Формула Мизеса для эквивалентных
напряжений при одной ненулевой касательной компоненте и нормальной будет иметь вид:
σэкв = √(σ2 + 3τ2 ).
Для обеспечения прочности балки эквивалентное напряжение не должно превышать
допустимого напряжения для материала:
σэкв ≤ [σ].
3.4.7.2 Теория максимальных касательных напряжений
Согласно теории максимальных касательных напряжений разрушение происходит, когда максимальные касательные напряжения τ𝑚𝑎𝑥 достигают предела прочности материала на
срез τ𝑦 :
σ 2
τmax = √( ) + τ2 .
2
Для обеспечения прочности балки максимальные касательные напряжения не должны
превышать допустимых значений для материала:
66
τ𝑚𝑎𝑥 ≤ [τ].
3.4.7.3 Теория максимальных прогибов
Проверка балки на прогиб необходима для обеспечения её жесткости и предотвращения чрезмерных деформаций. Рассмотрим формулы для расчета прогибов для различных случаев закрепления и нагрузок.
Прогиб балки на шарнирных опорах
Для неразрезной балки со свободными концами, подвергнутой равномерно распределенной нагрузке 𝑞 на половине пролета 𝐿, максимальный прогиб 𝑓 в середине пролета определяется как
11𝑞 · 𝐿4
𝑓=
,
2048 · E · I
а если нагрузка на всем пролете 𝐿, то
5𝑞 · 𝐿4
.
384 · E · I
Прогиб балки с защемленными концами
𝑓=
Для балки с двумя зещемленными концами (жестко заделанной по краям) под действием равномерной распределенной нагрузки 𝑞 на всем пролете 𝐿 максимальный прогиб 𝑓 в
середине пролета определяется как
𝑞 · 𝐿4
𝑓=
.
384 · E · I
Прогиб консольной балки (с одним защемленным и одним свободным концами)
Для балки с одним защемленным и одним свободным концами под действием равномерно распределенной нагрузки 𝑞 по всей длине прогибы 𝑓 будут определяться:
– на середине балки прогиб будет равен:
17𝑞 · 𝐿4
;
384 · E · I
– максимальный прогиб на свободном конце будет равен:
𝑓=
𝑞 · 𝐿4
.
8·E·I
Прогиб балки с опорами на концах и внешними изгибающими моментами
𝑓=
Когда на опорах балки действуют внешние изгибающие моменты 𝑀𝐴 и 𝑀𝐵 на концах
пролета 𝐿, прогиб 𝑓(𝑥) в произвольной точке x определяется как
𝑀𝐴 · L · 𝑥 𝑀𝐵 · 𝑥 2 𝑀𝐵 · 𝐿2
−
+
.
6·𝐸·𝐼
6·𝐸·𝐼 6·𝐸·𝐼
Для нахождения максимального прогиба необходимо рассмотреть значения 𝑓(𝑥) в различных точках пролета и выбрать максимальное.
𝑓(𝑥) =
Прогиб балки с опорами на концах и внешними изгибающими моментами
и распределенной нагрузкой
Если на балку дополнительно действует равномерно распределенная нагрузка 𝑞 по всей
длине, то прогиб 𝑓(𝑥) в произвольной точке 𝑥 будет определяться как сумма прогибов от изгибающих моментов и распределенной нагрузки:
67
𝑀𝐴 · L · 𝑥 𝑀𝐵 · 𝑥 2 𝑀𝐵 · 𝐿2 𝑞 · 𝑥 2 · (𝐿 − 𝑥)2
𝑓(𝑥) =
−
+
+
.
6·𝐸·𝐼
6·𝐸·𝐼 6·𝐸·𝐼
24 · 𝐸 · 𝐼
Здесь первая часть формулы учитывает влияние изгибающих моментов на опорах, а
вторая часть – влияние распределенной нагрузки 𝑞.
Прогиб балки на шарнирных опорах на концах и с концентрированной силой в середине
Для балки с опорами на концах и с концентрированной силой 𝑃 в центре пролета максимальный прогиб 𝑓 в центре пролета определяется как
𝑃 · 𝐿3
𝑓=
.
192 · E · I
Нормальные и касательные напряжения возле опоры
Возле опоры балки возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Нормальные напряжения возникают под действием реакции опоры, а касательные – под действием
поперечной силы.
1. Нормальные напряжения:
где
𝑅
𝜎оп = ,
𝐴
𝑅 – реакция опоры, 𝐴 – площадь поперечного сечения балки.
2. Касательные напряжения:
𝜏оп =
𝑄𝑝
,
𝐴𝑐𝑝
где
𝑄𝑝 – поперечная сила, 𝐴𝑐𝑝 – площадь среза.
Для обеспечения прочности балки нормальные и касательные напряжения не должны
превышать допустимых значений для материала.
Определение длины пролета 𝐿 балки на шарнирных опорах
Для балки, находящейся на шарнирных опорах и нагруженной равномерной распределенной нагрузкой 𝑞 по всему пролету, а также с действующими на опорах внешними изгибающими моментами 𝑀𝐴 и 𝑀𝐵 , необходимо определить длину пролета 𝐿, которая удовлетворяет
всем рассмотренным критериям прочности и жесткости.
Условия прочности и жесткости
1. Прочность по нормальным напряжениям
Нормальные напряжения в балке не должны превышать допустимых значений [𝜎].
Максимальные нормальные напряжения σ𝑚𝑎𝑥 определяются как:
𝑀𝑚𝑎𝑥 · 𝑦𝑚𝑎𝑥
,
𝐼
где 𝑀max – максимальный изгибающий момент, 𝑦𝑚𝑎𝑥 – максимальное расстояние от нейтральной оси до крайнего слоя, 𝐼 – момент инерции сечения.
Условие прочности
σ𝑚𝑎𝑥 =
σ𝑚𝑎𝑥 ≤ [σ].
68
2. Прочность по касательным напряжениям
Касательные напряжения 𝜏 не должны превышать допустимых значений [𝜏]. Максимальные касательные напряжения 𝜏𝑚𝑎𝑥 определяются по теории максимальных касательных
напряжений:
𝜏𝑚𝑎𝑥 = √(
𝜎𝑚𝑎𝑥 2
) + 𝜏 2,
2
условие прочности
𝜏𝑚𝑎𝑥 ≤ [𝜏].
Жесткость балки или величина прогиба вдоль балки
Прогиб 𝑓 балки не должен превышать допустимого значения [𝑓]. Прогиб определяется
как сумма прогибов от изгибающих моментов и распределенной нагрузки:
𝑓(𝑥) =
𝑀𝐴 · L · 𝑥 𝑀𝐵 · 𝑥 2 𝑀𝐵 · 𝐿2 𝑞 · 𝑥 2 · (𝐿 − 𝑥)2
−
+
+
,
6·𝐸·𝐼
6·𝐸·𝐼 6·𝐸·𝐼
24 · 𝐸 · 𝐼
условие жесткости
𝑓 ≤ [𝑓].
Алгоритм определения длины пролета 𝐋
Для определения длины пролета 𝐿, удовлетворяющей всем условиям прочности и жесткости, необходимо решить систему неравенств, полученных из условий прочности и жесткости. Это может быть сделано итеративно или аналитически, в зависимости от сложности задачи. В итоге нужно проделать следующие шаги.
Определение максимального изгибающего момента 𝑀𝑚𝑎𝑥 .
Найдите максимальный изгибающий момент, учитывая внешние моменты 𝑀𝐴 и 𝑀𝐵 , а
также распределенную нагрузку 𝑞.
Проверка условий прочности
Подставьте 𝑀𝑚𝑎𝑥 в условия прочности по нормальным и касательным напряжениям и
убедитесь, что они выполняются.
Проверка условия жесткости
Рассчитайте прогиб 𝑓 для различных значений 𝐿 и убедитесь, что он не превышает допустимого значения [𝑓].
Итеративный подбор 𝐿
Изменяйте длину пролета 𝐿 и повторяйте шаги 1-3, пока не будут удовлетворены все
условия прочности и жесткости.
Расчет балок на прочность требует учета множества факторов, включая геометрию сечения, материал и условия нагружения. Использование формул для момента сопротивления,
изгибающего момента, а также для проверки на срез, смятие, нормальные и касательные
напряжения позволяет определить максимальные напряжения в балке и обеспечить ее надежность и безопасность. Важно учитывать допустимые напряжения для материала и условия эксплуатации, чтобы предотвратить разрушение конструкции. Проверка на допустимый прогиб
также необходима для обеспечения жесткости и предотвращения чрезмерных деформаций.
Определение длины пролета 𝐿 балки на шарнирных опорах требует учета всех условий прочности и жесткости, что позволяет найти оптимальное значение 𝐿, обеспечивающее надежность
и безопасность конструкции.
69
3.4.8 Пример расчета. Проектирование составной балки
из условий устойчивости, прочности на срез и изгиб
Профиль сечения согласно варианту 6 – труба с перегородкой (рис. 24), размеры сечения которой были найдены оптимальными с позиции изготовления сваркой и максимальной
эффективности сечения.
а)
б)
Рис. 24. Схема расчета (а) и профиль составного сечения
балки (б) к заданию
Параметры сечения:
𝐻 = 𝐷 = 0,55 м;
𝐵 = 0,6 м;
𝑆1 = 0,01 мм;
𝑆2 = 0,005 мм.
Нагрузка прилагается в направлении оси 𝑌 сечения.
Прикладываемая нагрузка: 𝑞 = 10000 Н⁄м , внешние крутящие моменты, прилагаемые на опорах 𝑀1 = 𝑀2 = 1000 Н ∙ м.
Параметры материала и ограничения:
– материал балки – Ст 3. Σт = 245 МПа;
– коэффициент запаса 𝑘з = 1,5;
1
– допускаемый прогиб 𝑓доп = 250 𝐿.
Требуется определить допускаемую длину пролета 𝐿, удовлетворяющую всем условиям устойчивости, прочности на срез и изгиб.
Осевой момент инерции трубы с перегородкой [19]:
𝐼𝑌 =
𝜋𝐷 4
𝐷4
𝑠2 ∙ 𝐻 3 𝜋𝐷4
𝐷4
𝑠2 ∙ 𝐻 3
∙ (1 − 4 ) +
=
∙ (1 −
)
+
;
(𝐷 − 2𝑆1 )4
64
𝑑
12
64
12
3,14 ∙ 0,554
0, 554
0,005 ∙ 0,553
𝐼𝑌 =
∙ (1 −
)+
= −0,648 ∙ 10−3 м4 .
−2
4
(0,55
)
64
− 2 ∙ 10
12
Момент сопротивления трубы с перегородкой:
𝑊𝑌 =
𝑊𝑌 =
𝜋(𝐷4 − 𝑑 4 ) 𝑠2 ∙ 𝐻 2
+
;
32𝑑
6
3,14 ∙ (0,554 − 0,534 ) 0,005 ∙ 0,552
+
= 2,58 ∙ 10−3 м3 .
32 ∙ 0,53
6
Условие прочности при нормальном напряжении:
𝜎т
[𝜎] ≤ ;
𝑘3
70
[𝜎] =
𝜎т 245
=
= 163,3 МПа.
𝑘3
1,5
Напряжение в точке действия максимального изгибающего момента:
𝑀𝑚𝑎𝑥
.
𝑊
Максимальный изгибающий момент находится либо по краям балки, либо в её середине:
𝜎=
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 𝑌𝑧 −
𝑞𝑧 2
𝑞𝐿
𝑞𝑧 2
−𝑀 =
𝑧−
− 𝑀.
2
2
2
C краю балки 𝑧 = 0:
𝑀𝑚𝑎𝑥 = −M = −1000 Н ∙ м;
𝜎=
1000
= 0,387 МПа < [𝜎].
