Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике

Михайлова И.Г.
Сборник задач по
теории вероятностей и
математической
статистике
2003
УДК 51(07)
Михайлова И.Г.
Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике.
Учебно-методическое пособие. Озерск: ОТИ МИФИ, 2003, 109с.
Рецензенты: к. ф.-м. н. Витовтов И.Г., ЮУрГУ
к. ф.-м. н. Лисицын С.Г., ОТИ МИФИ.
Вариант 1.
1.
В конверте среди 30 фотографий находится одна разыскиваемая. Из конверта наудачу
извлекают 10 фотографий. Найти вероятность того, что среди них окажется нужная.
2.
Бросаются 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся
нечетные количества очков.
3.
Слово «ПРОГРАММА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают
и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют а) слово ПРОГРАММА, б) слово РАМА.
4.
В урне содержатся 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара;
б) менее трех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5.
Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 170 и не более 180 раз в серии из 250
независимых испытаний.
6.
Всхожесть семян некоторого растения составляет 90%. Найти вероятность того, что из 800
посеянных семян взойдут не менее 700.
7.
В первой урне 5 белых и 5 черных шаров, а во второй – 4 белых и 8 черных шаров. Из
обеих урн случайным образом вынимают по 2 шара. Найти вероятность того, что все
вынутые шары одного цвета.
8.
Литье в болванках поступает из двух цехов: 60% из первого цеха и 40% из второго. Литье
первого цеха имеет 5% брака, второго – 10% брака. Взятая наудачу болванка оказалась без
дефекта. Какова вероятность того, что она изготовлена первым цехом?
9.
В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошена точка K ( a, b ) . Найти
вероятность того, что корни уравнения x 2 + ax + b = 0 действительны.
10.
Дан закон распределения случайной величины X :
–2
0
1
3
X
0,2
0,1
0,5
0,2
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F ( 0 ) . Вычислить вероятность того, что
X примет значение из интервала ( 0;3) . Построить многоугольник распределения.
11.
Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 2
⎪ 0,3, 2 ≤ x < 3
⎪
F ( x) = ⎨
⎪0,5, 3 ≤ x < 4
⎪⎩ 1, x ≥ 4.
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12.
Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Вычислить
отклонение.
120
X
0,1
p
ее математическое
135
0,2
ожидание,
150
0,3
дисперсию
и
165
0,2
среднее
180
0,2
квадратическое
13.
В баскетбольную корзину бросают мяч до первого попадания. Разрешается сделать не
более трех бросков. Составить закон распределения количества выполненных бросков,
если вероятность попадания при одном броске равна 0,7. Найти математическое ожидание
и дисперсию числа выполненных бросков.
14.
Электростанция обслуживает сеть из 2000 ламп, вероятность включения каждой из
которых равна 0,8. Какова вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером,
отличается от своего математического ожидания по абсолютной величине не более чем на
50?
15.
На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,02. Найти
вероятность того, что среди 100 соединений произойдет:
а) ровно 2 неправильных соединения;
б) больше трех неправильных соединений.
16.
Случайная величина задана функцией плотности распределения
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪x
p ( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 6
⎪3
⎪⎩ 0, x ≥ 6.
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17.
Случайная величина X задана функцией распределения
0, x < 1
⎧
⎪
F ( x ) = ⎨ a ( x − 1) , 1 ≤ x < 3
⎪
1, x ≥ 3.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала ( 2,5; 3,5 ) ;
г) математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная
величина X примет 150 раз значение из интервала ( 2,5; 3,5 ) .
18.
Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,5; 3, 7 ] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19.
Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,4. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20.
Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 7 и σ = 6 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [1; 1,5] ;
б) меньшее 8;
в) большее 6;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 7.
21.
Автомат штампует детали. Контролируется длина детали X , которая распределена
нормально с проектной длиной 50. Известно, что σ = 3, 6 мм. Найти вероятность того, что
длина наудачу взятой детали находится в пределах от 55мм до 68мм.
22.
По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
4
4
5
1
2
2
2
3
2
3
2
5
0
3
0
1
0
2
5
0
2
3
2
1
1
4
2
1
1
1
1
5
2
5
1
2
3
1
3
4
3
3
0
0
2
5
2
4
2
3
2
5
3
2
2
1
6
3
5
1
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
135 124 137 137 133 126 132 114
124 117 112 119 132 131 134 121
132 123 126 125 134 127 127 133
104 129 128 120 131 130 124 135
152 121 111 129 120 126 127 131
134 122 129 125 129 124 135 125
130 125 115 123 135 135 120 114
129 131 147 127 132 127 129 115
120 147 131 132 132 108 126 117
122 124 132 118 108 134 132 118
Вариант 2.
1.
Из колоды в 36 карт наугад выбирают 3 карты. Какова вероятность того, что среди них
окажутся 3 дамы?
2.
Бросают 3 монеты. Найти вероятность того, что только на одной монете появится герб.
3.
Слово «СТАТИСТИКА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают
и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) СТАТИСТИКА, б) ТАКТ.
4.
В урне содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 2 белых шара;
б) менее двух белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5.
Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,12. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 2 раза в серии из 3 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 65 и не более 70 раз в серии из 300 независимых
испытаний.
6.
30% изделий данного предприятия – продукция высшего качества. Некоторая организация
приобрела 6 изделий, изготовленных на этом предприятии. Чему равна вероятность того.
что ровно 4 из них высшего сорта?
7.
В первой урне 4 белых и 5 черных шаров, а во второй – 5 белых и 8 черных шаров. Из
первой урны наудачу извлекают 2 шара, а из второй – 3 шара. Найти вероятность того, что
среди вынутых шаров только 3 белых шара.
8.
В группе спортсменов 10 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. вероятность
выполнения квалификации для лыжника равна 0,9, для велосипедиста – 0,7, для бегуна –
0,75. Найти вероятность того, что вызванный наудачу спортсмен выполнит норму.
9.
В прямоугольник с вершинами (− 1, 0 ), (− 1, 5), (2, 5) и ( 2, 0 ) наудачу брошена точка с
координатами ( x, y ) . Какова вероятность того, что они будут удовлетворять неравенствам
x2 + 1 ≤ y ≤ x + 3 ?
10. Дан закон распределения случайной величины X :
0
1
2
3
X
0,1
0,1
0,3
0,5
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F ( 2 ) . Вычислить вероятность того, что
X примет значение из интервала ( 0;3) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 3
⎪ 0,3, 3 ≤ x < 6
⎪
F ( x) = ⎨
⎪0, 7, 6 ≤ x < 9
⎪⎩ 1, x ≥ 9.
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Вычислить
отклонение.
125
X
0,1
p
ее математическое
130
135
140
0,12
0,3
0,08
ожидание, дисперсию и среднее
145
0,4
квадратическое
13. Монету подбрасывают 5 раз. Построить закон распределения количества выпадений герба.
Сколько раз в среднем может появиться герб? Найти дисперсию числа выпадений герба.
14. Определить, сколько раз надо произвести замеров поперечных сечений деревьев на
большом участке, чтобы с вероятностью 0,98 средний диаметр дерева отличался от
истинного значения не более чем на 4см. Предполагается известным, что среднее
квадратическое отклонение поперечного сечения деревьев не превышает 12см, и
измерения производятся без погрешностей.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003.
Найти вероятность того, что среди 100 соединений произойдет:
а) ровно 5 неправильных соединения;
б) больше трех неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪x
p ( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 2 2
⎪4
⎪⎩ 0, x ≥ 2 2.
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪
F ( x ) = ⎨ ax 2 , 0 ≤ x < 1
⎪ 1, x ≥ 1.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала ( 0,5; 2,5 ) ;
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная
величина X примет 320 раз значение из интервала ( 0,5; 2,5 ) .
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,3; 3, 7 ] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 3,2. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 5 и σ = 4 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [ 0; 10] ;
б) меньшее 8;
в) большее 5;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 6.
21. Масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону с M ( X ) = 375 г и σ ( X ) = 25 г.
Найти вероятность того, что масса одной пойманной рыбы составит не более 450г.
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
3
3
1
0
0
3
5
3
3
0
2
3
0
0
4
1
5
1
6
5
4
7
4
2
2
4
3
4
5
4
7
4
0
5
6
3
5
4
1
3
3
6
3
1
1
5
2
3
5
3
3
4
1
5
6
1
3
3
5
6
23.
По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
58
78
84
62
63
10
55
90
102 70
66
89
71
92
71
93
83
42 110 110 56
96
95
87
88 102 104 88
64
96
92
67
78
95
71 105 50
66
73
76
100 72
86
46 102 95
98
84
82
46
60
94 109 93
79
74
62
97
94
91
81
71
89
78
85
80
93
64
65 109 89
55
103 98 108 68
65
71
82
70
Вариант 3
1.
Устройство состоит из 5 элементов, из которых 2 изношенных. При включении устойства
случайным образом начинают работать 2 элемента. найти вероятность того, что
включенными окажутся неизношенные элементы.
2.
Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что на двух из них появится герб.
3.
Слово «ПРОЦЕДУРА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и
вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) ПРОЦЕДУРА, б) ЦЕДРА.
4.
В урне содержится 6 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара;
б) менее трех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5.
Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,45. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 4 раза в серии из 7 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 200 и не более 290 раз в серии из 500
независимых испытаний.
6.
Вероятность выигрыша по облигации займа за все время его действия равна 0,25. какова
вероятность того, что некто, приобретя 8 облигаций, выиграет по шести из них.
7.
В первой урне 7 белых и 3 черных шара, а во второй – 6 белых и 3 черных шара. Из первой
урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй 1 шар. Найти вероятность того,
что среди вынутых шаров хотя бы 1 белый шар.
8.
Прибор может работать в трех режимах: нормальном, форсированном и недогруженном.
Нормальный режим наблюдается в 60% случаев работы прибора, форсированный – в 30%
и недогруженный – в 10%. Надежность прибора в нормальном режиме равна 0,8, в
форсированном – 0,5, в недогруженном – 0,9. Найти вероятность надежной работы
прибора.
9.
Взяты наугад 2 положительных числа, каждое из которых не больше 1. Какова
2
вероятность того, что их сумма не более 1, а произведение не более ?
9
10. Дан закон распределения случайной величины X :
−0,3
0
0,1
1
X
0,3
0,1
0,4
0,2
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F ( 0 ) . Вычислить вероятность того, что
X примет значение из интервала ( 0;1) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪ 0,3, 0 ≤ x < 2
F ( x) = ⎨
⎪0, 6, 2 ≤ x < 5
⎪⎩ 1, x ≥ 5.
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
90
93
96
99
X
0,15
0,3
0,05
0,2
p
Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее
отклонение.
102
0,3
квадратическое
13. В студии имеются 3 видеокамеры, работающие независимо друг от друга. Для каждой
камеры вероятность включения в определенный момент времени равна 0,6. Составить
закон распределения числа включенных в данный момент видеокамер. вычислить
математическое ожидание и центральные моменты 2-го и 3-го порядков.
14. В результате независимых опытов найдены 200 значений случайной величины, у которой
математическое ожидание равно 4, а дисперсия равна 2. Оценить снизу вероятность того,
что абсолютная величина разности между средним арифметическим найденных значений
и математическим ожиданием этой случайной величины меньше0,2.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,01. Найти
вероятность того, что среди 200 соединений произойдет:
а) ровно 5 неправильных соединения;
б) больше двух неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪x
p ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 10
⎪5
⎪⎩ 0, x ≥ 10.
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина X задана функцией распределения
0, x < 2
⎧
⎪
2
F ( x ) = ⎨a ( x − 2 ) , 2 ≤ x < 4
⎪
1, x ≥ 4.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала ( 3; 3,5 ) ;
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 100 независимых испытаний случайная
величина X примет 40 раз значение из интервала ( 3; 3,5 ) .
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1, 7; 5,9] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 4,3. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 8 и σ = 6 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [2; 26] ;
б) меньшее 12;
в) большее 16;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 10.
21. Диаметр изготовляемой в цехе детали является случайной величиной, распределенной по
нормальному закону с математическим ожиданием 4,5см и средним квадратическим
отклонением 0,005см.Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали
отличается от математического ожидания не более чем на 1мм.
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
7
4
6
1
4
2
4
6
5
3
2
9
0
5
6
7
7
3
5
1
2
4
2
6
1
3
3
1
5
6
4
4
5
3
1
2
3
7
4
5
6
7
5
4
2
4
3
4
7
3
6
4
2
1
7
7
5
4
3
1
23.
По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон частот и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
96 103 89
72 105 85
85
91
85
91
87 101 94
98
85
82
94
86
72
83 100 86
85
95
95
83
92
83 100 87 104 104
92 101 101 97
98
87
72
86
88
85
83
96
99
78
74
89
88
78
95
75
97
74 100 105
79 106 92
94
99
84
79
74
102 78
76 102 103 89
87
88
95
94
89
98 101 100 84
86
Вариант 4.
1. Собрание, на котором присутствует 25 человек, в том числе 5 женщин, выбирает делегацию
из трех человек. Считая, что каждый из присутствующих может быть избран с одинаковой
вероятностью, найти вероятность того, что в делегацию войдут 2 женщины и 1 мужчина.
2. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что на верхних гранях появятся одно
четное и одно нечетное число очков.
3. Слово «АЛГОРИТМ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и
вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) АЛГОРИТМ, б) ГОРА.
4. В урне содержится 7 черных и 4 белых шара. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти
вероятность того, что среди них:
а) 2 белых шара;
б) менее двух белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
б) событие А наступит ровно 2 раза в серии из 500 независимых испытаний.
в) событие А наступит не менее 160 и не более 180 раз в серии из 250
независимых испытаний.
6. В мастерской имеется 12 моторов. При определенном режиме работы вероятность того, что
мотор в данный момент работает с полной нагрузкой, равна 0,8. Найти вероятность того, что
в данный момент не менее 10 моторов работают с полной нагрузкой.
