ЕГЭ 2025 Математика профильный уровень: Сборник 1 из 35 тестов

ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН – 2025
А.Ю.Маракулин
МАТЕМАТИКА
профильный уровень
сборник - I
35 тренировочных тестов первой части
Другие материалы автора можно найти
в VK или на сайте
https://vk.com/maths at school
https://marakulin.ru
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 1
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐴 равен 40∘ , внешний угол при вершине 𝐵 равен 102∘ .
Найдите угол 𝐶. Ответ дайте в градусах.
Ответ
2
Найдите длину вектора ⃗𝑎(6; 8).
Ответ
3
Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны
2 и 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.
Ответ
4
В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз.
Ответ
5
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,97.
Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,91. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.
Ответ
6
1
2
Найдите корень уравнения − 𝑥 = 1 .
9
9
Ответ
2
7
Найдите значение выражения
(11𝑎) − 11𝑎
.
11𝑎2 − 𝑎
Ответ
4
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) и касательная к нему в точке с
абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓 (𝑥) в точке 𝑥0 .
y
xxx000000
111
x
0 111
Ответ
9
При температуре 0 ∘ C рельс имеет длину 𝑙0 = 10 м. При возрастании температуры
происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону 𝑙(𝑡∘ ) = 𝑙0 (1 + 𝛼 · 𝑡∘ ), где 𝛼 = 1,2 · 10−5 ( ∘ C)−1 — коэффициент теплового
расширения, 𝑡∘ — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс
удлинится на 3 мм? Ответ дайте в градусах Цельсия.
Ответ
10
Из городов A и B, расстояние между которыми равно 330 км, навстречу друг другу
одновременно выехали два автомобиля и встретились через 3 часа на расстоянии
180 км от города B. Найдите скорость автомобиля, выехавшего из города A. Ответ
дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑓 (−5).
y
1
0
1
x
Ответ
12
Найдите точку минимума функции 𝑦 = 𝑥3 − 48𝑥 + 17.
Ответ
5
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 2
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
Один угол равнобедренного треугольника на 90∘ больше другого. Найдите меньший
угол. Ответ дайте в градусах.
Ответ
2
→
−
−
Найдите сумму координат вектора →
𝑎 + 𝑏.
𝑦
10
→
−
𝑎
6
→
−
𝑏
4
2
2
4
10
𝑥
Ответ
3
В прямоугольном параллелепипеде 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 известно, что 𝐴𝐵 = 4, 𝐴𝐷 = 3,
𝐴𝐴1 = 5. Найдите угол 𝐷𝐵𝐷1 . Ответ дайте в градусах.
D1
A1
C1
B1
D
C
A
B
4
Ответ
Какова вероятность того, что последние две цифры случайного телефонного номера
различны?
Ответ
5
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите
вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.
Ответ
6
Найдите корень уравнения (2𝑥 + 7)2 = (2𝑥 − 1)2 .
Ответ
6
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
(︂
2
marakulin.ru
)︂
1
1
−
.
2𝑎 − 3 2𝑎 + 3
7
Найдите значение выражения (4𝑎 − 9) ·
8
Ответ
На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) и касательная к нему в точке с
абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓 (𝑥) в точке 𝑥0 .
y
11
11
1
1
xxx000000
111
1
0 1
x
Ответ
9
Зависимость объёма спроса 𝑞 (единиц в месяц) на продукцию предприятиямонополиста от цены 𝑝 (тыс. руб. за ед.) задаётся формулой 𝑞 = 100 − 10𝑝. Выручка
предприятия 𝑟 (в тыс. руб. за месяц) вычисляется по формуле 𝑟(𝑝) = 𝑞 · 𝑝. Определите наибольшую цену 𝑝, при которой месячная выручка 𝑟(𝑝) составит не менее
240 тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб. за ед.
Ответ
10
Расстояние между городами A и B равно 435 км. Из города A в город B со скоростью 60 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из
города B выехал со скоростью 65 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от
города A автомобили встретятся? Ответ дайте в километрах.
Ответ
11
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки
пересечения графиков.
y
1
0
1
x
Ответ
12
Найдите точку максимума функции 𝑦 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 2.
Ответ
7
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 3
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
Острый угол прямоугольного треугольника равен 32∘ . Найдите острый угол, образованный биссектрисами этого и прямого углов треугольника. Ответ дайте в градусах.
Ответ
2
Даны векторы ⃗𝑎 (3; −2) и ⃗𝑏 (0; 1). Найдите скалярное произведение ⃗𝑎 · ⃗𝑏.
Ответ
3
В правильной четырёхугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 ребро 𝐴𝐴1 равно 15, а диагональ 𝐵𝐷1 равна 17. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей
через точки 𝐴, 𝐴1 и 𝐶.
D1
A1
C1
B1
D
C
A
B
Ответ
4
Из множества натуральных чисел от 10 до 19 наудачу выбирают одно число. Какова
вероятность того, что оно делится на 3?
Ответ
5
При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 9 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 5 очков?
Ответ
6
Найдите корень уравнения 𝑥2 + 9 = (𝑥 + 9)2 .
Ответ
7
Найдите
𝑎 + 9𝑏 + 16
𝑎
, если = 3.
𝑎 + 3𝑏 + 8
𝑏
Ответ
8
ЕГЭ Профмат 2025
8
marakulin.ru
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥). На оси абсцисс отмечено восемь
точек: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 , 𝑥8 . В ответе укажите количество точек (из отмеченных), в которых производная функции 𝑓 (𝑥) положительна.
y
y = f (x)
x1
9
Тестовая часть
x2
x3 x4 x5
x6
x8 x
x7
Ответ
Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры (в кельвинах) от времени работы: 𝑇 (𝑡) = 𝑇0 + 𝑏𝑡 + 𝑎𝑡2 ,
где 𝑡 — время в минутах, 𝑇0 = 1400 К, 𝑎 = −10 К/мин2 , 𝑏 = 200 К/мин. Известно,
что при температуре нагревательного элемента свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время
после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.
Ответ
10
Дорога между пунктами A и B состоит из подъёма и спуска, а её длина равна 8 км.
Путь из A в B занял у туриста 5 часов, из которых 1 час ушёл на спуск. Найдите
скорость туриста на спуске, если она больше скорости на подъёме на 3 км/ч. Ответ
дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки
пересечения графиков.
y
1
0
1
x
Ответ
12
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 3 на отрезке [1; 4].
Ответ
9
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 4
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными
из вершины прямого угла, равен 14∘ . Найдите меньший угол этого треугольника.
Ответ дайте в градусах.
Ответ
2
На координатной плоскости изображены векторы ⃗𝑎 и ⃗𝑏. Найдите скалярное произведение ⃗𝑎 · ⃗𝑏.
𝑦
⃗𝑎
⃗𝑏
1
0
3
1
𝑥
Ответ
Стороны основания правильной четырёхугольной пирамиды равны 10, боковые рёбра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Ответ
4
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того,
что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.
Ответ
5
Вероятность того, что новый электрический чайник прослужит больше года, равна
0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите
вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Ответ
6
1
1
Найдите корень уравнения
=
.
3𝑥 − 4
4𝑥 − 11
Ответ
7
Найдите значение выражения 2𝑥 + 𝑦 + 6𝑧, если 4𝑥 + 𝑦 = 5, 12𝑧 + 𝑦 = 7.
Ответ
10
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥). На оси абсцисс отмечены точки
−2, −1, 1, 2. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе
укажите эту точку.
y
−2
−1
2
x
1
Ответ
9
В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран.
После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды
в нём, выраженная в метрах, меняется по закону 𝐻 (𝑡) = 𝑎𝑡2 + 𝑏𝑡 + 𝐻0 , где 𝐻0 =
2
1
м/мин2 и 𝑏 = − м/мин — постоянные, 𝑡 —
4 м — начальный уровень воды, 𝑎 =
100
5
время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени
вода будет вытекать из бака? Ответ дайте в минутах.
Ответ
10
Автомобиль выехал с постоянной скоростью 75 км/ч из города А в город В, расстояние между которыми равно 275 км. Одновременно с ним из города С в город
В, расстояние между которыми равно 255 км, с постоянной скоростью выехал мотоциклист. По дороге он сделал остановку на 50 минут. В результате автомобиль и
мотоцикл прибыли в город В одновременно. Найдите скорость мотоциклиста. Ответ
дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 2𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Найдите 𝑓 (−5).
y
1
0
1
x
Ответ
12
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 + 4 на отрезке [−2; 0].
Ответ
11
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 5
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
√
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90∘ , угол 𝐴 равен 30∘ , 𝐴𝐵 = 2 3. Найдите
высоту 𝐶𝐻.
C
A
2
H
Ответ
B
Даны векторы ⃗𝑎 (0; 3), ⃗𝑏 (−2; 4) и ⃗𝑐 (4; −1). Найдите длину вектора ⃗𝑎 + 2⃗𝑏 + ⃗𝑐.
Ответ
3
В правильной четырёхугольной пирамиде 𝑆𝐴𝐵𝐶𝐷 точка 𝑂 — центр основания, 𝑆 —
вершина, 𝑆𝑂 = 4, 𝐴𝐶 = 6. Найдите боковое ребро 𝑆𝐶.
S
D
A
C
O
Ответ
B
4
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с
жёлтыми надписями на бортах, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями.
Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета
с чёрными надписями.
Ответ
5
6
7
Игральную кость бросили два раза. Известно, что три очка не выпали ни разу.
Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется
равна 8».
Ответ
𝑥+8
𝑥+8
Решите уравнение
=
.
5𝑥 + 7
7𝑥 + 5
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
(︀ √ )︀2
2 7
Найдите значение выражения
.
14
12
Ответ
Ответ
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) параллельна прямой 𝑦 = 8 − 5𝑥 или совпадает с ней.
y
1
0
x
1
y = f ′ (x)
Ответ
9
Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью 𝑣0 = 57 км/ч, выезжает из него
и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением 𝑎 = 12 км/ч2 .
Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется вы2
ражением 𝑆 = 𝑣0 𝑡 + 𝑎𝑡2 . Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор
гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 30 км от города. Ответ дайте
в минутах.
Ответ
10
Два человека отправляются из одного и того же места на прогулку до опушки леса,
находящейся в 4,4 км от места отправления. Один идёт со скоростью 2,5 км/ч,
а другой — со скоростью 3 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью
возвращается обратно. На каком расстоянии от точки отправления произойдёт их
встреча?