2,58 ∙ 10−3
В середине пролета:
10000 ∙ 𝐿
10000 ∙ (0,5 ∙ 𝐿)2
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
∙ 0,5𝐿 −
− 1000;
2
2
5000 ∙ 𝐿2 − 2500 ∙ 𝐿2
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
− 1000;
2
𝑀𝑚𝑎𝑥 = 1250 ∙ 𝐿2 − 1000;
𝜎=
1250 ∙ 𝐿2 − 1000
;
2,58 ∙ 10−3
10000 ∙ 𝐿
10000 ∙ (0,5 ∙ 𝐿)2
∙
0,5𝐿
−
− 1000
2
2
𝑀𝑚𝑎𝑥 =
< 𝜎;
2,58 ∙ 10−3
10000 ∙ 𝐿
10000 ∙ (0,5 ∙ 𝐿)2
∙
0,5𝐿
−
− 1000
2
2
− 163,3 = 0.
2,58 ∙ 10−3
Решение уравнения дает 𝐿 = 0,895 м.
Выполним проверку:
10000 ∙ 2,73
10000 ∙ (0,5 ∙ 2,73 )2
∙
0,5
∙
2,73
−
− 1000
2
2
− 163,3 =
2,58 ∙ 10−3
= 0,333 ≈ 0 МПа.
Проверка пройдена. Таким образом, максимальная длина балки не может превышать
0,895 м.
На опорах балка испытывает напряжения среза, среднее значение которых можно найти
по формуле:
𝑄𝑚𝑎𝑥
𝜏ср ≤
,
𝐴
где 𝑄𝑚𝑎𝑥 – максимальное перерезывающее (поперечное) усилие (рис. 25); 𝐴 – площадь сечения.
71
Рис. 25. Эпюра поперечных сил
Максимальная поперечная сила, действующая на балку:
𝑞∙𝐿
;
2
10000 ∙ 0,895
𝑄𝑚𝑎𝑥 =
= 4475 Н.
2
𝜋(𝐷2 − 𝑑 2 )
𝐴Сеч =
+ 𝐻𝑆22 .
4
𝑞 ∙ 𝐿⁄2
𝜏ср =
;
𝜋(𝐷2 − 𝑑2 )
2
+
𝐻𝑆
2
4
4475
𝜏ср =
= 0,1457 МПа.
2
3,14 ∙ (550 − (550 − 2 ∙ 10)2 )
2
+ 550 ∙ 5
4
[𝜏] = 0,5 ∙ [𝜎] = 0,5 ∙ 163,3 = 81,5 МПа.
𝑄𝑚𝑎𝑥 =
𝜏ср ≤ [𝜏] = [𝜎]⁄2 = 81,5 МПа – условие выполняется.
Допускаемый прогиб 𝑓доп = 𝐿⁄250 = 0,895⁄250 = 3,58 ∙ 10−3 м.
Компонент прогиба действия распределенной нагрузки:
5 ∙ 𝑞 ∙ 𝐿4
;
384 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
5 ∙ 10000 ∙ 0,8954
𝑓1 =
;
384 ∙ 2,1 ∙ 1011 ∙ (−6,48 ∙ 10−4 )
𝑓1 =
𝑓1 = −6849,7 ∙ 10−5 = −6,14 мм.
(𝑀 + 𝑀) ∙ 𝐿2
;
16 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼
(1000 + 1000) ∙ 0,8952
𝑓2 = −
= +7,35 ∙ 10−7 = +7,35 мм;
16 ∙ 2,1 ∙ 1011 ∙ −6,48 ∙ 10−4
𝑓2 =
𝑓сум = −6,14 + 7,35 = 1,21 мм.
Итого 𝑓сум = 1,21 ≤ 𝑓доп условие выполняется.
Вывод. В процессе практической работы была установлена максимальная длина балки
по заданию, которая соответствует требованиям по устойчивости и прочности на срез и изгиб
при заданной нагрузке. При максимальном пролете в 0,895 м все условия прочности и жесткости соблюдаются, а максимальный прогиб составляет 1,21 мм. Длина 0,895 м является предельной для заданного коэффициента запаса прочности 𝑘з = 1,5. Сечение трубы с перегородкой показало лучшие результаты по жесткости, и длина балки в основном ограничивается
прочностью на срез. Однако такое ограничение характерно из-за того, что действуют внешние
72
моменты, приложенные на опорах. Потому что, как правило, критичным условием для балок
на двух шарнирных опорах, ограничивающим их длину под распределенной нагрузкой, является условие прочности по нормальным напряжениям, находящимся в месте действия максимального момента на середине балки, или условие жесткости балки.
Для увеличения допускаемой длины пролета такой балки целесообразно рассмотреть
использование стали с более высокими пределами прочности и текучести.
Пример. Рассмотрим однопролётную балку, опертую по концам на жесткие опоры и
нагруженную равномерно распределенной нагрузкой (рис. 26). Характер защемления балки на
опорах произвольный (шарнирное закрепление – первый случай; защемленные концы – второй случай). Определим перемещение (прогиб) балки от сдвига и сопоставим его с прогибом
от изгибающего момента для первого и второго случаев.
Рис. 26. Однопролётная балка под постоянной распределенной нагрузкой по длине
Величина
𝑥
𝑥
𝑀𝑞 = ∫ ∫ 𝑞𝑑𝑥 2 + 𝑁0 𝑥 ,
0
где
0
𝑁0 – перерезывающая сила в опорном сечении при х = 0.
Из условий статики 𝑁0 = −0,5𝑞𝑙, с учётом чего
𝑀𝑞 = −
𝑞𝑙 2 𝑥 𝑥 2
( − ).
2 𝑙 𝑙2
Тогда стрелка прогиба 𝑓 вдоль длины пролета при модуле сдвига 𝐺
𝑓𝑐 =
𝑞𝑙 2 𝑥 𝑥 2
( − ).
2𝐺𝜔𝑐 𝑙 𝑙 2
Максимальная величина прогиба находится посередине длины пролета:
𝑓с𝑚𝑎𝑥 =
𝑞𝑙 2
.
8𝐺𝜔𝑐
Сравним величину с прогибом от изгиба балки 𝜔и𝑚𝑎𝑥 . Тогда для свободно опертой
балки
5𝑞𝑙 2
.
384𝐸𝐼
Для балки с жестко защемленными опорными сечениями
𝑚𝑎𝑥
𝑓и(с.о)
=
𝑚𝑎𝑥
𝑓н(ж.з)
=
Таким образом:
𝑓 𝑚𝑎𝑥
48 𝐸𝐼
и(с.о)
𝑐
𝑓 𝑚𝑎𝑥
𝐸𝐼
н(с.о)
𝑐
𝑞𝑙 2
.
384𝐸𝐼
– в первом случае 𝑓с𝑚𝑎𝑥 = 5 𝐺𝑓 𝑙2 ;
– во втором случае 𝑓с𝑚𝑎𝑥 = 48 𝐺𝑓 𝑙2 .
73
3.4.9 Контрольные вопросы
1. Какие условия необходимо учитывать при выборе размера пролета балки для удовлетворения условий устойчивости, прочности на срез и изгиб?
2. Какие основные понятия и формулы используются для расчета балок на прочность?
3. Как проверяется балка на срез?
4. Как проверяется балка на смятие?
5. Как проверяется балка на нормальные напряжения?
6. Как проверяется балка на касательные напряжения?
7. Какие теории прочности используются для оценки прочности балки при сложной
нагрузке?
8. Как рассчитывается прогиб балки с различными условиями закрепления и нагрузками?
9. Как определяется длина пролета балки на шарнирных опорах?
10. Какие условия прочности и жесткости необходимо учитывать при определении
длины пролета балки?
11. Как влияет закрепление балки на пролете на ее прогиб?
12. Что может являться критичным при проектировании балки на двух шарнирных опорах, заделанной балки с двух концов, если балка будет работать под распределенной нагрузкой?
3.5 Предельная несущая способность сварных составных балок
при изгибе и растяжении
Цель раздела: научиться оценивать предельную несущую способность элементов сварных конструкций при неоднородности механических характеристик в сварных соединениях.
3.5.1 Краткая теория
3.5.1.1 Характер работы балок в пластической стадии
Рассмотрим качественную картину работы материала при изгибе балок. Для большей
наглядности основных характерных особенностей упругопластического изгиба целесообразно
считать, что материал имеет достаточно развитую площадку текучести, в пределах которой с
ростом деформаций не происходит изменения напряжений. Такая площадка чаще наблюдается у материалов с физическим пределом текучести, однако при деформациях за пределом
площадки текучести в таких материалах, как правило, происходит интенсивное пластическое
упрочнение. А вот менее интенсивное упрочнение наблюдается у закаленных сталей, и истинную диаграмму с таким упрочнением можно приближенно представить аппроксимацией билинейной диаграммой деформирования или, что еще более упрощенно – диаграммой идеально
пластического тела.
Первоначально рассмотрим статически определимую балку, загруженную только поперечной нагрузкой (T = 0), концы которой могут свободно сближаться (рис. 27).
С увеличением внешней нагрузки вначале наблюдается пропорциональный ей рост
напряжений и деформаций. Линейная связь сохраняется до момента, когда в наиболее удаленном от нейтральной оси волокне (фибре) наиболее нагруженного сечения появятся первые
пластические деформации – фибровая текучесть (рис. 27, а).
Для идеального упругопластического тела с дальнейшим ростом нагрузки (рис. 27, б,
в) рост напряжений в крайнем волокне прекратится. Пластические деформации начнут расп74
ространяться вглубь сечения. В охваченных текучестью волокнах рост напряжений останавливается, но деформации продолжают расти, наиболее интенсивно – в наиболее нагруженном
районе балки, больше чем увеличение нагрузки, и пропорционально – в других районах. Одновременно с этим зона пластических деформаций распространяется в стороны от наиболее
нагруженного сечения, хотя и остается локализованной в очень узком районе.
а)
б)
в)
г)
Рис. 27. Уровни пластического деформирования материала сплошной прямоугольной балки
от неидеальной изгибающей нагрузки
Процесс распространения деформаций вглубь сечения продолжается до тех пор, пока
текучесть не охватит практически все наиболее нагруженное сечение (рис. 27, г). Рост напряжений в нем прекращается, и момент внутренних сил становится практически равным предельному моменту, воспринимаемому сечением. Дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки приводит к тому, что момент внешних сил превосходит момент внутренних сил.
Локальные пластические деформации в сечении катастрофически нарастают. В балке образуется практически излом, близкий к тому, который возникает при наличии шарнира[3]. В силу
такого сходства говорят, что в наиболее нагруженном сечении балки образовался пластический шарнир. Процесс заканчивается полным разрушением балки.
Нагрузку, отвечающую появлению текучести по всему нагруженному сечению статически определимой балки, можно в первом приближении отождествить с предельной. Она позволяет довольно четко выделить две характерные стадии упругопластического изгиба. Для
нагрузок, несколько меньших предельной, упругие и пластические деформации соизмеримы
по величине; прогибы имеют тот же порядок, что и порядок прогибов в упругой стадии работы
балок. Для нагрузок, очень близких к предельной, упругие деформации пренебрежимо малы;
прогибы резко превосходят наблюдающиеся прогибы в упругой стадии работы.
Если балка статически неопределима, то возникновение одного пластического шарнира
не приводит к исчерпанию ее несущей способности. После появления первого шарнира в ней,
в отличие от статически определимой, начинается перераспределение внутренних усилий. В
первоначально наиболее нагруженных сечениях рост изгибающего момента практически прекращается; в менее нагруженных сечениях происходит его увеличение. Вследствие этого с ростом нагрузки пластические деформации появляются в другом (или других) районах балки. В
этих новых напряженных районах текучесть распространяется вглубь сечения и в стороны от
него. Если еще более увеличивать изгиб балки, в ней будет достигаться предельная величина
75
момента (пластический шарнир) в другом (других) сечениях. Процесс возникновения, распространения текучести и образования шарниров может продолжаться до тех пор, пока балка в
целом или отдельные ее части не будут превращены с помощью шарниров в кинематически
изменяемые механизмы. После этого нагрузка станет предельной для статически неопределимой балки. Так же, как и в предыдущем случае, при нагрузках, несколько меньших предельной, пластические и упругие деформации соизмеримы, прогибы имеют тот же порядок, что и
порядок прогибов в упругой стадии деформирования балок.
