A7-107-materials (1)

Урок 107
Взаимное расположение графиков линейных функций
Цели данного урока:
Обучающие: научить применению основных понятий и терминов, связанные с графиками
линейных функций, научить применять методы определения взаимного расположения
графиков линейных функций, развивать навыки анализа и логического мышления при работе
с графиками линейных функций, научить применять полученные знания для решения
практических задач, связанных с взаимным расположением графиков линейных функций.
Развивающие: развивать навыки анализа и интерпретации графиков линейных функций,
развивать логическое и абстрактное мышления через изучение графиков линейных функций,
развивать навыки работы в парах или небольших группах, совместно решая задачи и обсуждая
полученные результаты.
Воспитательные: формировать интерес к математике через изучение графиков линейных
функций, воспитывать ответственность и самостоятельности при работе с математическими
задачами, воспитывать уважение к точности и логичности при решении математических задач,
поддерживать позитивное отношение к математике и понимание её практической
применимости в реальной жизни.
Оснащение урока: универсальные средства ИКТ (компьютер, проектор, экран,
мультимедийная презентация, распечатанные материалы — при необходимости, платформа
Сириус.Курсы).
На данном уроке мы изучим основные понятия и методы определения параллельности,
пересечения или отсутствия взаимного пересечения графиков по взаимному расположению
графиков линейных функций.
Актуализация предыдущих знаний о линейных функциях и их графиках.
Вспомним, что такое линейная функция.
Какой вид имеет её график?
Ранее мы рассматривали различные случаи расположения графиков линейных функций. Узнали,
что взаимное расположение прямых, являющихся графиками линейных функций, зависит
от значений угловых коэффициентов. Если угловые коэффициенты прямых, являющихся
графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые
коэффициенты равны, то прямые параллельны.
Рассмотрим все возможные случаи детально.
Обобщение понятий параллельности и пересечения графиков линейных функций.
Параллельные прямые и их графики
Рассмотрим две линейные функции: 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 и 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 . Предположим, что графики этих
функций пересекаются. Тогда необходимо определить такие значения 𝑥 и 𝑦, при которых оба
уравнения выполняются одновременно, то есть найти точку (𝑥, 𝑦), в которой значения обеих
функций совпадают.
Так как 𝑦 в обоих уравнениях представляет одну и ту же ординату точки пересечения, мы можем
приравнять правые части уравнений, получив уравнение 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 .
Это равенство содержит переменную, т. е. является уравнением. Решим его.
𝑘1 𝑥 − 𝑘2 𝑥 = 𝑏2 − 𝑏1 .
Вынесем 𝑥 за скобки:
1
𝑥(𝑘1 − 𝑘2 ) = 𝑏2 − 𝑏1 .
Если при 𝑘1 = 𝑘2 числа 𝑏1 ≠ 𝑏2 , то уравнение 0 ⋅ 𝑥 = 𝑏2 − 𝑏1 не имеет решений. Это означает, что
не существует точки, которая бы одновременно принадлежала графикам линейной функции 𝑦 =
𝑘1 𝑥 + 𝑏1 и 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 . Это означает, что графики функций в данном случае не пересекаются, т. е.
параллельны. То есть можем записать определение параллельных прямых в следующем виде.
Параллельные прямые — это прямые, которые не пересекаются и имеют равные угловые
коэффициенты наклона.
ПРИМЕР 1
Рассмотрим две прямые, у которых уравнениями
являются 𝑦 = 2𝑥 + 3 и 𝑦 = 2𝑥 − 1. Обе прямые имеют
равные угловой коэффициент 𝑘, равный 2. Их графики
будут параллельными (рис. 1).
Решение:
Из рисунка 1 можем заметить, что график линейной
функции 𝑦 = 2𝑥 + 3 расположен выше
по координатной оси 𝑦 на 4 единицы, чем график
линейной функции 𝑦 = 2𝑥 − 1: коэффициент 𝑏 = 3
графика функции 𝑦 = 2𝑥 + 3 больше на 4 единицы,
чем коэффициент 𝑏 = −1 графика функции 𝑦 = 2𝑥 − 1.
Рис. 1
Совпадающие прямые
Если при 𝑘1 = 𝑘2 и 𝑏1 = 𝑏2 , то получим два уравнения
𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 и 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 с равными
коэффициентами, в таком случае это будет одна
и та же прямая: 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏 (рис. 2).
Пересекающиеся прямые и их графики
Пересекающиеся прямые — это прямые
на плоскости, которые имеют единственную точку
пересечения. Иначе говоря, две прямые пересекаются,
когда они имеют общую точку на координатной
плоскости, через которую они проходят.