7. В первой урне 5 белых и 4 черных шара, а во второй – 7 белых и 4 черных шара. Из первой
урны случайным образом вынимают 1 шар, а из второй – 4 шара. Найти вероятность того,
что среди вынутых шаров только 3 белых шара.
8. Имеются 2 партии изделий. В первой партии 8 изделий, а во второй – 6 изделий. В каждой
партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое из первой партии, переложили во вторую
партию, после чего взяли изделие из второй партии. Найти вероятность того, что изделие,
выбранное из второй партии, бракованное.
9. В шар вписан правильный тетраэдр. В шаре наудачу зафиксирована точка. Какова
вероятность того, что эта точка окажется в тетраэдре?
10. Дан закон распределения случайной величины X :
0
2
4
6
X
0,1
0,1
0,2
0,6
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F ( 0 ) . Вычислить вероятность того, что
X примет значение из интервала (0; 4 ) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 0
⎪0,4, 0 ≤ x < 2
⎪
F (x ) = ⎨
⎪ 0,5, 2 ≤ x < 4
⎪⎩ 1, x ≥ 4.
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Вычислить
отклонение.
140
X
0,1
p
ее математическое
160
180
0,15
0,25
ожидание, дисперсию
200
0,35
и среднее
220
0,15
квадратическое
13. Вероятность изготовления нестандартного изделия при налаженном технологическом
процессе постоянна и равна 0,1. Для проверки качества выпускаемых изделий ОТК берет
из партии не более 4-х изделий. При обнаружении нестандартного изделия вся партия
задерживается. Написать закон распределения числа изделий, проверяемых ОТК в каждой
партии. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
14. Всхожесть семян кукурузы в некоторых условиях равна 90%. Найти границы для частоты
взошедших семян из 900 посеянных, если эти границы надо гарантировать с вероятностью
не меньшей 0,99.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.
Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдет:
а) ровно 2 неправильных соединения;
б) больше четырех неправильных соединений.
16. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪⎪ x
p( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 12
⎪6
⎪⎩ 0, x ≥ 12 .
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x < 0
⎧
⎪
F ( x ) = ⎨a ⋅ arctg x, 0 ≤ x < 1
⎪
1, x ≥ 1.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
⎛ 3 ⎞
; 1⎟⎟ ;
примет значение из интервала ⎜⎜
3
⎝
⎠
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 450 независимых испытаний случайная
величина X примет 160 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,3; 5,3] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 5,4. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 12 и σ = 8 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [2; 26] ;
б) меньшее 8;
в) большее 15;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 11.
21. Размер диаметра детали, выпускаемой предприятием, распределен по нормальному закону
с математическим ожиданием 5см и дисперсией 0,81см. Найти вероятность того, что
диаметр наудачу взятой детали отклонится от математического ожидания не более чем на
2см.
22.
По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
0
0
2
0
1
3
0
1
0
1
2
1
3
0
0
2
1
3
2
2
1
3
3
2
0
2
4
3
2
1
3
3
1
1
1
3
2
1
0
1
2
1
2
2
2
2
5
5
2
3
2
5
0
3
2
1
4
3
5
2
23
По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
–29 –22 –16 –20 –16 –18 –28 –20
–32 –22 –23 –26 –10 –25 –25 –29
–29 –19 –12 –26 –18 –20 –19 –24
–20 –20 –19 –26 –23 –11 –26 –30
–23 –30 –18 –20 –13 –17 –24 –28
–26 –21 –21 –26 –24 –25 –35 –23
–24 –25 –20 –23 –17 –11 –22 –19
–19 –25 –29 –23 –16 –25 –15 –18
–17 –19 –21 –12 –24 –30 –13 –33
–22 –32 –19 –18 –23 –27 –32 –34
Вариант 5.
1. Колода из 36 карт разделена наудачу пополам. Найти вероятность того, что каждая из
полуколод будет состоять из карт одного цвета.
2. Бросают 2 игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков будет
больше из произведения.
3. Слово «ИНТЕГРАЛ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и
вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) ИНТЕГРАЛ, б) ЛЕНТА.
4. В урне содержится 4 черных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 2 белых шара;
б) менее двух белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,4. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 4 раза в серии из 6 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 120 и не более 140 раз в серии из 384
независимых испытаний.
6. Производится залп из 6 орудий по некоторому объекту. Вероятность поражения объекта
каждым орудием при одном выстреле равна 0,6. Найти вероятность ликвидации объекта,
если для этого необходимо не менее 4 попаданий.
7. В первой урне 5 белых и 6 черных шаров, а во второй – 7 белых и 3 черных шара. Из первой
урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй – 2 шара. Найти вероятность того,
что среди вынутых шаров все шары одного цвета.
8. Кинескопы для телевизоров поставляют три завода: первый – 50%, второй – 30%, третий –
20% от общего числа поставляемых кинескопов. В продукции первого завода встречается
5% брака, второго – 3%, третьего – 1% брака. Кинескоп отказал в течение гарантийного
срока. Найти вероятность того, что он был изготовлен вторым заводом.
9. В квадрат с вершинами (0, 1), (0, 0 ), (1, 0 ), (1, 1) наудачу поставлена точка с координатами
(x, y ) . Какова вероятность того, что они удовлетворяют неравенству y ≥ 4 x 2 ?
10. Дан закон распределения случайной величины X :
1
3
5
7
X
0,2
0,3
0,1
0,4
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F ( 0 ) . Вычислить вероятность того, что X
примет значение из интервала (0; 3) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < −2
⎪0,2, − 2 ≤ x < 0
⎪
F (x ) = ⎨
⎪0,6, 0 ≤ x < 1
⎪⎩ 1, x ≥ 1
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Вычислить
отклонение.
318
X
0,15
p
ее математическое
328
338
348
0,15
0,2
0,35
ожидание, дисперсию и среднее
358
0,15
квадратическое
13. Предполагая одинаковыми вероятности рождения мальчика и девочки, составить закон
распределения количества мальчиков в семье, имеющей 5 детей. Найти среднее значение и
дисперсию количества мальчиков в семье.
14. Сколько должно быть произведено независимых измерений некоторой величины, чтобы с
вероятностью не меньшей 0,98 можно было ожидать, что среднее арифметическое
результатов измерений отличается от истинного значения по абсолютной величине менее
чем не 0,01, если дисперсия отдельного испытания не превосходит 1.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,005.
Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдет:
а) ровно 3 неправильных соединения;
б) больше трех неправильных соединений.
16. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪⎪ x
p ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 14
⎪7
⎩⎪ 0, x ≥ 14 .
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x < 0
⎧
⎪
F ( x ) = ⎨a ⋅ x 3 , 0 ≤ x < 1
⎪
1, x ≥ 1.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
⎛1 ⎞
примет значение из интервала ⎜ ; 2 ⎟ ;
⎝2 ⎠
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 800 независимых испытаний случайная
величина X примет 720 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,4; 7,6] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 6,1. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 8 и σ = 5 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [3;15] ;
б) меньшее 9;
в) большее 12;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 15.
21. Результаты измерения расстояния между двумя населенными пунктами подчинены
нормальному закону с параметрами a = 16 км и σ = 100 м. Найти вероятность того, что
расстояние между этими пунктами не более 16,25км.
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
4
10
7
6
3
7
8
7
4
7
10
7
3
9
3
1
5
8
10
11
6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
10
6
8
7
8
7
7
4
4
6
7
10
4
7
0
5
5
4
8
5
5
10
7
3
8
5
6
6
3
4
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
324 296 313 323 312 321 322 301
337 322 328 312 318 327 325 309
329 319 312 326 318 320 309 324
320 320 319 326 323 311 326 330
323 330 318 320 313 317 324 328
326 321 321 326 324 325 335 323
324 325 320 323 317 311 322 319
319 325 329 323 316 325 315 318
317 319 321 312 324 330 313 333
322 332 319 318 323 327 332 334
Вариант 6.
1. В магазин поступило 40 телевизоров, причем 15 из них фирмы «LG». Найти вероятность
того, что среди пяти проданных телевизоров 3 окажутся фирмы «LG».
2. Бросают 3 игральные кости. Найти вероятность того, что на всех верхних гранях выпадут
нечетные числа.
3. Слово «КАЛЬКУЛЯТОР» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают
и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) КАЛЬКУЛЯТОР, б) КУЛАК.
4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара;
б) менее трех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,1. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 5 раз в серии из 7 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 150 и не более 170 раз в серии из 530 независимых
испытаний.
6. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,05. Найти вероятность того, что среди
1000 изделий ровно 40 бракованных.
7. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй – 6 белых и 4 черных шара. Из первой
и второй урн случайным образом вынимают по 2 шара. Найти вероятность того, что среди
вынутых шаров три белых шара.
8. В первой бригаде 5 рабочих имеют рабочий одного до трех лет., 7 рабочих – от трех до пяти
лет и 4 рабочих – свыше пяти лет. Во второй бригаде 6 рабочих имеют рабочий одного до
трех лет., 3 рабочих – от трех до пяти лет и 5 рабочих – свыше пяти лет. Из первой бригады
во вторую переведен один рабочий. Найти вероятность того, что рабочий, наудачу взятый из
нового состава второй бригады, имеет стаж менее 5 лет.
9. На плоскости начерчены 2 концентрические окружности, радиусы которых 6см и 12см
соответственно. Какова вероятность того, что точка, наудачу брошенная в больший круг,
попадет в кольцо, образованное этими окружностями.
10. Дан закон распределения случайной величины X :
0
2
3
4
X
0,2
0,2
0,3
0,3
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F ( 4 ) . Вычислить вероятность того, что X
примет значение из интервала (0; 3) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪ 0,3, 0 ≤ x < 2
F ( x) = ⎨
⎪0, 6, 2 ≤ x < 3
⎪⎩ 1, x ≥ 3
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Вычислить
отклонение.
90
X
0,05
p
ее математическое
96
102
108
0,15
0,2
0,1
ожидание, дисперсию и среднее
114
0,5
квадратическое
13. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. вероятность отказа
каждого элемента в отдельном опыте равна 0,2. Составить закон распределения числа
отказавших элементов в данном опыте. Вычислить начальные и центральные моменты до
третьего порядка включительно.
14. Вероятность положительного исхода отдельного испытания равна 0,8. оценить
вероятность того, что при 1000 независимых испытаний отклонение частоты
положительных исходов от вероятности по абсолютной величине будет меньше 0,05.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.
Найти вероятность того, что среди 300 соединений произойдет:
а) ровно 4 неправильных соединения;
б) больше двух неправильных соединений.
16. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪x
⎪
p ( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 4
⎪8
⎪⎩ 0, x ≥ 4.
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪
F ( x ) = ⎨ a ⋅ x, 0 ≤ x < 4
⎪ 1, x ≥ 4.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала ( 2; 5 ) ;
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 500 независимых испытаний случайная
величина X примет 220 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1, 2; 7, 4] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 1,2. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 12 и σ = 10 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [ 0;30] ;
б) меньшее 15;
в) большее 10;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 8.
21. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами M ( X ) = 10 и
D ( X ) = 25 . Найти вероятность того, что отклонение значений этой случайной величины
от математического ожидания не превзойдет по абсолютной величине 2.
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
2
2
1
3
4
2
1
1
3
3
4
3
2
4
2
1
4
3
1
4
0
4
2
3
4
3
7
1
3
3
3
4
3
2
1
2
3
3
1
4
2
3
0
5
2
3
1
4
0
3
3
4
3
1
3
2
5
4
3
1
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднеквадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
61
59
60
50
58
71
57
61
55
75
68
65
64
63
68
60
66
52
70
69
62
58
56
54
54
69
72
62
63
56
59
67
62
64
68
68
71
67
69
56
62
60
62
65
72
65
67
64
59
59
67
68
72
74
69
60
69
61
64
67
62
65
69
67
71
71
61
63
61
62
64
68
62
64
62
68
64
63
62
61
Вариант 7.
1. В библиотеку поступило 40 учебников, из них 3 с поврежденными переплетами. Какова
вероятность того, что среди двух наудачу взятых учебников окажется ровно 1 с
поврежденным переплетом?
2. Бросают 3 монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на одной монете выпадет «герб».
3. Слово «АРИФМЕТИКА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и
вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) АРИФМЕТИКА, б) РИФМА.
4. В урне содержится 6 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 4 белых шара;
б) менее четырех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,1. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 5 раз в серии из 7 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 250 и не более 280 раз в серии из 530
независимых испытаний.
6. При контролируемом производственном процессе доля брака равна 0,02. При обнаружении
в партии из 150 изделий более 5 бракованных вся партия задерживается. Найти вероятность
того, что партия будет принята.
7. В первой урне 5 белых и 8 черных шаров, а во второй – 7 белых и 5 черных шара. Из первой
урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти вероятность того,
что среди вынутых шаров два белых шара.
8. По объекту производятся 3 одиночных независимых выстрела. Вероятность попадания при
первом выстреле равна 0,4, при втором – 0,5, при третьем – 0,7. для вывода объекта из строя
достаточно трех попаданий. При двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6,
при одном – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов
объект будет выведен из строя.
9. Стержень длины L произвольным образом разломлен на три части. Какова вероятность того,
что из этих частей можно составить треугольник?
10. Дан закон распределения случайной величины X :
2
2,4
3
3,5
X
0,2
0,1
0,3
0,4
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F (2,4 ) . Вычислить вероятность того, что X
примет значение из интервала (0; 2,4) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 2
⎪0,3, 2 ≤ x < 3
⎪
(
)
F x =⎨
⎪0,5, 3 ≤ x < 4
⎪⎩ 1, x ≥ 4.
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Вычислить
отклонение.
115
X
0,12
p
ее математическое
125
135
145
0,08
0,02
0,18
ожидание, дисперсию и среднее
155
0,6
квадратическое
13. На пути движения автомобиля 4 светофора. Каждый из них либо разрешает, либо
запрещает дальнейшее движение с вероятностью 0,5. Найти закон распределения числа
пройденных автомобилем светофоров до первой остановки. Вычислить математическое
ожидание и дисперсию этой случайной величины.