Таким образом, в поведении балок, не загруженных осевыми силами, можно выделить
три стадии деформирования: упругую, упругопластическую, когда упругие и пластические деформации соизмеримы, и стадию глубокого пластического деформирования, когда нагрузка
очень близка к предельной.
Естественно, что описанная картина деформирования является достаточно приближенной. Во-первых, она справедлива лишь для балок из материалов с достаточным запасом пластических свойств, а сам запас пластических свойств для сварных элементов конструкций может быть неравномерным, например, балка с продольными сварными швами, где каждая зона
(1, 2 и 3) имеет свою предельную пластичность и механические характеристики (рис. 28). При
отсутствии или низкой пластичности разрушение зоны может произойти хрупко, без образования развитых пластических деформаций в силу того, что они невозможны для заданной
зоны. Должна быть исключена также потеря устойчивости отдельных элементов балки или по
крайней мере обеспечено отсутствие заметного сброса воспринимаемых ими усилий при выходе из плоскости в процессе пластического деформирования.
Рис. 28. Истинные диаграммы зависимости напряжения 𝜎 от деформаций 𝜀
для различных зон сварного соединения при продольной нагрузке
Работа сварного соединения с прослойками сильно ограниченной пластичности
при продольной нагрузке
Рассмотрим случай, когда растягивающая сила направлена вдоль шва, и все прослойки
испытывают одинаковые деформации (см. рис. 28). Деформационная способность соединения
и его несущая способность ограничены пластичностью металла наименее пластичной прослойки. При одной и той же деформации 𝜀 вдоль шва всего сварного соединения напряжения
в прослойках будут изменяться по-разному и диаграммы зависимости напряжения от деформации в различных зонах сварного соединения не будут совпадать. Точки 𝐴1 , 𝐴2 и 𝐴3 соответствуют разрушению образца. Разрушение наступит при 𝜀 = 𝜀𝐴2 . При этом напряжения 𝜎1 в основном металле, 𝜎3 в шве и 𝜎2 в твердой прослойке будут сильно различаться. Продольная
растягивающая сила в основном воспринимается участком основного металла, так как его пло76
щадь намного превосходит и площадь поперечного сечения шва и площадь твердой прослойки. И хотя уровень напряжений 𝜎2 в твердой прослойке относительно велик, средние
напряжения по величине будут близки к 𝜎1 , что существенно ниже разрушающих напряжений
в точке 𝐴1 . Это означает, что прочность сварного соединения, нагруженного вдоль шва с твердой прослойкой, окажется ниже, чем прочность такого же элемента из основного металла. Отрицательное влияние твердой прослойки сказывается сильнее, если по длине соединения
встречаются резкие изменения сечения шва, вызывающие концентрацию напряжений, или
еще хуже – поперечные трещины или другие дефекты в твердой прослойке.
3.5.1.2 Работа балки в упругопластической стадии
с упрочнением материала
Сложная задача теории пластичности – исследование нагружения, при котором в одной
части тела деформации имеют пластический характер, а в другой – упругий. В этом случае
пластические деформации соизмеримы с упругими, и трудно использовать геометрические
уравнения и зависимости между напряжениями и деформациями. Поэтому у исследователей
имеется ограниченное число законченных решений подобных задач.
Согласно гипотезе плоских сечений, установленной экспериментально Я. Бернулли,
при растяжении стержня продольные и поперечные риски, нанесенные на его поверхности до
деформации, остаются прямолинейными и взаимно перпендикулярными; изменяются лишь
расстояния между ними (между поперечными рисками они увеличиваются, а между продольными – уменьшаются).
В основе гипотезы плоских сечений лежит предположение, что и внутри стержня деформации имеют такой же характер, как на поверхности. Следовательно, сечения, плоские и
нормальные к оси стержня до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси и
после деформации. В этом и заключается смысл гипотезы плоских сечений.
Представим зависимость напряжения от деформации суммой упругих и пластических
напряжений, каждая из которых будет иметь свой закон: для упругих 𝐸𝑒0,2; для пластических
при степенной аппроксимации напряжений 𝐹(𝑒пл )𝑛 , где 𝐹 – постоянная материала, т.е.
(3)
𝜎 = 𝜎у + 𝜎пл = 𝐸𝑒0,2 + 𝐹(𝑒пл )𝑛 ,
где
𝑛 – коэффициент степенного упрочнения.
Будем считать, что деформация по высоте сечения от нейтральной линии изменяется
по закону 𝑒 = 𝑦⁄𝑅 согласно гипотезе плоских сечений; тогда, пользуясь обозначениями рис.
29, получим выражение:
+ℎ⁄2
𝑀= ∫ (
−ℎ⁄2
𝐸𝑏𝑦 2 𝐹𝑏𝑦 𝑛+1
𝐸
𝐹
+
) 𝑑𝑦 = 𝐽1 +
𝐽(𝑛) ,
𝑛
𝑅
𝑅
𝑅
𝑅𝑛
где
+ℎ⁄2
+ℎ⁄2
𝐽1 = ∫ 𝑏 ∙ 𝑦 2 𝑑𝑦 и 𝐽(𝑛) = ∫ 𝑏𝑦 𝑛+1 𝑑𝑦 ;
−ℎ⁄2
−ℎ⁄2
𝐽1 – момент инерции сечения; 𝐽(𝑛) – интеграл, характеризующий нелинейную зависимость между напряжениями и деформациями.
Полагая в зависимости между напряжением и деформацией (3) 𝐸 = 0 – пластическое
тело со степенным законом упрочнения, получим равенство:
77
𝑀
𝐹
𝜎
= 𝑛 = 𝑛.
𝐽(𝑛) 𝑅
𝑦
Рис. 29. Балка прямоугольного сечения под действием чистой изгибающей нагрузки
Это более общий вид уравнения, обычно используемого инженерами при расчете упругого изгиба, т.е. когда 𝑛 = 1. Значение 𝐽(𝑛) при постоянном 𝑏:
𝑏ℎ𝑛+2
2
𝑏ℎ𝑛+1
𝐽(𝑛) = 𝑛+1
или 𝑊 = 𝐽(𝑛) = 𝑛
.
(𝑛 + 2)
2
ℎ 2 (𝑛 + 2)
Сварная составная балка представляет собой композитный элемент конструкции, так
как имеются зоны сварного соединения с сильно различающимися характеристиками (предельная пластичность, коэффициент степенного упрочнения и др.). При работе такой балки в
стадии предельной несущей способности начинает играть существенную роль пластичность
зон сварного соединения, особенно если эти зоны составляют значительный процент площади
сечения. В таких балках при предельной работе в первую очередь будет достигнута предельная пластичность зон сварного соединения, они будут разрушаться первыми хрупко с появлением трещин и резким их распространением, поэтому предельная работоспособность таких
балок будет ограничиваться именно зоной с малой пластичностью материала. Предельную работоспособность и нагрузку таких балок при изгибе следует находить с учетом величины
наименьшей предельной пластичности зоны сварного соединения (см. рис. 29).
Рис. 30. Коробчатое составное сечение c толщиной стенки 𝑆 = 𝑆1
и сварными соединениями с участками:
1 – основной материал; 2 – околошовная зона с минимальной пластичностью; 3 – зона сварного шва
78
Задание. Найти предельную несущую способность составной балки коробчатого сечения 𝐻 × 𝐵 с толщиной стенок 𝑆1 от действия чистого изгибающего момента и от действия продольной силы при известных диаграммах деформирования зон сварного соединения и основного материала. Считать, что любая область сечения балки работает при жестком режиме
нагружения. Также принять гипотезу плоских сечений в силе. Форму сварного шва упростить
до прямоугольника со стороной 𝑆1, равной толщине листа 𝑆. Считать, что пластичность зоны
2 ниже на ∆𝑒2 (%), а зоны 3 – на ∆𝑒3 (%) пластичности основной стали, а истинные напряжения
разрыва 𝑆𝑝1,2 и 𝜎0,2 участков 2 и 3 одинаковые и выше на ∆𝑆𝑝1,2 (%) основной стали.
Таблица 19
Варианты заданий
Вар.
𝐻, мм
𝐵, мм
𝑆1 , мм
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
70
80
90
100
70
80
90
100
70
80
90
100
70
80
90
100
100
70
80
90
100
70
80
90
100
70
80
90
100
70
80
90
100
70
80
90
100
70
80
90
100
70
8
10
8
12
12
6
8
8
10
8
10
14
14
10
8
6
8
10
8
6
8
Ширина
зоны 2, мм
3
4
4
5
5
3
4
5
5
8
5
5
8
4
3
3
4
8
4
3
3
∆𝑒2 , %;
∆𝑒3 , %
20;10
30;10
40;10
20;10
40;10
30;10
30;10
40;10
20;10
30;10
40;10
20;10
30;10
40;10
20;10
30;10
40;10
20;10
20;10
30;10
40;10
∆𝑆𝑝1,2 , %
Сталь
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
10
20
30
Ст.3сп
22К
10
45
40Х
50
37ХН3А
Ст.3сп
22К
10
45
40Х
50
37ХН3А
Ст.3сп
22К
10
45
40Х
50
37ХН3А
3.5.2 Пример расчета. Предельная несущая способность
составной сварной балки заданного сечения
3.5.2.1 Вывод целевой формулы для решения задачи
(предельная несущая способность при растяжении)
Получим формулу для расчета продольной предельной нагрузки исходя из наиболее опасной околошовной зоны 2, имеющей минимальную способность к пластической деформации.
Справочные и исходные данные задачи (табл. 20). Находим механические характериом
ом
стики стали 37ХН3А: 𝜓кр
= 0,6, 𝜎0,2
= 743 МПа, 𝜎вом = 1014 МПа, 𝑚ом = 0,12.
Таблица 20
Варианты заданий
Вар.
𝐻, мм
𝐵, мм
𝑆1 , мм
21
100
70
8
Ширина
зоны 2, мм
3
79
∆𝑒2 , %;
∆𝑒3 , %
40;10
∆𝑆𝑝1,2 , %
Сталь
30
37ХН3А
Критическая пластическая деформация для стали 37ХН3А составляет:
1
𝑒кр = ln (
).
ом
1 − 𝜓кр
Из условия задачи известно снижение предельной пластичности для каждой зоны сварного соединения. Исходя из этого найдем снижение критического сужения при разрушении
для каждой из областей:
– для зоны шва имеем:
ш
𝜓кр
= 1 − 1⁄𝑒𝑥𝑝[1 − ∆𝑒3 ]𝑒кр .
– для околошовной зоны имеем:
зтв
𝜓кр
= 1 − 1⁄𝑒𝑥𝑝[1 − ∆𝑒2 ]𝑒кр .
– для основного металла имеем:
ом
𝜓кр
= 0,6,
где 𝑒кр – критическая пластическая деформация стали; ∆𝑒3 и ∆𝑒2 – снижение пластичности
для шва и околошовной зоны, доли.
Предельное продольное усилие будет определяться исчерпанием пластической деформации участка балки с минимальной пластической деформацией, а предельная нагрузка будет
вычисляться как сумма сил, действующая по сечениям 𝐴1 , 𝐴2 , 𝐴3 в каждом участке профиля
балки. Площади сечений в момент разрушения для соответствующих истинных напряжений
ом
будут соответствовать основному металлу, околошовной зоне и шву 𝐴1 = 𝐹 ом 𝜓кр
, 𝐴2 =
зтв зтв
ш ш
𝐹 𝜓кр , 𝐴3 = 𝐹 𝜓кр соответственно.
Предельное усилие для всех участков (4 участков швов, 8 участков околошовных зон и
4 участков основного металла) сечения балки будет определяться по формуле:
𝐹 = 4𝐴1 𝜎1𝑖 + 8𝐴2 𝜎2𝑖 + 4𝐴3 𝜎3𝑖 ,
(4)
где 𝜎1𝑖 , 𝜎2𝑖 , 𝜎3𝑖 – истинные напряжения в основном металле, околошовной зоне и шве в момент
разрушения зоны с минимальной пластической деформацией, которая равна 𝜀А2 (см. рис. 28).