𝑏 −𝑏
Если 𝑘1 ≠ 𝑘2 , то 𝑘1 − 𝑘2 ≠ 0, поэтому 𝑥 = 𝑘2−𝑘1 —
единственное число.
1
2
Рис. 2
Если мы подставим его в одну из формул 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 или 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 , то сможем найти
значение ординаты 𝑦, а значит, и пару значений (𝑥; 𝑦). Таким образом, при 𝑘1 ≠ 𝑘2 графики
линейных функций 𝑦 = 𝑘1 𝑥 + 𝑏1 и 𝑦 = 𝑘2 𝑥 + 𝑏2 пересекаются в одной точке.
ПРИМЕР 2
Найдите координаты точки пересечения двух прямых с уравнениями 𝑦 = 2𝑥 + 1 и 𝑦 = −3𝑥 + 5.
2
Решение:
Для определения точки пересечения данных прямых
нужно приравнять выражения для нахождения
ординат соответствующих двух функций:
2𝑥 + 1 = −3𝑥 + 5;
5𝑥 = 4;
4
Разделим обе части на 5: 𝑥 = 5.
Подставим значение абсциссы 𝑥 данной точки в одно
из уравнений, например, в уравнение 𝑦 = 2𝑥 + 1:
4
8
13
𝑦 = 2⋅5+1 = 5+1 = 5.
Таким образом, точка пересечения двух прямых будет
4 13
иметь координаты (5 ; 5 ) (рис. 3).
Рис. 3
ПРИМЕР 3
Постройте графики двух функций 𝑦 = 2𝑥 + 1 и 𝑦 = −𝑥 + 4, найти их точку пересечения, если она
существует.
Решение:
Найдём координаты двух точек на координатной плоскости для каждого из графиков:
𝑦 = 2𝑥 + 1
𝑦 = −𝑥 + 4
𝑥 0 1
𝑥 0 −1
𝑦 1 3
𝑦 4 5
Отложим полученные точки для каждого графика
на одной координатной плоскости и соединим
их прямыми. Полученные прямые — графики данных
функций. Найдём по графику их точку пересечения —
(1; 3) (рис. 4).
Проверим наше решение аналитически.
Для этого приравняем две функции и решим
полученное уравнение:
2𝑥 + 1 = −𝑥 + 4;
2𝑥 + 𝑥 = 4 − 1;
3𝑥 = 3.
Рис. 4
Решив это уравнение, получим абсциссу точки 𝑥 = 1.
Теперь, чтобы найти значение ординаты 𝑦, подставим значение 𝑥 = 1 в любую из функций.
Допустим, подставим в 𝑦 = 2𝑥 + 1: 𝑦(1) = 2 ⋅ 1 + 1 = 2 + 1 = 3.
Таким образом, точка пересечения графиков функций будет (1; 3). Графическое решение верно.
Задачи и упражнения
Задания выполняются обучающимися на оценку с пояснениями, для мотивированных учащихся
предусмотрены дополнительные задания.
3
ЗАДАНИЕ 1
Найдите уравнение прямой, параллельной прямой, заданной уравнением 𝑦 = 2𝑥 + 𝑏
и проходящей через точку (2; 3).
Решение:
1. Запишем уравнение заданной прямой. Предположим, что у нас есть уравнение прямой в виде
𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏, где 𝑘 — коэффициент наклона, а 𝑏 — свободный член.
2. Поскольку мы ищем параллельную прямую, у которой угловой коэффициент наклона будет
таким же, что и у заданной прямой, мы можем использовать тот же коэффициент наклона 𝑘.
3. Используя найденный коэффициент наклона и координаты точки (2; 3), мы можем определить
свободный член 𝑏 с помощью уравнения 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑏.
4. Подставим координаты точки (2; 3) в уравнение и решим его относительно 𝑏.
5. Полученное уравнение будет уравнением прямой, параллельной заданной прямой
и проходящей через точку (2; 3).
Выполним эти шаги.
Пусть уравнение заданной прямой будет 𝑦 = 2𝑥 + 𝑐, где 𝑐 — неизвестный свободный член.
Заменим на координаты точки (2; 3) в уравнении, получим:
3 = 2 ⋅ 2 + 𝑐;
3 = 4 + 𝑐;
𝑐 = −1.
Таким образом, уравнение прямой, параллельной заданной прямой и проходящей через точку
(2; 3), будет 𝑦 = 2𝑥 − 1.
Ответ: 𝑦 = 2𝑥 − 1.
ЗАДАНИЕ 2
Постройте графики функций 𝑦 = 3𝑥 − 3 и 𝑦 = −0,5𝑥 + 4 и определите их взаимное расположение.
Решение: Найдём координаты двух точек на координатной плоскости для каждого из графиков.