14. Сколько раз нужно бросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей 0,997 можно было
утверждать, что частота выпадения герба будет между 0,499 и 0,501?
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,001.
Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдет:
а) ровно 2 неправильных соединения;
б) больше двух неправильных соединений.
16. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪⎪ x
p ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 18
⎪9
⎪⎩ 0, x ≥ 18.
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x < 2
⎧
⎪
F ( x ) = ⎨a ⋅ ( x − 1), 2 ≤ x < 4
⎪
1, x ≥ 4.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала (1; 3) ;
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 120 независимых испытаний случайная
величина X примет 80 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1; 5] . Найти выражения для
плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить
математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,4. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 9 и σ = 8 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [1; 20] ;
б) меньшее 10;
в) большее 15;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 9.
21. При измерении расстояний до удаленных предметов ошибка подчинена нормальному
закону со средним значением 20м и дисперсией 1600см². Найти вероятность того, что
измеренное расстояние отклонится от действительного не более чем на 30м.
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
8
4
4
7
5
5
8
10
4
8
6
5
4
1
10
9
10
1
8
11
5
12
6
6
6
5
6
6
7
4
7
8
8
2
7
6
7
6
5
3
7
4
5
7
6
9
5
6
2
5
7
6
8
9
4
9
11
12
4
8
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
79
46
54
49
63
96
63
61
82
61
66
54
70
81
47
68
85
93
70
51
71
87
56
63
49
69
75
78
59
51
86
74
72
43
53
65
53
65
53
65
63
98
64
69
56
48
75
64
62
67
49
58
73
52
64
67
57
40
80
53
83
51
46
63
74
45
73
70
92
79
82
73
68
70
92
79
79
45
82
66
Вариант 8.
1. В группе из 25 студентов, среди которых 10 девушек, приобретено 7 билетов на дискотеку.
Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 3 девушки и четверо
юношей.
2. Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится «герб».
3. Слово «ПАМЯТЬ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и
вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) ПАМЯТЬ, б) ЯМА.
4. В урне содержится 4 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 4 белых шара;
б) менее четырех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,9. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 4 раза в серии из 5 независимых испытаний;
б) событие А наступит 2 раза в серии из 50 независимых испытаний;
в) событие А наступит не менее 40 и не более 60 раз в серии из 100 независимых
испытаний.
6. Вероятность того, что данное изделие будет забраковано, равна 0,2. Найти вероятность того,
что в партии из 400 изделий будет 104 бракованных.
7. В первой урне 6 белых и 3 черных шара, а во второй – 5 белых и 6 черных шаров. Из первой
и второй урн случайным образом вынимают по 3 шара. Найти вероятность того, что среди
вынутых шаров все шары одного цвета.
8. Автомобиль используется для перевозки товара в три магазина. В первом магазине
разгрузка выполняется в течение 30 минут с вероятностью 0,77, во втором – 0,67, в третьем
– 0,62. На базу сообщили, что машина разгружена за 30 минут. Какова вероятность того, что
это произошло в первом магазине?
x2 y2
9. На плоскости область G ограничена эллипсом
+
= 1 , а область g ограничена этим же
36 25
x2 y2
эллипсом и эллипсом
+
= 1 . В область G наудачу брошена точка. Найти вероятность
9
4
того, что она попадет в область g.
10. Дан закон распределения случайной величины X :
5
10
15
20
X
0,4
0,3
0,1
0,2
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F (15 ) . Вычислить вероятность того, что X
примет значение из интервала ( 5; 15 ) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 5
⎪0, 4, 5 ≤ x < 10
⎪
F ( x) = ⎨
⎪ 0,8, 10 ≤ x < 15
⎪⎩ 1, x ≥ 15.
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Вычислить
отклонение.
115
X
0,12
p
ее математическое
125
135
145
0,08
0,02
0,18
ожидание, дисперсию и среднее
155
0,6
квадратическое
13. Из 25 контрольных работ, среди которых 5 оценены на «отлично», наугад извлекают 3
работы. Найти закон распределения числа «отличных» работ среди извлеченных.
Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
этой случайной величины.
14. Найти вероятность того, что частота выпадений герба при 200 подбрасываниях
симметричной монеты отклоняется от вероятности выпадения герба не более чем на 0,01.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.
Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдет:
а) хотя бы 2 неправильных соединения;
б) больше двух неправильных соединений.
16. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪⎪ x
p ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 20
⎪10
⎪⎩ 0, x ≥ 20 .
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x < 0
⎧
⎪
F ( x ) = ⎨a ⋅ x 2 , 0 ≤ x < 1
⎪
1, x ≥ 1.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала (− 1; 0,5) ;
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 360 независимых испытаний случайная
величина X примет 120 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1; 7] . Найти выражения для
плотности распределения и функции распределения этой случайной величины. Вычислить
математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 0,2. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 12 и σ = 6 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [5; 20];
б) меньшее 15;
в) большее 10;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 7.
21. Изготовленные цехом детали по размерам диаметра распределяются по нормальному
закону со средним значением 4,9см и средним квадратическим отклонением 0,5см. Найти
вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали отклонится от математического
ожидания менее чем на 1см.
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
2
1
2
3
1
1
0
2
2
4
3
3
0
3
0
2
3
0
2
3
0
2
3
3
4
4
1
4
0
0
0
0
0
2
2
3
2
1
0
0
0
3
1
3
1
0
1
3
2
0
0
1
1
3
0
0
3
1
3
4
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
56
76
65
66
76
66
89
48
62
50
47
55
67
51
73
75
61
88
46
57
65
60
69
68
65
34
77
63
57
61
42
85
49
62
65
75
56
66
92
60
43
52
80
68
42
87
81
67
65
81
90
38
58
60
79
58
77
73
54
58
77
86
52
61
42
61
70
53
64
65
76
88
59
62
67
62
90
80
72
58
Вариант 9.
1. Для оформления витрины магазина выделено 10 костюмов, 5 свитеров и 3 платья. Наудачу
выбрали 5 вещей. Найти вероятность того, что на витрине окажутся 2 костюма, 1 свитер и 2
платья.
2. Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что только на трех монетах появится «герб».
3. Слово «ПРОЦЕССОР» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и
вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) ПРОЦЕССОР, б) ПРОСО.
4. В урне содержится 5 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара;
б) менее трех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,15. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 2 раза в серии из 4 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 45 и не более 70 раз в серии из 100 независимых
испытаний.
6. Прибор состоит из 200 деталей, каждая из которых может выйти из строя с вероятностью
0,01. Найти вероятность выхода из строя не более трех деталей.
7. В первой урне 6 белых и 5 черных шаров, а во второй – 5 белых и 3 черных шара. Из первой
и второй урн случайным образом вынимают по 2 шара. Найти вероятность того, что среди
вынутых шаров только 2 шара белого цвета.
8. Вероятности того, что при работе программы могут возникнуть ошибки в результате
обработки текста транслятором, при работе редактора внешних связей и в процессе
исполнения программы относятся как 4:5:1. Вероятности выявления ошибок, получаемых в
результате трансляции, редактирования и в процессе исполнения равны соответственно 0,8,
0,6 и 0,4. Найти вероятность того, что ошибки, возникшие при работе программы, будут
обнаружены.
9. На плоскости область G ограничена окружностью x 2 + y 2 = 25 , а область g ограничена этой
же окружностью и параболой 16 x = 3 y 2 . В область G наудачу брошена точка. Найти
вероятность того, что она попадет в область g.
10. Дан закон распределения случайной величины X :
1
3
5
6
X
0,2
0,15
0,25
0,4
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F (5) . Вычислить вероятность того, что X
примет значение из интервала (1, 6 ) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 3
⎪0,3, 3 ≤ x < 4
⎪
F (x ) = ⎨
⎪0,5, 4 ≤ x < 7
⎪⎩ 1, x ≥ 7.
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Вычислить
отклонение.
200
X
0,15
p
ее математическое
240
280
320
0,2
0,45
0,1
ожидание, дисперсию и среднее
360
0,1
квадратическое
13. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет в цель до первого попадания (или пока не
израсходует все патроны). Вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое отклонение количества израсходованных патронов.
14
Для определения средней урожайности поля в 4000га предлагается взять выборку по 1м² с
каждого гектара площади и посчитать урожайность на этих квадратных метрах. Оценить
вероятность того, что средняя выборочная урожайность будет отличаться от истинной
средней урожайности на всем поле не более чем на 0,3ц/га, если предположить, что
среднее квадратическое отклонение урожайности на каждом гектаре не превышает 6ц/га.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003.
Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдет:
а) хотя бы 4 неправильных соединения;
б) больше четырех неправильных соединений.
16. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪⎪ x
p ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 22
⎪11
⎪⎩ 0, x ≥ 22 .
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x < 4
⎧
⎪
2
F ( x ) = ⎨a ⋅ ( x − 4 ) , 4 ≤ x < 5
⎪
1, x ≥ 5.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала (4,5; 5) ;
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 120 независимых испытаний случайная
величина X примет 80 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [4,4; 6,2] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 0,3. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 10 и σ = 4 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [5; 16] ;
б) меньшее 10;
в) большее 10;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 5.
21. Случайная величина распределена по нормальному закону со средним значением 5м и
дисперсией 16м². Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение не
менее 6м и не более 8м.
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
5
4
4
9
6
8
6
4
9
11
7
3
8
5
3
4
3
6
2
4
3
5
3
4
5
4
2
2
2
6
4
8
1
5
5
6
7
8
5
7
5
4
8
2
4
2
6
8
7
7
5
6
1
2
3
9
3
5
5
7
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
71
49
30
58
56
44
54
41
73
83
67
60
62
54
62
50
82
88
65
62
44
45
53
61
43
63
81
62
76
88
85
42
61
55
70
80
60
56
80
84
73
63
76
53
77
76
70
57
55
49
47
39
59
81
46
61
56
44
70
38
68
44
70
52
76
69
42
62
42
52
68
68
72
70
88
70
71
72
38
25
Вариант 10.
1. В группе из 20 студентов, среди которых 12 девушек, приобрели 8 билетов в театр. Найти
вероятность того, что билеты достанутся 4 девушкам и 4 юношам.
2. Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится «герб».
3. Слово «СЕМЕСТР» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и
вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) СЕМЕСТР, б) МЕТР.
4. В урне содержится 7 черных и 4 белых шара. Случайным образом вынимают 4 шара. Найти
вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара;
б) менее двух белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,32. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 2 раза в серии из 5 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 90 и не более 150 раз в серии из 250 независимых
испытаний.
6. Среди семян пшеницы 0,6% семян сорняков. Какова вероятность того, что при случайном
отборе 1000 семян пшеницы среди них окажется ровно 6 семян сорняков.
7. В первой урне 6 белых и 6 черных шаров, а во второй – 5 белых и 5 черных шаров. Из
первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти вероятность
того, что среди вынутых шаров хотя бы 3 белых шара.
8. Стрельба производится по трем мишеням первого типа, четырем мишеням второго типа и
по двум мишеням третьего типа. Вероятность попадания в мишень первого типа равна 0,4,
второго – 0,1, третьего – 0,15. Какова вероятность поражения мишени при одном выстреле?
9. В квадрат с вершинами (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1) наудачу брошена точка K ( a, b ) . Найти
вероятность того, что корни уравнения x 2 + ax + b = 0 действительны.
10. Дан закон распределения случайной величины X :
–0,2
0
0,2
0,3
X
0,3
0,1
0,3
0,3
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F ( 0,3) . Вычислить вероятность того, что
X примет значение из интервала ( 0; 0,3) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪ 0,3, 0 ≤ x < 1
F ( x) = ⎨
⎪0, 6, 1 ≤ x < 2
⎪⎩ 1, x ≥ 2.
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
X
p
180
0,14
200
0,2
220
0,32
240
0,1
260
0,24
Вычислить ее математическое
отклонение.
ожидание, дисперсию и среднее
квадратическое
13. Рабочий обслуживает 3 независимо работающих станка. Вероятность того, что в течение
часа станок не потребует внимания рабочего, равна для первого станка 0,9, для второго –
0,8, для третьего – 0,7. Найти закон распределения, математическое ожидание и
дисперсию числа станков, которые потребуют внимания рабочего.
14. Вероятность наличия трещины на металлических заготовках равна 0,2. Оценить
вероятность того, что в партии из 500 заготовок отклонение числа пригодных заготовок от
400 не превышает 6%.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,02. Найти
на вероятность того, что среди 150 соединений произойдет:
а) хотя бы 4 неправильных соединения;
б) больше двух неправильных соединений.
16. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪x
p ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 24
⎪12
⎪⎩ 0, x ≥ 24.
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x < 0
⎧
⎪
2
F ( x ) = ⎨a ⋅ ( x + x ) , 0 ≤ x < 2
⎪
1, x ≥ 2.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала (1;3) ;
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 640 независимых испытаний случайная
величина X примет 170 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [5; 11, 2] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,3. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 15 и σ = 10 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [3; 30] ;
б) меньшее 17;
в) большее 25;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 9.
21. Средний диаметр детали равен 6см, а дисперсия равна 0,0004см². Определить
максимальное отклонение размера диаметра наудачу взятой детали от среднего размера,
которое можно гарантировать с вероятностью 0,9973.
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
2
1
2
3
1
1
0
2
2
4
3
3
0
3
0
2
3
0
2
3
0
2
3
3
4
4
1
4
0
0
0
0
0
2
2
3
2
1
0
0
0
3
1
3
1
0
1
3
2
0
0
1
1
3
0
0
3
1
3
4
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
56
76
65
66
76
66
89
48
62
50
47
55
67
51
73
75
61
88
46
57
65
60
69
68
65
34
77
63
57
61
42
85
49
62
65
75
56
66
92
60
43
52
80
68
42
87
81
67
65
81
90
38
58
60
79
58
77
73
54
58
77
86
52
61
42
61
70
53
64
65
76
88
59
62
67
62
90
80
72
58
Вариант 11
1. В ящике 12 деталей, среди которых 7 окрашенных. Сборщик наудачу извлекает 4 детали.