Чтобы воспользоваться последней формулой, необходимо знать коэффициенты упрочнения
для участков профиля – шва и околошовной зоны. Коэффициенты можно найти по формуле:
𝑚=
ln(𝑘пц 𝜎0,2 ⁄𝑆отр )
ln(𝑆отр ⁄[𝑘пц 𝑘 2 𝜎0,2 ])
,
(5)
где 𝑘пц – эмпирический коэффициент, для феррито-перлитных сталей равен 0,6; 𝑆отр – истинные напряжения отрыва при разрушении образца; 𝜎0,2 – предел текучести; 𝑘 – коэффициент
пропорциональности, произведение которого на 𝜎0,2 должно соответствовать указанному
условию для ключевой точки 𝑆отр упругопластического решения. Коэффициент 𝑘 суть
отношение 𝑒кр ⁄0,002 для соответствующего участка сечения.
Также существует известная формула для расчета 𝑚 для конструкционных сталей:
𝜎𝐵 (1 + 1,4 𝜓кр )
)
𝜎0,2
𝑚 =
,
1
𝑙𝑔 (105 ∙ 𝑙𝑛 (1 – 𝜓 ) /(200 + 0,5𝜎0,2 ) )
кр
0,75 ∙ 𝑙𝑔 (
80
(6)
где 𝜎𝐵 – условный предел прочности материала, 𝜎0,2 – предел текучести, 𝜓кр – относительное
поперечное сужение образца после разрыва. Но ее использовать не получится, так как не известен условный предел прочности для шва и околошовной зоны по условию задачи.
Для указанных сталей в задании можно воспользоваться графиком для определения коэффициента упрочнения (рис. 31).
Рис. 31. Степенной коэффициент упрочнения 𝑚 по различным формулам, маркеры:
1 – зависимость (5); 2 – экспериментальные данные; 3, 4 – значения
по другим приближенным расчетным формулам
Найдем истинные напряжения отрыва для основной стали, шва и околошовной зоны:
ом
𝑆 ом = 𝜎в (1 + 1,4𝜓кр
);
𝑆 ш = 𝑆 зтв = (∆𝑆𝑝2,3⁄100 + 1)𝑆 ом ,
где ∆𝑆𝑝2,3 – процент увеличения истинных напряжений отрыва для околошовной зоны 2 и шва
3, % (см. рис. 28).
Предел текучести по условию задачи повышается на соответствующий процент и будет
зтв
ш
составлять для шва и околошовной зоны 𝜎0,2
= 𝜎0,2
= (∆𝑆𝑝2,3⁄100 + 1)𝜎0,2 . Теперь находим
коэффициент упрочнения по формуле (5):
▪ шва
𝑚ш =
ln(0,6𝜎0,2 ⁄𝑆отр )
ln(𝑆отр ⁄[𝑘пц 𝑘 2 𝜎0,2 ])
;
(7)
.
(8)
▪ для околошовной зоны
𝑚зтв =
ln(0,6𝜎0,2 ⁄𝑆отр )
ln(𝑆отр ⁄[0,6𝑘 2 𝜎0,2 ])
Коэффициент упрочнения для основной стали находим по справочнику или по графику
(см. рис. 31).
По условию задачи известно, что деформация удлинения различных зон сечения балки
происходит одинаково (режим жесткого нагружения), то есть сечение остается плоским в про-
81
цессе удлинения балки. Поэтому будем находить интенсивность напряжений для шва и основного металла, используя формулу связи истинных напряжений через решение упругой задачи.
Поэтому сначала определим истинные деформации разрушения области с минимальной пластической возможностью. Легко видеть, что это околошовная область.
2
−1
2
𝑚
2
2
зтв 𝑚+1
𝜎2𝑖 = 𝑆 зтв = (𝜎0,2
)
(𝐸𝑒кр )𝑚+1 ,
где
𝐸𝑒кр – напряжение разрушения при решении упругой задачи. Отсюда критическая деформация наименее пластичной области сечения:
(
2
+1)⁄2
2
2
𝑚
1
зтв
√𝑆 зтв ⁄(𝜎 зтв )(𝑚−1)⁄(𝑚+1) .
𝑒кр
= ×
0,2
𝐸
где
𝑚 − коэффициент для околошовной зоны.
Находим истинные напряжения для шва и основного металла по известной предельной
пластической возможности:
𝜎3𝑖 =
2
−1
2
𝑚ш
2
2
ш 𝑚ш +1
ш. 𝑚ш +1
(𝜎0,2 )
(𝐸𝑒кр )
и
2
−1
2
𝑚ом
2
2
о.м 𝑚ом +1
о.м. 𝑚ом +1
𝜎1𝑖 = (𝜎0,2 )
(𝐸𝑒кр
)
.
Далее определяем предельную нагрузку 𝐹 по полученному выражению (4), где все входящие в него значения уже известны:
2
2
−1
−1
2
2
𝑚ом
𝑚зтв
2
2
2
2
+1
+1
+1
ом 𝑚ом
зтв 𝑚зтв
зтв 𝑚ом
зтв 𝑚зтв +1
𝐹 = 4𝐴1 (𝜎0,2
)
(𝐸𝑒кр
)
+ 8𝐴2 (𝜎0,2
)
(𝐸𝑒кр
)
+
2
−1
2
𝑚ш
2
2
ш 𝑚ш +1
зтв 𝑚ш +1
+4𝐴3 (𝜎0,2
)
(𝐸𝑒кр
)
.
(9)
3.5.2.2 Подстановка значений и последовательность расчета
Рассчитываем критическую пластическую деформацию основного материала
1
о.м.
) = 0,916,
𝑒кр
= ln (
1 − 0,6
ом
где относительное критическое сужение для основного материала 𝜓кр
= 0,6.
Учитывая по условиям задачи снижение пластичности зон сварного соединения, находим критические относительные сужения каждой зоны при разрушении
– для зоны шва имеем:
ш
𝜓кр
= 1 − 1⁄exp [(1 − ∆𝑒3 )𝑒кр ] = 1 − 1⁄exp [(1 − 0,10) ∙ 0,916] = 0,556.
– для околошовной зоны имеем:
зтв
𝜓кр
= 1 − 1⁄exp [(1 − ∆𝑒2 )𝑒кр ] = 1 − 1⁄exp [(1 − 0,40) ∙ 0,916] = 0,42.
Критические пластические деформации других зон по условию задачи равны:
зтв
о.м.
𝑒кр
= 𝑒кр
− ∆𝑒2 = 0,916 − 0,4 ∙ 0,916 = 0,5496;
82
ш.
о.м.
𝑒кр
= 𝑒кр
− ∆𝑒3 = 0,916 − 0,1 ∙ 0,916 = 0,8244.
Площади зон в момент разрушения:
ом
𝐴1 = 𝐹 ом 𝜓кр
= (2 ∙ (100 − 2 ∙ 3 − 2 ∙ 8) ∙ 8 + 2 ∙ (70 − 2 ∙ 3 − 2 ∙ 8) ∙ 8) ∙ 0,6 = 1209,6;
зтв
𝐴2 = 𝐹 зтв 𝜓кр
= 8 ∙ 3 ∙ 8 ∙ 0,4 = 76,8;
ш
𝐴3 = 𝐹 ш 𝜓кр
= 4 ∙ (8)2 ∙ 0,556 = 142,336.
Находим коэффициенты для расчета упрочнения 𝑚 для каждой зоны:
𝑚=
ln(𝑘пц 𝜎0,2 ⁄𝑆отр )
ln(𝑆отр ⁄[𝑘пц 𝑘 2 𝜎0,2 ])
;
о.м.
𝑒кр
0,916
=
= 458;
0,002 0,002
зтв
𝑒кр
0,5496
зтв
𝑘кр
=
=
= 275;
0,002
0,002
ш
𝑒кр
0,8244
ш
𝑘кр
=
=
= 412,
0,002
0,002
о.м.
𝑘кр
=
о.м.
в котором 𝑘пц = 0,6, 𝜎0,2
= 743 МПа.
Истинные напряжения отрыва и пределы текучести:
ом
𝑆 ом = 𝜎в (1 + 1,4𝜓кр
) = 1014 ∙ (1 + 1,4 ∙ 0,6) = 1865,76;
30
𝑆 ш = 𝑆 зтв = (∆𝑆𝑝2,3⁄100 + 1) × 𝑆 ом = (
+ 1) ∙ 1865,76 = 2425,488.
100
зтв
о.м.
ш
𝜎0,2
= 𝜎0,2
= (∆𝑆𝑝2,3⁄100 + 1)𝜎0,2
;
зтв
ш
𝜎0,2
= 𝜎0,2
= (∆𝑆𝑝2,3⁄100 + 1)𝜎0,2 = 743 ∙ (0,3 + 1) = 965,9.
Теперь определяем коэффициент упрочнения для шва и околошовной зоны:
𝑚ш =
𝑚зтв =
ш ⁄ ш
ln(𝑘пц 𝜎0,2
𝑆 )
ln(0,6 ∙ 965,9⁄2425,488)
=
= 0,135;
2 ∙ 965,9])
ш 2 𝜎 ш ])
⁄
[0,6
ln(2425,488
∙
412
ln(𝑆 ш ⁄[𝑘пц 𝑘кр
0,2
зтв ⁄ зтв
ln(𝑘пц 𝜎0,2
𝑆 )
ln(0,6 ∙ 965,9⁄2425,488)
=
= 0,146.
зтв 2 𝜎 зтв ])
ln(2425,488⁄[0,6 ∙ 2752 ∙ 965,9])
ln(𝑆 зтв ⁄[𝑘пц 𝑘кр
0,2
Находим истинные напряжения:
2
2
−1
−1
2
0,146
2
𝑚зтв
2
2
2
2
+1
+1
+1
+1
зтв 𝑚зтв
зтв 𝑚зтв
𝜎2𝑖 = 𝑆 зтв = (𝜎0,2
)
(𝐸𝑒кр
)
= (965,9)0,146 (2,1 ∙ 105 ∙ 0,5496)0,146 =
= (965,9)0,86 (2,1 ∙ 105 ∙ 0,5496)0,136 = 485,78 ∙ 4,88 = 2370,6 МПа ;
𝜎3𝑖 =
2
−1
2
0,135
2
2
+1
+1
(965,9)0,135 (2,1 ∙ 105 ∙ 0,5496)0,135 = (965,9)0,87 (2,1 ∙ 105 ∙ 0,5496)0,13 =
= 485,78 ∙ 4,55 = 2210,299 МПа
и
𝜎1𝑖 =
2
−1
2
0,12
2
2
+1
+1
(743)0,12 (2,1 ∙ 105 ∙ 0,619)0,12 = (743)0,89 (2,1 ∙ 105 ∙ 0,5496)0,113 =
83
= 359,07 ∙ 3,73 = 1339,33 МПа.
Предельная несущая способность составной сварной балки коробчатого сечения
𝐹 = 1209,6 ∙ 1339,33 + 76,8 ∙ 2370,6 МПа + 142,336 ∙ 2210,299 = 2116,720 кН.
Сопоставим предельную несущую способность такой однородной балки из основного
материала и без влияния пластичности сварных соединений, для этого найдем напряжения
разрушения для однородного материала (стали):
(
2
−1)⁄(
𝜎1𝑖 = (743) 0,12
2
2
+1)
2⁄(
+1)
0,12
(2,1 ∙ 105 ∙ 0,916) 0,12
= 1392,7 МПа.
Предельное усилие до разрушения
ом
𝐹 = 𝐹 ом 𝜓кр
𝜎1𝑖 = [100 ∙ 70 − (100 − 16) ∙ (70 − 16)] ∙ 0,6 ∙ 1392,7 = 2050 кН.
Вывод. В расчетном задании была определена предельная несущая способность составной сварной балки коробчатого сечения, которая составила 2116,720 кН. Это значение было
получено на основе расчета предельного усилия для всех участков сечения балки с учетом их
механических характеристик и коэффициентов упрочнения.
Для сравнения была рассчитана предельная несущая способность однородной балки из
основного материала без влияния пластичности сварных соединений, которая составила
2050 кН. Это значение было получено на основе напряжений разрушения для однородного
материала.