𝑦 = 3𝑥 − 3
𝑦 = −0,5𝑥 + 4
𝑥 0 1
𝑥 0 2
𝑦 −3 0
𝑦 4 3
Отложим полученные точки для каждого графика
на одной координатной плоскости и соединим
их прямыми. Полученные прямые — графики данных
функций. Найдём по графику их точку пересечения
(2; 3).
Проверим, что предполагаемые координаты точки
пересечения удовлетворяют обеим функциям.
3 ∙ 2 − 3 = 6 − 3 = 3,
−0,5 ∙ 2 + 4 = −1 + 4 = 3.
Таким образом, точка (2; 3) является точкой
пересечения графиков функций
𝑦 = 3𝑥 − 3 и 𝑦 = −0,5𝑥 + 4.
Ответ: Графики пересекаются в точке (2; 3).
4
ЗАДАНИЕ 3
Постройте графики функций 𝑦 = −7𝑥 − 1 и 𝑦 = −7𝑥 + 6 и определите их взаимное расположение.
Решение:
Найдем координаты двух точек на координатной
плоскости для каждого из графиков.
𝑦 = −7𝑥 − 1
𝑦 = −7𝑥 + 6
𝑥 0 −1
𝑥 0 1
𝑦 −1 6
𝑦 6 −1
Отложим полученные точки для каждого графика
на одной координатной плоскости и соединим
их прямыми. Полученные прямые — графики данных
функций. Они параллельны, т. к. коэффициенты 𝑘1 и 𝑘2
в данных функциях равны.
Ответ: Графики параллельны.
ЗАДАНИЕ 4
Определите взаимное расположение прямых — графиков линейных функций, не выполняя
их построения:
а) 𝑦 = 2𝑥 − 5 и 𝑦 = 34𝑥;
г) 𝑦 = 4,6 − 7𝑥 и 𝑦 = −7𝑥;
б) 𝑦 = 3𝑥 и 𝑦 = 𝑥 + 4;
д) 𝑦 = 0,2𝑥 и 𝑦 = 0,3𝑥 + 0,4.
в) 𝑦 = 1,7𝑥 + 6 и 𝑦 = 6;
Решение:
Давайте решим, какое взаимное расположение прямых для каждого задания.
а) Для функций 𝑦 = 2𝑥 − 5 и 𝑦 = 34𝑥.
Обе прямые имеют наклонные коэффициенты. Угловой коэффициент наклона первой прямой
равен 2, а угловой коэффициент наклона второй прямой равен 34. Поскольку эти угловые
коэффициенты наклона различаются, прямые будут пересекаться в какой-то точке. Таким
образом, прямые пересекаются.
б) Для функций 𝑦 = 3𝑥 и 𝑦 = 𝑥 + 4.
Обе прямые имеют наклонные коэффициенты. Угловой коэффициент наклона первой прямой
равен 3, а угловой коэффициент наклона второй прямой равен 1. Так как угловые коэффициенты
наклона различаются, прямые также пересекаются в какой-то точке.
в) Для функций 𝑦 = 1,7𝑥 + 6 и 𝑦 = 6.
Так как угловой коэффициент первой прямой равен 1,7, а второй прямой - 0, то эти прямые
пересекаются.
г) Для функций 𝑦 = 4,6 − 7𝑥 и 𝑦 = −7𝑥.
Первая прямая имеет угловой коэффициент наклона −7, вторая прямая тоже −7. Так как оба
коэффициента равны, прямые параллельны друг другу. Они ни в одной точке не пересекаются.
д) Для функций 𝑦 = 0,2𝑥 и 𝑦 = 0,3𝑥 + 0,4.
Обе прямые имеют различные угловые коэффициенты наклона. Угловой коэффициент наклона
первой прямой равен 0,2, а угловой коэффициент наклона второй прямой равен 0,3. Так как
коэффициенты различаются, прямые пересекаются в какой-то точке.
Ответ: а) пересекаются; б) пересекаются; в) пересекаются; г) параллельны; д) пересекаются.
5
ЗАДАНИЕ 5
На рисунке 5 изображены графики функций:
а) 𝑦 = −6𝑥 + 1; б) 𝑦 = −6𝑥 + 3; в) 𝑦 = 𝑥 + 6.
Установите соответствие между формулой функции
и её графиком.
Решение:
На рисунке 5 мы видим две параллельные прямые
и ещё одну, их пресекающую. Параллельные прямые
обладают равными коэффициентами наклона 𝑘.
В нашем случае формулы 𝑦 = −6𝑥 + 1 и 𝑦 = −6𝑥 + 3
имеет коэффициент 𝑘 = −6. Это значит, что именно
они параллельны. Коэффициент 𝑏 означает
смещение. График 2) смещен вдоль положительной
оси 𝑦 на 3 единицы, следовательно, 2) − б).