Найти вероятность того, что все извлеченные детали окажутся окрашенными.
2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков больше
15.
3. Слово «ПРОИЗВОДНАЯ» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают
и вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) ПРОИЗВОДНАЯ, б) РОДНЯ.
4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара;
б) менее двух белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,6. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 4 раза в серии из 8 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 280 и не более 320 раз в серии из 600
независимых испытаний.
6. Для нормальной работы автобазы на линии должно быть не менее 8 машин. В парке
автобазы имеется 10 автомобилей. Вероятность невыхода каждой машины на линию равна
0,1. Найти вероятность нормальной работы автобазы.
7. В первой урне 6 белых и 7 черных шаров, а во второй – 5 белых и 4 черных шара. Из первой
урны случайным образом вынимают 2 шар, а из второй – 3 шара. Найти вероятность того,
что среди вынутых шаров только 2 шара черного цвета.
8. В пирамиде 5 винтовок, из которых 3 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того,
что стрелок поразит мишень из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95, из винтовки
без прицела – 0,7. Найти вероятность поражения мишени, если стрелок произведет один
выстрел из наудачу взятой винтовки.
9. На отрезке [ 0; 2] наудачу выбраны два числа x и y . Найти вероятность того, что они
удовлетворяют неравенствам x 2 ≤ 4 y ≤ 4 x .
10.
Дан закон распределения случайной величины X :
1
3
5
7
X
0,3
0,2
0,2
0,3
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F ( 5 ) . Вычислить вероятность того, что X
примет значение из интервала (1; 5 ) . Построить многоугольник распределения.
11.
Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < 2
⎪0, 2, 2 ≤ x < 3
⎪
F ( x ) = ⎨0, 6, 3 ≤ x < 7
2
⎪
⎪ 1, x ≥ 7 .
2
⎩
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
110
120
130
140
X
0,1
0,2
0,3
0,2
p
Вычислить ее математическое ожидание, дисперсию и среднее
отклонение.
150
0,2
квадратическое
13. В лаборатории проводятся 3 независимых опыта. Вероятность появления события в
каждом опыте равна 0,3. Опыты проводятся до первого наступления события. Найти закон
распределения числа произведенных опытов. Вычислить математическое ожидание,
дисперсию и среднее квадратическое отклонение количества проведенных опытов.
14. Средняя длина детали равна 30см, а дисперсия 0,2. Пользуясь неравенством Чебышева
оценить вероятность того, что случайно взятая деталь окажется по длине не менее 28,5см
и не больше 31,5см.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,03. Найти
на вероятность того, что среди 100 соединений произойдет:
а) хотя бы 4 неправильных соединения;
б) больше трех неправильных соединений.
16. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪x
p ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 26
⎪13
⎪⎩ 0, x ≥ 26.
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x < 0
⎧
⎪1
⎪
F ( x ) = ⎨ x + a, 0 ≤ x < 3
⎪3
1, x ≥ 3.
⎪⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала ( 0,5; 2,5 ) ;
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 200 независимых испытаний случайная
величина X примет 135 раз значения из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1, 6; 4,8] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 7. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 4 и σ = 5 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [ 2; 15] ;
б) меньшее 9;
в) большее -1;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 6.
21. Длина изготовленной автоматом детали представляет собой случайную величину,
распределенную нормально с математическим ожиданием 15см и дисперсией 0,2см.
Какую точность длины детали, изготовленной этим автоматом, можно гарантировать в с
вероятностью 0,97?
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
4
4
3
1
4
5
5
3
0
2
5
6
4
2
3
4
1
4
2
4
4
1
3
1
3
6
6
8
7
3
1
2
4
5
9
2
3
2
2
8
5
6
6
4
5
2
2
5
7
7
5
6
1
2
3
9
3
5
5
7
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
127 129 136 125 130 127 129 132
134 131 138 150 131 128 123 130
130 141 134 126 136 133 127 137
136 130 135 130 135 126 132 130
121 140 138 136 132 140 138 126
116 130 133 128 138 124 131 143
114 129 140 135 128 137 120 134
126 132 123 138 155 142 145 140
136 128 125 140 122 135 125 122
144 137 133 127 139 124 139 127
Вариант 12.
1.
В урне содержится 15 шаров, из которых 12 черного цвета, остальные – белого. Найти
вероятность того, что из 5 наудачу извлеченных из урны шаров 2 окажутся черного цвета
и 3 – белого.
2.
Бросают 4 монеты. Найти вероятность того, что только на трех монетах появится «герб».
3. Слово «ПЕДАГОГИКА» разрезано по буквам на карточки. Затем карточки перемешивают и
вынимают без возвращения по одной. Найти вероятность того, что карточки в порядке
появления образуют слово а) ПЕДАГОГИКА, б) ГОД.
4. В урне содержится 6 черных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них:
а) 3 белых шара;
б) менее трех белых шаров;
в) хотя бы 1 белый шар.
5. Вероятность появления события А в одном испытании равна 0,7. Вычислить вероятности
следующих событий:
а) событие А наступит 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
б) событие А наступит 115 раз в серии из 432 независимых испытаний;
б) событие А наступит не менее 480 и не более 520 раз в серии из 756
независимых испытаний.
6. Учебник издан тиражом 100000 экземпляров. Вероятность того, что учебник сброшюрован
неправильно, равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит менее трех
неправильных книг.
7. В первой урне 4 белых и 3 черных шара, а во второй – 7 белых и 8 черных шаров. Из первой
урны случайным образом вынимают 1 шар, а из второй – 4 шара. Найти вероятность того,
что среди вынутых шаров все шары белые.
8. Имеются 2 партии деталей: в первой 10 штук, а во второй 20штук. В каждой партии по 2
бракованных детали. Из первой партии во вторую переложили 3 детали, после чего из
второй партии выбрали одну деталь. Какова вероятность того, что извлеченная деталь
бракована?
( −1;0 ) , ( −1;5) , ( 4;5) , ( 4;0 ) брошена точка. какова
вероятность того, что ее координаты ( x; y ) удовлетворяют неравенствам x 2 + 1 ≤ y ≤ x + 3 ?
9. В
прямоугольник
с
вершинами
10. Дан закон распределения случайной величины X :
–2
–1
1
1,5
X
0,4
0,1
0,2
0,3
p
Найти функцию распределения F ( x ) , значение F (1) . Вычислить вероятность того, что X
примет значение из интервала ( −2; 1) . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения дискретной случайной величины X :
⎧ 0, x < −3
⎪ 0, 2, − 3 ≤ x < 2
⎪
F ( x) = ⎨
⎪0, 25, 2 ≤ x < 7
⎪⎩ 1, x ≥ 7.
Задать закон распределения случайной величины X в виде таблицы.
12. Задан закон распределения дискретной случайной величины:
Вычислить
отклонение.
15
X
0,12
p
ее математическое
25
35
45
0,18
0,38
0,02
ожидание, дисперсию и среднее
55
0,3
квадратическое
13. В магазин поступила партия авторучек. Вероятность повреждения в пути равна 0,06. Из
партии берут авторучку и проверяют ее качество. Если ручка повреждена, то проверку
прекращают, а партию возвращают обратно. Если же авторучка без повреждений, то берут
следующую и т.д., но всего проверяют не более 5 ручек. Найти закон распределения,
математическое ожидание дисперсию числа проверенных ручек.
14. Вероятность опоздания пассажира на поезд равна 0,003. Оценить вероятность того, что из
10000 пассажиров окажется от 200 до 250 опоздавших.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003.
Найти на вероятность того, что среди 1200 соединений произойдет:
а) хотя бы 3 неправильных соединения;
б) больше трех неправильных соединений.
16. Случайная величина X задана функцией распределения
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪x
p ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 48
⎪ 24
⎪⎩ 0, x ≥ 48.
Найти функцию распределения F ( x ) случайной величины X . Построить графики
функций p ( x ) и F ( x ) . Вычислить для этой случайной величины математическое
ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду и медиану.
17. Случайная величина Х задана функцией распределения
0, x < −1
⎧
⎪
2
F ( x ) = ⎨ a ⋅ ( x + 1) , − 1 ≤ x < 1
⎪
1, x ≥ 1.
⎩
Найти а) параметр a ;
б) плотность распределения p ( x ) ;
в) вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина X
примет значение из интервала ( 0; 2 ) ;
г) математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины;
д) вероятность того, что в результате 200 независимых испытаний случайная
величина X примет 50 раз значение из указанного интервала.
18. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке [1,5; 3,5] . Найти выражения
для плотности распределения и функции распределения этой случайной величины.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины X .
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 0,1. Записать
выражения для плотности распределения и функции распределения этой случайной
величины. Построить их графики. Вычислить математическое ожидание и дисперсию
случайной величины X .
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 7 и σ = 5 .
Найти вероятность того, что эта случайная величина примет значение
а) из промежутка [1; 15] ;
б) меньшее 12;
в) большее 2;
г) отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не более
чем на 6.
13.
Автомат штампует детали. Контролируется диаметр детали Х, который можно считать
случайной величиной, распределенной нормально с математическим ожиданием 50см и
дисперсией 3,6см. Найти вероятность того, что диаметр наудачу взятой детали находится в
пределах от 55см до 68см.
22. По выборке А решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд,
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении
Пуассона соответствующей генеральной совокупности.
Выборка А:
5
5
4
5
9
5
7
4
4
6
6
5
4
6
7
6
7
7
6
7
7
8
6
8
6
9
4
5
6
7
6
8
9
5
3
8
4
9
4
6
6
2
8
7
7
8
4
3
6
6
8
2
3
6
7
9
3
4
7
9
23. По выборке В решить следующие задачи:
а) составить вариационный ряд, построить полигон и гистограмму;
б) вычислить относительные и накопленные частоты,
в) построить эмпирическую функцию распределения и ее график,
г) вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочную
среднюю, дисперсию, среднее квадратическое отклонение, моду, медиану.
д) при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном
распределении соответствующей генеральной совокупности.
Выборка В:
46
47
44
41
41
42
41
43
37
32
38
33
45
33
46
41
36
42
47
45
41
48
47
46
44
47
40
41
45
41
47
46
46
32
43
46
44
46
46
50
44
40
50
45
46
37
46
37
35
41
40
46
38
40
47
46
32
43
42
46
45
46
42
31
47
46
47
43
44
45
46
46
39
36
46
46
49
48
47
46
Вариант 13.
1. Среди 15 участников международной конференции английский язык знают 10. Найти
вероятность того, что среди наудачу отобранных 5 участников английский язык знают 3.
2. Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на одной монете появится
«герб».
3. Слово «ПОПУЛЯРНОСТЬ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возвращения по одной. Найти
вероятность того, что вынимаемые буквы в порядке появления образуют слово:
а) ПОПУЛЯРНОСТЬ; б) ПОСОЛ.
4. В урне содержится 4 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 3 белых шара;
b. меньше чем 3 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,3. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 4 раза в серии из 8 испытаний;
b. событие А появится не менее 90 и не более 140 раз в серии из 200 испытаний.
6. Всхожесть семян некоторого растения составляет 70%. Какова вероятность того, что из 10
посеянных семян взойдут не менее трёх?
7. В первой урне 3 белых и 7 чёрных шаров, а во второй урне 4 белых и 6 чёрных шаров. Из
первой и второй урн случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность того,
что среди вынутых шаров только два шара белого цвета.
8. В вычислительном центре имеется 3 больших и 10 малых ЭВМ. Вероятность того, что
большая ЭВМ не выйдет из строя, равна 0,9, для малой ЭВМ эта вероятность равна 0,7. На
случайно выбранной машине производится расчёт. Найти вероятность ее выхода из строя.
9. На отрезок единичной длины бросают две точки. Они разбивают отрезок на три части.
Какова вероятность того, что из полученных отрезков можно сложить треугольник?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
–0,5
0
0,5
1
Х
0,1
0,4
0,3
0,2
p
Найти функцию распределения F ( X ) ; значение F(0,5); вероятность того, что случайная
величина Х примет значения из отрезка [0, 1] . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:
⎧ 0, x < 1,
⎪ 0,3, 1 ≤ x < 5,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪0, 7, 5 ≤ x < 6,
⎪⎩ 1, x ≥ 6.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
32
37
42
Х
0,25 0,15 0,45
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
47
0,05
52
0,1
13. Вероятность того, что в библиотеке есть необходимая студенту книга, равна 0,3. Составить
закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4
библиотеки. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.
14. Сколько раз нужно измерить данную величину, истинное значение которой равно А, чтобы
с вероятностью не меньшей 0,95, можно было утверждать, что среднее арифметическое
значение этих измерений отличается от А по абсолютной величине меньше чем на 1, если
среднее квадратичное отклонение каждого из измерений меньше 7?
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,004. Найти
вероятность того, что среди 200 соединений произойдёт:
a. хотя бы три неправильных соединения;
b. более трёх неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪ x
p ( x) = ⎨
, 0 ≤ x < 30,
⎪ 15
⎪⎩ 0, x ≥ 30.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
р(х) и F(x). Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0, x < 1,
⎧
⎪
2
F ( x) = ⎨a ⋅ ( x − x ) , 1 ≤ x < 2,
⎪
1, x ≥ 2.
⎩
Найти:
a. параметр a
b. плотность распределения р(х)
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (0,5; 1,5),
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
e. вероятность того, что в результате 800 независимых испытаний случайная
величина Х примет 330 раз значения из интервала (0,5; 1,5)
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [0,2; 3,4] . Записать функции
плотности распределения p (x ) и распределения F (x ) . Вычислить математическое ожидание
и дисперсию случайной величины Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 5,2. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F (x ) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 4, σ = 3 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:
a. из отрезка [ 0; 10 ] ;
b. меньше 7;
c. больше 1;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 4.