Таким образом, в ходе выполнения практической работы и расчетного задания были
определены предельные несущие способности сварной балки и однородной балки из основного материала, что позволяет сделать выводы о влиянии пластичности сварных соединений
на прочность конструкции.
Как известно, предельная прочность балки со сварными швами и областями с пониженными характеристиками пластичности оказывается ниже, чем у однородной балки из основного
материала. Это обосновано тем, что сварные швы и околошовные зоны обладают меньшей способностью к пластической деформации, что снижает общую несущую способность конструкции. Однако результирующая предельная нагрузка будет зависеть от того, на какую величину
понижена пластичность в зоне сварного соединения и на сколько повышаются механические
характеристики этой зоны, а также от относительных размеров этих зон ко всему сечению.
Рассмотрим подробнее влияние характеристик пластичности на предельную нагрузку
до разрушения. По результатам расчетов замечено, что балка из однородного материала стали
37ХН3А выдерживает меньшую нагрузку в сравнении с балкой со сварными соединениями.
Это обусловлено тем, что по условию задачи механические характеристики прочности зон с
низкой пластичностью увеличились на значительную величину – 30% и нивелировали снижение пластичности. То есть участки с высокими механическими характеристиками начинают
забирать на себя больше нагрузки до момента их разрушения при одинаковой продольной деформации всех участков. Таким образом, в случае расчета предельной нагрузки необходимо
учитывать не только величину снижения пластичности материала, но и увеличение других характеристик этого материала. Поэтому в задачах с подобными условиями получаемый результат по предельной нагрузке будет сильно зависеть этих условий.
3.5.3 Контрольные вопросы
1. Какие основные стадии деформирования одновременно можно выделить в поведении балок, не загруженных осевыми силами?
84
2. Как определяется предельная несущая способность статически определимой балки?
3. Какие факторы влияют на образование пластического шарнира в балке?
4. Как изменяются напряжения и деформации в балке при увеличении внешней
нагрузки?
5. Какие особенности имеет работа сварного соединения с сильно ограниченной пластичностью прослойками при продольной нагрузке?
6. Как определяется критическая пластическая деформация для различных зон сварного
соединения?
7. Какие параметры влияют на предельную несущую способность составной сварной
балки коробчатого сечения?
8. Как рассчитывается предельное усилие для всех участков сечения балки?
9. Какие механические характеристики необходимо учитывать при расчете предельной
несущей способности сварной балки?
10. Как влияет пластичность зон сварного соединения на предельную работоспособность балки?
11. Какие формулы используются для расчета коэффициентов упрочнения для различных зон сварного соединения?
12. Как сравниваются предельные несущие способности однородной балки из основного материала и сварной балки с учетом пластичности сварных соединений?
13. Какие факторы необходимо учитывать при расчете предельной несущей способности балки при чистом изгибе?
14. Как изменяется предельная несущая способность балки при чистом изгибе в зависимости от механических характеристик различных зон сварного соединения?
85
ГЛАВА 4. ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ СЕЧЕНИЯ
РАЗЛИЧНЫХ СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
НА ИХ ВЫНОСЛИВОСТЬ
Цель главы. Изучить влияние геометрической формы сечения различных сварных соединений на их выносливость, теоретически научиться строить диаграммы предельных напряжений и предельных амплитуд напряжений для конкретных сварных соединений.
4.1 Основная теория и понятия
Нагрузка, меняющаяся через одинаковые промежутки времени на одну и ту же величину, называется периодически переменной, или циклической. Смена напряжений от какогонибудь его значения до следующего такого же называется циклом. Время, занимаемое одним
циклом, обозначается через 𝑇. Соотношение действующих в цикле напряжений характеризуется коэффициентом асимметрии 𝑟 = 𝜎𝑚𝑖𝑛 ⁄𝜎𝑚𝑎𝑥 . Если конструкция подвергается циклическому нагружению в течение длительного времени, то она может разрушиться при напряжениях, значительно меньших временного сопротивления материала, при этом разрушение не
сопровождается какими-либо предварительными изменениями формы. Такое разрушение
называется разрушением от усталости.
Процесс постепенного накопления повреждений и разрушения металлов под действием
многократно приложенных нагрузок носит название усталости. Свойство металлов сопротивляться усталости называется выносливостью.
Наибольшее напряжение, не приводящее к разрушению от усталости того или иного
образца металла, называется пределом выносливости и обозначается 𝜎𝑟 , где 𝑟 – индекс, указывающий значение коэффициента асимметрии цикла. В зависимости от соотношения величин наибольшего и наименьшего напряжения цикл может быть симметричным (рис. 32, а),
когда 𝜎𝑚𝑎𝑥 равно по величине и противоположно по знаку 𝜎𝑚𝑖𝑛 , несимметричным (рис. 32, б),
когда 𝜎𝑚𝑎𝑥 не равно 𝜎𝑚𝑖𝑛 и отнулевым (пульсирующим) (рис. 32, в), когда 𝜎𝑚𝑖𝑛 равно нулю.
Рис. 32. Графики циклической нагрузки:
а) симметричный цикл; б) несимметричный цикл; в) пульсирующий цикл (отнулевой)
86
Наиболее опасным с точки зрения возможности разрушения конструкции является симметричный цикл.
Предел выносливости удобнее всего выражать через крайнее напряжение цикла 𝜎𝑚𝑎𝑥 .
Чем ближе изменение напряжений к условиям симметричного цикла, тем отчетливее проявляется склонность к усталостному разрушению в случае перегрузки. С уменьшением размаха
крайних напряжений цикла усиливается отступление от симметричного цикла. В этих условиях знакопеременное напряжение опаснее, чем знакопостоянное, а из знакопостоянных
напряжений более опасны напряжения растяжения, чем сжатия. Опыт показывает, что переменное напряжение сжатия не проводит к существенному снижению прочности деталей. В
связи с этим сопротивление стали переменному сжатию изучается относительно мало.
С практической точки зрения особенно важно знать пределы выносливости при циклических нагрузках, которым соответствует коэффициент асимметрии в пределах −1 ≤ 𝑅 ≤ +1,
т.е. когда абсолютная величина напряжения растяжения больше напряжений сжатия или когда переменное напряжение остается растягивающим [21].
При многоцикловом нагружении предельное напряжение следует рассматривать с двух
позиций.
Однократная перегрузка. В этом случае предельное напряжение соответствует исчерпанию пластичности материала. Это напряжение может быть представлено значениями 𝜎т
(предел текучести), 𝜎в (предел прочности) или 𝑆к (истинное сопротивление разрыву), в зависимости от допустимой пластической деформации.
Циклическая усталость. Здесь предельным напряжением является максимальное циклическое напряжение, приводящее к образованию усталостных трещин, то есть предел выносливости 𝜎𝑟 .
В условиях, близких к симметричному циклу (когда коэффициент асимметрии 𝑅 стремится к −1), предел выносливости 𝜎𝑟 оказывается ниже характеристик сопротивления пластической деформации и даже не достигает предела текучести стали.
Если напряжение приближается к постоянному (𝑅 стремится к +1), усталостное разрушение происходит при напряжениях, превышающих предел текучести, и иногда достигающих
истинного сопротивления разрыву 𝑆к . Однако даже в этом случае амплитудное значение
цикла, вызывающее разрушение, остается ниже предела текучести.
Пределы выносливости при разных видах циклов можно представить графически.
Например, диаграммы Смита или Хэя [21] отражают зависимости крайних напряжений цикла
или амплитуду цикла в зависимости от среднего напряжения цикла. Эти диаграммы желательно строить в равноценном масштабе по осям, в этом случае они становятся проще для
математического описания и более наглядными.
Наглядным и удобным является графическое представление предельных напряжений
или предельных амплитуд напряжений в зависимости от коэффициента асимметрии. Предельная амплитуда напряжений – это такая амплитуда цикла напряжений, при которой материал
разрушается на установленной базе испытаний. При этом средним напряжением цикла может
быть любое постоянное в пределах испытания. Таким образом, для любого постоянного среднего напряжения цикла существует одна предельная амплитуда (рис. 33).
Графически зависимость предельного напряжения от коэффициента асимметрии цикла
𝑅 представляется диаграммами предельных напряжений при асимметричных циклах (диаграммами усталости). Существует несколько видов таких диаграмм: в координатах 𝜎𝑚𝑖𝑛 =
𝑓( 𝜎𝑚𝑎𝑥 ); 𝜎𝑚 = 𝑓(𝜎𝑚𝑎𝑥 ) и 𝜎𝑚 = 𝑓(𝜎𝑚𝑖𝑛 ); 𝜎𝑎 = 𝑓(𝜎𝑚 ). Наиболее наглядными являются диаграммы в координатах 𝜎𝑚 − 𝜎𝑎 (рис. 33).
87
а)
б)
Рис. 33. Диаграммы предельных амплитуд напряжений (а, б) в координатах 𝜎𝑚 − 𝜎𝑎
для положительных средних напряжений с двумя видами аппроксимации (б):
предельной прямой – 1; предельной ломаной – 2 (Серенсена–Кинасошвили);
𝜎0 – амплитуда отнулевого предельного цикла
Эта диаграмма располагается над положительной осью 𝜎𝑚 . Любой луч, выходящий из
начала координат в этой системе под углом 𝛽 к оси 𝜎𝑎 , тангенс которого 𝑡𝑔(𝛽) = 𝜎𝑎 ⁄𝜎𝑚 =
(1 − 𝑅)⁄(1 + 𝑅) , характеризует геометрическое место точек, соответствующих подобным
циклам с коэффициентом 𝑅. Коэффициент подобия принято обозначать ℵ = (𝜎𝑎 ⁄𝜎𝑚 )−1. Следовательно, и оси координат являются геометрическими местами таких точек: 𝜎𝑚 – точек, соответствующих постоянным положительным (вправо от точки 0) и отрицательным (влево от
точки 0) средним напряжениям циклов при 𝑅 = 1, а 𝜎𝑎 – симметричным циклам при 𝑅 = −1.
Отнулевому (пульсирующему) циклу растяжения будет соответствовать равенство 𝜎𝑎 = 𝜎𝑚 ,
а отнулевому сжатия – равенство 𝜎𝑎 = −𝜎𝑚 (эта часть диаграммы отсутствует на рис. 33).
Среднее напряжение цикла и его амплитудное значение в сумме не могут превышать
предел временной прочности на сжатие и растяжение. Поэтому по оси 𝜎𝑚 крайняя точка 𝜎в –
это временный предел прочности при растяжении. Значение 𝜎т будут соответствовать заметным напряжениям текучести материала всего сечения образца в первом полуцикле, соответственно, на кривой этому значению будет соответствовать точка Е.
В качестве предельного напряжения по оси ординат отложено значение предела выносливости при симметричном растяжении-сжатии (отрезок 0 − С ). Кривая 𝐶𝐸𝐷𝐴 называется
предельной, так как она отделяет область циклов с такой интенсивностью нагружения, при
которой разрушение не наступит на установленной базе. Эта область показана под предельной
кривой. Область выше предельной кривой соответствует таким суммарным напряжениям
𝜎𝑚 + 𝜎𝑎 , при которых наступит разрушение, или образец разрушится на установленной базе.
Изложенные представления о появлении пластических деформаций весьма условны и
не отражают всей сложности механизма накопления остаточных деформаций и повреждений
при циклическом деформировании.
Построения этих областей требуют проведения испытаний на выносливость при максимальных напряжениях, превышающих предел текучести и приближающихся к пределу временной прочности. Нагружение материала, обладающего пластичными свойствами, при таких
напряжениях должно приводить к изменению площади нагруженной области поперечного сечения. В связи с этим предлагалось строить диаграммы предельных напряжений в истинных
(действительных) напряжениях 𝜎𝑚и , 𝜎𝑎и , определяемых с учетом изменения сечения при циклическом деформировании. Так как амплитудное напряжение не превышает предела выносливости, который, как правило, для пластичных материалов ниже предела текучести, то по оси
88
ординат можно откладывать условные амплитуды напряжений, вычисленные без учета некоторого изменения площади сечения.