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥2 − 4𝑥 + 𝑐. Найдите 𝑓 (−3).
y
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите точку минимума функции 𝑦 = 7 + 12𝑥 − 𝑥3 .
Ответ
13
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 6
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен 30∘ . Боковая сторона треугольника равна 10. Найдите площадь этого треугольника.
Ответ
2
−→
Найдите квадрат длины вектора 𝐴𝐵.
𝑦
𝐵
6
4
𝐴
2
3
8
𝑥
Ответ
В правильной
треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а сторона основания
√
равна 3 3. Найдите высоту пирамиды.
Ответ
4
В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по
теме "Ботаника". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене
билете школьнику достанется вопрос по теме "Ботаника".
Ответ
5
Вероятность того, что батарейка бракованная, равна 0,06. Покупатель в магазине
выбирает случайную упаковку, в которой две таких батарейки. Найдите вероятность
того, что обе батарейки окажутся исправными.
Ответ
14
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
Найдите корень уравнения
√
15 − 2𝑥 = 3.
√
9
7
marakulin.ru
Найдите значение выражения
√
Ответ
18
7· 7
√
.
6
7
Ответ
8
Прямая 𝑦 = 7𝑥 − 5 параллельна касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥2 + 6𝑥 − 8.
Найдите абсциссу точки касания.
Ответ
9
Если достаточно быстро вращать ведёрко с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведёрка сила давления воды
на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в
верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной
)︁ В
(︁ 2 нулю.
𝑣
верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна 𝑃 = 𝑚 𝐿 − 𝑔 , где
𝑚 — масса воды в килограммах, 𝑣 — скорость движения ведёрка в м/с, 𝐿 — длина
верёвки в метрах, 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔 = 10м/с2 ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если
длина верёвки равна 40 см? Ответ дайте в м/с.
Ответ
10
Из пункта A в пункт B одновременно выехали два автомобиля. Первый проехал с
постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 13 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью
78 км/ч, в результате чего прибыл в пункт В одновременно с первым автомобилем.
Найдите скорость первого автомобиля, если известно, что она больше 48 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 − 6. Найдите 𝑓 (−6).
y
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите точку максимума функции 𝑦 = 9𝑥2 − 𝑥3 .
Ответ
15
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 7
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90∘ , 𝐵𝐶 = 4, sin 𝐴 = 0,5. Найдите 𝐴𝐵.
C
A
2
B
Ответ
Найдите скалярное произведение векторов ⃗𝑎 и ⃗𝑏.
𝑦
6
4
→
−
𝑏
→
−
𝑎
2
3
𝑥
8
Ответ
Рёбра правильного тетраэдра равны 1. Найдите площадь сечения, проходящего через середины четырёх его рёбер.
Ответ
4
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос
по теме "Неравенства". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на
экзамене билете школьнику не достанется вопрос по теме "Неравенства".
Ответ
5
Если шахматист А. играет белыми фигурами, то он выигрывает у шахматиста Б. с
вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью
0,3. Шахматисты А. и Б. играют две партии, причём во второй партии меняют цвет
фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.
Ответ
√︂
6
Найдите корень уравнения
1
1
= .
5 − 2𝑥
3
Ответ
16
ЕГЭ Профмат 2025
7
Тестовая часть
marakulin.ru
√
√ 2
( 13 + 7)
√
Найдите значение выражения
.
10 + 91
Ответ
8
Прямая 𝑦 = − 4𝑥 − 11 является касательной к графику функции 𝑦 = 𝑥3 +7𝑥2 +7𝑥−6.
Найдите абсциссу точки касания.
Ответ
9
Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх
однородных соосных цилиндров: центрального массой 𝑚 = 8 кг и радиуса 𝑅 = 10 см,
и двух боковых с массами 𝑀 = 1 кг и с радиусами 𝑅 + ℎ. При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг·см2 , даeтся формулой
)𝑅2
+ 𝑀 (2𝑅ℎ + ℎ2 ). При каком максимальном значении ℎ момент инерции
𝐼 = (𝑚+2𝑀
2
катушки не превышает предельного значения 625кг · см2 ? Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ
10
Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние
между которыми равно 70 км. На следующий день он отправился обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 3 часа. В
результате он затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из
А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Найдите 𝑓 (−9).
y
1
0 1
x
Ответ
3
12
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 =
𝑥
− 9𝑥 − 7 на отрезке [−3; 3].
3
Ответ
17
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 8
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
√
17
. Найдите 𝐵𝐶.
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90 , 𝐴𝐶 = 2, sin 𝐴 =
17
C
∘
A
2
B
Ответ
→
−
−
Найдите сумму координат вектора →
𝑎 + 𝑏.
𝑦
6
4
→
−
𝑏
→
−
𝑎
2
3
8
𝑥
Ответ
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
5
2
1
2
3
Ответ
5
4
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите
вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Ответ
5
На экзамене по геометрии школьник отвечает на один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос по теме «Вписанная окружность»,
равна 0,2. Вероятность того, что это вопрос по теме «Параллелограмм», равна 0,15.
Вопросов, которые одновременно относятся к этим двум темам, нет. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух
тем.
Ответ
18
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
Решите уравнение
√
marakulin.ru
6 + 5𝑥 = 𝑥.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
7
√
𝑚
√ при 𝑚 = 64.
Найдите значение выражения √
9
𝑚 · 18 𝑚
Ответ
Ответ
8
Прямая 𝑦 = 3𝑥 + 1 является касательной к графику функции 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 2𝑥 + 3.
Найдите 𝑎.
Ответ
9
На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие
глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по
формуле: 𝐹A = 𝛼𝜌𝑔𝑟3 , где 𝛼 = 4,2 — постоянная, 𝑟 — радиус аппарата в метрах,
𝜌 = 1000 кг/м3 — плотность воды, а 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте
𝑔 = 10 Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем 336000 Н? Ответ дайте в метрах.
Ответ
10
Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна
3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30
часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, где числа 𝑎, 𝑏 и 𝑐 —
целые. Найдите 𝑓 (1).
y
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 5 + 9𝑥 −
𝑥3
на отрезке [−3; 3].
3
Ответ
19
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 9
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
√
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90∘ , 𝐴𝐵 = 4 5, 𝐴𝐶 = 8. Найдите tg 𝐴.
C
A
B
Ответ
2
На координатной плоскости изображены векторы ⃗𝑎, ⃗𝑏 и ⃗𝑐. Найдите длину вектора
⃗𝑎 + ⃗𝑏 + ⃗𝑐.
𝑦
⃗𝑐
⃗𝑎
⃗𝑏
1
0
3
𝑥
1
Ответ
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
1
1
3
3
5
Ответ
4
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 92 качественных сумки приходится 8 сумок,
имеющих скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что выбранная в магазине
сумка окажется с дефектами.
Ответ
5
В магазине три продавца. Каждый из них занят с клиентом с вероятностью 0,3. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени все три продавца заняты
одновременно (считайте, что клиенты заходят независимо друг от друга).
Ответ
20
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
Решите уравнение
√
marakulin.ru
−72 − 17𝑥 = −𝑥.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
15
√︀
√
5
√︀
√
7
𝑎−7
√︀√
2 35 4 𝑎
28
20
Ответ
𝑎
при 𝑎 > 0.
7
Найдите значение выражения
8
Ответ
Прямая 𝑦 = − 5𝑥 + 8 является касательной к графику функции 𝑦 = 28𝑥2 + 𝑏𝑥 + 15.
Найдите 𝑏, учитывая, что абсцисса точки касания больше 0.
Ответ
9
Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–
Больцмана, согласно которому 𝑃 = 𝜎𝑆𝑇 4 , где 𝑃 — мощность излучения звезды
(в Ваттах), 𝜎 = 5,7 · 10−8 м2Вт
— постоянная, 𝑆 — площадь поверхности звезды
·К4
(в квадратных метрах), а 𝑇 — температура (в Кельвинах). Известно, что площадь
1
· 1020 м2 , а мощность её излучения равна
поверхности некоторой звезды равна 16
9,12 · 1025 Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.
Ответ
10
Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость
теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт
отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ
дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 4𝑥2 −25𝑥+41 и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐,
которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
y
A
1
0 1
x
Ответ
3
12
Найдите точку минимума функции 𝑦 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 1.
Ответ
21
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 10
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
33
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90∘ , 𝐵𝐶 = 7, tg 𝐴 = √ . Найдите высоту 𝐶𝐻.
4 33
C
A
H
B
Ответ
2
(︁
)︁
⃗
⃗
Даны векторы ⃗𝑎 (1; 2), 𝑏 (3; −6) и ⃗𝑐 (4; −3). Найдите значение выражения ⃗𝑎 + 𝑏 · ⃗𝑐.
Ответ
3
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
1
1
2
3
2
Ответ
4
Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты.
Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Ответ
5
6
Перед началом волейбольного матча капитаны команд тянут честный жребий, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Статор» по очереди
играет с командами «Ротор», «Мотор» и «Стартер». Найдите вероятность того, что
«Статор» будет начинать только первую и последнюю игры.
Найдите корень уравнения
√
3
Ответ
𝑥 − 4 = 3.
Ответ
7
Найдите значение выражения
√︁
(𝑎 − 6)2 +
√︁
(𝑎 − 10)2 при 6 ⩽ 𝑎 ⩽ 10.
Ответ
22
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
Прямая 𝑦 = 3𝑥 + 4 является касательной к графику функции 𝑦 = 3𝑥2 − 3𝑥 + 𝑐.
Найдите 𝑐.
Ответ
9
На рисунке изображена схема вантового моста. Вертикальные пилоны связаны провисающей цепью. Тросы, которые свисают с цепи и поддерживают полотно моста,
называются вантами. Введём систему координат: ось 𝑂𝑦 направим вертикально
вдоль одного из пилонов, а ось 𝑂𝑥 направим вдоль полотна моста, как показано
на рисунке. В этой системе координат линия, по которой провисает цепь моста, задаётся формулой 𝑦 = 0,005𝑥2 − 0,74𝑥 + 25, где 𝑥 и 𝑦 измеряются в метрах. Найдите
длину ванты, расположенной в 30 метрах от пилона. Ответ дайте в метрах.
y (м)
ванта
цепь
пилон
пилон
ванта
полотно
0
x (м)
Ответ
10
11
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо придорожного
столба за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
Ответ
𝑘
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = +𝑎. Найдите, при каком значении
𝑥
𝑥 значение функции равно 0,8.
y
1
0 1
x
Ответ
12
2
Найдите точку максимума функции 𝑦 = − 𝑥 + 3𝑥 + 1.