Таким образом, получим: 1) − в), 2) − б) и 3) − а).
ЗАДАНИЕ 6
Две прямые, изображённые на рисунке 6,
пересекаются в точке 𝐴. Найдите абсциссу данной
точки.
Решение:
На рисунке мы видим, что две функции пересекаются
в точке 𝐴 с координатами (1; 5). Проверим решение
аналитически.
Приравняем правые части уравнений функций 𝑦 = 5,
𝑦 = 3𝑥 + 2:
5 = 3𝑥 + 2;
−3𝑥 = 2 − 5;
−3𝑥 = −3;
𝑥 = 1.
Таким образом, абсцисса точки будет равна 1.
Ответ: 𝑥 = 1.
Рис. 5
Ответ: 1) − в), 2) − б) и 3) − а).
Рис. 6
ЗАДАНИЕ 7
Найдите уравнение прямой, параллельной заданной, и проходящей через точку (4; −2).
Уравнение исходной прямой: 𝑦 = 2𝑥 − 1.
Решение:
Чтобы найти уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку (4; −2), нам
понадобится использовать свойство параллельных прямых.
Из исходного уравнения прямой 𝑦 = 2𝑥 − 1 мы видим, что угловой коэффициент наклона этой
прямой равен 2. Так как параллельные прямые имеют равный наклон, мы можем использовать
эту информацию для построения нового уравнения.
Уравнение прямой с наклоном 2, проходящей через точку (4; −2), можно найти, используя
уравнение прямой в точке-наклоне:
6
𝑦 − 𝑦1 = 𝑘(𝑥 − 𝑥1 ), где 𝑘 — наклон прямой, а (𝑥1 ; 𝑦1) — координаты заданной точки.
Подставляя значения, получаем:
𝑦 − (−2) = 2(𝑥 − 4).
Упрощая это уравнение, получим: 𝑦 + 2 = 2𝑥 − 8.
В итоге уравнение искомой прямой будет:
𝑦 = 2𝑥 − 10.
Таким образом, уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку (4; −2), будет
𝑦 = 2𝑥 − 10.
Ответ: 𝑦 = 2𝑥 − 10.
Задания для самостоятельного решения
Домашнее задание формируется учителем из предложенных заданий.
ЗАДАНИЕ 8
Постройте график функции 𝑦 = −2𝑥 + 4.
ЗАДАНИЕ 9
Найдите уравнение прямой, параллельной заданной и проходящей через точку (3; −1). Уравнение
исходной прямой: 𝑦 = 3𝑥 − 2.
Ответ: 𝑦 = 3𝑥 − 10.
ЗАДАНИЕ 10
Определите координаты точки пересечения графиков функций 𝑦 = 2𝑥 − 3 и 𝑦 = −𝑥 + 5
аналитическим способом.
2
1
Ответ: (2 3 ; 2 3).
ЗАДАНИЕ 11
Постройте график функции и определите угловой коэффициент наклона и смещения:
𝑦 = 0,5𝑥 − 2.
Ответ: Коэффициенты наклона и смещения: наклон — 0,5, смещение — (−2).
ЗАДАНИЕ 12
Определите координаты точки пересечения графиков функций 2𝑥 + 𝑦 = 7 и 3𝑥 − 𝑦 = 1.
Ответ: (1,6; 3,8).
ЗАДАНИЕ 13
Найдите точку пересечения графиков функций и определите их взаимное положение: 𝑦 = 3𝑥 − 2
и 𝑦 = 𝑥 + 4.
Ответ: графики пересекаются, точка пересечения имеет координаты 𝑥 = 3, 𝑦 = 7.
7
ЗАДАНИЕ 14
Определите координаты точки пересечения графиков функций 2𝑥 − 4 = 𝑦 и 𝑦 = −𝑥 + 3
аналитическим способом.
7 2
Ответ: Графики пересекаются в точке (3 ; 3).
ЗАДАНИЕ 15
Постройте график функции 𝑦 = −0,5𝑥 + 1 и определите координаты точки пересечения с осью
ординат.
Ответ: Координаты точки пересечения с осью ординат: (0; 1).
ЗАДАНИЕ 16
Определите графически точку пересечения графиков линейных функций
𝑦 = −2𝑥 + 5 и 𝑦 = 4𝑥 − 3
1
1
Ответ: точка пересечения — (1 3 ; 2 3).
ЗАДАНИЕ 17
Определите взаимное расположение прямых — графиков линейных функций, не выполняя
их построения: 3𝑥 − 2𝑦 = 8 и 𝑦 = −3𝑥 + 2.
Ответ: Так как угловые коэффициенты различны, прямые пересекаются.
8