Диаграммы, построенные по действительным средним напряжениям цикла в области
положительных его значений, вытягиваются вдоль оси абсцисс и приближаются к прямым,
соединяющим точку А с точкой С (см. рис. 33). Определяемые такими прямыми предельные
напряжения удовлетворительно согласуются с опытными данными.
Форма предельной кривой 𝐶𝐸𝐷𝐴 зависит от свойств материала, вида деформации, конструктивных особенностей деталей и др. Ее получение связано с большим объемом экспериментов, которые с целью более надежного построения диаграммы должны быть получены в
статистическом плане и при возможно большем количестве значений 𝑅. Поэтому уточненные
диаграммы получены только для некоторых материалов. Положительная часть, где 𝜎𝑚 > 0 ,
представляет больший интерес для практики. Однако при учете действия остаточных напряжений, возникающих в результате поверхностного упрочнения, полезно иметь и экспериментальную кривую для области, где 𝜎𝑚 < 0. Эта область актуальна на практике, например, для
случаев, когда в приповерхностном упрочнении или в ЗТВ сварных соединений образуются
высокие остаточные напряжения сжатия.
Диаграммы предельных амплитуд напряжений и предельных напряжений обычно рассматриваются для экспериментальных образцов, хотя могут быть построены и для детали или
даже конструкции. Даже при условии её построения для гладких образцов возникают трудности, упомянутые ранее, поэтому такие диаграммы часто упрощают. Существует множество
подобных упрощений и функций для их аппроксимаций. Рассмотрим упрощение с помощью
предельной прямой и предельной ломаной (см. рис. 33).
На практике по экспериментальным данным известно, что предельная кривая имеет малую выпуклость. Поэтому её можно аппроксимировать прямой АС, при этом наибольшая погрешность аппроксимации будет находиться в области циклов, близких к пульсирующим растяжениям. Данный вид аппроксимации наиболее прост и удобен. Уравнение такой прямой,
которую впервые провел Гудман (Goodman), можно записать в виде [3]:
𝜎𝑚 ⁄𝜎в + 𝜎𝑎 ⁄𝜎−1 = 1.
Другой распространенный вид аппроксимации заключается в замене действительной
кривой 𝐴𝐷𝐸𝐶 ломаной 𝐴𝐷𝐶. Точка 𝐷 на предельной кривой получена в пересечении ее с лучом
𝑂𝐷, проведенным под углом 45° к осям из начала координат (при выдержке одинакового масштаба по осям) и соответствующей точкам пульсирующих циклов (𝑅 = 0). Для построения этой
ломаной кроме пределов выносливости 𝜎−1 и прочности 𝜎в необходимо знать предел выносливости для точки 𝐷, т.е. предел выносливости при пульсирующем цикле, амплитуда которого будет составлять 05𝜎0 , где 𝜎0 – предельное максимальное значение отнулевого (пульсирующего)
цикла. Необходимость знания величины 𝜎0 усложняет такую аппроксимацию, однако участки
𝐴𝐷 и 𝐷𝐶 с достаточной точностью описывают действительную предельную кривую. Поэтому
расчеты по предельной ломаной получили широкое распространение на практике [5] .
В марочниках сталей и справочной литературе обычно даётся только значение предела
выносливости симметричного цикла 𝜎−1. Поэтому 𝜎0 необходимо находить расчетным путем
или применять расчетные методы, основанные на коэффициентах чувствительности стали к
асимметрии цикла. Чувствительность стали к асимметрии цикла связана с концентрацией
напряжений, потому что менее чувствительные к асимметрии цикла стали будут и менее чувствительны к концентрации напряжений, так как в вершине концентратора асимметрия будет
отличаться от асимметрии рабочего цикла внешней нагрузки.
89
Как известно, теоретический коэффициент концентрации напряжений 𝛼к – удобный
критерий при исследовании усталостной прочности деталей с концентраторами. Если известна
величина предела выносливости материала при отсутствии концентрации напряжений, то предел выносливости при наличии концентрации напряжений может быть получен из формулы
[20]:
𝜎−1 =
𝜎в
14,1 𝛼к − 1
+
· ( 2 ),
2 · 𝛼к
𝛼к
√𝑅
где σ−1 – предел выносливости при симметричном цикле нагружения; σв – предел прочности
материала связи; 𝛼к – теоретический коэффициент концентрации напряжений; 𝑅 – радиус
кривизны в основании концентратора.
Подставляя в формулу значения 𝛼к и обозначив
𝑒12 + 1
ℎ
𝐵 = 0,1 ·
·√ ,
𝑒
𝑅
получим удобную формулу для расчета предела выносливости деталей типа пластины с уширением:
𝜎в
14,1 𝑏(1 + 𝐵) − 1
𝜎−1 =
+
·
.
2b(1 + 𝐵) √𝑅 [𝑏(1 + 𝐵)]2
Для связей, у которых переход от непрерывной части связей к прерывной образован
дугой эллипса, формула еще более упрощается:
𝜎−1 =
𝜎в
14,1
𝐵
+
·
,
2(1 + 𝐵) √𝑅 (1 + 𝐵)2
где 𝑏 – коэффициент, учитывающий форму образования перехода от непрерывной к прерывной частям связи: 𝑏 = 1,11 – для связей, у которых переход от непрерывной к прерывной связи
образован дугой окружности; 𝑏 = 1 – для связей, у которых переход образован дугой эллипса.
Соотношения показывают, что предел выносливости прерывистых связей типа пластины с уширением при симметричном цикле нагружения приближенно можно выразить в виде
простой функции предела прочности при растяжении и геометрических параметров связи.
4.2 Методика расчета предела выносливости
по известной геометрии сечения сварного соединения
Изучению процессов усталости и разработке эффективных методов повышения выносливости сварных соединений уделяется значительное внимание как в нашей стране, так и за
рубежом. Об этом свидетельствует большое число опубликованных в разное время теоретических и экспериментальных работ.
Прочность сварных соединений зависит от многих факторов (концентрации напряжений), вызванных геометрической формой шва, непроваров и подрезов, неоднородности
свойств в зонах сварного соединения, проявления остаточных напряжений и т. п.), поэтому
оценивать сопротивление усталости только по свойствам металла затруднительно.
Естественно, что прочность сварной конструкции можно надежно определить только
на основе испытаний типичных элементов в натуре или на соответствующих моделях.
Однако этот способ не в состоянии охватить все многочисленные случаи встречающихся в практике конструктивных форм сварных соединений. Кроме того, проведение экспе90
римента требует большой трудоемкости, а испытания проводятся в течение длительного времени. Следует принимать во внимание и неточности, связанные с конструктивно-технологическим различием лабораторных образцов и натурных соединений. Поэтому в литературе
встречаются предложения по теоретическому определению пределов выносливости сварных
соединений, тем более что на практике нередко возникает необходимость в оценке выносливости сварных соединений еще на стадии проектирования, не прибегая к лабораторным испытаниям.
Известно, что под выносливостью понимается свойство металлов сопротивляться усталости. Одним из критериев, по которому можно судить о сопротивлении усталости того или
иного образца металла, является предел выносливости.
Предел выносливости сварных соединений определяется в основном на базе экспериментальных исследований. При этом не всегда фиксируются геометрическая форма сварных
соединений и свойства металла в месте расположения концентратора напряжений. Известны
работы, в которых предлагаются методики расчетной оценки выносливости сварных соединений. Использование методик требует обращения к специальным графикам для определения
многочисленных коэффициентов, учитывающих параметры и свойства сварных соединений,
что значительно затрудняет применение этих расчетов на практике.
В некоторых работах предложено много корреляционных зависимостей между пределом выносливости и характеристиками статистической прочности, однако эти зависимости не
являются достаточно точными и универсальными и их рекомендуется использовать с большой
осторожностью.
Тем не менее представляется весьма целесообразной возможность оценить выносливость сварных соединений хотя бы приближенно, путем несложных расчетов непосредственно
при проектировании.
Теоретический коэффициент концентрации напряжений 𝛼к является удобным отправным пунктом при исследовании усталостной прочности деталей с концентраторами, в том
числе и сварных соединений.
Оценку выносливости деталей с концентраторами при известной величине 𝛼к можно
произвести путем определения эффективного коэффициента концентрации напряжений 𝛽 ,
определяемого по известной формуле:
𝛽 = 𝑓 + 𝜑𝑠 · (𝛼к − 1),
(10)
где 𝜑𝑠 – чувствительность металла к надрезу, зависящая от твердости металла. С другой стороны, эффективный коэффициент концентрации напряжений
𝛽=
𝜎−1
𝑘 ,
𝜎−1
𝑘
где 𝜎−1 – предел выносливости гладкого стандартного образца; 𝜎−1
– предел выносливости такого же образца, но с концентратором напряжений.
В работе [20] отмечается, что для сварных соединений формулой (10) пользоваться
нельзя, так как отсутствуют систематизированные данные о значении 𝜑𝑠 для сварных соединений.
В связи с этим представляет интерес предложенная в работе формула для оценки выносливости стальных образцов с концентраторами:
𝜎−1 =
𝜎в
А
𝛼к − 1
+
· ( 2 ),
2 · 𝛼к √𝑅
𝛼к
91
где 𝜎−1 – предел выносливости, кг/мм²; 𝜎в – предел прочности, кг/мм²; 𝛼к – теоретический коэффициент концентрации напряжений; 𝑅 – радиус кривизны в основании концентратора, мм;
𝐴 – коэффициент ослабления концентрации напряжений, имеющий размерность мм, и соответствующий размеру присущих материалу эквивалентных пороков.
Предел выносливости для сварных соединений при симметричном цикле нагружения
после некоторых преобразований формулы и в соответствии с рекомендациями работы по
учету остаточных сварочных напряжений и свойств металла в околошовной зоне можно определить по формуле:
𝜎−1c =
0,36 𝜎в
А
𝛼к − 1
+
· ( 2 ),
𝛼к
𝛼к
√10𝑅
где 𝜎−1c – предел выносливости сварного соединения, кг/мм²; 𝜎в – предел прочности основного металла; 𝐴 = 14,0 – коэффициент ослабления концентрации напряжений для сварного
стыкового соединения, мм; 𝐴 = 13,8 – коэффициент ослабления концентрации напряжений
для сварного крестового соединения, мм.
Величину теоретического коэффициента концентрации напряжений 𝛼к можно рассчитать по формулам, предложенным в различных работах. В частности, в работе [20] – для сварных стыковых соединений:
𝑒2 + 1
𝑞
·√ ;
𝑠
𝑅
𝛼к = 1 + 1,1 · 𝑔 ·
для крестовых соединений:
а) швы которых образованы по гипотенузе разностороннего треугольника:
𝛼к = 1 + 0,2 · √
2𝑒 − 𝑞
;
𝑒1 𝑅
б) швы соединений имеют форму равнобедренного треугольника:
𝛼к = 1 + 0,2 · √
2𝑆 − 𝐾
;
𝑅
в) швы соединений имеют вогнутую форму:
𝛼к = 1 + 0,4 · √
где
2𝑆 − 𝐾
,
𝑅
𝑒1 = 𝑒⁄𝑠 ; 𝑒; 𝑔; 𝑅; 𝑆; 𝐾 – геометрические характеристики сварных соединений.
Подставляя в формулу значения 𝛼к из формул выше и обозначив
𝐵 = 1,1 · g ·
𝑒2 + 1
q
·√ ;
𝑠
R
𝐵1 = 0,2 · √
𝐵2 = 0,2 · √
92
2𝑒 − 𝑞
;
𝑒1 𝑅
2𝑆 − 𝐾
;
𝑅
𝐵3 = 0,4 · √
2𝑆 − 𝐾
,
𝑅
получим удобные формулы для расчета предела выносливости сварных соединений.
Для сварных стыковых соединений предел выносливости определяется таким образом:
𝜎−1𝑐 = 0,36 ∙
для сварных крестовых соединений
𝜎−1𝑐 = 0,36 ∙
𝜎в
14,0
𝐵
+
·
;
1 + 𝐵 √10𝑅 (1 + 𝐵)2
(11)
𝜎в
13,8
𝐵𝑖
+
·
,
1 + 𝐵𝑖 √10𝑅 (1 + 𝐵𝑖 )2
где
𝑖 = 1, 2, 3 в соответствии с формулами для определенной формы шва.