3
3
2
Ответ
23
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 11
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90∘ , 𝐶𝐻 — высота, 𝐵𝐶 = 8, sin 𝐴 = 0,5. Найдите
𝐵𝐻.
C
A
2
H
B
Ответ
→
−
−
На координатной плоскости изображены векторы →
𝑎 и 𝑏 . Найдите скалярное про→
−
→
−
изведение векторов 𝑎 и 2 𝑏 .
𝑦
→
−
𝑎
→
−
𝑏
1
0
1
𝑥
Ответ
3
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
1
5
1
2
7
4
Ответ
При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
Ответ
5
Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая
из команд начнёт игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными
командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий
ровно два раза.
Ответ
6
Найдите корень уравнения 24−2𝑥 = 64.
Ответ
24
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
4
7
marakulin.ru
5
Найдите значение выражения 7 9 · 49 18 .
Ответ
8
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), определённой на интервале
(−3; 9). Определите количество точек, в которых производная функции 𝑓 (𝑥) равна
0.
y
−3
−3
−3
−3
−3
−3
−3
−3
yy
yy
yy
y=
=
=
=
=ffffffff(x)
(x)
(x)
(x)
(x)
=
(x)
y
=
=
(x)
(x)
1
11
1
11
11
x
9
99
99
99
9
0
Ответ
9
В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет 𝑅1 = 90 Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить
электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление 𝑅2 этого
электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями 𝑅1 и 𝑅2 их общее сопротивление задаeтся формулой
𝑅2
, а для нормального функционирования электросети общее сопротив𝑅общ = 𝑅𝑅11+𝑅
2
ление в ней должно быть не меньше 9 Ом. Ответ дайте в омах.
Ответ
10
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо лесополосы,
длина которой равна 400 метрам, за 1 минуту. Найдите длину поезда в метрах.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) =
𝑘
. Найдите 𝑓 (19).
𝑥+𝑎
y
1
0 1
x
Ответ
12
2 √
Найдите точку минимума функции 𝑦 = 𝑥 𝑥 − 2𝑥 + 1.
3
Ответ
25
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 12
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 угол 𝐶 равен 90∘ , 𝐶𝐻 — высота, 𝐵𝐶 = 25, 𝐶𝐻 = 20. Найдите
sin 𝐴.
C
A
2
H
Ответ
B
Найдите квадрат длины вектора ⃗𝑎 + ⃗𝑏.
𝑦
10
⃗𝑎
6
⃗𝑏
4
2
2
3
4
10
𝑥
Ответ
Найдите площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы многогранника прямые.
6
2
6
4
8
3
4
Ответ
На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран.
Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа
из Дании будет выступать после группы из Швеции и после группы из Норвегии?
Результат округлите до сотых.
Ответ
5
Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при
одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три
раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Ответ
6
(︂ )︂𝑥−8
1
1
Найдите корень уравнения
= .
3
9
Ответ
26
ЕГЭ Профмат 2025
7
8
Тестовая часть
marakulin.ru
Найдите значение выражения 35−4,7 · 75,7 : 5−3,7 .
Ответ
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), определённой на интервале
(−5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции 𝑓 (𝑥)
отрицательна.
y=f(x)
−5
y
5 x
0
Ответ
9
Опорные башмаки шагающего экскаватора, имеющего массу 𝑚 = 1260 тонн представляют собой две пустотелые балки длиной 𝑙 = 18 метров и шириной 𝑠 метров
каждая. Давление экскаватора на почву, выражаемое в килопаскалях, определя, где 𝑚 — масса экскаватора (в тоннах), 𝑙 — длина балок
ется формулой 𝑝 = 𝑚𝑔
2𝑙𝑠
в метрах, 𝑠 — ширина балок в метрах, 𝑔 — ускорение свободного падения (считайте 𝑔 = 10м/с2 ). Определите наименьшую возможную ширину опорных балок, если
известно, что давление 𝑝 не должно превышать 140 кПа. Ответ дайте в метрах.
Ответ
10
По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют
пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч
и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского
поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте.
Ответ дайте в метрах.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) =
𝑘𝑥 + 𝑎
. Найдите 𝑎.
𝑥+𝑏
y
1
0 1
x
Ответ
12
√
Найдите точку максимума функции 𝑦 = 7 + 6𝑥 − 2𝑥 𝑥.
Ответ
27
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 13
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶 = 5, sin 𝐴 =
7
. Найдите 𝐴𝐵.
25
C
A
2
B
Ответ
−→
Вектор 𝐴𝐵 с началом в точке 𝐴(2; 4) имеет координаты (6; 2) . Найдите абсциссу
точки 𝐵.
𝑦
𝐵
𝐴
4
𝑥
2
3
Ответ
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые.
Найдите расстояние между вершинами 𝐴 и 𝐶2 .
D2
2
C2
1
A2
B2 1
D1
A1
2
C1
B1
D
A
4
C
2
Ответ
B
В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США,
остальные — из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется
жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая.
Ответ
5
По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернетмагазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8.
Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович
заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают
независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.
Ответ
28
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
marakulin.ru
(︂ )︂𝑥−8
1
Найдите корень уравнения
= 2𝑥 .
2
Ответ
√
7
√
Найдите значение выражения 23 7−1 · 81− 7 .
Ответ
8
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), определённой на интервале
(−2; 12). Найдите сумму точек экстремума функции 𝑓 (𝑥).
y
y=
=ffffffff(x)
(x)
yy
=
(x)
yy
=
(x)
yy
=
(x)
=
(x)
=
(x)
=
(x)
y
1
11
11
11
1
0
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
x
12
12
12
12
12
12
12
12
Ответ
9
При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приёмником, не совпадает с частотой исходного сигнала 𝑓0 = 150 Гц и
(Гц), где 𝑐 — скорость распроопределяется следующим выражением: 𝑓 = 𝑓0 𝑐+𝑢
𝑐−𝑣
странения сигнала в среде (в м/с), а 𝑢 = 10 м/с и 𝑣 = 15 м/с — скорости приёмника
и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости 𝑐 (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике 𝑓 будет
не менее 160 Гц?
Ответ
10
Половину времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал со скоростью 74 км/ч,
а вторую половину времени — со скоростью 66 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
√
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑘 𝑥. Найдите значение 𝑥, при
котором 𝑓 (𝑥) = 3,5.
y
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 𝑥5 − 5𝑥3 − 20𝑥 на отрезке [−6; 1].
Ответ
29
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 14
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
√
17
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐵 = 4, sin 𝐴 =
. Найдите вы17
соту 𝐶𝐻.
C
A
2
H
B
Ответ
Найдите скалярное произведение векторов ⃗𝑎 и ⃗𝑏.
𝑦
6
4
→
−
𝑏
→
−
𝑎
2
3
𝑥
8
Ответ
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые.
Найдите квадрат расстояния между вершинами 𝐴 и 𝐶3 .
D3
1 C3
A3
B3
D2
D1
A2
A1
1
C2
1
C1
B2
B1 1
D
A
4
C
3
B
3
Ответ
В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7
спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в
котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того,
что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.
Ответ
5
В ящике четыре красных и два синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по
очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Ответ
6
Найдите корень уравнения 23+𝑥 = 0,4 · 53+𝑥 .
Ответ
30
ЕГЭ Профмат 2025
7
Тестовая часть
Найдите значение выражения
marakulin.ru
(3𝑥)3 · 𝑥−9
.
𝑥−10 · 2𝑥4
Ответ
8
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), определённой на интервале
(−8; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции
𝑦 = 𝑓 (𝑥) параллельна прямой 𝑦 = 18.
yy
y=
=
=ffffffffffff(x)
(x)
(x)
yy
yy
=
=
(x)
(x)
y
y
y
y
=
=
=
=
(x)
(x)
(x)
(x)
=
(x)
y
=
=
(x)
(x)
y
1
11
1
11
11
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
x
3
33
33
33
3
3
3
3
3
0
Ответ
9
Для поддержания навеса планируется использовать цилиндрическую колонну. Давление 𝑃 (в паскалях), оказываемое навесом и колонной на опору, определяется по
4𝑚𝑔
формуле 𝑃 = 𝜋𝐷
2 , где 𝑚 = 1200 кг — общая масса навеса и колонны, 𝐷 — диаметр
колонны (в метрах). Считая ускорение свободного падения 𝑔 = 10 м/с2 , а 𝜋 = 3,
определите наименьший возможный диаметр колонны, если давление, оказываемое
на опору, не должно быть больше 400000 Па. Ответ дайте в метрах.
Ответ
10
Первую треть трассы автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую треть — со скоростью 120 км/ч, а последнюю — со скоростью 110 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 5𝑥 + 9 и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
y
1
A 0 1
x
Ответ
12
Найдите точку минимума функции 𝑦 = 2𝑥 − ln (𝑥 + 3) + 7.
Ответ
31
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 15
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, высота 𝐶𝐻 равна 7, 𝐴𝐵 = 48. Найдите sin 𝐴.
C
A
2
H
B
Ответ
→
−
−
Найдите квадрат длины вектора →
𝑎 + 𝑏.
𝑦
10
→
−
𝑎
6
→
−
𝑏
4
2
2
4
10
𝑥
Ответ
3
На рисунке изображён многогранник, все двугранные углы многогранника прямые.
Найдите тангенс угла 𝐵2 𝐴2 𝐶2 .
D2
2
C2
1
A2
B2 1
D1
A1
2
C1
B1
D
A
4
C
2
B
Ответ
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется
жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из
Парагвая.
Ответ
5
Телефон передаёт SMS-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую
попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой
отдельной попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше двух попыток.
Ответ
32
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
marakulin.ru
Найдите корень уравнения log2 (4 − 𝑥) = 7.
Ответ
7
Найдите значение выражения 𝑎0,65 · 𝑎0,67 · 𝑎0,68 при 𝑎 = 11.
Ответ
8
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции 𝑓 (𝑥), принадлежащую отрезку [−2; 6].