21. Ведётся артиллерийская стрельба по цели из одного орудия. Средняя дальность полёта
снаряда – 1200м. Определить, какой процент выпущенных снарядов даст перелёт от 0 до
60метров, если дальность полёта снаряда – случайная величина, распределённая по
нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ = 40 м.
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочную среднюю;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
4
3
3
8
5
7
5
4
7
9
6
3
7
5
2
3
4
5
1
5
4
4
4
5
5
3
3
4
4
5
3
7
2
4
4
5
6
6
6
5
4
5
7
3
5
4
5
2
6
5
4
6
2
3
4
4
5
7
6
3
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочную среднюю;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
78
54
37
65
63
51
61
48
80
90
74
67
69
61
69
57
89
96
73
69
51
52
60
68
50
70
88
69
83
95
92
49
68
62
77
87
67
63
87
91
80
70
83
60
84
83
76
62
58
56
55
51
64
80
54
63
56
44
70
38
68
44
70
52
79
72
62
64
68
69
76
77
77
74
81
73
75
77
47
49
Вариант 14.
1.
В бригаде 12 женщин и 8 мужчин. Нужно выбрать делегацию на конференцию,
состоящую из трёх человек. Найти вероятность того, что при случайном выборе делегации
в ней окажутся 1 женщина и двое мужчин.
2.
Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
меньше 10.
3.
Слово «КАСАТЕЛЬНАЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти
вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) КАСАТЕЛЬНАЯ; б) КАНАТ.
4.
В урне содержится 5 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 4 белых шара;
b. меньше чем 3 белых шара;
c. хотя бы один белый шар.
5.
Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,5. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 150 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.
6.
Вероятность того, что покупателю понадобится обувь 41-го размера, равна 0,2. Найти
вероятность того, что среди 100 покупателей 30 человек попросят обувь 41-го размера.
7.
В первой урне 3 белых и 5 чёрных шаров, а во второй урне 6 белых и 6 чёрных шаров. Из
первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй урны – 1. Найти
вероятность того, что все вынутые шары чёрного цвета.
8.
При разрыве снаряда образуются осколки трёх весовых категорий: крупные, средние и
мелкие, причём их число составляет 0,2; 0,3 и 0,5 общего числа осколков соответственно.
При попадании в броню крупный осколок пробивает её с вероятностью 0,95, средний – с
вероятностью 0,2, мелкий – с вероятностью 0,05. В результате взрыва снаряда в броню
попал осколок и пробил её. Найти вероятность того, что пробоина возникла от крупного
осколка.
9.
В прямоугольник с вершинами (–2; 0), (–2; 9), (4; 9), (4; 0) брошена точка. Найти
вероятность того, что её координаты x и y удовлетворяют неравенству 0 ≤ y ≤ 2 x − x 2 + 8 .
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
–1
0
0,5
1
Х
0,3
0,1
0,3
0,3
p
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F (0) ; вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из отрезка [0; 1] . Построить многоугольник
распределения.
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:
⎧ 0, x < 3,
⎪0,15, 3 ≤ x < 5,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪ 0, 4, 5 ≤ x < 8,
⎪⎩ 1, x ≥ 8.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
530
545
560
575
Х
0,1
0,3
0,45
0,05
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
590
0,1
13. Производится набрасывание колец на колышек. Вероятность попадания при одном броске
равна 0,3. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию числа
наброшенных колец при трёх бросках.
14. В урне 100 белых и 100 чёрных шаров. Вынимают с возвращением 50 шаров. Оценить
снизу вероятность того, что число m вынутых белых шаров удовлетворяет неравенству
15 < m < 35 .
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,01. Найти
вероятность того, что среди 400 соединений произойдёт:
a. хотя бы два неправильных соединения;
b. более двух неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪ x
p ( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 34,
⎪ 17
⎪⎩ 0,
x ≥ 34.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций p(x )
и F (x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной
величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0, x < 2,
⎧
⎪
2
F ( x) = ⎨a ⋅ ( x − 2 ) , 2 ≤ x < 3,
⎪
1, x ≥ 3.
⎩
Найти:
a. параметр a
b. плотность распределения p(x )
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (2,5; 3,5)
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
e. вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная
величина Х примет 310 раз значения из интервала (2,5; 3,5).
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [2; 6] . Записать функции
плотности распределения p(x ) и распределения F (x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 3,1. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F (x ) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20.
Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 0, σ = 10 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:
a. из отрезка [5; 15] ;
b. меньше 10;
c. больше –10;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 15.
21. Величина Х отклонения радиуса подшипника от стандарта распределена по
нормальному закону с параметрами a = 5 микрон, σ = 0,9 микрон. Найти вероятность
того, что 4 < X < 9 .
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
14
14
13
12
14
15
15
13
10
12
15
16
14
12
13
14
11
14
12
14
14
11
13
11
13
16
16
18
17
13
11
12
14
15
19
12
13
12
12
18
15
16
16
14
15
12
12
15
17
17
15
16
11
12
13
19
13
15
15
17
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
112 112 116 120 113 112 119 112
114 113 118 115 111 118 113 110
110 114 113 116 116 113 117 117
113 110 115 110 113 116 112 113
121 124 118 113 113 110 113 112
116 123 113 118 113 114 113 114
124 121 114 113 112 113 120 113
120 112 130 123 115 114 115 110
116 118 115 110 112 115 115 112
124 117 113 117 119 124 113 117
Вариант 15.
1. В кошельке лежат 10 купюр по 50 рублей и 8 купюр по 100 рублей. Найти вероятность
того, что при извлечении наудачу трёх купюр из кошелька все они окажутся по 100
рублей.
2. Бросаются четыре монеты. Найти вероятность того, что на трёх монетах появится
«герб».
3. Слово «ГРАБЕЛЬКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти
вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) АЛГЕБРА; б) ЛАГЕРЬ.
4. В урне содержится 7 чёрных и 4 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 3 белых шара;
b. меньше чем 4 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,6. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 120 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.
6. Вероятность рождения мальчика равна 0,515. Найти вероятность того, что среди 1000
новорождённых окажется 480 девочек.
7. В первой урне 3 белых и 4 чёрных шара, а во второй – 6 белых и 7 чёрных шаров. Из
первой урны случайным образом вынимают 2 шара, а из второй – три шара. Найти
вероятность того, что среди вынутых шаров только три шара чёрного цвета.
8. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс. Вероятности
обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно 0,6;
0,3 и 0,1. Вероятность того, что к приходу пассажира имеющиеся билеты в кассе будут
распроданы, равна для первой кассы 0,3; для второй – 0,4; для третьей – 0,5. Пассажир
отправился в одну из касс и приобрёл билет. Найти вероятность того, что это была
первая касса.
x2 y2 z 2
+ + = 1 , а область g – этим эллипсоидом и
9. Область G ограничена эллипсоидом
16 9
4
2
2
2
сферой x + y + z = 4 . В области G наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность
того, что она принадлежит области g?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
Х
3
6
9
12
0,3
0,4
0,2
0,1
Р
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(9); вероятность
p{6 < X < 12} . Построить многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:
⎧ 0, x < 0,
⎪0,3, 0 ≤ x < 2,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪ 0,5, 2 ≤ x < 3,
⎪⎩ 1, x ≥ 3.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
45
70
95
120
Х
0,1
0,2
0,5
0,1
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
145
0,1
13. Производятся последовательные независимые испытания трёх приборов на надёжность.
Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, когда предыдущий
оказался надёжным. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0,9.
Найти закон распределения числа испытанных приборов. Найти математическое
ожидание и центральные моменты 2-го и 3-го порядков числа испытанных приборов.
14. Дисперсия каждой из 800 независимых случайных величин не превышает 3. Какой
должна быть верхняя граница абсолютной величины отклонения среднего
арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических
ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,95?
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,004.
Найти вероятность того, что среди 250 соединений произойдёт:
a. хотя бы три неправильных соединения;
b. более трёх неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0, x < 0,
⎪x
⎪
p( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 6,
⎪18
⎪⎩ 0, x ≥ 6.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
p(x ) и F (x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0, x < 3,
⎧
⎪ 2
F ( x) = ⎨ x + ax + 9, 3 ≤ x < 4,
⎪
1, x ≥ 4.
⎩
Найти:
a. параметр a
b. плотность распределения p(x ) ;
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (3,5; 4 ) ;
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины;
e. вероятность того, что в результате 300 независимых испытаний случайная
величина Х примет 215 раз значения из интервала (3,5; 4 ) .
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [2; 8] . Записать функции
плотности распределения p(x ) и распределения F (x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2,2. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F (x ) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 8, σ = 4 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a. из отрезка [3;15] ;
b. меньше 12;
c. больше 4;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 5.
21. При измерении детали её длина является случайной величиной, распределённой по
нормальному закону с M ( X ) = 22 мм и σ = 0, 2 мм. Найти интервал, в который с
вероятностью 0,9544 попадает длина наудачу взятой детали.
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение, моду и медиану
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
6
6
5
6
11
8
7
4
4
8
3
2
3
9
6
9
5
8
8
7
10
8
6
9
9
10
3
10
5
7
6
8
9
9
3
8
4
11
4
6
9
2
8
7
7
8
4
3
6
12
10
2
3
8
6
8
2
3
8
8
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
58
49
46
53
63
64
53
46
59
64
50
55
57
55
68
48
58
54
59
57
53
60
69
68
56
49
52
63
57
61
49
48
49
62
65
58
56
68
58
60
56
52
60
57
48
57
58
67
65
51
60
58
58
60
59
58
52
53
54
58
67
68
52
61
47
56
57
53
64
65
56
58
59
56
56
56
59
58
57
58
Вариант 16.
1. Контролю подлежат 25 деталей, среди которых 3 нестандартных. Какова вероятность
тог, что среди взятых наудачу четырёх деталей окажется 2 нестандартных.
2. Бросают четыре игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
меньше 8.
3. Слово «РЕПЕМЕННАЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти
вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПЕРЕМЕННАЯ; б) МЕРА.
4. В урне содержится 5 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 3 чёрных шара;
b. меньше чем 2 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,3. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 4 раза в серии из 9 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 90 и не более 100 раз в серии из 200 испытаний.
6. Вероятность выпуска бракованного изделия равна 0,022. Изделия укладываются в
коробки по 100 штук. Найти вероятность того, что в выбранной коробке число
бракованных изделий окажется не более трёх.
7. В первой урне 5 белых и 3 чёрных шара, а во второй урне 4 белых и 9 чёрных шаров. Из
первой и второй урн случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность
того, что среди вынутых шаров только два шара чёрного цвета.
8. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой
группы 4 студента, из второй – 6 студентов, из третьей – 5. Вероятность того, что
студент первой, второй, третьей группы попадёт в сборную института, соответственно
равны 0,9; 0,7 и 0,8. Один из отобранных студентов в итоге соревнования попал в
сборную команду. К какой группе он вероятнее всего принадлежит?
9. Стержень длиной L произвольным образом сломан на три части. Какова вероятность
того, что из этих частей можно построить треугольник?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
3
4
5
7
Х
0,3 0,1 0,4 0,2
p
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(5); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из отрезка [3; 5] . Построить многоугольник
распределения.
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:
⎧ 0, x < 1,
⎪ 0,3, 1 ≤ x < 3,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪0,8, 3 ≤ x < 5,
⎪⎩ 1, x ≥ 5.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
–28 –20 –12
–4
Х
0,22 0,44 0,17 0,1
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
4
0,07
13. Вероятность того, что в магазине есть сертификаты качества для полного ассортимента
товаров, равна 0,7. Комиссия проверила наличие сертификатов в четырёх магазинах
района. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание и
дисперсию числа магазинов, в которых при проверке не обнаружены сертификаты
качества.
14. Для определения средней продолжительности горения электроламп в партии из 350
одинаковых ящиков было взято на проверку по одной электролампе из каждого ящика.
Оценить снизу вероятность того, что средняя продолжительность горения отобранных
электроламп отличается от средней продолжительности горения всей партии по
абсолютной величине меньше чем на 7 часов, если известно, что среднее квадратичное
отклонение продолжительности горения электроламп в каждом ящике меньше 9 часов.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.
Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдёт:
a. хотя бы три неправильных соединения;
b. более двух неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0, x < 0
⎪
⎪x
p ( x ) = ⎨ , 0 ≤ x < 38
⎪19
⎪⎩ 0, x ≥ 38.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
p(x ) и F (x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
⎧
0, x < −1;
⎪⎪
F ( x ) = ⎨ax + 3 , − 1 ≤ x < 1 ;
4
3
⎪
1
1, x ≥
.
⎪⎩
3
Найти:
a. параметр a ;
b. плотность распределения p(x ) ;
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (–0,5; 1);
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
e. вероятность того, что в результате 300 независимых испытаний случайная
величина Х примет 220 раз значения из интервала (–0,5; 1)
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [1; 3] . Записать функции
плотности распределения p(x ) и распределения F (x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 2. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F (x ) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 30, σ = 5 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a. из отрезка [15; 25];
b. меньше 25;
c. больше 15;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 4.
21. Станок-автомат изготавливает валики. Считается, что их диаметр – нормально
распределённая случайная величина со средним значением 10мм. Чему равно среднее
квадратичное отклонение, если с вероятностью 0,99 диаметр заключён в интервале от
9,7мм до 10,3мм.
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее и
выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение, моду, медиану.
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
6
9
7
6
4
4
9
6
7
8
8
3
7
5
2
3
4
5
2
8
6
8
3
2
5
3
3
4
4
5
10
12
6
3
4
8
6
6
6
5
4
5
7
7
8
2
9
6
6
5
4
6
2
3
4
11
4
8
3
6
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее,
выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение, моду и медиану.
