Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия 10 класс

1
Определение геометрической прогрессии
2
Сумма n-членов геометрической
прогрессии
3
Определение бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
4
Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии
Определение:
Геометрической прогрессией называется
такая
числовая
последовательность
𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑 , … , 𝒃𝒏 , … , где 𝒃𝟏 ≠ 𝟎, что для всех
натуральных чисел 𝒏 выполняется равенство
𝒃𝒏 = 𝒃𝒏−𝟏 ∙ 𝒒, где 𝒒 ≠ 𝟎.
Примеры:
1. 𝟏, 𝟑, 𝟗, 𝟐𝟕, … , 𝟑𝒏 , … , 𝒃𝟏 = 𝟏, 𝒒 = 𝟑
𝟏 𝟏
𝟏
𝟏 𝒏−𝟏
𝟏, , ,
,…,
,…
𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓
𝟓
𝒏
𝟏
2.
(𝒃𝟏 = 𝟏, 𝒒 = )
𝟓
3. 𝟐, −𝟒, 𝟖, … , − −𝟐 , … 𝒃𝟏 = 𝟐, 𝒒 = −𝟐
4. −𝟓, −𝟏𝟎, … , −𝟓 ∙ 𝟐𝒏−𝟏 , … 𝒃𝟏 = −𝟓, 𝒒 = 𝟐
Сумма n-членов геометрической прогрессии.
Из курса алгебри 8-класса известно что
сумма n-членов геометрической прогрессии
вычисляется по формуле
𝑏1 (1−𝑞𝑛 )
𝑏1 (𝑞 𝑛 −1)
𝑆𝑛 =
=
(1)
1−𝑞
𝑞−1
Примеры:
𝟏. 𝒃𝟏 = 𝟒, 𝒒 = 𝟐. Найти сумму 10-членов
геометрической прогрессии.
Решение: Подставялем заданные значение
𝒃𝟏 и 𝒒 формулу (1), получаем
𝑏1 (𝑞 𝑛 − 1) 4 ∙ (210 − 1)
𝑆𝑛 =
=
= 4092
𝑞−1
2−1
Определение:
Геометрическая
прогрессия
называется
бесконечно убывающей, если модуль его
знаменателя
меньше
единицы.
Последовательность 𝒃𝟏 , 𝒃𝟐 , 𝒃𝟑 , … , 𝒃𝒏 , … , где
𝒃𝟏 ≠ 𝟎, что для всех натуральных чисел 𝒏
выполняется равенство 𝒃𝒏 = 𝒃𝒏−𝟏 ∙ 𝒒, где 𝒒 ≠
𝟎и 𝒒 >𝟏
Примеры:
1.
2.
𝟏 𝟏
𝟏 𝒏−𝟏
𝟏
𝟏, − , , … , −
, … , 𝒃𝟏 = 𝟏, 𝒒 = −
𝟑 𝟗
𝟑
𝟑
𝟏 𝟏
𝟏
𝟏 𝒏−𝟏
𝟏
𝟏, , ,
,…,
, … (𝒃𝟏 = 𝟏, 𝒒 = )
𝟓 𝟐𝟓 𝟏𝟐𝟓
𝟓
𝟓
Сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии.
Выведем формулу суммы бесконечно
убывающей геометрической прогрессии
𝑏1 (1−𝑞𝑛 )
с помощью формулы 𝑆𝑛 =
.
1−𝑞
𝑏1
𝑏1 ∙𝑞 𝑛
Запишем её так 𝑆𝑛 =
−
. Так как
1−𝑞
1−𝑞
𝒃𝟏 ∙𝒒𝒏
𝒒 < 𝟏, то lim
= 𝟎 и поэтому
𝟏−𝒒
𝒏→∞
𝒃𝟏
lim 𝑺𝒏 =
. Таким образом ,сумма
𝟏−𝒒
𝒏→∞
бесконечно убывающей прогрессии
𝒃𝟏
вычисляется по формуле 𝑺 =
𝟏−𝒒
Примеры:
1.Найти сумму бесконечно убывающей
𝟏
𝟏 𝟏
геометрической прогрессии , − , ,…
𝟏
𝟐
𝟐
Решение: Так как 𝒃𝟏 = , 𝒒 = −
𝟏
𝟑
𝟔 𝟏𝟖
и по
𝟏
𝟐
𝒃𝟏
формуле 𝑺 =
получим 𝑺 =
𝟏
𝟏−𝒒
𝟏− −𝟑
𝟑
=
𝟖
2. 1.Найти сумму бесконечно убывающей
геометрической прогрессии если 𝒃𝟑 = −𝟏 и
𝟏
𝒒 = . Применяя формулу 𝒃𝒏 = 𝒃𝟏 ∙ 𝒒𝒏−𝟏 и
𝟕
вставляя данные по условии задачи находим
𝒃𝟏 = −𝟒𝟗. По формуле 𝑺 =
𝟔
− 𝟓𝟕 .
𝟏
𝒃𝟏
находим 𝑺 =
𝟏−𝒒
Задачи для самостоятельной работы.
1.Найти
сумму
бесконечно
убывающей
геометрической
прогрессии, если:
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
1) 𝒒 = − , 𝒃𝟏 = 2) 𝒒 = , 𝒃𝟓 =
𝟐
𝟖
𝟑
𝟖𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
3) 𝒒 = − , 𝒃𝟏 = 𝟗 4) 𝒒 = − , 𝒃𝟒 =
𝟑
𝟐
𝟖
2.Найти
убывающей
прогрессии:
𝟏
1) 𝟔, 𝟏, , …
𝟔
сумму
бесконечно
геометрической
2) −𝟐𝟓, −𝟓, −𝟏, …