′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
=
(x)
y
=
=
(x)
y
=
y
y
=
=
(x)
(x)
yy
yy
=
=
(x)
(x)
yy
y=
=
=ffffffffffff′′′′′(x)
(x)
(x)
y
=
(x)
(x)
−4
−4
−4
−4
−4
−4
−4
−4
y
1
11
11
1
11
1
1
1
1
x
88
88
88
8
8
8
8
8
8
0
Ответ
9
Коэффициент полезного действия (КПД) кормозапарника равен отношению количества теплоты, затраченного на нагревание воды массой 𝑚в (в килограммах)
от температуры 𝑡1 до температуры 𝑡2 (в градусах Цельсия) к количеству теплоты, полученному от сжигания дров массы 𝑚др кг. Он определяется формулой
в (𝑡2 −𝑡1 )
· 100%, где 𝑐в = 4,2 · 103 Дж/(кг·К) — теплоёмкость воды, 𝑞др = 8,3 · 106
𝜂 = 𝑐в 𝑚
𝑞др 𝑚др
Дж/кг — удельная теплота сгорания дров. Определите массу дров, которые понадобится сжечь в кормозапарнике, чтобы нагреть 𝑚 = 83 кг воды от 10∘ 𝐶 до кипения,
если известно, что КПД кормозапарника равен 21%. Ответ дайте в килограммах.
Ответ
10
11
Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 50 км/ч, следующий час — со скоростью 100 км/ч, а затем два часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость
автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
𝑘
На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) =
и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, которые
𝑥
пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите ординату точки 𝐵.
y
1
A
0 1
x
Ответ
12
Найдите точку максимума функции 𝑦 = ln (𝑥 + 5) − 2𝑥 + 9.
Ответ
33
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 16
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
7
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐻 — высота, cos 𝐵𝐴𝐶 = . Най25
дите cos 𝐵𝐴𝐻.
Ответ
2
На координатной плоскости изображены векторы ⃗𝑎 и ⃗𝑏. Найдите длину вектора
2⃗𝑎 − ⃗𝑏.
𝑦
⃗𝑎
1
0
3
1
⃗𝑏
𝑥
Ответ
Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 5, высота равна 10.
Найдите площадь боковой поверхности призмы.
Ответ
4
На конференцию приехали 3 ученых из Норвегии, 3 из России и 4 из Испании. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется
жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад ученого из
России.
Ответ
5
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая — 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая — 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное
в магазине стекло окажется бракованным.
Ответ
6
Найдите корень уравнения log4 (𝑥 + 3) = log4 (4𝑥 − 15).
7
1
9
Найдите значение выражения 𝑏 5 · (𝑏 10 )2 при 𝑏 = 7.
Ответ
Ответ
34
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция 𝑓 (𝑥) принимает
наибольшее значение?
′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
(x)
(x)
=
=
=
y
=
(x)
(x)
=
(x)
(x)
y=
=fffffffff′′′′′′′′′′(x)
yy
yy
=
=
yy
(x)
(x)
(x)
(x)
y
1
11
1
11
11
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
0
x
3
33
33
33
3
Ответ
9
Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой 𝑓0 = 440 Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка 𝑓 больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону
𝑓0
𝑓 (𝑣) = 1−
𝑣 (Гц), где 𝑐 — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе,
𝑐
различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 10 Гц. Определите,
с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек
смог различить сигналы, а 𝑐 = 315 м/с. Ответ дайте в м/с.
Ответ
10
Два велосипедиста одновременно отправились в 88-километровый пробег. Первый
ехал со скоростью, на 3 км/ч большей, чем скорость второго, и прибыл к финишу
на 3 часа раньше второго. Найти скорость велосипедиста, пришедшего к финишу
вторым. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
√
На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 и 𝑔 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏, которые
пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу точки 𝐴.
y
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 4𝑥−4 ln (𝑥 + 7)+6 на отрезке [−6,5; 0].
Ответ
35
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 17
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐻 — высота, 𝐴𝐵 =
Найдите tg 𝐵𝐴𝐶.
√
17, 𝐵𝐻 = 4.
Ответ
2
На координатной плоскости изображены векторы ⃗𝑎 и ⃗𝑏. Найдите скалярное произведение ⃗𝑎 · ⃗𝑏.
𝑦
⃗𝑎
⃗𝑏
1
0
3
𝑥
1
Ответ
В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 𝐸1 𝐹1 все рёбра равны 1.
Найдите угол 𝐴𝐶1 𝐶. Ответ дайте в градусах.
F1
A1
B1
E1
D1
C1
F
E
A
B
D
C
Ответ
4
Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов —
первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день
конференции?
Ответ
5
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку,
равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная батарейка будет
забракована системой контроля.
Ответ
36
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
Найдите корень уравнения log5 (5 − 𝑥) = 2 log5 3.
√
3
7
marakulin.ru
Найдите значение выражения
Ответ
6
( 7𝑎2 )
при 𝑎 ̸= 0.
𝑎4
Ответ
8
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции 𝑓 (𝑥),
принадлежащих отрезку [−13; 1].
y
′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
(x)
(x)
=
=
y
=
(x)
(x)
=
(x)
(x)
yy
yy
y=
=
=
=fffffffff′′′′′′′′′′(x)
yy
(x)
(x)
=
(x)
(x)
1
11
11
11
1
−18
−18
−18
−18
−18
−18
−18
−18
−18
−18
−18
−18
0
x
6
66
66
66
6
Ответ
9
Рейтинг 𝑅 интернет-магазина вычисляется по формуле
𝑅 = 𝑟пок −
𝑟пок − 𝑟экс
,
(𝐾 + 1)𝑚
0,02𝐾
, 𝑟пок — средняя оценка магазина покупателями, 𝑟экс — оценка ма𝑟пок + 0,1
газина, данная экспертами, 𝐾 — число покупателей, оценивших магазин. Найдите
рейтинг интернет-магазина, если число покупателей, оценивших магазин, равно 24,
их средняя оценка равна 0,86, а оценка экспертов равна 0,11.
где 𝑚 =
Ответ
10
Товарный поезд каждую минуту проезжает на 750 метров меньше, чем скорый, и
на путь в 180 км тратит времени на 2 часа больше, чем скорый. Найдите скорость
товарного поезда. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑏.
y
1
0
p
x
Ответ
12
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 8 ln (𝑥 + 7)−8𝑥+3 на отрезке [−6,5; 0].
Ответ
37
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 18
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, 𝐴𝐻 — высота, 𝐴𝐵 = 7, tg 𝐵𝐴𝐶 =
33
√ . Найдите 𝐵𝐻.
4 33
Ответ
2
−
Даны векторы →
𝑎 (1; 3) и ⃗𝑏 (−4; 2). Найдите скалярное произведение ⃗𝑎 · ⃗𝑏.
Ответ
3
В правильной шестиугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 𝐸1 𝐹1 все рёбра равны 1.
Найдите расстояние между точками 𝐴 и 𝐸1 .
F1
A1
B1
E1
D1
C1
F
E
A
B
4
D
C
Ответ
Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений — по
одному от каждой страны, участвующей в конкурсе. Исполнитель из России участвует в конкурсе. В первый день запланировано 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется
жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление исполнителя из России состоится в третий день конкурса?
Ответ
5
Всем пациентам с подозрением на гепатит делают анализ крови. Если анализ выявляет гепатит, то результат анализа называется положительным. У больных гепатитом пациентов анализ даёт положительный результат с вероятностью 0,9. Если
пациент не болен гепатитом, то анализ может дать ложный положительный результат с вероятностью 0,01. Известно, что 5% пациентов, поступающих с подозрением
на гепатит, действительно больны гепатитом. Найдите вероятность того, что результат анализа у пациента, поступившего в клинику с подозрением на гепатит, будет
положительным.
Ответ
6
Найдите корень уравнения log5 (7 − 𝑥) = log5 (3 − 𝑥) + 1.
7
√
√
9
𝑎 18 𝑎
√
Найдите значение выражения
при 𝑎 = 1,25.
𝑎6𝑎
Ответ
Ответ
38
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−7; 4). Найдите промежутки возрастания функции 𝑓 (𝑥). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
y
′′′′′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
=
(x)
=
=
(x)
y
y
y
=
=
(x)
(x)
yy
y
=
=
(x)
(x)
yy
y=
=
=ffffffffffff′′′′′(x)
(x)
(x)
y
yy
=
=
(x)
(x)
11
11
1
11
1
1
1
1
1
−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
0
x
44
4
44
44
4
4
4
4
4
Ответ
9
Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на
основе оценок информативности 𝐼𝑛, оперативности 𝑂𝑝, объективности 𝑇 𝑟 публикаций, а также качества 𝑄 сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от -2
до 2.
Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — впятеро дороже, чем оперативность и качество сайта. Таким
образом, формула приняла вид
5𝐼𝑛 + 𝑂𝑝 + 3𝑇 𝑟 + 𝑄
.
𝐴
Если по всем четырём показателям какое-то издание получило одну и ту же оценку,
то рейтинг должен совпадать с этой оценкой. Найдите число 𝐴, при котором это
условие будет выполняться.
𝑅=
Ответ
10
Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного
из них на 21 км/ч больше скорости другого?
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 cos 𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑎.
y
1
0
p
x
Ответ
12
Найдите точку максимума функции 𝑦 = ln (𝑥 + 5)5 − 5𝑥.
Ответ
39
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 19
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В тупоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 известно, что 𝐴𝐶 = 𝐵𝐶, высота 𝐴𝐻 равна 7,
𝐶𝐻 = 24. Найдите sin 𝐴𝐶𝐵.
Ответ
2
На координатной
плоскости изображены векторы ⃗𝑎, ⃗𝑏 и ⃗𝑐. Найдите значение выра(︁
)︁
жения ⃗𝑎 − ⃗𝑏 · ⃗𝑐.
𝑦
⃗𝑏
⃗𝑐
⃗𝑎
1
0
3
𝑥
1
Ответ
В правильной четырёхугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 известно, что 𝐴𝐶1 = 2𝐵𝐶.
Найдите угол между диагоналями 𝐵𝐷1 и 𝐴1 𝐶. Ответ дайте в градусах.
D1
A1
C1
B1
D
C
A
B
4
Ответ
На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В
первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную
аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный
участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Ответ
5
6
Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 40% яиц из первого хозяйства — яйца высшей категории, а из второго хозяйства — 20% яиц высшей
категории. Всего высшую категорию получает 35% яиц. Найдите вероятность того,
что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ
𝜋𝑥
Решите уравнение tg
= −1. В ответе запишите наибольший отрицательный ко4
рень.