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
55
72
54
53
64
53
59
48
42
46
50
63
71
56
54
59
54
44
50
43
51
52
60
43
50
70
68
59
53
58
62
49
59
51
52
47
57
71
60
46
55
58
72
47
60
65
63
63
58
56
55
51
64
54
54
63
56
44
73
41
68
54
48
52
52
50
55
49
71
67
58
46
50
51
72
63
64
48
47
55
Вариант 17.
1. Среди 35 деталей 7 нестандартных. Найти вероятность того, что две наудачу взятые
детали окажутся стандартными.
2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших
гранях кратна 9.
3. Слово «ПРИКЛЮЧЕНИЕ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность
того, что вынимаемые буквы в порядке появления образуют слово: а) ПРИКЛЮЧЕНИЕ;
б) ПЛЕН.
4. В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 2 белых шара;
b. меньше чем 2 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,4. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 3 раза в серии из 7 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 220 и не более 235 раз в серии из 400 испытаний.
6. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий. Вероятность повреждения
каждого изделия в пути равна 0,002. Найти вероятность того, что в пути будет
повреждено не более 3 изделий.
7. В первой урне 4 белых и 9 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 3 чёрных шара. Из
первой урны случайным образом вынимают 3 шара, а из второй урны – 4. Найти
вероятность того, что все вынутые шары одного цвета.
8. На склад поступают изделия трёх фабрик. Продукция первой фабрики составляет 70%
всех изделий, второй – 20%, третьей – 10%. Известно, что средний процент
нестандартных изделий первой фабрики равен 1%, второй – 2%, третьей – 3%. Взятое на
складе наугад изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно
изготовлено на третьей фабрике.
x2 y 2
+
= 1 , а область g – этим эллипсом и
9. На плоскости область G ограничена эллипсом
49 25
x2 y2
эллипсом
+
= 1 . В область G брошена точка. Какова вероятность того, что эта
9
4
точка попадёт в область g?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
0
1
2
3
Х
0,2
0,1
0,4
0,3
p
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(3); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из интервала (–1; 2). Построить
многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:
x < −2,
⎧ 0,
⎪0,5, − 2 ≤ x < −1,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪ 0, 7, − 1 ≤ x < 1,
⎪⎩ 1,
x ≥ 1.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
32
35
38
41
Х
0,2 0,1 0,4 0,2
Р
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
44
0,1
13. В коробке лежат 10 карандашей. Наудачу извлекается 4 карандаша. Случайная величина
Х – число синих карандашей среди отобранных. Найти закон её распределения,
начальный и центральные моменты 2-го и 3-го порядков.
14. Отдел технического контроля проверяет 475 изделий на брак. Вероятность того, что
изделие бракованное равна 0,05. Найти с вероятностью 0,95 границы, в которых будет
заключено количество бракованных изделий среди проверенных.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003.
Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдёт:
a. хотя бы 4 неправильных соединения;
b. более двух неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪x
p ( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 40,
⎪ 20
⎪⎩ 0,
x ≥ 40.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
p(x ) и F (x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0, x < −1,
⎧
⎪
x
⎪
F ( x) = ⎨a + arcsin , − 1 ≤ x < 1,
π
⎪
1, x ≥ 1.
⎪⎩
Найти:
a. параметр a
b. плотность распределения p(x ) ;
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
⎛1 3⎞
примет значения из интервала ⎜⎜ ;
⎟⎟ ;
2
2
⎝
⎠
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
e. вероятность того, что в результате 100 независимых испытаний случайная
величина Х примет 20 раз значения из указанного интервала.
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [1,1; 1,3] . Записать функции
плотности распределения p(x ) и распределения F (x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 3. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F (x ) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 6, σ = 5 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a. из отрезка [2; 12] ;
b. меньше 14;
c. больше 1;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 6.
21. Средний диаметр детали 164см. Считая, что диаметр детали – случайная величина,
распределённая по нормальному закону с σ = 5,5 см, найти вероятность того, что
диаметр наудачу взятой детали имеет отклонение от среднего значения по абсолютной
величине не более 2см.
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение; моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
0
0
2
2
1
4
1
1
2
2
1
0
1
1
0
0
2
2
1
2
1
2
1
0
3
1
0
0
1
0
0
2
0
1
4
0
1
0
1
0
1
1
0
2
0
3
0
1
1
4
2
0
0
0
0
3
2
1
2
3
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
166 154 168 169 178 182 169 159
161 150 149 173 173 156 164 169
157 148 169 149 157 171 154 152
164 157 177 155 167 169 175 166
167 150 156 162 170 167 161 158
168 164 170 172 173 157 157 162
156 150 154 163 143 170 170 168
151 174 155 163 166 173 162 182
166 163 170 173 159 149 172 176
Вариант 18.
1. Среди 10 лотерейных билетов 2 являются выигрышными. Найти вероятность того, что из
взятых наудачу пяти билетов один окажется выигрышным.
2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
больше 15.
3. Слово «ПЕРИМЕТР» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность
того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПЕРИМЕТР; б) МЕТР.
4. В урне содержится 5 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 4 белых шара;
b. меньше чем 2 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,55. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 3 раза в серии из 5 испытаний;
b. событие А появится не менее 130 и не более 200 раз в серии из 300 испытаний.
6. Вероятность нарушения герметичности банки консервов равна 0,0005. Найти
вероятность того, что среди 2000 банок две окажутся с нарушением герметичности.
7. В первой урне 4 белых и 8 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 4 чёрных шара. Из
первой урны случайным образом вынимают 2 шара и из второй урны случайным
образом вынимают по три шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары одного
цвета.
8. Среди поступающих на сборку деталей, с первого станка 0,1% бракованных, со второго –
0,2%, с третьего – 0,25%, с четвёртого – 0,5%. Производительности станков относятся
соответственно как 4:3:2:1. Взятая наудачу деталь оказалась стандартной. Найти
вероятность того, что деталь изготовлена на первом станке.
9. Область G ограничена окружностью x 2 + y 2 = 25 , а область g – этой окружностью и
параболой 16 y = 3x 2 . В область G брошена точка. Найти вероятность того, что эта точка
попадёт в область g.
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
Х
p
0
0,2
1
0,1
2
0,4
3
0,3
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(3); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из интервала (–1; 2). Построить
многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:
0, x < −1,
⎧
⎪ 0, 4, − 1 ≤ x < 0,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪ 0, 65, 0 ≤ x < 1,
⎪⎩
1, x ≥ 1.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
Х
170
160
150
140
0,3
0,2
0,1
0,15
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
130
0,25
13. У электромонтёра три лампочки, каждая из которых имеет дефект с вероятностью 0,1..
Лампочки ввинчиваются в патрон и включается ток. При включении тока дефектная
лампочка сразу же перегорает и заменяется другой. Найти закон распределения,
математическое ожидание и дисперсию числа опробованных лампочек.
14. Вероятность поражения цели равна 0,3 при каждом из 900 независимых выстрелов.
Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что цель будет поражена
не менее 240 раз и не более 300 раз.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.
Найти вероятность того, что среди 800 соединений произойдёт:
a. хотя бы три неправильных соединения;
b. более четырёх неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪x
p( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 42,
⎪ 21
⎪⎩ 0,
x ≥ 42.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
p(x ) и F ( x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0,
x < 1,
⎧
⎪
2
F ( x) = ⎨a ⋅ ( x − 1) , 1 ≤ x < 2,
⎪
1,
x ≥ 2.
⎩
Найти:
a. параметр a
b. плотность распределения p(x )
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (1,5; 2,5)
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
e. вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная
величина Х примет 340 раз значения из интервала (1,5; 2,5).
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [ 2; 4] . Записать функции
плотности распределения p( x ) и распределения F ( x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 4. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F ( x ) и построить её
график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 10, σ = 2 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:
a. из отрезка [12; 14] ;
b. меньше 12;
c. больше 8;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 6.
21. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с M ( X ) = 10 микрон и
σ = 5 микрон. Найти вероятность того, что 7 < X < 12 .
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
4
7
6
3
3
4
5
7
8
7
7
5
2
5
7
5
6
5
5
6
8
4
3
2
3
7
4
4
8
4
8
6
9
3
5
3
3
2
7
7
6
4
8
5
6
3
2
7
7
7
4
5
8
2
3
9
3
4
5
5
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
152 161 141 155 171 160 150 157
154 164 138 172 155 152 177 160
168 157 115 128 154 149 150 141
172 154 144 177 151 128 150 147
143 164 156 145 156 170 171 142
148 153 152 170 142 153 162 128
150 146 155 154 163 142 171 138
128 158 140 160 144 150 162 151
163 157 177 127 141 160 160 142
159 147 142 122 155 144 170 177
Вариант 19.
1. На участке работают 16 женщин и 5 мужчин. По табельным номерам отобраны наудачу 3
человека. Найти вероятность того, что все отобранные люди окажутся мужчинами.
2. Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится
«герб».
3. Слово «ПСИХОЛОГИЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность
того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПСИХОЛОГИЯ; б) ПОСОХ.
4. В урне содержится 6 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 3 белых шара;
b. меньше чем 3 белых шара;
c. хотя бы один белый шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,5. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 3 раза в серии из 5 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 30 и не более 40 раз в серии из 50 испытаний.
6. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга в
одинаковом режиме, при котором их привод оказывается включенным в течение 0,8
рабочего времени. Какова вероятность того, что в произвольно взятый момент времени
окажутся включенными от 70 до 86 станков?
7. В первой урне 4 белых и 7 чёрных шаров, а во второй урне 8 белых и 3 чёрных шара. Из
первой урны случайным образом вынимают 4 шара, а из второй – 1 шар. Найти
вероятность того, что среди вынутых шаров только 4 чёрных шара.
8. В салон по продаже автомобилей ежедневно поступают автомобили трёх марок в
объёмах: «Москвич» – 40%; «Ока» – 20%; «Волга» – 40% от всех привезённых машин.
Среди машин марки «Москвич» 0,5% имеют противоугонное устройство, «Ока» – 0,01%,
«Волга» – 0,1%. Найти вероятность того, что взятая для проверки машина имеет
противоугонное устройство.
9. На отрезке [ 0; 2] наудачу выбраны числа x и y . Найти вероятность того, что эти числа
удовлетворяют неравенствам x 2 ≤ 4 y ≤ 4 x .
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
0
2
3
5
Х
0,1
0,2
0,3
0,4
p
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(2); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из интервала ( −1;3) . Построить
многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения F ( x ) дискретной случайной величины Х:
⎧ 0, x < −0, 2,
⎪0, 4, − 0, 2 ≤ x < 0,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪0, 6, 0 ≤ x < 0, 2,
⎪⎩ 1,
x ≥ 0, 2.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
90
95
100 105
Х
0,08 0,12 0,52 0,16
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
110
0,12
13. Автомашины доставляют сырьё на завод от трёх независимо работающих поставщиков.
Вероятность прибытия в срок машины от любого из поставщиков постоянна и равна 0,8.
Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайного числа
прибывших в срок автомашин.
14. Вероятность опоздания пассажира на поезд равна 0,007. Оценить вероятность того, что
из 20000 пассажиров окажется от 100 до 180 опоздавших.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,003.
Найти вероятность того, что среди 800 соединений произойдёт:
a. хотя бы три неправильных соединения;
b. более трёх неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪x
p( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 44,
⎪ 22
⎪⎩ 0,
x ≥ 44.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
p(x ) и F ( x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0, x < 2,
⎧
⎪ 2
F ( x) = ⎨ax − x + 1, 2 ≤ x < 4,
⎪
1, x ≥ 4.
⎩
Найти:
a. параметр a ;
b. плотность распределения p(x ) ;
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (3; 3,5)
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
e. вероятность того, что в результате 450 независимых испытаний случайная
величина Х примет 150 раз значения из интервала (3; 3,5)
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [ 2, 4; 4, 4] . Записать функции
плотности распределения p( x ) и распределения F ( x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 5. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F ( x ) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 6, σ = 4 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:
a. из отрезка [1; 12] ;
b. меньше 10;
c. больше 2;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 5.
21. Диаметр втулок можно считать случайной величиной, распределённой по нормальному
закону с параметрами a = 2,5см и σ = 0, 001 см. Найти интервал, в который с
вероятностью 0,9973 попадёт диаметр наудачу взятой втулки.
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
4
4
3
4
8
5
6
3
3
5
5
4
3
6
6
5
6
6
5
7
7
8
6
8
5
8
3
4
5
7
6
8
9
5
3
8
4
9
4
6
6
2
8
7
7
8
4
3
6
6
8
2
2
6
6
8
2
3
6
8
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
48
49
46
43
43
44
43
46
39
34
40
35
47
35
48
43
38
44
49
47
43
50
49
48
46
49
42
43
47
41
49
48
49
32
45
48
46
48
48
50
46
42
50
47
48
37
48
37
35
41
40
48
38
40
49
48
32
43
44
48
47
48
42
31
47
46
47
43
44
45
46
48
39
36
46
46
49
48
47
48
Вариант 20.
1.
В лабораторию на исследование поступило 7 банок кофе, среди которых три подделки.
Найти вероятность того, что среди пяти наудачу взятых банок, окажется две подделки.
2.
Бросают четыре игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков на
четырёх костях больше 22.
3.
Слово «ПЕРЕСТРОЙКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность
того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПЕРЕСТРОЙКА; б) КРЕСТ.
4.
В урне содержится 6 чёрных и 8 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 4 чёрных шара;
b. меньше чем 4 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5.
Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,25. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 2 раза в серии из 6 испытаний;
b. событие А появится не менее 120 и не более 230 раз в серии из 250 испытаний.
6.
Вероятность неточной сборки прибора равна 0,2. Найти вероятность того, что среди 500
приборов окажется от 410 до 430 точных.
7.
В первой урне 4 белых и 6 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 5 чёрных шаров. Из
первой и второй урны случайным образом вынимают по два шара. Найти вероятность того,
что среди вынутых шаров только два шара чёрного цвета.
