Взаимное расположение графиков линейных функций 7 класс

АЛГЕБРА. 7 КЛАСС
Глава 9
Функции. Линейная функция
Урок 107
Сириус.Школы
Взаимное расположение графиков
линейных функций
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
1
Вспомним, что такое линейная функция.
Сириус.Школы
Какой вид имеет её график?
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
2
Параллельные прямые и их графики
Рассмотрим две линейные функции: y = k1x + b1 и y = k2x + b2. Предположим, что графики этих
функций пересекаются. Тогда необходимо определить такие значения x и y, при которых оба
уравнения выполняются одновременно, то есть найти точку (x; y), в которой значения обеих
функций совпадают.
Так как y в обоих уравнениях представляет одну и ту же ординату точки пересечения, мы
можем приравнять правые части уравнений, получив уравнение k1x + b1 = k2x + b2.
Это равенство содержит переменную, т. е. является уравнением. Решим его. k1x − k2x = b2 − b1.
Вынесем x за скобки: x(k1 − k2) = b2 − b1.
Параллельные прямые — это прямые, которые не пересекаются
и имеют равные угловые коэффициенты наклона.
Сириус.Школы
Если при k1 = k2 числа b1 ≠ b2, то уравнение 0 · x = b2 − b1 не имеет решений. Это означает, что
не существует точки, которая бы одновременно принадлежала графикам линейной функции
y = k1x + b1 и y = k2x + b2. Это означает, что графики функций в данном случае
не пересекаются, т. е. параллельны. То есть можем записать определение параллельных прямых
в следующем виде.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
3
Сириус.Школы
Пример 1. Рассмотрим две прямые, у которых
уравнениями являются 𝑦 = 2𝑥 + 3
и 𝑦 = 2𝑥 − 1. Обе прямые имеют равные
угловые коэффициенты 𝑘, равные 2.
Их графики будут параллельными.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
4
Совпадающие прямые
Сириус.Школы
Если при 𝑘1 = 𝑘2 и 𝑏1 = 𝑏2, то получим два
уравнения 𝑦 = 𝑘1𝑥 + 𝑏1 и 𝑦 = 𝑘2𝑥+ 𝑏2 с равными
коэффициентами, в таком случае это будет одна
и та же прямая 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
5
Пересекающиеся прямые и их графики
Пересекающиеся прямые — это прямые на плоскости, которые
имеют единственную точку пересечения. Иначе говоря, две прямые
пересекаются, когда они имеют общую точку на координатной
плоскости, через которую они проходят.
Если k1 ≠ k2, то k1 − k2 ≠ 0, поэтому
— единственное число. Если мы подставим
Сириус.Школы
его в одну из формул y = k1x + b1 или y = k2x + b2, то сможем найти значение ординаты y,
а значит, и пару значений (x; y). Таким образом, при k1 ≠ k2 графики линейных функций
y = k1x + b1 и y = k2x + b2 пересекаются в одной точке.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
6
Пример 2. Найдите координаты точки пересечения двух прямых с уравнениями 𝑦 = 2𝑥 + 1
и 𝑦 = −3𝑥 + 5.
Решение:
Для определения точки пересечения данных прямых
нужно приравнять выражения для нахождения
ординат соответствующих двух функций:
2x + 1 = −3x + 5;
5x = 4;
Разделим обе части на 5:
.
Подставим значение абсциссы x данной точки
в одно из уравнений, например, в уравнение
y = 2x + 1:
.
будет иметь координаты
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Сириус.Школы
Таким образом, точка пересечения двух прямых
7
Сириус.Школы
Пример 3. Постройте графики двух функций 𝑦 = 2𝑥 + 1 и 𝑦 = −𝑥 + 4, найдите их точку
пересечения, если она существует.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
8
Задачи и упражнения
1. Найдите уравнение прямой, параллельной прямой, заданной уравнением 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏
и проходящей через точку (2; 3).
2. Постройте графики функций 𝑦 = 3𝑥 − 3 и 𝑦 = −0,5𝑥 + 4 и определите их взаимное
расположение.
3. Постройте графики функций 𝑦 = −7𝑥 − 1 и 𝑦 = −7𝑥 + 6 и определите их взаимное
расположение.
а) 𝑦 = 2𝑥 − 5 и 𝑦 = 34𝑥; б) 𝑦 = 3𝑥 и 𝑦 = 𝑥 + 4; в) 𝑦 = 1,7𝑥 + 6 и 𝑦 = 6;
г) 𝑦 = 4,6 − 7𝑥 и 𝑦 = −7𝑥; д) 𝑦 = 0,2𝑥 и 𝑦 = 0,3𝑥 + 0,4.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Сириус.Школы
4. Определите взаимное расположение прямых — графиков линейных функций, не выполняя
их построения:
9
Задачи и упражнения
5. На рисунке изображены графики
функций:
а) 𝑦 = −6𝑥 + 1;
б) 𝑦 = −6𝑥 + 3;
в) 𝑦 = 𝑥 + 6.
Сириус.Школы
Установите соответствие между формулой
функции и её графиком.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
10
Задачи и упражнения
Сириус.Школы
6. Две прямые, изображённые на рисунке,
пересекаются в точке A. Найдите абсциссу
данной точки.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
11
Задачи и упражнения
Сириус.Школы
7. Найдите уравнение прямой, параллельной заданной, и проходящей через точку (4; −2).
Уравнение исходной прямой: 𝑦 = 2𝑥 − 1.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
12