Ответ
40
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
√
7
8
𝑏3 2+2
Найдите значение выражения √
при 𝑏 = 6.
(𝑏 2 )3
Ответ
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции 𝑓 (𝑥). В ответе
укажите длину наибольшего из них.
y
′′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
(x)
(x)
(x)
y
=
=
=
(x)
(x)
=
(x)
(x)
y=
=fffffffff′′′′′′′′′′(x)
yy
yy
yy
=
=
(x)
(x)
=
(x)
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
−2
1
1
1
1
1
11
1
11
11
x
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
12
0
Ответ
9
Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и опреде𝐴 𝜔2
ляется по формуле 𝐴(𝜔) = |𝜔20−𝜔𝑝2 | , где 𝜔 — частота вынуждающей силы (в 𝑐−1 ), 𝐴0 —
𝑝
постоянный параметр, 𝜔𝑝 = 360𝑐−1 — резонансная частота. Найдите максимальную
частоту 𝜔, меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит
величину 𝐴0 не более чем на 12,5%. Ответ дайте в 𝑐−1 .
Ответ
10
Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном
направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80
км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг.
Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 tg 𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑏.
y
1
0
p
x
Ответ
[︂
12
]︂
1 5
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = ln (11𝑥) − 11𝑥 + 9 на отрезке
;
.
22 22
Ответ
41
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 20
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 98. Найдите большую сторону прямоугольника.
𝐷
𝐶
𝐴
𝐵
Ответ
−→
Вектор 𝐴𝐵 с началом в точке 𝐴(2; 4) имеет координаты (6; 2) . Найдите ординату
точки 𝐵.
𝑦
𝐵
𝐴
4
𝑥
2
3
Ответ
В правильной треугольной призме 𝐴𝐵𝐶𝐴1 𝐵1 𝐶1 известно, что 𝐴𝐵 =
дите угол между прямыми 𝐴𝐵1 и 𝐶𝐶1 . Ответ дайте в градусах.
√
3𝐴𝐴1 . Най-
C1
B1
A1
C
B
A
4
Ответ
Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на
игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует
26 бадминтонистов, среди которых 10 спортсменов из России, в том числе Руслан
Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с
каким-либо бадминтонистом из России.
Ответ
5
В городе 48% взрослого населения — мужчины. Пенсионеры составляют 12,6%
взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом
городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Ответ
42
ЕГЭ Профмат 2025
6
Решите уравнение cos
корень.
Тестовая часть
marakulin.ru
𝜋 (𝑥 − 7)
1
= . В ответе запишите наибольший отрицательный
3
2
Ответ
7
Найдите значение выражения
𝑔(𝑥 − 9)
, если 𝑔(𝑥) = 8𝑥 .
𝑔(𝑥 − 11)
Ответ
8
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), определённой на интервале
(−3; 9). Найдите количество решений уравнения 𝑓 ′ (𝑥) = 0 на отрезке [0; 8].
y
yy
y=
=
=ffffffffffff(x)
(x)
(x)
yy
yy
=
=
(x)
(x)
y
y
y
y
=
=
=
=
(x)
(x)
(x)
(x)
=
(x)
y
=
=
(x)
(x)
11
11
1
11
1
1
1
1
1
−3
−3
−3
−3
−3
−3
−3
−3
x
99
99
99
9
9
9
9
9
9
0
Ответ
9
Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием 𝑓 = 30 см. Расстояние 𝑑1 от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а
расстояние 𝑑2 от линзы до экрана — в пределах от 150 до 180 см. Изображение на
экране будет чётким, если выполнено соотношение 𝑑11 + 𝑑12 = 𝑓1 . Укажите, на каком
наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чeтким. Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ
10
Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10
минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30
минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если
длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑓 (6).
y
1
0 1
x
Ответ
12
[︂
]︂
5 7
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 2𝑥 − 5𝑥 + ln 𝑥 − 3 на отрезке
; .
6 6
2
Ответ
43
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 21
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Площадь параллелограмма равна 40, две его стороны равны 5 и 10. Найдите большую высоту этого параллелограмма.
→
− −
Найдите сумму координат вектора 𝑏 − →
𝑎.
Ответ
𝑦
6
4
→
−
𝑏
→
−
𝑎
2
3
8
𝑥
Ответ
Основанием прямой треугольной призмы является прямоугольный треугольник с
катетами 6 и 8, боковое ребро призмы равно 5. Найдите объём призмы.
Ответ
4
За круглый стол на 9 стульев в случайном порядке рассаживаются 7 мальчиков и
2 девочки. Найдите вероятность того, что обе девочки будут сидеть рядом.
Ответ
5
Чтобы пройти в следующий круг соревнований, футбольной команде нужно набрать
хотя бы 4 очка в двух играх. Если команда выигрывает, она получает 3 очка, в
случае ничьей — 1 очко, если проигрывает — 0 очков. Найдите вероятность того, что
команде удастся выйти в следующий круг соревнований. Считайте, что в каждой
игре вероятности выигрыша и проигрыша одинаковы и равны 0,4.
Ответ
6
3
Найдите корень уравнения (𝑥 − 1) = −8.
Ответ
7
Найдите значение выражения 7 · 5log5 4 .
Ответ
44
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 (𝑡) = 6𝑡2 − 48𝑡 + 17, где
𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с начала
движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени 𝑡 = 9 с.
Ответ
9
Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным
ускорени√
2
ем 𝑎 = 5000 км/ч . Скорость 𝑣 вычисляется по формуле 𝑣 = 2𝑙𝑎, где 𝑙 — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости 100 км/ч.
Ответ
10
Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения,
если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 . Найдите значение 𝑥, при
котором 𝑓 (𝑥) = 16.
y
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 + 16) 𝑒𝑥−16 .
Ответ
45
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 22
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Диагонали ромба относятся как 3 : 4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту
ромба.
→
−
−
Найдите сумму координат вектора →
𝑎 − 𝑏.
Ответ
𝑦
10
→
−
𝑎
6
→
−
𝑏
4
2
2
4
10
𝑥
Ответ
3
Найдите объём правильной шестиугольной
призмы, стороны основания которой
√
равны 1, а боковые ребра равны 3.
Ответ
4
В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей
и Сергей окажутся в одной группе.
Ответ
5
В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий
и один красный фломастер?
Ответ
46
ЕГЭ Профмат 2025
6
Решите уравнение
Тестовая часть
9
𝑥2 − 16
marakulin.ru
= 1.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Ответ
7
Найдите значение выражения log4 8.
Ответ
8
Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 (𝑡) = − 𝑡4 + 6𝑡3 + 5𝑡 + 23,
где 𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с
начала движения. Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени 𝑡 = 3
с.
Ответ
9
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте ℎ м над землeй, выраженное √︁
в километрах, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле
𝑅ℎ
𝑙 = 500
, где 𝑅 = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 4,8 км. На сколько метров нужно подняться человеку, чтобы
расстояние до горизонта увеличилось до 6,4 километров?
Ответ
10
Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки
отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в
пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот
прошел 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения
реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑏 + log𝑎 𝑥. Найдите 𝑓 (32).
y
1
0
1
x
Ответ
12
Найдите точку максимума функции 𝑦 = (𝑥2 − 10𝑥 + 10) 𝑒5−𝑥 .
Ответ
47
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 23
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит
среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.
Ответ
2
На координатной плоскости изображены векторы ⃗𝑎 и ⃗𝑏. Найдите косинус угла между
ними.
𝑦
⃗𝑎
⃗𝑏
1
0
3
1
𝑥
Ответ
√
Объём куба равен 24 3. Найдите его диагональ.
Ответ
4
В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей
и Сергей окажутся в разных группах.
Ответ
5
Маша коллекционирует принцесс из Киндер-сюрпризов. Всего в коллекции 10
разных принцесс, и они равномерно распределены, то есть в каждом очередном
Киндер-сюрпризе может с равными вероятностями оказаться любая из 10 принцесс. У Маши уже есть две разные принцессы из коллекции. Какова вероятность
того, что для получения следующей принцессы Маше придётся купить ещё 2 или 3
шоколадных яйца?
Ответ
48
ЕГЭ Профмат 2025
6
7
8
Тестовая часть
marakulin.ru
6𝑥 − 15
.
𝑥−2
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Решите уравнение 𝑥 =
Ответ
√
3
Найдите значение выражения 6log7 7.
Ответ
1
Материальная точка движется прямолинейно по закону 𝑥 (𝑡) = 𝑡3 − 3𝑡2 − 5𝑡 + 3,
3
где 𝑥 — расстояние от точки отсчёта в метрах, 𝑡 — время в секундах, прошедшее с
начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 2
м/с?
Ответ
9
Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте ℎ м над землeй, выраженное
√︁
𝑅ℎ
в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле 𝑙 = 500
,
где 𝑅 = 6400 км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на
расстоянии 4,8 км. К пляжу ведeт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см. На какое наименьшее количество ступенек нужно подняться человеку,
чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 6,4 километров?
Ответ
10
Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за 15
часов. Через 3 часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа,
к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца
уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = log𝑎 (𝑥 + 𝑏). Найдите значение 𝑥,
при котором 𝑓 (𝑥) = 4.
y
1
0
1
x
Ответ
12
2 2−𝑥
Найдите точку минимума функции 𝑦 = (𝑥 + 3) 𝑒
.
Ответ
49
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 24
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
Основания равнобедренной трапеции равны 7 и 13, а её площадь равна 40. Найдите
периметр трапеции.
Ответ
2
−→
Вектор 𝐴𝐵 с началом в точке 𝐴(3; 6) имеет координаты (9; 3) . Найдите сумму
координат точки 𝐵.
𝑦
𝐵
6
𝐴
𝑥
3
3
Ответ
В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 cм3 воды и
полностью погрузили в неё деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся
с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объём детали. Ответ дайте в куб. см.
Ответ
4
В группе шесть человек, среди них — Михаил и Олег. Группу случайным образом
делят на 3 пары. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной
паре.
Ответ
5
В магазине стоят два платёжных автомата. Каждый из них может быть неисправен
с вероятностью 0,05 независимо от другого автомата. Найдите вероятность того, что
хотя бы один автомат исправен.
Ответ
√︂
6
Найдите корень уравнения
1
= 0,2.
15 − 4𝑥
50
Ответ
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
7
Найдите значение выражения 53+log5 2 .
8
На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) и касательная к нему в точке с
абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓 (𝑥) в точке 𝑥0 .