Соотношения показывают, что предел выносливости сварных соединений можно выразить в виде простой функции предела прочности основного металла при растяжении и геометрических параметров связи.
При выводе формул были приняты допущения о том, что соединение химически однородно, материал шва и основного металла изотропен, непровары и подрезы отсутствуют, так
как сопротивление усталости стыковых и особенно тавровых соединений существенно зависит от глубины проплавления.
Для расчета коэффициента концентрации напряжений необходимо определить радиус
𝑅 перехода от расплавленного металла к основному. В условиях отсутствия дефектов сварного
соединения в виде подрезов и несплавлений величина 𝑅 определяется по графику, представленному на рис. 34, в зависимости от относительных геометрических характеристик шва.
Рис. 34. Среднестатистическое изменение радиуса перехода от основного
к наплавленному металлу в зависимости от геометрии и масштаба сечения сварных тавровых,
стыковых и крестовых соединений от параметра Gk
Для сварных стыковых соединений (рис. 35, а) по оси абсцисс рассчитывается величина
𝑔⁄𝑒, где 𝑔⁄𝑒 = 𝐺𝑘 . В стыковом соединении 𝑔 – это высота валика, а 𝑒 – его ширина.
Для крестовых соединений с неваликовыми швами (рис. 35, б) и полным проплавлением детали величина 𝐺𝑘 = 𝑙 ⁄(2𝑔 + 𝑆). Для крестовых соединений с вогнутыми или нормальными валиковыми швами и равными катетами величина значения 𝐺𝑘 вычисляется так:
93
𝐾 ⁄(2𝐾 + 𝑆). Для крестовых соединений (рис. 35, г) величина радиуса скругления 𝑅 равна катету 𝐾. Таким образом, в зависимости от конфигурации шва и выполнения крестового соединения 𝐺𝑘(1;2) = {𝑙 ⁄(2𝑔 + 𝑆); 𝐾 ⁄(2𝐾 + 𝑆)}, где индекс 1 – для конфигурации соединения (рис.
35, б или см. рис. 20); индекс 2 – для конфигурации соединения (рис. 35, в, г).
а)
б)
в)
г)
Рис. 35. Геометрические характеристики сварных стыковых (а)
и крестовых (б, в, г) соединений
При выполнении стыковых соединений стараются обеспечить полный провар и получить металл шва с необходимыми механическими свойствами и без сварочных дефектов. Геометрической форме сварного соединения уделяется меньше внимания. Однако известно, что
выносливость стыковых соединений в значительной степени определяется формой и геометрическими размерами шва. Для соединений с резкими переходами от наплавленного металла
к основному отмечается значительное понижение прочности вследствие высокой концентрации напряжений.
При неудобном выполнении сварки могут иметь место случайные непровары, влияние
которых трудно учитывать при оценке прочности и которые могут существенно понизить работоспособность сварных соединений. А конструктивный, т.е. заранее предусмотренный непровар не отражается на работоспособности соединения, так как он учитывается расчетом через коэффициенты запаса прочности для конкретной конструкции и нагрузки. Получено, что
по экспериментальным данным работы [20] для тавровых соединений допустимый непровар,
не оказывающий влияния на сопротивление усталости, составил 1⁄4 от толщины свариваемого металла.
В табл. 21 приведены результаты расчета предела выносливости по формуле (11) и результаты вибрационных испытаний сварных соединений из стали марки М-16С с пределом
прочности 𝜎в = 430 МПа. Перерасчет предела выносливости для цикла с характеристикой
𝑟 = 0,14 произведен с помощью диаграммы предельных напряжений сварных соединений
(рис. 36).
94
Диаграмма представлена в виде пучка прямых, сходящихся в точке 𝐶, которая соответствует пределу прочности основного металла. Луч, проходящий через начало координат диаграммы, является геометрическим местом точек, характеризующих циклы с одинаковым коэффициентом асимметрии 𝑔. Причем по данным табл. 21 видно, что предложенная методика
приближенной оценки выносливости сварных соединений подтверждается экспериментом и
может быть использована на практике.
Таблица 21
Предел выносливости сварных стыковых соединений
[20]
Геометрические характеристики, см
𝑆
𝑒
𝑔
По
данным
работы
По
формуле
𝑅
𝜎, МПа при 𝑟, равном:
−1,0
0
0,14
4,0
4,0
0,2
Плавные
переходы
–
212
235
4,0
4,0
0,2
0,2
148
220
240
Таким образом, предел выносливости сварных стыковых и крестовых соединений при
симметричном цикле нагружения можно приближенно определить по формулам, зная геометрические характеристики и предел прочности свариваемого металла.
Рис. 36. Диаграмма предельных напряжений сварных соединений
(диаграмма Смита)
Характеристики сопротивления усталости при различных коэффициентах асимметрии
цикла можно определить с помощью диаграммы предельных напряжений сварных соединений, построенной по значению предела выносливости для симметричного цикла, рассчитанному по предложенным формулам.
4.3 Задание по вариантам
1. Для наилучшей конфигурации геометрических размеров крестового сварного соединения, для которого получен минимальный 𝛼𝐾 в практической работе «Концентрация напряжений в сварных соединениях», определить тангенсы углов и построить диаграмму предельных напряжений. Преобразовать полученную диаграмму в диаграмму предельных амплитуд
напряжений и отметить предельную амплитуду цикла, имеющего средние напряжения 0,5𝜎т .
95
2. Найти расчетным путем пределы выносливости 𝜎−1 для двух других своих конфигураций геометрических размеров крестового сварного соединения из работы «Концентрация
напряжений в сварных соединениях».
3. Сопоставить пределы выносливости между собой для всех трех своих конфигураций
крестового соединения. Сделать выводы.
4. Марку стали взять любую из двух, соответствующую своему варианту (табл. 9). Принять, что механические характеристики шва и зоны термического влияния равноценны и не
отличаются от характеристик свариваемой стали.
4.4 Пример расчета. Влияние геометрической формы сечения
различных сварных соединений на их выносливость
Задание. Для сварного соединения (см. рис. 35, а) с размерами 𝑆 = 40 мм, 𝑒 = 24 мм,
𝑒2 = 2,5+1,5
мм, 𝐾[мм] , 𝑅[мм] , материал – Ст3сп, 𝜎в = 410 ÷ 500 МПа характеристики
−2
схемы нагружения 𝑟0 = −1; 𝑟1 = −0,5; 𝑟2 = 0; 𝑟3 = +0,5. Определить тангенсы углов и построить диаграмму предельных напряжений, преобразовать ее в диаграмму предельных амплитуд напряжений. По результатам получить пределы выносливости для разных значений
асимметрии цикла 𝜎𝑟 и для конкретных типов и размеров профиля сечения сварных соединений.
Определяем радиус концентратора напряжения. Для этого задаемся большим допускаемым значением высоты валика стыкового соединения 𝑔 = 2,5 + 1,5 = 4 мм, так как в этом
случае шов находится в более жестких условиях. Численными методами было показано [22,
10], что по достижению некоторого критического значения высоты валика он начинает оказывать существенное влияние на концентрацию деформаций в зоне перехода между основным и наплавленным металлом.
Параметр 𝑔⁄𝑒 = 4⁄24 = 0,167. В соответствии с рис. 34 радиус 𝑅 = 4 мм = 0,4 см.
Рассчитываем коэффициент 𝐵 по формуле:
𝐵=
1,1 ∙ 𝑔
𝑒 2
𝑔
∙ [( ) + 1] ∙ √ .
𝑆
𝑆
𝑅
Подстановка значений с рис. 34 и исходных данных дает:
𝐵=
1,1 ∙ 4
24 2
4
) + 1] ∙ √ = 0,15.
∙ [(
40
40
4
(12)
Определяем величину предела выносливости при симметричном цикле (здесь радиус 𝑅
имеет размерность в см):
𝜎−1 =
где
0,36σв
А
0
+ 10
∙
,
1+0
√10 ∙ 𝑅 (1 + 0)2
(13)
σв – предел прочности стали, МПа.
Подставляем значения и получаем:
𝜎−1 =
0,36 ∙ 410
14
0
+ 10
∙
= 148 МПа.
1+0
√10 ∙ 0,4 (1 + 0)2
96
(14)
Строим диаграмму предельных напряжений по одному значению 𝜎−1 (см. рис. 36). Откладываем на оси ординат 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎−1 , так как цикл симметричный (𝜎𝑚 = 0), откладываем величину 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎−1 при аргументе 𝜎𝑚 = 𝜎−1 и получаем точку 𝐶 . Соединяем полученные
точки 𝐴 и 𝐶 и получаем таким образом зависимость.
Определяем значения 𝑡𝑔 𝛼:
Для 𝑟1 = −0,5:
𝑡𝑔𝛼 =
2
= 4; 𝛼 = 75°.
1 − 0,5
𝑡𝑔𝛼 =
2
= 2; 𝛼 = 63°.
1+0
Для 𝑟2 = 0:
Для 𝑟3 = 0,5:
𝑡𝑔𝛼 =
2
= 1,33; 𝛼 = 53°.
1 + 0,5
Проводя лучи под рассчитанными углами 𝛼 и руководствуясь данными осей абсцисс и
ординат диаграммы Смита, получаем пределы выносливости 𝜎𝑟𝑖 . Результаты заносим в табл.
22.
Таблица 22
Пределы выносливости при разной асимметрии цикла
Выносливости
𝜎𝑟𝑖 , МПа
𝑟 = −1
148
𝑟1 = −0,5
160
𝑟2 = 0
230
𝑟3 = 0,5
300
Покажем второй способ, не требующий вычисления тангенса угла. Диаграмма Гудмана
представляет собой прямую, заданную уравнением 𝜎𝑚 ⁄𝜎в + 𝜎𝑎 ⁄𝜎−1 = 1, которое можно использовать для вычисления 𝜎𝑚𝑎𝑥 и нахождения функции 𝐹(𝜎−1 , 𝜎в , 𝑟).
Из определения коэффициента асимметрии
𝑟 = 𝜎𝑚𝑖𝑛 ⁄𝜎𝑚𝑎𝑥
выразим 𝜎𝑚𝑖𝑛 через 𝑟:
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝑟 ⋅ 𝜎𝑚𝑎𝑥 .
Уравнение предельной линии Гудмана задается равенством:
𝜎𝑎 𝜎𝑚
+
= 1,
𝜎−1 𝜎в
в котором 𝜎𝑎 и 𝜎𝑚 после замены 𝜎𝑚𝑖𝑛 на 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝑟 ⋅ 𝜎𝑚𝑎𝑥 :
𝜎𝑚𝑎𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑚𝑎𝑥 (1 − 𝑟)
=
;
2
2
𝜎𝑚𝑎𝑥 + 𝜎𝑚𝑖𝑛 𝜎𝑚𝑎𝑥 (1 + 𝑟)
𝜎𝑚 =
=
.
2
2
Подставляем последние выражения в уравнение Гудмана и записываем полученное относительно максимальных напряжений, после преобразований будем иметь:
𝜎𝑎 =
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
2
(1 − 𝑟) (1 + 𝑟)
𝜎−1 + 𝜎в
97
.
После этого согласно 𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝑟 ⋅ 𝜎𝑚𝑎𝑥 можно найти минимальные напряжения в цикле:
𝜎𝑚𝑖𝑛 =
2𝑟
(1 − 𝑟) (1 + 𝑟)
𝜎−1 + 𝜎в
.
Приведем пример вычислений 𝜎𝑚𝑎𝑥 и 𝜎𝑚𝑖𝑛 , используя найденную функцию
𝐹(𝜎−1 , 𝜎в , 𝑟):
1. При 𝑟 = −1; 𝜎−1 = 148 МПа; 𝜎в = 410 МПа:
𝜎𝑚𝑖𝑛 = −𝜎𝑚𝑎𝑥 ;
𝜎𝑎 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 ;
𝜎𝑚 = 0;
𝜎𝑎 𝜎𝑚 𝜎𝑚𝑎𝑥
0
+
=
+
= 1.