8.
Заказчик желает приобрести телевизор марки «SHARP» у одной из трёх фирм. Вероятность
обращения в первую фирму равна 0,3; во вторую – 0,2; в третью – 0,5. Вероятность наличия
данного телевизора в первой фирме равна 0,85; во второй – 0,7; в третьей – 0,75.Найти
вероятность того, что заказчик приобретёт телевизор марки «SHARP».
9.
В квадрат с вершинами
координаты
( 0; 0 ) ; ( 0; 1) ; (1; 0 ) ; (1; 1) наудачу брошена точка. Пусть её
( a; b ) . Найти вероятность того, что корни уравнения
x 2 + ax + b = 0
действительны.
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
–2
0
1
5
Х
0,15
0,2
0,15
0,5
p
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(0); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из интервала (–2; 5). Построить многоугольник
распределения.
11. Известна функция распределения F ( x ) дискретной случайной величины Х:
x < −1,
⎧ 0,
⎪0, 4, − 1 ≤ x < 0,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪ 0, 6, 0 ≤ x < 3,
⎪⎩ 1,
x ≥ 3.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
62
84
106
128
Х
0,2
0,1
0,4
0,2
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
150
0,1
13. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для
первого стрелка при одном выстреле равна 0,4, для второго – 0,6. Составить закон
распределения, найти математическое ожидание и дисперсию числа попаданий в мишень.
14. Определить количество деталей, необходимых для того, чтобы с вероятностью не менее
0,98 можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения частоты годных деталей от
вероятности детали быть годной, равной 0,95, не превысит 0,01.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002. Найти
вероятность того, что среди 800 соединений произойдёт:
a. хотя бы три неправильных соединения;
b. более трёх неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪x
p ( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 46,
⎪ 23
⎪⎩ 0,
x ≥ 46.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций p(x ) и
F ( x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану случайной
величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0,
x < 1,
⎧
⎪
1
⎪
F ( x) = ⎨ax 2 − , 1 ≤ x < 2,
3
⎪
1, x ≥ 2.
⎪⎩
Найти:
a. параметр a ;
b. плотность распределения p(x ) ;
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (1,5; 1,75);
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
e. вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная
величина Х примет 120 раз значения из интервала (1,5; 1,75).
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [ 2,3; 4, 7 ] . Записать функции
плотности распределения
p(x ) и распределения F ( x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 6. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F ( x ) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 3, σ = 4 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значение:
a. из отрезка [1; 10] ;
b. меньше 7;
c. больше –1;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 3.
21. Станок-автомат изготавливает валики. Считается, что их диаметр – нормально
распределённая случайная величина со средним значением 22мм. Чему равно среднее
квадратичное отклонение, если с вероятностью 0,99 диаметр валика заключён в
интервале от 13мм до 21мм.
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
2
4
5
2
3
4
6
4
4
3
5
3
7
5
2
3
4
5
2
4
2
3
3
2
5
3
3
4
4
5
7
7
4
3
3
5
6
6
6
5
4
5
7
7
6
2
9
6
6
5
4
6
2
3
4
7
4
8
3
6
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
55
62
54
53
54
53
59
48
42
46
50
53
51
56
54
59
54
44
50
43
51
52
60
43
50
60
48
49
43
58
42
49
59
51
52
47
57
41
46
46
55
58
52
47
50
55
53
53
58
56
55
51
34
34
44
43
56
44
53
41
58
54
48
52
52
50
55
49
41
47
48
46
50
51
42
63
54
48
47
55
Вариант 21.
1. Среди 25 деталей 10 нестандартных. Найти вероятность того, что среди 5 наудачу взятых
деталей 3 стандартных.
2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на трёх костях
кратна 7.
3. Слово «ДИСПЕРСИЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти
вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ДИСПЕРСИЯ; б) ПИРС.
4. В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 4 белых шара;
b. меньше чем 4 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,18. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 2 раза в серии из 4 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 55 и не более 90 раз в серии из 250 испытаний.
6. При штамповке металлических клемм получается в среднем 90% годных. Найти
вероятность того, что среди 900 клемм окажется от 790 до 820 годных.
7. В первой урне 4 белых и 5 чёрных шаров, а во второй урне 7 белых и 6 чёрных шаров. Из
первой урны случайным образом вынимают три шара, а из второй урны случайным
образом вынимают два шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все
шары одного цвета.
8. На склад поступают изделия трёх цехов. Продукция первого цеха составляет 30% всех
изделий; второго – 20%; третьего – 50% изделий. Известно, что средний процент
нестандартных изделий первого цеха равен 0,1%, второго – 0,2%, третьего – 0,3%.
Взятое на складе наугад изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что
оно изготовлено в первом цехе.
x2 y2 z 2
9. Область G ограничена эллипсоидом
+ + = 1 , а область g – этим эллипсоидом и
16 9
4
2
2
2
сферой x + y + z = 9 . В области G наудачу зафиксирована точка. Какова вероятность
того, что она принадлежит области g?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
–1
0
1
1,5
Х
0,4
0,1
0,2
0,3
p
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(0); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из интервала (–1; 1). Построить
многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:
⎧ 0, x < −2,
⎪
⎪0, 25, − 2 ≤ x < 0,
F ( x) = ⎨
0 ≤ x < 1,
⎪0, 65,
⎪⎩ 1,
x ≥ 1.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
75
85
95
105
Х
0,14 0,16
0,5
0,1
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
115
0,1
13. Проверкой установлено, что из каждых 10 приборов 8 точных. Составить закон
распределения, найти начальные и центральные моменты 1-го, 2-го, 3-го порядков числа
точных приборов из взятых наудачу 5 приборов.
14. Вероятность рождения девочки приблизительно равна 0,485. Оцените снизу вероятность
того, что число девочек среди 3000 новорождённых будет отличаться от
математического ожидания этого числа по абсолютной величине менее, чем на 55
девочек.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,0025.
Найти вероятность того, что среди 6000 соединений произойдёт:
a. хотя бы 4 неправильных соединения;
b. более четырёх неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪x
p( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 48,
⎪ 24
⎪⎩ 0,
x ≥ 48.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
p(x ) и F ( x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0,
x < 2,
⎧
⎪1
⎪
F ( x) = ⎨ x + a, 2 ≤ x < 5,
⎪3
1, x ≥ 5.
⎪⎩
Найти:
a. параметр a ;
b. плотность распределения p(x ) ;
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (2,5; 3,5);
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
e. вероятность того, что в результате 200 независимых испытаний случайная
величина Х примет 90 раз значения из интервала (2,5; 3,5);
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [ 0, 4; 2] . Записать функции
плотности распределения p( x ) и распределения F ( x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 1,1. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F ( x ) и построить её
график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 6, σ = 3 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a. из отрезка [ 2; 10] ;
b. меньше 9;
c. больше 3;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 4.
21. Средний диаметр детали 15см. Считая, что диаметр детали – случайная величина,
распределённая по нормальному закону с σ = 0,5 см, найти вероятность того, что
диаметр наудачу взятой детали имеет отклонение от среднего значения по абсолютной
величине не большее 1см.
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее и выборочную дисперсию;
• ;стандартное выборочное отклонение, моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
1
1
3
3
2
4
1
1
2
2
1
2
1
1
3
3
2
2
1
2
1
2
2
1
3
2
4
4
1
3
1
2
3
2
4
3
1
2
1
2
1
1
2
2
3
3
4
1
1
4
2
2
3
3
4
3
2
1
2
3
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
16
14
18
16
17
18
16
15
16
15
14
17
17
15
16
19
15
14
16
14
15
17
15
15
16
17
17
15
16
16
15
16
16
15
15
16
17
16
16
15
16
16
17
17
17
15
17
16
15
15
15
16
14
17
12
16
16
15
16
16
16
16
15
16
15
17
15
16
16
17
16
18
16
16
17
17
15
14
17
17
Вариант 22.
1. У сборщика 10 радиоламп, внешне мало отличающихся друг от друга. Из них 4 лампы
первого типа, по две лампы второго, третьего и четвёртого типов. Найти вероятность
того, что из взятых наудачу 6 ламп окажется три лампы первого типа, две – второго и
одна – третьего типа.
2. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что хотя бы на двух монетах появится
«герб».
3. Слово «МАТЕМАТИКА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти
вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) МАТЕМАТИКА; б) ТЕМА.
4. В урне содержится 8 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 3 белых шара;
b. меньше чем 3 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,1. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 4 раза в серии из 5 испытаний;
b. событие А появится не менее 70 и не более 120 раз в серии из 200 испытаний.
6. Нужно исследовать 200 проб руды. Вероятность промышленного содержания металла в
каждой пробе одинакова и равна 0,6. Найти вероятность того, что число проб с
промышленным содержанием будет заключено между 130 и 150.
7. В первой урне 4 белых и 4 чёрных шара, а во второй урне 7 белых и 7 чёрных шаров. Из
первой урны случайным образом вынимают два шара, а из второй – три шара. Найти
вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного цвета.
8. На склад поступили телевизоры двух марок: «PANASONIC» – 70%; «LG» – 30%, причём
10% телевизоров «PANASONIC» и 20% телевизоров «LG» содержат русский телетекст.
Определить вероятность того, что взятый наудачу телевизор не содержит русский
телетекст.
9. Точка брошена в область G, ограниченную эллипсом x 2 + 4 y 2 = 8 . Какова вероятность
того, что она попадёт в область g, ограниченную этим эллипсом и параболой x 2 = 4 y ?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
1
3
5
7
Х
0,1
0,1
0,3
0,5
p
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(5); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из интервала (1;5). Построить многоугольник
распределения.
11. Известна функция распределения F ( x ) дискретной случайной величины Х:
x < −0,5,
⎧ 0,
⎪ 0, 2, − 0,5 ≤ x < 0,
⎪
F ( x) = ⎨
0 ≤ x < 0,5,
⎪0, 7,
⎪⎩ 1,
x ≥ 0,5.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
Х
300
305
310
315
0,1
0,1
0,3
0,4
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
320
0,1
13. Вероятность того, что добросовестный студент получит повышенную оценку на
экзамене, равна 0,9. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию
числа добросовестных студентов, получивших повышенную оценку на экзамене, из
четырёх опрошенных.
14. Сколько нужно провести испытаний, чтобы с вероятностью не меньшей 0,95, можно
было утверждать, что среднее арифметическое результатов измерений отличается от
математического ожидания по абсолютной величине не более чем на 1, если в результате
предыдущих измерений найдено среднее квадратичное отклонение, равное 5.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.
Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдёт:
a. хотя бы 4 неправильных соединения;
b. более четырёх неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪x
p( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 50,
⎪ 25
⎪⎩ 0,
x ≥ 50.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
p(x ) и F ( x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
⎧
⎪
0,
x < 0,
⎪
π
x
⎪
F ( x) = ⎨a ⋅ sin , 0 ≤ x < ,
2
3
⎪
π
⎪
1,
x≥ .
⎪⎩
3
Найти:
a. параметр a ;
b. плотность распределения p(x ) ;
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
⎛ π ⎞
примет значения из интервала ⎜ 0; ⎟ ;
⎝ 6 ⎠
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
e. вероятность того, что в результате 225 независимых испытаний случайная
⎛ π ⎞
величина Х примет 125 раз значения из интервала ⎜ 0; ⎟ .
⎝ 6 ⎠
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [3; 6] . Записать функции
плотности распределения p( x ) и распределения F ( x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 4,2. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F ( x ) и построить её
график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 3, σ = 2 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a. из отрезка [1; 5] ;
b. меньше 5;
c. больше 1;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 2.
21. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с M ( X ) = 20 м и σ = 5 м.
Найти вероятность того, что 10 < X < 30 .
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение, моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
1
4
3
0
0
1
2
4
5
4
4
2
2
2
4
2
3
2
2
3
5
1
0
0
0
4
1
1
5
1
5
3
6
0
2
0
0
0
4
4
3
1
5
2
3
0
0
4
4
4
1
2
5
0
0
6
0
1
0
2
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее,
выборочную дисперсию, стандартное выборочное отклонение. моду и медиану.
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
52
61
41
55
71
60
50
57
54
64
38
72
55
52
77
60
68
57
15
28
54
49
50
41
72
54
44
77
51
28
50
47
43
64
56
45
56
70
71
42
48
53
52
70
42
53
62
28
50
46
55
54
63
42
71
38
28
58
40
60
44
50
62
51
63
57
77
27
41
60
60
42
59
47
42
22
55
44
70
77
Вариант 23.
1. В группе из 25 студентов 7 студентов не выполнили домашнее задание. Преподаватель
опрашивает 5 человек. Найти вероятность того, что преподаватель вызовет двух
студентов, не выполнивших домашнее задание.
2. Бросают четыре монеты. Найти вероятность того, что только на одной монете появится
решка.
3. Слово «ГЕОМЕТРИЯ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти
вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ГЕОМЕТРИЯ; б) МЕТР.
4. В урне содержится 6 чёрных и 5 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 3 белых шара;
b. меньше чем 3 белых шара;
c. хотя бы один белый шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,9. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 3 раза в серии из 5 испытаний;
b. событие А появится не менее 42 и не более 50 раз в серии из 90 испытаний.
6. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна
0,2. Найти вероятность того, что в течение гарантийного срока из 6 телевизоров не более
двух потребуют ремонта.
7. В первой урне 3 белых и 8 чёрных шаров, а во второй урне 5 белых и 7 чёрных шаров. Из
первой урны случайным образом вынимают 2 шара, а из второй – три шара. Найти
вероятность того, что среди вынутых шаров все шары чёрного цвета.
8. В ОТК работает мастер, проверяющий 80% всех изделий, и ученик, проверяющий 20%
изделий. Мастер замечает брак в 99% случаев, тогда как ученик – в 95% случаев.