Ответ
y
11
11
1
1
xxx000000
x
111
1
0 1
Ответ
9
Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неё проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное
магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся
повернуть рамку, (в Н·м) определяется формулой 𝑀 = 𝑁 𝐼𝐵𝑙2 sin 𝛼, где 𝐼 = 2A —
сила тока в рамке, 𝐵 = 3·10−3 Тл — значение индукции магнитного поля, 𝑙 = 0,5 м —
размер рамки, 𝑁 = 1000 — число витков провода в рамке, 𝛼 — острый угол между
перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении
угла 𝛼 (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы
раскручивающий момент 𝑀 был не меньше 0,75 Н·м?
Ответ
10
Первый насос наполняет бак за 20 минут, второй — за 30 минут, а третий — за 1 час.
За сколько минут наполнят бак три насоса, работая одновременно?
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏. Найдите значение 𝑥, при
котором 𝑓 (𝑥) = −13,5.
y
1
0
1
x
Ответ
12
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (8 − 𝑥) 𝑒9−𝑥 на отрезке [3; 10].
Ответ
51
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 25
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из
оснований трапеции угол 150∘ . Найдите площадь трапеции.
→
−
−
Найдите квадрат длины вектора →
𝑎 − 𝑏.
Ответ
𝑦
6
4
→
−
𝑏
→
−
𝑎
2
3
8
𝑥
Ответ
Найдите объём правильной
треугольной пирамиды, стороны основания которой рав√
ны 1, а высота равна 3.
Ответ
4
В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в
труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым
рейсом вертолёта.
Ответ
5
Помещение освещается фонарём с двумя лампами. Вероятность перегорания лампы
в течение года равна 0,3. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна
лампа не перегорит.
Ответ
6
Найдите корень уравнения 9−5+𝑥 = 729.
Ответ
7
Найдите значение выражения log0,3 10 − log0,3 3.
Ответ
52
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
На рисунке изображены график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥) и касательная к нему в точке с
абсциссой 𝑥0 . Найдите значение производной функции 𝑓 (𝑥) в точке 𝑥0 .
y
111
xxx000000
x
0 111
Ответ
9
Мяч бросили под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли.
Время полёта мяча (в секундах) определяется по формуле 𝑡 = 2𝑣0 𝑔sin 𝛼 . При каком
значении угла 𝛼 (в градусах) время полёта составит 3 секунды, если мяч бросают
с начальной скоростью 𝑣0 = 30 м/с? Считайте, что ускорение свободного падения
𝑔 = 10 м/с2 .
Ответ
10
Первый и второй насосы наполняют бассейн за 9 минут, второй и третий — за 14
минут, а первый и третий — за 18 минут. За сколько минут эти три насоса заполнят
бассейн, работая вместе?
Ответ
11
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки
пересечения графиков.
y
1
0
1
x
Ответ
12
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = (3𝑥2 − 36𝑥 + 36) 𝑒𝑥 на отрезке [−1; 4].
Ответ
53
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 26
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Основания трапеции равны 3 и 2. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
→
−
−
Найдите квадрат длины вектора →
𝑎 − 𝑏.
Ответ
𝑦
10
→
−
𝑎
6
→
−
𝑏
4
2
2
4
10
𝑥
Ответ
3
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 2, боковое ребро
равно 4. Найдите объём пирамиды.
Ответ
4
Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 10, но не дойдя до отметки 1.
Ответ
5
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что
он попадает в цель с вероятностью 0,2 при каждом отдельном выстреле. Сколько
патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не менее 0,6?
Ответ
6
(︂ )︂6−2𝑥
1
Найдите корень уравнения
= 4.
2
Ответ
54
ЕГЭ Профмат 2025
7
Тестовая часть
Найдите значение выражения
marakulin.ru
log7 13
.
log49 13
Ответ
8
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥). На оси абсцисс отмечены точки
−2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе
укажите эту точку.
y
−2
4
−1
x
1
Ответ
9
Очень лёгкий заряженный металлический шарик зарядом 𝑞 = 2 · 10−6 Кл скатывается по гладкой наклонной плоскости. В момент, когда его скорость составляет
𝑣 = 5 м/с, на него начинает действовать постоянное магнитное поле, вектор индукции 𝐵 которого лежит в той же плоскости и составляет угол 𝛼 с направлением
движения шарика. Значение индукции поля 𝐵 = 4 · 10−3 Тл. При этом на шарик
действует сила Лоренца, равная 𝐹л = 𝑞𝑣𝐵 sin 𝛼 (Н) и направленная вверх перпендикулярно плоскости. При каком наименьшем значении угла 𝛼 ∈ [0∘ ; 180∘ ] шарик
оторвeтся от поверхности, если для этого нужно, чтобы сила 𝐹л была не менее чем
2 · 10−8 Н? Ответ дайте в градусах.
Ответ
10
В помощь садовому насосу, перекачивающему 5 литров воды за 2 минуты, подключили второй насос, перекачивающий тот же объем воды за 3 минуты. Сколько минут
эти два насоса должны работать совместно, чтобы перекачать 25 литров воды?
Ответ
11
На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки
пересечения графиков.
y
1
0
1
x
Ответ
12
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = (𝑥 + 3)2 𝑒−3−𝑥 на отрезке [−5; −1].
Ответ
55
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 27
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Диагонали четырёхугольника равны 4 и 5. Найдите периметр четырёхугольника,
вершинами которого являются середины сторон данного четырёхугольника.
Ответ
−→
Вектор 𝐴𝐵 с концом в точке 𝐵(5; 3) имеет координаты (3; 1) . Найдите абсциссу
точки 𝐴.
𝑦
𝐵
3
𝐴
5
3
𝑥
Ответ
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы
многогранника прямые.
3
1
2
2
3
Ответ
4
4
Вероятность того, что новый DVD-проигрыватель в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,045. В некотором городе из 1000 проданных DVDпроигрывателей в течение года в гарантийную мастерскую поступила 51 штука.
На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности
в этом городе?
Ответ
5
При артиллерийской стрельбе автоматическая система делает выстрел по цели. Если цель не уничтожена, то система делает повторный выстрел. Выстрелы повторяются до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятность уничтожения некоторой цели при первом выстреле равна 0,4, а при каждом последующем — 0,6. Сколько
выстрелов потребуется для того, чтобы вероятность уничтожения цели была не менее 0,98? В ответе укажите наименьшее необходимое количество выстрелов.
Ответ
56
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
1
Найдите корень уравнения 16𝑥−9 = .
2
marakulin.ru
Ответ
7
Вычислите значение выражения (3log2 3 )log3 2 .
8
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥). На оси абсцисс отмечено двенадцать точек: 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , 𝑥4 , 𝑥5 , 𝑥6 , 𝑥7 , 𝑥8 , 𝑥9 , 𝑥10 , 𝑥11 , 𝑥12 . В ответе укажите количество
точек (из отмеченных), в которых производная функции 𝑓 (𝑥) отрицательна.
Ответ
y
y = f (x)
x1 x2 x3 x4
x5
x6
x7 x8 x9 x10 x11x12
Ответ
x
9
Небольшой мячик бросают под острым углом 𝛼 к плоской горизонтальной поверхности земли. Расстояние, которое пролетает мячик, вычисляется по формуле
𝑣2
𝐿 = 𝑔0 sin 2𝛼 (м), где 𝑣0 = 20 м/с — начальная скорость мячика, а 𝑔 — ускорение
свободного падения (считайте 𝑔 = 10 м/с2 ). При каком наименьшем значении угла
(в градусах) мячик перелетит реку шириной 20 м?
Ответ
10
На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй
рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за
час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей за час делает первый
рабочий?
Ответ
11
На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 4𝑥2 −25𝑥+41 и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥2 +𝑏𝑥+𝑐,
которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите ординату точки 𝐵.
y
A
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите точку максимума функции 𝑦 = −
𝑥2 + 289
.
𝑥
Ответ
57
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 28
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
Найдите
хорду, на которую опирается угол 120∘ , вписанный в окружность радиу√
са 3.
Ответ
2
В прямоугольном треугольнике 𝐴𝐵𝐶 катет 𝐴𝐶 равен
−→ −→
изведение 𝐴𝐵 · 𝐴𝐶.
√
3. Найдите скалярное про-
𝐵
𝐴
𝐶
Ответ
3
Найдите объём многогранника, изображённого на рисунке. Все двугранные углы
многогранника прямые.
5
2
3
6
7
3
4
Ответ
Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового
человека окажется ниже чем 36,8 ∘ С, равна 0,81. Найдите вероятность того, что в
случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,8 ∘ С или
выше.
Ответ
5
На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При
контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная
при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.
Ответ
58
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
marakulin.ru
(︂ )︂−3+𝑥
1
Найдите корень уравнения
= 512.
8
Ответ
7
Найдите значение выражения log4 log5 25.
Ответ
8
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику 𝑦 = 𝑓 (𝑥) параллельна оси абсцисс
или совпадает с ней.
Ответ
9
Два тела, массой 𝑚 = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью
𝑣 = 10 м/с под углом 2𝛼 друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их
абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле 𝑄 = 𝑚𝑣 2 sin2 𝛼, где 𝑚 —
масса в килограммах, 𝑣 — скорость в м/с. Найдите, под каким наименьшим углом
2𝛼 (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось
энергии не менее 50 джоулей.
Ответ
10
11
Первая труба пропускает на 1 литр воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько
литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объемом 110 литров
она заполняет на 2 минуты дольше, чем вторая труба заполняет резервуар объемом
99 литров?
Ответ
𝑘
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = + 𝑎. Найдите 𝑓 (−12).
𝑥
y
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 𝑥 +
9
на отрезке [−4; −1].
𝑥
Ответ
59
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 29
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Центральный угол на 36∘ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же
дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Ответ
−→
Вектор 𝐴𝐵 с концом в точке 𝐵(5; 3) имеет координаты (3; 1) . Найдите ординату
точки 𝐴.
𝑦
𝐵
3
𝐴
5
3
𝑥
Ответ
Объём тетраэдра равен 14. Найдите объём многогранника, вершинами которого
являются середины рёбер данного тетраэдра.
Ответ
4
При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что диаметр
будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна 0,965. Найдите
вероятность того, что случайный подшипник будет иметь диаметр меньше чем 66,99
мм или больше чем 67,01 мм.
Ответ
5
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что
к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе
закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу
дня кофе останется в обоих автоматах.