𝜎−1 𝜎в
148 410
Отсюда 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 148 МПа, а 𝜎𝑚𝑖𝑛 = −148 МПа.
Проверим по общей формуле:
2
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
=
(1 + 1) (1 − 1)
148 + 410
Как видим, значения совпадают.
При 𝑟 = 0,98; 𝜎−1 = 148 МПа; 𝜎в = 410 МПа:
2
= 148.
2
148
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 0,98𝜎𝑚𝑎𝑥 .
Амплитуда напряжения
𝜎𝑎 = 0,01𝜎𝑚𝑎𝑥 .
Среднее напряжение
𝜎𝑚 = 0,99𝜎𝑚𝑎𝑥 .
В уравнение Гудмана
𝜎𝑎 𝜎𝑚 0,01𝜎𝑚𝑎𝑥 0,99𝜎𝑚𝑎𝑥
+
=
+
= 1;
𝜎−1 𝜎в
148
410
0,01 0,99
) = 1;
+
148 410
1
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
= 402,87 МПа;
0,0024
𝜎𝑚𝑎𝑥 (
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 0,98 ∙ 402,87 = 394,81.
Проверим по общей формуле:
𝜎𝑚𝑎𝑥 =
2
=
2
= 402,9 МПа.
0,004964
(1 − 0,98) (1 + 0,98)
+
148
410
Как видим, значения совпадают. Для положительной статической нагрузки 𝑟 = 1 и
легко увидеть, что по этим формулам получим 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝜎в .
Выводы
Определили влияния геометрической формы сечения (см. рис. 35, а) сварных соединений на выносливость. С уменьшением угла наклона 𝛼 к оси средних напряжений предельные
амплитудные значения циклической нагрузки уменьшаются, а суммарные напряжения 𝜎𝑚 +
98
𝜎𝑎 увеличиваются. Освоили закономерности влияния геометрических размеров сварных соединений на концентрацию напряжений. С уменьшением радиуса перехода к основному металлу от сварного шва концентрация напряжений увеличивается. Увеличение высоты валика
тоже отрицательно сказывается на выносливости и увеличивает концентрацию напряжений.
Самый опасный – симметричный цикл нагружения, но и высокие значения средних напряжений 𝜎𝑚 тоже будут снижать циклическую усталость сварных соединений.
4.5 Контрольные вопросы
1. Как определяется влияние геометрической формы сечения различных сварных соединений на их выносливость?
2. Что такое предельный цикл напряжений?
3. Какие параметры необходимо учитывать при расчете предела выносливости сварных
соединений?
4. Как можно приближенно вычислить предельный цикл напряжений для произвольной
асимметрии нагружения, если известен предел выносливости?
5. Как рассчитывается теоретический коэффициент концентрации напряжений для
сварных соединений?
6. Как определяется эффективный коэффициент концентрации напряжений?
7. Какие формулы используются для расчета предела выносливости сварных стыковых
и крестовых соединений?
8. Как влияет геометрическая форма сварного соединения на его выносливость?
9. Как строятся диаграммы предельных амплитуд и предельных напряжений для сварных соединений?
10. Как определяются характеристики сопротивления усталости при различных коэффициентах асимметрии цикла?
11. Как влияет асимметрия цикла на предел выносливости?
12. Как рассчитывается предел выносливости для сварных соединений с учетом геометрических параметров?
13. Как влияет радиус перехода от наплавленного металла к основному на выносливость сварного соединения?
14. Как влияет величина катета на предел выносливости?
15. Как влияет образование непровара на выносливость сварных стыковых и крестовых
соединений?
16. Почему чрезмерное увеличение катета в крестовых соединениях не предотвращает
появление разрушений материала под действием циклических нагрузок?
99
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данном учебном пособии были рассмотрены ключевые аспекты проектирования и
расчета прочности элементов сварных конструкций, что является важным этапом в подготовке
специалистов в области машиностроения. Пособие охватывает широкий спектр тем, начиная
от анализа работоспособности конструкционных сталей и заканчивая проектированием сварных составных профилей металлоконструкций. Особое внимание уделяется влиянию температурных условий, геометрии сечений и технологических особенностей сварки на прочностные характеристики конструкций и анализ концентрации напряжений.
В первой главе «Работоспособность материалов сварных конструкций» рассматриваются критерии выбора конструкционных сталей для сварных конструкций, их механические
свойства (предел текучести, прочности, пластичность, выносливость) и влияние температуры
на работоспособность. Анализируется зависимость работоспособности от диаграммы растяжения, истинных напряжений и деформаций, а также влияние низких температур на прочность
и пластичность. Приводятся примеры расчётов работоспособности сталей при различных
условиях эксплуатации, включая экстремальные температуры.
Вторая глава «Расчёт сварных соединений на статическую прочность» посвящена методам расчёта сварных соединений при статических нагрузках. Рассматриваются виды сварных швов (стыковые, лобовые, фланговые, комбинированные) и их прочностные характеристики. Приводятся формулы для расчёта катетов швов, допускаемых напряжений и условий
равнопрочности. Особое внимание уделяется влиянию концентрации напряжений и геометрии
швов на прочность соединений. Примеры расчётов иллюстрируют применение теоретических
положений на практике.
В третьей главе «Задачи оптимального проектирования и предельной несущей способности сварных элементов» обсуждаются задачи оптимизации формы прокатных и сварных
профилей для повышения их эффективности при изгибе и кручении. Рассматриваются меры
эффективности сечений, а также методы проектирования составных профилей с учётом технологических и экономических ограничений. Приводятся примеры расчётов для коробчатых,
двутавровых и трубчатых сечений, включая анализ влияния толщины стенок на прочность и
металлоёмкость.
Четвертая глава «Влияние геометрической формы сечения различных сварных соединений на их выносливость» посвящена анализу влияния формы сечения сварных соединений
на их предел выносливости. Рассматриваются факторы, определяющие концентрацию напряжений (радиус перехода, высота усиления шва, форма шва), и их влияние на долговечность
конструкций при циклических нагрузках. Приводятся формулы для расчёта коэффициентов
концентрации напряжений в стыковых и крестовых соединениях, а также рекомендации по
снижению концентрации напряжений за счёт оптимизации геометрии швов.
Изучив материал, изложенный в разделах настоящего пособия, студенты могут применять полученные знания и навыки в различных аспектах инженерной деятельности. Наиболее
ценные из них – способность анализировать и оценивать работоспособность материалов, понимание влияния геометрических форм профилей и сварных соединений на статическую и
усталостную прочность с учетом их механических характеристик и условий эксплуатации. Это
позволяет выбирать оптимальные материалы и обеспечить наиболее рациональные сварные
соединения, от которых зависят надежность и долговечность сварных конструкций.
Освоенные методы расчета сварных соединений на статическую прочность включают
в себя определение допускаемых напряжений и расчет прочности различных типов сварных
100
швов. Эти навыки являются фундаментальными для инженеров-конструкторов, работающих
в области проектирования и изготовления металлоконструкций.
Пособие помогает освоить задачи оптимального проектирования и оценки предельной
несущей способности сварных элементов. Это позволяет оптимизировать геометрические
размеры профилей, обеспечивая максимальную эффективность при минимальных затратах
материала, что особенно важно для разработки экономически эффективных и надежных конструкций.
Кроме того, студенты могут применять знания о влиянии геометрической формы сечения различных сварных соединений на их выносливость. Это позволяет проектировать конструкции, учитывая не только прочность, но и долговечность, что является важным аспектом
в инженерной практике. Проектирование с учетом усталости сварных соединений имеет важное значение для обеспечения безопасности, надежности и долговечности конструкций. На
производстве инженеры сталкиваются с многогранными задачами, такими как выбор оптимальных материалов, расчет и проектирование сварных соединений, а также оценка их прочности и долговечности. Эти задачи требуют комплексного подхода и глубоких знаний в области материаловедения, механики и технологии сварки.
101
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Леденев В.В. Строительство и механика: Краткий справочник. Тамбов: Тамбов. гос.
техн. ун-т, ЭБС АСВ, 2015. 244 с.
2. Беренов Д.И. Расчеты деталей на прочность. Определение долговечности и динамических усилий. М.: Свердловск: Машгиз, 1959. 216 с.
3. Молоков К.А., Новиков В.В., Турмов Г.П. Основы расчетного проектирования сварных конструкций. Т. 1. Напряженное состояние и основы конструирования. Владивосток:
Дальневост. федерал. ун-т, 2019. 204 с.
4. Скопинский В.Н., Сметанкин А.Б., Вожова Н.В. Выбор схематизированной диаграммы напряжений для упругопластического анализа пересекающихся оболочек // Машиностроение и инженерное образование. 2011. № 1(26). С. 58–65.
5. Серенсен С.В., Когаев В.П., Шнейдерович Р.М. Несущея способность и расчеты деталей машин на прочность. М.: Машиностроение, 1975. 488 с.
6. Кроха В.А. Упрочнение металлов при холодной пластической деформации: справочник. М.: Машиностроение, 1980. 157 с.
7. Кузьмин В.Р. Расчет хладостойкости элементов конструкций. Новосибирск: Наука,
1986. 144 с.
8. Ларионов В.П., Филиппов В.В. Хладостойкость материалов и элементов конструкций: результаты и перспективы / отв. ред. В.В. Филиппов; Российская академия наук, Сибирское отделение, Институт физико-технических проблем Севера. Новосибирск: Наука, 2005.
290 с.
9. Молоков К.А., Маслов К.М. Расчетные методы оценки ударной вязкости сварных
элементов с трещинами // Вестник Инженерной школы Дальневосточного федерального университета. 2020. № 3(44). С. 22–36. DOI 10.24866/2227-6858/2020-3-3. EDN GJXLQG.
10. Матохин Г.В., Молоков К.А. Прочность и надежность сварных соединений. Владивосток: Дальневост. федерал. ун-т, 2019. 143 с. EDN KIYCPQ.
11. Молоков К.А., Новиков В.В., Васильченко Н.П., Герман А.П. Основы расчетов
прочности сварных швов и соединений: учебное пособие для вузов / Политехнический институт ДВФУ. Владивосток: Издательство Дальневост. федерал. ун-та, 2023. 135 с.
12. ГОСТ Р 57837-2017. Двутавры стальные горячекатаные с параллельными гранями
полок. Технические условия. М.: Стандартинформ, 2019. 44 с.
13. ГОСТ 535-2005. Прокат сортовой и фасонный из стали углеродистой обыкновенного качества. Общие технические условия. М.: Стандартинформ. 17 с.
14. ГОСТ 10704-91. Трубы стальные электросварные прямошовные. Сортамент. М.:
Стандартинформ, 2007. URL: https://files.stroyinf.ru/Data2/1/4294852/4294852689.pdf.
15. ГОСТ 21937-76. Полособульб горячекатаный несимметричный для судостроения.
Сортамент.
16. ГОСТ 8639-82. Трубы стальные квадратные. Сортамент.
17. ГОСТ 30245-2012. Профили стальные гнутые замкнутые сварные квадратные и
прямоугольные для строительных конструкций. Технические условия. М.: Стандартинформ,
2014.
18. ГОСТ 23207-78 Сопротивление усталости. Основные термины, определения и обозначения.
19. Справочник по строительной механики корабля: в 3 т. Т.1. Л.: Судостроение, 1982.
376 с.
102
20. Турмов Г.П. Расчет прерывистых связей на прочность с учетом концентрации
напряжений. Владивосток: Дальневост. гос. ун-т, 1984. 152 с.
21. Григорьев К.М. Основы циклической прочности: учеб. пособие. Ижевск: Удмуртия,
1974. 108 с.
22. Молоков К.А., Тхоржевский М.Ю., Мацалюк В.О. О двух подходах к оценке эффективной концентрации напряжений в пластической области деталей и сварных соединений конструкций // Молодежь и научно-технический прогресс: материалы региональной научно-практической конференции, Владивосток, май – июнь 2024 г. / отв. за вып. Р.А. Польков. Владивосток: Изд-во Дальневост. федерал. ун-та, 2024. С. 60–66.
103