Изделие, прошедшее контроль, оказалось дефектным и возвращено покупателем. Найти
вероятность того, что это изделие проверял мастер.
9. В прямоугольник с вершинами ( − 1;0 ) , ( − 1; 5 ) , ( 2; 5 ) , ( 2; 0 ) брошена точка. Какова
вероятность того, что её координаты
( x; y )
будут удовлетворять неравенству
x2 + 1 ≤ y ≤ x + 3 ?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
–2
0
2
4
Х
0,1
0,2
0,5
0,2
p
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(4); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из интервала (–3; 2). Построить
многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения F ( x ) дискретной случайной величины Х:
x < −1,
⎧ 0,
⎪ 0,5, − 1 ≤ x < 0,
⎪
F ( x) = ⎨
0 ≤ x < 1,
⎪0, 7,
⎪⎩ 1,
x ≥ 1.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
106
110
114
118
Х
0,2
0,15
0,35
0,1
p
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
122
0,2
13. Составить закон распределения числа попаданий в мишень при четырёх выстрелах, если
вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,4. Найти среднее число
попаданий и центральные моменты указанной случайной величины.
14. За значение математического ожидания некоторой величины принимают среднее
арифметическое достаточно большого числа её измерений. Предполагая, что среднее
квадратичное отклонение каждого измерения не превосходит 2 см, оценить вероятность
того, что при 1500 измерениях отклонение принятого значения от истинного по
абсолютной величине не превзойдёт 0,1 см.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,005.
Найти вероятность того, что среди 400 соединений произойдёт:
a. хотя бы три неправильных соединения;
b. более трёх неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪x
p( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 28,
⎪14
⎪⎩ 0,
x ≥ 28.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
p(x ) и F ( x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0, x < 1,
⎧
⎪
F ( x) = ⎨a ⋅ ( x − 1) , 1 ≤ x < 3,
⎪
1, x ≥ 3.
⎩
Найти:
a. параметр a ;
b. плотность распределения p(x ) ;
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (–2; 1);
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
e. вероятность того, что в результате 270 независимых испытаний случайная
величина Х примет 30 раз значения из интервала (–2; 1).
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [ 0,5; 1,5] . Записать функции
плотности распределения p( x ) и распределения F ( x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 6,2. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F ( x ) и построить её
график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 10, σ = 8 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a. из отрезка [5; 12] ;
b. меньше 18;
c. больше 2;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 9.
21. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами
a = 5м, σ = 4м . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение не
менее 6м и не более 8м.
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
3
2
3
4
2
2
1
3
3
5
4
4
1
4
1
3
4
1
3
4
1
3
4
4
5
5
2
5
1
1
1
1
1
3
3
4
3
2
1
0
1
4
2
3
2
1
2
4
3
1
1
2
2
4
1
1
4
2
4
5
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение, моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
156 176 165 166 176 166 189 148
162 150 147 155 167 151 173 175
161 188 146 157 165 160 169 168
165 134 177 163 157 161 142 185
149 162 165 175 156 166 192 160
143 152 180 168 142 187 181 167
165 181 190 138 158 160 179 158
177 173 154 158 177 186 152 161
142 161 170 153 164 165 176 188
159 162 167 162 190 180 172 158
Вариант 24.
1. Какова вероятность получить главный выигрыш в «спортлото» 6 из 49 (правильно
угадать 6 чисел) у владельца одного билета?
2. Бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что только на двух костях
появится по 6 очков.
3. Слово «ВЕРОЯТНОСТЬ» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность
того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ВЕРОЯТНОСТЬ; б) ТРОСТЬ.
4. В урне содержится 8 чёрных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 2 белых шара;
b. меньше чем 2 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании равна 0,2. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 4 раза в серии из 7 независимых испытаний;
b. событие А появится не менее 70 и не более 90 раз в серии из 150 испытаний.
6. Вероятность того, что перфокарта набита неверно, равна 0,2. Найти вероятность того,
что среди 900 набитых перфокарт окажется 720 набитых правильно.
7. В первой урне 3 белых и 6 чёрных шаров, а во второй урне 6 белых и 5 чёрных шаров. Из
первой урны случайным образом вынимают 1 шар, а из второй урны случайным образом
вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров все шары одного
цвета.
8. На склад поступают изделия трёх фабрик. Продукция первой фабрики составляет 1000
изделий, второй – 2000, третьей – 2500 изделий. Известно, что средний процент
нестандартных изделий первой фабрики равен 3%, второй – 2%, третьей – 1%. Найти
вероятность того, что наугад взятое на складе изделие бракованное.
9. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 15см
соответственно. Какова вероятность того, что точка, брошенная в большой круг, попадёт
в кольцо, образованное указанными окружностями?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
–1
0
1
2
Х
0,2
0,3
0,4
0,1
Р
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(1); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из интервала (–1; 2). Построить
многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:
x < 1,
⎧ 0,
⎪0, 2, 1 ≤ x < 3,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪ 0,5, 3 ≤ x < 5,
⎪⎩ 1, x ≥ 5.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
14
18
22
26
Х
0,11 0,21 0,32 0,24
Р
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
30
0,12
13. Передаётся 5 сообщений по каналу связи. Каждое сообщение с вероятностью 0,2
независимо от других искажается. Случайная величина Х – число искажённых
сообщений. Найти её закон распределения, начальные и центральные моменты 1-го, 2-го
и 3-го порядков.
14. Вероятность выпуска нестандартной радиолампы равна 0,15. Оценить снизу вероятность
того, что в партии из 500 радиоламп число нестандартных отличается от 60 меньше, чем
на 16.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,002.
Найти вероятность того, что среди 1000 соединений произойдёт:
a. хотя бы 5 неправильных соединений;
b. более двух неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪x
p( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 32,
⎪16
⎪⎩ 0,
x ≥ 32.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
p(x ) и F ( x ) . Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0,
x < 0,
⎧
⎪
F ( x) = ⎨a ⋅ ( x 2 + x ) , 0 ≤ x < 1,
⎪
1, x ≥ 1.
⎩
Найти:
a. параметр a ;
b. плотность распределения p(x ) ;
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (0,5; 2);
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
e. вероятность того, что в результате 800 независимых испытаний случайная
величина Х примет 500 раз значения из интервала (0,5; 2).
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [ 0,1; 2,3] . Записать функции
плотности распределения p( x ) и распределения F ( x ) . Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 4,2. Записать
p(x ) и построить её график. Найти функцию распределения F ( x ) и построить её
график. Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 10, σ = 5 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a. из отрезка [ 4; 16] ;
b. меньше 15;
c. больше 5;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 6.
21. Средний диаметр детали 45см. Считая, что диаметр детали – случайная величина,
распределённая по нормальному закону с параметром σ = 0, 4 см, найти вероятность
того, что диаметр наудачу взятой детали имеет отклонение от среднего значения по
абсолютной величине не большее 0,16см.
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А:
7
6
3
1
5
4
6
6
6
7
3
2
2
5
4
3
7
6
6
5
2
3
2
4
7
7
1
1
5
3
3
5
4
4
8
2
1
5
1
2
4
7
3
1
2
2
5
2
4
5
4
5
7
7
7
3
5
8
4
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение, моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В:
106 126 136 106 116 112 132 148
102 150 147 155 167 151 173 175
101 118 126 137 145 160 169 168
165 134 137 163 157 161 142 135
149 162 165 175 156 166 122 160
143 152 180 168 142 187 181 167
165 181 120 138 158 160 129 158
177 173 154 158 177 186 152 161
142 161 170 153 164 165 176 188
159 162 167 162 190 180 172 128
Вариант 25.
1. Колода из 36 карт разделена наудачу на две части. Какова вероятность того, что в
каждой половине находятся по две дамы?
2. Бросаются четыре игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
на четырёх костях меньше 7.
3. Слово «ПЕРЕПРАВА» составлено из карточек, на каждой из которых написана одна
буква. Затем карточки перемешивают и вынимают без возврата по одной. Найти
вероятность того, что вынимаемые буквы образуют слово: а) ПЕРЕПРАВА; б) ВЕРА.
4. В урне содержится 5 чёрных и 7 белых шаров. Случайным образом вынимают 4 шара.
Найти вероятность того, что среди них имеются:
a. 2 чёрных шара;
b. меньше, чем 2 белых шара;
c. хотя бы один чёрный шар.
5. Вероятность наступления события А в одном испытании р=0,8. Найти вероятности
следующих событий:
a. событие А появится 2 раза в серии из 5 испытаний;
b. событие А появится не менее 25 и не более 40 раз в серии из 70 испытаний.
6. Вероятность неточной сборки прибора равна 0,02. Найти вероятность того, что среди 500
приборов окажется от 410 до 430 точных.
7. В первой урне 7 белых и 2 чёрных шара, а во второй урне 4 белых и 8 чёрных шаров. Из
первой и второй урны случайным образом вынимают по три шара. Найти вероятность
того, что среди вынутых шаров только два шара чёрного цвета.
8. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,9. Найти вероятность того,
что при 100 выстрелах мишень будет поражена более 70 раз.
( − 2;0 ) , ( − 2; 9 ) , ( 4; 9 ) , ( 4; 0 ) брошена точка. Какова
вероятность того, что её координаты ( x; y ) будут удовлетворять неравенствам
9. В прямоугольник с вершинами
0 ≤ y ≤ 2 x − x2 + 8 ?
10. Дан закон распределения случайной величины Х:
Х –3 1
3
4
Р 0,3 0,2 0,1 0,4
Найти функцию распределения случайной величины Х; значение F(1); вероятность того,
что случайная величина Х примет значения из интервала (0; 3,5). Построить
многоугольник распределения.
11. Известна функция распределения F(x) дискретной случайной величины Х:
⎧ 0, x < 3,
⎪ 0, 2, 3 ≤ x < 5,
⎪
F ( x) = ⎨
⎪0, 4, 5 ≤ x < 7,
⎪⎩ 1, x ≥ 7.
Задать закон распределения случайной величины Х в виде таблицы.
12. Дан закон распределения случайной величины Х:
Х 52
55
58 61 64
Р 0,12 0,18 0,4 0,2 0,1
Вычислить её математическое ожидание и дисперсию.
13. Охотник стреляет по дичи до первого попадания, но успевает сделать не более четырёх
выстрелов. Составить закон распределения числа промахов, если вероятность попадания
в цель при одном выстреле равна 0,7. Вычислить начальные моменты до третьего
порядка включительно этой случайной величины.
14. Определить количество деталей, необходимых для того, чтобы с вероятностью не менее
0,99 можно было ожидать, что абсолютная величина отклонения частоты годных
деталей от вероятности детали быть годной, равной 0,9, не превысит 0,05.
15. На телефонной станции неправильное соединение происходит с вероятностью 0,004.
Найти вероятность того, что среди 500 соединений произойдёт:
a. хотя бы 4 неправильных соединения;
b. более двух неправильных соединений.
16. Случайная величина задана функцией плотности распределения:
⎧ 0,
x < 0,
⎪
⎪x
p( x) = ⎨ , 0 ≤ x < 54,
⎪ 27
⎪⎩ 0,
x ≥ 54.
Найти функцию распределения случайной величины Х. Построить графики функций
р(х) и F(x). Вычислить математическое ожидание, дисперсию, моду и медиану
случайной величины Х.
17. Случайная величина задана функцией распределения:
0, x < −2,
⎧
⎪ 2
F ( x) = ⎨a x + x + 1, − 2 ≤ x < 0,
⎪
1, x ≥ 0.
⎩
Найти:
a. параметр a ;
b. плотность распределения р(х);
c. вероятность того, что в результате одного испытания случайная величина Х
примет значения из интервала (–1; 1)
d. математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;
e. вероятность того, что в результате 400 независимых испытаний случайная
величина Х примет 10 раз значения из интервала (–1; 1)
18. Случайная величина распределена равномерно на отрезке [ 2,8; 5,8] . Записать функции
плотности распределения р(х) и распределения F(x). Вычислить математическое
ожидание и дисперсию Х.
19. Случайная величина распределена по показательному закону с параметром 5,7. Записать
р(х) и построить её график. Найти функцию распределения F(x) и построить её график.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию Х.
20. Случайная величина распределена по нормальному закону с параметрами a = 20, σ = 5 .
Найти вероятности того, что эта случайная величина примет значения:
a. из отрезка [ 5; 10 ] ;
b. меньше 25;
c. больше 15;
d. отличающееся от своего среднего значения по абсолютной величине не больше
чем на 3.
21. Случайная величина распределена нормально с математическим ожиданием 22 см и
дисперсией 16 см2. Найти вероятность того, что случайная величина примет значение из
интервала (14; 30).
22. По выборке А решить следующие задачи:
a. составить вариационный ряд;
b. вычислить относительные и накопленные частоты;
c. составить эмпирическую функцию распределения и построить её график;
d. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
e. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о распределении Пуассона
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка А
2
6
5
2
3
6
6
6
6
3
5
3
7
5
6
3
4
5
6
4
6
3
3
6
5
3
3
4
4
5
7
7
4
3
3
5
6
6
6
5
4
5
7
7
6
6
9
6
6
5
4
6
6
3
4
7
4
8
3
6
23. По выборке В решить следующие задачи:
a. составить группированный вариационный ряд;
b. построить гистограмму и полигон частот;
c. вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
• выборочное среднее;
• выборочную дисперсию;
• стандартное выборочное отклонение;
• моду и медиану;
d. при уровне значимости α = 0, 05 проверить гипотезу о нормальном распределении
соответствующей генеральной совокупности;
Выборка В
35
42
34
33
34
33
39
28
22
26
30
33
31
36
34
39
34
34
30
23
31
32
40
23
30
40
28
29
23
38
22
29
39
31
32
27
37
21
26
26
35
38
32
27
30
35
33
33
38
36
35
31
24
24
24
23
36
24
33
21
38
34
28
32
32
30
35
29
31
27
28
26
30
31
22
43
34
28
27
35