Ответ
60
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
marakulin.ru
Найдите корень уравнения 89−𝑥 = 64𝑥 .
Ответ
7
Найдите log𝑎 𝑏𝑎3 , если log𝑎 𝑏 = 5.
Ответ
8
На рисунке изображён график функции 𝑦 = 𝑓 (𝑥), определённой на интервале
(−6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции 𝑓 (𝑥)
положительна.
y
yy
yy
y=
=
=
=ffffffff(x)
(x)
(x)
(x)
yy
=
(x)
y
=
=
=
(x)
(x)
(x)
11
1
11
11
1
−6
−6
−6
−6
−6
−6
−6
−6
x
88
88
88
8
8
0
Ответ
9
При нормальном падении света с длиной волны 𝜆 = 400 нм на дифракционную
решeтку с периодом 𝑑 нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом
угол 𝜙 (отсчитываемый от перпендикуляра к решeтке), под которым наблюдается
максимум, и номер максимума 𝑘 связаны соотношением 𝑑 sin 𝜙 = 𝑘𝜆. Под каким
минимальным углом 𝜙 (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решeтке
с периодом, не превосходящим 1600 нм?
Ответ
10
Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за 12 дней. За сколько дней,
работая отдельно, выполнит эту работу первый рабочий, если он за два дня выполняет такую же часть работы, какую второй — за три дня?
Ответ
11
На рисунке изображён график функции вида 𝑓 (𝑥) =
𝑘
. Найдите значение 𝑥,
𝑥+𝑎
при котором 𝑓 (𝑥) = 0,2.
y
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = log5 (4 − 2𝑥 − 𝑥2 ) + 3.
Ответ
61
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 30
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Точки 𝐴, 𝐵, 𝐶, расположенные на окружности, делят её на три дуги, градусные
величины которых относятся как 1 : 3 : 5. Найдите больший угол треугольника
𝐴𝐵𝐶. Ответ дайте в градусах.
Ответ
√
Длина вектора ⃗𝑎 равна 2 2, угол между векторами ⃗𝑎 и ⃗𝑏 равен 45∘ , а скалярное
произведение ⃗𝑎 · ⃗𝑏 равно 12. Найдите длину вектора ⃗𝑏.
Ответ
3
Объём треугольной призмы, отсекаемой от куба плоскостью, проходящей через середины двух рёбер, выходящих из одной вершины, и параллельной третьему ребру,
выходящему из этой же вершины, равен 2. Найдите объём куба.
Ответ
4
Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше 10 задач,
равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 11 задач.
Ответ
5
Чтобы поступить в институт на специальность «Лингвистика», абитуриент должен
набрать на ЕГЭ не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика,
русский язык и иностранный язык. Чтобы поступить на специальность «Коммерция», нужно набрать не менее 70 баллов по каждому из трёх предметов — математика, русский язык и обществознание. Вероятность того, что абитуриент З. получит
не менее 70 баллов по математике, равна 0,6, по русскому языку — 0,8, по иностранному языку — 0,7 и по обществознанию — 0,5. Найдите вероятность того, что З.
сможет поступить хотя бы на одну из двух упомянутых специальностей.
Ответ
6
Найдите корень уравнения log5 (5 − 𝑥) = log5 3.
62
Ответ
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
√
7
8
Найдите 3 cos 𝛼, если sin 𝛼 = − 2 3 2 и 𝛼 ∈
(︀ 3𝜋
2
marakulin.ru
)︀
; 2𝜋 .
Ответ
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] функция 𝑓 (𝑥) принимает
наименьшее значение?
y
′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
(x)
(x)
=
=
y
=
(x)
(x)
=
(x)
(x)
y=
=fffffffff′′′′′′′′′′(x)
yy
yy
=
=
yy
=
(x)
(x)
(x)
(x)
1
11
11
11
1
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
−8
x
4
4
44
44
44
0
Ответ
9
Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость 𝑣 меняется по закону 𝑣 =
𝑣0 sin 2𝜋𝑡
, где 𝑡 — время с момента начала колебаний, 𝑇 = 12 с — период колебаний,
𝑇
𝑣0 = 0,5 м/с. Кинетическая энергия 𝐸 (в джоулях) груза вычисляется по формуле
2
𝐸 = 𝑚𝑣2 , где 𝑚 — масса груза в килограммах, 𝑣 — скорость груза в м/с. Найдите
кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте
в джоулях.
Ответ
10
Две бригады, состоящие из рабочих одинаковой квалификации, одновременно начали выполнять два одинаковых заказа. В первой бригаде было 16 рабочих, а во
второй — 25 рабочих. Через 7 дней после начала работы в первую бригаду перешли
8 рабочих из второй бригады. В итоге оба заказа были выполнены одновременно.
Найдите, сколько дней потребовалось на выполнение заказов.
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) =
𝑘𝑥 + 𝑎
. Найдите 𝑘.
𝑥+𝑏
y
1
0 1
x
Ответ
12
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 =
√
𝑥2 − 6𝑥 + 13.
Ответ
63
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 31
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Касательные 𝐶𝐴 и 𝐶𝐵 к окружности образуют угол 𝐴𝐶𝐵, равный 122∘ . Найдите
величину меньшей дуги 𝐴𝐵, стягиваемой точками касания. Ответ дайте в градусах.
Ответ
−→
Вектор 𝐴𝐵 с концом в точке 𝐵(5; 3) имеет координаты (3; 1) . Найдите сумму координат точки 𝐴.
𝑦
𝐵
3
𝐴
5
3
𝑥
Ответ
Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой станет площадь поверхности призмы, если все её рёбра увеличатся в три раза, а форма останется прежней?
Ответ
4
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в
понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность
того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того,
что число пассажиров будет от 15 до 19.
Ответ
5
Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Ответ
6
Найдите корень уравнения log5 (4 + 𝑥) = 2.
Ответ
64
ЕГЭ Профмат 2025
7
8
Тестовая часть
marakulin.ru
Найдите 24 cos 2𝛼, если sin 𝛼 = −0,2.
Ответ
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции 𝑓 (𝑥),
принадлежащих отрезку [−6; 9].
′
′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
(x)
(x)
=
=
y
=
(x)
(x)
=
(x)
(x)
y=
=fffffffff′′′′′′′′′′(x)
yy
yy
=
=
yy
(x)
(x)
(x)
=
(x)
y
11
11
11
1
1
−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
−7
x
14
14
14
14
14
14
14
14
0
Ответ
9
Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по
закону 𝑈 = 𝑈0 sin(𝜔𝑡 + 𝜙), где 𝑡 — время в секундах, амплитуда 𝑈0 = 2 В, частота
𝜔 = 120∘ /с, фаза 𝜙 = −30∘ . Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не
ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?
Ответ
10
В понедельник акции компании подорожали на некоторое число процентов, а во
вторник подешевели на то же самое число процентов. В результате они стали стоить
на 4% дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов
подорожали акции компании в понедельник?
Ответ
11
√
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑘 𝑥. Найдите 𝑓 (6,76).
y
1
0 1
x
Ответ
12
6𝑥−𝑥2
Найдите точку максимума функции 𝑦 = 11
.
Ответ
65
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 32
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
Угол 𝐴𝐶𝐵 равен 42∘ . Градусная мера дуги 𝐴𝐵 окружности, не содержащей точек
𝐷 и 𝐸, равна 124∘ . Найдите угол 𝐷𝐴𝐸. Ответ дайте в градусах.
Ответ
2
Даны векторы ⃗𝑎 (0; 3), ⃗𝑏 (−2; 4) и ⃗𝑐 (4; −1). Найдите длину вектора ⃗𝑎 − 2⃗𝑏 + ⃗𝑐.
Ответ
3
Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен 32,
проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсеченной треугольной призмы.
Ответ
4
Термометр измеряет температуру в помещении. Вероятность того, что температура
окажется выше +18 ∘ С, равна 0,84. Вероятность того, что температура окажется
ниже +21 ∘ С, равна 0,61. Найдите вероятность того, что температура в помещении
окажется в промежутке от +18 ∘ С до +21 ∘ С.
Ответ
5
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит
ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре
мишени»?
Ответ
6
Найдите корень уравнения log2 (15 + 𝑥) = log2 3.
Ответ
7
Найдите tg(𝛼 + 5𝜋
), если tg 𝛼 = 0,4.
2
Ответ
66
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции 𝑓 (𝑥),
принадлежащих отрезку [−10; 10].
y
′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
=
(x)
=
=
(x)
y
y
=
=
(x)
(x)
y
=
=
(x)
(x)
y=
yy
yy
=
=ffffffffffff′′′′′(x)
(x)
(x)
yy
=
=
(x)
(x)
1
11
11
11
1
−11
−11
−11
−11
−11
−11
−11
−11
x
11
11
11
11
11
11
11
11
0
Ответ
9
Скорость
колеблющегося
на
пружине
груза
меняется
по
закону
𝑣(𝑡) = 5 sin 𝜋𝑡 (см/с), где 𝑡 — время в секундах. Какую долю времени из первой секунды скорость движения превышала 2,5 см/с? Ответ выразите десятичной
дробью, если нужно, округлите до сотых.
Ответ
10
Изюм получается в процессе сушки винограда. Сколько килограммов винограда
по-требуется для получения 20 килограммов изюма, если виноград содержит 90%
воды, а изюм содержит 5% воды?
Ответ
11
На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 5𝑥 + 9 и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
которые пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите ординату точки 𝐵.
y
1
A 0 1
12
x
Ответ
√
√
Найдите
[︁ 𝜋 ]︁ наибольшее значение функции 𝑦 = 12 sin 𝑥 − 6 3𝑥 + 3𝜋 + 6 на отрезке 0; .
2
Ответ
67
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 33
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
2
Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.
Ответ
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображен треугольник 𝐴𝐵𝐶. Найдите
−→ −→
скалярное произведение 𝐴𝐵 · 𝐴𝐶.
𝐵
𝐴
𝐶
3
Ответ
Объём первого куба в 8 раз больше объёма второго куба. Во сколько раз площадь
поверхности первого куба больше площади поверхности второго куба?
Ответ
4
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того,
что сумма выпавших очков равна 5. Результат округлите до сотых.
Ответ
5
В магазине куплено 12 одинаковых луковиц гиацинтов. Вероятность того, что каждая отдельная луковица успешно прорастёт, равна 0,8. Во сколько раз вероятность
события «прорастёт ровно 7 луковиц» больше вероятности события «прорастёт
ровно 5 луковиц»?
Ответ
6
Найдите корень уравнения log 1 (7 − 𝑥) = −2.
7
Ответ
7
Найдите значение выражения 5 sin(𝛼 − 7𝜋) − 11 cos( 3𝜋
+ 𝛼), если sin 𝛼 = −0,25.
2
Ответ
68
ЕГЭ Профмат 2025
8
Тестовая часть
marakulin.ru
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции 𝑓 (𝑥). В ответе
укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
y
′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
(x)
(x)
=
=
y
=
(x)
(x)
=
(x)
(x)
y=
=fffffffff′′′′′′′′′′(x)
yy
yy
=
=
yy
(x)
(x)
(x)
=
(x)
1
11
11
11
1
1
1
1
1
−5
−5
−5
−5
−5
−5
−5
−5
x
77
77
77
7
7
7
7
7
7
0
Ответ
9
В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону 𝑚 =
𝑡
𝑚0 · 2− 𝑇 , где 𝑚0 — начальная масса изотопа, 𝑡 — время, прошедшее от начального момента, 𝑇 — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа
40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут
масса изотопа будет равна 5 мг.
Ответ
10
11
Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами
25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет
концентрация получившегося раствора?
Ответ
𝑘
На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) =
и 𝑔 (𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, которые
𝑥
пересекаются в точках 𝐴 и 𝐵. Найдите абсциссу точки 𝐵.
y
1
A
0 1
x
Ответ
[︂
12
]︂
3𝜋
.
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 9 cos 𝑥 + 14𝑥 + 7 на отрезке 0;
2
Ответ
69
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 34
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
Ответ
2
→
−
−
Найдите скалярное произведение векторов →
𝑎 и 𝑏.
𝑦
6
4
→
−
𝑏
→
−
𝑎
2
3
8
𝑥
Ответ
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет
находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд,
диаметр которого в 2 раза больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Ответ
4
В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите
вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Ответ
5
Первый игральный кубик обычный, а на гранях второго кубика нет чётных чисел,
а нечётные числа 1, 3 и 5 встречаются по два раза. В остальном кубики одинаковые. Один случайно выбранный кубик бросают два раза. Известно, что в каком-то
порядке выпали 3 и 5 очков. Какова вероятность того, что бросали второй кубик?
Ответ
6
Найдите корень уравнения log5 (𝑥2 + 2𝑥) = log5 (𝑥2 + 10).
Ответ
70
ЕГЭ Профмат 2025
7
Найдите tg 𝛼, если
Тестовая часть
marakulin.ru
3 sin 𝛼 − 5 cos 𝛼 + 2
1
= .
sin 𝛼 + 3 cos 𝛼 + 6
3
Ответ
8
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции 𝑓 (𝑥). В ответе укажите длину наибольшего из них.
y
′′′′′′′′′
′′(x)
yy
yy
y=
=
=
=ffffffff′′′′′′′′′′(x)
(x)
(x)
yy
=
(x)
=
=
(x)
(x)
y
=
(x)
1
11
11
11
1
−11
−11
−11
−11
−11
−11
−11
−11
x
33
33
33
3
3
0
Ответ
9
При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон
𝑝𝑉 𝑘 = 105 Па·м5 , где 𝑝 — давление в газе в паскалях, 𝑉 — объём газа в куби5
ческих метрах, 𝑘 = . Найдите, какой объём 𝑉 (в куб. м) будет занимать газ при
3
давлении 𝑝, равном 3,2 · 106 Па.
Ответ
10
Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди, второй — 40% меди. Масса
второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в
килограммах.
Ответ
11
√
На рисунке изображены графики функций 𝑓 (𝑥) = 𝑎 𝑥 и 𝑔 (𝑥) = 𝑘𝑥 + 𝑏, которые
пересекаются в точке 𝐴. Найдите ординату точки 𝐴.
y
1
0 1
x
Ответ
12
[︁ 𝜋 ]︁
Найдите наибольшее значение функции 𝑦 = 15𝑥 − 3 sin 𝑥 + 5 на отрезке − ; 0 .
2
Ответ
71
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Тест № 35
Ответом к каждому из заданий 1–12 является целое число или конечная десятичная дробь. Запишите ответы к заданиям в поле ответа в тексте работы.
1
В четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷, периметр которого равен 26, вписана окружность, 𝐴𝐵 =
= 6. Найдите 𝐶𝐷 .
𝐷
𝐶
𝐴
2
Ответ
𝐵
→
−
−
Найдите скалярное произведение векторов →
𝑎 и 𝑏.
𝑦
10
→
−
𝑎
6
→
−
𝑏
4
2
2
3
4
10
𝑥
Ответ
1
В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает
высоты. Объ2
ём жидкости равен 70 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы
полностью наполнить сосуд?
Ответ
4
На рок-фестивале выступают группы — по одной от каждой из заявленных стран,
в том числе группы из Англии, Германии и России. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность того, что группа из Англии будет выступать
позже групп из Германии и России? Ответ округлите до сотых.
Ответ
5
Игральную кость бросили один или несколько раз. Оказалось, что сумма всех выпавших очков равна 4. Какова вероятность того, что был сделан один бросок? Ответ
округлите до сотых.
Ответ
72
ЕГЭ Профмат 2025
6
Тестовая часть
marakulin.ru
Решите уравнение log𝑥−5 49 = 2.
Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
7
√
Найдите значение выражения 36 6 tg 𝜋6 sin 𝜋4 .
Ответ
Ответ
8
На рисунке изображён график 𝑦 = 𝑓 ′ (𝑥) — производной функции 𝑓 (𝑥), определённой на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к
графику функции 𝑓 (𝑥) параллельна прямой 𝑦 = − 2𝑥 − 11 или совпадает с ней.
′′′′′′′′′′′′′′′′′′′′
′′(x)
=
(x)
=
=
(x)
(x)
y
y
=
=
(x)
(x)
y
=
=
(x)
(x)
y=
yy
yy
=
=ffffffffffff′′′′′(x)
(x)
(x)
yy
=
=
(x)
y
1
11
11
11
1
−10
−10
−10
−10
−10
−10
−10
−10
x
22
22
22
2
2
0
Ответ
9
Уравнение процесса, в котором участвовал газ, записывается в виде 𝑝𝑉 𝑎 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, где
𝑝 (Па) — давление в газе, 𝑉 — объeм газа в кубических метрах, 𝑎 — положительная
константа. При каком наименьшем значении константы 𝑎 уменьшение вдвое раз
объeма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не
менее, чем в 4 раза?
Ответ
10
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой
воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный
раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для
получения смеси?
Ответ
11
На рисунке изображён график функции 𝑓 (𝑥) = 𝑎 sin 𝑥 + 𝑏. Найдите 𝑎.
y
1
0
p
x
Ответ
12
[︂
]︂
24
2𝜋
Найдите наименьшее значение функции 𝑦 = 6 cos 𝑥 + 𝑥 + 5 на отрезке − ; 0 .
𝜋
3
Ответ
73
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Ответы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Тест 1
62
10
64
0,5
0,88
−5
11
2
25
50
−10
4
Тест 2
30
20
45
0,9
0,2
−1,5
6
−0,25 6
240
−5
0
Тест 3
61
−2
120
0,3
0,5
−4
2
5
2
4
2,75
3
Тест 4
31
−4
340
0,14
0,08
7
6
−2
20
90
31
12
Тест 5
1,5
10
5
0,46
0,12
1
2
2
30
4
26
−2
Тест 6
25
40
4
0,2
0,8836 3
1
0,5
2
52
48
6
Тест 7
8
40
0,25
0,6
0,156
−2
2
−1
5
10
31
−25
Тест 8
0,5
20
110
0,995
0,35
6
4
0,125 2
616
11
23
Тест 9
0,5
11
76
0,08
0,027
−9
4
−33
4000
5
7
4
Тест 10 4
28
18
0,92
0,125
31
4
7
7,3
800
−15
9
Тест 11 4
112
96
0,006
0,375
−1
7
5
10
600
0,15
4
Тест 12 0,6
200
152
0,33
0,02
10
1,4
8
2,5
400
9
4
Тест 13 9,6
8
3
0,25
0,02
4
4
44
390
70
1,96
48
Тест 14 0,5
40
17
0,36
0,2
−2
13,5
5
0,2
88
6
−2,5
Тест 15 0,28
200
2
0,36
0,64
−124 121
4
18
70
−10
−4,5
Тест 16 0,96
5
300
0,3
0,019
6
49
−3
7
8
36
−18
Тест 17 0,25
12
60
0,16
0,0296 −4
49
1
0,71
45
1,5
51
Тест 18 4
2
2
0,225
0,0545 2
0,8
−3
10
20
1,5
−4
Тест 19 0,28
18
60
0,04
0,75
−1
36
6
120
59
−1,5
8
Тест 20 14
6
60
0,36
0,1
−4
64
3
36
80
61
−6
74
ЕГЭ Профмат 2025
Тестовая часть
marakulin.ru
Ответы
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Тест 21 8
−4
120
0,25
0,32
−1
28
60
1
3
5
−17
Тест 22 48
−4
4,5
0,48
0,3
5
1,5
59
1,4
22
2
10
Тест 23 5
0,96
6
0,52
0,192
5
2
7
7
9
11
−3
Тест 24 30
21
184
0,2
0,9975 −2,5
250
0,25
30
10
−7
−1
Тест 25 42
40
0,25
0,2
0,91
8
−1
−2
30
8,4
−11
36
Тест 26 0,5
40
12
0,25
5
4
2
4
30
6
−1,75 0
Тест 27 9
2
34
0,006
5
8,75
3
7
15
25
62
17
Тест 28 3
3
87
0,19
0,98
0
0,5
−3
60
10
0,75
−6
Тест 29 36
2
7
0,035
0,52
3
−14
4
30
20
14
4
Тест 30 100
6
16
0,07
0,408
2
1
−7
0,0025 16
1
2
Тест 31 58
4
54
0,38
1,2
21
22,08 1
50
20
6,5
3
Тест 32 20
10
8
0,45
1,05
−12
−2,5 5
0,67
190
39
12
Тест 33 30
5
4
0,11
16
−42
4
18
30
21
−0,2
16
Тест 34 1,5
40
4
0,995
0,8
5
2,25
6
0,125 9
15
5
Тест 35 7
40
490
0,33
0,63
12
36
5
2
2
−14
75
60